Optimization of phase retrieval in in line holography

Journal of Optics Applications December 2013, Volume 2, Issue 4, PP.88-93

Optimization of Phase Retrieval in In-line Holography Lu Rong 1#, Dayong Wang 1#, Yunxin Wang 1 Institute of Information Photonics Technology and College of Applied Sciences, Beijing University of Technology No. 100 Pingleyuan Rd., Beijing, 100124, China #Email: ronglu@bjut.edu.cn; wdyong@bjut.edu.cn

Abstract In-line holography can fully make use of the limited ace-bandwidth product of photoelectric detector, as well it is widely applicable to various light with varying waveband including visible light due to its simple light path, however, of which the zero order diffraction and twin image in the form of stray light overlap the original image, greatly damaging the quality of reproductive image, and the conjugate image can be avoided by using the existing iterative algorithm in which calculation is massive. According to the above, a kind of algorithm with respect to reconstruction of in-line hologram has been proposed in this paper. Specifically, the approximation of the correct complex amplitude distribution on the object surface was obtained from the two holograms with varying object distance, then taken as the iterative initial value which is optimized through the constraint of both the object and recording surface, on which the iterative calculation was performed to avoid the conjugate image. In this paper, taking monogram and section of onion root tip as sample, the validity of the proposed method has been examined by simulation and experiment.

Keywords: Digital Holography; Phase Retrieval; Digital Image Processing

同轴数字全息相位复原算法优化研究* 戎路 1,2，王大勇 1,2，王云新 1,2 1. 北京工业大学应用数理学院，北京市，100124 2. 北京工业大学微纳信息光子技术研究所，北京市，100124 摘 要：同轴数字全息可以充分利用光电探测器有限的空间带宽积，同时由于光路简单广泛适用于可见光在内各种波段的 光源。但同轴数字全息中，零级衍射像和共轭像会以杂乱杂散光的形式与原始像重叠，严重削弱再现像质量。已有的迭 代算法需要大量计算才能去除共轭像。我们提出了一种基于初始值优化的同轴全息再现算法，通过两幅不同物距的全息 图角谱传递计算出物面真实复振幅分布的近似值，并作为迭代初始值，通过对物面和记录面约束条件进行优化，在物面 和两个记录面之间进行迭代计算，快速去除共轭像。以字母图案和洋葱根尖切片分别作为样品，通过数值仿真和实验证 明了本方法的有效性。 关键词：数字全息；相位复原算法；数字图像处理

引言 匈牙利物理学家 Dennis Gabor 提出了全息技术，因此获得 1971 年诺贝尔物理学奖。数字全息用二维面 阵光电探测器（CCD、CMOS）代替传统全息图记录介质，将全息图以数字化的形式存储于计算机中；然后 通过计算机运用衍射传播理论模拟实际全息再现时光波的传输过程，通过数值计算得到定量的物光波场的 *基金资助：受国家自然科学基金项目（61077004，61205010，61307010） ，北京市自然科学基金资助项目（1122004），高等学

校博士学科点专项科研基金(No.20121103120003)，中国博士后科学基金（2013M540828），北京市博士后科研活动经费资助 （2013ZZ-17）和中央支持地方专项配套项目。 - 88 www.joa-journal.org

振幅和相位分布，实现了全息图记录、存储和再现全过程的数字化，凭借其独特优势使其广泛应用于三维 成像，形变测量，粒子场测量，温度场测量和空间应用等领域。 在数字全息的再现像中只有原始像或共轭像直接携带物光场的信息。Leith 和 Upatnieks 提出了离轴全息 的概念，通过分离物光和参考光，实现了原始像、共轭像和直流像的分离。但这种方法并不能充分利用 CCD 有限的空间带宽积，且不适用 X 射线全息、电子全息、伽马全息等短波长全息术。但在同轴数字全息 中，零级衍射像和共轭像同时在像面上以杂乱的散射光形式出现，并与原始像重叠，它们的存在会明显削 弱再现像的成像质量，造成原始像暗淡导致细节难以分辨。早期提出的数字相减法、远场记录法和叠加法 只适用于电子全息显微术或者 X 射线全息显微术，包括各种数字信号处理方法[1,2]无法完全去除共轭像，严 重制约了相位测量的精度。随后提出的相移数字全息通过改变参考光对同一物波的相移量记录多幅全息 图，联立方程数值解算实现共轭像分离[3]。但是该方法需要精密的相移装置和稳定的记录条件，很难做到实 时观测成像。相位复原算法：从数字全息图强度数据出发通过空频域之间的往复迭代恢复出成像平面上的 物光波复振幅分布[4]。Liu 提出了适用于纯相位物体的相位复原算法 [5]，之后又通过优化收敛条件提高算法 鲁棒性[6]。随后又涌现出多种算法，比如 Bleloch 等人在物面采用了新的相位约束条件，去除电子全息图的 共轭像[7]；Latychevskaia 等人提出利用正性约束和归一化的幅值分别作为物面和记录面约束条件[8]；鲍鹏等 人采用可调谐激光器记录多幅不同波长下的全息图，优化相位复原算法实现物体形貌测量[9]。 综上所述，已有的数字全息相位复原算法中，并没有充分利用收敛条件和记录面强度信息，对初始值 优化的研究尚处于空白阶段，需要大量迭代才能去除共轭像，严重限制了同轴全息的成像速度。针对上述 问题，我们提出了一种基于初始值优化的同轴全息再现算法，通过两幅不同物距的全息图角谱传递计算出 物面真实复振幅分布的近似值作为迭代初始值，以两幅归一化全息图的幅值作为记录面约束条件，以物体 的吸收系数和相位分布作为物面的约束条件，利用角谱算法在物面和两个记录面之间进行迭代计算，快速 去除共轭像。本文按照理论分析、数值仿真和实验结果与分析的顺序详细介绍并分析了这种算法。

