Theoreme de Residue

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CHAPITRE 1

ThÊorème des rÊsidus et applications InspirÊ de [?]

1. Fonctions mĂŠromorphes et sĂŠries de Laurent 1.1. ZĂŠros et pĂ´les. Proposition 1.1. soit U un ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nĂŠcessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut ĂŞtre prolongĂŠe en z0 par continuitĂŠ et dans ce cas, le prolongement vĂŠri e fËœ ∈ H (U). z0 est une singularitĂŠ ĂŠliminable ou

arti cielle (2)

(3)

Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en z0 en une fonction holomorphe sur U . On dit dans ce cas que z0 est un pĂ´le de n f , d'ordre m, le plus petit entier n tel que (z − z0 ) f (z) se prolonge en fonction holomorphe. l'image de tout voisinage ĂŠpointĂŠ de z0 est dense dans C. On dit dans ce cas que z0 est une singularitĂŠ essentielle de f .

z0 n'est pas une singularitĂŠ essentielle, alors il existe z0 + z0 , dont l'image n'est pas dense dans C, alors on peut ∗ trouver a ∈ C et r > 0 tels que a + Dr et f (z0 + D ) sont disjoints. Dans ce cas 1 ∗ |f (z) − a| ≼ r pour z ∈ z0 + D . Donc z 7→ f (z)−a est holomorphe sur z0 + D ∗ et DĂŠmonstration. Si

D ∗ ,

voisinage ĂŠpointĂŠ de

1 r . D'après le thĂŠorème (??), on peut donc la prolonger en une fonction holomorphe sur z0 +D . Il existe donc m ≼ 0 et φ ∈ H (z0 + D ), telle que φ (z0 ) 6= 0 bornĂŠe par

et pour lesquels on a :

1 f (z) − a

m

(z − z0 ) φ (z)

=

(z−z0 )−m 1 avec φ(z) φ holomorphe au voisinage de dans un des deux premiers cas suivant que m = 0 ou m 6= 0. d'oĂš

f (z) = a +

Fig. 1. SingularitĂŠ essentielle

1

z0 .

On se retrouve

1. FONCTIONS MÉROMORPHES ET SÉRIES DE LAURENT

2

a−1 , a−2 , ..., a−m dont l'un a−i 1≤i≤m (z−z0 )i se prolonge en z0 en une

Remark 1.2. Dans le cas ii) il existe des complexes

au moins est non nul, tel que fonction holomorphe sur

f (z) −

P

â„Ś.

Example 1.3. la fonction

1

f : z 7→ e z

admet une singularitĂŠ essentielle en

z = 0. D ∗ = {z, 0n< |z| < } est dĂŠcrit par les o sin t cos t z = re , (r, t) ∈ ]0, [Ă—[0, 2Ď€[. Montrons que f (D ∗ ) = Z = e r e−i r , (r, t) ∈ ]0, [ Ă— [0, 2Ď€[ = DĂŠmonstration. Le disque ĂŠpointĂŠ

it

C.

Etant donnĂŠ

Z = Ď eiθ ∈ C∗ ,

on doit trouver

(r, t)

tels que

cos t r

Ď

= e

θ

= −

sin t r

qui a pour solution

− 21 2 (ln Ď ) + θ2 − 12 2 = θ (ln Ď ) + θ2

r

=

sin t

Les sÊries de Laurent sont une gÊnÊralisation des sÊries entières. On appelle couronne de centre

0

et de rayons

Cr,R La couronne de centre

z0 ,

et

R

l'ensemble

= {z ∈ C, r < |z| < R}

rayons

z0 + Cr,R

r

r

et

R

est alors

= {z ∈ C, r < |z − z0 | < R}

1.2. SĂŠries de Laurent. Theorem 1.4. (Laurent) Soient z0 ∈ C et deux rĂŠels 0 < r < R. Toute fonction f ∈ H (z0 + Cr,R ) admet dans la couronne z0 + Cr,R , un dĂŠveloppement en sĂŠrie,

dite

sĂŠrie de Laurent

f (z0 + h)

=

X

ck hn

n∈Z

avec, pour tout Ď âˆˆ ]r, R[ Z cn

= z0 +CĎ

f (z)

n+1 dz

(z − z0 )

DĂŠmonstration. On pose g (z) = f (z + z0 ) et on dĂŠmontre le thĂŠorème pour g ∈ H (Cr,R ) et z0 = 0. Soit C = Cr,R et h ∈ C . ConsidĂŠrons une couronne C 0 = Cr0 ,R0 , contenant h et dont l'adhĂŠrence est incluse dans C (0 < r < r0 < |h| < R0 < R). On peut alors ĂŠcrire la formule de Cauchy sur le lacet Îł constituĂŠ du 0 0 cercle Cr 0 parcouru dans le sens direct, de la portion de rayon i [r , R ] joignant Cr 0 et CR0 du cercle CR0 parcouru dans le sens indirect et de la mĂŞme portion de rayon 0 0 parcourue en sens inverse i [R , r ] (voir g 2). Ce lacet est homotope au point h dans C , on peut donc lui appliquer la formule de Cauchy (??) et il vient : Z Z 1 g (z) 1 g (Z) g (h) = − dz + dZ 2iĎ€ Cr0 z − h 2iĎ€ CR0 Z − h

1. FONCTIONS MÉROMORPHES ET SÉRIES DE LAURENT

Fig. 2. les couronnes

Pour

z ∈ Cr0

et

Z ∈ CR0

et

Cr0 ,R0

et un lacet

γ

homotope à

h.

