libro de texto operador cinturon amarillo by MetroMatemáticas

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA CINTURÓN AMARILLO EDICIÓN 2020

Centro Metrológico de México Blvd. Solidaridad No. 56 Plaza Girasol Locales 14, 15 y 16 entre Alberto Gutiérrez y Av. Tecnológico Col. Sahuaro Indeco Hermosillo, Sonora 83170 Tel. (662) 2602212 Website: http://www.metromatematicas.com Email: info@metromatematicas.com LIBRO DE TEXTO CINTURÓN AMARILLO; Publicado por Centro Metrológico de México. ISBN-13 N° 978-607-00-7415-8 Todos los demás materiales son © Derechos de autor 2020, por Centro Metrológico de México. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada en sistemas de recuperación o transmitirse en cualquier forma o por cualquier medio, electrónico, mecánico, fotocopia, grabación, o de otra forma, sin el permiso previo y por escrito de la editorial. Impreso en México. Cover art © Derechos de Autor 2020, Centro Metrológico de México. Todos los derechos reservados.

EN EL ESPÍRITU DEL PROGRAMA METROMATEMÁTICAS Para llegar a ser un hombre* inteligente, uno debe adquirir Sabiduría, Benevolencia y Valor. Solo con Sabiduría uno tiende a ser frío. Únicamente con Benevolencia uno se hace débil. Sólo con Valor, un hombre puede ir más allá de sus capacidades. Sin embargo cuando las tres cualidades se combinan uno se convertirá en un hombre inteligente. Similarmente en una empresa, la actividad sistémica de solución de problemas de productividad desde su causa raíz es fundamental para la formación de operadores de producción inteligentes. La palabra METROMATEMÁTICAS representa la enseñanza de una filosofía matemática que se conecta con la productividad total de la industria de avanzada tecnología, en lugar de la filosofía matemática especulativa, busca desarrollar el razonamiento y capacidad analítica de los operadores de producción del siglo 21. “METRO” significa Metrología la cual es sin lugar a dudas la madre de todas las ciencias, mientras que MATEMÁTICAS proviene del griego Mathema: Conocimiento. METROMATEMÁTICO: Es el amante de conocimientos muy útiles para la vida contemporánea, es un hombre con un imperioso deseo de aprender a distinguir lo falso de lo verdadero, busca el camino recto en la vida a través de su razonamiento y capacidad analítica, es más sabio y más hábil de lo que ha sido hasta ahora, es un hombre conocedor del poder y las acciones del fuego, del agua, del aire, del cosmos y de todos los cuerpos que lo rodean, y de la misma manera pueda emplearlos para todos los usos en los cuales sean apropiados y de esta manera convertirse en dueño y poseedor de la naturaleza sin intoxicarla o desbalancear la función de sus ecosistemas, el MetroMatemático es el empresario, científico, ingeniero, técnico, médico, músico, artista, … es el hombre productivo del siglo 21 que vive en armonía con la madre Tierra. El nombre METROMATEMÁTICAS fue seleccionado con el sincero deseo de ver a un hombre más inteligente, para crear una sociedad próspera y para introducir una filosofía matemática eminentemente práctica que haga posible la productividad total en la industria de avanzada tecnología, junto con el deseo permanente de un mundo pacífico y el cumplimiento de una vida significativa. *Hombre = hombres y mujeres

SINCERAMENTE; Nahum Correa So Inventor del Modelo Educativo MetroMatemáticas iii

Al Conocimiento de un Universo Infinito… Conocimiento del Macrocosmos Utilizando el Sistema de Números Reales (SI) y el Cálculo Infinitesimal. yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca unidad deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Y Z E P T G M k h da d c mm µ n p f a z y

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1 000 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1000 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.000 001 0.000 000 001 0.000 000 000 001 0.000 000 000 000 001 0.000 000 000 000 000 001 0.000 000 000 000 000 000 001 0.000 000 000 000 000 000 000 001

Conocimiento del Microcosmos Utilizando el Sistema de Números Reales (SI) y el Cálculo Infinitesimal. iv

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

CONTENIDO

Página

UNIDAD 1.0 INTRODUCCIÓN DEL MICRÓMETRO; DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE UN POLÍGONO TEMA 1 TEMA 2 TEMA 3 TEMA 4 TEMA 5 TEMA 6 TEMA 7 TEMA 8 TEMA 9 TEMA 10 TEMA 11 TEMA 12 TEMA 13 TEMA 14 TEMA 15

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de Milímetros Partes del Micrómetro Principios del Micrómetro Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de .001 pulgadas Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de .0001 pulg. Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de .0001 pulgadas Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de 0.01 mm Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de 0.01 mm Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de0.002 mm Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de0.002 mm Tipos de Micrómetros Mediciones con un Micrómetro Definición Matemática de los Polígonos Clasificación de Polígonos Según el Número de Lados Definición de la Diagonal de un Polígono

CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

CCSS.HSN.Q.A.3 CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

18 18 19

CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

27 31 33 34 34

CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSN.Q.A.1, CCSS.HSN.Q.A.3, CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSG. CO.A.1, CCSS.HSG.CO.C.9, CCSS. HSG.CO.D.12, CCSS.HSG.CO.A.4

TEMA 16 Valor de un Ángulo Interior de un Polígono Regular TEMA 17 Valor de un Ángulo Externo de un Polígono Regular

35 36

UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS TEMA 1 TEMA 2 TEMA 3 TEMA 4 TEMA 5 TEMA 6 TEMA 7 TEMA 8

¿Qué es un Cuadrilátero? Lados Opuestos Lados Consecutivos Vértices y Ángulos Opuestos Suma de Ángulos Interiores Diagonales desde un Vértice Número Total de Diagonales Clasificación de los Cuadriláteros

CCSS.HSG.CO.A.1

CCSS.HSG.CO.A.1 v

39 39 39 39 40 40 41 41

Contenido TEMA 9

Página

Demuestra Teoremas Sobre Paralelogramos

TEMA 10 Clasificación y Elementos de los Trapecios TEMA 11 Clasificación de los Trapezoides TEMA 12 Propiedades de los Paralelogramos

CCSS.HSN.Q.A.1, CCSS.HSN.Q.A.3, CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSG. CO.A.1, CCSS.HSG.CO.C.11, CCSS. HSG. CO.D.12, CCSS.HSG.CO.A.3 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSN.Q.A.1, CCSS.HSN.Q.A.3, CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSG. CO.A.1, CCSS.HSG.CO.C.11, CCSS. HSG. CO.D.12, CCSS.HSG.CO.A.3

44 44 45

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA TEMA 1 TEMA 2 TEMA 3 TEMA 4 TEMA 5 TEMA 6 TEMA 7 TEMA 8 TEMA 9 TEMA 10 TEMA 11 TEMA 12 TEMA 13 TEMA 14 TEMA 15 TEMA 16 TEMA 17 TEMA 18 TEMA 19 TEMA 20 TEMA 21 TEMA 22 TEMA 23 TEMA 24 TEMA 25 TEMA 26 TEMA 27 TEMA 28 TEMA 29 TEMA 30 TEMA 31 TEMA 32 TEMA 33

Definición de la Circunferencia Puntos Interiores y Exteriores de la Circunferencia Definición de un Círculo Circunferencias Iguales Arco de la Circunferencia Cuerda de la Circunferencia Diámetro de la Circunferencia Posiciones de una Recta y una Circunferencia Segmento Circular Sector Circular Corona Circular Trapecio Circular Ángulos Centrales y Arcos Correspondientes Igualdad de ángulos y Arcos Desigualdad de Ángulos y Arcos Arcos Consecutivos; Suma y Diferencia de Arcos Semicircunferencias Semicírculos Demostrar Teoremas Sobre Círculos Recta Tangente a la Circunferencia Recta Normal a Una Circunferencia Posiciones Relativas de Dos Circunferencias Circunferencias Exteriores Circunferencia Tangente Exteriormente Circunferencia Secante Circunferencia Tangentes Interiormente Circunferencias Interiores Circunferencias Concéntricas (Concentricidad) Ángulo Central Medida de Ángulo Central Ángulo Inscrito Ángulo Semi Inscrito Ángulo Ex-Inscrito vi

CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.1, CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2, CCSS.HSG.C.A.4 CCSS.HSG.C.A.2, CCSS.HSG.C.A.4

CCSS.HSG.C.A.1, CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.1, CCSS.HSG.C.B.5 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2

47 47 48 48 48 48 49 49 49 49 50 50 50 51 51 51 52 52 52 54 55 56 57 57 57 58 58 58 60 61 61 61 62

Contenido TEMA 34 TEMA 35 TEMA 36 TEMA 37 TEMA 38 TEMA 39 TEMA 40 TEMA 41

Página

Arco Capaz de un Ángulo Ángulo Interior Ángulo Exterior Relaciones Métricas en la Circunferencia División Áurea Cálculo Analítico del Segmento Áureo División Áurea de un Segmento Justificación del Método Gráfico

CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2 CCSS.HSG.C.A.2

63 64 65 66 67 67 67 68

UNIDAD 4.0 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES TEMA 1 TEMA 2 TEMA 3 TEMA 4 TEMA 5 TEMA 6 TEMA 7 TEMA 8 TEMA 9 TEMA 10 TEMA 11 TEMA 12 TEMA 13 TEMA 14

Definición de Polígonos Regulares Polígono Inscrito Circunferencia Circunscrita Polígono Circunscrito Circunferencia Inscrita Radio en un Polígono Regular Ángulo Central Definición de la Apotema Cálculo de la Apotema en Función del Lado y del Radio Cálculo del Lado del Polígono Circunscrito Cálculo del Lado Hexágono Regular Cálculo del Lado del Triángulo Equilátero Cálculo del Lado del Octágono Regular Cálculo del Lado Dodecágono Regular

CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.A.1 CCSS.HSG.CO.D.13 CCSS.HSG.CO.D.13

69 69 70 70 70 70 71 72 72

CCSS.HSG.CO.D.13 CCSS.HSG.CO.D.13 CCSS.HSG.CO.D.13 CCSS.HSG.CO.D.13 CCSS.HSG.CO.D.13

73 73 74 76 76

UNIDAD 5.0 POLÍGONO SEMEJANTES, MEDIDAS DE LA CIRCUNFERENCIA TEMA 1 TEMA 2 TEMA 3 TEMA 4 TEMA 5 TEMA 6

Polígonos Semejantes Longitud de la Circunferencia Relación Entre la Apotema y el Radio Cálculo de la Longitud de una Circunferencia Cálculo de la Longitud de un Arco de la Circunferencia Cálculo de Valores Aproximados de p

CCSS.HSG.SRT.A.2 CCSS.HSG.C.A.4 CCSS.HSG.C.A.4 CCSS.HSG.C.B.5

77 79 80 81 81 82

UNIDAD 6.0 HOMOTECIA TEMA 1

Homotecia o Dilátación

TEMA 2 TEMA 3 TEMA 4

Figuras Homotéticas Propiedades de la Homotecia Composición de Homotecias

CCSS.HSG.SRT.A.1, CCSS.HSG. SRT.A.1.A, CCSS.HSG.SRT.A.1.B CCSS.HSG.SRT.A.1, CCSS.HSG SRT.A.1.A, CCSS.HSG.SRT.A.1.B

vii

83 86 87 88

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

Libro de texto CINTURÓN AMARILLO

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 INTRODUCCIÓN DEL MICRÓMETRO; DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE UN POLÍGONO Tema 1

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de Milímetros y Pulgadas CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

El micrómetro El micrómetro es el caballo de batalla en los talleres de maquinados de alta precisión. El micrómetro es utilizado para medir características externas, internas y profundidades. Existe una gran variedad de micrómetros en el mercado desde micrómetros estándar hasta micrómetros para aplicaciones especiales. El micrómetro puede obtener mediciones directas desde .0001 pulg. a 0.002 mm. Para realizar mediciones con gran exactitud debemos de ver como se usan y cuidar estos equipos. El micrómetro analógico es un instrumento de medición directa para medir con una precisión de micrómetros o hasta cien milésimas de pulgadas longitudinales, que se encuentren dentro de la capacidad del instrumento. Algunos de los instrumentos tienen un recubrimiento de aislamiento térmico que sirve para impedir la transferencia de calor del operador hacia el instrumento. Dada la precisión de los micrómetros, una presión excesiva puede falsear el resultado; para evitar esto se usa un pequeño tambor moleteado que tiene un dispositivo de escape que limita la presión en algunos modelos, las puntas de los palpadores son de metal con tratamiento térmico.

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 2

Partes del Micrómetro Palpador fijo

Arco Palpador móvil Escala principal

Tambor graduado

Trinquete

Freno de usillo

Tema 3

Principio del Micrómetro

CCSS.HSN.Q.A.3

El micrómetro es un dispositivo que mide el desplazamiento del husillo cuando este es movido mediante el giro de un tornillo, lo que convierte en movimiento giratorio del tambor en movimiento lineal del husillo. El desplazamiento de este lo amplifica la rotación del tornillo y el diámetro del tambor. Las graduaciones alrededor de la circunferencia del tambor permiten leer un cambio pequeño en la posición del husillo. Los micrómetros estándar tienen un tornillo con paso de 0.5 mm y su tambor esta graduado en 50 divisiones alrededor de la circunferencia, donde el valor de la graduación del tambor es de 0.01 mm de resolución, los micrómetros de pulgadas tienen un tornillo de 40 hilos por pulgada y un paso de 0.025 pulg. Es importante que antes de utilizar un micrómetro se verifique que éste indique cero cuando este cerrado adecuadamente.

Un movimiento de la revolución es igual a una línea en la manga.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Parada del trinquete

Dedal de la fricción

Tema 4

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de .001 pulgadas

CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

El primer paso para aprender a leer un micrómetro es aprender a utilizar el trinquete y el moleteado del tambor, estas partes previenen apretar de más el micrómetro durante la medición. Algunos micrómetros no cuenta con estos dispositivos por lo que tendremos que aprender el feeling para realizar mediciones exactas y precisas. La mejor maneja de aprender esto es checar el micrómetro contra un block patrón con esto calibramos el feeling de la persona en el uso del micrómetro. Para leer el micrómetro en milésimas de pulgada .001 pulg. primero cuente el número de líneas expuestas en la escala principal y multiplíquese por .025, después súmele el número que se indica en el graduado del tambor.

Escala Principal = 14 líneas de 0.025 in. = 0.350 pulg. Tambor Graduado = 0.005 = 0.005 pulg. Lectura Total 0.355 pulg.

Escala Principal = 10 líneas de 0.025 = 0.250 pulg. Tambor Graduado = = 0.000 pulg. Lectura Total 0.250 pulg.

Escala Principal = 17 líneas de 0.025 = 0.425 pulg. Tambor Graduado = = 0.004 pulg. Lectura Total 0.429 pulg.

Escala Principal = 4 líneas de 0.025 = 0.100 pulg. Tambor Graduado= = 0.023 pulg. Lectura Total 0.123 pulg.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Practicar la lectura del micrómetro en .001 de pulgada CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

4 5

6 7 8 10

1. __________________________________

0 1

2. __________________________________

0 3. __________________________________

2 3 4

4. __________________________________

5 5. __________________________________

4 5 6

10 5

7. __________________________________

6. __________________________________

2 3 4 5

0 20

8. __________________________________

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

7 8

9. __________________________________

7 8

10. __________________________________

3 4 5

15 11. __________________________________

13. __________________________________

20 15

12. __________________________________

1 2 3

14. __________________________________

15 Software Instrumento Cientíﬁco:

Para más ejercicios con micrómetros, utiliza el Software Instrumento Cientíﬁco.

15. __________________________________

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 5

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de .0001 pulg. CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

Algunos micrómetros se pueden leer a .0001 pulg. Estos micrómetros son similares a los micrómetros de .001 pulg., pero además ellos cuentan con una escala vernier en la parte de arriba del cilindro de la escala principal. Esta escala vernier es utilizada para dividir una .001 pulg. En 10 partes iguales, o .0001 pulg.

Principios de la escala vernier

0 9 8 7 6 5 4 3 2 10

Fig. 1

El principio a vernier 4 3 2 1 24 23 22 21

5 0 20

Cuando se lea un micrómetro de una .0001 pulg. primero lea hasta la milésima como se hizo anteriormente, después gire el micrómetro para leer la escala vernier. Note que en la escala vernier hay 11 líneas (Fig. 1). Existen 2 líneas de cero. Podemos eliminar una línea de cero para propósitos de explicación. Empezando con el cero inferior y contando hacia el numero 9 existen 10 líneas ocupando el mismo espacio de 9 líneas, este es el principio detrás de la escala vernier.

0 9 8 7 6 5 4 3 2 10

Fig. 3

Solamente los ceros se alinearán juntos 14 13 12 11 9 8 7 6

Solamente un par de líneas todo el tiempo coincidirán (Fig. 2), una a la vez. 10 5

0 9 8 7 6 5 4 3 2 10

Fig. 2

Solamente un sistema de líneas se alineará a cualquier momento 9 8 7 6 4 3 2 1

La excepción de esto es el cero. Si un cero esta alineado también el otro cero estará alineado (Fig. 3).

5 0

0 9 8 7 6 5 4 3 2 10

Fig. 4

Número 6 demostrado en la alineación de la graduación del dedal 9 8 7 6 4 3 2 1

10 5 0

Para leer esta escala, primero busque 2 líneas que estén alineadas o muy cerca una de otra (Fig. 4). Usted puede notar que el 6 en la escala vernier esta alineado a la escala del tambor. Esto significa .0006 pulg. Y debe de sumarse a las milésimas de pulgada leídas con anterioridad. Un punto para recordar cuando se este leyendo una escala vernier es: siempre utilice el número mostrado en la escala vernier, nunca utilice el mostrado en la escala del tambor.

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

4 3 2 1

0 24 0

23 22 21

0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

7 6

19 18 17 16 1

14 13 12 11

Escala principal = 10 líneas de 0.025 = 0.250 Pulg. Tambor graduado = 0.019 Pulg. Graduación del vernier = 0.0008 Pulg. Lectura Total 0.2698 Pulg.

20 15 10

Escala principal = 20 líneas de 0.025 = 0.500 Pulg. Tambor graduado = 0.010 Pulg. Graduación del vernier = 0.0007 Pulg. Lectura Total 0.5107 Pulg.

Tema 6

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de .0001 pulgadas CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

10 0 1 2

3 4

09876543210

15 10

15 0 1 2

10 5

a.______________________

0 1 2

d.______________________

g.______________________

e.______________________

0 20

h.______________________

f.______________________

15 0 1 2

09876543210

3 4 5

09876543210

0 1 2

5 0 1 2

09876543210

c.______________________

09876543210

b.______________________

15 10 0 1 2

i.______________________

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 7

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de 0.01 mm CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

Si usted puede leer el micrómetro de .001 pulg. Usted puede leer en uno de 0.01 mm. La principal diferencia es que esta graduado en milímetros en vez de pulgadas. El micrómetro en milímetros tiene una rosca con un paso de 0.5 mm, así que cada revolución del cilindro se mueve 0.5 mm. La escala del tambor esta dividida en 50 partes así que cada línea es de 1/50 de revolución, o 0.5 mm = 0.01 mm. Para leer el micrómetro de milímetros simplemente utilice el mismo proceso que utilizamos para leer el micrómetros de pulgadas. Primero cuente las líneas expuestas en el cilindro con la escala principal y multiplíquese por 0.5 mm. Después súmele lo que muestra la escala del tambor. (Fig. 5).

