Aprendizaje significativo en matemática Ms. Ana María Teresa Lucca Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
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13 de Junio de 2011
1. Introducción En el artículo Aprendizaje Significativo hemos analizado las características distintivas del aprendizaje significativo y hemos descrito los requisitos para que éste se produzca. En el campo de la matemática son numerosas las voces que se alzan pregonando un aprendizaje significativo. Para citar algunos ejemplos, •
William Brownell (1947) defiende la enseñanza matemática basada en conceptos y relaciones entre éstos, y cargada de significados prácticos, que conecte la teoría con la práctica. Desde este punto de vista, el alumno tendrá una idea de la estructura total de la disciplina y no la verá como un conglomerado de elementos sin relación.
•
Max Wertheimer (1945; 1959) defiende un aprendizaje significativo frente a un aprendizaje sin sentido o memorístico. Sostiene que si bien muchos alumnos parecen dominar hechos y procedimientos relevantes que les permiten resolver problemas, no comprenden de manera significativa las ideas detrás de estos procedimientos. Para él, el poder del aprendizaje de la matemática se halla en la transferencia de su conocimiento a la hora de resolver problemas.
•
George Katona (1940; 1967) considera que el aprendizaje ha de ser sobre todo significativo en contraposición al aprendizaje mecánico. Se anticipa al aprendizaje por descubrimiento y al aprendizaje significativo que más tarde formularan Bruner y Ausubel.
Como ya hemos indicado en Aprendizaje significativo, Ausubel (1968) considera que el aprendizaje es un proceso de consecución de significados, entendiéndose a esto como la capacidad de establecer vínculos sustantivos y no arbitrarios entre lo que se debe aprender y lo que ya se conoce, presente en la estructura cognitiva del sujeto que aprende. El factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese en consecuencia. (Ausubel, Novak y Hanesian, 1983).
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En este artículo intentaremos reflexionar acerca del aprendizaje significativo en la matemática, analizando las estrategias didácticas aplicables. Pero antes de comenzar haremos un breve recorrido por los aportes de grandes referentes al aprendizaje de la matemática. 2- Algunos aportes teóricos al aprendizaje de la matemática. 2.1. Aportes de Vygotski al aprendizaje de la matemática Los aportes de Lev Vygotski al enunciar su teoría del aprendizaje no estaban expresamente formulados hacia una aplicabilidad en la matemática, sin embargo su conocimiento aporta nuevas perspectivas en este ámbito que, interconectadas con el resto de las teorías cognitivas existentes, enriquecen y proporcionan interesantes visiones acerca de la enseñanza y del aprendizaje de la matemática. Vygotski considera, al igual que Piaget, que los significados se elaboran en interacción con el ambiente conformado por los objetos y personas que rodean al individuo. Para él la adquisición de conocimiento se inicia de manera interpersonal, para luego internalizarse y tornarse así en intrapersonal. En el desarrollo cultural del niño, toda función aparece dos veces: primero a nivel social, y más tarde, a nivel individual; primero entre personas (interpersonal), y después en el interior del propio niño (intrapersonal). Esto puede aplicarse igualmente a la atención voluntaria, a la memoria lógica y a la formación de conceptos. Todas las funciones superiores se originan como relaciones entre seres humanos. (Vygotski, 1978) Así, para Vygotski existen dos niveles de conocimiento en las personas: •
desarrollo efectivo: lo que el sujeto logra hacer sin la ayuda de otras personas o mediadores externos, y
•
desarrollo potencial: lo que el sujeto es capaz de hacer con la ayuda de otras personas o de otros instrumentos mediadores externos.
La diferencia entre estos dos niveles es lo que se conoce como zona de desarrollo potencial o zona de desarrollo próximo1 del sujeto en una determinada tarea concreta. En matemática se ha de comenzar por el nivel de desarrollo efectivo del alumno e ir avanzando a través de su zona de desarrollo potencial, ampliándola y generando nuevas zonas de desarrollo próximo. El aprendizaje de la matemática despierta una serie de procesos evolutivos internos que son capaces de operar sólo en interacción con pares dentro del entorno del aula y en cooperación con ellos. Recientes investigaciones indican que los docentes de matemática deben prestar especial atención a dos aspectos: •
Deben intentar descubrir en qué estado de conocimiento matemático se encuentran sus alumnos antes de emprender nuevos aprendizajes, y de ser preciso prepararlos para recibir e interaccionar con el nuevo conocimiento. Además, debe tenerse presente que
1 Ver para ampliar: Evaluación, avaluación y zonas de desarrollo próximo bajo un enfoque sociocultural
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gran parte del conocimiento matemático previo con que cuenta el alumno proviene de fuera del aula e incluso puede serle totalmente desconocido. •
Deben seleccionar tareas matemáticas que estén situadas en contextos que permitan a los alumnos utilizar esquemas y conocimientos previos de manera significativa.
