Geometría Geometría Analítica del Espacio
OpenUepc.com 1.1.3.6
Ver 01:03/02/2010
NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.6 correspondiente a 1
SCIENCE
1.1
MATHEMATICS
1.1.3
GEOMETRY
1.1.3.6
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES
Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009
+
TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 4 Historia ................................................................................................................................... 4 CONCEPTOS BÁSICOS .......................................................................................................... 5 El Conjunto ℝ3 ...................................................................................................................... 5 Sistema De Referencia Euclídeo ............................................................................................ 6 Coordenadas cartesianas de un vector libre determinado por dos puntos .......................... 6 ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO ..................................................................... 8 Ecuación vectorial de la recta en el espacio ........................................................................... 8 Ecuación paramétrica ............................................................................................................. 9 Ecuación continua .................................................................................................................. 9 Ecuación implícita o cartesiana de la recta en el espacio. .................................................... 10 Cuadro Resumen .................................................................................................................. 12 ECUACIONES DEL PLANO ................................................................................................. 13 Ecuación vectorial del plano en el espacio........................................................................... 13 Ecuación paramétrica del plano en el espacio ...................................................................... 14 Ecuación general o implícita del plano en el espacio........................................................... 15 Ecuación del plano que pasa por tres puntos........................................................................ 16 POSICIONES RELATIVAS ................................................................................................... 17 Posiciones Relativas De Dos Rectas En El Espacio ............................................................ 17 Posiciones Relativas De Recta Y Plano ............................................................................... 20 Posiciones Relativas De Dos Planos .................................................................................... 22 Posiciones Relativas De Tres Planos ................................................................................... 23 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES ............................................................................. 26 Conceptos básicos ................................................................................................................ 26 Interpretación geométrica del producto escalar ................................................................ 26 Espacio vectorial euclídeo ................................................................................................ 27 Propiedades del producto escalar ..................................................................................... 27 Bases Normadas, ortogonales y ortonormales .................................................................. 28 Expresión del producto escalar en coordenadas ............................................................... 28 Aplicaciones del producto escalar ........................................................................................ 30 Módulo de un vector ......................................................................................................... 30 Ángulo de dos vectores en el espacio ............................................................................... 30 Perpendicularidad ............................................................................................................. 30 Vector perpendicular a un plano .......................................................................................... 31 | 1
+
Recta proyección ortogonal de una recta sobre el plano ...................................................... 32 PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO ................................................................ 34 HACES DE PLANOS.............................................................................................................. 35 Haz de planos secantes a una recta....................................................................................... 35 Haz de planos perpendiculares a una recta........................................................................... 36 APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES ........................................................... 37 Distancia entre dos puntos.................................................................................................... 37 Punto medio de un segmento .............................................................................................. 37 Razón r de un segmento ....................................................................................................... 38 Punto simétrico a un punto dado. ......................................................................................... 38 Puntos alineados ................................................................................................................... 39 3 Puntos coplanarios............................................................................................................. 39 Distancia de un punto a una recta......................................................................................... 40 Distancia de un punto a un plano ......................................................................................... 40 Distancia entre dos planos .................................................................................................... 42 Distancia entre recta y plano ................................................................................................ 43 Distancia entre dos rectas ..................................................................................................... 44 Simetrias ............................................................................................................................... 46 Puntos simétricos .............................................................................................................. 46 Simetría respecto a un punto ............................................................................................ 46 Simetría respecto a una recta ............................................................................................ 46 Simetría respecto a un plano ............................................................................................. 47 PRODUCTO VECTORIAL .................................................................................................... 49 Interpretación geométrica del producto vectorial................................................................. 49 Propiedades del producto vectorial ...................................................................................... 49 Aplicaciones del producto vectorial ..................................................................................... 51 Vector perpendicular a dos vectores dados ...................................................................... 51 Vector director de una recta en forma cartesiana ................................................................. 52 Áreas de figuras planas en el espacio ................................................................................... 52 Distancia de un punto a una recta......................................................................................... 53 PRODUCTO MIXTO .............................................................................................................. 54 Interpretación geométrica del producto mixto ..................................................................... 54 Propiedades del producto mixto ........................................................................................... 55 Definición del producto mixto mediante coordenadas ......................................................... 56 Distancia entre dos rectas que se cruzan .............................................................................. 56 | 2
+
| 3
+
INTRODUCCIÓN Historia Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de un curva plana.[1] Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.[2] Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.[3] El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsiderarón con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).[4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales. En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.[5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.[6] Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[7] y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron. http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
| INTRODUCCIÓN 4
+
CONCEPTOS BÁSICOS El Conjunto ℝ3 Vamos a construir el conjunto ℝ × ℝ × ℝ que denotaremos por ℝ3 que está formado por ternas ordenadas de números reales, es decir
1 −4 ℝ × ℝ × ℝ = ℝ3 = {( x, y, z ) / x, y, z ∈ ℝ} = ( 0, 0, 0 ) , ( 3, −1, 2 ) , 7 34 , , , 3 5
(
2, π , e ,...
)
Dos ternas coinciden cuando coinciden de forma ordenada sus tres componentes, es decir:
x1 = x2 ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 , y2 , z2 ) ∈ ℝ ⇔ y1 = y2 z = z 2 1 3
En ℝ3 se definen dos operaciones básicas, la suma y la multiplicación por escalar del siguiente modo Suma
+ ℝ3 × ℝ3 → ℝ3
→ ( x + x ', y + y ', z + z ') ( x, y, z )( x ', y ', z ')
Multiplicación por un escalar
+ ℝ × ℝ3 → ℝ3
→ ( λ x, λ y, λ z ) ( λ , ( x, y, z ) )
Propiedad El conjunto ℝ3 con estas operaciones así definidas es un espacio vectorial
| CONCEPTOS BÁSICOS 5
+
Sistema De Referencia Euclídeo Tenemos varios resultados ya asimilados: • • •
Hemos definido un sistema de coordenadas cartesianas en ℝ3 , con su origen O(0,0,0) Hemos definido el conjunto de los vectores libres y le hemos llamado V3 Hemos definido la base canónica de V3, B = i, j , k
•
A cada punto P del espacio le corresponde de forma única un vector u = OP y viceversa, a cada vector u del plano le corresponde un punto P de forma que OP = u
{
}
Definimos sistema de referencia euclídeo del espacio (o también llamado sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por R = O, i, j , k donde
{
• •
}
O es un punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas B = i, j , k son los vectores de su base canónica de V3
{
}
Y en este sistema, las coordenadas de un punto P cualquiera son las coordenadas de su vector de posición u = OP . En otras palabras, que cuando hablamos del punto situado en (3,2,2) (o de coordenadas (3,2,2)) nos confundimos con el vector de posición (3,2,2) que también tiene las mismas coordenadas (3,2,2) respecto a la base canónica de V3. Es decir, la nomenclatura es la misma, pero podemos estar hablando de coordenadas de un punto o coordenadas de un vector, y no hay problema de confusión porque hay correspondencia biunívoca entre ambos. Pueden existir infinitos sistemas de referencia en V3. Cualquier conjunto R = O, u, v, w
{
}
con B = u, v, w base de V3 es un
{
}
sistema de referencia, pero el euclídeo u ortonormal es solo cuando la base es la canónica B = i, j , k .
{
}
Coordenadas cartesianas de un vector libre determinado por dos puntos Supongamos un vector definido por dos puntos A ( x1 , y1 , z1 ) y B ( x2 , y2 , z2 ) por los que pasa.
Al punto A ( x1 , y1 , z1 ) le corresponde el vector de posición a = OA = ( x1 , y1 , z1 )
| CONCEPTOS BÁSICOS 6
+
Al punto B ( x2 , y2 , z2 ) le corresponde el vector de posición b = OB = ( x2 , y2 , z3 )
Como se aprecia en el gráfico se tiene que OB = OA + AB ⇔ b = a + AB ⇔ AB = b − a Lo cual escrito en coordenadas sería AB = b − a = ( x2 , y2 , z2 ) − ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) Es decir las coordenadas de un vector libre se obtienen restando las coordenadas del extremo menos las del origen AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) .
