Raices de ecuaciones

M ETO D O S N U M ER IC O S PAR A IN G EN IER O S RAICES DE ECUACIONES    

EDICION N°1, JUNIO 2015 RAICES MULTIPLES ANALISIS DE VIBRACION METODO DE LA SECANTE INVREMENTOS DETERMINANDO UNA APROXIMACION LINEAL

Métodos Numéricos para la solución de una ecuación

SECCIONES

 Raíces de ecuaciones  Raíces múltiples  Análisis de vibración  Método de la secante  Aproximación lineal

*Ana Aranguren C.I: 19941409 *Mervis Marín C.I: 22858355 *Enmanuel Buffil C.I: 25058832 *Luis González C.I: 23536996 *José Díaz C.I: 19141124

CREDITOS

RAICES DE ECUACIONES La raíz de una ecuación es aquel valor de la variable independiente que hace que el resultado de la ecuación sea cero o por lo menos se acerque a cero con un cierto grado de aproximación deseado El cálculo de las raíces de las ecuaciones es un problema que se ha tenido que enfrentar par eso sean elaborado diversos métodos ya que al determinar las raíces de una ecuación también lograremos máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc.

Un método consiste en graficar la función y ubicar el punto donde la gráfica intercepta al eje de las abscisas o eje x. El punto ubicado x es el valor de la raíz donde f(x)=0.

Pero el método grafico no es preciso por eso de elaboro otros métodos más efectivos capaces de ayudarnos en el campo de la ingeniería, pues son frecuentes en áreas de diseño, cálculos para la optimización de recursos y otros.

Para el estudio podemos organizar los métodos de la siguiente manera Métodos cerrados Como su nombre lo dice este método encierra la función en un intervalo donde dicha función cambia de signo para tener una raíz dentro de este intervalo y luego empezar reducir por medios de algoritmos el tamaño del intervalo.

Teorema de Bolzano: es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.

Método de la bisección: es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

Método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición: es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales.

El método combina el método de bisección y el método de la secante.

Métodos abiertos A diferencia de los métodos cerrados estos solo necesitan un valor inicial, pues no encierran la raíz. En algunos casos la operación diverge se aleja de la raíz y otros converge se acerca a la raíz hallando de manera más efectiva la raíz. 

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Método de punto fijo: es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

Método de Newton – Raphsones un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real.

También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Método de la secante: es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa

Raíces múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x.

Sistema de ecuaciones no lineales: es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas

RAICES MULTIPLES

Los métodos de Newton y de la secante, ante la presencia de raíces múltiples, convergen linealmente y pueden fallar, Ralston y Rabinowitz (1978) han propuesto modificaciones para retornar la velocidad de convergencia

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La primera consiste en adicionar factor que exprese multiplicidad m de la raíz que busca con el método de Newton. siguiente expresión define método:

un la se La el

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La segunda alternativa está dada por la aplicación del método de Newton a una función auxiliar U, mediante la cual también se pueden detectar las raíces de la ecuación f(x) = 0 y se define como

Toda raíz de la ecuación u(x) = 0 es también raíz de la ecuación f(x) = 0, ya que la función f(x) es el numerador de la función U(x). Por lo tanto, es perfectamente válido aplicar el método de Newton a la ecuación U(x) = 0.

Al sustituir la expresión resultante a U (Xn) y a U'(Xn) por las funciones originales que dependen de f(x) y al organizar la expresión, obtenemos el método para hallar raíces múltiples.

¿Cuándo puedo garantizar la existencia de una raíz múltiple?

Podemos garantizar convergencia sí F tiene una raíz múltiple si f'(p) = 0.

Para determinar la multiplicidad de la raíz debemos evaluar las derivadas de orden superior hasta que una de ellas sea diferente de cero.

Dada la función f(x) = (x-4)3 (x5)4 (x-3) ¿Qué se puede decir de sus raíces?

La función tiene tres raíces. El exponente de cada factor expresa la multiplicidad de cada raíz.   

4 es una raíz de multiplicidad 3 5 es una raíz de multiplicidad 4 3 es una raíz de multiplicidad 1

¿Cuántas raíces tienen un polinomio de grado n?

Una ecuación polinómica de grado n, tiene n raíces entre reales y complejas. Se tiene en cuenta las multiplicidades de las raíces y que el número de raíces complejas es siempre par. Es decir, si x es la raíz compleja de un polinomio, su conjugada también lo es.

¿Cuáles son las dificultades que se pueden presentar en el caso de raíces múltiples?

1)

Como la función no cambia de signo en el intervalo que contiene a una raíz de multiplicidad par impide el uso de los métodos que utilizan intervalos vistos con anticipación. La función presenta un máximo o un mínimo en la raíz.

2) Dado que en una raíz múltiple tanto f(x) como f ’(x) se aproximan a cero los métodos de Newton-Raphson y secante pierden su rapidez de convergencia en las proximidades de la raíz y en algunos caso se presenta una división entre cero cuando la derivada se haga cero.

Una forma simple de evitar estos problemas, la cual ha sido demostrada teóricamente por Ralston y Robinovitz en 1978, se basa en el hecho de que f(x) siempre alcanza un valor igual a cero antes que f ‘(x) al aplicar el método. Por lo tanto, si se controla que f(x) llegue a cero en el programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f ‘(x) llegue a cero.

ANALISIS DE VIBRACION El análisis de vibraciones consiste en el estudio del tipo la propagación de ondas elásticas en un material homogéneo y la determinación de los efectos producidos y el modo de propagación.

Las vibraciones pueden ser medidas y caracterizadas midiendo la oscilación o desplazamiento alternante de ciertos puntos al paso de una onda elástica

El análisis de vibraciones es la principal técnica para supervisar y diagnosticar la maquinaria rotativa e implantar un plan de mantenimiento predictivo.