Micrómetro en mm

Lectura de un micrómetro a 0.01 mm CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3 Fig. 5

25 20

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 8

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de 0.01 mm CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

35 0

1. __________________________________

2. __________________________________

0 0

3. __________________________________

4. __________________________________

5 0

5. __________________________________

6. __________________________________

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 9

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de0.002 mm CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

La lectura en micrómetros 0.002 mm requiere ajustes muy pequeños con respecto a la lectura en micrómetros de .0001 pulg. La escala vernier en estos micrómetros está graduada con líneas iguales a 0.002 mm. Cuando realicemos una lectura, simplemente sigamos los pasos utilizados en el micrómetro de 0.01 mm y agreguemos las lecturas mostradas en la escala vernier, como se muestra en la Fig. 5-19. 0 8 6 4 2 0

086420

10 5 0

35 5

Escala principal = 9 líneas de 0.5 mm = Tambor graduado = Graduación del vernier = Lectura Total

4.500 mm 0.450 mm 0.008 mm 4.958 mm

Escala principal = 34 líneas de 0.5 = 17.000 mm Tambor graduado = 0.290 mm Graduación del vernier = 0.002 mm Lectura Total 17.292 mm

Tema 10

Lectura de Números Racionales con Micrómetro Analógico con resolución de0.002 mm CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

10 5

10 0

1. __________________________________

086420

2. __________________________________

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

086420

086420 0

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

10 0

3. __________________________________

4. __________________________________ 086420

086420 0

30 5

10 5 1

5. __________________________________

6. __________________________________

Tema 11

Tipos de Micrómetros

CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSN.Q.A.3

Existen 3 tipos básicos de micrómetros: 1. Exteriores 2. Interiores 3. Profundidad Mas halla de estos estilos básicos existe una extensa variedad de micrómetros en el mercado. Independiente a cualquier estilo de micrómetro, los principios básicos son los mismos.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

1. Micrómetros de Exteriores El micrómetro estándar es el de exteriores y es el micrómetro más común en cualquier planta de manufactura o taller de alta precisión. Y es muy utilizable para realizar una gran variedad de mediciones. El micrómetro estándar normalmente tiene un cilindro con una escala principal de .250 pulg. Las variaciones más comunes de micrómetros de exteriores son las siguientes.

Micrómetro para Rosca

Micrómetro para Dientes de Engrane

Micrómetro de Disco

Micrómetro de Puntas

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Micrómetro con Topes en “V”

Micrómetro con Topes Delgados

Micrómetro para Espesor de Láminas

2. Micrómetros de Interiores El micrómetro de interiores esta diseñado para realizar mediciones internas. El micrómetro de interiores básico consiste en una cabeza micrométrica y diferentes varillas que se pueden instalar en el micrómetro. El rango normal de la escala del micro-metro es de 1 ½ a 12 pulg. (40-300 mm). Variaciones de diferentes tipos de micrómetros de interiores.

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

3. Micrómetros de Profundidades El micrómetro de profundidades esta diseñado para realizar mediciones de profundidad de agujeros, slots, escalones, etc. Este micrómetro cuenta con una base de alta precisión lapeada que se utiliza como superficie de referencia la cual entra en contacto con la pieza a medir. Cuando realicemos una lectura en el micrómetro de profundidades, la lectura se realiza del mismo modo de los micrómetros. Debes de tomar la lectura de la escala principal y agregarla a la lectura de la escala del tambor.

Para cambiar las varillas de profundidad solamente seguir el siguiente procedimiento:

Afloje y quite el casquillo del extremo

Barra de medición

Casquillo de extremo quitado

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 12

Mediciones con un Micrómetro Las mediciones realizadas con un micrómetro se dividen en dos categorías, medición directa y medición indirecta. Las mediciones directas son realizadas con el micrómetro solo. Las mediciones indirectas o de transferencia son realizadas con una herramienta de transferencia y el micrómetro. Mediciones Directas Cuando realicemos mediciones directas con un micrómetro, recordemos los siguientes puntos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Asegúrese que la pieza de trabajo este limpia (Brillante) y libre de descarapeladuras.. Asegúrese que las puntas del micrómetro estén limpias Cuando apretemos el micrómetro contra la pieza de trabajo, utilizar siempre el trinquete. Asegúrese que las puntas del micrómetro están completamente asentadas en la pieza. Si es necesario mover el micrómetro hasta asegurar un buen contacto. Un vez que se obtenga un buen contacto de las puntas, apretar el seguro. Asegurarse que el tambor no se mueve y remover el micrómetro con cuidado. Tomar la medida Re-evaluar la medida. Si usted obtiene la misma medida, usted puede confiar en su medición. Si usted obtiene diferente lectura, usted debe regresarse y verificar cada paso el proceso de medición, y realizar otra medición.

La cosa más importante es asegurarse de tener un buen contacto entre las puntas del micrómetro y la pieza, un contacto incorrecto siempre resaltará en una medición incorrecta. Algunas áreas donde puede ocurrir un error de medición se muestran en las siguientes figuras:

Micrómetro no alineado

Micrómetro no en línea parte central

Micrómetro inclinado Materia extranjera

Virutas o suciedad debajo del yunque del micrómetro

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Mediciones Indirectas o Transferencia Las herramientas de transferencia de medición más comúnmente utilizadas con micrómetros son los gages de agujeros pequeños o gages telescópicos. Estas herramientas son ajustadas a la dimensión de la característica a ser medida y después asegurada. Una vez removida, puede ser exactamente medida con un micrómetro. Gages de agujeros pequeños: están disponibles en juegos con rango de .125 a .500 pulg. La medición se realiza primero insertando el gage en el agujero y este se ajusta al tamaño del agujero. Este gage es removido con la cantidad correcta de la dimensión del agujero en la pieza. Después un micrómetro de exteriores es utilizado para medir el gage. De nuevo siempre duplique la medición para asegurarse que la medición es correcta. Gages Telescópicos: están disponibles en juegos de 6 gages con rango de .312 a 6.000 pulg. Estos gages operan con un resorte cargado que al momento de entrar al agujero se expande contra el interior del agujero. Este gage es removido con la cantidad correcta de la dimensión del agujero en la pieza. Después un micrómetro de exteriores es utilizado para medir el gage. De nuevo siempre duplique la medición para asegurarse que la medición es correcta.

Telescoping Gauges Gages Telescópicos

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 13

Definición Matemática de los Polígonos

CCSS.HSG.CO.A.1

Polígonos Se llama polígono a la porción de plano limitada por una curva cerrada, llamada línea poligonal. 1. Polígonos Cóncavos (Fig. 1) »» Si se encuentra constituido por una poligonal cóncava. »» En el que al menos uno de sus ángulos interiores mide p más de 180° o p radianes. »» Al menos una de sus diagonales es exterior al polígono. E

Fig. 2

Fig. 1

2. Polígonos Convexos (Fig. 2) »» Cuando está formado por una poligonal convexa. »» En el que todos los ángulos interiores miden menos de 180 grados o p radianes y todas sus diagonales son interiores. »» Cualquier recta que pase por un lado de un polígono convexo deja a todo el polígono completamente en uno de los semi planos definidos por la recta.

C F

F G B

3. Lados y Vértices de los Polígonos Lados: son los segmentos de recta que forman la frontera o polígono. Vértices: se llaman los puntos de intersección de los lados de un polígono. Dichos puntos nos permiten nombrar al polígono.

Fig. 3

4. Ángulos Externos Ángulos exteriores o externos de un polígono son los ángulos adyacentes a los interiores, obtenidos de la prolongación de los lados en un mismo sentido. 5 B C 6 Ángulos externos (Fig. 3) 1 4, 2 5, 3 6 5. Ángulos Internos Ángulos internos o interiores de un polígono son aquéllos formados por cada dos lados consecutivos. Ángulos internos (Fig. 3) ABC DEF, BCD

EFA,

CDE

4 D

A 1

FAB

6. Definición del Perímetro de un Polígono Es la longitud de su contorno, es decir, la suma de sus lados. (Fig. 3) Perímetro = AB + BC + CD + DE + EF + FA.

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3 E ®

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 14

Clasificación de Polígonos Según el Número de Lados De acuerdo con el número de lados, los polígonos reciben nombres especiales. El polígono de menor número de lados es el triángulo.

Número de Lados Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez Once Doce Quince

Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono

Tema 15

Demuestra Teoremas Sobre Polígonos Se llama diagonal al segmento determinado por dos vértices no consecutivos. En la Fig. 4, los segmentos AC y BD son diagonales.

Fig. 4

CCSS.HSN.Q.A.1, CCSS.HSN.Q.A.3, CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSG.CO.A.1, CCSS.HSG.CO.C.9, CCSS. HSG.CO.D.12, CCSS.HSG.CO.A.4 D

A Teorema 1 La suma de los ángulos interiores (Si) de un polígono convexo es igual a tantas veces dos ángulos rectos, como lados menos dos tiene el polígono.

