KPSS by bar tos

KPSS (VE DİĞER SINAVLAR İÇİN)

MUHAKEME PROBLEMLERİ Bu dokümanın tüm hakları www.filozof.com.tr’ye aittir. İnternette sadece bireysel kullanım için yayınlanmaktadır.

PROBLEMLER 6. Bir sayının 3 te 1 inin

SAYI - KESİR PROBLEMLERİ

Bir sayının

Sayı - kesir problemlerini çözerken dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, denklemi doğru kurabilmektir. Denklemi kurarken işlem önceliğinin soru çözümünde önemli olduğunu ve parantez ile işlem önceliğinin gösterilebileceğini unutmamalıyız.

2 1 2 x 2 i : x    5 3 5 3 5

4 3 4 3 4x 3 inin si : x     5 7 5 7 5 7

7. Bir sayının 4 katının 5 fazlası : 4  x  5

Bir sayının 2 katının 4 fazlası : 2  x  4

Örneğin; Bir x sayısının 3 katının 2 fazlası: İstenen ifade 3  x  2 olur. Burada parantez kullanılmasına gerek yok; çünkü ilk önce çarpma işlemi yapılır.

8. Bir sayının 5 fazlasının 4 katı :

Bu ifadeyi 3  x  2  (3  x)  2 şeklinde de yazar-

Bir sayının 4 fazlasının 2 katı :

sak doğru yazmış oluruz. Bir örnek daha verelim:

2  (x  4)  2  x  2  4

4  (x  5)  4  x  4  5

Bir sayının 2 fazlasının 3 katı: İstenen ifade (x  2)  3 olur. Eğer parantez kullanılmamış olsaydı ifade x  2  3 olacaktı ve işlem önceliğinden, önce 2  3  6 ve ifade x + 6 olurdu ki,

9. Bir sayının 6 katının 3 eksiğinin

2 i: 5

2 2  (6  x  3)  5 5

(6  x  3) 

Böyle bir yanlışa düşmemek için parantezi doğru yerde kullanmalıyız.

Bir sayının 3 fazlasının 2 katının üçte biri :

Herhangi bir sayı x olsun

www.filozof.com.tr

(x  2)  3  x  6 dır.

1. Bir sayının 2 fazlası : x + 2

2  (x  3) 

1 2  (x  3)  3 3

10. Bir sayının 2 katı ile 4 katının toplamı: 2  x  4  x

Bir sayının 9 katı ile 5 katının farkı: 9  x  5  x

Bir sayının 5 fazlası : x + 5

Bir sayının 3 katı ile yarısının toplamı: 3  x 

2. Bir sayının 7 eksiği : x  7

Bir sayının

Bir sayının 1 eksiği : x  1 3. Bir sayının 5 katı : 5  x

x

Bir sayının 7 katı : 7  x

2 ü ile 4 te 1 inin toplamı: 3

2 1 2x x  x   3 4 3 4

Bir sayının 3 te 1 inin 4 eksiği: x  4. Bir sayının yarısı :

x 2

Bir sayının 8 de 1 i :

5. Bir sayının

Bir sayının

x 8

x 2

1 x 4  4 3 3

11. Bir sayının karesinin 1 fazlası : x 2  1

Bir sayının 1 fazlasının karesi : (x  1)2

5 5 5x si : x   7 7 7

Bir sayının küpünün 5 katının 4 fazlası: 5  x 3  4 Bir sayının 4 fazlasının küpünün 5 katı:

3 3 3x katı : x   4 4 4

5  (x  4)3

Problemler

Denklem Kurarken Dikkat Edilecek Hususlar

Ardışık Sayı Problemleri Ardışık sayı problemlerinde sayı adedi tek sayıda ise sayıların toplamı sayı adedine bölündüğünde ortadaki sayıyı verir.

1. Soruda bilinmeyen ifade bir harf ile belirtilir. Örneğin; a, b, c … gibi

Soruda birden fazla bilinmeyen bulunabilir; fakat en az sayıda harf kullanılarak denklem kurulmalıdır.

Örneğin; ardışık beş sayının toplamı 100 ise bu sayıları bulunuz.

Örneğin; Bir sepette elma ve armut olmak üzere toplam 30 tane meyve vardır.

100 : 5  20  ortadaki sayı 19

en küçük sayı

Bu ifadeyi denklem olarak yazalım: Elma sayısı x, armut sayısı y olmak üzere x + y  30 şeklinde yazmak yerine bir harf kullanarak elma sayısına x, armut sayısına (30  x) diyerek soruyu daha kolay çözebiliriz.



22 en büyük sayı

Ardışık üç tam sayının toplamı: x + (x + 1) + (x + 2) veya (a  1) + a + (a + 1)

Çünkü denklemimiz bir bilinmeyenli (bilinmeyen x) denklem olacaktır.



Ardışık üç tek tam sayı toplamı: (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) veya x tek sayı olmak üzere,

2. Denklem kurulurken toplanan ve çıkarılan ifadelerin aynı cins olması gerekir.

x + (x + 2) + (x + 4)

Örneğin;



Kitap + Kitap Turist + Turist bu ifadeler birbiri ile toplanır fakat Bilye + Kitap

www.filozof.com.tr

Bilye + Bilye

Turist + Bilye

Ardışık üç çift tam sayının toplamı: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) veya x çift sayı olmak üzere, x + (x + 2) + (x + 4)

ÖRNEK SORU

Kitap + Turist Öğrenci + Sıra

2 ünün 4 eksiği, aynı sayının 3 yarısının 5 fazlasına eşittir?

Hangi sayının

ifadeleri birbiri ile toplanmaz. Çünkü aynı cins değillerdir.

A) 46

B) 54

C) 63

D) 70

E) 72

Çözüm: 3. Denklemde eşitliğin sağ ve sol tarafını yazarken aynı cins çokluklar birbiri ile eşitlenir.

Sayımız x olsun. Şimdi denklemi yazalım. 2 x 4  5 3 2 2x x  54 3 2

x

Öğrenci sayısı  Öğrenci sayısı Alınan yol  Alınan yol Sıra sayısı  Sıra sayısı

(2)

Farklı cins çokluklar birbiri ile eşitlenmez.

(3)

4x 3x 9 6

Öğrenci  Sıra Zaman  Hız

x 9 6 x  69

Tavşan  Tavuk

x  54 bulunur.

(Cevap B) 3

Problemler

ll. Yol: ÖRNEK SORU

Büyük sayı: x + 8 Küçük sayı: x olsun.

Üç basamaklı birbirinden farklı dört sayının toplamı 500 dür.

(Farkları 8 olduğu için böyle yazıldı.) 3  (x  8)  4  x  73

Bu sayıların en büyüğü en fazla kaçtır?

A) 197

B) 196

C) 195

D) 194

3  x  3  8  4  x  73

E) 193

7  x  24  73

Çözüm:

7  x  49

Verilenleri yazalım.

x7



4 tane üç basamaklı sayı ((abc) gibi …)



Sayılar birbirinden farklı (rakamlar farklı denmemiş)



Toplamları 500

Büyük sayı: x + 8  7 + 8  15 bulunur. (Cevap C)

İsteneni yazalım. En büyüğü en fazla kaçtır? En büyüğünün en fazla olması için diğer sayıların en az olması gerekir.

ÖRNEK SORU

l. sayı + ll. sayı + lll. sayı + lV. sayı  500 100 + 101 + 102

 500

303 + x  500 x  197 olur. (Cevap A) ÖRNEK SORU

www.filozof.com.tr ??? YAYINCILIK

x  500  303

Farkları 8 olan iki sayıdan büyüğün 3 katı ile küçüğün 4 katı toplamı 73 tür.

B) 13

C) 15

D) 16

Geriye 42 m kumaş kaldığına göre ilk satılan kumaş kaç metredir?

A) 20

B) 25

C) 30

Çözüm:

1. satılan kumaş: x 

E) 18

Kalan kumaş: x 

l. Yol:

1 x  3 3

x x x 2x    3 1 3 3 (3)

Küçük sayı: k 2. satılan kumaş:

Büyük sayı: b olsun. Denklemi kuralım.

Kalan kumaş:

1. denklem: b  k  8 2. denklem: 3  b  4  k  73

(1)

2x 2 4x   3 5 15

2x 4x 6x 2x     42 m 3 15 15 5 (5)

(1)

2x 42   2  x  42  5 5 1 x  105 m bulunur.

