Razões trigonométricas inversas, adição de arcos e resolução de triângulos As razões trigonométricas inversas de um ângulo agudo
Cossecante de um arco trigonométrico
A razão trigonométrica inversa do cosseno é chamada de 1 sec a 5 ______ cos a
1 cossec a 5 ______ sen a
A razão trigonométrica inversa do seno é chamada de cossecante (cossec):
1 cossec a 5 ______ sen a
A razão trigonométrica inversa da tangente é chamada de
Geometricamente, a cossecante de a é a ordenada do ponto P, obtido pela intersecção do eixo das ordenadas com a reta tangente à circunferência em M.
1 cotg a 5 ____ tg a
cotangente (cotg):
c P B
Sendo a a medida de um ângulo agudo em um triângulo retângulo qualquer, temos:
a
α M
b
cossec a 5 yP
α
α
O
A’
A
c
medida da hipotenusa a sec a 5 _______________________________ 5 __ medida do cateto adjacente a a c medida da hipotenusa a 5 __ cossec a 5 _____________________________ medida do cateto oposto a a b medida do cateto adjacente a a __ c cotg a 5 _______________________________ 5 medida do cateto oposto a a b
A secante tem o mesmo sinal que o seno e assume qualquer valor no conjunto A 5 ]2`, 21] 0 [1, 1`[.
Cotangente de um arco trigonométrico
Secante de um arco trigonométrico + de medida a, com M não Dado um arco trigonométrico AM pertencente ao eixo das ordenadas, define-se a secante de a por:
B’
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
secante (sec):
+ de medida a, com M não Dado um arco trigonométrico AM pertencente ao eixo das abscissas, define-se a cossecante de a por:
+ Dado um arco trigonométrico AM de medida a, com M não pertencente ao eixo das abscissas, define-se a cotangente de a por: cos a cotg a 5 ______ sen a
1 sec a 5 ______ cos a
Geometricamente, a secante de a é a abscissa do ponto P, obtido pela intersecção do eixo das abscissas com a reta tangente à circunferência em M.
Geometricamente, a cotangente de a é a abscissa do ponto P, obtido pela intersecção da reta OM com o eixo g das cotangentes.
B
B M
P
g
M α A’
O
A
P
sec a 5 xP
s
α A’
O
A
cotg a 5 xP
r B’
B’
A secante tem o mesmo sinal que o cosseno e assume qualquer valor no conjunto A 5 ]2`, 21] 0 [1, 1`[.
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A cotangente assume qualquer valor real e tem o mesmo sinal que a tangente.
MATEMÁTICA
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Identidades trigonométricas
Lei dos cossenos
Sendo f e g duas funções na variável x, dizemos que a igualdade f (x) 5 g(x) é uma identidade num conjunto universo U se, e somente se, f (a) 5 g(a) para qualquer a pertencente a U. Para demonstrar uma identidade em um universo U, podemos usar uma das técnicas: 1a técnica: primeiro, provamos que f e g estão definidas em U. Depois, escolhemos um dos membros da igualdade e, por meio de simplificações algébricas e de identidades já conhecidas, obtemos o outro membro. 2a técnica: transformamos a igualdade f (x) 5 g(x) na igualdade f(x) 2 g(x) 5 0 e, a seguir, aplicamos a 1a técnica. 3a técnica: consideramos outra identidade válida em U e, por meio de simplificações algébricas e de identidades já conhecidas, transformamos essa identidade na identidade inicial.