Investigar: Comprobar el TEOREMA 1 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

Hipótesis A, B, C, son los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados. Tesis Si =

A+

B + ...= 2R (n - 2)

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Fig. 5

Tema 16

Valor de un Ángulo Interior de un Polígono Regular Como el polígono regular tiene todos sus ángulos interiores iguales, el valor i de uno de ellos lo hallaremos dividiendo la suma entre el número n de ángulos.

Y como Si = 2R (n-2), entonces: i =

Investigar:

2R (n-2) n

Si n 4

D Fig. 6

Comprobar el TEOREMA 2 y 3 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

2 A

Teorema 2 La suma de los ángulos exteriores (Se) de todo polígono convexo es igual cuatro ángulos rectos. Hipótesis 1 2, etc., son los ángulos exteriores de un polígono convexo de n lados. Tesis S= 1+

2 + ...= 4R

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Tema 17

Valor de un Ángulo Externo de un Polígono Regular Como todos los ángulos interiores de un polígono regular son iguales, los exteriores también lo serán. Para hallar el valor de “e” de un ángulo exterior, dividiremos la suma de todos ellos entre el número de ángulos que hay. e=

Se n

Y como Si = 4R, entonces: e =

4R n

Teorema 3 El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice es igual al número de lados menos tres. Hipótesis ABC... es un polígono de n lados y d es el número de diagonales desde un vértice. Tesis d=n-3

Fig. 7

C D

Y como S = 4 R, entonces: Aplicando la fórmula en la Fig. 7: resulta: da un número D = número de diagonales desde un vértice = 5 - 3 = 2.

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Investigar: Comprobar el TEOREMA 4 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

Teorema 4 Si n es el número de lados del polígono, el número de diagonales D que pueden trazarse desde todos los vértices está dada por la fórmula: D=

n (n - 3) 2

Hipótesis ABC es un polígono de n lados. D = número total de diagonales. Tesis n (n - 3) D= 2 Aplicando la fórmula al pentágono de la Fig. 8 tendremos: D =

5 (5 - 3) =5 2

Fig. 8

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UNIDAD 1.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS POLÍGONOS

Teorema 5 Dos polígonos son iguales si pueden descomponerse en igual número de triángulos respectivamente iguales y dispuestos del mismo modo. Hipótesis ABCDE y A’B’C’D’E’ son dos polígonos, tales que: ABC = A’B’C’, ACD = A’C’D’,

ADE =

A’D’E’

Tesis ABCDE = A’B’C’D’E’

Fig. 9

C D

E B

Fig. 9a

C’ D’

Investigar: Comprobar el TEOREMA 5 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

E’ B’

A’

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UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS Tema 1

¿Qué es un Cuadrilátero? CCSS.HSG.CO.A.1

Es el polígono de cuatro lados.

Tema 2

Lados Opuestos Son los que no tienen ningún vértice común. En la Fig. 1, AB y CD, AD y BC son pares de lados opuestos. D Fig. 1

Tema 3

Lados Consecutivos A

Son los que no tienen un vértice común. En la Fig. 1, AB y BC, CD y DA, BC y CD, DA y AB son pares de lados consecutivos.

Tema 4

Vértices y Ángulos Opuestos Vértices opuestos son los que no pertenecen a un mismo lado. Ángulos opuestos son los que tienen vértices opuestos. En la Fig. 1, A y C, B y D son pares de vértices opuestos.

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UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS

Tema 5

Suma de Ángulos Interiores La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a cuatro ángulos rectos. Demostración La suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera es: Si = 2R (n - 2)

(1)

n=4

(2)

En este caso observamos que:

Sustituyendo (2) en (1), tenemos: Si = 2R (4 - 2) = 4R

Tema 6

Diagonales desde Un Vértice Desde un vértice de un cuadrilátero sólo se puede trazar una diagonal. En efecto, el número de diagonales desde un vértice, en un polígono, está dado por la fórmula: d=n-3

(1)

n=4

(2)

En este caso:

Sustituyendo (2) en (1), tenemos: d = 4 - 3 =1

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UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS

Tema 7

Número Total de Diagonales El número total de diagonales que se pueden trazar n cuadrilátero es dos. En efecto, el número total de diagonales de un polígono está dado por la fórmula: D=

n (n - 3) 2

(1)

Como se trata de un cuadrilátero, tenemos: n=4

(2)

Sustituyendo (2) en (1), tenemos: D=

4 (4 - 3) 4 (1) 4 = = =2 2 2 2

Tema 8

Clasificación de los Cuadriláteros CCSS.HSG.CO.A.1

Los cuadriláteros se clasifican atendiendo al paralelismo de los lados opuestos. Si los lados opuestos son paralelos dos a dos, la figura se llama paralelogramo: AB II CD y AD II BC. Fig. 2

Cuando sólo hay paralelismo es un par de lados opuestos, la figura se llama trapecio.

C Fig. 3

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UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS

Cuando no existe paralelismo alguno, la figura se llama trapezoide.

Fig. 4

AB y CD no son paralelos. AD y BC no son paralelos.

Topic 9

Demuestra Teoremas Sobre Paralelogramos

CCSS.HSN.Q.A.1, CCSS.HSN.Q.A.3, CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSG.CO.A.1, CCSS.HSG.CO.C.11, CCSS. HSG.CO.D.12, CCSS.HSG.CO.A.3

1. Rectangulo Un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud. A=

D, AB = BC.

2. Cuadrado Un cuadrado, en geometría, es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales (todos rectos). A=

AB = BC = CD = DA.

3. Romboide Se denomina romboide al paralelogramo cuyos ángulos opuestos tienen la misma amplitud y sus lados opuestos, la misma longitud. A=

D C

B, AB = BC.

A B

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UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS

4. Rombo El rombo es un cuadrilátero paralelogramo no rectángulo. Sus cuatro lados son de igual longitud y los lados opuestos son paralelos. Sus ángulos interiores opuestos son iguales y difieren de 90° centesimales. AB = BC = CD = DA,

A Investigar: Comprobar el TEMA 9 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas..

MetroMatemáticas ®

Stomaquion de Cuadriliteros ®

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UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS

Tema 10

Clasificación y Elementos de los Trapecios CCSS.HSG.CO.A.1

Fig. 5c

Fig. 5b

Fig. 5a re 5a

Los trapecios se clasifican en rectángulos, isósceles y escalenos. Los rectángulos son los que tienen dos ángulos rectos. Se llaman isósceles si los lados no paralelos son iguales. Escaleno son los que no son rectángulos ni isósceles.

Elementos: Los lados paralelos se llaman bases, y como son desiguales, una es la base mayor y otra la base menor. La distancia entre las bases, esto es, la perpendicular común, es la altura del trapecio. El segmento que une los puntos medios de los lados paralelos se llama base media, y tiene la importante propiedad de que es igual a la semisuma de las bases. También se le suele llamar paralela media. AB = Base mayor DC = Base menor DE = Altura MN = Base media

Fig. 6

Tema 11

Clasificación de los Trapezoides

Los simétricos tienen dos pares de lados consecutivos iguales, pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente del segundo. Los asimétricos son los que no son simétricos.

Fig. 7b

Los trapezoides se clasifican en simétricos y asimétricos.

Fig. 7a

CCSS.HSG.CO.A.1

En los trapezoides simétricos, las diagonales son perpendiculares, y la que une los vértices donde concurren los lados iguales es la bisectriz de los ángulos y eje de simetría de la figura.

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UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS

Tema 12

Propiedades de los Paralelogramos

CCSS.HSN.Q.A.1, CCSS.HSN.Q.A.3, CCSS.HSN.RN.B.3, CCSS.HSG.CO.A.1, CCSS.HSG.CO.C.11, CCSS. HSG.CO.D.12, CCSS.HSG.CO.A.4

1. Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos iguales. 2. Todo paralelogramo tiene sus ángulos opuestos iguales. 3. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. 4. En todo paralelogramo las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales. Todas estas propiedades son fáciles de demostrar. Investigar: Comprobar el TEOREMA 1 y 2 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

Teorema 1 Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos iguales. Hipótesis ABCD es un paralelogramo. BC = AD

Fig. 8

Tesis AB = CD,

C 3

2 1

Teorema 2 Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, también son paralelos y el cuadrilátero es un paralelogramo. Hipótesis En el cuadrilátero ABCD se verifica: AB = DC, AD = BC 2

C 3

Fig. 9

Tesis AB II DC, AD II BC 4 A

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B ®

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UNIDAD 2.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LOS CUADRILÁTEROS

Teorema 3 1. Un ángulo interior de un rectángulo es igual a un ángulo recto. En efecto, siendo todos los ángulos iguales, el valor de un ángulo interior será: 4R = 1R 4 2. Un ángulo exterior de un rectángulo es igual a un ángulo recto. En efecto, si la suma de los ángulos exteriores es 360º y en el rectángulo los cuatro ángulos son iguales, resulta que cada uno valdrá: 4R = 1R 4 3. Las diagonales de un rectángulo son iguales. Se demuestra por igualdad de triángulos. Teorema 4 1. Las diagonales del rombo son perpendiculares. 2. Las diagonales del rombo son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen. Teorema 5 1. Los ángulos del cuadrado son rectos. 2. Cada ángulo exterior del cuadrado vale un ángulo recto. 3. Las diagonales del cuadrado son iguales. 4. Las diagonales del cuadrado son perpendiculares. 5. Las diagonales del cuadrado son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen. Observación Estas propiedades permiten la construcción de paralelogramos en una gran cantidad de casos.