Yukarıdaki denklemleri ortak çözeceğiz. Büyük sayı istendiğinden k yı yok edeceğiz. 1. denklemi 4 ile çarpar 2. denklem ile toplarsak,

3  b  4  k  73

E) 40

Toplam kumaş x m olsun.

Çözüm:

4/ b  k  8

D) 35

l. Yol:

Buna göre, büyük olan sayı kaçtır?

A) 12

Bir manifaturacı, elindeki bir top kumaşın ilk 1 2 ünü, daha sonra kalan kumaşın ini önce 3 5 satmıştır.

Soruda istenen ilk x 105   35 m olur. 3 3

4  b  4  k  32

 + 3  b  4  k  73 7b  105 b  15 olur. 4

satılan

kumaş:

Problemler

ll. Yol:

Çözüm:

Toplam kumaşı ilk önce 3 parçaya, daha sonra 5 parçaya bölebilmek için kumaşı OKEK(3, 5)  15 parçaya ayırır ve her parçaya x m dersek, kumaşın tamamı 15  x m olur.

Otelde toplam x tane oda olsun. Her odaya 3 kişi yerleştirilirse 3  x kişi odalarda olur ve 6 kişi odalara yerleştirilememişti. Turist sayısı: 3  x  6 olur.

İlk satılan kısım: 15  x 

1  5x 3

Her odaya 4 kişi yerleştirilirse ve 5 oda boş kalmışsa (x  5) oda dolmuştur.

Kalan kumaş: 15  x  5  x  10  x İkinci satılan kumaş: 10  x 

Turist sayısı: 4  (x  5) olur.

2  4x 5

Turist sayısı aynı olduğundan, 3   x  6  4  (x  5)    

Kalan kısım: 10  x  4  x  6  x  42

Turist sayısı

x7

Turist sayısı

3 x  6  4 x  45

İlk satılan kısım: 5  x  5  7  35 m olur.

3  x  6  4  x  20

(Cevap D)

6  20  4  x  3  x 26  x

ÖRNEK SORU

Otelde 26 oda bulunmaktadır. Bir gruptaki 8 arkadaş bir torbadaki bilyeleri eşit olarak paylaşıyorlar. Gruba 2 kişi daha katıldığında her birine düşen bilye sayısı 3 azalıyor.

(Cevap E)

A) 130

B) 120

C) 60

D) 30

E) 15

Çözüm:

Gruptaki 8 kişinin her biri a tane bilye almış olsun. Toplam bilye sayısı: 8  a olur. Gruba 2 kişi eklenirse 10 kişi olur ve her birine 3 eksik bilye düşeceğinden her biri (a  3) tane bilye alır. Bilye sayısı değişmediğinden,

www.filozof.com.tr

Buna göre torbadaki bilye sayısı kaçtır?

8  a  10  (a  3)  

Bilye sayısı

ÖRNEK SORU

Bir kumbarada 50 kuruşluk ve 1 liralık madeni paralardan oluşan toplam 40 tane para vardır. Bu paraların toplamı 25 lira olduğuna göre bu kumbarada kaç tane 50 kuruş vardır?

A) 20

Bilye sayısı

B) 24

C) 30

D) 34

E) 38

Çözüm:

8  a  10  a  10  3

50 kuruşluk para sayısı: a tane olsun.

8  a  10  a  30

50 kuruşların toplam tutarı: 50  a kuruş olur.

30  2  a

100 kuruşluk para sayısı: 40  a tane olur.

15  a

(1 lira  100 kuruş)

Toplam bilye sayısı: 8  a  8  15  120 olur.

100 kuruşlukların toplam tutarı: 100  (40  a)

(Cevap B)

olur. Kumbaradaki toplam para: (kuruş olarak) 50  a  100  (40  a)  2500

ÖRNEK SORU

Her tarafı 50 ye bölelim: Bir oteldeki odalara turistler her odada 3 kişi kalacak şekilde yerleştirilirse 6 turist odalara yerleştirilemiyor. Eğer 4’er 4’er yerleştirilirse 5 oda boş kalıyor.

a  2  (40  a)  50 a  2  40  2a  50 80  a  50 a  30 bulunur.

Bu otelde toplam kaç oda vardır?

A) 20

B) 21

C) 23

D) 25

(Cevap C)

E) 26 5

Problemler

ÖRNEK SORU

1 ini ev kirasına, 5 1 2 kalanın ini araba taksidine ve kalanın ünü 4 3 mutfak masrafına ayırıyor.

Bir salona 12 büyük ve 8 küçük masa veya 10 büyük ve 12 küçük masa atılabiliyor.

Bir çalışan 1 aylık maaşının

Buna göre, bu salona küçük masalardan kaç tane atılır?

A) 10

Geriye çalışanın 320 lirası kaldığına göre, bu çalışanın aylık kazancı kaç liradır?

B) 18

C) 24

D) 30

E) 32

Çözüm:

Salonun kapasitesi  12  B  8  K veya A) 1600 B) 1200 C) 800

D) 700

E) 600

Salonun kapasitesi = 10  B  12  K

Çözüm:

Salon aynı salon olduğundan salon kapasiteleri eşittir.

l. Yol:

Çalışan aylık kazancı: 5  x lira olsun.

12  B  8  K  10  B  12  K 12  B  10  B  12  K  8  K

1 Ev kirası: 5  x   x lira 5

2 B  4 K

Kalan parası: 5  x  x  4  x lira Araba taksiti: 4  x 

B  2 K

1  x lira 4

Bir büyük masa 2 küçük masa kadar yer kaplıyormuş. Hepsinin küçük masa olması istendiğinden

Kalan parası: 4  x  x  3  x lira

Salonun kapasitesi  12  B  8  K

Kalan parası: 3  x  2  x  x  320 lira Çalışanın aylık kazancı: 5  x  5  320  1600 lira olur.

 12  (2  K)  8  K

www.filozof.com.tr ??? YAYINCILIK

2  2  x lira 3

Mutfak masrafı: 3  x 

 24  K  8  K  32  K Buna göre bu salona 32 tane küçük masa atılır. (Cevap E) ÖRNEK SORU

ll. Yol:

Çalışanın maaşını şekil ile gösterelim.

2 si su ile dolu olan bir kabın ağırlığı 5 kg 7 dır. Kap tam dolu iken tüm ağırlık 15 kg olduğuna göre boş kabın ağırlığı kaç kg dır?

Maaşının tamamı 5 parça Ev kirası

Kalan para

A) 1

5 Araba taksiti

Mutfak masrafı

D) 2,5

E) 3

kabın ağırlığı k kg olsun her biri x kg

En son kalan

2 3

C) 2

Çözüm:

Kalan para

B) 1,5

her biri x kg

320 lira

Toplam para:

+ 2x + k  5

7x + k  15

Beraber çözüm yapılırsa

320 320 320 320 320

Toplam para: 5  320  1600 lira

/2x + k  5 7x + k  15 5x  10

(Cevap A)

x  2 dir. k  1 kg dır.

(Cevap A) 6

Problemler

YÜZDE PROBLEMLERİ

UYARI

Yüzde problemlerinde genel olarak üç ifade vardır. Bunlar: “temel sayı, yüzde oranı ve yüzde payı” dır.

Aynı türden olan çokluklar arasında sağlıklı bir karşılaştırma ve kıyaslama yapabilmek için büyüklüklerini birbirinin yüzdesi olarak ifade edebiliriz.

Yüzde problemleri; “temel sayı”, “yüzde oranı” ve “yüzde payı”ndan herhangi ikisinin verilip üçüncüsünün sorulması şeklindedir. B’nin %a sı P olsun. (%a ifadesi “yüzde a” diye okunur.)

ÖRNEK

Yukarıdaki ifade matematiksel olarak,

İki pazarlamacıdan birincisi yapmış olduğu 250 TL lik satıştan 10 TL, ikincisi ise 150 TL lik satıştan 9 TL kazanç elde ediyor.

a B  P şeklinde gösterilir. 100 Bu formüldeki, B ye, temel sayı;

Buna göre, bu iki pazarlamacının hangisinin kazanma oranı daha azdır?

a ya, yüzde oranı;

Çözüm:

P ye, yüzde payı adı verilir.