Sendo a, b e c as medidas dos lados de um triângulo qualquer e a a medida do ângulo oposto ao lado de medida a, temos a lei dos cossenos: a2 5 b2 1 c2 2 2 3 b 3 c 3 cos a C
C a
b A
B
c
�
a , 90w
A
c
B
a . 90w C a
b
Adição de arcos Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
a
b
�
�
Para calcular o seno, o cosseno ou a tangente da soma ou da subtração de dois arcos, podemos aplicar as seguintes fórmulas: sen (a 1 b) 5 sen a 3 cos b 1 sen b 3 cos a sen (a 2 b) 5 sen a 3 cos b 2 sen b 3 cos a cos (a 1 b) 5 cos a 3 cos b 2 sen a 3 sen b cos (a 2 b) 5 cos a 3 cos b 1 sen a 3 sen b tg a 1 tg b , obedecidas as condições tg (a 1 b) 5 _____________ 1 2 tg a 3 tg b de existência tg a 2 tg b , obedecidas as condições tg (a 2 b) 5 _____________ 1 1 tg a 3 tg b de existência
A
B
c
a 5 90w
Lei dos senos Sendo AB 5 c, AC 5 b e BC 5 a as medidas dos lados de um triângulo ABC e R o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo, temos a lei dos senos: a b c ______ 5 ______ 5 ______ 5 2R sen A
sen B
sen C
A
c
Arco duplo
b O
Para calcular o seno, o cosseno ou a tangente de um arco duplo, podemos aplicar as seguintes fórmulas: sen (2a) 5 2 sen a 3 cos a cos (2a) 5 cos2 a 2 sen2 a 2 tg a , obedecidas as condições tg (2a) 5 _________ 1 2 tg2 a de existência Observe que, usando a relação fundamental sen2 a 1 cos2 a 5 1, podemos substituir cos2 a por 1 2 sen2 a na segunda fórmula, cos (2a) 5 cos2 a 2 sen2 a, obtendo:
R B
a
C
Área de um triângulo Se dois lados de um triângulo têm medidas a e b e o ângulo determinado por esses lados tem medida a, então a área A do triângulo é dada por: 1 A 5 __ 3 a 3 b 3 sen a 2
cos (2a) 5 1 2 2 sen2 a Substituindo sen2 a por 1 2 cos2 a na segunda fórmula, cos (2a) 5 cos2 a 2 sen2 a, obtemos: cos (2a) 5 2 cos2 a 2 1
a
� b
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Razões trigonométricas inversas, adição de arcos e resolução de triângulos
No Vestibular m 2 2 dllllll 2
d m ll
1. (Udesc) O ângulo x é tal que sen x 5 ____ e cos x 5 ________ .
m m22 sen2 x 1 cos2 x 5 1 ] __ 1 ______ 5 1 4 4 }m53 Logo:
Obtenha o valor de m e, a partir deste, obtenha os valores numéricos de tg x, sec x, cossec x e cotg x.
2 s 3 1 e 0 , y , __ . Se cos x 5 __ e sen y 5 __ , o valor de 4 4 2 sen 2x 1 cos 2y é: 15 1 1 d lll a) ________ 8
7 8 1 3dll c) ________ 8
2 2 1 12dll b) _________ 16
7 7 1 3dll d) ________ 8
7 59 1 6dll e) _________ 16
Exercício 1
s 2. (Unifor-CE) Sejam x e y números reais tais que 0 , x , __
tg x 5 dll 3 sec x 5 2 3 2dll cossec x 5 ____ 3 3 dll cotg x 5 ___ 3
3. (Unifesp) Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x 5 3 cos x, então sen (2x) é igual a: d 5 ll a) ___ 5
5 1 1 dll c) _______ 5
3 b) __ 5
4 d) __ 5
d 3 ll e) ___ 2
s s , temos: Para 0 , x , __ e 0 , y , __ 2 2
d @ # d @ #
lllllll 3 2 3 sen x 5 1 2 __ cos x 5 __ 4 4 2 ] 1 lllllll 1 sen y 5 __ cos y 5 1 2 __ 4 4
4. (UFSCar-SP) Se os lados de um triângulo medem x,
x23 e) ______ 2x
x11 c) ______ x12 x22 d) ______ 3x
x b) ______ x12
2
Exercício 2
x 1 1 e x 1 2, então, para qualquer x real e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a: x a) ______ x11
2
1 2 sen J ___________ 1 2 cos J __________ 2 2
2
tg J 1 1
cotg J 1 1
s 5. (Insper) Se J 5 __ , então ________________________ é igual a: 2 2 3
3 dll c) ___ 4
3 dll d) ___ 2
@ # @ # 2
e) 1
6. (Fuvest-SP) As páginas de um livro medem 1 dm de base
R E
s , temos: Para x 9 0; __ 2 sen x 5 3 cos x ] tg x 5 3 Logo, existe um triângulo retângulo de catetos de medidas 3 e 1, conforme a figura:
e d 1 1 dll 3 dm de altura. Se este livro for parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60w, a medida do ângulo a, formado pelas diagonais das páginas, será: lllllll
Exercício 3
1 dm α
60°
a) 15w
b) 30w
c) 45w
d) 60w
e) 75w
s 7. (UFSCar-SP) O valor de x, 0 < x < __ , tal que
4 3 (1 2 sen2 x) 3 (sec2 x 2 1) 5 3 é: s a) __ 2
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s b) __ 3
s c) __ 4
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d 7 ll sen x 5 ___ 4 } d 15 lll cos y 5 ____ 4 Logo: sen 2x 1 cos 2y 5 2 sen x 3 cos x 1 cos2 y 2 sen2 y 5
d d 15 lll 7 3 7 1 7 ll 1 2 3dll 2 __ 5 ________ 5 2 3 ___ 3 __ 1 ____ 4 4 4 4 8 Alternativa d.