r0 = |z| < |h| < |Z| = R0 donc hz < 1. On en déduit entière suivant pour z au voisinage de 0, valable dans le

on a

le développement en série domaine

Cr,R

3

r0 < |h| 1 z−h

1 h 1 − hz X zn = − hn+1 = −

n≥0

tandis que pour pour

h

h

<1 Z

Z ∈ CR0 , on a 0, dans le

au voisinage de

donc le développement suivant est valable

domaine

1 Z −h

= =

|h| < R0

:

1 Z 1 − Zh X hn Z n+1

n≥0

En regroupant ces deux développements, et en utilisant la convergence dominée pour permuter somme et intégrale, on obtient

Z X g (z) z n X g (Z) hn dz + dZ n+1 n+1 Cr0 n≥0 h CR0 n≥0 Z X Z X 1 Z g (Z) n−1 g (z) z dz + hn dZ n n+1 h Cr 0 CR 0 Z n≥1 n≥0 Z X X Z g (z) g (Z) hn dz + hn dZ n+1 n+1 Cr 0 z CR 0 Z n≤−1 n≥0 Z X X Z g (Z) g (z) hn dz + hn dZ n+1 n+1 Cρ z Cρ Z Z

2iπg (h)

= = = =

n≤−1

n≥0

cn est une intégrale qui peut r < ρ < R, et ceci grâce au théorème homotopes dans z0 + Cr,R .

d'où le résultat annoncé. L'expression du coe cient être prise sur n'importe quel cercle

Cρ

avec

de Cauchy, puisque tous ces cercles sont

1. FONCTIONS MÉROMORPHES ET SÉRIES DE LAURENT

Remark 1.5. le développement de Laurent de la fonction

r0

toutes valeurs de

et

R0

f

r < r0 < |h| < R0 < R.

pourvu que

4

est convergent pour

Donc la couronne de

convergence de la série de Laurent est (au moins) la couronne

z0 + Cr,R .

Example 1.6. 1

f (z) = e z

(1) Développer en série de Laurent

f (z) =

n

(Réponse :

f (z) =

n

n≥0

(−1)

(3) Développer en série de Laurent

z = −2 f (z)

=

f (z) =

z = 0

2n

f (z) = (z − 3) sin

1 z+2

au voisinage de

(Réponse :

(z − 3)

X

1

n

(−1)

n≥0

=

z = 0 (Réponse :

z−sin z au voisinage de z3 z ∗ (2n+3)! dans C )

(2) Développer en série de Laurent

P

au voisinage de

C∗ )

z n≤0 (−n)! dans

P

((z + 2) − 5)

X

2n+1

(z + 2)

(2n + 1)! 1

n

(−1)

2n+1

(z + 2)

(2n + 1)! X 1 1 n n = (−1) −5 (−1) 2n 2n+1 (z + 2) (2n + 1)! (z + 2) (2n + 1)! n≥0 n≥0 X p = cp (z + 2) n≥0

X

p≤0

avec

cp =

 p  (−1) 2

(p+1)!

 5(−1)

p+1 2

p!

si

p = 2n

si

p = 2n + 1

. Développement valable dans

C\

{−2} 1.3. Fonctions méromorphes. Definition 1.7. Soit

U

l'ensemble ( ni ou non) des

un ouvert, et

pôles

de

f

f ∈ H (U \ S) où S = {zi , i ∈ I} ⊂ U est f est méromorphe sur U .

. On dit alors que

Remark 1.8. Un fonction méromorphe sur un ouvert

U tout s ∈ S.

entier, à moins de dé nir un point à l'in ni

∞

U

tel que

n'est pas dé nie sur

f (s) = ∞

pour tout

Definition 1.9. Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert U . Soit s ∈ U P n f (z) = n∈Z cn (z − s) le développement en série de Laurent de f au voisinage de s. On pose

et

Ress

(f )

= c−1

P f

au point s. n ns 6n<0 cn (z − s) s'appelle du développement. Comme s est un pôle de

que l'on appelle résidu de La série tronquée

singulière

la partie principale f,

ou

partie

la partie principale est

constituée d'un nombre ni de termes, et plus précisément de

ns

termes, où

ns

est

l'ordre du pôle. Proposition 1.10.

soit U un domaine, f ∈ H (U) non identiquement nulle, et f0 f , appelé résidu logarithmique de f

z ∈ Z (f ). Alors z est un zéro d'ordre Resz en z

z0 ∈ Z (f ) un zéro de f . Comme f n'est pas nulle sur m f (z) = (z − z0 ) φ (z) où φ ∈ H (U) et φ (z0 ) 6= 0. Un 0 φ0 f φ0 m f (z) = z−z0 + φ (z) où φ est holomorphe sur U . D'où

Démonstration. Soit

U

il existe

m≥0

tel que

calcul élémentaire donne le résultat.

2. THÉORĂˆME DES RÉSIDUS

5

2. ThĂŠorème des rĂŠsidus Theorem 2.1. (rĂŠsidus) soit U un ouvert et S un ensemble ni de U . Soit f ∈ H (U \ S). Soit Îł un lacet continu et C 1 par morceaux, Ă valeurs dans U \ S et homotope Ă un point dans U . Alors Z X f = 2iĎ€ Inds (Îł) Ă— Ress (f )

Îł

s∈S

s ∈ S . Le dĂŠveloppement en sĂŠrie de Laurent de f

DĂŠmonstration. soit

un disque

s + Dr∗ ⊂ U

dans

peut s'ĂŠcrire :

f (z)

X

=

n

as,n (z − s)

n∈Z dont la partie singulière est

n

P

Ďƒs (z) =

ns 6n<0

as,n (z − s)

(nombre ni de termes).

