Mapas conceptuales en educación matemática: un marco posible para la evaluación de los estudiantes.

Traducción libre del Artículo: CONCEPT MAPS IN MATHEMATICS EDUCATION: A POSSIBLE FRAMEWORK FOR STUDENTS’ ASSESSMENT. Huerta, M. Pedro - Galán, Eduardo - Granell, Ramón Departament de Didàctica de la Matemàtica.

Universitat de València.

Mapas conceptuales en educación matemática: un marco posible para la evaluación de los estudiantes Huerta, M. Pedro - Galán, Eduardo - Granell, Ramón Ms. Ana María Teresa Lucca Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco

Mapas conceptuales en educación matemática: un marco posible para la evaluación de los estudiantes por Ms. Ana María Teresa Lucca se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución-No Comercial-No Derivadas 3.0 Unported.

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30 de Septiembre de 2011

1. Introducción Un mapa conceptual es una herramienta utilizada de diversas maneras en diferentes áreas del conocimiento matemático. Sin embargo, existen algunos testimonios que prueban que un mapa conceptual puede también ser una herramienta interesante en educación matemática. Uno de sus atractivos es el uso como instrumento de evaluación, pues permite acceder a la estructura conceptual de los estudiantes de matemática. Tanto su fiabilidad como su validez en evaluación han sido investigadas en el contexto de las ciencias experimentales, y también se han logrado comparaciones con las maneras tradicionales de evaluación a fin de explorar ventajas y desventajas. Sin embargo es poco lo que se conoce en el contexto de la educación matemática. Interesa conocer las ventajas o desventajas de los mapas conceptuales en la evaluación de los estudiantes, qué conocimientos matemáticos pueden evaluarse y cuáles no, y finalmente cómo se pueden analizar los mapas conceptuales de los estudiantes para mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.

Es preciso distinguir entre los mapas conceptuales como herramientas de investigación y los mapas conceptuales como herramientas de evaluación usadas por los docentes en la clase. En este artículo se considera a los mapas conceptuales como herramientas de evaluación del aprendizaje en el aula. Así, se abordará qué es importante saber acerca de los mapas conceptuales en el ámbito de la matemática en relación a la evaluación de los estudiantes con el objeto de juzgar su progreso y tomar decisiones al respecto.

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2. Mapas conceptuales de matemática En general podemos convenir que un mapa conceptual es una representación gráfica conformada por nodos y líneas etiquetadas. Los nodos corresponden a los términos importantes (conocidos como conceptos) de un dominio determinado. Las líneas representan una relación entre un par de conceptos (nodos), mientras que las etiquetas de las líneas indican cómo están relacionados dos conceptos. La combinación de los dos nodos y una línea etiquetada se conoce como proposición, de modo que ésta es la unidad básica de significado en un mapa conceptual y la mínima unidad que puede ser usada para juzgar la validez de la relación representada entre los dos conceptos. Así, si aceptamos esta definición de mapa conceptual, estamos hablando acerca de conceptos y proposiciones en un doble sentido: por un lado conceptos y proposiciones en matemática, y por otro conceptos y proposiciones en mapas conceptuales.

Por tanto, si queremos construir un mapa conceptual de un tema de matemática: 1. debemos decidir qué es un concepto matemático, 2. debemos representarlo en un grafo como nodo, 3. debemos reconocer que algunos conceptos están relacionados con otros, 4. debemos representar esas relaciones que unen un nodo con otro por una línea, y 5. debemos dar significado a la relación entre dos conceptos representada en el grafo a través de las etiquetas en la línea.

Es posible la presencia de variaciones en la apariencia de los mapas conceptuales, pero no en la esencia de lo que éstos representan.