cos J 2 sen J
d 3 ll b) ___ 8
a) 0
d 3 ll sen x 5 ___ s 2 ] x 5 __ 1 3 __ cos x 5 2
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2
1
x
a
a2 5 12 1 32 ] a 5 d lll 10 3
3 Assim: sen x 5 ____ d lll 10 Logo: sen x 5 sen (2x) 5 2 sen x 3 cos x 5 2 sen x 3 _____ 3 3 2 __ 3 2 2 3 ____ 5 5 __ 3 sen2 x 5 __ 5 3 3 d lll 10 Alternativa b.
@ #
2
s d) __ 6
e) 0
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Exercício 4 Exercício 5
O maior lado do triângulo é o lado de medida x 1 2. Sendo a o ângulo oposto a esse lado, temos, pela lei dos cossenos: (x 1 2)2 5 (x)2 1 (x 1 1)2 2 2 3 (x) 3 (x 1 1) 3 cos a x23 } cos a 5 _____ 2x Alternativa e. Simplificando a expressão, temos: 1 2 sen2 J __________ 1 2 cos2 J sen2 J cos2 J ________ _________ 2 2 _____ 2 2 2 tg J 1 1 cotg J 1 1 sec J cossec2 J _____________________ ________________ 5 5 cos2 J 2 sen2 J cos2 J 2 sen2 J (cos2 J 1 sen2 J) 3 (cos2 J 2 sen2 J) cos4 J 2 sen4 J _____________________________ 5 _____________ 5 5 1 cos2 J 2 sen2 J cos2 J 2 sen2 J Alternativa e. Considere a figura a seguir.
1 dm
α
B 60° 1 dm
Exercício 6
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A
C
1 dm D
1 dm
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABD, #2 ] (AD)2 5 2 1 d ll3 1 1 d ll 3 temos: (AD)2 5 12 1 @ d llllll Como AD 5 AC, pela lei dos cossenos, no triângulo ACD, temos: 3 1 2 1 d ll 3 2 2 @ 2 1 d ll 3 #cos a ] 12 5 2 1 d ll d d ll ll ] 1 5 4 1 2 3 2 2@ 2 1 3 #3 cos a @ 2 2 d ll 3 # 3 3 ________ 3 1 2dll 3 1 2dll } cos a 5 __________ ] cos a 5 __________ 3 2@ 2 1 d ll 3 # 2@ 2 1 d ll 3 # @ 2 2 d ll 3 #
Exercício 7
d 3 ll } cos a 5 ___ 2 } a 5 30w Alternativa b.
s Para 0 < x < __ , temos: 2 4 3 (1 2 sen2 x) 3 (sec2 x 2 1) 5 3 ] 3 ] (cos2 x) 3 (tg2 x) 5 __ 4 d 3 ll 3 ] sen x 5 ___ } sen2 x 5 __ 4 2 s } x 5 __ 3 Alternativa b.
