Matrices, determinantes y sistemas.

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CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol

SUBJECT: Mathematics

THEME: Linear Algebra

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2nd Bach

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1

 − 1 3  , 1.- (Galicia Logse. Junio 1999) Dada una matriz P =   2 1 a) ¿Existe una matriz Q, tal que el producto P · Q, o bien el producto Q · P, sea una matriz de una sola fila? b) Calcular la matriz M = P2 − 3P − 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2  1 0  − 1 2  ; B =  2.- (Galicia Logse. Junio 1999) Dadas las matrices A =   Resuelve la  − 1 1  − 3 1 ecuación 2A = AX + B. 3.- (Galicia Logse. Junio 1995) Calcular la matriz inversa de I − A, siendo:  1 0 0  0 1 0     I =  0 1 0 A =  0 0 1 0 0 1  0 0 0     4.- (Galicia Logse. Junio 1996) Hallar el rango da siguiente matriz segun los valores del parámetro α 2 α 1 1   2 2 α α 1 2 1 1 2   5.- (Galicia, Septiembre 1994) Calcular el valor del determinante 1

0

0

a

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

6.- (Galicia, Septiembre 1997) Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones lineales:  3x − 2y + z = m  5x − 8y + 9z = 3  2x + y − 3z = −1  7.- (Galicia Prueba previa Selectividad 1998) Se considera el sistema de ecuaciones lineales m 1   3  3   x      1 − 1 .  +  − 1.z =  0   5 − 3  y   2  6       a) Discutirlo según los valores de m b) Resolverlo en el caso de m = 2

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2

1. (Galicia Loxse. Setembro 1995) Resolver a ecuación matricial 1 −1 x   1 y  2     =    1 1  y   x −1  1  2. (Galicia Loxse. Setembro 2001) Calcule os valores do parámetro α para os que a matriz M non ten inversa. Calcule a matriz inversa de M para α = 2, se é posible.  1 0 − 1   M = 0 α 3 4 1 − α   3. (Santillana Matematicas II) Calcula el rango de A según los valores del parámetro a  1 a 1 2   A =  2 0 −1 1   −1 1 1 0    4. (Galicia Selectividad Septiembre 1999). Hallar, en función de a, el valor del determinante a a a a 2 a a a 3 2 a a 4 3 2 a 5. (Galicia Selectividad Septiembre 1999) a) Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones:

(a + 1) x + 2 y + z = a + 3  ax + y = a ax + 3 y + z = a + 2  b) Resolver el sistema en los casos en que resulte ser compatible determinado

6. (Galicia Selectividad Junio 1998) Se considera el sistema de ecuaciones  x + 2y + z = 0   y + 2z + t = 0 2 x + 2λy − t = 0  a) Encontrar los valores de λ para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es 2. b) Resolver el sistema anterior para λ = 0

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0

1. (Galicia Septiembre 1995) Sea dada la matriz M = 

s

2

3

4

que r,s ≠ 1. Calcular M , M , M y M

2k

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Worksheet

3

r  , siendo r y s dos números reales tales 0

para k ∈ N.

0  m 0   m  a) estudia, según los valores de 2. (Galicia, CN Septiembre 2007) Dada la matriz A =  0 0  0 −1 m + 1    m el rango de A. b) para m = -1, calcula la matriz X que verifica X·A + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 3.

 0 0 2   3. (Santillana, Matemáticas II) Dada la matriz A =  0 2 0  , calcula A2000.  2 0 0   4. (Galicia CN Junio 2003) Calcular por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrous), y justifica los pasos, el determinante

2+a b 2+b a a

b

c c 2+c

5. (Santillana Matemáticas II) Discute el sistema siguiente según los valores del parámetro m: (m − 2) x + y = 0   x + (m − 2) y = 0 6. (Galicia Selectividad Junio 2000) Se considera el sistema de ecuaciones ax + y + z = (a − 1)(a + 2)  2  x + ay + z = (a − 1) (a + 2)  3  x + y + az = (a − 1) (a + 2) a) Comprobar que es compatible para todo valor de a b) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones para a = 1 y a = -2 c) Resolverlo para a = -2.

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4

1. (Galicia, Selectividad Septiembre 1996) Obtener las matrices A y B tales que cumplen las siguientes condiciones 8

3  5 4  1 2 =   −1 −6 

3A + 2B =  2A - 3B

2. (Santillana, Matemáticas II) Calcula el determinante y la inversa de la matriz  2a a a a    a 2a a a   A=  a a 2a a     a a a 2a  3. (Galicia, Prueba previa Selectividad 2001) a) Discutir en función de los valores de k y resolver cuando tenga mas de una solución el sistema

x + y + 2z = 3  2 x − y + kz = 9 x − y − 6z = 5  2 3 1 1   b) Si el rango de la matriz A =  2 − 1 k 9  es 2, determinar una combinación lineal nula de los  1 − 1 − 6 5   vectores fila F1 , F2 y F3, así como una combinación lineal nula de los vectores columna C1, C2, C3 y C4. 4. Sea el sistema

 − x + λy + 2 z = λ   2 x + λy − z = 2  λx − y + 2 z = λ  a) Discutir la compatibilidad del sistema según los diversos valores de λ b) Resolver el sistema para λ = 1 c) Resolver el sistema para λ = -1 5. (Galicia, Selectividad Junio 1994) Dado el sistema de ecuaciones lineales  ax + y + z = 1   x + ay + z = b   x + y + az = 1

a) discutir el sistema en función de a y b b) resolver el sistema para a = b = -2

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1. (Asturias, Septiembre 2007) Sea la matriz

