Funciones (nivel avanzado)

Capitulo 1

Funciones

y I I I I I I

: f(X3)---"': f(X2)---"": : I

--~----+---~--~I~X

En este capitulo ~Ha escuchado frases como "el exito esta un funcion del trabajo arduo" y ilia demanda esta un funcion del precio"? La palabra funci6n se usa a menudo para sugerir una relacion 0 una dependencia de una cantidad con respecto a otra. Como tal vez sepa, en matematicas el concepto de una funcion posee una interpretacion similar pero ligeramente mas especializada.

EI calculo trata, en esencia, sobre funciones. ASI, resulta conveniente empezar su estudio con un capitulo dedicado a un repaso de este importante concepto.

1.1 Funciones y graticas 1.2 Combinaci6n de funciones 1.3 Funciones polinomiales y racionales 1.4 Funciones trascendentes 1.5 Funciones inversas 1.6 Funciones exponencial y logaritmica 1.7 De las palabras a las funciones

Revisi6n del capitulo 1

1

2

CAPITULO 1 Funciones

1.1

Funciones y graficas

I Introduccion

Al usar los objetos e interactuar con las personas que nos rodean, resulta faci) establecer una regIa de correspondencia que asocie, 0 apareje, a los miembros 0 elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto. Por ejemplo, para cada numero de seguridad social hay una persona; para cada libro corresponde por 10 menos un autor; para cada estado hay un gobernador, etcetera. En matematicas estamos interesados en un tipo especial de correspondencia: una correspondencia con valor unico denominada funcion .

Definicion 1.1.1 Funci6n Una funcion de un conjunto X en un conjunto Yes una regIa de correspondencia que asigna a cada elemento x en X exactamente un elemento y en Y.

I Terminologia

Una funci6n suele denotarse por una letra como j; g 0 h. Entonces podemos representar una funci6nf de un conjunto X en un conjunto Y por medio de la notaci6nf: X -+ Y. El conjunto X se llama dominio def EI conjunto de elementos correspondientes y en el conjunto Y se denomina rango de la funci6n. El unico elemento y en el rango que cOiTesponde a un elemento x selecto en el dominio X se denomina valor de la funci6n en x, 0 imagen de x, y se escribe f(x) . Esta expresi6n se lee ''f de x" 0 ''f en x", y se escribe y = f(x). Algunas veces tambien conviene denotar una funci6n por y = y(x). Observe en la FIGURA 1.1 .1 que el rango defno necesariamente debe ser to do el conjunto Y. A muchos profesores les agrada llamar a un elemento x en el dominio entrada de la funci6n, y al elemento correspondiente f(x) en el rango salida de la funci6n. Puesto que el valor de y depende de la elecci6n de x, y se denomina variable dependiente; x se denomina variable independiente. A partir de este momenta consideraremos que los conjuntos X y Y constan de numeros reales; asi, la funci6n f se denomina funcion con valor real de una sola variable real.

En todos los analisis y ejercicios de este texto, las funciones se representan de varias formas:

FIGURA 1.1.1 Dominio Y fango de una funci6n f

• analitica, es decir, por medio de una f6rmula como f(x) = x 2 ; • verbal, es decir, mediante una descripci6n con palabras; • numerica, es decir, mediante una tabla de valores numericos; y • visual, es decir, con una grafica.

'JI#MiU!,I'

Funci6n elevar al cuadrado

La regIa para elevar al cuadrado un numero real esta dada por la ecuaci6nf(x) = x 2 0 Y = x 2 .

Los val ores de f en x = -5 Y x = 0 se obtienen al sustituir x, a la vez, por los numeros -5 y 0.

f( -5) = (- 5)2 = 25 Y f(0) = (0)2 = 7.

MIU@Q!'W,

•

Correspondencia estudiante y escritorio

Una correspondencia natural ocurre entre un conjunto de 20 estudiantes y un conjunto de, por ejemplo, 25 escritorios en un sal6n de clases cuando cada estudiante escoge y se sienta en un escritorio diferente. Si el conjunto de 20 estudiantes es el conjunto X y el conjunto de 25 escritorios es el conjunto Y, entonces esta correspondencia es una funci6n del conjunto X al conjunto Y, en el supuesto de que ningun estudiante se sienta en dos escritorios al mismo tiempo.

El conjunto de 20 escritorios ocupados real mente por los estudiantes constituye el rango de la funci6n.

• Algunas veces, para destacar el argumento, escribiremos una funci6n representada por una f6rmula usando parentesis en lugar del simbolo x . Por ejemplo, al escribir la funci6n elevar al cuadrado f(x) = x 2 como

Correspondencia estudiante/escritorio Consulte In secc i6n Pcig il/u.\' de I'('C I/I'SO.l' . al ri nal del li bro. para tener un rcpaso del desarroll o del bi nolllio.

f( ) = (

?

(1)

Entonces, para evaluar (l) en, por ejemplo, 3 + h, donde h representa un numero real, escribimos 3 + h entre parentesis y realizamos las operaciones algebraicas correspondientes:

~

f(3

+ h) = (3 +

h)2

=

9

+

6h

+

h 2.

1.1 Funciones y grilficas

3

Si una funci6n f esta definida por medio de una f6rmula 0 ecuaci6n, entonces por 10 regular el dominio de y = f(x) no se plantea explfcitamente. Por 10 general es posible ded ucir el dominio de y = f(x) ya sea a partir de la estructura de la ecuaci6n 0 del contexto del problema.

O::tl1AAMQ!'.'

Dominio y rango En el ejemplo 1, puesto que cualquier numero real x puede elevarse al cuadrado y el resultado 2 \ 2 es otro numero real, f(x) = x es una funci6n de R en R ; es decir, f: R ----,> R. En otras palabras, el dominio de f es el conjunto R de numeros reales. Al usar notaci6n de intervalos, el dominio tambien puede escribirse como (-00, 00) . Debido a que x 2 2: 0 para todo numero real x, es facil vel' que el ran go de f es el conjunto de numeros reales no negativos 0 [0, 00) . • I Dominio de una funcian

Como ya se mencion6, el dominio de una funci6n y = f(x) que esta defi nido por una f6rmula no suele especificarse. A menos que se indique 0 implique 10 contrario, se entiende que • El dominio de una funcion f es el mayor subconjunto del conjunto de numeros reales para los que f(x) es un numero real.

Este conjunto a veces se refiere como dominio impIicito 0 dominio natural de la funcion.

Por ejemplo, no es po sible calcular f(O) para la funcion reciproca f(x) = 1/ x puesto que 1/0 no es un numero real. En este caso se dice que f esta indefinida en x = O. Puesto que to do nu mero real diferente de cero tiene un recfproco, el dominio de f(x ) = 1/ x es el conjunto de numeros reales excepto cero. Por el mismo razonamiento, la funcion g(x) = 1/ (x2 - 4) no esta definida en x = -2 ni en x = 2, de modo que su dominio es el conjunto de numeros reales sin los numeros -2 y 2. La funcion raiz cuadrada hex) = Vx no esta definida en x =-1 pOl'que v=t no es un numero real. Para que hex) = Vx este definida en el sistema de numeros reales, debe pedirse que el radicando, en este caso simpiemente x, sea no negativo. A partir de la desigualdad x 2: 0 observamos que el dominio de la funci6n h es el intervalo [0, 00) .

EI dominio de la funcion constante f(x) = - I es el conjunto de numeros reales ( -00, 00) Y SlI rango es el conjunto que consta solo del numero - 1.

UI!3MR!'.'

Dominio y rango Determine el dominio y el rango de f(x) = 4 + v'.X=3.

Solucion EI radicando x - 3 debe ser no negativo. Al resolver la desigualdad x - 3 2: 0 se obtiene x 2: 3, de modo que el dominio de f es [3, 00). Luego, como el sfmbolo V denota la raiz cuadrada no negativa de un numero, v'.X=3 2: 0 para x 2: 3 y en consecuencia 4 + v'.X=3 2: 4. EI menor valor de f(x ) ocurre en x = 3 y es f(3) = 4 + YO = 4. Ademas, debido a que x - 3 y v'.X=3 aumentan cuando x crece, se concluye que y 2: 4. Por consiguiente, el rango de f es [4, 00).

•

nmMiQ!.&j

Dominios de dos funciones

Determine el dominio de a) f(x)

=

Vx 2 + 2x -

15

b) g(x)

5x

=

-x 2- - -"3'-'-x---4

Solucion a) Como en el ejemplo 4, la expresion dentro del radical -el radicando- debe ser no negativa; es decir, el dominio de f es el conjunto de numeros reales x para los cuales x 2 + 2x - IS 2: 0 0 (x - 3)(x + 5) 2: O. EI conjunto soluci6n de la desigualdad '" ( -00, - 5] U [3, 00) es tambien el dominio del b) Una funcion que esta dada por una expresion fraccionaria no esta definida en los valores x para los cuales el denominador es igual a O. Puesto que el denominador de g(x) se factoriza como x 2 - 3x - 4 = (x + I)(x - 4), vemos que (x + I)(x - 4) = 0 para x = -I y x = 4. Estos son los unicos numeros para los cuales g no esta definida. Por tanto, el dominio de la funcion g es el conjunto de nlllneros reales , a excepcion de x = -1 y x = 4.

•

Ell preca lculo se suclell reso lver cies igualdades cuacil·al icas co mo (.r - 3)(x + 5) 2": 0 ulili za llclo ull a lab ia de sigll os.

4

CAPITULO 1 Funciones

Al usaI' notaci6n de intervalos, el dominio de g en el inciso b) del ejemplo 5 puede escribirse como (- 00, - I) U (- I, 4) U (4, (0) . Como alternativa para esta desgarbada uni6n de intervalos ajenos, este dominio tambien puede escribirse usando notaci6n de construcci6n de conjuntos {x I x 0/= - 1 Y x 0/= 4} . y (x,. f(r,))

,, , , :--f(x,)

, : f(x3) --J f(x2)-"":,

-

-XL,

,:

- ---+- - -X''2 --X.!..~3""'

FIGURA 1.1.2 Puntos sobre la griitica de una ecuaci6n y = f(x )

X

• Grilficas En campos como ciencia, ingenierfa y negocios, a menudo se usa una funci6n para describir los fen6menos. A fin de interpretar y utilizar datos, es util representar estos datos en forma de graflca. En el sistema de coordenadas cartesianas 0 rectangulares, la grafica de una funci6nJes la grafica del conjunto de pares ordenados (x,f(x)), donde x esta en el dominio def En el plano xy, un par ordenado (x,f(x)) es un punto, de modo que la grafi ca de una funci6n es un conjunto de puntos. Si una funci6n se define por medio de una ecuaci6n y = J(x) , entonces la grafica de J es la grafica de la ecuaci6n. Para obtener los puntos sobre la grafica de una ecuaci6n y = J(x), escogemos prudentemente numeros XI , X2, X3 , . . . en su dominio, calculamos J(XI), J(X2), J(X3), ... , trazamos los puntos correspondientes (XI,!(XI)), (X2,f(X2)), (X3,f(X3)), ... , y luego unimos estos puntos con una curva suave (en caso de ser posible). Yea la FIGURA 1.1.2. No olvide que

• un valor de X es una distancia dirigida desde el eje y, y • un valor funcional J(x) es una distancia dirigida desde el eje x.

A continuaci6n se bacen algunos comentarios sobre las figuras en este texto. Con pocas excepciones, suele ser imposible representar la grafica completa de una funci6n, por 10 que a menudo s610 se muestran las caracterfsticas mas importantes de la gnifica. En la FIGURA 1. 1.3 a) observe que la gnifica se dirige bacia abajo en sus lados izquierdo y derecho. A menos que se indique 10 contrario, puede asumirse que no bay sorpresas mayores mas alIa de 10 que se ha mostrado y que la grafica continua simplemente de la manera indicada. La grafica en la figura 1.1.3a) indica el denominado comportamiento extremo 0 comportamiento global de la funci6n. Si una grafica term ina ya sea en su extremo derecho 0 izquierdo, este hecho se indica por medio de un punto cuando es necesario. Para representar el hecho de que el punto extremo esta incIuido en la grafica se usa un punto s6lido, y para indicar que el punto extrema no esta incIuido en la grafica se usa un punto vacfo.

• Prueba de la recta vertical A partir de la definici6n de una funci6n se sabe que para toda x en el dominio deJcorresponde un solo valorJ(x) en el rango. Esto significa que una recta vertical que corta la grafica de una funci6n y = J(x) (esto equivale a escoger una x) puede cortar a la grafica de una funci6n en cuanto mucho un punto. A la inversa, si toda recta vertical que corte la grafica de una ecuaci6n 10 hace en cuanto mucho un punto, entonces la grafica es la grafica de una funci6n. La ultima decIaraci6n se denomina prueba de la recta vertical para una funci6n. Por otra parte, si alguna recta vertical corta la grafica de una ecuaci6n mas de una vez, entonces la grafica no es la grafica de una funci6n . Yea las figuras 1.1.3a)-c). Cuando una recta vertical corta una grafica en varios puntos, el mismo numero x corresponde a diferentes valores de y, en contradicci6n con la definici6n de funci6n. y

y

y

~--1--~-~~ X

-11-----+---~

·H-...I...---'--'--~x

x

y

d Rango de f---

y

= f(x)

a) Funci6n

-+-....__

FIGURA 1.1.3

b) No es una funci6n

c) No es una funci6n

Prueba de la recta vertical

I--~x

a

b 'Dominio de f

FIGURA 1.1.4 Dominio y rango interpretados gn\ficamente

Si se cuenta con una grafica exacta de una funci6n y = J(x), a menudo es posible ver el dominio y el rango de f En la FIGURA 1.1.4 suponga que la cur va azul es la grafica entera, 0 completa, de alguna funci6n f As!, el dominio de J es el intervalo [a, b] sobre el eje x, y el rango es el intervalo [c, d] sobre el eje y.

1.1 Func iones y graticas

e UMIQ!"iJj

5

Otra perspectiva del ejemplo 4

A partir de la gnifica def(x) = 4 + vX=3" dada en la FIGURA 1.1.5, podemos ver que el dominio y el rango de f son, respectivamente, [3 , 00) y [4, 00) . Esto concuerda con los resultados del ejemplo 4. •

t

y

EI rango

de .f es

r4. 00)

-L

v= 4

+ ~r - 3

.~ (3 . 4)

I Intersecciones

Para graficar una funcion definida por una ecuacion y = f(x) , una buena idea suele ser determinar primero si la gnifica deftiene intersecciones. Recuerde que todos los puntas sobre el eje y son de la forma (0, y). Entonces, si 0 es el dominio de una funcionf, la interseccion y es el punto sobre el eje y cuya coordenada yes f(O) ; en atras palabras, (0,f(0)). Yea la FIGU RA 1.1.6a). De manera semejante, todos los puntos sobre el eje x tienen la forma (x, 0). Esto significa que para encontrar las intersecciones x de la gnifica de y = f(x), se determinan los valores de x que hacen y = O. Es decir, es necesario resolver la ecuacionf(x) = 0 para x. Un 11l1mero c para el que f(c) = 0 se denomina cero de la funcionfo raiz (0 solucion) de la ecuacionf(x) = O. Los ceros reales de una funcionfson las coordenadas x de las intersecciones x de la gnifica def. En la figura l.1.6b) se ha ilustrado una funcion que tiene tres ceros Xj, X2 Y X3 porque f(x I) = 0,f(X2) = 0 y f(X3) = O. Las tres intersecciones x cOlTespondientes son los puntos (x I, 0), (Xl, 0) y (X3, 0). Por supuesto, la gnifica de la funcion puede no tener intersecciones. Este hecho se ilustra en la figura 1.1.5. y y

y

y

= f(x)

y

= f(x)

(0, frO)) ---~~---~--~x

----+----~x

a) Interseccion

y

c) Una interseccion y, dos intersecciones x

b) Tres intersecciones x

FIGURA 1.1.6 Intersecciones de la gnifica de una funcion f

Una gnifica no necesariamente tiene que cruzar un eje de coordenadas en una interseccion; una gnifica puede simplemente tocar, 0 ser tangente, a un eje. En la figura l.1.6c), la grafica de y = f(x) es tangente al eje x en (XJ, 0).

M i13M4!.WJ

Intersecciones

Encuentre, de ser posible, las intersecciones x y y de la funcion dada.

2 b) f(x) = x - 2x - 3 a) f(x) = x 2 + 2x - 2 x Solucion a) Puesto que 0 esta en el dominio de.l: f(O) = -2 Y as! la interseccion y es el punto (0, - 2). Para obtener las intersecciones x, es necesario determinar si f tiene ceros reales, es decir, soluciones reales de la ecuacion f(x) = O. Puesto que el miembro izquierdo de la ecuacion x 2 + 2x - 2 = 0 no tiene factores evidentes, se usa la formula general para polinomios cuadraticos para obtener x = -1 Âą v'3. Las intersecciones x son los puntos (-1 - v'3, 0) y (- 1 + v'3, 0). b) Debido a que 0 no esta en el dominio de 1, la grafica de f no posee interseccion y.

Ahora, puesto que f es una expresion fraccionaria, la unica forma en que es posible que f(x) = 0 es que el numerador sea igual a cero y el denominador sea diferente de cero al evaluar la funcion en el mismo numero. Al factorizar el miembro izquierdo de x 2 - 2x - 3 = 0 se obtiene (x + l)(x - 3) = O. En consecuencia, los ceros de f son los numeros -1 y 3. Las intersecciones x son los puntos (-I, 0) Y (3, 0). • Una funcion f puede implicar dos 0 mas expresiones 0 formulas, cada una definida en partes distintas sobre el dominio de f Una funcion definida de esta manera se denomina funcion definida por partes. Por ejemplo,

I Funciones definidas por partes

f(x)

=

{X2, x

+

X 1,

< 0

x;:::: 0

x EI dominio de

-+--+-+--+--+-+-~

~ f es [3. 00 ) - FIGURA 1.1 .5 Gniflca de la cion fen el ejemplo 6

fUll-

6

CAPITULO 1 Funciones

no son dos funciones , sino una sola funcion donde la regia de correspondencia esta dada en dos partes. En este caso, una parte se usa para los numeros reales negativos (x < 0) y la otra parte para los numeros reales no negativos (x 2: 0); el dominio de f es la union de los intervalos (-00,0) U [0,00) = ( -00 , 00). Por ejemplo, puesto que -4 < 0, la regia indica que se eleve al cuadrado el numero: f (-4) = (-4)2 = 16; por otra parte, puesto que 6 2: 0 se suma I al numero : f(6) = 6 + 1 = 7.

U!!3MRC.I:'

GrMica de una funci6n definida por partes

Considere la funcion definida por partes y

f(x) =

{~1' x

y = x+l,x > O -+---+---+-.+-:--+---+-+-+- x " y= O, X=O ---:;----<;l

y=- I,x<O

FIGURA 1.1.7 Grafica de una funci6n de finida por partes en el ejemplo 8

+

x < O x = 0 1,

(2)

x > O.

Aunque el dominio de f consta de todos los numeros reales (-00, 00), cada parte de la funcion esta definida sobre una parte diferente de su dominio. Se grafiean • la recta horizontal y = - I para x < 0, • el punto (0, 0) para x = 0 y • la recta y = x + 1 para x > O.

•

La grafica se proporciona en la FIGURA 1.1.7.

• Semicirculos Como se muestra en la figura 1.1.3b), un cfrculo no es la grafica de una funcion. En realidad, una ecuacion como x 2 + / = 9 define (por 10 menos) dos funciones de x. Si esta ecuacion se resuelve para yen terminos de x, se obtiene y = :±:~. Debido a la conveneion del valor unieo del signo Y , ambas eeuaciones y = ~ y y = - V 9 - x 2 definen funciones. La primera ecuacion define un semicirculo superior, y la segunda un semicirculo inferior. Con base en las graficas mostradas en la FIGURA 1.1.8, el dominio de y = ~ es [-3 , 3] y el rango es [0, 3]; el dominio y el rango de y = - V9 - x 2 son [-3, 3] y [-3,0] , respect iva mente.

Y

Y=

~9 - x 2

Y

Y

=

-~9 - x 2

y y= -x, x < O

y = x , x "': O

a) Semicircu lo superior

FIGURA 1.1.8

b) Semicirculo inferior

Estos semicircul os son griificas de funciones

----~'-----~x

a)

y y=x

• Funcion valor absoluto La funcionf(x) = lxi, denominada funcion valor absoluto, aparece a menudo en el analisis de capitulos ulteriores. EI dominio def es el conjunto de todos los nume[OS reales ( - 00, 00) y su rango es [0, 00). En otras palabras, para cualquier numero real x, los valores de la funcionf(x) son no negativos. Por ejemplo, f(3) = 131 = 3, f(O) = 10 1 = 0,

f(

-~) = I -~I = - ( -~) = ~.

Por definicion del valor absoluto de x, observamos que f es una funeion definida por partes pedazos, que consta de dos partes f( Esta porci6n de y = x se refl eja en el eje x b)

Su grMica, mostrada en la FIGURA

x) = Ixl = {-x, x,

1.1.9a),

six six

<

2:

0

O.

0

(3)

consta de dos semirrectas perpendiculares. Puesto que

f(x) 2: 0 para tad a x, otra forma de graficar (3) consiste en simplemente trazar la recta y = x

FIGURA 1.1 .9 Funci6n valor

y luego · refJejar en el eje x esa porcion de la recta que esta abajo del eje x. Yea la figura

absoluto (3)

1.1.9b).

1.1 Funciones y graficas

7

I Funci6n entero mayor

A continuaci6n se considerani una funci6nfdefinida por partes denominada fun cion entero mayor. Esta funci6n , que tiene much as notaciones, se denotani aquf por l(x) = lx J y esta definida por Ia regIa

lx J =

donde n es un entero que satisface 11 s x

n,

<

n + I.

<l1li LI rUllci,'n cnlcro l11ayor lal11bicl1 sC CSLTihc (n I IlOn\) = I[ \~ .

(4)

La expresi6n (4), traducida a lenguaje coloquial, significa 10 siguiente: • EI valor funcional f(x) es el entero mayor n que es menor 0 igual ax.

Par ejemplo, f( -1.5) = - 2, f(O.4) = 0, f(7T) = 3, f(5) = 5, y aSI en 10 sucesivo. EI dominio de f es el conjunto de mimeros reales y consta de la union de una infinidad de intervalos ajenos; en otras palabras, f(x) = lx J es una funcion definida por partes dada por

y

4

f(x)

=

lxJ

-2, -1, 0, 1, 2,

- 2s x < - lsx< OSx< Isx< 2sx<

-1 0

2

(5) -+-----<c------t---<>- t --f---+-+-+-x - 2 -1 2 4

2 3

EI rango de f es el conjunto de enteros. La pOl'cion de la gr<ifica de f sobre el intervalo celTado [- 2, 5] se proporciona en la FIGURA 1.1.10.

En informatica la funcion entero mayor se conoce como funcion redondeo hacia el entero inferior anterior. Una funci6n relacionada den om in ada funcion redondeo hacia el entero superior siguiente* g(x) = rx 1 se define como el menor entero n que es mayor 0 igual ax. Yea los problemas 57 a 59 en los ejercicios 1.1.

I Un modelo matematico

A men udo resulta aconsejable describir el comportamiento de algun sistema 0 fenomeno de la vida real, ya sea ffsico, sociol6gico e incluso economico, en terminos matematicos. La descripcion matematica de un sistema 0 fenomeno se denomina modelo matematico y puede ser tan complicada como cientos de ecuaciones simultaneas 0 tan sencilla como una sola funcion. Esta secci6n concluye con una ilustraci6n del mundo real de una funcion definida por partes denominadafunci6n timbre postal. Esta funcion es semejante af(x) = lx J en el sentido de que ambos son ejemplos de funciones escal6n; cada funci6n es constante sobre un intervalo y luego salta a otro valor con stante al siguiente intervalo colindante.

Al momenta de escribir esto, la tarifa de primera clase del Servicio Postal de Estados Unidos de America para el porte de una carta en un sobre de tamano normal dependfa de su peso en onzas:

Porte

=

C42

o<

$0.~6,

1 2

< <

peso s peso s peso s

$2.87,

12

<

peso s 13 onzas.

$0.59,

..........0

10nza 20nzas 30nzas

(6)

La regIa en (6) es una funci6n de P que consta de 14 partes (las cartas que pesan mas de 13 onzas se envfan como correo prioritario). Un valor de la funci6n pew) es una de 14 constantes ; la constante cambia dependiendo del peso w (en onzas) de la carta: 1 Por ejemplo, P(0.5) = $0.42, P(l.7) = $0.59, P(2.2) = $0.76, P(2.9) = $0.76 Y P02.1) = $2.87.

El dominio de la funci6n P es la uni6n de los intervalos: (0,1] U 0,2] U (2, 3] U··· U 02,13] = (0,13]. '" Las funciones redondeo hacia el entero inferior anterior y redondeo hacia el entero superior siguiente y sus notaciones se deben al renombrado cientifico canadiense Kenneth E. Iverson (1920-2004) .

'i' En (6) no se muestra que el porte de una carta cuyo peso se encuentra en el intervalo (3, 4] es determinado por si su peso esta en (3, 3.5] 0 en (3.5,4] . Este es el unico interval0 dividido de esta manera.

FIGURA 1.1.10 entero

Funci6n mayor

8

CAPITULO 1 Funciones

f(x)

NOTAS DESDE EL AULA

Cuando se traza la grMica de una funcion, nunca se debe acudir a graficar muchos puntos manual mente. Esto es algo que una calculadora gnifica 0 un sistema de algebra computacional (SAC) hacen bien. Por otra parte, usted no debe vol verse dependiente de una calculadora para obtener una grafica. Lo crea 0 no, hay muchos profesores de calculo que no permiten el uso de calculadoras grMicas al aplicar cuestionarios 0 examenes. Por 10 general, no hay objecion para que usted use calculadoras 0 computadoras como ayuda para comprobar algunos problemas de tarea, pero en el salon de clases los maestros desean ver el producto de su propio esfuerzo, es decir, su capacidad de analizar. ASI, esta usted fuertemente motivado a desarrollar sus habilidades para graficar hasta el punto en que pueda trazar a mana rapidamente la grafica de una funcion a partir de alguna propiedad conocida de tipos de funciones y trazar un mlnimo de puntos bien escogidos.

Ejercicios 1.1

Las respuestas de los probl emas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-2.

=

Fundamentos

En los problemas 1-6, encuentre los valores funcionales indicados.

1. Si f(x) = x 2 - 1; f( - S),f( - \I3),f(3) y f(6)

4. Si f(x)

+ x; f( - S),f(-D,f(2) y f(7) = -v:x+l; f( -1), f(O), f(3) y f(S) = V2x + 4; f( -D,fm,f(~) y f(4)

5. Si f(x)

=~;

En los problemas 27-30, determine si la grMica en la figura es la grMica de una funcion.

27.

28.

y

2. Sif(x) = -2x 2 3. Si f(x)

x-

+

1

. x2 6. Sl f(x) = - 3 - ;

x¡ - 2

-

",fL----+-x

FIGURA 1.1.12 Grlifica para el problema 28

f( -I), f(O), f(1) y f(Vi) f( - Vi),f( -1), f(O) y

-

FIGURA 1.1.11 Grafica para e l problema 27

fm

29.

En los problemas 7 y 8, encuentre f(x),f(2a),f(a 2),f( - Sx),f(2a + 1),f(x + h)

30.

y

-----+--'___.-x

para la funcion dada f y simplifique 10 mas que pueda.

7. f( ) = - 2( )2 + 3( ) 8. f( ) = ( )3 - 2( )2 + 20 9. l,Para que valores de x f(x) 10. l,Para que val ores de x f(x)

FIGURA 1.1.13 Gnifica para el problema 29 = =

6x 2 - ] es igual a 23?

Vx-=4 es igual a 4?

En los problemas 11-26, encuentre el dominio de la funcion f dada.

11. f(x)

= V4x -

2 10 13. f(x) = , ; , vi - x 2x - S 15. f(x) = x(x - 3)

17. f(x) =

-x2---1-'~'---X-+-2-S

19. f(x) =

-2---

x

X

21. f(x) = 23. f(x)

=

25. f(x)

=

-

X

\hs -

+ 1 x2

Yx Sx ~3x+2 - x 2

-

En los problemas 31-34, use el rango de la funcion en la figura para encontrar su dominio y rango.

31.

24. f(x) = 26. f(x) =

~S :

2

-

x

)'

--+---,iL-+-... x - )

FIGURA 1.1 .15 problema 31

Gn\fica para el

7T

2

FIGURA 1.1.16 Grafica para el problema 32

2 X + 1 x - 4x - 12 x2 - 9 20. f(x) = -x2---2-x---l

Yx(4 - x) Yx 3x -

dada

2

18. f(x) =

=

32.

y

f

7T

12. f(x) = VIS - Sx 2x 14. f(x) = ,~ v3x - 1 x 16. f(x) = -2- x - I

22. f(x)

FIGURA 1.1.14 Grafica para el problema 30

33.

y

10 FIGURA 1.1.17 problema 33

Grafica para el

1.1 Func ion8s y graficas

En los problemas 47 y 48, use 1a gnifica de la funci6n f dada en 1a figura para estimar los valores f( - 2),f( - 1.5), f(0 .5), f(l) , f(2) Y f(3 .2) . Calcule las intersecciones x .

