Problemas de Probabilidad by Miguel Perez

Statistics Probabilidad. Problemas

OpenMaths.com 1.1.5.3

Ver 01:03/02/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.5.3 correspondiente a

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.5

STATISTICS

1.1.5.3

PROBABILIDAD

COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 12/12/2009

PROBLEMAS PROPUESTOS

| PROBLEMAS PROPUESTOS 1

SUBJECT: Mathematics

THEME: Probability Group 1st Bach

Worksheet

1. Se tiran cuatro monedas al aire, se pide: a) Escribe el espacio muestral b) La probabilidad de sacar dos caras. c) Probabilidad de sacar al menos dos caras 2.- Se lanzan dos dados. Se pide la probabilidad de que la suma de puntos sea 7. 3.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar un doble al elegir una ficha en el juego del dominó?. 4.- Se elijen al azar dos libros de un conjunto de ocho, de los cuales tres son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca al menos uno defectuoso? 5.- Hallar la probabilidad de que en dos cartas extraídas de una baraja haya dos ases. 6.- En una bolsa hay 6 bolas blancas y 8 azules. ¿Cuál es la probabilidad que, al hacer cuatro extracciones a la vez , no sean las cuatro blancas? 7.- En el lanzamiento de un dado, sea A el suceso “Obtener nº par” y B el suceso “Obtener un nº primo”. Calcula y describe los sucesos A⋂B, AUB, A , A⋂ B y A ∪ B 8.- ¿Cuál es la probabilidad de no acertar ningún resultado en las quinielas?. 9.- Para hacer un examen de Matemáticas que consta de 24 temas se utiliza una urna que contiene 24 bolas numeradas del 1 al 24, cada una correspondiente a cada uno de los temas. De la urna se extraen 2 bolas al azar y los alumnos deben responder a esos dos temas. Si un alumno estudia solo 10 temas ¿Cuál es la probabilidad de que sepa las dos? ¿Y si solo debe exponer uno de las dos?. 10.- Un fabricante de cámaras de vídeo utiliza un microchip en la fabricación de cada cámara que produce. Los microchips son de dos marcas A y B, y son elegidos al azar para la fabricación de cada cámara. El 20% de los microchips son de la marca A y el resto de la marca B. El porcentaje de cámaras producidas que llevan un microchip defectuoso e de la marca A es del 0,6%, y el porcentaje de cámaras producidas que llevan un microchip defectuoso e de la marca B es del 0,7% a) Una cámara elegida al azar tiene el microchip de la marca A, ¿cual es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Calcúlese el porcentaje de cámaras que llevan el microchip defectuoso. a) c) Una cámara elegida AL azar tiene el microchip defectuoso, ¿cual es la probabilidad de que sea de la marca A? (PAU Loxse. Setembro 1999)

| PROBLEMAS PROPUESTOS 2

SUBJECT: Mathematics

THEME: Probability Group 1st Bach

Worksheet

1.- Define el espacio muestral para el experimento aleatorio consistente en elegir 3 personas de un grupo de 5. 2.- Se tiran dos monedas al aire, a) ¿Cuál es la probabilidad que salga al menos una cruz?. Y si lanzo seis monedas b) ¿Cuál es la probabilidad que salgan mayoría caras? 3.- Se sacan 10 cartas de un mazo de barajas españolas. Calcule la probabilidad de sacar: a) por lo menos un as; b) por lo menos dos ases. (Resp: a) 0,7001; b) 0,2559) 4.- Se tiran 2 dados no cargados. Indique la probabilidad de que: a) no aparezca ningún uno; b) no aparezca ningún uno y ningún dos. (Resp: a) 0,6944; b) 0,4444) 5.- Sea Ω un espacio de sucesos, A y B dos sucesos de Ω, tales que P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 y P(A U B) — P(A ⋂ B) = 0,3 Calcular P(A U B) y P(A ⋂ B). 6.- Una nave no tripulada se dirige al planeta Venus y tiene una probabilidad 0,7 de descender satisfactoriamente. A su vez, el sistema monitor da la información correcta con probabilidad 0,9 (sea o no satisfactorio el descenso). En la prueba, el monitor informó que el descenso era correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente lo haya sido? (Resp: 0,9545) 7.- En un hospital el 35% de los enfermos padece la enfermedad A, el 20% la enfermedad B y el 10% las dos enfermedades. Se elige un paciente al azar. A) Halla la probabilidad de que no padezca ninguna enfermedad. b) Si padece la enfermedad B ¿Cuál es la probabilidadde que no padezca la enfermedad A? 8.- Sea el experimento de que consiste en extraer 3 cartas, sin reemplazamiento, de una baraja. Calcula la probabilidad de que la primera carata sea un rey, la segunda un caballo y la tercera una figura. (Santillana 1º Bach. La Casa del Saber, pag 340) 9.- En una bolsa tenemos tres bolas numeradas con los números 1, 2 e 3. ¿Cual es la probabilidad de que al sacarlas una detrás de otra salgan ordenados los números ya sea en orden creciente o decreciente? 10.- En una universidad, en la que no hay más que estudiantes de ingeniería, ciencias y letras, acaban la carrera el 5 % de ingeniería, el 10 % de ciencias y el 20 % de letras. Se sabe que el 20 % estudian ingeniería, el 30 % ciencias y el 50 % letras. Tomando a un estudiante cualquiera al azar, se pide: a) Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de ingeniería. b) Nos dice que ha acabado la carrera. Probabilidad de que sea de ingeniería.

| PROBLEMAS PROPUESTOS 3

SUBJECT: Mathematics

THEME: Probability Group 1st Bach

Worksheet 3

1. Se lanza un dado y una moneda. Se pide: a) El espacio muestral, haciendo un diagrama de árbol. b) La probabilidad de sacar al menos cinco puntos con el dado. c) La probabilidad de obtener o bien cruz, o bien un número mayor que cuatro. 2.- Los médicos de un hospital hacen guardias tres días a la semana. a) Calcula la probabilidad de que un médico haga guardia el lunes, el martes y el miércoles. b) ¿Cuál es la probabilidad de que libre el fin de semana (sábado y domingo)? c) ¿Y de que esté de guardia tres días alternos, es decir, con un día de descanso entre la primera y la segunda guardias, y otro día de descanso entre la segunda y la tercera? 3- Un submarino lanza contra un barco tres torpedos. ¿Cuál es la probabilidad de hacer tres blancos si la probabilidad de hacerlo con cada uno es 1/2 ?. 4.- En un baile de disfraces se reúnen diez matrimonios. Se eligen dos personas al azar. Hallar la probabilidad de que: a) Los dos sean esposos ; b) Una sea mujer y el otro hombre. 5.- Sean A y B dos sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran ambos es 1/6 y la de que no ocurra ninguno es 1/3. Determine P(A) y P(B). (Resp: P(A) = 1/3 y P(B) = 1/2

ó P(A) = 1/2 y P(B) = 1/3 )

6.- En una clase de 30 alumnos, 21 aprobaron las Matemáticas y 18 la “Física y Química” pero solo 15 aprobaron las dos. Elegimos un alumno al azar de esa aula ¿cuál es la probabilidad de que aprobara alguna de las dos materias? ¿cual es la probabilidad de que suspendiera las dos? 7.- Se lanzan al aire 2 dados y la suma de puntos obtenidos es 7. ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los dados aparezca un 1? ¿Y de que no aparezca el 1? 8.- ¿Cuál es la probabilidad de acertar 14 resultados a la quiniela si se juegan 14 dobles? ¿Y si se juegan 6 triples y 8 dobles? 9.- En una bolsa hay 12 bolas blancas y 20 verdes. Si se hacen cuatro extracciones seguidas, ¿qué probabilidad habrá de que las cuatro bolas sean blancas a) Con devolución de la bola extraida. b) Sin devolución. 10.- Dos modelos de taladros se producen en una fábrica que dispone de 2 máquinas, en una máquina A produce el 60% y el resto en una máquina B. Supón que el 12% de los taladros producidos por A son defectuosos, y que el 8% de los producidos por B son defectuosos. Elegido al azar un taladro producido en esa fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Se elige al azar un taladro y resulta que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que lo fabricase la máquina A? (PAU Loxse. Junio 2000)

| PROBLEMAS PROPUESTOS 4

SUBJECT: Mathematics

THEME: Probability Group 1st Bach

Worksheet

1.- Pedro y María juegan a cara o cruz. En cada tirada de una moneda se gana o se pierde una peseta. Martín comienza el juego con una peseta y dejará de jugar si antes de la quinta tirada pierde todo su dinero o si gana tres pesetas. El número máximo de jugadas es cinco. Se pide: a) El número de elementos del espacio muestral. b) El número mínimo y máximo de tiradas para ganar. 2.- Una moneda está cargada de modo que la probabilidad de que aparezca cara es doble de que apareza cruz. Halla la probabilidad de los sucesos: a) Salir cara , b) salir cruz. 3.- En una carrera de seis caballos hay boletos para apostar por "vencedor y segundo". Una persona rellena cínco boletos.Calcular la probabilidad que tiene de acertar. 4.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces salga por lo menos un 6?. 5.- Dos sucesos A y B verifican que P(A) = ½, P(AUB) = ¾ P( B ) =

. Calcula:

a) P(A⋂B) a) b) P A ∩ B b)

( ) c) P (A ∪ B )

6.- ¿Cuál es la probabilidad de que, lanzando tres dados, se obtengan nueve puntos. 7.- Un test para detectar la presencia de cierto tipo T de bacterias en el agua da positivo con una probabilidad de 0,9 en el caso de haberlas. Si no las hay, la probabilidad de que de positivo es 0,2. Se dispone de 100 muestras de auga de las que solo 25 contienen bacterias tipo T. Si se elige una muestra al azar, ¿cual es la probabilidad de que la muestra contenga bacterias de tipoT y que, en el caso de aplicarlle el test, nos de positivo? Si se elige una muestra al azar, ¿cual es la probabilidad de que la muestra no contenga bacterias de tipo T y que, en el caso de aplicarle el test, nos de positivo? Si una muestra contiene bacterias de tipo T, ¿cual es la probabilidad de que al aplicarle el test de negativo?. (PAU Logse. Junio 1997) 8.- Al tomar una ficha del juego del dominó, ¿qué probabilidad existe de que la suma de sus números nos dé un múltiplo de tres?. 9.- En una bolsa hay 10 bolas numeradas del uno al 10, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos de ellas la suma de sus números sea 10? 10.- 60 estudiantes de Matemáticas y 20 de Farmacia hicieron un examen de matemáticas. El porcentage de aprobados, entre los alumnos de Farmacia, fue del 60%. El porcentage de suspensos, entre los alumnos de Matemáticas, fue del 10%. a) ¿Cual fue el porcentage de aprobados? b) Entre los aprobados, ¿que porcentage son estudiantes de Matemáticas? (PAU Logse. Setiembre 2000) | PROBLEMAS PROPUESTOS 5

SUBJECT: Mathematics

THEME: Probability Group 1st Bach

Worksheet

1.- Manolo y Eduardo intervienen en un torneo de tenis. El primero que gane dos partidas seguidas o tres alternas gana el torneo.Se pide: a) El número de elementos del espacio muestral b) El número mínimo de partidos o el número máximo para concluir 2.- De un mazo de cartas españolas (40 cartas) se extraen al azar 4 cartas. Calcule la probabilidad de que: a) sean de palos distintos. b) sean de palos distintos y además tengan valores distintos. Resp: a) 0,1094; b) 0,0552 3.- De las niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Se escogen dos niñas al azar de las diez que componen la clase. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ambas tengan ojos azules, b) ninguna los tenga azules, c) una por lo menops los tenga azules 4.- Se tienen dos barajas de 40 cartas cada una.¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta de cada baraja salgan dos oros?. Y si se mezclan las dos barajas y se sacan de una vez las dos cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que sea una oros y otra copas?. 5.- En una ciudad se publican tres periódicos. Investigando sobre un grupo de 100 personas, 54 leen el A; 41 el B; 26 el C; 11 leen A y B; 9,A y C; 10, B y C; 6 leen A, B y C. Calcular: a) La probabilidad de que una persona lea por lo menos uno de los tres periódicos. b) La probabilidad de que una persona lec solamente el A. c) La probabilidad de que una persona lea B ó C, pero no A. 6.- Un dado numerado del 1 a 6 está lastrado de modo que la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número. a) Calcular la probabilidad de cada uno de los resultados posibles b) Hallar la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió impar. c) Calcular la probabilidad de que salga par si se sabe que salió mayor que 3. 7.- De un juego completo de dominó (28 fichas) se ha extraído una ficha al azar. Hallar la probabilidad de que una segunda ficha tomada al azar se pueda juntar a la primera si ésta no resulta doble. 8.- ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, sabiendo que sólo pueden lanzarse 3 torpedos y que la probabilidad de hacer blanco con un torpedo es 0,2? 9) Escribimos cuatro cartas y los sobres correspondientes. Metemos las cartas en los sobres sin fijarnos si se corresponden. ¿Cuál es la probabilidad de que acertemos todas? ¿Cuál es la probabilidad de fallar alguna?. 10.- Se lanza un par de dados. Si los números que resultan son diferentes, hallar la probabilidad de que su suma sea par.

| PROBLEMAS PROPUESTOS 6

SUBJECT: Mathematics

THEME: Probability Group 1st Bach

Worksheet

1.- Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios a) Extracción de dos bolas en una hurna donde hay 2 amarillas, 2 blancas y 1 negra b) Escribe el suceso “No obtener ninguna bola blanca“ y su contrario 2.- En una clase hay ocho alumnos de 14 años, dieciocho de 15 años y nueve de 16 años y cuatro de 17 años. Se eligen al azar dos alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de la misma edad? ¿Y de que sean de distinta edad? ¿Y de que uno de ellos tenga dos años más que el otro?¿Y de que uno al menos tenga 16 años? 3.- Probabilidad de obtener tres caras al lanzar diez veces una moneda?. 4.- Los participantes de un sorteo sacan fichas de una caja con fichas numeradas desde 1 hasta 100. Hallar la probabilidad de que la primera ficha extraída al azar no contenga la cifra cinco. 5.- Sean A y B sucesos independientes con P(A) = 0.6 y P(B) = 0.2. Calcula P ( A ∩ B ) , P ( A ∪ B ) y P ( A / B ) . (PAU Loxse. Septiembre 2001) 6.- El 40% de las declaraciones del impuesto sobre la renta son positivas. Un 10% de las que resultaron positivas lo fueron como consecuencia de errores aritméticos en la realización de la declaración. Si hay un 5% de declaraciones con errores aritméticos, ¿qué porcentaje de estas resultaron positivas? (PAU Loxse. Xuño 1999) 7.- Las probabilidades de que un esposo y una esposa estén vivos dentro de 20 años están dadas por 0.8 y 0.9 respectivamente. Hallar la probabilidad de que en 20 años (a) ambos vivan; (b) ninguno viva; (c) al menos uno viva. 8.- Si un suceso A está contenido en otro B y sabemos que p(B) = 0,5, ¿entre qué valores estará la probabilidad de A? 9.- En una urna se tienen bolas numeradas del 1 al 90. Encontrar la probabilidad de que al extraer una bola al azar sea: a) Impar o múltiplo de 5. b) La misma cuestión si anteriormente se había extraído ya el 50. Respuesta a) 54/90

b) 53/89

10.- Según la estadística de los resultados en las Prueba de Acceso en una provincia andaluza, en septiembre de 2001, el número de alumnas presentadas es de 840, de las que han aprobado un 70%, mientras que el número de alumnos presentados es 668, habiendo aprobado un 75% de estos. a) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado?. b) Sabiendo que una persona ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que sea varón?

| PROBLEMAS PROPUESTOS 7

SUBJECT: Mathematics

THEME: Probability Group 1st Bach

Worksheet

1.- Sean A y B dos sucesos cualesquiera de probabilidad no nula e independientes. Justificar si son ciertas las siguientes afirmaciones: a) P(A/B) = P(A). b) P(B/A) = P(B). c) P(A ⋃ A) = 0,5. 2.- Hallar la probabilidad de que al lanzar cinco veces una moneda al aire salgan: a) b) c) d)

Las cinco veces cara. Cuatro veces cara. Dos veces seguidas cruz. Sacar alguna vez CRUZ