En otras palabras, un mapa conceptual en matemática es un mapa conceptual en un sentido amplio, representando una estructura matemática, un pensamiento en términos de conceptos matemáticos y las relaciones entre los conceptos matemáticos, es decir, proposiciones matemáticas. El término concepto es usado aquí en un sentido amplio que incluye significados a partir de la epistemología, de la fenomenología y de la noción de objeto mental, de la semiótica cuando consideramos la noción de sistemas de signos matemáticos, y del estatus del curriculum escolar. Así, un mapa no es sólo usado en matemática como una definición formal, sino que puede ser también un objeto mental y puede expresar su significado mediante distintos signos (formas, palabras, signos matemáticos y otros) entendiendo, probablemente, diferentes cosas dependiendo de los signos que han sido representados. Finalmente, si tomamos en cuenta que un sistema de signos matemáticos puede ser pensado en más de un estrato, tenemos más de un nivel o plano de representación, lo que convierte a los mapas conceptuales en matemática en una representación multidimensional.

3. Enlaces en mapas conceptuales de matemática En general, el objetivo principal de los mapas conceptuales es representar espacialmente el conocimiento en la mente de las personas. Cuando un profesor o un investigador usan los mapas conceptuales para evaluar el conocimiento de los estudiantes, tienen una expectativa: esperan que exista una similitud entre la representación externa (mapa conceptual) y la representación interna (estructura cognitiva). Así, desde un punto de vista cognitivo, generalmente se acepta que al evaluar el mapa conceptual de un estudiante debe prestarse atención a la representación de las relaciones entre conceptos (los enlaces en el mapa conceptual) Ms. Ana María Teresa Lucca 2

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con el fin de identificar la estructura cognitiva de los estudiantes, pues los conceptos y las relaciones entre ellos tienen diferentes significados dependiendo del esquema individual de cada persona. De este modo, es muy importante identificar cuáles son los enlaces posibles en un mapa conceptual de matemática si se pretende encarar la evaluación de un estudiante a partir de mapas conceptuales.

Los enlaces en los mapas conceptuales de matemática presentan más de una dimensión, y es así que podemos hablar de enlaces en un plano de representación y enlaces entre planos de representación.

3.1. Enlaces en un plano de representación Cuando se representa un mapa conceptual de matemática en un plano de representación, o se está desarrollando esta tarea, podemos identificar los siguientes tipos de enlaces: •

Enlaces directos: son enlaces entre dos conceptos en un solo paso. Podemos considerarlos como enlaces naturales o familiares, porque expresan una relación entre un concepto y sus elementos: El triángulo tiene lados.

Estos enlaces dan una apariencia jerárquica al mapa, pues cada enlace directo produce un nivel jerárquico de relaciones entre conceptos. Más aún, producen cierta linealidad en el sub-mapa en el que son considerados dado que constituyen pasos o secuencias de proposiciones encadenadas: Los lados pueden ser iguales.

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Enlaces indirectos: son enlaces que representan relaciones entre conceptos ubicados en una rama o en un paso del mapa o sub-mapa, pero que no están enlazados directamente: El triángulo puede tener lados iguales.

En relación a los enlaces directos, los enlaces indirectos no son representados usualmente en un mapa conceptual, aun en el caso de mapas construidos por expertos en el tema. La razón de esto no es clara, pero dos causas pueden señalarse como posibles: primero, uno podría considerar que estos enlaces indirectos son evidentes si tenemos en cuenta una secuencia de enlaces directos y, por ello, no es necesaria su representación; en segundo lugar, porque no son naturales como los enlaces directos y uno no piensa en ellos. Por ello, para representar enlaces indirectos en mapas conceptuales es preciso tener alguna competencia en la representación del conocimiento así como reconocer que son necesarios.

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Enlaces cruzados: son enlaces entre conceptos que pertenecen a diferentes partes o sub-mapas de un mapa conceptual general. Estos enlaces dan al mapa una estructura más compleja dado que quiebran la linealidad de las relaciones representadas por los enlaces directos e indirectos. Esta nueva estructura no es lineal sino plana, es decir, bidimensional: Lados iguales implican ángulos iguales.

