Cine, ciencia y matemáticas

SE RUEDA: CINE, CIENCIA Y MATEMÁTICAS José Manuel Ramos González Profesor del I.E.S. A Xunqueira I. Pontevedra

A la memoria de Olga Andrés Rey

Mediante las reseñas de quince significativas películas, el presente artículo analiza en qué modo las matemáticas y la ciencia en general han influido en el cine, y como esa simbiosis, a veces afortunada, otras no tanto, constituye en muchos casos una preciosa herramienta didáctica para acercar a los alumnos y al público en general al mundo de la Ciencia en un entorno más humano, artístico y por ende más atractivo.

Through the reviews of fifteen meaningful films, the current article analyses in which way mathematics and science have influenced on cinema, and how that symbiosis, sometimes successful, others not so much, is in many ways a valuable educational tool to make students and the audience closer to the world of science in a more human environment, more artistic and therefore, more attractive.

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Se rueda: Cine, Ciencia y Matemáticas

INDICE Introducción................................................................................................................4 El profesor que todos querríamos tener. Lecciones inolvidables ...............................7 El superdotado rebelde. El indomable Will Hunting ..................................................9 El temor inicial y la superación de las matemáticas. Aquellos maravillosos años...10 El intelecto al servicio de la violencia. Perros de paja ............................................11 Matemáticas, juego y azar. 21 Black Jack................................................................12 El tímido cartesiano. El amor tiene dos caras..........................................................15 El niño prodigio. El pequeño Tate............................................................................17 El mensaje oculto de los números. Pí. Fe en el Caos...............................................20 Piensa o muere. La habitación de Fermat................................................................22 La terrorífica trampa matemática. Cube ...................................................................26 ¿Maravilla o aberración topológica? Moëbius..........................................................28 Un precio muy caro. Una mente maravillosa...........................................................30 Series lógicas. Los crímenes de Oxford....................................................................31 La conciliación de dos teorías. La Herencia del viento............................................32 La navaja de Ockham. ¿Dios o Ciencia?. Contact ...................................................38 Apéndice...................................................................................................................42 Reseñas técnicas de películas ...................................................................................43 El autor .....................................................................................................................48

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Cicloide1

Introducción El cine es una fuente inagotable de información, un medio sin parangón para la difusión de cultura, y, como no hay nada perfecto, lamentablemente también para la de algún que otro valor no tan deseable. Pero entre otras cosas, el cine nos enseña historia, literatura, arte, y por supuesto ciencia; nos proporciona vocabulario, nos permite “viajar” (incluso al pasado y al futuro) sin movernos de nuestra ciudad; es una ventana abierta a millones de vidas que pueden ser para nosotros modelo a seguir o ejemplo de lo que queremos o debemos ser. Para los niños y niñas de muchas generaciones fue un vivero de héroes y heroínas, que acertaron a activar su imaginación infantil, procurándoles una gran cantidad de ideas para poner en práctica en sus juegos cotidianos. ¿Quién no jugó a ser Supermán o trató de emular a John Wayne? Por otra parte, el cine posee la gran ventaja de que es un arte de fácil acceso, que llega a todo el mundo, sin distinción de edad, raza o cualquier otra característica que pueda suponer una diferencia entre culturas o personas, ya que no en vano existe una frase muy popular que pone de manifiesto su valor: “Más vale una imagen que mil palabras”.

Bien cierto es que, como todo en la vida, es necesario evaluarlo con espíritu crítico y analítico, filtrando lo bueno de lo malo, la mena de la ganga, lo artístico de lo mediocre, aunque todos estos conceptos han de ser pasados inevitablemente por la criba de nuestros gustos, percepciones y la ineludible carga de nuestro propio bagaje cultural que nos impide ser objetivos de un modo absoluto en todos nuestros juicios, pero es importante tener nuestras propias opiniones y reflexionar tras el visionado de una película para preguntarnos cuál fue la impronta que ésta dejó en nuestro espíritu, qué cantidad de sensaciones provocó, e introducirla o no en el baúl de nuestros más queridos recuerdos que hemos de conservar en nuestro cerebro durante toda la vida como una imperecedera joya. ¿Quién no vio una película que jamás olvidó? ¿Y cuántas pasan ante nuestros ojos sin pena ni gloria? Pero también de las películas de calidad cuestionable siempre nos queda algo: esa sensación, ese prurito, esa frase, esa idea alojada en nuestro subconsciente que al fin y al cabo también forma parte de nosotros.

Pero para que se produzca este proceso de selección tenemos que disponer de un catálogo, un listado, la oportunidad de visionar esas imágenes que nos harán disfrutar, que nos ayudarán a ser unas personas más preparadas, más cultas, más enriquecedoras para nosotros mismos y para quiénes nos rodean. Esta selección, esta muestra, debiera ser una de nuestras labores como docentes, como divulgadores de conocimiento, como heraldos de sabiduría, aunque lamentablemente solemos abusar en exceso de la pizarra y no dedicar demasiado tiempo a poner al alcance de nuestro alumnado gran parte de este material, ya no sólo en las Ciencias, sino en cualquier otra disciplina.

No faltan películas dedicadas a las Ciencias, y en particular a las matemáticas, bien en formato documental o en producciones para el cine comercial y de entretenimiento. Dedicaré el presente artículo a éstas últimas y comentaré quince de 1

La cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta.

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estas producciones que me han parecido dignas de ser relacionadas en una posible relación de obras filmográficas donde la Ciencia juega un papel digno de mención en mayor o menor medida.

Debido a mi condición de matemático, incidiré más en las películas que abordan las matemáticas como telón de fondo del guión, para finalmente reseñar dos películas donde se incide con un carácter más general en la Ciencia y su eterna disputa con la Religión.

Es obligado comentar que en la gran mayoría de películas en las que las matemáticas forman parte del guión se presentan de modos diferentes, según la mayor o menor importancia que la trama les conceda. Exceptuando muy pocos casos, las matemáticas en el cine se utilizan básicamente con los siguientes fines: En primer lugar para proporcionarle al protagonista una personalidad débil, cartesiana, con un mundo interior completamente dominado por la lógica, sin dejar ninguna puerta abierta a otros aspectos de la vida que no estén controlados por el intelecto, dónde las emociones sucumben ante la razón; un tópico más que el cine es pródigo en fomentar como tantos otros: el matemático despistado, sumido en sus pensamientos, ajeno a lo que lo rodea y con un coeficiente intelectual por encima del resto de los mortales.

En otras ocasiones, por el contrario, las matemáticas sirven para poner de relieve diferencias, para destacar al protagonista por encima del resto de los personajes, como si su capacidad para la comprensión y desarrollo de esta ciencia, su visión del mundo, lo convirtiese en una especie de superhéroe intelectual, del mismo modo que una buena musculatura se nos antoja necesaria para dar realce y credibilidad a la fuerza física de los protagonistas de las películas de acción. Jamás hemos visto a Tarzán con gafas o resolviendo un problema de lógica por simple que fuese, ni a un matemático con unos buenos bíceps, a no ser que traten de ser parodiados tratando de huir siempre de los estereotipos; sin embargo, aunque seguro que las hay, no conozco o no recuerdo ninguna película donde se transgredan los roles de ese modo. El conocido actor Arnold Schwarzenegger jamás daría el perfil de matemático, sin embargo sería más verosímil interpretado por un Dustin Hoffman o un Woody Allen.

Y por último, no podía faltar el científico loco, aunque éste suele ser generalmente un médico (Frankenstein, Dr. Jeckill) o un físico inventor de la imposible máquina del tiempo, o el químico que utiliza sus conocimientos al servicio del mal o a hacer realidad un sueño imposible. El matemático suele ser el teórico y sus descubrimientos se reducen a la pizarra, para que sean otros quienes los lleven a la práctica.

En definitiva, como hemos expuesto, el rol del matemático en el cine sirve, la mayoría de las veces, para dos fines completamente opuestos, pero perfecta y paradójicamente compatibles: el enano físico y el gigante mental. Menos pródiga es la figura del gran profesor y del matemático loco, aunque también está presentes en alguna que otra película. En cualquier caso, para el bien o para el mal, siempre acaban siendo protagonistas.

El presente trabajo trata de dar a conocer una relación de quince películas en las qué las matemáticas y las ciencias tienen un cierto protagonismo estelar, en mayor o menor grado, y que iré analizando para tratar de confirmar las tesis anteriormente expuestas. Indicaré sucintamente sus datos técnicos y haré una sinopsis de las mismas, subrayando algunas curiosidades dignas de mención y tratando de detenerme en los problemas de índole matemático o argumentaciones científicas que están presentes en el guión. El orden que seguiré es arbitrario.

Sin duda los lectores echarán de menos algunos títulos. Obviamente quedan muchas sin mencionar, pero tendría para un tratado si me refiriese a todas las películas que de algún modo presentan la Ciencia como protagonista o como decorado.

Este no es un trabajo original en su concepción, pero sí en su elaboración. Existen obras que estudian la relación entre el séptimo arte y las ciencias, pero a las que no he recurrido. En particular no puedo dejar de citar, para aquellos lectores que quieran

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profundizar más en el tema, el excelente libro Las matemáticas en el cine de Alfonso Población Saéz, publicado bajo los auspicios editoriales de la Real Sociedad Matemática Española en el año 2006. Desde ese año se han estrenado 2 películas que aquí se estudian.

Yo, modestamente, como amante del séptimo arte y docente de las matemáticas, sólo me limitaré a analizar sucintamente aquellas que recuerdo y he tenido oportunidad de volver a visionar recientemente para el presente trabajo.

Resulta una experiencia gratificante explicar a mi alumnado un ejercicio de probabilidad o un acertijo lógico remitiéndome a algo más atractivo que un libro de texto, es decir a una buena película.

Soy de la opinión de que la historia de la Ciencia es una parte importantísima de la historia de la Humanidad y nuestros jóvenes adolecen, por los programas educativos que a veces son tan constreñidos, de una falta de cultura en muchos ámbitos, pero en el científico es más notable; podrán manejar con soltura una calculadora pero no saben quien es Alan Turing; sabrán la formula de la gravitación universal pero Newton no es más que un nombre para ellos.

Por último, no debemos olvidar que las matemáticas y la música son los dos únicos lenguajes universales (el esperanto fue un intento fallido) y es importantísimo potenciar ambos; y ya no sólo en la ciencia, sino en lo referente a cualquier aspecto de la docencia, hoy en día tenemos toda la tecnología a nuestro alcance para divulgar todo ese conocimiento, siendo el cine un elemento más. ¡Utilicémoslo!

José M. Ramos González Pontevedra, Abril 2010

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I El profesor que todos querríamos tener

Comenzaré por una de las películas que más me gustaron por su valor didáctico, y en la qué las matemáticas tienen un protagonismo estelar, aunque lamentablemente pasó desapercibida en los círculos comerciales siendo una gran ignorada para el público. Se trata de Stand & Deliver producida es Estados Unidos en 1988, dirigida por Ramón Menéndez y cuyos actores principales son Edward James Olmos, Andy García, Lou Diamond Phillips, Virginia Paris, Rosanna Desoto, Riff Hutton, Lydia Nicol Carmen Argenziano, Daniel Villareal y Karla Montana. Fue estrenada en España bajo el título Lecciones inolvidables.

Los actores constituyen un importante elenco de actores de origen latino, sobre todo los tres primeros, Edward James Olmos muy conocido por su papel de capitán de policía en la serie de TV de los años 80, Corrupción en Miami, con las cicatrices dejadas la viruela en su rostro; Andy García, actor cubano de reconocido éxito mundial y un joven Lou Diamond Phillips que encarnó al cantante Ritchie Valens en la película La Bamba.

Lecciones inolvidables es una película basada en hechos reales. Es la historia de un profesor de matemáticas de un Instituto de Educación Secundaria de los Estados Unidos, en las afueras de Los Ángeles, cuyo alumnado es mayoritariamente inmigrante y de origen hispano, de clase social baja y con problemas de adaptación. El profesor Jaime Escalante, interpretado por James Olmos, es también de latino, conoce los problemas de su alumnado por haberlos vivido en sus propias carnes y trata de inculcar a sus alumnos el amor por las matemáticas, pero topa con el desarraigo de éstos y su falta de interés por cualquier cosa que no sea la calle, las bandas y los actos delictivos. A base de insistencia, trabajo, y una metodología muy particular consigue unos resultados extraordinarios que se verán reflejados en el examen de ingreso a la Universidad, ante la incredulidad del inspector de educación (Andy García) quién sospecha la existencia de fraude.

El profesor Escalante se enfrenta a las autoridades educativas tildándolas de racistas y las desafía a repetir el examen bajo unos estrictos controles de seguridad. Los resultados finales no dejan lugar a dudas: los alumnos de Escalante salen exitosos de la prueba una vez más.

En esta película puede observarse que Escalante, más que tratar de hacer entender a sus alumnos los conceptos, les proporciona métodos y algoritmos para resolver los problemas, trabajando sobre todo el Análisis Matemático. En una de las escenas puede verse en la pizarra un curioso procedimiento para resolver integrales por el método de integración por partes, método un tanto heterodoxo pero efectivo sin duda alguna.

Como sabemos el método por integración por partes se utiliza mayoritariamente en integrales del tipo ∫ f ( x).g ( x)dx cuando no sirven otros métodos más sencillos como el cambio de variable por ejemplo o la integral no es inmediata. El método tradicional y que se suele enseñar es el siguiente: Se toman dos funciones auxiliares

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u(x) y v(x), de modo que u(x) coincida con f(x) o g(x), dependiendo de quiénes sean éstas y la derivada de v(x) coincida con la otra. Es decir que si por ejemplo u(x) = f(x) y v’(x) = g(x), resulta que ∫ f ( x).g ( x)dx = u(x).v(x) - ∫ u ' ( x)v( x)dx . La demostración es trivial, basta con derivar ambos miembros para comprobar que resulta la igualdad.

Pues bien, Escalante, procede del siguiente modo: Establece una tabla con tres columnas, donde la primera de ellas está constituida por signos que se van alternando comenzando por +, en la segunda y tercera columnas se consignan las funciones f(x) y g(x) respectivamente. (la elección de f y g no es arbitraria, va a depender del tipo de función que sea cada una de ellas). En la segunda columna se van derivando las funciones de la fila inmediatamente superior y en la tercera se van obteniendo las primitivas de las funciones, sin constante de integración, de las funciones de la fila inmediatamente superior. El resultado final de la integral es el producto de las funciones obtenidas en la segunda columna de la fila 1 y la tercera columna de la fila 2 precedidas del signo de la primera columna de la fila 1, menos (signo - de la segunda fila) la integral del producto de las funciones obtenidas en la siguiente fila. Si esta última integral es inmediata o hay que resolverla por otro método que no sea por partes, el algoritmo finaliza, y se procede a su cálculo. Si por el contrario esta última integral debe seguir haciéndose por partes, el algoritmo continúa hasta finalizar como hemos dicho.

Veamos cuatro ejemplos para ilustrar el método:

∫ x.e

x

dx

∫ arctgxdx

∫ senx. cos xdx

Obsérvese que en la primera el resultado es x.ex -

∫e

∫x

x

2

. cos xdx

dx , finalizando el proceso

pues la integral ∫ e x dx = e x + k es inmediata.

En el segundo caso el resultado que se obtiene según el método de Escalante es x x.arctgx − ∫ dx finalizando el proceso pues la integral que surge 1+ x2 x 1 2 ∫ 1 + x 2 dx = 2 ln(1 + x ) es inmediata o se obtiene mediante un sencillo cambio de variable.