3.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un cinco al lanzar un dado? Y, ¿cuál la de obtener al menos un cinco, al tirar ocho veces? 4.- ¿Cuál es la probabilidad de que los cumpleaños de tres hermanos caigan en tres días diferentes del año? 5.- Al lanzar un dado, sea A el suceso “obtener un número mayor que 2” y B el suceso “Obtener un número menor que 5”. Calcula A , B y entre los cuatro encuentra dos que sean incompatibles. 6.- Un jugador de parchís fabrica un dado trucado, donde el 1, 2, 3, 4 tienen la misma probabilidad de salir, pero el 5, tiene el doble de posibilidades que el 1, el 2, el 3 y el 4; y el 6, que tiene el doble de posibilidades que el 5. ¿Cuál es la probabilidad de cada número? 7.- Una tómbola ofrece sobres sorpresa donde 2 de cada 10 tienen premio. ¿Cuál es el número mínimo de sobre que debo adquirir para tener una probabilidad superior al 50% de obtener premio? 8.- En una caja en la que hay 4 monedas de 1 € y 4 de 2 €. Si se extraen dos monedas al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener 4 € ? 9.- Una bolsa contiene diez bolas blancas y seis negras. Se extraen simultáneamente dos bolas . ¿Qué probabilidad existe de que sean del mismo color ? ¿Y de que sean de distinto? 10.- Cuando los motores llegan al final de una cadea de produción, un inspector escoge los que deben pasar una inspección completa. Supóngase que se producen un 10% de motores defectuosos, y que el 60% de todos los motores defectuosos es el 20% de los buenos pasan una inspección completa. Calcular: a) Probabilidad de que un motor elegido al azar sea defectuoso y pasase la inspección. b) Probabilidad de que un motor elegido al azar sea bueno y pasase la inspección. c) Si conocemos que el 24% de los motores pasan la inspección, ¿que porcentaje de los mismos son defectuosos? (PAU Logse. Junio 2001)

| PROBLEMAS PROPUESTOS 8

THEME: Probability Group 1st Bach

SUBJECT: Mathematics

Worksheet

1.- Se lanzan al aire 4 monedas y se pide: a) Espacio muestral. b) Suceso obtener 3 caras. 2.- Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, tomamos tres al azar y formamos una cifra de tres números distintos. Calcular la probabilidad de que sea múltiplo de tres. 3.- ¿Cuál es la probabilidad de que una persona se case con otra cuyo cumpleaños sea el mismo día? 4.- En una rifa hay 500 papeletas numeradas del 1 al 500. Se secan tres papeletas. Calcular la probabilidad de que las tres papeletas lleven números consecutivos. 5.- En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un dia asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno/a que falta a) a)Sea hombre. b) Sea mujer morena. c) Sea hombre o mujer. Respuesta

a) 1/3

b) 4/9

c) 1

6.-¿A que suceso es equivalente A ⋂ C ⋂ B .¿A que sucesos es equivalente A–B? (haz diagramas de Venn si lo crees necesario) 7.- Se lanza un dado. Si el número es impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo? 8.- 6- Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6; la probabilidad de que pase la segunda es 0,8, y la de que pase ambas es 0,5. Se pide: a) b) c) d)

Probabilidad de que pase al menos una prueba. Probabilidad de que no pase ninguna prueba. ¿Son las pruebas sucesos independientes? Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera.

9.- En una urna hay 20 bolas blancas y 10 negras. Hallar la probabilidad de que al extraer dos bolas, realizando la extracción sin devoluciones, las dos bolas sean del mismo color. Respuesta 47/87

10.- 60 estudiantes de Matemáticas e 20 de Farmacia fixeron un exame de matemáticas. A porcentaxe de aprobados, entre os alumnos de Farmacia, foi do 60%. A porcentaxe de suspensos, entre os alumnos de Matemáticas, foi do 10%. a) ¿Cal foi a porcentaxe de aprobados? b) Entre os aprobados, ¿que porcentaxe son estudiantes de Matemáticas? (Loxse. Setembro 2000)

| PROBLEMAS PROPUESTOS 9

SUBJECT: Mathematics

THEME: Probability Group 1st Bach

Worksheet

1.- Un dado está coloreado de modo que tiene 3 caras rojas, 2 azules y 1 blanca. Lo lanzamos una vez. a) Escribe el espacio mostral. b) Escribe los sucesos elementales. c) Calcula la probabilidad de los sucesos elementales. d) Sea D el suceso “obtener un color distinto de blanco” y relaciónalo co los sucesos elementales. e) Calcula la probabilidad del suceso D. 2.- En una urna hay cincuenta bolas numeradas con los 50 primeros números. ¿Qué probabilidad hay de sacar las cincuenta bolas en el orden natural?. 3.- Determinese la probabilidad de que al lanzar un dádo sobre la mesa, la suma de puntos de todas las caras visíbles sea 18. 4.- Admititiendo que engendrar hijos varones o hembras son sucesos equiprobables, ¿qué probabilidad existe de encontrar entre todas las familias, una que tenga cuatro varones? ¿Y encontrar, al azar, una de esas familias que tenga, al menos, cuatro varones? 5.- Temos cinco cartas para meter en cinco sobres. ¿Cal é a probabilidade de que colocándoas sen mirar o destinatario tódalas cartas cheguen correctamente ós destinatarios? ¿Cal é a probabilidade de que algunha chegue mal? 6.- La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un periódico es de 0,4. La probabilidad de que adquiera una revista es de 0,3 y la probabilidad de que adquiera ambas publicaciones es de 0,2. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que adquiera alguna publicación. b) Que no adquiera ninguna publicación. c) Que adquiera sólo una publicación. a)

(Selectividad. Granada, 1993).

7.- Halla la probabilidad de que al elegir una ficha del dominó la suma de sus puntos mayor que 3. 8.- Tres tornillos y tres tuercas están en una caja. Si se escogen dos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca. 9.- En una urna hay 10 bolas negras, 12 blancas y 7 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas simultáneamente salga una bola de cada color? (Respuesta 20/87 ) 10.- O 40% das declaracións do imposto sobre a renda son positivas. Un 10% das que resultaron positivas fórono como consecuencia de erros aritméticos na realización da declaración. Se hai un 5% de declaracións con erros aritméticos, ¿que porcentaxe destas resultaron positivas? (Loxse. Xuño 1999)

| PROBLEMAS PROPUESTOS 10

PROBLEMAS BÁSICOS 1.- Se consideran los sucesos aleatorios que se relacionan a continuación. Escribe su espacio muestral y calcula la probabilidad de cada suceso elemental del espacio muestral. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Lanzar una modeda Lanzar dos monedas Lanzar tres modedas Lanzar un dado Lanzar dos dados Lanzar una moneda y un dado Extraer una ficha de una colección de fichas de domino Extraer una carta de una baraja española de 40. Extraer una bola de una urna con 3 bolas rojas y dos blancas.

Solución 1 a) Tirar una moneda Ω = { C, X } con probabilidad 1/2. b) Tirar dos monedas Ω = { CC, CX, XC, XX } con probabilidad 1/4. c) Tirar tres monedas Ω = { CCC, CCX, CXC, XCC, CXX , XCX, XXC, XXX } Cada elemento con probabilidad 1/8. d) Tirar un dado Ω={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Cada elemento con probabilidad 1/6 f) Tirar dos dados Ω = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } Cada elemento con probabilidad 1/36 g) Un dado y una moneda Ω = { (C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (X,1), (X,2), (X,3), (X,4), (X,5), (X,6) } Cada elemento con probabilidad 1/12.

| 11

h ) Extraer una ficha de domino Ω = { (0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0), (6,0), (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3), (4,4), (5,4), (6,4), (5,5), (6,5), (6,6) } Cada elemento con probabilidad 1/28. i) Una carta de una Baraja española Ω = { 1O, 2O, 3O, 4O, 5O, 6O, 7O, SO, CO, RO, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, SC, CC, RC, 1E, 2E, 3E, 4E, 5E, 6E, 7E, SE, CE, RE, }

1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, SB, CB, RB

Cada elemento con probabilidad 1/40

2.- a) Hallar la probabilidad de sacar un as en la extracción de una carta de una baraja de cuarenta, b) ¿Y que sea una sota, un caballo o un rey? c) ¿y una figura de oros? d) ¿y si extraigo dos cartas cuál es la probabilidad de que sean dos ases? e) ¿Y en este último casod e dos extracciones que sean dos figuras? Solución 2 a) P ( Un as) = 4/40 b) P(Sota, caballo o rey) = 12/40 c) P(“Figura de oros”) = 4 / 40

d) P(2 ases) =

C 4,2 C 40,2

 4   2 4⋅3 1 =   = = = 0.0077  40  40 ⋅ 39 ⋅ 38 ⋅ 37 130   2

| PROBLEMAS BÁSICOS 12

e) P(2 figuras) =

C16,2 C 40,2

16    2 16 ⋅15 =  = = 0.1538  40  40 ⋅ 39   2

3.- Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas salgan: b) c) d) e)

Dos caras ; dos cruces ; una cara y una cruz; al menos una cara. Solución 3 a) P(CC) = 1/4; 2/4.

b) P(XX) = 1/4, c) P(“Una cara y una cruz”) = P((C,X),(X,C)) =

d) P(“Al menos una cara”) = P((C,X),(X,C),(C,C)) = 3/4. 4.- Un grupo de estudiantes está formado por 5 del curso 1º, 6 del curso 2º, 5 del curso 3º y 4 de del último año. Se escoge un estudiante al azar. Hallar la probabilidad de que el estudiante sea , a) de 2º , b) del último año , c) del penúltimo o del último año. Solución 4 a) P(2º) = 6/20; b) P(Ultimo año) = 4/20; c) P(penúltimo U último) = 9/20 5.- Una urna tiene cinco bolas blancas y tres negras.a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída sea blanca?. b) Y si extraigo dos bolsa ¿Cuál es la probabilidad de que sean 2 blancas? C) ¿ Y sie xtraigo tres que sean 3 blancas? Solución 5 a) P(Blanca) = 5/8 = 0.625 b) P(2 blancas) = C5,2 / C8,2 = 0.3571 c) P(3 blancas) = C5,3 / C8,3 = 0.1786 6.- Se lanzan dos dados al aire a) b) c) d) e)

¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de obtener dos números iguales? ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de cada dado sean distintos? ¿Que es más probable sumar 5 o sumar 7? ¿Son todas las sumas igualmente probables? ¿Cuál es la más difícil? Solución 5 a) P(“2 números iguales”) = 6/36 b) P(“2 números distintos”) = 1- 6/36 = 30/36 | PROBLEMAS BÁSICOS 13

c) El suceso A = {“suma 5} = { (1,4), (4,1) (2,3), (3,2) } tiene 4 elementos El suceso B = {“Suma 7”} = { (1,6), (6,1) (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} tiene 6 elementos P(A) = 4/36 y la de B = 6/36 d) En absoluto como se refleja en la siguiente tabla Probabilidad de suma = ...

Suma = 2

(1,1)

1/36

(1,2), (2,1)

2/36

(1,3), (3,1), (2,2)

3/36

(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)

4/36

(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)

5/36

(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)

6/36

(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)

5/36

(3,6), (6,3), (4,5), (5,4)

4/36

(4,6), (6,4), (5,5)

3/36

(5,6), (6,5)

2/36

(6,6)

1/36

e) La más difícil son las menos probables, es decir, suma 2 y suma 12, ambas con probabilidad 1/36. 7.- ¿Que é máis difícil, sacar un 6 nun dado ou dúas caras ó lanzar dúas veces unha moeda? Solución 7 Obtener un 6 al lanzar un dado tiene probabilidad 1/6 mientras que sacar 2 caras al lanzr dos veces una moneda tiene probabilidad ¼. Es por tanto más difícl obtener un 6 al lanzar un dado. 8.- ¿Cuál es la probabilidad de que acierte un pleno en una quiniela de 14 un quinielista que cada semana juega 8 columnas distintas? Solución 8 R = 314 posibles quinielas distintas luego P(acertar jugando 8) = Existen V3,14

8 314

| PROBLEMAS BÁSICOS 14

9.- En una baraja española se extraen simultáneamente tres cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan dos ases? Solución 9  4  36  4⋅3    ⋅ 36 2 1 P ("2 Ases en 3 extracciones") =    = 2 ⋅1 = 0.0218 40 ⋅ 39 ⋅ 38  40    3 ⋅ 2 ⋅1 3 10.- Una peña sortea un jamón vendiendo 1000 boletos numerados. Se quedan sin vender 50, ¿cual es la probabilidad de que el jamón se pueda utilizar en otro sorteo? Solución 10 Se trata de que no le toque a nadie, es decir 950/1000 = 0.95 11.- Elegimos al azar una letra de la palabra PROBABILIDAD, ¿cual es la probabilidad de que sea una letra A?, ¿cual es la probabilidad de que sea una vocal? Solución 11 La palabra PROBABILIDAD tiene 12 letras y tiene 2 letras “A” y tiene 5 vocales, por tanto P(letra A) = 2/12 P(Vocal) = 5/12 12.- ¿Cual es la probabilidad de que un mes cualquera elegido en el calendario tenga 31 días? ¿Cual es la probabilidad de que tenga menos? Solución 12 P(31 días) = 7/12 P(menos de 31 días) = 5/12 13.- Al marcar el número de teléfono, el abonado se olvidó de las dos últimas cifras y, recordando solamente que estas cifras son diferentes, las marcó al azar. Hallar la probabilidad de que se han marcado las cifras necesarias. Solución 13 R = 102 = 100 números , pero Con los 10 cifras 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 se pueden formar V10,2

si las cifras son distintas entonces son V10,2 = 10 ⋅ 9 = 90 números. Por tanto, tomando un n´ñuemro al azar con dos cifras distintas tengo una probabilidad de 1/90.

14.- a) Hallar la probabilidad de sacar dos ases en la extracción de dos cartas consecutivas de una baraja de cuarenta, b) ¿Y que alguna sea un caballo o un rey? c) ¿y que sean dos figuras? | PROBLEMAS BÁSICOS 15

Solución 2 Al ser dos extracciones consecutivas, hay una primera y una segunda, luego en esta modalidad , a diferencia con el problema 2, nos está importando el orden. Entonces

V4,2

4⋅3 = 0.0077 ; y como se puede apreciar, pese a que ahora V40,2 49 ⋅ 39 son variaciones, el resultado en cuanto a probabilidad es el mismo que en el referido problema 2 a) P(2 ases) =

 4  36   4  36   4  4           1 1 1 1 1 1 P(Caballo ∪ Rey) = P (C ) + P ( R )− P (C ∩ R ) =    +    -    =... b) V40,2 V40,2 V40,2 ...=

2 ⋅144 − 16 = 0.1743 40 ⋅ 39

c) P(2 figuras ) =

V12,2 V40,2

12 ⋅11 = 0.0846 49 ⋅ 39

15.- Una enciclopedia consta de 40 tomos, el primero de los cuales es ”Matemáticas”. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 3 tomos al azar resulte elegido el tomo de Matemáticas? Solución 15 1 39     1 2 39 ⋅ 38 La probabilidad pedida es    = = 0.025 40 ⋅ 39 ⋅ 38  40    3 16.- Si entrego al azar tres carnés de identidad a sus tres titulares, ¿cuál es la probabilidad de que acierte completamente? Solución 16 P (coincidan 3 DNIs) =

1 1 = 3! 6

17.- Dos niños escriben, cada uno de ellos por separado, un número con las tres cifras 1, 2 y 3. Hallar la probabilidad de que los dos formen el mismo número. Solución Igual al anterior, además de ser otra variedad más del problema de la secretaria y los n sobres y las n cartas. P ("coincidan 3 numeros") =

1 1 = 3! 6

| PROBLEMAS BÁSICOS 16

18.- Para un examen tenemos 10 temas y el profesor sortea uno de ellos para preguntarnos y nosotros solo hemos estudiado 6 temas. (a) Calcula la probabilidad de aprobar. (b) ¿Y si pregunta 2 temas y hay que responder los dos bien? (c) ¿Y si pregunta dos temas y solo tenemos que responder a uno? Solución a) Es básico P(Aprobar) =6/10 b) P(Aprobar) = C6,2/C10,2 = 15/45 = 0.3333 c) P(Aprobar) =

