Introdução ao estudo das funções A importância do estudo de funções não é específica da Matemática, fazendo parte também do universo de outras ciências, como a Física e a Química. Quando lemos um jornal ou uma revista, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação entre duas grandezas representada geometricamente.
Sistema de coordenadas O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas é formado por dois eixos, Ox (eixo das abscissas) e Oy (eixo das ordenadas), perpendiculares entre si no ponto O (origem).
Domínio, contradomínio e conjunto imagem Dada uma função f: A p B:
(origem) O
x (eixo das abscissas)
Para localizar um ponto P no plano, traçamos por P as perpendiculares a Ox e Oy, obtendo nos eixos as coordenadas de P, que são dois números chamados de abscissa e ordenada do ponto P, respectivamente. y
y
P (x, y)
x
O
Imagem de x pela função f Se (x, y) pertence a uma função f, dizemos que y é a imagem de x pela função f. Indicamos esse fato por: y 5 f(x)
Gráfico de uma função O gráfico de uma função é a reunião de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano que pertencem à função.
Raiz de uma função
x
Chama−se raiz (ou zero) de uma função real de variável real, y 5 f(x), todo número r do domínio de f tal que f(r) 5 0. Graficamente, a raiz de uma função é a abscissa do ponto em que o gráfico cruza o eixo Ox.
Se x é a abscissa de P e y é a ordenada de P, o par ordenado (x, y) representa P. Indicamos:
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O domínio da função é o conjunto D(f) 5 A. O contradomínio da função é o conjunto CD(f) 5 B. O conjunto imagem da função é o conjunto formado pelos elementos de B que têm correspondente em A, ou seja: Im(f) 5 {y 9 B | (x, y) 9 f}.
y (eixo das ordenadas)
y
P(x, y)
abscissa
ordenada
x raiz
raiz
raiz
O conceito de função Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chama-se relação de A em B qualquer conjunto de pares ordenados (x, y) com x 9 A e y 9 B. Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B é função se, e somente se, qualquer elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. Para indicar que f é uma função de A em B, adotamos a notação:
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Uma função f é positiva para um elemento x de seu domínio se, e somente se, f (x) . 0.
Uma função f é negativa para um elemento x de seu domínio
f: A p B
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Estudo do sinal de uma função
se, e somente se, f (x) , 0. Uma função f se anula para um elemento x de seu domínio se, e somente se, f (x) 5 0. Nesse caso, x é raiz da função.
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Variação de uma função Uma função f é crescente em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 de A, tivermos: x2 . x1 ] f(x2) . f(x1) y f(x2) f(x1) x1
x2
x
Uma função f é decrescente em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 de A, tivermos:
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
x2 . x1 ] f(x2) , f(x1)
Função injetora, sobrejetora e bijetora Uma função f: A p B é injetora se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 do domínio de f, for obedecida a condição: x1 % x2 ] f(x1) % f(x2) Ou seja, f é injetora se não existirem elementos distintos do domínio de f com a mesma imagem. Uma função f: A p B é sobrejetora se, e somente se, para todo elemento y do conjunto B existir x no conjunto A tal que f(x) 5 y. Ou seja, f é sobrejetora se o seu contradomínio coincidir com o seu conjunto imagem. Uma função f: A p B é bijetora se, e somente se, f é injetora e sobrejetora.
Função composta Sejam A, B e C conjuntos não vazios e sejam as funções f: A p B e g: B p C. A função composta de g com f é a função s: A p C tal que: s(x) 5 (g W f)(x) 5 g(f(x))
y A
f(x1)
B
C
f
g
f(x2) x x1
x2
f (x)
g (f(x))
x
Uma função f é constante em um subconjunto A do domínio de f se, e somente se, para qualquer número x de A, tivermos: f(x) 5 k, sendo k uma constante real
s�g
f
Função inversa A inversa de uma função bijetora f: A p B é a função f 21: B p A tal que:
y
f(x) 5 y [ f 21(y) 5 x x k
para quaisquer x e y, com x 9 A e y 9 B. A
Função par e função ímpar Uma função f de domínio D é par se, e somente se:
B f
x
y f�1
f(x) 5 f(2x), para qualquer x 9 D
D(f) � Im(f�1) D(f�1) � Im(f)
Assim, as partes do gráfico de f para x > 0 e para x < 0 são simétricas em relação ao eixo Oy. Uma função f de domínio D é ímpar se, e somente se:
Se uma função admite inversa, dizemos que ela é invertível.
