Matematicas. Integral Indefinida by Miguel Perez

Analysis Integral indefinida

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Ver 01:03/02/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.7 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.7.1

INTEGRAL INDEFINIDA

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Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

26/01/2010

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2 Historia.............................................................................................................................. 2 Aplicaciones ...................................................................................................................... 3 NOCIONES BASICAS ......................................................................................................... 5 Función Primitiva .............................................................................................................. 5 Integral indefinida ............................................................................................................. 6 Propiedades de la Integral .................................................................................................. 6 INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES .................................................... 8 Integrales Inmediatas ......................................................................................................... 8 Otras intrales inmediatas .................................................................................................. 11 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN........................................................................................ 12 Integración por descomposición....................................................................................... 12 Colección de integrales por descomposición ................................................................ 12 Integración por cambio de variable (o sustitución) ........................................................... 13 Colección de integrales por cambio de variable ............................................................ 14 Integrales de la forma



a 2  x 2 dx ............................................................................. 17

Integración por partes ...................................................................................................... 19 Ejemplo 1 ........................................................................................................................ 19 Ejemplo 2 ........................................................................................................................ 19 Ejemplo 3 ........................................................................................................................ 20 Integrales Racionales ....................................................................................................... 21 INTEGRALES IRRACIONALES: .............................................................................. 27 INTEGRALES BINOMIAS ......................................................................................... 27 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS: ........................ ¡Error! Marcador no definido. Integrales trigonométricas potenciales ............................................................................. 28 EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES ................ ¡Error! Marcador no definido.

| INTRODUCCIÓN 1

INTRODUCCIÓN La integración es un concepto matemático que junto con la diferenciación conforman las dos operaciones básicas del Cálculo Infinitesimal, o Cálculo diferencial o simplemente Calculus. Podemos introducir el concepto de Integral definida como el de un proceso de cálculo de áreas encerradas entre el gráfico de una curva, el eje cartesiano X y dos rectas verticales definidas por dos puntos a y b del eje X. A esta área se la denota como



f ( x) dx . A este

concepto de integral como esta área también se le conoce como integral definida El concepto de término integral se puede también referir como el de antiderivada, es decir, como una función F cuya derivada sea la función f. En este caso se llama integral indefinida. Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este unidad temática es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales.

Historia Hubo matemáticos como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), e incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que de una u otra forma fueron precursores del concepto de integración, dado que utilizaron métodos para el cálculo de áreas que se aproximaban rudimentariamente al cálculo integral. Los conceptos de integración fueron introducidos por Isaac Newton(1642-1727) y Gottfried Leibniz(1646-1716) en los finales del siglo XVII de forma independiente. Aunque se especuló y hubo mutuas acusaciones sobre posibles plagios, finalmente es aceptado que ambos llegaron al mismo concepto por caminos separados, aunque hay que tener en cuenta que entre ellos había diálogo sobre los progresos que ambos realizaban, pero la polémica de quien estaba plagiando al otro llegó a desembocar en una enemistad entre ambos. Incluso Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Ambos creadores introdujeron el Cálculo Integral considerando los problemas inversos de sus cálculos. Newton debido a sus estudios sobre la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él. Partiendo del concepto de integral indefinida como básico, introdujo un sistema | INTRODUCCIÓN 2

completo de definiciones llevándola hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Laplace consideró las integrales con límites imaginarios. Esta rama del Cálculo Integral jugó un papel importante en la creación de la teoría de funciones de variable compleja como una de sus fuentes. Así en el transcurso del siglo XVIII se formó en el Cálculo Integral un conjunto de métodos, próximo a su actual contenido y nivel. Este Cálculo, además, dio comienzo a nuevas ramas del Análisis Matemático, como por ejemplo la teoría de las funciones especiales. De él se separaron y transformaron en campos matemáticos independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo variacional. El Cálculo integral sirvió, finalmente, como una de las fuentes de la teoría de las funciones analíticas. La definición rigurosa de la integral fue introducido por Bernhard Riemann mediante la descomposición hasta el límite de toda curva en pequeños rectángulos. A principios del siglo XIX aparecen más sofisticadas nociones de integral, y teorías asociadas como superficies integrales en espacios tridimensionales, integrales de formas diferenciales que juegan un papel fundamental en la geometría diferencial. Estas generalizaciones surgieron de las necesidades de las ciencias Físicas y juegan un papel básico en la formulación de muchas leyes físicas con especial relevancia en electrodinámica. Ya más actualmente, el concepto abstracto de Integral de Lebesgue, desarollado por Henri Lebesgue es uno de los más reseñables. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo XX, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. La actual simbología del cálculo infinitesimal también fue ideada por Gottfried Leibniz in 1675. El fue el que adaptó el símbolo integral, ∫, alargando la letra S de suma, debido a que el concepto de partida es que la integral es el sumatorio de pequeños cuadrados infinitésimos. No sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones. La notación de integral definida con límites superior e inferior fue usada por primera vez por Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa alrededor de 1819–20.

