Así empieza todo Carme Aymerich Hablar de matemáticas en las primeras edades ha tenido tradicionalmente dos enfoques. Negar que existan y defender a ultranza su presencia. No va a ser esta presentación la que ponga fin al debate, no parece necesario acordar tal punto para llevar a cabo un buen trabajo en la etapa 0-6. Cuando hablamos de “desarrollo del pensamiento” nadie niega que el pensamiento existe y que es necesario colaborar en su desarrollo.
Por tanto
acordemos que: una parte del pensamiento tiene alguna cosa que ver con la matemáticas, como también con el lenguaje o la música. Vamos a poder ver qué cosas pasan en las aulas y cómo podemos hacer para que en ellas tengan lugar hechos fundamentales para el desarrollo de los niños y niñas que serán los ciudadanos del futuro.
Cuando hablamos de cómo empieza el desarrollo del pensamiento desde las matemáticas debemos hablar también del profesorado que intenta mostrar como desde una óptica de resolución de problemas se puede contribuir activamente a formar la capacidad crítica, que tan necesaria va a ser, para los ciudadanos que deberán afrontar un futuro lleno de incógnitas,
personales y
globales. Hago nuestras las palabras que aparecen en los estándares del NCTM: “Imagine una clase, una escuela o un distrito escolar donde todos los estudiantes tienen acceso a una educación matemática atractiva y de calidad (...) Los estudiantes son flexibles y hábiles resolutores de problemas. Solos o en grupos, y con acceso a los medios tecnológicos, trabajan, productiva y reflexivamente, bajo la experta guía de sus profesores. Oralmente y por escrito , comunican sus ideas y
resultados con eficacia. Valoran las matemáticas y se dedican activamente a aprenderlas.” Las matemáticas pueden aportar la necesaria base de conocimiento
para
controlar desde el cambio climático hasta las desigualdades extremas entre e intracontinentales. Necesitamos urgentemente personas capaces, que hagan posible combinar diferentes puntos de vista, trabajar en equipo y que tengan la suficiente confianza en sí mismos para entender que invertir el proceso está en manos de todos. Y vamos a formar a estos ciudadanos desde el lugar donde empieza todo, desde las aulas de Educación Infantil, ya sea en escuelas rurales, casi aisladas, como en las de las grandes urbes con cerca de un millar de alumnos. Porque todos empiezan igual y tienen los mismos derechos.
Aprehender, llegar a conocer, tomar del exterior, desarrollar y hacer propio, es una necesidad básica que hace posible dominar el medio. Adaptarse al medio, superar obstáculos, hacerse autónomo... son necesidades fundamentales para sobrevivir y para ganar calidad de vida. Cuando un pequeño explora el mundo que le rodea usa cuanto hay a su alcance para hacerlo. Parte del eje más próximo y sensorial para ir avanzando hacia el distal y conceptual. Si convenimos
que
es una actividad “natural” podemos inferir que el niño “es”,
“existe” con una facultad de aprendizaje y unos objetivos claros y concretos desde su nacimiento. Todo el potencial que se activa desde el momento que el niño comienza a incorporarse al medio debería ser aprovechado por la escuela, la familia y la sociedad de forma que pueda tener la oportunidad de desarrollarlo.
Mostraremos como
las matemáticas y su contribución al desarrollo del
pensamiento están siempre presentes en la vida en la escuela. Solo hace faltar mirar para verlo.
Vamos a intentar definir:
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El desarrollo del pensamiento matemático en las primeras edades, específicamente ligado a desarrollar capacidades básicas.
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Contenidos y actividades que las desarrollan
-
Procesos que deben favorecerse
El desarrollo del pensamiento matemático en las primeras edades, específicamente ligado a desarrollar capacidades básicas. (Alsina, À 2006) El desarrollo del pensamiento matemático está estrechamente ligado al desarrollo de las capacidades psicomotoras y lingüísticas. Los cambios que se producen en la etapa 0-6 difícilmente se volverán a mostrar con la misma intensidad en tan corto espacio de tiempo. Para conseguir el desarrollo del pensamiento matemático la educación infantil debe enfocarse en el desarrollo de tres grandes capacidades: •
Identificar, definir o reconocer En contacto con la realidad el niño se queda con ideas globales que se van diferenciando y definiendo.
