Derivadas by Miguel Perez

Analysis Derivadas

OpenUepc.com 1.1.4.6.1

Ver 01:03/02/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.6

DIFERENCIACION

COPYRIGHT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/01/2010

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2 Historia.............................................................................................................................. 2 Aplicaciones ...................................................................................................................... 4 Objetivos Mínimos ............................................................................................................ 4 CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 5 El concepto de derivada ..................................................................................................... 5 Interpretación geométrica de la derivada ............................................................................ 7 Ecuaciones de la recta tangente y la recta normal ............................................................. 12 OPERACIONES CON DERIVADAS ................................................................................. 13 DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES ...................................................... 16 20 ejercicios de derivadas ................................................................................................ 27

| 1

INTRODUCCIÓN El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. Historia

El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país. Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil. Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz). En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial. El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, hace el estudio de los diámetros conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de una hipérbola de centro | INTRODUCCIÓN 2

C, entonces, Apolonio demuestra que la tangente en P corta las asíntotas en los puntos L y L’ (fig. 9.1. (a)) que equidistan de P.

(a)

(b)

fig. 9.1. En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (fig. 9.1. (b)), Apolonio traza la perpendicular desde el punto Q al eje AA’, y halla el conjugado armónico T de N con respecto a A y A’, es decir, el punto T de la recta AA’ es tal que , o equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA’ en la misma razón en que N divide internamente a AA’. Entonces, la recta que pasa por T y Q será tangente a la elipse. Igualmente, en el libro CÓNICAS V.8., Apolonio demuestra un teorema relativo a la normal a una parábola, que podría formar parte actualmente de un curso completo de Cálculo Diferencial. En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el mas importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman ("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto mas pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, mas cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente a calcular: f’(c) e igualar este límite a cero.

| INTRODUCCIÓN 3

Esta fue la razón que asistió a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe (Inglaterra)) y a Leibnitz (Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig (Alemania)) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales. Newton, tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era mas sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) ó y, él lo llamaba "cantidades fluentes", y la derivada, D f (x) era llamaba "fluxión". http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.1.html

Aplicaciones La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Objetivos Mínimos

| INTRODUCCIÓN 4

CONCEPTOS BÁSICOS El concepto de derivada Definición: Tasa de variación media en un intervalo Rate of Change Definimos la Tasa de Variación Media de un función en un intervalo [a,b] , y escribiremos TVM([a,b]), como el cociente: TVM   a, b  

f (b)  f (a ) ba

La tasa de variación de una función da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un determinada intervalo. Puede ser positiva , negativa o nula , dependiendo de la función y del intervalo. Ejemplo 1 La TVM de la función f(x)=x2-2 en el intervalo [1,2] es 22  2  f (12  2) f (2)  f (1) TVM 1, 2    3 2 1 2 1





Ejemplo 2 Un automóvil se desplaza de forma que el especio recorrido en un tiempo t viene dado por la fórmula e(t) = 4t2 +2t -1. ¿Qué Tasa de Variación Media ha mantenido este automóvil entre los segundos 5 y 10 de su recorrido? 4 102  2 10  1  4  52  2  5  1 419  109 e(10)  e(5) TVM  5,10     62 10  5 10  5 5



 



| CONCEPTOS BÁSICOS 5

Como se evidencia, nuestra TVM equivale a lo que en Física se denomina velocidad e 310 media vm    62 m/sg t 5

Definición: Cociente incremental La tasa de variación media viene a responder a la pregunta: ¿ cuántas unidades crece la variable y por cada una que crece la x? Vamos a transformar el concepto de TVM sin cambiar su contenido conceptual, llamandole x0 al punto a y consideramos como h su varianciaón de manera que el punto b ahora se llame x0 + h. Denominamos entonces cociente incremental a la expresión. y f ( x0  h)  f ( x0 )  x h

Como ves, el cociente incremental es lo mismo que la TVM donde hemos hecho un cambio en la notación con objeto de preparar el camino a introducir el concepto de derivada. Definición: Tasa de variación instantanea (en un punto x0) La tasa de variación instantanea en un punto x0 es el límite del cociente incremental ( o de las tasas de variación media) cuando los intervalos de la variable independiente se hacen cada vez más pequeños . | CONCEPTOS BÁSICOS 6

lim h 0

y f ( x0  h)  f ( x0 )  lim h  0 x h

Definición: Derivada en un punto x0 Derivative Si usamos la TVM se llama derivada de la función f en el punto x0 al siguiente límite:

f '  x0   lim x  x0

f ( x)  f ( x0 ) x  x0

Si usamos la notaciónd el cociente incremental la misma definición es: f '  x0   lim h0

y f ( x0  h)  f ( x0 )  lim h  0 x h

Siempre dando por supuesto que el límite exista. Si es así, decimos que la función f es derivable en el punto x0. Intuitivamente podríamos decir que la derivada es la tasa de variación instantánea.

