Fisica 1 estática prueba

Pr

ue

ba

_A

na

Fร SICA

Estรกtica

BIBLIOTECA

Plan de trabajo

na

Estรกtica Problemas

Pr

ue

ba

_A

3

2

Estática

Problemas 1 Hallar la tensión en cada cuerda de la figura, si el peso del cuerpo suspendido es 200 Kg.

30º

45º 1

2 0

na

3 200 Kg

_A

Solución:

Para que el punto 0 esté en equilibrio, las fuerzas horizontales tienen que sumar cero y las verticales, también. Es decir:

ba

y

T2

T1

45º

ue

30º

x

R Ty = 0 & T2 sen 45 + T1 sen30 - T3 = 0

Pr

0

R Tx = 0 & T2 cos 45 - T1 cos30 = 0

T3

T2 T2

_b 2 3 bb T2 2 = T1 3 - T1 =0 bb 2 2 `b b 2 1 + T1 = 200 $ 9, 8 bbb T2 2 + T1 = 3920 2 2 a

T1 ( 3 + 1) = 3920 & T1 = 1434,82N ; T2 = 1757,29 N ; T3 = 1960 N

3

Estática

2 Calcular la tensión en cada cuerda de la figura.

45º 2 90º

1

0 3

na

200 Kg

_A

Solución: T1=1960 N T2=2772 N

ba

..........................................................................................................................

ue

3 Calcular la tensión en cada cuerda.

45º

2 0

Pr

1

60º

3

200 Kg

Solución: T1=5354,82 N T2=6558,29 N

4

Estática

4 Calcular la tensión T del cable y la compresión C del puntal, a las que están sometidas las estructuras de la figura. a)

b)

30º

na

30º

1000 Kg

ue

45º

d)

ba

c)

_A

1000 Kg

Pr

30º

1000 Kg

5

30º

45º 1000 Kg

Estática

Solución: a)

y

R Tx = 0 & C - T cos30 = 0 R Ty = 0 & T sen30 - 1000 $ 9, 8 = 0

T

30º

T=19600 N ; C=16974 N

C

na

x

b) T = 16974 N ; C = 19600 N

_A

9,8 · 1000 N

c) T = 5072,85 N ; C = 7174,1 N d) T = 26774 M ; C = 32791,3 N

ba

...........................................................................................................................

5 Calcular las reacciones en A y B de la escalera; si en B, el coeficiente de rozamiento

Pr

ue

es nulo.

12

Nota: El peso de 80 Kg está en la mitad de la escalera.

B

9m

m

80 Kg

A

6

Estática

Solución:

0

RB

12

B

m

RY

RA 80 Kg

_A

a

na

9m

A

RX

7,94 m

ue

ba

R Fx = 0 & R X - R B = 0 & R X = R B R Fy = 0 & R y - 80 $ 9, 8 = 0 & R y = 784 N R M B = 0 & R y $ 7, 94 - 80 $ 9, 8 $ 3, 97 - R X $ 9 = 0 & R X = 345,83 N R B = 657,1 N R A = Rx 2 + Ry 2 & R A = 856,9 N Ry & a = 66,2º tg a = RX

Pr

Nota: Para que la escalera esté en equilibrio, las tres fuerzas tienen que cortarse en un punto.

7

Estática 6 Calcular la tensión en cada cuerda de la figura.

60º

60º

1 a

30º

30º

3

3

1 a

0

na

2000 Kg

Solución:

y

T3

T3

T2

30º

x

ba

30º

_A

y

T3

ue

2000 · 9,8

T3 = 19600 N

R TX = 0 & T1 cos 60 - T2 - T3 cos 30 = 0 T1 = 11316 N 3 T2 = -11316 N R TY = 0 & T1 sen 60 - T3 sen 30 = 0

Pr

)

8

60º

60º

a

T1

x

Estática Nota: El que T2 sea negativa, indica que la cuerda 2, no esta trabajando a tracción sino a compresión. Por lo tanto, hay que sustituirla por un puntal. La estructura, finalmente, quedaría como indica la figura siguiente.