1

初始值优化算法 迭代算法的收敛速度与很多因素有关，已有的迭代算法利用记录面的幅值乘以随机相位得到的复振幅

分布，或者利用传统再现结果作为迭代初始值，具有计算简单的优点，但与实际复振幅分布相差较大。本 文提出了一种通过两幅不同物距全息图之间的角谱传递得到接近物面真实波前的优化初始值。 假设中心波长为  ，振幅为 1 的相干平行光照射物体，那么物面 xo-yo 的复振幅分布可以表示为 U 0  xo , yo   1  a  xo , yo  ,

(1)

其中， a  xo , yo  表示为光波被物体吸收的复振幅分布，物面未散射部分的相位分布设为 0，复振幅 U 0  xo , yo  传播到记录面得到的光场分布可表示为

U z  x, y   exp  jkz   z  x, y  .

(2)

式（2）中的 exp  jkz  表示为平行光传播到记录面上的相位分布，其中 k  2 /  表示光波的波前矢量，

 z  x, y  为 a  xo , yo  所对应的记录面复振幅

 z  x, y   1 a  x, y  G  f x , f y  ,

(3)

其中，  和 1 分别代表傅里叶变换和傅里叶逆变换， Gz  f x , f y  为自由空间传递函数，并可如下式表示 2 2  Gz  f x , f y   exp  jkz 1    f x     f y   ,  

(4)

其中， f x  x /  M x  和 f y  y /  N y  分别为物体在 x 和 y 方向的频率，M 和 N 表示探测器像素个数， x 和 y 代表探测器的像素尺寸。

在全息图记录过程中，不同物距记录的全息图表示为 Hi  x, y  , i  1, 2 ，两幅全息图的物距分别为 z  z1 和 - 89 www.joa-journal.org

z  z2 ，可以定义变量 Di  x, y  , i  1, 2 为 Di  x, y   exp   jkzi   I avg  x, y, zi   H i  x, y    exp   jkzi  exp( jkzi ) zi  x, y   exp( jkzi ) z*i  x, y   , i  1, 2,

(5)

其中， I avg  x, y, zi  为全息图强度的均值，星号表示为相位分布的复共轭。直流项  z  x, y  和 1 可以通过全 2

息图减去对应均值 I avg  x, y, zi  基本去除。 两幅全息图的纵向间距可表示为 d  z2  z1 ，用角谱算法将第二个记录面上的常量 D2 传到第一个记录面, 并与 D1 相减，得到如下表达式





P  x, y   D1  x, y   1  D2  x, y   Gd  f x , f y  1



a  x, y  T  f , f , z , z  , x

y

1

(6)

2

T  f x , f y , z1 , z2   exp  2 jkz1  Gz1  f x , f y   exp  2 jkz2  Gz2  d  f x , f y  .

