Progresiones aritmeticas y geometricas by Miguel Perez

Analysis Progresiones

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NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.1.2 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.1

SUCESIONES

1.1.4.1.2

PROGRESIONES

COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION ................................................................................................................ 3 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 4 Historia.............................................................................................................................. 4 Aplicaciones ...................................................................................................................... 4 Objetivos ........................................................................................................................... 4 PROGRESIONES ................................................................................................................. 6 PROGRESIONES ARITMÉTICAS .................................................................................. 6 Definición: Progresión Aritmética .................................................................................. 6 Termino General ............................................................................................................ 6 Suma de términos equidistantes...................................................................................... 7 Suma de los n primeros términos.................................................................................... 7 Interpolación aritmética.................................................................................................. 8 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS ................................................................................. 9 Definición: Progresión Geométrica ................................................................................ 9 Termino General ............................................................................................................ 9 Producto de términos equidistantes ................................................................................ 9 Suma de los n primeros términos.................................................................................. 10 Producto de los n primeros términos............................................................................. 10 Interpolación geométrica .............................................................................................. 11 PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR......................................... 12 Algoritmo de sumas sucesivas ...................................................................................... 12 Algoritmo de diferencias sucesivas .............................................................................. 13 Progresiones aritméticas de orden superior ................................................................... 15 SUCESIONES DE POTENCIAS DE n ........................................................................... 19 PROGRESIONES ARMONICAS .................................................................................. 20 Divergencia de la serie armónica .................................................................................. 20 Convergencia de la serie armónica alternada ................................................................ 21 MEDIA ARMÓNICA .................................................................................................. 21 PROGRESIONES ARITMETICO-GEOMÉTRICAS ..................................................... 22 PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS .................................................................... 23 SERIES TELESCOPICAS .............................................................................................. 24 SUMATORIOS DE SUMATORIOS ............................................................................... 25 APLICACIONES A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS ......................................... 28 Interés compuesto ........................................................................................................ 28 | INTRODUCCION 1

Anualidades de capitalizaci贸n ...................................................................................... 30 Anualidades de amortizaci贸n........................................................................................ 30 Amortizaci贸n inversa ................................................................................................... 31 Periodos distintos al anual ............................................................................................ 32 INTERES CONTINUO....................................................................................................... 33

| INTRODUCCION 2

INTRODUCCION

| INTRODUCCION 3

INTRODUCCIÓN Historia

Aplicaciones

Objetivos

| INTRODUCCIÓN 4

| 5

PROGRESIONES Introducción Hay unos modelos de sucesiones muy comunes que son las llamadas progresiones. A nivel de enseñanza secundaria solo se estudian las progresiones aritméticas y las geométricas, pero aqui estudiaremos alguna más, en resumen éstas:      

Aritméticas Geométricas Aritméticas orden superior Armónicas Hipergeométricas Aritmético-geométricas

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Definición: Progresión Aritmética Una progresión aritmética (en lo sucesivo PA) es una sucesión an  en la que cada término an se obtiene sumándole al término anterior an-1 la misma cantidad r llamada razón. Es decir, an  sigue la ley recursiva an  an1  r Ejemplos Son PA las sucesiones 1, 3, 5, 7, 9,...... pares de razón 2; 2, 4, 6,8,10,...... impares de razón 2 y 5, 0, 5, 10, 15,...... de razón -5. Y no lo son 1, 1,1, 1,1,...... ; 1, 2, 4,8,16,...... El Real diccionario de la RAE dice Progresión. Mat. Sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante, bien porque mantienen su diferencia en lo que consiste la progresión aritmética bien porque mantienen su razón o cociente que es la progresión geométrica.|| Ascendente. Mat. aquella en que cada término tiene mayor valor que el antecedente.|| Descendente. Mat. aquella en que cada término tiene menor valor que el antecedente

Termino General Dada una PA a1 , a2 , a3 ,..., an ,..... el término general viene dado por an  a1   n  1 r

Demostración | PROGRESIONES 6

Basta con seguir el siguiente desarrollo por inducción basado en la propia ley de formación de las PA

a1  a1 a2  a1  r a3  a2  r   a1  r   r  a1  2r a4  a3  r   a1  2r   r  a1  3r ................ an  an1  r   a1   n  2  r   r  a1   n  1 r En este último renglón se obtiene la buscada expresión del término general an  a1   n  1 r Suma de términos equidistantes En una PA la suma de los términos equidistantes es constante, es decir

a1  an  a2  an1  a3  an 2  a4  an 3  ... Demostración Este resultado se obtiene también de la propia ley de formación pues

a1  an  a1   an 1  r    a1  r   an1  a2  an1 a2  an 1  a2   an 2  r    a2  r   an 2  a3  an 2 a3  an 2  a3   an3  r    a3  r   an 3  a3  an3 ................ Y así sucesivamente Suma de los n primeros términos En una PA

