Guía para la Proyección Cónica

Proyección cónica: La perspectiva lineal

No entre aquí quien no sepa geometría Advertencia escrita en el dintel de la puerta de la Academia de Platón

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La fotografía representa algo similar a lo que estamos acostumbrados a ver con nuestros propios ojos: las rectas paralelas se ven como si concurriesen en un punto situado a la distancia, además, los segmentos que miden lo mismo (como los postes en una autopista) a medida que están más lejos, se ven cada vez más pequeños.

En qué se diferencia una fotografía de una isometría o de una proyección oblicua?

Cuando un arquitecto necesita que su cliente entienda como lucirá el edificio una vez construido, recurre a un dibujo en PERSPECTIVA, ya que brinda una representación realista, donde se aprecia la profundidad de manera similar a una fotografía.

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En los libros de geometría descriptiva aparecen explicados diferentes métodos para calcular perspectivas, siendo el más popular el llamado “método por planta”. Sin embargo, no lo usaremos en este curso, ya que los programas de CAD han hecho innecesaria la laboriosa construcción técnica de perspectivas lineales.

El método que vamos a estudiar (y al cual no le daremos nombre particular) tiene como principal ventaja que sus conceptos pueden ser igualmente aplicados para la elaboración de bocetos a mano alzada o dibujo libre, lo cual constituye una poderosa herramienta para ayudar a pensar en 3D. No obstante lo anterior, para profundizar en el estudio de la perspectiva lineal, es necesario consultar la literatura especializada. Nosotros recomendamos comenzar con algunas páginas en Internet, tales como: http://www.edu.xunta.es/contidos/premios/p2004/d/conica/conicafrontal.html http://palmera.cnice.mecd.es/~jcuadr2/conica/inicio.swf http://www.personal.us.es/jcordero/CONICA/pagina01.htm

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La perspectiva es una proyección cónica.

plano de proyección y por lo tanto los rayos de proyección divergen, (como el haz de luz de una linterna), generando un cono: de allí el nombre de proyección cónica.

No olvidemos que en los sistemas de proyección cilíndricos, como el diédrico, acotado, oblicuo o isométrico, el observador se encuentra situado a una distancia extraordinariamente grande y en consecuencia los rayos de proyección son paralelos, (recuerden que las rectas paralelas se cortan en el infinito, como las generatrices de un cilindro).

Alberto Durero, 1538 En la proyección cónica, a diferencia de todos los sistemas anteriormente estudiados, el observador se encuentra situado a una distancia mensurable del

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PERSPECTIVA DE UN PUNTO

PERSPECTIVA DE UNA RECTA

La perspectiva de un punto ES la proyección cónica de ese punto sobre el plano de proyección.

Para construirla, lo que hay que hacer es trazar desde el observador V una visual que pase por el punto A; donde la visual penetra al plano de proyección, ESA ES la perspectiva Ap del punto.

Como una recta se define por dos puntos, para encontrar la proyección de una recta, sólo hay que buscar la proyección de un par de los puntos que pertenecen a la recta.

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PERSPECTIVA DE OTRO PUNTO DE LA RECTA Si un punto C pertenece a una recta AB, entonces su perspectiva Cp pertenece a la perspectiva ApBp de la recta.

EL PUNTO DE FUGA El punto de fuga es la proyección de un punto situado en el infinito, donde se cortan las rectas paralelas. Para encontrar la perspectiva de un punto situado en el infinito sobre una recta dada, se procede de igual manera a como se haría con cualquier otro punto, es decir: “trazar desde el observador una visual que pase por el punto. La penetración de la visual en el plano de proyección será la perspectiva del punto y se encuentra donde la visual se corta con la perspectiva de la recta”.

Resulta necesario destacar que, como la visual y la recta se cortan en el infinito, por definición, ambas son paralelas.

Entonces, para encontrar el PUNTO DE FUGA de una dirección de recta, lo que hay que hacer es: trazar por el observador una visual paralela a la dirección deseada; la penetración de esa visual en el plano de proyección será el punto de fuga buscado.

Este es un concepto MUY IMPORTANTE, porque en perspectiva, todas las rectas paralelas a una dirección dada, se dibujan concurriendo a su respectivo punto de fuga .

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PUNTO DE FUGA DE LAS RECTAS DE PUNTA >>> Las rectas de punta fugan a P.

PUNTO DE FUGA DE RECTAS HORIZONTALES: LA LÍNEA DE HORIZONTE >>>Las rectas horizontales fugan sobre el horizonte.

Si por el observador V pasamos una visual paralela a la recta de punta AB, su penetración en el plano de proyección coincidirá con la proyección frontal del observador; a ese punto lo llamaremos “P” y será el punto de fuga de todas las rectas de punta.

Para buscar los puntos de fuga de las diferentes direcciones de rectas horizontales, tenemos que pasar por el observador infinitas visuales, una por cada dirección, generando así un plano horizontal que tiene como cota, la altura del observador. La intersección de ese plano con el plano de proyección es llamada línea de horizonte y contiene los puntos de fuga de todas las horizontales.

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PUNTO DE FUGA DE RECTAS HORIZONTALES CON INCLINACIÓN 1/1 (β=45 °)

PUNTO DE FUGA DE RECTAS OBLICUAS O DE PENDIENTE CONOCIDA.

>>> Las rectas horizontales de 45° fugan a la derecha o la izquierda de P, una distancia igual δ.

>>> Las rectas oblicuas fugan a la recta límite del plano vertical que las contiene.

Toda recta oblicua r pertenece a un plano vertical π, formado por la recta r y su proyección horizontal rh . El punto de fuga F de la proyección rh se encuentra donde la visual paralela rh’, se corta con la línea de horizonte. Como el plano π es vertical, su intersección con el plano de proyección es una recta vertical que pasa por F, llamada recta límite L.

Cuando una recta horizontal penetra al plano de proyección formando un ángulo de 45°, se genera un triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es la distancia (δ) entre el observador y el plano de proyección y el otro cateto es la distancia entre el punto “P” y el punto de fuga de la recta: Ambos catetos miden lo mismo por tratarse de un triángulo isósceles, por lo tanto, el punto de fuga se encuentra de “P”, una distancia igual a la distancia del observador al plano de proyección (δ) y se mide sobre la línea de horizonte, a la derecha (D) o a la izquierda (I) de “P”, es decir: (δ = VP = PD = PI)

El punto de fuga de la recta oblicua r se encuentra donde ésta se corta con la recta límite L. También; donde la visual paralela r’ se corta con L.

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LA PERSPECTIVA FRONTAL Cuando algo se ve “como de frente”, es porque predomina la dirección de las rectas de punta.

Entonces hablamos de perspectiva frontal o de un solo punto de fuga.

Kees Verkaik: Arquitecturas de Villanueva. Cuadernos Lagoven. 1978

Dibujando una perspectiva frontal: Como cualquier cosa puede ser “embalada” en una “caja”, comencemos por dibujar la perspectiva de esa caja.

Supongamos un cubo de 5x5x5, el cual tiene la cara frontal anterior, contenida en el plano de proyección y las otras caras serán horizontales y laterales.

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Paso 1: Por encontrarse en el plano de proyección, la cara frontal ABCD se verá en verdadero tamaño,.

Paso 3: Las diagonales de las caras horizontales forman 45 hacia la izquierda (o la derecha), con el plano frontal, por lo tanto concurren a “I” (o “D”)

Paso 2: Las aristas AA’, BB’, CC’ y DD’ son rectas de punta y por lo tanto concurren a P.

Paso 4: Para dibujar la cara posterior, los puntos A’B’C’D’, vienen dados como el corte de las aristas y las diagonales de cara. Por ejemplo: la recta de punta BB’ y la diagonal de cara AB’ se cortan en B’.

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Prestemos mayor atención a cómo medir profundidades: Supongamos que necesitamos medir una longitud X sobre una recta de punta. En perspectiva no lo podemos hacer porque las distancias “se acortan” sobre las rectas que fugan: sólo se puede medir en escala sobre las rectas frontales. (paralelas al cuadro) Así que haremos lo siguiente: Primero, mediremos sobre una recta frontal, paralela a la línea del horizonte y luego trasladaremos la medida hasta la recta de punta, formando una escuadra de 45°, es decir, fugando hacia el punto Der. o Izq.

Pero, existen ocasiones en las cuales la medida es demasiado grande y se sale de la hoja. En tales casos, podemos medir en verdadero tamaño solamente la mitad (o la cuarta parte) y fugar hacia los puntos de fuga de las rectas horizontales con inclinación ½ o ¼ ¡ igual estaremos llevando sobre la recta de punta la medida completa de X.

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EL TEOREMA DE TALES EN PERSPECTIVA: En otros casos conocemos el verdadero tamaño de una recta KL, ya dibujada en perspectiva: sabemos que mide (a) y lo que deseamos es medir sobre ella una longitud (b).

Para aplicar el Tales sólo tenemos que recordar que en perspectiva las rectas paralelas se dibujan fugando a un mismo punto; por lo tanto, ML // M’L’ deben fugar a un punto (T) que en este caso, se localiza donde la línea de horizonte es cortada por la prolongación de la recta (ML) que une los vértices del segmento (KL), con la recta proporcional (KM), sobre la cual estamos tomando medidas.

Las rectas verticales (por ser frontales) conservan la proporcionalidad como propiedad proyectiva y por lo tanto pueden ser directamente divididas en partes proporcionales.

Para calcular el tamaño en perspectiva de las rectas verticales, se trae la recta hasta el plano de proyección, donde puede ser medida en verdadero tamaño.

Importante: todos los puntos con igual altura que el

observador, tienen su perspectiva en la línea de horizonte.

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BUSCANDO UN BUEN PUNTO DE VISTA Para obtener una agradable visual, cada vez que tomamos una foto o dibujamos una perspectiva, procuramos el mejor punto de vista.

Ciertamente, resulta imprescindible tener la suficiente sensibilidad artística para lograr una buena composición, pero conocer ciertas reglas básicas nos puede facilitar el trabajo, así que recomendamos enfáticamente consultar literatura especializada, comenzando con páginas como

http://www.fotonostra.com/fotografia/composicion.htm Kees Verkaik: Arquitecturas de Villanueva. Cuadernos Lagoven. 1978

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Para lograr un buen punto, debemos desplazar a nuestro observador hacia la derecha o la izquierda, arriba o abajo, a fin de encontrar el mejor ángulo de lo que queremos mostrar. Al realizar estos desplazamientos estamos definiendo las coordenadas x y z de V, las cuales son las mismas para P por ser la recta VP una recta de punta (el observador siempre mira de frente al plano de cuadro) Si situamos la cara anterior de la caja que embala al objeto, en el plano de proyección, la podremos dibujar directamente en verdadero tamaño y ubicar al punto “P” en la posición (x,z) que nos resultó más interesante.

La coordenada z (o cota de V), es la altura del observador (h) y se mide verticalmente desde el plano del piso (o de cota 0) hasta la línea del horizonte, que pasa por P.

Fig. 1; Fig. 2; Fig. 3

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Definida la posición de “P”, procedemos a definir la profundidad.

Para ello, ubicamos los llamados puntos derecho (D) e izquierdo (I), los cuales son los puntos de fuga de las rectas horizontales que forman 45° con el plano frontal de proyección.

La distancia del observador (δ) al plano de proyección mide lo mismo que la distancia entre Izq- P o P- Der. Es decir: (δ = VP = PD = PI) Como la distancia del observador al plano de proyección (δ) la podemos escoger nosotros, entonces la distancia entre P y los puntos I y D, siempre nos resultará conocida… pero, Nota: Mientras mayor sea la distancia (δ), menor se verá la profundidad. (ver fig. 6). Para ubicar a Der e izq, se recomienda tomar una longitud mayor o igual a la distancia a la cual se encuentra, en el cuadro, el punto más alejado de P, siempre y cuando un cuadrado contenido el piso se reconozca como cuadrado (fig. 5), en lugar de parecer un rectángulo (figuras 4 y 6).

Fig. 4, Fig. 5, Fig. 6

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EL CONO VISUAL:

Al mirar un objeto, trazamos visuales entre nuestro ojo y cada uno de los puntos del cuerpo, las cuales divergen formando ángulo que no debe ser mayor de 30°, respecto a la visual principal VP.

En teoría, en proyección cónica es posible “ver” cualquier punto, no importa donde se encuentre situado respecto al observador, pero si queremos dibujar “una perspectiva” es necesario que se parezca a lo que estamos acostumbrados a ver con nuestros propios ojos.

El cono visual humano forma un ángulo de unos 20° respecto a la visual principal VP. Lamentablemente, un cono visual así formado nos permite ver un campo muy reducido, razón por la cual nos vemos obligados a aceptar cierto grado de distorsiones, permitiendo que el cono tenga una abertura máxima de 45°, aunque se prefiere que no sobrepase los 30°.

Para garantizar que ningún punto del objeto quede fuera del máximo cono visual, se escoge como distancia mínima a la cual situar el observador, la medida entre el vértice más externo de la cara frontal y el punto P.

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RECAPITULACIÓN: Ejercicio “paso a paso” Supongamos que deseamos dibujar un monumento a la doble cruz griega, cuyos brazos miden 5x5x5.

Paso 1: Hacemos pertenecer la cara frontal de la caja al plano de proyección, así la podamos dibujar de una vez en verdadero tamaño

Paso 2: Decidamos la altura del observador y ubiquemos el punto P. (En nuestro ejemplo, para tener una Como ya sabemos dibujar un cubo, “embalemos” la cruz en una caja de 15x15x15 y proyectemos sobre sus caras

vista comparable a la proyección frontal antes dibujada, nos pararemos por encima y a la derecha de la caja)

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Paso 3: Las arista AA’, BB’, CC’, DD’, son perpendiculares a la cara frontal, es decir, son rectas de punta y por lo tanto deben fugar a P.

Paso 4: Colocaremos los puntos Izq. y Der. a una distancia de P igual o mayor que la del vértice más desfavorable, que en este caso es B. Esto con la finalidad que ninguna visual tenga una abertura mayor de 45° y así garantizar que todos los puntos se encuentren dentro del cono visual.

Paso 5: Fugamos hacia los puntos Izq. y Der. las respectivas diagonales de caras, las cuales, al cortarse con las aristas de punta, determinarán los vértices A’, B’, C’ y D’ de la cara posterior.

Paso 6: Ahora proyectemos sobre las caras del cubo, la planta y los alzados de la cruz griega.

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Nótese que para dibujar estas proyecciones, basta con dividir las caras en nueve cuadrados de 5x5.

Las aristas frontales (AB; BC; CD y DA) se ven en verdadero tamaño, por lo que pueden ser directamente divididas en tres partes iguales. A partir de estas divisiones es posible fugar las correspondientes rectas de punta y así obtener las divisiones de las restantes caras.

Para lograr la perspectiva final, solamente falta restituir la cruz a partir de su planta y alzados, dibujados en la perspectiva de las caras de la caja.

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LA PERSPECTIVA OBLICUA

Fig 3.

Cuando observamos un edificio, pocas veces lo hacemos desde una posición totalmente paralela a su fachada; por lo general miramos formando cierto ángulo y en consecuencia las aristas horizontales de la caja de embalaje no serán paralelas al plano de cuadro y en consecuencia fugan. Cuando éste caso sucede, decimos que tenemos una perspectiva oblicua o con dos puntos de fuga.

Por el observador abatido trazamos las visuales paralelas a las direcciones deseadas hα y hβ; donde corten a la línea h del Horizonte, encontraremos el correspondiente punto de fuga Fα ο Fβ

Fig 1 Para encontrar los puntos de fuga correspondiente a esas direcciones procedemos como siempre:

“pasamos por el observador V una visual paralela a la dirección deseada, donde esa visual penetre al plano de proyección, ese es el punto de fuga buscado”.

