The reduction of the new extended bkp hierarchy by menez

Applied Physics Frontier November 2013, Volume 1, Issue 4, PP.45-49

The Reduction of the New Extended BKP Hierarchy Yehui Huang†, Yong Liu Department of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing 102206, P R China †Email:

yhhuang@ncepu.edu.cn

Abstract The BKP hierarchy is an important model in Physics. By considering the square Eigen function symmetry, a new extended BKP hierarchy can be constructed. The reduction of the new extended BKP hierarchy was studied by adding some constraints. The relation between the extended BKP hierarchy and deformed SK hierarchies was revealed. Keywords: BKP Hierarchy; Integrable Deformation; Integrable Reduction

新的推广的 BKP 方程族的约化* 黄晔辉，刘勇华北电力大学数理学院，北京 102206 摘要：B 型 KP 方程族是一类重要的物理模型，通过考虑平方特征函数对称，可以构造得到新的推广的 B 型 KP 方程族。借助于一些约束条件，可以研究新的推广的 B 型 KP 方程族的约化问题，得到推广的 B 型 KP 方程族与 1+1 维形变 SK 方程族之间的联系。关键词：B 型 KP 方程族；可积形变；可积约化

引言孤立子和可积系统理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，近几十年中得到了迅速的发展[1]。迄今为止，孤立子和可积系统理论已在流体力学，固体物理，等离子物理，凝聚态物理及激光等领域中有了广泛的应用，并与许多数学分支，如李群与李代数，泛函分析，代数几何，动力系统等有紧密的联系。 SATO 理论是研究孤立子与可积系统的一个重要方法[2]。在 SATO 理论的框架下，可以构造得到 KP 方程族这一重要的 2+1 维可积系统，并且进一步研究 KP 方程族的可积性。可积系统的多分量推广在物理和数学方面都有深远的意义。其中一种重要的推广就是构造带自相容源的可积系统[3]。它在流体力学，固体物理，等离子体物理中有广泛的应用。带自相容源的 KP 方程描述了在 x,y 平面上成一定角度前进的长波和短波之间的相互作用[4]。从 KP 方程出发，在 SATO 理论的框架下，可以对 KP 方程族进行可积推广，得到带自相容源的 KP 方程族[5]以及带两个时间变量的新的推广的 KP 方程族[6]。B 型 KP 方程族是 KP 方程族的重要的一个子类，它是在 KP 方程族的基础上增加一定约束条件得到的[7]。本文研究了一类新的推广的 B 型 KP 方程族的构造及其约化问题。对于 C 型 KP 方程族，我们已经得到了新的推广的方程，并研究了其约化问题[8]。B 型 KP 方程族作为 KP 方程族的另外一个重要的子类，也具有很大的研究价值。在本文中，通过考虑平方特征函数对称，我们构造得到了新的推广的 B 型 KP 方程族。新的推广的 B 型 KP 方程族包含了两族新的时间变量  n 和  k 以及两族参数  n 和  k ，记为 ( n ,  k ) -B 型 KP 方程族。 ( n ,  k ) -B 型 KP 方程族含有  n 流、  k 流以及一个混合了  n 、  k 时间演化关系的特征方程。 *

基金资助：受中央高校基本科研业务费支持资助（13QN28,13MS39）。 - 45 http://www.ivypub.org/apf/

( n ,  k ) -B 型 KP 方程族可以约化为经典的 B 型 KP 方程以及带自相容源的 B 型 KP 方程。通过在 ( n ,  k ) -B

型 KP 方程族的基础上增加一个约束条件，我们可以将其约化到 1+1 维的形变的孤立子方程，如形变的 SK 方程等。这有助于我们更好的理解 ( n ,  k ) -B 型 KP 方程族以及 1+1 维孤立子方程族的可积性。

新的推广的 B-型 KP 方程族首先，我们来给出构造新的推广的 B 型 KP 方程族的一般步骤。平方特征函数对称是构造得到新的推广

的 B 型 KP 方程族的关键。借助于该对称，我们能在原方程的基础上增加一个非完整的形变，并且保证我们推广之后的方程仍然是可积的。

1.1 B 型 KP 方程族从 SATO 理论出发，定义一个拟微分算子 L L    u1 1  u2 2 

(1)

其中 L 的系数 ui 为待定的函数。KP 方程族可定义为

Ltn   Bn , L ,

(2)

其中 Bn  Ln 表示为拟微分算子 Ln 的微分部分。考虑变量 tn 和 tk 的相容性条件，可得到 KP 方程族的零曲率表示为 Bn,tk  Bk ,tn   Bn , Bk   0 。

(3)

另外，我们可以知道 KP 方程族的特征函数  以及共轭特征函数 * 满足线性关系 tn  Bn    , *tn   Bn*  * 

为了得到 B 型 KP 方程族，我们需要在 KP 方程族（2）中增加约束条件 L*  L  0

(4)