Sn 

a1 , a2 , a3 ,..., an ,..... la

suma de los n primeros términos viene dado por

 a1  an  n 2

Demostración Consideramos la suma de los n primeros términos

Sn  a1  a2  a3  ...  an 1  an (1) y escribimos al revés estos sumandos Sn  an  an 1  an 2  ...  a2  a1 (2) y ahora sumamos las expresiones (1) y (2) colocando ordenadamente cada sumando con su correspondiente de debajo:

| PROGRESIONES 7

2S n   a1  an    a2  an 1   ..( n..   an 1  a2    an  a1 

y como

todos

los sumandos

agrupados entre paréntesis suman lo mismo  a1  an  por ser equidistantes de los extremos, se tiene 2S n   a1  an    a1  an   ..( n..   a1  an    an  a1   n  a1  an  de donde S n 

 a1  an  n 2

Ejemplo Existe una anécdota muy conocida sobre Carl Fiedrich Gauss que siendo un niño de 10 años, su profesor de matemáticas pidió a la clase que calculasen la suma de los 100 primeros números (1 + 2 + 3 + ....+ 99 + 100), a lo que Gauss inmediatamente contestó 5050. Gaus utilizó la demostración anterior de forma mental, había observado que los términos equidistantes sumaban lo mismo 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... luego solo tuvo que hacer 101 * 50 = 5050. Nosotros ahora podemos utilizar la fórmula que acabamos de aprender

Sn 

 a1  an  n  1  100 100  101 50  5050 2

Interpolación aritmética El RDAE define la palabra interpolar como Interpolar: (del lat. interpolare, alterar, mezclar,cambiar) tr. Poner una cosa entre otras. En el estudio de las progresiones el problema de la interpolación aritmética consiste en conocidos dos términos de un PA escribir los términos intermedios. Se utilizan siempre la formula del término general para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del que con facilidad deducimos r. Como no soy amigo de hacer memorizar fórmulas, salvo las imprescindibles, diré que si nos dan ai y aj términos de una PA, para calcular r resolveremos el sistema ai  a1  (i  1) r  a j  ai    de donde r  a j  a1  ( j  1) r  a j  ai  ( j  i ) r  j i

Ejemplo Supongamos que en una PA conocemos a3  11 y a7  27 y queremos interpolar los 3 términos que hay entre ellos. El problema se resuelve calculando la razón  a3  a1  2r 11  a1  2r        por lo que la progresión es 11, 15, 19, 16 a7  a1  6r  27  a1  6r 16  4r  r   4 4  23, 27

| PROGRESIONES 8

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Definición: Progresión Geométrica Una progresión geométrica (en lo sucesivo PG) es una sucesión an  en la que cada término an se obtiene multiplicándole al término anterior an-1 la misma cantidad r llamada razón. Es decir, an  sigue la ley recursiva an  an1  r

Ejemplos Son PG las sucesiones 1, 1,1, 1,1,...... de razón -1 ; 1, 2, 4,8,16,...... de razón 2 y

1 1   81, 27,9,3,1, ,...... de razón 3 3   Y no lo son 1, 0,1, 0,1,...... ; 1, 2,3,5, 7,...... 1,1, 2,3,5,8,...... Termino General n1 Dada una PG a1 , a2 , a3 ,..., an ,..... el término general viene dado por an  a1  r

Demostración Basta con seguir el siguiente desarrollo por inducción basado en la propia ley de formación de las PA

a1  a1 a2  a1  r a3  a2  r   a1  r   r  a1  r 2 a4  a3  r   a1  2r   r  a1  r 3 ................ an  an 1  r   a1  r n 2   r  a1  r n 1 En este último renglón se obtiene la buscada expresión del término general an  a1  r n1 Producto de términos equidistantes En una PG el producto de los términos equidistantes es constante, es decir

a1  an  a2  an1  a3  an3  ... Demostración Este resultado se obtiene también de la propia ley de formación pues

| PROGRESIONES 9

a1  an  a1   an1  r    a1  r   an1  a2  an1 a2  an1  a2   an 2  r    a2  r   an2  a3  an 2 a3  an 2  a3   an3  r    a3  r   an3  a3  an3 ................ Y así sucesivamente Suma de los n primeros términos

a1 , a2 , a3 ,..., an ,..... la

En una PG Sn 

suma de los n primeros términos viene dado por

an r  a1 r 1

Demostración Consideramos la suma de los n primeros términos

Sn  a1  a2  a3  ...  an 1  an (1) y multiplicamos ambos miembros de esta expresión por la razón r r  Sn  r  a1  r  a2  r  a3  ...  r  an1  r  an donde, por la propia ley de formación de las PG cada término multiplicado por la razón r es igual al siguiente, por tanto r  Sn  a2  a3  ...  an1  an  r  an (2) Restamos ahora las expresiones (2) – (1): r  S n  S n   r  1 S n  a2  a3  ...  an 1  an  r  an   a1  a2  a3  ...  an 1  an   r  an  a1