Fig 2.

Para realizar esta operación en el plano de dibujo, lo que hacemos es: abatir el plano del observador, usando como charnela la línea h del Horizonte y copiando sobre la perpendicular que pasa por P, el verdadero tamaño de la distancia δ del observador.

Fig 4.

Para medir profundidades sobre una recta horizontal (hα) que fuga hacia Fα, usaremos los PUNTOS MÉTRICOS O MEDIDORES (Mα) Fig 5.

DEDUCCIÓN DE LA EXISTENCIA DE LOS PUNTOS MÉTRICOS O MEDIDORES >>> Cada punto de fuga Fα se relaciona con un punto medidor el cual se ubica sobre la línea de Horizonte, siendo el verdadero tamaño MαFα, igual al verdadero tamaño FαV. Sea la vista en planta del triángulo VFαMα, horizontal, isósceles en Fα, donde V es el observador y FαMα se encuentra en la línea de Horizonte.

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Fig. 6.

Sea ahora el triángulo ABC, tal que AB sea paralelo al Horizonte; AC paralelo a VFα y BC paralelo a VMα.

fugar las aristas hacia los puntos medidores. No debemos olvidar que LAS ARISTAS FUGAN HACIA LOS PUNTOS DE FUGA Y LAS MEDIDAS (que no las aristas) HACIA LOS MEDIDORES.

Nótese que por ser el observador V un vértice del triángulo, Fα será el punto de fuga de todas las horizontales con inclinación α (como AC), mientras que Mα será el punto de fuga de las horizontales con inclinación θ. (como BC).

En consecuencia ambos triángulos son semejantes En virtud de lo anterior podemos afirmar que el triángulo BAC será isósceles en A como VFαMα es isósceles en Fα, por lo tanto: TODAS LAS MEDIDAS TOMADAS EN VERDADERO TAMAÑO SOBRE AB, SE VERÁN EN PERSPECTIVA AC, CUANDO BC FUGA HACIA Mα.

La importancia del punto medidor radica en la comodidad que brinda para tomar medidas sobre rectas horizontales que formen cierto ángulo respecto al plano de proyección.

MUY IMPORTANTE: Un error que cometen con mucha frecuencia los dibujantes principiantes es BORRADOR de apuntes para la clase, por una reunión de profesores de Geometría Descriptiva

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RECAPITULACIÓN: Ejercicio “paso a paso” Supongamos que deseamos dibujar un monumento a la doble cruz griega, cuyos brazos miden 5x5x5.

PASO 1: Supongamos que nuestro observador V tiene una altura h, se encuentra situado a una distancia δ del plano de proyección y a x unidades a la izquierda de la arista AB, de la caja que sirve para embalar la cruz

Como ya sabemos dibujar un cubo, “embalemos” la cruz en una caja de 15x15x15 y proyectemos sobre sus caras.

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PASO 2: Supongamos que la arista AA´ es la más cercana al observador y se encuentra contenida en el plano de proyección; las otras dos direcciones de aristas son horizontales y forman ángulos α y β respecto al plano frontal.

PASO 3: Para encontrar los puntos de fuga de las direcciones α y β lo que hacemos es trazar desde el observador V, visuales paralelas a las aristas dadas.

Los puntos de fuga Fα y Fβ se encontrarán donde estas visuales se corten con la línea h del Horizonte (es decir: donde penetren al plano de proyección)

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PASO 4: Para trabajar en verdadero tamaño la situación descrita en 3, abatamos sobre el plano frontal al plano horizontal que contiene al observador. Usemos como charnela la línea de Horizonte y procedamos a trazar por V visuales paralelas a las aristas de la caja y las prolongamos hasta cortar el Horizonte: Allí estarán los puntos de fuga Fα y Fβ

PASO 5: Considerando que la arista más cercana (AA´), se encuentra en el plano de proyección, procedemos a fugar hacia los puntos de fuga Fα y Fβ las correspondientes aristas horizontales.