(5)

这里 L 表示拟微分算子 L 的共轭算子。通过展开(5)可以发现，只有 n, k 选取为奇数时才可以得到非平 *

凡的方程。比如当 n  3 ， k  5 时，可得经典的 B 型 KP 方程 1 5 5 5 5 5 5 ut5  u (5)  ut(2)  u ' u (2)  uu (3)  uut3  5u 2u ' u '  x1ut3   x1ut3t3  0 3 9 9 3 3 3 3 9

(6)

在这里 u  表示 u x 。并且，通过研究约束条件，我们发现 B 型 KP 方程族的共轭特征函数为其特征函数对

x 的导数。

1.2 ( n , k ) -B 型 KP 方程族借助于平方特征函数对称，引入两族新的时间流  n 和  k ，它们满足如下的 Lax 方程 N   L n   Bn   n   ri  1q 'i  qi  1r 'i , L  , i 1   N   L k   Bk   k   ri  1q 'i  qi  1r 'i , L  , i 1  

(7)

其中在新的时间流中所增加的两个函数满足下面的关系

 n  qi ,  Bk  qi     k  qi ,  Bn  qi    0, k

 n  ri ,  Bk  ri     k  ri ,  Bn  ri    0, i  1, 2, , N . k

(8)

接下来我们将证明我们给出的新的时间流是相容的并且由它们的相容性条件可以导出得到新的推广的 B 型 KP 方程族。定理 1：在约束条件（8）下，Lax 方程（7）是相容的并且（7）的相容性条件给出了新的带两族时间流的推广的 B 型 KP 方程族的零曲率表示 - 46 http://www.ivypub.org/apf/

N N     Bn, k  Bk , n   Bn , B k    k  Bn ,   ri  1q 'i  qi  1r 'i    n  Bk ,   ri  1q 'i  qi  1r 'i    0, i 1 i 1    

 n  qi ,  Bk  qi     k  qi ,  Bn  qi    0, k

(9)

 n  ri ,  Bk  ri     k  ri ,  Bn  ri    0, i  1, 2, , N . k

它的 Lax 表示为 N     n   Bn   n   ri  1q 'i  qi  1r 'i      , i 1  

 k

(10)

N     Bk   k   ri  1q 'i  qi  1r 'i      . i 1  

证明：记 Bn  Bn   n   ri  1q 'i  qi  1r 'i  ， Bk  Bk   n   ri  1q 'i  qi  1r 'i  ，为了证明新构造的两个 N

i 1

Lax 方程是相容的，我们需要证明 L k , n  L n , k ，即  Bn,  Bk ,   Bn , Bk  , L   0 ，在这里，我们只需要证明 Bn,  Bk ,   Bn , Bk   0 。      k n n  k

为了描述简便，我们省略其中的求和号。通过计算我们可以发现 Bn, k  Bn, k   n  r  1q ' q 1r '

k

  Bk   k  r  q ' q r ' , Ln    n  r  1q ' q 1r ' 1

1

k



  Bk , Ln    k  r  1q ' q 1r ', Ln    n  r  1q ' q 1r ' 

k



类似的，我们可以得到

Bk , n   Bn , Lk    n r 1q ' q 1r ', Ln   k  r 1q ' q 1r '   n

由于 N  B ,  ri  1q 'i  qi  1r 'i   n  i 1   N

i 1

  Bn  ri   1q 'i   ri  1 Bn*  q 'i    Bn  qi   1r 'i   qi  1 Bn*  r 'i 

我们可以对上面的式子进行化简，进而得到  Bn , Bk    Bn , Lk    Ln , Bk    Ln  ,  Lk           k  Bn , r  1q ' q 1r '   n  r  1q ' q 1r ', Bn   

  n  Bk  r   1q ' r  1 Bk*  q '  Bk  q   1r ' q 1 Bk*  r '    k  Bn  r   1q ' r  1 Bn*  q '  Bn  q   1r ' q 1 Bn*  r ' 

联立上述三式，就可以证明 Bn, k  Bk , n   Bn , Bk   0 ，从而说明我们所得到的新的推广方程在新的两个时间流下是相容的。这样就说明我们所推广得到的方程族是有意义的。接下来，通过计算相容性条件，我们就可以得到新的推广 B 型 KP 方程族的零曲率表示。另外可以进一步验证，从 Lax 对出发可以得到新的推广的 B 型 KP 方程族。这就证明了我们所得到的方程族是拉克斯可积的。由于在新的推广的 B 型 KP 方程族中的参数  n 和  k 都为任意的常数，我们可以考虑它们的一些特殊情况。当参数  n 和  k 都取为 0 的时候，我们推广的方程族就退化为了经典的 B 型 KP 方程族，当  n 取为 0，

 k 取为 1 时，我们可以得到多分量 B 型 KP 方程族。因此我们构造得到的新的推广的 B 型 KP 方程族包含了以前的结果为特殊情况。我们所构造的方程族具有更广的可积性，在解的结构上更加丰富。