 −1 −2 −2    A= 1 2 1   0 − 1 −1    a) Comprueba que A3 – I = 0, donde I es la identidad y 0 la matriz nula b) Calcula A13. c) Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla una matriz X que verifique la igualdad A2X + I = A 2. (Castilla la Mancha, septiembre 2001) Dadas las matrices

 − 1 −1 3   1 0  0 −1 2      A =  −1 0 −3  ; B =  −1 2  ; C =    −2 1 −1  −1 2 1   0 1     a) Halla la inversa de A- BC b) Resuelve la ecuación matricial AX – BCX = A 3. (Cantabria Setiembre 2000) Resuelve la ecuación en c :

x2 a a a

a x2 a a

a a x2 a

a a =0 a x2

4.- (Extremadura, Junio 2006) Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores de b

x + 2y − z = 2

  x + (1 + b) y − bz = 2b  x + by + (1 + b) z = 1  5.- (Castilla y Leon, Septiembre 2006) Discute según los valores del parámetro k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolviéndolo cuando sea posible

kx + 3 y = 0   3x + 2 y = k  3x + ky = 0 

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1 2 λ   B = 1. (Galicia Junio 1999)Se consideran las matrices A =  1 − 1 − 1

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6

 1 3    λ 0  donde λ es un  0 2  

número real a) Encontrar los valores de λ para os que AB es invertible b) Determinar los valores de λ para los que BA es invertible

 x   a c) Dados a y b, número reales cualesquiera, ¿puede el sistema A  y  =   ser compatible  z  b   determinado? 2.- (Galicia, Septiembre 2007) Dada la matriz

0  m 0   A=0 0 m   0 −1 m + 1    a) Estudia, según los valores de m, el rango de A

b) Para m = -1, calcula la matriz X que verifica XA + A = 2I, siendo I la matriz identidad. 3.- (La Rioja, Junio 2007) Halla dos raices del polinomio P(x) de grado 4 definido mediante el determinante

P( x) =

x 1 1 1 1 x 1 1 3 3 x 3 3 3 3 x

4.- (Navarra, Junio 2006) Discute según los valores del parámetro α, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolviéndolo cuando sea posible  x− y−z =0   x + (α 2 − α − 1) y = −1   x + (α 2 − α − 1) y + (α − 2 ) z = 1 − α 2  5.- (Madrid, Junio 2001) Discute según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolviéndolo cuando λ = -3 y cuando λ = 1. 1 1 1 λ    x     1 1 λ  y  =  1   1 λ 1     1     z    λ 1 1  1

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 1 −1  1.- (Galicia, Junio 2007) Dadas las matrices A =  −1 −1 2 1  Calcular los valores de a, b y c para que se verifique

2 1 1 0   0 −1 −3       2  ; B =  a b c  ; C =  −2 −5 −3  ,  0 1 −1   3 6 2 −1     t la ecuación matricial A·B =C  −1 1 0    2.- (Galicia Septiembre 2005) Razona si existe matriz inversa de A =  0 1 0  , y en caso  2 0 −1    afirmativo, calcúlala. Resuelve la ecuación matricial AX + 2A = I, donde X es una matriz de orden 3 e I es la matriz identidad. 3.- (SM, Matemáticas 2)  2 −1 1  0 1 1 A= 0 0 1  0 0 0 

Calcula el rango de la siguiente matriz 2 2 3  1 8 9 1 4 6  1 8 9 

4.- (Santillana, Matemáticas II) Calcula el valor del siguiente determinante: 1 −2 1 −1 −2 2 −1 2 A= 2 −3 1 −2 3

−2

1

−2

5.- (Pais Vasco, Septiembre 2003) Dado el sistema de ecuaciones x + 2 y + z = A  x+ y+ z = B  x + y − z = C  Demostrar que es compatible determinado para cualquier valor de A, B y C y encontrar la solución en función de dichos valores 6.- (Madrid Junio 2008) Dado el sistema de ecuaciones x − ay = 2   ax − y = a + 1 Determinar para que valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2.

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1  1.- (Andalucía, 2005) Sean las matrices A =  1 3  Calcular los números reales x, y, z para matrices: E - x·A·B = y·C + z·D

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8

0 0 1  −2  1  −2           1 0  ; B =  2  ; C =  −5  ; D =  2  ; E =  −5  1       0 1     2  −3  5 que se verifique la siguiente igualdad entre

1  2. (Tebar flores) Halla la potencia n-ésima de la matriz A =  0 0 

1

n

1 0

  0 1 

1

n

0  1    - 2 2 0  3. (Galicia, Septiembre 1998) Siendo las matrices A =  1 − 1 y B =   3 -1 1 − 2 2    a) ¿Se cumple la igualdad rango (A.B) = rango (A).rango(B) ¿ Justificar la respuesta. a b c   tales que X.A = I, donde I es la matriz b) Encontrar todas las matrices X =  d e f  identidad de orden 2. c) ¿Existe alguna matriz Y, cuadrada de orden 2, tal que traspuesta de B). Justificar la respuesta.

A.Y = Bt (Bt es la matriz

4.- (Madrid, 2005) Sea el sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro a a 3 + a 2 x + ay + z = 0   b3 + b 2 x + by + z = 0  c 3 + c 2 x + cy + z = 0  a) Discutir el sistema para los diferentes valores del parámetro a b) Resolver el sistema en el caso que tenga infinitas soluciones c) Resolver el sistema para a = 2. 5. (PREU ) Discutir y resolver el sistema a 3 + a 2 x + ay + z = 0   b3 + b 2 x + by + z = 0  c 3 + c 2 x + cy + z = 0 

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