Espacios Vectoriales

Algebra Lineal Espacios vectoriales

OpenMaths.com 1.1.2.5.2

Ver 01:14/01/2011

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.5.2 correspondiente a

1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.2

ALGEBRA

1.1.2.5

ALGEBRA LINEAL

1.1.2.5.2

ESPACIOS VECTORIALES

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Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 12/12/2009

TABLA DE CONTENIDO

| INTRODUCCIÓN 1

| INTRODUCCIÓN 2

INTRODUCCIÓN Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

A vector space is a mathematical structure formed by a collection of vectors: objects that may be added together and multiplied ("scaled") by numbers, called scalars in this context.

Scalars are often taken to be real numbers, but one may also consider vector spaces with scalar multiplication by complex numbers, rational numbers, or even more general fields instead. The operations of vector addition and scalar multiplication have to satisfy certain requirements, called axioms, listed below. An example of a vector space is that of Euclidean vectors which are often used to represent physical quantities such as forces: any two forces (of the same type) can be added to yield a third, and the multiplication of a force vector by a real factor is another force vector. In the same vein, but in more geometric parlance, vectors representing displacements in the plane or in three-dimensional space also form vector spaces.

Vector spaces are the subject of linear algebra and are well understood from this point of view, since vector spaces are characterized by their dimension, which, roughly speaking, specifies the number of independent directions in the space. The theory is further enhanced by introducing on a vector space some additional structure, such as a norm or inner product.

Such spaces arise naturally in mathematical analysis, mainly in the guise of infinitedimensional function spaces whose vectors are functions. Analytical problems call for the ability to decide if a sequence of vectors converges to a given vector. This is accomplished by considering vector spaces with additional data, mostly spaces endowed with a suitable topology, thus allowing the consideration of proximity and continuity issues. These topological vector spaces, in particular Banach spaces and Hilbert spaces, have a richer theory.

Historia Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y complicada.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional.

| INTRODUCCIÓN 3

Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de un curva plana.[1] Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.[2] Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.[3] El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsiderarón con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).[4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.[5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.[6] Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[7] y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

Aplicaciones Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la física, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Vector spaces have manifold applications as they occur in many circumstances, namely wherever functions with values in some field are involved. They provide a framework to deal with analytical and geometrical problems, or are used in the Fourier transform. This list is not exhaustive: many more applications exist, for example in optimization. The minimax theorem of game theory stating the existence of a unique payoff when all players play optimally can be formulated and proven using vector spaces methods.[73] Representation theory fruitfully transfers the good understanding of linear algebra and vector spaces to other mathematical domains such as group theory.[74] Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial ; http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space

| INTRODUCCIÓN 4

CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Espacio Vectorial sobre un cuerpo K Repetimos la definición dada en estructuras conjuntistas 1.1.6.4.

Un conjunto V en el que se definen dos operaciones o leyes, una interna +, y otra externa * y

donde existen unos elementos 0,1∊V tales que , ∀u , v, w ∈ V y para ∀λ , µ ∈ K se tiene que Respecto a la operación interna +, se cumplenlas siguientes propiedades (de Grupo Abeliano)

• Conmutativa u + v = v + u

• Asociativa u + v + w = v + u + w

• Elemento neutro u + 0 = 0 + u

• El elemento simétrico de u es su opuesto −u pues u + −u = −u + u = 0

(

) (

)

Respecto a la operación externa * (que designaremos por un simple · o incluso con nada, como hacemos con la multiplicación común de números), se tienen las siguientes propiedades

• Distributiva respecto a la suma de vectores λ u + v = λ u + λ v

• Distributiva respecto a la suma de escalares ( λ + µ ) u = λ u + µ u

• Asociativa mixta λ µ u = ( λµ ) u

• Elemento neutro u ⋅1 = u

(

)

( )

Pues bien, a este conjunto formado por {V, +, *, K} que verifique todas las propiedades anteriores se le llama espacio vectorial sobre el cuerpo K (usualmente ℚ,ℝó ℂ)

Definición: vector A los elementos del conjunto V se les llama vectores A los vectores los representaremos por letras latinas minúsculas con una flecha sobre ellas,

los más usados son : a, b, c, u, v, w, i, k , k ,...