C6,2 + C6,1C4,1 C10,2

15 + 24 39 = = 0.8667 45 45

Este último también lo podemos calcular como P(saber alguno) = 1 – P(no saber ninguno) = 1 – C4,2/C10,2 = 1 – 39/45 = 0.8667

| PROBLEMAS BÁSICOS 17

ESPACIOS MUESTRALES Se a probabilidade da intersección de dous sucesos independentes é 0,2 e a da súa unión é 0,7, ¿cal é a probabilidade de cada un destes sucesos?(Loxse. Setembro 1999) Galicia Sergio y Ana Solución Sexan os sucesos A e B. Tendo en conta a seguinte propiedade da probabilidade: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 0,7 = P(A) + P(B) − 0,2 ⇒ P(A) + P(B) = 0,9 Por seren A e B sucesos independentes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ⇒ P(A) · P(B) = 0,2 Obtemos o seguinte sistema de ecuacións:

P( A) + P( B) = 0,9 ⇒  P( A) · P( B) = 0,2

[P( A)] 2 − 0,9 · P( A) + 0,2 = 0

P( A) ·[0,9 − P( A)] = 0,2 ⇒

⇒

⇒ P( A) = 0,5, P( A) = 0,4 Se P(A) = 0,5, P(B) = 0,4. Se P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 Por conseguinte, as probabilidades pedidas son 0,4 e 0,5 Se tienen 3 resistencias: A, B y C. Luego de un cierto tiempo se obtuvieron las siguientes probabilidades de encontrar quemadas las resistencias: P(A) = 0,2; P(B) = P(C) = 0,08; P(AIB) = 0,04; P(A/C) = 1/4; P(B/C) = 3/8; P(AIBIC) = 0,01. Calcule la probabilidad de encontrar: a) por lo menos una resistencia quemada; b) solo una resistencia quemada; c) solo dos resistencias quemadas; d) B quemada sabiendo que lo están A y C; e) exactamente dos quemadas sabiendo que por lo menos una lo está; f) ninguna quemada. Resp: a) 0,28; b) 0,21; c) 0,06; d) 0,5; e) 0,2143; f) 0,72

En una ciudad el 45% de la población lee el periódico A, el 50% lee el B y el 45% lee el C. De las personas que leen el B, el 50% no lee el A. Se sabe que la probabilidad de que una persona que lee el C lea el A es 1/3, y que si no lee ni el A ni el C, la probabilidad de que lea el B es 0,6. Además hay un 5% de personas que lee los tres periódicos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de dicha ciudad lea algún periódico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea solo un periódico? c) Si lee el C, ¿cuál es la probabilidad de que no lea ninguno de los otros dos periódicos? Resp: a) 0,9; b) 0,45; c) 4/9 = 0,4444

Dados tres sucesos A, B e C imaxinarios dun experimento, sinala sobre diagramas de Venn os sucesos seguintes: AUB

A∪B

AUBUC

A⋂B⋂C

A∩ B

AUB

B–A

| PROBLEMAS BÁSICOS 18

El 50% de los alumnos que asisten a clase de Probabilidad y Estadística aprueban la materia por promoción. El 80% de los que aprueban por promoción asiste a clase. Hay un 70% de alumnos que asiste a clase. ¿Qué porcentaje de alumnos aprueban por promoción? Resp: 43,75%

Se han enviado dos vendedores A y B a dos distintos clientes para ofrecer un producto y se sabe que P(A no tenga éxito) = 0,2; P(B sólo no tenga éxito) = 0,15 y P(A y B no tengan éxito) = 0,16. Calcular: a) P(uno al menos tenga éxito); b) P(A tenga éxito / B tuvo éxito); c) P(A sólo no tenga éxito). Resp: a) 0,84; b) 0,942; c) 0,04

Dos tiradores A y B dan en el blanco con probabilidades PA y PB y disparan simultáneamente a sus propios blancos hasta que alguno acierta. Calcular las probabilidades de los sucesos "gana A", "gana B" y "empatan". Resp: PA (1 − PB) / (PA + PB − PA PB); PB (1 − PA) / (PA + PB − PA PB); PA PB / (PA + PB − PA PB)

Describe el espacio muestral correspondiente a la elección el azar de un número real comprendido entre 0 y 1/2. Defina dos sucesos asociados a dicho experimento. Se deja caer un dardo sobre una hoja de papel y se marca el lugar donde cayó. Defina el espacio muestral y dos sucesos aleatorios asociados a dicho experimento. Un experimento consiste en lanzar una moneda y un dado. Si A es el suceso "sale cara al lanzar la moneda" y B es el suceso "sale 3 ó 6 en el dado" describa: a) E, AC, BC; b) por lo menos ocurre uno de los sucesos; c) a lo sumo ocurre un suceso; d) ninguno de los dos sucesos ocurre; e) ocurre solo un suceso; f) ocurre solo el suceso A. O venres pasado presentáronme unha parella, e dixéronme que tiñan dous fillos. O sábado souben que un dos fillos se chamaba Kevin Luis, e o domingo que este era o maior dos irmáns e que quería estudiar Filosofía. ¿Como foi variando, co progreso da información, a probabilidade de que os dous fillos sexan varóns? Determinar estas probabilidades. Solución No venres o espacio mostral é {VV, VH, HV, HH}. A probabilidade de que os dous fillos sexan varóns é 1/4. No sábado o espacio mostral é {VV, VH, HV}. A probabilidade de que os dous fillos sexan varóns é 1/3. No domingo o espacio mostral é {VV, VH}. A probabilidade de que os dous fillos sexan varóns é 1/2.

| PROBLEMAS BÁSICOS 19

MONEDAS Se lanzan simultáneamente tres monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que todas queden en el suelo del mismo modo? Respuesta 1) 1/4

Hallar la probabilidad de que al lanzar cuatro veces una moneda al aire salga las dos primeras veces seguidas cara y, las dos siguientes cruz.

Se lanzan nueve monedas al aire. ¿Qué probabilidad hay de conseguir cinco caras y cuatro cruces?

¿Cal é a probabilidade que ó lanzar 6 veces unha moeda saian 3 caras e 3 cruces?

Se tira una moneda repetidamente hasta que salga cara. Calcular la probabilidad de que haya que tirar la moneda menos de cinco veces.

Dados Lanzamos un dado normal. Sexa A o suceso {1,2,3} e B o suceso {5,6} ¿Son sucesos elementais? ¿Son sucesos compatibles? Calcula a probabilidade de A Calcula a probabilidade de B Calcula a probabilidade de A∩B Calcula a probabilidade de AUB

| PROBLEMAS BÁSICOS 20

Se carga un dado de manera que los números pares tienen el doble de posibilidad de salir que los impares. Hallar la probabilidad de que: a) aparezca un número par. b) aparezca un nrimero primo. c) aparezca un número primo impar. En un dado se pintan de blanco las caras 1, 2, 4, 5, y de azul las caras 3, 6. ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar al aire dos veces el dado salga: a) b) c) d)

Las dos veces azul La primera vez azul y la segunda blanco. La primera vez blanco y la segunda azul Las dos veces blanco

¿Cuál es la probabilidad de que al echar dos veces un dado cualquiera,salga?: a) Las dos veces un múltiplo de dos. b) Las dos veces un múltiplo de dos o tres. c) Las dos veces un múltiplo de tres. Se tienen tres dados:uno blanco, otro azul y el tercero verde. ¿Cuál es la probabilidad de que salga par en el blanco, múltiplo de 3 en el azul y menor que cuatro en el verde?. Se arroja un dado al aire cinco veces y se anota los resultados que vayan saliendo, formando con ellos un número de cinco cifras.¿Cuál es la probabilidad de que aparezca el número 13625 ?. ¿Cuál tiene mayor probabilidad de ganar, un jugador que juega a que salga siete u otro que apuesta a que salga 10, como suma de los puntos al tirar dos dados? Tirado un dado, hallar la probabilidad de que aparezca un número par de puntos. Sea el suceso A sacar una suma inferior a 8 al lanzar dos dados y B el suceso consistente en sacar una suma múltiplo de 3 al lanzar ambos dados. ¿Son compatibles A y B? ¿Son independientes? 84.-Jugando con tres dades , ¿quién tiene más probabilidad de ganar, el que juega a sacar 10 puntos o el que juega a sacar 12 puntos? Se lanza un dado y, a continuación, una moneda. Halla la probabilidad de obtener: a) Cuatro y Cara. b) Cruz e impar. c) Cara y un número mayor que 1. Respuesta

a) 87 a) 1/12

b) 1/4

c) 5/12

Un dado está trucado de forma que la probabilidad de sacar 2 es doble que la de obtener 1; la de sacar 3 es triple que la de 1; la de 4 cuádruple que la de 1 y así sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 4? Respuesta 4/21

| PROBLEMAS BÁSICOS 21

Cartas Calcula la probabilidad de obtener 3 reyes en tres extraccións de una baraja en los casos “con reemplazamiento” y “sin reemplazamiento” Extraemos sin reemplazamiento, 3 cartas de una baraja. Calcula la probabilidad de que la primera carata sea un As, la segunda un Rey y la tercera una Figura. (Figuras son los Ases y los Reyes, caballos y Sotas) Dunha baralla sacamos sen mirar 3 cartas sen remprazamento. Calcula a probabilidade de obter as tres cartas de ouros. Al extraer dos naipes de una baraja de 40, calcular las siguientes probabilídades: a) a)Que la primera sea AS y la segunda REY b) b)Que la primera sea REY y la segunda AS. c) c)Que una sea AS y la otra REY. Para vencer en una mano de cartas debemos conseguir en una extracción, o bien un “AS”, o bien "OROS" . Calcular la probabilidad que tenemos de ganar. Se selecciona una carta al azar entre 50 numeradas del uno al 50. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) sea divisible por 5 b) primo c) termine en dos. ¿Cuál es la probabilidad de que al hacer varias extracciones sucesivas, con devolución, salga un as, un dos, un as, un tres, un as y un rey ? Sacando cuatro cartas de una baraja española de 40, ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos reyes y dos sotas en este orden?. a) Sacando, sucesivamente, después de introducir en la baraja la carta extraida en la vez anterior. b) Si no se introduce la carta extraída. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco eartas simultáneamente de una baraja española salgan tres ases y la otras dos cartas iguales entre si?. ¿Cuál es la probabilidad de que en una extracción simultánea de tres cartas resulten tres copas? ¿Y de que salgan la primera copas, la segunda espadas y la tercera oros en tres extraciones consecutivas sin devolución?. De tres barajas de 52 cartas se extraen tres cartas, una de cada baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean del mismo palo? De una baraja de 52 cartas se extraen, de una vez, cinco naipes. ¿Qué probabilidad hay de que se hayan conseguido tres reyes y una pareja?

| PROBLEMAS BÁSICOS 22

En una baraja hay 4 ases y 48 cartas no ases. Un jugador extrae cinco cartas. ¿Qué probabilidad hay de que haya conseguido un trío de ases? De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Calcular la probabilidad de que sea: a) Oros o bastos. b) Copas o figura (sota, caballo y rey). Respuesta a) 1/2

b) 19/40

¿Que é mais fácil ó extraer unha carta dunha baralla española, sacar unha figura ou sacar unha carta calquera de ouros?. ¿Cal é a probabilidade de sacar unha figura de ouros? ¿Cal é a De una baraja española se toman 10 cartas de los oros. ¿Cuál es la probabilidad de que al extender estas 10 cartas en una fila resulten el rey y el caballo juntos? Hallar la probabilidad de sacar un rey y un caballo en la extracción simultánea al azar de dos cartas de una baraja española.probabilidade de sacar unha figura ou unha carta de ouros? As 3 extraccións dunha baralla sen remprazamento, ¿son independentes?. ¿E os tres resultados se se lanza 3 veces un dado? ¿E se se fan 3 extraccións da baralla con remprazamento? De un mazo de cartas españolas (40 cartas) se extraen al azar 4 cartas. Calcule la probabilidad de que: a) sean de palos distintos. b) sean de palos distintos y además tengan valores distintos. Resp: a) 0,1094; b) 0,0552

Se sacan 10 cartas de un mazo de barajas españolas. Calcule la probabilidad de sacar: a) por lo menos un as; b) por lo menos dos ases. Resp: a) 0,7001; b) 0,2559

Indique la probabilidad de que jugando al Bridge (52 cartas que se reparten entre 4 jugadores) cada jugador tenga exactamente un as. Se saca tres veces una carta de una baraja de cuarenta cartas introduciendo inmediatamente cada carta. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las tres espadas? Si se sacan las tres cartas a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que sean las tres espadas? ¿Cuál es la probabilidad de que sacando a la vez tres cartas sean las tres del mismo palo (sin precisar de cuál)? (Res.: 1/64

0,0156, 0,0121, 0,0484.)

Si se tienen dos barajas diferentes y se saca una carta de cada una, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean oros? Si se tienen dos barajas juntas y se sacan a la vez dos cartas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean oros? Se toman dos barajas españolas de 40 cartas. Se extrae al azar una carta de la primera baraja y se introduce en la segunda baraja. Se mezclan las cartas de esta segunda baraja y se extrae al azar una carta, que resulta ser el dos de oros. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta extraída fuese una espada? | PROBLEMAS BÁSICOS 23

Urnas y bolas En una urna hay 10 bolas verdes, 10 amarillas y 10 negras. Se sacan, sucesivamente, 5 bolas, devolviéndolas cada vez. ¿Qué probabilidad existe de que se extraiga igual número de bolas verdes que amarillas?. En una bolsa hay 7 bolas numeradas del 1 al 7 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos bolas sean las dos impares? ¿Y de que sean las dos pares? ¿Y de que sean de la misma paridad? Se tienen 32 bolas numeradas del 1 al 32 en una bolsa. Se extraen 3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los tres números que figuran en las bolas elegidas haya exactamente dos que sean múltiples de 8? Se colocan en una bolsa 11 bolas en las que figuran cada una de las letras de la palabra "matemáticas". Se sacan sucesivamente tres bolas. ¿Cuál es la probabiliadad de que se puede escribir en el orden de extracción la palabra "mas"? En una caja se tienen 5 bolas numeradas del 1 al 5.Se pide: a) Probabilidad de que, al extraer dos bolas, sean de la misma paridad. b) Probabilidad de que, al sacar dos bolas,sean de distinta paridad. c) Probabilidad de que, al realizar diez extracciones sucesivas de dos bolas , devolviendo cada vez las extraídas, resulten alternativamente de igual y distinta paridad. d) Probabilidad de que, habiendo sacado y devuelto una primera bola, una segunda extracción proporcione una bola marcada con un número suderior a la primera. En una urna hay 10 bolas blancas y 6 negras. Se extraen al azar tres bolas. Encontrar las siguientes probabilidades: a) Salgan todas negras. b) Salgan más blancas que negras. Respuesta a) 1/28

b) 39/56

a) En una urna se tienen bolas numeradas del 0000 al 9999. Si se extrae una bola al azar, encontrar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: Todas las cifras del número extraído son impares. b) El número acabe en 17. c) Sea múltiplo de 4. Respuesta a) 1/16

b) 1/100

c) 1/4

Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 rojas y 6 negras. Se extrae al azar una bola y se sabe que no es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja? Se devuelve la bola a la urna y se extrae de nuevo una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o blanca? Respuesta 1/2 , 8/11

Una urna contiene 3 bolas blancas y n bolas negras (n  2). Se extraen al azar simultáneamente cuatro bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que dos sean blancas y dos negras?

| PROBLEMAS BÁSICOS 24

En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 1 al 10, las de número impar son rojas y las demás blancas.Se extraen dos bolas sucesivamente y se anota el color y el número ordenadamente segun hayan aparecido.Hallar la probabilidad: a) b) c) d) e) f) g) h)

Extraer dos bolas seguidas del mismo color. Extraer dos bolas de distinto color Extraer dos bolas de igual color o bien de números pares. Extraer una bola roja o una bola con número mayor que cuatro. Contrario del suceso de extraer bola blanca o con número múltiplo de 3. Extraer al menos una bola con número par. Extraer al menos una bola blanca. Extraer dos bolas, tales que la suma de sus números sea menor que 8.