Ejemplo Calcular la derivada de f(x) = x2 + 8 en el punto x0 = 2  2  x0  h  2  8   2 x02  8 h  2h  4 x0  f ( x0  h)  f ( x0 )    f '  x0   lim  lim   lim  4 x0  8 h 0 h 0 h 0 h h h

Interpretación geométrica de la derivada f ( x )  f ( x0 ) equivale a la tangente del ángulo α y, x  x0 consecuentemente, es la pendiente de la recta que une los puntos (x,f(x)) y (x0, f(x0)), y hemos definido la derivada como el límite de esta expresión cuando x tiende En el gráfico de la TVM , la expresión

Igualmente, si usameos la gráfica del conciente incremental, que sabemos que es lo mismo f ( x0  h)  f ( x0 ) que la TVM pero dicho de otra manera, la expresión equivale también a la h

| CONCEPTOS BÁSICOS 7

tangente del mismo ángulo α y, consecuentemente, es la pendiente de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) (x0+h,f(x0+h)). .

Nos centramos a partir de ahora en la segunda forma de definición y llamamos P al punto (x0,f(x0)) y Q al punto (x0+h,f(x0+h)). Se tiene que la recta que une los puntos P y Q tiende a confundirse con la recta tangente a la función f en P cuando h tiende a 0.

De esta manera observamos que la derivada de una función en un punto x0, f’(x0), coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x0. Ejemplo Dada la función f(x) = x2 +1, calcula la pendiente de la tangente a f en el punto x0 = 0.5. Esta pendiente m coincide con el concepto de derivada f’(0.5) por tanto

 0.5  h  1   0.5  1  lim h  h  1  1 2

f (0.5  h)  f (0.5) m  f '(0.5)  lim  lim h0 h0 h

h 0

| CONCEPTOS BÁSICOS 8

Definición: Derivadas laterales Definimos derivada por la derecha y por la izquierda de una función f en un punto x0, y la denotamos por f’(x0+) y f’(x0 -), a los límites

   lim f ( x

f ' x0



h 0



   lim

f ' x0



h 0



 h)  f ( x0 ) h

f ( x0  h)  f ( x0 ) h

Definición: Diferenciación. Función derivable en un punto Para que exista derivada de una función f en un punto x0, deben existir ambos límites laterales y ser coincidentes, en este caso decimos que la función f es derivable o diferenciable en x0. Ejemplo 1 La función f ( x )  x no es derivable en x0=0. Para que f fuese derivable tendrían que exister las dos derivadas laterales y ser iguales, pero f (0  h)  f (0) 0h  0 h 1 f ' 0  lim  lim  lim  lim   h 0 h  0 h  0 h  0 h h h h Por otro lado f’(0-) no existe porque las raíces de números negativos no son números reales, por tanto f’(0+) no coincide con f’(0-)por tanto la función f no es derivable en 0.

 

Ejemplo 2

 x  2 si x< 2 Dada la función definida por partes f ( x)   2 , no es derivable en x0=2, si x  2  x pues las derivadas laterales resultan: 2

2  h  4  f (2  h)  f (2) h 2  4h f '  2   lim  lim  lim  lim  h  4   4 h 0 h 0 h 0 h 0 h h h f (2  h)  f (2)  2  h  2  4  lim h  lim 1  1 f '  2   lim  lim h0 h 0 h 0 h h  0 h h Y son distintas, luego f no es drivable en 2. 

| CONCEPTOS BÁSICOS 9

Ejemplo 3

4 x  4 si x< 2 Dada la función definida por partes f ( x)   2 , sí que es si x  2  x derivable en x0=2, pues las derivadas laterales resultan: 2

 2  h   4  lim h2  4h  lim h  4  4 f (2  h)  f (2) f '  2   lim  lim   h 0 h 0 h 0 h 0 h h h 

f '  2    lim h 0

f (2  h)  f (2) 4(2  h)  4  (4  2  4) 4h  lim  lim 4 h  0 h  0 h h h

Ejemplo 4

 x si x< 0 Dada la función valor absoluto f ( x)  x   , no es derivable en x0 = 0,  x si x  0 pues las derivadas laterales resultan: f (0  h)  f (0) (0  h)  0 f '  0   lim  lim 1 h0 h0 h h f (0  h)  f (0) (0  h)  0 f '  0   lim  lim  1 h0 h 0 h h Al no ser coincidentes, la función f no es derivable en 0. Definición: Funcion derivable (ó diferenciación) en un intervalo Si una función es derivable en cada punto de un intervalo [a,b] se puede definir una nueva función que asigne a cada punto x0 de ese intervalo su derivada f '(x0) en dicho punto, es decir f ' :  a, b    x   f '( x)  lim h 0

f ( x0  h)  f ( x0 ) h

Esta función se llama función derivada de f en un intervalo [a,b] y la denotaremos por f ' o d por f dx | CONCEPTOS BÁSICOS 10