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tg x
#
9. (Fuvest-SP) Sejam x e y dois números reais, com
s s 4 0 , x , __ e __ , y , s, satisfazendo sen y 5 __ e 5 2 2 11 sen x 1 5 cos (y 2 x) 5 3. Nessas condições, determine: a) cos y
@
Exercício 8
6 3s s , x , ___ , é uma progressão geométrica, então x é igual a: 2 2s 3s 4s 5s 7s a) ___ c) ___ d) 2 ___ e) ___ b) ___ 3 4 4 6 3
b) sen 2x
s a) Para __ , y , s, temos: 2
10. (Fuvest-SP) No quadrilátero ABCD onde os ângulos B e D são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen  é:
Exercício 9
x
A
C x
2x D
5 dll ___
a) 5
5 2dll ____
4 c) __ 5
b) 5
2 d) __ 5
1 e) __ 2
11. (Unifesp) A expressão sen (x 2 y) 3 cos y 1 cos (x 2 y) 3 sen y
d @ #
lllllll 3 4 2 cos y 5 2 1 2 __ 5 2 __ 5 5 s s , y , s, temos: b) Para 0 , x , __ e __ 2 2 11 sen x 1 5 cos (y 2 x) 5 3 ] ] 11 sen x 1 5(cos y 3 cos x 1 sen y 3 sen x) 5 3 } 11 sen x 2 3 cos x 1 4 sen x 5 3 ] cos x 5 5 sen x 2 1 } (5 sen x)2 1 sen2 x 5 1 5 } sen x 5 ___ 13 Logo:
B 2x
#
tg x 3s Para s , x , ___ e sendo a sequência sen 2x, 2cos x, ____ 6 2 uma PG, temos: tg x sen2 x (2cos x)2 5 sen 2x 3 ____ ] cos2 x 5 _____ 6 3 4s ___ 3 ] x 5 } tg x 5 2dll 3 Alternativa c.
d @ #
llllllll 5 2 ____ 120 5 5 sen 2x 5 2sen x 3 cos x 5 2 3 ___ 3 1 2 ___ 13 13 169
é equivalente a: a) sen (2x 1 y) b) cos (2x) c) sen (x)
Considere a figura abaixo.
d) sen (2x) e) cos (2x 1 2y)
B 2x
12. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, o quadrilátero ABCD está
A
inscrito numa semicircunferência de centro A e raio AB 5 AC 5 AD 5 R. A diagonal AC forma com os lados BC e AD ângulos a e d, respectivamente. Logo, a área do quadrilátero ABCD é: B
α D
R
β
R2 d) ___ (sen a 1 cos d) 2
2
2
2
Concluímos, então, que:    1 2 4 5 2 sen __ 3 cos __ 5 2 3 ___ 3 ___ 5 __ sen  5 sen 2 3 __ 2 2 2 d ll 5 d ll 5 5 Alternativa c.
R2 c) ___ (cos 2a 1 sen 2d) 2
@ #
4 AC 5 4 dm e BC 5 1 dm. Sabendo que cos (a 1 d) 5 __ , o 5 valor de sen (a) é: B 1
Exercício 11
13. (UFSCar-SP) Na figura, ADB é reto, BAC 5 a, CAD 5 d,
Pelo caso LAAo: :CAB & :CAD  Assim: m(CÂB) = m(CÂD) 5 __ ; 0 ,  , 90w 2 5 . Assim: Pelo teorema de Pitágoras, obtemos AC 5 xdll x  1 5 ___ sen __ 5 ____ 2 xdll 5 d ll 5 2x 2  cos __ 5 ____ 5 ___ 2 xdll 5 dll 5
R2 e) ___ (sen 2a 1 cos d) 2
R b) ___ (sen a 1 sen 2d)
x D
A 2
R a) ___ (sen 2a 1 sen d)
C
2x
Exercício 10
C
x
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
@
8. (Mackenzie-SP) Se a sequência sen 2x, 2cos x, ____ ,
sen (x 2 y) 3 cos y 1 cos (x 2 y) 3 sen y 5 5 sen (x 2 y 1 y) 5 sen x Alternativa c.
C
A
2 a) __ 3
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3 b) __ 5
α β
D
2 c) __ 5
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4
1 d) __ 5
1 e) __ 6
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Considere a figura a seguir. C
B
α
α R
D R
R
β
Exercício 13
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Exercício 12
A
Os triângulos ADC e ACB são isósceles de lados côngruos iguais a R. Pela figura, a área do quadrilátero ABCD é equivalente à soma das áreas dos triângulos ADC e ACB. ab 3 sen a Lembrando que a área A de um triângulo é A 5 _________ 2 e que sen (180w 2 a) 5 sen a, temos: AABCD 5 AADC 1 AACB R 3 R sen d __________________ R 3 R sen (180w 2 2a) AABCD 5 _________ 1 2 2 2 R 3 sen d _________ R2 3 sen 2a 1 AABCD 5 ________ 2 2 2 R (sen 2a 1 sen d) AABCD 5 __ 2 Alternativa a. 4 Temos: sen B 5 cos (a 1 d) 5 __ 5 Aplicando a lei dos senos no triângulo ABC: 1 1 4 _____ ] sen a 5 __ 5 _____ sen a 5 sen B Alternativa d.
