Estructuras dos. 2 de 3 by Mar Rem

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eawela técn1.ca SUl8l"lor de uquitec'b.lra da valladolid .

estxuctu.raa uno

VIGAS CONTINUAS

1. CONTINUIDAD

1.1

Introduooión

Q.JBndo se trata de proyectar un elemento a flexión BObre varioo apoyos oone8Oltlvoe existe, en ¡eneral . una ventaja indudable en disponer una v1,¡a aontinua. 1110 hwlica que la deformación tiene Qua correeponder a una pieza enteriza, con curvatura oont1.nua.. sin brusquedades. S1 86 dieponen tr8lD08 eueltoe , cada uno apoyado en BUS e.xtremoe. el régimen de cada traro ea de IIOIDentoe poeitlvoe. y la curvatura axperi.rDenta un cambio bIU800, un quJebco, al pasar por·~el apoyo, ya que cada tramo posee en ese p..wto una 1ncUnacioo. diferente. No exlet& la interaocloo de loo diferentea tr4lXM!l . l1m1tándoee 6etoe • oocopartir el apoyo que reeponde 000 la l5UlDll de rea0010nee que oorr,MSpooderian a cada tr8lDO.

oc:aam,

11 ooa¡portamlento en oontlnuÍdad P8l"1Dlte el funclOf\81Dlento en régimen alternante de D::ImMltoe positivos , y necatlvoe. como e l Que Be produce en una v1,&a oon voladlaoe. Cada tr8lOO interacciona con 106 colindantes pactando una lin10a .1ncJinaaján -&Obre cada apoyo , sin giro relativo entre loe doe trarD()8. reep:nhendo el apoyo con la reacción que cofrespalda a l l"éiiD!n de IIlCmentoe de cada ~,: que acxxqete a 61, ver tiaura 1.

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AII.

Con un rée1.men de IIIOCDetltoe positivos y negativos, loa provenientes da una caria dada p.l8den ser menores que en la eituaci6n de tramoe sueltos , reaultando eer vAlida una pieu. de meo:Jr eecci6n.. En Jl8dera. en la que el

2 diaef\o ea frecuentemente por oortante, no hay aran ventaja en la continuidad. ya qua 108 cortantes varían poco o nada de lUla solución a otra. Por otro lado en madera un oriterio obvio de economía es el de reservar 188 plezae lat1l88 para la luoes largaa. Y en definitiva procix:lr continuidad • partir de piezas preexlatentee de peq\..WJi\a lonaltud ea tarea aróJa Y ooetoea que ¡uede cancelar la ventaja de ooete de la menor eeoc1.6n. &1 acero el d1.eeAo no MI leneralmento por oortante sino por IOClIOeI\to y aun l'l6e por flecha. Con una viaa coot1.nu.a la flecha d1sm1ruye dr6at1.caIDen.te haciendo Que el dleef\o pueda haoeree por ree1etencla. ~ la eeocl6n de una vt.a;a detenainada por flecha daba haoerae oon tenalonee reducidas, eeo 8610 juatlflcaria la ventaja de la ooot1nuidad.. En acero ademá8 las plezae lam1.nadM ¡ueden obteneree en cualquier longitud, - solo limitada por el trarurporte- , O un1rDe en obra por BOldadura u otroe a1.et.emas sin ooato deeorbltado. .

En homJ.c6n aI"DIIIdo. cuando 1aB plezaa . . hormtaonan in aitu, Be obtiene directamente Wla pieza oontinua , oon ventaJea indudables de aeocl6n neoeearla para IIOportar laa eolioltaolc:aee, y con 1qlortante reQ.x::clál de flecha. 81 la8 piezas 800 pretabr1cadae. la continuidad Be oona.1Mue IllÓlo con ooeto adlol00al. y por tanto la ventaja no 88 tan clar.. En acero la eolucl6n oont1r»Ja no hlpl.lea unión eoUdarla al apl)'O, que debe lo¡rllI"Be exprofeeo, con un oceto adio1onal que a eoeral.mente no .. justifica. En oorm1a6n habltuaaen'te la IIOluo16n riaida abarca. no 0010 a la vi&"a oonaecutiva eino tambilln al soporte ei 6ete _ del alBlDO material. Eh hor.14I;6n el IIOdelo de viaa continua 88 apUca cae1 excluaivamente a torjadoe. apoyados en DJr08 de ladrillo o ~ v1&aa, Y a 6etaa cuando loe soportes lKlIl de acero l.aD1nado.

1.2

Obeérvese que no es la viga la hiperestática, sino el cálculo de reáocl00ee.. Q..ae exista hiperestatismo no quiere decir que la estructura sea por ello mejor, ni más r1gida; simplemente significa que en el c:Alrulo, -en este caso de las reaocl0ne0-, hay que introducir mAs oondiClones Que las de equilibrio. En ese sentido era hipereetátloo el c:álOJlo de tensiones nora:.alee de la 8eOCi6n I!!IClt1:1etide. a .momento flector; y al taJDente hipereutátioo . ya que l!!IXistian 1nfinltae 1.nc68nitas y 0010 dos ecuacioMe, aunque la introducci6n de una 801a cxn:Uci6n ro6s -defomaci6n planapermitió resolverlo. Para reeolver 1.Ql. 06.lculo hipereetátloo es preciso et'lCXlntrar las oond1ciooea Que faltan, que aon l!!llat.emátlcamente las de coherencia 8801PÉ1trico en la detoI1MOl6n -denoaI1.nadaa oondlciones de ~t.tbJ.lic:ladw: la deton:r.sci6n procedente de - l.ae; 801101taclonee resultantes tiene Que l"l!!lll!lpetar 1ae oondloionea de la estructura. -en la visa OCIltinua son las de oontlnuidad de la detormación y deooenso nulo en apoyoe- .

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¡ '1UIIIilllliWWnllIIIDlllillJI(II'. .. • • , " .

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Blpereatat18.a

En W\& viaa continua 00 pueden. obt.4meree ni 8iquiera 1aa aol1cltacioMIS de seoci6n a partir de 1ae fuerzas aotuantel!l. ya que 6ataa incluyen 1M reaocionee de loa e¡lQYQII, que no ¡uoden dedl.loirae da laa oond101onea de equilibrio. " Ikla viaa oontinua. COIlO la de la f'J.cura 2 , do doe tralllOe de laual l.uz I5OIIJetidoe a caraa unitoZ'b!lD8llte repart1da de valor q. poNe tres reao::lonea, que en e1Detr1a e1anif'1ca doa J.noó&nltaa. - aunque ello e~ no poder utilizar la oondioi6n de JJ:lCD8I'loto nulo Que 88 o..tDlPle aut:.oú.t1CUJente-. Las ecuaoionea de eQuilibrio dieponiblee 1M 11mi tan a la nulidad de euma de fuerzas verticales. Al taltar W\a oondlo16n ex1aten u.íltlplee eietemae de rea001.onee que eatlataoen el equilibrio. ¿wü ea el correcto7 Dependo.

rESte problema ee dice Que preaenta hipereetatioidad, y de Ifl'ado 1, ya Que W\& ea la 1.no6Cnlta deeoonocida por lu eouaoionea de equilibrio. !.ha v1.aa de dos trMlO8 cualquiera ¡a¡ee tl'M reaool<Xl88 y dos ecuaci(l')88. y por tanto BU solucIón ea ~lP!nte hlpereetAtica de ,rada 1. SI la v1¡;a poeee n traD:>ll, tiene 0+1 reacciones, con dos ecuaol00ee, y por tanto el problema de hallar l.ae es hipereotátioo de p'ado n-l. Con dos apoyos, una viaa de un tramo 88 hipereotátlca de lirado cero. 1eoetátlca. Con un 15610 apoyo la viga no tiene asegurado el equ1l1brlo. Con doe el. y con tres o Me hay redundancia de apoyos.

, En cada dependen de

caso loe valorea de l. 801uci6n al problema hiperestAtlco lae ocnd1oionee de deformabil1.dad de la piezas. Si en el ejeq'¡o de la tiaUra 2. lIC!!l 1nto.rruq:l8 la oontinJidad entre ambos trlUllOl!!l, laa reaooionee con_ponden al eeqUEll:la de dos trMlO8 sueltos y por tanto de valor B1=O.I5·Q·L y Ra;:q6L. 81 los apoyoe extreeoe p..IElden ooder vertical.alnt.e, lae reaoolonea ooneepawiM. a una doble IDénl!!lula, y por tanto oon 81=0 y B2=2·q·L. La. eolución en la IMYOria de loa d1eel\oe de vl&a oontlnua debe encontrar. obv1ulent.e entre uboa valorea . 11 D6todo de oilculo. cuando el número de ooodiciones Que faltan es exiguo. s::uede I18r partir de un problema cercano reeoluble, el sistema .16otJUti00 pr1noJ.ptll. obeervar BU ocqxn-twrniento, deducir las diferencias con el problema propuesto , y eftad1r laa oond.icionee lb8Cánicaa neoesarlaa para restituir laa ae0m6tricae que diferencian el eiet..eCDa real del eetudlado. Existen IIlltlples eil!!ltemaa ieoeUtlcoe de loe Que partir para el e8tudio de lUlO hipareetAtloo. Por ejemplo, en el C480 de la t~ra S. el no exietleae el apoyo intermedio, el s1etema seria resoluble, y la inc:on&ruencia estar1a en el p.mto central . Dicho p..¡nto exper.1#lentaria. para secci6n oooetante, un deeoenso de valor & = H·(2· L)2/9.6·1l oon tt=Q&~2 /8. El e1etema real no P8l""11ite el deeoenao. lUI!IQo lIUal1nletra una reaCción que ae opone a ello. Con una tuerA central de valor R2, la

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f ¿ (¡l 1??+zR,;:q.i2lJ 4 d;Ji(lL) tf- Wf..}.' L+21?I =z +L~"""RA '!. '!.éJ. t , 1 flecha. hacia arriba. seria de valor O = 11- (2'L)J/12D oon II=R1 • (2L)/4. 51 el apoyo es lo que ea, oona1gue prcdJclr flecha definitiva nula en el central; identificando loe anterloree valorea de ., Be obtiene

punto

B,=10 -q-L{8 y por tanto Bl =3-q-L{8,

51 80 parte de que loe apoy08 extreme no ex1Bten la pieza en doble voladizo p;>Bee en extnmo una flecha de valor O = 11' La/m 000 tI=q·L2/2. El a18tema real provee en extemo una reeoollln 8 1 que ocasionarla por e1 W\a flecha -aaoendente- de valor a = R1L·LI/31I . ~lando ambas 8e dcduoe la expreal6n q·L 2 ¡8 = 81 ' 413, que ocn:iuoe a R.=3·q·W8 y por tanto tMb1411l al valor Ba=10·q·WB. I

61 se parte de doe tr8llD08 sueltoe, cada uno es ClCm:) una vJ.ca apoyada oon caras uniforme. Ahora la J..ncx:m,¡ruenola ae pt"C:dJoe en la 1ncl1nao16n en el centro: ClaQPOrtándoee occo doe vipe, aueltu cada una lira hacla eu l ado, pero OOIDO viaa oontinua. -y por aimetria-, no ¡uede experiJllentar 1.ncl1nacl6n . El e1.tema que hay que aftadlr. cada tramo ea un IlOIDeI'\to -neQ;ativo- qua produaca 81ro nulo. CXWIO lo proc:b:l1r1.a un voladizo Idecuado_ El airo en tul extremo ante lm& ley de D::aIRtoe dada pJede obtenerse calculando la flecha total reepecto a la tanaente en el otro extnllllO -qua no ea eino el ..."to de la ley de curvaWraa- y divid16ndola por la luz, ver t1&ura 6. Eete 0610010 equivale JlLIII6r1C8D1!l1lte al 0610110 de la J"8rlI(Xl.16rt de la p1eaa IICIID&tlda. una ley de oarvaa o::G:) la de curvaturas -que para eeooión oonetante ea proporol<l1\al. a ~ ~ D:lIIIMltoe- .

.¡UUllliU¡UllI , ~ 1

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L- - 4 - - 1.. -..-

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5 8

K - L I 3-B-l

[ 2 1

Identificando _boa li1"08 Be obtiene 11 = q·L2¡8. Dicho ux:mento , que consigue reducir e l airo de Wl extl'elOO a cero. es el mismo que Be produclria en la eituación de ellP'tr.w1anto perfecto que ee como habitual.JDente Be le denomina. A partlr de 11 ~ ¡:ueden obtener l.ae reaoclonee en cada ext~ PI = q'4'2 - tVL )" Ha · = q'W2 + M. reeultando 108 valorea antes obtenidos directamente .

1.3

lnfluenola do l. Yarlaoión de seoción

N6t..eee que 1011 reeul.tadoe anterlores dependen de la deformación de la pieza, habiendo eupueeto BeOOiál constante y deton::I8tCl6n despreciable por cortadura. fUede veree por ejtlq)lo que en el c6lculo a partir de una doble ID6naula, la flecha. por cortante de la caraa uniforme no e8 19u.a¡" a la producida por el valor de 8 1 calculado, -ya que lae áreas del diagrama de cortantes no 8Cft laual.ea- por lo que ese valor de 8 1 no corresponde a la aoluai6n b.leoada. Sin embarao.• dada la pequef\a incidencia que suele tener 1& flecha por cortante , loe reeultadoe del apartado anterior suelen darse por vU1doe para IIOOO~ ~tante . Aunque la var1ao16n por oortante es poco eiKnit1cativ4, ' la que se eeoci6n ¡:uede ser bJ.y superior. Por eJeq»lo oooaideremoe.l oaeo de la t~ 4. Ka inicialmente el IIls!oo eetudiaq:> anteriormente. Para ee00100 unifome .1 IlC:CIeI\to Dh1mo ·ne¡¡atlvo- aobre apoyo es lIa=O.126·q·LI. )" el '~to bhimo pooltlvo, que sucede a una cota 3L18 del extremo exterior, t,t.ene el valor tIo=q'(O,375 'L ) ~ ee decir Ho=O,070 q'LI, Para no repet1r ~.' OOIlIStanteDente loe tél'1ll1noe ~ q y L~, .ur-.. .Iq>~te ~.! =0 . 125n'o=0. 070, desprende de var1ac1onee de

,,--,,,1

_.,,! I!1!1\!I~lllliIIlllh!'

Para cara. w\lfolUl la ley de I:IaDeIltoe..ea paratxll1ca y por tanto el 11ro -reaoci6n- en el e.xtre.o ... de valor 8 = O,87'II' O,6 '4IIl CQl tl:qL3¡8, ... decir:

8 =

q -

L' I 24-1-1

[ 11

Con un IIOII'I9Ilto 11 ." el extl'elllO interior del tramo la ley de n::mentoe es lineal, con airo -reaoci6n- doble en el extremo interior Que en el exterior, de valor 8 = O,87'!I'412 fJ:ee decir:

CoaIo el mmento es lDáxiDo aobre el apoyo central, ai la seoci6n ee disefta para eoportar con securidad ese D:UWlto, eobrará eecxi6n en toda la pieza, y IIIJY e~Uicat1vamente en el vano: loe II"IOIDel\toa 80bre a¡x>yo Y en V{tI)O etlt.6J¡ ~l ¡., relao.f,Ón 1 : 1.6 .. t(Mltr_ QI~ Ja. <l'liW'O Jr~ I"nft l nl,.wlt.nn

------ - -~,----,-_ . -

ll.»oal,

-_... .------ _._--.. -

Kiro - maoo1ó,,- dobla IWI d &xte~or. do valor e = 0.61 · tl·412~ J. ea decir:

00fl

------

dtnoft3 ¡'IAI'A notJQl1.8r con (u",url\.lftd MO 1ftI;!lnnnto , .,\.);"..4 ~ I "'I ... , Villa 1_ ploza , y wy a!.inUlC4t1vOJoonte 01\ el vano: loa Inomontoo oobro IIIX1yO y 011 vano eet.m en la relaci6n 1:1,6 lDientraa que las capacld.aden reeifttant:.ftft

oxtl"'Ol'lO lJ1l,(1,rl0r '11JO en d

( ,

: 1 I

I 1 I I

·1

de eeaa ml8D'\8.8 secciones son 19uales. ¿se p.lede. a tenor del anAlisi8 de oolic1 tacionee, disponer mnoe secc1ón donde lD8nOB momento hay? Al haber adoptado la h1pótesis de eecx::16n constante para el cálculo, no podem;:)a C8JTlb1ar la eeoci6n de unos p.mtoe a. otros 1.m;puneInente. pero eiempre pode¡ooe (X)081derar 11M secci6n sobre el apoyo central oon tal de rehacer

loecl.lcul06.

Supongamos que en Wl8 amplitud O,3'L a cada lado del apoyo central, retorzamoe la 6ecx:li6n. que ea de dos áreae A a distancia h. con dos 'reas de valor laua1mente A. La inercia en eaa l!IeOJi6n se duplica y lo mismo aucede 000 e l módulo reeistente. Pareceria. pues en primera aprox1JGaoiOO que oobrar' rea1stencia eobre el apoyo. No ea ..1. oocoprobanse que ei el DJCDI!IOto en el centro ea ~c=O.150 la reacx:i6n en el extruno ea Bl/q'L=O,5-0, 15=O,S5 y el mooento 1lÚ1mo en vano ea IJo=O,35·0,35/2=O,061. Cal eee esquema de J:IOIDeIltoe, e l lioo. que ea la .nMOC1áJ del diaar_ de curvatura ea , con la rotac1OO de la fiMura 4: Puede

e = 2/3 9

. . . . "" • (1-00) - 1/2 •

a,·~,

. (1-0,)

• II./BI,

0,67 · 0.70 -0,061 ' 0.35 - 0,60 ' 0 , 30 ' 0.150'0.90/2 a

I I I

¡ 1 I I I

II I, I

[ 4 ]

por lo que la relaciOO de IDOII'leIltoe ea ahora 0,061:0,160 ea decir 1:2.5 mientrM que la de capacidades reeietentee ee 1:2. Al aumentar la reeistencia ha 8UIDelltado la 1nerc1.a y oon ello han cambiado tarob1&\ loe I:ICG:IeIntoe: ea la sección sobre el apoyo la que debe eleclrae para eoporta,r 8U rw::mento, y lMWUir6 bol.Q:ada la del vano. Bien ea verdad que la d1tarencia se ha atenuado alao, ya que antes la ee0016n de vano tenia una capacidad ree1aten~ 1,76 mayor que elllC8ll1to actuante. y ahora 5610 1,23 veoea mayor.

La soluciOO eetudiada oorreeponde al caeo de seociál ideal de acero. In las eeooionee realee, OOIDO por eJel:lPlo loe perfil. m. el 1DÓdU10 ree1etente es lileramente mayor que el ldoal, de valor No:.l1 . 2·¡·b. que

al IIllPlementar con platabandas A, 5610 podria. aumentar a H.=2,2·'·h lIientras que la inercia aeoenderia. de t.=O¡28'&'hl a un valor ·lileramente IIeIlOr del doble, aprox1madalDente I=O,51· j,· b . La re1ac:i6n de .1nerciu ea 1:2 y por tanto la de D::lIDeIltoe ea la calculada 1:2,5 Il1entru que la de móduloe ree1et:.elltee ee 1:1.8. La oonolusilm 08 la 1I1em: IObra reelJ5t.eQoia en el vano. . . IW hono1a:ón auoede a~ parecido. 8i en tunc16n del -anj,l1eia de seoción oonetante del apartado anterior 88 el1ae una 880016n de bonn1a6n, 00fl anwiura variable, por eJM¡plo 2" aobre ap::JyO Y • en vano, 1011 m6duloe ree1etentee. en un cAlculo aJuetado ea enoontrar4n en una relación ~o interior a dele, debido a la ~r profundidad OOIlPr1mida de la BeOCi6n 11M &rIl8da Y 8U oc:ae1&u1ente cliaadJuJlál de bruo de palanca. Loe IXlIlOIltoe de inercia 88 p.Jede calcular que 88 encusntran aproximadamente en relaciOO 1.6:1 debido al m1eD:J feni:meoo. Ahora ea un JX:CDento ii=0,140 el que produoe una reaociOOR 1/q·[':;:O.6-0,14,=O,36 y un IInDento en vano Po=0.36 2j2=O,066. El.ir<> IIObre apoyo eeria, de acuerdo con [3]:

[ 6 ] y de nuevo tenemoe la DiBma conclusión: la relación de capacidades reeietentee ea 1,8:1 y la de moCDerItoe 2.1:1 . Todavia e1a:ue eobrando reeilltencia en la eeoci6n de vano.

Lo que importa ahora no e8 ei se acierta o no con una solución en la que, estéticaroonte, se aJuatan las doo BeClClones más significativas al aaoanto Que actúa eobre ellas, aino comprobar que la variación de sección a lo larao de la directriz cambia el rés1men de solicitaciones en la pieza. Las sol1citac1onee pues no dependen sólo de las acciones y la ¡eorootria alobal -luces y car¡as- de la estructura, sino también de las caracter1sticae de la eecx:16n, que paradójicamente es la que debe BOp:)rtarlae. Eso ee 10 que hace en ooasiooee complejo el d18eflo de la estructura: que l.aa BeOJionee deben soportar eetadoe de solicitación que dependen de cX:elo sean e llaa mil!lllll!lS. El problema del disef\o S8 werde la cola: no ea p.l6den e1eQ:ir lu eeocionee ain saber a qué eolicita.cionee deben h.a.oor frente, y las solloitaoionee no 1M pueden calrular 15m tener decididas l.aa oeoc1ooee . El problema no ea tan ¡rave .. Se pueden ele&ir 188 seccionee con eet1maci6n de primar orden de l.ae sol1citacionee, que en general están lIlY aootadaa¡ las eol1oitao1onee dependen en detalle de 188 secciones , paro no v10lentamente: l.aa variaciones de eolicitación eon s iempre de IDMOr entidad que loe CAIIIb1.oe de eeex:16n, -alW¡U8 no siempre en el miBlDO sentido del C8IIlb1o: no euoede ~1.amente que al11 donde se aumenta la 8eOCi6n auIDEtlta la IIOllci tao16n-,. Tiene sentido por tanto resolver inicialmente las v.1aaa o::otiD.ws: de eecci6n oonetante oomo lUla primers eat1maoiál del OCCIPO~to da eete tipo de estructuras. que CDrre¡ireble poeterlol'D!nte. ' W\8

2. AHALI8I8

VIGA8

COHTIHU~8

I j

¡ I

2.1

Viaaa Qoat1au•• de 8000160 oonatante Consideremos

para eII¡leaar un caeo sencillo: una viM:a continua de CClNStante de doe trame de diterente luz, tI y L2, somotidoe a caq¡u uniformes de valor ql y 'b. -ver ttaura 6. Partiendo de la situación

~ión

de t ramoe aueltoe. en cada uno Be produce por la caraa un liXO en el ext.-:> oooún ruyo valor ~ _ r a e 000 [1]. oc "1,. ' L t- '3 /2:1 . t .

La o::ot1nu1.dad obl1a:a a la exietencia de un o::mentO oobre el apoyo oc:GÚl. ti, que proóJoe un ellO en cada v.taa do a!ano contrario al anterior, ruyo valor puedo qbtor>o,nso "'" [2]:

1 <

1 1\ ,1

La coherencia gecxn6trlca o OOCI\P&tibllidad. obllaa a que el quiebro que producen loa IJ:IIIlentoe 8íat8il Bf)8 ~l al que ocaa1onan las C&l1IM, de valor 8u+8u. de donde:

M'L I /3-B'1 + M·La/3·B·I = QI"LI'124·1I + Ql,La'/24'Bl

[ 10 1

[ 6 ]

reeultando, para W"Ia v1a:a continua de n tramoa, un sistema de n-l ecuac1ones oon otras tantas 1nc6snltas. · La exp~l6n [lO] recibe por razonea evldentea la. denoI:Ilnao16n da ea.woJÓrl di! 108 t.ree ~tos.

ecuación que permite obtener 11. 51 la víaa continua poeee varl08 tramoe . ver fiMura 6, el Quiebro sobre el priMler apoyo interior debido a lu C&f1(aa tiene la lliam expreaiOO que la obtenida en el 8eI(lUldo tAmlno de [8]. Sin embarco el debido a a loa Ib:XIIBOtoa dal BeIiUIldo truo depende de tma ley trapecial de IIOIDel'Itoe definida por 1121 y lIa,: el ¡lro que produce W\a ley trien¡ular Clal baae en Hu se puede obtener por [2] y 815 iaual a MuLa/3BI; el que produce W\8 ley trianaular con base en 1121 • ~ M razonaba anteriormente. al oorreaponder a la nt8CCl00 IlMQr, ea la Dltad de lo 1nd1cado en [2] y por tanto de valor !!IuLa/6U. t. ecuaci6n [8] De tranaton:la abora, ellDlnando

el factor ooaún 11. en :

En cada apoyo interior Be ¡uede plantear una ecuación similar. Siendo 1.J.k Y 1 números Buc:ealvoe, la axprea16n para el apoyo j-k, es:

2.2

Iafluenoia de oarca.

puntual~ .

S1 ademáa de caraa unitol"'lD8 ex1.ate alauna carga p.mtual. bastará en el tél"'lDlno ciel lIiro de la caraa. af\N:l1r el que produce l a p..mtual. Slendo el ,iro la l"IMOOJÓrl dal d1aaraJDa de · curvaturae -lOCltOentoe-. para callI& pmtual. loe airee en loe extÍ'ellloO , cie acuerdo oon la f~& 7. son:

[ 11

que, como 1I13=lIu . queda:

2·III1'(L, .... 1 +11,,·... = 'l" ,L ,'/t'': ;.. .... ·/4

q",

ti'"

__ ~,

;

...

[ 81

lHlllW .lLU!Ji lltllU l Jlt 11l~WHlil ll! ¡H 1\1& 1\

4/ '1111

L. -- +._- L. - --t- L, J 1J 1

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t-~ ' 1-

1-!:.'1l111111111 t ~ 11111: :h!l~

que habr' que aflad1r ·a loe oorreepond1entes t.6l"'1D1nce del S1ro de la carga Wl1tol'D!l de valor q·L' /24. ·kl, In lae 'expreBlonea del tipo [10] loe valoree de (11] deber'" introduolrae Dlltipllcadoe p)r el factor ooaiul el1JDlnado 6 ·11. Sl exlete cualquler otro tlp:> de caraa, baatad deaoomponerla en un núDero adecuado cie puntualee y aplicar euoeelvaDente (11). En la fi8ura 21 Be

Dl88tran eol1.o1tac1cnee provocada.e por caraae puntuales .

2. 3 61 existe voladizo previo .1 truo prJ.aro. en el ~to del giro del primer trlUDJ intervendrá de IWlIleIra an6.l.q(a el .....to del voladizo, 110, obUlnlble d1rectamente en tuncl6n de MI cara. y vuelo, por lo que la U] ea en _te caao:

[ 9 1

Vll1a de d08 traaoa

En. el eaao 81mple de v1a:a de doe tramos, ver f.taura 5, BÓlo hay Que resolver W\8 ecuaolál (10] con la única 1no6&nlta del momento sobre el apoyo oentral¡ loe otros doe aon loe da loe vue1oe . el e.xleten, y eon oonooldoe. Para el caso lIeneral de que éetoe existan , y 8610 haya car'laa Wllfol"'llEl8, el valor de dicha i.no6cnl ta ee: 1112 ::: ,( ql·L I '/. + Q,2'L2'/4 - ""o ' Ll - Kvn'L2) / ( 2' 1•• +2 ' 1'1)

(12]

,,~.-C~~~~ -----CO---" . '. ~~~

- -, .

~~ ~ "T · '-"T"or~tr~-r~~~r.p71--~r-V-r---;r------"""""'--------'''''''''''--------------------

______________________________...

[ 12 1

que en el

C680

particular de no ex1.etir vo1adlzoe queda:

1IIIIIIIUIUIUJlUllUlIllllIIlIl:UIIII

Hu;: ( Ql'L l l¡S + 'la'Las/B ) / (Ll+L2)

[ 13

- -4

cu.aOOo ademáa la car¡¡a ea unlfome resulta:

MI 2 y en el

ca.&O

;: q •

(L 1s/6 + La ' /5) / (Ll+La)

1111

•...

-~llllj1I11I

[ 14 1

11101 ;: q ' LI / 6

[ 16

que &a el IIlOID8Oto d& empotramiento perfecto de una pieza extt'6lDO, 80CDetida a caraa unltolU!l y de ee0016n OOf\8tante.

t~a

c¡L 11/8

Su ltol : c¡J..11/14 Bol ,

"'1

• notao'on•• d. la

' 00

~:i~llli~liil;rl;lIil':!.

cm.

:Pl t ,

1!1!1~

t.n.. •

1,00

0.75

O.fiO

0.26

1.00

0.81 1,12

0,75

0.81

1,18

0,40

Q.41

1.12 0.40

0,98 0.38

:a;

1,00 0,98 0.38

"'._na •

••

oo.

.75

.43

.50

"'IIOOI1rml~II'ª'

• .. ,ª"

A 'CiI~

. . 1""'JI"1'1..: . . -+ : 'q¡¡11~ ,.. 4' liI~!1I1 %ijl:!.~lll~!fr:

~11iI

. ...- .

de eqx>trUliento perfecto.

,,"'.,

Fn cualquier caso intermedio Be produce inclinación hacia el lado de lu:a mayor. que por tanto posee en BU extremo un IIICID6Ilto menor que el de eap;>trUliento perfecto oorreepondiente a d1cha lu¡: i el lIÚn1IIO se produce para ~=Ll!2 . de valor llu=O.75·QL11/0. Loa IIlCDe(ltoe poeitivoe del vano mayor, oooaruentemente, oecUan tambi6n entre c¡L 1a/12 "q,[.. 11/14. correepondiendo el secundo valor tanto a La=Ll <X*IO • La::O . La reaoci6n en el extrso varia e61.o de O.31 ·c¡Ll a O.40 ·q(.l, yel ooefioiente de este valor representa la fraoo1.6n de lWl doode IMII p¡oduoe el IItCaI\to ~1Dl. Visto desda el tramo menor el IIIOIbBllto ea e1.eqlre lMyor que eu memento ea¡potramiento perfecto, y cuando L1I:IO,.'L:a alcan.za el valor del ~tramiento en m6naula . 1.0 que quiere decir que dejan de existir . D:aII'ltoe poeitivoa en el tram menor y que no hay rea0016n en su &¡:Oyo extremo. Para valorea de LI menoree de O•• ·La el apoyo extremo pasa a de

<X*IO

anclaje a traoc16n.

..,

.30

.33

.14

.20

:;"14 11

Olando La=Ll por a1J:letrla el airo ea J»J1o y el mmento oorreeponde al de em:potra.lento perfecto. eegún (15]. Q.wdo ~=O. la v1&a oc:t1tlnua deii:enera en un 1BÓ1o traao en el que uno de loe extremoe. por "tener dos apoyos Winltammte pr6x1D::l8, equivale a una ocodlo1l:tl de airo nulo. y en efecto. la ecuación [14) tUlblS¡, pred10e IIU=qLI/8, .1 valor del IICCDEII'lto

responder

....

8 'V Tabla 1.

Tabla L Viaa cxmtioua da

mil

apoyada en un

El problema máa ueual es el de carp. uniforme, calculable con [14] , ¡udiendo denominar L¡ a la luz mayor, estando la total1dad. de 10l!ll caaoe

1., , LI

~1~m!I~~~>:t

. /b

6 --.-~

de locea 14lualee:

poelblee entre La:Ll Y La=O, ver

¿:s: .t- 8 - i - - b

2.4

Viaa de tree traao.

Para el CMO habitual de caraa unlfollD8, la situación más elq:!le ea la de leometrla simétrica. ea declr de luces LI. ~ y LI. ver figura 9. En la e.xpreai6n [O) ee llaa=llu por e1metria. refSultando: 1110 ~oe

= ..

(LI ' /. + 1.,'/4) / (2·LI +3·1.,)

[ 16 1

valorea aparecen en 1.& Tabla 2.

La totalidad de loa caaoa se encuentran entre L1=O y La=O. Para L¡=O la viCa deQ:enera en dos traD'Je 19ualee ¡ por IIIb1etr1A, y por ex1etlr dos apoyoe infinitamente pr6x1JDoe, la 1nc11nac16n en e l centro es nula, y la e1tuaci6n correep::¡nda a t!Q)OtrOlllento perfecto; y en electo con (16) lile obtiene 1l1a~11/0 . Para L1 ::O la viMa deQ:enera en un 0610 tramo, que con apoyos i.ntin!taen loe extremos equivale a empotramiento perfecto en amboe ladocs. r.. expresi6n (16) predice llu::qoL¡1/12. que pJede oomprobarae que ea el que prcx!uoe el airo nulo en amboe. ya que el liro eera propor0100&1 • 0.67 · ..."6-<1/0'/12=0.

lIeJ').te pr6ximoe

13 Mientras la relación entre las luces de 106 tr8ll108 no sean IWY diferentee, \lOA v1aa de tree tramoa cualesquiera se p.lede comprender a partir de dos aemlv1aaa, cada una formada por un traJJlO extremo y el central. obteniendo una eet~l6n de 108 IDOlDefltoe rulrS'ativ08 sobre apoyo y poelt1v08 en tramo extremo oon (16]. Loe positivos del trazoo central serán intermedios entre loe obtenidoe de Cada eemlviga; al áetoe BOn wy diferentes ee necesario utilizar el sistema de dots ecuaciones del tipo [10l.

nIlUIIIIIlIJIIII(lIllIIUIIIIJlJI 11111111111111

Para valoree pe;¡uef'Ioe de L.. domina 01 tramo central hacia el que inclina la aeccl6n ISOhre el apOyo, protb::14ndoee tm lIete un DOCDeIllto lnf'orlor al de erapotramiento perfecto. c¡l.a1/12. Para valoree pequef\oe de L2 doaI1.na el trua extremo. hacia el que se proc)Jce la 1no11nacl6n. oon IPCJI!)5lto p.aee inferior al de eq:¡otramlento 'ilJ.l'/B. lxiate una eituaol6n intermedia de equilibrio antre aIDbu .1.tuaoJ.one. en 1& que hay airo rulo. oo1noidiendo en .boa tramos .l..::xnento <X1\ el de a:a:potrudento de cada WlOj 001lIO 1& ocni1c1.OO 811 qJ. 11/8::c¡La l ¡12 reeulta Ll"O.S-L¡ .

·t

0J.and0 domina el tramo extremo, --...r ooluma iaquierda de la fi8ura 10-, es decir para L1)O,S'L¡ ellX'llDMto .obre el apoyo oeclla entre loe valorea O,84·qJ..l ¡S y q[.l l ¡S, por lo "que el DOIDI!IQto 1D6x1.mo poelt1vo y ' t1enen valoree D.l)' pueo1doe. loe indicadoe en. el la reaocl00 extnllllll caBO de viaa de doe trame. Para Ll)I,26'La no hay IICGS\toa ¡X:.eitlvoe en el traIllO interior.

'!,

1b •

qijlij~illlllll1'¡

't" ,

1! !,t !

La: L, La

•

qL,'/6 """/12

1. 00

110, 110,

qL,'/24

qJ. 12/14

0.98

• notacton•• d.

,. U.ura •

0 ,60

1,00

2,00

1,00

1.25 0.80

0.64

0, 80

1. 00

1.24

1.12

.38

.25

o 2.60

O , 4~

1,00

0.60

1.00

0.96 1.00

1,40

1,00

0Jand0 domina el trUlO interior. ver oolUlll"la derechl.. de la figura lO, ea decir para L1<O,8 ·La. el DOIIlell.to sobre apoyo oeclla entre qL¡t¡12 '1 qL¡z/14, y el de vano. oonaecuentemente de valor qLa l /6 - 111.1, entre qJ.,z1f24 y c¡La l ¡17 . Q.\ando La es mayor que 2,5'L 1 desaparecen los IIOCDelltoe poeitlvoe del trMO extlWlQ y el apoyo exterior funciona OOIDO enelaje en

tracción.

"ij@ilP ,.,

Tabl.a 2. VJca do _ _ oWtrioo.· L. :

1.6

dnt .....·rl!!. %Iml@r,r:

2.6

Vla.e de .arloa tra.oa

El anál1ala de una v1aa de varios trarooe implica resolver el aietecna lomado por l.aa ecuaclones [101. W\a. por cada apoyo interior. En general, si las lucee y carau no 801\ Jaly diterentee se p.¡ede obtener una buena procilli6n de lo que euoode en l.aa proximidades del extrean aplicando [16].

Para loe apoyoe interiores el DlOde10 aimplificado es el de viga oontinua de luoee alternativamente "rande, LJ. y peque.f\9. Ltt. ver r14lura 11. en la que 8610 hay una l.nc:q¡u¡.ita, el o:monto eobre loe apoyoe. HJk. En

11 , ... h

(¡\ ~

ese

C8.8O

la ec:uaciln (10) queda reducida, para caraa uniforme, a:

[ 17 1 que operando queda:

MJ , = q-(LJ'/12 • Lo'/12) / (LJ.Lo) y en el

ei 1

[ lB 1

de lucee 1&ualee:

C8.6O

HJk

= q-L' / 12

1 I

Lo..

~ ~

. ~ '. ; . """-7 . i

~j, · h.¡ j\llllIl!~

¡ ~' I ¡

ril~r_ la. 'i._ DOBtiDYa 000 lua.. _¡t.r.....

D.lando las luceo interiores son todas J.4¡ualea, y en loe extremoe hay o empotramiento, o W\ZI luz extrema del orden del 60X de la interior, o W\ vuelo del orden del 40X de la luz interior, la .ituaci6n ea equilibrada en todoB loe apoyoe, .in 81ro, y con JOOmentoe oorreepmdientea al de empotra.. iento perfecto, dado en [19].

En C880 de luces oooaecutlvas diferenteB, la Tabla 3 rec:o&e laa conclueiooee de (18), 1d6nticae a las de la tabla 1, pero ahora referldaa al aaoento de empotramiento de tramo interior. Si8lQPre domina la luz lMyor, oon un IDOIDBll.to inferior a QL:I/12,.in bajar de c¡L:I/16¡ lliSltrae que.l memento positivo varia reepeotivalDelll.'te entre c¡L'/24. y c¡L /18. Para LJ lIIl)'or que 1,4',* no hay IXlCDeI\toe p:)ISltlvoe en el trux> DI!InOr.

Tabla 3. lbIo iDterlor do 'I'l4Ia ....t.iDua •

Lo , LJ

1.00

0.15

0,50

0.25

"J" : QLJI/12

1.00 1,00 1,00

0,81

0,76 1,50

0,81 1,38

1.00

IIoJ ' qLJ'/24 110. , q¡.,.' /24

• nolloion•• d. l. U(un aa

1.38

1,00

"aur. 2.6

11. ' i l . Doat i au.

Alternanoi. do oar••

Rara vez 88 proyecta W\ZI v1&a para una única e1tuaci6n de carga, A lo l.arvo de la vida de la oonatruoo1i:a .1 valor de la caraa cambia. Una parte de la caraa es la p8l'111aM1nte, que, 00fD0 el peeo propio, Be ¡uede decir que exiate aiaQPl'O. Otra, COCIlO la de tabiquee, 8610 cambia de t.arde en tarda, pero oad 8610 de poeloiál, - BU repercual6n ea mM o lIeOO8 la IDIBlM-, 00fD0 euoede con la de IUeblee o eneeree. Alauna oar¡:a, CXCIO la de nieve en cubiertas, .abla interaitmte.ente. !.ha IllUlera de oooeiderar todas eetas varlacl00ea ea temar W\a fraocioo de caraa pel'llllmBOte y el resto variable, que ¡uede exletlr o no . In v1aae al.l.edaa o oont1.nuu do tl'alDCle eueltoe la peor e1tuaci6n ea la de cara. total en cada trua, 1ndependlent:.emente de lo que sucede en loe / / dem6e. Eh v1&as OCl'Itinuae 1I011.dariaa en loe nudoe intemoe , la disminuci6n 1/ de carga en una parte or1aina eol1cit&clonee peores que laa provenientes de caraa total, no cubiertas por esta última hip6teeb, lo que obl1&a a oonsiderar varias, y a oarrprobar que la viga proyectada es capcu: de so¡:ortar loe IDOIleIltoe pée1moe, envolventes de todae lae hlp6teeie plauelbIes.

,. I

El m6todo cláaioo en edificación ea el da disponer en cacVa tramo la sobrecena de lUlO independientemente de lo que se haga en loe demás. En otro tipo de OOnatrucclonee -cano ¡:uentee- Be calcula ex:preoamente con cargas d>vllee , 8X1aten.tee en cualquier punto. En general la alternancia tramo a tramo, -ea decir. un trUJO con cara_ total y e l eJsulf11lte 0610 con la c&rIiIa pemanente- , produce las var1ao1.ooee 11M 81an1f1catlvM.

En la f1aura 14 p.¡ede veree con roáa detalle loe efectoa de una al temancia total de car&'8 . Como loe efectos Be 8II'Ortiguan rápidamente. loe mr:::.oentoe pée1.moe Be pJeden obtener con las <XXDb1nsclooes de carga y de8C8raa en laa 1.nmedlaclonee del p.mto estudiado. Se obtienen lDélyores JD:::lmeIltos necativoe que loe de carga total 81 se cargan sólo loe dos tr8ll108 apoyo en o.Je6tión. ya que' la s i tuaci6n se asemeja máa a viga

al ¡,/ oont1suoe de doe tramoe.

La alternancia de e&raa un tramo si y uno no define 106 poeit1voe. y la "poe lb1l1dad de que en el centro de vano ex1etan también D:lO)(!IIltoe ne¡¡atlvoe. Adoptar canlas en fracción de la 1112 de un tramo qu1.z4 pudiera oooseauir l evieiJnaa di ferencias 000 loe ca.eo8 anteriores .

pée1.ft)e JaDeIltoe

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I!l "'lrulo ante ...... hipó_le debo baoonse 000 laa 00l0C1a>M [ID). laa (14). [18) Y (18) .in oacar factor ooa.m. la caq:a del ,...ndor. por<> "" prlmora aproxlmac1á\ bastan

Caoo puede verse en la fiaura 13, la e11&1nao16n. de cara_ de un tramo ocaeiooa el deeoeneo del ......"to lIOb&'e apoyo. y OCJnBeO.Jentemente el aumento del PCUIllto de vano del traDl oarvado¡ el deacaraado eoporta estadoe de eol101tac16n oubler1:oe ou1 en todos BUS detalles por la hlp6teete de cara:a total. .

Eh la tIaura 16 1M dltuJ. la ¡p-adaci{x). entre considerar toda la caraa P8l'111r1neflte y toda la cara. a l ternante. Eh edificaci6n rara vez la eobrecaraa aupera la mitad de l a caq:a total . 000 relativa poca incidencia en l as eolloitaciClll88 reeultantee. Lo uaual ea que la 8Obrecatl(a potencialmente a l ternante no ll~ a la tercera part.e de la caraa total, por lo que loe efectoe de este fenómeno &On relatlvaaent.e pequeños. .

16 pllllllUlUHII 9

UiIlIi I Ii:I!IIII:~~,i¡iIIll.1UIlIII;I:iq

':¡ 1 1I1~11I1 11lI1I1I:lI :l;t1I1I:II ; ' 111II 1

.. . 3

· .... •

•• ·•

\! I U

a -t- o . ,

pfq O

111111 tntl 7.

(p)

.25

.5Q

0011001 .75

max(p)

1'1 .... r'fU ra 11. AJtaraaData .•• car,_ a ••••• coatiau.

'lfUra 11. Car,_ .ltarDaDt • • • r alal En la figura 16 Be representa Wl ej~lo de v1a:a oontinua oon tramos de i&ual luz, con laa hlp6tcs1e necesariaa para Wl. oorrecto anAli.81a de

~ ol,a(11ao.

altenumcia, estudiando 108 etect.oa de oonelderar toda la oar¡¡:a (XXD:) alternante. La priJDera es la de caraa total, que 0CII'dl0& ' a IIICIlDeIl.toe poaitiv08 del IIlBato orden que ne¡¡ativoe en _1 tramo extremo. y altad en

La existencia de volad1zoe altera 188 ooncluslO1l88 anterloreo en 106 tramoe extremos. De acuerdo con la . ti8ura 6, 108 voladlzoe hacen que 01 tramo OCJr\8eCUtlvo Be uelDI!lje a ' WlO interior. La solución de la viga oa'I.tlnua debe hacerse a baee de las ecuac!onee [10); en la pri.JDera el

tramoe interiores. La ee¡¡unda y tercera BOO lu de al temano1a un tramo e1 y uno no. que dan luaar a loe X1Ú1.IIoe IIIIXIeZltoe poelt1voe, doble de loe anteriores en tramos interiores. K8ta hip6teels adem6a produce la mayor aJQPl1tud de IIOIDeIltoe ne8atlvoe, que en este caeo cubre toda la parte central del vano.

pr1mer tén:.1no oorreeponde al voladizo bqulerdo, y en la última el tercero t6r11lno ea el del volacl1.zo derecho. 51 la viga 88 dos trafD::)8 blutta p.lM una wuoa ecuaol6n. de la que se ¡:ueda deepejar el IIOm8llto 1noóoInito _ . . 1nd1co en [12J .

Suponer dos t ramoe carsadoe y loe Aoe oorusecutivoe deecar¡adoe ¡:.enDite elevar aleo laa puntas de nQiativoe, obteniendo el péa1Joo, l1aeramente auperior al de la primera hip6teeis. Adem6.s ee producen a::mentoe poeitivoe aobre apoyoe, que en la realidad eon lnfrecuentee. dado que al menee W\ll tercera parte de la caraa suele ser permanente, lIIin que oompJte en la alternancia. De estas hip6teeilll 8IS preciso hacer cuatro diferentes. En edificación, en la que Be acepta que al valor de eobrecara:a de uso ea el que produce caoo Wl1fOnoemente d1etribuido los lII18moe plcoe da solicitación que la ca.raa real, no ae BUBlen considerar eatas oiltl.oaa hipótesi•.

!nla f14lura 17 aparecen al8unoe caB06 que reflejan la incidencia de volDdizoe. Loe volDdlzoe eQu.111bradotJ. ocn vuelo entre el tercio y el lij cuarto de la luz ooneecutiva, Jaualan loe IXlIDell.toe negativos de 108 apoyoe. Vueloe euperiores a la mitad de la lw; oonaecutiva deaequilibran hacia ISU lado el airo del apoyo, levantando loe momentoe negativ08 del traJO:) eiguiente por encu.a del de EIIDpotramiento. lo que además produce DJCha mayor flecha. en el vuelo.

Un tr8JDO de v1a:a entre otro de máe lw: y Wl vuelo elevado p.l8de lleaar a eliminar loa IIOIDeI1toe poaitiv08. Sin embara:o en todos loe C8806.

..tnd". . .

despeja ahora Hu en funci6n de tfJ.4. y as1 8uce8ivamente. Al llegar ~ l a última aparece una ecuación con una 1.no6snit.a "-n que 8e resuelve . Retrodeciendo en las expreelones despejadas de cada trOalento, ee obtiene en orden invereo loe valorea de todoe ell08 hasta ata;¡, y 1112.

aunque las variaciones de !DOID8Otoe p.JeCl.an ser aparat0ea8. las de oortante no lo 80fI tanto. Una estimaci6n razonable de la carga que la v1ga oontinua deposita en Cada apoyo , ai&ue alendo el reparto de ésta en part.ee 1&ualea a mitad de luz: el IDJCD8ll,to wimo relativo en cada vano es ruy dificil que Be separe 1I!!Ii&n1f1cativamente del centro .

Para carga uniforme y seoci6n oonatante. la siguiente secuencia de operaciones reproduce eete prooeeo. para D ' tr8lDJ8. siendo 1, J, k, y 1 IlÚIDeroe ocnaecutlV08. J

alb l l'

'~¡lliIl¡~

.40

.57

~w ..

- a ___ b":"""-v"'"- ·-

•

w/o

.28

II11U\Il1l11l11l1l1l11llUIlllllll11l1l111l11

. ..

~i' ..

+. ~

i · ...... :t

. " '9rt~! ! "illlfí'" .. ,,~I¡;t t" 44QIllUJi t.. LiS N

!4~1. .67 .28

....

1 . Se ca1cu.l.a 801 = Oj

ajbl2

w¡a .

b l¡llllmi .. iU"

.28

.34

.28

.40

·t~

.. -"""1.,.. . +--±-lit"-. .. t,.. 1. .

4+. .H

. 28

.lli¡¡¡lil'

h ,

. 67 -

't. '4pJ4 .. 1 ... 4' .... .. :1 "

+.40

v/o

•

LiJiM

aJk

Col;; O;

rol = !ty¡

obtiene

r'J - a'J )'LJ/blJ

bJk = 2·( LJ + ~ ) - LJ'OIJ/blJ °Jk = "" rJk = QJ'LJ'/4 • "'Lo'/4

3. Para j=n-l hasta j=l

.14

HJk

rJk - aJk -

( 20

obtienen 108 IQCCDentos:

~ . ~~

) / bJk

.28 ~IIU ! I'MII l!!!li l ! I ! ~IIIIII!! ! ! lIIlllll! l lil~

••

~ "

2. Para j=l hasta j=n-l

"'a

"~-

. •• • ti"" ~ " . .

bol = 1;

~ .• +- b --l -

-------- -. -.

. 28

1~lllllllllllltlll!!

,llh

..-111.

. ~ 'o

;, ·.n'I!!!,lt~I~---=----~: 9: '4~'I.~~" _ ~

",--+ _ _ . __ _

l"~~.~~¡6"

... ----_ _--..

/-,-\-- ~-

.40

__ __

/::~Z

- -- .. ....

. .. _- -

---,f -,~!~·.~~-

~4-. ~~~~

" lUr. 17. Yo l •• ••••

2.8

Caao laneral de luoea oualesquiera

0J.and0 la v1Ma posee un patr6n rec¡ular. el aniliaia de qu6 IIIOIDentoe aparecen 80bre loe epoy<;l8 1nterioree debe hacerse 0Cf\ el e1.atema de

ecuaolonee: del tipo [10] f una Plr cada apoyo interior.

Aunque la via'a aea. de n truoe. en cada ecuación 0610 inten'lenen Y en 1& pr1Dera y 111tilla a610 doe de onClO 800 1no6cnltae. La 1I01ucl6n del a1ateea p.¡eda hacerse oon cualquier prqrame. que resuelva 81.atemas lineales, aunque. dada eu eenc1l18ll, y el IlÚDero ",lativamente per:¡ueflo de 1no6enltaa, Be p..de resolver dlreot.amMte.

.~ ~f j

trM IICIIDMtoe.

•

11 eLetema. dlrecto no ea Bino el de despejar de la primera ecuacl6n el valor de Hu en tunol6n de Hu. e lntroduolrlo en la 1HlQ\lI"Ida . Kn fl«'ItA

it-;-

•

••

Itl el"~ d1root.o 00 8ft aloo 01 da doe¡\Ojar do 1. prJW"lftrll OQUGOJ6n .1 nlOr dtt Hu CII\ t'UI)Qlón de "u, e introducirlo en la eeQUnda. En eeta

Una carga pmtual en el centro de un tréllOO suelto originaria una l ey triangular de lIXlIDEWltoo, que. según lo indicado en la figura 7, te.n.dria un máx.1Jro en el centro de valor KJ.=Q·L/4. Una v.18a de dos trSi008 iguales con cargas ¡untuales al centro de la luz deberia canportars8 ecn giro nulo sobre el apoyo, y por tanto ccu mocoonto igual al de ~trarn1ento perfecto. En este C880, cx:m:> el giro, por [11] es 8::Q'L /16 ' 10, y el del \IXlUlal1to , por (2) ea 8=1I·L/3·Kl, reoul~:

Para treo V(ln08, la fiaura 18 presenta loe resultadoe con caraa unifonoe idéntica en tod:oo e1106. La primera figura oorresponde a luces iguales, y la ee¡unda a luces 81m6trlcao, ya expuestas en fiMura 10. La ~rcer8 a 106 C&8OEI en loe que la lws extrema supone un 1~ del total. la ee.xta e l 2'"', la eápt1JDa loe C8808 no inlcuidoe en 108 anterioree ocn el 25X, y lo m1.moo la cuarta con el 4CA y la octava con el 3'"'.

~ = (3/16) 0 Q

Para cuatro vanos en siXletrla 1M ccaolust.onee &6 representan en la ft.aura 19. En eete Cll80 ¡uede obeervante 0ÓI00 la exletoocla de dos vanos cx>rtoe auoeai V06 entre dos Ms lal1loe p..tede Invertir el 81&00 eeperable de 10ft rncGl6Iltoe aobre apoyo , pero no es W\Il e1tuao1OO. habitual.

[ 21

decir, tres cuartas partes del i606tátioo lit. El IDClUlento en centro de vano tiene el valor 11 1 - tfl2 ::: 5·Q· 4'32. aprox1Jnadamente e l 62X de Mt .

!lllIl!lIllllnnllll!I:!I!l!llIn!llI!lllnnl~Ullllm Il.

Il.

l-a+-- b -1_. b 40..1. a¡b

1.66

1.25

·.6

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1.66

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b/a

J'.ur. 11. Yl •• 4. auatro waao. . . . . trlo.

2.9

Influencia de la. caraaa puntualea

Puede tenerse en OleIlta la existencia de cargas ¡untuales en un tramo 111n lila que introducir en el coeficiente r de [20) loe cx>rrespondientes valoree definidos en [11] . rultipl1c:adoe por S· U.

S1 el traDO ea interior . exige IDClm8ntoe da valor el da g1ro, para eecc16n ooosUmte. diaarama l1.neal oorresponde a

la situación de giro nulo en arnboe extrecnc:l6 eqx:>tru1ento perfecto en ambos. Dado que el es proporcional al. Area de Ib'JIIDentoo, para un un valor mitad. del 1soeUticx> , es dec:ir:

[ 22 l

II=QoL/8

Si la carga p.mtual actúa al "cuarto de la luz, de acuerdo ron la f6I1D..lla de la f1¡ura T, el IIWJIDento 1Dh1D:J en un tramo euelto vale tree cuartas part.ea del cx>rreepoodiente a situación centrada. Sin eIrlOOrtlO el IDOIOOllto de empotramiento da lado pr6x.imo a la C4l"1iIt!l, -preclB81bente por esta oercania-, no sólo no dism1lu.tye. sino que en el C8.6O de tramo interior. lno1uao ¡uede IWIDI'Intar l1aeramente.

La incidencia de W\8. caraa p,ultual reflejada en la tiaura 21. !in un tr8D) interior ee inferior al de empotramiento, luz oonaecutlvt!l, y OClfl8eCUeIntemente mayor

En tramoe interiores se

en una v1&a continua aparece extremo el momento sobre apoyo "tanto manor cuanto ma.yor eea la el oxoento positivo.

pAed& llesar a oonclueionea anU08a8.

25 j A

:tt:

r ·)C·j ·

fu la figura 22 aparecen las 8011cltacioneo con 1J6CC16n variable en Wl8 v1a:a de dos traJ008 1sualee en la oolUllWl izquierda, y algo diferentes

en las otr&8 doe. In todoe loe C8808 se supone que la inercia aumenta oon el cubo dal canto dib.lJado, por lo que oorrespanden a aumentos !lUCho lMyOl"88 del canto tanto en perfiles met6licoe como en v"",,as de hormigón.

.75

Para luoee

iaualee la

casi doble que loe

seoci6n O:::.ustante

poaitivOl!ll.

produce momentoe nes:ativ06

aumenta

canto

la s ecc ión

central, loe IDOIQ8Iltoe aumentan, de fortD8 !lue sólo para fuertee deeproporcl0ne0 del lDiBlbO, la roeletencia de ambaa eeoclonea, -vano y 8p:lyO interior- 88 corresponde oon las aolicltac1onea. I!JlIIlHIUIIIlIlUII1II1lI 1111111 .ll.

_lb h¡

h¡.ll.

141

~, -

1/1

1~~iIFt ••

J..-- a

b---+

.1~lui!!'"·,49i.

1/.6 't

2.5~9?

2.10

Sección

~.rlable

De loe anteriores apart.adoa Be puede concluir que una v1&:a continua posee IDOIlIel1toe DJ)' dlterentee de Wl8II eecoiooea ~ atrae. predoc1nando m valor loe nee:ativoe)' en extensión loe poeltivoe. Mientras 1ae luoee no aean lDlY d1terentee M ¡ueda eetiJbar ruc:nablemente que loe JXm8Iltoe lM!4lativoe eet&l en una banda relativamente eetrecha que va desde el mcoento de eIQPOtrulento de la luz mayor ha.l!lta el 7~ de eee valor. In loe positivos, \ma var1aclál abeoluta del D1aD:J orden. a1&n1flca una oeol1a-

1,3 ;

'4iIijOOI¿

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0160 relativa 41&0 tlUP&r1or. Pero eao ea 8610 cierto para 1'JfJOO16n ~tante. ya que, desde [61, hemoe sacado y elt.e1J\ado como factor 00IIWl KI. Además lae t6nwlaa utilizadas para loe ,iros producidos por laa cara" ., D:lIlIeOtoe corresponden a secci6n OONItante dentro de cada tramo . Loe anAl1eia hechoe del ~rtalDlento de v.taaa ocntinuu prop.cnan IDÚ loe cambios de aeocl6n. dentro de W'I mismo tramo Que de unce tralOOe • otrae. le 11M, ya qua loe IIC:8Irltoe a W'I lado y otro de un apoyo tienen el lDiSlDO valor. loe cambios de eecol6n adeo IMoe rara vez ecr\ loe de diepooer en cada uno de loe traaoe una secci6n diferente. Lo habitual para dleponer eeocl6n o arMdo varlablee es reforzar 1ae eeoclonee 11 OIIlboe ladoe de Wl ~.

En la oolllllhll central aparecen loe oambioe que 88 dan al reforzar la sección da apoyo, que son.......entoe fort1a1moe de IIOmBnto no 8610 en eBe p.mto Bino en todo .1 vano oorto. Loe mayorea aumentoe de solicitación en IDOIDeOtoe necativoa 1118 producen en este caao y en loe de la oolua:na anterior cuando " refueraa una parte de cada tramo. En la collllllla derecha 88 opta por reforzar el vano larao, opción razonable en a~ CA608 , pero que a1atemáticamente obUaa a reforzar 1:.aIIbién la parte próxima al a.p:>yo del vano CXlrto. En todoe loe caeoe llevar.l p.mto de CUlbio de aeoci6n a un p.mto dlmtro del tramo corto .

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Lo habitud para dlnpClnftl' 1IGOC16n o amado 11 alQboe l.adoe de Wl apoyo.

retou&r laa eeoc1onee

Con

tt'tNI

tratn08 ,

ver

f!aura

23,

1M oonaluol0n0n

80n

PIlrecldruL

, .... COIUUU

Independientemente de la diferencia de 1DOCD8I'lt06 obtenidos ron la hip6tesie ~i6n aonetante, refol'zar un trBlDO' aumenta loe ~tos en ese tramo, y oi lo hacen loe negativoe ea obligado prolonsar el refuerzo en 01 tramo contiguo. La variedad de d1Bef\oe que p.lede oonseaulree CX>I) esta estrates:ia es amplia, y lDJy dificil estimar a Priori el las 8OUcitacionee reaultantee estarán de 8OlerOO con loe cambios de ae0016n previstos.

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Kh la ftaura de la p6sina etauiente aparecen ej~loe en loe C8808 de cuatro tramoe con a:lmetr1a, y viSa oont1nua en leneral. Vuelve a ·obaervar"ea 0Ó8I0 el 8UIIlellto de rigidez do un tramo larao cxn::entra en 61 las 8Ol1cltacia\ee, preferentemente do IIQB\toe poe ltlvoe, permitiendo d1aei\ar 01 tramo oorto con lIlOnOII secciOn, ele1q)re que el pmto de caIlb10 ee produzca un poco 1MB allá del apoyo. Pol' el contrario 81J.1D1mtar la eeoclOn del oorto a1llD9l\ta lae 1!I011cltacionea ~ativ88 en tomo al apoyo cx:m.Jn, que. cubre prActicamente todo el tramo de IIeOOr ~ lua. En leneral la máxima ~1a se prcxiloe cuando se lleva el &DleIlto de ae0016n hasta bien entrado el tramo do IIIaYOr luz.

¡¡¡;,

Si se trata de un dintel de piedra, -material frágil por exoelencia-, el ID::CI6Oto de agotamiento de la eecci6n ea el que produce en la fibra extrema la tenai6n de rotura . ClJando se alcance Hu ea produce una fisura en la cara traocionada, que reduoe la aeoci6n resistente; como el llliamo ax:mento en una eeoci6n IOOl"IOr produce tene10nee 8ÚIl Dayoree. la rotura ea propaga en fOnla exploeiva: la pleza [UIpe. La capacidad reelatente de la viga es la oorreepcn:11ente a la pr1JDera aecci6n que Be aaote.

3. CALCULO DI VIOAS CONTINUAS Dl.enlllonado o oo.probaoión

3.1

Lo viato haata abo"" -explotaci6n de la ecuacl6n [10] de loe tres mmentoe-, PI!Il"IIlte anal1zar el ~rtaII1ento de una visa oontinua. pero 11610.1 eetA d.lmenelonada. sin que DlIPOIlia una ayuda decieiva para tomar 1ae deoialonee de c:x.o dUlena1cnarla. tbchaa de las alternativas de las llauru anterlores son abeurdaB o :lno:lnIruentee: tiUl.EIn 188 l18.yaree eeoc1.c:nee al11 dcnie l.ue8o l!Mt ProWoen laa soll01tao1.onee .... pequeftall.

En una viga de madera, las 00S&8 euoeden más o menee lo 1II1.smo. aalvo que quizA a180 antee da roIIIP&r. -y debido al fuerte aplaatam1ento de la cara oocapr1mida-. se produce una repentino aumento de flecha.

Con la hetTBIDlenta p~tada. proyectar una viMa no ea sencillo. Ea prec1.eo decidir 1ae d1DenBlonee. torma y a.rmado de todoe 1011 trlUllOlJ, lueco hay que anal1aarla, y por fin oc:Q)robar todas las secciones. aw.:¡ue huta con hacerlo en el pmto que poeea JWS)'Or deeproporcl6n de IDCG)8(\to a eeocl6n. 51 el d1aei\o no eatiafaoe. ea callbia y se vuelve a ElmP8zar. Bien 88 verdad que la ooneulta. lea t1&Uraa precedentes ¡uede significar una

ventaja inio1al . P8rslt1endo partir de d1Jsel\oe en 1011 que os probable que variM MOCi.a*I ~ • p:¡eeer -=-entoe OClf:IilUEIntee con BU resistencia. Pero resulta a.q dltlcU 1nclU80 que en un DiJImo tr8D:> se p..aedan ajustar doIJ eeoolooee a ~ solicitación. En ameral uno de loe p.mtoe de I la v1Q:a ooodloiona la eeoolál. neoeearia y todas 1M demá8 poseen realsten- 11 ola de eobra. tha PntllUnta pert1Mnte es 81 ese exoeeo de ree1etenoia _ 81an1t1.oor un ........ odlolonal de ..,..-!.dad.

3.2 I

Capaaldad real.tepte de

.1&••

En una viga apoyada. -un tramo euelto-, la reepJe8ta a la anterior prersunta ea definitivamente no. in laneral hay W\8. aeoci6n sometida a la eoUc1tacioo llÚiDI. Q.mndo la caraa produzca el IDOI'Jen.to que agota dicha seocioo., tIu, pooo ilp)rta e1 lae demú tienen todavia mM o menoe reserva de r'M1etenoia: la pieza De acota , 8llD'I:¡1Je la foma del ool.apeo depende del d1acrama DJIlIento curvatura de la eeoc.16n. en cueeti6n . ",,,,,,,lO

1 ..

_---_ .. _,- ----_. ."":'''' ...~.~.~~

/'\u '· ' . . • .. . .•. - • . -

• -- •

Si exiate acero en la cara t~ionada. -bien por" 88r hormtaÓll armado o un perfil l.aminado-. las 00888 8UOeden de otra IV.U'lera. El diagrama momento curvatura tiene W\8. rema hOrizontal ll.1y dilatada al alcanzarse el mmento de agotamiento, Iiu¡ se dice que hay Wl amplio eecal6n de oscI8ncia. Para eee valor de momento la CUJ:Yatura está indeterminada. p.l6de poeeer cualquier valor. la situación ea literaJ.aw¡te la de airo libre , sin mayor esfuerzo. Naturalmente W\8 visa cOn extrelD08 apoyadoe , al posee ~ la posibilidad de airar libremente en e l centro. 1ncreD8Jl;ta BU flecha de modo 1..mpu-able, lo que no es sino otra ;fol'll4 de ool.apeo.

En todos loe casoe anteriores. al el resto de l.aB secciones que no eatán aometidae al libiDo IIOID8Ilto flector. están DU o menOO BObred~ eionada.e el fenómeno no cambia. Claro ea que de estar todas las eecclonea aJueta.das a IIObrecU.roenaionadaa ' hay diferencia en la flecha; el l!llCha.e seccionea tiene poco IDOIneIlto. tienen poca tenaiál. poca defortllaCiÓll, y colaboran poco a procb:::ir flecha. Pero t'e6pecto a la p~ta anterior. no hay nt.nauna duda: el exoeeo de resistencia en las demás eeocionee no I significa 8UII"Iellto de easuridad . Lo .. iWQO da que estén todae 8Obredi..me{l- l j eionadae o estrictamente ajustadas al IIOIDellto, -aunque esto ultimo, ei tia hay problemas de flecha y ea oonetructlvamente OOIIIP8titivo. es lo aoertado-; la capacidad rea1etente de la viga sigue oorreepondlendo a la de la sección que antes 138 agote .

---~

3.3

El incremento de carga a partir de la formaci6n del primer p.mto de giro libre , -la rótula plástica oarJO se le denomina-, no p.¡ede aumentar el IOCXOeOto flector en la aeocl6n plastificada, pero aumenta loe de las demáa. en el ejemplo, loe IIIOIDentos de vano. El IOOIDento máxilDo cambia de sitio liger8lD6llte, y la pieza soportaria máe C8tlIa hasta que otro punto, en. el vano, llesara al IIlOIDeIhto de agotaJDiento, .Hu. La formación. de otro p.mto de giro libre _1108 tres eeociooeo con giro indeterminado, que ahora, quiere decir ilimitado para cualquier 1evieirlo 1.ncremento de carga: eso s1anif1ca flecha inoootrolada . eB.' decir el oolapeo.

Capaoidad reaistente de vigas oontinuas

Eh una viga continua las 0068.8 p.¡.eden ser diferentes. Volvamoe al de dele tralOOS de igual lLUl , y eeociál y caraa constantes. El D:.:.mento lláximo Be pl"OÓ.lCe sobre el apoyo central. En lID dintel de piedra, ~l aloanz8.l'lle el IlClIDeIlto de aa:otarrrl.ento en esa oooci6n, ésta se rompe repentina Y bruBCrJ.mente. Aun sin tener en cuenta la velocidad. del cambio, la callla debe paaar a 8O'(X)rtarae en dos trMlO8 sueltoe, -ver f1&ura 26-; en eeta nueva situación el momento lláximo es del lIliBloo valor, lo que produoe la rotura de la 15eOO16n oentral y el fallo de la viaa. y lo mismo BUOederia probablemente m madera. De nuevo la capacidad resistente de la viaa oorresponde _ la de la peor de 8U8 860C1ooee.

0llB0

Con hol1D.iaOO aI"1Mdo o acero laminado el exceeo de resistencia en l.a6 demás aeocionee en una viga CXXltinua si eignifica margen adicional de ooguridad. La pieza prevista para una C8.t"8a q , calrulada para que no agote ninguna aeoci6n oon ~=l,6 · q, -siendo 1,6 el ooeticlente Be aeguridad eetablecido-, acepta más carsa airi ~r: tiene llÁ8 eecurldad que 1,6.

En aoero laminado o en honn1a6n armado 00 ea lo mi8lOO, veáse figura TI. Al

lleQar al a¡otam,1ento la secci6n central, ésta pasa a la situación

En rlaor taJQpooo importa el exceso de reeatencia en todas las demáe seociones, sólo sirve en otra" secx::si6n más j para Dedlr la capacidad resistente de la viga sólo cuenta la resistencia de las tres aeocionee que primero OOCIS1&an llegar a la eituaci6n de liro libre -t'Ó"b.ll.aa- en el 1l1emo tramo; lo que 80bre de reeiatenci& en lae demás eeooicnee no importa.

de Qlro libre, viat.a antes, oon curvatura indeterminada. Pero ahora la curvatura .1ndeteim1nadtt no ea ll1mi tadao Kl liro será libre en el extrelOCl, pero al estar l.aa demM eeooionee wy ho14radae de ree1stencia, el giro que se produce en el eJCtreD) eet4 perfeotalDente determinado por la deformación de la viga; y al al.oanzarae justa..ente el valor lIu aobre el ~yo central, el 81ro ee obviaDente nuloo La pieza acepta Me car¡¡a, ya que el 1.ncremento lo p.Jede aoportar <XlIX) lo haoen laa v1&as apoyadas: con 8iro libre en

loa ductilidad ee el factor esencial. De la 1l1..ema manera que la capacidad de tres cablea soportando una caraa no ea la que hace alcanzar la teru5i6n de aQotamiento en wt6 de 81108, -si el material ea <ÜCt1l-, o que en una sección BOIII&tida a fl8lti6n el JJaDento últiD::> no ea el que produce la ten.aioo. de agotamiento en una de l.aa fibras, -ei hay ductilidad-, en vigas oonti.nuaB el a¡Ota.liiento no 88 produce o.aando se alcanza el II'IOlDento último en WJ.!I de las aeo9i.ones, -ai el o:::'lPClttamiento ea dúctil-o

8IIIboe extreD:III.

_ 1 - - ~,fi~. Llo

Ku - ... - .. - -" '-

En todos los C8.808 la clave :"eatá en la redundancia; o.::oJ existen vinculoe de 80brs 00 importa que algunoe fallen -deformen ilimit.ad.amen.tesi mantienen la solicitaci6n, p..tee penliten que los &!!mM ¡uedan aumentarla, teniendo entre t.odos más capacidad resistente.

1 , '"""i A

3.4

Si la viga es capaz de soportar más carga de la Q.a que es la que produce el ~to último Ifu en sección. y p..1ede llesar 8. qp que produce tres p.mtoe de girol1bre -t'Ótulas plásticae- en el tramo, ese lOO.tl{en de aesuridad. adicional ¡:uede aprovecharse, t..ccnando OOCDO solicitaciones últiroae no las " provenientes de q., 8ino las de qp. Con un coeficiente de aesurldad, por ejemplo de 1.6 de valor. la carga que podria actuar 80bre la viga seria qp/l,6 II!l)'Or que la inicialmente prevista 'Ie/l.6.

, tw-----------f_

una

...0

Bien ee verdad que 8808 1.ncrementos de carga redundan en IIllCha mayor flecha que loe prt..eroe, ya que la deformabiUdad de una pieza apoyada es IlUY superior a la continua. Pero la viga acepta más carga sin agotarse. La explicaci6n está en que la sección central es capaZ de aumentar BU Oll"V&tura, -es decir . lirar-, sin ranperee, manteniendo BU resistencia. Al lJ8nOI!!I eso ea lo que quiere decir Wl tramo horizontal en el diagréUna IIOII8l'lto o..arvatura.

Aprovecha.iento de la "plastioidad

En el ejemplo de la f~a TI, al 116lar oon la carga q., al II'X:lCIlellto último en la 6ecx:16n 80bre el ap;lyO, y como la secci6n 00 constante, resulta IIu=O, 125 QeLl. Con la carga qp se alcanzarla 6iwltánealOOnte el valor Hu en apoyo y vano. Denominando a a la distancia del punto de IbOIDellto máx1mo al apoyo exterior, seria lIu=C¡pa 2 /2; hacia el apoyo interior la paráb:lla remonta una ordenada doble, lo que ex~e distancia (2 veces mayor, por lo que 1.=2,41 ' a, y por tanto Ku=O.086 q pL _ De ambae expresiones de"", se deduce que qp::1,45 Qe. Se dice que la viga poeee, Wl factor de l"'86Bl"V8 plástica de 1,45 . 0

32 Para poder aprovechar efectivamente eata reserva de seguridad es preciso haoer alsunaa OOCIIlrobacl00ee adicionales. La primera 68 lay/ de flecha. 51 aceptaa:Ms una cara. 1.4~ veoee mayor, 18.8 tensiones y defomaclonea eoo 1, "5 veoe& l.aa eup,aeetaa • partir de las fon:ulaclonea olMlcae. Loe ...entoe pora. una cara. 11,/1,6 no lIIOfl de valor 1lu./1,6 en eRreIDO y apoyo; debido a qua la viaa Be encuentra en la fase y revia a la epsrlc16n de la pr1m&ra rótula. y de acuerdo con la ti&uf'a 4. valen O,126 oq¡,L'/l,e en apoyo y O.071·~L2/1.6 en vano, ea decir tt.,;O,078 ·q pLJ y IIo=O,04t ' !l,pL • out el .......to Ifu en el epoy,cv 1nte!,!9r. y del orden de la aitad de lIfu. en .1 vano: el prob18llll _ no lineal, ver tiaura 28. SI oon un llalll!lnto Ifu Be alcanza en la seool00 una tensión de valor t . valor de reeiatalO1a del DIltaria!, las tene10nea m.b:1maa en servicio llegan a ser. de 8OlI!Irdo con l.aa expreelonee del púrafo anterior. de huta tll.! en extremo y tll,96 en vano. Rata ea otra IIIIlO8ra de ver lo que euoede con la se¡uridad¡ no ee he_cén..lI.: O bien que la SElliUridad no ee dice de la ee0016n aino da la pieza. \ha 1IIACUl'1dad de 1,6 para la viga no .. una eecuridad de 1.6 en aada cma de laa aeoclones¡ debido a la oontinuidad, ee menor en la aeco16n extrema y lDelyor en la do vano. El! algo asi e1 el coeficiente de MCXIionee oritlcu.

OCJD:)

de seguridad. En ocasiones se adopta para acero un coeficiente do 1.4 o " inferior, por lo que la utiliz.aci6n do toda la reserva pl..áaUca obtenida en el ejElq)lo anterior. s1an1ficaria que 0CXl la ca.raa de servicio se alcanzarian plutlficacionee parciales. La renuenct.a a aceptar inoureionee plá8ticaa bajo c.a.r¡¡aa de servlqio Be debe fundaDental.D!nte a que la deooaq¡a tiende a produciree 0CXl 1.a. pendiente or14l1nal elÁStica. ¡ud1endo a::aeionar defoRlaC1.ooee ~tas que or1&1narian. _i exuten ciclos alternativoe de c.arp. '11 deecar&a. una acuIII.11aci6n inooc\trolAda de deton.aoionea.

3.6

Duotilidad

Yen tercer lua:ar, pero no por 15110 lDeIlO8 iq:Iortante. para poder aprovechar al factor da ~rva plA.etica oomo parte del de seguridad, eetá propiamente el tema de ai hay suficiente cUc"tilidad. 51 al sobrepasar Q., la eeo:Ji6n en ~1men plAstioo comienza. a airar, ea preclao corQProbar que para .ll.e8ar a CIp la eeoci6n cuenta 0CXl lSUfioient.e capacidad da rotaci6n. En C&BO nasativo la pieza. no "podr1.a "ll.erQ:ar a tIp. rocpiando en la. aecx::i6n plastificada antes de que otra ~~ p.,.da alcanzar al valor l!Iu.

1M!lIIUl'1dad tueee un prc:eedl0 de loe de laa

Pero para la tlecha. lfIi la foru..l1.aoiál procede da Buponer una tensi6n da 1/1.6 ea preclao ocmaldarar ahora que la tend6n mbima ea tll,l ea decir 1.45 V808II IIo&YOr. La eabeltea para la que MI produce la. neoeeidad <M aobred~lmar por tleoha _ 1DeOOr. (Loe valoree indicadoe en el oapltulo de lLIDtA ya 1ncluian _te aspecto. ta\:ul.ando lu eabelteoea 0CXl la nota de "'lcu.lo plbtioo). 11 factor de reeerva plástica, que pennite rentabUlaar . . un perf'il o eeooiÓll dadas, permitiendo un valor de car'la IUt1ma awerlor a 'M, 8610 es útil para esbeltez baja; a partir de la eebeltaa Ual:te eH t.ctDr se va reWot.endo huta que deeapareoe.

Ifn el eJamplo de la fiaura zr, oon el d1.aarama de IIIC*Ientos correspondiente a q.. el liro en el apoyo central ea rulo; con al OOtTSllpond1ente a qp no p.18de aerlo. El airo que se procb::e en al intervalo de cara:a da q., a qp. ea, en amboe extremos. lIEIiIIÚn [1]:

DÚiIIa

Bp siendo en este

C&BO

= (q.-q.)~L'

/ 2(·K·1

( 23 )

q¡,-q.=O , 31-qp.

En acero laminado. para el IDClIDento Itu=O,066 ·q pL2 se agota la eeocl6n, 8.=O,30·f· L{K·b. CoDo K/f=800, la (23) ofreos el resultado de 0p=O,OU·Wh.

ea decir Ku=f'I/O,5'b, por lo

'OO'

En hond..ón las a.rmaduras ea calculan para aoportar en ambas oeoclocriticas loe IIlC.lIDMtoa Itu . por: lo que ea l!Iutlf. 'A·O,a·h. La rigidez de la secci6n oscila do O, 40·'·h2... a O,70·A·h2.... y 1.lt.~470, con lo que la (23 ] arroja valorea entre ep=~ ~ 04'l: ·" l.Vh y Op=O , OQ · 4'b.

ne8

rt.y~.

Qxrao se p..tede obaervar . el giro pl..áatloo necesario para poder disfrutar da la suficiente ductilldad que poaibili te alcanzar el eetado ~ rotulaa 15in el agotamiento prematuro de lae pr1meraa que Be formen. depende da un coeficiente ru.wérico funci6n del problema eetudlado, y OOIDO 1; variable fundamental de la eabel tez. lhla pieza oon n.lCho canto. dada BU extrema risidez. p.l8de alterar wcho el d1a.ar_ de roomentoe oon wy poco giro plAatioo. dotando a la pieza de lI.lICha <ilctilidad¡ una pie2'.ll. ~y 11 esbelta. de poro canto , neceeita, debido a BU flexibilidad, girar mucho ~ la primera r6bJla para poder DXlif1car suficientemente loa momentos, y ofrecer auficiente lilctilldad.

la. 'Or.aCl.D •• r6tul • • • 16 •• 10 ••

En aeguOOo lugar ea oonveniente ~probar que, si la carga última qp ooasiona el IÚDero suficiente de rotulas para convertir la estructura eo a!JClUlllJ11O, la cacsa de servicl0 no llega a formar ninguna, Como la carga de servicio ea la última dividida por el coeficiente de seguridad eso es tanto CXln) 00IbprlU'&r el factor de reserva plástica con el coeficiente

¡j

ID indicado en el párrafo anterlor ea estrictamente cierto para diseño ajustado. Sl oe dispone Ms resistencia de la imprescindible, -c:xÍmo se hace para IIMtener bajo oontrol la flecha CXlIl esbelteces superioreQ a la lillite-, el ~iente IVt aWlerlta , disminuyendo proporcionalmente el giro plástico necesario para que haya suficiente ductilidad; ni el valor t se ~ inversamente proporcional a la eabeltez, la {23] no oonduoe a

.... w.,....,.10 1.

(~ "~l'Yt

tanl.ó

001I'I()

M.. v i ~o 1111 11"",,,. --ru'1Mr' 1I1I ....IIHII . (k""" 1,. ~1 ,UIt." Illtll1\(11 dl, vld~lIl1 llOr ol ooo U ltlUt,.c do (\(»(\H' ll1wJ allO UII ()()I!)¡)ar ar 01 factor do reGono pl6.ntim. con ~ l couflc lolll,u \'-'111"

(In

c.\ft

1,., Ihllt,., , ni r:oo t allt.a IV" "1 __ 1l;n.. tltna\h'llIY"''Ou 11'-';JIXH-u It)HAlhI\IIl,ft.,1 K\¡'0 I l l but.! OO n~il b ~ l o por"a QUO lUJ,yl:l uufl c luuto duot1l 1c\.1x1: "1 oJ vIIJ or f

0(1 tonw. lnvor o/!Ulll)l1lo proporcl0n51 a la

eebeltez.

[23)

conduoo.

valorea 8llPf3r1orea a loe correspondientes a esbeltez limite. En la prActica. debido a la no li..ntMl.1cHd, el aumento de resistencia para control de flecha ori41:1na una reducción de airo pláetlco necesarioj nótese que si el eobred.1menal00ad0 es iaual al factor de reserva plástica ni aiquiera l!Se alcanza la. priJDOra rótula PláatlC8, ea decir no es preciso Miro pUat100 al&uno.

sin rotura ¡iros plástiooe en p.mtoe localizadoe del orden de O. 10 radianes, ea decir 10% da radiAn. En hom1a:6n el liro plástico JXl8ible ea menor J oscilando de l ' a de radián BeQÚn Que la cantidad de armadura

traoclon.ada sin oontropartlda QOIII)riIDlda aea alta o baja.

3.1

3.6

Giro pl'.tico tolerable

El valor del "iro plástico que Be ¡:uede producir en una aeoci6n l c:callzada de una v i&a no ¡uede dtdIoi.r8e del diaaram. memento curvatura de la eeoci6n. Por DJY elevada. que lMa la curvatura, no existe "iro a lIeIlOe qua la éeta se mant.eoaa en un intervalo. Sobre el apoyo, loe ......toa deeclenden tan ri.Pidamente. que ¡nr lIUCha curvatura que 6Xieta Justo eobre el apoyo. a lIJ.1.Y poca dlatanola del eje deeciende a valoree por debajo de oedenoia. intecrando uq

p:lOO

airo.

in reaUdId el CIOIl\POrt....lento de la aeoolén a IICCIellto fleotor 88 ha fonu!ado en la hi¡:ótelllia de ley plana de detol1llaClonee, y alrededor de PIIltoa odt1.ooe puede darse ~lDente otro QCqX)rt,amiento dietinto. Por eJeqJlo Be pJede dar una d1etribJciát en absnJcu, ver t1&Ura 29, de IDBn6ra que la tA!nlIioo de traooioo en el borde superior tiene valor ClOll8tante en una lc:cwitud del orden del canto. leo ya 8ianiticaria un airo plAetioo c:xne1.doerabl.e .

1fttJ¡~ li)l/i I

: " : :.g¡¡';;,,./ " :" ' /"/1 ' " I L . . t,' f / ~ : -Lt II'· ··· ·~ . ,/,:1 '" ~"' ..- ,;¡'/' I . .

Di.enatonado de vilaa oontinua.

Con el aprovechamiento plAatioo de las vigas oontinua6 de ac:ero y honn1g6n, se rompe el circulo vlclO8O que hacia complicado el problema del decidir 188 secciones. Tal parece que, dentro de :'!....ulO8 márgenes, se puede diJDenaionar ooaK) Be desee cada tr8D) de viMa CXJntinua, oontMdo ron Que B1 hay suficiente ductilidad, 1M ool1citac1cnee de cálculo se a,Juetad.n a l.ae reeiJItenciaa elec1..dae· "

El problE11D8 del diDenaionado por el que l.u eeocionee dependen de 188 sol1citaclonee -por reeistencia- ·y éstas a BU vez dependen de cóno sean l.ae eeocionee -«1 ri&~- Be 8implifica notableeante. 11 pl"CO!ld1miento que 80&:iere la plaBt1cided es el de partir de tal valor de IIOIIleIltoe lI!IIl loe apoyoe intenoedioe, obtener loe D:a!II\toe en l.aa deII6a eeoclonea, d1menalonar la piea para que Be cubran 1M -'xiI:IM eol1cltaci.o"lM en loe p.mtoe critiOO8, -ajuatendo 1nclUBO l.aa demú aeoci.o"lM 81 no hay probleDlU!l de flecha-, Y analiaar la viaa. análi.ei.e eupone obtener, para el dimensionado eleddo, las en ré81men elástioo, determinando la p:l8iclón de las primeras r6tul.a.e, y las sol1c1taOlonee últJ.ras, "O"*"')dedeg a las reeUten.ci8.8 de lu BeCicoes el6i'idae. La ClOaIProbac:16n, ya Que la reei.etencla estA asegurada, Be U... ita a verificar "Que en loe p.1ntoe que pr!.bero Be aaotan exute suf1ciente ductilidad par~ alcanzar el DeCanismo últiloo. El

eol1citaclonee

La oolución del cálculo 88 invierte: en vez de deterllinar prilDeramente las aolicitacionee, para encontrar 1l.\eJ&Q laa secx:lonea reeietentee que rejor se adaptan a ellaa, se eli&en primero l.ae seocionoo reeistentea de las piezas y 88 detenalnan llJeJQ"o laa aolicitacionee que mejor se aoomodecr. a las reoietencias adOptadas. Ea 1DÁ8. J.4¡ual que CXlI"l el priloor aistema no ea preciso detel'llinar" en detalle la seoci6n para el análiais de "la v1&a, -baetando el criterio de ri&idez relativa-, ahora tampooo ea preciso definir previamente l.aa aeocionee reei.etentee en detalle Bino sólo el criterio de resistencia relativa. Veame alaunoe ejeq>loe.

En aparts,doe precedentea hecooe estudiado el tramoe de la miama luz CXlI"l caraa unifontle, adoptando conotante " Aunque para car¡¡aa moderadas el IDQI)6l\to apoyo interior, si en este punto existe euflciente

caso de viga de dos criterio de aeoci6n

máximo sobre el ductilidad. la carga última es la que produce l&uales a:xoentoe en apoyo y vanoe, p:>r lo que Be P-lede calcular la sección para un JnOCDento !t.s;O,086 · 'Id,L2, función de la carga 'Id que ea seguro que no ea sobrepasada -igual a la carga de servicio rrultlplicada por el oe>eficiente de sesurldad ooovenido , del orden de 1,6 en hormigón y de 1,4 en acero-.

De acuerdo con la fisura 29, el detalle tenaiona1 de las proXimidades punto en plasticidad puede diferir notablemente de los estudiados para aeociooee ordinarias de viaaa, En acero laminado S8 p..¡ooen producir

a un

Bea

En acero laminado la opción máe sencilla es la de sección constante: un perfil únioo para toda la viga. 5610 para cargas !!Uyelevadas y luces fuertes, con 188 que sea competitiva una seoción cocnpleja, ea Plede acudir

31 a un perfil base. reforzado. por ejeqüo. sobre el apoyo central. Pero pera hormp arudo tan ocapl10ad0 ea dl8poner una a.noadura 1sual cano diferente en apoyo ., vano . Veamoe loe llÚ'l(enee que hay para ello. Para ae0016n oonatante el JlaDeQto ea inioialmente roayor sobre el el vano, lo que noa puede Buaerir el d1ae6o 000 BeOCi6n myor en el centro, alDlUie el a:xoento IILm!II'lte • aún. En la tlaura .. 88 obtuvier'On lae aolLoit.ao1.onee tnict.alee para una relaci6n de alWdoB 2: 1 en d1ch&a lMKXIi(Ql8. Kv1dent.ealnte, lIi la relaci6n de reeiBtenoiall ea 1,8: 1 n.a antes al acou.iento la ae0016n IIOhre el apoyo oentral, y D.1'f poco • tarde lo hace la oentral. '1 de aa.lerdo con loe valoree de la t14Zura 30. oon un t.aator de reeerva plÁlltlca de 1.11. Aplicando la (23] a este 0lIII0, -que no . . lIino obtener el 8iro prcxb:lido por el dt.a.lrama rayado de la t1a:ura-, MI obtiene un valor e, entre O,oa oLlb y O,04X·I.Ib • ..-.or que oon la h1p6teeia de anaado 1: 1. apoyo que en

es perfectamente aceptable aalvo para armadoe D.lY fuertoo 111m CXlIDPlemento de CJOq)reei6n en la cara o¡ueeta. Con un factor de reeerva plálltica no superior al de secur1dad podriaaloe ampliar el tDar'Ilen para relaoionee lI'I8.yorea a 2:1, pero 00 podriamoa Uecar hasta la 1:2. Bb la práctica un lI'I8.ra:en de 2: 1 a 1: 1 ea llIA8 que suficiente. lo que se traduce en adoPtar para el cAlwlo un ...ento IIObre el apoyo entre qJ.,2/6 y c¡t.2/11,5. Lo analizado corresponde al caso de visa de doe tramos 00I'I momento negativo elevado. De acuerdo oon .la Tabla 1 , cuando la8 luces BQl diterontea ellDOl8\to inioial ea interior; el m1nimo. de valor O,15·qL2/8 se produce con la lua oonsecutiva mitad. In eee CMO, ver f~ 31, ·lJllIl eetatesia de anDar en relación 1: 1 oonduoe a DaDer\toa iniciales cad en la misma relación de reaiateJno1aa, ocn un factor de reeerva plásticx> pequefio, del orden de 1,06 que ex14le un airo pl.úticx> que no lleca a O.OLX °lv'b. A

ZA' A

O,en 1tl\.

e,08) ,,~

1) ~o,.\"Io I..ft..,

La oonclua16n el que para anoadoII eobre apoyo y vano entre las \ rel.acionee 2:1 y la 1:2 aun para la reyor esbeltez poeible de L/h=25, no ¡\ exiacn W1 81ro plAstioo aupcr:ior a O.06li:-25, eo decir a 1,5" de radián, que

OO\'t.

f' 0'p11_

Lf\,

estrategia "de armado tipo 2:1, oon la 8O.laCi6n (6) obtienen loe IDOIbel'l.toe de la ttaura 31. Ahora es el vano el que primero lleca al agotamiento. Debido a que (1) para ~2 /6 e8 iaual a la (2), podemos BelllUir: utllbando la (23] para eetimar el 8iro plástioo. tomando como inercia la de la aecx:i6n da armada, que es donde básicamente varian loa IDOCDelltoe. El giro plástioo O8Oi1.& deede O, 02X l.Jll a

Si Be adopta adoptando 1 2=2' 1 1

En eentido oootrarlo, el partimorll de una relación de 8l"1II&duraa 1:2 1011 IXlID8ntOll IIObre apoyo y en vano lIOI'l inicialmente menos diferentes, como puede c:xmprobarae oon la [3] partiendo ahora de una relación de inerc1a8 1./10 tallbi6n 1: 2. De nuevo 811 el apoyo el q~ lleaa antea al agotamiento. ' aunque alcanzarla en el vano ex1a:e Wla fort1a1ma red1Btriruci6n de momentos. que oca:> puede OOIIlfI'Dbarae oon loe valorea de la fi4lura 30, defi'be un factor de reserva plálltica del ardan de 2. que no ea prudente usar en 8U totalidad; y en efecto intentando aprovechar toda esa t'eaerva , el airo plútioo eecún (23]. eetarla entre O,05~'Wh y Q,09%o(A. Si la inercia oorreeponde a Wl& aecx:ión en T oon valor O,85 o A-dll • el airo plAatl00 00 _ _ iodo do O,04'·I.ih .

0._1.7.

lU1a Be

O,O~·I.ih.

Ambas eetrates1as eon aceptables, eln demandar giros pláaticoe intolerables . por lo que Be puede concluir que un tramo 8Stremo con canto constante de hormigón e8 p.l8de calcular a partir de un IIlClCOOIlto eobre el apoyo entre qL2/B '1 qL2/11,5.

En acero, para secci6n conetante la menor eeoci6n que 815 capaz de BOportar lWl carga wllfol'1Q8, Be obtiene obviamente s1E11rlpre a partir de oxment06 qL2/11,5 tanto en vano COD'O sobre el apoyo, sin que haya que temer falta de ductilidad para ello.

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(t!lf'

3.9

Traao interior

IU eotudio del apartado anterior permite resolver no sólo una viaa de dos tr8llXle, sino taIlbién e l traDJ extremo de cualquier viaa continua, .,1entrao eea. doIlinante. De acuerdo oa\ la Ta bla 2, e l IIIOIDeIl.to !!Obre el priD!Jr ..,ayo interior en la oc.lb:l.naolOO • desfavorabl e de l uoee ¡::uede doooondor alMo W. hasta 0. 64,,,,,'/8. proa..oieodc """""toe ~l.. P>C!Iitivoe y MIIatiVOl!l, siendo aleo J:IenOII reoomendabl e en eee caso la eotratcia 2:1.

Loa caaoe de la figura 32 corresponden. al tramo interior equilibrado y por tanto con e l mayor IOC'GleOto negativo posible. De acuerdo con 1& Tabla 3 , cuando la relación de lucee consecutivaa ea de dos, e l DX:lmBJlto eobre apoyoe en un tratllO interior es 'e l menor posible . En ese caso, ver fi&ura 33, para seoci60 corustante loe IIXlCD6rltoB eon inicialJDente igual es , por lo que la estrate&ia 1:1 no necesita plaatificaci6n. lA estrategi a 2 :1 atm:¡ue 8llJ1letlta el IDCltbeIlto ne&ativo, no ea euficiente para duplicar a l poe itivo; la. primera rótula. se fonna en el vano, y con Wl factor de reserva de 1,29 ee llesa al aaot..al:iiiento. El airo ,p l ástico, que eeria e l de doe lDéruIulM, puede oomprobllree que De r1ae por la expresión (23), con ineroia la del extremo del trallO . dando valores :entre O, 03X-L/b y O.05X·Wb.

En una vi¡:a de tres tramoa ape.reoa un nusvo tipo de tramo: e l interior. Plant.eeD:le para 8II(pI8Ml' lma vJ.aa de tres tramoe equilibrados, ea decir <Xln airo nulo !!Obre loe apoyoe interiores, que OOIDO ve1atooe en 1m apartado anterior, 158 pI'Odl.kle tanto para luz exterior nula , OOIDO, para caraa unifonle. 000 lUl! exterior alrededor del 80X de 1& interior, o luoee ocnseoutivaa id6ntiou .

1 ' ~~t----

En la fi¡:ura 32 158 presentan lae oonolUll1.ooee para eetrateQ:iaa de Al1lI8do 1: 1 y 2: 1. La primera poeee in1cialJalte IlOIDeIIltoD en extremo doble que en vano , que, tras la fOI'lZOl6n da la robla en el extrellO, se

1aualan.

001\ un factor de reeenra plútioa de 1, 33. Bl airo pUatioo se8Ún eeU entre O,O""-4'h y O,07X°4'h, que, en . 1 oaao - habitual- de poder uiallar la tMOOiál a T. lS8 rebaja a O, O~ o 4'h.

(23),

;"'03'1,.~

0,0'0 '4c L

~r:l.A.I\.,f.

Para W\ tran:> interior la _esbeltez p.1ede llegar a Ber típicamente hasta 30, por lo qua e l airo plástico p.l€Ide llesar hasta 1,5% de radián, l o que exige en el caso de cuantiaa fuertes la disp:>8ici6n de armaduras de compresi6n aeneroeal!l . La práctica de disponer l a tercera parte de la 8.l'1MClura inferior corrida en toda l a l ua cubre aeneralmente este requ1ei-

j /1 l'

La conclusión es que 1m tramo interior de hormigón armado de canto ~ constante ee p..tede calcular a partir de p:xnentoa en ext remo de valor entre ~ ql,,'Z/12 y qLl/16. En acero, la 801uciéin de eecx:iéin <XXlSt.ante minima que es capaz de BOportar lUla carga unifol'1D8 Be obtiene oc:n lOOCDentoe qL2/16. Con la eBtrates;ia de armado 2: 1 loe IIXlIneIltoa negativoe aoo inioialmote algo superiores al doble de l oe poeitivoe, por lo que lles:an antes al agotUli ento . 6610 trae un giro pUetico 66 a lcanzan 108 IIlOIOelltoe de ~lculo proporcionalea a la aecnadura prevista. El factor de reserva plástica ee inferior a l caBO anterior, exigiendo rucho menoe giro plástico para garantizar l a ductilidad necesaria para pbder dimensionar la pieza oon esa eetrates'la.

3.10

Canto variable

Cl.1ando la variacién de rigidez se produce por variación de canto la e1t.uaci6n es I!áa compleja, pero ofrece lI'Iás poe ibi l1dadee de diseño. Para tr8l1lO ext remo loe resultadoe con variaci6n de canto de uno a doe, con estrategiaa 2:1 y 1: 1 se ofrecen en la f~a 34. Aun para la estrategi a me alejada del OOIIIPOrtamiento inicial. lXlIOO ea la 1: 1, e l factor de

reserva Be IIlOderado. as1 CCCIX) las ex1a"enc1.ae de airo plástico. La eetratea1a 2: 1 se aoeroa lIáe al OOIQpOrtamlento de doe trUlOCl equilibrados. por lo que la neoealdad de airo plAatico es ou1 nula.

S1 Be alteman tramos l.ara:08 y cortos loe IDOIIleIltoe BObre apoyo BOO inicialmente 1181'10re8, por lo que la reserva plástica y el giro neoeoario dlemJ.nuyen". e incluso para eetrategia 2:1, -que con canto doble etanlf1ca. W"\4 variación de r1aldez de uno a ocho-. la pr1llera rótula pJede fonW-ee en vano, ver f1awqa 36. pero en todo CMO oon pequef\a demanda de airo pláot1oo,

el'

-" ~tl. ,.~ ',of'\,..~ ... _ .

La oonc:luai6n es Qua aun oon canto variable en la relación 2 a l. hol1ll1a6n las -eetratc1ae de a.naado 2: 1 a l : 1 sin que el 81ro plAatioo neoeearl0 exceda de 10 tolerable. Para acero y perfll de

p.leden adoptaree en

Eh trMlOe interiores equ1l1bradoe la eoluol00 000 la JdBmas variantes precedentee 1118 ofrece en la fiSura 35. Por exoeeo o por defecto las eetratoslae de anDado 2:1 y 1:1 MI llitúan D.J:Y pr6x1maa a 1118 de caoportalIiento inicial. por lo que la demanda de airo plAetlco ee exigua, permitiendo utilizar eate tipo de d1aefloe haeta eebelteoee ,,1nclUBO de 40, referidas .1 canto IDCIlOr.

•

oorOOnee OOIlI5tantee ea p..aede . sacar la cu..a ooncluslál, reeultadoe CXlfl la eetrate81a 1: l ~

3.11

•

a tenor

de los

Viasa oontloQ8e en acero

Dado que

en acero

laminado las poeibllidadee de giro plástico son las poeibilidadee de d1.Beño de vigas continuas , a1mplificándoee notablemente el cálculo de las lDi6ll'la8. Si el cálculo ea el prooeoo para encontrar el J)enOr perfil COOlPatible con loe requiaitoe ectructural.es, laa viaas de deban calOll.arse en plMtico.

8IIIPlisimae, ae1mieroo lo

80fl

&eerY

O,.,oo,J."

Para cualquier oomb1naci6n de cargas y luoee. ~l procedimiento es, a partir de la ley de IOOID8Otoe iaoetátiooe de l. viga. ver figura 37, trazar W\Il linea dt!t cierre que defina loa snccnentoe de cálculo menores poeibles. Localhmte eeta linea. para carga uniforme. define en el traJlX> extremo IOClIDentce de valor qL:l/ll,5 yen traIllO interior qLz/16. El menor perfil ea el que proviene de adoptar 00I0O mmento negativo BObre cada. apoyo el máx1.a:o de 108 local08 de cada tram a amboa ladee del lDiamo. Fn edificación las cargae p.m.tuales en for jadoo y v1g8.f! no soo dominantes, por lo que, a efectoe de cAlculo en acero, se pueden identificar por el IIOm6l1to iSOBtático que producen en el centro; el una c",rga unifonne da lugar a "l=c¡L2/8. ,una carga puntual a una distancia B del

o.ou~\.\ : Q... ". t \

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extremo Dás cercano da. lugar

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deduce

del

d.1.a¡:r&lDa

cálculo. 88

Tal diferencia 66 en ¡:eneral

euele tener en cuenta.

La flecha., el la esbelteces' están en un rango seguro no ea preciso calcularla. S1 alaún tramo supera la eebeltez limite, basta d.i.JDensionarlo la

proporción en que excede En caso de duda será preciso, oon diDlwlic:nado definitivo , calcular el reparto de aomentoe para caq:ao eervlo10, con ll)'Uda de [10] o de [20] . y <Xq)robar que la flecha tolerable. .

esbel tez

I ¡

dicho

valor

DIlema

limite.

el de ea

Hay que hacer notar que ' el p~1mlento de diaeño incluyendo plaetlflcac16n no l'IeÓe l.1aIU"88 en : piezas a lveoladas o trianguladao, en 1M que no pueden da.ree lea rotulaa pláeticas; y tampoco pJede uearse oon al1M la (10] sin oorrei1r la def~>r1llllbllidad con el ténllno de cx>rtante.

S1 todos loe tramos definen con la linea de olerre continua IOClIIIel1toe de c61culo sWlaree. se p.tede tomar un e610 perfil para toda ella. Si aon lIIlY dlferentee de unce trUlOe 11 otroa . DO p..oda oamb1ar de perfil en loe PlIltoa que poeean eo11oitao16n. l11niM . Con luoee iqJortantea o carglUl elevadu se p.I8de di.aef\ar la viga con un perfll base, reforzado . d1.eponiendo la linea de olerre de fOl1ll8 que paae en cada p.u\to por la reaatencia ele81da.

con una reeilltencia re1Ioida en

al • •• rril o. Y'I_ aoatlDua

que

inapreciable salvo en tr&DXl8 extremoe y no

u-A- u--- "T' ",-

-L~ -J. --:-:--~ __ i _~kl r l~r.

En todoe 108 casos el cortante de cálculo, p.l8de tomarse directamente pendiente de la p-áflca de mcmantoe utilizada para la elecci6n de eeocl6n, aunque hay qua tener en cuenta qua, al no crecer loo IOC'IGIeI'\toe proporolonal..mBrtte, J.aual que la flecha . hay instantes lntermedi06 en loe 1,, / que el reparto de l.aa car¡aa sobre loo apoyos ea ligeramente diferente al de la

3.12

V~ae

oontinua e de hor.la6n

a~ado.

De lo vate en anteriores apartados Be p.leIde ooocluir que, al menee mlentrlUl la relaci6n de llI1D&durae· lléxillaa aobr& 8¡IOyo y vano esté entre 2 : 1 y 1:1 WJ,a v1i:a de hol"ll1i:oo ''tiene suficiente cilctllidad para alcanur en 8Jllboa ¡untos toda BU capacidad reeiBtente. Kso Bignifica que para detenainar las capacidades reallÍtentes, ea dec1r loe 8l'IrI8doe de la v1¡a, se P-leden slesir loe IICCIOOtoe ,negativoe en un 8Il\Pllo lDIlllIen, o lo que es lo miBlOO, que no hay que determtnar previamente a l anáUsiB las eeocl00es resistentes. eino que ee p..tede oomenzar directamente por determinar lae sol1c1taclcnee. La simplificación que supone la ductilidad de 18.8 v1.¡as s1gn1f1ca. igual que con el acero, que el proceso de análiB1s . en vez de calcul.,. l.a.e eolicitacionee, oone1.ete en el6(/lrlu .

/. /

Basta$"

El cAlculo de viaaa ooni1nuas de hol1D1gón 68 p.l66 airople. trazar sobre el d1.qr8m!l de IX:IID6ñ.toe isostát1<XlO cualquier linea de cien-e que defina DOCDeIl.toe no Dly dillpaI'es negativoe y po6itiV08, dando ligera preferencia a loe pr1.Deros. 51 loe tramoe 60fl DlY diferentes resulta rIáa Be6JUl'a la estrategia l: 1 y ai son roy parecidoe la 2: 1 .

I -.L ___ . ____, ~._.~

I .\

r,.u~ ••••

'erfll •• rafora.do.

e. eaalo .ari •• 1.

D..umdo loe requ1a! toe de eapacio bajo la viga sean 1I1IY exigentes, se puede acudir a secc16n variable. ajustando en extreax> y vano la resisten-

El cálculo, -tratando de encontrar la rejor eoluciÓll compatible oon loe regulei toe estructuralee- deberia, para una eeoción de hormigón dada, detel1D1nar la eol ucl6n de menea al'l!)lj(jura. Caoo la plasticidad lo únioo que hace es pel1ll1tlr quitar IJClmef'Itoe de un lado para ponerlos en otro, y COIDO las anDaduralJ son sensiblemente proporcionales a loe II'lClhentoe. lae vIgas de hormigón no tienen por qué calcularse en plAetlco . Pero la o::mpleJidad del cálculo elástico, -teniendo que obtener annaduraa que dan lugar a IIJOO"IeOtos justamente reelstldoe por esas mlsmae a.rmaduras- . hace que, en general acabe dominando una sección, ver figura 4. quedando las demá.e 80bredimen8ionadae. Por ello y porque la propia. inversión en cálculo ea 1// menor. debe preferll'lJB el cálculo plástioo.

cia que se obtenga del perfil peraltado, y oomprobando que la ley de varlac16n de canto no se encuentra en ningún p.u\to intermedio con falta de resistencia.

La mayor o IneIlOr cantidad de armadura depende en detalle de la estrategia de annado. Para tramoe interiores no hay ventajas claras en W\a u otra estrate4ir:la¡ para tramoe. extremos probablemente es nejor acercaree a \

{ 44

;

,: {lf~"WIP "t1AS CARO(,. I

.&netuII _

Kn aeneral loe a::mentoe I'q'ativoe l!Ial liaeralDel\te lIás ooatoeoe brazo de palanca ea 11aeraasnte IS'IOr. y porque lu lonaitudee reaultantee de laa barras Ba\ relativaDI!Irlte .yores para el ..lamo Ib:lIDeIl.to¡ el anclaje 88 la cepa ~r1or ea DfIIlO8 fiable y nooeelta mú desarrollo, y el anclaje resulta ser un poromtaJe elevado de la anwd.lra.

la 1: 1.

p:m¡ue el

3.13

Viaaa a1xt•• oontinua.

La t\Jct1l1dad en vlpa _ depende de la poeibiUdad de pl.. Uficaci6n de laa ee001cnee. A IIlOmeIltoe poelt1voe. oc:n el hol1ll1c6n oomprblldo y el perfil traoc1onado, hay amplia capacidad de rotación. Sin -barvo el 1M opta por intentar prcxbJlr un aran. efecto de oont1rwidad ea preciBo 1M1.etir en dotar de resistencia a u:GIeIltoe net(latlvoe a la v1&a, ' con uud.tra 1noluida en .1 honDi.oo ISO~ apoyoe. Sl la capacJldad mc.§n1ca de la amadura.l.canu el valor de la del alma de la vlca. 6eta pasa • estar OCIq)r1mlda totalmente. Para pertl1ee IPB eeta a1tuao16n tenBional no pemlte rotación plástica debidO al aplMt:.u:Ilsrto o pandeo de alma. 'Sl el aMol1e1.a eláatloo dal dieefto e1ec1do P!lnIIlte predecir que la primera rótula se forma en el vano, hay suficiente ductll1.dad¡ pero en aeneral. dada la diferencia de resistencia y r1«l:1dez entre _bu l!MKXJialee. la primera rótula ea D6a probable que deba fomáree en el extr..o. Y. e1 lile fonw!to IIObre el apoyo, la capacidad. reei.,ténte úxima de la viaa .. obtiene con réct..men elJatioo, con loe inoonvenlentee antee ap.m.tadoe,. lIenOe que 118 ~PCIIlIan retuen"JOe en l.ae am, o r1C1dJ..zadoree de alma.

En ceneral, dado que la eficacia de la eeooi6n. ea r:rayor ante momentoa poeltivoe que necatlvoe, que la 'r1aldez a IKlmentoe positivos es mayor que a ne¡atlvoe, y la pequefta ck.lctllidad a D:lIlII6nt08 necativoe, la opci6n ruonable .. o no intentar la ~· oont1nuidad o CQ1.flar IllÓlo al IIIClII8\to MIIativo del perfil por el BÓIo, Para lo que ¡osee <b:t1l1dad de eabra. il '

_te

~ En elementos D.I)" repet1doe. OC*O l.a.e vtauetaa de un forjado, la mejor aoluoJ6n lXOIIiate en ajuetar exactalDente por ejemplo el momento inferior a 1& rea1etenoia eetrlota de una ~a def1nida, dejando loe 1Ib1.moe del otro e1&no, para calcular la ~,que no podri., en aeneral, det.en.1naree eetr1ot.ala\to. .

Debido a que en faeee intenoed1aa de caraa loe DXII!IntOe poeeen otra d1etrib..tcl.6n , lu &nIIIII.iu'u deben oo.brlr l.aa zonas traocl00adaa en todo el ·01 r. rW.b i:i prooeao de ouwa. In ese sentido ea recx:mendable loncltudee de ne&atiVOll - 1,,, \101) 11M QlPl1aa que laII que se deduoen del dtacrua de 06100.10. Asimismo la vr GAr l ex1atenaia de 0IlI"IU ¡ultualM, ademú de incrementar el IlC8!II'lto 1.eoetátl00, alaq:an la lOna de IICaIOtoe • reaatir ocm la anwrdura •.

UR.A

M¡'l~ r1 (P/"t

COM~ I

"lentru loe vanoe a IDOIJeIltoe plIIitlvoe exhiben una amplia ductilidad por ser la 1MKXl16n ¡eneralDente en fo ..... de T, eobre loe apoyoe. -que ea donde 118 neoeeita JDÚ habitualDente-, 1& Wotllidad depende de la exietancla de una 1ap:Irtante fraoo16n de armadura CXlfQPrirlida. Re habitual proloogar hasta el extrEBl de un tercio a WI 0J.art0 de la a..rm&dura de vano, y cuando hay ¡ran demanda de ductilidad, dotar a l apoyo de W\8. an:wd.lra cx:cprWda . 1 Il8OO8 Idtad de la traooionada.

Para el oortant.e valen lae mBl108 oomentarioe que loe realizados en acero. K igual que en acero, al la eebelte.1l eeU en el rango seguro de flecha. éeta ser' tolerable . En otro caeo debe af\adiree acero . Para pequef\a8 oorreocionall basta disponer por ejemplo &l"WIdure conetante en l a parte inferior. En loe C&I!I08 más graveB habrá que 8obred1roenslonar en todas 188 aeoclonee, ¡udiendo diBlllnuirse las deIDandaa de ductilidad .

.. Ilool. ,....

PORTICOS

1 1. ISTRDCTDDA6 ADIMTlLADA6 1.1

letruoturaa de .uroe

Haata la introduool6n. en eete elalo. del ace1'O pr1JDero y el hono1gón deePlée, 1M eetruoturae adinteladas constaban de WrCl6 por un lado '1 vigas o carreras por otro. En. eete tipo de estructurae no axlote entre amboe elementoe úa interacción que la proveniente de que loe Dlr08 deben soportar la OArIa vertical que . depositan las vis~. B'renta a acciones horizontales loe dintel.. actúan CQJO enlacea entre 108 D..U'08 obli&ándolea ti un deeplOlD8 eiD.lltáneo, '1 p::Ir tanto sirviendo para repartir entre todoe eUce la acción. hor.1z.ontal deeeetábll1&ante. lU'1Ilado

aatúa

51 la accJi.n vertical qU8 sobro las vigas entra en el BUrO deooentrad.amente. l!Iete estA aaOotldo • 00IQPre816n. excéntrica, incrementada -con el eiano que oorreapc¡nda-. -:000 la pI'OVMlente de la oblicuidad que produoe la exietenota e1D..tlt.6nea do acción horizontal. El Wl"O no necee1ta estar reeuelto oon~~!'Orial realet¡jente a tracción; mientras la excentrlcl~ no eupere el ~ del Mpeeor. no "exuten traocionee; el no 1J:rportan 1aa roturaa localee a tracción 'i la eeocl6n restante 'ofrece aunc1ante capacidad retliJltente, el Dll"O pjede soportar 8XOMtrlc1dadee de haata lDedia eepeeor; e1 lA. excentr101.dl4 eupera eete últiD:> valor, el IIJ.U"O talla

inovltablemente. Con eetructura adintelada. clAsica las v1gaa P-lOden estar resueltas traDJe a1.el.adoe o oomo viMae ' oonti.nua.e, pero. en todo caoo, las de la planta euperlor caDO eimplemente apoyadas en los D1l"OB . I?n plantas lntenD8diaa se puede producir aobre la v1&a Wl efecto equivalente al de la oonUnlldad. es decir de IlCIDentoe: ne&at1v08, 8i 80 procede a BU 6QfPOtramanto. Con este 8lstema, la entres;a debe ser suficiente para permitir un juego de doe reaocionee suficientemente dietantee, e interesando a "'uficiente 6.rea oomo para producir sobre la viga un IOOIOOOto apreciable 6in que sufra por cortante. La reacción 8uperior depende del peso que p..¡eda ser movilizado sobre la viga. El lDi8lDO efecto se ¡uedo COl'\8eBUir en apoY08 en continuidad. o en la última planta. el Be disponen petoo adecua-

<Xln

-'.

'Véase la fl.¡ura oorl'68poodlente a fábricaa en el capitulo da PAND5D

El efecto de aa¡potra/f)jento e8 produce mejor con entre.¡1l8 amplias sobre n:uros de espesor i.JQportante, con peso su.perlor ae1mismo importante y BU valor -en tIlOIDel\to- que procede de la. coacción al airo de la viga que ofrece el wro. depende de la deformab1l1dad relativa de DIIlbos elelOOlltoe, y 19B. y IDJt'O. La denom1nac16n de erQPOtramlento atiende a un perfectO ajUBte de la viga al hueco donde estA alojada , por lo quo su efecto e8 reduce o anula .1 I~.~ hoJsura . prodlc1do por •• to fenómeno no ",<>do Buperar 611 que situación de 81ro nulo. valor que se ha a C!II2&FOtnut1Mto QU".fecto.

En estructura adintelada sin 6IDpotramiento, la viga responde a 188 cargas oon la ley de tDOID6lltoe Y oortantes oorrealX)ndiantes a una viga apoyada. El equilibrio del apoyo exi4Je que lo que ea reacción vertical sustentante para la vi¡:a eea ao::i6n vertical de fleta sobre el rura. es decir, que el valor V de la v~a se tr8J"l8forma en valor H para el soporte j y viceversa, que el existe OOlDPresi6n en l a vi¡:a . 6eta a14l1fica esfuerzo cortante en la OÚ8plde del 1Ul'O.

denom¡

La ~robaci6n del tturo pasa por la obtención de la t,l"ayectorla d6 C<!.lll'a de la reeultante de ooa;>reei6n y oortadura 81"1 el interior del roro. S1 6sta cae fuera de la baae, el wro falla . Una decisión no acert..ada del detalle de encuentro del dintel con el IIJ.lro, intranscendent.e para la v~a, ¡uede ser deoi.JIiva para la viabl1dad del soporte. Para el soporte el diagrama de b:IDI!Wltoe no ee e1&nificativo salvo que 88 c:appare con la oc:GIPreai6n; ea el valor de la OOIrIPreel6n y su trayectoria lo que define el ...todo de oollc1toción del ooporto.

, I

. ,i

. Con eetructuraa adinteladas de vigas y Dlr"Oe no 88 ¡uede construir un apoyo en tracxl16n.¡ ai8IQPl'6 debe eetar oocnpenaada con el peso del peto auperior. produciendo t1nalaeJnto . OOIIIPreeionee. Además. 81"1 ocasiones la flexibU1.dad. de la v~ puede ocB;s lonar no 8610 e.xoentrioldad. lIino ademú • por a¡JO)'O oblicuo, ~1a:Ioe ..eIQ¡lUJea latoralea.

1.2

11 Dudo r1a1dq

La posibilidad de nudo r1aldP entre soportes y viRas otorga a la oonetruool6n Wl8. ntllW& vute ya en el capitulo de ,UDIO. que permite que la edlf1.oao16o. e6a estable. y SOPOrte aocion.ee horizontales entre 108 eopor'tee de ' apoyo, :- funcionando toda la estructura <X:mO un oonjunto. Al oonJunto de aopoÍ"te8, )1' v1aaa -no neoeear1.amente horizontaleeen un lI..i.frIIo plano, oon OU1Iaa oon:tenidae en dicho plano. y eeociones .1m6trlcu _ al 1Iiomo. . . 'donco>lna p6rt1oo.

-t.ru:rtw:",

Aunque el efecto de empotramiento oea en lanera! benetiCi060 para la viga, -al reducir los IDI'XI8I'ltoe tlectoree y dar luaar a una IlUStancla1 dlaminucloo de flecha-, OCllI¡)l1ca al DlrO; en ocaeiooee loe de&a&radablea efec::t08 aobre el roro p.leden anular laa ventaJas prcxb:lldaa en lu VU;a8, S1 el ¡rado de ~tramlento ee ¡rrande, ea p¡eden prcdJcir" en el ruro t..eMl0n68 lD.lCho m6.B elevadaa que LM de eillPle apoyo. Para QUO el arado de empotrlll11Mto Bea pequef50 ea deben p~lr 811'08 1.Jr&lortantee que oonri.loen • tlaurea a,preolablee. La eolucl6n en ocas1.onee pua por dotar a la vIaa de r1Bldez olevada lo que cxxduc:e a pooo airo y a 1.ncluclr pooo JOCJIIlellto, acercAndo6e su c:::oqlOrtamlento al de un a1.aple apoyo a poear del ElttIPQtramiento. Con v1Baa lIllY flexibles el problema p.wd& no t8ner 801uo1.6n: el D1rO o se eplaata o se t1eura,

La estabilidad de laa eetructuraa ad1nteladaa depende de que l a excentricidad en cada uno de 1011 e lement08 de soporte Be mantenga acotada, lo que 1m,p1de grandes alturas sin espesores proporcionalioente elevad08. Hasta la plena utilizaci6n oomercial del aaoenaor 2 , a principios de ee:te siglo, el problema no hizo arisie. Alturas mayorea de cinco o 8ele plantas son d1flcil.mente resolubles con estructuras de Wr08, allJ'V:lU8 existen soluciones con. ocho, diez y hasta catorce. 2El ingeniero GrIS, E.G inventa el ascensor en primeras desooetracionee doe af'I,OB deSp.l6e.

1852,

realizando

SUB

10'"'''' rl~ra

".'.L __

1. lolQcl6n •• nUdo r.,ido

El nudo rígido establece la oontinuldad resistente a todoe 108 efectos entre BOporte y v~a, definiendo para 6eta 1M biBma8 poeibilidades que con laa vigas oont1.nuaa. Por ejeD'\Plo. si la v1s:a eetA car¡ada., el

;-.

,ira en loo extremoe está coartado por las piezae ooltndante6. -ahora 8Oportee-, produciéndose roomentoe n~ativos en lae zonae extremae de 188 vigas, reduciendo su solicitación de flexión y !SU flecha.. Las ventajas que se p..¡eden producir en la visa ¡:ueden estar 0CllIlPfII'l.8B por 108 problemae que se 1nduoen en 108 6Oport.eo, en particular porque 6ete paea. a ait.uaci6n do flexión oomp.l68ta, con Wl& d1ato1nuci6n. t.tPortanta de l!5U et1cac1a., lo que puede deBacxlneejar la aoluc1.6n de nudo r14l;ido. Por ejellPlo, al un extrelOO de una viaa de acero apoyada se tranafol"lDll en un nudo rfs:ido, oon las caracteriatlcM de aqpotraalento perfecto, el o:mento mbtmo de la v.iMa p&sa de eer, para caraa uniforme, de c¡L'/8 en IIlaDentoa poeitivoo , al m1emo valor en Mlativoe, y por tanto 60 a1aue neceei1:.8ndo el lIil!lrO perfil por ree1e1:.eooia. En cmobio el IIIOporte pasa de oompreai6n simple de valor qW2 a oompreei6n cx::G:IPllMta' {O,6'c¡L c¡Lz/8} que exi&e un perfil notablemente superior. A menee que La tlecha sea detel'1llinante en la v1.&a, o por otrae requ.1alt.oe o a001.ooee, 01 nudo r1&1OO no interesa en eate caso. Con estructura do nudoa riMldoa el equilibrio de fuerzas en el nudo lleva a 188 l.temu ooncluaiooea de lnteroublo de loe papelee de OOIIPrealón y cortante entre vJ.&a y aoporte que ,.. veía para 1M do IlUroe . Y de la miama I'I8J'\8ra que antes, en 8Opor1:.ee tiene poco emtido .1 di.a&'rama de

la OCCIPreei6n. Para el aoporte lo relovante oe la trayootorla do car¡¡a o la exoentr101dad de la ca:pree16n.

1lOIDell.t08 flectoree independientemente do

En lo que lu eetructuraa adinteladaa de JPioe riM1doe ,anan notablemente a lao do Wr08 011 en la eatabilidad. Ahora en vez de ser una propiedad de cada elemento eoporte por aoparado, . . una propiedad del oonjunto . So puede decir qL18 el oonJunto ea una _truotur. ante aoc16n horizontal. Como VOreD:lfl, la ..,tabilidad no ... una propledad del eapeaor de Q2da ele.:lCllto, sin;) Que Jl..le&a l1I.y tavorablemente el fondo total o ancho de baeo de l. edificaci6n, Q.IIO ahora ~ el papel de canto reelatonte ante la aoc16n horUontal. .

La oont1nuidad nec::eea.ria para prcdloir la condici6n de nudo r1a:ido, IIIObre todo a otectoe de acci6n hor1&a\tal, ao procUoo eoponUnearoente entre IIIOportea y vilae de 001'111.&00 in .ito. In loe nudoe do acero o de madera etsnif1ca una inverei6n oona1dereble de tecnol c:cia af\ad1da, y de detallea Mec:o'ado- . Lae un!ooea de soporto 0CCl v1aa en eoluoi6n. hibrida. como entro acero y madera, ladrillo yo lllllder., ladrillo y ,horm1a6n. o ladrillo y aoero, ~ ¡uoden cx::Cl81doraree en. ~ral ocao nudoa · r iMldoe.

2_ AHALIBIS DI PORTICOS '_C"' \

( 2.1

P6rtioo .taple

La existencia do nudoe r1&idoe entre el dintel y el elemento de IIIOporte obltaa a plantear lae cond.icionee de deformación para poder determinar 01 eotado de lI011citac1onee, ya que la ~16n del 8Oporte al airo do la v1.&a en BU ~,dependo -cx:mo veiamoe en el capitulo de v1.&ats- do la detorm.billdad rolativado las doe piozaa. j

El problema ¡ueda pIant.earse da otra IDan8ra diferente a oomo 1118 hacia en viaae OCIatlnuu. AlU Be propooia. el análisis a partir de una eetructura que ditoria do la or1ainal ea que respetaba el equilibrio - auponia JaDOntoe nuloe en loe nudoe-, pero no tenia JIáa reaaedio Que ocusar 1nooherenol. aecátrloa, al producirse un quiebro en 01 ruldo entre 1ae pie».e eupuee~te ocntlnuaé. ,Ahora intentaremos plantearlo a la lnverea, eII decir, auponer 1niot.lDante CXlherencia total ae0m6trica -Siro nulo en loe r1I.Idoe-. aIJIlI¡ue lile un deeoquillbrio -de mmentoe- que e«Í prooiao OOrn'J81r. lete _todo, denoI11.nado de equilibrio, -alternativo dal vuto para vtaae. ~ do ·ooi¡pat..1htljdad-, ea DAa potonte y permite Ul'IA lI6a f.ioll ,enoral1.aao16n a todo ·, tipo da problemu, por lo que habitual..Dente lile oone1dora OCIIO el ...~ do en611aia de oetructuru.

acuee'

Veuoe oteo . . ' analiza un p6rtioo a partir de esta eatrates:la, la de OCWI1derlll' 1n1otaaente. la ooborenoia aoao6trica aurquo haya

ttaur. 3. adoptaDloe """" "",to de partida el ()C)qlOrtoIDiento de cada pioza oon extremoe :fijoe y l!Iin ,irar, do hecho eatamoe iCnorando l. eatNOtúr. oc:.IO tal; el problema eo I!IÓlo el de un oonJunto do barras 'r por eeparadó . La via'a, por lo Que reepecta ~ la flexi6n, aetA 80mIItida en amb:18 extromoe al que hemoe denocoinado momento do aqpotrua1ento perfecto , : que por. aecolln oonatante era do valor 11-= q[,1/12.

_uUlbrlo_ Sl en el p6rtioo de l.

(d!'

I 'Kl a1&no

de llave, "{",

reserva pera indicar una ljsta de ténn1.noe no

bomoe;éneos, pero a 106 que se p.¡ede aplicar 1mB deooIIlnaci6n. en este caeo la o::::copreei6n, N, ID8zclada oon flexi6n, ti. r.. notaci6a se usa ampliamente

en loe lenguajes que tratan de listas, CXlIDO el LISP y en propone por HP en BU rodelo 2S-C . Olando los térm1noe eon poseen una ordenac16n, la lieta se conviene en mtr1.a, unl aiona.l, reeervAndoee para ello la notación de oorchete ,"[", propone HPj eeta notación ce utiliza me odelante.

particular se haDcgéneoe, Y o wltid1mencomo aa1m1emo

.......

... .

/l" -

1\"

----,--

La corrección que hay que introducir para restablecer el equilibrio y mantener la ocherenoia, ea la de af\adir una estructura IIO(I)8Uda en loe nudoe a IDOIbentoe de a1&no contrario, ante loe que lae pie%&8 deben ,h·ar. En eeta taae correctora ea o.l8ndo 1118 0Cfl81dera realmente la exlatencia de

l'n)loorl4l 11lJ....

IIU

I'ItKkI

28 O. O.umdu .10f1

na 1\OtI ftt'I:l

potK)Ol\UM o OOoooo1.ón, 16 l1"ta no conviorto M IMtda, un1 alona l. reeervAndoae para ello la ootación de oorchete 1"('"

UlIJIt r"'Oft, Y O wltldlmen00CIl0 aa1miCllQO

propone HP; cota not6cl6n se utiliza 11M odelante.

.. 00 "1 ~ "'" 'It .. 1""hA 1'0 1 r I*t'..... . . 110ft'" .1 "¡lIl I 11" 0 Y Il'It'n tanar 1.. ootW'lmno14 , M la do Aftndl r lU'13 MtnlQ t.ur 8 nOllKlL ld", o.. JOft nudoo .. roomentoe da alano contrario, Ilnte 100 que 1M pi6Uln <lobeo airar . En esta fMl!!l cor~tora ea cuando oe ooneioora realrlonte l o oxletoncia do

estructura (X)D'O enlace e interacción de piezas y 6a propiamente la fase de anál1B1a. El hecho de que, en esta fase, la estructura 8610 PCl6e4 agresiones mecánicas en 108 nudoe. facUlta notablemente 8U planteamiento . I

En este ejemplo, debe OOIl8iderarae que en el nudo -en realidad en loe dos I aunque por s1metria 106 trat.amoe al tieropo- <1000 producirse un giro 9. Para que S6 p~ca un Siro en el IISQIXIrte debe actuar en 8U extremo un rtIOID6llto H.;:8·3KI./H. 'i en la via'a K.,=-O·2KIv/L. La ecuaol6n de equilibrio 68:

11" • 11" = ~. o sea: ecuaclón oon

8 · 31I. /H + 8' 2KIy/L W'l8.

~a/12

[ 2 )

única 1no6cnlta, 8, que pl8de resolverse Ucll.mente.

Para obtener 1a8 BOl1clt&clonea sobre loe e,xtreD:le de barra en eeta fase, es prec1eo calcular cada uno de loe eumandoe ele (2] a partlr del valor de 8. El problema Be resuelve PlI!I8 de roodo indirecto; 4UnqUS lo que se bJ8ca 60n las eol1c1taclonee , se plant.ean en función de deformaciones, que 800 l.a8 1.no6gnltas del m6todo: una vea reeultae ~tae ee vuelve tras 106 paaoe antGrioree para calcular 1M eol1cltaclonea. Alm¡ue p.¡eda parecer tortuoso , M trata de un _todo potente Y de t4.cll aeneralizac16n.

La ecuac1ón (2) admLte una interpretaci6n 8U4teetiva. La solicitación 80bre cada barra no ea sino una fraooi6n del IDClDI!lOto ti-, el deaequllibrado de la primera fase. Preeo1ndiendo de faotoree 0CCIJI'Iee. _bu fracciOO68 88 encuent.ran en la relaci6n de 10 que ¡uede denc:m1narae r1ifide.M de cada barra: el valor 3KI.IB para el IIIOporte, y 211./L para la v1&a. 81 problema plI!!I8 queda reducido a l'I!!I,P4rl;jr el IQCIIOI!!Iflto deeequil1brado en partea proporcionales a las r1&1.deoee de las piezas que acx..eta\ a d1cho nudo. J.1UllJI1LUIl

:r.

8:0

¡irandc.l, y el soporte aumenta BU momento, inicialmente nulo, airando. Aai 68 como la. viaa, debido a BU carga, ce Bujeta en el soporte, provocando IOCmOIltoe en 61 ¡ IIDIl6fltoe calC11ladoa planteando prilllero que el extremo de la vJ4¡a no 66 deja a:irar, y luego anal1zsndo qué otros elementoe eetruotural611 ¡ueden hacerlo '1 en. qué arado. Si en el ejl!!llQPlo anali...zado, la eecci6n del soporte 60 rwy superior a la de la viaa, Be pued& suponer 1.»l y , o lo que 60 lo lDi6ro 1,,::::0. La ecuación (1] queda reduoida a tI.;;qLz/12, y por tanto a oonsiderar que la viaa se enClU8ntra cx:eo perfectaDernto EIIIIPOtrada -al BOporte- , es decir con a:1ro e nulo.

51 euoede que 1.«1", Be podrla adIlitir que 1.::::0, por lo que la eo.u.tOi6n (1) Be reduoe a e · 2IIvjL::qJ..z /12 , de doode 9;qL' /24KI v , y por tanto tIy::qLI/12, lo que ai&nifica que el ,iro que oe produce oorresponde a l a pieza apoyada con I)C)G)I!!IOto nulo en el extremo; y en efecto , el momento en .1 ext..- de la vlMo ea Ir -11, = qJ.' /12 - qJ.' /12. En loe c.aaoe habitualee la. situación ea intermedia entre loe doe antAirlore8j en el extreDO de la v1&a se produce W), a:iro menor que el de la v1&a apoyada, y un IICIDI!IIlto interior al de la pieza perfectamente empotrada, rrDQ8l'lto que tambiAn 10 ee Para el IIOporte . En éate, dado que no hay nin.¡una otra caraa , la ley de ~toe ee lineal desde ti. haeta cero, con un cortante V.;II.IB. Bate oortante l5upon.e una reacción horizontal en el p.mto de aporo, reaco16o que , combinada. con la vertical de valor H.;qW2, permite entender el QCqlOrtuí1.ento del eoporte OCCIO fKlIletido a OOIQPreei6n oblicua, QMtrada en la eeoclál de apoyo, e.xo&l.tr1ca en lals demM; la mayor excentrioidad a:pe.reoe en ~ parte euperlor, de volor o:tI.,/M.. cuyo úx1..lO, cuando I.»I~. ee e::4I,S¡ 'habitualmente es IDenOr.

Deb1.do al intercambio de valoree entre OODlPreei6n y cortadura en el nudo, la v1a:a 8OIII!!Itida a una OOIIPreeiál de valor ~;V., que, según lo anterior,no p..aedo ISLlP6rar, en el peor de loa caeoe, el valor O,16·Q·L18, sienda ~ la. cara:a total de la v1&a . En a:enenl eete valor tiene poca ino1.dmo1a, '1 Be euel. despreciar' u olvidar .

2.2

La e001.6n horUcntal eobre un pórtico allrple 615 I!láa fácil de anaUur. 8u¡:x)na:emoe el oaeo de la t1&ura 6. 51 exiat..e 151ftatrla, las reacciones horizootalee deben Ber iauales, de valor I en cada base. Dicha re.aoc:i6n no ea eino esfuerzo cortante de valor r para cada soporte, por lo que éetoB eetán &abI!!Itidoa a una ley lineal de IIClII'l6ntoe desde cero haata ~r'H en la CÚ8P!de. Por equilibrio da tuerzas horizontales en el nudo, la v18a está IISClmetida a una QOIt1Preeión ae1.&1moo do valor r. Por equilibrio de IlaDentoe en el nudo, loe extreaK)8 de viga poeeen flector del m1emo valor que el del so¡x>rte. De acuerdo con la figura 6, loe doa eon del 1l1&mo 151.gno, lo Que indica que la visa pooee una 1ncurvaciOn. oon un diagrama de JD:::lmI!!Intoe lineal, lo que significa un cortante oonstante de valor 2'K/L, es decir V,.,=2·FIVL. A au vez el equilibrio de fuerzas verticalee en el nudo oblisa al soporte a una solicitación axial de valor N.=V" de OOII'Ipresi6n a sotavento y de tracción a barlovento, que tOr'llan un par de tuerzas, cuyo DO'lento ea 2'·H, justarente igual al D:lIltlnto dtJ vuelco de la acción horizontal 80bre la eetruc-

De acuerdo con loe signos de cada. oomponente, el IDC:mento que aparece extremo de cada barra. suma de loe de ambas fasea, 68, para el eoporte. el calculado en la tase segunda, y para la viga. la diferencia entre loe de ambaa. Con la eeaunda fase la v18a reduce BU momento inicial ,

en el

P6rtioo 81.ple. Aoo160 hort.ontal

I!IaDI!!II\to

tura. La diBtancia L opera COIOO el ancho da la base de 8uotentaci6n de la estructura.

" "-'

l J

lID

ángulo mitad del anterlor-.

[ 4 1

9 1.

J?>

-lf1~

•

ext:t"'ellX) p.¡ede airar libremente -haciéndolo

Denominando con el subíndice I al extremo iZquierdo y con D al derecho. sl tsl =!t y tfo=O entonces, oon el criterio de a!gnoo de la figura 6:

'SJ"'" -l'1;J

--r'

Si existe roomento en arriboe extremos, de cada 06mento por eeparado oeria:

sumando lOQ efectos de la (4]

= K, • W3Bl

9, 90

+ 110' l.I6KI 11, • W6Bl + 110' l.I3Bl

que ¡uede eecrlb1ree da la

tOrmll

[ 5 1

oondenaada:

[ 9, 9. 1 = [ 11, 110 1 • [ [l.I3Kl l.I6Kl][ l.I6Bl 1.13Bl 1 1

~~ ,

~---~ El problema en este caso 6S 1806tátioo, no teniendo que intrcxluclr las condiciones de deformabllidad para resolverlo. La defonoac16n sin embarao exlete. El oorrimiento horizontal del nudo ea u = U. + "'v. cuyo valor. ya planteado en el capitulo de '''010 ee:

[ 31 La mayor o menor ria:1.dez relativA entre las barras no influye en las BOUcitaoiooee, pero e1 lo hace en la defol'lJl8Ci6n que Be produce . S1 1.»1.... e l eoporte pe1'1lWm6Oe caei recto , debiéndose el deeplcme caei por entero a la deformaciÓll de la v.i¡;a, - a l see.mdo eumando de (3 ] - , y oonsiauiente oblicuidad de loa aoportee¡ el la inercia de la v1&a 8fS wy pequef\a el oorr1miento p.1ede llegar • eer intolerablemente grande . Si por el oootrario euoede que 110'»1. , ea la v.i¡;a la que permanece cas1 recta , debi6oc:lo68 el deep1arae caei por entero al primer eumando de [3]. por defot'1ll8Ci60 en voladizo de loe aoportee, )' que, el son wy f1noe, p..¡ede resultar intolerable. CaDO euoedia en el an6.lisie de estabilidad, la euporvlvieooia de la estructura de pórtloo depende de que las r.iaidecee de UIbea piezas, v1&a 'i IIIOPQrtee, sean sufioientemente altaa. No obstante ser leoetátloo , aeta problema, el de un pórtico simple ei.06trioo 8Celetido a acci6n horizontal. también p.aede analizarse planteando un oorrt.lento u, inicialmente sin dejar alrar a las piezas, 'i luego p8n:1it1endo el airo e hasta que ea oonsi&a el equilibrio.

..l.-- L

" l!iIIIIIW~~!!llIlIllIjI" L

+--t

Coo el planteamiento de equilibrio del apartado 2.1, para el análiBiB de p6rtl00e necee1tamoe poeeer las relaciones de rncxoento a airo en extremos de piezas. a1etematizando 108 valorea que han ido apareciendo a

~&,.

1'1,

9" J

G~V !;:::::l ~,

Si el JODeIlto aplicado en un extreax> produce en I el otro un giro mitad , aplicando en 6ete un I:DCXIIImto mitad -con signa adecuado-, podElUlO6 anular e l ¡1ro. De rebote el Siro 'en e l extremo or1a1no.l se ve alterado en una cuarta parte , y de aoue~ con loe 81anoe de la fi&ura 1, CCCIX) re<l>oo160 . . . dooir 9,=8'3/4.

c· "l::::'::::=:::::::::;:::::::::> &/1.

91,

Re lacionoa de . ORanto a aIro

~II

'\"

2.3

ld" ,

- ~ 9,

( 6

\.~) +

lo lar¡:o de capltuloe anterioree . Ya hemoe visto oáIx:l una pieza de secci6n constante aornetida a un 11 en. un extremo gira en é8te un án,t;rulo 0=Hlv'3KI cuando en el otro

Il'IOIOOrIto

. . . . .IiMII_ _.M._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _---''--__....;.~~~~__''''''___ _ _ _ _ _ _ _ _ _"~_______ _.__ ~_____ _

--~~ . -- ,

--- ---

) 6 brillO do o.¡1lwlOfl .. 1t..Jr.lOI'CNI .

Ya hemoe visto oáoo una pleza de eeocl6n constante eornetida 8 tul 1 en un extremo ,ira en éate Wl M,¡ulo O=H4I3KI cuando en el otro

ri.u~.

1. " o . . n\o. funal6Q ._ lo.

CJ~o.

IIOID8nto

\ la

IÓrll..

y como 9=tIL,I3KI resulta 81=!t¡W4BI, y 110="1/2, debe verificarse que:

decir, que para que 8D=0 N'

[ 7 ) es la dual de la [4] . Si all1 cuando el momento era nulo se Siro mitad. aQul 81 el liro es nulo debe existir Wl memento

expresión que

produc1a

mitad. De la mioma manera que antes. el en ambos extremoe existe airo. sumando loe efectos de la [7] de cada ,iro ¡:or aeparado. queda: tf¡

:::

8. • 4KI/L + 8 0 • 2Kl/L que

as1JUamo pueden

1" 1,

[ O)

110 = O, ' mIL • O.' 4IIIIL ecuacl0ne6 oorrelatlvaa de las (51, forma oondenBada 4 :

••

poneree de la [ 9 )

La expresión (9) no ea Bino la aeneralhac16n 8 la barra de l.aa relftClonea ncmento a airo. pudlMdo recibir el últiD:l factor la denominación de r1l1de.M de la hlrl1l • tlexión, y lISU8 CXlIIIp:lneI1tee el nocobre de tdnI.1nos de rJ.61,cJcy.

La ecuac16n de equilibrio ea la misma (11, es decir:

[ la )

110 • !Iv = H'

que ahora. cantando oan que las condiciones de extremo para la v18a BOfl que 81:;;-80. y para el eoporte. q~ el liro en la bBae eo nulo. aplicando l.aa (9], se tranefonDll M: [ 11 )

Con ello

f'onwlaol6n

t..enemoa lu

del

relacionee IlICID8I'lto a ¡iro necesarias para la anAl1.sla de flatructurae de barras por equilibrio, oaoo

harecooe en loe alau1entee apartados.

2..

Pórtioo si.ple e .potra do en la baBe o

Si el pórtico a1.J:lple anteriormente estudiado &BU eqx>trado en la baoo, ver f1a:ura 8, el anA.liaia no aufre var1aclonee i.D;¡p:)rtantee. El mayor C8IIbio a8 prockloa a nivel de ocn::lualonee . Para una carva vertical unitol108 eobre la vi¡a, la primera fase 88 00081derar estriota coherencia ¡8OIlétrica ti. costa del desequilibrio. Aceptando a:iro nulo en loa extremoe de vi¡a. en lleta 108 IQClID8I1toe BOn, para eeocl6n oonatante, 1&ualea a 1l- =qJ..z/12. En la 8~ fase, para corregir el deeequil1brio 88 debiera aplicar al nudo de via:a con eoporte un IQIII8llto iaual y oontrarl0, y verificar lo que 8IlCede ante un ¡iro 8.

El prooeao da cálculo ee idéntico .1 establecido anteriormente. La obtencloo da 8 Cal [11], yelcA1culo de cada sumando de (11], equivale a repartir el IDaPento desequilibrado en partes proporcionales a 1M r1&ideoee de 1M p.i.eza$. La Wlioa diforenc1..a ea que, a igualdad de aeociOO, el aoport,.e ea ahora w r1gido, 0Clm0 oorrespoode ti. eu condición de ea:JPQtrado en la baee. Laa "oonclueionee en cuanto a qu6 eucede el la inercia del eoporte ea DUCho lIIWor que la de la vi¡a o a la invet'84 eon . id6ntLcaB, ver filura 8.

-n •••

(

r I

\', "

4l,a expresión [9] no ea simplemente correlativa de la [6]: Be trata de la .tl6lDlt expreai6n; la diferencla ea qué variable está. despejada. La [9] es la !Unci6n inverDA de la (6], -incluao tlposráficamente-, y el párrafo de explicación de la f~a 7 no ea aino la traducción f1eica de la operación de despejar en [6] loe valoree de loe maoentoe . Cano p.¡ede occnprobarse, reeulta:

[ [ 1/3 -1/6)[ -1/6 1/3) )"

= [[ 4 2)[ 2 4))

que no ea eino que la matriz de [6) es la inversa de la de [9], oonvenio de e1.snoe de la ee¡unda .

para el

Sin embargo no sólo el soporta va a poseer más momento en cúspide, sino Q.ue también lo posee en base , de valor .itad del anterior y del Inismo

12 signo como IOO(D8ll,to actuante en el extremo, que en flector eignifica eigno diferente. El soporte poeee inflexi6n, y el cortante resulta lWy aumentado, ya que Mora es de valor V.;:;1,5·tI./H¡ la oblicuidad de la trayectoria de caraa dentro del soporte ea mayor. Para acci6n horizontal el problema. deja de ser 1806UtiCO atul con e1metria, y no hay más remedio que afrontar el problema por equilibrio. Para W1 deeplOlDe de valor d, una primera fase con. coherencia y ein a:iro, e1anit1ca BUpoMr en cada extreroo de cada soporte el IbClCDeIlto correspondiente a Q1roe de valor u/H en amboe extremoe. Aplicando 1M [9] dicho a:::mento vale 1l·:u·6KI./82. 11 planteamiento 88 la lDiama ecuacioo. [10] con. el nuevo valor de ti· .

u'· 1-. . .1 --"-.

. u

•

1f. '-'M I

1:1 1 'J"

'''i,

"' - --

51 loe 8OpOrtee 80ll 1nfinlt:..amente más r1g1doe que las vigas, en el reparto reciben el 10~ del IXlCDeIlto desequilibrado. y por tanto anulan el euyo de la primera faBe. La ley de JDC:tDel\too en soportes es lineal, con IIlOID8llto cero en cabeza. Como el cortante debe Bar iBual a y, el IDOIJleZ\to en base ee laual a '·B. La viMa estA exenta de toda solicitación, -salvo la de tramnltir de lUl 8Op:>rle a otro la mitad de la acción horizontal, para que amboe deformen al uniaono-, y loe soportes no tiene tracx:i6n n1 oaDPreel6n alauna.

'.-

<""1'1.

>''''11.

'Irura lO. ADAII.i. 4• •aai6a borl.oatal

Sin embarao ea ahora el 8Oporte el que diaad.nuye el IIPaOnto, a costa de aparecer en 1& v1a;a. En la base del soporte lIe prOOuce, en esta segunda tase de equilibrio, tul IDOIOeIlto mitad de lo que dismlnuye en cabeza, y por 01 elano M p.¡odo ver que aumenta. Al final el diaaram do IIXlCDerltoe del I!IOporte ea una ley lineal 0Cfl D:ImeOto en pie ID8)'Or que en ,cab&ul, y otra ley lineal para la viMa. Todoe 01108 funcionee de u. El equilibrio de fuerzae horizontales obl41a a que el oortante en cada soporte -de valor 1&ual a la 8UIDIl de lIOIIIeC'Itoe · en extt'elD08 partido por la altura-, B8B exactu:.ente!MUal a Ji con ello se obtiene el valor de :u, y todos 108 _ en funci6n de 60... Si la viga ea infinitamente ri&ida, en la ecuación de equilibrio recibe el lO~ del JlClD8Ilto desequilibrado, y el eoporte no lo reduce en ab60luto. El uomento en base y cabeza de loe eop,lrtee es necesariamente ~l, y como el cortante ea r, loe D:lIDeIOtoe extremos valen ¡·W2. El oortante de la viaa ea, por equilibrio de IIJ:lCIl8iltoe en ella, V,,;:;FJV2L , valor que ea a su vu 1& OCIq)reeión y tracción de loe sopor1:.ee. S1 la vlj:a ea infinitamente r1i;ida, el IIlClmBnto de vueloo de la acci6n horizontal se reparte exact.aroente en dos fraoc1onee iguales; una de ellas 88 8Oporta entre loe doe pilaree de acuerdo con la baae de eue~ntaci6n, O['6tt.OOo tl"ncci6n y oomprce16n en elloe¡ la otra mitad so 8Oporta por la

."" S1 loe mmento de esquema: el eequema de

aoportee eoo. infinit.amente lDáa rigidoa que 18.8 vigas, el weloo de la acción hor1r.ontal &610 se ·dir~e al segundo de loe soportes cx:Co D6nsulaa independientes. Este es el CXlqlOrt:a.1ento de <1ae . estructuras adinteladas sin nudoe

rl8idoo. &1 denoIdnado OC»IOrtamiMto de pórtico ante acci6n horizontal de que la r.1cldez de l. viga sea apreciable, y aun con eOO, sólo se hace carao de W\8 fraoción inferior a la lIlitad. del mccnentO de vueloo. SI p.mto de IICGI6flto nulo del 8Oporte siempre eetará ligeramente lDás arriba dol oentro del fuate, Y el D:UIeIlto en base eleDIP.re euperará al de cabeza.

depende p..aee

2.5

P6rtloo de dos tr. .oa

Sea el pórtico da la :fiaura 12. El procedimiento eetablecido como de e:¡uillbrio parte de eupal8r ooherencia completa en. la fonra más e1fpple, 68 decir oon todos loe extremos de barrae fiJoe y sin a:irar. A cambio de la coherencia . eetablecida artificialmente, det.ectareatQ8 tul sistema deeeqj.1ilibrado. En el ejemplo este desequilibrio se nota 80bre todo en el ~

Ilro¡l l", rl"III (~. ('" l ~ AQ~'O"'\A'I .. f'ln .w.0I1l.11\, IIIILNI (.IN"- \'nO ,

c ~ traoo l6n y oomprcal6n en a11oo;

pr;Ópla flexión do 106 aoportee en IDÓrusULt.

la otra 1l1lQd no 1111 tad cada uno.

bOpol"t.a por la

utNCtarllllDO

izquierdo. Loe soportes ee 8ubindlcan ocn el código del nudoS" '1 las v1.j:as BUB dos extremos.

desequilibrado que tiene el equilibrio del nudo anterior. Como el equilibrlo de cada nudo vuelve a desequilibrar -aunque s610 levemente- loe oont14luoe. el prooeao debe repetirse de nuevo, pasando por todos 6 1108 una

En el nudo izquierdo e l momento desequilibrado es "1 = qlaL122/12: la ecuación de equilibrio ante un airo O, es ahora:

y otra vez , hasta qua los deeequll1brloo sean deepreclablee.

14 oon las de

MI + Mla =

[ 12 l

que do acuerdo con lae expresl00ee {9l, queda:

= qla Lla 2/ 12

81 "3KI1IH + OI ' 4BJ12/L1J

TIa, I

tlllll

"' .. 1..

:'.

1 -----

1,.

11-

~,. ~~~ ~:" . ,, ~;

" :·· r

9. L

[ 13 l

l ,

-1

-------

'~,

que, lo lIli6lDO que C!liempre, equivale a repartir el IrIOIDIeOto desequilibrado en part.ea proporcion.a lee a lae r~idecee de vlaa y 8Oporte. Pero ahora, a l mantener la cclterenoia en el nudo intermedio, el D:lIDetlto en el extremo fijado de la 1Il181111l viga lIu Be ha incrementado en la mitad de 1112. En el nuQ:, intel'l'l8dio el desequilibrio ea liS = quLnz/12 - qULJ11/12 - 111:1/2 en Wl nudo de tres barras, y por tanto la ecuaci&l de equilibrio es:

lIa. + lIa + lIa. que, de acuerdO con laa [9],

Para cargas y luces parecidas de un tramo a otro. ee obtiene una buena estimaci6n eq,uilibrando una BOla vez loo nudoe extremoe; y en

¡eneral basta pasar una sola vez por todoe loe nudoa en el oroen de más a D6MB desequilibrado, para tener WUI solución razonablemente ruana. Este prooed1..1entol poaee Un gran B~1ficado fial00, y demJ.8etra una gran aetucla, realizando en un a.61o paso el tortuoeo rec:x>rrldo del IDátodo de equilibrio. calrulando directamente ool1cltaclonse, cuando lo que el método plantea inicialmente cx:JIOO J..no6gnltas oon las defoI1Daclonee . Como en aeneral la eltuaolál de cada nudo ea diferente, este método iterativo permi te IJIJJ)8Jar la estructura y 'COlQPrender BU fwlciooamlento, a. la par que aumenta notablemente la eficacia del cálculo, que plede hacer hincapié en loe p..mtoe mM deeeq.u1libradoe I obviando las zonas casi CXlIJlpen68daa desde

un pr1no1piD * Eate prooeeo iterativo no ea sino el ec¡uivalente explicativo -con C!lentido f1sico en. cada pa8O-, de la eoluci6n mtemática de l problema, que ea un problema oon tres ino6¡ni~ , loa ¡iroe en cada nudo, teniendo que CUlllPl1ree el equilibrio en loe treo nudos con ecuaciones del tipo de las [12] Y (14], que im. elite caeo 8011:

ti,

nu40 1: nu40 :a: nu40 .:

tI:a1

Aplicando las [9] oon la o::o:liciál cabeza de eoportee. Y airo

vlaae y

[ 15 l

de iiroe 01, 02 Y 8. para l as libre -lOClIDento 0010- en base de

aoportee, reeul te.: .i ro 1

liS

+ 1112 : = MI + lIa ' + lIa. = MI = MI lIu.+ 11,

,iro

.i r o •

" 4 ••• quillbr.do

14 l 8,"3KI.IB = qu L u 2 / 12 +8. o4.KIu/Lu + °a o2KI uILu 81 *211uILu + 8a o4l1u/Laa _ - q¡¡L21 2 /12 nu40 a: + Oa o3KhIB + CU,Lu 2/ 12 [ 16 l + 8 a o4KIu/l.:n + Oso2BIu/Lz:a 8a o2Kh :a/LIa + 03'4KI12/Lsa = - QULsa 2/12 nudo .: + Oa'3KI3/H

nu40 . :

reduce a:

[ 15 l

Trae el equilibrio de este aegundo nudo se PlOOe abordar e l del tercero en la .. lema forma, ocnsiderando la influencia en el IDOG'l6nto SEn realidad no se ha definido barra, extremo o nudo . D.lalquier p.mto Be ¡uede tornar como nudo, Y el elemento que lo conecta con otro será una barra. Deegraciadamente no e8 fácil e etablecer l as r.el acionee BXIlEInto a 8iro y otrae Me oocoplej aa aalvo para barras de geometrla trivial, as! que 8e toma corno barras a610 l oa traJOOe rectos. Siempre se ¡::uede trocear una barra en dos. aunque todo lo que 6e cons~ es complicar el análisis, que poeee un número de lno6snitas directamente relacionado con el de barras; por ahora la barra, el nudo y el o!xtresno soo lo que a primera vista p..¡ooe entenderse COIQO tal . S1 es necesaria alguna precisión adiciona l, se hará en BU IDOI'Ie1lto.

aiBtema en el que resulta evidente la ordenación y l a generalización a más tramoe. Incluso loe térralnoe de rlaidez de las visas 8e encuentran ordenadoo oomo en 1& [6 l·

'El método fue tonwlado con todo rigor por Croso, H. en la prlmera 1ft! tad de este Blalo, utilizánd088 para el cálculo del &¡Pire State &Jildina de t\leva York.

16 El a10tema (161 -de tantao ecuaciones como ino6snltae-, poeee tres 1nc()gnltaa en las ecuaciones interiores, pero 8610 d08 en l.a6 extremas, lo que penaite una solución del tipo de la indicada en VIGAB, También 88 p.lede resolver despejando loo valoree 8 por inverel6n de la matria de sus coeflclente6.

Bien por a.dmetria exagerada, bien por estabilidad, o simplemente porque existe 800160 horizontal, existe deeplQlOO u. En el análisia ante este efecto, euponlendo inicialmente giro nulo, el desequilibrio de cada nudo viene dado por el

ese deeplane.

tI,= U· 3II./Bz.

DeegracladalDente el eletema (16] no aat1eface totalmente el equilibrio. Inic1almante se eupuso en la estructura extremos fijoe y sin alrar y S8 han dejado girar. lo que satisface 1M condiciones de equilibrio de DOID6Oto en nudos . Pero las de equilibrio de fuerzae ¡ueden no ClJIIU)lire8 i huta c:xJqlrobar que loe oortantee en base de eoporl.ee no tienen por qoh resultar 8 W\ an~

8UIla

que

aparece

al producido por

en Wl

loe

ooportee

giro u,/lI, o sea

debido a Wl

valor

El proceso de anAlie1a es puee el de lS8 ecuaciones [161 sustituyendo la oolwrna de IDOIIIento deeequllibrado por loe términoa función de u. Su eoluci6n será aa1&1.emo funci6n de u, y la condición para averiguar BU valor ser' la de que haya equilibrio de tuerzas horizontales, ver figura U, es decir:

ti,

nula. Para el O)uUlbrio OOIIlPleto deberla prooedereo

deeplClall3 u , como el que resulta evidente que ao::ll6n horizontal.

IDOID8r\to

que equivale

tiene que producirae

[ 17 )

También p.lede aI1ad1rae una oollm\a a la [16) oon loe IDClCDeIltoe que deb1doe a u. -loe que hemos denominado tlf-, OOIDO la colUD\.Ct. de una nueva 1.nI:X:elita, ~1endo la [111 00IIl0 otra fila de oondici6l1 de equilibrio. paaando • eer un · e1etema de cuatro ecuacionee con cuatro ~

Ino6in1too .

Puede V8l"'B8 1.nmediatamante que el desplome ante caraa vertical proviene del arado de aa1metria del problema; para p6rtlco s1JDétrioo loe oortantes en soportes también lo IlIOn y poseen reeultante nula. En general aun para d1Jlef\oe IIUY aa1m6tr1ooe el deaequllibrio ee D.lY pequef\o, no a l terando significativamente 106 reeultadoe de [16], que ¡uede t.aDarae caDO lUla solución vAlida del anália1e del p6rtioo.

Si la inercia de la vJ.aa es D.lf euperior a la del soporte, ante cal1la vertical el dintel ae OCIIJ¡X)rta como W'l8 viaa oontlrua. em existir IIOGl8ntoe en 108 sop:>rtee. Si por el contrario loe soportes poeeen una inercia wcho Ila)'Or que la da lu: v1&u. lletas 88 OOGlPOrtan como perfecta- " I)eIlte eGJPQtradaa a loe pilares, que reeponden oon el I"IOIDeIlto -o diferencia de mocoentoe- de fIIIIPOtramiento perfecto de las visea. En eete 8E\8W'Ido cuo loe JlQllentoe de lu v1&u Be reducen a ooeta de su aWlento en el 8Oporte, lo que no ea neoee.ariuente benefici08O. La diferencia da luces o car¡as de un tramo a otro 00 altera estas oonclueionee, aunc¡ue ¡uede suaerir un e1rlnLlDero de poelbll1dadee da dlaeI\o diferentes.

Se haaa OOIDO se beca, lo que interesa no es la diBCUBión de ~ se calcula, sino de OÓIIIO " se 0QqJ0rt,a la estructura . Lo importante ea lo que le pasa a la estruobp"a, no lo q~ le pasa al cAlculo. Loe oaeoe lÚlite lIfOO loe estudiados anteriormente. Si el dintel poeee una l.nercla lUCho IIQ'Or que la de 108 soportee", loe extremoa de vl&a reciben el 10'" de loe IXlIDerItoa debidos al deaplane. resultando necesariamente que loe oortantea en eopor'tee eetM. en la relación Ó6 las 1nercias de 108 m1.tsD», que es CX'e:) lile reparte la tuerza 1'. ~

Sl el p6rtloo ea e1m6trioo, a partir de ese reparto se pueden deducir las dem6II!I eol1cltaelonee¡ el es aalmétrioo, solamente ee p..aede obtener lUla estimación de las lIl1emaa 81JP01liendo que las viaas pose8l\ un p..mto de IDOIDento nulo en un Bitl0 parecido. En seneral, en el JDOCQ6Oto de vueloo. -res istido por las ~reaiooee y tracciones de loe soportea-, oolaboran más decididamente loe IIIOport.ee extremos, ¡:udlendo despreciarse en una primera aprox1Jlaci6n el central, salvo caeos de fort1sima ae.lroetria en luoee y en 1nerclaa.

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19 Si

800

106

8OporteS

106 que poseen una inercia wy superior a la de

las visas, 106 1DOIDBllt06 iniciales del desploma quedan proporcionales a la suma do r1s1deoes de las visas uno, que ea la ley de o6mo 6& reparte en cortantes la de 8011cltaclOll66 p.A6de obtenerse de manera análosa CB.80 anterior.

reducldoe a valorea que llCCIIOOten a cada tuerza P. El rooto a lo indicado en el

u11]'jl1 v

\ti'

ay ·,.

Dado que el C8II1bl0 de d1menel00es tranaverealeo de ooportee ea gradual. en Pl"Wera aproxirecl6n loo airea que se producen en loa nudoe de una planta p..¡.eden

BuponerGe

D.lY parooldoe

" 1

:~w.:2::'='=--=.'=-=--='':'; ~=_=_=_=_=_=_:::~:~:~.u_'_En loa caeoe ordl.narloe el cocnportamlento 88 intermedio entre 108 d06 anterioree y 111 oortante se reparte con una ley intermedia entre loo cltad.!us. Dado que existe e1em,pre caraa vertical. resulta sumamente .iJQprobable QUEl en la auper¡x>elclál de loe efect06 de amhaa cargas S8

para el ejecnplo

eetud18do.

2.7

planta lnlDt"Uata.

Con las notaciooee de la figura 16, el problema Be fOrnlla con lea ecuaciones (16], en las qua se 8W1tituye el término de soporte 3RIllt por el oorreepondlente a loe .<loe medios 8Oportee, 3K(I.t-1b)/O,5H. La general1zac16n a mM de doe truoe ea 1rwediata,

lDBnOa

de la

loe extremoa.

produzcan traaciooee en el eoporte a barlovento, al

a 106

por lo que 108 soportes deben poeeer un p..ulto de inflexión -de IDOIOOllto nulo- cad exactwoonte en el centro del tramo . Cada planta Be pJede analizar pJee 1:.oIwldo el oanJunto de las vigas unlda.e a lD6di08 aoportee auperioree ti inferioree . o:;:." la ooncUcl6n de momento nulo - giro l1bre- en

Pórticos de .arloa pleoa

F.n ed1tlcacl60 ea treoJef\te utilizar (X)(QO eetructura p6rtiOO6 de vari08 plaoe y tramoe, Y. sobre todo cuando amb)e elementoe -v!j¡;as y ooport.ee- son de horm1a:6n, con eoluclát de nudoe r14l:1doe. Fn r.tsor eeta técnica OOI'l8tructlva no obliga al IIlamo airo a todas 188 barcas ooncurrente8, ya que rucante el prooeeo de OOI'l8truccl6n, cuando se prepara W\ll planta, 1M v1.iM y pUares de la Werlor ya soportan, 81n la colaboración de la que estA en proceso de OOIl8truoc i6n, e l peso propio de ambas, que ¡:uede elevame a doa terci08 do la carga vertical total prevista. Por lo que reepecta a la acción vertical, aLU'Gue loe sOp:lrtes tienen tienen un IIlOtiVO para C8IIlbiar de d1JDeoe16n de una planta a otra, -ya que la oompreei6n aumenta de arriba a abaJo- , las v1gae. en principio no. necesitan. crunbiar 8U8tancia1D'lente de eeo::i6n, ya Que soportan la miama caraa , variando únlCélJQ8Ot,e BU arado de empotramiento. Por ello en plantas altae en las que loe 8Oportee 600 me .t 1n08, las viMaa ee aproximan al IlOdelo de visa oontinUll, y segUn Be pae8 a plantaa bajas, viran al nOOelo de V-UIlUl independientes 8InPOtradae a loe soportes, ya que éatoa tienen Ulla aecci6n mayor.

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Loo reeultadoa del an6Uaia ente acci6n vertical 8al las de que en loa nudoe extreaxl6 el airo fl6 interlor al de Lma v14la apoyada y e l momento do la v14la ea interior al de una empotrada, IDQID6I'lto Que ea tanto mayor cuanto mayor pea la riQ:1d8z relativa del eoporte, Y repartido mM o nenoe a m81:UJU! entre el pilar superior e 1nferlor. En 108 nudoa interiores, dado que 88 ooa:JP6I'I88I\ parcialmente las dos vigas, el reparto 0610 ea de la diferencia de IOOIIIeIltoe de empotr/:Ul'liento. que CXll810na un acercamiento en loe valoree de lao v1,Qaa y la aparición de IDClII)6l'Itoe en loe 8Oportee por valor de la mitad de l a diferencia, diferen c ia tanto mayor cuanto mayor 868 la r14lidez de 106 aoportee. En plantaa altas el loe V8IlCI8 extl'8lD06 800 liseramente lnferlore8 a 106 interioree la situaci6n ea rnáa equllibrada: en planU:t.8 baJao e i 800 rigurosamente 1.gualeo. En todo caBO 88 inevitable el IIWJIOOnto en 106 soportee extremoa, a I00008 que Be d1.BpoI"IillO vuel08 adocuadoe. El comportamiento de un pórtico ea en senarsl fAcil..ment.e extrapolable del de las vi&as oontlnuas, y 106 caa08 &ntErriores de pórticos de tul piBO. En 106 tran:>e que dOlll1nan de plantae a ltae, el momento negativo de vigas oeclla desde qJ}j6 a qL"l12 en tr&P08 e.xtf"'8lh)8, y en loe interioree desde

20 qLZ/12 a qLz/16. correspondiendo el primer valor a tralOClS compensados yel aesundo 8 loe deec0crt,p60aadoe. En plantao bajas el momento ne@:atlvo en vigas tiende a ser qJ.,z /12 en todo& loe tratOOe . Eetoa son valoree de lDOdel06 te6r100e; en todaa las plantas la e1tuacl6n aerA intermedia, pero del lado de la vJ.aa oontinua en plantae altas. y del lado de la vi,j¡a eIQPOtrada en bajas. loes soportee pooeen W\a OCCIPreel6n debida a carga vertical que no Be aparta lWCho de la mitad de l. que tiene cada v1.ga que acomete a 61. 51 aCMO en loo extreans. y sólo en plentaa altae. 88 ¡uede deacac8at' l1aecftJD6llte el eoporte extremo, que reo:lQ:erla &610 el 4~ de la callla de la v18a, para recar¡¡ar el 1nIDedlato. que 88 llevarla el restante 6~. Loa momeotoe tlectorea de eoportee en plantaa altas eon menoree que en bajaa. Eh el 8Oporte extrellO el IbObeIlto pJede llE1i&r a valer la lIitad del ~to de efQPOtramlento perfecto do la v1¡;a: en el soporte interior el IlOCDento p.lOOe llesar ~ máx1llo a la mitad de la diferencia de loe IIIOmOOtoe da eqlOtr&lllento de lu v1.gaa que concurren en

BI.1ID6O

el oortante de planta o

suma de acciones horizontales

IF l en ese

nivel. El OOIlIpOrt.amiento ente a0016n t'Iorlzontal Be pJede explicar como un reparto del cortante de planta entre loe ao¡x>rtee. El cortante en cada tramo de BOporto e1anlflco. crecimiento del IIOII)6I),to a lo largo dQ su altura. En el mejor do loe caaoe oeclla deede Wl valor negativo haata W'IO positivo. teniendo en un pJIlto l1lY pr6ximo al oentro un cambio de eigno, eB decir , Wl pmto de 1n1'1e.xi6n de la cunratura. Ü\ cada nivel las vlgas pooeen en el eKtreroo el IIlCIDellto diferencia del de loe Doportee en amboe. tr8lDOl5. de ominario haciéndolo oscilar de Wl valor positivo a W\O nesatlvo roy parecido. 11 D:lID8Ilto llectar en extremos de vi&aa ee gen8raltooOte de et.&no oontrarlo , de valor parecido, pelr lo que ta.lDbién poaeen IlCIIJImt:o nulo .1 centro, o 10 que ea. lo aJ...uo. un ¡unto de 1nfl6Ki60.

,1.

r.~,

••• ~ Accl.a bo'l ••• ta.

La inclinaci6n de la ley de IIXlID6lltoe en V~&8 8~ifica que en éetae hay oortante. Un cortante de valor OOIl8tante quiere decir que C8da viga t"EIQ08e caraa del eoporte • barlovento y lo depoeita 00 el de eotavento. Para dll!Sefloe r'QIIUl.areG eete

En el

de luoee ro)" irregulares estas I'e8las pJedan sufrir alteraciones iqx)rtante8 en planta8 altas, Ele decir ron soportes de poca riaidez relo.t1va. Por ejemplo d el tr8lro extremo es roy corto, en el 8Oporte interior ee tiende a recibir tanta car¡a de la viaa laraa 00I0O d& la corta , por lo Que para relación de lU08ll euperlor a 3: 1 se ¡:ueden producir traooionee en el eoporte extremo. C880

Para aocl6n oorlzontal 8e ~ razooar de axxio análogo. Ahora es el deeplocne relativo entre plantu. Ul, el que 88 wy parecido de lUla 8 la e14¡ulento. Si el cambio de d1Jnerusionado ea Iradual. ee p.¡ede también adoptar como b.Jena aproximación ,i1"08 parecidoe en plantae euceeivas, y analizar planta a planta con el mi8alO modelo que para carga vertical. t.aMndo como IDOInentoe d&aeQull1bradoo loe provenientes del desplome relativo, y forzando para el equilibrio a que loe <x>rtantee en ooportea

valor

a..ty

parecido de

W\a

viga

a la

de unera qoo el· efecto total ea la de8Cal1la de un pÚar extremo )" la recar¡¡a del oontrarto; GU efecto combinado 68 Wl momento. In equilibrio Be cierra ~ CXICl8iderando que la acción total horizontal por eno1Jna de ese nivel 8& realete Por do8 OOIQpOrt.atIlient06, una fraocl6n en el total de ancho de bMe del pórtioo )" el reato par D:Jal6nt06 localeo de cada.

eiguiento.

eoportA en

~la.

Vieto de otra manera, a escala ,lobal. la acción horizontal 60bre el pórtico impliCA a0016n de flexión en un voladlzo vertical. En principio el <XlD'lportamiento w eficu 88 el de un par entre soportes e.xtrecD06. Deearacladamonte cx:..a no existe poaibllidad de C8IIIbillr la compresión dentro de un mi/SlDO tremo, 880 s610 puede suceder en un p.mto. o con atrae palabras. que dicho OOIIlPOrt:..amlento 6610 p.IOOe reproducir CX)O grano lf.rueso la ley de IOOInSOtoe del voladizo: 6610 puede suministrar una curva escalonada. La escalonada Me ajustada ea la que coincide con el diagrama de accnentoe slobalee en el punto b8dio ent,'e piso y piso. La diferencia no

~;I~ - ~ "''oOII ~ JaI101¡u,ll1brtloltou "\.latlvo, y

forzando paro,

01 equilibrio

~, N V(llll f)tlt,(,,, d~ 1 (11I'Illhlfloo u l}U() loo OOrt.untou (.)/) u OIXU' \'uu

..\nEtluu

¡uede rooiatiree 106 eoportee.

salvo con

IDOIDelltoe localee, en 106 que participan todos

En vij¡1I.I5 la acción horizontal eupone un aumento y di8Jni.ru.lcién de IDOIIleJ\to en los extremoe. que apanaa influye en loe valoree de ID::lID8ntoe de vano . El diaa:rUIII. de IICllOel\toe péaiJloa en vigas resulta ser un aumento prq¡resIvo del IlClIDento llJ08t.ftl00 deede plantas altas. -en 188 que coincide con el de caraa vertIca1-. a baj88. en las que ~ede suponer en 108 C8B06 de mayor altura, mayor oblicuidad de la ao::i6n -o relaci6n de aociÓl horizon.tal a vertical-, y IDMOr luz de v1&lI.8, incluao la aparición do IDOIDentoe poeit1voe en extremoe de vano y de mayor b8&llitud que 108 1Dix1lloe en el oentro de vano c·ueedos por la acción vertical.

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son DUy poco r1&idae para reponer en cada planta el giro del soporte, obligándole a cambiar de signo a la flexión. La eficacia del traslado de caria p:>r cortante del soporte de barlovento a sotavento , no permite que el diaarama O8Calonado de \IIC:IIIlentoe globales por este par de oompresionee lle¡ue 8 OJbrlr tOOo el efecto del voladizo. El pórtico pasa 8 comportaree 00In0 JDérusulaa 1ndependientee.. La transición de uno a otro comportamiento -sI de p6rtloo y el de D6neulae independientes, denominado también de pantalla- Be produce más o menos cuando la rigidez del soporte excede 6 veces la de la vÍMa, CXlID6llZ8l1do a hacer su aparici6n lÓSicamente en plantaa "baJae. Rete oocqportamiento de pantalla raramente se presenta en edltic1.oe de roenoe de ~ a l turaa.

Il1O

Le. euperpoeici6n obligada de carga vertical y horizontal conduce a que la compresión de soportes procedente de la carga vertical, -casi sin momento apreciable en el caso de disef'1oe regularee"T se CCl(Qpone con la flexi6n obligada de la acción horizontal; y en el caso de loe soportes extreDl()6 con una reducción y aumento de la oanpresi6n procedente de la coneideraci60 a lternativa UBUBl de la 8OOi60 horizontal.

lUid .... , loA .;nu nl uu04t", 1\0\", "Jllntl'tln N I 1/1 1,\ltI w tl hin (J( ill ni itl llM:I 'I\1t1il I\;. 1..." Jl[t)l(u\Q h, no I'QIlkmt.On IIII OI.w1100 Ul I 01 ¡1t.lUt.o _ktd i 0 QlItl"O pino y p i llO,

¡ ~1:"

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",yra 18. Co.port . . . .nto a. p4rtlco

t - - - N·,

•

- . JLt.

Se ¡uede explicar el reparto de la aociál horizontal entre BOport.es de uxk> análOQ;o a como Be hizo en el ~rtico de dos tramoe. Si la rigidez de v1M:as es lIllY superior a la de soportes -lo que es Ináe probable en p lant.ae altae-, el reparto de oorUmte8 en eoport.e8 se hace en proporción o la inercia de BU eecci6n tranevereol . Si la ri.gidez de loe eoportee exceden notablemente a la de las vi.gas - lo que sucede Me bien en plantas bajae- . e l reparto Be aproxWa a la proporción de la ri.gidez de las v.taas

rlfUr. 10 . Co.port . . laDlo a. pafttall.

El cambio de CXlIJUlQrtatnientO ea dramátioo, y ¡uede eisnificar, de acuerdo con la ti4ura 20. 1ncrementoe de IXllDe1lto del lDi6DX) orden que el número de plantee. 0J.and0 el pórtl00 ee convierte en IDénaulas independientes, 108 eoporte8 son 1ncapaoee con frecuencia de eoportar lao oolic1tacionee calaUadaa. El lnorE!lDl!lnto de eeocl6n 60 loe eoportes aftade l ef\a al fueQo, dado que serán ... l'1aidoe y por tanto propooderán a aumentar el CXlIQPOrtamiento en Dénaula -el mocoonto-. y en ocasIones a lDá6 velocidad que el aumento de resistencia. La única eoluciÓll ee aumentar la rigidez de v1a:aa , aW\que le sobre reeiatenoIa. Otra vez el CXlIIlPOrtalblento' de pórtico no ea 151.00 un d1meneionado equilibrado de vigas y pUaree i si l oe unoe tienen que ser IEIQOree en plantae bajas que en al tM. también lo deben ser las v1&as.

que concurren en cada soporte.

2.8 Sin embargo si la r1&idez de 108 so¡:ortee excede en mucho a la de vigas, -y siempre que 108 soportes estén em¡:otradoe en su base- , entra en juego otro comportamI&lto que no admite la e1mplificaci6n de plantea, y que ya tue considerado al estudiar el pandeo en ~rt1cos. Si el giro de un nudo supera la relación de desplome relativo a altura de planta, no existe pmto de intlexión -de IbClmel\to nulo- en el lnterior del tramo. Las visas

Acortaaiento por compresi6n

En loe C8808 anteriores, cuando se ha considerado un desplome u, dicho valor se ha as1&nado a todoe loe nudoe de un nivel, y luego ee han obtenido oanpresiones en 188 v1&ae. 51 las vigas se oanpriJnen, se acortan, variando el desplome en cada sopor te. As1lDi8D"lO loe soportes, que están compr1Jn1doe, acortan, y no todoe 108 tram08 por igual. por 10 que inducen

p6rtlC01

carnhloe en las solicitaciones, que en r1&"or e stán mal calculadao pnx:eoo v1eto,

con el

En el primer caso tal acortamiento es relativamente despreciable frente al desplome y se puede ignorar. 1.0 habitual es que el acortamiento de v!gaa signifique sólo del orden de l a centéeima parte del deeplome.

Cuando e l ancho de soportes es apreciable, hay diferencias sensibles debidas al criterio de medición de luces. En anAlisis de barraa simples, no se considera para e l cálculo que haya que adoptar COlOCI luz un valor superior a l a distancia entre caras de apoyo incrementada en medio canto o un 5X. Sin embarao para p lantear e l equllibrio de nudo 'debe adoptarse un único punto para todas lae barraa a>ncurrentes lo que equIva l e a considerar que ex1Bte una parte. prolongación de l a luz de la viga, que es a su vez soporte. La hipótesis mAs acertada es suponer qú.E, la parte aIladlda _ r1&1<Io. lllmitadOmente .lta. I

En el segundo C8.BO ee el proceso constructivo el factor decisivo. De acuerdo con el ritmo de construcción, cada planta se apl oma y nivela

con la anterior ya construida, lo que en horm1&"6n significa que el acortamiento ante peso propio ya se ha producido. La. incidencia del aoortam1ento a compres1ón además depende do l a diferencia entre loe 80{X)rtee de una mielll80 planta, ee deoir de la diferencia de tendón, o lo que es lo mi8DlO del distinto criterio de ajuete de l a solicitación .. l a BeOC i6n. Si M calcula sin tener en cuenta e l acortamiento diferencial, ee infraeetimará la oompresi60 en alaunoe 8Oporte8. incremento que será producido por 1ncurvaci6n de 1aa vJaas; pero a l estar más 8Olicitadoe también serán lIlEl)'oree 8UB detonl8Cionee diferidas, ocaaicnando de nuevo, por incurvaci6n de lae visas en sentido contrario, e l retransv888 de l a carga a loe 8OpoI1:ee menos solioi tad06, de II\Ilnera que a l final todos deberán soportar caraae lIl.I.y parecidas a 1M que sirvieron para dimensionarl06, es decir de acuerdo con las OOUI¡>reelc:nee 8u,p.le8ta8. Bate es uno de loe mtivoe por loe que no es preciso oonaiderar que sea lUl perfeooionamiento del JXXielo el tener en cuenta el aoortam1ento de soportes .

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En cualquier C8B0, la incidencia del aoortamiento de ba:'ras ea ruy inferior a la de otros Mpectoe, que ei hay que 8llJIl6Iltar l a precisión, deben oonaideraree priorit&rioe, y qua se repasan a oontinuaci6n.

2 .9

»etor.acl6n por cortante

Todos loe pl anteamientos anteriores descansan sobre la coherencia ae0c06trica de deformaci6n entre 1aa barras concurrentes . La defonnac16n Me aparatoaa ee la tranevel"881 o de f l exión . Pero en eoa deformaci6n cuenta , oomo ya hemoe vuto , no 8610 la de IIIOIIlellto sino tambi&l. la de cortante .

Se.aún Be veta en el capitulo de l'LICHA, la defoJ:'1OOci6n por flexi6n es función lineal de la eebeltez, (Jb, y la de cortante del peralte M; la re1aci én de la de flexión a la de cortante depende pJe8 del cuadrado de l a eobeltez. Eh hol"ll1a:6n puede oaJ'I)robarBe que para las leyee de rooroentoe de loo eoport.ee, oon eebeltez cinoo la delonoaci6n por cortante pJede oer del orden del 10% de 1& de flexiál, y con esbeltez treo, un 4~. Con soportes de ancho superior a 60 CID el IIOdelo eetudlado empieza a tener errores apreciables, y oon pantall..ae o pilaree de ancho del orden de l e. a ltura entre plantas no Be pueden eacar ococlue1.oneo 1I1n1mamente acertadas e1n tener en cuenta la deforlWlllCi6n por cortante.

2.10

51 lUla pieza poeea en loe extr'8D08 una ri¡1dez ilimitadamente alta , dicha ZCCl8 debe exclu1ae del OÓGlPUto de la defOJ:'1OOci6n. La f1&ure. 21 reproduce la l.1&ura 8 para e l " C8BO de que W'l8 lonaitud aL teng"a ri&idez infinita . Loa .",,,,... l.oMo Ul. ""'" reocc1""", del dLoar.... de momentoe,

eon ahora:

0,=H(l-a) ' L(l-2a)!2 0.=lI(l -a)·L(l- 2a)!2

(2-a)/3 + aH·L(l-2a )!2 (1+p)/3 + aH'L(1-2a)/2

'(1+<»/3

( 2-0) /3

[ le ]

que oonduoen a: a=O a=O,01 a=O , 05 a=0.10 por lo que

o, =O.333·II,LIKI e l O,323'HILIIl O, = O,2e6 ' H,LIKI o, D, 2t 3'1I,L<II

= =

eo = O,161' HILIKI 60 O, 161-MILlKI 8 0 :; O,164' HILIKI 00 = D,lS7'II,LIKI

las [71 que relacionan D:IIIerltoe con ail'08",

a=O a=O,Ol a=O,05 a=O,10

tll = 01 tlJ :; 01

t ,O'Xl/L t,3'Xl/L S,3'Xl/L

111

110 = o, 110 = 8, 110 = O,

6,8 ' Xl/L

110

111 :; el

= 8,

= O,

[ 19 ]

8OIl:

2,D'Xl/L 2,2'Xl/L 3,0'Xl/L t ,2 ' Xl/L

[ 20 1

Ta. aRo del nudo

Loa IOOdeloe estudiados proceden ccn la aeccoetria i deal de la estructura, lDidiendo lc:q(itudee entre l a intersecci6n de ejea de vigas y soportes. Mientras la eeocién de lMl barras sea pequefta no hay inconveni entes en e llo.

"El prooedimiento mM eimple ea invertir loe téno.i,noe de fldXibilidad, Que ea CCIIX) se dellOlllnan a loe de [51, para obtener loe de riJ¡lde3 de [8] , que por ejemplo para a=O, 01 serian :

[ [0,323 -0,167][ -0, 167 0 ,323 1 ]-, = [ [ 4, 3 2,2 ][ 2,2

4,3] 1

nOs r tan . Htout r ae la lM!OOi6n dft 13ll

...

Va(

nl.Mtcft en ello.

[ [0,323 -0,167)[ - 0, 167 0,323) ) - , = [ [',3 2,2)[ 2,2

',3) J

26 lo que indica Que la rigidez es wy sensible a aete tema. Aunque la ontreQ8 en el rudo fIl.I,p()f'I88 0010 el ~ de la lua total, la r1s;ldez ea ya un ~ mayor de lo eupuee.to. Son uaualee entl"'e888 1ILlCho mayores; para luoee en tomo a loe 6,0 metros, la ex18tencia de 8Oporte8 de 60 cm de ancho sianifica visas lUl. 33% l:Iás r1&idas de lo que expresa la fOID.llaci6n ideal

Bu::: (0,05/1 01 + O,13/11~ + O,11/t a, + 0,18/134 + 0,16/1 45 + + 0,13/1 51 + 0,10/1,1 + 0.06/11' + 0,02/1., + O,OO/I,o) 'QL'/24K BOl::: (0,00/101

+ 0,16/1 5,

[ 23 J + O,02/11a + O,06/laa + 0,10/114 + 0,13/145 + + 0,18/1'1 + 0,17/11' + 0,13/1 •• + O,05/I,o) ' qL'/241

[6),

A peoar de la a:ran incidencia de 188 d1lbensionee del nudo en la rigidez, el valor de éeta 1ntluye poco en las 8011clt&clonee reeultantes, afectando princlpallDente a las defonnaolonee, que 8610 eon calculables con una aprox1m.clOn aceptable el 68 consldera el tamafk:) real de l encuentro entre plezas.

2.11

referida al

te, 1&

!lUIDa

patr6n. q,t,1/24KI, de forma que, cuando la inercia sea oonetande todoe loe ténl1noe numériCD8 es la unidad.. 1

& ,

Secaión yariable

A~ue

en acero ea ueual utilizar seCci60 oonetante, - p.ullendo fonrulacl6n anterior cx:n las salvedades ya planteadae-, en bormla'6n es habitual disponer, cuando menos en 188 visee, armadura variable. En Me caeo la inercia de la ee00100 varia de un p..mto a otro de la directriz, y en pr1loera aprox1maoi6n Be puede suponer proporcional a la arnadura y al ouodrado del canto; al 6ete ea oonetante, la l ey de la inercia oo1noide aenaiblemen.te con 1_ de la aeoci6n de la &r1DIIdura traooionada. aplicarse la

La var1.aciál de inercla a 10 18lll:0 de la directriz t1ane una incidencia aucho mayor que el reato de parámetros eatud1.adoa, ya que afecta no 8610 a loe téI'1D1noe de riaidez, eino además a loa propioe IDCCDel1toe de eIIlPOtramiento perfecto, valoree que eon tWldamentalea 00fD0 ¡:unto de partida para la euc;p11caci6n del ooap:>rtamiento del p6rtioo. El cAlculo de loe D:III8Otae de empotramiento perfecto de lUl.8 viaa obliaa a calcular previamente loa Siros que 88 producir1an en loa extremos 8i éstos poeeen libertad para hacerlo, ya que preci88lOel'lte loa valoree tuacadoe l50Il loe que 108 anulan. 11 airo en el extremo no ea eino la r&lCClón de la ley de IIaIlIfIIltoe III dividida por el lIIÓdLllo de r.la'idez n. 51 por ej8ll\Plo se divide el d1aa:rama de IDOIDBntoe en dlu tnterval08, identificando nueve valoree inter1Oedloe de momento 111. lIa. . .. Ite, en loa que la inercia ce 1 1 , la, '" 1" de acuerdo con la deeooalpoe1c16n de intervaloe de la f1&ura Z2 laquierda, loe a1.roe eer1an:

• O,Ol ' lIol.lllI, + O,09 · lteIJll.

Fh el caso de caraa unifonoe el IDOID8Il.to Dáxillx> ea )ts deús BOIl, por' tnterpolaclOO parabólica:

[ 21 )

= t¡La /8,

•

1, j, i;-i

t..aa prop1edadea de la barra ee reflejan ., lae relacionee de IIlOII)Mto airo en loe extra:ooe. Para obtener el airo en el extremo izquierdo ante un IDCaIellto en Me .1.emo ext.r.Io," -<¡ue ahora, al poder ser diferente del mismo oaeo en 01 otrO extlWbO, denaD1nan!llDOfJ 011-, hay que calOJlar la reacclÓ1l de un diaaraa OeD:lllentoe lineal oon valor tl l en el extremo i~uierdo. Bastará ep110ar la - pr1JPera de l.ae (21] a lU\Il ley de aaoentoe qll8 :tuera del tipo': [11 O,g'lI o,a·ti ... O.l-tI l.

