Geometría Geometría Analítica Plana
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NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.4 correspondiente a 1
SCIENCE
1.1
MATHEMATICS
1.1.3
GEOMETRY
1.1.3.4
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
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Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009
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TABLA DE CONTENIDO
| 1
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INTRODUCCIÓN Historia Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de un curva plana.[1] Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.[2] Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.[3] El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsiderarón con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).[4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales. En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.[5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.[6] Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[7] y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron. http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
| INTRODUCCIÓN 2
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EL CONJUNTO 2
Hemos venido construyendo los conjuntos
I
polinomios
M
matrices
complejos
Ahora vamos a construir el conjunto que denotaremos por 2 que está formado por pares ordenados de números reales, es decir 1 2 x, y / x, y 0, 0 , 3, 1 , 2, , 3
2, e ,...
Los elementos de 2 son entonces, pares ordenados (x,y) donde a x se le denomina primera coordenada y a y segunda coordenada. No es lo mismo, por tanto, el elemneto (x,y) que el elemento (y,x).
En este conjunto se definen dos operaciones básicas, la suma y la multiplicación por un número real cualquiera (que le llamaremos a partir de ahora escalar) del siguiente modo Suma
2 2 2
x x ', y y ' x, y x ', y '
Multiplicación por un escalar
2 2
x, y , x, y
Y estas dos operaciones tienen una serie de propiedades tales como conmutatividad, distributividad, asociatividad, elementos neutros y opuestos, etc que veremos en su momento cuando desarrollemos todo esto de una manera mucho más formal, digamos conjuntista. Ahora solo nos interesa definirlo esquemáticamente para introducir el concepto de vector.
Estos pares ordenados se representan gráficamente en lo que se denomina un sistema de ejes cartesianos (en honor a su inventor, el matemático francés René Descartes)
Al eje de las X se le llama también eje de abcisas Al eje de las Y se le llama también eje de ordenadas
| EL CONJUNTO 3
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| / EL CONJUNTO F2. VECTORES FIJOS vectors 4
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EL CONJUNTO F2. VECTORES FIJOS vectors Definición Un vector en el espacio es un segmento orientado determinado por dos puntos A y B llamados origen (initial point) y extremo (terminal point) y se representa por v AB Vector en latín significa “uno que lleva”
Vectores fijos Un vector fijo es el que tiene un origen y un extremo y se dibuja tal y como está en la figura adjunta. Si A(1,1) y B(5,3) el vector v AB es tal y como está dibujado en la figura y no puede ser otro Elementos de un vector Módulo (magnitude or lenth) es la longitud del segmento (segment) AB o la distancia entre los dos puntos A y B Dirección (direction) es la recta que contiene al segmento AB Sentido (orientation) es una de las dos maneras en que el vector puede direccionarse sobre la recta que lo contiene. Piensa que sobre una recta un vector puede llevar dos orientaciones según cual de los puntos seas su origen y su extremo. En otras palabras AB y BA son dos vectores de igual modulo y dirección pero de sentidos opuestos. Vector nulo Se define vector nulo al que tiene igual origen que extremo. Vector unitario 1 1 Es el que tiene módulo 1. Por ejemplo los vectores (1,0) , (0,1) ó el , son unitarios. 2 2
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El conjunto F2 Al conjunto de los vectores fijos en R2 se les designa por F2 Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales Así como la longitud, la superficie, el volumen, la temperatura, la masa, la capacidad, la energía, el tiempo son magnitudes escalares, que quedan perfectamente definidas por un número real y el tipo de unidad empleado en medirlas. Hay otras magnitudes que para que queden perfectamente definidas necesitan que se especifique, además, su dirección y su sentido, por ejemplo el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, el peso, la fuerza, la presión, el campo eléctrico, la tensión, la trayectoria, flujo magnético, la incidencia de los rayos en óptica, el momento Operaciones con vectores de F2 En F2 se definen, al igual que en 2 las operaciones suma y producto por un escalar pero veámoslo con detalle y definamos algunos conceptos nuevos Suma de vectores
La suma de vectores u AB y v CD es otro vector w u v que gráficamente viene dado por
Vector opuesto a otro El vector opuesto a v AB es el vector v BA , es decir el mismo vector pero con distinto sentido al dado.
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Resta o diferencia de vectores Para restar los vectores u v donde u AB y v CD lo que se hace es sumarle al vector u el opuesto del vector v es decir w u v u v
Multiplicación de un vector por un número (escalar) Al multiplicar un vector u por un escalar se obtiene un vector de la misma dirección y sentido que u pero de módulo α veces el módulo u . Gráficamente es muy fácil de ver como sería 5u :
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EL CONJUNTO V2. VECTORES LIBRES Vectores equipolentes Dos vectores se dicen equipolentes si tienen el mismo módulo dirección y sentido
Vectores libres
Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se denomina clase de ese vector y a cualquier representante de esa clase se le llama vector libre.
Al conjunto de los vectores libres en R2 se les designa por V2 NOTA.- Estamos usando lenguaje conjuntista que el alumno de secundaria probablemente no conoce. Operaciones en V2
Son las mismas que hemos definido en F2 pero ahora cuando hablamos de un vector AB ya no nos referimos a su origen y a su extremo, sino a la clase u AB de vectores que representa. De esta manera, tendremos las operaciones
Suma de vectores libres. Opuesto a un vector libre. Resta o diferencia de vectores libres. Multiplicación de un vector libre por un escalar Vector nulo.
Combinación lineal
Dados dos vectores libres u y v de V2, llamamos combinación lineal de u y v al vector u v donde λ y μ son escalares ó números reales.
| EL CONJUNTO V2. VECTORES LIBRES 8
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Por ejemplo, gráficamente dados u y v el vector 3u 2v sería: Vectores linealmente dependientes e independientes Un conjunto de vectores de V2 se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso de que sea posible expresarlo, se dice que ese conjunto de vectores es linealmente independiente.
Como este curso estamos trabajando en V2, el número máximo de vectores independientes que vamos a encontrar es de dos. Es decir, cualquier conjunto de tres vectores, seguro que uno de ellos es dependiente de los otros dos. Pero estos son resultados que adelanto, cuya demostración no viene al caso.
Intuitivamente, podremos decir que un vector es linealmente dependiente de otro si tiene la misma dirección, aunque tenga distinto módulo o sentido. Y diremos que son independientes si tienen distinta dirección. Así, en el siguiente gráfico u y v son dependientes y, a su vez, ambos son independientes respecto a w Base de V2
Dos vectores u y v se dice que forman una base del plano V2, si son linealmente independientes y cualquier otro vector se puede expresar como combinación lineal de ellos. Las bases se representan por B u , v
Coordenadas de un vector
Ya lo adelantábamos antes, dados dos vectores u y v independientes en V2, cualquier tercer vector siempre se puede escribir como combinación lineal de ellos. Es decir, dado un vector cualquiera w siempre existirán los números reales λ y μ tales que w u v A esos números reales λ y μ se les llaman coordenadas del vector w con respecto a la base B u , v y se escriben como un par ordenado (λ, μ).
NOTA: Convendría aquí poner el ejercicio y gráfico de Santillana I, pag 120 Ejemplo del apartado 2.2
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Dimensión de un espacio vectorial Al número de vector que tiene una base de un espacio vectorial se le llama dimensión. V2 tiene, por tanto, dimensión 2. Vectores paralelos Dos vectores u y v se dicen paralelos si tienen la misma dirección.
u u Usando coordenadas u u1 , u2 y v v1 , v2 se reconoce que son paralelos si 1 2 v1 v2 Base canónica de V2. Como dos vectores independientes son una base, vamos a considerar una base muy sencilla que denominaremos base canónica.
Consideremos dos vectores, ambos con origen en O (0,0) y extremos en (1,0) el primero y (0,1) el segundo. En el gráfico se observa que son perpendiculares.
A estos vectores tan básicos (valga la redundancia) se les denomina siempre por las letras i 1, 0 y j 0,1 y constituyen la denominada base canónica de V2 : B i, j
Coordenadas de un vector libre de V2 Como B i, j es una base, cualquier otro vector u de V2 se puede escribor como combinación lineal de ellos, es decir, existiran dos números reales x e y tales que u xi y j . Al par (x,y) se le denomina coordenadas del vector u y cuando no se especifique más, se sobreentenderá que nos referimos a coordenadas respecto a la base canónica. En el gráfico previo, el vector u es tal que u 3i 2 j por tanto tiene coordenadas (3,2) respecto a la base canónica.