De donde despejando nos queda la fórmula buscada S n 

an r  a1 r 1

Producto de los n primeros términos En una PG Pn 

a1 , a2 , a3 ,..., an ,..... el

 a1  an 

producto de los n primeros términos viene dado por

Demostración Consideramos el producto de los n primeros términos

Pn  a1  a2  a3  ...  an1  an (1) y escribimos al revés estos productos Pn  an  an 1  an 2  ...  a2  a1 (2) y ahora multiplicamos las expresiones (1) y (2) colocando ordenadamente cada producto con su correspondiente de debajo:

| PROGRESIONES 10

2 Pn   a1  an    a2  an 1   ..( n..   an 1  a2    an  a1  y como todos los sumandos agrupados entre

paréntesis suman lo mismo  a1  an  por ser equidistantes de los extremos, se tiene n

Pn   a1  an  a1  an  ..( n..  a1  an  a1  an    a1  an  de donde Pn 

 a1  an 

Interpolación geométrica El problema de la interpolación geométrica consiste en conocidos dos términos de un PG escribir los términos intermedios Se utilizan siempre la formula del término general para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del que con cierta facilidad deducimos r. Como no soy amigo de hacer memorizar fórmulas, salvo las imprescindibles, diré que si nos dan ai y aj términos de una PG, para calcular r resolveremos el sistema  ai  a1  r i 1  ai  i 1 i j a r i  j  de donde r  j 1  i aj a j  a1  r   j 1  r  aj r 

Ejemplo Supongamos que en una PG conocemos a3  9 y a7  729 y queremos interpolar los 3 términos que hay entre ellos. El problema se resuelve calculando la razón a3  a1  r 2  9  a1  r 2        por lo que la progresión es 9,27, 81, 4 a7  a1  r 6  729  a1  r 6  81  r  r  4 81  3 243, 729

| PROGRESIONES 11

PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR La progresiones aritméticas de orden superior son series divergentes ya que son monotonas y no acotadas. Nuestro objetivo es enunciar una fórmula para el término general y otra para la suma d elos n primeros términos Algoritmo de sumas sucesivas

an 

Sea la sucesión

Sumando cada término al siguiente obtendremos una segunda serie llamada sucesión de sumas de primer orden a1 + a2, a2 + a3, a3 + a4, .... , an + an-1, … A partir de ella, repitiendo el proceso, podríamos obtener otra sucesión de diferencias de segundo orden:

a3  2a2  a1 a4  2a3  a2

a5  2a4  a3 .... an  2an1  an2 ...

Repitiendo el proceso indefinidamente tendríamos las sucesiones de sumas de orden n que quedan sintetizadas en la tabla siguiente:

 

a1 a1

 

...



a2 a2

 

... a1



...

a3 ... a3 ...

...



 

...

a3 ...

...

an ...

...



...

an ...

Cuya ley de formación es:



n 1

an   an   an1

Se tiene que



a1  a1  a2 ,



a1  a1  2a2  a3 ,



a1  a1  3a2  3a3  a4

Y asi sucesivamente en la primera columna



a2  a2  a3 ,



a2  a2  2a3  a4 ,



a2  a2  3a3  3a4  a5

Y asi sucesivamente en la 2ª columna Por inducción resulta que



n n  n n a1    a1    a2    a3  ...    an 1 (1) 0 1  2 n | PROGRESIONES 12

Algoritmo de diferencias sucesivas Partimos de la sucesión un   u1 , u2 , u3 ,....un .... Y creamos otra nueva sucesión, denominada de diferencias de primer orden, obtenida mediante restar a cada término el anterior un  un 1  u2  u1 , u3  u2 , u4  u3 ,....un  un 1 .... A partir de ella, repitiondo el proceso, podríamos obtener otra sucesión de diferencias de segundo orden:

u3  2u2  u1 u4  2u3  u2 u5  2u4  u3 .... un  2un1  un2 ... Llamando Δn+1ui = Δnui – Δn ui-1 el proceso se puede generalizar expresándolo mediante una matriz así:  u1   u1   2u1   ...  mu  1

....

u 2

 u3

...

 un

 2 u2

 2 u3

...

 2 un

...

 mu2

 m u3

...

 mun

...   ...  ...   ...  ... 