Buna karar verebilmek için her iki kazanılan parayı yüzde olarak ifade edelim. Bunun için orantı kuralım:

Yüzde 27, aşağıdaki ifadelerden biri ile gösterilir. 27  0,27 100

UYARI

Yüzde problemlerini çözerken yüzdesi alınmak istenen sayı 100x şeklinde alınırsa soru daha kolay çözülebilir.

250 TL den 10 TL kazanılırsa, 100 TL den a TL kazansın. O halde,

www.filozof.com.tr

%27 

250 den

10 TL ise

100 den

a TL olur.

Doğru orantı

250  a  100  10 250a  1000 a  4 tür.

ÖRNEK

Bu işlem, 250

F sayısı A sayısının %30’u, A sayısı da D sayısının %70 idir.

a 10  100  10  a  a4 100 250

şeklinde de yapılabilir.

Buna göre, D’nin F’ye oranını bulalım.

150 TL den 9 TL kazanırsa, 100 TL den k TL kazansın

Çözüm: Uyarıyı dikkate alırsak, D  100 alalım.

150 den

9 ise

A sayısı D nin %70 i ise, A  70 olur.

100 den

k olsun

70 70    D  100  A  100  100  A  A  70   

Doğru orantı

150  k  100  9

F sayısı A nın %30 u ise, F  A

100  9 150 k  6 dır. k

30 30  70   21 bulunur. 100 100

y 9  100  9 ise y   6 şek100 150 linde de yapılabilir.

D nin F ye oranı,

Bu işlem, 150 

D 100  olur. F 21

Problemler

Birinci kazanma oranı %4 iken ikinci kazanma oranı %6 dır. Buna göre, 1. pazarlamacının kazanma oranı daha azdır.

ÖRNEK SORU

Kazanma oranı aşağıdaki gibi de bulunabilir.

Bir öğrenci, elindeki kitabın önce %10 unu, daha sonra da kalan sayfaların %30 unu okumuştur.

10 1 1 4 4 1. pazarlamacı için,     %4 250 25 25  4 100 tür.

Buna göre, kitabın toplam yüzde kaçını okumuştur?

2. pazarlamacı için,

A) 27

9 3 32 6     %6 dır. 150 50 50  2 100

B) 32

C) 37

D) 41

E) 46

Çözüm: Kitap 100 sayfalık olsun. Öğrenci, önce %10 unu yani 10 sayfasını okumuş ve geriye 100  10  90 sayfa kalmıştır. Daha sonra kalan sayfaların %30 unu yani 30 90   27 sayfasını okumuştur. 100 Toplamda 10 + 27  37 sayfasını okumuştur. Kitap 100 sayfa olup toplamda 37 sayfasını okuduğu için, kitabın %37 sini okumuştur.

ÖRNEK SORU

(Cevap C)

Buna göre,

18 5

x  3y oranı kaçtır? 4x  y

B) 3

18 7

18 11

E) 4

www.filozof.com.tr ??? YAYINCILIK

x sayısı y sayısının %60 dır.

Çözüm:

xy

60 10 0

ÖRNEK SORU

5x  3y

Bir sınıftaki öğrencilerin %40 ı erkektir. Kız öğrencilerinin sayısı 48 olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır?

x 3   x  3k ve y  5k alınabilir. y 5

x  3y denkleminde x ve y yi yazarsak 4x  y

A) 60

B) 70

C) 80

D) 120

E) 160

Çözüm:

x  3y 3k  3  5k  4x  y 4  3k  5k

%40 erkek ise %60 kız olur.

3k  15k 12k  5k 18 k  7k 18  olur. 7

Sınıf mevcudu x olsun



60  48 (kız öğrencilerin sayısı) 100 6 x  48 10 x  80

(Cevap C) (Cevap C) 8

Problemler

KÂR – ZARAR PROBLEMLERİ

Çözüm:

Kâr  K

Kampanya yapılmadan önce bir malın etiket fiyatı 100 TL olsun. 100 TL den ilk ay %30 indirim yapılırsa indirim 30 TL olur. Bu durumda malın fiyatı 70 TL olur.

Zarar  Z ile gösterelim.

Alış Fiyatı (Maliyet)  A Satış Fiyatı  S

TL den %20 indirim 20 70   14 TL olur. 100

Satış fiyatı, alış fiyatına kâr eklenerek veya alış fiyatından zarar çıkarılarak bulunur. Yani;

yapılırsa

indirim

S  A + K, (Satış  Alış + Kâr)

Toplam indirim 100 TL de 30 + 14  44 TL dir.

S  A  Z, (Satış  Alış  Zarar) ile hesaplanır.

Buna göre, satış yeri sahibinin yaptığı tüm indirim %44 tür. (Cevap D)

UYARI ÖRNEK

Kâr-zarar problemlerinde, kâr veya zarar daima alış fiyatı (maliyet) üzerinden hesaplanır.

Bir pantolon %25 kârla 60 TL ye satılıyor. Bu pantolon %15 zararına kaç TL ye satılmalıdır? Çözüm: I. Yol:

ÖRNEK

Pantolonun maliyeti (alış fiyatı) A TL olsun. Bu pantolon %25 kârla 60 TL ye satılıyor ise,

Bir mağazacı bir gömleği 5 TL den aldı. 1 TL kâr bıraktı ve 5 + 1  6 TL ye sattı.

5 TL de

1 TL ise

100 TL de

x TL dir.

Doğru orantı

A www.filozof.com.tr

Bu mağazacı 1 TL lik kârını 5 TL (alış fiyatı) üzerinden elde etti. Bu mağazacının kâr oranı

5  x  100  1

100  25  60 100 125 A  60 100 60  100 A 125 A  48 dir.

Bu pantolon %15 zararına x TL ye satılıyor ise

x  20 olur.

A

Kâr oranı %20 dir. UYARI

Kâr-zarar problemlerinde indirim veya zam hesaplanırken daima satış (etiket) fiyatı üzerinden hesaplanır.

100  15 x 100 85 48  x 100 x  40, 8

II. Yol:

Alış + Kâr  Satış %100

%25 %125 60 TL

ÖRNEK SORU

Alış  Zarar  Satış %100

Kampanya yapan bir satış yeri, fiyatlarda %30 indirim yapıyor. İlk ay satışın az olduğu görülünce ikinci ay indirimli fiyatlar üzerinden %20 indirim daha yapılıyor.

B) 50

C) 45

D) 44

%85

x TL %125

60 TL ise 125  x  60  85 x TL dir. 60  85 x 125 Doğru orantı x  40,8 dir.

%85

Buna göre, satış yeri sahibinin yaptığı tüm indirim yüzde kaçtır? A) 51

%15

E) 25 9

Problemler

ÖRNEK SORU

Bir bakkal bir malı %50 kârla satarken satış fiyatı üzerinden %20 indirim yapıyor. Buna göre, bu bakkal bu maldan % kaç kâr etmiştir?

Bir tüccarın aldığı iki maldan birisinin maliyeti diğerinin üç katıdır. Tüccar maliyeti yüksek olan malı %20 zararla ve maliyeti düşük olan malı %50 kârla satıyor.

A) 10

Buna göre, tüccarın bu satıştan ettiği zarar % kaçtır?

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

Çözüm:

A) 1

Bu malın maliyeti 100 TL olsun. %50 kârla satış fiyatı 150 TL dir. 150 TL nin üzerinden %20 indi15 0  2 0 rim  30 TL dir. 100

B) 2

C) 2,5

D) 4

E) 5

Çözüm: Maliyeti yüksek

Maliyeti düşük

300 TL

100 TL %50 kârla

%20 zararla

150  30  120 TL yeni satış fiyatımızdır.

240 TL

Bakkal bu maldan %20 kâr etmiştir.

150 TL

240 + 150  390 TL dir. (Satış sonrası elimizdeki para)

(Cevap B)

400 TL

10 TL zarar

100

www.filoz of.com.tr ??? YAYINCILIK

doğru orantı

x  2,5

%2,5 zarar (Cevap C)

ÖRNEK SORU ÖRNEK SORU

1 Bir malın ü %50 kârla, kalanı ise %10 zararla 3 satılıyor.

Bir satıcı bir malı %40 zararla satarken satış fiyatı üzerinden %80 artış yaparak ürünü 216 TL’ye satıyor.