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De esta manera, a cada vector libre de V2 se le puede asignar un par de coordenadas respecto a la base canónica y viceversa, por lo que esta representación es única. NOTA: Convendría aquí poner el ejercicio y gráfico de SM I, pag 101 Ejemplo 3 resuelto
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OPERACIONES DE VECTORES CON COORDENADAS Dado el conjunto V2, consideramos la base canónica B i, j . Hemos visto que cualquier vector u de V2 se puede escribir de forma única en función de sus coordenadas (x,y). Entonces, operar con vectores equivale a operar con coordenadas.
Redefinimos las operaciones dadas en V2, ahora basándonos en sus coordenadas de la siguiente manera. Sean u xi y j x, y y v x ' i y ' j x ', y ' dos vectores de V2, definimos Suma
V 2 V 2 V 2
x x ', y y ' x, y x ', y '
Multiplicación por un escalar
V 2 V 2
x, y , x, y
Módulo y argumento Sea u x, y , en los vectores fijos se definía módulo como la longitud del origen A al extremo B. Ahora, con coordenadas, gracias al teorema de Pitágoras se obtiene que el módulo (que denotaremos por u ) viene dado por: u x2 y 2
Ponemos solo la raíz positiva porque las longitudes, y por tanto los módulos, solo pueden ser positivas Definimos ahora argumento del vector u y lo denotaremos por arg( u ) como el menor de los ángulos que forma el vector u con el eje X de abcisas. De la figura y de lo estudiado en y y trigonometría se obtiene que arg u tan 1 arctan x x
Hay que tener sumo cuidado al calcular el argumento porque para cada valor de la tan α hay dos ángulos suplementarios entre [0, 2π] que verifican ese valor, así que hay que fijarse en que cuadrante está el vector para elegir el valor de α correcto.
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Vector unitario Un vector cuyo módulo sea 1, se llama vector unitario. Por ejemplo, los vectores de la base canónica i 1, 0 y j 0,1 son unitarios. Es necesario saber construir un vector unitario en la misma dirección y sentido que un vector cualquiera dado u x, y . Esto se logra dividiendo ambas coordenadas por el módulo u es u x y , es siempre un vector unitario y como es un múltiplo decir que u x 2 y 2 x 2 y 2 positivo (el módulo es siempre positivo) del vector u tiene su misma dirección y sentido . Comprobemos que tiene módulo 1:
u x y , 2 2 2 x y u x y2
x 2 x y2
2
y 2 x y2
2
x2 y2 x2 y 2 x2 y 2
x2 y2 1 x2 y2
Ejemplo Calcular un vector unitario en la dirección y sentido del vector (3,2) y determinar su argumento. Solución 2 3 El módulo de (3,2) es 3, 2 32 22 13 , por lo que el vector , es 13 13 unitario dado que su módulo es 2
2
2 9 4 13 3 3 2 , 13 13 13 1 13 13 13 13 2 El argumento de (3,2) es tan 1 arctan 0.6 33º 41' y habría que tener cuidado 3 porque este arco tangente también podría ser del ángulo arctan 0.6 213º 41' , asi que hay que fijarse en este cálculo para no equivocarse. Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales si son perpendiculares. Vectores ortonormales Dos vectores se dicen ortonormales si son perpendiculares y además tienen módulo uno
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Proyección ortogonal de un vector sobre otro Sean dos vectores u y v , llamamos proyección de u sobre v y denotaremos por projv u al segmento obtenido de la siguiente manera: Se colocan los origenes de ambos vectores juntos y desde el extremo del vector se traza una u perpendicular sobre la dirección del vector v . El segmento que une el origen de v con la intersección de la perpendicular con la direccion de v es la proyección
Análogamente podríamos calcular la proyección de v sobre u
Sistema de referencia euclídeo Tenemos varios resultados ya asimilados:
Hemos definico un sistema de coordenadas cartesinas en 2 , con su origen O(0,0) Hemps defimnido el conjunto de los vectores libres y le hemos llamado V2 Hemos definido la base canónica de V2, B i, j A cada punto P del plano le corresponde de forma única un vector u OP y viceversa, a cada vector u del plano le corresponde un punto P de forma que OP u
Definimos sistema de referencia euclídeo del plano (o también llamado sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por R O, i, j donde
O es un punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas B i, j son los vectores de su base canónica de V2
Y en este sistema, las coordenadas de un punto P cualquiera son las coordenadas de su vector de posición u OP . En otras palabras, que cuando hablamos del punto situado en (3,2) (o de coordenadas (3,2)) nos confundimos con el vector de posición (3,2) que también tiene las mismas coordenadas (3,2) respecto a la base canónica de V2. Es decir, la nomenclatura es la misma, pero podemos estar hablando de coordenadas de un punto o coordenadas de un vector, y no hay problema de confusión porque hay correspondencia biunívoca entre ambos.
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+ Pueden existir infinitos sistemas de referencia en V2. Cualquier conjunto R O, u , v con B u , v base de V2 es un sistema de referencia, pero el euclídeo u ortonormal es solo cuando la base es la canónica B i, j .
Coordenadas cartesianas de un vector libre determinado por dos puntos Supongamos un vector definido por dos puntos A x1 , y1 y B x2 , y2 por los que pasa.
Al punto A x1 , y1 le corresponde el vector de posición a OA x1 , y1 Al punto B x2 , y2 le corresponde el vector de posición b OB x2 , y2 Como se aprecia en el gráfico se tiene que OB OA AB b a AB AB b a Lo cual escrito en coordenadas sería AB b a x2 , y2 x1 , y1 x2 x1 , y2 y1 Es decir las coordenadas de un vector libre se obtienen restando las coordenadas del extremo menos las del origen AB x2 x1 , y2 y1
CAMBIO DE BASE Surge ahora la necesidad de, conocidas las coordenadas de un vector respecto a un sistema de referencia R O, u , v , saber cuales serían sus coordenadas respecto a otro sistema de referencia R ' O ', u ', v ' . Este es un problema que manera teórica se resolverá de forma
generalizada para cualquier espacio vectorial en capítulos siguientes más avanzados, pero ahora nos basta saber como se resolvería cuando una de las bases es la canónica y mantenemos fijo el origen de coordenadas O. Con un ejemplo práctico se entenderá mucho mejor: Ejemplo
Supongamos que respecto a R O (0, 0), i, j un vector w tiene coordenadas w 3, 2 , se quiere saber que coordenadas tendrá w para otro sistema de referencia dado por R ' O 0, 0 , u 1,1 , v 2,1
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El que nuestro vector w con respecto al sistema de referencia euclídeo tenga coordenadas (3,2) signifia que w 3, 2 3 j 2 j 3 1, 0 2 0,1 Queremos saber que par de coordenadas (λ,μ) tendrá w respecto a R ' O ', u ', v ' es decir, que se verifique que w (3, 2) u v 1,1 2,1 . Igualendo las primeras y las segundas componentes resulta el sistema 3 1 2 3 1 2 1 3 2 1 , 1,1 2 1 1 1 Lo que equivale a dcir que respecto a R ' O ', u ', v ' el vector (3,2) tiene
coordenadas (1,1)
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PRODUCTO ESCALAR (dot product or scalar product) Hasta ahora en V2 hemos definido dos operaciones, suma (la resta la consideramos la misma operación, pues es sumarle el opuesto) y multiplicación de un vector por un escalar. Ahora vamos a introducir una nueva operación Definición de producto escalar
Definimos una nueva operación denominada producto escalar de dos vectores u y v y se escribe u · v , como el número real que resulta de multiplicar los módulos de u y v por el coseno del ángulo que forman: u v u v cos , donde α es en ángulo que forman u y v V 2 V 2 En forma de aplicación se expresaría como u , v u v u v cos
Interpretación geométrica El producto escalar de dos vectores u y v es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero ESto se obtiene de forma elemental projv u dado que cos , y u sustituyendolo en la expresión del producto escalar se tiene proj u u v u v cos u v v v projv u u Propiedad 1. El producto escalar de un vector por si mismo es mayor o igual que cero Demostración 2 2 u u u u cos u, u u cos 0º u 1 0
Propiedad 2
2 El producto escalar de un vector u y v por si mismo es el cuadro de su módulo: u u u | PRODUCTO ESCALAR (dot product or scalar product) 17
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Demostración 2 u u u u cos 0º u u 1 u
Propiedad 3.
El producto escalar es conmutativo u v v u Demostración u v u v cos u, v v u cos v, u v u
Propiedad 4 El producto escalar es homogéneo u v u v u v
Demostración Si λ>0 u v u v cos u , v u v cos u, v u v
Si λ<0 u v u v cos u , v u v cos u, v u v
Propiedad 5 El producto escalar es distributivo respecto a la suma u v w u w v w
Demostración Veámosla con unos gráficos Expresión del producto escalar en coordenadas Dados u u1 , u2 y v v1 , v2 en un sistema de referencia euclídeo, la expresión del producto escalar en función de sus coordenadas es u v u1v1 u2v2 Justificación Sea B i, j la base canónica de V2, los vectores u u1 , u2 y v v1 , v2 se pueden expresar en función de ella como u u1 i u2 j y v v1 i v2 j
Aplicando las propiedades del producto escalar se tiene que
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u v u1 i u2 j v1 i v2 j u1 i v1 i u1 i v2 j u2 j v1 i u2 j v2 j ... 2 2 ... u1v1 i i u1v2 i j u2v1 j i u2v2 j j u1v1 i u1v 0 u2v1 0 u2v2 j ...
... u1v1 1 u2 v2 1 u1v1 u2v2
Aplicaciones del producto escalar Módulo de un vector Cálculo del módulo de un vector u u u u12 u22
Ejemplo
Calcular el módulo del vector u 2, 4 : u 2, 4
2
2
42 20
Ángulo de dos vectores uv u1v1 u2 v2 Cálculo del ángulo de dos vectores cos u v 2 uv u1 u22 v12 v22
Ejemplo Calcular el ángulo que forman los vectores u 2, 4 y v 4, 2 u v cos u v uv
2 4 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2
...
16 16 4 20 5 20 20 4 ... cos 1 143.13º 5 ...
Perpendicularidad Si u y v son vectores no nulos, su producto escalar es cero si y solo si los vectores son perpendiculares u v 0 u es perpendicular a v Demostración
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+ u v 0 u v cos 0 ...
Y como u y v son vectores no nulos entonces u 0 y v 0 por lo tanto 90º ... u v cos 0 cos 0 270º
En ambos casos son vectores perpendiculares
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APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos A x1 , y1 y B x2 , y2 es igual al módulo del vector AB , es decir d A, B AB
2
x2 x1 y2 y1
2
Demostración Esta conclusión se deduce directamente de la figura adjunta donde vemos que la distancia pedida d(A,B) es la hipotenusa del triángulo rectángulo construído tal y como se describe
Punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A x1 , y1 y B x2 , y2 vienen dadas por
x x y y2 M 1 2, 1 2 2 Demostración
En la figura adjunte se observa que si M(x,y) es el punto medio del segmento AB entonces se verifica que
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x1 x x x2 x1 x2 2 x y1 y y y2 y1 y2 2 y
x1 x2 2 y1 y2 y 2
x
De donde
x x y y2 M 1 2, 1 2 2 Razón r de un segmento Si generalizamos la expresión anterior, no a el punto medio, sino un punto P(x,y) que AP satisfaga la relación r, de modo que r , obtendremos que las coordenadas de ese punto PB P son
x r x2 y1 r y2 P 1 , 1 r 1 r Nota: Si r = 1 obtenemos el punto medio Demostración En la figura adjunte se observa que si P(x,y) es un punto de AP forma que r , entonces para PB los lados de los trángulos del gráfico se verifica también la proporción r, es decir
x1 x r x x2 x1 x r x x2 ... y1 y y1 y r y y2 r y y2 x r x2 x 1 x(1 r ) x1 r x2 1 r y (1 r ) y1 r y2 y r y2 y 1 1 r De donde las coordenadas de P son
x r x2 y1 r y2 P 1 , 1 r 1 r | APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 22
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Punto simétrico a un punto dado. Las coordenadas del punto simétrico del punto A x1 , y1 respecto al punto P x2 , y2 vienen dadas por A ' 2x2 x1 , 2 y2 y1 Demostración La demostración es similar a la del punto medio, pero ahora los puntos están colocados de forma distinta, ahora, dado el punto A x1 , y1 el punto simétrico A ' x, y que buscamos verifica que P x2 , y2 es el punto medio del segmento AA’. Por tanto ahora
x2 x1 x x2 x 2 x2 x1 y2 y1 y y2 y 2 y2 y1
De donde A ' 2x 2 x1 , 2 y2 y1
Pendiente de una recta Se define pendiente de una recta como la tangente trigonométrica del ángulo que esta recta forma con el eje de abcisas
Intiuivamente, la pendiente viene a ser la inclinación. A mayor inclinación mayor pendiente. La designaremos siempre por la letra m: m tan Para determinar la pendiente de cualquier recta basta conocer un vector u u1 , u2 que tenga la dirección de esa recta y tendremos que
m tan
u2 u1
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Puntos alineados ¿Como podríamos saber si tres puntos A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 están alineados? Pues con vectores es una sencilla cuestión de responder, basta comprobar que la dirección, o la pendiente, del vector AB x2 x1 , y2 y1 es la misma que la del vector AC x3 x1 , y3 y1 ó la del BC x3 x2 , y3 y2 , Es decir, que se cumplen las proporciones
y2 y1 y3 y1 y3 y2 x2 x1 x3 x1 x3 x2
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ECUACION DE LA RECTA Una recta en el plano tiene una única representación gráfica, pero su expresión algebraica puede ser tan variada que vamos a estudiar todas estas siete distintas posibilidades de hacerlo:
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica Ecuación continua Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ecuación general Ecuación punto-pendiente Ecuación explícita Ecuación segmentaria Ecuación normal Ecuación canónica
Ecuación vectorial La primera ecuación que vamos a estudiar de la recta es la ecuación vectorial. Para lograr escribirla tenemos que saber un punto A a1 , a2 por el que pasa la recta y un vector u u1 , u2 que lleve la dirección d ela recta y que llamaremos vector director
Un punto P x, y cualquiera de la recta verificará que, existirá un λ tal que OP OA u Esta tan sencilla expresión anterior constituye la llamada ecuación vectorial de la recta. Dando valores a λ iremos obteniendo cualquier punto de la recta Si esta expresión vectorial la expresamos con coordenadas obtendremos otra forma de expresarla, quizás más reconocible:
x, y a1 , a2 u1 , u2
| ECUACION DE LA RECTA 25
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Ejemplo En nuestro gráfico tenemos que la recta pasa por A(-4,-1) y tiene un vector director u 5,3 por lo tanto su ecuación vectorial es x, y 4, 1 5,3
| ECUACION DE LA RECTA 26
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Ecuación paramétrica Dada la ecuación vectorial, x, y a1 , a2 u1 , u2 , podemos separar las primeras y las segundas componentes obteniendo la llamada ecuación paramétrica
x a1 u1 y a2 u2
Ejemplo En el mismo gráfico, se tiene que las ecuaciones paramétricas de nuestra recta son x 4 5 y 1 3 Ecuación contínua ambién llamada ecuación cartesiana. Se obtiene despejando λ e igualando en la ecuación paramétrica: x a1 x a1 u1 u1 y a2 u 2 y a2 u2
x a1 y a2 u1 u2
Ejemplo Seguimos en lo sucesivo con el mismo ejemplo previo y tendremos x 4 x 4 5 5 x 4 y 1 y 1 3 y 1 5 3 3
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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Supongamos que conocemos dos puntos A x1 , y1 y B x2 , y2 por los que pasa la recta, entonces conocemos también un vector director que sería AB x2 x1 , y2 y1 y aplicando la ecuación anterior tendríamos
x x1 y y1 x a1 y a2 x2 x1 y2 y1 u1 u2 Ejemplo En nuestro ejemplo si sabemos que la recta pasa por A 4, 1 y por B 1, 2 , entonces sabemos también que AB 1 4 , 2 (1) AB 5,3 es un vector director, por lo que sustituyendo
x4 y 1 sería la ecuación pedida. 1 (4) 2 (1) Ecuación General Si en la ecuación contínua, quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro de la ecuación, se obtiene:
x a1 y a2 u2 x a1 u1 y a2 u2 x u1 y u1a2 u2 a1 0 Ax By C 0 u1 u2 Donde A u2 B u1 C u1a2 u2 a1 De lo cual deducimos que dada una recta de ecuación general Ax By C 0 siempre pasa C por P 0, y tiene a u B, A como vector director. B Ejemplo Seguimos en lo sucesivo con el mismo ejemplo previo y tendremos x 4 y 1 3 x 4 5 y 1 3x 5 y 7 0 5 3 Por tanto dada la ecuación 3 x 5 y 7 0 se deduce que un vector director de la misma es u 5,3 y pasa
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7 por P 0, 5 Ecuación punto pendiente Supongamos ahora que lo que conocemos de partida es un punto A a1 , a2 por el que pasa la recta y la pendiente m de la misma. Consideramos P x, y un punto genérico de la recta. Si conocemos la pendiente m, tal y como hemos planteado la figura adjunta se tiene que en el triángulo APB, como es y a2 rectángulo, m tan , de donde y a2 m x a1 que es la llamada ecuación x a1 punto pendiente de la recta.