CUando la ley de Jnerclae varie a saltos resulta m.i.s acertada una dee<XlqlO8ioi6n OCIDO la de la f~a 22 derecha que ~ al valor:

811= {O,26/lo 1 + 0,221.111 + O. 17/l aa + 0.13/1 34 + 0,09/1 45 + ( 24 ] + 0,06/11' + 0,0411,1 + 0 . 02/11 ' + 0,01/1,. + 0,OO/I,o)·HIL/3K ahora referido al

pe.~r6n

Para obtener 01 habrá que e¡»11oar la es dec1r: [ti 0,9'11 oon la clerKrqxJelo16n

tl.J3II, que 88 el valor

para inercia constante.

airo en el extrEmO derecho ron ese DlisblO IOCllDento,

MI8lIIlda de lae (21] 0Cfl la ley de mcoentOe anterior, 0,8'" ... 0,1'11 O]. De 1& 111.8ma manera que Mtea, de la f1&ura 22 se llega a:

y loa

[ 22 J S1 la aeoci6n ea de hom1.¡6n de canto constante, la inercia varia a aaltoa, mantenléndoee oonstant.e en Wl intervalo para pasar a otro diferente en el e1&ulente. En este caso 80 obtiene Ú8 precisi6n si se asJ.ana a cada intervalo inercia oooet.ante, reou1tando para carga Wlilonne:

8DI::: (0,03/101 + O,08/lla + 0,11/lal + 0,14/114 + 0,1411,5 ~ [ 25 ] + 0,14/1 •• + 0,14/1,1 + 0 , 11/11' + 0,08/1" + 0,03/1,0)'"ILl6K referido al patrón que en este caso ea tf4!6KI.

'Como 188 [21] euponen IaIeIlto nulo en loe 6Xtremos habda que corregirlas previamente af\adiendo el t6rmlno adicional oorreepondienteB al IDOIb8Ilto B,

Para obtener loe siros producidos por Wl momento en el extremo derecho 188 f6nw1aa son parecidas. Para el airo derecho basta tornar la [24) adoptando OOIDO denan1nadores las 1ne:rcw J,o. Iu. 101 • resultando, I

8DD= (0,00/1 0 1 + 0,01/1 1 2 + 0.02/1al + 0,04/1,. + 0,06/145 + + 0,09/1'1 + 0 , 13/1'7 + 0,11/1 71 + 0,22/1,. + O,26/Ito) 'MoLV3K [ 26 ]

realiar

W\&

operación similar sobre

[25]. .... queda,

81D= (0,03/10 1 + 0,08/11 2 + O,11/1al + 0.14/1, . + 0.14/1 45 + [ 27 ] + 0,14/1,. + 0,14/117 + 0,11/171 + 0,08/1,. + O.03/I,o)'MnLt6B

la expreslál. [25], se obtiene entonoea 001'::010. No es caaual lJ6iiI..Vl(la de laa (21] una ley caDO

I 1,

'La propiedad ell ¡eneral, y se aplica a cualquier pareja de ao:::ionea lleC&licas y 8WI oorree:pcadlentee respuestas leanétricas. Tal proposición Be conoce CODO Ley de Reciprocidad, Fue eJlWICiada independientemente por Betti y Haxwell. y oon loe doe noIIbre M la ~,

tomando 00b) valorea O" y 80, loe de la expresión (21) para los 1OClII)6(\t06 i80StAt1ooe provenlentee de la oarsa en la misma viga apoyada. - o bien la (23] en el caso de carwa tm1f'orme-. y oc..o 811 .010.001 Y OOD los de la8 expreeicnee (24]-[27) para loe valores de loe o:::mentoe de 6111P>tremiento bu!('edc.e lit y 116, que ~ las 1.no68nltaa del aiateu..

Para el an6l1e1e de

una

estructura

la que existan barras de

en,.

ltLLl

[ 28 1

8i ae va. d1aponer de la relación cootraria. -ea decir, qué momentos producen unoa 81roe dadoe-. el c41culo de loe JDCXDefltoe de empotramiento es IDÚ a1.Jl:p1e. puee huta obtener loe IIlC:mentoe que ocaeionan iiree contrarioe a loe 8u, que or1M~' 1& oarva. Puede OOIQpróbarae que le. 8Oluci6n del aiatema [26] ee exa::rt.aJDente 1& lIi811111. operaci6n: ai 88 paaa al segundo miembro loe airee iaoeUt1.ooe. ' ~peJar loe momentoe ea paaa.r al eesundo lIiembro cxml JUl.t1p11oador la inventa de loe ooet1cientee de (24]-(Z1]. La fJ4ura 23 ....tn. la equivalencia de eetoe dos prooeeoe.

6••

que expresan 1& relacJál oc:ntraria.

esta oo1ncldencla; al toII&r en la la de [11 0,9'11 O,S ·tI. ... O.l·tI O] Be obtienen loe .,j~ térm1.noe que 151 en la primera ae adopta [O 0.1·11 0,2'11 ... ti. ].!in 1a6 expreelonee del lito funo16n del ..:.ento, loe tlIrminoa oruzados BOO iaualea'. Y lo 1I1BlDO suceder' entccloee en 1M de JOOamto función de airo, por lo que tambl6n se pJede ~ que loe t6rm1noe cl'\lZl.ldoe de r1alde21 80n 1d6nt1.ooe lIe& cual tuero la ley de 1nero1a de la pieaa.

+ OID = O + ODD O

aeooi6n variable ee preoiao ClCftXli8r tambi6n loe valoree de loe téno1noe de ria'idell Que r1aen en las expreaionee del tipo [8] de loe UlOIDOOtoa en tunci6n de loe airoe. Para ello basta invertir laa relacilXle8 [24]-(27)

En este caBO, debido a la aiJDetria de la .,1&114 f6nrula • .,. decir que 81 111=110

= l.l

0" + 0,1 OOl + ODI

I I

I Para el ,1ro derecho ha)r que

Para obtener loe JaDantoe de empotramiento perfecto bastará impoqer la condici6n de ilro nulo en loe dos extremoa, Duma de loe producidos por la car¡¡a y 108 I:ICIlIIentoe de extremos. es decir:

Loe IlOI:Ientoe de tID¡IOtr_lento aon el valor que 88 ha utilizado oomo refereno1.a para eetlmar loe 'lIOIDe(\toe definitivoe de 188 vigas dentro de un p6rtloo . La varJ.ao16n de eecx:i6n ea la variable que mAs af6Cta a loe resultados del anAl1aia. y ea la que no p.l8de obviarse; sobre todo en horm1a6n . ea el que la r!a1deIl 'de ~ la8 via'ae depende caei directamente de 1& ~.. el an611eia debe partir de la oonaideraci6n no &610 de las cl1msn81caee de 1& e000100 de hol'1Diaón 1111000 de la de la armadura prevista. Caoo 88 veia en el capitulo da V1aM . el anál1e1.a implica el d1loensiooaqo previo de todoa loe elA!lDen~ y ~tea reeiatentee de 1& eetructura a analizar .

:. " .

2 . 12

IJellPlo

Un eJEalPlo 1luatrad la incidencia de la variación de B8CCi6n en el OOIQPOrtuú.ento do laa barras 1llo1uidaa en Wla estructura de nudoo

r!aldoe.

Sea la via'a de la f~a 24. Intentando Que no poeea demasiado momento de e-potramiento en el eKtremo 1l)Q.ulerdo. -lo que repercutiria deefavorableeente en el 'soporte extremo al que va a estar unida-. 86 dota en una MlPl1tud ~10 de Wla inercia lIitad de la de vano. -que en hono1a6n 88 OOfl88riIUiria al diaponer una armadura aau.1amo mitad-, En e l extremo derecho no 1mp::)rta el momento, -ya que por estar W'l.ida a otra vljta aimilar disp..¡.eeta en prolon¡aci6n . el soporte no va • sufrir-, por lo que ae prevé en una 8111Pl1tud 34110 lUla inercia doble Que en vano -aproximadaI'IIOIlte una armadura doble-.

WIftf1AlIlt lM y nüft OQII-nnl,IUI IIHNlton I ..nl"-~l .n,, Mnu-.&LI"\ t l'UI , 'rnl IH 111.,..h l tt~1 ntI t!pI"W.IOn 00WI0 I..,y don HOO,lprooJí,lt\d , Ifuo allUI Jnt.IJa Jndc\¡l(\IlI.IlnntA.wlW'IIV'I liO" 8nttl Y f1NI~ll, Y oon 1011 doe l'IOObr"(t I)a l. oonooo .

" ,,1 "tJ'-"

" llIt l a. d'.'~*v- NI Ilhjhll~AlJ I 1.. I~l v.. 111 "U" ti , ' _11 lo II! ~ 1\ \.II~ IUI\l.I II t,o/1 !UJ JO una h\n. lA tIOl) l" fil .... PI\ V'U Wt .~ H ,I H hw 'i\

110 l ll ttv6

.WI~ l U"UI, 'U~II.·jJ¡

oobl . .. .

e.tNCtur.. Il1O

HI Denocnlnando 1 la inercia de vano, loe giros ron la viaa apoyada, para caraa WllfoIlD8 . según [23], son de valor:

= ( 0,05/0,5'1

+ 0,61/1 + 0,06/21 ) ••L'124K O•• = ( 0,00/0,6'1 + 0,65/1 + 0,36/21 ) . oL'/24K

[ 29 )

es doclr:

en las

i.l. tiLl.ltl1111U 1 ll

x _. ~

II!

= 0,06

~: qJ.l

= 0,11

•

34 1

oL'

Por ejemplo el el eoporte extremo tuviera inercia y altura igual a la de la viaa, eu r1a:ldez seria '·lIfL, por lo que el equilibrio obligarla a repartir el IlOIQerlto lit en partes proporcionales a .. y a 3 12 . El soporte acabada oca un IOOIDento O,033·qL2 " y la v.1aa en ese extremo oon el mi8JDO velor. ya que ~ O.027·q,L2 : La v1a:a en el extremo derecho élUII"IeI'Itar1a O, 0l9 'c¡L' llecando • un 'lICIDIIIlto O,l29 · c¡[.2. De acuerdo oon eetoe DOCOOntoe en 1011 extremoe el a::eento en vano seria de O, 04.9·q,L2. Aunque no exactamente en la lIl1sma Pl"OJlOr<l~ 1aB anD&duraa. 106 IOOID8Jltoe finales ee ~tran !:lo DqOl' • IDtIhOI' eo lIimDo orden que lletas .

r'-' , ~1L'J,L~ :

11' .; ¡\"

que :

Ante W) DJlDBn.to I! en un extremo loa """.... iOMO [24)-[21): .

ee p.¡ede oar&>robar la mayor rigidez del extremo derecho.

que

¡ •

"'llllIlllilILTr

( 33 )

en vez de loe cláe100e O,08·c¡L2 cuando l a aeccl6n es CXln6tante . Una variación de inercia de uno a _dos , cx:aaiooa IOOCOelltoe de empotramiento casi en ecsa 1I1Jsma relaoiooj' loe 1JOID8Zl.1:.cl!B finales de la estructura sólo ¡:ueden variar l1aerualte reepooto de ell!llta relaci6n.

o"i,."- _ .

)

+ OD ' 2,2'KI/L + B.· 5,9'KIIL

{ha rrrayor rialdez supone mayor IDCC!lOO.to para producir el m16D'O giro. Para l~ar ¡iros i¡uAlee a loe de la carga W'l.ifonoe, basta sustituir en la (33] loe valores de [30] oca el s1ano adecuado, de lo que resulta:

[ 30 ) 1 \ .

el . 3,2·KI/L

Ko = O, • 2,2'KIIL

', . atrae. son,

= ( 0, 26/0,6'1 + 0,11/1 + 0,03121 ) . ~3K • 0,15/1 + 0,22121 ) . ~6K O•• = ( 0,00/0,5 ' 1 + 0,35/1 + 0,65121 ). BL{31

O., = ( 0,03/0,6 '1

""'1 1..

;

( 31 ' )

que, operando. dan luaar a O.415·!II4'KI, O,153·tJ[JKI y O,225·tI.J)D. respectivamente. Las expresiones que relaclala1l 8iros oon IIlOCD8lltoe, del tipo de la [5], son puee, M este caao:

O, = 0,415 ' K,L/II • 0,153' KoL/II 80 = 0,153 ' K,L/II + 0,225' KoL/II

[ 32 )

Y. oc:cDO ¡:uede observarse I la variación de inercia Be acusa en una menor defonDllb1l1d&d cuando Be considera IDOIDeIlto y a:iro en el extreao derecho, mientras que loe Urm1noe cruzadoa 8~ dende> 1aualea.

Las relacioneo de D:Xnento a ¡ire. deepeJando 10 loe ax:mentoe en [321, oca el oonvenio de Illanoe absoluto de la f14&ura 7, quedan:

2.13

....

'~ ~ ~

Conolue16n ,·,:,, ~

Kl an6.11aia de :~p6rt1ooe puede hacerse por métodos de equilibrio, adoptando 1n101.a.lDen't4 'cada barra por separado ron extrertOe fij oe y ain airar. Bete .adelo debe correclree oon otro en el Que , a partir de oorr1mientoe y ¡1ros do loe PJdoe , ae expre8Ql'l l.aa eol1c1t.aclooee que aparecen en oxtremoe de · barrAII·~ ruyas reeultantee en cada nudo deben aer iaualea y ocatrar1aa '. laa del DXlelo !nielal desequilibrado, AW)QU8 la OOItIPleJldad. del aiatema resultante depende del número de barras , en ¡>6rt1.ooe do plaoe Be ¡ouocIon adoptar JDOdoloo .1JQpl1t1cadoe por planta. En eatructuraa tipo pórtico resulta aenera1mente indispensable 0008iderar airee ~ en loe nudoe. y 108 deepl&Z8IDientoa de éstoe 8610 sl tienen incidencia directa.; ea decir el exieten fuerzas exteriorea que obllaan • que OUIbien de poe1c1.6n. Debido .& la d1f1ooltad de expresar oon r1a:or la influencia del aoortaaaento de barra. en priller. aproximación se p.leCle ignorar, adoptando por eJ~lo para el deepl.aDe de W\ nivel el lIIiB!110 valor en todoo loe IIOport.e8 •

No debe 8Obreeat1.lwlrse la capacidad del método, que para ser preciso debe tener en cuenta el t.aDafkl del rwdo. y, eobre todo en Cll80 de ple.zaa arueeMl, la defoIm&Clál por cortante. En cualquier caao l o que ná8 1ncidenclia tiene en loe resultadoe. ee la ley de variaci6n de inercia, lo que convierte en fu.ndaJbental e l problema de o6mo dimensionar la estructura , ee decir o6crt> se calculan laa eecci~ de sus barras . I

IOEl proceao de deepeJar no ea sino el de invertir la ID8triz de coeficientee de flexibilidad de [32] , para obtener 106 de ria:ldez de (33]. en la fol'll8:

[ [0,415 -0,153)[ -0,153 0,225) )-1

[3,2 2,2)[ 2,2 5,9))

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( . . . I u ... " d. eH , ... " ... " ••• dl) .~ .. II • • 1 ~I .. ft .. d. poS" ' c u. I,, ~ I !!. 10 con <la.r ... u n~ . . . o d. lop o rt •• In . 11 .... y p6rt l co. 'n brO A c~.1 ~O .. v'lIl' • • elll. lit .... , ,c.o d. 'tICOI, ' euI"q" ...... CI' J .... , ooco l ., •.

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1. INTRODUCCION

En elementol!! de hormigón armado 8S habitunl que la necesidad resis tente eea variable de unos punt:oe a otroe y de unas seccionss a otrae, por lo que la introducción de armadura puede hacerse con varillas de diferente longitud. diámetro y posición. problema denominado de deJ5plece. En Doportes. lo ecléctico de 8U solicitaoión. y la alternancia de signo en eue valoree máx1.mo8 de un punto a otro y una hip6teds a otra, hacen que frecuente -

mente 8e arme COn distribución uniforme en perimetro y constante en BU longitud, En vigas, la clara variaci6n de la solicitación hace que por lo general S8 organicen con despiece de armaduras clara-mente variables en disposición y longitud a ~o ~arso de la pieza.

La sección de la armadura ee funcit.>n del valor de la solicitación, -axial, flector y cortante-, pqro eu despiece depende de la consideración de otros fenómenos. No toda tracción se puede orsan1zar con el número y diámetro de armaduras que ' se: desee; aunque en términos de sección eea equivalente un número elevado de redondoe de pequefio diámetro que pocos de uno mayor, -y esta última elección ee la aconsejable econ6mic8I1lente-. la prltnera opción posee l'Iucha mayor superficie de contacto y por tanto mejor V adherencia. En general el mantener lae tensiones de adherencia por bajO de un nivel seguro origina reetrlcciones a la8 posibilidades de elección del diámetro de las armaduras. La neceeidad de tranefer,ir correctamente la'e tensiones de las armaduras al hormigón circundante o a otras armaduras origina en sus extremos una variante del problema ds la adherencia, denominado de Mclllje o de sol."ipo, resuelto en general a partir de longitudes adicionales a 18S estrictamente resistentes. El hecho de que en la pieza se considere por separado cortante y mOlJlento, -cuando en la reaUdad lo único que existen 80n las teneiones-, hace que deba tenerse en cuenta la interrelación de ambas solicitaciones para decidir en detalle hasta dónde deben llegar las armaduras o la deoeidad de estribos, denominado problema del de:splllliamieJJto.

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Por supuesto, problemas como retracción, fragilidad, fisuración y buena organizaci6n constructiva definen valores de armadura minima que tambián deben tenerse en cuenta para el despiece. y por último, pero no lo menos importante. el hecho de que, a cierta distancia del extremo o nudo , fallen las hipótesis de barra, -las de ley plana de deformacionee-, hace que no puedan utilizarse directamente 106 valores de Bolicitaci6n, o que ei se estudia a partir de ellas, sea 'preciso incorporar correcciones importantes, denominados de redondeo, cara a la definición en detalle de lae armaduras.

U~nlcturu

corrugado, determinada exPerimentalmente, oscila entre 20 kp/cm" para armaduras de gran diámetro y hormigón de baja resistencia, y 50 kp/cm" para armaduras de pequefio diámetro y hormigón de alta resistencia. Un valor usual en edificación puede s e r 30 kp/cm", muy superior al que soporta hormig6n contra hormig6n, aun fuertemente estribado , de manera que si, el ancho de la viga soporta el cortante; la6 armaduras separadas entre si un diámetro soportarán bien l a adherencia. Algunos códigos, a partir de otra baee experimental. y con propósitos lIlAs bien de anclaje, ofrece valores de tensión que el hormigón soporta con seguridad en adherencia entre la kp/crn" y 24 kp/cm". .

2. ADlJERKNCIA

El neces8,rio cambio de t e nsiones para a justar c a da seción al momento flector cambiante en una viga, orLdna la necesidad de que cada capa ee agarre a la superior e inferior a través de tensiones tangenciales, función de la variación del momento, es decir del cortante. Entre horrni8ón y hormigón eete fenómeno puede verse Bmhivalentemente como tensiones vertic a les u horizontales. Entr e dos hormigone s diferentes eon criticas las tensiones horizontales d e este fenómeno , d e nominada e de rasante. Caeos particular es de este último problema son 108 de la necesidad de conexi6n entre viguetas y hormigón in altu en forjados, o entre perfil y hormigón en el caso de seccionee mixtae. Debido B la suposición de que el hormigón no eoporta tracciones por flexión,lae tensionee tangenciales poseen idéntica resultante en una amplia altura de la viga , siendo criticas para el hormig6n alli donde Bea menor BU ancho. Al llegar a la armadura traccionada, 18s tensiones rasantee deben pasar .al acero, lo que implica necesidad de oonexión, resuelta ,generalmente por adherencia entre ambae superficies, mejorándose con armaduras

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En un tramo de viga de altura constante de longitud 6x, véase figura 1, sometido a momentos que difieren entre ei un valor 6H. que, con un brazo de palanca z eupone una tracción total en la armadura de valor 6t'l/z, las Itensiones medias en la superficie de contacto entre acero y hormigón tienen el valor:

[ 11 siendo p el perlmetro de oontacto entre acero y hormig6n. Como 6H/6x = V, queda: Tb .. = V/z'p [ 21 Si la armadura estA oompuesta por n varillas de diámetro ", el perimetro total p ee nlt_. Para que entre en Juego el perimetro total entre hormigón y acero, las armaduras no deben estar muy juntas . ya que en eae caso en el perimetro que englobe a dos de ellas es producirlan tensiones más elevadas de lo que predice (2). Si la tensión de qdhsrencia es superior a la resistencia a eee fenómeno, se producen corrimientos o deellzamientos entre ambos materiales, en contra de la hipótesis supueeta para soportar el momento flector. La tendón que con seguridad se redste por adherencia entre hormig6n y acero

Cuando se produzcan valores insoportables da tensión de adherencia, basta deecomponer la armadura,-- en más varillas de menoe diámetro para eolucionar el problema. Sólo en algunos caeos, esta opción, que conduce a un mayor despliegue en ancho de la armadura, lleva a que esta no pueda disponerse en una sola capa. Ep dos capas , lo recomendable en vigas de descuelgue es dieponer l ae a-rmadurs8 extrae al interior , donde ee encuentran más protegidas en caso de inoendio. Pero si lae armaduras Be dieponen en dos capas, a menos que se Deparen tamblén entre si , -disminuyendo notablemente la eficacia a momento al bajar el valor de z , aumentando de paso 18s tensiones tangenciales y por tanto las de adherencia-, el perimetro de contacto de acero y hormigón debe referirse al paquete de ambas . como ei entre l ae dos configuraran una eola armadura. de diámetro -denominado 6Quival811tB- igual a 1.4·ji!i y lógicamente con mayores problemas de adherencia que con diámetro p. En la práctica no aparecen problemas de adherencia salvo para diámetros muy fuertes. En edificaci6n, en donde son inusuales varillas de s625 y aun de s620. no hay que tomar exc esivas precauciones por ello pudiéndose descomponer como se desee la sección de la armadura. En efecto, para una viga continua, con carg a q y luz L, la relación de momento y sección de armadura es, en el peor de 108 C880S: qL"/1S·z·f. :

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[ 5 ) y como la relaci6n lb a f. es del orden de lX, basta elegir un diámetro inferior al 0,5): de la luz para que no haya problemas de adherencia . Ello significa que _12 no se podria usar por debajo de 2,5 m de luz, 1&16 por debajo de 3,2 In de luz, y \lI20 por debajo de 4,0 ID de luz, valores que no entran en conflicto con la prActica ~abitual. Como, por problsllaa de necha, es recomendable que L ( 30h, se deduce que no hay probleDlas de adherenoia si \lI ( O,15b, que es una limitaci6n que no tropieza taJllPoco con lo que es usual. En un extremo apoyado, el cortante es mAximo donde el momento e8 nulo, por lo que a dicho punto 8e podrIa llegar 8in caa! armadura y por tanto sin casi perimetro, quedando comprol'letlda la adherencia. S1 se lleva hasta el extreJllo la armadura para una fracción k del momento de vano, qL o'/6, dendo Lo la luz entre puntos de ftODlento nulo, la expresión (5] se transforma en:

En una viga de alma llena, las tensiones tangenciales de cortante siSnifican tracciones y compresiones oblicuas a 45-, por lo que la pieza se puede idealizar como dos cordones enlazadoB por piezas cruzadas, compJ;'i.midae en una direcci6n y traccionadas en la perpendicular. En estas condiciones ideales, las tensiones de flexión en loe cordones corresponden exactl!omente al momento tlector en cada secci6n.

3.2 Vigas en ce10s1a En una viga con celoda en forma de Z a 45-, con tirantes verticales, evidentemente la tendÓn en csda cord6n, por equilibrio en un corte vertical al pie del tirante, mantiene en todo el módulo su valor, igual al cociente de momento y brazo de palanca de ' uno de eUB extremos. Para el cordón traccionedo corresponde al momento mayor y para el comprimido al menor. El diagrama de momentos que, del lado de la seguridad, permite dotar al cordón traccionado de la sección necesaria, como puede comprobarse con la figura 2, seria un diagrama de momentos ''incrementado en cada punto con el valor V·z. En general e8 má8 usual presentarlo como un diagrama dC6plazado, en el sentido desfavorable, una longitud 1:sual a z.

[ 6 )

De acuerdo con 108 valores anterioree, llsvando hasta el extl:emo la Ilitad de la armadura máxima de vano, es decir k :s 1/2. la condición de adherencia llevarla a las msmas conclusiones que para piezas continuas.

Aun llevando e610 la tercera parte de la armadura de vano, no son de temer problemas de adherencia para los diállletroB habituales , ya que el 1&12 ae podria usar dee:ds 3,6 ro de luz entre punto a de rlomento nulo, 1&16 deede 5,0 111 Y \lI20 desde 6 JI, que es más que suficiente para vigas de edificación; Como. por problemas de flecha, debiera ser Lo ( 20h, resulta en este caso que no hay problemae de adherencia 151 " ( 'O,OS-h . Como puede observarse, una primera regla de despiece, desde el punto de vista de la adherencia. es adoptar diámetros moderados, inferiores al déc1moquinto de la altura de la viga, y llevar hasta todo extremo apoyado una fracción si&n1ficativa, al menoe: el tercio, de la armadura de vano.

Si 8e disponen dos familias superpuestas, ver figura 3, cada una de ellas, con aU8 corre8Pondientes cordones, Be hace cargo de la mitad de las solicitaciones. Como puede comprobarse por 8uma de dOD casos como el anterior, la superposición de los dos desplazamientos traslapados equivale a un diagrama escalonado, intermedio entre los diagramas original y desplazado z. Una oeloeia en Z Inwtlple a 45-, en el limite, 6e rige por un diagrama. desplazado una cantidad en promedio z/2, si bien al. Ber una escalonada, cada poco aupera ligeramente ese valor.

DKSP~AZAHIKNTO

3.1 Tensiones en el cord60 La reda ds obtener la armadura longitudinal en una aecc1óo a partir del lIlomento tlector en dicha sección e8 13610 aproximada. Debido 8 la aslmetria de comPQrtamento del hormigón a tracción y compresi6n, lea ten8ionee por cortante provocan que la8 tracciones longitudinales eean 8uperiore8 a la8 produclda8 por el momento en 8U 8ección, fenómeno que 6e traduce en el denolD1nado d~spl.ultmiento ds la gráfica de IIlOmentos, que puede entenderse mejor a trav6e del eatudio de 108 esquema8 de vigas con alma en celo da.

Si se dispone una 80180 celoda en H, v@¡aee figura 4., eiendo a el ángulo del tirante y 9 el del codal comprimido, la tracción del cordón se obtiene, por equilibrio, con el momento en la sección correspondiente al vértice del cordón opueato donde confluyen tirante y codal. Para un ángulo 9=-45- el desplazamiento es ellllielJlo, de valor z, pero hay puntos con retraso, en una longitud z-tao. Este retraeo sólo Jueaa favorablemente cuando existen

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variae famillae superpuestas, ya que el comportatn1ento tiende al promedio de desplazamiento y retr85o. En el limite, con un número elevado de tarnillas, el desplazaD"dento e8 8610 de z·(tsO-tga)j2 .

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Si la celoela ee en 'H con 108 d08 ángulos iguales. véase figura 5. necesariamente el diagrama de tensión adelanta y retraes por 1&ual al de momentos. Debido a ello. el' desplazamiento del lado de la esguridad para diMensionar el cord6n es un diagrama de !Domen tos desplazado z·tga, pero con mUltiplea familias superpueetaa el deaplazamento ea el promedio del adelanto y el retraeo, ee decir de valor nulo. En particular Beta conclusión vale para ángulos de 4S-, que no as sino el comportamiento del alma llena. con la que no hay Que coneidarar. como se veia máa arriba. nin¡:ün desplazamiento.

Caben mcluao opciones mezcladas entre todas las anteriores . Por eje mplo una organ1..zaci6n de dos celoeias, cada una de ellas prevista para una fraccl6n de la carga total, - una en ' Z y otra en W, ambas a 45-, S6 comporta a medias entre lae dos soluciones. La gráfica de tracción en el c o rdón tracccionado 8S de nuevo una escalonada. Si la s o lución en H ea simple, con mucha mayor capacidaq resistente Que la dispuesta en Z. y ésta ee muy tupida , véase figura 6.0., · el deep1az81D1ento neto de eota segunda celo01a ee verA fuertemente acotada por loe ealtos y retraeos bru8cos de la primera. ~

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Si la celada en W es múltiple muy tupida, y la en Z relativamente discreta, la eacalonada resultante posee lógicamente 108 rellanos

106 eatrib08-, con una curva deeplazada una longitud z.

inclinados, véase figura 6.b, por lo que 108 saltoe ee pueden cubrir con una

Si la viga t1ene eatribos verttcales a intervalo lIenor. el modelo es el de la viga en celosia múltiple de la figura 3 , por lo Que el desplazamiento es menor que z, y en el limite. con eatribos muy tuptdOB. de valor z/2. véase figura 8.

envolvente, desplaz.ada tanto meno e de z cuanto nás domine la primera celoaia.

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" SI la celceia ea múltiple en altura, como por ejemplo la de la figura 7, el cord6n intermedio no parece colaborar a flexi6n y debido a esa

solicitación BU tracción ea en principio nula. Pero el efecto de la celoeia combinada ea, con una tendón constante en dicha barra intermedia, reducir el desplazamiento hasta incluso la IlÚb,d del cae o en que no existe dicha

armadura \nterrmedia.

Si los eetribos non inclinados, para un intervalo igual a z, de acuerdo con el modelo de la figura 4, el desplazamiento también ea ligerslllonte inferior a z. Si eetán máe juntps el despl azamiento es aún menor. Cuanto más inclinad06 estén, menor será el desplazamiento. En el limite. si el ángulo de estribos o barras es 45- el desplazamiento promedio ee nulo, aunque para estribos separados z la envol'\lenie de tracciones suponga un deBplaza~ento igual a z/2. véase figura 9. .

3.3 VIgas de horJÜgÓD Debido a la -eUpuBsta- nula resiatencia a tracción del hormigón, el comportamiento de una viga de hormigón a cortante s610 puede asimilarse al de alma llena para valores muy bajos de solicitación. El comportamiento a base de estribos verticales se puede equiparar al de una viga en celoaia l , en l a que las bielas de hormigón 8e llitúan orientadae con el mejor ángulo para combinaree con 108 estribos a tracción . Generalmente 88 aupone que los codales o bielas de hormla:6n 8e forman a. 45·.

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Una viga eetribada a intervalos z, se comporta como la celosia de la figura 2. El diagrama de tracclones para el cálculo de la armadura longitudinal 158 obtiene, -dada la indeterminación eetadietica de la posición de

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En la práctica no se dieponen estribos tan inclinados, reservá,ndoee las barras levant",das 8. 45- para esta función, a1empre mezcladas con estribos. Una disposición de estribos tupidos con alguna que otra barra doblada se cOlllportar1a como la figura 6, con deEplazamlentos acotados.:t

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3.4 Valor del desplazamiento Tanto en una viga en celoa1a como en una vi8a de hormigón con estribos. disponer más o menos tupidos los tirantes verticales no aumenta su eficacia: la cantidad total de acero en estribos ee constante. Sin embargo dle:ponerlos más tupidos elimina deeplazamiento para 106 cordones longitudinales. En rigor no se ahorra . nada en ellos si no fuera porque no se pueden disponer ajustados exactamente a la escalonada; aunque el total del material corresponde en r180r al Area del diagrama eecalonado, -18ual a la de la. linea promedio, 8610 funci6n del ángulo de tirantes y codalee-, en la práctica la cantidad de acero corresponde al diagrama desplazado, con mayor armadura cuanta más separación haya entre estribos. La opcl6n de estribos oblicuo8 no permite una mucha mayor eficacia a los mlsmos, pero disminuye el desplazamiento, y, sobre todo, de acuerdo con la8 experiencias al respecto,' aumenta el cortante máximo que se puede 60 portar armando la viga. En ell1mlte. loe estribos o barra8 doblada6 a 45soportan todo el cortante sin desplazamiento y suponen la forma mAe ~ficaz de resistirlo.

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]lJlI!lll[l 111"" " Pero en general el llIodelo de cOlllportamento a cortante predice que toda la reeletenci& se debe no sólo al funcionamiento combinado de estribos a tracci6n y codales oblicuos a compresión; siempre queda una resistencia ree1dual de la aecci6n co.,p1eta COI'lO a.l..Ila llena, con hormigón tracclonado a 45-. La formulación del cortante es pues la IIUIII& de uns cel081a muy tuplda a 45- sin desplazamiento y el resto con estribos. Aunque el desplazamiento de éatoa puede ser de valor J:, el hecho de que arranque de uno a rellanos inclinados ell.aUna desplazamiento real. La soluci6n habitual es pues la de la figura 10 con un dS8pluamiento s610 li&'eramente auperior • ';2 . 2 ~;I\.n'l Honto)' • • l al. 4an bu. na cu.nta 4e la inoi4e no.la 4.1 'nlulo 4. •• trlbo., pero .upon. IlIpllcltaM.nt ••• lrlbaJ. Inflnltall.nte tupido, por lo que lo' v.lor • • tabulecl.ol IGn ln'.Juro.l para la • • • paraciGn•• 4 ••• trlbo. h.bltuah •. Otro. auto re. Incorpo.ran .n l a IG,lIulaclo.o dal d •• plaaa",i . olo l . parle de cortanta loportado por 11 horlll.Oo .0 el"" llana. p. ro .n I.n.ral tambl4n o",lt.n 1. Incld.ncla 4. l • •• p.raoI60 .ntr ••• trlbo., que •• funda",antel par. obt. nlr n.unadGI d.1 lado. d .

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En comparación con 108 estriboa a 45-, 108 verticales suponen una cantidad de acero mayor, un 40X máB. Pero además puede comprobarse. véase figura 11, que el incremento de acero en armadura longitudinal eupone exactallente, con un dimeneionado estricto, l. enlsma cantidad de acero que en 18s ramas verticalea de los estribos. Separar éstos más de z supone que las bielas de horm.igón deben poseer lIIás oblicuidad, y que la inversión en desplazamiento aUmenta . En ellirnite, sin disponer estribos, una sola biela oblicua en media luz da cuenta del comportallliento a cortante; 8010 que ahora el desplazamiento ea tan grande que la tracción en la armadura longitudinal es constante. En realidad tanto cortante como momento han degenerado en l. formaci6n de un arco directo en el que la variaci6n de momento se soporta por variaci6n 4el brazo de palanca. En secci6n rectangular tal comportamiento es siempre posible, por lo que el arco es un tipo de celada más que se combin~ con lae anteriores en las piezas reales.

usado

Pero como para que funcione el arco 66 preciso que toda la armadura esté trabajando en toda 8U longitud. tal comportamiento depende de la fracci6n de armadura efiCazmente anclada en el extremo. Si existe armadura longitudinal de piel. 88 aiguen necesitando 108 mismoS eetribos, pero, corno puede comprobarse en la figura 7, dicha arllladura puede deecontarse del volumen neceeario por desplazamiento'.

Cuando no hay Brrnadura .de piel, el increroento de c ap6cidad mecánica de la armadura 88 directamente OU :: V.·c. En vigas muy esbeltas. no importa demasiado tocnar del lado de la seguridad e ::; Z, pero en las de altura importante, o con barras dobladas, e6 importante afinar el valor de e, dada 6U trascendencia, véase figura 12; en vigas de relación L/h ::; 5 el acero longitudinal por desplazamiento de cortante puede ser del mismo orden que

el necesario por resistencia a flexión. Como conclusi6n, la influencia del desplazamiento c de la gráfica de momentos para el cálculo de l aelongitudes de la armadura .longitudinal, como en hormig6n armado puede suponerse que e = 45-, puede obtenerse. de acuerdo con la figura la, a partir de las expreslones: .

= .z' (l-tga)12 • V.IV c.n ... = [ z . (1-tga)/2 + 8/2 ) • V./V 6U = V'c - Ao·f.

C .. 1Id

siendo

[ 7 l

z el brazo de palanca, aproximadamente O,8'h Q

eortanle

Tabla l . DeaplaaaJIl.nto P"

Intervalo _ IUltulo o:

"'.1'

0,15 0 , 30 0 , 50 0 ,85

O' 0,15 0,30 0,50 0,85

0,13 0,28 0,43 0,74

,..

IS'

0,11 0,21 0 , 36 0 , 60

0,1i: O,U 0,38 0,64

0,10 0,19 0,32 0,52

De.pl '''&.III iento

el ángulo de 108 estribos con la vertical, con la mano adecuada

O,,

01'

.... iDO

. O

'" 0,07 O, 14 0,24 0,38

,,'

0,0' O, 15 0,25 0,43

0,06 0,11 O, 19 0,31

0,03 0,18 O, 11 0,18

ela "lidio

o la separaci6n entre estribos

V el cortante total de la eección V. la fracclón de cortante soportado por celada Ao la arDladura de piel f. la resietencia del acero de la armadura de piel

En la tabla 1 aparecen 106 valoree del desplazuliento c .... para una sola famUa de estribos; el hay varias deben obtenerse por separado los lncreDlentoe de capacidad mecánica de cada una, 60, con arreglo al cortante de la celada que forman. Para aeparaciones tupidas 11 ( O,S'z puede tomara e el valor C",ed. que ea el habitualmente presentado en la literatura y c6d1goa al respecto, pero para las separaciones usuales hay que tomar, del lado de la sesuridad, c .....

En vigas de gran altura, la diepalll1ci6n de una Inalla con igual cuantia en las dOB direcclones, p8ra soportar ·e1 cortante, elimina por completo la neceeload del desplazamiento. Otro tanto sucede en piezae, como las de los forjados arlDados, en las que la: ceiosia cetA formada por armaduras con un ángulo proximo a loe 45 -. .

4. ANCLAJE

4.1 Longitud de anclaje

r l

." lo.

1I L-______________ •

En general la8 armaduras se disponen para soportar una tracción variable. SI Be proyecta armadura· constante, la tsnei6n en cada armadura debe variar , a base de las pérdidae que produce la adherencia. Si la armadur a ee dispone en número ··estric t aDlsnte a justado a l a capacidad mecánica de cada punto. la tensión en cada barra no puede variar, salvo en el extremo, donde necesariamente tiene que perderse toda: en el extremo hay pues un problema de adherencia lIlás agudo, denominado B.lJc1aje.

Tal eu.allo" •• habituah.ent. 'l:oora4a .n l. literatura t'cnlea, ~I.~o. e04110. q~. ,r •• crib.n QU ••• 41.,onl.·

.un

El fenómeno del 8nc!aje, y su Medida, puede materializare e con el diapositivo de la f18ura 13. La barra no se puede arrancar debido a las tensiones de adherencia, Tb' Re6ulta dificil medir éstas, y 6U distribución e8 probable que sea no un1!orme. Pero lo que interes a del anclaje ee saber cómo puede eoportaree haata la fuerza que rODlPeria la arllladura por tracci6n: evidentemente a base de longitud. N6teee que la result.ante en un plano como el e-e de la figura 13 tiene tensi6n resultante nula; en realldad la armadura sigue tr8ceionada y el hormigón comprimido . Las tensiones de adherencia en el anclaje 80n de rozandento, y mejoran por la compresión con que el hormig6n atenaza a la armadura. Toda fuerza adicional de compresi6n, COIIIO la B producirla un mejor anclaje. [En la figura 1 no hay compresiones

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u lrvellJru uQo

de atenazado, pero en cambio Be deearrolla un régimen uniforme de tensiones, que, a igualdad ds longitud, pueden dar mayor resultante]. Aun ignorando el valor de la componente tangencial de las tensiones que se desarrollan en c80da punto del contorno de la armadura, no cabe dud80 que, ei no hay rotura ni despegue, tienen Como resultante la fuerza aplicada en el extremo. Lo que se puede medir fác1l.mente, - y lo que se usará luego- , es el valor de la l ongitud en que éstas pueden isualar a l a capacidad mecánica de la armadura, el valor de lb o longitud b6.eica de anclaje.

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Es normal e uponer qu e , en vjga a, ha y que s e r más anc lajes de la cara superior, rodeados por hormigón de a la s e gregaci6n del vertido y vibrado . En 880S punto s, -co mo EJI-BS- indican que los anc lajes son un 40X más

. ..."

•

131

115

co ns e rvador ' e n l o s peor calidad debido alguna e propuestas largos.

4.2 Prolongación por anclaje

......... • • • t:

Resulta un tópico decir que la longitud de anclaje debe med1.ree a pa rtir del punto en que deja de ~er necesaria la armadura: : parece una perogrullada. Pero l a aplicación pt:'áctica de ese principio no es sencilla. En rigor no hay ningún punto a un lado del cual la armadura sea totalment e necesaria y al otro no lo sea en absoluto. Lo que pasa en realidad es que la armadura ee totalmente necesaria en algunos puntos, y en otroe puede permitirse el lujo de perder tensión sin que falls la aección de la viga, hasta que la pierda totalmente · y ~e pue da prescindir de la armadura.

1l/ I Ir

-!).'" 'l~ur.

T.. bl. 2. Lonl!itudlll. b •• lea.

13. Di.po.itlyO para

~e4lr

anclaje.

Para una armadura de diámetro doble, la secci6n 8S cuádruple. la capacidad mecánica es asimismo cuádruple y ee necesita cuádrUple resultante de anclaje. Como la aecci6n tiene doble perimetro, a igualdad de reparto do tensiones, se necesitará doble longitud de anclaje , ee decir un valor propor:cional siempre al dU,metro. Algunos autorea conetatan un efecto ~Ueico- de escala por el que l &a secciones lIáll gruesBa no desarrollan tensiones tan elevadas, de donde deducen que la longitud de anclaje crece .6.8 r6pldarnente que el diál'l8tro. La tabla 2 reooge algunos valores corresPQndlentee a l a comblnac16n - habitual- de AK850 0 con 8200. Como puede obs e rvarse, hay relativo acuerdo en 1011 diámetroll altos, pero gran disparidad en loe bajos. No obstante las diferencias no son tan fuertes, de acuerdo con lae concluaiones de cómo ee utlllza dlcho valor. En lo que parece haber completo aouerdo ee en que para fuerzas menores a la capacidad · mec6nica, l&s lonsitudee en que se produce el arrancallliento eon proporcionalmente m6s bajas, ea decir que la dlstribuci6n de tensiones es e~ar, sea cual sea l a fuer%& de arrancamiento. Como sucede Elelllpre, el efecto de escala hace que por debajo de un valor minimo ltl,lIIru no pueda daree el diagrall'la' completo de tensiones, descendiendo ta~ r6pidame nte la capacidad de anclaje, que a todoeloa efectos prá c ticos , por debajo de ese valor, ee oonsidera nulo. En este puntQ los dos modelos de la tabla 2 están ahora en orden contrario, resultando más t olerante el que considera 10n¡1tud de anclaje proporcional al di'metro.

Prolongar las armaduras más allá de donde son necesarias, es además incongruente, si en esa prolongaci6n tiene tensión. La resultante de tensiones en la sección debe ser justamente igual a la tracción necesarla, ni mayor ni menor. Ello es condición obliaada por e quilibrio. Para hacer un despiece correcto de las armadura,s hay que encontrar una distribución de tensionee en cada arlllsdura con l,a a que, en cada 8ección de l a barra, la r e sultante sea igual a la tracción, no superando en ningún tramo 1a8 t e nsiones seguras de adherencia y sin que la t e nsi6n desaparezca a más veloc idad que la permitida por la ~ong1tud de anclaje. Desgraciadamente, el hay que conseguir que alguna armadura se interrumpa y acabe con tensión nula, no ee puede respetar la condición de compatibilidad de deformación de la eección de la viga, por la que todos los punto e de la capa armada pose.e n l a ..isma deformación, ya que ello conducirla necesariamente a la misma tensión, y a la imposibilidad de lo que ee pretende. Ya que no hay manera de respetar al cien por cien la c ompatibilidad de deformación, la 801uc16n más ver08imU será la que menos a 8 enfrente a e lla . Si un tramo de viSa, véase fiSura 14.a, tiene, para las armaduras longitudinalea, un régimen de tracciones decre ciente, 16gicamente demanda más armadura en unas zonas que en otras . S1 se dispone armadura constante las tensiones deben decrecer al ritmo de la tracción, y el probl ema ee meramente de comprobaci6n de adherencia, es decir de si la disminuci6n de tensi6n puede ser soportada por lae teneiones de adherencia.

IB.ldo

tl/t

Un dibujo detallado de la tene16n en cada armadura nlsli'da seria como

el indic ado en la figura 15.a, en la que puede observarse cuAn rápidamente

d e ben disminuir y crecer la8 tensiones en la8 armaduras en la zona sobre el diepo61t1.vo. Aunque la soluci6n con dicho diEPo&lt1vo ea meramente t e6ric o, Y no 60 uea en el práctica. ilustra muy bie n el problema del anclaje

y de la transferencia de tensión entre 186 barrb.& .

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<:>:>= Pero con le opción anterior la cantidad de Bcero ca desproporcionada al problema y cabe penear en organizar la armadura en corto a de diferente longitud. En el ejemplo de la figura 14, -en el que trae armaduras soportan estrictamente la tracci6n ocasionada por el momento flector-, si en el punto A se necesitan 3 armaduras a tensi6n f., para la tracción en B bastarian dos. y en e s610 seria precisa una, sin superar en n!ngun punto dicha tenlfi6n m'xUna. La cuesti6n ell cómo lIe puede organizar dicha armadura, sin tensione s tangenciales insoportables entre hormig6n y acero. Si se proyecta en 108 puntos B y e unas placas a laa que se sueldan las armaduras, -vé a se la figura U .b- se puede cons eguir Que en el tramo AD exiatan tres barr a s, en el BC dos , y a partir de e, una sola. En cada tramo lae armaduras existentes se reparten por igual la tend6n; en el tramo AB las tendones en cada una de las tres barra s decrecen de f . a O,67·f.; en el BC de c r ece n d e f . a O, S·f . y a p artir de e decr ec e n de f , has t a anula rs e . Con esta opci6n la pérdida de tracci6n no debe superar en ningún tramo las tend6n eesu ra de adherencia, según el apartado anteriormente visto, y sólo e e ris vAlida si la pendiente de la zona BC, para dOIl armaduras, y en cn. para una s61a, lo permite, ea decir ei la8 armadurae 80n capaces de soportar, por adherencia, 1011 incrementos de tensi6n indicados. El dispositivo de unión -la placa- debe posibilitar la transferencia de tendones producidas por el cambio de número de barras. Por un lado debe eer suficientemednte r1gido para Que equilibre ain excea1va deformaci6n -y perturbac16n- el modelo anterior. (La rigidez extrema ee la única llanera de precservar la condici6n de compatlbilldad geométrica). Deba eer .igualJOente muy resistente, ya que la8 solicitaciones de cortadura a BU travée eon muy fuertes. Pero sobre todo, dado que lall tensiones de algunas de lao arlladuras lSon"nulas en un extremo y muy elevadas en el otro -alcanzando f,-, debe ser lo s uficientemente ancho para que la Boldadura entre arllladura )' placa perm.1ta la trancsferencia completa de tracci6n, en definitiva permita el anclaje de la armadura. .

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para corte

En rigor no hay que cort4r todas las arm adura s para producir un cambio e n su núm e ro; 88 puede cortar una y que lae demás continúen, pero, no obstante, sigue siendo precho soldar toda s al diopositivo para que ést e siga ocupándose de la transferencia de tensiones e ntre todas ellas . Con eeta opción lae tensiones de cada armadura seria n las indicadas en la figu r a 1S.b.

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En laG piezas de hormigón IUII'Ilt.do, el hormigón circundante a las armaduras cumple el papel del dispositivo de las tigura 14 y 15. El hormigón es muy rÍ8ido, y las distancias entre las armaduras pequeñas, pero las tensiones de transferencla de la armadura al hormig6n mucho más bajas, por lo que el ancho de la zona de trane1ci6n debe ser más amplio. En la zona de transición no hay anclaje como tal: lás tensiones no pasan .'l1 hormigón sino a otra armadura a t.raVt§s del horDligón. En este caso no ea un problema de anclaje sino de transferencla de tensión entre las tres b~rras, aunque su solución utllizarA el valor de la longitud de anclaje definido antes . En la figura 16 aparece la 80luc1ón en horm.lgón. cuya explicacl6n es la s J..suiente. En l a s cercamos de A, 1a o tres armadura s se r e parten por igual la tend6n, teniendo la misma deformaci6n, y dinunuyendo BU tracción lIledlante las tendones de adherencia, todas ellas en 'paralelo. A partir de un punto Dl una de las armaduras, presintie ndo que Be termina , se de sengancha del equipo, perdiendo tensión por BU cuenta a máe velocidad. en realidad bombeando tendón a he otrae dOB. El ritmo de decrecimiento pe rmite que. en otro punto 82 ee complete la pérdida de tendón, con el final de la armadura. La diferencia de rapidez en el cambio de tensi6n entre BID: y ADI da idea del· margen de holgura en las tensiones de adherencia en el tramo AB1' En el intervalo BIB2, centrado con D, se produce 10 que antes en el dispositivo de la figura 15. Una barra pierde la tensión que le quedaba y entre lae otras dos vuelven a repartirse l a tene1ón reeultante. Todo ello Bucede mientras la tracción total está disminuyendo, aunque para las barras que continúan se puede dar incluso un ligero aumento de tensión, produciéndoe:e en ee.e intervalo la incompatibilidad de deformaci6n ante e aludida.

La solución no es estrictamente necesaria, ya que si la barra se co rta antes, todavía seria poeible un esquema equilibrado con pérdida de te nsión a menos velocidad que. la que sucede en un anclaje estricto. En el limite , d la barra 1 l3e prolongara a partir de A s ólo la longitud, lb, de an claj e , con tal de rebasar ligeramente el punto D. también valctria; pero las inc ompatibilidades resultantea serian mayores y las diferencias de pérdida de tensión en la8 tres armaduras serIan muy aparatosas, véase la figura 17.a. Naturalmente prolongar la armadura más allá del punto B2 es seguro. Lo que sucede ss que entonces las tensiones serian elevadas, --criticase n el tramo en que existen tres barras, y muy holgadas en el resto de la viga, véase la f.igura 17 .b. Si el objetivo del cálculo es igualar la segl.¡ridad , dic ha 801ución talllbié n es ins a. tisfactoria· . La condición del punto Da es la 'd e que la longi t ud BIB2 oea la de anclaje par a la tracci6n Ored ' es decir que 2-1 3 ;:. lb· Ored/ U:!. que con (8), qu e da : [ 9 )

lo que quiere decir que, para que haya suficiente anclaje. basta prolongar la armadura a. partir del punto B _te6ric o_ donde dejada de ser necesa.ria, una longitud, 1" que:, despejando ..de ( 91 , vale: [ 10 )

siempre menor que lb. La formula [la) depende de la fracción de armadura anclada, en este ca~o la tercera parte del total. Para otra fracción lln e6: [ 11 )

Para lb mucho menor que liL, la prolongación de la. armadura tras el punto en que teóricamente podria acabar de Ber necesaria, -en la figura 17 el punto B para la barra 3-, tiende a media longitud de anclaje reducida, .igual a la bá6ica multiplicada por la fracción que suponga la armadura que continda, ea decir 1/2 para n :: 2~1 2/~ para n ;: 3. etc.

.t. _

Para lb menor que liL, ~aso muy habitual-, dicha prolongación, según {UJ, se situa, véase tabla 3, entre 0,3 y 0,4 de la l ongitud básica de anclaje. Cuanto mayor sea lb con relaci6n a 6L - intervalo entre punto o teóricos en los qus deja de ser necesario cada corte de armadura- , mayor

•

La eolución es suficiente ella longitud B1Ba permite el anclaje para la tracción en B1 que , para un decremento lineal de la tracción, es:

[ 8 )

• Al,uno • • utor ... r.zon.n co·rr.ct.lII.nte que , i .n 8 l. ten. IOn de l • • rm.dur. e. 2/:1 de f., b • • t . rl. un .ncl.Je 2/1 de lb • p.rtlr de dicho punto, pero coneluyen -incorr.ct.mente- que . ntonee. debe prolon,. r •• l • • rlll.dur. 2/3 d . lb a partir 4e a, lin notar que con .110 •• d • • pla.a .rtifl. ei"lmentll toda la 10luciOn h.ela l.e ten.lone" lIIenorel, cuando pUlde promediar •• an torno al punto B, y que baile. la prolon~"eIOn de un. 10n,Itud li,er.ment. m.yor qua 2/3 de lb paro" partir da Bl' Si todo lo que • • neee.it . .. 11 un dlupl.c .. an 111 qUII l. aflll a "ura 3 'uper e el punto ., la ,oluelO n eon • • rvador" el comenz.r 111 .nel.J. IIn e . e punto, fl,ur. ll.b, J l • • rrl •••• d. l. d. acab.rlo en eee punto, como en la UC'ura 17.a. O•• "a al punto 01 viet. de equilibrio no h.y predil e cción "elca por una o por otra ,olución, y , . vaUd . t.mbl'n cualquiera inte r media .nltll u l'oa •. L. int.rllle 4i a de la fi~ura 11 e. l a Ql.le conduc • • un IIIlnllllo de IncolIIpatibl1l4 a d y .1 .axllllo 4 e hOlllo,. n.ld a d y .uavld a 4 en l a . ley •• de ten. iOn. Hl.n(un. 4 . 1• • • oluclon., 4. la (ill!ur. 11 pue4e 4ar cuent a 4e lo. ca.o. d e l. U,ur . 11 , ni e xplicar que el 0 . '0 d . l. ",ur. 11. d In lIIuy prO ll lJlo .1 de la 14 .a.

uhud'lIU VIlO

es la prolongaci6n. Cuanta lIayor sea la fracción onclada menor es la prolongación de la armadura. Dicho valor siempre se puede disminuir agrupando las arUladural5 de dos en dos en un mismo corte, lo que por un lado aumenta 6L -al orden del doble-, Y por otro la fracción de armadura anclada.

En la figura 18 .b puede verse lo que sucede cuando lb es mayor que l,3'6L para el C8eo de 3 barras y ley lineal de O•. Para la armadura que primero 6e corta -la denominada 3-, sigue valiendo la formulación (11] dando lugar a una prolongación mayor de O,4P 'lb y por tanto mayor que O,5·5L. Al proceder con el corte siguiente, la formulaci6n de Ured no se rige por la (8), sino que depende de la forma particular en que haya quedado el corte anterior, dando lugar a prolongaciones menores de lo que predice [11).

Para valores de lb entre l,2'6[j y l,3'6L se yuxtaponen el fin de la zona anclada de una barra con el principio de la sisuiente, véas e figura 16.a, llegándose alllmlte de validez de la (111. Para valores de lb 8uperiores a l,J'6L no es poelble formular la longitud de prolongacl6n de cada armadura independientemente de laa demAs : hay que tener en cuenta el número de cortes y de la forma de la grAfica de tracc16n.

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Si 4 supera tanto a 6L. que aIcanza la lonsltud total e n tracci6n. -el valor 6LT-. el primer corte necestta la totalidad de 6LT para anclarse. El segundo corte disll1inuye la tensi6n como el primero y, aunque comienza a perder tensi6n desde el origen, :también tarda toda la l o ngitud 5L T en perderla. Y lo msmo sucede con el tercero: 106 tres neceeitan la misma longitud. En realidad la8 trelS ariiladurae trabajan en todo el desarrollo igual , y la cuestión del anclaje e'n la zona' del extremo de cada armadura cuando éstas son de diferente longitud, ee ha transformado en el problelDa de adherencia correepondiente a l a'- soluc16n con armaduras de longitud !Jiual; ee puede comprobar Que la fig. l8.d. ee transforma en la 14.a cuando lb :: 6L T. En conclusi6n, ai lb supera a 6L. véase figura 10 y tabla 3 , la armadura mAs corta puede exigir desarrollo total hasta de valor lb ; el1 los cartee euces1vos la prolongación ee ' menor; y lae más larsa s, en principio y pendientes de estudiar en detalle eee punto, no tienen que euperar el extremo de las tracciones.

4 .3

51 lb alcanza el valor 2·6L. véaee fisura 18.c, el primer corte . de acuerdo con (111. -que sigue ciendo v&llda- neceElta una prolongsci6n O,5'l b 1sual a 6L. empezando a perder t~nsl6n en forma peculiar de sde el origen. el punto A. El siguiente corte comienza también a perder tend6n desde el origen, por lo que Urel1 , suponiendo variaci6n lineal de la tensi6n en la zona anclada de la armadura 3. resulta: de valor Uul1 :: 0.5·U2 ... O,5·U2·12f26L e imponiendo la condición de que 2'12 :: lb'Ured/U2 se obtiene una longitud de prolonsaci6n de sólo O,33'lb en vez del valor O.50·lb que predice [11]. El siguiente -y último corte- ha difuminado completamente ya las ondulaciones debidas a los anteriores. y estA descendiendo su tensi6n dende el origen, -sin remontarlas como sucede con anclpjes cortos, figura 16-, por lo que el problema de anclaje o adherencia ~~8 mucho menos severo.

t .... t,s.ll.

Problema del extremo

En los anterioree razonamientoe 8e ha obviado -dellberadalDente- la di6cusl6n en torno al extremo del últ1Jno corte, cuando Be anula la tracci6n total. e8 decir lo que sucede en 'torno al punto D de la figura 16. Con la opción de la figura U.a las tres barrae perdian tensión simultáneamente , por lo que, eiempre que las tenBione e tangenciales de adherencia resultantes de ello fuet:a soportables, ninguna de ellas deberla rebasar D. Con el despiece de la figura 16. dado que habia margen en la adherencia en la zona An, 88 podia abreviar r'pidamente lae teneiones de la barra 3, dando lugar a que la lons;itud de esta armadura fuera menor. Pero ello conlleva que en la zona Be la pérdida de tensión sea ~á6 fuerte: en el miE~o intervalo 8e baja O,5'f, en vez d e s6lo O,33·f •. La constatación de que la longitud de anclaje de esa segunda armadura 8e pueda r ealizar en menos longitud que 6L indica que aún se pueden soportar tensiones de a dherencia tan elevadas, Pero en la zona eD se pierde tensión a triple velocidad que en la AB. pudiéndose llegar a valores insoportables de adherencia.

~Il

•

Una comprobación de tensi6n tangencial de adherencia en eete último tramo es Bimple mente que Bilb es menor que OL se puede, a partir del punto D, alcanzar la t e nsión f . antes de "C. O lo que e6 lo mismo, que el número y diámetro de lae armaduras que llegan al punto D define una l e y de crecimiente de tendones soportadas por la t en sión segura de adherencia. Si ee opta por un despiece e n el que" en e l extremo es lb mayor que 6L, el último cor te debe rebasar e l punto D. para eliminar pendiente. Pero de a cuerdo con el principio de equilibrio, -por el que la reeultante de lae tensiones debe n dar aY8ctamenttt la tracci6n en la secc16n-, ello es imposible. La eoluc1ón ee que lo que tienen que dar resultante nula Bo n las t e nsiones d e le. secc1ón, no 1aB de las a rmadur as. Según se veia en e l corte c - c de la fIsura 13, puede haber r eeultante nula a base de tracciones y compresionee BimultáneaB; el exce so de tracci6n de l a armadura s obre la de la viga es compresi6n (Jo para e l . hornrl8ón. Por hoto 81 lb es mayor qu e 6L basta prolongar l a última armadura una longitud, -que sl tiene caracterlsticas propiam e nte de ancl a Je -. de valor: "

Para controlar estas tensiones basta d.ieponer ha s ta el extremo de momento nulo una fra c c16n de la armadura total. tal qu e la tensión de adherencia media sea inferior a ' la que, también en prome dio, se pu(:de desarrollar en un anclaje. De modo slmUar a como se h acia en el apar tado de adherencia, para una viga apoyada de carga q Y luz L, llevando hllsta el extremo la arlDadura de una fracción kl del morrlento máximo de vano , la r esis tencia a momento viene definida por k 1 'qL"/6z ~ f. -nTl¡6l/4, y l a de no rebasar la resistencia media del anclaje, f ., por q L/2z < f.·nn¡6, de l o que, teniendo en c uenta que, precisament e por definición de a nclaje , el cocie nte de los dos s egundos miembros ee 'lb. queda: [ lJ 1

En una pieza extrema en continuidad, como la de la figura 19; si se lleva hasta el extrema apoyado la ar madura para una fracción k z del mom ento qLI/14, como el cortante es de l . orde n de O,38 oq L, l a expresión [12] se traneforma en:

[ 14

[ 12 1 que para lb = 1.4 6L da lugar a un anclaje 1 1 =: D,3-lb' fiero para valoree l b muy superiores a 6L el problem a admite o tro lDatiz. Aunque l ocalmen te siempre queda un residuo con pendiente excesiva, Ilobalmente puede ser Boportable. I!:n realidad. según se vela en l a fisura 13, -y se ha venido dibuJando-, e n la longitud de anclaje la tensi6n no desciende uniformemente. Si lo que importa es la pendiente D'ledia. por ejemplo. según la figura 18.c, para una l ongitud de anclaje lb = 20L, en la armadura 1 la tene16n debe descender de O,62·f. en el punto e a cero en el extremo D, lo que exige un deearrollo de O.62olb y por tanto un anclaje de sólo O,12 olb fr e nte a los O,5 0·l b que predice [12]. Y' fi ara lb = 2,5-0L la tensi6n en e seria sólo de D,50of. lo que lle va a 11 = O,S'lb - OL = O,lOolb. in "último t6rmino para una lOI\8Ltud d e anclaje tan grande calDo OLr, v6aee f1sura 14.a, tiene Que reeultar de nu ev o 1, = O, es de c.1r que no ee necesita anclar l a última armadura. 0

Pero en rigor , a un incluBo cuando lb sea menor Que Ot, s1. hace falta prolongar la última barra tras del punto D. El motivo ee"que , de aCuerdo con la forlla de l a gr'flca de tensLones de la figur a 13, en el extremo de toda armadura, betae deben terllÚnar con pendiente nula. Como todae lae gráficas de l a s fisuras 16, 11 y lB terDlinan con una pendiente apreciable, en la r ealidad, para respetar el tipo de pérdida de tensión soportable, ee preciso dar una longitud ligeramente mayor, anclando dichas teneiones en el hormigón . De acuerdo con la funci6n de pérdida de tensión de la f1.gura 13 y el p'rrato a nterior, una prolonsaci6n razonable para este caso eeria O,2 -lb. La incidenc ia de dicho anclaje aparece dibujado de puntos en las las figuras

WalB.

4.4 Armadura que debe llegar al extremo De los apartados anteriores se puede d e ducir Que la eetrategi a de dispone r a rmadura variable, en diferente s cortes de diferente longitud, aunque cubre e l momento, Ilultiplica notablemente la tendón de adherencia, que e n el últillO corte . el m6s l arlo, puede s1an1flcar valores insoportables.

En l a mislIla pie:;a continua, la ar llladura inferior de un tramo interior prolongada hasta el punto de IDO mento nulo debe cubrir una fra cción k, de l Ilomento qL'/24 en la zona que posee un cortante del orden de D,3 ·qL lo que permite concluir que:

[ 15 1 Para la armadura superior, l o s cAlculos deben ha cer ee para una fracción dellDolDen to qL'/12 con un cortante O,3·qL pero, c ontando con que la longitud real de a nclaje es un 40% superior a lb, s e lleg a a una expreol6n del mismo orden que la (14). Para un voladizo con carga uniforme. la. fr a cci6n ko del momento qL 2 /2 S6 produce a una distancia x d el extremo tal qua k o'qL'/2 ::: qx"/2 lo qu e

tltrucwm linO

24 lleva a qu e x = L °.(ko' Tomar para el cortante el valor medio en el intervalo es a1&o inseguro; un valor algo más prudente es 0.75·qL.(k o . La expresión (12), teniendo en cuenta que el anclaje es asimislllo un 40% superlor de lo que indica lb, queda: ( 16 1 La formulación (13) a (16) permite decidir rápidamente si lb superará a tiL. cusndo, para el dlálletro elegido el valor k 88 aproxime a la unidad. Asimisllo para un diámetro de armadura dado. da la pista de en cuántos cortes e8 razonable descomponer la ar~adura, ya que cada uno debiera 8uponer una frscción del orden de k. Las expree:ionee [13] a (16] sirven también para decidir el diámetro adecuado para una luz dada. Al aumentar el diámetro de la8 armaduras aumenta eu longitud de anclaje y ee preciso llevar una mayor fracci6n hasta el extremo. Cuanto mayor sea la longitud de anclaje, véaee figura 16, más desarrollo tienen la6 armadura" y mayor volumen de acero e8 necesario para cubrir el diagrama de momentos, aunque a cambio el costo de montaje ee menor. Un pacto razonable es poder descomponer la armadura en dos, tres o cuatro cartee, de msnera que llegue hlleta el extremo entre un 25% y un 50" del total. En la tabla 3 aparece tabulado el valor de Iae expresiones (13] a (161 suprimiendo los casos en los que k. ) 1, para un anclaje como el definido por ElI-88, véass tabla 2, (en rigor el valor de tabla 3 es la fracción de momento, pero en primera aproximaci6n se puede suponer igual a la de arlladura).

T• .,I . s. ' .. a ce l ó" 4. _r•• 4~ ... _ p .. oloo.... b •• t. Lu.

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ApoJ'o int.rlor [ IS) 5, •

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11 •

54.

10 , 0

., punto 4• •o.onto

En realidad el fenómeno de anclaje en el horll\lg6n existe en toda zona d e transferencia de tensión de una barra a otra. Lo.6 tendones tanaenciales que salen de una barra dadora, no pueden equ1llbrarse. véase figura 20. dir e c tamente y en la misma f¡ec8w~~n 1~6 opuestas de la bo.rra receptora. situada a una distancia en e. El estarlo d e tensión tangencial resultante en el hormigón. produce, comQ ee veia ante6. un estado diagonal de tracci6n y compresión, para el que el hormigón es especialmente sensible. La transferencia se produce obUcuamente. con un retraso del mismo orden que e. Ello significa que la resultante de tensionee de la6 armaduras no es exact:.Mlente igual 8. la tracción. sino que la supera levemente, porque el"! la D'lisma sec ción hay ligeras compresiones del hormig6n: lao componentes longitudinales de la tensi6n oblicua de traneferencia en planta. . Este fenómeno tiene lae mismas implicacionee que las anteriormente vistas para el cortante. Por un lado significa que la8 tensiones de las armaduras se desplazan del lado desfavorable una magnitud del mismo orden que c. En vigas de descuelgue de ancho pequef'ío, eeta magnitud ee centlmétrica. y puede despreciarse. En vigas planas el valor de e corresponde al anc ho total en que se produce transferencia de tensi6n. Este valor es de ordinario no mayor de la mitad del ancho total de la zona armada, ver figura 20. '

n~lo

.'01.4110 [11)

" .u " 1, ,

IIpo,.o •• tr • • ., "

ti •

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"..

{14 }

10. O 'U

Como puede observares, el diámetro _25 ee cad imposible de usar, ya que obliga a llevar toda la armadura hasta el punto de momento nulo y aun a anclarla 11168 allá; e1ellpre hay una solución 116. aju.tada de acero con diámetro. inferioree. Incluso el diámetro _20 ee a610 eficaz para luces importante •• del orden de 10 metroe en adelante. 5iae pretende descomponer la arlladura e n doe o 1D6. cortee, lo recomendable es _12 en general, y pl16 8610 si 8e superan 108 1 m de luz. Como se verá 11'8 adelante existen otra.s limitaciones adlcionals. para la ut.illz;aci6n de diámetrolS fuertes.

4.5 Deoplnzam1ento del anclaje

.... ".••.. . ., ..."." . ,"..., ,......". .... . ". .. "

Por otro lado, la transferencia de tensión, de modo similar a lo Que suce dia en cortante, implica tracción perpendicular a las armaduras, esta vez en el plano armado . En las vigas de descue18ue, en las %Ona8 de 1D0mentos positivos, ee ocupan de ello las partea horizontales de 108 estribos. Y como laa bielas o codales de hornds6n S8 forman en torno a 45-, ee recomendable, a pesar del pequeño valor de eata tracci6n, que 108 estribos se dispensan a intervalos dal orden de magnitud del ancho inferior de la viga. En la8 zona e de lIIomentos negativos, el confinamiento de la capa superior de hormig6n del forjado soportado por la visa. perD'llte prescindir de las partes horizontales de estribos, aunque éatoa siempre result.an

\ 11

uh I.nl

at1lodo

recomendables, sobre todo en 18S viB;as extremas donde puede darse un empuje no compensado. [Si la viga eetá invertida. soportando el forJado co18ado, 108 razonamientos 80n asimismo inversos). En 1a8 vigas planaa ambas carae eatán confJnadae, por lo que e n rigor no aparecen tales tracciones transversales, salvo en l a s vigas extremas, al borde de huecos, etc. En todo caso las armaduras transversales de forjado. o las mallas dispuestas en la capa superior, cumplen el efecto de soportar las tracciones perpendiculares, siempre Que en los bordea librea ae anclen debidamente en el canto. Para r educir el desplezallÚento e en la armadura superior, siempre cabe la estrategia, -por otro l ado racollendable-, ds disponer las armaduras en torno a 106 puntos de ramae verticales de estribos-, Que 80n los puntos centrales de la resultante de tendones combinadas de tirante y codal en la eecci6n de barra. Con ello el valor e resulta ser del orden de la a mplitud ::$,!ona armada /J cada lado de l a linea de ee triboa. Si el ancho del ea importante, y el número de armaduras a eada lado del .hlllQ es srande .. lo recomendable ea disponer ralDaa verticalea adicionales. Es un tópico dispone r cad a 30 cm CalDo lnAx1mo una relDa vertical de estribo, eeperados hasta 15 cm de c ada lado de l a viga plana, lo que reduce el valor e a un máximo de 15 CID. (HA. adelante ae trata en detalle la organización en eección del estribo)

tltNCturu IIDO

zsmiento y la necesaria armadura horizontal transversal, prolongación de 106 estribos. para cubrir el fenómeno del estado tangencial en el ala, har.en no IIlUY recomendable eeta 801uc16n. I!:n forjados. no hay más rem edio que acudir a ella. cuando. por no coincidir 108 nervios a uno y otro lado de la vigs, o acometer oblicuamente a ells , o por neceeldsd de una gran armsdura negativa, haya que disponer una armadura un1!orm~mente distribuida en planta. El caso más importante del segundo aspecto, el de armadurs tran sve rsal en el plano de la armadura, ea la del solapa. Cuando, por exigencias del d espiece, o la excesiva longltud - de la viga, sea preciso descomponer una armadura e n l ongitud, h ay que solapar ambas a -<:a61- plena tracción. en la forma insinuada en la figura 15.a, En eeoe caS 08 ee tan grande la trans ferencia de tensión. que se necesita eetribaje tupido no sólo en la misma zona de solapo sino además. de bido al retr~so del anclaje, en sue proximidadee:. En v:!gaa de edificación ee infrecuente tener que acudir al solapo, e inclue:o, habida cuenta de que lb no eG muy diferente a 6L, ni siquiera las zonas de transferencia estAn muy maroadas, por lo que d.lchas teneioneG son lIIoderadaa y muy distribuidas. y .. las r eglaG generales de buena práctica suelen cubrir este fenómeno. que · puede. en general, despreciarse.

4.6

Valores de prolongaci6n

De acuerdo con lo razonado en apar tados anteriores, para vigas con armadura Bobre el nervio. ea preciso prever una prolongación d e cada una algo Ináe allá del punto teórico donde dejarla de eer necesaria. De acuerdo con lo formulaci6n (11) para cortes intermedios, la (12) corregida para el primero, considerando loa matices indicados para cuando la longitud de anclaje ea mayor Que la distancia te6rica entre corte s 5 • y teniendo en cuenta la necesaria prolongación final de anclaje en el corte más largo. dicha prolongación toroa los valores recogidos en la. tabla 4. El número de cartee iguales de dicha tabla se reller e al caso de gráfica de capacidad mecánica con decremento lineal. Para los ca60S hsbituales. el descenso en momentos negativo8 e8 en general algo cóncav o. y para momento a positivos clarámente convexo, por lo que el valor de 6L es difer en tei en cada corte, véase figura 35.

La conclueión ea que, por deaplazallliento del anclaje, habría que considerar cautelarmente, en toda armadura longituclinal, una prolongación adicional del orden del valor 8atimado de e, y , en la zona de transferencia de tendón de una armadura a otra, cuidar de la exiatencia de ramas horizontales de es tribo, a tando todaa eliaa. El caeo nás importante de prolongación por anclaje ee el de vigas en T. en laa que, para la tracción superior, ae diaponen armaduras en las alas. En r~or aon incluao las tendones de adherencia la8 que deben llegar a las arnaduras a través del ala . por lo que, bien visto como el propio desplazamiento de cortante, como por el del anclaje, a éstas armadur as lee corresponde un desplazamiento adicional de b .. siendo b, la distancia en planta. de la armadura al nervio _As próximo. La reperCuSión de este despla-

51 la longitud de anclaje es superior a la separaci6n entre cortes, es aconsejable Juntar dos o m'e barras en un sólo corte, bajando drástic amente la longitud de anclaje relativa a dicha separación. pudiendo eervlr la regla anterior. En todo C8S0 pue de observarse que, aun sin esa eetratesia. una prolongación de la longitud de anclaje completa, pero deede el punto en que com.1enza a dejar de necesitarse teóricamente la armadura de dicho corte, ee generalmente s eguro.

S HOflllal111"l\l. 10' .. anual •• par.c.n 4 ••• ulor' ,a r

~~~fi ;~~O 4~ :~~\~J~~.ltr.

lo .

ca,o, en lo, que l a

·,'o;Jn' ::;arci\un" ~:l 4¡:cl~.~r:: "q::l :~.::~:=~ l ~~~e 1Jn~!!;~ 4e ap licaeion l1Jnit ., 40, p.fO . n 111040 a l,uno '" qUII no •• pueda r ",o }vllf el problema cuan40 1 •• 101\(ltu4e. 4 . a nclaj e 'on r . l.tiv a",e nte ,"ayofe • . t. 1fI ... . con lontitud • • 4e . nelaJe 4 . 1 or4"n 4. &1'1' lIIi • .,o. "lInu.le. pllrmiten r •• olverlo con t04 a. l •• ba rra . 4a la lII i .rfla lon l!it ud, r ... lll'ndo,. a l . eOJnprob.ciOn cllll. .1 CI 41 adhlr.ncia, per o . in tr.t ar 1 • • • ituacion •• int.r ~a dial e ntrl a~bo. C"OI, lo. 41 la ti , ur a l •.

"0.

Irwdo

U\rv<:\UUl \lIIO

Tabla 4. Loné'itu.dell 4e proloné'aclOa

'tace IOn ancla4e RlIlaclOn lb I 61.

l/a

l/'

1/'

n' cort ••

5.1 Ley no plana de deformaciones

ltllal ••

0,00

0 , 20 0,20

O,"

0,25 0,2.1

O,:)) 0,'5

0,'1 O,:U 0,40 O, . ,

0.50 1 ,00

0,20

O,ZI

0,20

0,:):1

0,.0

1.50

0,20

0,25 0,30

0,30 0,40 O•• "

0.40

2,00

O,"

0 , 20 0 , 20

0,)5

0,20

0,40

0,20 0,20 0,20 0,20

0,25

0 ,30

0.40

0,30 0 , 35 0,50

0,40

0,50

o,ao

',00

EL NODO

lIS

0,20 0,'0

O,Z$ 0,21'

O,"

0,50 0,40 0,41'

O,'"

0,40 0.41 O." 2

El postulado de la ley plana de · deformaciones es obUgado en piezas con largo prepondorante, en 1116 que la 8cumulsc1.6n de una de!o rmo.c16n no plana conduce a problemas irresolubles para dibujarla. Sin embnrgo TlO ea una ley obligada cerca de 108 extremos ni en vigas cortas, en lae que no se

0,4"

0,47

da ese problema de acumulación. En rigor la incompatibilidad sin ley plana sólo se produce mientras el momento Bea del mismo signo, por lo que dicha ley se considera cierta para una relación de luz entre puntos de momento nulo y canto o altura de la pieza superior a 2 o 2,5.

O,"

0 , 50

o,n

0,50

Para piezas más cortas, y en todo caso en un intervalo del orden de uno o dos cantos alrededor de 108 extremoB, apoyos o nudos en continuidad, acometida de cargas puntuales, o cambios bruscos de secci6n, la ley deja de ser vállda. Y con ello la grAfiea <le momentoe flectores deja de ser representativa de la de tracciones me~da en capacidad mecánica de lito armadura longitudinal. El diagrama de Ilsta puede seguirse obteniendo del de momentos tras una manipulación que · se puede denominar redondeo. Para entenderlo, e igual que se hacia para el desplazamiento, es conveniente analizar los apOYOB de celodas siroples y mUltiple,e'.

0,111

Lon,ltu4 oh p¡;olon,aalOn li/1b

Puede COMprobarse que, en ¡enera!, al el corte menor ae prolonga el valor lb~ln deade el punto en que acaba de eer neceeario y el valor lb desde el que comenra, 8e cubre la práctioa totalidad de loe caeoe. Tosnando corno corte la fracción de barras qUe debe llegar al extrelDo eegún la tabla 3, generalmente ee sufiolenta una prolongación da valor O.3·lb en todos los · cartea; sólo d el número de cortes es muy elevado ea preciao llegar a O,S·lb en loe mayores, pero como esa sólo es poe1ble si el diámetro de la arlDadura ea muy paqueHo. el error de tomar O.3·lb no ea tampoco apreciable. También puede comprobarse que, mientras lb no supere OLt, urta interpolación con una curva del mislDO tipo que la de capacidad mecánica, entre el valor del párrafo anterior para el corte menor y O,2 'lb para el mayor, suminietra una muy buena aproximación para loa intermedios. A l a prolongación ante rior hay q ue a fi adir en todo s 1011 casos la distancia - en ~- de la arsnadura y la ralDa vertical de estribo roás próx1lOa. ~ La figura 35 presenta algunos eJellploa resualtoe, incluyendo lo que influye el estudio en detalle del nudo de apoyo de la pieza, que se realiza en el siguiente apartado.

5.2 Apoyo extremo En una celoda si.Jtlple. de tirantea verUcalee y codales oblicuos a 45-, ea obllgado eituar loe apoyos bllJo nudoe. En un apoyo simple, véase figura 22, el tirante sobre el apoyo no trabaja, o lo hace 8ólo para soportar. con compresión, la casual carga 80bre el mismo, que puede despreciarse; as1Jn1smo sobra el" primer tramo de cordón superior. El comportall'liento del extremo 8e osemeja a una pieza de altura variable con la ley del momento, y por tanto con eefuerzoe constantes en los cordones, comportándose COmO tal el último codal oblicuo; el triá.ngulo 8uperior de la esquina sobra . ." . El diagrama de tracciones del cordón inferior, ae puede representar en forma eegura por el deeplazamiento, ya visto, de una fracción de z. En el extremo, la prolongación de la curva desplazada no tiene sentido. pero si la tracción 0 0 que existe en el extremo. Dicho valor ee, evidentemente, igual al cortante. Si se dispone una celoda múltiple, la condición de apoyo en nudo de todas las componentes, obliga a que 108 últimoa m6dulos de cada una sean más pequeHo8, dando lugar en la 6uperpoe1c1ón a un esquema de codales radialee desde -cad-la vertical haata la inclinación tipo, supuesta de 45 -. Aunque el desplazamiento es menor. sigue existiendo hasta el extremo una , La dlelrlbueldn da tenelonee en torno al nudo no tlane que eo~port.rea neeeearlelaante eOlllo una eeloa'a pradatar.tn.4., ya qua aon poelble. lIluch.a eoluelon • • • • 'endo llapol lbl_ 4atar~lnar la correcta Iln l~pon_f eoharllncl. ,aometrlea. Paro torno la .0IueIOn. e •• la qua ee •• 4.ba .atlefatar el aquillbrio, dabe torreepon4er a al,una eeloela o eOlllblnetlOn 4. eeloelae, re qua 'etee reprelentan 1, 101uciOn •• neral 4e1 equlllbrlo In al plano.

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tracción no nula, que, para dOB celoB1a8 con tir~nte8 cada z/2 es de valor O,75 ·Vlllu . En el limite, con múltiples familias, el esquema de codales radiales , corr e spondiente a tirantes muy tupidos, define un desplazamiento COII'IO el promedio, y por tanto una tracci6n 00 ': Vlllu /2.,

V1/1Zl/

<F-A

lv.~

tllNduru 00

En este caeo e l equll1brio es contra la base de loe coda les. a 10 6 que equilibra 6U componente horizontal, dejando la vertical de la reacci6n. S6lo dobl ando hacia arriba lae armaduras se soluciona correctamente el extremo de b viga. Doblarla hacia abajo . hacia 106 lados o incluso cerr6ndola c ons igo misma en un lazo, no es efectivo , y el d e sequilibrio re Gul t ante puede oC8&lo nar que la arm a dura no e ntre en tracci6n y l a pi eza r o mpa po r in s ufic iente resistencia - se dice que ha fallado el ancla j e -o Un laz.o o anclaje recto puede funcionar 51 está comple mentad o c on arm aduras transversales verticales muy tupidas.

~A.

riCura Z3. Apo,o . '. pl. d. c.lo.'a

En la práctica, aunque en acero pudiera disponerse un apoyo muy peQu ef'lo, las tensiones seguras en hormis:6n, mucho más reducidas, obligan a un apoyo de ancho finito, a. En eee C8S0 cada codal del patr6n radial puede arranc ar de un punto diferente. pero la., oonclU8iones aon la., mielOa.,: en la misma car a del apoyo exi.,te una tracci6n inferior 00 procedente del Ilomento fl ec t o r en la cara, de valor Vl l u 'a/2, mAs el efecto del desplazamiento. cubierto por el valor seguro V.... ·z. aunque para eelosia múltiple puede bajar a la mitad de eee valor. En todos 108 caeo.,. en hormi&6n arlDado. debe llegar al extremo una armadura con capacidad Oo. y debe perderla a velocidad controlada por ancaJe. Una rnaner8 de empilar la cepacidad de anclaje eln ech8r Dlano de las tensiones de adherencia 8S disponer un artilugio como el de 18 figura 23 . Pero lo usual es tener que /Soportarlo por adherencia. Dicho efecto está mejorado por el atenazado que supone la compresi6n da la reacci6n y el codal oblicuo, y algunas propuestas. como el euroc6digo. permiten deducir que 1815 tensiones pueden ser hasta 1.4 veces superiores a lo habitual. Pero en seneral el ancho del apoyo ea insuficiente para suponer que 18S t e neionee 1315 anulan por eu cuenta en a nclaje. y ea preciso doblar la armadura y continuarla haata que ancle totalmente. El anclaje no puede hacerse en cualquier dirección. De acuerdo con lo dicho III'S arriba. si una barra tiene tensiones. ee que son neceeariaa por equilibrio, y si lae tiene que pe rder. lOe porque ee equillbra con algo: s610 ai ee dispone para que las pierda transfiriéndolas a donde debe hacerlo , o contra lo que debe equilibrarae. ea válida la soluci6n.

ri,ura 33. Ancl a Ja en . po,o

a'~ple

En edificaci6n los apoyos simple s s610 s e dan en extre mo de f or ja da o o vigas de última planta. cuando el soporte ee un muro de f á brica.

5.3 Apoyo en continuidad El apoyo en continuidad simétrica de una celosia eimple de tirantes verticales y codalea oblic uos. ex1.ge cambiar la orientación de los miSD'l O S al pas a r por el a poyo. El cálc ulo de lae tracciones e n 108 cordone s c onduc e al ya vi s to diagrall'la desplazado a partir de los momentos. Aunque para 45 - sea eeguro un desplazamiento de valor z. es igualmente s eguro trunc ar el deeplazamlento eee valor antes de l apoyo: no tiene sentido prolong arlo, aumentando innecesariamente l a capacidad mecánica sobre el apoyo por encima de lo que predice el momento flector, véase figura 24.. Si se supe rponen varias celoslae. ee produce de nu ev o el esquema radial en abanico. de manera que las envolvente e segur a 8 de alguna de ellas no 8610 son truncamientos. horizontales sobr e el apoyo, sino t a mbién a c haflanados de menoe pendiente en los puntos inmediatos. Para el conjunto, el efecto es el desplazamiento reducido, con el truncamie nto superio r. Lo mismo que en el caso anterior, en hormi8ón es lóg ico que no pueda despreciarse el ancho del apoyo, por lo que el esquema r a dial en abanico de los codales oblicuos ee convergente en un punto bajo el apoyo. El efecto del 'ngulo cr eciente de las biela e. '6egún 6e aproximan al nudo. es reducir gradualmente el desplazamiento. -como si 10B estribos ee dispusieran con

ulruchlru lUlO

densidad creciente, aunque fisicamente si8uen estando en posiciones dlscretas-, hasta valer cero obviamente en la cara del apoyo. Las cargas situadas E:obre el ancho del apoyo, siguen haciendo crecer, ya muy l entamente , las tracciones hasta el eje mismo del apoyo.

de momentos - ya desplazada-o en la ámplltud de 2'z a cada lado del apoyo -man tenie ndo cae1 exactamente e l valor del momento 6in desplazamiento en

El modelo afinado de desplazamiento ea pues el de redondear la gráfica

la propia cara del m1smo-. y considerar que 18e cargas que entran por arriba dentro de eBe lntervdo e610 exiaen con6iderarse COII"IO compon~nte6 de cortante en razón inversa de 6U eituaci6n: total sl eetlm fuera o en la frontera de eea zo~a , nula sl está en. l a cara o interior del apoyo. Como es . infrecuente que en es~ zona redondeada de transici6n se produzcan cortes de armadura longitudinal, exiet.e una simplificaci6n del lado seguro, que es la de truncar el diagrama de momentos er) el valor en la cara del apoyo,' dando lugar ' a un diagrama horizontal por cao punto. Con eata Bimpl:i1icaci6n , el cortante máximo se mide a z de la cara del apoyo, como si todas las cargas exterioreo a él computaran al 100% y las interiores nada. Evidentemente se trata de una s1mpl1ficaci6n que no es adecuada sl existen cargas fuertes precisamente en esa zona . (

La zona de l'edondt!() o dis minución del desplazamiento abarca del orden de 2'z a cada lado del apoyo. La gráfica de tracci6n en l a armadura O. sufre un a inflexi6n a eea distancia pasando a dieminuir 8U velocidad de crecimiento haata anularla en el eje. No podia ser de otro modo, ya que, debido a la aimetria , ss obligado que el crecimiento de la tend6.n eobre el eje sea nulo. El máximo de pendiente, aproximadamsnta a 2·% de la cara del apoyo, indica además que el cortante efectivo que afecta a loo estribos es máximo en dicho pun t.o .

~~~~~~~~~~~F9~~~~~1 l

/7··· ·····- ... .........:., .'

-------1 , I

r l.u~a

26.

T~unc . . iento

t ~.ccionee

u El truncamiento a caras de apoyo ee relativamente lI'Ienos para la cuantia máxima. Si el momento toáximo es Me cortante al eje qL12, en el ancho a/2 el momento dis minuye Que, por ejemplo, para a ::; L/20 sl&nifica una reducción de sea un 15% del l1IolDento ' He.

importante, al '" qL'"/12, y el 6H = qLa/4, lo 6H ::; QV"/80, o

Si el apoyo no es totalmente simétrico, los redondeos a alllbo6 ladoe son, en principio, diferentes, debiendo enlazarse con una curva, reflejo de la distorsión del abanico de bielas para dar cuenta de la asimetria. El giro sobre el apoyo , acentúa la reacción en el lado en que preponderan los mame n-tos, corriendo el abanico 'de bielas, centrando el punto de tracción máxima y reduciendo enormemente el ancho de zona redondeada, que pasa a ser casi sólo de 2'z a ambos lados de una cara del apoyo . Este proceso de aeimetria es todavla más marcado cuando 8e trata de un nudo rigido.

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5.4

Nudo rlgido

Si la vign en continuidad lo es además con un soporte, la situaci6n no cambLa, por ejemplo, en simetria. La distribuci6n de~ abanico de bielas de la viga, continúa en el soporte COlllO una gavilla vertical. La máxima tensión se da eobre el eje del soporte. En la cara, l a capacidad mecánica de tracción se obtiene del momento 1'lector sin desplazar, y en ellntervalo lIIáximo de 2'z se alcanza el desplazamiento tipo de la tabla 1. El cortante máximo a efectos de cálculo de estribos corr esponde al de l a sección a z de la cara del soporte, -aunque, a efecto s de aplastamiento de bielas oblicuas, corresponde, obviamente, al de la propia cara del,soporte-.

utrvcluru

l1li0

Este modelo es válido mientras el momento en el soporte sea pequeño, ya que la. resultante de compresi6n y momento es una compreei6n excentrica, como la que se produce en un apoyo,· por lo que e l equilibrio de tracciones se hace s610 entre 18S vigas. mediant., la armadura pae>8.nte. Si el momento es superior. una cara del soporte puede entrar en tracciÓn, dE:: forma que alguna de las armaduras de la v18a dominante debe anclara/! contra el soporte . Según ee indicaba antes, las armaduras deben d.isponert:e para producir el equilibrio, por lo que no puede anclar se la armadura excedente en forma pasante, ni doblada hacia arriba, ni hacia 106 lados , sino justamente contra el soporte. donde continúan las tracciones.

Para situaciones no simétricas, el soporte colabora a la eolicitación de momento, que result a diferente en las dos caras de la viga. Con ello el redondeo y ls continuidad de tracciones, -si la armadura ' de vigas es pasante_, obliga a r eba j ar las del momento s uperior y aumentar las del inferior, movUndose de aitio el punto de tracci6n máxima, el centro de simetría del abanico de bielas. Aunque desde el punto de vista de la arml\dura máx.1ml\ , e inclu80 de la longitud de cortes, eate aspecto suele ser. poco trascendente, aporta dsede el punto de vista cualitativo y de comprene16n del funclonamento del nudo. ,

Estas consideraciones sirven asimismo para evaluar la colaboraclón a cortante de ulla 80la barra doblada, dado que en l a fórmula aparece e l intervalo entre dos consecutivas. Para la primera de ellas -sobre todo si sólo hay una- e l intervalo s de la f9rmula del cortante es un valor llgeramente superior a la distancia a la cara del apoyo. .

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~~ i~rl n~fi{n r l ll!lI t a 2&. Nudo t1gldo no .1.,l!lrlco

En nudos de l a última planta de un edificio es poalble que el mo mento del soporte alcance, con una gran deeprop·orción de luces·de vigas, hasta O,a·qLOI/12 , pero s610 sl la,compresión es del orden de O,15'qL, lo que produce una excentricidad de L/l2, generalmente mayor q ue la mitad del ancho del soporte. . .'

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•

.l.

En e l caso de una planta intermedia, aunque el momento sea importante, l a compresión 8S mayor, y la situación ae resuelve, en l a practica totalidad de 108 casos. por c ompresi6n excéntrica en ambos tralllos de soporte: superior e inferior. En e l ejemplo del párrafo anterior, en la penúltima planta , la excentricidad total será sólo de L/24, posiblemente inferior al lado del &oporte , y en la sucesiva L/36, inapreciable. El problema entonces se puede asimilar a una viga pasante con una carga puntual muy próxima a la cara del apoyo . En ese caso la carga no incide en el cortante, y el diagrallla de tracción superior resulta muy alterado, debiéndOf:9 anclar las a rma duras en prolongación recta . Pero este caso también es posible verlo como dos vigas unidas a un soporte con una cara traccionada, en cuyo caso las armaduras deben doblars e sobre él, aunque la tracción está sobradllmente compensada con la compresi6n superior. Sobre todo en vigas planss esta última solución no es afortunada, al producir gran disparidad y cambio brusco de tensiones .

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El caso limite de la asimetría de un nudo de viga y soporte ea, evidentemente el de nudo extremo.

tltrvcturn

Nudo extremo

51 la viga acomete al soporte por un s610 lado. la asimetrla es completa, y no hay posibilidad. evidentemente, de prolongaci6n pasante de armadura de la visa. También pueden distinguirse ahora los dos caeos del apartado anterior, según la excentricidad o trabajo del soporte. Si, debido a la relativa pequef'ia magnitud del momento respecto a la compresión, para un ancho dado, el, o los, soportes están en compresión excéntric a, el problema es el de una viga compeneada con' un pequeño voladlzo . Es el C 8S0 habituel de una planta intermedia. véase figura 29.8.

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cómo.

En conclusión el anclaje se calcula como sigue: 8 partir de la tracción en la cara interior. U,. función del momento flector en eee punto, se puede perder tracción a no más velocidad que la que ,predice la longitud de anclaje, en la amplitud, l . u.p. comprimida por el soporte superior, llegando a Ue en la

. cara exterior. Considerando que tras un doblado de 90· existe una bonificación de 1.4 en la longitud de anclaje resultante. deberla verificarse que:

[ 17 1 considerando que lb,up. es 40X mayor que el valor bÁsico lb dado en l a tabla 2. Si no se cumple (1'1) las armaduras no pueden alcanzar su capacidad mecánica a tra~cl6n. En gen~ral, dado que 1.lIP puede ser muy bajo. y, s o bre todo, cuando se trate de brochales o acometida de forjados a vigas, en la8 que no hay carga superior, se puede' suponer del lado de la seguridad que llllp :: 0, por lo que la oomprobación de anclaje en este caBO se reduce Aque lver 2:; lb. En 'general la oapacidad de solapo o anclaje en los nudos eetá m4Y limitada por la altura total de la vig's , dado Que el fuete del s o porte está ya hOrlnigonado cuando ee presenta la armadura de la viga, por lo que la condición anterior lleva a h 2:; lb' Por ello con cantos inferiores a 40 cm no es fácil ut1l1...zar S616, y hasta' que el canto no alcanza 60 cm no es recomendable usar ~2,0 como armadura longitudinal en el extremo de vigas :

~~~~~~'tJ 1"

En eee caco, el diagrama de tracciones longitudinales de la viga tiene, de dentro a fuera, 106 siguientes tramos: la zona clásica ,de viga, con ley procedente de la de momentos desplazada; la zona de transición, redondeada, o con desplazamiento gradualmente decreciente hasta llegar a la cara del soporte , en la que es nulo, y zona interior del soporte. de .anclaje. A partir de la posición de laa reacciones de 108 tramo e de soporte inferior y superior, ce puede recomponer el d.1.agrama de tracciones en el interior del nudo, recultando con una gran pérdida de tensi6n en una pequeña longitud. A efectos prácticoe, la tracción U, debe anclar se tras la cara interior, llegando como pooo al extremo exterior, donde resta todavia una tracción U• . Debido al esquema de bielas involucradas, el anclaje, como euced!a en el apoyo simple. 8610 puede hacerse doblando las barras hacia abajo, adentro del nudo. Doblarlas hacia arriba, o hacia 108 lados, produce un empuje al vacio de lee bielas del nudo, y desequ.Wbrio. La presencia de laa barras 10ngitudlnslsB y estribos de los propios soportes puede conse-

gulr el confinamiento y eyltar dicho empuje. pl2ro en principio ee más coherente seguir transfiriendo las tensiones a otra a~rm8dura tracc1onada. que enviarlas a otro lado, y volverlas a traer a donde se necesitan sin sb.b~r

5.5

•

ritUI. 30. Solución

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Una manera alternativa de anclar la armadura de vi8a en un nudo extre,mo es disponerla en lazo alrededor del soporte, véase figura 30, Hientras la compresión del tramo 6uperior, ".up, sea del Ilismo orden que la tracci6n -suma de 188 de los dos tiros del lazo. 20-, no es de temer que falle el rozamiento por fricción, además de que el plano de fallo queda cosido por la armadura longitudinal del soporte. En general, para la planta penúltima de un edificio es N. u" :::1 qL/2 y, por motivos de flecha, cabe

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esperar que z ) L/30, por lo que 5610 se pueden soportar con lazo momento6 de ha6ta qL"'/60, muy pequeños. Para la planta antepenúltima, la compresi6n N. up se eleva a qL, y 106 mome ntos COIl lazo pueden ser de hasta qL"'/30, po r lo que cubren ya casi todaB las 601uc10nes habituales. La situaci6n es más . clara, si, como puede sUgeder en el soporte extremo superior, la gran excentricidad supone tra'ccianes en el pilar 1 . En eBe caBO el tipo de equilibrio es el mismo, s6lo que ahor~ hay tracciones verticales netas, y sl s e trata de armaduras diferentes a las de la viga, es preciso transf~rir por solapo e l valor Ue , véase figura 29, Aun en este caso , si el soporte e s metálico y el fuste llega a la cara superior de la viga, siempre será posible la solución de lazo si l a sección del soporte pue de resistir el momento del n udo. En r igor la limltaci6n de diám e tro de la arm a dura longitudinE.! en f unción de l a altur a d e l a viga s ólo ope r a cu an,do sea i mp o sible l a aolución e n lazo, -en planta última obviamente, y en ocaslone s l a penúltlma-, pero e s una r e gla alempre re comendable .

u lrucluru WIO

superior en la parte central del soporte, -o la aparición de tracciones en el centro, en el caso de la última planta-, el nudo interior se comporta como dos extremos adoeados, y la tracción en la armadura superior de la viga tien e espacio para perder tenei6n. a no más velocidad de lo que pernJi t e el anclaje, por supuesto. Con pilaree sohredimeneionados, este fenómeno ee da a partir de un ancho de soporte doble de la altura de la visa. Cuando se trata de soport ~ s punt).\atee rara vez este efecto pasa de una leve ondulación de la tracci6n, que no permite la"reducción de un cor t e de armaduras. En el caso de entrega de viga en una pantalla, ea probable qu e incluso llegue a darse la desapa r ici6n total de tracciones , aunque deban reapare cer de nuevo e n el extremo opuesto. Para eeto último e l apoyo debe ser realmente ancho; con arm a duras de 11116 cuyo anclaje en la parte superior exige 1, 4,5 4 CID, e s precis o.. que e l sopo r te apantallado supere 150 cm de ancho.

5.5

Pie zas d e gran can.to

Al aum e ntar l a altur a d e la viga mante niendo la luz, la o pe raci6n de desplazamiento aume nta l a proporci6n de acero de armadura l~nsitudinal destinada a esta cuestión, en principio s e cundaria, véase fig'ura 12, y además la d e redondeo supone una fr.acción ma yor de la luz, lo que desdibuja más y más la gráfica de capaci dad mecánic a hasta hace"r irreconocible la de momentoa original. Ea usual que la 'de momentos s e a c6ncava, mientras que e n vigas de gran altura la de capacidad mecánica s e a fu e rtem e nte convexa.

ri c u.r a 31. I llIpotr . . iento de v l ,a • • oport e a nc h o

p a nta ll a

5.6 NUrlOB anchoo En algunos casos, la amplitud 'del soport e posibilita anclar parte o la totalidad de la armadura en su int e rior. Cuando las proporciones del nudo. y la solicitación del soporte 80n tales que peraúte concentrar la compresión 1 tn re a li4 a 4 101 ~o~. nto . f Ul rt l1 e n . oport l ' ex tr e mo . , y . obre lodo en el di ~ltl~a plftnl a , no . on r .a l , • • Ino proc e den te. 4 , 1 ~ . todo d e I n ' ll . l . u aa do. LO I J101l'lf: nlo . d.el'en4 e n d i l a ri , id 'I, que . n •• to . c a. o • • • t a rl a l u e rt e mll nte COlloliclolla.d" por 11 propi a a rln. du ra d . l a vle;a y d l l l oport a . 6 1 le dil pone a n vl (a u n a a rJll a 4ur a a rll l lcl a hne nt a bl j l , dot a ndo a l l opo r t a d e un l c a p a cid a '" nl l l t e nt a • 1Il0JIIlt nto 1I ,a U ,lna nt . IIII YO r , 'la pu e d l a po l t l r a que no a p a. rec e rln lIloJlle nto • • uparlor al a lo . r,. ¡ .l lbl e • . Con e . te pl a nt elmi a nto .a puad a r e 4ucir a l -lncOm040- 1II0lllento e n , 1 v , rtlc I l up ati or d a l pO r tico c a. 1 todo 10 qU I l e qul a r. , . In qu e I p a r al c a n traccionl ' a n a l a opor ta ni probl l mal ln l olubl • • d , a rlll a do dl l Iludo.

' S, ur a )2 .

I nrluencl . a .

l a rel a ción l u s a a llu.r .

Cuando la luz e l!! muy corta, las operaciones de traslado y redondeo de la gráfica de lIlomentos -capacidad me cánica-, producen una degradación total, cuya situación limite se produce cuando todo lo que queda alrededor del apoyo ee s610 el a banico de bielas. En pie zas en forma de ménsula, tal situación se da con vu e lo s que no superan e l doble de la altura de la viga, y el caso tipico e s el de z apata s . Si a su vez e l a ncho del 6oport~ es a preciable, el truncamiento deshace a ún más ei cabe el diagrama. En estos casos en vez d e obtener l a tracci6n en la armadura a partir del momento flector, con un traslado complejo y un redondeo más complejo

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todavia, se puede proceder directamente por equilibrio de sección , conside-

rando que l a resultante de compresiones está en el vértice del abanico posible más eficaz. De acuerdo con lae notaciones de la figura 33, la tracción a una distancia x del extremo, vale, por equilibrio de momentos del trozo de abanico de bielas: O. ;; qx{L/ 2-x/2)!h' que no ee sino una parábola convexa cuyo máx.1.mo 8e 0 111 .. ;: qL-/6h', exactamente el que provendria de considerar el momento flector clásico y el brazo de palanca h',

Aunque en edificación no eE muy habitual, otro caGO t1pico de pieza de gran altura es la de ménsula corta: saliente para recibir la carga de una viga carrilera de puente grua. o de uria viga Prefabricada . En eso caso el diagrama de abanico queda reducido a una simple biela 'y t,irante, ambos a tensi6n constante. El anclaje de la armadura en extremo debe rodear la blela comprimida en un eequema invertido al visto en la figura 23 . El anclaje . contra el Eoporte puede eeguir ~l ~atr6il de las ' fisuras 29 o 30 . segun ~ea la compreEi6n super~or.

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L I Si la méneula o zapata tiene un vuelo superior a la altura, es posible que se produzca un comportamiento hlbrido, con un gran abanico de bielaa . central que da un diagrama convexo , una zona intermedia clásica cóncava, y. en el extremo una final lineal, dado que, en un modelo de celada , se puede prescindir de la esquina. EvidenteJlente e l punto de lOás inclinaci6n de la gráfica. donde seria preciso comprobar adherencia, e8 justamente al final del abanico. Que en zapatas de vuelo sensiblemente igual a la altura seria e l extremo, lo Que con tracción nula y de acuerdo con las conclusiones ya vistas para estoe casos, a conseja el doblado en patilla de las armaduras.

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ellNCLuril lUlO

Debido a que la exPlicaci6n del cOlnportam1.ento de 10G estrlb06 depende también de una 8simUaci6n a eelosia, se pueden hacer las mismas considerac i o nes que para las arllladura6 l ongitudinales. 51 el cálculo de un estribo no carre&ponde exactamente al valor del cart.ante en eS8 secci6n. el incremento ele puede ver como un despla;;anúento del diagrama, y la6 al teraciones cerca del nudo como un redondea

fiSTIUDADO

6.1 l'iecco1dad de estribos E':n general es buena práctica, -y los manl.,1a1es lo prese ntan co mo obllgado- ; disponer estribos a intervalos r egulares en toda pieza lineal, La analoBla de la celos1a también permite la in ter·preta.c;i1n~~ cálculo de los mismo s. En una pieza de altura constante y cortante '~e. si las bielas comprimidas oblicuas se forman a 45 ·, y 106 estribos están a intervalos .2:, evidentemente deben soportar una tracción de valor O :: V, Si están 8 intervalo mitad de z , S8 deben considerar dos celos1as entrecruzadsaj cada caloala hace frente a la mitad de la carga y cada estribo soporta por tanto una tracción U ;:;: Vn, Generalizando para otra separación cualquiera, la tracción en cada estribo e6 U :: Y's/z. Habitu almente ee expresa la nece sidad de tracción por unidad de longitud Ul ;:;: U/ s de' donde Ot ;:;: V/z. Los e stribos se deducen pues de un dias;rnma Y/z como la armadura longitudinal de uno M/z, siendo el primero la función derivada del eegundo. Disponer estribos más tupidos permite hacerlo con diámetros más pequeño a y por tanto eeta opci6n no afecta al total de acero que suponen. Sin embargo si el cortante e s variable , deben disponerss a intervalos diferentes; la mayor densidad de estribos cOI'reeponde al punto de cortante D'láximo, usualmente en el extre mo.

6.2 Desplazamiento por cuelgue Para 'Un conjunto discreto de cargas, coincidentes con 106 nudos de la

eclosia. como el de la figura 37 , el equilibrio de fuerzas verticales en un corte por un tirante vertical arroja como valor d e tracción para éste e l cortante ant.esrle la carga . Como la carga discreta r ep resenta la resultante de la distribuida a amboe l ados del nudo, se pusde concluir que la tracci6n en el tirante corrsl!lponde Bl valor del cortBnte J·e t..r"ssdo en .e ste CBelO z/2.

Si la separaci6n de los estdboB eo z/2, loo escalones del diagrama discreto de cargas son . mitad de los anteriores, y la tracción en los tirantes corresponde al cortante de la carga · distribuida retraEado z/4 . Si 108 estribos Bon rauy tupidos su tracción corresponde casi exactamente al cortante de BU misma secci6n.

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,obre.eCur •. !in l. practic • • , .1111' llena con tr.eelonell a 4 5 ·. •• Ut • (V - Vc )/.t., tiendo pllra .ec c ión e n T y al •• muy .. eU'''4.'

Sin embargo, por muy tupidos que sean, no dependen exactamente del cortante de la misma sección, de modo que eis mpre hay que adoptar por lo menos un ligero desplazamiento. La clave está en si la carga entra por arriba o por abajo. S1 en loe C8a08 anteriores la carga entra por abajo , la conclusión es que, para calcular los estribos o tirantes, hay que tomar el cortante desplazado la mitad del intervalo entre estribos; la mitad del canto es una cantidad segura eiempre. Si la carga entra por debajo, a la tracción correspondiente cortante de laa cargas supuestas encima de la viga, hay que afíadir tracción ocasionada por la transferencia de carga de abajo a arriba, decir el valor de l a carga; si él5ta 8S distribuida, el valor q·s,

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diferencia total entre la tracción con carga arriba y abajo es q's, y como la pendiente del diagrama de cortantes ee q, el desplazamiento total entre amboe caeos elS 0, eo decir un desplazamiento 8/2 si la carga acomete por ",baJo y 0/2 de retraeo si acomete por arriba. Si los eetriboe Ban muy tupidos y la carga entra por debajo, el de6plazamiento ee muy pequef\o, medido en términos de en qué sección próxima

hay que medir el co rtante para calcularloe. pero en términos aditivos es siempre igual: la carga a colgar, de valor q·s. La regla de calcular los ectribos con un cortante desplazado medio canto cubre la peor acometida de carga posible, la de por abajo. En ocasiones, sobre todo en caso de fuertes cargas localizadas, el problema se 6uele descomponer e n el cál c ulo de estribos como si la carga entrara por arriba -lo más favorable aHadlendo, intercal&ndo, o sumando en cuantla, los procedentes del cuelgue de la carga para la forma particular de acometida de ésta. En edificación la carga sobre lae viguetas del forjado acomete por arriba y no hay que considerar desplazamiento; la de las vigas procede generalmente de un forjado, entrando por bielas comprimidas oblicuas e n BU parte inferior, fuera de la cabeza comprimida de la viga, por debajo pues del punto más traccionedo del estribo, por lo que éste debe preverse para colgar toda la cargs, véase figura 3B. Si el forjado se organiza con celosla a 45- para soportar la totalidad de 8U cortante, S8 puede suponer que la carga no está colgada . Si la viga es de descuelgue, con mucha más altura que la del forjado. en la zona de moment08 positivos ee posible que la cabeza comprimida sea más profunda que el canto del forjado, y que la carga, aun col.sada, acometa en la zona de anclaje del estribo, por lo que no jncrementa su tensi6n. "

Pero excepto en estos dos raros caBOS, en vigas , la totalidad de la carga, -salvo la pequeña parte que entra directamente sin pasar por e l for jado- debe considerarse co18ada , debiendo calcular 106 estribos para ello o adoptar un desplazamiento del diaKrama de cortantes de medio intervalo, Inedie canto como valor aeguro. Una manera sencilla de cubrir _generoaamente_ este fenómeno es prolongar cada intervalo de estribos .. edio canto .á8 allá de donde ea te6ricamente necesario hacerlo . Como en

general. en edüicaci6n. la6 vigas se orgarúzan todo lo máG co n dQ6 deneidades de estribos, una fuerte en 108 extremos y una floja en el resto, y la cota de cambio debe redondearse a un valor discreto, este tema puede • . en general. obviaree. I

El desplazamiento del cortante afecta de la miEma manera a vigas planss y de deEcuelgue . Si los estribos pudieran calcularse para la tracci6n media en BU desarrollo, quizá se pudiera 'diatinguir los casos en los que ~a carga entra por encima y por debajo del punto medio, perteneciendo en generallaB vigas planss al segundo y las vigas de descuelgu e .1a primero. P~ro s110s eatribos se calculan para el "peor punto en altura, ambos tipos de vigas están en igualdad de co ndiciones debiendo sumarse lo s estribos para colgsr la carga, o desplazar la sráfica de cortantes s/2, vea6e figura 39. Aunque en gene r al la trascendencia de este desplazamiento es despreciable, en los casal!! de forjados que acometen fisicamente en la parte inferior de una viga de resalto, o en cargas puntuales que acometen" por brochal, conviene no olvidar este tema. "

6.3

Estribado máximo

Aunque el estribado más tupido corresponda al cortante máximo, el hecho de que éste 8e de en e l extremo, ' donde hay redondeo, es obligado responder a d6nde 6S máximo y exactamente cuá nto es BU val o r . El comportamiento combinado de tirantes y bielas oblicuas es que la carga asciende por el tirante, 8e suma" a la siguiente fracción de carga, desciende oblicua por la biela avanzando una distancia del orden de z, vuelve a subir por els1suiente tirante, etc. Si exif;ten tiranteE o eetribos a intervalos menore8 de z, ,funciorian, variae celosias entrecruzadas. Al llegar a las proximidades del apoyo, '6n cuanto puede dars e una biela directa a él, no hay n ecesidad del siguiente ~stribo de la celocla. Por ello, la carga que Ge encuentra dentro de la distancia z de" la cara del apoyo, entra directanlente, interesando 0610 a 14 armadura lonsitudlnal en l a forma ya vista anteriormente. " "

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IIUIIo

En el extremo de plezas. la función de cortante et'ectivo V/z para el cálculo de estribos resulta puee inexistente en una amplitud z a cada lado del apoyo. Dicha ley, véase figura 39~, corresponde a la derivada del diagrnma" truncado" de momentoc discutido en figura 26, gn rigor la ley de H P.G una curva Gobre el apoyo, debido a que éste supone una reacci6n distribuida, y consisuientemente la de cortantee no Bufre un salto brusco BinO

gradual. En un apoyo extremo la función cortante -para el cálculo de

eBtrlboR, es decir

V/7~

baja a cero en un intervalo que comienza a una

distancia z de la cara del apoyo. En un apoyo en continuidad, pasa por cero sradualmente en un intervalo de una amplitud del orden de z a cada lado del apoyo,

En una consideraci6n más afinada, el ángulo brusco del cortante V/z e s tá incluso suavizado, véase figura 40, y el cortante efectivo es llgerame nte inferior, resultando la derivada de la curva suave desplazada de 1Il0mentos y no de la simplemente truncada, Aunque para momento esta sofisticaci6n no influye en la cuantia máxima de armadura longitudinal ni en 8U desarrollo, para el cortante significa un ligero ahorro. Del lado de la 8esuridad sin e mbargo se suele tomar COIllO lIláximo -mientras no haya cargas puntuales elevadas en dicho intervalo- el que corresponde a la secci6n a una distancia z de la cara del apoyo . Y lo mismo que en momento, e1 la c o nsiderac i6n d e por d6nd~ entra la carga exige un deeplazal'l1ento, éste no afecta a l volar máximo de VI•.

M,.

Cuando la altura de la viga es importante, la zona de bielas en abanico interesa una gran amplitud de viga, lo que supone una gran zona en la que ee alteran también las conclueiones de cortante, al menos vistas desde la n ec esidad de estribos, En esa zona no ee tanto qu~ 106 estribos dejen de ser necesarios, como que lile necesidades de tracci6n cnmbian de orientación: pasan de verticales a horizontales, transversales a las bielae. Aunque es usual disponer una armadura de piel en toda la luz de la6 vigas de gran altura, ver figura 7, en la8 proximidades del nudo es doblemente eficaz: con vigas de altura muy fuerte lae bielas tienden a desplegarse en abanico rápidamente, por lo que deben equUibrarse con tirantes horizontales, naturalmente descontables de la armadura longitudinal de flexi6n en la medida del brazo de palanca con el que operen.

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En ménsulas cortas, viga6 de gran altura, y en general en las proximidade6 .del nudos gruesos o acometida de soportes a vigas, el estribado más utU e6d,horizontal.

6.4

ric~r

•• 0 .

DispoBicl6n de

e8tribo~

en sección

Tras del equilibrio de bielac y e stribos e n alzado. queda pendiente el c omportamiento en sección, análosall'lente a como se hizo con las armaduras l~ngitudinales. Nu40. ancho.

Pora una gran variedad de otrae situaciones la forma alterada del diagrama de cortantes, puede derivarss de la de momentos ya vista. Por ejemplo si el nudo en muy ancho comparado con la altura de la viga, ee pocible incluso que la ley de cortantes .,ufra una incurvaci6n de s18:no contrario para pasar por oero en el eje: si , ·debido a la gran altura de'la . viga comparada con su vuelo, 15610 existen biela e en abanico, no cabe hablar de cortante ni de estribos. En genera!, t-&eluz elel valor del cortante dentro del nudo, no tiene sentido en términos de e8tribado.

El estribo más tipico es el de dOiS ramas, por lo que 8U diámetro se determina para soportar en las partes verticales una tracción IJ~ = 0/2 . La resultante de compresi6n obUcua en alzado de las bielas se equilibra con la tracci6n de la parte vertical de 108 tirantes. Pero además. la resultante horizontal de los mazos de tensión que constituy e n las bielas en sección deben equlibrarse con la parte horizontal del estribo, véase figura 4.2. En vigas de descuelgue, a momentos positivos, disponer laa ramas del estribo pr6x1mae o lae caras exteriores, permite acodalar entre si las bielas, obligando a una tracci6n horizontal en la parte baja del estribo que,

~s\r1Jduru lUlO

según notacionea de la figura 42. no puede exceder a ' U¡II"b/4z. por lo que, en teoría ee podria abarcar hasta un ancho 4z con sólo doe ramas. En ese

disponer 10B ef.ltriboB al lilterior. En vigae en 'r exentas es obligado, para. contener las bielas obl1cuaf.l en secci6n, que haya prolonS8ciones de 106 estribos en todo el ancho de la viga 'que se des~e tener en cuenta en el cálculo. En vigaE planas de borde, por lo rniEmo, debe dif.lponerf.le una de· las ramas verticaleB de eetribo pegada a la tabica extF.:rior. .

caso podria sobrar la parte horizontal superior del estribo, anclándoae éste a partir de BU entrada en la cabeza comprimida de la viga, En ~ zona de momentos negativos, dicha parte horizontal S8 ocupa también de la

tracción transversal debida a la transferencia de tensión entre las barras longitudinales de armado. Para cuatro barras longitudinales a cada lado de la rama del estribo, dicha tracci6n se eleva obviamente a 0,75'0,. por lo que, en ese caeo, el ancho entre ramas s610 podria llegar al valor z. En general el número de armaduras a cada lado de una rama eataria limitado a (n-1)/n < l-e/2z, lo que conduce 8 a n ::!í 2z/e.

Con vigas de descuelgue, disponer las dos rama e del estribo a medias en el ancho de la viga, véase figura 43, puede producir un esquema equilibrado de bielas que no exige tracci6n inferior. pero si superior por fuera del estribo, habitualmente encomendada a la .malla superior del for jada. En todo C8S0, serian obligados ganchos de anclaje en la parte inferior del estribo, para recoger e1: mazo da bielas al modo del cae o de la figura 23.

En el caso de que el alma fuera muy delgada, se podda, -si el c~lculo de estribo y biela oblicua lo permitep-, disponer F.:stribos de una única rama, pero, en general, la necesidad de prolongación a anlbos lados en la cabeza inferior, obliga a resolverlo con dos redond06 adosadoB. Si el ancho de la viga es grande, y sobre todo, si el número de diámetros de la armadura longitudinal es elevado, es preciso disponer más ramas verticales con el doble objetiv~ de no necesitar más tracci6n el) la parte horizontal del estribo que en la vertical, y no sobretensioÍlar demasiado las bielas de hormig6n. Si el número de ramas es r, el diámetrQ del estribo se calcula para una tracción Q, = U/r .. Para una eeparaci6n de eEtribOB e, la compresión en la biela de hormigón con 45 - de oblicuidad en alzado tiene el valor l,4·U. La sección resistente, según figura 42, es O,7 ' sb. La temsi6n de compresión en la biela es Oc 2U/ab. Como U V's/z queda CI c 2V/zb. Se admite que en el estado del alma -compresión cruzada con tracción-, la resistencia a compreeión baja al 60% de BU valor habitual, por lo que la comprobación 10 de la biela a compresi6n eB V .:S 0,3·zb·fc d. Utilizando como término de comparación el valor Vc = zb'f ov , denorninable cortante que obliga a comenzar a disponer c8trlboB, y, dado que fed ::= 23'f cv , ee puede deducir que la capacidad resistente de la sección por aplastamiento de bielas, Vu ::: O,3'zb'f c d, es del orden de 1 veces superior a Ve. .

Hay que tener en cuenta que el cortante márlmo para comprQbar aplastamiento de bielas es Jueto' el de la cara del apoyo, y no el de la sección a dietancia z, ya que 18.5 biel~B oblicuas 80n las que entregaó la totalidad de la. carga en el apo·yo. :

F i . uca 42 . Oblicuidad d e la.

bi el ••

En visas de descuelgue a momentos negativoe, no 8e pueden disponer las ramas verticalss de los estriboa a1tnterior de la viga, a menos que se prescinda del hormlg6n comprimido por fuer a de las mismas. Si la viga ea plana existe un acodalamiento horizontal inferior entre una y otra a través de 1ae viguetae, de manera que no sólo es posible sino recomendable

8 11 valor n s 21/ _ corr • • ponde Al CI.O I n Que todo el cortlnte . ell . oportado por 11 co~b'nlct6n d • •• trlbol y bielal oblicUII. Hab'tu . l~ente eolo 10 II un a (rlllceiOn V.!'" por lo qU I , 1 numero de a fin a dur a. que pueden di . poner • • a cada l a do d I un. ra~a d . I l t ribo, c . lculado • • trlcta~lnte • cort.ntl a in que le . nece • • rio incre~.nt.rl0 po r traccion e n ' IU lado l horilont . le., tiene el " a lor n ~ 2&/e • V/V . , v • • • • tabla S.

MI!

11th

/11

111 11 .

~_lli'.f¡ ~ ••• 11 "

Además la deducción anterior del valor de Oe sólo es correcta con estribaje muy tupido; con estribaje muy separado s610 representa una c6pecle de tensión promedio, como si trabajase toda la superficie media de la viga . Si lae bielas no se juntan una con otra, las puntas de tensión superan claramente a la media. Una propuesta ll para con6iderar este fen6meno ee limitar la separación entre estribos, por ejemplo a z/3 si el cortante de !~álculo supera O,67'V u y a 2z/3 si 8upera O,33'V u , y El el cortante d e cálculo fuera inferior ' a O,20' Vu se podria llegar a un intervalo 8 = z sin problemas de a,plastamiénto de alma. Esto último equivale a decir que el ancho eficaz de bielas no supera el 20% del desarrollo de la directriz, o que el ancho real de bielas 6610 es, como máximo, del orden del 15% de z. véase figura 42.

10 L. ellpre l lOn e • • obre.etufa. ¡n cohecenci. con l a nota I anterior, l. inci d enci a del hor~¡ C ón In a l",a llenl per,"Ue Il e .ar • concluir que e ll "' .. . btlln O"r; o::: 2(V-Vcl/ l b t Yc/zb, o . ea o"c ::1 (2V-V c )/::.b. 8i l. teneión de calculo eeta llmilada a O,e ' fcd l a ellpre . iOn .finad a e e 2Y-V c S O,I ' lbfcd' 11 El COdi.o elplllnol lupo&iclOn -perfectamente el e va<l.o., e l calculo de limit.clone l "'el tellto euroc6digo.

no conl lder . ee ta cue a tion, pOI iblel'lente b ••• do en 11 plau l ible- de que cu a ndo lo a v.loree de cort.nt . eon eltribo . cono1uce .. e ep.r a cione . muy pequei'i ••. La. corrl l pOnden aprox i madame nt e a la propue a t a do!l

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U l ¡UC \~ I U lUlO

Pero ademáB , como indica esa misma figura, en sección las bielas también son oblicuas, de manera que en realidad son doblemente oblicuas. Est a segunda oblicuidad no es siempre a 4S - sino que depende del ancho del maz:o equilibrado con cada rama vertical de estribo. Y además no es un valor único sino diferente para cada elemento del mazo. El fenómeno es difícil de cuantificar, pero en primera aproximación el el ancho tributario de una rama es e , la t e nsión puede llegar a ser mayor de lo supuesto en alzado en un factor (1+e'/z"), véase figura 43 y 44.

Y. bla Vie aa Dintoncio

•

V/Vc

1, I 1,3 1, • 2 3

Denllidnd d .

• •

1, , 1,1 O, • O, • 0.3 O, ,

• NOTAS:

o.e·Jo

•

2, O 1, • 1,O 0,5 O, • O, ,

1, , 1,2 O, , O, • 0,3 O, ,

'" lO, '"

•

..". ..."

12,

1 ,3

I.olloo

pl a nll. lI

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0 , 2-11

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flUllnft d. eatrlbolJ elltricto a

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2,• 1,, O, , O, , 0,3

S e paración ent rll ell t r iboa

./.

HI1105 ro d. a rlO.du r all c ad . l a4 0

•d ,

un.

, ~.

lIe incu.-Jp l o l a condi cl6n d e no ap l all t a miento de bl e l all obllcu all e l int e rv al o pO ll lbl 1l ell _lI up e rior a l .-Já. imo rlllcom ll nd ll bl e ¡ I lI ftún l a pr a ctic " co~ún, por e ncim a d e 1 • a t. mpoco e l a Cllpt a ble. 1. Si 10 11 e. ttibo ll r ea lm ll nt e CSi l puel to l lI on lI uperior .1I e lo .lI trlct a mllnt e impr ell cindibl . , le pu e d e n dl . t a nci a r o lI. p a r a r mall . a . Si . 1 a ncho tribut a rio a all ma yor d ll Za 1111 pO ll l bl e qu e 10 11 ell trlbo. deb an CSimen ll iona r le por 11 tr a cc i ón e n II U p a rt e ho r '~on h 1.

•

--.-l.....---L~=~........L_ .j

Fi g u ra 4. 3 . Dl ll poe :l.cidn d e

r ..... v ertica lee

El efecto combinado de las dos oblicuidades es que , según aumenta el cortante, e s preciso hacer el 8stribaje más tupido -o más estrictamente, aumentar la densidad de r a mas verticales- en ambas dir e cci ones en planta. El problema se puedo controlar sólo con distancia o sólo con intervalo, pero lo más sensato es hacerlo con ambas cosas al mismo tiempo. La limitación de inte rvalo y número de rama s 80n pues dos cuestiones gobernadas por el cortante, en cu a nto afe cta al apla stamiento oblicuo del hormi8ón. Suponiendo que, en alzado, el ancho de la biela es como mucho O,lS 'z y que el ángulo ce 4S · , la tensión media en alzado ee 1,4·0/0,lS ·zb. Como U=V's/z queda Oc "=' 10'Ys/z::lb con lo que la condición de no aplastamiento en las bielas oblicuas s e ria 10·Yo/z 2 b S O,6-fc d. Denominando Vc = b.z:f cv la comprobación d e tensión dobleme nte oblicu a seria 10-V·(1+e 2 /z 2 )·s/z :s: H 'Ye . La tabla S reCOBe 1015 valores de esta fórmula la que en lo esencial coincide con los valores de la propuesta anterior.

~t. r't'--

12 Lo~ v ~ lor 'lI d e l a t a bl a 5 proced e n d e l. f6rMul a . o f i ll tic~d a par " tener e n cu O! nl a la eohbor 3 c 1 6n del · hor .-J lfón O!n a lm a llena, q" O! , dO! II cuO!rdo con . nt e rio rell not .lI IItlr l a 10·( " - V c) · ol(l+ e~/ "~ )- . I & S U·V c • La di fe renci a p "n v a lor .1I a 1to ll d a Ve 1111 ina pr e c i a bl a , pe ro p ara , o loro ll de V parll cidoe a Vc .11 b 1vort l tH e eae "''' ti lo P. r " v a lore a e l pri,.,olr t ,rmino d a be IIlUltiplicflu e po r co , e/ c o a 45 · pan t e n lll r a n cue nl o la "''' yOl oblicu i dad de lae bi lllall . P. r o ell trlbo e oblicuo e un I\n;'ulo a , , 1 p r llAer t 6ntillo ,s e b er i a re duci ne por e l fa ctor Il+tr a ).

.>.

Si el intervalo entre e s tribos supera a z, la6 bielas deben ser más oblicuas que 4S · , produciéndose en ellas compresiones más elevadas , en la relación del coeeno del nuevo ángulo al de 45 -. Para valores de V muy a l tos , ee recomendable disponer los estribos con un ligero ángulo a favor de cortante, con lo que l a compresión en lae bielas disminuye con el factor (l+tga); para un ángulo de 15- la óompre sión se alivia un 20%, permitiendo cortantes más ele vados o estribos menos tupidos que los indicados en la tabla 5. Como puede observ arse en dicha tabla. el R'/lIt lle li ti c lI BsH!H:is/lIti e e IHI :lJi~,J")f':-J:::aqa _ ." alor de cortante relativo Y/Y c ~ un margen e6trecho ~7i"iirh~ estribos. En vi8as importantes de descuelgue , de más de SO cm de altura, el ancho óptimo, que e stá entre 20 y 2S cm, permite una relación e/z del orden de p,2 con la que el factor .(1+e2 /z 2 ) es prácticamente la unidad y el tema de la doble oblicuidad puede despreciarse. En estos casos hasta un cort a nte- YIV e del orde n de 2,0 el intervalo entre e stribos puede ser igual a z , pe ro según aumente V es preCiso densificar el estribaJe ¡ con inte rvalos 0,2: ya e s .posible soportar el cortante máximo Vu , del orden de 1 ' Vc '

Ida )

En vigaB planas, para controlar la distancia e de ancho tribu t ario de cada rama, e s preferible disponerlas promediando e l ancho total. En vigas planas son habituales valores de e entre 0 ,6z y z , y el intervalo sntre es t ribos puede también, según la tabla 5, mantenerse en z hasta V/Vc ::: 1.8; para valor e s supe riores o se disponen más tupidos o con más ramas, pero sin superarse nunca un cortante S·V c ' Sin e mbargo es usual que e l dimensionado de la viga ·conduzca a cortantes rela tivoe poco e l e vados ; es poco probable que se alcance 2·V c y 6umament e improbable lle gar a 3·V c . En este

mado

rango de valores no es necesario reducir mucho el intervalo por debajo de z, ni disponer lOáIS de d08 ramas. En 108 casos de vigas en T, o en simples vigas de descuelgue, 'para la relación e/z. debe tomarse la distancia de la fibra comprimida o trnccionada más alejada del estribo a la rama vertical delllliemo. que mide la oblicuidad en sección, partida por el grueso l ocal del ala, o, ariadir la armadura transversal superior correspondiente al cOlllportamlento y desplazatuien to como ala. véase figura 44. ~e.

..¡. e..,¡.

-'-

e..J.

=1·:C:l:·r= e. ... e. + e.

+t +

7. VIGA PLANA

1.1 ProblealD.8 de la

V1.g11

pl.ano.

Se denomina viga plana la que tiene la misma altura que el canto del for jado que eoporta. Con eeta solución, en ocasiones son indistinsuibles la6 viguetaG de las vigas y de los zunchos, y, sin saltoo bruscos, la planta puede transformarse localmente en un forjado reticulado o en una lo sa. En todo caso e8 facillsimo un cambio en el ancho de la viga: basta la s upresión de piezas de aligeramiento en las zonas que .10 s ugieran, bien debido a valores elevados de momento o de cortante. Si loe soportes son tan anchos como la viga, no aparecen problemas nuevos. Para el forjado, la viga se comporta como un apoyo ancho , Y .sqs gráficas de momentos y cortantes ' se - mod1iican como se ha visto en apartados anteriores. Para la viga , el hecho de que sea lIlás ancha que alta se traduce s6lo en una mayor comple.11.dad de estribado, a tenor del cortante relativo, según los valoreo de la tabla. 5.

l - - - • --.--1

+-t -+

fGlrucluru UlIO

e...¡..

J.· .·1·[=r.=J··~·:[: l - · - - b -----1

En la tabla 5 puede comprobarse también que, mientras que en vigas de descuelgue es dificil de a lcanzar elllmite de número de armaduras a un lado de cada rama -y por ello la literatura no suele ocupare e de ese asunto-;-, en vigas planas con cortantee elevados, es posible que este tema suponga una limitación al illesño. En general es aconsejable disponer un número de ramas de form a que no se superen 4 o 6 arllsdurae a cada lado de cada una de ellas. En rigor nada impide que loe estribos se dispongan a intervalos superiores a z. Lo que sucede e s que su eficacia baja tan rápidamente , desde el punto de vista de la compresión en lae bielas , que no es una solución recomendable. En ocasiones las viguetas construidas a partir de celosia/S prefabricadas a paso fijo tienen un intervalo algo mayor de z sin problema. No obstante e l cortante máximo se produce en el extremo. donde ae .·edondean las gráficas de momento 'I .cortante. La situación más complicada /Se produce cuando hay redondeo de nudo tanto en wado como en eección: el ca80 de la viga plana.

Los problemas especificas de ' la viga plana comienzan cuand o el eoporte es francamente inferior en ancho a la viga, que es el caso, sobre todo, de soportes metálicos. En ese caso no s610 hay que estudiar la. transferencia de carga según la directriz, -cuestión recogida en e l mom~nto y cortante de la viga COII'IO tal-, sino ·en el sentido tranGvcrcal , dando lugar a una cuestión inversa del redondeo, denominable reoPwJtltmiento, y al ~e cortante asimismo multidirecc1onal, 'denominado problema de PWlzon.'~mieIlto. Además, si el soporte es de ancho inferior al de la viga, puede muy bien situarse excéntriC8IQente a la misma~ problema t1pico de las vigas de bonic.

y en todo ca/So, tras el armado en detalle de la viga, es posible que la definición de sección para el cálculo de la riBidez exija matizaciones sobre cómo tener en cuenta la varil;ición del ancho eficaz de la viga pla na.

7.2

Tranefere ncl..a transversal

Cuando el soporte es de ancho mucho menor que el de la viga, la transferencia de cargl. se hace, en 180 zonas alejadae del soporte, como si se tratara de varia/S visas virtuales yuxtapuestas, de forma que cada una de ella8 traslada una parte allcuota de ' la carga, con la misma fracción del cortante y momento total. Para el e l emento forjado Que introduce la carga, la viga se comporta como un apoyo extenso, es decir que recose la carga repartida en todo su ancho. originando para las viguetas una gráfica de momento e fuertemente redondeada, y un cortante muy disminuido respecto al máximo teórico.

....

Sin ellbargo, ante/S o despuée, la carga entregada ea una de esas vigas .ir taalcs extremas, debe pasar a las centrales, las ún1cse que desembocan en el soporte. En general el eistema de transferencia transversal de la carsa se produce en lae proximidades del /Soporte. De acuerdo con l aG notacionee de 13, f1J¡ura "5, en una vi&ueta de vano se reduce un mome!ltQ 6H debido a la reacción distribuida, q. Esa D'll!sma carsa debe pasar al soporte en otra e ecci6n próxima al mismo; dendo la misma carga y configuración geoPllétrica. esta tran/Sferencia significa un aumento de momento exactamente igual a la dierninuc1ón anterior.

fl U

IlUdo

En otras palabras, la 6uma de la6 mermas de momento por r edo ndeo en tre todas las viguetas de un tramo de viga, reaparece como incren,ento

en las proximidades d el soporte. La reducción de momento por r edondeo e n vig'uetas no es tal. se trata 13610 de un transvase de solicitación a otros puntos. Lo que se c ons erv a es el momento promedio o momento total. que pll rece repnrtirse d e manera no unifo rm e. En rigor, e l incremento 6 n no reapar ece compl e tamente, ya que e l redondeo s obre el ancho real del oopor te elimina definitivament~ una parte. Lo que re aparece como incremen to es sólo l a reducción e n la Unea d e cara de soporte. Eo en esa Unea e n la que e l cálc ulo d e l mome nto total entre todas lae viguetas no tiene reducci6n p o sible , aun cuando pueda r epa rtirse de manera no unifor me entre todaa ellas.

;

..... . ... ..........

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' u.

r~:.-:-:::[jiJ-infIíVU~.: 1':'h.. 1 • l - b--'

LB armadur a tranaversLll de ábaco, o se añade en cua nt l a & la negativa de l forjado, -resultando la s mlsmaG armaduraG de más diámetro-, o se dJ.opone co mo armadur as adicionales -intercaladac; con aquéllas-o En cualquier caso en el á baco resulta una armadura superior concentrada, como corresponde a la In·l.yor rigidez de las inrnediacionf:6 d¡;:l so porte.

1.3

Punzonamiento

La transferencia de carga al soporte des de BUB inmediaciones , ocasiona asimismo variaciones en la conoideración de las tensiones de cortan te. Si ' el soporte es de ancho inferior al de la viga, como las bie las oblicuas que dan cuenta del total de la, carga de be n depositarla en e l pilar, en un soporte interior , es obligado que c o nverjan e e pacialmente, en ' forma de pal mera, sobre el mislIlo. Por ello la cOlllpr obaci6n de tensión tangencial no puede hacerse con el a ncho de l a viga, sino c on el perimetro en deredor del soporte, problema denominado. de punzonamiento, Si el soporte es matemáticamente puntual , l as tensiones de punzonamiento. - en p rimera aproximacióri dependientes del cochmte entre la carga total que la viga e n t r ega e n e l soporte y el perimetro del miamo-, s o n ilimitadamente grandes. Pe r o eeo e e,: sólo teóricamente , En l a práctica, aun e n e l caso de soporte infinitamente- pequefio, por el mismo motivo que para e l cortante, la comprobación de tracción vertical n ecesaria debe hac erse a cierta di sta ncia del apoyo. Se sUpon e que, dentr o de ese int er valo, las bielas oblicuas directas descarga'n l a carga en el apoyo sin producir incre mento de tensión tange ncial. El punzonsDliento se comprueba pues para un perimetro crl tlco, d efinid o como el múúmo a distancia no inferio r a una dada del borde del soporte. ' Las diferentes propuest36 para eea distancia oscilan desde medio c anto mecánico -código espafiol- hasta ve z y media dicho canto -código europeo-, Con esta ültlma propuesta deben comprobarse c o mo punzonamiento l os perím etros a partir de una distancia 1,2'h , ver figu ra 46,

ricura 45 . Abaeo de . oporto Interior

Una manera genérica de tr a tár este pr oblem a. contando con que cada soporte puode tener un tamaño y h aces difer entes, _y que la vig a puede poseer un ancho también variable-, ea tratar todas la a viguetas como si se apoyaran en el ancho total de la viga, con redondeo completo, para, posteriormente la carga total que entra en e l soporte, 6N, suponerla repartida unifo rme mente e n e l ancho de viga, b, y tras l ada rla a l apoyo real, con una gráflca de vuelo v , redondeada según e l ancho d e l propio soporte. Este modelo de transfere ncia trans ve rsal ee en t odo semej ante al de una zapata, con un momento máximo 6N/b ' r/ 2 y un brazo de palanca igual al d e la viga. La armadur a resultante puede disponerse en la8 inmediacio nes del soporte, en una zon a d e amplitud del orden de su ancho , e n un denominabl e .;b.,co. Ea algo indiferente la longitud de este ábaco ; la armadu ra re a Uza su papel e n tanto Que existe y no tanto por cómo está repartida , sl bien e8 cierto que si se distribuye en la totalidad de l a viga ee tanto como atxUcar del a ncho de la viga plana, tratándola corno de ancho reducido, con posibles complicaciones por cortante,

La comprobación de punzonamiento es, para situac ió n centrada. l a de com para r l a tensi6n tangencia l ' media e n la sección co rres po ndie nte a l perimetro e n cuestión, con l a que s opo r ta el hormigón sin armar o armado, a p artir de formulaciones parecidas a 1ao de cortante. Las reglas de l os códigos, dicen por ejemplo que, slla carga que debe atravesa r el perimetro rumbo al soporte, es infe rior a .1,4·V e siendo Ve ::: pzf ey , no hay problemas de punzo namiento ni hay que armar; si lo supera , es preciso armar para e l exceso sobre Ve, pero aun armando, por limitaciones de compresión oblicua e n la fO bielas o de tracci ón del hormigón. no es poeible sup e rar 2.5 · Ve . No hay propuesta s concretas para el caso de viga o plan as en las que la carga proviene casi toda e lla de la viga y e ntra frec uentemen te en u na 801a dirección, pero una formulación del lado d e la seguridad tomaria en consideración s610 el perímetro del' l a do d e la viga, prescindiendo de la parte enfrentada con l a a cara s lat e ralee del soporte. Los perimetros exteriores al crítico tienen l ongitud mayor -y probablemente les atraviesa menos carga- por lo que está n en situación más holgada, aunqu e es poSible que aigan necesitando estribarse. A una distancia de valo r O,S · v el desarrollo efectivo a punzonamiento es igual a l ancho -a cor t ante- de la viga, por lo que a partir de esta distancia la comprobaCión debe hacer se corno cortante .

nudo

ealt\ldumllDo

Se puede concluir pues que ai l,2'h ) O,6'v -o lo que es lo mismo, si v ( 2'h-, la viga es de ancho reducido y 106 problemas Bon sólo de cortante.

El comportamiento del soporte extremo depende sobremanera del signo de los momentos al llegar a éL 51 la viga desGansa en su extremo en un apoyo simple, llega en régimen de momentos positivos. Lo que sucede a la armadura inferior ha sido visto Eln apartados anterioree, y desde el punto de vista de viga plana y punzonam1ento, dicha armadura puede repartirse en todo el ancho de la viga, aunque éste sea notablemente superior al del soporte. En este C&SO los estribos deben prolongarse por los laterales del soporte para transferir correcta.mente todas las tensiones, como puede verse en la figura 47, naturalmente complementada con la armadura superior transversal de ábaco.

Por el contrarlo, si v ) 2'h deben comprobarse como punzonamiento 106 perimetroB entre l,Z'h y O,B'v, resultando en Bee intervalo tensiones tl\ngencialee de cortante máe elevadas que lo que predice el valor de V y

e l ancho de la viga. La figura 46 iluetra lo fundamental de este problema.

h "-

Si existe momento flector en el extremo, éste se equilibra entre viga y soporte, -mientrae en un soporte interior simétrico lo hace entre viga y viga- o Por ello, la continuidad de tracciones y compresiones procedeotes de los momentos flectores en ambas piezas, obliga a que la sección efectiva de la viga en el extremo sea sólo del mismo ancho que la del soporte, independientemente de su ancho reaL La armadura negativa efectiva es pues sólo la que existe dentro del ancho del soporte.

r [ No hay una teoria puente entra la de vigas -cortante- y la de placBs -punzonamiento-. Una viga que posea un vuelo v = 2'b no podria superar un cortDnte de valor 2. 5·Vc: por punzonamiento , pero ee podria llegar a 7·V c

armando como viga. En la práctica la disparidad no ee importante ya que ,

dada la esbeltez de lae vigas planas, e6 neceeita un ancho importante por /1 momento, y el cortante 00 suele euperar 2·V e . DichO. limite puede tomarse l como regla para el dimensionado de nocho de vig as planas, ya que, de \ eupElrarse, darla lugar a un eetribaJe por cortante muy comple'jo, véase la ) tabla 5. Cuando ee neces a rio armado por punzonamieoto, lo que importa es que la combinación de bielas y tirantes cruce el perimetro afectado , por lo que vuelv e a ser r e comendable que las ramas verticales de estribos se sitúen en un ancho inferior al de la viga . Con dos ramas, la distancia máxima para que loe estribos sean operativos a punzonamiento en las proximidades del soporte, ee, de acuerdo con lae notaciones de la figura 46, de valor b o +4·h. S1 es ta distancia es compatible con loe valorea de la tabla 5 para el ancho total b, ba s tan doe ramae en todo el desarrollo de la viga, incluyendo el ábaco; en otro caso hay que prever eetribos de ramas múltiples o disponer estrib06 ad hoc para el punzonam!ento en la zona del 'baca. El planteamiento hecho e n los párrafos anteriores corresponde al soporte interior simétrico; los soportes en posición no simétrica, sobre todo los eituado8 en borde o esquina, exigen un estudio aparte. 7.4

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Soporte extremo

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Existe una posibilidad de disponer armadura para soportar el mOmento por fuera del soporte, con un anclaje dificil, confiando la transferencia de tracción al pilar por bielas oblicuas, tanto en la cara superior como en el borde libre, ocasionando un desplazamiento de las tracciones del mismo orden que el vuelo de la armadura, El equilibrio d e compresiones contra la cara interior del eoporte exige bielas inversas a las de la cara .e:uperior, que . a su vez demandan tracción longitudinal en la cara inferior, biel.a s y tracciones todas ellas del mismo vnlor absoluto y del mismo que las de cara superior, véase figura 48. Esta explicación no es sino una forma tortuosa I de decir que, se pueden situar armaduras de flexión por fuera del soporte, /// sólo si en el borde se dispone transversalmente un zuncho a torsión. La torsión es una solicitación maldita, muy dificil de resolver, con alta deformabUUdad y por tanto con poca eficacia, aun con armados fortisimos

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estrangulada. La comprobación d e cortante conoiste p u es en comparar el valol- ~e la capacidad resiet.ente Ve = z·(ho+3·h)·ted con e l va l or V e n ese corte, v~t\6e flg ura 49, para determina r los e stribos necesarios. Las ramas vert i Clller, de 106 estribos deben interesar, co ma siempre, el desarr o llo del p eriln et. ro critico, lo q ue en vigas planas conduce generalg¡ente a un ancho de e stribo inferior al d e la viga .

l ·" .... La opción más razonable en nudos extremos d e vigas planas es prescindir de posibles torsione s e n el borde . razonando con una sección continua deede la del soporte a la de la viga, con un ángulo de ape rtura que, en priIDera aproximación. pu e de tomarse de 45- , El inc onveniente de aeta opción blanda ea la eecal5a capacidad r esis tente del nudo, que, si el mOCllento ea elevado, podrla dar lugar a problemas inso lubles. Afortunadamente el la I5scci6n eetA fuertemente 6etrangularla en el extremo, la rigidez variable a lo larso de la viga probable mente conduzca a valores muy bajos de Jlomento, fácllJa,ente 6oportables. El procedimient.o de supo n e r las v18a8 planas con ancho constante hasta el extremo ocasiona momento s e levados. con ar.aduraa muchae vecee iJnpoeiblee de dispone r en el nudo, insufic1entelllen te ancladas e ineficace o, resultando una soluci60 claramente insegura. En cualquier caso . la asimetrla del ex tremo hace que la6 t e nsiones verticales de pun.r;onamento no pue dan tener una dis tribución uniforme. Trasladando el aiatema de fuerzas al centro del Doporte, se admite que las tenelones tangenciales dan cuenta del orden de la IlLitad del mome nto, lo que perllite obtener au valor con una hip6tesis simple, como por ejemplo la de reparto lineal. Desgraciadamente no existe un modelo claro de si es preciso comprobar con valoree punta o prollledio8, aunque en este_ caso ambos coinciden en el lado paralelo al borde. Con la seocl6n estrangulada 8e puede plsntear el problema e n ténllinos de cortante. con una aeoci6n reducida, poco mayor que la del ancho del soporte. La opcl6n de armar y Buponer eficaz todo el ancho de la viga, 'tomando todo el ancho posible, aunque conduce a un mayor peri.metro de punzonaldento. tiene la contrapartida de que e l 1I0mento -frecuentemente elevado- combinado con un D6dulo resistente pequeño, conduce a uns dietrlbuc16n no uniforme con v alor punta más elevado. Una. eia'lpUficaclón 8ellura de eete caso conduce a loa mismOS valores qu e 1015 de l a secci6n

7 _5

Nudo lateral

En la práctica totalidad de las conatrucclonea existen vigas d e borde, que. con la solucl6n de vigas planas, eetán abocadas a ser excént.ric as respecto a los soportes. Est., excentricidad lateral provoca nuevos problemas. Para un soporte intermedio, la carga que debe llegar al soporte mediante la fle xi6n transversal de ábaco no eetá equilibrada. Siguiendo con el a1m1l de la zapata invertida el problema es ahora e l de la zapata de med1aneria. El momento formado por la re sultante de los cortantes e n el eje de la v18a y la reacci6n del soporte , debe equilibrarse con el ne rvio que sale del soporte, lo que exije localJaonte una armadura Buple lllentaria inferior e n laa viguetas que aCODe ten al ábaco. Si el soporte no está completamente pegado al borde subsiste una pequeña necesidad de a rmadu ra tranovereal superior, exactac ente el mismo problema que e n zapatas con la adema geometda. Para e l conjunto de vIauetas, la viga plana de borde opera co mo un a poyo r epartido e n todo su ancho, es decir con 110mentoe positiv os que proceden- de una luz lIedida a eje de viCe , v'ase fisurs 50 , aunq u e e l redondeo sobre el ancho de 1& viCe no anula el lIomento ha s t a el misfllo borde. Para l as v1guetaa enfrentadas con el 'baca el paee de la carga desde todo el a ncho de la v1ga al centro del eoporte 8up<;me un aumento d e

Irtado

moment.o pouitivo, de nuevo igual a la 6uena, en toda la longitud tributaria, de l&n rnrlucclonc6 por considerar la luz al eje de viga y no al del 6oporte , La Priktlca de tomar para todas ellas las luz al eje del 80porte no es 6cgur~ : aunque dota a casi todas ellas de más r esietencia de la imprescindibl e . la " q ue acometen al ábaco eon ins eg ur as .

pe ro. dado el estrangulamiento de G(:cci6n que ello cupo ne, es improbable que el momento sea importante.

En dgor. mientras que para las viguetas que acomete n al centro de vano d e viga. se puede suponer que ésta es un apoyo simple -ya que 106 posibles momentos negativos de vigueta serian torsiones para la viga , solicitación Rlempre sOspechoBa-. para 18e que acometen al ábaco es más pro pio s uponerlas con uni6n riglda, capaz por tanto d e provocar momentos negativos de empotramiento. Aunque, dada la desproporción de rigideces, el 1rI0/llento de empotramiento sea relativaD'lente pequeño, no hay necesidad de que l a armadura negativa acolDeta directaD'lente al soporte, ya que, al menos en la zona de ábaco, la rigidez transversal .-que ahora ea la de la viga- es m6s qUE:: suficiente para garantizar el empotramiento por torsión.

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El pUnto máe discutible es ,e l de punzonamiento . El fenómeno con est.e nombre es el estado tangencial -tracción y cOlllpresión diago nales- en distribuci6n eepacial. Ea esa multidireccional.1dad en l a compresión l a que produce l a aobrerreaistencia asignabl e al punz.onamient.o . En un nudo extremo. aunque se pueden plantear pe rime tras plegados e n plant.a, existe l a posibilidad de un corte trivial recto. v éase figura SI, e n e l que por no e xistir l a bidlrecclonalldad. no : ea posible plantear l a formulación del punzonamento. debiendo comprobarse - y arlllarse- simplemente a cort.ante el corte eavlado a no más de un ca~to del soport.e.

8 _ OTROS CASOS

Aceptando que, frente al soporte . el forjado tiene inicialmente momentos negativos , el centrado transversal podria significar e ntonces disminución de dicho8 mOllentos. con vuelta del poeitivo a un valor parecido a calla ei el empotralDiento no exietiera . Una r eala práctica suficientemente sencilla que puede .llegar a cubrir el armado necesario, es suponer todas las viguetas simplemente apoyadas. cOllplementando las enfrentadas con el soporte con el armado negativo de ellpotramento.

7.6 Nudo de eequina

El nudo de eaquina posee la lIezcla de propiedadee del de borde y del de extremo. Calla nudo de borde , la excentricidad e ntre eje de viga y centro de aoporu exise un complemento de ae.adura en 108 nervioa o viguetas de borde -bien inferior o b1.en superior, correspondiente al elnpotramento de lae enfrentadas con elaoporte-. Callo nudo extremo 15610 ea factible aoportar IIOllento negativ o de viga con la armadura que entre en el eoporte,

8 .1 Vigas de altura variable El c aeo opuesto de la viga plana es la viga de deftcuelg"ue aportante. sobre todo cuando es variable:' el caao de l as vigas acareel"das. Esta solución ea competitiva aólo con luz. y momento importante s. Con luces 6uperioree a alete metros. y. sobre todo. cuando se tra ta de eliminar un soporte , es la soluc16n recomendable. Con una acertada eleccl6n de variación de la altura de l a viga en cada sección. no s610 se puede impedir que la armadura longitudinal ee dispare de valor, aino que además se ·ellm.1na cortante , En electo. cortante y momento no 80n algo real; 80n sólo una conetrucc16n mental para descrlblr en bloque lae tenslonee. Estaa si&pleaente deben estar en equUlbdo d e reeultante '1 IDOllento con laa acciones, 51 la altura ee variable. la6 tenalonea longitudinales que dan cuenta del momento. son obllcu8a y s um1n1atran de paao componente vertical. que perlllite, en 108 bUenos diseños. dar cuenta del cortante. liberando al alma y a loa estriboa de los

...

problemas de 1098 tensIOnes tangenciales vistas en anterioreo apartados.

La elección de una buena solución ee cuesti6n de tanteos, ya que la propia varinci6n de Corllla afecta a las solicitaciones reSultantes. En piezas continuas, e l r egruee8miento de la altura junto al nudo en continuidad produce mayor rigidez en extremo a momentos negativos . lo que, para mantener la cOInpatibilldad de deformaciones, conduce a que éstos sean mayores de lo supuesto. Como la variaclón de momento es más leve que la de la eecc16n, la soluci6n llega a ser bastante coherente tras dos o tres tanteos.

'" puntuaL No obstante el caso má6 clásico eu el de eliminación de un Goport.), Si la carga puntual es predominante e importante lo deberá ser la altura de la viga; ee infrecuente y poco recomendable intentar soportar cargas puntuales tuerte8 con vigas planas ,

No ee fácU disponer una carga fuerte en un simple punto matemáti co. Aunque 8610 eea por problemas de aplastamiento o arranque de la pieza origen de la carga puntual. ea oblisada una 6uperficie de entrada de carga 2 apreciable. La carga e.parece a razón de una tensión de 40 o 50 kp/cm 51 la pieza ' de soporte es de hormigón, aUlDentando has ta 100 kp/cm" al e8 lDetálica. pero mucho menos el e8 de fábrica. Para el primer valor, una ca re a de cien toneladas exise una sección de 2.000 cm", o sea de 40 por 40 cm, o de 25 por 80 cm. 511a acometida es por brochal. la tensión tangencial media, aun fuertemente estribada ,- no puede exceder de 20 kp/cm 2 y la aecdón es mucho lDayor.

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En piezas de altura variable, los problemas de desplazamie nto y redondeo en apoyo, función de la altura de la viga, alteran mas profundamente las gráficas de tracción de la arlladura longitudin a l, qu e, con frecuencia, llegan a ser constantes, dejando el alma sin tensiones . En e s e caso limite se podria suprimir e l alma entre cordones, resultando una viga con codaleo Bueltoo. Aun ain esta opción tan radical. el funcionamiento de la viga es explicable con una c e losia de cordones, bielas y tirant.es. e n la que son identilicables auténticas piezas comprimidas a través de ia viga, dimenslohables y comprobables callO sI de soportes se tratara. La situación es aún lDás clara si se elige l a solución acartelada porque acometen a la viSa cargas puntuales importaqtcs.

8.2

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Cargas puntualea

No es habitual que en los edificios se proyecten vigas de hormigó n para soportar cargas puntuales. En 108 casos de cargas punt.uales provenientes de muros de separación pesados, predomina no obstant.e la carga distribuid a , d e forID8 que la carga puntual apenas supone un lev e apuntamiento de la gráfica de momentos . En las soluciones de mucha luz . en ocasiones se disponen varias familias de vigas. resultando las principales cargadas fundamentalllente con las procedentes de brochales en situación

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En el entorno de una carga puntual se produc en la s mi smas ·alteraciones de redondeo vistas para los apoyos y lo s mismos problemas de e stribado horizontal o de punzonamiento. En rig or ambos puntos so n indistinguibles; que eean acciones o reacciones no afecta a su co mportamiento fisico, -s610 dependiente de que sea una fuerza-o Si l a carga puntual e8 importa nte, puede que lo sea asim16mO el porte de la pi.eza, y, con frecuencia las zonas alte radas a uno o d os canto s alrededor de cada carga puntual o apoyo se solapan entre 6i. dando lugar a gráficas de tracci6n muy degradadas. Cuando se cOllbinan cargas puntuales con altura variable. la pieza puede ser re1nterpretada ventajosamente como una celosia simple de codales directoe a 108 apoyos, y tracción generalmente constante . Inclu so ei el apoyo es exteneo, -por ser asirnismo grande la reacción-, e s ta reinterpretaci6n puede afectar a los soportes. En generai la tracción

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nltlntlt·lll(.! C, lI olgno -y & veCéS valor - cntn: c argas, siendo recome ndable , cuande. r,e. forzoso, i.&rlclarlas pélsada la bafie de la entrada d e carga.. La cúmpr<H;j 6n oblicU8 de la biela, muy localizada , 6ugiere e l tratamiento de una piezc. c 01ltrJr!mida, con estriba do oblicuo, transversal a la dirección oblicua de h.l hll"!lo, y lnt!gilloc en el C6peOO,. de te. m1funa . 6.4

V~aH

pared

La situación limite de viga de gran altura es la de viga pared, cuando lb altura e6 comparable a la l uz entre puntoa de D1omento nulo. Si la viga posee acciones y reacciones puntuales. se alcanza eete estado cuando l a distancia e ntre una y otra no supera daIS o tres veces la altura. El caso más c ll.sico. invertido, es el de muro de sótano que recibe soPortes puntuales en la cara superior y se apoya con reacción distribuida en el suelo, véase figura 55. . Con viga6 pared, los efect06 de cue~ue -por d6nde acomete la carga-, y los de desplazamiento y redondeo afectan tan fuerteme n te a la tracción. que aunque puede s(::guirl5e hablando de momento flector como resultante de tensio nes en la sección. tal concepto no es útil, ya que no perlDite obtener las t e nsiones como función del momento. En rigor lo que falla son la6 hipótesis de ley plana de' deformaciones . y con ello las distribuciones de tensión no 60n las clásicas. Con una altura mayor que la luz, incluso no 8e comporta como viga toda ella, trasladándose la carga a loe apoyos en una parte de la altura de la viga. y desapareciendo la diferencia de momento y cortante como actuantee en cordones y altna: sólo subsisten lae tensiones. En este tipo de piezae las pautas de arllado eon tan peculiares que en general reciben un tratamiento diferenciado en 108 c6d1goe. Ha obstante COIllO siempre existen situaciones intermedias es importante encontrar un lazo de unión entre unas y otras.

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Con vig"ae de gran altura e8 r e comendable disponer la armadura longitudina l de tracción en desarrollo constante en todo el intervalo de 1I0118ntos del IÚSIIO alano. Ho habiendo problellas de altura, la d.ispoeición habitual 815 en variae capas con arlaaduras de poco dl6l11etro. La armadura de piel. a intervalos reaulares, y en cuantia lÚJÜ.IIa , supone una cantidad de acero importante, y • veces eU. sól. da cuenta de toda la tracclhn necesarIa.

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9. RPILOGO

A pesar de que existe información abundantemente docu mentada y formulada para el problema de determinar las solicitaciones de una estructura, y la armadura en función de ellas, cuestiones denominadas sectmd'''I'Ü'I$, co mo d esplazamiento y anclaje se zanjan con valores 6imples, del lado de la segu ridad. aunque ellas depende hasla un tercio e incluso un medio del 6cero // total. Un planteamiento equilibrado del problema del armado d e he prestBr una gran atenci6n a estos temas, pudif"ndo dejar e n segundo término, y con fórlDulas aproximadas, e l problelna básico.

Para paear de loe valores de capacidad mecánica de la armadura 10n¡gitudinal, U = H/z por l'Iomento, y transverEal, U t '; V/z por cort ante, a un despiece de armaduras de diámetro, longlt.ud e int.erva l o definido$, hay que tener e n cuenta, preferentemente en el orden q u e se citan, lo siguiente: El intervalo de est ribos dc>bt> obteneree en función del cortante V relativo al soportado por el hormigón Ve: cuanto mayor sea el cortante, más tupidas deben eer las ramas verticales de estribos. en alzado y sección; véase l a tabla 5. En viga e de descuelgue debe baber al menos d os ramae próximas a las caras laterales; en vigas planas, si por punzonamiento es compatible. lo recomendable es disponer las ramas verticales promediando e l ancho d e la vlga, véase flguras 43 y 44 . La máxima deneidad de eetrib06 se deduce del cortante a z del apoyo y el ancho completo de l a visa. o 8 1,5'Z en deredor del eoporte, computando s610 las ramas situadas en l a proximidad de ese perimetro, vease tiglAra 46. Lae sucesivas densidadee se calculan a partir de pedmetros concéntricos y d e cortes euceslvos del ancho total. En vigas planas se puede suponer que no entra carga por 108 lados laterales del perimetro de comprobación; en los soportes de esquina basta considerar cortes rectos esvlados a simple cortente, véase flgura 51. Cada densidad de estribos. debe prulollgarse medio inte rvalo málS allá de donde es !Jnprescindlble, para cubrir el colaado de la carga. Si la carga entra claramente por la cara superior de la visa, puede omitirse este deeplaz:amiento, véeee figure 37. En 106 caeos de cargae puntuales import~ntee que no entren por arriba ee preferible añadir localmente los estribos de cuelsue. Si la altura de la viga es importante, d ebe disponerse una armadura de piel. cruzada con los estribos, véase figura 7. No obstante siempre es poSible hacerlo. La elección del diámetro de la armadura longitudinal obedece a con81deracion86 de eficacla; al aumentar el diámetro, las armaduras tienden a tener todae el IDiSDO desarrollo, igual a la longitud en la que se mantiene el aigno dal "olDento. Por cuestiones de adherencia debe continuar h asta el punto de JloJlento nulo una clerta fracción de la armadura total, véase tabla 3, que para no ser excesiva. obliga por ejemplo a reservar el diámetro 11'16 para distancia entre puntoe de momento nulo mayoree de 5 metros, y ~20 par~ distencles mayores de 6 metros, véaee apartado 2, Por cuestiones de anclaje, si e l extremo en momentos nesativ olI no tiene encima un soporte relatlva~ente cargado, -como es el caso de i rA ul-

67 tima o d08 última6 plantaa y en embrochalados-, 1'::1 diámetro está limitado a 11112 en v18aa de altura infe rior a 4(1 cm y 8 1lI16 s i la altura no excede dI'; 60 cm, véase apartado 5.5. En 106 demás caBOS lo r ecomendable es la 60l ución de lazo con diámetro Ubre. véase figura JO. aunque subsisten 106 criterio6 del párrafo anterior.

Para el despiece de la armadura longitudin a l, debe despj.'tulr$C>la grá fica de tracción, Hlz, en sentido desfavorable, una longitud que dt::pende del intervalo entre estribos, ángulo de los mi s mos, y armadura de piel. véase tabla L Un valor de O,6S·z es holgadamente seguro. Para armaduras transversales a 4S- el desplazamiento es nulo . Además,la tracción de cada arll'ladura debe dt::splazarse en la distanc ia horizontal que dista de la rama vertical de estri bo más cercana . lo que e n visas de descuelgue es inapreciable, pero en vigas planas o para armados en lae alas de una visa en T, es importante; véase fisura 21. Pera el cálculo de la ar",adura máxima, l a gráfica de tracción puede redondearse eobre cada apoyo o' carga puntual, segun figuras 21 a 29. Si. e l ancho de apoyos es muy importante . o se trata de e mpotramiento a una pantalla, la treccl6n puede incluso disminuir o llegar a anularse dentro del apoyo, véese figura 31. La armadura longitudinal está lilnitada a un numero de diametros a cada lado de una ralla vertical de eQtribos, vease tabla 5, lo que puede obligar a aumentar el dUll'ietro o a densificar I)ás de lo previsto los estribos . La s ermaduras inferiores pueden disponerse entre l as ramas del estribo ; l as euperioree ee preferible dieporierlas repartidas sobre cada rama de estribo a Iledias a cada lado de él; en: ambos caS08 lo más pegadas posible a bs ramas verticalee. Las Buperior-4'6 de un nudo extremo deben dispo ners e dentro del ancho del soporte -caso de hormig6n- o en sus inmediaciones -<8eo de 8oporte de acero- o rodeárttlolo en lazo si es posible hacerlo , Tras la intersección de 18 capacidad de cada corte de armaduras con la gráfica de tracci6n, ee preciso prolona.qr por anclaje la longitud del despiece correspondiente. Para las barras más cortas , generalmente basta una longitud igual a le de anclaje total, -véase tabla 2-, desde el punto de tracción máxima. Para las demás· suele bastar la l ongitud de anclaje reducida contada desde donde el punto donde teóricame nte termina de ser necesa ria . Para una informaci6n más detallada se pueden consultar loe valoree de l a tabla 4. En 1018 nudos interiores, cuando la armadura, d e bido a la elevada colaboración dell8oporte, no 66 pasante, y. e n todo caso, en los nudos exteriores, el anclaje debe hecer6e sobre el elemento con el que se equilibra, ee d ecir el soporte, con anclaje en escuadra. Si la carga del soporte 8Uperior excede la capacidad cOlllpleta de las secclones de dos barralS, ee puede formarse con elles un lazo alrededor del soporte, véase f18ura 30. Con eoporte .etál1co es obligado el lazo. o la dispoeici6n de una barra que ensanche las dlepuee tas en escuadra trae el fuste. que debe prolongare e haeta la cera superior de la viga . En vigas en forma de T con armado en las ala6. o en 106 caB06 con armaduras por fuera de 106 estriboe, deben preverse armaduras de igual capacidad que 6stos. alcanzando a todaslae armadura6longltud1.nales, véase tigura 43.

no En vigas planas, debe exlotir , C!n el iouiJc(, de: J(' I; ¡;O I'<') I · l. c~; ti c: v iG~:' interior ee. una arlladura tran6veraal e n el plano CUpC'I'iOI' dc: ;.¡nl'l.'l do, parCl tras1&dar la carga repartida en el élocho total de la viga. ¡ti de l r.opú l"le. en 8U !Situac i ón real. independientemente dI! la situación }' dinl<;: nni Ollcs de los demás de la D'llSm8 viga. En 106 casos d e soportes de viga s d e llQrdc , el cen trarlo puede e1gniflcar ar marlo adlcional inferior en lo~ ne rvi oG o vip,uetaa q ue acometan 81 ábaco. El a n álisis de 8olicitaciones c uando las vi.gas 60n planlts debe considerar que la sección no ce constante y se halla estrangulada en las in mediaciones de 108 soportes extrem06 e n un anc ho parecido a l del propio soporte , véase fisura 49. Para 108 nervios transversal es El l aa \l igás planas, ae puede tratar ésta como un apoyo extenso, lo que s ignifica redonde o sobre vigas interiores y medición de luz a l eje de la vlga e n l as d e borde, siempre que no ee olDitan las armaduras de ábaco y centrado c iladaR en el párrafo anterior.

En loe casoa de vigae de altura importa nl€:, y solwe tC'ld.." e n los casos de predominio de cargaa puntuales y de altura variable , e l deRpiece de armadura e8 puede obtener a partir d e un modelo de celos1a f o rmada por bielas a compresi6n y tirllntee traccionad06, sin necesid a d de obte ner expreslImente cortante y momento . Si la altura es comparable a la distancia entre puntoe de momento nulo, ee denoll1l..na viga pared, con pautas de armad o IIIUY dllerentee a 18e de vigae esbe ltas. véase figure 56 .

• UIIII. ...... 1111

l!I.clUl!Ila t.cDica .uperlof 4. arqultllctura 40 .a11a4.0114 .

FORJADOS DE EDIFICACION

En un edifioio, el forjado eupone una parte 6uotanci088 del total de la e6tructura de un edl:ficio, aunque, en general, ee proyecta y calcula a partir de reglas pensadae, experimentadas y contrastadas con otro s propó aitos distintos . Para regular este tema, la Comisión Permanente del Horm.igón ha publicado una adenda a la Instrucción EH-88 como norma separada, KF-88, para forjado e 1, que incluye tanto 108 armados coeno 108 pretensad08, recogiendo lo que ee venia ya haciendo o explicando en 6ste campo -muchoe de 106 m1embr Cl r: del grupo de trabajo y aun de la Comie1ón eran profeeores uni verI51tartor.- . En el mo mento presente, Si-88 está ya plenamente en vigor, aunque eetrictamente el técnico directOr de obra está 6ólo obligado a conocerla, ya que, a 8U juicio, puede cUllplirla respetándola llteralellente, o haciendo cualquier otra cosa -natura.l..mente bajo 8U responsabilidad-o Una gran pr o porción de forjados de ed1f1cac16n ee realizan a parUr de elemento8 prefa bricados, incorporando en obra piezas de allgeramiento, hormig6n in situ, y armadura. Para ordenar este mercado, está en vigor una reglamentación, actualizada a BF-B8, que obliga a los fabricantes de estos elementos a documentar de modo inequivoco y normalizado laa caracteriatlc as de la6 piezas que fabrica y 18S de los forJados que pueden realizarse con ellas . En el pasado la supervisión pública de e~ta documentación, denominada Autorización de U80, se ha circunscrito e610 a comprobar que 106 valo res tabulados en las fichas correspondan según normas 8 los valores deducid o s de la seometria y materiales previstos . La comprobación en obra de la geometrla es sencilla, pero la de materiales, resultaba inviable en mucho e caeos, por lo que el grado de seguridad real de los for Jadoe era a Dlenudo desconocido . La reglallentacl6n actual de Autorizaciones de Ueo, compleDlen-

1 In ri(or, 1010 101 forjadoa 01 hor~i,On . Loa forJaOo • • e puedln hacar Oe ml~lo. de ~aderl y hor.,,6n, con perfllea de acefo. con chap •• treCldla v honnit6n, lablero. da pIJa, carlOn, carl6n-e.cayola, vi rula cllllllnlaOa, con v i ,uela. mi_ta. de acall'O y horMI,dn, elc , nln(uno 4e 1110. cubiefto pOli' la norMa cit,4a. Y aun con hor.i,dn, l,a aolucion.a .n loaa Mlclla o alltara4a en la. 401 direccionel, co.o forJaOo. raticulldol, tampoco quedan eubiarlO. pOli' Er-II, 4.bilndo u.Hina pafa el10a a 10' •• p.cto. ,enlflll. Ol.cfllo. In EII-'I .

~.d~rl.

forjado,

tada con las de supervisión industrial de la producci6n. autocontrol o Sellos de Calidad, permitirá constatar también que en la realidad de la producción se alcanz8n 106 valoree previstos . En principio la opción más simple para un forjado de piso en hormigón es la 10&8 maciza. No obstante su eficacia está reflida con su peso, de manera que a partir de 4. o 5 metros de luz , la opci6n mas aconsejable ee aligerarlo, dotándolo de no tanto peso ComO canto. A su vez el JIIayor canto permite alejarae de 108 valoree critico s por flecha, posibilitando el uso rentable de ma tarialee IDAs resistentes. Las eoluciones mAs usuales de aligerar 80n lss de nervar el forjado en una o dos direcciones, dondo lugar a los for jadoe c1661c06 de vigueta y bovedUla o a 106 reticulad08. Loe primero8, debido a su parc1al prefabr1caci6n, y a una mejor capacidad para. aJustar6e a soluciones complejas de planta, es la más utllizada en edificaci6n con carsas y luces moderadas.

tdnchru no En este documento se anall.ta el estado de la cuestión en el proceso de proyecto y cálculo de forjados para edificación a tenor de 108 preceptos de KF-88, con especial atenci6n a cuando la 801uc16n 88 un forjado plano. En primer lugar B8 tocan 108 tellas que se refieren al Proyecto del for jade, ee decir a la definici6n de 108 términos neceearlos para poderlo calcular¡, en segundo lugar a 108 pr opiamente referidos al Cálculo. o a cómo analizar y arriar un forjado. En tercer lugar ee abordan la Comprobación y detalles necsBarlos de un forjado ya calculado, y en último lugar loe telass de Pato10gia, control, malAS pr'cticAs, y todo lo que tiene Que ver con la recepci6n de componentes y aceptaci6n de la obra realizada.

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• 'lCura l . Secc t one. ti ple •• 4. forjado

La norma KF-88 se ocupa solamente del forjado como tal, dejando a juicio del técnico que intervengan lal3 cuestiones derivadas dEl la solución completa de la plants. La práctlca habitual de rea.l1.zar los forjados ain vigas de de6cuelgue, -vigas planss-, aplicando progralDas de pórticos, inadecuadoB para esta soluci6n, -en la que la información en planta y la interacción entre vigas y viguetas es esencial-, o calculando las vigas por un lado y el forjado por otro, o proyectando completamente las vigas sin def1n1r al mismo nivel el forjado, Bstá produciendo diferencias de criterio, dudas, y patologlae var1as. El hecho de que, pieza a pieza, el forjado sea poco relevante, hace que en ocasiones ee trate COIltO una estructura de tono menor, sin resolver en el proyecto, dejándolo como uns pura cUBet.16n de oficio a decidir en obra, pero de la correcta definición y cálculo del forjado depende una patología amplia, de consecuencias muy desagradables en loe últimos años. Por ello una parte mayoritaria del eefuerzo de cAlculo de una estructura de edificación debe recaer en el forjado.

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1. del proyecto del foriado

Antes de poder calcular un forjado. éste debe estar dimensionado, ya que por ejemplo. 1808 solicitaciones dependen de la carga, y éeta a 8U vez del canto. Para proceder al cálculo deben estar deterlninados todoa loa parámetros que 1n!luyen en lucee. cargas o secciones; en principio no es necesario det1n1.r 1815 arD'ladura6 antes del cálculo:J:, pero el toda6 las d1.menaioncs geom6trlc8s del horlllig6n. Como algunas de ellas dependen de las 8olioitaclones existentes, y a su vez éetas del peso y de la luz. eete ciroulo vicioso obliga a proceder por tanteoe. con cUculos inicialmente aproximados de todas las variables.

1.1 Dispoalc16n de viges y viguetas

El cálculo del forjado parte. como datos previos, de la ubicación de las viga e que lo sustentan, a su vez 80portadas en loe pilares, di6pueat08 en lugares estratégicos de la planta. Ho 88 pueden dar reglas sencillas de cómo dieponer mejor un08 y otrae, aunque eata decisi6n tiene una gran tra8cendencla posterior, ya que el coate t1plclunente variable del forjado. el del acero, depende lDuy directamente del tamaRo de la luz tipo. En todo C8eo reeultan m6e conven1entes la8 lucee lo más paqueftae pos1blell, -pero no inferiorell toda e 8 3 ,5 tn-, lo mAs regulares pQe¡ibles, lae lucee extremas algo menores que 18.15 interiores, volad1.zoa J menores que la tercera parte de la luz que los companea. etc. reglas válidae tanto para visas como para v18uetas. y que loe pórticos lIá8 representativos posean al menos dos traIDOS, e8 decir tree eoportee. En general para encontrar la mejor d1epodción debe esperarse a caloular -y lIIedir- cOlllpletamente varias eo1ucione6 alternativas.

1 In 10. 1104.10. de e"loulo 111'. eOllplicado., C0ll10 loa no J1noolo$, 01 on'ltat. dopon4e ta~blen 40 la orllla4uro, debiondo o.I.tir al,un lIIetodo, indepondlenle dol an'lioi., para 40flnirla. 3 Para quo un lrolo 4a forja<lo .ea un vualo daba podar.a quabnr an 01 entronque. 11 eaoo de un torJado que vuela flanqueado por do. trollloo que conlinuan ha.ta apo,.ar.o 111' • • 11", -aHuaelOn llple • • 1 borda da huacoa-, no .on propiamento vol.dilOO, aunque lan,an 1I0montoo ne,atlvoo, ya qua aun tallondo ou. r •• ,olonela a 1II0.onto no,atlvo '0 podrion .o,u.ir apoyan40 on 01 borda, .i .oto poooo ouflelanle r •• lolencia eo~o vi •• apoyoda.

•

nhucturn

Aunque es deeeable. con vigas planas no ea imprescindible que 18S viSas sean reatae •.pudiendo presentar sin problemas quiebros en 108 tercios de la luz en trallOs continuOB . Sin embargo no ee en absoluto necesario que

108 soportes correepondientee a vigas paralelas estén enfrentados·, Tampoco se necesita que 108 soportes cstén rigurosamente alineados -ya que el cambio de dirnenelonee de 108 soporte e de una planta a otra no permite bacerIo en todas ellse-, ni que las vigas ee dispongan exactamente simétricss respecto a 108 8oportes . Ello Be patente sobre todo en el perimetro de la planta, donde con frecuencia 18e vigas 80n anchas mientras que 108 80portes, más estrechos que ellaa, ee sitúan al borde.

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51 813 opta por un forjado de viguetas prefabricadas. e8 aconsejable solucionar con ellas la mayor cantidad de puntos posiblee . En ed1f1cac16n 8S posible resolver con las IDismas viguetas, o a 10 BUIDO disponiendo adosadas d06 de ellas, 108 brochales habituales en torno a escaleras, ascensores y 106 bordes s del forjado. Algunos fabricantes ofertan , con la misma tecno10aia las viguetas, piezas para vigas, y aun pre10sae, cubriendo la totalidad de la superficie de la planta, oferta nada dcadei'Sable.

III

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•

En edificaci6n no tiene sentido discutir la dirección preferente de los pórticos formados por viaas y soportes, ya Que 108 formadoe por soportes y vi8:uetss serán transversales a ellos. La decisión 8 una alternativa de ese tipo, pasa en ocae1ones por proyectar completamente las dos 80luciones, y elegir en consecuencia trae la medición completa de cada una de ellas. Salvo que la estructura sea de muros de fábrica en zonas de alta sismicidad, no es indispensable, ni e1qulera recolllendable, que las direcciones del fer jado cambien de un recuadro a otro; lae discontinuidades crean un sinnúmero de conflictos constructivos -como inútiles y pesados maclzadosque auroentan injustificadamente el costo de la solución. Como el for jado ea r1gido en su plano, funciona perfectamente bien con todas las viguetas en la misma dirección. Tras un voladizo es especialmente caro no disponer las viguetas en la misma dirección. (EF-88, fig 7.2,b).

4 El conjunto "'. pll.raa enlal.40a por un. vi'a •• nelbleon.nt. recta •• denollltna con frecuencl. p6rtJco. In rilar, .i la vi,. tl.ne .1 mllmo c.nto que el rorJado, dicho pOrtlco l. virtual, tanto o lila. Calla al qua fOflllan 101 loporte. con le. vituet •• , aunqua no e,tan .nfrenta40. I tlaVa. 4 • • 11.,.

.... JI\'''C ' , '/\ A .' Si las vigas 80n de descuelgue deben o acollleter centradamente a los Boportee o entrar en ellos. y ser de canto parecido 8 ambos 1adoe s . Con viga6 de canto no ss recomsndable que coincidan sI ancho de vigas y el de soportes, ya que 108 armad08 de 60porte y viga S8 estorban entre 61 . En rigor puede considerarse que una viga de cllnto supone un apoyo lineal para las viguetas sólo si su altura aupera alDpliamente el canto del forjado, (véase &H-88. tablas 55.4 a y b), y ee rentable sl su alturll es .. ayor del doble de la del forjado; las vigas de descuelgue solamente se justifican e1 existe una gran despropo r cl6n de luces en una y otra dirección. Las vigas planas no necesitan acometer centradamente al soporte, pueden ser más anchas que él, usualmente lo son-, no tienen por qué tener

5 SKi,te una practica MUY •• tlndida, piro poco r,co.an4ab1e, Oa calcular al tarjado por un 1.40 y la. vi,a. por otro, con la qUf:, para tener en cuenta la totali"'a'" "" l. car,a, a, pracho añ.d·ir al ,J,ta.1. O. vi,a. uno, clanolnJna40' luncbol 4e borde para raco'ar la dal carra.tanto; lunebol r •• uelto. a n hor.i.On arlll.do convanoional, no COlllp.tltivo. con l a .0luclOn de virueta. par. eata aencll10 probla.,a. H.y pro.r •••• da CAlculo qua practlca.,.nte obll,.n a ello, 0011'\0 li fuerln un ele"'ento illlprolcin"'ible. Ha 1010 no e, clarto, lino qua ni .iquierl e • • eona.Jabla: forllr lila. al1n la, 4i.en.ionea do lo, raeua4ro. que deben reeolvetae con pi.le, de reo.,atri. 1II0dular rl,iOI, como Ion l •• vi,uet •• y bovadilla., llav • • i,tellatie."ante • un lobrep •• o y 'Obracoato illportante . I Con dlm •• iacl. fracuenci. 101 pro(raonla aceptan 41111lnalona. OUerentla parl cada tr.ono de vil., .unque el equilibrio 10 h.cen en 1. hipóteat. de que todo • • on i(uale., por 10 que e.tl. opción pueda dar lU'lr a .,tructurl' fr.nca.ente In,a,ur ••. Lo. c • .,blo, bru.co, de aeeción tanto an aoport •• co.,o en v'.e. asi.en un .atudio cui4e"'0.0 de cO.,o h.cerlol; an vi ••• el li'Mpre .eJor hac.rlo fUlr. del nudo, , en altura, con una variación Iradual, .e.rlal.ndo.

•

forjado.

ancho constante, -aunque 8a muy conveniente que eea el miSIIO antes y después de un soporte interior- y tampoco tienen que desarrollaree en toda BU longitud al mismo lado de la linea de soportes, aunque todo ello habrá que tenerlo de cuenta en el cálculo 7. En planta, una viga plana puede girar sin problemas en puntos sin momento, por ejemplo al tercio de la luz, y puede hacer un quiebro no muy acentuado sobre un soporte. Si el quiebro es muy fuerte, por ejemplo de 90·,10 mÁs fiable e8 considerar a11i un mOllento nulo, es decir tratar el quiebro como un embrochalado. comprobando que el esquema reeultante permite el equ.Wbrio. Prooediendo por e1metria el éxito es 1'16s fácil.

Tipo del forjado

Ellnejor forjado es, en principio, el que menos pese. Para que la capa superior de horm1g6n permita un recubr!m1ento a:ú.n1mo de las armaduras negativas, -dado que no e8 puede asegurar que vayan a poderse disponer entre nervios enfrentados-, debe tener al menos 4 CID, (EF-88,. art 4.1,8), y más no interesa. S1 no hay bovedillas, sino casetones recuperables, el valor aúnlmo, el recomendable, es 5 CII). Para aligerar, lo Mejor es que 106 nervios estén separados lo máe posible; haco t1elllpo que desaparecieron por no competitivos 108 bloques para 30 o 40 cm de intereje. Si no 8e dispone encofrado total, es dlficU andar sobre viguetas separadae lIIás de 60 o 70 cm, y aun encofrando toda la planta no son manejables bovedillas de mucha más anchura . S6lo como excepci6n, cuando la sobrecarga de ueo sea 6uperior • 400 kp/m- o para algunos puntos an6111aloe de una planta, debe 8cud1ree a intereje de 60 Cll, o en últilDo extremo, al de 82 con bovedillas para 70 cm, disponiendo nervios de v1&uetas dobles.

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511a cara inferior del tor jada queda a la intemperie --caso de cámaras bajo planta. bsjs-, no se desea reveetir -caeo de 88r88ea-, o debe recibir anclajes en cualquier punto. ee puede acudir a piezas prefabricadas en prelo88, que, aunque desde el punto de vista del cálculo no presentan novedad, exigen una minucloea programación y descomposición de la planta. y medioa de elevación y colocac16n lDás potentes. I

La bovecUlla, carambuco, o pieza de aligeramiento. ~ue con 108 tres nombres se le conoce-, puede ser cerámico, de mortero, pol1eetireno, o incluso no ex1stir. por real1.zaree el aligeramiento con ossetones o piezas recuperables. En buena parte de loe edificio e no hoy faleoe techos, de manera que interesan piezas exPlicitas para aligerar, con fondo plano. Las cer6micas son algo 116s caras, pero =68 ligerae, y en general, dan mejor resultado. En alsunas regiones no hay oferta de bovedillas cerámicas y es prácticamente obl.1sado acudir a las de 1II0rtero. El perfU de la bo;vedllla, para no obligar excesivamente a la capa superior de hormigón, no puede ser plano en máa de 48 CID, (EF-88, art 4.1,b). Para intereje de 60 CID pueden pues ser rectas, pero para el de 70 deben ser achaflanadas. En general, para mejorar las condiciones de cortante intere8a siempre achaflanar, y en el caeo de v1&uetaa 8in celos1a inclu80 que presenten concavidad. En todo caso, las bovedillas deben dejar un paeo de al menos 3 cm a cada lado al nivel superior de la vigueta (EF-BB, art 4.1,c). COIDO luego se podrá comprobar, no hay que prever dos alturas de boved.1Ua diferentesj el uso de lae boved1llas rebllJadats no aporta ventajee sensibles al forjado, y puede complicar y aUl'lentar el peso de la 2';01u016n.

1.3

Klecai6n del canto

Para el cálculo del forJado es preciso partir de la cerS8 y ésta depende del peso propio del tor jado, por lo que hay que empezar por determinar los términos eign1:f1cat1vos para ello, bAslcamente el canto.

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1 LOG protra~al co~ercial.1 no .uelen pretunlar por .Itll cuelllon •• y no .aben tratarla., por lo que el u.uario de.be eon frl!eueneia introducir .a ~Ino 1 •• correccionel Que corre.pondan a eltol detalllu. Si el protrama dibuja la. arma4ura. en al'140 probablemente _¡,nifiea QU. no .Ita preparado para nanajar vital planal, lunque acepta valore. 4e .ecelon que lo parl,cln.

Aumentar el canto aumenta la capacidad resistente del forjado, disminuyendo el acero necesario por momento y en su ca80 por cortante, pero aumenta el costo en hormig6n. Al aumentar el hormigón aumenta el peso, y consecuentemente algo te.mbién las solicitaciones, de manera que la reducci6n del acero no es todo lo importante que predice el aumento de canto. En estas circunstancias, se puede demostrar que la mejor solucl6n es sistemAticamente la de menor canto posible. Exiaten d08 limitaciones a la pequef'l.ez del canto. La primera es la de flecha. Al reducir el canto, aun recalculando el forjado. e1 se dota de la resistencia estricta, aumenta necesariamente la flecha. Se puede demostrar que la flecha relativa a la luz resulta c881 proporcional a la esbeltez -relaci6n de lu ... 8 canto- del forjado. Para un canto determinado -criticose produce la flecha exactamente tolerable. Para cantos inferiores la manera de controlar la necha e8 bajar las tensiones, calculando las armaduras para una reB1atencia menor, lo que aumenta la secci6n de acero desaforadamente. La conclua16n es que el mejor ce.nto coincide con el critico por flecha.

forJld o. El canto critico por flecha depende de la l1.m.1tac16n de éeta. del tipo

de tramo, resistencia del acero, criterio de corte de armaduras, proceso de carga. 1netante de la aparición de loe elementos daftables, humedad ambiente. edad del hormigón. etc. Para ritmo habitual y en edificación norlnal. la norma EF-88 ofrece dichos valores como canto aúnimo. -aunque adoptllrlo8 no evita tener que calcular la flecha poeterlormente-, véase tabla L

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para vigas planas ea del mismo orden que para un forjado con la clsma luz y sustentación. 51 18e luces de viguetas y vigas 80n parecidas, el mismo canto puede servir adecuadamente paI"8 ambos elementos. En otro C880 Be debe pactar entre loe correspondientes a18S lucea de vigas y forjado, de acuerdo con la luz predominante. Para el cómputo de luz predominante debe contarse para cada pafio de v18uetas la superficie de planta en la que existe, y para vigas la superficie que soporta.

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Para cargas más elevadas que vivienda, -vt§as8 tabla 4-, loe cantos más adecuados son ligeramente mayores que loe indicados en la tabla 1. En los últimos años, el que el canto mejor fuera el aúnimo poeible, la relativa indefinición de cómo se calculaba y controlaba la flecha, y el hecho de que éeta fuera mayor al proyectar con aceroe de mayor resistencia, produjo una gran patolog1a de flechaa. El factor que más ha ayudado a mitigar eete fenÓlneno ha eldo posiblemente la llmitacl6n de la norllla de Condicionee Acuaticas, CA-S8, publicada 1n1cialJtente como CA-Sl. Según eeta norma, entre distintoe usuarios, el piso, para no acusar ruido de impacto, . o incluye una capa especial para dejar el solado flotante, o pess, con solado incluido, al llenos 420 kp/m~, lo que, reatando un pavimentos de terrazo, equivale A 300 kp/lIIi~ entre forjado y vigas. Cone1derando la fracci6n de zonas mAcizadas en vigas, perímetro, bordea de huecos, etc, el forjado neto no debe peear menos de 220 }o;p/ma a 250 kp/m 2 • Este valor, véase tabla 3, S8 alcanza con canto de 18 cm. En la actualldad 108 forjados con canto menor son caeiinexiatentes. De acuerdo con lo anterior, el canto recomendable para una planta completa de forjado es el mi.nimo por flecha para la luz más frecuente, sin bajar del que permita CUlllplir las condiciones acústicas. Naturalmente, si el for Jado es plano, un único valor debe además resolver a un costo razonable las vigas y controlar también su flecha. En general el canto recomendable

Adoptando este criterio de diJoensionado de canto, siellpre puede daree algún tramo eepec1al que por su luz o auetentaci6n acabe con un canto menor que su critico por flecha. El control de flecha en eate tipo de tramos, se resuelve aumentando la arllladura por encima de la estricta por resistencia, o aumentando el horm1s6n mediante intereje más tupido -60cmo nervios con vigueta doble -82cm-, estrategias sólo justificables si la repercusión de Bste 'tipo de tramos en el conjunto de la planta es pequeña. COIllO re&la simplificada, cuando predominan los tralllOs interiores, continuos en ambos extremos, el canto ópt!Jllo está en torno a L/30, siendo L la luz' del traillo. Cuando predominan los tramos exterioree el Canto ópt1.mo S8 eleva a L/25. Para un tramo aislado el canto critico por flecha está en torno a L/20. Si mandan 108 voladizos no conviene pasar del noveno de su vuelo.

1.4 Predimensionado de vigas La estimación de luces del forjado, y la evaluaci6n del peso propio de la planta, exige el dimensionado previo del ancho de vigas, y de otras zonas macizas del forjado. En general, en edificaci6n, las vigas son planas; sólo si la desproporción entre luces de viguetas y vigas es importante se debe optar por vigas de cento, siempre que 8U descuelgue no interfiera con la

• li1 valor e.acto 40 lUlO, 4iferent.e para cada adelante. En eltfl caao, baat. una aproxhllaet6n 4el ejemplo la IUI: entre eJe a 4e .oporte •.

propó.it.o, .e diacut. "". lado de la Ic,urlda4, por

forJ ldo.

nlnchru

IDCI

arquitectura. Con vigae de oanto, la altura 6ptima oecila entre el décimo y el decimocuarto de la luz interior y el quinto de 108 vuel08. Su ancho óptimo se sitúa en general en el m.1nimo posible, y e8 dlf1cil construirlas con menos de 20 cm ; e610 cuando el canto eupera SO cm de altura es poeible que empiece a aer competitivo un ancho de 25 CID. No compensa la solución de visas de canto con alturas inferiores a 35 cm ni al doble del grueso del forjado. El canto óptimo en momento e poeitivoe, cuyo valor previsible está entre qV"/1S y qL2 /2 4, siendo q su csrga uniforme y L su luz, se corresponde con una parte comprimida del orden del 10~ de la altura de la viga, pero incluyendo COIIIO resistente el hormig6n de la capa superior del tor jado en una amplitud que puede llegar al metro'. t- b~-t

1'- 1..-. ~

IIIII III

Para las vigas planas, en vano, el ancho óptimo es el que conduce a no cOID-primir lDáe que la capa superior de hormigón del forJado, -en una

amplitud grande pero poco definible-, de manera que el ancho inferior m8culIdo entre bovedlllae puede !!lar el menor posible. En la práctica es Justamente el hecho de dejar un número entero de bovedillas entre vigas el que fija el ancho de éstas. de manera que más que acotar el ancho de vigas, en 108 forjado8 de ed111caci6n lo que hay que acotar es el ancho de 8striboe por un lado y el ancho entre luclzado8. IIIUtiplo del ancho de la8 boved.1llas -en general 25 cm- por otro. Para las vigas planas, junto a un soporte extremo. el ancho debe perll'11tlr soportar el cortante. del orden de O.S-qL, con una tensión tangencial media en eeccl6n completa que no !Supare el doble de la reeistenela del hormigón l0. Es habitual no disponer variaciones de ancho entre vano y soporte extremo.

1IlIIIIIII "111 11I 11

b,_

.. b... +

l.,

Fl_ura 7 .

~udo.

tipo en planta:

1nte~Jo~,

b4 ~

b.,

frontal,

l.ter.l 1 e.quin.

En lae zonas de momento negativo, con valor entre qL ' /12 y qL 2 /1S, el canto óptimo de vigas con deacuelgue aa el que necel5ita comprimir algo menos del tercio de la altura de la v!&'a, aunque con poco costo adicional ee puede prolongar como armadura comprimida la que eetA traccion~da en el vano . Sólo si la luz ee euperior ~ 7 m 80n rentables laa vigas de canto con altura vari~ble -acarteladas-. Para enlazar correctamente laa viguetas a las vigaa, la8 primeras deben entrar en la8 segundas, -o, como se dice habitualmente, deben existir unos mAcizados lateralea- que (EF-88, art 7.1) deben ser de al menos S a 10 CID. Contando con un ancho de jaula de eatribos ln1.ni.ma de 20 CID, el ancho de vigas pl~na8 arranca pues de un valor de 30 cm en lae de borde y de 40 cm en las interiores, pero en general. -sobre todo en lae proximidades de soportes interioreB-, deber' ser sU8t~ncial.mente mayor.

, Lo. p~o«rall\ •• comarc!.l •• ',noran en ,.n.ral e.ta colaboracl6n, aobre •• timandO , a vece. not.bl ••• ntll, la armadura inf.rior. Un • • alld. del p~O,ra .. a que Indique ar ..a4ura d. compr.llón en 10. vanOI de .. ayor lu& 111 indicativa d. qUII 'Ile no .ab. JIIalleJar vlfal de .dIUcación.

¡ - - l., - - l -

- - . ~--rO~J~~·----· ---~._---~kl:~J] Para lae vigaa planas, junto a un soporte interior, el ancho debe conducir a no comprUdr por flexión mAa alU. del 40~ de la altur~ de la viga, y el cortante. de valor hasta de O,S·qL, debe soportarse con la tensión indicada en el párrafo anterlor l1 , aunque en general docn1.na la primera condición. En último caeo Bie.pre se puede prolongar a bajo coste la ar10 tita limitación no e. 4111 nor .... pero e. práctica . L. rOfln~Haclón 11111 peulilll lle,ar a •• ptupllc.r, con .at~lbo • • • 1 cort.nte que Ulport. ,1 hOrllll.(Ón en ...... pero. co.l. 4, una 4.n.1eSad lnu.ual F con.lrucllv ... ente co .. pleja de e.tribo •. Co .. o ade.'. l •• condicione. da pun&onamlento no per .. iten lIIá. qu. triplicar el valor citado, rcuulta acon.ajlblll no excedar.e con el cort.ant.e. c:o~tanlll

11 La re,la no elimina la pOlibill~ad di que 111 t .... Ao , pOllclOn relativol de .cporle y vi,a deje malp.r.do el ~I •• fto por cu •• llona. ~e punKon.~I.nto . 1, po.lble qUIII por . I t . ~otlvo h.,a qUI .uaentar di •• nllonel ~. loporta, 41Ipon.~10 con otra fOflla o Inatlrlal, a inclu.o ha ,a que acudir a awnentlr el cinto c!oal forjl~o .

forjado.

Inadura inferior de vano, complementando la compresi6n inferior de la viga, pero s610 con 108 redondos Que pasen por dentro del soporte, que, al quedar pinzado6 por su cOlDpresión, eatán efectivamente anclados . La ampliación de ancho de viga ee muy simple, bastando retirar alsuna o algunas bovedillas sin tener que hacer cambios de longitud de viguetas ni disponer Jaulas de estribos mas anchas. Las condiciones anteriores conduc en, para cAlculo s preliminares a un ancho de vigas planas como el indicado en la tabla 2.

Lu. o.

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Bop.raciOn entro .ifa. 'o)

.,i!!& interior: abaco "ano intarior .,.tre.o "'lfa

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bordll : abaco YllnO interior e.quina

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5,0 5,0

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1,0 5,5

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sección en 108 tercioB de 1ao luces dominantes. dejando aJgo 8s1 como un ábaco en torno a cada soporte o pareja de soportes pr6ximos, No hay inconveniente en principio para que una viga plana poeea un hueco de bajante C8ai en cualquier dUo, o S8 desdoble. o bordee o contenga un hueco de tamai'1o mayor, s1 Be calcula luego 8U incidencia, y ae reapeta el equilibrio.

1,0 ',0

"•• "" "

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"" " " " Ancho recoaellldable en co ••

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5,0

ulncluru IDO

" --11

inlerio r o JO elll en borde

Para casos de carga superiores a vivienda, (véase tabla 4), si ae dispone el cnnto recomendado en la tabla 1, 108 anchos aumentarian proporcionalmente a la carga. Pero como para cargae superiores son también recomendables cantos algo mayores, la incidencia eallgeramente menor; para edi:fiCi06 ds tipo Públicos cabe esperar que 106 anchos 6ean un 15~ mayores que lo que indica la tabla 2 y un 30% para el tipo de Concurrencia Elevada. Dado que 108 momentos a ambos lados de un soporte son o iguales o muy parecidos, en general no hay motivo para cambiar de sección justo en un soporte, e incluso es de8sconsejable hacerlo. Por otro lado no hay que olvidar que la8 solicitaciones 80n mayoree en un tramO corto extremo o un tramo corto entre doe largoe, que en el vano de loe largos, cuyo ancho nece~ario, para momentos positivos menorea, es mucho menor. La práctica de dimensionar cada viga con una sección diferente, mayor cuanta más carga y luz posea, es totalmente rechazable e incoherente con el carácter de continuidad que poseen. En todo C8S0 los cambios de altura o anchurs de viga e deben respetar el equilibrio. A ambos ladoa de un pilar interior las tracciones y la8 compresiones de ambas viga e deben equilibrarse entre al, de manera que armaduras y secci6n deben ser 1¡:ualee, o adoptar para el cálculo la intersecci6n de ambas ll. Con vigae planas es recomendable hacer loe cambios de 12 Hucho. prolfra~a. co.erciale. ptedl~en.lonan (tancaMenLe IIIal • •• 'lfnando .eccIOn, constante, a lo. ltlu.o. ~ae lar,o., J lue,o enla'anclo lncorreetala. vl,a. en el nudo . Aun .1 no pted.imeneionan, en (en.ral con.ideran par. el calculo l.e b.rra. COMO linea • • 1n •• ocl0n, reaol.lendo .a1 el .n1aee . Hucho. de ello. ni .¡quier. perllite" definir cOI'lO •• Oe.lla el .n(renl.mi.nLo de la. vi,a • • a",bo. ladoa del .oporte, J por tanto no pueden r •• ol".rlo bien, a vece. inclu.o dlbu janGo alfo Incoherent. con lo calculado. I.te •• pO.ibleJnente .1

~.Jor

L 5 Vigueta.s dobles y %WlCh08 En general no es poeible disponer un número entero de intereje8 de forjado de borde a borde de cada pafto, pero es recomendable organizarlo sólo con viguetas y bovedillae enteras. Para ello conviene tomar como punto de partida. la disposici6n de viguetas dobles alli donde exiete una carga lineal importante paralela a 18e viguetas. Esto sucede en general en los bordea, donde gravita el cerramiento, o bajo lae particiones pesadas, como entre viviendas o localea. 51 ee preciso intercalar alguna vigueta más para completar la amplitud del paño , el mejor sitio es enfrente de los .soportes, para reforzar el comportaru.ento en pórtico transversal de viguetas contra

~.nts

a.pecto peor r •• uelto d. lo. prOlralna. qua intentar lle(.r al delineado tleo Oe 10. plano. de •• tructur •.

auto~a

utnehru

pUares .

Por lo que re&pecta al cortante, tanto en visuetse como en vigas, es más barato soportarlo por estribos que pol' aumento de anc ho o calidad de hormigón, y ademáa la resietencia a cortante del hormig6n aumenta a menoa velocidad que la de compree16n, por lo que, también desde este punto de vista, lo más sensato ee la calidad de horlDigón más baja posible, dentro de un orden. En alsunoe C8e08 de forjados con viguetas armadas, 81 esr la celos1a norllla.lizada. la eecc1.6n puede Betar angustiada por cortante, per o aún en ell08, y dado que el problema 815 local, conviene máe aumentar ligera mente el ancho de macizados Que incrementar en todo el for jada la resistencia del hormigón.

e:n l os extremo e de vigueta e en borde Ubre, COIDO en vuelos o huecos de escalera o sec eneor, es preciso dieponer un ele liento ¡ue soUdarice y un1formice la flecha de todas ellas, denominado zunchol • Las cargas y eollcitaciones de eete zuncho eon puramente testimoniales, por lo que baeta reservar algO ael como 6 o 10 cm más una entrega maciza de otro e 10 cm para ello. pero, COIDO siempre, asegurándose de que el ancho restante es múltiplo del ancho de bovedillas .

1.6

Debido a la amplia colaboración de la capa euperlor de hormigón, tanto para v18as como par s v1suetas, una variaci6n importante de la calidad del hormig6n no repercute apenas en la eficacia del forjado, resultando la misma armadura para una gama amplia de valoree de resistencia del hormigón. En la zona de momentos negativos la profundidad de la zona comprlmida s1 depende de la resietencia del horlDi86n y con ello la armadura; ee decir. que un hormi86n de más coete perlldte meno e acero. Dado que en un forjado se vierte Inucho más hormig6n que el deetinado a estas zonae. no euele compenear ningún aumento de calidad por encima de H-175, tipo supuesto en la confecci6n de la tabla 2. .

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En ese esntido se puede decir que la resietencia del horcn1g6n no e6 una cualidad deeeable en forjadoe. y por ello EH-S8, nota (1) del cuadro 31.3, recomienda el uso de reeistencia de cálculo de l~O kp/cm a y control reducido -ein probeta e- en viviendas de haeta cuatro plantae para cuando el horllli.g6n 8610 se usa en flexión 14.

Materiales más adecuadolS

UlJJ

~GO

_ __

13 Con frecuencia ae aplica. incorrecta~ente, eata dano.inaclOn a vita. áe bord e paralelaa a la. virueta. que lunchan 1 aten Infinitamenta ~cno. que el prop io forJodo. Como .e ha indicado en una nota anterior, •• ta pr'ctice pr ov iene d. loa profr •• aa de pórtico. que no puaden taner en cuenla loá •• l •• c.r,a. de cerramiento el no ee añaden e.ta. vita. d. borde, cu,.ae .oltcitaclon •• ,. arInaduraa debiera lueto el ulu.tlo trenefo r lllar en viru.tae. 'Incorporar al forjado de plet.ae prerabricac1a. unol ele/llentOa de hO'1I1tón In aitu, perturbando el áe.plece de nervio. y bovedlll.e y encareciendo el COI te no el racomendabla .

Para el acero, al aumentar su resistencia ni aumenta el peso del forjado ni las solicitaciones, por lo que ee reduce BU cantidad. En el mercado de aceros, el costo no aumenta tanto como su resistenoia, por lo que la decisión más acertada ee tomar el de lDás reeistencia, que cueeta menoe por tonelada resistida . Sin 811'1bargo la utill.zaci6n de un acero AEH-600 trae coneis:o una mayor incidencia de flecha, a paliar con aUlIlonto de canto y peso, por lo que el ganador ee cae! ehtolll4ticall'lonte AEH-500 . En la práctica lae viauotae armadas ee realUan todas eilao con este tipo . Que lae bovedlllae sean o no resietentes, en el sentido de ayudar a la sección del forjado, es, como ee ha viato, muy poco importante. asl que eu calidad propiamente resietente no importa, aunque evidentemente no deben romperse al menor pretexto, y por ello eon necesarios unos requieitos rnin1.moe de reeistencia (EF-B8, art 2.2), que generalmente cumplen todas 185 cerámicas bien cocidae. En el mercado existen dos tipos fundsmentales de viguetas, 11515 formadas por una suela rectangular, que aloja la armadura inferior, y de la Que aeolDa una celoda a cortante. y las en cola de D'Iilano, ein celos1a, generalmente pretensadae. Aunque por unidad de momento flector resistible las segundas son algo máe eficaces -baratae-, su bajie1ma resistencia te6rica 8. cortante, lae hace poco competitivas, ealvo que se pueda demostrar, exPer1Jlentalmente. que reeieten mucho máe de lo que predice la teoria . Esa baja ree1atencia a cortante hace que, en general, con este tipo de viguetaa sea precia o disponer 8ecci6n de forjado cóncava. con mayor reperou8ión de horm.1.s6n y peso, y menor eficacia. En oualquier caBO, de utilizar visuetas pretenssdas. la mejor deciaión ee la de mayor resistencia poeible en acero y hormigón, aunque hay que desconfiar de Que ee puedan coneeguir realmente hormigones de mAs de 400 kp/C 1ll 2 ein medios muy perfeccionado8 de fabricaci6n y curado.

14 Hay que recordar que, en edificación, ha.ta cu a tro planta • • • ~ •• eoonó.ico utlllt.r o .uro. de carra o .oportea IIIct'llcoe, por 10 que e. poco probable q u e In aeto. C•• OI asietan ele/llentoa c1e hor.Ifón eo~el l c1o • • cOllpre.ión .

forJldol

utractuu

810

2. del cálculo del forjado

2.1 Accl.onea Lae cargas verticales que actúan repartidas sobre un forjado de ed.1.f1oac16n. 80n fundamentalmente laa de BU peso propio, el Bolado y revestimiento inferior de techo, 80brecarga de tabiquería y 80brecarga de uso .

Las cargae localizadas provienen del peBO de cerramientos y particiones pesadas, actuando según las lineaa de BU traza. AdemAII5. la acción horizontal de viento o slsmo, cuando se considera en dirección transversal a las vigae, produce solicitaciones que hay que tener en cuenta. aunque no selln propiamente cargas sobre el forjado.

2.1.1 Peso propio A partir del canto y el tipo de nervio e intereJe, BB puede estimar con bastante aproximación el peao propio del forjado,lndependJentemente de 108 demás parámetros; la tabla 3 ofrece los valores lIIás característicoB . El for jado ee puede calcular a partir de dicho peso, aunque en la práctica es siempre 8uperior debido a la incidencia de nervios dobles intercalados, zunchos, y macizado8 diversos. Como la mayor parte de estae zona8 macizas proceden del ancho de las v1B:as, con muy poca o nula incidencia en las solicitaciones del for jado, éete S8 puede calcular a partir del peeo propio nBt.c, sumando simplemente la8 80brecargae citadas en el párrafo anterior.

tabla 3. P•• o de loo (orjado. O• • ilfuot •• Canto 0.1 (orjado

forjado, pe.o Deto nervio .i.ple, .""10 e. ner.lo .{"ple •• 40 nlllr.10 dobl., ."'&3 ~ Planta, plll.O promedio Zona. rolfulare. lona. irre,u.laros Zona .. m_ei);a.

(cm)

" 18 " " " " " " " ao, 24' 'SO ", '10 '" 'SO '10 35' 310 SO, ", 320 335 '" 12' ", 'SO .IO ." '00 , .as 12' 42' 47' '10 '" '" '55 '" '" '" 3SO ,as 41' 21' 29' 'OS ,,, 41. ", .00 51' '"3SO '"'lO lO' '" 35' 370 ", '" ", SO, .00 '00 45' '" 'SO 15' lO' 15' .00 90' U

PIIl.O propio on kp/1It"

forJadOl

En este supuesto, para evaluar la carga que actúa sobre 18e visas no debe olvidaree BUlDar su propio peso. La obtenci6n del peso propio de laa visas de canto implica considerar 81111en08108 macizados laterales obligados por la modulaci.6n de las bovedillas, que Batadistic8IDSnte 88 puede 8uponer de 12 cm a cada lado. Ae1 el pe80 de una visa de canto de 20'40 CIlI con un forjado de 18 cm seria entonces (0,2'0,4+0,24'0,18)' 2,5 ea decir 0,31 tllD, en primera aproximaci6n adicional al del forjado. Si BS disponen vigas planas, del mismo canto que el del forjado, 8U paso es relativamente mayor. De acuerdo con loe valores sugeridos an la tabla 2, las vigas planas suponen de un 15~ a un 20" del total de la superficie de la planta. Y además habitualJnente cada poco hay un hueco de shunt, de ascensor, escalera, vuelos, y, por ajustes a la modulación de interejes de viguetas y ancho de bovedillas, irregularidades diversas, que se saldan sistemáticamente con zonas macizas. Dada la enorme diferencia de densidad entre el hormig6n (2500 kp/II') y un forjado (en torno a 1300 kp/IIl'), sstas irregularidades tienen una gran repercuei6n. El deeconocimiento previo del valor exacto de esta repercusión hace que pase a un segundo plano la incidencia en el peso propio del forjado dellllateria1 de la bovedilla y aun la del perfil de la misma . Dado que el c6mputo exacto de todas eS8S zonas macizas debe esperar al cálculo del for Jado, la carga a asignar a lse vigas puede evaluarss a partir del peso promedJ.o de la planta, en general mucho mayor que el neto, entre unos 40 kp/m lt y 80 kp/mlt más, aunque en oC8siones alcanza hasta 120 kp/m ll má8.

utl'1leturu no Ba muy complicada de resolver con for Jade aligerado -8 cambio, la plegadura y mayor rigidez de la 10s8 maciza permite resolver la uUama luz con un canto óptimo 20~ menor que el de un forJado a.l..i8erado y sin problemas de flecha-o Trae el cálculo del forjado, el eatado de mediciones de hormigón dirá si la suposici6n de peso propio era acertada o interesa corregirla, y si el peso total, incluyendo vigas, cumple el m1n1.mo exigido por condiciones acústicae aunque según la tabla 3, y como ee adelantaba en el apartado 2.3, 8i el cant'o del forjado supera 16 cm, el peso promedio rebasará 300 kp/1fI 2 y no será necesaria barrera ante ruido de impacto bajo el solado .

2.1.2

Carga vertical total

En la carga total influye la solución constructiva del solado, el tipo de tabiqueria, y el uso del ed1f1cio, de acuerdo con las normas en vigor, (NBK-AE-86 revisión de la I'lV-10l). Para el caso de vivienda y luces normales, la c~rga total, sin lIIayorar, d1:tic.1l.mente bajará de 650 kp/m* para el cálculo de viguetas y de 700 kp/m lt para vigas -y aoportee-. La tabla 4 refieja 108 már genes posibles de carga a tener en cuenta en el cálculo de viguetas para div ersos usos de la edificaci6n convencional, clasificados en grandes grupos.

Tabla 4. Ca r c •• • crllcalea reparlida. en kp¡" para c'lculo d • .,.u.,ta.

tipo de «Uic:le o Ion

So\n cn,. Sohdo Tohl

ruo ,ropio forJdo

1..

T.~l •.

hotcu, turu'" ,rindu

111-2\1

110

lO'

151

IUf

510 •

IIIIlIDI! ' hlnd .. , hUhclOlU

2\1-)01

100

· 100

110

140e

650-110

m-m

111 !DI

111 lit 51

ne - 111 151 - IDD 111 - 151

111

100

51 51 1

lID 511

11 1

211 251

150 - 1110 1151 - 1251

111 101

Cml 10m

C111l11lS

filmas Iohlu, b.plhlu, d~utu Courchl, ,. .. lb, oUchu Caulu r',ura 11. Zonaa ' .rrecul a re ..

La tabla 3 ofrece tambi6n valores estimados del peso promedio de la planta de los forjados de edificación. Por zonas regulare e puede entenderse las de pafios rectangulares resueltas con nervios simples . Ejemplos de zonas irregulares, con mayor peso medio, 80n 188 resueltas con nervios dobles, o 108 paños triangulares u oblicuos a las vigas, o con profusión de embrochalados y zunchos, etc. Sólo cuando la totalidad del pano 8e resuelVe con losa maciza hay que considerar el peso te6rico de 2500 kp/.. 3 correspondiente a este C880, pero no es intrecuente que S8 haga en la secalera, ya que 6sta

COICIIIIICU ILIUDI erudu alUCUtl Grdetlot

111 - 15l 251 - ID,

m-m

m-511

•

.~~,

H~G

¡TU

CUI'

.ltuud.

211 211

el valor corre.ponde a un •• Ior medlo de nieva, en fl,or •• rl,ble •• fün el .~pl.& •• '.nto 41 la obrl .

ulrwctllrll no

2.1.3

Alternancl.a de sobrecargas

Aunque en tramos aielados la peor hipótee1e sea la de carga total, en tramos con continuidad, los momentos positivos pésimos de cada uno se consiguen con

106

tramos contiguos descargados, y 108 negativos pésimos

con dos tramos contiguos cargados y

1015

siguientes descargado6. Dado el

carácter convencional del valor de sobrecarga, -que se supone que representa el valor que uniformemente repartido da lugar a !Solicitaciones tan elevadas COIIIO 1se de la carga real- en muchos C8808 no eeria prec180 alternar la carga variable, que en forjados de edificaciÓn 8a1a sobrecarga de U80.

"111[ 1111111111111 '

•

' 111111111111111 111 '

,,/\

•

'1 111111111111111[11'

•

'i~u~a

En los casoa en que el forJado sostiene otroe pequei\olS paños ~orno ea habitual en loa embrochalados alrededor de 108 huecoa de aecensor o escalera-o la mayor carga exige lIIayor reeietencla, que talllbi~n puede reeolverse disponiendo viguetas adicionales. soluci6n mucho lilAo aimple y barata que vigas l5 o nervios real.1.zados con la t6cnica de hormig6n armado convencional. -+

--t"'"

'1 1111111111111 11"

"'(\'111111111111111111 11'"

/"-...

,111111111111111,

12 . 8011cilaclono.

Si estos elementos discurren perpendiculares a laa viguetas, se toman como cargas puntuales para ellae; ai 80n paralelos en general ee resuelven disponiendo nervios con vigueta doble o a lo aUIIIo triple.

"111111111111111 11"

/,,,,

•

Otro ejemplo clásico de carga a localizadas e8 la división entre 10calee 15 ; sI por ejemplo éete 8e realiza con medio pie macizo de 2,5 m de altura, la carga ai'ladida en eae punto 8S de unos 500 kp/III.

po~

allercanoia

,En cubiertas y viviendas no es necesario considerar alternancia, (EIr-S6, art 6 . 2), salvo en voladizoe. En otro e casos no hay acuerdo al respectoj la tabla" ofrece valores recomendables de eeta alternancia, cuya incidencia ce IIIUY diferente según el mil todo de determinación de solicitaciones que se use.

2.1.4

Pi.ura 12. C.r ••• linoal •• 40 _uro. 7 parlicione.

En 108 bordes ds vuelos ocupablo s ee preciaD suponer (NBK-AE-88, art 3.5) una carga de 200 kp/m, pero 0610 para el cálculo del vuelo; no es precie o computar eea carga para la viga o pilar que lo soporta.

Cargas locallzadao

Dado el carácter monol1t1co de la capa euperior hormigonada, las cargas oxistentes sobre una vigueta afectan también parcialmente a lae inmediatas . Debido a la indefinici6n de eete reparto, ee buena práctica disponer resistencia en forlla aproximadAmente proporcional a la carga, en particular en los bordee paralelos a laa viguetas. en donde el cerramiento puede significar una carga localizada por 11 lineal, del mismo orden que la carga por mll reparUda en el reato del forjado. Por ejemplo un cerramiento de medio pié, cáma ra y tabique, con altura entre plantas de 2,70 DI pesa del orden de 700 kp/III.

15 Sin e~b.rCo 01 proci.o tarantl*ar que la care. dol Muro de CId. pilO (rlvil. en el forJ.óo correapondlente. 5i l. hll.ó. luporior o.la bien ret.c.d. y on la planta baja no eKilte t.l el.~ento , 1. carCa d. tOdO. 101 pilO. inicial~onlo deecanea po~ lr.n.Mi.i4n directa en 01 pri.oro . h •• l. quo .e .frl.t • • 1 lIIu ro, pa.ando lo. d ••'1 a fravitar .obr. 01 •• fundo, otc. lE.te oflcto •• p.rlicularlllonte do.ofradoblo .n olflrolllO. vo1.40 •. La l olución •• no rlltac.r l. ~lli~. hilada, roal1*ar l. fabrica do .rriba a abajo, o, 10 quo o • • a. recolllondable, di.poner viCo, d. e.nto en pl.nl. prllllora pa~ • • 1 total de l. c.r(. de lo. lIIuro. do loda. la. pl.nt.a, pero calculando ad'.'1 c .d. un. pIra la .uya. 18 Ho re.ull • • propi.do l •• poco en •• to. e •• ol l. denoaln.clón de ~unchoa . LI n.c.nidld de eleMenlOI •• paciflcoa de horMl,6n .nl.~.ndo loporto., por .Jelllplo par. loporlar .cclonel horl~ontlll • • obr. 01 odirlclo, le dilcut. 111' • • d.llnt •.

forJado,

2 .2

AHALISIS

El análisis del forjado implica obtener, a partir de las cargas, las e ol1c ltac l ones de cada punto. Si las sollcitaciones son excesivas para el h o rlni&ó n es obligado cambiar sus dimensiones, pero teniendo que reconaidet"ar las cargas . Las qus se pueden resolver con acero sirven pars calcularlo. Las solicitaciones dependen de la geometría de luces y tipo de sustentación -enlace- entre los distintos elementos de la estructura .

uhllct., .. uo

SI modelo del forjado como barra continua. apoyada en las vigas , tra tando conjuntamente todae las que se encuentran en la msma situación , nec esita algunas precisiones. En primer lugar la condición de apoyo implica descenso nulo de éste. Con vigas de canto importante, la diferencia de deformación con el forjad o permite considerar el encuentro de viguetas sobre viga como un apoyo para aquéllas, y lo mierDO sucede lI!Ii S6 trata de un tarjado sustentado en muros . Pero con visas planas no puede ignorara e que éstas se deforman tanto o más que el forjado. Cuando loa soportes de las d1terentes vigas 6stán enfrentados. aunque los extremos de las viguetas de vano descienden máe que los extremos de las que acometen a un soporte, toda.s ae deforman de modo muy parecido. y BUS solicitaciones Bon prácticamente iguales.

2.2 .1 Modelo de anál.1nio

En una distribuci6n ortogonal de vigas y viguetas con soportes más o menos enfrentados, el estudio de un pafio de forjado 8e puede reducir al de uno de sus nervios, o, como es más habitual, a uns banda de un metro de anc ho. El c a rácter de elemento superficial del forjado permite considerar la c ontinuidad con un pafio con otro, aimplemente por estar diepuesto en prolongaci6n, independientemente de ailoa nervios eatán o no exactamente enfrentados . Dada la alta deformabUidad a tors16n de 1aa vigas, el nudo se suele suponer apoyo simple para el conjunto de los dos paBos del forjado u que aco meten a un lado y otro de la misma. Cuando el forjado se prolonga al otro lado de la viga en un pafio transversal, se considera apoyo aimple, igual que cuando acomete a una viga de borde. En elementos menorea. COIDO loe embro chalad08 citados antes, 108 extrellos pueden consideraree ventajoaamente semicontinuos. El modelo clásico de análisis es el de tomar cada tren de viguetas como una viga continua, con resultados válidos para el conjunto de viguetas con la misma geometría y enlaces. No obstante, debido a la parcial, pero suficiente ductilidad de las piezas de horD'l1g6n impllcadas, se pueden realizar ajustes plásticos da vigueta a v1gueta dentro de un msmo pai'io, y entre los momentos de un miamo traMO, adoptando como capacidades re81eten tes las derivadas de un diagrama redilJtr:1buldo de solicitaciones. En el caeo de tuertes irregularidades o disposiciones no ortogonales en planta, en vez de tomar innumerables trenes diterentes. se puede adoptar un modelo más general, ~el que el anterior es un caso particular-o que ee el de rotur~, en plMta, con lineas de rotura no necesariamente rectas, modelo todavia insuficientemente formulado y cod1t1cado.

NOTA : Los cOl1Jentar.::J.os que siguen, reLerido8 a maticeB del modelo pueden obviarse en una pl"1mcra lectura.

17 Aunque el obvio que, en eue pro.I",Ida4el, el loporte queda i .. plic.do , cite efecto ae d.'precla . Con ello toda. l •• vlruetal le luponen .poyad.1 en 1.1 vit •• Iln coacclOn al ,iro, aunque e. recomend.ble un. levo correcclOn que •• comente ~al .del.nte.

ril",ra 14 . Par\o. con adport.a al treebolillo

Pero si los soportes están al treabolillo, la vigueta que arranca de un soporte acomete en BU otro extremo al centro de vano de viga, y en esa situación no ae puede decir ni que ambos extremos se comportan como apoyos, ni que las solicitaciones de todas la8 viguetas son iguales l l , y sólo ea posible disponer armadura uniforme confiando en una ductilidad no probada ni cuantificada, por lo que lo prudente en e8tos caaos, aunque se calculen todas las viguetas igual, es disponer 1a8 armaduras variableo rara aproximarse en lo posible al reparto deeigual del momento y cortante B.

l' E.t. cue.tlOn no .uele ler ten id. en cuenta por 10. prorr •••• d. 041cul0 d. forJ.dol , lobre todo porque en oc •• lon •• l,noren ). po.tclOn de loe Boportel, lo que obllC" • h.cer correcclon • • • ",eno . 11 e.lcu).r con un pro,ra~. lo. forjadoe y con ot.ro l •• vlr •• y .oporte • • 1 un. lIal. practic. que no cone'rua control.r lo ••• peetol delicado. del co~port •• iento .atruetural. l' tite probleMa no .010 lurCe c uando loe loporte. e.tan .1 trelbolillo; en rlror lo. e.t,e~o. de un pafto d. viruet •••• podr'.n conoide,.r apoyol aOlo al .mbo. fuer.n 401 vi, •• e •• ct.~ent. 'cu.)el, con ICue1el lUC.I, Carce., IUlteoteclone., etc , lo que .Olo le cu.ple p.ra forJ.dol conpleta.ente re,ul.rel, con un 1610 tipo de tren d. vituet •• . Aun con loportel enfrent.aol, on cu.nto elrílten v.rioe treno., necel.rta.enta la. vit.1 de •• tremo ao un .ilmo pafto .e deCor •• n

lorhdo.

En segundo lugar. aunque para el cálculo del tar jado es habitual considerar laa vigas extremas como un apoyo simple. en las plantas bajas o con soportes de gran eección y canto respecto al forjado, las dos o tres viguetas de lae inmediaciones del soporte ee comportan mátl bien callo empotradas . Del lado de la seguridad puede mantenerae como momento positiYO el basado en apoyo, previendo mOmento negativo en algunas ' viguetas en torno a cada soporte, de acuerdo con la pos1c.16n del mismo y la rigidez de la visa, COIIIO s1 estuvieran 8mpotradse. En último lugar la continuidad constructiva transversal entre v1&uetas plantea dudas 80bre los cambios bruscos de una a la adyacente. En efecto, en la planta deben identificarse cada uno de los trenes de viguetas diferentes por composici6n, luces o sustentación, -independientemente de que la8 viguetas eatén exactamente en prolongación o no-. Pero no parece preciso considerar como diferentes las vi.jruetaa situadas bajo una carga lineal coincide nte con ellas, como son el cerramiento o una partición pesada, resoluble, como ee ha sugerido , con nervioo adicionales; ni tampoco parece preciso considerar como trenes diferentes las viguetas que acolDeten a zonas de diferente ancho de una m1ellla visa. Inclu80 parece excesivo considerar aparte una 80lA viguetA como excepción en un pafio de visuetae iguales . Y a veces dos o tres viguetas pueden verse fuertemente amparadas por las viguetas de emboe lados. En todos eatoe casos la consideraci6n de diferencia de tren llevaría aparejada una diferencia brusca de solicitacionea y armadura, incompatible con la continuidad del forjado.

utrvehru IDO

Un ejemplo tlplco de discontinuidad lo plantea el vuelo sobre un hueco. flanqueado por recuadros de viguetas que 10 Bortean. Considerando todas 1ae viguetas que terminan en el hueco COMO en volBdlzo, loda 8U carga retrocederia hasta el apoyo, su descenso tn'ximo seria en el extremo, S8 necesitaría arlDadura superior, y el zuncho de borde no deselllpePlaria ningún papel. Pero si el descenso en el extremo del vuelo 8S inferior al que se produce en el miemo punto en las v~uetas que flanquean el hueco, el zuncho, atado a e1l8s, trabaja y les reenvía parte de la carga del vuelo, igualando las solicitaciones y armaduras necesarias. Armando más el zuncho podría lograrse qus transfiriera más carga, aun cuando seria necesaria rigidez infinita para que ee comportara como un apoyo, y aun con una gran rigidez y resistencia no podrla evitar que todas las viguetas descanesran en 61 de forma diferente, a tenor de 8U diterente deeceneo, de acuerdo con la curva el.iet1ca de su deformada. La carga que lleva el zuncho a 106 extremos eignifica máe carga, solicitación y armadura para las viguetas al borde del hueco, ex1g1endo armadura d1!erente de la de las más alejadas: Parecido comportamiento oe da en los puntos de comienzo de un vuelo, al aparecer una cruJia más, al variar bruscamente la luz de un vuelo, y en general en las viguetas frontera entre dos trenes. Cuando el análisis de trenes diferentes da lugar a armaduras dletlntao, ee señal de que en la prox:1.midad de la frontera 106 comportamientos son intermedi08 entre 108 de ambos lados. La amplitud de esta transici6n depende de lo diferentes que sean los dos caSOSj eso es lo que justifica, por ejemplo, que una sola visueta no deba tratarse de modo diferente que las adyacentes. Desgraciadamente no existe disponible un procedimiento riguroso de análiais de estas cuestiones , fruto del carácter superficial del forjado 20 , por lo que su cor recto cálculo y armado depende de la sabiduría y tino del proyectista. Un diae50 regular y ordenado es la mejor g8rantla del buen funcionamiento de un forjado.

2.2.2

"!lllh,, ~'ili,¡l,jitlilil,[ ,111111,,"

de ~enera di.llnta, 10' e.tre~o. de cada vl,uela delci~nd~n de manera dile ren ta a loa da las demas, y todaa tienen lolicilaci one s de valor difere nte. Para aJuItar la relistenela a la aolicitaclón, cada vitueta relultar!a con una ar~adura dl'srente, lo que es pooo eon.t ruct lvo, o deberlan .r~.r.e todal como la peor, lo que seria eacelivamente leturO, y por ende, caro. La opclón de unifot~'r la uaiatencia de ea<1a viCu et. a la medta de toda. ellas, eo.o , i toa e¡trelllol fueran .poyoa, le ba.a en criteriol pIaatlcoa, por lo. que laa vituelaa que antel IIellan fl "é'ota~iento esperan a l ... 4elllaa, Debldo a e.le eo~porta~lento, en vira. plana., ta carr. que cada vlfueta enlrer. en la vlfa ea diferente de la collndante, y la supoaleicn de carta uniron"e en las vIC" e. lólo una convención, paro no una conclu.lón rituroaa del anaUai,. T.l convención a • • ceptable da1;)ldo ,alllllalllo al eril.rio pI,.tlco balado en le. propladade. d~ellla. dal forjado.

Luces

El valor a adoptar para las luces depende de c6mo se manejen posteriormente las solicitaciones que resulten del anéli6ia. Si el proceso de determinar flexiones y cortanteo oe hace eimpllficodamente tramo a trallo, se pueden tOlDar como luces las equivalentes de 108 máximos de estaa variablee, valores que se comentan más adelante. Si ee hace un anál16ie a180 más afinado, tomando el tren completo como una viga continua, -proceso recomendable Bobre todo cuando haya una gran disparidad de luces y cargas- no queda máo remedio que considerar como luces las que ensamblan un tramo contra otro. es decir las teóricas entre ejee de soporte. Si no coinciden los ejes de soporte y de viga, las luces ee pueden tomar a ejes de v.1ga, aunque luego habrá que considerar c6mo la reacción -en eje de v1.ga- cone!sue llegar al soporte. En cualquiera de los casos, las solicitacioneo máximae dependen del ancho real de las vigae. 20 En al,unoe teato. reciente., aun dadicadol ~onotr'f'c.mant. al telll' de forJadoll, ell dlflell encontrar fl tuta, o r.faranel.a da tipo .uperr1elal, -ea ainlomalieo el qua 101 forjadOS aparescan ea., a¡ampre en 11r:.<I0-, a¡,ndo ~'a bien lu.ladoa d. pier:a. llnaala, dI hotlllír:On, a partir Oa loa euale, no aa fllell e.trapoler al eo~portamíento llpic.lllente bidi~.na'onal de un forjado .

rorjt40'

utnetun

DIO

La variación de la secci6n a lo largo de la luz complica el cálculo, llegándose 8 valores no habituales . En particular, cuando la r.i81dez a momentos negativos ea menor que a positivos, 108 momentOB de emPOtramien-

to 80n menoree que loa cláeico8 para eecci6n constante u • de manera que para carga uniforme q 80n menorea de qL"/12 .

J~.~~ ' ' llInmlll flauta 16. 801ieltaclonea tt . .o • tr..o

En el C860 particular de forjado apoyado en muroa anchos. ae puede tomar como luz. a todos 108 efectos, la neta más el canto del forjado (EF-88. art 6.2).

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2.2.3

'O'L

"11111111111111 11 [11

." [111111111111111'"

Análisis como viga continua

El anrusia de solicitaciones de un tren de viguetas como viga continua, para ser riguroso. debiera euponer que lo es de sección variable; al menoe la parte extrema. coincidente con viga, es maciza, mientras que el resto del tramo tiene secc16n aligerada. Pero, además, laa secciones extremas tienen momentos neglltivos y las centrales de vano momentoa positivos. Ante momento e poeitivos la tracciÓn sucede en la fibra inferior y la sección eficaz ea en forma de T con una ala amplia . Pero ante momentos negativos la tracción ee produce en la fibra superior, de manera que la sscci6n eficaz abarca arriba s6lo el ancho ocupado por la armadura, y abajo 8610 el ancho del nervio, resultando una secci6n muy infer10r al y por tanto una. detorlDabilidad lDayor. Adelll6e 108 momentos negativos coexisten con loa lDayores cortantes; el horm1g6n e8 muy poco resistente a cortante, o aBa muy deformable a aata eolicitaci6n, de manera que la deformabllidad en las zonas extremae del tramo es aún lDayor de lo prev1eto por momento . En conclusi6n, elmode1o afinado de un forjado es el de una viga continua con menor sección -r1g1dez- en los extremos que en el centro de vano.

:U LI expliclción cult.l el ale:o ..... oo .. plejl. Para "'Olllentol PIQUI1iO. la. leeetonCI no e.t.án (t.urld,. y oper.n con la lecciOn bruta d.a honnie:ón, IlCual a IIIo/nantol po.itivo. QUI • nle:attvOI. Al aument.ar la cart • • e alean:r.a ,"ucho ant •• el ~om.nt.o de (iluración 4a la. 4a un ate:no que l •• de olro, y, para a.tadio. avan:r.adol 4e carta. 11 .ección Que {nt.r •••• o m.jor IU rifid.:r., corr •• pond~ a la .ecclón (1Iur.da, forllla4a por al acero J aól0 la parte c:ollprhlldl del horIIIllCón. In la pr4ctlcl, dadl la .abalt.:r. del forjadO, 101 1I0"lnt.ol, inclu,o Inl. p.IO propio , .uperl" a.plilllanla 10. óe ".ur,clón, por lo Qua JI rifió., .e pareca In'" • la (¡,uraóa, clara.. ant. dif,renl. 4, un., I.ccion., a otra,.

En la práctica, la diferencia de suponer secci6n variable se traduce 8610 en que los momentos negativos 80n menOrt!l8 que con secci6n constantt!l, pt!lro los positivos mayores, ya que entre ambos deben cubrir el ieostático de la carga, para uniforme. qLa/B. En cierta manera ae puede decir que el anillsie no ae destina a calcularlas aol1citacionee, aino s6lo a 8aber cómo ee reparten, ya que de antemano se conoce eu valor total entre positivos y negativos . En ese sentido cabria tomar como reeultado del análisis el procedente de 8uponer sección constante, -proceso Dl6a simple. tabulado y fácil de describir en ordenador-, y posteriormente introducir alguna correcci6n.

22 t,t. In.ti:r., orllClnado por la a.¡ ... trla de co"'porta",ie"to d.l hor",l,ón, no e' e,peclflco d. bl vltuetal, a(,ctando a la. vi,a. tanto plana. como d. de.cuele:ue, , l •• que ta~bi6n 1, .on apllcabl,. l •• conlideracione. Que "tuen en cuanto a redistribución 7 pla.ticidad.. Como en la prtcticI, con canto con.lanta. la. diferencia. d.e .o•• nto enlr. l •• 4ir.rent" co.blnaclona. 4e lUlo, .on lI'Ienore. qua la. a .. bi(uedade. dell1od.10, una buena prtetiea e. provectarl •• toda. par. lI'IolI'I,nto. decldidoe arbllrarll.ent, pIra qua ,n lo. lra.os M'S 101icitld O. 10. 11'1011'1."1.0' de a.bo • • t,no. no a.an MUy dlfer.nte •.

tOl Jldol

Con sección conetante 23 loe Irlomentoe negativos ecn generalmente mayoree en volor absoluto que 101:5 poeltlvoe, lo que unido a que, tambUn generalmente. la capacidad ree1stente o brazo de palanca es algo menor, conduce 8 armadurs8 congestionadas sobre 108 apoyos. 511of: momentos ne-

gativos dlslninuyen, la6 armadura e están más igualada." la soluci6n cons tructiva ee simplifica, e incluso la repercud6n total de armadura baja algo .

utnchru no

H Vo-, y en forjados (EF-8B, art 6.2) fi11l11egar a que 108 positivos superen a 108 negativos, lo que se denomina redistribución tot.1l o plastlfJcac1ón.

Con una redistribución de hasta un 15" del momento máxilDo se puede conseguir en la práctica generalidad de 108 C8808 18ualar moment06 positivos y negativo8; en algunos casos /Duy particulare8, loe de luces desproporciona demente dilerentes o exactamente iguales, hay que llegar a un 30% para ello. Debe entenderse que las opciones Bon o no redistribuir o redietribuir cualquier cantidad dentro del margen citado, independientemente en cada

extremO de barra y en cada hipótesis de carga. Nótese que, en principio, la redistribución no escamotea momentos: 8610108 reparte de manera diferente, ya que lo que se quita de un sitio aparece en otro: la cantidad teórica total de armadura varia 6610 ligeramente con la redistribuci6n.

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.... "IIlIIIIIII[IIII1II"~' Por ello se percnite, o máe bien se aconseja que, tras el cálculo de solicitaciones -que se supone se hace con aección conBtante- 8e proceda a redls tri buir momentos, rebajando los negatlvoB, en visas (EH-86, art 52.1) hasta un 15" del momento negativo -aulJlentando consecuentemente el positi-

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Fitur. 19. Golleit.elono. con rodi.lribuciOn total

Zl ¡l procolo protr . . ado, para una vita de D tra.oe (con o ein vOladi&oe en !~~I~~t~~.OI), con lección 'f :arlll q uniforM.e, J hu L, e. reduco, Iln re4ilt.ri_ Hacer .(0).0, bIO)_I, c(O)_O, 4(0)_0 Hacer .0~.4cho(n).Jllo •. ~01.dcho, .o •. iado(l) •• o ••• ol.iado Para I de 1 huta 0-1: I(t) d(I-I)-a(i-l).L(ll/bli_l) bit) • Z*IL(i)+L(i+I)I-L(i).c(i.-II/b(i-l) CIi)-L(I+l) d(i) - q(i).L(l)-3/i + Q(i+l)aLlhl)-3/i Para i de n ha.ll 2 : JIIo •• ladO(I).(4(i-ll-ali-I)-L(i) ••0 •• 4CbO(i)l/b(1_1) .o•. dcho(i-l) _ ao•. lado(!)

El carácter variable de la redhtr1buc16n hace que no ee pueda hablar con propiedad de qué momentos hay, eíno s6lo de con qu6 mom6ntoe ee calculan laa armaduras, ya que el anilleie de una viga continua no da lugar a un único resultado, sino a varios posibles dentro de un Inargen.

2<10 La poeibiJidld. di rlld.i.trlbuir tiene condlclonl • • Pa" lal vitl. 1010 le puodo lle,.r al ISX 11 la parte compriMid. de la eeceion no .upere al 45X de la altura. Sn forjado., la redlltribuciOn total 'lIpllca, COJIIO le cOlllprueba 111'1 adelante, altun.e preCluclonel lobre lIIomentol IIIlnll11o. pOlltlvo. 'f notativoe .n 101 puntol que 01 lIl~todo dllja con pOCI eolicltacl6n.

torJI401

En ler Jados, el proced.im1ento de variar los momentoe procedentes del análisis hasta -C881- igualar 108 lIlomentos negativos y positivos, lSe traduce en la pr6ctlca en la desaparición del enillate como tal . con toda le parafernalia de términos de r1g1.dez, reparto, Cross, matricial, etc, o lo que es lo uUemo. y mucho más importante, en Que 108 resultados 80n independientes de 188 secciones de lae pieza8, sin que sea precieo rehacer el cálculo

al cambiarlas -salvo por la posible incidencia del peso propio, ya comentada-. La determinaci6n directa de momentos en forJado e: 8e puede abordar con el trazado inmediato de los diagramas de momentos, aprovechando todae las p081bllidadea de red1atribuci6n, que, no s610 ea lo máe: sencillo, sino como se verá luego, además ea lo más aconaeJable, económico y eficaz. En esencia el proceao es: 1. Se calculan los momentos lsostáticos de cada tramo, de valor qL<I/8

para carga uniforme, inorementando O,5-Q a :a/L 151 hay cargas puntuales, siendo a la distancia de la carga Q al extremo más cercano. 2. Se calculan los momentos de valor fijo en los extremos de la viga . Si hay voladizo, el momento de éste, igual al del extremo del tramo sucesivo, es de valor qLa/2 para carga uniforme, lDás QL si hay carga puntual en extremo. 51 no hay vuelo se considera momento nulo. J. Se preevalúa el momento plástico de cada tramo que queda por

calcular, igualando lo más posible el lsostát1co entre poBitivo y nesativo, 8. saber: a- si 108 momentos de ambos extremos eetán ein definir, el momento pláetico es la mitnd del teoetático, para carga uniforme,

qL"/16. b- 8i eetá definido el momento de un extremo, el plástico 8e obUene igualando el positivo y el nesativo que falta; para carga uniforme. ei en un extremo eatá definido el momento M el momento plástico Mp vale qL-/4'(2-((2+4M/qL~})a; para el ca80 de tramo apoyado-continuo. ea ts=O y Mp = O,09·qL-. En seneral: 0,00 0 ,09

0,02

o,oe

0,04 0,07

0,06 0,08

0,10 0,05

0,14 0,04

0,20 0,03

0,30 0,01

0,50 0,00

utrachru

c- 81 Betán ya definidos 10B mOIDento8 en 108 dos extremos no hay momento pl.tetico que valga : ellDomento positivo viene forzado por 108 negativos de 108 extremos . Para carga uillorme el momento pol!liUvo máx1.mo es, aproximadamente qLa/6-M1I2-l'f2/2.

4. Se bueca cuAl ee el momento' p168tlco "máxiI'lO" de entre todos loe tramos preevaluadoe. Se calcula ese tramo, definiendo un momento en los extremos que faltan y un positivo de vano igual a su momento plástico. 5 . Se vuelve al punto 3 de nuevo hasta que no queden tramoa que calcular.

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li,ur. 11. DI_re . . . con re4i.tribuciOn tot.l

El ~roce8o ea fácil.mente iroplantable en ordenador o calculadora programable 5. En donde 8e dice isu~,]ttJJdc) 10 IDAs pol1Jbld ha de entenderse que

"', """l7 ",

M 25 11 proce.o pro,r.~.do, par. una vlt. de n tr ••ol, con o ein vol.diloe en lo • • alrelllOI -en elle \lltllno callo .el,n.n40 alOalento. pequai\ol pero no nulol-, con I.cción '1 carCa unifor~e, .a raduce aloa 101 alo •• ntoa .obre lo. nudol Interior •• alo.(i) con al procedimiento: Hleer lIo.(1)=lIolI .• 01.ia40, aoa(n.l) ••0 • • • 01.0cbo, relto lIolI(i).O CAlculo : .0 ••••• =0 Par. i Oe 1 .. a: .o •• pl •• • O SI ao.(I).O '1 lIolI(itl).,O entoneea ao •• p h l . q(l)'LIl)O/18, li no, al .0.(1) . 0 '1l1ollli .. l)()O entonce • .o •• plaa .. q( 1)' L( 1)°· (2-aq re:"4 'IIOII( i + 1 ) / 1q( 1 l' L( )° / « al no, . i ~0.(1)()0 '1 Do.(i+l).O .ntonce. DOD.pl . . . q( 1) ' L( i J •• (2-aq r (2+4 0.0.( i) I(q( i l' L( i 1° 1) }O/t. SI DOD.pl.a ) .011 ••••• ntonce • .011 . • • • • •o •• pl.a, tr . . . i

i,. ))

forjado.

se debe tOllar l!I1empre algo mayor e11l'lolncnto negativo que positivo, aunque

no ea recomendable nunca que lo llegue a duplicar.

utruetun no prácticas entre eate método s1mpllflcado y el continuo redistribuido en general. imperceptibles.

80n,

Loa tipos báBicos de trallloa serian 108 siguientes:

-Voladizo: con 8610 momentos negativos. para carga uniforme un lDáximo 2.2.4

de valor qL"/2 .

AnállBis simplificado tramo a trallo

-Aislado: apoyado en extremos, con momentos 8ó10 positivos, y máximo lsual alisoaU.tlco, para carga uniforme qLa/B.

La posibilidad de redistribución total del ter jado permite un cálculo simpUflcado por tramos. COlDparando 108 lDomentos p16.et1coe de cada tramo. éstos S8 pueden ordenar de mayor a Ilenor. Para 108 tramos dominantes.loB de mayor momento pláetlco, el diagrama de momentoB de cálculo 8S simplemente el que resulta de igualar momentos positivos y negativos; para carga unlforme 10& tramos interiores qLlI/l6 = . O,06·qL:II Y para 108 extremo e aproximadamente qLall1,5 = O,09·qLa. (Si hay voladizos los valorea son 108 incUoados en el punto 3 del proceso del apartado anterior) Los tramo e lIIen08 solicitados Be deben calcular desoalgando BUS momentos ieostáticos de los momentos plástic08 del tramo colindante. Para estos tramos secundarios no e8 seguro prolongar simplemente la armadura negativa de los colindantes con la miama longitud, ya que en el dominante 108 momentos di8mlnuyen mucho más ripidamsnte .

-Extremo: apoyado en un extremo y continuo en el otro. También se puede considerar asl el que aea continuo con un voladizo qUe pueda dar como IIÚlÚJoO el momento plástico negativo del tramo, para carga uniforme qL"/ll,5. -Interior: continuo en ambos extremo8, o continuo con volscU.zos que den en cualquier hiop6tcsis un momento superior al. plástico del tremo en cuesti6n, para carga unUorme qL a/l6. Esta clasificación puede resultar muy grosera para, del lado de la seguridad, idenUficar cada uno de los tramos de una viga real. Para conseguir un cálculo mis afinado se podrian utillzar tipos intermedios . S1los anteriores proceden de considerar momentos extremos nuloe o igualadOS con los poeitivos, otro e tipos intermedios podrian ser: -Aielado con volad1.zo: tramo apoyado en ambos extremOB con un pequel10 voladizo que da al menos la II'Iitad del momento positivo restante del tramo. -Aislado con dos voladizos, tramo apoyado con dos pequeftoG voladizoe como 108 del caso anterior. -Extremo con voladizo: continuo con un pequeno voladizo ldem. Con eet. c1.eil'icac16n, el cllculo de cada tramo interior de una visa continua o tren de forjado 8e llmita a tomar el tipo qUE! m66 1510 aproxime, en función dellllomento min1mo que puede existir en c(I¡da extremo, comenzando por 106 voladizos y s18uiendo por los tram08 más sollcltad08, que para carga uniforme. serIan:

"" ,,'I!llillllllllllllllllllliP '"

T.bl. rl.uc. ZZ . Dl •• r . . . . tra.o a traDO.

Este es el procedimiento que sanciona como simp~cado EF-B8 (art 6.2). No obstante, y por seguridad, se aeftala que se debe tomar, para el trazado de los momentos positivos -en tramos extremOS- el min1.roo valor posible de momento en voladizos, para negativos, al menos un momento cuarta parte del de vano, y mantener siempre como mOmento minimo de vano el plástico de cada tramo. Estas precauciones 8uelen venir cubiertas por otras provenientes del canto o armado m1n1m08, por lo que lae d1:t:erenciae Hientr.a .o•.•• a

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81 .0.{lraM).0 ontoncca .o.(lr.m) ••o •••••. SI ~o.(tr.m~I).O entono •• .a.(tr.~+l)t.o . . . . . . Hacer '·Cj.lculo "

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Como sobre cada aPOYO interior uno de loa doe momentos de los tramos que concurren en ~l será mayor que el otro, la armadura negativa dolllinante, procedente del de mayor solicitaci6n, deberá prolongarse más de lo que pide el diagrama del traillo menos solicitado. Jil apéndice 1 pre6enta tablaa de cálculo con Be te planteamiento para viguetas armad88 .

forhdOl

utrllct~tU

proximidades del soporte, 108 momentos del for jado 60n superiores, rcapuntanda el redondeo anterior, (E F-88. art 6 .2 com). Es decir que todo lo que se ha quitado a las viguetas por redondeo, hasUl el IDOmdnto flecéor corres¡xmdlente B1 punto de la CMa del soport.e, debe of'Sadire:e de nuevo a lae v1guetas próximas a él 2S • Sea visto COIIIO armadura adicional en algunae; viguetas, o como armadura cOlllplementaria transversal de laE; vigas. (como hace NTE-EHV-1985, Cálculo.3), lo clerto e8 que la armadura negativa en la dirección de lae viguetas debe ser d1ferente en derectClr de 108 8oportce 2'7 •

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2.2.5

Redondeo de solicitaciones

51 se ha tomado COIDO luz la distancia entre ejee de v1&ae, la8 so11citaciones obtenidas en apartadoe anteriores eólo eon representativas de loa momento e positivos en vano . Como lB reacción de apoyo en la viga no ee puntual -lae viguetas ee apoyan y deacara&n en todo el ancho de 18 viga-, 108 diagramas reales auav.1,zan 108 picoe de moment98, dando lugar en eata zona a solicitaciones dlferentee . En los apoyos en continuidad aobre vigas interiores eate redondeo da lugar a disminuci6n de momento negativo, con un máximo en el eje de viga, equivalente al te6rico sin redondear en un punto intermedio entre la CBra y el eje de lB viga. Para reproducir BU valor con el eietema simplificado tramo a tramo, los momentos deben obtenerse con la luz medida a ese punto; si el cálculo se hace COUlO viga continua 8S recomendable redistribuir con alBo máa de momento negativo que positivo, para que el redondeo no los desnivele en sentido contrario.

En laa vigae excéntricas, como por ejemplo laa de borde, la transferencia de carga deede el eje· de la viga al soporte puede haceree con momento negativo, si el soporte tiene suficiente risidez y resistencia para ello, o con máa roomento poaitivo. En este último ca80 resulta admisible y oasi recomendable utllizar como luz la medida a eje de soporte en vez de a eje de viga, asignando aIso más de resietencia positiva a oada vigueta . En el caso de soportes de esquina de plantas altas 815 casi seguro Que 15610 ee pueda resolver la excentricidad entre Boporte y viga con incremento de momento positivo.

En las vigas extremas el redondeo da lugar a un alargamiento de la grifica de momentos, sin mayor importancia, en principio, que la que se deriva de la necesidad de un cuidadoeo anclaje.

2S La aolución ela cona,derar para loelaa la. vi,uet.a el ",i.",o ",o",anlO, aun4u8 .ae el corre.ponellante a la cal' dal .oporla, no •• la mA. corracla . lila la~a le lrala .n datalle ",A. adalanta.

En todo C8S0, 8i el eoporte donde apoya la viga tiene un ancho mucho menor que ella o 10& ejes de ambas piezas no coinciden, la situación se altera en aentido contrario en la zona próxima al soporte . En efecto, en la viga interior, el redondeo implica que la viga transporta la carga repartida en todo BU ancho. Antes o des'Pués la carga debe entrar en el soporte, de ' manera que la transferencia de carga de una a otro significa que, en laa

21 rIta cu •• tiOn aa habitual.anla itnor.cta por 101 protra",a, a. calculo 4a lorjado, que 4i.ponan ar~a4ura con,tante. y que a vaca. no .aban dOnela •• tan y 4u' .acciOn tien,n lo. &oporta •. Lo. pro!ra",a. ele cAlculo da vitl', ulull ..ante da pOrticol, t •• poco tianen en cuentl 1. dilerenc¡a da t •• afto da viC" y .0pOlte" aun cuandO " a un elato di IIntrlda, yen tOdO calo itnoran la pOlic¡On o dllc'ntr.",iento relativo • . 'n ,enllral 10' proCr,.,a. Iuponan lal barra& Uneah. lin dilllllnlidn par. consieleral 11 equilibrio del nUdOj la. di .. enll.onl. al ,.cclOn 11. utiliJan dnlca",ente para pa.ar de ,olicitaclón a ,r"14ural .

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-, "

forJado.

estructuru

IIDG

NOTA : El estud.io de este apartado puede esperar. en una prlmera lectura,

debe armarse con pocas armaduraB de pequeño diámetro. Si la solicitaci6n no coincide exactamente con una armadura determinada debe cubrirse con la siguiente . Dada la enorme repercusión y extracosto de ha c erlo en todas las piezas, la tentaci6n es utilizar una escala tupida de c ombinaciones extrañas , para el caeo de viguetas armadas, mezcland o barra e de diferente

a la del de cálculo de armaduras,

diámetro, por ejemplo ¡¡SS, 2!1'6, jilS+\ZIB, ljillO, 3\Z16. 2"8, pS10+jil6, jil12 , ¡lIoI O+i1\B, 3916.

2.2.6 Redistribución óptima

2ji110, etc. Una serie 8s1 da lugar a complicaciones construc tivas. origen de mUltiplee erroree, y a que la planta armada sea poco inteligible. El carácter o PC21.onal de la redistribución hace que sea muy dificil explotarla c on éxito . En ,general se uea con prop6eltoB que podr1an deno minarse estéticos. Por ejemplo para, coneegu1.r que el nümero de armaduras sea par, o la miema que en otro tramo de luz parecida, o que no se tenga que utilizar un diámetro de armadura d1:ferente del ya decidido para el tramo anterior, etc: la importancia práctica de la redietribucl6n ea que el..1.mina congesti6n de armadurae sobre 106 apoyos, igualándola con la que debe existir en los vanoe.

•

Con este sistema además 8e podr1a forzar a que viguetas parecidas tuvieran en obra le. misma cOll'lpo6ic16n. d1:flcllrnente inspeccio nable, fa ot o r importante para un buen control y seguridad de la obra. Nunca es recomendable la existencia de viguetas de igual o parecida longitud con armadura o composición diferentes, por los errores a Que puede dar lugar .

"...,..-~// "' --- '

•

• rlJu~.

De aceptarse que la redistribuci6n puede hacerse c o n un margen variable, lo mejor BS utilizar esa opci6n para igualar, p o r ejemplo, el momento inferior a la resistencia de una de las v1.guetas de una eerie limitada de ellaa . En el caeo de armadae podr1a Ber las formada6 por una celos1a base, de 2¡1!6, suplementando s610 con ¡1!6, ¡1!6, ¡¡110 , ¡¡S12, 2~IO , ¡¡IIG, 2j1112 o 3¡1!12. Para el caso de viguetas pretenBadas se podria asimismo crear una eerie de no más de 6 u 6 OPCiones, con las que también se po dria ajustar exactamente la solicitaci6n a la reei8tencia .

~8.

Rcdiet~ibuc16n

con

.lte~nancla

Pero con muc ho, el aspecto más rentl!lble para red1etribuir en edificaci6n c o rre6ponde al ajuste de armaduras. En tor jadoa 29 le. densidad de carga, solicitaci6n, y consiguientemente armadura, es peque B.a. Cada vigueta 28 El tema 4e la recUatribuciOn ee de muy difioil pro¡!ralllaciOn . Hucho. p~ o gr"ma. ee limitan a aplica r ""chacon • .,ente el lIIi.,.,o valor en todoa lo. puntoa, o a pre¡!UntAr al u.uario Que valor de.ea. 11 aproveChamiento e(¡ca:t de ellta pOllJbllldalS implica obtener Que redi.ttibución .e~ia la .ejor en cada extreIlO , a tenor del contelto de cO,.,o qu.ed.n la. arIladura. de otra. vi¡! ... de la planta, o de otra. planta., para optiIl{¡ar el redondeo da a~I1adur"" el n~ero de ell •• , la lon~{tud re.ultante, etc, unificando y mejorando la .0luciOn conlltructiva 4a la obra . La elploracl0n del contexto e. emp~e •• poco pro~r.m.ble; en a.ta campo un c:alc:uli.ta aatuto ~ana normalmente a un pro~ra.a.

Loe criter i ol de e.ta apa~tldo, como 101 4a lo. antariorae, no eon .xcluatvoa de l.a virueta., y pueden, ca. i .in re.t~icciOn aplic.ra. tambien .. viras . Los pro~ra",al comercial •• no .on an ~.n.ral tan a.tuto., prOCediendO a importantes lobredimen.ionado. 4e ar.adura .in ~ejorar la. ventaja . con.trucUva •.

Aun ajustando exactamente la resistencia a momentos positivos, queda pendiente el ajuste del resto del momento lsostático, en forma de momento negativo. Pero aquí juega ahora el margen de redondeo y re apuntamiento . Dado que el reparto uniforme de la solicitación en 18s viguetas de un paB.o es una cuestión convencional, (EF-88 art 7.2), y que en la realidad es mayor sobre loe 80portes, también se puede hacer un ajuste exacto. di&poniendo armadura variable, el promedio redondeado por defecto en todas ellas, más el reeto como ajuete fino en las pr6ximas a los eoportes. Otra alternativa (EF-66, fig 7.2-d,3) ee disponer una armadura uniforme, no enfrentada con las viguetas, traduciendo el momento total del paB.o a un número indeterminado , pero alto, de armaduras, lo que facilita un ajuste igualmente fino . No obstante esta última soluci6n s610 es recomendable en volaclizos , ya que, aunque mantiene la resistencia, reduce la ductilidad, f a ctor clave de la seguridad del forJado. Si ee preciso calcular el forjado para una gama variada de hipótesis, por ejemplo las provenientes de la alternancia de sobrecargse, lo máa Bconeejable es manipular la redistribuci6n para coneeguir eollc1tacionee lo más parecidas posibles entre todas ellae. En general, ya que la alternancia tramo a tramo aumenta loe momentos positivos, lo mejor es tonJar la hipótesis de carga total con la mayor redistribuci6n posible, y la alternante tramo a tramo con la menor 30 • aunque ello no impediré. que ee alarge la zona sometida a ligeros momentos negativos . La hiPÓtesis de dos tramos cargad o s y dos descargados -menos usual, ya que no es habitual que haya tantos-, produce un ligero apuntamiento de momento negativo máximo . poco perceptible, pero inevitable aun redistribuyendo al máximo. En casos especiales quizá sea preferible redistribuir al mAxiroo esta hiPÓtesi6, no tanto la de carga total, y lo menos posible la alternante clásic a .

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30 ¡.te ralonamiento l. el Que permite liberar di la cond i ción de alternancia a loa calOI de .obracarla liler., como .on la. cubierta. y la. viviendas .

rorJldo.

2.2.7

Acción

hOruOD tal

NOTA: El cOIJtenido de est6 apartado puede sal tarS6 en una prilDera lectur... pasando directamenUl a cómo se obtienen los cortantes y al cálculo de visuetA!Js y armaduras

En ed1!1caci6n es raro no tener que considerar acciones horlzontalee:. En general ea el viento, y en OCAsiones -salvo en las dos meseta8- además el sismo. Aun en Bltuacl6n urbana amparada por edificaciones colindantes es preciso suponer que ~8taB pueden desaparecer transitoriamente, y es necesario confirmar que la edificación sobrevive a ello. La acción de viento es pequei'l.a, -del orden de 100 kp por ma de fachada cubre la práctica generalidad de los C8S0S-, pero oonceptualmente importante, ya que un edificio calculado estrictalDente 15610 para carga vertical, podria desmoronarse al Inenor soplo o empellón.

ulrwchfU IDO

tadae con los 6oportee U 80n 1&15 que sufren la8 solicitaciones debidas a dicha acción.

Disponer, entre soportes, elementos de hormig6n convencional parale108 al forjado, no es conveniente por dos razonee;, Primera. porque introducir má8 pies forzados para modular la planta e8 condenarla a más macizados y peso, y consecuentemente coeto. Segundo, porque ante acción horuontallo que aparecen 80n fundamental..lDente más momentos nesatlvoe, quedando 106 positivos más o menoe inalterados. y 81 se van a disponer vigas transversales, valen 188 mismas viguetas, dado que todo lo que hay que hacer es dotarlas de armadura fOuperior adicional.

Con cstructurae de nudos r1g1dos, como 80n, en general, las de edificación sobre soportes aialadoB, la acción horuontal s1gn1fica cortante a y momentoe en 10B soportes y consecuentemente D'I0lOentoB en loe elementos horizontalee que los conectan ll • S8 habitual la consideración de colaboración soportes y vigas para ello. Lo que no lo es tanto es hacerlo con las viguetas. Si todos los pafios de viguetas Bon paralelos, a primera vieta podria pensarBe que cuando el viento actúa en dirección perpendicular a las vi&as no encuentra estruotura reBietente u . En eee supue~to ee conBldera que las viguetas ee como 81 no existieran, y Be proyectan una a Vis88 y pórticos transverealea eapeoificos a viento. Pero como lo más práctico es que las vigas BeGn planas, lo que ee disponen es unos -lncorrectamente- denominados zunchos, del miSIDO canto que el forjado, mucho menos r1.g1doe: y resistentea que él, calculados como si toda la acción horizontal fuera a sravitar sobre e11oe. Si ee disponen entre todos loe !Soportes es posible, pero, s1 8ó10 se haoe en 108 laterales de la edificación no ce cierto: ante acci6n horizontal todo e 108 soporte e deep].olllan y todoe loe elementos del pitiO e;e ven involucrados, y B1 no hay otra cosa, l8e viguetas, al menoe 108 enfren-

31 L• .,.yor'. CSI 101 prorrulal laben 1610 ana11,ar p6rtico a p6rtico, debi~ndo al ululrio dltermlna r de la acción hori,ontal Lota) que actda lobre el 14ificio, la que .fectl a cada uno Ce 11101. Como CSicha fracciOn Cepende de 11 4lfor~abiliCad oa cad. pOrtlco, un CÁlculo rirurolo debe tratar el conjunto Ce toCo. 1110. co~o una .ota I.tructura. 11 modelo 1fI.1 .i~p1e el luponerlol entalado a uno. tra. otro. In caCa nivel por coCa liS ficticio., lI'Iodelo qus e. correcto .010 . i hay 11...ltria. IIleten a1,uno. pro,r.lllal, Canominadol de tipo •• p.eial, que compatibilisan 11 de.plome en planta, psro .ln tener en cusnta ex.ctamente la riridel del plano Oel forjaOo, luponienCSo en ve, Oe 'Ite, una. vir •• aecundarils, pararsla • • l •• viruetal, tleaiblel sn el plano Oe planta, &lod e l0, que aunque el •• 1 co~p1ic.40, no e. Inuy realilt.I, ni e.pecillllllntl recolllendable. 32 In rit!:or, la .ituaclcin con vit.1 planl. pueOe .er inver.a, con ~ayor rlfiCSes en la Oirección de 111 vifueta •• En elta Oi r acción, caCSa .oporte encuentra, auxiliaCSo por el ancho de la vi,a plana, la colaboraciOn de tres o cUltro vi,uetas, 10 que, OebiCo .. su •• paración, involucra 11 t.otaUdaC Oe la capa luperior Oe horllli,ón entrl e11al. In 11 di r lociOn O. l a. vl~ ... el .. oporta .. 010 eltá 8n1a,adO por una .acciOn Ce .ncho lotal an oca.ion.e del 1111'1110 orCen que el de cuatro vi,ueta .. , y con la colaboración Ce una tona 111'. exll!ua CI la cap. luperlor a c.da laOo. Y aunqua la inercla CSe eeta .ecci6n Ce vit!:a .ea luperlor " la de 1•• viruet.a, en mucho .. caeo. la lu& vuelca Cefinitivalnenta la rlrtde' del lado CS. lae le,unda • .

Es preciBo no olvidar que la consideración de acci6n horizontal tiene, según normas, una bonificación de la seguridad, de manera, que, en la práctica hay una franquicia de tres o cuatro plantas, por debajo de las cU8lea la acción horizontal no produce peores solicitaciones ni demanda más secci6n o armadura que la hl?Ótes1s de acci6n vertical. Y aun por encimB de <licha altura, el crecimiento de tamafto de 108 soportes, al menos cuando 60n de hormigón. supone una reducción de la luz neta, que contrarresta, y en muchas ocasiones, anula por completo los aumentos de solicitación debidos a acci.6n horizontal. En cualquier C8.S0, en todo lo que Be traduce de ordinario la acci6n horizontal sobre el forjado es en más solicitaci6n de momento en loe extremos y consecuentemente en arDlllldura negativa en torno a los soportes, 33 No el U"UI} QUI lo. proil!:rall'la. 01 CÁlculo CSe Idificio. manejen la •• iatlneia de un forjado , y talllpoeo Que los que calculan rorJ.dos tenr.n en cUlnta po.iciOn Ce loportel y acci6n horizontal. D.bldo a la b_j l liMa ri(141 ' I torsión de }J,a vi .... , un proceCSJllliento psra "¡lIIular el forjado es luponlr que entre todo • loa pilarle h.y vl,a. ficticil., -no I~porta .ucho 11 .lccIOn- y po.tlrior~ente asl,n.r a 11. Virultal in •• Oialas a 101 loporlel la. sollcl t aclonll o ar.adu r a. que lO "e r h.n CSe 1110. Si 101 loportel elt,n al trllbolillo, teoulla IftA. Ciflcil reproducir lIIeClente I.ta. vit!:aa ficticias 11 COll1portalllient.o 411 forJaCo COIIIO el.manlo suparficial .

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l o que exage r a las dlterenclas de armadura superior de unas viguetas a otrae del mi&lIIo pai'\o, conduciendo claramente a que ésta 8e c o ncentre aUn má s e n dichos pun tos . 2.3

2.2. 8

Rsfuerzos cortantes

De a c uerdo con los apartados anteriores . el mAximo oortante se debe medir Jueto en el borde del aligeramiento, a la entrada de la viga o macizad o . En rigo r el cortante máximo es ligeramente superior en el eje de la viga, pero contando con la enorme ampliación de sección resistente se puede suponer que saldrá e1empre mejor parado. Desde el punto de vista del cálculo tramo a tramo, os como sJ., para el cortante , la luz: fuera la nota entre caras de vigas .

En un cálculo e1Jnpli!1cado 34 , para carga un110rme ee puede tomar c omo c ortante máximo el valor qL en voladizosj O,4'qL y O,6'qL en tramos extremos y O, 5'qL en tramos interiores y alelados. Si hay carga8 puntuales, éstas incrementan el cortante en Q' a / L y Q'bjL en 108 extremos a distanCi88 by II respectivamente, en tralllos sU8tentadoe en 108 d08 extremos, y Q en 108 vuelos . La luz L para estos CAlCul08 se puede medir siempre al borde de la visa, zuncho o zona. macizada j aunque ei el ancho de viga ee variable ee puede t omar un 8610 valor de luz u para todo el p a fi o .

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CALCOLO DEL FORJADO

Por c álculo 8e entiende aqui el proceso de determinar secc iones apt as para soportar 108 efectos de las solicitaciones, que son fundamental.mente ten8iones y deformaciones . Las solic itaciones de momento exisen viguetas o armaduras longitudinales suficientes, y las de cortante nervios de suficiente ancho o bien armados . Y, además, aunque todas 188 eeccioncs posean suficiente capacidad rel5istente para el momento pésimo que deben soportar, el conjunto puede ser demasiado deforlnable. Algunos de estos problemas se pueden cubrir 8ólo c o n aumento s de armadura, aunque si es excesiva o llntiecon6m1c8 puede Ber preferible cambiar el diseño y comenzar de nueVOj si e8 preciso cambiar la secci6n de horm186n es ineludible volver el principio reevaluando a c ciones y &ollcitacion e s.

2. 3 .1. Cálculo a momento 2. 3.1.1 Armadura 10ng1tudinal La evaluación de la capacidad ree1atente a momento de las viguetas se rige por un modelo bien establecido desde hace aft06, por ejemplo momento tope, parábola rectángulo, o rectángulo equivalente No obstante, el tipo peculiar de secci6n, muy diferente de la rectan gular, permito tormulacionoa particu18re8 sumamente sencillas, 8unque diferentes según sean las viguetas, -armadas o pretensadSB- , y el signo del momento , -polSitlvo o negaUvo-. 8) Viguetas armadas, momento positivo

En momentos poaitlvos el cUculo de las viguetas armadas ee lDuy simple. Por ejemplo, para tramo aislado el momento máximo positivo para carga uniforme es qLa/B , y el canto en viviendal5 no puede bajar de L/ 22j la carga por nervio aerá del orden de 0,7'0,7 ::: 0,5 t / m. La capacidad mecánic a de sólo la capa euperior de hor~6n, de 4 CID, Y un horltl.1g6n, por ejemplo H-175, que soporta con oeguridad 6 tensionee equivalentc6 un1.forlDee de 34 Tant o en vi~ •• como an vl~uata., no a.ta bian eetablecia o al el cortante debe deducirle de 1 •• fr'fica, de mo~ento. flectora. Que realmente e.,.ten, de 1 .. redhtri'buida. o de la, pla'titieada, . In la pr'ctica la. aiferenci.e eon illlperc:eplibl.a, aUl'lque , dado el car'cter (r'~t1 de la rotura a cortante •• prareribla aar c auto. En todo c.ao no Ion a."able, o'lculO' minucioeoa . 35 6 1 ,e con.idera acción horizontal .oportada por la colaboración de vi,uelaa y pilar •• , lo. cortantea en e.lramo de la' .Ituad •• an torno a .,toa aon lIIayor.a . In elle ,upueato a, '.portanta to.ar para la' vituela. ¡.pllcad •• la lUI neta re.l, corre,pondiante 01 ancho ,.acto da la vita an cada punto, lo que conv i erte In ~uy recomendable .u a~pliación an torno. loo ooporle • .

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1: 1 36 11 horllll~ón H-115 tiena una reaiatencla caractenatica d8 115 kp / CIII-, La r.alatancla d, c'lculo, con IIIlnoraOl6n ¡IH-al cuadro 31.1) 4e 1,5 aa 115/1,5 .. 118 kP / c~· . Taniando an cuenta un co,(telienta 4a ,e¡urt"'e4 (cuadro 31.2) de valor 1,6 -denominado coaficianta 4, pon6ereci6n da eoccionaa- la tan,ión .a~ut • • • 116 / 1,6 .. 12 kp / c"- . Con a.ta ten.ión .a puade calcular el nonnitón ain taner pue. qua ponderar aCelionea, tomando laa carfa. dlrecLamente con lo, valore, .11'1 mayorar da la Labia S . Dabido al (enómano da que 1•• ten'ione' varSan da un.a fibraa a otra., para con,14arar un bloque a lan,lón unl(orllle hay que lo.,ar de acuerdo con IH-18 (aft Ze.e.b) un factor reductor de 0,'5 ra.ultando una ten,ión a.,ura equivalente de 12'0,'5 • 8Z kp / clII·. In aoporta., teniendo en cuenla la raduccidn 4e 1,1 por horm{~onado vertical (aft Z8.5) y la e.centrlcl4ad ~Inlma

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forJldol

hasta 62 kp/cm<l, seria de 10'4'62 = 11.360 kp = 17,4 t . La distancia entre centro de gravedad de compresiones y tracciones es b-4cm, que con canto del orden de 22 cm supone 18/22 = O,8·b. El momento resistente será pues, en llIetros y toneladas 17,4·O.8h. Comparando el momento actuante con el resistible con la capa superior, resulta que, en viviendas, basta csa capa hasta incluso luces de valor L = 17,4-0,64-8/0,5'22 = 10 m, que en la práctica es tanto COIDO decir que siempre. E:n tralDoe interiores el momento previsible es mucho menor, hasta qV"/16. y aunque el canto con relación a la luz pueda dislll1.nuir. hasta L/3D, la conclusión e8 la misma. ya que la capa superior basta hasta para luces de valor L 11,4·0.64'16/0,5·30 16 fIl, Aun para OargaB dobles que las de vivienda sigue el hormigón comprimido sin invad1r 31 el nervio,

tltru~turll

1100

51 se tOman la8 Cargas -y lDomentos- sin 1n8yorar el valor de f. para acero AEH-500 ee 31 de 2,8 t/Clll z ; -81 S8 uesn cargse mayoradss ss debe ut1llzar para f. la resistencia de c.uculo del acero-. 51. el canto del tramo en cuestión es interior al m1n1mo por flecha, la secoión necesaria de araladura se obtiene multiplicando el valor estricto por resistencia por la relación entre el canto min1..mo y el escogido. I

Contando con que la Brllladura básica de las viBuetas suele ser 2~6, con 0.56 Cilla de sección, la armadura 8e debe traducir a alsuno de 108 tipos como loe de la tabla siguiente.

Area de acero

(c~-)

Ar.a40 2J1' + Prolon,.ctOn (cm)

0,51

O,I~

1,01

,. ,. 15

1.3~

,10 2.

1,11

2,12

2.51

2,110

',!l2

JIU

2J112

'JIU 25

Si la traducción del lado de la seguridad a alguno de los t.!pos anteriores 8upone un aumento excesivo, e1empr8 88 posible, -COIDO se indicaba en el apartado de redistribución 6ptlma- reducir el momento positivo hasta lograr un ajuste perfecto, aumentando correlativamente el mOmento nesativo, de acuerdo con el diagrama procedente de las cargas y las condiciones de extremo. Basta pues el repertorio de tipos de la tabla 5 para conseguir un buen aJucte. Para lo. mayorla de loe propósitos no ee necesaria un armadura mayor, por vigueta, que 3~12, y dU.metr06 lIIeyores pueden no cumplir adherencia, anclaje o recubrimiento. Si en algún caso se necesita mAs, lo recomendable 6S die poner un intervalo menor entre nervios o pasar a nervio doble, pero eso si, recalculando cargas y 8011citacione8. ya que varia el peao propio. La conclusi6n ea que para llomento8 positivos raramente trabaja máe que una lJgera fracción de la capa superior, por lo que la capacidad mecánica de la armadura inferior de IaIS viguetas armadas ae puede obtener simplelJlente dividiendo el momento entre una d.1lStancia comO Z = O,95·(h-r) siendo r el recubri.cniento a la armadura, y el área de armsdura como cociente de capacidad mecánica y resistencia del acero, e8 decir : Alnl

Mpo. /

[ 1l

0,95·(h-r)·f.

(srt 3& . 3) que s~pone otra nuova ra4ucclOn 4. 1,15 que4e .010 un. ten. Ion •• ~ur • • aecciOn co~plota de 50 kp/em-. T.n~a.e en cuonta que para alcan~ar una reliltenci. car.cterlltica 4e 175 kp/c,,' l . mlnll1\. rotura 40 probeta. 40bo lor 4el or4en lhit 200 k~/c,"~, lo que .i~niflca que la .,04ia 4ebo an4ar por 225 kp/cm-.

'l.

37 Y aunque lo hiciera el .ar(ln .4lclonal 01 .uy pequeño, ya qua el nervio .Olc puo4e tr.baJ.r rent.blemento (EH-IIII art 31.2, 4ominlo on IU .,itad superior, aportan40 una .ocalOn y r •• ultante mucho ~onor que la 48 la capa auperlor, y a40/ll'1 con un brazo do p.lanca ~enor.

La armadura de montaje (21116) viene en toda la longitud de la vigueta, Unos fabricantes la dejan aeomando, -los denominado8 Peloe-, y otros la interrumpen antes, colacando como aaliente una armadura elevada como aea o pato. Las demAe deben tener una longitud que cubra el momento que resiete la sección parcial, lIá8 el desplazamiento (KH-88 art 39.1.3.3.2) que, contando con que la celosla tiene barras alternativas, puede suponerse nulo, más el anclaje reducido. para el que puede tOmarse el valor de la tabla 5. Pero además debe llegar hasta el extremo, cuando éste tiene momento positivo -apoyo sin continuldad-, la armadura mWma por fragilidad, que, según EF68, art 4.3, para canto 16 cm es al menoe un "'6 adicional a los 2",6 de la vigueta, para canto 22 cm un ~8. para 26 cm un ~10. y para 35 cm un ¡¡S12, Además. -según EH-86 art 40 .1, y COIDO recuerda EF-88 art 1.1- debe llegar hasta el extremo apoyado la tercera parte de la armadura total de vano, y hasta el interior la cuarta parte, lo que s1.grú.f.!ca cae! sistemáticamente.

,..

3. El acero AEH-500 po lee una re.latlncla clrlctenltica 4e 5, 100 kp/c~', que con una ~lnoraclOn (EH-a. cuadro 31.1) 4. 1,154. Ju(er a una re. latencia do cálculo 4e 5100/1,15 lE • • • 3~ kp/c~· i la conll4erlciOn do un cooliclante 4e 1.~urI4Id (cuadro 31.2) Ce 1,11 con.iuce a une tenlion a.(ura .se v"lor ¡~u.l " "'34/1,& 11 2 . 771 kp/cm-.

.r ,!

forjado.

que, cuando hay dos armaduras de refuerzo, una llega haeta el extremo. En todo caso es recomendable disponer la armadura simétrica dentro de la vigueta, ya que está oculta, y además seria muy complicado que las viguetas guardaran mano. Como la longitud depende de muchos factores, lo usual es que el fabricante tenga prevista s610 una serie limitada de valores, adoptando para cada caso la que se ajuste más, (véase Apéndice 1). En general, en tram06 extrellos todas 1ae armaduras resultan ser de longitud igual a la total. La armadura saliente, en apoyos extremos de viga de borde, debe (EF88, art 7.1) traspasar el plano de estribos una longitud como para anclar una tracción de valor igual al cortante, lo que en viviendas con 6,0 m de luz y 2136 s1s:n1fica del orden de 12 CID. Con má8 carga o luz ae neceaitan longit.udes proporcionalmente mayores. En apoyos interiores con momento negativo la norma obliga a un anclaje de la armadura inferior, a partir de la desaparición de las bovedillas como para una tracci6n mitad del cortante. aunque no queda claro que en rigor es un anclaje a compresi6n. La just1:ticaci6n de eete precepto 815 oscura, y en for Jados con vigas planas conduce a no pocos problemas construc tivos .

b) viguetao pretenssdaa, momento positivo Las viguetas pretensadas operan de manera lIluy diferente. En un sentido pueden verse como viguetas armadas con acero de muy alta resistencia -en vez de 5.000 kp/cm a llegan hasta 18.000 kp/cma_. Como tantisima tensión daria lugar a muchisima :fisuración, -muy pel.1groea al resultar además las armaduras muy finas-, éstae se pretensan. Con ello se consigue traspasar las tensiones al hormig6n. y el conjunto es, lJIás que un acero traccionable, un hormigón que puede descomprimirse: pero como la capaCidad de descompresi6n es Justamente 31 la tracci6n transferida por el acero, la capacidad a tracci6n inferior es, como siempre, la capacidad resistente del acero.

uhlcturu atO

cara tapada por el horm1gonado posterior. Pero en todo caso no tiene sentido que cada usuario calcule la vigueta o el pretensado necesarios. siendo lDás interesante hacer los cálculos una 80la vez, pretabulando los resultados. Aunque es obligado para todos 106 tipos, tanto armadas como pretensadas. es en eetas última6 donde S8 justifica plenamente las fichas de caracter1sticas o tablas de Autorizaciones de Uso. obligatorias como documentación técnica para comercializar viguetas. En estaa fichas (ver Apéndice 2), ae ofrecen directamente 108 valores de momento resistente para elegir la vigueta a partir de la !Solicitación de momento flector, función de carga y luz. En general loe resultados aparecen además por metro de ancho del forjado, por lo que ni eiquiera es preciso hacer los cálculos a partir de la carga por lntereJe, lo que facilita la comparación de las dht.1ntas 801uciones.

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. Dado que el corte de la8 viguetas preteneadaa ea recto, no eapoeible imbricar los pelos con los estribos de las vigas , debiendo o hacerlo directamente con la vigueta o disponer bastonee anolados en ambos elementos. De una ;aanera o de otra la solución con 8ste tipo de piezas, sobre todo en loe apoyos extremos con vigas planas, es de cierta comple.i1dad y de poca fiabilidad, lo que las hace Plenos recomendables que lss armadas.

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',l¡,; "'j. ':..,!,

o) Armado negativo

El cAlculo de la arlnadura ante momentos negativos es igual paca plezas armadas o pretensadas, ya Que el efecto del pretensado es nulo en 108 primeros dec1metroB de vigueta. En cualquiera de loe casos hay que aplicar el modelo, por ejemplo el parábola rectangulo, a una sección que si bien no es perfectamente rectangular se le aproxima mucho. En la práctica la sección del nervio de un for jada tlpico se comporta a momentos negativos como con un ancho entre 8 y 15 cm.

Para llevar las tensiones transferidas al horllt1g6n ee necesita un material muy resistente -S8 utlli.zs hormig6n de 350 kp/cm a y hasta de 400 a kp/ cm _ necesariamente muy bien dosificado, controlado y curado al vapor. y aun con este hormla6n, la ascción necesaria 881 muy grande, r esultando en princlpio un centro de gravedad de la zona tracc10nada muy elevado y por tanto un brazo de palanca bajo. Por ello, 108 d1ssi'!.adorea de eete tipo de piezas procuran concentrar la armadura y el pretensado en la parte inferior, aprovechando todas 18s poslb~dadea de descentramiento Que se puedan. La norma EF-86 (art 5.2) permite una mayor excentricidad que la EP80. ya que conaiente hasta traccionee en la cara superior de la vigueta. 39 En ritor el hormi,ón al cOlllprilrdr •••• acorta, ,. 1110 pr04ucI acortamiento del acero y deateaado del miamo, lo que ae denomina p.rdi~ •• del prltenaado. Pero. al lIenoa para calculol 4e reltltlncia ~ltlma n o ha, talee perdidal, ya que trae l. de.ecolllpre.idn total de.l hOfmltón • • e puede .8fuir traccionan40 81 acero halta .u total reeiet8ncla. aunque 8110 .itnifique ti.uraciOn para el hor~lIOn. El hor~t,on pretenea40 pue4e verae •• r co~o un acero 48 alt'I¡.a reailtencia que no oC.llona In el horel(dn una ti.uraciOn pareja, ya que viene a Obra precomprllrd40 . 61 el al!lblente ee lI'Iuy atreelvo -"afino o lnc!ultrtal-. ee 411cultble contar con la ta.e f i.urada y el cOmputo 4e lae p.rdidaa e. importante.

: 'j'

Por otro lado el valor de fichas está en cálculo, lo que quiere decir que hay que obtener las solicitaciones lDayorando las cargas, o, alternativallente. dividir los valoree de tichas por el coeficlente da seguridad. de ordinario 1.6.

U., i .1:1

i: ¡:

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...... .... ~. ',...

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u\rltehru

El cálculo de la armadura necesaria hay que hacerlo al menos en dos eeccio nes: una en el borde del forjado junto al macizado de la visa. En ese punto no se alcanza el momento máximo, pero si el mayor para la sección al.igerada. El momento máx:1..mo 8e produce al eje de la viga, con un valor que, teniendo en cuenta el redondeo en su ancho, c8a1 coincide con el que corresponderla a una luz intermedia entre la neta y la a ejee de viga . Contra el incremento de momento en este segundo punto juega. con mucha ventaja, el que la secci6n ss maciza. t1picamente de 70 cm de ancho por intereje, con una altura jgual al canto del forjado; pero no ss fácil determinar de antemano cuál de 106 dos valoree decide la armadura.

Q.DO

des de los soportes . Otra posibilidad ee redondear el total de acero te6rico de un pai'l.o en un número de armaduro.e que no tenga nado QUO ver con el de nervios y disponerlas luego uniformemente repartidas en todo el ancho 8in preocuparse de 8i caen o no encima de viguetas.

En el segundo punto, y por los motivos ya vistos para el caso de moment06 positivos, la armadura se puede obtener a partir de un brazo de palanca del orden de O,95·(b-r). Para el primero la cuestión ee menoe clara. Si el momento fuera muy pequeiio se podria operar con un brazo de palanca eim.1lar¡ si ee mayor, el brazo de palanca disminuye, aunque, como no es posible que la parte comprimida alcance a más de la mitad de la altura, el brazo tampoco puede disminuir por debajo de O,75·(b-r). Aunque no Bea muy exacto, tantear con un brazo como O,85'(h-r) da buenos resultados, sobre todo porque luego la sección necesaria hay que traducirla por exceBo"'o a un número definido de armaduras. Por ello se puede poner:

A. up

~ Mneto /

O,6S·(h-r)·t.

[ 2 )

Eeta armadura, igual que Buced1a en momentos positivos, hay que multiplicarla por la relación del canto critico por flecha al real el éete es inferior, para controlar la flecha. La sección obtenida se debe ajustar a una, o mejor dos, armaduras por nervio, por ejemplo a alguno de 106 tipos siguientes : TobIa 6. Armadura auperior aobre ncr.10a Atea de acero (cm-) A fIIuldo

Prolongación

(c~

0,3

,. 15

0,5

O, •

,.20 ,.+,. 20

1, O

1, ,

1, •

1, ,

2,. 20

; •• ,10 25

2;10 25

;10+,12 30

", ", 2,12 30

3,12 30

'r---¡H~~~

Si el ajuste del lado de la seguridad a alguno de loe tipos anteriores supone un incremento excesivo, ee puede hacer algo para ajustarae más exactamente, corno S8 adelantaba en el apartado de redistribución óptima. COIIIO la armadura es incluso mejor que esté concentrada en torno a 108 soportes, una posibilidad es obtener la sección total te6rica de un paRo completo, -operando con toda la carga, la uniforme m68188 10cal..12adae sobre 106 nervios dobles,-, contar exactamente el número de viguetas, -que 80n siempre una o dos más de las te6ricBs-, asignar a cada una el armado par defecto más próximo al neceGario, y la diferencia total prorratearla como armaduras complementarias, del mismo diámetro a disponer en las proximida40 E.ta concluaión no .a excluaiva para vi~uet ••. In la. vifa. ordinaria. de edificación tambien .e pueden calcular l •• arm.Cur •• nace.aria. a partir d~ •• timaClon •• simple. 4el br.'o de p.lanca.

--I\---t--I- r -

.. - ... -

-il-i--+I~

~--

rl~ura

30. Planta tipo de armadur. Dupertor

En las Autorizaciones de Uso deben figurar 106 valores de momentos resbtibles con cada combinac16n de armaduras, tanto en la secc16n aligerada como en la roscba, para compararlos con 108 de 106 dos punto6 antes mencionados.

uhaehm. no

Las armaduras deben tener una longitud tal que cubran holgadamente la zona en que son presumib1ee momentos no ree1st1bles sin ella 41 , teniendo en cuenta un desplazamiento y anclaje, que contando con el mallazo obllsado, puede ser el indicado en la tabla 6 .

resistir la carga de cálculo, debe p1aBt1f1car all1 donde falta armadura y esperar que vengan en au ayuda 106 puntos donde sobra, lo que puede significar deforroaciones y f1suracion6s intolerables, -ademAs, coroo los soportes pueden tener sccción o pos1ción diferentea, no es fácil definir qué es BU cara, por lo que esta consideración debe ser local para cada uno de e1108-. Calcular la armadura con el momento a caras de soportes conduce a una arroadura suficiente, pero incorrectamente distribuida si se dispone uniformemente; sobra en muchos sitios y falta en otros. Lejos de 108 soportes no se necesita más de la calculada en el apartado bnterior, pero en las proximidades del Boporte se necesita concentrar toda la diferencia entre medir la luz de una llanera y de la otra.

En 108 extremos sin momento, las reglAS de anAlis1a exigen prever resistencia COIDO para una tracción igual al cortante, o un momento negativo cuarta parte del positivo del vano, con barras ancladas en el canto.

La ut1llzac16n del diAmetro 1IS16 es improbable sobre viguetas de edificación, y plantea problemas delicados de anclaje, sobre todo en 108 extremos. La uti.llzac16n de diámetro 020 debe catar pros crita u .

2.3.1.2

" ,: ;,

" ",

Armadura de ábaco

Como 8e ha indicado en el apartado de redondeo, la8 viguetas y armaduras obtenidas con lae solioitaciones anteriores no permiten 801ucionar todo el traslado de lae cargaes en el tor jado en la direcci6n de las viguetas. Aunque el error es deesprec1able en caeso de vigas de canto, en el C8S0 de visaa p18na8 8e importante, y frecuentemente lo olvida el calculista del forjado creyendo que es algo de la viga y el de la viga creyendo que es algo que compete al forjado H • La carga que lae viguetas depositan repartida en el ancho de la viga, antes o después debe acabar en el soporte. En el 08eo de la viga de canto tal problema ee residual; en la8 vigas plenae, con 80portes mucho mAs pequeños, la transferencia desde la periferia de la viga al soporte es importante, dando lugar a una flexión y armaduraa local en la misma dirección que las de las viguetas. en 18s proximidadee de cada pilar. Puede comprobarse ahora que la armadura total del pafio ae corre8ponde con una luz que no ea tan pequef'l.a como la neta a carae de viga o la redondeada a medias de viga, ni tan elevada como a ejes de viga, s1110 mAs exactamente con la luz a caras de soporte .

Pero tomar el momento máximo de todas las viguetas a cara de soporte no es seguro, ya que aunque hay suficiente resistencia en conjunto. la armadura no se dispone donde se necesita, y para que el tor jada llegue a 41 Co~o la. lon~ltude. abaread.s por los ~o~entoa oerativos Ion diforant., Icclln le eonliderf!n 101 rlOlfltlntol rl .. l.l, 101 redlltribuidol O 101 pllulifica.s.ol, fe,ulla prelerible una lonritud convencionalmente .a!!'ura a r.al1:r.ar calculol preleociola~enle e •• ctol lobre b.le. endeble •.

42 Elt. prevenclOn vala all.milmo para vir .... 11 ,210 I.i,. en 1 .. p .. rte luperior de un torJaOo o viCa, y de acuardo con ¡H-II, art 40 .3, un anclaja de al .ano. 90 CII, lo qua por dobladO an al canto acHo puade hacaraa con vira. o forjado. de al menol 60 cm de canto. El ,25 aa claralflente de 1.110 lrlpo.ible en eltremOI Oe plant..1 Oe plao 01 edificio., ya qua 11,1 anclaja alcanza ha.ta 125 CM, lo que e~ile cantol de .. ,. Oe lO c. para h .. cerlo con .eluri4a4 . 43 Por esto la pr'ctica de calculer pOr un la40 la. vi!!'uat.e y por otro la. vlcas, .leoOo en oca. tonel pro!!,ra~a. di.tint.o., inclulo calculilta. di.t.into., debe re cha :r..ar.e. El hacho O. que an lI\ucha. ocallon •• lo. ar~a40. Oa laa vi!!,al le reprelentan en a1:r.a40 Indica que el procrama o calcull.ta no entienOe el ancho real de la vl!!,_ y no ha tenido en cuenta lo qua .a COMante .n •• ta apartado. tI 10rJado debe entenderle COIfIO el conjunto Oe vlie. y vi(uata. y no COIIIO uno .010 de 10. doa eleMantol.

P==-

1 L

Esta cuestión viene recogida en una escueta nota en EF-68, último párrafo de 108 comentarios al articulo 6.2. La NTE-EGY lo estudia COUlO armadura transversal de viga a , paralela puea a las viguetas, armadura d·e nominada complelDentaria. En cualquier C880 es impreoctnd1ble para la sesuridad de la obra. Para un forjado de luz entre ejes L, viga de ancho b, y soporte de ancho a, en un paño de ancho e entre soportes, las viguetas se calculan para una luz media L':"b/2. Por tanto, suponiendo redistribuc16n total, son capaces de soportar momentos de valor q-(L-b/2)1/l6 trasladando la carga qo(L-b/2)/2 al centro de media viga. La carga total del tramo, de valor q·s-(L-b/2)/2 debe llegar a la cara del soporte, lo que significa un vuelo de valor (b-a)/4. El momento no cubierto aún por armadura alguna tiene el valor q'.'(L-b/2)o(b-a)/8, Por ejemplo un forjado para 5 ro de luz entre ejes de soportes, con vigas de 60 cm de ancho, eupone poder calcular lae v1guetas para una luz de 4,7 m. Con una carga de 0,7 t/ml los momentos con 108 que se calculan las armaduras por metro de ancho 80n de 0,7-4,7-4,7/16 :: 0.97 mt . Cada metro

.,,

forJadoa

de ancho de forjado entrega en la viga 0,7-4,7/2 = 1.65, t. 51 entre soportes hay 6 111 de d1etancia,cn cada uno ee concentran 9.87 t. 51 el soporte tiene 25 cm de lado, el vuelo de la reacclón e8 de 0,09 Dl lo Que eign.1.f1ca un momento de valor 0.89 rot, lo que supone que hay que duplicar la armadura de vigueta6 en un metro alrededor del 8opo['te.

2.3..LJ

NervioB adicionales

Independiente de que el cAlculo de las v18uetas y armaduras superiores se haga por nervio, por metro, o para un paf'lo completo. conviene confirmar que bajo una carga local, COIDO eucede cuando existe un muro paralelo a las v18uetas, hay suficiente resistencia. Un8 vez decidido el tipo de las v1suetas del pafio -y es recomendable no cambiarlo en los nervios adicionales, para evitar confusiones en obra-, debe calcularse el complemento de lIomento para cubrir la solicitaci6n de forjado más muro en el nervio bajo él, y, mediante lae memas reglas anteriores, la armadura superior correepond1ente, a poder eer con el miamo diámetro y 10n~itud ueadoa en el resto del pano.

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En la práctica, una doble vigueta con su correspondiente armado sirve para muros de eeparación o de cerramiento normales. Si el cerramiento llega a tener un pie de espesor será necesario d.1eponer hasta tres viguetas bajo

eatnehru

atO

2.3.2

Cálculo a cortante

2.3.2.1 Capacidad reelotente a cortnnte La comprobación a cortante -IIIA,& propiamente de laa tendones tangenciales producidas por la existencia de cortante- ee; un tema sutil, sobre el que no hay una propuesta clara. lnclu80 108 d1!erentoB expertos tienen dificultad para entenderse en eeta materia: uno e pretieren hablar de solicitación, otros 8610 de tensiones tangenciales, otroe; de cortante y rAsante, etc. Lae formulaciones seguras en horm18:6n 60n en general heuristiCAS, y en al&unoa ca808 BU expresi6n b1n6ll1ca ha dado en interpretaree -no lIluy correctamente- como colaboración del horm18:6n más la colaboración del acero --el traneveraal en forma de estribos o armaduras que enlazan la parte inferior con la superior de la visa-o El heoho de que el cortante sea máximo en el extremo de lae vigae, donde ee incumplen laa hip6teBiB de barra -ley plana de defortDac1onee- y, en donde coexisten tendones tangencialee con normales de valor elevado provementee del momento negativo, hecho que se olvida con frecuencia, complica aún más las coaaa. La comprobación de las tensiones tangenciales debe hacerse en todo corte que separe la visa en dos trozos, siendo en seneral más peligroso el que posea menos perimetro. En seccionee rect.anaulares loa cortea obvios son los horizontales_ En seccione e en T los cortes del ala suelen 6er muy moleet08. En eecciones mixtas, formadas por dos materiales yuxtapueetolS, poco engarzados, es clásico estudiar el corte de la interta8e entre ambos . La expresi6n de las tensiones tangenciales ee sistemáticamente del tipo: T :::: k'V/z'p dendo V el cortante de la aecci6n estudiado, z el brazo de palanca de la sección y p el perimetro del corte eetudiodo; el coefioiente k. representa la fracción del cortante asignable al corte en cuesti6n; por ejemplo cortando la secoión por la linea neutra, dejando todae. las compredones a un lado y toda e las traccionee a otro, el coeficiente k es la unidad. Lae expresiones cládcas de comprobaci6n del cortante se exPree.an pues de la forma: V ( z·p"f ... /k. En forJados no ea pr&oiao d18tirlBUlr ai 108 nervloe 8oportan los moment08 oon armadura paaiva -armados- o aotiva -preten8ados-, ya que donde se produce el cortante m6.x1mo el preteneado no opera. La8 dlterentes 601uciones de forjados, en lo que respecta al cortante, se pueden claeificar, de lIcuerdo con las formulaciones que exige EH-88 y EF-88, de más a menos reeiBtentes en:

éL

Si se dispone un nervio de doble vigueta para 'sostener un pequef'lo paño embrochalado , no ea posible concluir con carácter general cuál. aerá su solicitación y ei será posible lDantener o no el msmo tipo de vigueta, aunque siempre será recomendable hacerlo, confiando lae dlferencias s610 a la armadura superior.

al celos1a El C8S0 lIlás favorable para cortante es el de nervios con armadura transversal en estribos ó celos1a, incluyendo lae soluciones de hormisonado total in situ y las de vigueta. La secci6n critica es la horizontal Dlenor del nervio, función del ancho de éste, y del intervalo o ánaulo de la armadura de la celosia, según la expreei6n (EH-B8, art 39.1.3.2.2):

v ( 'b-(h-r)'fv

+ 1,4-A,.·!,·O,9(h-r)/o

[ J

torh40'

valiendo el coeficiente 1,4 para ángulos de celoe1a entre 35- y 55-, Para horm.1s6n H-175, acero AEH-500 ancho de nervio b=8 cm, canto h ::: 22 cm con recubrimient.o r :: 2 CID, Y ce10818 de A, :: 2iZ!4. con 8 ::: 20 cm, la expresión

anterior conduce 8 que el tor Jado 8oporta oon e.:esuridad H un cortante de

hasta 1.400 kp por nervio. que en viviendas (q::: 650 kp/m a) con intereje de 70 c m permite llegar a 6,0 m de luz.

utrueturu

QOO

Sin embargo, con un8 just1f1c8c16n vaga -Bmparada por ejemplo en la 80brerreelatencla de lae piezas de pequef'\o porte. aunque el coetlclente lq supuestamente cubre eee 8specto-, 88 admite con carácter general para forjados lDonol1tlco8 (EF-68. art 6 .3. 3) que la expresión de cálculo tiene el trU8mO formato pero con coeficiente 2. Be decir

2-l>(b-r)-!.

(

lo que significa un 40~ má5 de lo Que 5e acepta 0011'10 Máximo en otro tipo de piezas . Con demostración experimental, Sr-88 perrnlte hasta un coeficiente del orden de 2,8 ce decir el doble de lo supue8to para horllig6n por SH-88, dependiendo del canto y de la cuantia de la armadura traccionada -relativa al ancho que se cOIlPrueba-.

)A( .•..

De acuerdo con [4J, para conseguir en viviendas, con canto 22 cm, eoportar con eeguridad un cortante de 1.400 kp, eerla precie o un ancho de nervio de 10 CAl, que ee lo que en eee C8eo debe haber 2 cm por bajO del redondo 8uperior de la celoala. Según eatos cálculos no compenea eeforzarss en ampliar la resistencia de laa viMuetas con celoa1a a base de de/llol5trac16n experimental.

c) cola de milano Debido 8 que la celos1a oontie ne barrae alternadas no ee precia o comprobar el agotamiento por compresi6n oblicua (EH-B8, art 39.1.3.2.1). Tampoco 8S preciso cOlDprobar la superficie de interfase entre horlllig6n de suela y hormigón in situ a rasante (EF-88, 3rt 6.3.3.c), ya que esta superficie 8e halla cosida, vallendo la expresión [3]. Si la celos1a no alcanza el plano de la malla superior, loe cartee desde 2 cm antes del redondo superior de la celoela -que e8 supone que forman el anclaje de ésta (EF-86. art 6.3.3.b)-, deben comprobare e como hormig6n Dlonolitico sin armar, por tanto con las exPreeiones correspondien tes al tipo algulente.

El tipo clásico de forJado!!! con viguetas prctensadse -por d1..ficultadsa tecnol6g1c8e de incorporar arlladura tranavere41 en 5U fsbricaci6n- 5ucle dar lugar a nervios sin armadura de estribos ni celoda, pero con junta de hormigonado entre vigueta y hormigón in aitu en forma de cola de 1I1118no u otras de engarce sirn1lar. Aunque haya Que comprobar los cortes horizontoles tanto del horm1B:6n in aitu, Justo por encima de la vigueta, como del nervio estricto de la propia vigueta, en seneralla capacidad re8ietente H viene definida por la del perimetro de engarce entre amboe horlnigonee, que (EF-88, art 6.3.3) ee: v

b) 1D0noll tico Como lIIodelo de referencb conviene coneiderar el caso de nervios sin arllladura de estribos ni cel081&, horrUgonadoa totalmente in aitu, sin juntas de hormigonado . Para este tipo, para piezas en general se admite una expresión (En-66, art 39.1.4.2.2) del tipo: V < 0,5-b-(b-r}'f Y 'kl'k3:, pudiendo alcanzar k, el valor 1,4 y k, el valor 2, lo que indica que en ~odo ca80 Be debe verificar que : V « l,4-b-(h-r}·:f v.

