A note on the asymptotic relationship for ruin probability in classical risk model by menez

Mathematical Computation December 2013, Volume 2, Issue 4, PP.116-121

A Note on the Asymptotic Relationship for Ruin Probability in Classical Risk Model Dongdong Lv#, Mingqing Zhao, Jinggui Gao College of Information Science and Engineering, Shan Dong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China # Email:lvdodo0355@126.com

Abstract The asymptotic relationship and local asymptotic relationship for the ruin probability under the absence of the adjustment * coefficient as well as the claim distribution F  S (v)(v  0) have been obtained, which overcame the complicated argument involved in the existing literatures. In a special case, the asymptotic relationship and local asymptotic relationship for the ruin probability were derived when the claim sum was within the generalized inverse Gauss distribution. Further, a numerical simulation was performed on some parameters having influence of the asymptotic relationship and local asymptotic relationship for the ruin probability. * Keywords: S (v) Distribution Class; Ruin Probability; Ladder Height Distribution; Adjustment Coefficient

关于经典风险模型破产概率及其局部解的一个注记* 吕东东，赵明清，高井贵山东科技大学信息科学与工程学院，山东青岛 266590 要：利用梯高分布工具和等价量性质，得到了经典风险模型在调节系数不存在且索赔额分布 F  S

摘

(v)(v  0) 时破

产概率及其局部渐进解的相关定理，克服了已有文献中十分繁杂的论证过程.作为特例，当索赔额服从广义逆高斯分布时，给出了破产概率及其局部解的渐进结果.最后，对影响破产概率及其局部渐进解的一些参数进行了数值分析。 * 关键词： S (v) 分布族；破产概率；梯高分布；调节系数

引言当保险公司的盈余出现负值时，我们把它称为破产，但这并不意味着保险公司真正破产，只是面临暂时的财务危机,这时保险人十分关注财务出现危机的可能性大小即破产概率。对于经典风险模型的破产概率，在调节系数存在的情形下，已经取得了许多经典性的成果[1-5]。值得注意的是，对于调节系数不存时的风险模型也受到了许多学者的关注。对此，一种情形是，索赔额服从重尾分布[1,6-8]；另一种情形是矩母函数存在但是在其最大收敛区间的右端点之前，调节方程不成立[9]。对于第二种情形，在 M X (r )  1  r  的条件下，当索赔额分布 F ( x)  S * (v) 时，文[9]利用 Pollaczek-Khinehin 公式得到了经典风险模型的破产概率及其局部渐进解，而本文利用梯高分布工具以及等价量性质得到了同样的结果，推导过程非常简洁。作为特例，当索赔额服从广义逆高斯分布时给出了破产概率及其局部渐进解的具体表达式，并对影响破产概率及其局部渐进解的一些参数进行了数值分析。

*基金项目：山东省中青年科学家科研奖励基金项目（BS2012SF023）；山东省研究生教育创新计划项目（SDYY11027）。 - 116 www.ivypub.org/mc

预备知识

1.1 经典风险模型本文约定：对一个具有有限期望   0 和分布 F ( x)  P{ X  x}的非负随机变量 X ，其尾分布记为

F ( x)  1 F ( x )，平衡分布记为 Fe ( x)   1 0 F ( t )dt；对于任何实函数 f ( x) , g ( x) ，用 f ( x) ~ g ( x) 表示 x

f ( x) 1。 x g ( x) lim

经典风险模型具有如下结构[1]： (1)索赔额 { X i , i  1} 构成一个独立同分布随机变量序列，其共同分布为 F ，有限期望为   0 。 (2)在时间区间 [0, t ] 内的索赔次数 N (t )  sup{n  1: Tn  t}（其中 {Tn , n  1} 为索赔发生的时刻序列），它是一个与 { X i , i  1} 独立且强度为  的泊松过程。 (3)单位时间内保险公司收取的保费为 c  0 。由 (1)  (3) ，定义风险过程为 N (t )

 (t )   X i  ct , t  0

(1)

i 1

本文假设相对安全负荷条件：



c  



0

(2)

不失一般性，本文令 c  1 。在（2）的条件下，用大数定律可以证明：[2] M  sup { (t )}   a. s. P. 0t 

从而 M 的分布函数 R( x)  P{M  x} 是一个以 [0 , ) 为支撑的函数。设保险公司的初始盈余 x  0 ，破产概率可以通过风险过程定义为

 ( x)  P{M  x}  R( x)

(3)

 如果记索赔额分布的矩母函数为 M X (r )  0 ert dF (t ) ，它的最大收敛区间为 (, r0 ] ，那么 r0  0 。调节

系数方程[1]  rt 0 e dF (t )  1  

(4)

在 (, r0 ] 内至多只有一正根。若这一正根存在，则我们称之为调节系数，记为 R 。

1.2 S * (v) 分布族定义 1.2.1[1] 称定义在 [0, ) 上的分布函数 F  S (v) (v  0) ，当且仅当

F *2 ( x)   20 evt dF ( x)   ; x F ( x)