(7)

因此，接近物面复振幅真实分布的 U o'  xo , yo  可以通过以下常量近似计算  D1  f x , f y   D2  f x , f y  Gd  f x , f y   , U o'  xo , yo   1  1  T  f x , f y , z1 , z2   

(8)

其中， D1  f x , f y  和 D2  f x , f y  分别代表 D1  x, y  和 D2  x, y  的傅里叶变换。

收敛条件和迭代流程

2

本文采用归一化全息图幅值作为物面约束条件，首先需要记录一幅包含样品的全息图；然后在相同的 实验条件下，移去样品，得到背景光 B  x, y   A 。归一化后的全息图强度分布不包含照明光波的振幅 A： 2

H n  x, y   H  x, y  / B  x, y 

(9)

全息图归一化能克服光源不均匀性、探测器非线性记录、光路中透镜和相机保护玻璃的缺陷等噪声对 全息图质量的影响，提高算法抗噪性。 归一化全息图复振幅分布只与物面上样品的吸收系数和相位分布呈对应关系。绝大部分样品的吸收系 数“非负”，即平行光穿过样品后光波的振幅只会减弱或保持不变。因此，由归一化全息图复振幅反向传回物 面的幅值分布不超过 1。因此，可利用正性约束作为物面的收敛约束条件之一。随着离焦共轭像在迭代过程 中被逐渐祛除，最终的物面部分点振幅分布不超过 1。 最初迭代过程中物面波前振幅分布超过 1 的区域是由离焦共轭像造成的，这些区域有两种可能，一种属 于样品区域，即幅值不超过 1，相位在物面基准相位上浮动；另一种更大的可能性不属于样品区域，即在平 行光照射下幅值为 1，相位等于物面基准相位，即为 0。所以，可以利用相位分布作为物面的另一收敛约束 条件。即使这些区域属于前一种情况，多次迭代后幅值降为不超过 1，在随后的迭代过程中通过记录面的约 束条件使其恢复真实复振幅分布。记录面的约束条件如下所示：  1  a  xo , yo  , a  xo , yo   0 U 0  xo , yo   1  a  xo , yo    1, a  xo , yo   0  

(10)

在不同物距下记录两幅全息图，在物面和两个记录面分别添加约束条件，通过衍射过程的往复迭代， 对物体进行波前重建。每次迭代包括四次衍射传播过程，由于角谱衍射积分对于近距离传播有效，不要求 旁轴近似，且再现分辨率不随记录距离改变而改进，适用于模拟本方法的衍射传播过程。迭代过程如下所 示： （1）由式（8）得到的物面复振幅分布作为迭代初始值； （2）用角谱法将其正向传播，得到记录面 1 的复振幅分布，利用记录面约束条件（10）更新其复振幅 值； （3）用角谱法将更新后得到的记录面 1 的复振幅逆向回传，得到物面的复振幅分布，用物面约束条件 - 90 www.joa-journal.org

（9）更新其复振幅值； （4）物面复振幅分布正向传播回到记录面 2，与步骤（2）相同，使用约束条件（10）后，更新复振幅 分布； （5）角谱法将记录面 2 的复振幅分布逆向回传，与步骤（3）相同，利用物面约束条件（9）更新其复 振幅值。 随后继续步骤（2），开始新一轮的迭代。同轴数字全息物面波前重建的精度在迭代传播过程中得到了 提升，其共轭像在多次的迭代后最终消除。

3

仿真和实验结果 为了验证上述的算法的可行性，首先选用了一个简单物体进行同轴全息仿真实验。样品由 BJUT 这四个

复数字母组成，每个字母的幅值即吸收系数相同，相位分布均匀但各不相同。首先把物面添加到 1024×1024 个像素，每个像素尺寸为 6.7 μm×6.7 μm。利用角谱法得到归一化的全息图如图 1(a)所示。这里所模拟的激 光波长为 660nm，物面到相机的记录距离分别为 140mm 和 142mm。用角谱法得到的传统再现结果如图 1(b) 所示，再现像质量受到共轭像的影响，对比度下降明显。用式(8)得到的物面复振幅分布如图 1(c)所示，已 基本去除共轭像的影响；随后应用双物距相位恢复算法，物平面上用物体的吸收系数和相位分布作为约束 条件，两个记录平面上用归一化全息图的幅值作为约束条件，经过 15 次迭代之后，得到的再现结果如图 1(d)所示。物面复振幅分布已经完全消除了共轭像的影响，其幅值和相位分布完全恢复到预设值。

(a) 全息图

(b) 角谱法再现结果

(d) 15 次迭代后得到的物面复振幅分布

(c)初始值优化算法得到的物面复振幅分布

图 1 字母图案仿真再现结果

随后，搭建了如图 2 所示的实验光路，波长为 660nm 的半导体激光器提供红色相干激光，经空间滤波 器和透镜得到扩束准直的平行光，CMOS 相机具有 1024×1024 个像素，每个像素尺寸为 6.7μm×6.7μm。选 取洋葱根尖切片作为样品，通过分光棱镜在记录距离 61mm 和 63mm 处同时拍摄两幅全息图，随后移去样 品拍摄不包含样品的背景图。