| 7
+
ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO A diferencia con la recta en el plano, aqui en el espacio vamos a disponer de menos formas de expresarla algebráicamente, lo cual no quiere decir que las cuatro que vamos a dar no sean más que suficientes. Tendremos las siguientes formas: • • • •
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica Ecuación continua Ecuación implícita o cartesiana
Ecuación vectorial de la recta en el espacio La primera ecuación que vamos a estudiar de la recta en el espacio es la ecuación vectorial. Para lograr escribirla tenemos que saber un punto A ( a1 , a2 , a3 ) por el que pasa la recta y un vector u ( u1 , u2 , u3 ) que lleve la dirección de la recta y que llamaremos vector director
Un punto P ( x, y, z ) cualquiera de la recta verificará que, existirá un λ tal que OP = OA + λ u
Esta, tan sencilla, expresión anterior constituye la llamada ecuación vectorial de la recta. Dando valores a λ iremos obteniendo cualquier punto de la recta Si esta expresión vectorial la expresamos con coordenadas obtendremos otra forma de expresarla, quizás más reconocible:
( x, y, z ) = ( a1, a2 , a3 ) + λ ( u1, u2 , u3 ) Ejemplo En nuestro gráfico tenemos que la recta pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director u (1, 2,1) por lo tanto su ecuación vectorial es ( x, y, z ) = ( 3,1, 2) + λ (1, 2,1) | ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO 8
+
Ecuación paramétrica Dada la ecuación vectorial, ( x, y, z ) = ( a1 , a2 , a3 ) + λ ( u1 , u2 , u3 ) , podemos separar las tres componentes obteniendo la llamada ecuación paramétrica
x = a1 + λu1 y = a2 + λ u 2 z = a3 + λu3
Ejemplo En el mismo gráfico, se tiene que las ecuaciones paramétricas de nuestra recta son x = 3 + 1λ y = 1 + 2λ z = 2 + 1λ
Ecuación continua Se obtiene despejando λ e igualando en la ecuación paramétrica: | ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO 9
+
x − a1 u1 x = a1 + λu1 y − a2 y = a2 + λu2 λ = ⇒ u2 z = a3 + λu3 z − a3 λ= u3
λ=
x − a1 y − a2 z − a3 = = u1 u2 u3
Ejemplo Seguimos en lo sucesivo con el mismo ejemplo previo y tendremos λ = x − 3 x = 3 + 1λ y − 1 y −1 y = 1 + 2λ λ = = z−2 x −3 = 2 2 z = 2 + 1λ λ = z − 2
Ecuación implícita o cartesiana de la recta en el espacio. Si separamos en dos partes la ecuación continua, una parte por cada uno de los dos iguales, obtenemos las ecuaciones de dos planos (lo vamos a ver más adelante) que implícitamente se sabe que van a cortarse en nuestra recta. x − a1 y − a2 = u1 u2 u2 x − u2 a1 = u1 y − u1a2 x − a1 y − a2 z − a3 = = ⇔ ⇔ y − a2 z − a3 u3 y − u3 a2 = u2 z − u2 a3 u1 u2 u3 = u2 u3
u2 x − u1 y + ( u1a2 − u2 a1 ) = 0 u3 y − u2 z + ( u2 a3 − u3a2 ) = 0
En general esta forma va a ser muy común en lo sucesivo. Cuando nos digan, sea la recta A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 tenemos que comprender que, aunque corresponden a las A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
| ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO 10
+
ecuaciones de dos planos, tal y como estudiaremos en el apartado siguiente, nos estamos refiriendo a la recta intersección de los mismos.
Ejemplo 1 Dada nuestra recta en forma continua x − 3 =
y −1 = z − 2 , si procedemos como 2
hemos indicado anteriormente, tenemos: x + 4 y + 1 = 5 3 3 x + 12 = 5 y + 5 3 x − 5 y + 7 = 0 . y +1 y + 1 = 3 z − 6 y − 3 z + 7 = 0 = z−2 3 Dada la expresión de esta última manera, que son dos ecuaciones de dos planos 3x − 5 y + 7 = 0 , nos estamos refiriendo a la recta que los interseca, de ahí que le y − 3z + 7 = 0 llamemos ecuación implícita.
Ejemplo 2
3x − 2 y + z = 2 , escríbela en forma continua. 2x + y − z = 1 Resolvemos el sistema por Cramer, resultando la recta: 2 − λ −2 1+ λ 1 2 − λ + 2 + 2λ 4 1 x= = = + λ 5 5 5 5 4 1 x= + λ 3 2−λ 5 5 7 4 2 1 + λ 3 + 3λ − 4 − 2λ −7 −7 y− 5 y+ 5 z y= = = +λ y = + 1λ = = 5 5 5 5 1 1 15 z=λ z = 1λ Nuestra recta pasa por (-4/5,-7/5,0) y tiene vector director (1/5,1,1) Dada la recta en forma implícita
| ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO 11
+
Cuadro Resumen Ecuación vectorial
( x, y, z ) = ( a1, a2 , a3 ) + λ ( u1, u2 , u3 )
Ecuación paramétrica
x = a1 + λu1 y = a2 + λ u 2 z = a3 + λu3 x − a1 y − a2 z − a3 = = u1 u2 u3 x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
Ecuación continua Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ecuación implícita o cartesiana
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
| ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO 12
+
ECUACIONES DEL PLANO Tenemos un nuevo ente geométrico en el espacio, que es el plano. Al igual que para la recta, vamos a describir sus ecuaciones, que son: • • •
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica Ecuación general o implícita.
Ecuación vectorial del plano en el espacio Como hasta ahora, la primera ecuación que vamos a estudiar del plano en el espacio es la ecuación vectorial. Para lograr escribirla tenemos que saber un punto A ( a1 , a2 , a3 ) por el que pasa dicho plano y dos vectores directores independientes u ( u1 , u2 , u3 ) y v ( v1 , v2 , v3 ) , es decir que estén contenidos en el plano dado y tengan direcciones distintas.
Un punto P ( x, y, z ) cualquiera contenido en el plano verificará que, existirá un λ y un µ tales
que OP = OA + λ u + µ v Esta expresión anterior constituye la llamada ecuación vectorial del plano. Dando valores a λ y µ iremos obteniendo cualquier punto de dicho plano.
| ECUACIONES DEL PLANO 13
+
Si esta expresión vectorial la expresamos con coordenadas obtendremos otra forma de expresar la ecuación vectorial
( x, y, z ) = ( a1, a2 , a3 ) + λ ( u1, u2 , u3 ) + µ ( v1, v2 , v3 ) Ejemplo Supongamos el plano que pasa por A(4,-2,3) y que tiene como vectores directores a u ( −2, 2,1) y v (1, −1,1) . Su ecuación vectorial es:
( x, y, z ) = ( 4, −2,3) + λ ( −2, 2,1) + µ (1, −1,1) Ecuación paramétrica del plano en el espacio Dada la ecuación vectorial de un plano, ( x, y, z ) = ( a1 , a2 , a3 ) + λ ( u1 , u2 , u3 ) + µ ( v1 , v2 , v3 ) , podemos separar las componentes obteniendo la llamada ecuación paramétrica del plano
x = a1 + λu1 + µ v1 y = a2 + λu2 + µ v2 z = a3 + λu3 + µ v3
Ejemplo En el mismo gráfico, se tiene que las ecuaciones paramétricas de nuestro plano son
x = 4 − 2λ + µ y = −2 + 2λ − µ z = 3 + λ + µ | ECUACIONES DEL PLANO 14
+
Ecuación general o implícita del plano en el espacio. De la ecuación vectorial del plano tenemos ( x, y, z ) = ( a1 , a2 , a3 ) + λ ( u1 , u2 , u3 ) + µ ( v1 , v2 , v3 ) ,
( x − a1, y − a2 , z − a3 ) = λ ( u1, u2 , u3 ) + µ ( v1, v2 , v3 ) es decir, ( x − a1, y − a2 , z − a3 ) , como combinación lineal de los otros dos, que
que lo podemos escribir como
escrito uno de ellos , el sabemos son independientes por definición de plano. Ello indica que los tres vectores ( x − a1, y − a2 , z − a3 ) , ( u1, u2 , u3 ) y ( v1, v2 , v3 ) son linealmente dependientes por lo tanto su determinante es cero:
x − a1
y − a2
z − a3
u1 v1
u2 v2
u3 v3
=0
Y al desarrollar este determinante
x − a1
y − a2
z − a3
u1 v1
u2 v2
u3 v3
= ( x − a1 )
u2
u3
v2
v3
− ( y − a2 )
u1 u3 v1
v3
+ ( z − a3 )
u1 u2 v1
v2
y simplificar el resultado obtenemos la denominada ecuación general del plano Ax + By + Cz + D = 0
Ejemplo Dada nuestro plano en forma vectorial ( x, y, z ) = ( 4, −2,3) + λ ( −2, 2,1) + µ (1, −1,1) si procedemos como hemos indicado anteriormente, tenemos: x −4 y + 2 z −3
−2 1
( x − 4)
2 −1
2
1 1
1
= 0 . Si resolvemos este determinante tenemos
− ( y + 2)
−2 1
+ ( z − 3)
−2
2
= 3 ( x − 4 ) + 3 ( y + 2 ) + 0 ( z − 3) = 3 x + 3 y − 6 = 0 −1 1 1 1 1 −1 Por lo que la ecuación, ya simplificada, x + y − 2 = 0 es la ecuación general del plano dado.
| ECUACIONES DEL PLANO 15
+
Ecuación del plano que pasa por tres puntos Dados tres puntos A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) , C ( x3 , y3 , z3 ) vamos a calcular la ecuación del
plano que los contiene. Para ello sea los vectores formados por: AP ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) , • • AB ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) y • AC ( x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 ) .
