CONCEPTES BÀSICS D’EDUCACIÓ VISUAL I PLÀSTICA
(PREPARACIÓ PROVES D’ACCÉS CICLES FORMATIUS GRAU MITJÀ)
CFA “TERESA MAÑÉ” CURS ( 2008-2009)
CFA Teresa Mañé C/ Unió,81 08800 Vilanova i la Geltrú Tfn: 93.893.37.49 cfa-teresamanye@.xtec.net
PÀG.2
PÀG.3
PÀG.4
PÀG.5
PÀG.6
PÀG.7
PÀG.8
PÀG.9
PÀG.10
PÀG.11
PÀG.12
PÀG.13
PÀG.14
PÀG.15
PÀG.16
PÀG.17
PÀG.18
PÀG.19
PÀG.20
PÀG.21
PÀG.22
PÀG.23
PÀG.24
PÀG.25
PÀG.26
PÀG.27
PÀG.28
PÀG.29
PÀG.30
PÀG.31
PÀG.32
PÀG.33
PÀG.34
PÀG.35
PÀG.36
PÀG.37
PÀG.38
PÀG.39
PÀG.40
PÀG.41
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
UNITAT 1
ANGLES I TRIANGLES
PÀG.42
ANGLES I TRIANGLES
Unitat 1 11
UNITAT 1
QUÈ TREBALLARÀS?
12
què
treballaràs?
• Reconèixer i classificar angles. • Utilitzar correctament el semicercle graduat o transportador d’angles. • Operar amb angles. • Reconèixer i construir triangles. • Reconèixer les relacions entre els costats i els angles d’un triangle. • Classificar triangles. • Reconèixer i representar punts i rectes notables d’un triangle. • Representar elements geomètrics amb símbols. • Utilitzar correctament estris de dibuix com el regle i el compàs.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
En acabar la unitat has de ser capaç de:
PÀG.43
1. Angle: concepte i unitat de mesura
13
Rellotge 2
Rellotge 3
Rellotge 4
Cada rellotge marca una hora diferent. L’hora ve determinada per la posició de les agulles del rellotge: l’agulla petita assenyala les hores i la gran assenyala els minuts. La posició de les agulles determina un angle entre elles.
UNITAT 1
Rellotge 1
ANGLES I TRIANGLES
Observa els rellotges següents:
L’angle és la porció del pla formada per dues semirectes que tenen un origen comú.
Com pots observar en la figura següent, dues semirectes amb origen comú formen dos angles.
PÀG.44
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Hem utilitzat el criteri d’anomenar r1 i r2 a les semirectes i O al vèrtex de l’angle.
8. TRIGONOMETRIA
En el nostre cas les dues semirectes són les agulles del rellotge i l’origen comú el seu punt d’unió. El punt en comú de les dues semirectes és el vèrtex de l’angle i les dues semirectes són els costats.
Fixa’t en el quart rellotge. Observa que l’obertura entre les dues agulles és nul·la. Però, segons el que acabem de veure, també es pot considerar com l’angle determinat per les dues agulles tota la circumferència.
ANGLES I TRIANGLES
14
UNITAT 1
El grau sexagesimal és la unitat que s’acostuma a fer servir per mesurar angles. Per tant, en el primer cas, és evident que l’angle determinat per les dues agulles mesura zero graus. En canvi, en el segon cas, el sistema sexagesimal atorga a la circumferència un valor de 360 graus. Així doncs, un grau correspon a una de les 360 parts iguals en què es pot dividir la circumferència.
8. TRIGONOMETRIA
Probablement la definició del grau sexagesimal es deu als astrònoms de l’antiga Babilònia, que dividien el cel en 360 parts, cada una de les quals corresponia a un dia de l’any (avui dia, però, diem que l’any té 365 dies). El sistema de numeració dels babilònics era un sistema sexagesimal, és a dir, un sistema de base 60. Per aquest motiu cada grau es divideix en 60 parts iguals anomenades minuts i cada minut es divideix en 60 parts iguals anomenades segons. Segur que ja t’has adonat que aquest mateix sistema és el que es fa servir per mesurar el temps. Les unitats que s’utilitzen per mesurar el temps són les hores, els minuts i els segons. Circumferència Grau sexagesimal Minut sexagesimal
360º 60’ 60’’
360 graus sexagesimals 60 minuts sexagesimals 60 segons sexagesimals
· Activitats d’aprenentatge 1 i 2
2. Tipus d’angles
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
En aquesta situació la quarta part d’una circumferència mesura 90º. Els angles que mesuren 90º s’anomenen angles rectes rectes. Es formen quan les dues semirectes són perpendiculars.
PÀG.45
Fixa’t que en el primer rellotge hi ha representat un angle recte.
15
Fixa’t que en el segon rellotge hi ha representat un angle obtús i que en el tercer rellotge hi ha representat un angle agut. Hi ha altres angles que reben noms especials. Alguns d’ells ja els hem vist com és el cas de:
UNITAT 1
Un angle és obtús si és més gran que un angle recte (>90º).
ANGLES I TRIANGLES
Un angle és agut si és més petit que un angle recte (<90º).
Un altre angle especial és el pla pla, que mesura 180º.
PÀG.46
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
I l’angle nul nul, que mesura 0º.
8. TRIGONOMETRIA
L’angle complet complet, que mesura 360º
ANGLES I TRIANGLES
16
Els angles consecutius tenen un costat i el vèrtex en comú.
Si a més de consecutius els seus costats no comuns formen un angle pla, s’anomenen adjacents adjacents.
UNITAT 1
Dos angles són complementaris si les seves mesures sumen 90º. Dos angles són suplementaris si les seves mesures sumen 180º. El criteri que utilitzarem per representar els angles és una lletra majúscula amb un circumflex (Â). · Activitats d’aprenentatge 3 i 4
3. Mesura d’angles
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
Per mesurar angles s’utilitza el semicercle graduat o transportador d’angles d’angles. Es tracta d’un semicercle dividit en 180 parts o graus sexagesimals. Per mesurar un angle es fa coincidir el punt central del transportador amb el vèrtex de l’angle i la base del transportador amb un dels costats de l’angle.
· Activitat d’aprenentatge 5
PÀG.47
4. Operacions amb angles
17
Suma d’angles Observa aquests dos rellotges:
Inicialment el rellotge marca les 15:30 hores. Després de 15 minuts, el rellotge marca les 15:45 hores. Fixa’t amb els angles determinats per les agulles del rellotge. L’angle inicial és un angle recte. L’angle final és un angle pla. A mesura que passen els minuts, l’agulla gran avança. Observa que aquesta agulla entre la seva posició inicial (assenyalant el 6) i la seva posició final (assenyalant el 9) determina també un angle recte. Si afegim aquest angle recte a l’angle recte inicial resulta que l’angle final és un angle pla.