Aplicaciones Las aplicaciones más inmediatas del cálculo integral son la del cálculo de áreas bajo una curva así como los volúmenes de revolución. Sin embargo, el cálculo integral tiene una gran cantidad de aplicaciones prácticas en todas las ciencias, arquitectura e ingeniería. Citaremos algunas cuando menos curiosas:  

Centros de gravedad. Equilibrio estático. Valor promedio de una función | INTRODUCCIÓN 3

    

Momentos de sistemas de masas en Física. Aplicaciones médicas para control del organismo de personas diabéticas, calculando el cambio promedio Aplicaciones térmicas que permiten controlar el flujo de calor en las viviendas situadas en determinadas zonas desérticas. Aplicaciones económicas para calcular ganancias de empresas por diferencias entre ingresos y costos. Incrementos de poblaciones de bacterias

| INTRODUCCIÓN 4

NOCIONES BASICAS Función Primitiva Definición: Función primitiva

  se denomina función primitiva de f(x), a aquella otra Dada una función f :  a, b   función que denotaremos por F(x), tal que F’(x) = f(x) en todo el intervalo de definición [a,b] F es primitiva de f ⇔ F’(x)=f(x) Ejemplo La función F(x) = sin x es una primitiva de f(x) = cos x puesto que (sen x)' = cos x. La función F(x) = ln │x│ es una primitiva de f(x) = 1/x puesto que ( ln│x│)' = 1/x. La función F(x) = x4 -1 es una primitiva de f(x) = x3 puesto que ( x4-1 )' = 4x3. Proposición: No unicidad de F Si F es la primitiva de f, cualquier otra función primitiva de f será de la forma F + k, donde k es cualquier constante real. Demostración Vamos a probar que si F y G son dos funciones primitivas de f  F y G se diferencian en una constante: F - G = k

F primitiva de f  F'(x) = f(x)  '  F '( x)  G '( x)  f ( x)  f ( x)  0   F ( x)  G ( x)   0 G primitiva de f  G'(x) = f(x) Y la única función que tiene derivada 0 es la función constante k. Por tanto F(x) – G(x) = k Ejemplo 1 Las funciones F(x) = x4 +1 y G(x) = x4 – 1 son ambas primitivas de f(x) = 4x3 pues F’(x) = 4x3 G’(x) = 4x3 Ejemplo 2 Se sabe que F(x) = sin x es una primitiva de f(x) = cos x, por tanto, también son primitivas de f(x) las funciones G(x) = sin x + 5 H(x) = sin x + ln2

| NOCIONES BASICAS 5

Integral indefinida Definición: Integral indefinida de una función La integral indefinida (o simplemente integral) de una función f, y se representa por

 f ( x)dx

, es el conjunto de todas las primitivas de f. La expresión

 f ( x)dx se lee “integral de f(x) diferencial x”

Definición: Integrando Dada

 f ( x)dx , a la función f se le denomina integrando.

Definición: Constante de integración Por lo anterior, si F es una primitiva de f se tiene que

 f ( x)dx  F ( x)  k , donde a k se le

llama constante de integración. Ejemplos

 cos x dx  sin x  C 1  x dx  ln x  C 2  x dx 

x3 C 3

Propiedades de la Integral 1. 2.

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx  kf ( x)dx  k  f ( x)dx

Demostración 1.Si F(x) es una primitiva de f(x)   f ( x) dx  F ( x)  C1  F '( x)  f ( x) Si G(x) es una primitiva de g(x)   g ( x) dx  G ( x)  C2  G '( x )  g ( x) Sumando (o restando) ambas igualdades nos queda

 f ( x)dx   g ( x)dx  F ( x)  C

 G ( x)  C 2   F  G  ( x )   C1  C 2 

(1)

Por las propiedades de la suma de derivadas: F’(x) ± G’(x) = (F ± G)’(x), con lo cual: | NOCIONES BASICAS 6

(F ± G)’(x) = f(x) ± g(x) lo que equivale a decir que F ± G es una primitiva de f ± g Por tanto, si  F  G  '( x)  f ( x )  g ( x )    f ( x)  g ( x)  dx   F  G  ( x)  C

(2)

Entonces (F+G) es una primitiva tanto en (1) como en (2) por lo que

  f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx 2.Si F(x) es una primitiva de f(x)   f ( x ) dx  F ( x)  C  F '( x )  f ( x) Pero por las propiedades de las derivadas (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de k · f(x). Por tanto, 

C

 k  f ( x)dx  k  F ( x)  C  k   F ( x)  k   k   f ( x)dx

| NOCIONES BASICAS 7

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Integrales Inmediatas A partir de la tabla de funciones elementales podemos ahora completar su comprensión con los nuevos conceptos acabados de introducir. De la propia derivación de cada función elemental se deducen sus correspondientes integrales, llamadas integrales inmediatas. Es necesario aprender a usar de forma fluida estas integrales si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas. Función elemental

Derivada

Integral

Gráfico

Constante: f ( x)  k

f ' ( x)  0

 kdx  kx  c

Identidad: f ( x)  x

Lineal: f(x)=mx+b

x2  xdx  2  c

f ' ( x)  1

 mx  bdx 

f’(x)=m

mx 2  bx  c 2

Potencial: f ( x)  x p

f '( x)  px

p 1

p  x dx 

x p 1 c p 1

p  ; p  1

Parábola: f ( x)  ax 2  bx  c f ' ( x )  2 ax  b

 ax



 bx  c dx 

ax3 bx 2   cx  C 3 2

| INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 8

Raiz:

f ( x)  x

Inversa: 1 f ( x)  x

Logarítmica: f ( x )  ln x f ( x)  log a x

f ' ( x) 

x dx 



x3 3

c

2 x

1 f ' ( x)  2 x

 x dx  ln x  c

1 x 1 f ' ( x)  ·lg a e x f ' ( x) 