34.

47.

y

f\

4

1\ 2 \ / FIGURA 1.1 .18

Gnifica para el probl ema 34

-4

1

35. f(x )

= "2x - 4

37. f(x )

=

36. f(x)

=

-

6x

2

+

41. f(x) = x x2

~~

44. f(x) =

/ - 4

-2

X4 -

1

~y'X2

y

]1(~

-

/f\~

6)

I '\

'11

- 2x - 3 -4

.. _ ' - .

\

2(

1V2

/ \

~

FIGURA 1. 1.22 GrMica para el problema 48

V

En los problemas 49 y 50, encuentre dos funciones y = f l(x) y y = f2(X) definidas por la ecuaci6n dada. Encuentre e1 dominio de las funciones fl Y12.

<I x

2

49. x = /

y

4

-4

-2 2

V

1\

I If \

2/

4 x

1"---

4 FIGURA 1.1.20

50. x 2

- 5

-

4/ = 16

51. Algunas de las funciones que encontrara despues en este texto tienen como dominio el conjunto de enteros positivos n. La funcion factorial fen) = n! se define como el producto de los n primeros enteros positivos; es decir,

2

~

\ \J

4

f en) = n! = 1 ¡ 2 ¡ 3 . . . (n - 1) . n.

FIGURA 1.1.19 Gnifica para el problema 45

V

4 x

II

21\

--

4

46.

)

/'\

J

I \ I

[V

4

En los problemas 45 y 46, use la gnifica de la funci6nf dada en la figura para estimar los valores f( - 3),f( - 2),f( - 1), f (l ),1(2) y f(3). Calcu1e 1a intersecci6n y . y 4

\ \

-4

+5 48.

42. f(x) = x(x +x

4

~

x

FIGURA 1.1 .21 Gnifica para el problema 47

16

-

1\ 2\

2

4(x - 2)2 - 1

38. f(x) = (2x - 3)(x 2 + 8x + 16) 39. f(x) = x 3 - x 2 - 2x 40. f(x) =

43. f (x) =

x2

7 \\

II

-2

En los problemas 35-44, encuentre las intersecciones x y y de la gnifica de la funci6n dada f , en caso de haberlas . No grafique.

45.

9

Grafica para el problema 46

a) b) c) d)

Evalue f(2), f(3), f(5) Y f(7) .

Demuestre que fen + 1) = fen) . (n Simplifique f(5)/f( 4) Y f(7)/f(5).

Simplifique fen + 3)/f(n) .

+

1).

52. Otra funci6n de un entero positivo n proporciona la suma de los n primeros enteros positivos al cuadrado: Sen)

=

1

"6 n(n + 1)(2n +

1).

a) Encuentre el valor de la suma 2 2 ] 2 + 22 + .. . + 99 + 100 .

b) Encuentre 11 tal que 300 < Sen) < 400. [Sugerel1 cia: Use calculadora.]

10

CAPITULO 1 Funciones

=Pi ense en ello 53. Determine un a ecuacion de una funcion y domini o es a ) [ 3, (0)

= f (x ) cuyo

b) (3 , (0) .

54. Determine una ecuacion de una fu ncion y rango es a)

57. En la pagina 7 se vio que la funcion redondeo hacia el entero superior siguiente g(x) = rxl se define como el menor entero n que es mayor 0 igual ax. Llene los espacios en blanco.

[3, (0 )

= f(x) cuyo -3 < x :S -2 - 2 < x :S - 1 -1 < x:SO O <x:Sl l < x :s 2 2< x:s 3

b ) (3, (0).

55. Con base en la gnifica de fex ) = - x 2 + 2x + 3 dada en la FI GURA 1.1.23, determine el rango y dominio de la funcion g(x) = v'JW. Explique su razonamiento en una 0 dos frases.

=

g(x)

rxl

=

y

58. Grafique la funcion redondeo hacia el entero superior siguiente g(x) = rx 1definida en el problema 57.

59. La funcion definida por partes -f-+-+-+-+~ x

. mt(x)

FIGURA 1.1.23

{lxJ, rx 1,

y

y

=

x <

se denomina funcion entero. Grafique int(x).

60. Analice como graficar la funcion f(x) = [x [ + [x - 3[.

Lleve a cabo sus ideas.

En los problemas 61 y 62, describa con palabras como difieren las graficas de las funciones dadas.

61. f(x) =

.r(x)

g(x)

M2 -- -- - ---

=

p

x2

-

9

~3 '

x-

{:2~;, 4,

62. f(x)

X4 -

g(x)

T FI GURA 1.1.24 Gnifica para el problema 56

9 x - 3' 6,

X2 -

x oF 3 x

hex) = {

=3

xoF3 x=3

1

= -2--1' x X4 -

-+------------~~x

1.2

°

x2:0

GrMica para el problema 55

56. Sea P cualquier punto (x, f(x» sobre la gnifica de una funcion f Suponga que los segmentos de recta PT y PS son perpendiculares a los ejes x y y. Sean M I , M2 Y M 3 , respectivamente, los puntos medios de PT, PS y ST como se muestra en la FIGURA 1.1.24. Encuentre una funcion que describa la ruta de los puntos M I. Repita 10 anterior para los puntos M2 y M 3 .

s

=

= {

1

x-I ' 0,

XoF

x=

X4 -

hex)

2

= {

x 2,

-

1 l'

XoF

x=

Combinacion de funciones

Dos funciones f y g pueden combinarse en varias formas para obtener nuevas funciones . En esta seccion se analizaran dos formas en que es posible combinar funciones: mediante operaciones aritmeticas y a traves de la operacion de composicion de funciones .

I Introducci6n

I Funciones potencia

Una funcion de la forma f(x)

= x"

(1)

se denomina funcion potencia. En esta seccion consideraremos que n es un numero racional.

El dominio de la funcion potencia depende de la potencia n. Por ejemplo, para n = 2, n = ~ y n = - 1, respectivamente, • el dominio de f(x) • el dominio de f(x)

=

=

• el dominio def(x) =

x 2 es el conjunto R de numeros reales 0 ( - 00, (0), X I /2 = \IX es [0, (0), X- I

=

1:. es el conjunto R de numeros reales excepto x x

=

0.

1.2 Comb inaci6n de funciones

Las funciones potencia simples, 0 versiones modificadas de estas funciones, ocurren tan a menudo en problemas en calculo que no es conveniente desperdiciar tiempo valioso trazando sus graficas. Se sugiere conocer (memorizar) el breve catalogo de graficas de funciones potencia que se proporciona en la FIGURA 1.2.1. Usted debe reconocer la grafica en el inciso a ) de la fig ura 1.2.1 como una recta y la grafica en el inciso b) como una parabola.

y

y

---~~~-~x

-------'fL---~x

---""-t.L:....--~x

b) n = 2, fi x ) =x

a)n = 1, f(x )=x

2

c) n = 3, fix) = x

3

y

d) n = 4, fix) =x4

e )n = -J , f(x) =x-I = :k

f) n = - 2, fix) = x - 2 =

y

~

x-

y

-----f---~x

___ _

+-------~x

g) n =

J "2' f(x) =

x

1/ 2

=

r

h) n =

vx

L fi x ) = x l /3 = Tx 3

.

I) n =

2 "3'

~L---~ x

f( x ) = x

2/ 3

,f2

= 'J x-

FIG URA 1.2.1 Breve calalogo de gnificas de funciones polencia

I Combinaciones aritmeticas

Dos funciones pueden combinarse por medio de las cuatro conocidas operaciones aritmeticas de suma, resta, multiplicaci6n y divisi6n.

Definicion 1.2.1 Combinaciones aritmeticas

Si f y g son dos funciones, entonces la sumaf + g, la diferencia f - g, el producto fg y el cociente ff g se definen como sigue:

+ g)(x) = f(x) + g(x) ,

(2)

(f - g)(x) = f(x) - g(x) ,

(3)

(f

(fg)(x) (

gf) (x)

(4)

= f(x)g(x) , =

f(x) g(x )' da g(x)

* O.

(5)

I Dominio de una combinaci6n aritmetica

Al combinar dos funciones aritmeticamente es necesario que ambas f y g esten definidas en el mismo numero x. Por tanto, el dominio de las fUl1cionesf + gJ- g Yfg es el conjunto de numeros reales que son comunes a ambos dominios; es decir, el dominio es la interseccion del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cocienteff g, el dominio tambien es la intersecci6n de los dos dominios, pero tambien es necesario excluir cualquier valor de x para el que el denominador g(x) sea cero. En otras palabras, si el dominio de f es el conjunto Xl y el dominio de g es el conjunto X 2 , entonces el dominio de f + g,f - g yfg es Xl n X 2 , y el dominio deff g es {xix E Xl n X 2 , g(x) O}.

*

11

12

CAPrTULO 1 Funciones

'¥l3ffll4!.I'

Suma de dos funciones potencia Ya se ha visto que el dominio de f(x) = x 2 es el conjun to R de numeros reales, 0 (-00, 00), y el dominio de g (x) = vX es [0, 00). En consecuencia, el dominio de la suma f(x)

+

+ vX

g(x) = x 2

es la interseccion de los dos dominios: (-00,00)

n

[0, 00)

•

[0,00).

=

I Funciones polinomiales

Muchas de las funciones con las que se trabaja en cMculo se construyen al reali zar operaciones aritmeticas sobre funcion es potencia. De especial interes son las funciones potencia (1) donde n es un entero no negativo. Para n = 0, 1,2,3 , ... , la funcionf(x) = x" se denomina funcion polinomial de un solo tt~rmino. Al usar las operaciones aritmeticas de suma, resta y multiplicacion es posible construir funciones polinomi ales con muchos terminos. Por ejemplo, sifl(x) = X3,f2(X) = x 2 ,f3(X) = x y f4(X) = I, entonces fleX) - fz(x)

+ .f3(x) + f 4(X)

=

x3

-

x2

+X+

l.

En general , una funcion polinomial y = f(x ) es una funcion de la forma

+ a,, _lx ,,- 1 + ... + a2x2 + ClIX + ao ,

f(x ) = a"x "

(6)

donde n es un entero no negativo y los coeficientes ai, i = 0, I, ... , n son mimeros reales.

EI dominio de cualquier funcion polinomial f es el conjunto de todos los numeros reales (- 00, 00). Las siguientes funciones no son polinomiales: no cs

lIll

ell tero no negati vo

no es lin entern no ll cgati vo

t y = 2X I / 2

t y = 5x 2

'¥13M4!'WJ

3x- 1

-

y

Suma, diferencias, producto y cociente

Considere las funciones polinomiales f(x) = x 2 a)

4.

-

+

4x y g(x) = x 2

-

9.

Con base en los numerales (2)-(4) de la definicion 1.2.1 es posible producir tres nuevas funciones polinomiales: (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x 2 + 4x) + (x 2 - 9) = 2X2 + 4x - 9, (f - g)(x) = f(x) - g(x) = (x 2 + 4x) - (x 2 - 9) = 4x + 9, (fg)(x) = f(x)g(x) = (x 2 + 4x)(x 2 - 9) = X4 + 4x 3 - 9x 2

b)

-

36x .

Finalmente, con base en el numeral (5) de la definicion l.2.1, L )(x) = f(x) = X2? + ~~. (g g(x) r - 9

•

Observe en el ejemplo 2, puesto que g(-3) = 0 y g(3) = 0, que el dominio del cociente (j/ g)(x) es ( -00,00) con x = 3 y x = - 3 excluidos; en otras palabras, el dominio de (j/g )(x) es la union de tres intervalos: ( - 00, - 3) U (-3, 3) U (3, 00).

I Funciones racionales

La funcion en el inciso b) del ejempl0 2 es un caso de funciones racionales. En general, una fun cion racional y = f(x) es una funcion de la forma

Las fun ciones polino llli aies y rac iol1al es se an alizaran con Ill ~\ s dela lle en la secc ion 1.3.

_ p(x) q(x)

(7)

f(x) - - --- , donde p y q son funciones polinomiales. Por ejemplo, las funciones poi ino1llio

t y

=

x x2

+ 5' y=

x3

-

X

+7

x+3

t

poiinolllio

y

1 x

=-,

1.2 Combinaci6n de funciones

son funciones racionales. La funci6n

Vx

(- 110 ('~ un pol illomio

y = - 2- 1 X -

no es una funci6n racional.

I Composicion de funciones

Dtro metodo para combinar las funcionesfy g se denomina composicion de funciones. Para iLustrar la idea, se supondni que para una x dada en el dominio de g el valor funcional g(x) es un numero en eL dominio de La funci6n f Esto significa que es posible evaluar f en g(x); en otras palabras,j(g(x». Por ejempLo, supongaf(x) = x 2 y g(x) = x + 2.

Entonces, para x = 1, g(l) = 3, Y como 3 es el dominio def, es posible escribir f(g(l» = f(3) = 32 = 9. En efecto, para estas dos funciones particulares resulta que es posible evaluarf en cualquier valor funcionaI g(x); es decir, f(g(x» = f(x + 2) = (x + 2f A continuaci6n se define Ia funci6n resultante, denomin ada composicion de f y g.

Definicion 1.2.2 Composici6n de funciones

Sify g son dos funciones, la composicion defy g, denotada porfo g, es la funci6n definida por

(8)

(fo g)(X) = f(g(x».

La composicion de g y f, denotada por g 0 f, es Ia funci6n definida por

(9)

(g 0 f)(x) = g(f(x».

1¥18M!ijI.M' Si f(x) a)

Dos composiciones

=x + 2

3x Y g(x)

(fog)(x)

=

2X2

+

1, encuentre

b) (gof)(x).

y

Solucion a) Para hacer enfasis se sustituye x por el conjunto de parentesis ( ) y f se escribe en Ia formaf(x) = ( f + 3( ). Entonces, para evaluar (fo g)(x), cada conjunto de parentesis se !lena con g(x). Se encuentra

if g)(x) = f(g(x» = f(2x 2 + I) = (2x 2 + 1)2 + 3(2x 2 + 1) = 4X4 + 4x 2 + I + 3 . 2 X2 + 3 . 1 = 4X4 + 10x 2 + 4. b) En este caso, g se escribe en Ia forma g(x) = 2( )2 + 1. As!, 0

(g 0 f)(x) = g(f(x» = g(X2 + 3x)

= 2(x 2 +

+1 = 2(x + 6x + 9x 2 ) + 1 = 2x4 + 12x 3 + 18x 2 + 1.

3X)2

4

3

•

Los incisos a) y b) del ejemplo 3 ilustran que Ia composici6n de funciones no es conmutativa. Es decir, en general

h!!3MQ!.M' Exprese F(x)

Solncion

Escritura de una func i6n como una composici6n

=

V 6x 3 + 8 como Ia composici6n de dos funciones f

Si f Y g se definen como f(x)

= Vx

y g(x)

F(x) = (f 0 g)(x) = f(g(x» = f( 6x 3

= 6x 3 +

+ 8)

=

y g.

8, entonces

V 6x 3 + 8.

•

13

CAPrTULO 1 Funciones

14

Hay otras dos soluciones para el ejemplo 4. Por ejemplo, si las funciones f y g se definen por f( x ) = V6X+8 y g(x ) = x 3 , observe entonces que (f g )(x) = f(x 3 ) = V 6x 3 + 8.

0

I Dominio de una composicion

Para evaillar la composici6n (f 0 g)(x) = f(g(x» el numero g(x) debe estar en el dominio de f Por ejemplo, el dominio de f(x) = vX es [0, (0) y el dominio de g(x) = x - 2 es el conjllnto de numeros reales (-(X), (0). Observe que no es posible evaluar f(g(1» porque g(1) = -I Y -1 no esta en el dominio de f Para poder sustituir g(x) en f(x), g(x) debe satisfacer la desigualdad que define al dominio de 1, a saber: g(x) 2::: O. Esta ultima desigllaldad es la misma que x - 2 2::: 0 0 x 2::: 2. El dominio de la composici6n f(g(x» = vg(X) = v.x=2 es [2, (0), que s610 es una porci6n del dominic original (- (X), (0) de g. En general, el dominio de la composicion fog es el conjunto de numeros x en el dominio de g tales que g(x) esta en el dominio de f Para una con stante c > 0, las funciones definidas por y = f(x) + c y y = f(x) - c son la suma y la diferencia de la funci6n f(x) y la funci6n constante g(x) = c. La funci6n y = cf(x) es el producto de f(x) y la funci6n constante g(x) = c. Las funciones definidas por y = f(x + c), Y = f(x - c) y y = f(cx) son las composiciones de f(x) con las funciones polinomiaies g(x) = x + c, g(x) = x - c y g(x) = cx, respectivamente. Como veremos dentro de poco, la grafica de cada una de estas no es una transformacion rigida ni una transformacion no rigida de la grafica de y = f(x).

I Transformaciones rigidas

Una transformacion rigida de una grafica es una transfonnaci6n que cambia s610 la posicion de la grafica en el plano xy, pero no su forma. Para la grafica de una funci6n y = f(x) se analizan cuatro tipos de desplazamientos 0 traslaciones.

Traslaciones Suponga que y = f(x) es una funci6n y c es una constante positiva. Entonces la grafica de • y = f(x) + c • y = f(x) - c • y = f(x + c) unidades, • y = f(x - c) unidades.

y

y = .f(x)

es la grafica de f desplazada vertical mente hacia arriba c unidades, es la grafica de f desplazada verticalmente hacia abajo c unidades, es la grafica de f desplazada horizontal mente hacia la izquierda c es la grafica de f desplazada horizontalmente hacia la derecha c

---'''"t'''''-------- x

FIGURA 1.2.2

y

GrMica de y = f(x)

(x. y

y = f(x ) + c y =.f(x)

+ c)

c (x , y )

---"+"--- x

Considere la grafica de una funci6n y = f(x) dada en la FIGURA 1.2.2. Desplazamientos vertical y horizontal de esta grafica son las graficas en rojo en los incisos a)-d) de la FIGURA 1.2.3.

Si (x, y) es un punto sobre la grafica de y = f(x) y la grafica de f esta desplazada, por ejemplo, hacia arriba por c > 0 unidades, entonces (x, y + c) es un pun to sobre la nueva grafica.

En general, las coordenadas x no cambian como resultado de un desplazamiento vertical. Yea las figuras 1.2.3a) y 1.2.3b). En forma semejante, en un desplazamiento horizontal las coordenadas y de puntos sobre la grafica desplazada son las mismas que sobre la grafica original.

Yea las figuras 1.2.3c) y 1.2.3d).

a) Desplazamiento vertical hac ia arriba y

y Y = .f(x+ c)

y =.f(x )

y y =f(x)

y = f(x)

y= .f(x -c)

y = .f(x) - c

c) Desplazamiento horizontal hacia la izqu ierda

b) Desplazamiento vertical hacia abajo

FIGURA 1.2.3 Desplazamientos vertical y horizontal de y = fix) pOl' una cantidad c

>

0

U!i3MQi.¥i

d) Desplazamiento horizontal hacia la derecha

GrMi cas desplaza das

Las graficas de y = x 2 + 1, y = x 2 - 1, y = (x + 1)2 Y Y = (x - 1)2 se obtienen a partir de la grafica de f(x) = x 2 en la FIGURA 1.2.4a) al desplazar esta grafica, a la vez, I unidad hacia arriba (figura 1.2.4b», 1 unidad hacia abajo (figura 1.2.4c», 1 unidad hacia la izquierda (figura 1.2.4d) y 1 unidad hacia la derecha (fig lira 1.2.4e».

1.2 Combinaci6n de funciones

y

v

15

y

y=(., _ 1)2

-

-l-"¥--+-* x

a)

Punto inicial

FIG URA 1.2.4

x

x

b) Desplazamiento hacia arriba

c) Despl azami ento haci a abajo

-+-+-"+"'-+_

x el) Desplazami ento hacia la izqui ercla

x

e) Desplazamiento hacia la clerecha

•

GrMicas desplazaclas en el ejemplo 5

I Combinaci6n de desplazamientos

En general, la grafica de una funci6n y = f(x ±

±

C I)

(10)

C2 ,

donde Cl Y C2 son constantes positivas, combina un desplazamiento horizontal (a la izquierda o a la derecha) con un desp1azamiento vertical (hacia arriba 0 hacia abajo). Por ejemplo, la gr:ifica y = (x + 1)2 - 1 es la grafica de f(x) = x 2 desplazada 1 unidad hacia la izquierda seguida por un desplazamiento vertical 1 unidad hacia abajo. La grafica se proporciona en la

~

EI orde n e n que sc hucc n los despluzUlllienlOS es irreicvunlc .

2

y= (x+ l ) -I

Y

FI GURA 1.2.5.

Otra forma de transformar rigidamente la grafica de una funci6n es por medio de una reflexion en un eje de coordenadas.

x

FIGURA 1.2.5 Gnifica obtenicla por clesplazamientos horizontal y vertical

Reflexiones Suponga que y

-'Ic-1-l-+-~

=

f(x) es una funci6n . Entonces la gr:ifica de

• y = -f(x) es la grafica de f reflejada en el eje x, • y = f( -x) es la grafica de f reflejada en el eje y.

En la FIGURA 1.2.6a) se ha reproducido la grafica de una funci6n y = f(x) dada en la figura 1.2.2. Las reflexiones de esta grafica en los ejes x Y y se ilustran en las figuras 1.2.6b) Y 1.2.6c).

Cada una de estas reflexiones es una imagen especular de la grafica de y = f(x) en el eje coordenado respectivo. y

y

y

y= f (-x )

y = f( x ) -,,"","",~---*x

--"'-1-"""----- - --

y = - .f(x)

x

a) Punto inicial

FIG URA 1.2.6

b) Reflexi6n en el eje x

_ __

~+L-*x

c) Reflexi6n en el eje y

Reflexiones con respecto a los ejes coorclenados

'=!!i@U!"ij

Reflexio nes

Grafique a)

y= - 0

b) y =

v=x.

Solucion El punto inicial es la grafica de f(x) = 0 dada en la FIGURA 1.2.7a). a) La grafica de y = - 0 es la reflexi6n de la gr:ifica def(x) = 0 en el eje x . Observe en la figura 1.2.7b) que como (1,1) esta en la grafica del, el punto (1, -1) esta en la grafica de y = - 0. b) La grafica de y = es la reflexi6n de la grafica def(x) = 0 en el eje y. Observe en la figura 1.2. 7c) que como (1, 1) esta en la grafica de I, el punto (-1, 1) esta en la grafica de y = La funci6n y = parece algo extrafia, pero no olvide que su dorninio esta determinado por el requerimiento de que -x 2:: 0, 0, de manera equivalente, x s 0, Y asi la grafica reflejada esta definida en el intervalo (- 00, 0 ].

v=x v=x.

v=x

/.-. -I · ' .> ).... . eJ ·~ 'S< ": S uq ·

PUBLIC

T 3 ~ RA~

MARKET

Reflexi6n

0

imagen especular

16

CAPITULO 1 Funciones y

y

y

y=h

y =...fX

(1,1)

( - I, I)

--+---+---_x

-+--+---~X

---+--+---i~ X

y= - ...fX (I, -I )

b) Reftexi6n e n el eje x

a) Punto inicial

FIGURA 1.2,7

c) Reftexi6n en el eje y

•

GrMicas en el ejemplo 6

Si una funci6nf se multiplica por una constante e > 0, la forma de la grafica cambia pero retiene, aproximadamente, su forma originaL La grafica de y = ef(x) es la grafica de y = f(x) distorsionada vertical mente; la grafica defse estira (0 elonga) verticalmente 0 se comprime (0 aplana) vertical mente, dependiendo del valor de e, En otros terminos, un estiramiento vertical es un estiramiento de la grafica de y = f(x) alejandose del eje x, mientras que una compresi6n vertical es una compresi6n de la grafica de y = f(x) hacia el eje x , La grafica de la funci6n y = f(ex) esta distorsionada horizontalmente, ya sea por un estiramiento de la grafica de y = f(x) alejandose del eje yo por una compresi6n de la grafica de y = f(x) hacia el eje y, EI estiramiento 0 la compresi6n de una grafica constituyen ejemplos de transformaciones no rigidas,

I Transformaciones no rfgidas

Estiramientos y compresiones Suponga que y la grafica de • y • y

=

f(x) es una funci6n y que e es una constante positiva, Entonces

= ef(x) es la grafica de f estirada vertical mente por un factor de e si e > I, = ef(x) es la grafica de f comprimida verticalmente por un factor de lie si

O<e<l.

• y = f( ex) es la grafica de f estirada horizontal mente por un factor de lie si 0 < e < 1, • y = f(ex) es la grafica de f comprimida horizontalmente por un factor de e si e> 1.

003Mi4!...

Dada f(x) a)

=

x2

Dos compresiones -

x, compare las graficas de

I

y = '2J(x)

b) y = f(2x),

y

Solucion La grafica de la funci6n polinomial dada f se muestra en la FIGURA 1.2,8, a) Con la identificaci6n e = ~, la grafica de y = ~f(x) es la grafica de f comprimida verticalmente por un factor de 2, De los tres puntos mostrados sobre la grafica de la figura L2,8a), observe en la figura 1.2,8b) que las coordenadas y de los tres puntos correspondientes miden la mitad, La grafica original esta girada hacia el eje x, b) Con la identificaci6n e = 2, la grafica de y = f(2x) es la grafica de f comprimida horizontalmente por un factor de 2, De los tres puntos mostrados sobre la grafica de la figura 1.2,8a), en la figura 1.2,8e) las coordenadas x de los tres puntos correspondientes estan divididos entre 2, La grafica original esta girada hacia el eje y, Y 2

Y 2

(- I , I)

(2, I)

1)

-1

a)y=f(x)

FIGURA 1.2,8

Gnlficas de las funciones en el ejemplo 7

1 b)Y=Zf(x)

x

2 c) y =f(2x)

•

1.2 Combinaci6n de funciones

17

El siguiente ejemplo ilustra el desplazamiento, la reflexi6n y el estiramiento de una gnlfica.

DI3M14!.':i

Combinaci6n de transformaciones

2v'.X=3".

Grafiq ue y = 2 -

Solucion Usted debe reconocer que la funci6n dada consta de cuatro transformaciones de la fu nc i6n basicaf(x) = Vx: despla zallli c llIo ve rtical hac ia arriba

des plaz<1llli ent o horizo nt al hac ia la dcrccha

t

t

y = 2 -

2v'.X=3".

t t re lkx i6 n e n eI eje.r

Empezaremos con la gnifica de f( x ) = ilustran en las figuras 1.2.9b)-e).

Vx en la

y

=

FIGURA 1.2.9a).

Las cuatro transformaciones se

y

y

y

y

estirallli cnto ve rt ical

y (3 , 2)

-.IX y=2 -.IX

x

~ x

(0, 0)

(0. 0)

----1t--+--+-~ x

(0 , 0)

b) Estirami ento vertical

a) Punto inicial

FIG URA 1.2.9

y= -2-../x -3 --+-+---+---/-~-~

(3 , 0)

y = - 2-.rx

c) Reftexi6n en el ej e x

x

y=2 -2 -../x - 3

d) Desplazamiento hacia la derecha

•

Gnifica de la funci6n en el ej elllplo 8

e) Desplazamiento hacia arriba

Simetria Si la grafica de una funci6n es simetrica con respecto al eje y, decimos que f es una fun cion par. Se dice que una funci6n cuya grafica es simetrica con respecto al origen es una funcion impar. Contamos con las siguientes pruebas para simetrfa.

I

Pruebas para simetria de la gnifica de una funci6n y

La grafica de una funci6n f con dominio X es simetrica con respecto al • eje y si f( - x) = f(x) para toda x en X, 0 bien, • origen si f( - x) = - f(x) para toda x en X.

(11) (12)

I

fix) - ---'----+----''---_ - x x f( -x) :

En la FIGURA

1.2.10,

observe que si f es una funci6n par y

f ix)

f( - x)

t

t

x

FIGURA 1.2.10 Funci6n par; la grali ca ti ene simetria con respecro al eje y

(x, y ) es un punto en su grafica, entonces necesariamente (-x , y)

tambien es un punto sobre su grafica. De manera semejante, en la FIGURA si f es una funci6n impar y

1.2.11

se observa que y

f( - x) = - I Cr)

fCr)

t

t

(x, y) es un punto en su gnifica, entonces necesariamente (-x, - y)

es un punto sobre su gnifica.

1!I3M4!'.'

Funciones pares e impares a) f(x) = x 3 es una funci6n impar, ya que por (12), fe-x) = (-X) 3 = (_1) 3 x 3 = -x 3 = -f(x).