Definición: Derivadas sucesivas. Differentiation of higher order derivatives Si la función f’ derivada de f, es derivable en todos los puntos de un intervalo, su derivada se llama derivada segunda y se denota f '': f ''  x0   lim h 0

f '( x0  h)  f '( x0 ) h

En general, podemos definir la derivada n-ésima como

f n )  x0   lim h 0

f n 1) ( x0  h)  f n 1) ( x0 ) h

Ejemplo Calcula las derivadas sucesivas de la función f(x) = x3 hasta el orden 4. 3

x 3  3x 2 h  3xh 2  h3  x0 f ( x  h)  f ( x ) ( x  h )3  ( x ) 3 f '  x   lim  lim  lim  3x 2 h 0 h 0 h 0 h h h f '( x  h )  f '( x ) 3( x  h ) 2  ( x ) 2 3 x 2  6 xh  3h 2 3 x 2  lim  lim  6x h 0 h 0 h0 h h h f ''( x  h)  f ''( x ) 6( x  h)  6 x 6 x  6 h 6 x f '''  x   lim  lim  lim 6 h0 h0 h 0 h h h f '''( x  h)  f '''( x ) 66 f iv )  x   lim  lim 0 h0 h0 h h Teorema f ''  x   lim

Si una función f es derivable en x0 entonces f es continua en x0. Demostración Supongamos f una función derivable en x0, entonces

f ( x0  h)  f ( x0 )  f ( x0  h)  f ( x0 )  lim  f ( x0  h)  f ( x0 )  lim h   lim h  lim  0  f '( x0 )  0  h 0 h0 h h   h0 h0 Si lim  f ( x0  h)  f ( x0 )   0  lim f ( x0  h)  f ( x0 )   lim f ( x )  f ( x0 ) c.q.d. h 0

h 0

x  x0  h

x  x0

Conclusiones: Lo contrario no tiene por qué ser cierto, como contraejemplo tenemos la función valor absoluto f(x)=│x│ que es continua en el punto 0 pero no es derivable. Usaremos muy frecuentemente la conclusión que nos otorga el resultado contrarecíproco es decir: “si f no es continua, entonces f no es derivable”.

| CONCEPTOS BÁSICOS 11

Ecuaciones de la recta tangente y la recta normal Gracias a la derivada noes es muy sencillo calcular las ecuaciones de la recta tangente y normal a una función f en un punto x0. De ambas rectas sabemos un punto por el que pasan que es (x0,f(x0)). De la recta tangente sabemos que su pendiente es f’(x0) luego podemos escribir la ecuación punto.pendiente de esta recta tangente: y  f  x0   f '( x0 )( x  x0 ) Para la normal, sabemos que dada la pendiente m de la tangente, la pendiente m’ de la normal tiene que verificar que m·m’ = -1 por ser ambas rectas perpendiculares, entonces: f’(x0)·m’ = -1 y de ahí que la ecuación de la recta normal sea y  f  x0  

1 ( x  x0 ) f '( x0 )

| CONCEPTOS BÁSICOS 12

OPERACIONES CON DERIVADAS Basic differentiation rules Se verifican las siguientes propiedades Propiedad 1. Sum and difference of functions

f

 g  ( x )  f '( x )  g '( x )

Demostración

 g  ( x  h)   f  g  ( x )  f ( x  h)  g ( x  h)    f ( x )  g ( x )   lim  ... h0 h 0 h h f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h)  g ( x) ...  lim  lim  f '( x)  g '( x) h 0 h  0 h h

f

 g  ( x )  lim

f

Propiedad 2 Product rule '

 f  g  ( x) 

f '( x )  g ( x )  f ( x )  g '( x )

Demostración '

 f  g  ( x)  lim h0

 f  g  ( x  h)   f  g  ( x)  lim  f ( x  h)  g ( x  h)    f ( x)  g ( x)   ... h

h 0

Sumamos y restamos a esta expresión el factor f(x)·g(x+h) ...  lim h 0

...  lim h 0

...  lim

 f ( x  h)  g ( x  h)   f ( x )  g ( x  h)  f ( x )  g ( x  h)   f ( x )  g ( x)   ... h g ( x  h)  f ( x  h)  f ( x )   f ( x)   g ( x  h)  g ( x)  h g ( x  h)  f ( x  h)  f ( x ) h

h 0

 lim h0

 ...

f ( x )   g ( x  h)  g ( x ) h

 g ( x ) f '( x)  f ( x) g '( x )

Propiedad 3 '

  f  ( x)    f '( x )

 

Demostración '

  f  ( x )  lim h0   ...  lim    h0  

  f  ( x  h)    f  ( x)  lim   f ( x  h)    f ( x)  ...