Obtenção da função inversa
f(2x) 52f(x), para qualquer x 9 D
Se uma função real de variável real y 5 f(x) é invertível, sua inversa é obtida do seguinte modo:
Assim, as partes do gráfico de f para x > 0 e para x < 0 são simétricas em relação à origem O do sistema de eixos.
I. Trocamos x por y e y por x, obtendo x 5 f(y). II. Isolamos a variável y, após a mudança de variáveis efetuada em (I), obtendo y 5 f 21(x). Introdução ao estudo das funções
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Introdução ao estudo das funções
No Vestibular 1. (Mackenzie-SP) Considere as sentenças abaixo, relativas
E
R
11 à função y 5 f(x), definida no intervalo 23, ___ e repre2 sentada, graficamente, na figura. y
Então, o valor de f(a) é: a) 2 b) 4
c) 6 d) 8
4. (UFSCar-SP) A figura representa, em sistemas coordenados
3
com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f(x) 5 x2 e g(x) 5 x.
2 3
�3 1
�1
f(x)
2
4
11 2
g(x)
x
�2
2. (Vunesp) Numa fazenda havia 20% de área de floresta. Para aumentar essa área, o dono da fazenda decidiu iniciar um processo de reflorestamento. No planejamento do reflorestamento, foi elaborado um gráfico fornecendo a previsão da porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano, num período de dez anos.
T 0
k
2k
x
x
0
Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 120, o numero real k é: c) dll 2 d) 1,5
a) 0,5 b) 1
e) 2
5. (Unifor-CE) O conjunto imagem da função real de variável real dada por f(x) 5 3x221dlllllllllll 2(x224x14) é:
a) V1 b) V_
{ } 2 d) { y 9 V < y < 4 } 3
2 c) y 9 V Oy > __ 3 __
Área de floresta (em %) 60
e) { 4 }
50
6. (Unifesp) Uma forma experimental de insulina está sendo
20 0
6
10 x (em ano)
(gráfico fora de escala)
injetada a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O organismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga presente no corpo. O gráfico que melhor representa a quantidade y da droga no organismo como função do tempo t, em um período de 24 horas, é: a) y
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I. Se x , 0, então f(x) , 0. II. f(1) 1 f(3) 5 f(4) III. A imagem de f é o intervalo [24, 3]. É correto afirmar que: a) Apenas III é verdadeira. b) Apenas I e II são verdadeiras. c) Apenas I e III são verdadeiras. d) Apenas II e III são verdadeiras. e) Todas as sentenças são verdadeiras.
d) y
ax 1 200 Esse gráfico foi modelado pela função f(x) 5 _________ , que
bx 1 c fornece a porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano x, onde a, b e c são constantes reais. Com base no gráfico, determine as constantes a, b e c e reescreva a função f(x) com as constantes determinadas.
0
6
12
18
24 t
b) y
0
6
12
18
24 t
0
6
12
18
24 t
e) y
3. (Ufal) O triângulo retângulo ABC, região colorida na figura abaixo, tem área igual a 3a. y f(x) � kx A B
28
12
18
24 t
0
6
12
18
24 t
c) y
2a
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6
C
a
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0
x
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Exercício 1 Exercício 2
Da análise do gráfico, podemos concluir que f(0) 5 20, f(6) 5 50 e f(10) 5 60. Assim, substituindo esses valores na função, temos: 20 5 __________ a 3 0 1 200 20 5 ____ 200 b 3 0 1c c a 3 6 1 200 6a __________ ________ 50 5 ] 50 5 1 200 b 3 6 1 c 6b 1 c 60 5 ___________ a 3 10 1 200 60 5 _________ 10a 1 200 b 3 10 1c 10b 1 c Resolvendo esse sistema, obtemos a 5 100, b 5 1 e c 5 10. 100x 1 200 Logo: f(x)5 ___________ x 1 10
Exercício 3
Os pontos A e B têm, respectivamente, coordenadas (2a, f(2a)) 5 (2a, 2ka) e (a, f(a)) 5 (a, ka). Assim, como a área do triângulo retângulo ABC é igual a 3a, temos: (2ka 2 ka)a 6 ] a 5 __ 3a 5 __________ 2 k } f(a) 5 6 Alternativa c.
