Analysis Derivadas. Problemas
OpenUepc.com 1.1.4.6.1
Ver 01:03/02/2010
NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6.1 correspondiente a 1
SCIENCE
1.1
MATHEMATICS
1.1.4
ANALYSIS
1.1.4.6 .1
DIFERENCIACION
COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES
Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/01/2010
TABLA DE DERIVADAS Funci贸n
Derivada
Ejemplos
Constante y=k
y'=0
y=8
y'=0
y'=1
y=x
y'=1
Identidad y=x
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logar铆tmicas
Funciones trigonomĂŠtricas
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
+
COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS Presento a continuación una colección de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas, es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al cálculo de derivadas. 1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x
f '( x ) x cos x ' x ' cos' x 1 ( sin x) 1 sin x
2 3 ' 1 1 3 2 4 4 f '( x) x 4 sin x ln x 4 x3 cos x ; f ' 4 cos x 2 2 2 2 2 2 3.- Calcular la derivada de la función f ( x ) x ln x x Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definición de la función, pues sólo tendríamos problemas si apareciesen neperianos de números negativos 2.- Calcular la derivada de la función f ( x) x 4 sin x ln x
en x=
1 f '( x ) x ln x ' x 'ln x x ln x ' 1 ln x x ln x 1 x 4.- Calcular la derivada de la función f ( x) x 2 sin x f '( x ) x 2 sin x ' x 2 'sin x x 2 sin x ' 2 x sin x x 2 cos x
x sin x 1 x3 x 'sin x x sin x ' 0 x 3 x sin x 1 x 3
5.- Calcular la derivada de la función f ( x) '
x sin x 1 f '( x ) x3 sin x x cos x x sin x 1 ... x3
x6
sin x x cos x x 3 x 4 sin x x3 x6
x tan x cos x ln x x ' tan x x tan x ' cos x ' ln x x tan x cos x ln x '
6.- Calcular la derivada de la función f ( x ) '
x tan x cos x f '( x ) ln x
tan x x tan ...
2
ln 2 x
x sin x ln x x tan x cos x
...
1 x
ln 2 x
7.- Calcular la derivada de la función f ( x ) cos x 2 '
f '( x ) cos x 2 sin x 2 2 x 2 x sin x 2
| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 1
...
+
8.- Calcular la derivada de la función f ( x) ln cos x ' 1 f '( x) ln cos x sin x tan x cos x 9.- Calcular la derivada de la función f ( x) e x sin x '
f '( x) 3 x cos x 3 x cos x ln 3 x cos x ' 3 x cos x ln 3 cos x x sin x
10.- Calcular la derivada de la función f ( x ) ln(ln x ) 1 1 1 ' f '( x) ln(ln x) ln x x x ln x 11.- Calcular la derivada de la función f ( x ) sen 2 ( x 2 ) '
f '( x ) sin 2 ( x 2 ) 2 sin x 2 cos x 2 2 x
12.- Calcular la derivada de la función f ( x) x 3 lg 2 x 2 ' 1 2 1 f '( x ) x 3 lg 2 x 2 3 x 2 lg 2 e 2 x x 2 x 3 lg 2 x 2
x 1 13.- Calcular la derivada de la función f ( x ) 3 x '
2
1
2
x 1 2 2 x 1 3 1 x ( x 1) 2 x 1 3 1 2 f '( x) 3 2 2 2 x 3 x x 3 x x 3x
14.- Calcular la derivada de la función f ( x ) arctan
3
x x 1
x x 1
2 ' x 1 x x 1 1 x 1 f '( x) arctan x 12 x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 2 1 x 1
15.- Calcular la derivada de la función f ( x) arc sec '
ln x x
'
1 2 2 x x 1
ln x x
1 ln x x2
ln x f '( x ) arc sec 2 x ln x ln x 2 ln x ln x 1 1 x x x x
16.- Calcular la derivada de la función f ( x ) x x Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelven tomando previamente logaritmos neperianos en la expresión a derivar, para posteriormente aplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma | COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 2
+
f ( x ) x x ln f ( x ) x ln x ln f ( x ) ' x ln x '
1 1 f '( x ) 1ln x x f '( x ) x x ln x 1 f ( x) x
17.- Calcular la derivada de la función f ( x ) x l n x 1 2 ln x 2 ln x f ( x) x ln x ln f ( x) ln x ln x ln 2 x f '( x) f '( x ) x ln x f ( x) x x 18.- Calcular la derivada de la función f ( x ) x tan x 1 1 1 tan x ln x f ( x) x tan x ln f ( x) tan x ln x f '( x ) ln x tan x f '( x) x tan x 2 2 f ( x) cos x x x cos x
1 1 x 19.- Calcular la derivada de la función f ( x ) ln 2 1 x f '( x)
1 1 11 x 1 x 1 1 x 2 x x 1 1 2 2 2 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x
20.- Calcular la derivada de la función f ( x ) ln x x 2 1
f '( x)
1 x x2 1
1
2x 2 x2 1
1
x2 1 x
x x2 1
x2 1
1 x2 1
Ejercicios Propuestos Calcular la derivada de la función f ( x ) ln x x 2 1
1 1 x Calcular la derivada de la función f ( x ) ln 2 1 x
| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 3
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 1 Calcula las derivadas de las siguientes funciones 1. 2.