Soit

= f−

g

X

Ďƒs

s∈S

U \S

C'est une fonction holomorphe sur gularitĂŠ en

s ∈ S.

qui, par construction n'a pas de sin-

R U, s∈S Îł Ďƒs .

On peut donc la prolonger en une fonction holomorphe sur

R

et lui appliquer le thÊorème de Cauchy :

g = 0, Îł

d'oĂš on tire

R

f = Îł

P

Évaluons chacune des intÊgrales

Z

Z Ďƒs

X

=

Îł

n

as,n (z − s)

Îł n 6n<0 s

=

Z

X

n

(z − s) dz

as,n Îł

ns 6n<0

Z

−1

(z − s)

= as,−1

dz

Îł

=

n

(z − s) , n 6= −1 n (z − s) dz = 0, n 6= −1. Îł

puisque toutes les fonctions vĂŠri ent donc

R

2iπ × Ress (f ) × Inds (γ) admettent une primitive

Remark 2.2. Le thÊorème des rÊsidus peut s'Êtendre au cas ou

fermĂŠ (pas nĂŠcessairement ni), par exemple,

(z−s)n+1 et n+1

S = Z.

S

est discret et

Dans la pratique, cet aspect

est rarement utilisÊ. On peut formuler di Êremment les hypothèses du thÊorème en supposant

U

simplement connexe. L'hypothèse γ homotope à un point devient alors inutile. Certains auteurs dÊmontrent le thÊorème des rÊsidus sous des hypothèses (sur

Îł ) lĂŠgèrement di ĂŠrentes U de frontière ∂U = Îł

(et plus faibles) : soit continue et

C1

K

un compact rĂŠgulier inclus dans

par morceaux. Dans ce cas

Îł

n'est pas

nĂŠcessairement homotope Ă un point, ni mĂŞme un lacet. Par exemple si couronne

DR \ Dr ,

avec

R > r,

R 2Ď€

Îł

est la rĂŠunion des deux cercles

K

CR

dt avec a > 1, en utilisant la fonction 0 a+sin t C1 et le thÊorème des rÊsidus.

Example 2.3. Calculer

2 z 2 +2iaz−1 , le cercle

alors

et

est la

−Cr

f (z) =

3. APPLICATION AU CALCUL DE QUELQUES INTÉGRALES

f sont z0 = i f en z0 est

√

Les pôles de le résidu de

a2 − 1 − a ∈ D1

(f )

Resz0

et

z1 =

1 z0

∈ / D1 .

6

D'autre part,

lim (z − z0 ) f (z)

=

z→z0

2z0 +1 i = −√ 2 a −1 =

l'intégrale de

f

sur

C1

z02

s'écrit

Z

2π

Z f

=

C1

0

dt a + sin t

Le théorème des résidus donne alors

Z 0

2π

dt a + sin t

=

2iπ × Resz0 (f )

=

√

2π a2 − 1

Proposition 2.4. (calcul pratique des résidus) soient U un ouvert et f et g deux fonctions méromorphes sur U , et soit z0 ∈ U . (1) si z0 est un pôle simple de f alors Resz0 (f ) = limz→z0 (z − z0 ) f (z)

(2)

si z0 est un pôle d'ordre k de f alors Resz0 (f ) = limz→z0

(3)

si z0 est un pôle simple de

f g

alors Resz0

f g

=

dk−1 dxk−1

(z−z0 )k (k−1)! f

(z)

f (z0 ) g 0 (z0 )

Démonstration. immédiat 3. Application au calcul de quelques intégrales

inspiré de [?] 3.1. Quelques lemmes de Jordan. Ces lemmes ne sont pas à connaître

impérativement, mais il faut savoir les redémontrer à la demande. Notez que le deuxième lemme est d'une démonstration un peu plus délicate (à connaître) que les trois autres. Les deux premiers concernent le voisinage de l'in ni, les deux autres le voisinage de l'origine. Lemma 3.1. (Premier lemme de Jordan) Soit f une fonction méromorphe dans le secteur θ1 ≤ θ ≤ θ2 véri ant

lim

|z|→+∞

zf (z)

=

0

=

0

et γR : t ∈ [θ1 , θ2 ] 7→ Reit . Alors Z lim

R→+∞

f γR

R

Démonstration. par majoration directe :

f ≤ (θ2 − θ1 ) R×supγR |f | γR

Lemma 3.2. (Deuxième lemme de Jordan) Soit f une fonction méromorphe dans demi plan Iz > 0 véri ant

lim

|z|→+∞

f (z)

=

0

3. APPLICATION AU CALCUL DE QUELQUES INTÉGRALES

7

et soit ΓR : t ∈ [0, π] 7→ Reit . Alors Z

f (z) eiz dz

lim

R→+∞

=

0

ΓR

Démonstration. par une majoration un peu plus ne :

Z

ΓR

f (z) e dz

π

Z

=

f Re exp (iR (cos t + i sin t)) iRe dt

0 Z π

exp (iR (cos t + i sin t)) ieit dt ≤ R × sup |f | × ΓR 0 Z π ≤ R × sup |f | × e−R sin t dt

iz

it

ΓR

Rπ

it

0

π 2

e−R sin t dt = 2 0 e−R sin t dt et sur le segment 0, π2 , on a sin t ≥ 2t π d'où la 0 R π −R sin t π et le résultat s'en déduit en utilisant l'hypothèse sur majoration e dt ≤ R 0 le comportement de f à l'in ni.