60º

60º

1

1

2 30º

30º 3

na

3

_A

2000 Kg

............................................................................................................................

ba

7 Calcular la tensión en cada cuerda de la figura.

30º

30º

1

2

60º

ue

3

1

60º

3

Pr

2000 Kg

Solución:

T1= 19600 N T2= 11316 N T3 =11316 N Nota: En este caso, todas las cuerdas trabajan a tracción.

9

Estática

8 Una varilla homogénea de longitud 2l y peso p, está alojada entre una pared lisa y una clavija lisa. Calcular el ángulo i entre la pared y la varilla, correspondiente al equilibrio y además, las reacciones en A y B.

RB

C

RA

P

_A

a

na

B

i A

2l

Solución:

ba

Las fuerzas que actúan sobre la varilla son: su peso P y las reacciones RA y RB, representadas en la figura. Apliquemos las condiciones de equilibrio a la varilla:

ue

R FX = R A - R B cosi = 0 R Fy = R B sen i - P = 0 a R MA = RB - P l sen i = 0 sen i

Resolviendo el sistema, nos queda: P P a a a a 1 RB = & $ - P l sen i & = l sen i & sen 3 i = & sen i = a k3 2 sen i sen i sen i sen i l l 1

3 P b l l 1 = P a a a k3 l

Pr

P RB = = sen i

1

l 3 l 3 3 R A = R B cos i = P b a l < 1 - b a l F 1

2

10

Estática

9 Una escalera de peso P1 y longitud 2l, se apoya por su extremo inferior A, sobre el

suelo y por el otro extremo B, en una pared vertical. Un hombre de peso P2, sube la escalera hasta una altura donde AH = a. Los coeficientes de rozamiento de la escalera con el suelo y la pared son, respectivamente, n 1 y n 2 . Hallar: R2

N2

2) Hallar dicho ángulo, en el caso de que el hombre haya subido hasta el extremo B.

a G H N1 P2

_A

P1

R1

A

ba

Solución:

na

B

1) El valor máximo del ángulo que forma la escalera con la pared, sin que resbale.

1) Aplicando las condiciones de equilibrio, obtenemos las siguientes ecuaciones:

ue

N2 - n1 N1 = 0 N 1 + n 2 N 2 - P1 - P2 = 0

P2 a sen a + P1 l sen a - N 2 2l cos a - n 2 N 2 2l sen a = 0

Pr

Hemos tomado momentos respectos al punto A. De las dos primeras ecuaciones, obtendremos: n 1 (P1 + P2) N2 = 1 + n1 n2 y de la tercera: tg a =

2lN 2 P2 a + P1 l - n 2 N 2 2l

Sustituyendo el valor de N2 en esta última expresión: tg a =

2l n 1 (P1 + P2) (P2 a + P1 l) (1 + n 1 n 2) - 2l n 1 n 2 (P1 + P2)

2) En el caso a = 2l, tenemos: tg a =

2n 1 (P1 + P2) (2P2 + P1) (1 + n 1 + n 2) - 2n 1 n 2 (P1 + P2)

11

Estática

10 Una varilla homogénea de 20 Kg de peso, se apoya tal como indica la figura.

Determinar:

RN

na

N

2) Reacciones de los apoyos sobre la varilla.

RM 30º

F

1) Fuerza horizontal, F, que se debe aplicar al extremo M de la varilla, para que se mantenga en equilibrio con un ángulo deinclinación con la horizontal de 30º. Se supone que el ángulo de la pared dondese apoya el otro extremo de la varilla, N,con la horizontal, es de 60º y además, no existen rozamientos.

P

60º

_A

M

Solución:

ba

Supondremos que la longitud de la varilla es l. Para obtener las ecuaciones de equilibrio de la varilla, proyectamos según la horizontal y la vertical y tomamos momentos respecto al punto M.

ue

F - R N sen 60c = 0 R M + R N cos 60c - P = 0 l P cos30c - R N l cos30c = 0 2 De la última ecuación, obtendremos: RN RN =

Pr

luego:

P = 10 Kgs 2

F = R N sen 60 =

y:

10 3 = 8, 66 Kgs 2

R M = P - R N cos60c = 20 - 5 = 15 Kgs

12

Estática

11 El bloque A de la figura, pesa 4 Kg y descansa sobre un bloque que pesa 8 Kg. Los bloques están unidos por una cuerda, que pasa alrededor de una polea, sin rozamiento.

na

El coeficiente dinámico de rozamiento entre los bloques A y B y entre B y el suelo es 0,25. Hallar la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante.