Una inspecci6n de la figura 1.1.2c) muestra que la grafica de f es simetrica con respecto al origen. POI' ejemplo, puesto quef(l) = I, (1,1) es un punto sobre la gnifica de y = x 3 . Debido a que f es una funci6n impar, f( - 1) = - f(1) implica que ( - 1, -1) esta sobre la misma grafica.

FIGURA 1.2.11 Funci6 n impar; la gnlfica tiene simetria con respecto al origen

18

CAPITULO 1 Funciones

b)

f(x ) =

X

2/ 3

es una funci6n par, ya que par (11) y las leyes de los exponentes, la r'I[, L'Llbica de -

J

c, - I

t fe-x) = ( _ x) 2/ 3 = (-1f /3x 2/ 3 = (\1=l i x 2/3 =

c)

(_1) 2X 2/3

=

X 2/ 3

= f(x),

En la figura 1.2, li) observamos que la gnifica de f es simetrica con respecto al eje y .

Por ejemplo, (8, 4) Y (-8, 4) son puntos sobre la gnifica de y = X 2/ 3 . f(x) = x 3 + I no es par ni impar. Con base en fe-x)

= (-

x)3

+ I=

-x 3

+1

•

se observa quef( - x) "" f(x) yf( - x) "" -f(x).

Las gn'ificas en la figura l.2.1, con el inciso g) como unica excepci6n, presenta simetrfa con respecto al eje y 0 al origen. Las funciones en las figuras 1.2.lb), d), f) e i) son pares, mientras que las funciones en las figuras 1.2.la), c), e) y h) son impares.

Ejercicios 1.2

Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-2.

=

Fundamentos

En los problemas 21 y 22, encuentref o (2f) y f o (l /f).

+ g,f -

En los problemas 1-6, encuentre f

= 2x +

1. f(x)

5, g(x)

=

- 4x

g,fg y f i g·

+8

2. f(x) = 5x , g(x) = 7x - 9 x

1 ~

+ l ' g(x) =

= x2 +

24. f(x) =

3x - 4

Vi

11. f(x) = 3x - 2, g(x) = x

+

0

14. f(x) = 2x

+

0

f

6

1, g(x) = x 2

13. f(x) = x 2 , g(x) = x 3

+

x2

16. f(x) = x

+ 4, g(x) =

2x

1

+4

v'2X+1

+ Vi, g(x) =

26. f(x) = v'2x

+

+ 13

6, (fo g)(x) = 4x2

En los problemas 27 y 28 , exprese la funci6n F como una composici6n fog de dos funciones f y g.

27. F(x) = 2X4 - x 2

1 28. F(x) = x 2 + 9

29. La grafica de f desplazada 2 unidades hacia aniba.

30. La grafica de f desplazada 5 unidades hacia abajo. x

2

31. La grafica de f desplazada 6 unidades hacia la izquierda.

En los problemas 17 y 18, sean f(x) = -v'.X="3 y g(x) = x 2 + 2. Encuentre el dominio de la funci6n dada.

17. fo g

h.

En los problemas 29-36, los puntos (-2, 1) Y (3, -4) estan sobre la grafica de la funci6n y = f(x). Encuentre los puntos correspondientes sobre la grafica, obtenidos por las transformaciones dadas.

3 x 15. f(x) = ~,g(x) = x + 1 2

v.x=-s, g(x) = x 2 + 2, hex) =

25. f(x) = 2x - 5, (f g)(x) = -4x

10. glf

9. f i g

En los problemas 11 -16, encuentre fog y g

12. f(x) = 4x

0

En los problemas 25 y 26, encuentre una funci6n de g ,

8. fg

g

h)(x) = f(g(h(x»).

23. f(x) = x + 6, g(x) = 2x + 1, hex) = 3x - 2

v:x=-r

f+

0

2

En los problemas 7-10, sean f(x) = y g(x) = v'2=-x. Encuentre e1 dominio de la funci6n dada.

7.

1 = x--1

En los problemas 23 y 24, encuentre f o g

= x2 +

2x - 3, g(x)

6. f(x) = x 2 , g(x) =

22. f(x)

(f 0 g

2x - 1 x - 3 4. f(x) = ~,g(x) = 4x + 2

5. f(x)

= 2x 3

La composicion de tres funciones f, g y h es la funci6n

2

3. f(x) = x

21. f(x)

18. go f 2

32. La grafica de f desplazada I unidad hacia la derecha.

33. La grafica de f desplazada 1 unidad hacia aniba y 4 unidades hacia la izquierda.

34. La grafica de f desplazada 3 unidades hacia abajo y 5 unidades hacia la derecha.

En los problemas 19 y 20, sean f(x) = 5 - x Y g(x) = 2 Vi. Encuentre el dominio de la funci6n dada.

35. La grafica de f reflejada en el eje y.

19. go f

36. La grafica de f reflejada en el eje x .

20. f o g

1.2 Combinaci6n de funciones

En los problemas 37-40, use la grafica de la funci6n y = f(x) dada en la figura para graficar las siguientes funciones: a) y c) y e) y

= f(x) + 2 = f(x + 2) = -f(x)

37.

47.

48.

y

b)y=f(x)-2 d) y = f(x - 5) f) y =f(-x)

38.

)'

y

----+----x --j'------ii-----x

y

FIGURA 1.2.19 Gn\fica para el problema 48

FIGURA 1.2.1 8 Gn\fica para el problema 47 -+--+-+--+-+--+~

19

x

49. Complete la tabla, donde f es una funci6n par.

FIGURA 1.2.12 Grafica para el problema 37

FIGURA 1.2.1 3 Gnifica para el problema 38

40.

39.

y

x

0

1

2

3

4

f(x)

-[

2

to

8

0

g(x)

2

-3

0

1

-4

(fog)(x) -t-+-t--!'-+-+--1-~

x

FIGURA 1.2.14 Grafica para el problema 39

50. Complete la tabla, donde g es una funci6n impar.

FIGURA 1.2.15 Gnifica para el problema 40

En los problemas 41 y 42, use la gnifica de la funci6n y = f(x) dada en la figura para graficar las siguientes funciones: a) y c) y e) y

= f(x) + 1 = f(x + 7T)

b)

y d) y

= f(x) - 1 = f(x - 7T/2)

=

f) Y

=

h) y

= --f(x)

-f(x)

g) y = 3f(x)

41.

42.

y

fe-x) [

2

(g

x

0

1

2

3

4

f(x)

-2

-3

0

-1

-4

g(x)

9

7

-6

-5

l3

0

f)(x)

Un chisico matematico En el analisis mate matico de circuitos 0 sen ales, resulta conveniente definir una funci6n especial que es 0 (apagado) hasta cierto numero y luego es 1 (encendido) despues de 10 anterior. La funcion de Heaviside

y

V(x - a) =

{~:

x<a x 2: a,

recibe su nombre en honor al brillante y controvertido ingeniero electrico y mate matico ingles Oliver Heaviside (18501925). La funci6n V tambien se denomina funcion escalon unitario.

-I

FIGURA 1.2.16 Grafica para el problema 41

FIGURA 1.2.17 Grafica para el problema 42

En los problemas 43-46, encuentre la ecuaci6n de la gnifica final despues que las transformaciones dadas se aplican a la grafica de y = f(x).

43. La grafica de f(x) = x 3 desplazada 5 unidades hacia arriba y 1 unidad a la derecha.

2/3

44. La grafica de f(x) = x estirada verticalmente por un factor de 3 unidades y luego desplazada 2 unidades a la derecha.

En los problemas 51 y 52, trace la funci6n dada. La funci6n en el problema 52 algunas veces se denomina funcion vagon o ventana.

51. y = 2 V(x - 1) 52. y = V(x

+ D-

+

V(x - 2)

V(x -

D

53. Encuentre la ecuaci6n para la funci6n FIGURA 1.2.20 en terminos de V(x - a).

f ilustrada en la

)'

y = f(x)

45. La gnifica de f(x) = X4 reflejada en el eje x y luego desplazada 7 unidades hacia la izquierda.

I

46. La gnifica de f(x) =

1 reflejada x

~

en el eje y, luego des-

plazada 5 unidades hacia la izquierda y 10 unidades hacia abajo.

En los problemas 47 y 48, complete la gnifica de la funci6n dada y = f(x) si a)

f

es una funci6n par

y

b)

f

es una funci6n impar.

FIGURA 1.2.20 Grafica para el problema 53

54. La funci6n de Heaviside V(x - a) suele combinarse con otras funciones por adici6n y multiplicaci6n. Dado que f(x) = x 2, compare las graficas de y = f(x - 3) y y = f(x - 3)V(x - 3).

20

CAPITULO 1 Funciones

61. Suponga que el dominio de f es ( - 00,00). l,Cual es la

En los problemas 55 y 56, trace la funcion dada.

55. y = (2x - 5)U(x - I)

_ Piense en ello 57. Determine si f dadera.

0

(g

relacion entre la grafica de y = f(x) y y = f( Ix!)?

56. y = x - xU(x - 3)

+ h) = fog + f

0

h es falsa

0

ver-

62. Revise las graficas de y = x y y = I Ix en la figura 1.2.1.

Luego analice como obtener la grafica de y = Ilf(x) a partir de la grafica de y = f(x). Trace la grafica de y = Ilf(x) para la funcion f cuya grafi ca se proporciona en la figura 1.2.15.

59. Explique por que la grafica de una funcion no puede ser simetrica con respecto al eje x.

63. Suponga que f(x) = x y g(x) = lx J es la funcion redondec hacia el entero inferior anterior. La diferenci a de f y g es la funcion frac(x) = x - lx J denominada parte fraccionaria de x. Explique el nombre y luego grafique frac(x).

60. l,Cuales puntos, en caso de haber, sobre la grafica de y = f(x) permanecen fijos; es decir, los mismos sobre la grafica resultante despues de un estiramiento 0 compresion vertical ? l,Despues de una reflexion en el eje x? l,Despues de una reflex ion en el eje y?

64. Use la notacion de la reflexion de una grafica en un eje para expresar la funcion redondeo hacia el entero superior siguiente g(x) = Ix 1 en terminos de la funcion redondeo hacia el entero inferior anterior f(x) = lxJ (consulte las paginas 7 y IS).

58. Suponga que [-I, I] es el dominio de f(x) = x 2 . l,Cual es el dominio de y = f(x - 2)?

1.3

Funciones polinomiales y racionales

En esta seccion continua el repaso de las funciones polinomiales y de las funciones racionales. Funciones como y = 2x - I , y = 5x 2 - 2x + 4 y y = x 3 , donde la variable x se eleva a una palencia enlera na negativa, son ejemplos de funciones polinomiales. En la seccion precedente se vio que una funcion polinomial general y = f(x) tiene la forma

I Introduccion

f(x)

= a"x" + a"_ lx,, - 1 + ... + a2x2 + alx + ao,

(1)

donde n es un entero no negativo. Una funcion racional es el cociente p(x)

(2)

f(x) = q(x)'

donde p y q son funciones polinomiales.

Las constantes a", a,, - I, ... , ai, ao en (1) se denominan coeficientes ; el numero an se llama coeficiente principal y ao se denomina termino constante del polinomio. Se dice que la mayor potencia de x en un polinomio es el grado de este. De modo que si a" =F 0, entonces se dice quef(x) en (1) es de grado n . Por ejemplo,

I Funciones polinomiales

g raclo 5~

f(x)

= 3x 5

-

4x 3

t

f(x)

= a,

=

1, n

3x

+8 t

lt~ nl1in o

coefic ie nle princ ipa l

es una funcion polinomial de grado 5.

Los polinomios de grados n = 0, n

-

=

2yn

consta nte

=

3 son, respectivamente,

fun cion constante,

+ b, funcion lineal, funcion cuadratica, f(x) = ax + bx + c, 2 3 funcion ctibica. f(x) = ax + bx + ex + d, La funcion constante f(x) = 0 se denomina polinomio cero. f(x)

=

ax

2

Sin duda, usted esta familiarizado con el hecho de que las graficas de una funcion constante y una funcion lineal son rectas. Puesto que el concepto de recta juega un papel importante en e1 estudio del caleulo diferencial, resulta conveniente revisar las ecuaciones de las rectas. En el plano xy hay tres tipos de rectas; rectas horizontales, rectas verticales y rectas inc\inadas u oblicuas.

I Rectas

1.3 Funciones pol inomiales y raciona les 21

I Pendiente Se empezara con la recolecci6n de geometrfa plana de que por dos puntos distintos (X I , Y I ) Y (X2 , Y2 ) en el pl ano pas a Llna sola recta L. Si X I *- X 2, entonces el n(imero )'2 - Y I 111 = - -X l - XI

(3)

se denomina pendiente de la recta determinada por estos dos puntos. Suele acostumbrarse denotar el cambio en y 0 ascenso vertical de la recta por Lly = Y2 - )I I Y el cambio en x 0 recorrido horizontal de la recta por Llx = X 2 - XI , de modo que (3) se escribe 111 = Lly/ Llx. Yea la FI GURA 1.3.1. Como se indica en la FIGURA 1.3.2, cualquier par de puntos distintos sobre una recta con pendiente, por ejemplo, por (X I , )II) , (X2 ' )12) Y (X3 , )13 ) , ( X4, Y4 ) , detennina la mi sma pendiente. En otras palabras, la pendiente de una recta es independiente de la elecci6n de los puntos sobre la recta.

En la FIGURA 1.3.3 se comparan las graficas de rectas con pendientes positiva, negativa, cero e indefinida. En la figura 1.3.3a) vemos, alleer la gnifica de izquierda a derecha, que una recta con pendiente positiva (m > 0) asciende cuando X crece. La figura 1.3 .3b) muestra que una recta con pendiente negativa (m < 0) cae cuando X crece. Si (x J, Y I) Y (X2, )'2) son puntos sobre una recta horizontal, entonces YI = Y2 Y as! su ascenso vertical es Ll)l = Y 2 - )II = 0. Por tanto, con base en (3) la pendiente es cero (m = 0) . Yea la figura 1.3.3c). Si (XI , YI) Y (X2, Y 2) son puntos sobre una recta vertical , entonces X I = X2 Y as! su recorrido horizontal es Llx = X2 - XI = O. En este caso se dice que la pendiente de la recta esta indefinida 0 que la recta no tiene pendiente. Yea la figura 1.3.3d). S610 rectas con pendiente son graficas de funciones.

Yt

Xl

I

: Do.\' < 0

D. y> O

(x , Y3)

3 (x 2, Y2 )

: ascenso ~ vert ica l

:

X4 - .\"3

ascenso : vertical Y2 - Y t

(x "

v,) ____ C'

.

recorrido horizonta l x 2 x

FIGURA 1.3.2 jantes

c) m = O

b) m < O

Triangulos seme-

~W("'Y'l d) m indefinida

Rectas con pendiente a)-c); recta sin pendiente d)

I Ecuaciones de rectas Para encontrar la ecuaci6n de una recta Leon pendiente m, se supone que (x I, Y I) esta sobre la recta. Si (x, y) representa cualquier otro punto sobre L, entonces (3) proporciona )I -

YI

x -

XI

-

-- =

m.

A I mUltiplicar ambos miembros de la ultima igualdad por x - XI se obtiene una ecuaci6n importante. La ecuacion punto-pendiente de la recta que pasa por (X I , Y I ) con pendiente m es

(4) Cualquier recta que no sea vertical debe cruzar el eje y. Si la intersecci6n y es (0, b), en tonces con XI = 0, YI = b, (4) proporciona Y - b = m(x - 0). La ultima ecuaci6n se reduce a la ecuacion pendiente-intercepto de la recta y = mx + b.

1+1#1#.1'

(5)

Ecuaci6n de una recta dadas su pendiente y su ordenada en el origen

Encuentre una ecuaci6n de la recta que pasa por los puntos (4, 3) Y (-2,5).

Solucion

.\" I

Do x= 0 (xl' YI )

x

a)m > O

)'3

recorrid o hori zo nt al

Do x > O

FIG URA 1.3.3

-'4 -

I

I I

Doy = 0

---------+~--T_~~ X

Pendie nte de una

y

(x 2,Y I )

(xl' YI )

X2

FIGURA 1.3.1 recta

Y

Dox > O

------~--1_~----~X

--t---''------~- x

Primero se calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos. Con base en (3),

5 - 3 - - 2 - - -1 - -2 - 4 - -6 3'

111 -

Luego, la ecuaci6n (4) de una recta dadas su pendiente y su orden ada en el origen proporciona â&#x20AC;˘ y - 3 = -~(x - 4) 0 Y = - ~ x + .if.

â&#x20AC;˘ x

22

CAPITULO 1 Funciones

Una ecuaci6n de cualquier recta en el plano es un caso especial de la ecuacion lineal general Ax + By + C = 0, (6) donde A, B Y C son constantes reales. La caracterfstica que proporciona a (6) su nombre lineal es que las variables x y y s610 aparecen a la primera potencia. Los casos de interes especial son C

A

= 0, B

"* 0, da y =

B'

A

"* 0, B

=

=

A'

A

"* 0, B "* 0, da y

=

-S x

0, da x

(7)

C

A

(8) C

(9)

S·

-

De estas ecuaciones, la primera y la tercera definen funciones. Al volver a identificar a - Cj B en (7) como a se obtiene una funci6n constante y = a. Al reidentificar a - Aj B Y -Cj B en (9) como a y b, respectivamente, se obtiene la forma de una funci6n lineal f(x) = ax + b que, excepto por algunos sfmbolos, es la misma que (5) . Al volver a identificar -Cj A en (8) como a se obtiene la ecuaci6n de una recta vertical x = a, que no es una funci 6n.

I Funciones crecientes-decrecientes Recien acabamos de ver en las figuras 1.3.3a) y 1.3.3b) que si a > 0 (10 cual, desempefia la parte de m), los valores de una funci6n linealf(x) = ax + b

crecen cuando x crece, mientras que para a < 0, los valores def(x) disminuyen cuando x crece.

Los conceptos creciente y decreciente pueden extenderse a cualquier funci6n . Se dice que una funci6nfes • creciente sobre un intervalo si f( x,) < f(X2), y • decreciente sobre un intervalo si f( x ,) > f(X2)'

(10) OJ)

En la FIGURA 1.34al la funci6n f es creciente sobre el intervalo [a , b], mientras f es decreciente sobre el intervalo [a , b) en la figura 1.3.4b). Una funci6n lineal f(x) = ax + b crece sobre el intervalo (-00, 00) para a > 0 Y decrece sobre el intervalo (-00, 00) para a < O. y

y

+-+-~--~---+-~ x

a)f(x , ) < !(x2 )

FIGURA 1.34

b)

!(x , ) > f(x 2 )

Funci6n creciente en a); funci6n decreciente en b)

Esta suposicion significa que L, ~ I Rectas paralelas y perpendiculares y Lc SOil rectas

IlO

vcr' ica les.

Si L, Y ~ son dos rectas distintas con pendiente, entonces necesariamente L j y L2 son paralelas 0 se cortan. Si las rectas se cortan formando un angu10 recto, se dice que son perpendiculares. Es posible determinar si dos rectas son paralelas 0 perpendiculares al examinar sus pendientes.

Rectas paralelas y perpendiculares y

Suponga que LI y

~

son rectas con pendientes ml Y m2, respectivamente. Entonces

• LI es paralela a L2 si y s610 si nI l = m2, Y • L j es perpendicular a L2 si y s610 si m 11122 = - 1.

1!!iMid••' +-+--+-1--'.-1---+-'\-++ x

Rectas paralelas Las ecuaciones lineales 3x + y = 2 Y 6x + 2y = 15 pueden volver a escribirse en las formas de la ecuaci6n de la recta dadas su pendiente y su ordenada en el origen y = - 3x + 2 y y = - 3x + respectivamente. Como se anot6 en azul y rojo, la pendiente de cada recta es -3. En consecuencia, las rectas son paralelas. Las graficas de estas ecuaciones se muestran en la FIGURA 1.3.5.

•

1f,

FIGURA 1.3.5 Rectas paralelas en el ejemplo 2

1.3 Funciones polinomiales y racionales 23

~::!!i3MijI

••1

Rectas perpendiculares

y

4 .l' = -3 x+ 2

Encuentre una ecuaci6n de la recta que pasa por (0, - 3) y es perpendicular a la gnifica de 4x - 3y

+ 6 = O.

Solucion Al despejar y, la ecuaci6n lineal dada produce la forma de la ecuaci6n de la recta dadas su pendiente y su ordenada en el origen y = ~x + 2. Esta recta, cuya gnifica se proporciona en azul en la FIGURA 1.3.6, tiene pendiente 1. La pendiente de cualquier recta perpendicular a esta es el recfproco negativo de 1, a saber: - ~ . Puesto que (0, -3) es la intersecci6n y de la recta requerida, par (5) se concluye que su ecuaci6n es y = - ~x - 3. La grafica de la ultima • ecuaci6n es la recta roja en la figura 1.3.6.

I Funciones cuadnlticas La funci6n elevaral cuadrado y = x 2 que se abord6 en las secciones 1.1 y 1.2 es un elemento de una familia de funciones denominadas funciones cuadraticas; es decir, funciones polinomiales de la formaf(x) = ax 2 + bx + c, donde a 0, bye son constantes. Las gr:ificas de funciones cuadraticas, denominadas parabolas, simplemente son transfo rmaciones rfgidas y no rigidas de la grafica de y = x 2 mostrada en la FIGURA 1.3.7.

*

-"'k-+--+Cf-+--+-+-+-_+_ x

v = - ix - 3 .

4

FIGURA 1.3.6 Rectas perpendiculares en el ej emplo 3

I Vertice veje Si la grafica de una funci6n cuadratica se abre hacia arriba a> 0 (0 hacia abajo a < 0), el punto mas bajo (mas alto) (h, k) sobre la parabola se denomina vertice. Todas las parabolas son simetricas con respecto a una recta vertical que pasa por el vertice (h, k). La recta x = h se denomina eje de la parabola. Yea la FIGURA 1.3.8.

I Forma normal El vertice (h, k) de una parabola puede determi narse al volver a plantear la ecuaci6n f(x) = ax 2 + bx + c en forma normal f(x)

=

a(x - h)2

+ k.

(12)

La forma (12) se obtiene a partir de f(x) = ax 2 + bx + c al completar el cuadrado en x. Con la ayuda del calculo diferencial es posible encontrar el vertice de la parabola sin completar el cuadrado.

Como se muestra con el siguiente ejemplo, al trazar las intersecciones y el vertice puede obtenerse un bosquejo razonable de la parabola. La forma en (12) indica que su grafica es la gr:ifica de y = ax2 desplazada horizontalmente Ihl unidades y desplazada vertical mente Ikl unidades.

"iI3MijI•••

-

- -il\--'----+--+-x

El vertic~ es e l punto mas baJ o

( h, k)

GrMica usando las intersecciones y el vertice

Grafique f(x) = x 2

FIGURA 1.3.7 Grafica de la pan\bola mas simple Eje y

;

2x - 3.

a)y = ax 2 + bx +c, a > O

Solucion Puesto que a = 1 > 0, se sabe que la parabola se abre hacia arriba. A partir de f(O) = - 3 obtenemos la intersecci6n (0, - 3). Para averiguar si hay alguna intersecci6n x, resolvemos la ecuaci6n x 2 - 2x - 3 = 0 por factorizaci6n 0 aplicando la f6rmula cuadratica. Con base en (x + l)(x - 3) = 0 encontramos las soluciones x = -1 y x = 3. Las intersecciones x son (-1, 0) Y (3 , 0) . Para localizar el vertice, se completa el cuadrado:

Eje y x= h I I

EI vertice e s el : punto mas a lto : (h, k)

f(x)

=

(x 2

-

2x + l) - 1 - 3

=

(x 2

-

2x + 1) - 4.

Asf, la forma estandar es f(x ) = (x - 1)2 - 4. Al comparar la ultima ecuaci6n con (12) se identifica h = 1 Y k = -4. Podemos concluir que el vertice se encuentra en el punto (1, - 4).

Al usar esta informaci6n se traza una parabola que pasa por estos cuatro puntos como se muestra en la FIGURA 1.3.9.

Al encontrar el vertice de una parabola, de manera automatica se determina el rango de la funci6n cuadratica. Como se muestra claramente en la figura 1.3.9, el rango de f es el intervalo [ - 4, (0) sobre el eje y . En la figura 1.3.9 tambien se muestra que f es decreciente sobre el intervalo (-00,1], pero creciente sobre [1 , (0).

• I Funciones polinomiales de orden superior La grafica de toda funci6n lineal f(x) = ax + b es una recta y la grafica de tada funci6n cuadraticaf(x) = ax 2 + bx + c es una parabola. Estas declaraciones descriptivas definitivas no pueden hacerse con respecto ala gr:ifica de una funci6n polinomial de orden superior. l,Cual es la forma de la grafica de una funci6n polinomial de quinto grado? Resulta que la grafica de una funci6n polinomial de grado n 2': 3 puede tener varias for mas posibles. En general, graficar una funci6n polinomial f de grado n 2': 3 demanda el uso

b)y=ax 2 +bx + c, a < O FIGURA 1.3.8 una parabola

Vertice y eje de

24

CAPITULO 1 Funciones y

, c ,' - h

1

- ;

El rango de os

(I .

FIGURA 1.3.9 ejemplo 4

[ ~ 4.

f

de un instrumento de calculo 0 graficado. No obstante, al tener en cuenta el desplazamiento, el comportamiento extremo, Jas intersecciones y la simetrfa, es posible en muchos casos trazar rapidamente una grafica razonable de una funci6n polinomial de orden superior a ia vez que el trazado de puntos se mantiene en un minimo.

e<)

I Comportamiento final En terminos aproximados, el comportamiento final de cualquier funci6n f es simplemente la forma en que f se comporta para val ores muy grandes de Ixl. En el caso de una funci6n poiinomialf de grado n, su grafica semeja la grafica de y = anx n para valores gran des de 14 Para ver por que la grafica de una funci6n polinomial como f(x) = -2x 3 + 4x 2 + 5 se parece ala grafica de la funci6n polinomial con un solo termino y = -2x 3 cuando Ixl es grande, se factorizara la potencia mas alta de x; es decir, x 3 :

~ 4)

Panibola en el

cst os dos terminns se vuelven

<.I espreci abl es cuando 1.\' 1 es gran de

f(x) =

X

t

t

X

3

3(- 2 + -4+ -x5).

(13)

Al dejar que Ixl crezca sin limite, tanto 41x como 51x 3 pueden aproximarse a cero tanto como se quiera. Asi, cuando Ixl es grande, los valores de la funci6n f en (13) son muy bien aproximados por los valores de y = _2X 3. En general, s610 puede haber cuatro tipos de comportamiento extremo para funciones polinomiales. Para interpretar las flechas en la FIGURA 1.3.10 se analizaran las flechas en, por ejemplo, la figura l.3 .10c), donde se supone que n es impar y que an > O. La posici6n y la direcci6n de la flecha izquierda (la flecha izquierda apunta hacia abajo) indica que cuando x se vuelve no acotada en la direcci6n negativa, los valores de f(x) son decrecientes. Planteado en otros terminos, la gr<ifica esta apuntando hacia abajo. En forma semejante, la posici6n y la direcci6n de la flecha derecha (la flecha derecha apunta hacia arriba) indica que cuando x se vuelve no acotada en la direcci6n positiva, los valores de f(x) son crecientes (la grafica apunta hacia arriba). El comportamiento extremo ilustrado en las figuras 1.3.lOa) y l.3.10c) puede verse en las graiicas que se muestran en la FIGURA 1.3.11 Y FIGURA 2 3 1.3.1 2, respectivamente. Las graficas de las funciones y = -x, y = -x , Y = - x , . . . , y = 8 -x son las graficas en las figuras 1.3.11 y 1.3.12 reflejadas en el eje x, de modo que su comportamiento extremo es como se muestra en las figuras 1.3.lOb) y 1.3.lOd).

c) n impar

b) n par

a) n par

d) n impar

FIGURA 1.3.10 El comportamiento extremo de una funci6n polinomial f depende de su grado n y el signo de su coeficiente principal FIGURA 1.3.11 Graficas de y (azul), y = X4 (rajo) y y = x 6 (verde), y = x 8 (dorado)

= x2 I Simetria de las funciones polinomiales

Resulta facil identificar por inspecci6n las funciones polinomiales cuyas graficas poseen simetrfa con respecto al eje y 0 al origen. La palabras par e impar tienen un significado especial para las funciones polinomiales. Las condiciones fe-x) = f(x) y fe-x) = -f(x) se cumplen para funciones polinomiales donde todas las potencias de x son enteros pares y enteros impares, respectivamente. Por ejemplo, pOleneias pares ~ pOlenci'ls i lllpare s ~r--I'----'l

[(x)

J

r

r

1

= lOx~+ 7x + ~x 3

func i6n imp'll'

funci6n par

potenei as mixlas ,---_---,_---,_---,

ni par ni impar

Una funci6n como lex) = 3x 6 - X4 + 6 es una funci6n par porque todas las potencias son enteros pares; el termino constante 6 es en realidad 6xo, y 0 es un entero no negativo par.