(2)

Que, si lo expresamos a partir de la primera fila, iríamos obteniendo:

u1 u2 u3 .... un u2  u1 u3  u 2 u 4  u3 ... un 1  un u3  2u2  u1 u4  2u3  u2 u5  2u3  u2 ... un  2  2un 1  un u4  3u3  3u2  u1 u5  3u4  3u3  u2 u6  3u5  3u4  u3 ... un 3  3un  2  3un 1  un ... ... ... ... ... por inducción se tiene que el término general sería

... ... ... y ... ...

n n n  n nu1    un1    un    un1  ...    u1 (3) 0 1 2  n Si trasponemos la matriz de diferencias, obtenemos otra  u1   u2  u3   ... u  n

u1  u2 u3 ... un

 2u1 ....  mu1 ...    2u2 ...  mu2 ...   2u3 ...  mu3 ...   ... ... ... ...   2un ...  mun ... 

En la cual, si a la primera fila le aplicamos la fórmula (1) dada en el algoritmo de sumas sucesivas, se tiene:

| PROGRESIONES 13

u

n n n  n  un1    u1    1u1    2u1  ...     nu1 (4) 0 1  2  n

| PROGRESIONES 14

Progresiones aritméticas de orden superior Denominaremos a una sucesión un   u1 , u2 , u3 ,....un .... como una progresión aritmética superior de orden k si las diferencias de orden k son iguales y las de orden k+1 son nulas. En base a esta definición, las progresiones aritméticas ordinarias estudiadas hasta el momento son progresiones aritméticas de orden 1, por ejemplo: 3 7 11 15 19 ... 4 4

...

0 0

...

Una progresión constante, según esta definición, podría denominarse progresión aritmética de orden cero. Con la expresión (4) obtenida en el apartado anterior obtendríamos el término general de una prograsión aritmética superior de orden k como

n n n  n un1    u1    1u1     2u1  ...     k u1 con Δmu1 = 0 para m > k 0 1 2 k  O mejor, en función de n

 n  1  n  1 1  n  1 2  n  1 k un    u1     u1     u1  ...     u1 (5)  0   1   2   k  Suma de los m primeros términos Denotémosla Sm, sería m m  i 1    i  1 1  i  1 2  i  1 k  Sm   ui    u1    u1    u1  ...        u1  i 1 i 1   0   1   2   k  

Basándonos en la propiedad de los números combinatorios, observable con facilidad en el triángulo de Tartaglia, que

 m   m  1   m  1  m  1  m  2   m  2   m  1  m  2   m  3   1          ...       ...     n   n 1   n   n 1   n 1   n  2   n 1   n 1   n 1   n  1  7   6  6  6 5  5  6   5   4   3   2   1 por ejemplo                   ...                    2  1  2 1  1  2  1   1   1   1   1   1

| PROGRESIONES 15

Se tiene que

 m  m  m  m  k sm    u1    1u1    2u1  ...     u1 (6) 1 2 3 k  1         Propiedades 1. Las diferencias primeras de una progresión aritmética de orden k son progresiones aritméticas de orden k-1 2. Una sucesión es progresión aritmética de orden k si y solo si su término general es un polinomio de grado k 3. Una sucesión es progresión aritmética de orden k si y solo si la suma de m términos es polinomio de grado k+1 4. Toda progresión aritmética de orden k es a su vez una progresión recurrente de orden (k+1) Ejemplo 1 Calcula el término general de la sucesión 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, …. Escribimos la matriz de diferencias  0 1 3 6 10 15 28...  sucesion Orden 2    1 2 3 4 5 6 7 ...  Dif .1 Orden 1  1 1 1 1 1 1 1 ...  Dif .2 Orden 0   Con la que podemos construir la siguiente tabla: Sucesión Diferencia Dif2 0 Dif1 6

Término general 1 n

Suma n terminos n

Sn  Original

n  n n n  n2 an 1    0    1    1  2 0 1  2

(1  n)n n  n 2  2 2

n n n n3  n S n    0   1   1  6 1 2 3

Ejemplo 2 Calcula el término general de la sucesión | PROGRESIONES 16

-4, -2, 12, 44, 100, 186, …. Escribimos la matriz de diferencias Sucesion 4 2 12 44 100 186 Dif .1 2 14 32 56 86 Dif .2 12 18 24 30 Dif .3 6 6 6 0 0 Con la que podemos construir la siguiente tabla: Sucesió n Dif.3 Dif.2

Diferenci a 0 6

Dif.1

Orden 3 Orden 2 Orden 1 Orden 0

Término general

Suma n terminos

an  12  (n  1)6  6n  6

Sn 

an  2  3n 2  9 n  (6 n  6)  ..

