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FUNÇÕES CARACTERÍSTICAS
Paulo Sérgio C. Lino Ms. Matemática Pura Maio/2003
1- INTRODUÇÃO A função geradora de momentos, definida como uma série infinita ou uma integral imprópria tem sua existência condicionada à convergência delas. Uma função semelhante com mX (t ) é a chamada função característica de uma variável aleatória X (notação: (t ) ) . Em relação à primeira, tem a vantagem de que ela sempre existe, para quaisquer valores de t . Além disso, é possível obter as funções densidade e distribuição da variável aleatória.
Definição 1: A função característica associada a uma variável aleatória X , é definida por:
(t ) E[eitX ] onde i 1 . Assim, para variáveis aleatórias discretas, a função característica é dada pela série numérica, isto é,
(t ) pn eitx
n
n
onde pn P( X xn ) e para variáveis aleatória contínuas, a função característica é dada pela integral imprópria, isto é,
(t )
e
itx
f ( x )dx
Exemplo 1: Determine a função característica da distribuição uniforme f ( x)
1 I[ a , a ] ( x ) . 2a
Resolução:
a
1 sen(at ) (t ) e f ( x)dx eitx dx . 2a a at itx
Fig. 1
2
Teorema 1: (Critério de comparação) Sejam f e g duas funções de uma mesma variável
aleatória discreta X . Se
g ( x ) converge e f ( x ) g( x ) n
n
n 1
para todo inteiro positivo n ,
n
então
f ( x ) converge. n 1
n
Demonstração: Denotemos por Sn e Tn as somas parciais de ordem n de
f (x ) n 1
n
e
g ( xn ) , respectivamente. Seja
T
g( x ) .
a soma da série
n 1
n
n 1
Por hipótese,
f ( xn ) g ( xn ) para todo n , então n
n
j 1
j 1
Sn f ( x j ) g ( x j ) Tn T Sendo Sn1 f ( xn ) S n então S1 S2
Sn
Sn é
. Assim,
monótona limitada,
donde segue que lim Sn S T . n
Analogamente, se f e g são duas funções contínuas da variável aleatória X , tais
b
que f ( x) g ( x) , x R ,
f ( x)dx
existe para a , b R e
g ( x)dx
converge, então
a
f ( x )dx converge.
Definição 2: Dizemos que a série numérica
a n 1
n
é absolutamente convergente se a série
| a n 1
n
| é convergente.
Teorema 2: (Teorema da convergência absoluta). Se a série
a n 1
n
é absolutamente
convergente, então
a n 1
n
é convergente.
Demonstração: Fazendo bn an an e aplicando a propriedade an an an , obtemos
0 an an 2 an ou 0 bn 2 an
Se
an é absolutamente convergente, então n 1
| a n 1
n
| é convergente, conseqüentemente,
2 | an | é convergente. Assim, pelo Teorema 1, a série n 1
b n 1
n
é convergente. Sendo a
diferença de duas séries convergentes, uma série convergente, então
n 1
n 1
n 1
n 1
bn an [bn an ] an .
3
Para variáveis aleatórias contínuas a mesma idéia se aplica. Se f é uma função de
b
uma variável aleatória contínua X tais que
f ( x )dx existe para a , b R e
f ( x ) dx é
a
convergente, então
f ( x )dx converge.
Procurando condições com que possamos diferenciar (t ) , é conveniente introduzir o conceito de convergência uniforme. Definição 3: (Convergência uniforme). Uma seqüência de funções un : (a, b) R converge
f : (a, b) R quando, para todo 0 dado, existe N (dependendo apenas de ) tal que n N un ( x) f ( x) seja qual for x (a, b) .
uniformemente para a função
Teorema 3: (Teste M de Weierstrass) Dada a seqüência de funções un : (a, b) R , seja
M n 1
n
n
uma série convergente de números reais M n 0 , tais que un ( x ) M n para todo e todo
un ( x)
x (a, b) . Nestas condições, as séries
u ( x)
e
n 1
n 1
n
são
uniformemente convergentes. Demonstração: Por hipótese, un ( x ) M n e sendo a série numérica então pelo critério da comparação, para todo x (a, b) , a série
u ( x) n 1
n
n 1
n
convergente,
u ( x) n
é convergente,
é convergente e seja f : (a, b) R tal
limite, isto é,
M
n 1
conseqüentemente pelo Teorema 2, a série
un ( x) f ( x) . Assim, dado 0 , existe N 0 , tal que n 1
M
j n 1
j
. Então
para todo x (a, b) ,
n
u ( x) f ( x) u ( x) M j 1
para todo n N . Logo,
j
un ( x) e n 1
j n 1
j
j n 1
j
u ( x) n 1
n
são uniformemente convergentes.