Buna göre, bu satıştaki kâr - zarar durumu aşağıdakilerden hangisidir?

A) %10 zarar

B) %10 kâr

D) %20 kâr

E) %30 zarar

Buna göre, bu malın maliyeti kaç TL dir?

C)%20 zarar

A) 150

C) 200

D) 210

E) 240

Çözüm:

Maliyeti 100x olsun.

3 tane malımız olsun bunların her birinin maliyeti 100 TL olsun. Toplam maliyetimiz 300 TL

100x  %40 zararla satışı 60x dir. 60x  %80 artış yapılırsa 108x olur.

100  150 90  100  2  150  180  330 (eli100 100 mizdeki toplam para) 1

300 30 kâr 100 x doğru orantı

B) 180

100  80 180    60  x  100  60  x  100  108  x tir.   

x  10 %10 kâr

108x  216, x  2 Maliyet 200 TL dir. (Cevap C) (Cevap B) 10

Problemler

FAİZ PROBLEMLERİ ÖRNEK SORU

Faiz problemlerini yüzde problemi çözüyormuş gibi aynı mantıkla çözebiliriz. Çünkü faiz oranları da yüzde üzerinden veriliyor. Örneğin; “yıllık faiz oranı %40 tır” gibi…

4000 TL yıllık %15 faiz oranı ile bankaya yatırılıyor. Kaç ay sonra para, faizi ile beraber 4500 TL olarak çekilir?

A) 4

ÖRNEK

a) 3 yıl sonunda

n t  100 12 15 t 500  4000   100 12

kaç TL faiz getireceğini bulalım. Çözüm:

500 

500 TL yıllık %40 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılırsa; bir yılın sonunda kazanılacak faiz:

200 TL 12

4 ayda

200 200 4  TL olur. 12 3

500  50  t 10  t dir. www.filozof.com.tr

1 ayda

4  10  100  3  5  t 100  3  4

500  10  5  t

40 500   200 TL dir. 100

1 yılda (12 ayda) 200 TL ise,

E) 11

F  A

b) 4 ay sonunda

b) 4 ay sonunda kazanılacak faiz:

D) 10

Para 4000 TL yatırılmış ve 4500 TL olarak çekilmiştir. Aradaki fark, 4500  4000  500 TL faizdir.

Bu paranın,

3  200  600 TL dir.

C) 8

Çözüm:

500 TL yıllık %40 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılıyor.

a) Üç yılın sonunda kazanılacak faiz:

B) 6

(Cevap D)

ÖRNEK SORU

Kural: Deniz, yıllık %25 faiz oranı üzerinden bankaya bir miktar para yatırıyor.

F: Elde edilen faiz miktarı, A: Anapara (Kapital),

Buna göre, kaç yıl sonra yatırılan bu para kendisinin 4 katı kadar faiz getirir?

n: Yıllık faiz fiyatı (%) t 1 : Yıl olarak anaparanın faizde kalma süresi

A) 32

t 2 : Ay olarak anaparanın faizde kalma süresi



F

A  n  t2 olur. (Aylık faiz) 1200



F

A  n  t3 olur. (Günlük faiz) 36000

D) 8

E) 4

Yatırılan para x TL olsun. A n t formülü yardımıyla şöyle bir denklem 100 kurabiliriz.

n  t1 olur. (Yıllık faiz) 100

F  A

C) 12

Çözüm:

t 3 : Gün olarak anaparanın faizde kalma süresi olmak üzere,



B) 16

F

4x 

x  25  t t 4 100 4  t  16 yıl olarak bulunur. (Cevap B)

Problemler

ÖRNEK SORU

4000 TL nin yıllık %40 dan 3 yılda getirdiği faiz X TL ve X TL nin yıllık %30 dan 2 yılda getirdiği faiz Y TL olduğuna göre, X + Y toplamı kaç TL dir?

Bir bankaya, yıllık %60’tan beş yıllığına yatırılan para beş yıl sonunda faizi ile birlikte 160 TL olmuştur.

A) 2880

B) 3000

D) 6680

E) 7680

Buna göre, alınan faiz anaparadan kaç TL fazladır?

C) 4800

A) 40

B) 60

C) 80

D) 100

E) 120

Çözüm:

Çözüm: F

A n t formülü yardımıyla 100

Yatırılan para x TL ve 5 yıl sonunda elde edilen faiz F olsun.

X

4000  40  3  40  40  3  4800 TL bulunur. 100

x  F  160 TL dir. F

X  4800 TL nin yıllık %30 dan 2 yılda getirdiği faiz ise,

Y

x  60  5  F  3x 100

x + F  160 denkleminde F  3x yazarsak,

4800  30  2  48  30  2 100  2880 TL dir.

x + 3x  160 4x  160 x  40 TL dir.

Y  2880 TL bulunur.

F  120 TL dir. (Cevap E)

ÖRNEK SORU

800 TL’nin bir kısmı A bankasına yıllık %20 den 1 yıllığına, geri kalanı da yıllık %10 dan B bankasına 1 yıllığına yatırılıyor. Bir yıl sonra her ikisinden toplam 140 TL faiz alınmıştır.

www.filozof.com.tr ??? YAYINCILIK

X + Y  4800 + 2880  7680 TL dir.

F  x  120  40  80 olur. Faiz anaparadan 80 TL fazladır. (Cevap C)

ÖRNEK SORU

Buna göre, A bankasına yatırılan para kaç TL dir?

Faiz oranı yıllık %30 olan bir bankaya yatırılan bir miktar paranın, 12 gün sonunda faizi 15 TL olarak çekiliyor.

A) 200

B) 400

Buna göre, bankaya yatırılan para kaç TL’dir?

D) 600

E) 750

C) 500

Çözüm:

A) 1500

B) 1350

A Bankasına yatırılan miktar x TL olsun.

D) 1050

E) 150

B Bankasına yatırılan miktar ise 800  x TL dir.

Çözüm:

C) 1200

Bankaya yatırılan para x TL olsun.

x  20  1 (800  x)  10  1   140 100 100

15 

2x 800  x    140 10 10  800  x  2x  1400

x  3 0  12  A n t   F  36000 günlük faiz  3600 0  

36  x 3600 x  1500 TL dir.

15 

 x  800  1400  x  600 TL dir.

(Cevap A) (Cevap D) 12

Problemler

KARIŞIM PROBLEMLERİ

Çözüm: I. Yol

Kural: 

Alkol oranı %40 olan 50 litrelik karışımdaki alkol miktarı,

Ağırlıkça tuz oranı %x olan A gramlık bir karıx şımdaki tuz miktarı  A dır. 100



Bir tuzlu su karışımındaki tuz oranı %x ise, su oranı %(100  x) tir.



Karışıma giren madde miktarlarının toplamı son karışımdaki madde miktarına eşittir.



Karışım Oranı (K.O) 

50 

40  20 litredir. 100

20 litre alkol olan 50 litrelik karışıma 10 litre alkol katılırsa, oluşan 50 + 10  60 litrelik karışımın 20 + 10  30 litresi alkol olur. En son karışımın alkol oranı %a olsun.

Saf Madde Miktarı Tüm Madde Miktarı

60 litrenin 30 litresi alkol ise, 100 litrenin a litresi alkoldür. Bu orantı aşağıda gösterilmiştir.

Saf madde; tuz, şeker, alkol vb… Tüm madde; karışıma katılan tüm maddelerin toplamı

60  de

30  ise

100  de

a  dir.

Doğru orantı 60a  100  30 100  30 60 a  50 dir. a

Tuz oranı %40 olan 70 gramlık tuz-su karışımındaki tuz ve su miktarlarını bulunuz. Çözüm: Tuz oranı %40 olan 70 gramlık karışımda, 40 70  40 70    28 gram tuz var dır. 100 100

www.filozof.com.tr

ÖRNEK

II.

Yol

10 litre alkolün alkol oranı %100 dür. En son karışımın alkol oranı %a olsun. Verilenlere göre, alkol miktarlarının eşit olduğunu kullanırsak; 40 100 a  10   (50  10)  100 100 100 50  40  10  100  (50  10)  a

50 

90  28  42 gram su vardır.