(Considerar también todas las preguntas en el caso de devolución de la primera bola). Dunha furna con 3 bolas brancas e 2 bolas negras fanse dúas extraccións sen reeprazamento. Calcula: a) Probabilidade de que as dúas bolas sexan da mesma cor. b) Probabilidade de que haxa alomenos unha branca. Una urna contiene 36 bolas numeradas del 1 al 36. Se extraen simultáneamente dos de dichas bolas y se vuelven a introducir en la urna; posteriormente se saca otro par de bolas (también simultáneamente). Hallar la probabilidad del suceso consistente en que los números que se obtienen en la primera extracción sumen menos de 36, y que, además, el producto de los números obtenidos en la segunda extracción no sea 36. Se tiene una urna con 6 bolas blancas y 5 bolas negras; se realizan tres extracciones con reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos bolas blancas y una negra? Probabilidad del mismo suceso, pero suponiendo que las tres extracciones se realizan sin reemplazamiento. Se tienen dos cajas. La caja 1 contiene cuatro bolas blancas y tres bolas negras. La caja 2 contiene tres bolas blancas y cuatro negras. Se selecciona una caja al azar y seguidamente se toma una bola de la caja seleccionada. Se pide la probabilidad de que: a) La bola extraída sea blanca. b) La bola extraída sea negra. Se tienen dos urnas, una con 8 bolas blancas y 4 verdes; la otra con 6 blancas y 10 verdes. Se extrae una bola de cada urna. Calcular la probabilidad de que sean del mismo color. En una bolsa hay 4 bolas negras y 5 blancas. En otra bolsa hay 2 negras y 3 blancas. Se elige al azar una bolsa y se extrae de ella una bola. a) Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

| PROBLEMAS BÁSICOS 25

De una urna que contiene 4 bolas blancas y 2 negras se extraen 2 al azar sin reposición. Calcule la probabilidad de extraer: a) dos blancas; b) dos negras; c) una blanca y una negra; d) una blanca y una negra en ese orden. Resp: a) 0,4; b) 0,0666; c) 0,5333; d) 0,2666

Una caja tiene 5 bolas blancas y 2 rojas; otra tiene 4 blancas y 5 rojas. Se saca una bola de cada una y, sin mirarlas, se introducen en una tercera caja; de esta última se extrae una bola y se desea calcular la probabilidad de que sea roja. Resp: 0,4206

Una caja C1 contiene 3 bolas negras y 5 blancas; otra caja C2 tiene 1 negra y 9 blancas. Se elige una caja al azar, se extrae una bola y, sin mirarla, se la introduce en la otra caja; luego de ésta se extrae una bola al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola sea negra? b) Si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera caja haya sido C1? c) Si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera caja haya sido C1 y se haya extraído de ésta una bola blanca? d) Si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción haya salido una bola blanca? Resp: a) 0,2347; b) 0,2663; c) 0,121; d) 0,7602

Una caja C1 contiene 4 bolas blancas y 6 rojas. Se saca una bola, se mira su color y se la devuelve a la caja, agregando además dos bolas del otro color. Luego se extrae una bola. Calcular la probabilidad de que sea blanca. Resp: 13/30

Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y 5 negras. Se extraen simultáneamente dos bolas de la urna. La probabilidad, P, de que sean negras verifica cualde las tres siguientes respuestas:

a) 0.1 < P < 0.3 b) 0.3 < P < 0.7 c) P = 0.8

En una caja se tienen seis bolas con los números 1 a 6. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos bolas la suma de sus puntos sea par? (S.: 2/5.) Si tres niños escriben al azar una de las cifras 1, 2, 3, ¿cuál es la probabilidad de que los tres escriban la misma (S.: 1/9.) Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una bola al azar, se descarta y se colocan dos bolas del otro color en la urna. Luego se saca de la urna una segunda bola. Determinar la probabilidad de que: a) la segunda bola sea roja, b) ambas bolas sean del mismo color, c) la primera sea roja si la segunda lo es. Razonar las respuestas.

| PROBLEMAS BÁSICOS 26

Juegos de azar en general En un sorteo de la lotería de 60.000 números, se dan 10 premios mayores 1490 premios menores y el reintegro a los números que acaban igual que el primer premio mayor. ¿Cuál es la probabilidad de sacar uno de los tres primeros primios si se compra un número del sorteo? ¿cuál es la probabilidad de sacar algún premio o reintegro?. Calcula a probabilidade de acertar os seis números dunha primitiva cubrindo una múltiple de 9. ¿E cunha aposta normal?

| PROBLEMAS BÁSICOS 27

Control de calidad Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 tienen filamentos rotos. Estas se prueban una por una hasta que se encuentra una defectuosa. Describa el espacio muestral. En un conjunto de 10 piezas hay 7 no defectuosas. Hallar la probabilidad de que entre seis piezas tomadas al azar, justamente 4 son no defectuosas. La Sección de control técnico descubrió 3 piezas defectuosas entre 80 piezas tomadas fortuitamente. ¿Cuál es la probabilidad de tomar una pieza defectuosas entre otro paquete de 500 piezas? En la partida de 100 piezas la sección de control técnico descubre 5 piezas defectuosas. ¿Cuál es la frecuencia relativa de laa aparición de piezas defectuosas? Un lote de 12 rotuladores ten 5 defectuosos. Tómanse 3 rotuladores aleatoriamente. ¿Cal é a probabilidade de que ningún sexa defectuoso?. ¿E a de que todos o sexan?. ¿E a de que algún o sexa?

| PROBLEMAS BÁSICOS 28

PROBABILIDAD CONDICIONADA Sean A y B dos sucesos tales que p(A) = 0,40; p(B/A) = 0,25 y p(B) = b. Hallar: a) b) c) d) e)

p(A n B). p(A U B) si b = 0,5. El menor valor posible de b. El mayor valor posible de b. Si P(A) = P(B) = 0,3 y P(A I B) = 0,2; calcular P(A / B) .

Resp: 0,8571.

Una urna contiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 3 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola sea roja? Supongamos que hemos extraído una bola roja; si sacamos una segunda bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea también roja? ¿Y de que sea verde? Volvemos a las condiciones iniciales (9 bolas en la urna, 3 de cada color); si sacamos tres de una vez, cuál es la probabilidad de que las tres sean rojas? ¿Y de que sea una de cada color? Se tienen cuatro dados en una bolsa. Tres de ellos perfectos y el cuarto cargado de tal forma que la probabilidad de sacar un cinco es doble que la probabilidad de sacar otro valor. Se toma un dado al azar de la bolsa, se tira y sale un cinco. Hallar la probabilidad de que el dado sea el cargado.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 29

O 2% dos individuos dunha poboación son diabéticos. Entre os diabéticos só a metade saben que son diabéticos. Se se selecciona aleatoriamente un individuo, ¿cal é a probabilidade de que sexa diabético e non teña coñecemento de que o é? (PAU Galicia Sergio y Ana)

Solución Sexan os sucesos D:“ser diabético” e S:“saber que é diabético”. Construímos o seguinte diagrama de árbore: S

D S → P(D ∩ S ) = P( D) · P(S / D) = 0,02 0,5 = 0,01 D

A probabilidade de que un individuo sexa diabético e que o descoñeza é 0,01.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 30

Se os sucesos P e Q son independentes, ¿son independentes os sucesos complementarios? Razoar a resposta. (Galicia Loxse. Xuño 1996. Ana y Sergio)

Solución Os sucesos P e Q son independentes se se verifica P ( P ∩ Q ) = P ( P ) · P (Q ) . Tendo en conta as propiedades da probabilidade e que P ( P ∩ Q ) = P ( P ) · P (Q ), por ser P e Q independentes, temos: P( P ∩ Q ) = P( P ∪ Q) = 1 − P( P ∪ Q) = 1 − [P( P) + P(Q) − P( P ∩ Q)] = = 1 − P ( P ) − P (Q ) + P ( P ∩ Q ) = 1 − P ( P ) − P (Q ) + P ( P ) · P (Q ) = = [1 − P ( P ) ] − P (Q )[1 − P ( P ) ] = [1 − P ( P ) ][1 − P (Q ) ] = P ( P ) ·P (Q ) co que se demostra que os sucesos complementarios P e Q son independentes, se o son P e Q.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 31

Un conxunto eléctrico consta de dúas compoñentes A e B. Sábese que a probabilidade de que “erre A” é 0,30, a probabilidade de que “erre B” é 0,20 e a probabilidade de que “erren simultaneamente A e B” é 0,10. Calcular: a) A probabilidade de que “só erre A”. b) A probabilidade de que “non erre A” sabendo que “non errou B”. ¿Son estes dous sucesos (“non erra A” e “non erra B”) independentes?

(Galicia Loxse. Xuño 1996. Ana y Sergio)

Solución Sexan os sucesos A: “erre A”, B: “erre B”. Cos datos do problema construímos a seguinte táboa: P

Total

0,1

0,2

0,3

Total Completando a táboa:

Total

0,1

0,2

0,6

0,8

Total

0,3

0,7

i) P ( A ∩ B ) = 0,2 A probabilidade de que só erre A é 0,2.

P( A ∩ B ) 0,6 = = 0,75 0,8 P( B ) A probabilidade de que non erre A sabendo que non errou B é 0,75

ii)

P(A / B) =

Finalmente, P ( A ∩ B ) = 0,6;

P ( A ) = 0,7;

P (B ) = 0,8;

P ( A ) · P (B ) = 0,56.

Como P ( A ∩ B ) ≠ P ( A ) · P (B ) os sucesos “non erra A” e “non erra B” non son independentes.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 32

Comprobouse que nun colexio están enfermos con diarrea o 60% dos nenos, con sarampelo o 50% e o 20% con ambas enfermidades. i) Entre os nenos con sarampelo, ¿que porcentaxe teñen diarrea? ii) Entre os nenos con diarrea, ¿que porcentaxe non teñen sarampelo? iii) Se o colexio ten 450 nenos, ¿cantos cabe esperar que estean enfermos con diarrea ou sarampelo? (PAU Galicia Sergio y Ana)

Solución Sexan os sucesos: D: “enfermo con diarrea” e S: “enfermo con sarampelo”. Cos datos do problema construímos a seguinte táboa: Total

0,2

0,5

Total

0,6

Total

0,2

0,3

0,5

0,4

0,1

0,5

Total

0,6

0,4

Completando a táboa:

i) P (D / S ) =

P ( D ∩ S ) 0,2 = = 0,4 P( S ) 0,5

Entre os nenos con sarampelo, a porcentaxe deles que teñen diarrea é o 40%.

(

)

ii) P S / D =

P( S ∩ D) 0,4 = = 0,6666 P( D ) 0,6

Da totalidade de nenos que teñen diarrea, o 66,66% non ten sarampelo. iii) Calculemos a probabilidade de que un neno estea enfermo de diarrea ou sarampelo. P ( D ∪ S ) = P ( D ) + P ( S ) − P ( D ∩ S ) = 0,6 + 0,5 − 0,2 = 0,9

O número de nenos que cabe esperar que estean enfermos con diarrea ou sarampelo é : 450 · 0,9 = 405.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 33

Un 25% dos alumnos dun centro practican natación, un 40% practican fútbol e un 14% practican ámbolos dous deportes. Calcular: a) b) c) d)

A porcentaxe de alumnos que practican, alomenos, un dos dous deportes. Entre os que practican fútbol, ¿que porcentaxe deles practica natación? A porcentaxe de alumnos que practican fútbol, pero non natación. A porcentaxe de alumnos que non practican fútbol nin natación.

(PAU Galicia Sergio y Ana)

Solución Sexan os sucesos: N “practicar natación”, F: “xogar ó fútbol” Cos datos do problema construímos a seguinte táboa: P

0,14

0,4

0,25

F Total Completando a táboa:

Total

P F

N 0,14

N 0,26

Total 0,4

F Total

0,11 0,25

0,49 0,75

0,6 1

a) P(N ∪ F) = P(N) + P(F) − P(N ∩ F) = 0,25 + 0,4 − 0,14 = 0,51 A porcentaxe de alumnos que practican, alomenos, un dos dous deportes é o 51%. b) P ( N / F ) =

P ( N ∩ F ) 0,14 = = 0,35 P( F ) 0,4

Entre os que practican fútbol, a porcentaxe deles que practica natación é o 35%. c) P ( F ∩ N ) = 0,26 A porcentaxe de alumnos que practican fútbol, pero non natación é o 26%. d) P ( F ∩ N ) = 0,49 A porcentaxe de alumnos que non practican fútbol nin natación é o 49%.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 34

O 60% dos alumnos de COU dun colexio aprobaron Filosofía e o 70% aprobaron Matemáticas. Ademais a porcentaxe de alumnos que aprobaron Filosofía aprobando Matemáticas é do 80%, ¿que porcentaxe de alumnos suspendeu ambas materias? Se Xoán sabe que aprobou Filosofía, ¿que probabilidade ten de aprobar tamén Matemáticas? (Loxse. Setembro 2000) Galicia Sergio y Ana

Solución Sexan os sucesos F. “aprobar Filosofía” e M: “aprobar Matemáticas”. Cos datos do problema, obtemos: P(F) = 0,6; P(M) = 0,7; P ( F / M ) = 0,8 . Calculamos a porcentaxe de alumnos que suspenden Filosofía e Matemáticas.

P( F ∩ M ) = P( F ∪ M ) = 1 − P( F ∪ M ) = 1 − [P( F ) + P(M ) − P( F ∩ M )] = = 1 − P ( F ) − P ( M ) + P ( M ) · P ( F / M ) = 1 − 0,6 − 0,7 + 0,7 · 0,8 = 0,26

A porcentaxe de alumnos que suspendeu ambas materias é o 26%. b) P ( M / F ) =

P ( M ∩ F ) 0,7 · 0,8 = = 0,9333 P( F ) 0,6

A probabilidade que ten Xoán de aprobar Matemáticas, sabendo que aprobou Filosofía é 0,9333. Este problema pódese facer dunha maneira sinxela utilizando unhas táboas de continxencia. Cos datos do problema e tendo en conta que o 80% dun 70% é un 56% do total, construímos a seguinte táboa: %

Total

100

Total

100

Total

Completando a táboa:

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 35

a) A porcentaxe de alumnos que suspendeu ambas materias é o 26%. b) Se Xoán sabe que aprobou Filosofía, a probabilidade que ten de aprobar tamén Matemáticas é: P( M / F ) =

P( M ∩ F ) 0,56 = = 0,9333 P( F ) 0,6

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 36

Os xerentes duns grandes almacéns comprobaron que o 40% dos clientes paga as súas compras con tarxeta de crédito e o 60% restante faino en efectivo. Agora ben, se o importe da compra é superior ás 10.000 pesetas, a probabilidade de pagala con tarxeta pasa a ser 0,6. Se ademais sabemos que no 30% das compras o importe é superior ás 10.000 pesetas, calcular: a) Probabilidade de que un importe sexa superior ás 10.000 pesetas e sexa aboado con tarxeta. b) Probabilidade de que un importe sexa superior ás 10.000 pesetas, sabendo que foi aboado en efectivo. (PAU Galicia Sergio y Ana)

Solución Sexan os sucesos: T: “pagar con tarxeta de crédito”, E: “pagar en efectivo”; S: “compra superior a 10.000 ptas” Do enunciado do problema dedúcense as seguintes probabilidades: P(T) = 0,4;

P(E) = 0,6,

P(S) = 0,3;

P(T / S) = 0,6.

a) P(S ∩ T) = P(S) · P (T / S ) = 0,3 · 0,6 = 0,18 A probabilidade de que un importe sexa superior ás 10.000 pesetas e sexa aboado con tarxeta é 0,18. b) P(S / E) =

0,3 · 0,4 0,12 P( S ) ·P ( E / S ) P( S ∩ E ) = = = = 0,2 0,6 0,6 P( E ) P( E )

A probabilidade de que un importe sexa superior ás 10.000 pesetas, sabendo que foi aboado en efectivo é 0,2. Outra forma sinxela de resolver o problema é mediante a construcción dunha táboa. Cos datos do problema e tendo en conta que o 60% do 30% é o 18% do total, temos: P S

T 0,18

Total 0,3

S Total

0,4

0,6

T 0,18 0,22 0,4

E 0,12 0,48 0,6

Total 0,3 0,7 1

Completando a táboa: P S

S Total a) P(S ∩ T) = 0,18.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 37

b) P(S/E) =

0,12 P( S ∩ E ) = = 0,2 . 0,6 P( E )

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 38

Nunha certa poboación, a porcentaxe de coches que necesitan cambiar o aceite é do 25% e a porcentaxe de coches que necesitan cambiar o filtro do aceite é do 40%. Sábese que o 14% dos coches necesitan cambiar tanto o aceite coma o filtro do aceite. Se sabemos que un coche ten que cambiar o aceite, ¿cal é a probabilidade de que teña que cambiar o filtro do aceite? Calcular a porcentaxe de coches que necesitan cambiar o aceite e non necesitan cambiar o filtro do aceite. (PAU Galicia Sergio y Ana)

Solución Sexan os sucesos: A: “cambiar o aceite”, F: “cambiar o filtro”. Expresando os datos do problema na seguinte táboa: P

0,14

0,4

F Total

0,25

P F

A 0,14

A 0,26

Total 0,4

F Total

0,11 0,25

0,49 0,75

0,6 1

Total

Completando a táboa:

a) P(F/A) =

0,14 P ( F ∩ A) = = 0,56. 0,25 P ( A)

A probabilidade de que un coche teña que cambiar o filtro do aceite, sabendo que ten que cambiar o aceite é 0,56. b) P( A ∩ F ) = 0,11. A porcentaxe de coches que necesitan cambiar o aceite e non necesitan cambiar o filtro de aceite é o 11%.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 39

Estímase que o 30% dos habitantes dunha poboación son obesos e que un 3% ten diabete. Se o 2% son obesos e diabéticos, ¿cal é a probabilidade de que unha persoa elixida ó chou sexa obesa ou teña diabete? ¿Que porcentaxe de diabéticos hai entre os obesos? (PAU Galicia Sergio y Ana)

Solución Sexan os sucesos O: “ser obeso” D: “ter diabetes” Cos datos do problema construímos a seguinte táboa: P

0,02

0,03

Total

0,3

Total

0,02

0,01

0,03

0,28

0,69

0,97

Total

0,3

0,7

Total

Completando a táboa:

P(O ∪ D) = P(O) + P(D) − P(O ∩ D) = 0,3 + 0,03 − 0,02 = 0,31. A probabilidade de que unha persoa elixida ó chou sexa obesa ou teña diabete é 0,31. P(D / O) =

0,02 P( D ∩ O) = = 0,066 0,3 P (O )

A porcentaxe de diabéticos entre os obesos é o 6,66%

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 40

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE EL TEOREMA DE BAYES Los alumnos de Bachillerato de un I.E.S. proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º?. b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es un alumno de 1º, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B?.