Exercício 4
Como os sistemas coordenados estão na mesma escala, as imagens dos elementos k e 2k, respectivamente, pela função f(x) são k² e 4k². Sendo a área do trapézio T igual a 120, temos: @ k2 1 4k2 #3k2 ] k 5 2 120 5 ____________ 2 Alternativa e.
Exercício 5
Como f é uma função real de variável real, o domínio de f é tal que: 2(x2 2 4x 1 4) > 0 ] (x 2 2)2 < 0 }x52 Logo, D(f) 5 {2} e o conjunto imagem de f é formado apenas pela imagem do elemento 2, ou seja, f(2) 5 4. Alternativa e.
Exercício 6
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Com base na análise do gráfico, temos: I. F, pois para 21 , x , 0 temos f(x) . 0 II. V, pois f(1) 5 2, f(3) 5 22 e f(4) 5 0 III. V, pois f(23) 5 24 Alternativa d.
De 6 em 6 horas, a função é decrescente, pois o organismo usa ou elimina a insulina injetada. Além disso, na 6a hora após a insulina ser injetada, ainda resta 50% da droga no corpo. Sabemos também que de 6 em 6 horas a insulina é injetada novamente. Logo, o gráfico que melhor representa a quantidade da droga no organismo é o da alternativa e.
{
{
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7. (Insper) Sendo a e b números reais positivos, sabe-se que
12. (FGV) A figura indica o gráfico da função f, de domínio
b a função f(x) 5 ax 1 __ , definida para x . 0, assume seu x ll b . valor mínimo quando x 5 __ a
[27, 5], no plano cartesiano ortogonal.
d
Um grupo de amigos alugou por R$ 6.000,00 um salão para fazer uma festa. Este valor será dividido por todos que estiverem presentes na festa. Como o dia do aniversário de José Carlos, um dos integrantes deste grupo, coincide com o dia da festa, ele decidiu que a comida será por conta dele. A empresa que prestará este serviço irá lhe cobrar R$ 15,00 por pessoa presente na festa. Então, o número de integrantes do grupo de amigos que minimiza o gasto de José Carlos somando o custo total da comida com a parte dele no aluguel do salão é de: a) 5 pessoas b) 10 pessoas
c) 15 pessoas d) 20 pessoas
�5
3
5 x
�4
e) 25 pessoas
�6
8. (FGV) Sejam f e g duas funções de V em V tais que f(x) 5 2x e g(x) 5 2 2 x. Então, o gráfico cartesiano da função f(g(x)) 1 g (f(x)): a) Passa pela origem. b) Corta o eixo x no ponto (24, 0). c) Corta o eixo y no ponto (6, 0). d) Tem declividade positiva. e) Passa pelo ponto (1, 2).
O número de soluções da equação f(f(x)) 5 6 é: a) 2 b) 4
c) 5 d) 6
e) 7
13. (Mackenzie-SP) As funções f e g, ambas de domínio [0, 4], estão representadas graficamente abaixo. O número de elementos do conjunto solução da equação g(f(x)) 5 1 é: y
9. (Insper) Suponha que os três gráficos abaixo estejam na
4
mesma escala, em que a distância entre duas marcas consecutivas sobre os eixos seja igual a 1. Se f, g e h são as funções nestes três gráficos, respectivamente, então h(g(f(1))) é igual a:
3
y
1
�2
g
f 1
y
f
y
O
g
x
4
a) 6 b) 7 x
x
O
3
c) 4 d) 2
4
x
e) 3
14. (UFU-MG) Seja f: [–3, 3] p V uma função cujo gráfico está esboçado abaixo. y
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
y 6
y 4
h
3 x 1
a) 4 b) 2
c) 1 d) –2
e) –4
