Scientific Journal of Information Engineering December 2013, Volume 3, Issue 6, PP.116-121
NON-Equidistant GM (1, 1) Direct Model and Its Optimization Kefang Zeng, Yong Wei†, Xiaoqiang Luo College of Mathematics and Information, China West Normal University, Nanchong, Sichuan 637002, China †
Email: 3306866@163.com
Abstract According to the non-equidistant sequence in non-homogeneous index form, the non-equidistant GM(1,1) direct model was constructed by the original sequence. And the new non-equidistant GM(1,1) direct model was established by combining simultaneous optimization of background value and grey derivative with using “average relative error minimum” to determine the response coefficient. Through analyzing the examples, it illustrates the feasibility and effectiveness of the new optimization model. Keywords: Non-equal Interval; Direct Modeling; Non-homogeneous; Response Coefficient; Grey Derivative
非等间距直接 GM(1,1)模型及其优化* 曾柯方，魏勇，罗晓强 西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637002 摘
要：针对非齐次指数形式的非等间距序列，提出了非等间距 GM(1,1)直接建模模型，并在此基础上将同时优化背景值
和灰导数与利用平均相对误差最小确定响应系数的方法相结合，建立了新的非等间距 GM(1,1)直接建模模型。并通过实例 分析说明了优化的新模型的可行性和有效性。 关键词：非等间距；直接建模；非齐次；响应系数；灰导数
引言 GM(1,1)模型作为灰色系统理论的核心内容之一已广泛应用于社会、经济、科技、工农业等众多领域。 由于灰色模型的建立大多是基于等间距序列，而在实际情况中所要处理的原始数据往往是非等间距的序列， 因此建立并不断改进非等间距 GM(1,1)模型[1]具有一定的现实意义。近年来，不断有学者从合理改造一次累 加的定义[2-3]、模型优化[4-6]、优化参数估计方法[7]、优化背景值[8-9] 、优化灰导数[10]、优化初始条件[11]等方 0 面对非等间距 GM(1,1)模型进行了研究。本文假定非等间距的非齐次原始序列为 x k pemki q ，
i
提出了非等间距 GM(1,1)直接建模模型
0 0 x ki x ki 1
ki ki 1
0 0 az ki b ，并且在此基础上以 x ki 为背
dx 0 景值并通过对 x ki 求导的方法得到与之匹配的灰导数
0 t dt
t k i
mpemki 建立新的非等间距 GM(1,1)
直接建模模型 mpemki a pemki q b 。由于模型的检验常常是看平均相对误差的大小，因此文章提出在确 定非等间距 GM(1，1)直接建模模型的响应系数时采用综合所有已知条件通过运筹学软件 Lingo 进行非线性 *
基金资助：四川省应用基础研究资助项目（2008JY0112） ；四川省高等教育人才培养质量和教学改革资助项目（P09264） 。 - 116 http://www.sjie.org/
搜索来求满足平均相对误差最小，从而实现了指标函数所追求的目标与模型评价标准的统一。由于新的非等 间距 GM(1,1)直接建模模型不经过累加而避免了对累加定义的改造问题和累减还原产生的误差，并且假定白 化方程成立对灰色方程进行了合理改造来减小了灰色方程与白化方程不匹配导致的误差，而且在此基础上还 对响应系数进行了优化，从而提高了模型的模拟预测效果。
1 非等间距直接 GM(1，1)模型及其改进 非等间距直接 GM(1，1)模型 p
1.1
ki ki 1 i 2,3,
emki1 emki
0 0 0 定 义 1 设 X x k1 , x k2 , 0 0 x ki x ki 1
0 0 x ki 1 x ki
0 , x kn ki ki ki 1 const 是 非 负 的 非 等 间 距 序 列 ， 则 称
