Artigo 01- funções caracteristicas

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FUNÇÕES CARACTERÍSTICAS

Paulo Sérgio C. Lino Ms. Matemática Pura Maio/2003

1- INTRODUÇÃO A função geradora de momentos, definida como uma série infinita ou uma integral imprópria tem sua existência condicionada à convergência delas. Uma função semelhante com mX (t ) é a chamada função característica de uma variável aleatória X (notação:  (t ) ) . Em relação à primeira, tem a vantagem de que ela sempre existe, para quaisquer valores de t . Além disso, é possível obter as funções densidade e distribuição da variável aleatória.

Definição 1: A função característica associada a uma variável aleatória X , é definida por:

 (t )  E[eitX ] onde i  1 . Assim, para variáveis aleatórias discretas, a função característica é dada pela série numérica, isto é,

 (t )   pn eitx

n

n

onde pn  P( X  xn ) e para variáveis aleatória contínuas, a função característica é dada pela integral imprópria, isto é,

 (t ) 

e

itx

f ( x )dx



Exemplo 1: Determine a função característica da distribuição uniforme f ( x) 

1 I[  a , a ] ( x ) . 2a

Resolução: 

a

1 sen(at )  (t )   e f ( x)dx  eitx dx  .  2a  a at  itx

Fig. 1


2

Teorema 1: (Critério de comparação) Sejam f e g duas funções de uma mesma variável 

aleatória discreta X . Se

 g ( x ) converge e f ( x )  g( x ) n

n

n 1

para todo inteiro positivo n ,

n

então

 f ( x ) converge. n 1

n

Demonstração: Denotemos por Sn e Tn as somas parciais de ordem n de 

 f (x ) n 1

n

e

 g ( xn ) , respectivamente. Seja

T

 g( x ) .

a soma da série

n 1

n

n 1

Por hipótese,

f ( xn )  g ( xn ) para todo n , então n

n

j 1

j 1

Sn   f ( x j )   g ( x j )  Tn  T Sendo Sn1  f ( xn )  S n então S1  S2 

 Sn 

Sn  é

. Assim,

monótona limitada,

donde segue que lim Sn  S  T . n

Analogamente, se f e g são duas funções contínuas da variável aleatória X , tais 

b

que f ( x)  g ( x) , x  R ,

 f ( x)dx

existe para a , b  R e

 g ( x)dx

converge, então



a 

f ( x )dx converge.



Definição 2: Dizemos que a série numérica

a n 1

n

é absolutamente convergente se a série

| a n 1

n

| é convergente. 

Teorema 2: (Teorema da convergência absoluta). Se a série

a n 1

n

é absolutamente

convergente, então

a n 1

n

é convergente.

Demonstração: Fazendo bn  an  an e aplicando a propriedade  an  an  an , obtemos

0  an  an  2 an ou 0  bn  2 an 

Se

 an é absolutamente convergente, então n 1

| a n 1

n

| é convergente, conseqüentemente,

 2 | an | é convergente. Assim, pelo Teorema 1, a série n 1

b n 1

n

é convergente. Sendo a

diferença de duas séries convergentes, uma série convergente, então 

n 1

n 1

n 1

n 1

 bn  an  [bn  an ]   an .


3

Para variáveis aleatórias contínuas a mesma idéia se aplica. Se f é uma função de 

b

uma variável aleatória contínua X tais que

f ( x )dx existe para a , b  R e

f ( x ) dx é



a 

convergente, então

f ( x )dx converge.