Definicón: escalar A los elementos del cuerpo K se les llama escalares A los escalares los representaremos por letras griegas. Las más usadas son α , β , δ , γ , λ , µ ,ν

| 5

Ejemplos de espacios vectoriales El plano ℝ 2 • • • •

ℝ2 estudiado en geometría plana V2 o conjunto de vectores del plano, estudiado en Geometría plana M o conjunto de matrices cuadradas n x n P o conjunto de polinomios

El espacio ℝ 3 Vamos a construir el conjunto ℝ × ℝ × ℝ que denotaremos por ℝ3 que está formado por ternas ordenadas de números reales, es decir  1 −4   ℝ × ℝ × ℝ = ℝ 3 = {( x, y, z ) / x, y, z ∈ ℝ} = ( 0, 0, 0 ) , ( 3, −1, 2 ) ,  7 34 , ,  , 3 5   

(

 2, π , e ,... 

)

Dos ternas coinciden cuando coinciden de forma ordenada sus tres componentes,e s decir:

 x1 = x2 ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 , y2 , z2 ) ∈ ℝ ⇔  y1 = y2 z = z 2  1 3

En ℝ3 se definen dos operaciones básicas, la suma y la multiplicación por êscalar del siguiente modo Suma

+ ℝ 3 × ℝ 3  → ℝ3

→ ( x + x ', y + y ', z + z ' ) ( x, y, z )( x ', y ', z ') 

Multiplicación por un escalar

+ ℝ × ℝ 3  → ℝ3

→ ( λ x, λ y , λ z ) ( λ , ( x, y, z ) ) 

El conjunto ℝ3 con estas operaciones así definidas es un espacio vectorial

| CONCEPTOS BÁSICOS 6

Vectores fijos en el espacio Vector fijo Definimos en ℝ3 un vector fijo como un segmento orientado que está determinado por dos puntos A y B de ℝ3 , llamados origen y extremo respectivamente y lo

representaremos por v = AB

Vector nulo

Se define vector nulo 0 = AA al que tiene igual origen que extremo.

Elementos de un vector Módulo (magnitude or lenth) Es la longitud del segmento (segment) AB o la distancia entre los dos puntos A y B. Lo

escribiremos AB

Dirección (direction) Es la recta que contiene al segmento AB

Sentido (orientation) Es una de las dos maneras en que el vector puede direccionarse sobre la recta que lo contiene.

Piensa que sobre una recta un vector puede llevar dos orientaciones según cual de los puntos

seas su origen y su extremo. En otras palabras AB y BA son dos vectores de igual modulo y dirección pero de sentidos opuestos.

Vector unitario Es aquel cuya distancia del origen al extremo (módulo) es la unidad 1.

Ejemplo Los vectores de origen el origen de coordenadas O(0,0,0) y extremos (1,0,0), (0,1,0) 1   1 (0,0,1) ó los que tienen el mismo origen O y extremos el  , 0,  ó el 2  2  1 1 1  , ,   son todos ellos vectores unitarios.  3 3 3 También lo sería el vector de origen (1,2,3) y extremo en (2,2,3)

| CONCEPTOS BÁSICOS 7

Vector fijo opuesto a otro

El vector opuesto a u = AB es el vector −u = BA , es decir el que tiene origen en B y extremo

en A. Tiene por tanto el mismo módulo y dirección pero sentido opuesto al u

El conjunto F3 Al conjunto de los vectores fijos en ℝ3 se les designa por F3

Operaciones con vectores de F3 En F3 se definen, al igual que en ℝ3 las operaciones suma y producto por un escalar pero veámoslo con detalle y definamos algunos conceptos nuevos

