Research on the pricing of the basket credit default swap by menez

Mathematical Computation December 2013, Volume 2, Issue 4, PP.90-97

Research on the Pricing of the Basket Credit Default Swap Junmei Ma #, Xinli Yu Department of Mathematics, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai, China, 200433 #Email: ma.junmei@mail.shufe.edu.cn

Abstract The pricing of the basket credit default swap was studied under the assumption of stochastic interest model in this paper. Under the reduced model, by using PDE approach, the analytical solutions of the basket CDS were obtained with and without counterparty default risk, separately. Finally numerical results were illustrated and discussed. Keywords: Credit Default Swap; Default Intensity; Counterparty Default; PDE

一篮子信用违约互换产品的定价问题研究* 马俊美，于昕立上海财经大学应用数学系，上海 200433 摘要：本文研究了随机利率模型下一篮子信用违约互换的定价问题。在约化法框架下，分别就无交易对手违约和有交易对手违约两种情形进行了讨论，并使用偏微分方程方法分别给出两种情形下定价问题的解析解，最后对数值结果进行了讨论和分析。关键词：信用违约互换；违约强度；交易对手违约；PDE

引言信用违约互换（Credit Default Swaps，简称为 CDS）是一种信用衍生产品，目前已经成为国外金融市场上最常见的信用衍生产品。这种产品是在保留资产的前提下，将贷款或债券等资产的信用风险剥离出来，以传统保险的形式转移给愿意承担风险的投资者，为债券投资者提供了一种全新的规避信用风险的衍生工具。1998 年国际互换衍生物协会(International Swaps and Derivatives Association)将信用违约互换合约标准化，促进了这种金融衍生产品的蓬勃发展。根据英国银行家协会的信用衍生产品研究报告显示，信用违约互换占市场上信用衍生产品份额接近 50%。信用违约互换本质上是一份针对具有违约风险债券的保险合约。对于标准的信用违约互换(Single-name CDS)：假设公司 A 持有公司 C 发行的一份公司债券，于是它就面临着公司 C 违约而带来的信用风险。为了管理这种风险，公司 A 与公司 B 签定一份信用违约互换合约，并定期向公司 B 支付费用，直至公司 C 违约或持有的 C 公司债券到期。当 C 公司违约时，公司 B 将补偿公司 A 在其持有的 C 公司债券(Reference Obligation)上所遭受的损失。信用违约互换作为一份保险合约，它涉及到三方，违约保险的购买者公司 A，违约保险的售出者公司 B(Counterparty) 及公司债券的发行者公司 C(Reference Entity)，公司 C 发生的违约称为信用事件(Credit Event)。由于信用违约互换具有保险合约的性质，所以 CDS 购买方 A 需要定期向出售方 B 支付固定的费用，直至信用事件发生。带有交易对手违约可能时的 CDS 是指交易对手(Counterparty) B 有合同存续期内可能违约，使投保公司 A 面临交易对手违约的风险，当交易对手提前发债公司 C 发生违约时，A 与 B 之间的合同终止。自 2010 年巴塞尔协议(Basel)III 推出以来，交易对手违约风险的研究逐渐成为 *基金资助：本文受国家自然科学基金（No：11226252）和上海市优秀青年基金资助项目(No:ZZCD12007)资助。