h0 h h f ( x  h)  f ( x )    f ( x  h)  f ( x )       lim      f '( x) h  0 h h   

Propiedad 4 Quotient rule | CONCEPTOS BÁSICOS 13

f  f '( x)·g ( x)  f ( x )·g '( x)   ( x)  g 2 ( x) g

Demostración  f   f  f ( x  h) f ( x )   g  ( x  h)   g  ( x )  f  f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x  h) g ( x  h) g ( x )      lim  lim  ...   ( x )  lim h0 h 0 h 0 h h h  g ( x  h)  g ( x) g Introducimos en el numerador, sumando y restando, el factor f(x)·g(x) y realizamos las transformaciones siguientes: '

 1 f ( x  h ) g ( x )  f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)  f ( x ) g ( x  h)   lim     ... h 0 g ( x  h )  g ( x ) h    g ( x )  f ( x  h )  f ( x )   f ( x )  g ( x)  g ( x  h )   1 ...  lim     ... h  0 g ( x  h)  g ( x ) h   f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h)  g ( x)    f ( x)  lim  g ( x) lim  g ( x) f '( x )  f ( x) g '( x ) h 0 h  0 h h ...    2 lim  g ( x  h)  g ( x)  g ( x)   h0  

Propiedad 5: Regla de la cadena Chain Rule '

 g  f  ( x)   g  f ( x) '  g ' f ( x)  f '( x) Demostración Vamos a probarlo en forma local para un punto x0. Supongamos pues f derivable en x0 y g derivable en f(x0) se tiene que: '

 g  f  ( x0 )  lim h 0

 g  f  ( x0  h)   g  f  ( x0 ) h

  hacemos x 0 +h=x

lim

x  x0

 g  f  ( x)   g  f  ( x0 )  ... x  x0

Multiplicamos y dividimos esta expresión por f(x)-f(x0)  g  f ( x )   g  f ( x0 )  f ( x)  f ( x0 )   g  f ( x )   g  f ( x0 )    f ( x)  f ( x0 )  ...  lim      xlim   xlim    ... x  x0  x  x 0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0      0  ...  g '[ f ( x )]  f '( x) NOTA: En esta demostración falta considerar el caso en que f(x)-f(x0) pueda valer 0, pero esta apreciación corresponde demostrarla en niveles de enseñanza superiores a secundaria.

Propiedad 6:

 f  '( x)  1

1 f '( x )

Demostración | CONCEPTOS BÁSICOS 14

Vamos a probarlo en forma local para un punto x0. Supongamos pues f derivable en x0 y f-1 derivable en y0=f(x0). Se tiene que:

y0  f ( x0 )  lim f ( x )  lim y x  x0

1

x  x0

1

x0  f ( y0 )  lim f ( y )  lim x y  y0

y  y0

Se tiene que f  1 ( y )  f  1 ( y0 ) x  x0 1 , por lo que se verifica que   y  y0 f ( x )  f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 ) x  x0 lim

y  y0

f 1 ( y )  f 1 ( y0 ) 1  lim x  x0 f ( x )  f ( x ) y  y0 0 x  x0

Entonces 1 '

f 

f 1 ( y0  h)  f 1 ( y0 ) f 1 ( y )  f 1 ( y 0 ) ( y0 )  lim   ...  ylim h 0  y0 h y  y0 hacemos y +h=y 0

1 1 1 ...  lim   x  x0 f ( x )  f ( x ) f ( x)  f ( x0 ) f '( x0 ) 0 lim x  x0 x  x0 x  x0

| CONCEPTOS BÁSICOS 15

DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Differentiation of elementary functions Función constante Constant function Consideramos la función

f '( x)  lim h 0

f :    x   f ( x)  k

. Su función derivada es

f ( x  h)  f ( x ) k k 0  lim  lim  0 h 0 h0 h h h

Función identidad Consideramos la función

f '( x )  lim h 0

f :    x   f ( x)  x

. Su función derivada es

f ( x  h)  f ( x ) xhx h  lim  lim  1 h 0 h 0 h h h

Función lineal Consideramos la función

f '( x)  lim h0

f :    x   f ( x )  mx  b

. Su función derivada es

m  x  h   b   mx  b  f ( x  h)  f ( x) mh  lim  lim m h0 h 0 h h h

Función Potencial Consideramos la función

f :    x   f ( x)  x n n

. Su función derivada es: n

f ( x  h)  f ( x )  x  h   x  ... f '( x)  lim  lim h0 h 0 h h Desarrollo binomio de Newton    n(n  1) 2 n 2  n n 1 n 1 n n  x  nhx  2 h x  ...  nh x  h   x  ...  lim   ... h 0 h n(n  1) n  2   ...  lim  nx n 1  hx  ...  nh n  2 x  h n 1   ... h 0 2   n(n  1) n 2 ...  nx n 1  lim hx  ...  lim nh n  2 x  lim h n 1  nx n 1 h0 h 0 h0 2        0