P( x, y, z) un punto genérico del plano, y consideremos
Estos tres vectores, como están en el mismo plano, tienen que ser dependientes (en un plano solo puede haber un máximo de 2 vectores independientes), luego el rango de la matriz formada por las coordenadas de estos tres vectores es 2 y por tanto su determinante es cero
x − x1
y − y1
z − z1
x2 − x1 x3 − x1
y2 − y1 y3 − y1
z2 − z1 = 0 ; y resolviéndolo sale la ecuación general del plano buscado z3 − z1
Ejemplo Calcula la ecuación del plano que pasa por A(2,1,3) B(1,-1,0) y C(1,3,1)
Solución
x−2
y −1
z −3
x−2
1− 2 1− 2
−1 − 1 0 − 3 = −1 3 −1 1 − 3 −1
y −1 z − 3 −2 2
−3 = −2 ( x − 2 ) + ( y − 1) − 4 ( z − 3) = −2 x + y − 4 z + 15 = 0 −2 | ECUACIONES DEL PLANO 16
+
POSICIONES RELATIVAS Posiciones Relativas De Dos Rectas En El Espacio Dadas dos rectas r y s con sus respectivas ecuaciones en forma vectorial • r: ( x, y, z ) = P ( a1 , a2 , a3 ) + λ ⋅ u ( u1 , u2 , u3 ) • s: ( x, y, z ) = Q ( b1 , b2 , b3 ) + λ ⋅ v ( v1 , v2 , v3 ) En el espacio, existen las siguientes posibilidades de posicionamiento entre ellas: Coincidentes Que sean misma recta
la
Secantes Que se corten en un punto, luego hay un plano que las contiene
Los vectores proporcionales
u2 u1 rang v1 v2 b − a b − a 1 1 2 2
No tienen puntos comunes pero ambas estan contenidas en el mismo plano
v3 = 1 b3 − a3 u3
Los vectores u , v son independientes
u u2 rang 1 v1 v2
u3 =2 v3
y el vector PQ está en el mismo plano que u , v luego es combinación lineal de ellos, es decir:
u2 u1 rang v1 v2 b − a b − a 1 1 2 2 Paralelas
u , v , PQ son
v3 = 2 b3 − a3 u3
u , v tienen la misma dirección:
u u2 rang 1 v1 v2
u3 =1 v3
Pero el vector PQ es independiente de ellos
u2 u1 rang v1 v2 b − a b − a 1 1 2 2
v3 = 2 b3 − a3 u3
| POSICIONES RELATIVAS 17
+
Los vectores independientes
Se cruzan No tienen puntos comunes ni están en el mismo plano
u , v , PQ
u2 u1 rang v1 v2 b − a b − a 1 1 2 2
v3 = 3 b3 − a3 u3
Si las dos rectas r y s vienen dadas en sus ecuaciones implícitas, el razonamiento sería el siguiente r:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
s:
A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 A4 x + B4 y + C4 z + D4 = 0
Todo ello junto, forma un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Escribimos la matriz formada por los coeficientes de los cuatro planos que definen las dos rectas y escribimos también la ampliada:
A1 A M = 2 A3 A4
B1 B2 B3 B4
C1 C2 C3 C4
A1 M * = A2 A3 A4
B1 B2 B3 B4
C1 C2 C3 C4
son
D1 D2 D3 D4
Si el sistema es incompatible, no tiene solución, las rectas o bien se cruzan o son paralelas Si el sistema es compatible determinado de solución única es que se cortan en un punto Si el sistema es compatible determinado de infinitas soluciones, es que las dos rectas son coincidentes Todo se reduce pues a estudiar los rangos de estas dos matrices y discutir el sistema. Las soluciones a la discusión serían
| POSICIONES RELATIVAS 18
+
Rang(M) 2
Rang(M*) 2
3
3
2
3
3
4
< nº incógnitas = 3 => COMPATIBLE INDETERMINADO de infinitas soluciones que serían cualquiera de las dos rectas porque ambas son coincidentes = nº incógnitas => COMPATIBLE DETERMINADO de solución única que sería el punto de corte de las dos rectas => secantes Sistema INCOMPATIBLE , no hay puntos comunes, pero el hecho de que rang(M) = 2 indica que los dos vectores directores de ambas rectas son dependientes, por lo que las rectas son paralelas Sistema INCOMPATIBLE, no hay tampoco puntos comunes, pero el hecho que rang(M) = 3 indica que los vectores directores de ambas rectas son independientes, luego las rectas no son paralelas y por lo tanto se cruzan
Ejemplo Calcular las posiciones relativas de las rectas 2 x + 3 y − z + 1 = 0 r: x − y + 2z + 3 = 0 3x + y − 2 z − 2 = 0 s: x + y + z +1 = 0 Solución
2 3 −1 1 1 −1 2 3 Calculamos los rangos de las matrices M y M* formadas por donde 3 1 − 2 −2 1 1 1 1 2 3 −1 1 2 3 −1 1 −1 2 3 = −35 ≠ 0 y 1 −1 2 = 20 ≠ 0 por lo que resulta que rang(M) = 3 3 1 −2 −2 3 1 −2 1 1 1 1 y rang(M*) = 4 por lo que las rectas se cruzan en el espacio.
| POSICIONES RELATIVAS 19
+
Posiciones Relativas De Recta Y Plano Sean r una recta y sea π un plano, ambos en el espacio, de ecuaciones:
r:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
y π : A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0
Entre ellos se pueden dar las siguientes posiciones en el espacio • Secantes • Paralelas • La recta está contenida en el plano Para determinar cual de las tres situaciones se produce en cada caso, resolvemos nuevamente el sistema que forman los tres planos y estudiamos los rangos de su matriz de coeficientes y la matriz ampliada
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A1 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 de donde tenemos M = A2 A A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 3 Secantes Que se corten en un punto.
B1 B2 B3
C1 A1 C2 y M * A2 A C3 3
B1 B2 B3
C1 D1 C2 D2 C3 D3
Rang(M) = rang(M*) = 3 = nº incógintas: Sistema COMPATIBLE DETERMINADO de solución única que es el punto de corte del plano con la recta Para demostrarlo, es necesario saber lo que es un vector normal al plano.
Paralelas
Rang(M) = 2 y rang(M*) = 3
No hay puntos comunes.
Por lo que el sistema es INCOMPATIBLE, no tiene solución pero el que rang(M*)=3 implica que el plano π no es coincidente con ninguno de los dos planos que definen la recta, luego hay paralelismo en vez de coincidencia
Contenida
Rang(M) = 2 y rang(M*) = 2 Con lo que el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO y por
La recta está contenida dentro
| POSICIONES RELATIVAS 20
+
del plano.
tanto hay infinitas soluciones que son la propia recta r que estรก contenida en uno de los dos planos dados
| POSICIONES RELATIVAS 21
+
Posiciones Relativas De Dos Planos Consideremos ahora dos planos π1 y π2 con ecuaciones generales π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 y π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Entre ellos se pueden dar las siguientes posiciones en el espacio • Secantes • Paralelas • Coincidentes Para determinar cuál de las tres situaciones se produce en cada caso, resolvemos el sistema que forman los dos planos y estudiamos los rangos de su matriz de coeficientes y la matriz ampliada
A1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 de donde tenemos M = A2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Secantes Si se cortan en una recta.
C1 A1 C2 y M * A2
B1 B2
C1 D1 C2 D2
Rang(M) = 2 y rang(M*) = 2: Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO de infinitas soluciones que son precisamente la recta de corte
Rang(M) = 1 y rang(M*) = 2
Paralelos No hay comunes.
B1 B2
puntos
Coincidentes Ambos planos son el mismo.
Sistema INCOMPATIBLE y los dos planos tienen que ser necesariamente paralelos
Rang(M) = 1 y rang(M*) = 1 Por lo que ambos planos son proporcionales en coeficientes y por tanto coincidentes
| POSICIONES RELATIVAS 22
+
Posiciones Relativas De Tres Planos Consideremos ahora tres planos π1, π2 y π3 con ecuaciones generales
π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 π 3 : A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 Entre tres planos en el espacio, se pueden describir las siguientes ocho situaciones • • • • • • • •
Tres Coincidentes Dos coincidentes y uno paralelo a ellos Dos coincidentes y el tercero secante Tres paralelos Dos paralelos y uno secante a ambos Secantes dos a dos Tres secantes que se cortan en una misma recta Tres secantes que se cortan en un punto
Las ocho quedan descritas perfectamente al resolver el sistema según los valores que tomen las matrices de coeficientes M y ampliada M*
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A1 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 M = A2 A A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 3
B1 B2 B3
C1 A1 C2 y M * A2 A C3 3
B1 B2 B3
C1 D1 C2 D2 C3 D3
Para explicar las situaciones que se van a dar a continuación vamos a hablar de un concepto de vector normal aun no explicado, pues aparece cuando hablamos de perpendicularidad y ello implica conocer el comportamiento de la operación denominada producto escalar en el espacio que veremos a continuación. Por tanto, las explicaciones que se derivan de los rangos a continuación no estarán dotadas de contenido pleno hasta que veamos este concepto. Tres secantes que se cortan en un punto
Rang(M) = 3 y rang(M*) = 3 Sistema COMPATIBLE DETERMINADO solución única Los tres planos distintos se cortan en un solo punto.
| POSICIONES RELATIVAS 23
+
Tres secantes que se cortan en una misma recta
Rang(M) = 2 y rang(M*) = 2 Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO Las soluciones son infinitas dependientes de un parรกmetro, es decir una recta. Rang(M*) = 2 indica dos planos distintos
Tres Coincidentes Los tres planos son el mismo
Dos coincidentes y uno paralelo a ellos
Rang(M) = 2 indica que hay solo dos planos con distinto vector normal Rang(M) = 1 y rang(M*) = 1: Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO Hay infinitas soluciones dependientes de dos parรกmetros, es decir un plano. Rang(M*) = 1 las tres ecuaciones son la misma Rang(M) = 1 y rang(M*) = 2: Sistema INCOMPATIBLE Rang(M*) = 2 indica que hay dos planos diferentes. Rang(M)=1 indica que los 3 planos tienen el mismo vector direccional, luego paralelos.
Tres paralelos
Rang(M) = 1 y rang(M*) = 3 Sistema INCOMPATIBLE
Ambos planos son el mismo.
Rang(M*) = 3 indica tres planos diferenetes Rang(M) = 1 los tres planos tienen el mismo vector normal, luego paralelos
| POSICIONES RELATIVAS 24
+
Dos coincidentes y el tercero secante No hay comunes.
Rang(M) = 2 y rang(M*) = 2 Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO
puntos Rang(M*) = 2 indica dos planos distintos Rang(M) = 2 indica que hay solo dos planos con distinto vector direccional
Dos paralelos y uno secante a ambos
Rang(M) = 2 y rang(M*) = 3 Sistema INCOMPATIBLE Rang(M*) = 3 indica tres planos distintos Rang(M) = 2 indica que hay solo dos planos con distinto vector normal por lo que dos son paralelos
Secantes dos a dos
Rang(M) = 2 y rang(M*) = 3 Sistema INCOMPATIBLE Rang(M*) = 3 indica tres planos distintos Rang(M) = 2 indica que uno de los tres planos tiene el vector direccional combinaci贸n de los otros dos.