•
Relacionar o comparar
De a poco empieza a establecer semblanzas y
diferencias que le permiten ordenar el mundo en secciones con alguna característica en común que a su vez le permite poder identificar con mayor rapidez y acierto todo cuanto se le presente. •
Operar Es la capacidad que le va a permitir intervenir sobre lo que ya conoce de forma que pueda modificarlo según su objetivo.
Contenidos y actividades que las desarrollan
Contenidos que ayuden a conocer y comprender en profundidad: •
Aspectos cuantitativos de la realidad: cuantificadores y cantidades elementales.
•
Aspectos socialmente construidos como los que permiten la codificación numérica y la medida.
•
Aspectos espaciales referentes a la posición, la forma y los cambios de posición y forma.
•
Aspectos referidos a las principales magnitudes continuas: sobretodo longitud, masa y capacidad.
Actividades que pongan el acento en los siguientes procesos: •
Atender el deseo
de investigación de los niños, trabajar a partir de
situaciones concretas. •
Fomentar el deseo de representar y de comunicar, ya sea gráficamente, oralmente o por medio del lenguaje gestual, sus acciones y sus descubrimientos.
•
Conectar los aprendizajes escolares con las situaciones externas, descubrir modelos.
•
Fomentar el paso del de lo concreto a lo general, de lo perceptivo a lo razonado.
•
Favorecer el deseo de hacer “descubrimientos matemáticos”.
•
Provocar su curiosidad hacia las cuestiones problemáticas diseñadas con un fin concreto.
PAUTAS PARA UNA EDUCACIÓN MATEMÁTICA QUE TENGA EN CUENTA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
Dado que las realidades son dispares intentaremos dar pautas que contemplen distintos puntos de partida. En primer lugar, apostar por una propuesta global, que permita la conexión entre las diferentes áreas, que haga posible disponer de tiempo para dedicar a la experimentación, la exploración del medio y las investigaciones; todo ello a partir de las situaciones reales que se presentan en las aulas de la mano de sus protagonistas: alumnos y profesores.
En segundo lugar, reconocer la existencia de realidades sociales, culturales e incluso laborales, que dificultan un enfoque global y por tanto dar pautas para mejorar la educación matemática sin entrar en crisis con el entorno.
PAPEL DEL PROFESORADO.
El papel del docente es básico tanto si se habla de un marco basado en el trabajo a partir de las aportaciones de los alumnos como en el de diseño de actividades. A menudo el uso excesivo, incluso desmesurado, de libros de texto y de fichas presuntamente adecuadas para la edad infantil, se atribuye a la necesidad de dotar al profesorado de materiales e ideas que trabajen las matemáticas de forma correcta y de acuerdo con lo marcado en el currículo normativo. Dicha afirmación supone que los profesionales “necesitan ser tutelados” por las editoriales.
Técnicamente debemos estar preparados para gestionar el currículum y para influir en los procesos de desarrollo del pensamiento. Respecto a la gestión del currículo (Torra, M 1994) -
Reconocer y situar los intereses que surjan espontáneamente y dirigirlos para que progresen en precisión y coherencia.
-
Detectar temas que no hayan surgido espontáneamente y compensar las lagunas que podrían producirse provocando su aparición y por último a asegurar la relación entre unos temas y otros completando así la red de relaciones que forma el conocimiento matemático.
Sobre nuestra influencia en los procesos de desarrollo del pensamiento (Torra 1994): En relación a la evolución desde lo más concreto hacia la abstracción, debemos considerar tres aspectos importantes a fomentar: -
en el nivel más elemental promoveremos la necesidad de establecer relaciones,
-
a continuación la de organizar estas relaciones en estructuras más complejas y
-
finalmente, fomentaremos la necesidad de construir un lenguaje que permita expresar y comprender la red de relaciones que se van urdiendo.
