Effects of majorana fermions on electrical transport through a quantum dot side coupled to a topolog by menez

Research of Materials Science March 2015, Volume 4, Issue 1, PP.32-35

Effects of Majorana Fermions on Electrical Transport through a Quantum Dot Side-Coupled to a Topological Superconductor Yang Zhou#, Jianhong Guo Department of Physics, Capital Normal University, Beijing 100048, People’s Republic of China #

Email: zhouyang0704@126.com

Abstract The effects of Majorana fermions on the electrical transport through a quantum dot side-coupled to a topological superconductor are investigated. By using the particle-number resolved master equation, we find the conductance of the hybrid structure can be used to detect the existence of Majorana fermions. At finite temperature and bias voltage the current-voltage curve presents three steps. Each step corresponds to the eigenenergy of the system. Especially the step located at the zero bias voltage characterizes the existence of the Majorana fermions. Keywords: Majorana Fermion; Topological Superconductor; Quantum Dots

量子点-拓扑超导体异质结构中 Majorana 费米子的电导特性周洋，郭健宏首都师范大学物理系，北京 100048 摘要：本工作利用条件性量子主方程的方法来研究 Majorana 费米子在与量子点耦合作用下的电流与电导的性质。实验将一个马约拉纳束缚态与一个量子点相连，量子点与两个常规电极相连，称为点-马约拉纳束缚态系统。系统电流变化受 Majorana 费米子影响。在非零温有限电压条件下，电流曲线呈阶梯状分布，阶梯位置对应系统能量的本征值。在零偏压附近出现显著的电导峰反映了 Majorana 费米子的存在。关键词：Majorana 费米子；拓扑超导体；量子点

引言 Majorana 费米子是自身的反粒子。由于 Majorana 费米子符合非阿贝尔统计，因此在拓扑量子计算中有重要应用，并广受关注[1-4]。当具有强自旋——轨道耦合的半导体纳米线在接近一个 S 波超导体，并置于强磁场中时，半导体纳米线在超导接触效应下，可存在零能量马约拉纳束缚态(MBSs) [5-7]。最近，MBSs 在固体系统中得到初步的确认，但是还欠缺令人完全信服的有力证据。因而，在实验易行的方案中如何检测，并验证 MBSs 的存在是一个关键问题。有报道说 MBSs 可以在一维 P 波超导体的两端实现，人们提出一个系统是通过用 Rashba 自旋轨道相互作用的半导体纳米线，加入磁场和 S 波超导接近效应来实现[5,8-10]。最近，实验也获得突破，通过电荷隧穿谱，根据 InSb 纳米线零偏压附近出现的微分电导峰，初步确认了马约拉纳状态的存在[11]。Y. Cao 等通过调整结构参数，讨论了该系统的电流和散粒噪声特性[12]。此外，人们研究了双 QD 结构中 MBS 辅助传输特性，如交叉安德列夫反射[13]和非局部纠缠[14]。这些工作显示，在 QD 结构检测马约拉纳费米子是可行的。然而，MBS 不是定量改变共振隧穿必要的因素。因此，人们可以使用新办法来有效地检测 MBS。马约拉纳费米子在固体状态的充满实验性论证是非常重要的。现有 - 32 http://www.ivypub.org/rms

的建议包括分析隧道谱，这可能揭示了特征零偏压电导峰[15,16]和独特的噪音行为[17,18]，以验证 MBSs 的存在 [19]

和非局域性，并观察 4π 周期马约拉纳约瑟夫森电流[8-10.14]。以往的工作主要是研究量子点与 MBSs 耦合

的影响。但是非零温有限电压量子点耦合对马约拉纳费米子电导研究的重视程度不够。我们利用条件性量子主方程的方法来研究 Majorana 费米子在量子点耦合后电子的输运性质。实验的设置是将一个 MBSs 与量子点耦合，量子点与两个常规电极相连,在有限温度有限电压的条件下，我们计算了电流变化呈阶梯状。其电导出现三个峰。在零偏压附近出现显著的电导峰则反映了 Majorana 费米子的存在。

模型图一显示了本文的分析原理图，我们称它为“点-MBSs”系统。这里的量子点与一维纳米线耦合，且与

一个常规电极相连。由于塞曼分裂应该足够大以便驱动该导线插入一个拓扑超导相，我们可以假设它比输运的偏置电压大得多，假设点-线耦合能量和引线与点的遂穿率。在此，我们把电子看做无自旋的粒子来建模。哈密顿量表示如下 H  Hlead  Hsys  HT 这里 Hlead   L,R k  k C†k C k 描述普通的金属导线， †