UNITAT 1
ANGLES I TRIANGLES
Vegem un exemple de suma d’angles.
90º + 90º = 180º Per sumar dos angles  i Ê es segueixen els passos següents: Es construeix un angle igual a  amb l’ajut del transportador.
Aquest és l’angle suma.
Resta d’angles Per restar dos angles es segueix un procés similar al de la suma però per comptes d’afegir graus a l’angle inicial n’hi haurem de treure. Això sí, l’angle inicial ha de ser més gran que l’angle que li traiem. Es construeix un angle igual a  amb l’ajut del transportador. Es construeix a sobre d’ un angle igual a l’angle Ê amb l’ajut del transportador.
PÀG.48
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
Es construeix un angle igual a Ê de manera que  i Ê siguin angles consecutius, també amb l’ajut del transportador.
Aquest és l’angle resta.
Multiplicació d’un angle per un nombre natural Multiplicar un angle per un nombre natural és el mateix que sumar aquest angle tantes vegades com indiqui el nombre natural.
UNITAT 1
ANGLES I TRIANGLES
18
Divisió d’un angle en dos angles iguals. Bisectriu La semirecta que passa pel vèrtex d’un angle dividint-lo en dos trossos iguals s’anomena bisectriu bisectriu. Si es dibuixa la bisectriu d’un angle, automàticament s’obtenen les dues meitats de l’angle.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
La construcció de la bisectriu d’un angle es pot fer amb regle i compàs. Agafem el compàs i prenem com a centre el vèrtex de l’angle. Tracem un arc que, en tallar amb els costats de l’angle determina dos punts C i D. Per la manera com s’han construït observa que C i D estan a la mateixa distància del vèrtex O. Tracem dos arcs de circumferència prenent com a centres els punts C i D, de radi igual i suficientment gran per tal que els dos arcs es tallin. Unim aquest punt de tall dels dos arcs amb el vèrtex de l’angle i ja tenim la bisectriu.
· Activitats d’aprenentatge 6, 7, 8 i 9 PÀG.49
5. Triangle: Concepte i característiques
19
El triangle és el polígon de menor nombre de costats que existeix.
UNITAT 1
Està format per tres costats, tres vèrtexs i tres angles.
ANGLES I TRIANGLES
Estaràs d’acord que és impossible de dibuixar una figura plana tancada amb només dos costats. Com a mínim en necessitaràs tres.
Criteri de nomenclatura Anomenarem A, B i C els vèrtexs d’un triangle, per això quan parlem del triangle ens referirem al triangle ABC. Pels costats utilitzarem les lletres a, b i c, corresponents als vèrtexs oposats. Els angles els simbolitzarem amb la mateixa lletra que el vèrtex corresponent però amb un circumflex.
Tracem un segment igual al costat a. Els extrems d’aquest costat seran òbviament dos vèrtexs (B i C) d’aquest triangle. Tracem un arc que té com a centre el vèrtex C i com a radi la longitud del costat b. Tracem un altre arc que té com a centre el vèrtex B i com a radi la longitud del costat c. El punt de tall d’aquests dos arcs serà el tercer vèrtex (A) del triangle. Tanmateix no n’hi ha prou amb tres costats qualssevol per construir un triangle.
PÀG.50
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
La construcció del triangle es pot fer amb regle i compàs.
20
ACTIVITAT Intenta construir un triangle amb les següents mesures per als seus costats: b = 4 cm c = 1 cm Solució
UNITAT 1
ANGLES I TRIANGLES
a = 6 cm
La construcció d’un triangle amb aquestes dades no és possible. Un costat qualsevol d’un triangle ha de ser sempre més petit que la suma dels altres dos i més gran que la diferència. En canvi en l’exemple que hem plantejat: 6 > 4 + 1
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
Si es pren un triangle qualsevol i es retallen els seus tres angles interiors, és a dir, les seves “puntes”, en col·locar els tres angles consecutivament a sobre d’una línia recta, com si es tractés d’un ventall, s’observa que formen un angle pla.
La suma dels angles interiors d’un triangle és un angle pla o de 180º. · Activitats d’aprenentatge 10 i 11 PÀG.51
6. Classificació de triangles
21
Els triangles es poden classificar segons els seus costats i segons els seus angles.
Triangle isòsceles: té dos costats iguals Triangle escalè: no té cap costat igual
Classificació segons els angles Triangle rectangle: conté un angle recte
UNITAT 1
Triangle equilàter: té tots tres costats iguals
ANGLES I TRIANGLES
Classificació segons els costats
Triangle obtusangle: conté un angle obtús Triangle acutangle: té tots tres angles aguts
· Activitats d’aprenentatge 12, 13 i 14
La mediatriu d’un segment és la recta perpendicular que passa pel punt mig del segment. La recta i el segment són perpendiculars quan l’angle que determinen és de 90º. Les mediatrius d’un triangle són les mediatrius dels seus costats. Si es tracen les tres mediatrius d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena circumcentre. Agafa el compàs i punxa’l a sobre del circumcentre. A continuació pren com a radi la distància que hi ha entre el circumcentre i un dels vèrtexs del triangle. Si hi dibuixes aquesta circumferència obtindràs la circumferència circumscrita al triangle.
PÀG.52
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Mediatrius i circumcentre
8. TRIGONOMETRIA
7. Punts i rectes notables d’un triangle
Les bisectrius d’un triangle són les bisectrius dels seus angles. Les tres bisectrius d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena incentre. Agafa el compàs i punxa’l a sobre de l’incentre. Tot seguit pren com a radi la distància entre l’incentre i un dels costats del triangle. Si hi dibuixes aquesta circumferència obtindràs la circumferència inscrita al triangle.
UNITAT 1
ANGLES I TRIANGLES
22 Bisectrius i incentre
Altures i ortocentre L’altura d’un triangle és la recta perpendicular a un costat o a la seva prolongació des del vèrtex oposat. Les tres altures d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena ortocentre.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
Mitjanes i baricentre La mitjana d’un triangle és el segment que uneix un vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat. Les tres mitjanes d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena baricentre.
El baricentre és el centre de gravetat del triangle. · Activitats d’aprenentatge 15 i 16 PÀG.53
Activitat 1 Completa la taula següent: Graus
Minuts
30º
Segons
30 x 60 =
45º 120º
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
ACTIVITATS D’APRENENTATGE 23
En una hora, quants graus i quants minuts recorre l’agulla petita?
Activitat 3 Calcula l’angle complementari de cadascun d’aquests angles: a) 45º
c) 60º
b) 30º
d) 15º
PÀG.54
8. TRIGONOMETRIA
En un rellotge l’agulla gran i l’agulla petita es mouen a diferents velocitats. En una hora, quants graus mesura l’angle que recorre l’agulla gran? I en mitja hora? I en un quart?