2 - EXISTÊNCIA E PROPRIEDADES Teorema 4: (Existência da função característica). A série ou a integral imprópria que define a função característica converge uniformemente e absolutamente para (t ) , para todo t R .
4
Demonstração: Se a variável aleatória X for discreta, (t )
e
itxn
f ( xn ) .
Fazendo
n 1
un (t ) eitxn f ( xn ) , segue que
un (t ) eitxn f ( xn ) eitxn f ( xn ) f ( xn ) , t R . Sendo
f ( x ) 1 , então pelo Teste M de Weierstrass, as séries e n 1
n
itxn
n 1
f ( xn ) e
e
itxn
n 1
f ( xn )
são uniformemente convergentes. O mesmo raciocínio é válido para variáveis aleatórias contínuas, substituindo as séries por integrais.
Teorema 5: A função característica : R i) (0) 1 ; ii) (t ) 1 , t R ;
possui as seguintes propriedades:
iii) ( t ) (t ) . Demonstração: i) (0) E[ei 0 x ] E[1] 1 ; ii) (t ) E[eitx ] E[eitx ] E[ eitx ] 1 ; iii) (t ) E[eitx ] E[cos(tx) isen(tx)] E[cos(tx)] iE[sen(tx)]
E[cos(tx)] iE[ sen(tx)] E[eitx ] (t ) Todas as funções características devem satisfazer as condições i), ii) e iii). Estas condições não são portanto suficientes, isto é, nem toda função (t ) satisfazendo essas condições é função característica de alguma variável aleatória. A seguir apresentaremos sem demonstração o Teorema de Bochner, que dá as condições necessária e suficiente para uma função (t ) ser uma função característica. Teorema 6: (Bochner) Seja a função (t ) definida na reta real tal que (0) 1 . A função (t ) é função característica de alguma f.d.p se e somente se i) (t ) é contínua; ii) Para n 1, 2,3,
n
e todo real t 1 ,
, tn e complexo a1 ,
, an ,
(t
j , k 1
j
tk )a j ak 0 .
3 - CÁLCULO DE MOMENTOS ATRAVÉS DA FUNÇÃO CARACTERÍSTICA A partir do Teorema 4 e do Teorema Fundamental do Cálculo, demonstra-se que é possível derivar termo a termo a série ou derivar sob o sinal de integração a função característica. Esta propriedade será útil no cálculo do k-ésimo momento da variável aleatória X .
5
Teorema 7: Suponhamos que o k-ésimo momento mk da variável aleatória X existe. Então
mk
( k ) (0) i
t 0.
k
, onde ( k ) (0) é a derivada de k-ésima ordem da função característica (t ) em
X uma variável aleatória discreta tal que
Demonstração: Seja
X () xn . Sendo
(t ) pn eitx , então a k-ésima derivada em relação a t da expressão sob o somatório é n
n
igual
pn (ixn )k eitxn . Por hipótese, o k-ésimo momento
a
| p i
k
n
k itxn n
xe
mk existe e sendo
| p x mk segue a existência do k-ésimo momento em valor absoluto. k n n
n
n
Assim,
dk dt k
( k ) (t )
pneitxn n
n
dk ( k ) (t ) itxn k itxn ( p e ) p ( ix ) e pn xnk eitxn n n n k k dt i n n (1)
Fazendo t 0 em (1), temos o resultado desejado.
Exemplo 2: Suponha que a variável aleatória X tem distribuição de Poisson, isto é,
pn P( X n)
n e n!
, onde é uma constante positiva. Calcule a função característica de
e a variância X . Resolução:
n e
n 0
n!
