A finite difference scheme for elliptic interface problem with implicit jump conditions by menez

Mathematical Computation December 2013, Volume 2, Issue 4, PP.81-89

A finite Difference Scheme for Elliptic Interface Problem with Implicit Jump Conditions JianJun Xu# School of Mathematical and Computational Science, Xiangtan University, Xiangtan, Hunan 411105, China #Email: jjxu21@xtu.edu.cn

Abstract In this paper, the immersed interface method in the literature for solving elliptic interface problems in 2D was extended to the situation when the interface and jumps were implicitly given by the data on the grid points in a neighborhood of the interface. It was convenient when the interface was implicitly captured by level-set function. The formulations of the original immersed interface method have been modified for this implicit setting, including the interface jump relations, the algebraic equations to determine the coefficients of the finite difference scheme at irregular grid points and the correction terms. Particularly, the interface quantities and their derivatives along the interface were calculated by using standard quadratic Lagrange interpolation, avoiding the interface reconstruction by means of a spline function, and leading to relatively easy implementation. Second order accuracy was achieved in maximum norm, as demonstrated by numerical examples. Keywords: Elliptic Interface Problem; Immersed Interface Method; Level-Set Function; Finite Difference Method; Lagrange Interpolation

一种求解有交界面的椭圆型方程的隐式间断条件差分格式 徐建军湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411105 摘

要：本文将文献中的求解二维的有交界面的椭圆型方程的浸入界面方法推广到界面及间断条件都由定义在界面某个

邻域的网格函数点上的函数隐式提供的情形，给出了一种间断条件捕捉格式。它特别适合于隐式界面跟踪法如水平集方法。对原浸入界面方法中的界面间断关系，确定不规则点差分格式的系数的代数方程组和修正项都针对新的情形进行了相应的修正。该格式利用标准的二阶拉格朗日插值计算间断函数沿界面的导数，避免了文献中的用样条函数的局部界面重构，易于执行。数值计算验证了该法的关于最大模的二阶收敛性。关键词：有交界面的椭圆型方程；浸入界面方法；水平集函数；差分方法；拉格朗日插值

引言不同物质的交界面是许多应用科学（如流体力学）研究问题中的常见现象。由于物流量在穿过交界面时有间断，因此在设计计算格式时就必须对交界面附近的网格点做特殊处理。C.Peskin([10,11])最早在计算模拟心脏血液流动时提出了浸入边界方法(immersed boundary method)，其思想是通过一个 Dirac 函数将界面间断条件作为一种奇异界面力包含在控制方程中，在数值计算时将 Dirac 函数正则化，标准的差分或有限元就可用来离散控制方程。但该方法只有一阶精度（例如[7]）。为了改进 Peskin 的浸入边界方法的精度，LeVeque 和 Li[6]提出了浸入界面方法(Immersed Interface Method， 湖南省教育厅项目(10A117,10C1264)，湘潭大学项目(10QDZ45)

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一下简称 IIM)。它的思想是对紧邻界面的网格点设计特殊的计算格式将界面间断条件包括其中。数值计算和理论分析都表明，IIM 可取得二阶精度（例如[7]）。IIM 已经被有效地许多交界面问题的计算，如 Hele-Shaw 流体[4]，磁流体[5]，有表面活性剂流体[13,14]，等等。考虑有交界面的椭圆型方程：   (u)  u  f