2000  1000  60  a 3000  60  a 50  a dır.

(Cevap E)

Kural:  Tuz (saf madde) oranı %a olan K gram tuz - su karışımı ile tuz (saf madde) oranı %b olan N gram tuz - su karışımı karıştırılıyor. Oluşan karışımın oranı %x ise, bu denklemi kuralım. ÖRNEK SORU

Alkol oranı %40 olan 50 litre alkol - su karışımına 10 litre alkol karıştırılırsa, karışımın alkol oranı yüzde kaç olur?

K gram

A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

N gram

a  K  b  N  x  (K  N) olur.



(K + N) gram

Problemler

 



Eğer karışıma tuz (saf madde) eklenirse, eklenen maddenin (saf madde) tuz oranı %100 olur.

ÖRNEK SORU

Eğer karışıma su eklenirse, suyun tuz oranı %0 olur.

Kilogramı 20 TL olan ceviz ile kilogramı 15 TL olan üzümden 400 gramlık bir karışım alınarak 7,5 TL ödenmiştir.

Eğer karışımdan su buharlaştırılırsa, değişen sadece su miktarı olur, tuz (saf madde) miktarı değişmez. Toplam madde miktarı da azalır.

Buna göre, alınan karışımda kaç gram ceviz vardır?

Karışıma A gram tuz (saf madde) eklenirse, Karışım Oranı (Tuz Oranı)



Saf Madde Miktarı + A Tüm Madde Miktarı + A

(Su, sadece tüm madde miktarına eklenir.)

A) 350

B) 300

D) 200

E) 150

Ceviz

30 litrelik alkol - su karışımının alkol oranını %25’ten %40 a çıkarmak için, karışımdan kaç litre su buharlaştırılmalıdır? 18 5

45 D) 4

24 5

400  x gr

x  20 1000



Çözüm: Kuralı uygularsak:

%25 Alkol - su

%0 Su



30 litre

x litre

1 kg  1000 gr 1000 gr 20 TL ise 1 gr

41 4

E) 15



Üzüm

x gr ÖRNEK SORU

C) 270

Çözüm:

www.filoz of.com.tr ??? YAYINCILIK



x gr

20 1000 20  x 1000

(400  x)  15  7,5 1000 1 kg  1000 gr 1000 gr 15 TL ise 15

1 gr

TL dir. (400  x) gr

1000

15  (400  x) 1000

TL dir.

x  20 (400  x)  15   7,5 1000 1000  20x  6000  15x  7500 

5 x  1500 x  300 gr  Ceviz

%40 Alkol - su

(Cevap B)

(30  x) litre

Su buharlaştırıldığı için () yaptık, çıkardık. 30  25  x  0  (30  x)  40

30  25  (30  x)  40 Her iki tarafı 10 a bölersek 30  25  (30  x)  40 10

ÖRNEK SORU

3  25  (30  x)  4 75  30  4  4  x

Şeker oranı %20 olan 80 gramlık homojen şekerli su karışımının %50’si dökülüyor. Dökülen miktar kadar şeker ilave ediliyor.

75  120  4x 4x  120  75 x

45 litre olur. 4

Buna göre, son durumda karışımın su oranı yüzde kaçtır? (Cevap D)

A) 70 14

B) 60

C) 50

D) 45

E) 40

Problemler

Çözüm: ÖRNEK SORU

Bu sorunun şekil olarak gösterimi:

%20 80 gr

%20 40 gr

Şeker-su

%100 40 gr

Şeker-su

Şeker

%30 u alkol olan 80 litrelik alkol-su karışımına 10 litre alkol ve 20 litre su katılırsa yeni karışımın alkol oranı yüzde kaç olur?

%x 80 gr

Son durum Şeker-su

20  80  20  40  100  40  x  80 her tarafı 10 a bölersek 2  80  2  40  10  40  8  x

340 11

240 11

160 11

140 11

200 11

Çözüm:

160  80  400  8x

Alkol miktarını göz önünde bulundurarak denklemi yazalım.

480  8x x  60 bulunur.

80 

%60 şeker %40 su

30 100 0 x  10   20   (80  10  20)  100 100 100 100

Alkol miktarı

(Cevap E)

Alkol miktarı

80  30  10  100  20  0  (80  10  20)  x 2400  1000  0  110x

www.filozof.com.tr

3400  110x

ÖRNEK SORU

%40 ı su olan k litrelik bir karışıma 30 litre daha su ilave ediliyor.

Elde edilen karışımın %60 ı su olduğuna göre k kaçtır? A) 45

B) 50

C) 60

D) 65

E) 70

Çözüm: Su miktarını göz önünde bulundurarak denklemi yazalım. k

40 100 60  30   (k  30)  100 100 100

Su miktarı

k  40  30  100  (k  30)  60 40k  3000  60k  1800 1200  20k 60  k bulunur.

(Cevap C) 15

x

340 bulunur. 11 (Cevap A)

Problemler

YAŞ PROBLEMLERİ

Çözüm: Verilere göre tablo yapalım:

Yaş problemlerinin temel mantığı, yıllar geçtikçe her insanın yaşının geçen yıllar kadar artacağı veya önceki yıllarda aynı yıl kadar eksik olacağıdır. Bu yüzden iki kişinin yaşları farkı daima sabit kalacaktır. Bu kurallar göz önünde bulundurularak verilen probleme uygun denklemler yazılır.

4 yıl önceki Şimdiki yaşı 5 yıl sonraki yaşı yaşı Özgül (3x + 3)  4 Özgür

3x + 3

(3x + 3) + 5

x+5

x4

Yaş problemlerinin çözümünde aşağıdaki bilgileri kullanırız.

Özgür’ün şimdiki yaşı x olsun. Özgül’ün yaşı Özgür’ün yaşının 3 katından 3 fazla olduğundan, Özgül (3x + 3) yaşındadır.



Bir kişinin bugünkü yaşı x ise,

Tablodan 4 yıl önceki yaşlarını toplarsak, toplam

t yıl sonraki yaşı, x + t ve

(3x + 3)  4 + x  4 olur.



t yıl önceki yaşı, x  t dir.

Toplam 27 verildiğine göre,

n tane kişinin yaşları toplamı T ise,

3x + 3  4 + x  4  27

t yıl sonra yaşları toplamı, T  n  t ve

4x  5  27 4x  32

t yıl önceki yaşları toplamı, T  n  t dir.



x  8 olur.

İki kişinin yaşlarının farkı yıllara göre değişmez. Bu durumda, iki kişinin yaşlarının farkı daima sabittir. İki kişinin yaşlarının oranı yıllara göre değişir. Bu durumda, iki kişinin yaşlarının oranı sabit değildir. Yaşları oranı sabit ise bu iki kişinin yaşları birbirine eşittir.

ÖRNEK

5 yıl sonra Özgül 3x + 3 + 5  3x + 8 3.8+8  24 + 8  32 olur.

www.filozof.com.tr ??? YAYINCILIK



Ali, Veli ve Kemal’in bugünkü yaşları toplamı 57 dir.

ÖRNEK SORU

Leyla ile Didem’in bugünkü yaşları toplamı 45 tir.

Didem, Leyla’nın bugünkü yaşındayken, Leyla 9 yaşında olduğuna göre, Leyla bugün kaç yaşındadır?

Buna göre, bu üç kişinin 4 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır? Çözüm:

A) 18

Bugünkü yaşları toplamı 57 olan Ali, Veli ve Kemal’den her birinin 4 yıl sonraki yaşı 4 artacaktır.

Çözüm:

B) 25

C) 27

D) 32

E) 34

Leyla’nın yaşı x olsun. Leyla ile Didem’in yaşları toplamı 45 olduğuna göre, Didem’in yaşı 45  x olacaktır. Buna göre,

Buna göre, bu üç kişinin 4 yıl sonraki yaşları toplamı, 57  4  4  4  57  3  4  57  12  69 olur.

Leyla

Didem

Bugünkü yaşı

45  x

t yıl önceki yaşı

Bu iki kişinin yaşları farkı daima sabit olduğu için, x  (45  x)  9  x x  45  x  9  x

ÖRNEK

2x  x  9  45

Özgül’ün yaşı, Özgür’ün yaşının 3 katından 3 fazladır.