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 2
UNITAT 1
270º
24
Activitat 4 Dos angles adjacents són sempre angles consecutius Dos angles consecutius són sempre angles adjacents Dos angles adjacents són sempre angles suplementaris Dos angles suplementaris són sempre angles adjacents
Activitat 5 D’entre aquests angles, n’hi ha cap parell les mesures dels quals sumin 90º? I 180º?
UNITAT 1
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Contesta vertader o fals:
Activitat 6 Utilitza el transportador d’angles i resol el problema numèricament i gràficament.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
Quant mesura l’angle suma dels angles  i Ê?
PÀG.55
Activitat 8 Dibuixa la bisectriu d’un angle pla. Quant mesuren els dos angles que resulten?
UNITAT 1
Dibuixa un angle agut de manera que el seu doble sigui un angle obtús. Resol el problema gràficament amb l’ajut del transportador d’angles. Sabries dir quins valors pot prendre l’angle agut per tal que el seu doble sigui un angle obtús?
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
25
Activitat 7
Activitat 9
8. TRIGONOMETRIA
Quant val el triple d’un angle de 30º? Resol el problema gràficament amb l’ajut del transportador d’angles.
Construeix un triangle de costats: a = 5 cm b = 4 cm c = 3 cm
PÀG.56
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 10
26
Activitat 11
UNITAT 1
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
En el següent triangle manquen les dades de dos angles. Pots trobar-les?
Activitat 12
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
Els angles iguals d’un triangle isòsceles valen 50º. Quant val l’angle desigual? Si classifiquem aquest triangle segons els angles, de quin tipus és?
Activitat 13 Dedueix quant mesuren els angles d’un triangle equilàter.
Activitat 14 Es pot dibuixar un triangle amb dos angles aguts? I amb dos angles rectes? I amb dos angles obtusos? Per què?
PÀG.57
27
Activitat 15
Activitat 16
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
És possible dibuixar un triangle obtusangle i isòsceles a la vegada? Posa’n algun exemple.
UNITAT 1
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Dibuixa un triangle equilàter i el seu baricentre, circumcentre, ortocentre i incentre. Què observes?
PÀG.58
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
UNITAT 1
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
28 Activitat 1
Expressa en minuts i segons la mesura d’un angle pla i la mesura d’un angle complet.
Activitat 2 Calcula l’angle suplementari dels angles següents: a) 90º
c) 45º
e) 15º
b) 120º d) 150º f) 105º
Activitat 3 Posa noms als angles que hi ha dibuixats:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
Angle agut, angle obtús, angle recte, angle pla, angle complet.
a:
d:
b:
e:
c:
f:
PÀG.59
29
Activitat 4 Utilitza el transportador d’angles i resol el problema numèricament i gràficament.
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Quant mesura l’angle suma dels angles  i Ê?
Dibuixa la bisectriu d’un angle recte. Quant mesuren els dos angles que resulten?
UNITAT 1
Activitat 5
Activitat 6
Posa els noms corresponents als segments i punts que hi ha representats en els triangles següents: Bisectrius, ortocentre, mediatrius, baricentre, mitjanes, circumcentre, altures, incentre.
Activitat 8 Dibuixa un triangle rectangle i les seves altures. Quin punt és l’ortocentre?
PÀG.60
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 7
8. TRIGONOMETRIA
Dibuixa un triangle que sigui rectangle i isòsceles a la vegada. Quant mesuren els seus angles?
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
30
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE Activitat 1 Completa la taula següent:
Graus
Minuts
Segons
30º
30 x 60 = 1.800
1.800 x 60 = 108.000
45º
2.700
162.000
120º
7.200
432.000
270º
16.200
972.000
Activitat 2 En un rellotge l’agulla gran i l’agulla petita es mouen a diferents velocitats. En una hora, quants graus mesura l’angle que recorre l’agulla gran? I en mitja hora? I en un quart? En una hora l’agulla gran del rellotge recorre una circumferència completa, que són 360º.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
Una hora conté dues mitges hores. Per tant, en mitja hora l’agulla gran recorre 180º ja que 360º : 2 = 180º. Una hora conté quatre quarts d’hora. Per tant, en un quart d’hora l’agulla gran recorre 90º ja que 360º : 4 = 90º. En una hora, quants graus i quants minuts recorre l’agulla petita? El rellotge està dividit en 12 hores. Per tant, l’agulla petita recorre en una hora 30º ja que 360º : 12 = 30º. En minuts són 1.800’, ja que un grau són 60 minuts i per tant 30º x 60 = 1.800’.
Activitat 3 Calcula l’angle complementari de cadascun d’aquests angles: a) 45º
c) 60º
b) 30º
d) 15º
a) 90º - 45º = 45º
c) 90º - 60º = 30º
b) 90º - 30º = 60º
d) 90º - 15º = 75º
PÀG.61
31
Activitat 4 Dos angles adjacents són sempre angles consecutius: vertader Dos angles consecutius són sempre angles adjacents: fals Dos angles adjacents són sempre angles suplementaris: vertader Dos angles suplementaris són sempre angles adjacents: fals
Activitat 5 D’entre aquests angles, n’hi ha cap parell les mesures dels quals sumin 90º? I 180º? Per resoldre l’activitat cal utilitzar el transportador d’angles. Mesurar tots els angles i mirar quins són els que sumen 90º i 180º.
Activitat 6 Quant mesura l’angle suma dels angles  i Ê?
Dibuixa un angle agut de manera que el seu doble sigui un angle obtús. Resol el problema gràficament amb l’ajut del transportador d’angles. Sabries dir quins valors pot prendre l’angle agut per tal que el seu doble sigui un angle obtús?
 = 70º 2 =  +  = 140º
Fixa’t que si l’angle agut mesura 45º, el seu doble és un angle recte. Per tant, per tal que el doble superi els 90º, l’angle agut ha de fer més de 45º. Els valors de l’angle agut han de fer més de 45º i menys de 90º.
PÀG.62
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 7
8. TRIGONOMETRIA
UNITAT 1
Utilitza el transportador d’angles i resol el problema numèricament i gràficament.
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Contesta vertader o fals:
32
Activitat 8
8. TRIGONOMETRIA
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Dibuixa la bisectriu d’un angle pla. Quant mesuren els dos angles que resulten?
Els dos angles que resulten mesuren 90º. 180º : 2 = 90º.
Activitat 9 Quant val el triple d’un angle de 30º? Resol el problema gràficament amb l’ajut del transportador d’angles.
Activitat 10
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Construeix un triangle de costats: a = 5 cm b = 4 cm c = 3 cm
PÀG.63
ˆ
33
Activitat 11
Farem servir la relació entre els angles d’un triangle: La suma dels angles d’un triangle val 180º. Triangle de fora: ˆ = 180º 95º + 35º + C ˆ = 180º 130º + C ˆ = 180º - 130º C ˆ = 50º C
UNITAT 1
Fixa’t que:
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
En el següent triangle manquen les dades de dos angles. Pots trobar-les?