Procurando condições com que possamos diferenciar  (t ) , é conveniente introduzir o conceito de convergência uniforme. Definição 3: (Convergência uniforme). Uma seqüência de funções un : (a, b)  R converge

f : (a, b)  R quando, para todo   0 dado, existe N  (dependendo apenas de  ) tal que n  N  un ( x)  f ( x)   seja qual for x  (a, b) .

uniformemente para a função

Teorema 3: (Teste M de Weierstrass) Dada a seqüência de funções un : (a, b)  R , seja 

M n 1

n

n

uma série convergente de números reais M n  0 , tais que un ( x )  M n para todo e todo

 un ( x)

x  (a, b) . Nestas condições, as séries

 u ( x)

e

n 1

n 1

n

são

uniformemente convergentes. Demonstração: Por hipótese, un ( x )  M n e sendo a série numérica então pelo critério da comparação, para todo x  (a, b) , a série 

 u ( x) n 1

n

n 1

n

convergente,

 u ( x) n

é convergente,

é convergente e seja f : (a, b)  R tal

limite, isto é,

M

n 1

conseqüentemente pelo Teorema 2, a série

 un ( x)  f ( x) . Assim, dado   0 , existe N  0 , tal que n 1

M

j  n 1

j

  . Então

para todo x  (a, b) , 

n

 u ( x)  f ( x)   u ( x)   M j 1

para todo n  N . Logo,

j

 un ( x) e n 1

j n 1

j

j  n 1

j



 u ( x) n 1

n

são uniformemente convergentes.

2 - EXISTÊNCIA E PROPRIEDADES Teorema 4: (Existência da função característica). A série ou a integral imprópria que define a função característica converge uniformemente e absolutamente para  (t ) , para todo t R .


4

Demonstração: Se a variável aleatória X for discreta,  (t ) 

e

itxn

f ( xn ) .

Fazendo

n 1

un (t )  eitxn f ( xn ) , segue que

un (t )  eitxn f ( xn )  eitxn f ( xn )  f ( xn ) , t  R . Sendo

 f ( x )  1   , então pelo Teste M de Weierstrass, as séries  e n 1

n

itxn

n 1

f ( xn ) e

e

itxn

n 1

f ( xn )

são uniformemente convergentes. O mesmo raciocínio é válido para variáveis aleatórias contínuas, substituindo as séries por integrais.

Teorema 5: A função característica  : R  i)  (0)  1 ; ii)  (t )  1 , t  R ;

possui as seguintes propriedades:

iii)  ( t )   (t ) . Demonstração: i)  (0)  E[ei 0 x ]  E[1]  1 ; ii)  (t )  E[eitx ]  E[eitx ]  E[ eitx ]  1 ; iii)  (t )  E[eitx ]  E[cos(tx)  isen(tx)]  E[cos(tx)]  iE[sen(tx)]

 E[cos(tx)]  iE[ sen(tx)]  E[eitx ]   (t ) Todas as funções características devem satisfazer as condições i), ii) e iii). Estas condições não são portanto suficientes, isto é, nem toda função  (t ) satisfazendo essas condições é função característica de alguma variável aleatória. A seguir apresentaremos sem demonstração o Teorema de Bochner, que dá as condições necessária e suficiente para uma função  (t ) ser uma função característica. Teorema 6: (Bochner) Seja a função  (t ) definida na reta real tal que  (0)  1 . A função  (t ) é função característica de alguma f.d.p se e somente se i)  (t ) é contínua; ii) Para n  1, 2,3,

n

e todo real t 1 ,

, tn e complexo a1 ,

, an ,

  (t

j , k 1

j

 tk )a j ak  0 .

3 - CÁLCULO DE MOMENTOS ATRAVÉS DA FUNÇÃO CARACTERÍSTICA A partir do Teorema 4 e do Teorema Fundamental do Cálculo, demonstra-se que é possível derivar termo a termo a série ou derivar sob o sinal de integração a função característica. Esta propriedade será útil no cálculo do k-ésimo momento da variável aleatória X .


5

Teorema 7: Suponhamos que o k-ésimo momento mk da variável aleatória X existe. Então

mk 

 ( k ) (0) i

t  0.

k

, onde  ( k ) (0) é a derivada de k-ésima ordem da função característica  (t ) em

X uma variável aleatória discreta tal que

Demonstração: Seja

X ()  xn . Sendo

 (t )   pn eitx , então a k-ésima derivada em relação a t da expressão sob o somatório é n

n

igual

pn (ixn )k eitxn . Por hipótese, o k-ésimo momento

a

| p i

k

n

k itxn n

xe

mk existe e sendo

|   p x  mk segue a existência do k-ésimo momento em valor absoluto. k n n

n

n

Assim,

dk dt k

 ( k ) (t ) 

 pneitxn   n

n

dk  ( k ) (t ) itxn k itxn  ( p e )  p ( ix ) e   pn xnk eitxn  n n n k k dt i n n (1)

Fazendo t  0 em (1), temos o resultado desejado.