Original

..  3n 2  3n  4 an  4  ( n 3  3n 2  2n )  (3n 2  3n  4) ..  n 3  5n

(12  6n  6)n  3n 2  9n 2

(1  n)n n  n 2  2 2 4 2 n n 9n 2 5n S n3  5Sn1     4 2 4 2 Sn 

Ejemplo 3 Parto de una sucesión obtenida mediante un polinomio de grado 3 que me invento yo n3  2n 2  4n Por lo que obtendríamos la sucesión -5, -4, 5, 28, 71, 140, …. Escribimos la matriz de diferencias Sucesion 5 4 5 28 71 140 Dif .1 1 9 23 43 69 Dif .2 8 14 20 26 Dif .3 6 6 6 0 0 Con la que podemos construir la siguiente tabla: Sucesión Diferencia Dif.3 0 Dif.2 6

Orden 3 Orden 2 Orden 1 Orden 0

Término general 6

an  8  (n  1)6  6n  2

Suma n terminos 6n

Sn 

(8  6n  2)n  3n 2  5n 2

Dif.1 Original

| PROGRESIONES 17

RESUMEN DE FORMULAS

Fórmula

Progr. Aritmética

Progr. Geométrica

Definición

an  an1  r

an  an1  r

Término general

an  a1   n  1 r

an  a1  r n1

Suma –producto

Sn 

 a1  an  n 2

Sn 

an r  a1 r 1

Terminos equidistantes a1  an  a2  an1  ... a1  an  a2  an1  ... Producto

Interpolación

r

a j  ai j i

Pn 

 a1  an 

r  i j

ai aj

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SUCESIONES DE POTENCIAS DE n Son las más básicas sucesiones aritméticas de orden k k

Término general

Sucesión

S n( k )

an   nn

1, 2, 3, 4, 5, ....

an   n 2 n

1, 4, 9, 16, 25, ...

an   n3 n

1, 8, 27, 64, 125,...

an   n 4 n

1, 16, 81, 256, 625, ....

n2 n  2 2 n3 n 2 2n   3 2 12 n 4 n3 3n2   4 2 12 n5 n4 4n3 n 2    5 2 12 30

Estas sumas se pueden obtener lo las fórmulas explicadas para las progresiones de orden k, o bien aplicando el binomio de newton http://books.google.es/books?id=GtkRT0OYitcC&pg=PA108&lpg=PA108&dq=progresione s+de+orden+superior&source=bl&ots=uDo65rUxuy&sig=SISQVk12KxrwqodqndTvvrE8K Ok&hl=es&ei=mqXgSqyAEsfMjAeWneykBg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1 &ved=0CAgQ6AEwAA#v=onepage&q=progresiones%20de%20orden%20superior&f=false

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PROGRESIONES ARMONICAS Definición 1 Una progresión an  se llama armónica si la sucesión   es una progresión aritmética (PA)  an 

Su nombre deriva de que la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su logitud de acuerdo a la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... Ejemplos

 1 1 1 1 1   1 1 1 1  Son Progresiones armónicas las sucesiones 1, , , , , ,...... ; 1, , , , ,......  2 3 4 5 6   3 5 7 9  Teorema Tres números a1 , a2 , a3  están en progresión armónica si

a1  a2 a1  a2  a3 a3

Demostracion 1 1 1  Si a1 , a2 , a3  es tán en progrsión armónica entonces  , ,  están en PA, luego se  a1 a2 a3  verifica que

1 1 1 1 a a a a a a aa a     1 2 2 3 1 2  1 2  1 a2 a1 a3 a2 a1a2 a2 a3 a2  a3 a2 a3 a3 SERIE ARMÓNICA http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_arm%C3%B3nica_(matem%C3%A1tica) En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

Divergencia de la serie armónica La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

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que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales. De hecho, es la prueba que se suele enseñar a los estudiantes, ya que es bastante elemental. Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí). Convergencia de la serie armónica alternada La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural. MEDIA ARMÓNICA http://es.wikipedia.org/wiki/Media_arm%C3%B3nica La media armónica , denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos números Así, dados los números a1,a2, ... , an, la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto. La media armónica no está definida en el caso de la existencia en el conjunto de valores nulos. Propiedades La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.

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PROGRESIONES ARITMETICO-GEOMÉTRICAS Definición Una progresión an  bn  se llama aritmético-geométrica si an  es una PA y bn  es una PG Otra Definición Una progresión wn  se llama aritmético-geométrica si se construye a partir de la siguiente fórmula c  w0    q  wn 1  r

c q, r  

El hecho de que simultáneamente sumemos r (PA) y multipliquemos por q (PG) hace que derive el nombre aritmético-geométrica. http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Descartemos los casos q = 1 (sucesión aritmética) y r = 0 (sucesión geométrica). Entonces se puede afirmar que el comportamiento de la sucesión es de tipo geométrico, y determinado por q, y que su carácter aritmético solo aparece como una translación. Más precisamente, sea l el único número que verifica l = ql + r. Si w0 = l (lo que equivale a w1 = w0 ) entonces w será una sucesión constante. Si no es fácil ver que v1 = wn - l es una sucesión geométrica (no nula) de razón q, y que por lo tanto: si |q| > 1, w no converge (porque no lo hace v) si |q| < 1, w converge hacia l (porque v tiende hacia 0). Lógicamente, la clasificación del párrafo anterior según los valores de q sigue siendo válida si trasladamos las curvas verticalmente de l unidades. 1 Armónica si la sucesión   es una progresión aritmética (PA)  an 