0

| CONCEPTOS BÁSICOS 16

Función inversa f ( x ) 

1 x

Esta función es el cociente de la función constante g(x) = 1 y la función identidad h(x) = x, por lo que su derivada se calcula de forma inmediata aplicando la regla de la derivada del cociente de dos funciones '

 1  1' x  1  x ' 0  x  11 1 f '( x)       2 x2 x2 x  x

Función Potencial. Power function Consideramos la función f ( x)  x n . Su función derivada es: n

0

Función Potencial Consideramos la función

f :    x   f ( x)  x n n

n   . Su función derivada es: n

f ( x  h)  f ( x )  x  h   x  ... f '( x)  lim  lim h0 h 0 h h Desarrollo binomio de Newton    n ( n  1)  n n 1 2 n 2 n 1 n n  x  nhx  2 h x  ...  nh x  h   x  ...  lim   ... h 0 h n(n  1) n  2   ...  lim  nx n 1  hx  ...  nh n  2 x  h n 1   ... h 0 2   n(n  1) n 2 ...  nx n 1  lim hx  ...  lim nh n  2 x  lim h n 1  nx n 1 h0 h 0 h0 2        0

0

Ejemplo | CONCEPTOS BÁSICOS 17

Calcular la derivada de la función f(x) = x5 – x3 en el punto x0 = -1. Solución f’(x) = 5x4 – 3x2 y f’(-1) = 5(-1)4 -3(-1) 2 = 2 Función Polinómica Consideramos la función polinómica dada por f ( x )  an x n  an 1 x n 1  ...  a2 x 2  a1 x1  a0 Y vamos a calcular su derivada, para ello aplicamos las propiedades de la suma y el producto de funciones, así como la acabada de demostrar derivada de la función potencial, resultando que, como cada sumando tiene por derivada: n '

a x   a  x n

 an  x n   0  x n  an  nx n 1   n  an x n 1

La derivada del polinomio completo queda: '

f '( x)   an x n    an 1 x n 1   ...   a2 x 2    a1 x1    a0   nan x n 1   n  1 an 1 x n  2  ...  a2 x  a1

Ejemplo Calcular la derivada de la función f(x) = 3x4 – 2x3 + 5x -2 en el punto x0 = 2. Solución f’(x)=12x3 – 6x2 + 5 y f’(2) = 12·23 – 6·22 + 5 = 77 Función exponencial Consideramos la función exponencial f ( x )  a x . Su derivada resulta:

a x  a h  1 f ( x  h)  f ( x ) a xh  a x ah 1 f '( x)  lim  lim  lim  a x lim ... h 0 h 0 h 0 h 0 h h h h Hacemos el cambio ah -1 = t ⇔ ah = t + 1 ; en donde vemos que si h⇾0 ⇒ t = ah - 1⇾0 y tomando logaritmos neperianos en esta igualdad ln a h  ln(t  1)  h 

ln  t  1 , de donde ln a

    a 1 t 1    a x ln a  1  a x ln a x x x ...  a lim  a lim  a ln a  1  h0 h  0 ln(t  1) h ln e    ln lim(1  t ) t   ln a   h0    h

El caso particular de la función exponencial f ( x)  e x resulta f '( x)  e x ln e  e x , que es la única función que coincide con su derivada. Fíjate que la interpretación geométrica de este | CONCEPTOS BÁSICOS 18

hecho es que la función f ( x)  e x es tal que en cada punto nos da exactamente la pendiente de la propia función. Función logarítmica Consideramos la función logarítmica f ( x )  ln x (que solamente está definida para x > 0, si queremos definirla sobre todo ℝ\{0} tenemos que usar f(x) = ln│x│) Entonces vamos a demostrarlo para f(x) = ln│x│. Hay que considerar dos casos x>0 y x<0 Si x>0

ln x  h  ln x ln  x  h   ln x f ( x  h)  f ( x) 1 xh  lim  lim  lim ln  ... h0 h 0 h 0 h 0 h h h h x 1 1 1     1 x 1  x  h h   h h      n x  . .. ...  ln lim   ln lim 1   .....  ln lim 1  n  ln e       n0   h 0  x    h 0  x     h     hacemos el cambio n= x / n 0 1 1 ...  ln e  x x Si x<0 f '( x)  lim

Si x<0 siempre habrá un entorno de x, tomando el h suficientemente pequeño de forma que │x + h│= - (x + h) y │x│= - x, entonces la demostración queda similar ln    x  h    ln   x  ln x  h  ln x f ( x  h)  f ( x) 1   x  h  lim  lim   lim ln  ... h 0 h 0 h0 h 0 h h h h x 1 xh 1 ...  lim ln  .....  h 0 h x x f '( x)  lim