Or

R

Lemma 3.3. (Troisième lemme de Jordan) Soit f une fonction méromorphe au voisinage de l'origine et possédant un pôle simple à l'origine. Soit Γr : t ∈ [θ1 , θ2 ] 7→ reit . Alors

Z lim

r→0

f

= i (θ2 − θ1 ) × Res0 (f )

Γr

f peut s'écrire f (z) = az + g (z) où g est holomorphe au voisinage de l'origine et a = Res0 (f ). Donc Z Z Z a dz + g f = Γr Γr Γr z

R

R a

un calcul élémentaire montre que dz = ai (θ2 − θ1 ) et Γr g ≤ 2πr ×supΓr |g|. Γr z Comme g est holomorphe, elle est bornée au voisinage de l'origine et le résultat s'en déduit. Démonstration.

Lemma 3.4. (Quatrième lemme de Jordan) Soit f une fonction méromorphe au voisinage de l'origine et véri ant. Soit γr : t ∈ [θ1 , θ2 ] 7→ reit un arc de cercle. Alors

Z lim

r→0 Démonstration.

f

=

0

γr

R

γr f ≤ (θ1 − θ2 ) r × supγr |f |,

le résultat s'en déduit.

R 2π I = 0 R (cos t, sin t) dt. En posant z = eit , 1 1 dz sin t = 2i z − z1 , ainsi que on a cos t = 2 z + z et iz = dt. En posant f (z) = R 1 1 1 1 1 on se ramène à I = f , que l'on calcule par le théoiz R 2 z + z , 2i z − z C1 3.2. Intégrales de la forme

1

rème des résidus. Example 3.5.

I (a) =

f (z)

R 2π 0

a dt, a2 +sin2 t

=

1 iz a2 −

1 4

=

1 iz a +

1 2

= −

(z 2

a

est un réel positif. On pose

a z−

1 2 z

z−

1 z

a

a−

1 2

z−

1 z

4iaz + 2az − 1) (z 2 − 2az − 1)

3. APPLICATION AU CALCUL DE QUELQUES INTÉGRALES

les pôles de et

z3

f

8

√ √ z0 = − z11 = −a + a2 + 1 et z2 = − z13 = a + a2 + 1. disque unité donc I (a) = 2iπ (Resz0 (f ) + Resz3 (f ))

sont

sont dans le

I (a)

3.3. Intégrales de la forme

√

=

I=

Seuls

z0

2π a2 + 1

R +∞

P (x) dx. On suppose que −∞ Q(x)

Q n'a pas de

racine réelle. L'intégrale est convergente si et seulement si (critère de Riemann)

deg P + 2.

On a donc

P (z) Q(z) et considérer le lacet it cercle paramétré par t ∈ [0, π] 7→ Re Poser

deg Q ≥

P (z) lim|z|→∞ z Q(z) =0

f (z) =

γR = [−R, R] ∪ ΓR

où

ΓR

est le demi

RR R f = ΓR f + −R f (x) dx = γ R P 2iπ Ia>0 Resa (f ). On somme les résidus de tous les pôles de f intérieurs à γR . Donc, lorsque R est assez grand, on prend en compte tous les pôles de f dont la On applique le théorème des résidus à l'intégrale

R

partie imaginaire est positive. La première des deux intégrales tend vers La deuxième tend vers

I

lorsque

R

0 lorsque R +∞.

tend vers

+∞. (voir 3.1)

tend vers

R +∞ I (a, b) = −∞ (x2 +a2dx )(x2 +b2 ) qui converge pour toute valeur de 1 a et b. On pose donc f (z) = (z2 +a2 )(z2 +b2 ) qui a pour pôles ia, −ia, ib, −ib. Prenons a > 0 et b > 0. les deux seuls pôles à prendre en compte sont donc ia et ib, et les 1 1 résidus sont : Resia (f ) = 2i(b2 −a2 )a et par symétrie Resib (f ) = 2i(a2 −b2 )b . On en Example 3.6.

déduit la valeur de

I (a, b)

=

π ab (a + b) R +∞

xp 1+xn dx. n, p ∈ N. Cette inté0 grale est convergente (critère de Riemann) si et seulement si n ≥ p + 2. On prend iπ zp n le premier pôle de f . On choisit un lacet γ f (z) = 1+z n , soit a = e R qui délimite 3.4. Intégrales de la forme

0 de rayon R ΓR = Reit , 0 ≤ t ≤ 2π n

un secteur de disque centré sur exemple, avec

I (n, p) =

γR

=

et ne contenant que le pôle

[0, R] ∪ ΓR ∪ a2 R, 0

α.

Par

3. APPLICATION AU CALCUL DE QUELQUES INTÉGRALES

9

on applique le thÊorème des rÊsidus

R

Z 2iπ Resι (f )

=

Z

Z

f+ 0

f+

f [a2 R,0]

ΓR

p+1

p

(f ) = naan−1 = a n RR lim f = I (n, p) est l'intĂŠgrale cherchĂŠe. R→∞ 0 R f tend vers zĂŠro quand R tend vers +∞ (voir ΓR

ResÎą

3.1).