A

F

_A

B

Solución:

N

ue

T

R FX = T - fr = 0 T = fr = n N 4 N = PA R Fy = N - PA = 0

luego: T = n PA = 0, 25 $ 4 = 1 Kg

Pr

fr

ba

Aislemos el bloque A considerando, únicamente, las fuerzas que actúan sobre él. Las ecuaciones de equilibrio serán:

PA

Consideremos, ahora, solamente las fuerzas que actúan sobre B. Las ecuaciones de equilibrio dinámico, serán: N'

R FX = fr + T + f 'r - F = 0 4 R Fy = N ' - (PA + PB) = 0

fr

F

N = PA + PB = 12 Kg '

f'r T

f 'r = n N' = 0, 25 $ 12 = 3 & F = fr + T + f 'r & & F = 2T + f 'r & F = 2 + 3 = 5 Kg

13

PA+PB

Estática

12 Dos bloques M1 y M2, se apoyan sobre los planos inclinados de la figura y están

unidos por medio de un hilo ideal, que pasa por la polea P. Los coeficientes de los bloques sobre los planos son: n 1 y n 2. Calcular entre qué valores puede variar la relación: M1/M2, para que el sistema permanezca en equilibrio.

Solución: Supongamos que: M 2 g senb > M 1 g sen a; en este caso, para que el sistema esté en equilibrio, se verificará: P

bloque de la derecha: T = M 2 g sen b - n 2 M 2 g cosb

T

na

T

R2

bloque de laizquierda: T = M 1 g sen a + n 1 M 1 g cosa

M2

M1 R1

a

P1

_A

Por tanto: M 2 6 senb - n 2 cosb @ = M 1 6sena + n 1 cosa @

P2

b

sen b - n 2 cosb M1 = M 2 sen a + n 1 cosa

ba

Supongamos, ahora, que se verifique: P

ue

T

M 2 g senb < M 1 g sen a, tendríamos:

T

R1

Pr

M1

a

P1

M2

P2

R2 b

bloque de la derecha: T = M 2 g sen b + n 2 M 2 g cos b bloque de laizquierda: T = M 1 g sen a - n 1 M 1 g cosa de donde: M 1 sen b + n 2 cosb = sen a - n 1 cosa M2

14

Estática

13 Un hombre quiere subir una caja a lo largo de una pendiente, con un movimiento

uniforme. Para arrastrarla, tira de una cuerda atada a la caja. ¿Qué ángulo debe formar la cuerda con la pendiente, para que la fuerza con que deba tirar sea mínima?

Coeficiente de rozamiento: n =0,1 Solución: Sean a y i, respectivamente, el ángulo que forma la pendiente con la horizontal y el ángulo que forma la dirección de la cuerda con la pendiente.

y

x

N i

na

Las ecuaciones de equilibrio son: R FX = F cos i - P sen a - FR = 0 R Fy = N + F sen i - P cosa = 0

FR

P

_A

de la segunda ecuación, obtenemos: N = P cos a - F sen i

F

a

por tanto: FR = n N = n (P cos a - F sen i)

ba

Sustituyendo, en la primera ecuación de equilibrio: F cos i - P sen a - n (P cosa - F sen i) = 0 de donde:

P sen a + n P cosa cos i + n sen i

ue

F=

al derivar esta expresión con respecto a i, observaremos que, el numerador es constante; por tanto, haciendo: P sen a + n P cosa = K , tendremos:

Pr

K (sen i - n cos i) dF = = 0 & sen i - ncosi = 0 di (cos i + n sen i) 2 (senii--nncos cosii)) dF dF KK(sen == == 00 & & sen senii--nncos cosii == 00 + + (cos (cos i n sen sen ))22 i n d d i i esiidecir: tgi = n = 0, 10 & i = 5c42' es decir: tgii == nn == 0, 0,10 10 & 42' & ii == 55cc42' es esdecir: decir: tg

15

Estática

14 Una barra AB, sin peso, está articulada en A y lleva un peso P, en su extremo B.

La barra está sostenida por un hilo flexible, que pasa por la anilla 0, fija en la pared.