f ( x) 3x 5 2 x 4 5 x 3 3x 1 f ( x ) (2 x 3 )(4 x 2 )
3x 2 3. f ( x) 3 2x 4. f ( x ) (2 x 3 )(2 x ) x 1 5. f ( x ) x 1 lg x 6. f ( x) 2 ln x cos x 7. f ( x) senx 3x 8. f ( x) 3 x 1 9. f ( x) 3 x 1 10. f ( x) ln x
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 1 4
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 2 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 2.
f ( x ) x
f ( x) x 2
x 2 x3 4. f ( x) 2 x 3 3 x 2 1 5. f ( x) 2 x 1 6. f ( x ) senx cos x senx cos x 7. f ( x ) senx cos x 1 ln x 8. f ( x ) 1 ln x 1 x2 9. f ( x ) 1 x 2 x 2x 10. f ( x) 1 2x 3.
f ( x)
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 2 5
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 3 Calcula las derivadas de las siguientes funciones e 1 ln e f ( x ) xe x x ln x
1.
f ( x )
2. 3.
f ( x ) e x ln x
4. 5. 6. 7. 8.
ex ln x 1 ex f ( x ) 1 ln x f ( x) (1 ln x )( x e x ) f ( x ) x e f ( x ) x e e x f ( x)
1 ex 1 ex ln x e x 10. f ( x) ln x e x 9.
f ( x )
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 3 6
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 4 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1.
f ( x ) x 3 3 x
2.
f ( x)
3x lg 3 x
3 x lg 3 x 3 x lg 3 x 4. f ( x) senx tgx senx 5. f ( x) tgx x senx 6. f ( x) x cos x cos x senx 7. f ( x ) tgx cos x cos x senx 8. f ( x) tgx cos x cos x 1 9. f ( x ) tgx x x senx 10. f ( x) x cos x 3.
f ( x )
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 4 7
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 5 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1.
f ( x) x 3 3 x 3 x
2.
f ( x)
3.
f ( x)
4. 5. 6. 7.
x 3 x
3
lg 3 x 3x ln x f ( x) 3 3 x3 3x f ( x ) lg 3 x 3 x
1 x3 1 3x 1 ln x f ( x ) 1 lg 3 x f ( x )
8.
f ( x ) x 3 3 x
9.
f ( x ) 3
3
x
x ln x x lg 3 x
10. f ( x) 3 3 x
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 5 8
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 6 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 2. 3. 4. 5. 6.
f ( x ) 3x 5 f ( x) x 15 x 1 f ( x) 2 x x3 f ( x) 5 x x 1 f ( x ) 5 x
f ( x ) 5 x 4
f ( x ) 4 x 5 1 8. f ( x ) 4 x5 1 9. f ( x ) 5 x4 x 10. f ( x ) x 7.
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 6 9
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 7 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1.
f ( x ) x x
2.
f ( x ) x 5 x
3.
f ( x )
4.
f ( x )
5.
f ( x )
6.
f ( x )
7.
f ( x ) x 3 3 x 2
8.
f ( x )
9.
f ( x )
10. f ( x )
x 5
x x5
x 1
x3 x x x3 x x3 3 x2 x3 4
x5
5
x4
x3 4 x5 x5 5 x4
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 7 10
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 8 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1.
f ( x) 3 x 5 5 x 3
2.
f ( x )
3.
f ( x )
4.
f ( x) 3
5.
f ( x)
6.
f ( x)
7.
f ( x )
8.
f ( x )
9.
f ( x )
10. f ( x )
x x 3
5
3
x5
5
x3
5
1 x4
3
x5 5
x3
3
x5 5 x3
3
x5 5 x3
1 3 x5 1 5 x3 5
x3 1 x4 1
5
x3 1
3
x5 x4
5
x3
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 8 11
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 9 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
x4
1.
f ( x) 3
2.
