XIII SEMANA DA MATEMÁTICA DSPLAYS
A GEOMETRIA DAS CURVAS Responsável: Prof. Armando Caputi Maringá, 27 a 31 de agosto de 2001
Universidade Estadual de Maringá Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática
XIII SEMANA DA MATEMÁTICA
Peça n. 1
O que se pode fazer com um barbante? A GEOMETRIA DAS CURVAS
Tendo à disposição somente um lápis (ou um pincel atômico) e um pedaço de barbante, experimente traçar um arco de circunferência e um segmento de reta. Como ficou o resultado? Perceba a diferença entre o modo como você usa o barbante para traçar a circunferência (isto é, como um instrumento) e o modo usado para traçar a reta (como um perfil).
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Peça n. 2
Mecanismo de Watt (1784) A GEOMETRIA DAS CURVAS
É uma articulação de três hastes, duas das quais AD e BC de mesmo comprimento, e uma AB muito mais curta, e com os pontos C e D fixados em alturas diferentes. Movendo a haste AB, o seu ponto médio P parece descrever por um trecho considerável um segmento retilíneo. Na verdade, o movimento completo do sistema articulado faz o ponto P descrever uma figura em forma de oito. Do ponto de vista prático, no entanto, esse mecanismo é bastante satisfatório, e é muito usado ainda hoje.
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Peça n. 3
Mecanismo de Tchebycheff (1850) A GEOMETRIA DAS CURVAS
Assim como o mecanismo de Watt, este também é uma articulação de três hastes DA, AB e BC, com C e D fixos, BC = AD e onde as distâncias envolvidas satisfaçam a proporção AD : CD : AB = 5 : 4 : 2. Em torno da posição simétrica mostrada na figura, o ponto médio P de AB descreve um percurso quase retilíneo, mesmo se a trajetória completa de P mais pareça uma semicircunferência. Esse mecanismo ainda é usado para guiar o movimento das lâminas de serras para corte de troncos.
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Peça n. 4
Mecanismo de Roberts A GEOMETRIA DAS CURVAS
Esse mecanismo é um sistema articulado de três hastes e uma lâmina BPC em forma de triângulo isósceles. Os comprimentos devem satisfazer AB = BP = PC = CD e AD = 2 BC. O vértice P da lâmina descreve por um trecho razoável um percurso quase retilíneo.
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Peça n. 5
Mecanismo de Peaucellier (1864) e Lipkin (1871) A GEOMETRIA DAS CURVAS
A solução exata do problema de encontrar um mecanismo capaz de traçar uma reta foi dada por Peaucellier, em 1864 e também por Lipkin, de modo independente, em 1871. O sistema é constituido por sete hastes articuladas: AQ, QB, BP e PA de mesmo comprimento formando um losango; duas maiores OA e OB também de medidas iguais e articuladas entre elas num ponto fixo O; e uma sétima haste, com um extremo fixo, que tem a função de obrigar o ponto P a mover-se numa circunferência que passa por O. As primeiras seis hastes, articuladas dessa forma, fazem com que os pontos P e Q se correspondam mediante uma inversão circular de centro O. Assim, como o ponto P descreve uma circunferência passando por O, o ponto Q, pelas propriedades da inversão circular, descreverá uma reta.
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Peça n. 6
Seções cônicas A GEOMETRIA DAS CURVAS
Quais figuras encontramos ao iluminarmos uma parede com uma lanterna em várias angulações? Experimente você mesmo, e observe as circunferências, elipses, parábolas e hipérboles (pena não podermos colocar a lanterna “dentro” da parede para vermos também formarem-se as retas…).
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Peça n. 7
Ecos e reflexos I A GEOMETRIA DAS CURVAS
A lâmina de alumínio forma um contorno elíptico. Num dos focos dessa elipse encontra-se uma lâmpada, no outro um palito de fósforo. Alguns segundos após acender a lâmpada, o fósforo se acenderá. Esse efeito ilustra a seguinte propriedade da elipse: a perpendicular à elipse é a bissetriz do ângulo formado pelos segmentos que unem o ponto aos focos; consequentemente, um raio de luz (ou uma onda) que parta de um dos focos e se reflita na elipse passará pelo outro foco.