(t ) pn eitx eitn n
n
it ( eit )n e ee exp[ (eit 1)] n! n 0
e
Além disso, (t ) exp[ (eit 1)]ieit e (t ) exp[(eit 1)] (e2it eit ) (0) i
(0)
m1
i
, m2
(0) i
2
( 1) ( 1) e Var[ X ] m2 m12 . i2
Exemplo 3: Ache a função característica e os momentos (função geradora de momentos) da distribuição normal padrão. Resolução:
E[eitX ]
1 2
itx x / 2 e e dx 2
integral
e
1 2
itx x / 2 e dx 2
1 t 2 / 2 ( x it )2 / 2 e dx desde que e 2 z 2 /2
1 2
e
( x it )2 / 2 t 2 / 2
( x it ) / 2 dx e 2
dz sob o retângulo ABCD abaixo:
dx
e
x2 / 2
dx . De fato, considere a
6
Fig. 2
Pelo Teorema de Cauchy,
ez
2
/2
dz 0 . Assim,
ABCD 0
R
( x it ) / 2 dx e ( R it ) e 2
R
t
R
2
/2
t
(idy ) e x / 2 dx e ( R it ) 2
R
2
/2
(idy ) 0
0
Note que 0
t
( R it ) / 2 idy e ( R e 2
t
0
e
2
2 Rti t 2i 2 ) / 2
i dy e R
2
2 Rti t 2i 2 ) / 2
2
/ 2 t 2 / 2
t 0 quando R . Analogamente,
2
/ 2 t 2 / 2
t 0 quando R . Logo,
0
( R it )2 / 2
t
t
idy e ( R 0
R
lim
R
i dy e R
( x it ) / 2 dx lim e 2
R
R
R
e
x2 / 2
dx .
R
Teorema 8: Seja Y aX b . Se 1 (t ) denota a função característica da variável aleatória Y , então 1 (t ) eitb (at ) . Demonstração:
1 (t ) E[eitY ] E[eit ( aX b) ] E[eitb ei ( at ) X ] eitb E[ei ( at ) X ] eitb (at ) . Exemplo 4: Calcule a função característica da distribuição normal. Resolução: Queremos determinar a função característica de f ( y; , )
2 2 1 e ( y ) / 2 . 2
2 1 x2 / 2 e é (t ) et / 2 . Fazendo 2 2t 2 it it ( t )2 / 2 Y X , segue do Teorema 8 que 1 (t ) e (at ) e e exp it . 2
Pelo Exemplo 3, a função característica de f ( x;0,1)
4 – SEMI-INVARIANTES Seja a função (t ) ln (t ) , onde (t ) é a função característica da variável aleatória X . Expandindo a função característica em série de potência em torno de t 0 , temos:
7
(t ) s 0
( s ) (0) s!
t s 1
( s ) (0)
s 1
s!
ms (it ) s (t ) 1 z , s ! s 1
t s 1
onde
ms (it ) s . s ! s 1
z
Assim,
(t ) ln (t ) ln(1 z ) z
z 2 z3 2 3
ks (it ) s . De maneira equivalente, podemos s ! s 1
escrever que 2
k 1 k k (t ) exp s (it ) s 1 s (it ) s s (it ) s 2! s 1 s ! s 1 s ! s 1 s !
(2)
Derivando a expressão (2) em relação a t e fazendo t 0 , segue que k1 m1 . Além disso, iks (it ) s 1 k (it ) s 2 (0) (0)k1 (0)k2 k2 m2 m12 2 . (t ) s ( s 1)! ( s 2)! s 1 s 2
(t ) (t )
Analogamente, k3 m3 3m1m2 2m13 ( coeficiente de simetria) e k 4 é o coeficiente de curtose. Observação 1: O nome semi-invariantes vem do fato que sob a translação, isto é, sob a transformação, Y X b , todos os semi-invariantes exceto k1 são invariantes. Sendo (t ) e 1 (t ) as funções características das variáveis aleatórias X e Y respectivamente, então
1 (t ) E[eitY ] eitb (t ) ln 1 (t ) itb ln (t ) Portanto, a translação muda somente o coeficiente do termo it e podemos dizer que a mudança ocorre no semi-invariante de 1a ordem. Exemplo 5: Calcule os semi-invariantes da distribuição de Poisson. Resolução:
Pelo
Exemplo
2,
(t ) exp[ (eit 1)] .