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研究的热点问题。由于在现实经济中，每个公司的运作并不是孤立的，它们之间总是存在着千丝万缕的联系，比如几个公司可能是竞争对手或是合作伙伴，或更直接地，公司之间是母子关系。这给我们的违约风险分析带来的关键问题是：考虑公司的违约风险时，应充分考虑该公司与其他公司之间的相关性，即几个公司之间的违约是相互关联的。随着信用衍生产品市场近年来的飞速发展，与多个公司的违约有关的信用衍生产品越来越流行，这类信用衍生产品的主要代表就是一篮子信用违约互换(basket CDS)。从而，研究一篮子信用违约互换产品定价必然要考虑多个公司之间的违约相关性。最近由美国次级抵押贷款引发的金融危机也充分说明了信用衍生产品内在的风险相关性和复杂性。一篮子 CDS 本质上是一份针对多个公司发生违约事件的保险合约。假设投资者 A 购买了一篮子 n 个公司发行的 n 种不同的有违约可能性的零息票债券，这些债券的违约是相互关联的。为控制篮子里的债券违约所带来的风险，A 向保险方 B 购买一张保险，这张保险就被称为一篮子信用违约互换或一篮子 CDS。若 CDS 出售者 B 只赔偿 CDS 购买者 A 由于第一个债券发生违约所带来的损失的 CDS，被称为首次违约 CDS；而 B 对一篮子债券中的前两次违约进行保护的 CDS 称为二次违约 CDS, 这种产品的合约一直到篮子中的第二张债券违约或合约到期有效，出售方 B 对购买方 A 赔偿最多由于前两张债券违约所带来的损失；依此，对一篮子中的前 m 次违约进行保护的产品被称为 m 次违约 CDS( )。在实务中首次违约 CDS 最为普遍，所以本文主要讨论首次违约 CDS 的定价问题，并进一步研究了交易对手 B 有违约可能时首次违约 CDS 的定价问题，此时，在合约生存期内，若 B 公司先于一篮子公司违约，则该 CDS 合约终止，A 公司不再支付保险费用，一篮子公司在之后发生违约时，B 公司也不负责赔偿。合同存续期内，当交易对手 B 发生违约时，A 与 B 之间的合同终止。对一篮子 CDS 进行定价的关键就是一篮子债券违约相关性的研究问题。关于违约风险相关性，很多学者作了研究, 目前主要有三种研究方法：其一是条件独立违约方法(Conditionally Independent Default)。这种方法是通过各个公司的违约强度都依赖于一个公共的状态变量集合来体现公司之间的相关性的，一旦设定了这些状态变量的实现，公司之间的违约是独立的。 Kijima(2000)[2] ，Kijima and Muromachi(2000)[3] ， Duffie(2003)[4](第 11 章)，用条件独立违约方法进行了研究。Duffie(2003)在条件独立违约的假设下，将公司的违约强度分成独立的两部分：一部分是体现相关性的公共经济环境的状态变量,一部分是自身独立变化的随机部分，并在此假定下讨论了 CDO 产品的定价问题。Kijima (1998)[5], Elizalde (2003)[6] 和 Duffie(2001)[7] 也都是用条件独立违约方法研究了违约相关性问题。其二是传染模型，它是条件独立违约方法的扩展。一旦一个公司发生违约，它会对其它的公司产生影响，增大（或降低）其它公司违约的可能性。这种模型的困难之处是处理违约的相互循环作用产生的回路(loop)效应。Jarrow, Robert and Yu(2001)[8]是较早使用该法的研究者之一，他们把一篮子公司分为两个级别的公司，只考虑两个级别之间的传染，而不考虑同一级别公司之间的传染，这样打破了传染的循环。接着，Yu(2007)[9] 用同样的模型，考虑了三个公司之间的传染性，得到了联合概率分布，用来给一篮子信用衍生产品定价。Jiang(2009)[14] 研究了一篮子 CDS 的定价问题。其三是 Copula 方法，Copula 模型是由单个公司的边际分布通过一个 Copula 函数得到多个公司近似的联合概率分布。公司之间的相关结构完全由 Copula 决定。Li(2000)[10] 是较早将 Copula 引入相关性研究的学者之一，用正态 Copula 研究了公司违约之间的相关性。这个方法现已被广泛地应用于研究多资产问题。

违约时间联合分布的 PDE 模型首先，我们假定 C1 ,

, Cn 是一篮子由 n 个公司发行的债券，债券的违约就是公司的违约，其违约强度

i (t ), i  1, , n 服从如下相关的扩展模型(Hull and White(1990)[11])： d i (t )  ai (bi  i )dt   i dWi (t )

(1.1)

其中， ai 是违约强度的回归速度， bi 是长期均值，  i 是违约强度的波动率， Wi (t ) 是标准的 Winner 过程，满 - 91 www.ivypub.org/MC

足 dWi dWj  ij dt ， ij 为公司违约强度之间的相关系数，这表明公司之间的相关性只体现在其违约强度变化的相关性上。另设无风险利率 0 (t ) 也为随机的，也服从与 i (t ), i  1,

, n 相关的 Vasceik 模型。

模型(2.1)是一个双随机相关的过程 (Doubly stochastic correlated default-intensity process)，这种构造决定了对 n 个强度过程 1 ,

, n 加上某些条件后，各个债券的违约时间  1 ,

, n 是独立的，  i 是泊松过程第一次跳

的时间，跳的强度为确定的 i (t ) ，这就意味着违约相关性的唯一来源是违约强度的协方差。（参见 Duffie [4]