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3.2. Enlaces entre conceptos en diferentes planos de representación Los elementos de representación pertenecen a diferentes planos de representación. Son conceptos o estructuras conceptuales expresadas en diferentes estratos de un sistema de signos matemáticos. Por tanto, de manera similar a lo que se señaló en el punto anterior, podemos considerar enlaces directos, indirectos y cruzados entre estos elementos en diferentes planos de representación.

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Enlaces directos entre conceptos en diferentes planos de representación: son enlaces entre dos signos, referidos al mismo concepto pero en dos estratos consecutivos de un sistema de signos matemáticos, y se representan en dos planos consecutivos de representación. Son también enlaces naturales que dan al mapa conceptual una estructura tridimensional. Consecuentemente, el objetivo de establecerlos es necesariamente considerar la dirección de lectura de las proposiciones, debido a que si los establecemos o los leemos desde el plano más concreto de representación al más abstracto estamos ante un proceso de abstracción, mientras que si los establecemos o leemos desde un plano más abstracto de representación al más concreto desembocamos en un proceso de concreción o ejemplificación: Abstracción: Los triángulos pertenecen al conjunto T (de los triángulos).

Concreción: El conjunto T (de los triángulos) está conformado por triángulos.

Estas proposiciones son pensadas en el sistema de signos matemáticos en más de un estrato de todos los posibles para pensar acerca de los triángulos. Así, ellos pueden ser representados a través de conceptos en más de un plano de representación por enlaces directos. Estos enlaces directos no solo dan al mapa conceptual una estructura multidimensional sino que también representan un pensamiento más estructurado porque los planos de representación no son aislados.

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Los enlaces indirectos entre conceptos en diferentes planos de representación: son enlaces entre signos que representan los mismos conceptos pero ubicados en planos no consecutivos de representación. Ellos dan una estructura lineal a la representación del conocimiento pensando los mapas conceptuales como un continuo, a partir del plano más concreto de representación al más abstracto y recíprocamente; crean un sub-mapa multidimensional. Por ejemplo, ∆ es un elemento del conjunto T (de los triángulos) es un ejemplo de enlace indirecto entre conceptos en el plano de representación más concreto, expresado por formas y figuras, al más abstracto, donde los conceptos pueden pensarse en términos algebraicos y representarse por signos algebraicos.

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Enlaces cruzados entre conceptos en diferentes planos de representación: son enlaces entre conceptos o signos que representan conceptos que pertenecen tanto a diferentes planos de representación como a diferentes sub-mapas multidimensionales.

3.3. Otros enlaces no relacionados al plano de representación Existen otros enlaces que son muy interesantes de tener en cuenta a la hora de evaluar los aprendizajes de los estudiantes, que se distribuyen en dos grupos: por un lado los enlaces relacionados y por otro aquellos que tienen que ver con la intención de la persona al construir Ms. Ana María Teresa Lucca 4

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el mapa conceptual y establecer un enlace. Así, podemos distinguir entre los siguientes enlaces: •

Enlaces uno a uno. Se refiere a aquellos enlaces que relacionan conceptos con conceptos, grupos de conceptos con grupos de conceptos y estructuras con estructuras; esto es, enlaces entre elementos de representación en una misma categoría.

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Enlaces globales. Son enlaces entre elementos de representación pero no de una misma categoría. Por ejemplo, enlaces entre un concepto y un grupo de conceptos o una estructura, entre una estructura y otra estructura pero en un plano más abstracto de representación.

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Enlaces particulares. Son enlaces en una dirección opuesta a la de los enlaces globales; por ejemplo, enlaces de un grupo de conceptos a un concepto.

Los siguientes enlaces son también importantes: •

Enlaces implícitos. Son enlaces ocultos porque no están explícitamente mencionados en el mapa conceptual como una relación entre dos conceptos. Es muy común ejemplos de este tipo de enlaces en muchos estudiantes cuando representan un concepto y a continuación una relación: “Ángulo convexo” y luego, como si fueran sinónimos, “< 180º”.