Ver animaci贸n en http://evamate.blogspot.com/2009/02/videos-para-geometria-2-bach-ccnn.html http://www.youtube.com/watch?v=9F17hNa3hBE aprox 3:40 minutos en adelante
| POSICIONES RELATIVAS 25
+
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES (dot product or scalar product) Conceptos básicos Hasta ahora en V3 hemos definido dos operaciones, suma (la resta la consideramos la misma operación, pues es sumarle el opuesto) y multiplicación de un vector por un escalar. Ahora vamos a introducir una nueva operación
Definición: Producto escalar de dos vectores Definimos una nueva operación denominada producto escalar de dos vectores u y v y se escribe u · v , como el número real que resulta de multiplicar los módulos de u y v por el u ⋅ v ⋅ cos α si u y v son ≠ 0 coseno del ángulo que forman: u ⋅ v = , donde α es en ángulo 0 si u o v son = 0 que forman u y v ⋅ V 3 ×V 3 →ℝ En forma de aplicación se expresaría como u, v → u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto escalar de dos vectores u y v es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero
Este resultado se obtiene de forma projv u elemental dado que cos α = u , y sustituyendolo en la expresión del producto escalar se tiene proj u u ⋅ v = u ⋅ v ⋅cos α = u ⋅ v ⋅ v = v projv u u Ver este applet que nos da una idea más intuitiva del significado del producto escalar :http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/mike_shepperd/scalarproduct.html
| POSICIONES RELATIVAS 26
+
Espacio vectorial euclídeo Al par {V3 ,·} se le llama espacio vectorial euclídeo donde V3 es el espacio vectorial de los vectores libres y · es la operación producto escalar. En este espacio vamos a hablar de distancias, ángulos, posiciones relativas, paralelismo y perpendicularidad, áreas, volúmenes, etc.
Propiedades del producto escalar Propiedad 1. El producto escalar de un vector por si mismo es mayor o igual que cero
Demostración
( )
2 2 u ⋅ u = u ⋅ u cos u , u = u cos 0º = u ⋅1 ≥ 0 Propiedad 2
2 El producto escalar de un vector u y v por si mismo es el cuadro de su módulo: u ⋅ u = u Demostración
2 u ⋅ u = u u cos 0º = u u 1 = u Propiedad 3. El producto escalar es conmutativo u ⋅ v = v ⋅ u
Demostración
( )
( )
u ⋅ v = u ⋅ v cos u, v = v ⋅ u cos v, u = v ⋅ u Propiedad 4 El producto escalar es homogéneo λ u ⋅ v = λ u ⋅ v = u ⋅ λ v
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Demostración Si λ>0 λ u ⋅ v = λ u ⋅ v cos u , v = λ u ⋅ v cos u , v = λ u ⋅ v
( )
Si λ<0 λ u ⋅ v = λ u ⋅ v cos u , v = λ u ⋅ v cos λ u , v = λ u ⋅ v
( )
Propiedad 5 | POSICIONES RELATIVAS 27
+
El producto escalar es distributivo respecto a la suma u + v ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w
(
)
Demostración Veámosla con unos gráficos
Bases Normadas, ortogonales y ortonormales
Una base B = u1 , u2 , u3 de de V3 la llamaremos base normada si los vectores u1 , u2 , u3 son
{
}
unitarios
Una base B = u1 , u2 , u3 de de V3 la llamaremos base ortogonal si los vectores u1 , u2 , u3 son
{
}
ortogonales o perpendiculares. Una base B = u1 , u2 , u3 de de V3 la llamaremos base ortononal si los vectores u1 , u2 , u3 son
{
}
ortogonales y unitarios. La base canónica es una base ortonormal, pero cualquier giro simultáneo de estos tres vectores es otra base ortonormal.
Expresión del producto escalar en coordenadas Dados u ( u1 , u2 , u3 ) y v ( v1 , v2 , v3 ) en un sistema de referencia euclídeo, la expresión del producto escalar en función de sus coordenadas es u ⋅ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 Justificación Sea B = i, j , k la base canónica de V3, los vectores u ( u1 , u2 , u3 ) y v ( v1 , v2 , v3 ) se pueden expresar en función de ella como u = u1 i + u2 j + u3 k y v = v1i + v2 j + v3 k
{
}
Ahora tenemos en cuenta que los vectores i, j , k son ortonormales, es decir, de módulo 1 y
{
}
perpendiculares dos a dos, luego el producto escalar de dos de ellos distintos es 0 y si son coincidentes es 1. Aplicando esto y las propiedades del producto escalar se tiene que u ⋅ v = u1 i + u2 j + u3 k v1 i + v2 j + v3 k = ... ... = u1 i ⋅ v1 i + u1 i ⋅ v2 j + u1 i ⋅ v3 k + u2 j ⋅ v1 i + u2 j ⋅ v2 j + u2 j ⋅ v3 k + u3 k ⋅ v1 i + u3 k ⋅ v2 j + u3 k ⋅ v3 k = ... 2 2 2 ... = u1v1 i ⋅ i + 0 + 0 + 0 + u2 v2 j ⋅ j + 0 + 0 + 0 + u3v3 k ⋅ k = u1v1 i + u2 v2 j + u3v3 k = ...
(
)(
)
... = u1v1 ⋅1 + u2 v2 ⋅1 + u3v3 ⋅1 = u1v1 + u2 v2 + u3v3
Ahora bien, si estuviésemos en un espacio vectorial con una base B = u1 , u2 , u3 cualquiera,
{
}
el producto escalar también se podría expresar respecto a ella, pero no podríamos | POSICIONES RELATIVAS 28
+
simplificarlos vectores i, j , k tal y como lo hemos hecho aquí, por tanto, la expresión en
{
}
coordenadas del producto escalar de dos vectores ejercicio:
se complicaría y la dejamos como
Ejercicio Escribir la expresión en coordenadas del producto escalar de dos vectores u ( x, y, z ) y v ( x ', y ', z ' ) respecto a una base B = u1 , u2 , u3 :
{
• • •
}
normada ortogonal ortonormal
Solución u ⋅ v = xu1 + yu2 + zu3 x ' u1 + y ' u2 + z ' u3 = ... ... = xx '+ yy '+ zz '+ ( xy '+ yx ')(u1 ⋅ u2 ) + ( xz '+ zx ')(u1 ⋅ u3 ) + ( yz '+ zy ')(u2 ⋅ u3 ) 2 2 2 u ⋅ v = xu1 + yu2 + zu3 x ' u1 + y ' u2 + z ' u3 = xx ' u1 + yy ' u2 + zz ' u3 u ⋅ v = xu1 + yu2 + zu3 x ' u1 + y ' u2 + z ' u3 = xx '+ yy '+ zz '
(
)(
)
( (
)( )(
) )
| POSICIONES RELATIVAS 29
+
Aplicaciones del producto escalar Módulo de un vector
Cálculo del módulo de un vector u ( u1 , u2 , u3 ) = + u ⋅ u = u12 + u22 + u32 Ejemplo
Calcular el módulo del vector u ( −2, 4, 3 ) : u ( −2, 4,3) =
( −2 )
2
+ 42 + 32 = 29
Ángulo de dos vectores en el espacio u1v1 + u2 v2 + u3v3 u ⋅v Cálculo del ángulo de dos vectores cos u ⋅ v = = 2 u⋅v u1 + u22 + u32 v12 + v22 + v32
( )
Ejemplo Calcular el ángulo que forman los vectores u ( −2, 4, 3 ) y v ( 4, −2,1)
u ⋅v cos u ⋅ v = = u⋅v
( )
( − 2 ) 4 + 4 ( −2 ) + 3 ⋅ 1 2 2 ( −2 ) + 42 + 32 42 + ( −2 ) + 12
= ...
−13 −13 = = −0.5268 ⇔ 29 21 609 ... ⇔ α = cos −1 ( −0.5268 ) = 121.79º ... =
Perpendicularidad Si u y v son vectores no nulos, su producto escalar es cero si y solo si los vectores son perpendiculares u ⋅ v = 0 ⇔ u es perpendicular a v (que se escribe u ⊥ v ) Demostración | POSICIONES RELATIVAS 30
+
u ⋅ v = 0 ⇔ u ⋅ v cos α = 0 ⇔ ... Y como u y v son vectores no nulos entonces u ≠ 0 y v ≠ 0 por lo tanto
α = 90º ... ⇔ u ⋅ v cos α = 0 ⇔ cos α = 0 ⇔ α = 270º En ambos casos u ⊥ v son vectores perpendiculares
Ejercicio Dado un vector u ( u1 , u2 , u3 ) por ejemplo el u (3,1, −1) calcular otros dos vectores perpendiculares a él
Solución Cualquier otro vector v ( v1 , v2 , v3 ) ⊥ u verificará que u ⋅ v = 0 luego
( 3,1, −1)( v1, v2 , v3 ) = 3v1 + v2 − v3 = 0 Esta expresión es la de una ecuación de un plano que pasa por el origen O. Si queremos, podemos expresarla como ecuación vectorial del plano, buscándole dos vectores directores independientes contenidos en el plano. Para ello resolvemos esta ecuación parametrizando dos de las variables.