, P229-233）。下面将求随机利率模型下和约化法框架下这 n 个公司的生存概率，在一篮子信用产品定价问题的处理

上，联合生存概率的求解是个关键问题。对于多个公司情形，我们沿用 Kijima(2000) 的条件独立违约思想，即若给定 FT   {i t( t),T i  , 0 n, 1，各债券的违约时间 , , }  i 是独立的，于是，在这个假定下， P{1  s,

, n  s | FT }   P{ i  s | FT }  exp{t  i (u)du} s

i 1

由于 Ft  FT ，利用平滑性，站在 t 时刻看，联合生存概率为： n

P(t , ; s)  E[exp{  t  j (u)du}| Ft ]  Et [exp{  t  j (u)du}] s

j 1

根据 Feynman-Kac 公式[13]， P(t , ; s) 满足如下偏微分方程：  P 1 n n n 2 P P      ai (bi  i )  ( i  r ) P  0  t 2 i ,j 1 ij i j     i 1 i 1 i (1.2) i j     P |t T  1 [12] 由偏微分方程理论( )知，上述终值问题存在唯一解。我们进一步假设其具有仿射结构解形式：令 n

Pt  exp{ A1 (t; T )   Bi (t; T )i (t )} ， A1 (t;T ) ， Bi (t;T ) 为待定函数，代入上述方程，得到下面的常微分方程 i 1

组：  A (t ; T ) 1 n n  1   i , j i j Bi (t; T ) B j (t; T )   ai bi Bi (t; T )  0  t i , j 1 i 1 2   Bi (t; T )  ai Bi (t ; T )  1  0   t

A(T ; T )  0 Bi (T ; T )  0

(1.3) (1.4)

其解为：

Bi (t; T )  这样，我们就得到了债券 C1 ,

n n 1 T 1 (1  e a (T t ) ), A1 (t; T )  t [  ij i j Bi ( s; T ) B j ( s; T )   ai bi Bi ( s; T )]ds i 1 ai 2 i , j 1 i

(1.5)

Cn 的发行公司们的联合生存概率，即在 t 时刻看上述 n 个公司直到 T 时刻都

生存的概率为： n

Pt {1  T , 2  T ,

, n  T }  exp{ A1 (t; T )   Bi (t; T )i (t )} i 1

(1.6)

定理 2.1 当 n 个公司的违约强度满足随机过程(2.1)时，它们在 t 时看到 T 时的联合生存概率由 (1.6)和 (1.5)表示。

无交易对手违约时一篮子 CDS 的定价模型和求解这一部分我们将在联合生存概率的基础上，研究无交易对手违约时一篮子 CDS 的定价问题。如前，对

i=1,…,n，  i 为第 i 张债券的违约时间；重记 T 为信用互换的到期日；并记 Ti  T 为第 i 张债券的到期日；

  min{1i  n}  i 为违约时间；进一步，用 RB 表示投资人 A 向 B 支付的所有保险金额现值，U 为信用互换的保费，则在随机利率条件下， n

RB  Et [ t U  ET [1{  s} ]exp{ t 0 (u )du}ds]=Et [ t U  exp{  t  j (u )du}exp{ t 0 (u )du}ds] T

j 1

= t UEt [exp{  t  j (u )du}]ds =U t exp{ A2 (t; s)   Bi (t; s)i (t )}ds T

j 0

i 0

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其中

Bi (t; s) 

n n 1 s 1 (1  e a ( s t ) ), A2 (t; s)  t [  ij i j Bi (u; s) B j (u; s)   ai bi Bi (u; s)]du i , j  0 i  0 ai 2

(1.7)

然后用 RA 表示有违约发生时，保险公司 B 对 A 进行的偿付现值。在计算 RA 时,我们需求从 t 开始，一篮子债券中第一张发生违约的债券在时刻 s 发生违约的概率密度。如果这张债券是第 i 张，记这个概率密度为 qi (t , ; s) ， (i  1,

, n.  (1 ,

, n )) .