La tercera integral, ∫ senx. cos xdx = sen 2 x − ∫ senx. cos xdx , finaliza aquí pues es

del tipo de las integrales cíclicas, obteniéndose que 2 ∫ senx. cos xdx = sen 2 x + k , de sen 2 x donde ∫ senx. cos xdx = +k 2 Sin embargo, el cuarto caso necesita un paso más, pues, procediendo según el pero obsérvese que método tenemos: ∫ x 2 senxdx = − x 2 cos x + ∫ 2 x. cos xdx ,

∫ 2 x. cos xdx ,

requiere ser resuelta también por el método de partes, pues no es

inmediata, ni sirve cambio de variable alguno, por lo que el método continúa

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multiplicando en diagonal, es decir:

∫x

2

senxdx = − x 2 cos x + 2 x.senx − ∫ 2 senxdx ,

donde se acaba el algoritmo pues. ∫ 2 senxdx es inmediata: -2cosx.

El resultado final sería

∫x

2

senxdx = − x 2 cos x + 2 x.senx + 2 cos x + K

Lecciones inolvidables también es una muestra de constancia y amor a la docencia y de cómo motivar a un alumnado desinteresado. Es una película apta para todos los públicos, y en particular para alumnos de bachillerato o Educación Secundaria por el mensaje que contiene: para saber matemáticas no basta la atención en la clase; deben practicarse con frecuencia. O lo que es lo mismo: el esfuerzo conduce al éxito.

II El superdotado rebelde

Good Will Hunting, producida en Estados Unidos en 1998, dirigida por Gus Van Sant, y estrenada en España bajo el título El Indomable Will Hunting, nos cuenta las peripecias de Will Hunting (Matt Damon), un muchacho de la calle con un don innato para las matemáticas que trabaja como limpiador en una reputada Facultad de Tecnología. Es autodidacta, nadie se las ha enseñado, sencillamente las ve, intuye las soluciones a los problemas. Tal es así que, cuando un profesor de la Universidad deja planteados en el pasillo de la Facultad unos complicados problemas para que sus alumnos los resuelvan, Will, mientras pasa la fregona por el pasillo, se queda observando el problema unos instantes y comienza a resolverlo, haciéndolo para tomarse un respiro en su monótona tarea.

Ni que decir tiene que la sorpresa del profesor (Stellan Skarsgard) es mayúscula cuando descubre quien es el autor de las soluciones, llegando a tutelar al muchacho y comparándolo con el célebre matemático indio Ramanuján, que no tenía ninguna formación matemática y que gracias a un libro de los Elementos de Euclides, que por casualidad cayó un día en sus manos, dedujo a partir del texto, teoremas que fueron la admiración de todos los matemáticos del mundo.

Al mismo tiempo que es capaz de leer un libro a una velocidad vertiginosa y es poseedor de conocimientos que van más allá de la capacidad de cualquier persona normal, ya no sólo en matemáticas, Will es un chico que se mete en líos en compañía de su mejor amigo (Ben Affleck); incluso posee antecedentes penales.

Ante el carácter indomable de Will, un juez accede a que el profesor lo tutele, bajo la condición de que estudie matemáticas y siga una terapia. Accede a lo primero y es reacio a verse sometido a un análisis psiquiátrico. Tras pasar por varios psiquiatras que acaban desesperados por la actitud del chico, el profesor lo pone en contacto con un psiquiatra y antiguo camarada de la Universidad (Robin Williams, que curiosamente

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realiza una gran interpretación para ser un actor eminentemente histriónico), con el que el chico va forjando una estrecha relación.

La naturaleza de los problemas de naturaleza matemática planteados en la película son irrelevantes para su seguimiento, y quedan eclipsados por la personalidad rebelde del muchacho, el romance que mantiene con una joven (Minnie Driver), y por lo más interesante de la película: las sesiones con el psiquiatra. La relación entre ambos resulta catártica no sólo para Will, que padece un serio trastorno psicológico que tiene su origen en el maltrato sufrido durante su infancia, sino también para el psiquiatra que padece una depresión derivada del reciente fallecimiento por cáncer de su esposa.

Cuando las matemáticas salen a relucir, deduzco por los diálogos y algún esquema que puede visualizarse en una pizarra, que trabajan en combinatoria superior, teoría de grafos y en general, matemática discreta.

No fue una película con muy buena acogida por considerarse un guión excesivamente exagerado en cuanto a la psicología de los personajes, llevada a extremos radicales y con poca credibilidad, pero la salvan los actores que interpretan magníficamente sus papeles.

En cuanto a su mensaje didáctico, podríamos decir que no es aconsejable para chicos de Educación Secundaria, pues el lenguaje utilizado por Will y sus amigos es el de la calle, llegando incluso a ser soez, y, desde el punto de vista matemático poco aporta. Tan solo se utiliza la matemática como un señuelo, pudiendo ser cualquier otra rama de la ciencia.

III El temor inicial y la superación de las matemáticas

Desde el año 1988 al 1993, se emitió en Estados Unidos una serie de televisión titulada The Wonder Years, que llegó a nuestros hogares un poco más tarde bajo el título Aquellos maravillosos años, en la que se va desgranando la vida de la familia Arnold, una típica familia de clase media norteamericana de los años 70, bajo la perspectiva del benjamín de la familia, Kevin (Fred Savage, el de sudadera gris en la imagen). En la serie se potenciaban valores como la amistad, la lealtad, la familia, el amor. Prueba del éxito que alcanzó es que se estuvo rodando desde el año 1988 al 1993, y el número de capítulos, 116, no es nada desdeñable para una serie de televisión. Evidentemente el colegio, y posteriormente el Instituto, serían ámbitos en los que se desarrollaban muchas de las

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escenas de esta serie y desde donde se podía criticar el sistema educativo norteamericano.

Los capítulo 25 y 32, titulados La clase de matemáticas y La clase de matemáticas superiores, respectivamente, mostraban las dificultades de Kevin con las matemáticas y como va superando poco a poco el temor que al principio despierta esta asignatura ante las explicaciones de su huraño profesor, que comienza explicando álgebra de conjuntos.

En una escena, y mientras el profesor traza unos diagramas de Venn-Euler para explicar operaciones con conjuntos, una alumna de la clase hace el frívolo comentario: “profesor, son unos círculos muy bonitos”, dejando entrever el desinterés por la materia y quedándose tan sólo en lo anecdótico.

Como detalle insólito, no puedo dejar de comentar que la actriz que interpreta el papel de la “novia” de Kevin, Winnie Cooper, prácticamente coprotagonista de la serie (Danica Mckellar, con chaqueta rosa en la imagen), pasados los años combinó su carrera de actriz con el estudio de las matemáticas, graduándose cum laude en la Universidad de UCLA. Es coautora de un teorema sobre física-matemática que lleva su apellido. McKellar es autora del libro: Las matemáticas no son tonterías: como sobrevivir con la matemática en la educación media sin enloquecer o romperte una uña, para animar a las chicas al estudio de las matemáticas, pero lamentablemente, que yo sepa, todavía no se ha traducido al español.

En general es una serie muy recomendable para el alumnado de la ESO por los valores que potencia y por la duración de los capítulos, media hora aproximadamente, inferior a una sesión ordinaria de clase.

IV El intelecto al servicio de la violencia

Sam Peckimpah, deslumbró a unos y escandalizó a otros en el año 1971 con la película de culto, Straw Dogs, llevada a las pantallas españolas bajo el título Perros de paja.

El protagonista de la cinta, el matemático David Sumner (Dustin Hoffman) es el estereotipo del científico timorato e insociable que, como suele decirse, nunca rompe un plato o nunca mata a una mosca, que solamente está a gusto ante su pizarra y en compañía de sus ecuaciones. Peckimpah sólo utiliza las matemáticas para dar más credibilidad al papel de Hoffman, el matemático tímido, introvertido y “poquita cosa” que, ante las circunstancias, se verá obligado a convertirse en un ser violento y reducido a su versión más primitiva.

Interpretando a un matemático, el director pretende, y realmente lo consigue, minimizar las capacidades físicas de un hombre que se tiene que enfrentar a cinco fornidos campesinos. Para más abundamiento, es evidente que la complexión de Dustin Hoffman aporta mucho a esa pretensión.

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David, un norteamericano recientemente casado, viaja con su bonita esposa a la tierra de ésta, un pequeño pueblo en el interior de Escocia, para buscar la tranquilidad necesaria para escribir un libro. Al principio todo va bien, pero unos lugareños violan a su mujer. A partir de ese momento toda la película es una andanada de escenas de violencia que harían enrojecer al mismísimo Quentin Tarantino.

David tiene que defenderse solo ante el allanamiento de su casa por parte de los violadores, que pretenden sacar de ella a un deficiente mental al que David atropella y que éstos piensan que ha abusado de su hermana. Al verse acosado y peligrar su vida, el instinto de supervivencia y un fuerte sentimiento moral del deber, pues no entrega el minusválido a la ferocidad de los aldeanos, hace salir al monstruo que lleva dentro y que jamás nadie pudiese imaginar que emergiese. Y curiosamente esas son sus motivaciones y no la venganza ya que en toda la película ignora lo sucedido a su esposa. Por lo que pese a lo atávico de comportamiento, es la virtud la que preside sus acciones.

La única escena de índole matemático se produce cuando su esposa, para gastarle una broma, borra un signo positivo y lo cambia por uno negativo en el conjunto de ecuaciones y fórmulas escritas en una pizarra, que en realidad no sé si representan algo o están escritas al azar formando parte del decorado. David queda muy sorprendido cuando de nuevo vuelve a ver sus ecuaciones y comprueba el “error”; corrige el signo y comenta para sí: “Pero que estupideces estoy haciendo. Parezco un colegial”.

No es una película recomendable para estudiantes menores de edad, por la carga violenta que posee, pero es significativa tanto en cuanto la utilización de la ciencia refuerza el tópico del científico como una persona endeble, encerrado en su caparazón y que toda su fuerza reside en su mente. Prototipo del enano físico y gigante mental ya mencionados en la introducción.

V Matemáticas, juego y azar

El Black-jack, también llamado veintiuno, es un juego de cartas, que consiste en obtener 21 puntos mediante la suma de los valores de las cartas de póker. Las cartas numéricas suman su valor, las figuras suman 10 y el as es un 11 o un 1 si el once hiciera al jugador pasarse de 21 en la jugada total. Si se consigue 21 con sólo dos cartas se considera black-jack y se gana automáticamente. Se juega contra el croupier que reparte las cartas. En España el juego que más se le asemeja, con la baraja española, es el siete y medio, donde las figuras valen medio punto y el resto su valor numérico.

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Hecha esta introducción para explicar sucintamente las características del blacjack, en el año 2008, y dirigida por Robert Luketic, se estrena en Estados Unidos la película 21 Black Jack. Este film narra las peripecias de un brillante alumno de matemáticas, Ben Campbell (Jim Sturgess) que es reclutado por su profesor, un genio de la estadística, (Kevin Space) para formar un equipo que sea capaz de contar las cartas en el blac-jack y de ese modo hacerse de oro en Las Vegas, a dónde viajan todos los fines de semana (recordemos la escena de Dustin Hoffmann en la película Rainman, contando las cartas en el casino) Al principio todo va bien, pero la cosa se complica cuando la avaricia hace acto de presencia y los responsables del casino comienzan a desconfiar.

La película está basada en hechos reales.

Las escenas en las que las matemáticas se hacen patentes, para demostrar la valía del chico, se nos muestran al principio de la película.

El profesor se encuentra ante una pizarra llena de gráficas donde es evidente que se está explicando el método de Newton-Raphson y otros para la aproximación a las raíces de ecuaciones no lineales, método llamado también de las tangentes. El profesor pregunta si algún alumno puede hacer un comentario acerca de la materia, algo que él no sepa. Ben, que todavía es un alumno desconocido, levanta el dedo y tímidamente afirma: –Newton lo robó.

–¿Disculpa? – inquiere el profesor.

– Newton lo robó. Joseph Raphson había publicado el mismo método 50 años antes, y si el valor inicial se aleja demasiado del cero, entonces falla.

El profesor sorprendido, le pregunta: –Disculpa, ¿cómo te llamas?

–Ben, Ben Campbell.

– Bien. Así que Ben sugiere que Joseph Raphson fue el autor original de ese método.

En ese caso ¿por qué nunca se le atribuyó? ¡Claro, Newton tenía mejor manager! (Risas del alumnado) y por otro lado, después de 1700, sabemos que Joseph Rapshon descubrió la cábala unos 300 años antes que Madona (Más risas).

El método de Newton-Raphson se explica en la asignatura de 2º de bachillerato “Métodos estadísticos y numéricos”, y consiste en ir obteniendo iteraciones sucesivas formando una sucesión convergente a la solución real.

En primer lugar hay que aislar la raíz de la ecuación f(x)=0 mediante el teorema de Rolle y de Bolzano combinados, en un intervalo de extremos a y b. Tomamos la recta tangente a la función f(x) en uno de los extremos del intervalo, que será el primer valor de la iteración. Se puede tomar x0 = a siempre que f(a).f’(a)<0 o bien x0 =b siempre que f(b).f’(b)>0. Si ninguna de las condiciones se cumple, lo normal es tomar el punto medio del intervalo. Esta tangente se interseca con el eje de abscisas obteniendo la segunda iteración x1. Trazando la tangente a la función en el punto de abscisa x1 e intersecando con el eje de abscisas obtenemos x2 y así sucesivamente vamos acercándonos a la raíz de la ecuación dada.

El profesor, sorprendido por el comentario de Ben, continúa: – Bien, démosle a Ben la oportunidad de sumar punto, ¿os parece? A esto lo llamaremos el problema del presentador de concursos, ¿de acuerdo?. Ben imagina que vas a

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concursar y se te ofrece elegir entre tres puertas distintas. Tras una de estas puertas hay un coche nuevo, tras las otras dos, cabras. ¿Qué puerta eliges?.

–La número 1 – responde Ben. –Bien – dice el profesor– ahora el presentador, que por cierto sabe lo que hay detrás de todas las puertas, decide abrir otra puerta; digamos que elige la número 3, tras la cual aparece una cabra. Y ahora el presentador te dice: – Ben, ¿sigues con la puerta número 1 o la cambias por la 2? ¿Te interesa cambiar de puerta?

–Sí – responde Ben sin dudar.

–Espera – dice el profesor – recuerda que el presentador sabe donde está el coche. ¿Y si intenta engañarte? ¿Y si utiliza la psicología al revés para que elijas la cabra?.

– Bueno – responde Ben – en realidad no me importaría, porque mi respuesta está basada en la estadística, en el cambio de variable.

–¿Cambio de variable? Te he hecho una simple pregunta.

– Pero es que eso lo ha cambiado todo.

– Ilumínanos.

– Cuando dijo por primera vez que eligiera una puerta tenía un 33’3 % de hacer la elección certera, pero cuando se ha abierto una de las puertas y puedo volver a elegir, ya tengo un 66’7 % si elijo cambiar. Así que escojo la puerta número 2 y… gracias por ese 33’3% más de ventaja.

El profesor se le queda mirando, sonríe y dice: –Exacto. Chicos, recordad, si no sabéis que puerta debéis elegir tened presente siempre el cambio de variable. Otra persona no cambiará de puerta por paranoia, miedo, emociones, pero el señor Campbell ha dejado sus emociones de lado, y sencillamente ha permitido que la matemática… ¡¡ meta su culo en un coche nuevo!!... y no en esa cabra que conduce.