1 f ( x) 3 5 3 x
3.
f ( x ) 3
x
4.
f ( x) 5
5
5.
f ( x)
5
x3
3
5
5
5
x3
x3
5
x
1 x 1 x
6.
f ( x ) 3
7.
f ( x) 3 e
8.
f ( x) e
9.
f ( x) 3 5 x 3
3
x5
10. f ( x) 5
3
x5
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 9 12
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 10 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 2.
f ( x ) ln 3 x f ( x) lg 3 3 x
3.
f ( x ) lg 3 x 3
4.
f ( x) lg 3 3 x
5.
f ( x) 3 lg3 x
6.
f ( x ) 3
7.
f ( x) lg 3 3 3 x
8.
f ( x ) 3lg3
9.
f ( x) 3 lg 3 3 x
3
x
3
3x
10. f ( x) 3 ln x 3
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 10 13
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 11 Calcula las derivadas de las siguientes funciones 1.
f ( x) ln x e x 3 x 2
2.
f ( x ) ln x e x ln x f ( x) x e ln( x) f ( x) 3 x2 x e e x f ( x) ln x 3 x 2
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
3
x2
1 ex 1 ex 1 ln x f ( x ) 1 ln x 2 3x 3 x 2 f ( x ) ln x f ( x )
f ( x ) 3
1 ln x 1 ln x
10. f ( x) 3 e x
2
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 11 14
+
BOLETÍN DE TRABAJO nº 12 Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1.
f ( x) 3 ln e x
2.
f ( x ) 3 e ln x
3.
f ( x) ln 3 x 2
4.
f ( x) ln e
5.
f ( x) ln 3 e x
6.
f ( x ) 3
7. 8. 9.
3
x
2
2
ln e x ex 1 x f ( x) 3 x 3
x
f ( x) e e f ( x ) e ln x
10. f ( x) e ln
3
x2
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 12 15
+
BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones)
Deriva: 1 x2 1. y arcsen 2 x
2. y e x · sen log x 4 2 3. y x
tg x
2 5 3 x 4. y ln cos x
5. y
tg 2 x 3 e sen x
6. y 3 x · arccos x 7. y 10 cos 7 x 2
4
8
8. y ln 2 2 3 9. y
1 x e ex x
10. y arctg 1 x
| BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones) 16
+
EJERCICIOS VARIOS Fuente Ana Fraga Vila
1) Deriva las siguientes funciones:
sen x
y = ln (3x2 5x)
y = e2x · cos x
y = cos3 x · cos x2
1+ x y = ln 1 x
y=
y = arcsen x
y = ( tg x ) x
y sen 3 x · sen x 3
1 2x y = cos 1 2x
x y= 3
y = x2 · e3x
y = ln (sen 2 x)
y=
x
2
y = xcos x
y = tg
9x 2 3 x3
sen x x
2
2
y = xsen x
x
2
x
y = ex · sen3 x 9x 2 3 y ln 3 x
y = xsen x
y = ln (ex + cos x)
y (3 x 2 ) tg x
y = log ( cos x + 1 3 x 2 )
y = L sen (7 x x 2 ) 3
1 2x y = cos 1 2x
y = tg3 x
y = arctg (1 x 2 )
x + -x y = e x e- x e -e
y = cos (sen x 3 )
y = x3 x
y = sen 2 x ( x 2 1) 3
y = arctg 6 x 3
1 y = ln + tg x cos x
y = e 2 sen 3 ( x 2 )
y
y
x2 3 5
y=
35 x 2
x 1 4x
2
| EJERCICIOS VARIOS 17
+
y = arctg x
y = ln
x
2 x + 2 2 ( x 1) x 4
y (e x 1) 3 x
y=
1 y = 2 tg3 x
y = e x (cos x sen x)
y = tg2 (6x)
2) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Determina los puntos de la curva y = x3 en los que la recta tangente es paralela a la recta y = 3x + 14
3) Halla la ecuación de la tangente a la hipérbola y =
1 en el punto x = 3. x
4) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 2x3 6x2 + 4 en su punto de inflexión.
5) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 2 x 1 en el punto de abscisa 12.
6) En qué puntos de la curva y = x 3
9 2 x 6 x 1 la recta tangente es paralela al eje OX? 2
7) Calcula a y b para que y = ax + b +
8 tenga en el punto (2, 8) una tangente horizontal. x
8) Halla p y q sabiendo que la función f (x) = x3 + px2 + q tiene un mínimo relativo en el punto (2, 3).