Investigar: Comprobar el TEOREMA 3, 4 y 5 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA Tema 1

Definición de Circunferencia CCSS.HSG.CO.A.1

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro. La figura representa una circunferencia de centro 0. Los puntos A, B y C son puntos de la circunferencia, y los segmentos: 0A = 0B = 0C = r Se llaman radios. Las circunferencias se denominan por su centro mediante una letra mayúscula y su radio. Así, la circunferencia de la Fig. 1es la circunferencia 0 y radio r.

A r

0 B Fig. 1

Tema 2

Puntos Interiores y Exteriores de la Circunferencia CCSS.HSG.CO.A.1

La circunferencia divide el plano en dos regiones: una exterior y otra interior. 0M > r, 0N < r, 0P = r Fig. 2

Los puntos como M, cuya distancia al centro es mayor que el radio, se llaman puntos exteriores; los que como N distan del centro menos que el radio se llaman puntos interiores, y si como en el caso del punto P su distancia al centro es igual al radio, se denomina puntos que pertenecen a la circunferencia.

M N

r P

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 3

Definición de un Círculo Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.

Fig. 3

CCSS.HSG.CO.A.1

Tema 4

Circunferencias Iguales CCSS.HSG.C.A.2

Son las que tienen radios iguales.

Tema 5

Arco de la Circunferencia CCSS.HSG.C.A.2

Es una porción de circunferencia.

Tema 6

Cuerda de la Circunferencia

CCSS.HSG.C.A.2

Es el segmento determinado por dos puntos de la circunferencia: CD (Fig. 4). De los dos arcos que una cuerda determina en una circunferencia, se llama arco correspondiente a la cuerda N, que es el menor de ellos.

Fig. 4

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 7

Diámetro de la Circunferencia

CCSS.HSG.C.A.2

Es toda cuerda que pasa por el centro: AB (Fig. 4) El diámetro es igual a la suma de dos radios: AB = A0 + 0B = r + r = 2r

Tema 8

Posiciones de una Recta y una Circunferencia

CCSS.HSG.C.A.2

Se dice que una recta como EF (Fig. 4) que tiene dos puntos comunes con la circunferencia es secante. Si la recta tiene un solo punto común como la circunferencia, como la IJ (Fig. 4), se dice que es tangente, y al punto P se le llama punto de tangencia o de contacto. Si la recta no tiene ningún punto común con la circunferencia, como la MN (Fig. 4), se dice que es exterior.

Tema 9

Segmento Circular CCSS.HSG.C.A.2

La parte del círculo limitada entre una cuerda y su arco se llama segmento circular.

Tema 10

Sector Circular CCSS.HSG.C.A.2

La parte de un círculo limitada por dos radios y el arco comprendido se llama sector circular.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 11

Corona Circular CCSS.HSG.C.A.2

Es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas. r R

Tema 12

Trapecio Circular

CCSS.HSG.C.A.2

Es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios.

Tema 13

Ángulos Centrales y Arcos Correspondientes CCSS.HSG.C.A.2

Su arco es el comprendido entre los lados del ángulo central: AB es correspondiente del

Fig. 5

Ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia (Fig. 5): A0B

A0B B

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 14

Igualdad de Ángulos y Arcos CCSS.HSG.C.A.2

Fig. 6 - a

Fig. 6

En una misma circunferencia o en circunferencias que sean iguales a ángulos centrales iguales corresponden arcos iguales. Así, si la circunferencia 0 es igual a la circunferencia 0’ y A0B = A’0’B’ (Fig. 6): entonces, AB = A’B’. A’

Recíprocamente, si circunferencia 0 = circunferencia 0’ y AB = A’B’; entonces: A0B = A’0’B’

0’

0 B

B’

Tema 15

Desigualdad de Ángulos y Arcos Fig. 7 - a

En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a mayor ángulo central le corresponde mayor arco (Fig. 7). Si su circunferencia 0 = circunferencia 0’ y A0B < A’0’B’; entonces: AB < A’B’

Fig. 7

CCSS.HSG.C.A.2

A 0 B

Tema 16

Arcos consecutivos; Suma y Diferencia de Arcos CCSS.HSG.C.A.2

Dos arcos son consecutivos cuando lo son sus ángulos centrales. Como A0B = B0C son consecutivos, AB y BC también son consecutivos (Fig. 8).

Fig. 8

Suma de arcos. Es una circunferencia se llama suma de dos arcos consecutivos al arco cuyo ángulo central es la suma de los ángulos centrales correspondientes a los arcos dados.

Diferencia de arcos. Dados dos arcos desiguales de una circunferencia, se llama diferencia de ambos al arco que sumado al menor (sustraendo) da el mayor (minuendo).

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C ®

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 17

Semicircunferencias CCSS.HSG.C.A.2

Los arcos iguales determinados por el diámetro se llaman semicircunferencias.

Tema 18

Semicírculos CCSS.HSG.C.A.2

Las porciones de plano limitadas por las semicircunferencias y el diámetro se llaman semicírculos.

Topic 19

Demostrar Teoremas Sobre Círculos

CCSS.HSG.C.A.1, CCSS.HSG.C.A.2

Teorema 1 Propiedades del diámetro. Un diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales. P Fig. 9

Hipótesis AB es un diámetro de la circunferencia 0 (Fig. 9). Tesis APB = AP’B Parte APB del círculo = Parte AP’B

P’

Hipótesis En la circunferencia 0 (Fig.10). CD = diámetro y AB = cuerda.

C Fig. 10

Teorema 2 El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia.

A 0 B

Tesis CD > AB

D Investigar: Comprobar el TEOREMA 1, 2, 3, 4 y 5 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Teorema 3 Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta y a los arcos subtendidos en partes iguales. Hipótesis En la circunferencia 0 (Fig. 11). CD = cuerda, AB = diámetro y AB

Tesis CM = MD, CB = BD y AC = AD

Fig. 11

0 1 2 C

Teorema 4 Relaciones entre las cuerdas y los arcos correspondientes. En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a arcos iguales corresponden cuerdas iguales; y si dos arcos son desiguales (menores que una semicircunferencia), a mayor arco corresponde mayor cuerda. Primera parte:

Segunda parte:

Hipótesis En la circunferencia 0 (Fig. 12): AB = CD. AB y CD cuerdas correspondientes.

Hipótesis En la circunferencia 0 (Fig. 13): AB > CD y ambos menores que una semicircunferencia. AB y CD cuerdas correspondientes.

Tesis AB = CD

Tesis AB > CD B

B C

Fig. 13

Fig. 12

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150 53

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Teorema 5 Relaciones entre las cuerdas y sus distancias al centro. En una circunferencia, o en circunferencias iguales, cuerdas iguales equidistan del centro, y de dos cuerdas desiguales, la mayor dista menos del centro. Primera parte:

Segunda parte:

Hipótesis AB = CD, OM

Hipótesis AB > CD, OM

AB, ON

Tesis OM = ON

AB, ON

Tesis OM < ON D

Fig. 15

Fig. 14

C 0

Tema 20

Recta Tangente a la Circunferencia CCSS.HSG.C.A.2

Como ya hemos dicho, es una recta que tiene un solo punto común con la circunferencia (Fig. 16). El punto común P se llama punto de tangencia o punto de contacto.

Fig. 16

T’

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Investigar: Comprobar el TEOREMA 6 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

T B Fig. 17

Teorema 6 Propiedad de la tangente en el punto de contacto. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto. Hipótesis TT´ es tangente en A a la circunferencia. OA es el radio en el punto de contacto. Tesis TT´

T’

Tema 21

Recta Normal a Una Circunferencia CCSS.HSG.C.A.2, CCSS.HSG.C.A.4

Es la perpendicular a la tangente en el punto de contacto. En la Fig. 18 la normal en A es: NN’

TT’

Como tangente y el radio son perpendiculares en el punto de contacto, la normal en cada punto de la circunferencia para por el centro. Para trazar la normal a una circunferencia que pase por un punto dado, interior o exterior, basta con trazar la recta que pasa por dicho punto y el centro de la circunferencia. Así, la normal a la circunferencia 0 que pasa por M (Fig. 19) es 0M y la que pasa por N es 0N.

Fig. 19

Fig. 18

A 0

N’

T’

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Investigar: Comprobar el TEOREMA 7 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

Teorema 7 Distancia de un punto a una circunferencia. La distancia mínima de un punto a una circunferencia, es el menor de los segmentos de normal comprendidos entre el punto y la circunferencia. Caso I El punto es interior. C Fig. 20

Hipótesis P es un punto interior de la circunferencia 0. (Fig. 20) AB es la normal que pasa por P. PC distancia de P a un punto cualquiera de la circunferencia.

Tesis PA < PC

Caso II El punto es exterior. C Fig. 21

Hipótesis P es un punto exterior a la circunferencia 0. (Fig. 21) AB es la normal que pasa por P. PC distancia de P a un punto cualquiera de la circunferencia.

Tesis PA < PC

Tema 22

Posiciones Relativas de Dos Circunferencias CCSS.HSG.C.A.2, CCSS.HSG.C.A.4

Dos circunferencias pueden tener, en un plano, varias posiciones relativas, y de acuerdo con ellas se cumplen una serie de propiedades. Estas propiedades se discutirán en los Temas 23-27.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 23

Circunferencias Exteriores Fig. 22

Los puntos de cada uno son exteriores a la otra

0’ 0

Tema 24

Tienen un punto común y los demás puntos de cada una son exteriores a la otra.

Fig. 23

Circunferencia Tangente Exteriormente 0’ 0

Tema 25

Circunferencia Secante Fig. 24

Si tienen dos puntos comunes. 0’ 0

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 26

Se tienen un punto común, y todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra.