FI GURA 1.3.12 Graficas de y (azul), y = x 3 (rajo) y y = x 5 (verde), y = x 7 (dorado)

=x I Intersecciones de las funciones polinomiales

por el eje y puesto que x

=

La grafica de toda funci6n polinomialfpasa 0 esta en el dominio de la funci6n. La intersecci6n y es el punto

1.3 Funciones polinomiales y racionales

25

(0 ,f(0)). Los ceros reales de una funci6n polinomial son las coordenadas x de las inter seccio-

nes x de su grafica. Un numero c es un cero de una fUIlci6n polillomialf de grado n si y s610 si x - c es un factor de f; es decir,f(x) = (x - c)q(x) , donde q(x) es un polinomio de grado 11 - 1.

Si (x - C)III es un factor de f, donde m > I es un entero positivo, y (x - c)'" + I no es un factor de

/ ; entonces se dice que c es un cero repetido 0 cero de multipJicidad m. Cuando m = 1, c se denomina cero simple. Por ejemplo, -t y ~ son ceros simples de f(x) = 6x 2 - x - I puesto que fpuede escribirse comof(x) = 6(x + t)(x - ~), mientras que 5 es un cero repetido 0 un cero de multiplicidad2 paraf(x) = x 2 - lOx + 25 = (x - 5f. EI comportamiento de la grafica defen una intersecci6n x (c, 0) depende de si c es un cero simple 0 un cero de multiplicidad m > 1, donde m es un entero impar 0 par. Yea la FIGURA 1.3.13.

Intersecciones X de polinomios • Si c es un cero simple, entonces la gnifica de f pasa directamente por el eje x en (c, 0). Yea la figura l.3.13a).

• Si c es un cero de multiplicidad impar m = 3, 5, ... , entonces la gnifica de f pasa directamente pOI el eje x pero se achata en (c, 0). Yea la figura 1.3.13b).

• Si c es un cero de multiplicidad par m = 2, 4, ... , entonces la grafica de f no pasa por el eje x, sino que es tangente a este, 0 10 toca, el eje x en (c, 0). Yea la figura l.3.13c).

a) Cero simple

b)

Cero de multiplicidad impar m = 3, 5, ..

\ ./

(c. 0)

c) Cero de multiplicidad

par m = 2, 4, ...

FIGURA 1.3.13 lntersecciones x de una funcion polinomial f

En el caso en que c es un cero simple 0 un cero de multiplicidad impar, f(x) cambia de signo en (c, 0), mientras que si c es un cero de multiplicidad par, f(x) no cambia de signo en (c , 0). Observamos que dependiendo del signo del coeficiente principal del polinomio, las gn'ificas en la figura 1.3.13 pueden estar reflejadas en el eje x.

'ii@!#J!Q!.&i

GrMicas de funciones polinomiales

Grafique a)

f(x)

=

x3

-

9x

b) g(x)

= (l - x)(x + 1)2

c) hex)

= -(x + 4)(x -

2?

Solucion a) Al ignorar todos los terminos menos el primero observamos que la gnifica de f semeja la gnifica de y = x 3 para Ixl grande. Este comportamiento final de f se muestra en la figura 1.3.10c). Puesto que todas las potencias son enteros impares, f es una funci6n impar y su gnifica es simetrica con respecto al origen. Al hacer f(x) = 0, a partir de

FIGURA 1.3.14 Grafica de la fun cion en el ejempl0 Sa)

y=(I-x)(x+ll y

diferencia de dos cuadrados

x(x 2

b)

c)

t -

9)

=

0

o bien

x(x - 3)(x

+

3) = 0

notamos que los ceros de f son x = 0 y x = ±3. Puesto que estos numeros son ceros simples, la gnifica pasa directamente por las intersecciones x en (0, 0), (-3, 0) y (3,0) como se muestra en la FIGURA 1.3. 14.

AI distribuir la multiplicaci6n de los factores, g es la misma que g(x) = -x3 - x 2 + 3 X + 1 de modo que se observa que la grafica de g semeja la gnifica de y = - x para Ixl grande, justo 10 opuesto del comportamiento final de la funci6n en el inciso a).

Debido a que hay potencias pares e impares de x, g no es par ni impar; su grafica no posee simetrfa con respecto al eje y 0 al origen. En virtud de que -1 es un cero de multiplicidad 2, la gnifica es tangente al eje x en (- 1, 0). Puesto que 1 es un cero simple, la grafica pasa directamente por el eje x en (1, 0). Yea la FIGU RA 1.3.15.

AI inspeccionar h se observa que su gnifica semeja la gnifica de y = -x 4 para Ixl grande. Este comportamiento final de h se muestra en la figura 1.3. lOb). La funci6n h no es par ni impar. A partir de la forma factorizada de hex), se ve que -4 es un cero simple y as! la gnifica de h pasa directamente por el eje x en (-4, 0). Puesto que 2 es un cero de multiplicidad 3, su gnifica se achata cuando pasa por la intersecci6n x (2, 0). Yea la FIGU RA 1.3.16.

•

FIGURA 1.3.15 Gnifica de la funcion en el ejemplo 5b)

y = - (x + 4)(x - 2)3

--~----~~

__~x

( - 4,0)

FI GURA 1.3.16 Gnifica de la funcion en el ejemplo 5c)

26

CAPITULO 1 Funciones I Funciones racionales

Graficar una funci6n racionalf(x) = p(x)/ q(x) es un poco mas complicado que graficar una funci6n polinomial porque ademas de estar atento a las intersecciones, simetria y desplazamiento/reflexi6n/estiramiento de graficas conocidas, tambien es necesario prestar atenci6n al dominio de f y los grados de p(x) y q(x). Estas dos ultimas cuestiones son importantes para determinar si la grafica de una funci6n racional posee asfntotas.

I Intersecciones de funciones racionales La interseccion y de la grafica de f(x) = p(x)/ q(x) es el punto (0,f(0» en el supuesto de que 0 esta en el dominio de f Por ejemplo, la grafica de la funci6n racionalf(x) = (1 - x)/x no cruza el eje y puesto quef(O) no esta definido. Si los polinomios p(x) y q(x) no tienen factores comunes, entonces las intersecciones x de la grafica de la funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) son los puntos cuyas coordenadas x son los ceros reales del numerador p(x). En otras palabras, la unica forma en que es po sible quef(x) = p(x)/q(x) = 0 es cuando p(x) = O. Asi, paraf(x) = (1 - x)/ x, I - x = 0 se obtiene x = 1 Y entonces (1,0) es una intersecci6n x de la grafica de f La grafica de una funci6n racionalf(x) = p(x)/ q(x) puede tener asintotas. Para los objetivos de este libro, las asintotas pueden ser una recta horizontal, una recta vertical 0 una recta inc1inada. En un nivel practico, las asintotas vertical y horizontal de la grafica de una funci6n racionalfpueden determinarse por inspecci6n. Asi, por el bien del analisis se supondra que

I Asintotas

p(x) f(x)

a"x"

+ an-Ix,, - I + ... + alx + ao

= q(x) - = bmx m + b",_IX", - 1 + .. . + b1x + b ' a o

Il

*0 b *0 ,

11/

(14) ,

representa una funci6n racional general. El grado de p(x) es n y el grado de q(x) es m.

Asintotas de graficas de funciones racionales Suponga que las funciones polinomiales p(x) y q(x) en (14) no tienen factores comunes.

• Si a es un cero real de q(x), entonces x = a es una asintota vertical para la grafica de f • Si n = m, entonces y = an/bill (el cociente de los coeficientes principales) es una asintota horizontal para la grafica de f • Si n < m, entonces y = 0 es una asintota horizontal para la grafica de f • Si n > m, entonces la grafica de f no tiene asintota horizontal.

• Si n = m + 1, entonces el cociente y = mx + b de p(x) y q(x) es una asintota inclinada para la grafica de f Con base en la lista anterior observamos que las asintotas horizontal e inc1inada son mutuamente exc1uyentes. En otras palabras, la grafica de una funci6n racional f no puede tener una asintota inc1inada y una asintota horizontal.

'ii!!hiMi4«.*'

Graficas de funciones racionales

Grafique

j

X

y=-2

.

1- x

'

a) f(x) y

, ,

,

i

( FIGURA 1.3. 17 Gnifica de la funcion en el ejemplo 6a)

=

x 1- x

-- 2

x2 b) g(x) =

-

X -

x - 5

6

.

Solncion a) Se empieza con la observaci6n de que el numerador p(x) = x y el denominador q(x) = 1 - x 2 no tienen factores comunes. Tambien, puesto que f( - x) = -f(x), la funci6n f es impar. En consecuencia, su grafica es simetTica con respecto al origen. Debido a que f(O) = 0, la intersecci6n y es (0, 0). Ademas, p(x) = x = 0 implica x = 0, de modo que la unica intersecci6n es (0, 0). Los ceros del denominador q(x) = 1 - x 2 son ± 1. Asi, las rectas x = -1 Y x = 1 son asintotas verticales. Puesto que el grado del numerador x es 1 y el grado del denominador 1 - x 2 es 2 (y 1 < 2), se conc1uye que y = 0 es una asintota horizontal para la grafica de f La grafica consta de tres ramas distintas: una a la izquierda de la recta x = -1, una entre las rectas x = -] y x = 1 Y una a la derecha de la recta x = 1. Yea la FIGURA 1.3.17.

1.3 Funciones polinomiales y racionales 27 b)

De nuevo, observe que eJ numerador p(x) = x 2 - X - 6 y el denominador q(x) = x - 5 de g no tienen factores comunes. Asimismo, f no es impar ni par. A partir de f(O) = ~ se obtiene la intersecci6n y (0, Con base en p(x) = x 2 - X - 6 = 0 0 (x + 2)(x - 3) = 0 observamos que -2 y 3 son ceros de p(x). Las intersecciones x son (-2, 0) y (3, 0). Resulta evidente que el cero de q(x) = x - 5 es 5, de modo que la recta x = 5 es una asintota vertical. Por ultimo, a partir del hecho de que el grado de p(x) = x 2 - X - 6 (que es 2) es exactamente mayor por uno que el grado de q(x) = x - 5 (que es 1), la grMica de f(x) tiene una asfntota inclinada. Para encontrarla, p(x) se divide entre q(x). Ya sea por divisi6n larga 0 divisi6n sintetica, el resultado

y

n

\" =

x

2 -

X -

x -5

-b¥-b!4-H-~I+if-Hf-H-+-t-H~X

FIGURA 1.3.18 Grafica de la fUllci6n en el ejemplo 6b)

.r + 4 es Ia aSlnlClta inc lin ada

6

=

x

~4+~ x-5

muestra que la asfntota inclinada es y = x + 4. La gnifica consta de dos ramas: una a la izquierda de la recta x = 5 Y otra a la derecha de la recta x = 5. Yea la FIGURA 1.3.18.

•

I Posdata: Grafica con un hueco

En todo el analisis de las asfntotas se supuso que las funciones polinomiales p(x) y q(x) en (14) no tenfan factores comunes. Se sabe que si q(a) = 0 y p(x) ... Si p(a) = () Y q(a) = (). e nto ll ees y q(x) no tienen factores comunes, entonces la recta x = a necesariamente es una asfntota verti- por c l tCorCIll <1 de rac tori /.ac ioll cal para la grafica de f. Sin embargo, cuando pea) = 0 y q(a) = 0, entonces x = a puede no ser del ,i lge bra . .r - ({ es Ull rac tm una asfntota; en la grafica puede haber simplemente un hueco. tUlltO de I' COIllO de q.

U!I3MR!'"

Grcltica can un hueco

· I " f() a funClOn x = x Graflque

y

2 -

2

2x - 3 •

.(x)

x - I

Soludon Aunque los ceros de x2 - ] = 0 son ± 1, s610 x = 1 es una asfntota vertical.

Observe que el numerador p(x) y el denominador q(x) tienen el factor comun x + 1, que puede cancelarse en el supuesto de que x =F - 1: la igualdad sc clllnpl e pa ra .r

f(x)

Graficamos y

x-3

= --1' x x-

=

(x (x

+ 1)(x - 3)

+

l)(x - 1)

1

x-

3 • 1

,

.1' = 1 ,, --t-, -- ----- --

* -I

x - 3 - l'

=x

= ' .-

(15)

x=1

FIGURA 1.3.19 Graflca de la fun ci6n en el ejemplo 7

=F -1, al observar que la intersecci6n y es (0, 3), una intersecci6n x

es (3, 0), una asintota vertical es x = 1 y una asfntota horizontal es y = 1. Aunque x = -] no es una asfntota vertical, el hecho de que f no esta definida en ese numero se representa al dibujar un drculo 0 hueco abierto en la grafica en el punto correspondiente a (-I, 2). Yea la ... La eoo rdenada .\' del huceo es e l FIGURA 1.3.19.

f(x)

•

NOTAS DESDE ELAULA

En las dos ultimas secciones hemos trabajado principal mente con funciones polinorniales.

Las funciones polinorniales constituyen los objetos fundamentales de una clase conocida como Cundones algebraicas. En esta secci6n vimos que una funci6n racional es el cociente de dos funciones polinorniales. En general, una funci6n algebraic a implica un numero finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y rakes cuadradas de funciones polinorniales. Asf,

\IX- - y=-x 3 - 2X2 + 7 son funciones algebraicas. Empezando con la siguiente secci6n consideraremos funciones que pertenecen a una clase diferente conocida como Cundones trascendentes. Una funci6n trascendente f se define como una funci6n que no es algebraica. Las seis funciones trigonometricas y las funciones exponencial y logarftmica son ejemplos de funciones trascendentes. y

=

2X2 -

5x, y =

Vx2,

y

va lor de la rraccio n red uc ida ( 15) e ll .r = - I .

28

CAPITULO 1 Funciones

Ejercicios 1.3

las respuestas de los problemas impares seleccionados com ienzan en la pagina RES-3.

=

Fundamentos

En los problemas 1-6, encuentre una ecuaci6n de la recta que pasa por (1, 2) con la pendiente indicada.

2

1.

:3

2. 10

3. 0 5. -1

4. -2

+

9. 2x - 3y

=

12 = 0

8.

9

2x -

3y

3

=

10. -4x - 2y

-~(x + 4? + 9

31. f(x) = (-x - 6)2 - 4

En los problemas 7-10, encuentre la pendiente y las intersecciones x y y de la recta dada. Grafique la recta.

I

28. f(x) = (x + 6)2

27. f(x) = (x - 1O?

29. f(x) =

6. indefinida

7. 3x - 4y

En los problemas 27-32, describa con palabras la forma en que es posible obtener la gnifica de la funci6n dada a partir de y = x 2 por medio de transformaciones rfgidas 0 no rfgidas.

+

=0

6

En los problemas 11-16, encuentre una ecuaci6n de la recta que satisface las condiciones dadas.

30. f(x)

= IO(x - 2)2 - 1

32. f(x) = -(1 - X)2 + 1

En los problemas 33-42, proceda como en el ejemplo 5 y trace la gnifica de la funci6n polinomial dada f.

33. f(x) = x 3

-

34. f(x) = 9x - x 3

4x

35. f(x) = - x 3 + x 2 + 6x 36. f(x) = x 3 37. f(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 4)

+ 7x 2 +

12x

38. f(x) = (2 - x)(x + 2)(x + 1) 39. f(x) = X4 - 4x 3

+

3x 2

40. f(x) = x 2(x - 2)2

11. Pas a por (2, 3) y (6, - 5)

41. f(x) = - X4 + 2X2 - 1

12. Pas a por (5, -6) y (4, 0)

En los problemas 43-48, relacione la gnifica dada con una de las funciones polinomiales en a)-f).

+

13. Pasa por (-2, 4) y es paralela a 3x

y - 5 = 0

a) f(x) = x 2 (x - 1)2 c) f(x) = x 3(x - 1)3 e) f(x) = -x 2(x - 1)

14. Pas a por (5, -7) Y es paralela al eje y.

15. Pas a por (2, 3) y es perpendicular a x - 4y

+

I

=

0

16. Pasa por (-5, -4) y es perpendicular a la recta que pasa por (1, 1) Y (3, 11).

43.

42. f(x) = x 5

b) f(x)

4x 3

= -x 3 (x - 1)

d) f(x) = -x(x - 1)3 f) f(x) = x\x - 1)2

44.

Y

-

Y

En los problemas 17 y 18, encuentre una funci6n lineal f(x) = ax + b que cumpla las dos condiciones dadas.

17. f(-I) = 5,fO) = 6 18. f( -1) = 1 +'f(2),f(3) = 4f(1)

En los problemas 19 y 20, encuentre una ecuaci6n de la recta roja L que se muestra en la figura dada.

19.

FIGURA 1.3.22 Gnifica para el problema 43

20. Y

L

FIGURA 1.3.23 Gnifica para el problema 44

46.

45.

L

- +-+---+_x -]

-~~---1-~X

2

FIGURA 1.3.20 GrMica para el problema 19

3 FIGURA 1.3.21 Grafica para el problema 20

En los problemas 21 -26, considere la funci6n cuadnitica f. a) Encuentre todas las intersecciones de la gnifica de f. b) Exprese la funci6n

FIGURA 1.3.25 Grafica para el problema 46

FIGURA 1.3.24 Gnifica para el problema 45

47.

Y

48.

Y

f en forma normal.

c) Encuentre el vertice y el eje de simetrfa.

d) Trace la gnifica de f. e) i, emil es el rango de f ? f) i,En que intervalo es creciente f? i, Y decreciente?

21. f(x) = x(x + 5) 23. f(x) = (3 - x)(x 25. f(x) = x

2

-

3x

+ 1) +2

22. f(x) = -x 2 24. f(x) 26. f(x)

= =

+ 4x

(x - 2)(x - 6) -

x

2

-r----~~~x

+

6x - 5

FIGURA 1.3.26 Gnifica para el problema 47

FIGURA 1.3.27 GrMica para el problema 48

1.3 Funciones po linom iales y rac ionales

En los problemas 49-62, encuentre todas las asintotas para la grafica de la fu ncion racional dada. Encuentre las intersecciones x y y de la grMica. Trace la grafica de.f.

4x - 9 49. f(x) = 2x + 3

Celsiu s (C )

Fahrenheit (F)

2 12

0

32°

29

Kelv in (K)

- Agua-- IOO°

--Hierve----

- Agua - - - 0°

Se - congela - - 273

--------

--------0

+ 24

50. f(x) = 2x

x -

51. f(x) = 52. f(x)

l

1)2

(x -

4

= ---

+

(x

2)3

x

FIGU RA 1.3.28 Term6metros para los problemas 65 y 66

53. f(x)

=

-7-

54. f(x)

=

x2 x2 _ 4

55. f(x)

= 1 -2 x

x- - 1

67. Interes simple En interes simple la cantidad A devengada con el paso del tiempo es la funcion lineal A = P + Prt, donde P es el capital, t se mide en afios y r es la tasa de interes anual (expresada como un decimal) .

Calcule A al cabo de 20 afios si el capital es P = 1 000 Y la tasa de interes anual es 3.4%. i,En que instante se cumple que A = 2 200?

2

x x(x - 5)

56. f(x) =

-

57. f(x)

x

7--

x- - 9 2

=

-

x

58. {(x) = x

2 -

.

68. Depreciacion lineal La depreciacion de linea recta, 0 depreciacion lineal, consta de un articulo que pierde toda su utilidad inicial de A dolares a 10 largo de un periodo de n afios por una cantidad A/n anual. Si un articulo que cuesta $20000 cuando esta nuevo se deprecia linealmente a 10 largo de 25 afios, determine la funcion lineal que proporciona el valor V despues de x afios, donde o :::; x :::; 25. i,Cual es el valor del articulo al cabo de 10 afios?

9 3x - 10 X

x

2

59. f(x) = x + 2 x 2 - 2x 60. f (x) = x + 2 2

~

61. f(x)

=

x

:x 1- 3

62. f(x)

=

-(x - 1)2 x + 2

63. Determine si los numeros - 1 Y 2 estan en el rango de

I " .

If() af . unClOn raClOna x = 2x-l x + 4 . (x - 3) 2

64. Determine los puntos donde la grafica def(x) corta su asintota horizontal.

= -'---- -

x2

-

5x

=

Mod elos matematicos

65. Temperaturas relacionadas La relacion funcional entre grados Celsius T c y grados Fahrenheit T F es lineal.

Exprese TF como una funcion de Tc si (0 °C, 32 OF) y (60°C, 140 OF) estan en la grMica de T p . Muestre que 100°C es equivalente al punto de ebullicion Fahrenheit 212 oF. Yea la FIGURA 1.3.28.

66. Temperaturas relacionadas La relacion funcional entre grados Celsius T c y unidades kelvin T K es lineal.

Exprese T K como una funcion de T c dado que (0 °C, 273 K) Y (27°C, 300 K) estan en la grMica de T K ' Exprese el punto de ebullicion 100°C en unidades kelvin. El cero absoluto se define como 0 K. i,A que es igual esto en grados Celsius? Exprese T K como una funcion lineal de T F . i,A que es igual 0 K en grados Fahrenheit? Yea la Figura 1.3.28.

69. Una pelota se lanza hacia arriba desde el nive1del pi so con una velocidad inicial de 96 pies/so La altura que alcanza la pelota con respecto al suelo esta dada por la fun cion cuadratica s(t) = - 16t 2 + 96t. i,En que instante la pelota esta en el suelo? Grafique s sobre el intervalo de tiempo para el cual set) :2: O. 70. En el problema 69, i,en que instante la pelota esta a 80 pies por arriba del piso? i,Cuan alto asciende la pelota?

=Piense en ello 71. Considere la funcion lineal f(x) = ~x - 4. Si x se cambia por I unidad, i,cuantas unidades cambia y? i,Si x se cambia por 2 unidades? i,Si x se cambia por n unidades (n un entero positivo)?

72. Considere el intervalo [XI,X2] y la funcion lineal f(x) = ax + b, a =1= O. Demuestre que

f(

XI

+ 2

X2) = f(xl) +{(X2) 2'

e interprete este resultado geometricamente para a > O. 73. i,Como encontraria una ecuacion de la recta que es perpendicular a la bisectriz del segmento de recta que pasa pOl' (t 10)y (~ , 4)?

74. Usando solo los conceptos presentados en esta seccion, i,como demostraria 0 refutarfa que el triangulo con vertices (2, 3), (-1, - 3) y (4, 2) es rectangulo?

30

CAPITULO 1 Funciones

1.4

Funciones trascendentes

I Introduccion

Para Li n repaso de las bases de la ~ c irc Li nferencia llnita ri a y tri go nometria de tri ang ul os rec Uin g ulos, yea las PiigillilS de rec{{rsos al !'in a l del tex to.

En las dos primeras secciones de este capitulo analizamos varias propiedades y graficas de funciones algebraicas. En las tres secciones siguientes estudiaremos las funciones trascendentes. Basicamente, una funci6n trascendente f es una funci6n que no es algebraica. Una funci6n trascendente puede ser tan simple como la funci6n potencia y = x", donde la potencia es un mimero irracional, pero las conocidas funciones trascendentes de prec:ilculo en matematicas son las funciones trigonometricas, las funciones trigonometricas inversas y las funciones exponencial y logaritmica. En esta secci6n se analizan las seis funciones trigonometricas y sus graficas. En la secci6n 1.5 se consideraran las funciones trigonometric as inversas y en la secci6n 1.6, las funciones exponencial y logaritmica.

I Griificas del seno y coseno

Recuerde de precalculo en matematicas que las funciones trigonometricas seno y coseno tienen periodo 27T: sen(x + 27T)

= sen

x

y

cos(x + 27T) = cos x.

(1)

Se dice que la grafica de cualquier funci6n peri6dica sobre un intervalo de longitud igual a su periodo es un cicio de su grafica. La grafica de una funci6n peri6dica se obtiene facilmente al trazar de manera repetida un ciclo de su gr:ifica. En la FIGURA 1.4.1 se muestra un ciclo de la grafica de f(x) = sen x (en rojo); la grafica de f sobre, por ejempl0, el intervalo [-27T , 0] Y [27T , 47T] (en azul) es exactamente la misma que la grafica sobre [0, 27T]. Debido a que f( -x) = sen (-x) = -sen x = -f(x), la funci6n seno es una funci6n impar y su gr:ifica es simetrica con respecto al origen. y

---.~--~~r---~--*---~---4----~--~--~--4---~--~~x

-27T I I I I I

_Unciclo~

FIGURA 1.4.1

Gnifica de y

= sen x

La FIGURA 1.4.2 muestra un ciclo (en rojo) de g(x) = cos x sobre [0, 27T] junto con la extensi6n de ese ciclo (en azul) hacia los intervalos adyacentes [-27T, 0] Y [27T, 47T]. En contraste con la gr:ifica de f(x) = sen x donde f(O) = f(27T) = 0, para la funci6n coseno se tiene g(O) = g(27T) = 1. La funci6n coseno es una funci6n par: g(-x) = cos (-x) = cos x = g(x), de modo que en la figura 1.4.2 puede verse que su grafica es simetrica con respecto al eje y.

Y 1

y = cosx

--~--~--~---+----~--4----+--~L---r---4----+---4--~~x

I

1-+-- - Un cicio

FIGURA 1.4.2

Gnifica de y

= cos

~

x

Las funciones seno y coseno estan definidas para todos los numeros reales x. Tambien, resulta evidente en las figuras 1.4.l y 1.4.2 que - 1 :S sen x:S I

y

- 1 :S cos X :S 1,

o bien, de manera equivalente, Isen xl :S 1 y Icos xl :S 1. En otras palabras, â&#x20AC;˘ el dominio de sen x y cos x es (-00, (0), Y el rango de sen x y cos x es [ - 1, 1].

(2)

1.4 Funciones trascendentes I Intersecciones

En este curso y en cursos subsecuentes de matematicas es importante conocer las coordenadas x de las intersecciones x de las graficas seno y coseno; en otras palabras, los ceros de f(x) = sen x y g(x) = cos x. A partir de la grafica seno de la figura 1.4.1 observamos que los ceros de la funci6n seno, 0 los numeros para los cuales sen x = 0, son x = 0, :::'::7T, :::'::27T, :::':: 37T, . .. Estos numeros son multiplos enteros de 7T. A partir de la grafica coseno de la figura 1.4.2 notamos que cos x = 0 cuando x = :::'::7T/2, :::'::37T/2, :::'::57T/2, . . . Estos numeros son multiplos enteros impares de 7T/2.

Si n representa un entero, entonces 2n + I es un entero impar. En consecuencia, los ceros de f(x) = sen x y g(x) = cos x pueden escribirse en forma breve como: • sen x = 0 para x • cos

X

= n7T,

= 0 para x = (2n

n un entero,

(3)

7T 1)2' n un entero.

+

(4)

Valores numericos adicionales importantes de las funciones seno y coseno sobre el intervalo [0, 7T] se proporcionan en la tabla siguiente.

7T 6

0

-

sen x 0

-

X

cos x

I

7T 4

7T 3

-

V2

1 2

-

V3 2

-

-

-

7T 2

-

27T 3

2

V3 2

I

-

V2

-

1 2

0

1 -2

-

2

37T 4

-

57T 6

-

V2

V3 2

-

1

-

2

V2

--

2 V3 2

--

2

7T 0

(5)

-]

Usted debe poder discernir los valores sen x y cos x sobre [7T, 27T] a partir de esta tabla usando el concepto de circunferencia unitaria y un angulo de referencia. Por supuesto, fuera del intervalo [0, 27T] es po sible determinar valores funcionales correspondientes usando periodicidad.

I Otras funciones trigonometricas

Cuatro funciones trigonometric as adicionales se definen en terminos de cocientes 0 recfprocos de las funciones seno y coseno. La tangente, cotangente, secante y cosecante se definen, respectivamente, por senx tanx = - - , cos x I secx = cosx'

cosx sen x

cotx

= -- ,

I

cscx = - - . senx

(6) (7)

EI dominio de cada funci6n en (6) y (7) es el conjunto de numeros reales excepto aquellos numeros para los cuales el denominador es cero. A partir de (4) se observa que • el dominio de tan x y de sec x es {xix 0/= (2n

+ 1)7T/2, n = 0, :::'::1, :::'::2, . .. }.

De manera semejante, a partir de (3) se conc1uye que • el dominio de cot x y de csc x es {x ix 0/= n7T, n = 0, :::':: 1, :::'::2, . . .}.

Ademas, a partir de (2), ]

Isecxl =

-->1 I coIs x I =Icos xl -

Icscxl =

I

y

se~ x I

Isen x I

~

l.

(8)

(9)

Recuerde que una desigualdad con valor absoluto como (8) significa sec x ~ ] 0 sec x :S - 1.

