The nearly optimal control for a class of nonlinear time delay distributed parameter systems

Scientific Journal of Control Engineering December 2013, Volume 3, Issue 6, PP.374-383

The Nearly-Optimal Control for a Class of Nonlinear Time Delay Distributed Parameter Systems Ji Sun†, Jian Li Electronic and Automation Engineering School, Nanjing Normal University, Nanjing 210042, P.R. China †Email:

ss_jj@163.com

Abstract In this paper, the nearly-optimal control of time delay nonlinear distributed parameter system is discussed. The optimal control problem is translated into one consisting of the minimization of a linear form over a set of positive measures satisfying linear constraints; the minimization in the new problem can be approximated by a finite dimensional linear programming problem, and we obtain the optimal control law of piecewise constant function from the linear programming problem for the optimal control problem. A numerical example is given to illustrate the procedure and numerical results show the method is effective.

Keywords: Distributed Parameter Control System; Nonlinear Time Delay System; Optimal Control; Input/state Constraints; Measure Theory; Linear Optimization

一类时滞非线性分布参数系统的次优控制算法 孙冀，李剑 南京师范大学 电气与自动化工程学院，江苏 南京 210042 摘

要：对一类时滞非线性分布参数系统的最优控制算法进行了研究，利用测度理论将状态和输入受限的时滞非线性分

布参数系统的最优控制问题转化为一定测度空间上的线性优化问题，求解该线性优化问题，由线性优化问题的解可构造 该最优控制问题具有逐片常函数特征的最优或次优解。文中给出了收敛性结果，数值实例给出了具体仿真算法并显示该 方法的有效性。 关键词: 非线性分布参数系统；时滞系统；最优控制；状态/输入限制；测度理论；线性优化

引言 时滞现象在工程实际中广泛存在，对时滞系统的研究也有大量的文献涉及，关于时滞系统的理论和应用 研究可见综述文章[1]。自从庞特里亚金建立极大值原理以来[2]，线性系统的最优控制问题已得到完满的解决， 但是关于线性或非线性时滞系统的最优控制问题则研究很少。在早期的关于时滞系统的研究中[3, 4]，其积分形 式的最优控制律可由一组偏微分方程得到，但其计算十分复杂。而时滞非线性分布参数系统的最优控制就作 者所知，还未见相关的研究成果。近年，Basin 利用极大值原理对线性状态时滞系统的最优控制问题进行了 研究[5]，得到了最优控制律，其增益矩阵函数是某个微分方程的解；同样用极大值原理对状态和输入等时滞 的线性时滞系统得到了最优控制律[6]；但其控制输入是非受限的，这使得其结果在应用上受到一定限制。文 [7]在 T-S 模型框架下利用平行分布补偿控制器研究了非线性时滞系统的最优控制。而文[8]对随机时滞系统得 到了最优控制律。以上这些研究结果都是针对集中参数系统的，而时滞非线性分布参数系统的最优控制的数 值方法研究，就作者所知，还未见相关的研究成果。 - 374 http://www.sj-ce.org

传统上对分布参数系统的处理通常采用在空间上离散化为常微分方程系统即集中参数系统，再利用已有 的理论和方法构建控制器[9,

10, 11]

；其缺点是为了达到控制精度不得不建立高阶模型和复杂的控制器[12,13]。近

些年，对拟线性分布参数系统Christofides等采用特征分解方法给出了建立低阶控制器的一般框架。基于此方 法在空间坐标上对偏微分方程进行Galerkin离散化，文[14]讨论了非线性传输过程的优化控制，文[15]研究了 鲁棒控制，文[16]在此框架下建立了预测控制算法，而文[17]对线性边界最优控制问题进行了讨论。该方法存 在的问题是当偏微分方程的主算子不是常系数线性算子时，其特征分解将很难进行，这是该方法的在应用上 的一个明显的缺陷。在本文，我们将对时滞输入受限的非线性分布参数系统的最优控制问题进行研究，其基 本手法是将该非线性最优控制问题通过测度理论转化为一个线性优化问题[18]，再由该优化问题的解得到最优 控制问题的数值解。应用此方法已解决了许多最优控制问题，如多维扩散方程的最优控制[19]，凝固温度场的 最优控制[20]，非线性最优控制问题[21]，短程线问题[22]，本文给出了非线性时滞最优控制问题的收敛性结果， 数值例子也说明该方法的简单有效性。