Funciones trigonométricas Sea la función f ( x )  sin x . Su derivada se deduce de la siguiente forma: sin  x   cos(h)  sin  h   cos  x   sin x f ( x  h)  f ( x) sin( x  h)  sin x  lim  lim  ... h 0 h0 h 0 h h h cos(h)  1 sin(h) ...  sin x  lim  cos x  lim  cos x h 0 h0 h h      f '( x )  lim

0

1

Consideramos ahora la función f ( x )  cos x

| CONCEPTOS BÁSICOS 19

cos  x   cos(h)  sin  h   sin  x   cos x f ( x  h)  f ( x ) cos( x  h)  cos x  lim  lim  ... h  0 h  0 h h h cos(h)  1 sin(h) ...  cos x  lim  sin x  lim   sin x h 0 h  0 h  h    f '( x)  lim h 0

0

1

Consideramos ahora la función f ( x )  tan x ' ' '  sin x    sin x  cos x  sin x  cos x    cos x  cos x  sin x   sin x   f '( x)   tan x  '      ...     cos 2 x cos 2 x  cos x    

 cos 2 x  sin 2 x  1 ...    2 2 cos x   cos x

Funciones trigonométricas inversas Vamos a calcular ahora las derivadas de las siguientes funciones 1.

f ( x )  sec x

f ( x )  csc x

f ( x )  cot x

1.- Sea la función f ( x )  sec x . Su derivada se deduce de la siguiente forma: '

1  1' cos x  1   cos x  ' 0  cos x  1    sin x  sin x    sec x  '     2 2 cos 2 x  cos x   cos x   cos x 

sin x  sec x tan x cos x cos x 2.- Para la cosecante: f ( x )  cs c x , aunque se podría hacer forma análoga vamos ahora a utilizar la regla de la cadena:

Lo cual, también puede ser escrito como  sec x  ' 

' 1   cos x 1 2   cot x  csc x  csc x  '      sin x   1 sin x   cos x   sin 2 x  sin x 

3.- Finalmente, para la cotangente f ( x )  cot x : '

cos x    sin x   sin x  cos x  cos x 1  2   csc2 x  cot x  '     2 sin x sin x  sin x 

Funciones arco Vamos a calcular ahora que las derivadas de las siguientes funciones son: | CONCEPTOS BÁSICOS 20

f ( x)  arcsin x  f '( x ) 

f ( x)  arccos x  f '( x) 

f ( x)  arctan x  f '( x) 

f ( x)  arcsec x  f '( x ) 

f ( x)  ar csc sx  f '( x) 

f ( x)  arc cot x  f '( x) 

1 1  x2 1 1  x2 1 1  x2

1 x x2 1 1 x x2  1 1 1  x2

1.- Para la función arco seno tenemos inicialmente que pensar que la función f ( x )  arcsin x es inversa de la función g(x) = sin x. Vamos a definir la función seno de manera que recorra todo el intervalo [-1,1] sólo una vez (hay que tener en cuenta que sin(x) es una función periódica y si ahora vamos a hablar de su inversa, ésta podría no ser una función bien definida si no lo hacemos de forma rigurosa). Entonces, tomo como función seno exactamente la definida como     sin  2 , 2    [ 1, 1] x   sin x

Así se tiene que dos valores distintos del conjunto origen tienen imágenes distintas en el conjunto imagen, además, todos los valores del conjunto imagen tienen correspondencia con alguno del conjunto origen, luego en estos intervalos la función seno es biyectiva. Ejemplo Hablando en radianes, si sin

 1 1   entonces arc sin  .Es decir: 6 2 2 6     arcsin

    sin  ,  2 , 2    [ 1, 1]   2 2  1

f f x   sin x  arcsin(sin x )  x Por todo lo explicado, podemos afirmar que si arcsin x  y  sin(arcsin x)  x  sin y

Y si a esta expresión la derivamos aplicando la regla de la cadena resulta

| CONCEPTOS BÁSICOS 21

x '  1   sin y  '  y 'cos y  y ' 

1 1 1   ...  2 cos y  1  sin y  como sin y  x   1  x 2

    , Pero en el intervalo  la función coseno es positiva por lo que tomamos sólo la raíz  2 2  1 positiva quedando finalmente que y '   arcsin x  '   1  x2 2.- Para la función f(x) = arccos x, tenemos que repetir el mismo razonamiento. Consideramos y = arc cos x equivalente a que x = cos y. Derivando por la regla de la cadena: x '  1   cos y  '   y 'sin y  y '   arccos x  ' 

1 1 1   ...  sin y  1  cos 2 y  como cos y  x 1  x 2

3.- Para la derivada del arco tangente, f(x) = arctan x Consideramos y = arc tan x equivalente a que x = tan y. Derivando por la regla de la cadena:

x '  1   tan y  '  y ' 1  tan 2 y   y '   arctan x  ' 

