The generalized Dice measures for multiple attribute decision making

The generalized Dice measures for multiple attribute decision making under simplified neutrosophic environments

Abstract

Keywords:

1. Introduction

E-mail address:

2. The Dice measures of SNSs Definition

S

1

S

x t S x u S x vS x

x

X

X tS x X

S

uS x X

tS x

x tS x uS x vS x

uS x

S

vS x X

vS x

x sx

tx ux vx

tx u x vx

tx

t xL t Ux

X

tx

ux

u xL uUx

vx

vxL vUx

vx

t Ux

Definition 2 sj t j, u j, v S S

j

S j

s

uUx

s

t j, u j, v

s

j

n

j

S

s

s s

j

t j, u j, v S

j

s

j

n

s s

j

t Lj

DSVNN S S

j

v

j

t

j

s

j

v Lj

v jv

j

u

j

S

uUj uUj

uUj

v Lj

t Uj

j

v

j

S

v Lj v L j

t Uj

j

vUj vUj vUj

u Uj

vUj

DINN S S

tijU

tijL

W n

u ju

j

t j, u j, v

j

DINN S S

DSVNN S S

n

s

u Lj u L j

DINN S S

DSVNN S S

u

j

s

j

u Lj

DSVNN S S

tij

j

u Lj

t Lj

DSVNN S S

j

t Uj t Uj

t Lj t Lj

j

t

j

n n

n

t jt

n

j

sn S

S

s

j

DINN S S

n

s

j

n

j

S

n

DSVNN S S s

vUx

S

uijU

uijL

uij

w w

S

vijU

vijL

vij

wn

i

j

n

sij i

sij i j

j n wj

wj

s

n

DWSVNN S S

wj j

s

j

s

j

s

j

t jt

n

wj j

t

j

u

j

u ju

j

v

j

v jv

j

t

j

u

j

v

j

n

DWINN S S

s

wj

s

j

wj

t Lj

j

t Uj t Uj

t Lj t Lj

n

j

s

j

uUj uUj

u Lj u L j

u Lj

t Lj

s

v Lj

u Lj

t Uj v Lj

vUj vUj

v Lj v L j uUj

t Uj

vUj u Uj

vU j

3. Another form of the Dice measures of SNSs Definition 3 t j, u j, v j S S

S

s

s n

j

s

S

n

s

j

s S

s

n

s

j

t j, u j, v

j

s

j

S

S t j, u j, v S

n

t

j

u

j

v

j

n

j

u ju

j

v jv

j

n j

t

j

u

j

S

j

v

j

S

t Lj t Lj

t Uj t Uj

u Lj u L j

uUj uUj

v Lj v L j

vUj vUj

t Lj

t Uj

u Lj

uUj

v Lj

vUj

t Lj

t Uj

u Lj

DSVNN S

S

n j n j n j

DSVNN S S

DSVNN S S DSVNN S S

s

S S

DINN S S

DSVNN S S

j

t jt

j

S

j

S

S S

DSVNN S S

t j, u j, v

j

DINN

DINN S

DINN S S DINN S S S S S

v Lj

uUj

vU j

S

DINN S S S

Proof:

a

S

s

j

s

j

n

|S |

b

ab

DSVNN S S

DINN S S sij i w w

wn

sij i

j j

n n wj

W n j

wj

j

n

S S

DWSVNN S S

S

n

S

w

S S

j n j

S

u

j

v jv

j

n

v

j

u ju

j

wj t

j

u

j

v

j

w

S

w

w j t Lj t Lj

w

t Uj t Uj

u Lj u L j

uUj uUj

v Lj v L j

vUj vUj

w j t Lj

t Uj

u Lj

uUj

v Lj

vUj

w j t Lj

t Uj

u Lj

j n

wj t

j

DWINN S S n

w j t jt

j

w

v Lj

uUj

vUj

4. The generalized Dice measures of SNSs

Definition 4. S sj tj uj vj j

s

S

n

s

n

j S

n

t

j

s s

j

s

j

S

j

s

j

t jt j u ju uj vj

S

j

v jv j t j u

j

v

j

u

j

S n

t jt

j n

t

j

n

n n

n

j

S S

GSVNN S S

t

j

S

GSVNN S S

s S

n

j

s

j

s

j

s

j

u

j

v

j

n j

n

j

n j

n

j

u ju

j

v jv

j

n j

t jt

u

j

u ju

j

t

u ju

j

t

j

t jt

t

j

u

j

v jv

j

v

j

v jv

j

v

j

v

j

u

j

v

j

n

S S

GSVNN S S

t jt

j

n

S S S

GSVNN S S

t

j n

t jt

j

W

w w

s s

j n

wj

t

j

S S

GWSVNN S S

S

wj t

s

s n

S

n

S

n

GINN S S

s

j

v jv j t j u

j

u ju

v jv

j

s j

t Lj

j

s

v

j

wj t

u

j

s S

n

j

t

j

v

j

u

S

j

s

j

t Uj t Uj

t Lj t Lj

j

n

s

j

uUj uUj

u Lj u L j

vUj vUj

v Lj v L j

u Lj

v Lj

t Uj

uUj

vUj

t Lj

u Lj

v Lj

t Uj

u Uj

vU j

S S S

S n

t Lj t Lj

j n j

n j

t Uj t Uj t Uj

t Lj t Lj

wj

j

S

n

v

j

s

n

GINN S S

n

w

w j t jt

u

j

s

j

s

S

w

j j

j

w

n n

j

n wj

j

t jt j u ju uj vj

j

v

j

n

wj

j

v jv

j

n

sij i

GWSVNN S S

v

j

wn

Definition 5 S sj tj uj vj j

u

j

v jv

j

u ju

t

j

sij i

u

j

n

S

u ju

j

u Lj t Uj

uUj uUj

u Lj u L j

uUj u Lj

vUj vUj

v Lj v L j v Lj

u Uj

vUj v Lj

vU j

j

v

j

tijL

tij

vij

vijL

vijU

i

j

GINN S S

n

j

n

s

j

s

j

t Uj t Uj

u Lj u L j

uUj uUj

v Lj v L j

vUj vUj

t Lj

u Lj

v Lj

t Uj

uUj

vU j

n

j

uUj uUj

v Lj v L j

vUj vUj

t

u

v Lj

t Uj

uUj

vUj

n j

U U j j L j

S S S t Lj t L j

t Uj t Uj

u Lj u L j

uUj uUj

v Lj v L j

vUj vUj

t Lj

t Uj

u Lj

uU j

v Lj

vU j

S S

GINN S S

j

u Lj u L j

j

j n

s

j

s

j

t t

n

s

t t

j

L L j j L j

GINN S S

S t Lj t L j

t Uj t Uj

u Lj u L j

uUj uUj

v Lj v L j

vUj vUj

t Lj

t Uj

u Lj

uUj

v Lj

vUj

sij i w w

wn

uijU

j

n

W

uijL

j

t Lj t Lj

GINN S S

n

uij

n

tijU

j sij i

n j

n wj

n j

wj

s

n

GWINN S S

wj

s

j

t Lj t Lj

n

wj

t Lj

j

S

j n j

s u Lj u L j

vUj vUj

t Uj

uUj

vUj

t Lj

u Lj

v Lj

t Uj

uUj

vUj

u Lj u L j

uUj uUj

v Lj v L j

vUj vUj

w

L L j j

w j t Lj

w

t Uj t Uj

wj t t

u Lj

t Uj

w j t Lj

j

v Lj v L j

uUj uUj

v Lj

S

n

j

u Lj

w n

j

t Uj t Uj

S S

GWINN S S

s

j

v Lj

uUj u Lj

t Uj

vUj v Lj

u Uj

vU j

5. Decision making-methods based on the generalized Dice measures

S R R n j

S S

Sm

Rn

Rj j

n

Si

m tij

uij

tijU

vij

uijU

si si vijU

sin

sj

tj uj vj

sj

tj uj vj

i

s s

tij

i

uij

i

tijL

i

tijU

n sij

j D

n

wj wj

Rj j

wj

Si i

S

R

n sij

tij uij vij i

m

m n

vij

i

uijL

i

uijU

i

vijL

i

vijU

j

m

sn

sj

tj uj vj

j

Si i

m

S Si i

S

Si

6. Decision-making example of manufacturing schemes

m

R

S= S S S S R R

R W Rj j

Si i

D

sj

S

tj uj vj

i

tij

i

uij

i

vij

j

i

s s s s

Si i

GWSVNN S S

S

GWSVNN S S

GWSVNN S S S S S S S

S S S S S

GWSVNN S S

S

Si

S

S Si

S

Si

S

Rj j

Si i

D

sj j

t j uj vj

i

tijL

i

tijU

i

uijL

i

uijU

i

vijL

i

vijU

i

S

s s

sn

Si i

GWINN S S

S

GWINN S S

GWINN S S S S S S S

S S S S S

S S

GWINN S S

S S S

S

Si

S

S Si

S

7. Conclusion

References

Si

S

S S

S

S S S

Applied Mathematical Modelling 37

Multispace and Multistructure 4 Science World Journal

2014 Neural Computing and Applications

Applied Soft Computing 25

International Journal of Systems Science International Journal of General Systems 42 Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 26 Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 26 Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 27 International Journal of Fuzzy Systems 16 Applied Mathematical Modelling 38 Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 28 Fuzzy Sets and Systems 20 Fuzzy Sets and Systems 31

Neutrosophic Sets and Systems 1 International Journal of Fuzzy Systems 16 Neural Computing and Applications 25

Neural Computing and Applications Journal of Intelligent and Fuzzy Systems Neural Computing and Applications

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook