Geometria analítica: cônicas Iluminando uma parede plana com uma lanterna, a intersecção da superfície do cone de luz com o plano da parede representa uma figura cônica. Dependendo da inclinação do eixo do cone em relação ao plano da parede, essa figura pode ser uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou um ramo de hipérbole.
P é interior a H
P pertence a H
P é exterior a H
d,R
d5R
d.R
Consideremos no plano cartesiano uma circunferência H de centro C(a, b) e raio R. Sendo G(x, y) um ponto genérico, temos que G pertence a H se, e somente se, CG 5 R, ou seja:
P
y
P R G(x, y)
C
d
C
C �
R
P
R
d=R
d
�
�
d lllllllllllllll (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 R b
C x
a
Equação reduzida da circunferência Elevando ao quadrado ambos os membros da equação acima, obtemos a equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio R:
Posições relativas entre reta e circunferência No plano cartesiano, as posições relativas entre uma reta s e uma circunferência H podem ser observadas a partir da comparação entre o raio r de H e a distância d entre a reta e o centro C da circunferência. s é secante a H
s é tangente a H
s é exterior a H
d,R
d5R
d.R
(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 R2 A equação (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 k, nas variáveis x e y, com {a, b, k} - V, representa: • uma circunferência se, e somente se, k . 0; • um ponto se, e somente se, k 5 0; • o conjunto vazio se, e somente se, k , 0.
Equação geral da circunferência Eliminando os parênteses da equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio R, obtemos a equação geral (ou normal) da circunferência: x 2 1 y 2 2 2ax 2 2by 1 a 2 1 b2 2 R2 5 0
Posições relativas entre ponto e circunferência
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d=R C
C
d
R C
R
Dadas as equações da reta s: ax 1 by 1 c 5 0 e da circunferência H: (x 2 x0)2 1 (y 2 y0)2 5 R2, temos que s ) H é o conjunto solução do sistema:
{
ax 1 by 1 c 5 0 (x 2 x0)2 1 (y 2 y0)2 5 R2
Por substituição, obtemos uma equação do 2o grau em uma única variável. Sendo S o discriminante dessa equação, temos: • Se S , 0, o sistema é impossível, o que significa que s é exterior a H.
No plano cartesiano, as posições relativas entre um ponto P e uma circunferência H podem ser observadas a partir da comparação entre o raio R de H e a distância d entre o ponto e o centro C da circunferência.
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d
s
s
s
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Circunferência
• Se S 5 0, o sistema tem uma única solução, o que significa que s é tangente a H. • Se S . 0, o sistema tem exatamente duas soluções, o que significa que s é secante a H.
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Posições relativas entre duas circunferências No plano cartesiano, sendo H 1 e H 2 duas circunferências de centros C1 e C2 e raios R 1 e R 2, respectivamente, temos uma dentre as seis posições possíveis: �2
�1 C1
H1 e H2 são exteriores
R1
R2
Esse sistema: • É impossível se, e somente se, H1 e H2 são exteriores ou uma delas for interior à outra. • Tem uma única solução se, e somente se, H1 e H2 são tangentes interiormente ou exteriormente. • Tem exatamente duas soluções se, e somente se, H1 e H2 são secantes. • Tem mais de duas soluções se, e somente se, H1 e H2 são coincidentes.
C2
Elipse Fixados dois pontos, F 1 e F 2, de um plano a tais que F1F2 5 2c, com c . 0, chama-se elipse o conjunto dos pontos P do plano a cuja soma das distâncias PF1 e PF2 é uma constante 2a, com 2a . 2c, ou seja:
dC
1C2
dC C . R1 1 R2 1
2
�2
�1 R1
C1
H 1 e H2 são tangentes exteriormente
P
R2
C2
dC
F1
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1C2
2c
F2
dC C 5 R1 1 R2 1
2
�1
R1
�2 C 1
H1 e H2 são tangentes interiormente
PF1 1 PF2 5 2a
C2 R2
Considere a elipse abaixo.
dC
1C2
B1
dC C 5 OR1 2 R2O 1
2
�1
P R1 C1
b
�2
R2
A1
C2
F1
c a
H1 e H2 são secantes
F2
c
C
a
A2
b dC
1C2
B2
OR1 2 R2O , dC C , R1 1 R2 1
C1
H2 é interior a H1
2
R1 C2 R2
dC
1C2
R1 . R2 e dC C , OR1 2 R2O 1
2
�1 � �2 R1 � R2
H1 e H2 são coincidentes
• Focos da elipse: são os pontos F1 e F2. • Distância focal: é a distância 2c entre os focos, sendo c a semidistância focal. • Corda da elipse: é qualquer segmento de reta cujos extremos são pontos da elipse. • Eixo maior da elipse: é a corda A1A2, que passa pelos focos. Temos: A1A2 5 2a • Centro da elipse: é o ponto médio C da corda A1A2 • Eixo menor da elipse: é a corda B1B2, perpendicular a A1A2, que passa por C. Temos: B1B2 5 2b e CB1 5 CB2 5 b Pelo teorema de Pitágoras, temos do triângulo B1CF2:
C1 � C2
B1
1
2
Dadas as equações das circunferências H1: (x 2 a1)2 1 (y 2 b1)2 5 R21 e H2: (x 2 a2)2 1 (y 2 b2)2 5 R22, temos que H1 ) H2 é o conjunto solução do sistema:
{
a
b
dC C 5 0 e R1 5 R2
(x 2 a1)2 1 (y 2 b1)2 5 R21 (x 2 a2)2 1 (y 2 b2)2 5 R22
A1
F1
C
c
F2
A2
a2 5 b2 1 c2
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c O número e 5 __ a é chamado de excentricidade da elipse.
Considere a hipérbole abaixo.
Observando que esse número é o cosseno do ângulo agudo B1F2C, temos: 0 , e , 1
Equação reduzida da elipse
2a
Se uma elipse tem o eixo maior paralelo ao das abscissas, então sua equação reduzida é:
A1
F1
A2
F2
2c
y0
b
A1
A2
C
O
a
x0
x
(x 2 x0)2 _________ (y 2 y0)2 _________ 1 51 2 a b2
• Focos da hipérbole: são os pontos F1 e F2. • Distância focal: é a distância 2c 5 F1F2 entre os focos, sendo c a semidistância focal. • Vértices da hipérbole: são os pontos A1 e A2, que são a intersecção da hipérbole com o segmento F1F2. • Eixo real da hipérbole: é o segmento A1A2. Temos: A1A2 5 2a 2a médio C do eixo real A A . • Centro da hipérbole: é o ponto 1 2 • Eixo imaginário da hipérbole: é o Asegmento B1B2, perpenA F 1 2 F dicular a A1A2, que1 passa por C tal que: 2 c. Temos: B1A1 5 B1A2 5 B2A1 5 B2A2 5 2c B1B2 5 2b e CB1 5 CB2 5 b
Se uma elipse tem o eixo maior paralelo ao das ordenadas, então sua equação reduzida é: y
B1 c
A1
c
b
A1
A2
a
a
C
F1 c
y0
F2
c
C b
B2
A2 O
x0
x
(x 2 x0)2 _________ (y 2 y0)2 _________ 1 51 b2 a2
Hipérbole Fixados dois pontos, F 1 e F 2, de um plano a tais que F1F2 5 2c, com c . 0, chama-se hipérbole o conjunto dos pontos P do plano a cujas diferenças, em módulo, das distâncias PF1 e PF2 são iguais a uma constante 2a, com 0 , 2a , 2c, ou seja:
Pelo teorema de Pitágoras, temos do triângulo B1CA2: c2 5 a2 + b2 c O número e 5 __ é chamado de excentricidade da hipérbole. a Observando que esse número é a secante do ângulo agudo B1A2C, temos: e . 1 Chama-se retângulo referência da hipérbole o retângulo MNPQ, cujos pontos médios dos lados são A1, B1, A2 e B2. As retas MP e NQ, que contêm as diagonais do retângulo, são denominadas assíntotas da hipérbole. A hipérbole não tem ponto em comum com nenhuma das assíntotas e a distância entre a hipérbole e cada assíntota se aproxima indefinidamente de zero.
M
P F1
F1
F2
OPF1 2 PF2O 5 2a
B1
N
A1
A2 C
Q
B2
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
y
F2
P
Quando o retângulo referência é um quadrado (2a 5 2c), a hipérbole é chamada de equilátera.
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Equação reduzida da hipérbole Se uma hipérbole tem o eixo real paralelo ao das abscissas, então sua equação reduzida é: y
y0
A razão entre as distâncias de um ponto P ao foco e à diretriz é chamada de excentricidade da parábola. Como essas distâncias são iguais, a excentricidade da parábola é igual a 1.
Equação reduzida da parábola F1
c
b C
(x 2 x0)2 _________ (y 2 y0)2 _________ 2 51 a2 b2
F2
a
x0
Se uma parábola tem a diretriz paralela ao eixo Ox e a concavidade voltada para cima, então sua equação reduzida é: y
x
F y0
(x 2 x0)2 5 2p(y 2 y0)
p
V
Se uma hipérbole tem o eixo real paralelo ao das ordenadas, então sua equação reduzida é: y
O
(y 2 y0)2 _________ (x 2 x0)2 _________ 2 51 a2 b2
C b a c
y0
x0
x
Se uma parábola tem a diretriz paralela ao eixo Ox e a concavidade voltada para baixo, então sua equação reduzida é:
F1 Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
r
y
F2 x0
x
V
y0
r
p
(x 2 x0)2 5 22p(y 2 y0)
F
Parábola
O
Fixados um ponto F e uma reta r de um plano, com F ( r, chama-se parábola o conjunto dos pontos P desse plano equidistantes de r e F, ou seja: F
P
P�
x0
Se uma parábola tem a diretriz paralela ao eixo Oy e a concavidade voltada para a direita, então sua equação reduzida é: y
r
p
r
PF 5 PPe (Pe é a projeção ortogonal de P sobre r )
x
y0
V
F
(y 2 y0)2 5 2p(x 2 x0)
Considere a parábola abaixo. O
x0
x
F (foco) p
Se uma parábola tem a diretriz paralela ao eixo Oy e a concavidade voltada para a esquerda, então sua equação reduzida é:
V (vértice) r (diretriz)
r
e (eixo de simetria)
• Foco da parábola: é o ponto F. • Diretriz da parábola: é a reta r. • Eixo de simetria da parábola: é a reta e que passa por F e é perpendicular à diretriz. • Vértice da parábola: é o ponto V, intersecção da parábola com o eixo e. • Parâmetro da parábola: é a distância p do foco à diretriz.
y
p F
y0
V
x0
O
(y 2 y0)2 5 22p(x 2 x0)
x
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No Vestibular 1. (Unicamp-SP) A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, definida pela equação x 2 1 y 2 5 4, e pela semirreta que parte da origem e faz um ângulo de 30° com o eixo x, conforme a figura a seguir.
4. (Unesp) Dentre as regiões coloridas, aquela que representa no plano cartesiano o conjunto U 5 {(x, y) 9 V2oy > 2x 1 1 e x2 1 y2 < 4} é: a)
d)
y (0, 1)
y
P
(0, 1)
(2, 0) x
C
y
(4, 0) x
(–1, –1)
(–1, –1)
b)
x
e)
y
y
(0, 1)
(0, 1) (4, 0) x (–1, –1)
(2, 0) x (–1, –1)
a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Calcule a área da região sombreada.
c)
y
2. (Udesc) A figura abaixo apresenta o triângulo ABC inscrito
(0, 1)
em uma circunferência de centro O. (–1, –1)
y C
2
5. (Unifor-CE) Considere que, num sistema de eixos carte-
1
–1
sianos ortogonais, as intersecções das curvas de equações x2 1 y2 2 3x 2 19 5 0 e y2 5 x 1 4 são vértices de um polígono convexo cujos lados correspondem ao perímetro de um terreno. Se para desenhar esse terreno no sistema de eixos considerado foi usada uma escala de 1 : 6, a sua área real, em metros quadrados, é:
–2
a) 288 b) 540
0 A 0
1
2
B 3
4
x
Analise as afirmativas abaixo de acordo com a figura.
a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triângulo APQ.
x 2 1 y 2 1 4x 5 0.
IV. A medida do ângulo ABC é igual a 60w.
7. (UFG-GO) Na figura abaixo, as circunferências C1 e C2 são tangentes entre si e ambas tangentes às retas de equações
Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
e) 2.304
C tem centro no ponto A(25, 1) e é tangente à reta de equação 4x 2 3y 2 2 5 0 em um ponto P. Seja, ainda, Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim:
II. A equação da circunferência é dada por III. A equação da reta que passa pelos pontos A e C é dada por y 5 3x.
c) 960 d) 1.152
6. (Fuvest-SP) No plano cartesiano Oxy, a circunferência
I. A área do triângulo ABC é igual a 2dll 3 unidades de área.
(2, 0) x
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
30°
d d 3 ll 3 ll y 5 ___ x e y 5 2 ___ x. 3 3
y
c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. C2
d) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras. e) Somente a afirmativa I é verdadeira.
3. (UFG-GO) Dadas as circunferências de equações
r1 C1
1
r2 x0
x
x 2 1 y 2 2 4y 5 0 e x 2 1 y 2 2 4x 2 2y 1 4 5 0 em um sistema de coordenadas cartesianas: a) esboce os seus gráficos; b) determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências.
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Calcule a equação da circunferência C2, sabendo que o ponto (1, 0) é o centro da circunferência C1.
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P
Exercício 2
{
x
#
I. Verdadeira. O triângulo ABC é retângulo em C, pois está inscrito em uma semicircunferência de diâmetro AB; logo, a altura h desse triângulo, relativa a AB, é dada por: 3 h2 5 3 3 1 ] h 5 d ll 3 dll 4 3 d ll 5 2 3 Assim, a área S do triângulo é: S 5 ______ 2 II. Falsa, pois a circunferência tem centro no ponto (2, 0) e raio 2, ou seja, sua equação é: (x 2 2)2 1 y 2 5 22 ] x 2 1 y 2 2 4x 5 0 III. Falsa, pois o coeficiente angular da reta AC é: d 3 ll tg (CAB) 5 ___ . 3 3 dll IV. Verdadeira, pois tg (CÂB) 5 ___ e CÂB é ângulo agudo. 3 Alternativa c. y
a) x2 1 y2 2 4y 5 0 ] 4 ] x2 1 (y 2 2)2 5 4 2 2 x 1 y 2 4x 2 2y 1 4 5 0 ] 2 ] (x 2 2)2 1 (y 2 1)2 5 1 1 Representando essas circunferências no plano x 2 cartesiano, temos: b) Uma reta tangente às circunferências é a reta de equação y 5 0. Sabemos que as retas tangentes às circunferências e a reta r que passa pelos centros (0, 2) e (2, 1) das circunferências têm um mesmo ponto P em comum. Essa reta r tem equação:
Exercício 4
A figura ao lado ilustra parte C do problema. t Sendo mt e ms os coeficientes A angulares das retas t e s, respectivamente, temos P 1 que ms 5 2 ___ s m t , pois t e s são perpendiculares. Assim: 4x 2 4x 2 3y 2 2 5 0 ] y 5 ___ 2 __ 3 3 21 3 4 ___ e ms 5 5 2 __ } mt 5 __ 4 4 3 __ 3 Logo, como s passa pelo ponto A(1, 25), uma equação da reta s é: 3 y 2 1 5 2 __ (x 1 5) ] 3x 1 4y 1 11 5 0 4 As coordenadas do ponto P são dadas pela solução do sistema formado pelas equações das retas t e s, ou seja: 4x 2 3y 2 2 5 0 x 5 21 ] y 5 22 3x 1 4y 1 11 5 0 } P(21, 22) b) O raio r da circunferência C é igual à distância entre o ponto A e a reta t, ou seja: O4(25) 2 3 3 1O 2 2 5 5 r 5 DC , r 5_________________ d lllllllll 42 1 (23)2 Assim, uma equação da circunferência C é: (x 1 5)2 1 (y 2 1)2 5 25 c) Substituindo y por 0 na equação de t, temos: 1 4x 2 2 5 0 ] x 5 __ 2 1 , 0 e a área S Logo, o ponto Q tem coordenadas Q __ 2 do triângulo APQ é dada por:
{
{
25 1 1
x y 1 0 2 1 5 0 ] x 1 2y 2 4 5 0 2 1 1 y50 Assim, o ponto P é a solução do sistema: x 1 2y 2 4 5 0 Portanto, P(4, 0).
{
A região do plano determinada pela relação y > 2x 1 1 é o semiplano de origem y 5 2x 1 1 e que não contém o ponto (0, 0). A região do plano determinada pela relação x 2 1 y 2 < 4 é o círculo de raio 2 e centro (0, 0). Assim, a figura da alternativa a representa a intersecção dessas regiões. Alternativa a.
Resolvendo esse sistema, obtemos: P1(5, 3), P2(5, 23), P3(23, 1) e P4(23, 21) Assim, os pontos de intersecção determinam um trapézio isósceles de base maior 6, base menor 2 e altura 8. Logo, adotando a escala 1 : 6, concluímos que a área do terreno é: (36 1 12)48 2 __________ m = 1.152 m2 2 Alternativa d.