2.2. Aportes de Bruner al aprendizaje de la matemática Jerome Bruner considera el desarrollo del conocimiento como el dominio de tres sistemas de representación o codificación; cada uno de ellos es el medio a través del cual se codifica el conocimiento y se produce su almacenamiento en la memoria semántica. Estos medios son acciones, imágenes y símbolos a los que Bruner llama representaciones enactivas, icónicas y simbólicas, respectivamente. Los niños en edad de aprender necesitan experiencia en estos modos de representación, y aun cuando los alumnos consiguen comprender las abstracciones continúan utilizando un importante caudal de imágenes almacenadas para resolver problemas. Para Bruner la clave para la comprensión son los conceptos y los principios, pues permiten ir más allá de una situación inmediata. Por un lado el aprendizaje de conceptos brinda al que aprende una estructura de conocimiento que permite comprender el tema más fácilmente, así como recordarlo y aplicarlo. Por otro lado, el aprendizaje de los principios generales contribuye a fomentar el interés del alumno en la temática a desarrollar. Otro de los aspectos en los que se centra el trabajo de Bruner es la motivación en el aprendizaje. Considera fundamental la voluntad para aprender, y para ello es preciso sacar el máximo provecho de las energías naturales o motivaciones intrínsecas de los alumnos, posicionándolas por sobre los premios o recompensas externas utilizadas muchas veces para captar la atención en el aprendizaje. Bruner promueve también el diseño de un curriculum en espiral, a través del cual las ideas significativas son presentadas a los alumnos en un primer momento de aprendizaje de manera que puedan ser comprendidas, y posteriormente son retomadas a través de los años de escolaridad de manera más compleja y progresiva. 2.3. Aportes de Wittrock al aprendizaje de la matemática Merlin Wittrock considera que el aprendizaje es un proceso de descubrimiento, en el que son los propios alumnos quienes deben descubrir relaciones significativas entre experiencias pasadas y la nueva información. Son éstos los que deben asumir la responsabilidad de la actividad cognitiva y producir elaboraciones mentales y transformaciones cognitivas. Deben ser partícipes activos del proceso de aprendizaje, a través de procesos de clasificación, inducción, deducción, y a través de tareas tales como esquematizar, confeccionar resúmenes y elaborar informes. Para Wittrock educar es estimular al que aprende a usar sus propios procesos cognitivos en el acto de aprender. Bajo esta concepción, los profesores deben prestar especial atención a las individualidades presentes en la clase, pues cada alumno tiene sus propias formas de procesar la inforMs. Ana María Teresa Lucca 3
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mación. Por tanto, es preciso implementar estrategias que motiven a todos los estudiantes para provocar verdaderas situaciones de aprendizaje. Cada estilo cognitivo de aprendizaje requiere una atención especial, contemplando tanto a aquellos estudiantes que son independientes, y que por tanto probablemente presentan rasgos individualistas y de autodirección, como a aquellos que son dependientes y que por ende son sensibles al ambiente que los rodea. 3. Aprendizaje significativo en matemática Teniendo presente las visiones de Vygotski, Bruner y Wittrock respecto del aprendizaje de la matemática, es evidente que en todos los casos distinguimos rasgos de una concepción tendiente al aprendizaje significativo. Amerita entonces que recordemos brevemente la definición de aprendizaje significativo. Para ello podemos recurrir a la siguiente tabla que describe la definición, asociándola a sus fundamentos epistemológicos:
DEFINICIÓN DESCRIPTIVA
FUNDAMENTACIÓN EPISTEMOLÓGICA
Es el aprendizaje en que el alumno
sobre la base de actividad interna
desde lo que sabe
preconceptos
y gracias a la manera como el profesor presenta la nueva información
función mediadora
reorganiza
conflicto cognitivo
su conocimiento del mundo,
esquemas cognitivos
pues encuentra nuevas dimensiones,
integración sub y supraordinada
transfiere ese conocimiento a otras situaciones,
funcionalidad cognitiva
descubre el principio y los procesos que lo explican
significatividad lógica
lo que le proporciona una mejora de su capacidad de organización comprensiva
aprender a aprender
para otras experiencias, sucesos, ideas, valores y procesos de pensamiento que va a adquirir escolar o extraescolarmente.