En la posición de equilibrio, se verifica: OC = OD y AC = DB . Hallar la tensión del hilo y la magnitud y dirección de la reacción en A. No existen rozamientos y además, a y b son conocidos.

Solución:

na

B

T

D

T

_A

La resultante de las tensiones, será una fuerza aplicada en el punto medio de la barra, perpendicular 0 a la misma y cuyo valor será: 2 T sen a Tomando momentos respecto a A de las fuerzas que actúan sobre la barra, tendremos: l 2 T sen a - Pl cosb = 0 2 por tanto: cos b T = p sen a

R

a

C

z

b

ba

A

Proyectando sobre un eje horizontal y otro vertical, quedará: R sen z - 2 T sen a sen b = 0 R cos z + 2 T sen a cosb - P = 0

ue

de donde:

R sen z = 2 T sen a sen b R cos z = P - 2T sen a cos b

a)

Pr

elevando al cuadrado ambas igualdades y después sumando, miembro a miembro, obtendremos: R 2 = p 2 + 4T 2 sen 2 a - 4 TP sen a cosb

después de sustituir T, por el valor hallado anteriormente, resulta: R=P. Sustituyendo estos valores en a), quedará: cosb P sen z = 2P sen a sen a sen b = 2P sen b cos b = P sen 2b luego: z = 2b

16

P

Estática

15 1) Calcular el peso máximo Q del disco de la figura, si la tensión máxima que

puede soportar la cuerda es de T=15 Kg. 2) En el caso anterior, calcular la reacción en A. Datos: la barra AB es homogénea, tiene un peso: P= 6 Kg y una longitud, 2 l= 40 cm, el radio del disco es: r =20 cm.

Solución:

30º

na

Si aislamos el disco y proyectamos, según la vertical, quedará: N cos 30c = Q es decir: 2Q N= 3 Tomemos, ahora, momentos con respecto a A, de las fuerzas que actúan sobre la barra; tendremos: 2lT - Pl cos 30c - Nr cot g 30c = 0 es decir:

_A

T

3 - 2 Qr = 0 2 El peso Q del disco, podrá valer como máximo: 2lT - Pl

V

N

90

B

Q=

Q

P

Aplicando a las fuerzas que actúan sobre la barra las condiciones de equilibrio, tendremos: R FX = -T cos 60 + H + N cos 60 = 0 R Fy = T sen 60 + V - N sen 60 - P = 0

ue

A

ba

N

H

4 lT - 3 Pl = 12,4 Kg 4r

Resuelto el sistema, obtenemos: y por tanto:

H= 0,35 Kg V= 5,4 Kg

Pr

R A = H 2 + V 2 = 5, 41 Kg

17

Estática

16 Una caja paralelepipédica a la que le falta la base inferior, contiene dos cilindros

iguales de radio: r=6 cm y peso: P=0,5 Kg, que se apoyan mutuamente, entre sí y contra las paredes de la caja. La anchura de la caja es 2a cm y la longitud de la caja y de los cilindros, es la misma.

Hallar el peso mínimo Q de la caja, para que no sea volcada por el peso de los cilindros.

Solución:

Proyectando, según la horizontal, las fuerzas que actúan sobre la caja, obtenemos:

na

N1=N2 Considerando el sistema de fuerzas que actúa sobre los cilindros, tomemos momentos respecto al punto 02: P2 (a-r) - N1 (h-r) = 0

_A

por tanto:

a-r h-r

ba

N 1 = N 2 = 2P

Tomando momentos respecto a B, para que no vuelque la caja, se ha de verificar:

2a

ue

Q $ a + N2 r $ N1 h Q $ a $ N 1 (h - r)

de donde:

h-r Q $ N1 a

N2

Pr

Sustituyendo N1, por su valor:

2P r Q $ a (a - r) = 2P (1 - a ) 6 ) = 0, 4 Kg Q $ 2 $ 0, 5 (1 10

18

N1

Q O1 N2

O2

P h

P A

N1

r B

Estática

17 En la figura, se muestra una estructura bidimensional; donde todas las barras diagonales, tienen una longitud de 50 cm, siendo la longitud de las horizontales 60 cm. Se supone que, todas las uniones entre barras son articulaciones, sin rozamiento y que los pesos de las barras, son despreciables. Se desea conocer: 1) ¿Qué elementos (barras) pueden reemplazarse por cables flexibles, RA para la configuración de carga que se indica en la figura?