9) Halla la ecuación de las tangentes a la curva y = x4 6x2 en sus puntos de inflexión.
10) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva inflexión.
y = 2x3 6x2 + 4 en su punto de | EJERCICIOS VARIOS 18
+
11) Dada la parábola y = x2 x a) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x0 = 1. b) ¿En qué punto de la parábola la recta tangente es paralela a la recta y = x + 3?
2x3 12) Halla las asíntotas de la función y = 2 x 4 13) Asíntotas de la curva y =
2 x 3x 2 2 x 5x 4
14) Halla las asíntotas de f ( x ) =
x2 x 5 x
15) Halla los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de y =
x x 1 2
16) Calcula los máximos, mínimos y puntos de inflexión, si existen de la función y =
x x 1 2
x3 17) Calcula las asíntotas de la función y = ( x 4) 2
18) Halla las asíntotas de la curva de ecuación y =
x 2 x 10 x 9
2 + x 1 19) Estudia el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la función: y = x x 1
20) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad de la función y = x2(3 2x).
21) Estudia el crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de f ( x ) = x 3 3 x 2 1 . Representarla gráficamente.
| EJERCICIOS VARIOS 19
+
22) Representa gráficamente la función y = Calculando intervalos de
el dominio
2 x 1 2 x 1
de definición, puntos de corte con los ejes, asíntotas,
crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos.
23) Esboza la gráfica de y 3 x 2 6 x
24) Dada la función f ( x ) = x 3 3 x 7. a) Calcula máximos, mínimos y puntos de inflexión b) Esboza su gráfica c) Escribe la ecuación de la recta tangente en su punto de inflexión.
25) Representa gráficamente
f ( x) =
1 3 x x 2 , hallando: puntos de corte con los ejes, 6
monotonía (crecimiento y decrecimiento), máximos, mínimos, curvatura y puntos de inflexión.
x2 26) Estudia y representa gráficamente y = 2 x 1
27) Halla b, c y d para que la función f ( x) x 3 bx 2 cx d tenga un punto de inflexión en x = 3, pase por el punto (1, 0) y tenga un extremo en x = 5. 28) Representa gráficamente la función y = (2 x)2 calculando previamente: a) Dominio de definición. b) Puntos de corte con los ejes. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
| EJERCICIOS VARIOS 20
+
29) Dada la función f ( x) =
x 1 x2
a) Calcula: Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. b) Halla sus asíntotas. c) Esboza su gráfica
| 21
+
| 22
+
Fuente: IES Rego da auga
| 23
+
SOLUCIONES BOLETIN 1
1. 2.
f ( x ) 3x 5 2 x 4 5 x 3 3 x 1 f ' ( x) 15 x 4 8 x 3 15 x 2 3 f ( x) (2 x 3 )(4 x 2 ) f ' ( x ) 6 x 2 (4 x 2 ) (2 x 3 )(8 x ) 24 x 4 16 x 4 40 x 4
3.
f ( x)
4.
f ( x) (2 x 3 )(2 x ) f ' ( x) (6 x 2 )(2 x ) (2 x 3 )(2 x ln 2) x 1 1 x 1 ( x 1)1 2 f ( x ) f ' ( x) 2 x 1 x 1 x 12
5.
6. 7. 8.
3x 2 2x 3
6 x 2 x 3 x 6 x 12 x 18 x f ' ( x) 4x 2 x 3
2
2
4
3 2
6
4
6x 4 3 2 6 4x 2x
1 1 lg 2 e ln x lg 2 x lg x x x f ( x) 2 f ' ( x) 2 ln x ln x cos x 1 senx cos x cos x cos x sen 2 x cos 2 x f ( x ) ctgx f ' ( x) f ' ( x ) senx sen 2 x sen 2 x sen 2 x 3 x ln 3 x 3 x 1 3x 3 x ln 3 x 3 3 x 3 x 2 3 x x 2 ln 3 x 3 x 1 f ( x) 3 f ' ( x) 2 x x6 x4 x3
1 3 x 3 f ' ( x) 3x 4 4 3 x x 1 0 ln x 1 1 x 1 10. f ( x ) f ' ( x) 2 ln x ln x x ln 2 x
9.
f ( x)
| 24
+
SOLUCIONES BOLETIN 2
1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
1
1
1 2 1 1 2 1 1 x x 1 2 2 2 x 2x 2 2 f ( x) x 2 f ' ( x ) 2 x 21 2 x 3 3 x x 2 5 f ( x) 3 x 5 f ' ( x ) 5 x 51 5 x 6 6 x x 3 2 3 f ( x) 2 x 3 x f ' ( x) 6 x 6 x 1 f ( x ) 2 x 2 f ' ( x) 2 x x 1 0senx cos x 1cos x senx cos x senx f ( x) f ' ( x) senx cos x senx cos x 2 senx cos x 2 senx cos x cos x senx senx cos x senx cos x cos x senx f ( x) f ' ( x) senx cos x senx cos x 2 f ( x ) x x 2 f ' ( x )
8.