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Enlaces explícitos. Podemos llamar enlaces explícitos a aquellos enlaces que los usuarios de mapas conceptuales desean expresar explícitamente. Por ejemplo, el estudiante quiere expresar que ángulo convexo y 180º están relacionados y para ello utiliza un enlace como: Un ángulo convexo mide menos de 180º.

Como puede observarse, un mapa conceptual de matemática es una herramienta importante para obtener información adicional acerca de lo que una persona conoce sobre un tema. Este conocimiento involucra el conocimiento proposicional o declarativo en matemática, es decir, aquel conocimiento que puede expresarse en términos de proposiciones matemáticas por medio de un sistema de símbolos de manera de hacerlo públicamente entendible.

4. Evaluación de matemática mediante mapas conceptuales El término evaluación refleja nuestra convicción de juzgar el conocimiento y las habilidades de un individuo, y requiere la integración de varios elementos de información a fin de tomar decisiones acerca de la enseñanza.

Dependiendo de los estudiantes y de las tareas que les proponemos, la información que puede obtenerse a partir de los mapas conceptuales será útil o no en relación a nuestras intenciones al momento de evaluar. Así, con el fin de obtener información útil acerca del conocimiento declarativo de los estudiantes acerca de un tema de matemática, tenemos que tener en cuenta el grado de competencias de los estudiantes en la construcción de mapas conceptuales de matemática. Por tanto, las tareas van desde un grado de asistencia muy alto a un grado de asistencia bajo por parte del docente. Dependiendo de este grado de asistencia podríamos evaluar diferentes aspectos del conocimiento declarativo en matemática. Una evaluación útil de los estudiantes a través de mapas conceptuales no debe ser considerada en el grado más alto, en donde los estudiantes tienen conceptos y enlaces dados ubicados en un mapa esqueleto. Y, Ms. Ana María Teresa Lucca 5

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en el extremo opuesto del intervalo, si consideramos la evaluación en el nivel de asistencia más bajo, debemos ser conscientes de que la construcción de un mapa conceptual es un proceso muy difícil que necesita tiempo, reflexión, discusión, revisión y acuerdos con uno mismo acerca del conocimiento declarativo de un tema de matemática.

El mapa de un experto o mapa de referencia es necesario cuando alguien quiere evaluar a los estudiantes. El experto debe ser aquí el docente. Existen, al menos, dos razones para ello: primero, los docentes de matemática tiene hecho un análisis fenomenológico previo de la estructura matemática a fin de decidir qué conceptos y proposiciones están siendo representados en el mapa y en qué estrato del sistema de signos matemáticos son representados. Segundo, mientras el docente de matemática está construyendo el mapa de referencia, se da cuenta de qué tipo de conocimiento declarativo evaluará. Cuando este proceso finaliza, el docente de matemática decidirá cómo obtendrá los mapas conceptuales de sus alumnos.

A continuación, se muestran tres ejemplos en los que se usan mapas conceptuales de matemática para evaluar conocimiento declarativo de estudiantes en varios temas de matemática: el concepto de función, el concepto de triangulo y el concepto de probabilidad. Los autores Pedro Huerta, Eduardo Galán y Ramón Granell describen, con la mayor exactitud posible, el objeto de la evaluación, los estudiantes, las intenciones, las tareas tanto de los estudiantes como del docente, el análisis de los mapas conceptuales de los estudiantes y, finalmente, algunas conclusiones relacionadas a la herramienta y la evaluación.

4.1. Primer ejemplo: Evaluación del conocimiento declarativo acerca del concepto de función en estudiantes de edades de entre 15 y 16 años.

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Objetivo de la evaluación: estudiar, analizar y comparar las proposiciones de los estudiantes antes y después de un período de enseñanza organizado acerca del concepto de función.

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Estudiantes: estudiantes de 15 y 16 años de una escuela secundaria pública de España.