(1)其中   0,   0,        ， 

在  中,

为交界面（见图 1）。

图 1

在界面上 u 及流函数 

u 满足一定的间断条件。 n

文[6,7]中假定间断条件是在界面上显式地给出。具体执行时需要构造界面的样条函数表达式。在实际计算中，如果用水平集函数（例如见[9,12]）隐式地表示交界面时，那么界面的物理量（如界面的曲率，表面张力等）通常是由界面的某个邻域中的网格点上的数据隐式地给出。基于此，本文假定间断条件是由包含交界面的网格点上的数据隐式地给出。即存在两个定义在界面的某个邻域中的光滑函数 w( x, y) ，

v( x, y) 使得  u  ,    v  (2)  n  其中记号  p  表示 p 在界面处的间断，即  p  p   p  ， p  是指 p 在界面处  边的极限值， p  是指 p 在界

u   w



面处  边的极限值。 n 是界面的外法向（即 n 指向  ）。间断函数 w( x, y) 、 v( x, y) 在界面的某个邻域上有定义的已知光滑函数。不失一般性，我们规定 u 在界面上的值为 u  ，即 u 在    上是连续的。该问题中  , f 也允许有间断，假设    ,  f  已知，此外还需加上适当的外边界条件，例如 Dirichlet 型，Neumanu 型或 Robin 型边界条件。本文对原浸入界面方法中的界面间断关系，确定不规则点差分格式的系数的代数方程组和修正项都针对新的情形进行了相应的修正。使用标准的拉格朗日插值来计算间断函数沿曲面的导数时，易于执行且能保证计算精度。避免了[6,7]中交界面的样条重构。这种间断条件隐式表示式与虚拟点法(Ghost Fluid Method)（例如[8]）有相似之处。但是在虚拟点法中，界面间断条件被加到与界面紧邻的网格点上（而不是精确地在界面上）。同时虚拟点法需要知道解沿界面切线方向的导数的间断信息，但在实际问题中由于它们无法知道而不得不在差分格式中被忽略，影响了精度。另外关于求解界面问题的有限元方法和间断 Galerkin 方法，参见[1,7,15]以及那里的参考文献。本文余下部分安排如下。第二节引进界面投影点处的局部坐标系，推导界面间断关系。在不规则点处的差分格式的构造在第三节给出。在推导界面间断关系和差分格式时，我们利用了隐式间断条件（2），对文[6,7] 中相关的表示式做了相应的修改。第四节给出数值算例验证算法的二阶精度。

局部坐标变换及界面间断关系我们假定交界面是由一个水平集函数  ( x, y) 隐式地表示：   ( x, y) :  ( x, y)  0 。记 - 82 www.ivypub.org/MC

  ( x, y) :  ( x, y)  0 ，   ( x, y) :  ( x, y)  0 。水平集方法的一个优点是界面的几何量可以容易地通过水平集函数来计算。如果面的法向量 n 和曲率  可通过水平集函数表示： n

 ,   n , 

(3)

在这种定义下圆形界面的曲率是正的。为了建立差分格式我们对区域  采取一致网格剖分：

xi  a  ih, y j  c  jh, i  0,1,2,

, m, j  0,1,2,

, n,

现在通过水平集函数将网格点分成两类，记 i , j   ( xi , y j ) ，如果

max(i , j ,i 1, j ,i 1, j ,i , j 1 ,i , j 1 )  0 且 max(i , j ,i 1, j ,i 1, j ,i , j 1 ,i , j 1 )  0

(4)

则称 ( xi , y j ) 为不规则点，其余的网格点称为规则点。浸入界面方法的目的是在每个网格点处建立如下的差分方程： ns

 ij uij  fij  cij ,  ru l i i , j  j l

l 1

(5)

在规则点处通过用标准五点差分格式( ns  5 )可得到二阶截断误差：

ui 1, j  ui , j ui , j  ui 1, j 1   1   i  1 , j  i , j h  2 h h 2

ui , j 1  ui , j ui , j  ui , j 1      1    i , j  1    ij uij  fij i, j  h h 2 2   

(6)

此时(5)中的 ci , j  0 。但是在不规则点处由于五点差分格式中的五点分布在界面的两边，解在界面上有间断，所以上述五点差分格式将会导致大的截断误差。在不规则点处需要建立构造特别的差分格式，使得其截断误差为 O(h) 。

1.1 界面投影点和局部坐标变换对于每个不规则点 x  ( xi , y j ) 首先寻找它的如下形式的在界面上的投影点 *

x  x n ,

(7)

