Matematicas. Integral definida by Miguel Perez

Analysis Integral definida

OpenMaths.com 1.1.4.7.2

Ver 01:03/02/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.7.2 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.7.2

INTEGRAL DEFINIDA

COPYRIGHT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 28/01/2010

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2 INTEGRAL DEFINIDA ....................................................................................................... 4 INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA................................................. 10 Construcción del área bajo una curva ............................................................................... 10 Integral definida .............................................................................................................. 14 Propiedades de la integral definida................................................................................... 15 Teorema del valor medio para integrales .......................................................................... 17 Teorema Fundamental del cálculo integral....................................................................... 18 Teorema de Barrow ......................................................................................................... 18 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ............................................................ 20 Área determinada por una función ................................................................................... 20 Área determinada entre dos funciones.............................................................................. 21 Volumen de cuerpos de revolución .................................................................................. 25 INTEGRAL DE RIEMANN ............................................................................................... 28

| INTRODUCCIÓN 1

INTRODUCCIÓN En la unidad temática previa se ha desarrollado el estudio de las primitivas de una función, y hemos expuesto diversos procedimientos para el cálculo de primitivas. En otras palabras, hemos expuesto los métodos más usuales del cálculo integrales indefinidas de funciones elementales. Sin embargo, no hemos expuesto ni el significado geométrico ni la utilidad más allá de la propia utilidad que tiene para un matemático el encontrar la función cuya es la función dada. En este nuevo tema, daremos respuesta a estos vacios que aun tenemos, para lo cual daremos la interpretación que el matemático alemán Riemann, matemático alemán, dio a conocer en el siglo XIX.

Georg Friedrich Riemann 1826-1866

| INTRODUCCIÓN 2

| INTRODUCCIÓN 3

INTEGRAL DEFINIDA Cuando se nos enseñó a calcular el área de las figuras geométricas clásicas (cuadrado, triángulo, rombo, polígonos, trapecios, etc.) el significado era claro y sencillo, nosotros podíamos recubrir la figura de cuadrados de lado unidad y contarlos. Eso era el área. El problema surge cuando nos planteamos calcular el área de una figura que posee al menos uno de los lados con una forma no lineal, ni siquiera circular, sino que tenga forma de una función cualquiera. Ejemplo 1 Para responder a esta cuestión empezamos tomando una función sencilla, básica, por ejemplo la función constante f(x) = 2, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y dos rectas x = 2 y x = 8.

La respuesta es elemental, se trata de un rectángulo de base 6 y altura 2, por tanto el área es 12 unidades cuadradas. Ejemplo 2 Introduzcamos un nuevo elemento de dificultad muy pequeño, consideremos ahora la función identidad lineal f(x) = x/2. La figura es ahora un trapecio cuya área viene dada por  B  b  a  4  1 6 S   15 2 2

Es claro que estamos hablando de problemas muy básicos, pero en este andar estamos caminando hacia situaciones menos sencillas que es donde nos interesa ir. Si dividimos el intervalo [2,8] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [2, 7/2], [7/2, 5], [5, 13/2], [13/2, 8], y se construyen rectángulos como los de la figura, la suma de las áreas de los rectángulos verdes es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos azules, exceden al área del triángulo. | INTEGRAL DEFINIDA 4

De hecho si calculamos exactamente las áreas por defecto S1 y por exceso S2 resultan (según cálculo obtenidos con Geogebra) S1 = 12.76 < 15 < S2 = 17.27. Es decir, cometemos errores importantes si quisiésemos aproximar el área correcta de nuestro trapecio ya fuese por los rectángulos por exceso como si lo hiciésemos por los rectángulos por defecto. Pero dividamos el intervalo [2,8], no en 4 partes, sino en 40. Tal y como se aprecia en el gráfico, ahora las estimaciones parecen mejorar mucho, de hecho la sumas resultan ahora S1 = 14.79 y S1 = 15.24

Resulta obvio pensar que tanto cuantas más partes dividamos el intervalo [2,8] tanto mejor aproximaremos el área de nuestro trapecio, es decir las diferencias entre S1 y S2 tienden a disminuir. Ejemplo 3 Vamos a tomar ahora en consideración, no una línea recta, sino un función cualquiera f(x). Usaremos como ejemplo la función f ( x)  2 x entre los puntos de abscisa 2 y 8. Si realizamos el mismo proceso de aproximación que hemos realizado en el ejemplo anterior, podemos ver las gráficas para los casos de particionar el intervalo [2,8] en n = 2, n = 4 y n = 40 partes resulta:

| INTEGRAL DEFINIDA 5

En el primer caso, cuando n = 2, la suma de los rectángulos por defecto es S1 = 18.5 mientras que por exceso es S2 = 21.5. En el segundo caso, cuando n = 4, la suma de los rectángulos por defecto es S1 = 18.63 mientras que por exceso es S2 = 20.14. Pero en el tercer caso, cuando n = 40, la suma de los rectángulos por defecto es S1 = 18.68 mientras que por exceso es S2 = 18.83 (Los cálculos están hechos con Geogebra). Si continuasemos con este proceso hasta el límite infinito, las cantidades S1 y S2 tenderían a coincidir y a coincidir, por tanto, con el área de la figura que pretendemos calcular, que resulta aproximadamente S = 18.66. Veamos como podemos obtener una aplicación de las integrales al cálculo del área bajo una curva, es decir el área comprendida entre la curva, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. Volvamos a los tres ejemplos anteriores. Ejemplo 1 Si hallamos una primitiva de f(x) = 2, es decir F ( x)   2dx  2 x , por ejemplo, y calculamos la diferencia de los valores de esta función en los extremos del intervalo [2,8] resulta F(8) – F(2) = 2·8 – 2·2 = 16- 4 = 12, resulta que obtenemos el área del rectángulo. ¿Habrá sido una casualidad? Vayamos al siguiente ejemplo. Ejemplo 2 | INTEGRAL DEFINIDA 6

x x2 x y una primitiva de esta función es F ( x)   dx  .Y 2 2 4 también aquí se tiene que F(8) – F(2) = 82/4 – 22/4 = 16 - 1 = 15 Me parece que no va a ser una casualidad. No obstante comprobémoslo con el tercer ejemplo La recta es la f ( x) 

Ejemplo 3 La curva que tomamos es la f ( x)  2 x y una primitiva de esta función es