1 1 1 ln x 1 ln x 1 ln x 2 x f ( x ) f ' ( x) x 2 2 1 ln x 1 ln x x1 ln x
9.
1 x2 2 x 1 x 2 1 x 2 2 x 3 f ( x ) f ' ( x) 2 1 x 2 1 x 2
x
10. f ( x )
x2 1 2 f ' ( x ) x 1 2
x
ln 21 2 x 2 2 1 2 x
x
x
ln 2
x 2
| 25
+
SOLUCIONES BOLETIN 3
e 1 0 ln e (e 1) 0 f ' ( x) 0 ln e ln e2
1.
f ( x)
2.
f ( x) xe x x ln x f ' ( x) 1 e x xe x 1 ln x x
3.
f ( x) e x ln x f ' ( x) e x ln x e x
4.
ex f ( x) f ' ( x) ln x
e x ln x e x
1 x
1 x
ln 2 x
e 1 ln x 1 e 1x x
x
5. 6. 7. 8. 9.
f ( x)
1 e x xe x ln x 1 x
1 e f ' ( x) 1 ln x
x
2
1 ln x
1 f ( x) (1 ln x )( x e x ) f ' ( x ) ( )( x e x ) (1 ln x)(1 e x ) x e e 1 f ( x) x f ' ( x) ex
f ( x ) x e e x f ' ( x) ex e1 e x x e e x f ( x )
1 ex ex 1 ex 1 ex ex f ' ( x ) 2 1 ex 1 ex
1 x x x 1 x e ln x e ln x e e ln x e x x 10. f ( x) f ' ( x) x 2 x ln x e ln x e x
| 26
+
SOLUCIONES BOLETIN 4
1.
2.
f ( x) x 3 3 x f ' ( x ) 3x 2 3 x x 3 3 x ln 3 1 3 x ln 3lg 3 x 3 x lg 3 e x 3 x f ( x ) f ' ( x) 2 lg 3 x lg 3 x
3.
1 1 x x x x 3 ln 3 lg 3 e 3 lg 3 x 3 lg 3 x 3 ln 3 lg 3 e 3 lg 3 x x x f ( x ) x f ' ( x) 2 x 3 lg 3 x 3 lg 3 x
4.
f ( x) senx tgx f ' ( x ) cos x tgx senx (1 tg 2 x )
5.
f ( x)
x
6. 7.
senx (1 tg 2 x) cos x f ' ( x) cos x tgx senx .... senx tgx tg 2 x x senx 1 cos x x cos x x senx 1 senx f ( x ) f ' ( x) x cos x x cos x 2 f ( x )
cos x senx senx cos x tgx cos x cos x senx (1 tg 2 x) senx f ' ( x) tgx cos x tgx cos x 2
8.
cos x senx f ( x) f ' ( x) tgx cos x
9.
f ( x)
10. f ( x )
sen
2
1 x cos 2 x tgx cos x cos x senx cos x tg 2 x ( senx 2 cos x 2 tgx cos x
cos x 1 senx 1tgx x cos x 1 1 tg 2 x 1 f ' ( x) tgx x tgx x 2
x senx 1 cos x x cos x x senx 1 senx f ' ( x) x cos x x cos x 2
| 27
+
SOLUCIONES BOLETIN 5
1.
f ( x ) x 3 3 x 3 x f ' ( X ) 3 x 2 3 x ln 3
2.
f ( x )
3. 4.
5.
3 x2
x 3 3 x 3 x ln 3 2 3 3 x 1 x x lg 3 e 3 lg 3 x 3 ln 3 lg x x f ( x ) 3x f ' ( x ) 3 3 x 2 ln x 1 f ( x ) 3 f ' ( x) 3 3 3 x
f ( x )
x 3 f ' ( x)
1 3
x
3
3x
x3 3x
lg 3 x 3
1
x
f ' ( x)
2
1 1 3 x ln 3 lg 3 x 3 x x 3 3 x lg 3 e 3 x lg 3 x x 3 2 3 x
lg
1 x3 3 x 2 1 3 x 1 x 3 3 x ln 3 f ' ( x ) 2 1 3x 1 3x
3
2
6.
f ( x)
7.