Exemplo 2: Suponha que a variável aleatória X tem distribuição de Poisson, isto é,

pn  P( X  n) 

 n e  n!

, onde  é uma constante positiva. Calcule a função característica de

e a variância X . Resolução: 

 n e 

n 0

n!

 (t )   pn eitx   eitn n

n

it ( eit )n  e  ee  exp[ (eit  1)] n! n 0

 e  

Além disso,  (t )  exp[ (eit  1)]ieit e  (t )   exp[(eit  1)]  (e2it  eit )   (0)  i

 (0)

 m1 

i

  , m2 

 (0) i

2

 (  1)   (  1) e Var[ X ]  m2  m12   . i2

Exemplo 3: Ache a função característica e os momentos (função geradora de momentos) da distribuição normal padrão. Resolução:

E[eitX ] 

1 2

itx  x / 2  e e dx  2



 integral

e

1 2

itx  x / 2  e dx  2



1 t 2 / 2  ( x it )2 / 2 e dx desde que  e 2 z 2 /2

1 2

e

 ( x it )2 / 2 t 2 / 2

 ( x it ) / 2 dx  e 2



dz sob o retângulo ABCD abaixo:

dx



e



 x2 / 2

dx . De fato, considere a


6

Fig. 2

Pelo Teorema de Cauchy,

ez

2

/2

dz  0 . Assim,

ABCD 0

R

 ( x it ) / 2 dx   e ( R it ) e 2

R

t

R

2

/2

t

(idy )   e x / 2 dx   e (  R it ) 2

R

2

/2

(idy )  0

0

Note que 0

t

 ( R it ) / 2 idy   e ( R e 2

t

0

e

2

 2 Rti t 2i 2 ) / 2

i dy  e R

2

 2 Rti t 2i 2 ) / 2

2

/ 2 t 2 / 2

 t  0 quando R   . Analogamente,

2

/ 2 t 2 / 2

 t  0 quando R   . Logo,

0

 ( R it )2 / 2

t

t

idy   e ( R 0

R

lim

R 

i dy  e R

 ( x it ) / 2 dx  lim e 2

R

R 

R

e

 x2 / 2

dx .

R

Teorema 8: Seja Y  aX  b . Se 1 (t ) denota a função característica da variável aleatória Y , então 1 (t )  eitb (at ) . Demonstração:

1 (t )  E[eitY ]  E[eit ( aX b) ]  E[eitb  ei ( at ) X ]  eitb  E[ei ( at ) X ]  eitb (at ) . Exemplo 4: Calcule a função característica da distribuição normal. Resolução: Queremos determinar a função característica de f ( y;  ,  ) 

2 2 1 e ( y   ) / 2 . 2

2 1  x2 / 2 e é  (t )  et / 2 . Fazendo 2   2t 2  it  it   ( t )2 / 2 Y   X   , segue do Teorema 8 que 1 (t )  e  (at )  e e  exp  it   . 2  

Pelo Exemplo 3, a função característica de f ( x;0,1) 

4 – SEMI-INVARIANTES Seja a função (t )  ln  (t ) , onde  (t ) é a função característica da variável aleatória X . Expandindo a função característica em série de potência em torno de t  0 , temos:


7

 (t )   s 0

 ( s ) (0) s!

t s  1 

 ( s ) (0)

s 1

s!

ms (it ) s   (t )  1  z , s ! s 1

t s  1 

onde

ms (it ) s . s ! s 1

z

Assim,

(t )  ln  (t )  ln(1  z )  z 

z 2 z3   2 3

ks (it ) s . De maneira equivalente, podemos s ! s 1



escrever que 2

 k 1 k  k    (t )  exp  s (it ) s   1   s (it ) s   s (it ) s   2!  s 1 s ! s 1 s !  s 1 s !  