No tenían conocimientos previos del concepto de mapas, y nunca les habían enseñado sobre ellos.

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Intenciones: se deseaba evaluar el cambio conceptual en el conocimiento de los estudiantes sobre el concepto “función”. Antes de enseñar, se espera que las respuestas a los ítems sean espontáneas de algún modo. Después de la enseñanza, en contraposición, las respuestas a los ítems deben ser producto del aprendizaje. Los estudiantes comparten estas intenciones. Antes de enseñar, responden los ítems usando su conocimiento acerca de funciones. Después del proceso de enseñanza, responden los ítems usando el conocimiento acerca del concepto de función recientemente estudiado.

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Tareas de los estudiantes: los estudiantes responden ítems del tipo de los de la Tabla 1. Las proposiciones entre dos conceptos establecían si los estudiantes pensaban si dos conceptos están relacionados entre sí. Después de decidir si los conceptos estaban relacionados, ellos escribían un enlace que reflejara la proposición.

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Grado de asistencia en la tarea: medio, puesto que el docente da a los estudiantes los pares de conceptos que ellos deben relacionar, pero no da los enlaces o etiquetas para establecer las proposiciones.

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Ejemplo de ítem: los estudiantes responden ítems como los mostrados en la Tabla 1.

Los otros ítems eran similares en estructura pero no en contenido, pues un concepto a la derecha estaba ubicado en el próximo paso a la izquierda, con el fin de evaluar todos los tipos de enlaces entre dos conceptos por medio de la proposición que los estudiantes escriben. Existían tantos ítems como conceptos elegidos.

Relaciona el concepto de la izquierda con todos los que creas que se relaciona de la derecha, escribiendo una frase que especifique esa relación. Explica en la parte inferior de la página, si lo sabes, por qué has escogido esa frase. y = f(x) Dominio Recorrido Correspondencia Gráfica Función Curva Tabla de valores Relación de dependencia Variable independiente Variable dependiente Explicaciones:

Tabla 1. Extraída del artículo original (Página 9)

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Tareas del docente. Dado que la evaluación depende de los conceptos que el docente ya ha elegido, primero hace un análisis fenomenológico del concepto de función a fin de elegir aquellos conceptos que desea incluir en los ítems de las tareas. No sólo los conceptos sino también los signos con los que ellos serán representados (por ejemplo, palabra función versus signos matemáticos para función analítica y = f(x) ), y si estos signos podrían ser clasificados en más de un estrato del sistema de signos matemáticos que podrían pensarse acerca del concepto de función. Cuando el docente dispone de las respuestas a los ítems, puede disponer las proposiciones en un mapa conceptual para cada estudiante. De este modo, para cada estudiante, el docente tiene un buen contexto en el que negociar los significados de los conceptos y las proposiciones de sus estudiantes, si fuera necesario.

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Análisis cualitativo. Una vez que los estudiantes han entendido la tarea, se listan aquí breves ejemplos de las posibilidades:

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No existe una respuesta a la relación entre dos conceptos. Puede que el estudiante no conozca uno o los dos conceptos o los signos que expresan. Como consecuencia, el estudiante no es capaz de establecer una proposición entre los conceptos. Así, en términos de mapas conceptuales, no existe un enlace entre estos conceptos.

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Los estudiantes conocen los dos conceptos y saben que están relacionados, pero no saben cómo ellos están relacionados uno con el otro y por tanto no son capaces de establecer una proposición entre los dos conceptos. En términos de mapas conceptuales, no existe ningún enlace mencionado entre los dos conceptos.

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Existe una respuesta como relación entre dos conceptos. Esto es, existe un enlace mencionado explícitamente entre los dos conceptos. El estudiante da sentido a los dos conceptos de modo que puede establecer una proposición que los relaciona. Esta proposición permite al docente explorar estos significados, y decidir si son apropiados en relación a varios aspectos: el nivel de entendimiento de los estudiantes, el nivel de enseñanza, entre otros. De lo contrario, el docente tiene el mapa conceptual para negociar significados de los conceptos para nuevas tareas de aprendizaje. De hecho, estas nuevas tareas de aprendizaje dependen de la clasificación de los enlaces realizada por el docente.