Didácticamente debemos estar dispuestos a: -
Dar confianza sin crear dependencia. Teniendo en cuenta los aspectos afectivos y emocionales que intervienen en el proceso de aprendizaje
-
Promover el diálogo absteniéndonos de monopolizarlo. Favoreciendo la comunicación de experiencias matemáticas.
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Favorecer el deseo de mejora de los conocimientos matemáticos propios y de los alumnos. Reconociendo el punto de partida de cada uno y buscando superar en lo posible cada reto.
Por tanto nuestro papel en las aulas de Educación Infantil consiste en
un
acompañamiento constante y constructivo. Nuestras intervenciones no deben caracterizarse por lo qué muestran sino por lo qué buscan que se muestre. El niño merece preguntas correctas, que tengan detrás un objetivo claro y distinto de la redundancia: preguntas-estímulo de descubrimientos, preguntas-ayuda que permitan desencallar situaciones de bloqueo, preguntas-soporte, que vehiculen los afectos, de forma que ayuden a resolver los conflictos.
Un buen trabajo en esta línea, aplicado específicamente a las matemáticas, supone que el maestro conduce al campo de la matemática aquellos aspectos que se van presentando susceptibles de ser explorados. Como encontramos enunciado en ( TeWariki): “La experiencia de los niños ha de hacer que desarrollen sus propias teorías para dar sentido al mundo en todas sus facetas, natural, social, física y material.”
EJEMPLO 1 Pondremos como ejemplo la llegada de los “gusanos de seda” a una clase de 1º de Educación Primaria (6 años) donde se desencadena una actividad frenética que permite: -
Decidir si el tema es o no interesante para el grupo: plantear preguntas sobre qué deseamos saber.
-
Distinguir entre lo que sabemos porque lo hemos visto o porque nos lo ha explicado un experto y lo que nos parece que pasa o lo que creemos saber
-
Conocer el ciclo de la vida del gusano de seda, cuantificar los periodos de cada fase y descubrir que existe una regularidad en “todos” ellos.
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Descubrir que el “cambio” a veces va más allá de la cantidad y de la posición y afecta a la forma pero de manera diferente a las deformaciones que ya se habían explorado
-
Cuantificar la cantidad de gusanos que tenemos y ponerla en relación con la de mariposas, con la de huevos y estimar cuántos gusanos es posible que tengamos el año próximo.
-
Comprobar como el agua caliente hace visible de nuevo el “hilo de seda” que el gusano tejió a su alrededor; ver que hay procesos en los que la forma original puede recuperarse.
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Calcular la cantidad de hojas de morera que necesitamos para el fin de semana y distribuir el trabajo de ir a recogerlas en función del lugar donde viven los niños y niñas de la clase.
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Estudiar la forma de la hoja y la distribución de los nervios. Comparar entre diferentes tipos de hojas.
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Crear un herbario y hacer clasificaciones en función de criterios propuestos por el grupo.
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Expresar oral y gráficamente sus descubrimientos y observaciones de forma comprensible.
Este tipo de situaciones han de disponer de tanto tiempo como sea necesario para que transciendan a la anécdota y sean verdaderas ocasiones de aprendizaje.
Además deberán contar con una gestión del grupo que proporcione oportunidades a todos sus integrantes. Cada pregunta que se plantee deberá de disponer de la oportunidad para ser resuelta, cada deseo de experimentación irá acompañado de un espacio y un tiempo de dedicación, de forma que mirada en su conjunto, el aula se convierte en una especie de “comunidad” donde curiosidad, investigación y aprendizaje sean los ejes que vertebran la vida en la escuela.
No siempre el medio es propicio a este tipo de vida de aula, no siempre contamos con aportaciones de forma natural. En ocasiones el deseo de “dejar entrar la vida en el aula” está coartado por una estructura escolar demasiado rígida o simplemente por la falta de costumbre. Incluso cuando la vida del aula es rica se hace necesario trabajar de forma específica contenidos matemáticos que permitan ir descubriendo la estructura interna de la propia matemática. Es recomendable disponer de una batería de actividades y recursos que procuren ocasiones para facilitar el trabajo sistemático de las matemáticas. (Kamiï 1985).