Su nombre deriva de que la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su logitud de acuerdo a la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... Ejemplos

 1 1 1 1 1   1 1 1 1  Son Progresiones armónicas las sucesiones 1, , , , , ,...... ; 1, , , , ,......  2 3 4 5 6   3 5 7 9 

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PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS Una progresión hipergeométrica an  es una progresión en la que el término general es

k1  n  k2 ; donde k1, k2 y k3 son valores cualesquiera tales que k1 y k2 ó k1 y k3 son no k1  n  k3 nulos simultáneamente an  an1 

Si k1 = 0 y k3 = 1 es una PG de razón r = k2 Propiedades 



Ver http://books.google.es/books?id=U7PzeCH13_UC&pg=PA103&lpg=PA103&dq=pro gresiones+hipergeom%C3%A9tricas&source=bl&ots=8jMcwgKPYz&sig=xfl6Y18X kznXhT3Bh6Z9vA9RzI&hl=es&ei=n6oDS8n9DqS7jAesz8mvAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result &resnum=6&ved=0CBcQ6AEwBQ#v=onepage&q=progresiones%20hipergeom%C3 %A9tricas&f=false http://www.monografias.com/trabajos63/sucesion-hipergeométrica/sucesionhipergeométrica2.shtml

Series Calculo de fracciones generatrices Fracciones continuas Termino egneral Suma n primeros terminos Producto n primeros terminos

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SERIES TELESCOPICAS

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Temas especiales Prof. M.Díaz-Pinés MATHpines UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID

SUMATORIOS DE SUMATORIOS

Recientemente fue planteado en el seno de Mensa un problema relacionado con sumatorios de números. Como es bien sabido, la fórmula que da la suma de los primeros n números enteros es:

Estas sumas son conocidas con el nombre de “números triangulares”, pues se corresponden con el número de puntos de una malla triangular de lado n. La pregunta inmediata es: ¿cuál será la suma de los primeros n números triangulares? La aparición de los números combinatorios en las sumas no es fortuita, pues el cálculo lleva pronto a: La suma de los primeros números triangulares serán los números tetraédricos, y así sucesivamente. ¿Existirá alguna fórmula que dé directamente la suma de los primeros números n-dimensionales concebidos de esta forma? De hecho, el problema coincide con el del cálculo de las progresiones aritméticas de orden superior, llamado así a aquellas cuyas diferencias entre términos consecutivos forman a su vez otra progresión de un grado inferior. Por ejemplo, observemos la siguiente sucesión y las sucesivas sucesiones formadas por las diferencias entre sus elementos: 5

121

La penúltima fila es una progresión aritmética ordinaria, la anterior una de segundo orden, la anterior una de tercero, y por tanto la primera fila será una progresión aritmética de cuarto orden. De hecho, la fórmula anterior dada para los números triangulares, o sea progresiones aritméticas de segundo orden, es un caso particular de la general para orden p:

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Donde pf(0) son las diferencias n-simas de la progresión. Desde luego, p+1f(0) =0. Otro tipo de progresiones son más complicadas. Sea Sk la suma de las primeras potencias k-simas hasta n, o sea: Los primeros casos son muy sencillos: No he podido encontrar una fórmula para las sumas en general, y dudo que exista. La fórmula recurrente que relaciona las sucesiones de ese tipo es: En algunos casos particulares surgen fórmulas muy espectaculares: Siendo Bp los correspondientes números de Bernouilli. Josep M. Albaigès Barcelona, diciembre 1999 Montones de resultados en las dos ultimas pag 24 del pdf de 26 pag sucesiones 1 Principales equivalencias entre sucesiones Si lim sn   0 entonces se verifica n 

e



 1  sn

sin sn  sn log 1  sn   sn

1  cos sn 

1 2 sn 2

Formula de Stearling: n!  nn e n 2 n Sea f ( x) a x  a 1 x 1  ....  a1 x1  a0 ; a  0 y sea lim sn    ; entonces n 

f  s n   a sn

log f  sn    log sn



si a   0

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APLICACIONES A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS En Metemática Elemental se aprende a calcular porcentajes, porcentajes encadenados, reglas de tres directas e inversas, así como el interés simple. Supongamos que todos estos contenidos se dominan y vamos ahora a introducir unos nuevos conceptos de matemática financiera intimamente ligados al estudio de las suciosiones y progresiones:        