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PASO 6: Para buscar la profundidad de la caja, procederemos primero a buscar los puntos medidores: Para encontrar Mα, haciendo centro en Fα, copiamos sobre el Horizonte la distancia VFα.

Igual procedimiento para encontrar Mβ.

Nota: Para conocer el verdadero tamaño VFα, previamente hemos tenido que abatir al plano del observador, localizando V, a una distancia δ sobre la perpendicular al horizonte que pasa por P.

PASO 7: Una vez localizados los puntos medidores Mβ y Mβ, procedemos a pasar por A una recta r, paralela al horizonte, sobre la cual medimos el verdadero tamaño de la arista AD y marcamos un punto 1. Desde allí fugamos hacia Mα, siendo D el punto de corte con la arista que desde A fuga hacia Fα. Igual procedimiento para localizar B.

C se encuentra donde la arista que pasa por D, paralela a AB (fuga a Fβ) se corta con la arista que pasa por B, paralela a AD (fuga a Fα)

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PASO 8: Para dibujar en perspectiva la planta y los alzados de la cruz, nos valemos que la arista AB se encuentra en verdadero tamaño y puede ser directamente dividida en tres partes iguales.

Fugando hacia Fα y Fβ dividimos las caras de la caja en tres franjas horizontales, que al cortarse con las diagonales de cara AD´ y AB´, originan los nueve cuadrados buscados que luego servirán para restituir el volumen de la cruz.

Fig.

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LA CIRCUNFERENCIA EN PERSPECTIVA .

Leonardo de Vinci. Dibujo para la Adoración de los Reyes.

Dependiendo de la naturaleza de la sección cónica que se genera, la perspectiva de una circunferencia puede ser una elipse, una parábola, una hipérbola u otra circunferencia,.

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La circunferencia FRONTAL

La circunferencia HORIZONTAL o LATERAL

Por estar contenida en un plano frontal (paralelo al plano de proyección) la circunferencia se proyecta como otra circunferencia. Para dibujar con compás, solamente es necesario determinar la perspectiva del centro y de un punto de la curva,.

Si se proyecta como una elipse, podemos dibujar en perspectiva el cuadrado que inscribe a la circunferencia y luego la elipse por el método de vectores. Se recomienda ver el método en: http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_ info&cPath=cPath=304_390_391&products_id=293

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REFLEJOS EN PERSPECTIVA Un objeto que se encuentre enfrente de calma, se reflejará produciendo una imagen que se ve como si se encontrase situada por detrás y equidistante del plano del espejo, directamente en la perpendicular a la superficie, que pasa por el cuerpo.

La imagen se verá invertida (cabeza abajo si se trata de un espejo horizontal o el lado derecho frente al izquierdo, si se trata de un espejo frontal) Dependiendo de la naturaleza del espejo, la imagen o reflejo se dibuja con menos detalle y con pulso menos firme que el empleado en el dibujo del objeto.

Para refrescar los conocimientos de óptica, ya estudiados en física de bachillerato, pueden consultar páginas como: http://www.educaplus.org/luz/reflexion.html

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Reflejos sobre un espejo frontal

Para copiar del otro lado del espejo la distancia a la cual el objeto se encuentra, se hace lo siguiente: Paso 1: Se traza la perpendicular al espejo, la cual fuga a P, por ser el espejo un plano frontal.

Paso 2: Se traza la diagonal a Der, hasta que corte el plano del espejo y desde allí a Izq, hasta que corte la perpendicular que fuga a P. Esa es la distancia buscada.

Reflejos sobre un espejo horizontal

Para ver reflejada en el agua la silueta de la figura se hace lo siguiente: Paso 1: Se busca la penetración en el plano del agua de la vertical del objeto.

Paso 2: A partir del punto de penetración se copia “cabeza abajo” la silueta de la figura que se refleja

Paso 3: Se fuga a P la altura del objeto.

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ILUMINACIÓN Y SOMBRAS EN PERSPECTIVA.

LAS FIGURAS HUMANAS Y LOS ELEMENTOS DE AMBIENTACIÓN EN UNA PERSPECTIVA.

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