Características de las actividades Vamos a enunciar que podemos hacer desde “cualquier” aula de nuestra realidad para poner en marcha una forma de trabajo que impulse el desarrollo mental y matemático:
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Observar sistemáticamente el medio que nos rodea a partir de los sentidos.
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Manipular, experimentar, favorecer la acción sobre los objetos, entendiendo que es a partir de la acción como niños y niñas van creando esquemas mentales de conocimiento.
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Entrar en contacto de forma constructiva niños y adultos, porque para aprender necesitamos de la complicidad de los demás.
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Usar los recursos populares, no solo de nuestra cultura, si no de todas las que conviven en el aula.
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Jugar, el juego es una actividad humana que se practica en todas las culturas.
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Plantear actividades
a partir del trabajo cooperativo desde diferentes
formas de agrupación: desdoblamiento, grupo reducido, por parejas,… -
Verbalizar las observaciones, las acciones y los descubrimientos realizados para favorecer la comprensión y la interiorización de conocimientos.
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Usar el lenguaje plástico como recurso para plasmar todo lo aprendido a partir del movimiento, la manipulación, el juego,…
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Realizar actividades a partir de simulaciones (ordenador, etc.).
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Descubrir modelos, de manera que acompañemos a los niños en el proceso de generalización.
EJEMPLO 2 En el siguiente ejemplo exponemos una situación de “descubrimiento matemático”. Parte de una propuesta ya conocida por los niños: Seguir una seriación. Pedimos a los niños que encuentren cuál es el patrón que sigue la serie a partir de aparejar aquellos elementos que se parecen en algo. Los niños los aparejaron correctamente en función de las cantidades de cubos que se usaban de cada color dejando de lado los colores que se usaban. Es decir que descubrieron “cómo funcionaba la serie”.
En la fotografía puede verse cómo se trabaja el descubrimiento de patrones en una seriación a partir de aparejar tiras multicubo donde no se mantiene el
color
pero
sí
las
cantidades
seriadas.
A continuación se les pidió que buscasen una forma de representar las series sin el material.
En esta representación el niño susstituye los multicubos por palabras
que
expresan
la
relación numérica. (Torra, M 2007)
Observamos
como
en
la
primera representación combinan letras mayúsculas con manuscritas para mostrar la diferencia en una serie de dos colores con una sola pieza por color. En la segunda línea se ve la misma representación pero mostrando dos colores y dos pieza por color. En la tercera línea el niño no cambia el tipo de letra. Cuándo se le pregunta afirma: “No hacia falta porque cada color tenía diferente cantidad de cubos”.
Gestión del grupo Una buena gestión tiene en cuenta: currículum, destinatarios, espacio y tiempo. Currículum: -
Conocer los objetivos
-
Introducir contenidos contextualizados de forma interesante.
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La introducción de actividades potentes que supongan un reto
Destinatarios: -
Buscar la complicidad del pensamiento infantil, ser capaces de esperar que lo que pasa en su mente tenga tiempo de llegar hasta nosotros
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Favorecer la interacción entre ellos y con el adulto
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Establecer un clima de confianza mutua que ayude a expresar ideas, hipótesis, experimentaciones y conclusiones de forma que favorezcan el paso de lo concreto a lo abstracto
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Trabajar cuánto más mejor en pequeño grupo, la atención a la diversidad es la única forma de atención posible y necesita de formas de agrupación que faciliten las construcciones matemáticas individuales y colectivas
Espacio: -
Disponer el aula de modo que se fomente el intercambio, con espacios de exposición y experimentación.
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Superar la concepción de “sentar a los niños en grupo” para conseguir que “trabajen en colaboración”.
Tiempo: -
Distribuir el tiempo para los distintos contenidos y formas de trabajo escogidas de forma realista. Su vivencia del tiempo y la del adulto no son iguales y a menudo nos hacen entrar en conflicto.