Interés compuesto. Interés contínuo (lo veremos tras estudiar el número e) Anualidades de capitalización Anualidades de amortización TAE (Tasa anual equivalente) Números índice IPC (Indice de precios del consumo) EPA (Encuesta de población activa)

Interés compuesto Partiendo de la fórmula del interés simple I    

C0  r  t ; donde 100

Co es el capital inicial r es el tánto por ciento de rédito anual t es el tiempo en años

supongamos que establecemos unos periodos de inversión que pueden ser años, meses, semanas, días, e incluso el contínuo. Donde el capital más los inetreses obtenidos hasta ese momento se reinvierten automáicamente por un nuevo periodo. En estas circunstancias nos enciontramos ante el concepto de interés compuesto. Se forma una sucesión de periodos donde:

C1º año  C0 

C2º año

r r   C0  C0 1   y reinvirtiendo este capital un nuevo año queda: 100  100 

r r  r  r     C1º año  C1º año  C0  1   1    C0  1   100  100   100   100 

C3º año  C2º año 

r r   C2º año  C0  1   100  100 

Y asi sucesivamente por inducción tenemos que Ct º año

r    C0  1    100 

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En general un capital Co colocado a t años con un rédito del r% nos queda

r   C f  C0  1    100 

Comos e aprecia en su construcción, la sucesión de capitales obtenidos en cada año r C0 , C1, C2 ,..., C f  es un PG de razón 1  100  Además, el hecho que elevemos a t, y este número de años puede llegar a ser elevado, hasta la llegada de las calculadoras y ordenadores, estos cálculos se resolvían mediante logaritmos. Ejemplo Supongamos que pactamos un depósito de 10,000€ con un banco al 8% durante 5 años, reinvirtiendo cada año los intereses. ¿qué capital final obtendríamos? Solución Al reinvertir, estamos ante un caso de interés compuesto, y aplicando la fórmula 5

8   5 directamente tendremos C f  10000   1    10000  1.08  14693.28  100  Ejemplo Supongamos que ahora el banco nos ofrece reinvertir los intereses cada mes ¿ qué diferencia de capital final obtendríamos? Solución Al ser periodos mensuales, multiplicamos 5 años por 12 y tenemos 60 periodos 512  60 8   C f  10000   1    10000  1.006  14898.45  1200  beneficio adicional de 205€.

por lo que resulta un

Ejemplo 3 Que redito necesito para duplicar en 10 años un capital de 10,000€ a interes compuesto, si reinvierto el capital obtenido en periodos diarios Solución Al calcularse por días, salen 3650 periodos: 10365

r   20000  10000  1    36500  % anual

10365

r    1    36500 

 2  r  36500



3650



2  1  6.932

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Anualidades de capitalización Un ejemplo de estas anualidades son los llamados planes de jubilación, donde una persona para obtener un futuro retiro, ahorra durante cada periodo, que puede ser generalmente mensual o anual, una cantidad fija de dinero a la cual se le van sumando el capital y los intereses obtenidos hasta ese momento. Hay mucha svariantes, la cantidad puede irse incrementando, o puede paralizarse por necesidades puntuales, pero nosotros veremos el caso general: En un primer día, ingresamos un capital C0 que va a rentar t periodos (supongamos años) y cada nuevo periodo ese vamos ingresando ese mismo capital C0 pero cada vez rentará un periodo menos que falta para el final. Periodo 0

r   C0  1    100 

1 t

r   C0  1    100 

t 1

r   C0  1    100 

..... t 2

t-1 1

r   C0  1    100 

El capital total obtenido será la suma de la segunda fila de la tabla anterior, que es una r   suima de los t elementos de una PG de razón 1   que le llamaremos 1  i   100  Aplicando

la fórmula t 1  i  1 an r  a1 C0 1  i  1  i   C0 1  i   Sn    C0 1  i  r 1 i 1  i   1

estudiada

Esta formula corresponde a la llamada anualidad de capitalización. Veamos algun ejemplo Ejemplo Que capital obtendrá una persona previsora a los 65 años que desde los 30 años ahorra 1200 euros anuales al 8% de ineterés en un plan de jubilación: Solución

Sn  C0 1  i 

1  i  i

1

1.0835  1  1200 1.08   223322.58€ 0.08

Anualidades de amortización Ahora en vez de querer ahorrar, queremos pagar una deuda, por ejemplo, una hipoteca a 30 años. Supongamos que hemos comprado una vivienda por 225,000€ y hemos pedido un préstamo a 30 años al 5% anual, en el que tenemos que devolver una vez al año una cantidad fija. Encontrar esta cantidad fija es el problema de una anualidad de amortización. Ahora cada vez que hacemos un ingreso noe s para acumular i ntereses con él, sino para dejar de pagar inetreses por esa cantidad. Veámoslo con más detenimiento.