Exponencial: f ( x)  e x f ( x)  a x

f ( x)  e x f ( x)  a x ·ln a

e

Trigonométrica: f ( x)  sen x

f ' ( x)  cos x

 senxdx   cos x  c

Trigonométrica: f ( x)  cos x

f ' ( x )   sen x

dx  e x  c

ax  a dx  ln a  c a  1; a  0 x

 cos xdx  senx  c

| INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 9

Trigonométrica: f ( x)  tg x

Trigonométrica: f ( x )  arcsen x

Trigonométrica: f ( x )  arccos

Trigonométrica: f ( x )  arctg x

Valor absoluto f ( x)  x  x si x  0   x si x  0

1  .. cos2 x  1  tg 2 x f '( x ) 

f ' ( x) 

1 1 x2

1 1 x2

1 1 x2

 1 si x  0 f ' ( x)    1 si x 

 f ( x)dx   ln cos x  c

 arcsenxdx

 arccos xdx 

1 1  x2

1 1 x2

 arctgxdx  1  x



c



c

 x2  2 si x  0 x dx   2   x si x  0  2

| INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 10

Otras integrales inmediatas Función elemental 1 f ( x)  p ; p  1 x Trigonométrica: f ( x)  sec x

Derivada 1 f ( x)  p1 px sin x f '( x )   sec x  tan x cos 2 x

Trigonométrica: f ( x)  csc x

f '( x) 

 cos x   csc x  cot x sin 2 x

Trigonométrica: f ( x)  cot x

f '( x ) 

1   csc 2 x 2 sin x

f ( x )  sec 2 x 

1 cos 2 x

f '( x)  2sec 2 x tan x

f ( x)  csc 2 x 

1 sin 2 x

f '( x )  2csc 2 x cot x

Integral 1

x

 csc

f ( x)  csc x cot x

f '( x)   csc x  cot 2 x  csc2

1 x f ( x) 

1 1  x2

f ( x) 

x x 1 1

f ( x) 

1 2

f '( x) 

2x 1  2x2

x

x x f '( x) 

f ( x) 

1 1  x2

f '( x) 



 1  1

2 x

x

 1

2x 2 2

1  x 

 arctan x  C dx    arccot x  C

 arcsec x  C dx   x2  1  arccsc x  C 1

x 

f '( x) 

1 x 1

 1

f '( x) 

f ( x) 

1 dx   cot x  C sin 2 x

 arcsin x  C dx   1  x2  arccos x  C 1

1  x  x2

xdx  

 1 x

2 2

f '( x) 

 sec x tan xdx  sec x  C x   csc x cot xdx   csc x  C 

2 3

1  x 

x 1 2

f '( x) 

x 1 f ( x) 

x C p 1

f '( x)  sec x  tan 2 x  sec2 x 

dx 

 cot xdx  ln sin x  C 1  sec xdx   cos x dx  tan x  C

f ( x)  sec x tan x

f ( x) 

p 1

dx  ln x  x 2  1  C

x 1 1

dx  ln x  x 2  1  C

x 1

1 1 1 x dx   x  1 2 ln 1  x  C 2

 1 x

1 1 x dx  ln C 2 1 x

| INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 11

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Integración por descomposición Es el método más básico, consiste en descomponer el integrando en todos los sumandos posibles y sacar todas las constantes fuera de la integrales resultantes para tener la función dada descompuesta en el mayor número posible de funciones elementales. Colección de integrales por descomposición

1 1 1 1  x 3  x 2  x  1 dx   x 4 dx   x 3dx   x 2 dx   xdx   1dx  x 5  x 4  x 3  x 2  x1  C 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1     x4  x3  x2  x  dx   x 4 dx   x3 dx   x 2 dx   x dx  4x5  3x4  2 x3  ln x  C

x

x



3 2

2 3

x

1

x2 2 9 x3 dx   x 2 x dx   x dx  C  x C 7 9 1 2

x 3

7 2

4 3

dx   x2 x dx   x dx 

4 1 3

x 3  C  3 x7  C 4 7 1 3

1 1 1  2 x  10  dx   x 2 dx  2  xdx  10  1dx  x 3  2 x 2  10  C  x 3  x 2  10  C 3 2 3

  sin x  3tan x  dx   sin xdx  3 tan xdx   cos x  3ln cos x  C x

 1 dx    x 4  2 x 2  1 dx   x 4 dx  2  x 2 dx   1dx 





1 5 2 3 x  x  x C 5 3 1

2 2 2   t  1 tdt   t t  t dt   t tdt   tdt   t 2 dt   t 2 dt 

2 7 2 3 t  t C 7 3

2 x3  7 x2  4 x3 x2 1 1 1 dx  2 dx  7 dx  4 2 dx  2 xdx  7 1dx  4 2 dx  x 2  7 x  4  C 2 2 2    x x x x x x 5 1 7 1 3 3 2x  4 x 1 4 4 7  x dx  2 x dx  4 x dx  2 x 2 dx  4 x 2 dx  7 x 2  8 x 2  C  7 x  8 x  C