La dernière intÊgrale s'Êcrit, en paramÊtrant le segment

a2 t, 0 ≤ t ≤ R

par

Îł (t) =

:

Z f [a2 R,0]

qui tend vers

2 a R, 0

−a2(p+1) I (n, p) 2iĎ€

R

a2p tp dt 2n n 0 1+a t Z R tp 2(p+1) = −a dt n 0 1+t = −a2

Z

R tend vers +∞. Et on = 1 − a2(p+1) I (n, p)

quand

ap+1 n

obtient

et en n

I (n, p)

= =

2iĎ€ ap+1 n 1 − a2(p+1) 2i Ď€ n ap+1 − a−(p+1)

= sin 3.5. IntĂŠgrales de Fourier

lynĂ´mes,

a

est rĂŠel. On remarque

Ď€ n (p+1)Ď€ n

R +∞ P (x) iax I (a) = −∞ Q(x) e dx. P et Q sont des que I (−a) = I (a), on se limitera donc au

pocas

a > 0. Cas oĂš

Q

ne s'annule pas sur l'axe rĂŠel. Cette intĂŠgrale est convergente (mais

non absolument convergente) si et seulement si La convergence de l'intĂŠgrale en

Z

+∞

0

P (x) iax e dx Q (x)

=

Âąâˆž

deg Q ≼ deg P + 1

R Z 1 P (x) iax 1 R P 0 Q − P Q0 e − (x) eiax dx ia Q (x) ia 0 Q2 0

P 0 Q−P Q0 a son terme dominant de degrĂŠ DegP Q2 l'absolue convergence de l'intĂŠgrale.

− DegQ − 1 ≤ −2

or

On considère le lacet fonction

f (z) =

P (z) iaz . Q(z) e

en e et :

s'ĂŠtablit par une intĂŠgration par parties :

ÎłR = [−R, R] âˆŞ ΓR Les rĂŠsidus de f dans

Reit , 0 ≤ t ≤ π et la demi-plan Iz > 0 Êtant calculÊs,

oĂš le

ΓR =

ce qui assure

3. APPLICATION AU CALCUL DE QUELQUES INTÉGRALES

10

on utilise le théorème des résidus et le lemme de Jordan (3.2) montre que l'intégrale de

f

sur

ΓR

r

tend vers zéro quand

I (a)

tend vers

X

=

+∞.

Resz

Donc

(f )

Iz>0 Cas où

Q

admet un zéro sur l'axe réel. On choisit un chemin d'intégration qui

contourne le zéro et on utilise le troisième lemme de Jordan (3.3).

Example 3.7. Calculer

la partie imaginaire de

R +∞

I= ix

e −∞ x

Il n'y a pas de pôle de

f

R +∞ −∞

dx,

sin x x dx . On remarque tout d'abord que

I

est

que l'on va calculer à l'aide du lacet suivant :

intérieur au lacet. Les lemmes de Jordan (3.2) et (3.3)

fournissent alors

I 3.6. Intégrales de Fresnel

R +∞ 0

= π cos x2 dx

et

R +∞ 0

sin x2 dx.

Voir (??)

P (x) (ln x)n Q(x) xα dx. On suppose que 0 est un polynôme qui ne s'annule pas sur R+ . Cette intégrale

3.7. Intégrales de la forme

n ∈ N, a ∈ R, et que Q converge en +∞ si et seulement et seulement si a < 1, soit

si

In (a) =

R +∞

1 + Deg (P ) − Deg (Q) < a

1 + Deg (P ) − Deg (Q) < a < 1

et converge en

0

si

3. APPLICATION AU CALCUL DE QUELQUES INTÉGRALES

11

ou

+ + ∪[R, r]∪Cr− ∪[r, R] où CR désigne γr,R = CR le cercle CR parcouru dans le sens direct. On suppose que r est su samment petit et R su samment grand pour que les zéros de Q soient dans l'intérieur du lacet. P (z) (Log(z))p Notons tout d'abord que pour tout p entier, φ (z) = véri e Q(z) za

P (z) (|ln r + 2π|)p

φ (z) ≤

Q (z)

ra−1 pour tout z sur le cercle Cr . Donc Le chemin d'intégration est le lacet

lim zφ (z)

=

|z|→0

lim

|z|→+∞

zφ (z) = 0

et on peut appliquer les lemmes de Jordan (3.1) et (3.4) à sur les cercles

CR

et

Cr

tendent vers zéro lorsque

R

φ

et les intégrales de

tend vers l'in ni et

r

φ

tend vers

zéro. Cas où

a

est entier. le terme

za

In =

R +∞ 0

P (x) Q(x)

n

(ln x) dx,

on pose

f (z) que l'on intègre sur

2iπ

P

les

Ik , k ≤ n

z∈C Resz .