4.2. Segundo ejemplo: Evaluación del conocimiento declarativo acerca del concepto de triángulo en estudiantes de profesorado •

Objetivo de la evaluación: evaluar el conocimiento declarativo de los estudiantes acerca del concepto de triángulo y explorar el efecto de diferentes metodologías de enseñanza y diferentes contextos de enseñanza.

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Estudiantes: estudiantes de profesorado de una escuela de magisterio de la Universidad de Valencia que han usado mapas conceptuales en otras áreas distintas de la matemática, pero con muy bajo grado de competencia en su construcción. Han practicado con esta herramienta en clases de matemática representando un mapa conceptual acerca de otro tema diferente al de triángulos.

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Intenciones: el docente utiliza los mapas conceptuales para evaluar la capacidad de los estudiantes en el uso de conceptos pertenecientes a la estructura conceptual de triángulo con el objeto de establecer proposiciones matemáticas. Los estudiantes usaron el mapa conceptual para representar su conocimiento declarativo acerca del concepto de la estructura de un triángulo.

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Tareas de los estudiantes: construyen un mapa conceptual del concepto de triángulo antes del proceso de enseñanza.

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Grado de asistencia en la tarea: mínimo, dado que el estudiante debe construir el mapa conceptual a partir de los conceptos y relaciones entre ellos que tiene en mente, incluyendo la forma de mostrarlos, es decir, la estructura del mapa.

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Tareas del docente: construcción de un mapa conceptual de referencia o experto tanto para organizar la enseñanza como para evaluar a los estudiantes. La colección de mapas de los estudiantes tiene como objetivo evaluarlos en más de un aspecto. Primero, Ms. Ana María Teresa Lucca

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los mapas conceptuales de los estudiantes son evaluados individualmente, como en el primer ejemplo. Segundo, cada mapa conceptual de un estudiante es comparado con el mapa de referencia y también con los mapas conceptuales de los otros estudiantes.

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Evaluación de los mapas conceptuales: cuando se comparan los mapas conceptuales de los estudiantes se los considera como un todo. No se está interesado en comparar la apariencia externa sino en comparar los sub-mapas que tratan de representar algunas estructuras más específicas: propiedades de los triángulos, clases o tipos de triángulos, clasificación de triángulos, etc. De esta manera, se consideran mapas conceptuales de matemática como un mapa conceptual de sub-mapas conceptuales de matemática.

En el contexto en que tiene lugar la evaluación y como resultado del análisis comparativo de los mapas conceptuales, se observa que el entorno CABRI no facilita la mejora del conocimiento declarativo de los estudiantes acerca de la estructura de un triángulo. Los mapas de alumnos que estudiaron con este entorno eran menos estructurados que aquellos de estudiantes que estudiaron la estructura conceptual del triángulo desde una perspectiva tradicional. En ambos casos el docente era el mismo y el contexto bajo el que fue enseñado también. Por menos estructurado se entiende que en esos mapas no podían reconocerse tantos sub-mapas como en el grupo tradicional y que no existen tantos enlaces como en los mapas de estudiantes del grupo tradicional. Sólo una sub-estructura fue representada en común en casi todos los mapas de ambos grupos, la relacionada con la clasificación de triángulos.

4.3. Tercer ejemplo: Evaluación del Conocimiento Declarativo acerca del concepto de probabilidad en estudiantes de profesorado en matemática en un proceso continuo.

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Objetivos de la experiencia: 1. Evaluar las capacidades de los estudiantes para establecer enlaces multidimensionales entre conceptos que pertenecen a la misma sub-estructura conceptual pero expresados por diferentes signos.