Este problema es el llamado problema de Monty Hall. Al principio a todo el mundo desorienta la contestación de Ben, y sobre todo su seguridad, porque el problema es engañoso si no se analiza con cuidado. Lo que a primera vista parece es que, después de que el profesor abre una de las puertas y en ella hay una cabra, nos quedan dos puertas tras las que se esconden una cabra y un coche, y por tanto la probabilidad de acertar la puerta correcta es 1/2, es decir un 50%, con lo cual daría lo mismo que Ben cambiase de puerta o no. Pero es un error. Ilustrémoslo gráficamente.

Se dan 3 posibles situaciones:

La explicación más sencilla es la siguiente: Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3, es decir un 33’3%), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3, es decir un 66’7%), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta que queda, la que no ha elegido al principio, tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

Una explicación más rigurosa y utilizando algebra de sucesos sería la siguiente: Sea A el suceso “el jugador elige la puerta premiada antes de cambiar de opción” y B el suceso “el jugador elige la puerta premiada después de cambiar de opción”.

Obviamente A y B son incompatibles, es decir que A ∩ B = Ø. Por tanto son dos sucesos disjuntos, con lo cual B = B ∩ A , pues B ⊂ A , entendiendo por A , el suceso

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contrario de A. Aplicando el P ( B ) = P ( A ).( B / A ) = (2 / 3).1 = 2 / 3 .

Teorema

de

la

probabilidad

total

Un problema interesante que ha originado controversias y debates entre estudiantes poco avezados en cálculo de probabilidades.

A partir de aquí la película decae en el terreno científico y se convierte en un film de aventuras donde unos muchachos juegan a ser amos y señores de los casinos de las Vegas, disfrutando de todo lo que esta mágica ciudad les brinda.

VI El tímido cartesiano

“El amor y el sexo son pura química bullendo en la biología del ser humano.”

Así piensa el protagonista masculino de la comedia romántica The Mirror Has Two Faces ( El amor tiene dos caras), interpretada y dirigida en 1996 por la famosa actriz y cantante Barbra Streisand, en la que se nos presentan las ideas del profesor de matemáticas de la Universidad de Columbia, Gregory Larkin, interpretado por Jeff Bridges, que cree que cualquier relación que no esté basada en el intelecto y en los mismos gustos e intereses, está abocada al fracaso. El sexo le aterra porque lo convierte en un animal de reacciones incontroladas. No puede creer que siendo poseedor de una mente ordenada y científica, pueda caer en las garras de unos instintos desatados e irracionales. Por todo ello mantiene siempre una actitud tímida e introvertida ante las mujeres, hasta el extremo de temerlas.

Como profesor es un desastre. Da la espalda constantemente a sus alumnos, los cuales bostezan dejando entrever que no comprenden nada de lo que les explica o que no tienen el menor interés, a lo que él contribuye con su actitud. Se entusiasma sólo ante la pizarra desarrollando sus ecuaciones, que en la película son completamente irrelevantes. Sólo vemos las gráficas de la función exponencial y logarítmica, pero la cámara no nos enfoca la pizarra suficientemente y el

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guión no deja claro lo que está explicando, excepto que se trata de Análisis Matemático También, durante la película, presenta el libro que acaba de escribir al qué suponemos de Matemática Discreta, ya que en una conversación deja traslucir que ha escrito sobre números primos gemelos (aquellos que solo los separa un número par, como 3 y 5, 11 y 13, 17 y 19).

Vuelven las matemáticas a ser el justificante perfecto para dar credibilidad a la psicología del profesor, cayendo en el tópico del matemático sumido en su mundo de ecuaciones y que lo demás es superfluo. Si en Perros de Paja se trataba de potenciar una fuerza física débil y un carácter conciliador y timorato, en El amor tiene dos caras se intenta reforzar la introversión y la valoración de lo racional sobre lo sentimental, alejando al hombre de una realidad a la que no puede sustraerse pese a sus esfuerzos.

Mediante un anuncio, conoce a la profesora de Literatura de su Universidad Rose Morgan (Barbra Streissand), una mujer extrovertida y simpática, pero desengañada de su relación con los hombres, pues no goza de una especial belleza y a la que todos sus romances siempre han ido acabado mal. Barbra interpreta el papel de la típica solterona que vive con su madre pero que asume su condición con estoicismo, no sin cierta dosis de amargura viendo como su vida va derivando en la monotonía y el hastío.

Sin embargo sus clases de literatura están abarrotadas y la pasión que pone en sus enseñanzas cautiva por completo a sus alumnos. Todo lo contrario que el profesor Gregory.

En una escena, y tras una larga disertación sobre el amor y los estereotipos en la literatura, donde sus alumnos no pierden detalle, finaliza la clase del siguiente modo: Así pues, la cuestión final es: ¿por qué la gente busca el amor cuando éste tiene una caducidad limitada y puede ser aniquilador? A ver, ¿qué opináis?

– ¿Lleva a la propagación de la especie? – pregunta, al mismo tiempo que responde, una alumna.

– Psicológicamente necesitamos conectar con alguien – responde un alumno.

– Puede ser.– comenta Rose – Por condicionamientos culturales.– responde otra alumna.

La profesora Rose contesta: – Buenas respuestas, pero muy intelectuales para mí. Yo creo que, como algunos de vosotros ya sabéis, mientras dura... ¡¡te sientes de puta madre...!!

El numeroso alumnado presente prorrumpe en prolongados aplausos.

La pareja llega a mantener una relación basada en una profunda amistad, pero un tanto extraña, hasta el extremo de llevar meses saliendo juntos sin besarse ni una sola vez, pues a él el contacto físico le parece impropio de seres inteligentes.

En su primera cita en un restaurante, él comienza a hablar de los números primos gemelos (el doblaje utiliza la expresión incorrecta “primos asociados”). Él comenta: – 3 y 5, 5 y 7, 7 y 9 no, porque…

Ella le interrumpe: – Porque 9 es divisible por 3.

– Síiiiiiiiii…– dice él encantado por la aclaración de ella.

Ella pregunta: – ¿Y a partir de un millón siguen existiendo números primos gemelos?

– Caramba Rose. Parece que has leído mi libro. Eso es lo que se está intentando demostrar.

En realidad lo que se está tratando de demostrar es que existen infinitos primos gemelos, aunque todavía es una conjetura que tiene muchas probabilidades de ser cierta.

Hoy los números primos gemelos más grandes conocidos son el par 2003663613.

195000 - 1 y 2003663613. 2195000 + 1, que tienen 58711 dígitos, evidentemente mayores 2 que un millón. Fueron descubiertos en 2007 por Vautier, McKibbon, Gribenko y otros.

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Volviendo a la película. ¿Aporta algo a las matemáticas? Prácticamente nada. Se trata sencillamente de una comedia romántica made in USA que utiliza las matemáticas para fortalecer tópicos.

Finalmente, gracias a los ardides de ella, el amor despierta y todo vuelve a su cauce normal. El hombre despojado de sus prejuicios iniciales saca a relucir sus sentimientos, y por fin el sexo hace acto de presencia como consecuencia de un amor verdadero, convirtiendo al homus científico en homus anima.

VII El niño prodigio

Una vez más Jodie Foster nos deleita actuando y dirigiendo la película Little man Tate (1991), interpretando el papel de la madre soltera de un niño prodigio, Fred Tate (Harry Connick Jr), un niño de 7 años de salud delicada pero con una dotes fuera de lo común para la música, el dibujo y las matemáticas.

La madre muestra su escepticismo cuando la psicóloga Jane Greason (Dianne Wiest) que trabaja con niños prodigio, trata de hacerle a su hijo unas pruebas para medir sus capacidades intelectuales, al igual que cuando le propone trasladarlo a un Instituto especializado que ella dirige. En principio se niega pero ve que su hijo es infeliz, no tiene amigos, se aburre en el colegio y sobre todo se preocupa demasiado de los problemas económicos que la acucian, al igual que de los males de la humanidad en general. Su rostro, siempre triste, denota un gran sufrimiento interior.

Una de las afirmaciones que se hacen en la película, con la voz en off de la doctora Jane Greason, es muy interesante: “De siempre, los chicos dotados con un talento especial, han sido tenidos por genios, y muchos de esos niños pasan por periodos de depresión existencial. El dolor de la mente suele ser a menudo peor que el del cuerpo. Hay fundamentos para creer que el genio tiene algo de loco.”

La madre, acaba viendo en la propuesta de la doctora Jane una posibilidad de librar a su hijo de esa depresión, al poder estar con chicos que tienen las mismas inquietudes que él. No obstante, la doctora Jane, que ve en Fred un interesante espécimen de investigación, aunque inconscientemente, lo presiona más, haciéndole todo tipo de pruebas, pues está escribiendo un libro sobre él. Incluso lo matricula en un curso de verano de Física Cuántica en la Universidad, para sorpresa de todo el alumnado de mayor edad presente en el aula. Finalmente Jane acaba

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encariñándose con Fred, al demostrarle éste lo sensible que puede ser un niño de 7 años, desvinculado de sus capacidades prodigiosas.

Jane y la madre de Fred llegan a mantener cierta rivalidad y celos. Llegado un momento el chico no puede soportar más ese dilema entre su madre y Jane, a la que también quiere, preocupado por el sufrimiento de ambas y regresa a casa.

En una escena de la película Fred acude con Jane a un concurso denominado “La Odisea de la mente” donde compite otro alumno de Jane llamado Daymond Wells, del que Jane ha escrito un libro titulado “El Matemago”, un chico prodigio de las matemáticas.

El presentador comienza con la ronda de preguntas: –¿Cuántos minutos hay en 48 años?

– Sin mediar ni un segundo Daymond responde: 25.228.800 minutos y 1.513.728.000 segundos.

– Correcto. ¿Cuántos divisores tiene 3067?

– Venga tíos– responde Daymond aburrido –, no hay divisores de 3067, es un número primo.

– Correcto – apunta el presentador.

No deja de ser una anécdota, pero la respuesta correcta debería ser dos, ya que el 1 y el 3067 son divisores de 3067, ya que por definición un número primo es aquél que sólo es divisible por el 1 y por sí mismo. Si la pregunta fuese más certera, ¿cuantos divisores propios tiene 3067?, la solución sería 1, pues los divisores propios son los divisores del número excepto el propio número y al ser 3067 primo solo tendría como divisor propio el 1.

Si el concurso y el presentador fueran estrictos, no se aceptaría la respuesta como válida.

–Por el amor de Dios, ¿qué alguien me desafié en serio de una vez?– ruega un aburrido Daymond – Está bien – dice el presentador – A ver, ¿podéis decirme un número que al dividirlo por el producto de sus dígitos dé 3 de cociente y que si le añadiéramos 18 a ese número, los dígitos quedarían invertidos?

Fred, que se encuentra entre el público, responde de inmediato con una fuerte exclamación: – ¡Veinticuatro!

– Correcto Diamond – dice el presentador del concurso.

– ¿Qué es correcto? Yo no he dicho nada.

– Has dicho veinticuatro.

– No. Yo no lo he dicho. Bueno… lo iba a decir, pero…

Al día siguiente Fred se presenta al concurso, respondiendo preguntas como las que siguen: – ¿Cuál es la raíz cúbica de 3796466 – 156– responde Fred.

– Correcto.

– ¿Qué número tiene la siguiente peculiaridad que si añadimos su cubo a 5 veces su cuadrado y del resultado restamos 42 veces el número y luego 40, el resto es 0 –5– responde sin dudar Fred.

– Correcto

Como podemos apreciar las dotes de Fred son las de un calculista avezado, de los que existen en nuestros días unos cuantos, pero no son niños, y que se dedican a mostrar

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sus dotes para sorpresa de un público que no se lo puede creer.. Los calculistas mentales necesitan muchas horas de entrenamiento para alcanzar cierto nivel, y además, en la mayoría de los casos se limitan a realizar operaciones aritméticas o averiguar valores de funciones simples, aunque casi siempre todo lo simplifican en su mente a sumas o restas, algo similar a lo que hace una calculadora. No conozco a ningún calculista que sea capaz de resolver problemas de álgebra como los que se le plantean a Fred, o al menos dar la solución al instante.

Por ejemplo, el primero: Hallar un número que al dividirlo por el producto de sus dígitos dé 3 de cociente y que si le añadiéramos 18 a ese número, los dígitos quedarían invertidos.

Yo tendría que recurrir al álgebra: De entrada el número pedido es de dos cifras ya que las invierte al sumarle 18.

Con lo que sea N= 10x+y. (Cualquier número superior a 99 no invierte sus cifras al sumarle 18. Supongamos que así fuese, es decir 100x+10y+z+18 = 100z+10y+z, esto nos llevaría a la igualdad x-z = -2/11; pero x - z ha de ser un número entero y -2/11 no lo es, lo cual nos lleva a una contradicción. El resultado es extrapolable a un número de más de 3 cifras) 10 x + y Las hipótesis son que = 3 y que 10 x + y + 18 = 10 y + x . Planteándose xy un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, no lineal, pero que se puede resolver 10 x + y = 3 xy por sustitución.   y−x=2 Como y=x+2, resulta en la primera ecuación que 10x+x+2=3x(x+2) que resulta ser una ecuación de segundo grado: 3x2 - 5x - 2 = 0, cuyas soluciones son 2 y -1/3.

Descartamos la solución fraccionaria porque estamos buscando un número entero, por tanto x= 2 e y = 4. El resultado es 24.

Fred da la respuesta de inmediato.

En el segundo problema, al que Fred da solución en décimas de segundo es el siguiente: ¿Qué número tiene la siguiente peculiaridad que si añadimos su cubo a 5 veces su cuadrado y del resultado restamos 42 veces el número y luego 40, el resto es 0.

Se trata de resolver la ecuación con coeficientes enteros x3 + 5x2- 42x-40 =0. Si el número es entero ha de ser divisor de 40. Esta afirmación se demuestra fácilmente, ya que si tenemos una ecuación del tipo an.xn + an-1.xn-1 +…+a1.x + a0 = 0 con coeficientes enteros y suponemos que b es solución no nula (pues a0ǂ0) de dicha ecuación, resulta que an.bn + an-1.bn-1 +…+a1.b = - a0 . Si dividimos ambos miembros de la euación por b, an.bn-1 + an-1.bn-2 +…+a1 = - a0/b. Como el miembro de la izquierda es entero, -a0/b ha de ser entero, con lo cual b es necesariamente un divisor de a0.

Por tanto la solución que estamos buscando se ha de encontrar entre los siguientes números, (suponiendo que es positivo), 1, 2, 4, 8, 5, 10, 20 o 40.

Tate responde 5 sin pestañear.

En efecto, sustituyendo x por 5 o resolviendo por Ruffini en 5, obtenemos que esa es la solución. Por el método de Ruffini que nos permite dividir el polinomio entre x-5, tenemos: 1 5 1

5 5 10

-42 50 8

-40 40 0

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Por el teorema del resto sabemos que el valor numérico del polinomio para x= 5 coincide con el resto de la división de dicho polinomio entre x-5, es decir 0.

Como otra curiosidad, he de manifestar de nuevo que la pregunta no está correctamente planteada, porque el presentador debería especificar que el número que solicita es entero, pues si no es así, existen otras dos soluciones que son − 5 + 17 y − 5 − 17 , que se obtienen al resolver la ecuación de segundo grado, obtenida como cociente en la división realizada por Ruffini anteriormente, x2+10x+8 = 0 En resumen, película interesante para psicólogos u orientadores escolares que han de estudiar las capacidades del alumnado y saber detectar y tratar este tipo de características que los hacen diferentes de los demás.