(f ).

j=e

P (z) n+1 (ln z) Q (z)

=

γr,R puis on passe à la limite et on obtient n+1

(ln x)

Les termes en

2iπ 3

et

Resj

R +∞

I2 =

Example 3.8. Calculer

pôles sont

Q (z). In (a) : l'intégrale est de la forme

peut être intégré à

On établit une relation de récurrence entre les

j2 = e

4iπ 3

0

(ln x)2 1+x+x2 dx. Posons

√ 8π 3 3 81

et Resj 2

(f ) =

∞

0

3

3

(ln x) − (ln x + 2iπ) dx 1 + x + x2

f (z) =

√ 64π 3 3 81

Donc

Z

= iπ 4

√ 112 3 81

c'est à dire

2

3

−6iπI2 + 12π I1 + 8iπ I0 On calcule

I0 puis I1 selon I0

= iπ

4 112

le même procédé, et on trouve :

=

0

P (x) Q(x)

n+1

(ln x)

√ 2π 3 , I1 = 0 9

et

I2 =

√

81

√ 16π 3 3 243

3

n+1

− (ln x + 2iπ)

s'annulent et il reste une relation entre

avec les résidus :

= −

(f )

R +∞

(ln z)3 1+z+z 2 dont les

dx =

3. APPLICATION AU CALCUL DE QUELQUES INTÉGRALES

Cas où

a

12

n'est pas entier. Dans ce cas on pose

n

P (z) (Logz) Q (z) z a obtient par intégration sur le lacet γr,R : Z ∞ n n X P (x) (ln x) (ln x + 2iπ) − dx = iπ Q (x) xa xa e2iπa 0 f (z)

et on

=

Resz

(f )

z ∈[0,∞[ /

qui va également fournir une relation de récurrence.

I0 (a) = ln x (1+x2 )xa dx

Example 3.9. Calculer

I1 (a) =

valeur de

(1) On pose

R∞ 0

(2) Posons

0

dx (1+x2 )xa ,

−1 < a < 1

1 1 1+z 2 z a , les pôles sont

i et −i. πa S0 = e−iπa sin 2 1 − e−2iπa = 2iπe−iπa sin πa 2 π I0 (a) = 2 cos πa 2

f0 (z) =

et on trouve

R∞

I0

f1 (z) =

1 1+z 2

Logz

za

dont les pôles sont

et en déduire la

La somme des résidus est

i et −i. La somme des résidus

est

2iπS1

=

iπa iπ 2 iπa e 2 − 3e− 2 −iπa 2e

Les calculs rondement menés devraient conduire à

π2 πa = − tan 4 2 R 1 P (x) forme I = dx. 0 Q(x) I1

3.8. Intégrales de la

Definition 3.10. On appelle

Res∞

(f ),

le résidu en

0

résidu à l'in ni

de la fonction

z 7→

d'une fonction

f

et on note

f( 1 ) − uu2

+ On suppose que Q ne s'annule pas sur [0, 1] et on prend le lacet γr,R = CR ∪ π π − + − γr ∪[ir, 1 + ir]∪(1 − γr )∪[1 − ir, −ir] où γr désigne le demi-cercle t ∈ − 2 , 2 7→ −reit ,

4. APPLICATION AU CALCUL DE LA SOMME DE QUELQUES SÉRIES

P (z) z Q(z) Log z−1 . Sachant que

f (z) = Z f+

et la fonction

Z

Z f+ γr−

+ CR

13

Z

Z

+

+

[ir,1+ir]

f

=

1−γr+

[1−ir,−ir]

X

2iπ

Resz

(f )

z∈C\[0,1]

On démontrera sur

γr

et

−γr limr→0

γr−

f = limr→0

R

1−γr+

f =0

[ir, 1 + ir] et [1 − ir, −ir], le logarithme véri e : limr→0

que sur les chemins

2iπ

R

Log

puis

Z lim

f+

r→∞

en posant Res∞

!

Z f

[ir,1+ir]

=

2iπI

[1−ir,−ir]

R f( 1 ) (f ) = Res0 − uu2 , montrer ensuite que limR→∞ C + f = R

2iπ × Res∞ (f ), en déduire la valeur de

X

= −Res∞ (f ) −

I

Resz

(f )

z∈C\[0,1]

3.9. Intégrales de la forme

Rb

P (x) dx, a Q(x)(b−x)α (x−a)1−α

a < b.

4. Application au calcul de la somme de quelques séries

de sommets

N+

1 2

P

n∈Z f (n). Dans ce paragraphe ΓN désigne le carré a avec a ∈ {±1 ± i} et KN son intérieur (au sens du théorème

4.1. Séries de la forme

de Jordan). Proposition 4.1. Soit f une fonction méromorphe sur C, dont les pôles P (f ) ne sont pas entiers. Supposons que f véri e

|f (z)|

K

≤

k

|z|

avec k > 1, sur le carré ΓN . Alors X

f (n)

= −

n∈Z

X

Resz (f ) × π cot πz

z∈C

Démonstration.

(1) L'hypothèse sur (2)

Z

|f (z)|

implique que la série converge.

est l'ensemble des pôles de la fonction

g (z)

z 7→ cot πz .