(2)

Derivando a expressão (2) em relação a t e fazendo t  0 , segue que k1  m1 . Além disso,  iks (it ) s 1 k (it ) s 2   (0)   (0)k1   (0)k2  k2  m2  m12   2 .   (t ) s ( s  1)! ( s  2)! s 1 s 2 

 (t )   (t )

Analogamente, k3  m3  3m1m2  2m13 ( coeficiente de simetria) e k 4 é o coeficiente de curtose. Observação 1: O nome semi-invariantes vem do fato que sob a translação, isto é, sob a transformação, Y  X  b , todos os semi-invariantes exceto k1 são invariantes. Sendo  (t ) e 1 (t ) as funções características das variáveis aleatórias X e Y respectivamente, então

1 (t )  E[eitY ]  eitb (t )  ln 1 (t )  itb  ln  (t ) Portanto, a translação muda somente o coeficiente do termo it e podemos dizer que a mudança ocorre no semi-invariante de 1a ordem. Exemplo 5: Calcule os semi-invariantes da distribuição de Poisson. Resolução:

Pelo

Exemplo

2,

 (t )  exp[ (eit 1)] .

Assim,

  (it ) s  (t )  ln  (t )   (eit  1)     1 , isto é,  s 0 s !  s   (it ) (it ) s  ks   para s  1, 2, . Sendo  (t )   ks  (t )    s! s! s 1 s 1 5 – A FUNÇÃO CARACTERÍSTICA DA SOMA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes. Assim, eitX e eitY são também independentes. O objetivo desta seção é achar a função característica da soma Z  X Y . Sejam  (t ) , 1 (t ) e 2 (t ) as funções características das variáveis Z , X e Y respectivamente. Assim,


8

 (t )  E[eitZ ]  E[eit ( X Y ) ]  E[eitX eitY ]  E[eitX ]  E[eitY ]  1 (t )  2 (t ) . Este resultado pode ser generalizado para um número qualquer de variáveis aleatórias independentes. Teorema 9: A função característica da soma de n variáveis aleatórias independentes é igual ao produto de suas funções características. Portanto, se Z é a soma de n variáveis aleatórias, Z  X1  X 2 

1 (t ) ,

, n (t ) são as funções características de Z , X 1 ,

 (t )  1 (t )  2 (t ) 

, X n respectivamente, então

 n (t )

Demonstração: O teorema é válido para n  2 . Para n  k , suponhamos que  (t )  1 (t )  2 (t ) 

E[eit ( X1  X 2 

 X k 1 )

]  E[eit ( X1 

 Xk )

 X n e  (t ) ,

Z  X1  X 2 

 Xk e

 k (t ) . Assim,

 eitX k 1 ]  E[eitZ ]  E[eitX k 1 ]   (t )  k 1 (t )  1 (t ) 

 k 1 (t ) .

Exemplo 6: Suponha que duas variáveis aleatórias X 1 e X 2 tem distribuição de Poisson

P[ X 1  r ] 

1r r!

e 1 ,

P[ X 2  r ] 

2r r!

e 2 ,

r  0,1,

.

Considere

a

variável

aleatória

Z  X1  X 2 . Determine a função característica e os semi-invariantes de Z . Resolução: 1 (t )  exp[1 (eit 1)] é a função característica de X 1 e 2 (t )  exp[2 (eit 1)] é a

função

característica

de

X2 .

Assim,

a

função

característica

de

X2

é

2 (t )  2 (t )  exp[2 (e  1)] . Sendo X 1 e  X 2 variáveis aleatórias independentes, então  (t )  1 (t )  2 (t )  exp[1 (eit 1)]  exp[2 (eit 1)]  exp(1eit  2eit  1  2 ) .  it

Por outro lado,

(t )  ln  (t )  1eit  2eit  1  2 Expandindo eit e e  it em séries de potências,

segue que  (t ) 

[1  (1)s 2 ] s 1

(it ) s . s!