3x  54 x  18

4 yıl önce Özgül ile Özgür’ün yaşları toplamı 27 olduğuna göre, 5 yıl sonra Özgül kaç yaşında olacaktır?

(Cevap A )

Problemler

ÖRNEK SORU

Bir baba 29 yaşındadır ve iki çocuğunun yaşları toplamı 7 dir.

Sema ile Sare’nin yaşları toplamı 58’dir. Sema’nın yaşı Sare’nin yaşının iki katından 29 eksik olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Buna göre, kaç yıl sonra babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 2 katına eşit olur? A) 2

B) 5

C) 7

D) 9

A) Sema ile Sare ikizdir. B) Sare Sema’dan üç yaş büyüktür.

E) 10

C) Sema ile Sare’nin yaşları aynıdır.

Çözüm:

x yıl sonra

Baba

Ç1 + Ç2

29 + x

7 + 2x

D) Sare doğduğunda Sema iki yaşında idi. E) Sare, Sema’dan 4 yaş büyüktür.

Çözüm:

29 + x  2(7 + 2x) 29 + x  14 + 4x

Sema

Sare

2x  29

Sema + Sare  58

15  3x

2x  29 + x  58

x5

3x  87

5 yıl sonra babanın yaşı iki çocuğun yaşları toplamının 2 katı olacaktır.

x  29

www.filozof.com.tr

(Cevap B)

Sema

Sare

(Cevap C)

ÖRNEK SORU ÖRNEK SORU

Said 1960 yılında doğmuştur. Said Ebrar’dan 6 yaş büyüktür, Zeynep’ten de 12 yaş küçüktür.

Zehra ile Selçuk’un yaşları toplamı 63’tür. Zehra Selçuk’un yaşına geldiğinde Selçuk 42 yaşında olacaktır.

Buna göre, Ebrar ile Zeynep’in doğum yılları aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Buna göre, Zehra’nın şimdiki yaşı kaçtır? A) 28 B) 30

C) 35

D) 40

Ebrar

E) 47

Çözüm: Zehra

Selçuk

63  x

olsun

Zeynep

A) 1966

1958

B) 1954

1972

C) 1944

1976

D) 1966

1948

E) 1948

1966

Çözüm:

yaşları farkı her zaman sabit olacağından (63  x)  x  42  (63  x)

Said

Ebrar

Zeynep

63  2x  21 + x

x+6

x + 18

3x  84

1960

1966

1948

x  28  Zehra’nın yaşı (Cevap A)

(Cevap D)

Problemler

HAREKET PROBLEMLERİ

Çözüm: I. Yol:

Hız ve hareket problemlerinde birbiriyle alakalı üç temel unsur vardır.

Verilenlere göre, hız (v)  80 km/saat, süre (t)  7 saattir.

Bunlar;

İstenen, yol (x)  ? km olmak üzere,

1. Hareketlinin hızı (v)

x  v  t  80  7  560 km dir.

2. Hareketlinin aldığı yol (x)

II. Yol:

3. Hareket süresince geçen zaman (t) Hareketlinin hızı arttıkça sabit bir zamanda, alınan yol artacağından hız ile yol doğru orantılı değişkenlerdir.

Yolu (x) bulmak istiyoruz. x i kapatırsak; v ile t yan yana olduğu için çarparız. x  v  t  80  7  560 km olur.

Hız arttıkça sabit bir yolu kat etmek için gereken zaman azalacağından hız ile zaman ters orantılı değişkenlerdir.

Bu üç değişken arasındaki ilişkiyi veren formül; Hız 

Yol x , v  şeklindedir. Zaman t

ÖRNEK

Problemde istenenlere göre formül, Yol  Hız  Zaman, x  v  t veya Yol x , t şeklinde de kullanılabilir. Hız v

UYARI

Bu formülleri üçgen çizerek kolayca aklımızda tutabiliriz.

Çözüm: www.filozof.com.tr ??? YAYINCILIK

Zaman 

480 km lik bir yolu 10 saatte alan bir aracın hızı saatte kaç km dir?

Hızı (v) kapatalım. Yol (x) ve zaman (t) alt alta olduğu için bu ifadeleri böleriz. Yani; x v  olur. t

x  480 km, t  10 saat ise, V

İstenilen ifade kapatılarak, geriye kalanlar çarpılarak veya bölünerek istenilen ifade bulunur. Örneğin; x isteniyorsa, x kapatılır ve v ile t yan yana olduğu için çarpılır.

480  48 km / sa olur. 10

ÖRNEK

Bir tren saatteki hızını 20 km azaltarak 240 km lik yolu 2 saat daha geç bir zamanda gidiyor.

Trenin ilk hızı kaç km/saat tir? Çözüm: Yol Zaman x Yani, v  dir. t

Hız 

ÖRNEK

x  240 olduğundan v 

Bir hareketli, A kentinden B kentine saatte 80 km hızla 7 saatte varıyor.

240 dir. () t

Aynı şekilde, hız 20 km azalınca zaman 2 saat artıyor.

Buna göre, A kenti ile B kenti arasındaki uzaklık kaç km dir? 18

Problemler

v  20 

240 (  ) t2

Çözüm: l. Yol:

() ve () daki denklemleri eşitlersek; v

240 240 240 240   20    20 t t2 t t2

v1 70 km/saat

Hızı 70 km/saat olan aracın gittiği yol, 70  t dir.

t2t 1  t  (t  2) 12

Hızı 80 km/saat olan aracın gittiği yol, 80  t dir. Bu verilere göre,

2 1   t  (t  2) 12

70  t  80  t  600 150  t  600

 t  (t  2)  2  12

t  4 bulunur.

 t  (t  2)  24

ll. Yol:

 t  (t  2)  4  6

Yukarıdaki kurala göre yapalım.

 t  4 olur.

x  600, v1  80 km / sa, v 2  70 km / sa ise,

240 240   60 km / saat tir. t 4

t www.filozof.com.tr

Kural: v1



v1  v 2

x 600 600    4 saat v1  v 2 80  70 150 (Cevap C)

Kural: v1

Saatteki hızları v1 km ve v 2 km olan iki araç aralarında x km bulunan A ve B noktalarından aynı anda birbirlerine doğru hareket ettiklerinde karşılaşma süresi t saat olsun. Bu iki araç arasındaki yolun uzunluğunun, hızlar toplamına oranı t’ye eşittir. Buna göre, t

AB v1  v 2



Çevre  x

x dir. v1  v 2

ÖRNEK SORU

olan iki araç çevre uzunluğu x km olan dairesel pistte zıt yönde (birbirlerine doğru) hareket ettiklerinde karşılaşma süresi t saat olsun. Çemberin çevresinin, hızlar toplamına oranı t ye eşitÇevre (x) dir. tir. Yani, t  v1  v 2

Çevresi 3600 metre olan dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı anda ve zıt yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları sırasıyla; 34 m/dakika ve 46 m/dakika dır.

Bu iki hareketli aynı anda birbirine doğru hareket ettikten kaç saat sonra karşılaşırlar? B) 3

Saatteki hızları v1 km ve v 2 km

ÖRNEK SORU

Aralarında 600 km uzaklık bulunan iki hareketliden birinin hızı 80 km/sa, diğerinin hızı 70 km/sa dır.

A) 2

v2 80 km/saat

Hareketliler t saat sonra karşılaşsınlar. Bu durumda karşılaşma gerçekleştiğinde iki aracın gittiği toplam yol 600 km dir.

  1  20  1    2  240  (t t2) t  (t)  

Trenin ilk hızı, v 

1  1  240    20  t t 2  



600 km

C) 4

D) 5

Hareketliler kaç dakika sonra karşılaşırlar?

E) 6

A) 41 19

B) 43

C) 45

D) 47

E) 48

Problemler

Çözüm: ÖRNEK SORU

I. Yol: v1  34 m/da A

v2  46 m/da Aynı anda A noktasın-

Ç  3600 m

x2 B

A ve B noktalarından aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki aracın saatteki hızları sırasıyla 55 ve 45 km’dir.

dan hareket eden hareketliler (hızları v 1  34 m/dakika ve v 2  46 m/dakika olan hareketliler sırasıyla x 1 ve x 2 yollarını aldıktan sonra) B noktasında t dakika sonra karşılaşsınlar.