v1 = λ
v1 = λ 3v1 + v2 − v3 = 0 v2 = −3λ + µ ( v1 , v2 , v3 ) = ( 0, 0, 0 ) + λ (1, −3,0 ) + µ ( 0,1,1) v3 = µ v3 = µ Con lo que (1,-3,0) y (0,1,1) son dos vectores directores del plano y además perpendiculares a (3,1,-1)
Vector perpendicular a un plano Definición: vector normal a un plano Un vector n es normal ó perpendicular a un plano π y se escribe u ⊥ π cuando es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano π . Al vector n ( A, B, C ) se le llama vector normal del plano π : Ax + By + Cz + D = 0
| POSICIONES RELATIVAS 31
+
La palabra normal y perpendicular (así como ortogonal), en geometría, son sinónimas. Veamos ahora que efectivamente el vector n ( A, B, C ) es siempre perpendicular al plano π : Ax + By + Cz + D = 0 El plano π : Ax + By + Cz + D = 0 se puede escribir en ecuación vectorial parametrizando dos variables y resolviendo el sistema
−D B C − λ − µ Ax + By + Cz + D = 0 A A A −D −B −C y=λ , 0, 0 + λ ,1, 0 + µ , 0,1 y=λ ( x, y , z ) = A A A z = µ z=µ Por tanto los vectores u ( − B, A, 0 ) y v ( −C , 0, A ) son vectores directores del plano π . x=
Si multiplicamos escalarmente n ( A, B, C ) por los vectores u ( − B, A, 0 ) y v ( −C , 0, A ) vemos que: n ( A, B, C ) ⋅ u ( − B, A, 0 ) = − AB + AB= 0 n ( A, B, C ) ⋅ v ( −C , 0, A ) = − AC + AC= 0
Con lo que queda probado π : Ax + By + Cz + D = 0
que
n ( A, B, C ) es
un
vector
normal
al
plano
Recta proyección ortogonal de una recta sobre el plano Sean r una recta y π un plano en el espacio. Para obtener la recta s obtenida mediante la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π basta con proyectar ortogonalmente dos puntos de la recta sobre el plano π. Si r y π fuesen secantes, uno de los puntos podría ser justamente el punto de corte.
Ejemplo
x −1 z +1 =y= y 2 3 sea el plano π : 2 x + y + z − 1 = 0 . Para calcular el punto de corte resolvemos el sistema Sean la recta r :
| POSICIONES RELATIVAS 32
+
x −1 =y 2 x =1 x = 2 y +1 z +1 y= z = 3 y −1 z = −1 3 y=0 2 x + y + z − 1 = 0 2 ( 2 y + 1) + y + ( 3 y − 1) − 1 = 0 Lo que nos dice que la recta r y el plano π se cortan en el punto A(1,0,-1). Ahora, dado un punto cualquiera de la recta, por ejemplo el B(3,1,2), calculamos su proyección B’ de sobre el plano π, para ello consideramos la recta que pasa por B y es perpendicular al plano, por lo que tendrá como vector director el (2,1,1) que sabemos x − 2 y −1 z −1 = = que es normal al plano. Esta recta es t : y resolviendo el sistema 2 1 1 que forma con el plano π nos da la proyección buscada B’: x − 2 y −1 = x = 7 2 1 x = 2y − 4 y −1 z −1 7 = = − 2 = z y z 1 1 2 2 2 y − 4 + y + y − 2 − 1 = 0 ) ( ) 2 x + y + z − 1 = 0 ( 11 y= 2 Por último la recta s buscada, proyección de r sobre π, es la que que pasa por A(1,0,x −1 y z −1 = = 1) y B’(7, 11/2, 7/2) y resulta s : 11 7 7 2 2
| 33
+
PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO Una recta r y un plano π son ortogonales cuando el vector director de la recta es perpendicular al plano π. En la práctica, para saber si una recta r es perpendicular a un plano π obtendremos primero un vector director de la recta y lo compararemos con el vector normal del plano, si ambos llevan la misma dirección ( son proporcionales) entonces r ⊥ π
Ejemplo 1 Comprueba si la recta r :
π : 4x − 2 y + 6z −1 = 0
x −1 y + 2 z + 1 = = es perpendicular al plano 2 3 −1
Solución La recta r tiene como vector director al u ( 2, −1,3) y el plano tiene como vector normal el n ( 4, −2, 6 ) . Ambos son proporcionales luego la recta y el plano son perpendiculares.
Ejemplo 2 Dado el plano π : 4 x − 2 y + 6 z − 1 = 0 calcula una recta r perpendicular al mismo que pase por el punto P (1,1,1)
Solución El vector normal de π es el n ( 4, −2, 6 ) es un vector director de la recta r, como
además sabemos que pasa por P (1,1,1) escribimos su ecuación continua:
r:
x −1 y −1 z −1 = = 4 −2 6
| PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO 34
+
HACES DE PLANOS Haz de planos secantes a una recta Se define haz de planos que secantes a una recta r como el conjunto de todos los planos que contienen a r
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , cualquier plano A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 π : A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 que la contenga no debe variar el conjunto solución del sistema
Si la ecuación de r dada en forma cartesiana es r :
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ello implica que la ecuación del plano π : A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 debe ser combinación lineal de las ecuaciones de r : . Esto se puede A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 escribir como que
A3 x + B3 y + C3 z + D3 = λ ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + µ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) Pero en la práctica , para definir el haz de planos que contienen a una recta r basta con un solo λ mediante la ecuación ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) ; λ ∈ℝ
| HACES DE PLANOS 35
+
Haz de planos perpendiculares a una recta Se define haz de planos que secantes a una recta r como el conjunto de todos los planos que son perpendiculares a dicha recta Si r tiene por vector director u ( a, b, c ) la ecuación del haz de planos perpendiculares a r viene dado por ax + by + cz + D = 0; D ∈ ℝ
Ejemplo Calcula la ecuación del haz de planos perpendiculares a la recta r :
x −1 y −1 z −1 = = 2 −1 3
Solución Todos los planos del haz tendran por vector normal el vector director de la recta (2,1,3), por lo que la ecuación del haz es 2 x − y + 3 z + D = 0; D ∈ ℝ
| HACES DE PLANOS 36
+
APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A ( x1 , y1 , z1 ) y B ( x2 , y2 , z2 ) es igual al módulo del vector AB , es decir
d ( A, B ) = AB =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) 2
2
2
Demostración Esta conclusión se deduce directamente de la figura adjunta donde vemos que la distancia pedida d(A,B) es la hipotenusa del triángulo rectángulo en el espacio construido tal y como se describe
Punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A ( x1 , y1 , z1 ) y
B ( x2 , y2 , z2 ) vienen dadas por x +x y +y z +z M 1 2 , 1 2 , 1 2 2 2 2 Demostración En la figura adjunte se observa que si M(x,y,z) es el punto medio del segmento AB entonces se verifica que
x1 + x2 2 x1 − x = x − x2 x1 + x2 = 2 x y1 + y2 y1 − y = y − y2 y1 + y2 = 2 y y = 2 z1 − z = z − z2 z1 + z2 = 2 z z +z z= 1 2 2 x=
| APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 37
+
x +x y +y z +z De donde M 1 2 , 1 2 , 1 2 2 2 2
Razón r de un segmento Si generalizamos la expresión anterior, no a el punto medio, sino un punto P(x, y, z) que AP = r , obtendremos que las coordenadas de ese punto satisfaga la relación r, de modo que PB P son
x + r ⋅ x2 y1 + r ⋅ y2 z1 + r ⋅ z2 P 1 , , 1+ r 1+ r 1+ r Nota: Si r = 1 obtenemos el punto medio
Demostración En la figura adjunte se observa que si P(x,y,z) es un punto de forma que AP = r , entonces para los lados de los PB triángulos del gráfico se verifica también la proporción r, es decir
x1 − x x + r ⋅ x2 =r x= 1 x − x2 1+ r x1 − x = r ( x − x2 ) x(1 + r ) = x1 + r ⋅ x2 y1 − y y1 + r ⋅ y2 = r y1 − y = r ( y − y2 ) y (1 + r ) = y1 + r ⋅ y2 y = y − y2 1+ r z (1 + r ) = z + r ⋅ z 1 2 z + r ⋅ z2 z1 − z = r ( z − z2 ) z1 − z z= 1 =r 1 + r z − z2 De donde las coordenadas de P son
x + r ⋅ x2 y1 + r ⋅ y2 z1 + r ⋅ z2 P 1 , , 1+ r 1+ r 1+ r
Punto simétrico a un punto dado. Las coordenadas del punto simétrico del punto A ( x1 , y1 , z1 ) respecto al punto P ( x2 , y2 , z2 ) vienen dadas por
A ' ( 2x2 − x1 , 2 y2 − y1 , 2 z2 − z1 ) Demostración | APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 38
+
La demostración es similar a la del punto medio, pero ahora los puntos están colocados de forma distinta, ahora, dado el punto A ( x1 , y1 , z1 ) el punto simétrico
A ' ( x1 ', y1 ', z1 ')
que
buscamos
verifica que P ( x2 , y2 , z2 ) es el punto medio del segmento AA’. Por tanto ahora
x2 − x1 = x1 '− x2 x1 ' = 2 x2 − x1 y2 − y1 = y1 '− y2 y1 ' = 2 y2 − y1 de donde A ' ( 2x2 − x1 , 2 y2 − y1 , 2 z2 − z1 ) z2 − z1 = z1 '− z2 z1 ' = 2 z2 − z1
Puntos alineados ¿Cómo podríamos saber si tres puntos A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) , C ( x3 , y3 , z3 ) están alineados? Pues con vectores es una sencilla cuestión de responder, basta comprobar que las direcciones de los tres vectores AB ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) , AC ( x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 ) y BC ( x3 − x2 , y3 − y2 , z3 − z2 ) son la misma, por tanto el determinante formado por las coordenadas de estos tres vectores debe tener rango igual a uno.
x2 − x1 rang x3 − x1 x −x 3 2
y2 − y1 y3 − y1 y3 − y2
z2 − z1 z3 − z1 = 1 z3 − z2
3 Puntos coplanarios Veamos ahora como podríamos saber si tres puntos A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) , C ( x3 , y3 , z3 ) son coplanarios. El problema es similar al anterior, pero ahora dos vectores de los tres considerados AB ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) , AC ( x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 ) y BC ( x3 − x2 , y3 − y2 , z3 − z2 ) tienen que ser independientes para que exista el plano y por lo tanto el rango debe ser 2. No puede ser rango 3 porque si los tres vectores son independientes es que el tercero está fuera del plano. | APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 39
+
x2 − x1 rang x3 − x1 x −x 3 2
y2 − y1 y3 − y1 y3 − y2
z2 − z1 z3 − z1 = 2 z3 − z2
Distancia de un punto a una recta Definición Se define distancia de un punto P a una recta r a la distancia que hay desde P hasta la proyección ortogonal de P sobe la recta r.