ˆ 25º + Â C=
50º = 25º + Â Â = 25º Finalment: ˆ + 35º = 180º Â+B ˆ + 35º = 180º 25º + B ˆ = 180º - 25º - 35º B
Els angles iguals d’un triangle isòsceles valen 50º. Quant val l’angle desigual? Si classifiquem aquest triangle segons els angles, de quin tipus és? Sigui  l’angle desigual. Per la relació entre els angles d’un triangle sabem que 50º + 50º +  = 180º. 100º +  = 180º  = 180º - 100º  = 80º Els valors dels angles són: 50º, 50º i 80º. Tots tres són angles aguts. Per tant el triangle, si el classifiquem segons els angles, és acutangle.
Activitat 13 Dedueix quant mesuren els angles d’un triangle equilàter. Els triangles equilàters per tenir els costats iguals també tenen els tres angles iguals. PÀG.64
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 12
8. TRIGONOMETRIA
ˆ = 120º B
34
A més es compleix la relació entre els angles d’un triangle. En aquest cas: 3Â = 180º Â = 180º : 3 Â = 60º Per tant cadascun dels angles d’un triangle equilàter mesura 60º.
Activitat 14 Es pot dibuixar un triangle amb dos angles aguts? I amb dos angles rectes? I amb dos angles obtusos? Per què? Sí que es pot dibuixar un triangle amb dos angles aguts. El tercer angle també pot ser agut, o recte o fins i tot obtús. La qüestió és que la suma dels tres angles valgui 180º. No es pot dibuixar un triangle amb dos angles rectes ja que la suma de dos rectes val 180º i ja no queda opció de dibuixar un tercer angle. Per aquest motiu i amb més raó no es pot dibuixar un triangle amb dos angles obtusos.
Activitat 15 Dibuixa un triangle equilàter i el seu baricentre, circumcentre, ortocentre i incentre. Què observes?
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
 +  +  = 180º
S’observa que el baricentre, circumcentre, ortocentre i incentre d’un triangle equilàter són el mateix punt.
PÀG.65
35
Activitat 16
Sí que és possible. Com que el triangle és isòsceles té dos costats iguals que determinen dos angles iguals. Aquests dos angles han de ser aguts ja que l’angle desigual ha de ser obtús, en ser el triangle obtusangle. Només cal donar valors convenients als angles de manera que la seva suma valgui 180º. Per exemple: Angle obtús: 100º Angle agut 1: 40º
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
UNITAT 1
Angle agut 2: 40º
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Es possible dibuixar un triangle obtusangle i isòsceles a la vegada? Posa’n algun exemple.
PÀG.66
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
36
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Activitat 1 Expressa en minuts i segons la mesura d’un angle pla i la mesura d’un angle complet. Un angle pla mesura 180º sexagesimals: 180º x 60 = 10.800’ Un angle pla mesura 10.800 minuts. 10.800’ x 60 = 648.000’’ Un angle pla mesura 648.000 segons. Un angle complet mesura 360º sexagesimals: 360º x 60 = 21.600’ Un angle complet mesura 21.600 minuts. 21.600’ x 60 = 1.296.000’’
UNITAT 1
Un angle complet mesura 1.296.000 segons.
Activitat 2 Calcula l’angle suplementari dels angles següents: a) 90º
c) 45º
e) 15º
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
b) 120º d) 150º f) 105º a) 180º - 90º = 90º
d) 180º - 150º = 30º
b) 180º - 120º = 60º
e) 180º - 15º = 165º
c) 180º - 45º = 135º
f) 180º - 105º = 75º
Activitat 3 Posa noms als angles que hi ha dibuixats: Angle agut, angle obtús, angle recte, angle pla, angle complet.
a: angle agut
d: angle complet
b: angle obtús
e: angle obtús
c: angle pla
f: angle recte PÀG.67
Activitat 4
37
Â=90º Ê=50º Â+Ê=140º
Activitat 5 Dibuixa la bisectriu d’un angle recte. Quant mesuren els dos angles que resulten?
Els dos angles que resulten mesuren 45º cadascun.
UNITAT 1
Utilitza el transportador d’angles i resol el problema numèricament i gràficament.
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Quant mesura l’angle suma dels angles  i Ê ?
90º : 2 = 45º.
Com que el triangle és isòsceles els dos costats iguals determinen dos angles iguals. A més l’angle desigual val 90º en ser un angle recte. Per la relació que hi ha entre els angles d’un triangle sabem que la suma dels tres angles val 180º. Per tant: 90º + Â + Â = 180º Â + Â = 90º 2Â = 90º Â = 45º Els angles d’aquest triangle mesuren 90º, 45º i 45º respectivament.
PÀG.68
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Dibuixa un triangle que sigui rectangle i isòsceles a la vegada. Quant mesuren els seus angles?
8. TRIGONOMETRIA
Activitat 6
38
Activitat 7
Bisectrius, ortocentre, mediatrius, baricentre, mitjanes, circumcentre, altures, incentre.
Activitat 8 Dibuixa un triangle rectangle i les seves altures. Quin punt és l’ortocentre?
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Posa els noms corresponents als segments i punts que hi ha representats en els triangles següents:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
8. TRIGONOMETRIA
L’ortocentre és justament el vèrtex corresponent a l’angle recte.
PÀG.69
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
PÀG.70
EL DIBUIX TÈCNIC
Unitat 4 115
UNITAT 4
QUÈ TREBALLARÀS?
116
què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de: • Reconèixer
els diferents estris de dibuix i la seva
utilització.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
• Reconèixer
els diferents tipus de dibuix tècnic: esbossos, croquis, plànols, etc. • Descriure els diferents tipus de línies que formen part del dibuix tècnic. • Descriure els mecanismes d´acotació en dibuix tècnic. • Reconèixer els diferents tipus de vistes que es poden obtenir d’un objecte. • Descriure el procés d’elaboració dels plans de projecció d’un objecte: alçat, perfil i planta. • Descriure els aparells de mesura més habituals i el seu funcionament. • Reconèixer les tècniques de reducció i ampliació d’imatges d’objectes mitjançant l’ús de l’escala.
PÀG.71
1. Ens cal representar els objectes
117
Saps què és? Sembla un cotxe. Però, vist del davant o del darrere? Aquesta altra imatge et traurà de dubtes.
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
Fixa’t en aquest dibuix.