1 1 1 lg 3 x 1 ln x lg 3 e 1 ln x x x f ( x ) f ' ( x) 2 1 lg 3 x 1 lg 3 x
8.
f ( x ) x 3 3 x
9.
f ( x) 3
x 3 x
2 3 3 x 1 1 1 x lg 3 x x ln x 1 lg 3 e x ln x 1 x x f ' ( x) 2 2 x lg 3 x x lg 3 x x ln x 33 x lg x 3
x f ' ( x) 3x 3 x x 3 3
2
x
3
3
x
x x 3
ln 3
3
3
x
1
x x 1 10. f ( x) 3 3 x 3 3 f ' ( x) 3 3 ln 3 3
| 28
+
SOLUCIONES BOLETIN 6
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
f ( x ) 3x 5 f ' ( x) 15 x 4 f ( x ) x15 x f ' ( x ) 15 x 14 1 1 2 f ( x) 2 x 2 f ' ( x ) 2 x 3 3 x x 3 x 2 f ( x) 5 x 2 f ' ( x ) 2 x 3 3 x x x 1 4 5 f ( x) 5 x 4 x 5 f ' ( x) 4 x 5 5 x 6 5 6 x x x 1 4 4 5 f ( x ) 5 x 4 x 5 f ' ( x) x 5 5 5 5 x 5 4
1
5 54 x f ( x) x x f ' ( x) x 4 4 4 5 9 1 5 4 5 f ( x) x 4 f ' ( x) x 4 4 x5 44 x 9 5
4
f ( x)
10. f ( x)
1 5
x4
x x
x
x
4 5
1
1 2
9
4 5 4 f ' ( x) x 5 55 x 9 1
x 2 f ' ( x)
1 2 x
| 29
+
SOLUCIONES BOLETIN 7
1. 2. 3. 4.
f ( x )
5.
f ( x )
6.
f ( x)
7. 8.
x5 x 1 3
x
x x
1
5
x
x x3 x
3
3
1
x 2 f ' ( x)
1 2
9 2
1
x
9
7
9 1 9 9 7 x f ' ( x) x 2 x 2 x 2 2 2 1 3
x
1 3
1 2
4 3
4
4 3 1 4 f ' ( x) x x 3 3 5
5
x 2 f ' ( x)
2 3
7 3
4 3 x7 3
7
5 2 1 5 2 5 x x 2 2 22 x 7
11 3
11
8
11 1 11 11 f ( x ) x x x x f ' ( x) x 3 x 3 3 x 8 3 3 3 2 3 22 9 13 13 7 33 2 3 x x 13 1 13 56 7 f ( x) x 3 2 x 6 x 6 f ' ( x) x 6 x 6 x 3 6 6 2 x 33
4
9.
1 2
3 2 1 3 2 3 x x x 2 2 2 1 11 11 9 5 11 2 1 11 2 11 9 5 2 2 f ( x ) x x x x f ' ( x) x x x 2 2 2 1 9 9 11 5 x 9 2 1 9 2 9 f ( x ) 5 x 2 x 2 f ' ( x ) x x 2 2 x 2 x 11 f ( x) x x x
f ( x)
10. f ( x)
5
x5 x4
3
2
5 4 5
x4
x3 4 x5 x5 5 x4
x
x
25 16 20
5 4 3 5 4 5
9
9
x 20 f ' ( x )
x
2
25 16 20
x
39 20
11
9 20 1 9 20 9 x x 20 20 2020 x 11
39 f ' ( x) x 20
39 1 20
39 x 20
59 20
39 2020 x 59
| 30
+
SOLUCIONES BOLETIN 8
5
1.
2.
f ( x) 3 x 5 5 x 3
f ( x)
3
2
1 5 3 x 3 x 5 x 4 f ' ( x) x 3 x 4 3 5 x
2 5
4 x 5
52 x 3 3 4 5 3 55 x 2 x
34 19 53 35 34 15 3415 x 34 15 x x x x f ' ( x) x 15 15
x 3
5
3
x5
5
3
5
3.
f ( x )
5
x3
x3 x
3 5
16
1
1
4.
f ( x) 3
3
5.
6.
f ( x)
f ( x)
3
8. 9.