Suma de vectores fijos

La operación suma de vectores u = AB y v = CD es otro vector w = u + v que se obtiene

desplazando el origen de v hasta el extremo

de u , de donde el vector suma w resulta el vector obtenido tomando como origen, el

origen de u y como extremo, el extremo de

v

Propiedades de la suma •

• • •

No es conmutativa. En el gráfico previo puedes observar que el vector

fijo u + v no coincide con el vector

fijo v + u , pues estamos hablando de vectores fijos y no coinciden ni los origenes ni los extremos, aunque tengan el mismo módulo, dirección y sentido Asociativa

Elemento neutr, que es el vector nulo 0 .

Elemento opuesto, u + −u = 0

( )

| CONCEPTOS BÁSICOS 8

Resta o diferencia de vectores

Para restar los vectores u − v donde u = AB y v = CD lo que se hace es sumarle al vector u el

opuesto del vector v es decir w = u − v = u + −v

( )

Producto de un vector por un número (escalar)

Al multiplicar un vector fijo u = AB por un escalar α ∈ ℝ se obtiene un vector fijo cuyo

origen es A y su extremo está en la misma dirección y sentido que u pero su módulo es α

veces el módulo u . Gráficamente es muy fácil de ver como sería 5u :

| CONCEPTOS BÁSICOS 9

EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES Conceptos básicos Vectores equipolentes Dos vectores no nulos se dicen equipolentes si tienen el mismo módulo dirección y sentido.

Si el primer vector es el AB y el segundo es el CD , expresaremos la equipolencia de ambos

mediante el símbolo AB ∼ CD

Propiedades Esta relación de equipolencia, desde el punto de vista conjuntista tiene las propiedades siguientes

decir • Reflexiva AB ∼ AB , es todo vector es equipolente consigo mismo • Simétrica AB ∼ CD ⇔ CD ∼ AB

• Transitiva AB ∼ CD y CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF Esta relación de equivalencia divide a F3 en clases, denominadas clases de equivalencia, en las que cada una de ellas está formada por todos los vectores equipolentes a cualquiera de los elementos que la forman. A cualquiera de ellos, pues, le podemos nombrar representante de la clase.

Vectores libres en el espacio Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se denomina clase de ese vector y a cualquier representante de esa clase se le llama vector libre.

Al conjunto de los vectores libres en R3 se les designa por V3

En el gráfico vemos 5 vectores fijos equipolentes y todos ellos pertenecen a la clase de su representante, que puede

ser cualquiera, pero elegiremos al  AB 

| EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 10

Operaciones en V3

Son las mismas que hemos definido en F3 pero ahora cuando hablamos de un vector AB ya

no nos referimos a su origen y a su extremo, sino a la clase u = AB de vectores que representa.

Suma de vectores fijos

La operación suma de vectores u = AB y v = CD es otro vector w = u + v que se obtiene

desplazando el origen de v hasta el extremo

de u , de donde el vector suma w resulta el vector obtenido tomando como origen, el

origen de u y como extremo, el extremo de

v

Propiedades de la suma • • • •

Conmutativa. Al ser vectores libres

u + v coincide con v + u Asociativa Elemento neutr, que es el vector

nulo 0 .

Elemento opuesto, u + −u = 0

( )

Resta o diferencia de vectores

Para restar los vectores u − v donde u = AB y v = CD lo que se hace es sumarle al vector u el

opuesto del vector v es decir w = u − v = u + −v

( )

Producto de un vector por un número (escalar)

Al multiplicar un vector fijo u = AB por un escalar α ∈ ℝ se obtiene un vector fijo cuyo

origen es A y su extremo está en la misma dirección y sentido que u pero su módulo es α

veces el módulo u . Gráficamente es muy fácil de ver como sería 5u : | EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 11

De esta manera, tendremos las operaciones • • • • •

Suma de vectores libres.