significatividad psicológica
Tabla 1. Doménech Betoret (1999)
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El aprendizaje significativo ocurre en un continuo. Thomas Shuell postula que el aprendizaje ocurre en una serie de fases que revelan complejidades y profundidades progresivas, a saber: Fase inicial
Fase intermedia
Fase final
Hechos o aportes de información que están aislados conceptualmente.
Formación de estructuras a partir de las partes de información aisladas.
Mayor integración de estructuras y esquemas.
Memoriza hechos y usa esquemas preexistentes (aprendizaje por acumulación).
Comprensión más profunda de los contenidos para aplicarlos a situaciones diversas.
El procesamiento es global: ✗escaso conocimiento específico del dominio. Uso de estrategias generales independientes del dominio.
Hay oportunidad para la reflexión y recepción de realimentación sobre la ejecución.
La información adquirida es concreta y vinculada al contexto específico: uso de estrategias de aprendizaje. Ocurre en formas simples de aprendizaje: ✗condicionamiento ✗aprendizaje verbal estrategias mnemónicas gradualmente se va formando una visión globalizada del dominio. Uso del conocimiento previo. Analogías con otro dominio.
Conocimiento más abstracto y puede ser generalizado a varias situaciones (menos dependiente del contexto específico). Uso de estrategias de procedimiento más sofisticadas. Organización.
Mayor control automático en situaciones topdown. Menor control consciente. La ejecución llega a ser automática, inconsciente y sin tanto esfuerzo. El aprendizaje que ocurre en esta fase consiste en: a)acumulación de nuevos hechos a los esquemas preexistentes (dominio). Incremento en los niveles de interrelación entre los elementos de las estructuras. Manejo hábil de estrategias específicas del dominio.
Mapeo cognitivo.
Tabla 2. Álvarez Mejía, D.; Colorado Torres, H.; Ospina Marulana (2010)
La importancia del aprendizaje significativo en la matemática se halla vinculada a la necesidad en esta ciencia de lograr en los alumnos el establecimiento de conocimientos estables que permanezcan en la memoria a largo plazo. Es así que Paulino Murillo Estepa plantea que: Para la matemática este tipo de aprendizaje representa un modo eficaz para lograr que los conocimientos sean aprendidos significativamente en base a las experiencias del alumno, ello significa que antes del aprendizaje de un concepto matemático el docente debe explorar lo que el alumno conoce sobre el tema, solo así determinará si los conocimientos previos le permitirán construir con mayor facilidad los nuevos conocimientos e integrarlos a sus estructuras cognitivas.