VIII El mensaje oculto de los números

Se ha escrito mucho sobre la posibilidad de que algunos números contengan algún mensaje oculto. Al igual que los alquimistas, durante siglos, intentaron encontrar la piedra filosofal o la transmutación de los metales en oro, los numerólogos, basándose en no sé que arcana “ciencia”, escudriñaron afanosamente en la mantisa de π o en la de e, para obtener alguna información codificada, la mayoría de las veces de naturaleza mística, ya que el matemático es al astrónomo, como el numerólogo al astrólogo, y , lamentablemente, mucha gente todavía sigue creyendo en la numerología y rigiendo su vida tras leer el horóscopo en los periódicos.

Una situación similar se da en la película “π”, subtitulada Fe en el caos, una producción estadounidense independiente dirigida por Darren Aronofsky en 1998.

Se trata de un delirante film donde se cuentan los denodados esfuerzos que el joven y brillante matemático, de origen judío, Alexandre Cohen realiza (Sean Gullete) para tratar de encontrar un modelo matemático que pueda describir los vaivenes de la Bolsa.

Sus premisas e hipótesis se citan al principio de la película: Reitero mis sospechas: 1) Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza.

2) Todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números.

3) Si se hace un gráfico con los números de un sistema se forman modelos. Estos modelos están por todas partes en la naturaleza. El ciclo de las epidemias, el aumento y

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disminución del número de caribús, el ciclo de las manchas solares, las crecidas del Nilo, ¿Y la Bolsa? una infinidad de números que representa la economía global.

Mi hipótesis: la Bolsa también forma un modelo. Lo tengo delante escondido entre los números, siempre lo ha estado.

Este párrafo se repite dos veces durante la película cuya trama en síntesis es la siguiente: Encerrado a cal y canto en un pequeño apartamento que tiene repleto de aparatos electrónicos que no son otra cosa que los componentes de un ordenador al que llama Euclides, Alexandre trabaja día y noche tratando de encontrar la solución a sus conjeturas. Padece crisis de naturaleza epiléptica y pierde el conocimiento con frecuencia.

Un día obtiene una serie de 216 cifras al mismo tiempo que se le queman las componentes básicas de Euclides.

Una secta de judíos ortodoxos se pone en contacto con él, ya que los números hebreos se representan mediante letras y en La Torá las frases pueden ser convertidas a series numéricas y viceversa.

Es perseguido por los magnates de Wall Street y por la secta; los primeros tratan de aplicar sus descubrimientos a sus negocios bursátiles y los segundos a sus estudios místicos y espirituales, argumentando que la serie numérica de 216 cifras que Alex ha obtenido en sus investigaciones, es el verdadero nombre de Dios. Tal es así, que Alexandre se vuelve paranoico, y entre su creciente paranoia, sus estudios y sus pesadillas cuando se desvanece, acaba rematadamente loco. No nos queda claro si su locura proviene de su mente Rectángulos áureos y espiral logarítmica fatigada o de la visión de Dios, al haber encontrado su verdadero nombre, como cuenta la leyenda.

Entre el poco contenido matemático que se puede extraer de esta película, tenemos la explicación de los rectángulos áureos, así como de la espiral logarítmica que a través de ellos se obtiene, como se observa en la figura.

Cuando Alexandre va a visitar a su viejo profesor, éste, al ver el lamentable estado de deterioro en el que se encuentra el muchacho, le recuerda el conocido problema de Arquímedes, cuando el rey Hieron de Siracusa le pidió que averiguara si el orfebre le escatimaba oro en la elaboración de una corona. Arquímedes le dedicó horas y horas hasta que su esposa le dijo que se tomara un baño. Fue en el baño cuando Arquímedes descubrió la solución al ver que al introducirse en el agua, el volumen del líquido desalojado era igual a su volumen. Al poder calcular su volumen medido en agua, podría, por consiguiente averiguar su densidad, tan solo tenía que dividir su masa entre su volumen calculado como hemos visto. En ese momento salió del baño desnudo gritando la famosa palabra ¡¡Eureka!!, que de todos es sabido, significa “lo he descubierto”. ¿Cómo resolvió Arquímedes el problema de la corona de oro? La introdujo en agua y midió el volumen que desalojaba, que evidentemente coincidía con el volumen de la corona. Pesó la corona y obtuvo su masa. Una vez hecho esto, calculó la densidad de la corona dividiendo la masa entre el volumen y la comparó con la densidad que había obtenido de similar forma con otro objeto de oro puro, comprobando que la densidad de la corona era distinta, por lo que el orfebre engañaba al rey mezclando el oro con otro metal.

Alexandre le pregunta a su profesor si la moraleja de la anécdota es persistir en el problema hasta hallar la solución, a lo que el profesor responde que no. La moraleja del problema de Arquímedes consiste en tomarse un baño. Tiene que descansar. Llegado un momento la persistencia puede derivar en demencia.

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Ante la insistencia obsesiva de Alexandre acerca de la búsqueda de un patrón en la serie numérica descubierta, su profesor le dice: «En el momento que descartas el rigor científico dejas de ser matemático para convertirte en numerólogo»

La película está rodada en un blanco y negro granulado, lo que le confiere una atmósfera muy kafkiana y tenebrosa, con una constante música electrónica de fondo machacona y persistente. Hay pocos diálogos, y los efectos de cámara en movimiento, el mareante zoom y el guión, la convierten, desde mi punto de vista, en una película muy difícil de digerir para alumnos no universitarios, aunque haya tenido muy buenas críticas seguramente porque huye de los patrones fílmicos norteamericanos al uso, resultando ser un tanto innovadora tanto por la realización como por el argumento. Para algunos se ha convertido en una película de culto.

IX Piensa o muere

“Piensa o muere”. Ese es el subtítulo de la película española dirigida y escrita en el año 2007 por Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña, La habitación de Fermat, cuyo sugerente título promete mucho, y de hecho es una de las películas aquí comentadas que más contenido matemático, o más bien de aplicación de la lógica, posee, aunque la película no deja de ser un thriller con buenas dosis de intriga.

Interesante por los problemas y acertijos que se plantean, propios de la llamada Matemática Recreativa, donde interviene más la lógica que los conocimientos matemáticas, ya que todos podríamos, con un poco de ingenio, resolver los problemas propuestos sin necesidad de tener conocimientos matemáticos.

Recordemos que Pierre Fermat fue un jurista francés del siglo XVII, que pasó a la historia por sus trabajos matemáticos como aficionado. Acostumbraba a escribir las soluciones a los problemas en el margen de los libros. Una de las notas que escribió en un ejemplar decía: Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él.

Esta afirmación, llamada conjetura de Fermat, mantuvo en vilo a los matemáticos durante tres siglos hasta que fue demostrada en 1995 por Andrew Willes con

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herramientas matemáticas descubiertas con posterioridad a Fermat. No se sabe si la demostración de Fermat era más sencilla o errónea, pero en cualquier caso tenía razón.

La película comienza con un joven (Alejo Sauras) que explica a unas admiradoras que cualquier número para puede obtenerse como suma de dos números primos, por ejemplo 100 = 83+17 o 1000 = 521+479. Se trata de la llamada conjetura de Goldbach .

(En el año 1742 el matemático Goldbach escribió una carta a su amigo Euler para comentarle su conjetura de que todo número par es suma de dos números primos. Esta conjetura se ha comprobado reiteradamente utilizando poderosas computadoras, pero en la actualidad todavía no ha sido demostrada).

El chico pretende haberla demostrado.

A continuación cuatro personas, supuestamente genios matemáticos, reciben una misteriosa carta que dice lo siguiente: Si es usted capaz de resolver el siguiente acertijo, lo cual no dudo, será invitado a una reunión de fin de semana con las mentes matemáticas más ingeniosas. Atentamente, Fermat.

El acertijo consiste en averiguar el patrón al que obedece la siguiente secuencia numérica: 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1 La respuesta es sencilla hasta cierto punto. Un matemático, por pura deformación profesional, trataría de buscar un término general que los generase, mediante fórmulas a cada cual más complicada porque la serie no es evidente. Pero la solución no está en los números sino que está en sus nombres en castellano, y el orden al que obedecen es simplemente el alfabético: Cinco, cuatro, dos, nueve, ocho, seis, siete, tres, uno.

Como era de esperar logran resolverla cuatro personas: un matemático maduro (Lluis Homar), un joven tecnólogo e inventor (Santi Millán), el chico que afirmó haber demostrado la conjetura de Goldbach y una muchacha (Elena Ballesteros). A cada uno de ellos se le ha asignado el nombre de un famoso matemático: Hilbert2 es el de más edad, el inventor es Pascal3, el muchacho anteriormente mencionado, Galois4 y la joven, Oliva5.

Llegan a un almacén desvencijado y mugriento, pero una de sus puertas interiores da acceso a una habitación perfectamente decorada, con estanterías llenas de libros de matemáticas y un encerado. De pronto se presenta el supuesto anfitrión, Fermat (Federico Luppi), pero éste tiene que dejarlos al recibir una llamada urgente. Cuando Fermat sale de la habitación, la habitación comienza a cerrarse sobre sus paredes impulsada por unas prensas hidráulicas, y sólo se detiene si logran resolver correctamente el problema que mediante un iPod, que Fermat les ha dejado, se les plantea, para, transcurridos algunos minutos, volver a recibir un nuevo acertijo. Al mismo tiempo que tratan de resolver los problemas propuestos, van saliendo a la luz 2

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental – 14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. 3 Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Francia, 1623-París, 1662) Filósofo, físico y matemático francés.

4 Évariste Galois (25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) fue un joven matemático francés nacido en Bourg-la-Reine.

5 Oliva Sabuco de Nantes Barrera (Alcaraz -Albacete, 1562 - 1587) esta mujer se nos muestra tan adelantada a su tiempo que en la mitad del siglo XVI se permite poner en liza los métodos de la medicina en vigor, apoyada en su desafiante reexamen de las características de la naturaleza humana.

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secretos ocultos que tratan de explicar la razón de su presencia en ese “cuarto menguante”.

Estos acertijos son muy populares. Citaré los más significativos con sus soluciones: Antes de entrar en la habitación, los tres son invitados a reunirse en un paraje solitario donde hay un lago que deben atravesar en una barca: El profesor de mayor edad, comenta que ese pequeño viaje le recuerda al acertijo del pastor, el lobo, la oveja y el repollo. Recordémoslo: “Un pastor tiene que pasar un lobo, una oveja y una col a la otra orilla de un río.

Dispone de una barca en la que sólo caben él y otra de las cosas. Si el lobo se queda solo con la oveja se la come, si la oveja se queda sola con la col se la come. ¿Cómo debe proceder el pastor para que todos lleguen indemnes a la otra orilla?”

La solución es la siguiente:

La ilustración no necesita ser explicada y, en la película ni se la plantean al parecerles un acertijo infantil y demasiado obvio.

Ya en el cuarto que se va estrechando, comienzan a ser enviados los problemas con un poco más de entidad: “Un pastelero recibe tres cajas opacas. Una caja contiene caramelos de menta, otra de anís y la tercera una mezcla de ambos. Las cajas tienen etiquetas que ponen caramelos de menta, de anís o mezclados, pero el pastelero recibe el aviso de que todas las cajas están mal etiquetadas. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar el pastelero, como mínimo para verificar el contenido de las cajas?.

Lo importante del problema es fijarse que en el enunciado especifica que “todas las cajas” están mal etiquetadas.

Supongamos que las cajas vienen etiquetadas como aparecen en la figura. Basta con sacar un caramelo de la caja marcada como mezcla (Z), porque ahí no pueden estar los mezclados (sino estaría bien etiquetada). Si el caramelo es de menta, esa es la caja de caramelos menta y si es de anís, es la caja de caramelos de anís. Si es la caja de menta los de anís tienen que estar en la caja etiquetada como “menta” (Y) y los mezclados en la caja etiquetada como “anís” (X). Y si la caja Z es la de anís, los de menta están en la caja etiquetada como “anís” (X) y los mezclados en la caja etiquetada como “menta” (Y).

Como podemos comprobar la solución es mucho más sencilla que el enunciado.

Otro acertijo es el siguiente: “En el interior de una habitación herméticamente cerrada hay una bombilla. Fuera de la habitación hay tres interruptores. Sólo uno de los tres enciende la bombilla. Mientras la puerta

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está cerrada puedes pulsar los interruptores las veces que quieras, pero al abrir la puerta hay que decir cuál de los tres interruptores es el que enciende la bombilla.”

La solución está en la temperatura de la bombilla. Pulsamos durante un buen rato el interruptor verde, luego pulsamos el interruptor azul y entramos de inmediato. Si la bombilla está encendida la solución es el interruptor azul, si está apagada pero caliente la solución es el interruptor verde y si está apagada y fría el interruptor es el rojo.

Siguiente acertijo: ¿Cómo se puede cronometrar un tiempo de nueve minutos utilizando dos relojes de arena: uno de cuatro minutos y otro de siete.

Gráficamente, y en orden cronológico, la situación sería la siguiente, teniendo presente que en cada paso se le da la vuelta al reloj cuando en el precedente se llena en su parte inferior, excepto en el último sólo al de siete. (Para una mejor comprensión hemos dividido los relojes en partes, donde cada parte representa un minuto.

4’

3’

1’

1’

Ponemos los dos relojes a funcionar a la vez: Cuando la arena se acaba en el de cuatro minutos (han pasado 4 minutos), le volvemos a dar la vuelta. Cuando se acaba la arena en el de 7 han transcurrido 3 minutos desde que le dimos la vuelta al de 4 (han transcurrido 7 minutos) volvemos a dar la vuelta al de 7, mientras que el de 4 se acaba en 1 minuto (han pasado 8 minutos), pero el de 7 solo ha cronometrado 1 minuto, le damos la vuelta y cuando quede vacío ya tenemos los 9 minutos.

A estas alturas yo ya estaría aplastado por las cuatro paredes, pero debemos tener en cuenta que en la habitación hay cuatro genios de las matemáticas.

Siguiente problema: Un alumno le pregunta al profesor: –¿Qué edad tienen tus tres hijas?

Y el profesor le contesta: – Si multiplicas sus edades da 36 y si las sumas da el número de tu casa.

– Me falta un dato – protesta el alumno.

– Es cierto, – responde el profesor – La mayor toca el piano. ¿Qué edad tienen las tres hijas?

Este problema es tan clásico que en la película Galois da la solución correcta sin ningún tipo de explicación. Yo lo resuelvo aquí: Sólo sabemos que el producto de sus edades es 36. Como las soluciones han de ser tres números enteros, tenemos las posibles ternas no ordenadas (pues el producto es commutativo) de enteros cuyo producto es 36: (1,1,36), (1,2,18), (1,3,12), (1,4,9), (1,6,6), (2,2,9), (2,3,6), (3,3,4). Si las sumamos, obtenemos, respectivamente, 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, 10.

El alumno sabe cuál es el número de su casa. Como dice faltarle un dato, la terna tiene que ser necesariamente una de las que sumen 13, sino ya tendría la solución, porque las demás sumas son valores únicos. Por tanto nos quedamos con las ternas (1,6,6) y (2,2,9). Al decirle el profesor que la mayor toca el piano le está diciendo que

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mayor hay una exclusivamente por lo que el caso (1,6,6) no es válido, puesto que hay dos mayores de igual edad. El resultado por tanto es (2,2,9) y el número de la casa del alumno es 13.