Una de les necessitats humanes més importants és la de comunicar-se, per la qual cosa els humans vàrem desenvolupar el llenguatge oral. Tanmateix aquest tipus de llenguatge és insuficient per transmetre certes característiques dels objectes, com és ara la forma. Per això, molt aviat va néixer el llenguatge gràfic. Recordes haver vist alguna imatge de pintures rupestres? El llenguatge gràfic ens permet representar imatges en un suport adequat. Inclou dibuixos, fotografies, esquemes, etc. De dibuixos, en podem distingir dos tipus, segons el que pretenem en realitzar-lo: el dibuix tècnic i el dibuix artístic. El dibuix tècnic és aquell que pretén transmetre característiques de l’objecte amb la màxima precisió, per tal que l’observador se’n pugui fer una idea clara i precisa de com és l’objecte o la imatge representada. El dibuix artístic, al contrari, pretén crear sensacions PÀG.72
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Ara de ben segur que ja et pots fer una idea de com és el cotxe, tot i això encara et faltaria una vista des del darrere i fins i tot una altra des de dalt.
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Les dues imatges representen el mateix objecte, vist des de diferents angles. Fixa’t ara en aquestes altres imatges.
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
118
en l’observador. És per això que el dibuix tècnic ha de complir tota una sèrie de normes de les quals el dibuix artístic es veu alliberat. El dibuix tècnic és el sistema que utilitzem per transmetre algunes característiques dels objectes, com la forma, la textura, el color, les dimensions, etc. per tal que la persona que observi el dibuix se’n pugui fer una idea clara. Per això cal seguir una sèrie de normes que han de ser conegudes tant per qui fa el dibuix com per qui l’ha d’interpretar.
2. Estris de dibuix Els estris de dibuix són tots aquells objectes que utilitzem per fer els dibuixos. Els podem classificar segons la seva funció: Instruments per fer els traços: inclouen els llapis, els portamines, els retoladors, etc. • Instruments per dirigir el traç: inclouen les regles, el compàs, les plantilles, l’escaire i el cartabó, etc. • Suport per fer el dibuix: el paper. • Equips informàtics.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
•
Instruments per fer els traços • El llapis és l’objecte més emprat a l’hora de dibuixar. Tots els dibuixos s’han de començar fent a llapis, per després, si convé, passar-los a tinta. Hi ha molts tipus de llapis segons les característiques de la mina, especialment pel que fa a la seva duresa. Per realitzar dibuixos que s’han d’esborrar sovint, cal emprar llapis amb mines toves. Per realitzar figures definitives, cal utilitzar mines més dures. Els diferents tipus de llapis van numerats seguint un codi. De fet existeixen dos codis, un que utilitza números i un altre que combina números i lletres. El codi de lletres utilitza els números baixos per a les mines toves i els alts per a les mines dures. Número 0, 1 2 3 4, 5 6, 7
Codi de lletres B, 2B, 3B HB, F H 2H, 3H 4H, 5H
Duresa Tou Semitou Semidur Dur Molt dur
Actualment s’ha generalitzat l’ús del portamines en substitució del llapis. Els portamines tenen l’avantatge que, a mesura que es va gastant la mina, el diàmetre d’aquesta es manté constant. En els llapis això no passa, ja que en esmolar la punta de la mina, aquesta va esdevenint cada cop més gruixuda a mesura que es gasta, amb la qual cosa varia el gruix del traç. • Els retoladors. S’utilitzen per escriure i per dibuixar, i permeten donar un acabat més polit al dibuix. N’hi ha de diferents tipus segons el gruix del traç, el tipus de tinta (indeleble, permanent, marcadors) i el seu color. Ac•
PÀG.73
Instruments per dirigir el traç Alguns d’aquests instruments, a més de dirigir el traç, ens permeten prendre mesures, transportar distàncies, angles, etc El regle graduat permet prendre mesures i dibuixar rectes. • El compàs permet transportar distàncies i dibuixar línies corbes i circumferències. • L’ escaire i el cartabó. Són els estris més utilitzats per traçar línies rectes. L’escaire té la forma d’un triangle rectangle escalè i el cartabó té la forma d’un triangle rectangle isòsceles.
119
EL DIBUIX TÈCNIC
tualment hi ha tres gruixos de tinta normalitzats que corresponen als traços prim (0,18 mm), mitjà (0,35 mm) i gruixut (0,70 mm). • La goma d’esborrar. De gomes d’esborrar, n’hi ha de molts tipus. Cal tenir cura de triar-ne una de blanca i tova, perquè no embruti ni faci malbé el paper, i d’angles vius, perquè permeti esborrar amb precisió.
• • • • • • •
De corbes de radis diversos De circumferències D’el·lipsis De quadrats De plànols, per dibuixar elements com portes, llits, taules, sanitaris. De símbols elèctrics De lletres, etc. PÀG.74
7. TECNOLOGIA I HABITATGE Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
El transportador d’angles permet construir, mesurar i transportar angles. És una circumferència dividida en 360º o una semicircumferència dividida en 180º. • Les plantilles. N’hi ha de diferents tipus: •
UNITAT 4
•
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
120
Suport per al dibuix tècnic • El paper és el suport més utilitzat per dibuixar. N’hi ha de diferents tipus segons les seves dimensions i la seva estructura . Segons les dimensions del paper trobem diferents formats, tots ells normalitzats, és a dir, seguint unes normes preestablertes i acceptades per tothom. El format més usual és l’A4 (210 mm x 297 mm). A partir d’aquest format es dissenyen tots els materials d’oficina: carpetes, arxivadors, etc. Per sobre de l’A4 trobem els formats A3, A2, A1, etc, per sota l’A5, l’A6. Aquests formats tenen una sèrie de característiques que els fan molt útils. En doblegar un full d’un determinat format per la meitat s’obté el format immediatament inferior. Això és molt útil a l’hora d’haver de plegar croquis i plànols impresos en paper de formats grans. De fet a l’hora de plegar un d’aquests formats també s’ha de seguir una sèrie de normes, per tal que tothom els plegui de la mateixa manera i que els títols i dades del document quedin a la cara superior. Com veus tot està previst i no es deixa res a la improvisació. Cal dir que el paper també es pot presentar en rotlles. Una altra característica del paper de dibuix és el seu gruix, que ve establert pel seu gramatge. El gramatge representa el pes del paper per unitat de superfície (g/m2). El gramatge és important, ja que alguns aparells de reproducció (com fotocopiadores, impressores, etc.) només permeten la utilització d’un determinat gramatge. Respecte a les característiques del paper, hi ha dos grans grups de paper: El paper opac. • El paper transparent. A aquest grup pertany el paper vegetal, molt utilitzat per fer plànols.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
•
Un tipus especial de paper, que s’utilitza molt en el dibuix tècnic, és el paper mil·limetrat. Pot ésser tan opac com transparent, tot i que el primer és el més habitual. Presenta una trama de línies paral·leles, situades a un mil·límetre l’una de l’altra, que permet fer representacions a escala d’una gran precisió. Equips informàtics Tradicionalment s’ha utilitzat el paper com a suport per fer el dibuix tècnic, tot i que darrerament els ordinadors van adquirint protagonisme, gràcies a la gran eficàcia que tenen per realitzar aquests tipus de tasques. Amb l’evolució dels ordinadors personals, que ha fet que cada vegada siguin més potents i més assequibles, la utilització d’aquesta tecnologia per realitzar dibuixos tècnics ha experimentat un increment espectacular. És el que anomenem disseny assistit per ordinador (CAD). A més s’ha dissenyat tota una sèrie d’aparells (com impressores especials i escànners, per facilitar aquesta feina) i de programes informàtics.