Opuesto a un vector libre.

Resta o diferencia de vectores libres.

Multiplicación de un vector libre por un escalar Vector nulo.

El espacio vectorial V3 El conjunto de los vectores libres V3 con las operaciones suma y producto por un escalar y

junto con los vectores nulo 0 = AA y el

escalar 1, es decir V 3 , +, ⋅, 0,1 tiene la

{

}

estructura de un espacio vectorial.

Combinación lineal

Dados tres vectores libres u1 , u2 , u3 de V3, llamamos combinación lineal de ellos al

vector λ1 u1 + λ2 u2 + λ3 u3 donde λ1 , λ2 , λ3 ∈ ℝ son escalares.

Por ejemplo, gráficamente dados u , v y w

el vector 3u + 2v + 2 w sería:

| EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 12

Vectores linealmente dependientes e independientes Un conjunto de vectores de V3 se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

En caso de que sea posible expresarlo, se dice que ese conjunto de vectores es linealmente independiente.

En V3, el número máximo de vectores independientes que vamos a encontrar es de tres. Es decir, en cualquier conjunto de más de tres vectores, seguro que alguno de ellos es dependiente de los demás.

Intuitivamente, podremos decir que un vector es linealmente dependiente de otro si tiene la misma dirección, aunque tenga distinto módulo o sentido. Pero en V3 también cabe decir que un vector será dependiente de otros dos si está contenido en el plano que forman. Identificaremos tres vectores independientes cuando uno cualquiera de ellos se sale del plano que definen los otros dos.

Base de V3

Tres vectores u1 , u2 , u3 se dice que forman una base de V3, si son linealmente independientes y cualquier otro vector se puede expresar como combinación lineal de ellos.

Las bases se representan por B = u1 , u2 , u3

{

}

Dimensión de un espacio vectorial Al número de vector que tiene una base se le llama dimensión del espacio vectorial. V3 tiene dimensión 3 y V2 estudiado el año pasado, tenía dimensión 2.

Propiedades 1. En V3 tres vectores no nulos y no coplanarios son base

Dados tres vectores u1 , u2 , u3 independientes en V3, cualquier cuarto vector v siempre se

puede escribir como combinación lineal de ellos. Es decir, dado un vector cualquiera v

siempre existirán los escalares λ1 , λ2 , λ3 ∈ ℝ tales que v = λ1 u1 + λ2 u2 + λ3 u3 | EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 13

2. Las coordenadas de un vector respecto a una base son únicas Gracias a esta propiedad a cada vector de V3 le corresponde de modo único una terna ordenada de números reales ( λ1 , λ2 , λ3 ) ∈ ℝ 3 y viceversa, por lo que, desde el punto de vista conjuntista, es posible establecer una correspondencia biyectiva entre V3 y ℝ3 . Esta correspondencia única, es la base de la geometría analítica que vamos a desarrollar en breve.

3. Uso de matrices para establecer la dependencia o independencia lineal en Una manera práctica que vamos a usar para saber si son independientes tres vectores de V3 es considerarlos como una matriz 3 x 3 y estudiar su rango. Si el rango es 3 es que son independientes, si es dos, es que hay dos independientes y uno dependiente de ellos y si es 1, es que los tres vectores son dependientes y están, por tanto, dentro de la misma dirección.

Ejemplo Estudia la dependencia o

u1 (1, 0, 0 ) , u2 ( 0,1, 0 ) , u3 ( 0, 0,1) Consideramos

independencia

lineal

1 0 0   A =  0 1 0  ; A = 1 ⇒ rang ( A) = 3 , 0 0 1  

de

los

vectores

u1 , u2 , u3

luego

son

independientes Estudia la dependencia o

u1 (1,1,1) , u2 (1, 0,1) , u3 ( −1,1, −1)

independencia

lineal

de

los

vectores

1 1 1

1 1   A = 1 0 1 ; A = 0; = 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2 ; luego u3 es dependiente de 1 0  1 −1 1   

u1 , u2 Ejercicio

Estudia si es posible expresar el vector v (2,1, 4) como combinación lineal de los

vectores u1 (1,1,1) , u2 (1, 0,1) , u3 ( 0,1, −1) Solución

Primero vamos a comprobar si u1 (1,1,1) , u2 (1, 0,1) , u3 ( 0,1, −1) son independientes y con ello si son una base de V3. Como la matriz que forman tiene determinante no nulo:  1 1 1