1 问题和模型 本文将讨论如下非线性时间滞后分布参数系统：

y( x, t )  2 y ( x, t )   H ( y ( x, t ))  G( y ( x, t   ))  Bu ( x, t ) , (x,t)∈(0,l)×(0,T) t x 2

(1)

初始条件： y(x,s)=y0(x,s) , s [0   ,0]

(2)

y(0, t ) =0

(3)

y(l , t ) =0

(4)

边界条件：(3)-(4)

输入和状态限制条件：

u min  u(t )  u max , y min  y( x, t )  y max 这里 y(x,t)是状态变量；x∈(0,l) 是空间坐标；t 是时间坐标；τ 是滞后时间，它是一个可测常数。H(.)和 G(.) 是连续的非线性函数。u(x, t)是受限的控制输入；umin 和 umax 分别是控制输入的上下界。ymin 和 ymax 分别是 状态量的上下界。T 是终端时间，并且 y(x, T)=yT(x)。 本文中，取指标函数为： T l

J(y, u)= 0 0{ f1[ y( x, t )]  f 2 [u( x, t )]}dxdt

(7)

这里 f1 和 f2 是非线性连续函数，且状态变量和操作变量是非耦合的。 假设 1: 当 u(x,t)是逐片常函数时，方程(1)-(4)的古典解存在且连续依赖于初值。 显然，如果方程(1)-(4)的古典解 y(x,t)存在，则对任意 υ(x,t)∈C2(0,l)×C1(-τ,T)满足如下等价的积分方程(8)。 T l y ( x, t ) 0 0[ t



 2 y( x, t ) x 2

 H ( y)  G( y( x, t   ))  Bu ( x, t )] ( x, t )dxdt =0

(8)

利用边界条件和格林公式，上式可转化为：

 T l 0 0[ y t l

y

 2 x

2

T l 0

 G( y( x, t   ))  H ( y) ]dxdt  0 l

= 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx - 375 http://www.sj-ce.org

Bu dxdt

(9)

这里 υ∈ H 01 (QT ) , H 01 (QT ) 具有紧支集的 Sobolev 空间。特别的在边界上 υ=0。当古典解存在时，满足方程(9) 的解（弱解）与方程(1)-(4)古典解是一致的。 设 t-τ=p。则 T  l

T l

0 0 G( y( x, t   )) ( x, t )dxdt =  0 G( y( x, p)) ( x, p   )dxdp 0

T  l 0 G( y( x, p)) ( x, p   )dxdp

l

=  0 G( y( x, p)) ( x, p   )dxdp + 0 引入特征函数，



(10)

t  (t0 , T   ] t  (t0 , T   ]

 (t )  10 则有， T l

0 0 G( y( x, t   )) ( x, t )dxdt 0

l

T l

=  0 G( y( x, t )) ( x, t   )dxdt + 0 0 G( y( x, t )) ( x, t   )  (t )dxdt 0

(11)

l

因为积分  0 G( y( x, t )) ( x, t   )dxdt 是常数，(9)式能如下表示。

 T l 0 0[ y t l

y l

 2 x

2

T l 0

 G( y ( x, t ))  (t ) ( x, t   )  H ( y ) ]dxdt  0 0

Bu dxdt =αφ

(12)

l

这里 αφ= 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx -  0 G( y( x, t )) ( x, t   )dxdt 由假设 u 是有界的，方程的(1)-(4)的连续，其解在 QT =[0,l]×[-τ,T]是有界的，定义 A=[ymin,ymax]及 B=[umin,umax]。 注 1: 本文考虑到是齐次边值问题，对非齐次边值问题可以通过变换化为齐次边界条件，方程的其他特性， 特别是主算子不变。 注 2: 一般情况下，对非线性系统最小化泛函(7)的最优解不一定存在，即使存在其严格的数学证明也十分困 难；但其次优(nearly-optimal)控制 u 是存在的，即对任意  >0，  >0，存在 u ∈V（V 是解空间），使得 J( u )<J(u0)-ελd(u0, u )，这里 u0∈V and J(u0)≤ infuV J (u)   。本文将讨论求解其次优控制的方法。