1 1  ...  2 1  tan y  como tan y  x  1  x 2

4.- Para la función arco secante, f(x) = arcsec x: Dada y = arcsec x ⇒ x = sec y. Entonces, teniendo en cuenta la igualdad trigonométrica que nos afirma que sec2 x = 1 + tan2x y aplicando la Regla de la cadena x '  1   sec y  '  y '  sec y tan y   y '   arc sec x  ' 

1 1 1   2 sec y tan y sec y sec y  1 x x 2  1

5.- Para la función arco cosecante, f(x) = arccsc x: Dada y = arccsc x ⇒ x = csc y. Entonces, teniendo en cuenta la igualdad trigonométrica que nos afirma que csc2 x = 1 + cot2x y aplicando la Regla de la cadena x '  1   csc y  '  y '   csc y cot y   y '   arc csc sx  ' 

1 1 1   2 csc y cot y csc y csc y  1 x x 2  1

6.- Por último, lo demostramos para el arco cotangente, f(x) = arccot x: Dada y = arccot x ⇒ x = cot y. Aplicando la Regla de la cadena

x '  1   cot y  '  y '  1  cot 2 y   y '   arc cot x  ' 

1 1  ...  2 1  cot y como cot y  x  1  x 2 | CONCEPTOS BÁSICOS 22

n

Derivada de la función f ( x)  x n  n x 1 n

Consideramos ahora f ( x )  x n   f ( x )  x y derivando esta expresión por la Regla de la Cadena nos queda:

x' 1

n '

 f ( x)    n  f ( x) 

n 1

f '( x )  f '( x ) 

m n

Derivada de la función f ( x )  x  n x m m n

1 n 1

n  f ( x) 



1 n

  n x   

n 1



n 1 n



1 n x n1 n

m, n  

Consideramos ahora f ( x )  x   f ( x )  x m y derivando esta expresión por la Regla de la Cadena nos queda:

 x  '  mx m

m 1



n '

 f ( x )    n  f ( x ) 

n 1

f '( x)  f '( x) 

mx m 1 n 1

n  f ( x) 



mx m 1  m n xn   

n 1



mx m 1 nx

m n 1 n

Ejemplo Calcular la derivada de la función f ( x)  3 x 2 Solución 2

Como f ( x)  3 x 2  x 3 derivamos aplicando la Regla de la Cadena: '

 2  2 2 1 2 1 2 f '( x)   x 3   x 3  x 3  3 3 3 x   3

| CONCEPTOS BÁSICOS 23

m 1  xn n

Función elemental Derivada

Constante: f ( x)  k

Identidad: f ( x)  x

Lineal: f(x)=mx+b

Integral

Gráfico

f ' ( x)  0

 kdx  kx  c

f ' ( x)  1

x2  xdx  2  c

 mx  bdx 

f’(x)=m

mx 2  bx  c 2

Potencial: f ( x)  x p

f ' ( x)  px p 1

Parabola: f ( x)  ax 2  bx  c f ' ( x )  2 ax  b

p  x dx 

 ax



 bx  c dx 

ax 3 bx 2   cx  C 3 2

Raiz:

f ( x)  x

x p 1 c p 1

f ' ( x) 

1 2 x



xdx 

x3 3

c

| CONCEPTOS BÁSICOS 24

Inversa: 1 f ( x)  x

Logarítmica: f ( x ) 

 x dx  ln x  c

1 f ' ( x)  2 x

f ( x)  log a x

1 x 1 f ' ( x)  ·lg a e x f ' ( x) 

Exponencial: f ( x)  e x f ( x)  a x

f ( x)  e x f ( x)  a x ·ln a

e

Trigonométrica: f ( x)  sen x

f ' ( x)  cos x

 senxdx   cos x  c

Trigonométrica: f ( x)  cos x

f ' ( x )   sen x

Trigonométrica: f ( x)  tg x

f ' (x) 

Trigonométrica: f ( x )  arcsen x

f ' ( x) 

dx  e x  c

x  a dx 

ax c ln a

 cos xdx  senx  c

1 tgxdx   ln | cos x |  c 1tg2 x  2 cos x

1 1 x2

 arcsenxdx

1 1  x2

c

| CONCEPTOS BÁSICOS 25

Trigonométrica: f ( x )  arccos

Trigonométrica: f ( x )  arctg x

Valor absoluto f ( x)  x

 x si x  0   x si x  0

f ' ( x) 

1 1 x

f ' ( x) 