Por tanto, el rango de las funciones sec ante y cosecante es (-00, -]] U [ 1, (0). Las funciones tangente y cotangente tienen el mismo rango: (-00, (0). Al usar (5) pueden determinarse algunos valores numeric os de tan x, cot x, sec x y csc x . Por ejemplo, tan 27T = sen(27T/3) = V3/2 =-V3 3 cos (27T/3) -1/2 .

31

32

CAPrTULO 1 Fu nc iones I Graticas

Los numeros que hacen cero los denominadores de tan x, cot x, sec x y csc x con'esponden a asintotas verticales de sus grMicas. En virtud de (4) , las asintotas vertic ales de las graficas de y = tan x y y = sec x son x = ± 7T /2, ±37T /2, ±S7T/2, . .. Por otra parte, a partir de (3), las asintotas verticales de las grMicas de y = cot x y y = csc x son x = 0, ±7T, ±27T, ±37T , .. .

Estas asintotas son las rectas discontinuas rojas en las FIGURAS 1.4.3- 1.4.6.

y

y

y = tan x

FIGURA 1.4.3 Gratica de y

= tan

x

FIGURA 1.4.4

y

y = sec x

, , , ,

, , , ,

1T

1T

I I I I

,,

,

, , ,

I I I

, I I

I ,

I I

, , , ,

FIGURA 1.4.5 Gnltiea de y

1T

= cot x

'U ' 2 , , , ,

,,, ,,

, , , ,

-+----~---r----~--_+----~--_+----~--~~ x

- 1T

GrMica de y

,, ,, ,

) -2(\2 -] 2(\2 31T

y= cotx

1T

--4----4----4----4----4----4----4----4----~X 1T

31T

'( \' , , , , , ,

, I

= sec x

FIGURA 1.4.6 Gnitiea de y

, , , , , ,

, ,

= esc x

Porque las funciones seno y coseno son peri6dicas con periodo 27T, sec x y csc x tambien son peri6dicas con periodo 27T . Pero a partir de las figuras l.4.3 y 1.4.4 debe resultar evidente que el periodo de las fu nciones tangente y cotangente es 7T: tan(x + 7T) = tan x

y

cot(x

+ 7T) = cot

(10)

x.

Tambien, tan x, cot x y csc x son funciones impares ; sec x es una funci6n par.

y grilficas Es posible obtener variaciones de las graficas de las funciones trigonometricas por medio de transformaciones rfgidas y no rigidas. GrMicas de funciones de la forma

I Transformaci6n

y = D + A sen(Bx + C)

y = D

o bien,

+A

cos(Bx

+

C),

(11)

donde A, B > 0, C Y D son constantes reales, representan desplazamientos, compresiones y estiramientos de las grMicas seno y coseno basicas. Por ejemplo, ciesp laz<1l11 icn to vertica l ~

y

=

D

cst ira lll icnto/col11prcsion/rc ll cxitin vert ica l ~

+

A sen(Bx

t

+

C).

t

est iralll icnto/cOI11 pres iti n ciesp laz<1miento horiw nt al horizon tal al caillbiar e l peri ocio

EI mlmero IAI se denomina amplitud de las funciones 0 de sus grMicas. La amplitud de las funciones basicas y = sen x y y = cos x es IA I = 1. El periodo de cada funci6n en (11) es 27T / B, B > 0, y la pOl'ci6n de la grafica de cada funci6n en (ll ) sobre el intervalo [0, 27T / B 1 se denomina un cicio.

1.4 Func iol1es trascendentes

33

ll!1#@!.I'

Periodos a) EI periodo de y = sen 2x es 2n/2 = n, y en consecuencia un cicio de la gnifica se completa en el intervalo [0, n ] . b) Antes de determinar el periodo de sen ( -~ x) primero es necesario que vol vamos a escribir la funci6n como sen ( -~x) = -senGx) (el seno es una funci6n impar). Ahora, el periodo es 2n/~ = 4n, y por consiguiente un cicio de la grMica se completa en el • intervalo [0, 4n] .

[*,1#1#••'

y

GrMicas de transformac iones verticales

Grafique a)

y = cos x

y

=

1

-2 cos x

b) y

FIGURA 1.4.7 Gnifica de la fun ci6n en el ej emplo 2a)

I + 2 sen x .

Solucion a ) La gnifica de y = - ! cos x es la grMica de y = cos x comprimida verticalmente por un factor de 2, y el signo menos indica que luego la grMica es reflejada en el eje x.

Con la identificaci6n A = - ! se observa que la amplitud de la funci6n es IA I = I-!I = !. La gnifica de y = - ~ cos x sobre el intervalo [0, 2n ] se muestra en rojo en la FIGURA 1.4.7. b) La gnifica de y = 2 sen x es la gnifica de y = sen x estirada verticalmente pOI' un factor de 2. La amplitud de la grafica es IA I = 12 1 = 2. La grafica de y = 1 + 2 sen x es • la grafica de y = 2 sen x desplazada una unidad hacia arriba. Yea la FIGURA l.4.B .

h!isMi#.W'

y

3

2

--4---+---~~--/+~ x

-1

FIGURA 1.4.8 Gn'ifica de la funci6n en eI ejemplo 2b)

GrMica coseno comprim ida horizontalmente

Encuentre el periodo de y = cos 4x y grafique la funci6n.

Solucion Con la identificaci6n de que B = 4, se ve que el periodo de y = cos 4x es 2n/4 = n/2. Se concluye que la grMica de y = cos 4x es la grMica de y = cos x comprimida horizontalmente. Para graficar la funci6n, se traza un cicio de la grMica coseno con amplitud I sobre el intervalo [0, n /2] y luego se usa la periodicidad para extender la grafica. La FIGURA 1.4.9 muestra cuatro ciclos completos de y = cos 4x (el cicIo basico en rojo y la grafica extendida en azul) y un cicio de y = cos x (mostrado en verde) sobre [0, 2n]. Observe que y = cos 4x alcanza su minimo en x = n/4 puesto que cos 4(n/4) = cosn = -1 Y su maximo en x = n /2 puesto que cos 4( n /2) = cos 2n = 1.

•

y

y = cos4 x

7T- W -: - 1

J

4 2 \;

.\j:x 27T

FIGURA 1.4.9 Gnifica de la funci6n en el ejemplo 3

Por la secci6n 1.2 se sabe que la grafica de y = cos (x - n /2) es la grafica coseno basica desplazada hacia la derecha. En la FIGURA 1.4.10 la grafica de y = cos(x - n/2) (en rojo) sobre el intervalo [0, 2n] es un cicIo de y = cos x sobre el intervalo [- n /2, 3n/2] (en azul) desplazada horizontalmente n /2 unidades a la derecha. En forma semejante, las graficas de y = sen(x + n /2) y y = sen(x - n /2) son las graficas seno basicas desplazadas horizontal mente n /2 unidades ala izquierda y ala derecha, respectivamente. Yea la FIGURA 1.4.11 Y la FIGURA 1.4.12. y

y

y = sen x

y = sen

(x -~)

--+---J---f-~~~~--r-~ x 7T 27T

2

y=

cosx

FIGURA 1.4.10 Gnifica coseno desplazada horizontalmente

y=

sen (x+~ )

FIGURA 1.4.11 Gnifica seno desplazada horizontalmente

y

=

sen x

FIGURA 1.4.12 Gnifica seno despJazada horizontalmente

Al comparar las grMicas rojas en las figuras 1.4.1 0-1.4.12 con las grMicas en las figuras 1.4.1 y 1.4.2 se observa que • la grMica coseno desplazada n /2 unidades a la derecha es la grMica seno, • la grMica seno desplazada n /2 unidades a la izquierda es la grafica coseno, y • la grMica seno desplazada n /2 unidades a la derecha es la grafica coseno reflejada en el eje x .

34

CAPITULO 1 Funciones

En otras palabras, se han comprobado gnificamente las siguientes identidades cos(X

-~) = sen x ,

sen (X

+

~) = cos x

sen(x -

y

~) =

-cosx.

( 12)

Suponga que f(x) = A sen Bx. Entonces f( X +

~) = A senB(x + ~) = A sen(Bx + C).

( 13)

EI resultado en (13) muestra que la gnlfica de y = A sen(Bx + C) puede obtenerse al desplazar la grafica de f(x ) = A sen Bx hori zontal mente una distancia ICli B. Si C < 0, el desplazamiento es hacia la derecha, mientras que si C > 0, el desplazamiento es hacia la izquierda. El numero ICli B se denomina desplazamiento de rase de las graficas de las funciones en (3).

l¥hIMQ!•• , La gr::'ifica de y ci6n.

Grafica coseno desplazada horizontalmente =

10 cos 4x esta desplazada 7T1 12 unidades a la derecha. Encuentre su ecua-

Al escribir f(x) = lOcos 4x y usar (13) encontramos

Solncion

o bien,

y = 10 cos( 4x -

~).

En la ultima ecuaci6n se identifica C = -7T/ 3. EI desplazamiento de fase es 7T/ 12.

Nota: Como cuesti6n practica, el desplazamiento de fase para y = A sen(Bx + C) cos(Bx

• 0

Y= A

+ C) puede obtenerse al factorizar el numero B a partir de Bx + C. Por ejemplo, y = A sen(Bx

1¥!§MQ!'¥j

+

C)

=

A senB(x

+ ~).

Graficas desplazadas horizontal mente

Grafique a)

y

.v=lsen(2x-!!') ..

3

3

y

= 3 sen(2x - 7T/3)

b) y

Soincion a) Para efectos de comparaci6n, primero graficaremos y = 3 sen 2x. La amplitud de y = 3 sen 2x es IA I = 3 y su periodo es 27T12 = 7T. Asf, un cicio de y = 3 sen 2x se completa sobre el intervalo [0, 7T] . Luego, extendemos esta gr::'ifica hacia al intervalo adyacente [7T, 27T] como se muestra en azul en la FIGURA 1.4.1 3. A continuaci6n, volvemos a escribir y = 3 sen(2x - 7T/ 3) al factorizar 2 de 2x - 7T/ 3:

2 1

y

- I

-2 -3 v = 3 sen2x

FIGURA 1.4.13

GrMica de la funci6n en el ejemp lo Sa) y

y = 2 c<" (7T X +7T)

= 2COS(7TX + 7T).

b)

=

3sen(2x

- ~) = 3sen2(X -~).

A partir de la forma de la ultima expresi6n vemos que el desplazamiento de fase es 7T16. La gr::'ifica de la funci6n dada, mostrada en rojo en la figura 1.4.13, se obtiene al desplazar la gr::'ifica de y = 3 sen 2x (en azul) 7TI 6 unidades a la derecha.

La amplitud de y = 2 cos TTX es IA I = 2 Y el periodo es 27TI 7T = 2. As!, un cicio de y = 2COS7TX se completa sobre el intervalo [0, 2]. En la FIGURA 1.4.14 se muestran (en azul) dos ciclos de la grafica de y = 2 cos 7TX. Las intersecciones x de esta gr::'ifica corresponden a los valores de x para los que cos TTX = O. Por (4) , esto implica TTX = (2n + 1)7T12 0 x = (2n + 1)/ 2, con n un entero. En otras palabras, para n = 0, -1 , +b 1 + .

L uego, aI vo Iver I , -2 " 2 -3 , . . . 0 btenemos x -- +!

- 2' - 2 2' Y aSl, suceslvamente. a escribir la funci6n dada como

y=2C OS 1T X

FIGURA 1.4. 14

Grafica de la funci6n en el ejemplo Sb)

y = 2COS7T(X

+

1)

observamos que el desplazamiento de fase es 1. La grafica de y = 2 cos( TTX + 7T) mostrada en rojo en la figura 1.4.14 se obtiene al desplazar 1 unidad a la izquierda la gr::'ifica de y = 2COS7TX (en azul). Esto significa que las intersecciones x son las • mismas para ambas gr::'ificas.

1.4 FUilciol18S trascendentes 35

En matematicas aplicadas, las funciones trigonometricas sirven como modelos matematicos para muchos fen6menos peri6dicos.

mM@!"ij

Corriente alterna

Un modelo matematico para la corriente I (en amperes) en un alambre de un circuito de corriente alterna esta dado por I(t) = 30 sen 1207Tt, donde t es el tiempo medido en segundos. Trace un ciclo de la grafica. i,Cual es el valor maximo de la corriente?

Solucion La grafica tiene una amplitud 30 y periodo 27T / 1207T = rio. En consecuencia, trazamos un ciclo de la curva senD basic a sobre el intervalo [0, rio], como se muestra en la FIGURA 1.4 15. A partir de la figura, resulta evidente que el valor maximo de la corriente es I = 30 amperes y ocurre en el intervalo [0, rio] en t = 2~O puesto que

â&#x20AC;˘

1

30

1(1 ) = :lOsen 120 ,, 1

-30

FIGURA 1.4.15 La gratica de la corriente en el ejemplo 6, mLiestra que hay 60 ciclos en Lin segundo

Las identidades trigonometric as se usan en todo el ca\culo, especialmente en el estudio del calculo integral. Para facilitar las referencias, a continuaci6n se enumeran algunas identidades que revisten particular importancia.

I Para referencia futura

Identidades pitagoricas sen 2 x + cos 2 x = 1

(14)

(15)

+ cot" x

=

csc 2 X

(16)

Formulas de suma y diferencia (17) (18)

Formulas para el doble de un angulo sen 2x

=

2 senx cosx

(19)

(20) Formulas para la mitad de un angulo sen

2

x_I

2 - 2(1

cos x )

(21) (22)

Identidades adicionales pueden encontrarse en las Paginas de recursos al final de este texto.

Ejercicios 1.4

Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-5.

=

Fundamentos

En los problemas 1-6, use tecnicas de desplazamiento, estiramiento, compresi6n y reflexi6n para dibujar por 10 menos un ciclo de la grafica de la funci6n dada.

1. Y =

1

2 + cosx

3. y = 2 - senx 5. y = -2

+ 4 cosx

2. y = - 1 + cos x 4. y = 3

+

3 senx

6. y = 1 - 2 sen x

En los problemas 7-14, encuentre la amplitud y el periodo de la funci6n dada. Trace por 10 menos un ciclo de la grafica.

7. Y

=

9. y

= -3 cos 27TX

11. y

=

4 sen 7TX

8. y

2 - 4 senx

13. y = 1

2x

+ cos '3

=

-5sen

2x

10. y =

25 cos 4x

12. y

=

2 - 2 sen 7Tx

14. y

= - 1 + sen

27TX

36

CAPITULO 1 Funciones

En los problemas 15-18, la figura dada muestra un ciclo de una gnifica seno 0 coseno. A partir de la figura, determine A y D y escriba una ecuaci6n de la forma y = D + A sen x o y = D + A cos x para la grMica.

15.

Y

24.

Y

23.

y

--t---.I--+--+--j~

-+-----\;------J-~

x

x

-4

- I

3

FI GURA 1.4.24 Gnifica para el problema 23

x

En los problemas 25-34, encuentre la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la funci6n dada. Trace por 10 menos un ciclo de la grafica.

-3 FI GURA 1.4. 16

16.

Grafica para el problema 15 Y 1

X

-~)

26. y= sen( 3x -

27. y = cos(x

+~)

28. y = -2COS( 2x -

17.

Gnifica para el problema 16

Y

29. y = 4COS( 2x _ 3;)

30. y = 3sen(2x

31. y = 3 sen (~ -

32. y =

4

33. y = --r-~~----------~--+*x

21T

- 2 FIG URA 1.4.18

18.

~)

1T

4

FIGURA 1.4. 17

~)

25. y = sen(x

4 - 1T

FIGURA 1.4.25 Grafica para el problema 24

Grafica para el problema 17

Y -+----------~~~_+~ x

~)

-4sen(~x - ~)

-cos(~

+~) - 1T )

34. y = 2COS( -21TX _ 4;)

En los problemas 35 y 36, escriba una ecuaci6n de la funci6n cuya grafica se describe con palabras.

35. La grafica de y = sen 1TX esta estirada verticalmente hacia arriba por un factor de 5 y esta desplazada ~ unidad hacia la derecha.

36. La grafica de y = 4 cos~ esta desplazada 8 unidades hacia

21T

abajo y esta desplazada 21T / 3 unidades hacia la izquierda.

-l

FIGURA 1.4.19

Gr:ifica para el problema 18

En los problemas 19-24, la figura dada muestra un ciclo de una gn'ifica senD 0 coseno. A partir de la figura, determine A y B y escriba una ecuaci6n de la forma y = A sen Bx 0 y = A cos Bx para la gnifica.

19.

Y

20.

Y

2

3

En los problemas 37 y 38, encuentre las intersecciones x de la grafica de la funci6n dada sobre el intervalo [0, 21T]. Luego, use periodicidad para encontrar todas las intersecciones.

37. y = - 1 + sen x 38. y = I - 2 cos x En los problemas 39-44, encuentre las intersecciones x de la grafica de la funci6n dada. No grafiq ue.

39. y = sen 1TX 40. y = -cos 2x x

42. y

41. y = 10cos2:

-+----~----7-~X

~)

=

3 sen(-5x)

44. y = cos(2x - 1T)

-2

43. y = sen(x -

FIGURA 1.4.21 Gnifica para el problema 20

En los problemas 45-52, encuentre el periodo, las intersecciones x y las aSlntotas verticales de la funci6n dada. Trace por 10 menos un ciclo de la grMica.

-3 FIGURA 1.4.20 Gnlfica para el prob lema 19

21.

Y

22.

x

45. y = tan1TX

46. y= tan 2:

47. y= cot2x

48. y

=

C'

50. y

=

I

2 ---I---~-----+--+-~x

-I--t--T----+~ x

I

2 FIGURA 1.4.22 Grafica para el problema 21

49. y = tan 2:-"4 1T) FIGURA 1.4.23 Grafica para el problema 22

51. y

=

- 1

+ COt1TX

1TX

-cot3

~cot(x - ~)

52. Y = tan(x

+ 5;)

1.5 Funcianes inversas

En los problemas 53-56, encuentre el periodo y las asintotas verticales de la funci6n dada. Trace por 10 menos un cicio de la gnifica.

53. Y = 3 csc 71'X 55. Y = seC(3x -

54. Y

~)

=

x

- 2csc 3

56. Y = csc(4x +

37

60. Lanzamiento de bala El alcance de una bala soltada desde una altura h por arriba del nivel del pi so con una velocidad inicial Va a un angulo 1> con respecto a la horizontal puede apraximarse por el modelo matematico R

71')

=

Va cos g

1> [va sen 1> + V v6

sen 2 1>

+ 2gh],

=

donde g es la aceleraci6n debida a la gravedad. Yea la

57. Profundidad del agua La profundidad del agua d ala entrada de un puerto pequeno en el in stante t es modelada por una funci6n de la forma

a) Si va = 13.7 mis,

Modelos matematicos

d(t) = D

+

FIGURA 1.4.26.

AsenB(t -

~) ,

donde A es la mitad de la diferencia entre las profundidades de la marea alta y la marea baja, 271'/B, B > 0 es el periodo de mareas y D es la profundidad media.

Suponga que el periodo de mareas es 12 horas, la profundidad media en la marea alta es 18 pies y que la profundidad en la marea baja es 6 pies. Dibuje dos cicIos de la grafica de d.

58. Temperatura Fahrenheit T(t)

1> = 40° Y g = 9.8 m/s2, compare los alcances que se obtienen para las alturas h = 2.0 m

y h = 2.4 m. b) Explique por que un incremento en h produce un

incremento en el alcance R si los otros parametros se mantienen fijos. c) ~Que implica 10 anterior respecto ala ventaja que la altura otorga a un lanzador de bala? y

Suponga que

71'

= 50 + 10 sen 12 (t - 8), 0::; t ::; 24

es un modelo matematico de la temperatura Fahrenheit a las t horas despues de medianoche durante un cierto dia de la semana. a) b) c) d)

~Cual

es la temperatura a las 8 a.m.? que hora(s) se cumple T(t) = 60?

Trace la grafica de T. Encuentre las temperaturas maxima y minima, asi como las horas a que ocurren.

----~~-----r--~----------------~--~x

~A

FIGURA 1.4.26

Proyectil en el problema 60

=Piense en ello

=Problemas con calculadora/SAC

61. La funci6n j(x) = sen ~x el periodo de j?

59. Aceleracion debida a la gravedad Debido al movimiento de rotaci6n de la Tierra, la forma de esta no es esferica, sino que se elonga en el ecuador y se achata en los polos. Como resultado, la aceleraci6n debida a la gravedad no es la con stante 980 cm/s 2 , sino que varia con la latitud (). Estudios satelitales han sugerido que la aceleraci6n debida a la gravedad g es aproximada por el modelo matematico

62. Analice y luego dibuje las graficas de y y y = Icos xl-

g = 978.0309 + 5.18552 sen

2

() -

Encuentre g a) en el ecuador (() = 0°), b) en el polo norte y c) a 45° latitud norte.

1.5

2

0.00570 sen 2().

+ sen 2x es peri6dica.

.

Isen

xl

63. Analice y luego dibuje las grMicas de y = Isec xl y y = Icsc xl64. ~Es posible que la soluci6n de la ecuaci6n dada sea un mimero real? a) 9 csc x = 1 c) sec x = -10.5

b) 7

+ 10 sec x = 0

En los problemas 65 y 66, use las graficas de y = tan x y y = sec x para encontrar mimeros A y C para los que se cumpIa la igualdad dada.

65. cot x

=

A tan(x

+ C)

Funciones inversas

I Introducci6n

~Cual es

En la secci6n 1.1 vimos que una funci6nj es una regIa de correspondencia que a cada valor x en su dorninio X asigna un solo valor 0 un valor unico y en su rango. Esta regIa no excluye el hecho de que el mismo numera y se asocie con varios valores diferentes de x. Por ejemplo, paraj(x) = - x 2 + 2x + 4, el valor y = 4 en el rango dejocurre en x = 0 0 en x = 2 en el

66. csc x

=

A sec(x

+ C)

38

CAPITULO 1 Funciones

dominio def Por otra parte, para la funcionf(x) = 2x + 3, el valor y = 4 solo ocurre en x = ~. En efecto, para cada valor yen el ran go de f(x) = 2x + 3, corresponde solo un valor de x en el dominio. A las funciones de este ultimo tipo se ha asignado el nombre especial de uno a uno.

Definicion 1.5.1

Funcion uno a uno

Se dice que una funcion es uno a uno si cada numero en el rango de f se asocia con exactamente un numero en su dominio X.

I Prueba de la recta horizontal Cuando la definicion 1.5.1 se interpreta geometricamente, significa que una recta horizontal (y = constante) puede cortar la gnifica de una funcion uno a uno

en cuanto mucho un punto. Ademas, si toda recta horizontal que corta la grafica de una funcion 10 hace en cuanto mucho un punto, entonces la funcion necesariamente es uno a uno. Una funcion no es uno a uno si alguna recta horizontal corta su grafica mas de una vez.

a) No es uno a uno

'¥I3MQ!.M' a)

b) b) Uno a uno

FIGURA 1.5.1 Dos tipos de funciones en el ejemplo I

Prueba de la recta horizontal

En la FIGURA 1.5.1a) se muestra la grafica de la funcionf(x) = x 2 + 1 y una recta horizontal y = c que corta la gr<ifica. La figura indica claramente que hay dos mlmeros XI y X2 en el dominio de f para los cuales f(xI) = f(X2) = c. Por tanto, la funcion f no es uno a uno.

Al analizar la figura 1.5.1b) se encuentra que para toda recta horizontal y = c que corta la grafica def(x) = x 3 , solo hay un numero XI en el dominio deftal quef(xI) = c. La funci6n f es uno a uno.

•

Suponga que f es una funcion uno a uno con dominio X y rango Y. Puesto que to do numero y en Y corresponde a precisamente un numero X en X, la funcionf debe realmente determinar una funcion "revers a" g cuyo dominio es Y y cuyo rango es X. Como se muestra en la FIGURA 1.5.2,fy g deben satisfacer

I Inversa de una funcion uno a uno

Dominio de

f

f

Rango de

f

~ Rango de g

FIGURA 1.5.2

f(x)

Una funci6n

f y su

y

g(y)

=

x.

(1)

Las ecuaciones en (l) son en realidad composiciones de las funciones f y g: f(g(y»

Dominio deg

funci6n inversa g

=y =y

(2) = x. funcion inversa de f Al seguir la convenci6n de que y

g(f(x»

La funcion g se denomina inversa de f 0 cada elemento del dominio se denota por el sfmbolo x, la primera ecuacion en (2) vuelve a escribirse como f(g(x» = x . A continuaci6n se resumen los resultados proporcionados en (2).

Definicion 1.5.2 Funci6n inversa

Sea f una funcion uno a uno con dominio X y rango Y. La inversa de f es la funci6n g con dominio Y y rango X para la cual

y

f(g(x»

=

para toda X en Y,

(3)

g(f(x»

= x para toda x en X.

(4)

X

Por supuesto, si una funcion no es uno a uno, entonces no tiene funci6n inversa.

La inversa de una funcionf suele escribirse como f- I y se lee ' j inversa". Esta ultima notacion, aunque es estandar, es algo desafortunada. De inmediato se senala que en el sfmbolo f-I(X) el "-1" no es un exponente. En terminos de la nueva notacion, (3) y (4) se vuelven, respectivamente,

I Notacion

En (3) y (4) , e l sfl11bo lo g desel11pe na la parte de l sfl11bo lo

rI

fU - I(x»

=x

y

Ftc/(x»

= x.

(5)

1.5 Funciones inversas

I Propiedades

Antes de analizar un metodo para encontrar la inversa de una funci6n uno a uno

.r: se enumeran algunas propiedades importantes sobre fy su inversafTeorema 1.5.1

39

I

.

Propiedades de la funci6n inversa

i) Dominio de f- I = rango de f ii) Rango de I = dominio de f iii) Una funci6n inversa f - I es uno a uno.

r

La inversa de f-I es f La inversa de f es unica.

iv) v)

I Metodo para encontrar f - 1 Si f - 1 es la inversa de una funci6n uno a uno y = f(x), entonces por (1) , x = f - I(y). Por tanto, basta hacer las dos cosas siguientes para encontrar f - l.

Directrices para encontrar la funci6n inversa Suponga que y = f(x) es una funci6n uno a uno. Entonces para encontrar f - 1 : • Se resuelve y = f(x) para el sfmbolo x en terminos de y (en caso de ser posible).

Asf se obtiene x = f - l( y).

• La variable x vuelve a etiquetarse como y y la variable y como x. Asf se obtiene y = rl(x) .

Nota:

Algunas veces resulta conveniente intercambiar los pasos en las directrices anteriores:

• Volver a etiquetar x y y en la ecuaci6n y = f(x) y despejar (de ser posible) x = fey) para y. Asf se obtiene y = f-I(X) .

1§!I3Mij!••j

Inversa de una funci6n

Encuentre la inversa de f (x) = x 3 .

Solucion En el ejemplo 1 se vio que esta funci6n es uno a uno. Para empezar, la funci6n se vuelve a escribir como y = x 3 . Al despejar x se obtiene x = y l/3. Luego las variables vuelyen a etiquetarse para obtener y = X 1/3 . Asf f- I(X) = X l/3 0, de manera equivalente, r l(x) = Vx. • Encontrar la inversa de una funci6n uno a uno y = f (x) algunas veces es diffcil y otras imposible. Por ejempl0, la FIGURA 1.5.3 sugiere (yes posible demostrar) que la funci6n f(x ) = x 3 + X + 3 es uno a uno, por 10 que tiene una inversa f - I. Pero al despejar x en la ecuaci6n y = x 3 + X + 3 es diffcil para todo mundo (inc1uyendo su profesor). Puesto que f es una funci6n polinomial, su dominio es (-00,00) y, debido a que su comportamiento extremo es el de y = x 3 , el rango de f es (-00,00). En consecuencia, el dominio y el rango de f - l son (- 00,00). Aun cuando f - l no se conoce exp]fcitamente, tiene perfecto sentido hablar sobre los valores comor l (3) y f- l (5). En el caso def - l (3), observe quef(O) = 3. Esto significa que f - l (3) = O. ~Puede imaginar el valor de \5)?

r

I Graticas de f V,-1 Suponga que (a , b) representa cualquier punto sobre la grafica de una fu nci6n uno a uno f Entonces f(a) = by f - l(b) = f -l (f(a» = a

implica que (b, a) es un punto sobre la grafica de f-I . Como se muestra en la FIGURA 1.5.4a), los puntos (a, b) y (b, a) son reflexiones uno del otro en la recta y = x. Esto significa que la recta y = xes la bisectriz perpendicular del segmento de recta que va de (a, b) a (b, a). Debido a que cada punto sobre una grMica es la reflexi6n de un punto correspondiente sobre la otra grMica, en la figura 1.5.4b) se observa que las graficas def- l y fson reflexiones entre sf con respecto a la recta y = x. Ademas se dice que las graficas de f-I y f son simetricas con respecto a la recta y = x.

y 20

-1 -10

2

-20 FIGURA 1.5.3 La gnifica sugiere que f es LInD a uno

40

CAPITULO 1 Funci ones

.

y

y

(0, Ii)

y = f(x) (a , b)

a

• (h, 0)

I (/

(h,o)

x

•

--~----~~--------~x

b 0)

Las gnificas de I y 1- ' son reflexiones en la recta y = x

FIGU RA 1.5.4

Iiij!J§MQI.W'

b)

GrMicas de f y f- 1

En el ej emplo 2 vimos que la inversa de y = x 3 es y = x 1/3. En las FIGURAS 1.5.5a) y l.5 .5b) se muestran las graficas de estas funciones; en la figura J.5.5c), las graficas estan superpuestas en el mismo sistema de coordenadas para ilustrar que las graficas son reflexiones entre sf en la recta y = x.