Ejemplo En nuestro ejemplo, ya sabemos que la recta pasa por A 4, 1 y que su pendiente es m
u2 3 3 , luego la ecuación punto-pendiente sería y 1 x 4 5 u1 5
| ECUACION DE LA RECTA 29
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Ecuación explícita También denominada pendiente-ordenada en el origen, se obtiene de manera trivial a partir de la ecuación punto-pendiente. Recordar que llamamos ordenada en el origen al punto del eje Y (eje de ordenadas) que es cortado por la recta, que corresponde al origen de coordenadas. En esta recta los datos conocidos son la pendiente m y el punto donde corta la recta al eje de las Y, que le llamamos b, esto es lo mismo que decir que la recta pasa por el punto (0,b), por lo tanto aplicando la ecuación anterior tendríamos
y b m x 0
y mx b
| ECUACION DE LA RECTA 30
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Ejemplo 3 x 4 ó en la ecuación general 5 3 7 3 x 5 y 7 0 tendremos la ecuación explícita y x de la que deducimos que 5 5 7 b 5
Despejando y en nuestra ecuación anterior y 1
Ecuación segmentaria También llamada canónica. En esta ecuación los datos conocidos son la ordenada en el origen b y la abscisa en el origen que le llamamos a, entonces conocemos dos puntos por los que pasa la recta, el (a,0) y el (0,b), por tanto podemos escribir la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos:
x0 y b x y b y 1 a 0 0b a b b x y 1 a b
Ejemplo De la ecuación general 3 x 5 y 7 0 , si la recta pasa por los puntos (a,0) y (0,b) se tiene que
7 3 7 3 0 5b 7 0 b 5 3a 5 0 7 0 a
Por lo que queda la ecuación segmentaria es
x y 3 x 5 y 1 1 7 7 7 7 3 5
| ECUACION DE LA RECTA 31
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Ecuación normal Para escribir la ecuación normal de una recta r tenemos que conocer la longitud p de la perpendicular trazada desde el origen O a la recta y el ángulo β que dicha perpendicular forma con el eje X de abscisas. Consideramos el punto N x1 , y1 de intersección de la recta con la perpendicular que hemos trazado y P x, y un punto genérico de la recta y m su pendiente.
En estas condiciones se tiene que x1 p sin y1 p cos Y como los ángulos α y (π – β) son complementarios se tiene que la pendiente es 1 1 cos m tan tan tan sin Ahora partimos de la ecuación punto-pendiente y sustituímos
y y1 m x x1 y p sin
cos x p cos x cos y sin p cos 2 p sin 2 sin
Simplificando,
x cos y sin p que es la llamada ecuación normal de la recta en función de p y β. Ejemplo
7 Si la recta tiene ecuación general 3 x 5 y 7 0 ello implica que pasa por N 0, y 5 tiene vector director u 5,3 , luego un vector perpendicular a u es n 3,5 ( pues el producto escalar de ambos es 0) | ECUACION DE LA RECTA 32
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Ecuación canónica La ecuación normal anterior puede ser generalizada a otra de la que sabemos un punto cualquiera A x1 , y1 por el que pasa y un vector n perpendicular a la misma. Sea P x, y un punto genérico de la recta y sea su ecuación general Ax By C 0 con lo que sabemos que u B, A es un vector director, luego n( A, B ) es perpendicular a la recta pues n u A, B B, A A B A B 0 .
Pero también es director AP x x1 , y y1 y por tanto AP y n son también perpendiculares y su producto escalar es n AP 0 con lo que n AP A, B x x1 , y y1 A x x1 B y y1 0
Si esta última expresión se divide por el módulo de n que es n A2 B 2 se obtiene A x x1 B y y1 2
A B
A 2
A B la recta
2
x
2
0
A 2
A B
B 2
A B
2
y
2
C 2
A B2
x
B 2
A B
2
y
Ax1 By1 A2 B 2
0
0 , que es la llamada ecuación normal canónica de
| ECUACION DE LA RECTA 33
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Ejemplo De la ecuación general 3 5 7 x y 0 34 34 34
3 x 5 y 7 0 , tendremos
la
ecuación canónica
3 5 , ) es perpendicular a la recta y tiene módulo 1. Donde el vector n( 34 34
| ECUACION DE LA RECTA 34
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ECUACIONES DE LA RECTA. CUADRO RESUMEN
Ecuación vectorial
x, y a1 , a2 u1 , u2
Ecuación paramétrica
x a1 u1 y a2 u2
Ecuación continua
Ecuación general
x a1 y a2 u1 u2 x x1 y y1 x2 x1 y2 y1 Ax By C 0
Ecuación punto-pendiente
y a2 m x a1
Ecuación explícita
y mx b x y 1 a b x cos y sin p A B x y A2 B 2 A2 B 2
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Ecuación segmentaria Ecuación normal Ecuación canónica
C A2 B 2
0
| ECUACION DE LA RECTA 35
+
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Dadas dos rectas r y r’ con sus respectivas ecuaciones y sus vectores directores y sus pendientes r : Ax By C 0 u B, A m r ' : A ' x B ' y C ' 0 u ' B ', A ' m ' En el plano existen las siguientes posibilidades de posicionamiento entre ellas: Secantes u u ' 0 m m ' Que corten
Paralelas
se
u u ' 0 m m '
A B A' B'
A B C A' B' C '
| POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 36
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u u ' 0 m m '
Coincident es
A B C A' B' C '
Que sean la misma recta
Haz de rectas
Se define haz de rectas a un conjunto de todas las rectas que o bien son
Secantes Si todas ellas se cortan en un punto P
o Paralelas Si todas ellas son paralelas a una recta r
| POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 37
+
DISTANCIAS Y ANGULOS ENTRE RECTAS Ya hemos visto, como simples propiedades del producto escalar, que la distancia entre dos 2 2 puntos A x1 , y1 y B x2 , y2 es igual a d A, B AB x2 x1 y2 y1 . Pues bien, vamos a volver a estudiar más problemas métricos pero ahora con rectas Distancia de un punto a una recta Consideremos el punto P x0 , y0 y la recta r : Ax By C 0 . Queremos calcular la distancia d=d(P,r) desde P a la recta r, que viene definida por la mínima de las distancias de P a cualquier punto de la recta. Esta distancia mínima se obtiene cuando el segmento que define la distancia se toma sobre la perpendicular trazada desde P a la recta r
Consideramos el vector n A, B que sabemos es perpendicular (o normal) a la recta y un punto cualquiera Q x1 , y1 sobre la recta r.
Vamos a calcular, en valor absoluto, el producto escalar de n QP x0 x1 , y0 y1
por el vector
d n QP n QP cos n QP n d QP De donde, despejando d:
| DISTANCIAS Y ANGULOS ENTRE RECTAS 38
+ n QP A, B x0 x1 , y0 y1 A x0 x1 B y0 y1 Ax0 By0 Ax1 By1 d ... n A2 B 2 A2 B 2 A2 B 2
...