44 1n concor4ancia con antlrior •• notal, 11 hOf.i~On H-llS con fcd • 111 kp /c: ..-, tllnl una rllilt,nola di Clllculo a cortantl 41 vllor (lH-II, Irt 31.1.3.Z . Z) i~ua l 1 f y • O,S'4f c O • 0,S'4118 '"' S,4 kp/c ..· , lo que .1(niflea qUI, con un • • _~urlO.O T,8 •• Oapa1 4 • • oportar un oortante 4e ha.ta fv • 5,4/1,8 • 3.4 kp/e,"". En la. IIIl.ma. 00n41elonel, un hor,"i(On H-400 alcan11 .cHo Iv • S.l kp/cm- •

< 1,2'p"{h-r)'fv

( 51

expreeión en la que, dado que la interfaee entre amboe horlYJ18one8 no puede ser capaz de soportar más de lo que resiete el hormigón peor de 108 dOB, ee tOma para t v el valor correspondiente al horrrrl.a6n in eltu. y pa ra p el perimetro de engarce entre amOos -deepreclando (EF-88, art 6.3.1) 11515 zonas por bajo de un ancho de paso de 20m-. Como el corte Justo sobre la vigueta tiene tarnbilm parte de interfase entre amoos hormigones, la frag1lldad de la rotura rasante y el no engarce ese corte obl1ga a condderar en él la misma formulaci6n, lo que en la práctica conduce 3 d1sel'ioe de bovedilla que dejan anchos de nervio eobre la vigueta del rdeDlo tamario que el perlmetro de engarce.

por

45 La for.ulleion .e b ••• In .uponar qUI la union Intr. ,,"bOl hOfonltonl1 l ' rU(o.a, frente a la 4e tabl0n 4_1 apart.Oo .l,ulente qUilo .uponl ll.a. Aunque In oc •• ionl' la. car,' latlrat •• 4 ••• ta .01ucl0n no ••• n MUY ruto •••• 11 hlCho di qUI tlnC.n InClrc. In cola 41 .. 11,no, {,"piOI .u 0"Pltu8 Y p'rd14a di roz... llnto, por lo que ••• upon. pan t ocha -convlnclonahllntl- el ,"JUlO oo.flciantl .

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lorJldol

A pesar de la bonificación que supone [5]. que confiere tanta resistencia COIIIO EII-B6 asigna a piezAs Dlonolltic8S, eatoe forjados salen generalmente malparado8; el nervio habitual no sobrepasa 12 CIII de perimetra de engarce -o, con el minimo de 3 CDI a 8fDbo8 lado a de la vigueta (EF-88, ar-t 4.1), el mifU10 ancho sobre e118- lo que con un hormigón H-175 y canto 22 cm le permite un cortante seguro de 1.000 kp. Dicho valor permite en viviendas llegar 15610 a..itL.. de luz. dando lugar a relaclonee luz a canto mucho menores que 18e deft-~ ,8 for Jadoa de 11'1&8 peao, coeto, etc.

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anterior, aplicada al perimetro de interfaee, ea decir:

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La eficacia de eataa 801uc10nes ee tan baja que quedan, en la pr6otica, inhabilitadas para tor jados. En efecto. con un tablón de incluso 20 Cll'l de ancho de conexión, un forjado de 22 cm de canto soporta con seguridad sólo 600 kp de cortante, 10 Que no permite más allá de 3 m de luz en viviendas. El intento de cubrir luces mayores lleva a anchos de nervio mucho mayores, aumentando a su vez el peso, en una espiral en la que, con este tipo de pieza, no hay 801uciones viables por encima de 4 11'1 o 5 m de luz. En rigor. lSobre todo en este tipo, -pero también puede suceder con el anterior-, en régimen de momentos negativos , con forjado de canto muy superior al tablón o vigueta, la cabeza compr1.m.1da inferior puede superar la interfase entre ambos hOrDugones, por lo que el cortante efectivo en el corte estudiado es lDenor. En primera aproximación ae puede tomar la relaci6n de profundidad de fibra neutra al grueso del tablón o vigueta, quedando:

[ 7 J

O,6 'p'(h-r)'!v . x- /e

'j ;.

lo que permite un poco más de juego a ee;to8 tip08 de torjadO, pero 0610 sobre los apoyos en continuidad.

En general, pa['a utJ.ll.za[' las relaciones luz a canto rentables, (véase tabla 1). incluso en viviendas, de regirse el co['tante por la f6rmula (5), serian necesarios nervioe de d08 viguetas cada 70 cm, o alternativamente utilizar bovedlllas cóncavae, que dejen al menoe 5 cm de engarce y ancho a cada lado de . la vigueta. En cualquier caeo ambas alternativas pee&n 48 mAIS de lo ordinario, dieminuyendo algo !Dáe su eficacia. Con un hormigón H-400 para la vigueta, utilizando para 108 cartee a través la máxima posibilidad de la formulaci.6n de hortn1.gón monolltlco, (4), el nervio de la vigueta se puede dieeñar con un estrangulamiento de valor 1,2'3,4/2,6'5,1 :; 0,29 del perillletro de engarce, del orden de la mitad del ancho ouperior. 8U

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Fltura 35. Cortante con vifuata. de tablón

d) tablón liso

La peor soluci6n desde el punto de vista del cortante es la de disponer nervios sin estribos ni celoeia, y con la Junta entre los dos hormigones sin engarce, como las de eimples tablones o eecciones en T convexas . En eet06 canos S8 admite (EF-BB, art 6.33) una capacidad a cortante mitad de

46 A CU.bio, y co.. o .e var., .1 .ayor volu ... n y r •• latencia del hor.,if6n confieren a eata tipo ... yor lnd.rer ..abilldad, lo Que 1. deja Ilejof defendido ante 111

tll .. a dll

(lecha.

;

En la tabla 5 aparecen procesados loa anchoe IIl1.nimo& de nervios con intereje de 70 cm, para cada combinaci6n de luz, canto, carga y tipo de n8['vio. La carga q de 400 kp/III· no corresponde, v~ase tabla 4, ni siquiera al casO de cubierta; la de 700 kp/m" se correeponde con vivienda, pero s610 para anchos de nervio usuales; la de 1.000 kp/m· cubre hasta algunos C8S08 de concurrencia elevada, pero sólo si el ancho del nervio 8S normal. Sobre todo con la solución de tabl6n, 108 anchoa de la tabla 5 no permiten denominar la solución como forjado aligerado, y, dados los pesos resulhntes, dificilmente permiten resolver con ell06 la8 simples cargas de vivienda .

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forJldn

ulnclu,. no

T.bla S. Ancho de nervio y perl_elro de e n garce .1nl.o L I iO 11250 "200 111 75

Canto lIaulle:On Tipo

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CeloaJ. 2:,./20 UIISOO

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Cole de "ilano" .In ... triboa

"17 "" " 13 11 "" "51" ""

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Ancho

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.00 700

[ B1

1000

que para intereJe B = 70 cm, ancho de ala b. = 24 cm, viviendas, y capa. a de 4 cm, da lugar a Que. mientras la relación L/h no supere el valor 28 no hay problema aun con la capa sin armar; la die posición de una malla obligada o armadura de reparto (EF-88, art 4.2) que supone por ejemplo ~4/25 transversal a viguetas y ~4/50 paralelo a las mismas, de acero AEH500, en total medio kilogramo de acero por móll de forjado, cubre aMpliamente los C8S0S usuales. Que no hay problemas de tensi6n tangencial garantiza no 8610 la colaboración total de la capa auperior entre ejea de nervio a momentos positivos, sino también la disposici6n de la armadura superior por mOllentos negativos repartida en todo el ancho del forjado, y no necesariamente dispueeta col'! cuidado sobre los nervios .

'00 700 1000

(11n continuidad)

1 COIDO puede comprobarae, para la reeitltencia a cortante , la variable més importante traa del ancho del nervio o per imetro de engarce, es la esbeltez del lor Jado. Paear a más canto aUmenta la reaistencia a momento y el pef:O propio, y suele retlultar 11'16e costoao, pero puede tlalvar una situación de cortante delicada. La variable de resletenc1a del horll'l1gón Juega muy poco; aun la máxima variaci6n posible -de H175 a H250- apenas elgnifica una variaci6n de ancho o perimetro de uno o dos centimetros por vigueta, lo que just1.fica la decisi6n tomada en el apartado 1.6 de proyectar los for Jadoe con el hormig6n de menor resistencia posible. De acuerdo con la formulación propuel5ta, la soluci6n mAe aconsejable es la de forjados con engarce por celoela -la práctica totalidad de loa de viguetas armadss-, Que pueden reeolvere& con nervio simple entre 6 y 10 cm de ancho y para carg8e muy fuertes -superiores a 1000 kp/m~- y pafiOS muy esbeltos con nervio de doble v1.gueta. La forma de la bovedilla en este tipo blleta que deje a 1", altura de la cel081a un ancho como el indicado para el tipo monolitico, en general no máa de 15 cm. En la tabla 6 "'parecen valores más precisoD, y la relaci6n luz", canto en que e8 válido cada uno.

Tabla Tipo de ed i lic..ciOn CUBIIRTAS V1Tll:lfOAn

PUBLICO CO MCURfl¡HC1A ¡L¡VADA

....

Celo.l •• y .ncho. de nervio (en c.) aobre ella

Virueta .taple L /b .. 20 L/h .. 2S

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L/ha30

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Ti,ueta doble L/h_20 L/h,.25

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Debido a la forma acusada en te de 106 forjados, debe temblén comprobarse el estado tangencial en la uni6n del ala al nervio; como el perfil tiene generalmente un acuerdo. la sección peor es probablemente la del encuentro con el nervio. La formulación en este C880 seria:

400 700 1000

• " "" 7

Rasante de ala

t kp/III- I

"" "" " peri.alro ••

para 8Iflr • •OI apoyado.

; 1

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2.3.2.2

• • • " • • "" "'O

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"oftolitic:o

L I 11250 11200 H11'5

11250 II ZOO 11175

'. "1

Sólo para cargae mucho más fuertes que lss de vivienda puede ",gotaree el ala a tensión tangencial, cuesti6n solucionable sin más que suponer Que s610 colabora la parte de ella capaz pr6x:i.!Da al nervio. Esta suposici6n obUsará a una mayor profundidad de la cabeza cOlllprimida y al recAlculo de la armadura longitudinal. con un aumento, en general, imperceptible.

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2.3.2.3

Ensay08 a cortante

Se pueden encontrar experimentalmente (EF-88, art 8.6 .3) valores más elevadoe de capacidad reshtente a cortante Que las que predicen (3) a (6), posibilitando disminuir el ancho de nervio o ·de no tener que disponer celosia. Sin embargo ell seguro que, a igualdad de geometrla , loe engarces en cola de milano r eaiaten menos Que los monoliticos, y éstos que 108 Que tengan celoBia. Por otro lado la formulaci6n para el e ng",rce monolltico de EF-B8 conduce a doble resistencia ti cortante que lo que permite EH-68 para el mismo elemento, -alcanzando los de cola de nUano el valor de resistencia que la instrucci6n EH-68 asigna a 10e8s macizas-, por lo Que la& distancias con el primer tipo, el de celoe1a, están ya artillcialmente reducidas.

1,, ,¡

De encontraree experilllentalmente que loe forjados en cola de milano soportan cortantes mAs elevados, habria que corregir asimismo 108 monollticos, la formulaci6n &eneral de EB-68, y, en con secuencia, la reeistencia del engarce con celos1a, que, a 1.gualdad de geometria, tendrlo que dar valores muy euperloree. Lo paradÓjico ee que existen reeultado8 experimentales con engarces sin celoda que permiten deducir capacidades resistentes a cortante de valor superior al doble del especlticado por la instrucción EH-B8 para nervios totalmente const r uidoB in situ , cuya formulación parece haber sido bien contrastada. Desgraciadamente no se aabe cuál e8 la variable que opera y en unoe; casos el cortante de agotamento conincide con la formulación (3) 11 (6) y en otros sale mucho lIás. Ensayar cada combinaci6n de carga, luz, armado, canto. signo de cnomento, etc, es irrealizable . TOlnar como v6lid06 f:in Inés a.l.gun06

forjado.

adopb,r para la interfase entre dos

de manera que la rotura por rasante o despegue del anclaje s610 puede

lOsa realatencla que la correspondiente a cortante para cual-

hacerae por rotura del zuncho, y por a8otall'l1ento de toda la longitud de la vigueta. Eso 81.gni.fica que el comportamiento de cortante no 158 resigna 8 aer de una aeccl6n sino de una piezas completa, razón por la que ea tan escurridizo y tal d1f1c1l de Dledir.

resultados equivale en ocae1ones hor~igone8

utrllctQrU no

quiera de ellos, coaa dif1cilmente creible. Los emsayos clásicos a cortante, -para que no se produzca antes el fallo a Dlomento-, se suelen hacer con cargae muy pr6ximas al extremo apoyado. Cuando se alcanza la rotura por algún fenómeno derivado del cortante ---como rotura por cortante. agrletalDiento oblicuo. despegue de arllladura. rasante. o rotura de anclaje extremo-, el momento en dicha secci6n suele ser inferior al de agotamiento. Y al c'ontrarl0, cuando se rOlllpe por ensayo a flexión. no ee producen valoree: elevados de cortante. Dado que seria deseable hacer 18s dos comprobacionee independientemente , es preciso garantizar que el valor de cortante último puede soportarss aun en presencia del momento a8iJDismo de rotura. Eso 81gn.1!ica que no puede ensayarse haciendo e1mplemcnte crecer la carga haata fillo. 5610 158 puede garantizar el cortante que 8e haya alcanzado para el momento de rotura; e1 se desea probar con más oortante ee preciso disponer otro ensayO dlierente con las cargas más pr6ximas al extremo para que se no aumente el momento. Si esta distanoia ce inferior a dos oantos, 108 resultados no son válldo8. al haberee alterado e l comporta mento de momento y cortante oon bielas directse, y, el la carga es superior, por efecto de pinzado. Colgar la carga por abajo parece poco real y demaeiado conservador. La soluci6n más recomendable es disponer carg as repartidas en mAs de dos puntos para 8ei.m1lar la pieza a su situao16n habitual.

Probablemente loe ensaY08 ee deben limitar a determinar cargas seguras que no producen fallo, deduciendo que 8i no ee ha agotado, talDpoco lo ha hecho por cortante, y el valor deduoible para esta solicitación a partir de la carga y lUl: del ensayo se debe esta r soportando en todos los cortes posibles, asignándolo como valor seguro para todos ellos. Sin embargo se tendrían que tOmar COmO variables el signo del mOmento -no será 10 mismo cortante en rég1r¡en de momento nulo positivo. que en régimen dellDAximo momento negatlvo-, armado y canto, aun cuando para valores de éste mucho mayores que la altura de la vigueta son predecibles resultados proporcionales a la altura total. El número de ensayos por tipo deberta estar entre 2 y 6. despreciando las anolDallas. y tomando, por ejemplo el valor kH de EH-88 (ort 69.3.2.b) correspondiente a una dispera1ón media, pero adoptando un coeficiente de a8surlded adicional si la rotura ee frágil. Pareoe razonoble sospechar que loe ensayos realizados para una geometrla puedan ser extrapolables a geQmetrlsa análogas, lo que unido a la poca variaci6n de l os dieef'ios de unae vigueta8 a otras del mercado. rentabillzaria mucho el trabajo experimental. En este tema, sin que se ofrezca un modelo explicativo convincente, va a eer dificil extrapolar los resultados a otras geometrías, armados y cantos. por 10 que. a espera de esta reformulación teórica. 108 nervios de viguetaa sin celosla deberán aumentar a cerca del doble los valoree de ancho con que ae hablan proyectado en loe illtimos al\os.

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En todo caso parece recomendable disponer el ensayo oon al menoo dos o tres viguetae y BU entrevigado correspondiente, ya que no se sebe c6mo colabora éste. Disponer instrumentaci6n para medir corrimientos de rasante puede viciar el espécimen, que tiene preprovocada la rotura; pero sin hacerlo, s610 se puede 1natrumentall:zar la necha. En la práctica habitual, la oabeza de 188 viguetas está zunchada, en muchae ocasiones por la v.1ga,

forJadol

'1 .'

3. de la comprobación del forjado Una vez obtenido el acero y definidos todoe los parámetros del forjado. ee puede proceder a 108 cálculos que lo validan definitivallente, operaciones que, como no sirven para determinar nada, puesto que no queda nada por determinar, Be denominan más propiamente cOlllprob.sC'Jonell, Eetae Bon básicamente lee de flecha y fisuraci6n . De no verWcaree aJ.suna de ellaa serA precia o alterar also, volviendo atráe en el proceso, por lo que 88 deseable que salgan todas bien. Eea es la explicaci6n de que lae conclueionea de sata parte e8 dirijan lIIá8 bien a demoetrar que 18e anterioree dec1eionee 88 han tomado sensatamente. Por razones de econouúa de trabaJo, el hay que introducir modifica-

ciones .. ül.tiJna hora. e8 prefiere hacerlaa a base de aumento de acero, lo que no obliga a retroceder a la etapa de cargas ni a la de solicitaciones, aunque en algunos caeos lo razonable seria variar el diaef'io, debiendo rehacer todo el trllhajo.

3.1

LA FLECHA

Se desea que III flecha no sea excesiva por muchos motivos : porque el usuario no se sienta incómodo, porque los elementos secundarios, COnlO albañileriae en general, no se rajen, para que sean ciertas algunas hipótesis del cálculo, y, 80bre todo, para garantizar que se ha calculado lo que ea de verdad la estructura resistente de una obra! su parte más rigidlL Ea por ello que el control de flecha difiere según la senf:ibilldad de la 81bañileria y según el tipo de obra que se trate. En hormigón, como en madera, revisten especiallmportancia las componentes diferidas, que incrementan la necha por el simple transcurso del tiempo, aun sin que aumente la carga, fenómeno más aparenLe en las fascs tempranas del fraguado del hOrlnigón, pero que continúa senalblemente hasta cinco ai'loe más. En rigor la flecha total. no ee importante; s610 lo 613 la que afecta o interfiere con la albafUleria o la comodidad del usuario . La flecha debida 8 peso propio es indistinguible de la forma del encofrado. imposible de medir, y por tanto irrelevante a 10B efectos de flechll. La que hay que

(orJI401 O

acotar ee denomina flecha act.iv;,(EF-88, art 6.5.3.1) rcepecto a un elemento dañable. 8uma de lBS componentca inatantáneas y diferidae a plazo infWto de las cargas que aparecen tras él, más la parte de 18s diferidas de las que aparecieron antes, o lo que ce lo mismo, le; flecha total, instantánea 111.48 diferida de todas lae cargBa a plazo in:f1nito, menos la que se ha producido ya cuando se construye dicho elemento. La información estructural respecto al 'h ormigón está fragmentada. Por un lado 108 analistas de estructuras adoptan un modelo de lIlaterial elástico, isótropo, etc, caracteriztndolo por un módulo de Elasticidad, aplicable a las d.1men81onea brutas de la sección de horm1s6n. ignorando la existencia o colaboración del acero, y, aparentemente al menos, prescindiendo de cómo lo consideran luego en el cálculo de seccIones, flsuraciones y flechas 108 técnicos que formulan eetas cuestiones. Estos últimos parece que ignoran cómo se analizan las estructuras de horm.1són, y actúan como 8i las 80Ucitaciones fueran un dato -y, en efecto, contrastan sus propuestas con ensayos en los que dichas solicitaciones son conocidas a priori-, por lo que no tienen inconveniente en suponer que el hormiBón es no lineal, no tiene módulo de Elasticidad definido, y es crucial cuánto acero hay, y dónde y c6mo está dispuesto. Los caloulistas que proyectan estruoturas cOIDpleta8 están abocados a una profunda incoherencia, resultado del cruce de ambas disciplinas con 6upuestos irreconclliables. La flecha es un caso paradigmático Cle ello". 51 para el cálculo de la !lecha Be usan inercias y rigideces diferentes de 18s utllizadaa para el anáUB1e de solicitaciones, no ee satiBfarén lae condiciones de compatibilidad geométrioa de la estructura, por lo que tampoco valdrán la6 solicitaciones obtenidas en el anilleie, a meno a de producir incongruencias que afectarán muy profundamente al propio valor de la deformación. La flecha tiene

COIllO

expresión clásica general:

( 9 1 siendo El la rigidez de la secci6n y a un coeficiente que depende de la forma de 6ustentaci6n y la gráfica de momentos, tomando para ti un momento ~e 47 La praci.iOn d. tomar como [lecha 1010 la parta activa da la .,iI.,a lurtiO cuando, al cuantificar con rlCor laa componentel diferida' en prelenela da una Inercia tan baja como 1. fllurada, Quedaban deaautoriladal buena partl de laa lolucione. dada. por vf.Uda. en la prf.cllca. A ea.,blo de la ccmplicacidn d. añadir la parta diferida" aon.ld.ra( la bija de rltldea por f'-uraciOn, paeecSa conveniente -par. que .1 hor.,ltOn .ICulera .l.ndo cOlrlpet.lt.lvo- da.contar la. cOl'lponante. previa. da 1 .. flach .. . No ae .abe todavi. cut n flabl. r •• ulta el proce.o CO.pllltO, pero \0 qua .e pueda .... Cur .. r ea qua •• cOlllplica e.traoro. i na r hlllenta. tI ace ro la.,! nado he. r.cotldo parle d. ea la a rCUJllantac iOn re.ul t.ando lOrlca_enta .,e. cOlllpellllvo que ente., ya Que .010 ae llmila una parte de la flecha total, y la flecha era, con mucha frecuencia, d.termin .. nte. ., El otro, Qulzf. ... f.. lra.cendental, e • • 1 de calcular .accione. en .atadoa It ... llee ~lllmo •• pero para la. eo11citacione. obtenida. de un aneli.'. ela.tlco 11nea1. Para poder alcanaar l ••• olicllaclona. \lltl. . . . . n altuna lecclOn •• lleno que auperar notlble.,ent. al r.n~o .lf.atlco, reduci.ndo, al mano. an la •• cclOn que la alcanza, la ritlde. a c.ro. In .1 peaee.o cr.cianle d. cartl pira con.. tuir lletar .. loa eltado. l i ... ll •• ~ltil'lo., 1aa .oltcltaclone. deben .ufrir ca.blo, profundo., en .b.oluto IUJII.ntoa proporcional •• en toda. la • • • cclon ••. t i u.nico anal l . ' , coherente con el cf.lculo d. ,.oclona. preconizado por loe e.perloa en e.t. ca.,po, e • • 1 plf.atiCo, QU' no eetf. forl'lulado an detall. para el horl'litOn. 11 Objetivo 0..1 calculo 4e .acclone., que e. tlrantl'ar que no .e alcanun esetorlninada • • Ituaclon •• ll'lpllca tra.tocar COlllplata.,ente el Inodelo clf..ico de anf.li.'a. Lo. probl • .,a. en lo. que al Dodelo co.,pleto e. coherente, tanto para e.le proble.,a COIIIO para el de flech • • on loa d.no.ln.do. Ilo.tetlco •• -la vlta doble.,enle IpOJada-, .01uciOn con la que no •• oonatruye .n la actualidad nincuna eelructura de ediflcaciOn.

utrwcluu 110

referencia. Por ejemplo, para viga doblemente apoyada, con carga y aección constb.nte 81 ee toma corno relerencia el mOmento máximo, Hrel = qL~/B, la flecha ea O :: O,l·M cefL2./KI. 5118 srAt1o& de momentos tiene otro diagramB, o la sección no ce: conetante. la fórmula puede coneervar 8U forma. variando converúentemente el coeficiente a de acuerdo con la secci6n en la que se mida el momento de referencia. lite(. Y el valor KI.

3.1.1 CAlculo do flecha El procedimiento actualmente normado -aparte de una vaga remisión a algo impreciso como la J.ntegr"cJ6n de las curvaturas- cs (EH-ee, art 45) el de ut1l.1zar en cada traillo de viga la f6rmula [9] con coericiente Q el cláeico de la Resistencia de Materiales según la forma de la gráfica de momentos, rebotando todas 186 correcciones en el término KI, ut1.llzando una rigidez eqw valen te, promedio de lae de dif'erentes estados y secciones , dependiente de la variación de la eecci6n y del estado de fisuraclón -inexistente, moderado o avanzado- que posea cada una.

•

riCura 31. Itapa. ae c61culo aa flecha

El cálculo de la rigldez equivalente Hl es más complejo de lo que parece a simple vista: no s610 es intermedia·entre la bruta -sin fisurar, correspondiente a ' mOlllentos muy pequei\os- y la f1surada --correspondiente a 1II0mentos elBvados- eino que lo es también entre la de momento positivo y negativo, y, a BU vez, eeta última intermedia talnhién entre las de las dos seccionea extrelD8s. Además cada valor de 108 anteriores ee diferente según

. , Se prefiere utilizar la variable ri_ldel en vez d. la inercia, Qua .1 lo Que propone IN-II, ,,_ Que el co~port.~iento flaurado e. ~e. eenclllo e.pre.arlo en terMino. de acero. tI proc.di~l.nlo de IH-II l. e.tablece .n t'rMino. de Inercia aQulvalente, pera lueto, "I.lltlplic'ndolao por el MOdulo ,1. ElI.lticidftd del hor~I,On, obtaner la rl(lde, -equlvalente-. Proc.~tendo de.4e el principio dlrecl.~ante en t'rllino. de rl(1de, .e .i.,pliflca la formulaclOn.

forJ4dol

la edad del hormigón, y es preciso adoptar varioe escalones de carga para reproducir correctamente el comportamiento a flecha. identificando la parte activa y la que no lo es, y teniendo en cuenta las componentes diferidas de cada escalón de carga. El procedimiento de la rigidez equivalente supone: 1- Descomponer la historia de carga en etapas sometidas a ca rga co nGtante; por ejemplo, peso propio (desde 108 28 dias), peso propio más tabiqueria (desde los trea meses), peso propia más tabiqueria más solado (desde loe seis meses), y carga total (8 partir: del aPio). 2- En cada etapa obtener, para la 8ección central y 188 dos extremas: 0- momento flector, a partir de 108 de cálculo. por proporc!onalidad so con la carga . b- momento de f1surac16n. función de la edad del hormigón. c- inercia fisurada. funoi6n de la edad del hormigón. d- inercia bruta, funci6n de la edad del hormig6n. e- inercia equivalente, intermedia entre la total y la fisurada, de acuerdo con la la relaci6n del D'lomento actuante al de fieuraci6n. 3- Para cade etapa 51 calcular: a- rigidez equivalente del tramo, intermedia entre la6 de sección de vano y extremos. b- flecha1netantánea máx:l.ma 52 , funci6n de la r1s1dez equivalente y de los momentos actuantes, caracterizados por el de referencia. c- flecha parcial por diferencia con la 1netantánea de la etapa anterior. d- fleche diferida activa, multiplicando la parcial por un coeficiente apropiado funci6n de la duración de la carga.

50 En ril{or, .1 .e nlponll que hay variaciCn de ritidlu con el tielllpo el incongruente suponer que 10B IIIomentos para IIIilad de carra Ion mitad 4e los totale • • ti pr~celO e. pue. convencional y el .e toma al pia de la letra pueda dar lUl{ar a paradoja • . 51 SI .e supone Que la arllla"u.ra no inCluye en la inercia, la ri~14ez total ea la .,¡allla para la. t.rea aecelones, 'J en teneral 10 •• para la. do • • eecione. ext.rema • . Si .e .upone Que con la edad no varla el cenl.ro de frave4a4 4. la sección cOlllbtn .. d.a, la inercia Clsurad . . . . Id.ntlea para toda. la. etapa', la Inercia brut.a varia co~o el .,ódulo de ela.ticidad del horm ítO n y .1 momento de lllufaclón COIIIO la re.l.lencta a tracci6n, lo Que per~lte obtener lo. de cualquier IIl/lpa po r proporcionalidad a, por ejemplo, 101 valorea a 2& dial' -.iJnpliCI _ caclOn propueala para la redacciOn de lee Autorl:acione. de UIO. Aun con ellal .impllficacionel, el c'lculo de flecha .i~ue .Iendo muy cOlllplicado. 52 En rlCor 1.. elecha "'.'IIIa, para loe tram~. au.tenladol en a.,boa e.tremo., no aucede en eu centro. Un c'lculo IIIl1ticulo.o de Il.cha debe det.ermlnar, a partir de la ,raflea de mOlll8ntol, dOnde ee prOduce el .á.',"o deecenlo, de acuerdo con lo. I{lros en lo. extremoe . DaOo que la trálica de momentol e. convencional, y Que, -eet':'n ee ind ica mAs adelante- lo. tremo. con.ecutivo. p\le~en t.ener ritiaece. dilerentolll, lila. vale no Intentar dicho c.lculo, que puede dar lutar a incoherencias irresoluble •. Por ello en renetal .e to~a como elecha 111 deacanlo en el punto lI1edio (¡r-U, com 6.3.5 . 1), ¡:.,mo l i el tiro al11 fUllra nulo. laéntico prO b lema puede ,ulcitaree en un volaOi:o, para el QU. no hay una Corllla inequlvoca de calcular el tiro en el apoyo.

utnctoru un

4- Y por fin 6umar lse flecha e instantáneae y dlferidae tras la aparición del elemento dañable, para encontrar el valor de la flecha activa . Dicha necha activa Ee co mpara con el valor má.ximo S3 tolerable. 81 proceso, a pesar de que es muy prolijo, dieta bastante de estar bien definido. Seria deeeable mayor concreción en: colaboraci6n de la armadura comprimida variable en la luz, ancho equivalente de las alae en las secciones en te, historia de carga a considerar, sobrecarga de U80 equivalente para efectos a largo plazo, 6i la flecha pertinente ee la absoluta o la relativa a los extremos, ella verdadera tlecha o el descenso del punto medio, cómo 6e averigua la poelci6n del punto de máximo de6ceneo, c6mo se combinan y ee acotan lae flechas combinadas de vigas y viguetas en el plano, y, sobre todo, cuál ee el factor de flecha diferida para cargas en instantes intermedios. Como la precisión de un proceso se mide por el del factor que menoe lo es, este último parArnetro. -multiplicador de todos 109 demás, y que debe eleSirse de una lleta con s610 cuatro opcionee-, se convierte en el más trascendental. Loe apartados Biguiente eetablecen expreelones apr oximadas y cotas de cada una de las componentes del proceeo de cálculo de flecha. Para una primera lectura sobre el tema, pueden obviaree, saltando directamente al. de c6mo hacer que la flecha eea tolerable.

3.1.2

Variables para el cálculo de flecha

La rigidez bruta corresponde a la eecci6n total, en eate caso del torjado, multiplicada por el lI'IÓdulo de Ela&t1cidad del materle! usado como patr6n, normalmente el horm1.s:6n in Eitu. Para una secci6n rectangular de ancho b y altura h la rigidez Beria KIbruta = E c ·bh 3 /12. Si a dicha sección se le aflade un ala infinitamente grande, el centro de grav#;dad Be corre al borde superior, reBultando una rigidez cuatro ve:cee mayor. En los forJado e el ala es grande por lo que la risidez se eitúa máe cerca de este último caso , aunque dependiente de la armadura inferior -no despreCiable ya que eetA muy alejada del centro de graveded-, &ituándoee por nervio entre Ec '3,2'bh3/12 y KC '3,e'bh 3/12; un valor que puede tomaree para cálculoe simplificados ee:

[ 10 1 Con viguetas pretens8dae el ancho medio de hOl'mig6n es superior, tipicamente entre 12 y 15 cm, y la cabeza pretensada trad~cidE:l. a hormi86n in situ es considerablemente mayor que lo que indica su pura geometria, por lo que su rigidez bruta es asimismo superior. Con vigueta doble e intereje de 82 cm, el ancho de nervio se eleva a 20 cm , reduciéndose la incidencia del ala; aun aslla rigidez total ee, por intereJe, como EC '2,5-bh 3/12, que por metro de ancho eignifica del orden de un 50X eupe:rlor a la solución con vigueta simple. 53 La flecha e. illlportanle por la di.tor.lOn Que crea, 40 manera que lo cruci al eo el de. ce n.o relativo .. la d1atanela en plant a. O,da la indeteflllin.cJÓn de dónde e. IIItJ:ima, -lo que Impll.carla cOlllpararla con IR d i.tancia al apoy o .. .l. prOJ:imo- •• adopta por convenci¡)n l. llecha en 01 punto medl" en relacion a la luz total.

forlldo.

Mientras 108 momentos flectares sean inferiores al que produce la fisuraci6n -el alcance de la tensión de rotura a tracc16n- la rigidez es la bruta . A partir de ese valor. debido al proceso de fleurac16n, la rigidez baja progresivamente. hasta alcanzar 8aintótlc8mente la denominada rjg1de21 f1s\lrada de la secci6n. En esta situación, según la teoria de secciones es E ::: Y-HIEl, y ref1riéndoee a la fibra de la armadura. ea Y. ::: (h-r-x), y

además

Ea :::

a./R. y

0".

= liIA.z. de modo que resulta El ::

E.'A.z(h-r-x).

Como

ntrucluru

IDO

ya de 180'6,5,6,5/16 = 410 lIl·kp superando el de fiouraclón. Para tramo aislado la luz será de unos 5,0 metros y el momento seria 0 . 5·5·5/8 = 1.563 m'kp con idénticas conclusiones . En resumen, en forjados el momento de f1surac16n positiva es escandalosamente menor que el de U60, resultando que la situación tipica es de fiauraci6n avanzada . La baja de rigidez, fruto de la f1euración. ee importante. La rebción de ambas d.gideces es:

tanto Z COIIIO (h-r-x) Bon fracciones -elevada e- de (h-r), la rigidez fiBurada ee puede poner de la forma KItls ::: K.'¡}·A.{h-r)·, En forjados, a lOomento positivo, al eetar la l11lea neutra caai al borde. el valor de D 8e aproxima a BU márlmo teórico, pudiendo ponerse, también por nervio. que: [ 11 )

!- b -t-

[J .., "

o . • "

1..,_::,.-..;.:.\ ~

...• .. ...

[

J ritura

.. .

1---_.. _·1

I-b.

»r

.. " " " " " " -' .

, ..... ....

·t

3~.

r· .]

¡ s

[ 13 )

en la que K./E c ea del orden de 2100/250 = 8: (h-r)=/h 2 está entre 0.1 y 0,8; y A./bh se sitúa entre 0,005 y 0,020. Todo ello da lugar a que la ri.gidez fieurada acabe siendo entre un tercio y un dbcimo de la bruta. Si la fisuraci6n es generalmente avanzada y la baja de rigidez importante el fenómeno no puede despreciarse. Contando que, en 1813 secclones con mOlDento in!erior 0.1 máximo, la fiauracl6n ea menos acentuada, la propuesta de rigidez equivalente ea tomar una rigidez intermedia entre la bruta y la f1aurada, dependiente del coeficiente ~ = (MulllfK)3, siendo M el momento en la sección en que es máximo . La expresión de la risidez equivalente es, para momentoe máximos euperior-e8 al de fiauraoi6n: h"Iequ iv

[ 14 )

de manera que ei M ::: Mtis resulta aer KIe qulv ~ KIbruta, Y 6i ti » !:1ft. se debe tomar KIequiv = El, la. En la práctioa el cambio ea muy rápido; para momento vez y media el de flsurac16n, la inercia equivalente Be; 30% de la bruta máe 10" de la fisurada, para momento doble del de fiaurac16n ea ya 12% de la bruta raáD 86" de la f1surada, y para momento triple del de fisuraci6n ' la inercia equivalente es de la bruta máe 96% de la fisurada, en la práctica igual a eeta Ultima.

4."

DeformabiliQad bruta 7 fiaurada

El punto en que comienza a influir esta r18:idez ea el momento de fjsuraci6n. El hormigón rompe a tracción para una tensi6n muy variable, cuya media -lo que interesa para un comportamiento global de toda la pleza~ como es la deformación-, tiene un valor (EH-B8. art 45.3) igual a O.B·fck:ot 1 , que para un hormigón 11-175 y a 2B d1aa resulta ser fet = 25 kp/cm~. Una sección rectangular alcanza. eBa tene1ón cuando el momento elS Mtt. = fO'·bh;l:/6. Una sección con ala lnfWtamente grande lo alcanza a momento positivo cuando el momento es doble del anterior. caso al que se aproxima un forjado tipico, por lo que puede ponerse, por nervio, que:

[ 12 ) En un forjado de 22 cm de canto, con nervio simple de 8 cm cada 70 cm, el momento de fisuración por intereje, según [12] ea 400 m·kp. Este forjado, en tramo interior, se usará para una luz de unos 6 ,5 m, lo que conducirá en viviendas a un momento para carga total de 500'6,5,6,5/16 = 1.320 m'kp, en situación completamente fisurada. Incluso para peso propio el momento será

E.l~~...·,..

utrllehtru 110

forjado.

Según se ha visto, para momento positivo, en forjados el momento máximo. ti, es francamente superior a HIte. por lo que la rigidez equivalente ecrA muy p"lrecida a la fisurada. La (14) ee puede transforMar en:

que se puede leer como que la inercia equivalente ce la f.1eurada mAs una parte de 10 que resta hasta la bruta, parte direotamente proporcional. al cubo de la colación del momento de tisurac1.6n al actuante. En tor jedoe la relación ee muy baja para momentos pOBitivOB y el incremento e8 generalmente ligero . Para cálculo B 61mpllficados 54 Be puede tomar: [ 16

El procesado de la (15) da lugar a valorea l1scramente d1t'erentes aegun la edad del horm.1gón. Suponiendo que la8 variaciones de las características del hormigón no cambian la posición de la linea neutra, la r1g1dez fiaurada no varia, el lDomen11o de fisuraaión varia oomo la resistencia, fa/ f 28 , y la rigidez bruta como el módulo de Elasticidad, IVE2I, lo que da lugar 8 los valoree de la tabla 7 .

Tabla 14a4

, 14

" 1

•1

410"

ellae ' eltall

••• Ileaea lIeeel! afio

, . Riti4ea

aqu.i"alllnlO reepacto

H¡ Hl1l11

' ,O

1, O

0.'18

0,'3

1,O

0,9'

0,89 0,81 1,00 1,08

1 ,0 1,0 1,0

O.' O.'

1,00 1,11 1,17 I,H

I,U 1,18

fa/fza 1/1 28

8610 una parte del ancho de ala, del orden de la distancia entre fisuras. Como de todas formas la incidencia de la r1g1dez a momento negativo es menor, -véase [19] y (20)-, no hay inconveniente en tomar una expresi6n 15610 ligeramente aproximada para 108 valoree a momento negativo. po r ejemplo :

1, O 1, O 1, O

•

1,O 1, O 1,1 1.1 1, ,

KIbruta,ne( KIne, ne( Hf!e,nO!,

E c ·3·bh 3 /12

O,7·K e ·A.,eup·dz

2· f.,..bb'/3

[ 17 1

Debido al mayor valor de mOmento de fiBuraci6n, con momentos negativos, la inercia equivalente es algo mayor que la fiBurada, ti veces una parte apreciable de lo que resta hasta la bruta, eegún (15). La formulación de la inercia equivalente ee exclusiva del hormigón armado. Para viguetas pretensadss no se pueden hacer sino suposiciones. De aceptar los conceptos anteriores. a momento positivo se estará superando con creces el momento de fisuración del hormigón in situ, aunque no se alcance casi nunca el de fisuración de la propla vigueta. por lo que la inercia de la secci6n seria la forlDada por la vigueta y la capa superior. A IJIOUlentoe negativoe. por 108 motivos ya v1etoB se podria seguir usando (17]. Con lae consideraciones anteriores, la flecha instantánea para carga total, por ejemplo para tramo alelado. con cerga uniforme /Seria. segun (9):

fiaura4a

_,O

1,5

l. O

Ilbruta/llth

o,a.

dispone s610 armadura "obre el nervio, la colaboración del hormigón abarca

[ 15 1

Elequl v

'. ,

1,5

1, O

1.0 1.0 1, , l. O 1, O 1. O 1.0

1 ,0 1.1 1,1 1, , 1, , 1, • 1,5

'. 1

1,'

1, • 1,5 1,' 1, , l ••

,,O

, ,O

1.5

1,0

1,O 1, O 1, O 1, O 1, O l. O 1, ,

1 ,1 1,1 1, , l. , I •• I ,5 1, ,

1. 1, ,_

1, ,

1 ,5 1 •• I,•

," "

"," ,,, -, " • ,O

Relación Uequ iv/l lfie

En laa secciones sometidas 8. 1D0mentoB negativos la situación es algo diferente . La inercia bruta es ligeramente inferior, menos dependiente de la armadura, ya que la traccionada está muy cerca del centro de gravedad y la inferior -la cOlDpr1m1da- ee muy pequePl.a. La inercia fisurada ee menor al ser neceeada una cabeza de compreeión mAs profunda. Te6ricamente el momento de fisuracl6n ea mucho más elevado, al estar el centro de gravedad muy alto, pero en cambio la caida de inercia debe aer mayor, ya que, si se 5 4 El IIIolllO!nto de lIervlc:io tiene la elpre.eión ,enerel qL 2 /n, por lo que el coO!flclente ~ vale (nol~'b¡3oq)3/(L/hl' o Al variar con la eexta potencia ele la eebeltez el callbio ee rap14teimo. Aunque 1. propue.ta oe valoree 81111plificadol del lelto no eel IIIuy precie. en tooOI loe calOl, l o el cuanoO l. flecha el elO!cl3iva, que ee cuando la elbeltat ee elevaoa y por tanto ~ muy bajo o

y como, según (1] ee H. ::: Ae ·O,95(h-r}·ae , resulta: 6/L

•

0,1· L/(h-r) . "./R,

[ 18 1

Para carga total y un acero dado, por ejemplo AEtI-5(\(1, la tensión de la armadura calculada estrictamente, será (vé8.ee nota 38) aproximadamente 2,8 t/cm 2 , por lo que la flecha relativa e la luz resulta ser un valor proporcional 8. la esbeltez del tramo. En un tramo continuo, con momentos positivos y negativ08, las conclusiones difieren pero sólo li8eramente. En primer lugar en la fÓrmula clásica [9] ai existes mome ntos en los extremos, el valor del momento de referencia del traDlo Mrec es una combinación de 106 DlálU.m06 poBitivos y negativos; en particular es Mrer :::: Mpo • - (M ne l!l + Mnetz)/lO pera carge uniforme. Si momento e positivos y negatlvoe 60n del mismo orden resulta ser Mut :::: O,a°ti po, o sea O,05 qL:t.. En tramos extremos la expresión para carga uniforme es Hret :; Hpo, - Hne.e/S, que para momento6 negativOS iguales a 108 positivos da lugar a MrO!f ::: O,84 Hpoe ::: O,07 qL z . Para otro tipo de caeos ee pueden tomar los valoreE de la Tebla 8. o

" Tabla

forjado.

Lu. cotloecutiva/Lu:r; •• 1 tr_o Lu, •• 1 vuelo/Luz •• 1 traillo Tipo da lr .... o

N.u.o ro

••

... ,•

1 .uelo

1 1

lJ:tre ..o

1 ~olo 1 Yl.I.olo

,, • •• oo• .o.

Interior

cat •• unilorae

O, • O, 1

O,, O, ,

0,7

O,, O, ,

0,_

0.1 Z

0,11

0,11 0,01 0,07 0,05

O, 10 O • 07

0,10 0,08

O ,lO 0,07 0,06

0,07 0,0;(

0 , 07

0,01 0,04 0,04

o,oa

0 . 0<1

0,07 0,05 0,07 0,03 0,04 0,04

0,08 0,05 0,05 0,07 0,04 0,011

0,05

O. O 5

0,03 0,03 0,0. 0,04

0,03 0,03

·,

••

•

0,07 0,05

0 , 04 0,04 0,05 0,05

1 vualo

Central

flocba,

1, O

O,,

1, , O, •

trlLllolI

,, •• , vueloa

Al. lado

••

HO.llotoa para clllculo

...

o,oe

HO.llnto da referencia

• 0,03

o,oa

•

0,03 0,05

o,oe

• • • • 0,03

• • •

0,05

••

•

Href/qL~

1, fleche d. •• favorable en el tramo conlllculivo. nola : lo. Lru:¡ol consecutivo., ambO' ladol .on diferente. cld.a pue4e tomar un valor inteUlodio entre lo. cotra.pondienla.

uno

••

. Pero ademAs si exi.,ten momentos posit1voe y neseUvoe debe lldopteree también una r1g1dez equivalente intermedia entre las correePQndientee a las secelones de momento a máximos . Según EH-88, art 45 .3 . si hay momentoe negativos importantes en ambos extremos ea: El ::

0,70· KIequ.iV,pOI

ulnchrll no

+ 0,15· (KIequ iv.neCl ... lilequiv.neról)

(19]

Este concepto de duraci6n ee eecurridizo. El valor ofrecido por la norma oecUa desde 2,0 para 5 o más aftas, haeta la unidad para 3 meses. En edificación, en una primera lectura parecerla que todas las cargas, solado, tabiqueria y peso propio, están aplicadas m'B de 5 af'iOB. 5in embargo la justi,ficación de este fen6meno 813 la fluenc1s, y ~sta, (véase el art 26.9 de dicha norma), ea un fen6meno que intluye mucho E:n laa edades tempranas del hormig6n y poco cuando el hormig6n ea viejo. De acuerdo con la formulac16n de la tluenc1a. la duraci6n ee mide en d1aa de edad del hornúg6n, resultando que no sa lo mismo un afto tras el fraguado, que entre cuatro y cinco aftoe tras ese instante. Para calcular puea lo que sucede entre el cuarto y quinto afta no puede ut1l1zarse el coeficiente a un año, sino que ha de calcularss a cinco. lue80 a cuatro, y luego restar, el proceso clásico en 108 fen6menos que no se producen a tass constante. Dilucidar eete punto resulta sumamente trascendente, ya que la flecha ee importante por lae componentes diferidas, resultando valorea muy diferente e de éstas según la lnterpretac16n del coeficiente a uaar para intervalos de tiempo con origen d.1.stinto del de fraguado. En efecto, para identificar la flecha ltCU va. 68 preciso calcular la parte de necha d.1:ferido que reata de la que ya ee ha producido cuando ee construye el elemento danable. En el cómputo de flecha intereaa puee no la flecha diferida entre elinatante de fraguado y cada edad t, sino la que se producCl entre cada 1.netante, t, y cinco aft08, suponiendo que a esa edad se eetab1llzan 18a detormacioneB diferidas . En primera aproximaci6n parece plauaible que ei una cargA fija origina a eeis meses una flecha diferida igual. &1120" de la instantánea y a cinco afi06 llega al 200X, entre sei8 meses y cinco años ee debe producir el 60" de d1ferenc1a. De acuerdo con esta interpretaci6n 5S • 108 valores de coeficiente para obtener la flecha diferida relaUv8 a la instantánea son loe de la tabla siguiente:

y si 15610 lo hay en uno de loe extremos: Tabla SI

0,85· Klequiv,poI

...

0,15· KIaquiv.ne.

(20]

Debido a que en el momento pertinente a necha interviene mayoritariamente el positivo, y a que en la inercia equivalente del tramo también es preponderante la inercia de vano, la flecha de un tramo continuo es también, en pril'lera aproxirnac16n. proporcional a la esbeltez. En un aná.l1e1a 11'1'8 fino, al intervenir, ligeramente, la risidez negativa, que es algo mayor que la fiaurade, crece un poco menos lentamente. Como la flecha tolerable no es exactamente una fracci6n de la luz. sino una fracción que disminuye conforme aumenta la luz, ambas cuestiones ee contrapesan, resultando en la práctica que la flecha tolerable se alcanza en la práctica totalidad de loa C8soe, para una eebeltez determinada.

3.1.3 Flecha diferida

Lo que complica extraordinariamente el cálculo de flecha en hormig6n eon 1ae cOl'lponentee diferidas, para lo que s610 se cuenta con una escueta inforlll8c1.6n en EH-BS (art 45.4). por la que basta multiplicar la instantánea por un coeficiente funci6n de 1" dur"c1ón de 1" ~pl1Citc1ÓIl de 1" ClU'/llf..

ed .. cl ( .. esee) Ent re Ir&,uado

RelaciÓn de flecha dife .. lda. a in.tantana ..

" • añol lO

1 .iio

Entre t cinco al\o. tra/l'lO a,.l.do t r ... o •• tremo tr.lllo interior

,,O 1, _ 1,7

O, •

1, O

I "

1, •

1, • 1" 1,2

1,0

O, • O, , O, ,

O,,

O, • O, •

r .. ctol"

••

, ,O

O, •

flecha diferida. J

SS Aulore. ha, que Interpreten que tod •• 1 •• c.r~ •• , InaependJente~ente de ln.t .. nte de apariclOn, Cener.n flech •• di'arld.e aalclon.le. cloble. de l •• In.t.nU.n •••• 10 que obU, • • c.nto. ~h 10rJ.do fenta.tlca.lllenta Crande •. In Intere •• nt. acl.r.r que le COIIII.iOn Permanente edoptO l. lor~ul.cjOn publiced. 1 .u. con.ecuencie. -t.ble 1- tr •• calculo. ba.aOo. en l. inlerprel.c'~n Qu.e •• hece equ.i.

.1.1

forjldol

En la flecha diferida interviene la armadura de compreBi6n. Si ésta es in~xistente. las deformacionep;¡ diferidas del hormig6n suponen automáticamente aumentos de curvatura y de flecha. Si hay armadura de compresión, el relajo del hormigón hace que se sobrecargue el acero sin tanto aumento de deformaci6n. La información al respecto es algo oscura, y EH-66 se limita a indicar que opera como coeficiente reductor 1+50·w siendo w la cuantía respecto a la secci6n de la viga. Al no ser rectangular la r;ecci6n del forJado, no ee sabe c6mo calcular la cuantla, y al no ser constante la armadura de compresión ni la de tracci6n, no queda málS remedio que tomar (véase Ef- B6, como 6,3,5.1) un valor promedio o conservador de eete coeficiente reductor, En la tabla 9 se supone que no existe armadura de compreEión en tramos aialados, y que en los continuos 6610 interv!en, y liseramente, en las partes extremas.

3_1..1

utructuru IIDO

Para obtener la flecha activa total, e8tae componente8 Be suman a las instantáneas de las c argas que aparecen poeterioree a la construcción del elemento. No hay acuerdo en CÓmO considerar la propia carea del elemento. Según una interpretaci6n, del lado de la seguridad, puede suceder que, por ejemplo, cuando ee construye un tabique, esté realizado el del tramo consecutivo, o el de la planta inferior, de manera que la propia carga del elemento incide en la flecha que le afecta. En otra interpre.taci6n, algo más realista, la construcci6n de un tabique implica, con bastante antelación, el acopio de los materialee, medioe, e incluso asua, lo que hace que exista ya la flecha instantánea cuando se construye. En lo que si parece que hay acuerdo e6 en que, a loe efectos de flecha, la sobrecarsa de uso no actúa soetenida en el tiempo, y como tal, eólo importa eu flecha inatanténea. El cuadro siguiente expresa lo fundamental del cálculo de flecha para doa procesos de conetrucci6n usuales.

Flecha activa Cuadeo 1.

La componente sctiva de la flecha diferids se obtiene multiplicando la instantánea parcial de ceda etapa, -restándob de la de la etapa anteriorpor un coeficiente que depende según sean cargos anteriores a la construcción dol elemento daHable. o poateriores al memo. Para les oargae ant.ttrioreiJ a la conetrucción del elemento daf'iable, sólo importa la fracci6n de flecha d1.ferida que queda por produclrlSe, por lo que el factor de flecha diferida j es el correspondiente a la edad a la que se construyó dicho elemento. Para lae cargas posteriores a la con8trucción del elemento daf'\able, la flecha diferida ee la total, por lo que el factor de flecha diferida j es el correspondiente a la edad de la aparlc1ón de 18 carga,

. ....t. ., ...

Itapa de cae!.

,,... 1.

PII_O propio

•••

tabiquarf.a aolado u.o

Pe.o propio 2. tabiQullria . {~ .01ado . u.o 1.

•••

Co~poDantaa

••

In_tan t a.Dea

"" "" · " "6, "" · "

1 o

de flachK

, • • •• Parcial

,, , ,

" - '2'2 ""'3"-- " "" " Inactiva

•

DiCorf. d a activa J 2 .6 1 Jl · C6 :t- 6 1) J3·C 6 3- 6 1) J:5'61 h ' (62- fi l) j)·C 6 3- 6 :!:>

Activa

t, J,

.. _--- ----_._- ... ... _-¡ .... _..... _---_ .. _-- .... .....

- ...

~J,

-.. . _-._--- .. _-

---'-. -_o "-"

riCura .1. Componentee dll flecha

Como puede observarse el proceso es complejo , y válido sólo para un determinado ritmo y orden de eJecuci6n 56 . Pero resulta sencillo obtener el orden de magnitud de la necha. activa total a partir de la instantánea 6 1 producida por la totalidad de la carga, En efecto, si antes de la construcci6n del elemento dafiablc ha apa.recido ya toda la carga -lo que es un supuesto teóricamente inalcanzsble-, la flecha activa Oacl ter1a la d.1ierlda total, igual a j-6" ~on el valor j definido en la tabla 9-, pud.i~ndose calcular la flecha instantánea con la rigidez fisurada. Si, -como otro C8S0 isualmente te6rico e imposible-, cuando Be conetruye el elemento dafiable no existe ninguna carga, la flecha activa seria toda la instantánea más toda la diferida, e6 decir 6 ae l = (j+l)·a 1, aunqu e ahora las primeras etapa& de carga se poddan calcular con rigidez mayor que la fleurada.

5' Conviene deleonflar de 101 pro~,a~a. que dicen calcular la flecha Y nO peeCunt.an por la. atapa. de car,a '1 .u dueaciQn. SI para to"a. la. carta. auponell un coeficiente da diferida de 2,0 la (lecha debeta rsaultar inlolerab1e con canto. de forjado como 101 de 1. tabla 1,

lorJ.dol

En 108 caS08 reales la flecha activa se situará en un valor intermedio entre amboe. Por ejemplo. d, cuando S8 conetruye el elemento dañable hay un 50% de la carga, la flecha instantánea ee ya el 50~ de la total, y por tanto la flecha activa no puede superar el valor O.c:t :: (j+1-0,5)·Ol. Be decir (j+O,5)·61.. Habitualmente, -véanee 108 ejemplos de16partado anterior-, la fracción de carga presente en el1netante de construir 10& tabiques Be incluso superior. Refiriendo la flecha activa a la inetantánea caloulada con rigidez fieurada. el coet101ente multiplicador debe ser algo interior, reeultando S1 108 valoree de la tabla 10.

•

la c:onatrucción .da4 (.eaoa) d.l elenonto d..fiable Fracción de caria total antaa d. l. conatrucción 4e1 .. le.ento 4afiable

50X ,.X O'X OOX

""O,

1, O 1,1

1,0 1" 1, , 1, ,

1, • 1, •

" 1 1,'

" O

aelaeidQ

a.ct /

"',-,

" "',1

',1 O, ,

a1,f1.

El anilleie de loe valores de la tabla 10 indica que, para ritllOs habituales de construcción, en 1015 que el tabique ee die pone paeados entre tree y seia meaes del fraguado, cuando exiete entre el 50X y el 70% de la carga total, la flecha activa e6 del m16/DO orden que la instantánea total, calculada con rlgjdez :L1BurlJdlJ.

3.1.5 Cómo hacer que la :!lecha sea tolerable Para mantener la tlecha bajo control, lo ml,s traacendente 8a el canto con relación a la luz. Aceptando que la flecha que importa -la flechs activa totales del mismo orden de Ulsgn1tud que la inetantanea total, calculada con rigidez f1surada, en primera aproximación -véase (16)- la flecha es proporcional a la esbeltez del tramo: s mayor relaci6n de luz a. canto, m'e necha con relacl6n a l. luz, y A partir de una cierta esbeltez 11mJ. te la flecha es intolerable. La calidad del acero importa. Que para una cierta esbeltez la flecha see mayor o menor depende, -véase (l8l-, de la. relación a./Ke o deformaci6n del acero . Si la secci6n eetA armada estrictamente. dicho valor depende s6lo de la calidad de acero: con aceros de mis resistencia la tensi6n de trabajo ea naturalmente mayor y también la deformaci6n, resultando flechas Justamente tolerables para esbeltecee snenorea que con AEH-400.

57 Lo. vllore. d, la tabla 10 .e obtuvieron proce.an40 riiuro.a~.nt. v.rlo. de CI.OI enlce 1 y 10. d. IUl, con CInto. entre 15 y 50 C~. con .obc.c.rtae h.st. d. 1.000 kp/~. 4htintol acero •• hor.i¡fone., rit.os 4. consttucclón y .ncho. 4e nervio. H.lural~ante lo. resultldoe r •• patan 101 ra,on_miento. ~el te:.: to .

~ile.

ntnehru

110

La cantidad de acero 8e importante. 511a sección no 6e arlOa estrictamente. el exceso de acero redunda, c8e1 proporcionalmente, en lIIenoe tensi6n y flecha, permitiendo 8in problemse de eete tipo una esbeltez mayor de la critica. Esa ee la Justifioaci6n para que EF-88 (art 6.3.5) obllgue a un canto minlmo, y lue/io perllita bajarlo, siempre que. consecuentemente. 1515 aumente la armadura . No 158 puee tbnto la calidad, cuanto la cantidad de acero lo decisivo en necha; lo que sucede 1515 que con acero de m's calidad ee diapone menos cantidad. La regularidad de luces incide favorablemente en la flecha. Aun para una misma relaci6n luz a canto en el tramo 11.'8 largo. e1 el con8ecutivo 1515 de igual luz el giro es nulo, mientras que 8i 158 Inenor ee produce un giro que puede incrementar la flecha hasta en un 40X -v~a8e en la tabla 8 laa diferencia8 del momento de referencia-o Aunque no 8610 por e8ta raZÓn, e8 Bumemente recomendeble que el forjado 8e d1sef'ie con lucee parecidas. El ritmo de ejecuc1.6n 1n!luye en la flecha. En particular la rapidez de conetrucci6n o la Juventud cuando se construyen los tabiquee o elelDentos daf\ablee. Si el ritmo de construcción cs ,gil, y la obra ee terll11na en 151518 me8e8, el hormis6n ee muy trecco y la flecha activa puede ser bastante D'layor que lo que indica la conclusi6n del apartado anterior. Por lo /Illemo, aunque el. ritmo sea normal, ei ee dieponen loe tabiques trae el solado, la flecha puede reduciree eensiblemente -v~anee loe valoree de la tabla lO-. Aun definidos un dieel'lio con luces y cantos dados. con acero preseleocionado y ~eseable- armado estricto, y un ritmo de construcci6n inamovible, al calculista le queda una carta que Jugar: la redietribuci6n de sollcitaciones. Ha quedado demOstrado que, bas'ndos8 en la ductilldad. la seguridad de una pieza no depende, dentro de un margen, delmomentCi negativo con que se caloulen laa armadures de extremo. naturalmente, sielDpre que el vano ee arme para el complemento que cubre el momento iBostático. Si se opta por la mayor redistribucl6n posible ee sobredota a la secci6n de vano y 8e reduce la armadura en extremos. El exceso de armadura en vano disminuye la flecha, aunque el defecto en extremos la amplia. Como en la formulaci6n ee deoisivo lo que sucede en el centro de vano, y eecundario lo que Bucede en 1815 zonas de momentos negativos, la fleche depende má., del momento poe1Uvo, de donde 158 concluye que, redistribuyendo al máximo, la seguridad es la misma y la flecha menor. La mejor estrategia para reducir la flecha es calcular el tarjado con la mAxima redis trlbuci6n poe1ble, que felizmente adem's, ee el prooedimiento 0'1'8 seno1.llo. Canto del forjado. canUdad de acero, regularidad de lucee, Juventud del hormigón al disponer los tabiques, y redistribuci6n son pues las variablee con las que se puede hscer tolerable la flecha.

5. La po.ibllidad, que ta~blen ofrece tr-II, de •• pli.r el ancho de nervio, proce4e de que eon e.le .i.te~ • • u.ent. b •• tante l. Inetell bruta. J, aunque en medida, 1. equivalente, y por tanto la tlech •. Co.o el IU.lnto de calidad, ee dlcit de teelltenci., 4el hor.it~n aUMenta el Módulo de Ela.ticida4 en ~Inor .e4id., •• t. variable tiene una incidencia ~uJ teve en la flech •• y por ello no .e recote en 1, nor ••. ~enor

utrllchru na

3.1.6

Flechas tolerables

No es fácil definir el valor de la flecha tolerable, y loa que existen se hallan vinculados al proceso de calcularla8. Ea 8610 la práctica de hl\berlas acotado 8 unoe¡ valorea, tras calcularla8 con un lDétodo determlnado, lo que 188 sanciona como tolerables. Para tor jados la regla general oscUa entre L/30a y L/500. siendo elmAe usual el de L/400. Para elelDentoB r.1g1doB, muy daftablee. ee preferible acotarla a L/500. SI el forjado no sustenta nada y la planta inferior 8e 881m1slIlo ' d1áfana. e8 podr1a llegar a

L/250, pero como flecha total

plazo infinito -ya que la Activa eeria nula-,

para prever otros inconvenientes de la flecha excee1va (véase apartado 3 .1). La regla de una flecha tolerable como fracción fija de la luz deja demasiada defo r mabllidad para luces altas, de mane r a que EF-86 (art 6.3.5), a partir de 5 1'1 de luz, reduce a la mitad el incremento tolerable de flecha, pasando elllmite de L/400 a L/600+0,6ctrl y el de L/500 a L/IOO+O,5ctrl. Para voladizos, contando con la mayor seneibilidad a flecha, el valor L no el doble del vuelo SUlO s610 1,6 veces éste. Las flechas tolerables 80n:

..,

Tabla

,1.

••

Ploeh.a tolerable.

Lu • traao ' o ) Vuelo 'o)

," , "

Tabique. noe.ale e Tab i 4uoe o . uro. ri c i40a

0,5 O, •

',5 0,0 O, T

• ,O 2,5 " O 0,1

Plecba

' ,5

5,0

,, , , " 0,1

••

, ,O

5,5

',0

T,O

, " ,", , , , ,O

En la práctica, para disef\os normales, con acero estricto, ritmo habitual, y regularidad de luc8s. lss nechas tolerables se alcanzan con 108 cantos indicados en la tabla 1. El ritmo de construcción incide como indica la tabla ID; la irregularidad de luces como los valores de la tabla 8. y la redistribución reduce la neche proporCionalmente &1 aumento de momento positivo de cálculo. Para disenos o tramos intoler&blef: debe probarse, por ~ste orden. con más acero, nervios dobles o lntereJee más tupidos, o, como último recurso, con más canto. El aumento de acero en un 20" permite reducir el canto un 10" por bajo del criUco; y lo mis IDO sucede si el ancho del nervio es al. menoe: un 20% delintereje, lo que se consigue con viguetas dobles.

3.2

forjado.

1,5

',0

1,'

clllleulo tolerab)o • n c.

Se debe insistir en que el valor de flecha tolerable 15610 lo es para comprobar cácluloe; el sistema no eetá bien callbrado Sl y es seguro que en loe eneayos o pruebas de carga se obtengan valores radicalmente diferentes, sin que ello e1gni.fique confirmaci6n o desautorización del ,forjado. Lo anterior es la flecha de las viguetas. Lae vigas, sobre todo las planas con canto critico , también flectan lo euyo, y la flecha del forJado es la comb1.naci6n de ambae. Silos soportes de vigas paralelas setán enfrentados la flecha ee la de viguetas para unae, y la Buma de ambae para otras; si 106 soporte e eatán al tresbollllo o el pafio es irregular todo lo que se puede decir ea que el máximo descenso aupera al calculado para las viguetas. En general los tabiqu61S ae disponen con la miema trama que la elStructura, de manera que unos descaneen paralelolS a lae viguetas y otros a las viga8. En este supuesto lo da~o para loe primeros es 8610 el delScenso relativo a 108 extremos de viguetas y en 108 otros lo adsmo 8610 de laa vigas. por lo que ambas flechas no deben sumarse. Aun si loe tabiques ee disponen a 45- con v1&ss y vigueta e , el descenso suma de embas !lechas debe dividirse por una longitud 1.4 veces la luz tipo, resultando que tampoco es la suma lo que mide la flecha p~81ma. Dado que la flecha no es BinO 59 Por ejemplo e. prÁctica habitual que. en la. primera • • ;/IIllna., el torJado ,ullenle, a tr.v~ . 4e 10. apco., l •• do. O tre. planta • • uperlore., 10 que puede prol1ucit .olicitacione. prchilna. o inclueo l'Iayoro. Que 1 •• lSe carfl'l tolal, orlrinando el ale.ance prematuro 4el lIIolllentO de fi.uración •• epar'ndole del l'Iod.l0 • upue.to en la formulación de CH-ee. El tema e.llll en di.CUliOn.

un e8timador global de bondad de la 801uc16n. y que BU proceso de ci.lculo y contraste ee convencional, no e8 conveniente tOmarse al pie de la letra 6U Bign1!lcado.

LA IrISURACIOH

La durabilidad de la estructura, en particular del forJado, obliga a controlar el grado de fisurac16n. En el caso de viguetas armadas el proceso actualmente consensuado se recoge en EH-SO, art 44. Loe edificios aunque posean localee húmedos 50 ee suponen entero a como ambiente interior, y en general los exteriores ee pueden considerar como en humedad baja . La. variable decisiva para controlar la tisurac16n es el diámetro de la armadura y la tens6n del acero. Con acero estricto de tipo AEH-500 la tensi6n punta no excede -v~ase nota 3B- de 2,e t/cmll y la media no subirá de 2,4 t/cmll , -véase EH-BS COlO 44.3-. Con eeta tensi6n se puede llegar sin problemas (EH-BS, tabla 44.4) a arlllar con ~25 y recubrimiento normal. Aun en ambiente exterior húmedo, no marino, ee podria lleBar a JII16, contando como protecci6n adicional el solado. Los for jadoe armados pues no presentan problemas d"il fisuraci6n . En loe forJados pretensado8 las cond.1.cionee de durabilidad obligan (EF-8e art 6.3.4) a no tracc10nar el hormig6n precomprimido en ambiente lQarino, no llegar a tensiones O,45'!Ck 2/ J en ambiente exterior húmedo, ni a tensiones de valor O,6S·fck 2/J en ed1!icioe . El cálculo de esta condición es complicada, po lo que la Autorización de Uso deb~ recoser loe tree valoree con objeto de que el usuario pueda haoer la comprobac16n directamente. Salvo casos particulares, la condici6n para edificios no es limitativa. y el forjado calculado por re8ietencia e8 ae1m1.emo durable.

50 I:n edifleaciÓn e. "abilual tav.atir el hormit:On con enlucido., aepecto no conte~plado en la forlllulaclOn de l. (i.uraclÓn. Dentro Oc 101 edificio •• loa locale. hdJnedo., .unQue .Ólo .aa por habitabiliOad., .e reviaten 4e alicatadol o pintura. i~pormeablel Que minoran .1 ataque dol atua al hormifOn, permitiendo co>nlideu,r para e.te u.n u,blante interior (tipo I 4e EH-U. art l3.Lb) .

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...... .

. . .. .....I IJ •• "' . . . .....

4. de la ejecución del forjado Para evitar malas prácticas y deslindar futuras responsabilidades , la actual EF-88 obl..1ga (art 10.2) a que la ejecuc16n 00 haga e1gu1endo planos, y firmados Biempre por la direccl6n de la obra, aunque hay eldo otro el

calculista. En muchos caS08, como planos bastan simples dato e de capacidad resistente de viguetas . y anotación de cuanti8s o arnadurss superiores. Se supone que en obra eatoe datos S8 traducirán correctamente a vi,guetae de acuerdo con su Autorización de Uso, ya armadurae dispuestas de acuerdo con 18s reglas de buena práctica y las de EF-66. Sin ellbargo la experiencia confirma que el proceso de traducción puede afectar al peso y a las hipótesis supuestas en el cálculo, es decir a la resistencia y seguridad de la obra. ..

( 4~

DISPOSICION DI VlGUI!TAS

Si no se han tenido en cuenta antes, conviene seguir en la ejecución lo indicado en el apartado de proyecto para la disposición de viguetas: que son des8consejableelos zunchos en loe bordes, -lo que complica más aun el problelDa de ajustar loe pafios alintereJe de v.1guetas, baetando duplicar o a lo sumo triplicar viguetas en esos sit108-; que en los bordea de escaleras, huecos de ascensor, etc, puede no ser necesarlo ni eso; que el mejor eitl0 para intercalar v.1guetas de ajuste es bajo un murete o partición pesada. y, e1 el edificio es alto. aprovechando el paso sobre un soporte, -para mejorar la rigidez y resistencia a las acciones horizontales en direcci60 del tor jado-; que los paf\oe pequef'!.os en torno a loe huecos de ascensor o escalera . se pueden embrochalar también sobre una o dos viguetas sin necesidad de disponer nervios. etc. . No ee .1JDpreeclndible que lae v1suetae estén enfrentadas a un lado y otro de la v.1ga o encadenado. aunque es obligado comprobar que no están más próximas que distantes. (EF-88, fig 7.1,d), véase figura 28. TalDPoco es impreSCindible que lss viguetas acomentan perpendicularmente a la viga. Pero en 108 caeos de geometrias irregularee, véase figura 7. conviene evitar un crecimiento desaforado de las zonas macizas, que puede llegar a ser incongruente con el peso propio medio supuesto para el paHo. En la planta intereea identificar claramente las zonae donde S8 prolonga el for jado de piso en las escaleraB, puntos que pueden confundirse

lorJdOl • •

con apoyos, o en 108 que equivocamente se pueden producir pérdidae de continuidad, incompatible e con las hipótesis de cálculo. En la JDayor parte de las soluciones ee debe prever en el forjado las esperas para las zancas de escalera.

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de unas reglas flexibles para 8U colocación, y a l a vez a acotar su deaarrollo con márgenes holgados. El número de bovedlllas debe respetar el ancho supuesto de vigas, a su vez definido previendo el número de viguetas que cabían entre ellaB. Debido a que las variables de resistencia no son muy sensibles al ancho total de la viga no l.JDportan algunos centimetros más o menos del valor teórico, e1empre que se mantenga el minlmo de entrega de viguetas en la parte mac1z:a de horm1s6n de la viga. En caso de duda, sobre todo en la8 prox1.m.1dadee de los soportes, puede retirarse la última bovedilla, promediando dicha mengua entre amboe extremos del paHo; en el centro de vano se puede apurar más el espacia disponible. No hay ventaja clara para utilizar bovedlllas rebajadas, de canto inferior al tipo. En la practica totalidad de los casos, si S8 han previsto, el recálculo sin ellas no tiene consecuencias, y además el.ia:dna peso.

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4_3

ACOTADO DE VIGUBTAS

La llanera de obtener la longitud real total de la vigue ta depende de 106 detalles de engarce del forjado a las vigas o encadenados de apoyo en los extremos, función a 8U vez del tipo de éstos: directo sobre lIuros, vigas metálicas, o vigas de hormigón de'descuelgue, o indirecto, en cabeza de vigas mixtas o planss, y de sl es simple el el borde del forjado, o en continuidad en ellnterior dellDietDo, o embrochalado a otro forjado transversal. ., Debe distinguirse con precisión las zonas sin tor jada que corresponden a huecos de las que 80n macizas, en 10s8, para evitar confusiones en la disposición de armados. Al rea1iz:ar los planos de ejecuc16n, --cuya escala de edición recomendable es 1/50- , es conveniente representar bien replanteados y resolver 108 huecos de bajantes, ascendentes de instalaciones, patinillos, Y huecos de ventllac16n. En general no hay problema en interrumpir una vigueta dentro de un paFio, aUlpre que se diapongan loa refuerzos adecuados en su derredor.

Debe rechazarse sleapre la solución de viguetas de longitud lsual a la amplitud de bovedlllas, con ambas plezas pegadas a las ramas de estribos. que no permite el engarce de- las diferentes piezss, que cuando hay a.l8una varlac16n de longitud invierte su jerarquia, y que deja a los estribos en posic16n inadecuada en la v~a. nClo DI "CA ,

... nClo n-..

ISTIIIOS

UlIIIIS

4_2 D1SPOSICIOH D. BOVEDILLAS

Aunque no ee haga en planoa, antes o después hay que replantear el allMersmento de laa boved1llas. La regla aeneral, congruente con el cálculo, es que el forjado pese lo aenos posible, disponiendo el má.ximo número de bovedillas. Entre viguetae m's pr6.ximss que el lntereje tipo l8e usan con frecuencia boved1l1as partidas u otras piezas cerálllcas, que exigen encofrado adicional. Es sobre todo en las ,"onss irregulares, donde lss viguetas acometen oblicuamente a la viga, donde hay que cuidar el replanteo, para no cometer excesos de aacUadoB que repercuten de manera importante en peso y eesuridad. . Las bovedlllas preBentan un tamafto eultaltente variable , ' y 'pueden diferir bastante de unas hornadas a otras , por lo que es preciso disponer

-. f

-. .

JI.

I I

Co~.

4.1 forJado

forhdol 4, dlfiucl61

En todos loa

caBOS

la longitud de viguetas debe penetrar nlt1damente

en el horarlsón de la viga o encadenado, y por tanto no se puede definir el pafio de fer Jado con una Bola cota. Dada la imprecisión habitual en el corte de viguetas y ancho de bovedillas, 8a buena práctica que todas 1aa dimenalonea ee traslapen, definiendo por un lado longitudes de viguetas, suelas, y desarrollo de bovedlllss, y por otro ancho de estribos y de vigas, de

manera que aunque todas ellas varien en obra, se conaerve el detalle BUB rasgos generales, ver figura 29.

constructivo en

El ajuste a lo largo de un pai'lo de una mama luz al cambio de secci6n de vigas Be preferible hacerlo mediante varaic16n del núnero de bovedUlaa, .enteniendo longitud y detalle de engarce de viguetas, y ancho de eatribos. Lea t'.1gursa de este texto están dibujadas con ese criterio. Con un mismo estribado 8e puede reeolver una aportan te variaci6n de ancho de vigas, véaee figura 6; s610 cuando el ancho de vigae aumente en lDás de 40 cm compensa variar el del estribado y por tanto de longitud de- viguetas.

4.3.1 Apoyo continuo

COD

deacuelgue

Se trata del problema más eenclllo, cuando se sustentan dos forjados en un DiSIDO elemento resaltado. Dado que los mOllentoe flectores son negativos, en la cara 1nferior hay compresiones, por lo que la continuidad 8S fác1.l de conseguir. La regla de IF-BB (art 7.1) de disponer en el extremo de las viguetas un anclaje "igual a la m1tad del esfuerzo cortante" no tiene exPlicación, Y 1ae encontradas en la literatura no tienen JusUficación clara. En EF - B8 se desprecia la longitud delllacl.2ado antes de la cara del apoyo a efectoB de anclaje; teniéndola en cuenta perlDite algún Juego adicional. En general una entrega tras la cara del apoyo o estribo de la vigas de alao .á8 de 5 ca es suficiente.

ntrtCUfU •• 0

Cuando el apoyo es sobre muros, para el1m1nar la necesidad de apuntalado, es recomendable que la suela se apoye en la fábrica al lDenos 3 CID. Para no necesitar encofrado adicional es recollendable t811bién que las boved1ll8s superen li8eramente la cara del lDuro . En ese caso entre 8uela de vigueta y prolongaci6n de pelos debiera reservarse al menoe 10 cm de entrega. Sobre muros de Dlenoe de un pié de ladrillo, algunos tipos de viguetas deben alternarse en su apoyo, y las que no tienen pelos ob1i8an c8si siempre a disponer los estribos del zuncho en U. . En el apoyo sobre perfil metálico, el ancho del ala superior de éste resulta casi siempre escaso para las lOngitudes de entrega sef'Saladas, debiendo alternarse 108 apoyos de las viguetas de un lado y otro, lo que obliga a macizar lo suficiente para permitir el enfrentamiento de laa compresiones por distanciado de las teetae, véase figura 30, y a encofrar los fondos a ambos lados del perfil. Es habitual aprovechar esta cabeza hormigonada para convertir la solución en mixta, cabeza en la que cabe holgadamente anclaje y desenfrentamientoB, aunque hay que prever la aituacl6n de conectores para que no interfieran con las viguetas. Si el forjado aCOmete a media altura del perfil, la longitud de macizado para anclaje y la facilidad de hormigonado obligan a acartelar el hormigón sobre el ala inferior. '

4.3.2 Apoyo alIIple con deacuelgue /

In 108 extreMoe del forjado · no suele haber teóricamente Dlomentos negativos y el Dlomento se anula en el eje del apoyo, aunque la prolongación por cortante define en ese punto una tracción residual que debe anclares. Del lado de la seguridad la prolonaación de la tracción es igual al brazo de palanca del forjado , caei BU canto, 10 que exige, tras el eje del apoyo, un anclaje para una tracción de v~or igual al del cortante .

La longitud para anclar esa tracción es relativamente baja. Para carga de Viviendas, en un forJado de 6,0 11 de luz con intereJes de 70cl:I. el cortante en el extrello representa· una capacidad Dlecánica algo menor que 2\'66 de acero AEH-500, solucionable teóricamente con 7 cm de anclaJe¡ la IIlitad exige s610 3 ,5 cm. Luces o cargas superiorss conducen a longitudes proporcionalmente mayoree, pero Bi,IDPre pequef'Sas. Un anclaje de 10 CID cubre· una t r acción igual al cortante en la lDayor parte de c a eos. Sin e mbargo l a entrega por rozamento de una vigueta de horlll1gón clásica en cola de lDilano exige, en el mSllo supuesto, 15 CID.> Itn los apoyos sobre Iluros o vigas de horll1són de canto se puede confiar el traslado y anclaje de la8 traccione8 al solapo de la vigueta o sus peloa con los estribos del encadenado o viga. La amplitud del solapo a partir del estribo, aunque eea antes del eje, puede ser de sólo 10 CIJ. En el caso de viguetas sin celos1a eate solapo obliga a variar la cadencia de estribos de vJaa o encadenado para no interf'er1rse con ellas.

S1 el forjado está apoyado en la cara superior de vigas metálicas, hay que acudir a una prolongac16n para anclaje en toda regla. lDediante lIIact2;ado previo y arllado anclado en el canto, o bien de vuelo del tor Jado tras el perfil, solución .á8 recomendable. Cuando 8e transforma en viga Ilixta. la alDplitud de cabeza perll1te holgadalDente el anclaje. Si el forJado acomete

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JorJdOl •• dllluclh

a media altura del pertll. lo idaliO que en el C880 anterior, se puede acudir al acartelado. aunque en teoria las tracciones no llesan. ni mucho llenos pasan , del eje del apoyo; el funcionamiento en este C880 parece confiarse a un apoyo indirecto a lIlomento negativo que implica una torsión para la v.1ga, dudoBamente resistida por el perfU.

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tracción oblicua hacia 8U cara superior 1, hay que riguroso en el detalle de encuentro.

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más conservador y

Cuando 188 viguetas llevan pelos asomando, basta que éstos pasen la linea de estribos al lIen08 5 CII, aunque el total de anclaje entre 8uela y pelos conviene que pase de 10 cm. En la práctica, y dado que 6e preferible que lae ramas de estribos promedien el ancho total de la viga, véase figura 32. esta segunda longitud será mayor. En la zona de momentos negativos de la viga. como se ha indicado. para ajustarse 8. un ancho Dlayor de ésta, no es imprescindible variar la longitud de la vigueta, l1.n1tándose a entregarla más por retirada de alsuna o algunas bovedillas. sin que tampoco tenga que variarse el ancho de estribos .

-Eb I ~ . .... En el caso de Iluros, la situación real Buele estar más allvillda cuando exists uno superior, que confiere al extremo un cierto grado de empotralliento, con mOllento negativo y compresiones inferiores, como 'e n el caBO de apoyo directo en continuidad. En los apoyos sobre vigas de hormigón o metálicas se produce ese msmo efecto al llenos en las inmediaciones de cada soporte -pero s610 si se prevé armadura para ell~. En general la rigidez y resistencia a torsión de 1811 v,1gas es inauficientes para mantener eate efecto en puntoe alejados de loa soportes.

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".3.3 Apoyo en continuidad con 'liga plana Ss produce eete tipo de apoyo cuando las viguetas se embrochalan en una viga del msmo canto, caso de viga plana, O mixta si las viguetas no se llevan haata el perfil.. in eate C8eo, ya que la carga entra en la viga por

I 8'n • • bar,o •• to no d.b. IS ••• r a concluir 'u. lo • • atriboa 4a la .i.a plana tan,an que calculara. a cual,ue co.o indican al,uno. autor ••. La te.la d. prolon,ar.l •• trtbado •• 4io canto . t . a11' de 40nde •• :I.Jnpr •• cindibl., preconi. .ad. con oartet. r ,.naral por IH-.e, art ".l.'.S.l, cubra •••• pr. la totalidad «. la car,a a. cueltu •. Haa bi.n •• trata d. 'u• • n altuno. C•• O. , co.o .n 1•• part.a a lIIomento po.:tti.o 4e vi,a. 4. d.ac"a .,,,. con eanto .ari •••• c ••• up.rior al 4.1 forjado, •• p".d. pr •• cin4'r 4 •••• prolon.aeion.

lorJaiol H dUlnclb

Si la vigueta no lleva pelos, la lIejor manera de solaparla con 108 estribo8 es introducirla dentro de la jaula de éstos. perdiendo la posibilidad de disponer redondoe en eua v6rtlces inferiores. Alternativamente. y dado que parece que KF-88 desprecia el horm.1&6n por fuera de 106 estribos.

bastar1a con que la vigueta entregara sener088J1ente BU testa en la viga al menos 15 cm.

4.3.4 Apoyo at.Jde en viga plana Este es el caso más delicado ya que se superponen los problema s de los dos anteriores . El momento nulo de los nervios del forjado se produce en el eje del soporte de la viga, "que es donde definitlvamente apoya el conjunto. Al ser la viga plana o c a beza de JUxta más enche que el soporte. el punto de momento nulo se encuentra a respetable distilncia del de engarce de v1Bueta contra viga, resultando un mOllento y una tracción que, considerando el desplazam1.ento por cortante. 8 S importante.

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S1 la visueta no lleva pelos , se necesita un s olapo para ese miSIIO valor de tracc16n, entregando la viBueta al 118n08 30 el) en zona maciza, y 20 dentro de l eetribo. 10 que puede bloquear la viga. Disponiendo estribos má s anchoa el problema e8 agrava, ya que la traccl6n a solapar seria aún mayor , véase Uz en figura 33. Con este tipo de viguetas no hay más !Solución que disponer estribos de varias ramas o empalmes con doble solapo como indica diccha figura.

En la práctica, y como sucede en el mismo caso de apoyo dire cto. la prox.1.Jnidad a los soportes deja al forjado en régimen de momentoB negativo8 sin las complicaciones mencionadas. Pero como del lado de l a seguridad este momento no ss fiable, aunque algunas de las viguetas 8e armen pa ra él, es conveniente , y más simple. dotar a todas del d e talle preVisto para el caso de apoyo simple. .

4.3.5 hbrochaladoB,. aCOltet1daB traDByeraalea

En el caso de viguetas con pelos. la tracción inferior S8 puede transferir por solapo a !as ramas horizontales de los estribos. Teniendo en cuenta que llesa al extremo una fracción elevada de las armaduras de refuerzo de la vigueta, el problema es a vecea de dlf1cll solución. 51 la ralla interior del estribo ee s1túa a un canto del eje del soporte. la tracción en dicho punto, valor O. de la figura 33. dobla al cortante. lo que exiae solapar todas laa araaduras al men08 15 ca.

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Es habitual resolver pafios secundarios de poca luz ellbrochalados con un apoyo indirecto del forjado sobre otro forjado transversal. en los C8S0S más sencillos sobre una simple vigueta. (flg 34.a) en los algo mayores sobre una vigueta doble. Para no producir fisuras por discontinuidad de deformaci6n. e8 recomendable calcular ~stos pafios como aemislllpotradoB con mOlJentos negativos en loe extremos (tipo Al de la tabla 5). Debido a este momento negativo , la un16n -puede tratarse como continu a. exigiendo ~n li.gero solapo . que puede encomendarse a simples 2~8 de 0.40 JI dispue s tos sobre la vigueta. "

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Cuando S8 trata de un pafio normal. y se acude a una viga, tras la que hay otro forjado paralelo a ella, (fig 34.b) la hipótesis habitual de la sustentaci6n del for jado" en la viga es la de apoyo simple. La arlladura superior en ese extremo es meramente 8im~ca y de cosido para evitar excesiva discontinuidad de deformación. Pero a efectos de engarce también ae puede tratar este C8S0 como continuo. con compresiones en BU cara inferior y con solución simple.

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Si se trata de un voladizo que acomete transversalmente a otro pafio,

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(fis 34.c) no s610 hay que disponer viga, sino que es imprescindible contar

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con momento negativo. Pero ahora e l equJllbrio con el pafio posterior obllga a considerar momentos tras la viga, forzando las más de la8 veces a mac1:za dos de gran peso. lo que convierte a dicha solución en no recomendable . Si el voladizo no tiene continuidad, (fig 34.d) el apoyo es necesariamente por tors1ón, lo que obl..1ga a que sea una solución local para salvar un hueco de dimensioneB reducidas. En ese C8S0, eobre todo c~n visa plana, el engarce debe ser gene roso en la continuidad de l a s tracciones inferiores, del orden de magnitud de laa correspondientes a apoyo simple. Cuando laa vigas se prefabrican COIIO prelosaa, (fig 34.e) con la misma técnica que 1& de 18S viguetas, la suela de éstas auele llegar al borde de la de l a e primeras, confiando la unión a armaduras embebidas en a ea, Q.ue deben verificar las condiciones establecidas para los anclajes de l C8S0 a que correspondan.

4.3.6 Kxtre.c)s ",alados En un extremo volado no hay ninguna sollcitación. No obstante 88 recomendable calcular el borde para soportar alternativa.ente, un nervio si y otro no, la sobrecarga de vuelo. En general las solicitaciones 8Qn sillbóllca8. pero la tolerancia de <U...eneiones que exigen las piezas de forjado, aconseja .edir lae viguetas con pelos a 2 o 3 Cl) del borde, y proyectar el replanteo de visuetas dejando de 10 a 15 cm de ancho para el -ahora ei- zuncho de borde, véaee fig ura 34~. Es posible encontrarse con puntos ein eolicitac16n dentro de un tor jado, COIIIO cuando se acude a equJllbrar un vuelo con un trozo del pa1\o posterior en prolongacl6n (.fJ4 34.8). En eee cae o 8S recomendable, aunque 8610 sea por evitar confllctos en obra, prever unoe 10 cm de tolerancia dlaenaional.

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Normalmente 108 zunchoe de borde de huecos interiores (fig 35.b) se pueden proyectar adelDás COIDO vigas , recogiendo carga del pafio considerando que se apoya en él. Su cálculo como :visas semempotradas no exige alteraciones en los forjados de ambos lados, pero si se trata de verdaderas vigas que se embrochalan al forjado, (fig 35.c) será preciso el.iminar alguna o

~~:: t:v~~:~~~ne!to elt::a:!~~ei:sl::~~~:~:'s~unque

4.4

sin necesidad de

DESPII!CK DE ARllADURAS

4.4.1 &r.adura inferior de viguetas Para laa vigueta e preteneadaa no hay que indicar despiece . ya que su eecci6n ea forzosamente constante, l.iJ:rl.tándoae el plano de replanteo a indicar el tipo y l o ngitud de cada una por pailos.

4.3.1 Quew-anto de Tiauetaa 7 aaci.aadOIl diversos Cuando por la d!epoelcl.6n de un hueco sea neces8rio interrumpir una 801a visueta, (fis 35.a) en general no e8 precieo cálculo especifico para ella. Sin embargo, el acotado de lonaitud de la vigueta y el replanteo de bovedillae exigen reglae parecida e a lae de borde de extremo volado.

Para las viguetas armadas, además del cálculo de la cuantía m6.xima hay que deterllinar la longitud de los refuerzos, ya que la arma durs baee es eolamente 2~B. Como medida cautelar , y para evitar que las v1guetaa guarden JMnO, es preferible que el refuerzo se a simétrico en alzado. 51 el cálculo no l o ha hecho, tales longitudes ee puede obtener en último extremo por proporcionalidad del área que aupone cada armadura en la intersección de una parábola unitaria según el tipo de tramo, véase fi&ura 14., ampliando la longitud de prolongación y anclaje según tabla 6.

forjado. f. tdlflclCi6.

..tr,ctlrll •• 0

Por racionalidad en la fabricación de v1suetaa . y para evitar confueiona., o viguetas parecidas pero diferentes en obra, ea recollendable que estas longitudes supongan un porcentaje o fracc1.6n redondeada del total de la vigueta. Las fraccione a .,'8 probables 1158 recogen en la tabla 16.

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Dado que la inforllaci6n no ea cOllpleja, el tipo de vigueta, diámetro . y lOngitud del refuerzo pueden repre8entara8 simplellente en rotulado, sin necesidad de dibujo expreso.

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4.4.2 Araadura Buperlor de contiDuidad

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La armadura superior debe traducirse ., en general. dos redondos por nervio, véase tabla 7. COIIO en el caeo de la arlladura inferior, ei no eatá calculada eu longitud, ee puede obtener por intereecc1.6n del área relativa en la parébola unitaria correspondiente, truncada en el ancho de la viga , véase figura 9. Si la sobrecarga de uso es superior a la del caso de Vivienda , l a parábola debe descolgarse de los 1I0llentos de extremo de la carga total, pero corresponder a la fracción de caraa permanente. Para luces regulares y 80brecaraa de uso hasta 200 kp/D'I· , ae puede definir directa.ente las longitudes de las dos arlDadurae superiores por nervio a partir de lae aiguientes reglas, (IF-O O, art 7.2): 1. Para un tramo extremo, la arlladura de .ayor diámetro Be extenderé el 30X de la luz y la otra el 20%. 2. Para un trallo interior, laa longitudes aerán 25% y 15% respectiva lIente. 3. Para un voladizo, una de ellas llegar' al extremo con anclaje en el canto y la otra tendrá e l 60% del vuelo. •. El trallo que equllibra el voladizo puede considerarse interior si su armadura COIIO tal supera a la neceeam en el voladizo; en otro caso 8e armará eoliO extrallo. ' 5. Las armaduras definitivas ser'" sbllltricas respecto al apoyo interior. 6. S11ae arlladurae sobre dos apoyoe coneecuttvoe diatan lIenoa del 20% de la luz entre allboe, 8e dispondrá un 8610 redondo continuo.

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Para cargas de tipo Público lae longitudes ee extienden a 35~ y 25~ para tramo extremo y 30~ y ' 20% para 108 exterioree; en los casos de Concurrencia Elevada suben a 45% y 30% 108 extremos y 40% Y 25X los interiores, produciéndose mucho ~ntes la fuai6n de las armaduraa sobre loe vanos cortoa, véase figura 37. "

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La variedad de caeos de la flaura 17 da lugar a los patrones de arllado superior de la figura 38.

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rOIJIdOl di edlf1udol

Si dos forjados acometen oblicuamente a una mislla viga, la armadura negativa puede ser única. en una direccl6n intermedia. La armadura necesaria 8S !Rual a la te6rica, dividida por e l coseno al cuadrado del ángulo entre armadura y vigueta . Para cAlculoB rápidos 8e pueden usar 108 valoree de la tabla 17. Si 186 viguetas tienen la mioma dirección pero están des fasadas, también se puede acudir a una armadura equivalente unif'ormelDente distri buida. Esta armadura debe cubrir la longitud proyecci6n más larga de 18s dos te6ricas de ambos pailos.

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Tal armadura debe cubrir. EF-88, art 7.2, a partir del eje del apoyo, una l ongitud al lIIen08 10 % de la luz del traillo. Si el apoyo ee simple el anclaje de hace en el canto del for jada; si tras el apoyo existe otro paño transversal. el anclaje debe ser en prolongaci6n. Talll •

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Si el desvio entre 108 dos pafios supera 30· lo recolllendable ee disponer. una cuadricula con las dOB ar.aduras teóricas, de igual longitud tamboc lados. del apo~· .· veae fol f.18ura. 30.

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4.4.4 Araadura de 'baC08 En el caso de que la viga interior eea lDás ancha que el soporte, -en rigor, si la luz a caras de soporte es mayor que la truncada usada para el cálculo de la aollcitacl6n máxima · de flexi6n del forjado-, la transferencia de carga de una a otro exige armaduras adicionales intercalables con las negativas del forjado. Si el cálculo sólo ha previsto armaduras iguales sobre todas las viguetas debe cOlDple.entarse con las especificas para esta solicitaci6n. .. De acuerdo con lo indicado ·e n 2.3.3 el número de arllladuras 2 a a5adir es una fracción de lss dispuestas uniformelllente, que, del lado de la seguridad s& puede tOllar igual a S-eIL siendo e la diferencia entre la luz de momento -a mitad de un lado de la viga- y la cara del soporte. Para una luz de viguetas de 5,00111 Y una excentricidad de s610 0,10 ID se trata ya de un 16%, de lDanera que si la luz de 'viga es de 6,0 ID con 8 nervios y 16 ar.. aduras negativas, hay que afiadir otras 2 más, por ejemplo en las dos viguetas a ambos lados del soporte. En vigas de borde I además de la arlDadura de extremo definida en el apartado anterior, es conveniente disponer sobre la vigueta o viguetas próximas a 108 soportes en continuidad la armadura de un semiempotramiento, que Buavice laa incurvaciones que produce su existencia 3. En loa soportes del borde paralelo a las viguetas, -108 de la linea

4.4.3 Ar••.dura superior en eztreaoB. En 108 extremoe en loe que no haya momentos es preciso disponer, una armadura al menos cuarta parte de la inferior 1lAx1.. a del vano. La exigencia de dicha arllladura tiene 8U oriBen en el desplazamiento de las tracciones por cortante, que en este' oaso afiora por la parte superior del tor jada y eldge una armadura en extrello para una tracción del 11181110 orden que el cortante,

2 I.ta a~.adu~a di. _baco no incluJa la proc.lI.nt. d. la acci6n horiaont.l actuando an dir.cción de la. vi_u.ta., d".ranla d. una. plant •• a olra., aunque an l'Iucho. ca.o. la raducción da hu: •• , debido al au.lento da .aCclón d. loa .oporta., c"b~ • • 1 'ncre•• nto di. aoltcltact6n por a •• MottvO . I ¡ata ar.adur • • a pu.da computar a .'acto. d. acclón horiaontal, QU. an a.t. lipo d. nudo. eai,e, en planta. baJa., una ar~ad u ra neta~ent • • upertor a la .l"'pla de coa ido d.1 bord • . In al,uno. ca.o. a. pr.ci.o inclu.o acudir a .r.adura. a.acta •• nl. dl.pu •• l • • • obr • • 1 .oport., •• Jor an 'or.a d. la&o.

forJdOl de tdJUeaci6.

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5. de la construcción y control del forjado

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ftlura al . • ~4o nel.ti90 tipo

4.4.5 Malla de reparto 7 disposicl6o de araaduraB

5.1 De la recepciá:¡ de ele.entos Una vez redac tados , firmados y aceptados los planos de ejecuci6n del forjado ee puede comenzar su construcción. En la recepci6n de viguetas debe constatarse que su identificaci6n y caracter1sticas geométricas aparentes corresponden a 10 definido en planos . De las bovedillas es preciso constatar su grueso y el ancho útil, a efectos de cortante, que quedará Bobre el plano de vigueta o de celos1a, de acuerdo con las especificaciones del proyecto . Si los planos c ontienen todas las caracter1sticas de las v1guetas, de manera que su aceptación puede: reducirse a aspectos geométricos, -calDo en el caso de viguetas con celos1a, 8i se inspeccionan las marcas del acero-, o lse viguetas se construyen en obra o los nervios se arman por completo en el tajo. en rigor no es preciso que exista Autoriza.ción de Uso . En el caso de viguetas pretensadas es imprescindible aportarla junto con l as viguetas para poder reci1;rl.rlas . En todo caso es conveniente que el suministrador de elementos exhiba la citada autorizaci6n, no tanto para confirmar 108 valoree de capa.cidad mecánica sino como garantia del autocontrolo control externo que rea.l1.za con su fabricados.

Además de 108 armado8 negativos de apartados anteriores 88 obligado -Ef- 88. art 4.2- disponer una armadura de reparto en cuadricula. Según la norlla citada, para una capa superior de 4. CID - y no es recollendable darle más en ningún caso-, basta en acero AEH500 un _4 cada 25 cm tranveraal a las viguetas y uno ", 4/50 par alelo a lss mellas , o cuant1a equivalente, pero con disposición igualJDente tupida. fieta malla supone 0.5 kg/m· de acero en cusnUss 2:1.

De 188 boved1llas 80n ex1glb¡es los certificados de re8!stenc1a de 18s msmas, ya que aun en el caso 4e no computarlas como resistentes, es obligado -EF-B8 a rt 3- que P0;8 e *:n una cierta resistencia.

Existe alguna controv ersia al respecto de cómo disponer las a r maduras negativas. Pa ra que éataa no S8 hundan 8S preferible disponerlas por encima de la llalla . Para que loe recubrimientos s ean r azonable s para todas las armaduras es preferible hacerlo por debajo, disponiendo la lIlalla en últ.i.Jlo luaar , izando loe e xtrellos de l a s armadur as negativ as del forjado para atarlos a la Italla. .

Es a consejable el a copio ordenado de las vigue tas en pilas diferente s para cada tipo, p a ra su más fácil manejo. Es recomendable intercalar durmientes de madera aline a dos en vertical entre plano s de vigueta s acopiada s , sin dejar vuelos exce8!v08.

Disponer las arlDadurae negativas del forjado bajo la lIIalla permte además rentabilizar lIIejor el canto de las vigas planas, disponiéndolas por encima de 18 S ar.l)aduraslongitudinales de visas, compartiendo el mismo plano que los estribos de estas piezas. En otro caso, existiria en dicho punto cuatro planos de armaduras, la8 fundamentales , las de vigas al interior, lo que con cantos pequeños puede significar una reducc.16n excesiva del brazo de palanca.

5.2 Del acoplo 7 . anlpulad/lll de viguetas

La des carga y traslado de viguetas debe hacerse con un útU que per mita apoyarlas en dos o IDás puntos . Sobre todo la s v1guetae pretensadas pueden dafiarse fácilmente por peso propio si se dejan muy voladas, ya que el momento negativo!ae recomprime . Rete efecto es particularmente desa gradable en las piezas frescas , y el cargan unae sobre otras. Las viguetas pretensada s dafl.adas o con fisuras paralelas a la directriz deben rechazarse . Lae armadas son más lnIDunee . y ei aparecen daf'iada8 s610 exigirán sopandado o enc::ofrado adicional.

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5.2 Del eopaDdado En general el fer jado no es autoportante y precieallneas intermedias de Bopandado, además de 108 apoyoe en 108 encofrados de vigas o en 108 perfiles o muros que reaUzan tal funci6n. Está codificado -EFBB. art 5 .1 y 5.2-, cómo calcular cuántas eopandae inte rmedias 80n necesarias, y el proyectista debe hacerlo constar en 108 planos y lIemoria. Procesando dicha información se llega a distancias entre sopandss del orden de 2 a 3 ro para viguetas con celosia, según BU altura, y un valor prácticamente fijo entre ambos para lss pretensadae, valor ueual y conocido. No obstante como este proceso se sOllete a prueba en e1100% de 108 c8eo8.1a práctica puede aconsejar correcciones al número exacto de 80pandas calculadas. Esbeltez del fer Jado o meteorologia inusual pueden forzar una fila más o consentir una lJenos de las te6ricae.

5.3 De la contraflecba

Ta nta con viguetas armadas como pretenssdas es cad imposible dar contrafiecha sin dañar a las piezas. En los vuelos. en los que -sobre todo con viguetas pretensadas- debe hacerse con un tramo aparte no continuo tras el apoyo, es posible y recomendable forzar una ligera contrafiecha. No obstante la práctica habitual es la de disponer el apuntalado sin forzarlo a ntes del horllllgonado y t emplarlo nada .'s realizado éste. con objeto de disminuir la flecha ante peso propio.

5.4 De la pr8a8ntac16D de ñguetaa 7 bovedillAa Conviene replantear el tor jado desde los puntoa fijos: bordes. huecos, dobles viguetas, etc. Bl intervalo entre viguetae se hará con piezas representativas. -las bovedillas de color más pardo suelen Ber mayores que las más claras-o Si no puede entrar el número de viguetas previstas en cada pafio, se · seguir'n los criterios de tolerancia escritos para ello o S8 consultará con la direccl6n de obra. No es prudente construir ' el pafio con lJenoa viguetas de lo proyectado; en últiJlo término se debe mantener el total de armadura negativa. Si las viguetas llevan estribos plegados hay que pasarlos a su posición correcta. Si es preciso sortear un hueco no previsto hay que tener en cuenta que el destrozo del horm1a6n pretensado reducs la capacidad portante de l a vigueta aunque no se afecte al arllado. In casos de fuerte estranaulacl6n ~ste puede incluso explotar. No es recollendable cortar viguetas pretenBadas en obra para ajustarla a diIIensiones reducidas o una luz llenar. Sin embargo la eliminación de l a capa superior o de una bovedilla aislada no altera en aeneralla capacidad resistente del tor jada. Si la vigueta es 11geramente IIAe larga de lo previeto pero permite disponer el resto de los elementos y viguer1a no hay problema. En caso contrario, si los solapos eon llenares de lo proyectado , aun con las tolerancias previstas, debe rechazarse , o complelDentarse consultando a l a

dirección de obra. Nunca es eficaz empalmar por solapo o armadura dos trozos de vigueta pretensada. Las bovedillas en el borde de las vigas deben cegarse apropiadamente para evitar la entrada del horlJ1s6n con aumento descontrolado del peso propio del forjado.

5.5 De la presentación de ar.aduras Las armaduras negativas deben disponerse sobre la jaula del encadenado o de la viga, preferentemente interalado con el estribado de ésta. Si la vigueta lleva ce10s1a de canto próximo al del far jada se pueden fijar a ésta; en otro caso pueden quedar colgando , pendientes de atado a la malla. La malla de reparto debe correr por encima de vigas. macizados. etc. Bajo todo macuado no resistente es conveniente disponer un trozo de malla para evitar fisuras por retraccié?n. En ocasiones es interesante ,prolongar la malla sobre huecos peligrocomo el del ascensor. que evitan incluso calda de materiales. Prolongar l1gerallente la malla fuera del forjado permite enlazar mejor el forjado al cerramiento. S08.

S.6

Del boralgonado ,. ~curado

Las reglas de limpieza. regado. utilización de hormigón con árido adecuado al tallafl.o de la capa superior, no pasado de fecha. no al'iadir agua, control de cloruros. temperatura etc, son las propias de toda obra de horm1gón. Los forjados. sobre todo en pisos elevados. debido a la delgadez de la capa superior y la exposiciÓn a viento, son muy sensibles a retracciones, fisuracl6n en las pr1mer8~ horas y a helarse. El horDigonado debe ser conjunto para nervios. senos. capa superior. y vigas. Las juntas de horm1,gonado en vigas pueden dejarse en torno al quinto de una luz predominante; las paralelas a viguetas en el medio de las bovedUUas. . Aunque el sopandado estll calculado para soportar una sobrecarga de ejecuci6n, sobre todo con bomba so pueden acumular en una zona pequefia mAs de 100 kp/m a entre hormigón y operarioe, lo que puede reeultar peligroso.

5.8 Del deeencofrado La prActica habitual de desencofrar a 28 diae procede de otra técnica. En edificación desencofrar antes no ooasiona el paeo a una Bituaci6n irresistible. Y en sentido contrario, desencofrar lIás tarde permite alcanzar una mayor resist encia del hormig6n: en general la resistencia cOlDpleta de la estructura se neceslta 8610 meees más tarde. Sin embargo en edificaci6n de varios pieos en el intervalo de desapuntalado de un forjado se construye otro sobre él y aun un tercero. En este caso es crucial nO. l!Deterse en una trampa. Si a la fecha de desapuntalar el

100

forjdo. fe tdUJClelÓl

far Jado de planta baja, existen ya otros tres más, 8S muy posible que la carga total supere la carga total prevista. De un lado de la seguridad hay que suponer que 108 for Jades se están soportando íntegramente en el inferior desapuntalado. pero del otro que lo está en la estructura definitiva. La solución es continuar Bopandando t odo y desapuntalar la obra completa de arriba a abajo, o haber desencofrado antes. Es preferible que un forjado parezca s oportar otros dos más un poco antes de 28 dias, que tenga que hacer frente a cinco de ellos pasado mes y medio.

ntnctlru

101

110

bución, 8S posible hacerlo s610 por la cara euperior y momentos negativos.

8610

en la zona de

Debe destacarse que si el acero presenta alza de la resistencia respecto a lo previsto no va todo bien. En general el aumento de resiBtencia lleva aparejada la disminución de la ductilidad o alargamiento en rotura, 10 que puede llevar a la desautorización de un acero que parece de calidad superior.

La mejor estrategia es sil!ltemáticamente la del clareo de encofrado.

Con este sistema la planta más baja encofrada lo está s610 en vigas, la siguiente en vi8as y a medias de forjado, y asi sucesivamente. En todo caso el encofrado ha sido retirado y sustituido inmediatellente por otro, dando pie a que la estructura construida se sustente en los soportes estructurales, aunque por seguridad y estabilidad subsiste el encofrado. Téngase en cuenta que la resis t encia del hormigón no es esencial. El recálculo de un forjado con la I11tad de resistencia del hormigón conduce a capacitarle casi para el total de la carga de cálculo prevista. Es el tema de lae deformaciones diferidas, o el deslizamiento en los ancla j es el que a conseja no desapuntalar a la8 72 horas, que es cuando se alcanza, para temperaturas ordinarias, véase EH-eS fig 26.9.1-, dicha fracción de resistencia. Si la esbeltez del forjado no es critica a flecha, y 108 diámetros de armadura usados son finos, se puede probar a eliminar el encofrado de viguetas en esa fecha, calculando que 8e tarde otros cuatro o cinco dlas en cargarlo al doble de su peso propio con e l del forjado superior. c arga que a lo sumo durará s610 tres dias. En todo caso para las vigas sigue siendo recomendable mantener el encofrado , aun clareándolo y cambiándolo, del orden de 2S dlas.

5.9 Del control 5.9.1 De1. control del acero Del acero, tanto de armaduras como de viguetas armadas, debe constatarse, de acuerdo con el proced.1..miento previsto en la lIemoria, cuál es su categoria. Resulta habitual proyectar nivel intenso . ya que l a inver sión en ensyos campanea eobradamente eu ventaja en resistencia de cálculo. En cualquier caso el tor jado resulta extrelladamente sensible a una baja de rssistencia del acero. Si 8e detecta una resistencia inferior a la proyectada es casi seguro , a llenos que el cálculo haya redondeado generoeallsnte la arlladura, que la seguridad del forjado se ha resentido casi en la misma proporción que la resistencia. En ese ca80 no queda lIás alternativa - si no hay duda de 108 resultadoe de los ensayos- que derribar o reforzar el forjado. Una prueba de carga -hasta eervicio- no puede dar ninguna inforllacl6n al respecto. Cualquier intento de reforzar las tracciones o la resistencia a 1I0mento del forjado sin picar el recubr1m1ento ni retirar las arlladuras existentes, obllga a arlladura en malla o en varilla adherida . Pero toda eoluc1ón debe hacerse sin que paralelamente aumente el peso del tor jada. Por la cara inferior 8S casi aposible. Contando con el margen de redistri-

IIIJdMI ••• UH ~ Uf l h

5.9.2 De1. control del boraigón Del hormigón de obra, que es el msmo para vigaeque para viguetas, debe constatarse BU resistencia con el método de control previsto en proyecto. En general, de estos elementos se suele prever el menor control posible, ya que su coste no se justifica con la exigua ventaja res1etente para la estructura. En ese sentido, si se constata una baja de resistencia en el horm.1g6n, casi sistemáticamente será inofensiva para el forjado. El cálculo de un forjado con un hormigón H-125. suele conducir a las mismas concusiones que con H-250. Sólo el cortante, y 8ólo en viguetas ein cel08ia es sensible Jl la resistencia del hormigón. El momento no lo es debido a que s610 coopera a ello una pequefia fraccl.6n de la capa superior; si la resie. tenela baja basta la colaboración del horlPig6n restante de esa capa para remontar la resistencia perdida sin merma del brazo de palanca. A momento negativo , en teoría la baja de resistencia del horm.lgón parece incidir en su capacida~ , pero las posibilidades de redistribución de momentos permiten rebotar el problema en 108 positivos. Dado que J.a necha ee guia cas1 por entero de la inercia fisurada en la que el hormig6n incide muy indirectamente. tampoco 8e sensible a variaciones de resistencia del hormigón.

En general las bajas de resicstencia del hormigón de forjados no just1.flca n ni ensayos complementarios ni' el intento de confirmar su valor por otroe procedimientos, generalmente costosos. Lo primero que hay que hacer e s recalcular el forjado dando· por buenos los valores obtenidoB; lo previsible es que el forjado salga airoso y se archive e l tema. Un proyectista avisado ya habrá introducido en Ilamaria los criterios de aceptación con un amplio margen de baja sin Que sean necesarios siquiera dicho~ recálculos . Naturalmente si la resistenclá baja a. menos de 125 kp/cm a no hay siquiera modelo ni for mulación par a c;:omprobarlo. En la práctica el aviso de bajas de resistencia del hornigón de forjados debe llevar a ordenar la rotura de las siauientes probetas a 35 o 50 d1as, con objeto de contar con la ganancia de ese retra so, sin necesidad de constatarlo con ensayos complementarios más costosos y a veces poco fiables. La s pruebas de carga -hasta servicio- no dan mucha información, sobre todo si el forjado posee a rmaduras adicionales para l8s solicitacines provenientes de la acción horizontal. Por otro lado, simular mOllentas cortantes y deformaci6n de un forjado continuo, cargando un8 zona parcial, e8 casi imposible: s610 se puede hacer con uno s6lo de los prop6eitos, lo que implica conjeturar previamente cuál ee el comportamiento que se supone está lesionado.

forJldol •• dlflue16. 5.9.3 Del control del. forjado

Independiente del control de materiales y de la certificación de componentes, ee obligado -EF-BB art 9.2.1- hacer una prueba de carga de un pai'io tipo del far jada usado, pero sólo cuando el tsm8f'ío l o justifique: sólo cuando haya lI'Iás de 2000 m- de forj8do -o 50 00 m- sl el forjado tiene Sello de Calidad Homologado-. El procedimiento pedido es hacerlo a pie de obra, con dos viguetas y BU8 correspondientes bovedillas eligiendo -la dirección de obra- la combinación canto a luz Ilás desfavorable de las que existan en la construcción. Lo que se persigue con ello 8S una información cruzada del cOlDportamiento global de 108 tarJados. y acumular experiencia de 81 el coeficiente de seguridad es exceaiva o insuficiente, toda vez que 108 modelos y formulaciones usadas pa ra forjados proceden de otros campos y no están suficientemente contrastados. I

Se trata en todo caso de un ensayo llano, sin coste adicional de laboratorio , supervisable en obra. Como tal ensayo de obra sólo intenta verificar que se alcanza la carga de agotamiento - la de cálculo multiplicada por el coeficiente de lIl1.noracl6n de cada Ilaterial- sin rotura, no exigiendo ni instrumentación ni me dida de flechas. La constatación , para carga de servicio. del tamafio de fisuras también ae puede hacer a vista, ya que para edlfic1os, EH-88 art 44.2. las limita a 0.4 mm. La práctica de exigir este ensayo con instrullentaci6n y en laboratorio encarece inútilmente la prueba y es contraria al espiritu con que 8e incluy6 Coma obUsada. La aceptación del forjado pasa por la inspección visual del mismo. La ex1etencla de bovedillas rotas o parcialmente desprendidas. toda vez que no eon más que pretextos para aligerar no e8 IDOtivo de eospecha. Si lo es en cambio la constataci6n de coque ras de horlDigón en el nervio con ell.minacl.6n del engarce entre vigue t as y el hormigón de obra. Que la capa superior o la nivelación del horllÚ86n no hayan sido perfectas tampoco es importante. Un exceso o defecto de 1 Cll en el grueso de la capa en algunas zonas no influye apenas, salvo que l as armaduras aparezcan sin protección, lo que es perfectallente subsanable. El desnivel de unos puntos a otros, mientras no suponga un recrecido completo. no aupone aumento de carga diferente del que ha hecho que el coeficiente de seguridad sea el que es, y puede despreciares. ReBulta mAs complicado identificar la peligrosidad de 1a8 fieuras, por retracc16n, a allbos lados de nervios o vigas. En general su penetraci6n es peQuef1a, eatarAn cubiertas y protegidas por la pasta del solado, y el nivel de tensiones exigibles a dicha capa es pequefla. 51 existe llalla, y el acero es el adecuado . y sst6 dispuesto en su sitio, se puede razonar CQIDO tri el borlliS6n fuera IDAs bien un material de relleno y no propiamente estructural, siendo aceptable 111 su aspecto -a juicio de un buen apareJador- lo

es.

111m. 00.,1" 1111

eocuela t.éallca auperlor de arqui t..ectura de medrld.

eetructuraa treo

FORJADO PLANO

1. ELI"ENTOS ESTRUCTURALES PLANOS 1.1

Barrae 7 loaaa

El éxito de lu estructuras de berras proviene de la gran eficacia de análisis. La e1..tpl1flcacl6n de barra p8t'1'11te repreeentar el oonjunto de tensiones en loe diferentes PJntoe ~ la eeccl6n por W'I08 poooe términos.

ISU

-tres lII011cltacionee para 1u estructuras que se desarrollan en un plano-. Pero además la llana ea laoetUica 1J\tel'MlhMte, lo que pet'WILte paaer de

188 Bol1cltaclc:lOe8 de una sección a las siguientes mediante 1ae ecuaciones de equilibrio. Por ello 8610 ea preciso adoptar 00IIl0 !no6gnita8 para el anA1181a las 8olicitaciones en W'I08 cuantoe pmtoe, en loe encuentroe de tree o lBAe barras 1.

En eatructuru de berraa I oon 11610 W\lUI dooenae de 1.no6snl tae ee p..¡eden re801v~r 8etructura8 de cle~ envelll8Ó.lra . F.eo eXplica la de6pro-

percLón de informaci6n destinada a las eetructuraa de barraa en loe textoe y prosramae. y el intento -deeeaperado a vecee- de ident1ticar la estructura real oon un 1K>de1o de barraa, 1nclu80 en loe ca&08 de edificac ión de piaoa, en loa que la eatructura Be realnente un oonjunto de ele.nent.oa euporficlalea o:::lIleCtadoe por barras da eoporte .

Intentar a toda ooeta analizar una eetructura oc:eo el fuera de barree en vez de con continuidad superficial es ra.z,::)08ble dado el salto bruaoo de complejidad que eso representarla. Un ele.nento euperficlal relatlvanente delgado también admite la eil1pllficaci6n da 1088. toIIando 8610 WlOII cuantoe ténnlnoe para representar todae las tenelonee de un punto; clnen

llfn la prActica para IDIlI\ejar eleu.6t1ca11e1lte loe tAI1D1.noe de r1a:lde.l do una berra recta se toma adewl6.a OOIQO p..anto 1no6snlta I!Il de cambio de dirección de una barra, cteoc..lnado nudo de encuentro de doe de ellea; pero 00IIl0 sistema hipereetAtloo sólo ea neoeearlo plantear loe encuentroe redundantes de tres de ellu.

tlhuetuu tru

solicitaciones son suficientes para ello.

forjado pIlilo

vista del análisis, y

Sin embargo el conoclJnlento de 188 6011clt.aclonee en l.ln06 pmtoe de la loea no pemlte obtener el de otros: 1aa ecuacIones de equ1l i brio no bastan y el JnOdelo de anáUela debe plantear co«o 1nc6snitaa las 6ol1citaciones de todo p.mto de la superficie. La palabra todo es auy fuerte. En rigor obliga a adoptar 1no6gnitaa funcionales que pJeda repre6entar el valor en cualquier punto, pero eso conduct!J a un planteamiento en el que aparece descrita la función por las cualidades de sus diferenciae de unoo puntoo '" otl'06. La ecuación diferencial que resulta no p::666 caei nunca solución expreaable <x>n una función. El análisis de lma 1088 obliMa en la práctica a una dlscretizaci6n Me o menos tupida según la preciaión deseada. La conclusión ee que una o dos docenas de ino6gnit.ae apenas bastan para e l anál1Dia de un elellento simple, por ejemplo un 1DÓdU1o de 5 por 5 betl"08, 1I1entraa que con la mlema ccmplejidad se reeuelve un p6rti<x> completo de ee1a u ocho plentas. AdetMs, en la lOBa, no ea delnaaiado fiable la intertlOlaci6n para el reato de puntos, sobre todo en las %OnaB en que se dan variaciones rápidas de 8Olicitaci6n. El trazado de lineas principales de tensión, a partir de WlO6 a..aantoo pmtoa, tiene también.. en lI'L\Chaa ocaaionee 8I:Ilb~8 irresolubles. Se entiende p.le6 que , siempre que se pueda, y a veoee ein que MI debiera pxler, 86 estudien 1.. estructuras .CXClO ai de barras MI tratara.

S8 empeija

en resolver el problema 8610 del análisis,

cuando queda canpletartJente f Orn.l lada la Boluc16n del problema estructural, lIientras que lIlly pcx:.a lntol'YlaC l60 sirve a 108 propósitos del cálculo. 88 decir wy poca entiende acabado BU

dando por concluido

trabajo

trabajo 8610 cuando está sobre 18S

66 entiende que la redundanc18 de la lOBa 68 interprete exclusivamente en tIInnlnoa de ocmpl1cacl6n. Algo parecido pasa

000

la no

l~lidad, que

1.3

fuente indiscutible

Redundancia

Un elemento superficial a flexión &8 describe con dos cortantee, dos flexiones y un toreor. El equilibrio euminiatra doe ecuaclonee de momento en la que la variaci6n de flectorea 'y torBOr debe 1Bualar al cortante, y otra en la que la variación de cortantee debe ser igual a la carga traneversal. Son las miBIDIUI ecuaciones de vigae. 8010 que al11 lae doe ecuaciones dofinen lnequivocaroente loe; valoree de cortante y flector. y

Representando con el

La clave de la dlterencia entre barra y lOBa está en la redundancia interior. En la viga no ex1ete. V lae eolicltacion.ee en extretn06 y la carga obligan inequivocuaente a lae de loe ¡:ontoe interiores. Por el contrario una l06a 88 fUerte.nente redundante, y 1M 8Olicitaciones de lx>rde y la carga no oblisan a qu6 valoree deben darse en loe p.mtoe intemedioe del elenmto¡ en la loea exiaten variu poeibllidadea de OClnIIeSI..Iir el equilibrio. variaa tOt'IDU da eoportar lu acciones.

".x

G. + G,. ".,. G. ",... + ft, ""

+ ft,

1no6gnltaa¡ hay redundancia.

la derivaci6n,

las ecuacionea do

convenio apropiado de al&noe, eon:

y' ....

Lo •••

G. V.

.t¡no 8

equilibrio da loeaa V v14l:aa, con

La literatura al ueo eatA eacrite preferentemente deado el punto de

de oompleJidadea en el análisIa, pero que a veces resulta enol"1OOlOOnte eillplificadora del cálculo. F.eta diferencia es debida al distinto objeto de cada p~ . En uboe caeos aaber qu~ le pasa a la eetructura ee dificil, pero detel1llinar el ea euticlentement.e 8qUra pJede ser nay sencillo. .

Bipereatatia.o

ParadójicaJDente lo que ea una fuente de dleauetoe para el analJIJUt de la estructura es una ventaja para al calculJ"ta. El anillaia se pregunta qu6 l e pasa a una estructura dada; para el análiaia la estructura es dato. El cAlculo se pregunta cómo hacer que la estructura reaieta; para el . cálculo la estructura ea la i.nc68nlta. Para el analieta, cuando una eetructura ee hipereetática debe incorporar condiciones de defonnacl6n y adoptar nuevas 1no6gnitaa¡ el problema 1!18 la oompllca. El calculiata denanl.na el lIiaGlO prob18llllll oocoo redundMta, ee decir que la estructura tiene Me posibilidades y recuraoe para 8Oportar la carga, cuando Ul'IOfli esquemas ee agotan ¡ueden etWUir 'trabajando loe otroe y la capacidad de carga procede de la BUIb8 da todoe elloe¡ el probletna de d l eef\ar la etructura se s1.Jnpllflca. ~ la estructura no aea redundante s1Sn l f1ca que no hay Ñ8 remedio que auiarse del anállaia para dotar de rea1atencla sufIciente a la estructura, ya que no Be ¡uede hacer MS que de una manera. Si es redundante se puede dieponer la reeietencia de la estructura de nachas lIÁIS Mneraa y oon náa libertad. UJrioeasnente, en problemao alt.alDente redundantes el problema del anAlleis de eetructurae se COCI'Ipllca, pero el del cálculo Be aUlplif1ca.

poca

estructuras. As!

aquI tres ecuacI00ea no bastan para

1.2

la eatructura. En cierto

ccq>let...aJnonte resulta

sentido existe mucha información acerca del análisis de eetructuras y

= = =

V. V, q

G. ".

G. V

[ I

En vlBaa no hay BIIblguedad, la caras hace crecer el oortante, y el oortante al IlOIb6nto. En 10688 la ecuación que relaciona cortantes con carga ee redundante i la carga pJede hacer crecer W"IO de loe oortantea, el otro, o ambos¡ e 1nclueo un cortante p..¡ede aumentar a coeta de la dlslllnuclón del otro. Las que relacionan loe oortantea con loe IIOIIl8ntoa taalbién son Mlb1guae; un cortante p.¡ede Bervir para &l.Imentar el IIOlI'I8Ilto tlector o el torsor, o uno crecer Ma ei el otro decrece .

En 10688 ex1sten varias poeib1l1dadee resistentes . lk"Ia de ellas ea V,. Bea nulo y toda la caraa eirva para atmentar V•• y que tanto ".,. COIlO " " l5e8I"I nuloa , de fonna qt18 el oortant.e 8610 incremente"... Etsta eoluci6n de lcea es la l'esiet.encla en W\8 dirección -naturalemente si en esa dlrcoclón hay loa apoyoe adeo ' adoa-¡ Be trata de la IIOlución de vigaa adoeadaa, en la que no hay OOIIIPOrtArllento bidlreccimal. Lea doe direcx:lonee están deeaoopladaa.

que

Otra posibilidad ea que "., &ea nulo, y, aunque haya 8Ilb1gUOdad en el reparto de q , cada cortante a!rve 8610 para hacer crecer Wl I'K:IInento. Ea la

tllNCtIItU hu

solución de vigas cruzadas sin torsión. en la que subsiste algo de amb1guedad o redundancia para el equilibrio, y un acoplamiento pa~h.l, Y otra solución ea que p.16da haber de todo. que ee el OOO'Iportam lento de una Yl'!rdadera 1088. ron acopl8Jlllen'tn (lClq)leto entre las doe direcciones. Ccft:J el reparto Be hace do ocuer-do con la detol'1ll8blUdad a cada solicitación. eesún 68 adopte B80C16n WIAs o renos l"86Letente a oortante, f lexión y tornl6n y en una u otra dirección, se p.tede aoneesulr que prepondere una u otra de las solicitaciones. o cualquler situación intermedia.

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'lfUra 1. "'lc'l.ato. . . . . . .,_ , lo ••

larJI40 ,IMO

es el caBO de cortante o pm,zonamiento , el agotamiento en un punto de una 1068 e8 e l de la fomación de Wl pmto con MlPlla capacidad de siro 8 IOOInento CCf\8tante. 5i tal pJTIto sucede en una pieza lineal Significa un brueco desoeneo de r1&ldez. Al variar l~ r1aldez, 1M cargas adlclona lu Be 8Oport.an oon un e&qUE11D8. estructural diferente .

OOIIJ:)

U1 núJoero euficiente de puntos 8fIOtaOOe en una pIeza lineal a18nif lca para ésta una ri81dez nula . no presentando oposIcIón a defomeci6n incremental¡ e l exIste redu.ndancla o piezas aoopl adae a éeta, l oe lncrerentos de carga se soportan neoesarla11e1'lte por el esquema a l ternativo , y l a 1084 en con j unto pre.anta todavia riSldez: como para que Be ¡ueda oonsiderar eetructura. El agotamiento de l osa exige alcanzarlo en Wl número suficIente de que alguna parte p..¡eda estar en oondiclonee de deformación Uimitada 2 . Se dice ent.oncee que Be ha formado un mecanl8AX.l. SI el elemento superficial está fon.ado por pIezas lineal.., basta que loe punt.oe agotados definan la frontera de WlII parte de la euperficie¡ el hay continuidad euperficial loe ¡:w¡tos deben tomar 11neae CClmPlet.ae con la misrna propiedad. En e l caao de e l ementos linealee int.ero:ln8Ct.adoe en un número tinito de p.mtoe, la defonoaciá-l de la superficie pJede ser alabeada , ya que no hay reep..aeeta a · la torel6n¡ el hay continuidad euperflclal . con:> la deformaci6n poeibl e 111.J11tada ea deeproporclonadamente grande ClCImP8rada 0Cfl la de loe -pJntos .in agotar, la defol'1lléllCi60 en rotura debe eet.ar fot1Mda por trozoe pl anee. y por tanto eu lntereeccl6n debe eer si8lllPre lineas rectae. .

p.mtoe, hasta

Laa opciones anterloree no tienen por qu6 ser las ml81M8 en todoe loe PlIltoe de la superficie. Se p.JII!!Ide adoptar W\a eolucloo de vlgaa adot.arl8 " en la parte central. pasando a vigas cruzadaa en pmtoe úa aol1citadoe y llegando a losa en loe p.mtoe crit100e. La eolucl6n da forjadoe cruzados o bldlreocLonalea se mele tranafonoar alatea:.6t1camente en 1084 sobre cada

1.~

en tnOdo elemento superficial.8 flexión ea

CAloulo de 1.

capacldad ,reelatente

IIIOporte. y entre v6rtloee ClOIl.BeCUtivoe de cada Ih6dulo ISO OOIIlPOrta

unidireccional. !In la pr6ctlca todo intel"l'ledlo entre el de piezas totalJDente deeaoopladae. caDO en el caso de viguetas I!!UeltafJ de madera. y la lcea monolitica en la que ambas dlrecc::lonee ee hallan fuertemente aoopladu. y elecnpre el grado de ·acoplamiento puede ser diferente de uno a otro pmto. Aun en loe C4IS08 en que se d1eponen vtauetas independiente8, la existencia de una capa de oompresl6n arawia y continua Buminlatra una apreciable 8OUdarizoci 6n y qornportamiento acoplado en las doe direocionee. ya que o.lalquier callla p.mtual 80bre una de ellae produce, por la oontinlidad del deaoenso , que trabajen varlas de ellu. Olando hay redundancia. oomo por eJe.plo en una viSa continua de doa tranoe. se p..¡ede optar por dlGef\ar1a .in ree1etencia a mocnentoe nesatlv06. dando ll1Bar a dos v14l;u apoyadas. o con • o menoe resistencia a II'KlIhentOft negativoe. siempre que Be dieponsa la oontrapartida en poeit1v06¡ sin embarao no se ¡uede proyectar .in reeiatencia a IIOIIlentoe poe1~ivoe. Cuando hay redundanc ia ee p.aede compensar la falta de reelatencia de al.gunoo puntoe con . 1 exceeo de otros, aunque no de cualqu ier otro en este caso. D.aanta Ñ8 redundancia 1168 poe ibUldadee de ~16n hay , y más poeibUldadee '1 alternativas pera .1 proyect1.eta .

1. 4

Duct lUdad Salvo 106 caaoe en loe que la rotura ee InIcia con un aspecto frAaU.

Responder a qu6 le sucede a una 1088 ee dificil; el la pt"e8W\ta es el sufi cientemente resistente, la ·ree¡:ueeta ee Me et..ple : baata caJprobar' qua toda oontisuracl6n posible de 88ota.lento la produce una carsa euperior a la que, con 8e8Urldad., Ilt'avita sobre la lcea.

Las ecuaclonee, vectorialee, de equlUbrio de una configuraci6n de rotura eon COIIPl1cadaa de fo ...... l.r .··.Afort:.unadal)ente 111 expreel6n final ea

:tOado que la ductilidad ea e1empre lJ..IIit.ada, no ei8q)t"'8 loe puntOll que pr1.Jnero alcanZan el a&'ot.amlento pueden eaperar oon delormaclonea ¡)lAeticae a loe úl t1Jnoe que l o hacen . Trae calcular la carga de agota..lento quedan peocHentes doe CCIIIProbaclonee : que 6Xiate suficiente doctil1dad para ello, y que pera la caraa de 88lVlcl0 no ... producen defomacionea lnadmielblee. Sobre todo aeta ultimo I18pecto 6Xiae un aMUaia. aunque en ruchoe ca&OIIS existen indicadores flablea de que 00 exIsten probleeaa de defor.aoi6n, oaoo ~ ser la eebeltez: en vigas o loeae • f l exl6n.

'En rigor lo que ha)' que ooaprobar . . que la OCflfl.4ruraclOn de rotura . para una carga a lo SUD:) la de cálculo, ha e lell1do loe ¡untoe de rotura , de Mnera que loe demás poeeen. IIOfIleIltoe DenOree a loe de a&"ota..lento. Como loe valoree de IIIClI'Iento en los demM puntos no eon aoceelblea al eálrolo es precl80 denoetrar que laa cara:ae 1nferloree no producen agotamiento, o eea que la carga estudIada es la .. 1n1.Ga que lo oonelgue, para lo ql,j8 ea 11rec i lJO oon(lJderar toda. laa poelblM .

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111\ IIInlW i lü rlAM:I ' ,

ellnlCLut.. hu

escalar. y so puede llegar a

ella directamente mediante la condici6n de

nulidad en e l aporte de enera:ia para producir un rov1mlento incremental e n la oonf~racl6n de rotura.

Eete plant.e8ll1ento no es peculiar da las 10848. vale tanto para éetao. cono para torjadoe reticuladoe, nonoales , unldlneocionalea e loclU60 pare vigas sueltas. Sin embargo en 1068.8 adquiere W'l8 OOl'V)Otaclones nuevas, gracias preciS8lDente a la redundancia. viga apoyada aornf)tlda a carga unifome trabaja a flexión. El anAliete establece loe ..aDentoe tlectores que en cada punto definen el oocnport:..amiento de l a viga. La pregunta del cálculo es de cuánta capacidad res Ietente debe tener cada p.mto de la visa para que resista la carga . Una

H1Jj jlJl jJj IllJlL

ol.

torJtdo pillO

valores para referir

7 BUB

reeultadoe.

En eletnen1:oe 8Uper~lciale8 redundantes la eltu.acl6n e8 ruy diferente. loe valores procedentes del anál1Bi8 y otros loe del cálculo. El anál101a reoponde a la pregunta 00 qué IhOm8Ilto flector hay en cada. punto. El cálculo de al aerá suficiente una deten.inada capacidad. reelatente en cada p.mto.

Unoe 800

Naturalmente es suficiente disponer en cada p.mto una capacidad realstente igual a l D»IMto flector existente en é l para que la 1064 soporte con BeS'-Ir1dad la CAllJ8, pero, preoll$8M6f'1te, debido • l a redundancla. lo que Buoede 68 que no es I'I8COtJItrl0. La detenl1naci6n de la capacidad resistente suficiente en cada PlIlto no pasa neceaarhunente por averiguar el IDClIbento flector existente, variable que pierde ruena parte de su interés. En el cálrulo de una; losa la única presunta pertinente eerá la de ei será suficiente tal o ~l dispoeici6n de capacidades resiBtentee en loe diferentes p..¡toB, valorea que 00 eon ni coinciden oon lu 8011cltaclones exietentee. El propio valor de l as IIIOUci tacionea ICe irrelevante y no neceeario para el cAlculo. Ea clásioo el ejemplo de una losa cuadrada apoyada en el oontorno 4 • poelblo responder a la presunta de QU6 capacidad a flexi6n es nf!ICI8BSrl. por ojemplo a lo lal'8O de lu diagonales. Lo único que 1116 ¡uede oonteetar ea de el lISerA 6Uflcj812to ' que en toda ella exista una rea1etencia •. En la rotura, ver figura 3 .• la carga habrá desoendtdo Wl pranedlo de v/3 y a lo largo del desarrollo de 2,['(2 01 S iro ea 2·v/O,5·U2.

No ea 2w

+----- 1. ---... --+

y tal pregunta ee p.I8de contestar en loe t6nnlnos anteriores . En el centro de la viga es preclao dlapooer una capacidad reeiatento Ko. Al proO.lciree el agotaJn1ento en ese pmto. la oonflguraci6n de rotura eerá la de la fisura 2 .8 . La carga deeciende desde w en el centro 8 'nada en loe cxtremoe. en promedio w/2 , y por tanto desarrollar' un trabajo q·L·w!2. El pmto aaotado hebrA a irado un Maulo 2·w/O.5 · L )r por tanto el trabajo ser' lluo ·4·w/L. La lsualac16n de 8l'l00e trabaJoe lleva a que !to=q' Lz/8, valor por otra parte clAaioo. .

I /

. \

Disponer la lIi81'18 capacidad reeiet.ente a 10 larao de toda la longitud de la viga es obvi8ll'Jente seeJlO. 51 la pregunta ee qu6 capacidad resistente llin1&a ee neoeearla en otro pJIlto, por ejmplo a distancia Ll4 de los apoyoe, bastará plantear el agotamiento a travM de dlchoe p.,antoe. ver f~r. 2.b. El trabajo de l. carga ea q4L'w/2 + q·L·w/4. El de la aecci6n . en agotaJniento eerA 2·"1·If/D.2~·L. La isualacl6n de aDlb06 lleva a que "1 ~O,75'q'Lz/6.

c:.c:mo ~ observarse. la capacidad reeletente en cada p.mto (",incjde oon el .-..ento tlector existente en dicha sección. Ello ea obligado por el leootat1B1DO o falta de redundancia. El equilibrio 8610 es posible con una peculiar capacidad reaietente m1n1.N en cada punto, que ea exactamente la del valor de la eollcitación en cada punto . As! ea como reeulta de indudable interés pera el calculista loe diagrMl88 de OClIlIPOrt.azniento estructural que obtiene el ""'11818. En v1gaa no reduoda.ntea. anál1sie y cAlwlo no Be distinguen deDaelado, toda vez que utilizan loe Ilierooe

19ualardo 6IIl00e trabajos Be llesa a -·que -=q,V/24. ec..::, ¡::uede observarse e l problema de cilculo no es ú.e CXlq)l1cado en loeae que en viaaa. a pesar de que el de anAUe18 lo eea y 8lCho~: {ha capacidad reeieter\te a lo largo de 1M diaaonale3 de valor q·L2/24 . ea IlUficiernte para eoportar la carga, pero obvi8lb8:llte Me no ea el valor ~l IDOIb8Jlto Y lI800e en toda la diagonal , ea 0610 un diaef\o poeible que p!rlli te BOportar la carga. Pero ni elqulera ese ea el valor do capacidad. resistente que ea neo&8ario dieponer¡ exleten lIJChae otrae poeibilldadee. Por ejemplo se p.tede plantear. para eecuir do a~ Nln8ra el ocqx)l1:Alllento real de l. loea, Wl6 reeietencla _ en la lIitad 'central yo de .t2 en todo el cuarto perinetral, ver t1aura 3.b, por ejemplo en honaia6n annado eU..,l.nando una varilla cada doe. El trabajo de l. CIIT'la ser' iaual • l a del caeo anterior. la do lea 11neae de rotura 8610 el 7~ . 11 valor del .amento ea p.¡ea 4/3 del anterior. o M4 q·LI/18'. Aunque el JJ:lmento ICe mayor, 8610 lo ea en la parte central, en 188 tres cuartas partee de la super!1cie ea la lIIitad, y por ello l a armadura total baja a loe 6/6. Salvo por las canplejidadee caustructivae ea una eolución mejor .

No exactamente. Una vez detenltnada la reeietencia en las diagonales. para detennlnar haata dónde debe prolOO8anwl dicha reeiet.encia. 08 preciso, OOCDO ee hacia en la viga, dotennlnar l a rotura en el punto en que pret.endemoe di8lllinuir la armadura. Con la rotura de la figura 3.0 e l trabajo de la carga ea q·v·L2/4 + q'O,5w-LI!2 + q·O,33u·L2/4. El de lae lineas ea 4·L· w/O.25 · L oon un IIICCIeI\to 1V'2. Para que no ea proó.uca la rotura ellD:lllento _ debe ser 7·q-LZj96, lM)'Or qUe el obtenido en la rotura diagonal. O la amadura ee prolOO8a -'e, o se auDenta do cuant1a.

4Dado el hipereetatlllllO interno de la 1088 , no exi8te fonna de apoyo i808tátlca. Toda losa, independiente de 0Óh:) H IUetente , es hlperestAtlca o redundante, al DenOe interlonente .

Pero 66 PJede hacer cualquiera de 1aa do6 00888, Y niJlB\,U\a de ellas necesariamente opera con valores de 108 IOOf!lent06 flectorelS que Be pru:hlCen en la 1088. El valor obtenido pua a no es ellOOllJento flector de la lQM¡. El b:lII'~nto tlector que .,., obtiene en el d l culo no es la 6OlLctt&c16n de ningún p.mto; es el de la capacidad nl81atente que ea suficiente d isponer en ese p.mt.o. fu loeaa la longitud da Brmadurao p.Jede ~t'l8ar la dlsDllnucl6n de capacidad resIstente en vano, lo que ea U'rpensable en

elernentoe lineales . Q.Je la 1cea 6ea redundante algnll1ca qua no necealta lae doe direccionea, lo que equiva l e a qua se p..¡eda deci dir la resistencia relativa que se deeea paf'a cada dirección. En una lOBa rectangul ar apoyada en el perÚDetro. ver figura t. se ¡:uede optar. por ejemplo por una anmdura en cuadríall a, con la IIIlsma resietencia en las dos direcciones. o una cuadricul a con más resistencia en la direcci6n oorta, o cuadricula en loa cxtren;)8 Y armadura en una 801a direcci6n en la parte central. En cada caeo la rotura máa deofavorable oonduce al valor de la capacidad resIstente que ea preciBO disponer. La IDajor sol ución eer' la qua, oon la Myor fac i Udad conatructiva. posea lDfInClCl &madura .

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2.1

T ipologia

loe forjados de los edificios tienden a aoluclon.arao como element08 planoo ; todas 188 partes rea 18tentee , trozos de 1088., V1stll8 y nerv1oe. 88 real1zan oon el mismo e8pesor.

Las

soluciones tipiC8lOOnte planas eon el torjado W\idireclonal en vigas planas. el fonwlldo por nerv10e entrecruzados en b:lvedillaa. y la l<>ea MCiza. SI probl ema bidirec1on.al eurge cuando la carga debe traaladtllnse en doe direcx:iones, la solución habit.ual de forjado 8Wltentado sobre apoyoe p.1Otualea¡ el apoyo en dos lineas paralelas o en un per1Jnetro rectangular l1l..I'1 alargado no exige OO'IlpOrtamiento bidireccional. que en este ültOO caso necesita que ambas lucea eean parecidas.

I!IU8tentado

dos direccione8, aligerado oon caseta'lee o

Si un elemnto superfIcial se eoluclona con una jerarqula de elementoe cruzadoa de altura diferente no ee s:uede producir el intercambio y e l equilibrio propios de un elemento de losa. c...:::.m por otro lado la inerc i a depende del cubo de la alturtll . la desproporción hace que el acop lamiento de 108 diferentes elementos tle;nda, a ser 0610 el de apoyo de unos en otroe, anallz6ndoee y calrulándoee CXlIIO eleDfllltoG linealaa lndependient.ea. .

2. FORJADOS

Texio for Jade no ea sino una losa con nAs o IDenoe reWndancla . y tanto el IQétodo de cál culo como el a1anificado de loe valoree que 1M MJl8jan en el .1UlO ea el correspondiente a loeaa.

En una visa eimple, dado eu ieoetat18CDO interno, el cllculo ~ reeponder a la presunta de c¡u6 capacidad DeC6nica ea neoeoaria en un pullo. Pero cuando hay ~i. noj en una viga CXlfttlnua de dos trAlb08 no ee ¡uede oooteetar • ello aiempro: puede c¡ue deponda de la de otro p.m lo, prec1eamente .1 ea uno de loe c¡ue PJede ~ oon 61. En forjadoe o loe.aa, con un alto nivel de redundancia, todo lo c¡ue el cálculo ¡uede contestar es .1 tal o cual oonttsuracl6n de capacidadee resl8tentes en UIlOS OJ.antoe pmtoa ea vAUda. y si reeulta no aedo tallpooo dice en cuAles es precleo aUDentarla. ~ ello no se interprete en el aentldo de que hay c¡ue dbellJ!lionar previanento toda la eatrucutura <XlIDO es iIIprescindible en el anál1aie. Como se ver', en cada c.Ucu10 8610 intervienen l.ln08 ruantoe pmtoe , 10 que P8n1ite c::onpronetense 8610 con WVl O ' pooos cada vez:.

10 rthllC twI" h u

Por el oontrario el tcdoe loe elementoe poeeen la .iama a l tura reeulta dificil que mista una aran desproporción de inercia; en IIlChoe casoe la r1c1de21 de la vl&a plana ea interior a la del conjunto de nervloe de las viguetaa en la dirección pef1lMliicular. oontando ademá.a que el reparto de nerv10e ayuda a que ool~bo~ toda la capa do ceompreei6n .

Se ¡uede deaaoatrar que en un aietema de nervios cruzadoe. en cada 1nteraeoci6n. aon 188 oonaidaracionea de rigidez;. ea decir inercia y distancia al apoyo. lu que detennlnan qu6 parte de la carga continua por el nervio en eu prol0f\8aci6n y cWil ea desv!a por el transversal. SI el soporte ea p.mtual. antes o dea¡ú6e, la car¡¡a deevlada debe acabar IW recorrido. Loe I:ICI(I)eOtoe se reducen en: el nervio en el que &e desv1a la carga . pero reaparecen en otro, de .-r.anera que el total ea fUo. El total de capacidad reaistente ea el lIi8l)O 1hdependientenen1:.8 de cuAntoe sean 108 cruces , o del taIDaHo del D6dulo. lnclueo de a1 ésto ea cuadrado o rectansular. in eee sentido eon lIII1milaree loe forjados reticuladoe y loe unidireccionales con vJ.a:aa planas, ya que eetoe últ1.Jloa se p.aeden entender OC*IO cruzados con un a6lo nervio por D6dulo entre eoportee.

Laa l088a con continuidad cxxnpleta en todaa dlreoclonee y no &610 en dos. poseen adetMa rigidez; a torsión . ditercnciAndoee del tillO anterior. No obetante en hol'1D1s6n e l hecho de dhponer la resistencia a tracci6n en e610 dos direcciones las aabllla parcialmente a lao anteriores.

2.2 forjadoe de

.ns- pUnas

El principio de c61rulo es el eetablecido antee. La capacidad redatente a disponer en cada p.mto debe !Jnpedir cualquier rotura imasinable. Úl loa casoe reculares ea posible establecer desde el princIpio cuAl ea la rotura peor, y en DlChaa OI':.IIeionee se ¡uede identificar la capacidad raelfttMtft dft d-..aa elOll'l&nton con l. de una viga abnple.

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Sea el caso de la fiSura 5.a. Admitiendo que loe soportes no producen ooaoci6n lmportante al Siro, pera loe nervioo de viguetas la rotura en el centro es del tipo de la estudiada en la Usura La. Entro tod06 ellos deben poseer en el centro una capacidad resistente de valor q .. L·az/B. En otrae pmtoe la rotura es también del tipo de la vista en la figura Lb por l o que loe nenios se· ¡:ueden calcular corno vigas de luz B y carga por

unidad de ancho igual a q. Para loe nenioe principales, las denominadas vigas planas, se p..M3de realizar un ra.zooamiento similar, del que Be deduce que p.leden cal cularse <XIO'IO vigas de luz L y carga q·a/2. fu este caso. dado el tipo de configuraci6n y apoyoe , no salta a la vista el comportamiento bidireccional, y el cálculo y análisis 88 confunden en Wl 6610 d1agrama de momentos tlectores que a su vez 68 de capacidades resistentes 1II1n1Jnae .

la superficie del InÓdUl o. que no existiendo ooacci6n a torai6n. es W"Ia superficie alabeada; la vigueta central desciende de w a O, en pranedl0 w/2 y la extrema nada, de lIlaJlera que el promedio total es v/ 4; 01 trabajo total ee por tanto qoa·L·v/4. De ahi se deduce que "1 ;;O,5 · q·a-1. 2 /B p.xlléndo6e interpretar corno que la viga extrema tiene que tener la capacidad resistente correepondiente a lUla carga O.5 ·q · a. La conclusión no ea casu81¡ otra vez, al ser iaoetátlco el eaquema, 1tU1 capacidades reetatent.ee son 106 IIX:Jb'lentoe flectores deducibles de la reacción de 18s viguetas y luz de la viga.

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• •

El caso de la fisura 6.b taI!Ipooo presenta novedadeo Ú'lportantee. Por lo que respecta a los nervios de viSuetaa, éstos deben calculsrse como vigas de luz B y carga q por metro de ancho. Lae visas planas necesitan , para romper, el agotamiento en doe secx::1ones , pero rápidarDente Be observa que Bon asimilables a yigae oontinuae de doe trarooe de l uz L y carga q·a/2. 51 el d1menBionado lee confiere BUficiente ductilidad., que ee lo habitual. se p..wden calOllar en pUst!co, disponiendo casi a capricho la ree16teocia BObre apoyo central, y la Buficiente para cubrir el ieoetAtico de la cara:a en el vano.

•

.. - . ---- .-- . - --- ___ • • ~~:7 En el caBO de v1guetaB de OOnD1g6n continuaa y sol1dar1ae a la viga, el e8Quema de rotura do la fi&lra 7.a ofrece el lIi8lDO trabajo de la carga. pero alLll8nta el de loe IIlOlDe:ntoe en lo que aporta la rotura negativa de las viguetas. Si 6ataB Be calculan para un DJII'IOllto nesatlvo por !Retro de valor q'aJ/B, COD'() el siro varia ·de v/a a cero, en pranedio es O.5 · v/a. La ecuación de equilibrio ea K1 '2w/O,5L + L'qaJ/B'O,5w/a = q-a ' L'w/4 de donde 88 dedlce que K, ;; 3/B·qar.'J/B, que no ¡uede interpretaree et:lIDO que la carga de la viga sea 3/8·qa. aunque de nuevo coincida con la reacción de lee vtsuetae para el D:::lIiento ~ativo au¡ueeto en ellas. 51 la armadura neaativa realllente ex1at.ente aobre 1." viguetas fuera Dayor. podria ser Ib800r la capacidad resiatente euflciente en la v1ga extrema, aunque la reacción de laa v1auetae, y la caraa eobre la visa • .tuera la lIi81118 .

caeo de la fiSura 8 ya aparecen aIsunoe rB880e de l06a. Ahora 88 el forjado el Que 1M puede calcular, con las reatrioclnee habituales, caDO viSa continua de doe tr.-oe de luz a y carga por lbetro lineal igual a q, pero las vigas 5CQ otra coea. El an6Uaie de <XII1POrtamlento de 1ae viguetae dice que.&stae entregan atao lDeoOe de la mitad de l a carga, por eJeaplo O,45 ·q·. en la viaa extrema yel reato, 1.1·q· • .en la oentral. Dotar a las v18aa de l. capacidad proveniente de esa carga y luz L ea tJUficientd, pero no ntJOetear10.

Pero hay que coneidorar aIsuna otra rotura poei ble . no eea que la capacidad reeietente deba eer euperior. Si la armadura negativa do 1ae viguetas. deecontando BU lonsitud de anclaje, rubre el 25X de la luz, la rotura de la figura 7.b obliga a otra ecuación de equllibrio. in el trabaJo de IIOID6ll.toe e6lo interviene e l de la v1ca, ya que las vlguetu no presentan resistencia ; el de ' la carga ea el 75X del anterior; la conclusi6n ee que = 3/4 · 0 , 5QaL2/6 que es igual al anterior . Ahora ei ea casual; bastaria llevar al annadura hasta el 3~ de la hu a pa¡ra que la capacidad resistente neoeaarla en l. vl¡:a bajase hasta O,1 · O, 5qaLI/8 .

La rotura OClq:Ileta de l. estructura por la .1tad. lleva rápidamente a l. conclus16n de que 2'"1 + "a :. 2'q ' a'La/8 , pero no indica en qué relación hay que dotar de resistencia a cada visa. En el caso de viguetas aueltae. CQa'O en el caeo de madera por ejemplo, la rotura de la viga extrema darla lugar al eequera de la figura 7.a. El trabajo del IfK)mfInto seria, <XlfI'J:) Biempre "1·2·M/O,6·L. 11 de la carga proviene del deeoerusa de

FAte ejemplo y todoe loe que Be ¡:uedan pooer oon una cuadricula regular de BOportes lBllBieren posibles plante.amientoe de losa, pero Be PlOOen dotar de suflciente capacidad resistente aa1mllándoloe a v!gB8, con lae cergas que resulten de lae reacciones de lee viguetas, as1Jn1srno oonsideredaa COCIO vigas oontinuas. Pero, aunque el proceso deacrito conduzca a 8IIbaa ooeae al tieq:.o, ·capecidade8 realatenus y IIOI'I'letltoe

En el

12 flecto~-.

utNCturu tru

ya que necesariamente coinciden, el cálcu l o

destina a l o

fQTJm , Ino

se p..!ede proceder a calcular otra pieza transversal.

primero. En la práctica se Buele hacer lo contrario: ee dice anaU7.ar la estructura y lOA reeultadoe en el fondo se usan COIOO valores de ca~r.1dad resistente a adoptar . Planteando explicltamente el cálculo de la capacidad. resistente -y no loa JOCtDentoe flectoree- se eliminan resuelven algunos ¡:untos 06CUroe en el mcdelo plástico.

ambiguedadea y

2. 3 ,.,....

~1ar

Ea con lUla trama irregular COIOO aparece más claramente la diferencia entre el análieia de ·lae cargae y I!lOD'Ientoe en Isa piezas. de la capac·idad resistente que resuelve el problema del cálculo.

Un caso simple eeria el de la

figura

alteración de

6, con

doe b'5duloe de vigas de luz t, O,B ' L y O,6 ' L a aeparaci6n a. Las viguetas S8 p..¡eden calcular 001l'IO vigae continuae de doe tramos y luz a, dotándolas de resistencia por ejemplo para lUl IIOlI:IeIlto nesativo de qaz / 8 en una amplitud del 30X de a . La rotura de la viga de luz L llesando al botde de la a rTladura negativa de viguetas, exije una resistencia ligeraroont. inferior, según e l apartado anterior, a O,35'qaLZ/8: La rotura al borde de la viga central conduce a ""2w/O , 5L + O,8L'qaZ/8'O , 55M/a:: O,9'qaL'w/4 de la que se deduce que = O,34 · qaI}/8.

"1 :

a 't~r.

l. Iotur•••••b ••• ••

Para el c41culo de 188 viguetas reeulta hablt.ul111 poder operar en plástico, 68 decir elegir . dentro de algunoe márgenes, el I1OITJento negativo . S1 De adopta en el e j emplo de la f1aura 8 el valor qaz¡B para el ~to nesatlvo en v1¡¡uetaft, la reo.ocl6n en el extrecoo es 3/S·qa y en el centro IO/S ·qm. S1 Be 19ualan IlOII'leflt.oe negativos y poeit1voe. amboe son qal /11.5 y las reacciones consecuentemente cambian. La cuesti6n de con qult carga hay que calcular la viga central no está reeuelta.

LD que suc:ede' ea que l a PreQWlta estA _1 f OnJJlada. La.,. v1aaa de un fer jada BStán BOII'Ietidaa a carga '1 tlenen IrIOI:IMtoa. pero lo que Be bueca ea una capacidad resistente eutlclente: lma vez que el forjado la tiene . porque IIOporta cualquier rotura poeible , hay que hacer lo lI'Ii8111O con laa vi8M. y sólo traa el cAlculo se p.lede deducir que el elemento !le COlIJO 6.1 fuera una viga oon WlA cierta carga . Por ejemplo la rotura de la viga central con el efIq~ de l a f isura 1 .0. dado que las v i8ue~ no reeponden con trabajo, oonduce a l a fIC118Ci6n tta · 2w/O . 6L = qo2aL' w/4 de donde se deduce que = qaL1/8, o &ea (.."'lllllO 6 .1 tuviera una carga qa. . Como la rotura global obliga entre las tres vi8ae a cubrir tooa la carga , dicho valor ea el lIinin>, pero debe cubrir adeI'Iá8 lo que no cubran las extremas , funci6n COIIIO hea'108 vieto de la capacidad y amadura negativa de lae

".1

v.i&uetaa .

La CQI'lClusi6n ea que ei se da a la visa extrena una resistencia de &610 O,35'qaLa/8, a la central hay que darle l , 3· qaL2/8. Y ei a la central 88 le quiere dar &610 qaLa/8, cada extt"eIMI debe reeletir O,60·qaV/8 . Y ea oorrecta cualquier solución intemedia . O lo que es lo lIimoo. la viga extrema debe ,calcularee para al lle:008 el 35X de la carga y la central para el 50% de la carga, pero entre 1aa tres deben soportarla toda. En definitiva, que en elementoa superficiales la CIIp&Cidad resistente en una dirección ¡uede canpenaar la de la otra, incluso la PlPl1tud en la que se dispone resistencia en una dirección permite reducir la calli'-' con la que

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co.~i" ' a.

La rotura de l a visa central pOr si 801a. (X)(lduoe a una reeistencia de al menos qa ' (O ,8L) I /8 que ea O.64·c¡aLl/8. La rotur a COII'Ibinada de ésta con la de luz L . oooducc, del l ado de la seguridad a la ecuación "1'2w/O,5L + "a·Zw/O . 4L = O,9qa.L·w/2 + O,7qaL'w/4 que da la condición de que 4 · "I+~ · "2 = O , 63·qaL2. Esta rotura no se cubre con las reeistenciae anteriores, de manera que, o bien se IIBntlene " ¡=O,04·qaLz y !Se eleva la central hasta tt:l=O ,09 · qaLz o ee IMntlene K:I =O,08'qaLl y se awnenta la extrema hasta "l =O, 06 · qaLJ . Todas las 81tuacionee intemedias 800 1aualmnte e.eguras, aunque la pri.mera tiene lD6l108 at"lMldura total.

":1::

":1 ::

La viga corta por el 801a, llesando con la rotura al borde de la annadura negativa central. exije W\8 ree1etencia "¡=O . 3!)·qa((l,61.. )I/B, 88 decir H, = O,02 ·qaLa. La rotura al borde l a viga central oond~ a la ecuaci6n "¡ ' 2w/O ,3L + O,6L'qaZ¡8 ' O,5w/a = O.7·qaL·w/4, de la que se deduce una reaiatencia K,=O,02 ' qaLz prActica.ente igual a la anterior.

11.

1; rI4~ I U ' dlj ~ I. l lll t1, ~ I j,u ~ llldl, dí1 ¡ "" 'I lU tllldAd _ .1. _ _ l ~ -... _ ..........u.•••.L..... _ ._ .......... . . - -1111...

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.....

,,,\a

n hvcll.ltu ha

La rotura CXlIfIbinada de la corta y la central 8e podría forn•.ll8r o::on la expresión "2·2w/O,4L .. "l·2w/O,3L = O,7qaL'w/ 2 .. O.8c¡al¡·w/4 de l a que se deduce que 5 -"2 + S,1·th = n.55·qaL2. Para 1'h=O ,OZ·qal,2 resulta que la central debe pos,eer a l lOOl'106 H2 =O,OB-qaL2. Aumentar no perm ite p..¡es reducir Los valoree candidat.oe serian entonces O.OS·qaV, O,os·qaLi y O.02-qaL2 o bien, con NS armadura. O,U4·qaL2, O,Og·qaL2 y (I . 02·qal~2.

"l.

Pero es la rotura completa de las t res vigas la que manda. La ecuación de equilibrio para este tipo de rotura, según la figura O.c, es "¡'2w/O,5L .. "2· 1, 6w/O.4L + ",-1,2v/O,3L = O, S6'qaL-v de l a que ee deduce que " 1 + +"3 = O,11 ' qaL 2 , Loe valores anteriores son liBeramente escasos . Se debe 81l1D6ntar alguno o a}gun06 de loe momentos anterionnente calculados. que no son Bino l1llli tee inferiores de las diferentea poaibil1-

dadas. Adoptando loe valoree "I=O.06·q~, H2 =O ,06'qaLz y "3=O,03·qnLl se cubren todas l as roturas eetudiadaa, que parecen ser las JIIás peUsroeas ptIIra l a res i stencia da las secciones estudiadae. Estos valores podr1an p~r de considerar una callla de O,48'ga para la viga !araa, qa para la viga inten:led.ia, y O,87'qa para la corta, aunque tal conc lusión está carente de significado. También. valdr1an loe va loree O. 04 · qaL2. O• l1 · qa[.l y O,02 ' qaI,2; adoptando otra amaóJra ~ativa u otra Dll'lPUtud, Be llegarla a otroe IItOIII6ntoe diatlntoe y a C8raaa equivalentea diferentes.

rorJtdo ,llAo

flecha diferente, el análisis de compatibilidad cuando se 60lidarizan en el extrCfOO CO;!l un zuncho es una pesadilla. El cá l cu lo en cambio ea senc illo y da lusar a una IIran lUlifonn ldad , roy constructiva . La rotura completa da la condic ión de resistencia total, que en principio puede asignarae por t.sual a todas las vi8uetas. Las roturas localea de l aa de mayor luz, inoorporando la del zuncho, -que necesita capacidad realBtente a IDOftIentoe de ambos algnQ8-, pemlten deducir cuál debe eer la de éste para conseguirlo definitivamente. No obstante sabiendo que, en l a realidad, la de l18yor luz tendrá l.11\a flecha proporcional a su esbeltez D.lltipllcada por la disminución de su capac idad resistente frtlnte a la teórica de SIl carga y lw.:. hay que ser CXlf\8ervador al elesir el canto . En el caso de la tigura 9.c parece haber probleMS en c6cno IJedlr el vuel o, d desde la linea de soportes de tachada o desde loe 80portee interiOrtl8 enfrentados al voladizo . Intenter expresar el problema en térm1.nos de luz y carga, es W'I8 defonnooi6n J'IeI'ltal proveniente de los problemaa de berras. en l aa que se deecriben loe problelNl8 de cálculo por momentoe tlectoree, En eet:.e caso la rotura del voladizo por BU unión al soporte retr~ueado al interior, obliga no 8610 a 1M vi8as perpendiculares a fachada, eino a las viguetas extremas de loe paf'k>& contiguos, y es la capacidad ree1etente de 6stM la que reduce la neceeidad a IICftmto nesativo del vuelo.

Naturalmente adoptar valoree parecidos a loe que reeul ta del an.6.11eie diminuir' las poeibilidadee de que falte ductilidad, pero, dado que en. senaral ee probable que. haya la euficiente, l a Jlejor soluciOO al c60lculo ea, ¡nr ej~lo . la que ofrezca !layares facilidades 600structlvae. Caao IIIB p.aede oc:q>robar, l. redundancia propia de l oe e l ecnentos auP6rficialee permite no &610 alterar la capacidad res i stente entre momentoe poeit1voe y negativos en un element.oe lineal, alno la propia carsa de laa visae, 1nclUllO sin alterar la armadura de yiguetas. Variando l a sonadura o l ongitud. de la al"D8dura de vt.suetaa Be ¡uede elegir l a capacidad resistente de viaaa entre un abanio:> aún DIAe' amplio. Y con elementos superficiales IIIÚ ndJndantea ooroo l oe retlcul adoe o 1068a , .ayoree aon lea poe iblUdadee de OClIIIPBnIIIBCi6n entre l oe dlterentea p.mtoe y dlreocionee del torJado .

2.4 "Forjado oan non'1oII

En l os ej empl oe anteriores l a rotura de un· e l emento no implica 8 ningún otro, pero baata que exi ata un e l emento transversal, para que la aparezca la bidireoclonalldad. oan todas las ventajee de cAlculo que conlleva. En r1&or , un for j ado unidireccional es 8610 el de v18uet.ae paral elae, apoyadas o e n voladizo. pero lSustentadae &obre un roro. Loe raea:oe de 1088 que se perciben en loe eJEW'Iploe de apart:.adoB anteriores, provienen de l a existencia de elernentoa transversales a flexión. Un vol adizo CXlIIIO el de la fisura 9._, con zuncho en el axtreDO ya ee bidireocional. Considerando l. rotura completa se obtiene que el con junto de nerviOlll debe hacer frente al l'QleJlto tota l qaVa , que se pUOI.1cl (X)I'l8esulr dando a todas las viguetas l a .. i &l"lll resistencia, pero que también Be PJede resolver oon diterente. En e l de la f1.gura 9.b, con vuelo variable, pero 8ln zuncho en e l borde, no cabe • que calcular cada vJ.auota para BU cal'lla Y luz; OOIDO cada W\8 tendr'

.,;lltI Ii Ir~' -', ,1

¡i

J11\11 J11f(/

En el caso del forjado de luz variable de la tJ.aura 9.d ta..pooo ee preclao calcular cada vigueta para au cara:a y luz, el se diepone una capa de canpree l6n amada. La rotura local de cada vlsueta lUIplendo dicha cape

ülnct.llr. 1m

pJede definir

en cada WUt, una capacidad flínlma relativamente baja. F.s la rotura local de varias viguetas, o la total del oonjWlto de todaa ellaa la que da una condici6n de mayor rElssitencla, aunque ésta 8e!! repart:.a Imiformerwmte. También en este caBO, dotar a las viguetas extretMB de nlCha l'lef'I06

resistencia

de la teórlca p..¡ede e l evar la flecha en forma lnllCePta-

bIs . En el caso de la fisura 9.8 el voladizo de long1 tud creciente posa a ser de vuelo nulo al encontrar WI soporte en. e l extremo. El vuelo real 8a el de lo que sobresale la planta de la linea recta entre aoportes. Dicho vuelo absoluto marca el mínimo de anD8dura negativa. La rotura negativa de 18a viguetas próximas al vuelo nulo, dejando ain romper las próximas al soporte

extra,

pennlte

decidir

BObre

cu61

debiera

eer

la capacidad

resistente de 1M y1guataa eobre su entrega a la visa, y cuAl la del zWlCho de borde, en este C880 decieivo . Acerca de el la capacidad resistente negativa de visuot.aa. 81!!1U1r' eficazmente contrapesada con e l vano contiguo, no cabe Bino verificar la rotura de dicho vano levantando el.

snás fi •

que baste con menos, pero nunca será neceeario El cálculo cano se ha expJ.eeto s6lo da cada vez una ~sistencLa neceearia; 1'leOO6 no es PQ6ible dispooer, pero ¡uede que otra rotura no oontelnplada exija 1fIás. Hay que estar seguro de que ee han conelderadQ las roturas cruciales. Y. aun y todo ea aooneeJable adoptar sesuridadea ~Lciooales. Otro aspecto inaoordable con el proceso descrito ea por e jemplo el cálculo de la compresi6n de soportes. o oonelderar correctamente la colaboracLón de la unL6n rls:ida del forjado oan loe 8Oport.as. Dada la tragilidad a oanpreeL6n, no sirven las <XlIlClueiones de un análisia a rotura que !noorpore la de 108 soportes, Que tienen que calcularse indirectamente y del lado dEl la seguridad. Lo lIi6lllO eucede oon las dimensionea criUcas a cortante o p..lr\ZOf\aIrILento. En la prtiocUca, se pJeÓen hacer eet1mac Lonea 8lmplea y relativamente precieae de la oompreeL6n en soportes, 15m pasar por srand8B et:lq)leJ1~ de anAlisi8.

voladizo sin hacer intervenir la que hubiere. La viga extrema no t:lrme que

calcularae como apoyada para la carga y Ita que se desprende de un análisis; la rotura local de la viga oblisa a poco , y oomblnada con el voladizo implica al zuncho de bordeó la COIIlPleta con la siguiente de doe tr811K)8 con luz Jláe reducida t.upooo exi¡;ir' lUCho. Algo parecido sucede con el caso del forjado en eequina de la tigura 9.t . tanto en la vi¡;a extrr.ma, que no tiene por qu6 calcularse para la carga y luz que a primra viste perece tener, 001l'IO en la vigueta de borde de luz doble. En loe doe caeoe hay que eetiDar el _1nimo de rcaistencla con la rotura local , y el lDAxiao con las roturas ooeblnadaa oon loe ol~toe oont14ruoe , que poeeon luz .u reducida. Por el contrario. el c.f,lculo de la rotura en vano de la viga oblicUa de 1. ftsura 9.8 oonduce a concluir que opera OOIDO luz etectiva la distancia proyecci6n entre eoportee y no la distancia reaL entre encuentroo de vi8as.

2.5

Seaurlda d

Hueooe, i~laridadee. brochalee , zunchoe, aoometidu de escaleras, voladizoe curvos. eequinu. etc . no pueden calcu1anse Bino por laa reglaa expueat.al!l. A pesar de la enone hipereetaticidad que tiene e l conjunto. oea hipereetaticidad 1!IÓ10 afecta al anAl1e1a . que exige el previo d1rendonado de todoe loe elementoe. El proceGO de detenlinar la dirnenB16n y capacidad beiCMica de cada wx>, debido a la redundancia y capacidad de resolver el probl... de varias lIMeras, OOI:IPen8ando la resistencia de unos puntee con otroe, es eenc1l1o. y permlte ir totrIando decisionee parciales sobre UIlO8 u otros e1fnWltoe. en el orden que se desee. El inoonveniente Me .rave es e l lado de la seguridad del proceso. Tcaar 00l'IO capocidadee reeillltentee las eoliclt.acionee prove'nientee del anUlsle es IIIllficient.e. aunque no necesario; el pr'CX:le8O ea complejo. y la solución no l1Iy eeneata a veces. pero del lado de la seguridad: ea posible

111

"Des.sraciada!nent.e 8i para el anél1aie debe estar dimeneionada la eetructura tampoco se p..tede dotar a 6eta de la capacidad reeiat.ente proveniente de un análiais, ya que la capacLada eetA impUcit.a en el d1menaionado; todo lo que se ¡:uede hacer trae un anAUele ea una Ct~JáI de la eatructura. Loe aJuatetl posterioree a la cxmprobaci6n obligan e un nuevo análisis y 108 cambloe en loe resultadoe ni aiquiera Be eaben. en general, hacia qu6 l &do fIe van a producir .

' .. 1'" ,1...

1II

tttradar.. h..

que entre viga y zunchoe deben unidireccional puro.

tener la reelatencla de la viga del

ca80

LOSAS

3.1

La pregunta de cuAl sea el reparto posible pera estos eletnentofJ . no tiene contestaci60 sin lUla rotura l~l que involucre ", pero no COII'O es la de la figura U.b. En Bata rotura intervienen el zuncho y loe

"2.

Bldireccionalidad

Loe for jad06 con:lealpladoe en el epígrafe anterior S8 suelen denominar w'l1direocionales, pero tienen propiedades de Blerentoe superficiales porque pooeen nenli08 en las dos direcciones. ~ unoe de e1106 8610 exlBtan en 1ae lineaa aobre aoporte8 no ee decisivo. Lo dicho haata

ahora a irve aln restricción, y cad e in aftadidoa, para forJ8d08 oon nervi08 en dos dlreoclonee en pmtoe cualeequiera. De hecho l oe e jemploe 000 zunchos pooeian nervloe no ISU8tentadoe directamente en 8Oporte8 . Para el estudio de la b1dlrecc1onal1dad tupida, Be puede partir del eJel'lplo de la fisura 10: un IIñdulo eobre un apoyo central. lU'la IDénsula en 1M dos direcciones, Wl elel'll!lnto plel\8lb8l'lte isoeUtl00. t

f-, .-

forJsdo.

éetos

tienen

l. capacidad total uniformemente

T f-. L

nervloe

dletrlt::uida, ea fácil comprobar que la rotura permite " 3=0, y por t.Nlto que"z debe hacer frente a toda la realatencla en rblcul ll. Para que la rowra de 11.b obligue al zuncho ea precill!lO OOf'I08I"Itrar la reeietencla en loe nervios que soe.noe colaboran: loe pr6x1h:::e al eoporte. Cotno en éatoe el giro ea IDeOOr, el total no 8Oporta el deeoeneo de la carga, y el resto debe proveerlo el ZtUlCho. Claanto • se ooncentre l. capacidad reeletente en 108 nervl06 centrales me capacidad resistente deber' tener el zuncho . y OClf\8eCUent..elllcnte lIIeIlO8 podr6 darao a la v1a:a central.

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""11". 'l. aotu.........."l. razonalDiento, vía cálculo . ea explicable via anAl1ldsj en la un100 de 108 nervl08 al wncho, 6at.oe pJeden entrea:arle parte de la carga, que, avanzando por el zuncho, le hacen flectar¡ al Besar a lae proximidades dell eoporte, ls carea pasa de nuevo el loe nervioe, esta vez centralea, que eat.4n I!áa flexl0nad0e que loe extremoe. La entrada de l a carga, preferent.enlento por loe nervioe oentralee, hace que disalnuya la eol1cltaclOO en la visa central. A pesar de esta altoracloo de c:omport..amiento, la total1dad de la carga entra en el eoporte por la viga, y del equilibrio por un corte en un lateral de la viga ee deduce que entre todoe loe nervIoe hacen frente al IIIMlO total de IDOIIIIWlto de todo el vuelo, ee dclcir que 81 unoe tIene M.s eolic1 tacl6n, ea porque otros tienen DenOB. Eate

Rato módulo podria reeolvense 0CIl nervl08 en una dIreccIón a lntervaloe iguales, y Wl8 viga oentral pasante eobre el 8OpOrte, ver figura 10 .•. La rotura de loe nervioe en IOéneula arroja la oondlción de que lIL=-qa"2i/l. La de la visa. ast.181DO en JD6nsula, la da que "l= 2qa·t2/2. I.a l"6a1atencia entre to:Soe loe nervioe PJede repartirse en partes tsualee a cada uno j 81 no eatM CXltl6Ctadoe nI p:)r auncho ni por loea de canpreel6n', eee reparto unItonD8 ea obl.isado.

Si existe aunque sólo sea Wl zuncho de borde, no es obligado el reparto unifonne . Se ¡uede intentar oonoentrar la res1atencia, por ejemplo en loe nervioe Ñe pr6x.l.moe al soporte. ~I~ el! Ña ilustrativo verlo con Wl nervio intemedIo <XD:) el de la flgura lO.b. La rotura del conjunto de nervioa Justo al lado de la vls., arroja la misma condici6n que en el caso anterior. La rotura de l. viSa JW'"It.o con loe dos zunchoe JUBto en la Unea del eoporte, arroja la oondicioo de que "2 + 2·"3 = 2qa. L'Z/2 , de Mnera

'El nc:..bre 88 a todaa luoee lnede.c:.'edo ya que en eete caBO no está en CXlIIPreol6n en n1.ncún ¡:unto, pero ee el que se wsa habItualmente¡ en ocaelonee Be utiliza el de 10M 8tqJItU"Jor quizá 111M propio.

Se ¡ueden disponer varioe zunchoa intonaedIoe, 1nclueo en bordo, aumentando el efecto eetudidado. La flexi6n en la direcci6n de las viguetas p.¡ede p;l8eer un reparto DJy desigual, oonoentrAodose rucho en loe pl"'6x1.rnoe al soporte, y la viga central pJede acabar cad deeprovlst.a de eollcltac16n, upl1amnt.e repartida entre los zuochoe. Sin etnbarso por ITUCh06 zunchoe que Be diapon,gan, no ~ invertIree el papel de la vlga y ZWlCOOe: ésta debe poseer llÁ8 eollcitaci6n que e1108. La demoetracl6n ee a1l'lple¡ el limite ser' cuando e l oonJunto de zunchos Y visa d6 lugar a lUla dIspoeicl6n tan tupida caro l a de 108 nervioe . Eh ese caao las <loe

utT\ICturu tnl

dlreocionee serán indistinguibles , y

propiedades de

18.6 v18uetas:

viga

zunchos

deber.;n

forJt60 ,Iaao

tener 186

debe harer concentración de flexión en loe

3.2 Cálculo de forjados cruzados

e l ement06 pr6xiJr06 al soporte.

Un caso de nervios en disposici6n e1Joétrlca e8 la de la figura IO.c. El grado de concentración Iláxima de flexión en y:l.guetaa 19ual al de I

pérdida máxima en la viga , ee fácilmente calculabl e 8 partir de la rotura de sólo las secclooee proxwa al aoporte, COInO se indica en la fisura 11 .c. Si no existe reeiBtoncia 8 IIIOIII61ltoe poeitlvoe en 108 nen-l06 centrales la ecuación de equilibrio ligeramente &egUra ee la de Que 4Ko · w/O . 5a :;; 2qaL· ... de la que se deduce que Ka ;; qa 2L14. j ustamente la !hitad de "l. la capacidad rea18tente de la v1a:a, y 1ft mitad del 'cooJunto de nervl06 del caso unidireccIonal. Cc:u> !lUCho. el fen6rneno de cruzar loe nervloe puede reba j ar el trabajo de la visa en el 50% .

De la lIIi61118 IIlMera que con forjados unidireccionales. en loe for j adoe cruiz.adoe las roturas locales p.1eden dar pistas sobre 106 .lnltn08 de capacidad res1etente necesaria en un elemento. y lae globa.les de vari08 de e1108 . una condición para el conjunto. En general el conjunto de condiciones, debido a la gran redlmdancia del elemento . 1SU1:11n1etra un Dargeo amplio de posibilidades para 8Op:lrtar 1M cargas.

En general no ea fácil encontrar fonulaciones. reglas, ni tablas para cubrir todas loe problemas con forjadoa reticuladoe. En la lIIIIIyor parte de la literatura. lo más que aparece es el caeo de eoport.ee enfrentadoe en cuadricula rECllar, por otra parte el caeo lbeflO8 interesante;.si para algo se p.¡ede uear CXIr'I éxito este tipo de torjadoe, 8a cuando loe aoportee tienen \ma diatrlruci6n irl'El8Ular. Con una distrlblci6n irresular de eop:lrtes, ea p.¡ede eiempre concebir un sistema de vigu planee y forjadoe unidireccionales, aunque en ocaeionee ello iJI'Iplique paf\oe 0Cll lua variable , o brochal ea. En la práctica, 8lllroe sieternae poeeen por lo general l. lIi_ cantidad. de anoadura, para una localización de eo¡x:.rtee dada y un canto dado. En 10 que l:X*1Pite con ventaja uno cruzado. ea ante cal'888 iuntualee fuerte. que pueden darae en P'/ cualquier ¡ceicloo¡ e1 la única hipótesia ea l . de carga unifome, no hay gran diferencia . Bl unidireocinal e a . dificil de calcular en té0l1noe de o6mo dieponer lu vigas y v1auetae:, que no ea Pl"OCle80 definido . pero Be 11M "cU en tél"lllnoe de capacldadea -resletentee de cada elMlel\to. ya que la redundancia ea lDen08 fuerte Y eon 'llenos p.mtoe a decidir. A caBlbio. la reelstencia estA torzada ea 1UChbe. p.mtoe Y la annadura eetricta ea siempre variable. Loe cruz.adoe. debi!io • au lllayor redundancia. ¡:ueóen disef\anse CXJI'I .madura CXln8tante en amplios intelValoe sin que sea exoeeiva. .

.lfUr. al •• ~.co

.o~r• •

"'0

t a t.rlor

Para la viga tranefol"lMda en nervio plede parecer rucha reducción. pero para la vigueta tranator..ada en nervlo principal ee wchleiJoo¡ concentrar en un 8610 nervio la capacidad resistente de la ..itad do lo que ex1&ian todos juntos. ea dUlcll de OOIl8e8Ulr . Bien debido a esto. bien debido a que e l oortante ee fort181a'1O en un elemento tan liviano . o simplemente p:lr la def!prop:lrción de capacidad reeistente necesaria , las eoluclonee OOIletructlvaa deben rerarueear las proxialdadee dell nudo. 000 alcuna de las 1I01uclonea de la f1&ura 12. ' Una II&n8ra de mltiaar 1ae neoeeldadee de capacidad reeletente en las proxlaldadee del "l'Uio es dotar a loe nervios en esa zona de resistencia a KlIDerltoe positivoe . OJri06U'leflte en un elemento en el que el anál1e1a predice que todo es JaleIlto neeattvo, el cAlculo permite la posibi lidad de OOO'Ipen8l1rloe oon poeitivoe . !ll realidad lo que hacen no ee d1811lnuir la capacidad a n::lmeOto nersatlvo , qUe en conjunto ea la .il!llla , dno 8610 evitar su excesiva concentración.

La.e pautas de organización de forjados cruzadoe eon las de disponer un ábaco reforzado en canto. ancho.:-y de todas D!lIlerae en anJado. en laa proximidades de cada apoyo p.1ntual. Para el amado inferior suele aer suficiente un annado conetante en un ' paquete de nervioe y en caei toda au lonsitud. Loe cambioe de luz efectiva llevan caei lIle&npre a CMlbi06 de annado. Donde lile cruzan 108 nelVioe. no tiene por qu6 exilltir la lliUla armadura. pero no es rec::camdable un.a sran desproporción.

La armadura negativa. en l a parte superior, eet.6 irresula rnente dletrituida¡ apenaa exiate en centro de vanos, y lile oonoentra n.JCho en las proximidades de loe eoportee lnterioree al 1IeOOe. Kn eeaa zonaa fICI p..lEIde proyectar rentab18lD8llte araadura en cUadricula, con iaual cuantia en _has di rec:x: 100ee . .

3.3

Neryios anchoa

En ocasionee. la oonoentraciál de capacidadee neDesaritlft hace necesario disponer. si el canto es el mi8lllO , anchos de hol"ll1gón elevadoe. En el ejemplo de l a t~ra 10.a. la reeistencia de la viga era tanta <XlCIO la de loe nervioe juntos. Y. en \:uena l~lca, exigirla tanto ancho ()Oft) la suma de la de todos elloe. Un ancho fuerte pel"llite que las forru l aciones a eje y cara difieran notablemente y afinar loe valoree calculados.

forJWo ,1110

Un nervio ancho Be ¡uede ver como una yuxtapoelcl6n de nervi06 en paralelo W\ldoo entre d en auchoa p.mtoa. En el C480 de la figura 10 . a. la carga que las visuetaa entregan en la viga, se pJ.ede entend~r que lo hacen en el pr1.Joer nervio, y que é8te se OQOlPOrta CXlIDO se razonaba para un zuncho intel'1ll6dio. La oonclua l6n, vía anáUele esta vez, ee que la C8P6Cidad f"I6066a.r1a para las viguetas, no ea la proveniente de una ¡:ráflca. ap.mt.ada, Bino redondeada sobre la viga.

razonable.

Deagrac:i..adamente,

como se veia antes,

ese

redondeo,

Loe párrafos anteriores se refieren a análisis, y aproxLmarae a loe valorea de analista, ea ventajooo

demasiado..

la ductilidad,

rotura la linea no ser aa1 ae cruzado. I

e!ec¡pre IIlClderada

todo l o que sea para no exigir

en honn1s6n armado. Pero en

presenta en l a dlrec.c:l6n del momento lnáximo -ya que de presentarla en otra dlreocll.l- y nunca tiene IIlOGlMto

no es aino

carga oobre loe nervios laterales del paquete que B8 la viga ancha , y antes o deep.lée, pasa. • 106 oantralea, y del a1U al soporte. lLl8 IIIOIDBJltoe que e8 ¡:uedan ahorrar CXlIl el redondeo, lej08 del 8Oporl.e. reaparecen, acentuando lo p.mUaaudo do la gráfica, en las viguetas próximas a l soporte. 5610 al adem68 ea ancho el aoporte se oonaol1da el ahorro del ~.

laa

La situación PJ6de verse (X'IQ) que, en proximidades del pUar, la carga de toda la v~a tiene que girar 90 · para deecaraar en e l BOp:lrte , en un efecto en 8U8 proxbl1dadee, que p.l8de denoDIinarae de zapata invertida o de ábaco de loe.a.

3..

Lo•••

Todaa lu roturas anteriormente eatudiadae estaban formadas p:lr puntoe d1epereoe, nStuJu, ya que eran e18lQ8l'ltoe lineales loe a¡ot.adoe. Ello conduela a que D.lCbae roturas preeentaran torma ¡lohalea alabeadas, CXlIlIlruentemente con l a rula opoaioi6n a toniOO que preeentan teóricamente loa torJados torma&:::. por nervioa. Loe forJadoa IMCboe, 1. . loeae, presentan tanta. reeiatencia a alabeo oano a flexión por lo que loa fOrDa8 de rotura no ¡:ueden presentar alabeoe. Coroo la rotura tiene que ser una linea ininterl'\.la:lPida de p.m:t.oe a.8otadoe, estA tomada por l1neaa. bJa.vrJIIJ. que en la inteJ'88OCi6n de planea 800 rectas. In alabeo no ea tanto una propiedad de la euperficie cuanto un efecto de OÓDO ea mira. in loe torJadoe de nervioa era inevitable verla de8de loa nervioe, )' el alabeo era la diferencia de inclinacl6n. de un nervio al atauiante. Lo que realmente le eucede a la superficie ea que tiene curvatura.

La oposición al alabeo ea la capacidAd de reeponder a las cargas con tar8lón o cruzadoe. Con 0110 le lcea poseo aún • redundancia que un forjado bidireocl0M1 . y lIá8 versátil y s~le ea su cálculo. pero • enreveaado y dificil au an411a18 ,

D:lInelltoa de

KI IIlOII'l6I\to cruzado o torsión no es una propIedad del estado de 15011citacl6n de l a losa¡ ea . . lIIiMlO una propiedad debida a loe e J ea tomado6 CO«IO referencia. En todo p.mto de l a loea, existen doe direcciones reapecto a laa cualea no hay torsión; 800 loe valoree principales de flexi6n, y aon adem6a loa ltIáxiJ:loe y .in1.Jro8 de entre loe oorreapondientee a toda.e l.aa aeccionea de eee ¡unto. La propi edad de que la 6UIM de momentoe 08 constante para todo par de dl reooionea pen:endiculares, hace que cubrir l a resistencia a flexión en un punto, que . Be pJede hacer en DJChaa dlrecclonee dlferentea, sea indiferente de cuáles se elija, siempre que e l término cruzado no &ea nlY tuerte. Pero en SE:neral, 6Obl'e apoy06 puntualee, 106 puntos IlUY sol1citadoe lo 800 de manera ruy parecida en loa dos direcclonee. y Wl8 waclrlcula en cualquier dirección ee PlV

Como no ea fAeil d18poner la annadura en una direcci6n peculiar, lo habitual es dieponer una cuadricula con igual cuantia en 18.6 doe direccionee, Aparentelnente ee dispone el doble de AnDadura de la estricta, pero como hay lIUCha8 poeiblea formas de rotura, esta estrategia pennl te olvidarse de la direcci6n. y atender 8610 al valor máximo de realotencia que exija cualquier rotura .

Las 11neaa de rotura en l oe ca808 viatoe en las fisuras anteriores, corresponden a 188 l1neaa diagonales que al11 significaban a l abeo, En el caso de rotura nesativa BObre 8Oporte de la fi&ura 11.c l a rotura adopta Wl patrón circular en tomo al 8Oporte, con un cono de rotura, en e l que las generatrices fonnan una rotura negativa y la base WUl ¡x:¡aitlva. Se puede demoetrar que la rotura 80 ': 880 caeo oonduoe • WUl 8lCPl"8iIi6n del tipo

.+ ....-:: . ClZllv'2lt,

Como priJnera aproxJ...ación a 1.. loeaa sobre apoyoe p.mt.ua1ea, la rotura nes:ativa por linea de ' I5Oport.e8 Y poeitiva por centro de vano, conduce a W\8 expreeión clbica, <de que entre D:*ICntoe poeitiV06 y neBatlVOlll a todo lo latllO, 8& debe 8UIDIU' el b:IID8I\to 1.aoet4t1co. tb hay l.noonviente en adoptar rualquier ' defl<"(>qX"'ici6n entre la clásica de 2 a 1 oon .- :: qLZ/12 y .+:::. qJ.Z/24 'y la de.- :::..+ :; qLa/16 para W":I tramo interior.

La res i stencia inferior p.llIde d1eponense unUOJ"llem6nte. por un lado IIIlIrla W reocmandable concentrarla en el centro , pero por otro la rotura en cono I5ObÍ'e soporteB aoonaeja lo oontrario; 000lO la Iran redundancia de la loea l e p8mite aprovecharl a en Olalquier aitio, la eetratesia 00fUItructiva Dáa 8t..lplo ea la diapoeici6n unifo.... . La l"68istencia superior no ¡uede disponerse uniforme en seneral, sin que falte reeiatencia a rotura en cono, por lo que ea !mpreaclndible ooncentrarl a eobre apoyoe. Fn seneral con barras del 30% de la 1w:, concentrando. dobl e cuanda en el 3~ de upl1tud del ~ulo . 08 rná6 que suficiente. Si e l

módulo

rectangular,

la dlapoeicl6n de

a~dura

inferior

puede euaerlr cuadricula con cuantla diterMte en 188 doe: direccioneo . La superior de la lu.z oorta puede diapooeree unito~te y cubre la de

cono, con tal que en el 30\ de la otra direcci6n aobrando rea i atenc:1a para otroa rotur,.. clAaicaa. Soportes de borde, esquina, dan Wl eatudio náa detallado.

DI Jl¡¡¡~. 1111

d1BPQI'l4Ia la 111U1l.

hueooe, vueloe, irrersularidadee, ex1gi-

e.t.tue:tuta. uno

EDIFICIO DE VIVIENDAS

1. DISPQSICIOH

ESTRUCTURA~

Trabajando en planta, lo primero que ha de hacerse, -aunque no sea 10 más sencillo, y tenga una enorme repercusió n po?sterior-, es determinar la dtuación de 106 pilares. Para ello deben encontrarse puntos que, sin i,ñ"=" terferir excesivamente con la dist.ribución de albañilería prevista, permitan 6oportar vigas, de forma que se pueda cubrir con viguetaEl transver sales a ellas la totalidad del for jade. Lac viguetas deben sustentarse ~n BUB dos extremos en vigas, pu di~ndo prolongarse en vuelos l. Las vigas deben poder descan!lar al menolS en

dos soportes . Como excepción, y sólo con luces pequeñas, las viguetae pueden apoyarse en otrae o las vigas en otras, (se denominan embrochalados a estas soluciones). En 106 extremos libree de viguetac, como en vuelos y en huecos, hay que reservar una franja de 10 a 15 cm de ancho para un zW1Cho 1 • Sólo en casos punt.uales se deben proyectar tramos o vigas en vuelo doble sobre un 6010 apoyo. No eE necesario. nLsiquiera re comendable, contrapear lOE paños : t oda6 l.98vigueta", pueden ser paralelas, y toda", la6 vigas también. No es relevante 5i las vigas son perpendiculares o paralelas a la fachada : aun siendo todas paralela&, de ordinario l o serán a una fachada pero perpendiculat'es a la otra.

I Para que un lro~o da rorjado IIfllI un vuelo debe poder se quebr4lr en el entronque. Los c.sos de fotJ.do que vuel4l entre do. tr.moll que e:onlin~~n nast3 .poya r llle mI., allA, ,ituacIOn ttp ie:4l al borde dt! huecos, n o .on propiamenle voladizo., aunque t.enlAn ~o~ento. ne.atlvo., y. que .un fal Jand~ su te.lstencia a momento ne~ativo se podrt.n se luir apoyando en el borde, si ~.te poeee ,uficient.e resi'lencia com~ vlla apoyada . 'Z Con rrecuencia •• denominil ine:orrecl .. mente aal a un. Vlt;¡o de borde par.te 1... J. l~. vigueta., que 'unch ... J .eot.a inllnlt.."IfIflnte _eno . que: el pr o pio forjado , y que, como 301ucI,)n para .oport.ar 1. carla de cerr'lIIienlo, e' lI'Iuy poe:o e:ompetitlv. contra un refuerzo o duplie:ado de vicuela .

edificio de ,¡,bad ..

No es imprescindible que 106 soportes estén a..l.iJleados, pero es recomendable par<;'l que las vigas que discurren sobre ellos pued4.n ser rectas . ~"¡o o:!E en absoluto necesario que estén alineados además en la otra

dJrl::cci¿'n . El enfrentamiento y la alineación pueden 8~r bprox!lIladas, ya que el cambio de dimensiones de 106 soportes de una planta a otra se 'i~di"l 3

I!I i!P.!U. no permite hacerlo en todas ellas. No tiene sentido discutÜ- la dirección preferente de los pórticos formados por vigas y soportes ya que 106 formados por soportes y vi,suetas serán tranaven:aleG a elloG. La decisión a una alternativa de ese tipo, pasa en ocasiones por proyectar completamente las dOE; soluciones, y elegir en consecuencla ,tras la medición compl eta de cada una de ellas, I

~as

luces óptim 6_6..0n sist~tic.amente las menores ~ª~..hl:es compatibles con el usO; pero no es económico baJar d-e unaTuz promedlo de 3,50 met.rOE.

Siempre so n cClnvenientes luces parecidas. que las luces menores sean extl'emas y q~le los pórticos más representativos posean al menos dos tra mos, es d(!cir trss soportes. NOT A : SI oe pretende qU!!l 108 80portea al!'an de aCl!ro laminado, hay que Qllcontr ... r p ... teJ ... o do pilares qU!!l p!!lrmitan !!Imbabar d.la(onalea d.e arrio,,lra.ll'liento "lo perturbar la alb./Hlerla. En cad." planta deberla haber al 11'1811')8 tr!!ls planoa !!In 4 011 I1lroccion.,s d i ferenle., '1 no concurrente.,. Com" ~on tr.part id. a favor, la 4 is p o oi ciOn de loportea arriostrad o s a i mplil lca notablemenle el c~lculo d e la e atru c lufa 'la que diSminuyen las variecionea d!!l solicitació n de un a planla a olra en vifaa '1 viguetaS. (,116 vigas de canto deben o a¡;:ometer centradamente al soporte o entrar en ~~6'ey-de canto parecIdo a ambos lados 4-=-Cún vigas de canto no CG recomendable que coincidan el ancho de vigas y el de soportes, ya qu~ el armado del soporte interfiere con el de la viga. En rigor s610 se puede considerar que una viga de canto supone un apoyo lineal para las vj81j ~tlt6 s1 su altura supera ampliamente el canto del forjado. Las vigas de canto cólo se justifican si existe una gran desproporción d~ luces en una y (.,b·;) direcc ión. Por motivos económicos, la complejidad de las vig36 de canto &I':l .amortiza sólo si su altura es mayor del do re ae la del forJado.

IJac----ti8.!~..P.lanaf.!l no necesitan acometer centradame_nt~l soporte, pUl'!de n ser más anchas que él, uBu-almente lo 60n-, no tienen por qué -tef'¡~r ancho crJ nst'lnte, -aunque ee muy conveniente que eea el mismo antee y de6Pu~s de un soporte interior- y tampoco tienen que desarrollarse en tod~ eu longitud al mismo lado de la línea de soportes, aunque todo ello

3 ti CO ' IJunto ~~ pilares ellla~adoe por una vi!a sensiblem@ llle r ect~ 8e dl!Il"""n3 co" fre cuencia ~. EII rigor, al la viga tiene el ",tamo cento que dI (o)rja,jO, dich\l pó r tico fU vi rt ulOl l , tlOlnto o lIliile 0::01110111 qU II forman loa aopor l~, ~on 1~3 v1iueta6, aunque no eeten e nfrenla40 a • través de ella •. 4 (",,'1 <1lllll'"" ... dJo (recuencia 1011 protrama" aceptan dimen,iones diferentea, aun'¡ue el ~'1u illbrio "e hac .. ~n la hlpótenlll de que aon Igua l .. " por lo que au uao p3ra vlOlri~r la" dimeneionee de 1"'11 vi~.e de un tra mo. otro puede dar lugar a eBtruclUrlU rrancamente inlle l! utlu. l.o,¡ Ctlmbioa bru8coe 411 .scciOn tanto en lI»portca C')mO en vi!!".. eJlI!!en un eetudio cutd,¡d08o 4e como hect!!loa, y en vigaa eoa 1I1elllprt> mej"r h"cerl<l fuera ,jel nu~O, y con una vari"cion gradual, con cnrtclao .

utruduru UIO

habrá que tenedú de cuent~ en el cálculú 5. Sobre todo cún vigaa planas no es necesario que las vigas estén en prolongación rigurosa; en planta una viga puede girar sin problemas en plJntos de momento nulo. por ejemplo al te rcio de la luz, y puede hacer un quiebro no muy acentuado sobre un soporte. Si el quiebt"o en muy fuerte, por ejemplo de 90·, lo lIIás fiable es conEiderar alli un momento nulo, es decir tratar el quiebro como u n embrochalado, comprobando que el esque~a resultante permite el equilibrio. Procediendo por simetria el éxito es mas fácil. Los sopor~e6 metálicos se justifican cuando 106 valores de compresión B Boport"ir son moderados, -por ejemplo eistemáticam~m~e inferio~es a 20 t-, y, en el interior de un edificio, no son ni exentos ro VlstOB (debldo a su baja reaiEnencia a fuego), Los de hormigón se justifican si una gran proporción de trdmos posee n una compresión elevada, por ejemplo ei superan las 4 0 t. Si los soportes son metálicos ee casi imprescindible que el forJado les rebase al menos 2 o 3 cm en derredor; en el caso de soportes de hormigón es recomendable. Es conveniente que el forjado pueda recibir, aunque. sea parcialmente, el cerramiento de cada planta, pOlO lo que BU borde deberla penetrar en el murofi una fracción de su espesor. Para la zona de la escalera se acude en muchas ocasiones a soluciones inconfesables y de dudoGO funcionamiento, aunque casi todae resisten , La forma más segura de so¡¡ortar la escalera es hacerlo directamente en 105 pilareG de la estructura, sin acudir a murl!tes o ensnos adicionales apoyados en las plantas de piso. Para encontrar una eolución de este tipo basta dibujar proyectada la escalera en plan ta como si un tiro enlazara consigo mismo, ya que eee es el efecto combinado del que arranca y del que llega. En el dibujo deberam aparecer como cortes de continuidad loa puntos que se encuentran a distinto nivel, aunque en la realidad com.tructiva. se solapen. En muchos casos, para mejorar el entendirniEmto, eerá preC1SO acudir a desdoblar los soportes que sujetan el ior jada en un nivel y la escalera en otro, fals eando levemente las cotas. El conjunto asi dibujado se trata como un plano de piso, eligiendo posición de soportes, vigas, viguetas, etc, con las mismas reglas usadas para el resto del forjado. Las soluciones con prótesis, anclajes, tirantes oblicuos, etc son más dificiles de representar y analizar, aunque en ocasiones son la única manera de solucionar la escaleril sin disponer eoportcs adicionales .

~ Loa ptol!ra",.:! comerciales no &uelell pre,unlat por ~:!Ita.5 cue ... tionee y no saben tratarlalll. por lo que el uau"rlo debe con fre cul!cncia inlroduci. r ~ mól no las correcciones 'lUI!c cortellpondan a est o a detalles. SI el programa dibUJa ~as armedutae en .. ll.edo p r obabll!cm en le al,e:nl.ClclI que 00 eala p reparad o pJora maneJar v.tae plenaa, aun~ue acepte v.lotea de aeccI~n que lo pare~can. e En cltmillll CO"',) el de Valladol!."-, la oscda-:lón dieria ha-:e que en el comport,uflleolo> terlntco d.d mu r o sea mile r ele v ante su loetcl" que 111,1 conductividad, por 10 'lue n o COmpQOa., en teneral, preocup3rae I!lIcesivarnentt! de 1" ~on tinuidlll4 del aislamiento.

edificio de ,¡'Iudu 2.

estructuru gDO

11as . En 108 tramos atípicos dQtados de un canto menor que el rnl..nl.JnO por flecha, se puede acudir a disponer doble visueta, con intervalo entre nervios de 82cm, pero obviamente con mayor peso.

E!iTJHACION DE CARGAS VERTICALES

2.1. Forjado El peso propio neto de los forjados convencionales de vivienda, valor La ,,::stimac.ión de cargas, para poder proceder al predimensionado de Doportes y al cálculo de la estructura, exige partir del valor de peso propio de la construcción, en el que 8e determinante el del forjado , de ,,,,,,,n era que lA primera decisión ee la del espesor o canto del mismo.

de partida para el cálculo de las viguetas, puede t oma rse igual a: Canto del forjado (cm)

Nunca es competitivo un forjado de pieo con viguetas metálicas . La solución metálica implica viguetas a separaciones &uperioree a 2,0 ro salv ando dicha distancia con elementos secundarios asimismo resistentes, como placau o chapas grecadas, dando lugar a soluciones muy costosas, aunque poco pe¡;;adas, competitivas sólo cuando no haya otra carga que el propio peao, ea decir para cubiertas. La solución para las plantas de piso en edificación es casi eol6temáticamente la de un forjado de viguetas de hormigón . El cant.o más adecuado para el forjlldo de viguetas de hormigón comcl.;1p. c1.E;temáticamente con el mínimo que eea compatible con flecha, para armadura ectricta, lo que ee produce para viviendas en torno a una esbelt.p.z de 9 en voladizos, de 16 en tramos sueltos, 25 en continuos extremos y 30 en intedorP'6 equWbra.óóiS 7 . EXistiendo luces diferentes en la Mema planteae f o rjado, el canto uiüco para todo él depend.e de la luz predominant.e . Un tramo de luz desproporcionada mente alta comparada con el resto del fOl·j."1do &1':1 pUErde resolver con el mismo canto, aumentando el acero por encima del impreSCindible. El cilnto mí.nimo por flecha, el recomendable si todos los tralllos eon iguales, pUede tomarse del cuadro siguiente:

luz del tr.;lDlO (m) Vuelo 1'rnmo i.lIt.erior Trnrro CX"l.crior Tramo iI ialado

1,2

1,5

1,8

3,5 4,0

5,0 5,5

6,0

6,5

7,0

17 19 21 23 26 23 25 28 19 21 27 23 Canto recomendable en cm para tramo prerluninante 1~

16 17

16 17 20

Nervio simple, s=7Ocm Nervio simple, s=6Ocm Nervio doble, 6=82cIII

L-'1 IH:paración entre viguetas oscila habitualmente alrededor de 70cll1. Menor·ec intervalos exige mayor número de viguetas, er ocasiones dotadas de ,·p.sistencia mi.n..iJlla no aprovechable. Hayores intervalos Bon inviables decdc el ['unto de vista constructivo, y de rigidez y resistencia de bovedi-

c~n

7 CAE en veraiOn 1.2 ocrllce \.1m" oII!ltillllllc. On <Se lolicitacionell y <Silllen.iona ~~l~1I de car.3, 1\.1~ y l~ c~racterl.llcs de ··vila plana··.

1~~

215 225 235

225 235 240 255 255 275

245 265 295

260 285 320

270 295 340

290 315

Peoo propio usual en

3"ro

320 365 335 390 395 460

kp/m~

La carga total del forjado debe eetimaree como e.uma de peso propio, entre 100 Y 150 kp/m.l de solado, (de 7cm a 10cm de espesor), 100 kp/m'" de repercutlión de tabiqueria, y 200 kp/ rn:ll para cubrir la sobrecarga de uso . En primera aproximación la carla total de una cubierta plana Ee pued"! considerar de un valor muy parecido . En viviendas, las luces habituales conducen a una carga uniforme total para el cálculo del forjado en torno a 650 kp/m'l.

2.2

Particiones pesadas y cerramientos

La existencia de muros de cerramiento o compartimentación pesados debe considerarse como una car,..a adicional. Por ejemplo un medio pie de ladrillo lJIacizo signifir::a 480 kp/m" I un cerramiento de medio pie más tabique alcanza 700 kp/m . Si estos elementos discurren perpendiculares al fOl· jada, se toman como cargas puntuales para tíl; si lo hacen paralelament~, en general se resuelva con nervios suplementarioE o viguetils dobles ba jo ello E , sin considerar su carga ()xpresam~nte. Pero en todo caso, para el cálculo de las vigas y pilares ee debe añadir a la carga del forjado la de eete tipo de elementos que se encuentren en su área de influencia .

2.3 Si li! viga es quebrada, la lu::, a eIsctos de la tabla anterior es la rect.rt entre apoyos. Por lo mismo, si tt·as un vu~lo de viga vuela a eu vez ~l forjl.ldo, el vuelo efectivo es el total. aunque medido en diagonaL

Vigas

Las vigas deben soctener, además del forjado, -y eventualmente particiones peEadae-, su peso propio . Aunque en acero éste ea inapreciable, en hormigón no. La estimaci6n del peso de las vigas exige un predimen sionado de las mismas . En general las vigas serán planas, y con ellas el canto recomendable es asiJnlsmo el menor posible que no produce flecha, del mismo orden que el indicado anteriormente para el forjado. Si las luces de viguetas y vigas son parecidas, el mismo canto puede servir adecuadamente para ambos elementos. En otro caso se debe elegir un único valor que suponga un pacto entre los correspondientes a las luces de vigas y forJado, el más adecuado para la 1u.o:: pr-edominante, teniendo en cu en ta ahora que la de una viga cuenta tanto como la del conjunto de viguetas a la6 qu~ suetenta.

edificio de , jylemd.n

Si la desproporción entre luces de viguetas y vigas es importante se puede opta r por vigas de canto, siempre que su descuelgue no interfiet'a co n la <ll'quil.octura . La altura óptima de las vigas de canto oscila entl-e el décimo y al decinlocuarto de la luz interior y el quinto de 106 vuelos. El ancho óptimo ae sUCia en 20 cm para vigas de haata 60 cm de altura y en 25 c m para alturas superiores. No compensa la solución de vigas de canto con clltur8e: inferiores a 35 cm o al doble del grueeo del forjado. La estimación del peso propio de las vigas de canto implica considerar adema s uno& macizados laterales obligados por la modulación de las bovediliaE, que e&tadisticamente se pueden estimar en 12 cm a cada lado. Asi el pes o de una viga de canto de 20'40 co n un forjado de lB cm seria entoncas (0,2·0, 4 ... 0,?'4·0,18)-2 ,5 8S decir 0,31 tlm, en primera aproximación adicional al del forjado.

utnchus uoa

Para el cálculo de las vigas y soportes, 106 términos awclonales de Bolados. tabique da y uso, conducen en general a una carga t.otlll uniforme entre 700 kp/m" y 800 kp/m 2 , En zonas macizas o escaleras la carga total alcanza muchas veces 1000 kp/m Ol • Y para cada elemento hay que añadir además las cargas locales de cerramiento y partición pesada que le afecten. Si no se dispone barrera acústica bajo el solado, hay que adoptar una solución de planta que suponga al meno E 300 kp/m Ol , es decir un for jada como poco de 20 cm de grueso.

2.4

Soportes

Si se dlsponen viga El planas, del mismo canto que el del forjado, su rolativamente mayor. Contando con una ancho' de jaula de 20 cm y loe macizados anterio rmente citados, el ancho arranca de un valor de 45 cm, y en genp-ral, -sobre todo en las proximidades de soportes interioresdebcr5 ser' sustancialmente mayor' . '

El peso propio de soportes puede suponerae, aunque sean de hormigón, despreciable, a efectoB de cálculo de las estructuras de edificación.

Para las vigas. la cal-ga debe calcularse a partir del peso pI'omedio da la planta, en general lDucho mayor que el neto que de deriva de la sección tipo del for jada. En la edificaci6n convencional cada poco hl!lY una viga, un hueco de shunt, de ascensor, escalera, vuelos , y, por ajustes a la modubci6n de interejes de visuetac y ancho de bovedillas, irregularidades diversas, que se saldan sistemáticamente con zonas m8cizaB. Dada la enorme tlifl':r".:ncia d~ denddad entre el hormig6n macizo (2500 kp/m 3 ) y un forjado (~n to rno a 1300 kp/m 3 ), estas irregularidadee tienen una gran repe r cusi6n.

Un ascensor tipo, entre cabina, maquinal'la, contrapesos, y caseta, se puede eatimar en un peso total de 8 B 10 toneLadas, gravitando en la planta superior, sobre los pilares que se encuentran en torno al hueco .

I!:l peso propio medio de las plantas co nvencionales de vivienda, valor de partida para el cálculo de la~ vigas y soportes, puede tomarse igual

pes o es

C""lI1to de 10 planta <cml 7.QliW

n'l!t'l1l areo

Z"nao~

Pm1ot> InilCU.oe

255 265 275 285 300 315 330 350 400 270 290 310 330 350 375 400 440 500 375 425 475 525 575 625 675 750 875 Peso propio medio en kp/ mOl

Po r ",~OniJ;6 r~o:ulareE puede entenderse las de paños rectangulare& resueltas con nervios simples. Ejemplos de zonas it"regulal'es, con mayor pef.;Q mediú. son las resueltas con nervios dobles, o los paño6 triangulares ti oWlcuos a las vigas, o con profusión de embrochalados y zunchos, etc. SólQ cuando la totalidad del paño se re6uelve con losa maciza hay qulO: com:ider.ar el peeo teórico de 2500 r.p/m 3 correspondiente a este caeo. pet'O no es ~nfrecuente que se haga en la escalera, ya qUF.! ésta es muy complic'.\da de reFlolver con forjado aligerado. A cambio, la plegadura y mi_yo r rigid€:z de la loea maciza permite resolver la misma luz con un canto óptimo 20 % menor qu~ el de un lor Jado a.1igerado y sin problema e de flecha .

2,5

3.1

Otros elementoa'

DII1ENSlONADO

Soporten

Con sólo los valores de carga vertical se puede estimar la sección de eoport¡:;6. En primera aproximación, cada 6Úporte recibe la carga que e:úste a mitad de distancia de los contisuos. Si la disposición de visas es muy in'egular, con múltiples embrochalados, o las luces consecutivas 60n muy disparE:s, se puede obtene r con más exactitud a partir de la carga que po seen la& vigas o viguetas que descansan en cada nivel del soporte coo&) derado. En hormigón, para el dimensionado de la sección basta una estimación aproximada de la cat'ga; para el cálculo de la armadura -o del perfil en caco de soportes de acero- es preferible un cálculo af:inado . La carga que cada viga deposita en cada extremo es del orden de la mitad de la carga uniforme total que posee, y una parte inversamente proporcional a la distancia a cada extremo de las cargas concentradas.; en vigas extremas de plantas altas se puede computar 40~ de dicho valor para ~l extremo exterior y 60% par'a el interior. En el caso de vuelos, evidente mente el pilar soporta toda su carga. Si las luces son muy dispares, las vigas tienden a depositar c8si tanta carga de un lado como d~l otro de un 8 El e8.30 de una e3truc:tura ds pillO Que .sebe perJ"¡t~r l . elimlnac:i ó n, el o el desvl0 de un pilar que aoporl~ v~rl~n pl4nl3' euperl o rea un prQblem& 'lua ni) ae puede abordar cl)n las re~l.:l de elite document o.

de,pl.~a~¡ento

edHicio de w¡,iud ..

soporto:! intedor. de forma que &1 la viga de un lado 8S más corta que la del ?t.rrJ , la corta pierde rapidamente carga en el extremo opuest.o, que puede lIlcluso estar tra.ccivnado si la luz corta llega a S81' menor del tal'cio de la larga .

La Gección transversal de f:oportes de hormig6n, para el caso de odi-

(~cio~ do vivienda de poca altura, ee puede obtener a partir de la carla

dividida ent.re el valor que repre senta la tensión lIIedia equivalente que &o(Jorta con eesuridad el horllligón' en secci6n completa . !'IQTA : Un h~r",i"On d. calidae. H-¡"1S .e el que "Ie"n,. una r ••• at.enci" ca ra c;e rlat..c, da 17S kp/cm- . [." de c'lculo ea, -lIIinorando Cf)n I,S- de liS kp/cm • La ldnslón q ue e. c'pa, de .o portar con •• turldad 1 8 ee pue. d. 72 kp/crn~; en vert.ical ae reduce a SS kpjc..,'. Co ntand o con I~ ellcent.rl.cidad !nevl t able -vi f~e imo del canto o Z Cm-, y el factor o,as cuando la III~cc.Ón eeta OOmpri.,¡da en eu totalidad .1 valor ea reduce a unoe SO kp/cm'. (Tént .eo en CUf!nl. que para alc.n~.r 115 de valor earaClerla:tico, 1" min,ma r,elu r. " .e probela debe der d.l orden de 200, lo que quiere decir 'lue la ", ••ha fU! a'lu"ra ha<Jia 22S kp/CJI'l~ ).

En obra no es fácil obtener calidades superiores a H-250 y no es rent.able bajar de H-150, por lo que la secci6n en cmz Ee puede obtener dividiendo la compresión en kp por un valor entre 40 a 60 kp/cm z La secci6n ~e debe r edondear a 5em, con m1n1mo 10 de 20·30 o 25,25, sin va~iar más de ,Jcm de una planta a la siguiente. La sección puede ser circular, cuadrada o rectangular, y orientada y descentrada y crecer como ee del5ee. Loc deEcentramientos de un tramo respecto al inferior sólo son retp.vllntef3 en el conjunto de 108 de una planta y no en cada soporte por separado. En caso de duda conviene compensar por parejas. No es fá.cil ret;;o~ver salt.os de sección, por cambio de tamai\o o de forma, que impliquen de6v~ar armaduras con un quebranto superior a JO·, o salvar vuelos superiores al grueso del forJado o viga interpuesta en ese punto. En gen"!ral ~a sscción cuadré!da resulta inadecuada en edificaCión; la perml.te ajustarse mejor a 108 condicionamientos de la planta . La dlreccion del lado mayor ee irrelevante. En edificaci6n no tiene sentido la diecusi6n de El los soportee Be diE. ponen en la direcci6n del pórtico o en 11;1 pl~ rpl9nilicular, ya que en la planta &e pueden identificar siempre pórticos IO:n lal'; do~ dlreccion~e. rl¿:ct~ l,gula.['

Convjene dimensionar todos los tramos de todos los pilares, y comproLar que no se exceden las previsiones en planta, En caso contra rio se debe proceder a cambiar el esquema de posici6n o luces de la estructura, ;} dic~ner los 6<;:'PDrte s de manera diferentl9, o, en algún caso puntual a dimo:::m:lonarlos mas forzadamente con 60 u 60 kp/cml' de tensión media, con el rlecso de que no valsan al calculados definitivamente.

Il CAE vere i On

1. 2

predi .. ene¡OnA una aecciÓn cuadrada de soporlea • unA aeceiOn rectan,u)ar at Be derlne un lado ; con eele tipo de aecclOn.

d~ I~ eo~preaion eupueata; t~r .. lno "circular" lo hace

partir con el

10 ~i el aoporlee eltA e_ento, e_terior o vl~t~, 101 p r oble~a~ de incendio o de durabll.da,1 ;leonsejan re,"eter la arllladura, dolandola de IIIl s recubrillliel'\to, lo <¡ \ ... , al baJ:Mr muy rap¡,h,IIIenle el bra'o de palllnc .. , aconseja lo .... ar eo .... o dl~~"31QneR ~lnlllla5 JO'JO o 2S·40 .