 3x

 cos x 

7 2

x 1

dx  x3  sin x  C  7

1 2

dx  x3  sin x  7 ln x  x 2  1  C

x 1

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 12

Integración por cambio de variable (o sustitución) Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable. La única forma de dominar este método es la práctica de un número suficiente de ejercicios que te permita poder discernir cual es el cambio de variable más adecuado en cada caso. Propiedades 1

m  u '( x)u ( x) dx 

u ( x)m 1 C m 1

u '( x)  u( x) dx  ln u ( x)  C

 u '( x)e

u( x)

 u '( x)sec u( x) tan u( x)dx  sec u( x)  C

 u '( x) csc u( x) cot u( x)dx   csc u( x)  C

dx  eu ( x )  C

u(x)  u '( x)a dx 

m  1

 14

eu ( x ) C ln a

 u '( x)sin u( x)dx   cos u( x)  C

 u '( x) cos u( x)dx   sin u( x)  C

 arctan u( x)  C dx   arc cot u ( x)  C  arc sec u ( x)  C u '( x)  u( x) u ( x)2  1 dx   arc csc u( x)  C u '( x)

 1  u( x)

 arcsin u ( x)  C dx   1  u ( x)  arccos u ( x)  C u '( x)

u '( x) dx   u '( x)sec2 xdx  tan u( x)  C 2 u ( x)

 cos

u '( x) 2  sin 2 u( x) dx   u '( x)csc xdx   cot u( x)  C

 ln  sec x  tan x   C   sec xdx  ln  tan  x      C   2 4   

 

u '( x ) 2

u ( x)  a

u '( x ) 2

u( x)  a

dx  ln u ( x )  u ( x) 2  a 2  C dx  ln u ( x )  u ( x )2  a 2  C

u '( x) 1 u( x)  1 dx  ln C 2 1 2 u ( x)  1

 u ( x)

u '( x)

 1  u ( x)

1 1  u( x) dx  ln C 2 1  u ( x)

ln  cs c x  cot x   C   csc xdx   ln  tan  x    C   2   

u  x 1 1 2 2 a 2  u  x  dx  u  x  a 2  u  x   a 2 arcsen  C. 2 2 a 1 1 2 2 2 2 2 2 2  u '( x) u ( x)  a dx  2 u( x) u ( x)  a  2 a L u( x)  u( x)  a   C 1 1 2 2 2 2 2 2 2  u '( x) u ( x)  a dx  2 u( x) u ( x)  a  2 a ln u( x)  u( x)  a   C.

 u '( x) 21 22

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 13

Todas las demostraciones se hacen de forma similar, derivando mediante la Regla de la Cadena la expresión resultante y viendo que coincide con la primitiva. Vamos a escribir la demostración de la primera y la 19 y la última 22. ' m  u ( x) m1   m  1 u( x) u '( x)  u( x)m u '( x) 1.-    m  1 m  1  

19.' '  1 1  u( x)  1 1  1  u ( x )  1 1  u ( x)  u '( x) 1  u ( x )   (u '( x )) 1  u ( x)      ...  ln        2  1  u( x)   2 1  u ( x)  2 1  u ( x )  1  u ( x)  2 1  u ( x)   1  u ( x)

1 1  u( x) ...   2 1  u ( x)

 u '( x ) u '( x)u ( x)  u '( x ) u '( x )u ( x)  2  1  u( x)  

 1 2 u '( x) u '( x )     2 1  u ( x) 1  u ( x )  1  u ( x )2 

22.'

1 2  1 2 2 2 2   u ( x ) u ( x )  a  a ln u ( x)  u ( x )  a    ... 2 2  '

1  1  ...   u ( x) u ( x )2  a 2    a 2 ln u ( x )  u ( x )2  a 2    .......   2  2 ..............inacabado.............................. Colección de integrales por cambio de variable 4

2 3

 2 x 1  x 

1  x2   u ( x)4  u '( x)  u( x)  dx  4  C  4  C 3

  u ( x ) 1 x 2 ;u '( x )  2 x

 xx

 3 dx

  u ( x )  x 2 3;u '( x ) 2 x

x 2  3  1 1 1 u ( x) 2 2 2 x  x  3 dx   u '( x)u ( x)dx  C  C 2 2 2 2 4 4

u ( x)4  sin x   C cos x sin xdx  u '( x ) u ( x ) dx  C       4 4 u ( x ) sin x ;u '( x ) cos x 3



x2 1  x3

x2  2 x3  7 dx

2 u ( x) 1 3x2 2 u '( x) 2 1  x3 dx  dx   C  C 3  1  x3 3  2 u( x) 3 3 3 2 u ( x ) 1 x ;u '( x )  3 x  

  u ( x )  2 x 3  7;u '( x )  6 x

ln 2 x 3  7 1 6x2 1 u '( x ) 1 dx   dx  ln u ( x)  C  C 6  2 x3  7 6 u ( x) 6 6 2 | MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 14

 1  tan x 

dx   1  2 tan x  tan 2 x  dx    sec2 x  2 tan x  dx   sec2 xdx  2 tan xdx  ... sin x u '( x) dx   tan x  2 dx  tan x  2 ln u( x)  C  tan x  2 ln cos x  C  cos x u ( x ) u ( x ) cos x ;u '( x )  sin x