-
Dar prioridad temporal a los contenidos que promueven la construcción por encima de la mecanización. Más de lo mismo no significa mejorar.
PAPEL DEL MEDIO El medio es uno de los gestores del interés de los alumnos. El niño está en permanente descubrimiento y percibe el medio como una fuente constante de aportaciones. Si nos centramos en el “medio escolar” podemos definirlo y marcar unas pautas de relación: El medio escolar es el delimitado por el espacio físico del centro, el marco geográfico que le rodea, el entorno sociocultural de los miembros de la comunidad educativa y las contribuciones que cada ámbito y miembro puedan aportar. Desde esta definición “dejaremos entrar” en las aulas cuanto llame a su puerta. En ocasiones nos costará gestionarlo pero al final caras sonrientes transmitirán descubrimientos más allá de cuanto son capaces de comunicar con palabras. Sirva como ejemplo una actividad a partir de una caja de televisor llegada a la clase de “els estels” (1º de Educación Infantil, 3 años). EJEMPLO 3 “Después de Navidad recogemos cajas de regalos para el aula de motricidad. Una maestra trae la caja del televisor que ha comprado. En la clase se arma un buen revuelo puesto que da pie a hacerla servir como “casita”. Como crea conflictos se
acuerda llevarla a la sala de motricidad. Una vez allí se ponen normas para usarla y se establece un turno. Meterse dentro es un placer para los más atrevidos pero algunos no lo pasan bien cuando las solapas de la caja se cierran sobre ellos. Hablamos de lo que sentimos en la oscuridad, se buscan contrastes: claro-oscuro, negro-blanco, cerrado-abierto, ... y poco a poco aparecen otros contrarios (grande-pequeño, alto-bajo, arriba-abajo, ...) que ya no tienen a ver solo con la experiencia sensorial sino con el hecho de haber “entendido” qué son los contrastes. En la siguiente sesión planteamos como jugar con las cajas de forma que ocupasen mucho espacio, o que formasen un tren muy largo. A partir de aquí surgieron muchas construcciones que tenían algún objetivo, ser más altas, más largas, hasta que la sesión llegó a su fin y entonces surgió un nuevo reto. Se trataba de recoger las cajas. No todas cabían dentro de las otras, hubo muchos intentos que acabaron desmontándose hasta que por fin se consiguió meterlas unas dentro de las otras ocupando el mínimo espacio posible. ” (Relato de Tresa Puy)
PAPEL DE LOS PADRES
Para dar a nuestros alumnos una educación matemática de calidad nos es imprescindible contar con la complicidad de sus padres. Mientras estos definan las matemáticas como el conocimiento de las 4 reglas, lo tenemos muy, muy difícil. Esta visión no es única de padres de bajo nivel de formación como pudiera parecer, los padres con estudios no forman tampoco un bloque compacto. Pocos son los que identifican las matemáticas con actividades ligadas a la vida diaria más allá del cálculo y consideran una pérdida de tiempo aquel que no se dedica a las operaciones, las fracciones o los cambios de unidades. A menudo se clasifica como “juego” todo aquello que resulte divertido para el niño, de manera que las actividades que suponen analizar cuerpos geométricos o comparaciones entre capacidades, no son identificadas como “matemáticas”. Sí lo son en cambio saberse los números de memoria o dibujar las grafías.
Vamos a intentar salvar este escollo con ilusión y sobretodo con capacidad de comunicación. Necesitamos dar a conocer la trascendencia de algunas de las observaciones e investigaciones que sus hijos hacen en nuestras aulas. Y si es posible dejar que prueben algunos materiales y comprobarán que son “algo más que un juego”. Si son nuestros cómplices, serán nuestros mejores avaladores, ante sus hijos, ante los demás padres y ante la sociedad. Una forma es pedir su colaboración en determinados momentos como el que narramos a continuación. EJEMPLO 4 Se trata de niños de 6 años que han salido de la escuela y están estudiando una escultura. Son dos grupos de 25 alumnos acompañados por 3 maestras y 6 padres. Los
padres
dan
la
imprescindible
cobertura legal para las salidas del centro y cuando lo desean pueden participar en la actividad. Los niños han decidido observar y dibujar la escultura desde todos los puntos de vista posibles y hacer una maqueta con multicubos y otros materiales para construir cuerpos geométricos. Algunos niños dicen que quieren saber “Cuánto mide la escultura”. El diálogo fue el siguiente: -
Laura: Yo hice un “pilar” (torres humanas) y me puedo subir hasta arriba.