Logo, ks  1  (1) 2 . s

Observação 2: A recíproca do Teorema 9 não é verdadeira, isto é, a função característica da soma de variáveis aleatórias dependentes pode ser igual ao produto de suas funções características. O próximo exemplo ilustra este fato. Exemplo 7: A função densidade da distribuição conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por:

[1  xy( x 2  y 2 )]/ 4 para | x |  1 e | y |  1 f X ,Y ( x, y)   0 caso contrario 


9

Inicialmente, mostraremos que as variáveis aleatórias X e Y são dependentes. A distribuição marginal na região | x |  1 e | y |  1 são, respectivamente, da forma 1

1

f X ( x)  

1 4

1

1 1 1 1  [1  xy( x  y )]dy   y  x3 y 2  xy 4   , 4 2 4 1 2 2

2

1

1 1 1 1  fY ( x)   14 [1  xy( x 2  y 2 )]dx   x  x 4 y  x 2 y 3   4 4 2 1 2 1 1

1  f X ,Y ( x, y) e as variáveis aleatórias X e Y são dependentes. Seja 4 Z  X  Y , a função densidade de Z é dada por:

Assim, f X ( x)  fY ( y ) 

fZ ( z) 

f X ,Y ( x, z  x)dx



Os pontos extremos do intervalo | x |  1 para o qual f ( x, z  x)  0 , depende de z . Para achá-los, é melhor trabalhar com as variáveis x e z , transformando o quadrado | x |  1 , | y |  1 , na região definida pelas desigualdades | x |  1, x 1  z  x  1 (3) Esta transformação é ilustrada nas Figuras 3 e 4 abaixo.

Fig. 3

Fig. 4

Podemos escrever a desigualdade (3) na forma

| x |  1, Além disso, note que para z  0 temos: e para z  0 temos:

z 1  1 ,

z 1  1,

z 1  x  z  1

z 1  1 , z 1  1 .


10

Portanto para z  0 a integral da função f ( x, z  x) de x  1 a x  z  1 , e para z  0 de x  z  1 a x  1 . Desta forma:

 z 1 1 1 2 2 3 3   4 (1  3z x  2 zx  z x)dx  (2  z ) 4  1  1 1 f Z ( z )    14 (1  3z 2 x 2  2 zx 3  z 3 x)dx  (2  z ) 4  z 1  0  

para

2  z  0

para 0  z  2 para |z| > 0

Determinaremos agora a função característica de X , Y e Z  X  Y . Assim, 1

1 1 1  eitx  eit  eit sen t 1 (t )   eitz dx      2 1 2  it  1 2it t

sen t . Desde que z toma valores no intervalo [2, 2] , segue que t 2 0 0 1 1 1 1  2  e2it  e2it   sen t  itz itz 3 (t )   (2  z )e dz   (2  z )e dz     2 (1  cos 2t )    4 2 4 2 4 t2  t   2t

Analogamente, 2 (t ) 

1  e2it  e2it   2 1   . Logo, 3 (t )  1 (t )  2 (t ) e as variáveis X e Y são dependentes. 2t  2  6 – DETERMINACAO CARACTERÍSTICA A fórmula  (t ) 

DA FUNÇÃO

DISTRIBUIÇÃO

ATRAVÉS

DA

FUNÇÃO

e

itx

f ( x)dx determina uma única função característica da função



distribuição dada. A recíproca também é verdadeira, isto é, da função característica determina uma única função distribuição. Teorema 10: (Teorema de Levy) Sejam F ( x) e  (t ) as funções distribuição e característica da variável aleatória X . Se a  h e a  h (h  0) são pontos de continuidade de F ( x) então T

sin(ht ) ita e  (t )dt T  t T

F (a  h)  F (a  h)  lim

Demonstração: Seja J 

 (t ) 

e



itx

f ( x)dx . Assim,

1

T

(4)

sin(ht ) ita e  (t )dt . Da definição de função característica,  T t


11

J

 T   sin(ht ) it ( x a )  sin(ht ) ita itx e  e f ( x ) dx dt  e f ( x)dx  dt      T t t T    