2 2 x3 . Calculamos: 3  2 2  83 2 2  23 2  25  2  22 56 F (8)  F (2)      18.6 3 3 3 3

F ( x)   2 xdx 

Es decir, que se confirma a falta de una demostración formal que, efectivamente, el área limitado por la gráfica de la función, el eje X y las dos rectas x = a y x = b viene dada por F(b) – F(a) donde F es la primitiva de la función f. Esta coincidencia no es casual y constituye uno de los teoremas fundamentales del cálculo integral conocido como teorema de Barrow:. Definición: Integral definida La diferencia F(b) – F(a) recibe el nombre de integral definida de f(x) entre a y b y se denota por



f ( x) dx

Teorema de Barrow

  una función continua y positiva en todo [a, b] y sea F (x ) una primitiva Sea f :  a, b   de f (x ) , entonces el área limitada por la curva f(x) el eje de abscisas X y las rectas x = a y x = b es igual a F(b) – F(a) Con esta notación podemos escribir el resultado anterior del modo siguiente:

A  F (b)  F (a)  

f ( x) dx b

A la diferencia F(b) – F(a) también la denotamos por  F ( x)a En todos los ejemplos consideramos una función f que toma valores mayores o iguales que cero en el intervalo [a, b]. Si f(x) ≤ 0 en [a, b], F(b) – F(a) será negativa, y por tanto, el área coincidirá con el valor absoluto de esta diferencia. Usar este excelente applet en linea para proponer ejemplos del teorema de Barrow: http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/d13riemann2.html

| INTEGRAL DEFINIDA 7

Ejemplo Calcula el área limitada por la curva f ( x)  x 2  3 x el eje de abscisas y la rectas de ecuaciones x =1 y x = 3. La función f ( x)  x 2  3 x toma siempre valores negativos en [1,3]. El área de la superficie delimitada por la curva, el eje de abscisas y las dos rectas x =1 y x = 3 vendrá dada por la expresión siguiente: A  F (3)  F (1) 

 x



 3x dx   F ( x)1

Si la función tiene imágenes de ambos signos en el intervalo [a, b], para calcular el área del recinto debemos descomponer el intervalo en subintervalos donde la función tenga signo constante. Ejemplo Calcula el área limitada por la curva f(x) = x2 -2x -3 el eje de abscisas y la rectas de ecuaciones x =1 y x = 4. En el intervalo [1, 3] la función es negativa. En el intervalo [3, 4] la función es positiva Por tanto debemos de fraccionar el cálculo del área en dos subintervalos:

A

 x 1



 2 x  3 dx  3

 x 3



 2 x  3 dx  ... 4

 x3   x3  16 7 23 2 ...   x  3 x     x 2  3 x     3 3 3 3 1  3 3

A veces puede interesarnos calcular el área del recinto limitado por las gráficas de dos funciones. En este caso, debemos calcular los puntos de intersección de ambas curvas y restar convenientemente las integrales de ambas funciones

Ejemplo Calcula el área limitada por las gráficas de f(x) = -4x2 + 6 y g(x) = x2 -5x +6 | INTEGRAL DEFINIDA 8

Representamos las dos funciones del enunciado y observamos A = A1  A2, siendo A1 y A2 las áreas de los recintos determinados por f y g, respectivamente Para hallar los puntos de corte de las dos curvas debemos resolver el sistema siguiente: y  4 x 2  6  2 2   4 x  6  x  5 x  6  ... 2 y  x  5 x  6  0 y 6 ...  5x2  5 x  0  x  1 y  2 El área buscada será: 1

1 1 1 5  5  5 A   (4 x 2  6) dx   ( x 2  5 x  6) dx   (5 x2  5 x ) dx    x3  x 2   0 0 0 2 0 6  3

| INTEGRAL DEFINIDA 9

INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA Construcción del área bajo una curva Vamos ahora a generalizar y formalizar todos estos procesos para dotar a los conceptos de la rigurosidad que precisamos en matemáticas Definición Partición de un intervalo [a, b] Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos, no necesariamente iguales, contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. P={a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b} Como puedes ver, la definición coincide con el concepto conjuntista de partición pero trasladado ahora al conjunto de los números reales ℝ.

Ejemplo Una partición del intervalo [2,8] viene dada P = { 2, 3, 5, 7, 8 } donde los intervalos resultantes son [2,3), [3,5), [5,7), [7,8) Ahora se va a construir un método que nos va a llevar a definir la integral de una función f :  a, b     con la única condición de que esté acotada, es decir, que

x   a, b  M  0 / f ( x)  M Queremos calcular nuevamente el área A que encierra la función f entre ella, el eje X y dos rectas x = a y x = b.

| INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 10

Sumatorios Definición: Suma inferior de una función f para una partición P Si denominamos mi al menor valor que toma la función f en el intervalo [xi-1, xi), entonces cada uno de estos intervalos determina un rectángulo de base [xi-1, xi) y altura mi. La suma de las áreas de todos estos rectángulos, que denominaremos s, n

s  m1  x1  x0   m2  x2  x1   m3  x3  x2   ...  mn  xn  xn1    mi  xi  xi 1  i0

es una aproximación por defecto del área A que encierra la curva y la denominamos suma inferior de la función f para la partición P en el intervalo [a,b] Ejemplo Consideremos nuestra función f ( x)  2 x , ya estudiada previamente, en el intervalo [2,8] y supongamos la partición P = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} La suma inferior viene dada por los rectángulos de la figura y vale s = 17.65 (cálculo de Geogebra)

Definición: Suma superior de una función f para una partición P Si denominamos Mi al mayor valor que toma la función f en el intervalo [xi-1, xi), entonces cada uno de estos intervalos determina un rectángulo de base [xi-1, xi) y altura Mi. La suma de las áreas de todos estos rectángulos, que denominaremos S, n

S  M 1  x1  x0   M 2  x2  x1   M 3  x3  x2   ...  M n  xn  xn1    M i  xi  xi 1  i 0