1 0 0 0 0 az ki b 为 非 等 间 距 直 接 GM(1,1) 模 型 （ 其 中 z (ki ) x (ki ) x (ki 1 ) , 2
，白化方程为 ,n ）
0 dx dt
t ki
0 ax ki b 。
非等间距直接 GM（1，1）模型的改进
1.2
1.2.1 同时优化背景值和灰导数 根据求导的定义，在离散点 t ki 处
0 dx dt
t ki
0 0 x ki x ki 1
ki ki 1
，故非等间距直接 GM(1,1)模型的
灰色微分方程与白化方程不严格匹配。为了减小灰色方程与白化方程不匹配导致的误差，假定白化方程合理， 通过改造灰色微分方程来适应白化方程。由于非等间距原始序列为非齐次指数形式，因此令 0 0 0 z k x k pemki q ，则借鉴文献[12]对灰导数的优化方法可得与背景值 x k 相匹配的灰导数
i
为：
0 dx t
dt
i
i
t ki mpemki 。
ln ki ki 1 ln A ki 1 ki 0 令 x ki pemki q ， 则 借 鉴 文 献 [3] 的 推 导 方 法 可 得 ： m ， ki 1 ki 1 0 0 x ki x ki 1 0 q x ki pemki ；其中 A 。 0 0 x ki 1 x ki
1.2.2 参数 a, b 以及响应系数 c 的确定
0 0 0 定理 1 设 X x k1 , x k2 ,
0 , x kn ki ki ki 1 const 是非负的非齐次非等间距序列，以
dx 0 0 x ki pemki q 为背景值并通过对 x ki 求导的方法得到与之匹配的灰导数
立新的非等间距 GM(1,1)直接建模模型为： mpemki a pemki q b 。 - 117 http://www.sjie.org/
0 t dt
t k i
mpemki ，建
（1） 若 aˆ a, b
T
pemk2 q mpemk2 mk3 pemk3 q 为参数列且 Y mpe ，B mk pemkn1 q mpe n1
1 1 1
则新的非等间距 GM(1,1)直接建模模型的最小二乘估计参数列满足
aˆ a, b BT B T
（2）与之相应的白化方程
0 dx dt
t ki
1 T
B Y
b 0 0 ax ki b 的解即时间响应函数为 x t ceat ，离散化即得新 a
模型的时间响应序列为 b 0 xˆ ki ceaki , k 2,3, a
,n ，
这里选取的 c ，是使得原始序列与其预测值的平均相对误差最小，即 b 0 ce aki x ki 0 0 n xˆ ki x ki 1 1 a min min 0 0 c n 1 k 2 c n 1 k 2 x ki x ki n
并通过运筹学软件 Lingo 进行非线性搜索得到响应系数 c 的值。 1.3 新的非等间距直接 GM（1,1）模型的性质——白化指数、系数、平移常数重合性 0 定理 1：设严格非齐次指数形式的非等间距原始序列为： x ki pemki q ，则新非等间距直接 GM(1,1)模 b 型满足 a m ， c p ， q 。 a 0 证明：设原始序列为 X pemk1 q, pemk2 q, , pemkn q ，
由定理 1 得最小二乘估计参数列为 aˆ BT B
1
BT Y ，其中
pemk2 q mpemk2 mk3 pemk3 q mpe Y ，B mpemkn1 pemkn1 q
则 BT B
1
1 1 1
BT B ，其中 T B B 1
*
2 n1 mk pe i q BT B i n21 mki pe q i 2
n 1
i 2
pe q n2 mki
则有 n1
B B n 2 pe T
i 2
mki
q
2
n1 pemki q i 2
且 - 118 http://www.sjie.org/
2
B B T
从而 aˆ a, b BT B
*
1 T
n2 n 1 mki pe q i 2
ni12 pemk q 2 i 2 n 1
pemk q i
i
B Y m, mq b 因此 a m ， b mq ，从而 b aq ，即 q ， a T
T
0 0 1 n xˆ ki x ki 1 n b 在 a m ， q 的条件下，c 满足 f (c) 0 n 1 k 2 n 1 k 2 a x k
ce aki
i
b pemki q a
pe aki
1 n 而 f ( p) n 1 k 2
pemki q
b pemki q a
pemki q
最小，
0 min f c 是唯一取得最小值点，故 c p 。
因此本文建立的新的非等间距直接 GM(1,1)模型具有白化指数、白化系数和平移常数重合性。按本文的 方法估计参数得到的模型对严格非齐次指数形式的非等间距序列而言，没有模型误差，只有计算误差。
2 实例 为了说明本文提出的新模型的可行性和优越性，我们选择与文献[1]、文献[2]中提出的非等间距模型的 模拟预测效果进行对比分析。 例 1[2]表 1 的实际值（原始序列）来源于文献[13]，分别以本文提出的以原始序列为背景值优化灰导数 的非等间距 GM(1,1)直接建模模型（记为新模型 1） ，本文提出的以原始序列为背景值将同时优化灰导数和响 应系数的非等间距 GM(1,1)直接建模模型（记为新模型 2） ，文献[1]中邓聚龙提出的原始非等间距模型（记为 原模型） ，文献[2]中提出的改造一次累加定义的非等间距模型（记为文献[2]模型）对第 2-9 个数据进行模拟， 分析比较它们的模拟预测精度，计算结果见表 2。鉴于非等间距灰色 GM(1,1)模型的模拟预测式是从第二项 开始的，因此表中的所有模型都没有考虑第一项。 表 1 钛合金疲劳强度 -1 随温度变化关系