1

T

Sendo 

sin(ht ) it ( x a ) sin(ht )  t e f ( x)dx   t f ( x)dx  h f ( x)dx  h , segue que a integral dentro dos colchetes é absolutamente convergente. Além disso, os limites de integração da variável t são finitos e podemos inverter a ordem de integração, isto é,

 T sin(ht ) it ( x  a )  e f ( x)dt  dx      T t   T  1  sin(ht )    cos  ( x  a)t   i sin  ( x  a)t  f ( x)dt  dx     T t 

J

1

funçao par funçao impar   T T  1  sin(ht ) cos( xt  at ) sin(ht ) sin( xt  at )    f ( x)dt  i  f ( x)dt dx    T t t T    

2

 T

sin(ht ) cos( xt  at ) f ( x)dtdx   0 t



1 sin( A  B)  sin( A  B) , segue que 2 1 1 sin(ht ) cos( xt  at )  sin ( x  a  h)t   sin ( x  a  h)t  2 2

Da fórmula sin A  cos B 

Assim,

J

1 sin  ( x  a  h)t   sin  ( x  a  h)t  f ( x)dtdx    2 0 t 2

T

T  1 T sin  ( x  a  h)t  1 sin  ( x  a  h)t     dt   dt  f ( x)dx  0 t  0 t    

 g ( x, T ) f ( x)dx , onde

g ( x, T ) é a expressão entre chaves.



sin x sin x  dx  . 0 x dx é limitada para todo T  0 e Tlim   x 2 0

T

Afirmação 1: A integral

T

sin x sin x  1, De fato, sendo contínua em 0  x  T e lim x 0 x x é limitada para T  0 . Por outro lado, sendo 

sin x 1   e xt sin x dt    e xt dt  x x 0 0

T

sin x dx converge e, portanto x 0

     xt  sin x  xt dx  e sin x dtdx  0 x 0 0 0  0 e sin x dx dt 


12

1  sin x  sin x  dx  .  0 x dx  0 1  t 2 dt  arctg t 0  2  Tlim  x 2 0 T

Da Afirmação 1 segue que a expressão | g ( x, T ) | é limitada e

 12 para   0 1 sin( t ) 1 sin u  lim  dt  lim  du   0 para   0 T   T   t u T T  1 para   0  2 T

T

(5)

 0 para x  a  h  1 para x  a  h  2 Afirmação 2: lim g ( x, T )  1 para a  h  x  a  h T   1 para x  a  h  2  0 para x  a  h De fato, de (5) segue que: 0

i) x  a  h  x  a  h  0 , x  a  h  x  a  h  2h  0 e

T T 1 sin  ( x  a  h)t  1 sin ( x  a  h)t  1 (1) lim g ( x, T )  lim  dt  lim  dt    0; T  T   T   t t 2 2 0 0 ii) x  a  h  x  a  h  0 e 0

1 sin[( x  a  h) t ] (1) 1 dt    ;   0 t 2 2 T

lim g ( x, T )   lim

T 

T 

iii) a  h  x  a  h  x  a  h  0 , x  a  h  0 e 0

0

1 sin[( x  a  h) t ] 1 sin[( x  a  h) t ] 1 ( 1) dt  lim  dt   1;  T  0 t 0 t 2 2 T

lim g ( x, T )  lim

T 

T 

T

iv) x  a  h  x  a  h  0 e 0

1 sin[( x  a  h) t ] 1 dt  0  ;   0 t 2 T

lim g ( x, T )   lim

T 

T 

0

v) x  a  h  x  a  h  0 , x  a  h  x  a  h  2h  0 e 0

lim g ( x, T )  lim

T 

Logo,

0

1 sin[( x  a  h) t ] 1 sin[( x  a  h) t ] 1 1 dt  lim  dt    0 .  T   T   t t 2 2 0 0 T