Soit alors

= πf (z) cot πz

Par division euclidienne, on calcule les premiers termes du développement

1 πz πz + 3 + . . . Si P (f ) étant π -périodique, les premiers termes du dé-

en série de Laurent au voisinage de ne rencontre pas

Z, cot

veloppement de Laurent de

cotau

0

de

cot πz =

voisinage de zéro, montrent que pour

z ∈ C, ( Resz

(g)

=

Resz

f (z)

(f ) × π cot πz

si si

z∈ /Z z∈Z

x+ir 1−x−ir

− Log

x−ir 1−x+ir

4. APPLICATION AU CALCUL DE LA SOMME DE QUELQUES SÉRIES

(3) Donc

P

n∈Z sur un lacet

ΓN

f (n) est une Îł bien choisi.

somme de rĂŠsidus, c'est Ă dire l'intĂŠgrale

14

R Îł

g

En l'occurrence on prend comme lacet le carrĂŠ

et on peut Êcrire le thÊorème des rÊsidus :

Z g

(1)

=

X

2iπ

ΓN

X

f (n) + 2iπ

Resz

(f ) × π cot πz

z∈KN

|n|6N

z 7→ cot πz est bornÊe indÊpendamment de ΓN : pour tout complexe z = x + iy , on a la

(4) On montre que la fonction

N

sur les cotĂŠs du carrĂŠ

majoration

|cot πz|

(2)

≤ coth π |y|

en e et :

iĎ€xâˆ’Ď€y

e + e−iĎ€x+Ď€y

|cot Ď€z| = iĎ€xâˆ’Ď€y e − e−iĎ€x+Ď€y

iĎ€xâˆ’Ď€y −iĎ€x+Ď€y

e

+ e

≤ iĎ€xâˆ’Ď€y −iĎ€x+Ď€y ||e | − |e || eĎ€y + eâˆ’Ď€y = |coth Ď€y| ≤ |eĎ€y − eâˆ’Ď€y | |y| ≼ |cot Ď€z| ≤ coth Ď€2 .

(a) Sur les cotĂŠs horizontaux du carrĂŠ, on a sante sur

[0, +∞[

donc

1 2 et

|coth|

z = Âą N + 12 + iy

1

|cot πz| = cot ¹ N + π + iyπ

2 = |tan πiy|

(b) Sur les cotĂŠs verticaux du carrĂŠ

est dĂŠcrois-

par consĂŠquent

tanh π |y|

= donc

|y| ≼ 21 , on a la majoration (2) et donc |cot Ď€z| ≤ coth Ď€2 , et 1 Ď€ Ď€ pour |y| ≤ , on a |cot Ď€z| ≤ tanh 2 2 ≤ coth 2 (car tanh est croissante sur [0, +∞[)

pour

(c) Finalement, pour tout (5) L'intĂŠgrale

R

Z

ΓN

avec

ΓN

g

k − 1 > 0,

g

tend vers

z ∈ ΓN , |cot Ď€z| ≤ coth Ď€2 . 0

lorsque

N

tend vers l'in ni :

1 ≤ 8 N+ Ă— Ď€ Ă— sup |g| 2 ΓN Ď€ 1 Ă— Ď€ Ă— coth Ă— sup |f | ≤ 8 N+ 2 2 ΓN 1 K Ď€ ≤ 8 N+ Ă— Ď€ Ă— coth Ă— sup k 2 2 ΓN |z| 8KĎ€ coth Ď€2 ≤ k−1 N + 12 d'oĂš le rĂŠsultat, avec (1).

Example 4.2.

f (z) =

1 z 2 +a2 ,

f

ia

(1) Les pĂ´les de

sont

et

(2) La somme des rĂŠsidus de

a > 0, a ∈ / Z.

On pose

g (z) =

π cot πz z 2 +a2 .

−ia. f

en

z = Âąia

est

R = − Ď€a coth Ď€a

et

5. AUTRES APPLICATIONS DU THÉORÈME DES RÉSIDUS

(3) On a

1 ˛ 1 ˛ |z|2 ˛˛1+ a2 ˛˛ z2 4 (z)| 6 3|z| 2

|f (z)| 6

majoration

|f

6

1 ˛ 1 ˛ , donc pour |z|2 ˛˛1−| a |2 ˛˛ z

|z| > 2a

15

on obtient la

(4) nalement

1 π = coth πa n2 + a2 a n∈Z P n forme n∈Z (−1) f (n). X

4.2. Séries de la

Proposition 4.3. Soit f une fonction méromorphe sur C, dont les pôles P (f ) ne sont pas entiers. Supposons que f véri e

|f (z)|

≤

K k

|z|

avec k > 1, sur le carré ΓN . Alors X

n

(−1) f (n)

= −

n∈Z

X

π

Resz (f )

z∈P (f )

sin πz

1 sin πz . On écrit exactement la même démonstration que pour le théorème (4.3), avec la fonction Démonstration.

Z est l'ensemble des pôles de la fonction z 7→ g (z)

=

π f (z) sin πz

1 sin πz est bornée indépendamment de cotés du carré ΓN et le résultat s'en déduit.

On montre que la fonction Pour

z = x + iy

z 7→

z

sur les

sur les cotés verticaux du carré :

1 |sin πz| Pour

N

=

1 ≤1 cosh πy

sur les cotés horizontaux,

1 |sin πz|

≤

1 ≤1 sinh N + 21 π

a ∈ R \ Z la somme X (−1)n S = 2 (n + a) n∈Z

Example 4.4. calculer, pour

Réponse :

S=

de la série double :

π 2 cos πa sin2 πa

5. Autres applications du théorème des résidus

Le théorème des résidus n'a pas que des applications calculatoires . Certains des théorèmes démontrés ici ont déjà été démontrés précédemment. L'intérêt est ici d'en proposer une autre démonstration, en général plus simple. Ce chapitre est en grande partie inspiré de [?] On montrera ici plusieurs théorèmes qui se déduisent en cascade : principe de l'argument qui entraîne le théorème de Rouché amène le théorème de d'Alembert sur le nombre de zéros d'un polynôme et le théorème de l'image ouverte Le principe du maximum (cf ()), en n, qui peut se démontrer très simplement à partir du théorème de l'image ouverte.