Assim,
(it ) s (t ) ln (t ) (eit 1) 1 , isto é, s 0 s ! s (it ) (it ) s ks para s 1, 2, . Sendo (t ) ks (t ) s! s! s 1 s 1 5 – A FUNÇÃO CARACTERÍSTICA DA SOMA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes. Assim, eitX e eitY são também independentes. O objetivo desta seção é achar a função característica da soma Z X Y . Sejam (t ) , 1 (t ) e 2 (t ) as funções características das variáveis Z , X e Y respectivamente. Assim,
8
(t ) E[eitZ ] E[eit ( X Y ) ] E[eitX eitY ] E[eitX ] E[eitY ] 1 (t ) 2 (t ) . Este resultado pode ser generalizado para um número qualquer de variáveis aleatórias independentes. Teorema 9: A função característica da soma de n variáveis aleatórias independentes é igual ao produto de suas funções características. Portanto, se Z é a soma de n variáveis aleatórias, Z X1 X 2
1 (t ) ,
, n (t ) são as funções características de Z , X 1 ,
(t ) 1 (t ) 2 (t )
, X n respectivamente, então
n (t )
Demonstração: O teorema é válido para n 2 . Para n k , suponhamos que (t ) 1 (t ) 2 (t )
E[eit ( X1 X 2
X k 1 )
] E[eit ( X1
Xk )
X n e (t ) ,
Z X1 X 2
Xk e
k (t ) . Assim,
eitX k 1 ] E[eitZ ] E[eitX k 1 ] (t ) k 1 (t ) 1 (t )
k 1 (t ) .
Exemplo 6: Suponha que duas variáveis aleatórias X 1 e X 2 tem distribuição de Poisson
P[ X 1 r ]
1r r!
e 1 ,
P[ X 2 r ]
2r r!
e 2 ,
r 0,1,
.
Considere
a
variável
aleatória
Z X1 X 2 . Determine a função característica e os semi-invariantes de Z . Resolução: 1 (t ) exp[1 (eit 1)] é a função característica de X 1 e 2 (t ) exp[2 (eit 1)] é a
função
característica
de
X2 .
Assim,
a
função
característica
de
X2
é
2 (t ) 2 (t ) exp[2 (e 1)] . Sendo X 1 e X 2 variáveis aleatórias independentes, então (t ) 1 (t ) 2 (t ) exp[1 (eit 1)] exp[2 (eit 1)] exp(1eit 2eit 1 2 ) . it
Por outro lado,
(t ) ln (t ) 1eit 2eit 1 2 Expandindo eit e e it em séries de potências,
segue que (t )
[1 (1)s 2 ] s 1
(it ) s . s!
Logo, ks 1 (1) 2 . s
Observação 2: A recíproca do Teorema 9 não é verdadeira, isto é, a função característica da soma de variáveis aleatórias dependentes pode ser igual ao produto de suas funções características. O próximo exemplo ilustra este fato. Exemplo 7: A função densidade da distribuição conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por:
[1 xy( x 2 y 2 )]/ 4 para | x | 1 e | y | 1 f X ,Y ( x, y) 0 caso contrario
9
Inicialmente, mostraremos que as variáveis aleatórias X e Y são dependentes. A distribuição marginal na região | x | 1 e | y | 1 são, respectivamente, da forma 1
1
f X ( x)
1 4
1
1 1 1 1 [1 xy( x y )]dy y x3 y 2 xy 4 , 4 2 4 1 2 2
2
1
1 1 1 1 fY ( x) 14 [1 xy( x 2 y 2 )]dx x x 4 y x 2 y 3 4 4 2 1 2 1 1
1 f X ,Y ( x, y) e as variáveis aleatórias X e Y são dependentes. Seja 4 Z X Y , a função densidade de Z é dada por:
Assim, f X ( x) fY ( y )
fZ ( z)
f X ,Y ( x, z x)dx
Os pontos extremos do intervalo | x | 1 para o qual f ( x, z x) 0 , depende de z . Para achá-los, é melhor trabalhar com as variáveis x e z , transformando o quadrado | x | 1 , | y | 1 , na região definida pelas desigualdades | x | 1, x 1 z x 1 (3) Esta transformação é ilustrada nas Figuras 3 e 4 abaixo.
Fig. 3
Fig. 4
Podemos escrever a desigualdade (3) na forma
| x | 1, Além disso, note que para z 0 temos: e para z 0 temos:
z 1 1 ,
z 1 1,
z 1 x z 1
z 1 1 , z 1 1 .