La fábrica de enlatados PI S.A. produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso. Y ahora la pregunta ¿Si el envase seleccionado es defectuoso, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A? ¿Y de la B? Results of an exercise test in a 50 year old male smoker with exertional angina shows 2.3mm ST depression in contiguous leads, leading to an increase in the clinical probability of coronary artery disease from around 90% to over 99% and showing the requirement for coronary angiography. A 50 year old male company director who is asymptomatic and has no major risk factors has an exercise test as part of a “well health” programme. An identical 2.3mm ST depression gives an increase in probability from around 5% to 53%. El 70% de una población tiene bajo colesterol, y el resto tiene alto colesterol. El 10% de las personas que tienen bajo colesterol están afectadas por una enfermedad, y el 25% de las que tienen alto colesterol también lo están. a) ¿Qué porcentaje de personas padece la enfermedad? b) Si una persona está enferma, ¿qué probabilidad hay de que tenga alto colesterol? Resp: a) 14,5%; b) 0,5172

A patient with suspected pulmonary embolism (moderate clinical probability estimated at 50%) is investigated initially with a lung scan, which is low probability, yielding a post-test probability of 30%. This becomes the pre-test probability for the next test (D-dimer), which is positive, resulting in a post-test probability of 42%. This becomes the pre-test probability for the next test (ultrasound examination), which is negative, resulting in a post-test probability of 22%. Through decision analysis it is evident that the preferred approach is now to undertake pulmonary angiography as the probability is sufficiently low not to warrant treatment and sufficiently high not to be able to rule out a pulmonary embolism. En una localidad del interior del país hay dos bancos A y B. El 22% de los habitantes tiene cuenta en A, el 37% en B y el 47% no tiene cuenta. a) ¿Cuál es el porcentaje de habitantes que tiene cuenta en ambos bancos? b) De los que tienen cuenta en A, ¿Qué porcentaje tiene cuenta en B? c) De los que tienen cuenta corriente, ¿Qué porcentaje tiene cuenta en B? Resp:

a) 6%; b) 27,27%; c) 69,81%

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 41

Suponga que en una población de trabajadores el 40% son graduados de la escuela primaria, el 50% de secundaria y el 10% de la universidad. Entre los trabajadores que tienen educación primaria, hay un 10% de desempleo; entre los que tienen educación secundaria hay un 5% de desempleo y entre los que tienen educación universitaria hay un 2% de desempleo. a) Si elige un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un desempleado? b) Si elige un trabajador al azar y resulta ser un desempleado, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera terminado sus estudios secundarios? Resp: a) 0,067; b) 0,3731

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 42

Na fábrica de autocares Belt Ltd. detectouse que 1 de cada 100 tiñan problemas co peche da porta. Coma medida de precaución, antes de vendelo, a cada autocar fáiselle unha verificación e obséquiase ós compradores cun cinto versátil para unha reparación de emerxencia. O test non é fiable de todo, pois, se o coche ten problema coa porta descóbreo nun 95% dos casos, mentres que se non o ten, nun 2% das veces indica que si o ten. a) ¿Cal é a probabilidade de que un autocar teña problema coa porta e non se lle detecte no test? b) Se o test indica problema coa porta dun autocar ¿cal é a probabilidade de que non o teña? (Pau Galicia. Ana y Sergio y Ana)

Solución Sexan os sucesos T: “ter problemas co peche da porta” e D: “detectar problemas co peche da porta”. Construímos o seguinte diagrama de árbore:

D → P(T ∩ D) = P(T) · P(D/T) = 0,01 · 0,95 = 0,0095 T D → P(T ∩ D ) = P(T) · P( D /T) = 0,01 · 0,05 = 0,0005

D → 0,0198

P( T ∩ D) = P( T ) · P(D/ T ) = 0,99 · 0,02 =

T D

a) P (T ∩ D ) = 0,01 · 0,05 = 0,0005 A probabilidade de que un autocar teña problemas coa porta e non se lle detecte é 0,0005

P(T ∩ D) 0,0198 = = 0,6757 P ( D) 0,0095 + 0,0198 Se o test indica problema coa porta, a probabilidade de que non o teña é 0,6757 a)

P(T / D) =

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 43

Nunha enquisa realizada entre os estudiantes de COU, sábese que o 40% le o xornal e o 30% le algunha revista de información xeral. Ademais o 10% le revistas pero non le o xornal. Con estes datos, calcular: a) A probabilidade de que un estudiante, elixido ó chou, lea o xornal ou revistas. b) A probabilidade de que un estudiante non lea revistas, sabendo que le o xornal. (Pau Galicia. Ana y Sergio y Ana)

Solución Sexan os sucesos: X: “ler o xornal”, R: “ler algunha revista”. Cos datos do problema construímos a seguinte táboa:

P R

Total

0,1

0,3

Total

0,4

Completando a táboa: X

Total

0,2

0,1

0,3

0,2

0,5

0,7

Total

0,4

0,6

P R

A. P ( X ∪ R ) = P ( X ) + P ( R ) − P ( X ∩ R ) = 0,4 + 0,3 − 0,2 = 0,5 A probabilidade de que un estudiante, elixido ó chou, lea o xornal ou revistas é 0,5 B. P( R / X ) =

P( R ∩ X ) 0,2 = = 0,5 P( X ) 0,4

A probabilidade de que un estudiante non lea revistas, sabendo que le o xornal, é 0,5

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 44

Tres máquinas X, Y e Z produciron 20, 30 e 30 pezas, respectivamente. Sábese que X produce un 10% de pezas defectuosas, Y un 20% e Z un 30%. Tómase unha peza ó chou e pídese: a) Probabilidade de que sexa defectuosa. b) Sabendo que a peza é defectuosa, a probabilidade de que proceda da máquina X ou Y. (Galicia Loxse. Xuño 1997) Sergio y Ana

Solución Sexan os sucesos X: “elixir unha peza da máquina X”, Y: “elixir unha peza da máquina Y”, Z: “elixir unha peza da máquina Z” e D: “peza defectuosa”. Do enunciado do problema dedúcense as seguintes probabilidades: P ( X ) = 2 / 8; P ( D / Z ) = 0,3

P (Y ) = 3 / 8;

P ( Z ) = 3 / 8;

P ( D / X ) = 0,1;

P ( D / Y ) = 0,2;

Como os sucesos son dependentes, a probabilidade dos sucesos da 2ª proba (peza defectuosa) áchase utilizando o teorema da probabilidade total. P ( D ) = P ( X ) · P ( D / X ) + P (Y ) · P ( D / Y ) + P ( Z ) · P ( D / Z ) =

2 3 3 · 0,1 + · 0,2 + · 0,3 = 0,2125 8 8 8

Neste caso, como hai que calcular a probabilidade dos sucesos de 1ª proba (proceder da máquina X ou Y) condicionada ós sucesos da 2ª proba, utilizaremos o teorema de Bayes. 2 3 · 0,1 + · 0,2 P ( X ) · P ( D / X ) + P (Y ) · P ( D / Y ) 8 P( X ∪ Y / D) = = 8 = 0,4706 P ( X ) · P ( D / X ) + P (Y ) ·P ( D / Y ) + P ( Z ) · P ( D / Z ) 0,2125

Este problema tamén se pode resolver dunha forma sinxela construíndo o seguinte diagrama de árbore: D → P(X ∩ D) = P(X) · P(D / X) = 2/8 · 0,1 = 0,025 X D

D → P(Y ∩ D) = P(Y) · P(D / Y) = 3/8 · 0,2 = 0,075 Y D

D → P(Z ∩ D) = P(Z) · P(D / Z) = 3/8 · 0,3 = 0,1125 Z D A. P(D) = P(X ∩ D) + P(Y ∩ D) + P(Z ∩ D) = 0,025 + 0,075 + 0,1125 = 0,2125

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 45

B. P (( X ∪ Y ) / D ) = P ( X / D ) + P (Y / D ) =

P ( X ∩ D ) P (Y ∩ D ) = + P( D) P( D)

0,025 0,075 + = 0,4706 0,2125 0,2125

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 46

Nunha Universidade o 20% dos estudiantes son de Enxeñería, o 30% de Letras e o 50% de Ciencias. Sábese que aproban o curso o 30% dos alumnos de Enxeñería, o 60% dos de Letras e o 50% dos de Ciencias. a) Elixido un alumno ó chou, ¿cal é a probabilidade de que aprobe o curso? b) Dinnos que o alumno elixido aprobou o curso, ¿cal é a probabilidade de que sexa de Letras. (Loxse. Setembro 1997) Sergio y Ana

Solución Sexan os sucesos: E: “estudiante de Enxeñería”, L: “estudiante de Letras”, C: “estudiante de Ciencias” e A: “aprobar o curso”. Do enunciado do problema dedúcense as seguintes probabilidades: P ( E ) = 0,2; P ( L ) = 0,3; P (C ) = 0,5; P( A / E ) = 0,3; P ( A / L ) = 0,6 e P( A / C ) = 0,5.

A. Como os sucesos son dependentes, a probabilidade dos sucesos da 2ª proba (aprobar) áchase utilizando o teorema da probabilidade total. P ( A) = P ( E ) · P ( A / E ) + P ( L ) · P ( A / L) + P (C ) · P ( A / C ) =

= 0.2 · 0,3 + 0.3 · 0,6 + 0.5 · 0,5 = 0,49 A probabilidade de que aprobe un alumno elixido ó chou é 0,49 B. Neste caso como hai que calcular a probabilidade dos sucesos de 1ª proba (ser de Letras) condicionada ós sucesos da 2ª proba, utilizaremos o teorema de Bayes. P ( L / A) =

P( L) · P( A / L) 0,3 · 0,6 = = 0,3673 P ( E ) · P ( A / E ) + P ( L) · P ( A / L) + P (C ) · P ( A / C ) 0,49

Se un alumno aprobou o curso, a probabilidade de que sexa de Letras é 0,3673. Este problema tamén se pode resolver dunha forma sinxela construíndo o seguinte diagrama de árbore: A → P(E ∩ A) = P(E) · P(A/E) = 0,2 · 0,3 = 0,06 E

A → P(L ∩ A) = P(L) · P(A/L) = 0,3 · 0,6 = 0,18 L

A → P(C ∩ A) = P(C) · P(A/C) = 0,5 · 0,5 = 0,25 C

A. P(A) = P(E ∩ A) + P(L ∩ A) + P(C ∩ A) = 0,06 + 0,18 + 0,25 = 0,49

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 47

B. P ( L / A) =

0,18 P( L ∩ A) = = 0,3673 0,49 P( A)

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 48

O 70% dos clientes dunha compañía de seguros de automóbiles ten máis de 25 anos. Un 5% dos clientes deste grupo ten un accidente ó longo do ano. No caso de clientes menores de 25 anos, esta porcentaxe é do 20%. Se escollemos un asegurado ó chou, calcular a probabilidade de que teña un accidente ese ano. Se unha persoa tivo un accidente, calcular a probabilidade de que sexa menor de 25 anos. (Galicia , Loxse. Xuño 1998) Sergio y Ana

Solución Sexan os sucesos > 25: “ter máis de 25 anos”, < 25: “ter menos de 25 anos”, A: “ter accidente”. Do enunciado do problema dedúcense as seguintes probabilidades: P ( > 25) = 0,7; P (< 25) = 0,3; P ( A / > 25) = 0,05 e P ( A / < 25) = 0,2

Como os sucesos son dependentes, a probabilidade dos sucesos da 2ª proba (ter accidente) áchase utilizando o teorema da probabilidade total. P ( A) = P ( > 25) · P ( A / > 25) + P (< 25) · P ( A / < 25) = 0.7 · 0,05 + 0.3 · 0,2 = 0,095

A probabilidade de que un asegurado teña un accidente é 0,095 Como hai que calcular a probabilidade dos sucesos de 1ª proba (ser menor de 25 anos) condicionada ós sucesos da 2ª proba, utilizaremos o teorema de Bayes. P (< 25 / A) =

P (< 25) · P ( A / < 25) 0,3 · 0,2 = = 0,6316 P (> 25) · P ( A / > 25) + P (< 25) · P ( A / < 25) 0,095

Se unha persoa tivo un accidente, a probabilidade de que sexa menor de 25 anos é 0,6316 Este problema tamén se pode resolver dunha forma sinxela construíndo o seguinte diagrama de árbore: A→ P(> 25 ∩ A) = P(> 25) · P(A/ >25) = 0,7 · 0,05 = 0,035 > 25 A

A→ P(< 25 ∩ A) = P(< 25) · P(A/ <25) = 0,3 · 0,2 = 0,06 < 25 A

P(A) = P(>25 ∩ A) + P(<25 ∩ A) = 0,035 + 0,06 = 0,095 P (< 25 / A) =

0,06 P (< 25 ∩ A) = = 0,6316 0,095 P ( A) | PROBABILIDAD CONDICIONADA 49

O 45% dos estudiantes de COU dun instituto son alumnos de ciencias e o 55% restante son de letras. Sábese que aproban tódalas materias o 30% dos alumnos de ciencias e o 40% dos alumnos de letras. Se un alumno, elixido ó chou, aprobou tódalas materias, ¿cal é a probabilidade de que sexa de letras? (Galicia Loxse. Xuño 2000) Sergio y Ana

Solución Sexan os sucesos C: “estudiante de ciencias”, L: “estudiante de letras”, A: “aprobar tódalas materias”. Do enunciado do problema dedúcense as seguintes probabilidades: P (C ) = 0,45;

P( L) = 0,55; P( A / C ) = 0,3; P ( A / L) = 0,4.