AB  90 km olduğuna göre, A’dan hareket eden aracın B’den hareket eden aracı yakalama süresi kaç saattir?

A) 3

Buna göre,

C) 7

D) 9

E) 10

Çözüm:

x1  34  t dir. ()

l. Yol:

x 2  46  t dir. ()

55 km/sa

() deki denklem ile () deki denklem taraf tarafa toplanırsa,

15 km/sa

Hareketliler harekete geçtikten t saat sonra C’ye gelmiş olsunlar (A aracı B aracını C de yakaladı).

x1  x 2  80  t 3600  80  t t  45 olur.

AC  55  t dir. ()

II. Yol: Çevresi 3600 m olan çembersel bir pistin bir A noktasından, aynı anda ve zıt yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları 34 m/dakika, 46 m/dakika ise karşılaşma süresi, Çevre(x) 3600 3600    45 dakikadır. v1  v 2 34  46 80

www.filoz of.com.tr ??? YAYIN CILIK

BC  45  t dir. ()

Yukarıdaki kuralı uygulayalım.

t

B) 5

AB  90 km ise AB  AC  BC 90  55  t  45  t 90  10  t t  9 olur.

ll. Yol:

Kurala göre yapalım.

(Cevap C)

t

AB v1  v 2



90 90   9 bulunur. 55  45 10

(Cevap D)

Kural: v1 km/saat A

v2 km/saat B

Kural:

v1 > v2

Saatteki hızları v1 km ve v 2 km v1

Saatteki hızları v 1 km ve v 2 km olan iki araç aralarında x km bulunan A ve B noktalarından aynı anda aynı yönde hareket ettiklerinde arkadaki aracın öndeki aracı yakalama süresi t saat olsun. Bu iki aracın aralarındaki yolun uzunluğunun hızlar farkına AB dir. oranı t ye eşittir. Buna göre, t  v1  v 2

Çevre  x

v1 > v2

olan iki araç çevre uzunluğu x km olan dairesel pistte aynı anda aynı yöne hareket ettiklerinde hızlı olan aracın yavaş olan aracı yakalama süresi t saat olsun. Çemberin çevresinin hızlar farkına oranı t ye eşittir. Çevre (x) dir. Yani, t  v1  v 2

Problemler

ÖRNEK

Çevresi 1470 m olan dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı anda ve aynı yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları sırasıyla 26 m/dakika ve 12 m/dakika dır.

Bir yüzücü, köprüden ırmağa atlayıp, K noktasından L noktasına doğru akıntıya karşı 12 dakika yüzerek 360 metre ilerliyor. Sonra geriye dönüp, yere göre hızını değiştirmeden 5 dakikada atladığı K noktasına ulaşıyor.

Hızı fazla olan hareketli kaç dakika sonra diğerine ilk kez yetişir? Çözüm:

Buna göre, yüzücünün yere göre hızı kaç m/da dır?

Yukarıdaki kurala göre yapalım.

Çözüm:

t

Yüzücünün yere göre hızı v y metre/dakika ve akıntının yere göre hızı v a metre/dakika olsun.

Çevre (x) , (v1  v 2 ) v1  v 2

v1  26 m / da, v 2  12 m / da, x  1470 m

Yüzücü, giderken akıntıyı karşısına, dönüşte ise arkasına aldığı için,

oldu-

ğuna göre,

Yüzücünün yere göre gidiş hızı (v y  v a ) metre/dakika

1470 1470 t   105 dakika 14 26  12

Yüzücünün yere göre dönüş hızı (v y + v a ) metre/dakika olur.

(Dikkat edilirse hızlı olan 2. turunu atmakta, yavaş olan 1. turunu atmaktadır. Yani hızlı olan 1 tur fazla atmıştır.)

Gidilen yolun uzunluğunun o yolu gidiş süresine böldüğümüzde gidiş hızını buluruz.

Kural: A

Nehir

www.filozof.com.tr

Buna göre,

v y  va 

360 12

v y  v a  30 dur. (1)

v y  va 

360 5

v y  v a  72 dir. (2) Nehirde A noktasından B noktasına gitmek isteyen bir yüzücü için;

(1) deki denklem ile (2) deki denklemi taraf tarafa toplanırsa,

AB  x , Nehrin akış hızı: v A , Yüzücünün hızı: v Y

v y  v a  30

ve AB yolunu alma süresi t olsun. 



Nehirin akış yönünde giderse;

2v y  30  72

AB  (Nehrin hızı + Yüzücünün hızı) x Zaman

2v y  102 v y  51 olur.

x  (v n  v y )  t1 formülü bulunur. 

v y  v a  72

Nehirin akış yönünün zıddı yönde giderse; AB  Yüzücünün hızı  Nehrin hızı x Zaman x  v y  v n  t formülü bulunur. v y  v n ise AB yoluna ulaşır. v y  v n ise bulunduğu yerde sabit kalır. v y  v n ise akıntıda sürüklenir.

Problemler

İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ

  1 1   8 6 x 1  (3)  (4)  

A. İŞÇİ PROBLEMLERİ Bu konudaki işçi problemleri orantı konusundaki işçi problemlerinden farklı olup “birlikte iş yapma problemleri” dir.

34  x 1  24  7 x 1 24 24 x tür. 7

“İki işçinin bir işi bitirme süresini bulma” problemi ile “iki musluğun bir havuzu doldurma süresini bulma” problemi aynı matematik temele dayanmaktadır. Birlikte iş yapma problemlerinde aşağıdaki bilgiler kullanılarak çözüme gidilir.

Buna göre, Elif x 

Bir işi;

Elif 6 günde işin tamamını yaptığına göre,

Ali tek başına a saatte, Veli tek başına b saatte bitirsin.

1 günde işin

Ali ile Veli birlikte işin tamamını t saatte bitirsinler. Buna göre,

yapar.

1 24 24 1 4 ünü sını, günde   6 7 7 6 7

1 kadarını bitirir. a

Veli 1 saatte işin

1 kadarını bitirir. b

Ali ile Veli birlikte 1 saatte işin

ÖRNEK

1 kadarını bitirirt

ler. Ali ile Veli’nin ayrı ayrı 1 saatte yaptıkları iş miktarlarının toplamı, birlikte 1 saatte yaptıkları iş miktarına eşittir. Buna göre, 1 1 1   olur. Bu bağıntı a b t

Bir işin 4 te 3 ünü Kemal 6 saatte, aynı işin 5 te 2 sini Murat 4 saatte bitirebiliyor. Buna göre, www.filozof.com.tr ??? YAYINCILIK

Ali 1 saatte işin

24 gün çalışmıştır. 7

 1 1  a  b   t  1 biçiminde de ifade edilebilir.  

Kemal ile Murat birlikte bu işin tamamını kaç saatte bitirebilirler? Çözüm:

Bir işin 4 te 3 ünü (4 parçadan 3 parçasını) Kemal 6 saatte, yapabiliyorsa bu kişi aynı koşullarda bu işin; 1 parçasını 6 : 3  2 saatte, 4 parçasını (tamamını) ise 2  4  8 saatte yapar.

Bu ifade, Ali ile Veli beraber t saat çalışırlarsa işi bitirirler şeklinde söylenebilir. Eşitliğin sağındaki 1 (bir) işin bittiğinin göstergesidir.

Bir işin 5 te ikisini (5 parçadan 2 parçasını) Murat 4 saatte yapabiliyorsa bu kişi aynı koşullarda işin; 1 parçasını 4 : 2  2 saatte

ÖRNEK

5 parçasını (tamamını) 5  2  10 saatte yapar. Aynı işi ikisi birlikte t saatte bitirsinler. O zaman,

Bir işi tek başına Zehra 8 günde, Elif 6 günde bitirebiliyor.

1 1 1   8 10 t

İkisi birlikte çalışarak işi tamamladıklarına göre, Elif işin kaçta kaçını yapmış olur?

(5)

(4)

54 1  40 t 9 1  40 t 40 t saat olur. 9

Çözüm:

İkisi birlikte bu işi x günde bitirsinler.

Problemler

Çözüm:

UYARI

I. Yol: Gün sayılarını eşitleyelim.

A, B ve C işçileri sırasıyla aynı işi x, y, z saatte bitirsinler. Üçü birlikte işe başladıktan m saat sonra C işçisi işten ayrılıyor. Kalan işi A ve B işçileri n saat daha çalışarak işi bitiriyorlar. Bu problemin denklemini yazalım.