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Peça n. 8
Ecos e reflexos II A GEOMETRIA DAS CURVAS
No caso das parábolas, os raios que chegam paralelamente ao seu eixo se concentrarão no foco (esse é o princípio que explica o funcionamento das antenas parabólicas, por exemplo). Esse efeito é ilustrado nessa peça, onde as bolas que descem pelo plano inclinado, ao chocarem-se com a parede ao fundo, em forma de parábola, são rebatidas em direção ao foco dessa parábola, tocando a bola que lá se encontra.
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Peça n. 9
Ecos e reflexos III A GEOMETRIA DAS CURVAS
A mesma propriedade de reflexão da parábola é utilizada aqui, de modo mais espetacular. Dois espelhos parabólicos (parabolóides de revolução) são colocados um sobre o outro de modo que o foco de um coincida com o vértice do outro (um dos espelhos é cortado na altura do vértice, para que o efeito possa ser observado). O porquinho que se vê no chiqueirinho (isto é, no vértice do espelho superior) na verdade não está lá. Ele encontra-se de fato no vértice do outro espelho. Como? Estando no vértice do espelho inferior, o porquinho também estará no foco do espelho superior. Assim, os raios de luz que chegam ao porquinho e em seguida ao espelho superior são refletidos por este em direção vertical; chegando verticalmenteao espelho inferior, esses raios irão se concentrar no foco desse espelho, ou seja, no vértice do espelho superior. Dessa maneira, quando olhamos em direção ao chiqueirinho estamos vendo, na verdade, a imagem do outro vértice (a imagem não é invertida, uma vez que passou por duas reflexões, mas sofre uma rotação horizontal de 180 graus).
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Peça n. 10
Hiperbolóide de revolução I A GEOMETRIA DAS CURVAS
Ao rotacionarmos uma hipérbole em torno de um de seus eixos (aquele que não intercepta a hipérbole), obtemos uma superfície chamada hiperbolóide de revolução. Essa superfície, embora evidentemente curva, é na verdade um emaranhado de retas, como podemos ver nessa peça. Destacam-se duas famílias de retas: as de cor preta e as de cor vermelha. Cada uma dessas famílias descreve completamente o hiperbolóide e é obtida pela rotação de uma qualquer de suas retas em torno do eixo do hiperbolóide. Girando a tampa superior, vemos as duas famílias se deformarem em hiperbolóides diferentes até uma posição limite, onde uma se transforma em um cilindro e a outra em um cone.
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Peça n. 11
Hiperbolóide de revolução II A GEOMETRIA DAS CURVAS
Outro modo de ver o hiperbolóide de revolução sendo gerado por retas é fixar os vértices opostos de um cubo a um eixo vertical e fazer o cubo girar em torno desse eixo. As arestas do cubo que não encontram o eixo de rotação descrevem um hiperbolóide de revolução. Cada par de arestas reversas descreve uma das famílias de retas do hiperbolóide.
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Peça n. 12
Hiperbolóide de revolução III A GEOMETRIA DAS CURVAS
Vamos ver novamente uma reta gerar um hiperbolóide, mas dessa vez em câmera lenta. A vareta de cobre fixa ao disco, enquanto este roda, descreve um hiperbolóide de revolução cujo perfil é a hipérbole traçada na lâmina de acrílico. Quem diria que uma reta seria capaz de tanta “desenvoltura”?
Fonte: Esta exposição, incluindo este guia, é uma reprodução parcial da mostra Oltre il compasso: la geometria delle curve, ocorrida em várias cidades italianas durante os anos 90 e que culminou com a criação do museu permanente Il Giardino di Archimede – un museo per la matematica, localizado próximo a Roma (aconselhamos uma visita ao sítio www.math.unifi.it/archimede). Os organizadores dessa mostra e idealizadores do museu são os professores Enrico Giusti (Università degli Studi di Firenze) e Franco Conti (Scuola Normale Superiore di Pisa). O curador desta exposição participou da referida mostra em Florença, de 27/03 a 2/05 de 1993. Colaboradores: Colaboraram com a exposição os alunos Nelson Luis Orsi de Paiva, Fábio Mateus Natali e Angélica de Almeida Oliveira do Departamento de Matemática da UEM. Agradecimentos: Gostaríamos de agradecer ao Prof. Marcos César Danhoni Neves do Departamento de Física da UEM pela disponibilização de uma das peças da exposição: os espelhos parabólicos. Agradecemos também à Tony Decoração pela confecção de todas as outras peças da exposição.