10. (Mackenzie-SP) Dada a função f(x) 5 x 1 2, x 9 V, se f (2) 5 f W f, f (3) 5 f W f W f, f (4) 5 f W f W f W f e assim por diante, então o valor de f (102)(1) é: a) 103 b) 205
c) 307 d) 199
e) 249
11. (UFMA) Sendo f uma função par e g uma função ímpar, e sabendo-se que f(s) 5 d ll 2 e g(2dll 2 ) 5 s, pode-se concluir que (f W g)(dll 2 ) é igual a: 2 a) dll b) 2s
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c) 2dll 2 d) s
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e) sdll 2
�3
�2
�1
1
2
3
x
Se g: V p [0, 3] é tal que (f W g)(22) 5 1, então g(22) é igual a: a) 2
b) 22
c) 1
d) 21
15. (Unifesp) Seja f: b p b uma função crescente e sobrejetora, onde b é o conjunto dos números inteiros. Sabendo-se que f(2) 5 24, uma das possibilidades para f(n) é: a) f(n) 5 2(n 2 4) b) f(n) 5 n – 6 c) f(n) 5 2n – 2 d) f(n) 5 n e) f(n) 5 2n2
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Exercício 10
Do enunciado, temos: f (2) 5 f W f 5 x 1 2 1 2 5 x 12 3 2 5 x 1 4 f (3) 5 f W f W f 5 x 1 2 1 4 5 x 1 2 3 3 5 x 1 6 f (4) 5 f W f W f W f 5 x 1 2 1 6 5 x 1 2 3 4 5 x 1 8 Assim, o estudo de casos particulares leva-nos a concluir que, para todo n natural, f (n) 5 x 1 2n. Portanto: f (102)(x) 5 x 1 2 ∙ 102 5 x 1 204 Logo: f (102)(1) 5 1 1 204 5 205 Alternativa b.
Exercício 11
Como g é uma função ímpar, temos g(2x) 5 2g(x). 2 #5 2g@ d ll 2 #52s Assim: g@ 2dll Por outro lado, como f é uma função par, temos f(x) 5 f(2x) 2 Assim: f(2s) 5 f(s) 5 dll Alternativa a.
Exercício 12
Temos, pelo gráfico: f(a) 5 6 ] a 5 1 ou a 5 22 Assim: f(f(x)) 5 6 ] f(x) 5 1 ou f(x) 5 22 Pela análise do gráfico, f(x) 5 1 tem 4 soluções e f(x) 5 22 tem 2 soluções. Logo, concluímos que o número de soluções da equação dada é 6. Alternativa d. Seja f(x) 5 a. Assim, g(a) 5 1 ] a 5 0 ou a 5 3 ou a 5 4. Logo, pela análise do gráfico, as equações f(x) 5 0, f(x) 5 3 e f(x) 5 4 têm, respectivamente, 3, 3 e 1 soluções, totalizando, portanto, 7 soluções. Alternativa b.
Exercício 14
Exercício 9
Como os três gráficos estão na mesma escala e as distâncias entre duas marcas consecutivas é igual a 1, podemos afirmar, pela análise dos gráficos, que: f(1) 5 2; g(f(1)) 5 g(2) 5 4 e h(g(f(1)) 5 h(4) 5 2 Alternativa b.
d
Seja g(22) 5 a, em que g: V p [0, 3]. Assim: (f W g)(22) 5 1 ] f(a) 5 1 }a51 Alternativa c.
Exercício 15
Exercício 7 Exercício 8
f(g(x)) 5 f(2 2 x) 5 2(2 2 x) 5 4 2 2x g(f(x)) 5 g(2x) 5 2 2 2x Assim: f(g(x)) 1 g(f(x)) 5 4 2 2x 1 2 2 2x 5 24x 1 6 O gráfico dessa função passa pelo ponto (1, 2). Alternativa e.
Exercício 13
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Seja f a função que representa o gasto total de José Carlos e x o número de pessoas. 6.000 O total gasto por pessoa para o aluguel do salão é _____ , x e o total gasto com a refeição é 15x. 6.000 para x . 0, em que, pelo Assim, f(x) 5 15x 1 _____ , x lllll 6.000 5 20. enunciado, seu valor mínimo é obtido para x 5 _____ 15 Alternativa d.
a) F, pois f é sobrejetora e, nesse caso, f teria apenas como imagens o conjunto dos inteiros pares. b) V c) F, pois f é crescente. d) F, pois f(2) 5 24 e) F, pois f é sobrejetora. Alternativa b.