2. Evaluar el proceso de mapeo conceptual de manera continua. Consecuentemente, evaluar el cambio conceptual en el concepto de probabilidad a lo largo de este proceso.

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Estudiantes: estudiantes de curso de postgrado de Didáctica de la Matemática. Eran graduados de la Universidad de Valencia, principalmente en matemática. Aprendieron acerca de mapas conceptuales construyendo un mapa conceptual acerca de un tema distinto al de probabilidad.

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Intenciones: el docente usó los mapas conceptuales para evaluar el conocimiento declarativo de los estudiantes sobre probabilidad. Este conocimiento puede ser expresado en más de un estrato del sistema de signos matemáticos en los que puede considerarse el tema. Así, el docente desea evaluar este conocimiento en más de una representación plana para el mapa conceptual. Los estudiantes usaron los mapas conceptuales para representar su conocimiento acerca de la estructura conceptual de probabilidad en cada plano posible de representación y entre planos de representación.

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Tareas de los estudiantes: primero, cada estudiante construye un mapa conceptual acerca de probabilidad sin instrucción previa. Después, cada estudiante construye una sucesión de mapas conceptuales cada vez usando conceptos de una sucesión de conMs. Ana María Teresa Lucca 9

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juntos de conceptos que fueron provistos por el docente. Finalmente, el docente pide a cada estudiante la construcción de un mapa conceptual con todos los mapas conceptuales construidos hasta el momento.

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Grado de asistencia en la tarea: el grado fue variable: mínimo al inicio del proceso, medio durante el proceso y mínimo la final del proceso.

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Tareas del docente: construcción de un mapa conceptual multidimensional acerca de la estructura conceptual de probabilidad. Selección del conjunto de conceptos que serán provistos al estudiante en cada etapa del proceso. Recolección de los mapas conceptuales de los estudiantes en cada etapa, fotocopiado de los mismos y devolución a los estudiantes para continuar el proceso. Así, el docente dispone de una sucesión de mapas conceptuales de los estudiantes para evaluar a cada estudiante en más de un aspecto.

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Evaluación de la sucesión de mapas conceptuales: como es de suponerse, este proceso encuentra al docente con una gran cantidad de información acerca del conocimiento de los estudiantes, no sólo acerca de la cantidad de conocimiento sino también acerca de cómo los estudiantes lo usan para representarlo por medio de conceptos y enlaces entre conceptos. Además, los estudiantes hacen metacognición durante el proceso. Cuando se considera la ubicación de un concepto en el mapa, los estudiantes negocian con ellos mismos el significado de los conceptos, decidiendo si incluirlos o no en el mapa, y de hacerlo, establecer los enlaces con el resto de los conceptos. Esto es, los estudiantes piensan acerca del rol de un concepto en el mapa conceptual en su relación con los restantes conceptos.

En este sentido, la evaluación de un estudiante es un proceso que puede describirse como sigue: Supongamos que Mij es un mapa conceptual matemático construido por un estudiante, para un i y j. Aquí con i indicamos el plano de representación y por j indicamos la fase del proceso. Así, podemos evaluar a los estudiantes mediante una sucesión de mapas conceptuales matemáticos Mij, haciendo varios análisis comparativos: Para cada (i, j), análisis del Mij. Análisis de Mij en relación a Mi,(j-1).

Si i > j, análisis del M(i+1), j en relación a Mij. El primer análisis evalúa el conocimiento declarativo de un estudiante en más de un momento de su evaluación global. Para cada estrato del sistema de signos matemáticos, el segundo análisis evalúa el cambio conceptual en los estudiantes como resultado de la introducción de un nuevo conjunto de conceptos en el mapa conceptual previo.

Finalmente, si en el proceso de evaluación tenemos en cuenta más de un estrato en el sistema de signos matemáticos, el tercer análisis evalúa la abstracción de los estudiantes o capacidad de concreción, dependiendo de la dirección de los enlaces: abstracción si el enlace va del plano i al plano i + 1, concreción o ejemplificación si el enlace va del plano i + 1 al plano i.