HT    L, R k t k dC k  H .c. 描述电极与量子点 1 间的遂穿。低能量有效哈密顿量在中央系统中可以写为：

H sys 

M  1 2

d †d 

 1 (d  d † ) 1

(1)

这里 C† k (C k ) 和 d † (d ) 为电子的产生（湮灭）算符，对应的能量分别是   k 和纳米线两端的 MBSs。它们的耦合能量为

l / 

。公式(1)中第二项表示

，这里 l 是纳米线的长度，ξ是超导相干长度。公式 1 中

最后一项描述的是点与最近的 MBS 之间的遂穿耦合。对于无自旋点水平，我们可以选择一定的实常数  一般  的相位因子与自旋方向有关。 V IL

Left Lead

L

R

Right Lead

Superconductor

MBS

vg1 vg2 vg3

MBS

vg4

图 1 量子点与 Majorana 费米子耦合结构量子点分别与近邻的 Majorana 费米子耦合，而点跟左、右电极构成测量回路

上述低能态哈密顿量描述的是两个 MBS 的输运问题，基于更先进的点阵模式，据研究在实践中这种低能量哈密顿量只要能量满足适当的标准。图一表明，首先马约拉纳的出现与量子点的耦合证明了超导体与量子点间电子的转移。第二，同时超导体在闭合回路中也起着作用。两个偏置电压保持基本的化学势的平衡在超导与量子点传输导线之间没有隧道式耦合。为了解决哈密顿量方程输运的相关问题更加便捷，我们将马约拉纳费米子转换为普通的费米子。通过精确地转型，  1  f †  f ,  2  i( f †  f ) ，f 是普通的费米子算符，满足反对易关系 { f † , f }  1 。据此我们将哈密顿量改写为 Hsys： H sys 

d †d 

1 1 (f†f  )  (d  d † )( f  f † ) 2 2

(2)

 对应量子点与 MBS 耦合，我们给定中央系统的基础态：nD，nf。它们可以取为 1 或 0，所以我们得到 4 个基础态：  00

, 01 , 10 , 11  。

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这项工作我们是通过偏压考虑输运的问题。与图一的设置相关，两个引线的化学式 L  R  e(V0  V )

 eV0

，

所谓的大偏压极限仅仅意味着点的水平展宽会大很多。在这种情况下，电流中温度的影响可以

忽略不计。此外这种偏压制度使我们可以用玻恩-马尔科夫方程。我们用粒子数解决主方程 

（n） -iL ( n) 

L (dd †  ( n)   ( n) dd †  2d †  ( n) d ) 2

  R (d † d  ( n )   ( n ) d  d  2d  ( n 1) d  ) 2

(3)

这里 n 表示通过中心系统的输运电子数， （n）满足，我们引入刘维超算符 L  [ H sys ,  ] ，遂穿率为   2 g | t | ， gα 是电极 α(L 或 R)的态密度。 2

电流首先我们计算了输运电流与电压变化关系.根据微分方程，将 n 加合   

n0

(n)

(t )   (t ) 计算点的平均占据

nd  Tr[d d  (t )] 。 †

图 2 中为了简化计算。我们取能量接近费米面能量。左右电极耦合强度为  L 或  R 为 1，e 与也取为单位 1。图中阶梯状分布我们可以看出，其阶梯部分为 Majorana 本征能量。电流的随着电压的增大而增大。出现的电压零点阶梯为量子点与电极和量子点与 MBSs 耦合造成的。位于 V=10 附近的阶梯反映了量子点与 MBSs 耦合的影响。图 3 为图 2 中电流对电压求导之后与电压的关系图。图 3 可以更清楚的反映出量子点与 MBSs 耦合后本征能量的影响。电压零点的峰明显大于旁边两个峰。它反映了电导在电压为零处的吸收是最明显的。

图 2 电压与电流关系图

图 3 电压与电导关系图

结论我们利用条件性量子主方程计算了有限温度有限电压条件下的量子点与 MBSs 耦合电流与电导图像。图

中阶梯状分布为 Majorana 本征能量。电流的随着电压的增大而增大。出现的电压零点阶梯为量子点与电极和量子点与 MBSs 耦合造成的。位于 V=10 附近的阶梯反映了量子点与 MBSs 耦合的影响。电导-电压图像可以更清楚的反映出量子点与 MBSs 耦合后本征能量的影响。电压零点的峰明显大于旁边两个峰。它反映了电导在电压为零处的吸收是最明显的。

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