5. AUTRES APPLICATIONS DU THÉORĂˆME DES RÉSIDUS

16

Proposition 5.1. (principe de l'argument) soient U un ouvert simplement connexe, f une fonction mĂŠromorphe dans U , Îł un lacet simple, continu et C 1 par morceaux ne contenant ni zĂŠro, ni pĂ´le de f 1. Soit Z le nombre de zĂŠros et P le nombre de pĂ´les de f , dans l 'intĂŠrieur dĂŠlimitĂŠ par Îł , comptĂŠs avec leur ordre de multiplicitĂŠ. Dans ces conditions, on a

Z −P

Z

1 2iπ

=

Îł+

f0 f

ZÎł (f ) et PÎł (f ) l'ensemble des zĂŠros et des pĂ´les de s ∈ ZÎł (f ), le rĂŠsidu f0 P (f ) si et seulement en s de f est l'ordre du zĂŠro s. Un complexe p est dans Îł 0 0 (1/f ) f 1 , c'est donc un pĂ´le d'ordre Resp = − Resp si c'est un zĂŠro de f (1/f ) f . R 0 f0 f 1 On peut appliquer le thĂŠorème des rĂŠsidus Ă f sur Îł et on obtient 2iĎ€ Îł + f = P P 0 f0 + p∈PÎł (f ) Resp − ff = Z − P z∈ZÎł (f ) Resz f DĂŠmonstration. On note

f

intĂŠrieurs au lacet

Îł.

La proposition (1.10) montre que pour

Remark 5.2. Parfois on trouve cet ĂŠnoncĂŠ sous la forme :

domaine tel que

D⊂U

et de frontière

Definition 5.3. le rĂŠsidu de

point

a

Îł = ∂U

f0 f en

a

continue et

s'appelle

C1

U

D

domaine,

un

par morceaux....

rĂŠsidu logarithmique

de

f

au

.

Theorem 5.4. (RouchĂŠ) Soit U un ouvert, f et g sont deux fonctions holomorphes dans U et Îł un lacet continu et C 1 par morceaux, homotope Ă un point dans U . On suppose que |g (z)| < |f (z)| pour tout z ∈ Îł . Alors f et f + g possèdent le mĂŞme nombre de zĂŠros dans le domaine intĂŠrieur Ă Îł .

t ∈ [0, 1], soit φt = f + (1 − t) g et h (t) = car φt ne s'annule pas sur Îł . En e et

DĂŠmonstration. pour

h

La fonction

est continue

|φt (z)|

≼

|f (z)| − |1 − t| |g (z)|

≼

|f (z)| − |g (z)|

1 2iπ

R

φ0t . γ φt

> 0 or

h

est Ă valeurs dans

de zĂŠros dans Int (Îł)de

Z donc h est constante f + g mais aussi de f .

donc

h (0) = h (1)

et c'est le nombre

Corollary 5.5. (d'Alembert) un polynĂ´me complexe de degrĂŠ n admet exactement n racines dans C.

P (z) = an z n + Q (z) oĂš an 6= 0 et Q est un polynĂ´me de degrĂŠ deg Q ≤ n − 1. Pour tout R > 0, le polynĂ´me P est holomorphe dans DR . n Comme deg Q < n, on peut, choisir R tel que |Q (z)| < |an z | sur CR . Donc P et 1 n an z ont le mĂŞme nombre de zĂŠros dans DR . Il su t alors de prendre R > |an | n pour obtenir le rĂŠsultat. DĂŠmonstration. soit

Theorem 5.6. (de l'image ouverte) soit U un domaine et f ∈ H (U). Si f n'est pas constante, alors f (U) est un domaine. DĂŠmonstration.

(1) 1

dans

U

est connexe,

f

est continue, donc

On peut aussi prendre pour hypothèse :

â„Ś, Îł

un lacet continu et

un point dans

â„Ś.

C1

â„Ś

f (U)

est connexe.

un ouvert connexe,

f

une fonction mĂŠromorphe

par morceaux ne contenant ni zĂŠro, ni pĂ´le de

f,

et homotope Ă

5. AUTRES APPLICATIONS DU THÉORÈME DES RÉSIDUS

(2)

17

V = f (U) est ouvert : soit b ∈ V, et a ∈ U un antécédent de b = f (a). Comme f n'est pas la fonction nulle, constante, il existe un voisinage a + Dr ⊂ U de a sur lequel f (z) 6= b (sinon, on construit une suite zn qui converge vers a et telle que f (zn ) = b et par le théorème du prolongement analytique, f est constante et vaut b). Soit m = minz∈a+Dr |f (z) − f (a)|, qui est strictement positif. Montrons que la boule b + Dm est incluse dans V . Soit Z ∈ b + Dm alors |Z − b| < m et m ≤ |f (z) − b| sur a + Dr . On peut donc appliquer le théorème de Rouché dans a+Dr , à F (z) = f (z)−b et à la fonction constante G (z) = b−Z . Donc F et F +G on même nombre de zéros dans a + Dr , c'est à dire un et un seul.

Corollary 5.7. (principe du maximum) soit U un domaine et f ∈ H (U). Si |f | atteint un maximum local en un point de U alors f est constante.

|f | atteint son maximum en z0 alors f (U) est un voisinage f (U) contient un point y = f (z) tel que |y| > |y0 |. C'est

Démonstration. si

de

y0 = f (z0 ).

absurde.

Donc

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