Fig. 25

Circunferencias Tangentes Interiormente

0’

Tema 27

Circunferencias Interiores Fig. 26

Cuando todos los puntos de ellas son interiores de la otra.

0’

Tema 28

Circunferencias Concéntricas (Concentricidad) Fig. 27

Cuando tienen el mismo centro.

00’

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Teorema 8 Dadas dos circunferencias situadas en un mismo plano, se verifica: 1. Si son exteriores, la distancia entre sus centros es mayor que la suma de los radios. 2. Si son tangentes exteriormente, la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. 3. Si son secantes, la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios y mayor que su diferencia. 4. Si son tangentes interiormente, la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios. 5. Si son interiores, la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios. 6. Si son concéntrica, la distancia entre los centros es nula. TEOREMA 9 Los arcos de una circunferencia comprendidos entre paralelas, son iguales. Caso I

Caso II

Las paralelas son secantes.

Una de las dos paralelas es secante y la otra es tangente.

Hipótesis Hipótesis AB y CD son secantes y AB II CD AB es tangente CD secante y AB II CD Tesis AC = BD

Tesis CM = DM

A C

A B D

Fig. 29

Fig. 28

B D

C 0

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N ®

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Caso III Las dos paralelas son tangentes. Hipótesis AB es tangente en M, CD es tangente en N y AB II CD M

A Fig. 30

Tesis MEN = MFN

F 0

Tema 29

Ángulo Central

CCSS.HSG.C.A.1, CCSS.HSG.C.A.2 Como ya se ha dicho, es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, tal como el (Fig. 31)

A0B.

Fig. 31

A r 0 B

En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, los ángulos centrales son proporcionales a sus arcos correspondientes. Siendo 0 y 0’ circunferencias iguales, tenemos que: (Fig. 32) A0B = AB también: BOC BC

A0B = AB MO’N MN

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Topic 30

Medida de Ángulo Central CCSS.HSG.C.A.1, CCSS.HSG.C.B.5 Si adoptamos como unidad de ángulos el ángulo central correspondiente al arco de unidad, la medida de un ángulo central es igual a la de su arco correspondiente. A0B = AB , nos dice que si tomamos por unidad de ángulos el M0’N (Fig. 32-a) Luego, la proporción, MO’N MN M0’N y por unidad de arcos al MN, la medida del A0B es la misma que la del AB (esto quiere decir que si el M0’N cabe dos veces, por ejemplo, en el A0B, también el MN cabe dos veces en el AB). M

Fig. 32-a

Fig. 32

A r 0

’

Y como es más cómodo comparar arcos que ángulos, es por esto que la medida de ángulos es indirecta y se efectúa comparando arcos mediante los transportadores o semicírculos graduados. Observe que en este sentido, la medida de un arco no es una medida de longitud, es decir, dos arcos pueden tener la misma medida de arco, pero diferentes longitudes.

Tema 31

Ángulo Inscrito CCSS.HSG.C.A.2

Fig. 33

Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes.

0 B

Tema 32

Ángulo Semi Inscrito B Fig. 34

CCSS.HSG.C.A.2 Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es una tangente y el otro una secante.

0 A

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 33

Ángulo Ex-Inscrito

Fig. 35

CCSS.HSG.C.A.2

Es el ángulo adyacente a un ángulo inscrito.

C Teorema 10 La medida de todo ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. Caso I

Hipótesis

C Fig. 36

El centro está en uno de los lados del ángulo.

ABC es inscrito y 0 es el centro de la circunferencia.

Tesis Medida del

AC 2

Caso II

A Fig. 37

El centro está en el interior del ángulo. Hipótesis

ABC es inscrito y 0 es interior del

0 C

Tesis Medida del

ABC.

AC 2

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Caso III Fig. 38

El centro es exterior al ángulo. Hipótesis El

ABC es inscrito y 0 es exterior al

ABC.

D A

0 B

Tesis ABC =

Medida del

AC 2

Tema 34

Arco Capaz de un Ángulo CCSS.HSG.C.A.2

Fig. 39

Hemos visto que todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales. Dicho arco se llama arco capaz de esos ángulos. En la Fig. 39 el arco capaz de los ángulos iguales ABC, ADC, etc., es el AEC.

C 0

E Investigar: Comprobar el TEOREMA 10, 11 y 12 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

Teorema 11 La medida del ángulo semi inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

El centro está en uno de los lados del ángulo. Hipótesis

Fig. 40

Caso I

ABC es semi inscrito y 0 es el centro de la circunferencia.

Tesis Medida del

ABC =

BC 2

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Caso II

C Fig. 41

El centro está en el interior del ángulo. Hipótesis El

ABC es semi inscrito y 0 es interior del

ABC.

Tesis Medida del

ABC =

BC 2

Caso III Fig. 42

El centro es exterior al ángulo. Hipótesis El

ABC es semi inscrito y 0 es exterior al ángulo.

Tesis Medida del

ABC =

BC 2

Teorema 12 La medida del ángulo ex inscrito es igual a la semisuma de los arcos que tienen su origen en el vértice y sus extremos en uno de los lados y en la prolongación del otro.

Hipótesis El ABC es ex inscrito.

0 C

Tesis Medida del

ABC =

BC + BD 2

Fig. 43

Ángulo Interior

Fig. 44

Tema 35

CCSS.HSG.C.A.2

Es el ángulo cuyo vértice es un punto interior en la circunferencia. Los ABC, EBD, ABE y CBD son interiores.

A C

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 36

Ángulo Exterior CCSS.HSG.C.A.2

Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior en la circunferencia. Fig. 45

B C

0 D E

Investigar: Comprobar el TEOREMA 13 y 14 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

Teorema 13 La medida del ángulo interior del ángulo es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones. B C E

Fig. 46

Hipótesis El AED es un ángulo interior. AD y BC son los arcos comprendidos por los lados y por las prolongaciones.

Tesis Medida del

BC + AD 2

Teorema 14 La medida del ángulo exterior del ángulo exterior es igual a la semi diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados. C

Fig. 47

Hipótesis El A es exterior.

Tesis Medida del

CD - BE 2

E D

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 37

Relaciones Métricas en la Circunferencia CCSS.HSG.C.A.2

Investigar: Comprobar el TEOREMA 15, 16 y 17 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

Fig. 48

Teorema 15 Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra. D A Hipótesis AB y CD son cuerdas que se cortan en Q. Q QA y QB son los segmentos determinados en AB. QC y QD son los segmentos determinados en CD. 0 Tesis QA QB = QC QD

Teorema 16 Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior. C D Fig. 49

Hipótesis QA y QC son secantes. QB y QD son segmentos exteriores.

Tesis QA QB = QC QD

B A Teorema 17 Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante y su segmento exterior.

Tesis QA QT = QT QB

Fig. 50

Hipótesis QT y QA son tangentes y secante a la circunferencia.

0 A

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 38

División Áurea Dividir un segmento AB en media y extrema razón, consiste en dividirlo en dos segmentos AM y MB, tales que:

AB = AM AM MB

Es decir, que el segmento AM es la media proporcional entre AB y MB. Este segmento AM se llama segmento áureo y se considera que esta división es la más proporcionada que se puede hacer de un segmento.

Tema 39

Cálculo Analítico del Segmento Áureo

a A x

Fig. 51

Sea AB = un segmento cualquiera y sea AP = x su segmento áureo.

a-x

Tema 40

División Áurea de un Segmento Fig. 52

Sea AB = a el segmento.

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UNIDAD 3.0 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 41

Justificación del Método Gráfico Prolonguemos A0 hasta que corte a la circunferencia en D. Tendremos la tangente AB y la secante AD. Entonces: AD = AB AB AC

(1)

Pero: AP = AC = x a a AD = x + + = x + a 2 2 AB = a

(2) (3) (4)

sustituyendo (2), (3) y (4) en (1), tenemos: x+a a = a x x (x + a) = a2 x2 + ax = a2 x2 = a2 - ax x2 = a (a- x) esto es,

a x = x a-x

Por tanto, el punto P divide a AB en media y extrema razón.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 4.0 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES Tema 1

Definición de Polígonos Regulares CCSS.HSG.CO.A.1

Son los que tienen los lados y los ángulos iguales. AB = BC = CD = DE = EF = FA A= B= C= D=

Fig. 1

Tema 2

Polígono Inscrito CCSS.HSG.CO.A.1

H Fig. 2

Es el que tiene todos sus vértices sobre una circunferencia.

C E

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Tema 3

Circunferencia Circunscrita CCSS.HSG.CO.A.1

Cuando el polígono está inscrito se dice que la circunferencia está circunscrita al polígono.

Tema 4

Polígono Circunscrito Es aquel cuyos lados son tangentes a la circunferencia.

Fig. 3

CCSS.HSG.CO.A.1

Tema 5

Circunferencia Inscrita

CCSS.HSG.CO.A.1

Cuando el polígono está circunscrito, se dice que la circunferencia está inscrita.

Tema 6

Radio en un Polígono Regular Cuando el polígono está circunscrita. En la Fig. 4, 0D = 0E son radios del polígono.

Fig. 4

CCSS.HSG.CO.A.1

B C

A 0 F

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA UNIDAD 4.0 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES

Tema 7

Investigar:

Ángulo Central

Comprobar el TEOREMA 1, 2 y 3 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

CCSS.HSG.CO.D.13

Fig. 5

Es el ángulo central de un polígono regular. Se forma por dos radios que corresponden a los extremos de un mismo lado. En la (Fig. 4), E0D es un ángulo central del polígono. E Teorema 1 Si se divide una circunferencia en tres o más arcos iguales, las cuerdas que D F unen los puntos sucesivos de división, formarán un polígono regular inscrito. 0

Hipótesis En la circunferencia 0: AB = BC = CD =..., son los arcos y AB, BC, CD,... son cuerdas correspondientes.