utraclarn no

Si los soportes son de acero laminado, el p~rfil se puede dimensionar dividiendo la compresión -incrementada con la incidencia del pandeo-, entre la tensión que con seguridad -del orden de 1,4- es capaz de soportar el acero, de 1,7 a 1,8 t/cm"'. Para obtener 183 dimensiones en planta del soporte la tensión segura promedio entre el perfil y el "aire" que ocupa ce puede est.imar en un05 150 kp/cln"' .

Los perflles HPB 8ólo se justifican a partir de compresiones elevadac, ya que el término de pandeo es desproporcionadamente alto para com preeiones pequeñas; en viviendas sólo son competitivoe cuando lo ce mas aún el hormisón: ei ~e eli,ge acero en viviendas posiblemente la opción recomendable hoy en día Be la ds tubo, la de p~rfilea ¡PE tiene más pandeo aún que la HPB, la Boldadura de dos perfiles añade un costo desor'bitado en soportes de edllicación, y por supuesto la solución empresillada es disparatadamente costosa y ha desaparecido. La sección resu ltante ee debe traducir a perfil HPB (cuyo término aditivo por pandeo ee "'H Z ) o a tubo cuadrado (R' ) o rectangular (siendo " la altura entrs plantas en metros, con la compreeión en toneladas). con mínimo de HPB'lOO o Tubo·eO · BO·J . En acero se debe comprobar también que las dimensiones no exceden del aitio previsto para alojar los soportes, contando con un recubriMiento ds yeso -80bre lechada de mortero- de 3cm , 10 que basta para que posean la resistencia a fuego exigible .

3.2

Vigas

En general tampoco son competitiva6 para plantas de pi60 las soluciones de vigas metálicas. En alsunas situaciones raras, en la6 que prime mucho la velocidad de ejecuci6n, sea muy caro o imposible de obtener ~l apeo, o sea imprescindible la autoportancia completa, se puede acudir a vigas metálicas. tipo !PE, pero en eee caso sielJlpre es preferible solidarizarla6 posteriormente al forjado, dando lugar a una soluci6n mixta. Para las vÍ8as de canto el a ncho máe acone:ejable es, caei sistemá ticamente, el mínimo poeible, y es dificil construirlas con menos de 20 cm . El canto óptimo en moment06 positivos, cuyo valor previsible está entre z qL~J16 y gL /24, se correeponde con una altu ra comprimida del orden del 10% da la altura de la viga, pero incluyendo como resistente el hormigón de la l osa superior del forjado en una amplitud que puede llegar al metro 11. Debido precisamente a esa amplitud, el hormigón más aconsejable. más eficaz, es el de calidad más baja, el H-175 por ejemplo, que soporta con seguridad tensiones de compresión localizada entre 60 y 80 kp/cml'. En las zonas de momento negaUvo, con valor entre qLz/16 y qLzJ12. el canto 6ptim o es el que no necesita comprimir má6 allá de un tercio de la altura de lél viga, pero contando con que tiene muy poco costo adicional prolongar como armadura comprimida la Que está traccionada en el vano . Dado Que además el cortante es más barato soportarlo por estribos que por aumento de ancho o calidad de horrni8ón, sigue siendo máe sensata la calidad de hormigón roas baja posible , dentro de un orden. Por el contrario, para el acero la deci 11 [.oa protralllaa c o merclalea ¡,noran en ,eneral eBta colabOracló", aobre~ timando, a veCf!S notablemente, la armadura lnrerlor . Un. ~" I~da del proleaml que IndlqulI ar.,adura de co.,prea¡ón en vanoa nounalea el ln<1ieatlva de que este no a.be ..,an~j.r vi,,,e de edificación .

edilicio de ,hhodu

ulr~ttQus

QIO

Slón más acertada es tomar el que CUf!sta menos por tonelada resistida, que teniendo en cuenta la incidencia de flecha deja como ganador al AEH-500 .

sección en 108 tercios de las luces dominantes, dejando algo ssi como un ábaco en torno a cada soporte o pareja de soportes próximos.

Para las vigas planaa, en vano, el ancho 6ptimo es el que conduce a no cOlJlprilnir más que la capa superior de hormigón del far jado, -en una amplitlld grande pero poco definible-, de manera que el ancho inferior macizado entre bovedillas puede ser el menor posible. En la práctica es justamente el hecho de dejar un número entel'O de bovedillas entre vigas el que fija el ancho de éstas. Contando con un ancho de estribos de no menos de 20 o 25 cm y un macizado de al menos 10 cm a cada lado, el ancho mínimo de vigas se sitúa en 40 o 50 cm.

No hay inconv~niente en principio para que una viga plana posea un hueco de bajante casi en cualquier sitio, o se desdoble: o bo.rdee o conteuga un hueco de tamaño mayor, El se calcula luego 61,.1 inCidenCia. y se respeta el equilibrio. 5610 si la luz es superior a 7 DI Be rentable acartelar las vigas con altura variable.

Para las vigas planas, junto a un 6oporte extremo, el ancho debe soportar el cortante, del orden de O,5'q L, con una tensión tangencial mQcüa en sp.cción completa que no supere el doble de la tensión segura ¡¡ cortante del hormigón. Es habitual no disponer variaciones de ancho entre vano y soporte extremo, p~rmitir

Para las vigas planas, junto a un soporte interior, el ancho debe conducir a no comprimir por flexión más allá del 40~ de la altura de la viga, y el cortante, de valor ha ata de O,6'~L, debe soportarss con la tensión cesura indicada en el párrafo anterior z. En última caso siempre Ea puede prolongar a bajo coste la armadura inferior de vano, complementando la compresión inferior de la viga. pero 15610 con los redondos que pasen por dentro del soporte, que al quedar pinzados po r su compresión están efectivamente ancla,I,)s , La ampliación de ancho de viga 8S muy simple, bastando rp.:til-ar alsuna o algunas bovedillas sin tener que hacer cambios de longitud de vjguetas ni disponer jaulas de estribos más a nchas. Dado que los momentos a ambos lados de un soporte son o iguales o muy parecidos, no hay motivo en general para cambiar de secci6n justo en un soport.e, e incluso es desl!Iconsejable hacerlo. Por otro lado no hay quo olvidar que las solicitaciones son mayores en un tramo corto extremo o un tramo corto entre dos lal-gOs, que en el vano de los largos , cuyo ancho nccesarlo, para momentos pOf;:it1vo,s menores es mucho menor. La práctica de dimensionar cada viga con una sección diferente, mayor cuanta máB carga y luz posea, es totalmente rechazable e incoherente con el carácter de nudo rígido entre las barras de la estructura. Los cambios de altura o anchura de vigas deben re&petar el equilibrio . A amboE: lados de un pilar interior Eln todo caBO las tracciones y las compresiones de ambas vigas deben equilibrarse entre si, de manera que al'maduras y sección deben ser iguales, o adoptar para el cálculo la inter13 Elecci/JII de Ilmbss . Con vigse. planas es recomendabl~ hacer loe cambios d~ 12 La retl~ no elimina la poaibilidad de qua el l.~año y pOlici6n relativo. de soporle y viga deje malp . ,ado el di.e~o por cu e .llo n e e d e p un ~ on.mi e nlo , S. pO.;ble que por elle mOl.vo haya que .u~entar di~enlional de .oporta, dilponerlo con otra for",. o ~.lerilll, a inclulo haya (11111 acudir a aumentar el canto del ( 'H Jitd."

13 Hucholl protr.m •• cOlllereiale. prlldimenlli"nan fr.neamente ",al, lsolé'nando olayor ao:cclon, conlltll.nte. 11 1011 lramoll ~ , . lar,oa, ., luefo e nlal.3.ndo Incorr e etamenle la~ vit • • • n .1 nudo. Aun II¡ no preOimenl¡Onlln, en fen.ral con.íderan parl el calculo 111" barrlll como lIneall Ii.n lección, resolviendo ",al el enlace. Hu.chos d. ell08 ni 111111sr. p.rmiten definir COIllO .e dalea el .n(rantamiento d. las vi,as 11 lI~bos l.doll del .oporta, ., por t:lOnlO no pueden relolverlo bien. 11 veoes .nclluQ <1lbujflndo altoJ Incoherente con lo calculado. Elite e. poalblemante el

4 ,1

ANALISIS OR CARGA VRRTICAL

Forjado

El análisis de carga vertical en el fc r jada, cuando éete es ortogonal y sin cambios bruscos de geometria, se basa en ellD?delo de viga contu:ua, como viauetas apoyadas en continuidad !labre las vIgas, tratando conJuntamente todas las qUQ se encuent. l'an en situaci6n idéntica . Debido a la parcial pero suficiente ductilidad de las piezas de hormigón implicadas, se puede ~doPtar CO InO capacidades resistentes las derivadas de un diagrama plástico de solicitaciones. En el caso de fuertes irregularidades o dis posiciones en planta no ortogonales, en vez de tomar innumerables trenes dUerentes, se puede adoptar un modelo más general, del que el anterior ea un caso particular, que es el de rotura en planta, con lineas de rotura no necesariamente rectas. - geometria En la planta del forjado se deben identificar cada U?? d~ los tr'7 nes de viguetas diferentes por composición, luces o sustentaCl.On, l.ndependientemente de que las viguetas esten enfrentadas rigurosament.e o no. (No es prech:o considerar como diferentes lae viguetas situadas bajo una carga lineal coincidente como cerrumiento o partici6n pesada, ree:oluble con nervios adicionales), Las luces básicas se miden a ejee de soportes o vigas, aunque 108 valol'1!I6 de solicitación máxima se presentan en los punto3 correF.pondientes a luces inferiores, como se indica en cada caso. No es preciso considerar como tren diferente las viguetas que acometan a zonas de diferente ancho de una misma viga, o una sola vigueta como excepción en un paño de viguetas iguales . Incluso dos o tres viguetas pueden veree fuertemente amparadas por las vi.gueta~ de arooo6 lados, y el conjunto de todas ellas tratarse como un Elólo tipo de tren, más una leve corrección local, dependiente de un análisis con modelo de rotura en planta.

.Ipecto peor resuelto de 108 pro,ramaa que Inlantllr ti.>::!) da 10:'1 plant>1I de e:Jtruo!t\Ha .

lle.ar al delineado automa~ l

dlfldo de ,hiud ..

En l.a zona de 1.:1 ~Ec'llera la geometria da luces se puede medir en la en planta .

PI 'Co y~cd6n

E.n .cada tram~ deben .identificar~e las cargas distribuidas (por m<l de 6upe rflcH~ ) del forJado -Sl.r1 tener en cuenta 108 pesos propios de vigas-, y las c~ncentradae (por m lineal, da particiones pesadas o cerramientos perpendic ulares a las viguetas), obteniendo la carga sobre vigueta multiplicando el valor r'epar'tido por el intervalo entre las mismas. -evruuilc1ón de solicitaciones En cada , tnJmo debe obtenerse el tDomento isostático, de valor qL"'/8 para Clu'sa dü.tribulda. En tramos aislados ese es el valor del momento po sitivo máximo; en extremos se tomarA como positivo y negativo qL"'/U 5 y en . t.ramos interiores qL"'/16. En voladizos el máximo negativo SfJ qL·/2'. Si eXlE.:t~n cargas puntuales en extremo de voladizos, se afiade QL al m.ix::i..mo negllt.lVO . En tramos con dos extremoe, al momento isostático se añada O,5 'Qa"/L -siendo a la distancia al extremo lIIáe cercano- para deEcomponerlo en pal"tes igualee en poaitivo y negativo, Para todos 108 valores anteriores . oe puede t.omar como luz, en apoyos interiores en continuidad, el punto llltermcdio entre la cara de la visa y el eje del soporte. Si laE luces son dispares, puede ser más inter'esante obtener el diagrama de momentos descolgando 106 ieost~tic08 de momentos adecuados e;obf~ lOB apoYOG , para conseguir que pocitivos y negativos sean parecidos , eln que en un tramo fundamental el negativo supero al positivo. Es recomendable que en todos 106 tramos 8e cubra además un momento poeitivo como el q~e ce ha indicado en el párrafo anterior. Para este procedimiento ea convernenLe tomar como luz la total entre ejes de soporte& redondeando JK)!:,;t.eri OI""lente Eobre el ancho real de la viga en los apOY08 e~ continuidad. NQTA Deb.do al redond~.do, si por ejemplo en un tramo interio r se toman mo>m~·lllo. positivolI ellllClamente milad del isoat.tico \le la lU:t 'total, 10 mO~elllos netat.vos def initivos seran ¡nfarieree a los positivos , Ho obatanle, como la capacidad r •• ¡atente 11 mo ..ento ne~.tiv~ suele aer menor laa ~r,"adura. luperiores puede que aun asi aean parecidas o incluso al,~ mayo>r," que la. ¡n (erl orea.

Loe e&fUerZ06 cortantes máximos se pueden !Suponer de vlllor qL-+Q en volaflizoe; O.6·qL y O,4 'qL en tramos extremos y 0,5·qL en interiores y ilis!ados . Lar, cargas puntuales incrementisn el cortante en Qa/L y Qb/L en loe extre mo s a distancias b y a respectivamente. La luz Y distancias para cortante e~ pueden medir 6iempre al borde de la visa, prescu.tdiendo de las zonas macizas al interior, en la hip6tesis de que aunque el cortante aUmen te li8cramente está máe que cubierto por el notable aumento de Eección.

14 CA' versión 2 . 1 I'lIlce •• to si.telll.:lticall'lente en cuanto barrunta Que se do unil vlla de horllll,On . SI 13e hlces I on diferentell el proceeo m•• aCl!rl"'.l o> es aJ':"tar en cad. instan te el tra~o que ... yor 1II0mento deja. en extrelllOI 'J van.;., " ('aH,r o1e l o!!! v 3.l orea de ellt rem o que le tentan 4efinido en loa a j ustes anl-er,oleJ. En 1l1li prAclica no h.y que perlltllfuir la j(ualaci6n elulcta, lo lI'Iejor .s dejll,r hu ~oll'lel\loll po.llivo. en .1 valor Que se .oporta ellactl!lmente cl)n una IIr .. " ·lur", d,,r ¡ n,01ll . rara evitar costOSOIl redondeol en ca4a vitueta.

uluctllrlll QU

-armado inferior

El cociente de momento positivo y brazo de palanca, de valor apt"oximado O,95(h - r) siendo h el canto total del forjado y r el recubrimiento al eje d" la armadura -de ordinario 2,5cm- conduce al valor de la tracción en la armadura; el cociente de esa tracción y la tensión que Eoporta con seguridad el acero -de valor 2 . 7 a 2.8 t/cm ll para acero AEH"SOO- conduce a la secci6n de acero 15 . Si se utilizan cargafi que corl e;eguridad no son Buperadal!!l -multiplicando las acciones por el coeficiente de seguridad de valor 1,6- debe utilizarse para estoB propósitos li.\ rElsisttmcia de cálculo del acero -de valor 4,48 4,6 t/cm~-. Si el canto del tramo en cuestión es inferior al minimo por flecha, la sección necesaria de armadura S8 obtiene multiplicando el valor estricto por resietencia por la relación entre el canto mÚÚJDO y el eecogido . La f.:ección do armadura se traduce en a!auno de loe tipos siguientes: Ares de acero (orf) "'-lo 206 + Prolongación <cm)

0 ,56

0,84

1,06

1,68

2,12

2,56

2,60

3,92

iOB 15

~12

2~10

~16

2~12

3<012

NOTA; : ; i el ajuate a alguno de loe llpo. anleriorea e~ e_eealvo, lIie~pre se puede reeonsiderar el reparto de ~o~entos. p."~n40 a uno positivo meno r y aumentando co rrelati v~ente el ne.ativo. 81 la ar,"sdur. nec.saris por vl.ueta es superior a l. m"'"illla de la labia, se debe adoptar un intervalo .. enor entre nervios o pasar a nervio 40ble, recalculandO car!!a •.

L,). longitud de las armaduras de montaje (2~6) sera la de la vigu~ta tot.al, ~ntrar.do (:n los p.xtremOE, a partir del ectribo do<:: vig a , una l o neitud al lI'I",::noc 10cm en apoyos extl'emos y 5cm en int.eriores . La longitud de lae demas armaduras inferiores se dr::terminara po r intersección de BU resistencia proporcional en la curva de Ulomento s su puesta. con la prolongación indicada en la tabla anterior, pero trazado simétrico, para evitar que lse viguetas euan:len m~o. -a rmado superior

IU cociElnte de momento negativo y brazo de palanca c o nduc e al valor de la tracción en la armadura superior . Como valor de momento ce debe tomar por' un lado el máximo sobre el eje de la viga que soporta 8 la6 viguetae, co nsiderando el redondeo con la luz; n ejes, o la luz a un punto interm",::dio entre el eje y la cara de la viga, y un brazo de palanca de valor O,95"(h- r ). AdemAs debe tomarce el momento al borde la viga -correspondiente a la luz neta entre caras de viga- con un brazo de p;.¡1anca de valo r O,6.5"{h-r). El máximo de ambos valoree es la tracción máxima dI'! la armadura

lr.'t .~

15 CAE VerSlOn 1 . 2 dlmena.ona la ar""'dura para un mo mento 'J co rtante dad O' .. partir dl!l 3neho y c ant o , incluyendo" es plan" y / o borde, p;¡,r" el diametre Que lloi desell', y para una. arma<1ura de montaje eu.lQuiera .

cdifido dt ,ifludu

aupedOl' ; el cocient.e d e efia tracción y la tensión que soporta con seguridad el acero, conduc e a la sección de la armadura como se ha indicado para m O Ill~nt o 6 positivos, -incluyendo el aumento si el canto 88 inferior al mioimo por flecha-, sección que se ajusta a alguno de 106 valores siguientes: Ama do acero (cm") A<mado

Prolantr.JCión

(cm)

0,3 ó6 15

0,5 0,8 "a ó6<"a 20 20

1,0 2~8

1,3

1,6

ó6+~10

2~10

1,9 ~10+~12

2,2

3,3

2~12

~12

Si el ajuste a alguno de los tipos anteriores supone un incremento exc edvo, lo más razonable eE: obtener la secci6n total teórica de un paño, - multiplicando el valor obtenido por el ancho del mismo-. conta r exactamente el numero de viguetas, -qUO Bon siempre una o do s más de las teóricae-, asignar a cada una el armado por defecto más pr6ximo al necesario, y la diferencia total prorratearla corno armaduras de "10 (0,78 cm ~ ) o de ~12 (1,12 cm'") a diePQner en las proximidades de loa soportes , Ot.ra alte rnativa es disponer la armadura te6rica total de un pai'io repartida uniformemente en todo su ancho sin preocuparse de si cae o no e ncima de viguetas . No obst ... nle lo anterior, l A diferencia entre el 1II0lllento tot.l del la tUl. ... c_r~. J6 6~port., y el er.etiv.~ente resi.tido por la .rlll.dur. c.lculada, d.ba cubrirse por ar~.dur • • dicional .obre o en laa prOll i lll>"ade. del soporle , Si e8Le tiene el lI'Ii.~o ancl'lo Qua l. viia el , nc rem ento es nulo, Pero si l. vi,a es de .ncho lIIu y supedor .1 del! a.,porte, e.ta armadura, ¡",portanle, aa ocupa de tra.ladar l. c. rta Que transporla 1. vl,a en todo .1,1 .... cho .1 eoporl. 16 . En vi,.s paralel •• al b ~ rde, esta lranarerencia puede hacer.e con sup1emanto de arllladura inferior .010 en las viluetas que penetran en el .oporte, o, ai el .oporte ell capaz de a,u&ntarl0, con armado .uperl o r anclado en el c.nto, NOT ... ·

pa¡'~ mid¡end~

HOT'" El procedimiento habitual de disponer la arllladura "'e,ativa e,) netanle es r.oherente .:on 111 aolicilaciOn que aparece en los forja<loe au.tentadotl sobre muroll o vi. ••• de canto, Sobre vi.s, planae no puedll ,enl)r.te. que é.ta • • e deforlll~n tllnto o III'S Que el forJ~do , No ob.tante, cuando Ins lIoportes de laa diferente. vifas e.t'n enfrentadoa , eun1ue laa vieueta. oe vano de6cian~en ••• Qua l •• enlaaan .oportea, tod •• ae daror~an de ~o~o muy parecido, y el reparto uniforme de mOlllento y por tanlo Oe Arm~O"r. e. v8ro. t~il. Pero '1 loe ,opl)rtee e8t4n al tr.8bollllo, la. vi !!uel". quc arrAncan de 1,111 .oporte acolneten 81 centro de vano de una vl,a en el otro elltremo, y en esa lIiluación lo. 1II0lllento. en flJltrl!llllO, no son n.da p.,recido., el IIlOllenlo ne,atlvo no .e reparte unlforllle .. enle 1 entre la. Ylfueta. , y hacerlo ea .010 '.euro confi.ndo en una ductili4ad no OTR ...

utf'llchru no prob.d.a

cuantificada,

por

lo que

prudente: en elltO,.,

call o e

I:on -

c:entrar claralllllnt.e la ar.,.d"n en torno 11 108 .oporte3 . y UNA TERCERA jo(OTA . "unque pera el c:.II.1cu10 del torjado ee habitual I:on IIldarar l •• vi ll! alJ e.trema. corno un apoyo lIIimplll, en lal planta. baja. o

con .oporta. d. canto respecto al forjadO. l •• dOlll o tree vitual.' de l •• ¡Mm_4i.clon •• del loporte .e c~~por~an ~aw bien co~o empotradae . Del lado de la ee.urldad puede lIIantenerse COIIIO lIIomento po.itivo el ba.ado en artiCulaciOn, 103 na"ativoe Oe aJiun.1I vilueta. en lorno a caO • • nporte, da aCt,lerdo con 1_ poeici.ón 4el lIIi'1II0 y la ri(idel. de la vi,a, como .i e.tuvieran empolrada, .

La longitud de cada armadura superior debe determinarse por intersección de su resistencia proporcional en el diagrama de momentos supuesto, prolongándose &n la lIIedida indicada en la tabla anterior. Si la armadura superior por vigueta es 3\1S12, la armadura inferior debt:' prolongarse en su totalidad hasta el extremo , o alternativamente lQacizal" de hormig6n la zona extrema donde son necesarios los 3¡1112. En 106 extremoe sin momento se debe disponer una arllladura negativa para una tracción igual al cortante, en una longitud al menos dos cantos y un décimo de la luz, a nclándola doblad a sobre el canto libre. Las armaduras de empotramiento enfrentadas con el soporte pueden hacerse en lazo, en la forma indicada más adelante . No es imprescindible que la!!! viguetas estén enfrentadas a ambos lados de la viga . En último caso siempre se puede disponer la armadura ne gativa del forjado uniformemente distribuida, sin mirar si cae o no encima de una vigueta. Si las viguetas a un lado y otr o de la viga no están en la mlf:ma dirección, es preferible disponer la armadura promediando ambas direcciones ai éstas forman un ángulo inferior a 45- , y en cuadricula en dOf: direcciones ortogonales si es superior. De las armaduras negativas de un vuelo al menos una deba llegar hasta el extremo y anclarse en el canto del forjado . En general el detalle de la8 armaduras negativas del forjad o debe esperar al análisis de acción horizontal en el que está implicada toda la planta. -celosia de cortante

16 li s la cuestión, planleadl. en la NTE-IHV, ea habitualm",nte i(notedl. por 10' pro(r"" ...,. de clilculo de f orjados, que dl:lponen la 'flnadu.r ... con.t3nle, 1 por .upue3lO por )"a de vitae, que no .ue1en tencr la in!orlllaciOn relat.iva a la di:lpo.icio)n rel.Uva de .ec.ciOn de aoporte r Vi , •• , 11 a¡.tema habitu.1 4e proyectar el rorj~~n per. Que .oporte al ~olllento proveniente d. la IUI a eje de a o porte reaulta del 1a40 de la eeturldad en conjunto, pero, de.de el punto de Vlllt. de la .olicitación, infraoJ.lilla la .ai.l ent a 8n la. proAilhillade. del 'QPorte . Si el forjallo e. aeeuro, lo e. debido 1. la ductilldaO, Que peu1it. que 1.... 10m.... proajllla. al al)pn rl e, "tue 1le,.n ante • • rotura, esperen a l.e do! van'), too lf3<1 .... en .resístencia . La norllla Ir-aa avie. de e.ta cue.tiOn en los COll1en t arl~' _1 artl r. lllo S.Z

n [II t it

no euele •• r ten ..Ja en cuenta po r 108 pro!!ra",!... de cálculo de Corj.ldOll, . g b,e todo porque en oCI..lo"ea I,noran la pOlliciOn de lo. soportes, lo qu.e o bl i ga " "'". c er correcciones a lIIano . La pr'ct,ca de calcular con un protrA III" 1011 forJlIIdo. y con otro la. vif':I y .oportes e. una 1113 101 practica que 110 c· ' n~i.e\le el).Hr o lar I ~ JI ... pect o . delicado. del COlllporlam,ento .,,,lructur.1. C II,1Ili\)1l

El cortante Que con eeguridad puede soportar cada vl.8:ueta organizada con una celoda de 2~4 es de 1,3t para un canto d"l 2úcm (para cantos diferentes e6 una cantidad proporcional); con 21i65 se pueden alcanzar hasta l,8t en las memas condiciones. Para cada tramo debe definirse el tipo de celoeia necesaria , Si el cortante es superior . debe o disponerse viguetas a separaciones menores, o dobles, o macizaree, recalculándose las carga s. -viguetas suplementarias Los c erramientos o particionce pesadas en la direcci ón del f o rjad e, se pueden 60portar por vigueta!:: suplementarias, calc uladas par a que en l a zo na bajo dicho el"lmento haya las auficient&5 para que la carga que d eb ~

edlflclo d. ,hiudu

re'3in lir cada una sea aproximadamente la misma que en la zona colindante. (E:n gen~ral sU'31e bastar una vigueta para particiones de medio píe, y a lo Eumo doc para cerramientos normales de medio pie más tabique) , -zunChOD

utrvchru l1li0

sustentado; si se tOllla la luz entre ejes de soporte, luego habrá ql.o~ redondear las gráficas de !Solicitación sobre el ancho real de cada uno; de cualquier manera Eslen valorelS diferentes en cada planta l . , Si la viga quiebra en planta, se puede reEOolver si ce conf:idera el punto de cambio de dirección como una articulación .

En lodo extremo volado de viguetas debe disponerse un zuncho para

sC'lidarizar 8U flecha . La armadura debe atender él una alternancia de la sohreC8 t'ga de uso una v.ia;ueta si y otra no, pero en general este valor es reducido, y bastan 2"8 O 2~10 enlazando la armadura de voladizo que 68 ancla en el canto. Como ancho del zuncho bastan 10 o 15 cm pero en general la modulaci6n de bovedillas exigirá más.

Si el zuncho termina elllbrochalándos8 en otrae viguetas se debe dimensionar para que transfiera una parte de la carga de las viguetas voladas próxiMas al brochal, descomponiendo la carga en las clásicao lineas a 45 -. Si S8 desea reducir la flecha, se puede disponer más resistencia en el zuncho y recalcular la armadura del vuelo mediante un modelo plano de rotura .

-cargas Las cargas verticales sobre las vigas son las reacciones de sus tentación del forjado, más las de peso propio de la viga, mas las de cerrarnientos o particiones pesarlas situadas directamente aobre la viga , Las cargas que acometan directamente en el extremo de un trdmo no causan !Solicitaciones en las vigaG, y se computan directamente como incremento de compresión en soportes . Como simplificaci6n en los casos regulares, se pueden tomar para vigas las cargas de la planta de piso a mitad de distan cia de las otras vigas.

-cabol] suoltos

-evaluación de BoUcltacionee

Si se opta por cambia r- la dirección del forjado, el extremo que no continúlI tras la viga es más seguro suponerlo apoyado; en pequeños paños embrochalados se puede aceptar un semiempotramiento, con momentos negativos del o rden de la mitad de los positivOEi. En ambos casos la armadura negativa d~ extremo debe anclarse en prolongación recta .

Si laEi vigas se sustentan en soportes metalicos, se coneideran como viga e: continuas; si lo son sobre eoportes de hormililón como vigas de pórtico con nudos rigidos , Si alguna viga se sustenta embrochalada sobre otra, 6e supone simplemente apoyada en dicho punto, y su reacción de sustentación se tomBorá como carga puntual para el cálculo de la viga que la :!oporta.

Si entre dos paños adyacentes se produce un clfbio brusco de armado, conviene suavizar la transición disponiendo una armadura transversal para CaBer la mcompatibilldad de deformación, calculable mediante un modelo plano da rotura.

Para las vigas continuas el diagrama de momentos flectores se puede obtener a partir de cualquier valor de momentos sobre apoyos interiores, tal que en todo traillo dominante resulten filamentos negativos entre el mismo valor y el doble Q.ue los máximos positivos. Para evitar una gran desproporción de momento s p.n los no dominantes se tomará en lús dominantes el men or valor negativo que se pueda, de acuerdo con la regla anterio r 19.

4 .?

Vie:;u,

El modelo de análisis de las vigas ante carga vertical implica i!!I los soportes rígidamente unidos a ellas. El modelo con soportes tan pequeños como F>uelen lSer 106 metálicos es el de vigas continuas. Si los soportes lSon de hormigón el modelo es iSl de pórtico , Aun con este modelo. si la armadura de vigas se proyecta como pasante, la carga última no solicita a flexión a 108 soport"ls, y el modelo puede ser de nuevo el de viga continua, que, debido a la reducida ductilidad del hormigón armado, permite sólo un margen reducido para la relación de momentos negativ os a positivos.

te Huchoe pro(r.",a. no permiten cemblar de lUl de una pl.nta a otra, y aunque 108 a oporl ee len,~n aecclOn variable lo e lral~n co~o llnealea y enfrenta(l"a . Otro. pro(rallla. pefllliten la definicl6n en detalle del nudo per" a coata de un trabajo adicional en la deacripciOn de la eltructura que poc o . u.u.rl " a dispueato. a con3~der.r. Otros admiten d.rinici,;,ne. de creculienlo a caras o a ejes, pero siatemAtlco. en altur., aln que '1\1ede claro c6mo ",aneJan ee_ in f or ... ciOn.

•• t'" -ecolDctr.ía El conjunto de vigas lSucesivaa (no necesariamente en linea recta), se considera como un nivel de pórtico , La luz de cada viga, a efectos de cálculo, 6e puede tomar no superior a la neta más un 5X en cada extrelDo

19 Si no ee dice nada, CA¡ ver~ion J .Z ev.l~. 10~ lIl~nentoe en l or",. elaeti · ca rl!!baJ.ando todo. loa nl!!(.:IIlivoe 1_ fracción definida COInO coeficienle de ,.d¡etribución, .& p_rllr del IIIo.,ento> en e_treMO apoy .. do que e. indiqulI. 6i !le ",enciona que I~ vil_ e. de hor"'I'ón, CAE itual. l o e IIIo.,enloe con el procedimiento definidO 1116e arribe ,

edlflciD de lhlndu

pórtico 20 I

En el modelo de para las vigas. ee procederá de la misma manera, pero tomando para los apoyoB extremos un momento que sea: a) preferiblemente. 51 lo penniten las restantes condiciones, no eupedor al que SEI puede resistir con una excentricidad del 15% del canto en el coporte -o eoportes-. de acuerdo con la compresión estimada, h) en todo caso no superior al que puede reeiatir el soporte -o soportes- de acuerdo con la compresión y con la armadura mas conveniente para elloa: la mini..ma posible, y además: c) no inferior 8 la quinta parte del isoetático del tramo, y d) no superior a dos tercios del ieoetático del tramo. F.o 108 extremos de pórtico de lss dOfl últimas plantas, laD solicitaciones que, con armadoEl recomendables. puede resistir con seguridad un pilar, se pueden tomar de vlllor Zl :

20 30

Soporte, canto (cm) Dncho (cm)

Anodurn 10l1lJit.ucUnal Ccmpl:"C(Jj 6n (t)

5 10 15 20 25 30

4~12

1,2 1,4 1,6 1,4 1,2 1, O

25 25 4~16

4~l2

30 30

30 20 4«16

49112

1,6 2,5 2,0 2,0 2,0 3,0 2,5 2,2 2,5 2,2 2,2. 3,0 2,0 2,0 3,0 2,2 1 ,8 2,0 1,6 2,5 1,6 1,4 2,2 1,4 Momento flector posible

4~16

4~12

4«16

3,0 3,5 3,5 3,0 3,0 2,5

2,0 2,5 3,0 3,0 3,0 2,5

3,0 3,5 4,0 4,0 4,0 3,5

Si 108 6oportee 80n de horm!8ón se tomara para 108 interiores , -si la armadura de las vigas es pasante sobre ellos y no hay mucha disparidad de luces a ambos 1ados-, sólo la compresión, obtenida con el criterio anterior. Si las vigas a ambos lados son muy dispares, o se sospecha que la armadura va a exceder la6 necesidades de resistencia, habrá que prever, simultáneo con la compresión, un momento, obtenido adoptando, para las vigSB que acometen a él en la planta considerada, la hipótesis pésima de ajuste del momento lsostático a la resistencia de las secciones criticas, de manera que quede el nudo lo más desequilibrado posible. asignando al soporte la diferencia -en caso de planta 8uperior-, o la mitad -en caso de niveles intermedios-o (Como es posible que sea el tema de la carga horizontal el que conduzca a armadura Bobreabundante para carga vertical. es posible que la evaluación del momento deba esperar al análisis de esta segunda hiPÓteda) En el caso de soportes extremos de ~rtico, además de la compresión, se supondrá simultáneamente el valor del momento previsto para el cálculo de la viga si es en la última planta o la mitad en caso de niveles inter medioa. Si a un soporte acometen vigas en varias direcciones diferentes, se sumarán las compresiones por un lado, y por otro -como eimpllficación-, las ex.;:entricidades relativas al canto en cada dirección, aplicando la excentricidad resultante al lado menor del soporte.

en lI'I"t

Aunque no es imprescindible hacerlo en tramos interioree de viviendae. en 108 tramos que compensan voladizos, lae solicitaciones deben determinarse tanto para la carga total como pa r a sin sobrecarga de voladizo . Para otros ueos , en el el:ltlldio de alternancia de la parte de sobrecarga qUE: proceda, se puede decidir la fracci6n de lsot:tático de un modo diferenle e n cada hipótesis, con objeto de mitigar lae consecuencias de la alternancia. que en general pueden incidir Bólo en una mayor amplitud de momen tos Tlegativ QI3.

4.3

utrllctlru liGO

f.oportcH

Si 106 coportef.: son lile tálicos Be tomará, como compresión de cada tramo. la acumul.l.ciÓn de las reacciones de las vigas que descansan en él en plan t.ar. superiores, tratadas como continuas.

ANALISIS DE ACClON HORIZONTAL

5.1 Cargas Para tener en cuenta la acción horizontal de viento, Ele debe suponer que éste puede soplar en todas direcciones, por 10 que, para el análisis, hay que suponerlo, al menos, actuando en dos direcciones en planta y en cada uno de los dos sentidos. El valor de la acción de viento, w, depende del emplazamiento global -valo r de mapa-, y local, -entorno-o Loe valores razonables que cubren los casos ordinarios de edificios en trama urbana de ciudades de la meseta, oscilan de 80 a 100 kp por cada m:! de alzado. como suma de la presión -a barlovento- y succión -a sotavento- o HOTA : ¡ste valor ee aupone que en,loba el poelble incre,""nto por pandeo tloba) de l. 82tructura. para ediricio. de lile no. ele 3 alturas .

?O L.'l! ref.hll del texto el"'pl1riean y abaratan et pórtico reepecto at procedl"'lento, hllbitual en lodoa loa pto,rallla •• ele lomar co'"o solicitaelonee t.a procedentl!ll de un aoal l. ¡a eon rltldal I,ual a la de laa pielae ain atlllar . 1..08 teaultadola de a:Jle tipo da calculo., coosld.rando ta envolvente con .eeiOn holr"ont"l, apareceo pUblicada. en NTt - IIIP . 21 C.)II CA" vera iOn l.? el mOlnl':nlo 1l1'.lmo poalble pafa una carl'3 Y lIee C ión de "urorte debe obteneree ror lanleos .

d~d~B

La acción de viento se asigna como carga lineal en el frl3nte del forjado, tomando w·H kp/In siendo 11 la altura entre plantas . En lo. de cubiP.irta. co mo simplificación. se puede tomar un valor igual.

edificio de ,hitadu

elttuchrn IDQ

8e suman en valor, si en diferentes se suman las excentricidades relativas

5.2

Solicitaciones

$1 la estructura posee planoe triangulados , la aCCl.on de viento en c;;¡r:la nivel debe descomponerse en fuerzas en las direcciones de dichos pl"lnofl. e n su situación en planta. Si existe un sólo plano en la dirección slIpuesta del viento, este ee lleva toda la fuerza; e l par que formen l a acción do viento con la reacción del plano -cuando está en posición a61métries en planta_, permite obtener 18S fuerzas en 108 otroa dos planoe perpendiculares. Si existen dos planee centrados . cada uno de lleva la mitad; ei eEtán situados Aslmétric8l1'1ente. cada uno 8e lleva l a mitad más y menos el momento entre su distancia.

LaE accione E sobre cada nivel permiten el análisis en alzado del plano; cada soports arriostrado posee incrementos y decrementos de la cou,preslón igual es al momento de la acción de viento dividida entre el ancho del plano. En cacos limite se pueden llegar a producir tracciones neta c, insostenibles, y Que obligan a cambiar el diseño. De lae diagonalee -en Beneral dos - eólo trabaja la traceionada, eon una 80licitaci6n cuya componente horizontal es igual a la fuerza debida al viento por encima de la planta considerada.

No importa si los soportes no poseen vjgas en la dirección analizada: todos toman fuerza horizontal. El conjunte de una fila de elios transversal a l a dirección del viento, forman un pórtico a efectos de acci6n horizontal. O eetán unidos por una viga, o en su defecto se suponen unidos por dos o tres viBlJeta~ de lae; del forjado. Si 106 soportes están al tre8bolillo puede conEirjf:rarse como pórtico virtual no importa qué asrupación de ell06 , aunque deben probarse varias hasta encontrar la más significativa, re6petando erJ todo momento el equilibrio global del edificio en conjunto. La fuerza horizontal Y en cada soporte de un pórtico de nudo s rigidoe, ocas10na en I5U6 extrem06 un momento de valor 0,5·Y·II. LOE soportlJ& de extremo de pórtico Bufren ade más un incremento y reducción de comp resión de valor jgual al momento de la acción de viento Bobre el pórtico entre el fondo o base del pórtico, aunque 6S fIluy improbable que esa acción ocasIone tracciones netac. El cociente de momento a compresión del soporte da lugar a la excentricidad, que se 6uma a la procedente de la acci6n vertical como se ha indicado antes : si ambas se producen en e l mismo plano

~ 2 "1 lepar to eQu 111 brado ,itni f ica que .a t e. ul t.nt e d. todo • • 11 0a no 0610 . , I fu ... 1 a la c.tlf. lotal de viento . n valor, 11 no a4e",'. tllllbltn e n pOllclón. 23 Lt)" p.ro(t4llma • • 1 UtO . u ohln con'hl.ttr a ' l l a4a llla nte pórtiCO a pórtic,) , debiendo d.,c.dl, el ulu3r10.1 reparto 4, 11 Ice ion hor1&ontl1. EIII.len Iltuno. pr,,(rllm;!.1 del tipo ·'elpa ':1 al" qUI cOlllpatlbili&ln.l de,plollle de t040 01 e4ifici.t) anle 3,:ci~ n nor"o:ontal, pero Il n tenef on cuenta la riC1de& 4 e l forjado I n IU pl:sno. e l.:nor ln40 dónde oe oncuent r a la r.oultlntl 4el ...puje de "ient o.

cantos.

Los momentoc en los extremos de dOf: tramos consecutivos de un &0porte, cumadoB, dan lugar a lT1cremento& y decrementos de momento en lag vigas o viguetas que forman el pórtico. En 106 Goportes de extre mo de pórtico l a variación ocasiona momento negativo a sotavento, y positivo a barlovento; en 10& soportas interiores la variación se debe repartir -más o menos a medias- e ntre las vigas o viguetas de ambos lados, como negativo en el la s situadas a barlovento del pilar y como po~itivo en las sotavento. u LOE diagramas pél5ilDOs de las piezas flectadas se obtienen deecolgando el momento isoetático de los momentos de extremo, alternativamente aument'ldos y disminuidos por viento en uno u otro sentido. De ordinario el momento positivo no cambia significativamente de valor, por lo que en general, la acción de viento ee traduce sólo en incremento de ar madura negativa en vigas o en las v~ueta6 próxima e 8 soportee zs .

Si la estructu ra es de nudos rf.g1dos -vigas y soportes 80n de hormigón- , l a fuerza de viento en cada niv e l se debe repartir 8quil.ibradamente entre todo e loe ,opo rtee Za , de forma que a 106 interiores les corresponda una fUl;!rza V del orden d el doble que a los exteriores enfrentados eon eli06, y a todoe los interiores una cantidad similar u , --en ri80r idéntica si sus secciones y las luesa y secclones de todaa 188 vigas y viguetas 10 son-o

6US

ARMADO Y DKTALLKS DE VIGAS Y SOPORTHS

6.1 Yigas, armaduras longitudinales

En las secciones criticas de la viga, cs ntro y extrerr,06, se detenn.\.na l a armadu ra fundamenta l dividiendo el momento lIláximo por e l brazo de palanca y la tensión que con seguridad soporta el acero . En vigas planas el brazo de palanca puede tomarse de valor O,90(h-r) para mom entos nega tivos, '1 O,95(h-r) para positivos, y en vigas de canto O,B5(h-r) para mornento6 fJegativos y O.90(n-r) para positivos. En 108 extremos de pórtico se debe pr¡;,ver arlDadura n egativa al menos para rssistir -au nque no 10 haya- un momento cuarta parte del de vano, de manera. que l a tracci ón resultante sea al menee i&ual al cortante de l a viga en ese punto.

El momento máximo nasativo se debe medir a carüE de (¡oporte, lo que implica

CB.lCulOB

diferentes en cada planta.

Si el canto de la viga 9S inferior al mlJlllnO por flecha l a armadura teórica debe multi plicarse por la relación del canto minimo al dispuesto.

Z4 Sn rilor 101 c6~ilo. con,ienten .n ,1 ca,o 40 viento una reducción 4e l a telfurSdad dllll 10%, por 10 qUIII l a coneidllraeión de elta nlpótc,l.t per.,'te, a nt ee ole '\VIlar la. 'olieltacio n e, de Viento, reducir lae proveniente, de accion vertical, de ma n era que en un renlfo de alturao. del orden de cuatro, h .1 tolicitacionlo eón vilnto no Ion peorl' que l . , d. , i~pl o carla (ravitatoria.

2S La IIIa,orll 4e 101 pro"allla. e_'oten t e' nQ pueden .,a nejar la 1"3~encla de un forJa.do. por lo que para aculllutar l a carlfa de 101 ce rr ll", ient ol Plqlleloe al , .,i"IIIo y para loportar l a .ceion hori&ontal transver,.l a I"s viCa. , ,e ven obli~a401 a . ña4ir unol e.trañalllente 4enollllnadot &UnCnOI, cuya. lollcitacionet y a rm adura. debe el ululrlo trad ucir pO lto rlor.,ente a vi,ueta3 por tU cu~nta. Salvo que a l prolfla"'a le le dI Unan &uncho, 'ncluoo entle lopor t l ' interiore, e!t. prOo:o,U.r!iento no reproo1uc. e'Ufeclamente .1 co.,portllniento dol 1, c."tructul' del e4l'icio, y aun con •• tl .o tr atetil tlmpoco .e puede repTe 'lntar ~decuad. m,nte l' colabor,ción d~ ooportoo '1 tro'bolillo ~.

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•• •

edilicio de , ¡,I udu

La nrmadura se traduce en un número exacto d e redondos, mini mo dos y un o cada 2 5 cm de ancho inferior de viga, de acuerdo con los valores: llwlIX:lro 00

LJ~(IrIIl)

f'>occión (cm~) Canto lIIínimo do la vigal(cm) AncL~~ recto nupot"ior (cm) inferior (cm)

• •• ••

di"p o no! Ilnc l.Je d o blado

010

012

0,78

1 , 12

12 30 21

17 36 25

en . '"

016 2.00 30 57 41

020 3,14 60 90 64

025 4.87 90 140 100

cAnlo

Si e l ajusta a un número entero de armaduras Bupone un 8UJ1"1E!tlto excesivo , ce f.U~'" n~(..."'Of"l6iderar el momento correspondiente , var iorndo en consonancia e l de otra eecc ión cl'itica para que entre todos cubran el isoatático. DeLido a la incide ncia d e l anclaje, e n vigas planas, ea infrecuente u tiJizar redondos inferiores de di ámetro mayor de 1612, y tampoco es acons eja ble diapon er redondo e super10res de diámetro ma yor de 11116. S1 el anclaje exterior ee hace por doblado en el canto, hu; poeibilidades ee reducen aun mas Z6 • En toda la cara infe rior, y en la zona traccionada superio r, debe hl\ber un a armadura d e sección al menos O,2BX de la sección de ho r mi8ón de

la vig a , sin contar la cap a de compresión del forjado . La armadura se organiza en dos o tres cortes d e barras rectas, con un rlurne r o pa recido d e ba rras, preferiblemente par, cuya l ongitud se obtiene po r pr o porción de la resilltencia que suponen en el diagrama de mom e nt os, prolong imd os e además un canto mas la longitud de anclaje de la ta bla ant e riCt r .

Si l a viga es quebl'ada en planta, las armaduras deben cruzarE;e y a.!lclarl;(: e ll pI·olongación. Si no es posibl e , por ejemplo por ser el quiebro un oon)e del forjado, hay que proyectar eatribos o arllladuras t r ansv e realeG para gan.lOt!zar e l equilibrio. Si e n el punto d e quiebro exiate un soporte co n al menos una planta por encima, se puede n anclar ambas en lazo , p~rCt ólslsnando al so¡¡orte el momento rE:l6ultante. Debido a es tos requ iF.::ito o es preferible que los quiebros sucedan en puntos d e momento nulo , o f o rzar el cálculo a ello. En l oe quiebros con momento nulo, - e mbrochalado s - , todas la s a rmaduras d eben 60laparse al menqs el ancho del encu(:nlro , y zi resulta una longitud inferior a la de anclaje, continuarse pOlO p r o l o nail ción recta o d o blarlas en el c anto si aCOmeten a un borde !ion:: .

26 IJu d efecto cJ'.lco en lo . pro. r ama. COlllercill¡" ", pen.a do ..... ,,, bien pAr a p,"bllcJt en la que la a lt .. r .1l d e lae vI • • • • up e r a n "¡,,t ematlc.onen te l a l~nf;t\'d.J ", "nr.laje, e. l a u.l i liallció,.. pr e f e r e nte d. ,:lO, dibujllnd o en oCIl.io n e" a.n ct"jf' '' 11.) l u p-tr iord~ a l cllnlo" " 111 vi(a, -lo que orleinll baja. "e re . i a tencja ,tt' h ll Jtt .. iJ l 7~l; ... , o la Ilco l ll.:ió n de un a lon(itud correcla, pero irr •• ol .. bl e e n al (' .. Ilt l) .J0I JIl vit ll plflln •• In IIIUCho. calO • • 1 prQbl .... " e riv. ,Se unll per et J de ..... uari o QU'" no de(in . lo a redon.,o . Qu e quiere u aa r, de jll ndo a l pro t. ram ll I II o1aci 3;,) I\ , r ll!" ult'Ot.lo Que . 1 pr0t.rll~ a lo h a ce con criterio. in a dec",.dol.

ulr \lc l~r ..

Al menos las barras muumas, y c o mo poc o un terci o de l t o t a l i nf erio r . deben lleg ar al extremo de la viga , pero sólo se pueden computar a compresión las pinzadas por el soporte y las que superen el eje del sopor te una longitud como la de anclaje inferior indicada en la ta bla anterior. (La complejidad con s t ructiva de esta segunda opci ón h ace que en genl!r al n o ee use). En la parte superior, en la que no hay necesidad d e armadura resistente, d eben preverse a l menos 2~8 como ~In O para el montaje de 106 es t ribos . Las a rmaduras negativas de extremo pueden anclarse doblánd olas en el canto, o, 6i sólo eon dOE, enlazándolas cons igo mismas en forma de lazo z1 , rodeando el soport~. (En las do s última E plantas, con soportes d e h o rmigón, l a pequ e ña compresión del mismo no pued e pinzar eficazme nte el lazo , por lo que deben disponerse los anclajes con el primer sist"'l'Ia). Si l os eoportes son metálicos e6 . pref eribl e siempre e l l azo , prolongando en la cubierta el fuste ha sta l a ca ra superior del for jado, y dicponiendo una tapa saliente. Lae que lleguen al extr emo del voladizo c610 se pueden anclar por doblado en e l ca nto. Si las armaduras n ega tivas sobre dos soportes consecutivos quedan distanciadas menos de 1 metro, ea p r eferible disponerl as continuas atravesando e l vano. Para las_ armadur a s _s_up_erior.es, en vigas planas y s 2.port~ extr emo sólo se pu eden comput a r como resis tentes las armaduras situada e s o bre er soporte o dentro de medio ~_nt_C?~~iga - ~ ~_fI..IQ..Q s !ac!o Ue~l· En los 60portes iñter:to r e s -n o hay ' restricción a disponerl as más alejada s , incluE.o por fuera de los estribos, siempre que no se olvide la armadura transvers al citada en la nota sobre armado superior del forjado. (En vigas paralelas a un borde, estas armaduras traneversalee deben anclarse en el canto de la visa). NOTA : CUllndo lo • • oporl e • • on de hormi , On, l al "ollc¡lllcione" de 11l" Vi' " '' Io n di!"rentlu In cada pilO, debidO a la inciden c ia d e la carl::l\ h ofi lontal y la . v a riacion a" de }",& efer.liva, por IQ que habr.li que opt a r p or t oma r un Ilnico aUla do qUI cubra la . sitUllcione. p ."ima. de ente tod a " eI1.", o de fi n i r ",n nu~e r o di.crelo ·d e tipo" diferente., v'lid" c.da uno pllra un p a qu.te de pl ll ntll •. En cualquier ca.o e. r eco lllend .b le qu., en t"da. l e u.en aUllld urll e del .- ¡"IrIO d" lIIe lro, "1 Il .e r po.lble unifi cllndo l o n fi tu de •. En lrI ", c ho l ca.OI! la nduccl On de .oliclt.ciOn por cll~b;o de t . ~"ñ o de .oporle. e s d el m'.mo orden que el .ulllen t o por viento, d" IIIlln~ra Que, •• lvo nudo& ."tremol, 11l a fAladura puede unificar .e e n lod a . l as planta • • in 10bredimen"ionado al.uno.

En vigas plana s de bord e, al meno e; la tercera parte d~ la armadu ra negativ a d e biera pasar por E:lllado de fuera d e l ejp. d~l soporte. 10 que e n C8SfJ dE:l sCl por te c metállco& o bliga a que és t o 6 n o pu~ da n pegarse lol borde del fQr jado. Si en los apOY06 de vigas en continuidad o sobre nudos rígidos , la tracción de la artrladura negativa s upera el valor O,4 ' b-h'f, dendo o el ancho dE: la viga en E:lsa zona, h su canto, y f la compresión que co n segu ri-

obra

:1 Lo" proCr"III~. e_i.lentee no suelen pr o poner t ll "olución de lat o , QUi l1 debid o a q .. e e l . ",t o r .ó l o p ien .1l In.tintiva~ente en o brll publicll, en III Que no e" fre Cl.le nt . que e.l.t . . . n . oport e e neill"lll de olro, "1 no el po.ible p i nUlr III a rm ll..t",r a.

edilicio de

fiYie~du

dé.lcl pUE::de resistir el horll'ligón 28 en flexión, de valor entre 60 y 80 kp/cm", el exc e so o S8 cubre con armadura inferior prolongada hasta el extremo y anclada - única posibilidad con vigas de canto- , o e8 cambia el ancho para que no se supere esa cantidad. solución no recomendable en vigas de canto.

6.2

La tensión cortan te que puede soportar con soguridad el hormigón por ulI.idad d A área de sección rectan,3ular de viga, Betá entre 3 y 4 kp/cm 2 • El exceso de cortante, V., debe Bo~rtarse con estribos, pero no se puede superar el doble de 18 capacidad del hormig6n si 108 estribos es disponen a intervalos del orden de la altura de la viga, aunque puede llegar hasta sextuplicada si 106 estribos se disponen muy tupidos, con ramas verticales separadas O,15 'h en ambas direcciones. La tracción en las ramas verticales de los eetribos posee el valor V.·c/m siendo e la separación entre estribOB, z el brazo de palanca a flexión, para el que Be puede tomar en todos los caSOfl O,9(h-r). y n el número de ramas, dos como 1lÚ.niJn0 y al menos una cada 30 cm do ancho inferior d e viSa, en el caso de planas. El cortanto máximo so puedo medir a un c anto d e l a cara del soporte. Mientras que en vigas de def:cuelgue las ramas verticalelS de eetriboe deben situarse en las caras laterales de la viSa, en las planas es preferible disponerlas promediando el ancho inferior, lo que de paso permite una mejor solución constructiva al encuentro de vigaa y viguetas. Sin embargo e n lao vigaa d e bords ea obligado garantizar el traspaso de la tracción infArior de las viguetas a las ramas horizontales del estribado, por lo qu e viguetas y eetribos deben imbricaras. Loa estribos deben ser al menos de ;6 a separacionee de al menos 25cm , c o n dietribuci6n uniforme en cada tramo de viga, a tenor d e l máximo cortante, o a 10 OUIlO con dos intervalos: uno para la zona de lIláximo cortante y otro en e l resto. La armadura inferior de vigas, obligada a situaree entre loo estridisponerse de manera que entre armadura y armadura hay un i1lt.ervalo al menos igual al diámetro. En caso contrario debE¡ disponerse en dOf: C<lf'aa, recalcul ándola al disminuir el brazo de palanca. En vigas de de~cue l 8ue no es recomendable que se disponga más de un redondo en la Elsquin a , y e~ aconsejabl e que 138 arme al menoa con tres n armaduras. d~be

En vigas planas lo mejor es disponer la armadura concentrada, con la s ep-'l r ación minima, en torno a los puntos de acometida de estribos, y las armadUl'ac superiores de nudos intel"iol'es a derecha e izquierda de los ectl'ibos, la mas larga junto a ellos. Do ordinario la mitad de la armadura eupf::rlor se situará por fuera de 108 estribos , fijada por lec armaduras

:. ,.t.

. ito le

lIo~eaario

2' LIJa p.·o,r.", •• ., t •• to . Otl honni,On no . u .len t .n.r .n ~uent. l a r e.l.ten• Incendio, lIp i~. en .Oi'i~io •. La. Vi, •• O. hou.i,On Ion lIIuf po~o rea!.atente. a fue,o .¡ .e auna n .010 ~on do. reOondo. en l a • • • qulna. o .e ~ on(;entra e n eao. punto. la .r.aOu r a. ~¡.¡

11 I' u 11 +n JI, p lll h ,' 1111 1li d 11 (I~ t. ~I . '

Soportes

En hormigón, para una compresión N y un momento H l a sección de la armadura l Ongitudinal se obtiene dividiendo la capacidad mecánica n ecesaria por ls tenei6n segura para las armaduras, entre 2,7 y 2,8 t/cm a • Uns capacidad suficiente, si la excentricidad H/N es inferior al 15% del cap.to a, puede obtenerse con la expresión:

u ;

O,a 'a'bof

+ 3' H/a

ciendo b el ancho del soporte y f l a compresión media que soporta con seguridad e l hormig6n a compresi6n , de valor entre 50 y 70 kp/Clll a • Si la excentricidad supera el 15% se pueden utilizar 1 06 valores indicados en el apartado 4.2, o aumentar la eecci6n del soporte. El val or de H debe tomarse no inferior a N'a!20 ni a N·2cm. Un Doporte de sección circular se puede tratar como uno de sección cuadrada con lado !Bual al 80 % del diámetro. La armadura debe distribuirsEl uniformp.:mente JO en el perimetro, sin que haya más de 30 cm entre armadura y armadura, con al menos 4 armaduras de diámetro ~ 1 2, jilt16 , ¡lI20 o,-no muy recome ndable-, _25 . Si la Bocción e6 circul ar se recomienda al menos ' sois armadura e _ Se reconoce que e l dimendonado de soportes es el óptimo si la armadura resultante es mínima. Si la capacidad de la armadura 6u~er~ O,a' a-bof o excede de 8S1125 debe cambiarse la eecci6n del soporte.

La armadura l ongitudinal debe aoocinaree y prolongaree para entrar dentro del tramo superior de soporte en una longitud igual a la indicada en visae bajo el epigrafe de "'anclaje recto inferior"'. Un estribado de \lI6/15 cubre todos los casoe . Su forma debe contornear el perimetro y con los trazos interioree que se necesiten para que toda armadura longitudinal a más de 15cm de otra arriostrada, eaté arriostrada en plan+.a por dos line as no coincidontes. En la parte superior del soporte, junto al entronque con la viga, debe dicpone rs e al menos otro estribo intercalado. Si l a vig a e6 de canto los estribos continuarán a tl"avée del nudo. (Si es plana son los da l a viga los que atraviesan el nudo).

••

e. el uni~o .ap.~to de t l •• lón e n ~¡, y vi(u.t • • • 1 Que , . eenhor .. ,,6n. Si l . ~o ... prob.ciOn •• hol,aOa 0.1 a iQuiera •• pueOe de~idi.rle a pOltarlori por otro. ~ondi~ion.ntel.

~.ltÓaO del ~ono~.rla y

transversales del forjádo. Si el ancho de la viga supera 60cm será preciso disponer estribos de tres ramaa , pudiéndose disponer la armadura f:uperlor en seis pal·tes, cada una a un lado de cada rama.

6.3

Kotribado de vigas

boH,

ulncluru no

JO Hu~ho. pro¡tra",a. tienolll e. p .~ia l e'. dlficult.aO • • • n elt. tema, pre¡tuntan<lo u optando por ar .. adura • • " do. cara •• ~u.¡nOo en cdlfi~lol •• ¡ .. probable un".1 ,ran •• c.ntricldad. y no el •• te pref.r.n~ia por una. ~ara. u ot r al. En 0~a3iones . aneJan .. al la .uperpo.i.~ IOn Oe lIIo.e ntoa .n l •• Ooa 4¡r.~~¡ o n" •. o interpretan in~otrec t a .. ent. 1. rela~i(on d • • fllladu r a. en lo . 4if.rent .1 laO .) •. La p r ilct , c . Oe Oi.poner a r maOur •• 4e diferente di~~.tro e n ~n m¡.",o lopor t e no ea reco.e n "'able.

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edificio 4e lÍlludu

ulrucluu \IDO

En acero, p a r a una compresión N, e ventualme nte un momento M, y una l ongitud 11 (en m para H e n tonel adas), la sección necesaria A. si la exce n tricidad no es muy importante. puede obtenerse con la e xpresión: A-f

H ...

LéI ten sión media de punzonamiento se obtiene como cociente de carg a que entra en el soporte y la sección resistente, sección igual al producto del perímetro por el canto efectivo . El can to efectivo es e l tota l en solu ciones de hormigón, y e l que re sta d esde el borde del pe rfil de s u jf:'ción hasta l a cara superio r en caso de sopo rtes de perfil. Si la tensión medi a a punzona mie nto exced e de la tensión segura a cortante , -entre 3 y 4 kp/cm~-, el exceso debe es tar resuelto con ramas verticales de estribos situadas en la pr oximidad del perímetro en cuestión.

2· H/a ... a-HI

siendo f l a tensión segura del a Gero laminado, entre 1,7 y 1, 8 t/CIIlI, ya el coeficiente de incidenc i a de pandeo de cada perfil, 4 para HPB, 1 para tubo cuadrado e igual a b/a para tubo rectangular. La expresión anterior implica proceder por tanteos. Las soluciones óptimas d e tubos Bon las de menor espesor de pared.

6.'1

2 '/

E:n el caso d e vigas de canto , la comprobación de punzonamie nto es , casi siempre , máe f avorabl e qu e l a de cortante. Cua ndo no se cumpl a la c ondición de resistencia a punzonamiento d e be alterar se la f onu)" situación o tamaño del soporte, y sólo como último r ecurso aumentarse e l can to del for jada,

Nudo do Doporte) viga y forjado: pWlZonam.ento

Para sopo rtes metálicos, la forma y diseño del reealto deben ser ta les que, a nte l a comp r ee:!ón que l e transmite el forjado, no se doble, aplae te o deEPegue d e l soporte. En una ch apa plana la condición limit e es por flex.i6n, no pudiendo Ealv ar un vuelo supe rior al cu á druple de su ecpeBor. Con perfiles e n L el vuelo l ate ral no pued e superar el lado. Con perfilee U s e puede llegar a un vuelo doble de la altura. Para angulos s oldados al biés l a única condición de agotaniento es por l a sol d adura, pero un cordón d e tamaño adecuado al eepesor es eieJl pre suficiente; e l problema de esta solución ElEl que, s i aumenta el iamaño dsl ángulo, dis minuye el canto eficaz , de man e r a que en o casione s, la, única alternativa es aume ntar e l tamaño de soporte.

Aun s i la viga BS de descuelgue. si el sopo rte Be metá lico puede tener un tamaf\o inferior a l a viga, y con vigas pl anas, independientemente d e l tipo de 6opor t o, esta d espro porci ón e s manifiesta, y deb~ co mprobarl5e o armarse a punzonarniento , Si loe s opor t es eon metálic08 d e b e e xistir un resalto para que desCanEfI;! e l f orjad o . La lSuperficie del r e s alto -medida e n planta- debe per mitir l a entrada d e la compresión sin supe rar la tensión qus con seguridad puede Eoporta r el h o rmigón, Elntre 60 y 80 kp/cll'l'", I!:n todo caso, en el perímetro a pun.z:onamiento en las proximidades del pilar. no debe superarse, debido a l a ca rga que el forjado o viga d epo sita e n e l sopo rte, la tensión que con seguridad es cepaz de resistir el hormieón a punzonamiento: de 9 a 12 kp/ cm·, I!:n t::oportes interiores, el perimetro corto 31 a punzonatnlento e6 el qu e resulta de la intersección del ancho de la viga con una linea , t raz.ada en derredor del soporte a medio canto de dist ancia d e la cara exterior del coporte o del resalto de apoyo. Un segundo perimetro largo a ponzonamiento ee e l trazado a vez y l'Iedia e l canto, pero computa ndo sólo las partes normales a la directriz de la viga. En ambos casos no se puede c o nt a r con l a parte intercecad a por huecos d e b ajante e o de ventilación. En P.i l caso de soportes en e l lateral de una viga plana para l e la al b0rde del forjado, del p erimetro c orto d ~ be e xcluir se 106 tramo s normalec al borde. Si e l soporte recibe la viga normal a l borde, tanto p a r a e l perímetro c orto como para. el largo sólo puede computarse l a part e normal a la directriz de la viga. En tll ca so de un Eoporte de esquina sólo h a y un perimetro posible, un corte recto a ttledio can to d el v értice interior d e l sopo rte, oblicu o a ambos Lardes. I!:n este caso la tensión tangencial media n o d ebe superar el doble d e l a tensión cegura a cortante del hormigón.

31 l."e r"Clae que e',uen eo n un .. Interpr e t ació n '1 .,e& cl a 4el la clo 4 a l a lIe( ur l<1-,-d e ntr e l all qu.e facilita el cód l.o eepailol '1 el e u.ropeo, apll.c.nd ol ae a l caNO ,'s rlicul s t d e vi.a. planee, para _ 1 que n i n ...lno eet. eepe ci e lme nte "3<: r i tI).

6.5

Escalera

La me jor soluci6n de escalera es sustentarla en los soportes de la estructura general. A e f ec tos de l cálculo de solic i tacione s, la escalera se t rata como un forjad o e n proyección, continuo contra e l far jú.do de planta, libre en 108 laterales de zanca- y meseta intermedia, previp-ndo una 6us tent ació n e n esa últiJDa zona, que enganche a soportes del ediíic i o e n puntos interl'ledi06 de su a ltur a entre plantas. El trazado de los quiebros d e la loea debe hace rse respeta ndo el marge n para el p e ldañ eado , cuidando que la forma de encof rado sea simple, y l a apa riencia decente , En eecaleras, la carga debe Eupone rse l'Iayor por peso propio, ya qUf< s i es maciza pesa mas que el f o r jado al.ige r ado , como minimo 300 kp/m~ aunque ee aligere , otros 300 kp/¡n'" de peldaíieado, y otroE 300 kp/ m2 de sobrecarga de uso . La armadura se calculará en forma an áloga a la del forj ado. En las partee maciza s debe disponerse como minill'lo ~B/20 e n l as dos dire ccion es de la p arte inferior. I!:n la euperior se dispondrá la armadura resiste nt e con diámetros no superiores a ¡H2 y separaciones no s u pe riore c a 30 c m. En la6 zonas e n las que no se necesite arlnadura en una o doc direccionec se die:pondrá al menos _6/20 .

ediflei~

de fhiudu

En todo caso las armaduras que acometan a un borde se anclaran dobl adas en el canto. El quiebro en alzado de la escalera implica prolongar y cruza r l as armaduras tra ccio nadae en el lado cóncavo. Si la escale ra no rodea al sopo rte en e l que S9 apoya , hay que proyectar un nervio expreso, c"nv '~nient.emente estribado que transfiera correctamente las cargas de un a o otro.

Aunque la escalera sea continua con el forjado, como Be ejecut a con poster i oridad a él , debe determinarse el punto de corte y solape de armadUl'il6 para dejarlas como esperas entre una fase y otra de l a construcci6n.

7. lHiPRIiS ENTACION

La doc umentación de una estructura cuele reflejarse tanto en memoria como en Pliego de Condiciones, en desgloso de Medición y Presupuesto, y, por supuesto en Planos. En loe proyectos profesionalee no ee incluyen los diagrama n de solicitaci6n, a unqu e resulta útil El instructivo contar con eUoF;. Los diagramas clásic08 son e n alzado, repreflentando separadamente los correflpondientee a tipo e de far jada por un lado y de viga e por otro. La representación Bimultánaa de BoJicitaciones de vigas y soportes es confusa, y lOE de soportes tienen poca informaci6n. por lo que, aun presentando un conjunto de vigas y pUares corno un pórtico, es preferible utilizar en vigas un procedimiento gráfico , anotando los valores numéricos de las eollcitac1onec máximas, y en soportes hacer s610 lo segundo. Como l a solicitación de cortante eetá impllcita en la de momento , - pero no al revés-, en vigas se representan los momentos, y Ele anota momento (en rnt) y cortante m&x1moe (en t)¡ en soportea 6e anota compresi6n (en ¡núltiplos de 5 t) y momento (en mt). La escala de momentos debe elegirse para que l a lectura t1ea lo más lútida posible; l o aconsejabl e es que lOE: ~01Dent06 máximos r;upongal) un Ecgmento entre el tercio y el cuarto de la luz, pero siempr/!l debe adoptarse una única escala para el conjunto de piezas, vigas por un lado y forjado por otro. Para representar la información referente a una planta de piso con fo r jada de horm!gr"n la escala máe acon&ejable 3Z ea la 1150. (Con elementos de ac~ro la escala 1/50 no es suficientemente preciea, y es preferible descriLjr el conjunto a 1/100 o 1/200, detallando los nudos y encuentros a 1120 o l/lO). En l a planta debe refleJaree situaci6n de 80portee, dirección, trazado y ancho de vigae, dirección, trazado y reparto de viguetas, con indicación expresa de zonas macizadas, viguetas dobles, arranque de partes inr.linadae de escalera, zunchos, huecos, etc, todo ello acot ado inequivoca nlente de lD"nera que los soportes se refieran e ntre 8i, y los dema s p. l ementos y bord es de forj ado a ellos, die poniendo un conjunto de códigoe lit,erales o nUmf3ricoB para identüicación de todoa loa elementos. Comoquiera que 106 Soportes tienen un tamaño apreciable, y cambian de planta a pl anta, la acotación indicada en e l párrafo anterior debe hacerse para un punto peculiar de cada soporte, normalmente asociado a la

ulruchtu no

manera de crecer su sección. por ejemplo e l centro si crece a ejes , el punto medio de un lado si crece manteniendo esa cara, o un vértice si cre ce en esquina. Res ulta sumamente aconsejabl e la representación de una planta resumida, con 108 detalles a 1/20 de sección de soport es Y aledaños, y l a identificación de los puntos de referencia del acotado. Para may or claridad, es preferible que el montaje de los detalles se haga con la disp osic ~ón de la planta, de manera que se pueda comprobar la situac ión relativa y los hlloces de loe ele~ent08 de conexión. (Si se disponen l oe puntos de referencia a una escala dadllo, por ejemplo a 1/50, estas coinoidencias se producen automá ticam ente). Si l oe soportes no varian s u manera de crecer, ni cambian de forma, se pueden representar en un cuadro l l por pla ntas y tipos indicando sección, armado longitudinal y transversal. Para mayor claridad, 106 datos repetidos, por ejemplo estribado, conviene disponerlos almenar número de veces, por ejemplo con una nota al pie. Los aapectos de cuál es el lado prilnero, cómo se dieponen los estribos, o c6mo Be abocinan l as armaduras deben expresarse gráficamente. Si loa soportes cambian de forma Bera preciso h acer plantas separadas a 1/20 de cada uno de ellos. Si 1015 cambioe e incidencias se presentan en altura el cuadro se traneforll'la insensible mente en un alzado a escala. Con 'soporte s Inetálicos los detallas deben ser simultáneamente de pl anta, alzado, encuentro de diagonalee. etc, tal que ce puedan acotar y definir l as chapas, muerdos, recaltos, etc, en general a

1/20 o l/lO. La información referente a · vigas puede representarse en alzado , soluci6n casi obllgada en vigas de canto cuando hay armaduras dobladas, estribos incl.1nados, callbios de altura, etc. En todo caso el despiece de armaduras y estribos Be entiende mejor en alzado. Sin embargo , con vigas planas, en las que el ancho o 104 haces pueden variar, y no h ay barras do bladas a 45-, la información relevante es l a de l a planta, y si es nece sario algún complemento. la sección, a 1/20, para verificar despiece de estribos. Represe ntando en planta. convie ne dedicar dos por forjado. La defitinada al a['Dlado de la parte inferior, puede incluir sin co nfusión toda l a información geométrica indicada 'en el últiJlo párrafo de l a página anterior. En aEta planta l5e puede verüicar l a solución de prefabricación de l a fe rralla que incluye los estribos junto con toda la armadura inferior, en tramos completos , hanejablea y enaartables en las eeparas de pilares. En l a planta destinada a la armadura superiol' d ebe aparecer l a di sposición en detalle del ar mado que complementa la ferralla prefabricada, verüicaodo el cruce de la de viguetas, vigas, zunchos, refuerzoe, etc . ReEulta obligado el complemento de secciones tipo a li20 de todos lOE elementos del forjado , zu nchos, vuelos , bordes, etc. La eEcalera puede representars e a 1/50 en planta alzado y secci ones, si la geolfJetria e8 confu sa y el armado eill'lple, y prefer iblemente a 1/20 para poder representar la armadura tal como es.

De IIGUIL. ibrll 1990 )2 Si II ~;bujl con proeedi~ilnt~ CAO, y II edita con '~prelo r e de al men ol 30Q ppi (puntol por pu1llad:a. equi .. alente. e all10 .,,,. de 10 puntOI por .,lllme· tro). :tI puo-.!e fe.11,a, con perecid:a precil;.:)n .n 1¡100, pudiendo reflejar la Infor"'.'CiOn de un Al en un AL Para la. de.,.t. • • • eala. d.llnlda . e n el texto vale una fe.J u r.ci<>n :thl;l a,.

33 En rillor tal cIl&dro de .oporte. no e. unA Infofmaeión trafi.:: .. , nI es un ph.no IU .lt10 . Con 1all ll!cnica. de hoy d' .. , en ve' de r otularl/1 lIe puede incluir tlpollrar¡a.Ja donda .e delee.

fUUUf"i.

liHllt,.

_u._ ,1.j,.l

. eawela tAarl.ca euperlor de

~tectura

valladolid

INSTROCCION EF-BB

1. DI LOS ANTKCKDKNTIS Poco después de la p.1bl1cacl6n de la lnatrucx:l6n Di- SO la Comisión Permanente encargada de eu reviei6n, fonm Wl grupo de trabajo aseeor, con I

objeto de ID8jorar y actualizar el artirulo correspondiente a forJadoa, el n · 41 de la EH-SO y el correspondiente de la inIItrucx:l6n del honn1g6n pretenaado. EP-77, en el 8Up..¡oeto de que ' UI'boe tipoe de piaus. Bn:wldaa y pretenaadaa, OOIQPlten para aolucionar . un ~100 .l-.-.to, el forjado. 'i deben poseer reclaa 00IIIJIl8(I.

11 grupo a¡luttnó a tndustrialea fabricantes de ferralla prefabricada para viguetas, armadura de pretenaar Y. bovedillae , técnicos COI'\6ultore8. calculldtae. arqultectoe proyeotiataa, representantes de laboratorioe de oontrol de naterialoe y de la administración liaada • esto. t..e.aa . Alaunoa de 8U08 eran ademáa profeeoree Wl.1vereitarioa. El grupo o:menz6 BU8 trabaj08 de del1beracl6n con un aul6n relativaque hacia preeagiar un desarrollo wy superior a un eillple articulo de instrucci6n . En el ánimo da todoe aataba la idea de que el contenido de Qt- 52 para forjadoe era pequeño, CXJIIIParado con la repercusión del forJado en la estructura de un edificio, que al~ en ocaaiOO68 lIlAs del 5~ . La patolosia causada por forjadoe era amplia. Lae eabelt6C68

IIBOte amplio,

f:..

1 .

)

\',

)

~ .¡,

limite, que en la 1netruccilln anterior eran alllplemente ~bl68, condueian a cantee elevados, y • ooet.ee importantes, por lo que loe técnlcoo impllcadoB estaban abocadoa • proyectar oon un canto manor, 00fl loe coneabldoa riee.g08 inherentes .1 awnento de la defo....."bilidad, e10 Wl8 codificaci6n precisa da OÓQ) calcul.rla .

La obligaci6n de la Autorización da Ueo paliaba aJ.sunoe inco.wenlentea, obligando a explicitar y a fSOCDBter a 8Uper/telón loe valorea fW\daDentales del forjado. Sin el'lbarao la práctlca eet.aba derIvando a la construcción de l forjado a partir de planos ofrecldoe por el fabricante de viguetas, en ocaalonea reapooaabilidad .

ain

finll&,

sin

clarificar de quién

era la

u·u

El ifnlpo mantuvo reunlonea 1IBNIUA1ea, hasta poder elaborar W\8 pooenc1.a COl'l88ll8U&Cia. que ofreció & la Call816n. en 1986. Tal ponencia no ai.anUlcaba acuerdo total. yen aJ.aunoB ¡untoe no estaba disponible Wl tundalllento teórico para tomarlo. In PIIrt1w.lar. eobre 01 tema de l. flecha. parecia previo definir el coooepto y loe criterios báaicoe de BU cllculo. antea de poder abordar la del caso partlrular del tor Jada. loa dobatee en el 8MO de la Cc.lel6n. y loe trabajoe de IlOdltlcacl6n del articulo jlen8rol de flecha, llevaron varice me8611, La aprobación del

canto llin1.w. Há.e adelante ea OCIIDellta su valor.

pero

oontenido (Xb) una nol1Dll independiente. ya Que euatitula a loe artiruloe do lu dos instruoclonee, se proWjo en 1987. Loe trabaj08 do de edici6n y

oonaulta previa a la Ccu.m.idad Jillropea obl1&aron a posponer en el B.O.K. hasta el verano de 1988. I.D que sigue eon

Ul'I08

oomentarloe para ayudar en la

Plbl1cacl6n

3 66

espera que

Hay que advertir

la mayor que

parte de

Norma

106 proyectos p..¡edan cumplir esta utiliza

6.Xclusivamente

el termino pll" tanto

v.i,zuttt.t para referirae a todo elemento prefabricado, incluyendo 188 hasta ahora denom1.nadae eaIIiv..l.,¡u&tas.

2.2

Ile.entaa prefabricados

Se recon.ooe la poaibll1dad de que l.aainado o oontormado en frio.

utilice

CQD:)

a.rudura

un perfil

lectura e inter-

pretación de la ir-88. un avance do lae repercws10nes a laa que pJOOe CXlI'Ó.lCir BU apl1caci6n, y o6a) . . p.MIden oonteoo1.cnar lae nuevu fichas do lu h1torizoclooM do !leo.

CU6t'lta de que la lnetruoci6n aeneral Eli-BB modifica loe recubrimiento .iniJno • cualquier annadura, que se sitúan en 2 CID, Be permite dejarlo en 1,f) ca para viguetas prefabrientendido que no es preciso eete recubr1.J:¡iento en la cara que va a r6veetireo con úa honli.a;6n.

Habida valoree de tipicamente cadas, bien

Se ood1fica oomo rea1etencia lDinima de la ceráJlica, o.umdo esta se destina a elemantoe resistentee, el 'valor de 2f)O Irp/c:m- en vi.¡uataa pretensadae, y de 175 kp/aa- con carácter aeneral, por ejE!IIQPlo en txwedi-

lIas.

2. DE LOS ASPECTOS aENERALES 2.1

C..po de .pll0.o16A

U-88 define loe requisitoll de loe clÁ8iooe forjados de ed1ticación. o,¡¡y\do el .1emanto eatructural bUloo ea el oonaJ.a;ón armado o preteneado. No 88 incluyen 1011!1 tormadoe por cha.paa lrecadaa de acero con hormJ.a;onado poeterior, reoocldoe en el euroo6d1.a;o en el apartado de 1Ü.Xta8. Y no intenta oobrlr loe caeoa de Me de 50 c=- de canto, -'a de 1,26 • de intervalo entre nerv1oe. o IDÚ de 10 • de luz. La

norma

En la fase de deatesado se admiten OOIIIprealonee hasta del 67\ de la reaiet80cia del hon.ia6n, y traocionea qua no superan la del honDi&6n, en el lWPl68to de qua el trabajo posterior y el ho..... iaonado prote&an dicha zona. Para este calculo ee adIIite la simplificaci6n de adoptar 1,0 C(IClt) ooeticiente de oeQUridad del pretenaádo, pero ' Be oblia8 a una annadura .1nlma de D,l5X del área total, del O, ~ del cobarlcéntrlca. y siempre al lIl6f'108 doe redondoe. Eetaa realas son. oonaecueocia directa de laa Que buten en EP-80.

'reto

Para evitar valorB8 de dificil deIDoetraci6n 88 eatablooe un máx1JDo en laa péni1du a oonaidorar, que para ~ anadura de O,~ ea del 17 ,5~.

4c.- . e

----------c..-----ó.-------- ,----..-..-

:J'1\~.

l-.-J .

:.f[--lr· . . ~'ff= L-

,.. .

::'11

2.3

Seca ión del forjado

Para la constitución del forjado 88 exlje un gru660 de la capa de compresión (deOCla'linada ahora lOBa 84P6l'lor ya que a veces no esta comprimida) .. 1nlD:l de 4 a, sobre v.Lauetaa al menoe 3 CID Y al no hay oovedillaa de 5 CUI. La intención es pennitir un adecuado recubri-'11ento de lao annadurae, cuando ln8OO8 188 de reparto exiotentes en dicha zona, habida cuenta de la relativa poca protección que preata lo bovedilla. Si no hay oovedilla. ea inclueo 1mpoeible dlsponer arwr.durae superiores .o ¡li la OlIfIpliendo recubr1mientoe.

Awque en

La novedad ea que no Quedan rubiert08 por la norma loe forjados que posean un canto inferior al que se define OODJ lDin1w. Para estar dentro de la Noma el canto debe ser al lD8IlO8 el que 88 incUca en lUla tabla en 61 apartado de flecha. . Bien ee verdad qll8 ale=pre queda la posibilidad. bajo reeponaabllidad del proyectista, de adoptar cri teri08 en oontra de Noma,

la práctica, al tener en ruenta el reato da condicionantes

de la nonM, el disai\o tendeda a ello, se preecriba que a nivel de la f¡Uperficia superior de la v1&ueta el e8trec.halliento de paso de hormi&o" debe ser al l'Iel)08 de 3 CI'I.

D-II

=-:---,~-----;----:-----;---:-:----:-._ ---

JDM:(]C1Dil(~[

Para cantoo Myorea, todas 188 variables crecen. proporcionaLoont.e : la luz poeible al Bar función de la 8ebeltez 1Doix1Jna, la 81Uldura minicna al depender del canto, y la resistente ya qlle depende de la esbeltez; -conatante- y la luz -proporcional al canto-. Para cargas de viviendaa o superiores, la anl&dura por realete.ncla ea alat.elláticamenle l\ayor que l a 1D1n1mt.r. pro(:U88ta. Eata a~a .1oima aimplifica la oferta de vlguetae al deacal1t1car las deGt1nadae • no aoluclonar nlniún problema.

2.4 laao do bora18ooado ln 81tu Se establece claralDE.U"lte que ea preciso ccmprobar l a realat&ocia en la horw~onado. Se abUca ademáe a OOfUIiderar minima una sobrecarga de ejecución de 100 kp/.-. que cubre fM'C"Rpmnte la de loa operarioe y e l

taee de

exce&O

Para mejorar el OCII:P)rtaadento del forjado, a1aulendo la pr6.ctica reooaaendable de que la AnIIÓ.\r. transversal poeea atado. Be prescribe que exiata una malla . al DeIlO8 oca intelValo 30 ca tr8ll8vemal a 108 narvi.oe y 60 aa paralela. in acero AXH500 la cuantia ex1alda ea de 0,45 aJ-/. tranavemal y de 0.22 ~¡. paralela. lo q\MII eup::ne dal orden de 0.5 ka: de acero por .. do superficie de torJedo~ In acero Wl216 hay que d1apcn8r huta 1 Bate arado ¡uede aer por eJEJII)lo:

ka/-..

Tabla 1. _

-da

. . la _

da k>a forj . . . .

61Il5OO _ . poralola

4"" 5"" 8""

oH/50 _4/50 oH/40

Al 215 _ . poraloiA

"s/20 115/15 ,.a/20

_1IlniM

115/40 115/30 ,.a/40

La anwdlra l.ooaltudlnal mint..a para evitar rotura fráall. es. en plaza en T con lUlo ala ldeal&lente 1l1.ll1tada j el doble de lo indicado en lIeneral en Elf-82, 88 decir de O,oa-bo-b-t c 4/td . Como cuantia se0rn6trlca .1nima, prec1aa.ente por la aran eecc16n de hol'1ll1a6n que eupone 81 ala. N .tabl.eoe la de O.ooe-bo ·b, valor IlUY eu,perlor al de rotura fr6i;ll. Ecte valor de anDadura 1II1n1M no influye en loa dlsai'1oe habltuelea. Para nerv108 en tomo a 10 cm cxwduoe. por ejemplo, oon un canto de 18 CID. a una eeocl6n 1II1n1ma do ~1f1.8. Dado Que el canto IIÚ eficaz ea el a1n1lllo, aeta canto se utilizará para luceo en tomo a . ,5 ID. En eae caso la aiq:lle carsa de peso propio de 250 kp/III· ..u una aobrecarga de wbierta de 200 kp/'" • 1ntareJe' de 70 (SI ya exta_ D6.e arudura . En un tramo continuo D8 uearia para \mA lu.z de hasta 6 11, con un IIQIlI6f\to lsoetátlco CM1 dobl.." y por tanto con un IDOIIlOf'Ito poeit1vo dftl .. lB11O orden.

do honllaón recién vertido.

Para las v~taa anD8du, loe mmentoe en esta fase deben soportarss 8610 por un tablón inferior anDado y Wl redondo superior, traccionado aobre 80pandaa y COIIIpriaido entre éetaa y loe apc>yoa. Una vigueta con. celoeia de altura total 15 ce y 80pandaa eada. 2,t) _ conduce, a partir de la en.a oorreepond1ente a lrI forjado' 14t4ílO, a Wl8 tend6n de 3,6 t/aa z en la &nI&dura superior de i66. lo que e1&n1t1ca Que resiste con. 8610 1,25 de aeaurldad. que es el _i.nilDo aceptable en fase de ejecución. En lD..IChoa C4B06 es uta fase de e jecucioo. la que condiciona la altura de cel061a. y en general laa separaciones entre ~ no ¡ueden. superar lUCho 108 2. O . ,troe. Para laa

vl4uetaa pretensadaa. l.aa oondleiOO88 son algo máa toleran-

tea que lo Que 88 desprende de la anterior [P-80. Se adali ten (X)G"\pre8100ea de haeta el 67$ de la resistencia del hÓrm1.g6n . y tracx::iooea de hasta 40 kp/QD·. entendiendo que dicha zona queda wbierta por el hors1.&ón in aitu. Estoe lÚAitee conducen a una diat.aneia entre eopandaa del .18ft) orden que para viMuetaa armadas. qulzá lDÁa variable con. la luz y caraa; para valoreo IlOdaradoe de dlchaa variables pueda lleearae eaa! a 3,00 retrae; para C8rIIU. y aobre todo lU088 tuertea. ea podrá pasar de 2 , 00 IOOtroe.

2 .&

Cáloulo de Bollcltaclonee

El cr1terio de redistribución de -..oontoe para cálculos de realatane1a. que tal y CXlIDO estaba fonulado en 91-82, tenta varias interprsu.cionee, .88 preciea un poco aáa. En principio 88 _ita un cálculo elastico basado en la suposición de secc1ón cooatante, pero no l:l8 dice qua eea el lIáa realiata. Da hecho se aupone implieit..al"lenle qua la sección no 10 OA, Y que un cálculo afinado deberla tener en cuenta la variación de inercia que 186 pl"'Oduoe • lo largo de la directriz. El cálculo elástico que propone u-es, conduce. en loe C8808 da c.aq¡as no euperiorea. las de vivienda, a IIODeOtoe .ax1aJe i4¡ualea a qL2jk, con loo valo~ k de la tabla a1suiente:

. . 10.11.. 1, J"'I~ , ••., 1" h-I- h 111, l ••• 11. . . . .,nul l, , .. , ,,",1,1" 1 .,. ' u, t-..¡,t u ."' ... l........ II U ,-1t41t IVII i"- I ,11 .... , on t..l ,

••• \1

nUl o.tf' ltu'lj"

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N· de t.r-.

0,60

0,80

1,00

0,35

1,20 0.40

1,50 0,60

0,20

O,:JO

11' It"

11' 11-

Nada dice la Nonna de CÓIOO redistrib..1lr entre vigas, viguetas, brocha los y zunchoe, en 1aa zonas irregulares, en las que, la única manera de determinar la capacidad ree1etente necesaria es oon un anAl1e1e de eotados lÚDitea en rotura, análoao al wsado en l06U aacizaa.

El criterio de redistribJci6n no ea lo que Be puede hacer, sino hasta Be p..Iede llesar; en la práctica ae ¡uede adoptar cualquier aoluclén lnter..oo.ia entre el cAlculo elást100 y la redistrit:uci6n total. lo más práctioo ea tanar para IXla'lento positivo el mayor que, siendo inferior al negativo, corresponda exactamente a una arwldura detennLnada. El reato ee as~ a MBativo, y &610 88 éste el que debe redondearse a una o doe varillae. Si el paso a redondoe abUsa a aumentar lUCho .la amadura, CXlfIX) el cálculo se hace para un pai\o completo, siempre S8 puede disponer sobre la generalidad de loe nervios Wl8 a~ra básica, y reforzar en loa Mrvi06 pr6xiloo6 a loe ooportee para que el total de la annadura entre todoe loo nerv10e de un pú\o aea Juatamante el calculado.

dónde

Alalado ~

+1 vuelo*:

f>O

22 10

16 12

60 10 12 12

10 12 16

22 12 9 13 11 12 11 16

16 6 10 9

S ... vuelo 4 o ....

16 16 14 19 14 19

13 16 12 24 13 21

11 16 10 40 11 26

6 o","

18 1&

12 2t

2 3 o .... 2 ... vuelo* ~

lA_

r-traI.

+ vuelOf:

12 13

6 14

16 ' 12 22 14 6 17 12 6 14 7 :JO 22

6 4 26 6 16 6

Coefl.a1oato k po.-

9 9 9

22 60 70

10 40

11'

6 40 6 8 9

= tq¡.' /k

5J los dos tralD08 CXVJt..l,auos eQI1 ,dUorenu. _ un v.alar 1nterD!dJo. Par. 1lU610d inferiores a O.2·L 1M ~ Que no exiato. Loa CMCI8 Be1la1adoa cxn "-" IX) tienen .-nto ~J.ble.

Una novedad ea la de que 8i la aabrecat1la de uso no ea superior a 200 kp/II'I' -ni a la tercera parte de la cat1Ia total- no ea precl80 considerar alternancia de sobrecargas. Eso cubre l a prÁCtica totalidad de loa forJadoe deet1nadoe a cubierta y viviendas. in el resto de caaoe, la redistribuci6n ¡ueda apUcaree de IIl.!IR8ra diferente a cada hip6teeis de carga, de manera que, en la práctica," 1& alternancia sólo 88 traduce en mayor lOO8itud de neQativoe.

, .;) r

---~--:"'.:.:--, ~-,.,-- . \!.J ,

La rediatribJci6n penaitida poeibllita taualar loe IIClIDeI\toe poeltivoe de un tramo, pero 1lÓ1o para el c4lo.llo de IlOIDef'Itoe poeltivoe. Para loe .a:.entoo neaativoe debe deeoolaarae el JX:lCDImto 1.aoBtátioo dol traD:t de loe -.entoe de extn.o, Que depende del valor del trUlO lDayor de loe que aoomenten al r».do. Para caraa W'lifo.... Be ¡ueden considerar

y ne&atlVOll

momantoB poeitivoe de valor q'L·/l1,6 en tramo ~~ y q'L·/16 en tramo interior. CaD::> D:ICDeIltoe nesatlvoe Be t.ou.rlan loe .iuoe valores DObre cada apoyo interior, dependiendo de la lua 1lAxi&a de las doe oonsecutivae; la ~11tud: de la zc.\a a D::aIeIltoe neeatlvoe dependoria del ~laue de loe ~toe 1aoatAt1ooe • partir de loe M8ativoe .

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Aunque la luz de cálculo sea la distancia entre ejol:l dd apoyos -o la luz neta 1J'Iiis el canto en caao de ruroe-, el diaa:rama ae p..IOOa rEtdondear sobre el ancho de apoyo. En el caso de v~aB planas eso equivalo a una luz intermedia entre la neta -entre caraa de vlga- y bruta -entre ejes de apoyo- 80bre apoyos intermedi06, pero sólo para el 06cnp.¡.to de lI'J:lIIIodnto ...-ix1mo; la' longitud de neaativQ8 siaue dependiendo de l a luz E:ntre ejes de apoyo. Sin etnbargo, de tener en cuenta el redondeo, hay qUd considerar como contrapartida el ap.mt.am1ento en las proximidades del 8Oporte, que en la práctica equivale a diBpaner sobre éote la a1'1l'l&ÓJ,ra ahorrada en el resto da la luz do la vig:a. Este fen6cneno da un Juea:o Ulportante para optlmizar la armbdura nesativa .

''' '

.. I

co... tnlol

2.8 Cálculo de

a~adura

longitudinal

El cálOJlo de la armadura lonaltudinal -o de la 8efDlv1Mueta pretenaada neoesaria- 68 el clásico. Para la an.dura usando el Détodo parábola rectángulo por ejemplo. Dada la tonoa de la sección. en T roy acusada, en la práctica Be ¡uede tomar oomo capec1dad 1Ell!lC.án1ca de la armadura interior el cnclMte de ..:mento y el 95X dal canto MCánloo, d, o biBn entre h-3. Para la superior baata dividir el IIOCDento entre el 60X del canto, oontirDando que. o l!I8 1D8Ci.za. o Be lleva armadura 1nterlor para que en la mitad inferior de la aeocl6n haya la .iema capacidad. Jl8Cánica. 51 Be maciza se ¡uede recala.ll.ar el dlairaaa de 1DCD801:.oa redonde&ndolo de nuevo . &¡ gonoral tanto la OOIl8iderac16n de loe tabiquilloe en contacto oon el honliaÓrl. caro la no oola\xlracl6n de las ZOOlUS bajo un ancho de paao de 2 cm. tienen una cas1 rulla tra&Oendenc1a en el cálculo de la armadura. a 10 8UD). Y llBerUl8llte. en la nesativa. Sin embar¡¡o ¡:uede ser DJ.Y útil 00081derar la oolaboración del redondo au,per10r de la _iv1cueta y de la &n:IlIIIilra paralela a nerv10e de la losa superior.

Para el cála.ll0 de la a.11v1&ueta. o 108 valorea de la Autorización de Uao, y para evitar la juat1t1.caoi6n de valoree increlblea, Be prescribe una p6rd1daa lÚnimaa que oecit..n. para l.otI ouoe habitualee, entre el 20X '1 e l :t~.

u-u

valorea I!'I8teorol6¡iooe dieponlbleB no Be refieren a la humedad. re lativa en tcdo lIClIOOllto, sino a la 1Mx1awl del dia, que supera con Crec&8 en casi todas 1&8 poblacloneo y cad todo el afto el umbral citado. lLeetra opinión ea que edlficloe 80 t:.ome CXImO ad>ient.e l. el lI8IlO8 aareeivo.

Para vlauetaa preteneadaa, revisión de la EP-80, alón para 8.I:Iblentee

positivo,

pendiente de la

Tenelonee de cortante

rlouraa lón

Lu vtauetu a.rmadae . . r1i:en en _lA tema por la Iilf-SB, que , felizmente. ha caeblado eu toraalao16n . En la rueva no ea f"'11 interpretar qu6 variable _ docldva. nl q,ult estraucia ea .. jor. Di8poner lILlChoe redondoe de poco diÚletro no ea neoeear1amen.te recomendable, y recubrir W t.upxx). Poco reoobr1a:lient.o .. _lo, ya que el honai&6n no proteae al acero, -ya se ha indicado que loe .1nlD» auDYltan 5 _ en lilI-ea respecto a ilI-B2-. tllcho recubr.t.iento no peRlita al acero protecer de tieuraclál al hoRligál. lo que de rebote ICaW' volvi6ndoee OOf\tra n. El 1IIoSt1le&l entre aboe valoree ea _trecho.

Para loe rewbr1alentoe., o..aandaa ordinarias. la variable decisiva es la ta'uJi6n del acero, que IMII ooepta proporcional a BU lt.ite eláetioo y al eobred1»enaiaudo de la are.dura. Con aceros de limita a lo 8U1OO 6100 kp/cm l no hay probl-.u OQI d1ADeltroe inferiores a ,,20. En vigas de edificación. 8610 lae v1i:as con pooa anaadura de ,,25 aetá en 8ituaci6n critica, reaolub1e eobredlD!Nl1onando la an:.adura. ec..o antes o deePJée lae barraa ee anclan por Maulo -en el extrellO del pórtico- y la barra ,,25 exJ.ae una longitud de anclaje en patilla en la parto superior de 90 011, 8610 ea ven atectada.s lae v1aae oon este canto o IllUperior. La revisión de la II'II-KIfV de 1985 lnclu>e la condición de tleuroclón de EH-88 _ . interior.

_te

Lo dal amblente no Be a.abe lLlY bien 0ÓIl0 se mide. El interior de loa edUioioe no _ neceeariaaw\te ambienta &eCO, 1, pero en &eneral ea recubren laa piezae p:lr yeBOe, o inclUllO pinturas y azuleJoe en 148 zonas húIbedaa, y en lee z.onaa ne¡¡ativ.. por el solado. Loe honaiaones de 108 forjadoe vistos .1 I('Joxterior ee recubren con entoacadoe y pinturas. El cr1t:edo . ~rt.l¡ ", I¡"lOr all(l..lnOO autorne. de lv..&wI8dad relativa inferior al n,"""

IDOCI)8Ilto

3. DEL COHTAHTI

3.1 2 . .,

plantea un nuevo criterio que ea el de d&s<xxnpreagrealv08, en 3IDbienteB hútnedoe no alcanzar la resistencia a tracción en ningún punto, tomando para ello el valor p..mta del lado de la eeguridad, 0 ,45'fo,,2" , y en interiores o ambientes 86C08, 00 alcanzar la 1"881atencia l:I8dia a trac:x:i6n, valor 1.5 V6C6B superior ~l anterior. El cálOllo del IlOOlento de servicio para eatoe casoa 860lAlplifica y Be ordena sin problMWUl. B8

, 10 __ -";11 .

\~III¡ , • . , . ' ''''',

('-'tI -t\t).

t,l"()I\t • • •

oon n1 Jnoonvonlent6 de QUO lOü

El tema dal oortantA era y 811 oontl1ctlvo, y ocupó casi la mitad del Cociai6n. La eoluci6n Unal 8a eal~ ica y probablemente no oontente ni a t1r~OII ni a troyanoe. Aparent.eaw\te 88 permita c:xneiderar un cortante último· de valor 2'fov 'b'd pero ea un

t.1empo da debate en ¡ropo y eopojiamo.

Corno en forjados da vtaueta preteneada, el ~rtante IIláxh'lo ea produce en el extremo, donde no Be ha cumplido la transferencia, el <XlI"lport.a.¡iento BB e l de honrliB6n armado non.al. y ello ea da una BOla exprestón . Fh realidad 8e dan doa, pero por otra cuesti6n. Cano 188 t..eneiOO6B t.ar¡gencla-

por

Isa producIdas por el cortante son 81n.il~te horizontales y ve rUcalea. y en el caao de aeccl6n OOID¡u6ata ¡ueden aer lIIáa p&ligroaaa l as horizontales en la interfase da 108 dos material_ . o la reel s t.encla en. esa interfase ser MS baja. deben real1zarue dos comprobaciones: la clásica de ~rtante referida a cualqu18T oorl6 horizontal, bien de un M-terlal. bien de otro, bien interaecando annadura t ranaversa! , bien en oortee 8in ella , y la correspondiente a rasante, en cualqujer periJootro recto o quebrado. por la superficie de separación da dos .... teriales, o a través de CUIlIqu1.era de ellos. En ri&or la priDsra ea un ca&O particular de la oe¡¡I.IfI<la-

En pleZBe de hormigón 8in al"Dadura traneveraal. la OC'aIprobaci";" dA oortante p...ede haoeree con 2·b,·d·tcv . InclU80 se pJede aumentar el factor 2 "'.aeta cad 3,2 si el canto ea pequeño y la cuantia da armadura t.raocionada ea alta. Pero de nada 81Ive. La OOInProbaci6n de rasante pennite COIOO JaJCho 1,2'p, 'd-fcv y con valoree de pque ean en elaejor da loo C8dOO inferiores a b en la zona del .1B1'1O hol"lD1g6n. Ibmalll80te la OOfIprobac1ón de la Marganta de la semivIaueta conduce e. un valor b II6nOr, pero compenBado con creces con el f ev corre6pond1ente al hona1.¡;6n de l'Iá8 ca.lid&.!.

........ "4 Y ~I IIIIIU ¡'II I"' .... I IOI ~, 1,.¡lh.ll I " I MI ' '''

'"- loj 'U~"1I1" 110, 1.. n n..II \1 IM\wt ' .. I.ot ... ¡. ti Un \1.,, 1111' I ~I"I j""'lj"\" "~lol i"~ 1 j l lfio~ ' tI j.otl Al j. HI-fln l." lI ll ~\,,, ,, 1 h''' Mlll tM l ,\,. .IA" 4 111 11 (1111 1

r,. ..

'11\111 1,

U·..

C4mdo el

corte b o p interesa doa tipos de DIlterlal68 o de interfaaee , o 1111 0 1 quiebro 68 auy pronunciado. no existe una. teor1.a que claraII8Ilte d14ra lo que sucede. y la decisión de la norma -la I160CIr resistencia para todo é1- no ha podido aer Bino la del lado de la aeaur1dad.

·t

En plezas con armadura transversal, OOIDO las aemiv1suef..a.a an.adaa en 0810818, la OOIIlprobacl6n de oortanto ea b,'d·te" + O.9·At!·fvd!h(e1na+0060.) clásica del honn1a6n armado. La novedad ea que dicha OOIQProb6c16n 0010 vale haBta 2 CID por bajo del redondo euperior de la cel061.o.; por enc1.ma se debe utilizar l. de plezas sin armadura tranaveraal. Dado que la apertura del perfil de la oovedilla ¡uede ocq:.enaar la pérdida de la armadura, esta cUuaula p6l1D.lte qua l a altura de la celoeia no ~a que a j ustarse al canto del forjado I y que con trea O CUAtro a.lture prefabr1cada8 t\C p..¡eda cubrir Wl aa¡>Uo caIWO de torJados .

Para momentos negativos. ei el canto del forjado

.1xta.

81 oortante máximo ee debe lD8dir .1 't:orda de la zona macizada. o cara do v1a;a plana. cabeza de etc, lo que en oculonee penlite controlar el problema aumentando la zona DlllC:1&ada. naturalmente con la poeibilidacl do eetud1a.r de I'UlVO el redondeo de la arUio. de Ja:lelnt.oe.

8e mucho

mayor Qua

de la v.1guata, las ten810068 en la interfase 800 inferlorea a la máxima, por 10 QU& aproxi.JDadamnte Y- (1.2 · b¡·d·:lav x-le y en la

interfase . V- < 1 . 2·p¡·d·:lcv • x-le' 3 . Yljp>otaa _ _ •

3.2

En forjados 000 viguetas amadas y oel08ia de 2 redondoe de diáhetro _ y eeoc i6n A,. , la ooq:¡l"Ol:I6ción en la zona inferior del nervio. 86 la cláeica de la noAllll anterior Y < bt,·d·1'c:", ... 2.6,.,·f)'4/11 aiendo 11 el periodo de la 0010814. uaualDente 20 011.

Inoidenoia de l . nue•• foraul.o16n

La ca:qprobltición a oortan:t.e depende del tipo de eeoc16n: 1. Seoc~ do tabllm. th aeccionee de tablón preoocnprimido . 1 cortante en IICIItI8nt.oe poeitivoe eeti limitado a la expresión ¡eneral \,+ < l,2'bo·d·fcv . Para IIlOID8ntoe nttaativoa el tablón eat6 leneralJoonte dentro de la zona OOCQPr1JUda por lo que las tena1.onca en la interfase son lnterloree: a la ....d ... te6rica, yen prt.ra ~roxJ..ao16n . . y- ( 1.2·~·d ·fov ••-/e.

..... I •

•• 11<° ·r

2. Seocia81 al T. En torJadoe oon ae.ivtaueta pretenaada , el cortante an IDOID6lltoe poeiUvoe eetá limitado en la cara superior de la vJ.&ue,ta, en la Que el b¡ ea el ancho incluyendo el hona1&:6n in eltu. ea: y+ ( 1.2·b1· d ·fc ",. TUlbll1n &BtI. l blitado en el desarrollo de perimetro en contacto oon el hona1&6n in Ditu, hasta un ancho de paso de 2 cm, con y. < 1,2'p¡'d':lcv FJ\ general la 11.Jnl'taci6n del ancho de nervio. contando oon e l factor 2 o auperior, )' la _yor resistencia. del horm1a6n. no domina.

lo,

.:.• . . _.

t1,...

Si la celoeia no llega a alcanzar la capa de compres ión, la comprobación de la zona intennedia e6 Y < 2··bz·d·:l cv . El factor 2 p..¡ede llf:4il:ar a a ser incluso 3,2 81 hay rucha annadur& longitudinal de tracción, de acueroo con la expresión O , 6-d) · (h50·A.'f)'k/b2·d · 4100) en la qu~ en e l pri..mer fllCtor d eetÁ en rnetroe, y en el &e8UOdo. Que no p..¡ede superar e l valor 2, f)'k eat6 en kp/cm l . Las vtsuetaa de tablón ae usan poco y en senaral ¡uadan tener eetriboe. Las f6nulae de laa viguetas annadaa 000 cel 06ia no oufl-.:ln cambioe, y ee dEifienden bien a cortante . Para v1vlendaa baeta caal siempre una cel061a de 2114 Y un canto tal que b z eea d.:ü orden de 11 cm, y con 2\J5 no hbY nunca. problealbod . Para SObrocarsbQ 1M.yores de 500 kp/m2: hay Que llesar a 2f6!> y con un ancho bJ entre 13 y 14 cm. Las que Halen IIWllparadaa eco las

pretenoadae 8111

annadurt'll tt"anaver-

u-u

ea1. Las expresiones de cálculo conducen a lUla carga máxima para cada ancho b o p, esbeltez, y tipo de hormia6n. En part,lrular para v1guetaa T pretenaadaa , a 70 cm de inu.rej e, que ea usual . y relaciones L;h no auperlorea a las pet'llit1dae para torjedoa , 188 carcas w1.maa eon, para IrIIXI8Jltoa poeitiVOl!l. ea decir para traraoe erlrelOO8:

Tabla 3 . V~ T . . . . . - . """'" do tn.>...ru-•• I.I30 (cub1ertae ) Bl75 Il2OO 11250

10 b,lt 12 (COI) 15

320 380 470

340 410 500

380 460 570

410 500 620

COI

l.J20 (CXlfI wroa) Bl75 Il2OO 11250

I.I25 (tabiq..... ) 8175 Il2OO 11250

390 460 580

= 70

460 560 690

460 550 690

490 590 740

550 660 820

En general loe enBaY08 para cocaprobar el cortante, s in que el elemento fa lle por JDOCDento, se hacen 00fI cargas roy próximas al extremo. <l.lando Be alcanza la rotura por algo relacionado con cortante -rotura por cortante, agrietaD'Jlento oblicuo, despegue, raaant.e o rotura de anclaje-, e l rnornento suele ser inferior al de agotamiento , Y al contrario, CI...Il:lI'\do se rompe en ensayo pot" flexión, no se están dando valorea elevad06 de cortante. Cocoo el usuario hace lao doe OOIDprobaciones independientemente, hay que ack:>pt&.r precaucionee para que el cortante últ1.n:> larantizado 88 haya dado en presencia del Jláximo IbaDeIflto . Eso si&nlfica Que 01 ensayo debe a~tar a un valor. El ensayo debe P1"OIr8lllllr8e para. que Be a lcance e1.naltáneamenta el I'IOID8I'lto máximo -valor 80bre e l qua hay poca8 dudaa- y e l Cortante que Be cree lDáxiJoo. Si al llegar a la carja prevista, la pioza no rompe, 00 8e pJ&de aUlllef\tar l a. carga. porque romperta a IIXlCDel'\to, y si ha roto antes por cortante, no 8e 8800 8 i lo reaLstiria con e l náxiJoo mQIJ8Oto . Para aUlOOlltar el cortante sin aumentar e l IDOIDerllto, ea preciso acercar al Ilism tiempo la

caraa a l oe extt'ell108.

ecm:, pl8de observarse, -...entar la resistencia del honn1M:6n no pennlte Wl Balto e1&n1flcatlvo. y 8610 en situaciooee coyunturales p.l8de salvar una a ltuacl6a crit1.ca • oortante. D1JIIUnulr el lntereJe o doblar l a vt.auata ea caro y adeM.a au.cnta al mimao t1eq¡o el peso . AulDentar el oanto ea iaualmente caroj el oe ¡uede reeolver oon L/25 no deba hacerse oon lv'20 . La variable Me efectiva ea e l enc:ho oobre la v1aueta •. b,. qua dlticill:M!lnta podrá bajar de 12 o 15 cm, al la c.uva ea l a de v1vlenda8, del orden de 650 kp/ m:l. lo QUI!t obliaará. al uso de bovedlllaa con aeoc i ÓQ abierta. Pero además M4 .. 111!UDa d1alenai6n hay que preverla oocoo perimatro de enaarco ontre UIboe boraia'onee. p¡, lo que puede resultar mAs dificil.

Pero el l a caraa está a rnenoe de 2 cantos del extl"elDO Be produce W\a descarga directa, )' Wl pinzao:¡iento Que deavirtUa e l enaayo. Hay combinaciones de cortante , hCX!IeI'lto y canto que no 800 enaayabl88 . Para avi tar el pinzataiaoto, colgar la carja de abajo parece {OOO real y tremendaaoo.nte duro. Una soluci6n que puede reBOlver eatoe problemaa, ea apILcar la cara:a en Wl Ilinirno de cuatro p.lOtoa . reproduc i endo . ,Jor l . for'lllll de trabajo ante carga dis triooida, ( D l oortante elevado aln que toda la caras eaté

cerca del ex.tremo.

Loe apoyos interioree eetM más defendidoe OJanto M.a canto tenaso, debido a que la .r.ona OClIQPr1mida puede cubrir la vs..ueta por OOIlpleto. pero no deiIlIaa1.ado. y no etJ claro o6mo MI lOmlla. &l. contrapartida el ,oortante de cálculo ¡:uede ser superior a qW2, y es posible que el forjado Be d1ael\o oon lWI eebeltell de 1.130 a 1.135, lo que a¡rava el probl ema .

La ooncl ual6n ea que, la l or....Ilaci6n de la utilizar viaUetaa pretenaadaa para fo r j adoo e l * ) qll8 se delweetre que reeuten Dis a oortante.

3.3

EF-66 , no permite estaban usando, ealvo

IlOl1DIl

Ine.roe a cortante

Exiete la conjetura de que loe t o r jadoa p.leden aoportar más cortante que e l que predicen lu t6n:l.11ae de la norma, ya que en DJChoe casoa Be han oonstatado valoree lIUCho • e levadoe. DeegraciBod.a.lnente en otros caaoe no, y no Be eabe cuAl ea la vari able que opera . No queda • remedio que decoetrarlo para cada caeo con eneayoe . Ensayar cada oombinación de car¡:a y lua oon canto. arDlldo. etc, es i.J¡penaable. Parece lÓSico encontrar el valor de cortante de aaotaliento en enaayoe ad~. TOCIl&r como válidos aJ.sunoe valorea obtenidos en caaoe a islados . equivaldría a adoptar para l a interfase de ambos hormi&:c:tneMS rucha ..Aa res istenc i a que l a correa(xlocHente • oort4nte para cua lquiera de elloe, lo Que no pereoa creibl e.

Existe ademá.a e l p roblema de inatrumentación . S1 6e dispone el fo rjado con una simple vigueta , sin bovedUlae ni zuncho en 6xtrecoo, no S6 reproduce l a e it.uacl6n rea l, aunque se pueden controlar lae fisuras. Si e6 hace un ensayo má8 real, con doe vi4¡uetaa, bovedillas y zuncho en extremo 8610 se p.l6de JDedir la flecha. Eliminar el .zuncho y preromper a rasante , con objeto de cnedir el desplazamiento relativo, altet"& algnificativamsnt& lo Que 88 Quiere enaayar, y l oe reaul tadoe no tendrían valor.

La existencia de zuncho en e l borde de las vl¡uetae hace que sea imposible l a rotura por ctasILzamiento entre 106 dad honn igoo6t1 uin rocnper el ZlUK:ho , y aLn que 88 ,auote toda la longitud de l a pieza tlectada. Se l)roduoe (Ioot UOIJ, ()tl~.l(, 11(1 pl.nnt.1 flO-O ,t 6n dQ l~n \(\nnlOl)oOl' IJ4I OOl'"t,Jon tu •• t..

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, u-u manera que 188 f6rt1J..11aa de comprob&c16n del 1l1..fm::> Be podrlan hacer con el valor DBdlo en vez de (X)Il el valor p.mta. en el extrecr:o, ea decir . con la .. 1tad del wUJo. Pero t.odo esto ea ¡ur8 especulaci6n. en que, aea Olal 868. la variable dec1Blva. ba.otarian ed'l84yoo para cada 00IIb1nac16n de tipo de viguetas. oon más O lIetI08 pretenaado. oon cada leceetria de forjado, aunque, para cantoe euporiOt"68 a vea y media el de la v1aueta, se podrian extrapolar loe Pareoe

haber

OS LA FLSCHA

&C.l8rdo

4 . 1 aiaidea de tlez160

reoultadoe por proporc1awll1dad con el canto. deberlan prqraaw- enaayoe a ...ento poeitivo, en aeoci6n a ~to '1 a oortante no coinciden . A D:IGIeI'lto en el Que ei lile da eata olro.matancia, y aderDÁa el peru.etro pasa de situación tracx:ionada a ODq)rt.ida, _ previaIble que De valoree diferente de reaiatenola a cortante. Sa

. 11:10

el que la negativo, de rotura OOI\8taten

Si e l cortante OOIUJumi6 lUla parte importante de l a discusión para aprobar l a EF-BB, la flecha ea llevó casi todo el resto . En realidad &1 86fuerzo de ood.ificar el cálwlo y liJllltacionea de flecha. para forjoo06 partiendo del texto or1Clnal de la Df- S2 era dema.a i ado , y e l ¡ ropo de trabajo no llegó a una ooncluai6n feliz. En Comiaión Be retomó el t.eIna de corre¡ir e l artlwlo 45 de DI, y , trae ello, 118 p.ldo volver a 108 forja-

doo . Con una serie de 2 a 6 tIIl84J08 por oonfip'acl6n I deapreciando alguno de loe reeultadoa. se podrá obtener la lDedia, la caracteriatica con la In de la IlOnwl , oorreepondiente a una d1epareilln raionab1e, adoptando un ooeficiante oorrector 8i la rotura ea frási l. IndependIentemente del tipo

de rotura . OJalquier c.araa Que no rarps el forjado. quiere decir que el oortante en el extt't'G) que procb:le esa c.araa ea inferior al de qotamien.ta, ., se ¡uede t..c:Jmu. del lado de la eecuridad, CXlIO cortante últ1.JDo. Contando con loe OCIltro1ee a1at...:m.itiooe perl6d1ooe de la.3 Mrcaa aoocidaa a un 88110. para W'I4 lec:.etr1a, hor.il6n ., pretenaado at.ilarea, loa reault.adoa de oortante deben ser tambi6n pareo1doe. por lo que parece que lU\ prc:crUl& de enaayoe p:;lr tipoloc1aa de vtauetaa, p.KIIera oanduclr a establ.eoer valoree fiablea. Sin oontrol.ea per16diOO8, habria que eatablecer un prq¡r_ por cada patente d1terente cSII vJ,&uetu. .

El procedimiento de estirlar la flecha ea el de utiliza r en cada tramo viga Wl8 r1&idez equivalente, pl"Oll8dlo de las de la8 88CCiones lI'Iáe 81gnIUcativas, cada una de las OJales ea a BU vez inte~ia entre la do la aecx:lón total de la vlll1 8in UsUrar, oorreapondiente a II'JOIIIentoa III.lY pequei\oa, Y la de la aecx:1én f1aurada, oorreapondient.e a IDCmantoa eleva-

doG.

Se explicita en la noma que, máS que la flecha total. lo que 1tnporta ea la flecha activa, la que aparece tras l. ejecución de elea.antoa dañables, OOCQO tabiqueriaa, 1ILlr98. etc. Si 88 toma la flecha total, oooaLdarando lae ClClCll¡)Cll'\etee diferidas, lao piezae de hormigón deberian tener Wl8 eabeltez inusual, no siando OOIIlpetitivas. Deacrac1.adalDMte ei el ooooepto ea correcto, <XlO v1&ae de . acero 8610 habria que considerar las t1echae proveniente& de la aobrecar¡a de uao V IIOladoe, no siando t.ampoco COCIlP8t1tlvaa laa aolucionea en honoll9n. No hay acuerdo en este tema.

La tonulaoi6n de flecha de EH-BS obUsa a

un cálOoJlo

prolijo . En

prlmer

lugar hay que calwlar loe diaaraa:raa de IOOIneIltoe, o IhE!ojor loa l'I6.ximoa DOI'I8l'\toe poait1v08 y MSat1voe en ré&t.ao .láetioo. En pr1ncLpio parecerla que a partir de la ri¡:i~z teórica Ka·J e , producto del ródulo de el.aeUcidad inatantáneo del hono1&6n, por la inercia de la sección total. Eso condl.X:8 a incoherencias ditic1lmento salvl:iblea, ya que ül luego se utiliza 1m valor diferente de inercia para obtener la flocha, 81 obtener el p..mto de deBcenso max1Joo a partir del siro nulo, 106 sireo en e xtr6lOOa no oerán compatibles con el desoenBO nulo en llpoy06. La norma establece que oe ¡:uede t.omar oomo flecha el deecenso del p.mto u.edi o de la vigueta, con lo que no 6e preciso pasar por Sirca '1 la incoherencia no lie rwlifieata, pero está ahi.

4.2

C'lculo de flecha

Para obtener la flecha activa ee preciso identificar los romentos en varios hitos a1cnUicativoe de la vida del forjado . 0C8) p.l8de ser, por ejemplo :

1. DeBencofrado, carsa de peso propio, usuall'J6Ote a 28 dia.a. II. Construcción dd tablqueq, peso propio alAs t4biqueria. lIt. Construcción du aolado. id8lft nas solado. IV. Fin de obra y uao del edificio, carga total.

U-II

Aunque en cada hito debiera usarse una r1a:ld8z diferente. correspondiente a la distinto. edad de loe oona1aooee. para el anáUele de o:ment06 1M euponet 81~re r1s1dez oonatant.e. lo larao de la v18ueta, por lo que todoe Sl10B se ¡ueden obtener a partir de loe de la car¡¡:a total, por proporcionalidad oc:n el valor de C4r'8a en Cl:Ida hito.

Cocno ellDOCDell.to en cada hito a>rreeponde a una edad distinta, para CQelpararlo con el de tleuracl6n. y para el valor de la 1nercla f1eurada y la. total hay que tener en cuenta la edad de amboe honnl..gonea, lo que significa valoreo de todo ello variables con las dos edades. y rigidez: variable además con la c.at"'la para cada CXlIIlbinacl6n de ed.ad66; al¡o

inmanejable. Para el cllC1l1o da la flecha activa de un truo, cada hito loe ei4lu1.m.tee parÚlatroe:

1_ lIl4Iidoa do laa _

..... do . . . .to _

que obtener en Aceptando que la poste!&" de la fibra neutra no caQlbla B1gnlflcatlvamanta con la edad, el IIOm9I\to de flauracl6n sólo cambiarla C'ClmO lo hace la

resistencia. a

y a1nI.o.

El valor de la r1&idez para cálculo de tlochaa se obtiene, de acuerdo cx:o el art 45 de 1ill-88, para 11 ) lIu •• 000 la expreeloo: U

= Utot'(llu./II)· +

I1rh'( 1 - (lIu . /lI)·)

La t6ru.tla

!le

plede tranefol'llU' en:

anterior se ¡uede poner entonoea:

IItot

Dicha f6n:ula ea heur1etica. y no tiene expl1caciÓll al&una. Exi.etal otras iaual de ajustadas a loe hec:hoe que haoen intervenir las .i8alll8 u otras variab16ll , o de otra Danera. Iota se lnteq:¡t'eta c:x:.::> que la flecha M ¡uede cal.a..llar a partir de W"Ioa 1.nerc1a intermedia entre la total, para IIC*Ier\toe, at, .enor&e o a lo lIIl.a f.4¡ual.ee al de fiauración,"r lI, Y la fisurada. para IIlCaIfIn.toe lllY au,perlorea al de ft.auraci6n. Qle el coeficiente para interpolar sea el rubo del cociente del ~to .1 de fi8uraci6n, haoe que el CAllh10 8611 rap1d1ew¡ para IDCalIlto& triple del de f1euraci6n la r181doa . . _ la fiouroda "'" 4lI la total.

tracción.

inercia

total

0ClI00

lo haca el módulo de

elMtlcidad. Ambas var1abl611 dependan de la res18tencla del hormigón, para la que hay tipificada una curva da cómo ~t.a con la tdad. La inercia fleurada, 0010 dependiente de la aeocl6n do acero y la p::>elción de la fibra neutra , Be p.lede suponer invariable con la edAd . La e.xpre816n

= 11".

+ (QH'lIr,./K)' , (al'lltot - 11".)

Loe valorea de ~to de fiauraci6n e inercia total se obtienen 8610 a 26 diaa '1 se oorr1&en con 1011 valoree OH y al oorrespondiente" a la edad del hito , despreciando naturalJDente la diferente edad de loa hormigOl'l66 de la v1&ueta e in aitu . La inercia total del forjado _, pOr nervio, del orden de bo·d'/J. la f1eurada ea del orden de '_da • .,411 momento de f1.euraci6n entre f c l'bodz/J '1 t ct ' boba/4. Aunque 1011 valoree de KIi... , '1 Kltot hay que obtenerloe analizando la aecci6n. ee p.l8de obtener una primera aproximación en el caao de v~tu an:radaa. horciQ6n 8-176 y acero AEH- 600, oon 188 expre-

"u •.

a1.on.ea;

= 11". + (11,../11)' •

(lUtot -

IIru) IItot

que Be loe como que la r1aldea para c61oulo de flecha ea en pr1ncipI0 la t1aurada • • una traooi6n de lo que resta haata la total, proporcional al wbo del ooc1.ente del ~to de ts.....rac1.6n . 1 IDOMnto actuante. lA fonulaci6n anterior ajusta raz.onablemente bien cal piezas aialadaa de 8800160 rectanaular o en T, y de doa tramoe . :fund.aroontalmente con ~a oonetante . Caben alaunaa dudaa de c600 ae oomporta para pie.zaa en T wy acuaada y con doa ho... 1&on8II dllerentelll. En particular no de eaba wy bien ct.> ee interpretll para pieuaa con element06 parcia lee preteneadoe. en loe que tudate W\ IIItC"Jm6Ilto que fisura el hono1g6n in 8itu • • in caei trascendencia en la realatencla. otro do ~re6i6n, Y por últ1mo el de fleuraci6n. que pooo tiene que ver oon el paso de un esquema de trabajo a otro diferente. HientrAlS no se p.lblique la revisión de lti Ei'-60, de acuerdo con loe OOIOeCItar1oe de EF-86, loe forjedoe preten.eadoe deban ooneiderarse CXlD) armadoe en la zona de neaativoe, tomando pera la zona de poeiUvOll la r1&idez de la secci6n oon. la vigueta sin fieurar, Rete últt.;) ...Ua ee 1qIortante. ya que para IQ:8ntoe de servicio, y canto& D..Iy superiorea al de la vtaueta. hay extensae zonas de la 8OCCi6n Que eeUn f1Jsuradaa y no entran en el ~to de la r14l1d&z. En v1suetaa amadas, loa doa OOrlligonea son f~temente de la .1.sM reeistencla, '1 la d1terencia de edad no es U¡portante, 11.81 que el IlOII:lento de fleuraci6n ee el clú1oo: el que produce en la fibra inferior una ten.Bi6n igual a la ree1.etencia a tr&cci6n por flexión en el homlB6n. ('InII\nldorlU\l'o qlltl t rt>l)aja tod.a ella. cada meoterial proporciontalJoonte 8 su ,, " \1., ,'- __ 1_ ..

' 1.,1.'''''

= O.50·bg -b'/1II

s iendo bo el ancho eenor dol nervio en ca b e l canto total del forjado en CID 111 el intervalo entre ne rv10e en CI:'I • le 88OC16n de la annsdllra traocionada en ao J d el canto lD6Cánioo en cm aprox.1.ma.dwoonte !Mual a h-2,5 obteniéndose ellOOlDlWlto de fiBuracl6n ep .. ·kp/m y l a r1&ldez en Il z 'Hp/lIl. En tramoe a ialados el IQI"IeIlto de aervlcio es qLl/8, por l o que el 008ficlente (HII./IU' es dol orden de (2 · f c, 'bo/q)'/(lJh)·. Con W\ aneto bo 80bre 10 CIII, d1cho coeficiente vale 0.05 c:::uando el ~to de uenl c 10 triplica al de tiallraci6n. lo que sucede para una carga de 450 I!.p/m y esbeltez 24. valores ueualea en viviendas. Para esbelteces o cargan lIlélyores, mayor e6 la deeproparci6n de IflOCb6lltoo, y el ooeficienlti es aún menor. Lo habitual ea p.&eS que el IOOID6Ilto de servicio anl.t:l Ci:lrf::i..I t.otal 8Upe~ oon creces el de fiauraciÓll y la rigidez para cálculo de flechas 8C8 directalD8nte la Usurada. En tr8ll106 continl108 el IIlOInento es mitad de las apoyadas, podro la eabeltez mayor, '1 CXlInO éata cuenta 0011 exponente ooble, la concluaión ea lláB o mtmo8 la miwna.: 6610 para etapas de carga """"'1 inferiores a la total, la inercia a tomar para cálculo de flecha es. diferente de la fisUl'ada. En tor Jadoe, para el cálculo de la flecha ante carga total se ¡:uec.Je taMr 00I0O rigi~z dln:JCt.amento la flaurada (sin Uaurar la vi4uata 81 88 pn:: lentJada) .

. , .... ,... 1", ,.,.,. ,1_ , V l.

''''.'.'''Ih ,,-; 1.' ...

.\alt ''''' ... 11IlI" 1,,,,.t.,

--'1 1" ¡ ~ rlltl~I"' l tf"l NI ,. 1 HI A.lh jl I IIItI\ 111' .. .. 11"'1 ftl\ lit¡ ,11 .1,. h.tt1 ll m 1111111 I ~I. I '''I l.uII ' • I I!¡ .... , 1. Ii\ H ¡",¡ .. 1/ .. , 1'1 ~ I /" I !I I 1111'1'11"("1 . .". 1. '1' .... 1 l. , •• 1• • II ~I ... 1 hu 1,. 1 ,!lII,.ltl ! I '''!I,- II''''HI~ ~ ,,, . I Ii l. •

,-ti

_"'101

18 Tabla 4. lllaldoa ......,..,cto a la fUauada ... forjados ...-loe

I,., ~

... , ..tu,. ., 1 +A I, olll , ,,,,- l.

,-",.1 ,' .. I¡I.~ .

,11¡ ..... \lJÜI.nu',q

ti ... h. rl"q,,,, I...

1",

Pocha do

1 dias 14 d1u 21 dlaa 1 .... 3_ 6_ 1 allo 6 aIIoe

1,0

Iltot/Uu.

la .......

ti / tlu .

0,66 0,96 1 ,00 1,11 1,11 1,22 1,27

0,63 0,89 0,97 1,00 1,08 1,13 1,18 1,20

0,78

3,0

1,6

1,0

1,0 0,9 1,0 0,9 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,1 1,0 1,1 1,0 1,2 1,0 1,2

3,0

1,6

KI••

11 ••

11.,

= 11+ = 0,7·81· = 0,7'11·

, &IUI

""""'"

Ccalo en la. flecha BiRue primando el " , poeltivo de vano, e8 la II'Iejor eetratesla es oonsegulr que esa lIIiniJo, e8 decir calcular el forjado 000 la llayor redistribución permitida.

1,0

3,0

2,0

1,6

En lDénsulae la expresión de flecha ea w -: H..I"La¡4Kl. tomando para la rigidez l. oeocl6n al1¡erada, no l. del eeopotraJDlento. que aetá seneralJnante maciZo!.. La flecha real del voladizo se ve locrementada. ei la luz st.guienta ea ruy pequeila, lo que obliga a calcular e l siro sobre el apoyo cxxWn, con la aparición de las incoherencias antes citadas. Dado que .. te ...... sólo euoade, con carga uniforme, cuando el vuelo &8 mayor que el 45~ '" 50\ de la luz oonsecutlva, en forjados pl8Ó6 obviarse.

1, 0

1,0 1,1 1,2 1,7 1,0 1,1 1 ,3 2,4 1, 0 1,2 1,5 2,9 1,0 1 , 3 1, 6 3, 0 1,0 1,4 1,9 3,2 1,0 1,6 2,1 3,4 1,1 1,6 2,3 3,6 1,2 1,7 2,B 3,6

De acuerdo con l08 valoreo de l a tabla 2, el IlCmBllto equivalente ¡:uede 'tolDar oomo qLz/k, con loe valorea JI: da la tabla ei&uiente:

Tabla 6. "'-'", equival<ate para .1 cáJaW> do f1acho, carga

/lIf1.

La r1sidez equivalente do cada tramo ee. W\ praned.io do aeoc1onea de IICCI&I\to 1DÚ1D:J Y lÚ.niDl, do valor, tM.!liIIÚn 1ilt-68: TrB.lDOa extnllD06: 1'raIIoe interloree:

....

1,1 lila(U¡¡I JI ~ I

U·U

Wa cnltigua/lua del t..ra.:) Lwo dol ....lo/lwo dol .....,.

Tramoe a1eladoe:

t 'I .1

(lftl l"""

3,0

1,0 1,0 1,1 1,0 1,1 1,2 1,0 1,1 1,4 1, 0 1,2 1 , 5 1,0 1,3 1,6 1 , 0 1,3 1,7 1,0 1, 4 1,7 1,0 1, 6 I,B

Cool.<ate do

• _ ....

( __ \1 1

, ll ti l "lIUA dl\)

contlnna que

do coq¡a

il' 1! "

lu de

BWI

Tl'8DO A!alado

0,6

0,1

0, 2

M- de tn.oe +1 vuelo·

0,9

0 ,3

1,0

1,2

0,4

0,5

9,6 12

10 14

12 20

13 36

• •

16 14 20 14

16 14 21 16

17 14 23 16

19 16 27

21 16

:1 + vuelo·

16 14 20 14

3 3 + vuelo 4 o lI>áa

24 24 22

26 . 25 23

30 26 24

36 31 27

40 36

•

6 o "'"

2 o "'"

2 + vuelo·

loterior

0,8

+ 0,15'11-. + O,16'I1-z

0,7

un1!OnD6.

+2 vueloe·

+ 0,3 '11-

in la zona de amentoe ne¡ativoe . D-8ts prescribe tcCDar inerciA y IIlOm8I\to al oorde de la pa.rte DaClzada. En tramoe ooo.t1nuoe la mejor eetrateMia ea calallar el forjado 00I'I redletritu:l6n IDÚlma, por eJeq:¡lo para tramoe iaualee con IhCIfDMtoe Q4Lz/18 en extreUlO8 y centro, y lue¡o tomar OOIDO mceen.to. de aarviclo q,LJ/12 en extremo y qLz/24 en el centro. En el vano .11lCe8nto no exceder4 demaaUdo del do fiauraci6n '1 la riC'1dea ser' altai 8I..\t')Q.ue auaeda lo contrario en D:CI8Iltoe ~at1voe. oamo en la 1.nercia equivalente pri.ma la del centro da vano, la rtc1dez aer6 .lta '1 d1u:l1nuir6 la flecha calrulada.

0,4

•

• • •

•

• • •

•

.. La flecha es aliÍB deBfavorable en el tramo contiguo

S1 106 dos tr4lJ06 oont.f6u06

Eete concepto no aparece en la nonDll, ya que , para el cálculo de flechas a partir de la ley de D:*ItWltoe, Be relQite • la Resistencia de Kater1al08. que dice que la t'lecha para un tramo 88; v • 1endo "-.

~q'

IIOIIeIlto prceedlo del

Tr8.ll108 a161adoe: Tramoe extr8lflO8:

Tramos

LI / 10·11.,

interlo~

600

djferenta6

un v"lor illtenoodio

4. Fl..echa inatan,1:.án8a. Y diferida

Con la expresión &nterlor 6e obtiene la flecha en cadlt hlt.o. loCl'O es sólo la fl echa i.n.Btantanea. en I!Ikp/l. '1 KI en 11 2kp/ll (10uO Vt:oC&a. el valor en m2 Hp/lI) '1 L EIrl 1) 86 obtiene el valor de la flecha &n ID •

Con"

truo . Su valor es: En cad& hlto, la diferencia de flecha con la del anterior da el valor de la flecha parcial, o 1ncrecnt::r.lo de flecha lMt:.antánca en la etapa entl-e ambos hltoa.

u·u

20 defora:.aclonee diferidas por fluencla añaden flecha tanto !I'Iáa Dayor 8ea la dr..lracl6n. lDás elevadas las teneionea y más Joven eea. el hont1s6n. Aunque ClJlbe un anAlieta de flechas que incluyan las 00IQp0nentea diferidaa utilizando un tD6dulo de elasticidad corregido, no hay lrI.lCha concordancia o::n loe valorea obBen"adoe. Por eje&tIPlo, en forjadoo apoyadoe, en loe que la linea neutra eetá .a uy alta., adoptar para el hormigón un DSdulo llayor o II8IlOr no CoYIbla apreciablemente la defon:wicl6n , de manera que no habria deformación diferida. '1 6eta ea perfectamente observable. Las

OW'Ito

6. 8'lecha activa

La CU68t16n 86 resuelve , y EH-80 lo hace asi. tcmando 00IIl0 flecha diferida el proc:iJcto de la instantÁnea por un coeficiente IlI.lIlérloo. Para el oóqJuto da la fltlCha activa hay que tomar OOIDO tal laa tloch.6B dlterldae de 1M CArBaa que' ya babia antee de la oonstruocl6n del elemento dailable. y todas las de las restantes car¡:aa, lo qlll!!l obl1¡:a a utilizar coeficientes para referir la flecha diferida 8I1tm doe edadeu, Y para una

caraa

La obtención da

OQIIIpOn6nte

activa

la flecha diferida es

00Cf0

8~:

l. Para las cargas anterioree a la cxmstrucc16n del elemento dañable, la flecha diferida activa ea 6610 la que Be produce trae dicha construcción, por lo que basta wltlplicar la inatant.ánea parcial entre cada hito y el anterlor. por el CXleflclente j oorreepondlente a la edad de la OllI'l8tn.1Ocl6n del elemento. 2 . Para las cargas posteriores a la con.etruoc:i6n del el6altlnto dañable, la flecha diferida activa ea toda la que Be pueda producir, obtenida por IILiltlpl1caci6n de la 1natantánea parcial entre cada hito Y el a1guiente. por el 006ficiente J oorreepoodiente a la edad del hito.

parcial.

La EH-88, caDO otras nor.aa y penalten calcular la flecha diferida fraguado -y deeenoofrado-. 11 valor ea ti ai'\oe-, de 1,4 pera W\ aISo, de 1.2

o6(Ueoe. ofrece valorea que sólo a un pluo deterlll1.nado a partir del de 2 para plazo infinito, -lbayor de para 1M18 D81S8e, Y de 1,0 para trae

El 0610010 de la flecha diferida a p!.uo 1n:tinito para Cltr8ae que tarda 118 p.Mde ded.lcir da loe valoree anteriores. Las caraae que ape.reoen al principio tienen W\ ooet1ciente 2 , lea que entran al ai\o pierden el 1,4 y ee quedan en 0,8. Laa que entran a loe eeie lDe686 pierden el 1,2 y lIe quedan en 0,8, t.a que entran a loe trae lIee6IS pierden el 1 y De c;auedan en el otro 1.

No e.x:lste acuerdo en célax> 4XINIiderar la propia carga del elea'l8tlto. Evidentemente cuando Be oonatruye Wl tabique puede eatar hecho e l de la planta inferior, o W\O próJc.imo en la lIliBll8 planta y la flecha 1.natantanea de la ooostruoc:i6n afectar a loe tabiques. Sin ElIIlbara:o en edificación es práctica habitual que el material, ladrillos, oeIIetlto y arena, yeso y agua, se acopien en la planta antes de oonatruir el tabique. por lo que ¡uede entenderse que la inatant.ánea del tabique no 68 activa para el propio tabique,

aprareoen Me

Las CXlqlOn6I\tee diferidas eon 1D8I'lOre8 el 6)(1ete acero CXlq)r1llido, Que l.aa teru!l1onee en vea de producir lII6.a defonw.oi6n, 8e tranafieren acero. LArlentablemente la expreai6n do EH-eS no da. el valor cuando CAda pmto existe una ar:w:wsdura diferente. i'h forjados ea normal que en eeocioo de vano no haya. y en loe extremoe el . pero variable a lo lara:o la. zona de IIOment.oe necatlvoe .

Para obtener la flecha difer ida. de cada etapa entre doo coeficiente de la nonDll Be ¡uede poner en la foma:

1>0_

Idod <lDl ~ -""""" la ....... TT-. ataJado t..... omt1ru:le

ya al en la do

hi toe, el

El cuadro B1cuiente ¡uede oonatruocl6n dUerentea:

_<ID ....... l. feBo propia

n. + Tabiquaria III. + Solado IV. + Uso

1,9

1,7

2 Me_ 3 _ _ 8

1,3 1,2

0,9 0,6

lI886S

0,7 0,6

1 año 0,5 0,6

MI M, M, M.

MI "'2 - NI

["3 - , "2

para doa

MI "'2 - NI .

- "2 114 - IIJ '

rit:b:)8 de

D1lerida activa

JZ'Jll· ··l J2'("Z-"J) J"(lIrtlz) .

• tlf -:-. ~J

MI M,

If,

proceeo

Flecha Paro1al

1Do..... -

l . Peso propio 11 . • Solbdo III . + Tabiquerla IV. + Ueo 1_

reBWDir el

r J3'(JJ

'''1 Jl Z-"')

h'{JI,-"z ) .J

5 aiIoo

°°

La fle:::ha activa serA en cada ClI80 la BUlM de lae OOfI1r.oOr,~n~8 de parcial y diferida Beñaladaa en curaiva. Se admite que la oobrocltrg¿" de uso, tal COIIO está estimada, no produce defol"ll\&Clonee diferidllti, yu. 1'IO'! de trata <1&1 valor pmt4 que cubre la resistencia; para el t..Eoma de deformaciones diferidas debiera tomarse un valor medio a 1al1l0 plazo. Lo .IiBIDO sucede con la nieve o el viento. ~ I ·&e

Lo anterior e8 sólo una LnterpretacJ60 del oontetlido de laB nomae y EF·aa , que a nueatno Juicio , está insuflclentenente ~xpllcito.

quizá porque

110

~be

haotsrlo 1Iás.

,. .,.h." JlIr 1111 , I!

~ 11111 .. ¡.'I' III" 11'1

111 1111

1111••

_ hil.... " " Ild l lll,

'lit ¡Hó l .... l iMo .." ) ,.

. 1111 h ...qfl l! l ~I I """I ' " .... ,4Ih 'I " t

Se ¡uede obtener U04 eetiMcl6n de la flecha acUva en torjadoe de ed1.t1cac1.6n, calculando la flecha inatantA.nea de caq¡a total, oon. inercia t1.eurada. )' oorr1&léndola por a~ ooeticlente.

TOII:Io!lrldo un caso lillite t.e6rloo. a1 antea de la oonatruccl6n del elemento dafLable axiete ya la carga total, 8610 es flecha actlva la d1terida total '11 ese ooef1c1ente oo1ndlclria Justamente con. j de 1", tabla 8. 51. en el otro extremo, no hay nada. de carga, ee activa toda. la

Como la flecha ea IUY sensible a la al'1lWtura comprimida en las partes roy solicitadas, en 106 comentarioe de [F-88 ee &ei'\ala que la fonnulacióo eupone que llega a loe extremos al menos la 1D1 tad de la armadura de vano, lo que limita 80bremanera la práctica habitual de disponer una lOiniJaa armadura de IlCIltaje <Xln retu.:'rws localee de lma fraoclón de la lonaitud.

1netantMea y diferida.

aeria

J+l,

fuera

la f1aurada,

iniciales operan con ri41:1du JIIl)'or que

porque

las car¡:aa

., por lo tanto ea

la tOrn.Jlacl6n leneral de Elj- 88, debiendo adoptarse direct:.amante la fiaurada para todo el cálculo de flechas. Pero éste ea un tema vidrl060, sobre el que no hay acuerdo.

que eee valor.

Peeoe propios DeOOrefJ que el 33X de la carga total 800 al)' inusualea; para car¡aa preexletentee dal 60%. cuya flecha inatantánea ea el 5~ da la total tnatAntMea. el coeficiente debe ser menor que jtl-O,5. No ea d1tfcll J.nte~lar para caaoe intenDedloe. Úl8 valoree aon loe ei.¡ulantee:

Tabla T. r _ . c U.. partida _ _ _ .... COI1IO total Idad • la oonstnJoc1f.o dol u - t o doIIobIe Jraco1l>D .... COI1IO tot.al . " t . da la amabucx:l1f.o del

u - t o doIIobIe

50X 70X 60X 90X

2,2 2,0 1,8 1,7

1,6 1,5 1,3 1,2

1,2 1,1 1,0 0,8

1,0 1,0 0,9 0 ,6

0,8 0,7 0,7 0,5

.....

Coeflal.oDte .... fIacba .cUva

Loa valorea de la tabla., IM!I han obtenicio proyectando '1 calculando varioe oentAwlares de casoe con. 1ucee entre 2 y 10 11. para aobrec::aq¡aa entre nada y 1000 kp/lI l • '1 oo1nciden con loe l1.111it.ea antea obtenidos.

Para 106 caaoe hab1tual.ee, en loa que la tabiqueria 8& oon.etruye entre tres y aeia De88oI!I trae el tra¡uado. '1 en loe que, CXlI\tando con el peeo propio de loe llaterialee de albaiHleria. hay del orden dol 50 al 70% de la carga total cuando lISO procede a levantar 108 tabiquea. una OOBlJa ~.1a!IcláJ Al valor d!t 1. IltJCh4 actlv4 as la .Ln.stant.4n&a de c.lQr.!l total oon 1narcl. LÚIUl'.td4.

La D6jor eatrateaia para reducir la importancia de las flechao activa.e. ea 8in duda disponer 1u tabiqueriae después de BOlar . Con todo, el efecto de laa flechas &Obre loe oerracientoe eigue Biendo el efecto fI'Iáa deaaaradable. La D-SH 11aDa la atenci6n a 106 problemae de cargas de este tiP' en el b:>rde de vueloe, pare los que deb!m adoptarae procedJ.mientoe para evitar la tr8ll8lllai6n de carpa al torJado inferior. Al&unoe p.mtoe OBCUf'Oe de la nonna son loe referentes a la fiabilidad de la fonul.aci6n. in particular. es práctica habitual Que en las pr1l"leras eemanaa el for jade eoporte loe dos o tres auperioree. lo que, aunque no tiene DJCha iJnp'rt.ancia en la flecha. ocaaiona BOlicitaciones deal servicio pr6xiu.e o incluso mayoree que las de car¡:a total. produciendo fiaur,\tci6n previa. Parece que en eatoe caaoe la r1&idez eQuivalente no 88 la indicada

6 . PJed>a tol.enoblAo

Como f lecha activa tolerable la nonna [F-88 deflne L/400 para forjadoa en leneral Que tienen tabiqU68 enclm o debajo, y L/500 para loa Que 80lX)rtan o 88 alX)yan en elementos llIÍ8 88n81blea, como 80ll loe 1I1Jr08 de albaí'illeria, o tabiques Dl)' riaidos, CCIIX) loe de bloquea de eacayola, Para evitar Que eetaa flechas tolerablea eean de valor abeoluto elevado, se prescribe Que por enc1..a:la de 6 10 de luz, la flecha tolerable 8610 crezca la mitad del valor antea citado, por lo Que éstoe 8& reducen, en ese caso •• (,J800 + 0,6 al Y • 1.11000 ... O,b aJ. En loe casoe de plantas diáfana8. -lo que Be 11rlita es la flecha total a plazo infinito. p'r eJEIIlPlo para evitar _bolBaDlient08 de agua en cubiertas. El valor limite ea establece en ~. y para lucea mayores de 511 en L/500 + 1 CII. C'.oIDo la flecha · total • plazo infinito, habida Olenta de la no partic1.praci6n de la diferida de la Bobrecar¡:a, p.l6de llegar a ser casi 01 doble de la inatanUnea de caria total. la lialitaci6n C8 prÁCtlcaID8Ilte la .i.aM que la do1 caeo anterior,

En yoladizoe, . dado que · poseen' leneral..,ante cargas p.mtualse en el extreme, '1 que 800 lDáa aeneiblee a 108 problBIbU de flecha. el valor de L de . W U.ltaoicnea anteriol"ee. debe tOe.a.rae laual a 1,6 veoee el vuelo.

Loa valorea de flecha tolerablee eon: Tabla 8. rlodwte act.1vaa tolerable para torJCKba W. do1 ......, (o) Vuelo (o)

1,3

3,5 ',0 1,9 2,5

TabiqUOB nonW.ee TablqUt)O o D.U'08 r.1s1doe

0,5 O,,

0,9 0,7

',5

1,0 1.1 0,8 0,9

5,0 5,5

6,0 7,0

8.0

1,2 1,0

1, • 1, 1

1,6 1,3

1,3 1,0

1,5 1.2

rlecha act.iva tolerable en

CID

• 24

•. 3

D·U

Canto _1D1.o AunQue la

limitaci6n de

flecha es da la activa.

esta

ea da un orden

da M&nltud DJy parecido a la lnetant.ánea total calculada oon rigidez: f1eurada. La inercia fiaurada ea del orden de K.·'·da . La flecha total ea proporcional al IIOD'!lIlto, la luz: .1 cuadrodo, e inverauente proporcional a la r1aidaa. Como el a:eent.o ea proporcional a '·d. la conclua16n M que la flecha es directamente proporelonal a jd·LJ/K.·Ad,I. ee decir a La/d, por lo que la flecha relativa a la luz 86 proporc1onal a la relaci6n 4Id o eebaltez. Dedid& Ms táclb1ente en LIb. In ooetlc1ente de proporcionalidad depende da la fOnDa do la arU1ca de IlOIDI!Ihtoe, -para cara_ uniforme. de loe valo~ relativoe entre aoeento poaltivo y ne¡¡atlvo-. y de la tena1.6n de la AnWJdura traocionada. función de la ree1atencia. utll1.zada para detenl1nar BU BeOCl6n.

y en etecto, prooeeaodo varioe .neo do caaoe de torJado, Be encuentra una 6I!trecha relación entre el valor de la flecha activa y la 6sbeltez 4th, que, en prillera lnatanoia, pel'1ll1te predecir el la flecha va a e1gnificar un problEllDll o no. Loe valorea que, aprox1udamente, lia:lltan loe cuoe can y sin problema Be indican en D - 88, y aon loe e14ruientee:

A1II1ado 600 400 Clilil.ertaoI. .IA

Pt.., ~ oo...u.e. Pi-. • ....,. .....1hlee

1.'26 1,127 1.'22 1.'24 1,120 1.'22

600

400

W291,130 W26 W26 W22 W24

interior 600 400

Volallioo 500 400

En todo forjado alempre existe un vano od.l0a0, que pide inicialmente un canto deaproporclonadamente grande para e~ reBto de la planta. La Mona 1!]l-6B no obl1Qa a eata eetrategia torpe. La variable que máa r ap idam6nte hace dlemLnulr la flecha. deepJ.6a del canto por eup.le6to, 66 la cantidad de armadura. Disponer nervloa más tupldoe o doble8 le sigue en importancia; el cambio d6 tipo da oorm1a6n tiene una influencla D.lCho lI'IeOor que lo que indica 8U rea1atencia, '1 no ea CXJql8tit1vo para dia.1nuir 181 fl6Cha . Kl 8Obred1.menaionado de armadura 68 lo que todo técnico haría para bajar la flecha al IDSJ10r 00800 adicional poeible, El tramo atípico S6 diseña 000 el canto del reato, 88 caloola 8U anwiura eatricta y e6 dispclOO más, en la proporción en que no alcanza la eebeltez liMito de la tabla 9. .

La propia EE'-BB indica además oéGlo p..l8de booificarae el canto lIIio11OO ai B8 adoptan nervlos tupidoa o dobl86; loe oorv106 do 10 a l a 70 de tntereje euponen un lU macizo, loa dobl6B con la ..i8lla bovedilla auperan el 2"", y pet1lliten di8llinuir el canto miJliJlO de la tabla 9 en un l(r.l . La ooncluai6n ea que el lÚDite de la tabla 9 opera. CXlIJO un elemento diauasor de la. dla..1nuci6n de canto . Para una caraa y luz dadas, la. armadura aua:aenta proporeionalmente a ' la dlB11l1nucl6n del canto, p61"O 8610 haata el canto lIIínimo. Por debaJo ~ de Bate valor aumenta a doble velocidad, lo que hace r'pldamente 1neficacea dichaa soluciones, a lDM08 que sean caaoe ""'1 a1al.adoe dentro del conjunto.

1,1101,111

1.'9 1.'9 1,16 1,16

IBta tabla Be refiere a traD:18 equil1bradoe, de 1&ual luz loe interlores, alMo DOnOr loe extJ'elD8, y voladiwa OOIDO del tereio de la lwI interior, De acuerdo con loe valores de la tabla 6, la diferencia de lua en traooe OCIl86O..ltivoe cuenta doetavot'ablealellte para la flecha; cuando 6etoe tienen UI'IA relaci6n de luoea de 1 a 2, el ac:atnto eqUivalente, o B8ll

10 tlecho • . . - 11""ar hao. . . O""l1ca...... El carActer de la tabla anterior suscitó no poooe debat.ee. La norma ¡ubl1cada no preeenta la tabla o:xl car6cter orientativo, o, CXlII'IO e8 hace con otraa tabJlacionee, OOIDO un I16todo e1.llpl1ticado, que permite eludir e l cAlwlo. etilo que taxativamente lo preecribe OOCDO canto ..iJl1DO, aunque adem6e obllea a oalwlar y OC*IProbar la flecha. In la Myoria de loe C&808 habltualee, debiera oo1ncidlr que la flecha eatrictamente tolerable 88 produce en tomo al canto do la tabla 9, y habida cuenta de loa p.1ntoe 080.U'08 de ul'terpretacl6n del cIil0J10 de flecha. la tabla 9 opera oot'O un BeMUro: el el calOJl1ata llECa a obtener o::wIO v'Udo un canto renor, no se sabe lo que habr' hecho. '1 debe awnent8rlo hasta el valor de la tabla; ai obtiene un canto lMyor, tallpooo se sabe por qué hebra deJo , '1 del lado da la eecuridod no ea malo que lo diepoo&a Dayor.

6. DB LOS DBTALLBS CONSTRUCTIVOS La nonoa U-BB ha intentado reooeer, de IWln6ra aiatelnátlca. y a1q::ale, el <X)('Ijunto d8 detallee ~ forjado que hacen referencia a CÓIOO se ensarta la srmadura o v14ruota inferior en el nUdo, a o6cno se dispone, organiza, y deepieza la alllll1dura superior, y hasta dónde Be lleva la O8l08i8. Supone que la 0810818, al existe , ea constante, y que la reeiet.eocia da l a v.1aueta ea oonetante o tl6n8 Bnl&dura deapiez.ada Oll'rect.aDsnte.

La. infonMci6n relativa a eetoe temas permite 86Iltar criterios de armado de forjados, válidos para cualquier tipo, aln entrar e n detalles

exceeivamente prol1j08, OOIIX) 8n OCb8iones sucede en alaunaa puhlicaclOt'1e& relatlv88 a eeta IlBteria. Sin embar¡o oota oonc1ai6n no pennite rutlcee, '1, aunque sus NlSlaa 80ll válidas en la práctica totalidad de l8e situacionea, en a1gunoe caBOS exieten soluciones alternativas Me stlncillae, que aunque' no eetán reflejadaa en EF-88, no por ello están proacritaa. Lo .. 16lOO que en flecha , el hecho de que la parte general m-BB no entn. (!I\ el detalle de 106 nudos, hace que 106 de EF-B8 no estén bien fundadoo en criterioe generalea de estructuras de honaJ46n. y que antea de apllcarloe haya que entenderl08. En lo que eigue las fraaes en cursiva representan lal! anotacionee a loo preceptos que est3n dad06 con carácter general en ~'-BtI, Pttro que ",ólo oon estr1ct.arllt!lIte neceaari06 00 W'I08 ca&..tó i en loa dellá.e resul tan aer ruy

del ludo dd la

~ridad.

"'*'""1 ' 1 . 1

1"",-

11 .... 111 " 111,t " ,I'U'

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26 6.1 Araadur a interior La norma EF- 88 dife rencia loe apoyos directos de loa indirectos. La denominación comienza a eer uaual . El apoyo directo ea por ejemplo el de 1ao v!.guetaa oobre W\ DJ.rO de fAbrica; el indirecto 68 el que Be prc::ó..aoe en la Wll6n del torJado en Wl& v1&a plana. lh apoyo directo PDnaite ent~ar la carga de la visueta ¡xlr OOIDpreal6n en la parte inferior ¡ el indirecto obItaa a eubir la carga por tracci6n y depoeitarla en la parte superior del elemento da eoporte , que ea del lIi 8bO canto que el forjado: vj,&a plana, cabeu de mixta, o nervio traNIvensal. La llayor parte de loe que se oonatruyen son apoyoe indirectos eobre v 1Q:8.8 planaa. La diferencia estriba en haata dónde hay que controlar laa tracx::ionea que produce el cortante en el alza., a i hasta un punto a diatanci. O,76 -d de la cada del apoyo , o dentro de 61. Respecto a llI"IIladu'a inf erior . IiJ'-M trata de la oontinuidad de traoc:ianee haeta el apoyo e.xtreIIo, cuando toda la cara inferior está ISOID8tida a D::mentoe poeit1voe, .1 anclaje inferior en la r.ona de IDClID8Otos nesativoe eobre apoyo interior, )' recuerda loe temas de deapl.az.amiento de la ará.f1ca de D:IIDeIltoe J c6l.cu1o a cuelaue de loe _trtoo.s de la viCa,

11<11 ~ l l 'l'fI P " '" Ill w, md " . tll l.~ l"tll~ ' .' I I .. t U" ' IIUII.'"

lliotl ••11 11 h l+1~ .. ,t d #t tl' ~ .III" II !I~' ¡I,II 1 ~ 11j .1" 1,. ,1"lI\j~ 11110. 1

u-u De 8.O..leroo

El t.em.a del cálrulo a euspenaión tiMe aatioee adicionales . Una vez que la carga B8 tranatoRl& en cortante eetá subiendo y bajando haata lle&ar al apoyo, por lo que la cuesti6n de por d6nde entra 0010 repreeenta un deep182!UliMto en el diaQamIl de cortantes, Si no hay eatriboe. la carga entra a 1l6d1a.8, y el desplazamiento ea Dedio canto del forjado . Si hay eatriboe a tracción que llecan hasta l a cara de la v 1&a, la carga entra por arri~i el se interrumpen antee de lle&ar , l. carga entra por abajo, pero tanto en vigas planaa COD:) da canto el efecto ea el lIi8llX): el d6BplazaIIiento de un canto del forjado en el d1acrama de oortantee de la vi8;a. Si el canto d& la vj,&a ea .rancie, el efecto -relativo- ea pequeño, y el ea del lIiamo orden, el efecto -relativo- ee lWlyor, pero en térmlnoe ab&olutoe , y en UIboe caeoe, en forjados ea despreciabl• .

11111 II•• ~.

, 1-1114 ' 111.. ,.01 "ml dl " .I/U "'IV

27 ex>n

lo anterior, 108

C8808 tiplOO8

86 podrian resolver oorno

sigue:

a- viaueta a.r.ada eobre viga plana

En el apoyo extremo el eje es el del soporte , 1.ndepe.nd 1entelJlente de o6mo 88th dieeí\ada. la viga. El desplazamiento de la gráfica de IOOIOOlltos es 8/2, por lo que la tensión sobre el eje 66 V"a!2a . tma vez que la vigueta entra en. zona lDBCizada de la viSa, el awoe.nto de aeocibn permite comenzar a perder tensión a la anDadura inferior, que deba prolongarse al menee la longitud de anclaje para la traoción Dl +YB/2.z e n eee punto. A partlr de eu paso por e l e s t ribo debe prolongarse W'Ia lona:itud de anc::laje para una traoci6n D;¡¡+Va/2a . Se puede suponer que • = b - 4cm .

Si la viga plana ea de ancho iJlportante, la tracción y las l ongitudes. de anclaje BOll im{X)rt.ant.ee, La IOOjor solución poeib16ll)8llte sea W\a variante de la fl.gura 1.20 de EF-88 U1bricando eatrib:Ja y vigue tas., disponiendo loo estriboe de ancho caal igual al de la v1&a, sin diRponer redondee en DU vértice interior, ver fi4lura 8,

La tracción que existe en el ext.renJ:), en el eje del eop:)l"te, 66 tcual al valor del cortante cuando hay etltrlboe Mtrtlcales nece8lJr1os por oortanto oS Bef\U'aclMa1S i6tuletl al canto, En el ¡unto en que Be interrumpe la v1&ueta, la tr&oc16n plede &er superior. ese valor ai l. visa plan.s 68 de ancho iMIPortaJ'lte¡ p..Iede ser menor o no existir, 81, como ea -habitual, laa vlMaa se unen al aoporte ri41idallente; en eete últlnl caao la risideil: a flexión de 6atoe J la de tora16n de la vj,&a cxn:iuoen • ..::mento ne&ativo en e,xtnlD) da Mr'Vioe. La práctica de llevar huta el extremo una fracción de l. artMdura de vano equivale a disponer en el extremo la anDadura adea'ada, pero en torJado ea iqloeible llevarla hasta el eje del eoporte Y anclar}a más AlU; hay que eo!aparla 001\ laa ramaa horizontales de loe eetriboe de la vlMa. Si no 88 hace ésto, OODO el DCJtDellto ea ruy pequai'lo no hay fisuración, pero las traoclonee han debido puar a l hol"lll~6n, por lo que existe una II1tuaci6n fr4¡U.

" 1' ,1111", ¡.IW'''' I .. ,.

) .:

En el

t---

aroYo interior

EF-88 prescribe que la armadura de la vigueta

debe "anc1arse una longitud oorl"68pondiente

al anclaja de una tracci6n tnitad del cortante", paro no especifica que el anclaje 8S .3 C\wprdSi~. El anclaje p.Klde necE:ditar ser sup&rior en oca.s lonee , alcanz.arldo el total de la capacidad &neCMica de la annadura inferior, que a largo plazo se hara con toda la tena ión posible por fluellcia del hor'ID~60 . La prellC l¡x::ion de llevar haata el extraao una fraoc:ión de la anaadura de vano persigue

D·II

proveer de WctUidad al extremo, lo Que también

consigue oon lD8Cizado.

A partir de la entrada do la vigueta en la zona IIlaClza. ea decir, en la v14l8o, la anaadura oomienz.a. perder tensión de cocopreal6n, a1n que el nervio pierda ductilidad, p:>r lo que ¡:uedo B'K!1ma 81 anclaje a partir do dicho p.1nto. A partir del eetribo situado a.l interlor de la v4l:a, el anclaje de medio cortante definido en KF -68 pareoo • bien una cueet1.6n de ruen. prkt.1ca pero no t.iene fundamento ClCaIPrenllllble.

En el apoyo interior. el anclaje 68 a compreei6n. En eete caoo incluso p..¡ede parecer deaacorusejable la dlepoalci6n de redondea adoeados. 51 las tensiones de compresión de la vigueta deben pasar a la viga, ooncentrarlaa sobre un redondo para volverlaa a dispersar, pJede ocasionar problemas adicionales. el las tensiones not"ll'laleo BOfl capaces de pasar al hormigón circundante por t.en8i6n t:.arli:enclal en el per1metro. ya está resuelto el problema. y el! peor oocnpllcarlo con redondoe adoeadoe, que

EF- 86 no prescribe. Pero para este anclaje ea obligado embeber la vi4¡ueta la r.ona mclu da la vi&a WUl lona:ltud detenn1..nada.

fin

Las lon&it.udea de anclaje olt.ad.aa en iP-88 acn pequañas . Para un forjado de viviendas de 8,0 11. de lua. e intereja de 70 CID, el cortante en .1 extremo representa una capacidad mec&tlca ata~ JleOOr que la da 2166 de acero ABH-500 . Aun con balTas de ese diámetro. una 10l'l81tud de 12 cm permita el anclaje cx:mpleto en apoyo extremo. V 8 cm balitan para la mitad del cortante.

S1 la oeloeia entra en la v1¡:a, loe. eetrlboe de la v1a'a

no neoeeltan

·calall.arae a welcue¡ la carp .,.tra por arriba.

La. longitud de anclaje queda en general más qua rubierta por la de trarwferencia de oortante; porque tamblen deben pasar por tenaión tangencial, eata vez vertical, las terusionea Jie <x>rtante que trarwporta la vigueta. La f6na.lla de EF-86 ea una simplificación de lado de la nesuridad que cubre hasta cuando las vigueta. 800 del un canto parecido al del forjado; en r1aor las tenslcmee de la .vigueta suman a1&o lD6OO6 de Vd'h¡lh, de IlIallera que a (Vd/2hT. Cocoo Vd :; qJ.J.2. aun para la mAxl.l'la esbeltez pennltlda, resulta a ( 7'q/T que en viviendas oonWce a loo 10 CID lDinimoe del!F-88 .

DI-88 no se prcnuncia exp11cltamente eobre el t..eme. pero ea 1.mportante que loe estribos de la viaa plana ee sitúen de unera que centren la reoaelda de tenal6n da loe redondoe de la v.i&a, y por tanto ea lDás ~ble que se ait.úen. al interior de la misma¡ al Be alt.úan al borde ea D6a probable que se neoea1ten IÚltlplea. para que IBWI ruaa vertical_ no . . diatancl.,. IIÚ da 30 CID entro .1.

Si la vi&ueta tiene armadura variable. loe retuerzoe. eetAn laneralMOte ooultoe . Para evitar en todo caao que laa vJ.cuataa deban auardar DIlCIO, ee recxmendable que talee refuerzoe ee a1t.óen en poe1ci6n eimátrlca. La nonoa EF-88 rec::uarda que debo ller¡ar al extremo la mitad da la armadura mbtma de vano, al la flecha se calcula por la Horma, y al lD8I'lOe la tercera o cuarta parte lI!IIl otro caao, lo que U.ita butante 1ae poelbllidadee do oortar barraa en vtcuetaa DJy roforudu .

"<o

En el apoyo extreDO . a lIIWlO8 que 8t!I ¡ueda demoetrar que hay IXllDefltoe negativoe, la tracción en la v1cueta al interrumplr 148 b:wedUlas, ea en general iJnportante. Si n1 hay n1 ea neoealtan eetriboe , el desplazamiento de la Irafica de IIOmWltoe ea nulo. y la tracci6n ea IV., qua a un canto del eje del eoporte el! 1aua1 al cortante .

51 ni hay ni En el

¡unto donde

se interrumpe la v.l&ueta todavia hay traocionea 1.Ilportantea, aenara1.mente IlUperiorea .1 valor del oortante, que deben paaaroe a laa rama horizontales de eetriboe,. través del hormigón., lo que ex14l:e una l.oneitud de entreea f'1eo,ad". La BOluci6n de solapo de EF-B8 ~l1ca d1.ap:lller redondoe adoeedoe a cado lado de la viMUeta, oon Wla lal&itud del 1118/1X) orden que la v1.ata anlea: 12 CID suele 8er más que IlUt1cieote. La ex1atenc1a de capacidad DeCánlca a tracci6n en la cara euperlor ¡uede deapIazar el ¡:unto de tenai6n nula de la cara inferior hacia la vtcueta, haciendo inneceaarlo dicho artificio, ver figura 11, pero la r1Cidez a toreién de la v1a'a euele ser pec¡ueña y el empotramiento poco fiable. La ID8jor solución ea, OCIIIX) antes, la de entresa, imbricando vtcuetu y v1aa, aunque para ello ea preclao 00 diap;::lOOr redondoe, en el v6rt1oe interior de la v1&a.

neceeltan estribos. la carsa entra a me.diaa e ntre ¡or laaIpooo parece necesario calcular en

arriba y por abajo de la v~a, y e8tas C.!l808 8US eotrUn8 a cuelaue.

6.2 Armadura 8Ll¡J8r1or

Sesún EF-88 el cálculo debe hacerse para un

paño cnnpleto y no para individualizada. Eso 8ignifica que B8 p..¡eda t.l::Ifiar la carga total del roctulo, y <lbr la reelst.encla a caJa viguuta segUn el IIUmbro real

cada vigueta

de tillas 'lOO 88 dll3f01'ltan. Por d1flc:ultadeu d6 lDOOulaci6n 81.e:ml't'EI hay una o doe mas del mwero tbórloo, y eae Jl&rven ea baneflclOtlo, tanto para ",nMrlura

1nfflrlor

00h:)

8HPArtor .

~;. 11;1 .... ',: t.mfll l"', ,_ l. vii_ ... 1. . . . \~jt""'" y. 1 ........ _ 1"1. 111 , .... , '1.ld. !.tr¡'.h" ,.·¡h., ltr",¡ _1 ji.... , jiu l __ , ., ( ~ "'1 1 1~j\, t ~\I!lI ! j,, ~ 11i " 1,1",,, ... V

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~I"

30 Ibr otro lado, sl la amacbr8 reaultant.e no 68 <XlngtU6nte ron un número exacto de redoodoa &obre cada v1aueta, 8iempre se p.ledo ponor el cociente entero sobre cada una, y el resto en las zonas adyacentes a loe aoportee. En último ténlino, EF-88 no Be opone a disponer UXla la anoadura nesativa OOIDO redondoe diep.l88t08 a intervalos taualee. 1l'ldependl6ll.t.emente de la eltuaclÓ1l de loes nerv1oe.

Esta últiDla eatrat,eaia tiene partidarios y detrac:torea. Las experiencias en este aentido dicen que la anIIIdura diatriblida permite BOplrtar el lIil!llDO DOmeflto paro oor.duoe • lDMD8 detorDaCi6n final. Deada el ¡:unto de viata de di.t:nui r la detomoolón. por eJea¡plo en voladizos, es w intereGallte la dletribJlda, pero para aUlDfll'\tar la ductilidad sobre apoyoe intermedios, en donde hay QUII redirstrlb11r IDClIDI!!IDtoe, ea mejor disponer l a sobre nervl08. La EF- 68 OO1iaa a enfrentar loe nervioe en e l caso de voladlz.oe y no l e iqx>rta en 108 demás C88OII. 880 a l , .in que el desvl0 eupere a la diatancia recta entre teetaa.

rl, .,1

1').'''''' lI,t'I, 1111

' _.

",1, ,, 11f'

u-u

Se prescribe que los redondos nSiati v06 se dispotlgan rectos Bobre loa apoyoa interiores y en loa extra1V)6 c ruzados . 8 in bajarlos en escuadra. l o que favorecerla e l agrietamiento en ese pmto y la pérdida de mooollt161OO. En apoyos cruzados de vuel08 obli¡:a a prol Of\Bar la armadura a l 1)&008 un lntere j e, y a c,::omprobar las CXlmPreaioneo tras el apoyo, NC izando al 68 preciso,

En apoyos extremos obUsa a una o...arta parte del de vano. q L'Z/l1. y la esbeltez da la pieza ea amadur a 1"80ultante ea del orden del IIlClmer'Ito

ar1DfKlura superior

para un

tD6ll.08

Si e l mocoento de vano es del orden de del orden de L,/25, la capac idad de la cortante, congruento con 61 desplaza-

miento de l a grafica de JD:IID8ll.toa un canto en el senti do ooafavorable. Si e l desplazamiento oe hace en la parte auperior, puede diaminuir l a tracción en la parte inferior . provocando OOIUpreeionee que originan para el forjado Wl liMero 6IIlpolraaiento. en función de la torBi ón de la viga, CU68ti6n siempre discutible.

, -

--!

Aurv:¡ue EF-88 sólo lo dice en las fi4luras y expreeamente para voladizos , la práctica o:lIIIÚnDente aceptada 68 que l oe redondos c laramente resistentes aBan al ren08 dos por nervio. La regla de que poüeM en torno a 25' de la luz de loe trM1Q8 interiol"ea y del 3~ de 106 extr0m08 eü un lugar cx:mí.n, y, en general, el cálculo dutallado se rueve poco de dichoa valorea , cuando las luces consecutivas soo parecidas. Cuando aon lILIy diferentes I ea b.lena práctica disponer la arDadura a1métricall'lOnte respecto al apoyo. Para via:uetas amadas con cel08ia oblicua . el rlespla:z.a/lliento de l a sráf ica de IIlOIDEmtos ea sólo de 8/2 , Y el ni hay eetriboe nl se noc:eeitan. el desplazamiento ea nulo.

Naturalmente lo dicho no afecta a la amadura superior dispuesta para hacer frente a 108 aobrelbC.lllMtoe originados por la acción horizontal de viento o e1smo, cuando se acuda al for jado para resistirlos en su direcc i6n .

Si existe un redondo s uperior de colos!a de la vigueta, y ésta penetra en la capa de callpreslón, es poaible 4...."OIIlfUtarla C'CIIOO resistente , y Ub.2:rar e l 8llclaje de loa rtlodohdos 8ul~riores. Igual pa~ l ¡A1OOe cumpl ir la anladura de la capa, que pasante tloure lOti b.poyoa, adc::maa pel1liite rt"(11If"lr \ ;1 rIlFon t.i~ d A \A ann.:w1l1ra n".n"t.\v:\ ,,, .. hre nervios .

u·g

De acuerdo ' 000 ello. y debido al allJl'lento de la capa de coroPI"esión Ilmima . 106 pesoe de loa forjados dlt1cllmente pjeden bajar de loe

sL¡ulentea

valo~:

8 . DI LA IJICOCION y CONTROL La oonaa. U-88 88 remite IIObt'ellan8ra en eetoe temas • las nonas 1ilf '1 KP v1centee, en partlrular para control de .ataralee.

Tobla lO. Peeo aln.I.o do loa IorJadea do Ylauotaa

Canto dol torJado En lo Que J.na1ate ir-88 ea en la auperviel00 oonatanto de la fabrica ci6n de viguetas. -que, 'probablemente, tM,ga en el futuro W\ reglamento ad hoo-, en ot:.D verl:f1car en obra Que 1811 v1&uetaa eon las pedidas, '1 en que , loa planea de forjado deben eer flnwKSoe por el autor, y oonflrmadoe por el director de obra . Adeúa t'eICUOrda Que ae exija Autorización de Uso el laa v.lauetu eo fabdcan aparte.

Vlauota a1q>la, 11=70 Vlauota debla,

("") mi

0:60 ... a=82 e.

215 225 235 245 260 270 290 310 365 440 225 240 255 265 2B5 295 315 335 390 465 235 255 275 295 320 3(0 370 395 460 5(5

Peso ainDo

kp¡.a deo l.oo forjadoo

La única novedad .. la obUaacl6n. para cantidadee iJulortantee de forjado, de hacer en obra un ensayo a1llplc, para CXWltraatar l. capacidad neiatente. 1188ando a rotura o a la cara:a D.lltlpl1cada por el producto da ooeflclentea da _yoraaL5n de carpa Y de ainoraclOO de hora1a6n. Eh la pdctlca, al 1... v1auetaa tIIQt\ armadas, y aecátriC&lD8nta aon oorrectas I un _1 resultado del ensayo 8610 p...ade deberse a acero de menas r'CI8utMoia. 51 éste ea el eidecuMo. el tallo invalidarla el IIlOdelo de c61oolo actual y no 01 tarJada.. La baja de resistencia de hono1g6n apenas tiene influencia M la reeiatencla a flexi6n. In vi,&uetaa preten8adaa, el ensayo ¡uede detectar falloe en pret..eneado. en. p6rdidu. en adherencia, en reaiatencia del hol1llij:6n. O lIicrofiauraci6n. que aon cualidadea da 1qloeible oonatataci6n vleual. En funcIón de loe reaultadoe que 88 vayan obteniendo De podd matizar eote tema en 01 futuro .

Para la definición del armado vigueta. CllIIPliendo 106 minimoe de cálculo de 106 forJadoe entre 2,5 y vlviendae. y 60brecarsa de hasta 750 <XqlO61.cl.OO6lB 1Bl&ulentea:

Tobla 11.

lBuplementarlo o de refuerzo de cada 'pro longación hasta el extreJrO, el 1.5 .. de luz. con carga de cubiertll6. kpjlQz, arroja OOIQO reocmendabl80 las

~lc1oMe ~

d o . . - Interior do ylauotaa

1Iofua.....

¡.,e 1108 1,10 1'12 21010

Laoj¡ltud (lIL)

lOO 70

lOO 70 50

lOO 90 70

1,18 21012

lOO 100-80 100 90 100-70 70 BO-60

1. DI LAS ADTORIZACIONBS DI OSO La Horma U-BS no modifica el procedlaiento de Autorizacloo8IB de U80, pero, dados los caIIbl06 de plantearliento y forwlaci6n, oblij:a a presentar variables diferentee para caracteriur Wl forjado.

No ob6tante

la tabla

de estas

x, Xa

l{JO-eO

x, Xz x, 2.z

11(1 Xz

m-88

afect.a al cá l culo d t; l

y U -OO.

1.1 rorJado. araado. l. Tipo de todiÓ>

La presentación de loe elemenloe reeiatente8 dal forjado armado no exige callbl08 da formato. Hay que representar, acotar y def I nir el peso de la vigueta. cel061a . bovedilla y del forjado tonnado por y1gueta8 eitl'lples, fU'\ (l()f"~I'I. flO r dob\ ~ ft. l .ce úniCOft C8IIbl08 aon l oa de definir tnt,quivo, .a_l i . . . 1 , ~ If'11 ,1l1li 1", 1.. ,,,,,.. 11)1,,, ,~ . ... IIp(lrir nWI\UA r la roolt1wncia lA " j • d . ,1 I f I ,~ I 11

Tipo referido al nervio, eimple o doble y al intereJo.

'f ni

2 . Canto total F" 1/1 fr .......'\ 10',1,1 1' , ,1 1" ..

21016

100-80 100-60 100-70 100-60 100-60 IDO-50 lOO-50

longitudes no

reato de valoreo lbeCimicoa. que de acuerdo con ri08 para definir el forjado, y que son:

3j012

. ~ ~,

BOfl nea:6A-

,-\JI.• ,,-

... 1." , ...... ,1,.. I~\f.l l "", . jl II.~ l il "" l ~ l' I ".",I ' '' i l ,,~.j y ,.., t lll l • • 1 1.. " l.' .... ", I h 0f4~. , l-.v ... lIll " ~ I~ I 1'.,11,... 1. . 1" ",1 .... 1., a-o y l ~t~ ... I, " ' ••I,lm;, I u I .M .. ., l .,. Ilt, I , .... " ...I d,,~ ,.'-.1 1,." li" ,I",t hll l 1I,··,lIlv,. W" l . ,1 .. t dll.1 j. I IIlh I I ¡..... 1.1"", ,1 ~

•

l'.

I ... " j, 1111" I 1" I I 111

.".1"••

'\1

I I

I "

D-II

Tranafonnando ' el ool"Dl186n en acero ea lDáa ~iJnple, y resulta eetar en el orden de U'As ' da/a, oeclla.ndo entre 20 y 2000 .2·tfp/lII.

8. JIofuono por v1guota El annado suplementario al de montaje de la 0810818, habitualmante de 2~. El .iniao total ea, eecún D-88, de O,OQ6·bo -b. Para b.,=6 CID el

.1n1ao oe: Canto total _

(cm) "m¡., 2406

•

16 iOII

22 iOII

En principio no existe anD&do máx1JDo . No obatante, teniendo en cuenta loe recubr1mientoo IQinialoa, la suela de la viaueta ordinaria no p&l"IDite fácilmente lnooqJOrar • de dos redondee de refuerzo, y difict.1JDante aon eficaoee loe de d1állletro auperior a "16. Loe forjados para peso propio más 750 kp/III J permiten llegar a 7 ID de luz en apoyados y hasta 9 ID en oontinuca sin neoeaidad de &IÚ de 2~18 de refuerzo. Habitualmente ocho o diez oomb1nacionee de retuerzo wbren e l caqx> poelble para Wl8 v14¡ueta .

4. _Iata>cla de la vlauBta .ID forJ.... _ Loe mmentoe que reeiate DOn loe del redoodo euperior por la distancia al centro de la zapatilla . Para Wl ¡j6 de acero AElJ-5QO loe valorea de .:anto ú1tiao y lae luoee entro eopandaa .en del orden de:

tre_

Qmto da la oeloa1a (CI:I) - , t o últlao (m' kp)

w. """-> w. ....... ... ...,.,..,da " (m)

(m)

10 130 2,3

12 150 2,6

15 200 2.7

17 220 2,9

20 260 3.1

2.1

2,9 " 3,1

3.3

3.5

aunque la experiencia. ¡:ueda aoonoejar reduc1r la d.1atancia. do eopandado ei ee obeorva pandeo en. 01 redondo superior.

8. R.1s1de.z poelt1va total a 28 d1aa CalaJ1ada sobre la eeoclÓtl total , 1ocluao t.ablquilloe, BU valor está entre el séxtuplo y el doble del anterior. del orden de O,5(¡ · ho·h'/a. oecllando entre 120 y 7000 ... 2.tIp/l'I. Para su cálculo 68 recx:mendab1e <XlI"I8 1derar la &n'I8.dura inferior traducida a ool"lD1s6n, ya Que al estar 1ej08 del centro de sravedad, no ea deepreciable.

9. Antcdl auper lor

La a.rmadura lDínima ea de la misma cuantia que l. inferior, de valor:

8 . ttc.mto da t10uracién positiva a 28 di.aa Ca100lada a partir del centro de aravedad da la eeoci6n bruta, 68 el producto del DXt.i10 reo1atente de la fibra interior. por l a resistenc1a a flexotracci6n del honrt14lón. Loa valorea oacllan desde 160 haata 3000 IQ ' kp/m y e8tán en el orden de 8·bo·h2/II, entre la mitad '1 la déc1..ma parte del ~to últl»o.

7. Bia1dea posi Uva fi.alrada • 28 d1Ba Calculada ClOID:) ei no 8x18tiera el hormigón por debajo del centro dts sravedad de la aeoci6n faurada -lo que obliga a tanteoe para encontrbr d1cho p.mto-. ea el producto de la inercia por el IlÓ(Julo de e l aaUcidttd.

_"m¡.,

iOII iOII'108 2p18 iOII'1OIO

32 2~1O

.10 •• 12 2.12

Blando rec::omendable aeguir con 3t;612. 2~16 . y ~12 lo que pen¡ite a l canzar valorea de IKlIIIOOto OOlllli8lllO orden que loe poait1voe. Como en poaitlv08, ocho o diez: oocob1nacianee wbren e l campo poeible da cada v.tsueta .

10 . a:.ento bfWlltivo últt.o en aona .acUada Aunquo IIU valor ee deducl.ble por el usuario, al aer la aecx:ión rectangular. 08 c6Dodo tener el ~alor en la misma tabla. ya que a prl.uera v1ata no e8 fácil decidir cuál ea ":81 que lD!lnda en 108 apoy08 aobre vigaa planas , cabezas de lIixtaa, etc. Su valor OBClla, y tiene una fonulacl6n e interval08 wy parecidoe a 108 poei~iv08.

11 .

ti. II::aIento últt.o pceitivo Loe valorea oecllan entre tOO y 15000 lII'kp/ID Y eatán en el orden de A.·f.d-(h-3)/a. Con el redondeo del 5' todos loe valorea p.l8den acabar en cero, y por enc:ÚIa de 2000 en doe cerce. Aunque tenaa p:lC8 traacendencia , oe p.l8de contar con loe tabiquUloe de la lnved.iUa en contacto con al hormia6n, ai 6ata ee reaiatent. . Si8llPt'8 se p.¡ede oontar o:lII'I todo el ancho de la capa superior de hontia6n entre ajea de narv10 .

Canto total (cm)

rqativo últ1a:> del forjaeb Para 8U cAlculo 88 considera el OOl'll1.gÓtl inferior de la vigueta. in eitu, y tabiquilloe oolindantee .el procede. El valor es 1 igeramente inferior al anterior, aunque 80 términoe relativoe ¡uede ser hasta un 15% HI;::mooto

IDOOOr.

12. ttc:..eato de f1Jsuracioo nq¡at.1va a 26 dian Calculado de la ~lama manera que el positivo, la proximidad de la fibra neutra a la cara euperior tracc10nada no rec(lIuienda coruvl iCdr el cálculo teniendo en cuenta la anoadura¡ dada su poca import.anc ia en el cálculo de flecha. la precisión necesaria 68 IleflOr. Su valor Odclla entre el doble y vez y media el poaitivo.

13 . RlMIdez flaurada a 26 diaa CalOJlada oon loa cisn:>a criteriOll que la positiva, sí depo¡!lnde da la amadura traociona.da. C6clla antre la mitad y el mismo valor que la pooitiva.

D-U

7.2

Forjados proteDsados

14. IUgLdez total • 28 d1aa Al referirse a la zona de D:lIII6lltoe nesat1voa, BU valor 68 el 1'118Il10 qua l. positiva pero cambia con la amadura. Al estar ahora la anoadura Dl1 cerca de la linea neutra incide rucho 1lI8OO8, de IlaJ'\8ra que .1 final resulta eer liaeramente menor que la total • ...entoe po81tiV08.

amado. Sin embargo ea reoomandable una eScala uyor para la deecrlpción de la v14¡ueta y IlÚIOero y posici6n de alambres .

15. _

Loe tipoe de viguetas Be caracteriz.an ahora por cuálee de 106 alambres exi8ten en cada tipo Y cuál es la tensión y pérdidas eatimadaa de cada W)Q,

.1 inferior ainioo

G.iando 1_ aRl8dura superior ea iJDportante, el hol"lliaÓrl inferior no da _huto para .1canz.ar el a::eento neaatlvo de forjado. !n lIeneral la armaWra interior IMItA en el orden do: Canto total (cm)

_.....,.,nor _1~12

2~12 ~12 ~18 ~12

....a ....a

.,.10 ...a .,.16 .,.18

.,.12 .,.18

.2~12

...a

.2~10

+2¡;12

ea recomendable

expresar el

cortante por a ltura y tipo de 0810818, condicionada a un perfil 1nnltable de bovedilla, o hacerlo en. funci6n del ancho en ose pmto critico, y que 01 usuario oontrolo uboe parÚlatroe: a ltura de oeloaia y perfil de )x>vedUla. Loe valo.... oecl1an habl.tuaJ.on.... entre 2000 y 8000 Iq>/m.

18. W:Wmte ~t.1ble ocn oála.llo IB8tr1cto da lU"MCb inferior De acuerdo 000 Di-88. 01 Jl6todo a1apl1ticado ¡:aranUza que

BOn

ccq::t4Ublea con ambiente 1 todas las vtauotaa amadas con acero AEH-500 y dlÚletroe infer10ree al tf20. Para Ulblente II 8610 lo p6n:11te con dl6m&t~ · 1nferiorea a _18 0,12 eegUn cuantia. Par. calificarlas ~ v1abl_ en abiente III no vale el 8111p11f'icado.

_todo

similar al

Como en loe amados, de cada v1gueta es preci80 dar 8U IlOIIlento últirro positivo y ne¡:aUvo, para la comprobación en fase de sopandado, 80POrtando e l pe60 propio del forjado, La capacidad resiatente está limitada por W).B. cocnpreal6n del S7X de la del hormigón de vJ&ueta a 90 dil18 de edad trae el deateeado, y por WlII tracci6n do 40 kp/ca il •

al armado, 188 a1&uientea variantelt.

15. Corbm.... .uts.> 11 valor de cortante último puede expreaarae CXCIO un únlCXl valor por cada torJado)' tipo de 0111081., 1ndependient. del anaado positivo o MrQatlvo, que, aunque 1n.tluya, hari. ocq»Ucadieima l. tabla. Para oeloelaa tuertee de lUCha altura la t6nula que 80blama el valor del cortante ültiD:l no depende del &nIado lonsltudlnal. Al dllY1i..ruJir la a ltura de la oeloela entra en Jue,a:o el ancho de oon:.1a6n 2 ca por bajo del v~rtl00 superior de la 0810814,)', en teoria. el oortante depepde de la anJIadur. lonaltudlnal. AunQue exlet.en a.íltlplee poalbUidadee,

Las caracteriat1caa DeCánlcaa del forjado pretenaado Uaoen, respecto

.,.10 ...a .,.16 +2¡;lO .,.10 .~12 . "-do 1ntar1or alniaD PX' DDlViD, 2116 .. .~12

La presentaci6n de la vigueta, bovedilla y forjado tipo

1. Rlgldaa flauada Para eete valor en IlClDanto positivo B8 oc:quta la eección cocnpleta de la vigueta, BUpJestamente ain Uaurar, . pero sin contar 000 la c:x>laboración del horm1s:6n in aitu del lado traocionado de la fibra neutra. F.o n:::ae.nto necativo 86 opera O'JIDO ai fuera un torJado al1D8do, ooqut.ando el ho.-.1.aón de v.taueta con BU coeficiente de equiv.~ lencla.

2. tbaento de aen1clo En torjados pretensadoe hay una doble comprobación: para l oa IOOIJlentoo de cálculo -JDayoradoe con 1,6- 88 ~rueba que no alcanzan los úl tilOO8, Y para loe de eelVlcio -ain Dayorar- que no a lcanzan loe indicadoo en l a tabla para cada tipo de ambiente, calculados aeaún EF-BB para que no haya de8CCClPreai6n en 8IIlbi80te 1, traoci6n puntual en ambiente II. ni tracx::i6n recUa en ambiente IIl. En cualquier C880 no ee pJede contar con el honn1s:ón in a ito que BUpere BU reaiatencia a tracción.

3. Cortan.... CUando no haya celada inaolllOrada, el valor de cortante no depende ni del tipo de vigueta, ni del armado auperior, y ¡:uede ponerse C'()Ih() Wl único valor a pie de tabla. La diepoaici6n in eito de cercoe Mlbebidoa entre la viMueta y la bovedilla refuerza el corte ha. pero no alJlllo!Ota la res1atencla del periJDetro de engarce PI. ver figura 5. . Sl se acude a enaay08 para deten'llnar el oort.ante no ea predecible da qué valorea depende la C8pecidad resistente. y el usuario dc:~rá dldCo'Mr el cuadro correspondiente. Probable.'lOOte baete con una colWVla enfrentada bien a tipo de vigueta o al armado nesativo. y en últlal témino Burian necesarias dos oolUlQl'l88, una para cada tipo da momento.

,\ 11

7.3

Caraaderoa ClLando el

elemento de v.taueta tenga forma de doble te , se puede usar correa, o cargadero. Para ello debe poseer IlnII&dura transversal. Para identificar IIU ooqx>rt.aallento. buta af\adlr en el cuadro de valoree del torjado un ep1,¡rale para este propósito, 00I0O el fuera W\ tipo máe de tarJada. oon una nota de que loo valoree se refieren a la unidad y no al ..,tro de ancho. tXlmO

1..

'or.ato de presentación

De acuerdo con lo anterior. tanto para tor jadee a.nnadoe OOCIX) pretensadoe. las caracteriaticaa aea:06tricaa y mecAnicas de las viguetae y bovedl11aa y 188 88011:18tricaa del forjado ¡:ueden ir en una primera hoja de la Autor1..z.acl6n de Uao.

Para las caracteriat1cae de cada t orJado bastan ocho o diez lineas por cada canto, eepeaor de losa auperior, El intereJe. En total ea razonable esperar que una cxnfJ.auraci6n de intereJe no ocupe IIÚ de dos o tres boj.... . Dedo que no se necealta una aran preciel6n en loe re8Ultadoe. 1nclU80 las varlacl0088 de perfil de boved1l1a o del eepeeor de losa da . oomprea16n pueden dar luaar • valorea de tabla ld6ntiooe. eilAplificando la tal::ulac1ón del forjado. Y en cualquier caao, la nota de que se ¡uede lntel"¡X)lar linealmente para valoree intermedios de canto, loaa. o U'IDIdura. evita prooeear Wl ,ron I'IÚIJaro de ouoe adlcioMu.. Loe datoe neoeearl08 de la Autorización de Ueo per.lten 8U realizaoiOO con ordenador. DOd1ante im,preeora de carro eS. 21 cm. ail'llllpr'8 Que SXJ8&a letra OClII¡)rt.lda, aceptando 132 caracteree por linea. En otro caao p;xiria real1zaree en papel lINK-A3 en ialpreaora oon este número de caracteree ord1nar1oe. para, posterlonlellte proceder a au fotorreduocl6n.

Eh las pAa:.1naa que eJ.iuen, aparece el rodelo del cláelco lor jedo armado. con suela y doble celosia. Los valorea de caracterlsticaa mecánicae están redondeados al 5X lo que p&l"IIite con lm8 eola tabla referirea a aran variedad de caaoe. En particular la forma de la ooved1l1a y el eepeeor de la capa de OOI'Ipreei6n no influyen en. eetoe valorea redondeadoe¡ intluiria en loa de cortante. ouest16n. obviada al referir 68toe al ancho bajo el redondo superior.

La variable p indica la pendiente de la oovedilla. W\ valor O indica _1 nervio igual a b (en cm). El valor 11 ea el del intereje; cuando ea 82 (cm) indica doble vigueta, en ruyo caso b 88 supone iBual • 20 ca. La variable e indica el ancho del nervio 2 ca por bajo del redondo euperior de la O81081a, y eirve para CXlIIP6tibilizar perfil de la 'bovedilla oon canto de ool08ia de acuerdo con el cortante. Yalorea euperioree a 108 tawladoe no P8l"11it.en reaistir ,.áa exartante. 11ll1tado entoncee por la base de la zapatilla.

pared vertical, con ancho CD\8tante en

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u-u 8. Tablaa d.

Laa tablas de laa paginas siguientes dan la solución para loo caaoe de carga y tipos .jo oustentaci6n deecritoe. con arreglo a las siguientaa clavea:

o'lc~lo

No ea dificil plantear. al lDBn08 en forjadoe a.rmdoe, una tablas aeneralee de cálculo. Seria necesaria una familia de tablas por cada CU'lIa; cuatro ca80lI podrian dar wenta de la uyor parte de loe torJadoe de ed1tlcloe I IIl~re bajo h1p6tooi. de caraa unltOnle. El • 81a¡ple. el de ooblertaa, ex1&a pensar en peso propio más otros 300 kp/.II i1 IIl\tre 801adoe y lIObrecaq:as de nieve. Ea dificil tXln08bir un for j ado para lDEm08 call1a. El a.e¡undo CABO podria aer el de viviendas, prev16ndolo para peso propio úa 400 kp/m l entre BOlado tablqu.er1.a y uao. Este últiPl valdrla tMlbi6n para forjadoe de Olblerta sobre los que Be d1.apor¡aan tabiquUloe y u.bleroe para rubierta 1nc11nada. ion Dlllboa caeoe no 011 preciao CICWllderar . 1tomanc1a de carr¡aa.

I 1

El 8~iente escalón . que se podr1a denocinar o:::lltwm=lal. podrla llee:ar hasta pe80 propio úa 650 kp/l:lil da IIObrecara:., 8uponiendo que de .lloe 200 kp/ail eon altemantee. Corresponde a p1aoe de hoepltalea, eIIO.Aelaa , otlc1naa '1 a:ara,aee en aeneral. 1U últblo caso p:ldria ser el piblJoo, capaz de IIOportar peeo propio llÚ 150 ap/.l . cubriendo laa eobrecara:as Dáa aq>11aa previataa en KV-IOl . • incluso forjados con Olb1erta plana ajard1.nada -con .enoe de 26 ca de e8peoor de tierra- . in _te oaao ea razcnable OOI1II1derar haeta 400 kp/llil alt:.emantee. El cAICllo de un trua de torJado depende de BU eustentación. A este respocrt.o cabe considerar la. _tcu1entee t.1poe, dencm.1.nadca por un 06di80: ,. Voladizo, idantU'1.cado p:>r au lua. Si hay cara;a lineal Q en el extremo eiea:¡)r. ee p.xde recxJnvertir la luz real en una ..ayor ficticia L' = L • .{( 1+2Qlq[.) ocn. la .1.eu. carva Wlltonoa q . .l. Apoyado o traDO 81alado. Lu cara:u linealea Q pr"OCltldente8 do oerrwaiento o parlic16n '(Iea.cia equivalen 8 un 1ncrepent,o de carga de valo~ 3ii ::: 4'Q'e/Ll .iendo • la dletancia al extremo próximo. Ii:n loe dem68 caeoe MI puede h..cer la .iaM ooneideraci6n. .

AY. Apoyado o aialado oon .&I. Apoyado o

.talado

En cada caso de carga y tipo 86 entra CICX'I el canto total (en CIn). avanzando en horizontal haata encontrar la luz del tralOCl en cuestión (en al ). la luz pertinente ea a borde de zona D8Ciza para oortante; para fDCllD6Oto hay que tomar la luz hasta eje de soporte en en apoyo extremo, y hasta un p.mto intermedio entre e j e de BOpOrte Y borde zona maciza en apoyo interior.

Bajo l a l Ul: ea encuentra el annado J: Werior, OOD'J:) refuerzo al bás ioo de 2~ , y bajo 6l l a lOOiltud en ~ de la luz total. Si oon dos redondoo la lon.a:ltud de tabla ea l a del mayor. la del ID6J\Or 68 indica a pié de tabla. Si la 10l'lllitud ee oecativa , es la del III8flOr¡ l a del mayor eo lom;_ Bajando máa aparece la armadura W de poque& voladizo, y la Y da (X)tItinuldad. En estos C8808 la looaitud se da en l. linea (:::=:) ei el tramo o vuelo oont1auo pide la misma o JDenor &l'D"I8dura. Ülando l a ar'lladura del tramo contt.auo ea la inmediata superior aparece en la linea (t1), ai ex1&a la &r'ID8dura 8i&uiente de la seria en la linea. ( ...2 ) etc.

Para el voladizo se indica la 'annadura Y neQativa qua hay que diep:x¡er, y la mAxllDa Wdel tramo oonUguo que puede equilibrar. S i ee ha eup.¡eato que es peQ.ue& voladizo (tiSXl8 AV, Al , o IV) y la armadura W del tr8lllO ea superior a la JlaXW del voladizo éste es demasiado peq,ueño y hay que recalcular el tramo OOIDO el el -o 108- eJClreD;)e en cueat16n fueran apoy08 . 51 la armadura ti del tramo ea ÍlUy inferior a la Da)C.N dal voladizo, ee poelble que éste pueda producir cOntinuidad., debe recalculara. 00I0O tal. Si se ha supuesto Qua un voladizo es ruy ¡randa. produc1endo cond i clonea equivalentea a lao de oon.t1nul~ (tipoe lA, KV o 1). V la armadura y del tramo e6 suporior a la II'IaXW del voladizo, eete ea pequeí\o y al traIllO debo recalcularse con esa hlp6teaia. Para 108 extremoe apoyados Be indica la an'ladura negativa Z reoomsn dable que cubre la cuarta parte del ra:I8Oto poeitivo, al lD8IlO8 de capacidad mecánica igual al cortante .

peque!\o voladiJo.

con doe pequei\oe volac!1.zoe¡.

lA. &potrado-apoyado. cant1.nuoe .

I:rtrso de un conjunto

de vari08 tramos

KV. i..IQpotrado apoYado con voladizo. ixtremo can un pequeño voladi2:o. l. Interior. CQnt1nuidad o voladizoe bIport.antee en ambos axtremoe.

1.06 diatintoe tlpoe rubren el n:xoento l00etAtlco &610 con I!lOII:I6ntoe poeltiV08 (tipo Al , con un momento no mayor que la lIitad. del de vano, deoom1l'lado peqU6i\o voladizo, (AV, Al, KV), o con IDQID8nto del lIismo orden que el positivo, (lA , 1), C880 en continuidad o con voladho lJ¡portanta .

La flecha -la activa para un 'ritmo de CXX18tNCCián habitual. y tabiqu..erla ordinarla- eotá cubiertá por la al"YlBodura qua reBulta del cá lculo. que ya está 8Obredl1l6noionada al euperar86 la esbelta ... critica. P.. ra rebajar la flecha a loe valoree aceptables por tablqueria o IWl"'06 roy sensibleo 8 flecha basta disponer una armadura 1,25 veces la calculadit. La inexistencia da valor de luz eb la linea del canto nbliga a cambiar el d1mensionado. En el caBO de amadura l'JiniN no ea impreocJJld.ible hacerlo. disponiendo la Que oorrespoode a la l'I6t'iOr luz tab..alada .

Loa caBOS ae han elegido entre 108 recocnendables . En principio el forjado debe intentar resolveree con vigueta aillPle B = 70 CIII. Si no a(.oal~ la luz b.lscada, el aigno ":;:)" 1r~Uca que para ese canto lid p.lude intentar -por ese oroeo- con intervalo !neoor, • ::: 60 CIII. o COf\ vigueta doble y bovedilla oomlill 8 :: 62 cm.

48 49 El canto 88 el más adee.nado. eL para el tramo prodom1nante. canto y luz coinciden en la zona indicada de luz ca\ eimlo ........ 51 el "alor de la luz de cortante tiMe Wl signO detrAe. la celoela ea anayor de lo ordinario para eae caao de carsa¡ ambas Aparecen al .16 de la tabla.

51 el valor de luz de flexión tiene ooma deciJ:lal, o bien la armadura inferior 1 debe correr de lado a lado. o hay que D8Clz.ar hasta el valor de luz DáxiDO que ten,¡¡a pmto decimal, ¡udlendo recalwlar el forjado con

la nueva lw: efectiva; Lo. definición oompleta del forjado 88 oomplementa con las cuestiones habituales : disposición de zuncho en borda de wel08, y viguetas adicionalee bajo particiones pesadas y en borde de cerramientos. 51 por cambiar la d1reo::::l6n del forjado. el lntervalo entre nervloe, el or1a:en. de replanteo, o el tipo de nervloe -aiJ:lples o doblee-. 188 vtsuetaa no eatAn enfrentad.u. Be p..wde disponer Wl U'1Il8OO único fol"llado por redondoe • a lntervalo 1. dado por la a1&u1ento tabla:

Amado e·'nalado

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Pa r a encuentro oblicuo - deav lo- inferior a 30· la a rmadura ea deba . d1eponer en la bisectrlz de ambas dlreoclonee. al es superior a 30· lo recomendable ea diaponer una Cl..&lldr1wla oon o..umtia y lona:1 tud en las dos d.1reoc1onee 1aual a la dal paf\o que la exija lD8yor. En otro caso es a!empre reooroendable que la armadura negativa 6tJ dieponga aobre loe nervioe. y oc::.l lCllliltud at.!ítr1ca -!Mual a la mayor- a """- ladee del opoyo.

Loe temaa de huecxte, rotura de Mn1oe, quebrantos, y aCOCl8t1da a loeae 1ncl1nadaa de eecalera deban reeolvoree aparte, aei como todo lo

referente a la rea1etancia ante acción horizontal sobre la estructura pneral del edificio, cuando afecta al forjado.

1( III&LlL. 1981

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Comentarios al EC-2: Análisis

1. Introduoc:lóD.

Loa temas referentes a basea de cálculo y métodos de análisis de estructuras de hormig6n armado reciben en el Euroc6digo un tratalDiento mucho .. áa extenso que en BU hom6l.oca instrucción española. IU Kuroc6d1a;o conaidera loa elementoa lineales . supe rficiales tipo 10a8. tipo placa , y las zonas en l as que DO as pue de po stular la ley plana de deforllsclone8i como métodos trata 108 lineales . con y sin redistribución. 10B no lineales y loa plásticos, mencionando, -aparte de los de lineas de rotura- , loa de bandas y 10B de bielaa. Para cada combinación de elellento y método define el lDár¡:en de validez. -108 requisitos para BU UBO, y 108 matices que hay que tener en cuenta. Aparecen disposiciones relativas a 108 métodos de elementos finitos y diferencias finitas y simplificaciones p a ra elementos sencilloB y estructuras de edificación. Incluye también los criteri08 de armado de elellentos 8uperficiales en elltado plano o en flax16n. con armaduras no coincidentes con laa ,direcciones principalee. Por lo que respecta a este tema. ~esa.rrollado en el capitulo 2.5 y en el Apéndice 2-. 8a un documento bastante sólido y bien organizado. que puede perm.tir una alta eficacia de las ttstructuraa de hormig6n. Ademáe. tal y calla plantea el tema no lineal. anticipa una gran complejidad en loe proceaos futuros de anille1s, pero 8a 'probable que aianif1que también una n&o sUlpllficacl6n en los de c6l.culo de estructuras. Reaitiéndonoa al tipo estructural lIás utilizado, el de estructura port1cada.loe puntoe má s destacados deleur0céx:U4o en eete tema, siguiendo los pasos clásicos de la resoluci6n de una estructura, cuando aea preciso particularizados para el calla de edificaci6n. s erian:

2. Coordenadas de nudos Probablellente por su inclua16n en el euroo6digo de acero, -que primero lo reflej6 COIIIO una cuest16n secundaria. y luego. dándose cuenta de que era previo, general. lo dispuso en el capitulo de basea de cálculo-, el grupo de coordinac16n de euroc6d1a08 tra81a dó al del horm1a:6n el tema del deeplolDe

accidental. Se trata en definitiva de no analizar las estructuras en forma trivial. en la que 108 soportes están justamente en la dirección de la carga. En eatructuras simétricas ello lleva a desplazamientos horizontales estrictalIente nulos. y cualquier pequefio cambio e8 de efect08 aparatosos. Es por ello que se prescribe una obll.cuidad 8 entre carga y soportes verticales. vista ambivalentemente como una acc16n horizontal 8'q, o como un desplome de ángulo a.

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Precisar el valor de la luz no es importante para la viga pero 151 para el soporte, sobre todo si éste es un muro o pilastra de fábrica. La formulación del euroo6digo de horm:1s6n - ver figura 2.4- sstá mucho menos desarrollada que sn la correspondiente norma espai'i.ola, que ea la HV-201, aunque para apoyos extremo s ee bastante coincidente.

4. Seoc1oaea para al _n,u.t.

En vea de plantearlo como una cuestión particular, -para la comprobacl6n de 8scclonea-, el euroc6digo introduce como dato previo al anál.isis que la8 vigas 80n con frecuencia en T. formulando el ancho de ala que ea preciso considerar eolidaria formando parte de la secc16n estructural a todos los efectoa.

El valor de desplome accidental previeto, oscUa entre 1/150 y 1/400, ea decir entre 0.6~ y 0,2% , variable con la altura de la construcción y con el nÚJDero de soportes implicadoa en la estab1l1zacl6n, -que en eetructuras de edificios rara vez: baja de la docena-, aunque con una formulación alao diferente de la del acero para eete miSIllO tema.

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Aunque el eurocódigo no dice expresamente para qué, define una luz efectiva, no mayor de la neta más 18S entregas en cada extremo -no superiores 8 medio canto de la viga-o Supueetamente ee para calcular los término!! de la barra como r.1g1dez o momentos de empotramiento, aunque para el análieis de la estructura habrá que trasladarlas a un sólo punto en el nudo para todas las barras concurrente., . Como es clásico, si la relación luz a canto es baja, la pieza no admite el tra tamiento como viga o losa.

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3. Luces para el anruata

El tema tiene gran trascendencia , ya que , aunque su repercusión en la armadura neceearia para un momento dado sea pequei'i.a, afecta de ma~era 1JDportante a la rigidez, y por ende a los valorea de solicitaciones que tiene la estructura. -

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La cue8t16n tiene una traacendenc1a 8610 te6r1.ca o testimonial, ya que Se indica que eilae accione e horizontales dan una oblicuidad superior a la accidental. ésta no hay que tenerla en cuenta. In la tabla 1 se comparan las oblicuidades accidentalee del euroc6d1ao con lae de viento en ed1f1c1oe según la norma espaf\oa en la materia; la8 seaundae son del ordsn de 10 vece e superiores, por lo que nunca hay que tener en cuenta las primerae, pero queda la advertencia de que no ee pueden calcular laa estructuras sin acción horizontal deaestab1lizante.

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,W En sd1fi.cación tanto laa viaas de canto como lae planaa, ver figura 2, poseen cuando menos una losa superior de 4 CID que e8 extiende en todo el intervalo entre vigas, y. dado que las dimensiones de carambucos no 80n múltiplo exacto de dicho intervalo, adelDás en laa de canto existe una cabeza de 12 cm de prolDedio a cada lado del nervio, con una altura 1&ual a la del

forjado, -en las planaa tal afl.ad1do forma parte del ancho total de la viga hasta en 8U parte inferior-o

tramo en cuestión, y contando con que 108 resultados del análisis no pueden variar demasiado con esta variable.

[Congruentemente con Bsta det1n1cl6n. el B\lroo6d1go advierte. en el capitulo de detalles de armado. que la armadura neaativa superior sobre apoyos interiores debe disponerse en parte e iguales en las m.ediaclonee de cada rama vertical de 8etribo, y a medias a cada lado de éL Las armaduras por tanto deben estar en buena medida rutu'a de lo que habltualmente S8 considera como viga, en realidad dentro de la v1&'a en T.]

Como cualquier infraeetimación 1niclal de Lo aupone más inercia positiva. por tanto máa momentoa poeitivoa, y por tanto mayor Lo, el euroc6d1go, para acelerar la convergencia y hacer que en caoo de recálculo el aeunto 8e cierre a la segunda. vuelta, propugna adoptar para Lo una fracc16n inu8ualmente elevada de la luz: el 8S~ de la luz extrema y el 70X de la interior. Como la relacl6n luz a altura está fuertemente condicionada por flecha. el ancho a cada lado del nervio está l1Jn1tado a:

Si una viga rectangular de ancho inferior b y alture h tiene una inercia boba /12. afiad1endo un ala suficientemente grande. el centro de gravedad puede BUh1.r hasta el borde superior, Bu.entando la inercia hasta b-h3 /3, cuadruplicando el valor del nervio. Un au.ento de rlaidez de tal entidad disminuirla drásticamente los momentoe en soporte e ante carga vertical.

Tr . .o •• tre. o T .. uo interior

por tanto ee puede contar eiempre con al Menoe doe cantos a cada lado del nervio. Con tales proporciones no es fácil que la inercia de la sección en T supere el doble de la del simple nervio, '1 la repercusión de momentoD de ell'lpotrallÚ.ento no ee tan aparatosa.

No queda bien definido en el euroc6dlgo el ta.b1én el ala tracclonada computa en la sección, pero el la armadura no ee reparte en todo el ancho eficaz -y no ee U8Ual hacerlo-. 8610 puede colaborar entre fisurae un ancho comparable a la distancia entre las mis.ae. Sl se considera para momentos negativos sólo la sección del nervio , incluao loe propioa momentoe de empotramiento .. edan muy diferente e de loe babitualaente lIanejados como tales, véase figura 3.

:\ 1

En la práctica, ai la 10s8 superior no está convenientemente armada no ee fácil hacer que colabore un ancho tan ¡¡rande. En efecto, la tenai6n tans:enc1al media en la un16n de nervio y ala, denominando c al grueso del ala , seria: T •• d

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::: O,8S·fe d -0,1·1..0 • o /

O,S·Lo· e:::

O,17·fed

que en la gama de norm.1gonee H150-H2S0 aupera el cuádruple de fe •. La malla de reparto habitual en la losa euperior de los forjados de edificación aupone afiadir un coaido de valor llaeraIDente superior a t ey por lo que tampoco aai se puede 80portar T ...d . En la práctica, pue8, no es fácil que colabore mucho máe de la mitad del m~o definido por el euroc6d1go, pero que al lOenoe e8 un canto a cada lado: del nervio.

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8. ; 0,85'1.0/10 < O,85'25b/l0 • 2h 8. ; 0,70'1.0/10 < O,70'30b/l0 = 2h

Aunque la coneideracl6n del ala no tenga influencia apreciable en la armadura necesaria a flex16n, 151 la tiene en el horsn1gón necesario. El momento que puede 80portar una de lae alas ee:

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'1 como cabe esperar que 10 ( LoId ( 20, identificando ti. con q. .l.ol/8. ee deduce que, para o ::: 4 cm. cada ala soporta 108 momento8 de una carga de cálculo entre 1,6 Hp/m '1 3,2 Hp/m, que en muchas ocasionee, para vigas inter10ree en viviendas, es el total de la carga, pudiéndose proyectar, como ancho inferior, el m1n1mo por consideraciones de cortante.

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5. T6rmn.oa do rJa1dea

El euroc6d1go precisa que se pueden despreciar loa efectos de cortante y ax1a.l en la deformacl.6n, ai lteta es inferior all0~ de la debida a nex16n. Loe efectos de la compresión en la deforllacl.6n global 8610 se puede" estillar para cada C8BO particular. En estructuras de edificios, el acortaDiento por compresión de los pUares de una planta. -dimenalonadoB con una razonable proporcionalidad a la carga que deben eoportar-, son sensiblemente 1Cualeo y no inciden en lae Bollc1tac1onee de nex1.6n. El acortamiento de lao visas. ee en eeoe IDismos ca008, claramente despreciable. Ante acclonee hor1zontalee ee lIáe d1t1c1l eatablecer concluoiones.

In riaor el ancho eficaz de ala depende de la lonaitud de entrada en car¡¡a por retraso de cortante , '1 por tanto es una fracc1áJ. de la diatanc1a entre puntos de momento nulo, La. As! ee COIDO lo expresa el euroc6d1ao, def1n1endo un ancho de ala m6x1mo a cada lado del Dervio de valor Lo/lO. Deearac1adallente hacer depender la eeccllJa de las eol1cltac1on8e. cOllpllca absolutamente el anmele , ya que éete no puede e.peuree sino traa de haberlo acabado. El. circulo vicioso B. puede romper euponlendo un ancho de ala traccl6n de la luz total. L, var1a.ble ee¡ún la aituacl6n del

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La deformación de cortante y flector 8e fácilmente comparable. Un deeplazallÚ.ento transversal por momento pero sin giro en 108 extremos da una barra. tiene el valor aH:::: It·L-/6RI. Ante un cortante. el desplazamiento ee ria Ov = V·L/GA. Para una e8ccl6n rectangular de hormig6n sin considerar t1euracl6n , -como 8e uaual e n 8oportee-. 8a 1:::: bh'/12, A ::: bb. y G ::: O,4·K de donde S8 puede deducir que, cuando hay cortante y momento. verificándos e que V = 2H/L. la relación de ambos desplazamientos 8a:

y por tanto dicha relación alcanza el valor 0,1 cuando L/h = 5. in edif1cac16n, en 108 soportes de máB de 50 cm de lado, y en general en todos 108 forjados reticulares. hay que tener en cuenta el término de deformacl6n por cortante, pero no en la matriz de riaidez, eino en el propio t6rmino de rJ.gide:a a nex16n . sof1at1cacl6n no excesivamente habitual en los proaramae al uso.

511a resistencia a cortante c,l.epende sobremanera de la existencia de estribos, el Dejor modelo 8e el clásico de ce10s1a. Con e ete modelo. la oblicuidad de un trallO de barra dePende del alargamiento del estribo y d e l acortamiento de la biela o codal de hormig6n. Considerando que 188 tensiones en el codal de hormig6n son pequef'las, para 45· de inclinación de bielas. el. alargaldento del eetribo producirla. en la. viga una oblicuidad de valor ti = E,. Suponiendo ajuste exacto de estriboe al cortante, l a flecha total por cortante seria ftv = Es -L/2. En la pr6ctica el ajuste de estriboe se produce e61.o en los extremos, y éatoa sólo cargan con el 70% u 80% del cortante. Pero a cambio habria- que consi derar que el 20% o 30% restante en el extremo - y mucha mayor fracción en el centro- tiene la deformaci6n clásica de secc16n rectangular en hora:l:is:6n. y que las MelaD oblicuas de horll1g6n también de.forman. Al menos cabe eeparar una deformaci6n 60% de la ex;prea1.6n anterior. de manera que eeria lSv > E,-L/3,3.

COlDparando loa resultados de párrafoa precedentes se puede concluir que 6v/3tt > 4-b/L. Aun sin que sea muy superior, para que tal relación alcance el valor 0,1 del euroc6di&o baeta que LIh < 40. La conclusión es que en todas las vigae hay que considerar la deformacl6n de cortante, y que en todaB no hacerlo sobreestJ.ma loa !Domentos de empotramiento. que en la realidad deben ser lDenores que los ca1.9ulados sin dicha consideración.

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En v:lgae sucede, a primera vista, alco parecido_ Sin considerar flsurac16n, un tramo interior sometido a caraa uniforlle q, tendria una flecha de valor ~H = qL 4/384Kl y a cortante fty = qLJ /8GA. Para eeccl6n rectanaular resulta ~v/~" = lO-halLa , por lo que el. valor 0.1 se alcanza para L/h = lO , o 8ea que sólo en laa piezae con canto euperior a un déo1mo de la luz ea prec1ao eona1derar la detormaclón por cortante. Sin embargo un anilis1s más IdnUc10BO arroja reeu1.tados bien diferentes. Considerando f1surac16n, la deformac1.6n por flex16n en una pieza apoyada con armadura estrictamente ajustada al IlOllento tendria la exPresión awL = ,,-·L/B(d-lÓ. Como uaualmente O.5·h < d-x < 0.8·h se puede suponer por ejemplo sin aran error, que d-r- O.62·h resultando que la nacha tiene el valor &ti a C.·La/5h. En un tramo interior en el. que subs1eta el ajuete de momento a armadura con una zona de momentos negativos de allpl1tud O,3' L se llega a que eN • e.·La/lOh. •

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Rste valor ee una cota superior de la tlecba¡ habitualmente la armadura no eetá ajustada, sino organizada en c ortee; por lo que la curvatura oscila entre el valor del párrafo anterior y su Il1tad, en promedio el 75X. Aun sin con.iderar la col aborac:16n del horllia6n entre f1.auraa que disminuye aun .'a la flecha, 8e podr1a poner que 6tt < e.-LJ /13h.

Adem'a, de acuerdo con la defin1cl6n del apartado 3. tanto momentos de empotramiento CalDO t6rminos de rlaideJl deben referirse a la luz eficaz. Si el lado del soporte es superior a la altura de la viaa - lo que ea usual

8 con via:ae plana a , far jadoa reticulado8 y 1088a-, 1aa vigas no llegan al eje del soporte, ver flgura 2.4. Para establecer el equllibrio, el sistema de solicitaciones debe referirse a un 8610 punto, y por tanto hay que trasladar el sistema de reaccionos. -cortante y Dlomento-. desde el extremo de la viga empotrada haata el eje del soporte. El momento de empotramiento para aná.lls18 es pues 1a:ual al real más el cortante por el incremento de luz. El asunto s610 introduce correccionee de matiz, ya que ambos -luz y momento- crecen, por lo que en primera aproximación seria ad.m1eible tomar los lDomentoo correspondientes a la luz entre ejes de soportes. 5610 cuando los ooportes a uno y otro lado fueran muy diferentes o 8e tratara de soporte a un lado y pantalla a otro el tema tendr1a trascendencia. Pero en lo tocante a la rigidez la s1tuac16n es mAo compleja. Trasladar la rigidez al eje del soporte equivale a cambiarla por la de una pieza de mayor luz con unoe trozos en los extremoe de inercia 1nf1n1ta. [Aftadir nudos y barras adiclonalee de luz pequefi1slma e inercia 81&antesca no es recomendable desde el punto de vista del condicionamiento numérico del método de cálculo].

hasta que al final . -el al final hay equ1llbrio-. lo que existe 8e un desplome mayor u y momento máx:l..mo en baBe de valor r'L -denoa:dnado de primer ordenmás N'u, denominado momento de segundo orden.

51 el momento de segundo orden 8e pequef'lo. podria no considerares, y aal lo dice el euroc6digo de hormig6n en BU articulo 2.5.1-4 indicando que, "en edificios. e8 pueden despreciar loa efectos de segundo orden el incrementan 108 momentos calculadoe1gnorando 108 deeplazaDlientoe en men08 de110X", ["for normal build1ngs, S8COnd order e.ffects lIJay be neg1ected where they increased the IDOIJJents, calculat;ed i¡¡noring dlsplacements, by not lIJore than 10%'1, en el ejemplo el N-u < O,l·B-L. COIltO principio 8etá bien, pero

indicar que se pueden deepreciar loo efecto o de segundo orden cuando -una vez calculado e- eon pequeí'i.os, es al menos poco operativo: si eetán calculados, ¿a qué despreciarl oe? Seria deseable una regla para evitar el cálculo iterativo de la serie de infJn1tos términoe cada voz: más pequeños, por ejemplo con una condición del primero de suo términos, es decir del producto N·Uo.

Aunque esos trozos eean de longitud pequei\a, la rJ.g1dez tiene cambio o importantes. Los coeflcienteo de KI/L clásicos, -que son 4 y 2-, oe transforman en 4,3 y 2 ,1 cuando la parte infinitamente r1g1da ee tan e610 de 1~ de la luz, para un 5~ pasan a valer 5 ,3 y 3,0 y para 10X llegan a 6.8 y 4,2. Aun considerando que se refieren a una. luz mayor, los errores eon de un 6X. un 20X y un 42X en la r1a1dez directa y del 3X, 36% y 75% respectivamente para la cruzada, Vigas de 5,00 m de luz entre ejee. con 20 cm de canto y soportes de 30 cm de lado, ya suponen un error apreciable sl no se considera el tamafto finito del nudo . Aunque aIsunoe programas incluyen esta sofisticación, tampoco ee habitual utW.zarla, y en c as o de soporte extremo -que men&'ua a caraa- exige un trabajo adicional de c odificac16n de la estructura que no euele hacerse .

6. An"l1 0' e de segundo orden En general el análisie plantea el equilibriO en la PQs1c16n oriainal de la estructura, ianorando las deformaciones, que ee supone son muy pequeftaa, Pero por pequeftas que sean las deformaciones, el acoplamiento de compresiones con loe desplomes de los soportes pueden generar problemas de inestab1li.dad o al menos variaciones sustanciales en el valor de lao eolicltaclones, cuestión qu e se puede comprobar haciendo un anállailS denominado de lJetltmdo OroM, estudiando el equ1llbrio en la pos.lc16n deformada de la estructura. El análisis de lSe&undo orden, aun sin introducir las no linealidades, ea complejo , pero en edWcac16n en general puede obviaree. El tema es escurridbo de plantear. En lo que !Sigue noa referiremos a las notacione e de la figura 8, una aimple pieza comprlm1da con caraa N, y eometida a carga transversal l' en la cúspide. Kl an6l1s1s simple llega a concluir que exiete una compresión N y una flexión lineal con máximo en la base tIo = )"L, Como las flexiones producen curvatura y una flecha máxima '10, debido a la existencia s1.multánea de compresión y desplome. loa momentos en base al lIJerlOS se incrementan en el valor N·Oo. Almenas. porque sl hay m's momentos, ello s1&n1fica mAs necha y desplome, que a su vez 8S m's momento, etc,

11 = r·l.. O,l·r·1. • O.Ol·r·1. + 0,001'11'1. +

l,111 ... I1· L

o sea, a los efectoe prácticos lt =: l,l·r·L. Que el tema es escurridizo puede veroe en el articulo 4.3.5-V5 del miSIllO eurocód1co, en el que, refiriéndose al tema de pandeo, indica que "en piezas comprillidaa debe considerarse 1... influencia de los efectos de segundo orden si el incremento de momento debido a las deformaciones re6pec~0 a 106 momento a de primer orden supera el 10X", ["In c01!Jpression ID8l1Jberts, the influeIlCtI aL Becond ordM' ef'fect8 should btt cOIlBÍdered i f the increase abo"" the LirtJt orden bend1.nI DOJDr6J1ts dutJ ro de1'lecdons exceedtr 1..Q&:.'l. Hay dudas de si se refiere al momento final de la serie, tras el análisls de segundo orden, N·g, o s610 al primer término tras el anál1sie lineal. "'110. Y por si tuera poco, en 4.3.5-3.3/3. refiriéndose al tema de traslaclonalidad -muy relacionado con loa an~er1orea-, indica que "se pueden

10 O i'l nld "r~1"

Aunque ea razonable discutir 15'1 se puede dar un limite para M'u o cuando lo que so intenta controlar es N'u, no ha lu&ar oi el valor es tan pequeño como 0,1 en números redondos. Suponiendo que con un !DO mento en base de valor r·(. la flecha en cabeza 8a Uo, de forma que H'Uo = O,l'P'L, el momento resultante ea en realidad l,1-E"L lo que quiere decir que la flecha es algo mayor: aproximadamente aumenta 0,1-110. A 8U vez e80 implica un ligero aumento de momento H'O,l"o = O,OI·F·L, etc. ea decir, que -ealvo no llnealidadea- el reel\utado final aeria del orden de:

In t! rtlnIIllO-IOlllIIl'Jn Io n l')Ó .. t l On "11 J On 'l\H'I I On IIt, nl,ll /Ul tllllh,nt "da 1 ' ''.III,AI .11 ¡(J~ l a ,u.llt !t.pul.lunn

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considerar intraslac10nalea 108 pórticos en 108 que 108 deeplazamientoB de primer orden de 108 nudos no incrementan un lOX lae solicitaciones calculadas sin tener en cuenta dichos desplaz.amientos ", ["Frames JfJay be c18ss1fled BB non-8J1ay l i tht!t :Llrst ordeJr d1splacements eL t}¡e cannectJ.ons do not lncreast!t the effects aL act10lUJ calcwated wlthout consldering thestl d18placements by more than l..Q.t.'1. Ahora está claro que S8 refiere a que N·'lo

sea lIenor que n,I'F'L y que no se preciso anal.i2:ar 108 efectos de segundo orden para tomar la decisión.

El eurocódigo de acero es mucho mAs expl1cito en este tema. En el articulo 5.2.5- 2/3 referido a deoplazabilldad indica que "se puede considerar un pórtico corno indesplazable para una hipótesis de carga dada. sl "e verifica que N/Ner ~ 0,1 siendo N la carga vertical de cálculo en estado limite último", ["A Lr8JfJe lDay be treated IJS nan-tlllay Lor a gJ.ven 10lJd case lr the cri. ttca110ad ratJ.o V/VCI' :S 0,1 Jlhere Y 111 thIJ ulttJDlJte 11mJ. t BtatlJ de&1¡¡n vlllue of the total vertlclll load·l . Hay que tener en cuenta que en el euroc6d.t.so de acero la clas1ficacJ.6n de indesplazable, según 5.2.5-2/1. conduce a poder despreciar las sollcitaciones provenientes de los cambios de posición de 108 nudoD. Y más a delante, en 5.2.5- 2/4 dice , -en térlDinos de la notación de la f1&:ura 6-, que ""e pueden cone1derar intraelacionales ... si, usando análisis de primer orden, 108 deaplazamentos en cada piso, debidos a la carga horizontal y vertical ... satisfacen que 8·Uo :s O,1·l·L" , ['"Where e1aBtlc global anLÜ.Y&lJ 1.B UdB#1d, planIJ IraJDeB 1.n bu1ldlngB BtrocturelJ JDay blJ treated as non -B~ay... 11: ~hen flr6t order tht!lOrY lB used, the hor.18antal dlsplacflm<'mts ln each starey dUIJ to the applitKJ hor.1zontal and I18rtic41 loadll ... should satJ.s:fy the cr.1tarl.on: lJ-V/b'B:S 0,1 ~h6rfl (j lB the hor.1zontal dlsplacement at the top ~ the storey, ral.td"" te the bottem a:f tbe storey; b lB the storey htJight; B lB the total hor16antal reacdon at the bottom of thIJ sterey, y , 1.B th.e total vartlcal reacdan .te tbe bottom of thIJ .crt:o.reY·l.

1_ Red1atribuclln Una vez obtenidas las solicitaciones con el análisis que proceda. pero lineal - a8 Bupone que a partir de la r.ig1dez bruta de la e8ccl6n de horm..1Món-

éstas S8 pueden redistribuir, 8e decir disminuir en las puntas de momento -supuestamente negativo- aumentando por equilibrio 18a restantes zonas de la barra. S1la estructura es desplazable . el euroc6digo plantea serias reservas 8 que se pueda redistribuir. En todo caso para redistribuir hay que comprobar que la estructura posee la suficiente duct1lldad para ello. La comprobación de ductUidad no puede hacerse eino mediante un análisis adicional de tipo no lineal. La redistribución, más que una recomendación para acercar los r esultados del -no preciso- análisis lineal a 108 más rigurosos de uno no lineal, se plantea inicial.Jnente en el eurocódigo como una concesión que no reduce demasiado el arado de seguridad de la estructura, y que en todo caso echa llano de la duct.1lldad; como se verá luego, la cosa no está tan clara. Para obviar la comprobaclbn de ductilidad a través de un sofisticado análisis no lineal. el euroc6d1Q:o admite sin just1flcaclón posterior una redistribución en vigas continuas de luces no muy dispare s, y pórticos no desplazables, que, en término e de lo que EH - 88 denomina 15X, seria:

T.bl.

Parece pues que el criterio, tanto para no necesitar anllieis de segundo orden COIDO para considerar la estructura ind8splazable. 88 la de que el primer término del problema de seaundo orden. R·u o• sea inferior al de prirr.ter orden. F·L. pero que además tal condic16n debe cumplirse en cada uno de loe pisos , matiz que no aparece en el euroc6d1¡;o de hormigón, y que planteaba dudas en 8U apllcaci6n. '

•

En estructuras de edificios. si el. desplome en cabeza es Uo ( L/750 en ningún piso se supera mucho eee promedio, y, de acuerdo con la tabla la oblicuidad de la acción horizontal es por ejemplo 0.02 o aea ., = O,02'R. el primer término del problema de segundo orden es:

N-lIo < N-L/15 0

0,0 013-R-L

a/d

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IC2. B150-200-100 A.e .,o 4~ctU Ductil! ••• AO~l a150- 400 A.c.... _,. ..!tct.'1 Ductil'''.. DOr. . l

IB-'.

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0,35

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15'

15:11: ·

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no •• p.rlftit. aleana.r ••• valor

0,40

0.45

d. _Id

O,OS·¡r-L