T


13 





lim J  lim

T 

T 

 g ( x, T ) f ( x)dx   lim g ( x, T ) f ( x)dx  

ah

a h

a h

T 



lim g ( x, T ) f ( x)dx 

T 

lim g ( x, T ) f ( x)dx 

T 

ah

lim g ( x, T ) f ( x)dx  0 

ah

T 

f ( x)dx  0  F (a  h)  F (a  h) .

a h

A demonstração para variáveis aleatórias discretas é semelhante, basta substituir as integrais por séries. Observação 3: Desde que os números a e h são arbitrários, a fórmula (4) dá a diferença para pontos arbitrários em que é continua. Sendo F ( x2 )  F ( x1 ) F

F ( x2 )  F ( x1 )  P[ x1  X  x2 ] , segue que se conhecermos a função  (t ) , podemos através do Teorema 10 obter a probabilidade de X sobre um intervalo qualquer em que F é contínua. Além disso, fazendo x  x2 e x1   , segue que F ( x)  F ( x1 ) converge para F ( x) . Teorema 11: Se a função característica é absolutamente integrável sobre o intervalo   t   , então

f ( x)  Demonstração:

integrabilidade

e

 (t )dt

 itx



absoluta

da

 (t )

função

segue

que

T

sin(ht ) itx e  (t )dt  F ( x  h)  F ( x  h) existe.  T t Dividindo ambos os membros por 2h , temos: lim

T 

1

Da

1 2

1 F ( x  h)  F ( x  h )  2 2h

sin(ht ) itx e  (t )dt ht 

(6)

onde x  h e x  h são pontos de continuidade de F ( x) . Quando h  0 , o integrando em valor absoluto é menor ou igual a |  (t ) | , o qual por hipótese é integrável. Assim, podemos passar o limite quando h  0 sob o sinal de integração em (6). Logo,

1 F ( x  h)  F ( x  h )  h 0 2 2h

lim

 itx  e lim



h 0

sin(ht ) 1  (t )dt  ht 2

e

 itx

 (t )dt



Exemplo 8: A função característica da variável aleatória X é  (t )  exp(t 2 / 2) . Determine a função densidade de probabilidade desta variável aleatória. Resolução:

f ( x) 

quadrados, itx 

1 2

2  exp(itx) exp(t / 2)dt 



t2 1   (t  ix)2  x 2  . Assim, 2 2

1 2

 exp(itx  t



2

/ 2)dt . Completando


14 

1 f ( x)  2

 exp[(t  ix)

2

1 1 exp( x 2 / 2)  2 2

/ 2]exp( x / 2)dt  2



 exp[(t  ix)

2

/ 2]dt



1

1 1 exp( x 2 / 2)  2 2

 exp(t

2  exp[(t  ix) / 2]dt 

 

2  exp[(t  ix) / 2]dt  lim

R 



/ 2)dt 



desde que

2

1 exp( x 2 / 2) 2

 exp(t

2

/ 2)dt . De fato,



R

 exp( z

2

/ 2)dz , onde

z  t  ix . Usando o Teorema de

R

Cauchy, na região da Fig. 5,

Fig. 5

exp( z 2 / 2)dz  0 

ABCD x

2  exp[( R  ix) / 2] idx  0 R

 exp[t

R

0

2 2  exp[(t  ix) / 2]dt   exp[( R  ix) / 2] idx  x

R

x

2

R

/ 2]dt  0 . Como lim  exp[( R  ix) / 2] idx  lim  exp[( R  ix) 2 / 2] idx  0 R 

 exp[(t  ix)



R 

0

segue que

0

2

x

 2

/ 2]dt 

 exp(t

2

/ 2)dt .



7 – BIBLIOGRAFIA: [1] Gnedenko, B. V. The Theory of Probability. Mir Publishers, Moscou, 1976. [2] Bearzoti, E. Int. à Teoria de Probabilidade e à Inferência Estatística. UFLA, Lavras, 1998. [3] Fisz, M. Probality Theory and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1965. [4] Mood, A. L; Graybill F. A. & Boes, D. C. Introduction to the Theory of Statistics. Mc Graw Hill, Tóquio, 1974. [5] Lima, E. L. Análise Real. V. 1 Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, Rio de Janeiro, 1993.


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