-
Gala: Yo sé escalar, voy con mi madre los sábados.
-
(Propuestas rechazadas por la maestra por razones obvias)
-
Joan: En el suelo está la sombra y la sombra sí que puede medirse
-
Rocío: Una vez vi mi sombra y era mucho más “alta” que yo.
-
Imane: A veces la sombra es mucho más pequeña que nosotros.
-
Zakaria: Ahora la sombra es mucho más larga, eso ya se ve.
-
Jose: Pero si fuese igual que la escultura entonces sí.
-
Joan: Y si se hace igual?
-
Maestra: Ahora os puedo ayudar un poco. Yo sé que cuando haya pasado un rato, como que es mediodía, la sombra será más corta.
-
Joan: Nos esperamos.
-
Alicia: Ponemos la mochila de curar en la punta y cuando no llegue será más corta.
-
Maestra: Quién la pone?
-
Kawtar: Yo, soy la encargada de la mochila.
-
Madre: Esto es geometría, verdad? ...
La actividad siguió estableciendo la siguiente pauta propuesta por los niños. -
Medir a la maestra y a su sombra
-
Cuando la maestra y su sombra midiesen lo mismo también la escultura y su sombra medirían lo mismo.
Una muestra de las “ideas maravillosas” de las que son capaces nuestros alumnos y de su capacidad de conectar aprendizajes matemáticos (el uso de unidades naturales para medir) con la resolución de problemas.
PARA CONCLUIR La educación matemática en las etapas de educación infantil y primaria, está basada en dos ejes principales: el de la construcción individual y el de la construcción social del conocimiento. Todos los niños y niñas tienen derecho a recibir una educación matemática de calidad que les ayude a usar y desarrollar sus capacidades de manera que conecten con los contextos donde se presenten. Debe propiciarse que los alumnos confíen en si mismos cuando se enfrentan a un problema, cuando comunican su proceso de resolución o cuando ellos plantean un nuevo problema.
El objetivo de un trabajo específicamente matemático en esta etapa es necesario pero no debe confundirse con trabajos mecánicos que siembren precozmente la idea de que las matemáticas son difíciles y aburridas. La totalidad de la población escolar al acabar la etapa obligatoria debería haber conseguido un nivel de alfabetización suficiente para desenvolverse con suficiencia. Por tanto las escuelas deben contribuir a tratar temas de matemática cotidiana que además den significación a los aprendizajes.
No solo los números deben trabajarse bajo una óptica de significado, el mundo es tridimensional, la realidad poliédrica, pero la geometría escolar demasiado a menudo es plana. Debemos esforzarnos por analizar el mundo real. En él no existen los triángulos aislados pero sí las señales de tráfico. Es necesario buscar formas en la calle, en casa, en el patio... y relacionarlas con el arte, la pintura, la literatura, la escultura, el urbanismo, el mobiliario... para devolverlas a las matemáticas y conectarlas entre sí.
La forma de trabajo que se propone no es exclusiva de la Educación Infantil. Los niños no crecen de golpe, cuando se incorporan a Primaria necesitan encontrar una educación matemática que siga una línea de trabajo ascendente
Tenemos un reto en cada niño, en cada contenido. En educación todo es posible. Sabemos qué, por qué, cómo y para qué. Y lo estamos haciendo.
Como dicen los alumnos de infantil de la Escuela Pública Rocafonda de Mataró a partir de los 3 años: “No som petits, ja som més mitjans” (“No somos pequeños, somos más medianos”). Un camino que no se acaba.