es decir que no habrá que hacer los cAlculos en seaundo orden, y que el pórtico Se POdr6 considerar como indeaplazable. Para esa acción horizontal seria necesario que el desplome en cabeza de primer orden euperars L/500 en promedio, o en alaún piso, para que hubiera que complicar el problema. Si la acclbn horizontal es superior. por ejemplo r = 0 ,04'8, no es preciso considerar desplazahW.dad ni efectos de segundo orden hasta que el desplolDe 1niclalsupere L/250. Con los disef!.os habituales es muy dificil que e n estructura e de hormil6n ee produzcan simultáneamente desplomes tan fuertes con acciones horizontales tan débiles . La conclusión ee qUe. según el euroc6d1go, en prilDera aproximación, y salvo caeos muy raros, las estructuras de e~08 se podrian catUlcar de indeeplazables y no seria preciso el análie1a de segundo orden. [y adem6s ni Siquiera el pandeo tendria incidencia importante en loe eoportes],

Aunque el. acero de dureza normal de EH-62 podria equipararse al muy dúctil de EC-2, loa que aatisfagan eatrictamente las condiciones de EH-SS s610 son de ductilldad normal, y por tanto a610 permitlrian una ductilidad de hasta un 15X, lo mismo que indica EH- ee. pero con el agravante de no poder superar 0.40 para x/d incluso ain redistribuir. Hacer depender la capacidad de redistribución , para un acero y hormigón dados, de la profundidad de fibra neutra y s6lo de ello no es demasiado coherente con el resto de información del euroc6d1go, de acuerdo con cómo se plantea lueao el enrueia no lineal.

8. Red18tribuclOO deasable A primera vista . que el eurocódi.go re s trinja las posibilidades de redistribución parece que incita a sospechar que se desea o de debe desear redistribuir, y que las condiciones para ello 80n benefielosas; pero un análisis detallado del tema no conduce ne ceearia mente a ello.

Si en una barra 106 momentos negativos 80n muy diferentes. -sobre t odo sl uno de e ll08 8e nulo-, la disminución de momento negativo no S8 traduce en un aumento parecido de momento positivo , y puede decirse que la redistribución elimina momentos y a umenta la efectividad de la armadura. En una viga empotrada apoyada, v6aee fiaura 8. al redistribuir 15% 108 momentos, el negativo disminuye el 15% pero el positivo s610 aumenta el 5X,-pasan de qL"/8 y qL'"/14 a qLa/9,5 y qLa/13.5_ lo que en conjunto supone un 10% menoe. 11

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Si 108 momentos negativos de ambos extrelllos de una viga son muy parecidos, véase figura 1, la redistribución no elillina momentoe , s61.o 108 cambia de s itio , pasándolos de neaativo s a positivos. Para sección rectangular, la mayor longitud de anclaje en mOlDentos negativos se compene a con el mayor des arrollo de l ae barras de IDOIDentos positivos. por lo que 108 beneficios de la redistribuci6n son meralllente llar&1nales: e vitar conge8 t16n de armaduras, aju s t ar el momento para evit ar un número fraccionario de armaduras , uniformar varios tramos diferentes de v1a:aa o 108 de diferente s pisos a un mismo momento , eli.tnar los engorroe de dife r ent es hipótesi s de c arla, etc. Pero para todo ello baa ta una lla:era redatribucl6n.

Pero aobre todo, el beneficio de la redistribuc16n depende de l a consideración de la viga en T, con una mayor eficacia a momentos positivos, que con un lDayo r br azo de palanca per mite soportar el mismo momento con meno e armadura . En el ca s o de la viga empcitrada apoyada de la figura 9, tras de la redis tribuci6n del 15", que .' rebaja un 10% 108 momento s, considerar eeccl.6n en T con s610 l a mitad del ancho eficaz posible según EC2 . perlDite reducir la armadura infe rior ' un" 25%. La conclusión es que la misma carga y luz , con el m l!lmo dimensionado de hor ~6n . 8e res uelv e con un 75 % de armadura total, véase figura 10.

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Con estas dos posibilidades, redistribución y considerar que la sección ea en T. además ea posible adoptar otro dimensionado de sección. qu'e aunque aumente ligeramente la armadura. disminuya la cantidad de hO r mi.&6n y encofrado. -y de paso eli.m1ne peao propio-, 10 que pUede s1cnit1car otra reducción de estructura de un 5% ad1clonal. véa8e figura ll.

• 1'l'1

9. Sol1cltaclonea lIú:1&aB Congruentemente con 10 indicado en el epigrafe 5 . una vez reall.zado el análisis y la redistribución deseada. 18s solicitaciones obtenidas en los nudos habria que trasladarlas de nuevo a! extremo de pieza rea!, - oila luz eficaz ea inferior a la luz entre eje&-. para obtener la verdadera solicitación en cada barra, de manera que la 8011cltacion máxima para armar no 8e necesariamente la obtenida en el anmaia. [Para el cálculo de soportes el euroc6d:1go autoriza a tomar la8 reacciones de las vigas a partir del esquema de tramos apoyados, salvo tramos extremos o luces muy dispares]

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Con una red1stribuc16n má8 fuerte, del orden del 25%, pasarla a d.tam1nuir ya muy llaeramente el mOmento suma del positivo y ne.aUvo, véase ftaura 12. y no es poeible sin que. de acuerdo con la tabla 2, el acero sea Dlu.y dúctil y la profundidad comprimida en momento negativo sea inferior, lo que obliga a un dimensionado de horm1a:6n .. ás genero80, bajando la eficacia de la sección. Tales redistribuciones , además, eliminan armaduras muy cortas negativas, y a6aden armaduras inferiores que se desarrollan en más lClng1tud: literalmente aumentan la cantidad total de armadura y de horDiaón. Por ello tales redistribucionea, no son, en .eneral, ni deseable • .

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Pero además de ello el eurocódigo permite tomar como solicitación máxima de flexión sobre apoyos en continuidad el valor de cálculo en el eje reducido en a-bl8 siendo R la reaccl.6n y b el ancho del apoyo. Esta reducción proviene de considerar - véase figura 13-1a reacción distribuida uniformemente en el ancho del apoyo, y supone una disminlloci6n de momento negativo del orden del 8. al lOX para apoyos de amplitud 5. de la luz J y proporcionalmente .ayores para apoyos más anchoa. En 108 cae08 de unión r1&1da a un eoporte o muro. -asimiamo de horm..1gón-, se puede tomar como momento máximo el correspondiente a la cara del apoyo, lo que a.1&n1f1ca una reducción del orden del doble de la del caso anterior. ea declr entre un 15X y un 20" del momento máximo teórico al eje del soporte cuando su lado eea un 5X de la luz de la viga. Reta conclusión es una simplificación aproxillada de lo que se deduce de un estudio detallado de bielas, tirantes y codales . en las proxi.JDidades del nudo. No obstante esto. el euroc6d1co no permite reducir el momento máxi.mo por debajo del 65. del momento de empotralDiento perfecto, bajo la Juatificacl6n de alteraciones durante la construcción e inadecuacl6n del modelo representativo de la estructura.

Curiosamente 8S esta acotación del euroc6d1a:o la más eficaz de todas laa consideradas hasta ahora: ni red1etrlbucl6n ni sección en T conducen a una reducción de armadura tan importante: en las caeoa de 188 fisuras 9 a

12 8e representa a la derecha la reducción de armadura que Bupone eeta consideraci6n del ancho de apoyo. De acuerdo con el euroc6d1go de horlllig6n. trae el cálculo de momentos. lo más interereeante 8e mirar con detalle la repercusión del tamafto del nudo, y en segundo término considerar la aeccl6n de vano en T; con ello la red1atrtbucl6n no pasa de ser una cueBt16n secundarla cara al volumen de armadura o de estructura para, un problema dado.

10. Anál1a1a riguroso El epigrafe 8 está basado en la cláusula 2.5.2-2.1/2 del euroc6d1go por la que, como s1lDpllficacl6n, se puede adoptar para el anália1e una eección constante. Por ello 108 momentos Hin rediBtrlbuir del ejemplo son qL·/8 y qL·/14. Pero si se deaes más precisión, el articulo citado define la seccl6n como variable . En el ejemplo de la figura 9, con una luz entre puntoa de momento nulo de 5,1 m, la sección podria ser de 45x24 con alaa de 51 cm a cada lado en momentos positivoa . y, -de acuerdo con la disposición de armado previeta-, de s610 45x24 a momentos nsaativos. En estas condiciones la posición del centro de gravedad de la sección en T está a 13,3 cm del borde inferior, y la inercia posi'tiva. de valor 95.026 cm f , resulta ser 1,83 veces la negativa, de valor 51.840 c. f , lo que lleva a un momento negativo de empotramiento perfecto de valor aproximadalllente !suaI a qL·/lO y por tanto a positivo igual a qL·/13,5. El anrusie riguroso del caeo de la fJaura 9 conducJ.r1a a momentos elásticos lineales como los de la fiaura 12. del orden de lo que con el cálculo aproximado era red1.etribuir un 25~.

¡Aplicando e l m6todo riguroso, los mOllentas sin redietribuir suponen un descenso inalcanzable por rediatribuc.16n a partir del c.üculo aproximado con secc16n constante! Como tal reparto de lIIomentos, procedente del anillsis lineal elástico riauroso, no e8 8iquiera deseable . lo interesante seria aplicar redi8tribución para subir los momentos negativos. [Con la redistribuci6n permitida por el euroc6d1ao se podria rebajar a ún otro 15" más el mOmento negativo , llegando a ser inferior en valor absoluto al PQ8itivo]. ¡Pero con acero normal ni siquiera 8e padda llegar a los momentos ain rediatribuir obtenidos con el método aproxtmado! La paradoja ee que los dos casos de las figuras 9 y 12 e on resultados válidos de anál1els elAst1co lineal según cláusulas diferentes de EC2, pero cada uno de ellos queda invaUdado deade el otro por excesiva redistribución. La para.doja. es 8610 aparente, ya que la rediatribuc16n permitida únicamente es un valor sesuro sin comprobación exPl1c1ta de ductllldad¡ calculándola e8 pasible resolver la. paradoja, pero eso obl.1aa a un anüJ.aia no lineal.

u..

Anállaia

llneal

In euroc6d1go precisa cómo realizar un análisis no lineal. minucio8o. que permite contestar a un sinnúmero de cuestiones, pero no directamente a la de s1 8a posible una redistribución dada desde un cálculo elástico. Y no por dos motivos. Porque al alterar el modelo de análisis cambiarán asimismo loe momentos elásticos, y, -como se ha puesto de manifiesto con el ejemplo anterior-, lo que se crebn momentos elásticos pueden ser fuertemente redistribuidos y viceversa . Y además, porque lae conclusiones no pueden establecerse para unoe momentos independientemente de las armaduras.

En rigor lo único que es capaz de contestar el análisis no lineal en este tema es de si una determinada d1stril:~lUci6n de armaduras permite, -porque las rotaciones plásticas no eon excesivas- , alcanzar una determinada carga de cálculo. Para el análisis no lineal hay que apostar por unas armaduras, -no 1lDporta cómo 8e hayan decidido-, y obtener del análisis la carga de agotamiento con la mayor rotación pOsible en loa puntos que antes lleguen a agotamiento. Si la carga obtenid~ no ea la deseada, hay que cambiar algo y volver a empezar, pero no es concluyente, sin más, que tal o cual valor de redistribución sea posible e~ otro caso. Ellllodelo de análisis no lineal del eurocódigo propone directamente el diagrama momento curvatura de sscciones de hormigón, con un primer tramo hasta momento de f1suración con pendiente -rigidez- 1&ual a la total de la eecci6n de horm.1g6n, una segunda. que, el no fuera por la colaboración del hormgón entre fiauras, seria una recta desde el origen con pendiente i8ual 8 la r1g1dez f1surada , y una tercera, con momento constante hasta que se aaota la capacidad de rotación. La capacidad de rotacl6n , o airo soportable, en radianes, se da como variable con el tipo de acero según su ducUlidad, y la profundidad de fibra neutra, v6ase fisura &2.2. [La fiaura incluye "la limitación a la profundidad definida en el articulado aeneral y recodda en la tabla 2). Para acero muy dúctil el giro posible 1, oscila entre 0" ,8~ y 2" de radián, y es función inveraa de l a profundidad relativa ll/d, de valor .ll/d ::: 0,34". Para acero de duct1lidad normal -como serian todoe los que cumplan es trictamente EH.88- e l &ira plástico tolerable ea indePendiente de ltId y ae sitúa en 0,8% de radián. Precisamente es eeta constancia del valor de giro lo que produce sorpresa, ya que en el euroc6digo las res tricciones a l a redistribuc16n por msufi.ciente ductllldad son dependientes · de la variable que ahora parece no operar sobre la ductilidad. En la anterior versión de euroc6digo las curV8B de a.bos aceros def1n1an un giro posible lIayor cuanto llenar era x/d y con ello tenia mayor sentido la l..1..mitaci6n de rediatrlbuc16n del articulado.

Sn la figura 14 aparecen los diagramas mOllento curvatura de laB secciones criticas del caso de la figura 11. para H175. La de vano, una secci6n en T de 45x24 con alas de 4x50. armada con 71116, alcanza, con una profundidad comprimida x = 9 cm un lIIomento de agotamiento de 10,7 mMp. La eeccl6n negativa. con 8"16 euperior y 4,,16 interior, alcanza con Jl = 7 .1 cm un lIomento de agotamiento de 13.0 mHp. El momento de fisurac16n positivo, para una tensión tet. = 19 kp/cm- y sección en T con inercia total de valor 95 .026 cm f es 1.36 mMp y el negativo con una inercia 51.840 cm 4 es 0,82 mMp. La rig1dea f1surada es casi proporcional a la armadura, ya que la diferencia de secc16n se compenSA con la de brazo de palanca. aproximadamente 850

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18 a

m~Mp positiva y 950 !D~Mp nesativa, frente a 108 2600 m Mp y 1400 m l1p que 2

vale la rigidez no fieurada positiva y negativa respectivamente.

La pregunta que puede responder el anilleie no lineal e6 81 S8 puede alcanzar. con rotaciones tolerables. la carga de cálculo correspondiente al diagrama i.8oatát1co que pasa por 106 momentos re8i1stentes máximo positivo y negativo, o sea sI se pueden agotar simultáneamente ambas secciones. I!:n este caso. -aunque la conclusión es general para piezas con la misma relación luz a canto y cargas moderadas-, el momento de agotamiento 08 entre 7 y 15 veces superior al de f1suraci6n. Por ello. ver figura 14. la consideración de la colaboración del hormigón entre fisuras 8S muy poco perceptible. y una buena aprox1l:lac16n a la r1g1.dez en un amplio intervalo de momentos 8S el valor de la r1a1dez f1surada. Sólo para 108 escalones iniciales de carga, el momento de empotramiento responde al valor de pieza con riaidez no fisurada. En cuanto se alzanza el momento de f1euracl6n -no sólo en las aecciones criticas, sino. debido a que la armadura 8e orsan.t.za en varios cartee. en muchae otras secciones c8si eillultáneamente-, lo que sucede para una carga apena6 10% de la última, el reparto de momentos prOviene de una pieza de rigidez variable. Pero curiosamente ahora no ee el fenómeno de sección en T el que parece gobernar el problema; debido a que la rigidez es mayoritariamente la flsurada, la variacl6n de sección procede fundamentalmente de la armadura y el canto: la ley de rigidez remeda la de la armadura. En definitiva cabe esperar que los moment08 estén en una relación muy parecida a la clásica. siendo del orden de qL:I/8 y qL:I/14 , muy superior el negativo.

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Como las capacidades resistentes están má.igualadas, para una carga que se puede denominar Qe, la seccl.6n extrema alcanza su agotamiento antes que la central. Para el ejemplo analizado de la fia:ura U. -ver epifrafe 7-. sl q.L·/8 = quL·/lO es Cle :; O,6·Q.u. Como en realidad 108 momentoe máximos se presentan no en el eje sino . en la cara del soporte, amboe son algo inferiores, y cálculos más precisos llevan a que q. = O.65'Q.u. Para alcanzar el agotamento en allbas secciones criticas. el últ.i.mo tramo de la carga debe hacerse a baeo de rotac.16n pu'stica en el apoyo central. vé8ee figura 15,

21 12. Rotaci60. plástica

Aunque con análieie no lineal el diagraID8 momento 8 curvatura 8e compl ejo, para el c6mputo de la rotac16n en el trozo de barra entre rótulaB, el eurocódi&o. véase &2.3. permite rectif1carlo y util.izar un valor único de r1&1dez equivalente de valor: KI.,q:;:

en la que (l/r).

KI. q

tI,k / (l/r>, :;: A.':a-f,k / (l/r>,

= (l/rl.::r :;:

• ~,.Ie.J' Como (1!r)cr :;: e.,/(d-x) resulta:

A.'zof"k' (d- x) / El,.

en la. que f,wl. :;: e., :::: 0,002. Además puesto que, aun sin redistribuir. debe cumplirse que en 188 eecclonea criticas X/d ( 0,40 8e puede Buponer que ee verifica que O.6d < d-x < d. En el ejemplo d-x = O.62·h. Por tanto es:

, =

0.030:' L/h

Para cualquier otro caeo loe coeficlentee numéri cos manejados. -relac1bn entre carga y momento. entre altura traccionada y total, entre resietencia y módulo del acero, y fracci6n de carga en régimen de rotac1ónpueden ser diferentes. pero dimensionalmente la expresión será la misma, dependiendo en últ.1.JDa instancia de la relación L/h de la pieza. Reescribiendo la expresión de airo plástico. y emparejando las variables dimensionalmente iguales, la pareja más relevante e8 justamente la de la esbeltaz.

El valor de €.,.~ ea la deformacl6n. incluyendo la col aborac16n entre fisuras, para una tensión de acero de valor f,.k; au valor según el euroc6d1go. A2.3, ea: 13. Kabelte.1l cr1tlca E.,..

E•• r

+ (1 - O,5·au·/f,.k-) , f,kIK.

en la que, sacando factor común f,.kJ'K. E.ry

= (1

- O,5-au·/f,.ka +

= E.,.,

€ •• r/E.,.)

queda: • f,.kI'B.

suetituyendo en el valor de inercia equivalente, reeulta:

KIe q

= B.·A.·lr(d-~

/ (1 -

O.5-aUa/~,.ka

... E•• r/E.,. )

El término fundamental es 1.'A."Z"(d-z) y el denominador S8 ligeramente distinto a la unidad. IU valor E •• r no ea muy diferente de la deformacl6n del hormig6n al alcanzar la resietenc1a a tracci6n, ee decir ft:t.lKe; BU valor eatá en el orden de 19/250000 = 0.008X. El valor E. ee, para acero AEH500N del orden de 0.243~ y para acero AiH400N ee O,19~X; o sea entre 25 y 30 veces E•• ro por lo qUe e.llr/E.,. vale entre 0,04 y 0.03.

La expreeión para Oar 8a lIer/A. · ~r. Cabe 8sperar que, en plezas esbeltae, para un momento tan bajo como Mer. el brazo de palanca eea superior al de lI,.k. pero en ningún caso puede ser l5uper!or a d. Por tanto la relaci6n de o.r a t.k es s610 ligeramente inferior a la de Ker a'tI,.k. Por ejemplo con el dimenslonado y armado de la fiaura 8, dicha relación está en 15 , de manera que resulta ser aar : : : o,Oa·f,k' El. valor de O.5-au·/f,.k· ea pues e610 de 0.003. En definitiva. para plezas esbeltas, la inercia equivalente según el euroc6d1a:o puede tomarse de valor K.'A.'.1I'(d-Jd. Que eea sea exacta mente la rigidez fisurada no es casual. ya que de acuerdo con el diaarama momento curvatura de plezas esbeltas, véase f1&ura 1~ con una gran deeproporci6n del momento de agotamiento al de fiauracl6n. la llnea.l1zac.1ón obvia del diaarama es JuetalDente la r1a:1dez fieurada. La rotacl6n plástica durante la fracci6n de carga de q. a C!u, ~n el ejemplo de valor O.15"Qu- tiene el valor:

• =

q·L'/24KI.,q

= 0.15 ....·L· 1

24-B.·A.·,..(d-lI)

Como el momento de aaotaJdento pooltivo e8 IIIl ee puede poner:

= q.,,-L·/13.5 = A.'f,.k".

La esbeltez es la variable que más explica la rotaci6n que se produce en el rsn&'o plástico para un problema dado. 51 la pleza 8S corta y rigida . se necesita mucho momento para producir un giro pequei'i.o. lo que en el contexto presente seda una gran duct1lldad , ya que con muy poco giro Be produce una gran alterac16n de momentos. Por el contrario, una pieza esbelta y flexible gira mucho con poco momento . lo que ahora significa poca duct1lldad. ya que con un giro importante apenas vadan los momentos. Cabe que las piezas cortas sean suficientemente dúctiles. pero que, a partir d e una relacl6n L/h el giro que deba produc1.ree supere al tolerable. y que piezas más eebeltas que una dada no puedan soportar el giro plástico necesarlo para alcanzar la oarga de cálculo.

Sn el ejemplo de la figura 15, CODlO L/h 25, resulta' 0,75%: cad en elllm1te aceptable incluso para acero de duct1lldad norlDal. Si la pieza tuviera más canto. le sobraría ductilidad. Por enc.1ma de la relacl6n L/b critica por flecha, la de formacl6n se controla disponiendo más armadura en proporción al exceso de esbeltez, por 10 que el giro plástico necesarl0 disminuye. Para una esbeltez que sea a la critica por flecha como qu a C!e . el sobredimenelonado de arllladura cubre el problella ein que ee necesite ningún g:tj:o plástico. El giro plástico llIáximo 6e produce Jus to con la relación L/h critica a flecha. En el ejemplo tal relac16n eatA asimismo en torno a 25, por lo que para cualquier e sbeltez se podda contar tallbién con la totalld"a d de la capacidad de las secciones criticas. Mediante el anál.1.s1s no lineal, no se produce la redistribuci6n tal y como 8e auele expreear en términos de momentos de cálculo, pero la readaptac1.6n plástica en el ejemplo analizado alcanza el 25%, bastante más de lo perJdt1do con carácter general. Desgraciadamente iaual que el análisls no lineal puede validar eoluc1onee no expresamente amparadae con el procediento general. puede talDbién invalidar ~unas tenida e como segurae o clá8ic.!!.s. Por ejemplo, 8i la pieza anterior ee arma para momentos de cálculo CUSiC08 qLz/8 y qLz/l4. deberlan disponerse 12~16 sobre apoyo y a~12 en vano, véase figura 9. En anál1s1e no lineal. las inercias corresponden más o menos a la ri.¡idez !1eurada. cael proporcionales a las armadurae. lo que lleva claramente a más inercl..a negativa Q.ue poeit1va. 8in que Juegue nada que la secci6n sea en T. La consecuencia es qUe loo momentos neaativoo son inicialmente

•

ZJ l .Jt ' .

I¡

1 /1 t a l j fl fl

•

superiores a 108 previstos, y que llega antes el extremo a agotamiento. La fracción de carga plástica y de altura tracclonada 80n ligeramente más desfavorables que en el caeo anterior de lo que resulta que 108 momentos supuestos en la figura 9 no 8610 no ea producen en régimen lineal elástico, eino que 8610 aparecen tras un giro plástico para el que la pieza no tiene suficiente ductilidad. La conclusión 8a que no 8e puede alcanzar la carga de cAlculo. produciéndose la rotura para una carga menor: paradójicamente la solución clásica de la figura 9 68 insegura. Naturalmente bastada un canto l1&eramente superior para que todas las soluciones contempladas en las figuras 9 a 12 fueran iaualmente aeguras. aunque todas ellas necesitan airos plásticos. En definitiva, el análisis no lineal ni confirma ni dB'Bautor1.za las redistribuciones indicadas en el articulado general sino todo lo contrario: puede paear cualquier cosa. Puede que con v!gae planas o muy esbeltas haya ciertas l1m1ta clones a la redistribución v allda ble con a nillsie no lineal. pero en vigas de descuelgue e s caei seguro que la capacidad portante corresponde a la suma o combinación de los valores de momento últUlo de las secciones criticas . con una aran independencia de la relación entre ell08.

14. Bedef1n 'clm de la seguridad Un efecto colateral imprevisto del análisis no lineal en pórticos. es que. mientras que para CUalquier sección de vigas, el proceso de carga hasta la de agotamiento define solicitaciones monótonamente crecientes, no Bucede lo mismo en eoportes. Sn viaas. lae eollcitacione8 para la caraa de cálculo son, en todas laS secciones, superiores a 18e de cualquier taee intermedia. -salvo uns ligera y por lo aeneral imperceptible oscilación de los valores de cortante-, por lo que la seaurldad es fác1l..mente planteable: basta soportar la carga de cálculo con un coeficiente de seguridad apropiado. i

l '' r " ;, 1 •

•

"'"

,. \

'\" ... .,, _ _ •. / ~t.

Para hipc5teeie de carga vertical. en 8oportee, al comenzar la rotación plástica. y ella armadura de la viga pasante sobre e l pUar ea la misma a

ambos ladoe. la carga

8~e

a umentando. pero el momento disminuye, de

manera que el estado del soporte en agotamiento es de compresión simple, resultando que alguna de las situaciones interme dias puede ser más peligroea que la final, y Burgiendo la duda de cómo se define lo seguridad y las solicitaciones de cálculo para ello, ver f~ura 16. Este tema no aparece planteado en el euroc6digo, pero, antee o después, los calculistas que comiencen a estudiar estructuras con anállsla no lineal. llegarán a éL

Conclue16ll

La conclusión del ee tudio de las restricciones, posibilidades, alternativas y formulaclones del euroc6d1go es que l as estructuras porticadas de edificación tienen una elevada probabilidad de Ber intraelacionalea, y no exigir análieis de segundo orden. y que, en vigas , mientras la relacl6n L/b no eea muy elevada, en todoe 108 problemas existe la posibilidad de la redistribución que se dssee. Si l a estructura no ea deeplazsbl.e la formulaci6n del pandeo es muy suave, y en muchos caaos de incidencia imperceptible. Tal y como se pronuncia el euroc6digo sobre el estudio de las estructuras de pórticos. puede que e l problema se descomponga en dos fasee: una de análisie a re albar como investigación, llegando a definir el campo de relacionea L/h contra :redistrlbuci6n posible. Este análisia. complicado y con programae que incluyan los aspectos no lineales en forma risurosa, llegarla a establecer que dentro de un margen, ee pUeden elegir los momentos en extremos de barras, de manera que está garantizado que se alcaru:a la carga de c6J.culo. El análisis asl entendido ee d1r1giria a dete rminar no qué momento elástico y qué red.lstrlbucl6n hay en cada caso, sino qué combinaciones de ambos son poeiblee. El cálculo de una estructura porticada -el programa de cálculo- se simplificarla notablemente ya que. sl en un amplio margen, tras e l cálculo de lIIomentos, se puede elegir cualquier redistribuci6n, es preferible dedicar la capacidad de decisión a elesir directamente el momento dentro de un amplio ma rgen, evitando el análisis de momentos elásticos y el cálculo de la redistribución, ya que se puede afirmar que dichos valores existen y se pueden obtener ai 88 desean. Ks posible que este cambio no produzca un ahorro sustantivo de estructura -ya que parece que no hay posib:U1dad de escamotear laa solicitaciones: totales, determinadas por la caraa y luz, ealvo considerar en detalle el tamaflo del nudo y que la sección real e8 en T- , pero ahorrará mucho en cálculo. que ea casi en lo único que queda por ahorrar, haciendo además que cualquiera pueda calcularse BU estructura de un modo muy simple. Nueetra hipótesis es que, en eetructura s porticada s , esta OPCión cubre la pr6ctica totalidad de la redi8tr1bucl6n ventajosa; es decir. que sl, para una carga y luz, se elige un esquema en equilibrio para una armadura deseable constructivamente, tal esquema será validado por el an6l.1sis no lineal. hacl6ndolo innecesariO.

'i~ra

1_. Bo11altaaloa. • •• cAlculo •• • aport••

DI mUII ..... 1111

eacuela técD1ca 8uperior de arquitectura de valladolid. estructuras uno

EC-2 2.5 Análisis

'2.5.L

GIIlIKBALIDADKS

'2.5~-1.

Objetivo

El objetivo del análiete es determinar los valores de 80lic1taci6n. 'tensión y deformaci6n en toda la estructura. En ocasiones pueden necesitarse anállsis complementarios locales.

NOTAS DIL TRADUCTOR

2. Normalmente el análisis conduce a solicitacionesi en algunoB casos como en el de elementos finitos" el método conduce a tensiones y deformaciones, por lo que deben ut1l1zarse reglas adicionales para el cálculo de arlladuras a partir de 'estas variables.

La pres.nte ver. ión e. una propue . ta da traducción del l\1rocóeli'O 2 , eatructur •• d. Korll'litón, capitulo 2.5 , anejo 2 , realizada por la C4tedra de ¡structura. de la ,.cu.la T'cnic. Sup.rior el. Arquitectura el. Valladolid.

3. El modelo geométrica y de cálculo debe ser apropiado al problema considerado.

Se han aub.anallo alCunaa arrata. obvia., J co:"o e. docu-.anto e.ta a>ln pendiente de corracción de notacion•• , al,una • • • han adecuado al Ju•• o de caractar.a da la. impre.or •• ordin.ria., y .i.pliftcado.

4. El modelo geométrico, ver 112.5.2 , Be refiere a barras, elementos bi.d1men8;ionales COIIIO placas o 10s8s, y en algunos casos. láminas.

11 t.rll'lino "tan. ion .tiffeninc" .a ha traducido por la 10cuciOn "co l aboración dal hor.i,On antra fl.ur ..... La a.pra.iOn "atrut. and ti •• " por la .... ca.tila de "codal •• , tirant •• ".

5. Los métodos de cálculo contemplados son: elástico (véase #2.5.3.2 y -3) , elástico con redistribuc:i6n limitada (véase .2.5.3.-4.2), plástico (véase 2.5.3.-5.5) incluyendo métodos de tirantes y codales (véase 112.5.3.-7), y métodos no Unealea (véase Apéndice 2).

P.ra .ejor identificar lo. articulo. , apartallo • • e ha incluido .1 ai,no " ... delante del cOcH,o nUII16rieo, , •• ta .a ha l ubcUvidido antr al tercer , cuarto lIilUtO. Lo. principios aparecan alineaclo. al lIar,.n con el no1xl.ero de ordan an ne.ti11a. La. nor.a. pr4ctic •• aparacen .an,rada •• Lo • • aloraa opcional •• .obra loa qua no ha, acuarelo total, , qua an la var.ión ori,inal a.tan incluidOS an un r.cuadro, aparaean aqui en cur.i.a.

6. Deben real1zarse anális!s locales en las zonas en las que no sea posible suponer ley plana de deformaciones, por eJecplo, en apoyos, puntos de aplicación de cargas puntuales , encuentros entre vigas y soportes, zonas de anclajes y cambios bruscos de secc16n.

'2.5~ - 2 .

DlmUlL. IlrU \911

Hlp6teaia de carga

L Deben tomarse en considerac16n las hip6teais de carga con las combinaciones relevantes de acc10nea que definan las condiciones criticas de todas las aecc1.onee de la eetructura o parte considerada.

2. El cálculo debe hacerse tanto para 108 eatadoaliln1tss últl.m08 como de servicio, en función del tipo, función y método de construcción previsto. En muchos 0880818 comprobación de alguno de d1choa Botados llmites puede hacerse por inspección.

3. Pueden USBrse 8imp~cac1one8 de hipótesis de carga basadas en uns interpretación razonable de la respuesta estructural.

arriostrantes , deben calcularse para una fuerza horizontal adicional de valor [2 .12] siendo "be Y Nbalas solicitaciones de cálculo en los soportes o muros superior lIS inferior del forjado que debe transferir la fuerza estabUizante. La magnitud Hrd. no influye en el cálculo del propio elemento arrioetrante.

4. En viga a continuas y 102188 de edW.caci6n exentas de voladizos. sometidas báBicamente a cargas uniformemente distribuidas, suele ser suficiente considerar las siguientes h1p6tee1a. véase #2.3.2.-2,: al carga total de cálculo. permanente variable. y carga s610 permanente en tramOS alternados. b) cada doa tramos consecutivos carga total y 108 dos siguientea carga 8610 permanente.

,.'."l~

,~CJD

.,'8

5. En barras y 1088s de edificios. S8 pueden despreciar loa efectos de cortante y axial en la deformac16n, 81 ésta es inferior al10~ de la debida a la flexión.

:CJD

nn e)

'2.5.L-3. Imperleoc1onee geo.6tricaa

'ilur. 2.1

L En estados limites últimos deben considerarse lss posibles imperfecciones geométricas de la estructura descaraada que tengan efectos significativos. 2. Cada sección debe calcularse ante las solicitaciones provenientes del análisis global, a partir de las acciones e imperfecciones aeolDetr1cas de la estructura en conjunto. 3. Salvo que se indique otra cosa, la influencia de las iJD.perfecclones

geométricas se puede tener en cuenta suponiendo la oblicuidad definida en los apartado., 4 a 8 siguientes.

4. Para el análisis global, el efecto de lae imperfecciones geollétricas 8e cubre con la conelderac1bn de un desplome 8 de valor en radianes igual a 9 = 1/(100·(L) [2.10 ] siendo L la altura total de la conatrucc16n en lIetros. Ademá. 8 8er' al menos 1/400 cuando 8e ianoren 108 efectos de segundo orden y 1/200 cuando éstos se tengan en cuenta, (véase fisura 2.1) 5. Cuando actúen D soportes conjuntallente. el desplolle de [2.10] 8e puede reducir por el factor Gn

= ([(1+1/Dl/2]

De.pl~

.caid.aQt.l

.) par. 81 calculo 4. pallltal1•• 4. arrio.tr . . :i. .oto b) p.r. 81 calculo 4. tr_.'.r.oci. por . l forJa40 4. l •• cDalpolllent •• ..t..biU.aat... . c) fu.r ••••• t.bil1 •• ~t•• ea UD pGrtlco DO arrloatr.d.o

8. Se pueden deepreciar las imperfecciones ei las solicitaciones que producen 80n inferiores a las de las a c ciones horizontales. No es necesario considerar las aperfecciones en combinaciones accidentales de carga. .

'2.5.1.-4. Efecto. de segundo orden

L Deben tenerse en cuenta 108 efectos de segundo orden, cuando puedan afectar s.1gn1f1cativamente a la estabUidad global de la estructura o a los estadoa l1m1tes últimos de secciones criticas. 2. En edificios normales se pueden despreciar estos efe~to8 ei incrementan los momentoe calculados ignorando 108 desplazamientos en menos del 1 0 ~.

[2.U]

6. En vez del desplome dado en [ 2.10] se puede considerar un sistella de fuerzas horizontales deeeetabillzantee equivalentes afectando al cálculo de estructura. elellentoa arrloatrantos. soportes y Urantee. 7. Los elementos estructurales que se supone que transmiten las fuerzas 8stabU1z:antas desda los elementos a arriostrar a los

'2.5.L-S. Kfectos de la retraccllm ., tluencla L Deben tenerse en cuenta las variaciones de sollcitaci6n con e l tiempo cuando éetae sean s1gnU1cativ8e.

2. La retracci6n y fluencla deben considerarse sólo para loa estados lim1tes de servicio. salvo cuando BeBn relevantes desde el punto de vista de 108 efectos de segundo orden.

'2.5.2.-2. m.enalonea geo.étricaa -'2.5.2.-2.1. Ancho de

'2 .5 .L-6. Co.probacl6o. Jted1a.nte ensayoa

El cálculo de estructuras puede basarss en resultados de ensay08.

al88

efectivo para todoa 108 estados limites.

L En viSas en T, el ancho efectivo de alas depende de lss dimensiones del nervio y de lss alas, del tipo de carga, "de la luz. de lS8 condiciones de Bustentac16n, y del armado transversal de la 10a8 superior. 2. Cuando no ee necesite gran precisión, como por ejemplo en las vigas continuas de ed11'1cacl6n. se puede asumir en el análisis un ancho constante para cada tra.o.

'2.5.2.

IIODHLOS DH LA HSTROCTORA

3. El ancho efectivo para una vÍ&a en T siJDétrica puede tomarse de valor bet = bw + Lo/5 ( b [2.13] y para una viga de borde, con ala por un 15610 lado

1>.. = b" + !.oIlO < b '2.5.2.-1. neaentos estructurales L Los elementos estructurales tipo 80n: vigas , soportos, 10s88, muros, placas arcos, bóvedas, etc. Las redas previstas cubren estos tipos y sus combinaciones usuales. 2. Para que un elemento pueda ser considerado barra, su longitud o luz no debe ser menor del doble de su mayor dimensión transversal. La viga que incumpla esta condición debe considerarse como viga pared. 3. Para que un elemento superficial pueda ser considerado losa. la luz lninima no debe ser inferior al cuádruplo del canto. 4. Una losa básicamente eOllletida a cargas uniformemente repartidas se puede coneiderar unidireccional 151: a) poeee dos bordea libros eeneiblemente paralelos. 01 b} si ea la parte central de una losa aproximadamente rectangular, auetentada en loa cuatro bordoa. con relaclbn de luces superior a 2. 5. Las 10sa8 nervadas o retlculada s se puede n anallzar COIDO macizas ei las alas y nervios transversales poaeen sufic1ente rigidez a torsión. 10 que 138 aupone que aucede al: - el intervalo entro nervios no aupera 1.5 m, - el espesor de la loea superior junto al nervio no supera cuatro veces su ancho, - el espesor de la losa superior es al llenos 1/10 del intervalo entre nervios, allDenos 50 mm cuando no hay bloques aligerantes, y al menos 40 mIEl cuando lIatoa existen , y - existen nervios transversales al menoa cada 10 veces el canto de l a losa. 6. Para que un elemento pueda considerarse muro debe tener una longitud en planta superior a cuatro veces su espeeor¡ en otro C8.80 debe trataree como soporte.

(2.14)

con las notaciones de las figuras 2.2 y 2.3.

I..¡

~--- - --

... '

4. La distancia Lo entre puntos da llIomento nulo se puede obtener, para 108 caeos usualea, con la figura 2.3, siempre que se cumplan las siguientes condicionea: i} el vuelo es inferior a la mitad de la luz consecutiva, y ti) la relación de luces consecutivas es inferior a 1,5.

Lo: 2L... 2S '¡

o 1

'2.5.3.

IIKTODOS DS AHALISIS

5. Para la diepersión de la fuerza de preteneado véase 14.2.3.-5.3. '2.5.3.-L Cona1deracl.onelll bieicae .2.5.2.-2.2.

Luz efectiva

1. La luz efectiva Lal de una barra 8e puede obtener como: Lef

= Ln +

811

(2.15]

alendo Ln la luz neta entre caras de apoyo, y 81 Y 82 lae entregas en cada extremo, de acuerdo con 108 valorea de la figura 2.4.

Todo método de análisis debe aatlBfacer el equilibrio.

2. Si para un determinado estado limite no se tienen en cuenta las condiciones de compatibilidad. debe comprobarse que, para estados limites últimos, la estructura tiene suficiente capacidad de deformac16n. y que en eervicio no se producen situaciones inaceptables. 3. NormallDente ee cone1dera el equilibrio en l a posición indeformada de la estructura (teorla de primer orden). En 108 cae08 en 108 que lss deformaciones puedan producir un incremento e1gn:1f1cativo de 18s solicitaciones, el equllibrio debe plantearse en l as situación deformada (te orla de segundo orden). véase #2.5 .1 y #4 .3.5.

_ t_ -

;--

'2.5.3.-2. Tipos de an"li.is

~~i

lo¡

1-- -

_ _ _~I.....

_ _ _--'L.

3. Si la fisuración tiene una r e percusión desfavorable en el comportamiento estructural, debe considerarse en el análieb. Cuando BU efecto es favorable. puede tenerse en cuénta 1D:Iponiendo las condiciones de compa tibil1dad. #2.5.3.-2.2. Estados l1m1tes último8

'itura 2.'

LQa .racti •••••áa .~t.Dt.ai6.

.1 epo,.o a'_pla b) apo,••• eoatl.D'd•• el VAlOa rtllli4a

4) " .. y l.

~erv1c1o

2. Para este análisis es válido suponer como rigidez de las piezas la correspondiente a secci6n no fiisurada y como módulo de deformación el definido en #3.1.2.-5.2. Si son relevantes 8e deben considerar los efectos derivados del paso del tiempo, véase #3.1 y #3.3.

l ~f

"' .... /1.

Estados limites de

L El. anAliaia de estados liJdtee de servicio se realiza en general c on modelo eUst1co lineal.

r --

"'-J

<;)

J~-."

#2.5.3.-2.1.

....... 1 _~_

'Dt.~'.

al yol •• 'ao a. aODtiDU'''.

El anállei8 de estados limites últimos puede aer lineal con o sin redistribucl6n. no lineal. o plástico, dependiendo del tipo de estructura, del estado l.iJ:dte considerado, y de la. condiciones peculiares de cálculo o ejecucl6o. previstas.

2. Kl mlltodo usado debe forlDularse de manera que. definido su campo de apllcacl6n . se pueda alcanzar el nivel de e e guridad reque rido en este eód18o. teniendo en cuenta las incerUdullbreB propias del modelo, Véase por ejemplo #2.5.3.-4.2. 3. En eete capitulo, l a 10cucl6n 'no lineal' se refiere al análieie que tiene en cuenta la s prop1edadee no lineales del hormigón armado o preteneado. El anills1s que considera el comportamiento no lineal que resulta de la nex16n de 108 e lementos ee denomina 'de segundo orden',

8 #2.5.3.-4.

La expresi6n "análisis no lineal de segundo orden' tiene en cuenta

An41t ai.

de vigas ., pórt1coa

ambos fenómenos.

4. La aplicaci6n del método lineal no requiere normalmente otras precauciones especiales para garantizar la ductilidad. aparte de la de evitar las cuantias exageradas en las seccionEls criticas. Sin embargo es necesario comprobar que las secclones criticas poeesn la suficiente capacidad de rotacl6n para permitir 108 valores adoptados de red1stribuc16n.

112.5.3.-4.1 Métodos de análisis 1. Para vigas y pórticos se pueden usar 108 métodos indicados en "2.5.3.2.211.

5. Loa métodos plásticos S8 pueden usar 8610 con estructuras .uy dúctiles y siempre que el acero sea 8s1.m18110 de alta ductJJJ..dad. véase '3.2.4.-2. 6. Siempre Que sea posible, loa solapos se alejarán de las secciones CritiCBS; en otro caso la capacidad de rotación o la deformaci6n de la zona de solapo debe considerar 1& totalidad de la armadura existente.

1$2.5.3.-4.2. Método lineal con o sin redistribucl.6n. Debe tenerse en cuenta la posible influencia de la redistribución de momentos en todos los aspectoe del cálculo, incluyendo flexión, cortante, anclaje, despiece de la armadura. y fisuración.

2. Se pueden redistribuir los momentoo procedentes del análisis elástico, siempre que la configuración resultante eaté en equilibrio con las cargas.

'2.5.3.-3. st.pl1ficac:l.onea

L Se pueden usar métodos simplificados o cálculo e baead08 en abplificaciones elempre que conduzcan a niveles de seguridad equivalentes a los impllcitoB en este c6d1go, y dentro de su campo de validez. Cuando 8e usen procediDdentos aimPllficadoB no se puede proceder 8 mayor rediatr.Ubuc16n que la especillcamente prevista para el método en cuest1.6n.

3. En vigas continuas con relacl6n de luces consecutivas inferior a 2, en las vigas de pórticos no desplazabl.es. y en los soportes extremos de última planta no ea preciao comprobar exPl1citamente la capacidad de rotación el ae verifican ha 'condicione e siguientes: a- para hormigón no mayor a C35: G ~ O,44+1.25·X;d para horlDia6n mayor que C3S: G 2: O,56+1,2S-X;d

2. Se puede tomar valor cero para el coeficiente de Poleson en vez del dado en _3.1.2 .-5.3.

b- para acero de alta ductilidad: para acero de ductilidad normal: según la definición de _3 .2.4.-2

3. Las viSas y loeaa continuas se pueden ana.ll.zar suponiendo que los apoyos no coartan la rotación. 4. Independientemente del m6todo uaado, sl una ma o losa ea continua sobre un apoyo que se supone no coarta la rotacl6n. el lIomento de cálculo sobre el apoyo, calculado tomando como lucea la distancia entre eJee de apoyo, puede reducirse en una cant1dad 01184 de valor:

[2.17]

G ~ 0,70 G 2: 0,85

siendo G la relaci6n del momento redistribuido al mOlDento antes de la r edistribución. x la profundidad de la fibra neutra en estado limite último tras las redistribución. y d la altura mecánica de la eecc1.6n.

[2.16]

4. En general no ae permite redistribuir en pórticos desplazables. alendo I'S4 .• op el valor de la reacción de cálculo en el apoyo. y b la amplitud del apoyo . 5. Cuando la visa o loea ae hormisone monoliticamente con el apoyo, ae puede tomar como 1I0mento máximo el corres pondiente a la cara del soporte. pero sin que resulte inferior al dado en ' 2.5.3.-':2./7. 6_ Para el cálculo de los lIIoportes. laa reacelones de loaas un1d1recclonalea, nervadaa. y v1&as, incluyendo vialas en T. se pueden obtener suponiendo todoa los tramos como simplemente apoyadoll. Sin e.bargo se deben conelderar los efectoe de la continuidad tanto en el primer soporte interior. como en loa reetantas s1 las lucea a a.boa lados del soporte d1f1eren entre a1 en más del 30%.

5. En loa elementos definidos en el apartado 3, la relación x/d no puede supe rar el valor 0,4 en la8 seccionee criticas, incluso aunque no se efectúe redistribución alguna. 6. No ae puede realizar distribución en 10B puntoe en 108 que no 6e pueda definir con confianza la capacidad de rotación, por ejemplo en laa eaquinas de un pórtico preteneado. 7. Para una adecuada idealización de la estructura, y para tener en cuenta loe cambioe durante BU construcción, el momento de cálculo en .las caraa de soportes en loa vanos en continuidad no de be tomare e inferior al 65~ del momento calculado euponiendo inmovilidad total en lse caraa de todos elloa. 8. En vigas continuaa , sometidas a cargas uniformemente distribuidas, momentos en laa carae de 108 soportes pueden tomarse de valor:

106

10 ft l\

11\ Cl Il 1,"" I)xt" rt OI' {lo l pl· IIIl"1' " 0 1.'0 loa In !.., l'l r . • • 11 101 l •• "

h~I¡ ",

l u l' •

11 2 , f.I ,3 '. 6 , 4, "I IIUI " ln IIn " nl

10 _ qd"Lnll/14 en la cara exterior del primer soporte interior, Q4"L nll!24 en 108 demás soportes interiores. siendo

la carga de cálculo por unidad de longitud de viga, Ln la luz neta entre caras de apoyo.

#2.5.3.-4.3. Análieis no llneal Véase Apéndice 2 #2.5.3 . -4.4. Anállsia plástico Véase Apéndice 2

'2.5.3.-5.

Anál1a:i.s de 1011811

'2.5 .3.-.5.1. Campo de aplicacl6n L

Este articulo se aplic8 a 188 10e8s definidas en '2.5.2 -1. sometidas a momentos y cortante8 bidireccionales. Cubre también las 10a8s aligeradas como las nervadas. aligeradas o reticuladas. e1 su respuesta 8S similar a la de una maciza , aobre todo en lo que concierne a sU rigidez a toreión.

2. Lae 108ae unidireccionales s ometidas a carga uniformemente repartida se pueden considerar vigaa de acuerdo con .2.5.3.-4.

• 2.5.3 .-5.2. Condiciones de equillbrlo y compatibilidad 1.

U2.5.3-.5.4. Anlillele lineal con o sin redistribución

1. Las solicitaciones provenientes de un análisis llneal de 10688 Be pueden redistribuir con el criterio dado e n u2.5.3.-4.2 / 2. 2. Los momentos fiectorss en 108 bordee e n continuidad reducir como se indica en 112.5.3. -4.2 /2 y 3.

pueden

3. Para lae comprobaciones de cortante. torsión y cálculo de rea cciones 158 puede adoptar un valor intermedio entre 108 correspon -

dientes a borde empotrado y eimplemente apoyado. 4. En el Apéndice 2 aparecen la8 expresiones de cálculo de armadur a c uando 8U direccl6n no coincide con las principales de flexión. ~2 .5.3. -5.5 .

Métodos plásticos

1. Para loe estados llmites Ultimos. se pueden utilizar l os mé todos plásticos sin comprobación exPresa de capacidad de rotación siempre que 158 satisfagan condiciones de duct1lldad. 2. Con métodos plásticos . la secc16n de armadura no debe exceder en = 0,25.

ningún punto ni dirección el valor correspondiente a lf/d

3. No es necesaria cODlprobac16n de capacidad de rotación si el acero es de alta ductilidad. según .3.2.4.~2. Loe aceroe de duc tilidad normal e610 ee pueden usar s1 se justifica su aplicación.

4. Con métodos cinemáticoe se deben estudiar todos los posibles mecanismos de rotura a partir de 108 valoree de cálculo representativoa de laa propiedades resistentee de la sección. 5. La relación entre loe momentos sobre un borde en continuidad de vano debe eatar entre 0,5 y 2. O.

los

Debe teneree en cuenta *'2.5.3.-1. puntos 1 y 2. 6. Con los métodos plásticos de tipo estático. puede ser interesante

'2.5.3.-5.3. Métodos de anilleie L

determinar la distribución de los momento e a partir de un análisis lineal. y calcular la arraadura 8 partir de una interpretación pláetica de esa distribución que satisfaga las condiciones de equ1llbrloi véa6e el Apéndice 2 para las expresiones de cálculo de armadura.

Pueden uaarse los e1.¡:uientes métodos: a) método lineal con o sin redistribuci6n. b) métodos pu,sticos basados en modelos clnem'ticoe (limite superior) o en estáticos (llmite inferior), e) métodos numéricos cona1derando propiedades no l1neales del materiaL

2. Mientras que el método lineal es válLdo para todos los estados l1m1tes, los p1-'aticos rauy e1lDpllfieadoB aólo lo son para eetados llmitea últimos. 3. Los métodos plásticos usuales son los de Uneas de rotura (clnem'tl.cO) y el de bandas (estático).

.2.5.3.-5.6. Métodos numéricos

análieis no lineal ·

Ver apéndice 2. '2.5.3.-5.7 . Análisis de losas pretensadas 1. Las redas que siguen cOlDplementan las de '2.5.4.

2. Independientemente del tipo de tendonea us a doe , adherentes o no adherentes. las fuerzas de contacto debidas a cuvatura y rozamiento, y las tensiones en 108 elellentos de anclaje. ee pueden tratar como acciones exteriores cara a los eatado8 de servicio.

3. Para la clad.f1cac16n de la ductUidad de 108 tendones '3.3.9.-3 / 3.

véase

4. No se pueden usar métodos plásticos en las secciones con tendones pretensado8.

2. Se pueden ut1l1zar modeloB 8etátlcamente determinado8 de celasias formadas por codales rectos y tirantes . Las solicitaciones en 108 elementoB de la celcsia 1158 determinan por equ1llbrl0. Hay que prever armadura para reeletir toda l a tensión en 108 tirantes, y comprobar que la compre.,16n en 108 codales 88 soportable por el hormig6n. Debe prestarse atenc16n a 108 detalles . 80bre todo a 108 de anclaje de armaduras. y á las ~re81one8 l ocalee debidas a la8 fuerzas puntuales.

2.5.3.-6. Anál1o.1e de muroa y placas con cargas en su plano

3. Para asegurar una cierta cODlPstibilldad.la configuración de codales y tirantes deberla derivare8 de la de tensiones provenientes de un análisis elástico.

2.5 .3.-6 .1. Métodos váUdoa Este articulo se refiere a los elementos en los que no es posible suponer ley plana de deformaciones.

Para el análieis de a) métodos basados b) métodos basados e) métodos basados

solicitaciones se pueden usar: en análisis lineal. 1*2.5.6.- 6.2 en análisis elastoplástico •• 2.5.3 .-6.3 en comportam1ento no lineal. Apéndice 2.

Independientemente del método adoptado para estados llmites últimos. deben tenerse en cuenta las incertidumbres respecto al modelo de respuesta global.

4. Para comprobar la compresión en los codales de hormigón. hay que tener en cuenta la reducción de la resistencia debida a las tenaiones transversales. fi.suraci6n. e influencia del cortante. La tensi6n media a compresión del codal debe tomarse de valor l3·re 4. Para 13 puede tomarse el valor O,6inclueo para cargas de larga duración. Se pue de n aceptar valores elvadoe de D. hasta 13>1. sl existe compreBión tridireccional. e1empre que las comprf'siones transversales estén garantizadas. véase 1*5.4.6.-1.

5. La tracción de cálculo en los tirantes está limitada a f

4. Las ménsulas cortas y viSas pared se rigen por #2.5.3.-7.2 7.3 respectivamente .

y ""

6. Los detalles de armado deben respetar '5.4.

2.5.3.1*2.5.3.-6.4. Anllisu no lineal Ver apbndice 2

'2.5.3.-6.2.

Análisis l1neal

Se puede ut:1.lJ.zar análisis lineal para todo tipo de eetados 1im1tes . "o obstante, el anál1sis en estado límite último exige la def1n1c1.6n de una armadura capaz de soportar la totalidad de las tensiones de tra~ satisfaciendo las condicione s de eq\Pllbrio en dicho estado.

'2.5.3.-1. tllInsulae cortas. visas pared. 7 anclajes de postesado

2. Cuando sean relevantes. debenconsiderare8 las deformac1ones1mpusstas, térm.1cas o ced1.m1ento de apoyos, y los efectos de eegundo orden. 3. Cuando S8 utilicen mlltodos numbr1coB bas ados en la teorla de la elasticidad, deben considerarse los efectos de la f1surac16n en l as regiones fuertemente solicitadas. 4. Se pueden representar los efectos de la concentrac16n de tensión mediante una rigidez reduc1cla. 5. Ve6se también Apendice 2. apartado A.2.8.

'2.5,3.-7.1. Generalidades 1. Es tos elelDentos deben anal.1.zarse, calcularas y armarse según

'2.5.3.-6.3. '2.5.3.-7.2. tfbnsulaa cortas . 1. Las lDénsulas cortas en laa que O,4'b ~ a .s b, ver figura 2 .5, se pueden calcular con una combinacl6n simple de tira nte y codal. 2. Para ménsulas muy cortas, a < O,4'b , ss pueden considerar otras combinaciones adecuadas de tU:antes y codales .

'2.5.3.-6.3. Análisis pI6st1co 3. Las ménsulas con a ) b se pueden calcular

1. Se pueden usar métodos basados en elllmite inferior, siempre que se adopten precauciones para aatisfacer laa condic1onss de duct1l1dad.

COIlO

vigas en voladizo.

4. Salvo precuaciones que l.1Jni.ten las fuerzas horizontales en el soporte , u otra expl1cacl6n.la ménsula corta debe calcularae para una

'..

componente horizontal al menoe aplicación de P.

O,2,·P actuando en el punto de

5. El canto total de la ménsula, h, debe determinares por condiciones de cortante, véase .4.3.2.

6. En el cálculo general del soporte deben considerarse 108 efectos locales debidos a 106 codales y tirantes supuestos. 7. Deben respetarse 108 requisitos de armado del capitulo 5. y muy en particular 106 de #5.4.4 .

112. 5.3. - 1,4. Zonas de anclaje de poeteesdo Las zonas de anclajee deben anal.1zarBe y calcularee considerando: - el equilibriO &loba! en dicha zona, _ la6 tensiones tranl'Verea1sB debidas a anclajes, tanto individualmente como en conjunto. y - lss bielas comprimidas que S8 forman en 18S zonas de anclaje del poeteesdo, y 18S presionss localee en 108 anclajes. 2. En piezas poeteeadse. estas zonas se pueden calcular según el apartado '5.4.8.-1. o mediante modelos adecuados de codales y tirantes según #2 .5.3.-6,3. 3. Cuando las dimensiones del área .cargada 8eao pequei'ias comparadas con la secc16n transversal de la zona de anclaje, deben usarse modelos tridimensionales. 4. Deben respetarse los requisitos de armado del capitulo 5, y muy en particular 108 de 15.4..4. .

• 2.5.3. - 7.3.

Vjgas pared

1. Lae v1Bas pared sometidae a una carga puntual ee pueden calcular

con un modelo simple de codales y tirante. 2. En algunos C8S0S. eOlio 108 de muy baja relac16n luz a canto, cargas distribuidas. y 116s de una carga puntual. se pueden usar modelos combinado e de celosl8 y de codales y tirantes. 3. Dado que las via'as pared continuas son sensibles a aeientos diferenciales. deben calcularae para una banda de valores de reacción en loa apoyos. 4. Deben reapetarse los requi8itoa de armado del capitulo 5. y muy en particular l oe de #5.4 .4.

3. La colaboración del hormigón entre fisuras puede repreeentarse por una ley tensión a deformación promedio del acero en las partes fl6uradae del tipo: (A2 .2]

siendo

Apéndice 2 Análisis no lineal A2.1 Generalidadea

1. L08 métodos no lineales se pueden usar tanto para estados ~tes últimos como para los de servicio. siempre que se respeten las condiciones de equillbrio y compat1hWdsd.

la deformación media del acero considerando la colaboración del hormigón entre fieurae, E. a , la deformación del acero ein considerar f1suraci6n para la solicitación de fieurac16n. 01 un coeficiente función de la a dherencia. de valor 1 para barras corrugadas '1 0 .5 para barras 11a8e, 02 un coeficiente función del tipo de carga, de valor 1 para cargas instantáneae. y 0.5 para 1ae de larga duraci6n o interlll1tentes. 0u la tend6n del acero e n la sección fiBurada, para la Bollcltac16n de f1eurac1ón. a. la teneión del acero en la a8ccl6n f1surada, para la eolicltac16n actuante. E"",

La relac16n [A2.2] es válida entre la solicitación de fisuracl6n. cuando ee alcanza en el hormig6n la tensión rehl segUn 13.1.2.-3. y la eollcitac16n que produce la cedencia en el acero, véase figura A2.1.

2. Para estados limites últimos debe comprobarse la capacidad de las zonas o seccionee criticas para eoportar l as deformaciones inelást1caa deducidas del anAlieie, considerando lae incertidumbres exiatentea.

3. Las deformaciones. e incluso la distribución de solicitaciones, deben calcularse a partir de 10 8 valoree medios de las propiedades de los materiales. como 80n lea, teta. etc. Sin embarao en las secciones criticas en las que se compru ebe BU resistencia aesún '4.3.1. se deben utW.zar loa valores de cálculo.

4. En 1ae estructuras aOIllBUdas fundamentalmente a acelones estáticas se pueden despreciar generalmente 108 efectos de las carlae previas.

,, /

¿j ES

, ,

/ :,/

62.2 t!lItodo riguroso para barraa en :fiex16o s1aple o coapu.eata 1. Las barras se pueden a naUzar por métodoa numllricos que en su estado in1.clal consideren una relación de mOllento a curvatura suponiendo que en promedio laa secciones planas se conservan planas. Como a1mpl1f1cac16n la curvatura puede tomarse de valor:

l/r.. :: (E•• -t:o}/ d

(A2.1]

dendo l/r. l a curvatura media en la aecc16n considerada., E •• la deformación del acero teniendo en cuenta la colaboraci6n del horm1&6n entre fisuras. Ec la deformación m~a a compresión del horlllig6n (negativa) calculada sin tener en cuenta la colaborac16n entre fisuras.

4. A partir del punto en el que se alcanza la resistencia última del acero, punto r de la figura A2.1. se admite que la eección se comporta como una rótula plástica, soportando un momento constante independiente de la curvatura o rotación, hasta el valor de giro plástico dado en la figura A2.2. Dicho valor tiene en cuenta las incertidumbres del modelo.

2. La relac16n de tenst6n a deformación del acero debe tomarae de 04.2.1, 04.2.2 y 04.2.3.

19 11.

2 . Pa!;'a O/JtOll c auo ll 00

,.. pUc o. #2. 5. 3.- 5.5.

16 2. Para Bstos casos se aplica U2.5.3.-5.5. 11.

,)'.

3. En barras calculadas pláeticamente, no se pueden usar 108 aceroe de ductilldad normal. salvo juetiflcacl6n BBpecial.

O · r------.I~-------r------_r

: ~~,,¡

:.OOwICl'IU_ 1'04\",,,,

0.'-

A2.5 Cálculo no lineal 7 plástico en barras pretensadse

O.'

A2 .5.1. Cálculo no lineal ',<

1. Las solicitaciones y la capacidad resistente deben calcularse considerando el comportamiento no lineal del preteneado. del armado y del hormig6n.

2. Dado que el cOllportamiento ee estados limites últimoe es relativamente insensible a 108 efec tos del preteneado, el cálculo se puede hacer con coeficiente de aUnoraclón del pretenaado igual a 1. A2.5.~.

Cálculo pláetico

1. En barrae pretenead88 815 aplica A2.4 /l y 2. En el cálculo de seccionee 158 pueden ignorar 108 efectos del preteneado estadistlca-

mente indeterminados.

A2.3 lIétodoB at.p),1ficadolS para barras A2.6. 116todoa nuaéricoll para e!,éUaJa de loaall 1. Para calcular la rotación plástica por integración de la curvatura

entre rótulas, es suficiente adoptar un diagrama Bimpllficado de momento a curvatura. definido por una recta desde el oriaen hasta el punto (lIrl:!' Myk) oiendo lI.,k el momento con el que se alcanza la tensión fyk en la armadura en la sección fisurada. y l/re la curvatura para el momento considerando la colaboración del horm1cón entre fisuraa , calculada con la expresión: .

ti,."

[A2.3] siendo 1/rc:r la curvatura correspondiente a la secci6n Usurada. E.JlII la deformac16n para a. = f,.k teniendo en cuenta la colaboración del hormigón entre fisuraa. E.; la deformacl6n de cedencla. del acero, iaual a f,.klK •. 2. La llm.1tación de rotación de la figura A2.2 8e apl1.ca al momento I!yd. correspondiente a una tensión f,d en la armadura de la sección plaetJ..ficada.

A2.4 CAlculo plástico en; barra.

1. Se pueden uflar métodos de rótulas pl'eticas sin cOllprobacl6n expresa de su capacidad de rotac16n. disponiendo secciones con suficiente ductilidad, y teniendo en cuenta otroe factores. como incert1.dumbree del modelo.

1. En senera!, en losas deben aplicara e los métodos de 'A2.2

2. Cuando se utilicen métodos ' no lineales , por ejemplo elementos finitos o diferencias finitas, la !lsuración se puede silnular tanto distribuida como concentrada en elementos ortótroPoB. 3. El armado de looae anali.zadas por métodos numéricos ee puede deterlDinar eegún A2.7

A2.1.

'n"Uaia DO lineal. de placaS., auras COD cargas en 8U plano

1. Se pueden usar métod08 no llneales para estados limites últimoo y de servicio , ut1ll.zando relacione a de tensión a deformación apropiadas, teniendo en cuenta además la colaboración del horm.i8ón entre fisuras. 2. Previamente al anilleie es neceeario hacer una estimación de la cuantia y distribuc16n del armado. por ejemplo mediante '2.5.3.-6.3 . 3. Con 108 resultad08 del análisis 8e puede calcular el armado segUn se indica en A2.e

cla a tracción del hormigón ee nula , la cuantia en dirección x e y viene dada por rll ;; ftl/fy4 y por r, ;; fty/t,l!' Tomando 108 valoree negativos

como nulos.

A2.8. Armado de 10s8.a

1808

armaduras necesaria e ft a: ;; al: +

1. El armado de 108a8 puede hacerse como sigue:

fty OC

2 . Sean a ••• y y _., 108 momentos por unidad de longitud respecto a

en otro

108 ejee coordenados ortogonales, de lIanara que .y ~ _ •. Sean .UIU .·u •• 1Du, Y .·U7 108 1l0mento8 últimos soportados por el armado en direcciones JI: e y , dendo 108 eef'ialadoe por prima 108 que auponen tracc!6n en la cara superior de la 1080..

3. Loe momentos últimos necesario., pueden determinarse con 10.8 e.iguientere expresiones :

au. = m.

+ 1-11, 1 :: Du, en otro caso Dull=O::

.u,

a'u,

2 ·

ted /

(fek.

&2.9

.y ". "y

s: < 2

+ +

= ., + la.,I/D = -., + 1-.,1/0'

.11:,2 ... ,2

- a "u,

< <

[A2 . 4 A2.5 ] [ A2.6 A2.7]

[A2.14]

en N/mm-

y el

a., +

[A2.15 A2.16]

1 TII:,I /D

e~endo D de manera que los resultados sean entre la mitad y el doble de 108 def1n1.dos por las ~6rmulas del apartado 3 anterior.

La tendón en el hormigón viene dada por: [A2.17]

5. La capacidad para resistir O O

tek

4. La armadura también so puede calcular con:

5. Un punto es capaz de soportar un estado de momentos dado si verifica: -(lDulI:-m.) • {.uy-.,.} -( ..'uz+mz) • (muy-.y) ID. . u. O uy 2 - .'u.

con

fty . =

el1.g1endo D y ,r de manera que l oa reeultados aean entre la mitad doble de los definidos con las f6rmulas del punto 3 anterior.

(1) lti) 1m) 11v) Iv) Iv1)

+ {T IIy /O.)2]

3. Salvo que 158 posean resultados exPerimentales. la tensi6n en el hormig6n 0e debe limitarse a:

4. Los momentos últim08 también pueden determinaree por:

-u,

T.l/Ia. 1

= 10:.:1 • [1

IDy

= -all: + 1-11,1 :: a'UY en otro caso ."ux = -all + all,a/I_, I :: .·Uy=O

a ' ux

2" T., I

fta: ;; -0

C880

Oc:

I T.,I I TI, I

fty;; ay +

1-11,1 + . x,2/1 _. 1 = -., + 1-11,1

= -,

:::

80n:

[A2. B] [A2.9] [A2.10] [A2.11] [A2.12] [A2.13]

(1) lti) 1m) 11v) Iv)

eatado de tensión viene dada por:

-(ft.-o.l . (ft,-o,) + T. ,2 S O - (fed-a.) . (fed-ay) + TlI,Z < O IT. 'I S red/ (fck ' con fck e n N/mm'" 011:

- cd

[A2.18] [A2.19] [A2.20] [A2 .21] [A2.22]

Art.ado de placalll 7 aurOIll

1. El arlllado de un elemento plano sOllletido a un estado de tensión que en coordenadas ortogonales viene def1n1do por a •• a." y T.,. tal que

a. S ay. ee puede obtener callo sigue: 2. Sean ft. y fty las capac1dadee reeietentes a tracción, por unidad de longitud, del armado en dirección x e y. Suponiendo que la rea1sten-

., ••1.... ' .

III " "l n a

..... .,,1 .. .

" . . . ' '1,,11 .. . , 1 .. , • •1.. .... ".1"

.... t ..... , ", ....

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f'".l r .. .,\ .. r •• do "

ORDENADORES L:J Jnt<11J6(11f1cJ."1 .1I,tlfld.v. S~ (l';¡.;tp.'I del .." c"Jutom..tJzad6nrlel as COf:~15q ue €<,'Ibe,n(')¡f1 h~cer, n o

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Ju,eer.

COfJlIfl

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que nn!< 1l ,,~t-lfrl.'1 l'R~r

Al.VI.1. Perlll'1

1. IHTROOUCCIOH La irru pción d e l orden .... dor hll eldo e l BUef980 qll ~ más ha C'onmov1do e l cálculo de estructuras en 10B ü1t1moB a flot'! . De no pod e r trabajar más que con plezas leoet.átlC3e o con algún grado de hiper .... t.aUamo Be ha pasado en un par d e de~enlon ... poder calcu)¡1r "no ~61o una ."I.~ d ~ varJofl tramOR, eino todo un p6rt.Jco de doc e n ... s de nive le s e lnclURO 1.0dOR lOA p0rt-koB ct ~ un e diflci o a l tiempo, elstem3R de varioe mUes de "I"flldos d e llhp.rtAd . Desg ra ciad ame nte el o rd ..:mador no R\r vA par" re s o lver problem~e. sólo ee capaz de o~rar con 108 que es tán bl"n fOrlltll",doB y reBuelto8 . Un orde n ador pued e pre dp.cir e l ti e mpo qut'l va a h i'cer h semana qUA vien"" pero n o puede prf'!ctf'!dr e l pr'é>xil1o terre'lIIot.o . La cuest ión no t.1r.n~ nada que ver con los orde n a dores , s610 con n080 tros : no aabeftoe 10 s uficiente sobre 1ae causas d e 108 terremot.oB. . Ade más nI un ordenador n1 un progra1tl:\ s i rven para h"'cer algo quo:t uno OCl sabe h acer. I.e. propagi1nda.de un componedor de t ex t.QfI Y figuras qUA dle.,: "con este progr:\lna 1'1111'1 proepectos pUE'lde n quedar ta n bI e n como usted qui era" P.8 rotundamente eOFtafioea. Sólo pueden quedar tan bien como uno Repa h",ce l'loe ; e l pro grame. no dleeHA. ni tiene g ue to. nl co mpone e n e l 8~ntldo eetrlcto de la palabra. Uno de cálculo permite calr.ular me jor a algui p. n que ya sabe calcular pe ro no lo hace por p} qu e no sabA. LaR ordenadores no proyect an estruct.uras, y aun en problE'lln a A «e nc Ul oR , co mo ediftcloB d e piRaS, no diA Po nt:'t" 6oP0rt.ee , ni ellg p " dlrpcc16n de viga.R, ni cant.o d("l forjado, ni decid e n materi ales. ni dJap0sJc1ón e etructur",l ; Ró10 hacen C.:\1clllo B

•

ot~u .dortl

sobre dlltol" dlldoe. y la8 estruct.urae e e-rAn tan mal As como la8 que 6~pa hacer el ueuarlo 15m ordenador -.Hmqu e eft poBible que sean "f'ogUI"'<lB, igultl

u huchr u do. S I Be sIRU-e "lima ndo 0 ,1 nunc "" Be P("f''' pt>r 1.0 ct", m.,n"'r:'l '1 IIP tar una instrucción, p0r e jemplo:

., , ~ .\"'''' I I ·

que el t exto cOllpueato con ordenador será perfectamente leglble-. For i = O.J t.o 1.0 st..,p 0.1 (Para 1 dende 0,1 hasta 1,0 cada 0,1)

El o r d enador 8610 opera con un método deflnldo. Es inú tU " Pl"'egll nt.a r al ordenador" algo que n o eeUi perfecta y IIIlnuclolHlll'lente previAto y cC'n-

cómo predllll"nflional'" seccion es de hortnlg6n, ni de cómo de epl e?'l1r arm"durAB,

qll f" Ind\ctl h ,Jg ~n sólo

cA lc ulo.

testedo antee por e l programador. 51 no hlllY una d l8c1plJna conAoUd,,,, d,,,, do'! 158

extra no que. el orde n"dor t a tnpoco lo haga Iluy bien.

En realidad el orden8dor 88 8610 una herramienta. Igual que u na lII.§qu lna de eecriblr no escribe ni un pIII"'.,lelin proyectil, -a unqu~ ,qmh,"Il'I herra. denla8 f'lvudan ",ucho a que el resultado 8('0'" ", .1" dar"" l p.glhl - y r'pldo-, u n ordenador no C.'l1CIU., e8tructl1rlJ8. El cal· ' qtln!.., ":t 8 iem p r ~ e l U8UlJrto, a unque Pl'trte d e l ttérlto o d e la culpa sea t ... mbl~n d el program",ctnr . La poelbllidad de que cualqu iera pueda tener un orden .. dor en eu C":lUla o despacho , y la fac llietlllft y barata copla d e program .. s , junt,Q con e l eepe j!8no de que e l ordenlHlor puede hacer todo , puede estar crel'tndo la falfH'1 ~f"n saclón de que cU"lqll lera pup.de calcul ar eetructuras_ Y aun loe que l!II"ben eetructurae no pueden confillr demasIado en ~1 .

h" c('r una o p~rtlc l ón d I P.? Vecefl, puede q u r al ~ lIn ll A lII;'iqutn ;lfJ la nu eve vect'oe ti o nce, con COlIsf!c u e nclaR grl\vet1 f> n un procef'O dPo

SI Re int.ent.a oht.enc r el resultado de ele v ar el núme ro 1.0000001 é\ la potenda 2 27 , -que e q uIvale a DlUlUpUcar 1.0000001 por " 1 IIIh.",.,o. e l r ("B ul lado por BI mlRft'lo, y !'IBt " '1"'esivamente 2 1 veceB- , con l a. fundón exponen cIal d~ un a calcu1.'\,1ora dent1flca 86 'o btlene S7-4.S30, "Htn't lJ ~ II1 ult.lpllr.a ndo puede rAl'lult..'\r 67-4.514. Con un orc1enar{or normal. mulUpU c émcto, ~e Llf"gR al 88ombro~o reC!l u1tado ni'ldtl men(')s que 8.650.273 , del ordf:.' n de idl ez~ v e-cp.s 8 uperlor .,,1 correct,o, pf!ro 61 6e hace a través de l a fOI'ma {"xpconenc1111, el result.ado {"s de 65.535, ¡diez! vecee lnferIor al re8ulta d o corre-cto. Estas 80n hC!l "::'rdenfl!8 en BASIC: PR1NT 1.0000001 - (2 - 27 )

La flabilidad. C!leguridad y facllldAd de Manejo de un program .. df'Jpende de que C!lU aut,or C!le8 un buen experto. Pero hay dudas de qui'&n e8 el expe rto idóneo; tan Ins10 8uele ser un programa hecho por u n buen calcuU8 ta pero que e n progrftmftc16n no p .. e .... de ser un aficionado , C('IIno 10B reall7.AdoB por avezado e prolralnadores qUe apenae entienden de eetructuraB. SI hubiera que optar por algo. caal seri a preferible 10 primero. Lae pAglnlul que sisuen pueden servir de bAse parA u nA critiCA más fundl'lda aobre la., U1'IIltaclon ee de 101'.'1 progrlllll'ltls tlctua le8 . Se comem:arA por leae aepec t08 ",áfll lnt.lI!'rnotl dI!'! 1ft lI'I:\qutna y tlU proc!' .. ~dC'l r numo!trko . 8e continuará por loe toe1'lllt8 de cl\l cu lea, y ee tll!lrninArá con algunas disqult'lclonee .. As profundae acerca de la e hlp6tes18 que subyacen e n e l anA llB1~ de e etructuras.

a=1.0000001: for 1=1 to 21: a=8*a : next 1: prlnt a

65535 8850273

mi e nt.ras que un reloj calculadora o calculadora normal. con oc ho cUrRe de prec1s1ón puede dar eootre 671.1~9 y 6 7 4.520 - r esultadoA baRtC\nt.e acp.pta Nes-, y un .. calC'uhdora cient.1fJca con dIeclséh~ cUr<'ls d e pr e~ lBt6n obt.1<!'tne 12 exacta8. En un ordenador blnario, con o c ho cUrtls de pr n ctd6n no ee o'tlt,lenE'! ~~C'lrr~ct.", nI un"', y Ron neeesarlos cálculoa con 16 clfrae de prec1alón parA obte ner bi e n las aeia primeras. LA npernC"lbn .:.nt.eorJor. df'tl t.lpo 1'.. , ~f!lt ..\ pf'onfHtdl\ p,"r.'\ pon,.r A prlleot>/\ el procesador nU1'll~r1 co de una méqul~a, ya qu e h i'lB t.a un",,, potenciA" a nt.e e d e la 21 el reflu l tado sigue anclAdo en la unidad y Untl B potencias más allá de la 21 el resultado deeborda 16 cUraR . Inclu80 prOblf"1'II~A ~pl)rent.f'. lnent.1!'! Ino fenBiv o" pue-d~n ~ n ("f" rr1'lr conf1Jc t.08 nutnéricoe. Por e j emplo en f!'l Rt ste ll'l8 de I!'!cu/\clo n f' ~ tdgul ,. n l"!:

2_ GENERALIDADES

2.1

Deeajo.te nuÑrlco

Loe ordeonadoree denominados C"omp" tJMelf o pel·lf(ln.~t'lf apa r eciero n c o mo herra.mIentas d o! gesti6n y no espec1flcamente para t;:¡\lcu108, I'!n lo que rmch48 veceS son e1Jperadoe por l as c alcul adoras de ma no, d"!bldQ e. la re preS6r1taci6n hin4 rla de los n1jmero 8 , qlJ e en 1818 calcu1.IJ.dore.e e 8 de ceda d1glto d ecllrl81 por I'Jl'!'perad", mientra8 qUe en la fII""yoria de 10" ordenador es 10 ee del número completo. Por ejelnplo la operación -e-n BASIC-: If 0.6" 0.1 = 0.1 th"'!n prlnt "'er' e lee prlnt "no" (Si 0.6 ... 0,1 = 0,1 entonces escribir "sI" , de 10 cont.rarlo "no") arroja un rot.undo "no", ya qU~ f! n la representaclón blnar1.lJ. de O,6 y de 0 ,1 allbos no BUlnan M"I.!t...~lf1t:'/nt.et lo Inieno que 0,1 emo 8ól0 lIIuy "Pl·oxlm..uf,'~)t~.

5.3-. -1,3 -x .. 9,7-x

1.9- y - 0,6-.. = -17 ,3 3,6'" - 4. 7,,, = 29,9 0 .03' " - 6.43"z = -3 .44

los t.érmlnoslndp.pendlentee tle h an obtenldo exactame nte tr as asig n",r a l<'ls variables los VAloree x=-3. ,.=2, .=-4, qu e por t.Anto filan 601udón del 81~t.l!m8. lIt.lllZ<'Indo un p rograml'l de ,o rdf'n a d or, ee poeIbl t'o qu e se ob tenge, con dos dec1l11al~fII, una solución como .= 0, 6 6 y=10,48 .1$=1.48. In error ec d"be ... qu e el s lRt e ma Bet.' prep",ado: 108 coeficientee dPo le t.erCf>rl'l ecuaci ón provienen de mulUpllc Rr loe d('o la prhll!'!rl'l por 2,1 y s uml'l r 108 de lA f!legunda por 1,1. En esas condicIones el determin<'lnte d e l ei 8tema debe ser nulo y h ay infinitas 8nluc1onee. Aun unA buen~ calculadorl'l, a l sumar y rest.a r los pr oductos no obtiene eXActamp.nte cero f'O n nInguno de 108 deterrnLnantE'!s; por ej~lhplo el d e las incógnitas puede ~eor 0,000(1000003 . Al ef~ctuar o pe rad ones del tipo O/O e.e obtienen valores cU<'llp' 8q ule ra. . Cuo'tndC'l h ay lrnrUcad~s eu ma e y rest.as de product.oR con decimales 1<'1 e s trat.pg i'" de c á lculolmpor t,, ; por ejemplo, h"y diferencias de precisión t.>nt.r;·E'! obt.eoner e l d ete rlnlna nte por Sl'Irruft, o medIant.E'! producto df'J 10ft E'!lemeont.os de un .... fUa por eU8 adjuntos . En las proxtmidadee del determlnante nulo. -como tA mbién eucede en el

orleudorfll

cAlculo d ~ t.f!n~t" nt es de Angulol' pr'óKim08 n 90·-, ppqueH.:\p; v:.r l é'lclon e p; en 108 d ato!! de ~ 1It.r ftda producen c ."llllbl oe fueortee en loe r ef!:ul tadolJ, sallendo a la l uz loe defectos del procesador numérico. Kn el proble ... a I'Inte rlor hay' 8610 trea ecuacloneE.t y con númf'!:ro l' de 8610 dos o trea clfr lle eJgnlficatIvae . En cálculo de eetruct.urae no h ay operacionee del tlpo ¡-, pero ee h ll bl t u lI l tratar con IId,.t.emaR df" algunoR centenaree de ecuaciones con coeflcientee d e mucha e clfrae 8~nlncat.lvao. En «enerllll Be r á illlpreeclndlb1e qUf' ~l pr("llrl!lml'l u"e 1", prf'lclRtón ,"~xlma y dieponga de coprocesador .. a temátIco l de declmales, En estructuraa ea infrecuente que el d~te rlllln a nt e del e1etema de ecuacionee sea nulo, -ee deci r que la .atriz de rigidp.? fIIea e.lntIJular, coe8 que eucede s610 cuando la ee t r uct ur~ en un lIIeCtlnil!urn,·, , r"~ I" " ."!" muy f:\ dl que ee produ7.can daellJuetee numér!coe ei e lmooelo lncluye g ran dlepAridad de rigldez entre piezae contlgults. En eee e upueeto loe res ultados varian e normellente al variar levellente l o e datos de e n t r ada. Háe adela n t e se c ontellpl an ejemploB en 108 que puede daree desajuste numérico,

uludo, .. lo. d~ ) :H\

81 p;e III.UJ7.:\n pr .... gr·'\m."I~ el .... (H ·~ I ~tI.'\rl"r rH"o d ,,, " '''''' ' ' '~ rlr.) prognulla. verfl lón, hl pi.t,"'n lfl , ptc. h ........ h .... (111'" f''''" IW' lIlIlpl'" 1I (lt,o rl " m ~ n t.~ , t .•m t.o por 108 vend",IIor",Et de pn'gri\ m.:\" '1IJ"," ,=,, ~ ult ."ln ('€' I(l!,< ,""t m€' nt.E'" - PIJ E'c.tE' que (':on ra7.6n- fUlR proc .. rl1mlp.n tt:'"oR, ~o m " r " r J(lIJ U r. II •.,rI~ .f' , '111 ~ fr·ecu ~nt~me n t.e t.le n e n coplas plrat~adae y no pueden d.,d r pút"lll ..... l'mpnt.~ q tl <"! 108 uEtan. n ....>I'm:Hl

1,:\ Impof'IN l1dnd d e comprobar lo qUf! hACf'!: e l pr0 Rrama P I' l a '1111'" qllf':, con fr l!'c\1 e ncllt, ha y n error'f"O rl", pl·("If!:r."lm."l(' IÁn. 'lUP ""'" pl·.... ~I II Cf!! n t\ó1 .... f!'.n IIn<1 lnfo rtunadll; ('omblnAclón rln v .... )orf"I', y 1"'" p .. '·m."ln ... r .... n ,.In det.E'!ct.l\r dllr~nt.e mucho tielnpo. AunqufOo eon ot.ro t.1po de pro.r:-¡ m,"lt:l lmpod.a me n os , "!' n e l caeo de )08 de cálculo e8 acons('!jabl e ue.l\r fiMo Jile vt" re.lon es m."ÍA mocl...,rnt\A y <'\ct.u AllzAdA s. DesgrAciadamente lae. v"'r~ l on~8 obRo )eta A E'!Rt.jn m ~ Il""A pl·ot.p.g ld."l" . '""K I n t.iend o coplaR dpRcontr(ll fHi~ tI, I"'on r1eRgo ~r"vlf'! en su utlli?Rctón, oc n p; l o n~

2 .3 El ordem,dor no tien~ por qu~ h~cer bien l os cAlcul08 y fll ul'uarl(\ o el p rogralllador deben Intentar f'lncont.rar 108 C88(\8 df!, df!!B.1ju8te num/o:rko que puedan pre8entarBe en 108 probleMaa en lo s que 819 t r aba ja. Hay veceo en que para el usuarlo ee Il'1poslblA .

2 .2 C61culoe orn.dto.. In efecto , .. ientrae que e n cákulos contables. del tipo de .edlclonE"s , el ordenador otrece todas l~e ' oPf"raclon4!H'I lnt.erlledlas, y 10fl cá lcu lofl "on . en teoria, reviellblee, en efltruc t.url!ifl, ~l C'lrdenador se ll",lt.a a dar los reeultadOIl!J tinAlee. Aun en loe ca eoa en que preRent.l'l ree.ultlld08 i nt., rmedios, por ejeMplo e ollclt.aclones, éstae provleneon de operadones lIIatriciales, con productos e inversiones no lIIupe rvlaables. Confirmar l oo resul tad08 intermedios exlgf'! pasar JOB dat08 por ot.ro progralla f1abl<!!:: conftrmar 108 tineleR, -pc\r ej~",plo, arlnad08- ee poco llen08 que impoelble 81n o",ber 06110 ha procedldo el progrAllla. SI ee dispone 15610 de la e ntrada y aaUda de ordenador, t.odo lo que se 'puede decir ea al hay congruenc1a, por ejemplo el ha y equilibrio , el las deforMe clones eon de 818no y Monotonia acorde" con la carga , etc . ER perfectalflente PClalble flnglr una entrada y salida tiplca de programa , slendo lndetectable por el e xallen de loe documentoB a . De ah1la lno18tencia I I n terMino, ,eollletrleo',I'n f'JlPlllr l OI df'1 ll.to .quhlll.n .. hlthr 1I Interlf'Ccl6n de llnell co::>n un 'n,u l0 .. u ,. peq u ello. pfobl~ .... .,u,. I~n!llhle a y.rl.clo n.e de 101 dlltoe. Al "'lPn~. l~e pr~frll.'" ,.rloe de dlbuJ~ aeletldo, en 101 que ee ......... 1 enc<'lntrlre. con ... t . probl e ...a, 11I 1,en ,. tr.baJan con el citado coproce.ador. Z t i .utor h . h .. cho la pruebe co n un pro,.ect~ 'In d .. C.rrera· e n Ja Ile ... ell de "adrl'. ~u ...eIllO TI . p".~ eo"'o r.Aleu ! ol de ord .. nl'or . enrl .. e rte e ete ~~~orla l . h an preeen'"do en dl".feo. eur eol , prefuntAndol" l ' IIll" un ~ de l oe 'I'et .. "te a dudlbl d. 11 toond.d de lo' r.,eulrllo!<le. Mlntu"~ de el lo l du4. nunell 4 • . qulP l"Iut> i .. r. pro,rl.', lobre todo p~rqulP tll .....<lr'. eat .. b . eae rlt l en pllrel per f or. do ,. 1I le t u eu de I.e II.lllf1odll. ti po t><lfrlldor, pr u .... Inequ t"n CII d. q u e IPre elli dll 4. u n a I lII pr .eor'" tete ... 1 e"" . ut"" 1"111<"'' IIII(u",'e _lI o a, eonyellclc\ I tod o un elllu.tro, Incluldol c_tetl r .tlc". de .,1I , ...... t Jell . , de que un l pr .. dl("{"IC\n de r..·"ner~ de IIlulllllo e plr • • 1 curao el,ul e nt l ef. correeta, eJlllp l ellle nt l porque .1 p.pel era p l JIII ... a ,.

•

ot4eulorel

'1/1 '1:11"1

bt~n ~1 n (lmt. r ~

ProblemaB en la progra.acl6n

El progr:tm~ pprfect.o e-l' el s ue-rlo dp. un prngrflllltH'Or, y J,"l C'orn"oC'd"n l a pesadilla de todo e 108 que se d edica n a et'lt.l'I tar~t'I: olempr e qu("dan error"!!8. Parl'l e mpezar lo e: programéis no hacen 10 que dJcen . Hlnglm programador ee ca p 3Z d e expllcar eoxactament.e qué! : prf!t@nde , y me nofl de conseg uirlo . Ademila, 1("'115 lIIanu"l e8 no dicen lo que h aceon l ot'l pr081'1\III'HC Huchos deta U en , 8 vecea p8r tlne ntet'l , de lo que- se puede o no oe pu ~ d fl h ltcer, d~ cOWlpatlblUdad, o d8 llmJteo, están eln ret1ejar t'!n el mM"' ''). Deade un punt(l de vista rlaur('t80 . es JlI1pooJble e s cribir u n ' texto q Uf'o di." fOJf.'lct.."fmt'llt.t> lo mle.mo que el prt)grlJlmll; 8610 .,1 propio progrllll'!'" en ~quivll l .,nt,., '" el m\RInO. P"r('l ~l prQgrlllfllll'jClr el mJ)nIJ'l1 es' Bl'! mpr"!! pt"::rtOO!C't,"!unent.e Int,~Uglbl~. aunque 'l veceR 661" 10 8 prlmeroB me6f!O tras e6crihlrlo. P",r.ll O!l 1.l61l1lr10 h.llY manual.,s que Bon lncoIllPrenB t blO!6. ot.roR en l(lo qUI!I n i) nI'" f.Hlt-oP. d{'nde p.8t.á l~ lnf...,rm ."clón b l.lIlt.=J}rJll , ot.roR en lo~: q lJ ~ , e n 1m t.=onflH'i) ) enR l lI!IJ~ lnform.:'it,t~o. Be reCle r e n 11 IlIR o Ili)hre In q lJe M ni) Uenp. nr.. t.tdll, rJr: 1II'IIl n""rJ} , que IIl'Jc hJ}s vp.t.=eo lo m",neJa. Aln flP.Sll rldllcl y ",1 b lJl"ln t, l\nt, .~m, nht.~n"mrlo ln Cp.flllnlp.mente menSA j es r.lO! error o reslilt.IJ.d Ofl equlvo,,:,,-,dnfl, b.-.rra LnllrlvertidAmp.nt.e \nforml1d6n vl111008, y no t.=onRlgue lo que 151'1 proponp., lJ; pe a ",r dO! que h ay previet.as vArlAs forllHHt para ..lograr10'. Un pr('tgr:.ma hUf"no AA e l '1u e- e~ c.ap."l7. rtp. h,,"cer "':\e. df! lo quP. <lirA ; pr:>r eje mplo, u no d e V.lg.'lR t:'on tlnuFlA ~nfrent. ado a un flN("I Yan o . debe rOO!Ro ! v",rla como viga Isost.;\t.lc:t, AJn eAtar p r ogra mado eXprft8I'1mf"nt.e- p.:tra p U (l. Huy poCl'l6 esctl elae. de programación lo conR l gue-n; lo hl'lbltui'll el' quP )06 prC'lgramaR s ir va n pa r:. hacer m~nOR cOfias d f'!: J."l" que dice flU manual. y e l uA u arlo ee acot\tum¡'r,,\ " qUf'!: a l g una A !",olllbtnadonf':s Aon btPCtnlblea, o a que e.a ll r , entr~r, o pl'ls~r en un deterllllnado ord en ee tn6 eolu ro. El progrAIII"dor h a

1111 l et r l dlP ~r"f' " "" d or , euan~o no 1I!1I1 .. th, rlf~tr .. ~a II,u"o; I"IIIIbt a .14~ tee J ... da a "'"n~ e n l • • 'qu ln l d. eone.,III. No lIe InlllllthA l o . ull e l .. "le ~n l • ., .. ,Ia que tl .. n .. rll r a elll.1 t(">d~ .. 1 "'lIl1d~ qulP .. l f~ " 'o "it .. un ~rden .. ".' r ·· . e Ullln" ("> ... t .. n o o," .. nlll na"" . el no que le JI~lt l' hlleer lo que l e o rd .. n ll o . "~~_"·· , A eellP r .. eplPeto .1 rlP ,~ eIJ l nt lP 1_ lfOelu rlll df' "11 a l ,~tit ...o fllll<"'h.ftortlP ,. otro l .nt ld <llo. ", ... ntr. 111 anale411. que p r o .... r .. el o rrt e nlll <l"r" John 1: 1"I<ll e. Alhn,. Unlveflid.d, n'il 5 41, Ul'I .

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conflrln"do que cada opción fundon", pero no puede h"cerl0 con t.odas 11'\R cOhblnaclones de todas las varl . ,bles. AIgunoe error~e de progrl'unadón<4 provienen de eUI)llf"st.o~ ql1f" no 8P. reepetan en la totAlidad de 101'1 mOCtuloR o pAqll ~tee de que conet<'l el progr", 1118. Ee conocido que un programa d~ 13 guerra de ll'l8 galaxiae falló porque un eslabón pedla una coordenada en millRe. mi~nt. rAe que el que Re lo RumlnlotrBtN. (Jupon." que f'!rll en ltUónet.roe, o el eepe.lo d~l t.p.l p 8coplo ~np:,,:-:I:-Il flubblf' qup. p~rece que fue Inal t.a]]lIclo P<tr un cRmbio dp. ldgno en un p"r;\m p t.ro. En cAlculo de eet".ruct.llrae puede suceder por ~jempl0 que 111 pedIr hs barras haya la opci6n de "voladizo", per("l en una fase posterior, dencmIn",d .. Mllberacl6n de vinculos" sea prpc!eo ellninar· el apoyo fIIn el ext.rp.mo d('l voladJzo, que el no ee hace. eJ.gue exJstlendo, o, que '!In 1<"1 faee de d""rtn l clón de 1'trllladurAs de Roport.eA se sollcit.'! la relac16n .1.... ·lI·rn ... ·i'lr . ,.f,I "11 h fl: caras, pero al a rmar,lA diaposlcJ6n d f'l clU,t.ro rp.dondof'. n'~ p.,..:\ ,·.."l l'\d6n C"!~ro elno uno, y dos redondos por cara no sea cuatro en totlll elno ocho, ejemplos que provienen de programas coltercialea tipicos. Poder t.rabt'ljt'lr en clll'llqule r orden - el c1~elco In~todo dE'! ~lIrí.- ee otra fuente cl~slca df!l f!!rrores. Aunqu" .,1 prQgr.IJ.m", bloqu"!IlJ ~1g'lnafJ ..,p'!r .. ~ donee llllpoelbles, coml) d.l/ll~nelon",r eln a nte8 definir I) 0::01I')nefl. plJed~ no bnpedlr que Sf! aument.., el nüm~ro de pbmt'l6 o trAmOIJ un'l VI""!Z dtm~n6lon",t:fo el pórtico, p'ro p'led" no haoor df!6act.lv-'J<1o el lndlo::~<1("1r tJ" que ya el'! h~ dimensionado , y ho!'lber Bener-'Jdo nlJmeToa <!'IbQ IJrdo8 p!)ra hA v8rlablefJ <1,:: l~ pl)rte ~ .. pll3dft . En Ben'!'r.."l, 13 perezJ) d~111l3u3rlo, q1le deselJt obtener rE"I'IIJltados con el lItenor esflJerzo p)Blble, ocftBlona errores por I)taJos ln<1ebldos o confusaMente programados, Rn úlUI'IO t.érl'llno , al pr("lgramador y al usuario elelnpre le resulta el prosrRlIIll fllgo corto, y t.lende a ItRnlpularlo pflra que pueda resolver CRfIIOS pt'lra 108 que no estA preparlldo. Sl no et'llAl prevle"o el t.RIt:d'lo de nudo se pueden disponer dos lIuy próximo·s , o un eoporte ficticio. S1 no puede rrprft sentar la viga ft lItedifl e}t.ura df!l IR escal\!!rll, ee tOIllR una plantll fIcticia sin vigas en el reat.o de trallloe. Sl el pórtico no cabe, ee part.e en dos ·t.ro~08. superponiendo d08 plantas COMunes a ambos. SI hay un muro 8e eustltuye por un eoport.e I'IU," ancho. SI 10ft floport.es flon Jn\!!tállcof!l ba,..t.a traduclrlofl a horllllgón con la ,"lsllla inercia. tln e/llbrochalado se puede elmular con un soporte con eecei6n MUY fina y alargada. En tOd08 eotoD ejemploR 8e'\ lntroducen en el p(trt.1co variables de védor nulo o inflnlto. lo que pone a prueba 108 probleln8e de desajuste nUll'lérlco Indicados lIás arrlba. F.n general t·alee juegos pueden eervlrle al especiallsta o investigador en estruct.uraR, pero aceptar eOlio planos de obra lo que resulte ein .,ás de este tipo de lIanipu~ bclones es temerarlo .

<4 r.l.ten 'ftl"bt •• ' " , . . . . . llnllr J •• rt"ple~hd"e de un buen "r(llra",e, C(t.O •• t.blll.ad o tran.pareRcl., Inclu.o leR'U.Je' de pto'r .... cl(',n Meno. proclive . que otro. fI . rllll ('oMPler ert<,r.1 - lOor eJPIIIl'Io PASCAL no d"JII ti! t I h.r ('(lRladClu, de vuell •• dect.ale. , ellllllnftndo ,,11"1'10. error •• de d •• a Juele nu",erleo- o que pprllllen ('orrecelone' , actu"lI&lIclcone. con .ucho. IIIeno. rlel(o" rn p.r' IClllar el hecho de que le h.("n ••• "lIonel y Mejor •• por diferente. ptolr .... dot •• , o por el .'eao pto(r •••• or pero I' ••• do un tieMpO, ee un. fuente eIA,lc. de proble ••••

3. PROGRAMAS DH CALCULO OH KSTRUCTURA5

t.·,, ·

F.n I?et.p. .'Ip.... rt.:-I.10 RE'! ('("Im~nt.~n pp.("'u llttrld;"1p.A, t.r-,,"'p."l". I"T<",'· "r.. problo!'!mt'lf'l de ~lgunon rt" loe programae df"l f"l~t. ruct.ur""R mAR 'xmnd.l ..... R. SAlo A", h."n c.-.neiderlldo progr~maf'l come rclalfHl del tipo d .. 10ft qu"!'! af'ph·~n a dJhuJar pl."lIIOf'l con <"rmaliurA8 despiezadas, y más bien RMo lOR que ,="on flirt"" I' . !!n po... rt.I.... ~""\(l con A o p..,rt. ~A vert.lca le A y vigaR h("lrizr.lOt.nl ~fI. (,Oft pn"'gr"' m."p. q\J~ Rnl."lm·~nt.(' rt'f' ...., lv·~n la mat.r);>: ele rlg1el p. .... ("1 p0r f'llf!"moe-ntofl flnJt. ("I fl. e n loe qUE'! .1... fHlllrta fIIon I!'ollcit,,,doneoe o "('nAlones. y co r rp'f'.pc-.n de al USUArio dJmp.nsionar la estructura de acuerdo con ellas, flon harina de otro costal. COA Y

Se ha inslet.1c1o en 106 defect("ls de veretones 8nt1~\1"~ dE" lc>e pr0gra habItUAles, dE'tbldo IJ quf'l lo más pe-]Jgr080 fll'I .111 ut1.U7.lIIclfon d(" eRh~ t.lpo de c oplafl. a VP.<:-e-6 IncluAo tdn manll,"l. Di\do que t"l'It0L1 d~f~(':t.("Ie pUE"c1e-n haber desaparecido de 1ae verelont"e lItás modern8e ee ev lt." dt.."r Axpreea mente el programa al que correeponden, y he figuraR f'e han redE'Un~3do pAra evitar lde-nUfJcActonee. En t.odo caso e6toS cOllent<"lrtoR y lc>e: E'!jemploe que- e~ proponen pUfI!Ide.n er.ervlr para comprobar la cClUrt",d de c ualquie r progr,",m.:.. mSA

Ad""máEl de los a8pect.oB mh superflclRlee, como j~r • ." Int.rooucciÓn de dat.oR y m<ln~jo ,",el Elqulpo , y ele loEl verc1adp.rl"..'e problPlntlf'l o e-n·oreoR'S . hay t.amb'~n un .. crH.ic<"l IIc""rClJ d e hipótesis y crlt.erloR d~ .:A1culo rlp fi"8t.rLlC ~ tur.")fI:. ya qUE'! 1,"\s norm., ft no Af'lt.An p,·~p;'r.,,";¡f'I PRpe~tfk .'/II""ntp para qu" pI cálculo A'" h."\g." ~nn nrel""'narl.-.r . F.n rigor 1:-18 norln<"lft ~od ' ftc-"n u~" frarrlon t·{"laUv",ment.EI PfIIquef'i."\ ele lo qulP.! hay q lú~' hacer p~ra calclllar poto complet.n una E'Elt.ructura. En cu.-1!quJer cálculo y en cualquJer progrl'lm<l hay que usa r criterioA, Inétodos, aproximaciones y AJlnpUfJcar\oneR no rf'Reñartoe en )af'! normaR y nI 8lquh'ra g'm~r:-lllnent.e acept..'trl08. "In("l prnf"ll("lft rle <:-a da ('illcullsta, y que c0nst.1tuy.m la f!':l'pedficldl'\d dE'! t'lUR c,\ku l"I" o el('<) p,'ogrMna que I'I!":dj(,f"nf;. ' Como e] progr ."m.,rlor fiEl ha lllllt",do en t.orlo tnorn f" nt.o lt re-e:c>lver I("lR problE'lIIafll tal como eet.attan c("Idlflc",dos en lt'l llt.erat.tlr a t. é~n1ca. ee muy ~o81h]e qUA AA" ajeno a ",Igllna" clleftt.lonesj en Illtlmo t.~rrnlno el' el cr it.erlo ti"!l proyectlot.a r""sponsable ",,1 qUE! prevale-ct", y al que v."n dlrlg\d<le.

'S 8610 Ut ulfiftl.n errcorcu df" flt<,cpd;",tenlo. 1.('. I"('I'ICI, dl!l cAI('ulo, 1:0"0 1" ('btf"n('IOn rorrp('t. de Jo • • r .. p"tOIl 11 fI"rtlr ot .. 1"" ... "tlllllll • ., df" 11110 lIu,,,dur., • fI'uttr de 'oll<:'tt'u: lorU!II. elllren un" Invp .llrllC"ló n .. ¡ .. t .... 4t1f:II ('rn C".\I" flr<'C r " ... en pllrllc"I.,. AJrunoll~" e"'co" e rt(tr~. lI("On .uy d¡flci'", .te d"'f'C"tllr.

1''111'_

ti LII fr •• e IOllladi .. diel l!(l I,,1 11'I 1'10 ' . dl('If' .. t>rf' 19119, del CrufI(I ['1'."(11 del Hor .. 1161'1. co .. I,16n 3-3, que f ue eJ que .b,IO brecha en elite ellrlnolloll l e ... de lo. pr(llr ..... , de cAlculo de fI" ruclu, •• d e h(l'.'I(',n.

•

utraC!IITU do.

A.blto de aplicllción

3.1

En genero'!ll11oB progr.olllnas cOll'lerciales Be deBtln lln a 1m J"nbl t,o rent, rLn gtdo. El Más I1A'la1 elJ ,..1 <:le pSrt1co~ tfe h . .Jr ..lg~n Ilrrn1\rJt). f.n IIn pr lnc l J.tl" p ) nivel rte c ... Ud~d del prQ¡;¡:nun..,. fll~ Ql n(lll1""r" d., pl(H,n O') V-" Tl r,n ql1 P pr .• U., lIIaneJar. Luego [ Ile el porll)r ct)nt, ~lIIp)llr tmr r"fI! \nr.Hnlld"n. ,., rnlldlllf: hlro'H./""!· 61s de c-!'Irg ... ; lI1ás AdeI.!mte p.1 pod l)r ~rnlt.lr dlred,ll fl)l)nt,e l'hrlr,n d~ .'lI'rn.,,JIJI·., . y en 111 nctu})lldad trabajan e n l Jl c(Ihp.x.i6n .I!I "t.r. . .n pr('/grl"lm·, h <1("~ rlH,II.!..;• ..;. de II'Ied1clonen, Hucha~ dI'! e~ t,o'!IIB ventaJ.... a no estaban prev i "t, ~r'I e n un fJrJnclplo. por 10 qlJe 06lQ h"l:n sobrevivido I)qlJ ellos pr('Sr""' .... n qlJ~ ~~tl.1Vl': r ..;' n bien concebidos y que hlln podLdo .... dapt..,rse a las cit·, '1 ti: 1 ' q, " ' 111.

L." r'~ducc10n ti ... tln .'l p.At.rllct.llr<'t .'l f,¡,I" rl(·ll·t. I ,~ .... r'I h ., Ir .... íd" "'~Il :"" gn algun:¡ Irl.:l l:'l Pt,;\t:'t.Ir.It, r.(\1n0 )~ (t"" rl l ~ pn n""t · 4",: w"'I/o$ ( " I ,~) t. I ' .,n~v('nL"l I ,..", "' n f ;...: h~dl\ p;¡r~ Inr:-11llr l.', ~.I'Ir8n rl~ t:'!r r1)ml~nt.rl. t) 1 ~ ti.., pp'v",·t.., r p';.rt.!r:,.,n pr.rllh>: l l)f.t ~l f or jlir,I~I , nln r~clb1r ~"r8o'11 .., ~ é l, p., r " h ...... l'!r rrr:nt . ~. ., 1:1 :"tt:' ~ "'1l h<wl.zont."l e n p.f.51l rJlreccléon, t:'Qf!ln ni p,1 forJlJrJ() n0 ~)(Ir;t. l l"l r"' . F.n m'lr h r'n r..'" u.n. ~ 1 unlHlrl ,) (Ir'h~ t, r~d~l c lr 1.,8 8oUcltst:: lt)np.n. Q ;,rm",rt'lr·' o d~ ~r:t.('fJ -:/,1 .>,.1 )""" 1'1 1.... ,. ~l.. ~ m,.n',('n r~llhn"n t.~ prny,.ct,TtrlQn. p~rrll"h, l rl '1"1" "r· flt IlJ~ . r. ,1,· 1 dl lol1.J., t!o do pl " ,, "," y dr: l ··w rnf'!rlJr.l ( ln~R ~pnr'.n"tH1 ro"'r f'!l p ,'np,r·"I m:l . En l .., I'r!'\f~ t.I . ~ " ~1It."' fI y,·u l.nj.,n QP~rl) n Indlr-'!f:~,llm'·n' .~ ,:('II1f) f'nr-r,/: p." ." T'r(",y r:,.' "Ir 1,'1 p.fltrllr:-t.urll ~ól() de In (Qrll1ll c(".mt,':!lI1pl})dll p~'I ' ,, 1 prl"lgr"rn.', q ll f". r:n y,..;: r!,.. 6p.r un:!! IIYIJd ... pllra 0::1 r:-'§lcu l 0. Be cQnvlert,.. ~n Qt,rQ p l ~ [nrzl)di) m ."~[t.

t,., r"'d 'Jrd r·n n l l3t.~m;iUc~

(In prognlllll tle p6rtl.r.06 d~ horlnlgón IJrlnl!do tI'!ne Lnc0ny~nl~nt'!n r.QInO programa gene r al de cálculo,jl) eetrlJcturao de edlflc1oe. El h ech(') tle qu e J>;"IS pórticoe dehAn ser np.ceBaril)lI'Ip.nt.e d" h0rtn1gón ar",..,do i mpld ~ 1~ ~k: ll 1IJor con él edlflc!CtR en g~nerAL f,l ,,1 IARO d~l progrlJoII'I'l 1J1.lpone de ~nt.em·'1no q1le t-.Qd~ ",," lalJ pLez~1J lJon de hQr",lg(,n ftrllado, ¿q 'J é c~lclJ1a el prQ8r~lno!\?, Q II"Iejor. ¿en baee a qué cálculos 8e r~chl)zl) t)t.ra opcll>ll?

w __

.1'1 1:"1 ,..~I ructur .... I!I pórt.L<;:n .. , (1IJ""\lJI) ,,:n lIJo l)r.t,IJlJl1r:f-'l" ~r; 1,,\ '1t.111;¡:,":v, 16n (I~ vigilo pillo»", . ......111 " ~n "~'lnr)R pr<"Ja:r:'"lm.;>.r. ..... " J."

. . . po: L6n en l,;\ntjn.r f11 n..;, nI"! t.uc~ o"rlJ (: >')131\ _ , ~tl pt,("~ t. "bl,.m~nt."" J .. (: 'J Pr, ',I~,n rn :\n cHocutlbl e, En 11)8 PrrJgr" ....,1J InÓ" lJ"ncilll)l) 1..;." ''',I"t,k . . . n 6(",rl l n~.I ,.p<';"n'lJ<';"nt. ~I3. y p. 1 1.l6IJ})rlt""J t1"b" I"lJp.'\rtLr 1", C-8r8~ h".rl:¡;n nt..'lI1 ('omQ plJl!!dl). En ot,r(")" ~ J prt:.gr . ~m ... .;\(';P,p t." p6rtlcns p,n 1-01.13 t:!("'1J .... Irn'·olnnp.s y 1."'\ f";::r,p.,('!I1Jlr.!J:vl r¡~ tr{'ld 'lce B61Q ~n h cotu31deracL6n "llnllH.t\n,," dI!! 1QB mnmn:nt ...;,r; ,II!! .~'mt "'.'fJ pórticos e n fl~ltJ.6n ~6v l."d-'l , C81t::uh.r t.Oflnfl' .tlr) pórt.1CClB "!n/Fmt:h'lld,··fI c ..... /II("I V"RO n I!!R (J~ tre n rnoeljl:.ln t,e vig-'l1J fk:t.LdA~ Al"t,lr-:IJl .... d.t)" 1) Ije n e-:-d/)O tnnm,.... pl'oc~dhnL ento ponlh\e ~n J06 progr1j"'1II1J qu~ nljmiten srAn nt"jmero dt'! nlJdt)fI y bnrr-"s. 0610 P.6 vl'iUdQ cIJ-'lnd.-;, hlloY f;i IACLQl t:'!nt,1! slmet.rlTl, y en t;'-"6Q slRm t co ni IJ lq'JJ er.., en eflf) C1\RO. Loa prng r l)m1\fI ·,wt.n!1p.nominlll<1 ,../J ··":"PIlc!:"I ] P,B·· O 'JO tlt1lyen ~l e fect,1) r:t.,l forj'dl) por b:)rr~ 1l e n <1!r·p.f-:"d/m t.r.") 'l nv . .~ rR.1) 1. b'llrr.t)1J qlJI'!! t,rJ\hoj-'ln ~ flf;')dt,n l·,:,t~r o!\ l c u .::rnt;!(', h,n o.:1~A[llo!\:.':o!\II'Il~nt(""J rle 11m pl;rt,kos no s on Iguale s. Ent,,':l fll!x.it'n nt:' p.xlnt."'I t,n h fHJtr l)C'.llra r"' ~1. y f";: 6 r.1P. lm Pl?s Lb1e t.rJlrJ Ilcc!é'n I! 1·"16 lItolldt.~drJn"Jll · d ~ l {" r j~do q11e r~aUzA p.6e p,.pel por corto'!llnt~ en 811 pJ.¡,mo. r:ll andCt 1af' vlgM~ .,n" [I1.:ln"n pn df' l torio punt.n defl;l(·on r.E"JRht n urq r 110 programa de IlÓrt.kCto rM'" nop.")rt,P R y vlg:,,\: y ot.ro ~lff' r~nt.f! p~r,' ,. 1 t"o l' jado prClplame=ntt"! ~h"ho. El m1:'fI'<.l I,.>rllltgc'on ~R ~ J t .J ,,"IIl(X"1 p l ,if' v1r. :"R y for j"dl'). y 1;:1S 61')1lcLt",ch.>n"e ~ n d~rredol"' de IJn IJOp ....,I"'t.~ 60n propt r:d Adp.c r:I,,: \.rl. pVmt. ... dp. plllo. eln que !Jea f.(¡('.1l der'lUnd~r " qu1én l e c nrr ef1p{Jnd~n . nl ~ l r.;.(\k'J1" rI~l forj"do 0.0:.) d ~ J.,. vlSI!I. IncJ '~ "Q oólo nI RP. r:("JO( '(' ~n l:.w "o11dl,O) C"ton~6 o r:rHerif)s dI! arm""do rlel for.1t'1rtl') SI'! pI)eclen eYJ\11l>\r cr.rr>'!"(".'t.MI"I~·o~ · e accJe>nee y sollclt·...dCtnes de las VJg,""IR y :vlcev l'!' rsl' 7. C"nfddpr,,,,r ~rt.ko(>: por un lado y forjados por ot.ro pUE'de tenf'lr. COl"O se verá ",AlA ~df"lllntl"'. gravo!"6 deflcl~nclas. o flohrecoFltee de8aprov ~ chadoR .

•

.- -

3.2 TerlllnoJogla "Iur. l. DI'leull.' 'e l'enlJ,te.eI6n 'e p6rlleo.

En el <flAlogo <fel lIeu~rJo con la ",~qutna Int.o!"rvlf'tnrn ct"cl,.ty"lI'Ip.nt.p 10 8 de tennlnolog (ft que ~ usan ~n IIIIA ' n Rtru('C"'ICln ~ .. rl",l ",<,nual y ~ n 108 r6t.u]Ct8 de p~nt.alla. AlgttnoR d e "UOA Ron 81IlPl"!'mpnt. ~ ,.n~(""dot. <, . pf'ro lndlc<ln p.l poco rlSClr rle1 prCtgramador o la l ncoher('"nd ,. rnt.rf' J0F1 ql1l" h ~n Intervenirlo fl:n ti' progrAmaci ón, que puede" h"bE'r Afpct."do a nnpectCto ",áR profu ndott del c.'\lculo. det~UeB

TrahaJar 8610 60hr(' pórtico s iMpIde con8ld~rar qua fOIl edIficLo as algo El paso rll!tl ed1fl do ~ la Elst.rllctura y df'l ésta a pSrtl-=os no es trivial. El progralll'dor (tupone 'lU"' el usuario sabe 10 q u e ea un pórtico. Ralle ldellll1zar RU estructura <::orrectalllente en pórticos, y l!Iah~ i ncorpora r l"s resultado e de nU#JVO al ecUflo::Lo:-I real. F.n la pr'¡ctlca habitual de AI1p9rvlAión de proyectoR, tanto 8n la vida aC<IId"lnlca co"'o en la profel!tlonal. el t.pma dlet.a de eetar r8Ruplto. '1 no bastan lae InAtruccloneB del .. anual de programa para .zanjarlo. II~I!I .

ordtudOUI

7 En .ltun p r oyeC'to IOllletldo • • "p.u"l.t"'n ... h", .. n('<,ntt.,,<,.n h ...~ .. <,tl •• de l fo'Jftd<, , de In, ,."',llc". dl'l!'ren'l!' ". 1<" " .. , .. " III'I .. n r.- l", , c",nl ·), O Inc l>.... o pelo (lel ' ' ' ' J ",(ln . ,.""", .. vlt.r ... t o . . . r,o , ... !tll r.n nv ~nt"nt" QI'" ('11" ...... o ' l rlt .. cl(1o ... , a,.""t ll' '''. rrnre<1"'o'. IIn ",nAII.i. 1I\ .. II II " n.o •• ",,,,lI n ll .1."'''010'.

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Itl

orduldoret

F.o elnt.oil'll!l d~ hlljl!l CI!Illd3r1 de un prQgraml) p.l qu~ t"imlt.n l..,e 1H'! .... nlon de la(l p,d",br"le qu~ los Uf'!v'l'In. C('1I'I0 ~ál c ,d(>, wrt.icf.', 1.1 h':orrn\g(on, ,IIa1 ("Olllfl indicar "pte" para la unldTld ~8eta. El proces"ldor dI': I':nt.r~d-'J, numérIca está pnCQ f.!1~bnr·'\d0 !:tI exise q11f'! loe decll1'1",lef'l d~ 10R dJllt,()fl dl?'Mn ~~p.t)r.,rol) con pllnt,o en V"7, d~ ~0n ~t:' Ifl;¡ : In 11111.1l\rl0. h'lhlt.u.ado en ot.ro8 prt;'RnUIlf1f3 I!I ut,tllr. ... r p.l ni r:f."m.'\ p' lI rnp"n, pl~eti" f'!A("rlblr 2.500 y el prograllll'l lnt.erpretJl!llr 2,r,. Lo mlnm ..... ti"h,., .k d rn'" de l.a Ba llda. Denomln~r •• dmJlÚble~ a ]~8 refllotencl08 que Ete plll!'!~~f'n f>lE'!gh' PM·.'l lOA ma t e riales pu e de confundir. Lo mll'lmo Aucecte al d!!ln ........ "'·'" ·.. :~fll·~r7.'.,:"< ., hr< eoUcltacione o, y, h ucho p e or, denomlnarlos d~ dJ I'l·/J.l, " . 1'1I1ln\,,> qtlfl: no ap ... rece en lao norlllao , y que p.'"JlJlblemente s e refIera a c .41cII10. T<tmporo PS acertodo que el cort,ante 8e denomlnl!r con Q cu~ndo 81,.1 s(mbt>lo es V. Por otro lado algun08 prograll'l<:ls adQpt,an elldetema. poco BaUsfa~torlo de que lae sol1cit•.ar.Lones aparezcan st.n ~djetlvo, sln eabP.r f~cU"'ente 61 lJon de eerv1c10 o In.l!ltyoredas, o -III'S raralllent~- Idn un1t:1adee.

Hle ntrlJlJ que ",lgunolJ progre • .ao den":)!nln",n dlil'lflnllionado o pr~dlm"ln elonado a l.l!lt dec1Qtón de h8 oeedon""e de h~rll1g6n • .,t.rolJ Be denomln>!'n dI! "cálculo y dlMe nQlon",mlent.o" que parece 1ndicar que dt"~nulf)n".ln deIJPI.I~B de calcular . pero ee renet'~n a l~ obtención de las ",rmad\lr>!'B. le IIIUY hl'lblt,tud que en ll')f!; c'~l)drl')" de intrortl.tcclón ti"" dat."fJ no "P-"lrezc",n la8 unid",dee en que h",y que hacerlo, -eL 80n kPI Hp, o tonehd~e , y el 11 CIrI, etc-lo que illplJc.a saberlas de Melllorla o la necel31t:l",d de c('Ino'Jlt",r conet.antelllfmt,e el m",nlHll, que en !IIuchos caP.los no 1(1 dlce en el 01*-10 ade cuado. En lJlgun06 prr)gralfllJlB Be 8~~l)la 1", unldfld en Ilnl')8 CABoe y '!'Jn otros no , lo qUf.! ~Ulflentl) la perpl~J1d.ad,

Aunque utlllzI!r 61n00illlOfJ el3 m~8 ."mfl?:no, el en el Q1.I.",kt) de l!)"t.fI?:rhl~f'J se habla de j,"C~/J."f" y ~1 et\l ... b6n df"l dJII'I~nl'ionadn t\f't r~fl"rE'l ~ vlg.'is, h.~y que BoeJ)echsr de 1", coherend" del equlpl') progrlJrmador, Se p' leden preaentar el lIisllO problell.a con b.u·r·.1~ y ,"7IJ."dflr••e. o con IfoP<lrt.er .... y pJl,itrett.

3.3

Acotado

Generalll'l"nt.e hI, prJll'ler~ t-"r'!.'lA para calcul"r un (16rtl('o es ]a d e definir "U geo.etrla globlll, que. en loe ca"oa ortoRonalee. qu~da reducido al nÚlllero de tralloa -a vecee denolllnadoB vanot'l- , al de alturas. Trae ello ae deflnen lae 10na:ltudeB pert.lnentee para poderlo dibujar a escala, El telrla no tiene una eoluclón perfecta. En loe program~" peores. h~sta no d~r t.odoe 108 dat.oe no h<'lY dibujo, por lo que la introduc:d6n f>8 crlp!-.l('a. En ('It.rol'l, t.raR el tdlnple nllmt"irO de trllmoe y att.uras oe dlbuj-" un esqUE'lIIa topo16R1co que f'lrve p<'lra d~r C('ltl'l8, y poet.erlorment.e cargas, Larnentablement.e o!'I.lgun0e dejan eIf'!mpre el esqtlem,IJ. fIln dibujar a eAc<tl<t, con todos loe tramos, y alturas fgu<tle8, lo qut'l result.a muy poco lnt.uit.1vo y fuente de equlv0coe; t"!P:t.a opción p"rece muy poco acept.able. F.n IOR prograI'a8 ... áe l ... ag l naUvos Incluso ant.ef' del acot~do el modelo t.j""ne cot..'lt1 y ~Rt.A a escala, pero cada definición extge un redibujo que produce una pantalla confuaa.

utndun do.

F.n gl"n.'I",' l, Jno:l ll "('I ,1t'!RPU"'(1 rlP rl,.rlflll' .... 1.0,...' ''' n .... t .' ..{" l.,:" r. ····'rI .. n"~ (tI' 1., " p i":?;,,,. n l ns,'m pr0gl'.",m" l;H~ dlt'IIJ.'l.'l ,.~ (" "l .'l. pmp".:- ln:lo.t<, r:'" f'n .,,-¡,-'pt.'lr ' ~" m ' ~ p "rt.\('0 ,. ... ] 0 l.'lS lInpafl dp ~je d('! barras. )0 qu"". " 011'1('1 ". .. vf"r.:1, pf\ fU'i"nt.E' rl ~ lmport.<,nt.f'l:6 error"'e. Tampoct;'l f'tR IInlvf>rfHtl 1.-. df"nolflln.'td ón rlp. 1·"I~ pl :mt..'lI'1 . n.. t.,..,rt .... ¡:: "1'1 c ,..,no"I.1.", .1." npr.~RIt1.,rl di" pr~"'R.'lr "l ('u...,t."c1 t) P,..,).l "'.1 .. : .' rI,lt.,-O. y '1"" 1In ,.dlfl"!r, dI'! C'lll"ttr .... pl .'\ul.lln I'!n t.( ' I,,,) t,1~n~ v ' rt , lt.'\ ) mt~nt." ,.In"'" r'_,r.hrln/:. :, rW'I ,f,n q ' lt:' ,·1 Infrtrlf,r n(~:1 nf.l lerJ). rol ~n V<'!7. ti" n')I~r:l I •.'\y ("1".1.,11 .. r:'" 11'1" '" (11"'dR(' dlr:pr,no::r un.;} pln n t,"", m.if.l ('r,n 00port,p.R d ~ I':rnslt,uri .lnflm.'\ , 1(· '111" pUr>dn f.!'.'l""r rrohll':'imi'tA do>: t:I~fH'IjUflt'! n 'IIfl~r1co, ~ o rt, ~nt. e Inflnlt.o ppro '-;:(In IHI n,'lmf~I',) n'l10 d", eRtribn,. 'm tot,:ll_; pAr/) evtt. 1.'r10fl ef3 prf':f~rlt,lp tr.'lt-.'lr "'r~'1 f' ' > rj.'\¡)t.' ·'\p~rt~. p .... r · ' perdip:ndo 11) po nlhIlJr).'\I'.1 ,1,.1 rllh'I.I-'lrtn y ¡J,. I;¡ m.... dlc tón allt-,omátlca.

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eo un<t dennlllln .. dón corrpcl.;, p"ra f"!ltHUIn('l fnrjAct('l . no 1('1 f'tf' t.Ant0 p:tr .. 10ft Roport.eA Rltuad09 en el últllrlo pifiO. aunque casl slell'lpre eb pol'llble call1biar ]os rótulos. En algunol'l programas, Al trae el ""cotado o dJIIIE'nslonarlo, l'If'I h:tceo IIIQ(Uf1cadoneA de geometr1a glohal, el dibujo cambia. p e ro eA incontrol<thle cómo puedE'!n quedilr acot.adas o dllnE'!neLonadac la8 plfll7.ilA nuevaA . F.n algunoe Cae('l8 Re dp.tect.A IncongruenC"'la ent.re l ('1s y<tloree rotul"dOR y lOA trcmftcrit.O B al pIe, y algunos Aon adf'tmAe ¡neg.'tUvoR! Si Re hilO Introducido c<'lrga8 p0r eElc<tlonp.s, y se reducPt o atlmo:!nta la luz pllf~ rle Audt'tcer <'lIgo pi'TrrAcirlo. Al principio convhme, t.r:tR loa ~amhlCl(l. h<'l CAr Ilni'Tr vt'trlfic:a-::lón de Jot't d<tt.OR rot<lndo por todas las plf't7.<t8 rl..,l pórtlc('l para averl.gll a r qllP es 1.... que re.31ment.", ct'f"C!'t f"1 progrltma. Lot't prOf!:I'amaR que ~cusen C!'trrorpL'l en @"Rte tpma no eon muy fiables.

ord~nldoru

utracturll do.

rlp C"oant.i'l, ,,1 , .. rlml"nt" pro,' ., nrh" ro ('"ntA. ni i"1plAmAdo ;:¡ -t~<:I o~. ,lOEL.Rnpnt.!.eR d el);"m C't'~C'PT' m;"lnt. ... n!."'n<1" p I ",y._, ~t.~ , d~ m.;rIl Pr.:t quP ;¡dp.l:"rt."1n _I!l,,,l a ",rlJ1.l:..i!!:t9!J. y_, r-I n~'; rf";' ~, ;¡r!'pt.,r el dlm ... n~.I'.)n.,rl0 J2LoP...!!f"!3..t~, 119__ h~y I).tngun."l e tRt.a rlP! 'l ~ 0 ...-d .rA" r:,:,n _ pAr-lhl ~ , !!..l...E.~.!l!!l.I !:.:l.Y 1 an~h(l_mcl.mo, et..~._ Colno ayud", al proYf"do ti .... "':lt.ruét.urAR RAn un d('RaRtre. gt',7tm:uI nro "('f'pt.,,,

3.4

(',"""A

CargDO

La Int.roducc1ón de clIIrgae eet.1I ;lceptabl<'!'ment.e bien reBuoelt" pn 1.:\ ftIl'1yorla de los programas. BtUlta paRar por cada pieza indlcanrlo ~1 va lor correspondient.e. Las diferenc1sB de lIIét.odo -ratón, cur~or, parpadeo- 6':.n accJdentales. La primeraA veces hl'lY 'lue preetRr at.endón rl~ ei la 0prPR\fon do!'! 11\ tecla de lIIhRndon~r una viga, 1mpltca, sl no fte han d.,rl<'l v<l10r"'fl, ]."1 JIIisml'l carg3 que la vJga llnt*'!rtor o carsa nut",,; quizá nean más prácUroR lOA progralllAs que suponen la Iniona carga mlentr8a no se diga lo contrario. Todos loe progra.nae 8ceptllln describir direct8nent.t> la carga d(" vlg~e por un 13610 valor de unifor'lne y la mayorla de e110a auponf'!n inlclAlmf'nt.p. una puntual en el ext.remo de volad1z08. p('!ro no lo baCl!"n ('n ,·1 .~yl l··~""·, di"' po'>t·t.\ cos, por lo qu" puede olvldaree 11:\ carga de c\!'<rramlf"nl .•:.n, qu~ E'l bien no influye en loe 1Il0nent.os de v!gafl, ei incide en 1813 compreE'ionee de loe 80porten.

~r1t.~I·t,ll'l

n;;-

Pnro ,"\d('ml'A, t'"

(Hm(':n"t(ln ~ qllt" r(l 3J~ ne ~ p, n_'~~I"'nlry. ~J

mr;>ml"nt.o,J 1L

~l _p.i'ndpo, 111 l ~,rct61J horl;o:ont.:!:,I, et.c, pued",. q ll ~_, ('n lB l'-!r-:..~_~o.>: f\n\ tJ~.~I~ ~!!1.Q d(" ~rm.:\dun'l:, .. "" lnanlfteAt.~L«0~ 11!!~,"!1n.slf'"nt."--, Lo !' pp0res pr<'lgnHn.")6 se Umlt.an a df.'!dr ~eto, después de t.odo el cálculo y <'1" h,"lber ImprPAo IIn0 S

cuantos C'ent.eni'tree d I'! hoJaa. nn fallo fInal. llt'lln,"1nd" ,,""retón tnRllfklE'nt.e a lo" q .. ... 1";1 ftItf\m~l pr·olr."m;l hit propuest.o. f'l A E'scrlnrll'lJoA0 y sint.oma d(" muy mal:! cal.t(hd. En In flgut·;\ :t se muest.r l't un eJ ... ",p]o pl'lra provoC':o.r ('~t.", comportAmient.o del pr0grama.

Comoquierlll qu~ la actual norma de hormigón dl~penfla de]a .. lt.ern" nda en "uchoe casot!!, pero il"Ix1ge Aaber el carAct.",r V r"'cha de C'."da ee('",10n de carsa para I'!'valul'lrr flechas, es pOAIhle que ba lUth"", verfllcnee d(> los programas ho1ylln c¿"nbiAdo de est.rat.egIa para considerar este tema, por eJenp10 sin dejar al u8uario la posibllldad de alternar o no a ~u ant.oJo. Para las acciones de vIent.o (loS po~Jblf'! quf'l en ftlgu nof'J ('aflOE.t, como pórticos partidos por vlgae a nedio nivel, l os result.""do8 s"",,,,,n difenmtes según se con81dere la acción t.ot.al -preE.tt6n ",118 eUcci6n- en una fach""da o cada cOlllpon(lont.e en l a fluya , Pf!'ro la l'Iayorla de 108 programa e haC"f!'n lo priJnero. En cafloa delicados será precieo corregir a "' .... no loA. re.erult.ados. Rn CU8nto a la " ('cI6n del "("181110 f!terb deIH,!,l'thle qu,,", 1'11 uf\,.,,~rlo pudiera decbr.!tr aiJllplf'!tn(l!nt.e la Rcelerl'lcJ6n AIAtnk,,", (1m IR base. hAcl("ndo el progra"8 108 c Alculo8 p:tra obtf'ln er hr, ....cdtSn p.n cadll piBo. Todot!C IOfl progranas se U ..itan 8 esperar co,,",o dat.o la fuena horizontal en cada nJvel.

3 .5

Du.enoionado de s oporten

Bl dim<,:,neionado aut,onAt.1C'o df'l ap.ccloneB de h orlnlg(1O ea lino rtf' loa aspect.o s men..,a f'I~tl8f.:tct.orio8 de loe programae·. Los prllneroft progt· ."m."1 te no dlmeneJonaban: tee lllllltaban a eeperó1r la int.roducc lón rte J.~e 8",,~10neB de c-'\d a vtg .. y soporte . Lo tedloRo de ~8t8 t.area y el deseo d~l UAtlarlo dIO'! querer Rcahar cUl'lnto antes , f orzó a los programadores a incorporar eeta; fsse, de irregular facturll. Por lo que reepectR A 108 8opt")rt.f'lB, algunos progra .. as SC!'e 11ml t.an a disponer una secclón cuadril d a , obt."",nlda, por f!o JE'lIIIPl o parA "-175, dlvldtf"ndo la cl'lrga vert.ical ent.re 50 kp/('.... Y rf!tdondeftndo C<lrll'l lado a 5 cm. F.:.D_~_ cac16JLno tienen sentido 10" .JtQ.~rte~ cu.adrad~s 1!2! _f'!ncW_dJ1!_2 5.x~.~m ~r ~ lu.ter"!lsa ('IU. credlllento en unl'l o en otrli d}!~c_c:.!~~: Rete t.ipo de pro• qutz' e. debido" que, .. i .. Rtrlu el c"'lculo de 111 11 rllllldurI' e. t A bien forlllul.do, el <te la .ec("l~n " .. h .... r .. tCón -que lIupueallllllenle e!l el pr(lbleona de dete, .. ln.' t ... b'~n 1. !leccl6n ,"Inllll", (1 que, con II"".cto .'nlono , ('(Induce !tI lol .1 .. Inllllo- e.lA in.uflclentf'lIIente dl'lIrrito. ti protrlu""d(\f to R. t.nte tl .. ne con prol, ••• r , , en elite c . ~ro , en el que ha tenido qu e In ventar CÓMO dllllen . lon.r. no parece h.be, ."lldo con b\!"n pie.

ordeudoru

Otros programaR .. AR elaborados admit."",n varias posibilidades : desde un dim e nsionado automático, f'!n el 'lue SE'! puedf'!n d"'r crlt.erloB d~ Aflcc!nn o de c reclmhmt.o de 1."1 ",tf1ma, haefja rlime",~ionar el ancho si se define el cant.o y vk~versa, et.e. AlgllnofJ progrAmas p<lrece que, como preot.ext.o p<lra el dI mensionad o . IItUlzan lOA reault.ildoe de- un análisis simplifIcado , euponlendo Igual f!lecdón en t.OdAS l aa plez:o.e, nlet.ema qUf'! tampoC'o d~ result.;ldoa aceptables máEl que en pórt.1co8 regulareA. Dimf'!nAlonar automát.Jcamp.nt", lOA ROp<'lrtes de un p.dlflclo eEt uropk:o; si f1.P. quiere qUE'! f1.E'> adaplo;on a la8 condldonef1 clp. (',vta rhmt.a. y Be.'ln óptJmos d~sde el plinto d f'! v ist. a E'lAtr u ct.ural. hay qUf'! hacer muchoe n\lmp ros o t.ant.eos.

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ordudoru

3.6 Dbtenolonado de vts:no Por 10 que reBp~ct8 a 1813 v.tgaa. el dlrn"'!n~lrm.,d0 tt'Jt,0m.:\t.1co f;ln ~(m peor el C f'be qlJe el de 101] sQPOrleB. La 1n8yorh ti'! 106 progrl) ... ~F.t dlmen Elionan pt)r t.ramOQ, A r.ada t.r8I1'to. l.noiependlentemO!!nt.e de I':IIJ cont,in l-ll<:t<ld. l~ 8F.1lgnan una secci6n d1ferent.~, en f'ln~l6n <:Iot:'l mi 11.1?, y C1Jrg<!t, ~"mhlAnljt:'ll.., ~l pllAftr pnr ~l l"Ioport..,. TlSl e8t;r-'Jt.~A: I.." no th~nf! ,, "!nUri/') . r.l ~nt. r~ dnn t.r.' m.... n IArgoa p.xttJt.e unn ",Al! cort./). 1)1 bl~n p.llnoment,1) l"ol'lt..,\t.l~() •.1" ~r: "'''n ''''r, la contlnlJldad con lOfl otro" prorJll~irá mQrnent.oB n~gftt.1vor.J p~r<:'tctrJ(,n 1\ 10R dA ellos. Si 8~ opt,lJi por reduclr 1-'J sección del tramo corto, l.') cont.lnllhJ-!v:l 8e rompe. y, o loa tramotl 1-'J~r,ql~6 Ro<!' comportan como ~POY.'ld08. con rn0111"nton ouperloroP:l3 y e fica c ia cot,r'lct.llr",l ""JY baj... , o Rfl ''''''' ''l'Int.;m rnn m"'.mf'nt.nA n~SAUVOFJ cont,r" 106 Boport"'R, en~l)r"!cl~ndol06 tnner, fll · ," , ··,·I, ~. DI'! t.(Jt.1r;.1j ee co nocido que provoc",r dift::r~n,:,l".iF.l ti" m(.mO!!nt.o Il I)m l.l(,n 11:\1:108 d" IIn soportO!! aument.s el "'omento "!in b . vlg.." y 10 .."ument•.!'! t,~mb l~n p.n "!il eoport,e. La mejor opción ce Biet;em~tlcAmento!! dtePQner F.lec~t6n flJert,e en loe trmnof3 cortos entre l",rgoe. para eoport",r 10B llllporto!'nteB moment,('IjIj: que 0'" prorJIIc1r~n debido a eu ~lt;<!t rigidez. PlJlrecldoF.l razonam1~ntoe 01.: dan en un v."no cort.o >'!xtremo. o ln~lllBQ (!n 1'1('1':1 c or t.t11l A>"!gllil'10R ~nt.re \.",rgol1. En IJIlt.llrt.:', ]all soUcJt.AclonNJ r.l.lmbl"!\n debido 'l l-!ll .,.:=. . 16n hort;;nnt.... l, y ¡,'" vt.gtlA l'ip.l mlr.mt:'l traillo pero de diferente pillO pued~n ex1s1r d1ferent.~ t,l!IIm-!tl'lo de l ·" sección. lncluBo el paeo de v1gafl plan-'Jo a clJ.nto parl.l cont.rolar el dCfJplome .

""t."

n,'n.! .... :;'" tl." .. ",:~ I t " .'I1 ,~ h, ... (>n .... n 1."'1 ;:o:nn., rI ~ 111' '~1' "t . . ;, n .... p,.' t I V"-':"'. Y .... n .... ~. I .. C",,(I no ,..~ f.;t:'l1 1., ("I'ltltlnlllrl",d ('('\nl'.rA ,,1 nnp-:-rt..... y.' '111"" P:;t,.. t l .... n .... "n gP"I"'.'"I1 un .,nrl,,". muy Infprk'r ,,1 \I~ l.?l Vlg,L I'Hi'!'m;'t ¡; 1.'\ d' :-t f'.·. ~ I, ' I A Il d ... ."'Ir m:'1durarl, ('\bUg;l(hlt1{>nt.•~ pilt't-'nt."" oobn'! ('\ eop0rt .... no r.'" ':':lf\..-11I., hlpn ,-nn un c,'\ mblo \:!ruAC't;'I de Rp.("dÓn. tln cHlIll!'inrdonAdn c orrp("t.o!'1t> vlg .,~ pl<ln ,"A pUNtP.

(";'llllhl"r p.l ;·m. . . h.... en pu n t.o", d e

1I'I01np.nto nu)('\;

nunca

1:'o"'''no h"rerlo ",}

p.'lf\Ar

p'Jr un f'oport.f'!. (,01\ P~"lI'~f\

ne>n In" prnRr'l1n.'" quP! l7>:lmhl.,n 1., f\f'~" ""n d ... vtr. .' " fl.01 .... 1'" 1" fJgllr ,,, ., ."p"r""c,", 110 c" .. o UpJ co. 1, :H~ oP.'cdonPA rr0pll~r.t.af\ f'0r ('1 prog.·"m., pm'." 1..)" t.rf'~ t.r(¡mOR dto: viga [ton dp. anch0 35, "0 y .,~ cm r e~ p ..,,,'t.tv:1mf'nt.e. F.:ftt.nS aochol" t"P r ... neren· A loe de eetrjho~. En 1" práct.lca ('1 ,"l ndlO " ... hot'm tgAn ~E' pr, .. lt:1ng1t ~n uno .. mach:adoEl Il'lt·er."Ilf"f'1 " l of' eflt rl J:rOfll, f}11(' t. \""n('n .,1 m.... o.'" 10 .,12 rm; pp.ro Cf)mo ] o q\ l"! f}UPc!." fino ....... v... dlll."'''. en r~."Ud."ld pI <'Ino:h . . . n""1'5 fIIupnrlC\r h<'lnt.a dejar I In nÚmE"r0 e'llt.,..ro tt". plf>o?FlA d e é-el.a ... y 10 proh"M~ eft '1ue }.'o t.ree- v.tg" .. acahe" t.f'II If" nrll\ e l mlrtmo ant:":h.). Con VI.AS planaA, vari ... c\ones de ancho tnferl("trps (t 2~ ('fII no non dE" r<'clbo; 1"'19 v~rrladf"r(tn eolicttftc1onee corree.pondE"n a L" rnli~ re aU .. t." hlpót.esiB de oecc16n conslant.ft. P('~(". I!:n

3.7 En general el Pftql.let.e de dlm~nBlon",do de vlgao eo t.an B080 como ~1 de uoportes, uln .t,ener en ouenta rn.o§s que los dato6 df! Iln t,r.'lmo ~-!ld", vez, sLn considerar el cont.exto, qll'" eB j\lBt.8111~ nt o!! 11\ C8racteril'JtlC-!I eB~nd,l\l de lo p.strlJctlJral. Kot,f! tipo d~ I'!etrateglal!l produce est.rIJct.urIJB mlly m<tl dll1ensionftd.lll!l.

utucturn do.

PeRO propio

l\1guno6 program:u'I no flvalúan pese> propio. l!IuponiE"nr'lo q u e p.8 t.A Jnclul.do en las carga~ d ."d<'ls , algo qUf!' el uauario t.alllpoC'0 pu"de h"'c ~r <'1 n t .... o de dirn p nslonat· vlg."I[t y f.\Op1.)rt.~I!l. Los programas mftl'f. el,,,"'or"'rl0!1 <'I~<lden p('tr 8U ('I/ p.nt.", e l pP.AO propIo rle 1,," piezaR de) pñr t1('o , ftv l de n t~/IIf!ntp. despué-e de dl mo;-nslonar. En RJgunoA clleoa el rn,"lnl1 ... 1 al~rt..... con porCl pn fafJJn. qUE" .. 1 1''' Lnrile", p('nCl prop io l'1f'!hP h ... C' ... rAe I1na ' oola VE"Z. y ... que RI no, lo aflRdlrA t .."nt..,~ vE'\'es COMO tte rllga.

.....--"'~---" ~t;SlI\it..r.:.. .f-- '- _ __..~;,r

Pero ea .ucho peor. En la práctica, la Mayor!a de los prograMas propnne viga8 pl;maft, o al "''''noo laft acepta. Con vi8ae planao loe momentos posltivoe no depenrlf'ln rl<!'tml'lf'llado d", l ancho de la vJga, ya 'lue éAta cU E'l nta con la capa superior d e l forjado, bastando generalmenle el ancho mlnlmo.

: :

---.t.

En eAt.p. lpm" , "",1 ('r.r.'2.t· mli !LÚ:Etc.l!f'.l1~e,-tU!. ~!..Qfu)o ~n n n l rl"'r.' t:!-.1IlC!.-1m,1lO más q,ILe_ el del h0rm lgé>n rt~nt. r(>~~.rJho:.~ . d ~prE'r :lnd,:, p1 "p, I mar Ml ext.~rior a e l1 nA. F.n l<lfl v igAS rlf'l a nc he> reducirlo pUf>df' ft ll'tn tflr:,r qu ro ~p. roma s610 l ;t-;tt;\d rl~l PPR(' pr<:' plo. Aun e n pI ('ano d(' vlga!\ rlA rlf'nCUE'tg Il P, 108 macl."!ltdOA bt.f'rAlet'l cie la vigA, obllg.lrloff. al mf."nol'l pnr l a me>dulad0n dA

ordeudoru

boVE'(HL1",~, pll"d~n "uponf~r

un peRO "dic1onal lmport..::mt.e, gf>neralment.p. no

contcrnpl",cto POI' el prograllut

P",r,J

~ 1J0 f!('rJ.~ pr""h~('I (':lk\lI~I'

pr"l(1ngadrm,,"3 vlrl

•

Para salvar eeta f'lltllac1bn, lo r ecomendabl e ee deflnlr lnlclahnent."" laR cargas. -Indlcllndo que no Ae conAlderf'! peeo propio-o eepp.rAr ",) pretllm""n alonado. y vnlver ft definir las ('argtll8. aftadl.o;oodo I!') ~fH''> pr('\(llo rip. la8 vigAS cIIlcull"io a lIIano, y, "'l:n vig."tf\ planal!!, r<'!"cntcutand0 pOftt.(" I·l .... l·mp nt.p I .... n eetrlboe . Alt.n l·nIllUvi'l.mente Re puede d p! Jar el dlmp.nf\l o mulo rt". vlRilA <:"Olfl.... 10 h"ce el pl'N~rA"','1, pero "!'in vlgi'l.ft pl:mal!! reduclem10 e) -"nr.ho ct~ eRt.rlh0A luego en 20 o 25 CIII, y recldculá.ndoloe.

3.8 ViBas a .edla altura en ndlflcadlm e8 hablt,ual ~ncont.raree en la zona de V. P8c1\ler.'l con vigas a lIIedia altura de las demás. La lIIayorla de loe programas dp. pétrUcoB 1'1610 consideran 10R ort.ogonalefl. y p,qrl'll ret'olver ee.te caBO proponE"n ad('ptar vigas virtuales !!In prolongacIón de 1.'3115 demás, de carg~ y eecc!ón nula.

oh'" f. :wtl·· " 1,ln dkh:l vlg ." y ~In I:l:" tnfl (\('5)('11'''''/'1 .,¡··j."I'"l!l 01.,. J., vlrFl

(':~"'lnprnh:lr 'lilE"

qu"", pr0ml'!'•.t\",r a mano ('ntre 108 doe caeoe .

AHALISIS

Loe rlp.l;)Jcee relaUvo8 al anáUFd .. t:'on ot'o1pn"dc'w tl('n mlldlO m:'lA rtlft· cUeB de rle t.ect.a r, y, aun con pI lI'Ianu ... l, e8 ('AI ",l Jmp('onlhlf> I'1P (\i'lhe-r '1I1 P h,'l cl? n n~",)mcnt.p. lOB program;u". En P.Rt.,. f;¡8P. lnt... rvl",ne poco ",,1 UfW<lrto , funcl..,nando aut-:'ImáUC-3ment,e el progr."m;t con etolo 1"8 lndio':'adon ("f' d(" unal'! pocaR varJ:,l;!lfl!!A dpc1AradaA prevlarnent,A, como cOf"fldf':nt... rlP rE'rth'lt,rlhur""n, de ... lternl'lnc:Ja , y alguna otra, I.lt ",ayorl" rle loe probJ~lI'IaA If'urgen de IAB dtterp.ndélt\ entr p ('..Qfi~_ rar las vlg'lJS y soport.es como ideª1l ~to n e6 d! ~J.n~~ n p.u-!!J~(~.t:.D ?, _y co ne lc1erélrlart con fHl.....t.amélPio re--!'l.!:..omo_ pJ""z.'lS- i!rl"ftlAt!.cM'I Inj.1u:.e"carlaA en ún vo lum(l¡n dtecrp.t.o, Paré! anállsll'l de 80Uclt.adon..,fI E'et.A elmpllftcaclón (>R ádecuati .'3I , pero para anl'lAr eA Inclll'lp("nRahle r~t'",riree. y no e;ólo COInO Rec clón ret'tet.ent.e. a 138 dll11ene1onee n .. 1cse de las piezas y Rue encuent.rot'.

. ' ... -'

ualn~,

t"n ,· II ~f' t. ' Qn t.I or-nE"n f'\~cclón y arln.,dur<~ M~nt1 c ... ". SI h . .,y rtt rtr r pp., nr!",. {u,..rt.pe f'nt.rE" .,mhC!,. C3 AOR, pnrlt lo~ l'lt.uados a uni'l dlnt.;mda m('r\ l a. h ."hrla

........ - f -

t--

__ o

.'. ---., f - . ----

r--

utrachru 4&1

4.1 Lucen r rtgldr.cen Qul!! coea seA lél luz ea tema deUcado. I.a nOrlna de horll'ligón IncU ca que / 181 luz de cállculo -tant.o para rigidez c omo pára tn('mp'ot,OB dp. f'mpot.rAmJent.o- ;/// Be tomará no euperlor a la llhre mát' t"!l (,::.oJo. 'para (,;H-:-u lo manué'l f no hay ~o nnlct,o en eUC'. ~ro pélra cákulo -"tJt.omátlcC'I h ay q UA planlpar el "'"'1111 Ubrlo e n 101!! nudof1, y 81 ent.r-e- ", j~e h"y un ... longitud mayor, reB\llt,;) quP. la luz no l1 E":ga al nurJo. Parece conet.at.atl"le que b '!!l!.yo l' 1.'\ rle loE' pr~Bt'éI'm~ '~oman como )u:r.1a rtletand.:t _entJ:p..~nll doA_, ha.dE'n~o ~éI(lO 0l!lhw rt A 10 Ind!,f "'ili? en la norma. C..,n plf'?ltf( P.f'tb('lt.élA no ' ap;uoC('Jn IncongruPl')diln, tr..u'l_ mn Ooport,e A ,,,,leo 8r ll p. tH'> ~ , víR" ;- dI" r:.'tlt·n Impol't.,nt,. (lE" pll ... d('n prorlu(",lr e rr("lrPip d<!" hllit.o~ En l." flgllr A 7 ?t¡iñrpce 'Un cano t.1pko. SI ,;;.,.. -rlf't.ect, ~ ('"fe e rro r en 1"'1 prognlma, h::lY que UmItarse 11 ut.ilizarlo con plt'!z,'\(\ de-lgaclat'l.

En este ct'leo convl~ne comprob.-!lr CÓIllO ee conBld~r luego )a longitud de l':ls soportes a e Fectos de pandoeo. ya qUA el progr .. m~ Huele ht'lco!-'Ir ~l anáUsls planta a planta, y la vIga flcticia, aunque de rJgldez nula. define nudo. y pueCJe aar a la longitud de pandeo valor IIltad del real.

• 'n rlc~r .1 r.lO propto d . ,. wl'ft de~. delc~ntar.e ~1 p.IO del rOfJado en 1" lonl or:up.d. p"" la vi, • • o lIIeJO:OI lod.v'I, cOlllpular .,6J" el 'ncre.ento de pe.o por enel ... " el d.1 '~rJ"do tlr(\. eo.al qUI (:(ln JI .ntr""" elfillea de J"I pro,rl ... 1 •• to. no pueden hacer. [~J I p,,,"etlc. 101 errOlel de P""" rr"rlo l e dan "'.1 bi e n en l. IneI1l .. nel. de &unC'hol, n",vlol df'hl.", r.,lel ""u'¡7- •• en· 1 \'.1 no· • huecol e .".¡fIlI.rld"" .... , ~_dltto_ld" " • .nehf'1 no ",\llt. trlol~. toove"'U"I_. fr.n1..e ¡ .. ~. 'ndeflnlclÓn el -eU'. IO- d .. r •• ~ propio d. l • • • "1 • • 1 roe. co .....

" "1 1'1 11 ,10 1'1 1

orduldoru n l"110 t ,1\\______ t 1'\ 1, 1<"'h n," 1"n,lo' ,. 111;11(' ,' 1 ti'" 1 11 11" /1 ... "" "" 1,'1 ' 1, )' rt'(', 11 -' _

.... 1 ..... 1• • • 1 ... __ .. _ ~

En t.,orl." rl~ eRt,ruct.ur~t'I l~ rlgldf'z de ee<:dl>n jite dpflnE" como Al :/1/ product.o d'!'l n"I6cIu)o de p.lilAt.k'd<lc1 p("lr p.l 1110111e nto (lp lrH~IT 1" rtP. la RPcdón rpslotp.nt.e. 1,,,, norma dp. hormigón no tlenp l~ dE"flnld6n de rlglclf'z; t.odo 10 que ap",rec*, e.e la IndJc",dón de que "Re podrA conRlder ... r el lnomAnt.o dI'" inercltt de la 8e<:ctlm completa de horlnlgón, prp.Rdnd1f'ndo de l~tt ar m.. dur::ls", qu e no indica l o que debt- h8<:erlf'e; 8610 con~lent. e (\ a<::.ept.{I C.!" InO~8~ ~ r R610 l'L~cl6n d e hortnt8óJ1_,"y...!'~dedtlce que t'E'rla una meJC'ra t.ener e!Lcu~ntlll laR _"rm"dur~!H'I. Tampoco qued::l cI .. ro Al d~be t,oll'l .. rsf' .0 o el ormtR6n o 8óLo el que trabaja, Ee prAcUc." ha~ltuAl . y Attllo hA('pn 1<>1'1 pr<>RrllohaB, tom,'Ir t.('>dn l", flPcdón dA hormigón, salvo e n vIR"'«' p)¡lOall, ~n lile qu~, "orpn'mrl~n.t.ement.e Be toma f.'Iólo el hortnlgón e nt. re PAt.rlboR mAe_ do_s o t.ree centlmetroe por !UP.I'I\ l'1e f"l1o~: ~n ver. d~ t.oftll\r lodo p1 ~xW('ntf" h.'lf1 .. L1.lt\'ovedUla", Unft m",nel'lIo de Mffil~t.p (llt.fiTiQ't;,m~pfi n'r en el dlmpn-

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4,2 Acort.aalento por cOllpreslón En teorl" de f'I"t.ru~tur"'l!II IIfIJ if'I"tablll'lce que. en prl .. lIJra aprox.1macl6n, puede despreciarse la rlgidet: dEt los soporte" ... compref'll6n, eA d~cir. 'tlle se puedf'\ calcular la estructurA cono f'I\ é3toe no f'lufrieAflitn acort.amientos. Los prhler08 programa ... Sf'l hJcJoron con ""Sft AinpllfJcaci6n, que r.,rlu{':E'! mucho la cmnpl ejldad del f'JFlt.... III .... rf'l'Iutt."mt.'!'I. Hit", adf'llantf'l IIf1it pr<!'ltf'! nd ló progr .... mar e l anáJJels II~f'I rJguroeallentl!!! Jn('or por.:Jndo dicho término . Hoy, al .. ~nOA f'!n pórticos ort"lon.:tJe!'l con ooport,.,,, rl., horm1g6n, no se conA.t dera una IIejora, sino que casi eR contrAproou-="nte. ReBultlll qu.", en hormig6n Armado, al V#liri08 1II0port..,n Hen"n 1", in'"m" eección y dlferflnt.ft 80llcltac16n Axial, no nufrqn dJAt.1nt.o acnrtPlml~nt. o. d .. do que se I!'!ncolftlendlll A ]11 ",rlll~dura la ftlferenda deo rnmprr"lón. 51 APo call1bla la sección fIIIR par,. vQlv<!!Ir a rl(li!eUnar a cada c .. - de hor .. lgón parflclrla c0ll1pree16n , por 10 ~U(li! loa acort.l'lmientoe de todoe loe eoport.E'!f'I Aon muy eenejante8. DA 10 IIIlelno, pues. 8uponQr que no acortan nada . ~rl",má". com.,S? / // en el tranecureo d e la .,jecucJÓn ee h'lva n t,a u n a planta cuando la anteri o r )'8 ha fraguarlo. cMt¡tiñiR~rav;;ra(1~, eUIII'j n;'''ndo laA dfferenc-fiiiffoe acQit..arileñto Rnt"e~ l pp~proplo rle 10 ya construido. Todo ello dEtj<" como lÍis veroallrlll la hiP6tede: de no acort.amlento a compresIón t o.

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pueoie ll~g3r a 1.., mtr.ml) ,"=üncllln10n; el rf!RlJ1 t..,rlo m .",~ J,IIt"'!rt./t ..I.., "'nt,,,rl ll enl. r" t.(\m::tr p~nl la C(\mpr~61<Sn 1", rigidez de BólQ f)l h(,'lrmlgón y d~t:'Ipredl)r "ti r1gtde? a e Rt:.a 6011dt.ac1ón .

4.3

Rlgtdcl'l

8 ~ortllnto

F.n 1" t.p.ortn cl:'tnlcFl. dp. ;,nftU"ltt r;l ... f"ftt. rud. ur;u~ " .. r;l p mup.f'tra qll*'! la lnflu"'nd.:t .Ip. 1."1" dt'fn l'm.<lcl"w, " p<w ('ort.:mt.f"! en la rlil!:Mez a flexJé-n e8 dp~pred.'\ hl e e n p l ~;:~~ p."Ml t.R(II. 511.,,, pl('u"a t.1ene n IIn (.,,,'Ot.o rtlf'rt~tl ("n n rel áclón a la luz )' •.,. no e(ll P0Alble hace rlo , El limite de proporcl6n depende de la re1acJón d~ G a R )' de la forma d e 111 e,pcc1ón.

10 11 n(' 1I('(ortfl .. le"tn el" rUf'411' l"t, ('('I\I('Ir ltt! «(o. "(l n er ..' • •f! dJllnte rlfidez I nf ln ltll • C"olllpr ctl l6n ~ . t l .. I"Dndo t!tlt. InC"(¡«nltll f!n et IIlet .. ",~ ~e ec u aclone •. lete ü ltl'lll(> pro('cdlllllenlo -r.ond~n."('¡(¡n de erlldo. de Ilbert.d",A. IId c ('u"'~o. , . (lue el prl .. t!ro puede dar pr('lbl ...... de de •• Ju.te nUIn~flco • • obre lodo (lon lIoport •• "¡ftu. I •• de •• cclón n\l l • .

1 1 Lo qUf! •• den"",ln"n Vi" .., .,. t!r"n c"'nh. e" (ott'" ('(oto", F:e tr",'. de l. propo'cl6n en 111 que n o .. ,, 1 .. 1" h l p ... t",'I!." <le fep"tto tln,. .. 1 d,,," tcnelon,..'I!, ,. I'o>r lflnlo. t>r",zo. de r",lflnc"'. fll·III"Il ' \f''II'. In <:,II, !!!('I fl .... htoll . •,.t>.n .. y"lll"rll. ('('I n rOrllluIIt. t!ltrr"'.IIIII,., ntc ",' ..... IIf1d'''' ,,1 ('''' .0 . Mfllllf"'t"' .. n t. ,.,. e n ¡"" Yit '.., d .. ttl." <."",,10 o rlfi .t"'lIIcntc e nlllzII,t", ,, ".~I,". det>elO oto l f'n.,,.e 111 11 ,.,'Ii (' nllC"¡o"~. " parl ir d~ tl U rl+l¡~ .z, y"lor lO O nbll!IOlble <." o n 111111 '(¡rMtll". U."II lell , , .. f", .. III"" dt!1 tfr"'ino dt! ('ort",nte, YfI (l1If' Iltl rrof'oro:i6n ""re r ll "''''rli .. '''.nte 11'1 11.,,,11' .ro

('0"1;",,,.

(lut! e. de.rril'clflblil' eet. lfr""nn,

rl!

utructuru do.

ordu.doru

].:"", r.."ilClIlon hf'lhll . t1"l~l'I, h<'lf'lt.., Igul'Il.,r 1., <Ir- n .... xlr.rl. Al m.~n, ',(1 "'r., ..... ,~ 1" 'lit'" Ilk('n 10(1 1II.,nll.,1('(t. n"!f1.r. .. :\rl,'\rl.:'l.m .... nt.e 1" rlgtrlp~ '" .... ('.rt"III ..... ~ p(,~lhl .... {~ II~ rtC"h."\ IntArv'!"nJr Y il"flt.;U'¡¡ (alse:\tl.,., P.. r.', ("0n much0. lo pe-or pe quf'l ('st.A f.:'l.lfu:"rl0 "'1 ' .:,m., ii0, y fIlln 1011'1 dlm'?! nRl0nl'R il"xar.t,,,," d~l ROpf'lrt,e reRlllt<t d!f1cU cAlc:u}"r hl"'n 1'1 t.runc<t mlpnto de m.)mpnt.f'l, l:lfl :lrm:tdurl'f'I. "'nr.l""JeA, ent.r lhnf' . punz ..... n.'ml"nl, ...... f"t ,r'. En gt"n"r"l .vl ..... pt..')· "n' ...., r..,,,,hlo no pl'lt'1II'l1t.p. ,,\1 prtip.r .... mA op"'r,'r ('l1n ]"'11 fH',..... \O n('(1 r('ah'l1 ci .... },'lf' 1'1('7.,'\", C","l lcul.:'l.url{'l dr. f{'l,'m,' nQ " ....lI:;ltrn ,

01,5

Para eUOrIJt!BQ.'!. --cu ya _r('<l",clón G/K

E"A

d"l orden dE" 0,4-

del'loe:t~t:l!L.que, en BOportl'!R, par~ un C"Ant.Ci !Ilenor

8P. pup.de / / / qu:.e-;;-l quinto di!'la-:iH.ura. de l., de flP-Xl.6 n.':p~"i IIn

In def.9rJllaci6n pc'Ir c_Qr.,t.<mte e'R lnt'etrior al to~ deoplaz8lnlento en ~l qu'!" fI,.,uU.~n"a,";'n-¡'..q~Xi 8 ten -;':;'ba8_;oll9!.""cione~. Si fle acepta COtllO lnaprf>c1 .. ble e st.'!!! Inargf'ln de rteform",ci6n r 'O'l lat.tv a Cüa ndo

~a alt!lra libre en,!-re

pJSOB

flea ~e ?i'fiO " j!o ea precien con(dderart~ defor-: h~ Bt.", ql1 '!i el .. ocho no Aup'!"r'!t flO r m.

~ac16n por cort.nnte "" e('lp~rt(l!8

C<.·mo 108 de8plazéunient.oR dt" 1011 pU~".!:e!L.~~oB aon algo Ruperlnr"JIB " l..)i j// c;:a lculado". en el caBO cie qU U OB fI<"P0rt.f'JR dfll una miel!" pIOlnt... ",..,," Inuy ~'!f",rp.nteB. 1<18 BoUclt.adon~fI proc""rlf"ntf'JfII dE" )1\ accl6n horl?ont",l Ele reparten lncorrectl'lnentt:.'l, 81U~U~. en g""nen~l, el error e~ pp~~.

SI loe cort.ant.es An bl'l~f'I ci'!'" Joe CABO" de l<t fJgura 9 no cumpl('ln laR relacione e eeKaladafl. el progr~lIIft no rleh~ UA .. r~e con 8r'lport.""fI dI!'" c,"nt.n ftuperJor al quint{'l d~ lA ... )t.ur" e nt. r~ plSOR. y probablemente tampoco fd hay vigas con cant.o tllIperJor 81 décimo de su luz.

4.4 Soportes

Rigidez en r.l nudo

El t.."m8I'1o del ..ent:tI"ntrc ent. r~ plE"?,"'If'l rte h0rtnlg6n Pf'l .,.pr~d."l hlf" , F.n un cálculo rlgurCll'lO, c"da pl~J'la debler:\ conAlrtp.r"rf'e ccn ~)(t.r~ml1f1 Infln! t."mf"n t,e rlgJcfCl(t E"n un<t ]ongit.ud Jsu!ll a 111 Int,4'l rRp.c",rlA por }(\I': df"máR, ('t pO'1rt.h· dp. 11\ rlgld p.z función de la lu z de ('~kuIC'l y prolongllr fHl efer.t('t h"'$t.~ )0"- n\lcios como cuerpti rlgtdo, V~"'Ae n,ura JO. Si t.00108 loe nudo(\ !upr"n Igunlpf\. A~ podrJI" t.01ll'l:1l· p.,t·~ t.('trl~A 1",'1 plf"7-(\f' .,\1 r-lghll"7. t,E"órlC(\ al ~~ rt~l nlldo, Idn c~l]l ot.ra trllecp.nd~ndA quP un lIgE" t·o ftllmf"nt-.o d e lao ct('ror1ll'l.'ldonf"~ . P""ro C{'lmo longlt.url "" df"! vigA'" y ~""'port.eA no eon IguaJ es y ~Ett{'lt' eon mayores E"n plantas b"J~l'I. loe error~f' eon meno!! cont,rolablee, POC08 progré\m."'f!!I p~rmH.f"n ("one.ht""r~r ~1 t.arnaKo df"1 n'HI<I. l.o 1f)."iR que hacE'n "lgunofll f"!A pr"vcr unn 11pt:'16n ~ n ..,1 lI1p.ntí p(\ra d ~ rtnir dr.ldnz In(tnlt.a en 1" p.l)rt.e f'l)(tr~m:l df" Cl'dn harra. owl6n, que dada la p(' rez -'l d ... l 1If'II:nl<,. y eu <1"-6"-0 11"", t·úrmLn<lr C"u-"'nt.{'I ,'nt.ef'l, no Rup.le UBar, En gE"n('ra1. y ."t I'p-f'''lr dE" quP pI pn~gr."'Im.,. t.len'!" Inf{'lrrn·.,dÓI1 <1 .. 1 t.:3;m(\Pío ctE"1 nlldo, Indu!'!" d e qllp PR él ,.,1F;m0 ~l qllP. h,'\ pt'pdlmp.n!'!ton.:tch., vi.",,, y pUares. no lo t.lenf" E"n f::'lIC' nt.a . Las ~oUC'lt... cicnp.f1 oht~nld¿l'" 8 Ln "Bt~ l1atb: no f"6 t.~n muy prr."lan r.n )('tS ""Boe df" *h." 'p•.:>r t.('f'I rE"lat,tv"lI'lpnt... rt .. lgado8. Y. proh(\hl('m~nlp <::IUf"d :lO ('1'N""rt.aA ("on p} m·"Irgen de lII<"nlobr,¡ d~ la rp.dlstrltuldc:'>n - C"\I~f3t.1on qu~ f3e an,,.lI7,~ ¡n.:"!R ade IRntE"- . pero en ~"'u~nt.o I!\.upf'!ran, por ()o Je mplo 60 c m de canto to n el pl:'1no rlE'l ~rtlco, l~s dlf ... rf!'l'IcJ~" (ton lmport. llnlpf1 .

~UUCOB

A18unotl progr8nl'lft Jnd1c~n qll~ 81 ee del'lea dlspon~r un soporte mE'tAllt,raV~8 de lino d~ horMlg6n dE'! la hiemA ri.gidAZ. F.n rigor con una 80181 secdr'>n no f'e pU"l'de t'1",u]ar el conjunt.o de t.odas la~ rigideces, pero eOliO la de cotnpre81ón no cuenta y JI, de cortant'3 8~ deeprecia e n

ca, baeta fJnglrlo a

12 En ....... l. de'orOllu~l(\n p(lr cClrt~nle, en 1. . . . l ..... h1rOte.I • • 1(', nl. el 10lC de l. (le'outaclón 1I0r fle . 16n cuando el c.nto e. el d~c:I .. o d'; 1. hu, Pero en ,ener.1 un a frll\'!c: I('on 'Mportante del cortante loe eneo.'."d . . . un eion.llil"ntCl e n cel<OI'. OIIl"dl."11" ell rlbol , bleotllll obltC'u". d" horOllIIl!On, La de fof.abilldad de el tI tiro de e.queOll' el 0111,1' .uperior .1 del .. llIlIle hotOll'lI!ón. , 111 ptlede dl"lII(..,tr", qu,. lerla p"~('il(O tenef * n cueontlll la 1"~ le "rootuce por cortante p.fa ('a nto l lurarlo , ... a L¡40. que en 'e rrActJc. e • • Ielllpte , 1!,1":I.u.n _ P_'J'Cuun,,_ lo OII.n('lon". En 1111 pr6('tleA 1111 baJ. de rtll!idez reor cortllnte Inflll, • • otlre todo en dIIll0ll1",~"i6" de l(t. ,"nI.. ~"to. de "OII"colrlloil(lIñto , nell!ftt¡yo-. (_'''lIlel, .apeclo (I"nerallllente C'lItoterJ <o- p(a_f__l ~ d.!!U i~ . -

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1. 3

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ordetdoru

4.7 F.o la figura 7 o<'!: hll preop.nt,"ldQ <'!:1 caso de un lloport,1'!! muy .,nr.ho . (,-" m:)Y0r1." do:'! 108 progr"lrn"l8 acept,an <'!:Re tll1l'laRo (do r~r.hlfJtl')r; AlgltnnA lndllrw lo eUgen e llos II'Il~II'IOB ¡;!<'!: ncuerrlo r;:on <'!:1 r.rlt.erln [ljado par.') prt;:dllT'0nrdr_,nTlr, pero <'!:n nlng1mo de 1<:>6 doo caBOS el progralllll de cálclllo 6.'I1Je I;'U(\ <tlllfmfl.lones reales; I)It nque laR 11811 para el cálculo de rigld<'!:c<'!:8. el f:<:'Iport<'!: stf{ue sie ndo un.l;l pie?'!! nln Ancho en QU "Je. IJ.Il condIJf3i6n ~()n l~n noUdt.fH'!lnn<'!:n y e,rrno!\dol'J lncrelbles dlbuJ.. doB en' 1" partl!l lzqul"",rd~ tifll dlr:hll fI,c{ltr,'l .

En ""t,<,!: 'H~ ntldQ, ",Ilnqtle Ion rnllnIJ1Ile6 no 1/) lndlq 'len. Ion pr('Br.")m"n no 80n gener"lll'lent.e váUdQA pora ladoR dI) Roparles o de viglls 6up~rlorr.8 ti 60 C~ y hay qlle con",rolar que el proplo progn"!U!! nc B~;-ef que ~dnpt.e c!!menalonee dI'!: eee_callbr::.e.

4.8 Trt!lolt!lclonaUdlld

El t.rahunlent.o en la norl'laUva del pandeo globll.1. o tncldencla df!l

d~sploJl'l('l rel ... Uvo ent.re pl",nt.~~, deJ::. etell'lprp. en IIIRI hIlAr A} C'~lcllU~t. a 13.

A loe proBralllsdoree Cl'IBt...tee queda otra opción qll~ tral'lpf!<'Ir. Dlrp.ct.alllente un08 dejan que el uttuario eUJa . eln ninguna base. el 1<'1 est.ructura se cftlcu}¿o¡ COIIIO trll.slaclonal o int.r"~8bc1(mal, y además no hacen nada para cOll'lprobar que e) del!lplolll~ no 6Upf!rl'l el valor crlt.ico. Ot.r06 progrlun<'l8 ellnplelllent.e aeUlnen lnt.raelacionaUdlld en e l cuadro general de dat.os, y en el manual ee puede advertir -eufell'lletlcallent.e- que no es t'!CO'k~IPÚCO clI.mbierlo.

Algunos progr81'188 trabajan con una clasificación d1ferente ft 1... de nor"u!!, pero dándole lA 1'118111~ denomInación. lo que rel'tult.a r.qu(voco. por eJell'lplo denOlnlnflndo tntrlll!llactonltllP.!l 108 pórticos c(ln dr.npln"," tnfedor a 1/750 de la lIiltura. y apUc'ndolee .... " reglaB como t,alcB. F.n rJgor, el firInante del proyecto en el que ttA haya ut.Ulzado el prograJna deberla jUf't1flcar expre8~unente en la lneMorla eROl' crlterl06, bajo l'U ref'ponl' ... bUJdacl. L08 caftott ,".~e dellcariott 80n 2Iquéllos en 108 qUA pI pl'()gr~rnl'l .... ng .:'If'i ... al ueuarlo, Jndl cA ndo qtlflt el programa cUIIIPle la norl'la, pp.ro hacie ndo ot.ra COS8. En 8p.neral, lI'Ii~nt.r./'lR no call'lhle "'"t.a, no queda mtl" rf"JnPd.Jo qUE'. el autClr del proyect.o aeullla con ttU tirilla la t.ransgresión de eu <'Irtlculado 14. o acepte un btportant.e 8obreco8t.o en soport.es .

¡ti

l ' Ca.' r •• ulla '"po.lble "<.'Id.r con.ldef.r un. e.tructurll COIIIO intf •• I.clon.l, J, .1 tener que con.ldet.rl. l,,"I.cton.l. l. r<)(lIIul.eión del p.ndeo .u.ent. Incfe'ble-e"te l. ,0llcltael6n e" .oporte, -.unque p.,ad6Jlc.lllente no UI eon,idf!re el M¡'III<> 1I<.'I.. ent<.'l I'n V¡I!III, que "I'fllll ot>lil!.do:- r<.'lf .. q"llibrio d e l nu40-. 81 .de,lIII. el de.plolll" tolal e • • "pflrlor • 1/75(1 dI' l. "lture dlll edU leio, ni .¡quler. e. ro.I~le el tr.t".lento d . ~.ndeo pl.nt. " pllllntll, pl'ro c,,~o el proeedi.'ento I"dle.do ,unl .11<. -lIInAlt.,. de ... tundeo <-,rden- no e.tll forlllullldo. • en .a ,raetlc. )0. ,0rtlC'0. que 1\II'er,," " •• delon,"elón n<-' ('"Ieul.bl e,.

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14 lEn nue.trll Clrllllt\n, "1' I'r"'e,lbl. ,upon.r .Ie"'pr. t,fll.laclonlllldlld, y h'eef une ,,,lIlle'. ele Ineet,blllded -de .e .... ndo orden- por trlll.lar'<'on, del IIIdo d. l • • e.urtded. IIdoptllnoto pllfe 111. plel.e. h rlftdel CI_lIlclI. lEn •• t,u('t ... rll. ".bHuele. de eeltflcOIC¡O . 1'1 tfll II n-4II .. , . e'lJlIVIIIII 11. IIIultipllCllr 111 .('C'I<'\'I '11:>111.01'1tlll.l, y 1 •• lIollC'UIICio"lI' 'lul" r". "ltlln de ell., POf un f.etor que rllrt.h'>""l"nte .uI'era I,J . El I'lIn"eo <'l. c '''" .ClrOft., "1'1 hip<,te.t. cte imnovllldfld d .. "lItrelll"., .fec tllrl • • 6Jo • l0' dtl .'''lIlte& '''reflor " 10 , ,ue •• COI!<' dllclr r,.1 nun elll.

utuehlUI dGI

R('!dlnt,rlbucl6n

El terna dp. b rerHflt.rtbudón f'tg~le ElUfH.. H.·..mdQ I.~(l nt. rnv,.r !th~. F.n "11 formulaci ó n má8 l'tlmple es \1n mélrg ~ n dPo m./'lnleolll'a p;:¡ra f>1 C"k "URt ... q"e pllPclE' ,·p,h ..,j.;t.,·15 .:lIgo loR mOlnent.Ct(l - npg~tlvo8? - ""m"!'nt Clwll) C(!fl~I"(~I IPnl . ~ !nent.p los dr:m.1tt -10(' pool t.I V08?- p-"ra ma ntenp.r PoI f>quWt>rlo , mpn '~n t.pnrllrl.Q quP' t·al (Jpt:"lón no ('lImtna momp.nt.oA; ~lmpl"'m"'nt.",. .lOA ']111 t.", rI,. ¡m-f.t tt.tn p.',s"'. ponp,.]on "'n nt.rl).

IJ/¡

F.l t.('xb ... .;'Ill .lnnt1Pi ~~ .,poytll'!tI 1." p(1olblll,b..t el'" 1·,.dlf1lrlhulr Indlr.,h" que SI" podi.:t ·'hélst.<'I en un 15% d p.l m~x.lmo moment.o fler.t.or nrg:,Uvo··, C'(\n 1m p ··d spli17.!Clrnl>!'!nt.o verUcal". Intent.anrlo precis ar la CUE'AUbn, 1.. norma ad.ual m03n t.J/;"ne p.l mismo t.ext.o, per(l JndlC'./'I en un" flll:ura que ItI rerlu~clón Pft. e n c.:tda extremo d~ unn viga, <lf"l hast.a el 15% del monu''!nt,(l pn rlkheo plinto . En cUli'lquler caso h~ d~ ent.e nderBA que la t"E~dt)cdón pu",rl,. ft e- r dp C'IIC'11q lljrr valo r hi\sta f>IH'! Umltfil, Jnde~ndl,.nt.E',"ent.p. r.n cl'da extrf' lnn, ln,t","ppndl,.nt.fI! mente f' n cada pieza -lo q l jl'l curloeament.e ll~v~ria a rleAequWbr\o-, e Ind ependient.emente en oada hlpót.",.ie de carga. Con IIn::. tilttt.rlbuct6n regu]lIIr dp. lu("ett }.'1 r"dlet.rlbuclón ,"Aldm~ n o ll e'la a !glllll"r tloment,oB poeit.1voo y npgAt.lvClS. Gon lucee: <'lIgo dlfprf'nt.o!''' se aJ("./'InZA }<'I jgualad6n. Con lucel' fIIuy dlfprent.#1s Be pue-de inc h!RO vokllr 1(18 mom e ntos rlE"l hdo de 1,,15 pottlt.1voe, C'oEla que poe:lblernf'nt,e no Jntp.rp.ElP . En prClm"!'dlo Be pup.rle dec1r que una r~d1s·t.rlbuc1ón del 1~% del mOIl'lp.nt.o m.ix.lmo conduce rntitt ('1 rnen08 ... lsualar 10B mOJnentoB. QuhA fu era esta una manp.ra rnáe silnple de p1cmt.earlo. pero ~nt.onces no t.endr.ta BPnt.lrlo calcular prlrnero ex~ct.ament.p. Ia.e ftollclt· ... cionelft p.:lra luego igualarla8: baElt.aria dibujarlas dIrectéunente 1&ualadas sin calcularla~.

lli!' acuerdo CCln la norllla s610 se ' puert.., redle:trlhulr E!..t ~P,. cumple tlna~ comUc16n de- duetU!d",d. Lo lógIc . . . es que fllr.r ... un ("lIéldr0 ('on Umtt·PR rllfp .. r;nt..... ~ de f'r.:;-;'u.",Url:m r:w~ .· wog"' rflp ., r.., rln IIr.,.-In 11 ... r,.,'U ttt.rll>ur!(\n . Trll cnlll() "'At,,'''' rf)l·lI'IlIl<'ct~ 1", nn"lII~ o ttE" puede )·('(tlftt.rtbulr htHd.A lG p I I~X o n(l np puede redlet.rll:lulr nada. In<'1ll~o pArll un ~Alclll0 lI1:\nllal E'B dttkll f'xplot.ar ("nn loixjt.o f"flt.8 clául3ul<'l de r~·not.rlh\l<'~tón, P .... rlrt,"\ va]pr p.'''IrA njul3t.:,r p] m('lrnrnt,(\ ... Jln ... arll1ad ura deflnl,'.", p.vlt.ando redondeol3 al ... lzn en t.odeoft Lvi('l(t. rnrtr¡",

15 [.." e ...... ""d" I'"rl'l 111 fe"l .. trlb\lelhl1 111) ~II ,.,llIf' . !\p(,in \111"''' 1" o1eBellrlll el ('.-:oyer.t IlItll, yll '1"~ 1 ..... "(·"'Ientoll "pC'" Iv <,r· B<''' t~"erllt",pnle ...~,,, ... ,, '1"" 1-:0. pO.i1lvOII, y f!l1 Pflrll"'" r"r .. dl'r,'" .. r 1 .. '".111<111''' ,.,.11'1 eI .... r'<'r ... 'r;<'I." .. ,'. r .... o e ... • lIrll(""e''''n 111 rIA1I1\1I" IU~ 1 .. 1"," y ... 1" r"nft" I,,,h,,,· ,ól ..... 1 hny .. 11';r;pn' .. dU <:: IIHdlld fi n la , "l"rC'I .. III/1" . I'I'!' IIlI .. trr~'1'I pite. 'IItP ¡". 1I,,1I("'1I""\ •• nl"lI eon '·"#lI",,"tr l •• obtenidll' a"lell dO! rp(\i!.I,lhulr. rO!r ... "r .. "nd(' rero. lIe redi.tri t>\lJ~II' "CI htl,. r1~.(<" Yti qlle, linte. d .. 111""' " 1ft eftre'" ,d' ¡ . . . . . "" .... rC'¡Clne. que ft¡r.enl."n fintee ,,1 "'<)I ... lenl .... II .. npn .uflclente rllr.('idlld "" r"IIIC'lón pl •• II("II . C.... n "trl'l "lIrllC'II("'¡<'I1 . 111 verdllderfl rlclde:¡: " .. de h"''';':''''n eo're.ponde 11 un htbrldo !!nt,,,, 1" brutll -de ,O la el hOTIII'ct'ln- , la fi.ut .. d. -hor.il!ón eo"p"IIIIIdCl ,. .. fllllld\lflll Iflcelonad .. - . ""C' h<' lJII.. nor qu .. lIt co",'¡de, .. dll. Loe lIIolllenl('. d" p .. r"lr ..... iP"to. )' eon,p.cuente",.. nt. lo. Itn"le" lI"'f.ll .. o, obtenido. en el clllculo h"blt".l .on IIIII)'o,ee que en 1 .. re"Ii~.d. Adell'l'. 1, d .. !("",lIh.lidlld a cortante, con vlllore. "'-4l1hlo, .. n leo .. "x' rPIII"'. di •• lnuye 1I\,n .. A. lo . ""lIIento • "el!.tivo •. Con e.t, ... ",lie,cIOn, 111 elAu.ula de r ed l.lr¡bu('IOn e. un .. rf'eNnen" dl'lC'lón pllrlll .. C'ere"r lo . rellultlldo. del C'aleulo • l. realidad .

¡"" \/j," .

18 H.,. . lfCl eu,\oeCl en el I t . l t .. de 111 r~d'elrihu,.,ll'on , ... '1u" .e h.C'e} depend .. t de un" rr"r1"!,tllld IIn'~. ti"! retll" ' rlb.iI •• <1""" IIII"J .... r" d .... ru~" ot ~ .... ee' lo . Sucetle "u~. que .1 dicho VlIlOf -1" r,ofurvtj(\ lI<l , .. llItl .. " dr 1" 'Ih." n .. ut,,,- .. , 0,45 III!! rHPd .. redlllltihul.f, "n rllyo "Up1l1!.lo b"J ... rlll ror ej .. "'pl ....... 0,33; rf'IO . , e. 0,41'1 n(' ... ruede tedl.trt~lI'¡f lIuuque hlllC'i¡t.ndo:-lo ~"jlltl, 111 0,40. In .. xpllclllble .

lfI

brd~lIdoru

ut·W?"rep. p."Irl'l IIntflrAr 1("11'1 Innlno!"nt.nR· ~e l<lA visa!:' (t~ dlrl'lrpnt-PA pi",.,," tip un ...18mo tr"lno, q u "!: poseen RoUcH.a t:lonp.1J )IO'vf'me nt.E'! ..Hftsrp.nt.p.f\: y quP h::l C'p. dificU l a l'~ cl('ln;Jlh:ad6n d("1 ¡¡rmaclet. P~dr(A utWZl'IrFlf" ti'lrnhl~ n plH'a ev lt.",r 1ao r.(:m~l!!!cuencll'l~ dlP. )."" I'Ilt.f!rnl"lndl"l de c argi', rprl JetrlhuYencto Al mAxl1nn 1...

utructutu do. In(·nt.,.. t .n m.,)' ("("''1 0 ... Jf'l p :U ' ., t .0r'10f\: IIn

v.,l r,r Int." rm " ,II,-. mllllml? .' 1""

"1")'(,rpF:

dp. ("",\ l r: nJ() ,io!" noUcit.Ac t onee, pero p."Ir", r'! p nplp r ", <1,.. .,I"m." I,u""r. n o v."'!l .... .

ht p6t.E'!sle de carga total y al mln!mo lae alternach\8. Nada de eeo h;lcen 1013 programas. En l ~ hlp6letdR -no prob. ,dft nI c1 ert.tl~ dft q u e lo JI'III!!:Jor ... n I~ 1II.'\xtmtt redle trJoo_ctÓfl P<'R16te , lItu("hol'lJ>i.Q8nun"e {'doptlln' ",p:~AJ· I ~."lm p,nt. p l !F7iñ l~o valor, eln cOlnprobar _ la Umlt.ac.16n d" norllla, _ Y~ que f'! l.1 o exlg1Ó-.. ."u: IIl.,,""': itntp.A do<!: 1". rp.dlett:lbuc16n, p,;u;.a ~,¡\ber ,d Ao<!: puede hacer, y hacerlo d"" p.I' II ~s Ije la r~<!!stribuc!.~ cO!!9-... rm.a..clo _de.ünl!:l~o- . En ot roe' ca~ OBeC, ís\l"r o pue de fijar eAe valor con márgenes controll'\doe por el p'· ..... l/:r,'fI'I."t . F.n :""1·',1." l r'n buenos progralnlJoS 8e aflrfl'l~ que 8e redistrIbuye poco.~ I ··'~·'·' I,; n ·., no t. r ",nsgredlr el 11m! t e de va11dez:, Dado que las variables qu('\ pe r mIten benefic1arfle de la redtRtrihuc16n 80n lnacceelble8 al USUAriO de un progrl\fI'I~, no hAY Infls rf"lnp.dio que cQ nf("lr",aree con lo que haga bAt.e autOll'látJ(':AII'I~nte. F.n I'!Atoe" asp",t::t.o un cal c ulJ Rb, c onsigue e atructuraf'l IIIás e conómicas y APguras que I':u ." \lquler prt:l'!rr;nn .., . Pero cuando 108 prClflralnAA h<lgan lo qu P. ... hora haCA un cak:ulleta, -redJat.ribuyendo h •• f't.oI un 15~, de lI"nerl'l no stst.~mát.1ca-, 8erá ca8\ imposibl e r"?!vlA,,r 108 c~lculoe y cOlllprobar l o qUe ha hecho.

4 .8

De8~ntraalentoe

L9f1:_ planos y despieces de <lrlladura reaUzados pl"Ir prClg rarnas que n o po<!:rll"lJte n e l crp.clm!ont.o a ca ras d E'! Aoportes no tlon adecuado A para e dlfka c i ón , a menos. que se hag;:t un recálculo rqa nu a l rifll las 21P O':-'" que millO' oe <1'-[e .. r e nci<m del m od~lo analb:ado.

de eje de Roportee

Loe soportee no e 610 8Ull'lentan de t.IlIf1R1f'10 "In !as plant.A8 b~j."1~. ('lno que, uBul'lhlt'! nt.e no .,;,ntlpnen Poi ~r.. t.,mt., en loe dI! tachad~, para Itl'l nt.pne-r la a Uneaclón. co_o plllra loe lnv..rioree. en 108 que con frecuencll'l se desea que crezcan ",anteniendo un,. CRra , Son POCO!! ]Ol!l pr("lgt'l'Il1l'18 q u e acept.an f'IIl dato de la excentrlc1da d de cada soporte , )' cae! ninsuno Jo t.r;, t.a con r~or. Huchotl ni pt"J:r ",tt.~n ncc"",rter a dUeront.!!!8 fo r Mas d e c r edll"ll ento; t'!n ~St.08 t.ant.o lI1C~R CO.,O c;argaA, IItO.,ent08, y I'Ir"',uturlllll lIe r efie ren ft un eje centro de todos e lIoa, 10 que da lugt'lr cuando lItenOB l'I concluolone8 lmpo8 1blee conot.ruct.lvamente. En los planoe de arllt ado de eete Upo de 'programae e e ettpeclfic a bien claro que l os eoport.e8 de hC'hAdA e"U.n previstos a eJeA . E('toe progr:.rnas 80n ~t.lo v(¡Udoa pu~,. cnllO o proxlln::\c16n , inveetlgacMn , etc, peor"o no para e dtt."r pbn08 de eatructur.'la reales . En otrof' progn.InA8 en posible d et.t"rllln~r un eje virt.ual parA ~l soporte de ... r r!bl'l a lIb..,Jo , 1'1 donde se refiere el eje re",l de 108 80por t.es d e cad ... pl ... nt.a lIIedll'nt.f'II un va lC'r d" '!xc e ntrlcidlld, o bien, dlrectllmpnte , indicando aploll'lado a bx¡ul~rda, eje, o d~recha . con ellnferlClr. DeAsrad."rt .,, Inent.e el 8c-ot...ffo dI!" lu(,~fI tll! hace un ... 8 01111 v~z para rada 8oport.e d e arriba a abajo . al eJt"l virtual al qu P tl e r efJf!ren todC'fI eUB tralllo(', de maner ... que lae luces de cálculo, lo,. 1I01nE"nt.oA, y por t.anto la" I!Irlladur~s . puede que Re calC'!ulen Incor",~lct.¡lInent.E". Eete punt.o .. ~ puede comprobar f' nt.rando dos pórt.1coe ldént.JcClI" a b"~se d ... t"l Jt"s vJrt.tllIle e y d eftc e nt.ra.,lentos dife r e nt.p'fI, v ~aae la figura U. Un progrA.,a corre cto debe dar loe: Illte.,08 resultados. El problftlla t"lflU (d n forllull'lr. En edificación, con diez plan tll8 , el 8oporte puede v a rlllr entr" 20x30 )' 20x80, 10 qu e con IIplomado a CAr.'IfI , e1gn1f1ca que el e je d el t.ramo inferIor cae tuerA dll!ll supf!rior. Evldemt.e -

4 .9

Ca.bios de ''''oclón en

t r a..,~

de "oport...

El problema ... nterior n("l P.S Rino lit :'tr:umul .. cI"n cil\ l a6 p09quf'ñae <Uferrn dAIt dPoI <::E'! nt.ro el,", un Aop0rt.E'! ."\1 olguient.E'! . qllo hablt.u.,lln~nt. p. 1'1'" d ("np,. ~ " c lan e n e l c á l c ulo II18nual, cuando fI~ c("l notnt.a que a("ln rp ."\ l mf"nt.e pp.qtlf'ñ<lo, ya qUE" suelen Rer de 5 -::11'1, a lo fUlmQ (Je 10 c m. Stn f"mbitrg o , un pr("lg r a ma. virt. t1alm~ntp. previRt.o para cu .. lquler valo r d~ canMo d 4'! Rp.cc!ón. t.Jenp. que tener bajo cont.rolla dlff'lrenc1a de e Jee de cl'lda t.ramo a l siguiente . Pnrqup. cu"ndo_1Fl " cllr~ct.rh~p.n dfl r1('1R (' 1"?o .., " COf"lRftCllt.tV;If~ no est.!in en pro]('Iflg,"ldi'n , ., 1 II'I."lrgp.n d fl 108 prnhl('m,," y" nrfi" l;,clOA("I", m crlkh'~ .'n lurr.A y rlgldncnfl, y ct~np¡ec~ de armarlur ... ", eKI.rIt.p. ot.ro muc h o "'''s Im~ nt ft : no equUlhrl o h ay equ.g!Drió~ En etec t.o ; - lCa s -ir ?gr a mM Bu;; len e e t:1tbl ecp.r ~l!ndg ~'lat. Buma nula d , fUE"r?aB Y ele lIlo"!!:!!,tno . ~n el nudo. ~ ro al 10B ~t.roB_d.e 106 sopor::.t:..!!.o sucesivos no !. Rt ~ enla mioll"l o, v ,," rtka l. laE'! <::0 111p..!.e61C!!l~B_ dp amhos no ee oponl'"f1 un,1I a ot.ra y 1ft eXCf"nt.rlclriad reAultc'lnte puede elgnlficar ilñ InOlnE"nt.o forUellllo ef'lcRl"loteado en e l cá lcul 0 . ~ y a para 10 cm: d e deBcenJralllJElnt.o p~tEldp~p.r t~n grlllOde como el producid o por l~a6 .Y).s..atL o la Hc<'l6n horJzont. ~.~.:-

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Lo -.!ig!!!""ofto ,_ l!.a_qu ~ 106 eJe A rle las har rao no Ae co rt.an p n un sól o //¡' punt.o, es tOlllar en cada nu-do uno doblp., unido" por un" h~rr."1 ft c Uda ~~_t.t fl l",.,. dp- r.!sJ~.z Inrt~j!.a,· slf't.e ma ~(', ,,1 ma rg pn dr l ("In pr("lbl,..m."1fl . Ir ~ es t1Jufltn numé rico, - y por tantc!' 8(11., a .lp.c uarlo pa r", {n v"!r; t.!gM"lém y compro~", cl<'","·liiFrlr:.;nt.e v~r l C'A prClgr....f!!!..a B_ cilfl'trf':n t.p.A-:- nC' 10 ."rlml t... ., rlgur c"lfH' ~trAda _d"~ - ilñ - PÓi-f.lc.o o r t.c;ion",l. F.n lnS-' p rc;g; amas qtlP. ;cp. pt.."\n h .ur.-ra'-------~ -

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•

DentrC'l "'If'llllllo¡todo d f!l "'EuH,:rJ~U'lh de IIna eAt.ruct.url'l ort.og ..... nal. hllínlr:~ solución véHd ... I'Iqria "dnpt.Ar r~r ... t.odofll lo~ BOlX"rt@'1II una línlt::A dlr"rt.r"': de rl!"fE'll"fOIncla, pero t.raflll;uhnd .... ~1 ~lAt,"' fII'" ti.., IJC'lUdti'ldonlf'lEl rl~ I!"A"'I punt.., al eje tie ~adR B('\port.n, )e, 'tll~ origina varJaci""nas E"n la fIIat.rb: d'3 rlglrll!"?, en el senUdo, por .,JAlllplCl, dlf'l qUEI lnl'l glrol'l dqPE"nden df'l la cCllllpr",.li.n d'3 referencia. D", ~C'u('lr(lC'1 r.('In l .... ~ r~~lIlbu:t",. -:>ht.... nltt.,R calcul;,"rt" p'.rtl.-:o~ -:-nn 81gllno rl~ In,. prn81'~II"I"l' qu~ ac,,"pt.i\n c rl'tdmifl!nt.o ,.,. ~"'r,'~ . nlnp,lInt'l t.lr.np. taleR ftutUez..,s,

SI fOIl"! t.rat.., dp. un ... vig<l pl",n."\ que camhia hrusc;¡tlment.p. ~t1 1'>P-C'dAn a l p " S3r pol' un !]('Ipcort.n, Vr. ,'l5E'1 flgur ..,. 14, 106 rrnbl<>tm ... ~ !'Ion par~ddof'. PC'r k. que r"'Rp"cl.a '" 1" 31·"' .... dIJr .., n~ r," "'"Y p;lredd .. pn ;unb",n, y ..,. qul't ",, 1 hr."I?t:1 rt~ p,,,,l.,nr.., ;,p"·na~ c~mht~. P,.,rn """"m0 1", ;,rm"rlur" nn dhtp0 rH'1r.í d~nt.r" de la vlc a r"'1""¡;''l, I"U 1.... rr ;í",~ '·. I,:,,:., 1", gr .... mlr. '.:>p..-o! l·,' enn )., IIIlroft., ""'f·... jAn . fld"'m:ín l.'fJ éQm-pl' .~sJ on~3 Inf~"rJ(1rE'lI.'l. (or;>:atbr-l ... tlljoC' ,' r ~l P-'t"\1l1,rl .... . pr"rl"dr ."m p) mi r. m,-' ,' lt.... jn -lndlc ,~d,:o .'1nt"Ht. Aun r::Con C'r>AtnAiJ.!l y n0 ~al(;ut.",da!'! Arlllildllr ,)A t. I·"n ~v"rf; ."I!"~. C3111 imponibles d09 dl:lpt:1 n~r, lA A~cibt1 e fl c~z -a amboB lacio s d",,} ~(.port'!'! _t... mhIÁn iJ. fIIf~ctOB df!': rlgiclpt.- ~A l~ mi"",,. .

M El 1111'1"'0 pr(')hl .... '" <1 f! f1"¡v.ort.ootfl AR da "'nt.r .., vlg.'!l'- <:."0ns ...... ut.lv:\tt clp un nLveL Para r~u:on.'1r f"A pr""fl'lrthl'!'! p",:ns •.,..· fI!In 6oport.~A nnnA, c",n 1., quP <!'tI equilibrio en ~l nudo de~ ciarA'" O!'Int.r"!l la e v.l ga.- qll"!'l <,C""'m .. t.p.n ." él dd~n.

SI 1,,1'1 cllft!p.n,..t",n"'tc d<!': lA vIS'" ~ 1m J",<1o y ..,t.rn d~l nnp .... rt.f' n-:> t":nln qUA 101'1 tioR .C>lnent.OA l:1e30 igll .. t ... A y OpllP.At.C'l8 no fIIlgnlflr.., "'Qlllllhdn.

ya que laF.t fu"'r?,,"'A

d~1

par

~:\At

"¡",,,,pr'" v,llorl,," VI"I(':f!!A :O:Up"!r' l ('Ir ... e ... 1."3

comprf" sloneA ti"" )C'lA f'Clport.flr-I- ni 1'I0n lSII<ll",1'! ni AAt~" enfre-nt.acl",s. S.i~mpr'!'! quP. las vlg.1lS t:'."t mht .. n d~ A~I6n a un )",cI(') y ot.ro clf"l sop<>rt.",. ' l Al. AIE':ndo

19uAIE"I.'l, tI'" "(IIt.!m ""nfn~nt..'1"''''I1 , JOII i'lrm ... dt:'lA .. p ... rt.!r dq _l ...., soUclt.acton"lR

sa lcula.d_~B_PQrJ!;L8_pl".Qg~l'Iao ~~ den 8 ~ngruen_t ~!!.. e.!...l I?rt.lco ~a [

Por ejemplo 6i Ae paA3 d", IIn:>l vi ga de poco cant.o a una rll!" cant.o muy superior. VéaR~ flgur'a 13. 1~8 ;u·".durae: E'lRtán en reJació n invp.re:a ~ lcos canto~. [,nA progr-"lIIa" su~ln dlep<:lner la mayor d e ambafl y I!Inc1arla en pr~longactÑ1. r'!'!t:.n td. Il'I t.,·acdñn d~ l:.~ ttrmaduras varia mu~ho en poco '!'JlP~d('l ..... Pt,e.{'-('t [aH;":._ _J':l...adheren.r!:l, P'!!or SUE'rte corre '!!l hormigón c-nlll----= prll11ido, que no e nc1lo!!l}t.t!!"U cO"'p':a~Jl!:.o pRra f'l:quUlbrarsp. En 1", pr.::íct.I¿:-a la sección erP.cUv ",,,,~ nf. ,,,, rfOlFd,t.~nt. p .'ft~'tj.'t ~l cambio de sec-ctón. dpp:prl"ld .,ndo el exceso en 186 prox.lmidi\des d<'J1 f}l')porte, y funcionando con la lnterElf'l:c-

r"u,.

'4 .

'fr .......

df! .-Ie_ ..~

IIneho diferente

ordelldort.

En la actUo"IUdad no tll,y_p-~Qgr",maf!l qU E'! p~rrnJt.é'ln, en la t nt.r odu c:d 6n de //" daton ;--t"ainformsc16n de cómo 8ft e nfr e ntan realmente lae vJ g8fl . y por t:1nt.o e 6 li1P<'8lhl~'l e ~ re8 uelv ... n bl~n e l -Armado. Huc ho e de e ll o'" Acuean (Oh ftf grallslllo d e salida. que t.lene n E'l proble Ma fu e rl!l de cont.rol, véase figur . , t4 . 1 Por ello la prActica totalidad de 108 programas d e cálculo nC\ Blrven para " o' c alcula r estructuras en las que 1a8 vJg,38 clunblAn deo dlm e nft lo M -a- "p'-,iñ l rllmo a ótro;-MinQtie:-l s R8 ('! ept:en COIIIO f'l nt.r ~dl'l , fII tnd l;no fe; A~ iR¡~~r dlmMAlonndo Aut.Oll'uH.ko-:-Un ¡"-otlvo .. ife---p arl'l n o dAjar ...lp;..;g r ...-ln:\ tlt l"," predllnenelone pCtr -;ucuenta.

u\ndu ru dO I

Pero l~ d~forrn.:ld6n dI;'! la vIga ,' lrrast.r." ." l a d~ h '7'."p:. ltllp," r! n t· "'",1 for j:.do , qllP. 16R k ."monnt.e tamhl/>'n l)('.,h~ in v (llu crad~ p n m~ yor o m"' fl or mf'"dlrto'l ('n el t;(lll'lport.Alnle nt.o p.At.ruct.ur",l. Eet.;l col:'\oor"'clón n n tnrlrt ~ ~ n .. ) ("" AO PI·OPk'• • pp.ro fl l. y de forllllt 1I1'1port.a nt.e en lA rlgld~;>; . O.., ", ~ u e-rdo ('nn la norm.::l dp hormi gón, e-n unA R~ccl6n e- n te, -y uno'l vJgo'l pl ."In" )') "'~ - . rfebe conl'\ lder.:lrft e'" t.odno 1.... " p.fpc t,06 unA a mplitud dp. la ('." b"';>;." . fundón rt f> ];t f or m." el ... 1" n .. ('d6n y I n }u?. F.n f':"f'nt;1 " , a p,,,rt.lr d,.t "'xt.r .. ll .... el ... ,"ODU"ntn 0111( " (' nl:r" 81·"tlu,,,lrnnot.f'A t.r"ha~ ym.'\" c npa, h,,"t.., '111" rn ~ 1 ('('nt.ro d·~ l a hl7. p0"It.lv.". n r ga ñ l m¡'ixlmo . que en ¡:ii1 ml"': rn n prn)(. III " <"'1 .....o. r", ct"' 1 0',%' d~ la luz po"lUva a c adA lado, y pit erle- llrg ar hasta e l Z:~~ . F.n IIn 8 v g., e ,0 In e líi f'orlll M fii pa rte de h oe celón entr e 40 -cm YtOO c m d f': l a C<lp'" superior a t;JMI" l."do. Aunque un a sección r ecta ngula r ptlPde c Ui1riruPU cllr 8U Jn ~r c l~, al l'In.".llr u n .,b 1nflnlt.... , un a la de] tIpo sef'lal ado no pMHI dI"! l'IupU carla .

=====~~---f-i

b=tI

!:!ingún programa, que AA R6p.... .2.:m~_nb8 t.AculOA _'" qUA una v lg"'--R!", na //;

contlnúe-en el etgulent-n t. r~n(')

COIIIO una VigA de cant.('I llnP<'rt.;lnt.,. Hl e n tr;1ii" ~l_~ogr~R supone ~ontl nlll<tad y !:igJd_e1L~ollll?l"3tll, y equilibrio Pf;'rfeCto; l ª sltuaci6n real dista lIIucho rfe filO'" Id ~ I!II. r. _como ni OJ!! pUed en e nfrentar las t-racc!onen ni l~o c Olllpres i one s . eerla máe adecuado supone r e n( Ocho pu nto art .icu¡,.cJonea de "lnbao vigas al Boport!l,. En muchos d~ l oifprogra-rñas, pa r a8Tmubr unll art.lC'uladón ~R prfi'ldso dle ponfllr dos oopor t es virtlJaleo '" ~lIIho8 lado .. y tnnnOft Infinos dA vigaa con sección prAct.J cllmen tf'l nuJa, -debloendo e nsayarse varIas COMbinaciones para evitar desajuste numérico-o

4.11 SeccioneR de .!gas La rigidez Aólo expUca cómo Be rpplt rte la diferenciA de momentos de loe tralllOB con~ccut1voB de vJgalS, y , dado que aun grandes diferenclao en ea t.s valor dan l ugar I!I pequfllf'iaa oBcUaclnnes en las solIcitaciones. generalmente .,enores que e l "argf'n dft r f!d istribuci6n. la d lff'lre nda ~nt. r e deflnir la Recel6n de las vlgaR plan as con el ancho de estribos o con e l a ncho total hor.,lgonado ee peq uef'i a.

Aun u n ,'UlIll"!nt.o t .."n no t.orlo 1'19 r.tr.lri~? Influlrt" por "1 1II101n0 Inuy poco l as sollcJt,o'lC"I('lneR. y mucho lI'Ienoe a(J n en l a "r ... adu rn, ya q u P. pi brA7.('l de p~ ) ;mca ap<enae puedA v a ri ar . Pero a lRomcntos negat.tvoa la capa p.e ao Ud ;l !'la por fu era dE'l la s armaduras en un a n('ho tlllllblt!-n ~ nt re el JO'l y el 25'%. ahorll d A 1" dlst.anc1<11 fIIn t.re fisuras, r esulta ndo un v alor prAct.lcamente despreciable. por lo que en esa zona filA más veroAlmll suponer secdón rectangular, con una: inerC'l .. Inut'!ho Int"' no r que en la zona de tnompntot' po ott.t vos. Sf'! deduce pUAS que l oe IIImne n t,08 <te e,.pot r ... mlento non me n oree que )08 corrt"'npondl p.nt.el8 a s f'ccl6n constant.e, más Igualados con los pOf:l:ltlvof' . Y l a deformación P.R menor que con Recd¡'n rect.a ngular con n t.ante. Y que eA necesario un ancho de viga trrieorto a 1I'I0m ~nt.no POAlt.JV('lS. Y que la (')uct.U.ldad d e l A V1g3 a rnompnto s pOEdt.lvoB f'!S enorm"3 . Y que E>cl cálculo d e l a armadura tnfArior pup.rle hflCAr Sp. sólo ('.on la capa superi o r . Y qUf" rp.rll"trlhuypndn l'Iuy poco Re )]f"g a r . \n a Igu ., lar 10ft mo mf'! nt.Ofl POSltlv 08 y negaUvoR. y que ... lncluso e n el caBO de vlr, aft dfO! dARcuf! lgu e, p. 1 ln~cl7.ad('l y la capa de compre si6n siguen dando a la v Iga r eal forma de te, ('on pareddaR con cluAlones . ~n

••

or4eudoru

r.tnch ru do.

••

ordudoru

uh'd"u do.

r:on"lderltr q1lf'! 1ft Rl!cdón de lllo visaR el'J "'n tI! tl~ne RrllndefJ r"'!p~r (!IJf!ll()n('s I!!R el cAlr.lJlo. AlglJnOB programan p"!:rfntt.l!!n deBcrlblr }"B vlg.<\A r.nn eAtA forllla. -con un eBflJerzo ímprobo ~n 1" lntrod'Jcclón (le d,.t,06- perQ ninguno. qlJe l'Je haya podido constatar, 10 supone de forma E!:(lneral ",1

4.12

tratarse de

IJh

edificio.

[ente pftra cl'Ida hipSteele de carga-, pon Bt!cc16n rect.angulCl_r

ancho

total del hormJg6n en la zona de moment.o" negativos, y p r o]()nR~ri" I!"n t_ ... "'n 18 de POSitiVOA. S1 el progr7.m2l no ~rll1it.e leA vigaR ·n t". ,.. ño ]0 h.,ce automátlc8I1lent.e. ea preciso definir un Ancho virt.uo!"l E"qutv.'\lpnt.p., mC'lCilf!c:\ndo aparte el peso propio, estribado, plAno~ y lIIp.dlcion'!'l8. Y por lo qtlE" r",l'pecta a f)~ch3 es precIso comprob:tr qUe el programa lo hace como dll?8c"",nso absoluto respecto a la luz entre eo~rt.ea re .. lp.a.

Mudo cJCtrmno con VIHII plann

Un cano p."rt.klllar eI..,l probl e lllA i'lnt.~rlor es el tl~ 103 A.,,(";d0~lil, sOI?0t:t.e , ya qu~ ~e t.r.,t." rl ~ l ~r~~ d'!"l.,I/ M rt.\co. F.n t'sp C"l~O 1:'\ vltFl RP. 1'!'11111lbrn ~(JtJt. '·,l ... 1 R(.p ..... rt,r. Y :·dRlI"·n ":.l ... nrl ..... . v . 'ill<1o!ln \:"ln r(tfll'~l1.1nlr)nr:n r1-;'-i. .1t.,ljO d,. (1~ r.~· I An rl1,.,n<lo .1;1 11It-, ,,.,· ~<,~ cI,..._

.v Iga

Como generall,ent.f'I loe progr,un,." filMo IId mJt,on Af'lC'c!,nnPA ('(\n~t.<\nt.o\'!A e ntre nOp('lrtf'lf!l, en el CftAO dA edlficAci6n. ftohrr. t.odo Coon vig.,," pkm.q~,_ p;'lr8 deecrlblr correct.al'lente lae visas serIa neCetsl'lrJo d1f\poner soportes ! lrtuales en 108 puntos de momento nulo. - que en rigor 8S uñ' Punto_dir~

qu~ ne:; c("lnt.lnlla~~(I!l

nml~:=¡n

_p, . . """ n0 crm 1,.011"~ J_~ JYiI:-!\.!Jfl1.i].' l'" ) ,'~ d,:'n "t5.! :lV1f.1: .~ .

Rn ,.r.,r.t,t), f.!\ ¡,." ent.rlfld,.. en tene10n de la B~r::ctQn 6~ h,"l(:~ grAd'lélJme nt,p' , y, ~(tmQ Bef'l.",,).o) la nQtrrUII "~n VUJ prox!mld",dI!l6 de 'm ap0YO, 1.rt ;;\n-:hur"ll p.flr..,,~ -!l ~ .!ld~ l.IJdo del "",rvl., no puede fler l3uperiQr SI 111 r:Ust,,>Jnrt03. ent,re ..,.1 8(X'YO y la I]/Jcd(,n conBtd"t· ...Htll". ~s() I3tgnlfk.IJ quP. en el ext.remo <1C_I1.!ls ...YlM pl~f)-!l 1", o"cr::J6n efk."z 1)0 Uene 'un ,ancht) superior 8 1 dl'!l l3o:,~rt,~.,_Y2 uné'll dll3té'llnc18 d" 2n cm del ml~,"o ternpOct) h';' lncorp:>rl1t:to rnAA de 10 cm ~oX.- "'.:,')dl1~ :/ hdo. Vé,t)B'" e n la fig'Jr8 11 cómo e-e e nt,t)ncef5 la s €"ccr n eotr1Jct,' Jral de lln_ª- //. viga plan"" t;lpicl'\. En 100 CI)IIOB dp. vigaB 1'1.am8B 010;, ,t)nchr:i'ñ--':i~t1..., !ttJlyor que leos soporte", ~l cátr:ulCldc .1IIIrmadun. nesativa de la Vlgll n<l r.I,;lí~ hacerfip. c on VI 6ecct6n t,ot,.d de VJ vis .. B1no 1;1.0)]1) cl)n f!l ancho rJ~1 nnporte. qlJ"! ':6 ~ntr~ lo quO! e~ apoya la visa.

Pero m-46 import,Rnt,~ .a.:in que eBt8 Jn(lIJencl .a en t., rp.Alot.'!ncil1. lo p.e l .." que Uen.., "obre la rigidez. Si ht Becd6n ""fre rp.pent.lñ."fI'Iente ·UM efi1,~ ngll)R c Mn e n 61J~ extr~mo, }")A t.~rmlnt)B tI~ r1.s:idez de 1-" p ll!z~ -8O'ilriitry ~r':'mt,eB a lOA cUdcos. con una enorme tnc1de nd8 ~n l OI!l mo'iñeñ':o R- rte- .1// e~t,ramlf!'nt.o per(ect,q, C)1.te pa60n "" redudrl'J .... R'luchir;lmo e n rUcho t;"xt.rp ll'lo. Él '!fecf,t), c [.ñ1o oe vein en,C'lst) de 1.'1 (lg'lr¡;¡ 15, 6e p1ledl'l rp.mp.~hr Bllponiendo una ~rUc'.1V:v;V"n en el t:!'xtrell'll) de la viga.

, I r'jura 11.

'~r . . . rl~aa

d. una .',a p1ana

Bn rigor la Bp.cclón de villa e n la zClna de 1II0lllent.OA P<'BIt.!VClA

f'trt ~ri"',";\R

varlabl~.

En el punto de 1II0mento nulo la sección es sólo rect~nglll~r. y la colaboración de la capa ea .r~dual. de Inanera que a poca distancia de ese punto 8610 8ft pUE'tdA contar con una fraccJón de la capa t,o tal que colabora en el centro de la luz. A efectos de cálculo de armadura, eeta varladón no tiene trascendencia. ya que Ell braz:~ de palanca tiene c.unbloe tnelgnlflcantee. DeRde el punt.o d(l! vist.a de la rigid(l!2I, como ést.a de8cribe una cuaUdad global de la pieza, talllpoco 88 lIuy inPDrtante considerar en detalle esta variación. . De los prnlr;:¡¡lIIan hahit.u:d9B. que no considerAn maticl!!s ~n la secci6n de lae vigas. S8 puede Bonpechar que eXAgeran la armadura positiva, dimensionan exag~rl'ldalftente el ancho de vigaR, -IIUY exageradamente si no computan el lIac1z:ado por fuera de 108 eatrioos- y eon Unidos en la redistribución.

t-lter'!..atlvament.e pndrl.it supnnersA que lA vlg ... pl",na AA f'qulUbra r;:ontra un ."urlcho d ~bo_rrie qu.., tranBfi~rf'l el momf'lnto al s¿¡por·t~Port~ lón-: Pero la ree1stencJa, efectividad, y_ rigidez: de ~8 t.orsiÓn Bon m(ry-h<íJ"ii"R," y

ordudoru

utr12chru do.

5 .1

" Armado de v1gaa

En genE'r:.1

¡¡;

~~erdo con l oe ~8~ltado", de l<te prograMas hahH.ual~l', parecp.

7 q ue nJ~gl1no tiene e n cuftnta ~~rracJoode secc.tñ"ñ;"""nf-¡.crunh[(i(f,~ arflla(turl'lft para 18 torel6n de borde, P:Qr 10 0..Y..illntra'Vi"]'C;F.'n ton n"'s:i"t-:-Iv(ln ~el e xt rello lnterior de~za.-y_~g!tt..lU11ps momt"nt.('Is ne-gat.l vo ft d~ extremo de p6rt1co__YJº-B-!I~!Q.8 ..,.!! n ~op'orte8 exj.rwo(t, compUcan(fo I nneces.!r!a e lñJuatlficadalDente 8U a~ B bre todo e npl",nbe ah",,,,.

!Ol'l

programas COll'le rC'laUzado8 18n0 r <"IO la colalx'oracló n d e

l a ca p a 8t1pfltrJ("Ir d"l forjado e n la r es iste ncia a 1Il0ment06 pcoftlt.lvoe. pnr l o qu ~ , .3 19u",ldarl de mo me nt.o, exagera n algo l a a r madura lnf"dor d e vano . La ex l nt." nd a el p. dkha capa 3)eJIl Jnde ff' ctl hlemE' nl('¡ }" n ('cp.A ld,,,rt d p dtft p-:'In p. r ':\I· rn:l (t llt· ~ (I~ rompr .... nl{.n . m p.n ~1 f'J(!lI'Iplo d~ ](1 fIRur " 10 ""'(\,.,....n .... o :u' ",., (lIlr" 6úbroe e l vano, c e sefíal d e que c<'Ilculan exage ra<t .....nent.f" l a i'lnn~dur;1 A mo me nt.('It'l poelt.1vo8 ,

COfllO se ha indJcado ;:lotes, con 10B progranal'l hahl ' ... . d.· ~, 1."1 ma nenl de tener en c u e nta la v.!lriaci6n de sección de lae viga s pl"n~s e n el ext r e mo de pórtico seria disponer un s oporte virtual pr6xJrno8 1); dJcho punt.o, d18ponl~ndo ~ntre ftl'l b08 una viga igualmente plana c on a nc ho s6lo Ug~ r .. lIentl!'! superior al deleoport.e, mod ificando ",parte f!'l pel'lO propio , eetrlbl'do, planos y Mediciones. Para fl ech.ft hay que tomttr t.ambién lal!! pr~c .. uc1one e yA citt'ldas. d ebJd.ft1'l III la preaf'tn~.tl'\ de e.oport.p.R virt.uales.

\\1\111\\'11

\\\11\11 11

""'L

\'lO ...

"i~

Tras el nnáU,,18 de eollc1tlllciones . "!l pro~ram ... paea a calcula r la arl'larlura de todas las plE'7.l'Ip plllra la envolvp-nte l d., l))s eolldt.actonee de laa hip6tesis de corsa previet.as. En esta faso, el progr:.ma desgrac1adaflente de j a intervenir poco al ueuario, quizá por 10 I!Ilell1prif'J , porque ]08 prograllas lIás ape t ecJ blee son 108 que exiBen lleno e trabajo.

El RUlado, COfllO el dlllenl'l l on;:ldo, no et'! pueden deducir lnequlvocalllente de loe d.!ltos de una flOla ma nera . Cada calculista tiene filU propia manera de Rrlnar y despIe zar , y, cono en dimentdonado ole eecdnnfts dI;'! horlligón, el prograllla solo puede arl'lar t~'" blf'!n como bueno 8e a BU autor. En rf'laUdad fl ucho ¡:~ ('Ir , y a q u.., a de mA e e l ftUto r ha debi do 8.!1be r expre e lll r ln e'l t6dlCl' , clara y llllpiallente CÓMO a rllar..,n cualquier situación, que ee algo poco prohable. Lo e errores co.,ent.adcu, en est.R e.!lee proceden, por un lado, df'! .... 1gun.!ls lndefJnldones prefOlf.lnt.ee en l a literat.lIra, y por otro de t.om", r se de.asbdo al pie de la letrft lae conclusiones del an.§ l1e1s .

La armadura negaUva, Robre soportes, debe cubrir 1;» ~9 m e nt.o "tAx1~ qu e , debido a ]a rf'! spucsta del sQpo rt.f'! con lIn a reacción dl strl hul dae n su clInt.o, no ete produce en lnt ~ r' m ed lo ","tr ~ ]a

eje del Inlfl~o. · elQo~ge.n"JI ralm{'!nt;; - err..~:-pun1.o·

eJ~, . r .. dud",ndo _ent.re un 1~~ y II n ?O% la y- acdón m:~ x lm ~. ~ ~AE'! er~ct.o t'I~ 1" .pul!tle d~nom lnl'lr t.nm(",'imJ~n to -!.I(" fl'l gt"ártca de I'IOll'len t.OB. Huchos programlltl I.nor,," el anr.ho dl"!l 1l0pod,I':'l , P'X<!Igerando 1", ~rm ... d'lr'l negativa . Con " oport~f'!i d~lBadoa eAt.a red'Jcdón pu e de afectar a JI'I"!nos de un redondo , y no incidir en e l ar ... .ado d"nnlUvo, p~ro con anchoA "'",yoree , puede ser Inuy aprfwtllbtc . Sl e n e l "jp.mplo el,." t .. flRur.!l 19 nI) ha y dlfer~nd.!l e n lOA armMQS de lCl n dlferentes plooa , es eel'lA1 de que e l programa exagera 1ft Rrlnadurll negativa lll .

cara y ",1

Aunqu e a primera vleta 108 f'! rroree apuntftd08 s('In d~l bdo df'! l a np~u rJdad , Mezclados con l a ignorancia de l taenaAo del nudo f'! n l a e valuación do 11 1,. lC(Or l. " ,."(OI",,nl • • (\1 0 ru,,". hacerle •• ..o ..e n tol , .... 'tI "o".ntol de . p l •• ,,",ol Cllde lino con lo. eort.ntel 'tI .u hlpcU.II. 1,. loporte. no tle "e .e nll d o d" e n"ol "" nt e o 'e

e.a cl ••e nt . relpeeU"I. "e co.. prel16n , .. o~ "t o por I. parad o , _.nOI adn cu.ndo ha, ..o ... " lol e " l •• do • • i re ccione • . ""CMI rrollr ..... c.lclll a n un. "r ..adur • • .,'ter."a r('lr "O t e nerlo en cuent •. El CUII"'O "e "11(0 1'.1 11" . ruedl dlr unl pilla 'e que e. l . le . . . . e ' I l ' proc ••• n"o ..11. l'

ha~lar

"e ••

.oll~ll.ci6n ~~.i .. "

11 q"e el rroC' ..... le",. en cue"t. e l ell"'.O 01 .. 1 '('I r ('t,I" pllf8 .-1 c'lculo d e le . r .. edufll ." ' .. "ri Ón de Ine ""',,,.nlol, no .llI nll'(" 1 ""r." .. rl .... en'. que t"", . n co"ald .'.do corr.et."'.nte .1" ",1'''0 c.nto • • '"cIOI de rltld"z , d .. 1 c ' leulo d~ 101 ",o ... "t(O . 111 r'rtlr de 1.1 c.rl"', ("0" 0 l. indICllb • • n IIIrOl,tllldo. Int"rlor"l.

u lnch rll do• ... . ... 1 . . . . . .

. 1.

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• ••• 1

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tllllh • • "~ "

otdeudorH

"<'IlIIento~, pu~d~ dar lugar é\ arm::¡dnf' i1b~<'Ilut. é\mcnt. ", Jnv"rf)fl.imlJE'!fl p. Insp. gt1ros como los de la fJgura 7, oht,cnlda con uno de lofl prngr"m,"'~ m,ífl v"'ndidos.

5 .2

m", nl"o "'r: prnp!," 1rn"nl""',, ."1nC'I ."1je, rlp p(""l"<lr·t· 1:, I r ·u :> l··,,, ., r . • , " ·:·" · '·u t· ·" n l:·" . 1I (h~ t.,..1n.~{p,:f,. l." tr'MU,n '" la pl(-7,.'" r"'Clnt.'·.1 1,"1 t:¡lIr. r> .~ "'lu-lI l "r ." 1.1 vl¡:p. ; / /

";: inn

1¡ú""" ~ !L~1 f3~~0:>

Klf'!ccIÓtl ele dlóllaot.rOR

.",." L -.

"Hchos prngrl'lmas '!'tng",f'Ian al usuario. eUglp.ndn eetCle dlárnet. ro~, dibujando lae IIrrnndur:.e elllt,ebldap.: en el cftnt.o del f(lr j::¡c:1n 18, pero acot.Ando una longitUd ele prolongaci6n vf!'rt.lcal de 0.60 In o 0 ,85 In , impClelble, y~ que el s(lport~ lnf~rlor eAt.A horlnJgon:ldo h~Rt.1III "'nrARPo con 1", v lg:"' il!'n ~1 In",t.ante de dlet~"'nf"r l ... ..,r",:.c:1ura d"" ' tf!:t.:.. Ot.rn8 Avil"lnn en ~I ", ... nuA) qll,!" el t.f>1n3 corr'~ por cu<"!nt.... rlel uetu.-.rln. qu ~ (W!trezos"'lIIent.e !'tE'! limit..,. a paf.lAr ti obra los pl~nol!l que emit.e e l progralla, sin supervisarlos. "0 ha) t'loJucl6n fácU. fleJ<'Ir ,,1 soporte para horllllg"n;-¡r AUf!I ,ílUmeu, 60 CJlt con el t " r jado !luperlor Ate' dl!1p<'lratado. EUminar e1 exceoo de long1t.ud de !.!!3~r.Ilté\dur~ !,. d~jAndo u'!...", pat.Ul~ de 20 C-III ~1IIt1y iñenuro: fi""armlldllra no ~rarA pn te:nfl:l6n 1R~8 que A la cuarta o quInt.... partf!l de 8U capaddad Mecánica, reeie:tiendo 801al'lentoe la cu ... rta o quint.a pl'lrt.e dfOoLIIIClIllP n t.o de ~culo.... ~ flolucl6n d(lh~r ~o ~ ~ rllad ~ ya que el pro..!'le -

l ' In l11.in r'eo,r."'1 ellf! erreo, le co ... bina con otro, d"l.pareciendo en .,Intlll. , f!n ""rrelleor" 1" 1 col.1 dpl en el ellltrr.",... Itqulerdo, aunque no en el derecho, qult'- rcor '"It" d" ,rev¡l¡ón de un ("""PO t!'ln lI .. pllo de ('lIrlleter.1 • I&qllh·rllll lIel rrl_e, eje.

f;Cf~-

Anclaje en ext.re-.o

El diáMetro 9120 rlfll A~OO extSfI para anC':larse en H200 en 1... C3ra superior de 1ft viga. haRta 1,20 In Y el 11'25 del orden h",p.:t.a 1.80 m. Aun contando COn 1ft reducción de patilla y la entradA f!n lA ,,="'p" InferIor del horrnl.g6n de la Vhl~, "erl,., pr~ctl't(l en é~t." un cant.o dE'! 11) lItif.lno~ 60 Cll't p ... rA albergAr un 9120 y de al meno~ 90 cm par:'! ht\~erlo ("'on 1I'2~.

Loe lIejores prograllt"e: ~rJnH.en Alu~u'!'rlo detlnJr 1", eecala de r~d("ln doe en la qUe debe Ihove-rl)e, ., p.l dUlIlet.ro pr~f e r~nt.e p",ra cada OCAAi6n, pP.rn, ",un en f'lAe caRo, Joe ~"'lIlhlOB que introduce luego ~l programa en el transcurso del arllado son h,posihl es d fl Alterar.

81 probletna lItáe gravfl) y tipico , ya que cft".1 tod~s los progr('lm~fI lo presentan, ~ 8 la 80lución lncorrect" del extrellCO riel pórUco j por anc1.'l: j e. En efect:o, ~n el caao rlf't vigar; planAS el grueso del forJado ftuele- e"t.Ar entre 18 y 26 Cit. Las nrllladtlrcu~ negatiVltB de ext.rellto de b viga tienen ~u Máxilla trao::l6n en el borde ext.rel1o, y lUE'!go deben IIIInC':lnree, genE'!t·alrnent.e en escl1adr~ "obre el cant.o d'!'!) lorj"do. Hucho~ progrAlllal!l, rlebJdo " uno!!; incorrecta ~leccl6n del dUllet.rco, lrr\lacen con ,,20 o fl2~.

'1'

ulructa ru 401

Huchol'l pr~gr~u,,,,(I no d""j."1n ~1("cd6n IIIIt unu,'rlo, h., ... t"'nrlnt" p . . r fH) cuent"!l. 5em loe peores. Otroflo pofleen un." rip.flnlc1én eAt.:\nrlar , qu .... RAJ0 Inr. usullrloR pr~ o('upadoR RP. ocupan de cAlllhiar a 81' gust." . En ocn"Jon"'R ",,1 p~"grall't~ vllplve tozllrlall'tt"nt~ al que lo!" Jnt.eres", IX'r ejp.mplo. pf)r1 " ~ !'tl p.I num~ro de redondoe exced ~ de t..,cho. pasan autom't.1("'~m~"'l1t ... .",1 rll "~m .... t.p·. n o perior .

5.3

""L

~,c,::,.

Iltlng.l!.~ @lit progr;tma no lo indique eKpreaament." lo qU13 nllnc,~ l!Ie puede ha<:e r -;;;-diA:PQner "nt,OB arm"ldon p<)r fuera del ftoport.e . (lna s o la armlJdura ' de ¡¡S20- ~n-Mt,lJ ~nd rr;¡':m~n , orls:lñ1l en --aC br:írd,,- unnf.orr,lón 1II."1yor;¡rJ<J de h::tlJt.~ l,!". ",t., qtlO "n InooPl>rt.:1.hl", lncluRo por un" "~r:dón d~ hormlg6n de 2!',xr> O. F.n gcnnr:'!l l()O p ~ rr"nan no ""Ioon CÓIn? ",,~.~~n r{':a~lri&c:1 IlIn 8<"!C- - . cloneA, no cont.rot"ln cómo RIO'! (IlF.lpc:tne 111 arl!lAdllra, no 1-"8 dibujan! jo iió t"ñdTclJn ufluarlo d6nd13 uht.cl3rlafS. Msunao de la" opClon~s-;- -como ésta. d e !ILapo nerTas alejad-'3l8 del soporte-, no ;;on compatlbl"'B con las hipótesis de ~ o. --

-'_1:..

r-,. ;:

F.n purCl rig0r ni 1'11qul"'ri1 li1f' "rmi1ctur;\A 9116 .... pUfHip.n "'ndar correc tamente en el Ci1nl".n de IIn for jadn t.lpo, aunque c(lnt.1mdn (' (In p) pi nza mient.o y dlsrninudf.n dA nnc11lJe qUA producp. la c("ompr~~Jf.n rl(!t soporte superior, los qUE" se dispongan d ~ nt.rr) de p.l poddan llegilr a v(ller. n,.ro u1t.;-¡ cxt.,·:'!rlCl qllr> nlnRlln0 rl" 101"1 progrl1l11"'l"I nrgl1nlrp. 1" !!..r", ... rlur ... rtf" los ~xtr~lI'tof'l en 1,,7.Cl, An)udAn qur. no p.xlg('! "ndaj". Pr('h",hlAIIt('ntA f'I!l porqt:J;; la t"!'ort" de horrnlgóñ no o:'!At.á p.,.n~ a p<1r:ledlflc1oR y no ·suponp qile enc1l11a de I1n soporte hay ot.ro. L~a preQ~ió.!L.para e~!:!! Rol ución c~n sopo..!'.; ~ 6J~ hOI'mJs6n IH·In.l!'l.10 20 el'!! l~~,nrJI'In!\r qUf!! pnc\lna hAY tf:\rant.t7. ." cta t"ot.A ~~ pref';lñn C-C:1I10 t. rAcd~ 1eseA c-n ~ 1 lazC?i '!;! ctf' 9120 e xJg~~1! tonc-1ac:1as y~ e 9S25 f'1 xl.ga 43 tnnelt\das, por lo que, en generar. en las dos últimas plantas no suele ser efectivo. ·· -.,

Ot.ro inconveniente de ent.8 soludón ee que dlrJr:l1ment"!' se puede disponer lIIás de un l"zo en cada extl·pmo. lino de P!20 permit.e e-n vigas planas

".,el_J"

~l!..lcoporlf'.

20 lI'Ietloli('o. h \'nl('1I rrPC"'''IH.. ¡l'tn •• 111 de qu" el fUlte ."tre forjado p lUI IlIntlzlllr que f!1 h:r.o ( .. r .. dell, ,qu e len, .. un I I «ero re ... " ... la l'lIrt. IlIrJ.rOr r"u ",,¡t.• r que ... 1 "'1," .

!.!!.......e l

ord~udoru

eoportf\f un IIIOlllE.'Intn no ~up.,.rlor a unos 2 mt., y t!l d., ¡112~ '" lInoR. 3 mt . st 108 fIIomentos o o n su periores, los ann",dOB c::onvend('\n a l e-s de dlám":'itrl"l fllp.rt...,

~ nc1Jm.

y ("on

dJám e- t. r(>~

f!nn ,. t>h"'n anc1,,(tof';

~e. t.('I e

no <""ben rle n1:.I'('>

"nporte y dp.bf'.n dJ" pt'lnpYF.:e f u e ra, donde t .", ...poco Alrveon. 1.;1

/¡

~ Jl o_ "on d e6~a hl e6 momen tc>1!..Me,!adoR en Ru

d~l

cl') nd~~

xtr elno_ de vtg a~l anaR . Y c lumdo no Bon dp.seables e8 que probablemente no eucederA. .

'--

---

u buchn. do. Ilnt.~6 d(' 11 (>8·,t· " C(.I n st.iwtl'!, y t.orl., s,. c .--) r.n r,..n\nt."'nt.e a l a nc h o rl~ 1 s0p0 r ni Anc hó t.otal .

1:'1 '-:-."lr;t ,10:-1 " "pod."' . r'r.,," ('r: r¡ :-:: .I r. rd t., (".",,·.' I¡·n ,..:; ", l1n .... R r.ompl1t... hlr pnr .. cor t..'nt,.. . r." n vlg"R r1" n.,r:. 1.. .. d p.rt.a dlr:t-;m di'\22 c1rl l!I ., prort.r " " pOI ",rl .. r·"'r Rllp~ ' rI ;;--r t.e mfts esa dlp.l.ancl .. ;;--cnc1 {l l"do . y p,",." .. ~"r rnf~'-r rc'r -- -

1.., II'I:'IYI>t'tn !tI'! 10" Rr~gr~m"A rtf'! jlln ,lto dlnp('In""l' .... r:t.rI ...,,"....!:!1!: tl" l., r: C., r" A 11"'1 t'\('port ..... , ('U,lTIdCl f'!" ohvk. qul" ron VIR:'I pi "/l .. 11'1:'1" ., n.· h :. qut'! "r:tl". oe ll a un .. "It.u"dl... t.pnBiCln.'! p"rfO:d,lfI ,. n t.('Id" n OI rt(>rr ... dnr . ' ar:;; r;, -;;a f\ .. 1 ~rd~ rtPo la v iSa enllu! R ~cclo n(' fI próx.lm<,s <"1 1 Fl opCld,.f"_. n ~ lnl!"r~iáñ pat'a rf;! ft lr::t.l r . ~ramae co m ~labl~ t .. ctos de co rt.a nt.f'! sp n l ae e.eña la - di'\c en ] a fi gurA 22.

Ir" "':\,. . .

I \

\111111/1\\11 1

\\\\\\\\ li tI,,\

.\1

11m En efecto, cuando u na Boluc1oo d e hormigón armado está angust.1ada,

eignifica que e stá eOl'lf'oU,b a

fu ert.~fI

tllne1on6e, ,. deformadone s, o a

tordoneR. q u e h'pUc<lIn también grande" d efor mac l onea. ~ro !t.L.fl!tl ex t.remo /// gira o el bord" t.ortdona e n ~XC'!l8 0 la RoUcJtad6n cUBlnln_\.fy-e~ CUlIInrlo en honilión hay probl emas par .. 3rll'l .. r la rlefornlllción e8 elfw"da, -la rigidez pequeña-, y loa valoree de Bollcltacl6n eetAn ... al calculados. Sólo ~l ~e pu~de a r llar sin confllctoe es s~ñ~l d_e qu ~_ l a rigidez y l .. e Bollc1tac~_8_ Bon correct.as. Si f'l1 progrllma presfI!nt.a una Ralld .. cnn ;;2 0 o j1!25 ~ n E'!] ext.rf'lm., del p6rtlco con vlg"' .... p t llnaa , c<'Ilcula mal lOA ancJ<'IJee y el a rmado puede RfI!r muy inseRuro. Prohabl"'m"rnt.p! la evaluación rle rlRJdo!c:ee y 8 011cJt.Rdones asi g na a ese punto ... áe ,"olle~t.o del que ·'r Aalllent.e)lsy. - - - - - - -- -

5.4 Ketriboe En genp-rallos prOlr<'l""'" cl'Ilculan bi"n loe e.,t.rlboa de vigas df't r.anto, pero r.on vtgall!'l phos8, -apart.e de la (,uf'stlón dfl que e l horllig60 auele Sf'!r 20 o 30 CM Wlayn r que el Anchn d e e.,t.rlboB- flue l en d oeeba r rar 21 . Lo c1áelco p ar,. oht.f'lnAr h '"""xll"l rl~neldad de eet.rlhoR fIIS calcuIa rloA donde el cort.ant.e e8 ",~)("no. que en vigas norllable eA COIIO a un canto

al "o por el olv'",o df' lo .. d e ('"",I,u., co .. o ('It.n "llun.... "\ltore_. ,_ qu e .1 el.tu,'tlc<o de'rl .. , •• lento de .. edl o c ... to d el I lIdO dp 111 .e,u r l"ad .. qu'" o bli , . lA norll. ('uto re .1 ('ol t!:ad o d e 1ft tflt.IIG.d d. la c ar •• en todfl. 1<0. ('a.o • •

S I E'!I programa d@'Ja d~ dihuJa r estribos entrA c ara", r)p!l ROlX"rte . o prl'!v{- ram"A de Of't.rlho nI oorde! de l a viga pI"n", no rl",¡"p II ft.>lrA" r.<:-.n vIga" dO!! .. neh..., fU lpp.rlor. p0r I'! j ~mplo, 1"1 RO cm. F.n la figura 22 apar,. ... ~ IIn e! j p:mplo para d ~ t. e c t. ar eet.~ ~rror . En l!Iuc:hoR casos el cáku l o <"1 mano rte ~8ta zona i ndica quP. ba6t.I\I'A pr(-.longar pnfrent.e deol nnc ho del F\C'>port... l a deonsldad 23 del lado q u e 1... t.e! nga l'Ia yor. Pero en ocasiones será necABarlo recalcular todo e l c strlbaJe.

22 Pero .d ....... lItuy e"re. dlll . <oporte. f'1 pert ...etro , •• , .t.lln\ e rpftl. - por el que . <otr a 111 ~lIr,a-, c lr ~" "d . co~pletll~pnl~ a l aoport • . El t.~. ~.I" . In (01 lIIular .. n 1'" llt"la 'I""'. rflrO no c.to~ "u" a q'''I de"" • • r tnl", ,~p " l o ~n tr e el rlanlf'"",if'ntfl df' ('UIO ("ort"nl • • " " n "a"o ,,"r. vl':'u qua "p<"yan .. n t<od o .u . n('ho , , el punr:on"""II.nl.o de 1 .... 11 •. I:a NI.al!>le que e l c o, l e • un (""n l n df'1 "opo ,t .. d",b. haee,"e e n d .. "edflr ."'''', C<OlIIl'lIlt"nd<o tfld" 1" ('a que ~ n t ,,, en el .... "<orl. "o r ''''"bu' Vi':"". d.r¡oIo JU t!:" ' . un '''nlco •• tri!>IIJe.n lo rno" f l .

'l:'

'3 A"nqtle ("<on .... ('n' . ... G. h <> lIfIl ll! (ln no .lIe l . ha". ' "r<>tol ..... ". ('on 1.... " d .. a('ero "'. frec .. e nt e un a ( • • n c ontl' ... l tó<o d " cOltllnte . Convlen • • " ... . tl' qu .. l. 10, ...,, 1.('I(ln "e 1111 n o 'lila r"'. 1III:<oI ... l e nto rc>r t-i ... I I'II' roto l icua • • 1"" a" ... ¡ t e , ,,e ¡ . tlr. eelfi"alldO . u (" ho , h."'a . ¡ p l e "eoceo. lo d e l hor ... lt!:ón el n "' I "'"r. " • • (\10 v'"d .. r"'. e.t rlbo. IIIU' fi no .. , I"rido_, "ron ,allla • • e"",,,".a cOlllo.1 1: (1'( .,,,1 r lOnt<o fon "lIItoaa dirIP("("lonp •. En vIC"" " I .. n .. ". fin I n ll '1"1'1 fr "c lI l" nlpIII P nt .. 1 " ""I'" , ,,(" ;(\n ron" . ", 1 ('anlo. eol 1II",.'1ItO ('<orta nt.1" por a"la.'''lIIieonlo dp hc>, .. ¡ t(l n "lO l a cuarta " . , t eo "e l o •• ñal.rlo fo n la r(\r"\II ... "1'11 or "en d e .610 pi ctoble de 1<0 '1"1'1 " " " (l rta p i hor ~ ... I,6n . 'pro al Jlf' t .. r al .<or<ort l" 1'1 al ..~Il(l 11 .... r.lll l r u)n P' t" .. I'O ~·o .... 1 de ",.Ia r i e, • • • Ino c •• , t<Ol'<O . u rpr'''l''tro, y .. que 1" cllr(. entra r"r IM'h' . ll1d ... .

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5.5 Ar.ado de soportes LaB re-gl~B de "rllt~do d~ BOP'lrtes no eAt.án d~l t,o(fo c1.,.r.,.13 f)n 1.-1 llteraturlJ técnica, Fl0bre t.odo Fli Be lnt,f'mta o::omhin~r comprpfllt,n ~Qn flp.xJ6n enviada, ~on e xcentricldJJ.JclJ 1Il1nlmll0 y con p~ndeo ~n Ilmbl;l.r.; rJlr~t;'d('>n~1l p-n phmta. C"nten.Jo con que 101J "'QIIl'!nt,oB vArinn 8 10 l~rRo de l Bopnrte, y en muchae oeaBioneA lon lIIáx.1moA de cadl!ll eUrecc16n procr.r:fen tlü rttrer"'nt~n hlpóteRls, eo II'Illy poBible qu~ cada progrl!!tma ue~ un l!I~todo dlfp.rent.t~, I\unqup. el arlftado resulta en Renp.ral poco afectado. Huchos progr"'m80 arman Blotf!mát.iC8mf!nte a dOB caraa, 1"'0 ql.l~ df'lflnf'.'!n el cl!lnto d'!l pórtico. y 8ólo Fll ~l 80porte pert~nece :'lo tiro ..: ..... ,·11 .... r: V ' I' v,n . d1culare Fl -y e l progrltll'lll conBlderl'l elJtp. CRSo- orm1\1I 1"'I·Inl,·I.I·., lmp.nt.f3. En seneral reR,llt.1J m~B econ6mko y B~ncUlo en edlflclldón 10 ftrmlldlJr.ll p~rime tral. Loe mejal'es programas permiten o proponen esa opclón 2 •• Algún programa, aunque Uene eea opción , tlE"ne dlflcu1t.adee para "'I'IneJar cu a ntlas d1fere nteo eon c:,dl'l ('ara; por ejemplo el ee dr.~E'\'''' 8610 una arIftl'ldura por v~rt.tce y "e lndica r~l1'1dñn ".", pntonc~Et I'Ir1lt8 cnn ocho redondoe en total, y si 8e indica "(1" el progralna no eabe cómo armar. y falla. En ed1tlcacl6n, el la armadura de loe soport~s r e sulta mlnlma es eeftal de que el eoport.e eetA bien dilllenslonado; en ot.ro caso es preferIble recalcularlo con sección euperIor.

5.1

5.8 Abaco entre VJg8" , soportes

En goen~ral JOB program~8 no dlcen cómo Ae diet.rlbuy"n 188 anlladuras . Aun clJanr.lo lllF.l dtht.lj",n f'n 1\lzlldo y liJA ACllt.an, es ~l proy..,r;t.!sta el que d .. be pronunc1ar8~ oobre ello . F:,; nlgno r.le enUrtad que l!Il pr ograma conslr:t~re :"\lgun .... n r"",gl.lJtfJ ti", hllen8 prácUcn, o::()~O las que el.a'Jen .

Loe progrAmas que ,l)n~llzan p6rt.tco8 fluelen conoiderar 66ln 1~ t.rl'llnslerencla de carga de la V1gll al BOpo:'lrt.e en libado. Si lA8 vigas 80n planas y en planta el ooport.e .,e lII\lcho InE"n09 Ancho qu", la vign, falt.a la t.r.'m:ferencll!l 1'11 IPIC'lp<'lrte dp. 1~ CllrS:8 que drcula por )a part.e ext.p.rlor de la vls:a 2S . El proNE"ma elPl d .. una flexión t.ransv~rBal, 8 reo~JBt.t.r con ... rm.,rlllr7lfl superiores en lae proxhnidades del ooporte: el denolllinAble armado de áhaco .

L~ armad\!!'.!!.. Lnf~rl.f)r en vlg.'ls de canto ee PM rftrlR!.L q!l!'_ t.enga_ al ./;'/ m.,non t. r~s rp.t!t:mdoB; cnn 0610 0061"" r'l~I,.t.~ncl'!l A tnr.~ncHo, c1lir-lco pr"hleIIIn"?n . lP.cttrk.!JS.iófl._ PllcrtP. ~se ~.D ~ IJch.oB C~1l0fl _lIIáA haJ., d~ -.lo rE',--q~J~rl.!!Q. Cuañifo ~n 1.~ pJ'lrtn lnr"'rlor de vlgar; ..to c<"Int.o hnya qU() I'Irudlr '" máR de una Cl'\p8t de 1'\nnndUr3, lo rllz0nable, t."'mbit".n pe'r incendio, eA r.Hep0ne-r 11'\ R('t:l'mr:ta capa sIn ocup"lr lao esquLnas. SI el programil no pidA la resistencIa A in cendio poelblement,e no conBldere estas reglas.

Aunque se trat.A de arlllltduras d~ cuantla, dirección y deeplE"cf! ""'11'10 las negativas del lor Jado. 80n un problellla del pórtico. Hahltunllltfmtl! 108 J. "o .61<, ... 1<, .. A.... n"III<> , t" .. bl'" e. lo .. 11. lIu!.C'u.do. LII C'on.I"~fllC"(\" d. la accl6n de wt~nto Independlente•• nte en do. dIreccIone. p.rpendlcular.a e. .610 una cC>nvllne¡ .... n. Relll"l!'nte . " a~cl.~n d. vl"nt .... "et,·, ... n ('11111')111., dire c rlón produciendo 1I, ... pre en to",o .op .... rltll 1II('I..enl08 .n la. doa dlreeei('lnf'a, ya qllt' el d.apl •••• 'e."I(> entre ,,'a<>a •• I'fnduC'1' ~II C'(>nt'c>rdllnt'l" con 1 .. IIC'clo'ln. 81 aOI(> 1'011' ""ea • • " un. "',eceIOn, el forJ"d"." enellre. de provoc., 111 IIIn.,ento .n 1" 01'". In alfulIO. e6dIC<>. rllr. I~ 1I('('I<\n .1 •• le • • • p,eacr'~ . . . Ie"rre ."'."0 oblicuo con objeto el. I .. pe"" IIn "nllll." trhhl , , •• ult"ndo que 10 11 .opo,tell ti e ne. """",. fl •• '6" ell"l"d •.

JS 8' .1 forjado .1' e.leu', .. eJe. de aoporte .1 .r"'ado de .b.eo e.t. cubierto por la ".lIdllr. ""I"tI"a del torJ.do, pe,o',,1 .atar dlatrlbuld. en todo el forJ.do en • • , dI' ronrentrad • • obr • • 1 .oport., .u funcl(>nllllllent(> derend. de una plaaUeI4,," o ductll1dll4 no rroblldl . 81 .1 JorJ.dco e .. ellleulado " c.ra. d. a('tp('trte r" •• J(> .'.Il10. In (.nll'"1 ., .1 eaJeul'.t. d.1 torJlldo e. cOlllr.tenle, caleul • • • Je. de "nrorte tr"ncand('t 111 .'''''Ic'' .obrfl .1 "ncho d. Vl.", lo qu. c:onduc. a Ina.(u,ld.d por t.lt. tC'lt.•• d • • • ta .,."adur. 4. 41bllco.

t'"

DlnpnAlr.16n de nr.udurao en vlgan

LaR r;"nan doe ~ R1,r l ho de vJga6 plrm.'R ~s pr~ff')rlhl.e qu~ prome(tle n el ancho tot.Rl, r1~ m1!nerl't que ent,te CII"''''' dOR de e Uas hl'lYIl el dobl .. r1e d1lJté\n cta que nntrf3 11)6 ext,r~mMJ y ~I borde dp. la vlgll.. 51 el program", no lo hace, puede eotar mal calculado p.l p~eo propio y la reshJt.endll ti cort.ante de la v18a. La .:trmadura Jnrtotrjor de vigal' pJanaR el' prefflrlble que Rf' dh::p0nga lo lilAs cerca poslblfl dA lnEt rall'1ao de E'strihoe. y repartidas po:-or 18ual entre

ellaf'. l." ;'\.!:.!!!.arlllra~Ef'r1nr ""n~nu.d Q.~ I.nt.f>r~rf'!.!C ...rle__t.!:'IJ10 .J.IRu...~ vl~~ ~ prer~tlble qu~ e d~pons:.ª--ª-lred~or l'ie..las ralllaEt__ve.rJ.1c al.e Et_de~e.s.~ promedlándoBe a IIn lnrlo y ot.ro dE" carla unA. A~[ con eoetrlboft dE" _dos rallAR, en~ vig aí51ñ terlorP.B-, ~lO rllzonable e-s que la mItad ~e la ar!!@dura Re ftl !:ú~

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utrtctutu

ordeudotu E'xt.~rlor_ d~t r-lh0, ~t .•,.-tll J>~r_h_"rm<Ht-'lr-.':.",-n~~,,.,tv., rl,...l

f('>rJ,_rl~

ln.,d"'cUéHto~,

por

lsn(ln~r p.~t.~

y dlr.I,'nt ...... p\r. ..... t_ I,~nl~n. (1"h,-", t.,..,,¡ ...... '... n ~?{"'r. ('1"nt.;I;': ~' 11 1.,r:: '111" 1., Infl""n ("'l., ,1 ..... 1."'1 ;\,~cl"ln h"I"I7.not.111 pp. p"q,lrof'ln"', f!Illy pr",.,r, ,1If"'"''''n,..I ., r., Y '~II .-'ll<,r, 1"1 pr(ly~ct,.., ""Rt.f! ' h}.:·n p .... nR,:ld ......,huII't."n 10f': p."rt,kt'lr. (","n l., rnlr:m .., 1")1"

F.n

muchos C'af.'O" (>1 pr0grAm11 ord('na d("lf1 C':lp.'lS, .... P;H: .., 11 dlf¡m",t.rnR mAynrnr::,

mAs

d~1

pORthllldarl.

llg'-""'f: v ..,r!'tr]onF>r., QI'P r~,.:Jj~~., d'y.t.LIl~ ~ t.,)dtH'; ' ,:;1 .r: rl"' I!h~.t~.!l Igu,q tJII7... Y pO Rkt¿,n rn ~ Lpk.t.Jc",;: ~ nn f::¡vnr"'~~ ~:LJ" r,<\c)n!l" .!l7.!ICJ.0n c~nBt.ruct.lv;j,; y "c1~m4" f:wor p ",,,,, rrrnrPR

g;"Ud:::lf-:-!('1l d .... t.1"am.-,:,:, .....)0

arll'larlur'::\ FluperlnY comput.ah1t:' come> rp.siflt .... nt.p. f"n le>tt nurlofl (')tt,YA 11'108 debe 8ft.il:ir Rp. t"n t.nrlo CAno d ~ nt.-;' o del Roport,;' do h ..... '·mlg{.n ,.., lo m:'ir. pegado pOfdh1('o 1t ~) ~J <>!/t rn('-t.~HJco~l\lg\-rn";n p'ro8t'ilm~fI ñ., pi>l'n¡\I,('n ,Úr:lln¡::I ;'¡' la arlll:\durn rp.alnt.f"nt.e rl", J" C;on f1t. r uct.tva. IJ<l

t.o minI!!O f'lu.:-"rl(' ('nn ... 1 f"nb:ll:l",do, n.('.J!.l(b~ n nu 1)) oh,~ iQ::;-"lf"J.Q'8.f:Q-Uf'o .O:J:Ht., _'{,lB>] t.'7"nRfl , ('(". ' ,1'1 bort

rr·p.... '·('ur.l/'n '~n 1..'m.~f1(. (11 f """1; I !:" / / / ~p...'.1.r~ cl0H(·$ ttlr~ rp nt,ec:, 11 V ~_13 i~I.t' p"''II.~m('t.ro_~..!l ('.mllmc-t,r·o!. F.r.: "vi d~ntc q(l~ lA pr"clf:lr.n en oh!"", n0 ('('In~!f'lnt, .. (' ~Ofl m<l t.\cp.R. Jncluf''''' p1 <1,¡rho. 'ltl~ n0 t.j"'n"l qUf'! ,~jlJ~t.;¡r8 e- ,,1 del hOl"mIR/>n rifO" la viga. podrl.<\ 8pr ('oml1n p.,r;>; mtl,~h.,~ tl" ''''11.,r:: .

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En un pt·obl .... m::\ rle ('ont. ... xt.0. nn cl'Ilr'lu ti n t.", n('lt·m~l •.,rm"ndo IIn:\ vlg., '¡p $.P. prpgllnt.::\ AS ni no h"h"/i llntpr. hr ... h ..... ot.r:'l p .... r"dd(l, y tras c~klll"'rl -'l r.lemprp mlrn 1'<1 el rf.'lJ1LI)t.ndo l~ f:upné\. SlJ PGt.r.'t..... glll rle ah0rrarr:tp t.r.~h;¡jo er.t.á f'n lA 11ne-<I c1., rnf:lc,naUza r la o!1r;). (,0G pro~r:\m;-¡B dA' Clrrlenétdor. A lOA qu",," 110'6 ti", l o rnlf'llho (.~ho vlg:\$. que- ("~hf'nt..,,. y qu<;> G,..,n muy lnR enslhJfO!B étl cont.f'!xt.o, result.an t'lntl.,rllllmf'nt.e mnRt.r('n .... n~ p."tr;-¡ ;¡rm:\r.

5.0 m, lo prlmpro q11f:!

C::\F.l nlngt'm progr~m'" I\f!Ppt.a. o 1"If': (lrganlz~. ('00 RPp<,raclone-f!l d lF.cret.é\F. p.,ra "!tnt.r1h0F<, por ej"" mplo. 10 . 11., If.. 20 y 25 cm. Menos aún Int.l"nt.A ",,1 ,"u'm"rlo C0n hmglt.nrlefl rte ",rrnadura prl'ldefjnld,,~. qu€' ,,:erl<t \lna mi\nera pn'gramab1p. de un1flcar v1gas ~ l.n !nvesUgA.r el cont.'!'xt.o, dado que. en el puro r""~pE"t.o a ]013 n(Jmp"(lO re~lh:ados. ealdrlan t .....,dafl. dlff'r~nt.f'R.

fll f'1 pt'ogr,:¡m;-t no c,"'n~lltt.a ("u;\lefl vlga8 d~be p:'l6ar el r]<ln0 y dIbuja e:1E'mpre tndafl., \lna por unc:l . no 10'1' ftcon8f'jab l p. p.<\ra ,.dlflcaclón.

_.' 5. 8

Ar.adurnn Ant.rl(:tnn u 6ptbmn

5.9

noporte~

en tnlRo

LI'\ aparlcl..:m del ord.m.,,:Ir;.y. p ., r;¡(lójk;¡l!Irmt.'1. ha prl")(I 'Ir:ir.10 t:I~n·")r¡J"':n. Dl3dn ou pot~nr'!l;t el""! r.,)Ir.u)~.' f'"r#'lr.o qUA f.lt:"rt" fl\('U obt,.'HI .... r I1n,' (" 1~ v",I " rac10n aUzadón del arm ... do nJn merml'\ de (legllrJd~d. SIn f~mbarg(), .,lIl1qllP. clll culen, d~oplp.~en y "nden rnrr<:lct,;ullt;'!nt,p. 1na arm,:.rJ1lra r:;. p or "hora trnh·'ljan en direc::cli)n c::ont.rarill '1 h dI! n,cionallzar el re6u1t~do.

l111.:-h ...,f,: prng r"ma~. rHIn ('("!ncE'htrl.;'" p.~r~·po'>1't.'~o~ nrt.,..,gnn.,lpR. <K'f'pt-;¡n ]" "llmlll.,.~I"'11 ,In 11'11 r~r.'r",,·t,(':, ('nr8~n,t. ', los RUpf'r\01'(>R pn fnlR('I f\ .... hrf' la vlg." m"'rllant,p' 1., ,' r gud::\ tlf' dJRp ..... nf'r un ~0p0rt.e rkt.kln. l,,", rnntTM~p~." pn ra E"110 es d<'lrlp. flc('dón nula o muy peque ña.

Todos 108 prO, rltmaB cakul1m y luego armAn 1Il1nucioB<1mp.nt.e t,Od'lB 1<18 vignn . tlnoA YIH'tk"," t,,,r,I;¡ t", lnform'lr.lón. y en otro" R"! pl1p.fl" pp.rllr 061.., 1(lB vlg;:uI quP. oe connld"'ren r"prenp.nt,At,lV,lltA. Como "n g~nE"rAl 1:) H mcr:lldr)O .... o eot.in hp.ch~8 con el cálculo 1I'I1nucloBo. y C8 más 8~nr::illo pedirlo t,r;H:lo que añAdir not,ae y c .... mentarloA . l A Mayori ... dI! loo u8uarios prp.oent,an pbnos de despiece diferente p~ra todas las vlgas.

En ~"t.(> 6upue-ol0. caRl t.nrlnA 108 progri"lftl<l6 ca1cull\n Men l;tof1 f1011dt.;¡cJonf! s. aunque caíd ninguno ct P.t.~lI", col nrm~rJo rorrprt.;uIIPnt.e. Pf'r0 ningún rr<>g"1Im:t ('rt ,~(lp,,?' ti" pl·r·dllnf':nnlnn"r r.on nf'ntlcl0. F.n <\.Igllnf)~ p r co~r"m"r- "'r.t.::\ t.,r:" r.,.,. h;"1(' .... JIIf':ctl"nl.r 1111 p ....:'(',-1 11"1110 r:'1(1I(lo con n~('rl611 ('con~t.l\nt.ro. que .... 0n 6oport" :H~ en r<llGo no c<' nrl uC':f': a una h 'l r.n;¡ s01 uclÓn. 1,;\ m~jor t"f.t dt"p0n oe-r parCl 1", vjga ('In cUf'st.lón t.I\ nt.o t:'XCf':/tO d f': ('ant.o como 1/\ '11 1t" ~e n"'c",",RIt,ari:J ent.r". t.Od::\A las vt81\S 6l1perioref\ para pasar d e la l uz simple il In luz lcoll\l como 1'<1 ".1 Sop0rt,e ~st.uvif':r." eHminado en t.('da 8U alt.ur1\.

Lo rA?onahl"!' F.lp.rf lt 'Jl1"'J, hJ,.,n p.l prngramlt por ,,1l11lfIlIlO. o bIen ayud"ldQ por f!!l u~uarlQ. dlRpuRi~r" s610 Un01l Jll t rll'llldoB tipo. V¡\UdOB varA muchafl vigAS parectrl;u~25. n",hlcio"l dp.s"Just.f" nmni:l r lco, hast.A en un pórt.1co Alm{,t.rlco, lile Arlh<'ldnnu\ de <"JhOOB l "do ~ Ral"'n eltrp.rentes. en "dglln('\fJ progr"mAF.: con dllerencJ aR de ¡un! cE'nUlhet.ro. Kn g t"inerallas vigas el"", un .,.lemo t.ramo

27 tn ~d I flO:O/l:e:' 16n el . u,"~nt ... dp IIlr l ¡e:'Hlle:' ICln~. I'0r /1:.., ,, IlI n hnl lI:nnl .. 1 ~n l . . vlgllll d~ rl"nt.e ""J"Il , ep V~ <:,(l"p~"lIllld<;l 'J • vpe~ . . . mll ll do l'('Ir 111 dlll""ln"clon dI! ¡ue pe ~ff'<:'t IVII, d,,"ldo .. , " I..,,,,,nlo 01"" t ...... ñn d"" I ... e . rl'0rl .. .,. flor lo q" " e n IIIuchrtl ~!.t

28 tll rel'l ll" " " no . ... 1.' " . . . cOnf'eJl'lbll!'. tI c 411:" 1I I o"'f' '" IIrlll,, 01l1t .. "..~t, ¡{"t " pel el lue o"ten.. , un • • 0111 ... 1110 6pt h .... Pe t n el ellhten IIlUChll" vlf." •• clllr\.lIor ... "d. un • • • tltrtl'llllf' nt f' con I ndf'rf'ndl'ne:' I 11 de 111' d""IIl.' no e fl reel' e tar el l entido "el c.le:'u)o.

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U,ur. 25. Allernall ••• con lIoporle en '.1110

Con viene rpcordar "d"!máA que, el ee proyp.ct.... ~n zonA "(:;Im l ~;¡. e l usuario deM introdudr por fUI euen t." la l3obre~arga vC'!rti~l'Il d'"1htrl ... al grAr10 dI!!! UhArta d y 1I0ct(> rle ClRdl ndAn .., que cQrrp.Apondp '!I1 pUilr fl llmin ... rlC'I, p r obl e",a lIa1 coct.tflcArlo, y 'lile , t'!n la pr~ ct.ica, s ignifica la impoeihllidad dA que los progr .. ",ao sirvan p",r .. ElR t ft caso .

F.n tn r't.',yort ,"'1 .1"" 10S pr('>grilmas ElE" mtlf~flt. r .'\ P<"'r pl\nt.:111., u n r"rr-.tmlJ dI!': 1", salida d~ <lrm:vln ,,1 milE'mO t.\l!"mpo quP se l mprlm"'l, -·("'no ('c'\Of1k t.os r.t RP d f'!t. j p n e .... RPi " pAg Cl 1" jlflpre8nrA-. pe ro ~ In ('\pciñn p ... rl'lt lnt.f! rv p ni r . En pr.;rt k.l;lmpnt.p. t.()(I ,,~ .; parE"r.p. f'!n p;mt."na f'l r. \Jildro ct l'i t'lnp'7trt.~~. <:0n Irlp nt k('lB pr("lhl e mllPo. T:..mpnC'("l P(l ];, "nludóo ldp;¡l . F.n mtl (':h"., ti .. ", UOI'! h· ~ fII Pn f' nJpl't (l.~ r.r·cdón \np.lj f h:"J ".nt.~ ' ,'1 Op.:-h."I Px .... er:: l v" r. ~ p. m\t.",n tln m<?dlo d ... l il f".l"llot l'l , 1.) qu~ l., h ,;ct't In.HIl. yil qtln hllY <}U ,,", V01vr r il ""' mp .... ~"r. Lo ~ 1.'lIPnof'. progl'allli1~ Upn""n la . opd6n df'l f';('IU"tt.ar 1:\ ~aUda por c tI"'l'lulf'r dlf~po"IUv('o. p:mt.",Ua o l",presora. Ol!' CUl'Ilr¡uiE'I'" dE' 10Ft re~ul t.cHlos. 1nclt"'pif:" nd l ", ntf':mente d~ 10~ d e rnáet . NClt.ur abl ~nt.• • por pa nt. llU" f.'~ Irnpr ee f;'nt..,bl~ p1 )jflt.cll !O de 8olldt.ad,,0·'!I!I , aparp.dll!lnc\o ";st.as pn form", de gl·fi flc.:'Il:' . r.,·'n f!'Rh:~ rnl~rn('l Ri ~t,f':l'Ia puect ... n tambVn r~prO!'''' .... nt.:'Ir lae gr á ficAs dI!' f.' nvolvpnh!lR. d~formacl(melE'. et..;. \.C'n e lla ~. y IClt'I mt" n ~"Jp.R de e)(c-~fto de cu~nt.i"ll, flE".::h., f.')(c p!:tlv il, der.plom e ln 2'idE'c u .'ldo o "", ,- t:'\{'lO In s tlflrl"n t.p, ... 1 u ~ ll a rl o rUNl,. revirt,:\r ~l proyf'ct.o . y cr.'nfirm arlo ('1 v ... r\ ~ r a l guno dp l n3 d a t.r.~ ctP: "n t.rllrIA. ~.'.I ('l r u " ndo Prot.:'! de :,c u"'rdn con .. 1 ("." 'k ul<" f':n pro('f' d ... ;¡

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Aun '~ n l.'l(l m,..Jor,.. :;. p l· o,qI'.",m <H~ 1:'1 f"a Jt rt" P.r: l a el ... ll't< ~o ll ('lt. :\ C'l0rl f'Ft rl~ b",.rr~. p~ro dn d\huJ:'Ir la R"r.('!ón :¡ f.H: c,"\ l .:.. n1 e l t.rlln':""m l C' nt.o ctf' mmnif:"ot OB d e v l g:, cnbrp ft0POI·t.f":r. . j(. '1"1" dlft,'"lt.., v p rtf\f' .... 1' r:t ln r. rf'r;1I1I..'vlol". r;nn ~.,I.\ p. r ."\ct.n l"l'~A . rOl' nt,I", 1."\,1( :- .... 1'1 I " " PO-'I·I. " I~ n" ","n rtlR"trk.;llvr,r. Ir·:,: lI'Iom "' n l e.e:; e ln.' f3l.1 ,·",I.'\c l.'.n .q ]", '~( 'lI'Ipr-:> ~ l".n. '111 (' 0 0 roe n htJ"'n·"tl "'n l .; IIl Ir: m."1 v lf'i ... t.." . Qup ~1 pr(,gr.,m., rlll"ollJ...... rtv o lv f' nt.p~ no ' {'~ " c~rt. :ld(1 rn r, r'r ·· ' I' t,,~. y ., qllf' n(> ':' f: a!.gnJf.\ .:-."t.lv t'l pI m.; x1m0 d o C'"d., p.(\Udt.<'Id 6 n por P:~p~ r" d0.

6 . SAIJDA DE RF.r.m.TADOS

"p.

Ya sO"! h ." ",rn... l "n,,"" qu(' e l g:mC'hn cOI!II!'lI·r.t"l p: st.e t.lp(> .iO"! pr(lgr",,,,:-¡~ es 1.. etdlclón dlrA,=,t." de d~~piqr ('! ",. f e ro n i'lt.llr<lhn t!"nt."I 1" ~ .. Hd."1 .,b.,r<:,,, ade más 1 .. de p;r¡nt.:;tl1:¡, Inuy ú U l f":n lA faRe rle P1"Clyec-l0. y t.:~' ft Vll]orp.", lnt~rll'l ~d i o R qu"!' jtulU flr. .... n el cálculo . L.. vist.(lR ld arl dn 1""8 p ... n t.",]J;:¡R y e l p ref.' ''Jnt.",cl'''lh d ., r('~ult."do~ imlt.... ndo pl"no B c('\ndue"'l a la _ f ... l na_ lDlpr f'~ loo d e qUE! es como 31 @l orde n ndn r Ctl1cll l Ara de vl!'!rdAd. I,a pl¡.y ... t:le dA dlsPQI'!It.tvnft ,",p fl!ftcr.l t.u ra . "'arcas y "\st.p.m."IA (>xlg n;o¡ lOA progril",ns"~8f1Jer?:o co:>n:-:ld"!!rab1"" para c QmpaUbllizaree ~<:ln t.n,", OE\ ""ll on , no

s ó l o pant",Uatt e irnpr"'~0r:1(l [lino a ..I""III ''I(1. t.r",:o:adort"lR, <\llOI')U P. li! t.pnd"'n~ iil act.ual es a ell'll t.lr l ('1ft >i l huJ<:lF.t f' 1I p I C'&'lIgo que: p~rmlt e p.tHt.ilrl nR lrulp ~ n -' die nt.ell('! ntf' a t.rav~:"\ d ... 110 pr..,gr<1"''' ctp dibujo 3 A.t et.irlo . Ningún prC'g r:.m'!' I"!InH .e ].., ll'l IO! morla en e l .., a nUdo eflt.rkt.0 d.,l t,o'nnloo, elno só1nlofl 3nt'! J0~ de v",] ore~; no "rart'!cen hlpóteAls. crlt.f"rtoft, nI mp.t..... rlo, que. d e ede t'!1 punto df": vi nt.A ji ~ o:'!lIl1'1pHll'liento de 13 nor ma , n <:ln obHg",rlt;) A. NI

'."]t.,,,.

-f~

t. 111., por c1p.Ctr. uhdr I1n l"ou p.n Mm ti,. f\<'Iltda g rflfkil p.:tr .. cl:."flrftl:-¡I' ... 1 pt"'y,'C' t.n . ro(lrl" fH' r ... 1 ., ,- mOllo "" f (' I'm., fllm"'rt.jr" . I\nt.,.. .. ",t", [<lit.." (' n IIl1ch,u' (: ,,[t o~ 1"1 1I r. II " rln p l'l'iflC' lrlllf'!' t1~ pE"c11t, la tt~ U¡\a t.lpk .. rlE"l pr':'gr.:\!I'I·;1 , 10 h ilc~ h :locl;, t.r<l?<ldo r. y (':(·nftllltf'l ~ inc lu so h .. c ~ l op C;l mt- I(\[; (lport.un0A Il t.r,:wps rlp.l 1'l'''8r.:\III<'I rle ctlt-lIJ0. Nat.u r<'l l tnf:> nt_e f'~t .. opr:- i6n E"xl geo cal c ulnr <'1 m.:\n ..' 10 ft ..~a mhlt'lEl. ¡i;"

01.

6.1 Llnt.ado de nollelt.ndoneR En PP.t,f' t,t;'IIl(\ l o~ p rc.'U' ''II'I :'tft !:ton t:lp.vnr llrlor pfI (t" p;'~p"l . I\nn IIn a pst.rll c t.ul·a mp.fll.,n " 1"111.... 1...... )( lgII · .~nn mu .... h ofl. d" r l1 <)J!:. \I!'IOft C'l HlntoF cpnt.~ n E'rafl de h ..' J"~, P"'I· f ~·,."'t."IIIrn l . p t1,~g lhl ('r- y <1 Vf'ct> n lmít.l1 es. En mtt('h t"'''' C:'l~0f' AP. 1I 0 t.,. tlP. los rH~p(,rt.C'fI sólo 1o f' m;'í xlmo A <:"1 pfl r.11I'I 0(l d I" C'OHI" s0lt('lt." c U"n p0r r."'p.,r., d o. l o qu(' no t.l p.ne ftE' n t. ldo f.'Ft. ruc t.nr" l, y qtl e no permlt.f': ,'(' vir< ." r n i r('c " I cu l f'lr n "el,;. F.n o t.ro ~ };H1 II'I .; I( I"'}lr. " ... r f' n "' r"'n v ."I~:'t m ~ nt " :11 ('rnt !'(~. f'111 r:;ohr r p 1 plint.o "XA,~t.t'l (lO"' prn.I\lrro. p.'" 1" qlll" PR lm('t .r-Ihl p rf'v l o:\ r 10 ft c;'\ 11"'111 ('I 1't .

L~ II<tYClrl", de 108 prc>gram"(t nCl r1f'Jan .'1J UAU;"trlO elegir ,.1 fOrln:lt.n elp-

oa1\(13, para fOleglr Pt"f'clfllón,

('1

Cnn pI (lPRpJC>f!l'" P ,\f1:1 a1go p"ir(',- It'o . SI .·1 'l !"' n ... '·I .. llo""> <-1·"Rld.-. pI,'·n ..... ,·· t.r,ml.-.-:--lonI11 lnt.r;)~l~don"l ';'] pr..-,sr"m:\ 11f!! lI",tt.a :\ .",pUc",- h l1 ,-t>gl<lf' par'" .~llo, p~I'O nunCA confirm", ptxprf>~ .. mE'tot<?' ~I E'I d(!flplomf;" E'f": ln c(O ng ru~nt.~ . . . t:'!fI ~ a-'lp""BlcJ6nJI. ---~ - ---

AUmln<"lr eoUdt,nc\onee no Aignlf1cAUV<lE\.

-COitO t.("II'edCmeR en soport.es y vJsaB. o re.,cclonee horizont",les o momeht.os

en cl .. ent.ac16n-.

6 .2

1118\1006 prosr"m<,e: ni R(> molef't.an en cOlf1probar ".flt.<\(k, de flfmracl0n. Di .... n e6 vp.rt1r.1d qUE' c("ln 1.'\ nct.unl norm:t FoII - S8 fa ~of!lproh"c l (,n ¡JI"! hl)riñl.J¡¡:0nQ~ ~!l .... 1 .tnt.~ rlor fh~ r."dlflcnch.\ n eo oJlnpJe'lIIcnt.e cU~Btlbn dp. no ;¡rm ... r ron ItlfullP~:!-ºJJ_ srnndeA. romo ~20 ("1 9125. Sin ~mhl1rRo ~fI oor.prr.hono qUI"! ,..1 ('roRr •.,m", '!.9-...e!:.~g!!!11s.-61 h~"lY hormlgon nB ylf't(ll'l ~ 111 e l nmblf>ol.f" o no m",rl n("l , "'n C~YO_~BO E:' mpleM a ser cr!Uc("I h",et.1t ,,1 t,ilJ.!i.

HenaaJon de cálculo fn.r udo

It 10 larso de la salida. el programa emite lI'l~ne:",J(,!f\ pClr" lndlrnr .. 1 usuario que no ha haMdo éx.H.(l en el cMculo, en 8p.nE"r ... l por f'!XC'PIH'I (1", cuantin que no cabe o n('t

RI!I

pu'!'!de organ17.ar. o .. tll'lpll>ft'I"nt.... q.,,..

rt l1p.... ,·.,

ulnchru do.

ordeudoru

I'IAxill'la perlnlt.trla. Correeponrle al uBu<trlo decidir qu," :~.' . OI ,I'\a ~ e,',mo. aunque en "uchos casos no es fAcll aaber en qué d1re('cJón hal~~rln " Ee en el armado en donde infO:l"t.f"'n InA~ ]o~ progr'''"I'IR, porqllp. (lp h echo ee -cDe:i- lo (mico q ue desea ~I Uftuorlo. Y es en ~I armado pn dnndeo Ae detect!ln 11' mayorin de errnrel!l ReHal.,\(l{"lA e n anteorJor", .. apilrt."'doa: confu (:1ón de! anche> tle viene. ~{"In f'o] de eAt.rtboo, nUn-,acloo d", f10port.,..A, rh'f1pl p ce lrrad.on1l1 d ... arm"durn y (lA E!R t.rlhoR, 1'Indnjf':r- lmpo«lhl('1r1. {"n ... de .,rm;\(t0A de ábaco, etc.

Cada progrtuna tiene loo 8Uy08 propioe, y corrpsponden R loe proNe1118e que el progn""" no e:~ at.reve a c .... rrp.gtr IX"r 10'11 ("upnt.<II, porque en IItIChClS ot.rCls el progrAIII" pl'ft~ II ot.ro rltAllI~t. r('l. dt~P<"'n~ :"'11'1.',,,1('1 dp t;"OIllpr<!'lst6n. o en dOR C8P~S. plllSl' l' fIIAl" r<'lfll"'~. et("', F.n rigor t.1\lp.R "f"'"",,,,j'!8 reflejl'n el cmnpo de d~econlX'lf11t(> n t.("I dE'!l pr.,grl'm~df')r; un ",xp~rt.o eabrlA 10 qe hay que ('orreglr para sacar adelant.e el dHculo, ftunque P8 poelhle que pidIera conf1rmación al u8uario:

Cada VE'Z Be paret;'E'n .. Ae 1ae ~"llda8 rlf!! loe dlf€'r('lnl.E'A progr" .. ae: U • lo al meno e ha creado tln est.ándar rl~ referencia. Pe>ro "",n lo qUE" rnfi ft "dol,!"C' pn 10(1 p.r;qup m",e '""~ :11' m-",""o etl en 1", forma d e repre>f';l?!nt",rl(.r,. Al margE'n d~ lnttlca r cada arm~dllra y. RU t.all'laHo. el r.o njllnt.o tl"" p\I("dp n·rrpf'E"nt.-"r e-n ab:~dC' o plant.fl. AnUguamPonte, y corno ~e flr.U!Ua a dobll\r barra3, pi\sfindolae de I ,"} c:.r:" JnfE'!rJor a la 6l1p .... rlor y vkt>Vp.rAa, e-rl'l \mpt''''"dnrllhlf'' )" n~pl·p eent.l'Id6n en .,lzado. C("lmo :.tl .... m:'i!1 1 .'\A vlg",1'I p.r"i" n""r."Aarl.",II'I('Ilt.P ,""p (",'\nt.o. trr l"i lPovant.f!'. p""t·fp c t."mpnt,... r("Au~It.... y fuprt.t>. 1.'\ tnfol'/llo"lctbn ,..n r','\nt.n 1\ t.r.",v'&p. dE'! tllguna I'nr.r1t'.n t.lpo. qu~

Ceda progrl'1I'Ift se queda cort,o E'in un08 t.E"'lIae y largo f'n otro!:'. AlglmoB no tftllan cuando no Be puede arfllar con el dláll'let.ro elpgldo, y pMHm ",1 ftuperlor eln con8ultar. 1n~t.1endo al ueuarlo en un hrete con el anc!lt,Je. Eeoft l1i8.,08 programa8, c\ll'lnd0 la secd6n,de un eoport,e es insuficiente no pasan a la els:ulent.e con loet crlterloB del 'frE'!dlln€'ne:lonado. ~'-r'

L"s l>l'Pn(l,. prOsrJHI'I",tt ~5(ln 10B que no df'ljltn de d"r todos 10,15 problemas pl;mt.f!ad08 .

un~

"olu('lro

.,n,

lit

8.3 Co.probaclón de fler.h", d.,sp)o.e ,. flnuractiín Se tratan aqul e~ton tf"'mnf!t. y no en cálculC1, porquE'! la I!",yori.l (tE" lofO: prograllae: oe llmltan " indicar 8U vftlor. como Alee t.rltt.ara de un ... ROllCIt... ci6n calcubd",, ttln hacpr nlng'Jna cOlllprobadón. Pe",.uu.<I cl:lrt~S'_ qu~. po!:.....,..--.J.. e j e mplo, B1 un prograna detect.a que no es vállda'Uña ar madura dE" 2¡t;l2: la calnhle por otra ad"CUlula nln conAult.ar ni UI:: u~rl0. ya qu(' e'6t.;i proRI·¡:unado 10 que Hen'" qUf! hl!l(,f"r: c.i1tcular In 11t'lIIftdurll pl'lra cUlllpUr lor. r",qul~ltoe estructuraleft. Con fif"C'ha loPo progrl'llll1fO: podrlan aument.ar la Ilrllllldu ra hl'lt't", que fu~rA tolerable. pero f!'n g~n~ral no lo ha~en. Algunoe: ni Blqul~ra IndicAn BU relación con la luz o ~I valor lbllt.fII tolerllble, y por supuesto no emiten .,ensftje alMuno sobre ello: !"--r1sor no calculan ne~~! :)o.

F.n la a('t.lIalldad RI!" construye mayorlt.Flrll\lIIent.eo con vIR OlA plllnae:, y, como sO!' ha dicho. A~uno de IOR programas incluso 10 Sllpo n ~n Inlda]mpnt.e "r.1. E\.,lvo 111P Re dIga lo c("Inf.rtlrl("l. T:únpn("o ti., ftcud oO a d("lhlilr h",rrfltl, por 10 qu P ~l IIr mntto flP. d('(1cnlllpnn", c11\rflmE"nt."", pn Inf.-rlc>r y f':up ... t'lc>r. P0r ,.,t.ro lado, la !nforln:tclón e n p lltn t.a ~R tmport." nU slm", t.odi"l V"'7. qup. '1lglln"f~ dlRpoRtctoneR ... nclajAA. m-"neraR dE' ("nfrf"nf.",r II'A un t·r.",mo ront.r:. 0t.ro, E" t.c. pueden Rer c("lnt.r1'lrj",,,, :. 1",,~ hlpót.ettltl dp cálculo.

y Istn emhargo J("Ip. pr("lgrflmaR ",tguE'n t"prrel!lent",ndo eblo '!'l 1117.",do de 1.'\5 vlgal:' y no fluR · pt.",nt.:"lfl. r:ln I.nrltr:n quA hnr."r cc>n la armadurll . Lo mlr.mo s ucp.dp. con el efltrJbado. En ",Izado no d\c:€' n<ld,,; ltII ln{C'lrmadón itp.dr.lva f'Ettá (' n planta, E'n c.6mo eortear 10(1 pUares. SI 1("16 pIEmos ¡Je armi\itura 1'IparecE'n en alzado -J8 sallda hahltual- ee 6E'flal de que> el progrAma no Hene Men previsto el C8tlO de vJS"''' planas.

............'-.....

2. l. f"u,.leo .1 ell"C> Itel "f'tJ'f't,le tlJu: •• lv.lllenle er ... ado 1'0' p"nlteo. que .. 1 aulllt! nta, s u a.f"e l~n ",r"ya .1 r,ohl.~II. 11 clllcullala avet.do s.be que 10 que ha, que h.ca, e • • vlllenl., la secciÓn de Ja y, ••.

"(1 ••

30 C('In 1I".1!10 • 111 "cllt,,1 "('0'1111'1, "de .... pvelt. ("lIlnI1,,' f"orrecla""n'" la rlef"h. - la a ctlvlI-, .1 el pro .. r .... no ",e,unt. l •• teehll. de loa .al:lllone. de f"IH.a, , al el solado e. ant.,I('Or o poet.,lor • 111 l"bllllle,IA. , no Jluede eOlllprob.rle el no .f1be al lo. el ••enlo • • • tllblqu.r'a .on poco o .ur d.A"., ••.

ordtudottl • 11 ' 11

III

31 En "¡(un,, .u ".rvl . IÓn d. rr<>,~("ln" a. tllI .n("(lnlrado .n el ¡¡atado de .al ld a la Indl c"c lón d" h,tr."I".,¡ ... n" l, p ~ r o·co n val('r" .. "" "" .. pi",,,,. "'\Ir ''''Jlerlolee 11 1/750 de 1" alturll, .. In "vla<> r"'rr""o df! ello, ,1"t>lfln"c> r~YI""'.e" .. ftno lod". 1". rie',.. ... 'f'to".C"lIn"o f'nlre "e ... "tc> .. "e e" lid" .

...

Yo,

In;'."

~~ E.. pOlllble que circulen t('davl" ~('''¡'''' .,~ un rr ... ,rll"'''' 11'." "lhuJ,.. '('da.

YI,a. del 1II 1,,~0 I"",,..ño r. ... n """rlf!c"f!" .In "a(".I. rrrn IIc"'I\clonll!a cnr(II!C"I"a . •• lr.' •• la e. ,ech.r."lol" por el (ra.,o dft contllalón qu. pue"" (~nll!( .. r .

,/¿/ "

ordelldorel ExistE'!n toelavla problemafl de descripcIón ele la E'!"t.ruct.lIra re"l ,,1 progr ..... a. Lae aco ..etida" de eacaJ.,raa, l<>R propine cambIos de Recclón en soporteR, enfrentamlent.ns y allneadón de vigao, et.c, hlleen que elcalcu)t,,ta deba ret.ocar baat.ante las salidas parA adecu:'lrl"H' 11 la <>hrll . Un plAno de ordenador sin añlldldOE< e"U\ ,,1E'!l1pre incompleto, cuando no eq\llvoc'\lfo. lino de lo .. aspectos no "el'la)lIdos anterlorment.e e" el d", un IlÓrt.lco I!!caba contrI!! un pafio de for j"do. Incluso en el c""o d ... vlg" <1.., c.~nt.o, .1 0 adecuado es ',"cIar las arl1lldllrne en prolongad"'n "obre l ... "'''p.''' d,. hot· m186n del forjado; por dohllldo en el cant.o se nRura y d", .. pcg . . ,,1 IIn<" ,lo, la otra. Sobrf! t.odo en eat.e CIIRO "on rechazables las armaduras de 9'20, qll", no pueden recubrlrse adecuadllment.e.

Q"'"

6.6

"edlclones

El otro aspecto en e l que le importan al u l!luario l a s " aUdas es e l de lIediclones. Teniendo e n cu e nt.a el macizado por fuera de 10 6 estribo/<, la elJIIllnac16n de los que Re nece"tt.an al at.raVA .. nr .. 1 Boport.e, 10" .'1nclaJes inadecuados, el ajust.e n llls condlc.tones de tamaf10 de 8<:>por t.c y ele con t.inuidad en los extrel1os, et.c, y los innumerables ret.oques que hay que hacer tras l a salida de ordenador. "U utilldad es lIIáfl Hen escasa, flólo como orientación de cunnt.ias, AlgO que puede sAlw>rse desde el principIo. función s6lo de las luc.... y cant.os manejados. Es una mala práct.Jca, -<tue propIcia este tipo de progrAmas- , no hacer retoques en la salida para aprovechar las lIediclones.

8.7 Cuadro de caracter1st.lcaa Rn general todoll 1011 progrAllas vil!'rten al final un cuadro de CAracterl11tica8 de lIaterialell, mayoraclón, E't.c. Conviene leerlo det.enldamE'nt.e porque, con el sistella de menú/< es posible que no I.<ean congruentel.< r.0n )08 que el proyect.o inelica en ot.t·o[J tdUos - memoria, l1ediclone", unMad <1e control, etc-, o simpl~lIlente con el proyecto - nivel de d"l'Ios, de cont.rol, etc,- . P;nuel lntf'nto de compet.1r, rel'uIt.a habitUAl que los programAS .. e apunt.en • "In dAjarh. opción allll!llarlo. a la reducción dAI 5% en el coefIciente de lIegurlelad que permit.A la no rl1 ... cuando "los est.uello", cíllclllos e hip6tesll!l sean muy rigurosa", con"lclerAndo t.odal' lall soUcltaclonf'!fl y f'U" combinaclonell po .. lblf!''', '1 ef't.udlando con el l1ayor det.alle 108 anclajes. nudo .. , "nlllcel.<, apoyos. et.c:· at·gum ... nt.o, que de I\cuerdo con e"t.o!' comentarlos. la mayor18 de los programa!!! no pueden I'!sgril1ir; probablement.e s610 un calculillta senlllble al contexto pueda benif1c1ara .. de ello.

33 S. . . upon .. . " ....". 'Iu .. ,,1 1"<'I" ..,a ". hon ... to a l clllcuh,. lidIo hlt o ,l a que a ' IndlrftrJe ~J pro.ra~ . eaefl~lente '.ual • • ,' cAloulase con 1,5 par. que fuer ......

r""I'~tjtjV(1 .

estructuru do.

7. APRNDlCR sonnR RL "ODRI.O DI IIOR"IGON

7.1

"011010 do nudo

F.l modelo de "nAll81 .. supnne IIn moc!",]o d .. n,,<lo . En "c",ro ",s rllflrl1 que en h, pno;..,t.\('a é .. t.e c('>I'r""ponda al t.tpo rigldo, pero en hormlgion 8" ha vp.nl<1o \.l·.~ h~j.... n(k, ,,(,me) ,,1 1.. " nudo,. 10 fuer"n !'In "omhra d .. d\l<h. E" <l .. dr que ",1 gIro d", un" p.I ",?a IIrraflt.ra lrl ... rf'ct.lhlement.t> 11 laR eI"m:'!" 111 mlr.mo valor. y nAda "" mAnOI' clert.o. Por 10 que r espect.8 al proce!'o con"truct.!vo. cuando se hOI·nl18onl.l un tramo de pUlir. Yl\ ha fraRu .... elo pI pl60 l nf .. rlor, s opo rt.a ndo Al meno /< " U pE' SO propi o. In piso y E'l soport.e que l o su"t.enta ya ha n g.lr,,<lo 1Ilgo ",Ir, Intervencl6n de l tle f'nclm'1, pO I' ~nt.once" ln .. x)"t.,.nt.... Pero incl'lso en la const.rucci6n del piso superior. el movlmient.o en caheza del Roporte rec1~n h ..cho, n1 está coart.llelo, ni corresponde a una barra con ext.remo r18idl.lment.e unido a ot.ras, por la que tampoco esta carga vincula A todas laa plezas 1.11 unIsono.

y P.S peor todavia . Aun CUAndo hl6 v18as y forJado de la planta se horm18onen conJuntl\ment.e , -lo que pe rmite albergar pocas dudas en cuanto a la rlgicl",;o; ele unlllf\ cont.ra ot.ras-, el lIoport.e Inferior y I'uperlor del mismo nudo proc"'elen dO) horm.lgonaelos dlferent.es, las más ele las VP<:'E'!" con juntas marc'ld"p, que pueelE'n ml.c rortsur"r ror retraccl6n. efl t.ando pnJ.,;o;ados a) conjunto ".)10 por 1.... 8 "rmaelur"", qUf' mlll"mcnt.~ rf'mf'd:m 1.... " ""nrllclon"" de un nudo r(gJdo. Cu.,nelo hay v:\rt"" plnnt.lIs E'!nc1ma, 1" t.e-n,,16n d,. comprc"lón slstemát.ica que produce su carga puede dotar al nudo del carácter de r181do, aunque mál' hien no por la re-I'lst.enda a trl\cc1ón fimo por la po .. IMlI.d:tel el ... p"'rder compr p sl6n, rf'n"'meno quP. t."mhlén .... pro"u r ,. p.n mur"" " .. fábrica y en 1"" unlon.,,, "'nt.re ,;,,1 .... 1'\ y Ion forj .... <ln.-: el .. m;l , l<'r .~. "unq<l'" " prlmprl\ vlnt.a no r.<' pll..,d"n f:'on"lelt't'"r como unlonE'!" rlgl.bn .

Pero en lo" pl"os m.:'\" alt.oR, o E'n.los nudos .. xt.rpmos, -·pn lo", que son predeclhles compre"lonp" t.an f'!xcÁnt.rk ... f' qUf'! exlg p " t.r"cdon .... -. 1" 1'0hexl6n df'! sopor' t... " ,,1 nudo elE'!Ja ele corrf'aponder a laa condldonf'!" ele un I<611 c.k , mon<:>1I1.lco, <l"J.'m<lolo c')mo nudo rlgl<io. ppro con 1:'1 rlglclp? <le ",I,)n la6 armadura" p"""nt.e" entre "oport.l'!s. Otra ve? "" produc" 1" par"eloj" de que )<,,, eat."dos Inele-.. eablf's no ",e aleanz,,". Silos S0port.ef' 50n muy rlgld06 comparl\dos c(.n las v18as toman mucho momr'nto; si t.al moment.o e'" InelE'seable, - ya que "'o n In pOCI\ compre!'l.')n E'x)"t.ente el ... lugar lO mucha Armadura-, el nudo e" mucho m",nos r1gido ele lo supuel't.o, y no hAy '.!lnt.o mompnto, ni neceald"d de t.nnt." nrmadura. De acuE't'do con estO'" coment.arlos f'eria def'",,,hJe- qUf' 1t)fl programaa de cAlculo elf'! pórt.l..,oa incluyeran alguna reducción de la rigidez pl\ra aquello .. soport.e" en lO'!' que e6 prE'vlBlble que, de no hacerlo, t.uvlpran un moment.o inadpt'uael"m"'nt.e elevado. E"ta rpcompndac16n lIfpt't." fund"m .. nt.i'I}mente a lO'S dE' última planta. y qulzA a ]"13 d06 o t.re", úJt.lma6 en el E'xtremo de cada IlÓrUco.

ordtudorn

7.2 "odelo de lmAlloIB El modelo actual de cálculo en hormlg6n arma<lo a<l0lece de unR Incoherencia básica. Se toma como criterio el de et't.,~dt>t' til f:lm,',., aVf>rlgunndo lae BoUcit."clone6 que 60n Cl!lpIJCeB de eoport.1\r ]n" ... p.r.r.lOI1"!' "n .. 1 lJmltede 8U6 posibll1dll<les. Pnra e110 8e echn mann de .t.(\('ne ]M' no IJnl!'roHdades y plast.1cidades imaginables. La capacidad resll'ltente asl obt.€'nldR corresponde pues a rigidez nula. Pero el AnáliSis de 18 estruct.ura. con cuyas eollcitaciones de cálculo se ajust.a el dimensionado de las seccione". 6e hace ¡.ara la cllrga de cAlculo -CArgaR lIayoradAs- con "' ......1"1011",,,.. ]. "n "1,lIillen elástico, y con rigIdez /!rcotada . Naturalmente IInl.,·" J-, U-·gAr " rJlI<lez nula ee pasa por pérdidas IIraduale6 de rJ.gjdez, y lógJcamfmte f'!n unas n",cclones antes que en otrlls. La conclusión es necesariament.e que para la carga de cAlculo no ee produce el r"ghnen de eollcit.aclones de cálculo SIIpuesto u . A dIchas sollcitaclonee se llega Bólo t.rRs plasUflcaclonel'l que demandan una ductll1dad no bien demostrada. Como pretext.o para E\1f>lIlr las arlladuraB va]drlan lIuchas otras distribuclonee de sollclt.aci6n. sin necel<idad de qUe procedan de un cálculo matricial a partir de la rigidez eUet.1ca de cada pieza. Pero adelláe, elanálleie ee hace con la rigidez de s610 el hormigón. IIln la Int.ervención de la armadura, y en piezas a flexión. ein 11'1 pérdida del hormig6n traccionado. En dlReftos robustos e6 posible que est.a medida d .. rigidez expllque cad toda ]11 hlet.orla de cRrga, pero entoncell el cr1t.erJ<> de e6tados llmitee no ell coherente: sillplellente se t.ratA de que lae 80llcitaclones de eervicio ee 80porten en cada sección C0n suficiente 8eguridad, pero no que, de aUlnentar la carga en un factor de sf'!gurlda<l. 1.. ef't.ructura fuera caplllz de eoport.. r lae f'oltcitaclones result.nnt.es. F.l proce .. o de mayorar acclonee enllallcara un eillple 116t.odo de cftpacldades re8ietentes adlliBibles. En estructuras flexibles, como eon en general las vigas plan"s y los forJadoll de edificaci6n. Re puede dellostrar ,que la 80llcit.acl6n de fisuraci6n no llega a cubrir ni el PElso propio, y que l/ls solictt.aclon€'8 últ.lmae llegan a reba6/1rlo en un factor incluso de diez. En esas condlclones la rigidez bruta -no f18urada- ni BIquiera es capaz de reprorlucir el comportamiento en faee de Rerviclo. por )0 que 108 re8ultados a partir de la rigidez e6lo del hormig6n lIalallentl!' pueden eervlr COIIO conclusiones de anállsls estructural. Y ein ellbargo COMO talell Re han venido tomando.

ntractaru do.

La Intro<lucclón <le- méto<los <le cálculo nut.omátJco h" P""''l!·o pnr "horn e-n crl sis la rigl<1ez " compresión, suponl",n<lo -como s"! 1", el t.,,(10- '111" 60n mflB nAbles }AR conclu"lon.,s <le ",uponer)a inp.xJr.t.ent.... q"" tOIll.,rl" "ñlo Cnn e-l valor d"l hormigc'n. F:n for jadoA "'8 cláB\cn adoptror 1"" Fool.ld t.ad0n"!R como Re de6~en con tal de cubrir 10ft VftlOreR IRo",tátknr- pl·or.prlf"nt.p" rlP V,s c"rgal', y R'" .'rm"n ,,,,~ ple?aA f"'n conRecut'nda, "rlmlt.l"nrtn q"". con RII exl.relll •., flexlblUrlnd, la rl"ld,,? "Iguf" .. la form" rle "rlll"r m. \n '1"'" 11 ) .... for mA c.!" ]A n",r.clón d .. hormlglln. Prohnblt!mf'nte 1.... IIt.IJI?,wU>n ma'llva rl" VIR"" planas permU" en breve plazo a·do¡.tnr parp.ctdas conrluRI0n"" pAra e"t.... s pieza". Con pilo pI an!iUflis d" ..... t·ructuras port.1cndas cambIará r"dlc"lment.e, nceptando que 10 que ahorll lIe hace no es tanto el "n!i]ü<!s de sol"'lt.,,<'1on ..... d"hlrt.,,, " 1.'" cargAR, romo una dlstrlbud6n rt", c"p"clrt"d..,s reRlstenle", t"l"R qu". tl'lHI rot."c1on"" plár-t1c ..,s conl.rol:ldIlR. p"'rmlt."n soportar las cArg¡¡B <l", cálculo. y qUe tal solución no es ni la link". ni posiblemente la mejor. F.n A] inst.ante ad.ual. en 1011 programas de determlnaci6n de solle! taclones con la8 que procf>cler al armado. podrlan irse introduciendo métodoe a part.lr de rf'!glas slmpl., .. pRrll c1h.t.rihulr los momentoo illost-'\t.lcoe de ]a carga vert.lcRJ, y para repllrt.h· ent.re los ooporten los cort.Antf>1I procedentes d<!l ]a Rcd6n hor.l>lont.Rl, 111111 vez RrmadRs lR8 ple?8s. Be podrla proceder a un recAlculo -aunque tr .. rl,. lIejor <lenominarlo comprobar.l6n. ya que no qued"da nada por cR1cular-, Mediante un Rnálls.is rlg.!.'roso. Rdoptando como rigldeceR las máo rf>"l1Bt./H1 de hormigón más armadur". y t."nlen<lo en cuent<l ]a fiAllrac!ón de he zonRS traeclonad"o. Naturalment.f> Aeria un análisis no lineal mucho más complejo que el actual, que, R la lllz de estos comentarlos. queda dp.Rprovist.o de senfido. En buena me<llda. 111 In", reglas oper¡¡ran dentro de márg"nee oonservadores Re podria Incluso obviar €'ete análisle compUcado. dando por sentado que RlIS conclusiones vlll1darlan las e ... trllct.urR" proy.,,,t.,u'nn . Cnn .,nte pl"nl.",,,ml .. nt.o, la pr0gr"m"clón Re lImitllr{a a npLlcllr, R lA det..,rmln"c1ón de armadura",. proce dtml"nt.o6 fin la Une a dp. los usados p<lrR el dlmen",ionado d", las secciones rlp. hormigón o en la df>acomposidón de armlldurae. dejando el anáU"I .. mRtrlcLRl para la investigaci6n, que seria la encargada de formular dichRe reslas.

8. EPILOGO Si para el cálculo de secciones no se u8a la teorla de la Ela8t1c1dad. no elll licito URar para el análisie de Bollcltacione8 el Cálculo MatricIal, toda vez que loe coeflclenteB de eete lIét6do no son sino la IntegrRclón a la pIeza de 10B cOllportalllentoe IIUplI", .. t08 para cada una de las seccioneR. SI para el cálculo de la armadura de la eecci6n se U8a un modelo de estado 11tnlte úH.lJio, el cálculo lIatrIcial no tiene base. 3. Una de 1 •• paradoja. cl~.'c •• el la del .oMento en el loporte . ~l l. Ar•• dura de .1 ••• ae dl.pone p •• Anle .obre 11, uno de loe JAdo" posee e.ceBO de •• ,urtdad. In el pro~e.o de car'ft le II~r"r. ant •• en \Ino de )01 do. 1ad08 al .omento de .Cot"~'~nt~. ,rn "UMento .alciona' de carc_ n~ ."pondrA ~Ae .u~ento en un lRdo, pero e' I'oelr" hAcprlo en.l ",tUl, Nalurahnf'nte el et)u'l'hrio ('Ibl'r~r' a que el eoporte ~d'8Mi""Ja pI ~o~pntn a. RUMentRr la carCA!, , par. l. carCa de a,ot.unlftnto el .op<,rte e. qu.""r" .n co""rree'ón .'~ple. ,Cutl ••• r' entoncee eolteJtRctón "Po c"leulo d.l .oporte: la fle.16n co .. pue.ta con cOMrre.ión parc'.l, o la ~o~pre.,ón tolRI e'-rl.'

ord.A.dóru

Para ueRr los prograllas ('omerciRle8, e" preciso t0mar una Rerie de precaucionp.s. que en algunos caso", pueden Uf>var '" rechazllr el pr0grallla o lImitllr severament.e 8U campo fle apllcllclón. Los aRpectoR ..,AfI deRt.ac"dos son: En' la Intro<lucclón de dat.os:

1. La asimilación <le In eet.ruct.ura a un si8tema dp- p0rtlcoe -IndependIentes. pRral€'los o f'spaclales- es altunt·o <lel pr0Yf>ct.IRt.a, quP t.1ene luego que Int."I·pret."r lOA reRult¡¡doB rt" "cuerdo con .. 1 f'rllflr.lo. La eRtruct.ura no es el conjunto de r€'(¡ult.Rdos <le saUrla dol ordenador (véase "partado 3.1 y 6.5)

or4eudorea

utructurll do.

2. Si se reellzan alteraciones en de",orcl'm, es convp.nient.'" repasar todos los datos de entrada en orden para verificar los introducidos reallIente. El aspecto de la pantalla puede ser engafi080 (véase apartado 3.3).

14. I\\lnqll" (") pr0grama llcepte vl~iI« con""',..IIt.1va" ti", ellf",rpn l." fl.N' ción, es muy probahle (véase apartado 4.10) q\le no pu .. da t1Sarflf> para .. " ... propósito .

3. Si el programa no dibuja 108 pórticos a escala conviene hacerl<> en papel para no equivocarse en las decicisiones y datos de entrada (véa(;~ apartado 3.3), pero el programa es poco fiable.

15. Conviene cerciorarse c6mo cons1clera el programa las secciones de vl.gas (véase apartado 4 .11). Para definir con rIgor IIna vIga plana es p0s1ble que hnyn que aClldlr n descomponerla An h""tll tres t.rilmo", el .. " .. crli'>n c0n"t.ant.e m... tllnnt." IJoport... " flct.ldos y Ilf>cclonf'l" r"('t.nnl!lIlar",, ",qlllv;ol,..n " tee, en el extremo con ancho no superior el elel pllar.

4. Ee preferible no dejar dillensionar nunca al programa, sobr(' t.odo si hay soportes en falso o en el caso de vigae planas, (véanse apartadoe 3.5 y 3.6).

5. Conviene tener en cuenta que en viga e planar. ",1 :>n·'h·· , a ('fectoB de cortante y lIomento negativo, es el del total de horml.cón. Si el proRrllma lo confunde con el de estribos, hay que llevar cálculos paralelos para potRO propio y estribado. El ancho de vigas planae consecutivas no puede variar sino a saltos diecretos eegún el tallafio de la bovedilla, (véase apartado

3.6) 6. Si se disponen vigas o soportes ficticios hay que verificar romo se calcula luego la necha o el pandeo, (véanse 'apartados 3.8 y 5.9)

En cuanto al anA11sie: 7. Si el programa no consider8 el tallaflo real de las piezas en el cálculo de la rJgJdea (véanee apartados 4.1 y 4.5) no debe Uearse con oantos de viga o eoporte superiores a 50 CII.

8. Si el progralla coneldera acort.allientoe por compresión (véase apartado 4.2) no debe Usarse en edificaci6n; puede usarse a efectos de investigaci6n. 9. Si el progralla no considera la rigidez a cortante (véase ap8rtado 4.3) no puede usarse con soportes de ancho superior al quinto de la 8lturll entre plantas, ni con pantallas. 10. No ee puede shlUlar un eoporte lIetállco con uno de hormlg6n de igual inercia (véase apartaclo 4.4) salvo si se estudia a mano la incidencia de la lu7. de cAlculo, 18 rigidez, el truncamiento de lIomento y el ·pun7.onaJIIiento en su derredor. . 11. Si el progralla supone Jntraslaciona11dad no hay que fiarse; si perllite elegir entre traslllcionalldad o intraslacionalldad tampoco (véase apartado 4.6). Hay que cOllprobar lo que dice el manual, y probablemente deberá asumirse eete tema en memoria bajo la responsabilidad del proyectista. En ·todo caeo conviene comprobar a mano que el desplome en cabeZa es inferIor a 1/750 de la altura del edificio (véaee apartado 6.4); si es superior, hay que aUllentar la secci6n de vigae y el tallafio de loe soportee para reducirlo.

16. Si, con viga" planall, loe momentos o armaduras en extremo de pórUco son c0mparabl("s a )as de los nud06 interiores, (véas(, apart"do 4.12), ("s recomendable el rf>cálculo disponiendo una articulaci6n entre viga y soporte. Respecto al cálculo de la arlladurlll

17. Si en un tramo norlllal aparece arml.lriura de compresión en el vano (véase apartado 5.1) ee posible que el prO,rAInA no esté con",id",ondo corr("ctamente las secclonee. 18. Si en el extremo de una viga plana aparecen redondos 9120 o tzl25 (véase apartado 5 .3) el programa no IIRb" oalcular anclajes o engafia: hay que mirar con cuidado llls cot.as, coneultat el lIanual y procurl'r forzar el uso de diámetros más bajos o disponer una articulación ent.re viga y soporte.

19. Es conveniente comprobar que los armados de extremo c"ben dentro del soporte, si es de hormigón, o IIlred~dor del 80porte, sI es metállco, o procurar forzar el uso d., dlAmet.r08 IIl\e "hIVndos, pero teniendo en CUf>nta el punto anterior. 20. Si, con vigas planas, el programa deja de di",poner estribos dentro del soporte, o los dibuja cA,,1 del A~cho de la vigA (véase apartl'do 5.4), éstos deben recalcull'rse a IIIano. 21. Es conveniente arreglllr8elae pAra qllf! la armadura de f'oporte f'el! ",1empre perbletral, (véllse apartado 5.5). Con algunos programa", no ('s fácll ni siquIera dando una relación igual a 18 de los V.dos de la sección. 22. SI, con vlg"" planas, el progrnmn no cll"pon" ntlllllelurn t.ran"v"rl'1l1 de ábaco (véase apartado 5.6) en la cars lIup"rlor f'n torno a los soportes interiores de ancho lIuy inferior al de las vigas, debe calcularse a llano. 23. Si el programa no cont'u1t.a cuAlee viga" hay que pasar a plano y las d\buja todas (véase apartado 5.8), o si t.orlas las vigas !'alen dil<Untas y todoe los estribados a separaciones diferentes, su uso no es recomenda ble para edificación. 24. Si la acci6n slemica ee siempre horizontal no puede usarse esta opción con soportee en falso, (véase apartado 5.9).

12. Si el programa no redistribuye bien (vllase apartado 4.7) qué se le va a hacer; siellpre se puede .anar algo calculando a llano. Respecto a la eallda de resultados: 13. 51 el progralla no considera creciMiento de eoport.es a carae, (v~ase apartado 4.8) no pueden extrapolarse sue reeultados al caso en que lIantenga una cara; si lo considera, conviene COMprobar romo lo hace.

25. La calidad del programa no estA en ra7.6n dirf'ctA d",l volumf'n de resultados. Los eoportes no Re pueden describir por las sollcl tacJonee

ord.ud.ru

"Po

envolvent .... ° m."xlm" ... y f'n .. "" "'"''0 po"lhl .. posterior sea erróneo. (v"" .. e apilrt"do 6.1).

arlem~ ..

qu'" 1"1

("'~Irlll ....

26. SI el progr"mA r"UA ,,1 fin,,] rl .. clrllenlio " .. eelon"" InRllfld.-nt... " después de Imprlmlt· lil" vlgatt (vo6,anse apartarloA 3.f> y 6 .3) h"y qu .. p"n,,"r en callhiar de progrilma. 27 . Conviene cOllprohAr qUf' t., f1 ..cha .. A t.olprllhle; nI' po,,'hl,. que .. 1 prograOla no to haga. y ,,1 no h" prt"gunt.arlo taA .. dAdE''' rle lo" E'BcAlon .. " ti,. carga es que no lo puede hacE'r (v(>aBe apartado 6.4) 28. SI la eAt.ruetura .. 6 dp. un e<llflelo sin hOrlnl .... n~'" vl"t.o .. no h11y que prpo("'up¡Ul'Ie por la f1r.uraclón. '!Iunque el prograOl" "" 1·. ~1'·1I1.' ( v ,-·;.nr. apartado 6.4). 29. SI la" vlgall ,,"len repre"t"nt.a<las en alzado. el programa no t"st,¿\ preparado para calcular bien vigas planas (véase apartado 6 .5).

30. Conviene cOOlprob"r pI t:'uadro d .. caraet.ertst.k~s. y lo que rlI8 .... el lIIanual respecto al coefklpnt ... 1" ,,"surl<l;,<I Ant....... <le r .. <1 .. ct· .. r ta Ol.,m .~rl" y la cart.ela de planoB. SI hay un.' reducd6n adicional del !'IX por ("',UcuIO(l precloos. hay que conflrOlar - ¿CClO E'!st·os cOllentarlos?- si l'I." ,,('epta. (v(>:'''E'! apartado 6.7). 31. Ho hay que preflf>nt."r nunCa 10B plano" de ordenarlAr .. In ('orrf>p,lr sollcltaelones -uU1Jzanrlo crH.erlos como 101'1 ,1 .... "t.e <lo('ument." .,. y rep:,,,ar y adecuar a la obra los . . rmador.. <le talles y encuentro" . SI "e hll,· ...... trav¡'", de un progralla de dibujo ""lsUdo conviene decirlo expresamente en 1Ie-lIorla . La conc1IJ"I6n e" qllf' .. 1 pr.t.a<1o IICt.II111 <le- lo" progl'''"'''' qll" lnt. .. nt,<1n lle8ar al arlllado .. " pOCl'> ", ... t.I"fact.orlo. Son h<:'rr"lIlent.aB aCE'pt.ablp.s. ,,"ro no se puede resignar en "UaB la )"hor de cálculo. Eri el callo rl", e<llfldo". c-Akular 1",,, for jAdoB por un l11do y trAt.l\r el resto COIIO p(>rt.lr.oR no p" rpcompn<l"hl". Snhre t.•,<lo ("'on pl<1nt..,,, roml'h'j,," el ~~1clJlo dE' ..dlfldo" 1\ p.~rt. lr .Ir> pI.l't.kr.r. elE'h.. " .. rvlr r.0}o eom0 orl,.nt.ac16n al calcIIUot.". 'lIJA c-on "" 1>lIen juldo <lf"be lIIanlpul.,r 1.... " <lIIt .... R. y alterar los reBult.arlo". r,"nvertlr en planoll o en lordene" de ohr" la !<aUda de un progralla E'S un dlfllllt.e.

Los progralllll!< "on. "n g .. neral . 1>ast.ante b\.enos . c,.It:'lI lando e:oUdt.a c10nps al eje dt" plezII". ", pABO 1\ RoJ.ldtaclones rt"ducld"". o a armlldura" necesita lIlucha Inte rvención d ... un c"lcullsta experto. lIál< cuant.ofl mE'nOB datof' lnt.erll .. rlloB ofrezr/\ el progrlllla. Para un uBuarlo no expE'rto son preferlhles r",glall ele cálclllo Slllpl<:'B 'lile el uso de- un orrlenador. En Il<:'n .. ral 1... " progr ... ml\" . t.al COIIIO .. .., com<,rclallz"n. predllllenslonAn IIUY 111'1. no Bon "dpc-IIa<l"" p"ra lI"nE'j"r vlg"", o pUarf"s <1e l"dos f'1 .•perl ... rp.", a 50 CIII. no flllbPn procprl .. r I'on <I"f'cf>ntralll'mt.o". no pf>rmlten c.~mbloR de sección dE' una plE'?a a la COnAf"CIlt.lva - aunque lo IIcE'pt.en -:,omo ent.ra<la- Y. sohre tod .... no "Bt.¡ln prpp:\rarlo R parll pI caBO de- vlg"t' plana .. . Aunqll" RU saLId" lllllt.a plano" ele ~st.rllrt. ura,('n g .. neral no Ron v¡\lJdoe: sln una amplla reforll8. Plano" qUf" rlelterlh"n la P.t't..... r.tura pieza 1\ plE'!?a no son .. d ...... adot' para organizar hien una ohra.

Josa L. DI "IGUaL ArquH .. eto

Valladolid, 30 de Noviembre de 1968 Ilmo. Sr. Juan Carloe Arnunc10 Director de la Escuela Técnica Superior de Arquitectura Valladolid.

Querido director: Tras pedir como práctica de curso unoa CXlIMntarios generales sobre estructuras, descubri en las contestaciones de DUChos a humos WlOII párrafos cocrunes , ininteligibles, a todas luces copiados. Pregunté de dónde y me contestaron que de un libro que s . vendía en la Kscuela. A tenor de las citas que hacian, no dudé en calificar dicho libro de bazofia, cuando ane dijeron que lo recomendaba alsún profesor del centro. Bajé a publicaciones, adquiri un ejemplar, lo he leido detenidamente con doo o tres diccionarios a 1MIlO, '1 puedo anantener lIi opinión a partir de loa coanentarloa que s.igu@l1. El libro en cuestión, editado por Gustavo 0111 en Barcelon3. es a:mo W1 edificio de Eduard Allen, profesor en USA. Me parece un autor competente y lo que dice lII.Iy interesante, Desgraciadamente el ejemplar está traducido al español, por Bárbara Lataillade, y la tradu::tora hace honor a su l"Y.AIlbre, No es que sea una peor tl'ach.lcción que las demás, -otro texto que t..'IDlbién se recomienda abusa del témino "n>quer.u.lento·· cuando quiere decir .. .requisito", y en la escuela se oye con profusión "el l-eferellte" en vez de "la referencia"-, pero 11. definitivamente mala, y su lectura poco fonnativa para educar en el lenguaje. fWlCiona

El libro está lleno de construcciones en pasiva o con el adjetivo delante del sustantivo o el verbo al final. En español tenetn08 la pasiva -se" ll<'<.-,J",..., el impersonal -se hI...:~-, '1 el condicional -lJ.J1'i.~, yen inglés no . En español no es lo mismo 1111 ··d.'rtraordinal"io congreso" que W1 "COJ¡g',-eso extr.~oJTflJJ..'Irlo",

y tampoco "los

SIl..1pos .:Il.Jm:l05 fUl'IUll

de P.1Seo"

eE lo mismo que "los .'Ilumtl<\S lIu.1p05 fllenllJ d<3 P.1S<3Q". El verbo puede ir a l final o en redio de la fl'ase sirviendo para alterar el sentido . En ill.1! l ' " no el'! ¡:Oled'!. P01' '!!tj.;,mplo en la págin3 17 d" l libr:> en CW~ tiÓn. <-par'". e st.a fraee -1m3 a'rftivae son nu S tl· ~6 - . "1)0 #>tJtn UOX \IDI\ l"r..... 0'0'10. Ir c -..lel'ltar 1.'1 th,trra, y noi C!l 1'IJft(tOt-..,1IW"f;¡1 t:A ....tJOf ,1.W"Iuv,. U\'I ¡" ,."ln 1[."1( 1-,.111 011 }" OVlll><>r:ICIÓ" ,11. J.. I" .. ,In l, 1... '1'1, .. l., ,.,, '. 1, ~I/ .. ~. ' •• .lI'I7(f1r' .l,vlI(Jto.-¡ '" IlM "-Hito j l', I,,~ 1....hlnt'N' '11'" 1111 I .. ",1 ,10.1 ,"11 ",) 1~ln.k, ~"" . '111<,., \ln .. J nll, l .. I 1".1111"" \. \ .11 dO! 1.. ,1I11~ ,

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2 "llSunos otros ejemplo 8011: "hay DJChas 1DoIDCra& con las cuales un libro oomo este podria estar organizado" (pag 9); "las ooodlciones neoeoariaa 8011 creadas por la operación" (pas 18); "la proporción en que \D'la parcela de suelo RO calienta" (pag 17); "Unas viviendas experimentales se están diseñando ahora .. " (pag 35); "El gráfico adjunto mueotra OÓIIIO las funciones ... están entrelazadas" (pag 41); "1lJchas po6ibilidadea de este tipo ex1aten para, .. "(pag 55); "a tl'llVés de las CUIlles el agua ¡uede pasar" (pas 112); "será lIenerahlente desanimado" (pag 230); "a veces un edificio moderno no pJede ser llevado a las nonllllll modernas" (pag 235); y hay D..IChisilDoe 1Iás . Hay en el libro traducciones incorrectas, angliciBBlOll, 001lIO "sobre la ' - de un año" (pag 16); "facilidades para la preparacillo de alimentos" refiriéndose al menaje, _la traducción de facilities (pe¡ 35); "~ _rto" por carga (pag 4 1 y ot ras); "caI\oe" por cañeriM (pag 43 y otras); "son siempre calculadas sobre las 00- de" (pag 64) por se calculan a partir de; "zeoeptáculas de una habitación" refiriéndose a las tomas de enchufe (pag 147); "materiales a larga ~" por materiales de gran tamaño (pag 161); "proporcionM o.'.xIaa.., oontúBtentBti' por razonables o coherentee, mla traducción de cotUJilJtent (pag 208); "utilizable en el siticJ' por utilizable en la obra, _la traducción de site (pag 217); "1UCboe otros _torWas de oonatnJOCión aan _t:aq:od:xr y oertificadoe" en vez de ~llados o etiquetadoe (pag 219); "instalados" por recibidos (pag 220); "Hasta aqui t - .. . notadcJ' por anotado (paa 239);

En la traducción a14¡wu¡s palabras se usan de fonna extraña, 001lIO si no se supiera español, o proceden de una confusión Belllántica, cano por ejemplo "por encima de la pieza de terreno" (pag 17); "alguna parte de loa antajetJ" (pag 64) refiriéndose posiblemente a 1M uniones; "las oonatrucciones de metal y albaiU.leria aan a.achaa veaea llenadas con pxmtes ténaiOO8" (pag 64) por llenas de puentes térmicoa; "pero ~ D..ICho tieqx>" (pag 67) por tranacurrirá nx:ho tiempo; "dsspllf41lMi' por desarrollo (pag 203); "dos v1as de salida ilJaitadad' por dos v1as de salida ex¡>p.(Utaa (pag 208); las annaduraa que "tienen que estar --nldas a una dlstancill" (paj( 211) lo que deben es estar recubiertas con un espesor; "robJatez" por resistencia (pag 219); "tipos de trabajo JDáa lV>l""f8llldoB' por tipos de trabajo con renos precisión (pag 220): "~una reacción galvánica" por se produce (pag 223); "8011 tnLfOl'llDOJte poligroooo" por sistemáticamente (pag 225); "108 extintores _1 col.ocadoa o lIUB8IJteB' por vacios (paj( 228); "CUiIIldo no hay Es IIOtivo" por cuando no hay otro IOOtivO (pag 228); "las superficies de nivel están creadas" referido a plantas de piBO (pag 239); y por fin "fU ~1azaaiento ea el iJlp>rtante perlmetro exterior de Q1 edificio da artefactoe que .oo.tfican el entorno" (pag 239) absolutamente indescifrable. Algunas otras confusiones son por ejelllPlo "CUiIIldo las _Joras posteriores la suplantaban" queriendo decir la rebasaban, (pag 34); "¡ma resistencia lIáJtima se po.-ia conseguir" en vez de la resistencia máxima (pag 63); "108 varios _terialee" por loa diatintoa _terialea (pag 74); "una alternativa fallOmble a" por una alternativa preferible a (pag 89); "evaporativo" en VI3<: de por evaporaci6n (pac 97); "cojinete" referido a filt['Q o mnta filtradora (pa¡ 99); "Q1 tejado que hM:e una pendiente de \m 25X" (pag 113) referido a un tejado con una pendiente del 25"; "probleIDa eupecial porque ellos c~", galicisro, queriendo decir problema especial porque crecen (pag 150); "el ladrillo o la teja, e1108 lIIi~ productorea de \m intenso calor" (paj( 202) cuando el original posiblemente decia ellos ~iSll108 pl'Ol.1ucldo1!1 con intenso calor; "dos viaa de _!ida l11.aútad.1s" por do& vias de salida expeditas (pag 208); "los _108,., se

abr.wan" queriendo decir se abrasionan (pag 230); '·loa aooenoores presentan lBl p.>tl3ncial único de peligo t.o..ano" p.ua expresar que suponen una posibilidad ~special de daño a las personas (pag 231); "dado que el tiempo 00CllI'C0EI tantas veces loa colores" en vez de IIJ.lChas veces (pag 233); "debe liq,j.ame cada tantas aemanas" en vez cada algunas aemanas o de vez en cuando (pag 233); "la ventana tiene que eot.ar bastante eucio (sic) antee de empezar a 1I01eotar" para decir que hasta que la ventana no e&tá bastante sucia no rolesta (pag 233); "la esttuC'blra del suelo ea dificil de zoqpeT' en vez de alterar o eliminar (PIlII 234); "algunoa ..,terialeo neoeaitan pocoa prooed:btú.entoti' por prooeace (pag 240); "punto de iUndJ.c.íúi' por fusi6n (pag 245); etc,

En este descontrol ado proceso , - launas pal abras o ténninoe ya no se Baba ni lo que quieren decir, COIIO: "OIIIoIIerlnos o a1.aoenaa" (pag 35); "Loe fontaneros o loe servici08 a.arlclpaIM oonectan las cañerlas de agua a 108 edificios Dll'ÚcJpale:i' (pas 44), aunque quizá se refiere a los edificios del ,flUlllcipio; "zanjilll vertical8IJ y horizlontalea" (pag 48) que parece referirse a conductos; "l'8rJtosa de oañerla" (pag 54) que posiblemente sea cañerla ventilada; "la corriente de radiación aumentará a una intensidad rápida en proporción" (pag 61) refiriéndose a una intensidad proporcionalmente ms rápida; "¡ueden fonaar D:Cl~ lIIás bien que obstruir las carreteras" (pag 1(6) queriendo decir que pueden formar IIIOIltones en vez de obstruir las carreteras: "un _ l o fraociona1 de la altura" (pag 156) queriendo decir probablemente un ' pequeño aUlDBf\to; "los pintores." preparan la última lUl¡>ieza da 108 e&ClClIIbros de la oonstnJOCión" (pag 221); "edifici08 .. con aspecto autoritario y deprimente" (pag 228); "fascinante criBtalino del _tal" (pag 233); "arco trasladado a un eje que no está en su plano" (pag 246); "sin : tocar el edificio en este punto antss que corriendo en su superficie" (pe¡ 249); "Interruptor témco: caja de aaterial poco oorrlJctor,," que se refiere a cerco sin puente ténnico (pag 249); ".iBa> sentido da curvatura que, sea oéocavo o convexo, por SUB dos ejeo principales" (pag 252), y si se tercia, se traduce por una palabra inventada que parece español, pero que no existe, generalmente sexquipedálica, ignorando otra que si existe y se destina a ese concepto, 001lI0: vaporú:ac1ón (pag 27) por evaporación; mcjoraeiento por rejora ' (pas 34); practicidad por lo práctico (pag 34); la DOJ'IDiJ por lo nonnal (pag 34); expBCtacianeo por expectativas (pag 35); tenaalee que, según loe diccionario& se refiere a las aguas termales, p:)r ténnico ya que Ee refiere al calor, (pag 41 y otras); clorinizado por clorado (pag 50 Y otras), referido a la adición de cloro; clorinaciÓl) idf.ll1l; aisladores (pag 61) por aislantes; "la e6pe6W71 de la capa de aire" (pag 62) por el eSp3sor; bentl8tizadas por herméticas (pag 73); JJenDetJza (pag 74); henJet1zación (pag 122); "tejad06 invertidos" por cubiertas invertidas (pag 74); las serpentina& por los seq>entines (pag 83); cn:J\/ectada (p-~ 89); a>r1\'8Ctiva (pag 104); ddt6rioración (pag 124 Y otras) y detentOrioJción (pag 226 y otras) por deterioro; "se atornilla apre~te el aparato" (pag 146); repartición por reparto (pag 150); abiselae1ento por biselado (paj( 210); infestaciones (pag 228); enccrnmento por enr.erado (pag 230); nsodelaje por remodelaciÓll (pag 234); .rndiacional (pag 248); Biailaridadpor similitud (pag 173); etc , Está preEl3nte la cUBica confusión del verbo ser por estar: "Tiene que 681' provisto un sistema" (pag 31) por estar previsto; "si la capa es inclinada a un ángulo suficiente" (pag 114) por está inclinada: "san simplemente colocados" (pag 115) por están simplemente colocadoe.

Hay también erratas de corrector. fruto de un trabajo defectuoso. aquel - prono.,bre- por aquel (p>lg 28). presuriBadoB por Pl-e6url&'li.1os (pag 43); <¡uilÓIDtJt.ros por kllÓlnetros (pas 90); obBorlJentes (p.l8 99); hidroestátlcas (Pag 112); alejara por alejada (pag 118); relaiB por relés (pag 147); ~ por escogen (pag 229); ventana 6UCio por sucia (pag 233); . aplaMtie» Por adiabático (pag 245); arbobante por arbotante (pag 246); (X1IJpf!nBaCidr¡ Por condensación (paji 241); oonstante por cortante (pag 248); "I\mtal: elemento eetruatural corto que trabaja en OOIIIPre8ión el agua fresca, a la Irez fria .., caliente • • • " (pag 251); "este OCJqlOOeflte" (pas 169) por esta OClIIIpOnente; o lei8l108, como ~Kl cuerpo •.• no disfruta •• cuando - lo Bi~. ~. (PIIII 28). CQI1JO:

Al traducir del lllllericano no hay la precauci6n da disponer notas cuandO se usa el ~noe" l118yestátlco, como cuando Be dice que tal o cual COBa la llaDlill108 "ltJocxxx~, que funciona bien para el autor y en inglés, l""'ro no para la tr~ión. -ya que no es verosiaU que nadie llame asi • eeo en castelJ.ano.., que podria mejorarse con el 1aperaonal •• _ llama". T8Ilbién Be de~ usar notas da traductor en loe casoe da afirmaciOllflB que BÓlo son válidas en el or1cinal, caDO las reglas de banberos o de disciplina urbanisttca, o en cosas que no Be usan en otra cultura, .001lI0 por ejetnplo en la ilfll'1ll8Cién da que "Kl agua friA para beber _ manmistraba ocaJnment.e en otra época por un enfriador central y ama tuboria de retomo .. . .. (pag 47), o en conceptos que no se llal83ll as1, como: vállNla vacuD~13 (P<\c 48); calefacci6n hidnínica (pag 92); tablillas para lna piezao de teJIIodoo alpÍllalillJ (pag 114), bloqUBIJ dtI ~ (pag 115) por arquetas o pozae de resalto, parad sonda (pag 118) referido a la pared de doe hojas, ~ de -.lera (pac 161), lIlI8tanciaa /lOOtJT (pac 221) . Además 6e utilizan en todo el texto ténlÍnos inusuales o CXlIlfUSOfJ en castellano, como: "Junturas de dilataci6n" (pag 112); "tejadilloB" por aleros (pag 115) ; ~ solares" por terrenos (pag 115); "desaguaderos" por cazoletas (pag 116); "escupidores" por gárgolas (pag 116); "cilloono" por sl1ioona (p88 118);"barra contra el paso del aire" por cordón de sellado (pag 119), "cámara de 19ualacilln de presi60" (pag 120) por cámara de descompresión; "1n\enuptor capilar" por goteron (p88 122); "pesos estructurales" por fuerzas (pac 123), "interruptor téralco" en vez de sin puente ténnico 125); "fase única" por IOOClQfásica (pag 144); "panel de servicio" por cuadro da distrU:ucién (pag 145); "interruptor con toma de tierra (lIT)" que no Be saba si es el difer<!!OCial (pag 147); "cortina antl.fucgo" por telón cortafuegos (pag 20.\); "ocaexi6n bifurcada" por colt..\III\3 ~~3 (PNJ 212); "las IDOIlteas (a vooee lla.adas -Jos impresos")" l"'<flriéndoa" a loe Planos del proyecto de ejecución (pag 214), "viae de reparto" por \ll.telles de descarga (pag 215); "cabezee l'e8adoras" por rociadores (pag 205), "trataaiento de cxq>rooión" a lo que es tratamiento de impregnación a presión (pag 225); "las ventanas ... con estrechez o soltura excesivas" por holgura (pag 229) ; "hilos eléctricos en las 66't.ru:turnG ya 8ltiatentes" por loe conductoe (pag 231); "escalera de aaoeoo entih"wu'eda" por et:ealera con pJerta ant1humo (pag 212), "eIIIplIjes <irwWarerj' Nr em~lj~s obl1ClWJfJ (pag 247 ); "curvalbra" por curvatura (pag 247); "filtración de carbón" por flltro (pac 248), etc.

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tlo obstant.3 donde la traductora lo borda es e~ el capitulo de información estructural; se vé que la traductora no entendla lo que lela. y escribía sin saber lo que decía o Es clá&ico. y a todos nos p8&a oaJ.guna vez. equivocar tensl0, palabra latina referida a una va~iabl~ geometrica. por tensión. que es mecánica; rensl0 significa exlensioCl o En el libro se ent~zclan alegremente los empujes con las cargas. 108 pesos con las fuerza., las teOftiones con tracciones, las p~siQnes con las defo rmaciones, y otras más que no _ resigno a dejar de reproducir en el orden en que aparecen, sin destacar ahora loe temas de pasiva, verbo al final, etc, ya citadas suficiMOtemente.

Canienza en página 163 con que "un edificio ea empljado 'F t1rado oonstante..ente por divemas fuerzas" cuando th-ado suena a ~':lado o volcado. Sigue que "la fuerza aáa (XIf)Stants ea la de la gravedad .....flrléndoae _ IIlás usual o lIIás general, aWlque claro que también es oonstante : Traducir "load" por peso le juega una llala pasada al lector que debara enfrentarse a "peoo _rto" por carga pennanente, "peso vivo" por IY.>bntcarga "peoo de un poco de nleve" por sobrecarga accidental de nieve, "~vivos horizontal.,.. .. por cargas horizontales, "peBOQ de viento ... lug~ venteadou", etc.

Es dificil inbJir lo que sean "loo artefactos do sujeción" referirse d4sdo arriostramientos a elementos de unión o

que puede

En página 164 hay una JIU)' clara exposición del comportalniento realstante - en inglés- absolutamente ininteligible en e~paí\ol, ya q~ denomina "fuerza da compresión" a la tensión de canpresion. pcv:o ~spues ll~ "tensi6n OCIIJprt.idora" o "prwsi6n" o A la pendiente de la grafica te~ion a deformación se refiere CXlIl el ténnlno "declive" y con el nombre coeficiente de elasticidad" el Jll6dulo de elasticidad o Naturalmente dicha variable sirve Eegún la traducción para Baoor la "oomproaión°' dIt una pared, cuando debiera decir nada l:IeI'IOB que acort.:wiellto. En la página 165 denomina material "quebradizo" al frágil, ~paz ~ !SOportar "peoo" por encima de un valor dado, y por ello se deben . dlBeiiar queriendo decir C31cular, con materiales de calidad o'OOIlBIBtente' en vez d~ con cohesión, designando a la Jnadera como material "inoonsiat..en~o·"por Eln cohesión o ¿ele:o:nableo Las .. tablas norlDiltlvae do carga do tra'?".i0 se refieren a las tablas normadaa de tensiones admisibleS, llamadas ....s 3bajO "fuerza efectiva de seguridad" sin hacer notar que e~O BÓlo ec en USA. y 110 en Es~la ni en el re&to ~ Europa. El problema de la palabr~ "designo, persigue a la traductora. que se ve obligada a deci r oque noe piden dlbujar un bloque de piedra" cuando el original quena decir calculaa· ..

La figura de la página 165 sorprenderá al l~tor. al redir tanto "fuerza" como "esfuerzo de deforllaCi6n' o en "';.' cuando w>o de ellos deba ser la v.nsion y otro la defo nnac ión, llamando además "lilllite de resistencia" al 11mit~ el~&tico .

En p.'\gin-!l 166 ap"l"E'Ce la frase "WliI colUDlll cap.u de "soportar la esquina de un s ..... lo o tejado", retnaeh&ldot:e luetJo con una col~ trnsladada a una pooición horizontal 68 vuolve W1a p.~rerl de soporte que pJede aceptar el ~ de Wl borde entero de un ouelo o teJado° o Se refiere poe;iblem.;.nt.~ a que Wlll colu/l1lB aislada puede disponen:e en el vertice de tUI 1IlÓd1llo de pis o .) cubiel°ta . y que un soporte COI-rído da luga~ a un. "";1 ro elltlo.:IID3do, C3paZ de cubrh' un lado entero del módulo o En la I.\lema pagl1l3 apar~~e la expresión "reCor7.ándola (una cohllln!ll lalerallDOOte con pmtal_ COII11>rouorcB o llU.ioo 1:ensoran· qua tras la ine p >c i n de latl f l l~\O(\" y O

•

6 IWcha iJnaginación pueden ser codalet: arriOEtrante& y vientos o tirantes de

arri06tramiento (las cursivas están en el texto). Las "fuorzas ten8oraa" son solicitaciones de tracción. la8 "varas" son las barr38 o varillas. "parecerse IIU)' de cerca" es ser aproxiJnadamente

igual a. ..tirar de las laderas dO cada lado en un ángulo o" es traccionar con lUla fuerza oblicua de Angulo o, .. tirar sobre la lmgi"bJd de BUS eslabones" ea traccionar a lo largo de la 11nea que fonnan 106 ealaoones. Cuando dice "este (sic) OIJIIIpOOente 'Vertical oerá tranaforido a la roca" se refiere a que esa componente se soporta por la roca. pero la frase "la cadena no ¡uode soportar un peso a travóo de un tramo sin ejercer una tracción" no I!:é lo que significa; quizá' que la cadena no puede soportar un pero en BU centro sin sufrir tracciones. "Uacer correr la cadena" es pasar la cadena; "colocar 1aa ..:1aa a algIma distancia en.l eKterlor de la 001\_')8" es hacerlo a cierta distancia al otro lado de la columna . y "añadir lA'l peso vertical substancial" es aumentar bastante la OOIDPresión.

En página 110 se preocupa de 106 "artefactos' de fl"ClqUeO" que no tiene nada que ver con las lbáquinas de poner sell08 de correoo. En ell08 di6lllinuye el "peso horizontal". es decir la tracción horizontal. al aumentar la "profundidad", es decir la altura. La explicación de que "un aparato IIU)' bajo, ~ una larga cadena o un madero profundo, tendrá presiones estrucb1ra1es bajas" es inooaIprensible; se refiere a que una cadena larga ó W'l lladero de JWCho canto tendrá tensiones pequeñas. La opción de W'l elelllP..nto "plano, que ad:¡uiero lIICnOB espacio vertical" Be refiere a de poca altura o canto, que requiere JDen08 espacio. El equilibrio de la cadena, explicado en página 111, indica que "cada eslabón representa detenlinado trio de fuerzae", queriendo decir que se representa con W'l detennlnado trio de fuerzas, y el corrector no puede ser responsable de dejar "ant1elástica" por anticlástica.

Loe articulos 1ndetem1nadoe se uean de lIMera diferente en cada idioma; en la página 112 aparece la afinnaci6n de que "una cadena sólo puede asuantar una t.enaión,.. Y que~ que JUe8tras piedras B8\IiIIlteO sólo l.WIa OOIIIPreeillll" cuando el sentido es que cualquier cadena s6lo puede asuantar tenBi6n, .ientras que las piedras pueden eoportar caopresiones. Para lIi que se confunden los términos de "relaci6n" -cociente de dos valores- y "proporción- -i&ualdad entre dos relaciones-, en la página 113. y los Mminoe de arco -lineal- y bóveda -superficial-o En página 114 se dice que el Mporoentaje de emp¡Je horbontal y el de ClOqJre6i6n depende del porcentaje de alzaa1ento.. que lIignifica que la relaci6n de empuje a <Y.lIIIPresión depende de la relación de pP.ralte a luz. El dencllJl1nado "principio de que las illBtalaciones arqultect6nicas lIás profundas tienen presiOnes lIáe bajas" es que las viaaa de lIáe canto tiene tensiones inferiores. Preciosa la frase "rm lmportantee aspectos la bóveda no es W'l anAIOIIo (sic) CJl.i)Cto de la cadena" que quiere decir. que en n.lChoe aspectos el arco es similar a la cadena. pero análOllo es adjetiVO. Y no sulltantivo. Las cu-gll3 "..",ed1zaeoo 00 80Il cceo 1M a~, son l11Jnpletnente IlÓviles. El OOdoblegaaiento.. , posibl_te \Al catalanisalo. parece referiree a la aoolladura . La "capacidad definitivo. de franq~ UIn grande" parece ref'!ri~ a que definitiv-.nte la capacidad de carga tran&versal es grande. El empuje oogr.lvitacionaloo es el gravit..,torio. y oola hiperboloide oo sa refiel"'! no a una fi¡ura lIino a \Al objeto que es de aénero IWICI.1lino: el hiperboloide .

En página 178 COIIIienza la explicación de cómo entender una viga. que es sl.llllalllent.e ingeniosa. y queda de nuevo destrozada en la traducción , Loe "cortos puntales floJ_te empemadoo" son puntalp.s cortos articulados. la OOcuerda superior" (chord en el original) es un cordón rígido superior. y el "panel central" se refiere al 1llÓdU10 central, Los "pe806 IIOvedizoo" son cargas IlÓviles, y loa "paneles" tramos. La antinolnia OOtirilnteo de presión" se refie~ a tirantes de tracción, y la "ccntraparte trld.1JDensionat·, no es 6U oponente. sino 8U equivalente tridimensional. o., nuevo la elección de ooprofundidad" como traducción de lo que seria el canto o la altura es neia.ta, y una vez más las "presiones" eon tensiones. En página 182 explica que "\Al caso lialte útil es alcan7.aOO cuando la proftmdidad de las cuerdas BUPllr-iores que se necesita para resistir el empuje de la cadena oin doblegarne es aproximadamente la aisma que la profundidad total del amazón". dificil de entender como aproxiJnación a la viga, La frase de la página 183 de "&,a longi"bJd de madera ccn la altura ., grosor adecuados" parece proceder de W'l8 incorrecta traducción de W'l listón o perfil largo.

Es especialmente reveladora la frase <tue dice "las lineas de las principales fuerzas de tauJi6n"; aqui el adjetivo principal es Jerga. y la traductora no ha podido enterarse; el texto original se refiere a las denominadas direcciones principales del tensor de tensión en cada punto, las llamadas iB06táticall de tensión: doe familias de curvas perpendiculares en cada intersecci6n que sefialan la dirección de la máxima y lIinima tensión en cada pmto, Y en las que no hay canponentes tangoociales de tendón.

La expresión "plenamente oometido a las fuerzas". quiere decir que elevada tensión. Más abajo OOtensión" deba entender8e como tracción, tensado.. como lIimplemente tracc ionado , y "OOI'l8tanto" es una divertida y tradicional pirueta del diablo de las linotipias con la palabra cortante. todos los puntos poseen una

En la página 184 se traduce .por ~eBfuorms cortantes pesados" lo que no son sino e8fuerzos cortantes -con valores- elevados. "<liando el riesgo de pandeo es presente" ,procede de cuando existe riesgo de pandeo. No es IWY feliz la expl-esión "arquear \.aI8 vigaoo para lo que, no sin esfuerzo, parece ser el preflechado de - una viga, lo lIiSIllO que "la desviaci60 esperada bajo la ca.t"88" que debe referirse a la flecha , Decir "lma vig,l continua sobre dos o tres paneles adyaoenteo" no se sabe &i _ refiere a sobre dos o tres apoyos. o a lo largo de dos o tres vanos; y no es correcto lo de que ooestas configuraciones introducen U\8 curvatura en la dirección opuesta sobre 108 soportes.. ya que lo que el autor quiere decir ee; que Be produce curvatura de signo contrario -a la del vano- a ambos lados del soporte interior. ' "Instalar" un tirante es disponer un tirante.

La expresión de' página 181 "en hor.igón se e.plean cad siempre los ritmos oontinuoe con 1M varns de acero situadao altemativ--.te entre el fondo y la ¡nrte BUperior de las vigao a medida que cambia la direcci6n de la curvatura" es dl'llleocial, [lo,ba ser que en honnigón lIe empl~ casi siempl'e vigae; continuall con barras de 8O!Iro alternativamente en la cara inferior y superior f3P.8\U\ ClUIIbia el signo de la curvatura,

(

La afimación de que cuando las lOBas "Be extienden entre dos vigas" se refuerzan "en la dirección de BU ext.eneión" , 150 refiere a que 111 se apoya en dOB vigas sólo se arma en esa dirección, y lo de que "se ¡uede ahorrar JDáa aun sacando el horalgón de entre las varas de refuerzo de debajo de la looa" quiere decir que 88 ahorra eU...1nando el honnigón entre l.aII armaduras inferiores.

En cimentación la jergs ea per.ul1ar y J)OIS suetaria &a~r de dende proviene; el "cimento con retallo" es la zapata, la "placa de fondo" es la placa de asiento o base, "c1lDiento de lA"l8 tira" es la UlP<ltacorrida, "itl8ta1ar una viga de nivelación" es dis(lOraer Wla viga de ~parto, las "bases de extensión aialadaa" son zapatas aisladas, y "cimentacicnes de IDallado continJaa" ea una losa flotante .

En el párrafo lIiguiente "fuerzaa" eon tenaionee, "oontener la presión

El denoIIIinado "_lo blando, inaprovecbab1e" ell el inútil para cimentar, el "pilote de eoporte final" es el pilote rellistente por' punte, cuando "el _lo o roca clJra no eatán al alcanae" es cuando no «le puede alcanzar el euelo o la roca dura, y es entonces cuando se tiene que usar el pilote resistente por fUEte, detlOlllinado en la traducción "pilotes de fricci6n" que ell , al nenoe, un V:nnino U6Ua1. L>1 "tapa" d~l p1.lov., es el enr.~pado, y la expresióo ' "total1.oe mM que la elevaci6n espernda" no se sabe c6mo 118 M derivado de tntalice IIlás que la tracc1ón ef¡perada,

tensión" es IIOPOrtar la OOIIpresi6n y tracción, y 1011 "refodaool'66" eon 1011 rigidizadoree de allla. y la

En inglés la voz "joint" prov1ene de unión, COIDO en eapañol junta, pero lIe usan con propóeitOll diferentets. "Rigid Joint" ea lo que denaninaIl108 nudo rigido o unión rigida sin juntas. La cit.ll de "una col~., una vJga a.binadao con una junta rigida entre las dos" . . escandalosa. El "plano llano", probabl~te un "plain pi.,.", ea si.aJplemente un plano, y "deep" en vigas no ea profundo lIino con lIIlICha altura. <l.Iando se dice que "el ooq>on.-iento _tnJc:tural _ fácll.mte pI.ar..lo" Be refiere a que es reproducible fáci.lJllente.

La cita a las ":fuerzas IlÓUdas y et-icao" debe ser un lap6UII de "6011,1' con "solldts"; y es por tanto 1011 CIII~jee provenientes del suelo y 1M fuerzas BiemiCall. La fra&e "notablemente en madera y honrlg(n Be deearrolla un prooeoo de 1ncl1naci(n, conocido cmo desl1zaaiento BObre un perlodo de aHoo" se refiere al proceso de aumento de defonMCi6n conocido por fluencia, que sucede a lo larso del tiempo,

La definición de 1DéMu1a, IU)' eugerente en inglés, te SUJDe en una profunda perplejidad cuando te enteras que es "un artefacto ~'CturIIJ. O!JIIIP.lOOto por c10rt0 m-ro de piedras qua acWan cada cual. cc.o una pequei\a viaa ~tarJ.¡j'.

Referlr88 a las grietall 00lI>0'' Hneao intencionales de flaqueza_tructural" es cuando IDenoe poco feHz; oon lineas preferentes de deb1Hdad o ruina de la estructura ,

Las estructuras neUlllátlcaa, que deben "_tar _idas por debajo en el 1IUBlo" no ea sino que deben estar ancladas a la clllentación.

y por último, aunque una Viga curva está arqueada, el en página 196 !le denomina, paradójicamente, la flecha.

El titulo de "soporte lateral" de pá(¡ina 189 es correcto, pero lIi&1IO puede referir88 a objetOll -BOport.esque a la acción de soportarse - no deeIIoronarse- lateralnente , Y en efecto, la traductora no sabe lo que está diciendo, y poco Dáe adelante cae en la trampa, y dice: "I\xie:als .instalar soportes latera.1ee de tlWl maneras". "Support" no es equl sustantivo sino verbo, y lo que el autor queria decir es que hay tres II\1lnerae de proveer arriOlltrllllliento lateral. La traducción continla "una 88 hacer IU)' rigi.dae lae juntas _tre l.aII col~ y lae vigae", y naturalrente otra vez "rigid joint" es nudo rigido sin juntas, Loa "pemoa" eon tomillOll. Las "atadurM ~~ para hacer las "juntae" eon 1011 enlacea para OClIl8e8Uir una unión riaida.

"arco" ciUiaO

Mlbiguo; lo

El ugundo Mtodo de "pJnWee di.a8onal- en diveraoe empl_ientoa alftJdedor del edificio" oon cruces o diagonales 4!:IIlPlazadoa preferentemente en el perúnetro del edificio, y "creando efecti~te eIIIPl.I- verticales" debe referirse a que las Cruc:etl oricinan esfuerzos de tracción y canprefiiOO en loa IIOportes arrioatradoe. El tel"Cer IIlétodo ell "emplear panel_ cizalladoe" paro no son panelee rotos; (:s pn:.ooble que el texto ~iera "IIh'!ar "aU" ea d~ir ruros o p.v¡eler; resis~tes a ellfuerllO cortante, y la "estructura de paredes de 6Oporte" es un ftlro de entrallado. No ea que haya que diaponerloa necesariamente .,~ dirección norte-lIur y este-oeste" sino en dos direcciones cuanto me; d1f~renus rejol' , y lo de "arrECladoe en proyeoci.6n de modo Dáe o lDeII06 siJDétrico" ell que debe proyectarse Wla disposición en planta lo más simétrica posible.

~e para entender el sentido de un texto haya que traducirlo IOOntal y literalmente al inglée, es espantOBo; y aprender a14l0 a travéll de él, un suplicio : Ha sido 1I<l1a BUerte :. que todo empezara por haber pedido W\OII comentarioa etStructurales, y 1011 alwmoa, inocentemente, h~ copiado unos párrafos de a14l0 que no entendlan, y que no podrian nunca entender, y que e6e capitulo fuera just..8lllente el peor del libro en ~t1Ó1'1.

Pero no tengo ros remedio que pedirte encarecic:hunente hagas llegar estos comentarios a 108 profesoree involucr~ en la re<XlIDendación de este libro, con el t~go fOl1Ml de que eliminen tajantemente de la bibliografia propuesta este l\Ilf\ual. a renoe que lo traduzcan de nuevo. No estaJoos en condicionell de praoover ell8eooroe COBIO éste; la formaci6n de 106 al\.llllnú8 1116J:eCe vigilar con todo cariño lo que proponemos que lean, Gracias por todo,

E, T.S.A. V.

Huerta del Rey.

VAlladolid

lelA TtCNJ(;/\ SUI'ElUOK 1m AK<}unI';CJ"URA "1'; MAI)Km

ESTRUCTURAS DOS

v' ESTRUCTURAS DOS

1 PRÓLOGO (HOICE

Página

1. PRÓLOGO 1.1 La nacha 1.2 Ambi~es en el cálculo da tIechas 1.3 Objetivos da aste documento 2. FLECHA INSTANTÁNEA 2.1 Etapas da carga 2.2 Términos da la sección 2.3 El primar mas da la viga: carga da sopandado 2.4 Rigidez promedio da la viga 2.5 Cálculo da la ftocha InslarUnaa

~:~ i!~\~=da la daformadón: la ductllldad

3. FLECHA DIFERIDA 3.1 Deformación diferida 3.2 Influencia da la armadura da COI1'1lfasión 3.3 Componentes da la fIactla acumlAada 3.4 Racha aclíva 3.5 Proporcionalidad a la InstarUnea da carga tOla! 4. FLECHA TOLERABLE 4.1 Valores da flacha tolerable 4.2 Formulación da nacha 4.3 Factores da nacha 4.4 Término da rlgidaz 4.5 Variables qua Inciden en el cálculo da nacha 4.6 Cómo controlar la ftocha da ...a pieza 4.7 Fórmula da oomprobadón da ftecha 4.8 Otros tipos da tramos 4.9 Cómo controlar la nacha en una planta

5 . EPiLOGO

2 4

5 6 11 15 15 16 19 20 22

23 24 27

30 31 33 34 36 38 45

47 48

Tabla.

1. Valores dal hormigón variables con ta edad 2. Rigidez incremental 3. Coeficientes para nacha diferida 4 . Flocho tolorable 5. Flo hro 00 vlgoo plUM' U. RI\lldu? y o;oholloz fltlCl\ 1. SllIol" lo (k. .111 .tllo do

",octl"

5 14 21 31 36 J7

r.o

C".d'o. 1 . 11'""I~ O (~, ,'111, ,,1,. ,.., ""1'1111 11, ".i~ II ,". "

2. I umplo l~' 101\1I11n! ¡ lO 1(," 'n, 11111' '~" I '" 3. - 0.0,,10 dO 61 ulu ,~. 1.. ( ~I,"h li, 4. Ejemplo do clllculo d .. nu, h """" ',~ Y . , lIvA 5. El"emplo da cálculo do RoC"" ,.(.11'11\ 6. F echa respecto o la l"stMtA""" "'0" \(~ I 7. Ejemplo da eficacia para 0011091' Rocha

"ío"' " lo',

,k.

1.1 La flecha

La flecha es un indicador general de la deformabilidad de la viga, variable que es necesario comprobar para garantizar el buen comportamiento estructural. Se: trata de un sólo valor por tramo de viga, y, como tal, integra propiedades de todos los puntos de la pieza. Por ello la flecha depende de un montón de valores y variables, lo que hace que el proceso de su cálculo sea prolijo, con un resullado borroso, con el que no es posible precisar mucho. Por ello las limitaciones de flecha son asimismo generales y no detalladas, del tipo de U400 o U500, sin posibilidades intermedias. En el análisis de estructuras hay valores inequívocos, como los de las solicitaciones de una viga apoyada, a partir de la luz y la carga, -aunque el valor de esta última responde a una convención-. Eso es porque están unívocamente determinadas por la geometría de la viga. Ya en el caso de las solicitaciones de una pieza redundante, como las de una viga dentro de un pórtico, aunque la solicitación que hay 'en cada punto es un valor definido y en teoría calculable, el que dependa no sólo de su propia carga y luz, sino de las rigideces de todas sus secciones, y de todas esas mismas variables de las barras contiguas, y, aunque sea levemente, de todas las del resto de la estructura, emborrona algo los cálculos. Eso significa una mayor dependencia de convenciones y simplificaciones para obtenerlas, y que se pueda llegar a varios valores diferentes según la minuciosidad del proceso. En el caso de la flecha, en que un s610 valor representa a toda la barra, aún hay más convenciones y simplificaciones, y este emborronamiento es muchísimo mayor, de manera que es casi imposible que dos calculistas lleguen al mismo resultado final. " < En todo proceso se usan simplificaciones del lado de la seguridad. Con esas simplificaciones conservadoras se obtiene un valor no muy alejado del exacto, pero con mucha menos complicación de cálculo. Las ventajas son evidentes. En muchos casos el resultado no sería concluyente sin redondearlo por exceso, como es, para decidir una dimensionado seguro, la determinación del número de armaduras, o el tamaño de un perfil. En otros casos se sospecha que el cálculo no será capaz de discriminar, y todo lo que se necesita es, rápidamente, y con el menor esfuerzo posible, llegar a demostrar que, por ejemplo, un muro de un pie es suficiente. En re¡alidad con simplificaciones a lo que se \leg... es a que es más que suficiente, pero si se sabe l(1I ' , pur otl'llS oncli iUlI 'R , 110 pu dc f \l dll 'h s , UU h/ly pOll(1I hacer 1111 ' ,1 ' 1110 Illlís ,fi n ,do. Si, si mplll k rlllll\l N 11 1\1'." a '1"'1 h INt!, 1111 IIItI'O el ' 111" ,',1tI ' SO, Se p" ,,1 , pon r 4 "11' 11 .. l., I','tllllllol ti" 1\111" \(' '\lOIII\<1 h 11 .' "t, 1'1111"\ 11 . 1', tO lllrl .11111111 • •' 1, () II ~ S . P'" ,-j'-'II(1I11 It- plI' hmd,- '1"'

flecha en honnigón

eslrueluras dos

simplificado concluye que no pasa de 80 kp/cm 2 , la estructura es válida; si se obtuviera que no pasa de 120 kp/cm 2 el proyectista se queda sin saber nada l . En ese caso el cálculo debe rehacerse con más rigor. También podóa darse por concluyente. decidiendo redimensionar la estructura hasta que, con los mismos procedimientos simplificados se llegara a determinar que la tensión no llega a 100 kp/cm 2 . Pero sólo si el costo de la estructura no fuera muy sensible a ese cambio. Recuérdese que el cálculo se dirige a obtener la menor estructura -la de menor costo-- compatible con los requisitos. Eso es lo que sucede con la flecha de vigas y forjados con la variable canto. Si con cálculos simplificados se llegara a obtener una flecha, por ejemplo de 1,2 cm, y la alarmante fuera de 1,5 cm, no habría que dar sin más por buena la estructura; sería preciso probar con un canto más pequeño hasta que la flecha fuera lo más parecida a lo alarmante. pero menor. Pero si resultara un poco mayor, no se podría extraer ninguna conclusión, a menos que se llegara a lo mismo con un proceso menos simplificado. El problema está en que el canto de la viga, --el de toda la planta, forjado incluido--, incide fortísimamente en el costo final. Si no fuera por la flecha, la solución es mejor cuanto menos canto tenga; por debajo del canto estricto por flecha, el control de la misma debe hacerse casi siempre por aumento de acero, de un modo tan desaforado, que el costo vuelve a subir rápidamente. El óptimo se sitúa nítidamente en el mínimo por flecha, y, es tan acusado, que el técnico está obligado a encontrarlo; casi cualquier oseilación alrededor del valor mínimo es fatalmente encarecedora. No puede decidirse alegremente que la flecha es ampliamente tolerable. Ambiguedad en el proceso y sensibilidad al mismo es lo que hace que el cálculo de flecha sea una fuente inagotable de conflictos.

1.2 Amblguedades en el cálculo de flechas Porque el cálculo de flechas está plagado de ambiguedades. Se intenta representar la indeformabilidad de la viga por un sólo valor. La flecha parece ser uno muy indicado. Pero no lo sería el descenso absoluto; el relativo a la luz sería mejor. Pero eso significaría en luces grandes un descenso de valor muy elevado. Aunque en acero laminado se sigue hablando siempre de flecha relativa, en hormigón, el código español acota una flecha intermedia entre un valor absoluto y uno relativ02, véase tabla 4. . Por otro lado no está bien definido qué descenso medir: el del centro de la luz o el máximo, que, en vigas con carga asimétrica, no se produce al centro. Si se toma el máximo tampoco es claro si se debe comparar con la luz total o con el doble de la distancia ~l apoyo más cercano, que es lo que mediría la verdadera distorsión. Y tampoco un descenso y una luz significan la misma distorsión en una deformada de una onda, la de una viga apoyada, que en una empotrada, de dos ondas. En hormigón falta además un modelo realista de deformación. El disponible está más bien en función de garantizar la resistencia, y adopta valores minorados, característicos o

I Nótese que si la supervisión usa los mismos procedimientos de cálculo que los del proyecto. no puede nunca concluir que la estructura es inválida. Para demostrar eso tos procesos deben ser del otro lado de la segundad, llegando a establecer. por ejemplo. que las tensiones o defonnaciones son al menos superioICs a \Ul valor dado. Desgraciadamente la práctica totalidad de las reglas incluidas en los códigos están sesgadas del lado de ta seguridad. y sólo sirven bien a los propósitos de proyecto.

1 Probablemente se trate de un pacto entre la ICgla IClativa. IClación de flecha a luz, y la absotuta. en tomo al centímetro. que aparece inexplicablemente en un documento anejo a la nonna norteamericana de honnigón. y que puede ICsponder a la solución de tabiques que no llegan a techo. para evitar que clareen por debajo. si el suelo desciende demasiado. A pesar de ello. la limitación sigue siendo local y no se refiere al deseen", entre punlos muy alejados de la planta. Es posible que 1 cm sea una flecha intolerable para un tabique,. pero no entre punlos a 20 m de distancia uno de otro. En la soluciones españolas. el problema es el de un tabIque emparedado entre los forjados superior e inferior. y obligado a distorsionarse con ellos. solución afectable fundamentalmente por Oeeha k

I~t'v

estructuras dos

que predicen I()~ cál culos convcnido~4. En general se admite que los resultados no pueden hlh' lpCll 11l .( con 1I 1/IN d ",Of ,\1111 , 'JO(!» , En ti nuilivlI, lo '1" 'e M¡,h ('lIklll ur no (¡ti /" tllI/lr d\1

seguros de tensión. La mezcla de secciones fisuradas y no fisuradas a momento y la interacción con el cortante no están bien definidas. En vigas planas tampoco está enunciado cómo se desparraman las tensiones de servicio en las alas. Lo ideal, y teóricamente exacto, sería integrar las curvaturas. Pero para ello habría que decidir cómo son las tensiones en cada armadura, y cómo considerar las zonas en anclaje. En la actualidad, el modelo para establecer cómo se van cortando las armaduras es incompatible con una deformación única para todos los puntos de la misma sección. El modelo preconizado en el código español, es integrar la curvatura a partir de una única rigidez promedio para toda la viga, obtenida a partir sólo de valores en unos pocos puntos caracteósticos: los de momento máximo. En vigas planas hay una importante ambiguedad en la sección efecliva en los extremos. cuando el ancho es muy superior al de los soportes. Debido a la variación de características del hormigón con el tiempo. y a la fluencia del mismo. la deformación varía con la edad. Incorporar toda la componente diferida en el valor de flecha lleva a concluir que la rigidez de la estructura siempre es demasiado baja. Como lo que importa fundamentalmente es cuánto vale con relación a la del resto de la obra. la medida que interesa en la de flecho activa, la que se produce a partir de la incorporación de otros elementos suplantadores de la estructura. como son los tabiques 3 . Para obtener la deformación de fluencia existe un juego de coeficientes simplificados que da lugar a componentes diferidas muy distintas de las que resultan a través del modelo teórico de ese fenómeno. Además. en la deformación de fluencia es decisiva la humedad ambiente. Su valor no está definido, y el disponible en los registros meteorológicos es sólo el máximo diario, y referido a campo abierto. no extrapolable al interior de los edificios. En ellos no se sabe cómo considerar a estos efectos el amortiguamiento y la protección de enlucidos y revestidos.

No está establecido cuál sea historia de cargas para proyecto. Las acciones sólo están convenidas en valor. no en historia. No está establecido en qué medida un forjado de planta. que apea dos más, recibe cargas de ellos, o. alternativamente, en qué medida un forjado se hace cargo de su peso en edades tempranas estando apeado. Tampoco queda claro si la fisuración temprana baja la rigidez de un modo irreversible aunque posteriormente haya descargas. Tampoco si la denominada sobrecarga de uso.;.....que en rigor corresponde al valor que. uniformemente repartido, conduce a solicitaciones tan malas como las peores de la carga real-, tiene que ser usada o no en el cálculo de flecha. Con la mejor intención. el código español relega su incidencia sólo a flecha instantánea, sin efectos diferidos. Para determinar las armaduras se usan diagramas obtenidos por redistribución de los elásticos. Estos últimos corresponden a la rigidez de la sección de hormigón, sin influir la armadura o el estado de fisuración. En puridad las solicitaciones con las que habría que calcular la flecha debieran proceder de un análisis a partir de rigideces como las que luego se usarán en ese cálculo. o mejor todavía, las flechas serían los resultados intermedios del análisis con rigideces realistas; eso es un análisis no lineal, para el que no hay establecidos moddos ni convenciones. La falta de compatibilidad de las solicitaciones usadas para cálculo de flecha no permite repercutir en un tramo la def(!rmada de otro, en prolongación --caso de tramos de luces muy dispares o vuelos con giro no despreciable en su arranque, debido a la deformación del tramo siguiente- y menos aún la combinación de deformaciones de vigas y viguetas en planta. Todos los intenlOS de zanjar los conflictos que surgen con este tema, acaban en incongruencias aún mayores. Por todo ello el proceso de cálculo y comprobación de flechas. -<¡ue es tan preciso como la que menos lo sea de las fórmulas usadas- debe ser considerado como puramente nominal, convencional, sin efectividad real; es casi imposible detectar en una obra las flechas

3 Aunque lo que más se oye es que se limita la flecha de la estructura para evitar daños en los tabiques. propiamente se trata de que. si la estructura es más dcfonnable que los tabiques. éstos suplantan su papel. atrayendo sobre sí el soportar las cargas. Y. como son poco resistentes y frágiles, acaban rompiendo. y es sólo entonces cuando puede enlrar en juego la e...lructura prcvisla. .

flecha en honnigón

estructuras dos

que predicen los cálculos convenidos". En general se admite que los resultados no pueden interpretarse con más rigor que ~20%. En definitiva, lo que se sabe calcular no es el valor de la flecha sino el orden de magnitud de la flechas.

2.1 Etapas de carga

1.3 Objetivos de este documento Este documento pretende explicar pormcnorizadamente cómo debe obtenerse la flecha según las convenios al uso establecidos en el código español, a la par que explicar cuáles simplificaciones son acertadas y cómo interviene cada variable en el resultado final.

t--

0.85

--- ~

....... .......

, ~2~1.6. ~ ~16 •• ~ .....: ...

"jO • •

~._-

6.00

---_. ,... +

...... 0.30

124>16 : 1~16

2 FLECHA INSTANTÁNEA

---

0.25

", " , ".-, "

0.25

L-

. .-~ .. . ~. <. •.......•• . 1~16 '--~. :1..-,-.... - °r j .._-~ ..

La codificación actual del cómputo de la flecha impl ica identificar varias etapas de carga. Para tomar una sóla, promediando los efectos de todas ellas, debiera antes investigarse lo que sale con un modelo más afinado, haciendo que el total de carga aparezca en forma discreta, por ejemplo en tres o cuatro hitos. En este texto se discute sobre los de peso propio a la edad del apuntalado, t ,el del añadido del solado a la edad t sol ' el de la tabiquería a la edad t,ab y la sobrecarga dt~so que aparece a la edad t uso ' Si el solado se dispone tras la tabiquerí~, el tiempo t sol será posterior al t,ab' Típicamente el desapuntalado completo sucede a los 28 ~Ias, aunque es muy probable que, en edades anteriores, el forjado se ocupe de soportar parctalmente los superiores, sopandados sobre él. En cada etapa se debe calcular la flecha instantánea. Para ello deben obtenerse las solicitaciones actuantes, y las inercias equivalentes, función de las de cada sección crítica, intermedia entre la inercia fisurada y la total, dependiendo de la relación del momento actuante al de fisuración. Si el acero posee un módulo de Elasticidad E. se puede suponer que el del hormigón, ' a la edad j, es, en kp/cm1, de valor:

0.60-~

Ficura 1. ViCI de ejemplo PIra dlculo de ft«h8

Como pretexto para hacer números, se utiliza la viga de la figura 1, plana, de 25 cm de canto total, empotrada apoyada, de 6 m de luz entre ejes de soportes, con un nervio de 60 cm de ancho en la zona de momentos positivos, y de 85 cm en la de negativos, con 10cjl16 inferiores, de los cuales llegan 4~16 al extremo, y 12~16 superiores, sometida a carga de 3~5 t/m, procedente de 280 kp/m 1 de peso propio a los 28 días, 120 kp/m 1 de solado a los tres meses, 100 kp/m 1 de tabiquería a los seis meses y 200 kp/m 1 de sobrecarga de uso al año. Las tablas presentan informaciÓn válida con carácter general; los cuadros ofrecen valores particulares de este ejemplo. En el apartado que sigue se establece cómo obtener la flecha fundamental, la instantáne... En el siguiente se incluye la información en tomo a las componentes diferidas y al cálculo de la flecha fin .. 1 acumulada y activa. Por último se establece cómo tener en cuenta la flecha, y hacer que posea valores tolerables. El lector que lo desee, puede saltarse directamente al epílogo.

Ecj

= 19,000 '

(1]

..¡ re¡

con valores de f, variables con la edad, de acuerdo con la tabla 2 obtenida a partir de los valores ofrecidosqen EH- 91, Art 26.9.1. El cociente de E/Ec se denomina n o coeficiente de equivalencia, y permite traducir las 'secciones de acero a hormigón y viceversa.

Tabla 1. Valores del hormIgón variables eon la edad, según EH-91

Valor básico 1 mes

Edad

3 meses

. . . . . . . .. . . ..... ~

'c¡

Resistencia Módulo de elasticidad Ec¡ Rotura a Iracción

Factor de corrección 6 meses 1 año

_.~_H

...

... _ . . . . . . _ _ • • •

~. ~w

1.00

1,17

1,28

'd< 19.000·"'d< O,Md<2/3

1.17

1.28

1.35 1,35

1.08 1,11

1.13 1.17

1,16 1,22

•••• _ · · · _ _

5 años

·_ ....

.......... .. ~

~ --_. _._

1,40 1.40 1,20 1,27

H- 200 'el Para algunos de los dedOS indeseables de las Occhas, corno es la suplantación estructural por tabiques, que luego fracasa, al no existir su prolongación en planta baja, no hay modelo, En ese caso se produce una acumulación de carga de unas plantas a otras hasta el primer forjado. que provoca su rotura. corriéndose hacia arriba. dos o tres plantas más. Posiblemente este efecto dependa de esquemas de arcos de descarga en los que la variablé esencial es la rigidez de tabiques. dependiente de la relación de luz de vigas a ahura entre plantas, variable que el modelo general de Oechas no tiene en cuenta. Parece que este fenómeno, enmascaradu en luces cortas. aflora y aumenta vertiginosamente su efecto a partir de S o 6 m. 4

Ec¡ n=E./Ec 'clj

268

kplcm"

200

"cm>

268

233 290

252 303

311

7.8 27

7.2 30

6.9 32

6.7 33

kplcm"

-leC)j' O. 6(f~R}¡{3

¡;.~=. '2 .lt/()'

280 322 6,5 35

/rf/vm'Z.

5 A pesar de ello, la utilización de procesos automatizados de cálculo penoite describir el resultado de la flecha eon varias cifras decimales. lo que propende a diScutir si es tolerable o intolerable por márgenes inferiores a la precisión del modelo. Si la flecha tolerable se establece en 1/400. no tiene sentido hablar de valores 1/417 o 1/386. Todos ellos son iguales en la primera cifra significativa, que es. posiblemente, la única fiable.

flecha en hormigón

estructuras dos

2.2 Términos de la sección La inercia equivalente de cada sección crítica es una mezcla de la total -bruta- de la sección completa con el hormigón no fisurado, y la fisurada, como si todo el hormigón traccionado no existiera en absoluto. Como sección de una viga plana debe tomarse siempre la del nervio más la parte de alas que se suponen eficazmente cosidas a éste; a menos que haya justificación para otro valor 6, a momentos positivos se puede suponer, que, en vigas interiores es a = 4·h Y en las extremas a = 2-h.

2.2.1 Inercia de la sección total Inicialmente trabaja toda la sección, con las tensiones provenientes de una ley lineal de deformaciones. En esa situación, la inercia total de una sección de viga plana, de ancho inferior b, canto h, alas de grueso c en amplitud a, armadura inferior Ainl y superior A.up con recubrimiento r, véase figura 2, es la siguiente: y = (a'c-(h-c/2) + b'h'/2 + n·A¡.¡·r + n·A.up·(h-r) ) / ( a·c + b·h + o-A¡oI + n-A,up) I 1'01 = b·h)/12 + b 'h'(h/2-y)' + .·.,1/12 + . -c-(h-y-c/2) + o·A¡.¡·(y-r)' + o-Asup'(h-y-r)' I

Ni la influencia de las alas ni la de la armadura deben ser despreciadas. En el ejemplo, la inercia del nervio a momentos positivos, de 6Ox25, es 78.000 cm . Las alas consiguen que la cota y, que estaría al centro de la sección, a 12,5 cm, pase a 14,71 cm con lo que la inercia sube a 114.000 cm4, casi vez y media mayor. <" =- 100"'-" \ aI2 ---t-

tí! h e

'r 't

.t-

A,..,

+--

a/2

..:- ...... -

; ~

En el ejemplo, si la sección tiene b = 85 cm y al'/.= 35 cm, la inercia del nervio es 111.000 cm 4 . Con el ala, el valor y sube a D ,n cm y la inercia a 138.000 cm 4 • A 28 días, con una armadura superior de 12$16 y abajo de 4$16, el centro de gravedad pasa a 14,06 cm y la inercia sube a 158_000 cm 4 . Como antes, el paso dcltiempo baja la inercia en hormigón, pero sube su módulo de elasticidad, aumentando nelamente la rigidez, que pasa, en un año, de 4.235 l'm2 a 4.950 t-m 2 • -

2.2.2 Momento de nsuraclón La sección comienza a fisurar cuando se alcanza en la fibra traccionada la tensión de rotur~ a tracción, que, a efectos de flecha, se supone de valor rc.. = 0,8·rc¡2/3. A 28 días, un hormIgón H-200 lo hace para 27 kp/cm>, pero con el tiempo lo haría para tensiones mayores, hasta de 35 kp/cm 2 a 5 años. Para valores intermedios puede consultarse la tabla l. El valor del momento de fisuración es:

[3) siendo y la cota del borde traccionado ~especto al centro de gravedad, de valor la y de (2) para momentos positivos y h-y para momentos negativos. A 28 días, en el ejemplo, si, como simplificación, se tomara el nervio, a momentos positivos fisuraría para 27x78.000112,5 = 1,7 mI. En rcalidad, lomando la inercia del total de la sección es 27x133.000/13,81 = 2,6 mt, valor radicalmente diferente. A momentos negativos, la simplificación de tomar sólo el nervio conduce a 27xl1l.000/12,5 = 2,4 mI mienlras que el cálculo fino es de 27xI58.000/l0,94 = 3,9 mt.

F:- .......... I~

L. __ o_ o _• • _ __ _ • _• •_-

Si la sección a momentos negativos tiene ancho diferente del de vano, la inercia varía, pero sobre todo porque la colaboración de las alas es generalmente menor que a momentos positivos_ Aceptando que su amplitud no puede superar, a cada lado del nervio, la décima parte de la longitud total a momentos negativos, puede oscilar entre 1,3 y 1,5 cantos_ A cambio la armadura de la cara superior suele ser mayor, y hay una no despreciable armadura inferior9 .

( 2)

siendo y la cota del centro de gravedad respecto a la fibra inferior.

~- -- -

El paso del tiempo, bajando el coericiente n, disminuye la inercia; a 1 año baja a 131.000 cm 4 , sugiriendo la conclusión de que la rigidez se reduce, pero como el módulo de elasticidad del hormigón pa.sa. de 2~8 .000 a 311.000 kp/cm 2 , el total de rigidez es de 4.075 t'm2 en vez de las 3.570 t'm 2 orlgmales , o sca aumenta un 15%. No debe pues desestimarse tampoco el cambio de propiedades del hormigón con el tiempo.

El paso del tiempo cambia los valores anteriores, cambio que no es lógico ignorar. A 1 año los momentos de fisu ración son 33x 131.000/13,94 =3,1 mI y 33xI58.000/l0,99 = 4,7 mt.

---11 ~

Ficun 2. Línea neutra de l. secdó. completa 1 A 28 días, una armadura inferior de H)c!>16 con 3,0 cm de recubrimient0 al eje cambia el centro de gravedad de la sección total a 13,81 cm, y sube la inercia a 133.000 cm~, casi el doble de la del nervio. La armadura superior, puramente testimonial en la zona de momentos positivos, puede ser despreciada.

6 El valor indicado proviene del citado, con carácter general, en el euroc6digo, igual. LellO siendo L" la luz entre puntos de momento nulo_ Según el código español habría que considerar muchísimo más, pero disponiendo un cosido que habitualmente no existe. En las condiciones constructivas usuales, el ancho dica7.l1lente cosido no excede del valor del euroc6digo, pero en las fases iniciales, de poca carga y solicitaci6n, de acuerdo con el código español, se podrla considerar un ancho todavia mayor.

El recubrimiento nonnado es de al menos 2 cm para toda armadura incluso los estribos. Considerando que en edificación la pieza está protegida por erducidos, se puede bajar a 1,5 cm, lo que, con estribos de +6, permite para una I nnadura de + 16 un recubrimiento al eje de 2 ,9 cm y de cm ~i el c" ... iho en de +'l. 7

J.'

En todo caso son valores muy bajos. la viga del ejemplo, de 6 m de luz, está proyectada para 3,5 l/m de carga lotal en servicio. Sólo ante el peso propio, el 40% del total de la carga, los momentos serían 0,07-q·Ll y 0,125'q'U, o sea, 3,5 mI y 6,3 mi respectivamente, resultando que la viga se encuentra desde el principio en estado francamente fisurado. No es sorprendente. A momentos negativos, la inercia total, considerando alas y armadura, ha resultado ser del orden de O,125·b·h 3. la cota del centro de gravedad oscila poco de y = 0,5·h . El momento máximo es como 0,125·q·U. En esas condiciones, la (4) predice que el momento de servicio es al de fisuración como O,5·q·V/b·h 2 ·rct ' Considerando que rct es 27 kp/cm2 y que el ancho b, en cm, es del orden de 2,5'q, en kp/cm, dicho cociente es

I En la literatura clásica del hormigón armado, se acostumbra a tomar como material de referencia el hormigón, aunque, como se observa en este caso, -no el único-, resulta equívoco, y puede confundir al lector no advertido.

Para la colaboración resistente a compresión de la aniladura inferior se exigen unas ciertas condiciones de Tanto si se dan o no esas condiciones, algo más adentro de l. viga dichas armaduras siempre colaboran. Debtdo a que en el valor de la Oecha intervienen todas las secciones, a estos efectos se puede considerar toda l. armadlJr~ que llegue hasta el extremo, con cierta independencia de l. erlCacia de su anclaje. 9

ancl~je.

flecha en honnigón estructuras dos

.1 'u'I,I" '''11 .1. fk ll ~"

estructuras dos

I O,007·U/h2. Para vigas, como la del ejemplo, con LJh - 24, el cociente es del orden de 4. Si el peso propio es del orden del 40% de la carga total, se alcanza la fisuración para una carga del orden de los 3/4 del peso propio. Las variaciones de inercia total, cota de centro de gravedad, y solicitación en función de carga y luz sólo hacen variar levemente esta conclusión, que depende fundamentalmente de la esbeltez. Para esbelteces altas, -y es en ese caso cuando las flechas son cruciales-, las piezas están sistemáticamente fisuradas, véase tabla S.

2.2.3 Inercia fisurada Al llegar al momento de fisuración, la pieza cambia su régimen tensional, pasando a soportar la solicitación con sólo hormigón comprimido y armadura traccionada. En ese estado, el fisurado, la inercia se reduce a la de la sección que tiene tensión. Para obtener el centro de gravedad se impone la condición de que lo sea con sólo el hormigón de un lado de ese punto. Con sección rectangular sería b'x 2/2 = n'A,'Y, siendo x la profundidad de la cabeza comprimida e y la distancia de la armadura a la línea neutra, cantidad complementaria a h-r de la anterior. En la zona de momentos positivos, con sección en te, depende de si el centro de gravedad se sitúa en la capa o dentro del nervio. El cálculo de la inercia fisurada es pues: Si (b+a)'c'{2 > D'A;.,'(h-r-c) ' / / x = (.¡ ( D'·A;.,' + 2·(b+a)'D'A;.,·(b-r) ) - D·A¡.,) / (b+a) IrIS = (b+a)·xl/3 + D·A¡,.,·(b-r-lI)' / en olro caso

x Ir..

flecha en honnigón

= (.¡ «a·c+D·A¡,.,)' =

(4a J

+ 2·b·(a·c'{2 + .·A;.,·(b-r))) - (a'c + D·Au.!) ) / b a'c3/12 + a·c·(II-cI2)' + b·xl/3 + . ·A;.,·(h-r-II)' ,/

De acuerdo con este formato, se puede obtener rápidamente una buena aproximación de la

inercia fisurada positiva con la expresión E .. A.. (h-r-4cm)·(h-r-2cm) aproximadamente

\:c1t~~ 0,6·Es·A,·hl. El módulo de elasticidad el hormigón puede quedar en segundo plano.

El paso del tiempo poco puede alterar la rigidez fisurada, ya que, presumiblem~nte la variación de x no puede ser grande, y el término fundamental del acero a~nas cambia. En efecto, al año la cota x sólo baja a 5,4 cm y la inercia queda en 45.000 cm 4 . Aunque parece disminuir, el aumento de módulo de elasticidad sube la rigidez a 1.416 mlt, que es sólo un 3% / mayor que la original, lo que sugiere la simplificación de tomar la rigidez fisurada independiente de la edad. Pero eso también significaría que la fluencia, aunque cambie significativamente el módulo de elasticidad del hormigón, tampoco tendrá gran incidencia en la rigidez fisurada, y por tanto en las flechas diferidas causadas con este estado. En efecto, con un módulo de hormigón tercera parte del original, es decir de s6lo 89.000 kp/cm 2 , la [4a1 predice q~e la cota X aumenta sólo hasta 9,7 cm, la inercia aparentemente sube a 115.000 cm pero que Junto con la baja de módulo de elasticidad quiere decir que la rigidez pasaría a ser 1.024 m2 t en vez de 1.381 m 2t. Si la rigidez fuera gobernada por el valor fisurado, un coeficiente de f1uencia de 2,0 ocasionaría pues un incremento de curvatura de sólo 33%. No debe pues confundirse la variación de las cualidades de curvatura de sección o flecha de viga con las variaciones del módulo de elasticidad del hormigón, que no es, en general, un valor representativo de la rigidez10; si la cabeza comprimida es pequeña, la baja de curvatura es muy inferior a la del módulo del hormigón. La disminución de valor desde la rigidez de la sección total hasta la fisurada es sistemática. La primera es del orden de Ec'O,14'b'h3 y la segunda es E;0,6·A,·b l . Como, en kp y cm, A, = O,07'q'L2/rs'O,8'b . ~ EjEc = 8 Y rs = ~770, resulta que el cociente de ambas rigideces es como 2000·h'JL2. Para la esbeltez cruCial resulta pues que E~9I ¿, 3·EIfis. Otros valores de hormigón, acero, ancho, momento o sobredimensionado de armadura varian sólo levemente esta conclusión; véase tabla 6.

En el ejemplo, el armado inferior es 10+16. Es una armadura relativamente baja; en relación a la sección del nervio, de 6Ox25, sólo significa un 1,3%; en relación a la sección total, alas incluidas, no supera el 1,1%. En agotamiento la capacidad mecánica de la armadura se equilibra con la capa y apenas 2,3 cm del nervio, en total 6,3 cm, que significa una profundidad de bloque comprimido de apenas un 29% del canto útil, y que en términos de relación de capacidades mecánicas es sólo una cuantía de 0,25. La sección puede ser reputad¡t pues de medianamente armada y bastante dúctil. '

+-- a/2 j1:1 h

f--,- a/2 --4-

--f'

.. r

L "

'i.: " '-'-- '~:J '

t '._...~~~~~.~·~.·~._.';'~w

+--

E.:

---+

Ficun J. SecciÓII lisunda por momealOs positivos

En esas condiciones de armado, a 28 días, el valor x de (4a 1es de 5,80 cm y la inercia fisurada 51.000 cm4 , -4:n su mayor parte procedente del sumando de la armadura-, del orden de la tercera parte de la inercia de la sección total, lo que significa que la fisuración produce una baja fortísima de rigidez. La rigidez, EI{is se eleva a 1.381 m't, v~l?r que puede obtenerse con la expresión alternativa, E.A.z·(d-x), que aclara qu~ la ngldez fisura~a d~pende prioritariamente de la sección de acero y del canto, y secundanamente de las demas vanables.

Fican 4. Seedó. lisunda a momeRtos aep tlvos

A momentos negativos la rigidez fisurada puede obtenerse de manera análoga, si bien ahora sólo hay una expresión, y debe incorporarse la armadura comprimida, no despreciable. Las fórmulas son:

10 Por eso resulta especialmente poco fetiz formular la sección en tfrminos de honnigón, traducci6n que está Uena de paradojas, En este texto se usa, siempre que se puede, en vez de la inercia, la rigidez. que 110 presupone el material, o su expresi6n en tfrminos de acero, que conduce a menos equívocos,

flecha en honnigón

estruc1uras dos

/ ~

x = (.¡ «n·A;.r+n-A.u.,f + 2·b·(D·A;.,."~.D-A$up·(h-rm - (D·A;., + n'A;n') ) / b 3 = b'x /3 + D'A¡",'(x-r)1 + a-A. up ·(h-r-x)1 y .

'fi.

14b I

. En el ejel.'lPlo, la a~adura superior es 12cjl16. Es una armadura no muy elevada; en a.la seccIón del nervIo, de 85x25, sólo significa un 1,1 %; en relación a la sección total, alas lIIc1utdas, no sUIX:ra el 1,0%. En agotamiento, la capacidad mecánica de la armadura, descont~~do la colaborac!ón de la comprimida, 4tjl16, se equilibra con los 7,5 cm inferiores, lo que slglllflca una profundIdad de bloque comprimido de un 35% del canto útil, que en términos de relación. de capacidades mecánicas es sólo una cuantía de 0,30 en la banda de ,la cuantía media. La seccIón puede ser reputada pues de no muy armada y razonablemente dúctil. relac~ón

En esas con~iciones de armado, a 28 días, el valor x de [5) es de 7,5 cm y la inercia 53.000 cm , -de nuevo en su mayoría procedente del sumando de las armaduras-, aSImIsmo del. orden de la tercera parte de la rigidez de la sección total, con iguales conclusiones quc las obtcllldas para la positiva. Ahora la rigidez, El, se eleva a 1.410 m't, que con el formato antes mencionado, E .. A;z·(d-x), se puede poner como O45·E -A ·h'. El módulo de Elasticidad del hormigón sigue estando en segundo plano. ' • • ¡;,.J:f:J) .

fls.ur~da

Como sucedía a momentos positivos, el paso del tiempo altera poco la rigidez fisurada. Al año la cota x pasa a 7,15 cm y la inercia queda en 47.000 cm 4 , pero la rigidez sube a 1.460 m't,de nuevo sólo un 3% mayor que la original, lo que vuelve a aconsejar la simplificación de adoptarla con~tante. De igual manera la Iluencia en régimen fisurado es pequeña; con un módulo de hormIgón tercera parte del original, las expresiones (5) predicen que la cota x pasa a 10,8 cm, la inercia a 120.000 cm4, y la rigidez baja a 1.065 m't, de nuevo sólo un 25% inferi?f a la .o~ginal. Aun para bajas importantes del módulo de elasticidad del hormigón, el cam~IO de ngldez, curvatura y Ilecha es mucho menos aparatosa, con la misma conclusión antenor por la que el valor del módulo de elasticidad del hormigón es muy poco representativo /,1 del fenómeno. . Si, como simplificación, se tomara sólo la sección del nervio, a momentos positivos, a 28 días, la cota X pasaría a 8,4 cm y la inercia fisurada bajaría a 41.000 cm4 . A momentos negativos, naturalmente, no habría cambios.

2.2.4 Rigidez equivalente de sección En la realidad la rigidez no pasa bruscamente a la fisurada justo al producirse la fisuración. Entre fisuras subsiste parcialmente una rigidez próxima a la de la sección total, de manera que, sólo para momentos muy superiores al de fisuración , la inercia efectiva ~ asemeja a la fisurada, que es un valor asintótico de la transición de una a otra. De acuerdo con lo propuesto por el código español, para momentos superiores a M Ii el cálculo de Ilecha puede hacerse con una rigidezll denominada equivalente de la sección c~ítica, de valor l2 : : [5 ]

11 La formulación original está hecha en los ténninos de inercia, pero es indiferente hacerlo con los de rigidez, que no son sino tos anteriores muhipliaodos todos por el mismo módulo de elasticidad. El uso de la inercia puede inducir a confusión, y. que, como se ha viSlo, sus alteraciones proceden det artificio malemálico de considerar que el acero disminuye con relación al honnigón, cuando en realidad lo que sucede es que el acero se mantiene y el honnigón awnenla. Multiplicando dt:$de el principio la inercia por el módulo, se llega a valores que expresan mb fielmenle las propiedades det conjunlo de la sección (ormada por ambos maleriales. .

12 La ex~resi~n oril!inat se p'~ta en ,et fonnato 1", = 1", '(Mr,/M",,)l + .r,,·(l-(M,ilMoci), que se lee como que ta mercta eqUlvalenle es mtennedta entre ambas. La :kl lelto presenta como ténnino fundamental la fisurada. que. en Ia.o; piC7.M esbeltas, l¡u; que tienen flecha crílica. es lo relcv:mle. 111

estructuras dos

flccha, conduce a que las cargas deben estar en relaciones del orden de 90, 100 Y 110. En este el superior soporta el 90% de Sil transmitiendo el reslante I()% al ttus

C'.150,

en donde literalmente dice que, como valor M.ct d~bc tomarse el momento flector aplicado en la sección, en el estado de carga para el que se calcula la flecha. Si dicho momento actuante es justamente M fis ~ inferior- la rigidez equivalente es la de la sección total; si duplica al de fisuración, la rigidez es la fisurada más l/8 de lo que le falta para la total, o sea 88% de la fisurada y sólo 12% dc la total; si el momento actuante supera el triple del de fisuración, la rigidez equivalente añade a la fisurada apenas un 4% de lo que le resta para la total: prácticamente igual a la fisurada, véase figura 6. Las primeras dudas comienzan con cuál sea el verdadero momento actuante. Las armaduras se han obtenido para unos momentos redistribuidos, que son sólo los que, tras rotaciones plásticas, conducen al esquema de la carga última. Pero los momentos que hay, para una carga mucho menor que la última, proceden del análisis de la viga, de acuerdo con la rigidez de sus secciones. En el ejemplo, de acuerdo con los valores obtenidos, tanto la rigidez de la sección total como la de la sección fisurada son similares a momento positivo y negativo, lo que permitiría asimilarla a sección constante, y por tanto con momentos parecidos a los denominados elásticos, que, para una viga empotrada apoyada como la de ese ejemplo, son de valor O,07'q'U y O,125·q·L'. . A 28 días, para la carga de peso propio, un 40% de la carga total, 1,4 l/m, los momentos serían 6,3 mt y 3,5 mt, en cualquier caso superiores a los más optimistas de fisuración, 3,9 mt y 2,6 mt respectivamente, conclusión, que, como se ha visto, es general en piezas esbeltas. A pesar de que la definición del código no da lugar a dudas de que a 28 días bastaría en (S) poner el valor del momento realmente actuante, entre los expertos hay relativo consenso en que, si en etapas anteriores a la considerada, la sección ha pasado por una carga superior, /1 la rigidez se ha resentido irreversiblemente. Eso hace que deba estudiarse previamente lo que sucede en las primeras fases de vida de la viga.

2.3 El primer mes de la viga: carga de sopandado. Habitualmente, en las estructuras de pisos, cada planta se apca en la anterior, parcialmente endurecida. El ritmo usual es del orden de una semana por planta. Hasta dos o tres plantas el conjunto se apea contra el suelo y ninguno de los forjados soporta ninguna carga hasta que se desapuntala el conjunto~ operación que incluso puede comenzar por arriba. En un edificio de dos plantas, si ambas están apeadas, y se procede a eliminar el apuntalado de la inferior, la carga de peso propio de los dos forjados debe ser soportada entre ambos, en función de su rigidez respectiva. Las diferencias de edad, -una semana-, arrojan una diferencia pequeña en el módulo de elasticidad del hormigón y consecuentemente en su rigidez de sección total. En efecto, tomando los valores de las variables de la tabla 2, -los de la 1 para edades tempranas-, ya a' 7 días el hormigón presenta un módulo de elasticidad superior al 80% del de referencia a 28 días. No obstante, como la carga de peso propio supera la que produce fisuración, de acuerdo con [5], la rigidez que gobierna el reparto es muy parecida a la fisurada, que es todavía más insensible a la edad. La conclusiÓn es que, en ese "/ caso, cada forjado soporta más o menos su propia carga, y la retirada del apeo inferior deja apenas sin función al mismo tiempo el superior. , En un edificio de tres plantas, retirar primero el apeo de la inferior, dejando los dos forjados superiores apuntalados sobre ella, da una ligera ventaja en el ritmo de obra. En una primera aproximación, la carga de los tres se reparte aproximadamente por igual entre ellos. En un cálcul.o algo más fino, las diferencias de edad entre el primero y el último -dos semanas--, son más Importantes que en el caso anterior, lo que predice diferencias de módulo de elasticidad y de rigidez de sección total de hasta un 15%. Por lo que respecta a la rigidez fisurada, aunque es muy parecida en todos ellos, la diferencia entre las resistencias a tracción, -del orden del 20~ entre 7 y 21 días- hace que el superior tenga, para la misma carga, menos rigidez eqUIvalente, y más deformación. El análisis mediante (5) para que los tres posean la misma 11

flecha en honnigón

flecha en honoigón

eSlrucluras dos

l1echa, conduce a que las cargas deben cstar en relaciones del orden de 90, 100 Y UO. En este caso, el superior soporta el 90% de su peso, transmitiendo el restante 10% al forjado dos plantas más abajo a través del apuntalado. El inferior pasa pues po~ una carga ~asta de ~ ,1 veces su peso propio antes de los 28 días de edad. De acuerdo con el parrafo anterIor, la retIrada del segundo apuntalado apenas tiene incidencia en los dos últimos forjados, que antes de esa fecha no están sometidos a carga superior a la de su propio peso13. Para más de tres forjados no es habitual el apuntalado total. Ello conduciría a una inversión importante de material de sopandado, y a que se sintieran sustentados en esa obra . auxiliar muchos más forjados, resultando un cambio demasiado brusco la retirada de los puntales. Debido a que cada forjado alcanza la capacidad de carga prevista a los 28 días, y a que ésta es, con frecuencia, del orden del triple del peso propio, lo habitual es mantener en. obra .unos tres juegos de apuntalado, de manera que el cuarto forjado se apuntala con el matenal retnado del primero. El ciclo se repite sucesivamente, de manera que, por lo gen,eral, ~ólo hay tres plantas sopandadas, y en el instante de rotación de sopandado, sólo dos, vease figura S.

Infortunadamente, y como sucede en otros aspectos, esa conclusión corresponde sólo a vigas de canto, y sólo con forjados autoportantes. Los razonamientos anteriores son ciertos // solamente si las cargas hasta más de dos veces el peso propio no producen fisuración, ya que sólo en ese caso lo pertinente para estimar la rigidez es el módulo de elasticidad del honnigón, de acuerdo ~on su vejez. Nótese que, en cada reparto, (fase a y fase b), la fracción de carga que toma cada forjado no corresponde a su rigidez, ni siquiera a la correspondiente a su edad o su mayor o menor r~:l/ gimen de fisuración, sino a su rigidez incremental. En cada instante, los tres forjados se hallán conectados por puntales, y deben l1eclar igual, pero parten de una carga y flecha diferenle; en cada reparto, la carga que recibe cada uno debe ser la que les permile ganar a todos la misma flecha. En la figura 6 puede verse la diferencia entre la rigidez en cada punto y la rigidez incremental. MOMENTO

El 0,9

1.0 1,1

lIIIII []]JJa ITII!J OIITI ITIJ]] 11]l fI :'; OJID~: CJ 0 0,3

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CURVATURA

Ficura S, Fases de sopa.dado

Fipn 6. Medidll5 de la riCidez

En cada fase del proceso, la carga añadida se reparte entre los forjados apeados a través del apuntalado. En un instante tipo, tras haber relir~do un ape?, han qu~dado dos plantas apeadas, El tercer juego de sopandado se dispone enCIma, y se vIerte hormIgón fresq> en esa planta (fase a). Su peso, que se toma aquí como unidad, se reparte. enlre tres planlas. De acuerdo con lo visto en un párrafo anterior, el reparto podría ser aproxlmad~m~nte 0,33 0,33 Y 0,33 aunque se podría suponer que es más bien 0,30 0,33 Y 0,36. En la sIguIente fase, (fase b), al retirar el apuntalado de la planta inferior, el forjado pasa a soportar sólo su peso; el e~ceso sobre eSe valor, que era la carga que le transmitía el sopandado, se reparte entre los tres JOl)ados superiores_ Los resultados de estas consideraciones son clásicos en la literatura técnica. Si ambos repartos son a partes iguales, los valores deben ser, de arriba a abajo, de 0,33 1,00 y' 1,~7 en la fase inicial' el añadido de un forjado (fase a) los hace pasar a 0,66 1,33 y 2,00 Y la retnada del sopandad¿ (fase b) reparte el resto de 2,0 a 1,0 dando lugar ~ los mismos valores d,e partida 0,33 1,00 Y 1,67 corridos una planta. Si el reparto fuera proporcIonal a 30, 33 y,36, mas acorde con la diferencia de rigidez, función de la madurez de la planta, los valores senan del orden de 0,30 1,00 Y 1,70 pasando a 0,60 1,33 Y 2,06 all~ñadir una planta (fase a) y retomando a los mismos valores al retirar un apuntalado (fase b) , :

No es demasiado fiable utilizar la expresión (5] para calcular rigidez incremental. Esa fórmula es una expresión algebraica simple, ajustada a una nube de puntos experimental, adecuada para calcular flechas totales, pero no se le puede sacar punta a sus diferencias, Una expresión alternativa, ampliamente usada en otros códigos, como el Model Code y el Eurocódigo, y que conduce a resultados poco distinguibles de los de (5], es la de suponer que, hasta el momento de fisuraCión, la rigidez. es la de la sección total, y para los incrementos de momento sobre ese valor, el incremento de flecha corresponde a la rigidez fisurada ls , Según esa expresión, la rigidez incremental ~ la de la sección total hasta el momento de fisuración ' y la fisurada en adelante.

Il En lo que sigue no se considera la exislencia de sobrecarga de conslrucción, que no eslj norm~da, y que, • efectos de defonoación. podría no ser sislemática en toda la planla. La det aponlalado suele ser desprecIable frenle al peso propio, y, en cualquier caso. tendría una in~idenci~ menor qu~ et error 1'''' o"as consIderaCIOnes co".'o son si la planta se hormiguna o no en loda su extensIón al Ilempo, el tipo, malenal y edad de los soportes, tipo de IrarDO, extremo o en conlinuidad, etc. .' 14 Los valores corresponden al régimen eslacionario,. en un edificio con innumer~bles plantas. El arranque produce una perturbación que allera esos vatores hasla la cusplde. haCIendo que. ahemallvamenle. las.planlas ¡>ares e impares sufran más y menos del valor eslacíonario, llegando. hasla 2.~. No hay ,!ue lomarse dema~la~o al pIe de la lelr. esas anomalías, que responden a planleamienlos demaSIado teóncos. Cuestiones como el cedlmlenlo de los I?

Obteniendo los valores de (5) para el caso de ser E~oI,28 = 3·EIfis:~8 en 3, 7, 14, 21 Y 28 días, y evaluando la rigidez incremental, suponiendo, como simplificación, que los términos de sección son proporcionales a los ·valores de Ec Y rtl , se llega sistemáticamente a una conclusión parecida, véase la tabla 2: hasta el momento de fisuración, los incrementos de flecha se corresponden con incrementos de momento en función obviamente de la rigidez de la sección total; a partir de ese instante los aumentos de flecha operan con una rigidez tercera parte de ese valor. Las diferencias con la edad son muy poco significativas.

puntales, el proceso de templado y retemptado de los mismos, el clareado y desapunlalado diferenle que sufren viguetas y vigas. el no despreciable proceso de Ouencia. elc, y que la rigidez sea menor cuanto más solicilación hay, uniforman los resultados y suavizan los picos anómalos. Para complObaciones de resistencia y segulidad debieran tomarse hip6lesis pesimistas. y I\DI 2,4 es \DI valor generalmente soportado por el forjado; pero para Oecha seria más prudenle lomar valores medios.

~ Mienlras la nonoa española formuta el problema en lénoinos de una rigida inlermediá. tos códigos cilados lo hacen a lTavés de una curvO/llrO inlermedia. medianle M"",IIfq = M,JIIoI + (MOCI - Mr,.)llr• . Ulilizando la notación a = l,./l(js fI = I~,. Y /lo = M~I<\. esl. expresioó .es ffIJ = 1 - /lo + p/a, mienlras q~c la (5). provenienle del código español es fI = 1 + /lo ·(1 ....'. A pesar de l. dIsparidad formal enlre ambas, las dIferenCIas son pequeñas y no llegan siquiera en algunos casos al 20%.

estructuras dos

flecha en honnigón

Tabla 2. Rigidez Incremental, para EI,.. ,28 = 3 , EI'is,28 según EH-9l 3 EcI ! Ee28 'eti ! 'e~~8

M I Mr" 28 0,5 1,0 1,5 3,0

Edad en dias 14

0,65 0,56

0 ,82 0,78

0,91 0,89

0,96 0,96

1,00 1,00

2,0 0,7 0,8 0,9

2,5 0,8 0,8 0,9

2,7 0,8 0,8 0,9

2,9 0,9 0,9 0,9

3,0 0,9 0,9 1,0

El jnc ! ! EI'is,28

Resulta que, con vigas planas, hasta justo antes de añadir un forjado, (fase a), el inmediato inferior está soportando una carga mucho menor que 0,7 veces su peso propio y los dos debajo de él superan ese valor, De acuerdo con los. valores obtenidos, el último no ha llegado a fisuración y los inferiores la han rebasado ampliamente. En esas condiciones, un aumento de flecha igual para los tres, exige triple carga en el último que en los dos situados debajo. Al retirar un apuntalado, (fase b) el forjado superior, que no soporta todavía nada~ demanda asimismo triple carga que los otros dos para f1ectar lo mismo. En esas condiciones· los valores parten de 0,4 1,1 Y 1,5; al añadir un forjado pasan 3/5 al forjado superior llegando a 0,9 1,3 Y 1,7; al retirar un apuntalado, los 0,7 que sobran del forjado inferior se reparten de la misma manera, llegando de nuevo a 0,4 1,1 Y 1,5. En rigor ese reparto es el teórico. Si se parte de un suelo infinitamente rígida, la eliminación del primer apuntalado hace que los tres primeros forjados se encuentren originalmente en parecidas condiciones y comiencen con valores 0,91,0 Y 1,1. La diferencia de esa semilla con los valores deducidos en el párrafo anterior, hace que, cuando el tercer forjado pasa a soportar el sexto, su carga suba hasta 1,9 veces su peso propio. Pero sólo si hay seis plantas. En edificios de dos plantas el coeficiente máximo no pasa de 1,0; con tres no supera 1,1; con cuatro se llegaría como mucho a 1,5 y con cinco a 1,6, Es a partir de siete cuando, aUli en ese supuesto algo irreal, el valor se estabiliza alrededor del teórico, Con todo, estos :valores corresponden al forjado pésimo, El último nunca pasa de 1,0 yel penúltimo de 1,3. El promedio oscila desde 1,1 para tres plantas hasta 1,5 en siete plantas o más, La conclusión es que, con vigas planas, debido al proceso de apuntalado de unos forjados sobre otros, aunque para resistencia sería conveniente comprobar que el forjado puede soportar /~con seguridad hasta 1,9 veces su peso propio -lo que se verificará casi siempre-, para flecha lo razonable sería suponer que en los 28 primeros días la fisuración es la provocada PO! cargas como mucho del orden de 1,5 a 1,7 veces el peso propio del forjado, Pero, como se verá, lo que sucede en esta fase de la vida de la viga tiene muy poca importancia en la flecha

2.4 Rigidez promedio de viga Cuando la viga es aislada se usa como rigidez equivalente la definida en [5) para la sección de momenlo máximo. Si la viga -como es habitual- está rígidamente unida a otras o a soportes, de acuerdo con el código español, hay que tomar una rigidez promedio de la de las secciones de momento máximo. Con uno o dos extremos en continuidad la rigidez promedio es, respectivamente:

0,85·El cq ,po. + 0,15·Elcq.ncg

Si los momentos de los dos extremos son diferentes, se debe tomar como El la , 'd ' d 1 cq,ncg ngl ez semIsuma e as de ambos. En el caso de voladizo se debe tomar como rigidez promeoio la del momento máximo negativo. Como puede observarse en la expresión [6), en el cómputo de la deformación se concede primacía a la rigidez de la sección central de vano a momento positivo, quedando como secundaria, con un peso mucho menos importante, lo que sucec,la en los extremos en continuidad.

2.5 Cálculo de Oecba Instantánea De acuerdo con los apartados anteriores, el proceso de cálculo de la flecha instantánea es el siguiente: '

1- En cada etapa de carga, identificada por su edad ti se obtienen los valores de módulo de elasticidad, y tensión de rotura a tracción del hormigón. Denominando k al coeficiente corrector de la resistencia, dado en la tabla 1, el módulo de elasticidad del hormigón es Ec¡ = 19.000·vrck ·vk y la tensión de rotura a tracción es re'j = o,8·rCk2/J·k2/J. 2- En cada etapa de carga y extremo se obtienen la inercia tolal 1'01 mediante [2J, el momento de fisuración Mq, mediante [3J y la inercia fisurada I fis mediante las [4). Las inercias se convierten en ngide~ multiplicándolas por Ec¡ . 3- En cada clapa de carga y exlremo se obtiene la rigidez equivalente según (5], tomando como momento Moct el máximo entre el producido por la carga de esa clapa /¡ y el pésimo en el proceso de desapuntalado, como mucho el procedente de 1,7 veces el peso propio del Corjado. Los momentos deben ser los elásticos sin redistribuir. Si las rigideces dieran pie a ello, se podría afinar considerando viga de inercia variable. 4- En cada etapa de carga se obtiene la rigidez promedio según (6). 5- En cada etapa se calcula la flecha - inlantánea- con la expresión correspondiente de la formulación clásica, que puede ponerse de la forma: ¡

q.d ,Jo tv,~, n ,

Viga apoyada

esos valores con :J., y, z, (teniendo en cuenta que una de e.us condiciones es combinación tic las Olr:as dos), y I .U., .." " '~II" ~ '. y '. " 3 1u'l lIoRlI • IIIi r.: nl, •• ·il"m,

Viga continua en un exlremo

6 6

6·EI - O (M o ' 15·M 1)'V /9 t-prm (M o - O,I 'M t

(7]

O,l 'MZ>'L2 /9,6'Elprm

siendo Mo el momento flector en vano y M. Y M 2 los momentos - negativos- en los extremos de la luz. Hay que hacer una precisión en tomo a la luz. En el análisis de la estruclura es necesario tomar un sólo punto para plantear el equilibrio de las piezas que confluyen en él. Pero 1I para.obtener los términos de barra se debe tomar la luz efectiva a flexión, la neta más a lo sumo medIO canto en cada extremo. Con ese valor se obtienen los momentos de empotramiento y los términos de rigidez de barra; el reslo hasta el nudo debe hacerse en la consideración de sólido infinitamente rígido. La luz de flecha tiene un tratamiento peculiar. Las tensiones procedentes

flecha en hormigón

eslrUCluras dos

de la flexión no aumentan más allá de la cara del apoyo, donde se pueden truncar los momentos fl c tores, que no ticllen sentido fisi 11 dentro del nudo, Dehido 11 'In es -1 c}JJtml

M'V /96·EI o t-prtD

Viga continua en dos extremos

16 El p1anleamienlo, generalizable a cualquier rigidez es el siguienle. Sean, de arriba a abajo, x, y, z,los valores iniciales de carga con dus forjados apunlalados sobre o'ro; al añadir un {orjado, si su carga se reparle como 3, I Y l. tas cargas pasan a ser x+O,6 y+O,2 z+O,2 cuya suma es uytz+t; al relirar el apunlalado del inferinr, el exceso del forjado inferior, (z+O,2)- t, pa..... a los superiores en la misma proporción, resullando los valores uO,6+0,2'(z-O,8) y+O,2+O,2'(x- O,8) y para el nuevo O,6(z-O,8), cuya suma es lambién uy+z. Idenlificando

[6 J

O,70'El cq ,po5 + 0,30'El cq ,ncg

Cuadro , . Ejemplo de cálcuto de "echa Inslantimea

estructuras dos

tlecha en hOlm l ~ó n

de la flcxión no aumentan más allá de la cara del apoyo, donde;: se pueden truncar los momentos flectores, que no tienen sentido físico dentro del nudo. Debido a que es predominante el control de la flecha relativa a la luz, se puede tomar a estos efectos la luz neta 17 . SOLICITACIONES ACTUANTES

O,l~ 0.\55<0.125, 0,106 lo{S'loflrd.·,t

..'. __

1o,~921 I

___ .

CAPACIDADES RESISTENTES

+~ 1\:

Peso propio 280 kp/m'

+ solado

Edad Carga

ti q,

1 mes 1,4 l/m

3 meses 2,0 l/m

Ello! EI,is

m'" m'·t m" m" m'·t m'·t m"

3570 4235 1371 1410 2,6) 3,9 / 6,0 9,4 1550 1610 1559 3,5 /" 5,5 1

3823 4583 1391 1433 2,8 ; 4,3 9,4./ 6,0 1 1638 1737 1653 5,0; 7,9/

3986 4804 1406 1454 3,0 4,6 6,3 9,9 1684 1790 1700 6,3 9,9

4075 4947 1416 1463 3,1 4,7 8,8 13,9 1602 1532 1542 8,8 13,9

0,59

0,80

0,97

1,50

an m>.'

Mpos

,:\-========,

'1--- ;

1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

1::1

_ _ _ _ _ _ _ _ __ -'

==1 Ficura 7. Luz nel2 En el ejemplo de la figura 1, el cálculo de los momentos, como pieza empotrada apoyada, conduce a O,07'q'U en vano y 0,125'q'L2 en el extremo en continuidad. La reacción en ese extremo es O,625·q·L. Si el soporte posee 30 cm de lado, la cara se sitúa a 0,15 m del extremo, lo que supone O,025'L, que no es despreciable. El momento máximo en la cara // del apoyo alcanza el valor (O,125- 0,025'O,625)-qV = O,108'q'V, un 86% del teórico con IÍ la luz a ejes. Aunque luego la flecha deba compararse con una luz menor, esta precisión tiene, como se verá, il!'RQrtanci~ Para el ejemplo que se ha estado siguiendo, el proceso tabular del cálculo de flecha, según lo indicado, aparece reflejado en el cuadro 1.

2.6 Simplificaciones Como se puede comprobar en el ejemplo tabulado, no todas las v~riables de este prolijo proceso tiene la misma trascendencia. En primer lugar, y como anticip~ba la (6], son mucho ;.)l menos relevantes los valores de momento negativo, que, en un cálculo rápido, pueden.obviarse. En segundo lugar, y como se ha hecha notar ya, que los momentos sean desde el principio . bastante superiores al de fisuración hace que sea mucho más importante la rigidez fi!iurada que 1/ la de la sección total. En este caso la rigidez fisurada oscila de 1.371 m 2 t a 1.416 m 2t y la promedio se sitúa entre 1.559 m2J y 1.542 m2t. La relevancia de esta variable permitiría un cálculo simplificado de la flecha total a partir de un valor de rigidez muy poco diferente de la /,1 fisurada, y su constancia permite obtener una bonísima aproximación al orden de magnitud de ' r la flecha final con un sólo valor de rigidez fisurada, sea cual fuere la edad. Sin embargo que; la rigidez efectiva sea muy parecida a la fisurada no quiere decir que se pueda despreciar la colaboración de la capa superior en la sección. Aunque esa precisión esté de más para el cálculo de la rigidez de la sección total, que apenas influye, sí tiene especial ¡f relevancia en la posición de las líneas neutras, y por tanto en el momento de fisuración y en la rigidez fisurada. En las primeras e;tapas, la rigidez, aunque sea ligerarne;nte, aumenta debido al endurecimiento por edad; en la última, debido a la ya importante disparidad entre momento actuante y el de fisuración, disminuye, Eso significa que la gráfica para alcanzar el 100% de la flecha con el 100% de la carga es serpenteante, y que la pendiente media resulte aceptablemente representantiva de todas las etapas; en otras palabras, las flechas para cargas parciales son, en relación con la total, muy parecidas a lo que representa la fracción de carga en esa. edad. I1l'ar~ forjados ...bre viga, pI '~" como hlz neta a dectos de: necha se puede tomar, en vigas inte~iores, un pUllt .. . 111,,,,,1 d<¡ su ~Cll1 i . 1I 'lo .., '11 vig,,"' «tellores. probablemente el punto que más acertadamente mIde la luz l1()t_ () el ~ l h Kl . II\I CII" l. h,tarior de 10$ "" ",lites.

u,.

i Aql

E'apa

0078 ,.---,

Cuadro 1. Ejemplo de cálculo de ftecha InstantAnea

Mr.. M.ct

Eloq Elp,'M

El incr Elmedia

6101' q,l~

Mneg

0,59 1559

120 kp/m'

Mpos

0, 21 1914

+ tabiquería

+ uso

100 kp/m'

200 kplm'

6 meses

12 meses 3,5 l/m

2,5 l/m

Mneg

Mpos

Mneg

Mpos

0,17 1923

Mneg

0,53 1252 1542 .

0,60

0,86

1,07

1,50

En el ej~mplo, para peso propio, con el 40% del peso total, se produce el 39% de la flecha total; la mayor disparidad se da en la tercera etapa, que añade un 14% de la carga y sólo consigue un aumento del 11 % de la flecha total, y, en sentido contrario, en la cuarta, en la que; el último 29% de la carga es responsable del 35% de la flecha total. Si no se necesita mucha precisión no habría inconveniente en tomar una sola etapa de carga y obtener luego las flechas parciales por proporcionalidad con la carga; véase en el cuadro 1 el valor de ótOl'q/ qtot. FLECHA

b ...

100%

,-- - - - - - - - - -- - -- 71

CARGA

100%

"""

Ficun 8. Flecha y carca pardal

Pero si, para simplificar, se toma una sola etapa de carga, por ejemplo a 28 días, para /; el cálculo de rigidez promedio, según (5], deben tomarse, en coherencia, h>U!!Q!!!.cmL~_s en esa eta~ aunque para estimar la flecha (7] se tomen los totales; si en (5] se toman los momentos finales, concordantemente deben tomarse los valores de módulo de elasticidad y resistencia a tracción en el instante de alcanzar la carga total definitivamente, en el ejemplo, al año de edad. Mezclar ambos criterios conduce a un valor de flecha infundadamente alarmante. En el cuadro 2 apare;cen, para el ejemplo anterior, los resultados de simplificar el cálculo de flecha instantánea de carga total en una sola etapa y luego oblener las flechas parciales por proporcionalidad con la carga. 17

flecha en honnigón

estrucluras dos

2.7 La última fase de la deformación: la ductilidad

Cuadro 2. Elemplo de simplificación en una etapa Sólo el nervio

Sección considerada

•• •

' ~' '' '_ '

Eltol

'~''' _'H'~''''_

" ' "H"

. . ... . . . . . . H

m'-t

cm m'-t

....

~""". .~""II ........ ... ~""" .

M""II .... ... ~JlO<'

....

,."., "

M""!I .... . M""" ... ....~""II

2966 12,5

3040 14,7

3707 13,7

3570 13,8

4235 14,1

4075 13,9

4947 14,0

1410 10,8

1371 5,8

1410 7,6

1371 5,8

1410 7,6

1416 5,4

1463 7,2

1011 8,4

MAs

m-t m-t m'-t m>-t

2,4 1,7 / 13,9 / 8,8 1418 1019 1080

Mact Eleq Elpnn

Completa homogeneizada a un año a 28 días

2094 12,5

EIIIo

Nervio más capa

Recha total cm luz a ejes luz neta

3,3 ( 2,1 / 13,9 8,8 1394 1441 1400

2,3 2,1

2,6 3,9 8,8 / 13,9 / 1427 1419 1427

ejes

neta

ejes

neta

ejes

neta

ejes

neta

Peso propio, 4O%- qtol +soIado, 57%-Qtol +tabiqueria, 71%-Qtol

0,9 1,3 1,6 2,3

0,8 1,2 1,5 2,1

0,7 1,0 1,3 1,8

0,6 0,9 1,1 1,6

0,7 1,0 1,2 1,7

0,6 0,9 1,1 1,6

06 ' 0:9 / 1,1 ' 1,5/

... ..•...

1,6 1,5 /

Flecha parcial, luz

+USO, """ Recomendable

3,1 4,7 8,8 r 13,9 ! 1602 1532 1542

1,7 1,6

1,8 1,6

, .,. _, , '

0,6 0,8 1,0 1,5

Exacto

1/ #

La flecha es, como se verá mejor más adelante, especialmente sensible a los valores de momentos usados en (7) - En el ejemplo, véase figura 7, las secciones, armadas con 10cj>16 y 124»16 soportan con seguridad momentos del orden de 10,S mt y 11,9 mt, aunque laS solicitaciones elásticas en la luz neta son, para la carga lotal, del orden de 8,8 mt y 13,9 mI. A lo que parece, las armaduras se han obtenido tras una -amplia- redistribución_ Introducir en la (7) los primeros valores conduce a un paréntesis (10,0 - 0,1Sx12,O) =(8,2) en vez de al valor ;;. (8,8 - O,15x13,9) =(6,7) lo que darla lugar, injustificadamente, a una flecha 40% superior. Pero yo si se usan los valores elásticos quedaría comprobar si la redistribución ha sido excesiva_ La flecha no está comprometida en ello, pero hay que constatar que se puede alcanzar la carga última, es decir si hay suficiente ductilidad para alcanzar las capacidades resistentes previstas_, JI j ~ L u_ 'il"'.D-ll5~L2." O_t5Ao -.(".f;) 9 ::."'-tYO.I '.>:::",_",~¡,ci

qL2.;.A. :~ -r . u .1t

24voH.U. 50'4 -,b,v -

estructuras dos

Q~ o , 14 , ~ v _ / Es }¡

tB Existe una simplificación aún menos recomendable, pero extendida, por la que, si se disponen estribo_S de ancbo muy inferior al de la viga, las ronas más exteriores a ellos -fuera de los primeros 2 o 3 cm- se dcnomman macimdtn, y 00 se cuentan en la sección_ Esta simplificación acaba adoptando una sección como mitad de la del nervio, con rigidez total del orden de ta mitad de la del nervio, la cuana parte de la sección con alas y quinta pane de la real, homogeneizada con la de la. anoadura_

•

En el ejemplo, véase figura 7, los momentos últimos de las secciones de vano y extremo son, aproximadamente, de 1,6xlO,S = 16,8 mt y 1,6xll,9 = 19,0 mt y la viga debiera llegar, sin romper, a una carga de qu = 1,6x3,5 = S,6 l/m_ Evidentemente, al cargar, la sección del extremo, que eslá sometida a momento máximo de valor O,12S-q-V llega antes a agotarse_ Lo hace para una carga 'le tal que 0,125-'le-V = 19,0 o sea a 'le = 4,2 l/m_ El reslo, hasta 5,6 t/m es decir 1,4 l/m, el último 2S% de la carga, debe traducirse en rotación en ambos extremos_ Para sección constante, el valor de la rotación es O = q-LJ /24-EI. Aunque la rigidez de (5J o (7) no estén especialmente previstas para este cálculo, a falta de otros valores, y vista la relativa invariancia que demuestra el cuadro 1, se puede suponer que El es al menos 1500 m 2-1. La rotación neccsaria no supera pues = 1,4x6J/24 -1500 es decir 0,8% -{)e radián-_

Debido a que las difere~cias del orden de 0,2 cm suponen casi el salto de U400 a USOO, las tres primeras simplificaciones del cuadro 2 no son recomendables l8 _ Tomar la luz a ejes no suele suponer un salto significativo en soportes ordinarios, pero si la discusión es enconada o los soportes exceden de 40 cm de ancho, resulta importante precisar el valor de luz de flecha_

o _I 4-(j-L2 ::J\. _1 fs

Las armaduras se pueden elegir para cubrir capacidades resistentes diferentes de los momentos fleetores que se producen en la viga, pero en ese caso, lo que a una sección le falte, a otra --crítica con ella- le debe sobrar _ En el proceso de carga, una sección alcanzará el agotamiento antes que la otra_ La pieza podrá aceptar más carga a base de rotación del punto agotado, aumentando los momentos en la otra sección_ Esta segunda sólo podrá llegar a su agotamiento si la primera tiene suficiente capacidad de rotación; es lo que se denomina ductilidad_ El proceso de manejo de los momentos se denomina redistribución_

No es mucho_ Aun para el peor acero, -el que el eurocódigo denomina de ductilidad normal- , y para la sección muy angustiada, con xld = 0,4 el eurocódigo da como tolerable justamente 0,8% de radián. Con cabeza comprimida menor y acero de alta ductilidad define como tolerable hasta 2% de radián_ Se 'concluye que la viga del ejemplo tiene ductilidad de sobra. Esa seda la comprobación específica de ductilidad_ Para obviar este proceso, el código español y otros, proponen de manera simplificada, que si el momento redistribuido, con el que se obtienen las armaduras, no procede de una reducción superior al 15%, -y la profundidad relativa de la fibra neutra no supera 0,45- no es preciso calcular expresamente la ductilidad_ En rigor eso significa que al menos en ese caso siempre hay suficiente ductilidad, o sea que si se cumplen esas dos premisas es seguro-que la hay. Con esa redistribución máxima se podría prever armadura para el 8S% del momento del extremo, es decir O,85-0,125-qL2, siempre que, a cambio, se pusiera de más en el centrQ_ Con ese margen, al llegar al 8S% de la carga última, se llegaría al agotamiento del extremo y el último lS% de la carga dependería de rotaciones en esa sección_ Lo extraño de la regla del 15% de redistribución es que el giro necesario tendrla el valor 6 = 1,6-0,15-q-L J /24EI_ La rigidez es al menos la fisurada, de valor Elfi• = O,5Ao-E;h 2_ El valor de Ao es el de la armadura traccionada, que, si se elige estrictamente, debe soportar el momento de esa sección. Contando con un brazo de palanca de no más de O,7S-z, debe cumplirse que O,8S·0,12S-q-L2 = 0,7S-A"h-f. siendo f. la tensión segura del acero AEH500, unas 2,8 I/cm2 • Sustituyendo queda 6 = 0,14 . VE•. Uh_ Lo extraño de la regla procede de que el adimensional 6 depende de otros dos: la relación de f, a E. y la esbeltez Uh- Si el limite de rotación es un giro, no es posible que el valor de redistnbución del IS% valga para cualquier combinación es esas variables_ O si vale para cualquiera, es muy conservador para muchilS. La tensión del acero da poco juego: el AEH400 tiene un cociente f¡E del orden de 1,1%0 y el AEH500 1,3%0; pero lo curioso de la regla de redistribución es que ésta sea fija e inde- I pendiente de la esbeltez. Lo que J>3;fa un esbeltez de 10 puede ser una rotación perfectamente .// asumible, para una viga de esbeltez 30 puede ser insoportable_ En este caso, con una esbeltez de 24 y un acero AEH500 el giro sólo sería de 0,4% de radián; comprobando expresamente ductilidad, para esa viga sería válida una redistribución l9 de hasta 30%_

19 No obstante, en l. viga del ejemplo, no hay tanta redistribución como se insinúa en un párrafo anterior_ La clave vuelve a estar en la diferencia de luz a eies y neta_ Si la pieza est' empotrada, los momentos elásticos para sección constante, antes de redistribuir son O,t25-qL' y O,07-qL', Y el neto" la cara del apoyo es O,t09-qV;

111 flecha en honnigón

eslrucluras dos

fl echa en honnigón

3 FLECHA DIFERIDA

\ 1/

3.1 Deformación diferida En vigas de honnigón armado, aun manteniendo la carga inmutable, la flecha aumenta lenta e inexorablemente con el tiempo, incrementando la que se produjo casi inslantáneamenle t= -- .:.§: al aparecer la carga. El motivo es la fluencia del hormigón, fenómeno que hace que las mismas lensiones necesiten más deformación con el paso del tiempo, es deCir, como si el hormigón, al dejarlo cargado, fuera bajando su módulo de e1asl icidad. Dicho efecto se refleja en un denominado coeficiente de f1uencia, que mide la deformación añadida respecto a la original. Un coeficiente de fluencia, nada inusual, de 2,0 significa deformaciones diferidas adicionales dobles de las instantáneas, fenómeno reproducible con un módulo de elasticidad tercera parte del original. Eso es para el material honnigón. La flecha es cosa de la curvatura, en la que intervienen ambos materiales. Si la flecha dependiera sólo de la rigidez fisurada, ya se ha visto que aun una variación tan importante de módulo de elasticidad del hormigón como de 3 a 1, ocasionaría que la curvatura, y flecha, - recalculada con la (4)- sólo pasara a ser 1,35 veces la inicial instantánea. Por lo que respecta a la rigidez de la sección total, ante un cambio de esa magnitud en el módulo de hormigón, la armadura toma más protagonismo, y el recálculo de la (2) permite deducir que, en ese caso, la rigidez no disminuye tanto como a la tercera parte, pero se le aproxima mucho. En el ejemplo estudiado, bajaría al 40% de su valor original, y la flecha originada con esa rigidez subiría a 2,5 veces la instantánea. En ese caso, debido a que la rigidez equivalente es, para la esbeltez estudiada, según (6), el 95% de la fisurada y el 5% de la total, el cálculo de la flecha con carga total -instantánea más diferida- resultaría, calculada con (7), del orden de 1,4 veces la instantánea. .

Tal valor parece bajo en comparación con los resultados experimentales y ev idencia un fallo en la formulación general, quizá debido a que el ajuste de la rigidez equivalente es del lado de la seguridad, para sobreestimar las flechas instantáneas, pero, justamente por ello, se queda corta para predecir las diferidas. Ante la imposibilidad de usar el modelo general de fl uencia para este efecto, lo que el código español hace es definir directamente un coeficiente específico para flecha diferida, sólo función del tiempo.

Tabla 3. Coeficientes para necha diferida según EH- 91 Instante a partir del hormigonado (meses) Flecha diferida relativa a la instantánea 'hasta ese instante (carga actuando desde el principio) Intervalo de tiempo (meses)

0,70 0,85 1,0

1- 2

Incremento de flecha diferida relativa a la instantánea entre esas edades

1,2

1,4

2- 3

3-6

6-12

0,15 0,15 0,20 0,20

Instante de aparición de la carga (meses) Racha diferida relativa a ta InstanlAnea desde ese instante hasta plazo infinito

60 o más 2,0

!;¡

12- 60 0,60

k¡j

1,30 1,15 1,00 0,80 060

FLECHA

Esa función, véase la figura 9, describe cómo se supone que evoluciona la flecha diferida, respecto a la instantánea, paÍa cargas que existen desde el principio. Su ordenada, tomando como unidad la flecha instantánea, expresa la flecha diferida desde el inicio hasta un instante determinado. Como generalización, se acepta que también mide la flecha diferida entre dos instantes cuale!¡quiera, para cargas que acometieron antes del primero. En la tabla 3 aparece ese coeficiente para varios interval9S sucesivos, bajo la notación k¡j ' Para intervalos más amplios basta sumar las cantidades correspondientes a los intervalos de que se compone. ,

Como el proceso de carga de la .estructura es gradual, el uso habitual de esa función es la de medir la flecha diferida desde el instante en que aparece la carga hasta plazo infinito. Los valores de esa lectura de la (unción aparecen también en la tabla 3, referidos como k¡...

- _. ·1-- - --- - - -- -- --- - - --- - ----1 :

oL-________L--L______ tI

__________________

EDAD

tnstarUnea

Según eso, el valor de la flecha diferida a plazo infinito de una componente de carga que aparece en el instante ~ es igual a k¡.. veces la instantánea de esa carga. ~

En ~I ejempio del cuadro 1, si a los tres meses aparece la carga del solado, la flecha instantánea, que era de 0,59 cm, pasa a 0,80 cm, lo que significa que el solado produce una 0,59 CIll, 11 2 meses flecha de 0,80 - 0,59 0,21 cm. Si la flecha de peso propio es de 61" habrá aumentado 6 o'k J2 e.<¡ decir, otros O,59xO,20 = O,lB Clll . 1..11 n ec1uI en eNe in~Illllt ~ dn ya de 0,59+0, lB = '0,77 CIIl, 1\ lus "<l~ IIIcR<l serIa d 6, (, I 6" ,;k" en tnl,,1 0,11') 1' 111, Y 11 I su - SIVlIlllollt , 1.11 fl e hll d ul \<ln \'III1 <1 .. t \ 1' 11111, 111 111111) y, Y h I 111 '\1\111 nI" 0 11 (l, I xO, ,O 0,01 1111, J, , ') ~ 1, I (I

F1cun 9. Cndmlealo de la Oecha toa la edad

ron tUla redislribución de 15%, el momenlO • eje ,le 8(1)01'0 h_l_ • O,I()("q"', d " C YO" .. ,~'c . tI.tl7ft·q"'. En ese caso la reacción en el empolumlcnlo c.' O,606·,tl., 'I"e, I f. ('.,. ril' • tI,1I?~ · I . ''''1- un 1110111 111', II~I .. ,1" 0,091''11} = 11.5 mI, $Oponable con la onllo,h,u '1"0 IM"Y.O II,Q 1111, t" 1" '11' " ••1. "", h 1, •• " u d! I 1~'X., En ese caso la carga que agola el extremo tI,I1~I'q,"' . 1.1," 1 t,HI . ,... "'1" 4," tlm, 1.. '\"" IK"lIj.· '1" sólo 0,8 l/m hacen girar el extremo, lo 'Iu" (klm.nd. "I'()I'" ti, ~ % ,lo I. ,IIA" n I! '" I~ ' 11... , '1 I 1)11'" 't" I 15% de redistribución esl~ previsla para ampara, c"ol(I"lor <NIKl llo1. h.~I _ ~I v. lm 3), ( ''''111. 1II<IIt' .1..,lt " I 1111 la viga por debajo de ese valor, más redislribución lolera si .. CIIIIII'''H'' , ~, ~"II ... 111111 .1,

,,,,11

)

,1, I

flecha en hormigón

estructuras dos 3.2 InOuencia de la armadura de compresión En igualdad del resto de las variables, la deformación diferida se ve amortiguada por la existencia de armadura de compresión. El cansancio del hormigón, que exige mayores deformaciones para seguir manteniendo la tensión, se encuentra en ese caso con la existencia de armadura, que no se cansa y a la que, al aumentar la deformación del conjunto, se va transfiriendo el papel de cabeza comprimida. Cuando hay armadura comprimida, la reducción aparente de módulo de elasticidad del hormigón no implica un descenso tan acusado de la línea neutra como cuando no la hay. Traduciendo el acero a horm igón, es como si la sección tuviera una ala amplia. Para considerar este efecto beneficioso, el código español, de acuerdo con formulaciones clásicas, reduce el coeficiente k¡¡ antes señalado en el factor:

[8 )

1 + 50-A', I b'(h-r)

Si, en vez de ala, la sección tuviera una armadura de compresión de 3«1>16 se puede comprobar, con (4b), que la rigidez fisurada a 28 días subiría a 1125 m2t y la baja del módulo de elasticidad del hormigón sólo la reduciría a 835 m 2 t; aunque no son los mismos valores que con el ala, la segunda sí coincide con el 75% de la primera, como en ese caso. Se puede comprobar que,.hasta que la armadura de compresión no es 8«1>16, la rigidez a 28 días no reproduce el valor del ala. La conclusión es que, a efectos de flecha diferida, la existencia del ala significa algo similar que lo que supone una armadura comprimida de al menos 3«1>16. Esa armadura da lugar a un (actor k.: = 1,2. '; Malhadadamente la fórmula del código español se refiere sólo al caso de armadura de compresión y no hay todavía consenso en la interpretación -generosa- de aplicar k.: -<:on otra expresión- al caso de vigas con ala extensa, como son las vigas planas. En definitiva, por este motivo, el coeficiente que hay que usar para el cálculo de la flecha diferida es:

(9] siendo A's la sección de armadura comprimida y b el ancho del borde más comprimido de hormigón. En el caso de las vigas planas no es fácil interpretar este coeficiente . Por un lado, en cada punto existe un ancho y armadura comprimida diferentes. A estos efectos se admite tomar como representativo lo que sucede en las secciones críticas y luego interpolar con la misma formulación [6] usada para las rigideces. En la zona de momentos negativos es posible que la armadura sea significativa. En el ejemplo, para una sección con b =85 cm y h - r = 22 cm, había 4«1>16, lo que significa que el factor k.: llega a ser de hasta l,2l. Desafortunadamente, de acuerdo con (6), lo que pase a momentos negativos es relativamente poco importanie; importa más lo que pase a momentos positivos. Y en esa zona nunca hay mucha armadura de compresión. Debido a la colaboración de la capa superior, por cálculo, no se necesita nada. Por construcción, la jaula del estribado necesita al menos 2«1>8; aun con la malla, en el caso del ejemplo, no sube a más de 1,5 cm', y si se toma b = 160 cm, el factor anterior es sólo de 1,02; combinándolo con el negativo, según (6) queda un factor k.: de s610 1,05. ' Pero en realidad, tal como se ha establecido, una armadura de compresión . es indistinguible de un ala; y lo que haya momentos positivos es una espléndida ala. Sin ella, en el ejemplo, una secci6n de 6Ox25 con 10«1>16, tendría una rigidez fisurada de 1091 m't con una línea neutra a 8,4 cm; la reducción del módulo de elasticidad a la tercera parte baja la línea neutra a 12,4 cm y disminuye la rigidez a 733 m't, al 67% de la primitiva. La existencia de una extensa ala de 100 cm en los 4 cm superiores origina un importante aumento de rigidez a 1371 m't con la línea neutra a 5,8 cm, pero también que la "uencia sólo mueva la línea neutra a 9,7 cm y consiga bajar la rigidez a 1024 m't, es decir mantiene la rigidez en el 75% di: su valor original; véase figura 10.

con k¡¡ según tabla 2 y k.: según (8]. Si en vano y extremo los valores de k.: son diferentes, debe tomarse un valor promedio con la misma interpolación que (6) . En vigas planas el coeficiente k.: es testimonial; en adelante, si' no ·se indica otra cosa se supone que es igual a 1,05. Para simplificar la notación, ~oo se expre~ en adelante 20 como A.¡.

3.3 Componentes de la Oecha acumulada El proceso de cómputo de la flecha acumulada es pues como sigue. A partir de las flechas 6q obtenidas en el apartado anterior para las etapas de carga consideradas, se calcula la de cada componente de carga, como el incremento que existe tras su actuación. Denominando Mq a estas flechas instantáneas, la componente diferida de cada una de ellas en el intervalo ¡ a j es: . .

( 10 ]

Cuadro 3. EJemplo de CIlIlculo de la necha diferida Etapa Flecha instantánea

Edad (meses) kij

(II. =

.--.....---, ..:~. .4 ,[ ,..---,----, . :---::---1 ,.

..........

=1125

835 = 75%

1: ,J;

I· ..:~ ......

Figura 10. Armadun de comp..s¡ó. y .1. exlensa I

:·1

=1371

·1024

J~ .JI

=75%

Racha acumulada Peso propio

+sotado

+lablqueria

+uso

6"", = 0,80

6 ..b = 0,97

6_ = 1,50 cm

0,30 0,29

1,05)

Et = 1091 733 = 67%

Peso propio 6pro = 0,59

Insr.'

dil.

0,59

+0,16

Solado

Tabiquería

Insr'

dil.

0,21

+0,11 +0,04

0,80 0,76

0,20 0,19 A61ab

Suma

insl.

dif.

0,17

+0,45 +0,16 +0,13

Uso

0,53

Acllv. Iras los lablque., 6 Acumulada a plazo infinilo,

t.::m

1,31 0,41 0,30 0,53

1,27 2,55 cm

lO La variable k;. se repl"esenta en el código español por lit-l;· (1; se pl"onuncia "ji"), mientras que ~. aparece sin subindicar. En er código no hay notación para lo que aqUl J ha denominado factor de corrección 'k., cuya expresión aparece directamente en la rórmula de k ~

fl echa en hormigón

cstruc;l uras dos

Cundro 4. Ejemplo de cálculo de necha lICumulnda y activa

'''~

.,...

flecha en honnigón

cslrucluras dos

Cuadro 4. Elemplo de cAlculo de necha acumulada y aCtiva FLECHA ~

Peso

.....-.. . -· . .

Etapa r~·

Edad Carga

Tabiquerla

. ti q¡

Peso propio 280 kp/m '

+ solado 120 kp/m

1 mes 1,4 l/m

3 meses 2,0 l/m

+ tabiquería 100 kp/m'

+ uso

6 meses 2,5 l/m

12 meses 3,5 l/m

200 kp/m'

Solado

propio

Instantánea

i Aq¡

Instanléllnea

EltO! EIIis MIis Mact Eleq Elp'"M MD , 1

m'" rn'·t m·t m·t m'·t m'·t m·t

3570 4235 1371 1410 3,9 2,6 6,0 9,4 1550 1610 1559 3,5 5,5

Diferida M

TIEMPO

cm = 1,05)

Mneg

0,59 1 mes 0,59 0,29 A6

Ficun 11. Evoluci6a de la Becha con el tiempo En cada instante, la flecha acumulada es la suma de todas las que se han producido antes, tanto instantáneas como diferidas. El cuadro 3 refleja la organización de estos' cómputos en el ejemplo considerado en el cuadro 1. Del lado de la seguridad, sin contar el efecto beneficioso del ala, se ha supuesto k.: = 1,05. En una interpretación generosa de k.: que recogiera la colaboración del ala se podría tomar hasta k.: 1,2. Con las notaciones anteriores, la flecha acumulada a plazo infinito es pues:

Acumulada cm

insi.

di!.

Peso propio Solado Tabiquerla

0,59

+0,16

Mneg

Mpos

3823 4583 1391 1433 2,8 4,3 6,0 9,4 1638 1737 1653 5,0 7,9

Mneg

Mpos

Mneg

4075 4947 1416 1463 4,7 3,1 8,8 13,9 1532 1602 1542 8,8 13,9 1,50

0,80

0,97

3 meses 0,21 0,19

6 meses 0,17 0,76

0,53

A6",,1

A6 tab

A6uso

insl.

dit.

0,21

+0,11 +0,04

insl.

di!.

0,17

+0,45 +0,16 +0,13

Activa tras los tabiques Acumulada a plazo infinito

....................... _.* ...._...• * .. _ .. _.

Uso

3986 4804 1406 1454 3,0 4,6 6,3 9,9 1684 1790 1700 6,3 9,9

... - .... ..... ,.............. "

insl.

Suma plazo 00

0,53

1,31 0,41 0,30 0,53

~. -

....

1,27 2 ,55 cm

Con las notaciones anteriores, la flecha activa seria pues: fácilmente generalizable al caso de más escalones de carga. El cuadro 4 presenta el conjunto de los 1 y 3, con el proceso completo de cómputo de flecha tanto acumulada como:activa.

3.4 Flecba activa En la práctica, el valor de la flecha acumulada tiene poca relevancia. Lo que importa, cara a la interacción de estructura con los elementos sensibles a flecha, -los tabiques-, es la flecha activa, la que ocurre dcspués21 de aparecer la carga de la tabiquería. De las cargas que aparecen antes de construir la tabiquería, en la flecha activa sólo cuenta la parte de diferida que se produce después de esa fecha es decir d '~ab ' De las cargas que aparecen después de la tabiquería, salvo la sobrecarga de uso, la par1e que cuenta como flecha activa es la totalidad de la instantánea más la diferida desde el instante en que aparece, es decir, Mq + Mq'~' La sobrecarga de uso sólo cuenla como instantánea.

2t Está bastante extendida la opinión de que debe considelalse la Recha activa desde antes de apaleeel la caIga de los labiques, con el 31gumento de que éstos pueden estar construidos en un paño o planta distinto anles de que se calgue el forjado considclado. PelO no es menos cierto que, mucho antes de levan tal los tabiques, se acopia y se leparte POI lodas las plantas no sólo todo el malerial de albañilería y de las past .., sino incluso el agua de amasado, palé<, embalajes, andamiajes, útiles, etc, que luego desaparecen, lo que pelIDite conlar siempre con que ya se ha producido la Recha inslanlánea de la carga de tabiquería cuando ésta se construye. 24

(MpIO + Msoa + Mt.J . Aub + M"", (MplO + Mt..,) . Aub + M..,.' (1 +A..,.l + Muso

[ 12 ]

La figura 12a ayuda a interpretar cada término de esta formulación. En el ejemplo del cuadro 3, en el que se prevé que la carga del solado aparece a los tres meses y la de tabiquería a los seis, la flecha activa, con k.: '1,05 sería (O,59+0,21+0,17)xO,76 + 0,53 es decir 1,3 cm. Si solado y tabiquería intercambiaran sus edades y cargas, la flecha actíva tendría entonces el valor (O,59+0,21)x(O,19+0,76) + O,17x(1+0,76) + 0,53 = 1,6 cm.

El criterio de simplificar todo el proceso de carga, incluida las cargas antes y después de la tabiquería, en un sólo escalón, suponiéndolo en un instante promedio, no es acertado. En el ejemplo, tomar un sólo instante para las cargas de solado y tabiquería juntas no distingue entre si la primera aparece antes que la segunda o viceversa. Si la tabiquería aparece antes que el solado, ese cálculo simplificado elimina componentes diferidas importantes; si por el contrario, es el solado el que aparece antes de la tabiquería, ese cálculo añade flechas diferidas inexistentes; la diferencia entre los valores del párrafo anterior de esos dos casos, 1,3 cm y 1,6 cm, indican que lo relevante de esas cargas no es tanto el instante en que aparecen cuanto el orden en que lo hacen. En un caso se toma como flecha activa las dos últimas columnas de cantidades del cuadro 3, -las destacadas en negrilla-; en el otro las cuatro últimas. Si se toma para ambas cargas un instante promedio, se llegaría a un valor de 1,45 cm, resultado muy burdo y demasiado alejado del que fuera el correcto.

~slrucluras

dos

flecha en honnigón

En la expresión [121 la suma de las flechas de cada paréntesis no es sino la instantánea correspondiente a todas esas cargas juntas, de manera que se puede poner también:

Cuadro 5. Ejemplo de dtlculo de necha activa (solado antes que tabiquería) Etapa

d t• b . A..b

~duso

d t• b . A..b

M,ol' (1+A.ol)

[ 13) Muso

que admite la siguiente definición: la flecha activa es igual a la flecha diferida debida a la carga que incluye la tabiquería, desde su aparición, la instantánea y diferida de las que aparecen después, cada una desde su propia aparición, menos la sobrecarga de uso, de la que se cuenta sólo la instantánea. La figura 12b expresa esta nueva descomposición en sumandos de la flecha activa.

Pe60 propio

óq,

280 !\p/m'

Edad Carga

• solado

• tabiquería

120 IIpIm'

1 mes 1,4 11m

100 kp/m'

3 meses 2,0 11m

Mpoa

Mneg

Mpoa 4075 1416 3,1

m-t

3986 4804 1406 1454 3,0 4,6 6,3 9,9 1684 1790 1700 6,3 9,9

0,97

6 meses 0,97 0,76

(

m-' m"

m'-'

m'"

~ sol pro

tab

Diferida M

I ____ ~

200 kp/m' 12 meses 3,5 11m

m' -t m·-t

.. .

.U60

6 meses 2,5 11m

Instantánell

FLECHA

6 aan

= 1,05)

_ _ _ _ _ ~ .m • • • • • • • •••••••• • _ _

_____ _ _ _ _ _ • _ _ _ _

_________

_ ____

____ ___ m

____ _

Acumulada cm 0,97

4947 1463 4,7 8,8 13,9 1602 1532 1542 8,8 13,9 1,50

0,53

___________

dif.

Hasta tabiquería Uso

____

Insl.

.0,74 0,53

1, t,

1,27

- - - --

nEMPO

No 811 preciso calcularto

t..

Figura 12. Y 12b. Componrnlcs de l. R«ha aclin

De la (13] se deduce que, a los efectos de flecha activa, no es preciso obtener las flechas en etapas anteriores a la tabiquería, y por tanto, que no tiene incidencia alguna la discusión de cuál fuera la carga durante el apuntalad022 . En efecto, si hubiera sido mayor, lo sería la flecha instantánea en esa elapa, pero, dado que la de la etapa de tabiquería sólo depende del valor de las magnitudes implicadas en ese instante y no de la historia pasada, el valor de flecha activa no variaría. En términos del cuadro 3, si la flecha de peso propio aumentara, al mantenerse la flecha con tabiquería, ese aumento debería aparecer como una disminución en alguno de los términos MsoI o Mtab' Debido a que los coeficientes de paso a diferida son iguales para .todas las componentes de carga, lo que aumentara una componente diferida lo disminuiría la otra, y el valor de flecha activa quedaría sin cambio. Para lo único que es pertinente la carga procedente del apuntalado es para la flecha acumulada a plazo infinito, que generalmente no opera. Por tanto para acelerar los cálculos de flecha activa pueden obviarse los có~putos para ~tapas de carga anteriores a la tabiquería2J ; en el ejemplo del cuadro 1 son innecesarias las columnas correspondientes a las dos primeras elapas, como se muestra en el cuadro S.

3.5 Flechas por proporcionalidad

la Instantánea de carga total

En realidad tampoco es impJescindible la tercera columna del cuadro 5. En el apartado 2.6 se veía cómo los incrementos de flecha instantánea de cada escalón de carga eran necesariamente muy poco diferentes de la fracción de carga que significaba cada uno. Denotando con a el coeficiente que mide dicha fracción, y 'lt0l la carga total, las componentes consideradas serían tluro'qtot' "soJ'qtOC' a.ab·qtOC y a.,,,,,·qtoc· Por tanto si Ó\OC es la flecha instantánea de la carga fotal, como incrementos de flecha de cada componente se pueden tomar los valores «proAo<' "soJ'dto<' a.ab·Óto< y a....,·ó"" sin necesidad de calcularlos expresamenle. Si es a esos términos a los que se aplica (11) y (12), de todos ellos se puede extraer factor común dtot lo que significa que el cálculo de la incidencia de la flecha activa puede hacerse independiente del cálculo de la flecha instantánea, por relaciÓn a su valor, aunque todavía se d.esconozca. En efecto, con la notación 'PlCm = doculó\OC Y 'P"", = ".d"to< la (11] y la '(13) quedanan:

a.ob· (1 +A.IJ a..J . A..b + a,...,

~ . (1 +~ +

21 Según sc ha viSlo, es sumamenle improbable que en ese proceso se supere de fonna sensible una carga como la de peso propio más lahiquería, por lo que, ni aún considerando que la fisuración daña irreversiblemente la rigidez. es preciso retroceder a esa fasc_ Si el solado o el recrecido se ejecuta antes de la labiquería, menos lodavía_ Dejando aparle siempre la sobrecarga de uso, también se pueden resumir todas las elapas posleriores a la tabiquería en on sólo escalón, tomando para la diferida un inslanle promedio, punderando cada ulla con su carga, aunque en general no ha lugar a esla simplificación, porque a lo sumo hay una sola elapa entre ambas. 2J

•• •• • ••

Ó6uoo

Aetlva tras los tablqun TIEMPO

Mneg

'sol < "ab

(apIO + aso! +

""b < tso!

(a",o +

a....> . A..b •

aso!'

+ "sol' (1 +A-.o.) + a.,,,,,

(1 +A...,¡)

( 14

)

+ a,...,

En el ejemplo del cuadro S, el peso propio significa el 40% de la carga lotal, el solado el 17%, la tabiquería (a seis meses) el 14% y la sobrecarga de uso el 29% restante. C)nsiderando k" =1,05 Y aun sin saber cuál es la flecha, se puede apostar a que la activa será 2'1

estrucluras dos

Oecha en honnigón

·1; I

1111

.I! .. lO 11'" lo I

estructuras dos

flecha en hormigón

del orden de Ijl =(O,40+0,1 7+0, 14)xO,76+0,29 =0,83 veces la instantánea de carga total. Como puede observarse, en el cómputo de ese coeficiente Ijl solo interviene la fracción de carga de cada componente y el factor A. asociado al instante en que se espera actúe la tabiquería y cargas posteriores a ella.

Cuadro 6. Flecha respecto a la Instantánea de carga total (kc = 1,05) Ritmo de obra

.'P.rrl.t.oI.~at/t""'-'. . (meses) Flecha activa pro+sol+tab+uso (kp/m') qtoe 580 650 700 720 800

900 950

1000 1100

200+080+100+200 250+100+100+200 280+120+100+200 300+ 120+ 100+200 300+ 150+050+300 300+150+050+400 300+150+100+300 300+150+100+450 400+150+100+450

Solado antes que tabiquería Lento Normal Rápido 1/4/9/18 1/3/6/12 1/2/3/6 Coeficiente 0,76 0.75 0,74 0.73

o,n

0.72

o.n

0.80 0.78

0,84 0.83 0,82 0,82 0,84 0.86 0.84 0,86 0,85

0,94 0.93 0,93 0.93 0,94 0,94 0.94 0.95 0,95

Tabiquería antes que solado Lento Normal Rápido 1/914/18 116/3/12 1/31216

0,40x2,3 + O,17x2,0 + 0,14xl,8 +0,29 = 1,76. Pero no está muy claro para qué sirve dicha flecha acumulada. En el código español la única referencia es que, cuando la viga no soporte ni se apoye en elementos dañables, se debe limitar esa flecha acumulada a 1/250. En otros códigos ni eso. En rigor la flecha de peso propio es indetectable. Al desapuntalar no se puede distinguir la flecha de un defecto de encofrado. La flecha acumulada detectable sería pues sólo 0,40x1,3+0,17x2,0+0,14xl,8+0,29 = 1,4 veces la instantánea de carga total, es decir 1,6 veces la activa. Si la activa se limita a L'400 la acumulada detectable no superará 1/250. Si la tabiquería se dispone antes del solado o la flecha activa tolerable es menor, la conclusión es aún más nítida: controlando la flecha activa, la acumulada detectable no superará 1/250. No es preciso pues ocuparse de la flecha acumulada a plazo infinito: basta hacerlo con la activa. En definitiva, la flecha activa puede pues calcularse con: ( 15 )

'P.d

1.01 1.01 1,02 1.02 1,05 1,04 1.02 1.03 1,02

1,05 1,05 1,07 1.06 1,09 1.08 1.06 1,07 1,05

1,15 1,16 1,17 1.18 1,19 1,17 1.16 1.15 1,14

El valor de Ijlact debe obtenerse de (14] y el de óIOI con el proceso numérico indicado en#, el apartado 2.S, aplicado a la carga total para la edad de ocupación del edificio. En el caso del ejemplo, según el cuadro 1 es dlOl = 1,50 cm y según [14] CPact = 0,83 es decir, que la flecha activa es d,cl := 1,24 cm. Como la luz -neta- es 5,85 m, y la flecha tolerable con tabiquerías ordinarias es 2,3%0 de la luz, o sea 1,33 cm, se deduce que el diseño es válido. Recalculando la flecha para las mismas cargas y soluciones de armado, pero con distintos cantos, se llega a valores como los que se representan en la figura 13. FLECHA

Flecha ecumulada detectable (salvo instantánea de peso propio)

Coeficiente 'P..... 1,20

1,40

1,50

1,20

1,40

1,50 4"- da L

Debido a que el ritmo de obra no es conocido de antemano con precisión, lo razonable es hacer cálculos con varios de ellos, y verificar en qué medida sería imprescindible 'comprometerse con uno de ellos. Venturosamente el valor de cP es poco sensible al ritmo de la obra. En el cuadro 6 aparecen 81 casos diferentes, correspondientes a 9 cargas entre 580 kp/m 2 y 1100 kp/m2 , lo que significa la práctica totalidad de los edificios domésticos, con ritmos de obra entre rápido, - la obra se ocupa a los seis mese de iniciada- y lenta - la obra tarda en ocu' parse año y medio--, y con solado antes que tabiquería24 y al contrarío. Puede comprobarse que el coeficiente CPaCI oscila poco de la unidad, lo que permite asegurar que la flecha activa es muy poco diferente de la instantánea para carga total en el instante de uso del edificio. Si el valor de ~ es mayor que 1,05 los coeficientes cP disminuyen, aunque menos que proporcionalmente a ese valor. El valor de la carga es poco relevante, y aun la rapidez en el ritmo de obra lo es mucho menos que d orden. Lo más importante parece ser el saber, antes de que se construya el edificio, si la tabiquería se dispondrá después del solado, o al menos despu~s del recrecido del mismo. En ese caso la flecha activa llega a ser del orden de 6 t = 0,85'6101 aunque el coeficiente puede bajar a 0,75 si el ritmo de obra es anonna.lmente lent~ o subir hasta 0,95 si es muy rápido. Si la tabiquería se dispone antes del recrecido del suelo o carga repartida·similar, la flecha activa es del orden de 6aC1 = l,I'6 t91 Y el ritmo de la obra le afectará menos, moviendo el coeficiente a lo sumo entre 1,05 y 1,1:>. Algo parecido se puede hacer con la flecha acumulada a plazo infinito. Para el ejemplo de siempre basta calcular la flecha instantánea de carga total y multiplicarla por el valor

InloIerable 3"- da l

El .. 1.15-EI..

..' ••' Estrictamente tolerable

Tolerable FASE 2

TRANSICIÓN

,"- da L

Imperceptible

FASE 1

k~~ __~__EI~~~=~EI~~::::~M:~~=_~~'~-____~______

L-__

AEH500

H200

~ES~BE~L~~~~~ lJh

Ficura 13. Variación de la Recha con el cuto

24 Para sobrecargas de uso elevadas se manejan valores reducidos de cargas de tabiquería, reducción que sólo tiene explicación en el contexlo de la res.isteneia y la probabilidad ~ superposición de ac:ciones. Para Oecha es razonable suponer, en casi todos los edIfICIOS, una carga de tablquena SImIlar, sm rcducclón alguna. -~--------~-----------------------------------_ ...j

•

flecha en honnigón

eslrueluras dos

Tabta 4. Aacha toterabte, según EF-88, en "" de L Tabiques Luz (metros)

4 FLECHA TOLERABLE Los epígrafes anteriores resuelven el problema de cálculo de la flecha, es decir, de cómo obtener su valor en un caso dado. Queda por resolver el problema de la flecha, es decir de cómo hacer para que sea tolerable. Es preciso pues analizar el proceso de cálculo y averiguar . el papel que juega cada variable, con objeto de tomar las decisiones que conduzcan a que la flecha sea tolerable al menor costo posible. El dimensionado de secciones, por ejemplo la determinación de la armadura, desea obtener la máxima capacidad resistente al mínimo costo, y como esas dos condiciones son generalmenle contradictorias, el objelivo de ese conocimicnto suele ponerse al servicio de enconlrar la armadura estricta, no mayor de la eslrictamente indispensable para garantizar una capacidad resistente convenida de antemano. Más armadura de la estricta es un derroche injustificado, y el estudio de la capacidad resistente debe orientarse a cómo dotar de la mínima armadura compatible con los requisitos resistentes. Con la flecha sucede algo parecido. En general se querría conseguir .la maxlma indeformabilidad al mínimo costo. En vigas de canto, --en las que el aumento de canto no arrastra consigo el aumento de carga--, la solución con mínimo costo conduce a flecha amI! pliamente tolerable, mucho menor que la estrictamente tolerable. Por el contrario, en vigas planas, --en las que el aumento de canto se traduce en aumento sensible de carga-, ambos objetivos son contradictorios y la solución de canto óptimo tiene flecha máxima, por lo que dotar a la viga de menos flecha de lo tolerable es un derroche injustificado, y es preciso proyectar las vigas de manera que la flecha sea estrictl,l·, o sea no menor que la estrictamente tolerable. El cálculo de flecha en vigas planas --en las que esta variable sí esté encontrada con la economía-, debe dirigirse a determinar cómo conseguir la flecha estrictamente compatible con los requisitos de tolerancia definidos de antemano - función del resto de elementos /; constructivos del edificio-. Dotar a la viga de menos flecha de lo estrictamente tolerable, si (! eso significa más costo, no es de recibo, como no lo sería la disposición de más armadura que . la necesaria para la carga que se desea soportar.

/¡

4.1 Valores de flecba tolerable

De acuerdo con la norma española, el valor de flecha tolerable depende del tipo de sensibilidad de los tabi~ues. Para luces cortas es U400 para tabiques ordinarios y U500 para tabiques muy sensibles ; para luces mayores de 5 m, el valor tolerable se reduce ligeramen¡eu , de forma que para 8 m es ya de U500 y U600 respectivamente, véase tabla 4. La flecha tolerable se encuentra pues en la banda del 2'l>o. Si se utiliza como referencia la flecha instantánea total, según 120), la corrección de q>JCI mueve los valores unas veces hacia arriba y otras hacia abajo, y poco, véase cuadro 6, de manera que también esa debe limitarse a valores en tomo al 2%0 de L.

Ordinarios

Aecha activa Flecha Im¡tant6nea Tabiques anles que solado Solado antes que tabiques

"'.ct = 1,15 "'.ct = 0,85

Muy sensibles

2,5

2,3

2,1

2,0

1,8

1,7

1,6

1,9 2,5

1,8 2,3

1,6 2,1

1,5 2,0

1,5 1,9

"- \,

2,3 2,9

2,1 2,7

4.2 Formulación de la flecha Para poder sacar conclusiones de cuánto vale y cómo varía la flecha, es preciso obtener u.na ~ormulaciqn siquiera indicativa de la misma. Para ello habrá que aceptar algunas simplificaCiones, basadas en las demostraciones precedentes. Lo que se pierda en precisión o rigor -aunque mejor sería simplemente decir en fidelidad- se ganará en inteligibilidad. De acuerdo con (7), la flecha instantánea de la carga total es, para una viga doblemente 6 = MO· ~2 1.9,6·Elprm ' El té~in? entr? paréntesis no es sino un término en q 'L> que, Junto con el sigUiente factor, es eltermmo c1aslCO en q·L4 . La expresión se puede poner en la forma 6 = O,l04'M o'L> I E~rm ' En una pieza continua, asimilable a empotrada apoyada, según \1) la flecha tiene una expresión parecida, con un término de. momento igual a (Mo-0,15·M~ . En este caso resulta se~ ~I = 1,6'Mo por lo que el térmlllo de momento es O,76'M o' .En una pieza continua, aSimilable a doblemente empotrada, el término de momentos es (M o - O,I'M} - O,l 'M:z), Y como se cumple que MI = M 2 = 2 ' ~0 dicho término es 0,6'Mo' Las [7 pueden pues ponerse27: apoy~da,

Viga apoyada Viga empotrada apoyada Viga empotrada

6101 6101

0,104 . Mo-LZ I

0,079' M o'L11 E~ = 0,063' Mo'L' I ~

[ 16 )

. De acuerdo con las conclusiones obtenidas y mostradas en epígrafes anteriores, como //Ij ngidez promedio se puede tomar, sin gran pérdida de precisión, la correspondiente al vano a momentos positivos. La rigidez promedio puede referirse a la fisurada, quedando las (16): Viga apoyada Viga empotrada apoyada Viga empotrada

6'01 = 0,104' MoL' I Elf.. . 6'01 = 0,079 ' M o'L11 EIr.. . 6'01 = 0,063' Mo'L11 El,... .

EIr..fE~rm Elr..fE~rm

117 )

ElljE~rm

l' Z' No hay explicilación de qu~ sean labiques muy sensibtes. Los convencionales de ladrillo con mortero de , íl cemento o yeso o de paneles de cartón escayola, son mucho menos sensibles que los de escayola con piezas de gran formalo con junla trabada o los de formalo medio, 20,,40, de hormigón gaseoso, mortero o arcilla expandida. Los primeros pueden clasificaJSC como ordinarios, los segundos como muy sensibles. '

resultando probable que el factor final sea poco diferente de la unidad, y simplemente corrija el término fundamental en Mo·L'/El fis . Según es sabido, la rigidez fisurada tiene exactamente el valor E ·A.,z·(d- x). A momentos positivos, en vigas planas de edificios, el orden de magnitud de ios dos últimos factores es O,6 · b~. En tramos continuos, en los que, para una carga y luz dadas, el momento en vano es ménor que en. los apoyados, se elige ·generalmente un 'ancho menor que el de ese

26 Debe hacerse conslar que no se sabe que eslos valores garanticen ser lolerados por los labiqucs; simplemenle hay ",lativo acuerdo entre los expertos en confiar en que sea así, pero no hay evidencia experimenlal. Los valores que aqui apa",cen, y que se copian de un código a Olro como valores prudentes, conesponden a 105 delenninad~ en el código españot para rorjados, EF-88, supunimdose que debieran lambién usarse con vigas, ya que los lablques dañables no son capaces de dislinguir IDI. """" de A' ~ .

.TI Puede comprobarse que esllS expresiones conesponden a las clisicas qL4mEI, qLi.185EI y qL4/384EI, SUSllluyendo en cada una el momento M" que vale, ",speclivamenle, qLzl8, qLz/14 y qL /2A.

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estructuras dos l -_ _ _C_ · UN .'O,

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flecha en honnigón

cslrucluras dos

caso, por lo que, del lado de la seguridad, en las (l7J se podría tomar para ese coeficiente el valor 0,60 0,58 Y 0,55 respectivamente, quedando: Viga apoyada Viga empotrada apoyada

6'0' 6'01

Viga empotrada

6'0'

O,l04·M o ·U / 0.60·E.. Ao ·h' 0.079·Mo·L' / 0,58·E.. Ao·h2 0,063·M o·U / 0,55·E.. Ao·h 2

Elci/E1p.m EIIi/E1pnn

4.3 Factores de Oecha De acuerdo con las [20], puede interpretarse que la flecha activa, relativa a la luz, es función de cinco factores:

[ 18 ] 1. El coeficiente lP.CI función del ritmo de obra. Según se ha visto en el cuadro 6, su valor oscila de 0.75 a 0.95 si el recrecido de solado se dispone antes que la tabiquería y de 1,00 a 1.20 si la tabiquería precede al solado. Es claro que, para hacer que la flecha sea tolerable. es mejor lo primero, y que. para proyecto, no debe suponerse infundadamente un ritmo mucho más rápido que el probable. El instante de desapuntalado y la carga antes de ese evento no parecen incidir en el valor de la flecha activa, - la que f,I afecta a los tabiques- pero sí puede tenerlo en la acumulada final. es decir en el aspecto geométrico o visual de la viga.

Elci/E1pnn

A su vez el momento Mo y la sección Ao están ligadas para la carga total. Si la armadura se elige estrictamente para el momento y éste se toma sin ninguna redistribución. el valor de Ao está ajustado a Mo de manera que, con un esquema como el de agotamiento --un brazo de palanca del orden de 0.8·h- la tensión de la armadura es exactamente la que con seguridad soporta el acero -2,8 l/cm' para AEHSOO-.

Denominando 0"0 al valor MJO,8-A o ·h, si no hay redistribución, y la armadura se elije estrictamente. dicha tensión es la indicada en el párrafo anterior. o sea r~k/Y"Yr. Si la armadura se elije con algún sobredimensionado. el valor se reduce en la relación del área realmente dispuesta al área estricta, Aore.v'Au5lr. Si los momentos se han redistribuido, la tensión se reduce además en la relación de 'momento elástico a redistribuido.

2. Un coeficiente numérico, función de la forma del diagrama de momentos. Lógicamente dicho coeficiente es menor cuanta más continuidad posea el tramo de viga // en cuestión y por ello la continuidad es sistemáticamente ventajosa.

En una viga apoyada el único concepto por el que, con acero AEH500, el valor 0"0 puede ser inferior a 2,8 I/cm2 • es el sobredimensionado de acero. En la práctica. al pasar a un número exacto de armaduras es casi imposible zafarse de un sobredimensionado del orden del 10%, por lo que esa tensión oscilará más bien alrededor de 2.5 t/cm 2 • En tramos continuos interviene también la redistribución28. En una viga empotrada. una reducción del 15% del momento en extremo origina un aumento del 30% del de vano, que sólo por ese motivo reduce el valor 0"0 a 2.2 I/cm1 y con el redondeo es esperable que lo haga a casi 2,0 t/cm1. En el caso de tramo empotrado apoyado se ha visto cómo una reducción del 15% del momento en extremo, de 0.125·qL1 a O,106·qU, origina que el positivo pase de 0.070·qL1 a 0.078·qL1, del orden de un 10% de incremento. lo que significa que la tensión 0"0 se sitúa en 2,5 t/cm2 y, con el redondeo. más bien en tomo a 2,2 I/cm1. En efecto. en el ejemplo de la figura 1, el momento de vano es de 8,8 mt, el canto 25 cm, y la armadura 1~16; el valor 000 " MJO,8·A,,'h es 2,2 I/cm2• Sustituyendo en [18] el valor Mo por O,8-Ao·h·0"0' y simplificando, se llega a: Viga apoyada Viga empotrada apoyada Viga empotrada

6'01 6'01 6 '01

= 0,139' uo·U / E.. h

EIr;/E~rm

0,109 . uo·L1 / E.. h 0,092' uo·U / E.. h

Elr;/E~

Elc;/E~

3. Un término de deformación nominal del acero, E" = 000 / E•. Por lo visto antes, el valor de Eo en acero AEH500 no puede superar 1,3%0. situándose en la viga apoyada sobre 1.2%0 y en tramos continuos en 1,05%0 o incluso en 0,95%0. En este / factor juega ventajosamente el sobredimensionado de la armadura, de manera que más acero 1,/ inferior es sistemáticamente menos flecha. En el mismo sentido juega la redistribución: cuanta más redistribución, menos flecha -siempre que reduzca los momentos negativos y aumente los positivos- o .

4. El canto b con relación a la luz L.

1/ Este es el término fundam~ntal. anteriores tienen mucha menos incidencia que éste. f/ A menos canto más flecha. Si, para simplificar, se supone !Pacl =1 Y la armadura estricta, se al Los

canza una flecha de 2,5%0 cuando la esbeltez

[jh sea de 2,5%0 / 0,139/ 1,2%0 = 15 en tramo apoyado, de 2,5%0 / 0.109 / 1,05%0 = ~2 en tramo extremo y de 2,5%0 / 0,092 / 0,95%0 = 29 en el interior. Relacionando esta variable con la anterior, más acero permite más esbeltez, lo que significa que un tramo atípico de una planta. que demanda por sí mismo más canto, puede resolverse con el del resto de la planta si se le dota de acero extra29 . En el mismo sentido. si el coste de la planta está ligado a la disminución de canto. se puede compensar el aumento de esbeltez con redistribución; una elevada esbeltez exige un alto valor de redistribución30; con ,fmayores redistribuciones se pueden alCanzar mayores esbelteces sin flechas intolerables. Nótese que la redistribución no altera sensiblemente la cantidad de armadura; sólo hace que se quite de un sitio y se ~nga en otro. Bajar la Oecha al menor costo pasa por adoptar la máxima redis¡j tribución posible31 ; lo mismo se consigue sobredimensionando el acero, pero con costo adicional.

[ 19 ]

en las que, ordenando los términos por pares, y teniendo en cuenta la [15], queda:

uJE• . [jh . EII;/E~rm uJE• . [jh . ElrJE~rm !Pl!". 0,092 . uJE• . [jh . Elr;/E~

Viga apoyada 6ac1L!pac\ . 0,139 . Viga empotrada apoyada 6acIL = !pJCI. 0,109 . Viga empotrada

6acIL

formulaciones que permiten una explicación dónde hay que actuar para controlarla.

fac~rial de la flecha

y ayudan a identificar en

28 La Icnsión" también queda afectada por la a1lemancia de sobrecargas. Si se supone ese lipo de hipólesis. enlre la armadura le vano y la de extremo cubren más momenlo que el isoslálico de carga 'olal, en general. con oumenlo del de vano. En esle texto se supone que no hay atlemancia. cueslión perrnilida en viviendas, 'o que ésla se amortigua por una redistribución diferente en cada hipólesis. por lo que sólo arectará a ta longilud de tas armaduras. cosa que no inOuye en el modelo propuesto en el código españot, aunque sí lendría influencia en la flecha calculada por inlegración de curvaturas sección a sección. En senlido conlrario, la consideración de acción horizonlal suele dolar. los extremos de más armadura que la eslricta para acción vertical; lambién este matiz. con el modelo espanol. fuertemenle sesgado hacia lo que sucede en VlDO, no afcel. a la .flecha. cosa que sí sucedería con un procedimienlo de inlegración de curvaluras.

/jj

29 En particular en el rorjado es sistemático que alguna vigueta' de cada pano caiga debajo de un elemenlo, como muro de cerramienlo, mucho más sensible a Oecha que los tabiques ordinarios. Disponer más canlo en ese punlo. arrastrando el de loda ta p1anl', no es acertado; el mínimo roslo para el conjunlo se obtiene disponiendo en ese borde resislencia adicional en forma de más acero. Lo mismo sucede con las vigal de borde que, aparte del rorjado. soportan cerramienlos.

-0

lO Es oolorio que, en' rorjados, en los que se consiente, sin necesidad de jusliricarlo. una redislribución det orden del 25% 030% -hasla igualar momenlos negativos con posilivos-. se pueden alcanzar esbeheces que no es fácil conseguir con vigas ordinarias. ]1 En este contexto resuha disparalado calcular la flecha o parlir del diagrama de momenlos redislribuido, que puede Uevar a suponer. sín fundamenlo. que tas flechas son enorrnemenle mayores que lo que realmen •• SOIl . Los momentos redistribuidos son las solicilaciones en agotamiento, válidas para comprobar resislellcia, llOro t.. solicitaciones en servicio. de las que depende la flceha. 110 deben lener redistribución algun •.

,\1

flecha en honnigón

estructuras dos

5. Un

Para Olros valores numéricos de los coeficientes implicados, se puede oblener otro resulta(jo algo diferente, pero siempre resultará ser dependienle del cuadrado de la esbeltez. Para una esbeltez, 'que se puede denoininar base, el momento actuanle iguala al de fisuración. Por debajo de esa esbeltez, la rigidez de la pieza es la de la sección tOlal, sin incidencia de la fisuración . Por encima de ella empieza a influir la rigidez fisurada. De acuerdo con (2Z] en un Iramo apoyado la esbeltez base es 13, para uno extremo IS y para uno inlerior es 17. Las variaciones en los valores supuestos de coeficiente de módulo resislente, ancho de viga y tensión de fisuración consiguen mover sólo ligeramente esle valor. En cualquier caso son valores franca': mente alejados de los que sonaban como críticos en el apartado anterior.

té~mino funciÓn de la inercia real en relacióó'a la fisúrada.

Aunque se trate de un término corrector, posiblemente poco diferente de la unidad, es importante tenerlo en cuenta. Si para controlar la flecha en una viga, se aumenta el canto, el momento actuante se acerca al de fisuraciÓn. En efecto, como se ha visto en el apartado 2.2.2, la relación del momento actuante al de fisuraciÓn depende de la relaciÓn de qU a bh 2, en definitiva del cuadrado de la esbeltez. Cuanto mayor sea el canto, menor es la relación de Mac/Mli. y, según (S), mayor es la rigidez con relaciÓn a la fisurada, por lo que la flecha disminuye más rápidamente que lo que lo hace la esbeltez por sí sola. Que el último factor dependa, aunque sea indirectamente, de la esbeltez, es lo que hace que no sea sencillo establecer cuál sea el valor crítico de dicha variable.

Aunque la incidencia de la rigidez fisurada es gradual, para un momento como el triple del de fisuración, la rigidez es prácticamente igual a la fisurada, lo que, según (22) sucede para una esbeltez, denominable límite, del orden de 24 en tramo apoyado, 27 en exlremo y 30 en inlerior. La conclusión es que en tramos interiores la esbeltez crílica de flecha obtenida en el apartado anterior, del orden de 29, no lendrá correcciones sensibles por el último factor, ya que Elli/E'rnn será muy próximo a la unidad. Por el contrario, en vigas apoyadas, la suposición de que la esbeltez crítica de flecha es del orden de IS, será fuertemente corregida por el último factor, que para esas esbelteces conduce a una rigidez mayor que la fisurada. En vigas reales, la rigidez total' es del orden de O,14·b·b 3·Ec ' La fisurada en tramo extremo es, según se ha usado ya en (lS], como 0,S8Ao ·E.. h 2. Poniendo la condiciÓn de que Ao = Mac/O,S'b'uo resulta EI,oIElli~ = O,14·Zq·h 3 ·O,S·u o·h/n·0,SS-b 2·0,070·qL2, es decir con n = 7, EI,oIE11i. = 0,78S·uo ·b 2/L'. De manera análoga puede hacerse en el caso de otro tipo de sus!entación, de forma que en ~igas apoyadas, y conlinuas en uno y dos extremos, es:

4.4 Término de rigidez De acuerdo con el apartado anterior, para un ritmo de obra, tipo de tramo, tipo de acero y criterio de dimensionado de armadura dados, la flecha relativa a la luz es función sólo de la esbeltez32 . Pero esa dependencia no es estrictamente lineal. El coeficiente EIIi/El prm también varía con la esbeltez. El valor de la rigidez promedio se ha tomado, como simplificación, igual a la equivalente de la sección de vano. Según (S], la relativa a la fisurada es:

0,533'0'0 . h 2/L2 0,14'Z,5q'b 3 'O,S'u o'b I n'O,60'h2'O,12S'qL2 3 O,78S'u o . b 2/L2 (23] E1t.,/Elli. = 0,14·2,Oq·b ·O,S·uo·h · I n·0,SS·b2·O,070·qL2 3 2'O,04Z'qL2 0,14' I,6q'b '0,S'u 'h IO'O,SS'b EI~",.. = o ,,¡.1: indicando que este término varia inversamente con el cuadrado de la esbeltez. La combinaciÓn de que, según (ZI] y (2ZJ, la fracción disminuya con la sexta potencia de la esbeltez y, según (Z3], que el término a que afecta lo haga con el cuadrado, hace que el cambio de rigidez total a fisurada sea rapidísimo. Que, al aumentar la esbeltez por encima de la base, en la rigidez inlervenga cada vez una fracciÓn menor de una cantidad más pequeña, presagia que, en muy poco intervalo de esbeltez, se pase de una a otra.

[ 21 ] dependiente pues de los dos cocientes: EI,oIE1¡¡. y de M.JMr... A momentos positivos se ha visto que EI,OI duplica ampliamente la del nervio b 'h 3112, llegando a alcanzar O,14·b·h 3 -posteriormenle se verá la incidencia de la variación de ese valor-o Como, debido a la capa superior, la línea neulra se sitúa por encima del medio de la sección, el momento de fisuración M Ii• es ligeramente menor que O,2S·b·h2·rct --en el ejemplo, en una viga extrema alcanza sólo del orden de O,25·b·b 2·rct- . Como valor de r~, a 1 año, en hormigón H200 puede tomarse 33 kp/cm 2. En un tramo extremo, el momento actuante Mact tiene el valor 0,070'q'L', Por lo que éste es, en relación al de fisuraciÓn como O,070·q·L2/O,2S·b·h 2·rc,' Fundamentalmente debido al cortante, el ancho del nervio de la viga plana, debe ser, en cm, del orden de 2'q en kp/cm, por lo que es Mac/Mli. = O,0042·L21h2. Procediendo con los otros casos, el tramo apoyado tiene un momento O,12S'qL', pero posiblemente alcance un ancho del orden de 2,S'q y el módulo resistente a fisuración llegue a O,2S·bh 2. En sentido contrario, un tramo empotrado, con momento máximo 0,0417'qL', no necesita un ancho superior a 1,6'q y el módulo resistente a fisuración no pase de .O,23·bb' . Resulta pues que en tramo apoyado, extremo o interior, es, respectivamente: 0,125'q'L' IO,2S·2,Sq·b2·33 2 Mac/Mr.. = O,070'q'L2 IO,25'2,Oq'b '33 2'33 O,04Z'q'L' IO,23'1,6q'b Mac/MfiJ = Mac/M[j.

O,OO54'UIh' O,0042'U1h2

[ 22 ]

O,OO3S'U!b'

f/ lo C:Zf

En efecto, procesando las anteriores expresiones para el caso de un tramo interior, doblemente empotrado, según (22], hasta la esbeltez base de 17, la rigidez es la de la secciÓn lotal, según (23], entre 6 y 10 veces la fisurada, para los valores esperables de 0'0 entre 2,S y I,S l/cm'. Para una esbeltez 20 sólo interviene un 40% de la total, que ha bajado a valores entre 5 y 7 veces la fisurada; la rigidez resulta pues entre 2 y 3 veces la fisurada. Para una esbeltez de 26 la presencia de la rigidez total es simbólica, y apenas añade un ZO% a la fisurada. Para las esbelteces deseables, próximas a la crítica, la rigidez es ya prácticamente igual a la fisurada. Calculando, según [ZO), la flecha instantánea de carga tOlal, que no es sino la acliva cuando 'Pact = 1, teniendo en cuenta [Z2] y (Z3], se llega a los valores de la tabla S. En la primera fila aparecen los valores de Mac/Mfis' según (22] y el inverso de su cubo, que es el .coeficiente del exceso de la rigidez total a la fisurada que hay que añadir a la fisurada para obtener la equivalente. A continuaciÓn aparece el valor de EI,oIE11i. según (Z3] para diversos valores plausibles de 0'0' En el siguiente grupo se tabula din,!L según (20) y por fin el valor de R!b o radio de curvatura equivalente, que se define más adelante. Los valores se refieren fundamentalmente a las esbelteces que dan lugar a valores de flecha en tomo a la tolerable. Para una mayor facilidad en la comprensión de estos resultados, se representan en la figura 14.

) l Podria interpretarse "fII<suradamente que la clase de honnigón no opera. Naturalmen'e que sí, y más adelan'e se ver~ cuánto. Esa variable incide fundamentalmen'e en el valor del momento de físuración y. 'ambién, aunque en menor medida, en la inercia de la sección tolal. Cuando el momento ac1uant. disminuye hasta acercarse al de lisuración, se hace relevante la rigidez total, interviniendo sensiblemente en l. flecha, de manera que la clase de honnigón y el ancho de la viga son variables agu.apad.as que operan desde denlrO del cocficien'e El ... I El ....

flecha en honnigón estructuras dos

flecha en honnigón

estructuras dos

4.5 Valores de las variables que inciden en el cálculo de Oecha De acuerdo con los valores de la tabla S, para las esbelteces críticas, el momento actuante excede del doble del de fisuración, lo que significa que apenas interviene en la rigidez equivalente un 10% del exceso de la total sobre la risurada. En esas esbelteces la rigidez de la sección total es del orden el triple de la fisurada ---que es valor manejado como tópico en los apartados 2.2 y 2.3-.

Tabla 5. Flecha en vigas planas, según EH-91

Esbeltez

1/!f

R l000·h

Notas:

Interior

Extremo

Apoyado

Tramo

13 18 20 22 25

15 22 24 26 32

17 26 28 30 40

base crítica

límite

1,0 1,7 2,2 2,6 3,4 1,00,2 0,1 0,1 0,0

límite

1,0 2,0 2,4 2,8 4,3 1,0 0,1 0,1 0,0 0,0

limite

1,0 2,4 2,8 3,1 1,7 1,0 0,1 0,1 0,0 0,0

La primera fase, de esbelteces bajas, hasta la base, - 13 en Iramo apoyado, 15 en tramo exlremo y 17 en interior- , en la que opera la rigidez de la sección total --entre 7 y 9 veces la fisurada-, tiene flechas casi proporcionales a la esbeltez, pero en cualquier caso, muy, muy bajas --entre 0,3%0 y 0,2'A1o de L-. En esa banda de esbelteces la flecha depende fuertemente de la resistencia del hormigón y varía casi proporcionalmente con el coeficiente de f1uencia, pero en cambio es insensible a la cantidad y tipo del acero. En estos casos, en los que la flecha es proporcional al módulo de elasticidad del hormigón, no es preciso calcular la flecha para saber que es imperceptible, y por tanto sistemática y ampliamenle tolerable 33 . La segunda fase del diagrama podría denominarse de transición; en ella la rigidez deriva de la total hacia la fisurada, y la flecha despega violentamenle de valor. Debido al rápido crecimiento de la flecha, es a medias de esa fase --en el caso de tramos apoyados- o al final de la misma -para tramos interiores- cuando se alcanza la flecha estrictamente tolerable. Eso sucede para una esbeltez crítica de 20 para Iramo apoyado, 24 para el extremo y 28 para el inlerior. Para esos cantos la rigidez equivalente es muy parecida a la fisurada, entre 1,3 veces en tramo apoyado y 1,0 veces el continuo inlerior. Eso es lo que justifica la transformación de (19] en [20). 6IL

2,8 2,5 2,2 2,0 1,8

8,7 4,6 3,7 3,1 2,4 8,0 4,2 3,4 2,8 2,2 7,0 3,6 2,9 2,4 1,9

2,8 2,5 2,2 2,0 1,8

8,7 1,7 1,3 1,1 \0 8,0 1,6 1,3 1,1 7,0 1,5 1,2 1,1 ¡l,O

2,8 2,5 2,2 2,0 1,8

0,3 1,9 2,8 3,6 4,4 0,3 1,9 2,6 3,3 4,0 0,3 1,8 2,4 2,9 3,6

2,8 2,5 2,2 2,0 1,8

6,2 1,2 0,9 0,7 0,7 6,2 1,2 1,0 0,8 0,8 6,2 1,2 1,0 0,9 0,9

8,6 4,1 3,5 3,0 2,0 7,7 3,6 3,0 2,6 1,7 6,8 3,2 2,7 2,3 1,5

FLECHA

..._..-....

8,3 3,6 3,1 2,7 1,5 7,6 3,2 2,8 2,4 1,4 6,5 2,8 2,4 2,1 1,2

_.-_ ..

_.~-_._

, .... .. ...__ ... ,¡_._--_ .. ... __ .

...-_ ............ .

i Intolerable

8,6 1,4 1,2 1,1 1,0 7,7 1,3 1,1 1,1 1,0 6,8 1,3 1,1 1,0 1,0

3'lIóo ··· ·· ···_···_ ..

8,3 1,2 1,1 1,1 1,0 7,6 1,2 1,1 1,1 1,0 6,9 1,1 1,0 1,0 1,0

_·---f- .. -........... ',.

Estrictamente

tolerable ........... _................ ,... .

, . ..._... _. ....... -:._-_._ .... _........... - _.......

0,2 2,1 2,7 3,2 4,2 0,2 1,9 2,4 2,8 3,7 0,2 1,8 2,2 2,6 3,3

! i i

0,2 2,1 2,3 2,7 3,9 0,2 1,9 2,2 2.5 3,5 0,2 1,8 2,1 2,3 3,2

; ... __...-.-..... -... -"1----········ _. _···-·····i! ..... _.. -.-.

1'.1\0

6,0 1,1 0,9 0,8 0,8 6,0 1,2 1,0 0,9 0,9 6,0 1,2 1,1 1,0 1,0

5,7 0,8 0,8 0,8 0,7 5,7 0,9 0,9 0,8 0,8 5,7 1,0 0,9 0,9 0,8

_ o AEH500: hormigón H2OO; redistmud6n. m ... caso, 15% Sobred _ _ por . - de armadura tOll. Slmptiflcaclón de .... olapa Rigidez .,..,.,.-, igual a fa aquivalerie de vano Ancho en vano (m an, igual • 2,S'q 2.D-q Y t.6·q respectivamente (q en kJ7{an, Los valores m negriIa .... tos usuales o trltltos Aedlstr1bucl6n excesllla o sobredlmenslonldo poco econOmlco Armado IISIrlclo con poca O nklguna redistribución

ESBELTEZ AEH500 H200

18 20 22 24 26 28 30 32

1.Jh

Ficul'll 14, Flec:ha ruad6a de la esbeltez

Cuando la flecha ronda valores intolerables, su valor es extremadamente sensible a la esbeltez. Por ejemplo en el tramo interior se pasa rápidamente de flecha ampliamente tolerable IÍ. para una esbeltez de 26 a una francamente intolerable con esbeltez 30. Todo el problema se ~ debate entonces alrededor de la esbeltez 28. Para ese valor, la Hecha puede ser o no tolerable, dependiendo del ritmo de obra, de la luz o de la sensibilidad de los tabiques y de la cantidad

J) La figura 14 presenta los mismos valores en forma de diagra.ma de flecha ~ontra esbeltez -la ménsula puede asimilarse a media viga apoyada-. En cualqUIera de esos dtagramas pueden distinguirse tres fases.

10 12 14 16

33 El sesgo citado antes, -el de medir el honnigón annado en honnigón-, hace que de muchos documentos se extraiga apresuradamente la conclusión de que la variable fundamental de la que depende la flecha sea el módulo de elasticidad del hormigón, y que la flecha debe ser casi proporcional a él. Eso sólo es cierlo en piezas sin fisurar, es decir con flechas ampliamente inferiores a la eslriclamenle tolerable; en ese tipo de piezas, sin variar la geometría, cambiar la resistencia del honnigón baja la flecha casi proporcionalmente a su módulo de elasticidad. Como se ve más adelante, en piezas con flecha crílica eso apenas altera l. flecha, que en cambio 51 disminuye, y casi proporcionalmente, con la sección de armadura.

estructuras dos

flecha en honnigón

de acero. A esta misma conclusión se llega en tramo extremo con esbehez del orden de 24 y en tramo apoyado sobre 20. Con razón se denomina esbehez crítica34 . Cuando la flecha es crítica, la rigidez depende mayoritariamente de la rigidez fisurada, es decir del acero y el canto, y tanto el ancho como el tipo de hormigón pasan a segundo término. A partir de la esbeltez crítica, la rigidez se asemeja cada vez más a la fisurada. Aunque la tercera fase no empieza en un punto tan definido como la segunda, se puede identificar como la que se rije por la rigidez fisurada, y en la que la flecha es linealmente proporc!onal a la esbeltez. En el diagrama se reconoce por una pendiente mucho mayor que la de la pnmera fase, aunque menor que la de transición. Se podría decir que esta tercera fase está ya ple~am~nte implantada para esbelteces del orden de 25 en tramo apoyado, 30 en extremo y 35 en InteriOr, y en ella la flecha no depende ya del tipo de hormigón ni del ancho de la viga, pero tampoco es preciso calcularla para saber que es absolutamente intolerable, y por tanto sólo mteresante desde un punto de vista académico y como referencia. El valor de la flecha obtenido con (20) puede reproducirse con una circunferencia, que tendría así el radio de curvatura equivalente al de la deformada. Tal radio no representa la curvatura de la pieza, que es variable, pero sí su promedio a efectos de flecha. En una pieza apoyad~, si la deformada es una circunferencia de radio R, la flecha en el centro es, necesariamente lJ = (L/2)1/ 2R o lo que es lo mismo, lJ!L = L / S·R. El radio de curvatura es pues R!h = (L/h) / (S·lJ/L). En una pieza continua si se reproducen las incurvacioncs por círculos con el mismo radio, y se supone que el negativo ocupa el 20% de la luz a cada extremo, y el positivo el 60% central, la flecha es lJ = U/15'R de manera que R!h = (L/h) / (15·lJ/L). El valor es sumamente insensible a las variaciones de los porcentajes de luz citados. En una pieza con continuidad en un extremo se llega lógicamente a una fórmula intermedia, que por simplicidad se puede tomar como R/b = (Ub) / (lO·lJ/L). El cálculo del radio de curvatura equivalente arroja los valores presentados en la tabla 5. Parece pues, que, a los efectos de flecha, cuando ésta es crítica, el hormigón armado se deformara con un radio de curvatura en tomo a lOOO·h, valor que puede servir para tanteos 1/ iniciales.

4.6 Cómo controlar la Recha de una pieza

Lo importante no es tanto saber calcular la flecha, cuanto conseguir que, si es factible, se circunscriba a valores tolerables, y al menor costo posible. Naturalmente en el valor de flecha interviene el ritmo de obra, y las cargas y tipo de sustentación de la viga. Ya se ha comentado cómo estas variables inciden en la flecha y en qué sentido conviene adoptar las mejores decisiones al respecto, pero, para la discusión siguiente, estas últimas variables se supondrán dato que no es posible alterar y un pie forzado para el diseño. El problema es diferente cuando la flecha debe resolverse a nivel de una sola pieza, que cuando, con una misma estrategia, canto, armado, hormigón, etc, deben acometerse al mismo tiempo muchas de ellas: las de una planta completa o un edificio.

)4 Esle caricler de crítica tambi~n proviene de que la variación de la función es muy repentina, pasando bruscamente de un estado a otro. En ese senlido, el cálculo de flecha en lomo a la esbellez crílica liene rasgos caóticos, cambiando mucho para alleraciones leves de los datos, como si el resullado no fuera muy fiable y fuertemenle dependiente de los delalles. Ngún lector se preguntará a estas alturas si no se eslán sacando demasiadas conclusiones de una fonnulación grosera, y algo hay de eso. En cierto sentido, el que los valores de ta tabta S lengan un sóto decimal apunt. a que no es fiable mucha más precisión. En buena lógica, y congruentemente con el cariCIa de fonnulación aproximada que tiene la flecha y no sólo ta (20), todos tos resultados deberían darse en intervalo. De ta misma manera, tas curvas de la figura 13, 14 Y 15 deberían dibujarse con pincel grueso. Pero si la flecha varía rápidamente: y la función es bonosa, no hay conclusión posible. Todo lo que se podría decir es que, por ejemplo, en una viga apoyada, una esbellez de 18 sería más que suficiente, una de 22 imposibte, y en las ,"tennedias no se puede precisar nada.

4.6.1 El canto de la viga

¡j

Con canto crítico, la rigidez depende fundamentalmente de la fisurada, función de A,,'h1; canto primero - influye doblemente-- y sección de acero d.espués, son pues las variables esenciales. En vigas planas el canto óptimo por resistencia conduce a flecha excesiva. Para conseguir que la flecha pase a un valor --i:strictamente-- tolerable, la variable que más rápidamente influye es el canto, o sea, la esbeltez. Pero no sólo es que sea la variable que mejor puede servir a ese propósito, sino que si hay que hacer grandes correcciones de flecha, eso casi sólo se puede conseguir con canto; todas las demás variables juntas no pueden conseguir que la flecha pase a tolerable si el canto es mucho menor que el crítico. Y si el canto es superior al crítico, tampoco es preciso preocuparse de ninguna otra variable: probablemente la flecha será en cualquier caso tolerable.

Para la pieza del ejemplo, con una luz de 5,S5 m, el canto crítico es L/24 =24 cm . Un canto de 26 cm, sin otras precauciones, daría lugar a flechas incluso ampliamente tolerables; un canto de 22 cm produciría, casi en cualquier caso, flechas inaceptables e incorregibles. Comu se ve, el margen para tener que preocuparse de la flecha --i:n rigor, para tenerla que calculares muy estrecho y es lo que justifica la denominación de canto o esbeltez crítica. En caso de /J duda, aumentar el canto al siguiente valor comercial, -de ordinario 2 cm- hace desaparecer todo problema con la flecha, y disminuirlo en otro tanto puede convertir el problema en irresoluble. Todo lo que se necesita sobre flecha es cómo matizar si es o no tolerable en el caso de que el canto sea muy próximo al crítico. Desgraciadamente, en vigas planas y forjados, la solución óptimá es la de menor canto posible sin flecha intolerable, y es por eso que importa tanto saber cuánto vale y cómo rebajarla, a ser posible sin aumento de costo.

4.6.2 La cantidad y tipo de 'acero En tomo a la esbeltez critica, la cantidad de acero es decisiva. En la tercera fase, en donde opera sólo la rigidez fisurada, la flecha varía exactamente con la cantidad de armadura: un 10% más de armadura es un 10% menos de flecha. Justo en la esbeltez crítica, la dependencia no es tan estrecha. Para un tramo interior, alrededor de una esbeltez de 2S, el coeficiente (Mr/M no llega ni a 0,05 por lo' que la rigidez es muy poco diferente de la fisurada, de ma~era que un 10% más o menos de armadura significa todavía un 9% menos o más de flecha, pero en un tramo apoyado, en tomo a la esbeltez de 20, el coeficiente citado puede estar entre 0,10 y 0,20 por lo que un 10% más o menos de armadura significa del orden de 6% menos o más de flecha. La figura 15.a presenta las O5Cilaciones de flecha para variaciones de armado de I ±1O% de sección. Puede comprobarse que, para esbelteces muy inferiores a la crítica, la • '.i variación de armadura no influye en .Ia flecha, pero eso es sólo cuando ésta es imperceptible.

El aumento de armadura no incide en la primera fase; comienza a intervenir en la de transición, arrancando de cero, y aumentando con la esbeltez, estabilizándose en términos relativos en la tercera fase. Un 10% más de armadura no puede nunca bajar la flecha más de un 10%. Teóricamente, se puede partir de cualquier valor de canto, por menor que sea del ,crítico, y corregir luego la flecha a base de armadura en vano. En tramos interiores, un 10% más de armadura permite un canto crítico 5% inferior al Clásico; en piezas apoyadas eso apenas permite reducirlo en un 2%. En tramos aislados, extremos o interiores, con un 10% más de armadura se puede bajar, respectivamente, a un canto l.I20,5 LJ25 y lJ29 sin problemas de flecha. Para resolver de la flecha, añadir acero significa una inversión adicional, que hay que contrastar con otras posibilidades, y a la larga es caro; en realidad lo que se hace es reducir la deformación del acero a base de bajar su tensión, como si fuera de una resistencia inferior. El costo de resolver una pieza con canto menor del crítico crece fortísimamente con la esbeltez, lo que, en la práctica, disuade de proyectar piezas con mucho menos canto del ya indicado.

(

flecha en honnigón estructuras dos

pasa de O,14'b'h 3 a

estructuras dos

flecha en hormigón

En igualdad de condiciones, armar con AEH400 conduce a una sección de acero 1,25 veces mayor que con AEH500, y por tanto la flecha apunta a valores con ese mismo orden de reducción. Visto desde la esbeltez, con AEH400 los cantos críticos pasan a ser de U21,5 U26 y U30,5. Eso no significa necesariamente que, en caso de flecha crítica, sea ventajoso armar con AEH400; en general la eficacia de la armadura ----coste por tonelada resistida- es mejor en AEH500, y si es preciso corregir la flecha en alguna pieza o zona, es preferible disponer localmente el incremento de armadura que sea imprescindible, a hacerlo con carácter sistemático en toda la estructura. La pregunta es si ese incremento de armadura se puede detraer de algún otro sitio o compensar de alguna manera. En piezas continuas, la respuesta es simple: con redistribución.

colaboración de las alas va menguando, y, en el límite, la inercia total pasa de 0,14·b·b J a 0,08·b·bJ , y el momento de fisuración pasa de 0,28·b·h 2 ·rcti a 0,16·b·h 2 ·rcti . _________

____