关于最简单的篮子里只有一张债券的情形， Duffie ([4], P127)给出了对于确定路径的违约强度  ，债券从 t 时刻至 s 时刻的生存概率为 exp{t  (u)du} 。在债券生存到 s 时刻的条件下在[s,s+ds]时段债券发生违约的 s

概率为  (s)ds ，由条件概率公式，债券违约时间的概率密度为 exp{t  (u)du} (s) 。对于任意的强度过程 s

 ，我们对上述结果取期望，即对每条可能的强度路径取平均，得违约时间的概率密度为： Et [exp{t  (u)du} (s)] 。 s

对于多个公司情形，我们继续在 Kijima(2000) 的条件独立违约思想假定下讨论，即若给定

FT   {i (t ), t  T , i  0,1,

, n} ，各债券的违约时间  i 是独立的，于是，在这个假定下， P{1  s,

, n  s | FT }   P{ i  s | FT }  exp{t  i (u)du} s

i 1

类似于一张债券的情形，给定了 FT ，债券 i 在时段 [s,s+ds]第一个发生违约的概率为： P{ 1  s, , n  s | FT }P{ i  s  ds |  1  s, , n  s | FT }  P{ 1  s,

, n  s | FT }P{ i  s  ds |  i  s | FT }  exp{ t   (u )du}i (s)ds j 1 j s

由于 Ft  FT ，利用平滑性，站在 t 时刻看，债券 i 在 [s,s+ds] (t<s<T)时段第一个发生违约的概率密度为： n

qi (t , ; s)  E[exp{  t  j (u)du}i (s) | Ft ]  Et [exp{  t  j (u)du}i ( s)] s

j 1

(2.1)

j 1

因为每个债券都可能第一个发生违约,所以在不考虑回收时投资人收到的偿付期望现值为 n

RA   Li t Et [exp{ t 0 (u )du}P{ 1  s, T

, n  s | FT }P{ i  s  ds |  1  s,

i 1 n

, n  s | FT }]ds

  Li t Et [exp{ t 0 (u )du}exp{ t   j (u )du}i ( s)]ds T

j 1

i 1 n

  Li t pi (t ,  ; s)ds T

i 1

其中 Li 为债券面值，表示面值偿付。若考虑回收时， Li  1  Ri , Ri 为第 i 张债券的回收率。根据 Feynman-Kac 公式， pi (t , ; s) 适合: n n  2 pi p  pi 1 n       a j (b j   j ) i    j pi  0  jk j k   j k j  0  j j  0  t 2 j , k  0 p |    i t s i

(2.2)

现在我们对上述方程进行求解。做变换,令 n

pi (t , ; s)  (Ci (t; s)i  D(t; s))exp{ A2 (t; T )   Bi (t; T )i (t )} , i 0

其中 Ci (t; s), D(t ; s ) 为待定系数, A2 (t;T ), Bi (t;T ),(i  0,1 , n) 如式(1.7)所示， Ci (t; s), D(t ; s ) 分别是下列常微分方程的初值问题的解：  C (t; s)  i  t  ai Ci (t; s)  0   D(t; s) n   ik  i k Ci (t; s) Bk (t; s)  ai bi Ci (t; s)  0  k 1  t

有了 Pt 的解，再解 Ci ，然后将 Pt 解中的 Bk 和 Ci 代入 D 的方程，再解 D ，得 - 93 www.ivypub.org/MC

Ci ( s; s)  1 D( s; s)  0

(2.3)

Ci (t; s)  e a ( s t ) , D(t; s)  bi (1  e ai ( s t ) )   i

ik i k 1  e a ( s t ) i

k 0

[



1  e ( a  a )( s t ) ] ai  ak i

D(t; s) 表达式中的 Bi (t; s)(i  0,1,

, n) 由表达式(2.4)给出，所以问题(3.2)的解为: n    1  e a ( s t ) 1  e ( a  a )( s t ) pi (t ,  ; s)  {e a ( s t ) i (t )  bi (1  e a ( s  t ) )   ik i k [  ]} k 0 ak ai ai  ak i

(2.4)

exp{ A2 (t; s)   Bk (t; s)k (t )} k 0

考虑到风险中性， RA  RB 成立，所以，我们有：定理 3.1 无交易对手违约时一篮子 CDS 的保费为： n

 Li t pi (t ,  ; s)ds

U

i 1

t exp{ A2 (t; s)   Bi (t; s)i (t )}ds T

i 0

式中 pi (t , ; s) 由(3.4) 给出； A2 (t; s), Bi (t; s) ，(i=0,1,...,n), 由 (1.7) 给出。

存在交易对手违约可能性的一篮子 CDS 的定价模型及求解

本节将在上一节的基础上，进一步分析当交易对手 B 存在违约可能时的一篮子信用违约互换的定价问题。此种情况，我们需要考虑 CDS 的出售方(Counterparty)B 与一篮子债券 C1 ,, Cn 的发行公司的违约先后顺序和违约相关性问题。我们记 n 1 (t ) 表示交易对手 B 的违约强度，  n 1 表示其违约时间，与一篮子债券 C1 ,