Y es una aproximación por exceso del área A que encierra la curva y la denominamos suma superior de la función f para la partición P en el intervalo [a,b] Ejemplo De nuevo con f ( x)  2 x , como en el ejemplo previo, La suma inferior viene dada por los rectángulos de la figura y vale S = 19.65 (cálculo de Geogebra)

| INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 11

Con esta construcción el área exacta A que limita la curva verifica que s < A < S. Llamémosles s1 a s y S1 a S dado que vamos a hacer una construcción en etapas. Definición: Partición fina En las hipótesis que venimos trabajando, diremos que dadas dos particiones de [a,b], P1 y P2 , P2 es más fina que P1 si P2 contiene los mismos puntos que P1 y alguno más. Si a nuestra construcción, le aplicamos una nueva partición P2 más fina que la anterior, obtendremos unas nuevas sumas inferiores por defecto s2 y otras sumas superiores por exceso S2 tales que s1 < s2 < A < S2 < S1. Ejemplo En este gráfico podemos ver las nuevas s2 y S2 para la función f ( x)  2 x si dividimos la partición en intervalos de longitud 0.5. En este caso los valores de dichas sumas resultan: S1 = 19.16 s1 = 18.16 O sea, cuanto más fina es la partición más nos aproximamos al valor del área. Tomemos pues, una sucesión de particiones P1⊂ P2⊂ P3⊂ ... ⊂ Pn, cada una más fina que la anterior. De ellas obtenemos dos sucesiones de sumas por defecto y por exceso s1< s2< s3< ...< sn, S1> S2> S3> ...> Sn,

| INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 12

Si ahora hacemos tender n⇾∞ se tiene que las longitudes de los intervalos [xi-1, xi) de la partición Pn tienden a ⇾0, por lo tanto, tenderán a confundirse las alturas mi con la Mi y la diferencia ( Si – si ) ⇾0 por lo que tenderán a igualarse lim  si   lim  Si  n 

n 

Y como sn < A < Sn , resulta que en el límite lim  si   lim  Si   A n 

n 

b  n   n  Es decir que A  f ( x )dx lim  Si   lim   M i  xi  xi 1    lim  si   lim   mi  xi  xi 1   a n  n   i  0 n   i  0  n 

| INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 13

Integral definida Todo esta introducción o construcción que hemos hecho queda resumida con la siguiente definición y teorema: Definición: Integral definida

  una función continua y positiva en todo [a,b], llamamos Sea f :  a, b  



f ( x)dx y lo

leemos “integral entre a y b, de f(x) diferencial de x“ al área comprendida entre la gráfica de la función f, el eje X y las rectas x = a y x = b. Teorema Dada una sucesión de particiones P1⊂ P2⊂ P3⊂ ... ⊂ Pn del intervalo [a,b], cada una más fina que la anterior, con sumas inferiores s1< s2< s3< ...< sn, y sumas superiores S1> S2> S3> ...> Sn, se cumple que:



f ( x)dx  lim  si   lim  Si  n 

n 

Definición: límites de integración Dada



f ( x)dx a los números a y b se les llama límites de integración.

Definición: Intervalo de integración Dada



f ( x)dx al intervalo [a,b] se le llama intervalo de integración.

| INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 14

Propiedades de la integral definida Propiedad 1 En una integral definida si los límites de integración coinciden, entonces



f ( x)dx  0

Demostración Es obvia, si a y b coinciden no hay área que calcular. Propiedad 2 a) Si f(x) ≥ 0 en todo [a,b] entonces b)

 Si f(x) ≤ 0 en todo [a,b] entonces 

a b

f ( x)dx  0 f ( x)dx  0

Demostración Si f(x) ≥ 0 en todo [a,b] entonces los valores mi ≥ 0 y Mi ≥ 0. Por otro lado los valores (xi – xi-1) > 0, por tanto sn como Sn son positivas pues todos sus sumandos lo son. Análogo para negativas

Propiedad 3 b

Si c   a, b    f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Demostración

Propiedad 4 Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de la integral cambia de signo:



f ( x)dx    f ( x)dx b

Demostración Si cambiamos de lugar los límites de integración los intervalos se construyen de derecha a izquierda, entonces los factores (xi – xi-1) > 0 pasan a ser (xi-1 - xi) < 0 por lo que tanto los sn como los Sn pasan a ser negativas sin cambiar sus valores absolutos. Por tanto la integral cambia de signo. | INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 15

Propiedad 5

  son dos funciones continua en todo [a,b], entonces Si f , g :  a, b   b

a  f ( x)  g ( x) dx  b

f ( x)dx   g ( x)dx b

Demostración El área que limita la función f más el área que limita la función g coincide con el área que limita la función (f + g) Falta Demostración formal con límites Propiedad 6

  es una función continua en todo [a,b], y k∊ℝ entonces Si f :  a, b  



kf ( x)dx  k  f ( x)dx b

Demostración Tanto para los límites inferiores como superiores se tiene que a  n   n  kf ( x ) dx  k  M x  x  k  m x  x  k     lim lim   i i i  1 i i i  1     a b f ( x)dx n   i  0 n   i  0   b

Propiedad 7

  son dos funciones continuas en todo [a,b], entonces Si f , g :  a, b   b

  f ( x)  g ( x) dx  

f ( x)dx   g ( x)dx b

Demostración Obvia a partir de las propiedades 5 y 6: b

a  f ( x)  g ( x) dx  a  f ( x)    g ( x)   dx  b

f ( x)dx     g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx  b

Propiedad 7

  son dos funciones continua en todo [a,b], entonces si Si f , g :  a, b   a

f ( x)  g ( x) x   a, b    f ( x)dx   g ( x)dx b

| INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 16

Demostración Intuitivamente, resulta obvio pensar que si la función g mantiene en su gráfica siempre por encima de la f, entonces el área que encierra g es mayor que el área que encierra f.

Teorema del valor medio para integrales b

  una función continua, entonces c   a, b  /  f ( x)dx  f (c)(b  a ) Sea f :  a, b   a

Demostración

  una función continua alcanza un valor Por el teorema de Weierstrass si f :  a, b   mínimo m y un valor máximo M en [a,b], es decir que m, M / x   a, b   m  f ( x)  M Por la propiedad 8 de la integral definida se tiene que Pero como



mdx   f ( x)dx   Mdx

mdx  m  b  a    f ( x)dx  M  b  a    Mdx

Dividiendo por (b – a): m  

f ( x) 1 b dx  f ( x)dx  M ba b  a a

Aplicando el teorema del valor medio del cálculo diferencial sabemos que tiene que existir un c en el intervalo (a,b) que tome cualquier valor entre el mínimo m y el máximo M, es decir:

c   a, b  / f (c) 

1 b f ( x )dx b  a a

Por lo que se verifica que b

c   a, b  /  f ( x)dx  f (c)  b  a  c.q.d. a

La interpretación geométrica de este teorema es que siempre existirá un punto c de manera que el área del rectángulo de base (b-a) y altura c es igual al área bajo el gráfico de la curva que representa la integral definida



f ( x)dx .