@ #
Exercício 7
Exercício 3
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
@
As coordenadas dos pontos de intersecção entre as x 2 1 y 2 2 3x 2 19 5 0 curvas são soluções do sistema: y2 5 x 1 4 Exercício 5
C Considere a figura ao lado: 30° 2 a) O triângulo OAP é α 30° isósceles de base PO. 2 A Q B Assim, a 5 30w 1 30w 5 60w. No triângulo retângulo PAB, temos: PB 3 sen 60w 5 ___ ] PB 5 dll PA AB cos 60w 5 ___ ] AB 5 1 PA 3 #. Logo, as coordenadas do ponto P são P@ 3, d ll b) Sendo E e F os pontos de intersecção das duas circunferências, os triângulos OAE e OAF são equiláteros e, portanto, o ângulo EÔF mede 120w. Assim, a área da região sombreada é igual à área de um círculo de raio 2 menos duas vezes a área de um segmento circular de raio 2 e ângulo central de 120w, ou seja: 4s 1 1 3 s 3 22 2 __ 3 2 3 2 3 sen 120w 5 ___ 1 2dll 3 s 3 22 2 2 3 __ 3 2 3
Exercício 6
Exercício 1
y
ODO 25 22 1 ___ 5 S 5 ____ , em que D 5 21 2 2 1 0 1 __ 2 25 ___ Logo, S 5 4
3 dll Sendo a a inclinação da reta de equação y 5 ___ x, temos: 3 d 3 ll tg a 5 ___ ] a 5 30w 3 r1 sen 30w 5 __ 3 1 1 ] r1 5 __ Assim: e r2 5 __ r2 _________ 2 2 sen 30w 5 1 1 r1 1 r2 3 Logo, o centro e o raio de C2 são, respectivamente, (3, 0) e __ . 2 Concluímos, então, que uma equação de C2 é: 9 (x 2 3)2 1 y 2 5 __ 4
{
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NO VESTIBULAR
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8. (Fuvest-SP) Sendo P 5 (a, b) um ponto qualquer da circunferência de centro na origem e raio 1, que satisfaça b . a,
@
@
3
vale:
a 2 2 b 2 b4
c) 2log b d) log b
e) 2log b
9. (Fuvest-SP) Uma reta de coeficiente angular m . 0 passa pelo ponto (2, 0) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices (1, 1), (5, 1), (5, 5) e (1, 5). Então:
Exercício 8
a) 0 b) 1
A circunferência de centro na origem e raio 1 possui equação reduzida x2 1 y2 5 1. Como P(a, b) pertence a essa circunferência, temos: a2 1 b2 5 1 (I) Além disso:
##
4
b a a % b e a % 2b, pode-se afirmar que log ________ __ 2 1
E
@
E
#R
@
#R
b3 a4 b3 a 4 2 b4 log _______ 2 2 __4 2 1 5 log _______ 2 2 _______ 5 b4 a 2b b a 2b
E
R
(a 2 1 b 2 )(a 2 2 b 2) a2 1 b2 5 log _______________ 5 log _______ (II) 2 2 b b(a 2 b ) a2 1 b2 1 5 log __ 5 log b21 5 2log b De (I) e (II), temos: log _______ b b 1 Portanto: log __ 5 log 1 2 log b 5 2log b b Alternativa c.
y 5 4 3 2 1
1 a) 0 , m , __ 3 1 b) m 5 __ 3
2
3
4
Considere a figura a seguir.
5 x
1 c) __ , m , 1 3
x
5 e) 1 , m , __ 3
5
d) m 5 1
r
B 5 (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x2 1 y2 5 5. A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é: 3 3 a) 21 b) 2 __ c) 1 d) __ e) 2 4 4
Exercício 9
10. (Fuvest-SP) Considere o triângulo ABC, onde A 5 (0, 4),
11. (ITA-SP) Dadas a circunferência C: (x 2 3)2 1 (y 2 1)2 5 20 e a reta r: 3x 2 y 1 5 5 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de 45w com r e cuja distância à origem
t
3
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1
5 3dll é ____ . Determine uma equação da reta t. 5
1
s 1
2
5 y
Seja r a reta tangente à circunferência com mr . 0 e consideremos as retas s e t auxiliares. O coeficiente 1 e o coeficiente angular da angular da reta s é ms 5 __ 3 3 5 1. Assim: reta t é mt 5 __ 3 1 ms , mr , mt [ __ , mr , 1 3 Alternativa c.
12. (Fuvest-SP) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x 2 2)2 1 (y 2 2)2 5 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a: c) 2dll 2
b) 2dll 2 2
d) 2dll 2 1
1
e) 2dll 2 1 4 2
13. (Fuvest-SP) Para cada número real m seja Pm 5 (xm, ym) o ponto de intersecção das retas mx 1 y 5 1 e x 2 my 5 1. Sabendo-se que todos os pontos Pm pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência?
@ # 1 1 d) @ 2 , 2 # 2 2
@ #
1 1 c) 2__ , __ 2 2
1 1 , __ a) __ 2 2
__
b) (0, 0)
Exercício 10
2 2 2 a) 2dll
Para que o triângulo ABC tenha a menor área possível, sua altura em relação ao lado AB deverá ser a menor possível. Assim, o ponto C é determinado pela 5 intersecção da circunferência de centro (0, 0) e raio d ll com a reta r que passa por O(0, 0) e é perpendicular a s.