-1 温度 T
C
100
130
170
210
240
270
310
340
380
560
557.54
536.10
516.10
505.60
486.10
467.40
453.80
436.40
表 2 文献[1]、[2]模型与新模型的模拟值（预测值） 、相对误差及平均相对误差比 原模型 k
1
实际值
模拟值
相对误
文献[2]模型 模拟值
差/%
相对误
新模型 1 模拟值
差/%
相对误
新模型 2 模拟值
差/%
相对误 差/%
1
100
560
——
——
——
——
——
——
——
——
2
130
557.54
1058.4
89.83
575.88
3.289
547.9446
1.72
549.8089
1.39
3
170
536.10
637.6
18.93
538.35
0.419
531.3291
0.89
533.2654
0.53
4
210
516.10
608.0
17.81
517.55
0.282
514.0730
0.39
516.0839
0.00
- 119 http://www.sjie.org/
5
240
505.6
437.5
13.47
500.01
1.106
500.6956
0.97
502.7644
0.56
6
270
486.1
422.2
13.15
485.45
0.134
486.9332
0.17
489.0615
0.61
7
310
467.4
540.1
15.55
469.02
0.346
467.9651
0.12
470.1755
0.59
8
340
453.8
388.6
14.37
453.11
0.151
453.2606
0.12
455.5346
0.38
9
380
436.4
497.1
13.90
437.78
0.315
432.9941
0.78
435.3558
0.24
平均相对误差/%
24.63
0.76
0.65
0.54
注：实际值源于文献[13]，文献[2]模型的模拟值、相对误差源于文献[2]之表3；按本文方法获得的
0 k 978.8311-418.8311e0.00094590 ki k1 ,其中 i 2, , n . i
新模型1为： xˆ
0 k 978.8311-379.3811e0.00094590ki ,其中 i 2, , n . i
新模型2为： xˆ
由表 2 可知两个新模型的模拟的平均相对误差都比原模型和文献[2]提出的改造一次累加定义的非等间距 模型的模拟的平均相对误差明显要小，两个新模型中以原始序列为背景值，且同时优化灰导数和响应系数为 最佳。
3 结论 基于非齐次的非等间距原始序列，本文提出了非等间距直接 GM(1,1)模型，以原始序列为背景值并在此 基础上将优化灰导数与平均相对误差最小确定响应系数结合起来对其进行了优化，从而使所建立的新模型的 精度明显提高。原因在于新模型采用直接建模不需一次累加而避免了还原误差的产生，通过以原始序列为背 景值和灰导数建立的模型在建模机理上使得差分方程和微分方程的对应参数更加匹配，以平均相对误差最小 为指标确定的最小一乘意义下的响应系数 c 建立的模型与模型的评价标准更符合，因而单独优化响应系数或 者单独优化灰导数都能进一步提高模型的模拟预测精度，并且将相互独立的两者结合起来建立的新模型对严 格非齐次指数形式的非等间距原始序列进行模拟没有模型误差，只有计算误差；对来源于实际的数据，新模 型的模拟的平均相对误差与原模型相比大幅度提高了预测精度，达到了逾期效果，即使与文献[2]优化后已经 是高精度的预测模型相比模拟效果也略显优势。这就说明本文提出的非等间距直接 GM(1,1)模型更能够进一 步改善模型的模拟预测效果，由此表明建立非等间距直接 GM(1,1)模型具有一定的理论价值和应用价值。
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【作者简介】 1
2
曾柯方（1990-） ，女，汉族，硕士研究
魏勇（1957-） ，男，汉族，博士，教授，
生，研究方向：灰色系统理论及应用。
研究方向：灰色系统理论及应用，1992
Email: 13518286097@163.com
年在法国奥尔良大学获得研究生学位， 1997 年在西南石油大学工学获得博士学 位，四
川省数学协会常务理事，中国
优化灰色系统专业常务理事，统筹与经 济数学研究，硕士生导师。Email: 3306866@163.com 3
罗晓强（1988-） ，男，汉族，硕士研究
生，研究方向：数学学科教学。 Email: 1054899069@qq.com
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