Algebra Lineal. Determinantes by Miguel Perez

Linear Algebra Determinantes

OpenMaths.com 1.1.2.5.2

Ver 01:8/10/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.2.5.1 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.2

ALGEBRA

1.1.2.5

LÍNEAR ALGEBRA

1.1.2.5.2

DETERMIMANTES

COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 08/10/2010

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3 Historia................................................................................................................................... 3 http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#History ................................................................ 5 Apliciaciones.......................................................................................................................... 5 CONCEPTOS BÁSICOS .......................................................................................................... 7 Determinante de una matriz ................................................................................................... 7 Propiedades de los determinantes .......................................................................................... 7 Metodo de Chio.................................................................................................................... 16 Calculo de un determinante por el metodo de triangularización ......................................... 17 Determinante de Vandermonde ........................................................................................... 19 EJERCICIOS ........................................................................................................................... 20 DETERMINANTES. RESUMEN DE PROPIEDADES ........................................................ 33

| INTRODUCCIÓN 1

| INTRODUCCIÓN 2

INTRODUCCIÓN In algebra, the determinant is a special number associated to any square matrix, that is to say, a rectangular array of numbers where the (finite) number of rows and columns are equal. The fundamental geometric meaning of a determinant is a scale factor for measure when the matrix is regarded as a línear transformation. Thus a 2 × 2 matrix with determinant 2 when applied to a set of points with finite area will transform those points into a set with twice the area. Determinants are important both in calculus, where they enter the substitution rule for several variables, and in multilínear algebra. A matrix is invertible if and only if its determinant is non-zero. http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

Historia Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación gaussiana. En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones líneales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo. El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente. Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones líneales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar ai, j. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo.1 Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde.

| INTRODUCCIÓN 3

En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño superior.2 El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenes del shōgun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638. Historically, determinants were considered without reference to matrices: originally, a determinant was defined as a property of a system of línear equations. The determinant "determines" whether the system has a unique solution (which occurs precisely if the determinant is non-zero). In this sense, determinants were first used in the Chinese mathematics textbook The Nine Chapters on the Mathematical Art (九章算術, Chinese scholars, around the 3rd century BC). In Europe, two-by-two determinants were considered by Cardano at the end of the 16th century and larger ones by Leibniz and, in Japan, by Seki about 100 years later.[5][6] In Japan, determinants were introduced to study elimination of variables in systems of higherorder algebraic equations. They used it to give short-hand representation for the resultant. After the first work by Seki in 1683, Laplace's formula was given by two independent groups of Japanese mathematicians: Tanaka, Iseki (算法発揮, Sampo-Hakki, published in 1690) and Seki, Takebe, Takebe (大成算経, taisei-sankei, written at least before 1710). However, doubts have been raised[weasel words] about how much they recognized the determinant as an independent object. In Europe, Cramer (1750) added to the theory, treating the subject in relation to sets of equations. The recurrent law was first announced by Bézout (1764). It was Vandermonde (1771) who first recognized determinants as independent functions.[5] Laplace (1772) [7][8] gave the general method of expanding a determinant in terms of its complementary minors: Vandermonde had already given a special case. Immediately following, Lagrange (1773) treated determinants of the second and third order. Lagrange was the first to apply determinants to questions of elimination theory; he proved many special cases of general identities. Gauss (1801) made the next advance. Like Lagrange, he made much use of determinants in the theory of numbers. He introduced the word determinants (Laplace had used resultant), though not in the present signification, but rather as applied to the discriminant of a quantic. Gauss also arrived at the notion of reciprocal (inverse) determinants, and came very near the multiplication theorem. The next contributor of importance is Binet (1811, 1812), who formally stated the theorem relating to the product of two matrices of m columns and n rows, which for the special case of m = n reduces to the multiplication theorem. On the same day (November 30, 1812) that Binet presented his paper to the Academy, Cauchy also presented one on the subject. (See Cauchy-Binet formula.) In this he used the word determinant in its present sense,[9][10] summarized and simplified what was then known on the subject, improved the notation, and gave the multiplication theorem with a proof more satisfactory than Binet's.[5][11] With him begins the theory in its generality. | INTRODUCCIÓN 4

The next important figure was Jacobi[6] (from 1827). He early used the functional determinant which Sylvester later called the Jacobian, and in his memoirs in Crelle for 1841 he specially treats this subject, as well as the class of alternating functions which Sylvester has called alternants. About the time of Jacobi's last memoirs, Sylvester (1839) and Cayley began their work.[12][13] The study of special forms of determinants has been the natural result of the completion of the general theory. Axisymmetric determinants have been studied by Lebesgue, Hesse, and Sylvester; persymmetric determinants by Sylvester and Hankel; circulants by Catalan, Spottiswoode, Glaisher, and Scott; skew determinants and Pfaffians, in connection with the theory of orthogonal transformation, by Cayley; continuants by Sylvester; Wronskians (so called by Muir) by Christoffel and Frobenius; compound determinants by Sylvester, Reiss, and Picquet; Jacobians and Hessians by Sylvester; and symmetric gauche determinants by Trudi. Of the text-books on the subject Spottiswoode's was the first. In America, Hanus (1886), Weld (1893), and Muir/Metzler (1933) published treatises. http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#History

Apliciaciones Las propia álgebra matricial necesita los determinantes para el cálculo de la matriz inversa y para determinar el rango de una matriz. En el mismo contexto, se usan también para encontrar eigenvalores de una matriz A a través de su polinomio característico. En la resolución de sistemas de ecuaciones líneales para aplicar la regla de Cramer, se hacen imprescindibles así como en la discusión de sistemas. En calculo numérico para los mismos fines. En geometría analítica, el cálculo de áreas y volúmenes bajo forma de determinantes en espacios euclídeos aparecen como casos particulares de una noción más general de determinante. La letra mayúscula D (Det) se reserva a veces para distinguirlos. Copcretamente el volumen de un paralelepípedo o de un tetraedro se puede obtener de una forma sencilla mediante cálculo de determinantes.

| INTRODUCCIÓN 5

| INTRODUCCIÓN 6

CONCEPTOS BÁSICOS Determinante de una matriz El determinante de una matriz cuadrada es un numero real. Su definición formal es compleja para este nivel de secundaria, podemos adelantarla || M nxn  →ℜ

∑

A  →A=

( j1 , j2 , j3 .. jn )∈Pn

(−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ a3, j3 ⋅ ... ⋅ an , jn

σ es el numero de inversiones de la permutación (j1, j2, ..., jn) y Pn el conjunto de todas las permutaciones de n números naturales { 1, 2, 3, 4...n} . Si la permutación j1 , j2 ,..., jn ∈ P n es de clase par, (-1)σ valdrá 1 y si es de clase impar valdrá -1.

Propiedades de los determinantes Probaremos la mayoría de las propiedades mediante ejemplos ilustrativos, pues la demostración formal está, en la mayoría de los casos, fuera de las pretensiones de este curso y del nivel exigido. Sin embargo, mencionaremos alguna de las más sencillas de ellas . 1. El determinante de la matriz unidad es 1. |I|=1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 1+1

0 0 0 2 +1

0 0 0 3+1

0 0 0 4 +1

= (−1) 1 0 1 0 + (−1) 0 0 1 0 + ( −1) 0 1 0 0 + ( −1) 0 1 0 0 = 1

0 0 0 1

0 0 1

0 1 0

Demostración. Como en la matrid unidad aij = 0 ∀i,j ≠ 0 y aij = 1 ∀i = j , entonces todos los sumandos de A= ∑ (−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ a3, j3 ⋅ ... ⋅ an , jn son cero excepto el sumando a1,1 ⋅ a2,2 ⋅ a3,3 ⋅ ... ⋅ an ,n ( j1 , j2 , j3 .. jn )∈Pn

que vale 1 porque todos sus términos son 1. 2. Si una matriz tiene una línea (fila o columna) con todos sus elementos 0, entonces su determinate es 0.

| CONCEPTOS BÁSICOS 7

1 0 2 3 0 4 = 1⋅ 0 ⋅ 6 + 0 ⋅ 4 ⋅ 5 + 3 ⋅ 0 ⋅ 2 − 2 ⋅ 0 ⋅ 5 − 1⋅ 0 ⋅ 4 − 3 ⋅ 0 ⋅ 6 = 0 5 0 6

Demostración. Si una línea de la matriz tiene todos sus elementos 0 y cada sumando del desarrollo de A= ∑ (−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ a3, j3 ⋅ ... ⋅ an , jn contiene obligatoriamente uno de esos elementos ( j1 , j2 , j3 .. jn )∈Pn

de esa línea, entonces todos los sumandos valen 0 y por tanto el determinante es 0. 3. El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta. |A|=|At| −1  −1 3 0 −1   2 4 3 0 2 A= ; A=  0 −2 2 4  0   1  1 3 −3 1  −1 2 0 1 4 3 4 −2 3 t 1+1 = ( −1) ( −1) 3 A = 0 3 2 −3 0 −1 0 4 1

3 0 −1 4 3 0 = −204 −2 2 4 3 −3 1

2 0 1 2 0 1 2 0 1 −2 3 2 +1 3+1 4 +1 2 −3 + ( −1) 3 3 2 −3 + (−1) 0 4 −2 3 + (−1) (−1) 4 −2 3 = 4 1 0 4 1 0 4 1 3 2 −3

= − [8 + 36 − ( −48 − 6) ] − 3 [ 4 + 12 − (−24) ] + [12 + 8 − ( −6 + 12) ] = −98 − 120 + 14 = −204

Demostración Observando la definición de determinante, existirán los mismos sumandos en el desarrollo de la matriz A que en el de At.

∑

( j1 , j2 , j3 .. jn )∈Pn

(−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ a3, j3 ⋅ ... ⋅ an, jn =

∑

( j1 , j2 , j3 .. jn )∈Pn

(−1)σ ( a1, j1 ) ⋅ ( a2, j2 ) ⋅ a3, j3 ⋅ ... ⋅ an, jn t

(

)

(

)

4. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de ambas matrices: |AB|=|A||B|

| CONCEPTOS BÁSICOS 8

1 2 −1 A = 0 1 0 = 3; 1 1

1 0 1 B = −1 1 1 = 2

0 2

 1 2 −1  1 0 1  −1 2 1 A ⋅ B =  0 1 0   −1 1 1  = −1 1 1 = −6 + 2 − 1 − (1 − 1 − 12) = 6 = A ⋅ B 1 1 2  0 0 2 1 1 6   

5. Si en una matriz permutamos dos líneas (filas o columnas) el determinante cambia de signo det(F1, F2, F3,..,Fi, ...Fj,..,Fm ) = -det(F1, F2, F3,.., Fj, ...Fi,..,Fm )

1 0 2  2 0 1   3 7 8  = − 8 7 3  ⇒ B = − A     4 − 1 4 4 − 1 4 Demostración Tengamos una matriz A con determinante |A|. Si cambiamos las dos líneas de sitio, obtenemos una nueva matriz Â cuyo determinante |Â|, será el mismo que el de la A pero con los términos correspondientes a las líneas permutadas, también permutados, lo que constituye una inversión adicional a las de la permutación original, luego un solo cambio de signo para cada sumando y por tanto el |Â| = - |A|

∑

( j1 , j2 , j3 ,... ji ... jk ..... jn )∈Pn

Aˆ =

∑

( j1 , j2 , j3 ,... jk ... ji .. jn )∈Pn

(−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ ... ⋅ ai , ji ⋅ ... ⋅ ak , jk ⋅ ... ⋅ an , jn

(−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ ... ⋅ ak , jk ⋅ ... ⋅ ai , ji ⋅ ... ⋅ an , jn

6. Si una matriz tiene dos líneas (filas o columnas) iguales, su determinante es 0.

1 0 2 3 7 8 = 14 + 0 + 0 − (14 + 0 + 0) = 0 1 0 2 Demostración Tengamos una matriz A con determinante |A|. Si permutamos sus líneas iguales, obtenemos una matriz Â que es igual a A, luego |Â| = |A|. Pero por la propiedad anterior, al haber permutado sus líneas se tiene también que |Â| = - |A|. Por tanto, la única conclusión para que se cumplan ambas condiciones es que |Â| = |A| = 0 | CONCEPTOS BÁSICOS 9

7. Si una línea de una matriz es combinación líneal de las líneas restantes, su determinante es cero.

Consideremos 3 − 1 1 ; donde la tercera fila F3 es igual a 2F1 – F2 . Se tiene que: −1 1 3

3 − 1 1 = −3 + 0 + 6 − (2 + 1 + 0) = 0 −1 1 3 Demostración |A| = det(F1, F2, F3,.., Fi, ...,Fm ) donde supongamos que la fila i-ésima es combinación líneal de las restantes Fi = α1F1+ α2F2+...+ αiFi +...+ αnFn y tachamos la fila i-ésima para designar que ésta no está entre los sumandos. Segun las propiedades ya contempladas se tiene |A| = det(F1, F2, F3,.., Fi, ..,Fm ) = det(F1, F2, F3,.., α1F1+ α2F2+...+ αiFi +...+ αnFn, ..,Fn ) = α1 det(F1, F2, F3,.., F1, ..,Fn ) + α2 det(F1, F2, F3,.., F2, ..,Fn ) + ... + αn det(F1, F2, F3,.., Fn, ..,Fn ) = ... Y todos estos determinantes son nulos por tener dos filas iguales, con lo que: ... = α1 0 + α2 0 + ... + αn 0 = 0

8. Si los elementos de una línea de una matriz se multiplican por un número α, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho numero: det(F1, F2,.., α Fi,..,Fm ) = α det(F1, F2,.., Fi,..,Fm ) Ejemplo Tengamos el determinante de la matriz A, ya calculado previamente y el determinante de la matriz B que tiene las dos primeras filas iguales a la A y la 3ª fila es la misma que la de A multiplicada por 3 | CONCEPTOS BÁSICOS 10

1 2 −1 A=0 1 1 1

1 2 −1

0 = 3;

B=0 1

3 3

0 = 6 − ( −3) = 9 ⇒ B = 3 A 6

Demostración Sea A una matriz de orden n y sea B la matriz obtenida multiplicando por α una línea cualquiera de la matriz A,

 a1,1   a2,1  ... A=  ai ,1  ...   an ,1 

a1,2

... a1, j

a2,2 ... a2, j ... ... ... ai ,2 ... ai , j ... ... ... an ,2 ... an , j

... a1,n  a1,2  a1,1   ... a2,n  a2,2  a2,1  ... ... ...  ... ; B =  ... ai , n   α ⋅ ai ,1 α ⋅ ai ,2  ... ... ...  ...    an ,1 an ,2 ... an , n  

...

a1, j

...

... a2, j ... ... ... α ⋅ ai , j

... ... ...

... ...

... an , j

a1,n   a2,n  ...   α ⋅ ai ,n  ...   an , n 

el determinante de esta nueva matriz B vendrá dado por B = ∑ (−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ ... ⋅ α ⋅ ai , ji ⋅ ... ⋅ an, jn = α ⋅ ∑ (−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ ... ⋅ ai , ji ⋅ ... ⋅ an, jn = α ⋅ A

9. Si todas las líneas de una matriz A de orden n están multiplicadas por un mismo número α el determinante de la matriz queda multiplicado por α n

α A =αn A Ejemplo Consideremos una matriz A y sea B la matriz 3A. 1 2 −1 A=0 1 1 1

0 = 3; 2

3 6 −3 B=0 3 3 3

0 = 54 − ( −27) = 81 ⇒ A = 27 B 6

Demostración

| CONCEPTOS BÁSICOS 11

 a1,1   a2,1  ... A=  ai ,1  ...   an ,1 

a1,2

... a1, n   α ⋅ a1,1 α ⋅ a1,2   ... a2,n   α ⋅ a2,1 α ⋅ a2,2  ... ... ...  ...  ;α ⋅ A =  ... ai ,n   α ⋅ ai ,1 α ⋅ ai ,2  ... ... ...  ...    α ⋅ an ,1 α ⋅ an ,2 ... an , n  

... a1, j

a2,2 ... a2, j ... ... ... ai ,2 ... ai , j ... ... ... an ,2 ... an , j

... α ⋅ a1, j

... α ⋅ a1, n   ... α ⋅ a2, n  ... ...   ... α ⋅ ai , n  ... ...   ... α ⋅ an , n 

... α ⋅ a2, j ... ... ... α ⋅ ai , j ... ... ... α ⋅ an , j

Aplicando la definición de determinante tendríamos

α A = ∑ (−1)σ α ⋅ a1, j ⋅ α ⋅ a2, j ⋅ ... ⋅ α ⋅ ai , j ⋅ ... ⋅ α ⋅ an , j = α n ⋅ ∑ (−1)σ a1, j ⋅ a2, j ⋅ ... ⋅ ai , j ⋅ ... ⋅ an, j = α n ⋅ A 1

10. Si una matriz tiene una línea formada por términos que son suma de dos sumandos, se puede entonces descomponer su determinante en suma de otros dos determinantes obtenidos descomponiendo estos dos sumandos tal y como se denota a continuación de dos maneras det(F1, F2, F3,..,Fi + F´i, ...,Fn ) = det(F1, F2, F3,..,Fi, ...,Fn ) + det(F1, F2, F3,.., F´i, ...,Fn ) Ejemplo 2 −1  1 2  1   A =  2 −1 3 + 2 1− 3 ; A = 1 5  1 1 2  1 1  1 2 −1 1 2 −1 1 2 − 1 3 + 2 1 − 3 = 2 3 1 + −1 1

1 1

−1 −2 = [10 − 4 − 1 − (−5 − 2 + 4) ] = 8 2 2 −1 2 −3 = [ 6 + 2 − 2 − (−3 + 1 + 8) ] + [ 4 − 6 + 1 − (−2 − 3 − 4) ] = 0 + 8 = 8 1

Demostración

(

)

A = det( F1 , F2 ,..., Fi + F 'i ,...., Fn ) = ∑ (−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ ... ⋅ ai , ji + a 'i , ji ⋅ ... ⋅ an , jn = ... ... = ∑ (−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ ... ⋅ ai , ji ⋅ ... ⋅ an , jn +∑ (−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ ... ⋅ a 'i , ji ⋅ ... ⋅ an, jn = ... ... = det( F1 , F2 ,..., Fi ,...., Fn ) + det( F1 , F2 ,..., F 'i ,...., Fn )

| CONCEPTOS BÁSICOS 12

11. Si sumamos a una línea de una matriz un múltiplo de otra línea paralela el determinante no varia Ejemplo Supongamos que a la fila F2 de la matriz A le sumamos + 2F1, obteniendo de esta manera una matriz B , que vemos su determinante no varia 1 2 −1 A=0 1 1 1

0 = 3; 2

1 2 −1 B = 2 5 −2 = 10 − 4 − 2 − ( −5 − 2 + 8) = 4 − 1 = 3 ⇒ A = B 1 1

Demostración Supongamos que dada una matriz A obtenemos una matriz B sumándole a la fila Fi de A, el producto de un escalar α por la fila Fj, obteniendo |A| = det(F1, F2, F3,..,Fi, ...Fj,..,Fn ) |B| = det(F1, F2, F3,.., Fi + α Fj, ..., Fj,..,Fn ) = = det(F1, F2, F3,.., Fi + α Fj, ..., Fj,..,Fn ) = = det(F1, F2, F3,..,Fi, ...Fj,..,Fn ) + det(F1, F2, F3,.., α Fj, ...Fj,..,Fn ) = = |A| + α det(F1, F2, F3,.., Fj, ...Fj,..,Fn ) = = |A| + α 0 = = |A| Ya que det(F1, F2, F3,.., Fj, ...Fj,..,Fn ) = 0 por tener dos filas iguales. |B|

12. Generalización: Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinación líneal de las líneas restantes, su determinante no varia. Ejemplo Supongamos que a F1 de la matriz A le sumamos + 2F2 – 3F3, obteniendo de esta manera una matriz B 1 2 −1 A=0 1 1 1

0 = 3; 2

−2 1 −7 B= 0

0 = −4 − ( −7) = 3 ⇒ A = B . Vemos que su determinante

no varía Demostración

| CONCEPTOS BÁSICOS 13

Supongamos que dada una matriz A obtenemos una matriz B sumándole a la fila Fi de A, la combinación líneal de las restantes α1 F1+ α2 F2 +...+ αn Fn, exceptuando la Fi |A| = det(F1, F2, F3,..,Fi, ...Fn ) |B| = det(F1, F2, F3,..,Fi + α1 F1+ α2 F2 +...+ αn Fn ,..Fn ) |B| = det(F1, F2, F3,.., Fi + α1 F1+ α2 F2 +...+ αn Fn,..,Fn ) = = det(F1, F2, F3,..,Fi, ,..,Fn ) + α1det(F1, F2, F3,.., F1, ...,Fn ) + α2det(F1, F2, F3,.., F2, ...,Fn ) + ... + αndet(F1, F2, F3,.., Fn, ...,Fn ) = |A| + α10 + α20 + ... + αn0 = |A|

13. El determinante de una matriz triangular viene dado por el producto de los elementos de su diagonal principal. A = a1,1 ⋅ a2,2 ⋅ ... ⋅ ai ,i ⋅ ... ⋅ an ,n 1 2 −1 A=0 1 0 0

1 = 1 ⋅1⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 2 ⋅1 − ( −1) ⋅1⋅ 0 − 1 ⋅1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 ⋅ 0 = 1 ⋅1 ⋅ 2 = 2 2

Demostración Tanto si la matriz dada A es triangular superior, lo cual implica que aij = 0 para todo i>j como si es triangula inferior, en cuyo caso aij =0 para todo j>i se tiene que todos los sumandos del desarrollo del determinante A = ∑ (−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ ... ⋅ ai , ji ⋅ ... ⋅ an, jn contienen algun 0, excepto el sumando a1,1 ⋅ a2,2 ⋅ ... ⋅ ai ,i ⋅ ... ⋅ an , n

14. Desarrollo de un determinante por una de sus líneas. Todo determinante de una matriz A se puede desarrollar por una cualquiera de sus líneas sin que varie su valor, multiplicando cada elemento de dicha fila por su adjunto.

| CONCEPTOS BÁSICOS 14

a1,1

a1,2

... a1, j

... a1, n

a2,1 ... A= ai ,1

a2,2 ... ai ,2

... a2, j ... ... ... ai , j

... a2, n ... ... i +1 i+2 i+n = ai ,1 ( −1) α i ,1 + ai ,2 ( −1) α i ,2 + ... + ai , n ( −1) α i , n ... ai , n

... an ,1

... ... ... an ,2 ... an , j

... ... ... an ,n

Demostración (Solo para el caso de matrices 3 x 3.) a1,1

a1,2

A = a2,1 a2,2 a3,1

a3,2

a1,3 a2,3 = a3,3

a1,1 ⋅ a2,2 ⋅ a3,3 + a1,2 ⋅ a2,3 ⋅ a3,1 + a1,3 ⋅ a2,1 ⋅ a3,2 − a1,3 ⋅ a2,2 ⋅ a3,1 − a1,2 ⋅ a2,1 ⋅ a3,3 − a1,1 ⋅ a2,3 ⋅ a3,2 = = a1,1 ( a2,2 ⋅ a3,3 − a2,3 ⋅ a3,2 ) + a1,2 ( a2,3 ⋅ a3,1 − a2,1 ⋅ a3,3 ) + a1,3 ( a2,1 ⋅ a3,2 − a2,2 ⋅ a3,1 ) = = a1,1

a2,2

a2,3

a3,2

a3,3

− a1,2

a2,1

a2,3

a3,1

a3,3

+ a1,3

a2,1

a2,2

a3,1

a3,2

= a1,1α1,1 + a1,2 ( −α1,2 ) + a1,3α1,3 = a1,1 A1,1 + a1,2 A1,2 + a1,3 A1,3 =

| CONCEPTOS BÁSICOS 15

Metodo de Chio El metodo de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una línea utilizando las propiedad anterior de los determinantes y posteriormente desarrollar el determinante por los adjuntos de los elementos de esa línea en la que hemos hecho ceros. −1 0 1 0 2 −1

1 1 0

−1 0

1 0 = ... C1 C2 1

C3 + C1

... F1

−1 0 0 0 0 2 1 1 0 2 1 1+1 C4 + C1 ... = = (−1)(−1) −1 2 3 = ... 2 −1 2 3 1 0 1 1 1 0 1

2 1

2 1 F3 + F2 ... = (−1) −1 2 3 = −1(−1)(−1) 2+1 = ... F1 2 4 0 2 4

F2 − F1 ... = −

2 1 0 3

= −6

| CONCEPTOS BÁSICOS 16

Calculo de un determinante por el metodo de triangularización Consiste en aplicar las propiedades de los determinantes hasta lograr que sea triangular para, de este modo, su determinante sea el producto de los elementos de la diagonal principal El proceso es mecánico, en matemáticas le llamamos iterativo, y siempre se puede realizar de la misma manera de forma que se pueda codificar en un programa de ordenador. Pongamos un ejemplo numérico. Vamos a triangularizar el determinante.de orden 4 siguiente. −1

1 2 1

0 1 0 = ... −1 0 1 1 −1 0

El proceso tendrá siempre (4 – 1) = 3 iteraciones, una menos que el orden del determinante.

Iteración 1º. Establecemos un pivote a1,1. Dejamos la fila F1 fija y a las restantes filas Fi les sumamos la F1 a multiplicadas por i ,1 a1,1 F1 −1 0 1 1 0 1 2 −1 0 1 1 −1

1 0 = ... 1 0

F2 −

1 0 1 0 a2,1 F1 = F2 + F1 −1 0 1 1 a1,1

−1 0 0 0 2 −1 0 1 ... = a3,1 F3 − F1 = F2 + 2 F1 0 −1 −2 0 2 2 a1,1 0 1 1 1 −1 0 a4,1 F4 − F1 = F4 + F1 −1 0 1 1 a1,1

1 2 2 0

1 1 = ... 3 1

Iteración 2º. Repetimos el proceso pero establecemos el pivote en a2,2, siempre que sea distinto de cero y dejamos ahora fija la fila F2. Como en este caso a2,2 = 0, nos vemos obligados a hacer previamente una permutación de las filas F2 y F3 , cambiando con ello el signo del determinante para, a continuación, seguir con el procedimiento de restar las filas F3 y F4 a la a fila F2 multiplicada por i ,2 a2,2

| CONCEPTOS BÁSICOS 17

... =

−1

1 1

2 1

−1 2 3

=−

0 1

−1

−1 2 3

2 1

0 1

F1 F2

1 1 = ... F4 −

F3 −

a3,1

a4,2

F2 = F4 + F2

a2,2

a1,1

F2 = F3 + 0 F2 = F3 0

... = − 0 1

−1

−1 2 3

2 1

2 4

1 1 = ...

0 −1 2 3

Iteración 3º Finalmente, el pivote pasa a ser a3,3, y restaremos la fila F4 a la fila F3 multiplicada por

... = −

−1

−1 2 3

2 1

2 4

1 1

F2 == ...

... = −

F3 F4 −

a4,3 a3,3

F3 = F4 − F3

0 0

0 0 −2 −1

−1

−1 2 3

2 1

0 3

ai ,3 a3,3

1 1 = (−1)(−1) ⋅ 2 ⋅ (−3) = −6

| CONCEPTOS BÁSICOS 18

Determinante de Vandermonde Caso 3 x 3 1 a

1 b

1 1 c = a

0 b−a b2 − a2

0 c − a = 1(−1) +1 c2 − a2

b−a c−a 1 1 = (b − a )(c − a ) = (b − a )(b + a ) (c − a )(c + a ) b+a c+a

= (b − a )(c − a ) [ (c + a ) − (b + a ) ] = (b − a )(c − a )(c − b)

Caso 4 x 4 1 a a2

1 b b2

1 c c2

1 1 d 0 = 2 d 0

1 b−a b 2 − ab

1 c−a c 2 − ac

0 b3 − ab 2

c 3 − ac 2

... = (b − a )(c − a )(d − a ) b b2

c c2

d = ... d2

1 b−a d −a = b 2 − ab 2 d − ad b3 − ab 2 3 2 d − ad

c−a c 2 − ac c 3 − ac 2

d −a d 2 − ad = ... d 3 − ad 2

Que es otro determinante de Vandermonde que hemos calculado en el caso anterior 3x3, por lo tento nos queda: 1

a a2 a3

b b2 b3

c c2 c3

1 d = (b − a )(c − a )(d − a ) b d2 b2 d3

c c2

d = (b − a)(c − a )(d − a )(b − c)(b − d )(c − d ) d2

Y asi podríamos generalizarlo para el caso de orden n

| CONCEPTOS BÁSICOS 19

EJERCICIOS Calcular los siguientes determinantes 1,

1 −1 3

2 0 1

3 6 5 4 (Solución = 0) 4 8

−1 2 3

1 2 2 3 3 5

3 7 11

4 7 (Solución = -56) 16

2 3 −7 −7 3. 1 1 1

1 1 −1 2 −2 3

−1

1 2 (Solución = -7) 2

1 −1

2 −2 1 3 1 −1 2 1 (Solución = -21) 3 2 0 −1 2

1 2 3

3 5 2

7 5 1

4 7 ( Solución = -377) 14

− 3 0 −1 − 7

| CONCEPTOS BÁSICOS 20

2 1 1

1 1 2

2 −1

−1 2 1 1 ( Solución = 4) 0 1 0

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (Solución = 0) 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 8.

Vandermonde (9 - 7)(9 – 5)(9 – 2)(7 – 5)(7 – 2)(5 – 2) = 1680

8 125 343 729

| CONCEPTOS BÁSICOS 21

9. a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a (PAU Galicia, Junio 1995)

Solución a 1 1 1

a+3 1 1 1

a+3

1 a 1 1 a+3 a 1 1 0 = = 1 1 a 1 a+3 1 a 1 0 1 1 1 a a+3 1 1 a 0

0 a −1 0 a-1 0 0 3 = ( a+3) 0 a − 1 0 = ( a+3)( a-1) 0 a-1 0 0 0 a −1 0 0 a-1

10. a

−1

1 a −1 1 −1 a −1 1 1

1 1 a

Solución a 1 1

1 1 −1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 0 0 1 1 1 a −1 1 a −1 a − 1 −2 = = −1 a 1 1 −1 a 1 1 −2 a − 1

−1

a −1 ... = ( a + 1) −2 2

−1

a −2

−1

0 0 0

= ...

a +1

a − 1 −2 2 2 a − 1 0 = ( a + 1)( a + 1) = ( a + 1) ( a − 1) − 4    −2 a − 1 2 a +1

| CONCEPTOS BÁSICOS 22

11. 0 1

1 0

1 x

1 ... 1 x ... x

1 x

1 1

x x

0 x

x ... 0 ...

x x

... ... ... ... ... ... ... 1 x x x ... 0 x 1

x ...

Solución 0 1 1 1 ... 1 1 0 1 1 1 1 0 x x ... x x 1 0 x x 1 x 0 x ... x x 0 x −x 0 1 x x 0 ... x x = 0 x 0 − x ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 x x x ... 0 x 0 x 0 0 1 x x x ... x 0 n 0 x 0 0

... 1 1 ... x x ... 0 0 ... 0 0 = ... ... ... ... − x 0 ... 0 − x n

1 1 1 1 0 x −x 0 x 0 −x 0 3 (−1) x 0 0 −x ... ... ... ... x 0 0 0 x 0 0 0

n −1 1 1 1 0 −x 0 0 0 0 −x 0 0 0 0 −x ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0

−x 0 ... = (−1) ( n − 1) 0 ... 0 3

... 1 1 ... 0 0 ... 0 0 = (−1)3 ... 0 0 ... ... ... ... − x 0 ... 0 − x n −1 0

−x 0 0 −x ... ... 0 0

...

... 1 1 ... 0 0 ... 0 0 = ... ... 0 0 ... ... ... ... − x 0 ... 0 − x n −1

... 0 n− 2 = (−1)3 ( n − 1)( − x ) = (−1) n+1 ( n − 1) x n − 2 ... 0 ... ... ... − x n − 2

12. a2

ab ab b 2

ab a 2

ab b b

ab ab a 2

| CONCEPTOS BÁSICOS 23

Solución

(a + b) 2 (a + b) = 2 (a + b) 2 (a + b)

ab ab b 2

ab a 2

ab b 2 a 2 ab b 2 ab ab a 2

... = ( a + b ) ( a 2 − b 2 ) 2

... = ( a + b ) ( a − b 2

ab ab b 2 a2

b 2 − ab a 2 − ab ab − b 2

ab ab a 2

(a − b)

... = ( a + b ) ( a − b ) = ( a 2 − b 2 ) 4

a 2 − b2 − ab

a 2 − ab b 2 − ab ab − b 2

b 2 − ab a 2 − ab 2

a 2 − ab b 2 − ab

(a + b) =

= ( a + b ) ( a 2 − b2 ) 2

b2 − a 2

b 2 − ab a 2 − ab

= ...

= ( a + b ) ( a 2 − b 2 )( a 2 − b 2 ) ( a − b ) = ... 2

a2 − b2

= ...

13. 1 2 3 −1 0 3 −1 −2 0 −1 −2 −3 ... ... ...

4 4 4 0 ...

n −1 n −1 n −1 n −1 ...

... ... ... ... ...

−1 −2 −3 −4 ... 0 −1 −2 −3 −4 ... −(n − 1)

n n n n ... n 0n

Solución 1 2 3 −1 0 3 −1 −2 0 −1 −2 −3 ... ... ...

4 4 4 0 ...

... ... ... ... ...

n −1 n −1 n −1 n −1 ...

−1 −2 −3 −4 ... 0 −1 −2 −3 −4 ... −(n − 1)

... n −1 n ... 2 ( n − 1) 2n ... 2 ( n − 1) 2n ... 2 ( n − 1) 2n = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .... ⋅ (n − 1) ⋅ n = n ! ... ... ...

n 1 n 0 n 0 n = 0 ... ...

2 2 0 0 ...

3 6 3 0 ...

4 8 8 4 ...

n 0n

0 0

0 ... 0 ...

0 0

( n − 1) 0

2n n n

| CONCEPTOS BÁSICOS 24

14. 1+ a 1 1 1

1+ b 1 1 1 1+ c 1 1 1 1+ d

Solución 1+ a 1 1 1

1+ a 1 1 1

1+ b 1 1 −a = 1 1+ c 1 −a −a 1 1 1+ d

... = −a (−1) 0 c 0 + b(−1) 0 0 d

b 0 0 −a = 0 c 0 −a −a 0 0 d

1+ a 1 1

1 1 1 3

1+ a 1 1 1

−a −a

b 0 0 = ... 0 c 0 0 0 d 1+ a 1 1

c 0 = acd + b −a 0 d −a

c 0 = ... 0 d

 1 1 1+ a 1  ... = acd + b (−a )(−1)3 + c(−1) 4  = acd + b  ad + c ( d + ad + a )  = ... 0 d − a d   ... = abcd + abc + abd + acd + bcd 2 a 5 15. Sin desarrollarlo, justifica que este determinante A = 4 a 2 13 ; vale cero para a = 3 8 a 3 35

Solución 2 Para a = 3 se tiene que A = 22 23

3 32 33

2+3 2 2 + 32 con lo que la columna C3 = C1 + C2 23 + 33

1 1 1 1 r 1 1 1 16. Demostrate that = (1 − r )3 r r 1 1 r

r 1

Solution

| CONCEPTOS BÁSICOS 25

1 1 1 1 1 0 0 0 1− r 1− r 1− r r 1 1 1 r 1− r 1− r 1− r = = 1 0 1 − r 1 − r = (1 − r )3 r r 1 1 r 0 1− r 1− r 0 0 1− r r r r 1 r 0 0 1− r a b c 17. Teniendo en cuenta que p q r = 7 , calcular el valor del siguiente determinante sin x y z 3a 3b 3c desarrollarlo: a + p b + q c+r −x + a − y + b −z + c Aragón, sept.2006

Solución 3a

a+ p

b+q

c+r =

−x + a − y + b −z + c ... = 0 +

−x + a − y + b −z + c

= p

r + p

... = −3 p q x

−x − y −z

= ...

−x + a − y + b −z + c

−x + a − y + b −z + c a

3a 3b 3c a

r = p

r + 0 = ...

−x − y −z

c r = −3 ⋅ 7 = −21 z

18.- Encontrar las transformaciones de filas y columnas que hay que hacer con el determinante adjunto para probar la igualdad. Justificar la respuesta. (Selectividad Junio 1995) a

= (a + 3)(a - 1)

19. Prove that the following identity holds by expressing the left–hand side as the sum of 8 determinants: (cayó uno analogo en Galicia, Selectividad Junio 1997).

| CONCEPTOS BÁSICOS 26

a+x b+ y x+u u+a

c+z

a b

y+v z+w = 2x v+b w+c u

y z v w

Solución a+x b+ y x+u y+v

c+z z + w = ...

u+a

w+c

v+b

a b ... = x y u

a b = x y u

c a b c a b c a b c x z + x y z+u v w+u v w+ x

y y

z x z + x

a b

u v

c x z + 6⋅0 + u

y v

z a b c a b c a b w= x y z −u v w= x y c u v w x y z u v

a b

y y

z x z+u

a b c c a b z + x y w u v

y z x v w+u v

Galicia, Selectividad Septiembre 1999.

a 2 ∆ = 3 4

a a 2 3

a a a 2

a a a a

Solución a a a a ∆=

2 a a a 2−a 0 0 a 2 a−2 0 0 = = = a(a − 2)3 3 2 a a 3− a 2−a 0 a 3 −1 a − 2 0 4 3 2 a 4 − a 3 − a 2 − a a 4 −1 −2 a − 2

21. Comprobar que las siguientes matrices tienen el mismo determinante: 1 1 1  1 + a   1 1   1 1− a A= 1 1 1+ b 1     1  1 1 1 − b  

 1+ a 1   1 1+ a B= 1 1  1 1 

a b

c a b z =2x y w u v

20. Hallar, en función de a, el valor del determinante

 1 1  1 1  1+ b 1   1 1 − b 

Galicia, Prueba previa Selectividad 2001.

| CONCEPTOS BÁSICOS 27

y v c z w

z w= c

Solución 1+ a

1+ a

1− a

1+ b

1− b

−a

−a 0

−a

0 −b

−a 0 0

1+ a 1 1

= −1 ⋅ −a b 0 − a −a −a 0 b

−a

b 0 = ... 0 b

 −a 0 1+ a 1  2 2 2 2 2 ... = + ab 2 − a  − +b  = ab − ba − ab(a + b + ab) = −a b − 2ba a b a b − −  

1+ a

1 1

1+ a

1 1

B =

1 1

1+ b

1 1

1− b

(1 + a) 2 − 1

(1 − b ) − 1 2

a 2 + 2a

−b

= −a 2b 2 − 2ab 2

22. Calcular

( n + 1) ( n + 2 ) 2 2 ( n + 2 ) ( n + 3) 2 2 ( n + 3) ( n + 4 ) 2

( n + 1) 2 ( n + 2) 2

Solución

( n + 1) 2 ( n + 2) 2

... =

( n + 1) ( n + 2 ) 2 2 ( n + 2 ) ( n + 3) 2 2 ( n + 3) ( n + 4 ) 2

C3 − C2 C2 − C1

n 2 + 2n + 1

n 2 + 4n + 4

= n 2 + 2n + 1 n 2 + 4n + 4 n 2 + 6n + 9 = ... n 2 + 4n + 4 n 2 + 6n + 9 n 2 + 8n + 16

2n + 1 2n + 3

F3 − F2

n + 2n + 1 2n + 3 2n + 5 = 2n + 1 F2 − F1 2 n + 4n + 4 2n + 5 2n + 7 2n + 3 2

2n + 1 2n + 3 2 2

2 2

= ...

n2 2 n + 1 2n + 3 n2 2n + 1 2 ... = F3 − F2 2n + 1 2 2 = C3 − C2 2n + 1 2 0 = 23 = 8 2 0 0 2 0 0

23. Probar que 1+ a b c d

1+ b b b = 1+ a + b + c + d c 1+ c c d d 1+ d

| CONCEPTOS BÁSICOS 28

Solución 1+ a

1+ b b c 1+ c

b c d

b c

= ...

1+ d 1+ a + b + c + d 1+ a + b + c + d 1+ a + b + c + d 1+ a + b + c + d

... = F1 + F2 + F3 + F4

C2 − C1 ... = C3 − C1

1+ b

1+ c

1+ d

1+ a + b + c + d b

0 0 0 1 0 0

0 1 0

0 0 1

C4 − C1

= 1+ a + b + c + d

24. Solve the following equation x 1 8 1 1 x 1 8 =1 8 1 x 1 1 8 1 x

Solution x 1 8 1 x + 10 1 x 1 8 x + 10 = 8 1 x 1 x + 10 1 8 1 x x + 10 ... = x ( x − 8 )

1 8 1 x x 1 8 0 = 1 x 1 0 8 1 x 0

1 8 1 x − 1 −7 7 7 x − 1 −7 =x 0 0 = ... x −8 0 x −8 0 7 −7 x − 1 7 −7 x − 1

x − 1 −7 2 = x ( x − 8 ) ( x − 1) + 49    7 x −1

This equation is 0 only when x = 0; x = 8 because when

( x − 1)

+ 49 = 0 ⇔ x 2 − 2 x + 50 = 0 has imaginary solutions

25. Solve the following equation x+2 1 1 x

x+2 1 1 =0 1 x+2 1 x x 3

| CONCEPTOS BÁSICOS 29

= ...

Solution x+2 1 1 1 x+2 1 1 1 x+2 x x x

x+2 1 1 −x −1 = 1 −x −1 3 −2( x + 3)

1 1 x +1 0 0 x +1 x −3 x −3

1 0 0 x +1 x +1 x +1 0 1  −1  = −   x +1 0 x +1 = x +1 −( x + 1 0 3  3  2x + 6 x − 3 x − 3 2( x + 3) − x − 9 0

x +1 x +1 x +1 0 1 1 1 ... = − ( x + 1) = − ( x + 1) = 12 ⋅ ( x + 1)( x + 1) = 4( x + 1)2 x +9 x −3 x + 9 −12 3 3 3

And the equation 4( x + 1)2 = 0 has the unique solution x = -1 1 0 0 a

26. Calcular

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

(PAU Galicia, Sept 1994)

Solution 1 0 0 a 0 1 0 0 = 1 0 1 0 0 1 0 1

a 2 27. 3 4

a a 2 3

a a a 2

1 0 0 F3 − F1

1 0 0 0 1 0 0 1 -a = 0 1 -a = =1 0 0 1 -a 0 1 1 0 1 0 1 0 1

a a a a

Galica, PAU, Sep 1999

Solución a 2 3 4

a a 2 3

a a a 2

... = a ( a-2 )

a a = a a

C2 − C1 C3 − C1 C4 − C1

a 0 0 0 a-2 a-2 a-2 a-2 0 0 2 a-2 a-2 a-2 = a −1 a-3 a-3 = a −1 a-2 a-2 = ... 3 -1 a-3 a-3 −1 −1 a-4 −1 0 a-3 4 -1 -1 a-4

a-2 a-2 2 = a ( a-2 ) ( a-3) 0 a-3

| CONCEPTOS BÁSICOS 30

x +1

x2 − 1

x3 − 1

28. resolver la siguiente ecuación 2 x − 4 x 2 − 4 x3 − 8 = 0 3 x − 9 x 2 − 9 x3 − 27 (PreUniveritario)

Solucion x −1

x2 −1

2 x − 4 x2 − 4

x3 − 8 =

3x − 9

x3 − 27

x2 − 9

( x − 1)( x + 1) ( x − 1) ( x 2 + x + 1) 2 ( x − 2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = ... 3 ( x − 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3) ( x 2 + 3x + 9 ) x −1

x3 − 1

1 ... = ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) 2 3

( x + 1) ( x + 2) ( x + 3)

(x (x

+ x + 1)

... = − x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)

−2 x

x2 + x + 1

+ 2 x + 4 ) = ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) 2 x + 2 x 2 + 2 x + 4 = ... 2 3 x + 3 x 2 + 3x + 9 + 3x + 9

−2 x 2 + 6

1 − x2 + 2 0

x +1

1 x + 1 x2 + x + 1 − x2 + 2 ... = ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 3) 0 − x 0

)

F − 2F 2

= − x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)

F − 3F

1 − x2 + 2 = ... 2 −2 x 2 + 6

= −2 x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)

Por lo cual, las soluciones de la ecuación son x = 0; x = 1; x = 2 y x = 3.

29. En los siguientes problemas establezca por qué la igualdad es verdadera sin calcular los determinantes dados.  3 2 1  3 2 1     1) − 1 2 4 = − 0 7 8      0 7 8 − 1 2 4 2)

 2 4  1 2  − 1 3 = 2  − 1 3    

3 8 3)  2  1

4 0 6 9 0 4 =0 3 0 3  2 0 6

| CONCEPTOS BÁSICOS 31

2 − 1 4)  7  6

3 4 1 2  − 1 2 − 1 5 = − 7 8 0 1   4 1 6 6

3 − 4 1 2 1 5 8 0 1  4 − 1 6

2   − 1 3 2 − 1 3  1 5  =  4 1 5 5) 4   2 − 4 − 3  0 2 1

− 1 1 2  0 1 2      6) 2 − 1 3 = 1 − 1 3      3 − 1 4 2 − 1 4 3 1 3   7) − 2 0 − 2 = 0    6 4 6  3 2 1    8) 6 8 2 = 0   3 4 1 

Muy Buenos ejercicios en http://www.numbertheory.org/book/cha4.pdf

| CONCEPTOS BÁSICOS 32

DETERMINANTES. RESUMEN DE PROPIEDADES 1. El determinante de la matriz unidad es 1. |I|=1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 0

0 0 0

1+1

= ( −1) 1 0 1 0 + ( −1)

2 +1

0 0 0

0 0 1 0 + (−1) 0 1 0 0 + ( −1)

0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 3+1

0 0 1

4 +1

0 0 1

0 1 0 0 =1 0 1 0

2. Si una matriz tiene una línea (fila o columna) con todos sus elementos 0, entonces su determinante es 0. 1 0 2 3 0 4 = 1⋅ 0 ⋅ 6 + 0 ⋅ 4 ⋅ 5 + 3 ⋅ 0 ⋅ 2 − 2 ⋅ 0 ⋅ 5 − 1⋅ 0 ⋅ 4 − 3 ⋅ 0 ⋅ 6 = 0 5 0 6

3. El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta. |A|=|At|  −1  2 A= 0  1  −1 A = t

−1   4 3 0 ; −2 2 4   3 −3 1  2 0 1 3

4 −2

−3

−1 0

−1

−2

−3

= −204

4 −2 3 2 0 1 2 0 1 2 0 2 +1 3+1 4 +1 = (−1) (−1) 3 2 −3 + (−1) 3 3 2 −3 + (−1) 0 4 −2 3 + (−1) ( −1) 4 −2 1+1

0 4

= − [8 + 36 − (−48 − 6)] − 3 [ 4 + 12 − (−24)] + [12 + 8 − (−6 + 12)] = −98 − 120 + 14 = −204

4. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de ambas matrices: |AB|=|A||B| 1 2 −1 A=0 1 1 1

0 = 3; 2

0 1

B = −1 1 1 = 2 0

0 2

 1 2 −1 1 0 1  −1 2 1    A ⋅ B =  0 1 0  −1 1 1  = −1 1 1 = −6 + 2 − 1 − (1 − 1 − 12) = 6 = A ⋅ B  1 1 2  0 0 2  1 1 6   

| DETERMINANTES. RESUMEN DE PROPIEDADES 33

1 3 = −3

5. Si en una matriz permutamos dos líneas (filas o columnas) el determinante cambia de signo det(F1, F2, F3,..,Fi, ...Fj,..,Fm ) = -det(F1, F2, F3,.., Fj, ...Fi,..,Fm )

1 0 2  2 0 1  3 7 8  = − 8 7 3  ⇒ B = − A     4 − 1 4 4 − 1 4 6. Si una matriz tiene dos líneas (filas o columnas) iguales, su determinante es 0.

1 0 2 3 7 8 = 14 + 0 + 0 − (14 + 0 + 0) = 0 1 0 2 7. Si una línea de una matriz es combinación líneal de las líneas restantes, su determinante es cero.

Consideremos 3 − 1 1 ; donde la tercera fila F3 es igual a 2F1 – F2 . Se tiene que: −1 1 3

3 − 1 1 = −3 + 0 + 6 − (2 + 1 + 0) = 0 −1 1 3 8. Si los elementos de una línea de una matriz se multiplican por un número α, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho numero: det(F1, F2,.., α Fi,..,Fm ) = α det(F1, F2,.., Fi,..,Fm ) Tengamos el determinante de la matriz A, ya calculado previamente y el determinante de la matriz B que tiene las dos primeras filas iguales a la A y la 3ª fila es la misma que la de A multiplicada por 3 1 2 −1 A=0 1 1 1

0 = 3; 2

1 2 −1 B=0 1 3 3

0 = 6 − (−3) = 9 ⇒ B = 3 A 6

| DETERMINANTES. RESUMEN DE PROPIEDADES 34

9. Si todas las líneas de una matriz A de orden n están multiplicadas por un mismo número α el determinante de la matriz queda multiplicado por α n

αA =αn A Consideremos una matriz A y sea B la matriz 3A. 1 2 −1 A=0 1 1 1

3 6 −3

0 = 3;

B=0 3

3 3

0 = 54 − (−27) = 81 ⇒ A = 27 B 6

10. Si una matriz tiene una línea formada por términos que son suma de dos sumandos, se puede entonces descomponer su determinate en suma de otros dos determinantes obtenidos descomponiendo estos dos sumandos tal y como se denota a continuación de dos maneras det(F1, F2, F3,..,Fi + F´i, ...,Fn ) = det(F1, F2, F3,..,Fi, ...,Fn ) + det(F1, F2, F3,.., F´i, ...,Fn ) 2 1 2 −1 −1   1   A =  2 − 1 3 + 2 1 − 3  ; A = 1 5 −2 = [10 − 4 − 1 − (−5 − 2 + 4) ] = 8  1 1 2  1 1 2  1 2 1 2 −1 1 2 −1 −1 2 −1 3 + 2 1− 3 = 2 3 1

1 1

1 + −1 2 −3 = [ 6 + 2 − 2 − (−3 + 1 + 8)] + [ 4 − 6 + 1 − (−2 − 3 − 4)] = 0 + 8 = 8 2

11. Si sumamos a una línea de una matriz un múltiplo de otra línea paralela el determinante no varia Supongamos que a la fila F2 de la matriz A le sumamos + 2F1, obteniendo de esta manera una matriz B , que vemos su determinante no varia 1 2 −1 A=0 1 1 1

0 = 3; 2

1 2 −1 B = 2 5 −2 = 10 − 4 − 2 − (−5 − 2 + 8) = 4 − 1 = 3 ⇒ A = B 1 1

12. Generalización: Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinación líneal de las líneas restantes, su determinante no varia. Supongamos que a F1 de la matriz A le sumamos + 2F2 – 3F3, obteniendo de esta manera una matriz B

| DETERMINANTES. RESUMEN DE PROPIEDADES 35

1 2 −1 A=0 1 1 1

−2 1 −7

0 = 3;

B= 0

0 = −4 − (−7) = 3 ⇒ A = B . Vemos que su determinante

no varía 13. El determinante de una matriz triangular viene dado por el producto de los elementos de su diagonal principal. A = a1,1 ⋅ a2,2 ⋅ ... ⋅ ai ,i ⋅ ... ⋅ an ,n 1 2 −1 A=0 1 0 0

1 = 1 ⋅1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 2 ⋅1 − (−1) ⋅1 ⋅ 0 − 1⋅1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 ⋅ 0 = 1⋅1 ⋅ 2 = 2 2

a1,1

a1,2

... a1, j

... a1,n

a2,1

a2,2 ... a2, j

... a2,n

...

ai ,1

ai ,2

... ai , j

... ai ,n

...

an ,1

... ...

an ,2 ... an , j

...

= ai ,1 ( −1) α i ,1 + ai ,2 ( −1) i +1

i+2

α i ,2 + ... + ai ,n ( −1) α i ,n i+n

...

... an , n

| DETERMINANTES. RESUMEN DE PROPIEDADES 36