A
4
B r
3 C
e) (1, 1) O
__
2
s
y2
9 14. (Fuvest-SP) A elipse x2 1 __ 5 __ e a reta y 5 2x 1 1, do plano
2 4 cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:
@ # 1 1 d) @ 2 , # 3 3
@ # 2 7 b) @ , 2 # 3 3
1 5 c) __ , 2 __ 3 3
2 1 , 2 __ a) 2__ 3 3 __
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__
#
__ __
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@
1 1 e) 2__ , __ 4 2
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MATEMÁTICA
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{
Considere a figura a seguir. y R
Q 2
Exercício 12
Exercício 10
Sy 3 2 4 1 O coeficiente angular da reta s é: ms 5 ___ 5 _____ 5 2 __ 2 Sx 2 2 0 1 Como r t s, seu coeficiente angular de r é: mr 5 2 ___ m s 5 2 Assim, a equação da reta r é: y 5 2x Resolvendo o sistema a seguir, obtemos os dois pontos de intersecção da reta com a circunferência. O ponto C é aquele que estiver mais próximo da reta s: y 5 2x x 2 1 y 2 5 5 } (x 5 1 e y 5 2) ou (x 5 21 e y 5 22) As soluções desse sistema são (1, 2) e (21, 22). Dentre esses pontos, o mais próximo da reta s é C(1, 2). Alternativa c. (Nota: A solução Ce(21, 22) determina o ponto que torna a área do triângulo ABCe máxima.)
C (r) 3x _ y + 5 = 0 mr = 3
O(0, 0)
e
(t) y = mx + q mx _ y + q = 0
u
m23 1 Devemos ter: _______ 5 tg 45w ] m 5 22 ou m 5 __ 1 1 3m 2 x __ Assim, t1: 22x 2 y 1 q 5 0 ou t2: 2 y 1 q 5 0 2 Da condição de tangência para t1:
Exercício 13
20 3 5 5
O22 3 3 2 1 1 qO _______________ 5 dlll 20 ] q 5 17 ou q 5 23 2 dlllllllllll (22)2 1 (21)
e d @ #
3 5 da origem, pois: ta ____ 5 O22 3 0 2 0 2 3O ___ 5 3dll 3 _______________ 5 5 ____ 2 2 lllllllllll 5 d ll 5 d (22) 1 (21) dll
Assim, uma equação da reta t é 22x 2 y 2 3 5 0, que é equivalente a 2x 1 y 1 3 5 0.
x
O lugar geométrico dos pontos Pm é determinado pela solução do sistema abaixo: 12y mx 1 y 5 1 m 5 _____ (I) ] x x 2 my 5 1 x 2 my 5 1 (II) Substituindo (I) em (II), obtemos: x2 1 y2 2 x 2 y 5 0,
{
{
@
# @
#
1 2 1 2 1 1 y 2 __ 5 __ ou seja: x 2 __ 2 2 2 Assim, o lugar geométrico é a circunferência de centro d 2 ll 1 1 , __ . e raio r 5 ___ C __ 2 2 2 Alternativa a.
{
u
Das quatro retas obtidas, só a reta t1: 22x 2 y 2 3 5 0 dis-
2P
O
xA 1 xB a abscissa do ponto médio de AB. Seja xM 5 ______ 2 Os pontos A e B são determinados pelo sistema formado pelas equações da elipse e da reta: y2 9 (2x 1 1)2 __ 5 __ x2 1 __ 9 ] x 2 + ________ 5 4 2 4 2 y 5 2x 1 1
} t1: 22x 2 y 1 17 5 0 ou t1: 22x 2 y 2 3 5 0 Da condição de tangência para t2: 3 __ 2 1 1 q 2 9 11 ______________ 5 dlll 20 ] q 5 __ ou q 5 2 ___ 2 2 2 lllllllllll 1 2 __ 1 (21) 2 9 x x 11 } t2: __ 2 y 1 __ 5 0 ou t2: __ 2 y 2 ___ 5 0 2 2 2 2
45°
@ #
Exercício 14
Exercício 11
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
C´(3, 1)
H
DQ 5 DP 5 DR 5 2
D
PQ é diagonal de um quadrado de lado 2 e, portanto, 2 . Como H é ponto médio de PQ, temos: PQ 5 2dll 2 2dll ____ 2 DH 5 5 d ll 2 2 1 2 Assim, a altura do triângulo PQR é: d ll dll d ll @ # 2 2 1 2 2 Logo, sua área é: ____________ 2 5 2 1 2dll 2 Alternativa d.
A circunferência de equação (x 2 3) 2 1 (y 2 1) 2 5 20 tem centro Ce(3,1) e raio dlll 20 . 45o
45° 45° 45°
12x2 1 8x 2 7 5 0 (I) } Observando a soma das raízes da equação (I), temos: b 8 __ x1 1 x2 5 2 a ] xA 1 xB 5 2 ___ 12 xA 1 xB 8 1 } ______ 5 2 ___ ] xM 5 2 __ 2 24 3 1 Substituindo x por 2 __ na equação da reta, obtemos: 3 1 y 5 __ 3 1 1 , __ Logo, o ponto médio do segmento AB é: 2__ 3 3 Alternativa d. (Nota: Observe que resolvemos o exercício sem determinar os pontos A e B.)