（1） lim

F (x  t)  evt ， t  0. x F ( x)

（2） lim

一个重要的分布族是 S (0) 族，记为 S ，即为重尾分布族中的次指数分布族，属于 S 的一个典型分布是 Pareto 分布。而属于 S (v) (v  0) 的一个典型分布就是满足 F ( x) ~ x  p evx ， x   的分布 F ，其中 p  1 。

S (v) 关于尾等价是封闭的，故可以假设 F  S (v) (v  0) 是绝对连续的。因此，我们可以证明其风险率函数

[3]

r f ( x) 

f ( x) v， x  F ( x)

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（5）

其中 f ( x) 是 F ( x) 的概率密度函数。  定义 1.2.2[10] 称定义在 [0, ) 上且满足 0 evt F (t )dt   的分布函数 F  S * (v) (v  0) ，当且仅当

lim

0 F ( x  t ) F (t )

x

F ( x)



 20 evt F (t )dt

（6）

当 v  0 时，记为 S * 族，这是重尾分布族中的一类重要子族.但值得注意的是，当 v  0 时， S (v) ， S * (v) 都不是重尾分布族，因为其矩母函数都是存在的。

1.3 几个引理引理 1.3.1[9]若 F  S * (v) (v  0) ，则对任意整数 n  1 ，有

Fe*n  x  ~

nF ( x)  vt (  e dFe (t ))n1 v 0

引理 1.3.2 若 F  S * (v) (v  0) ，则对任意   0 ，存在有限常数 K  0 ，使得对一切整数 n  1 和任意 x  0 ，有

Fe*n  x   K (1   )n F ( x)

（7）

该引理实质上是文[9]中引理 4.2 的特例。引理 1.3.3[11] 若 f ( x) ~ g ( x) ， h( x) ~ k ( x) ，而且 lim

x

f ( x) h( x ) 或 lim 存在且不等于 1，则 h( x ) x f ( x)

f ( x)  h( x) ~ g ( x)  k ( x)

定理及证明下面引入经典风险模型的几个重要特征量[8]：

阶梯时刻：1  inf{t :  (t )  0} ， n  inf{t :  (t )   ( n1)} , n  2；阶梯间隔：  1  1 ， n   n   n1 ， n  2 ；阶梯高度： L  L1   (1) ， Ln   ( n )   ( n1) , n  2 。如果  n1   ，则定义  n  Ln   。显然 {( n , Ln ) | ( n1 ) ， n  1} 是独立同分布的随机对.我们约定梯高 L 的分布函数为 H 。著名的 Feller 公式表明，在带有安全符合条件（1）的经典风险模型中[12]

H ( x) 

 c

（8）

Fe ( x)

（8）式说明 L 是有亏的随机变量，亏量为

q  P{L  } 

c   0 c

（9）

现在定义一个停时 v  min{k  1: k  } ，易见 v 是一个几何随机变量，即 P{v  k}  q(1  q)k 1 ，k  1 。从而损失过程  (t ) 的最大值 M 可表示为 M 

v 1

 Lk ，这里约定 L0  0 。

k 0

定理 2.1 在满足安全负荷系数   0 的经典风险模型下，如果索赔额分布 F  S * (v) (v  0) ，并且满足 r  rt 0 e dF (t )  1  ，则破产概率有如下渐进等价式：



 ( x) ~

证明 ( x)  R( x)  P{x  M  } 

 (1   ) 

v(1   0 evt dFe (t ))2



v 1

k 1

n 0

 P{x   Ln  , v  k}

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F ( x)

（10）



k 1 

n1



k 1

n1

=  P{x   Ln  , v  k  1} =  P{x   Ln  , Lk 1  } 

=q  H *k ( x)  q  (1  q)k Fe*k ( x) k 1

k 1

r  在引理 1.3.2 中取  ，使得 (1  q)(1   )  1 ，当 0 ert dF (t )  1  时，易得



 rt 0 e F (t )dt





根据控制收敛定理及引理 1.3.1，可得

lim

 ( x)

x F ( x)



 q  (1  q)k lim

x

k 1

Fe*k ( x) F ( x)



 (1   ) 

v(1   0 evt dFe (t ))2

从而，定理 2.1 得到了证明。定理 2.2 在满足安全负荷系数   0 的经典风险模型下，如果索赔额分布 F  S * (v) (v  0) ，并且满足  rt 0 e dF (t )  1   ，则破产概率的局部渐进等价公式为

 (1   )(1  evz )

R( x , x  z ] ~



v(1   0 evt dFe (t ))2

F ( x)