2 最优控制问题的转换 在本节中，我们将把最优控制问题转化为一定测度空间上的优化问题。注意到，如果定义 Λ= QT× A，则 方程(1)-(4)的解 y(x,t)在连续函数空间 C(Λ)定义了如下正泛函。

 y : F  Q F ( y( x, t ), x, t )dxdt

(10)

T

此泛函具有如下特性： a) 此泛函是线性的，即满足 Λy (αF+βG)= αΛy(F)+ βΛy(G)，对任意 F, G∈C(QT)，及常数 α，β。 b) 这是一个正泛函，即如果 F(y,x,t)≥0，则 Λy(F) ≥0。 c) 此泛函是连续的，即对任意 F∈C(QT)，有|Λy(F)|≤ k sup | F ( y, x, t ) | 。 QT

同样，在空间 C(Γ)上，Γ=QT×B，控制函数 u 也定义了一个线性有界正泛函，并且也具有上面(a)-(c)的 特征。

u : G  Q G( u ( x, t ) , x , t )d x d t T

- 376 http://www.sj-ce.org

(11)

由 Riesz 表示定理，允许函数对(y, u)定义了两个 Radon 测度 μ 和 ν，使得(12)、(13)成立。

Q F ( y( x, t ), x, t )dxdt =  Fd  :  ( F ) ，对所有 F∈C(Λ)

(12)

Q G(u( x, t ), x, t )dxdt =  Gd : (G) ，对所有 G∈C(Γ)

(13)

T

T

因此(9)化为：

 F d    G d  

(14)

这里

F  y

  2  y 2  G( y )  (t ) ( x, t   )  H ( y ) ， G  Bu t x

指标泛函(7)化为：

I ( , )   ( f1)  ( f 2 )

(15)

这里：  ( f1 )   f1 ( y)d  ， ( f 2 )   f 2 (u)d 定义集合 Ω 为满足(14)在正测度集 M+(Λ)×M+(Γ)上的正测度对，即 Ω={( μ, ν)|( μ, ν) ∈ M+(Λ)×M+(Γ)，且满足(14)} 显然允许测度对(μ, ν)还具有如下性质： (1) 如果  :   R 仅依赖于变量(x, t)，则 μ(ξ) 是 ξ 在 QT 上的 Lebesgue 积分。

 ( )  Q  ( x, t )dxdt  a

(16)

T

(2) 如果  :   R 仅依赖于变量 (x, t)，则 ν(η)是 is η 在 QT 上的 Lebesgue 积分。

 ( )  Q  ( x, t )dxdt  b

(17)

T

3 最优控制问题的近似 至此原问题已经转化在一定测度空间 Ω 寻找最小测度对的优化问题。即寻找满足(14),(16)-(17)的测度对(μ, ν) 使得 I ( , )   ( f1)  ( f 2 ) 最小。 对正测度空间 M+(Λ)×M+(Γ)赋予弱*拓扑，则该线性空间成为局部凸拓扑向量空间，由此可保证 Ω 是紧集， 从而 μ 和 ν 是连续的[18]。 命题 1：泛函 I ( , )   ( f1)  ( f 2 ) 是连续的。 命题 2：由定义在 M+(Λ)×M+(Γ)上且满足(14)及(16)-(17) 的测度对(μ, ν)构成的集合 S 是紧的。 再定义 S1, S1  S，S1={( μ, ν)|由逐片常函数控制对(u, v)所产生的并满足方程(14)及(16)-(17)测度对( μ, ν) }。 同文[19]定理 7.1 的证明，有如下命题。 命题 3：集 S1 在集 S 中弱*稠。 由命题 1 和命题 2，很容易得到命题 4。 命题 4：存在最优控制对(μ*,ν*)∈S，使得泛函 I ( , )   ( f1)  ( f 2 ) 最小。 至此原问题已经转化为一个 S 中寻优的无穷维优化问题，但在计算时只能在有限维上进行。下面先讨论 限制条件的有限近似。在 H 01 (QT ) 中选取可数个{υn}作为基集合，使得对任意 υ 及任意的 ε>0，存在 N>0 及 常数 pn，n=1,2,…N，下列不等式满足。 - 377 http://www.sj-ce.org