Como os sucesos son dependentes, para achar a probabilidade dos sucesos da 1ª proba (ser de ciencias ou de letras) condicionada ós sucesos da 2ª proba (aprobar ou non), utilizaremos o teorema de Bayes: P ( L / A) =

P ( L) · P( A / L) 0,55 · 0,4 0,22 = = = 0,6197 P (C ) · P ( A / C ) + P ( L) · P ( A / L) 0,45 · 0,3 + 0,55 · 0,4 0,135 + 0,22

A probabilidade de que un alumno sexa de letras, sabendo que aprobou tódalas materias é 0,6197. Este problema tamén se pode resolver dunha forma sinxela construíndo o seguinte diagrama de árbore: A → P (C ∩ A) = P(C ) · P( A / C ) = 0,45 · 0,3 = 0,135 C

A → P ( L ∩ A) = P ( L ) · P ( A / L ) = 0,55 · 0,4 = 0,22 L

P ( L / A) =

P ( L ∩ A) 0,22 = = 0,6197 P ( A) 0,135 + 0,22

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 50

1.- Una urna contiene dos monedas de bronce y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de bronce y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de bronce? 2.- En tres plantas, A, B y C, fabrican el 50 %, el 30 % y el 20 %, respectivamente, del total de los objetos de una empresa. Los porcentajes de producción defectuosa de estas plantas son, respectivamente, el 3 %, el 4 % y el 5 %. a) Si se selecciona un objeto al azar, ¿qué probabilidad tiene de salir defectuoso? b) Suponiendo que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que se haya producido en la planta A? 3.- En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, M, P y Q, y dos idiomas excluyentes, alemán y francés. La modalidad M es elegida por un 50 % de los alumnos, la P por un 30 % y la Q por un 20 %. También se conoce que han elegido alemán el 80 % de los alumnos de la modalidad M, el 90 % de la modalidad P y el 75 % de la Q, habiendo elegido francés el resto de los alumnos. a) ¿Qué porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francés? b) Si se elige al azar un estudiante de francés, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad M? 4.- En un IES hay tres profesores de Matemáticas. Cuando un alumno se matricula en el centro tiene igual probabilidad de que le asignen uno y otro profesor de Matemáticas. La probabilidad de obtener como nota final un sobresaliente con el profesor A es 0,3: la de obtenerlo con el profesor B es de 0,28; y la de obtenerlo con el profesor C es 0,35. a) Calcular la probabilidad de que un alumno matriculado en Matemáticas obtenga como nota final un sobresaliente. b) Sabiendo que un alumno ha obtenido un sobresaliente como nota final en Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que le hubiesen asignado al profesor C? 5.- Un determinado club tiene un 75 % de sus miembros que son mujeres y un 25 % que son hombres. De este club tiene teléfono móvil un 25 % de las mujeres y un 50 % de las hombres. a) Calcular el porcentaje de miembros de este club que no tienen teléfono móvil. b) Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea hombre. 6.- Dos amigos comparten piso. El primero prepara la comida el 40 % de los días y el resto de los días lo hace el segundo. El porcentaje de veces que se le quema al primero es el 5 %, mientras que el del segundo es el 8 %. Calcular la probabilidad de que un día, elegido al azar, la comida esté quemada. Si cierto día se ha quemado, calcular la probabilidad de que haya cocinado el primero.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 51

7.- En una pequeña ciudad hay dos cines. En el primero, el 50 % de las películas son de acción mientras que en el segundo lo son el 70 %. Un espectador elige al azar un cine siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir le primero es el triple que la de elegir el segundo. Una vez llega al. a) Calcular la probabilidad de que la película que vea sea de acción . b) Sabiendo que la película que ha visto es de acción, obtener la probabilidad de que haya acudido al primer cine. 8.- En una urna A hay 5 bolas blancas y 2 rojas, y en otra B hay 3 bolas verdes, 6 blancas y 5 rojas. Se lanza un dado trucado, con las caras numeradas del 1 al 6 y en el que la probabilidad de obtener un 6 es el doble que la de obtener cualquier otro número. Si en el lanzamiento del dado sale un número par, se saca una bola de la urna A, y si sale un número impar, la bola se saca de la urna B. Determinar la probabilidad de que la bola que se saque sea roja. 9.- Dos amigos A y B comparten un número de teléfono . De las llamadas que llegan ,2/5 son para A y 3/5 son para B . Sus ocupaciones les alejan de este teléfono , de modo que A está fuera de este teléfono el 50 % de l tiempo y B el 25 % . Calcula la probabilidad de que alguien conteste el teléfono cuando suene . 10.- PAU Tenemos dos urnas : A: 4 bolas rojas y 6 blancas B: 7 bolas rojas y 3 blancas Se selecciona una urna al azar , se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación se extrae una bola de la segunda urna . calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean el mismo color. 11.- PAU En un supermercado, el 70 % de las compras las realizan mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80% supera los 20 €, mientras que las compras realizadas por los hombres sólo el 30 % supera esa cantidad . a) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 20 €? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 20 € ,¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? Solución: 1. 0,485

2. a: 0,037 b: 0,405

3. a: 0,18 b: 0,55

4. a: 0,31 b: 0,376

5. a: 0,6875 b: 0,4

6. a: 0,068 b: 0,294

7. a: 0,55 b: 0,68

8. 0,316

9. 0,65

10. 0,509

11. 0,35

12.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 52

Problemas Varios Jugando con un dado, se gana si sale 1 ó 2 y se pierde si sale 4, 5 ó 6. Si sale 3, se tira de nuevo. Calcular la probabilidad de ganar. (Resp: 2/5) Solución Dibujar arbol P (Ganar ) =

1 1 1 1 1 1  1   1  1 1 1 1  1 1 1 + +  ⋅  +  ⋅  +  3  +  3  + .... = 2  + 2 + 3 + ...  = 2 ⋅ lim  + 2 + 3 + ... n n →∞ 6 6 6 6 6 6 6 6  6  6 6 6 6 6 6  

 6 ⋅ 6n −1 − 1     6 + 6 + ... + 6 + 1   6n − 1  2 1  2  − 6 1 ... = 2 ⋅ lim  = 2 ⋅ lim = 2 ⋅ lim = ⋅ lim  1 − n  =     n n n  n →∞ n →∞ n → ∞ n →∞ 6 6  6  5      5⋅6  5     En un baile de disfraces se reúnen diez matrimonios. ¿Cuál es la probabilidad de que, al empezar el baile, emparejados hombres con mujeres al azar resulten todos matrimonios? n −1

n−2

Solución Es el problemas de la secretaria y los n sobres y las n cartas, entonces Sea Aij = {“El hombre i se le asigna la mujer j”} P ("coincidan 2 esposos") = P ( A11 ) P ( A22 / A11 ) P ( A33 / A11 ∩ A22 ) ...P ( A1010 / A11 ∩ A22 ∩ ... ∩ A99 ) = ... ... =

1 1 1 1 ⋅ ⋅ ... ⋅ = = 2.7557 ⋅10−7 10 9 1 10!

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 53

 = 

¿Cual es la probabilidad de que en un mes calquiera elegido en el calendario, el día 13 sea martes? Solución Vamos a proponer una solución “fácil”. El día 13 de cualquier mes puede cuadrar en L, Ma, Mi, J, V, S y D. Por tanto 1 posición favorable (Martes) y 7 posibles, lo cual implica que la probabilidad pedida es 1/7. Pero la cosa, igual no es tan sencilla, porque si el dia 13 de Enero es un día concreto, condiciona a los restantes meses y hay, además, que tener en cuenta los bisiestos. Febrero tiene 28 días en años no bisiestos, luego la posición del día 13 en Febrero, por lo de pronto, es igual que la de Marzo. Veamos la dependencia de los demás meses tras un día 13 de Febrero no bisiesto:

Ma Mi

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre Octubre

x x

Noviembre

Diciembre

Enero Febrero

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 54

Nunha cidade publícanse tres xornais: X, Y e Z. Coñécese que o 60% das familias están subscritas ó xornal X, o 40% ó Y e o 30% ó Z. Ademais o 20% está subscrito ós xornais X e Y, o 10% a X e Z, o 20% a Y e Z e o 5% ós tres. Pídese: a) Porcentaxe de familias que están subscritas polo menos a un xornal. b) Porcentaxe de familias que están subscritas só ó xornal X. c) Se unha familia seleccionada ó chou está subscrita a un dos tres xornais. ¿Cal é a probabilidade de que dita familia estea subscrita ó xornal X? Solución Sexan os sucesos X: “familia subscrita ó xornal X”, Y: “familia subscrita ó xornal Y” e Z: “familia subscrita ó xornal Z”. Se representamos os datos do enunciado, obtemos o seguinte diagrama de Venn: X 15% 5% 5% 15

A. A suma de todas as cantidades indicadas: 35 + 15 + 15 +5 +5 + 5 + 5 = 85 é a porcentaxe de familias subscritas polo menos a un xornal, é dicir, un 85%. B.

A porcentaxe de familias subscritas só ó xornal X é o 35%. 0,6 P[ X ∩ ( X ∪ Y ∪ Z ) ] P( X ) C. P[X / (X ∪ Y ∪ Z)] = = = = 0,705 0,85 P( X ∪ Y ∪ Z ) P( X ∪ Y ∪ Z ) A probabilidade de que unha familia seleccionada ó chou estea subscrita ó xornal X sabendo que está subscrita a un dos tres xornais é 0,705.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 55

Sean los sucesos A, B y C. La probabilidad de que ocurra sólo el suceso A es 1/4; de que ocurra sólo el suceso B es 1/4; de que ocurra sólo el suceso C es 1/4; y la probabilidad de que ocurran los tres sucesos simultáneamente también es igual a 1/16. Determine si los sucesos A, B y C son independientes dos a dos y entre los tres , diseñar el diagrama de Venn correspondiente . (Resp: Lo son dos a dos pero no entre los tres)

Solución Este dibujo esta incorrecto Sea tiene que P(A) = P(B) = P(C) = 1/4; P(A ⋂ B ⋂ C) = 1/16. El hecho que P(A ⋂ B ⋂ C) = 1/16 indica que A, B y C no son independientes entre los tres, pues si lo fuesen P(A) P(B) P(C) = 1/64. Para probar que A, B y C son independientes dos a dos hay que probar que P(A ⋂ B) = P(A) P(B) = 1/16; P(A ⋂ C) = P(A) P(C) = 1/16; P(B ⋂ C) = P(B) P(C) = 1/16. Pero, por un lado, sabemos que P(A) + P(B) + P(C) = 1, y por otro, la regla del producto dice que P(A ⋂ B ⋂ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ⋂ B) - P(A ⋂ C) - P(B ⋂ C) + P(A ⋂ B ⋂ C) Y no veo salida analitica al ejercicio

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 56

Cinco persoas soben a un autobús cando só quedan seis paradas máis para o remate da liña. Supoñendo que todos teñen igual probabilidade de se baixaren en calquera parada, determinar as probabilidades seguintes: a) Que estas cinco persoas baixen na mesma parada. b) Que non baixe ningunha delas nas primeiras tres paradas. c) Que nas primeiras cinco paradas baixe unha destas persoas en cada parada. Solución A probabilidade de que unha persoa baixe nunha parada determinada é 1/6.

 6 As formas de escoller a parada en que se baixan, das seis que hai é   1  Ademais como o feito de que se baixe unha persoa é independente de que o fagan as outras, a probabilidade de que as cinco persoas baixen na mesma parada é: 5

6  1  1 P =     = 6 ·   = 0,0007716 6 1   6  A probabilidade de que non baixe ningunha delas nas tres primeiras paradas é: 5

5 4 3  3 P =       =   = 0,0312 6 5 4 6

Sexan os sucesos: C: “baixe unha persoa na primeira parada”  1  5  5  5  5   5  P (C) = 5       =    6  6  6  6  6   6 

D: “baixe unha persoa na segunda parada se xa baixou unha na primeira”  1  4  4  4   4  P(D) = 4      =    5  5  5  5   5 

E: “baixe unha persoa na terceira parada se xa baixaron unha na primeira e outra na segunda”  1  3  3   3  P(E) = 3     =    4  4  4   4 

F: “baixe unha persoa na cuarta parada se xa baixaron unha na primeira, outra na segunda e outra na terceira  1  2   2  P(F) = 2    =    3  3   3 

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 57

G: “baixe unha persoa na quinta parada se xa baixaron unha na primeira, outra na segunda, outra na terceira e outra na cuarta P(G) =

1 2

A probabilidade de que nas primeiras cinco paradas baixe unha persoa en cada parada é: 5

5 4 3 2 1 P =        = 0,01543 6 5 4 3 2

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 58

Sexan A, B e C tres sucesos correspondentes a un mesmo experimento aleatorio. Expresar os seguintes sucesos: ó menos dous dos tres sucesos ocorren. Non ocorre ningún dos tres sucesos. Se P(A) = 0,6 e P(B) = 0,7. Calcular P(A ∪ B) e P(A ∩ B), sabendo que P(A ∪ B) · P(A ∩ B) = 0,4 Solución O suceso que representa ó menos dous dos tres sucesos ocorren é:

(A ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) O suceso que representa que non ocorre ningún suceso é:

(A ∩ B ∩ C ) Tendo en conta a seguinte propiedade da probabilidade: P(A ∪ B) = P(A)+ P(B) − P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 0,6 + 0,7 − P(A ∩ B) ⇔ P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = 1,3 Chamando x a P ( A ∪ B ) e y a P ( A ∩ B ) , obtemos o seguinte sistema de ecuacións:

 x + y = 1,3   x · y = 0,4

⇒

0,4 = 1,3 x

⇒

x 2 + 0,4 = 1,3 x ⇒ x = 0,8, x = 0,5

Se x = 0,8 y = 0,5 Se x = 0,5 y = 0,8. Esta solución non é válida. Logo: P(A ∪ B) = 0,8 e P(A ∩ B) = 0,5

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 59

A probabilidade de que un home viva máis de 70 anos é de 3/5, e a dunha muller é de 2/3. Determinar a probabilidade de que unha parella heterosexual a) Os dous vivan máis de 70 anos. b) Só un dos dous viva máis de 70 anos. c) Só o varón viva máis de 70 anos. Solución Sexan os sucesos H: “vivir un home máis de 70 anos” e M: “vivir unha muller máis de 70 anos”. Tendo en conta que os sucesos H e M son independentes, verifícase P ( M / H ) = P ( M ) ; analogamente P ( M / H ) = P ( M ) , P ( M / H ) = P ( M ) e P ( M / H ) = P ( M ) Construímos o seguinte diagrama:

M H

M M H

M 3 2 2 a) P ( H ∩ M ) = P ( H ) · P ( M ) = · = 5 3 5

A probabilidade de que os dous vivan máis de 70 anos é 2/5. 3 1 2 2 7 b) P ( H ∩ M ) + P ( H ∩ M ) = P ( H ) · P ( M ) + P ( H ) · P ( M ) = · + · = 5 3 5 3 15

A probabilidade de que só un dos dous viva máis de 70 anos é 7/15. 3 1 1 c) P ( H ∩ M ) = P ( H ) · P ( M ) = · = 5 3 5

A probabilidade de que só o varón viva máis de 70 anos é 1/5.

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 60

Un inspector de hacienda sabe que, estadisticamente, 1 de cada 4 declaraciones es fraudulenta, y tiene que inspeccionar un grupo 40 y quiere obtener 4 fraudulentas con el menor esfuerzo, es decir, con el menor número de inspecciones posibles. Para ello divide al azar las 40 inspecciones en 4 grupos de 10. ¿Cuantás deberá inspeccionar de cada grupo para tener un 80% de probabilidad de encontrar alguna fraudulenta? En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10, se extrae al azar una bola y se anota el número a extraído. Se devuelve la bola a la urna y se repite el proceso dos veces más obteniendo los números b y c. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de ecuaciones lineales sea incompatible? Respuesta 0.03 Pepe e Xoán preséntanse a un exame de oposición no que entran 10 temas. Pepe estudiou os temas múltiplos de 3 e Xoán os impares. Os membros do tribunal sacan 1 tema ó chou. Calcula a) b) c) d)

A probabilidade de que aprobe cada un deles. A probabilidade de que suspenda cada un deles. A probabilidade de que aproben os dous. A probabilidade de que aprobe algún.