@
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#
NO VESTIBULAR
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15. (Unifesp) A área colorida na figura limitada pela elipse e pela reta indicadas, é:
19. (UFPB) Uma quadra de futsal está representada na figura pelo retângulo ABCD, onde A 5 (220, 210) e C 5 (20, 10).
y
y
D
C
y = 2x x2 y2 + =1 9 4
F2
O
F1 x
x
A
a) s d) 4s b) 2s e) 5s c) 3s (Nota: A área S de uma elipse cujos semieixos medem a e b é dada por S 5 sab.)
B
Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de uma hipérbole de focos 5 , 0 #e F2 5 @ 26dll F1 5 @ 6dll 5 , 0 #. O círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3 m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C.
time de futebol é formado por uma elipse 4 de excentricidade e 5 __ , 5 cujo eixo menor mede 6 cm, e duas circunferências concêntricas e tangentes a essa elipse, como mostra a figura.
Considere que a área da região limitada pela elipse é dada por sab cm2, sendo, em centímetros, a o comprimento de um semieixo maior e b, de um semieixo menor. Nesse contexto, é correto afirmar que a área da região hachurada mede: a) 19s cm2 b) 17s cm2 c) 15s cm2
d) 18s cm2 e) 24s cm2
01. A distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12 m. 02. A quadra tem 800 m2 de área. y2 x2 04. A equação da hipérbole é ____ 2 ___ 5 1. 180 36 5 08. A excentricidade da hipérbole é igual a __ . 3 16. O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo. • Qual é a soma dos valores atribuídos às proposições verdadeiras?
20. (UFG-GO) A figura mostra, no plano cartesiano, o gráfico x2 da parábola de equação y 5 ___ e uma circunferência com 4 centro no eixo y e tangente ao eixo x no ponto O. y
17. (Uerj) Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm # 200 cm e uma semielipse.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras.
16. (UFPB) O escudo de um
Observe as figuras: Q
P
30 O
224
P
200
Q
30
x Determine o raio da maior circunferência, nas condições acima, que tem um único ponto de intersecção com a parábola.
21. (Fuvest-SP) O lugar geométrico dos pontos equidistantes da reta y 5 0 e da circunferência x2 1 (y 2 2)2 5 1 é:
100 Na semielipse o eixo maior mede 100 cm e o semieixo menor, 30 cm. Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta a 224 cm de altura.
18. (Udesc) Determine a equação da parábola que passa pelos 2
2
(x 2 3) y focos da hipérbole ________ 2 ___ 5 1 e pelo ponto de inter4 12 secção entre a reta y 2 2x 1 7 5 0 e o eixo das ordenadas, e tem diretriz horizontal.
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a) uma reta. b) uma semirreta. c) uma circunferência.
d) uma elipse. e) uma parábola.
22. (UFC-CE) No plano cartesiano, x2 2 y2 1 5x 2 5y 5 0 é uma equação de: a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes.
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Exercício 19
Exercício 15 Exercício 16
Exercício 20
@ #
y P
Q x 0
Além disso: y 5 224 2 200 5 24 50 3 18 242 x2 _____ 5 1 ] x 5 ! ______ 1 ____ 2.500 900 30 } x 5 !30 Portanto: P(230, 24) e Q(30, 24). Assim: dPQ 5 (30 1 30) cm 5 60 cm y2 (x 2 3)2 ___ A hipérbole de equação _______ 2 5 1 possui centro 4 12 no ponto C(3, 0). A medida a do semieixo real é dada por: a2 5 4 ] a 5 2 A medida b do semieixo imaginário é dada por: 3 b2 5 12 ] b 5 2dll Assim, temos: c2 5 a2 1 b2 ] c2 5 4 1 12 } c 5 4 Logo, a distância focal da hipérbole é 8 e, portanto, seus focos são os pontos de abscissas (21, 0) e (7, 0). Além disso, a reta de equação y 5 2x 2 7 intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 27). Logo, a equação da parábola que passa pelos pontos (21, 0), (7, 0) e (0, 27) é: y 5 a(x 2 x1)(x 2 x2) ] 27 5 a(0 1 1)(0 2 7) } a 5 1 Logo: y 5 1(x 1 1)(x 2 7) 5 x2 2 6x 2 7