El último: En la Tierra Falsa, todos los habitantes mienten siempre; en la Tierra Cierta, todos los habitantes dicen la verdad. Un extranjero se encuentra atrapado en una habitación que tiene dos puertas. Una puerta lleva a la libertad y la otra a prisión. Las puertas están custodiadas por un carcelero de la Tierra Falsa y otro de la Tierra Cierta. Para dar a la puerta que lleva a la libertad, el extranjero sólo puede hacer una pregunta a uno de los dos carceleros, pero no sabe cual es el de la Tierra Falsa y el de la Tierra Cierta. ¿Qué pregunta formuló?

Se dirige a cualquiera de los dos carceleros y pregunta: ¿Que me contestaría el otro carcelero si le preguntase cual es la puerta que lleva a la libertad?.

La respuesta siempre lleva a la prisión, por lo que el extranjero sólo ha de salir por la puerta contraria.

En efecto, supongamos que se dirige al que miente, el cual le responderá que la puerta que lleva a la libertad es la que lleva a la prisión, puesto que debe contestar lo contrario a lo que contestaría el que dice la verdad. Por otro lado, si es al carcelero que dice la verdad a quién se dirige, éste le responderá que la puerta que el otro le indique es la que lleva a la prisión, pues sabe que el otro carcelero miente. En ambos casos los dos le darán la misma contestación: la puerta que lleva a prisión.

Película recomendable por sus desafíos lógicos y por la naturaleza intrigante del guión. Cine en estado puro con bastantes clichés de thriller americano.

X La terrorífica trampa matemática

Película independiente canadiense, dirigida por Vincenzo Natali en 1997. Se trata de otro claustrofóbico thriller en clave de terror, donde 5 personas se despiertan, sin saber como han llegado allí, dentro de un extraño habitáculo en forma de cubo, en cuyas caras interiores hay sendas puertas que acceden a otras estancias de la mismas dimensiones, pero algunas de ellas tienen trampas mortales y otras no.

Los personajes allí encerrados son un policía prepotente, egoísta y malévolo, un ingeniero indolente, una médica paranoica, una estudiante timorata y un retrasado mental.

En cada puerta de acceso al siguiente cubículo, hay una terna de números. La estudiante descubre que si alguno de los números es

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primo, la habitación contiene una trampa. Pero al final resulta ser inexacto, ya que salta una trampa en una estancia a la que se accedía mediante tres números no primos. Luego considera las ternas numéricas como coordenadas cartesianas dentro de un sistema de referencia para saber donde están localizados, pero tampoco funciona al obtener unos valores que los sitúan fuera de la estructura, ya que conocen las dimensiones totales de la misma, dado que el ingeniero fue quien diseñó el cubo externo, por lo que pueden averiguar los límites espaciales en los que se encuentran, aunque desconoce todo lo que sucede en su interior y quién lo construyó. Además su interior se mueve, por lo que cualquier punto siempre está en movimiento. Mediante un complicado razonamiento basado en permutaciones de ternas numéricas y un concepto que en la versión subtitulada llaman “potencia de un primo” deducen la posibilidad de salir, pero los cálculos para hallar ese número es imposible sin una calculadora. Investigando no he encontrado ese concepto e intuyo que forma parte del guión como algo ficiticio.

Finalmente, gracias al retrasado mental que es un calculista de orden superior, logran alcanzar la salida, no sin antes producirse una hecatombe personal entre todos los personajes que, llevados a situaciones psicológicas extremas, se comportan irracionalmente, tan solo guiados por su instinto de supervivencia.

Hago un paréntesis para recordar que los deficientes mentales, si bien tiene dañada una parte de su cerebro, es posible que tengan desarrollada otra más de lo normal; algo así como un ciego que ha desarrollado más el tacto y el olfato. Recordemos al autista de Rain Man, protagonizada por Dustin Hoffman y Tom Cruise en 1993, contando las cartas en el Black Jack, o al niño autista de la película Al rojo vivo de 1998 protagonizada por Bruce Willis que logra descifrar un código ultrasecreto en fase experimental por una estamento gubernamental militar.

Continuando con Cube, la sensación de claustrofobia está presente durante toda la película, básicamente utilizando las personalidades de los personajes y siendo las matemáticas un pobre recurso como otro cualquiera para tratar de salir del inexplicable encierro en el que se encuentran.

Una película de culto para los amantes del género de suspense y terror, aunque contiene muy poca matemática, solamente utilizada de un modo muy superfluo, pretendiendo ser ésta la clave para decidir porque puerta han de acceder para alcanzar la libertad, pero en todo momento se desconocen sus constructores y sus intenciones.

Eminentemente es un thriller psicológico donde la calidad de los actores da mucha verosimilitud al drama que se va fraguando poco a poco en su interior, pero el contenido científico es poco creíble y a veces ininteligible. Por otra parte hay escenas de violencia y otras que nos recuerdan el estilo gore que no la hacen recomendable para todo tipo de público.

En definitiva, nos encontramos ante otra película de culto, pionera de una larga serie de películas de terror pero ya carentes de su imaginación. De hecho se han hecho dos secuelas: Cube 2 (2002) y Cube zero (2004), pero no han tenido ni la repercusión ni el éxito de la primera.

Incluso hasta bien podría llegar a ser la inspiradora de la película española, La habitación de Fermat, ya analizada en el presente trabajo, que más o menos sigue una pauta que nos la recuerda: El encierro en un habitáculo lleno de peligros del qué hay que salir utilizando el ingenio..

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XI ¿Maravilla o aberración topológica?

Moëbius es una inquietante película de género fantástico, dirigida por Gustavo Mosquera R. y alumnos de la Universidad de Cine de Buenos Aires en 1996, por lo que se trata de una cinta experimental y de bajo presupuesto, pero está muy bien realizada.

La película transcurre en el complejo entramado de los túneles del metro de Buenos Aires, dónde comienzan a suceder fenómenos extraños tales como la desaparición de un tren, pese a que se le escucha circular, pero nadie es capaz de verlo, como si estuviera circulando en otra dimensión.

Para saber que sucede, llaman a un responsable de la empresa constructora del último tramo, que se trata del topólogo Raúl Prats (Guillermo Angelelli). ¿Qué es la topología? En síntesis es una rama de las matemáticas superiores, en particular podría decirse que es una especie de geometría cuyo objeto de estudio son las superficies y sus propiedades, pero no desde el punto de vista euclideano, tal y como estamos acostumbrados a estudiarlas, sino que analiza otro tipo de propiedades como conectividad, compacidad, textura, agujeros, etcétera.

El matemático consigue los planos del último ramal de vías construído que fueron sustraídos por un viejo catedrático de topología que abandonó la Universidad obsesionado por el problema que los mapas del metro le deparaban, pero que nunca llegó a sacar a la luz.

Cuando Raúl va a la Universidad a preguntar por el catedrático, una profesora está impartiendo una clase de Topología a un reducido número de alumnos, y su comentario final es el siguiente: En otras ramas de la Ciencia si por ejemplo un astrónomo presenta una teoría aceptable para el hombre de la calle, seguramente estaría equivocado. Pero si alguien dijera, por ejemplo, que en ciertas regiones el tiempo se paraliza, por lo menos habría que escucharlo.

Puede que tenga razón. La Ciencia y la Filosofía aún son un poco descabelladas, señores.

En casa del profesor encuentra los planos de los últimos túneles abiertos, a los que se les denomina “el perimetral”.

Cuando los investigadores le preguntan la explicación de lo sucedido, éste responde: – El sistema en una red de una asombrosa complejidad topológica. Ya lo era desde las últimas ampliaciones, pero el perimetral la hizo algo absolutamente singular. Todavía no lo comprendo del todo, pero creo que el nuevo ramal ha llevado al sistema a un orden tal alto que no sé como calcularlo. Supongo que ha llegado a ser infinito. De ser así, señores, se podría decir que el sistema se comporta como una cinta de Moëbius.

Les muestra una cinta de Moëbius y les explica: –Esto es una cinta de una sola cara por la que podríamos circular permanentemente, sin fin, pero esto trasladado a una red subterránea debe tener un número infinito de

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particularidades. ¿Pueden imaginarse cuáles serían las propiedades de una red como ésta?

Ni yo puedo. A decir verdad, la estructura de todo el sistema con el perimetral está más allá de mi alcance. No puedo hacer más que meras suposiciones.

Por supuesto, nadie le cree, y los responsables del metro, decepcionados al no encontrar una solución más racional, le dicen que su presencia ya no es necesaria.

Finalmente realizando unos cálculos logra introducirse en el tren desaparecido abriendo una puerta interdimensional y observa sorprendido que es el viejo profesor quién lo conduce, entablándose el siguiente, filosófico y aleccionador diálogo de como la incomprensión e ignorancia puede formar parte de la naturaleza del hombre; sin duda lo más interesante de la película, aparte de sentir curiosidad por lo que es una cinta de Moëbius y la Topología: –Inventó una máquina perfecta – dice Prats al viejo profesor.

–No blasfemes, hijo. El hombre ha inventado numerosas máquinas, pero olvida que él mismo es una máquina más complicada que todo lo que ha inventado.

– Ahora no habrá límites.

– Nunca los hubo. El hombre no conoce ni sus límites, ni sus posibilidades, ni siquiera conoce hasta que punto no se conoce. Pero claro... estamos tan ocupados en buscar valores externos que no nos damos cuenta de lo que realmente importa.

– Pero esto es importante. Bastaría con decirlo para que todo cambie.

– Usted lo explicó perfectamente. ¿Acaso alguien le creyó?

– No. Pero a usted le creerían.

–No. Yo hubiera dicho las mismas palabras que usted, hubiera dicho la misma verdad. Lo que pasa es que vivimos en un mundo dónde nadie escucha, mi querido Prats.

El profesor pregunta: –¿A qué le teme, Prats?

–Al vértigo.

–Es normal. Nadie puede enfrentarse al infinito sin sentir vértigo. Nadie puede experimentarlos sin sentir un desconcierto profundo, si nos estamos moviendo a la velocidad del pensamiento. ¿Cómo se podría estar encantado con esta vida, privada de atractivos, ingenuidad y de espontaneidad, ¿cómo no habría de preferir quedarme aquí en las sombras, si ahí afuera hay un mar de sorderas que nos está haciendo ser irremediablemente desgraciados?

–No puede ser que esto se pierda.

–Ni los hombres ni el tiempo desaparecen sin dejar huellas. Quedan fijadas en nuestras almas.

Y el tren continúa con su vertiginosa velocidad, quedando el espectador convencido, si se me permite la broma, de que la destreza que tienen los argentinos para el análisis psicológico no es un tópico.

Ya en el terreno científico, he de decir que la cinta de Möebius es una superficie muy particular por sus propiedades, entre las que está poseer una sola cara. Si se colorea la superficie de una cinta de Möebius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior. Tiene un solo borde, lo que se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, observando que se alcanza el punto de partido habiendo recorrido “ambos bordes”, por tanto sólo tiene uno. Es una superficie no orientable, es decir que si una persona se desliza “tumbada” sobre una banda de Moëbius, mirando hacia la derecha, al dar la vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

Estas y otras propiedades que aquí no citaremos por su extensión, la convierten en una figura geométrica objeto de múltiples estudios y por ende excepcional. Hay quién la considera una aberración geométrica, mientras otros sustentan que es una figura maravillosa y desconcertante.

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XII Un precio muy caro

La película A beautiful Mind (Una mente maravillosa), está basada en la vida del matemático John Forbes Nash Jr., Premio Nobel de Economía en 1994, interpretada por el actor Russell Crowe. En el años 2001, fecha de su estreno, recibió cuatro Oscars de la Academia de Holywood a la mejor película, director, actriz de reparto (Jennifer Connelly) y guión adaptado.

Este hombre pagó muy cara su capacidad intelectual al caer en una grave esquizofrenia, con síntomas paranoides con la que logró convivir durante toda su vida con la ayuda de su esposa (Jennifer Connelli).

Sus ideas delirantes consistían en imaginar que trabajar para el servicio secreto norteamericano en plena guerra fría descifrando códigos ocultos de los rusos en publicaciones de la época, cuyo jefe era un imaginario y siniestro personaje (Ed Harris).

En un alarde de fuerza de voluntad sin par, ignoró toda su vida las visiones que tenía, de las que nunca se curó.

Se trata, pues, de una película eminentemente biográfica en la que el protagonista es el hombre, dándose la circunstancia de que este hombre se mueve en un mundo interior regido por la lógica y la matemática.

Trabajó en varias ramas de las matemáticas pero le fue concedido el Premio Nobel por las aplicaciones que en Economía tenían sus teorías.

En la película no se nos muestra en ningún momento, de forma explícita, ningún resultado o explicación de índole matemática, si bien se dejan traslucir algunas frases aisladas tales como hipótesis de Riemann, teoría de Galois, etc., expresiones que a todos los matemáticos nos resultan familiares, pero poco más.

No he investigado cuál fue su discurso durante la entrega del Premio Nobel, pero en la película su corta intervención está dedicada a su abnegada esposa que, en los peores momentos de su enfermedad, siempre estuvo a su lado: Siempre he creído en los números, en las ecuaciones y en la lógica que llevan a la razón, pero después de una vida de búsqueda, me digo: ¿Qué es la lógica? ¿quién decide la razón?

He buscado, a través de los físico, lo metafísico, lo delirante...y vuelta a empezar. Y he hecho el descubrimiento más importante de mi carrera, el más importante de mi vida: sólo en las misteriosas ecuaciones del amor puede encontrarse alguna lógica. Estoy aquí esta noche gracias a ti (dirigiéndose a su esposa asistente entre el público). Tú eres mi única razón de ser, eres todas mis razones...Gracias.

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XIII Series lógicas

El profesor Sheldon (John Hurt), un famoso matemático de Oxford, especializado en series lógicas, se encuentra pronunciando una conferencia ante su atril: ¿Podemos conocer la verdad? Todos los grandes pensadores de la historia han buscado una sola certeza, algo que nadie pudiera negar, como dos y dos son cuatro. Para encontrar esa verdad Wittgenstein6 usó la lógica matemática. ¿Que mejor medio para obtener una certeza que un lenguaje inmutable libre de las pasiones de los hombres. Avanzó lentamente añadiendo ecuación tras ecuación con un método implacable hasta llegar a una aterradora conclusión: No existe ninguna verdad fuera del mundo de las matemáticas. No hay forma de encontrar ni una sola certeza absoluta, ningún argumento irrebatible que nos permita a dar respuesta a las preguntas de la humanidad. La filosofía, por lo tanto, ha muerto, porque de lo que no se puede hablar, mucho mejor es callarse.

Así comienza la película Los crímenes de Oxford, película española, aunque interpretada por actores extranjeros, dirigida por Alex de la Iglesia en 2008, donde se producen una serie de crímenes que tienen por decorado el ambiente universitario de Oxford. A esta bonita ciudad, llega Martin (Elijah Wood), un estudiante de matemáticas norteamericano que pretende que su tesis la dirija su admirado profesor Sheldon, que inicialmente resulta de entrada un personaje inasequible. Pero la sucesión de crímenes va estableciendo una amistosa relación entre ambos personajes para tratar de resolver la identidad del asesino a partir de los símbolos que éste les va enviando. El primero de la serie es un círculo, el segundo el pez... y así sucesivamente hasta que ellos deben adelantarse al asesino para averiguar cual es el siguiente signo de la serie, que patrón sigue.