1
5 x5 x 3 5 x3 x 5
1
3 5 3 3 22 3 22 7 15 7 x 5 x 5 x 15 f ' ( x ) 22 x 15 22 x 15 15 52 x 3 2 3 3 3 5 5 3 3 3 5 5 3 5 x x x x x 5 2 5 3 3 5 x 5 x2 x5 5 x3 f ' ( x) 2 3 x5 5 x3 x5 5 x3
1 3 x5 1 5 x3
f ' ( x)
3 5 2 5 x
3
1 x
23
3
2
2 3 5 3 1 x 1 5 x3 5 x 3 5
5
7.
16 15 1615 x x 15 15
x 15 f ' ( x)
18
x3 23 5 235 x 18 4 5 5 f ( x) x x x f ' ( x) x 1 5 5 4 x 3 8 1 3 5 3 f ( x ) x 5 f ' ( x) x 5 5 x3 55 x 8 f ( x )
10. f ( x)
1 3
x5
x4 5
x3
x
x
5 3
4
8
5 3 5 f ' ( x) x 3 3 3 x8 3 5
x
17 5
12
17 5 175 x 12 f ' ( x) x 5 5
| 31
+
SOLUCIONES BOLETIN 9
1
4 x x 3 5 x3 x 5 4
1.
f ( x ) 3
1
1
3 4 3 3 17 3 17 2 15 2 x 5 x 5 x 15 f ' ( x) 17 x 15 17 x 15 15 1
2.
1 f ( x ) 3 5 3 x
5
5 3 1 3 x 3 5 5 x
1 3
x 1 f ' ( x) x 2
1 x2
1
3.
f ( x)
3
x 5
3
x 3
5
5 5
3 x f ' ( x) 1
1
4.
f ( x ) 5
5
3 22 3 5 3 25 3 x 3 x 5 x 25 f ' ( x) x 25 25 25 x 22
1
1
3 x x 1 x 2 x
5 5 5 1 x 2 x 2 x f ' ( x) 1 f ( x ) 5 2 x 1 1 2 1 x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 1 2 x f ( x) 3 f ' ( x) 2 3 1 x 1 x 1 x 3
5.
6.
3
7.
f ( x ) e f ' ( x ) 0
8.
f ( x ) e
9.
f ( x) 3 5 x 5 3 f ' ( x) 5 3 ln 5
3
x5
f ' ( x) e
3
x5
53 2 x 3
x
x
1 3
1 5
3
10. f ( x) 5
3
x
5
3 5 x
4 3 9 9 5 5 ln 5 5 5 x f ' ( x) 5 x ln 5 x 9 9 99 x 5 5
5
9
x5
| 32
+
SOLUCIONES BOLETIN 10
1.
1
f ( x) 3 lg 3 3 x f ' ( x)
33 lg 3 3 2.
x 2
1
f ( x ) 3 ln x 3 f ' ( x) 3
3 ln x
1 x x lg 3 e 3 ln 3 3
1 2 3 3x x
3 2
1 1 f ( x) lg 3 3 x f ' ( x) 3 lg 3 e x 3 3 x 2 1 4. f ( x) lg 3 3 x f ' ( x) x lg 3 e 3 x ln 3 3 1 5. f ( x) ln 3 x f ' ( x) x 3 x ln 3 3 1 6. f ( x) lg 3 x 3 f ' ( x ) 3 lg 3 e 3x 2 x 1 1 7. f ( x ) lg 3 3 3 x f ' ( x) lg 3 e 3 3 x ln 3 3 x 3 3 1 8. f ( x ) 3lg3 x f ' ( x ) 3lg3 x ln 3 lg 3 e x 1 3 3 9. f ( x ) 3 x f ' ( x) 3 x ln 3 3 2 3 x 3 x 3 x 1 1 10. f ( x) 3lg3 3 f ' ( x ) 3lg3 3 ln 3 lg 3 e 3 3 x ln 3 3 x 3 3 3.
| 33
+
SOLUCIONES BOLETIN 11
1 2 ex 3 x 3 x 2 1 f ' ( x ) e x 3 x 2 ln x e x 3 x 2 ln x e x 3 x 3 x
1.
f ( x) ln x e x 3 x 2 f ' ( x )
2.
f ( x) ln x e x
3.
1 x e ln x e x ln x f ( x) x f ' ( x ) x 2 e ex
4.
5.
6.
3
x2
f ( x)
f ( x )
ln( x) 3
x2
x
e
f ' ( x)
x 1 2 e ln x x x e x ln x 3 x x ln x x
2 1 (1) 3 x 2 ln( x ) 3 x 3 x
e
ln x 3
ex
x
x2
e 1
f ' ( x)
x
9.