N

max |    pnn |  

n1

max | t  

` max | 

 2 x 2

N

 pnnt | 

n1

N

 2n

n1

x 2

  pn

| 

同样在 C(QT)中取满足条件(16)，(17)可数函数集{ξi, i=1,2…}和{ηj, j=1,2…}，同文[18]第三章命题三的证 明，可得到如下结果。 命题 5：设 M1, M2, M3.是正整数， I (  , )   ( f1 )   ( f 2 ) 在集合 S(M1,M2,M3)的上的极小值

inf

[ I (  , )] ，

S ( M1 ,M 2 ,M 3 )

 F d    G d  

i=1,2,…M1

(18)

 (i )  ai

i=1,2,…M2

(19)

v(i )  ai

i=1,2,…M3

(20)

i

i

i

则当 Mi →+∞,(i=1,2,3)时， inf

[ I (  , )]  inf[ I (  , )]

S ( M1 ,M 2 ,M 3 )

S

这里：S(M1,M2,M3)={(μ, ν)∈M+(Λ)×M+(Γ)|(μ, ν)满足(18)-(20)}。 由命题 5，已以对限制条件进行了有限维近似，但在函数空间 S(M1,M2,M3)下，由于(μ, ν)的选择未做有限 近似处理，该问题仍是无穷维的。下面将由满足命题 5 的逐片常控制实现对原问题的逼近，从而实现计算的 有限化。即，当 Mi →+∞,(i=1,2,3)，对逐片常函数划分充分细时，

inf S ( M1 , M 2 , M 3 )

I (  y , v )  inf I( , ) 。我们把由 S

逐片常控制 uv 所对应的状态输出量记为 yu，并设(yu ,uv)所对应满足命题 5 的测度对 (  yu , vv ) 。由命题 5 可以 得到满足命题 5 条件(18)-(20)的最优测度对(μ*,ν*)，再由命题 3 的稠性，实现由逐片常控制所产生的测度对

(  yu , vv ) 对(μ*,ν*)的逼近。下面将证明，当 M1, M2, M3 充分大及逐片常函数划分充分细时，目标泛函 J(yv,v) 充分逼近 inf[ I (  , )] 。 S

定理 1：设 (yv, uv) 是由上述方式构成的逐片常控制对，则 (1) (yv, uv) 满足弱解方程(9)。 (2) As Mi →+∞ (i=1,2,3), J(yv,uv) → inf[ I (  , )] S

证明：对任意的 ε>0，并设(μ*,ν*)是 I (  , )   ( f1 )   ( f 2 ) 在 S(M1, M2, M3)上的极小元；其证明与命题 4 的证明 相仿。因为 S1 在 S 中稠密，可以在 S1 中找到逐片常控制对(μv, vu)使得： | { y ( f1 )   v ( f 2 )}  { * ( f1 )   * ( f 2 )}|  / 8

(21)

|  Fi d    Gi d  i |  / 8

(22)

|  y ( Fi )  u (Gi )  i |  / 8

(23)

(22)式也即是：

(1)首先证明 yv 是方程(1)-(4)的弱解。由 yv 的构造，yv 对每个满足方程(9)的 υi∈ H 01 (QT ) ，i=1,2,3….M1。 - 378 http://www.sj-ce.org