Por experiencia, sabemos que 3 de cada 4 veces que María xoga ós bolos, fai un pleno. A súa amiga Carme tan so acerta un 40% das veces e os acertos de María e de Carme son independentes. Supón que van lanzar unha vez cada unha, ¿cal é a probabilidade de que algunha delas faga pleno?. ¿Cal é a probabilidade de que as dúas fallen o pleno? Nun instituto o 60% dos alumnos son mulleres. 1 de cada 5 estudiantes do mesmo, teñen a optativa de francés, pero son todas chicas. ¿Cal é a probabilidade de que a primeira persoa que saia hoxe do centro sexa: a) b) c) d)

Chico Estudiante de francés Chica e estudiante de francés Chico ou estudiante de francés.

Se han escrito cinco números diferentes , que corresponden a otras tantas lecciones del libro. ¿Qué probabilidad hay de que un alumno haga coincidir, con los ojos cerrados, cada número con la lección correspondiente, si el libro consta de 20 lecciones de 10 paginas cada una?. Con los guarismos 2,4,6 y 8 se forman todos los números posibles de 3 cifras.¿Cuál es la probabilidad de tomar al azar uno que sea múltiplo de tres. El coeficiente de acierto de un rifle se estima en un 99,2 por 100. ¿Qué probabilidad tiene de hacer diana con ese rifle un tirador olímpico, que ha mantenido una marca, durante seis años, de 298 díanas de 300 tiros? Un tirador A puede dar en el blanco 4 veces de 5 tiros; B dos veces de 3; C tres veces de 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos tiros den en el blanco?

| PROBABILIDAD CONDICIONADA 61

Un blanco está dividido en tres zonas. La probabilidad de impacto en la primera es de 0'45, en la segunda 0'35. Hallar la probabiliad de que un tirador con un disparo no dé en la tercera zona. Se propone a un equipo de tres alumnos la resolución de un problema. Se estima, en función de sus evaluaciones, que la probabilidad de que lo resuelva el primero es de l/2; la de que lo resuelva el segundo es l/3 y 1/4 la probabilidad de resolverlo el tercero. ¿Cuál es la probabilidad de que resuelva el problema el equipo? Del archivo de los permisos de tráfico que contiene todas las licencias de turismos de la ciudad A, comprendidos entre la matrícula A-0000-K y A-9999-L ¿qué probabilidad hay de extraer una licencia cuyo número esté comprendido entre 1000 y 2000, ambos inclusive? Al marcar un número de teléfono de seis cifras, el abonado se olvidó de una de las cifras y la marcó al azar. Hallar la probabilidad de que se haya marcado la cifra correcta. En una bolsa hay 5 cubos idénticos. En todas las caras de cada cubo está escrita una de las letras siguientes: o, p, r, s, t. Hallar la probabilidad de que en los cubos extraídos de a uno por vez y dispuestos en una línea , se puedá leer la palabra "SPORT". En cada una de las seis tarjetas idénticas está impresa una de las letras siguientes: a, t, m, r, s, e. Las tarjetas están bien mezcladas. Hallar la probabilidad de que en cuatro tarjetas extraídas de a una por vez y dispuestas en una línea, se pueda leer la palabra "TRES". Un cubo cuyas caras están pintadas se ha dividido en mil cubos más pequeños de igual dimensión y se han mezclado cuidadosamente. Hallar la probabilidad de que un cubo tomado al azar tenga dos de sus caras pintadas. Una pequeña biblioteca está formada por diez libros diferentes; además cinco libros cuestan cinco rublos cada uno, tres libros, a un rublo y dos libros a 3 rublos c/u. Hallar la probabilidad de que dos libros tomados al azar cuesten 5 rublos. En una ciudad se publican dos diarios A y B. El 42% de los habitantes lee A, el 25% lee B y el 5% lee ambos. a) ¿Cuál es el porcentaje de personas que lee diarios? b) De los habitantes que leen diarios, ¿qué porcentaje lee B? c) Si se eligen al azar 3 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que todas lean diarios? d) ¿Qué porcentaje de personas lee sólo A? Resp: a) 62%; b) 40,3%; c) 0,238; d) 37%

En una universidad se obtuvo la siguiente información: el 32% de las chicas tienen cabello rubio, ojos azules o ambas cosas; el 20% tiene ojos azules; y el 17% tiene cabello rubio. ¿Qué porcentaje de chicas tiene: a) cabello rubio y ojos azules?; b) solo cabello rubio?; c) solo ojos azules?; d) ninguna de las dos características mencionadas? Resp: a) 5%; b) 12%; c) 15%; d) 68% **** Se eligen tres cuadros en un tablero de ajedrez, ¿ cuál es la probabilidad de que estén en una de las diagonales mayores del tablero?. ***** El área de un círculo de alambre es  cm2. En una caja se tienen seis varillas de alambre de longitudes 2, 3, 4, 5, 7 y 8 cm. Si se elige una de ellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el anillo circular comprendido entre el primer círculo y el concéntrico que se puede formar tomando como radio la varilla elegida esté comprendida entre 20 y 60? Respuesta 1/3 | PROBABILIDAD CONDICIONADA 62

En un curso de verano hay 4 grupos de trabajo: G1, G2, G3 y G4. Cada grupo está formado por 7 extranjeros y 3 españoles. Se elige al azar un participante, encontrar la probabilidad de que dicha persona: a) sea del grupo G3 o extranjero. b) no se sea del grupo G1. Respuesta a) 31/40

b) 3/4

Una clase tiene 12 niños y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes de la clase al azar, ¿cuál es la probabilidad p de que sean todos niños? A cada 10.000 billetes de lotería se juegan 150 premios en objetos y 50 premios en dinero.¿Qué probabilidad tiene de ganar indiferentemente dinero u objeto, el poseedor de un billete de lotería? Se elige al azar un número natural de cuatro cifras. Calcular la probabilidad de que el número elegido empiece por 5 y termine en par. Un cartero reparte cuatro cartas al azar entre sus cuatro destinatarios. La probabilidad de que sólo dos cartas lleguen a su destino es a) 2, 75 b) 0, 5 c) 0, 25 Sol.: Supongamos que los cuatro

destinatarios, a los que llamaremos A, B, C y D, viven en la misma

calle, en números seguidos y en el orden citado. El cartero tiene que entregar cuatro cartas: a, b, c y d (perteneciendo la a a A, la b a B, etc. Supongamos que entrega la carta a en el domicilio de A, la carta c en el de B, lab en el de C y la d en el de D. De esa forma, es decir, entregando las cartas en el orden acbd, acierta con dos y falla con dos (o sea, sólo dos llegan a su destino). Si las entrega en el orden dcba ninguna llega a su destino. Las formas en que puede entregarlas son: E = {abcd, abdc, acbd, ...dcba}. En total hay P(4) = 4! = 24 formas de entregarlas. Ahora bien, de esas 24 fomas, entrega bien dos y falla dos si entrega bien a las siguientes parejas: AB, AC, AD, BC, BD y, CD (y mal a las otras), es decir, en los siguientes casos: Sentregar dos bien = {abdc,adcd,acbd, dbca, cbad, bacd} (6 casos). Por tanto: P(entregar dos bien) = 6/24 = 0.25 Se elige al azar entre una urna X con probabilidad x y otra Y con probabilidad (1 — x). La probabilidad de elegir una bola blanca en la primera es 1/2 y 1/4 en la segunda. Hallar en función de x la probabilidad de que la blanca haya sido extraída de la primera urna. 31 Se lanza un dado. Si aparece un número menor que 3, nos vamos a la URNA I; si el resultado es 3 o más, nos vamos a la URNA II. A continuación extraemos una bola. Se pide: a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la URNA b) Probabilidad de que la bola sea blanca. URNA I: Contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas. URNA II: Contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Un estudiante cuenta, para un examen, con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80 % de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realice el examen es 0,9 y, en caso contrario, de 0,5. a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? b) Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador? | PROBABILIDAD CONDICIONADA 63

35 Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene diez bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y en la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida? 37 En un área geográfica determinada, el 60 % de los votos han sido para el partido A. Si se consideran 5 votantes de dicha área, se pide: a) Probabilidad de que hayan votado exactamente 3 a dicho partido. b) Probabilidad de que ninguno lo haya votado. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela? b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía? 38 Disponemos de dos monedas: una correcta y otra con dos caras, y una urna con diez bolas: cuatro blancas y seis negras. Sacamos dos bolas de la urna; si son del mismo color elegimos la moneda correcta y la lanzamos al aire. En otro caso, elegimos la incorrecta y la lanzamos al aire. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que las dos bolas sean del mismo color. b) Obtener cara en el lanzamiento de la moneda. Si el resultado del lanzamiento de la moneda ha sido cruz, hallar la probabilidad de que las dos bolas elegidas sean de distinto color. Se tienen dos urnas que contienen 4 bolas verdes y 6 negras la primera y 2 verdes y 4 negras la segunda. Se procede a sacar 3 bolas de la primera, a introducirlas en la segunda y a sacar, a continuación, 2 bolas de esta última urna. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color las 5 bolas extraídas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 4 sean verdes y 1 neg ra? c) Si las bolas extraídas han sido 4 verdes y 1 negra, ¿cuál es la probabilidad de que las 3 extraídas de la primera urna sean verdes? 42 Tenemos tres urnas, U1, U, y U3, con las siguientes composiciones de bolas blancas y negras: Ul(3B, 7N), U,(5B, 5N), U3(8B, 2N). Tiramos un dado perfecto y extraemos una bola de U1 si sale 1, 2 o 3, sacamos una bola de U, si sale 4 o 5 y, finalmente, sacamos una bola de U3 si sale 6. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea negra. 44 Tres máquinas A, B, C fabrican tornillos del mismo tipo. Los porcentajes de defectuosos en cada máquina son, respectivamente, 1 %, 2 % y 3 %. Se mezclan 120 tornillos: 20 de la máquina A, 40 de la B y 60 de la C; elegido uno al azar, resulta defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que hay sido fabricado por la máquina B? | PROBABILIDAD CONDICIONADA 64

45 En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es de 0,1. Si ĂŠste se produce, la probabilidad de que la alarma suene es 0,95. La probabilidad de que funcione la alarma sin que haya incidente es de 0,03. Si ha funcionado la alarma, calcular la probabilidad de que no haya habido incidente. Se lanzan tres monedas corrientes. Si aparecen dos caras y un sello, determinar la probabilidad de que aparezca una cara exactamente.

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VARIACIONES SIN REPETICIÓN

VARIACIONES CON REPETICIÓN

(si importa el orden)

Vm, n = m( m − 1)(m − 2)...( m − n + 1)

VmR,n = mn

Vm, n =

m! ( m − n)!

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

COMBINACIONES CON REPETICIÓN

(no importa el orden)

m m! C m , n =   =  n  ( m − n)!n!  m  Vm, n   = n! n

 m + n − 1 (m + n − 1)!  = C mR,n =  n   (m − 1)!n!

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Pn = n! = n( n − 1)( n − 2).........3 ⋅ 2 ⋅ 1

Pnn1 , n2 ,n3 ,...., nk =

n! n1! n 2 ! n3 !....n k !

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PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS

0! = 1  m  m  m   = 1;   = 1;   = m 0  m 1 m m       =    n  m − n  m   m − 1  m − 1   =   +    n   n −1  n   m  m  m  m   +   +   + ...... +   = 2 m 0 1 2  m

EL TRIANGULO DE PASCAL 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

8 9

1 6

21 56

126 256

1 5

126 210

84 120

1 3

36 45

7 28

84 210

1 1 8 36

120

1 9

1 10

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COLECCION DE PROBLEMAS CLASICOS PARA REFOZAR EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD PROBLEMA 1 Indicar el error de la solución del siguiente problema: Se han tirado dos dados. Hallar la probabilidad de que la suma de los puntos aparecidos sea igual a cuatro" Solución: Solo hay dos sucesos posibles, salir cuatro o no salir cuatro, por lo tanto la probabilidad es 1/2. PROBLEMA 2 Cada vez que una persona sale a la calle tiene dos posibilidades ‘fallecer’ o ‘continuar vivo’. Por tanto, cada vez que sales tienes probabilidad ½ de volver vivo a casa dado que hay dos casos posibles y uno favorable. PROBLEMA 3 La probabilidad de que llueva el sábado es del 50% y la de que llueva el domingo es del 50%, por tanto, la probabilidad de que llueva el fin de semana es del 100%. ¿Correcto? PROBLEMA 4 A mi abuela nunca le salen bien las tortillas. El 70% de las veces que mi abuela hace tortilla, le sale muy salada y el 80% con mucha patata. ¿Qué tanto por ciento le salen a mi abuela las tortillas con mucha patata y saladas simultáneamente? PROBLEMA 5 La selección brasileña de futbol se ha clasificado para los octavos del Campeonato del mundo de futbol, durante los últimos seis años ha ganado 3 de cada 4 partidos que ha jugado. Teniendo en centa que faltan 4 eliminatorias para llegar a la final ( octavos, cuartos, semifinal y final) ¿Cuál sería la probabilidad teórica de que Brasil ganase el Campeonato? PROBLEMA 6 En un colegio mayor donde hay 320 residentes, hay 15 que practican fútbol, baloncesto y atletismo, 23 que practican fútbol y baloncesto, 28 fútbol y atletismo, 36 baloncesto y atletismo, 61 fútbol, 64 baloncesto y 75 atletismo. ¿Cuántos no practican ningún deporte? II Olimpiada de la matemática Thales de Andalucía | PROBABILIDAD CONDICIONADA 68

PROBLEMA 7 En una ciudad se publican dos periódicos “La Voz de la mañana” y ”El correo diario”. El 60% de los vecinos leen “La Voz de la mañana” y el 90% el “La Voz de la mañana” o “El Correo diario”, aunque el 50% de los vecinos leen los dos periódicos. Calcula la probabilidad de que tomada una persona al azar , ésta lea “El correo diario” PROBLEMA 8 Un hombre que hacía con regularidad el vuelo de Argel a El Cairo calculó la probabilidad de que hubiera una bomba en el avión y no le pareció suficientemente baja. Desde entonces, lleva siempre en la maleta una bomba, porque piensa que la probabilidad de que haya 2 bombas en el avión es extremadamente baja. ¿Tú qué opinas? PROBLEMA 9 El 60% de las veces que visito a mi abuela, la encuentro en casa, y el 40% de las veces que la encuentro en casa, me dá 500 pesetas. Si mañana voy a ver a mi abuela, ¿qué probabilidad tengo que me de 500 ptas.-? PROBLEMA 10 Si se quiere sortear algo con un dado y hay 2, 3 ó 6 personas, no hay problema, pero ¿cómo sortearías algo entre 4 o 5 personas ayudándote de un dado? PROBLEMA 11 Se te da a elegir entre dos sobres que contienen una determinada cantidad de dinero; no sé qué cantidades son, pero sí que uno de los sobres tiene el doble que el otro. Elijo un sobre, lo abro y miro en su interior: tiene 10$. En este momento se me permite cambiar de sobre. ¿Qué me conviene hacer? PROBLEMA 12 Raquel es una chica de 30 años bastante enérgica. Estudió matemáticas y acabó entre los primeros de su promoción. Cuando era estudiante militó en movimientos sociales, especialmente en grupos ecológicos y contra la discriminación. ¿Cuál de estas dos afirmaciones te parece más probable? Raquel trabaja en un banco Raquel trabaja en un banco y es una activa militante feminista.