  A =  1 0 1  ; A = −1 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 entonces B = u1 , u2 , u3 es una base de  0 −1 1    3 V.

{

}

| EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 14

Ahora vamos a buscar las coordenadas del vector v (2,1, 4) respecto a esta base

B = u1 , u2 , u3

{

}

Ahora vamos a calcular sus coordenadas respecto a esta base:

1 λ1   2      1  λ2  =  1   λ   4  −1 1 3  

1

 v(2,1, 4) = λ1 u1 + λ2 u2 + λ3 u3 ⇔ A =  1 0  Cramer: 2 1 1 1 1 1 λ1 = 1 0 1 = ⋅ 4 = −4; λ2 = A −1 A 4 −1 1

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = ⋅ ( −1) = 1; λ3 = 1 0 1 = ⋅ ( −5 ) = 5 −1 A −1 0 4 1 0 −1 4

Por

v (2,1, 4)

tanto

las

coordenadas

de

1 0

respecto

y

a

resolviéndolo

B = u1 , u2 , u3

{

}

por

son

( λ1 , λ2 , λ3 ) = ( −4,1,5) Coordenadas de un vector

A esta terna de números λ1 , λ2 , λ3 ∈ ℝ se les llaman coordenadas del vector v con respecto a

la base B = u1 , u2 , u3 y se escriben como una terna ordenada ( λ1 , λ2 , λ3 ) .

{

}

Vectores paralelos

Dos vectores u y v se dicen paralelos si tienen la misma dirección.

u ( u1 , u2 , u3 ) y v ( v1 , v2 , v3 ) se reconoce que son paralelos si Usando coordenadas u1 u2 u3 = = v1 v2 v3

Base canónica de V3.

Como tres vectores independientes son una base, vamos a considerar una base muy sencilla que denominaremos base canónica.

Consideremos tres vectores, todos ellos con origen en O (0,0,0) y extremos en (1,0,0) el primero, (0,1,0) el segundo y (0,0,1) el tercero. En el gráfico se observa que los tres son ortogonales entre si.

A estos vectores tan básicos (valga la redundancia) se les | EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 15

las letras i (1, 0, 0 ) , j ( 0,1, 0 ) y k ( 0, 0,1) y constituyen la

denominada base canónica de V3 : B = i, j, k denomina siempre por

{

}

Coordenadas de un vector libre de V3

Como B = i, j, k

{

}

es una base, cualquier otro vector u de V3 se puede escribir como

combinación lineal de ellos, es decir, existirán tres escalares x, y, z ∈ ℝ tales que

u = xi + y j + zk . A la terna ( x, y, z ) se le denomina coordenadas del vector u y cuando no se especifique más, se sobreentenderá que nos referimos a coordenadas respecto a la base canónica.

En el gráfico previo, el vector u es tal que u = 3i + 2 j + 2k por tanto tiene coordenadas (3,2,2) respecto a la base canónica.

Como ya mencionamos., a cada vector libre de V3 se le puede asignar un par de coordenadas respecto a la base canónica y viceversa, por lo que esta representación es única.