PÀG.75
ACTIVITAT Intenta dibuixar, amb un escaire i un cartabó, un quadrat de 3 cm de costat.
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
Solució
121
• Activitat d’aprenentatge 1
3. Qüestió de perspectiva Segons la precisió de la representació de l’objecte, podem distingir entre esbós, croquis i plànol.
L’esbós es fa amb un llapis o un retolador a mà alçada, sense cap altre instrument de dibuix. No cal tenir en compte les mesures exactes de l’objecte ni l’escala. El croquis és una representació més acurada de l’objecte. En el croquis hem de seguir unes normes més estrictes: Ha de representar l’objecte amb la màxima precisió possible. • Els traços han d’ésser força acurats. • Ha de reflectir exactament la forma i les proporcions de l’objecte. • Ha d’incloure les mesures de les diferents parts de l’objecte. •
PÀG.76
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
L’esbós és un dibuix en el qual es representa de manera ràpida i sense massa normes, una primera idea de la forma i textura de l’objecte.
El croquis es fa a mà alçada, és a dir, sense utilitzar estris per dirigir el traç, a l’igual que l’esbós. Si per fer el dibuix utilitzem regles, escaires, cartabons, etc. aleshores l’anomenem plànol.
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
122
Els croquis anteriors han estat realitzats per un artesà al qual hem encarregat un armari i un quadre. Les líneas que apareixen en aquests croquis són d’un mateix tipus. En el dibuix tècnic però, s’utilitzen diferents tipus de línies per indicar que aquestes corresponen a coses diferents i no induir a la confusió. Línies de contorn. Són línies gruixudes, contínues ( ), que ens indiquen el contorn de l’objecte • Línies discontínues. Són línies gruixudes, discontínues ( ), que ens serveixen per indicar el contorn d’aquelles parts de l’objecte que no es veuen des de la posició en què l’observem, ja que queden tapades per altres parts. • Línies auxiliars. Són línies primes, contínues ( ), que s’utilitzen per dibuixar elements que no formen part de l’objecte, però que ens donen informació d’aquest. És el cas de les línies d’acotament o de cota, que veurem més endavant. • Línies d’eixos. Són línies primes, discontínues, que alternan ratlletes i punts ( ). Permeten indicar els eixos de simetria de l’objecte.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
•
PÀG.77
123
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
ACTIVITAT Anima’t a fer els croquis dels esbossos següents fent servir un sol tipus de línies
Acotaments
Mira aquest dibuix. És evident que és un prisma, però com te l’imagines? Petit com una goma d’esborrar? Com una caixa de cartró? Com un contenidor dels que utilitzen els vaixells per transportar mercaderies? Ens falta informació i ja hem dit que PÀG.78
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Fixa’t que cap dels croquis anteriors no està acabat. En tots ells falta indicar les mesures de les diferents parts de l’objecte, és a dir, els acotaments.
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Solució
el dibuix tècnic ha d’aportar la màxima informació i precisió, perquè l’observador es faci una idea exacta de com és l’objecte. Fixa’t en aquesta altra imatge. 90
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
124
35
35
15 5
10
És evident que aquest altre dibuix porta molta més informació sobre l’objecte representat. Tot aquest sistema de línies i símbols que ens permeten conèixer les dimensions de l’objecte és el que anomenen acotament. Acotar un dibuix consisteix a indicar les mesures de totes les parts d’aquest objecte.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Ara bé, no et pensis que l’acotament es pot fer de qualsevol manera. Hi ha una sèrie de normes molt estrictes de com fer l’acotació d’un dibuix. En l’acotament mai no apareixen les unitats en què estan preses les mesures. Les cotes vénen donades en mil·límetres. En cas contrari ha de constar en la retolació del dibuix, en quines unitats estan expressades les cotes. En qualsevol cas, mai no es poden posar en un mateix dibuix magnituds expressades en unitats diferents. ACTIVITAT Com ja hem dit, els croquis de l’armari i del quadre no estan acabats, falta acotar-los. Anima’t i acota un armari i un quadre que tinguis a casa teva. En la solució hi trobaràs dos exemples. Solució 3
50
240
70
25 45
140
4
PÀG.79
56
76
De fet, el problema ve quan hem de representar objectes que tenen tres dimensions en un pla. Ens cal un conveni que ens permeti passar les imatges de tres dimensions a només dues. Això s’aconsegueix mitjançant diferents sistemes de representació, els quals ens permeten obtenir projeccions planes dels objectes. Per fer fàcilment les representacions de figures amb un cert volum podem ajudar-nos de les trames triangulars o de les trames quadriculades.
EL DIBUIX TÈCNIC
Una vista és la imatge que s’obté d’un objecte tal com es pot observar des d’una perspectiva determinada.
125
UNITAT 4
Projeccions planes Tornem al cotxe. Si recordes, la primera imatge del cotxe era una vista frontal. Aturem-nos aquí un moment. Moltes vegades parlem de vista frontal, de vista lateral, etc, però aquest és un concepte que adquireix una gran importància en les representacions.
Trama quadriculada
Les projeccions planes Com en el cas del cotxe, sovint no n’hi ha prou amb donar una única vista d’un objecte per fer-nos una idea de com és i, per tant, hem de donar diferents vistes obtingudes des de diferents perspectives. Però des de quantes perspectives es pot
PÀG.80
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Trama triangular
observar un objecte? Imagina que col·loquem l’objecte a l’interior d’una esfera. Lògicament el podríem observar des de qualsevol punt de l’esfera, és a dir, des d’infinits punts. Això ens crea un problema ja que, si l’observador del dibuix no sap exactament des d’on hem observat l’objecte, el pot interpretar malament. S’han establert, doncs, per conveni, unes perspectives que permeten que no hi hagi confusió: l’alçat, la planta i el perfil. Anem a veure-ho amb un objecte senzill.
