2. Triângulo de Pascal
Agrupamento Vertical de Escolas do Viso Escola E.B. 2/3 do Viso
Na figura abaixo estão representadas as primeiras seis linhas do famoso Triângulo de Pascal (Matemático do séc. XVII). Descobre as três as linhas seguintes.
FOLHETIM DA MATEMÁTICA N.º 8 MAIO de 2010
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A amizade entre os números
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O que é amizade? Uma definição exacta e ao mesmo tempo enigmática sobre a amizade é atribuída ao filósofo grego Pitágoras (séc. V a.C.): "Amigo é aquele que é o outro eu, como acontece com 220 e 284''. Na escola filosófica fundada por Pitágoras, na cidade de Crotona, os discípulos do mestre cultivavam a amizade mútua. Pitágoras não ensinava apenas a amizade entre os homens, ele foi o primeiro a empregar a si mesmo o termo filósofo, que em grego significa “amigo da sabedoria''. Pitágoras estendeu o seu conceito de amizade aos números.
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SOLUÇÕES DOS PASSATEMPOS DO FOLHETIM Nº7
1.Sudoku
7 6 9 5 3 1 8 4 2
4 5 8 9 7 2 3 1 6
1 2 3 8 4 6 7 5 9
9 7 5 1 6 3 2 8 4
8 3 2 4 9 7 5 6 1
6 1 4 2 5 8 9 7 3
2 9 6 7 8 4 1 3 5
3 8 1 6 2 5 4 9 7
5 4 7 3 1 9 6 2 8
Na visão de Pitágoras e dos seus discípulos, os números eram vistos como a essência de todas as coisas, não eram meras abstracções. Eles tinham existência própria, possuindo até mesmo atributos como a sexualidade, a afectividade, graus de perfeição, etc. Conhecer os números revelava a harmonia do mundo e a contemplação matemática purificava a alma. Além disso, aplicando o conhecimento dos números, os pitagóricos podiam compor músicas, projectar complexos arquitectónicos e até mesmo seleccionar os seus alimentos e exercícios físicos.
2.O Bolo
3. Símbolos
= 9 ; = 6 ; = 2 ; = 3 ; = 8 ; = 1; = 4; = 7; = 0 4. O Livro O livro tem 120 páginas.
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Os pitagóricos classificavam como “números amigos'' aqueles cuja soma dos divisores próprios resultassem um no outro. Por exemplo, os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. A soma deles é 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Os divisores próprios de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142. Somando estes números 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Assim 220 e 284 são números amigos. Enquanto os pitagóricos estudavam os números para obter e aplicar conhecimento, a posteridade acreditou no poder do número escrito por si só. A mística matemática pitagórica tornou-se numa superstição. Durante séculos, pares de amuletos com os números 220 e 284 foram guardados por amigos a fim de atrair a concórdia entre eles.
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Os pitagóricos só legaram à posteridade o par de números amigos 220 e 284. Os primeiros matemáticos a procurarem outros pares de números amigos foram árabes ou persas. O árabe Thabit Ibn Qurra (836 - 901) descobriu uma fórmula para encontrar números amigos. Esta fórmula levou-o à redescoberta do par 220 e 284 e há indícios de que ele tenha encontrado os amigos 17.296 e 18.416. Enquanto não se confirma a historicidade desta descoberta, o árabe Ibn Al-Banna (1256 - 1321) pode ser considerado o primeiro a descobrir o par 17.296 e 18.416 usando a fórmula de Thabit. Provavelmente de forma independente, o persa Kamal Al-Din Farisi (1267 - 1319) também descobriu o par 17.296 e 18.416 pela fórmula de Thabit. Outro persa, Muhammad Baqir Yazdi (séc. XVI), usou a fórmula de Thabit e encontrou um outro par de amigos: 9.363.584 e 9.437.056. Os franceses Pierre Fermat (1601 - 1665) e René Descartes (1596 - 1650) redescobriram pela fórmula de Thabit respectivamente os pares de números amigos 17.296 e 18.416 e também 9.363.584 e 9.437.056. Um facto bastante bizarro é que o par de números amigos 1.184 e 1.210 não foi encontrado pela fórmula de Thabit. Foi um italiano de apenas 16 anos, Nicoló Paganini (que não era o violonista de mesmo nome), que descobriu o par 1.184 e 1.210 no ano de 1866. O suíço Leonhard Euler (1707-1783), generalizando a fórmula de Thabit, descobriu outros 59 pares de números amigos.
CURIOSIDADE A Bruxinha… A Antónia adivinha o dia e o mês do nascimento de qualquer pessoa. Também podes fazê-lo! - Multiplica o dia em que nasceste por 2. - Soma 5. - Multiplica por 50. - Soma o número do mês. - Subtrai 250. No resultado obtido, os dois últimos algarismos indicam o Mês em que nasceste; os dois primeiros, o dia. Por exemplo: 1205 → nasceste a 12 de Maio PASSATEMPOS:
Da amizade à perfeição:
1. Números Cruzados
O conceito de amizade entre números levou os pitagóricos a conceberem o conceito de “número perfeito''. O “número perfeito” é aquele que é amigo de si mesmo, noutras palavras, a soma dos divisores próprios de um número perfeito é ele mesmo. Por exemplo, os divisores próprios de 6 são 1, 2 e 3, cuja soma é 1+2+3=6. Assim 6 é um número perfeito. O segundo número perfeito é o 28. Os divisores próprios de 28 são 1, 2, 4, 7 e 14 e 1+2+4+7+14=28. O terceiro e quarto números perfeitos são respectivamente 496 e 8.128. O matemático grego Euclides (360 a.C. - 295 a.C.) só conhecia estes quatro números mas descobriu uma fórmula que gerava todos os números perfeitos pares. Esta mesma fórmula foi redescoberta pelo matemático árabe Ibn al-Haytham (965 - 1039). Com o avanço da computação, a lista de números amigos e de números perfeitos tem vindo a aumentar significativamente. Lança-te à descoberta!!
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Horizontais: A) 47 + 28 + 120; 72 B) 500 + 400×2 C) 102 + 103 D) 1400 + 300 – 701; 324 ÷ 9 E) 40 × 500 – 14100 F) Maior número par com 3 algarismos; 42 × 2
A B C D E F A B C D E F
Verticais: A) Número primo com dois algarismos iguais; 32; Maior algarismo ímpar B) 4567 + 4752; Número divisível apenas por 1, 3 e ele próprio. C) 500 000 - 401958 D) Uma dezena (invertida); Algarismo que aprece mais nestes números cruzados. E) 22; 200 × 15 + 30 F) 105 + 2702 × 300 + 2
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