N

而{υi }可在下述意义成为空间 H 01 (QT ) 的一组基：即对任意的 υ，存在整数 N 及实数 σi∈R 使得     ii ； i 1

所以如果选择 M1>N，则有如下弱解方程成立。



T l 0 0[ y t  y

 2 x

2

T l 0

 G( y( x, t   ))  H ( y) ]dxdt  0

l

Bu dxdt

l

= 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx

(24)

(2)下面证明当 Mi →+∞(i =1,2,3)时

J ( yv , uv )  inf I (  , )  

(25)

S

利用(21)式，

J ( yv , uv )  inf I (  , )  { yv ( f1)   uv ( f 2 )}  { *( f1)   *( f 2 )} S

≤ { yv ( f1 )  uv ( f 2 )}  { y ( f1)  u ( f 2 )}  { y ( f1)  u ( f 2 )}  { *( f1)  *( f 2 )} ≤ ( yv   y )( f1 )  ( uv  u )( f 2 )  ( y  *)( f1 )  ( u  *)( f 2 ) ≤ε/8+ ( yv   y )( f1 )  ( uv  u )( f 2 )

(26)

下面我们将证明：

( yv   y )( f1 )  ( uv  u )( f 2 ) ≤ε/2

(27)

对 υ，将其分解为 υ=ϕ(x,t)+σ(x,t)，使得 σ (x,t)满足 σ(x,T)=0，σ(x,0)=0；并且对任意给定的 ε1>0，选择 ϕ(x, t)使得下面(28)式成立。

F  yt  y xx  H ( y)  G( y)  (t )  1

(28)

由连续性：|Λy(F)|≤ k sup | F ( y, x, t) | ，适当选择 ε1 显然可使下面不等式成立 QT

(  yv   y )( F )   / 4

(29)

由于 σ(x,T)=0 及 σ(x,0)=0，可得到 l

l

ασ= 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx =0

(30)

( yv   y )( F )   yv ( F )  u (G )   y ( F )  u (G )

(31)

而对 (  y   y )( F ) v

则由式(30)，可得 l

l

 yv ( F )  u (G ) = 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx =0

(32)

结合不等式(23)和(32)，可得到下列不等式。

(  yv   y )( F )   / 4 - 379 http://www.sj-ce.org

(33)

再由(29)，(33)及泛函的线性特性 ( yv   y )( F )  ( yv   y )( F )  (  yv   y )( F ) ，可得

(  yv   y )( F )   / 4

(34)

最后我们证明 ( yv   y )( f1 )  ( uv  u )( f 2 ) <ε。 由于函数 f1(y,u)在所考虑的区域内是有界的，因此存在常数 k1，K1 使得：|f1(y, u)|≤k1|y|+K1。不失是一般 性，我们假设 y>0 在 QT 上；再注意到对常数 K1， (  yv   y )( K1 )=0，则有

( yv   y )( f1 )  k1 (  yv   y )(w)  (  yv   y )( K1) =.. 这里 w=w(x,t,y)=y.， F  y

(35)

  2  y 2  G( y )  (t ) ( x, t   )  H ( y ) t x

选择 υ，使得

( yv   y )( yt  y(xx  1)  G( y)  (t ) ( x, t   )  H ( y) ) <ε/4

(36)

则由(34) 和(36)可得

(  yv   y )( w)  ( yv   y )( yt  y(xx  1)  G( y)  (t ) ( x, t   )  H ( y) )  ( yv   y )( yt  yxx  G( y)  (t ) ( x, t   )  H ( y) ) ≤ ( yv   y )( yt  y(xx  1)  G( y)  (t ) ( x, t   )  H ( y) )  (  yv   y )( F ) ≤ε/4

(37)

由不等式(34)和(37)可得到下式(38)

(  yv   y )( f1 )   / 2

(38)

( uv  u )f 2   / 2

(39)