 

其中 n   ( x)  ( x) 。因为投影点 x 在  上，所以  ( x   n)  0 ，忽略  x 在 x 处泰勒展式中的高阶无穷 *

小量 O( 3 ) 可得 1 2

 ( x)    ( x)   2 (n He( ( x))n)  0 ,

(8)

其中 He( ) 是关于  的 Hessian 矩阵，如下：

 xx He( )     yx

xy  .  yy  *

通过求解上述关于  的一个一元二次方程，得到投影点 x  ( xi* , y*j ) 。 *

下面在投影点处建立新的坐标系 o 。 轴正方向是界面  在投影点 x 处的法线方向 n  (n1* , n2* )T ， 轴 *

正方向是其切线方向   (n2* , n1* )T 。有如下的坐标变换公式 * * * *     ( x  xi )n1  ( y  y j )n2 , (9)  * * * *    ( x  xi )n2  ( y  y j )n1 . 在新坐标系 o 下，理论上界面  可以用参数方程    ( ) 来表示，并且有  (0)  0 ,  '(0)  0 ,

 1  '  , 。  1   '2 1   '2    不难得到对任一函数 p( x, y)  p( x( , ), y( , ))  p( , ) ，有

 ''(0)   , n  

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 p     p 

 px   p A  ,   p y   p

p   p 

 pxx A  pxy

pxy  T A , pyy 

(10)

其中 AT  (n , * ) 。为简便起见仍保持新坐标系下的函数 u, v, w,  记号不变，如仍用 u( , ) 表示 u( x( , ), y( , )) 。

1.2 2.2 界面间断关系下面推导界面间断关系，它们在构造不规则点的差分格式中起关键作用。由(2)可知界面上局部地在投影 *

点 x 附近有如下得到间断关系：

u   u



 u   w(  ( ), ) ,

(11)

  (u  u  ')    (u  u  ')  v( ( ), ) 1   '2 .

(12)

将(11)两边同时关于  求导可得

u   ' u   w  ' w ,

(13)

u  u  w .

(14)

因为  '(0)  0 所以在投影点处再将(13)式两边同时关于  求导并将  '(0)  0 代入可得在投影点处 u   u   ''  w  w  '' .

(15)

将  '(0)  0 代入(12)式整理后可得在投影点处 u 

  v u   .  

(16)

结合(15)、(16)式可知在投影点处   u  u  (1 

  v )u  ''   '' w  w  '' .  

再将(12)两边同时关于  求导并结合(14)、(15)可得在投影点处  v v          u         u   u  1     '' u      w  ''            

(17)

(18)

注意椭圆型方程(1)在正交变换下形式不变，所以在新坐标系下仍有

 u   u   u   u  u  f  0 , 故有

 u    u   u    u    u   f   u   u  u   u   u   f  , 而

 u     u   (     )u     u    u     u     w ,

所以在投影点处                              v u   u     1 u         1     ''  u  u                        u   w   f   v  ''   w   w  ''  w       *  综上所述，令    ，则在每个投影点 x 有如下的界面间断关系：  

u   u   w, u  u  w , u  u 

u  u  (1   )u  ''



 '' (w  w  ''),

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(19)

 v v     u         u   u  (  ''  '')u      w  ''  ,             u   u  (   1)u         (1   )  ''  u     u            u   w   f   v  ''. v        w  ( w  w  '')       

(20)

不规则点处差分格式的构造

不规则点处差分格式中采用九点格式，即(5)中 ns  9 。这九点为  xi i1 , y j  j1  ，记在新坐标系下这九点为

 ,  l  1, l

,9, i1 , j1  1,0,1 ，则在不规则点处的截断误差 Tij 可表示为 9

Tij   ru (l ,l )  ij uij  fij  cij ， l

(21)

l 1

其中系数 rl 和修正项 cij 待定。现在我们将上式中的每一项在投影点（新坐标系为(0,0)）处泰勒展开 1 1  u (l ,l )  u   l u  l u  l2u  ll u  l2u  O (h 3 ) . 2 2

(22)

将(22)代入(21)可得：

Tij  a1u   a2u   a3u  a4u  a5u  a6u  a7u  a8u

(23)

 a9 u  a10 u  a11u  a12u  ij uij  f ij  cij  O(h3 ). 引进记号 K  , K  : K   {l : (l ,l )  }, K   {l : (l ,l )   }.