Definición: Función integral

| INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 17

  una función continua. Definimos la función integral F (también llamada Sea f :  a, b  

F :  a, b   función área) de la siguiente manera:

x   F ( x)   f (t )dt a

Teorema Fundamental del cálculo integral   una función continua y sea F(x) su función integral asociada. Sea f :  a, b   Entonces, F es una función derivable en (a,b) y F '( x)  f ( x) x   a, b  Demostración Para comprobar que F es derivable tendremos que probar que F '( x)  lim h 0

F ( x h)  F ( x ) h

 f ( x)

Por el teorema precio existe un número c tal que:

 F ( x h ) F ( x) F '( x )  lim  lim

xh

h0



xh

f (t ) dt   f (t )dt a

h 0

f (t )dt



f ( c) x  h  x

 lim h0





f (t )dt  

xh

f (t )dt 



f (t )dt

 ...

f ( c) h  f ( c) x   x, x  h  h 0 h0 h0 h h h Y también c   x, x  h  por lo que lim f (c )  f ( x)  F '( x )  f ( x) x

...  lim

 lim

lim

h 0

Teorema de Barrow   una función continua y positiva en todo [a, b] y sea F (x ) una primitiva Sea f :  a, b   de f (x ) , entonces F (b)  F (a)  

f ( x) dx

Demostración Por hipótesis F(x) es una primitiva de f(x). Por el Teorema Fundamental del cálculo integral la función G( x)  

f (t ) dt es otra primitiva de f(x).

Dos primitivas difieren tan solo en una constante, por tanto G(x) = F(x) + C Para x = a se tiene que G (a)  

f (t ) dt  0 y G(a) = F(a) + C ⇒F(a) = -C

Para x = b se tiene que G(b) = F(b) + C ⇒G(b) =F(b ) - F(a). Pero G (b)  

lo que



f (t ) dt por

f (t ) dt  F (b)  F (a ) c.q.d.

Notación | INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 18

A la diferencia F(b) – F(a) también la denotamos por  F ( x)a Ejemplo 1 Calcular



2x dx

Solución Si calculamos la primitiva F(x) de la función f ( x)  2 x , por la regla de Barrow



2 x dx  F (8)  F (2)   F ( x)2

Como la primitiva es F ( x)  



 2 x dx    

 2x  3

2 x dx 

     2

 2  8 3



 2x 

 2  2 3

3 3



 C entonces

 64 8 56    18.6 3 3 3

Ejemplo 2 Calcular





sin x dx

Solución

sin x dx   cos x  C

 



sin x dx    cos x 0    cos   cos 0   (1  1)  2

Ejemplo 3 Calcular





e x dx

Solución





e x dx  e x 

0 

 e0  e   1  0  1

| INTEGRAL DEFINIDA. CONSTRUCCION RIGUROSA 19

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Área determinada por una función Como ya hemos venido comentando y usando para la construcción de la integral definida, su aplicación más inmediata es el cálculo de áreas, desde las más elementales a las figuras más complejas. Vamos a suponer que intentamos calcular el área que encierra una función f(x) con el eje X y dos rectas x = a y x = b. Supongamos el caso más complejo, que sería cuando la función f toma valores tanto positivos como negativos. Pongamos un ejemplo genérico con el gráfico adjunto. Entonces, para evitar los cambios de signo, para calcular el área dividiremos el intervalo [a,b] en los tres tramos de determinan los puntos de cortes de la función f con el eje X y siempre tomando valores absolutos pues no tiene sentido hablar de áreas negativas. Así



f ( x)dx   f ( x)dx  a



f ( x)dx 



f ( x)dx  F ( x1 )  F (a )  F ( x2 )  F ( x1 )  F (b)  F ( x2 )

Ejemplo 1 Hallar el área que encierra la función f ( x)  x 2  2 x  3 , el eje X y las rectas x = -2 y x = 4. Solución Los puntos de corte de f(x) con el eje X resultan x = 2 y x = 3 y una primitiva de f(x) es x3 F ( x )   x 2  3x 3

El área pedida resulta



2

f ( x)dx 

... 



1

2

f ( x )dx 



1

f ( x)dx 



1

f ( x )dx   F ( x) 2   F ( x) 1   F ( x) 3  ...

 5 2 5 20 7 32 7 46   9    (9)      15.3 3 3 3 3 3 3 3 3

| APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 20

Ejemplo 2 Hallar el área que encierra la función f ( x) 

1 4 x  17 x3  104 x 2  268 x  240 , el eje 3





X y las rectas x = 2 y x = 6. Solución Los puntos de corte de la función f(x) con el eje X son x = 2, x = 4, x = 5 y x = 6, entonces establecemos la partición P = {2, 4, 5, 6} y calculamos la integral definida de la siguiente manera La primitiva de f(x) es: x5 17 x4 104 x3 134 x2 F ( x)      80 x 15 12 9 3



f ( x)dx 

... 



f ( x )dx 



f ( x)dx 



f ( x)dx   F ( x) 2   F ( x ) 4   F ( x) 5  ...

2272 2396 1825 2272 252 1825 124 37 53 293           3.256 45 45 36 45 5 36 45 180 180 90

Área determinada entre dos funciones   dos funciones tales que f(x) ≥ g(x) en el intervalo (a,b). El área que Sean f , g :  a, b   encierran las dos funciones f y g viene dado por

  f ( x)  g ( x)  dx a

En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:

En el proceso para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos: 1. 2. 3. 4.

Se trazan las curvas. Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas. Se determina la zona de la que hay que calcular el área. Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados. Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C. | APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 21

Para calcular su área se procede así:

Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y sumar el área de C.