3
e
2
x
3
2
3
3
2
2
1 ex ex 1 ex 1 ex ex f ' ( x ) 2 1 ex 1 ex 1 1 2 1 ln x 1 ln x 2 2 x 1 ln x x x f ( x ) f ' ( x ) 2 2 2 1 ln x 1 ln x f ( x)
3 x
8.
2
2
3
7.
f ( x)
3
x ln x
2
f ' ( x)
x 3 ln 3
3
1 1 ln x f ( x) 3 f ' ( x) 3 1 ln x 1 ln x 1 ln x
10. f ( x ) 3 e x
2
2x
2x
e 3 f ' ( x) e 3
x 1x
2 x 2 3 x 3 ln x 3 x 3 x ln x 2
2 3
3
2
1 1 1 1 1 ln x 1 ln x x 2 x x 2 x 2 1 ln x
2 3
| 34
+
SOLUCIONES BOLETIN 12
f ' ( x)
3 x x 3 f ' ( x)
f ( x) 3 ln e x
3. 4.
2
2
6.
2
x 1
x
x
1 ln e x 3
2ln e 4 3
x 1
1
2 2
2 3 2 x 3 3 3 x
1 ln x 32 ln x 1 e e 3 x 1 1 2 3 2 2 2 f ( x ) ln 3 x 2 f ' ( x ) x 3 x2 3 33 x 2 3 x 33 x 3 3x f ( x ) 3 e ln x f ' ( x)
f ( x ) ln e
3
x
1
2
f ' ( x) e
5.
2 3
2ln e e1 e
1.
2.
1 ln e x 3
f ( x) 3 ln e x
f ( x) ln 3 e x f ' ( x)
ln e x f ( x) 3 x f ' ( x ) e
3
x
2
1 3
e
e 3
x
3
x
1
2 x3 3
2
ex
1 ln e x 3 e x
1 3
2 3
2
1 x 1 1 x 3 7. f ( x) 3 f ' ( x) x 3 x 3 x 3 x 1 8. f ( x) e e f ' ( x) e e 3 e x 3 1 9. f ( x ) e ln x f ' ( x) e ln x x 3 2 3 2 1 10. f ( x ) e ln x f ' ( x) e ln x 3 x2
1 x x x x x e e ln e e e x 2 e
1 ln e x 3 e x
2
3
1 ln e x x e
x 1 x x2
1
2 x3 3
| 35
+
SOLUCION PROBLEMAS ANA FRAGA
2)
(1, 1) , (1, 1)
3)
y
4)
y = 6(x 1)
5)
y5=
6)
(1, 3,5) , (2, 3)
7)
a = 2, b = 0
8)
p =3; q = 7
9)
y + 5 = 8(x + 1), y + 5 = 8(x 1)
10)
y = 6(x 1)
11)
a) y = x 1
12)
x = 2,
x = 2,
13)
x = 4,
y=1
14)
x = 0,
y=x1
15)
(0, 0),
x = 1,
16)
Punto de inflexión (0, 0)
17)
x = 4, y = x + 8
18)
x = 1,
1 1 = (x 3) 3 9
1 (x 12) 5
x = 9,
b) (0, 0) y = 2x
x = 1,
y=0
y=0
19) Creciente en ], 2[ ]0, +[. Decreciente en ]2,1[ ]1, 0[. Mínimo (0, 1). Máximo (2,3) 20) Creciente en ]0, 1[. Decreciente en ], 0[ ]1, +[. Convexa en ], 1 / 2 [. Cóncava ] 1 / 2 , + [
| 36
+
21)
Creciente en ],0[ ]2,+ [. Decreciente en ]0, 2[. Mínimo (2, 3). Máximo (0, 1) Convexa en ]1, +[. Cóncava ], 1[. Punto de inflexión (1, 1)
22)
24)
24)
a) Mínimo (1, 5). Máximo (1, 9). Punto de inflexión (0, 7) b)
c) y 7 = 3x
25)
27)
26)
b = 9,
c = 15,
d = 7 | 37
+
28) a) D = R; Mínimo (2, 0)
b) (0, 4) (2, 0)
c) Decreciente en ] , 2[ ; Creciente en ]2, +[.
29) a) Creciente en ]1, 1[. Decreciente en ], 1[ ]1, +[. Máximo (1, 1 / 2 ), mínimo (1, 1 / 2 ) b) y = 0
| 38
+
U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×
| 39