Tesis ABCDEF es regular.

Teorema 2 Si se divide una circunferencia en tres o más arcos iguales, las tangentes trazadas a la circunferencia por los puntos de división o por los puntos medios de dichos arcos forman un polígono regular circunscrito. En efecto si dividimos, por ejemplo, la circunferencia en seis arcos iguales y por los puntos de división trazamos tangentes a dicha circunferencia, dichas tangentes formarán el hexágono circunscrito ABCDEF (Fig. 6), que es regular porque tiene sus ángulos iguales, por ser exteriores que abarcan arcos iguales y sus lados también son iguales por ser sumas de segmentos iguales. A

B´

Fig. 6 - a

Fig. 6

Análogamente, si trazamos las tangentes por los puntos medios de cada uno de los seis arcos iguales en que es dividida la circunferencia 0, se obtiene un hexágono circunscrito A’B’C’D’E’F’ (Fig. 6 - a), que también es regular y sus lados son respectivamente paralelos a los lados del hexágono inscrito formado al unir los puntos de división. En ambos casos, los polígonos inscritos y circunscritos tienen el mismo número de lados.

2 C

F 3

F´

4 E

A´

1 6

C´

2 3

D´

E´

Fig. 7

Theorem 3 Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia. (Fig. 7). Hypothesis ABCDEF es un polígono regular.

Thesis ABCDEF es inscribible si: AB = CD, OB = OC, OAB =

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OCD, OA = OD

METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA UNIDAD 4.0 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES

Tema 8

Definición de la Apotema Fig. 8

Se llama apotema de un polígono regular al segmento de perpendicular trazada desde el centro del polígono a uno cualquiera de sus lados. En la (Fig. 8) 0M es la apotema. E A

0 r

Tema 9

Cálculo de la Apotema en Función del Lado y del Radio CCSS.HSG.CO.D.13

BC = In (lado de un polígono regular en n lados) Fig. 9

OH = an Apotema OB = r Radio En

OB2 = OH2 + BH2

(1)

BC In Pero: BH = = 2 2

(2) (3) (4)

B ln H 2

OBH:

OH = an OB = r

Hipotiposis

ln Substituyendo (2), (3), (4) in (1), tenemos: r2 = an2 + 2 2 ln Despejando an2: an2 = r2 2

ln 4r2- ln2 Efectuando operaciones: an2 = r2= 4 4 Extrayendo raíz cuadrada: an =

4r2- ln2 = 4

an =

1 2

4r2- ln2

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA UNIDAD 4.0 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES

Tema 10

Cálculo del Lado del Polígono Circunscrito CCSS.HSG.CO.D.13

AB = In’ A’B’ = Ln Trazamos el radio OH’

A’B’

Sea H el punto donde OH’ corta a AB. Como A’B’ II AB tendremos que OH será la apotema del polígono inscrito. Unamos O con A’ y B’, formándose OA’B’ y OAB. OAB

Por ser AB II A’B’

Fig. 10

OA’B’ =

A’B’ OH’ = (1) Alturas homólogas de triángulos semejantes AB OH

r an r Pero: A A’B’ = Ln (2) H B AB = ln (3) H’ A’ B’ OH’ = r (4) OH = an (5) Sustituyendo (2), (3), (4) y (5) en (1), tenemos: Ln r ln . r = Ln = (6) End of a proportion In an an 1 4r2 - l2 Pero: an = n (7) Sustituyendo (7) en (6), tenemos: 2

Ln =

ln r 1 2

4r2 - ln2

Ln =

2r ln 4r2 - ln2

Tema 11

Cálculo del Lado del Hexágono Regular

CCSS.HSG.CO.D.13

Sea el hexágono regular ABCDEF inscrito en la circunferencia 0 de radio r.

Fig. 11

Vamos a demostrar que el lado del hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual al radio.

0 F

C r

Sea AB = I6 y OA = OB = r.

60º

Tesis: l6 = r

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A ®

60º

r 60º

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Tema 12

Cálculo del Lado del Triángulo Equilátero CCSS.HSG.CO.D.13

A Fig. 12

Sea el triángulo equilátero ABC, inscrito en la circunferencia O, construido dividiendo la circunferencia en seis partes iguales y uniendo de dos en dos. Si D es el punto medio del OAC, el diámetro BD es perpendicular a la cuerda AC.

I3 0

C En el DAB: A = 90º

Inscrito en una semicircunferencia

BD2 = AB2 + AD2

(1) Teorema de Pitágoras

Pero: BD = 2r AD = I6 (3) AB = I3 (4)

(2) Por ser diámetro Construcción

Sustituyendo (2), (3) y (4), en (1): (2r)2 = I32 + I62 4r2 = I32 + I62 Pero: I6 = r

(5) Efectuando operaciones (6) Por lado del hexágono

Sustituyendo (6) en (5): 4r2 = I32 + r2 4r2 - r2 = l32

Despejando

l32 = 3r2

l3 = 3r2

Extrayendo la raíz cuadrada

l3 = r 3

Simplificando

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA UNIDAD 4.0 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES

Investigar: Comprobar el TEOREMA 4 y 5 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas..

Teorema 4 El lado del decágono regular inscrito en una circunferencia es igual al segmento áureo del radio.

Fig. 13

B 36

36º

I10

36º

72º

r - I10

Hipótesis En la circunferencia O de radio r sea AB = I10 Tesis r l10 = I10 r - l10 Teorema 5 El lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el lado del hexágono y el lado del decágono inscrito en dicha circunferencia.

Fig. 14

B I5

0 I6

72º 36º

I6 72º

I10

E I10 D Hipótesis En la circunferencia O AB = I5 , OA = r = I6

AC = I10

Tesis l5 es la hipotenusa l6 y l10 son los catetos de un triángulo rectángulo.

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA UNIDAD 4.0 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES

Tema 13

Cálculo del Lado del Octágono Regular CCSS.HSG.CO.D.13

El lado del polígono regular de doble número de lados está dado por la fórmula: I2n = 2r2 - r 4r2 - ln2

(1)

y como el lado del cuadrado es: I4 = r 2

(2)

Sustituyendo (2) en (1), tenemos: I8 = 2r2 - r 4r2 - ( r 2 )2 = I8 = 2r2 - r 4r2 - 2r2 = 2r2 - r

2r2 =

2r2 - r2 2 =

r2 (2 - 2)

y finalmente: R. l8 = r

2- 2

Tema 14

Cálculo del Lado del Dodecágono Regular

CCSS.HSG.CO.D.13

La fórmula que da el lado del polígono regular de doble número de lado es: I2n = 2r2 - r 4r2 - ln2 (1) y como el lado del hexágono es: I6 = r (2) Sustituyendo (2) en (1), tenemos: I12 = 2r2 - r 4r2 - r2 =

2r2 - r 3r2 =

2r2 - r2 3 =

r2 (2 - 3)

y finalmente: R. l12 = r

2- 3

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 5.0 POLÍGONOS SEMEJANTES, MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA Tema 1

Polígonos Semejantes CCSS.HSG.SRT.A.2

Se dice que dos polígonos tales como ABCDE (Fig. 1) y A’B’C’D’E’ (Fig. 1-a) son semejantes si en ellos se cumple que: A= A’, B= B’, C= C’, D= D’, E= E’ y además: AB BC CD = DE = = A’B’ B’C’ C’D’ D’E’ Es decir, dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos ordenadamente iguales y sus lados homólogos proporcionales. Se llaman lados homólogos en dos polígonos semejantes a los lados que unen los vértices correspondientes a ángulos iguales. C

D’

Fig. 1

Fig. 1 - a

E’

C’

B’

A’

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UNIDAD 5.0 POLÍGONOS SEMEJANTES, MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA

Investigar: Comprobar el TEOREMA 1, 2, 3 y 4 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

Teorema 1 Dos polígonos regulares del mismo número de lados semejantes. Hipótesis Los polígonos ABC... y A’B’C’..., son polígonos regulares de n lados. D E’

Fig. 2

Fig. 2 - a

Tesis ABC... ~ A’B’C’...

D’

F’

0’

A’

C’

B’

Teorema 2 La razón de los lados de dos polígonos regulares del mismo número de lados es igual a la razón de sus radios y a la razón de sus radios y a la razón de sus apotemas. Hipótesis Los polígonos ABC... y A’B’C’..., son polígonos regulares de n lados. AB = I A´B´ = I´

0H = a 0´H´ = a´

Lados

0A = r 0´A´ = r´

Apotemas

Radios

Tesis I r a = = I´ r’ a’

a A

0´

C Fig. 3 - a

Fig. 3

r´ A´

a´ H´

C´ r´ B´

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UNIDAD 5.0 POLÍGONOS SEMEJANTES, MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA

Fig. 4

Teorema 3 En una circunferencia, el perímetro de un polígono regular inscrito de 2n lados es mayor que el perímetro del polígono regular inscrito de n lados. D Q P Hipótesis ABCDEF es un polígono regular de n lados inscrito en C E la circunferencia 0. 0

Tesis AM + MB + BN + ...> AB + BC + CD + ...

N B

F S

Teorema 4 El perímetro de un polígono regular circunscrito de 2n lados, es menor que el perímetro del polígono regular de n lados circunscrito a la misma circunferencia.

A D

E U

Hipótesis ABCD... es un polígono regular de n lados circunscrito en la circunferencia 0.

Tesis MN + N0 + 0P + ...< AB + BC + CD + ...