Ejercicio

Si un vector v de V3, tiene coordenadas (-4,1,5) respecto a la base

B = u1 (1,1,1) , u2 (1, 0,1) , u3 ( 0,1, −1) ; calcular las coordenadas de v respecto a la base

canónica B = i, j, k

{

{

}

}

Solución

Tenemos que v = 4u1 + 1u2 + −5u3 y, por otro lado, las coordenadas dadas de

B = u1 , u2 , u3 son ya respecto a la base canónica, entonces

v = 4u1 + 1u2 + −5u3 = 4 (1,1,1) + 1(1, 0,1) + −5 ( 0,1, −1) = ( 5, −1,10 ) coordenadas

respecto la base canónica B = i, j, k

{

}

{

}

| EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 16

OPERACIONES DE VECTORES CON COORDENADAS

Dado el conjunto V3, consideramos su base canónica B = i, j, k . Hemos visto que cualquier

vector u de V3 se puede escribir de forma única en función de sus coordenadas (x,y,z).

Entonces, operar con vectores equivale a operar con coordenadas.

{

}

Redefinimos las operaciones dadas en V3, ahora basándonos en sus coordenadas de la siguiente manera.

Sean u = u1 i + u2 j + u3 k ≡ ( u1 , u2 , u3 ) y v = v1 i + v2 j + v3 k ≡ ( v1 , v2 , v3 ) dos vectores de V3, definimos Suma

+ V 3 × V 3  →V 3

→ ( u1 + v1 , u 2 + v2 , u3 + v3 ) ( u1 , u2 , u3 )( v1 , v2 , v3 ) 

Multiplicación por un escalar

+ ℝ × V 3  →V 3

→ ( λ u , λu , λu ) ( λ , ( u , u , u ) )  1

2

3

1

2

3

Módulo y argumento

Sea u ( u1 , u2 , u3 ) , en los vectores fijos se definía módulo como la longitud del origen A al extremo B. Ahora, con coordenadas, gracias al teorema de Pitágoras generalizado a 3 dimensiones se obtiene que el módulo

(que denotaremos por u ) viene dado por:

2 2 2 u = + u1 + u2 + u3

Ponemos solo la raíz positiva porque las longitudes, y por tanto los módulos, solo pueden ser positivas

Vector unitario Un vector cuyo módulo sea 1, se llama vector unitario.

Por ejemplo, los vectores de la base canónica i (1, 0, 0 ) , j ( 0,1, 0 ) y k ( 0, 0,1) son unitarios.

Es necesario saber construir un vector unitario en la misma dirección y sentido que un vector

cualquiera dado u ( x, y ) . Esto se logra dividiendo ambas coordenadas por el módulo u es

| EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 17

 u  u1 u2 u3  es siempre un vector decir que =  , , u  u12 + u2 2 + u32 u12 + u2 2 + u32 u12 + u2 2 + u32 

unitario y como es un múltiplo positivo (el módulo es siempre positivo) del vector u tiene su misma dirección y sentido . Comprobemos que tiene módulo 1:

 u u1 u2 u3 , , = 2 2 2 2 2 2 2 2 2  u u1 + u2 + u3 u1 + u2 + u3  u1 + u2 + u3  u1 ... =  2  u +u 2 +u 2 2 3  1

2

  u2  + 2 2 2     u1 + u2 + u3

2

  u3  + 2 2 2     u1 + u2 + u3

2

  = ...  

u1 u1 u1 u +u +u + 2 + 2 = 12 2 2 3 2 = 1 2 2 2 2 2 2 2 u1 + u2 + u3 u1 + u2 + u3 u1 + u2 + u3 u1 + u2 + u3 2

... =

  = ...  

2

2

2

2

2

Ejemplo Calcular un vector unitario en la dirección y sentido del vector (3,2,2).

Solución El módulo de (3,2,2) es 2 2   3 , ,   es  17 17 17 

( 3, 2, 2 ) =

unitario 2

32 + 22 + 22 = 17 , por lo que el vector dado 2

que

su

módulo

es

2

2 2  9 4 4 17  3  3   2   2  , ,  =   +  +  = 17 + 17 + 17 = 17 = 1  17 17 17   17   17   17  Vectores ortogonales Tres vectores de V3 son ortogonales si son perpendiculares.entre si.