~~~

________

____- r________- '

FLECHA

3'"

4.6.4 La redistribución de armaduras

1./

Es perfecta. Lo deseable es bajar la flecha sin costo adicional. En piezas continuas, la . redistribución permite poner acero en donde falta, pero quitándolo de donde sobra. En este tipo de tramos, la resistencia consiste en dotar de suficiente capacidad entre extremo y vano; la indeformabilidad obliga a suficiente armadura en vano35 . La conclusión es pues que la armadura de vano se determina por flecha, y la de extremo como la que, combinada con la anterior, cubre la capacidad resistente a momento. A base de redistribución; naturalmente, y tiene que ser un valor consentido por la ductilidad.

í" 10

ESBELTEZ

lJh

INFLUENCIA DEL ANCHO

INFLUENCIA DE LA AR~DUAA

Lo que sucede es que, cuanto más esbelta es la pieza, más armadura en vano se necesita para controlar la flecha, y por tanto es preciso mayor redistribución para mantener el total de armadura constante, y, desgraciadamente, cuanta más esbeltez tenga la pieza, menos redistribución consiente por ductilidad, -para un giro plástico dado-, de manera que el margen de redistribución resulta ser también escaso y acotado a una gama relativamente pequeña de esbelteces. En las condiciones anteriores, un tramo continuo en ambos extremos, sin redistribución no es posible bajar de U26; el valor de U28 corresponde a la redistribución máxima permitida sin justificar ductilidad, 15%, y con un 25% de redistribución sería posible superar ligeramente . UJO. Sin embargo no es posible mucho más; superar el 25% de redistribución --q4e. equivale a igualar momentos positivos y negativos- con más de 32 de esbeltez, excede de un;giro plástico de 0,8%. Por encima de esa esbeltez hay que añadir acero neto; al menos en vano, sin poder recuperarlo del extremo. .

Para poder proyectar una pieza interior con una esbeltez superior a 26 es preciso redistribuir; más, cuanta más esbeltez se desee. En vigas planas, y sobre todo, en forjados, -mucho más sensibles al aumento de carga con el cantQ-, el canto óptimo por resistencia es el menor posible, y por eso es absolutamente recomendable usar la máxima redistribución // posible: sin justificar nada, en vigas se permite el 15% y en forjados hasta igualar momentos -en tomo al 250/0--.

4.6.5 .El ancho de la viga

(

La variación del ancho de la viga incrementa tanto la rigidez total de la sección como el momento de fisuración, aspectos ambos que inciden en el quinto factor de (20). Para pequeños incrementos de ancho, las dos magnitudes aumentan con el ancho; para grandes, la

3S Esto es sólo desde el punto de vista de la formutación (6) de EH-9I, que concede un peso. quizá desmedido, a l. rigidez a momentos posilivos. Con métodos más académicos, como el de t. integración directa de la curvalura, se Uega • una conclusión en el mismo sentido, pero mucho menos nítida, de manera que, aunque, en iguatdad de condiciones la menor armadura para controtar la flecha procede de t. mayor igoalación posible de momentos, el valor de f1~ha, por sí mismo, es relalivamente estable en un rango amplio de redistribución.

ESBELTEZ

ES8ELTE;!

lJh

EFECTO DE LA FLUENCIA

INFLUENCIA DEL HORNlGOtj

rICura 15. VariaciÓ!!

de la Oda con acero,

ancho, clase de bormigón y Ouencia

En torno a la esbeltez crítica, si, según la tabla 5, el ancho aumentara un 10%, el momento actuante pasaría de 2,2 a 2,0 veceS el de fisuración, y por tanto la rigidez total pasaría de intervenir un 9,4% a hacerlo un 12,5%; como la rigidez total pasa de 3,4 a 3,74 veces la fisurada, el factor E~m!Elr.. cambiaría de 1+0,094x(3,4-1) 1,23 a 1+0,125x(3,7-1) 1,34 lo que significa una reducción del último factor de [20] en un 9% que es lo que disminuye la flecha: casi lo mismo que el ancho.

Sin embargo en la pieza continua interior, con esbeltez 28, la relación del momento actuante al de fisuración pasaría de 2,8 a 2,57 cambiando el coeficiente lI~J de 0,046 a 0,059 lo que, conjuniamente con el cambio de rigidez total, varía el citado factor de 1+0,046)«2,8-1) = 1,08 a 1+0,059)«3,1-1) = 1,12 lo que significa sólo un 4% menos de flecha.

La explicación de esta menor incidencia del ancho en la flecha, en el caso de piezas empotradas, es simple. El aumento de ancho mejora la f1eeha en tanto en cuanto incide en las cualidades dependientes del hormigón, en la primera fase proporcionalmenle, y en la de 41

flecha en hormigón

estructuras dos

transición a medias, pero en la tercera fase, en la que la flecha. depende sólo de la rigidez fisurada, en casi nada. Cuanto más cerca se esté de la recta límite de rigidez fisurada, menos incide el aumento de ancho; o la disminución. Todo lo que consigue la disminución de ancho es acercar el diagrama de flecha contra esbeltez a 'la citada recta límite, por lo que, los puntos que ya estaban muy próximos a ella, apenas cambian su posición, y por tanto apenas varía la flecha. I

Como el punto crítico del tramo interior se encuentra en una fase más avanzada de la de transición, muy próximo ya a la fase de fisuración, es muy insensible al ancho. En los tramos apoyados, en una fase menos avanzada de transición, se pueden obtener una reducción de flecha muy pareja al aumento de ancho.

)J fase

Curiosamente, cerca de la primera fase, la ventaja es aún mayor, en términos porcentuales mayor incluso que la del ancho. Puede comprobarse que el aumento de ancho reduce la flecha más por la ventaja en el momento de fisuración que por la de la inercia. Rehaciendo los cálculos anteriores, si sólo variara el momento de fisuración, el quinto factor sería 1 +0, 125x(3,4- 1) = 1,30 lo que supone el 6%, es decir los dos tercios de la ventaja; el aumento de la inercia sólo significa un tercio de la reducción de flecha. La flecha se reduce fundamentalmente por el retraso en el despegue del diagrama. Pero eso sólo sucede cuando la flecha es de todas maneras imperceptible, por lo que este efecto no tiene ningúna consecuencia práctica. Véase en la figura 15.b las alteraciones de la flecha con el ancho. Viéndolo desde la esbeltez, un aumento de ancho del 10%, permitiría llegar a esbeltez 21, pero ni siquiera a 29 en uno continuo. Si el ancho creciera vertiginoSamente, convirtiendo la viga en una losa, por ejemplo, en viviendas, la carga total llegaría a 800 kp/m1 o 1000 kp/m 1 . En términos de la relación b a q, entre 8 y 10, aunque ello significara sólo un aumento de inercia y momento de fisuración entre 3 y 4 veces el tomado como típico en vigas con sección en te. El paso a losa sí tendría una reducción significativa de la flecha en todos los casos. La esbeltez base llegaría a duplicar a la de vigas, pasando a valores entre 22 y 34. Ahí comenzaría el despegue de flecha, que no alcanzaría la recta límite de fisuración hasta valores como entre 30 y 50. Con soluciones en losa se podría llegar a esbelteces de, hasta 26 en tramos apoyados y más de 40 en continuos. Pero bien entendido que sólo en el caso de una auténtica losa apoyada en muros o vigas de gran canto; las losas apoyadas en soportes puntuales son otra cosa. No obstante estas conclusiones son provisionales, pendientes de la discusión del efecto de fluencia, en la que interviene. además la clase 36 del hormigón. :

4.6.6 La clase de hormigón UIl cambio de hormigón de H200 a H250 incide en un 25% en su resistencia, pero sólo en un 12,5% en su módulo de elasticidad. La rigidez total aumenta asimismo en un 12,5%. Desgraciadamente, cuando opera la rigidez total, la flecha es imperceptible, y cuando ésta es crítica, la rigidez de la sección total no cuenta mucho. De manera que, para corregir una flecha abocada a valores intolerables, la clase de hormigón puede hacer poco. Lo mismo que el ancho, porque un cambio de clase de hormigón afecta a las mismas variables que el de ancho. Allí, tanto la inercia total como el momento de fisuración variaban en parecida relación: Ahora un cambio del 12,5% de rigidez total, se acompaña de uno del 16% de momento de fisuración. Como en el cambio de flecha por estas variables, interviene con peso doble lo segundo, un cambio de hormigón de H200 a H250 es similar a aumentar el ancho del orden de un 15%.

J6 Se prefiere este término frenle al, por otra parte usuat, de <Dlidad, con objeto de evitar la identificación de resislencia con catidad; la calidad esti asociada a l. eficacia, es decir. la relación entre cuatidad y costo; en flexión, el sobrecosto de aumentar ta resistencia de honnigón no imptica aumentos parejos de sus prestaciones, por lo que no es tan claro que eso signifique aumento de catidad. En lo que gana el hormigón H250 al H200 es en resistencia y en cos10, incluso en compacidad. pero no necesarlamenle en calidad.

Al cambiar la clase de hormigón, lo que más influye, no es tanto la ventaja del módulo de elasticidad del hormigón, cuanto la de su resistencia a tracción. Al pasar de H200 a H250, repitiendo los cálculos ya realizados con el ancho, en un tramo apoyado el momento actuante pasaría de 2,2 a 1,9 veces el de fisuración, que hace que la rigidez total pase de intervenir en un 10% a hacerlo en un 14%, con lo que el último factor de [20] cambia de 1+0,lOx(3,4- 1) = 1,24 a ltO,14x(3,4x1,125-1) = 1,39. Eso se traduce en que la flecha disminuye un 12% de su valor. En tramo extremo el momento actuante pasa de 2,41 a 2,08 veces el de fisuración, con lo que l/1l3 cambiaría de 0,01 a 0,11 yel citado factor pasaría de ltO,07x(3,O-1) = 1,14 a ltO,11x(3,Oxl,125- 1) = 1,26 que ya es sólo es un 10% menos de flecha. En un tramo interior, los valores son de 2,15 a 2,31 y de 0,05 a 0,08 que permite pasar de ltO,05x(2,8-1) = 1,10 a 1+0,08x(2,8xl,125-1) = 1,11 que sólo es un 6% menos de flecha.

Se observa pues que el aumento de clase de hormigón en un 25% sólo rebaja la flecha, cuando es crítica, entre un 12% y un 6%. En sentido contrario la disminución de clase de H200 / a H150 sólo aumentaría la flecha, cuando fuera crítica, entre un 12% y un 6%. Y en efecto, 1/ esa variación se debe predominantemente al cambio de resistencia a tracción . Si variara el módulo de elasticidad del hormigón pero no su resistencia a tracción, los anteriores cálculos llevarían en tramo apoyado a 1+0,14x(3,4- 1) = 1,34 o sea un 8%; en extremo sería ltO,l1x(3,0- 1) = 1.22 o sea un 1% yen interior a ltO,08x(2,8-1) = 1,14 o sea un 4%. Las dos terceras partes de la variación se deben pues a la resistencia a tracción; en contra de lo que pudiera parecer, el módulo de elasticidad del hormigón queda en segundo plano; un 12,5% de módulo de elasticidad sólo hace variar, por sí mismo, la flecha, cuando es crítica, entre un 4% y un 2%. Lo mismo que con el ancho, paradójicamente, la variación de flecha puede superar con creces la del módulo de elasticidad del hormigón, al inicio de la fase de transición, por retraso en el despegue de la flecha, en donde, al cambiar la clase de H200 a H250, la flecha puede disminuir hasta la mitad. Pero, como ya se indicaba, eso sólo sucede cuando la flecha es de todas maneras imperceptible, por lo que no tiene ninguna consecuencia práctica.

Aunque el cambio de clase de"hormigón opere de modo semejante al de ancho de viga, con el hormigón el margen de cambio es mucho menor, a lo sumo para hormigonado en obra, entre H175 y H300, apenas un 43% en la variable esencial 31, mientras que el ancho puede duplicarse y hasta cuadruplicarse fácilmente. Como puede verse en la figura lS.c, el cambio de clase de hormigón opera en sentido inverso al de cantidad o tipo de acero; según 15.a . Ahora, la incidencia es máxima en esbelteces bajas, porcentualmente constante en la primera fase. Cuando el hormigón de clase inferior entra en la segunda fase y aumenta violentamente su flecha, el hormigón de clase superior mantiene su rigidez sin fisurar debido al mayor valor de resistencia a tracción y por tanto consigue momentáneamente una ventaja enorme en flecha, ventaja que se va amortiguando a lo largo de / ) esta fase y desaparece al llegar a la Qsurada. En las piezas interiores, en las que se alcanza la esbeltez crítica al final de la segunda fase, el cambio de clase de hormigón sirve muy poco para alterar la flecha.

4.6.7 La Ouencla En principio parecería que es imposible desligar la resistencia a tracción del módulo de elasticidad del hormigón, pero no es así. No otra cosa es la fluencia, de manera que, con el tiempo, es como si el hormigón, manteniendo su resistencia, incluso a tracción, disminuyera su módulo de elasticidad. Los razonamientos anteriores permiten deducir que, en ese caso, la

37 Naturalmente con hormignnes de fraguado prefabricado, i1lécnicas de pretensado, y sobre IOdo, postesado, en las que la tracción se cuenla como reducción de ta compresión previa, se: poeden a1canur márgenes mucho mú elevados, que es lo que justifica la adopción de este tipo de soluciones en tosas esbeltas. 43

cstruL1uras dos

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flecha en hormigón

11111.. , "1,1 • , ... mH¡

eslructuras dos

variación de flecha sería mucho menos importante que la del coeficiente de fluencia. De acuerdo co.n .Ios apartados ~teriores, una baja del módulo de elasticidad a la tercera parte de su valor //o,"!~mal, sólo ~Ionaría un ~U1'.'ento entre el 15% Y el 40% de la flccha, cuando esta fuera CrIlI~. Es ~ebldo a la contradICcIón de estos valores con la evidencia experimental, por lo que se eVI!a aplIcar e1.modelo general de fluencia al cálculo de flechas diferidas, cosa que se hace a traves del coeflclcnte k¡ de la tabla 3, poco o nada coincidente con las anteriores conclusiones. Lo que más sorprende es que se haya establecido un único coeficiente 1; independientemente del.grado de inciden~ia de la rigidez total. Todas las variantes de las curvas de las figuras 14 y IS, SI la clase de hormIgón o el ancho son favorables, pueden tardar en despegar, e incluso crecer luego lentamente, alterando la segunda fase, pero, inexorablemente, toClas tienden a la ~ec.ta correspondiente a la rigidez fisurada de la tercera. En términos de la formulación 120] el ultImo factor no puede superar nunca la unidad. Eso significa que, por mucha variación que se aSIgne al módulo de elasticidad del hormigón con motivo de la fluencia, el aumento de flecha sólo puede empujar la curva contra una recta límite de esa tercera fase, por lo que si originalmente ya estaba muy cerca, es imposible que la fluencia incida sensiblemente en ello.

Pero, en sentido contrario, cuando el punto se encuentra muy separado de dicha recta límite, cabe esperar que la fluencia incida muchísimo. Por ello, los valores de las curvas lS.a, IS.b y IS.e deben modificarse por este fenómeno tanto más cuanto más lejos se encuentren de la tangencia con la recta de fisuración. Considerando una fluencia de 2, -deformaciones acumula~as. finales triples de las instantáneas- en la figura IS.d se muestra cómo, aplicando [20], camblanan algunas conclusiones de las otras. En tramos interiores de vigas, aun ese coeficiente sólo aumentaría entre un 6% y un 15% de la flecha o forzaría a rebajar la esbeltez crítica en no más de dos cantos. En tramos apoyados de vigas, esa misma fluencia sería responsable de entre un 30% y un 50% de incremento, o que la esbeltez crítica se alterara en al menos 3 cantos. En losas, en una fase mucho menos avanzada de transición y por tanto con más incidencia del hormigón, el efecto de la fluencia sería mucho más acusado. En este tipo de piezas la conservación de la resistencia a tracción junto con la tremenda baja del módulo de elasticidad hacen que la primera fase llegue casi hasta la flecha crítica, de manera que ésta se puede calcular a partir de la inercia bruta sin intervención de la fisurada. En losas, la expresión 120] es equívoca, siendo preferible mantener la formulación de flecha en su formato original, la 116], tomando como EIprm = El lOC ' A cambio hay que destacar que, en losas, la fluencia triplicará las flechas instl!ntáneas, de manera que, si se usa la (16], debiera adoptarse un módulo del hormigón tercera parte del original. Esa importante alteración de fluencia hace que las altas esbelteces obtenidas en el apartado 4.6.5 sean ilusorias; en losas apoyadas la flecha crítica se alcanza con esbeltez 24, y nada puede hacerse ya con ancho o acero para rebasarla, salvo aumentar la clase de hormigón. En losas continuas se puede alcanzar una esbeltez entre 32 y 40, con las mismas Iimi~aciones.

En este contexto no se entiende la adopción de un sólo coeficiente 1; para todo tipo de pieza, independientemente de la fase en que se encuentren; es absolutamente seguro que dicho coeficiente es incapaz de suministrar un 'Iratamiento homogéneo del problema38 . Se puede apost.a~ a que, con el valor de la tabla 2, las \vigas continuas pueden estar realmente en mejores condlctones que las supuestas, pero las losas, sobre todos las apoyadas, en condiciones mucho peores que lo que predice ese coeficiente. Aunque en general pueda usarse 1;, sería razonable corregirlo al alza cuando se prevea que el punto se encuentra lejos de la recta límite de rigidez fisurada: losas, elementos apoyados, y cuando se exija una más severa limitación de flecha.

I~. ,

flecha en honnigón

4.7 Fórmula de comprobación de flecha Que la flecha no pueda nunca superar la recta límite de fisuración, significa que siempre se pueden hacer cálculos, del lado de la seguridad -válidos sólo para proyectQ- tomando como inercia la fisurada, aproximando la flecha sólo con la tercera fase, cubriendo todas las indeterminaciones de módulo de elasticidad del hormigón, su resistencia a tracción, coeficiente de fluencia, etc, y permitiendo una comprobación rapidísima y facilísima de flecha, sin tener 4/ que calcularla de verdad. Eso no sería sino tomar la 120) adoptando para el último factor el valor unidad. Como puede comprobarse con los diagramas de las figuras anteriores, tal sistema sería no sólo seguro sino demasiado seguro en ocasiones. Si se pretende ajustar la deformación a la estrictamente tolerable, la 120] con EIC¡/EIprm = 1 es demasiado pesimista. Para lograr un mejor ajuste, pero manfeniendo la simplicidad, se podría utilizar la 120] con un valor realista de ese quinto coeficiente, algo superior a la unidad. De acuerdo con los valores de la tabla S, en tomo a la esbeltez crítica, la relación EIprnfEIfi. es del orden de 1,30 en tramos apoyados, 1,15 en extremos y 1,00 en interiores, lo que conduce a: Viga apoyada (b

=2,5'q)

610IL s 0,139' urfE• . I)h /1,30

Viga empotrada apoyada (b = 2,O'q) 610IL s 0,109' urfE• . I)h /1,15 Viga empotrada (b = 1,6'q) 61.JL s 0,092 . urfE• . I)h /1,00

( 24 ]

¡J

Nótese que ésta es una expresión de comprobaciólI y no de cálculo de flecha. No permite obtener su valor, sino sólo concluir.si es o no tolerable. Si la 124) predice que la flecha es intolerable, en la realidad es mayor todavía que lo que indica el segundo miembro, pero igualmente intolerable; y si la 124] dice q~e es tolerable, en la realidad eS incluso inferior de lo obtenido, pero asimismo también toletable 39• En términos de la figura 14, lás 124) sustituyen, para comprobación, el diagrama real, en el punto correspondiente a la flecha crítica, por una recta que pasa por el origen. Tal recta no reproduce COrrectamente la flecha, pero sí el si ésta cae del lado tolerable o intolerable; véase . . figura 13. Las 124] corresponden a anchos definidos. Para utilizar expresiones de ese tipo como comprobación, debería matizarse cómo varía el último coeficiente con el ancho o clase de h?rmigón y la tensión del acero. Ade,"ás debe elegirse el punto en que se quiere sustituir el dIagrama real por el de comprobación. En rigor debería hacerse por el valor de flecha estrict~ente tolerable. Por simplicidad, y del lado de la seguridad, se pueden tomar los correspondtentes a una flecha total de 2,5%0 de L. Rehaciendo con ese propósito los cálculos con 120) para otros anchos de viga, y teniendo en cuenta las correcciones de inercia y módulo resistente a fisuración ya señalados cuando, con ;b > 3'q, la sección deriva hacia un nervio rectangular, se llega a los valores de la tabla 6. En ésta se ha corregido además, del lado seguro, la importancia de la fluencia, suponiendo, en losas, que la rigidez de la sección ~otal de hormigón está afectada, a estos efectos, de un módulo de elasticidad mitad del tipo. La expresión general de comprobación de flecha sería pues:

6101 / L s

'l'act' '" .

uJE• . Uh

/lJ

[ 25 ]

tomando lJ como el cociente E~rnfElfi. de la citada tabla, y", como el coeficiente 0,139 0,109 o 0,092 según el tipo de sustentación. Como puede comprobarse de nuevo, en la flechn eN

311 El citado coeficienle se ha lomado de la nonna ACr, y posiblemente esté ajuslado al tipo de honnigón, ancho y esbeltez habitual en aquellos pagos. Que a plazo infinito prevea flechas diferidas dobles de las inslanláneas parece indicar, de acuerdo con la figura lS.d, que se refiere a vigas de can lO de no demasiada esbeltez. Todavía hay poca experiencia pera comprobar cómo se comporta este coeficiente en los casos usuales de edificación en nuestro país, y para concluir cómo y en dónde hay que introducir correcciones.

39 Este no es un procedimiento infrecuente en la fonnulación lécnica. El coeficienle de p: .. <In.. 0 11 RCO'" h .1 así; no predice el aumento de tensión, sino sólo si ésla es soportable. Si la apl icación del c..d lol 111 0 11 1", ... 1 ... 1. lugar. tensiones insoportables, en la realidad son mayOles. pero igualmenle insoporlllt,IClII; nl . l , I e mIl I¡ I,"n deo da lugar a tensiones soportables, en rigor son aun menores, pero también IIOI'0rtololl)ll,

estructuras dos

flecha en hormigón

detenninante el canto y el acero; el ritmo de obra o el ancho de la viga son secundarias. la tabla 6 está realizada a partir de H200; el cambio a H 175 podría compensarse tomando el valor de lJ correspondiente a un ancho 10% menor al real , y el cambio a H250 tomando un ancho 15% mayor; la incidencia de este factor es pues la menor de todas.

Apoyado

¡ ...

Elpnn EI,Io

ha!

canto planas

losa

2,8 2,5 2,2 2,0 1,8

1,1 1,2 1,4 1,6 1,7 1,0 1,1 1,3 1,5 1,6 1,0 1,1 1,2 1,2 1,4

2,8 2,5 2,2 2,0 1,8

15 16 19 20 23 16 17 20 21 24 17 18 20 21 24

Interior

1,0 1,6 2,5 4,0 10

.. ,....• ................ ,. ,..-'.,Notas:

Extremo

1,0 1,6 2,5 4,0 10

losa

1.1 1,1 1,3 1,4 1,6 1,0 1,1 1,2 1,3 1,5 1,0 1,0 1,1 1,2 1,4

1,0 1,6 2.5 4,0 10

. canto planas

mM"'.

.....

1,0 1,1 1,2 1,3 1,6 1,0 1,0 1,1 1,2 1,4 1,0 1,0 1,1 1,1 1,3

20 22 25 27 31 22 24 26 28 32 24 25 27 29 32

losa

25 27 32 34 40 27 28 32 33 40 29 30 33 36 40

__ __. _........... _..•...__. ............•. _._.._...._...

....-...................._... __. ..

Hormlg6n H200; para H175 buscar ancho lO'!(, para H250 ancho 15% SimPlificación de una etapa, rigidez promedio Igual a la oquivaluolo de vano los valores en negritla son los usualo5 en vigas planas Redistribución oxceslva o sobrodlmonslonado poco económico Armado eslricto con poca o ninguna redislribución

las anteriores discusiones han tenido lugar sobre tramos canónicos: el apoyado, el empotrado apoyado y el doblemente empotrado. Un tramo si~plemente. apoyado, pero con momentos negativos en los extremos, procedentes de voladl~o~, n? es Igual a uno empotrado, aunque las solicitaciones sean parecidas. En el apoyado, las soliCitaCIOnes son isostáticas, y no admiten redistribución alguna, por lo que la tensión Uo de la annadura de vano se acercará al valor teórico 28 t/cm'. En esas condiciones la esbeltez crítica será inferior a la de la viga empotrada, a m~n¿s que el sobrec.limensionado de la armadura conduzca a valores Uo como los de la tabla 6.

Ta.,ta 6. Rigidez y esbeltez crítica para 6 101 = 2.5%0 de L. según EH-9t

Tramo Ancho b(cm)/q(kp/cm)

4.8 Qtros tipos de tramos

maycr

. Si los voladi~os p~~ucen momentos muy inferiores al que resta en vano, hay que partir ademas de la ~xp.reslón ongmal [7J. Por ejemplo, para momentos en extremo mitad del que reste en vano, el termmo d~ momento, que en la pieza apoyada es de O,6'M o' como se indicaba en el apartado 4.2, pasana a ser O,9'M o resultando flechas vez y media superiores a las del caso de la pieza empotrada.· En este caso =' O 095·M o 'V/EI p.m por lo que . ' la (16) queda como ó10\ Ia [20] aca.ba con la misma expresión que la de la viga apoyada, y por tanto con Iguales flechas que e~la a Igualdad de esbeltez. Contando con que, en el borde de los vuelos hay carga local, voladiZOS de menos del cuarto de la luz no tienen incidencia práctica para variar la esbeltez crítica de los tramos apoyados. . Incluso en piezas continuas es preciso hacer algunas correcciones al modelo canónico por ejemplo, en vigas continuas, cuando las luces sucesivas son diferentes. Cuando las luces so~ alt~mativamente lar~as ~ cortas~ en.relación 1:2, los momentos flectores positivos y negativos se Igualan. En esa situación el terrOlno de momento del párrafo anterior es de O 8'M elevando la fle~ha por ese motivo. Además, como la redistribución se usa generalmente para igualar las capaCidades, en este caso no suele adoptarse ninguna, y la flecha también aumenta del lado de u ' • • O

Como se ha indicado anterionnente, en vigas, la tensión nominal de acero, con AEH500, suele ser, en tramos apoyados del orden de 2,5 t/cm', contando s610 con el margen del sobredimensionado l1abitual. En tramos extremos e interiores, en los que incide también la redisnbución, dicho valor se sitúa más bien en 2,2 t/cm' y en 2,0 t/cm'. Los tramos aislados de vigas son raros; lo usual es que todas ellas tengan algún momento en los extremos. Sin embargo ~ sí es plausible un paño de forjado aislado. Pero en forjado se acepta una redistribución mayor, lo que puede llevar a valores Uo de 2,1 l/cm' en tramos extremos y 1,9 Vcm' en interiores. La [25] puede dar la impresión de que la flecha es exactamente proporcional a la sección de acero; no es así. El último factor también depende de 0'0 lo que sugiere multipliéar ambos coeficientes. por ejemplo para tramo apoyado, con 0'0 =2,5 Vcm', o sea ~o = 1,21~ Y ancho b = 2,5'q, resulta lJ = 1,3. El producto de O,139xl,21%o/ l,3 es 0,13%0. Como el valor de lJ se ha ajustado a 2,5%0 de flecha total, se verifica que 2,5%0 = O,13%o'l)hat de donde se deduce que la esbeltez a la que se produce una flecha total de 2,5%0 es 2,5/0,13 o sea 20. Dividiendo la (24) por esta expresión quedaría: [ 26) que es la comprobación de flecha en ténninos de esbeltez. Si se supone 'Poc' = 1 Y la flecha tolerable debe limitarse al 2,5%0 de L, bastará comprobar que la esbeltez es inrerior a la crítica de la tabla 6; en la medida en que 'P'CI sea diferente de la unidad, o la flecha tolerable sea diferente de 2,5%0 de L, la esbeltez deberá ser mayor o menor que ese valor. Para un tanteo inicial, un vistazo a la tabla 6 puede indicar rápidamente cuáles son las piezas críticas a flecha.

En es~e caso se arran~ de un valor de (16) de ólot =O,084'M 'L'/Elprm lo que indica que su expresión de flecha sera como la de la viga empotrada apoyada, pero con las cautelas deri.vadas de la redistribución. Si no se redistribuye, confiando sólo en el sobredimensionado habitual por redondeo, la tensión Uo Será 2,5 Vcm' y por tanto la flecha será de todas maneras un 14% mayor que la de la pieza empotrada apoyada a igualdad de esbeltez. • La .citada es la peor combinación de desigualdad de luces consecutivas; si las luces son mas pareCidas, el momento negativo es mayor por igualdad de ambos' si son más diferentes tamb.ién por mayor rigidez de la corta. Pero, en cualquier caso, no debe desestimarse la inci": dencla de la falta de regularidad de luces, que con esta perspectiva, es siempre recomendable.

El lector sabrá establecer por ~u cuenta las variantes de la fonnulación que necesite para estos y otros casos. llegando a conclusiones de esbeltez crítica siempre algo inferiores a las de la tabla 6.

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FigurII 16. Tramos atípicos coa momento ea los extremO!

flecha en honnigón

1111111110

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lit. 1'1011 " I

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~h '111

flecha en honnigón

es1ruclUras dos

4.9.2 La clase de hormigón 4.9 Cómo controlar la Oecha en una planta

En una estructura completa se debe tomar una única decisión para el tipo de acero, clase de hormigón, y, con vigas de descuelgue, probablemente para su ancho. En el caso de un forjado plano incluso debe adoptarse un sólo canto para todas las piezas, vigas y viguetas. En este contexto, cada variable adquiere un significado nuevo.

4.9.1 El canto en forjados planos

En el caso de una planta solucionada con un forjado plano, se debe decidir un único canto para todas las vigas y viguetas. En diseños con luces muy regulares, es posible que un sólo valor sólo puede ser el óptimo para todas; pero, aun con luces iguales, a estos efectos son diferentes los tramos extremos y los interiores. Si los soportes son de hormigón, los tramos extremos de las vigas pueden comportarse en buena medida como interiores; no así los de viguetas, con momento prácticamente nulo en los bordes. Incluso las partes que soportan muros rígidos deben tener flecha inferior y demandan por sí otro canto óptimo. De forma que, en general, en una planta de forjado plano, es preciso pactar un sólo valor de canto entre los que demandan cada tramo o pieza. Elegir el mayor de todos ellos, el canto estricto para la pieza peor, de manera que en todas las demás sobre, no es lo más acertado; muchas de ellas tendrán mucha menos flecha de lo estrictamente tolerable, yeso las aleja de su dimensionado óptimo. Si se elije uno intermedio., "unas piezas tendrán menos canto del óptimo y otras más, y todas ellas tendrán algún sobrecoste. 1/ Una planta irregular es sistemáticamente más costosa que cuando todas las luces son iguales a I.a media. ; Debido a que las piezas con canto menor de su estricto poseen un sobrecoste mucho mayor que las que lo poseen excesivo, el promedio estará mucho más cerca del de la pieza peor. Pero es preciso recordar que si el canto es mucho menor del estricto, es casi imposible corregir fi la flecha. Si en la planta hay luces muy dispares, la solución plana entra en cr"isis. Si en la planta hay alguna pieza de luz anómalamente elevada, no hay que rechazar la idea de dotarla localmente de canto adicional; en otro caso todo el resto de la planta quedará ampliamente sobredimensionada. El canto óptimo para una planta de luces o condiciones de apoyo poco dispares es pues el estricto por flecha para la luz predominante, y si hay piezas en condiciones bastante dispares, hay que elegirlo de manera que queden muy pocas con canto inferior al estricto. La flecha debe pues controlarse al máximo con el canto, dejando el resto de las variables sólo para un ajuste fino local. Ese es el drama de la flecha en vigas planas; no es posible superar mucho en ninguna I¡¡ pieza la esbeltez crítica, y no es deseable que en las demás sea mucho menor. Si las luces son muy diferentes, es imposible conseguir ambas cosas al tiempo. La regularidad de luces es por tanto una variable esencial. En cualquier caso, con una viga plana o paño de forjado, hay que intentar acercarse lo más posible a su esbeltez crítica, y además garantizar que no haya daños por flécha excesiva. Es literalmente imposible ser al mismo tiempo conservador y arriesgado. En ,resistencia, el coeficiente de seguridad está bien establecido y el cálculo de armadura estricta limpiamente formulado. En flecha fallan ambas cosas.

De acuer?o con los apartados precedentes, en plantas ordinarias no interesará una clase elevada de horrmgón. Sólo en caso de luces muy regulares se puede rentabilizar un hormigón de clase H200 o supenor. En caso de luces muy irregulares, la decisión del hormigón de clase e1evad~, --<Jue será única para todas las piezas de la planta-. resu ltará un despilfarro en la 1,/ mayona de ella~, que, con cualquier otro hormi.gón, tendrían fkcha tolerable. Si la flecha necesita correcciones locales, no debe hacerse mejorando el hormIgón en las que no lo exijen. Aun en el caso de trama regular, es preciso pensárselo dos veces antes de adoptar una clase elevada para el hormigón a flexión. Como es sabido, aun una amplia variación de esa vanabl~, r~percute sólo levemente en el brazo de palanca efectivo de la sección, y por tanto apenas inCide en la armadura necesaria por resistencia. La rigidez fisurada depende muy fuertemente de .Ia. armadura y el c::anto, y poco de la clase de hormigón, y en los cantos críticos por ,/f flecha la ngldez de la sección total apenas cuenta. La conclusión es que la inversión en hormigón puede ser poco rentabk. En edificación, en la que abundan, por motivos obvios, los tramos en continuidad la mejora de hormigón repercute en flecha incluso menos que su módulo de elasticidad. E~ el ejemplo de siempre, se puede reducir casi un 10% de flecha con una armadura inferior adicional de ~16 de 4 m de longitud, que sólo cuesta unas 800 Pta. Conseguir esa misma reducción a base de. hormigón, puede significar pasar de H200 a H250, lo que, sólo en el paño de fOljado tributario de esa viga puede significar a entre 1500 Pta y 2000 Pta, y contando con que deberá i' verterse en t~ la planta, muchísimo más. La decisión más sensata será pues la clase más baja ~ que ~ posible, por ejemplo H175, y corregir la flecha en los pocos puntos en que sea necesano, con las variables específicas de esa pieza: ancho y armadura.

4.9.3 El ancho de las vigas Si la clase de hormigón no es muy eficaz para corregir la flecha, otro tanto sucede con el ancho de las vigas. Sin embargo esta variable es local, permitiendo una mayor rentabilidad de los retoques que se hagan con ella. En vigas planas es relativamente sencillo cambiar el ancho de unas vigas a otras, sin demasiadas complicaciones constructivas4o• En tramos continuos, la flecha crítica se produce al final de la fase de transición, en ¡ donde man~a la ri~idez fisurada. E!l esas condiciones los cambios de clase de hormigón, el an/ cho de la Viga, e mcluso la fluencla, poco pueden alterar la flecha. En este tipo de tramos no es nunca rentable intentar corregir la flecha a base de ancho. Por el contrario, en tramos aislados! ~imilables l\ doblemente apoyados, la flecha crítica se produce en medio de la fase de .I.1íranslcl~lI! en donde todavía influye sensiblemente la rigidez de la sección total, o el módulo de elashcldad del hormigón. Una vez decidida la clase de hormigón para toda la planta, puede /.ser muy adecuado cargar la mano en el ancho de los tramos apoyados. Si la tónica general es # del orden de b =2'q, -1:on b en cm y q en kp/cm-, en los tramos apoyados se puede llegar rentableme~te a.b = 2,S·q. Por el contrario, si el esfuerzo cortante no queda comprometido, en htos tramos mtenores se puede ahorrar algo reduciendo a b = l,6'q ya que eso apenas influirá en la flecha, y en el caso en que sea preciso corregirla, ese ahorro se podrá reinvertir en armadura con mucha mayor eficacia.

• 40 Es preciso record:" que el ancho de la viga no implica el de los esrrihos, de manera que un sólo ancho de esIOS. puede resolver vanos anchos de vigas, aunque sea en un inlervalo acolado. Como de ordinario el ancho de las VIl!as debe aJusla= al de un número enlero de bovedillas enlre ellas, la regla de! leXlo, aplicada a vig. s. se rraduclfi slmplemenle en redondear a la baja el ancho en Iramos inleriores y al atza en tos más ",lIccid"s a doblem~nle apoyad~s. En la figura I a~rece inc.luso cómo se puede variar e! ancho delllro de llll' ml.. " o '¡¡¡II plana SID cambiar DI el de los eslnbos DI la longllud de las vlguelas de! pailO.

~ .¡

eslfueluras dos

flecha en honnigón

En edificación de pisos apenas hay vigas asimilables a doblemente apoyadas, salvo en el caso de tramos aislados con soportes metálicos esbeltos. Los paños aislados de viguetas lo son siempre. Por eso resulta recomendable plantear desde el principio tales paños, -mientras no sean de luces inferiores a la media-, con vigueta doble. Un nervio de vigueta doble posee de ordinario una carga total entre 0,5 l/m y 0,7 l/m y un ancho entre 15 cm y 25 cm: en efecto en la banda de b =2,5·q. Esos son los valores que se han manejado como típicos en anteriores apartados.

,f/

4.9.4 La armadun Lo que no se puede hacer con el canto, y, en el caso de piezas apoyadas, con el ancho de la viga, debe hacerse a base de armadura. Si el canto se ha elegido correctamente, sólo será preciso corregir la flecha en un número reducido de piezas, con poca repercusión en el conjunto de la planta. Salvo en voladizos, -donde lógicamente deberá actuarse en la armadura superior-, en ,/ general será suficiente con sobrearmar el vano. La zona de momentos negativos bastará armarla // estrictamente por resistencia. Es más, lo primero de todo, en las piezas con flecha crítica, será ' agotar al máximo las posibilidades de redistribución, quitando de los extremos la armadura que ,(/ se añada en el vano, disponiendo en el conjunto de la viga la misma cantidad total de armadura, /1 pero asignando una fracción mayor en el vano, donde es más eficaz a flecha . Una vez agotadas !'~ las posibilidades de redistribución, la reducción de flecha debe hacerse por aumento de armadura en vano sin compensación posible con la de los extremos· 1.

4.9.5 Eficacia de cada variable De acuerdo con anteriores apartados, la variación de un 10% del ancho de una viga puede redundar en una rebaja de flecha desde el 9% en tramos apoyados, hasta un 4% en continuos interiores. El aumento de clase H200 a H250 puede rebajar la flecha desde un 12% en tramos apoyados hasta un 6% en los continuos. La adición de armadura consiglle rebajar la flecha casi en su misma proporción, aunque algo mejor en Iramos continuos que e~ apoyados.

Pero el coste de cada uno de estos cambios no es igual, y de ahí la disparidad de cada una de· las opciones. Considérese que el hormigón H175 cuesta del orden de 10.000 Pla/m 3, que el cambio de clase de H200 a H250 cuesta 500 Pla/m3 más, y que el acero cuesta 125 Pla/kg. Para el ejemplo de siempre: añadir una armadura de +16 de 4 m de longitud supone 6,2 kg de acero y por tanto unas 770 Pla. Si, en un tramo continuo, se consigue reducir la flecha en un 9%, el 10% costaría 860. Pla; en tramo apoyado, en el que esa armadura sólo conseguiría reducir la flecha en un 7% el cl?sto de hacerlo en un 10% sería de 1.100 Pla. Si se aumenta el ancho de viga en un 10%, en el total de la viga se incrementa O,06xO,25x6,OO = 0,09 m 3 de hormigón, lo que significa 900 Pla, sin contar con el encofrado. En tramo apoyado, en donde se reduce el 9% de flecha, llegar al 10% costaría 1.000 Pla, mientras que en el interior, en el que sólo se reduce un 4% costaría 2.250 Pla.

Si se cambia el hormigón de H200 a H250, como la parte tributaria de la viga puede ser de 5x6 m 2 y el forjado con vigas supone entre 100 11m2 y 133 I/m2 , el costo de la solución se incrementaría del orden de 1.750 Pla. Mientras en tramo apoyado eso significaría un 12% de reducción, y por tanto con un sobr!:coste de sólo 1.500 Pla cada 10% menos de flecha, en el apoyado, en el que ese cambio sólo' supondría un 6% menos de flecha, llegar al 10% costaría hasta casi 3.000 Pla. El análisis de estos datos, que se reflejen en el cuadro 7, indica que, en tramos apoyados, Se consigue incluso un poco más de reducción de flecha a base de ancho de viga, que con acero de armadura inferior, aunque la conclusión puede invertirse con facilidad. Conseguir la misma reducción a base de aumentar la clase de hormigón cuesta nítidamente como vez y media más. Es por eso que en el dimensionado de las vigas planas de tramo aislado o en fOljados apoyados es conveniente forzar el ancho, ' resolviendo de paso el cortante sin demasiado estribado, pero posiblemente sin cejar en el aumento de armadura inferior.

En tramos continuos, incrementar en acero es claramente más rentable que hacerlo en , ancho, y por supuesto mucho ~ás: que en clase de hormigón42 . Sobre todo en tramos interiores, hay que desechar la solución de paliar la flecha con hormigón: cuesta entre tres y cuatro veces más que conseguirlo con· acero.

Cuadro 7. Ejemplo de eficacia para corregir la flecha Reducdón de necha

"" -

Costo para una reducción de necha del 10% (Pta)

Costo (Pta)

cambio de 1,1 ·A o

b-l,l·b

H200 ... H250 Tramo

770

1.100

1.000

860

900

1.000

1.600

2.250

1.750

12%

1.500

2.200

2.900

Apoyado

Extremo

Apoyado

Exbomo Inlerlor

Inlefkw

41 Si la zona anómala repercute muy poco en ta planta, es recomendable aumenlar simutláneamenle, y en ~a misma proporción, ta armadura en todos tos p<mlos. NÓlese que el que la lIecha dependa casi sólo del vano. no deja de ser una simplificación bieninlencionada del código español, que probablemenle form ula el problema en lénninos de los crilerios de armado convencionales, sin sospechar que luego se puede ut il izar esa información para operar de manera comple!amenle inusual. El mélodo leórícamenle más indísculible, de ínlegración d~ curvalura variable, no conduce I reducir !lCnsiblcmcmle la "echa &1 la .m, ..t'ur_ ••tl l) 1&(1 l'Mmes C)II un P-""10 "'0 (I".'~ do oll'u ,

eslrucluras dos

42 Aqul se consideran sólo las variables mecánicas del honnigón. Es muy posible que, por compacidad, y por durabilidad, sea recomendable acudir a una clase superior a ta deseable por resisleneia, que quedar' holgada. En ese caso será necesario conslalar la resísleneia correspondienle a esa clase sóto como indícadora <le la cuatidad asociada y no para evítar que quede comprometida la capacidad portanle de la eslructura. Conviene adver1ír que la durabilídad puede mejorarse con olras medidas, y no sólo a base aumentar la resísleneia. Lo ideal seria conseguir hormigones de más durabilidad sin necesidad de que aumenlaran at mismo liempo su resísleneia, cualidad que, en general, no es crucial en piezas a flexión.

flecha en honn igón

eslrucluras dos

flecha en honnigón

entre las largas y las cortas. Y lo mismo sucede al quebrar una viga en planta. Si no se desea l/una deformación aparatosa, incontrolada y brusca, el punto de quiebro debe buscar un punto de 1/ momento nulo, como indica la fi gura 18; nunca debe quebrarse una viga justo al pasar por un soporte. No debe interrumpirse la viga en un pilar interior; si es posible debe prolongarse hasta acabar en un punto de momento nulo.

S EPÍLOGO La conclusión de lo que antecede es simple: la flecha es cuestión de esbeltez, y casi sólo se puede arreglar a base de canto, aunque, en forjados planos, debe buscarse el mínimo que la hace tolerable. Si se adopta uno para toda la planta, el ajuste fino de las piezas que resulten con canto inadecuado, se puede hacer con armadura adicional, y en caso de tramos apoyados, también con incremento de ancho.

Pero esa es sólo la conclusión sobre el método de eval uar la flecha marcado por EH- 9I, respecto al que hay todavía poca experiencia. La flecha, o mejor dicho, los efectos de la deformabilidad de una planta de piso pueden exigir una discusión independiente . Se desea un control de la flecha para evitar excesiva diferencia de descenso de unos puntos a otros. Una elevada flecha, o mejor, una elevada relación de flecha a luz, patentiza una deformación brusca. El control de flecha intenta pues minimizar o suavizar en lo posible las deformaciones de la planta, es decir, evitar brusquedad en los descensos. La flecha considerada en anteriores apartados sólo se ocupa del descenso dentro de un tramo de viga. La planta depende prioritariamente del descenso entre piezas.

11' 1 1 1~ 1\

III ,

Por ejemplo, la flecha en un tramo aislado trata de evitar las distorsiones angulares ocasionadas por la deformación; si se disponen dos tramos aislados sucesivos, es claro que el ¡jI tabique que atraviesa sobre el apoyo común está sometido a una distorsión doble, y que, para Iff limitar los daños, debería limitarse la flecha de cada tramo a la mitad de lo habitual. Desde esta óptica, la continuidad es esencial; la continuidad es suavidad. Posiblemente, a igualdad de flecha y luz, no sea lo mismo la agresión sobre los tabiques de' la deformada de un tramo aislado que la de uno continuo, con doble incurvación, véase la viga larga de la figura 17.

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Recomendable

III

Figura IS. Quiebro e. vieas

1(;

Cualquier hipótesis de cálculo de forjado debe operar por paños43 • Debido a la continuidad de la capa superior, y alinonolitismo del conjunto, debe rechazarse la hipótesis de calcular cada tren de viguetas por separado, como si cada vigueta dependiera totalmente de lo que sucede dos o tres tramos más allá en su propia dirección y nado de lo q ue le pase a la adyacente. No es cierto. Un extremo d~ vigueta es insensible a lo que pase en su otro extremo, si las de al lado están en situación de compensarlo. Cada vigueta emborrona su carga y sustentación con las adyacentes; el régimen de la solicitación de cada una se reparte entre dos o tres más a cada lado, de manera que los cambios son siempre suaves; un paño de forjado amortigua y borra una onda de men~ de cuatro o cinco viguetas. Las solicitaciones asignables a una vigueta dependen del pact9 con las próximas. Si las vigas son planas y muy deformables, la hipótesis de carga constante es sólo una En rigor, la condición de apoyo de cada vigueta es diferente del que tienen las que estan a su lado, de manera que las solicitaciones de cada una respondeq a un patrón ligeramente cambiante. Adoptar carga uniforme ya es suponer que cada una funciona como la media de todas las de un paño. No tiene sentido concluir luego que las 'solicitaciones son nítidamente diferentes de una a la adyacente porque, dos o tres tramos más allá, Cambia la composición de luces.

f conjetura en agotamiento, pero no re$ponde a la situación de servicio.

1:.. Recomendable

Rechazable

F"lIun 17. DiscoJltilluidad nagn.te

No se insistirá lo suficiente en que lo que se pretende con el control de la flecha es garantizar que haya suficiente continuidad. La planta de la figura 17 es eno~emente .ilustrativa de ello. La flecha de las viguetas largas no debe contrastarse con su propIa luz smo con la ;; distancia al soporte que está más próximo. La que pasa al lado del pilar central se encuen~ra en situación tremendamente crítica; cualquier flecha puede ser muy mal tolerada por los tabIques. No es cuestión del cálculo de la flecha; es de diseño de la planta; resuélvanse bien primero los aspectos cualitativos, y luego, abórdense si es preciso los cuantitativos. Vano será hacer cálculos sobre supuestos inadecuados. En este caso no es que el diseño propenda a una flecha poco tolerable; más bien es el diseño mismo el que es intolerable.

1/1

En el caso de la figura 17, lo que debe hacerse es difuminar la viga intermedia Pf!>longándola en el forjado, y calculando y armando las dos o tres viguetas de esa zona a medIas 52

En servicio, las cargas se emborronan en cada dos o tres metros. Para suavizar el comportamiento del forjado, es preferible no cambiar la armadura de unas viguetas a otras. Ya que las solicitaciones del cálculo de cada una por separado no son realistas, conviene no estropearlo más, dotándolas de una capacidad resistente que cambia caóticamente. En forjados no tiene sentido un cálculo de solicitaciones que no mezcle el de cada tres o cuatro viguetas. Si se parte de cálculos de cada tren por separado, las solicitaciones de cada vigueta serían algo así como el 50% de las suyas más el 15% de las adyacentes, el 7% de las sucesivas, y el 3% de las situadas detrás de esas. Sin esa corrección, habrá una deformación brusca, que es lo que se pretende impedir. Posiblement~ sea una perversión producida por el ordenador, ya que el programa que mejor se ajusta a un forjado, y el que recomiendan los códigos, es el de asimilación a una viga continua; pero si, como viga continua, hay muchas juntas y algo d iferentes, la solución no es calcularlas todas. Es erróneo. Debe utilizarse un programa de vigas continuas, pero con objeto

43 Además es lo que manda el código. la inslrucción EF- 88, suponiendo que lodas las viguel" de un P'" n. de isual luz, se eligen iguales, indica además que la annadura negaliva .\ebe calcularse única para cad. pa o.

eslrucluras

dos

Oecha en honnigón

de averiguar cuál sería la necesidad resistente con una regla como la del párrafo anterior. Las ,/ viguetas no necesitan estar en prolongación y no hay que aferralSe al cálculo de cada tren, sino ¡, de una vigueta estadística, representativa de un paño. En la figura 19 aparece un caso típiéo, procedente de cálculos que se adjuntaron en una obra real, con el sistema aberrante descrito. El paño es todo él de la misma luz y carga, apoyado en el lado izquierdo y continuo en su borde derecho, con luz mayor que el siguiente. En la planta sótano, viñeta de la izquierda, aparece resuelto como 7 tipos diferentes de nervios. La lista de armaduras en cada extremo, y el momento para elegir posteriormente la vigueta, aparece I entre. ambas viñetas.

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Armado Izquierdo

8 9 10 -11&-'------11:11-- 11 14 15 16 17

,.{ fI-- - - - - 1

Momento de vano m'kp/m 2'12 ,.12 2'12 2'10 2.,2 2<1>12 2<1>12

(1.78) (0,79) (1,45) (2,1 8) (2, 11) (2,48) (1 ,95)

+ 2+10 (o.72

1.1 0 ,.,0 ,.,0 1<1>10 ,.,0 1+10 1<1>10 1+12

2.12 2.,2 2<1>12 2.1 2 2+12 2+12 2<1>12 2+12

(1,93) (1,93) (1,92) (1,91) (2,65) (2,17) (2.!16) (1 ,69)

+ 2.10 (0,76) + 2.10 (0,75)

3.607 3.611 3.614 3.618 3.545 3.545 3 .545 3.646

!;U

---_

I.,{--. - --1

'.12 (0,74) 3.650 ,.12 (0,79) 5.1 13 ",0 (0,71 ) 3 .545 1~ (0,66) 2.3n ,.,0 (0,73) 3.552 " ' 0 (0,71 ) 3 .545 14>10 (0,74) 3.611 (0,74) (0,74) (0,74) (0,74) (0,69) (0,72) (0,68) (0,74)

...

+ 1.10 + 2+10 + ,.16 + 2<1>10

: . (0,87)" '- . (O.82),.{ 1.Io-- --------l (1,01) _ (0,76) '------ - -

:=-;-

+ 2.12 + 2+10 + 1.10 + 2.10

(1.17) (0,84) (0.56) (0,72)

1 - - - - - - 1 1---

f -- - - - - - t ' f - -

j------I f--

Sencillamente demencial. Es absolutamente seguro que las 25 viguetas pueden ser todas ¡,iguales, tanto en momento inferior como en armados superiores, y tanto en diámetro como en ?" longitud. Más aún, deben ser iguales. Que, para un mismo borde, el secundario, \In apoyo simple, existan armaduras de tres diámetros y seis longitudes diferentes -entre 0,66 m y 0,79 rn-, en situación indistinguible, convierte la obra en una pesadilla; por otro lado no es realista prescribir armaduras de il,Ol! m de longitud. Tampoco es sensato precisar las longitudes en cm, ni el momento en m-kp; 1416 con canto 20 cm puede alterar la capacidad resistente en 300 m'kp/m y los salIos significativos son del orden de 700 m·kp/m. En este caso, la anomalía dc\ #2 proviene, por lo visto, de que la vigueta no continúa en el tramo siguiente, ya que desaparece, transformada en una viga. No tiene sentido. El reparto de las viguetas es casual, y no puede determinarse en proyecto su posición exacta con ese despropósito. Pero es que'l además, si es continua con una viga, está tan empotrada como las demás; a esos efectos no hay diferencia entre vigueta y viga: lo único que cuenta es la continuidad. Las del #3 se suponen formando parte de un tramo que se prolonga en vuc\ó con una meseta, rematada en borde libre para cálculo, pero tan continuas, eSla vez con la losa zanca de la escalera, como las demás, y con la misma luz. La diferencia entre las #5 y #6 no se explica, toda vez que poseen, en plano y en memoria de cálculo, idéntica configuración de luces.

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Figun 19. raño con exlremo apoyado

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+ 2.10 (0,75)

+ 2.10 (0,75)·

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tienen nada que ver con los calculados. Y si lo que se pretende es definir la armadura mínima, la que menos inversión exija, tampoco se ha conseguido: la solución será estricta en cada vigueta, pero compl!~dí~ima construct~vamente. Intentar luego calcular la. flech~ de cada tren, /// a parllr de esas soliCitaCIOnes y capaCidades, es un puro dislate. Por reSistencia, a todas las viguetas se les puede dar la misma armadura, y, luego, la flecha se puede obtener, se debe o. btener, convencionalmente, para ~~na situación de referencia, por ejemplo, empotrada apoyada. Los cálculos de flecha no intent~ averiguar exactamente la que se produce; sólo aspiran a / / impedir que, en términos globales, la solución sea de las muy deformables. Pero puede ser mucho peor. Como muestra la viñeta derecha de la misma figu ra, en la siguiente planta de esc mismo edificio, el mismo paño, con idéntica luz, carga y sustentación, se calcula para otras 24 viguetas, con ¡8! variantes más, algunas para amparar cambios de longitud de i 1 cm! en una de las armáduras, 04 m'kp/m en el vano. Increíble.

Armado derecho .,,-

Nótese que, debido a que el borde izquierdo es un muro pantalla inamovible, y el

~derecho es una viga plana, con descensos diferentes en cada punto, los diagramas reales no

En la figura 20 se refleja un problema casi igual de llamativo. Un paño con todas las viguetas iguales, de la misma luz y sustentación, con la sola variación de un pequeño voladizo del sexto de la luz, se codifica con i11! variantes para no más de 23 viguetas, aunque los armados sólo poseen, en cada banda, de tres a cinco variantes. Son todavía muchas; un armado interior, dos exteriores y un tipo de vi"gueta serían más que suficientes para ello.

Roehazable •

Mejorable

Recom90deble

rlpn 21. PañOl c:onlnpeadOl

No es sensato cambiar de dirección de forjado de un paño a otro. Lá deformación en el borde común es un punto de incongruencia de deformación, que se acusará en los tabiques, de

Oecha en honnigón

deformación, que en la realidad ocasionarán que 'la carga se soporte ~o:al~~ difcre. lte, para el que 110 está prevista la estructura, y por tanlo con u

~~q~:~:a b:~

flecha en honnigón

estructuras dos

forma no controlada. En cualquier caso no debe nunca armarse como :.poyo; al menos la arma- ¿:/' dura mínima debe prolongarse siempre sobre el paño transversal . Eso es lo único que garantiza una cierta continuidad, y que sea significativo el cálculo posterior de flecha . En los casos más delicados, lo razonable, en congruencia con la solución de la figura 17, será dotar, al paño que termina, de una prolongación en voladizo, enlazado con armadura pasante con el de las viguetas transversales. Nunca es aconsejable contrapear porque sí. No mejqra la rigidez en su plano, y perjudica la flecha, al hacer inverosímil su cálculo. Menos feliz suele ser la solución de encuentro en ángulo de dos paños. Aquí tampoco es sensato suponer apoyo para ambos. Ni la continuidad real, ni la incongruencia de defor- / / mación subsiguiente, lo aconsejan. La práctica de calcularlos, armarlos y comprobarlos como // simplemente apoyados en ese punto, es perversa; deben considerarse continuos, y dotarse de armado negativo en dirección bisectriz, o en cuadrícula. Desgraciadamente la mayoría de los programas no saben tratar los paños en !ingulo, que, asimilados a piezas lineales simples. darían tÍ' lugar a incómodas torsiones, inexistentes en el forjado real. La figura 22, viñeta izquierda, corresponde a la propaganda de un programa de cálculo que dice proceder con arreglo a EF- 88, con sutilezas de alternancia de sobrecarga, pero sin calcular ni armar los forjados prolongados como se indica expresamente en dicha norma, ni partir de la situación de los soportes; la derecha ofrece un ejeinplo real de caos de brochales, en el que difícilmente el cálculo clásico de flechas puede caracterizar las propiedades de defonnabilidad de la solución.

defonnación, que en la realidad ocasionarán que la carga se soporte con un esquema bien diferente, para el que no está prevista la estructura, y por tanto con un saldo de flecha mal tolerada.

La figura 24 presenta un caso típico, que puede asimismo rastrearse en los forjados de las figuras 19 y 20. Se razona como si la luz de las viguetas que acometen al hueco se midiera hasta su borde, recogiendo la reacción un brochal --denominado poco felizmente en muchas ocasiones zuncho, ya que no zuncha nada- que las traslada a nervios paralelos al forjado en los laterales del hueco. Luego todo se arma y se calcula así, y se comprueba que la flecha es tolerable.

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F"lCun U. Paios ea '-CUlo'

El cálculo debe respetar la continuidad allí donde ésta exista. Los bordes del forjado son /,/ puntos sin momento, y como tal se suponen apoyo simple:; pero las acometidas a rampas y es/ caleras son puntos de continuidad, y como tales bao de plantearse, calcularse y armarse. Adoptar en esos puntos un apoyo y luego armarlos así, es provocar discontinuidad a la deformación. En estos casos, un apoyo no es una opción del lado de la seguridad; desde el punto de vista de la deformabilidad, es ir en contra de ella. En los forjados de las figuras 19,20 Y 22, los calculistas han supuesto, en las acometidas de forjado a zanca de: escale:ra, con borde libre, apoyo :o voladizo, aunque luego el redactor de los de:talles suministra continuidad total, lo que, paradójicamente, y teniendo en cuenta e:l plegamiento de la losa de: escalera, suministra una rigidez que ya querrían tener los de:más apoyos. .. Especial mención debe hacerse de las solucione:s en torno a los huecos de escaleras o ascensores, cuando no hay soportes en todas sus esquinas. Con demasiada frecuencia, como en / / los de la figura 22, se acude en este: caso a brochales, que, mágicamente, se supone que se comportan como se desea, sin notar que eso conduce a gravísimas incoherencias de defor-

'·I'-------'= -------------------,~·I __ ,__:_ Indeseable •

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Flllun Z4. Brochala 1 hUKOI ... Además es lo que dice el ~ódi8(1 EF-88

esl,ucluras dos

flecha en honnigón

Pero sólo la flecha de ese irreal esquema. Como se ha indicado, las viguetas sienten la continuidad con la losa de la escalera, y descansan definitivamente en los soportes de ésta, a través de la viga a media planta dispuesta en la meseta. Los momentos flectores de estas viguetas dependen de la luz total, entre soportes, y si no tienen armadura para ello, flectarán más y deformarán mucho más de lo supuesto. No pueden descansar sobre el brochal, ya que éste deforma como ellas y con ellas. El brochal no llegará a trabajar. Auo si se tratara de un verdadero hueco, y se pensara que el brochal recoge la carga de las viguetas deficitarias, debería prolongarse a momento negativo en al menos dos viguetas a cada lado, si no se quiere agredir a los tabiques con la deformación diferencial de ambos esquemas. Si se desea ser riguroso, las viguetas que acometen al brochal no apoyan en él por igual. Debido a que el propio brochal debiera deformar si tiene carga, las próximas a la esquina casi no descienden, y las del centro pueden quedar en voladizo, entregando su carga hacia atrás. Pero aun las de la esquina no están simplemente apoyadas; debido a que el brochal d~sciende en su extremo lo mismo que la vigueta adyacente enteriza, la primera vigueta del hueco deforma como la enteriza, y por tanto debe poseer las mismas solicitaciones que ella; si se arma como se ha indicado más arriba, en el conjunto hay unos cambios bruscos de deformación que los cálculos de flecha !lO consiguen controlar. Toda esta discusión es absurda. Si se desea averiguar la capacidad resistente necesaria para las viguetas, basta un esquema de líneas de rotura que permita obtener un mismo valor para todas las que plazca. Si se quiere ser minucioso, dése a cada vigueta una armadura diferente. Pero nunca debe armarse a saltos. Al menos para las proporciones de la figura 24, las viguetas . no sienten el hueco desde su otro extremo; todas, tanto si acaban en el hueco, como si no, debido al monolitismo de la capa superior, emborrachan sus solicitaciones puede que de cinco en cinco viguetas, por lo que toda~ acabarán con parecido momento negativo y es razonable armarlas igual. Si se quiere, obténgase la capacidad total necesaria y distribúyase con una ley suavemente cambiante. Pero nunca, nunca, la armadura de una vigueta debe ser muy diferente de la de la adyacente. Por supuesto, en ese mismo ejemplo, armar el tramo sucesivo de forma diferente en las viguetas cuya prolongación pasa por el hueco y las que no, como. se indica en la primera viñeta, es una profunda aberración: en el siguiente tramo es ya absolutamente seguro .;,f que todas son exactamente iguales. La continuidad es esencial. Las viguetas no pueden notar desde un extremo lo que, visto desde allí, tiene poca amplitud. Las viguetas tienen muy poca agudeza visual. . .

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F¡&un 25. Luces de Recita

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¿luz del lafjado? -

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Cuando, sea como sea el cálculo, se deduzca que la dotación resistente de viguetas muy di próximas es muy diferente, puede concluirse que algo va a ir malo está mal. Cuando una viga ,/f tenga que armarse muy diferente de las viguetas que discurren paralelas a ella, algo va a ir mal, o está mal. Si en algo paralelo a las viguetas hay solicitaciones, no se trata de una viga; quizá sea una vigueta especial, o dos, o dos macizadas. Cuando la armadura se doble por canto en un punto que no es borde, algo está mal. Cuando una viga o vigueta acomete a una pieza transver- ;;. sal, eso no es un apoyo, a menos que haya un soporte: la luz de flexión, y la luz para flecha, '/ se miden de apoyo a apoyo. Si una viga acomete a un brochal, la luz no se mide a ese punto sino al que efectivamente esté soportado por un pilar,o a uno virtual que reproduzca el asce?so hasta cedimiento nulo. Los cálculos usuales de flecha no pueden dar cuenta de estas anomahas.

La práctica de descomponer la planta en islas o parcelas, rode'adas por todos lados de unos a modo de encintados - vigas, zunchos y brochales, pero siempre planos, del mismo canto que el de la zona forjada-, como en la figura 22, para luego calcular las cintas a partir de las .reacciones del forjado, y éste completamente aparte, como si estuviese apoyado en todas esas ;f cintas, sin depender de dónde están realmente los soportes, es una perversión. Véase si no el paradigmático caso de la figura 26, viñeta izquierda, que no necesita comentarios. Por compatibilidad de deformaciones, la luz de todas las viguetas es, se mire por donde se mire, l /necesariamente igual a la distancia entre soportes. Si las viguetas no son continuas a momentos positivos bajo los brochalcs intermedios, es posible que la resistencia no se resienta, pero la flecha será incontrolable. No piense el lector que esa solución es tan rara; abunda, por ejemplo en escaleras; véase la viñeta central de la misma figura; la losa zanca de la escalera no apoya en el sediciente zuncho con que enlaza a la planta, ni hace falta ningún nervio de borde fl adicional a la zanca: la luz de flexión, - por tanto para flecha-, debe medirse siempre hasta los soportes. La viñeta derecha sí es coherente.

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. . t..~~ Rechazable •

Absurda •

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Recomendable

16. Brochales i..casariCJII

y por último, pero no menos importante, en muchos casos los problemas de flecha no IIson de cedimiento del forjado, sino de que los tabiques que parcialmente lo suplantan no llegan '/ a cimentación. Vano es, entonces, 'plcular la flecha. En este problema lo que está implicado son arcos de descarga, con la luz entre soportes y con canto igual a la altura entre plantas. Si los arcos no se interpcnetran, cada planta, más O menos, hace frente a su carga, y vale comprobar la flecha de modo convencional. Si los arcos se apilan unos dentro de otros, se produce acumulación de carga de unas plantas a otras, en un fenómeno todavía no formulado ni cuantificado, pero que puede hacer gravitar sobre la inferior una carga dos o tres veces la supuesta; en ese caso no es que su flecha rompa los tabiques, sino que hasta que no los rompe no para de ceder, ni se quita de encima los que se han montado sobré ella. En ese caso los tabiques no rompen porque la viga tenga demasiada flecha, ni siquiera por demasiada carga; se rompen para que la viga se descargue. En resumen, la flecha no eS cuestión de cálculo. La estructura es razonable si el diseño es acertado; si no lo es, no importa lo que diga el cálculo: algo irá mal. No hay que calcular expresamente las flechas. Es imposible que haya flechas alarmantes con esbelteces no críticas. Si la pieza tiene una esbeltez dentro de margen, y posee armadura suficiente, no hay que comprobar nada; con esas condiciones la flecha está obligada; no hay que calcularla para que salga lo que tiene que salir con esas premisas4s • Si, una pieza es segura y tiene esbeltez normal, y, calculando la flecha, ésta sale excesiva, la viga no está mal; apueste a que lo que está mal es el cálculo de la flecha.

o DeMlguel,

1994

45 Esle autor se ha enconlrado, en ocasiones, con infonnes, supueslamenle redactados por expertos, en los que, después de conslalar que hay resistencia suficienle y de anolar la esbetlez como nonnat, se calcula la flecha de lodas tas vigas, por s i acaso. Por si acaso ¿qué?

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Sp,. cslructuras

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dos

2.3 ClIlculo minucioso por etapas

1. COMPROBACtÓN DE FLECHA

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' 'MI"" '" u In.. 'Iti , IIr-,1h. ti CSlfuCIUr:,s dos

Tabla 7,. SINOPSIS DE FLECHA según EH-91

Tabla 7, SInopsl. do fteCha, según EH-91. (continuación,

1. COMPROBACiÓN DE FLECHA

6 11d

6""

2.3 C61culo mInucIoso por etapas Flecha acumulada lsoI < t.., Flecha activa t.., < 1...

la necha activa, función de carga. luz y material, según 2 la necha tolerada por los tabiquos, de valor 2,5%0 o más exactamente:

siendo

Ladrillo ordinario

Tabiquos L (metros) 6"" (%. de L)

2,5 2,3 2,1 2,0

Bloquos de gran formato 567 8 2.0 1,8 1,7 1,6

necha para la carga que incluye el escalón de q" según 3 incremento do nacha a! aparocor la carga 'It' por diferencias entre los 6, k¡ I (1 • 5O·A',1 b'(h-r)) constante funooo do la edad en meses: k, = 1,30 ~ = 1,15 .., = 1,00 "" = 0,80 k'2 = 0,60 A'. sección do armadura comprimida recubrimiento a! oje del armado Iraccionado, do ordinario enlre 3 y 3,5 cm r

siendo

la 01 = k¡

la luz; para vigas la nola antre caras de soportes, para lorjados la luz antre caras de soporte extramo y mitad do semiancho do vigas planas interiores. NOTA: si no hay tabiquos ni encima ni debajo, debo cumplirse: 6ac;m '" 4%.·L

en pielas continuas en un extremo '" = O.65·k¡.nog .O.15·k¡.po, y. en los dos k¡ = O,70·k¡. . .. 0,30·k¡.po. SI en ambos extremos es"1if8fente, so tomará la semisuma de ambas;

NOTA: 2. FLECHA ACTlV A

en vigas planas kc - 1,.05

2.1. CAlculo directo

3 . DEFORMACiÓN DE FLEXiÓN

6.JL

"'oc< . "'. aJE.'

LJh • ElftJEI....

"'lid

siendo

NOTA:

En general Viga apoyada MoL' 19,6·Elpnn

el valor do 2.2; para primeros tanteos Igual a 1,00 Según la sustentación, "'. = 0,139 "'. = 0,109 "', = 0.092 denotando con 01 subfndice • un tramo apoyado e un tramo continuo en un extremo I un tramo interior, continuo en ambos = M IO,8·A..h sle;;J',; Mo 01 momento máximo en 01 vano; para carga uniforme Mo.• = O,125'qL' Mo.• = O,070'qL' Mo.. =O,042'qLZ A.. la sección de armadura en centro do vano con acero AEH500, puede tornarse, en l/erró', según la sustentación en trar:nos de viga: ao.• = 2,5 ao.• = 2,2 GoJ = 2,0 en panos do forjado: a... = 2,5 ao.o = 2,1 GoJ = 1,9 la rigidez fisurada dol vano a un ano, según 4 la rigidez equivalente Elaq dol vano a un año, según 4

6 =

Carga uniforme Viga apoyada 6 = O,l04·M..L'/Elpnn Mo = I\'L'/8

"'oc< ' "' . aJE.' para

Viga doblemente empolrada 6 = O,063·M ·L'/EI.... Y o = I\'L'124 El.... = O,7D-El_ .0,3D-Elaqnog

momento máximo en vano, elástico, sin redistribuir momento máximo en un extremo do la luz, Igual, véase 1 momento máxImo en 01 otro extremo do la luz rigidez ·equivalente do la sección de momento máximo positivo, según 4 rigidez ilquivalente do la sección do momento máximo negativo, según 4 si las dp los extremos son dilerentes, se tomará la semisuma do rupbas

siendo

LJh 1'1

LIh. s 20 LIh. s 20 LIh. s 23

en tramos do viga en paños do forjado en losas sobre vigas do canto

Elaq

LIh, '" 28 LIh, '" 30 LIh¡ s 40

El.. • (M.JMIId" ·

siendo

El.,. El..

1.. 1.. -

• CJ'acm'6lo1

1" nocho - lnstantMoa- do la carga tola! con valores a un año, ~n 3

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D,8·E~·A.·h'

= b'h3112 + b-h'(h/2-yl' + .·c3112 • •·c·(h-y-c/2) • n·A...,·(y-r)Z + n·~·(h-y-r)· y = (a·c·(h-tI2) ~ b-h'12 + n·A,.,,·r + n·A"",·(h-r~ 1 (a·c .b·h + n·A,." + n·AoupI

SI (bta,·czl2 > n·A...,· (h-r-c) I.. ~ = (b. ., ·x /3 • n·A,.,,·(h-r-x)· siendo x = ( '¡¡n>·~·.2·(b.a¡-n·A...,· (h-r))-n·Y/(bta) en otro caso", = a·c 112 • •·c·(X-cn)Z .. b·x'(3 • n'~.(h-r-X" saendo . x = ( "«a·c.n·A,.")·.2·b·(a·cz/2+n·A¡,,,·(h-r)))- a·c.n·A¡",))/b = b-x3(3 + n-A,.,,·(x-r)' • n·A...,·(h-r-xl' ... siendo x = ( "«n·A,."tn·A..,p)'+2·b-(n·A!+n.~.(h-r)))-(n.A¡",+n·A,.,,))1b • ,"' ..... ' (h-y) momento acIuanIe en la sección para la carga do la etapa, no inferior al máximo en alguna Mterlor, no mooor que el do una carga 1,7 voces la de peso propio módulo do oIo!lllcldod del hormigón a lo edad j, vóase 5 ro 1~'nn<:I" .. tracción del horml{J6n .. la edad l. vóllSe 5

.... '1'.

lE.... - EItJ

= E,,·I

= '",' .... /y

(1.A".,) • 0 ... · (1+kw) • 0 ...

A..., .. .. o",, '

4. TÉRMINOS DE SECCiÓN

La carga total 'lo.. aparece en escalones, do carga 1\ a edades .~ en general do peso propio, solado, tabiquerla y uso

2.2 ~Iculo en una etllpa

Viga 8f!1polrada apoyada 6 = O,079·M 'Lz/El""" Mo. = I\·LZ/1 ~

Viga continua en dos extremos

El""" = El....,..

"'lid = 1,00 la comprobaclón do que la nocha acllva no supera 2,5%0 do la luz, puede ser:

N<1I1\'

6 = (Yo-0,1·M,-0,1·M21·L'/9,6·Elpnn

siendo

La relación '1 = El".,JElft. es dol orden do 1,3 1,15 Y 1,0 según el tipo do sustentaclÓl1 mencionada, resullando:

6.JL

Viga continua en un extremo 6 = (Yq~O,15·M, I·L'I9,6·Elpnn

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