---;---;7+-=---+--~

FIGURA 1.5.5

Gnificas de I y

Iiij!J§MR!'" r'

;b=j-r"F--i-l-+-f-+-+f-1-1-+-~ x

r'

r '

•

en el ej emplo 3

+

b, a

'* 0, es uno a uno.

Inversa de una funci6n

Encuentre la inversa de la funci6n lineal f(x) = 5x - 7.

Solucion Puesto que la grafica de y = 5x - 7 es una recta no horizontal, por la prueba de la recta horizontal se concluye que f es una funci6n uno a uno. Para encontrar f- I , x se despeja en y = 5x - 7: 5x

FIGURA 1.5.6 Gnificas de I y en el ejemplo 4

c)

~

Toda funci6n lineal f(x) = ax f

--+-----,,-+"""----+-~ x

-+----+----+-~x

x

~

y

y

y

y

=y+7

implica

1

x =

7

5Y + 5'

AI reetiquetar las variables en la ultima ecuaci6n se obtiene y = ~x cia, f - I(X) = ~x

+ ~. Las graficas de f y rise comparan en la

Ninguna funci6n cuadratica f(x) = ax 2 + bx + c, a

+ ~ . En consecuen-

FIGURA 1.5.6.

•

'* 0, no es uno a uno.

I Dominios restringidos

Para una funci6nf que no es uno a uno, puede ser posible restringir su dominio de modo que la nueva funci6n que consta de f definida sobre este dominio restringido sea uno a uno y as! tenga una inversa. En la mayor parte de los casos es aconsejable restringir el dominio de modo que la nueva funci6n retenga su rango original. El siguiente ejemplo ilustra este concepto.

Iiij!J§MQI.&j

Dominio restringido

En el ejemplo 1 se demostr6 graficamente que la funci6n cuadratica f(x) = x 2 + 1 no es uno a uno. El dominio de f es (- 00, (0), y como se observa en la FIGURA 1.5.7a}, el rango de f es [ 1, (0). Luego, al definir f(x) = x 2 + 1 s610 en el intervalo [0, (0), vemos dos cos as en la figura l.5.7b): el rango de f se preserva y f(x) = x 2 + 1 confinada al dominio [0, (0) pas a la prueba de la recta horizontal; en otras palabras, es uno a uno. La inversa de esta nueva funci6n uno a uno se obtiene como de costumbre. Al despejar x de y = x 2 + 1 y volviendo a etiquetar las variables se obtiene x = ±~ yas! y = ±v.x=I.

1.5 Fu nciones inversas

EI signo algebraico id6neo en la ultima ecuaci6n se detennina a partir del hecho de que el ciominio y rango de I - I son [1, (0) Y [0, (0), respectivamente. Esto obJiga a escoger r ' lcx:) = v'.X=I como la inversa def. Yea la figura 1.5 .7c).

Y=X2+ I sobre ( -00,00)

V

= x2 + I

sabre [0. co)

y y=~ sobre r I , (0)

-f--t-+-t-i--~

x

-+-++-+-t-~ x

iI) No es un a fun ci6n uno a uno

FIG URA 1.5.7

c) Inversa de la funci6n en el inci so b)

b) Funci6n uno a uno

â&#x20AC;˘

Funci6n inversa en el ejemplo 5

I Funciones trigonometricas inversas Aunque ninguna de las funciones trigonometricas es uno a uno, al restringir convenientemente cada uno de sus dominios es posible definir seis funciones trigonometricas inversas.

I Funci6n senD inverso A partir de la FIGURA 1.5.8a) se observa que la funci6n y = sen x sobre el intervalo cerrado [-n / 2, n / 2] asume todos los valores en su ran go [-1, I] . Observe que cualquier recta horizontal trazada para cortar la parci6n roja de la grafica puede hacerlo cuanto mucho una vez. Par tanto, la funci6n senD sobre este dominio restringido es uno a uno y tiene Llna inversa. Entre los matematicos hay dos notaciones de uso comun para denotar la inversa de la funci6n que se muestra en Ia figura 1.5 .8b) : o

~

arcsen x,

que se leen seno inverso de x y arcseno de x, respectivamente. y

y

y = senx sabre (- 00, (0)

y = sen x I sabre [ - 1TI2, 1T12]

~~---t---~---+--~~--+---~~x

Z!:

1T

2

2

- 1

a) No es una fllnci6n uno a uno

FIGU RA 1.5.8

Restricci6n del dominio de y

Z!: -1

2

b) Funci6n uno a uno

= sen x

para obtener una fllnci6n uno a uno

En la FIGURA 1.5.9a) se ha reflejado la porci6n de la grafica de y = sen x sobre el intervalo [- n / 2,n/ 2] (la grafica raja en la figura 1.5.8b) en Ia recta y = x para obtener la grafica de y = sen- I x (en azul). Por razones de c1aridad, esta grafica azul se ha reproducido en la figura 1.5 .9b). Como se muestra en esta grMica, el dominio de la funci6n senD inverso es [-1, 1] y e\ rango es [- n/2, n/2]. y

y

y= sen- Ix

2

-[

Y = sen

- I

):

1T 2

2 a)

b)

FIGURA 1.5.9 La grafica de la funci6n seno inverso es la curva azul

EI s iste ma a lgebra ico co m pu (ac io na l Molll cllllIlic({ usa la l101ac itin alTse no .

41

42

CAPITULO 1 Funciones

Definicion 1.5.3 Funci6n sello inverso La funcion seno inverso, 0 funcion arcseno, se define por y

= sen -

I

x

(6)

x = seny,

si Y s610 si

donde - 1 ::; x ::; 1 y -7T / 2 ::; y::; 7T / 2.

En palabras: El seno inverso del numero x es el numero y (0 angulo medido en radianes) entre -7T/2 y 7T/2 cuyo seno es x.

Los sfmbolos y = arcsen x y y = sen - I X son sin6nimos en matematicas y sus aplicaciones , de modo que se alternara su uso para que usted se sienta c6modo con ambas notaciones.

'#JW@!"ij

Evaluaci6n de la funci6n sene inverso

Encuentre

a)

1 arcsen 2:

y

Solucion a) Si se hace y = arcsen t entonces por (6) es necesario encontrar el mimero y (0 anguJo medido en radianes) que satisface sen y =! Y -7T/ 2 ::; Y ::; 7T/2. Puesto que sen(7T/ 6) =! y 7T/6 satisface la desiguaJdad -7T/2 ::; Y ::; 7T/2, se concJuye que

b) c)

Lea eS l e pan·aro vari as veces .

..

(-!),

-!.

Si se hace y = sen- I entonces sen y = Puesto que es necesario escoger y tal que -7T/ 2 ::; Y ::; 7T/ 2, encontramos que y = -7T/ 6.

Al hacer y = sen- Ie-I) , tenemos que sen y = -1 Y - 7T/ 2 ::; Y ::; 7T/ 2. Por tanto, y = -7T/ 2.

•

En los incisos b) y c) del ejempJo 6 se tuvo cuidado para escoger y de modo que -7T /2 ::; Y ::; 7T /2. POl' ejemplo, un error comlin suele ser pensar que como sen(37T/2) = -1, entonces necesariamente sen- Ie-I) puede tomarse como 37T/ 2. Recuerde: si y = sen- 1 x, entonces y esta sujeto a la restricci6n - 7T / 2 ::; Y ::; 7T / 2, y 3 7T/ 2 no satisface esta desigualdad.

'#JAAMU.fi

Evaluaci6n de una composici6n

Sin usar calculadora, encuentre tan(sen- I ~).

Solucion Es necesario encontrar la tangente del angulo de t radianes con seno igual a decir, tan t donde t = sen- l~. El angulo t se muestra en la FIGURA 1.5.10. Puesto que

es

tan t = sen t = 1L±cos t cos t'

1

4

queremos determinar el valor de cos t. A partir de la figura sen 2 t + cos 2 t = 1, vemos que FIGURA 1.5.10 El angulo t sen- I ~ en el ejemplo 7

t

(~y + cos2 t =

=

Por tanto, y asf

tan t

1

0

bien,

1.5.10

y la identidad pitag6rica

v'f5

cos t = - 4-'

= ~ = _ 1_ = v'f5

15' v'f5/4 v'f5 _ v'f5 _ I 1) _ tan ( sen 4 - tan t - ~ .

•

El procedimiento que se ilustra en el ejemplo 10 constituye un metodo alterno para resolver el ejemplo 7.

43

1.5 Funciones inversas I Funcion coseno inverso

Si el dominio de La funcion coseno se restringe al intervalo cerrado 10, 1T], La funcion resultante es uno a uno y entonces tiene una inversa. Esta inversa se denota por cos - I x

o bien,

arccosx,

10 cuaL proporciona la siguiente definicion.

Definicion 1.5.4 Funcion coseno inverso La funcion coseno inverso,

0

funcion arccoseno, se define por

y = cos- I X do nde -1

~

x

~

1 Y0

~

Y

~

(7)

x = cosy ,

si Y solo si

1T.

La gnifica mostrada en la FIGURA 1.5.11 ilustra la forma en que la funcion y tringida al intervalo [0,1T] se vuelve una funcion uno a uno.

cos x res-

y

y

y

y = cos.\" sabre [0, 7TI

y = casx sabre ( -00, (0)

x 7T

0

7T

y = cos

"!!.

x

- [

x

2

7T

2 - I

--I---t----+_~

- ]

x

-I

a) No es una funci6n uno a uno b) Funci6n uno a uno FIG URA 1.5.11 Restricci6n del dominio de y = cos x para obtener una funci6n uno a uno

FIGURA 1.5.12 GrMica de la funci6n coseno inverso

Al reflejar la grafica de la funcion uno a uno en la figura 1.5.1Lb) en la recta y = x se obtiene la grafica de y = cos- I x mostrada en La FIGURA 1.5.12. La figura muestra con toda claridad que el dominio y eL rango de y = cos - 1 X son [-1, I] y [0, 1T], respectivamente.

h!!#MiQ!.i:i

Evaluaci6n de la funci6n coseno inverso

EvaLue arccos (- \13/2).

Solucion Si y = arccos ( - \13/2), entonces cos y = -\/i/2. El unico numero en [0, 1T] para el cuaL se cumple esto es y = 5'1T/ 6. Es decir, arccos ( _

hWMiQ!.iii

~) = 5;.

â&#x20AC;˘

Evaluaci6n de composici6n de funciones

Escriba sen(cos -1 x) como una expresion algebraic a en x .

SoLucion

En la FIGURA 1.5.13 se ha construido un anguLo de t radianes cuyo coseno es igual a = cos t, donde 0 ~ t ~ 1T . Luego, para encontrar sen(cos- I x) = sen t, usamos la identidad sen 2 t + cos 2 t = 1. Asf

x. Asf, t =

COS-IX, 0 X

sen2 t

+ x2 2

=

senl

1

sen t = 1 - x

2

sent= ~ sen(cos- Ix) = ~.

Se usa la rafz cuadrada positiva de 1 - x 2 , puesto que el rango de cos - I xes [0, 1T] , Y el senD del angulo t en los cuadrantes primero 0 segundo es positivo. â&#x20AC;˘

FIGURA 1.5.13 EI ungulo cos - I X en el ejemplo 9

I

=

44

CAPITULO 1 Funciones I Funcion tangente inversa

Si el dominio de tan x se restringe al intervalo abierto ( - 7T /2, 7T/2), entonces la fu nci6n resultante es uno a uno y, por tanto, tiene una inversa. Esta se denota por o bien,

arctanx.

Definicion 1.5.5 Funci6n arctan<>ente

La Cuncion tangente inversa,

0

Cuncion arctangente, se define por

si y s610 si donde

- 00

<

x

<

00

Y - 7T/ 2

<Y<

x = tan y,

(8)

7T/ 2.

Las gnificas mostradas en la FIGURA 1.5.14 ilustran c6mo la funci6n y = tan x restringida al intervalo abierto (-7T / 2, 7T / 2) se vuelve una funci6n uno a uno. AI reflejar la gnifica de la funci6n uno a uno en la figura l.5.14b) en la recta y = x se obtiene la graiica de y = tan- I x mostrada en la FIGURA 1.5.15. En la figura se observa que el dominio y el rango de y = tan- J x son, respectivamente, los intervalos ( -00,00) y (-7T/2,7T/2) . Por ejemplo, y = tan- I(-I) = - 7T/4 puesto que -7T/4 es el tinico ntimero en el intervalo ( - 7T/2, 7T/2) para el cual tan(-7T/ 4) = -l. y = tan x sobre ( - 17/2, 17/2) Y

y

)

y

2 2

( a) No es una funci6n uno a uno

FIGURA 1.5.14

---------I~------~x

2 b) Funci6n uno a uno

Restricci6n del dominio de y = tan x para obtener una funci6n uno a uno

U@MRC.M!,'

FIGURA 1.5.15

Grafica de la funci6n tangente inversa

Evaluaci6n de composiciones de funciones

Sin usar calculadora, encuentre cos (arctan ~).

2

Si se hace y = arctan ~, entonces tan y = ~. AI usar el triangulo rectangulo en la FIGURA 1.5.16 como ayuda, se ve que

Solucion

y

cos( arctan~) = cosy =

3 FIGURA 1.5.16 Triangulo en el ejemplo to

~.

â&#x20AC;˘

Recuerde por (5) que j - I(f(X)) = x y j(r\x)) = x se cumplen para cualquier funci6njy su inversa si hay restricciones id6neas sobre x . Por tanto, para las funciones trigonometricas inversas tenemos las siguientes propiedades.

I Propiedades de las inversas

Teorema 1.5.2 i) ii) iii) iv) v) vi)

Propiedades de las funciones trigonometricas inversas

sen-I(senx) = arcsen(senx) = x si -7T/ 2 :S x :S 7T/ 2 sen(sen -IX) = sen(arcsenx) = x si -1 :S x :S 1 cos- I(cosx) = arccos(cosx) = x si O:s x :s 7T cos(cos-Ix) = cos(arccosx) = x si -] :S x :S 1 tan- I(tanx) = arctan(tanx) = x si -7T/2 < x < 7T/2 tan(tan- Ix) = tan(arctanx) = x si -00 < x < 00

1.5 Funciones inversas

CfIl3MRC""

Aplicaci6n de las propiedades inversas

Sin usar caJculadora, evalue a)

cos( COS- I~)

Soluci6n a)

b)

t.

Por el teorema 1.5.2iv), cos(cos-It) = En este caso no es posible aplicar la propiedad v), puesto que 3 7T / 4 no esti en el intervalo (-7T/ 2, 7T / 2). Si primero se evalua tan(3 7T / 4) = -] , entonces se tiene 7T 4'

â&#x20AC;˘

I Inversas de otras funciones trigonometricas

Con los dominios restringidos de manera conveniente, las funciones trigonomet:ricas restantes y = cot x, Y = sec x y y = csc x tambien tienen inversas.

Defi nicion 1.5.6 Otras funciones trigonometricas inversas

= coc l x si Y s610 si = sec - I x si y s610 si Y = csc - I x si Y s610 si

i) y ii) Y

iii)

x x

x

= cot y, -00 < x < 00 Y 0 < Y < 7T = sec y, Ixl 2: 1 y 0 :s: y :s: 7T, y =/:- 7T/2 = csc y, Ixl 2: 1 y - 7T/2 :s: y :s: 7T/2, y=/:-

O

Las gn'ificas de y = coC I x, Y = sec- j x y y = CSC - I x, as! como sus domini os y rang os , se res umen en la FIGURA 1.5.17.

y

y

y

- -- ------ n--------

- 2 - I

7T

y = coclx

y= see-Ix

2

.-7T .------2

2

- 2 - I

) -2 - I

2

!!.

2

2

c) y = esc-Ix a) y = eoC lx b) y = sec - Ix dominio : (-00, (0) dominio:(-oo, -I]U[J,oo) dominio: (-00, -I] U [J , 00) rango: (0, 7T) rango: [-7T12 , 0) U(O, 7T12] rango: [0, 7T/2) U(7T12, 7T] FIG URA 1.5.17 Grafieas de las funeiones eotangente inversa, seeante inversa y eoseeante inversa

f(x)

NOTAS DESDE EL AULA

Los rangos especificados en las definiciones 1.5.3, 1.5.4, 1.5.5 Y 1.5.6i) son reconocidos internacionalmente y surgieron de la limitaci6n mas l6gica y conveniente de la funci6n original.

As!, cuando vemos arccos x 0 tan - I X en cualquier contexto, sabemos que 0 :s: arccosx :s: 7T y -7T/2 < tan-I x < 7T/2. Estas convenciones son las mismas que las usadas en caJculadoras cuando se usan las teclas Is en- Illcos- II y Itan- II. Sin embargo, no existe ningun acuerdo universal sobre los rangos de y = sec- 1 x 0 y = csc- I X. Los rangos especificados en ii) y iii) en la definici6n 1.5.6 son cada vez mas populares porque se trata de los rangos empleados en sistemas algebraicos computacionales como Mathematica y Maple . Sin embargo, es necesario tener en cuenta que hay textos conocidos de calculo que definen el dominio y el rango de y = sec - I X como dominio: ( -00, -1]

u

[1 , (0),

rango: [0, 7T / 2) U [7T, 37T /2),

Y el dominio y el rango de y = csc - I X como dominio: ( -00, -1] U [1, (0),

rango: (0,7T/ 2] U (7T, 37T/ 2].

45

46

CAPITULO 1 Funciones

Ejercicios 1.5

Las respuestas de los probl emas impares seleccionados comienzan en la pagi na RES-G .

=

Fundamentos

En los problemas 1 y 2, vuelva a leer la introducci6n de esta secci6n. Luego explique por que la funci6n f dada no es lIno a uno .

+ x (x

1. f(x) = 1

En los problemas 23 y 24, trace la gn'ifica de f- I a partir de la gnifica de f 23.

24.

)' = I(x)

-+--~L---~ x

y = I(x)

En los problemas 3-S, determine si la funci6n dada es uno a lIno al analizat· Sll gnifica.

3. f(x ) = 5 5. f(x)

=

(0, -4)

4. f(x) = 6x - 9

~x + 3

7. f(x) = x

3

6. f(x) =

Ix + 11

8. f(x) = x

S

-

En los problemas 9-12, la funci6n Encuentre f - I.

f

3

-

3x

dada es uno a uno .

En los problemas 25 y 26, trace la gnifica de f a pattir de la grafica de f - I. )'

25.

= 3x 3 + 7 10. f(x) = V 2x - 4

(0,

26.

~)

(1,0)

y = .r - I(x)

- x 2

(0, - 1)

12. f(x) = 5 - -

x ( - 1, 0)

5x - 10,rl(x)

14. f(x) - x

1

+ 1'/

- I

= ~x +

=x y

2

1- x

_

(x) - - x -

En los problemas IS-IS, la funci6n f dada es uno a uno. Sin determinat· la inversa, encuentre el dominio y el rango de f - I.

17. f(x) = x

l(x)

FIGU RA 1.5.20 Gnifi ca para el problema 2S

FIGURA 1.5.21 Grafica para el problema 26

En los problemas 27-30, encuentre una funci6n inversa f - ' cuyo rango sea el mismo que el de la funci6n dada a1 restringir de manera conveniente el dominio de f 27. f(x) = (5 - 2X)2 28. f(x) = 3x 2 + 9

= x2 +

+4 30. f(x) = -x 2 + Sx las funciones f y g tienen inversas, puede demostrarse

29. f(x)

2x

31. Si que

vX+2 = 3 + v'2X=-I

15. f(x) = 16. f(x)

y = r

x

En los problemas l3 y 14, compruebe que fU - ' (x» rl(f(x» = x .

_

y

x

2 - x 11. f(x) = -1-

=

FIGURA 1.5.19 Gnifica para el problema 24

FIGURA 1.5.18 Grafica para el problema 23

9. f(x)

13. f(x)

y --\---+---~X

2. f(x) = X4 + 2X2

- 5)

y

(fo g) - I = g- I 0

1

+3

f -'.

Compruebe esto para f(x) = x 3 y g(x) = 4x

+

5.

Vx - Vy define una funci6n r I(X).

x - I 18. f(x) = x - 4

32. La ecuaci6n y = uno y = f(x). Encuentre

En los problemas 19 y 20, la funci6n f dada es uno a uno.

Sin determinat· la inversa, encuentre el punto sobre la gnifica de f- I correspondiente a1 valor indicado de x en el dominio def

En los problemas 33-34, obtenga el valor exacto de la expresi6n dada. No use ca1culadora.

19. f(x) = 2x 3

+ 2x;

20. f(x) = Sx - 3;

x = 2 x = 5

En los problemas 21 y 22, la funci6n f dada es uno a uno.

Sin determinar la inversa, encuentre x en el dominio de f- I que satisface la ecuaci6n indicada.

21. f(x)

= x + vX;

22. f(x)

=x +

4x

rl(x)

1; rl(x)

=9 I

=:2

33. arccos(-

~)

35. arctan(l) 37. cot - I( -1) 39. at'csen (-

~)

34. COS - I.!.

2 36. tan - I\13 38. sec - I( -I) 40. arccot (- \13)

41. sen (arctan ~)

42. cos (sen -I~)

43. tan( COCI~)

44. csc(tan- I ~)

uno a

1.5 Funciones inversas

En los problemas 45-48, evalue la expresion dada por medio de una identidad trigonometrica idonea.

sen(2sen- I~)

45.

47. sen (arcsen

46.

~ + arccos~)

47

*

f3 cuando c = 0.5 y la carga esta a de la longitud de la escalera empezando desde el piso.

b) Encuentre

cos(2COS- I~)

48. cos(tan - 14 - tan - 13)

En los problemas 49-52, escriba la expresion dada como una cantidad algebraica en x.

49. cos(sen- I x) 50. tan (sen- I x) 51. sec(tan- I x) 52. sen(sec- I x), x 2:: 1 En los problemas 53 y 54, compruebe graficamente las identidades por una reflexion y un desplazamiento vertical.

53. sen- I x

+ cos- I X

54. arccot x

=

+ arctan

~

x =

"27T

55. Demuestre que sec - I x = cos -I (1/x) para Ix I 2:: 1.

56. Demuestre que csc - I x = sen- I(l / x) paralx l 2:: 1.

57. Si t = sen- I(-2/V5), encuentre los valores exactos de cos t, tan t, cot t, sec t y csc t.

1,

58. Si e = arctan encuentre los val ores exactos de sen cos cot sec y csc

e,

e,

e

e.

FIGURA 1.5.22

Escalera en el problema 63

64. Un avion se desplaza hacia el oeste a velocidad constante VI cuando sopla viento desde el norte a velocidad constante V 2' EI rumbo del avion al sur del oeste esta dado por e = tan - I(V2/ V I)' Yea la FIGURA 1.5.23. Encuentre el rumbo de un avion que se desplaza hacia el oeste a 300 km/h si sopla viento desde el norte a 60 km/h. :;

?'/

VI

r+--

0"

I

,;

- -- -"'--.: ' --"":"7'--,,---;>' ~\--'-\ 0

'\\

e,

=

Problemas con calculadora/SAC

La mayorfa de las ca1culadoras carece de teclas para csc - I X Y sec - I x. En los problemas 59 y 60, use una ca1culadora y las identidades en los problemas 55 y 56 para ca1cular la cantidad dada.

59. a) sec - I(-V2) b) csc- I 2 60. a) sec - I(3.5)

b) csc - I(-1.25)

61. Use una calculadora para comprobar: a) tan(tan - I1.3) = 1.3 y tan-I (tan 1.3) = 1.3 b) tan(tan - I5) = 5 y tan-I (tan 5) = -1.2832 Explique por que tan - l (tan5) =F 5.

62. Sea x = 1.7 radianes. Compare, de ser posible, los valores de sen - I(sen x) y sen (sen - I x) . Explique las diferencias.

FIGURA 1.5.23

=Piense en ello En los problemas 65 y 66, use ca1culadora 0 un sistema algebraico computacional para obtener la grafica de la funcion dada donde x es cualquier numero real. Explique por que las graficas no violan los teoremas 1.5.2i) y 1.5.2iii).

65. f(x) = sen - I(sen x)

66. f(x) = cos - I(cosx)

67. Analice: ~es posible que una funcion uno a uno sea periodica?

68.

~C6 mo

estan relacionadas las funciones uno a uno y =

f(x) en las FIGURAS 1.5.24a) y 1.5 .24b) con las funciones inversas y = f - I (x)? Encuentre por 10 menos tres fun-

=Aplicaciones 63. Considere una escalera de longitud L apoyada en un muro con una carga en el punto P como se muestra en la FIGURA 1.5.22. EI angulo f3 , al que la escalera esta al borde de deslizarse, esta definido por

x

L=

1

ciones explicitas con esta propiedad. y

y=x

(0.0)

,

c

+ c 2 (c + tan f3),

donde c es el coeficiente de friccion entre la escalera y el piso.

f3 cuando c = I Y la carga esti en la parte superior de la escalera.

a) Encuentre

Avi6n en el problema 64

, ,

,

y=.r

,,

,

y = f(.r)

, ,,

,,

,

,,

,,

,,

, ,,

,

-,:;1',~----(;-o.--;:o~ ) :-+- x

~,~'------~ x

0)

b)

FIGURA 1.5.24

,

Gnifica para el problema 68

48

CAPITULO 1 Funciones

1.6

Funciones exponencial y logaritmica

En las secciones precedentes se consideraron funciones como f(x) = x 2 ; es decir, una funcion con una base variable x y una potencia 0 exponente constante 2. A continuacion abordaremos funciones como f(x) = 2 x con una base con stante 2 y exponente variable x.

I Introduccion

Definicion 1.6.1 Funcion ex ponencial

Si b En ( I ). la bGse /J se restrin ge a ... nLlIll eros pos iti vo s para garanti ;:a r que /J ' sea un numero real.

Ta mb ie n. b = I earece de inte res pucs to qu e .f(.r) = I ' = I.

> 0yb

*' I, entonces una fun cion exponencial y = f(x) es una funcion de la forma f(x)

=b

X

(1)

â&#x20AC;˘

El numero b se denomina base y x se denomina exponente.

El dominio de una funcion exponencial f definida en (1) es el conjunto de numeros reales (-00, 00).

Debido a que el dominio de una funcion exponencial (1) es el conjunto de numeros reales, el exponente x puede ser un numero racional 0 irracional. Por ejemplo, si la base b = 3 y el exponente x es un numero racional, x = ky x = 1.4, entonces

I Exponentes

y

La funcion (1) tambien esta definida para todo numero irracional x. EI siguiente procedimiento ilustra una forma para definir un numero como 3V2 . A partir de la representacion decimal \/2 = 1.414213562 ... se observa que los numeros racionales 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...

U na de fini cio n de /J ' . para.r irra- .. c iona!. es t:] dada por

b'

son sucesivamente mejores aproximaciones a exponentes, es de esperar que los numeros

= 11111 //,

\12. Al usar estos numeros racionales como

3 1, 3 1.4, 3 1.41, 3 1.4 14, 31.4142, 3 1.4 142 1, ...

1---+.1'

do nde I e s rac ion a!. Esto se Ice

'"iJ' es e l limite de /}' c ua ndo

I

tie nde a .roo . Los lim ites se estud iara n ell dc ta ll e ell c l c apitu lo 2 .

sean sucesivamente mejores aproximaciones a 3V2 . De hecho, puede demostrarse que esto es cierto con una definicion precisa de bX para un valor irracional de x. Pero a nivel practico es posib1e usar la tecla [ZJ de una calculadora para obtener la aproximacion 4.728804388 para 3V2 .

Puesto que bX esta definido para todos los numeros reales x cuando b > 0, puede demostrarse que las leyes de los exponentes se cumplen para todos los exponentes que sean numeros reales . Si a> 0, b > 0 y x, Xl Y X2 denotan numeros reales, entonces

I Leyes de los exponentes

b X' ii) b X1

= bX'-x,

. (a).