5. Conclusiones En clases de matemática, la evaluación de los estudiantes es tradicional y se basa en evaluar competencias en la resolución de problemas sobre un tema particular y en evaluar Ms. Ana María Teresa Lucca 10

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procesos matemáticos tales como definiciones, clasificaciones y pruebas o demostraciones.

Así, probablemente, evaluamos a los estudiantes en otras formas de conocimiento distintas del conocimiento declarativo. En realidad, si coincidimos con esto, no estamos hablando de una evaluación sumativa sino de una formativa.

Evaluar conocimiento declarativo cuando este conocimiento se usa en la resolución de problemas o en procesos matemáticos puede ser difícil si las tareas de evaluación no hacen que este conocimiento emerja. En este sentido, los autores consideran que los mapas conceptuales de matemática son una buena herramienta para este objetivo. Además, para ellos, la evaluación de un estudiante en matemática debe contemplar la evaluación de competencias en la resolución de problemas, en procesos matemáticos y en el conocimiento declarativo.

A partir de los ejemplos mostrados aquí pueden extraerse algunas conclusiones.

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En general, la información brindada por los mapas conceptuales de matemática es muy abundante, principalmente la información cualitativa. Podríamos también considerar información cuantitativa, pero, desde el punto de vista de los autores, un tratamiento cuantitativo de la información a partir de mapas conceptuales no es apropiado del todo, dado que los mapas representan un proceso de entendimiento de conceptos matemáticos y de proposiciones matemáticas y, además, son idiosincrásicos. Y precisamente porque son idiosincrásicos, la conclusión de la evaluación de los estudiantes no puede ser más que local y restringida a cada estudiante. Así, para cada estudiante a lo largo de los mapas conceptuales de matemática podemos identificar conceptos erróneos, equivocaciones, significados variables y así siguiendo, tanto en conceptos como en proposiciones y también buenos conceptos, buenos entendimientos y apreciaciones significativas, entre otros, que dejan ver al docente un aprendizaje en sus estudiantes.

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Si tenemos una noción de los mapas conceptuales de matemática independiente de su arquitectura o apariencia externa podemos evaluar a los estudiantes en diferentes niveles de aprendizaje. Para ello, necesitamos considerar la noción de estrato en un sistema de signos matemáticos que puede expresar el conocimiento declarativo en matemática y no necesariamente el nivel de competencia en la construcción de mapas conceptuales de matemática. De acuerdo a un grado alto de competencia en la construcción de mapas conceptuales de matemática los estudiantes serán más capaces de una profunda metacognición, representando entonces estructuras significativas y sub-estructuras por medio de mapas y sub-mapas enlazados, mostrando de esta manera su conocimiento declarativo acerca de un tema matemático particular.

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Cuando se propone a algunos docentes de matemática de nivel secundario el uso de esta herramienta para evaluar a sus estudiantes en un tema particular, coinciden en que, mientras sus estudiantes están involucrados en la construcción de mapas conceptuales, hacen más matemática que en un período normal de clase. En realidad, los estudiantes tratan de representar de alguna manera lo que ellos saben acerca de los conceptos y las relaciones entre conceptos pertenecientes a una estructura conceptual matemática particular.

Ana María Teresa Lucca

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Referencias bibliográficas •

Huerta, M. Pedro - Galán, Eduardo - Granell, Ramón. Concept Maps In Mathematics Education: A Possible Framework For Students’ Assessment. Departament de Didàctica de la Matemàtica. Universitat de València. Disponible en línea en: http://www.icme-organisers.dk/tsg27/papers/06_Huerta_et_al_fullpaper.pdf

Bajo el marco del proyecto de investigación: Mapas conceptuales: una herramienta para el aprendizaje significativo en matemática Disp. CyT Nº 020/10 - UNPSJB dirigido por Ms. Ana María Teresa Lucca

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