Finalmente descubren que es la serie de los Pitagóricos:

que simbolizan respectivamente La Unidad (lo divino, origen de todas las cosas), La Díada (Pareja masculino-femenino, el dualismo interno de todos los seres). La 6

Ludwig Josef Johann Wittgenstein (Viena, , 26 de abril de 1889 — Cambridge, , 29 de abril de 1951) fue un filósofo y lingüista austriaco, posteriormente nacionalizado británico. En vida publicó solamente un libro: el Tractatus logico-philosophicus. Fue discípulo de Bertrand Russell en el Trinity College de Cambridge, donde más tarde también él llegó a ser profesor.

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Triada (Los tres niveles del mundo, el celeste, el terrestre y el infernal) y por último el Tetraktis, (El conjunto de puntos constituye la Década, la totalidad de Universo: 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10).

Resolviendo el enigma se intentará dar un sentido a toda la trama de la película, que resulta demasiado artificial desde mi punto de vista.

Como nos interesa la parte divulgativa, relativa a las matemáticas, he de comentar que en la película se alude a Alan Turing, las máquina “Enigma” utilizada en la II Guerra Mundial para desencriptar los mensajes cifrados alemanes, la serie de Fibonacci, la secta de los Pitagóricos, etc.

En una de las escenas, el profesor Sheldon plantea un enigma, al que llama la “serie de los idiotas”, por su relativa sencillez según su opinión. La pregunta es: ¿Cuál es el símbolo que sigue a estos tres?

La solución puede ser tan obvia como complicada, según la óptica y/o destreza que se tenga en estos juegos de lógica. A veces un niño ve la solución en segundos y un matemático puede estar todo un día sin revolverlo. En cualquier caso, como siempre, al conocer la solución nos parece un problema muy sencillo. La cuarta figura de esta serie se encuentra al final del presente trabajo por si algún lector quiere intentar deducirla.

XIV La conciliación de dos teorías

Dejando a un lado las matemáticas y enfocando el presente estudio hacia la Ciencia en general, no puedo dejar de mencionar la extraordinaria película que enfrenta a las dos teorías que más controversias han suscitado, y todavía siguen latentes en algunos ámbitos desde que Darwin escribió su célebre libro La Evolución de las especies, que tanta ampolla levantó en todo el mundo, entre los creyentes más fervientes, que al no leerlo ni comprenderlo, lo resumían todo a un único y escandaloso postulado: “El hombre descendía del mono”, contradiciendo la creencia tan arraigada a lo largo de los tiempos de que el hombre es un ser creado a imagen y semejanza de Dios, como revela El libro del Génesis en el Antiguo Testamento.

Para los fanáticos religiosos La evolución de las especies era obra de un loco, un pagano, un hereje, mientras que la Biblia era la palabra de Dios revelada a los hombres, por tanto nada había que discutir ya que la comparación prácticamente resultaba sacrílega.

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El debate entre creacionistas y evolucionistas parece hoy en día perdido para los primeros, debido sobre todo a lo que en los últimos siglos la Ciencia y la Tecnología nos han aportado. La Iglesia Católica ha reivindicado las teorías de Darwin como compatibles con el relato de la Creación y, un poco a regañadientes, ha pedido perdón y reconocido su error por la excomunión de Galileo, tratándose de adaptarse a los tiempos modernos y conservar en su seno a los creyentes en Dios y en la Ciencia que a la sazón son muchos. Pero no hace muchos años el debate era tan estéril como apasionante, debido a los argumentos de unos y otros, e imposible cambiar de bando ante la firmeza de las convicciones: la fe y la razón enfrentadas en el campo de batalla de la intolerancia y la debilidad humana.

En el año 1925, el Estado de Tennessee aprobó una ley que prohibía enseñar en las escuelas públicas cualquier teoría que estuviese en contra de la creación de la vida tal como aparece en la Biblia. J. T. Scopes, un profesor de instituto, decide ir contra la nueva ley provocando un escándalo en la opinión pública.

J. T. Scopes es acusado por un grupo de “ciudadanos concienciados” de enseñar evolucionismo en sus aulas y por tanto de transgredir dicha ley, lo que lo lleva a los tribunales donde el proceso es muy seguido por los medios de comunicación.

Hasta aquí los hechos reales.

En el año 1960, Stanley Kramer dirigió la película Inherit the Wind, titulada en español La herencia del viento y que lleva al celuloide el proceso al que fue sometido el profesor J.T. Scopes (en la película llamado Bertrand Kates e interpretado por Dick York), con una magistral actuación como abogado de la defensa de Henry Drummond (Spencer Tracy) y del fiscal procreacionista y ultraconservador Matthew Harrison Brady (Fredric March) Toda la película se desarrolla prácticamente en el interior de la sala del juzgado, donde se esgrimen argumentos a favor o en contra de una u otra teoría. De hecho está basada en una obra teatral y los exteriores son pocos o irrelevantes.

Siempre fui de la opinión que el título sugiere la esterilidad del debate. ¿Qué esperamos heredar del viento? Nada, aunque la película de algún modo, pretende conseguirlo en parte.

Debo poner de manifiesto que la película, desde el primer momento, es parcial, abogando claramente por los evolucionistas, ridiculizando en varias escenas la figura del Harrison Brady, mostrándolo como un retrógrado, fanático e intolerante y a veces dándole el aspecto de un hombrecillo con actitudes seniles.

Lo que nos dará una clara idea de por donde discurre la película, son las siguientes intervenciones: El fiscal Brady, tras interrogar a un alumno de Kates, afirma: “Es evidente que los miembros del jurado han percibido en este muchacho que sufre un trágico confusionismo. Se le ha dicho que ha evolucionado de un animal envuelto en vil fango y sucio cieno. Estos detractores de la Biblia, estos evolucionistas son transmisores de veneno, y la legislatura de este Estado soberano ha tenido la sabiduría de obligar que los productos venenosos, embotellados o en libros, indiquen en sus etiquetas el producto que intentan vender. Sostengo que si esta ley no se respeta, este muchacho formará parte de los que han perdido la fe gracias a la enseñanza atea, pero si el rigor de la ley no se aplica en el caso de Bertran Kates, los creyentes del mundo entero que están pendientes de nosotros y escuchan nuestras palabras, gritarán juntos: “Bendito sea el tribunal”.

El abogado intenta llamar al estrado a científicos reputados en campos tales como la Geología, la Zoología, la Paleontología, etc., pero ante la protesta del fiscal, tildándolos de científicos agnósticos, el juez no permite sus testimonios por irrelevantes en el caso. Ante tal flagrante injusticia el abogado explota en un arranque de ira y manifiesta:

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Creo que a mi cliente ya lo han declarado culpable. Si cogen una ley como la de la evolución y consideran un crimen que se enseñe en las escuelas públicas, luego lo será en las privadas y mañana leer sobre ella y después prohibir periódicos y libros, y luego enfrentar católicos contra protestantes e intentar introducir su doctrina en todas las mentes.

Si son capaces de una cosa son capaces de otra y el fanatismo y la ignorancia desarrollan mucha actividad y necesita alimentarse. Y muy pronto, ondeando banderas y al son de tambores, todos iremos marcha atrás retrocediendo a las gloriosas épocas del siglo XVI cuando los fanáticos quemaban a los que se atrevían a aportar luz y conocimiento a la mente humana.

Ante la negativa del juez de permitir el testimonio de los científicos, y utilizar el libro de Darwin, el abogado solicita hacer uso de la Biblia para aportar datos de vital importancia para la defensa de su cliente, haciendo comparecer al estrado al propio fiscal que, sorprendido en un principio ante lo insólito de su llamada como testigo de la defensa, se aviene a ello, ya que considera que si los argumentos se basan en las Sagradas Escrituras no habrá nada que perder.

Pese a su extensión, considero de gran interés para este trabajo transcribir el interrogatorio: – Dígame señor, ¿tengo razón al afirmar que es usted una auténtica autoridad en el conocimiento de la Biblia?– le pregunta el abogado Drumont.

– No creo que sea vanagloria reconocer que he estudiado la Biblia como cualquier otro seglar y he tratado de vivir según sus preceptos. – responde con autosuficiencia Harry Drumont.

–Magnífico. Supongo que puede citarme de memoria versículos y capítulos del Génesis.

– Hay muchas partes de la Sagrada Biblia que retengo en la memoria.

– Supongo que no dirá lo mismo respecto a este otro libro (mostrándole el volumen El Origen de las Especies).

– No me interesa saber las hipótesis paganas de ese libro.

– ¿No lo ha leído?

– ¡Nunca lo leeré!

– Entonces, ¿cómo es posible que haya declarado usted una Guerra Santa contra algo que desconoce en absoluto? ¿Cómo puede estar tan seguro de que la base del conocimiento científico sistematizado en los escritos de Charles Darwin es absolutamente irreconciliable con el espíritu del Libro del Génesis?

El abogado continúa con la Biblia en la mano: – ¿Cree usted que todo lo escrito en este libro debe interpretarse literalmente?

–Lo que viene en la Biblia debe ser aceptado como viene expresado.

–¿Qué me dice de esta parte de aquí dónde habla de que Jonás fue tragado por una ballena?

–La Biblia no dice una ballena, dice un pez grande…(risas del fiscal) –De hecho lo que dice es “un enorme pez”…– responde el abogado sonriendo– bueno supongo que esa diferencia no tiene importancia. ¿Y que cree usted de ese relato?

– Creo en un Dios que puede crear una ballena y puede crear un hombre y hacer de ellos lo que le plazca.

–Ahora me gustaría detenerme en la historia de Josué. Josué cuando obligó al sol a detenerse. ¿Cómo experto qué me dice usted? Un buen truco, ¿no?

– Yo no cuestiono ni me río de los milagros del Señor, como lo hacen los que no tienen fe.

–¿Pero ha pensado seriamente lo que le sucedería a la Tierra si el sol permaneciera inmóvil?

– Usted podría contestar si yo lo llamara al estrado (risas del fiscal) – Si dicen que el sol permanecía inmóvil, tenían cierta idea de que el sol giraba alrededor de la tierra…¿lo cree así? ¿ o no cree que es la tierra la que gira alrededor del sol?

– Yo tengo fe en la Biblia.

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– Y no la tiene en el sistema solar.

– El sol se detuvo.

– Bien, dígame… Si Josué detuvo el sol en realidad, la tierra dejó de girar sobre su eje, los continentes chocaron unos con otros, las montañas volaron en el espacio, la tierra se convirtió en ceniza y se estrelló contra el sol. ¿Cómo no se mencionan estos pequeños detalles?

– Nunca se produjeron.

– Pero tuvieron que producirse siguiendo la ley de la naturaleza, ¿o es que tampoco cree en la ley natural, Sr. Brady? ¿Barrería también a Copérnico de las escuelas junto a Charles Darwin, anularía esa ley después de todos los adelantos científicos revelados desde Josué?

–La ley natural salió de la mente de nuestro Padre en los cielos. Puede anularla, utilizarla y cambiarla como quiera. A menudo me sorprende que ustedes, los apóstoles de la Ciencia, se nieguen a comprender una cosa tan simple.

– Bien, escuche con atención. Dice en el Génesis del 4 al 16: “Y Caín se alejó de las tierras del Señor y habitó en las tierra de Lot al Este del Edén. Y Caín conoció a su mujer. ¿De dónde diablos salió?

–¿Quién?

–La señora Caín. La mujer de Caín. Si al principio solo existían Caín y Abel, Adan y Eva, ¿de dónde salieron las otras mujeres? ¿Se ha parado a pensarlo?

– No señor, dejo que se ocupen de averiguarlo los agnósticos (risas del fiscal) – ¿Nunca se lo ha planteado?

– No. La Biblia me convence y me basta.

– Me espanta pensar a dónde llegarían los conocimientos humanos si todos tuvieran una falta de curiosidad como la suya. En este libro habla de muchos engendros: “Y Afrasat engendró a Sheila y esta a otro y este a otro…” ¿Fueron importantes estos engendros?

– Fueron los antepasados de los hombres y mujeres de la Biblia.

–¿Y cómo producían esos engendros?

– ¿A qué se refiere?

– Me refiero a si utilizaban el mismo sistema que utilizamos hoy.

– El proceso es el mismo. No creo que en esa materia se haya mejorado mucho (risas del fiscal) – En otras palabras, toda esa gente engendraba y venía al mundo siguiendo una ley biológica normal, lo que llamamos sexo. ¿Qué opina del sexo, coronel Brady?

–¿Con qué espíritu me formula esta pregunta?

– ¿Cómo valora la Biblia el sexo?

– Se considera como el pecado original.

–¿Y todas esas personas fueron engendradas a través de un pecado original? ¿Todos esos pecados les hicieron menos santos?

– ¿Es posible que exista algo sagrado para los reconocidos agnósticos?

– Sí. La inteligencia del individuo. En una mente infantil que es capaz de aprender la tabla de multiplicar hay más santidad que todos sus gritos (dirigiéndose al público) de amén, bendito sea y Hossana. Una idea es un monumento muy superior a una catedral. Y los progresos en el conocimiento del hombre es un milagro mayor que el de convertir a los diablos en serpientes y separar las aguas. Pero, veamos, ¿hemos de renunciar a todo progreso porque el Sr. Brady nos atemoriza con una fábula?

El abogado se dirige al jurado: –Caballeros, el progreso nunca ha sido una ganga. Hay que pagar por él. A veces me imagino a un hombre sentado detrás de un mostrador diciendo. “ De acuerdo, le concedo a usted el teléfono, pero perderá su intimidad y el encanto de la distancia “. “Señora, podrá usted votar, pero pagando por ello; perderá usted el derecho a ocultarse detrás de una polvera o de un abanico. “Señor, puede usted conquistar el espacio, pero los pájaros perderán su misterio y las nubes olerán a gasolina”. Darwin nos colocó en la cima de una montaña y nos hizo mirar atrás para que viésemos de donde proveníamos, pero para ellos, para llegar a ese conocimiento, tenemos que perder nuestra fe en la melodiosa poesía del Génesis.

– No podemos abandonar la fe. La fe es lo más importante.

– Entonces ¿por qué nos dio Dios el poder de pensar? ¿Por qué negarle al hombre una facultad que nos sitúa por encima de todas las demás criaturas de la tierra? El poder de su mente para razonar. ¿Qué otro merito tenemos? El elefante es más grande, el caballo más veloz y mucho más fuerte, la mariposa mucho más bonita, el mosquito más prolífero e incluso la humilde esponja mucho más duradera…¿o es que la esponja piensa?

– No lo sé. Soy un hombre, no una esponja – responde el fiscal irritado. (Risas del público)

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– ¿Cree usted que una esponja piensa?

– Si Dios quiere darle pensamiento a una esponja, pensará.

–¿Cree que es justo que a un hombre se le concedan los mismos privilegios que a una esponja?

– Por supuesto.

–(Dirigiéndose al acusado) Este hombre quiere que se le concedan los mismos privilegios que a una esponja. Quiere que se le permita pensar (aplausos de parte del público) –Su cliente está equivocado, extraviado, no sabe por dónde anda.

– Es triste que no todos tengamos su seguridad sobre lo que es correcto y equivocado, Sr. Brady.

El abogado extrae una piedra de su cartera y la presenta al fiscal: –¿Cuántos años cree que tiene esta piedra?

–Me interesa más la Edad de piedra que la edad de las piedras (risas del fiscal) – El Dr. Page del Overling College me ha dicho que tiene por lo menos diez millones de años.

– Bueno, bueno…Coronel Dromon, por fin ha podido introducir un pequeño testimonio científico.