(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por debajo del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:

Ejemplo 1 Calcular el área comprendida por las funciones f(x) = x2 y g(x) = -x2 +2 Solución f(x) - g(x) = x2 – ( -x2 +2 ) = 2x2 - 2 Veamos donde se cortan las funciones f y g, para ello resolvemos el sistema  y  x2    (1,1)     2 2 2 y   x2  2 x   x  2 2 x  2  x  1  1 (1,1) Entonces calculamos la integral definida 1

  1

 2 x3  4 4 8 2 x  2 dx    2x    3 3 3  3  1 2



Ejemplo 2 Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x – x2 y g(x) = x. Solución Cortes con el eje de abscisas

0 f : 4 x  x 2  0  x(4  x)  0  x   4   g:x0     Puntos de corte entre las dos curvas

| APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 22

yx

    0  y  0  (0, 0)     y  4 x  x 2  x  4 x  x 2  0  3x  x2  0  x(3  x)  x  3  y  3  (3,3) Máximos y mínimos de f(x)

f '( x)  4  2 x  0  x  2  y  4     (2, 4) f ''( x)  2  0  

Maximo

Área a calcular 3





S   4 x  x dx   0

 4 x 2 x3   x 2   33  32 9 2 xdx          2  3     9   4.5 3 0  2 0  3 2 2  2

O directamente: 3

 3x2 x3   3  32 33  9 S    4 x  x  x dx          4.5 0 3 0  2 3 2  2 3





Ejemplo 3 Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x – x2 y g(x) = x2 - 2x. Solución Cortes con el eje de abscisas

0  6 f : 6 x  x 2  0  x(6  x)  0     0 g : x 2  2 x  0  x( x  2)  0  x 2 x

Puntos de corte entre las dos curvas

y  6 x  x 2    0  y  0  (0, 0)    2 2 2 y  x 2  2 x  x  2 x  6 x  x  2 x  8 x  2 x( x  4)  0  x  4  y  8  (4,8) Máximos y mínimos de f(x)

f '( x)  6  2 x  0  x  3  y  9  (3,9)     (3,9) f ''( x)  2  0  

Maximo

| APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 23

f '( x)  2 x  2  0  x  1  y  1  (1, 1)     (1, 1) f ''( x)  2  0   Área a calcular

Minimo



 



S    6 x  x  x  2 x dx   0 0 2



  2 x3   2  43  64 2 8 x  2 x dx   4 x2   4  4    21.3    3 0  3  3  2



Ejemplo 4 Calcular el área del círculo de radio r Solución La ecuación de la circunferencia de centro el origen O y radio r viene dada por x 2  y 2  r 2 luego la función

f ( x)   r 2  x 2 nos da la gráfica del semicírculo entre –r y +r. Para mayor comodidad incluso, calcularemos el área a partir de un cuarto de circunferencia, es decir entre 0 y r. El área del círculo completo es pues

S  4

r 2  x 2 dx  ...

Esta integral se resuelve con el cambio de variable x = r sin t, pero ello implica un cambio también en los límites de integración: x  0  0  r  sin t  sin t  0  t  0

x  r  r  r  sin t  sin t  1  t  

S  4 2 0

...  4r

  2 0





 2 



r 2  r 2 sin 2 t  r cos tdt  4 2 r 2 1  sin 2 t  cos tdt  4r 2  2 cos 2 tdt  ... 0

 2

 1  cos 2t cos 2t  sin 2t   2 21 2 t dt  4r     4r 2   r 2 dt  4r    0 2 2  4 0 4 2 2

| APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 24

Volumen de cuerpos de revolución Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagínese una recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al sólido. Se supone, por último, que el sólido está completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan, respectivamente, a y b unidades de longitud del punto O. Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular a la recta L por el punto x. Se llamará V(x) al volumen de la parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de la sección que produce el plano en el sólido. En estas condiciones, es claro que V(a) = 0 y V(b) = V. Tomado otro punto de L, x + h, muy próximo a x, V(x + h) - V(x) es el volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x) · h. Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x) es continua, puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está infinitamente próximo a x y, por consiguiente, A(x + h) es prácticamente igual a A(x). Es por esto por lo que en el «cilindro» de bases A(x) y A(x + h) se consideró que ambas eran iguales. Es decir, V  x  h   V  x   A( x)  h Dividiendo entre h y tomando límites cuando h tiende a 0:

lim h 0

V  x  h V  x  h

 limA( x)  V '( x)  limA( x)  A( x) h 0

h 0

En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y por el teorema fundamental del cálculo, b

V  V  b   V  a    A( x)dx a

Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que se pueda determinar, en cada punto, el área de la sección que produce un plano perpendicular que pasa por ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atraviese el sólido. Ejemplo Calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h. Solución Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que coincide con el eje del cilindro, y como punto de referencia O el centro de una de las bases. Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier punto x, el área de la sección producida es un círculo de radio r . Por tanto, A(x) = r2. h

V    r 2 dx   r 2  x 0   r 2 h 0

| APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 25

Definición: cuerpo de revolución Dada una función continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo [a, b], al hacer girar la gráfica de la función alrededor un eje, genera un cuerpo en el espacio llamado cuerpo de revolución. Nosotros tomaremos frecuentemente como eje al eje de abscisas X. Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es: 2

A( x)    f ( x)

Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es: b

V     f ( x) dx a

Ejemplo 1 Calcula el volumen del cuerpo de revolución engendrado por la función f ( x)  2 x al girar alrededor del eje X en el intervalo [2,8] Solución 8

V     2 x  dx   2 xdx   x 2   64  4  60   2 2 2 Ejemplo 2 Calcula el volumen del cuerpo de revolución engendrado por la función f ( x) 

2 x 1

al girar alrededor del eje X en el intervalo [0,4] Solución 2

 2  V    dx  0  x  1 4



 4  4 4 16 dx       2 5 1 5  x  1   x  1  0 4

Ejemplo Calcular el volumen de una esfera de radio r. Solución Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de coordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la semiesfera.

| APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 26

La ecuación de la circunferencia de centro el origen O y radio r viene dada por

x 2  y 2  r 2 luego utilizo la función f ( x)   r 2  x 2 y como la vamos a necesitar al 2

cuadrado  f ( x )  r 2  x 2 El volumen de la esfera es entonces: r

 2  3 r3  4 3 x3  V  2  r  x dx  2  r x    2  r     r 0 3 0 3 3   r





Ejemplo Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r. Solución En un sistema de ejes cartesianos dibujamos un triángulo de vértices (0, 0), (h, 0) y (h,r). Al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0, 0) y (h, r ), se genera un cono de altura h y radio de la base r . La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y r (h, r ) es y  x por lo que la función que h r tomamos es f ( x)  x . El volumen del cono h es entonces: h

 r2    r 2  x3  1 V     2 x2  dx  2     r 2 h 0 h  3 0 3 h  h

| APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 27

INTEGRAL DE RIEMANN Definición: Función escalonada

  . Decimos que f es una función escalonada cuando existe una partición Sea f :  a, b   del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición. Ejemplo 1

f :  3, 4    2 si x  -3,2  x   f ( x)   1 si x   2,4 Es una función escalonada donde la partición viene pada por los puntos P = { -3, 2, 4} y en cada intervalo la función es constante. Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición. Ejemplo 2 El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte entera de x, definida como E :    x   E ( x) donde la imagen mediante E(x) es el mayor número entero que es menor o igual que el número x. Así, tenemos que E [2.125] = 2, E [3] =3, E [3.01] = -3, E [-0.54] = -1

De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interior de cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma en los extremos. Definición: Integral definida de una función escalonada Sea

f :  a, b   

una función escalonada, y P = {a=x0, x1, x2, ..., xn=b} x   f ( x)  mi x   xi 1 , xi  la partición que la define. Entonces se llama integral definida de la función f en [a, b] , y lo denotamos por



f ( x)dx , al número: | INTEGRAL DE RIEMANN 28

m1  x1  x0   m2  x2  x1   m3  x3  x2   ...  mn  xn  xn 1  Como puedes ver intuitivamente en el gráfico, la integral de la función escalonada f es la suma de las áreas de los rectángulos sombreados, pues los mi son sus alturas y los (xi, xi-1) las bases. Ejemplo 1 Calcula



3

f ( x)dx para la función escalonada

f :  3, 4    2 si x  -3,-1  x   f ( x)   1 si x  -1,2  1 si x   2,4  Solución La partición asociada es P = {-3, -1, 2, 4} de donde



3

f ( x)dx  2  1  (3)  1 2  (1)  1 4  2  2  2  1  3  1  2  5

Ejemplo 2 Calcula



3

f ( x)dx para la función escalonada “parte entera de x” E[x] .

Solución La partición asociada es P = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} de donde 4

 E  x  dx   3  2  (3)    2  1  (2)   1 0  (1)  0  1  0  1  2  1  ... 3

...  2   3  2  3   4  3   3 1   2   1   1  1  0 1  11  2 1  3 1  ... ...  3  2  1  0  1  2  3  0 Propiedad La integral definida de una función escalonada no depende de la partición elegida. Esto significa que si P y P' son dos pariciones de una función escalonada f, el valor de



f ( x)dx

es el mismo para ambas.

En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x)  f(x)  h(x) cuando x  [a, b]. En estas condiciones, si existe un único número I que cumpla

| INTEGRAL DE RIEMANN 29

para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x)  f(x)  h(x) si x  [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.

y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x. Significado de la integral definida de una función

 Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe su por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

 Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función quedaría por debajo del eje de abscisas. En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integrales correspondientes serían negativas, y puesto que

el área de la región que determina una función negativa es:

Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la integral de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva y la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas con signo menos, si la función escalonada es negativa. Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b]. En la figura adjunta, se ve claramente que:

| INTEGRAL DE RIEMANN 30

La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho más útiles de cara a decidir si una función acotada es integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostración se omite por escapar de los objetivos de este libro. Teorema Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo. Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es

Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función continua. Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida la integral de una función f(x) definida en un intervalo [a, b]. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y existe

A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:

Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla con la variable x de la función f. En estas condiciones, si t0  [a, b] es un punto en el que la función f es continua, la función G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la función G en un punto coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función f es continua, la función G es una primitiva de la función f. El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow. Regla de Barrow Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x  (a, b), entonces | INTEGRAL DE RIEMANN 31

Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para resolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores. Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función. Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:

Ejercicio: cálculo de áreas  Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 2. Resolución:

Dos propiedades fundamentales de la integral definida Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas en el cálculo de integrales definidas: 1. Si K es un número real cualquiera,

| INTEGRAL DE RIEMANN 32

Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4. Área por defecto:

Área por exceso:

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

Además,

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.

Sumatorio de Riemann

  . Esta función junto con el eje de abscisas Sea la función continua y positiva f :  a, b   X y las rectas x=a y x=b determina una región del plano

Deseamos calcular esta área.

| INTEGRAL DE RIEMANN 33

Al ser f una función cualquiera, esta área no se puede calcular por los métodos clásicos sino que tenemos que utilizar un método de aproximaciones con figuras planas cuya área sí sea conocida. Por ejemplo, construyendo un trapecio en lugar del lado formado por f(x) tendríamos el trapecio:

Que, al menos visualmente, parece que aproxima bastante bien a la figura deseada. Si en lugar de un trapecio tomamos dos, tres, … vemos que las aproximaciones van mejorando

| INTEGRAL DE RIEMANN 34

Volúmenes de sólidos

Ejercicio: cálculo de volúmenes 

| INTEGRAL DE RIEMANN 35

CÁLCULO INTEGRAL

TEORÍA -

Enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Teorema fundamental del cálculo integral. Enunciado, demostración e interpretación geométrica. Teorema del valor medio del cálculo integral (Enunciado, demostración e interpretación geométrica). Regla de Barrow (enunciado y demostración).

PROBLEMAS

1. Utilizar el cálculo integral para obtener la fórmula que expresa el área de un triángulo en función de una base y su correspondiente altura. (Indicación: supóngase los vértices del triángulo en los puntos (0, 0), (b, 0), (a, h), con a, b, h > 0, y razónese separadamente los casos a = b, a < b y a > b). (1988) 2. Comprobar la verificación de la tesis del teorema del valor medio del cálculo integral para x 1 f ( x)  en el intervalo [–2, e–3]. x3 (1988) 3. Calcular

x 5  4 x 3  x 2  3x  2  x 4  3x 2  2 dx

4. Calcular la área del recinto plano delimitado por la gráfica de la función eje X, y

f ( x) 

(1988) x x 2  1 , el

la recta x = 1/2. 1 1 x= , x= , 3 3 5. Hallar el área de la región plana limitada por las rectas gráfica de