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Supongamos que debemos una cantidad C al r% durante t años, es decir, debemos t

r   C 1  .  100  En la tabla siguiente, en cada periodo, figura la cantidad que dejaremos de deber por cada ingreso C0. Periodo 0

C0 1  i 

2 t 1

.....

t-1

t 2

t 1

C0 1  i 

La operación que tenemos que igualar ahora es que la suma de estas cantidades tiene que coincidir al final con nuestra deuda, es decir t

C 1  i   C0 1  i 

t 1

 ...  C0 1  i   C0 1  i   C0  C0

1  i 

1

;

donde

1  i   1 C  C0 t i 1  i  Ejemplo Supongamos que hemos comprado una vivienda por 225,000€ y hemos pedido un préstamo a 30 años al 5% anual, que cantidad fija anual debemos devolver Solución 30

1.05  1 225000  C0 30 0.05 1.05 

 C0 

225000  0.05 1.05 

1.05

 3920,38

1

Amortización inversa Un la última parte de los años 2005, 2006 y 2007 se ha venido hablando de un nuevo producto financiero denominado “hipoteca inversa” consistente en que, típicamente, una persona hipoteca su vivienda a una entidad financiera a cambio de recibir una cantidad fija anual por el resto de su vida. En el momento de su fallcimiento, la entidad financiera se hacía con la propiedad de la vivienda. Su funcionamiento es análogo a las anualidades de amortización, pero el plazo se obtiene mediante las tablas de esperanza de vida que publica el INE (Instituto Nacional de Estadística) Nada mejor que un ejemplo práctico para entenderlo perfectamente: Ejemplo

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Supongamos que un hombre al cumplir los 65 años y jubilarse, por razones económicas, ofrece su vivienda valorada en 200,000€ a un Banco a cambio de una renta perpetua. Si el tipod e inetrés se calcula en el 3% anual ¿Qué renta anual obtendría? (Según el INE la esperanza de vida es de 83.61 años) Solución 18.61

18.61

200000  0.03 1.03 1.03  1 200000  C0  C0  18.61 18.61 0.03 1.03 1.03  1

 14180, 99€

Periodos distintos al anual Hemos establecido en todas estas fórmulas financieras que el plazo era siempre anual. Si se establecen plazos diferentes al anual, se actuaría de la siguiente manera: Llamemos p al número de periodos anuales, por ejemplo para años p =1 , para meses p = 12, para días p = 365. Entonces el interés i en las formulas lo dividiríamos por p y el tiempo t , lo multiplicaríamos por p para obtener el número de periodos. De esta forma, las fórmulas dadas quedarían:  i  Para el interés compuesto: C f  C0  1   p 

pt

 i  1  p   i  Para las anualidades de capitalización C  C0 1    i p  p

p t

1

pt

 i 1  p   1  Para las anualidades de amortización C  C0  p t i i 1  p  p Claro que estas dos últimas dejarían de llamarse anualidades. Ejemplo A un ciudadano de 40 años le tocan dos millones de euros en la primitiva. ¿Qué renta mensual puede obtener al 3% durante el resto de su vida? Solución

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1243.61

0.03  0.03   0.03  1 2000000  1   1   12  12  12   2000000  C0  C  0 1243.61 1243.61 0.03  0.03   0.03  1 1   1   12  12  12   al mes

 6856, 08€

INTERES CONTINUO Hemos estudiado interés continuo y hemos hablado de la posibilidad de poner periodos de meses, semanas e incluso días en lugar de años y hemos visto un ejemplo en el que se apreciaba como podía haber más de 200€ de diferencia en los intereses recibidos estableciendo periodos de meses en lugar de años para un capital de 10,000€ al 8% anual. Esta cantidad se incrementaría si son semanas y más aún si son días. Pero ahora nos preguntamos ¿y si son segundos? ¿y si son instantes? es decir, si el número de periodos al que sometemos el capital a reinversión se hace infinito. Entramos entonces en el concepto de límite y nos encontramos ante la definición de interés contínuo

r   C f  lim C0  1   n   n 100 

t n

que, por lo que acabamos de estudiar, es lo mismo que

     1  C f  C0  lim  1   n 100    n    r  

100 n r

     

t r 100

tr 100

 C0  e

Ejemplo

Siguiendo con el ejemplo de los 10000€ a 5 años, si ahora los ponemos a interés continuo, ¿que cantidad obtendríamos?

Solución t r

58

C f  C0  e100  10000  e100  10000  e0.4  14918.24 € , es decir, 215 € más que si se reinvierte anualmente. | INTERES CONTINUO 33

| INTERES CONTINUO 34

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεδδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×



| INTERES CONTINUO 35