Ejemplo
x − 2 y +1 z −1 = = 2 −1 3 La proyección de P sobre la recta r ya hemos estudiado el procedimiento de cálculo. Primero calculamos un plano normal a la recta r que pase por P. Como el vector director de la recta (2, -1, 3) es normal al plano buscado, se tiene que su ecuación es π:2x – y + 3z – 4 = 0 Ahora calculamos el punto de corte Q de este plano con la recta resolviendo el sistema: x = 10 7 x = −2 y x − 2 y + 1 z − 1 r: = = 10 −5 1 z = −3 y − 2 −1 2 3 z = 17 ⇒ Q , , 7 7 7 π : 2 x − y + 3z − 4 = 0 2(−2 y ) − y + 3(−3 y − 2) − 4 = 0 y =−5 7 Solo nos queda ahora calcular la distancia de los puntos P a Q: Calcular la distancia del punto P(1,1,1) a la recta r :
2
2
2
3 21 10 −5 1 d ( P, Q ) = − 1 + − 1 + − 1 = 7 7 7 7
Distancia de un punto a un plano Definición | APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 40
+
Se define distancia de un punto P(x0, y0, z0) a un plano π:Ax + By + Cz + D = 0 a la distancia que hay desde P hasta la proyección ortogonal de P sobe el plano π.
Teorema La distancia del punto P(x0, y0, z0) al plano π:Ax + By + Cz + D = 0 viene dada por la Ax0 + By0 + Cz0 + D fórmula d ( P, π ) = A2 + B 2 + C 2
Demostración
Sea Q la proyección ortogonal de P sobre el plano π y sea n = ( A, B, C ) el vector normal al plano π Sea M(x1, y1, z1) un punto del plano π. Se verifica que MP = MQ + QP y lo que queremos es calcular el módulo del vector QP que representa la distancia del punto P al plano π. Multiplicamos esta expresión escalarmente por n y teniendo en cuenta que n es perpendicular a MQ :
n ⋅ MP = n ⋅ MQ + QP = n ⋅ MQ + n ⋅ QP = 0 + n ⋅ QP = n ⋅ QP
(
)
n ⊥ MQ
Los vectores n y QP son paralelos luego n ⋅ QP = n ⋅ QP sin 0º = n ⋅ QP De esta expresión despejamos n ⋅ QP ( A, B, C ) ⋅ ( x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 ) A ( x0 − x1 ) + B ( y0 − y1 ) + C ( z0 − z1 ) QP = = = = ... ( A, B, C ) n A2 + B 2 + C 2
... =
Ax0 + By0 + Cz0 − ( Ax1 + By1 + Cz1 ) A2 + B 2 + C 2
=
M ( x1 , z1 , z1 )∈π ⇒ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0⇒ −( Ax1 + By1 + Cz1 ) =− D
Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2
= d ( P, π )
c.q.d. | APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 41
+
Ejemplo Calcular la distancia del punto P(1,1,1) al plano π : x + 2 y + z − 8 = 0
Solución
d ( P, π ) =
Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2
=
1⋅1 + 2 ⋅1 + 1⋅1 − 8 12 + 22 + 12
=
4 2 6 = 3 6
Distancia entre dos planos Dos planos π1 y π2 en el espacio vimos que tienen tres posiciones relativas • • •
Son secantes en una recta Son coincidentes Son paralelos
Si son secantes o coincidentes la distancia entre ellos es 0. Si son paralelos, bastará tomar un punto P de uno de ellos, del π1 por ejemplo, y calcular la distancia de P al plano π2.
Ejemplo Calcular la distancia del plano π1 : x + 2 y + z − 8 = 0 al plano π 2 : 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0
Solución
1 2 1 −8 Determinamos sus posiciones relativas y como dadas M M * = resulta 2 4 2 −3 que rang(M)=1 y rang(M*) = 2 se tiene que π1 y π2 son paralelos. Tomamos un punto P cualquiera de π1 haciendo por ejemplo x = 0 e y = 0, (puedes tomar los valores que desees) y calculamos z que resulta 8, por lo tanto el punto P(0,0,8)∊ π1. Ahora calculamos la distancia de (0,0,8) a π2. 2⋅0 + 4⋅0 + 8⋅ 2 − 3 13 13 13 6 = = = d ( P(0, 0,8), π 2 : 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 ) = 2 2 2 12 24 24 2 +4 +2 | APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 42
+
Distancia entre recta y plano Dados un plano π y una recta r las posiciones relativas entre ellos • • •
Son secantes r está contenida en π Son paralelos
Si son secantes o r está contenida en π, la distancia entre ellos es 0. Si son paralelos, bastará tomar un punto cualquiera P de la recta r y calcular la distancia de P al plano π, tal y como explicamos en 1.1.3.6.x
Ejemplo Calcular la distancia de la recta r :
π : 2x + 4 y + 2z − 3 = 0
x −1 y −1 z −1 = = al plano 1 −1 1
Solución Determinamos sus posiciones relativas. En lugar de rangos nos interesa solo saber su son o no paralelos luego tomamos el vector normal n ( 2, 4, 2) del plano π y el vector director de la recta r u (1, −1,1) . Si π y r son paralelos estos vectores n y u tienen que ser perpendiculares por lo que su producto escalar tiene que ser 0, y efectivamente se tiene que n ⋅ u = ( 2, 4, 2 ) ⋅ (1, −1,1) = 2 − 4 + 2 = 0 Tomamos un punto P cualquiera de la recta r, por ejemplo hacemos x = 0 y resultan: 0 − 1 y − 1 = 1 −1 1 = y − 1 y = 2 Por lo que el punto P tiene coordenadas (0,2,0). 0 − 1 z − 1 −1 = z − 1 z = 0 = 1 1 Ahora calculamos la distancia de P al plano π. | APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 43
+
d ( P(0, 2,0), π : 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 ) =
2⋅0 + 4⋅ 2 + 8⋅0 − 3 2
2
2 +4 +2
2
=
5 24
=
5 6 12
Distancia entre dos rectas Dados dos rectas r y s sus posiciones relativas son • • • •
Coincidentes Secantes Paralelas Se cruzan en el espacio
Si son paralelas, basta tomar un punto cualquiera de una de ellas y calcular su distancia a la otra como vimos en 1.1.3.6.5.x Si se cruzan en el espacio, consideramos el plano π que contiene a la recta s y es paralelo a r. Ahora calculamos la distancia de la recta r al plano π tal y como explicamos en 1.1.3.6.5.x
Ejemplo Calcular la distancia entre las rectas r :
x −1 y −1 z −1 x −2 y −3 z − 2 = = = = y s: 1 1 2 2 1 −1
Solución La recta r pasa por el punto P1(1,1,1) y tiene como vector director u (1, −1,1) La recta s pasa por el punto P2(2,3,2) y tiene como vector director v(2, 2,1)
Primero, determinamos sus posiciones relativas. Del estudio de rangos resulta:
| APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 44
+
x −1 y −1 = −1 1 1 1 0 −2 x − 1 z − 1 x + y = −2 = 1 0 −1 0 1 1 x−z =0 A A* = x − 2 y − 3 x − y = −1 1 −1 0 −1 = 2 2 x − 2 z = −2 1 0 −2 −2 x−2 z −2 = 2 1 Donde rang(M) = 3 y rang(M*) = 4 lo que indica que el sistema es incompatible y las rectas r y s se cruzan tan y como estudiamos en 1.1.3.6.x También, más intuitivo, podíamos haber estudiado el rango de la matriz formada por los vectores u (1, −1,1) , v(2, 2,1) y el vector P1 P2 (1, 2,1) que resulta
1 −1 1 1 −1 1 rang 2 2 1 = 3 pues 2 2 1 = 3 ≠ 0 1 2 1 1 2 1 Lo cual nos hace deducir que los tres vectores son independientes y las rectas necesariamente se cruzan. Hallamos la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r. Si contiene a s Ya sabemos un punto P2(2,3,2) y un vector director v(2, 2,1) y si es paralelo a r entonces otro vector director será el u (1, −1,1) , con lo cual la ecuación del plano π es
x−2
y −3 z −2
2 2 1 = 3( x − 2) − ( y − 3) + −4( z − 2) = 0 ⇔ π : 3x − y − 4 z + 5 = 0 1 −1 1 Solo nos queda ahora calcular la distancia de un punto cualquiera de r, por ejemplo el P1(1,1,1) al plano π. 3 ⋅1 − 1⋅1 − 4 ⋅1 + 5 3 3 26 d (r , s) = d ( P(1,1,1), π : 3x − y − 4 z + 5 = 0) = = = 2 2 26 26 32 + ( −1) + ( −4 )
| APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 45
+
Simetrias Puntos simétricos Un punto P puede ser simétrico a otro punto P’ respecto a un punto Q, una recta r o un plano π.