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Un aprendizaje significativo debe proporcionar al alumno destrezas para crear y aplicar modelos matemáticos que resuelvan múltiples problemas del contexto en el que se encuentra. Es muy importante que el discurso pedagógico esté fundamentado en la cultura del alumno a fin de suscitar interés por su estudio. Además, los términos utilizados en el discurso deben formar parte del repertorio del alumno para que logre encontrarle sentido. El aprendizaje significativo se prefiere por sobre la memorización de hechos, definiciones y teoremas, así como por sobre la aplicación mecánica de técnicas y procedimientos. Esto no significa descartar de plano estos otros tipos de aprendizaje, pero deben ser complementos del aprendizaje significativo, cuyo eje primordial es la construcción de los significados de los diferentes conceptos matemáticos. Es claro que la adquisición de información es una condición necesaria para el aprendizaje pero no suficiente. Así, nuestros alumnos deben adquirir el vocabulario básico asociado al lenguaje matemático (ángulos, triángulos, etc.) y recordar informaciones numéricas (por ejemplo, las tablas de multiplicar), pero el aprendizaje cuando es significativo también incluye preguntas tales como por qué se clasifican los ángulos de un determinado modo, o por qué se asocia de manera indisoluble la multiplicación con las tablas de multiplicar. La cuestión es plantear situaciones que permitan poner a prueba la información aprendida por repetición pero bajo la necesidad de comprenderla y utilizarla para resolver problemas. Para hacer uso de una información es requisito haber reflexionado acerca de ella de manera consciente de modo de poder transferirla a distintos contextos y con diferentes objetivos. Para ello, la resolución de problemas, por ejemplo, puede constituirse como una estrategia didáctica que posibilite este tipo de procesos, ya sea que se trate de problemas propuestos por el docente o de problemas planteados por los mismos alumnos, con tal de que tengan sentido para ellos y les permitan formular conjeturas, comunicarlas y ponerlas en práctica, para posteriormente formular explícitamente una solución. Otro caso a modo de ejemplo está relacionado con la demostración en matemática. Al respecto, Gila Hanna (1989) asegura que en la aceptación de un teorema, importa más su significado global que la demostración rigurosa del mismo. Por su parte, Tomás Ortega (2004) considera mucho más interesante que la demostración de un teorema su interpretación que hace posible establecer conexiones con la realidad, otorgándole así mayor significado cuanto mayor es el número de relaciones con otros contextos. También fomentar en los alumnos el entender el origen de los errores puede ser un proceso constructivo interesante, pues permite que los alumnos comprendan el significado matemático de una respuesta correcta o incorrecta, y entiendan significativamente el proceso que llevó a determinarla. La evaluación es otro momento del proceso educativo que en general es enfocado hacia el simple acto de obtener una calificación, y no es aprovechado su potencial como identificador de lo que le falta al alumno aun por aprender. Esta visión tan limitada de la evaluación hace que los estudiantes la vean como un instrumento abstracto y desmotivante, que genera situaciones estresantes y fóbicas que en alumnos con problemas de aprendizaje determina actitudes que no favorecen en nada un aprendizaje significativo. Así, para que se produzca un aprendizaje significativo en matemática, no basta con tan solo incorporar los nuevos contenidos a aprender a las redes de significados ya existentes, sino que para que esto se produzca también es condición necesaria que el contenido sea significativo desde su estructura interna, es decir, debe ser claro y coherente, y no debe ser presentado de forma arbitraria y desorganizada. Así mismo es condición también necesaria, que el Ms. Ana María Teresa Lucca 6
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alumno tenga una actitud positiva hacia la matemática y esté motivado a estudiarla. Además, aun cuando el papel central del aprendizaje es jugado por el alumno, el docente es partícipe activo del proceso mediante un manejo fluido y apropiado de estrategias didácticas que permitan que el alumno llegue a ser auto suficiente y responsable de su aprendizaje. 4. Estrategias de enseñanza para un aprendizaje significativo Para lograr que los alumnos alcancen un aprendizaje significativo existen varias estrategias de enseñanza a tener en cuenta. Mencionamos aquí el uso de: •
Objetivos. Los objetivos son enunciados que permiten establecer claramente las condiciones bajo las cuales se realizarán las actividades, el tipo de actividad apropiada para alcanzarlos y la forma de evaluación a implementar a fin de comprobar el aprendizaje del alumno; además, la enunciación explícita de los objetivos a los alumnos puede ser un nexo para generar expectativas en ellos.
•
Resúmenes. El resumen es la síntesis y la abstracción de la información relevante contenida en un discurso oral o escrito, que exige por parte del autor la identificación y extracción de los conceptos, principios y términos claves, así como entender el argumento central del material.
•
Organizadores previos. El organizador previo se utiliza con la finalidad de introducir o contextualizar una información, y es elaborado con el mayor nivel posible de abstracción, generalidad e inclusividad que la información a aprender permita, a fin de convertirse en un puente cognitivo entre la información nueva y la existente en la estructura cognitiva del alumno.
•
Ilustraciones. Las ilustraciones son representaciones visuales de los conceptos o situaciones de una teoría o tema específico. Entran dentro de esta categoría las fotografías, los dibujos, los esquemas, las gráficas, etc.
•
Analogías. Las analogías son proposiciones que indican que una cosa o evento (concreto o familiar) es semejante a otro (desconocido y abstracto o complejo). Permiten clarificar contenidos, tornarlos más visibles, y asociarlos a contenidos previos.
