10 3 fracciones parciales

Sesi贸n 10.3

Integraci贸n de funciones racionales y la descomposici贸n en fracciones parciales

¿Cómo hallarías la siguiente integral?

6 x 4 − 3x 3 + 14 x 2 − 3x + 5 dx 3 ∫ 3x + 3x

¿y si fuera esta integral? x 5   ∫  2 x − 1 + x 2 + 1 + 3x ÷dx

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Habilidad • Calcula integrales de funciones racionales mediante la descomposición en fracciones simples

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Función racional Definición: Una función formada por el cociente de dos polinomios f (x) =

P( x ) Se llama función racional.

Q( x )

Nota: Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) la función se llama propia, de lo contrario se llama impropia. x +5 f (x) = 2 x + x −2 1 f (x) = 3 x + x −2 x 3 − 2x + 5 f (x) = x2 − 2

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Descomposición de fracciones impropias Teorema: Toda función racional impropia se puede escribir como una suma de un polinomio y una fracción propia. x 3 − 2x + 5 f (x) = x2 − 2

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Fracciones simples (parciales) Definición: Se denomina fracción simple a las fracciones propias de las formas: k kx + h 2 ; ; donde b − 4ac < 0 r r ( ax + b) ax 2 + bx + c

(

)

a, b, c, k, h: números reales r: entero positivo.

Determine las siguientes integrales: a a) ∫ dx bx + c

b)

ax c) ∫ dx 2 1+ x

a d) ∫ 2 dx 2 b +x

a

∫ ( bx + c )

2

dx

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Ejemplos Encuentre

∫ 2x

∫

2

5 dx − 3x − 2

x 4 + x3 − x2 − x + 1 dx 3 x −x x

∫ ( x + 2) ( x − 1)dx 2

2x 2 − x + 4 ∫ x 3 + 4 x dx 7

Ejemplos Determine

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Bibliografía Cálculo de una variable Conceptos y contextos Cuarta edición James Stewart

Sección 5.7 Páginas: 393 - 394 Ejercicios: 20, 22, 24, 28, 32.

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ClassPad Usamos la calculadora para determinar la integral de una función racional propia paso a paso:

x2 + 2 ∫ x 3 − x 2 + 3x − 3 dx Use el comando factor para factorizar el denominador

Descomponer la función en fracciones parciales 2

(

x +2 Ax + B C = 2 + 2 x + 3 ( x − 1) x + 3 x − 1

)

De donde se tiene que 2

(

x + 2 = ( Ax + B )( x − 1) + C x 2 + 3

)

Defina en la ClassPad ambos miembros de la ecuación como funciones

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ClassPad Hallamos C, para principio cualquier

las constantes A, B, esto se aplica el de identidad dando valor a x.

Estos valores se descomposiciĂłn parciales 2

(

remplazan en la en fracciones

x 1 3 + x +2 = 42 4 + 4 2 x + 3 ( x â&#x2C6;&#x2019;1) x + 3 x - 1

)

Ahora use la calculadora integrar cada expresiĂłn

para

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ClassPad Para el caso de funciones racionales impropias, como por ejemplo si nos piden hallar:

2x4 + x ∫ x 3 + x 2 + x + 1 dx Use el comando propFrac(f(x)) para descomponer la función en un polinomio y una fracción propia

La parte polinómica se integra, fácilmente y para la fracción propia repita los pasos tal como se hizo en el primer ejemplo.

NOTA: Si desea hacer la descomposición inmediata en fracciones parciales, use el comando expand(f(x),x). Tanto para propias e impropias.

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