Simetría respecto a un punto Definición Un punto P es simétrico a otro punto P’ respecto de un punto Q si Q es el punto medio del segmento PP’.
Ejemplo Calcular el punto simétrico a P(1,1,1) respecto al punto Q(-1,2,2)
Solución Buscamos un punto P’(x’,y’,z’) de forma que Q(-1,2,2) sea el punto medio del segmento PP’, es decir : 1+ x ' = −1 ⇒ x ' = −3 2 1+ y ' = 2⇒ y'=3 2 1+ z ' = 2⇒ z'= 3 2 Por lo que el punto simétrico es P’(-3,3,3)
Simetría respecto a una recta Definición Un punto P es simétrico a otro punto P’ respecto de una recta r si el punto medio del segmento PP’ pasa por r y, además, el vector PP’ es perpendicular a r.
Ejemplo Calcular el punto simétrico a P(1,1,1) respecto a la recta r :
x +1 y − 2 z − 2 = = 2 1 −1
Solución
| APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 46
+
Calculamos la proyección ortogonal de P sobre la recta r, para lo cual calculamos un plano que pase por P y que sea perpendicular a r. Este plano tiene el vector director de la recta u (2,1, −1) como vector normal y como pasa por P(1,1,1) resulta ser π : 2 x + y − z − 2 = 0 Ahora calculamos el punto Q intersección del plano π y la recta r. x= 1 3 x +1 y − 2 z − 2 r: = = 2 1 −1 y = 8 3 π : 2 x + y − z − 2 = 0 z=4 3 Y, finalmente, calculamos el punto P’ simétrico de P respecto de Q: 1+ x ' 1 −1 = ⇒ x' = 2 3 3 1+ y ' 8 13 −1 13 5 = ⇒ y ' = ⇒ P ' , , 2 3 3 3 3 3 1+ z ' 4 5 = ⇒ z'= 2 3 3
Simetría respecto a un plano Definición Un punto P es simétrico a otro punto P’ respecto de un plano π si el punto medio del segmento PP’ pasa por π y, además, el vector PP’ es perpendicular a π.
Ejemplo Calcular el punto simétrico a P(1,1,1) respecto del plano π : x + 2 y + z − 8 = 0
Solución
| APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 47
+
Primero calculamos la proyección ortogonal del punto P sobre el plano π , para ello calculamos primeramente la recta que pasa por P y es perpendicular al plano π, es y −1 = z −1 decir r : x − 1 = 2 Ahora calculamos el punto Q intersección de esta recta r con el plano π. x=5 3 y −1 r : x −1 = = z − 1 2 y = 73 π : x + 2 y + z − 8 = 0 z=5 3 Y, finalmente, calculamos el punto P’ simétrico de P respecto de Q: 1+ x ' 5 7 = ⇒ x' = 2 3 3 1+ y ' 7 11 7 11 7 = ⇒ y ' = ⇒ P ' , , 2 3 3 3 3 3 1+ z ' 5 7 = ⇒ z'= 2 3 3
| APLICACIONES METRICAS DE LOS VECTORES 48
+
PRODUCTO VECTORIAL Vamos a definir una nueva operación entre vectores de la siguiente forma
Definición Dados dos vectores u y v en V3 definimos para ellos el producto vectorial u × v como un nuevo vector de V3 que tiene los siguientes elementos Módulo u × v = u ⋅ v ⋅ sin α ; donde α es en ángulo que forman u y v Dirección Perpendicular al plano generado por los vectores u y v Sentido El sentido que llevaría un sacacorchos que fuese de u hacia v ⋅ V 3 × V 3 →V 3 En lenguaje de aplicaciones conjuntistas se definiría como donde u × v tiene u , v →u×v el módulo, dirección y sentido definidos previamente.
Interpretación geométrica del producto vectorial La interpretación geométrica de u × v es el valor del área del paralelogramo definido por los vectores u y v pues u equivale a la longitud de la base del paralelogramo y v ⋅ sin α a la altura
Applet con cálculo del producto escalar y vectorial conjunto http://www.dean.usma.edu/math/people/Peterson/geogebra/2dvectors.html
Propiedades del producto vectorial u × u = u ⋅ u ⋅ sin 0º = 0 2. Anticonmutativa : u × v y v × u tienen igual módulo y dirección pero sentidos opuestos 3. Distributiva respecto a la suma: u × v + w = u × v + u × w 4. Asociatividad respecto al producto por escalares λ u × v = λ u × v = u × λ v
1.
(
)
( )
(
)
( )
| PRODUCTO VECTORIAL 49
+
5. No asociatividad: u × v × w ≠ u × v × w 6. u y v tiene producto vectorial nulo si y solo si u y v son paralelos, pues α = 0º u × v = 0 ⇔ u × v = u ⋅ v ⋅ sin α = 0 ⇔ sin α = 0 ⇔ ⇔u v α = 180º
(
) (
)
Definición mediante coordenadas Ahora que ya sabemos determinantes, el producto vectorial u × v de dos vectores u ( u1 , u2 , u3 ) y v ( v1 , v2 , v3 ) también se pude expresar de una tercera forma i j k u × v = u1 u2 u3 ; pero esta es una especie de regla nemotécnica, pues un determinante lo v1 v2 v3
hemos definido para números reales, no para vectores. Si como estudiante te acuerdas de esta expresión, te será fácil recordar que el producto vectorial lo puedes obtener desarrollando este determinante previo por la primera fila de la siguiente manera: i j k u u3 u1 u3 u1 u2 u2 u3 u3 u1 u1 u2 u × v = u1 u2 u3 = 2 i− j+ k= i+ j+ k v2 v3 v1 v3 v2 v3 v3 v1 v1 v2 v1 v2 v1 v2 v3 Vamos a probar que esto es cierto Consideremos, inicialmente, la base canónica de V3 formada por los vectores i (1, 0, 0 ) , j ( 0,1, 0 ) , k ( 0, 0,1) . Recordemos que estos tres vectores son ortonormales entre si,
{
}
es decir perpendiculares dos a dos y de módulo 1. Es fácil entender, por la propia definición de producto escalar, que se verifica: i×i = 0
i× j = k i×k = − j
j × i = −k j× j = 0 j×k = i
k ×i = j k × j = −i
k×k = 0
En base a esto tenemos que
| PRODUCTO VECTORIAL 50
+
u × v = u1 i + u2 j + u3 k × v1 i + v2 j + v3 k = ... ... = u1 i × v1 i + u1 i × v2 j + u1 i × v3 k + u2 j × v1 i + u2 j × v2 j + u2 j × v3 k + u3 k × v1 i + u3 k × v2 j + u3 k × v3 k = ... ... = u1v1 i × i + u1v2 i × j + u1v3 i × k + u2 v1 j × i + u2 v2 j × j + u2 v3 j × k + ... ... + u3v1 k × i + u3v2 k × j + u3v3 k × k = ... ... = u1v1 0 + u1v2 k − u1v3 j − u2 v1 k + u2 v2 0 + u2 v3 i + u3v1 j − u3v2 i + u3v3 0 = ... ... = u2 v3 i − u3v2 i + u3v1 j − u1v3 j + u1v2 k − u2 v1 k = ... ... = ( u2 v3 − u3v2 ) i + ( u3v1 − u1v3 ) j + ( u1v2 − u2 v1 ) k = ...
(
) (
(
) (
( ) ( )
... =
u2 v2
)
u3 u3 i+ v3 v3
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
) ( ) ( )
u1 u1 u2 j+ k v1 v1 v2
Aplicaciones del producto vectorial Vector perpendicular a dos vectores dados Tal y como acabamos de definir u × v es un vector perpendicular a dos cualesquiera vectores u y v en V3 , por tanto cada vez que necesitemos un vector perpendicular a dos dados, podemos calcular su producto vectorial
Ejemplo Calcular el vector perpendicular al plano que pasa por P1(1,0,0), P2(0,1,0) y P3(0,0,1)
Solución
| PRODUCTO VECTORIAL 51
)
+
Una manera sería calcular la ecuación general del plano π : Ax + By + Cz + D = 0 que contiene a P1, P2, P3 y entonces el vector normal n ( A, B, C ) sería un vector perpendicular a π. Otra posibilidad sería considrar los vectores P1 P2 ( −1,1, 0 ) y P1 P3 ( −1, 0,1) y hayar su producto vectorial, que sabemos que también es perpendicular al plano que forman: i j k 1 0 0 −1 −1 1 P1 P2 × PP i+ j+ k = i + j + k ; por lo que el vector 0= 1 3 = −1 1 0 1 1 −1 −1 0 −1 0 1 perpendicular al plano sería el (1,1,1)
Vector director de una recta en forma cartesiana A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 el vector director de la misma A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 se obtiene resolviendo este sistema de ecuaciones. Debes recordar que al tratarse de un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas el rang(A) = 2 < 3 => Sistema compatible de infinitas soluciones que son justamente la recta buscada. Este sistema se resuelve parametrizando una incógnita y aplicando la Regla de Cramer. La ecuación de la recta es obtenida en su forma paramétrica.