...  tan x  2

2 x  5x  e dx

  u ( x )  x 3 ;u '( x )  3 x

cos x

 sin x  e

5 5 5 u( x) 5 x3 2 x3 u(x) 3 x  e dx  u '( x )  e dx  e  C  e C   3 3 3 3 2

   sin x  ecos x dx   u '( x)  eu ( x ) dx  eu ( x )  C  ecos x  C

 

u ( x ) cos x ;u '( x )  sin x



 

u ( x )  x ;u '( x ) 

 5x

 sin x3dx

1 2 x

e x 2 dx  2 u '( x)  eu ( x ) dx  2eu ( x )  C  2e x  C 2 x

  u ( x )  x 3 ;u '( x ) 3 x

13x

 cos (5x) 2

 csc 3

x

3 xdx

5 5 5 5 3x 2  sin x3dx   u '( x)  sin u ( x)dx   cos u ( x)  C   cos x 3  C  3 3 3 3 2



u ( x )  5 x  ;u '( x ) 50 x

13 50 x 13 u '( x) 13 13 2 dx   2 dx  tan u( x)  C  tan  5x   C 2 2  50 cos (25x ) 50 cos u( x) 50 50

1 1 1 1 3csc 2 3 xdx   u '( x) csc 2 u ( x )dx  cot u ( x)  C  cot 3 x  C  3 3 3 3 u ( x )  3 x ;u '( x )  2  

 x 1  sec2   dx  x 

  u ( x )

3

x 1 1 ;u '( x )  2 x x

1  x 1  2 sec2   dx  3 u '( x)sec u( x)dx  3 tan u ( x)  C  ... 2 x  x 

 x 1  ...  3tan  C  x 

 sec 2 x  tan 2 xdx 

1 1 1 2sec 2 x  tan 2 xdx   u '( x) sec u ( x) tan u ( x)dx  sec u ( x)  C  ...  2 2 2 u ( x )  2 x ;u '( x )  2  

1 ...  sec 2 x  C 2

 x  csc x

cot x 2 dx

  u ( x )  x 2 ;u '( x )  2 x

... 

1 1 2 x  csc x2 cot x 2 dx   u '( x)  csc u( x) cot u ( x)dx  ...  2 2

1 1 csc u( x)  C  csc x 2  C 2 2

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 15

sin 2 x 1 2sin 2 x 1 u '( x) 1 1 dx  dx  dx  C  C 2 2 2    2 x u ( x ) cos 2 x;u '( x ) 2sin 2 x 2 cos 2 x 2 u ( x) 2u ( x ) 2 cos 2 x

 cos



2 1  4x2 1

 1 9x



 



1   2x 

u ( x )  2 x ;u '( x )  2

dx  

u '( x) 1  u ( x) 2

dx  arcsin u ( x)  C  arcsin 2 x  C

1 3 1 u '( x) arctan u ( x) arctan 3x dx   dx  C  C 2 2  3 3 1  u ( x ) 3 3 1  3 x   u ( x )  3 x ;u '( x )  3  

1 25  16 x 2

1   5 4x 4

u ( x )

;u '( x ) 

5 4  4 5

1 u '( x) arcsin u ( x) dx   dx  C  2 2 4 4 1  u ( x )  4x  1    5 

arcsin 4

4x 5 C

2 3 3x  arcsin 1 1 2 u '( x) 2arctan u( x) 3 2  4  3x2 dx   4   2 dx  4 3  1  u ( x)2 dx  4 3  C  2 3 2  C 3x 3x 3 u ( x ) ;u '( x )  1   2 2  2  1 x arcsec 1 1 u '( x ) arcsec u ( x ) 3 3 C dx   dx  C   x x2  9 dx  3  2 2 3 3 3 u ( x ) u ( x)  1 x x x 1 u ( x )  ;u '( x )  3 3   1 3 3 1

 6x ... 



1 2

1 1

2 6

 

u ( x )  6 x ;u '( x )  6

1 2

25 x  1

1  6





dx 

6x 1

1 u '( x ) 1 1 u( x)  1 dx   ln  C  ... 2  6 u ( x)  1 6 2 u ( x)  1

6x 1 C 6x 1

1 5 u ( x ) 5 x ;u '( x ) 5  

5x 

dx  1

1 u '( x) 1 dx  ln u ( x)  u ( x)2  1  C  ...  2 5 u ( x)  1 5

1 ...  ln 5 x  (5 x)2  1  C 5 1 x 1  1 1 1 u '( x ) 1 1 1  u ( x) 1  4  x2 dx  2  2x 2 dx  2  1  u( x) 2 dx  2  2 ln 1  u( x)  C  4 ln 2x  C x 1 1 u ( x )  ;u '( x )  1   2 2 2 2  

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 16

Integrales de la forma

a 2  x 2 dx



Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante. Para resolverla se usa el cambio de variable:

dx d  a  sin t    a  cos t  dx  a  cos tdt dt dt

x  a  sin t  Así,

a 2  x 2  a 2  a 2 sin 2 t  a 2 1  sin 2 t   a 2 cos2 t  a  cos t

Por tanto



1  2 1 2 1 2 1 a 2  x 2 dx   a  cos t  a  cos tdt  a 2   cos 2 t dt   a    cos 2t dt  a  dt  a  cos 2tdt  ... 2 2 2 2  (*)