Bir kalfa 3 günde 4 takım elbise dikerse 3  4  12 günde 4  4  16 takım elbise diker. Usta, 4 günde 7 takım elbise dikerse 4  3  12 günde 7  3  21 takım elbise diker.

 1 1 1  1 1     m     n  1 dir. x y z   x y

İkisi birlikte 12 günde 16 + 21  37 takım elbise dikerler. İkisi birlikte 37 takım elbiseyi 12 günde diktiklerine göre, 74 takım elbiseyi 12  2  24 günde dikerler.

ÖRNEK SORU

Bir işi tek başına Canan 6 günde, Gamze 9 günde, Sümeyye 18 günde bitirebiliyor. Üçü birlikte 2 gün çalıştıktan sonra Gamze ayrılıyor.

II. Yol: Bir günde yaptıkları işleri bulalım.

Geriye kalan işi Canan ile Sümeyye birlikte kaç günde bitirebilir?

3 2

4 3

5 4

6 5

Verilenlere göre, kalfa bir günde

E) 2

www.filozof.com.tr

Buna göre, üçü birlikte 2 gün, Canan ile Sümeyye x gün çalışacaklardır.

7 takım elbise dikebiliyor. İki4 si birlikte 74 takım elbiseyi x günde diksinler. Buna göre,

usta ise bir günde

Çözüm:

Üçü birlikte 2 gün çalıştıktan sonra Gamze ayrılıyor. Kalan işi Canan ile Sümeyye x günde bitirsinler.

4 takım elbise, 3

    1 1 1 1 1      2  6 9 18   6 18   x  1  (3) (2) (1)   (3) (1)     

  4 7   3 4   x  74  (4) (3)     16  21   12   x  74   37  x  74 12 x  24 olur.

6 4 2  x 1 18 18 12  4x 1 18 12  4x  18

(Cevap E)

4x  6 x

6 3  dir. 4 2 (Cevap A)

ÖRNEK SORU

ÖRNEK

Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya başladığında, biri 4 saatte, diğeri 7 saatte tamamıyla yanarak bitmektedir.

Bir kalfa 3 günde 4 takım elbise, bir usta ise 4 günde 7 takım elbise dikebiliyor.

İkisi birlikte 74 takım elbiseyi kaç günde dikebilirler? A) 18

B) 20

C) 21

D) 23

Bu iki mum aynı anda yakıldıktan kaç dakika sonra, birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı olur?

E) 24 23

Problemler

Çözüm:

Bu iki mum aynı anda yakıldıktan x saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun iki katı olsun.

İki musluk birlikte boş havuzu x saatte doldursun. Verilenlere göre, 1 1 1   6 9 x

1. mumun tamamı 4 saatte yanıyorsa, 1 saatte 1 x x ü ve x saatte de ü yanar. ü yanan mu4 4 4 x mun geriye 1  ü kalır. 4

(3)

2. mumun tamamı 7 saatte yanıyorsa, 1 saatte 1 x x si ve x saatte de si yanar. si yanan 7 7 7 x mumun 1  si kalır. 7

ÖRNEK SORU

Bu iki mum aynı anda yakıldıktan x saat sonra, birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı ise,

Boş havuzun tamamını tek başına A musluğu 9 saatte, B musluğu 18 saatte doldurmaktadır. Havuzun tabanında bulunan C musluğu dolu havuzu 27 saatte boşaltmaktadır.

x x  1  2  1  7  4 x 2x  2 7 4 x x 1  2  7 2 x x   2 1 2 7 1

Bu üç musluk birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar? A)

(2)

5x 1 14 14 x olur. 5

www.filoz of.com.tr ??? YAYINCILIK

(7)

(2)

5 1  18 x 18 x saat bulunur. 5

14 14 saat   60  14  12 5 5

59 7

54 7

5 7

48 7

E) 3

Çözüm: Boş havuz, üç musluk birlikte açıldıktan a saat sonra dolsun. Buna göre, 1 1 1 1    9 18 27 a (6)

(3)

(2)

632 1  a 54 7 1  54 a 54 a saat 7

 168 dakika bulunur.

B. HAVUZ PROBLEMLERİ Havuz problemlerini işçi problemleri gibi düşünerek çözeriz. Ancak boşaltan muslukları negatif () olarak işleme dahil ederiz.

(Cevap B)

Kural: Bir havuzu A musluğu tek başına a saatte, B musluğu tek başına b saatte doldursun. C musluğu dolu havuzu tek başına c saatte boşaltsın.

ÖRNEK SORU

A musluğunun su akıtma kapasitesi; B musluğunun su akıtma kapasitesinin 3 katı ve C musluğunun su akıtma kapasitesinin 4 katıdır. Bir havuzu bu üç musluk birlikte 12 saatte doldurabiliyor.

Üç musluk birlikte açıldığında boş havuz t saatte 1 1 1 1 dolsun. Buna göre,    olur. a b c t ÖRNEK

Buna göre, bu havuzu tek başına B musluğu kaç saatte doldurabilir?

Boş bir havuzu iki musluktan biri tek başına 6 saatte, diğeri 9 saatte doldurmaktadır.

Buna göre, iki musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

A) 41 24

B) 45

C) 49

D) 53

E) 57

Problemler

Çözüm:

ÖRNEK

I. Yol:

A’nın su akıtma kapasitesi, B’nin su akıtma kapasitesinin 3 katı ve C’nin su akıtma kapasitesinin 4 katı olduğuna göre, A  3B  4C ise, A  12k, B  4k, C  3k olur. Yani, A nın su akıtma kapasitesi 12k, B nin 4k, C nin 3k olur.

Su akıtma kapasitesi ile doldurma süresi ters orantılıdır. Buna göre,

Üç musluk aynı anda açılırsa boş olan havuz kaç saatte dolar?

Su akıtma kapasitesi 12k olanın doldurma süresi t saat ise;

Çözüm:

4k olanın doldurma süresi 3t,

3k olanın doldurma süresi 4t olur. (Çalışma kapasitesi ile işi bitirme süresi ters orantılı olduğu için, (12k  t  4k  3t  3k  4t dir.)

ll. kısım A, B, C

Havuzu üçü birlikte 12 saatte doldurabildiklerine göre,

l. kısım A, B

1 1 1 1    t 3t 4t 12 (4)

l. kısımda; C musluğunun bir görevi yoktur. Havuzun yarısı olduğundan; A tamamını 6 saatte, yarısını 3 saatte doldurur. B tamamını 12 saatte, yarısını 6 saatte boşaltır. İkisi beraber havuzun l. kısmını;

1 1 1   3 6 t1

(3)

19 1  12t 12 t  19 bulunur. Buna göre B musluğunun havuzu doldurma süresi

www.filozof.com.tr

(12)

A musluğu boş olan havuzu tek başına 6 saatte dolduruyor. B musluğu dolu olan havuzu tek başına 12 saatte, C musluğu dolu havuzu kendi seviyesine kadar 18 saatte boşaltıyor.

(2)

(1)

2 1 1  6 t1 1 1 ise t1  6 saat  6 t1

3  t  3  19  57 saattir.

l. Kısım 6 saatte dolar.

II. Yol:

ll. kısımda üç muslukta görev yapar. Yine havuzun yarısı olduğundan A musluğu 3 saatte doldurur; B musluğu 6 saatte, C musluğu 18 saatte boşaltır.

Verilenlere göre, A’nın su akıtma kapasitesi 12k olduğunda, B’nin 4k, C nin 3k olur. Havuzu üçü birlikte 12 saatte doldurabildiklerine göre, havuz 12k + 4k + 3k  19k kapasite ile 12 saatte dolmuştur. B musluğu havuzu tek başına x saatte doldursun. Buna göre, 19k ile

12 saatte

4k ile

x saatte Ters orantı

1 1 1 1 6  3 1 1      3 6 18 t 2 18 t2

(6)

(3)

2 1  18 t 2 1 1 ise t 2  9 saat  9 t2

Havuzun tamamı; t 1 + t 2  6 + 9  15 saatte dolar.

4  k  x  12  19  k 4  x  12  19 x  3  19  57 olur. (Cevap E)