Dada una recta en forma cartesiana
Ejemplo
3x + 2 y + z − 1 = 0 2 x − y − 2 z + 3 = 0 1− λ 2 3 x + 2 y = 1 − λ x = −3 + 2λ −1 = −5 + 3 λ 3x + 2 y + z − 1 = 0 −7 7 7 2 x − y = −3 + 2λ 2 x − y − 2 z + 3 = 0 3 1− λ z=λ 2 −3 + 2λ 11 8 = − λ y= −7 7 7 La solución es, pues, la recta (x, y, z) = (-5/7, 11/7, 0) +λ (3/7, -8/7, 1) y el vector director es entonces el (3/7, -8/7, 1)
Calcular el vector director de la recta
Áreas de figuras planas en el espacio Ya hemos comentado en la interpretación geomátrica del producto vectorial de dos vectores u × v , que el módulo del mismo equivale al área del paralelogramo que forman los propios vectores. Esto hace que sea la herramienta idónea para calcular áreas de triángulos y paralelogramos en el espacio. | PRODUCTO VECTORIAL 52
+
Ejemplo Calcular el área del triángulo formado por los puntos P1(1,0,0), P2(0,1,0) y P3(0,0,1)
Solución El producto vectorial de los vectores que forman estos puntos PP 1 2 × PP 1 3 es el vector (1,1,1) ya está calculado en el ejemplo previo. Pues bien, el módulo de este vector es
P1P2 × P1P3 = 12 + 12 + 12 = 3 Que corresponde al área del paralelogramo que forman. Si dividimos por 2, tendremos 3 el área del triángulo formado por los tres puntos, es decir, el resultado es Area = 2
Distancia de un punto a una recta Aunque ya hemos estudiado en 1.1.3.6.x este caso, vamos a ver ahora como resulta más sencillo aplicando el producto vectorial.
Teorema
Dado un punto P y una recta r : x = a + λ u , con A un punto cualquiera de r, la distancia entre u × AP ambos viene dada por d ( P, r ) = u Demostración Sabemos que el módulo del producto vectorial u × AP es el área del paralelogramo que forman ambos vectores, pero esa área es también el producto de su base, que equivale a u , por su altura, que equivale justamente a la distancia d(P,r), luego u × AP Area = u × AP = base ⋅ altura = u ⋅ d ( P, r ) ⇔ d ( P, r ) = u
Ejemplo
x −1 y + 3 z − 2 = = 2 5 1 | PRODUCTO VECTORIAL 53
Calcular la distancia del punto P(1,2,3) a la recta
+
Solución x −1 y + 3 z − 2 = = pasa por A(1,-3,2) y tiene como vector director u (2, 5,1) 2 5 1 por lo que la distancia pedida viene dada por u × AP (2,5,1) × (0,5,1) (0, −2,10) 104 d ( P, r ) = = = = (2,5,1) 30 30 u
La recta
PRODUCTO MIXTO Definición Se define producto mixto de tres vectores u , v y w en V3 , y lo denotaremos por u, v, w al número real que se obtiene de la operación u ⋅ v × w donde · es el producto escalar.
(
)
Dicho en forma conjuntista, el producto misto es la aplicación [] →ℝ V 3 ×V 3 × V 3 u, v, w → u, v, w = u ⋅ v × w
(
)
Interpretación geométrica del producto mixto Si el producto vectorial de v y w es el área del paralelogramo que forman y ahora multiplicamos escalarmente por u que era multiplicar sobre la proyección del propio u sobre el vector v × w obtenemos la altura del paralelepípedo con lo que resulta que el producto mixto equivale al volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores u , v y w
Ejemplo
| PRODUCTO MIXTO 54
+
Calcular el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de la base canónica i (1, 0, 0 ) , j ( 0,1, 0 ) , k ( 0, 0,1)
{
}
Solución La respuesta a esta pregunta es el i i, j , k = i ⋅ j × k = (1, 0, 0 ) ⋅ 0 0
(
)
i, j , k que resulta: j k 1 0 0 0 0 1 1 0 = (1, 0, 0 ) ⋅ , , = (1, 0, 0 ) ⋅ (1, 0, 0 ) = 1 0 1 1 0 0 0 0 1
Propiedades del producto mixto 1. Si se permutan las colocaciones de los vectores, el producto mixto cambia el signo u , v, w = − u , w, v = − v, u , w = − w, v, u 2. En cambio si se permutan las colocaciones de forma cíclica, el producto mixto no varía u , v, w = w, u, v = v, w, u 3. Distributiva respecto de la suma en cualquiera de las componentes: u1 + u2 , v, w = u1 , v, w + u2 , v, w u , v1 + v2 , w = u, v1 , w + u , v1 , w u , v, w1 + w2 = u, v, w1 + u, v, w2 4. Asociativa respecto al producto por escalares λ u, v, w = λ u, v, w = u , λ v, w = u, v, λ w 5. El producto mixto es cero si y solo si los vectores son linealmente dependientes u , v, w = 0 ⇔ u ⋅ v × w = 0 ⇔ u ⊥ v × w ⇔ u es combinacion de v × w
(
)
(
)
(
)
| PRODUCTO MIXTO 55
+
Definición del producto mixto mediante coordenadas En un sistema de referencia canónico, el producto mixto viene dado por u1 u2 u3 u, v, w = v1 v2 v3 w1 w2 w3
Demostración Primero veamos cual es el producto mixto de vectores de la base canónica. Hay que tener en cuenta que si uno de ellos está repetido, entonces el producto mixto es 0 entonces se obtiene la siguiente matriz de resultados, que puedes comprobar uno a uno: ·
i
j
k
i ⋅i
i⋅k
0
i⋅ j 0
j⋅ j 0
j⋅k 1
k ⋅i
0
j ⋅i 0
0 0
k ⋅k
0
k⋅ j -1
0
-1
0
0
0
1
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
0
0
u, v, w = u ⋅ v × w = u1 i + u2 j + u3 k , v1 i + v2 j + v3 k , w1 i + w2 j + w3 k = ... ... = u1v2 w3 i, j , k + u1v3 w2 i, k , j + u2 v1w3 j, i, k + u2 v3 w1 j, k , i + u3v1w2 k , i, j + u3v2 w1 k , j, i = ... u1 u2 u3 ... = u1v2 w3 − u1v3 w2 − u2 v1w3 + u2 v3 w1 + u3v1w2 − u3v2 w1 = v1 v2 v3
(
) (
)(
)(
w1
)
w2
w3
Ejemplo Ddaos tres vectores cualesquiera u (1, 2, 3) , v (1,1,1) , w ( 3, 2,1) su producto mixto viene
1 2 3 dado por el determinante 1 1 1 que, en este caso, es igual a 0; luego además son 3 2 1 coplanarios. Volúmenes de cuerpos geométricos
Distancia entre dos rectas que se cruzan Aunque ya hemos estudiado en 1.1.3.6.x este caso, vamos a ver ahora como resulta más sencillo aplicando el producto mixto. | PRODUCTO MIXTO 56
+
Teorema
Dadas dos rectas r : x = a + λ u , con A un punto cualquiera de r, y s : x = b + λ v , con B un AB, u, v punto cualquiera de s, la distancia entre ellas viene dada por d (r , s ) = u×v Demostración Por un lado, sabemos que el volumen del paralelepípedo ABCD que forman los vectores AB, AC , AD viene dado por AB, AC , AD , entonces
AB, AC , AD = Volumen = AreaBase ⋅ altura = AB, AC , AD = u × v ⋅ h ⇒ h = u×v
AB, u, v u×v
| PRODUCTO MIXTO 57
+
GEOGE BR A 3 D em Go o gl e http://geogebra.es/cvg/12/index.html http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=13&t=6471&p=27835&hilit=relative+positions&sid=5f30cb8 56bc0b3e347fc8710405d4339#p27835 http://www.iespravia.com/rafa/rafa_poliedros.htm" http://jpiton.blogspot.com/2007/11/geogebra-3d.html http://elblogdeinma.wordpress.com/2009/06/ ejemplo iMPORTANTE http://www.youtube.com/watch?v=w12HXjaLtCM No dejes mirar este blog y los vídeos que incorpora http://ccbb-mat.blogspot.com/2008/05/competencia-matemtica-en-el-aula.html Videos YouTube http://www.youtube.com/watch?v=vfFuEx9_HIE http://www.youtube.com/watch?v=KYxsiW9n5Mk&feature=related En inglés http://www.youtube.com/watch?v=-DO9jX6nmSQ Poliedros http://www.youtube.com/watch?v=dz91XQuMYYE&feature=related Baricentro con Geogebra http://www.youtube.com/watch?v=cp7ASke_VRY&feature=related http://www.video-shqip.net/GeoGebra-Puntos-y-Poligonos__RPmdFsTdw_k.html Muy bien con animaciones http://www.mathopenref.com/tocs/coordpointstoc.html http://www.mygeometryteacher.com/ Con applets con coordenadas espaciales http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie.html http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/geom1/geom1.html http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/geom2/geom2.html Pdfs ***** http://www.pdf-search-engine.com/analytic-geometry-pdf.html http://www.pdf-search-engine.com/m%C3%89tricos-pdf.html Curiosa presentación 3D http://images.google.es/imgres?imgurl=http://www.flohmueller.de/pov_tut/a_geo/a_geo_01.jpg&imgrefurl=http://www.flohmueller.de/pov_tut/a_geo/a_geo10e.htm&usg=__wejU36Ghpyo-2CBvLkRreNkyH8=&h=360&w=480&sz=29&hl=es&start=21&um=1&tbnid=bvCQ_2tRrH84IM:&tbnh=97&tbnw=129&prev =/images%3Fq%3Danalytical%2Bgeometry%2Bspace%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Des%26sa%3D N%26start%3D18%26um%3D1
| PRODUCTO MIXTO 58
+
U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλµξσφφδπεε
·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘6⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×
ℕ
| PRODUCTO MIXTO 59