新的推广的 BKP 方程族的约化 - 47 http://www.ivypub.org/apf/

通过引入一些约束条件，可以将 2+1 维 B 型 KP 方程族约化到 1+1 维的孤立子方程族，这有助于我们研究 2+1 维 B 型 KP 方程族框架下的 1+1 维可积系统。对于推广的 B 型 KP 方程族，也可以进行类似的约化。由于推广的 B 型 KP 方程族具有更丰富的可积结构，因此将其约化得到的推广的 1+1 维孤立子方程也具有更丰富的结构。首先，我们考虑推广的 B 型 KP 方程的 k-约束 N



Lk  Bk   k  ri  1qi  qi  1ri i 1



(11)

在这个约束条件下，由关系式（7）我们可以发现

L  k

k





 N   0, Bn, k  0,   ri  1qi  qi  1ri   0  i 1  k

(12)

这说明我们考虑的推广的 B 型 KP 方程在上述约束的情况下与  k 无关。而且，在考虑平方特征函数特称满足的约束条件时，需要将 qi , k 和 ri , k 替换为 i qi 和 i ri 。这样一来，将上述结果代入方程（9）我们就得到了 k-约束下的推广的 B 型 KP 方程族 N N     Bk , n   Bn , B k    k  Bn ,   ri  1q 'i  qi  1r 'i    n  Bk ,   ri  1q 'i  qi  1r 'i    0, i 1 i 1    

 n  i qi  Bk  qi     k  qi ,  Bn  qi    0,

(13)

 n  i ri  Bk  ri     k  ri ,  Bn  ri    0, i  1, 2, , N . n

其中





n/ k

N   Bn   Bk   k  ri  1qi  qi  1ri  i 1  

(14)

从 k-约束的推广的 B 型 KP 方程族的形式我们可以看到，与方程(9)相比较，方程(13)只具有两个变量 x 和 t5 。它由 2+1 维方程退化为了 1+1 维方程。B 型 KP 方程族是一类重要的 2+1 维可积系统，考虑它的 k-约束可以得到很多重要的 1+1 维孤立子方程族。而现在我们考虑新的推广的 B 型 KP 方程族的约化，这给我们提供了一个简捷的方法来得到新的推广的 1+1 维孤立子方程族。通过选择不同的 n 和 k，我们可以得到不同的孤立子方程族，如果在这里选择 n  5 ， k  3 ，那么我们将得到混合型的带自相容源的 SK 方程 1 5 5 3 5 3 ut5  u    uu    u u    5u 2u  9 3 3 1 N   (5qi(3) ri  5ri (3) qi  10qi(4) ri  10ri(4) qi  30uqi(2) ri  30uri(2) qi  30u qiri  30u riqi ), 9 i 1  

3 2

 

 n  i qi  qi(3)  3uqi  u qi   5 N  10     k  qi ,t5  qi(5)  5uqi(3)  5u qi(2)   u (2)  5u 2   qiri  qi ri qi   0, 3 3 i 1     3    n  i ri  ri(3)  3uri  u ri  2  

(15)

 5 N  10     k  ri ,t5  ri (5)  5uri(3)  5u ri(2)   u (2)  5u 2   qiri  qi ri ri  0, 3 i 1  3   

从上述混合型的带自相容源的 SK 方程我们可以看到，由于存在两个任意选取的常数  n 和  k ，当  n 取为 1，  k 取为 0 时，我们可以得到第一型的带自相容源的 SK 方程，而当  n 取为 0，  k 取为 1 时，我们可以得到第二型的带自相容源的 SK 方程。 - 48 http://www.ivypub.org/apf/

结论本文研究了新的推广的 B 型 KP 方程族的约化问题。通过在推广的 B 型 KP 方程族的基础上增加一个约

束条件，我们将原有的 2+1 维的推广的 B 型 KP 方程族约化为了 1+1 维的形变的 SK 方程，该形变的 SK 方程可以看作混合型的带自相容源的 SK 方程，其附加项满足的约束条件与以往相比具有更大的自由度。研究新的推广的 B 型 KP 方程族及其约化的求解是接下来需要完成的一个重要的问题。

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H X Wu, X J Liu, Y B Zeng, Two New Multi-component BKP Hierarchies, Commmun. Theor. Phys., 2009, 51: 193-199

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Y Q Yao, Y H Huang, Y B Zeng, A New CKP Hierarchy with Two Generalized Time Series and Its Reduction, Commun. Theor. Phys., 2011, 56: 626-630

【作者简介】 1

黄晔辉（ 1984- ），男，汉族，博

士，讲师，孤立子与可积系统。

刘勇（1980-），男，汉族，博士，副教授，偏微分方程。

Email: liuyong@ncepu.edu.cn

Email: yhhuang@ncepu.edu.cn

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