1 1 1 1 1 1 a2  1  ...  a 2   t  a 2    2  cos 2tdt  a 2   t  a 2    sin 2t  C   t  sin 2t   C  ... 2 2 2 2 2 2 2  2  Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t, ... 

a2  1 a2  1  a2  t  sin 2 t  C  t  2 sin t cos t  C   t  sin t cos t   C  ...    2  2 2  2 2  

x x  t  arcsin , ésto junto con la 1ª fórmula a a 2 2 fundamental de la trigonometría sen t + cos t = 1, obtenemos que

Deshaciendo el cambio x  a  sin t  sin t 

x cost  1  sin t  1     a 2



a 2  x 2 dx 

a2  x2 , se llega, finalmente, a la siguiente igualdad: a

a2  x x a 2  x2  arcsin  2  a a a

 a2  x x    C   arcsin  2 a 2  x 2   C  2  a a  

Ejemplo 1 2



 x 9  x 2 dx   3 1    dx  3  3 x 3sin t ; dx  3cos tdt





1  sin 2 t 3cos tdt   9cos 2 tdt  ...

9 9 9 9 9 9 1 1  ...  9   cos 2t dt  t    2cos 2t dt  t  sin 2t  C  t  sin 2t  C  ... 2 4 2 4 2 4 2 2  9 9 ...  t   2sin t cos t   C 2 4

9 x x x  arcsin   1    2 3 3 3 2  x x  x sin t  ;cos t  1 ;t  arcsin 3

   3

 C  

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 17

Ejemplo 2 Aplicando directamente el resultado teórico:



8 x x  8  x 2 dx   arcsin  8  x2   C 2 8 8 

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 18

Integración por partes Teorema: Fórmula de la integración por partes Sean u = f(x) y v = g(x) son dos funciones de x. Se verifica que

 u ( x)v '( x)dx  u ( x)v ( x )   v( x)u '( x)dx Dicho en forma abreviada u·dv = u·v - v·du Demostración Por la fórmula de la derivada del producto de funciones, tenemos: d(u·v) = u·dv + v·du  u·dv = d(u·v) – v·du, de donde, integrando en ambos miembros u·dv = d(u·v) - v·du  u·dv = u·v - v·du

Método Práctico: Para la elección de las partes, debemos seguir el orden de las reglas siguientes: (recuerda la palabra ALPES) A    arcsenx

L  Lx  ln x

arccos x arctgx

log x log b x

arc...x

logaritmicas

P   P  x

polinómica

E  a f  x

S   senx

e f (x)

cos x

exponencial

trigonométricas

Ejemplo 1

 x ln xdx  Solución Elegimos las partes siguiendo el criterio descrito tomando como v(x) aquella función difícil de integral y que su derivada sea fácil de integral 1  u  ln x  du  dx  x2 x2 1 x 2  ln x 1 2 x x ln xdx  ln x   dx   x C  2  2 x 2 4 x2   dv  xdx  v   xdx  2 

Ejemplo 2

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 19

 x sin xdx  Solución Elegimos las partes siguiendo el criterio descrito tomando como v(x) aquella función difícil de integral y que su derivada sea fácil de integral u  x  du  dx

  x sin xdx   x  cos x    cos xdx   x cos x  sin x  C dv  sin xdx  v   sindx   cos x  

Ejemplo 3

e

sin xdx 

Solución Para esta integral hay que realizar dos veces el método u  sin x  du  cos xdx  e x sin xdx  e x sin x   e x cos xdx  ... x x x dv  e dx  v   e dx  e  Si nuevamente integramos por partes  e x cos xdx resulta u  cos x  du   sin xdx  e x cos xdx  e x cos x   e x sin xdx x x x  dv  e dx  v   e dx  e  Entre ambas resulta:





x x x x x  e sin xdx  e sin x  e cos x   e sin xdx   e sin xdx 

ex  sin x  cos x   C 2

Ejemplo 4

x

1  xdx 

Solución u  x  du  cos xdx  2x  2 3   x 1  xdx  3 dv  1  xdx  v  1  x   3  2x 4 3 5 ...  1  x   1  x   C 3 15

1  x 



2 3

1  x 

dx  ...

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 20

Integrales Racionales Son de la forma

P( x )

 Q( x) dx

siendo P(x) y Q(x) dos polinomios de coeficientes reales y

exponentes naturales. Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser de este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente: El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces: Factorizamos el denominador Q(x) mediante la búsqueda de sus raíces. Esto puede dar lugar, en función al tipo de raíces resultantes de a cuatro resultados diferentes:    

Raices Reales Simples  ( RRS ). Raices Reales Múltiples  ( RRM ). Raices Imaginarias Simples  ( RIS ). Raices Imaginarias Múltiples  ( RIM ).

Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a seguir así como las operaciones a realizar. Raices Reales Simples: ( RRS ) Supongamos que resolvemos Q(x)=0 y obtenemos las raíces r1, r2, …,rn entonces podemos descomponer la fracción algebraica del radicando en suma de fracciones simples

P( x) A A A  1  2  ...  n donde los A1, A2, …, An se obtienen de forma sencilla, Q ( x ) x  r1 x  r2 x  rn aunque laboriosa, haciendo la suma de las fracciones simples e igualando los numeradores. Una vez obtenidos estos coeficientes, se descompone la integral de la siguiente manera: P ( x)

1  A1

P( x)

 Q( x) dx   a  x  r  x  r  ...  x  r  dx  a   x  r  x  r n

... 