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16. (UFPA) O custo c de produção de uma peça em função do 1 número n de produtos é dado pela fórmula c(n) 5 _______ . 1 1 n2 A função inversa desta fórmula é: llllll 11c 1 a) n 5 ______ 2 d) n 5 ______ c 11c
d
18. (UFT-TO) Cada um dos gráficos abaixo representa uma função y 5 f(x) tal que f: Df p [23, 4]; Df - [23, 4]. Qual deles representa uma função bijetora no seu domínio? a)
y 4
d
llllll 1 1 c2 e) n 5 ______ c
1 b) n 5 _____ 2 12c
d
llllll 12c c) n 5 ______ c
�3
17. (UFU-MG) Considere f a função ímpar real de variável real definida no intervalo [21, 1], cujo gráfico está desenhado na figura abaixo.
4
x
4
x
4
x
4
x
�3
b)
y 4
y
2 1
1
1
�3 �3
�1 1
x
c)
y Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
4 �1
Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico da função y 5 f21(–x), em que f21 é a inversa da função f.
�3 �3
y
a)
d)
1
y 4
�1 1
x 1
�1
1 2
�3
b)
�3
y 1
19. (ITA-SP) Sejam f, g: V p V tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações:
�1 1
x
I. f 3 g é ímpar. II. f W g é par. é (são) verdadeira(s):
�1
c)
a) Apenas I. b) Apenas II.
y 1
c) Apenas III. d) Apenas I e II.
e) Todas.
20. (UFT-TO) Seja f: ] 2 `, 2] p [ 2 1, 1 `[ definida por 2 f(x) 5 x2 2 4x 1 3. Então a função inversa f 1 é: 21 2 1 a) f (x) 5 2 2 dlllll x 1 1 c) f (x) 5 2 dlllll x 1 1
1 x
�1
III. g W f é ímpar.
d
llllll
x11 b) f 21(x) 5 ______
�1
2
d) f 21(x) 5 2 1 dlllll x 1 1
21. (Unifor-CE) Sejam f e g funções de V em V tais que d)
f(x) 5 22x 1 3 e g(f(x)) 5 4x. Nessas condições, a função inversa de g é dada por: 61x 2 a) g21(x) 5 ______ d) g21(x) 5 _______ 2 6 2 2x 62x 2 e) g21(x) 5 _______ b) g21(x) 5 ______ 2 6 1 2x 61x c) g21(x) 5 ______ 4
y 1 1 x
�1 �1
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Exercício 16
Para n > 0, e supondo a função bijetora, temos: 12c 1 ] n2 5 _____ 1 1 n2 5 __ c c lllll 12c } n 5 _____ c
d
Exercício 17
Como f é uma função ímpar, temos 2f(x) 5 f(2x), ou seja, o gráfico de f(2x) é obtido a partir de f(x), por meio de uma reflexão em relação ao eixo Oy. Por outro lado, os gráficos de f(2x) e f 21(2x) são simétricos em relação à reta y 5 x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Alternativa c.
Exercício 18
a) A função não é bijetora, pois não é sobrejetora. b) A função não é bijetora, pois não é sobrejetora. c) A função não é bijetora, pois não é injetora. d) A função é bijetora. Alternativa d.
Exercício 19
I. V, pois f(x) 3 g(x) 5 f(2x) 3 (2g(2x)) 5 2f(x) 3 g(x) II. V, pois f W g(2x) 5 f(g(2x)) 5 f(2g(x)) 5 f(g(x)) 5 f W g(x) III. F, pois g W f(2x) 5 g(f(2x)) 5 g(f(x)) 5 g W f(x) e, portanto, par Alternativa d.
Exercício 20
Como f é bijetora, substituindo x por y temos: x11 x 5 y² 2 4y 1 3 ] y 5 2 ± d llll x11 Porém, como Im(f 21) 5 ]2`, 2], temos: f21 5 2 2 d llll Alternativa a.
Exercício 21
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Alternativa c.
Como f e g são funções reais de variáveis reais, temos: g(f(x)) 5 4x ] g(22x 1 3) 5 4x 2x 13 5 22x ] g(x 2 3 1 3) 5 22(x 2 3) } g 22 3 ___ 2 } g(x) 5 22x 1 6 62x Assim: g21(x) 5 ____ 2 Alternativa b.
@
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