Ax0 By0 (C )
Ax0 By0 C
A2 B 2 A2 B 2 Por lo que la fórmula de la distancia es d d P x0 , y0 , r : Ax By C 0
Ax0 By0 C A2 B 2
Ejemplo Para calcular la distancia del punto P 2, 3 a la recta 3 x 5 y 7 0 se hace d d 2, 3 ,3x 5 y 7 0
3 2 5 3 7 2
3 5
2
28 34
Distancia entre rectas Se entiendo por distancia entre dos rectas r : Ax By C 0 y r ' : A ' x B ' y C ' 0 a la menor distancia que se puede tomar desde un punto de la primera a otro punto de la segunda. Si se cortan o son coincidentes, esta distancia es 0.
| DISTANCIAS Y ANGULOS ENTRE RECTAS 39
+
Si son paralelas, bastará con tomar un punto P x0 ', y0 ' cualquiera de la recta r’ y calcular su distancia a la recta r. d d r : Ax By C 0, r ' : A ' x B ' y C ' 0 d P, r
Ax0 ' By0 ' C
C C'
A2 B 2 A2 B 2 Dado que al ser papalelas las rectas el vector n( A, B ) es proporcional al n '( A ', B ') y por tanto se verifica que el punto P x0 ', y0 ' verifica también la ecuación r : Ax By C ' 0 Ejemplo Para calcular la distancia de la recta 3 x 5 y 7 0 a la recta 3 x 5 y 1 0 , como el punto (-4,-1) pertenece a la primera de las rectas: d d 3 x 5 y 7 0, d (4, 1),3 x 5 y 1 0
3 4 1 5 1 32 5
2
6 34
Angulo de dos rectas También hemos isto como propiedad del productoe scalar que el ángulo formado por dos vectores es uv u1v1 u2 v2 cos u v uv u12 u22 v12 v22
Para dos rectas r : Ax By C 0 y r ' : A ' x B ' y C ' 0 tendremos dos posibilidades, o bien tomamos un vector director de cada una (o bien un vector normal de cada una) y calculamos el vector que forman, que coincidirá con el que forman las rectas o bien utilizamos las fórmulas trigonomátricas, calculando primero las pendientes de cada una de las rectas. En el primer caso, un vector normal a cada recta son n( A, B ) para la r y n '( A ', B ') para la r’. AA ' BB ' nn' De esta forma se tiene que cos ;0 90º n n' A2 B 2 A '2 B '2 En el segundo caso, si usamos las pendientes m y m’ de las rectas y suponemos que m tan 1 y m ' tan 2 entonces el ángulo que forman las rectas será 1 2 , de donde tan tan 1 2
tan 1 tan 2 mm' ;0 90º 1 tan 1 tan 2 1 m m '
| DISTANCIAS Y ANGULOS ENTRE RECTAS 40
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Rectas perpendiculares Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y opuestas Si dos rectas r y r’ con pendientes m y m’ son perpendiculares entonces forman un ángulo de 90º y entonces tan 90
tan 1 tan 2 sin 90 1 1 1 tan 1 tan 2 0 1 m m ' m ' 1 tan 1 tan 2 cos 90 0 m
Simetria axial Dada una recta r llamada eje de simetría, diremos que dos puntos P y P’ son simétricos respecto al eje r, cuando el segmento PP’ es perpendicular a r y además el punto medio de PP’ está sobre la recta r Lugar geométrico Se define lugar geométrico al conjunto de todos los putnos que verifican una misma propiedad o un mismo conjunto de propiedades. Ejemplo Ena recta es el lugar geométrico de los puntos que están alineados con un punto dado y una dirección dada. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.
| DISTANCIAS Y ANGULOS ENTRE RECTAS 41
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PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO Los triángulos tienen unas ciertas propiedades que ya fascinaron a los babilonios, egipcios y griegos. Vamos a definir una seria de rectas en los triángulos y veremos que tienen unas propiedades realmente sorprendentes Sean ABC un triángulo cualquiera de vértices A, B y C y lados a, b y c. Definimos Altura correspondiente a un vértice es la recta perpendicular trazada desde ese vértice al lado opuesto. Mediana de un vértice es la recta trazada desde ese vértice al punto medio del lado opuesto Mediatriz a un lado es la recta perpendicular trazada por el punto medio de ese lado Bisectriz correspondiente a cada ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados que definen ese ángulo Todos los triángulos tienen 3 alturas, 3 medianas, 3 mediatrices y 3 bisectrices, cada una correspodiente a cada vértice. Y ahora resultan 4 sorprendentes propiedades Las 3 alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto denominado ortocentro
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 42
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Las 3 medianas de un triรกngulo se cortan en un mismo punto denominado baricentro
Las 3 mediatrices de un triรกngulo se cortan en un mismo punto denominado circuncentro
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIร NGULO 43
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Las 3 bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto denominado incentro
Además, los cuatro puntos ortocentro, baricentro y circuncentro, están alineados ¿El incentro en que circunstancias tb lo está?
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 44
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Ejemplo práctico Sean el triángulo de vértices A(-1,-3), B(2,6) y C(5,-1) . Se pide a) LADOS Ecuaciones y longitudes de los tres lados del triángulo (de las rectas que contienen a los lados) b) ALTURAS Ecuaciones de las tres alturas, longitud de las mismas y coordenadas del Ortocentro c) MEDIANAS Ecuaciones de las tres medianas, longitud de las mismas y coordenadas del Baricentro d) MEDIATRICES Ecuaciones de las tres mediatrices y coordenadas del Circuncentro e) BISECTRICES Ecuaciones de las tres bisectrices y coordenadas del Incentro f) ANGULOS Medidas de los tres ángulos g) AREA del triángulo a) LADOS Ecuacion AB: rAB :
x 1 y 3 x 1 y 3 9 x 3 y 0 3x y 0 2 1 6 3 3 9
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 45
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Ecuacion BC: rBC :
x2 y6 x2 y6 7 x 3 y 32 0 7 x 3 y 32 0 5 2 1 6 3 7
Ecuacion AC: rAC :
x 1 y 3 x 1 y 3 2 x 6 y 16 0 x 3 y 8 0 5 1 1 3 6 2
Longitud AB: d AB (2 (1))2 (6 (3))2 32 9 2 9 81 90 Longitud BC: d BC (5 2)2 (1 6) 2 32 (7) 2 9 49 58 Longitud AC: d AC (5 (1))2 (1 (3)) 2 62 22 36 4 40 b) ALTURAS Ecuacion Altura A: hA : 3 x 7 y C 0 3(1) 7(3) C 0 C 18 hA : 3 x 7 y 18 0
Ecuacion Altura B: hB : 3 x y C 0 3(2) (6) C 0 C 12 hB : 3 x y 12 0
Ecuacion Altura C: hC : x 3 y C 0 (5) 3(1) C 0 C 2 hC : x 3 y 2 0
Longitud Altura A: d ( A, rBC )
Longitud Altura B: d ( B, rAC )
Longitud Altura B: d (C , rAB )
7(1) 3(3) 32 7 2 32 2 3 6 8 12 32
3(5) (1) 2
3 (1)
2
7 9 32 48 48 49 9 58 58
24 24 10 10
16 16 10 10
Coordenadas del Ortocentro. Resolvemos el sistema formado por dos cualesquiera de las tres alturas: 3 12 17 hB : 3 x y 12 0 3 x y 12 0 17 3 x 4 3 4 , hC : x 3 y 2 0 3 x 9 y 6 0 8 y 6 0 4 4 3 y 4
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 46
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c) MEDIANAS Puntos medios:
2 (1) 6 (3) 1 3 PmAB , , 2 2 2 2 5 2 1 6 7 5 PmBC , , 2 2 2 2 5 (1) 1 (3) PmAC , 2, 2 2 2 Ecuacion mediana x 1 y 3 2x 2 2 y 6 rAPmBC : 22 x 18 y 32 0 11x 9 y 16 0 7 5 9 11 1 3 2 2
A:
Ecuacion mediana B: rBPmAC :
x2 y6 x2 y6 x20 2 2 2 6 0 8
Ecuacion mediana C:
rCPmAB :
x 5 y 1 2 x 10 2 y 2 10 x 18 y 32 0 5 x 9 y 16 0 1 3 9 5 5 1 2 2
Longitud de las medianas 2
2
2
2
202 202 7 5 9 11 A: d APmBC (1) (3) 4 2 2 2 2 2 B: d BPm (2 2)2 (2 6) 2 0 (8) 2 64 8 AC
2
C: dCPmAB
2
2
2
81 25 106 1 3 9 5 5 (1) 4 4 2 2 2 2 2
Coordenadas del Baricentro. Resolvemos el sistema formado por dos cualesquiera de las tres medianas:
rBPmAC : x 2 0 rCPmAB
x 2 6 : 5 x 9 y 16 010 9 y 16 0 y 9
2 2 2, 3 3