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
126
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Imagina’t que ens posem ara exactament davant de l’objecte i el dibuixem de manera que el pla que forma el paper sigui paral·lel a la cara anterior de l’objecte. Si el dibuixéssim tindríem:
Això és el que anomenem l’alçat de la figura. Imagina ara que veiem l’objecte des de dalt:
Ja tenim la planta. Ara només ens queda el perfil:
PÀG.81
127
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
Fixa’t en aquest altre exemple:
Com acabem de veure, abans de dibuixar amb precisió un objecte cal que en prenguem mides. Existeixen diferents aparells de mesura que ens permeten fer-ho, per la qual cosa abans de començar a mesurar l’objecte, cal que triem el que més ens interessa en funció del tipus d’objecte que vulguem mesurar i de la precisió que vulguem obtenir. Per exemple, si volem fer un croquis de les diferents parts d’una prestatgeria, és possible que si arribem a una precisió de mil·límetre ja en tinguem prou. Però si volem fer el croquis del disseny d’un cargol i d’una femella, per a una empresa que es dediqui a construir-los, és evident que la precisió en la mesura ha d’ésser inferior a la del mil·límetre. Per tant, quan vulguem prendre les mesures d’un objecte hem de triar l’aparell de mesura en funció de dos factors: l’abast i l’apreciació. L’abast és la distància màxima que pot mesurar l’aparell i l’apreciació és la distància mínima que pot mesurar un aparell, és a dir la seva precisió. Anem a veure els diferents aparells que ens permeten obtenir mesures de longitud.
PÀG.82
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
4. S’han de prendre mides
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
• Activitats d’aprenentatge 2, 3 i 4
El regle graduat Pot ésser de diferents materials: plàstic, fusta, acer, etc. Sol tenir un abast de 60 cm com a màxim i una apreciació d’un mil·límetre. També podem trobar regles amb una doble graduació: en les unitats del sistema mètric decimal (utilitzat gairebé arreu del món) i en el sistema mètric que s’utilitza als EUA i al Canadà (sistema basat en polzades). Els regles d’acer, a diferència dels regles de plàstic, estan graduats des del començament, la qual cosa permet mesurar superfícies esglaonades.
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
128
La cinta mètrica Té un abast molt més gran que el regle, per la qual cosa ha d’estar feta amb algun material que permeti enrotllar-lo (com la roba, l’acer o el niló) o plegarlo (com el plàstic o la fusta). N’hi ha de molts tipus segons la seva aplicació.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
•
Les cintes que s’utilitzen en sastreria estan fabricades d’un material enrotllable. Permeten prendre mesures de superfícies corbes, com poden ésser les diferents parts del cos (cintura, coll, etc.). Tenen generalment un abast de metre i mig i una apreciació de mig centímetre.
Un altre tipus de cinta mètrica és el que habitualment coneixem com a metre. Sol tenir un abast d’entre un i cinc metres i una apreciació de mil·límetres. Normalment està fabricada d’acer. • També trobem cintes mètriques d’un abast molt superior, que pot arribar fins als 50 metres. Estan construïdes de niló i permeten la mesura de distàncies llargues i tenen una apreciació menor. • La cinta de fuster està fabricada, generalment de fusta, tot i que també hi ha cintes de plàstic. Tot i estar fabricada amb materials rígids, té un sistema de plegatge que la fa fàcil de transportar. Té una apreciació de mig centímetre. •
El peu de rei o calibrador S’utilitza per mesurar objectes petits amb una precisió de fins a dècimes de mil·límetre. Està format per un eix fix, graduat, damunt del qual es desplaça una part mòbil dividida en deu parts. En mesurar un objecte l’extrem de la part mòbil indica la mesura en mil·límetres (en l’exemple de la figura 21 mm) i la subdivisió de la part mòbil que coincideix exactament amb una subdivisió de la part fixa indica les dècimes de mil·límetre (0,2 mm en el cas de l’exemple). La mesura del cargol de la il·lustració és, per tant, de 21,2 mm. PÀG.83
129
El micròmetre o pàlmer Permet mesurar objectes petits amb una precisió de fins a la centèsima de mil·límetre. El seu funcionament es basa en un cargol que gira a l’interior d’una femella. Si sabem la distància que avança el cargol cada volta completa que fa, podem mesurar objectes amb una gran precisió.
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
El peu de rei, a més de servir-nos per prendre mesures exteriors també ens permet fer mesures interiors i de profunditat d’objectes petits.
Quan fem un dibuix a escala, les mides de l’objecte real i les mides del dibuix han de seguir la mateixa raó de proporció. Anem a veure un exemple, ho veuràs més clar. Una escala ens indica la relació entre les mesures de la realitat i les de la representació. Una escala d’1 : 1.000.000 significa que una unitat del dibuix són 1.000.000 d’unitats reals. És a dir, si tenim un mapa en el qual dues ciutats estan separades un centímetre, en la realitat estaran separades 1.000.000 de centímetres (és a dir 10 km). Fixa’t que la mateixa unitat que agafem per al dibuix (cm, mm, m, etc), l’hem d’agafar per a la mesura de la realitat. escala=
mida del dibuix mida de l'objecte real
ACTIVITAT 1 En un plànol fet a una escala 1: 100, les dimensions d’una habitació són de 2,5 cm d’amplada per 3 cm de llargada, quines són les dimensions reals de l’habitació?
PÀG.84
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Hem vist que els acotaments ens permeten conèixer les dimensions reals de l’objecte representat. Però, lògicament, la majoria d’objectes no poden ser representats a mida real. Alguns, la majoria, s’han de dibuixar més petits del que són. Pensa en el plànols de les cases, en les guies de les ciutats, en els mapes de carreteres, etc. D’altres, però, han d’ésser representats més grans del que són en realitat. Pensa en els dissenys dels microxips o en el disseny d’algunes peces de joieria. Ara bé, en el dibuix tècnic, els objectes representats han de tenir la mateixa forma que l’objecte real, ja sigui més gran, més petit o igual que la representació. Per això utilitzem el dibuix a escala.
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
L’escala
130
Solució Amplada:
UNITAT 4
EL DIBUIX TÈCNIC
2,5 cm · 100 = 250 cm = 2,5 m Llargada: 3 cm · 100 = 300 cm = 3 m Les dimensions reals de l’habitació són de 2,5 m x 3 m. Anem a veure com es calcula l’escala d’un dibuix. ACTIVITAT 2 Un objecte que té una alçada de 30 cm i una amplada de 45 cm, en dibuixarlo mesura 10 cm d’alçada i 15 cm d’amplada. A quina escala està dibuixat? Solució Recorda que hem dit que l’escala és una relació entre la mida del dibuix i la mida real, per tant mida del dibuix 10 1 = = = 1: 3 mida de l'objecte real 30 3 És a dir, el dibuix és tres vegades més petit que la realitat.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Si realment el dibuix està ben fet, totes les dimensions de l’objecte han de tenir la mateixa escala. Comprovem-ho amb l’amplada. mida del dibuix 15 1 = = = 1: 3 mida de l'objecte real 45 3 Efectivament, l’amplada segueix la mateixa escala. Fixa’t que hem dit que en l’escala, el primer número fa referència a la mida del dibuix i el segon a la distància real. Si el dibuix és més petit que la realitat, el primer número serà, doncs, més petit que el segon. Què passarà si el dibuix és més gran que l’objecte? En aquest cas el primer número serà més gran que el segon. Anem a veure-ho. ACTIVITAT 3 Un objecte representat a una escala 100 : 1, té una amplada de 2 mm x 3 mm. Quant mesurarà el dibuix d’aquest objecte? Solució En aquest cas una unitat de la realitat són cent del dibuix, per tant: 2 mm · 100 = 200 mm = 20 cm 3 mm · 100 = 300 mm = 30 cm
PÀG.85
Una escala és una raó de proporció en què un dels dos números, el numerador o el denominador, és la unitat.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
UNITAT 4
• Activitats d’aprenentatge 5, 6 i 7
131
EL DIBUIX TÈCNIC
Les mides del dibuix seran de 20 cm x 30 cm.