 ... 

An   dx  ... x  rn 

 1  A1 A A dx   2 dx  ...   n dx   an  x  r1 x  r2 x  rn 

Donde an es el coeficiente principal del polinomio Q(x) Ejemplo

2 x 2  10 x  2 2 x 2  10 x  2 A A   A dx   x3  2 x2  5 x  6   x  1 x  2  x  3 dx    x 11  x 2 2  x 33  dx  ... Calculamos los coeficientes A1, A2 y A3:

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 21

2 x 2  10 x  2 A A A  1  2  3  ...  x  1 x  2  x  3 x  1 x  2 x  3 ... 

A1  x  2  x  3  A2  x  1 x  3  A3  x  1 x  2   ...  x  1 x  2  x  3

... 

 A1  A2  A3  x2    A1  4 A2  A3  x   6 A1  3 A2  2 A3  3  x  1

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 2  A1  A2  A3  A1  1  10   A1  4 A2  A3  A2  2 2  6 A1  3 A2  2 A3  A3  1 De donde: 2 x 2  10 x  2 1 2 1  x3  2 x2  5 x  6 dx    x  1 dx    x  2  dx    x  3 dx  ... ...  ln x  1  2 ln x  2  ln x  3  C

Raices Reales Múltiples ( RRM ) Supongamos que al factorizar Q(x) resultan raíces múltiples con un orden de multiplicidad cada una de ellas y que alguno de ellos sea mayor que 1. El proceso que se sigue es análogo al previo pero, como ejemplo, supongamos que la raíz r1 tiene multiplicidad 1, la raíz r2 tiene multiplicidad 3, la raíz r3 tiene multiplicidad 2, y las restantes r4,…, rm tienen multiplicidad 1, en este caso quedaría P ( x)

P( x)

 Q( x) dx   a  x  r  x  r   x  r  ...  x  r  dx  ... 2

 A A2 A3 Am  1     ...   dx  ...   x  r1  x  r 3  x  r 2  x  r m 2 3  

... 

1 an

... 

 1  A1 A2 A3 Am dx   dx  dx  ...  dx  3   x  r 2  x  rm  an  x  r1  x  r2  3 

Ejemplo  A A3  x2 x2 A2 1 dx  dx      ( x  1)3   x  1 x  1 x  1   x  1  x  12  x  13  dx  ...   Calculamos los coeficientes A1, A2 y A3: 2

A  x  1  A2  x  1  A3 A3 x2 A A2  1    1  ... 3 2 3 3 ( x  1) x  1  x  1  x  1  x  1 ... 

A1 x 2   A2  2 A1  x   A1  A2  A3 

 x  1

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 22

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 1  A1 A1  1   0  A2  2 A1  A2  2 A1  2 0  A1  A2  A3  A3  A2  A1  1 De donde: x2 1 2 1  ( x  1)3 dx    x  1 dx    x  12 dx    x  13 dx  ... ...  ln x  1 

2 1  C  x  1 2  x  12

Raices Imaginarias Simples ( RIS ) Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0, siendo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :  r1  a1    4 3  r  b   1 2         2 1  P  x Mx  N  dx A1dx A2 dx A3 dx  Q  x   0   r3  b1      dx      2 Q x x  a x  b    x  r4  x  r5  x  b   1 1  r  a  bi    1 4   r5  a  bi   

Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del tipo siguiente: (x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 . Con lo cual, la 4, nos queda así:

 Mx  N  dx  M

  x  a ... 

M 2

 b2

  x  a

2 x  2a

  x  a

b

dx 

M 2

 b2

dx  N 

 x  a

  x  a

b

 b2

dx  N 

dx  ... 1

 x  a

 b2

dx  ...

Donde la primera integral es inmediata de tipo logarítmico y las otras dos tipo arco: ... 

 Ma  N  arctg  x  a   C M dx M 2 2 L  x  a   b 2   Ma  N    L  x  a   b2  2 2 2 b b  x  a  b 2 Ejemplo

 A A Mx  N  2 x2  x  3 2x2  x  3 dx  dx   x4  x 2  x 2  x 2  1   x1  x 22   x 2  1  dx  ...   | MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 23

Calculamos los coeficientes A1, A2 y M y N: 2 2 2 2 x 2  x  3 A1 A2 Mx  N A1 x  x  1  A2  x  1   Mx  N  x      ... x 4  x2 x x 2  x 2  1 x 2  x 2  1 A1  M  x 3   A2  N  x 2   A1  A2   ...  x 2  x 2  1

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 0  A1  M  M  1 2  A2  N  N  5  1  A1  A1  1 3  A2  A2  3 De donde: 2x2  x  3 1 3 x 5  x4  x 2 dx    xdx   x2 dx    x2  1dx    x2  1dx  ... ...   ln x 

3 1  ln x 2  1  5arctan x  C x 2

Raíces Imaginarias Múltiples ( RIM ) Método de HERMITE: La descomposición de

P( x ) según HERMITE, es tal como sigue: Q( x )

A1 x  r1 Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin tener en cuenta el grado de multiplicidad). Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso RIS visto previamente. Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen simples, es decir como hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener en cuenta su grado de multiplicidad). El último término característico de esta descomposición de HERMITE es: La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno. A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado en el denominador.

1. Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea, 2. 3. 4.