I aX b =b

Vl)

X'

Para (1) se distinguen dos tipos de graficas, dependiendo de si La base b satisface b > 100 < b < 1. El siguiente ejemplo iLustra las graficas def(x) = 3x y f(x) = Antes de graficar es posible hacer aLgunas observaciones intuitivas sobre ambas funciones. Puesto que las bases b = 3 y b = t son positivas, los vaL ores de 3x y son positivos para todo numero real x. x Ademas, ni 3 ni pueden ser 0 para ninguna x, de modo que las graficas de f(x) = 3x y f(x) = no tienen intersecciones x. Tambien, 30 = 1 Y (Do = 1 significan que Las graficas de f(x) = Y y f(x) = tienen la misma interseccion y (0, 1).

I Graticas

Gr.

GY

GY

GY

GY

'¼!§MQ!.I'

Graticas de funciones exponenciales

Grafique las funciones a) f(x)

= 3\

b) f(x) =

I)X ( 3" .

1.6 Funciones exponenc ial y logarftmi ca

Soluci6n a) Primero se elabora una tabla de algunos valores funcionales correspondientes a valores de x seleccionados de antemano. Como se muestra en la FIGURA 1.6.1 a), se trazan los puntos correspondientes obtenidos a partir de la tabla x f(x)

-3

I 27

-

-2 1

-

9

- 1

0

I

2

1 3

1

3

9

-

49

y

(2.9)

y = 3x

(- I,

t) x

b)

y se unen con una curva continua. La gr<ifica muest:ra que f es una funcion creciente sobre el intervalo (- 00, (0).

Procediendo como en el inciso a), se elabora una tabla de algunos valores

a)

y ( - 2,9)

x

-3

- 2

-I

0

1

2

f(x)

27

9

3

1

-

1 3

-

1

9

y = ( "3I )'

de la funcion correspondientes a valores de x seleccionados de antemano. Observe, 2 por ejemplo, por las leyes de los exponentes f(-2) = = ( r 1) - 2 = 32 = 9.

Como se muestra en lafigura 1.6.1b), se trazan los puntos correspondientes obtenidos a partir de la tabla y se unen con una curva continua. En este caso, la gr<ifica • muestra que f es una funcion decreciente sobre el intervalo (-00, (0).

(I, t)

m-

Nota: Las funciones exponenciales con bases que satisfacen 0 < b < 1, como b = t, a como y = (r1y y usando iii) de las menudo se escriben en forma alterna. Al escribir y = es 10 mismo que y = 3- x . leyes de los exponentes se observa que y =

GY

x b)

FIGURA 1.6.1 Gnlflca de las fun ciones en el ejemplo I

GY

I Asintota horizontal

La FI GURA 1.6.2 ilustra las dos fonnas generales que puede tener la gn'ifica de una funcion exponencialf(x) = bX • Pero hay un aspecto mas importante de todas estas graficas.

Observe en lafigura 1.6.2 que para 0 < b < 1, los valores de la funcionf(x) tienden a 0 cuando x crece sin cota en la direccion positiva (Ia graiica roja), y para b > 1 los valores funcionales f(x) tienden a 0 cuando x se crece sin cota en la direccion negativa (Ia grafica azul) . En otras palabras, la recta y = 0 (el eje x) es una asintota horizontal para ambos tipos de graficas exponenciales.

y

y = I/',O < b < I

y = 1/, b

-~~-+~=---~X

y= O

y =O

asfntota hori zon tal

as fntota

I Propiedades de una funcion exponencial

La lista siguiente resume algunas de las propiedades importantes de la funcion exponencialf con base b. Vuelva a analizar las graficas en la figura 1.6.2 mientras lee la lista.

EI dominio de f es el conjunto de numeros reales; es decir, (-00, (0).

El rango de f es el conjunto de numeros reales positivos; es decir, (0, (0).

La interseccion y de f es (0, 1). La grafica no tiene interseccion x .

La funcion f es creciente sobre el intervalo (- 00, (0) para b > I y decreciente sobre el intervalo ( -00, (0) para 0 < b < 1.

• El eje x, es decir y = 0, es una asintota horizontal para la grafica de f • La funcion f es uno a uno.

horizo ntal

FIGURA 1.6.2 f creciente 'para b > I; f decreciente para 0 < b < 1

• • • •

Aunque todas las graficas de y = bX cuando b > 1 com parten la misma forma basica y todas pasan por el mismo punto (0, 1), hay algunas diferencias sutiles. Mientras mas grande es la base b, el ascenso de la grafica es mas pronunciado cuando x crece. En la FIGURA 1.6.3 se comparan las gr<ificas de y = 5x , y = Y, y = y y y = (1.2Y en verde, azul, dorado y rojo, respectivamente, sobre los mismos ejes de coordenadas. A partir de esta grafica observamos que los valores de y = (1.2r crecen lentamente cuando x crece.

EI hecho de que (I) es una funcion uno a uno se concluye a partir de la prueba de la recta horizontal que se analizo en la seccion 1.5 .

I EI numero e

La mayorfa de los estudiantes de matematicas ha escuchado acerca del famoso numero irracional7r = 3.141592654 ... ,y quizas haya trabajado con 61. En calcuJo y matematicas aplicadas, podrfa decirse que el numero irracional e = 2.71828 1828459 .. .

(2)

> I

y = 3' y

y = (1.2)'

FIGURA 1.6.3 Graficas de y para b = 1.2, 2, 3, 5

=

bX

50

CAPrTULO 1 Funciones

desempefia un papel mas importante que el numero n. La definicion usual del numero e es que se trata del numero al que se acerca la funcion f(x) = (1 + 1/ x)X cuando se deja que x crezca sin cota en la direccion positiva. Si el sfmbolo de flecha ~ representa la expresion se ace rca, entonces el hecho de que f(x) ~ e cuando x ~ 00 es evidente en la tabla de valores numericos de f

y

Y2jV

x

100

1000

10000

100000

1000000

(l + l/x),

2.704814

2.716924

2.718146

2.718268

2.718280

y a partir de la grafica en la FIGURA 1.6.4. En la figura, la recta horizontal discontinua roja y = e es un asfntota horizontal de la grafica de f. Tambien se dice que e es el limite de f(x) = (1 + l /xY cuando x ~ 00 y se escribe

y=e

---- - ----- --- --------------

e = Ifm ( I

t-I-+-+-t-I-+-+-t-I-++-++- X FIGURA 1.6.4 y = e es una asfntota hori zontal de la gniflca de f

X~OO

+ -I)X.

(3)

X

A menudo observara una definicion alterna del numero e. Si en (3) se hace h = I/x, entonces cuando x ~ 00 tendremos simultaneamente h ~ O. Por tanto, una forma equivalente de (3) es

(4)

e = Hm(l + h)l /h 11 ..... 0

y

v=

eX

(0, 1) X

a)

y=e --,

• La funcion exponencial natural Cuando la base en (1) se escoge como b = e, la funcion f(x) se denomina funcion exponencial natural. Puesto que b = e > 1 y b = l/e < I , las graficas de y = eX y y = e- x se proporcionan en la FIGURA 1.6.5. A la vista de ello, fex) = eX no cuenta con ninguna caracterfstica observable que la distinga, por ejemplo, de la funcion f(x) = 3X , y no tiene ninguna propiedad especial diferente a las que se proporcionaron en la !ista de la pagina 49. Preguntas de por que f(x) = eX es una funcion "natural" y francamente la funcion exponencial mas importante, se responderan en los siguientes capftulos y en sus cursos mas alIa de calculo. = eX

(I. e)

y

• Inversa de la funcion exponencial Puesto que una funcion exponencial y = b es uno a uno, se sabe que tiene una funcion inversa. Para encontrar su inversa, se intercambian las variables x y y para obtener x = bY. Esta ultima formula define a y como una funcion de x: X

(- L e)

• y es el exponente de la base b que produce x.

(0. I)

(I,

~) X

Al sustituir la palabra exponente por la palabra logaritmo , la lfnea precedente puede volver a escribirse como: •

y es el logaritmo de la base b que produce x.

b)

FIGURA 1.6.5 Funci6n exponencial natural en a)

La ultima linea se abrevia usando la notacion y = 10gb X Y se denomina funcion logaritmica.

Definicion 1.6.2 Funcion logarftmica

La funcion logaritmica con base b > 0, b

=1=

1, se define por

si Y solo si

(5)

Para b > 0 no hay ningun numero real y para el cual bY sea 0 0 negativo. Asi, a partir de x = bY se concluye que x > O. En otras palabras, el dominio de una funcion logarftmica y = loghx es el conjunto de numeros reales positivos (0, (0).

Para enfatizar, todo 10 que se ha dicho en las frases precedentes es: • La expresion logarftmica y

= 10gb X Y la expresion exponencial x = fy)' son equivalentes.

es decir, significan 10 mismo. Como una consecuencia, dentro de un contexto especffico como al resolver un problema, es posible usar cualquier forma que sea la mas conveniente. La !ista siguiente ilustra varios ejemplos de declaraciones logarftmicas y exponenciales equivalentes:

1.6 Funciones exponencial y loga rftmica

Forma logarftmica

Forma exponencial

= 32

log39 = 2

9

IOg82 = ~

2 = 8 1/ 3

10gIOO.00]

51

0.00] = 10 - 3

-3

I

5 = b-

IOgb5 = - 1 I Graticas

Debido a que una funci6n logarftmica es la inversa de una funci6n exponencial, es posi ble obtener la grafica de la primera al reflejar la grafica de la segunda en la recta y = x. A medida que inspeccione las dos graficas en la FIGURA 1.6.6, recuerde que el dominio (- 00, 00) y el ra ngo (0,00) de y = bX se vuelven , a su vez, el rango (-00, 00) y el dominio (0, 00) de .II = log" x. Observe que la intersecci6n y (0, 1) de la funci6n exponencial (grafica azul) se vuelve la intersecci6n x (l, 0) de la funci6n logarftmica (grafica roja) . Tambien, cuando la funci6n exponencial se refleja en la recta y = x, la aS1ntota horizontal y = 0 para la grafica de y = bX se vuelve una aS1ntota vertical para la grafica de y = 10gb x. En la figura 1.6.6 se observa que para b> 1, x = 0, que es la ecuaci6n del eje y, es una asintota vertical para la gr:ifica de y = 10gb x.

x=o asfntota vertical

FIGURA 1.6.6

I Propiedades de la funcian logaritmica

En la !ista siguiente se resumen algunas de las propiedades importantes de la funci6n logarftmicaf(x) = log"x: EI dominio de f es el conjunto de numeros reales positivos; es decir, (0,00).

El rango de f es el conjunto de numeros reales; es decir, (- 00,00).

La intersecci6n x de f es (1, 0). La grafica de f no tiene intersecci6n y .

La funci6n f es creciente sobre el intervalo (0, 00) para b > I Y decreciente sobre el intervalo (0,00) para 0 < b < l.

• EI eje y, es decir, x = 0, es una aSlntota vertical para La grafica de f • La funci6n f es uno a uno.

• • • •

Se pi de su atenci6n especial para el tercer elemento de la lista anterior 10gb 1 = 0 Tambien,

log" b = 1

puesto que puesto que

bO = 1. l

b = b.

(6) (7)

EI resultado en (7) significa que ademas de (1, 0), la gr:ifica de cualquier funci6n logarftmica

(5) con base b tambien contiene al punto (b, 1). La equivalencia de y = 10gb X Y X = bY tambien produce dos identidades Miles algunas veces. Al sustituir y = 10gb x en x = bY, y luego x = bY en y = 10gb x, se obtiene

(8)

y

Por ejemplo, a partir de 21og,IO = 10 Y IOg337 = 7.

I Logaritmo natural Los logaritmos con base b = lOse denominan logaritmos comunes y los logaritmos con base b = e se Haman logaritmos naturales. Ademas, suele ser costumbre escribir ellogaritmo natural loge x como In x . Puesto que b = e > 1, la grafica de y = In x tiene la forma logarftmica caracter1stica que se muestra en rojo en la figura l.6.6. Para la base b = e, (5) se vuelve y = In x

si y s610 si

x = e-v .

(9)

Los analogos de (6) y (7) para el logaritmo natural son In 1 = 0

puesto que

(10)

In e = I

puesto que

(11 )

Las identidades en (8) se vuelven y

Por ejempl0, a partir de (12), e ln 25 = 25.

(12)

Gnitica de la fun-

cion logarftmica con base b > I

52

CAPITULO 1 Funciones I Leyes de los logaritmos

Las leyes de los exponentes pueden volver a plantearse de manera equivalente como las leyes de los logaritmos. Por ejemplo, si M = b X ' y N = b X ' , entonces por (5), XI = 10g"M Y X2 = log"N. Por i) de las leyes de los exponentes, MN = b X'+ x,. Esto, expresado como un logaritmo, es XI + X 2 = 10gbMN. Al sustituir Xl y X2 se obtiene 10gb M + 10gb N = 10gb MN. Las partes restantes del siguiente teorema pueden demostrarse de la misma manera.

Teorema 1.6.1

Leyes de los logaritmos

> 0, b *- I, y numeros enteros positivos M y N:

Para cualquier base b

+ 10gbN

i) 10gb MN = 10gbM ii)

10gb (~) =

10gbM - 10gbN

iii) 10gbMC = c 10gbM, para cualquier numero real c.

'11#&1#'.'

Leyes de los logaritmos + 21n 4 como un logaritmo unico.

Simplifique y escriba ~ In 36

Soludon

Por iii) de las leyes de los logaritmos, puede escribirse I 2"ln36

+

21n4 = In(36)1 /2

+

+

In4 2 = In6

In16.

Entonces, por i) de las leyes de los logaritmos, I 2"ln 36

'¥I3M4!'W'

+

21n4 = In6

+

•

In16 = In (6· 16) = In96.

Reescribir expresiones logarftmicas

Use las leyes de los logaritmos para volver a escribir cada expresi6n y evalue. a)

In Ve

1

c) In -

b) In5e

e

Soludon a)

Puesto que

Ve

= e l / 2 por iii) de las leyes de los logaritmos se tiene: , r:

In ve = In e b)

1 I = 21n e = 2"

f-

C\

.

pari II' de ( I I ). In

e= I

Por i) de las leyes de los logaritmos y con una calculadora: In5 e = InS

c)

1/2

+

In e = InS

+

1 = 2.6094.

f- a partir de ( II ). In e =

Por ii) de las leyes de los logaritmos: I In - =lnl - Ine = O - 1 = - 1.

e

f-a pa rtir de( I O)y ( ll )

Observe que iii) de las leyes de los logaritmos tambien puede usarse aquf:

•

In.!. = In e- I = (-I)lne = -1. e

'II#Mi#'M'

Soluci6n de ecuaciones Resuelva la ecuaci6n 10garftmica In2 + In(4x - 1) = In(2x b) Resuelva la ecuaci6n exponencial e 10k = 7 para k.

a)

+

5) para x.

1.B Funciones exponencial y loga rftm ica

53

Solucion a) Por i) de las leyes de los logaritmos, el miembro izquierdo de la ecuaci6n puede escribirse

In2

+ In (4x - I) = In 2(4x -

1) = In (8x - 2).

Entonces, la ecuaci6n original es In(8x - 2) - In(2x + 5) = 0

o bien

8x - 2 In 2x + 5

=

O.

Por (9) se concluye que 8x - 2 -- = 2x + 5 b)

eO

=

8x - 2 = 2x + 5.

o bien

A partir de la ultima ecuaci6n encontramos que x = ~ .

Se usa (9) para volver a escribir la expresi6n exponencial e lOk = 7 como la expresi6n logaritmica 10k = In 7. En consecuencia, con ayuda de una calculadora 1 k = IOln7 = 0.1946.

â&#x20AC;˘

I Cambio de base La grafica de y = 2x - 5 es la grafica de y = 2x desplazada 5 unidades hacia abajo. Como se observa en la FIGURA 1.6.7 , la grafica tiene una intersecci6n x. Al hacer y = 0 vemos que xes la soluci6n de la ecuaci6n 2x - 5 = 00 2x = 5. Asf, una soluci6n perfectamente valida es x = log25. Pero desde un punto de vista computacional (es decir, el hecho de expresar x como un numero), la ultima respuesta no es aconsejable porque ninguna calculadora tiene una funci6n logarftmica con base 2. Podemos calcular la respuesta al cambial¡ log 25 al logaritmo natural al tomar simplemente ellog natural de ambos miembros de la ecuaci6n exponencial 2x = 5:

En rca lidad divi dil110s los loga rit illos aqui ->

y= FIGURA 1.6.7

x

Nol({ :

y

In2 = In5 xln2 = In5 ln5 X = In 2 = 2.3219.