El análisis de vibraciones se aplica con eficacia desde hace más de 30 años a la supervisión y diagnóstico de fallos mecánicos en máquinas rotativas.

Inicialmente, se emplearon equipos analógicos para la medida de la vibración en banda ancha, lo que hacía imposible el diagnóstico fiable de fallos en rodamientos y engranajes.

Mantenimiento Predictivo

El mantenimiento predictivo es la serie de acciones que se toman y las técnicas que se aplican con el objetivo de detectar fallas y defectos de maquinaria en las etapas incipientes para evitar que las fallas se manifiesten en una falla más grande durante la operación, evitando que ocasionen paros de emergencia y tiempos muertos, causando impacto financiero negativo}

APLICACIONES El análisis de vibraciones se puede utilizar para calcular los módulos elásticos (módulo de Young, módulo de cizallamiento) y el coeficiente de Poisson a partir de las frecuencias naturales de vibración de la muestra, que no debe sufrir ningún daño por el llamado método dinámico (ensayos no destructivos) a través de la velocidad del sonido, llamado pulso-eco.

Existe una relación unívoca entre las frecuencias naturales de vibración con las dimensiones y la masa de la muestra, parámetros fáciles de medir con un pie de rey y una balanza.

Conociendo el tamaño, la masa y las frecuencias naturales de vibración, los módulos de elasticidad se pueden calcular fácilmente utilizando herramientas matemáticas.

El módulo de Young se calcula a partir de las vibraciones longitudinales o flexionales mientras que el módulo de cizallamiento y el coeficiente de Poisson se puede obtener mediante las vibraciones de torsión. De acuerdo con la norma ASTM E-18751 e E-18762 las pruebas pueden ser: •

Excitación por impulso: cuando la muestra se somete a un ligero golpe que genera vibraciones que son detectadas por un transductor y se convierten en señales eléctricas para que estas frecuencias de resonancia se puedan leer.

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Barrido de frecuencia: cuando el modelo recibe un estímulo de frecuencia variable.

Las muestras deben ser apoyadas en sus puntos nodales.

Sección rectangular Para las muestras en forma de barras de sección rectangular, la estimación del módulo de Young (E) puede hacerse de la siguiente manera:

Dónde: m es la masa de la barra L es la longitud b la anchura y t la altura ff es la frecuencia de resonancia fundamental flexional T1 es un factor de corrección de modo fundamental a la flexión

Con el valor del módulo de Young y módulo de cizallamiento tienen el coeficiente de Poisson (μ) para materiales isótropos.

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μ es el coeficiente de Poisson.

Por otra parte el módulo de cizallamiento (G) puede estimarse mediante la expresión:

Estos cálculos son válidos para los especímenes en forma de barras de sección rectangular. Para geometrías diferentes, otras ecuaciones deben usarse en los cálculos.

Dónde: ft es la frecuencia de resonancia fundamental torsional y R un factor que depende de la relación entre la anchura y la altura de la muestra

MODULO DE YOUNG

COEFICIENTE DE POISSON

El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza.

Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés Thomas Young.

El coeficiente de Poisson denotado mediante la letra griega es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al físico francés Simeon Poisson.

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud.

Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material. Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el módulo de elasticidad transversal de un material.

Ensanchamiento por efecto Poisson del plano longitudinal medio de un prisma comprimido a lo largo de su eje, el grado de ensanchamiento depende del coeficiente de Poisson, en este caso se ha usado

METODO DE LA SECANTE El Método Método dela secante En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.

El método se define por la relación de recurrencia:

Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.

Desviación del Método El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)).

A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen de arriba a la derecha se toman los puntos iniciales x0 y x1, se construye una línea por los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)). En forma punto-pendiente, esta línea tiene la ecuación mostrada anteriormente.

Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo suficientemente pequeñas entre x y x ).

Comparación con otros métodos de búsqueda de raíces El método de bisección necesita de muchas iteraciones comparado con el método de la secante, ya que el proceso que éste sigue es mucho más preciso que el de bisección, el cual solo divide por mitades sucesivamente hasta dar con un valor aproximado al real y por consecuente conlleva un número significativamente mayor de iteraciones.

El método de la regla falsa utiliza la misma fórmula que el método de la secante. Sin embargo, no se aplica la fórmula en xn−1 y xn, como el método de

la secante, pero en xn y en la última

iteraciónxk tal que f(xk) y f(xn) tiene un signo diferente. Esto significa que el método de regla falsa siempre converge.

La fórmula de recurrencia del método de la secante se puede derivar de la fórmula para el método de NewtonRaphson:

Utilizando la aproximación diferencias finitas:

de

Si comparamos el método de Newton-Raphson con el método de la secante, vemos que el método de Newton-Raphson converge más rápido (para 2 en contra α ≈ 1,6). Sin embargo, el método de Newton-Raphson requiere la evaluación de ambos f y su derivada en cada paso, mientras que el método de la secante sólo requiere la evaluación de f. Por lo tanto, el método de la secante puede muy bien ser más rápido en la práctica.

Convergencia El orden de convergencia de este método, en un punto cercano a la solución, es donde

es el número áureo, por lo que se trata de una convergencia superlineal inferior a la del método de Newton-Raphson.

En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-Raphson.

APROXIMACION LINEAL Una aproximación lineal es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

EJEMPLO 1. Para encontrar la aproximación lineal de se hace lo siguiente: Considérese la función

Se tiene la derivada:

Donde es una función que representa el error usando la notación de Landau (Así, tiende a 0 cuando tiende a ). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente

Según lo ya visto,

El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…

Teorema de Taylor En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

La función exponencial (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de coordenadas (línea verde discontinua).