同样可得到

定理得证。

4 数值方法及例子 考虑非线性时间滞后分布参数系统，该模型为传输反应模型(Dubljevic et al, 2005[16])，选择参数，H(y)=

T (e( /(1 y))  e )  U y ，滞后时间 τ=0.2，G(y)=y(t-0.2)，这里 βT=50，l=1，T=1，γ=4，B=15，终端条件 y(T,x)= yT(x)=0.5sin(πx)。输入限制 u(x,t) [0,1] ，状态限制 y [0,0.5] ，t [0,1] 。 选择指标泛函： 1 1

J(y,u)= 0 0 | y( x, t )  0.5t sin( x) | dxdt 选择实验函数：υ= t psin(mπx),(m=1,2, p=1,2 )及 υ=etsin(πx), υ=etsin(2πx)，共六个。将时间区间和空间区间 [0,1]十等分，[0,1]×[0,1]形成 100 个相等的区域，在每个小区域上取实验函数 ξi(i=1,2,…100)。以同样的方式 选择 100 个实验函数 ηj(j=1,2,…100)。 分别将区间 A=[0,0.5]和 B=[0,1]10 等分， 则 Λ=QT×A 分为 10×10×10=1000 子区域 Λn=(yk-1,yk)×(xi-1,xi)×(tj-1,tj)， 设其相应的测度为 βn， 相应的在 Λn.上值取 Dn= ( yn' , xn' , tn' ) ，yn'  (yk-1,yk)， (xi-1,xi)，xn'  tn'  ( tj-1,tj)。 同样，Γ=QT×B - 380 http://www.sj-ce.org

划分为 10×10×10=1000 子域 Γn=(uk-1,uk)× (xi-1,xi)×( tj-1,tj)，相应的测度 γn，在 Γn.上取值 Tn= (un' , xn' , tn' ) 。这样 得到一个 2000 个变量{β1,β2,...β1000, γ1,γ2,...γ1000, }，206 个限制条件的线性优化问题。 1000

 f1 ( Dn )n

(40)

n1

限制条件： 1000

1000

 F ( Dn )n   G (Tm ) m  

n1

i

m1

i

i

i=1,2…6.

(41)

j=1,2,…100.

(42)

k=1,2,…100

(43)

1000

  j ( Dn )n  a

n1

j

1000

 k (Tm ) m  a

m1

k

图 1 次优状态分布

图 2 终端时间 T 状态输出曲线

解此优化问题得到{β1,β2,...β1000, γ1,γ2,...γ1000, }。则逐片常控制函数可由{ γ1,γ2,...γ1000, }构建，其方法可见文 献（[18]第五章） 。图 1 是次优状态输出，图 2 是终端时间的状态分布曲线，此时指标值 J(y,u)=0.0104。

5 结论 我们的主要工作是提出了一种处理非线性时滞分布参数最优控制的方法，该方法对支配方程主算子为线 性的偏微分系统都是有效的；此外该方法的一个突出优点是可处理具有状态和输入限制的控制问题，同时对 - 381 http://www.sj-ce.org

指标函数也无特定的要求，因此该方法适用于许多实际问题。我们在文中给出了有限维近似的收敛性结果， 数值试验结果也显示该方法的可行性。

参考文献 [1]

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【作者简介】 1

孙冀（1963-） ，男，汉族，博士，副教

2

李剑（1977-） ，男，汉族，硕士，讲师，

授，研究方向：分布参数系统，非线性

研究方向：工业自动化，学习经历：1994

系统，1995 年 3 月-1998 年 9 月在东北

年-1998 年 中国矿业大学工业自动化专

大学自控系控制理论与控制工程专业学

业 本科， 2003 年-2006 年 南京航天航

习并获工学博士学位。 1998 年 11 月-2000

空大学 自动化 硕士；现任职于南京师

年 12 月在西北工业大学宇航与空间技术

范大学电气与自动化工程学院。

的博士后工作。2001 年 1 月至今，任职于南京师范大学电气 与自动化工程学院。Email: ss_jj@163.com

- 383 http://www.sj-ce.org

Email: 63037@ninu.edu.cn