, Cn 的发行公司的

违约强度服从如下相关的扩展模型： d i (t )  ai (bi  i )dt   i dWi (t )

其中 dWi dWj  ij dt ， i, j  1, 2,

(3.1)

, n  1 ,系数的含义同(2.1)式系数含义。



记 Q(t , ; T ) 表示这 n+1 个公司在 T 之前都不违约的概率，其中   (1 , 2 ,

, n 1 ) ,类似于第二部分 n 个

公司联合生存概率的求解，我们解得 

n 1

Q(t , ;T )  exp{A1 (t;T )   Bi (t;T )i (t )} .

(3.2)

i 1

其中 Bi (t;T ) 由(2.4)给出， n 1 n 1 T 1 A1 (t ,;T )  t [  ij i j Bi (s;T ) B j (s; T )   ai bi Bi (s;T )]ds . i , j  1 i 1 2

(3.3)

则保险公司 B 收到的偿付期望现值为

RB  Et [ t U  ET [1{  s , T

n 1

, n1  s }

n 1

]exp{ t 0 (u )du}ds]=Et [ t U  exp{  t  j (u )du}exp{ t 0 (u )du}ds] s

2 s,

j 1

n 1

= t UEt [exp{  t  j (u )du}]ds =U t exp{ A2 (t; s)   Bi (t; s)i (t )}ds T

j 0

i 0

其中，

A2 (t ,;T )  t [ T

n 1 1 n 1  ij i j Bi (s; T ) B j (s; T )   ai bi Bi (s; T )]ds i 0 2 i , j 0

(3.4)

下面我们考虑保险公司 B 对 A 的偿付情形，偿付现值仍记作 RA ，当   min{1i  n}  i   n 1 时， RA  0 ；即只有当    n 1 的时，CDS 出售方 B 才对 A 因债券违约的损失进行偿付。一篮子债券中若第 i 张债券是第一 

个发生违约且  i   n 1 ，则记 ui (t , ; s) , (i  1,

, n) .表示公司 i 在时刻 s 发生违约的概率密度。

类似于第三部分 pi (t , ; s) 的求解，我们可解得 

n 1

ui (t , ; s)  E[exp{  t  j (u)du}i ( s) | Ft ]  Et [exp{  t  j (u)du}i ( s)] s

j 1

所以一篮子中第一个违约发生在交易对手 B 违约之前的概率为：

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i 1



n 1

Pt (   n 1 )   Pt ( i   n 1 )   t pi (t , ; s)ds   t Et [exp{  t  j (u)du}i ( s)]ds T

i 1

j 1

考虑到利率随机，进而可得： n

n 1

RA   Li t Et [exp{  t  j (u)du}i (s)]ds T

i 1

根据 Feynman-Kac 公式

 Li t vi (t , ; s)ds .

j 0

i 1



， vi (t , ; s) 适合： n 1  2 vi v n 1  vi 1 n 1    jk j  k   a j (b j   j ) i    j vi  0  j , k  0 j  0  j k  j j  0  t 2 v |    i t s i

[14]

(3.5)

类似于问题(2.2)的求解，终端问题(3.5)的解为： 

n 1

vi (t ,  ; s)  {e a ( s t ) i (t )  bi (1  e  a ( s  t ) )   i

ik i k 1  e a ( s t )

k 0

[



1  e ( a  a )( s  t ) ]} ai  ak i

(3.6)

n 1

exp{ A2 (t; s)   Bk (t; s)k (t )} k 0

考虑到风险中性， RA  RB 成立，所以，我们有：定理 4.1 存在交易对手违约可能性时一篮子 CDS 的保费为： n

U



 Li t vi (t ,  ; s )ds T

i 1

n 1

t exp{ A2 (t; s)   Bi (t; s)i (t )}ds T

i 0



式中 vi (t , ; s) 由(3.6) 给出； A2 (t; s) 和 Bi (t; s) (i=0,1,...,n+1)分别由(3.4)和(1.5) 给出。