=2

X

~5

Intersecci6n x de y

~5

Por cierto, puesto que se empez6 con x = log25 , el ultimo resultado tambien demuestra la igualdad log2 5 =

~~~.

Entonces, la intersecci6n x de la grafica es (IOg25, 0) = (In5/ln2,0) = (2.32,0).

En general, para convertir un logaritmo con cualquier base b > 0 en logaritmo natural, primero reescribimos la expresi6n logarftmica x = logbN como una expresi6n exponencial equivalente b X = N. Luego se toma ellogaritmo natural a ambos miembros de la ultima igualdad xlnb = InN y se despeja x. Esto produce la formula general de cambio de base: (13)

Ejercicios 1.6

Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-B.

=

Fundamentos

En los problemas 1-6, trace la grafica de la funci6n dada.

Encuentre la intersecci6n y y la asfntota horizontal de la grafica.

1. f(x)

=

(~}

=

(

4. f(x) = -2 -

3. f(x) = -2x 5. f(x) = - 5

2. f(x)

:34)X

+ eX

6. f(x)

=

2

x

+ e- X

En los problemas 7-10, encuentre una funci6n exponencial X = b tal que la grafica de f pase por el punto dado.

f(x)

7. (3,216) 9. (-I,e

2

)

8. (- 1,5) 10. (2, e)

En los problemas 11-14, use una grafica para resolver la desigualdad dada para x.

11. 2x > 16

54

CAPITULO 1 Funciones

13. e x -

2

<

1

14.

GJ ~

8

En los problemas 15 y 16, use f(- x) = f(x) para demostrar que la fun cion dada es par. Trace la grafica de f 15. f(x) = eX' 16. f(x) = e - Ixl En los problemas 17 y 18, use la gnifica obtenida en los problemas 15 y 16 como ayuda para trazar la grafica de la funcionf dada. x2 17. f(x) = 1 - e 18. f(x) = 2 + 3e- lxl

19. Demuestre que f(x) = 2x + 2- x es una funcion par.

Trace la gnifica de f 20. Demuestre que f(x) = 2x - 2 - x es una funcion impar.

Trace la gnifica de f En los problemas 21 y 22, trace la gnifica de la funcion dada definida por partes.

21. f(x) {

-e~,x

-e ,

x < 0 x ~ 0

22.

f(X){e-X~

f

x:so x>O

-e,

En los problemas 23-26, vuelva a escribir la expresion exponencial dada como una expresion logaritmica equivalente.

23 . 4 - 1/2

25. 104

=

1:.

2

= 10 000

24. 9°

=2

En los problemas 27-30, vuelva a escribir la expresion logarftmica dada como una expresion exponencial equivalente.

27. log2 128 = 7 29. logv381 = 8

1 28. logs 25 = -2 30. IOgl6 2 =

1

4

En los problemas 31 y 32, encuentre una funcion logarftmica f(x) = log"x tal que la gnifica de f pase por el punto dado.

31. (49,2) En los problemas 33-38, encuentre el valor exacto de la expresion dada.

33. Ine e 35. 101og,06' 37. e- 1n7

34. In(e 4 e9 ) 36. 25 1og,8 38. e~ In 7T

En los problemas 39-42, encuentre el dominio de la funcion

f dada. Encuentre la interseccion x y la asintota vertical de la gnifica. Trace la gnifica de f 39. f(x) = -lnx 40. f(x) = -1 + Inx 41. f(x) = -In(x + 1) 42. f(x) = 1 + In(x - 2) En los problemas 43 y 44, encuentre el dominio de la funcionf dada.

43. f(x)

= In(9 - x 2)

44. f(x)

En los problemas 47-50, use las leyes de los logaritmos para volver a escribir la expresion dada como un logaritmo.

47. In(x4 - 4) - In(x2

+ In5 2 + In5 3

49. In5

= In(x2 - 2x)

45. Demuestre que f(x) = In Ix I es una funcion par. Trace la gnifica de f Encuentre las intersecciones x y la asintota vertical de la gnifica.

+ 2)

48.

In(~) -

In5 6 50. 51n2

-

21nx 3 - 41n)'

+ 21n3 - 31n4

En los problemas 51 -54, use las leyes de los logaritmos de modo que In y no contenga productos, cocientes ni potencias.

51. y

X IO ~ ~3/

=

52. Y

v 8x 3 + 2

(x 3 53. y

=

54. y

=

-

=

(2x

+ 1)(3x + 4x + 3

2)

3)S(X4 + 3x 2 + 1)8 Vx(7x + 5)9

64x6VX+T~X2 + 2

En los problemas 55 y 56, use el logaritmo natural para encontrar x en el dominio de la funcion dada para el que f asume el valor indicado.

55. f(x)

= 1

26. 10°·3010

46. Use la gnifica obtenida en el problema 45 para trazar la gnifica de y = In Ix - 21. Encuentre las intersecciones x y la asintota vertical de la grafica.

=

6x ; f(x) = 51

56. f(x) =

Gt

f(x)

=

7

En los problemas 57-60, use el logaritmo natural para despejar x.

57. 2x+s = 9 58. 4· 7 2r = 9 60. 32(x - I) = 2x - 3 59. 5 x = 2e x + 1 En los problemas 61 y 62, despeje x.

61. Inx + In(x - 2) 62. In3

=

=

In3

+ In(2x - 1) = In4 + In(x + 1)

Modelos matematicos

63. Crecimiento exponencial Un modelo exponencial para el mimero de bacterias en un cultivo en el in stante testa dado por pet) = Poek!, don de Po es la poblacion inicial y k > 0 es la constante de crecimiento. a) Desputs de 2 horas, se observa que el mimero ini-

cial de bacterias en un cultivo se ha duplicado.

Encuentre un modelo de crecimiento exponencial pet) . b) Segun el modelo del inciso a), l,cual es el numero de bacterias presentes en el cultivo al cabo de 5 horas? c) Encuentre el tiempo necesario para que el cultivo crezca hasta 20 veces su tamafio inicial.

64. Desintegracion exponencial Un modelo exponencial para la cantidad de sustancia radiactiva remanente en el instante testa dado por ACt) = Aoe kf , donde Ao es la cantidad inicial y k < 0 es la constante de desintegracion. a) Al inicio estaban presentes 200 mg de una sustancia

radiactiva. Desputs de 6 horas, la mas a habia decrecido 3%. Elabore un modelo exponencial para la cantidad de la sustancia en desintegracion remanente desputs de t horas.

1.7 De las palabras a las funcione s 55 b) Encuentre la cantidad remanente despues de 24 horas. c) Encuentre el in stante en que A(t) = ~Ao se denomina

mien to de Newton pronostica que la temperatura del objeto en el instante testa dada por

vida media de la sustancia. l,Cmil es la vida media de la sustancia en el inciso a)?

T(t) = Till

+

2 000 1 99ge

=Piense en ello

0.89051'

67. Analice: l,c6mo es posible obtener las graficas de las funciones dadas a partir de la grafica de f(x) = In x por medio de una transformaci6n rfgida (desplazamiento 0 reflexi6n)?

estanin contagiados por la influenza despues de 5 dfas? b) l,En cminto tiempo estani infectada la mitad de la poblaci6n de estudiantes? c) l, Cuantos estudiantes pronostica el modelo que estaran infectados al cabo de un muy largo periodo?

If) Trace la grafica de pet) .

a) y

x b)y=ln4 If) y = In(-x)

= In5x

c) y = lnx - '

66. Ley de enfriamiento de Newton Si un objeto 0 cuerpo se coloca en un medio (como aire, agua, etc.) que se mantiene a temperatura con stante Tm, Y si la temperatura inicial del objeto es To, entonces la ley de enfria-

68. a) Use un instrumento de graficado para obtener la grafica de la funci6n f(x) = In (x + ~) . b) Demuestre que f es una funci6n impar; es decir, f( - x) = -f(x) .

De las palabras a las funciones

I Introducci6n

En los capftulos 4 y 6 hay varias instancias en las que se espera que usted traduzca las palabras que describen unafunci6n 0 una ecuaci6n en sfmbolos matematicos.

En esta secci6n el centro de atenci6n 10 constituyen problemas que implican funciones.

Se empieza con una descripci6n verbal sobre el producto de dos numeros.

lÂĽ13M4!.I'

Producto de dos numeros

La suma de dos numeros no negativos es 5. Exprese el producto de uno y el cuadrado del otro como una funci6n de uno de los numeros.

Solucion Primero, los numeros se representan por los sfmbolos x y y y se recuerda que no negativos significa que x ?: a y y ?: O. Al usar estos sfmbolos, las palabras "la suma... es 5" se traduce en la ecuaci6n x + y = 5; esta no es la funci6n que se busca. La palabra producto en la segunda oraci6n sugiere el uso del simbolo P para denotar la funci6n que se qui ere. Asf, P es el producto de uno de los numeros; por ejemplo, x y el cuadrado del otro, por ejemplo, / : P =

xl¡

(1)

No, aun no hemos terminado porque se supone que P "es una funci6n de uno de los numeros". Ahora usamos el hecho de que los numeros x y y estan relacionados por x + y = 5. A partir de esta ultima ecuaci6n, sustituimos y = 5 - x en (1) para obtener el resultado deseado: P(x) = x(5 - xf,

A continuaci6n se muestra un diagrama simb6lico del analisis del problema dado en el ejemplo I: r + \' = 15 ,~-------------~------------~~

,can los numerus r 2: () Y .\' 2: ()

,.-

P

"

~

La suma de dos numeros no negativos es 15. Exprese el producto de lISC .\

.\

~

r

"'"

< O.

era 350 OF Y se coloca en una cocina donde la temperatura es constante a 75 oF. Un minuto despues se mide que la temperatura del pastel es 300 oF. l,Cual es la temperatura del pastel despues de 6 minutos? b) l,En que instante la temperatura del pastel es 80 OF?

a) Segun este modelo matematico, l,cmintos estudiantes

1.7

(To - Tm)ekl, k

a) Un pastel se retira de un homo donde la temperatura

65. Crecimiento logistico Un estudiante contagiado con el virus de influenza vuelve a un campus aislado de una universidad donde hay 2 000 estudiantes. Elmlmero de estudiantes infectados despues de t dfas del regreso del estudiante se pronostica por medio de la funci6n logistica

pet) = 1

+

r

"

uno y el cuadrado del otTO como una funci6n de uno de los numeros.

56

CAPITULO 1 Funciones

Observe que la segunda oraci6n es vaga respecto a emil numero se eleva al cuadrado. Esto implica que en realidad no importa: (1) tambien podria escribirse como P = yx 2 . Tambien hubieramos podido usar x = 5 - y en (1) para llegar a P(y) = (5 - y)/. En un entorno de calculo no importaria si trabajamos con P(x) 0 P(y) pOl'que al encontrar uno de los numeros automaticamente hallamos el otro a partir de la ecuaci6n x + y = 5. Esta ultima ecuaci6n se denomina restriccion. Una restricci6n no s610 define una relaci6n entre las variables x y y, sino que a menudo impone una Iimitaci6n sobre la forma en que pueden variar x y y. Como veremos en el siguiente ejemplo, las restricciones ay udan a deterrninar el dominio de la funci6n.

"13M4!••j

Continuaci6n del ejemplo 1

l,Cual es el dominio de la funci6n P(x) en (2)?

Solucion Tomado fuera del contexto del planteamiento del problema en el ejemplo 1, podrfa concluirse que puesto que P(x)

~ S i se pe nllit e .r > S. e nto nces r = 5 - .r < O. 10 e ual contradi ce la hipotcs is de que r > O.

= x(5

-

X)2

= 25x

- 10x 2

+ x3

es una funci6n polinomial, su dominio es el conjunto de numeros reales (-00, (0). Pero en el contexto del problema original, los numeros eran no negativos. A partir del requerimiento de que x 2:: 0 Y Y = 5 - X 2:: 0 se obtiene x 2:: 0 Y X :S 5, 10 eual signifiea que x debe satisfaeer la desigualdad simultanea 0 :S x :S 5. Al usar notaei6n de intervalos, el dominio de la funci6n producto P en (2) es el intervalo cerrado [0, 5] .

• A menu do en problemas que requieren la traducci6n de palabras en una funei6n, una buena idea es trazar una curva 0 imagen e identifiear cantidades dadas en el dibujo. Este debe ser sencillo.

l,iiMiQ"W'

Cantidad de valla

Un ranchero desea cerear un telTeno rectangular euya area es de 1 000 m2 . El terreno sera eereado y dividido en poreiones iguales mediante una cerea paralela ados lados del terreno. Exprese la eantidad de valla usada como una funei6n de la longitud de uno de los lados del terreno.

Valla

\

x

y

y

Y

Solucion El dibujo debe ser un rectangulo con una recta trazada en su parte media, semejante a la FIGURA 1.7.1. Como se muestra en la figura, sea x > 0 la longitud del terreno rectangular y sea y > 0 su aneho. La funei6n que se busea es la "eantidad de valla". Si el sfmbolo F representa esta cantidad, entonces la suma de las longitudes de las cinco poreiones - dos horizon tales y tres vertieales- de la valla es

x FIGURA 1.7.1 Terreno rectangular en el ejemplo 3

Y

F = 2x + 3y.

(4) 2

Pero el area del terreno eereado debe ser de 1 000 m , de modo que x y y deben estar relaeionados por la restrieei6n xy = 1 000. A partir de la ultima eeuaei6n se obtiene y = 1 000/ x, que puede usarse para eliminar y en (4). Asf, la eantidad de valla F como una funei6n de la longitud x es F(x) = 2x + 3(1 OOO/x ), 0 bien, F(x)

y = ~25-x2

=

2x

+ 3000. x

(5)

Puesto que x representa una dimensi6n ffsiea que satisfaee xy 1 000, se eoncluye que es positiva. Pero adem as de esta restricei6n, sobre x no hay ninguna otra. Entonees, a diferencia del ejemplo previo, la funei6n (5) no esta definida sobre un intervalo eerrado. El dominio de F(x) es el intervalo (0,00).

• a)

Y

b)

FIGURA 1.7.2 Rectangulo en el ejemp lo 4

"13M4!'.'

Area de un rectangulo

Un reetangulo tiene dos vertices sobre el eje x y dos vertices sobre el semicfreulo euya ecuaci6n es y = V25 - x 2 . Yea la FIGURA 1.7.2al. Exprese el area del reetangul0 como una funci6n de x.

Solucion Si (x, y), x > 0, y > 0, denota el vertice de un rectangulo sobre el cfrculo en el primer euadrante, entonees como se muestra en la figura 1.7.2b), el area A es longitud x ancho, o bien, A

=

(2x) X y

=

2xy.

(6)

1.7 De las pa labras a las funciones

57

La ecuaci6n del semicfrculo y = V 25 - x 2 es la restricci6n en este problema. Esta ecuaci6n se usa para eliminar y en (6) y obtener el area del rectangulo como una funci6n de x , (7)

EI dominio implfcito de (7) es el intervalo cerrado [- 5, 5 ] , pero debido a que asumimos que (x, y ) era un punto sobre el semicfrculo en el primer cuadrante, debemos tener x > O. As], el dominio de (7) es el intervalo (0, 5). â&#x20AC;˘

"1# 1Q!."1

Distancia Exprese la distancia de un punto (x, y) en el primer cuadrante sobre el cfrculo x 2 hasta el punto (2, 4) como una funci6n de x.

+l

=

y

Solodon Sea (x, y) un punto en el primer cuadrante sobre el cfrculo y sea d la distancia de (x, y) a (2, 4). Yea la FIG URA 1.7.3. Entonces, a partir de la f6rmula de la distancia, d =

Vex -

2f

+ (y -

4)2 =

Vx 2 + l- 4x -

8y

+ 20.

= V21 -

8~.

4x -

I I I

d/

(8)

La restricci6n en este problema es la ecuaci6n del cfrculo x 2 + l = I . A partir de esta ecuaci6n es posible sustituir de inmediato x 2 + l en (8) por el numero 1. Ademas, al usar la restricci6n para escribir y = ~ es posible eliminar el sfmbolo y en (8). Asf, la distancia d como una funci6n de xes: d(x)

,.

(2.4)

(9)

-+--+--+--+~ X

x

FIGURA 1.7.3 ejemplo S

2

+i = 1 Distancia d en el

Puesto que (x, y) es un punto sobre el cfrculo en el primer cuadrante, la variable x puede variar ,. Se cOll siclera que un PUllto ell el entre 0 y I; es decir, el dominio de la funci6n en (9) es el intervalo abierto (0, 1). â&#x20AC;˘ eje.\ 0 en el ejc .\' 110 es tCt e ll Ilinglill cualiranle.

Si un problema en lenguaje coloquial implica triangulos, es necesario estudiar el problema con cuidado y determinar que es aplicable: el teorema de Pitagoras, triangulos semejantes 0 trigonometrfa con triangulos rectangulos.

1!IM@!"ij

Longitud de una sombra

Un arbol se planta a 30 pies de la base de un poste que mide 25 pies de altura. Exprese la longitud de la sombra del arbol como una funci6n de su altura.

Solocion Como se muestra en la FIGURA 1.7.4a), h y s denotan la altura del arbol y la longitud de su sombra, respectivamente. Debido a que los triangulos mostrados en la figura 1.7.4b) son rectangulos, podrfa pensarse en utilizar el teorema de Pitagoras. Para este problema, no obstante, el teorema de Pitagoras llevada por mal camino. La cuesti6n importante que debe observarse aquf es que los triangulos ABC y AB' C' son semejantes. Luego aplicamos el hecho de que las razones de lados correspondientes de triangulos semejantes son iguales para escribir h s

25

s

+ 30

o bien

f

(s

+ 30)h = 25s.

2S

2S

C

h -

Sombra ........

1....( - - - 3 0 - - - ) 1"'1(~--

a)

FIG URA 1.7.4

Poste y arbol en el ejemplo 6

)1

B'

B

30

b)

,, A

58

CAPITULO 1 Funciones

Al despejar s en la ultima ecuaci6n en terminos de h se obtiene la funci6n racional 30h

s(h)

= 25 -

(10)

h·

Tiene sentido ffsico tomar el dominio de la funci6n (10) definido por 0 :s h < 25. Si h> 25, entonces s(h) es negativo, 10 cual no tiene sentido en el contexto ffsico del problema.

•

"!§MU"W'

Longitud de una escalera

Una pared de 10 pies de altura esta a 5 pies de un edificio. Una escalera, sostenida por la pared, se coloca en el pi so como se muestra en la FIGURA 1.7.5. Exprese la longitud de la escalera en terminos de la distancia x entre la base de la pared y la base de la escalera.

Solucion Sea L la longitud de la escalera. Con las variables x y y definidas en la figura 1.7.5, de nuevo se observa que hay dos triangulos rectangulos; el mayor tiene tres lados con longitudes L, y Y x + 5, y el menor tiene dos lados de longitudes x y 10. La escalera es la hipotenusa del triangulo rectangulo mayor, de modo que por el teorema de Pitagoras,

L

(11 )

Escalera

10 Pared x

Piso

FIGURA 1.7.5 ejemplo 7

Escalera en el

Los triangulos rectangulos en la figura 1.7.5 son semejantes porque ambos contienen un angulo recto y comparten el angulo agudo comun que la escalera forma con el piso. De nuevo se usa el hecho de que las razones de lados correspondientes de triangulos semejantes son iguaies.

Esto permite escribir 10 siguiente: -yx+5

10

de modo que

x

y=

lO(x

+

5)

x

.

Al usar el ultimo resultado, (11) se vuelve L2 = (x

+ 5)2 + [1O(Xx+ 5)r

= (x + 5)2[ 1 +

1~20]

2

=

(x

+

5)2[ :2100 ]. x

Al tomar la rafz cuadrada se obtiene L como una funci6n de x, L(x)

1,!ijMU!.':i

= x + 5 Yx2 + 100.

(12) •

x

Distancia

Un avi6n vuela a una altura constante de 3 000 pies sobre el nivel del suelo alejandose de un observador que esta en tierra. Exprese la distancia horizontal entre el avi6n y el observador como una funci6n del angulo de elevaci6n del plano medido por el observador.

110...

-----~

/ /

Observador

,/

3000 pies

/

x

Solucion Como se muestra en la FIGURA 1.7.6, sea x Ia distancia horizontal entre el avi6n y el observador, y sea e el angulo de elevaci6n. El triangulo en la figura es rectangulo. Asf, por trigonometria de triangulos rectos, el cateto opuesto a e esta relacionado con el cateto adyacente a e por tan e = op/ady. En consecuencia, tan

FIGURA 1.7.6 plo 8

Avi6n en el ejem-

donde 0 <

e<

7T

/2.

e=

3000 x

o bien

x(e)

= 3000 cot

e,

(13)

•

1.7 De las palabras a las funciones

Ejercicios 1.7

59

Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-7.

=

Fund amentos

En los problemas 1-32, traduzca las palabras en una funcion idonea. Proporcione e1 dominio de la funcion.

1. El producto de dos numeros positivos es 50. Exprese su suma como una funcion de uno de los numeros.

2. Exprese la suma de dos numeros diferentes de cero y su recfproco como una funcion del numero.

3. La sum a de dos numeros no negativos es 1. Exprese 1a suma del cuadrado de uno y el doble del cuadrado del otro como una funcion de uno de los numeros.

4. Sean m y n enteros positivos. La suma de dos numeros no negativos es S. Exprese el producto de la m-esima potencia de uno y la n-esima potencia del otro como una fun cion de uno de los numeros.

5. El perimetro de un rectangulo es 200 pulg. Exprese el area del rectangulo como una funcion de la longitud de uno de sus 1ados.

6. El area de un rectangulo es 400 pUlg 2 . Exprese el perimetro del rectangulo como una funcion de la longitud de uno de sus lados.

7. Exprese el area del rectangulo sombreado en la FIGURA 1.7.7 como una funcion de x . y x

+ 2y = 4

14. Exprese el vo1umen de un cubo como una funcion del area A de su base.

15. Exprese el area de un triangulo equilatero como una funcion de su altura h.

16. Exprese el area de un triangulo equi1atero como una funcion de la longitud s de uno de sus lados.

17. Un alambre de longitud x se dobla en forma de cfrculo.

Exprese el area del cfrculo como una funcion de x.

18. A un alambre de longitud L se cortan x unidades desde un extremo. Una parte del alambre se dobla en forma de cuadrado y la otra parte se dobla en forma de cfrculo.

Exprese la suma de las areas como una funcion de x.

19. Un ranchero desea cercar un corral rectangular cuya area es de 1 000 pies 2 usando dos tipos de valla distintos . A 10 largo de dos lados paralelos, la valla cuesta $4 por pie. Para los otros dos lados paralelos, la valla cuesta $1.60 por pie. Exprese el costo total para cercar el corral como una funcion de la longitud de uno de los lados con valla que cuesta $4 por pie.

20. El marco de un cometa consta de seis partes de plastico ligero. El marco externo del cometa consta de cuatro partes cortadas de antemano; dos partes de longitud 2 pies y dos partes de longitud 3 pies. Exprese el area del cometa como una fun cion de x, donde 2x es la longitud de la barra transversal horizontal mostrada en la FIGURA 1.7.9.

(x, y) -+------~----~~x

FI GURA 1.7.7 problema 7

Rectangulo en el

8. Exprese la longitud del segmento de recta que contiene al punto (2, 4) mostrado en la FIGURA 1.7.8 como una funcion de x. y (0, y)

(2,4)

--+--------+-_ x (x, 0)

FIGURA 1.7.8 Segmento de recta en el problema 8

9. Exprese como una funci6n de x la distancia de un punto (x, y) sobre la grafica de x + y = 1 al punto (2, 3).

10. Exprese como una funci6n de x la distancia de un punto (x, y) sobre la grafica de y = 4 - x 2 a1 punto (0, 1).

11. Exprese el perimetro de un cuadrado como una funcion de su area A .

12. Exprese e1 area de un cfrculo como una funcion de su diametro d.

13. Exprese el diametro de un cfrculo como una funcion de su circunferencia C.

FIGURA 1.7.9 Corneta en el problema 20

21. Una empresa desea construir una caja rectangular abierta con un volumen de 450 pulg 3 , de modo que la longitud de su base sea tres veces su ancho . Exprese el area superficial de la caja como una funcion de su ancho.

22. Un tanque conico, con el vertice hacia abajo, tiene un radio de 5 pies y una altura de 15 pies. Yea 1a FIGURA 1.7.10. Hacia el tanque se bombea agua. Exprese e1 vo1umen del agua como una funcion de su profundidad.

[Sugerencia: El volumen de un cono es V = ~7Tr2h . l

FIGURA 1.7.10 Tanque c6nico en el problema 22

60

CAPITULO 1 Funciones

23. El automovil A pas a por el pun to 0 en direccion al este a velocidad constante de 40 mi/h; el automovil B pasa por el mismo punto 1 hora despues en direccion al norte a velocidad constante de 60 mi/h. Exprese la distancia entre los automoviles como una funcion del tiempo t, donde t se mide empezando cuando el automovil B pasa por el punto O. Yea la FIGURA 1.7.11.

Exprese el volumen del paquete como una funcion del ancho x mostrado en la FIGURA 1.7.14. ~,

"

Longitud

'-, ,

,

->,

I I I

iI Circunferencia

Norte

I

FIGURA 1.7.14 Oeste

-+-~-----i

Paquete en el problema 26

27. Exprese la altura del globo mostrado en la FIGURA 1.7.15 como una funcion de su angulo de elevacion.

Este AutomovilA

,

Sur

FIGURA 1.7.11

Autom6viles en el problema 23

24. En el instante t = 0 (medido en horas), dos aviones con una separacion vertical de 1 mi pasan uno encima del otro, yolanda en direcciones opuestas. Yea la FIGURA 1.7.12. Los aviones vuelan horizontalmente a velocidades de 500 mi/h y 550 mi/h. a) Exprese la distancia horizontal entre los aviones como una funcion de t. [Sugerencia: Distancia =

velocidad X tiempo.] b) Exprese la distancia diagonal entre los aviones como una funcion de t.

T

I

t=

0

/"

/"

Angulo de elevaci6n I .

I

300 pies

.1

FIGURA 1.7.15 Globo en el problema 27

28. A una gran plancha metalica de 40 pulg de ancho se da forma de V al doblarla por la mitad a 10 largo de su longitud. Exprese el area de la seccion transversal triangular del canal como una funcion del angulo e en el vertice de la V. Yea la FIGURA 1.7.16.

I

I

c

tc

~1=O

FIGURA 1.7.12

2

~t>O

Aviones en el problema 24

25. La piscina que se muestra en la FIGURA 1.7.13 mide 3 pies de profundidad en la parte poco profunda, 8 pies en la profunda, 40 pies de largo, 30 pies de ancho y el fondo es un plano inc1inado. Hacia la piscina se bombea agua.

Exprese el volumen del agua en la piscina como una funcion de la altura h del agua por arriba del extremo profundo. [Sugerencia: El volumen es una funcion definida por partes con dominio definido por 0 ::; h ::; 8.]

FIGURA 1.7.13

FIGURA 1.7.16 Secci6n transversal triangular en elproblema 28

29. Como se muestra en la FIGURA 1.7.17, un tab Ion esta apoyado en un burro, de modo que un extremo esta apoyado en el suelo y el otro contra una construccion.

Exprese la longitud L del tablon como una fun cion del angulo e indicado. [Sugerencia: Use dos triangulos rectangulos .]

Piscina en el problema 25

26. Las regulaciones del Servicio Postal de Estados Unidos de America para el envio de paquetes postales estipulan que la longitud mas la circunferencia (el perimetro de un extremo) de un paquete no debe exceder 108 pulg.

FIGURA 1.7.17

Tablon en el problema 29

Revision del capitulo 1 61

30. Un ranchero desea cercar un terreno de pasto en forma de triangulo rectangulo usando 2 000 pies de valla a la mano. Yea la FIGURA 1.7.18. Exprese el area de ese terreno como una funci6n del angulo e. [Sugerencia : Use los slmbolos en la figura para formar cot e y csc e.]

necesario para que la mujer llegue al punto R como una funci6n del angulo e indicado. [Sugerencia: Distancia = velocidad X tiempo.]

A

Q

Costa

R

I

9 mi

I I

e

/

IS mi

:e

x

FIGURA 1.7.18

I

I I

Terreno de pasto en el problema 30

/ / /

- --....,J/. /

p

31. Una estatua se coloca en un pedestal como se muestra en la FIGURA 1.7.19. Exprese el angulo de visi6n e como una funci6n de la distancia x desde el pedestal.

"\.///

Isla

FIGURA 1.7.20

=

Piense en ello

.- /

,// !! ... ""-Nivelde ~-:..--la vista

Mujer remando hacia la costa en el problema 32

33. Suponga que la altura en el ejemplo 7 es 60 pies. l,Cual es el dominio de la funci6n L (x) dada en (12)?

x

34. En un texto de ingenierfa, el area del octagono mostrado en la FIGURA 1.7.21 esta dada por A = 3.3 1r2. Demuestre que esta f6rmula es en realidad una aproximaci6n al area; es decir, encuentre el area exacta A del octagono como una funci6n de r.

FIGURA 1.7.19 Estatua en el problema 31

32. Una mujer en una isla desea llegar a un punto R en una costa recta desde un punto P en la isla. El punto P esta a 9 mi de la costa y a 15 mi del pun to R. Yea la FIGURA 1.7.20.

Si la mujer rema en un bote a una velocidad de 3 mi/h hacia un punto Q en tierra, y luego camina el resto del camino a una velocidad de 5 mi/h, exprese el tiempo total

----~---FIGURA 1.7.21

Octagono en el problema 34

Revision del capitulo 1 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-7.

A. Fa lsoNerdadero _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ En los problemas 1-20, indique si la afirmaci6n dada es falsa (F)

0

verdadera (V).

1. Si f es una funci6n y f(a) = feb) , entonces a = b . _ _ 2. La funci6n f(x) =

X

S

-

4x 3

+ 2 es una funci6n impar. _ _

3. La grafica de la funci6n f(x) = 5x 2 cos x es simetrica con respecto al eje y. _ _ 4. La gr<'ifica de la funci6n y = f(x la derecha.

+ 3) es la grafica de

. , f() 5. La gra'filca de 1a f unClOn x = -1-1

x-

y = f(x) desplazada 3 unidades a

1 no hene . .1l1tersecclOn . , x. _ _ + --2 x-

6. Una aSlntota es una recta a la que tiende la grafica de una funci6n pero sin cruzarla jamas. _ _ 7. La grafica de una funci6n puede tener cuanto mucho dos aSlntotas horizontales. _ _ 8. Si f(x) = p(x)/ q(x) es una funci6n racional y q(a) = 0, entonces la recta x = a es una aSlntota vertical para la grafica de f _ _ 9. La funci6n y = -10 sec x tiene amplitud 10. _ _ 10. El rango de la funci6n f(x) = 2 + cos x es [1, 3] . _ _

62

CAPrTULO 1 Funciones

11. Si f(x) = I

+ x + 2e

X

es uno a uno, entonees f- (3) = 0. _ _ I

12. Si tan (57T/4) = -1, entoneestan-I(-l) = 57T/4. _ _

B. Ninguna funei6n par puede ser uno a uno. _ _ 14. Un punto de interseeei6n de las gnifieas de f y f

- I

debe estar sobre la recta y = x. _ _

IS. La gnifiea de y = sec x no eorta el eje x. _ _ 16. La funei6n f(x) = sen - I x no es peri6diea. _ _ 17. y = lO-x y y = (O .IY son la misma funei6n. _ _ 18. In(e + e) = 1 + In 2 _ _

eb

19. In -eO = b - a 20. El punto (b, 1) esta sobre la grafiea de f(x) = logbx. _ _

B. Llene los espacios en blanco ___________________ En los problemas 1-20, Hene los espaeios en blanco.

1. El dominio de la funei6nf(x) = \IX+2/x es _ _ __ 2. Sif(x) = 4x 2 + 7 y g(x) = 2x + 3, entonees (fo g)(I) = _ _ _, (g f)(1) = _ __ Y (fo f)(l) = _ _ 3. El vertiee de la grafiea de la funei6n euadratiea f(x) = x 2 + 16x + 70 es _ _ __ 4. Las interseeeiones x de la grafiea de f(x) = x 2 + 2x - 35 son _ _ __ 5. La grafiea de la funei6n polinomial f(x) = x 3 (x - 1)2(x - 5) es tangente al eje x en _ _ _ _ y pasa por el eje x en _ _ __ 6. El rango de la funei6n f(x) = 1O/(x 2 + 1) es _ __ 0

7. La interseeei6n y de la grafiea de f(x) = (2x - 4)/(5 - x) es _ __ 8. Una funei6n raeional euya grafiea tiene la asfntota horizontal y = 1 e interseeei6n x (3, 0) esf(x) = _ __ 9. El periodo de la funei6n y

2 sen!!.- x es _ _ __ 3 10. La grafiea de la funei6n y = sen(3x - 7T/4) es la grafiea de f(x) = sen 3x desplazada _ _ _ _ unidades a la _ _ __ 11. sen- l (sen7T) = _ _ __ =

12. Si f es una funei6n uno a uno tal que f - I (3) es _ _ __

= 1, entonees un punto sobre la grafiea de f

13. Por transformaeiones rfgidas, el punto (0, 1) sobre la grafiea de y punto sobre la grafiea de y = 4 + e x - 3 .

14. e31nlO = _ _ __

=

eX se mueve haeia el

15. Si 3x = 5, entonees x = ____ 16. Si 3e x = 4e - 3x , entonees x = _ _ __ 17. Si 10g3x = -2, entonees x = ____

18. Al eseribir 10g9 27 = 1.5 como declaraei6n exponeneiaI, se eneuentra que es equivalente a _ _ __ 19. La inversa de y = eX es _ _ __ 20. Si f(x) = eX - 3, entonees f( -In 2) = _ __

c.

Ejercicios __________________________

1. Estime el valor funeional haeiendo uso de Ia grMiea de la funei6n y = f(x) en Ia loR.1.

a) f(-4) c) f(-2) e) f(O) g) f(1.5) i) f(3.5)

b)

d) f) h) j)

f(-3) f(-I) f(l) f(2) f(4)

FIGURA

Revisi6n del capitulo 1 63 y

/ y =.f(x)/

\

\

/

~

I

\

\

II

\

)

\

/

i

I I

xl

/

\ LI

FIGURA 1.R.l

Gnlfica para el problema I

2. Dado que

g(t){~;,

- 1

<

1

t:::::

1 0 bien, t

t ::::: -

>

Encuentre para 0 < a < 1: a) g(l + a) c ) g(l.5 - a) e) g( -a)

b)

g(1 - a)

d)

g(a)

f) g(2a)

3. Determine si los mimeros 1, 5 Y 8 estan en el rango de 1a funci6n 2X, f(x) = 3, { x + 4, 4. Suponga que f(x) = v'.X+4, g(x) = una de las funciones dadas.

-2::::: x

<

2

x = 2 x> 2.

"\I5="X

y hex)

= x 2. Encuentre el dominio de cada

b) go h d) gog f) fig

a) fo h c) fo f e) f+ g

f(x

En los problemas 5 y 6, calcu1e 5. f(x) = - x 3

+

+ h)

2X2 - X + 5

h

- f(x)

'h

=1=

6. f(x) = 1

0, Y simp1ifique.

+

3 2x - -

x

En los problemas 7-16, relacione la funci6n raciona1 dada con una de las graficas a )-j). y

y

y

y

,y

~.

3

,

---1-----

x

-2

- 3

2

- + - --"k----c--+- x -3 3

x

-2

2 a)

b)

c)

d)

FIGURA 1.R.2

FIGURA 1.R.3

FIGURA 1.R.4

FIGURA 1.R.5

y

y

y

2 ------ - -

--------

3

x

2

f)

--+--'<-+--/--+--_ x -2 2

x

3

FIGU RA 1.R.7

e)

FIGURA 1.R.6 y

y

3

2 -2

\

-3 h)

g)

FIGURA 1.R.8

3

FIGURA 1.R.9

--+--+~~r-~x

-2 i)

j)

FIGURA 1.R. 10

FIGURA 1.R.ll

64

CAPrTULO 1 Funciones

7. f(x)

=

Xl

2x

+

x2 - I 8. f(x) = x2 + I

1

2x -2 x -

I 10. f(x) = 2 - 2: x

9. f(x) = -

x 11. f(x) = (x _ 2)2

13. f(x)

x2 =

10

-

2x - 4 2x

12. f(x)

= (: -=- It

14. f(x)

=

-

x

2

+ 5~ - 5

x -

3 16. f(x) = x2 + 1

15. f(x) = x3 + 1

En los problemas 17 y 18, encuentre la pendiente de la recta roja L en cada figura.

18.

Y 17. f(x)=r (X+ l) y L

___-::::""""~ lex) = ln x L

FIGURA l.R.13 problema 18

- 2 - 2+h

Grafica para el

FIGURA l.R.12 GrMica para el problema 17

En los problemas 19 y 20, suponga que 21 = a y 6 1 = b. Use las leyes de los exponentes dad as en la secci6n 1.6 para encontrar el valor de la cantidad dada.

19. a) 12'

b) 31

20. a) 6 31

b)

r

c) 6- 1 31

2 71

21. Encuentre una funci6n f(x)

c) 18 1 =

ae kx si (0, 5) y (6, 1) son puntos sobre la gnifica de f

22. Encuentre una funci6n f(x) = a lO ler si f(3) = 8 y f(O) = ~ .

23. Encuentre una funci6nf(x) = a asintota horizontal y = 5.

24. Encuentre una funci6n f(x) = a asintota vertical x = 2.

+

b",O < b < I, sif(l) = 5.5 y la grafica deftiene una

+ log3(x - c) si f(11) = 10 y la grafica de f tiene una

En los problemas 25 -30, relacione las siguientes funciones con las graficas dadas. a) y = In(x - 2) c) y = 2 + In(x + 2) e) y = -In(2x)

25.

y = 2 - lnx y = -2 - In(x f) y = 2 + In(-x b) d)

26.

Y

+ 2) + 2)

Y 4

4

2

2

x

x

2

-2

3

4

-2

4

-4

-4

FIGURA 1.R.14 Grafica para el problema 25

FI GURA l.R.15 Gnifica para el problema 26

28.

Y

27.

4

y

4

2

2 x

-2

- \

-2 -4

FIGURA l.R.16 Grafica para el problema 27

x

2 -2 -4

FIG URA l.R.17 Gnifica para el problema 28

Revision de l capitu lo 1 65 y

29.

y

30.

4

4

2

2 x

-2

-\

-2

2

- I

- 2

- 2

-4

-4

FIGURA 1.R.18 problema 29

FIGURA 1.R.1 9 Grafica para el problema 30

Gnifica para el

31. El ancho de una caja rectangular es tres veces su longitud, y su altura es dos veces su lon-

gitud. a) Exprese el volumen V de la caja como una funci6n de su longitud l. b) Como una funci6n de su ancho w. c) Como una funci6n de su altura h.

32. Se piensa construir una caja cerrada en forma material para los lados cuesta I centavo por caras superior e inferior cuesta 2.5 centavos total C de construcci6n como una funci6n de

de cubo usando dos materiales distintos. El centimetro cuadrado y el material para las por centimetro cuadrado. Exprese el costo la longitud x de un lado.

33. Exprese el volumen V de la caja que se muestra en la FIGURA 1.R.20 como una funci6n del angulo e indicado.

T5 pies -.l

FIGURA 1.R.20

Caja en el problema 33

34. Considere el cfrculo de radio h con centro (h , h) mostrado en la FIG URA 1.R.21. Exprese el area de la regi6n sombreada A como una funci6n de h. y

-t---"'"-+"""'---~x

FIGURA 1.R.2l

Cfrculo en el problema 34

35. Se construira un canal6n con una lamina metalica de 30 em de ancho al doblar los bordes de ancho 10 em a 10 largo de cada lado, de modo que los lados formen angulos 1> con la vertical. Yea la FIGURA 1.R.22. Exprese el area de la secci6n transversal del canal6n como una funci6n del angulo 1>.

!Oem

FIGURA 1.R.22

Canal6n en el problema 35

36. Un tubo metaJico se instalara horizontalmente alrededor de una esquina en forma de angulo recto desde un vestibulo de 8 pies de ancho hacia un vestibulo de 6 pies de ancho. Yea la FIGURA 1.R.23. Exprese la longitud L del tubo como una funci6n del angulo e que se muestra en la figura.

6 pies

e 8 pies

FIGURA 1.R.23

Tubo en el problema 36

66

CAPrTULO 1 Funciones

37. En la FIGURA 1.R.24 se muestra un prisma cuyas caras paralelas son triangulos equihiteros.

La base rectangular del prisma es perpendicular al eje x y esta inscrita en el cfrculo x 2 + y 2 = I . Exprese el volumen V del prisma como una funci6n de x .

r -----r.- x x2+i = I FIGURA l. R.24

Prisma en el problema 37

38. El contenedor que se muestra en la FIGURA 1.R.25 consta de un cono invertido (abierto en su parte superior) sujeto a la parte inferior de un cilindro circular recto (abierto en sus partes superior e inferior) de radio fijo R. EI volumen V del contenedor es fijo. Exprese el area superficial total S del contenedor como una funci6n del angulo indicado. [Sugeren-

e

cia: EI area superficial lateral de un cono esta dada por 1TRVR abierto

FIGURA 1.R.25

Contenedor en el problema 38

2

+

h 2. ]