•
Preguntas intercaladas. Las preguntas intercaladas son preguntas insertadas dentro de la situación de enseñanza o presentes en un texto, que persiguen mantener la atención y propiciar la obtención de información relevante.
•
Pistas tipográficas y discursivas. Las pistas tipográficas y discursivas son señalamientos que se hacen en un texto (a modo de paratexto) o en el contexto de la situación de enseñanza para enfatizar y/u organizar elementos relevantes del contenido por aprender.
•
Mapas conceptuales y redes semánticas. Los mapas conceptuales y las redes semánticas son representaciones gráficas de esquemas de conocimiento. Tienen por elementos centrales los conceptos y sus relaciones. En próximos artículos profundizaremos el empleo de esta estrategia en el ámbito de la educación en general y en el contexto particular de la enseñanza de la matemática.
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5. Ejemplos de aprendizaje significativo en matemática Hemos indicado que el uso de contextos que tengan sentido para el alumno y para el conocimiento matemático en cuestión es uno de los puntos claves para el aprendizaje significativo. Esto permite que el alumno transfiera aquello que está aprendiendo a diferentes contextos, además de brindarle competencias con las que contará a lo largo de su vida. Esto sólo puede lograrse si las clases de matemática proporcionan oportunidades reales en las que los alumnos puedan aprender a pensar y razonar mediante el uso de propuestas de aprendizaje tales como la resolución de problemas. Tal es el caso de la experiencia Aprender matemáticas a través del conocimiento del medio, de Dolors Rubirola. Allí alumnos de segundo ciclo de educación primaria trabajaron contenidos matemáticos en su contexto inmediato, su población, de manera que los contenidos son contextualizados en el área de conocimiento del medio social. Esto presenta muchas ventajas, según indica Rubirola: el trabajo interdisciplinario, el trabajo de contenidos matemáticos vinculados a otras disciplinas a partir de contextos conocidos y motivadores, el uso de datos concretos en lugar de usar los presentes en libros de texto que no tienen relación directa con el contexto en el que se desenvuelve el alumno, entre otras. Esto sin lugar a dudas promueve un aprendizaje significativo. Más detalles acerca de esta experiencia y otras también vinculadas a la matemática en el contexto diario pueden encontrarse en la presentación: Educación matemática en contextos de vida cotidiana (2011) Otro ejemplo de aprendizaje significativo en matemática es la representación del espacio físico. Para ello, Callejo y Llopis consideran tres pilares básicos: •
la cultura matemática que envuelve al estudiante: si pertenece a un contexto familiar en el que se lo estimula a pintar, a dibujar, a construir maquetas, y qué tipo de juegos utiliza: rompecabezas, mecanos, etc.
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el espacio físico en el que se mueve: si vive en un contexto rural o urbano, en una región litoral o del interior, en un clima benigno o inhóspito.
•
las características de su personalidad: ligado a su relación con el medio que lo rodea.
La matematización del espacio no se reduce a contemplar el mundo exterior, sino que también se halla vinculada a nuestras maneras de desplazarnos en él y de representarlo. Así, la temática puede perfectamente reunir a docentes de otras disciplinas a fin de generar actividades interdisciplinarias (educación física, danza, dibujo, plástica, geografía), lo que enriquece el aprendizaje al aportar distintas miradas sobre un mismo tema, tornándolo más significativo y motivador. Para trabajar la matematización del espacio Alan Bishop (1987) sugiere dos acercamientos: •
trabajar con planos y con mapas; las formas de representación utilizadas, las modelizaciones posibles y las escalas pueden ser explotadas desde un punto de vista matemático.
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Utilizar la fotografía y el aparato fotográfico en general como una representación intermedia entre la realidad y el mismo dibujo.
A partir de actividades de este tipo se puede emprender el aprendizaje de la geometría a través de sus aspectos más formales: •
las sombras producidas por los rayos del sol permiten trabajar la geometría afin. Ms. Ana María Teresa Lucca
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Las sombras producidas por focos puntuales, según se consideren sobre planos paralelos o no, producen ampliaciones o deformaciones que permiten el estudio de las geometrías de la semejanza y proyectiva.
•
Los espejos corrientes permiten el estudio de la geometría euclidiana.