d) MEDIATRICES
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 47
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Ecuacion
mediatriz lado 10 1 3 mAB : x 3 y C 0 3 C 0 C 5 mAB : x 3 y 5 0 2 2 2
AB:
Ecuacion
mediatriz lado 21 35 7 5 mBC : 3 x 7 y C 0 3 7 C 0 C 7 mBC : 3 x 7 y 7 0 2 2 2
BC:
Ecuacion mediatriz lado mAC : 3 x y C 0 3 2 2 C 0 C 4 mAC : 3 x y 4 0
AC:
Coordenadas del Circuncentro. Resolvemos el sistema formado por dos cualesquiera de las tres mediatrices: 7 5 11 mAB : x 3 y 5 0 x 3 y 5 0 7 11 y 8 3 8 , mAC : 3 x y 4 0 9 x 3 y 12 0 8 x 7 0 8 8 7 x 8
e) BISECTRICES Las bisectrices de un ángulo son el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las dos rectas que limitan dicho ángulo. Hay que tener en cuenta que dos rectas siempre tienen otras dos bisectrices luego habrá que determinar en cada caso cual de las dos es la que corresponde a nuestro problema Ecuación de las rectas bisectrices correspondientes al vértice A. Estarán compuestas por los puntos (x’,y’) que equidistan de las rectas que contienen los lados AB y AC, por tanto
d ( x' , y ' ), rAB d ( x ' , y ' ), rAC
3 x ' y '
x'3 y '8
32 12
12 ( 3) 2
x' y '4 0 x ' y '2 0
La bisectrices correspondiente al vértice B serían
d ( x' , y ' ), rAB d ( x ' , y ' ), rBC
3 x ' y ' 32 12
7 x '3 y '32 7 2 32
x ' y ' 0 x ' y '2 0
La bisectrices correspondiente al vértice C serían d ( x ' , y ' ), rBC d ( x ' , y ' ), rAC
7 x '3 y '32 7 2 32
x'3 y '8 12 (3) 2
x y ' c 0 x' y ' c 0
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 48
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Las coordenadas del Incentro las obtendremos resolviendo el sistema formado por dos cualesquiera de las tres bisectrices: 7 5 11 mAB : x 3 y 5 0 x 3 y 5 0 7 11 y 8 3 8 , mAC : 3 x y 4 0 9 x 3 y 12 0 8 x 7 0 8 8 7 x 8
f) ANGULOS El ángulo A estará determinado por el ángulo que forman los vectores directores de las rectas que contienen los lados AB y AC, que son v AB (1,3) y v AC (3,1) respectivamente. Hallando el producto escalar de ellos tenemos v AB v AC v AB v AC cos(v AB , v AC )
v AB v AC (1,3) (3,1) 6 6 De donde: cos(v AB , v AC ) 0,6 A 53,13º v AB v AC (1,3) (3,1) 10 10 10 Y para los otros dos vértices tendremos: Ángulo B
vBC v BA (1,3) (3,7) 18 18 cos(vBC , vBA ) 0,7474 B 138,36º vBC v BA (1,3) (3,7) 10 58 580 Ángulo C
vBC v AC (3,7) (3,1) 2 2 cos(vBC , v AC ) 0,0830 C 85,23º vBC v AC (3,7) (3,1) 58 10 580 g) ÁREA del triángulo Sabemos las longitudes de todas las bases y todas las alturas. Tomamos la base AC y la altura que parte del vértice B y tendremos:
S
B h d ( A, C ) d ( B, rAC ) 2 2
40 2
24 10 24
También podríamos haber usado la fórmula de Herón, en la que un triángulo de lados a, b y c y semiperímetro p tiene por área:
S
p ( p a )( p b)( p c )
(a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 4
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 49
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Calculamos primero el semiperímetro p
a bc 90 58 40 11.713 2 2
Y entonces queda que el área es:
S
p ( p a )( p b)( p c) 11.713 11.713 90 11.713 58 11.713 40 24
| PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 50
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CONICAS Un poco de historia... La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 350 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Apolonio de Pérgamo, geómetra griego del siglo III antes de J.C. es el autor del más importante tratado antiguo dedicado a estas curvas Las Cónicas, en ella demuestra como se pueden obtener las tres curvas cortando un cono con un plano orientado de distintos modos.
No se les descubrió ninguna aplicación científica importante hasta el siglo XVII, cuando Kepler descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas y Galileo demostro que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas.
Apolonio de Perga (262-180 AC) I. Modos de obtención y propiedades fundamentales II. Diámetros, ejes y asíntotas. III.Teoremas notables. Propiedades de los focos. IV. Número de puntos de intersección de las cónicas. V. Segmentos de máxima y mínima distancia. Normal, evoluta, centro de curvatura. VI. Igualdad y semejanza de las secciones cónicas. VII. Relaciones
métricas
sobre
diámetros. La obra de Apolonio llega a occidente a través de la matemática árabe. En 1710 se publican en latín y griego los siete libros conocidos.
A partir del renacimiento... | CONICAS 51
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Los pintores renacentistas buscan en la geometría reglas para representar sobre un plano la realidad tridimensional. Desargues (1591-1661): secciones cónicas y puntos del infinito. Pascal (1623-1662): “Essay pour les coniques”. Nacimiento la geometría proyectiva. Descartes (1596-1650). Geometría analítica. Cónica ecuación de segundo grado. Poncelet (1788-1867). Klein (1849-1925). Técnicas de crear imágenes por ordenador basadas en geometría proyectiva. Curvas elípticas. Aplicaciones criptográficas.
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de la gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas. (http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica) Video en brasileño-español http://www.youtube.com/watch?v=9cUxrxU1duk&feature=related
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SECCION CONICA Tenemos, provisionalmente, que irnos al espacio en lugar del plano. Una especie de incursión momentánea, pues las cónicas son curvas planas, pero para entender sui origen usaremos una superficie cónica de revolución, es decir, una recta que gira alrededor de un eje.
Si esa superficie se corta por un plano, dependiendo de la inclinación de como cortemos con ese plano, obtendremos las cuatro cónicas que vamos a estudiar aquí:
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
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β < α : Hipérbola (azul) β = α : Parábola (verde) β > α : Elipse (amarillo) β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono). Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica Videos para ver sobre el corte del plano sobre la superficie para la obtención de la cónica Fantástico video animado 0:11 http://www.youtube.com/watch?v=1wTe0VJBAZ8&feature=related Y otro más 0:25 http://www.youtube.com/watch?v=bFOnicn4bbg&feature=related Introducción en español 1:00 http://www.youtube.com/watch?v=TN6mudrIdbk De la Universidad argentina 6:34 http://www.youtube.com/watch?v=asEGxINUJGY&feature=related Con música y en brasileño 4:13 http://www.youtube.com/watch?v=Y24GCSjgInc&feature=related Cónicas en el mundo (vida real) 2:08 http://www.youtube.com/watch?v=n8tm5FWgU4I&feature=fvw Everything you need to know about conics 7:28 (English) http://www.youtube.com/watch?v=ivz8f_g29CE&NR=1&feature=fvwp Conic sections (in life) Englsih. 1:14 http://www.youtube.com/watch?v=Y4dLMCZh5k0&feature=related
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Ecuación general de una sección cónica conic section
Tenemos, pues, cuatro curvas planas, pues todas ellas están dentro del plano de corte, y todas ellas tienen la misma ecuación cuadrática (de segundo grado) 2 2 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0
Observa que solo la recta tiene ecuación de primer grado, cualquier otra curva tendrá siempre un grado mayor.