–Escuche Sr. Brady – dice el abogado mostrándole la piedra – estos son fósiles de una criatura marina encontrada aquí en este Estado, que vivió hace millones de años, cuando todas estas montañas se hallaban bajo las aguas.

– Ya lo sé. La Biblia habla ampliamente de las mareas, pero el profesor está confundido con las fechas. Esa piedra no tiene más de 6000 años.

–¿Cómo lo sabe?

– Un profesor de la Biblia, el obispo Hosser, ha determinado con exactitud la fecha y hora de la Creación: Fue en el año 4004 antes de Cristo.

– Bueno… eso en opinión del obispo Hosser.

– No. Es un hecho comprobado al que llegó el señor obispo después de minuciosos estudios sobre la edad de los profetas según consta en el Antiguo Testamento. Concretando, el Señor inició la Obra de la Creación el 23 de octubre del año 4004 antes de Cristo, a las 9 de la mañana.

– ¿En hora oficial del Este o en hora de las montañas rocosas? Porque ¿no estará medido en hora solar verdad?, porque el Señor no creo el sol hasta el cuarto día.

– Exactamente – ¿Y ese primer día cuantas horas tendría? ¿Veinticuatro horas?

–La Biblia habla de un día.

– Bueno, no existía el sol, ¿cómo podemos saber cuanto duraba ese día?

–La Biblia dice un día.

–Y se refiere a un día normal, a un día de veinticuatro horas.

– No lo sé.

–¿Y usted qué piensa?

–No pienso sobre cosas que no me preocupan.

– ¿Nunca piensa sobre las cosas que no le preocupan? ¿No es posible que pudiesen haber sido 25 horas? No había nada para poder medirlo es imposible saberlo. ¿Podía el día tener 25 horas?

– Es posible.

– Entonces, usted interpreta que el primer día, tal como consta en el Génesis, pudo tener duración in… de… ter… mi… na… da.

– Lo único que digo es que no es necesario que el día constara de 24 horas.

– Podrían ser 30 horas, podía haber sido una semana, o pudo ser un mes, o pudo ser un año, pudieron ser cientos de años o pudieron ser millones de años. (el ayudante del fiscal protesta, exigiendo saber que intenta demostrar el abogado con su interrogatorio) El fiscal, todavía en el estrado responde: –Yo les diré lo que intenta. Intenta destruir la fe que tenemos en la Biblia y en Dios.

– Eso no es cierto y usted lo sabe…La Biblia es un libro, y un buen libro, pero no el único libro.

– Es la palabra revelada de Dios Todopoderoso transmitida a los hombres que la escribieron.

– ¿Cómo sabe usted que Dios no le habló a Charles Darwin?

– Lo sé porque Dios me dice que me oponga a las enseñanzas de ese hombre.

– ¿Dios habla con usted?

– Sí.

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– ¿Le dice lo que es bueno o malo?

– Sí.

– Y usted actúa de acuerdo con ello?

– Sí.

– De modo que usted, Mathew Harrison Brady, cuando habla, cuando legisla, cuando lo que sea, no es más que un simple transmisor de las órdenes de Dios al resto del mundo…

Vaya (dirigiéndose al jurado) les presento al profeta de Nebraska, caballeros.

–Yo no, yo no…– intenta protestar Brady.

– ¿Es así, verdad? Dios le dice a Brady lo que es bueno, y estar en contra de Brady es estar en contra de Dios.

– No. Cada hombre es un ser libre.

– ¿Entonces ¿qué hace Bert Keats en la cárcel de Hilsborouh? Supongamos que el Sr. Keats tuviera el poder y la fuerza suficientes para presentar una ley en nuestra legislatura que dijera que sólo Darwin debiera enseñarse en las escuelas.

– Ridículo, ridículo. Sólo existe una verdad en el mundo.

– ¿El Evangelio, verdad? El Evangelio según Brady. Dios le habla a Brady y Brady lo repite al mundo. Brady, Brady, Brady todopoderoso.

– El Señor es mi fuerza.

– Suponga que una persona de menor categoría, suponga que un Keats o un Darwin tuviera la audacia de pensar que Dios le habla. ¿Seguiría siendo sagrado lo que le dice a Brady? ¿Tiene que ir a la cárcel una persona porque discrepa del autoproclamado profeta?

Desechen el Pentateuco, escurrámonos lentamente entre los Números y el Deuteronomio…

El testigo puede retirarse.

El fiscal Brady, en un intento desesperado de defender sus argumentos, se levanta del estrado y comienza a enumerar todos los libros de la Biblia en los que cree. El juez suspende la sesión ante un significativo silencio del público que ve como Brady pierde los papeles en su excitación.

Al día siguiente el veredicto del jurado es unánime: Bertrand Kates es declarado culpable, pero el juez le impone una multa de 100 dólares. El fiscal se indigna ante tan ridícula condena y el abogado manifiesta que no piensa pagar un solo dólar ya que recurrirá ante el Tribunal Supremo, dándose por acabado el juicio. El fiscal Brady, muere de un infarto mientras trata de dar un vehemente y excéntrico discurso que a nadie interesa.

El final de la película es muy significativo.

Cuando el abogado de la defensa se queda solo en la sala, toma el libro de Darwin de su mesa y la Biblia, los sopesa y con una sonrisa de condescendencia guarda los dos bajo el brazo y se va. Escena que trata de poner de manifiesto la reconciliación de dos teorías durante muchos años enfrentadas.

Película excelente, si bien hay que reprocharle una excesiva parcialidad desde el principio hacia las tesis de la Ciencia, dando poco crédito a los argumentos de los contrincantes creacionistas que salen con la ventaja del apoyo popular de una población de fanáticos religiosos, si bien nos muestra a un abogado tolerante y ... creyente.

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XV La navaja de Ockham. ¿Dios o Ciencia?

Einstein dijo en una ocasión “Dios no juega a los dados” para dejar constancia de su creencia en la existencia de un Orden Universal creado por un Ente inteligente y que nada está en manos del azar. Galileo afirmó que “las matemáticas son el lenguaje con el que Dios creó el Universo”. Newton era un ferviente creyente y seguidor a pies juntillas de las enseñanzas de la Biblia, hasta el extremo que sus excéntricos estudios de Las Escrituras, con los que pretendió haber descubierto el día exacto de la creación, quedaron eclipsados por sus descubrimientos científicos.

Estos tres científicos de renombre universal creían en Dios, lo que de algún modo nos puede inducir a creer que la Ciencia y la Religión pueden ser dos facetas compatibles, sobre todo a los que tenemos fe; la Ciencia regida por la mente, la Religión, según los creyentes, por el alma. Pero en otras ocasiones, y para otras personas, sobre todo para los empiristas, por falta de pruebas, parecen ser irreconciliables.

En Contact, película norteamericana dirigida por Robert Zemeckis en 1997, y basada en la novela homónima del conocido divulgador científico Carl Sagan, nos narra las vicisitudes de la astrofísica Eleanor Arroway (Jodie Foster), cuya fe en Dios se ve cuestionada desde que murieron sus padres siendo ella niña, y su relación amorosa con el teólogo Palmer Joss (Matthew McConaughey). Al igual que En la Herencia del viento, otra vez se nos presentan Ciencia y Religión de la mano, simbolizadas mediante ese romance, tratando de conciliar posturas, a priori muy difíciles de compatibilizar.

La doctora Eleanor Arroway trabaja en el proyecto SETI, acrónimo de Search for ExtraTerrestrial Intelligence, o búsqueda de inteligencia extraterrestre (En los años 80 fue un ambicioso proyecto de la NASA que perdió la financiación al no obtener resultados positivos). Eleanor consigue descifrar unas señales de radio enviadas desde la estrella Vega, en la constelación de Lira, que constituyen un manual para construir una máquina destinada a transportar a un ser humano al espacio. Tras la primera conmoción que se produce en todo el mundo, se decide realizar la nave según las instrucciones recibidas.

El problema reside en que la máquina esta diseñada para un solo tripulante.

En una entrevista para la televisión, el presentador pregunta: –¿Con qué criterio se elige a una persona para que represente a la humanidad?

– Debería ser una persona que dominara el lenguaje en el que se emitió la comunicación, el de la Ciencia en este caso – responde la doctora Arroway.

– Un Premio Nobel dijo textualmente que esta empresa era muy peligrosa. ¿Asumiría usted el riesgo de hacer peligrar su vida?

– Bueno, me veo obligada a creer que una civilización tan avanzada sabe lo que hace.

Sólo exige de nosotros un poco de…

– ¿Fe? – interrumpe el presentador.

– Iba a decir espíritu emprendedor.

Aquí comienza el primer velado enfrentamiento entre Ciencia y Religión.

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Reproduzco el final de la entrevista realizada a la doctora Arroway para tratar de averiguar si es una candidata apropiada, entre otros, por parte del Comité de selección, del cual el teólogo Joss forma parte. De entrada, la doctora es la candidata con más probabilidades de ser elegida.

Un miembro del comité pregunta: – Creo hablar en lugar de todos al agradecerle su paciencia, pero tengo una pregunta, una última pregunta que hacerle doctora Arroway. Si se encontrara con seres de Vega y sólo pudiera hacerles una pregunta, ¿qué pregunta haría?

– Supongo que les preguntaría como lo han hecho. Como han evolucionado a esa adolescencia tecnológica sin autodestruirse. Esa pregunta y no otra me gustaría personalmente que me contestaran.

La presidente del Comité va a cerrar el turno de intervenciones, cuando el teólogo Joss la interrumpe para decir: – Señora Presidenta, quiero hacer una pregunta.

– Adelante Sr. Joss – contesta la Presidenta.

El pastor Joss, midiendo sus palabras, pregunta: – Doctora Arroway, ¿se considera usted una persona… espiritual?

– No entiendo a que viene esa pregunta. Me considero una persona moral. – responde ella un tanto confusa.

– ¿Cree usted en Dios?

Eleanor mira sorprendida a Joss y se mantiene en silencio durante unos segundos, hasta que Joss insiste.

– Como científica me atengo a las pruebas empíricas, y en este caso no veo que haya datos ni en contra ni a favor.

– Así que su respuesta sería que usted no cree en Dios – pregunta la Presidenta del Comité.

– Sigo sin entender a que viene esa pregunta.

– Doctora Arroway – interviene otro miembro del Comité – el noventa y cinco por ciento de la población mundial, de un modo u otro, cree en la existencia de un Ser Supremo.

Supongo que eso justifica sobradamente la pregunta.

Tras un incómodo silencio donde se cruzan unas miradas preocupadas entre ella y el pastor Joss, la doctora responde: – Yo creo que ya he contestado a la pregunta.

Edward Drawling (Tom Skerritt), el otro candidato, el veterano jefe científico de la doctora Arroway, tras finalizar el interrogatorio al que también es sometido como candidato, apostilla como frase final: – Estoy orgulloso de lo que hemos conseguido como especie y como civilización. No quisiera que todo lo que valoramos, aquello por lo que tanto hemos luchado durante generaciones, y que Dios nos ha concedido, sea traicionado en la hora final por haber elegido a un representante que no antepusiera a todo nuestras más arraigadas creencias.

El pastor Joss llama a la puerta de la doctora; ésta le abre y le pregunta: –¿Por qué lo has hecho?

– Nuestra obligación era elegir a alguien que representara al género humano y en conciencia no puedo votar por alguien que crea que el 95 por ciento de la humanidad es víctima de una alucinación.

– Yo os dije toda la verdad y Drawling os dijo exactamente lo que queríais escuchar – replica una llorosa Eleanor.

Es elegido el doctor Edward Drawling para hacer el histórico viaje. Pero haciendo las primeras pruebas en el artefacto, éste es saboteado por terroristas fanáticos religiosos y la máquina queda completamente destruida. Las organizaciones gubernamentales y privadas que financiaron el proyecto no pueden asumir de nuevo la construcción, pero

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un multimillonario (John Hurt) que vive en la estación orbital rusa Mir, debido a sus graves problemas de salud, ha hecho construir una réplica secretamente y contacta con la doctora Arroway para que sea ella quién realice el viaje. Tras un recorrido alucinante a través de efectos especiales, se nos muestran estrellas y galaxias (que me recuerdan mucho a las escenas finales de la película de Stanley Kubrick, 2001 Una Odisea del Espacio) llega a una playa tropical que reconoce de su infancia. A lo lejos se acerca un ser, que ha adoptado el aspecto de su padre tal y como lo recuerda cuando ella era una niña. En definitiva, un ambiente cálido y familiar que la deja atónita.

– No eres real. Nada de esto es real. – le dice Eleanor al ser cuando se acerca a ella.

– Sigues siendo mi científica.

– Copiasteis mis pensamientos, mis recuerdos…

– Pensamos que así te resultaría más fácil.

– ¿Por qué establecisteis contacto?

– Fuiste vosotros, nosotros sólo escuchábamos.

– ¿Y hay otros?

– Muchos otros.

– ¿Y también vienen circulando por ese sistema que habéis construido?

– No fuimos nosotros. Desaparecieron mucho antes de que nosotros llegásemos.

– ¿Es esto una prueba?

– No, no es una prueba. Sois una especie interesante, una mezcla interesante, capaces de los sueños más hermosos y las más horribles pesadillas. Os sentís tan perdidos, aislados, tan solos, pero no lo estáis. A lo largo de nuestra búsqueda el vacío se ha hecho insoportable porque nos tenemos los unos a los otros.

– ¿Y qué pasará ahora?

– Volverás a casa.

– Pero tengo muchas preguntas que hacer.

– Ten paciencia Ely, poco a poco. Así se ha hecho durante millones de años.

Mientras tanto, desde el puesto de observación terrestre, lo único que ha ocurrido es que la cápsula se ha caído al mar. Las cámaras no han grabado nada, salvo la estrepitosa caída.

Se crea una Comisión del Senado para aclarar lo acontecido, ante el asombro que producen las declaraciones de la doctora Arroway cuando narra su experiencia.

– Sin embargo todos los instrumentos confirman que la cápsula perdió contacto durante una fracción de segundo. ¿no es así, doctora?

– Una fracción de segundo de la Tierra, así es.

– ¿De la Tierra?

– Senadora, creo que la máquina abrió un agujero de gusano, un túnel a través del tejido espacio-tiempo conocido como el puente Rose-Einstein. Debido al efecto de la relatividad general, lo que experimenté unas dieciocho horas pasó como un instante de la Tierra.

– Doctora, ¿es cierto que esos agujeros de gusano de los que habla son sólo teorías, no hay pruebas? ¿Es así?

– No, no hay pruebas directas.

– Contésteme a una cosa: ¿por qué esos extraterrestres harían semejante esfuerzo?

Hacerla viajar miles de años luz para volver a casa sin una remota prueba.

– Dijeron que asi se ha hecho durante millones de años.

– Es perfecto, doctora. No tiene pruebas porque ellos no quisieron que las tuviera. Un fenómeno que en psiquiatría se llama delirio autoalimentado.

–¿Eso cree? ¿Qué fue una fantasía?

Un miembro del comité del Senado, considera lo ocurrido como un engaño por parte del responsable de la construcción del segundo artefacto, sugiriendo que la señal de Vega fue provocada por el multimillonario y excéntrico Haden como un gesto para lograr la inmortalidad o un acto final de altruismo destinado a unir al mundo en una empresa común; éste no puede testimoniar porque acaba de fallecer.

La doctora Arroway continúa siendo interrogada:

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– Dígame doctora, ¿conoce usted ese principio científico llamado “la navaja de Ockham”?

– Sí. Significa que en igualdad de condiciones la explicación más simple suele ser la verdadera.