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Los espejos deformantes nos permiten visiones desde el punto de vista topológico.
Estas actividades motivan a los estudiantes y los incentivan para un aprendizaje significativo de la matemática. Además, en el contexto actual, no podemos dejar de lado distintas herramientas de la web 2.0 que permiten interesantes actividades en este sentido. Puede ser interesante para el lector recorrer alguna de las siguientes experiencias disponibles en el portal conectar igualdad de Argentina: •
Cazando grillos: Enigmas geométricos planteados a partir de una situación de juego.
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Un fenómeno lineal: Esta actividad tiene como objetivo trabajar la problemática de la modelización. Permite además una primera aproximación a las características fundamentales de los fenómenos lineales y de sus formas de representación.
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¿Por qué no se caen los balcones? Al fin matemáticas sin fórmulas : El arquitecto y docente Mario Salvadori explicaba por qué los edificios permanecían de pie sin desplomarse. Lo más interesante es que lo hacía sin desplegar fórmulas terroríficas. La creatividad y la imaginación son las mejores aliadas de la matemática.
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Tour 2010: Este proyecto integra las áreas de Geografía y Matemática a través de la utilización de las TICs como herramientas de productividad.
6. En síntesis Siempre debemos tener presente que para promover un aprendizaje significativo en nuestro alumnos debemos …
Partir del nivel de desarrollo del alumno y de sus aprendizajes previos. Asegurar la construcción de aprendizajes significativos a través de la movilización de sus conocimientos previos y de la memorización comprensiva. Posibilitar que los alumnos realicen aprendizajes significativos por sí solos. Proporcionar situaciones en las que los alumnos deban actualizar sus conocimientos. Proporcionar situaciones de aprendizaje que tengan sentido para los alumnos, con el fin de que resulten motivadoras. Ms. Ana María Teresa Lucca 9
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Proporcionar situaciones de aprendizaje que exijan una intensa actividad mental del alumno que le lleve a reflexionar y justificar sus actuaciones. Promover la interacción en el aula como motor de aprendizaje. Unido a esto, debemos promover metodologías que contemplen las siguientes claves:
Motivación
Interesar a los alumnos con actividades de cátedra, visualización de videos, proyección de diapositivas, actividades de campo, entrevistas a personalidades locales, etc
Diversidad
Variar las técnicas de trabajo, sin olvidar la deducción en las materias lógicas.
Metodología activa
Promover debates y la defensa de distintos puntos de vista siempre fundamentados en aspectos teóricos, bajo un clima de respeto y comprensión. No dejar de lado la exposición magistral, pero haciendo participar a los estudiantes.
Inducción
El método inductivo es una interesante estrategia a ser considerada.
Exposición
Es natural que nuevos conceptos deban ser explicados, con la autoridad que el docente posee, por lo que no debe desecharse en el contexto del aprendizaje significativo, pero no puede ser la metodología exclusiva por excelencia.
Interdisciplinariedad
La universalidad del conocimiento sólo se conseguirá con el enfoque interdisciplinar de los temas que lo ameriten.
Coloquial
Es muy importante cerrar cada unidad de estudio con un coloquio final que permita aclarar dudas y resumir aportes, independientemente de que se hallan o no debatido los contenidos durante su desarrollo.
Teniendo presente estos aspectos se podrá llevar a cabo un proceso de enseñanzaaprendizaje más ajustado a las necesidades de cada alumno, independientemente del campo del saber en el que estemos enfocados. Ana María Teresa Lucca Ms. Ana María Teresa Lucca 10
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Flores Macias, Rosa del Carmen. (??) Problemas de aprendizaje en la adolescencia: Experiencias en el programa alcanzando el éxito en secundaria. UNAM.
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Hernández Pina, F.; Soriano Ayala, E. (1997) La enseñanza de las matemáticas en el primer ciclo de la educación primaria: una experiencia didáctica. EDITUM.
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Ortiz Rodriguez, F. (2006) Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Editorial Pax. México.
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Planas, N.; Alsina, A. (2009) educación matemática y buenas prácticas. Grao.
Bajo el marco del proyecto de investigación: Mapas conceptuales: una herramienta para el aprendizaje significativo en matemática Disp. CyT Nº 020/10 - UNPSJB dirigido por Ms. Ana María Teresa Lucca
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