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图 2 同轴数字全息实验装置

首先，利用拉普拉斯二阶微分法计算出再现距离 [10]。全息图和再现结果如图 3 所示，物面波前重建已 经祛除了共轭像的影响，物体信息得到了比较好的复原，再现图像质量得到明显提高。另外，由于载玻片 玻璃厚度的影响，可以看到物面的复振幅分布亦存在条纹，这是样品本身所决定无法消除的。

(a) 全息图

(b) 角谱法再现结果

(d) 30 次迭代后得到的物面复振幅分布

(c)初始值优化算法得到的物面复振幅分布

图 3 洋葱根尖切片实验再现结果

4

结语 综上所述，针对同轴数字全息共轭像问题，本文提出了一种基于初始值优化的同轴全息再现算法，通

过两幅不同物距的全息图角谱传递计算出物面真实复振幅分布的近似值作为迭代初始值，以两幅归一化全 息图的幅值作为记录面约束条件，以物体的吸收系数和相位分布作为物面的约束条件，利用角谱算法在物 面和两个记录面之间进行迭代计算，快速去除共轭像，并通过数值仿真和实验加以验证。与其他迭代算法 相比，本方法具有更快的收敛速度。光路中可以放置两台相机同时记录两幅不同物距全息图，因此本方法 可以实时记录物体的快速变化。有理由认为它会成为一种实现同轴数字全息快速再现的有效方案。

REFERENCES [1]

Onural L., and Scott P. Digital decoding of in-line holograms [J]. Optical Engineering, 1987, V26: 1124-1132.

[2]

Maleki M., and Devaney A. Noniterative reconstruction of complex-valued objects from two intensity measurements [J]. Optical Engineering, 1994, V33 (10): 3243-3253.

[3]

Yamaguchi I., and Zhang T. Phase-shifting digital holography [J]. Optics Letters, 1997, V22 (16): 1268-1270.

[4]

Fienup J. Phase retrieval algorithms: a comparison [J]. Applied Optics, 1982, V21 (15): 2758-2769.

[5]

Liu G., and Scott P. Phase retrieval and twin-image elimination for in-line Fresnel holograms [J]. Journal of the Optical Society of America A, 1987, V4 (1): 159-165.

[6]

Liu G. Object reconstruction from noisy holograms: Multiplicative noise model [J]. Optics Communications, 1990, V79 (6): 402406.

[7]

Bleloch A., Howie A., and James E. Amplitude recovery in Fresnel projection microscopy [J]. Applied Surface Science, 1997, V111 (0): 180-184

[8]

Latychevskaia T., and Fink H. Solution to the Twin Image Problem in Holography [J]. Physical Review Letters, 2007, V98 (23): 233901.

- 92 www.joa-journal.org

[9]

Bao P., Pedrini G., and Osten W., Optical surface profile measurement using phase retrieval by tuning the illumination wavelength [J]. Optics Communications, 2012, V285 (24): 5029-5036.

[10] Guo C., Yue Q., Wei G., et al. Laplacian differential reconstruction of in-line holograms recorded at two different

distances [J]. Optics Letters, 2008, V33(17): 1945-1947

【作者简介】 1

戎路（1984- ），男，汉族，博士，助

2

王大勇（1968- ），男，汉族，博士，教授，研究方向为光

理研究员，研究方向为数字全息、太赫

学信息处理、光存储、衍射光学元件和数字全息。1989 年获

兹成像和相干衍射成像。2006 年获北京

华中科技大学光学工程专业学士学位，1994 年获中科院西安

航空航空大学光电信息工程专业和应用

光机所物理学博士学位，1994 年至 1996 年在西安电子科技

数学专业学士学位，2012 年获北京航空

大学做博士后，1996 年至今，在北京工业大学应用数理学院

航天大学光学工程专业博士学位。2009

工作。1998 年至 2000 年，在以色列魏兹曼科学中心做博士

年至 2011 年，赴美国加州大学洛杉矶分校物理与天文学专

后，2000 年至今，担任北京工业大学应用数理学院教授。

业博士生联合培养，期间于 2010 年 5 月至 2011 年 4 月在日

Email: wdyong@bjut.edu.cn

本理化学研究所任访问学者。2012 年 6 月至今，在北京工业

3

大学应用数理学院做博士后。Email: ronglu@bjut.edu.cn

字全息、图像处理、光电测量和检测技术。2003 年获河北工

王云新（1981- ），女，汉族，博士，讲师，研究方向为数

业大学测试技术与仪器专业学士学位，2006 年和 2009 年分 别获天津大学光学工程硕士和博士学位。1996 年至今，在北 京工业大学应用数理学院工作。Email: yxwang@bjut.edu.cn

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