1 1 x2

 1 si x  0 f ' ( x)    1 si x 

 arccos xdx 

1 1 x2

 arctgxdx  1  x





c

 x2  2 si x  0 x dx   2   x si x  0  2

| CONCEPTOS BÁSICOS 26

20 EJERCICIOS DE DERIVADAS Presento a continuación una colección de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas, es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al cálculo de derivadas. 1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x

f '( x )   x  cos x  '  x ' cos' x  1  ( sin x)  1  sin x

 2 3 ' 1  1 3 2 4 4     4 3 f '( x)   x  sin x  ln x   4 x  cos x  ; f '    4    cos     x 2  2  2 2 2 2 3.- Calcular la derivada de la función f ( x )  x ln x x    Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definición de la función, pues sólo tendríamos problemas si apareciesen neperianos de números negativos 2.- Calcular la derivada de la función f ( x)  x 4  sin x  ln x

en x=

1 f '( x )   x ln x  '  x 'ln x  x  ln x  '  1  ln x  x    ln x  1  x 4.- Calcular la derivada de la función f ( x)  x 2 sin x f '( x )   x 2 sin x  '   x 2  'sin x  x 2  sin x  '  2 x  sin x  x 2 cos x

x sin x  1 x3  x 'sin x  x  sin x  ' 0  x 3   x sin x  1 x 3

5.- Calcular la derivada de la función f ( x)  '

 x sin x  1  f '( x )     x3   sin x  x cos x  x sin x  1 ...  x3



 sin x  x cos x  x 3  x 4 sin x  x3 x6

x tan x  cos x ln x  x ' tan x  x  tan x  '  cos x  ' ln x   x tan x  cos x  ln x  '

6.- Calcular la derivada de la función f ( x )  '

 x tan x  cos x  f '( x )     ln x  

 tan x  x tan ... 

ln 2 x

x  sin x  ln x   x tan x  cos x 

 ...

1 x

ln 2 x

7.- Calcular la derivada de la función f ( x )  cos x 2 '

f '( x )   cos x 2    sin x 2  2 x   2 x sin x 2

8.- Calcular la derivada de la función f ( x)  ln cos x | 20 EJERCICIOS DE DERIVADAS 27

 ...

1   sin x    tan x cos x

f '( x)   ln cos x  

9.- Calcular la derivada de la función f ( x)  e x sin x '

f '( x)   3 x cos x   3 x cos x ln 3  x cos x  '  3 x cos x ln 3  cos x  x sin x 

10.- Calcular la derivada de la función f ( x )  ln(ln x ) 1 1 1 ' f '( x)   ln(ln x)     ln x x x ln x 11.- Calcular la derivada de la función f ( x )  sen 2 ( x 2 ) '

f '( x )   sin 2 ( x 2 )   2  sin x 2  cos x 2   2 x 

12.- Calcular la derivada de la función ' 1 f '( x )  x 3  lg 2 x 2  2 x 3  lg 2 x 2





f ( x)  x 3  lg 2 x 2

 2 1   3 x  2 lg 2 e  2 x  x  

x 1  13.- Calcular la derivada de la función f ( x )  3    x  '

1

 x  1 2  2 x  1 3 1 x  ( x  1) 2 x  1 3 1 2        f '( x)   3     2      2 2   x   3 x  x 3 x  x 3x  

14.- Calcular la derivada de la función f ( x )  arctan

x x 1

x x 1

2 '   x  1  x   x  1  1 x  1  f '( x)   arctan       x  12  x 2   x  1 2  x  1 2 x  1   x 2        1  x 1 

15.- Calcular la derivada de la función f ( x)  arc sec  ln x     x 

 1  2  2 x  x  1 

ln x x

1  ln x ' ln x   x2 f '( x )   arc sec    2 x  ln x  ln x 2  ln x  ln x    1   1 x  x  x  x 

16.- Calcular la derivada de la función f ( x )  x x Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelven tomando previamente logaritmos neperianos en la expresión a derivar, para posteriormente aplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma

| 20 EJERCICIOS DE DERIVADAS 28

f ( x )  x x  ln f ( x )  x ln x   ln f ( x )  '   x ln x  ' 

1 1 f '( x )  1ln x  x  f '( x )  x x  ln x  1 f ( x) x

17.- Calcular la derivada de la función f ( x )  x l n x 1 2 ln x  2 ln x  f ( x)  x ln x  ln f ( x)  ln x  ln x  ln 2 x  f '( x)   f '( x )  x ln x   f ( x) x  x  18.- Calcular la derivada de la función f ( x )  x tan x 1 1 1 tan x   ln x f ( x)  x tan x  ln f ( x)  tan x ln x  f '( x )  ln x  tan x  f '( x)  x tan x    2 2 f ( x) cos x x x   cos x

1 1 x 19.- Calcular la derivada de la función f ( x )  ln 2 1 x f '( x) 

1 1 11  x   1  x  1 1  x  2  x  x 1 1    2 2 2 1 x 2 1  x 1  x  1  x 1  x  1  x 2 1  x  1 x

20.- Calcular la derivada de la función f ( x )  ln x  x 2  1

f '( x) 

1 x  x2 1

1

2x 2 x2  1



x2 1  x

x  x2 1

x2 1



1 x2 1

Ejercicios Propuestos Calcular la derivada de la función f ( x )  ln x  x 2  1

1 1 x Calcular la derivada de la función f ( x )  ln 2 1 x

| 20 EJERCICIOS DE DERIVADAS 29

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×



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