A partir de la ecuación general es muy fácil reconocer una cónica. Usaremos la siguiente tabla
Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola
B = 0; A = C B = 0; A ≠ C; A∙C > 0 B = 0; A ≠ C; A∙C < 0 B = 0; A = 0 ó C = 0
Ejemplos x 2 4 y 2 8 x 24 y 48 0 es una elipse, pues B = 0; A ≠ C; A∙C > 0 6 y 2 2 x 24 y 10 0 es una parábola porque B = 0; A = 0 2 x 2 2 y 2 8 x 12 y 6 0 es una circunferencia ya que B = 0; A = C 4 x 2 25 y 2 8 x 100 y 196 0 es una hipérbola, ya que B = 0; A ≠ C; A∙C < 0 a) y(y + 6) = -4x - 1 b) x2 + 4x + 4(3y - 8) = 0 c) 9x2 + 25y2 - 54x - 100y = 44 d) 16x2 + 9y2 - 64x + 18y - 71 = 0
| CONICAS 55
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Aunque el hecho de estar obligando a B ser 0 solo se impone para este nivel de enseñanza, si lo quisiesemos expresar de forma más general, tendríamos que decir Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola
B = 0; A = C
B2 − 4AC < 0 B2 − 4AC > 0 y si A + C = 0 sería una hipérbola rectangular B2 − 4AC = 0 Vamos ahora a estudiar cada una de las cuatro cónicas individualmente y con cierta profundidad. Webs últiles http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Las_conicas_como_lugares_geometricos/Las_conicas_com o_lugares_geometricos.htm http://www.dmae.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm
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CIRCUNFERENCIA circunference Definición La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro A esta distancia se le llama radio (radius) Nota.- Volver a visionar Everything you need to know about conics 7:28 http://www.youtube.com/watch?v=ivz8f_g29CE&NR=1&feature=fvwp
(English)
Elementos de la circunferencia El Centro center C o punto fijo del que equidistan los puntos de la circunferencia El radio radius r o distancia de cualquier punto al centro Cuerda chord o segmento que une dos puntos de la circunferencia El diámetro diameter o segmento o cuerda que une dos puntos que pasen por el centro. Además es la más grande de las secantes posibles y vale siempre 2 veces el radio Tangente tangent o recta que toca a la circunferencia en un solo punto Secante secant o recta que corta a la circunferencia en dos puntos
También podemos definir Arco arc de circunferencia que es cualquier trozo de circunferencia Sector sector circular es una región del círculo limitada por dos radios y el arco definido por esos radios Segmento circular segment es la región del círculo limitada por una cuerda y el arco definido por los dos puntos de corte
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Ecuación de la circunferencia De la propia definición podemos plantear su ecuación, para ello consideremos el centro C h, k y el radio r y sea P x, y un punto genérico cualquiera de la circunferencia Si Py C son siempre equidistantes r, entonces la distancia de P a C es: d ( P, C )
2
x h y k
2
x h y k
2
2
r
r2
Que es la ecuación de la circunferencia en función del centro y el radio. Si ahora desarrollamos los binomios y pasamos todo para el mismo miembro tenemos 2
x h y k
2
r 2 x 2 2hx h 2 y 2 2ky k 2 r 2 x 2 y 2 2hx 2ky h 2 k 2 r 2 0
Que es una ecuación en la forma general x 2 y 2 Dx Ey F 0 en la cual, igualando componentes, podemos directamente obtener que las coordenadas del centro y radio son D E D2 E 2 h ;k ;r F 2 2 4 4 Ejercicio Escribir la circunferencia de forma general 2 x 2 2 y 2 8 x 12 y 4 0 en función de su centro y radio
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2
2
2 x 2 2 y 2 8 x 12 y 6 0 x 2 y 2 4 x 6 y 3 0 x 2 4 y 3 9 3 0 ... 2
2
2
2
... x 2 y 3 16 x 2 y 3 4 2 Por lo tanto estamos hablando de una circunferencia de centro C(-2,3) y radio 4.
Propiedad Si por un punto exterior a una circunferencia se traza una secante a la misma que la corte en los puntos A y B, el producto de los puntos PA PB es constante para cualquier secante elegida Potencia de un punto Se define la potencia de un punto P respecto una circunferencia Cf a esa constante que se describe en la propiedad anterior y que denotaremos por PotCf (P) Eje radical Se define eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias Centro radical Se define centro radical de 3 circunferencias al punto del plano que tiene la misma potencia respecto a las 3 circunferencias dadas
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ELIPSE ellipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos: Centro, O 0, 0
Eje mayor, AA´ de longitud 2a con A a, 0 y A ' a, 0
Eje menor, BB´ de longitud 2b con B 0, b y B ' 0, b
Distancia focal, OF de longitud c con los focos en los puntos F c, 0 y F ' c, 0
Relación fundamental En toda elipse se verifica que a 2 b 2 c 2 La prueba de esta afirmación es como sigue: Por la definición del lugar geométrico de los puntos de la elipse se tiene que esa distancia es constante y por tanto tendrá que ser igual a PF PF ' 2a . Como A y A’ son puntos de la elipse se verifica para ellos la propiedad anterior, entonces AF ' AF AF ' F ' A ' AA ' 2a Por otra parte B y B’ también son puntos de la elipse, luego también BF ' BF 2a BF BF ' a Y aplicando el teorema de pitágoras nos queda a 2 b 2 c 2
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Ecuación de la elipse La elipse con centro el origen O 0, 0 tiene la siguiente expresión algebraica:
x2 y2 1 a2 b2
Vamos a demostrar que es así... Sea P x, y un punto genérico de la elipse de centro O 0, 0 . Como PF PF ' 2a sustituyendo en esta expresión la fórmula de la distancia entre dos puntos PF PF '
2
x c y 0
2
2
x c y 0
2
2a ...
... x 2 2cx c 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 2a ... ... x 2 2cx c 2 y 2 2a x 2 2cx c 2 y 2 ... ...
x 2 2cx c 2 y 2
2
2a x 2 2cx c 2 y 2
2
...
... x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a x 2 2cx c 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 ... ... 4 cx 4 a 2 4 a x 2 2cx c 2 y 2 a 2 cx a x 2 2cx c 2 y 2 ...
2
... a 2 cx a x 2 2cx c 2 y 2
2
a 4 2ca 2 x c 2 x 2 a 2 x 2 2cx c 2 y 2 ...
... a 4 2a 2 cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 c 2 a 2 x 2 a 2 y 2 a 2 c 2 a 2 ... ... a 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 2 a 2 c 2 como b 2 a 2 c 2 ... b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 ... x2 y2 ... dividiendo todo por a b ... 2 2 1 a b 2 2
Ahora bien, si el centro de la elipse está en el punto O h, k en lugar del origen de coordenadas, solo tenemos que hacer una traslación de la figura: 2
2
x ' x h x x ' h x h y k 1 quedando la ecuación a2 b2 y ' y k y y ' k Ejercicio Escribir la elipse de forma general x 2 4 y 2 8 x 24 y 48 0 en función de su centro y sus semiejes.
2 2 2 2 x 2 4 y 2 8 x 24 y 48 0 x 4 16 4 y 3 36 48 0 x 4 4 y 3 4
x 4 ... 4
2
4 y 3 4
2
x 4 1 22
2
y 3 12
2
1
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Por lo tanto estamos hablando de una elipse de centro C(-4,3) y semiejes a = 2 y b = 1 Why are the foci of the ellipse important? The ellipse has an important property that is used in the reflection of light and sound waves. Any light or signal that starts at one focus will be reflected to the other focus. This principle is used in lithotripsy, a medical procedure for treating kidney stones. The patient is placed in a elliptical tank of water, with the kidney stone at one focus. High-energy shock waves generated at the other focus are concentrated on the stone, pulverizing it.
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Paul's Cathedral in London. If a person whispers near one focus, he can be heard at the other focus, although he cannot be heard at many places in between.
Statuary Hall in the U.S. Capital building is elliptic. It was in this room that John Quincy Adams, while a member of the House of Representatives, discovered this acoustical phenomenon. He situated his desk at a focal point of the elliptical ceiling, easily eavesdropping on the private conversations of other House members located near the other focal point.
