1. MÚLTIPLE Un nombre és múltiple d’un altre si s’obté multiplicant aquest últim per un nombre natural. A és múltiple de B si A conté B un nombre exactes de vegades Ex: 20 és múltiple de 5 (5 x 4 = 20) 20=5 88 és múltiple de 8 (8 x 11 = 88) 88=11 45 és múltiple de 15 (15 x 3 = 45) 45=15 Ex: Múltiples de 7: {14, 21, 28, 35, 42 ,49, 56, 63, 70, 77... }
2.DIVISORS A és divisor de B si, en dividir B entre A, la divisió és exacta. B és divisible d’A Ex: 3 és divisor de 45 (45:3=15) 45 és múltiple de 3 2 és divisor de 30 (30:2=15) 30 és múltiple de 2
3 45 2 30
3. Propietats dels múltiples • Qualsevol número és múltiple de 1 5=1 • Un nombre sempre és múltiple d’ell mateix 5=5 • La suma de 2 o més múltiples d’un nombre és també múltiple d’aquest nombre. 14=7 i 21=7 14 + 21 = 35 = 7 • El producte de 2 o més múltiples d’un nombre és també múltiple d’aquest nombre. 14=7 i 21=7 14 x 21 = 294 = 7 • Si un nombre és múltiple d’un altre, i aquest és d’un tercer, el primer és múltiple del tercer 30=10 i 10=5 30=5
4. Propietats dels divisors • El número 1 és divisor de qualsevol nº 1 5 • Un nombre sempre és divisor d’ell mateix 5|5 • Si un nombre és divisor de 2 nombres, també és divisor de la suma d’aquests nombres. 7|14 i 7|21 14 + 21 = 35 7|35 • Si un nombre és divisor de 2 nombres, també és divisor de la multiplicació d’aquest nombres 7|14 i 7|21 14 x 21 = 294 7|294 • Si un nombre és divisor d’un altre, i aquest és d’un tercer, el primer és divisor del tercer 5|10 i 10|30 5|30
Resum de les propietats Propietats dels múltiples
Propietats dels divisors
5=1; 7=1; 3=1; 123=1 2=2; 7=7; 12=12
1|5; 1|7; 1|3 ; 1|123 5|5; 7|7; 123|123
10=5 i 15=5 →25=5 10=5 i 15=5 →150=5 12=6 i 6=3 → 12=3
5|10 i 5|15 → 5|25 5|10 i 5|15 → 5|150 3|6 i 6|12 → 3|6
5. Criteris de divisibilitat • Un nombre és divisible per 2 quan acaba en 0 o amb un nº parell • Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves xifres és un múltiple de 3 • Un nombre és divisible per 5 si acaba en 0 o 5. • Un nombre és divisible per 9 si la suma de les xifres és múltiple de 9. • Un nombre es divisible per 11 quan la resta de les xifres que ocupen el lloc parell i la suma de les xifres del lloc imparell dóna 0 o múltiple de 11
6. Nombres primers • Un nombre natural és primer si només té dos divisors: la unitat i ell mateix. • Ex: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 31... Enllaç – Com sabem si un número és primer? Dividim per 2, per 3, per 5, per 7... fins arribar a una divisió exacta, si cap de les divisions és exacta, el nombre és primer.
7. Nombres compostos • Un nombre és compost si té més de 2 divisors , si no és número primer. • 12= 3 x 4 = 3 x 2 x 2 = 3 x 22 • 25 = 5 x 5 = 52
• Descompondre un nombre en factors primers és expressar-lo com a producte de nombres primers • 5600 = 25 x 52x 7
Regla per obtenir tots els divisors d’un nombre Exemple: busca tots els divisors de 300 - Descomposició en factors primers de 300 300= 52 x 3 x 22 - Divisors de cada un dels factors - D(52) = D(25) ={1, 5 , 25} - D (3) ={1, 3} - D(22) = D(4) ={1, 2 , 4}
- Construïm l’esquema següent:
Divisors de 25
Divisors de 4 1
1
2 4 1
5
2 4 1
25
2 4
Divisors de 3
Divisors de 300
1
1x1x1=1
3
1x1x3=3
1
1x2x1=2
3
1x2x3=6
1
1x4x1=4
3
1 x 4 x 3 = 12
1
5x1x1=5
3
5x2x3=6
1
5 x 2 x 1 = 10
3
5 x 2 x 3 = 30
1
5 x 4 x 1 = 20
3
5 x 4 x 3 = 60
1
25 x 1 x 1 = 25
3
25 x 1 x 3 = 75
1
25 x 2 x 1 = 50
3
25 x 2 x 3 = 150
1
25 x 4 x 1 = 100
3
25 x 4 x 3 = 300
8. Màxim comú divisor • El màxim comú divisor (m.c.d.) de 2 o més nombres és el divisor comú més gran d’aquests nombres • Exemple: – D(24) = {1, 2 , 3 , 4 , 8 , 12, 24} – D(84) = {1, 2 , 3 , 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 84} – m.c.d.(24 i 84) = 12
• Procediment per trobar el m.c.d: – Descomposem: • 24 = 23 x 3 = 2 x 2 x 2 x 3 • 84 = 22 x 3 x 7= 2 x 2 x 3 x 7
– Agafem els factors comuns elevats a l’exponent més petit i els múltiple. Ex: 22 x 3 – Direm que dos nombres són primers entre ells si l’únic comú divisor és l’1
8. Mínim comú múltiple • El mínim comú múltiple (m.c.m.) de 2 o més nombres és el múltiple comú més petit d’aquests nombres • Exemple: – M(9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...} – M(12) = {12, 24 , 36 , 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120...} – m.c.m.(9 i 12) = 36
• Procediment per trobar el m.c.m: – Descomposem: 9 = 32 12 = 22 x 3
– Agafem els factors no comuns i comuns tots ells elevats a l’exponent més gran. Ex: 22x32 = 4x9 = 36
Exemple: m.c.d. i m.c.m
30 = 2 x 3 x 5 45 = 32 x 5 80 = 24 x 5 m.c.d. (30, 45 i 80) = 5 m.c.m. (30, 45 i 80) = 24 x 32 x 5 =720
Resolució de problemes • Comprensió de l’enunciat – Anotem les dades de l’enunciat
• Planificació – Busquem m.c.d (un divisor) o m.c.m (un múltiple)
• Execució – Factoritzem i busquem
• Revisió del resultat – Comprovar si el resultat és coherent
FI