– Exacto. Bien. Y dígame, ¿cuál es aquí la más probable? Que el mensaje de unos extraterrestres es una máquina prodigiosa que la catapulta al centro de la galaxia para hacer windsurfing con su querido papá y en menos de un segundo volver a casa sin una sola prueba, o, que su experiencia la haya convertido en la protagonista involuntaria de la última producción de S.R. Haden; un hombre con medios, motivos y la oportunidad de usarla a usted y a nosotros como peones en el engaño más grande, caro y refinado de toda la historia.

– Doctora Arroway, viene a nosotros sin ninguna prueba. Se han gastado medio billón de dólares, se han perdido docenas de vidas. ¿Quiere decirnos que debemos tomar lo que dice como un acto de fe?

– Si es posible que no ocurriera, sí. Como científica debo admitirlo, tengo que reconocerlo.

– Un momento, ¿admite que no puede aportar la menor prueba material que apoye esa historia, que fue una alucinación, admite que si estuviese en nuestro posición reaccionaría con el mismo escepticismo e incredulidad?

– Sí.

– Entonces porque no retira su testimonio y admite que ese viaje al centro de la Galaxia no se produjo.

– Porque no puedo. Yo tuve una experiencia pero no puedo probarlo ni siquiera puedo explicarlo porque todo lo que soy como ser humano me dice que fue real. Recibí un don maravilloso, algo que me cambió para siempre. Una visión del Universo que nos dice sin la menor duda lo diminutos e insignificantes y lo raros y preciosos que somos, que no estamos solos, que ninguno de nosotros lo está. Ojalá pudiera compartirlo. Ojalá todos pudieran sólo por un momento sentir ese estremecimiento, esa humildad, esa esperanza pero… ese continúa siendo mi deseo.

El mensaje final, de la película, como gran parte de las que hemos visto, siempre es el mismo:

La Ciencia, como actividad humana que es, siempre acabará por sucumbir al dictado del corazón, porque es ahí donde reside la auténtica naturaleza del hombre.

Nuestra curiosidad es poderosa y nos engrandece, pero podemos inventar máquinas, alcanzar las estrellas, incluso perfeccionar la inteligencia artificial hasta límites insospechados, pero jamás podremos dotar nuestras creaciones de conciencia, o si lo prefieren de espíritu, porque ese es el único don que se nos ha sido concedido en exclusividad.

Ese es, y siempre será, el sino de la humanidad y su limitación.

J.M. Ramos.

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APÉNDICE 1. La fórmula que aparece en la pizarra de la portada del presente trabajo es la llamada “identidad de Euler”, e π .i + 1 = 0 , una de las más maravillosas fórmulas matemáticas por la intervención en ella de cinco números tan significativos como e, π, i, 1 y 0. Se demuestra en la asignatura “Variable Compleja”, por la intervención, entre otros factores, de la unidad imaginaria, i.

2. Solución al enigma planteado en la película Los crímenes de Oxford

Si observamos las cuatro figuras juntas, podemos comprobar que son simétricas respecto a un eje vertical. Si trazamos dicho eje, a la derecha nos quedan los números 1,2,3 y 4 y a la izquierda los mismos pero invertidos horizontalmente, es decir sus simétricos.

3. La reproducción digital de los carteles cinematográficos se han realizado a partir de archivos que se encuentran en internet sin ninguna restricción para su acceso.

Conscientes de los problemas legales que se pueden derivar de este procedimiento, me acojo al Artículo 37 sobre la Libre reproducción y préstamos en determinadas instituciones, inserto en el Real Decreto Legislativo 1/1996, de 12 de abril, por el que se aprueba el texto refundido de la Ley de Propiedad Intelectual (BOE, nº 97, 22-IV-1996).

Dicho artículo afirma: Los titulares de los derechos de autor no podrán oponerse a las reproducciones de las obras, cuando aquéllas se realicen sin finalidad lucrativa por los museos, bibliotecas, fonotecas, filmotecas, hemerotecas o archivos, de titularidad pública o integradas en instituciones de carácter cultural o científico, y la reproducción se realice exclusivamente para fines de investigación.

Asimismo, los museos, archivos, bibliotecas, hemerotecas, fonotecas o filmotecas de titularidad pública o que pertenezcan a entidades de interés general de carácter cultural, científico o educativo sin ánimo de lucro, o a instituciones docentes integradas en el sistema educativo español, no precisarán autorización de los titulares de los derechos ni les satisfarán remuneración por los préstamos que realicen.

No obstante, si alguna productora o empresa, que posea el copyright de cualquiera de los carteles de las 15 películas reseñadas en este trabajo, considerara que sus derechos han sido vulnerados, procederíamos inmediatamente a la eliminación de sus materiales.

4. Las restantes imágenes han sido realizadas por el autor y son de libre distribución, con las restricciones que impongan las bases del XI Certamen “Ciencia en Acción”.

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RESEÑAS TÉCNICAS DE LAS PELÍCULAS MENCIONADAS EN ESTE ARTÍCULO

I. Lecciones inolvidables Título original: Stand & Deliver Nacionalidad: Estados Unidos Año de estreno: 1988 Director: Ramón Menéndez Guión: Ramón Menéndez y Tom Musca Intérpretes: Edward James Olmos, Andy García, Virginia Paris Lou Diamond Phillips, Rosanna Desoto, Riff Hutton, Lydia Nicol Carmen Argenziano, Daniel Villareal, Karla Montana.

Fotografía: Tomo Richmond.

Música: Craig Safan Producción: Warner Bros. Pictures Duración: 110 minutos.

II. El indomable Will Hunting Título original: Good Will Hunting Nacionalidad: Estados Unidos Año de estreno: 1997 Director: Gus Van Sant Intérpretes: Matt Damon, Robin Williams, Minnie Driver, Ben Affleck, Stellan Skarsgard, Philip Williams, Casey Affleck, Cole Hauser, John Mighton, Rachel Majorowski, Colleen McCauley.

Fotografía: Jean-Yves Escoffier Guión: Ben Affleck y Matt Damon.

Música: Danny Elfman Producción: Warner Bros. Pictures Duración: 126 minutos.

Producción: Miramax International Premios: En 1997 obtuvo un Oscar al mejor guión original y otros al mejor actor secundario (Robin Williams), así como 9 nominaciones.

En el mismo año obtuvo el Globo de Oro por el mejor guión y. 4 nominaciones.

En 1977 obtuvo un premio National Board of Review. por su especial aportación a un rodaje

III. Aquellos maravillosos años (Serie TV) Título original: The Wonder Years Nacionalidad: Estados Unidos.

Años de emsión: 1988-1993 Capítulo 25 .- La clase de matemáticas.

Capítulo 32 .- La clase de matemáticas superiores.

Intérpretes: Fred Savage, Danica Mckellar, Josh Saviano, Olivia D’Abo, Jason Harvey, Dan Lauria, Alley Mills Guión: Tom Gammil & Max Pross (cap 25); Matthew Carlson (cap 32) Dirección: Andy Tennant (cap 25); Daniel Stern (cap 32) Productora: Emitida por la cadena ABC Premios: En 1988 llevó un Emmy a la mejor serie de comedia Duración: 30 minutos por capítulo.

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IV. Perros de paja Título original: Straw Dogs Nacionalidad: Estados Unidos.

Año: 1971 Director: Sam Peckimpah Intérpretes: Dustin Hoffman, Susan George, David Warner, Peter Vaughan, T.P. McKenna, Del Henney, Sally Thomsett, Peter Arne, Colin Welland Guión: David Zelag Goodman & Sam Peckinpah (Novela: Gordon M. Williams) Música: Jerry Fielding Productora: ABC Pictures. Daniel Melnick Production Duración: 113 minutos.

V. 21 Black Jack Título original: 21 Nacionalidad: Estados Unidos.

Año: 2008 Director: Robert Luketic Intérpretes: Jim Sturgess, Kate Bosworth, Laurence Fishburne, Kevin Spacey, Liza Lapira, Josh Gad, Aaron Yoo, Sam Golzari Guión: Peter Steinfeld, Allan Loeb (Libro: Ben Mezrich) Música: David Sardy Productora: Columbia Pictures Duración: 133 minutos.

VI. El amor tiene dos caras Título original: The Mirror Has Two Faces Nacionalidad: Estados Unidos.

Año: 1996 Director: Barbra Streisand Intérpretes: Barbra Streisand, Jeff Bridges, Pierce Brosnan, Lauren Bacall, Mimi Rogers, George Segal, Brenda Vaccaro, Laura Bailey, Austin Pendleton, Elle MacPherson Guión: Richard LaGravenese Música: Marvin Hamlisch Productora: TriStar Pictures / Phoenix Pictures Duración: 126 minutos.

Premios: En el años 1996 recibió dos nominaciones al Oscar: mejor actriz de reparto (Lauren Bacall) y canción original. Un Globo de Oro a la mejor actriz de reparto (Lauren Bacall) y cuatro nominaciones. Nominada BAFTA a la mejor actriz de reparto

VII. El pequeño Tate Título original: The Little Man Tate Nacionalidad: Estados Unidos.

Año: 1991 Director: Jodie Foster Intérpretes: Jodie Foster, Dianne Wiest, Harry Connick Jr., Adam Hann-Byrd, David Pierce, Debi Mazar, George Plimpton, Celia Weston, Josh Mostel Guión: Scott Frank Música: Mark Isham.

Productora: Metro-Goldwyn-Mayer.

Duración: 106 minutos.

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VIII. Pi: (Fe en el Caos) Título original: Pi: Faith in Chaos Nacionalidad: Estados Unidos.

Año: 1998 Director: Darren Aronofsky Intérpretes: Sean Gullette, Mark Margolis, Ben Shenkman, Samia Shoaib, Pamela Hart, Ajay Naiou, Joanne Gordon, Stephen Pearlman Música: Clint Mansell.

Productora: Harvest Film Works Truth & Soul / Planttain Films Duración: 85 minutos.

Premios: Premio Sundance 1998 al mejor director.

IX. La habitación de Fermat Título original: La habitación de Fermat.

Nacionalidad: España.

Año: 2007 Director: Luis Piedrahita, Rodrigo Sopeña.

Guión: Luis Piedrahita, Rodrigo Sopeña.

Intérpretes: Alejo Sauras, Elena Ballesteros, Santi Millán, Lluís Homar, Federico Luppi, Helena Carrión, Ariadna Cabrol, Juanma Falcón Música: Federico Jusid Productora: Notro Films Duración: 87 minutos.

X. Cube Título original: Cube.

Nacionalidad: Canadá.

Año: 1997 Director: Vincenzo Natali.

Guión: Vincenzo Natali, Andre Bijelic, Graeme Manson, Intérpretes: Maurice Dean Wint, Nicole deBoer, Nicky Guadagni, David Hewlett, Andrew Miller, Wayne Robson, Julian Richings Música: Mark Korren Productora: Cube Libre Duración: 92 minutos.

Premios: En 1988 al mejor director en Toronto. En el Festival de Sitges a la mejor película y en 1999 premio a la mejor película en el “Fantasporto” de Oporto.

XI. Moëbius Título original: Moëbius.

Nacionalidad: Argentina.

Año: 1996 Director: Gustavo Mosquera.

Guión: Pedro Cristiani, Gabriel Lifschitz, Arturo Onatavia (Relato: A.J. Deutsch) Intérpretes: Guillermo Angelelli, Roberto Carnaghi, Anabella Levy, Jorge Petraglia Fotografía: A. Penalba & F. Rivares Productora: Gustavo Mosquera Duración: 88 minutos.

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XII. Una mente maravillosa Título original: A Beautiful Mind Nacionalidad: Estados Unidos.

Año: 2001 Director: Ron Howard.

Guión: Akiva Goldsman Música: James Horner Intérpretes: Russell Crowe, Jennifer Connelly, Ed Harris, Paul Bettany, Adam Goldberg, Christopher Plummer, Judd Hirsch, Josh Lucas, Anthony Rapp, Fotografía: Roger Deakins Productora: Dreamworks / Universal Pictures / Imagine Entertainment Duración: 130 minutos.

Premios: En el año 2001 recibió los siguientes premios: 4 Oscars: a la mejor película, al mejor director, a la mejor actriz de reparto (Jennifer Connelly) y al mejor guión adaptado. 4 Globos de Oro: a la mejor película dramática, al mejor actor, a la mejor actriz de reparto, al mejor guión, teniendo 6 nominaciones. Dos premios BAFTA: mejor actor (Russel Crowe), actriz (Jennifer Connelly), obteniendo 5 nominaciones

XIII. Los crímenes de Oxford Título original: Los Crímenes de Oxford.

Nacionalidad: España.

Año: 2008 Director: Alex de la Iglesia.

Guión: Álex de la Iglesia, Jorge Guerricaechevarría (Novela: Guillermo Martínez) Música: Roque Baños Intérpretes: Elijah Wood, John Hurt, Leonor Watling, Julie Cox, Burn Gorman, Anna Massey, Jim Carter Fotografía: Kiko de la Rica Productora: Tornasol Films Duración: 110 minutos.

Premios: En el año 2008 recibió 3 Premios Goya: mejor música, dirección de producción y montaje, así como 6 nominaciones

XIV. La herencia del viento Título original: Inherit the Wind Nacionalidad: Estados Unidos.

Año: 1960 Director: Stanley Kramer.

Guión: Harold Jacob Smith & Ned Young (Teatro: Jerome Lawrence & Robert E. Lee) Música: Ernest Gold Intérpretes: Spencer Tracy, Fredric March, Gene Kelly, Dick York, Claude Akins, Florence Eldridge, Donna Anderson, Noah Berry Jr., Harry Morgan Fotografía: Ernest Laszlo (Blanco y Negro) Productora: United Artists / Stanley Kramer Productions Duración: 127 minutos.

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XV. Contact Título original: Contact Nacionalidad: Estados Unidos.

Año: 1997 Director: Robert Zemeckis Guión: James V. Hart & Michael Goldenberg (Novela: Carl Sagan) Música: Alan Silvestri Intérpretes: Jodie Foster, Matthew McConaughey, James Woods, John Hurt, Tom Skerritt, William Fichtner, David Morse, Angela Bassett, Rob Lowe Fotografía: Don Burgess Productora: Warner Bros. Pictures Duración: 150 minutos.

Premios: En 1997 fue nominada al Oscar por el mejor sonido y nominada al Globo de Oro por la mejor actriz dramática (Jodie Foster)

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EL AUTOR José Manuel Ramos González es profesor de matemáticas y secretario del I.E.S. A Xunqueira I de Pontevedra. Nació en Pontevedra el 10 de abril de 1958. Combina su profesión de docente de las matemáticas con una gran afición por el cine y la literatura.

Es autor de las páginas web sobre los escritores Guy de Maupassant, Catulle Mendès, Roald Dahl y Fredric Brown, así como trabajos de índole matemático para su alumnado que pueden ser consultados en la página web del Instituto, del que también es webmaster. Autor del libro “La ecuación Maupassant”.

Los URL de las páginas web mencionadas anteriormente son: Guy de Maupassant: http://www.iesxunqueira1.com/maupassant Roald Dahl: http://www.iesxunqueira1.com/dahl Catulle Mendès: http://www.iesxunqueira1.com/mendès Fredric Brown: http://www.iesxunqueira1.com/brown IES A Xunqueira I: http://www.iesxunqueira1.com Para contactar: IES A Xunqueira I. Pontevedra. Tfno.- 986872150. Fax.- 986873700; e-mail: ramos@edu.xunta.es