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HIPERBOLA La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos. Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos: Centro, O 0, 0 Eje mayor, AA´ de longitud 2a Eje menor, BB´ de longitud 2b conDistancia focal, OF de longitud c con los focos en los puntos F c, 0 y F ' c, 0
Vértices A a, 0 y A ' a, 0 Distancia entre los vértices , de longitud 2a
Vértices B 0, b y B ' 0, b Distancia entre los vértices , de longitud 2b Distancia entre los focos, de longitud 2c
Relación fundamental En toda hipérbola se verifica que c 2 a 2 b 2 La prueba de esta afirmación es como sigue: Por la definición del lugar geométrico de los puntos de la elipse se tiene que esa distancia es constante y por tanto tendrá que ser igual a PF ' PF 2a . Como A y A’ son puntos de la elipse se verifica para ellos la propiedad anterior, entonces AF ' AF AF ' F ' A ' AA ' 2a Y aplicando el teorema de pitágoras nos queda c 2 a 2 b 2 Ecuación de la hipérbola La hipérbola con centro el origen O 0, 0 tiene la siguiente expresión algebraica:
x2 y2 1 a2 b2
La demostración es similar al caso de la elipse Sea P x, y un punto genérico de la hipérbola de centro O 0, 0 . Como PF ' PF 2a sustituyendo en esta expresión la fórmula de la distancia entre dos puntos
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PF ' PF
2
x c y 0
2
2
x c y 0
2
2a ...
... x 2 2cx c 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 2a ... ... x 2 2cx c 2 y 2 2a x 2 2cx c 2 y 2 ... ...
x 2 2cx c 2 y 2
2
2a
x 2 2cx c 2 y 2
2
...
... x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a x 2 2cx c 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 ... ... 4 cx 4 a 2 4 a x 2 2cx c 2 y 2 cx a 2 a x 2 2cx c 2 y 2 ... 2
... cx a 2 a x 2 2cx c 2 y 2
2
c 2 x 2 2ca 2 x a 4 a 2 x 2 2cx c 2 y 2 ...
... c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 c 2 a 2 x 2 a 2 y 2 a 2 c 2 a 2 ... ... a 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 2 a 2 c 2 como c 2 a 2 b2 ... b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ... x2 y 2 1 a 2 b2 E igual que hicimos con la elipse, si nuestro centro de la hipérbola está en el punto O h, k ... dividiendo todo por a 2 b 2 ...
solo tenemos que hacer una traslación y quedaría
x h a2
2
y k b2
2
1
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Asíntotas Asymptotes La etimología de la palabra asíntota la cual ya se ha explicado deriva del griego a-sym-ptōtos, donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos está compuesto por sym-, "con", y ptōtos, un adjetivo que connota a aquello que "cae". Asíntota en griego pues significa “aquello que no cae”. No es posible definir formalmente una asíntota sin conocer el concepto de límite, luego tendremos que usar una explicación intiotiva, con palabras coloquiales diremos que A es una asíntota de C si ambas se aproximan tanto que solo llegan a tocarse o intersecarse en el infinito Aquello que hace a A una asíntota de una curva C es el hecho que C se aproxima a A por un trecho ilimitado sin jamás coincidir con A. De este modo se puede recurrir a un lenguaje figurado y decir que además de las eventuales intersecciones finitas existe una "intersección al infinito" entre A y C, y que por esto tal intersección se puede aproximar entonces indefinidamente pero sin jamás alcanzarse. Es esta particular, inalcanzable "intersección al infinito" la que hace a A "asíntota" de C.
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La hipérbola tiene dos asíntotas que, en el caso de que su centro estuviese en O 0, 0 serían
b x si el eje transversal o real es el eje X a las rectas a y x si el eje transversal o real es el eje Y b y
Y si el centro fuese un punto O h, k tendríamos por traslación las asíntotas en
b x h si el eje transversal o real es el eje X a a y k x h si el eje transversal o real es el eje Y b yk
Ejercicio Escribir la hipérbola de forma general 4 x 2 25 y 2 8 x 100 y 196 0 en función de su centro y sus semiejes. 2 2 4 x 2 25 y 2 8 x 100 y 196 0 4 x 1 4 25 y 2 100 196 0 ... 2
... 4 x 1 25 y 2
2
x 1 100 100
4
2
y 2 100
2
25
x 1 1 52
2
y 2 22
2
1
Por lo tanto estamos hablando de una hipérbola de centro C(-1,2) y semiejes a = 5 y b = 2.
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Where are the Hyperbolas? A sonic boom shock wave has the shape of a cone, and it intersects the ground in part of a hyperbola. It hits every point on this curve at the same time, so that people in different places along the curve on the ground hear it at the same time. Because the airplane is moving forward, the hyperbolic curve moves forward and eventually the boom can be heard by everyone in its path.
HIPERBOLA RECTANGULAR Tiene por ecuación xy c 2 The rectangular hyperbola however is only symmetrical about the lines y Therefore its inverse function is exactly the same as its original function.
= x and y = − x.
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PARABOLA parabola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamado foco, y de una recta d llamada directriz. Elementos de la parábola Vamos a definir los elementos principales de una parábola, suponiendo ésta con vértice en (0,0) y como eje de simetrría el eje OY. Cuando el vértice cambie de lugar solo habrá que realizar una traslación y si cambia el eje, realizaremos un giro El eje e de simetría, que inicialmente es el eje OY El vértice V que inicialmente es el origen de coordenadas O 0, 0 El parámetro p que es la distancia del foco F a la directriz d
p El Foco F, punto de referencia que esta en las coordenadas F 0, 2 La directriz , recta de referencia, que será paralela al eje OX y de ecuación p y 2y p 0 2 La distancia entre el vértice y el foco se conoce como Distancia focal o Radio focal y vale
p 2
El radio vector de un punto P x, y , que es la distancia PF El Lado recto (latus rectum)
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. Propiedad La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
Ecuación
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Una parábola, cuyo vértice está en el origen O 0, 0 y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: x 2 2 py 2
p 2y p p d ( P, F ) d ( P, d ) d P x, y , F 0, d P x, y , d 2 y p 0 x 2 y ... 2 2 22 2
... x 2 y 2 py
p2 p p2 p2 y x 2 y 2 py y 2 py x 2 2 py 4 2 4 4 2
Si ahora trasladamos el vértice al punto O h, k la ecuación quedaría x h 2 p y k Ejercicio Escribir la parábola de forma general 6 y 2 2 x 24 y 10 0 en función de su centro y su parámetro. 2
2
6 y 2 2 x 24 y 10 0 6 y 2 24 2 x 10 6 y 2 2 x 7 ... ... x 7 3 y 2
2
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Why is the focus so important?
Ecuacione sparam茅tricas de las c贸nicas
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Circunferencia
2
x h y k
2
r2
Circunference
Ax Ay Dx Ey F 0
Elipse
x h
2
2
y k
2
1
Ellipse
a b Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0
Hipérbola
x h
EjerciciosHyperbo la
e=0
2
2
2
2
2
y k 2
2
1
e<1
e>1
a b Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0
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Parábola
y k
Parabola
2
2
e=1
4 p x h 2
Ax Bxy Cy Dx Ey F 0
Excentricidad de una cónica La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la distancia focal FF’ y la longitud del eje principal AA’. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad para cualquier c cónica es e a
El valor de la excentricidad determina el tipo de cónica: Si e = 0 es una circunferencia Si e < 1 es una elipse Si e = 1 es una parábola. Si e > 1 es una hipérbola.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Problemas_de_conicas/Conicas_%20y_%20excentricidad.h tm
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Ejercicios Encuentra el valor de la exentricidad y la clase de c贸nica representada por cada una de las siguientes ecuaciones: a) x2 - y2 + 2x - 1 = 0 b) 2x2 + y2 -4y +2 = 0 c) 4x2 + 9y2 -8x -18y = 23 d) 9x2 + 8y2 -72y +144 = 0 Lactus rectum El lactus rectum de la elipse o hip茅rbola viene dado por la longitud de la cuerda perpendicular 2b 2 al eje mayor por uno de sus focos. Su longitud es a
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