PÀG.86
UNITAT 4
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
132
ACTIVITATS D’APRENENTATGE Activitat 1 Quin avantatge tenen els portamines respecte dels llapis?
Activitat 2 Completa la taula següent. Nom de la línia Línia de contorn
Funció
Dibuix
Línia auxiliar Indica els eixos de simetria de l’objecte
Activitat 4 Dibuixa l’objecte en una trama triangular, a partir del seu alçat, planta i perfil.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Activitat 3 Dibuixa el perfil, l’alçat i la planta del següent dibuix.
PÀG.87
Dècima de mil·límetre
Metre de fuster
Mig centímetre
Peu de rei
Centèsima de mil·límetre
Pàlmer
Mil·límetre
Activitat 6 En un croquis d’un objecte quadrangular, dibuixat a escala 1 : 1, la llargada de l’objecte és de 7 cm. Quina serà la llargada real de l’objecte?
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Activitat 7 L’escala d’un objecte és de 5 : 1. Què serà més gran, la representació de l’objecte o l’objecte real?
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Regle
133
UNITAT 4
Activitat 5 Relaciona els diferents tipus d’aparells amb la seva apreciació.
PÀG.88
UNITAT 4
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
134
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Activitat 1 Explica les diferències entre dibuix tècnic i dibuix artístic.
Activitat 2 Situa els següents estris de dibuix en la casella corresponent: portamines, regle graduat, retoladors, escaire i cartabó, llapis, paper mil·limetrat, impressores, escànners, paper vegetal, plantilla de lletres. Instrument per fer els traços
Instrument per dirigir els traços
Suport per fer el dibuix
Equips informàtics
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Activitat 3 Quina diferència hi ha entre un esbós i un croquis?
Activitat 4 Dibuixa el perfil, l’alçat i la planta del següent dibuix.
Activitat 5 Una habitació que mesura 2 metres d’amplada, en un plànol mesura 4 cm. Quant mesurarà de llargada si en el plànol fa 7,2 cm?
PÀG.89
Activitat 2 Completa la taula següent. Nom de la línia
Funció
Línia de contorn
Indica el contorn de l’objecte
Línia discontinua
Indica els contorns de l’objecte que queden amagats i no es veuen a simple vista
Línia auxiliar
Serveix per dibuixar elements que no formen part del dibuix
Línia d’eixos
Indica els eixos de simetria de l’objecte
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 3 Dibuixa el perfil, l’alçat i la planta del dibuix següent.
Dibuix
UNITAT 4
La mina dels portamines, a mesura que es va gastant, conserva sempre el mateix diàmetre, amb la qual cosa el traç és igual de gruixut. Això no passa amb els llapis, en què després d’esmolar-los, en dibuixar, la mina es va gastant, i el traç cada cop és més gruixut.
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
Activitat 1 Quin avantatge tenen els portamines respecte dels llapis?
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE 135
PÀG.90
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
UNITAT 4
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
136
Activitat 4 Dibuixa l’objecte en una trama triangular, a partir del seu alçat, planta i perfil.
Activitat 5 Relaciona els diferents tipus d’aparells amb la seva apreciació. Regle
Dècima de mil·límetre
Metre de fuster
Mig centímetre
Peu de rei
Centèsima de mil·límetre
Pàlmer
Mil·límetre
Activitat 6 En un croquis d’un objecte quadrangular, dibuixat a escala 1 : 1, la llargada de l’objecte és de 7 cm. Quina serà la llargada real de l’objecte? En un objecte dibuixat a escala 1 : 1, un centímetre del dibuix correspon a un centímetre de la realitat. És a dir, el dibuix i l’objecte mesuraran el mateix. Per tant, la llargada de l’objecte real és de 7 cm. Activitat 7 L’escala d’un objecte és de 5 : 1. Què serà més gran, la representació de l’objecte o l’objecte real? El primer nombre de l’escala fa referència a la mida del dibuix i el segon a la mida de l’objecte real. Per tant, en aquest cas el dibuix serà més gran que l’objecte. Concretament el dibuix serà igual a l’objecte ampliat 5 vegades.
PÀG.91
Activitat 2 Situa els següents estris de dibuix en la casella corresponent: portamines, regle graduat, retoladors, escaire i cartabò, llapis, paper mil·limetrat, impressores, escànners, paper vegetal, plantilla de lletres. Instrument per fer els traços portamines retoladors llapis
Instrument per dirigir els traços regle graduat escaire i cartabò plantilla de lletres
Suport per fer el dibuix paper mil·limetrat paper vegetal
Equips informàtics impressores escànners
Activitat 3 Quina diferència hi ha entre un esbós i un croquis? L’esbós representa una primera aproximació a l’objecte o a la idea que es vol representar. En canvi el croquis ha de seguir unes normes molt més estrictes, i la seva funció és la de representar l’objecte amb la màxima precisió possible.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 4 Dibuixa el perfil, l’alçat i la planta del dibuix següent.
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
El dibuix tècnic té la missió de transmetre informació, com més precisa millor, d’un objecte, perquè la persona que observi el dibuix es pugui fer una idea clara de com és l’objecte. El dibuix artístic, per contra, pretén proporcionar plaer a l’observador del dibuix.
UNITAT 4
Activitat 1 Explica les diferències entre dibuix tècnic i dibuix artístic.
137
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
PÀG.92
Activitat 5 Una habitació que mesura 2 metres d’amplada, en un plànol mesura 4 centímetres. Quant mesurarà de llargada si en el plànol fa 7,2 centímetres? Primer hem de trobar l’escala. mida del dibuix 4cm 4cm 1 = = = =1::50 mida de l'objecte real 2m 200cm 50 Ja sabem que l’escala és 1 : 50. Ara podem trobar la dada que ens falta. 7,2 cm · 50 = 360 cm = 3,6 m La llargada de l’habitació és de 3,6 m.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
7. TECNOLOGIA I HABITATGE
UNITAT 4
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
138
PÀG.93