Vectores ortonormales Tres vectores de V3 se dicen ortonormales si son perpendiculares entre si y además tienen módulo 1.

| EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 18

Proyección ortogonal de un vector sobre otro

Sean dos vectores u y v , llamamos proyección de u sobre v y denotaremos por projv u al segmento obtenido de la siguiente manera: Se colocan los origenes de ambos vectores juntos y desde el extremo del vector

u se traza una perpendicular sobre la

dirección del vector v . El segmento que une el origen

de v con la intersección de la perpendicular con la

direccion de v es la proyección

Análogamente podríamos calcular la proyección de v sobre u

| EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 19

SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO Tenemos varios resultados ya asimilados: • • •

Hemos definico un sistema de coordenadas cartesinas en ℝ3 , con su origen O(0,0,0) Hemps defimnido el conjunto de los vectores libres y le hemos llamado V3 Hemos definido la base canónica de V3,

B = i, j , k

•

A cada punto P del espacio le corresponde de forma única un vector

u = OP y viceversa, a cada vector u del plano le corresponde un punto P de

forma que OP = u

{

}

Definimos sistema de referencia euclídeo del espacio (o también llamado sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por

R = O, i, j, k donde

{

• •

}

O es un punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas

B = i, j, k son los vectores de su base canónica de V3

{

}

Y en este sistema, las coordenadas de un punto P cualquiera son las coordenadas de su vector

de posición u = OP .

En otras palabras, que cuando hablamos del punto situado en (3,2,2) (o de coordenadas (3,2,2)) nos confundimos con el vector de posición (3,2,2) que también tiene las mismas coordenadas (3,2,2) respecto a la base canónica de V3. Es decir, la nomenclatura es la misma, pero podemos estar hablando de coordenadas de un punto o coordenadas de un vector, y no hay problema de confusión porque hay correspondencia biunívoca entre ambos.

Pueden existir infinitos sistemas de referencia en V3. Cualquier conjunto R = O, u, v, w con

B = u , v, w base de V3 es un sistema de referencia, pero el euclídeo u ortonormal es solo

cuando la base es la canónica B = i, j, k .

{

}

{

{

}

}

Coordenadas cartesianas de un vector libre determina determinado do por dos puntos Supongamos un vector definido do por dos puntos A ( x1 , y1 , z1 ) y B ( x2 , y2 , z2 ) por los que pasa.

Al punto A ( x1 , y1 , z1 ) le corresponde el vector de posición a = OA = ( x1 , y1 , z1 )

Al punto B ( x2 , y2 , z2 ) le corresponde el vector de posición b = OB = ( x2 , y2 , z3 ) | EL CONJUNTO V3. VECTORES LIBRES 20

Como se aprecia en el gráfico se tiene que OB = OA + AB ⇔ b = a + AB ⇔ AB = b − a Lo cual escrito en coordenadas sería

AB = b − a = ( x2 , y2 , z2 ) − ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) Es decir las coordenadas de un vector libre se obtienen restando las coordenadas del extremo

menos las del origen AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) .

Cambio de base

Surge ahora la necesidad de, conocidas las coordenadas de cualquier vector u de V3 respecto

a un sistema de referencia R = O, u1 , u2 , u3 , saber cuales serían sus coordenadas respecto a

otro sistema de referencia R ' = O, v1 , v2 , v3 .

{ {

} }

PENDIENTE Este es un problema que manera teórica se resolverá de forma generalizada para cualquier espacio vectorial en capítulos siguientes más avanzados, pero ahora nos basta saber como se resolvería cuando una de las bases es la canónica y mantenemos fijo el origen de coordenadas O. Con un ejemplo práctico se entenderá mucho mejor:

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U⌀ℕℤℚℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥∀⇒∊∅⊂⟇∃·∊∃ A⨯B

·U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|

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