证明由定理 2.1，知

 ( x  z) ~

 (1   ) 

v(1   0 evt dFe (t ))2

F ( x  z) ， z  0

 ( x  z) F ( x  z)  lim  evz  1 。从而由引理 1.3.3，可得 x  ( x) x F ( x)  (1   ) R( x , x  z ] =  ( x)  ( x  z) ~ ( F ( x)  F ( x  z ))  v(1   0 evt dFe (t ))2

当 v  0 时， lim

 (1   )  v(1   0 evt dFe (t ))2 vz

 (1   )(1  e

)

 v(1   0 evt dFe (t ))2

F ( x)  F ( x  z ) F ( x) F ( x) F ( x)

索赔额服从广义逆高斯分布(GIGD)的情形如果 F  N 1 ( ,  , ) ，其中   0,   0 ,   0 ，则 F  S ( 2)[13] 。此时密度函数 F ( x) 

exp( ( x1   1x) 2) ，其中    ， 

  ， K ( ) 为第三类修正贝塞尔函数，由文[14]，我们可

得 F  S * ( 2) 。再由文[13]：





 t  1  0 e F (t )dt   ( )2  K ()  1

以及（5）式，有

 ( x) ~

 (1   )  v(1   0 evt dFe (t ))2

  x 1 2 K ( )

F ( x) 

（1-） F ( x)   {1- (( )2 1 / K ( )  1)}2 

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（1-） -

 2 K ( ) 2{1- (( )2 1 / K ( )  1)}2  特别地，当   -0.5 时，GIGD 为正态逆高斯分布，由于 K0.5 ()  K0.5 () 

x 1e x

  e 2

所以

 ( x) ~

 (1- ) x-3 2e x  （x;  ,  ,, , )  2  e [ - （e- -2)]2 2

R( x, x  z ] ~

 (1- )(1  e z ) x-3 2e x  R(( x, x  z], ,  , , , )  -  2 2  e [ - （e -2)]

2 我们可对影响破产概率及其局部渐进解的相关参数进行分析，其基本方法是固定其它几个参数，改变一个参数时，考察这个参数对  ( x;  ,  ,, , ) 以及 R(( x, x  z], ,  , , , ) 的影响。设定   0.08 ，   1 ，

  1 ，   1 ， z  1 ，当风险率 从 0.6 变化到 3，初始盈余 x 从 0.2 变化到 2 时， ( x; ,  ,, , ) 变化如表 3.1 所示。表 3.1 不同的 值下初始盈余对 ( x;  ,  , , , ) 的影响破产概率渐进解

    

 0.6  0.8  1.0  2.0  3.0

x  0.2

x  0.3

x  0.5

x1

x2

0.0148

0.0076

0.0031

0.0008

0.0002

0.0109

0.0055

0.0022

0.0005

0.0002

0.0084

0.0046

0.0016

0.0003

0.0001

0.0028

0.0013

0.0004

0.0001

0.0000

0.0013

0.0005

0.0001

0.0000

当风险率 从 0.6 变化到 3，初始盈余 x 从 0.2 变化到 2 时， R(( x, x  z], ,  , , , ) 变化如表 3.2 所示。表 3.2 不同 值下初始盈余对 R(( x, x  z ],  ,  , , , ) 的影响局部渐进解  = 0.6  = 0.8   1.0   2.0   3.0

x  0.2

x  0.3

x  0.5

x  1.0

x  2.0

0.0067 0.0060 0.0053 0.0025 0.0012

0.0034 0.0030 0.0029 0.0011 0.0005

0.0014 0.0012 0.0010 0.0003 0.0001

0.0004 0.0003 0.0002 0.0000 0.0000

0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

从上面分析可知，对于正态逆高斯分布，风险率相同时，随着初始盈余的增大，破产概率及其局部渐进解逐渐减小。有趣的是，初始盈余相同时，随着风险率的增大，破产概率及其局部渐进解逐渐减小。类似的，我们也可以分析其他变量对破产概率及其局部解的影响。

结语通过利用梯高分布工具和等价量性质，讨论了索赔额分布为 S * (v) (  0) 且调节系数不存在时，经典风

险模型的破产概率及其局部渐进解，最后给出了一类特殊情形下的破产概率及其局部渐进解的渐进表达式，且对影响其破产概率及其局部渐进解的参数进行了数值分析，直观显示了参数对破产概率及其局部渐进解的影响。值得注意的是，引理 1.3.3 在推导定理 2.2 时起到了十分重要的作用，所以在使用该引理时，一定要注意条件是否成立。 - 120 www.ivypub.org/mc

致谢非常感谢赵明清教授对本论文的指导！

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【作者简介】吕东东（1987-），男，汉族，山东科技

赵明清（1963-），男，汉族，博士，教授，研究方向：保险

大学硕士研究生，研究方向：保险精算。

精算、数据挖掘。Email: zhaomq64@163.com

Email: lvdodo0355@126.com

高井贵（1974-），男，汉族，博士，副教授，研究方向：保险精算。Email: jingguigao@126.com

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