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14. (Unifesp) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 sob um ângulo J, conforme mostra a figura.
a) Considere a figura abaixo. T
T
1 O 1
O
S
a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo J. b) Calcule tg J, dado que a distância de P a O vale 3 metros.
Exercício 14
P
15. (Mackenzie-SP) A soma das soluções da equação 2 cos2 x 2 2 cos 2x 2 1 5 0, para 0 < x < 2s , é: a) s
b) 2s
c) 3s
d) 4s
1 16. (Mackenzie-SP) Se 4 cos2 x 2 2 5 ___ , então um possível dll 2
b) dll 6
c) dll 2
d) dll 7
e) dll 5
2 17. (UPF-RS) Considerando que sen x 5 __ e x pertence ao 3
tg x 1 cotg x segundo quadrante, o valor de ________________ é: sec x 1 cossec x a) 2sen x
5 # d) 23@ 2 1 d ll
dll 5 b) ___ 3
5 e) 26 1 dll
Exercício 15
3 a) dll
Para 0 < x < 2s, temos: 2 cos2 x 2 2 cos 2x 2 1 5 0 ] ] 2 cos2 x 2 2(2 cos2 x 2 1) 2 1 5 0 d d 2 ll 2 ll } cos x 5 ___ ou cos x 5 2 ___ 2 2 s 3s 5s 7s Logo: x 5 __ ou x 5 ___ ou x 5 ___ ou x 5 ___ 4 4 4 4 Alternativa d. 1 1 ] 2(2 cos2 x 2 1) 5 ___ 4 cos2 x 2 2 5 ___ d ll 2 dll 2 1 2 } cos 2x 5 ____ ] sec 2x 5 2dll 2dll 2 Por outro lado, temos: tg2 2x 5 sec2 2x 2 1 ] tg 2x 5 ±dll 7 Alternativa d.
c) cos² x
18. (Mackenzie-SP) A soma das soluções da equação
E
R
s 3s sec2 2x 2 2tg2 2x 2 1 5 0, no intervalo __ , ___ , é: 2 2 3s b) ___ 2
a) s
5s d) ___ 2
c) 3s
@ #
Exercício 16
valor para tg 2x é:
P
Temos PT 5 PS, pois a hipotenusa PO é comum aos dois triângulos e o raio é unitário. Assim, os triângulos PTO e PSO são congruentes pelo caso RHC e, portanto, J a 5 d 5 __ . Assim, O pertence à bissetriz do ângulo J. 2 9 2 1 5 2dll 2 b) (PS)2 5 32 2 12 ] PS 5 d lllll Logo: 1 1 J ___ 2 3 ____ 2 tg __ dll d ll 2 2 2 2 4dll 2 5 __________ tg (J) 5 __________ 5 ___ 5 ____ 2 7 7 1 1 2 tg2 __ J 1 2 ____ __ 8 2 2dll 2
@ # @ #
e) 5s
�
e) 2s
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
� S
β α
19. (Mackenzie-SP) Em [0, 2s], as soluções da equação
2 sen x 1 ___________ 5 __________ são em número de: cos 2x 2 1 1 1 sen x a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4 ll d 7 3 b) ____ 32
d 7 ll ___
a) 2 16
d 7 ll c) ___ 8
7 3dll d) 2 ____ 32
R 2 E
s 21. (Fuvest-SP) Seja x no intervalo 0; __ satisfazendo a equa-
3 2 ção tg x 1 ___ sec x 5 __ . Assim, calcule o valor de: 2
dll 5
a) sec x
@
#
s b) sen x 1 __ 4
22. (Fuvest-SP) A medida x, em radiano, de um ângulo satisfaz
s __ , x , s e verifica a equação sen x 1 sen 2x 1 sen 3x 5 0. 2 Assim:
Exercício 17
3 20. (UFT-TO) Dado sen J 5 __ , 0w , J , 90w. O valor de sen (4J) é:
Simplificando a expressão, temos: tg2 x 1 1 ________ tg x 1 cotg x tg x ______________ 5 ___________ 5 sec x 1 cossec x ___________ sen x 1 cos x sen x 3 cos x cos x ___________ sen x 3 cos x sen x 3 cos x sec2 x ___________ 1 _____ 3 3 5 _____ 3 _____ 5 5 tg x sen x 1 cos x cos2 x sen x sen x 1 cos x 1 5 ___________ sen x 1 cos x Como x pertence ao segundo quadrante:
d @ #
lllllll d 5 ll 2 2 2 5 2 ___ sen x 5 __ ] cos x 5 2 1 2 __ 3 3 3 Portanto: 1 1 5 # 5 __________ 5 23@ 2 1 d ll ___________ sen x 1 cos x __ d 2 ll 5 ___ 1 2 3 3 Alternativa d.