Fig. 5

AMBNCPDQ... es el polígono regular de 2n lados inscrito en la circunferencia 0.

W X

Tema 2

Longitud de la Circunferencia CCSS.HSG.C.A.4

Observemos que al duplicar el número de lados, el perímetro de un polígono regular inscrito en una circunferencia aumenta y el perímetro disminuye cuando el polígono es circunscrito.

Fig. 6

C’

B’

A’

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UNIDAD 5.0 POLÍGONOS SEMEJANTES, MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 3

Relación Entre la Apotema y el Radio CCSS.HSG.C.A.4

Observemos que a medida que se duplica el número de lados de un polígono inscrito, la apotema se hace cada vez mayor y se acerca indefinidamente al valor del radio. El radio del polígono no varía y siempre es igual al radio de la circunferencia circunscrita.

Fig. 7

L 0

D P

a16

Investigar: Comprobar el TEOREMA 5 en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

a4 a8

E Q

Teorema 5 La razón de las longitudes de dos circunferencias cualesquiera es igual a la razón de sus radios y de sus diámetros. Hipótesis Sean C y C’ las longitudes de las circunferencias 0 y 0’, cuyos radios r y r’ y sus diámetros d y d’. Tesis C r d = = C’ r’ d’

C d

D´ E´

C´ d´

Fig. 8 - a

Fig. 8

F´

0´ r´

B´

A´

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 5.0 POLÍGONOS SEMEJANTES, MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 4

Cálculo de la Longitud de una Circunferencia Hallar la longitud de la circunferencia cuyo radio es igual a 6 cm. Fórmula: C = 2pr C = 2 x 3.14 x 6

C = 12 x 3.14 C = 37.68 cm.

Tema 5

Cálculo de la Longitud de un Arco de la Circunferencia CCSS.HSG.C.B.5

Si C = 2 pr es la longitud de la circunferencia (360°), la longitud del arco 1º será 2 pr porque 1º es 360 1 de una circunferencia 360 Y la longitud, I, de un arco de nº es: l=

2p n° 360° simplificando

Fig. 9

l = p n° 180°

r 0

nº

1º

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UNIDAD 5.0 POLÍGONOS SEMEJANTES, MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA

Tema 6

Cálculo de Valores Aproximados de Tomando r = 1, calculemos los perímetros de los hexágonos regulares inscrito y circunscrito. Inscrito: r = 1, l6 = r l6 = 1 Circunscrito: ln = 2rln 4r2 - ln2 L6 =

2x1x1 4 x 12 - 12

P6 = 6 l6 P6 = 6 x 1 = 6

2 3

P6 = 6 l6 P6 = 6 x 1 = 6

2 3 3

1.1547

P´ = 6 L6 = 6 x 1.1547 = 6.9282 Valores aproximados de p: P 6 P’ 6.9282 = = 3y = = 3.4641 d 2 d 2 Si duplicamos el número de lados de dichos polígonos, obtendríamos para el dodecágono: Fórmula: l2n = 2r2 - r 4r2 - ln2 l2n = 2 x 12 - 1 4 x 12 - ln2 = 2 - 4 - 1 = 2 - 3 = 2 - 1.7321 = 0.2679

= 0.5176 P12 = 12 x 0.5176 = 6.2116

De manera análoga, para el circunscrito, tendríamos:

P´12 = 12 x L12 = 12 x 0.5358 = 6.4307

Valores aproximados de p:

P 6.2116 P’ 6.4307 = = 3.1058 y = = 3.2153 d 2 d 2

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METROLOGÍA Y GEOMETRÍA PLANA

UNIDAD 6.0 HOMOTECIA Tema 1

Homotecia o Dilatación

CCSS.HSG.SRT.A.1, CCSS.HSG.SRT.A.1.A, CCSS.HSG.SRT.A.1.B Homotecia 3 Determina los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que -1. 3 Determinar las propiedades que permanecen invariables al aplicar una homotecia a una figura. 3 Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.

C´

C 0

B´

B A

A´

Se eligió un punto 0 del plano geométrico y colocaron los extremos de varias ligas en dicho punto. Estas ligas de diferentes colores y longitudes determinaron los segmentos 0A, 0B y 0C. Los puntos A, B y C son los vértices del triángulo ABC. Enseguida usaron el valor de K = 2.5 para estirar proporcionalmente cada una de las ligas sujetas en el punto 0. Reproduce la figura y verifica que se cumplan las siguientes igualdades. 0A´= 2.5 (0A)

0B´= 2.5 (0B)

0C´= 2.5 (0C)

Analizar lo siguiente: 1. ¿Qué pueden afirmar acerca de los triángulos ABC y A´ B´ C´ ? 2. ¿Cómo pueden justificar cada una de sus afirmaciones?

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UNIDAD 6.0 HOMOTECIA Homotecia o dilatación

Para dibujar figuras semejantes usa los valores indicados para el factor de homotecia. Dibuja la transformación que sufre la figura y determina si se trata de una ampliación, una reducción o una congruencia. Investigar:

1. Dibuje la figura A´ B´ C´ D´ de tal manera que:

Practique la homotecia o la dilatación en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

0A´= K 0A, 0B´= K 0B, 0C´= K 0C, 0D = K 0D for K = 1.8

A B 0

C D

2. ¿Qué figura se obtiene para K = 0.6? P

Q 0 R

3. ¿Qúe sucede cuando K = 1? Y Z 0

X V

4. Verifica que las figuras obtenidas mediante una homotecia siempre son semejantes a las figuras originales.

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UNIDAD 6.0 HOMOTECIA

Completa la siguiente definición de homotecia o dilatación. Homotecia o dilatación Es la transformación determinada por un punto central 0 y un factor de conversión K; de tal manera que a cada punto P del plano, le corresponde otro punto P´del plano, le corresponde otro punto P´ del plano, le corresponde otro punto P´en la semirrecta 0P que cumple la igualdad. 0P´ = ______________ Para que comprenda el concepto de homotecia inversa complete, analice y explique lo que sucede en cada transformación. F G

B A

C´

A´ B´ E´

D´

0A´ = -1 0A

0B´ = -1 0B

G´

F´

0C´ = -1 0C

2. 0P´= -1.5 (OP), OQ´= -1.5 (OQ), OR´= -1.5 (OR), etc. T P

S 0

P´ R

3. Para K = - 0.7

R´ L

4. Define homotecia inversa.

5. Determine los valores del factor homotecia K de acuerdo con el resultado que se obtiene en cada transformación. a. b. c. d. e. f.

Congruencia directa Congruencia inversa Ampliación directa Ampliación inversa Reducción directa Reducción inversa

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UNIDAD 6.0 HOMOTECIA

Tema 2

Figuras Homotéticas Se ha dibujado figuras homotéticas ABCD y A’B’C’D’ con respecto al centro 0. Analice la figura y elabora una definición de figuras homotéticas con respecto a un punto 0. A´ A

B´

C´

D´

Dibuje un par de figuras homotéticas con respecto a un centro 0, calcule el valor de las siguientes razones. Escriba una conclusión. Investigar:

0A´ 0A

0B´ 0B

0C´ 0C

Practique la homotecia o la dilatación en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

0D´ 0D

Complete el dibujo de figuras de acuerdo con la información que hay en cada caso: E

A C

A´

2. K = -

1 2 R S 0

3. D

E´

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UNIDAD 6.0 HOMOTECIA

Tema 3

Propiedades de la Homotecia Se dibujaron las siguientes parejas de figuras homotéticas.

P Q 0 R S S´ Investigar:

Termine de dibujar las figuras homotéticas.

Practique la homotecia o la dilatación en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

1. Analice y conteste las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el valor de la razón de homotecia K en cada caso? b. ¿Qué relación se puede establecer entre los lados correspondientes de figuras homotéticas? c. ¿Qué sucede con las figuras homotéticas cuando K < 0? d. ¿Y cuando K = 1? e. ¿Y cuando K = -1? f. ¿Será cierto que dos figuras semejantes también son homotéticas? 2. Justifiquen sus afirmaciones

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UNIDAD 6.0 HOMOTECIA

Topic 4

Composición de Homotecias

CCSS.HSG.SRT.A.1, CCSS.HSG.SRT.A.1.A, CCSS.HSG.SRT.A.1.B

Se dibujó un triángulo PQR y se escogió un punto 0 como centro de homotecia. Se seleccionó un valor para la razón de homotecia (K1 = 4) y se dibujó homotética P´Q´R´. R´ R´´ R Q´´

Q´

P P´´ P´ Se utilizó una razón de homotecia (K2 = 0.75), usó el

P´Q´R´ y trazó la figura homotética P´´ Q´´ R´´.

Con el propósito de conocer el procedimiento que se puede seguir para sustituir dos homotecias que tienen el mismo centro de homotecia 0, hagan las actividades solicitadas en cada caso. 1. Dibuje un triángulo

LMN 1 y repita la actividad de la figura anterior.

2. Complete y verifique las igualdades que se deben de cumplir: 0L´ = __________

0M´ = __________

0N´ = __________

0L´´ = __________

0M´´ = __________

0N´´ = __________

Investigar: Practique la homotecia o la dilatación en tu libreta de Laboratorio de Metromatemáticas.

3. ¿Cómo se puede calcular el valor de K que cumple con las igualdades? 0L´´ = K(0L)

0M´´ = K(0M)

0N´´ = K(0N)

4. ¿Cómo se puede calcular el valor de K para trazar la figura homotética de

PQR.

5. Complete y justifique la siguiente afirmación: La razón de homotecia K es una composición de homotecia con el mismo centro 0 se calcula...

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