数值结果

公司债券总数目设为 n=10，合同期限 T=5，为计算简便，假定组合内 n 个公司的违约强度模型满足统一的模型参数, 并在进行定价计算时代入相同的初始时刻违约强度， ai  0.5, bi  0.01, i  0.01 ,(i=1,2,…， n)。表 4.1 和表 4.2 分别记录了初始时刻违约强度 i (0)  0.01 时不同相关系数条件下的信用违约互换的价格。表 4.1 不考虑交易对手违约时 CDS 的价格违约强度相关性

Price

 ij = 0

 ij = 0.3

 ij = 0.8

595.1

581.9

568.6

表 4.2 考虑交易对手违约时 CDS 的价格违约强度相关性

Price

 ij = 0

 ij = 0.3

 ij = 0.8

267.4

248.2

227.6

表 4.1 和 4.2 表明首次违约 CDS 的 spread 随着违约强度相关性的增加而减少。当交易对手存在违约可能时，CDS 的价格要低于不存在违约时 CDS 的价格。这是因为投资方 A 面临一定的违约风险，自然价格会更低。表 4.3 CDS spread 对初始时刻违约强度的敏感性（无交易对手违约）初始时刻违约强度

Price

i (0) =0.01

i (0) =0.03

i (0) =0.05

581.9

1120.1

1729.5

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表 4.4 CDS spread 对初始时刻违约强度的敏感性（有交易对手违约）初始时刻违约强度

Price

i (0) =0.01

i (0) =0.03

i (0) =0.05

268.2

459.6

589.7

表 4.3 和表 4.4 分别记录了违约强度相关性 ij  0.3 条件下信用违约互换的价格与初始违约强度之间的关系。当调整模型中的初始时刻违约强度值时，CDS 的价格呈较缓和的增长。这与(Hull&White,2004)中利用单因子 Gaussian copula 得出的 first to Default CDS 定价模型下变化违约强度值时得到的结论完全相符。图 4.1 记录了不同合约年限长度对于 first-to Default CDS 价格的影响，随着合约年限的增加，CDS 的 spread 以递减的速度降低，且投资组合内公司两两之间违约强度相关性越大，递减的速度越快，如图 4.2 所示。

图 4.1 first-to Default CDS 价格对于合约年限长度的敏感性(  (0)  0.02 )

1400 1300

correlation=0

1200

correlation=0.3

spread

1100

correlation=0.6

1000 900 800 700 600 500 400 5

8 N

图 4.2 first-to Default CDS 价格对于投资组合内初始时刻公司数目的敏感性 - 96 www.ivypub.org/MC

首先，合约的价格主要来自于最早发生的违约事件，对于公司违约事件的聚集发生并不敏感，所以当调高公司间的相关性  时，投资组合内公司的联合生存概率反而增加，于是增加了公司同时不发生违约的可能性。在这种影响下，合约时间 T 越长，保护购买方需要向提供保护方支付费用的次数就越多，相应支付的费用也就越多，因此 spread 相应降低，且相关性  越高价格降低的幅度也就越大。然而，显然合约时间

T 越长，第一次违约发生的可能性越大，使得 spread 递减的速度放缓。图 4.2 记录了初始时刻投资组合内的数目对于 first-to Default CDS 价格的影响，如图，初始时刻投资组合内的公司数目越多，first-to Default 的价格越高，且投资组合内公司间两两相关性越小增加的速度越快。我们分析这主要是两种因素的影响进行博弈所产生的结果。第一，当投资组合内的公司数目 N 增大时，违约事件发生的可能性增加，即提早出现第一个违约事件的可能性增大。第二，违约强度相关性的增加也意味着投资组合内公司同时不发生违约的可能性增大，且相关性越大第二种因素的影响便越大。

总结本文在约化法框架下，用 PDE 方法，研究了随机利率模型条件下首次违约 CDS 的保费计算问题。分别

就无交易对手违约和有交易对手违约两种情形，建立了产品定价的 PDE 模型并进行求解，给出了 CDS 价格的显性表达式，并对影响产品价格的因素进行了分析和讨论。本文所讨论的研究方法可以推广到其它一篮子信用衍生产品的定价问题，如 CDO、CDX 以及 LCDS 的定价。

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【作者简介】 1

马俊美（1983- ），女，汉，博士，讲师，金融数学和计算

数学。Email:ma.junmei@mail.shufe.edu.cn

2 于昕立（1992-

），女，汉，学士，金融数学。

Email: yxinli92@gmail.com

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