则上述的 a j 表示： a1   rl ,

a2   rl ,

a3   l rl ,

a5   l rl ,

a6   l rl ,

a7 

l K 

l K

a9 

l K 



l K

1 2  l rl , 2 l K 

a10 



1 2  l rl , 2 l K 

l K 

1 2  l rl , 2 l K 

a11   ll rl , l K 

a4   l rl , l K 

a8 

1 2  l rl , 2 l K 

(24)

a12   ll rl , l K 

现将界面关系(20)代入(23)可得，

 a    Tij   u    u   u    u  ij uij  f ij   a1  a2  8   u    

           a3   a4  a8        (1   )  ''   a10 (1   )  '' a12           u                a5  a6  a8      a12 (1   )  ''   u   a7   a8     u        a8 (   1)  a9  a10    u   a11   a12  u

(25)

  v   f v v w   a2 w  a4    a6 w  a8      ''      w   w  w  ''             v   v      v  a10  w  w  ''   ''   a12  w  ''        cij  O(h3 )          剩下就是要将 uij 和 f ij 在投影点展开，分两种情形：第一种情形，若 ( xi , y j )    ，则

fij  f   O(h), ij uij   u   O(h). - 85 www.ivypub.org/MC

(26)

第二种情形，若 ( xi , y j )  ，则

fij  f   O(h)  f   f   O(h)   f   f   O(h).

(27)

ij uij   u  O(h)   u   u   u  O(h)   u   w   u  O(h). 









(28)

因此(25)中的

 u    u   u    u  ij uij  f ij   u    u   u    u    u   f   H (i , j )(  w    u    f )  O(h).

(29)

其中 1, 如果i , j  0, H (i , j )   其它。 0,

为了使局部截断误差达到一阶，则需要 u  , u , u , u , u , u 前的系数为零，即   a8  a1  a2     H (i , j )      0,              a3   a4  a8        (1   )  ''   a10 (1   )  '' a12          ,           (30)      a12 (1   )  ''   , a5  a6  a8      a7   a8   ,   a8 (   1)  a9  a10   , a   a  0.  11 12

同时取修正项

 v   f v  a w  a   ''    6  8         v  v    v  a10  w  w  ''   ''   a12  w  ''            

cij  a2 w  a4 

w   w  w  '' 

w    

    H (i , j )( w   f ). 

(31)

方程组(30)中的系数和修正项(31)中每一项都可先通过水平集函数  计算其在网格点上的相应表达式的 *

值，然后利用二阶拉格朗日插值得到其在投影点 x 处的值。

2.1 关于离散的线性代数方程组作为一个特殊情况，当方程(1)中  和  在界面两边是相等的常数时，在不规则点处用标准的五点差分格式( ns  5 )加上相应的修正项 cij 即可。而离散的线性代数方程组(5)可用高效的快速傅里叶变换(FFT)求解。一般情形下则在不规则点处用九点格式( ns  9 )。此时关于差分格式系数 rl , l  1,

,9 的方程组(30)可能有

无穷多个解。可以通过加上适当的约束条件选取 rl 使得差分方程组(5)的系数矩阵接近 M  矩阵。可以求解下面的一个标准的约束优化问题以确定系数 rl ： 1 9 2 min  (rl  gl ) , r l  1 2

(32)

其中 g l 被选为对应于标准的五点差分格式中的系数（否则为零）。记方程组(30)为 Ar  b ，则约束条件为：  Ar  b,  rl  0 if (l ,l )  (0,0), r  0 if ( , )  (0,0). l l l

(33)

上述优化问题的求解有成熟的软件包可以使用。通过求解(32)(33)后，最终得到的离散线性方程组(5)可由多重网格方法有效地求解。 - 86 www.ivypub.org/MC

2.2 小结综上所述，在规则网格点用标准的五点中心差分格式。而不规则网格点 x  ( xi , y j ) 的差分格式(5)的构造有以下主要步骤： *

 通过求解(8)找到 x 在界面上的投影点 x 。  通过求解方程组(30)得到系数 rl , l  1, ,9 。  通过公式(31)确定(5)中的修正项 cij 。其中方程组(30)及修正项(31)中涉及的间断函数沿界面的各阶导数如 v , w , w , w 及其它界面量可如下计算：首先计算它们的相应的量在界面附近网格点的值，再通过标准的二次 Lagrange 插值得到它们在界面投影点的值。这样就避免了[6]中的界面的局部样条构造，及界面上的最小二乘插值。

4 数值算例本节将通过数值算例验证本文间断条件捕捉差分格式的收敛性。例 1：首先考虑一个如下的常系数有间断界面的 Poisson 方程。 2 2 xy  ( x  y )e , 在( x, y ) : r  0.5  (1,1)  (1,1) , uxx  u yy    2sin x cos y, 在( x, y) : r  0.5.

(34)

其中 r  x 2  y 2 ，外边界条件为 Dirichlet 边界条件。界面   ( x, y) : r  0.5 上的间断条件为

u   e  sin x cos y , u   e ( y cos  x sin  )  cos x cos y sin   sin x sin y sin   f   r e  2sin x cos y . xy



x y 其中 (cos ,sin  )   ,  。 r r

上述方程的精确解为 r  0.5,

sin x cos y, u   xy e ,

(35)

r  0.5.

表 1 和表 2 给出了的数值结果。其中表 1 给出了不规则点的差分格式的最大截断误差。它验证了用 IIM 得到的截断误差在不规则网格点处是一阶。表 2 给出了计算解在求解区域的整体误差 Eh  u  uh 的最大范数及其二阶收敛性。表 1 h 1 32 1 64 1 128 1 256

截断误差

表 2 误差阶

h 1 32 1 64 1 128 1 256

1.10D-1 4.87D-2

1.12

2.82D-2

0.79

1.45D-2

0.96



收敛阶

1.88D-2 4.82D-3

1.96

1.21D-3

1.99

3.04D-4

1.99

例 2：考虑如下有间断系数的椭圆型方程

  (u)  f , 界面间断条件为

( x, y)   ,

u   v ,  v   w 



. ( x, y) ,

(36) (37)

其中  ( 2 , 2 ) ( 2，, 2界) 面是一个椭圆，它由水平集函数   x2  4 y 2  1 给出，即 - 87 www.ivypub.org/MC

  ( x, y) :  ( x, y)  0,( x, y)  。可以选定 v, w, f 使得精确解为  x2  y 2 , u sin x cos y,

如果  0,

(38)

如果  0.

 + =100， - =1 。外边界  上满足 Dirichelet 边界条件。表 3 给出了数值解在  上整体误差的最大范数及其二阶收敛性。图 2 给出了数值解的一个形状，可以看出解的间断被保持。表 3 h 1 66 1 130 1 258 1 514



收敛阶

3.53D-4 8.10D-5

2.18

2.04D-5

2.01

4.27D-6

2.27 图 2 Figure 1 例 2 中数值解 uh 的图示， h  1 66

结论本文将求解有交界面的椭圆型方程的浸入界面方法推广到间断条件由包含界面的网格函数隐式地给出

的情形。该格式特别适合于隐式界面跟踪法如水平集方法，且相对简便易行。数值计算结果显示了该格式是二阶收敛的。

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【作者简介】徐建军，博士，1966 年生。湘潭大学数学学院副教授。研究方向为偏微分方程数值解，界面流体力学计算。

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