(1988) el eje X y la

| TEORÍA 36

la función f ( x)  xe 3 x . (1988) 6. Dada la función: f ( x)  x 3  2 x determinar su campo de definición y zonas de crecimiento y decrecimiento. Calcular el área e la región acotada del plano delimitada por la gráfica de f y el eje OX. (1988) 7. Obténgase el área de la región plana acotada por las rectas x = 0, x =  y las gráficas de las funciones f (x) = ex sen x,

g (x) = –ex (1988)

8. Dada la función f ( x )   1

sen t dt ( x > 1), calcúlese f () y f (). t (1988)

8. Calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función f (x) = x · e–x, el eje de las X y las rectas x = 1 y x = 3. (Junio 1989) 10. Calcular el área limitada por la parábola y = 2x2 – x y la recta y = 3x. (Junio 1989)

11. Calcular la integral

 ( x 2  2 x  3)(ln x) dx (Septiembre 1989) 12. Comprobar la verificación de la tesis del teorema del valor medio del cálculo integral para la función f (x) = 3x2 + 2x en el intervalo [0, 1]. (Septiembre 1989) 13. Calcular el área limitada por las gráficas de las parábolas | TEORÍA 37

y = x2;

y= x (Septiembre 1989)

14. Calcular la integral

x4  x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  1 dx (Junio 1990) 15. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones: y = x2 – 4;

y = 3x (Septiembre 1990)

16. Calcular las siguientes integrales 2

3 x  x e dx

x1 / 3  x1/ 3  3 dx (Septiembre 1990)

17. Calcular el área limitada por la curva y = x2 – 5 y la recta y = 2x + 3. Representa gráficamente esta área. (Junio 1991) 18. Calcular el área limitada por las curvas:

9 ( y  2) =  x 2 + 6 x e y = –2 2 (Septiembre 1991) 19. Hallar los extremos relativos de la función f (x) = ex (x – 1). Hallar el área limitada por la gráfica de la función f (x) y los ejes de coordenadas. (Septiembre 1991) 20. a) Calcula a y b para que la función f (x) = ax + b + 8/x tenga en el punto (–2, –6) una tangente horizontal. b) Determina el área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 2. | TEORÍA 38

(Septiembre 1991) 21. Resolver las siguientes integrales: a)

ln x  x 2 dx



ex 1

(Septiembre 1991) 22. ¿Es aplicable el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral a la función: x

f ( x) 

1 + x2

en el intervalo [0, 1]?

En caso afirmativo, comprueba su verificación. (Junio 1992) 23. Calcula el área limitada por las curvas: y = 6x – x2,

y = x2 – 2x. (Junio 1992)

24. Resuelve las seguintes integrales: i)

 xe

x

ii)

5x  8 dx 2  x3

 2x

(Junio 1994) 25. Comprobar que se verifica el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral para la función f (x) = sen (x), definida en el intervalo [0, ]. (Septiembre 1994) 26. Calcula el área limitada por las curvas y = x2 – 4 e y = –2x2 + 8. Representar gráficamente la figura resultante. (Junio 1995) 27. Resolver:

x  1  ( x 2 ) 2 dx

3e x  1  e x dx | TEORÍA 39

(Logse. Junio1995) 28. Resolver:  (4 x 2+3) e x dx (Logse. Septiembre 1995) 29. Calcúlese el = x2 – 5x

área

del

recinto limitado por las gráficas de las funciones

f (x)

y g(x) = 3x – x2 entre sus puntos de corte. (Logse. Septiembre 1995) 30. Calcular el área del recinto limitado por la parábola 2y2 = x – 2, el eje de abscisas y la tangente a la parábola paralela a la recta 2y = x – 3. Hacer un dibujo del recinto descrito. (Junio 1996) 31. Calcular el área del recinto limitado por la parábola x2 = 2y, el eje de ordenadas y la tangente a la parábola de pendiente –1. Hacer un dibujo de este recinto. (Logse. Junio 1996) 32. Calcular el valor de la integral 0

x

Ln ( x) dx

1

(Septiembre 1996) x

33. Calcular el punto x  ]0, 5[ en el que la función mínimo en dicho

t  2

f (x) =4 + t

alcanza el

intervalo. (Logse. Septiembre 1996) b

34. A. Se sabe que

 f ( x) dx = 0 . ¿Se puede asegurar que a = b? Razonar la respuesta. a 3

B. Calcular, utilizando la regla de Barrow, la integral definida



| x  1 | dx .

3

(Logse. Junio 1997)

| TEORÍA 40

35. A. Al calcular el área de un recinto por una integral definida, ¿depende el cálculo de la primitiva que se utilice?. Razonar la respuesta. 3

B. Calcular la integral definida:

 2

1 dx x · (ln x) 4 (Septiembre 1997)

36. Calcular las siguientes integrales:

cos x dx 3 x

 sen

 ln x dx (Logse. Septiembre 1997)

37. A. Sea f una función continua positiva tal que 1 que f (x)  1 1   f ( x ) dx  2

. ¿Se puede asegurar

para todo x  [0, 1]? Razonar la respuesta. /2

B. Calcular la integral

 x cos ( x) dx /4

(Logse. Junio 1998) 38. Calcula

5x 2  6 x  16  x 3  2 x 2  4 x  8 dx (Septiembre 1998)

39. Calcular las siguientes integrales: A.

 2 x

 x sen ( x) dx (Logse. Septiembre 1998)

40. Teniendo en cuenta que la función f ( x )  2 x 3  3 x 2   toma valores positivos y negativos. Hallar el valor de  de forma que el área de la región limitada por el eje OX, la recta x = 1, la recta x = 2 y la curva y  f ( x )  2 x 3  3 x 2   quede dividida por el eje OX en dos partes con igual área. (Logse. Junio de 1999) 41. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las siguientes curvas: xy = 1, y = x2, x = 3. Hacer un dibujo del recinto descrito. (Logse. Septiembre 1999) | TEORÍA 41

42. Sea f ( x)  

1 dt , y sean a, b  R+. Demuestra que f ( a · b )  f ( a )  f (b ). t (Logse. Junio 2000)

SOLUCIONES

2.  c = e – 4 0 [–2, e–3]. 2 1 3. x  arctg x  ln ( x 2  2) + C . 2 2

4. –

1 3 ln . 2 4

2e  2 . 9e

6. Creciente en ]–4, 1[; decreciente en ]1, 3/2[. Área

3e   1 . 2

f () = 0; f () = 

2e 2  4 e

3 3 . 5

1 . 

