CHAPITRE 1
ThÊorème des rÊsidus et applications InspirÊ de [?]
1. Fonctions mĂŠromorphes et sĂŠries de Laurent 1.1. ZĂŠros et pĂ´les. Proposition 1.1. soit U un ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nĂŠcessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut ĂŞtre prolongĂŠe en z0 par continuitĂŠ et dans ce cas, le prolongement vĂŠri e fËœ ∈ H (U). z0 est une singularitĂŠ ĂŠliminable ou
arti cielle (2)
(3)
Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en z0 en une fonction holomorphe sur U . On dit dans ce cas que z0 est un pĂ´le de n f , d'ordre m, le plus petit entier n tel que (z − z0 ) f (z) se prolonge en fonction holomorphe. l'image de tout voisinage ĂŠpointĂŠ de z0 est dense dans C. On dit dans ce cas que z0 est une singularitĂŠ essentielle de f .
z0 n'est pas une singularitĂŠ essentielle, alors il existe z0 + z0 , dont l'image n'est pas dense dans C, alors on peut ∗ trouver a ∈ C et r > 0 tels que a + Dr et f (z0 + D ) sont disjoints. Dans ce cas 1 ∗ |f (z) − a| ≼ r pour z ∈ z0 + D . Donc z 7→ f (z)−a est holomorphe sur z0 + D ∗ et DĂŠmonstration. Si
D ∗ ,
voisinage ĂŠpointĂŠ de
1 r . D'après le thĂŠorème (??), on peut donc la prolonger en une fonction holomorphe sur z0 +D . Il existe donc m ≼ 0 et φ ∈ H (z0 + D ), telle que φ (z0 ) 6= 0 bornĂŠe par
et pour lesquels on a :
1 f (z) − a
m
(z − z0 ) φ (z)
=
(z−z0 )−m 1 avec φ(z) φ holomorphe au voisinage de dans un des deux premiers cas suivant que m = 0 ou m 6= 0. d'oĂš
f (z) = a +
Fig. 1. SingularitĂŠ essentielle
1
z0 .
On se retrouve