Se deriva a continuación este último término con respecto a x. Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x). Se multiplican ambos miembros por Q(x), | MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 24

Se calculan los coeficientes indeterminados. Se integra en la expresión de la descomposición inicial. El desarrollo de este método se ampliará en cursos superiores. Nota: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, no pueden aparecer nunca integrales inmediatas de tipo potencial.

El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar a un coiciente C(x) y un resto R(x) de manera que siempre se verifica P(x)=Q(x)C(x) + R(x). Divido esta igualdad por Q(x):

P ( x) R ( x) P ( x) R( x )  C ( x)   dx   C ( x)dx   dx Q( x ) Q( x ) Q( x ) Q( x ) Donde

 C ( x)dx

es una integral polinómica elemental y la integral

R( x )

 Q( x) dx tiene en el

numerador un polinomio de grado inferior al del denominador, que es el caso que hemos resuelto previamente. Ejemplo 3x 5 -2x 4 -3x 3 +11x 2 -12x+6  3x 4 - 6 x 3  9 x 2 -12 x  6 dx  ... Dividiendo los polinomios resulta (x+4/3) de cociente y -4x3+11x2-2x-2 de resto por lo que 4 4 x3  11x 2  2 x  2 4 4 x 3  11x 2  2 x  2   ...    x    4 dx    x   dx   dx  ... 2 3   3x - 6 x 3  9 x 2 -12 x  6 3   3  x  1 x 2  2  



cociente



resto divisor

4 1  A A2 Mx  N    dx  ... ...    x   dx    1   3 3  x  1  x  12  x 2  2     

Calculamos los coeficientes A1, A2 y M y N: 4 x 3  11x 2  2 x  2 A A2 Mx  N  1   2  ... 2 2 2 x  1  x  1  x  2   x  1  x  2 

 A1  M  x3    A1  A2  2M  N  x 2   2 A1  M  2 N  x   2 A1  2 A2  N  2  x  1  x 2  2  Igualando los numeradores y resolviendo el sistema:

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 25

4  A1  M  M  10 11   A1  A2  2 M  N  N  8  2  2 A1  M  2 N  A1  14 2  2 A1  2 A2  N  A2  17 De donde:  4 1 1 1 x 1  ...    x   dx   14 dx  17  dx  10 dx  8 dx 2   x 2  2   x2  2    ... 3 3 x 1  x  1     x2 4 1 1 8 x  ...   x   14 ln x  1  17  5ln x 2  2  arctan C 2 3 3  x  1 2 2 

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 26

INTEGRALES IRRACIONALES:





Son de la forma  R x, ax 2  bx  c dx Pueden ocurrir los casos siguientes: 1. Si a  0  se efectua el cambio:

ax 2  bx  c  a .x  t .

c  0  cambio : 2. Si a  0   c  0  cambio :

ax 2  bx  c  t.x  c ; ax 2  bx  c  a x   x     tx   .

INTEGRALES BINOMIAS Son de la forma

 x  a  bx  dx m

donde m, n, p  Q. Pueden ocurrir los casos

siguientes:

p  0 : Desarrolla r por el binimio de Newton.  Si p  Z   p  0 : Cambio  x  t  , siendo  el m.c.m.  de los deno min adores de m y n.

De este modo se reduce el problema a una integral racional.  m  1 n   n   Z  Cambio : a  bx  t , siendo  el deno min ador de p.  Si  m  1

Si   n

n  n    p   Z  Cambio : a  bx  t .x , siendo  el deno min ador de p.  

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 27

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES Son de la forma  sin n x  cos m xdx Pueden ocurrir los casos siguientes: Caso 1: n impar Hacemos el cambio de variable:  senx  1  t 2 .  cos x  t    dt .  dx  1 t2  n m  sin x  cos xdx  

1  t 2   t m

1 1 t

dt    1  t 2 

n 1 2

 t m dt

 ....  n impar  n-1 par

Ejemplo 3 4  sin x  cos xdx 



1  t 2   t 4

t  cos x ; dt  sin xdx ; sin x  1t 2

1 1 t

dt    1  t 2 

31 2

 t 4 dt     t 4  t 6  dt  ...

t5 t7 cos5 x cos 7 x   C    C 5 7 5 7

Caso 2: n par y m impar Hacemos el cambio de variable: cos x  1  t 2 .  senx  t   dt .  dx  1 t2 

Ejemplo 4 3  sin x  cos xdx 

4 t

2 3

1  t 

1  t 2 dt   t 4 1  t 2  dt    t 4  2t 6  t 8  dt  ...

t sin x ; dt  cos xdx ; cos x  1 t 2

t 5 2t 7 t 9 cos 5 x cos 7 x cos 9 x   C     C 5 7 9 5 7 9

Caso 3: n par m par En este caso aplicamos las fórmulas trigonométricas siguientes

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 28

1  cos 2 x 2 1  cos 2 x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  sin 2 x  2 cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1  2sin 2 x  sin 2 x 

Ejemplo 1  cos 2 2 x x 1  1  cos 2 x   1  cos 2 x  2 2 2 sin x  cos xdx  dx     2   2   4 dx  4  4  cos 2 xdx  ... x 1 1  cos 4 x x x 1 x x 1   dx     cos 4 xdx    sin 4 x  C 4 4 2 4 8 8 4 8 32

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 29

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×



| 30