10. 8/3. 3 2  3  11.  x  x 2  3 x  (ln x)  x  x  3x  C . 9 2 3 

12.  c =

1  7  [0, 1]. 3

13.

1/3.

14.

3 1 1 x  ln x  1   ln ( x 2  1)  C . 2 2 ( x  1) 4 | TEORÍA 42

15.

125/6.

16. 

1 x2 2 e ( x  1)+ C ; 2

x

17. Área = 36

9 2/3 x  27 x1 / 3  81 ln x1 / 3  3 + C . 2

y=x25

y=2x+3

18.

19.

Mínimo (0, –1);

20.

a) a = 2;

21.



22.

 c  0,455  [0, 1].

23.

64/3.

24.

 x · e x  e x+ C ;

25. 26.

 c  0,6901  [0, ]. Área = 32

b = 2.

Área = e –2 b) 5 + ln 2

1 1 ln x  + C ; x x

2 arctg

x e  1+ C

y=x24

y=2x2+8

| TEORÍA 43

27.

1 arctg x 2 + C ; 2

28.

(4 x 2  8 x  11) e x+ C .

29.

64/3.

30. Área =





3 ln 1 + e x + C

1 12 B A 3/

31. Área =

C 5/

1 6

1

32.

3 e4  1 . 16

33.

x = 2.

34.

A. No

35.

A. Es independiente.

B. 10. B. 0,7495.

| TEORÍA 44



1 +C 2 sen x

36.

37.

B. 0,3083

38.

3 ln | x  2 |  2 ln | x  2 | 

39.

2 x arctg C; 2 2 1  . 2 7,57 u2.

40. 41.

B. x ln x – x + C.

6 C x2

B. x cos (x) + sen (x) + C.

INTEGRACIÓN 1. Halla una función F (x ) cuya derivada es f ( x)  4 x 3  7 x 2  5 x  1 y se anula para x = 1 1 2. Determina una función F (x ) para que F ( x )  3  x y F (3)  1 x x 3. Halla la primitiva de f ( x)  e  1 cuya gráfica pasa por el punto (0, 1) 4. Integra las siguientes funciones: ( x 2  1) 2  1  a)  dx b)  (4 x 2  2)e x dx c)   3  tg x  dx x x  d)

2  x cos x dx

 xe

 x2

x 3  12 x  10  x 2  4 x  3 dx dx m)  2 x  5x  6

e

cos x dx

2x  1  x 2  1 dx

 (2 x



 arccos x dx

 3) 2 dx

x 3  2x  1  x 2  x dx 2 sen x n)  dx cos 5 x

 sen (2  3x) dx

e

t) w)



dx x

1  4x 4

x2 1  x 3  3x  1 dx

 (x

 3 x  1) ln x dx

ln x dx x2 x3  1 dx o)  3 x  3x  2 l)



5x 3  4 x 2  x  3 dx r)  x2 u)

x



sen x dx

3x 2  6 x x 3  3x 2

| TEORÍA 45

 sen 6 x



  sen 3x  7  8x  dx

5. Calcula: e



a)  ln x dx

 x sen x

 sen 3x dx

0 

x dx

f)  ( x  1)e x dx

e)  (1  x) x dx 0

dx g)  dx ( x  1)( x  2) 2





 2 2

i)  sen 2 x cos x dx

 x cos x dx 0

6. Calcula el área limitada por las gráficas de las parábolas y  x 2 e y 

x 7. Averigua el área comprendida entre las curvas de ecuaciones f ( x )  x y g ( x )  2  x 2 8. Halla el área comprendida entre la curva y  2x 2 y la recta y  2 x  4 9. Halla el área de la figura limitada por la parábola y  x 2  4 x y el eje de abscisas. 10. Si el área de la figura comprendida entre la parábola y   x 2  t 2 , el eje de las X es 36. Calcula el valor de t 11. Halla el área de la superficie comprendida entre la función f ( x)  sen x y el eje de abscisas en el intervalo [0, 2] 12. Halla el área comprendida entre la curva de ecuación y  x 3  6 x 2  8 x y el eje de abscisas. 13. Halla el área limitada por la parábola y  x 2  2 y la recta y  6. SOLUCIONES 2

1. 2. 3. 4.

7 x 3 5x 2 1 F ( x)  x   x 3 2 6 2 1 x 31 F ( x)   2   2 9 2x x F ( x)  e  x 2 9 4 5 a) x  x 2 x C 9 5 1 c)  2  ln | cos x | C 2x 4

e) ln x 2  1  arctg x  C

b) (4 x 2  2)e x  8( xe x  e x )  C d)

sen x 2 C 2

1 ln x 3  3x  1  C 3

| TEORÍA 46

1 2 g)  e  x  C 2

 x 3 3x 2  1 3 i)    x  ln x  x 3  x 2  x  C 2 9 4  3 

x2 1 1  4 x  ln x  1  ln x  3  C j) 2 2 2

x2  x  ln x  4 ln x  1  C k) 2

1 1 l)  ln x   C x x

m)  ln x  2  ln x  3  C

1 C 2 cos 4 x

7 2 7 ln x  1   ln x  2  C 9 3( x  1) 9

1 x e sen x  e x cos x  C 2

1 cos(2  3 x )  C 3

5 3 3 x  4 x  ln x   C 2 x

s) 2

5 x C ln 5

7. 8. 9. 10. 11. 12.



v) x arccos x  1  x 2  C

1 arcsen 2 x 2  C 4

2 x 3  3x 2  C

1 5 sen 3x  ln 7  8 x  C 3 8

5. a) 1



t)  xe  x  e  x  C

u)  x 2 cos x  2 x sen x  2 cos x  C

4 5 x  4x 3  9x  C 5

b) 0

2 3

1 2

4 15

f) 2

1 8 ln   3 5

h) 2

1 3 1 u.s. 3 8 u.s. 3 9 u.s. 32 u.s.. 3 t=3 4 u.s 8 u.s

| TEORÍA 47

13.

32 u.s. 3

Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según un ritmo dado por la siguiente función f ( x )  0,01t 3  0,2t 2  t  1 . ¿Cuánto material arroja cada día? Solución (PAG 32 1999)

| TEORÍA 48

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±⇾∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫ ♯⨁⨂✘✔×



| 49