10
Portanto para z 0 a integral da função f ( x, z x) de x 1 a x z 1 , e para z 0 de x z 1 a x 1 . Desta forma:
z 1 1 1 2 2 3 3 4 (1 3z x 2 zx z x)dx (2 z ) 4 1 1 1 f Z ( z ) 14 (1 3z 2 x 2 2 zx 3 z 3 x)dx (2 z ) 4 z 1 0
para
2 z 0
para 0 z 2 para |z| > 0
Determinaremos agora a função característica de X , Y e Z X Y . Assim, 1
1 1 1 eitx eit eit sen t 1 (t ) eitz dx 2 1 2 it 1 2it t
sen t . Desde que z toma valores no intervalo [2, 2] , segue que t 2 0 0 1 1 1 1 2 e2it e2it sen t itz itz 3 (t ) (2 z )e dz (2 z )e dz 2 (1 cos 2t ) 4 2 4 2 4 t2 t 2t
Analogamente, 2 (t )
1 e2it e2it 2 1 . Logo, 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) e as variáveis X e Y são dependentes. 2t 2 6 – DETERMINACAO CARACTERÍSTICA A fórmula (t )
DA FUNÇÃO
DISTRIBUIÇÃO
ATRAVÉS
DA
FUNÇÃO
e
itx
f ( x)dx determina uma única função característica da função
distribuição dada. A recíproca também é verdadeira, isto é, da função característica determina uma única função distribuição. Teorema 10: (Teorema de Levy) Sejam F ( x) e (t ) as funções distribuição e característica da variável aleatória X . Se a h e a h (h 0) são pontos de continuidade de F ( x) então T
sin(ht ) ita e (t )dt T t T
F (a h) F (a h) lim
Demonstração: Seja J
(t )
e
itx
f ( x)dx . Assim,
1
T
(4)
sin(ht ) ita e (t )dt . Da definição de função característica, T t
11
J
T sin(ht ) it ( x a ) sin(ht ) ita itx e e f ( x ) dx dt e f ( x)dx dt T t t T
1
T
Sendo
sin(ht ) it ( x a ) sin(ht ) t e f ( x)dx t f ( x)dx h f ( x)dx h , segue que a integral dentro dos colchetes é absolutamente convergente. Além disso, os limites de integração da variável t são finitos e podemos inverter a ordem de integração, isto é,
T sin(ht ) it ( x a ) e f ( x)dt dx T t T 1 sin(ht ) cos ( x a)t i sin ( x a)t f ( x)dt dx T t
J
1
funçao par funçao impar T T 1 sin(ht ) cos( xt at ) sin(ht ) sin( xt at ) f ( x)dt i f ( x)dt dx T t t T
2
T
sin(ht ) cos( xt at ) f ( x)dtdx 0 t
1 sin( A B) sin( A B) , segue que 2 1 1 sin(ht ) cos( xt at ) sin ( x a h)t sin ( x a h)t 2 2
Da fórmula sin A cos B
Assim,
J
1 sin ( x a h)t sin ( x a h)t f ( x)dtdx 2 0 t 2
T
T 1 T sin ( x a h)t 1 sin ( x a h)t dt dt f ( x)dx 0 t 0 t
g ( x, T ) f ( x)dx , onde
g ( x, T ) é a expressão entre chaves.
sin x sin x dx . 0 x dx é limitada para todo T 0 e Tlim x 2 0
T
Afirmação 1: A integral
T
sin x sin x 1, De fato, sendo contínua em 0 x T e lim x 0 x x é limitada para T 0 . Por outro lado, sendo
sin x 1 e xt sin x dt e xt dt x x 0 0
T
sin x dx converge e, portanto x 0
xt sin x xt dx e sin x dtdx 0 x 0 0 0 0 e sin x dx dt
12
1 sin x sin x dx . 0 x dx 0 1 t 2 dt arctg t 0 2 Tlim x 2 0 T
Da Afirmação 1 segue que a expressão | g ( x, T ) | é limitada e
12 para 0 1 sin( t ) 1 sin u lim dt lim du 0 para 0 T T t u T T 1 para 0 2 T
T
(5)
0 para x a h 1 para x a h 2 Afirmação 2: lim g ( x, T ) 1 para a h x a h T 1 para x a h 2 0 para x a h De fato, de (5) segue que: 0
i) x a h x a h 0 , x a h x a h 2h 0 e
T T 1 sin ( x a h)t 1 sin ( x a h)t 1 (1) lim g ( x, T ) lim dt lim dt 0; T T T t t 2 2 0 0 ii) x a h x a h 0 e 0
1 sin[( x a h) t ] (1) 1 dt ; 0 t 2 2 T
lim g ( x, T ) lim
T
T
iii) a h x a h x a h 0 , x a h 0 e 0
0
1 sin[( x a h) t ] 1 sin[( x a h) t ] 1 ( 1) dt lim dt 1; T 0 t 0 t 2 2 T
lim g ( x, T ) lim
T
T
T
iv) x a h x a h 0 e 0
1 sin[( x a h) t ] 1 dt 0 ; 0 t 2 T
lim g ( x, T ) lim
T
T
0
v) x a h x a h 0 , x a h x a h 2h 0 e 0
lim g ( x, T ) lim
T
Logo,
0
1 sin[( x a h) t ] 1 sin[( x a h) t ] 1 1 dt lim dt 0 . T T t t 2 2 0 0 T
T
13
lim J lim
T
T
g ( x, T ) f ( x)dx lim g ( x, T ) f ( x)dx
ah
a h
a h
T
lim g ( x, T ) f ( x)dx
T
lim g ( x, T ) f ( x)dx
T
ah
lim g ( x, T ) f ( x)dx 0
ah
T
f ( x)dx 0 F (a h) F (a h) .