@
#
a) Determine x. b) Calcule cos x 1 cos 2x 1 cos 3x.
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MATEMÁTICA
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Exercício 19 Exercício 20
1 2 2 sen2 2x 2 1 5 0 ] 1 2 2 sen2 2x 5 cos2 2x } ____________ cos2 2x } 1 2 2 sen2 2x 5 1 2 sen2 2x s } sen2 2x 5 0 ] x 5 k 3 __ , k 9 b 2 s 3s Assim, para k 5 1 e k 5 2, temos x 5 __ e x 5 ___ . 2 2 Alternativa e.
Exercício 22
R
s a) Para __ , x , s, temos: 2 sen x 1 sen 2x 1 sen 3x 5 0 ] ] 2 sen 2x 3 cos x 1 sen 2x 5 0 } sen 2x (2 cos x 1 1) 5 0 ] 1 ] sen 2x 5 0 ou cos x 5 2 __ 2 2s } x 5 ___ 3 b) cos x 1 cos 2x 1 cos 3x 5 4s 2s 5 cos ___ 1 cos ___ 1 cos 2s 5 0 3 3
Para x 9 [0, 2s], temos: 2 sen x 1 _________ 5 ________ ] cos 2x 2 1 1 1 sen x ] 2 sen x 1 2 sen2 x 5 1 2 2 sen2 x 2 1 1 } 2 sen2 x 1 sen x 5 0 ] sen x 5 0 ou sen x 5 2 __ 2 7s 11s } x 5 0 ou x 5 s ou x 5 2s ou x 5 ___ ou x 5 ____ 6 6 Alternativa e. Para 0w , J , 90w, temos: lllllll d 7 ll 3 2 ___ 3 5 . Assim, temos: sen J 5 __ ] cos J 5 1 2 __ 4 4 4 sen (4J) 5 2 sen (2J) 3 cos (2J) 5 5 2 3 2 sen J 3 cos J (cos2 J 2 sen2 J) 5 7 7 7 3dll 3dll 9 3 d ll 1 2 2 3 ___ 5 2 ____ (1 2 2 sen2 J) 5 ____ 5 4 3 __ 3 ___ 4 4 4 16 32 Alternativa d.
d @ #
@
#
R E
Exercício 21
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercício 18
E
s 3s Para x 9 __ , ___ , temos: 2 2 2 sec 2x 2 2 tg2 2x 2 1 5 0 ] sen2 2x 1 2 2 3 _______ 2 2150 ] ______ 2 cos 2x cos 2x
s , temos: a) Para x 9 0, __ 2 9 6 4 2 ___ sec x 1 __ sec2 x ] tg2 x 5 __ 4 d ll 5 5 9 6 4 2 ___ sec x 1 __ ] sec2 x 2 1 5 __ sec2 x 4 d ll 5 5 d 5 ll ___ } sec x 5 2 d ll 5 ___ 2 b) sec x 5 ] cos x 5 ___ 2 d ll 5
d @ #
lllllllll 2 2 ___ 1 5 Portanto: sen x 5 1 2 ___ d ll 5 dll 5 Assim: d 10 3dlll 2 ll s 5 ___ (sen x 1 cos x) 5 _____ sen x 1 __ 4 2 10
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Razões trigonométricas inversas, adição de arcos e resolução de triângulos
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NO VESTIBULAR
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