Exercício 21
2a 5 100 ] a 5 50 Como b 5 30, temos a equação da elipse: 2 x2 y __ 24 cm 2 5 1 ] 2 1 __ a b y2 x2 ] _____ 1 ____ 5 1 2.500 900
A reta (assíntota da hipérbole) que passa nos pontos 1 A(220, 210) e C(20, 10) é a reta y 5 __ x. 2 b 1 5 Logo: __ 5 __ ] a 5 2b e c 5 6dll a 2 Assim: 5 #2 5 b2 1 (2b)2 c2 5 b2 1 a2 ] @ 6dll } b 5 6 e a 5 12 y2 x2 5 1 Portanto, a equação da hipérbole é: ____ 2 ___ 144 36 01. Verdadeiro, pois a 5 12. 02. Verdadeiro, pois a área da quadra é: 40 3 20 m2 5 800 m2 y2 x2 04. Falso, pois a equação da hipérbole é: ____ 2 ___ 5 1 144 36 5 ___ 6 dll 5 dll c 5 08. Falso, pois a excentricidade __ é igual a: _____ a 12 2 16. Verdadeiro, pois o eixo imaginário é igual a 2b 5 12, portanto, 4 vezes o raio do círculo. • A soma é: 01 1 02 1 16 5 19
@ #
Seja r a medida do raio da circunferência e considerando a origem do sistema de coordenadas cartesianas como o único ponto de intersecção entre a parábola e a circunferência, temos a seguinte equação: x2 1 (y 2 r)2 5 r2 x2 y 5 __ 2 2 2 4 ] 4y 1 (y 2 r) 5 r x 1 (y 2 r)2 5 r2 } y2 1 (4 2 2r)y 5 0 Como a equação do 2o grau y2 1 (4 2 2r)y 5 0 deve ter apenas uma solução, então S 5 0. Portanto: S 5 (4 2 2r)2 2 4 3 1 3 0 5 0 ] r 5 2
{
Considere a figura ao lado. Observando que os pontos equidistantes da circunferência e do eixo Ox têm ordenadas positivas, temos que a distância do ponto P(x , y) a esse eixo é: DPOx 5 OyO 5 y A distância de P(x , y) à circunferência H, de centro (0, 2) e raio 1, é: (x 2 0)2 1 (y 2 2)2 2 1 DPH 5 d llllllllllllll
y
P(x, y)
2
x
Como P é equidistante da reta y 5 0 e da circunferência H, temos: x2 1 y2 2 4y 1 4 2 1 DPOx 5 DPH ] y 5 d lllllllllllll
{
x2 1 y2 2 4y 1 4 } y 1 1 5 d lllllllllllll y > 21 y > 21 ] __ } 2 x2 1 2 2 y 1 2y 1 1 5 x 1 y 2 4y 1 4 y 5 1 __ 6 2 O que representa uma parábola com concavidade voltada 1 . para cima, eixo de simetria x 5 0 e ponto de mínimo 0, __ 2 Alternativa e.
{
@ #
x2 2 y2 1 5x 2 5y 5 0 ] x2 1 5y 2 (y2 1 5y) 5 0
Exercício 22
Exercício 17
Seja o centro das circunferências e da elipse a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Equação da circunferência menor: x2 1 y2 5 b2 ] x2 1 y2 5 9 } r 5 3 Equação da elipse: 4a c 4 e 5 __ 5 __ ] c 5 ___ a 5 5 2b 5 6 ] b 5 3 4a 2 a2 5 b2 1 c2 ] a2 5 32 1 ___ 5 } a 5 5 e c 5 4 2 2 y x 5 1 Portanto: ___ 1 __ 25 9 Equação da circunferência maior: x2 + y2 5 a2 ] x2 1 y2 5 25 } R 5 5 Portanto, a área hachurada (S) é igual à área do interior da circunferência maior menos a área do interior da elipse, somada à área do interior da circunferência menor, ou seja: S 5 (s 3 52 2 s 3 5 3 3 1 s 3 32) cm2 ] S 5 19s cm2 Alternativa a.
Exercício 18
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A elipse possui semieixo maior a 5 3 e semieixo menor b 5 2. Como a reta de equação y 5 2x divide a elipse em duas regiões equivalentes, concluímos que a área sab da região sombreada é: ____ 5 3s 2 Alternativa c.
@
{
# @
@
#
# @
#
5 2 5 2 25 25 5 2 5 2 } x 1 __ 2 y 1 __ 5 ___ 2 ___ ] x 1 __ 5 y 1 __ 4 4 2 2 2 2 5 5 __ __ y 1 5 x 1 y5x 2 2 } ] y 5 2x 2 5 5 5 __ __ y 1 5 2 x 1 2 2
@
{ #
Portanto, a equação corresponde a duas retas concorrentes. Alternativa e. Geometria analítica: cônicas
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