a h
A demonstração para variáveis aleatórias discretas é semelhante, basta substituir as integrais por séries. Observação 3: Desde que os números a e h são arbitrários, a fórmula (4) dá a diferença para pontos arbitrários em que é continua. Sendo F ( x2 ) F ( x1 ) F
F ( x2 ) F ( x1 ) P[ x1 X x2 ] , segue que se conhecermos a função (t ) , podemos através do Teorema 10 obter a probabilidade de X sobre um intervalo qualquer em que F é contínua. Além disso, fazendo x x2 e x1 , segue que F ( x) F ( x1 ) converge para F ( x) . Teorema 11: Se a função característica é absolutamente integrável sobre o intervalo t , então
f ( x) Demonstração:
integrabilidade
e
(t )dt
itx
absoluta
da
(t )
função
segue
que
T
sin(ht ) itx e (t )dt F ( x h) F ( x h) existe. T t Dividindo ambos os membros por 2h , temos: lim
T
1
Da
1 2
1 F ( x h) F ( x h ) 2 2h
sin(ht ) itx e (t )dt ht
(6)
onde x h e x h são pontos de continuidade de F ( x) . Quando h 0 , o integrando em valor absoluto é menor ou igual a | (t ) | , o qual por hipótese é integrável. Assim, podemos passar o limite quando h 0 sob o sinal de integração em (6). Logo,
1 F ( x h) F ( x h ) h 0 2 2h
lim
itx e lim
h 0
sin(ht ) 1 (t )dt ht 2
e
itx
(t )dt
Exemplo 8: A função característica da variável aleatória X é (t ) exp(t 2 / 2) . Determine a função densidade de probabilidade desta variável aleatória. Resolução:
f ( x)
quadrados, itx
1 2
2 exp(itx) exp(t / 2)dt
t2 1 (t ix)2 x 2 . Assim, 2 2
1 2
exp(itx t
2
/ 2)dt . Completando
14
1 f ( x) 2
exp[(t ix)
2
1 1 exp( x 2 / 2) 2 2
/ 2]exp( x / 2)dt 2
exp[(t ix)
2
/ 2]dt
1
1 1 exp( x 2 / 2) 2 2
exp(t
2 exp[(t ix) / 2]dt
2 exp[(t ix) / 2]dt lim
R
/ 2)dt
desde que
2
1 exp( x 2 / 2) 2
exp(t
2
/ 2)dt . De fato,
R
exp( z
2
/ 2)dz , onde
z t ix . Usando o Teorema de
R
Cauchy, na região da Fig. 5,
Fig. 5
exp( z 2 / 2)dz 0
ABCD x
2 exp[( R ix) / 2] idx 0 R
exp[t
R
0
2 2 exp[(t ix) / 2]dt exp[( R ix) / 2] idx x
R
x
2
R
/ 2]dt 0 . Como lim exp[( R ix) / 2] idx lim exp[( R ix) 2 / 2] idx 0 R
exp[(t ix)
R
0
segue que
0
2
x
2
/ 2]dt
exp(t
2
/ 2)dt .
7 – BIBLIOGRAFIA: [1] Gnedenko, B. V. The Theory of Probability. Mir Publishers, Moscou, 1976. [2] Bearzoti, E. Int. à Teoria de Probabilidade e à Inferência Estatística. UFLA, Lavras, 1998. [3] Fisz, M. Probality Theory and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1965. [4] Mood, A. L; Graybill F. A. & Boes, D. C. Introduction to the Theory of Statistics. Mc Graw Hill, Tóquio, 1974. [5] Lima, E. L. Análise Real. V. 1 Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, Rio de Janeiro, 1993.