A

60 cm

D

F RG

50 cm

a

G C

E 600 Kg

na

2) Encontrar las fuerzas, a las que están sometidas las barras BD y DE.

B

Solución:

Tomando momentos respecto a A:

_A

1) y 2) Consideramos la estructura completa como sólido. Como no hay ninguna fuerza sobre la armadura que tenga componente horizontal, tanto la reacción en el apoyo móvil, RG, como la reacción en la articulación, RA, son verticales.

Y con respecto a G:

RG =

120 $ 600 = 400 Kg 180

ba

AG $ R G - AE $ 600 = 0

GA $ R A - GE $ 600 = 0

RA =

60 $ 600 = 200 Kg 180

ue

Aislemos el nudo A: Está sometido a la reacción RA y a las fuerzas ejercidas por las barras AB y AC. ]Z] 4 ]] sen a = 5 Para todos los cálculos siguientes: [] ]] cos a = 3 ] 5 \

Pr

RA

B

60

R Fy = 0 ;R A - FAB sen a = 0 & FAB =

40

A

200 4

5

= 250 Kg

a

30

FAC

R FX = 0 ;FAC - FAB cos a = 0 & FAB = 250 FAB

19

3 = 150 Kg 5

Estática

Consideremos el equilibrio del nudo B. Proyectamos, según la dirección vertical:

FBA

FBA sen a - FBC sen a = 0 & FBC = FBA = 250 Kg FBD

B

Proyectamos, horizontalmente: FBA cos a + FBC cos a - FBD = 0 3 FBD = 2 $ 250 $ = 300 Kg 5

a

na

a

FBC

Aislemos el nudo C:

_A

Proyectemos, verticalmente:

FCB

FCB sen a - FCD sen a = 0 & FCD = FCB = 250 Kg

Luego, horizontalmente:

FCA

FCE

ba

a

FCE - FCA - FCB cosa - FCD cos a = 0 3 FCE = 150 + 2 $ 250 $ = 450 Kg 5

C

ue

a

FCD

Pr

Aislemos el nudo D:

FDF

D

FDC

Proyectemos, verticalmente: FDC sen a - FDE sen a = 0 & FDE = FDC = 250 Kg Luego, horizontalmente:

a

FDB

a

FDE

20

FDB - FDF + FDC cos a + FDF cos a = 0 3 FDF = 300 + 2 $ 250 $ = 600 Kg 5

Estática

Consideremos el punto G: RG

Proyectamos, verticalmente: 400 R G - FGF sen a = 0 & FGF = 4 = 500 Kg 5

ahora, horizontalmente: FGE

FGF cos a - FGE = 0 & FGE = 500

G

a

na

FGE

3 = 300 Kg 5

Por último, aislemos el nudo F:

_A

Proyectamos, verticalmente:

FFG

FFG sen a - FFE sen a = 0 & FFE = FFG = 500 Kg

proyectemos, horizontalmente:

a

ue

FFE

F

ba

a

FDF - FFG cosa - FFE cos a = 0 3 FDF = 2 $ 500 $ = 600 Kg 5

FDF

Pr

Podrán sustituirse por cables flexibles, todas aquellas barras que estén sometidas a fuerzas de tracción; en el esquema que figura a continuación, se observa que dichas barras son:

B

FBD

AC, BC, CE, DE, EG y EF

FAB

FCA FAC

FCD

FFG

D

FBC

RA A

FDC

FBA FDF

FDB

FFE

FED

FCB C

FDE

F

FCE

FEC

FDF

RG

FEF E

FEG

FGE

G FGF

21