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PROBLEMA 13 Se lanza un dado cargado de forma que la probabilidad de obtener par es la cuarta parte que la de obtener impar. Calcula la probabilidad de cada número del 1 al 6. PROBLEMA 14 En una fiesta hay 34 personas, de las 21 son mujeres. Sabemos que 8 hombres llevan traje negro y 10 mujeres traje blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que, escogida una pareja al azar, él lleve traje negro y ella traje blanco? PROBLEMA 15 El problema del cumpleaños ¿Cuál es la probabilidad para que entre un grupo de 40 personas, dos de ellas estén de cumpleaños el mismo día? Generalizarlo a n personas. Otro problema clásico, es el llamado de los cumpleaños. Fue descrito en la American Mathematical Monthly in 1938 en un artículo sobre técnicas de estimación, La estimación del número de peces de un lago, de Zoe Emily Schnabel. Se trata de calcular qué probabilidad existe de que en un grupo de personas dos de ellas o más hayan nacido el mismo día del año. ¿Qué probabilidad crees tú que existe, si el grupo está formado por 23 personas? Vamos a comprobar que si el número de personas es igual o superior a 23 esta probabilidad es superior al 50% de los casos. Primero vamos a intentar resolver un problema más sencillo, nos vamos a plantear la probabilidad del suceso consistente en que entre cuatro personas haya dos o más que que hayan nacido en la misma estación, suponiendo que es igual de probable nacer en una cualquiera de ellas. Este problema es difícil de resolver de una manera directa y, sin embargo, es más fácil resolver su contrario, es decir calcular la probabilidad de que entre cuatro personas elegidas al azar, no haya dos que hayan nacido en la misma estación. En el siguiente diagrama de árbol aparecen representados todos los casos en los que se verifica este suceso. Observa que este árbol tiene 4 3 2 1=24 ramas. Applet en http://www.isftic.mepsyd.es/w3/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/4problemas/4problemas3m.htm

PROBLEMA 16 El problema de Galileo Un jugador de cartas le pidió a Galileo que explicara por qué aparentemente era más favorable apostar a que la suma sale 10 en el lanzamiento de tres dados que a salga suma 9, si ambas sumas podían aparecer del mismo número de maneras. ¿Podrías explicarlo tú? Applet en: http://www.isftic.mepsyd.es/w3/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/4problemas/4problemas1m.htm

PROBLEMA 17 Se le atribuye al matemático Lewis Carroll, autor de “Alicia en el país de las maravillas”, el siguiente problema:

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En una extraordinaria batalla, por lo menos el 70% de los combatientes perdió un ojo; el 75% una oreja, por lo menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna. ¿Cuántos, por lo menos, perdieron los cuatro órganos? PROBLEMA 18 El problema del caballero de Meré El caballero de Meré, jugador empedernido, observó que al lanzar 4 veces un dado era más probable que apareciera por lo menos un seis que la no aparición de ninguno. Entonces pensó que si lanzaba los dos dados 24 veces sería más probable la aparición de un 6 doble que el caso contrario. Como sus observaciones no confirmaban esta hipótesis, consultó el problema a Pascal, quien a su vez se lo trasladó a Fermat. Este consiguió calcular las probabilidades en ambos casos, dando la razón teórica a los datos observados. ¿Serías capaz de hacer lo mismo que Fermat? En 1654, Antoine Gombauld, conocido como Caballero de Méré planteó al matemático Blaise Pascal (16231662) el problema de cómo repartir la apuesta realizada en un juego de azar cuando éste se ve interrumpido por algún motivo y, en ese momento, uno de los jugadores lleva ventaja sobre el otro. Más concretamente:Dos jugadores, que han depositado una apuesta inicial, lanzan repetidamente una moneda, el primero gana si sale cara y el segundo si sale cruz. Han decidido que el primero que gane seis veces (consecutivas o no) se llevará el total de la apuesta. En un momento dado han salido (en cualquier orden) cinco caras y tres cruces y el juego debe ser interrumpido. ¿Cómo deben repartirse la apuesta? A lo largo de la historia se fueron buscando distintas soluciones a este problema. Muchas de ellas fueron incorrectas, porque se basaban en los puntos acumulados que los jugadores tenían cuando se interrumpe el juego. Por ejemplo, Luca Pacioli propone en este caso que el primero debería tomar los 5/8 de la apuesta y el segundo los 3/8 restantes. El siguiente diagrama de árbol nos va a convencer de que ésta no es la respuesta correcta, que el reparto debe hacerse en proporción 7 a 1. Applet en http://www.isftic.mepsyd.es/w3/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/4problemas/4problemas2m.htm

PROBLEMA 19 En plena Revolución francesa dos oficiales se retan a un duelo de pistola. Ellos no son grandes tiradores, de hecho únicamente aciertan la mitad de sus disparos. Realizan un sorteo para ver quién de los dos dispara primero sobre el otro y luego van disparando de forma alternativa el uno sobre el otro.¿ Cuál es la probabilidad a favor del que dispara en primer lugar?. PROBLEMA 20 El "Trielo" En el lejano país Vomisa vivió un gran rey. Su hija iba a casarse pronto y como las costumbres allí así lo exigían, los tres pretendientes iban a medirse en un duelo (bueno, en un trielo, al ser tres). Éstos eran: * Gabru, que acertaba en 2 de cada 3 tiros, * Ramphla, el mejor tirador de los tres y que nunca fallaba, * y finalmente Tück, que solo acertaba en un 33% de las veces (1 de cada 3). Las reglas eran las siguientes: primero dispararía Tück al ser el peor tirador, depués le tocaría a Gabru (si todavía vivía), entonces a Ramphla, Tück, Gabru, | PROBABILIDAD CONDICIONADA 71

etc. ¿A quién debería disparar Tück? PROBLEMA 21 Una secretaria ineficiente coloca aleatoriamente n cartas diferentes en n sobres con destinos diferentes. Hallar la probabilidad de que al menos una de las cartas llegue a sud estino correcto PROBLEMA 22 (Paradoja de J. L. F. Bertrand (1822−1900) publicada en "Cálculo de Probabilidades", 1889.− Una caja contiene dos monedas de oro, otra caja contiene dos monedas de plata y una tercera caja contiene una moneda de oro y otra de plata. Se elige una caja al azar y se extrae una moneda que resulta ser de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra moneda de esa caja sea también de oro? (la respuesta no es 0,5) Resp: 2/3 Esta comentada en teoría PROBLEMA 22 THE MONTHY HALL Problem Suponga que asiste a uno de los numerosos programas de televisión en los que despues de haber hecho el payaso para diversión de la audiencia, le ofrecen que escoja una de 3 puertas que esconden un gran regalo (por ejemplo un flamante coche nuevo) una de ellas y las otras 2 contienen una cabra cada una. Tras elegir usted una, el presentador del programa abre una de las que rechazó, mostrando que no contenía nada (esto siempre lo podrá hacer, eliga usted la que eliga) y le da la oportunidad de plantarse con la que escogió inicialmente o cambiar a la otra que queda aún sin abrir. ¿que debería hacer?. Tenga en cuenta que despues de conocer el contenido de una de las puertas que no eligió inicialmente "sabe algo mas que al principio". Una pista: no es indiferente plantarse o cambiar, uno de los 2 comportamientos es mas ventajoso que el otro. PROBLEMA 23 Bradley Efron, estatístico da Universidade de Standford, deseñou o seguinte xogo de dados. Un xogador escolle un dado e lánzao unha vez. A continuación, un segundo xogador escolle outro dos tres dados restantes e lanza tamén outra vez. Gaña o xogador que obteña maior puntuación no dado. É posible deseñar unha estratexia gañadora?

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PROBLEMA 24 Se toma una hoja de papel y se dibujan lineas separadas una distancia d igual a la longitud de un alfiler. Se arroja el alfiles sobre la hoja y se supone que se queda parado encima de ella. ¿Qué probabilidad hay que el alfiler no toque las lineas? ¿Y si en lugar del alfiler arrojo una moneda de diametro d? Fuente: David Achenson “1089 and all that” Applet: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Azar_y_Probabilidad_jpr/maquinari a.htm

PROBLEMA 25 Preguntale a dos amigos que elijan un montón de números enteros. La probabilidad de que dos números positos elegidos al azar sean primos entre si es 6/π2. Fuente: David Achenson “1089 and all that”

PROBLEMA 26 Urna de Polya Imagina que tenemos una urna que contiene bolas de dos colores distintos, blancas y rojas. Extraemos una bola y si resulta ser blanca la devolvemos a la urna, y si es roja la devolvemos acompañada de unas cuantas bolas más del mismo color. A continuación, volvemos a sacar otra bola y repetimos la operación. Claramente lo que ocurre en una extracción condiciona lo que va a pasar en la siguiente. Este tipo de urna lo utilizó el matemático húngaro George Polya para modelizar la evolución de fenómenos como las enfermedades contagiosas. Magnífico applet en http://www.isftic.mepsyd.es/w3/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/4problemas/4problemas4m.htm Imagina que inicialmente tenemos 6 bolas, 4 blancas y 2 rojas y que devolvemos cada bola roja acompañada por otras dos del mismo color ¿Cuántas extracciones tenemos que hacer, como mínimo, para que el número de rojas supere al de

PROBLEMA 27 La máquina Así funciona la máquina: cada vez que le des al botón Animar la bola azul seguirá, aleatoriamente, un camino hasta llegar a alguna de las cajas etiquetadas con las letras A, B, C, D y E. Cada vez que llegue a alguna caja el contador de la misma irá aumentando en una unidad, de tal manera que en cualquier momento sabremos el número de veces que ha caído la bola en cada caja. En la parte superior de la escena aparece el total de veces que se ha repetido el experimento. El control nos permite que la bola vaya más o menos rápida. Si elegimos menos rápida, cada caja se irá llenando de agua en función del número de bolas que van entrando. Este efecto se consigue a costa de la lentitud de la experiencia. Para elegir rapidez, que es lo aconsejable para muchas repeticiones, hemos de poner el control sobre el signo + (a) ¿Cuántos caminos puede tomar la bola azul? | PROBABILIDAD CONDICIONADA 73

(b) ¿Cuántos caminos van a parar a cada una de las cajas? (c) Teniendo en cuenta las respuestas anteriores, calcula la probabilidad de que la bola caiga en cada caja (d) Utiliza la escena para hacer caer la bola 100, 200 y 500 veces, y anota en cada caso la frecuencia relativa de cada caja (selecciona la opción + para ir más rápido) (e) Compara los resultados obtenidos en (c) y (d). ¿Qué podemos decir? http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Azar_y_Probabilidad_jpr/maquinari a.htm

PROBLEMA 28 Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. ¿Qué es más probable: ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se toman en consideración.)

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SOLUCIÓN 1 Al tirar dos dados el espacio muestral de todos los sucesos elementales es el construído en teoría como : Ω = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } El suceso A = {sacar suma 4} no es un suceso elemental, es un suceso formado por tres sucesos elementales equiprobables A = { (1,3), (2,2), (3,1) } que tiene probabilidad 3/36. Su complementario o suceso contrario tiene probabilidad 33/36. Lo que si ocurre es que A y su complementario Ac son una particion de Ω, pero no equiprobables. El planteamiento del problema es, pues, una absoluta falacia. SOLUCIÓN 2 Aquí debes de tener en cuenta también el concepto de equiprobabilidad. Los sucesos A = {fallecer} y Ac = {continuar vivo} aunque juntos cubren el espacio muestral, no son en absoluto equiprobables. SOLUCIÓN 3 La probabilidad de que llueva el fin de semana es, desde el punto de vista de algebra de sucesos, la probabilidad de que llueva el sábado UNION la probabilidad de que llueva domingo. Por el axioma iii de probabilidad se tiene que esta probabilidad es: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B) Entonces P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B) = 0.5 + 0.5 – P(A ⋂ B) por lo que no es el 100%., faltaría restar la probabilidad del suceso intersección A∩B “llover sábado y llover domingo”, que no la conocemos SOLUCION 4 Situación análoga a las anteriores pero con un dato adicional, como ahora resulta que nunca le salen bien entonces A U B = Ω, consecuentemente, por axioma P(Ω ) = 1 luego

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P(A∪B) =1 P(A∩B) = P(A)+P(B) −1=0,7+0,8−1=0,5 Por tanto el 50% le salen con mucha patata y saladas a la vez. El que la selección brasileña gane o pierda el último partido celebrado es independiente de lo que ocurra en el siguiente partido, al ser sucesos independientes se tiene que

P ( A1 ∩ A2 ) = P( A1 ) ⋅ P( A2 ) =

3 3 9 ⋅ = = 0.5625 4 4 16

Entonces para los cuatro partidos que quedan para la final, la probabilidad será

3 3 3 3 81 P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) = P( A1) ⋅ P( A2 ) ⋅ P( A3 ) ⋅ P( A4 ) = ⋅ ⋅ ⋅ = = 0.3164 4 4 4 4 256 El resultado es algo sorprendente, pues a pesar de ganar 3 partidos de cada 4, este hecho le otorga pues, tan solo alrededor de 1/3 de probabilidad matemática de ganar el Campeonato del Mundo SOLUCIÓN 6 Hay que dibujar un diagrama de Venn. Se van haciendo restas partiendo de que hay 15 residentes que juegan a los 3 deportes. Homo hay 23 que juegan a fútbol y baloncesto, entonces hay solo 8 que juegan exclusivamente a fútbol y baloncesto. Con este tipo de restas vamos cubriendo todo el diagrama.

Son en total 182 estudiantes que no practican ningún deporte. | PROBABILIDAD CONDICIONADA 76

SOLUCIÓN 7 Aqui sí tenemos todos los datos precisos para dar la respuesta P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) ⇔ P ( B ) = P ( A ∪ B ) − P ( A) + P ( A ∩ B )

de donde P(B) = 0,90 - 0,60 + 0,50 = 0,80 SOLUCIÓN 8 Aquí el concepto que se maneja es el de dependencia o independencia de sucesos. En realidad lo que ocurre es que el que yo lleve una bomba es un suceso independiente de que la lleve otra persona, luego seguimos teniendo la misma probabilidad, lleve yo una bomba o no la lleve. Para formalizarlo: Sean A={Haya dos bombas a bordo} y B={Yo llevo una bomba a bordo} La P(A│B) = P(A) porque A y B son independientes. Ocurre lo mismo con aquellos jugadores de casino que, al observar cuatro rojos seguidos en la ruleta, apuestan al negro porque opinan, incorrectamente, que la probabilidad de 5 rojos seguidos es muy baja. En efecto la probabilidad a priori de 5 rojos seguidos es muy baja, pero una vez que ya han salido los 4 primeros rojos, el nuevo suceso es independiente de los resultados anteriores y vuelve a tener probabilidad ½ (bueno, no exactamente, porque la ruleta tiene el cero blanco a favor de la banca). SOLUCIÓN 9 Se trata de un problema de probabilidad condicionada. Usando la regla de las probabilidades totales: P(500) = P(500/este en casa)P(este en casa) + P(500/no este en casa)P(no este en casa) = 0,6 · 0, 4 + 0 · 0,4 = 0,24 Por lo que la probabilidad de ir mañana, que esté y que me dé 500 ptas es 0’24 SOLUCIÓN 10 Un dado es la figura geométrica denominada cubo. El cubo tiene 6 caras, pero también tiene 8 vértices y 12 aristas. Las 6 caras no son múltiplo de 4 pero sí lo son los 8 vértices y las 12 aristas. Luego entre 4 personas se puede sortear algo eligiendo aristas o vértices. Y podría ganar aquel vértice o arista que apuntara más hacia una esquina de la habitación o cualquier otro objeto de referencia, o referirlo a las caras contiguas, por ejemplo la arista que corresponde al 6 y al 3. O el vértice determinado por las tres caras que lo definen (2, 3, 6)

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En el caso de 5 personas la cosa es más peliaguda. Francamente, para no liarme, se sortería entre el 1 y el 5, y si saliese el 6, esa tirada se invalidaría y se volvería a tirar. Método también válido para 4 personas. SOLUCIÓN 11 Yo que tú jugaría porque tengo un 50% de perder 2’5 contra un 50% de ganar 5. SOLUCIÓN 12 Enunciado de despiste porque incide mucho en el tema solidario, pero de lo que se trata es en discernir qué es más probable P(A) o P(A∩B). La respuesta es obviamente la primera porque el segundo suceso es un subconjunto del primero. SOLUCIÓN 13 El espacio muestral Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, pero en este caso no todos los elementos son equiprobables. Inicialmente, como sabemos que P(Ω)=1, debemos plantearlo como P(par) + P(impar) = 1 P(par) = ¼ P(impar) De donde, resolviéndolo, queda P(par) = 4/5 y P(impar) = 1/5. Por otro lado P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1, de donde resulta que P(1) = 1/15; P(2) = 4/15; P(3) = 1/15; P(4) = 4/15; P(5) = 1/15; P(6) = 4/15. SOLUCIÓN 14 Parece que se va a tratar de un problema de Bayes, pero la pregunta que nos hace es mucho más sencilla. Estamos hablando de sucesos independientes (y además incompatibles), por tanto es un producto de probabilidades: P[(H ∩ N) ∩ (M ∩ B)] = P[(H ∩ N)] P[(M ∩ B)] = 8/34 10/21 = 80/714

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SOLUCIÓN 15 Hagámoslo directamente de forma general. Son sucesos independientes. La probabilidad de que entre n personas todas tengan cumpleaños en distintos días es: P(alguien con cumpleaños mpleaños coincidente)= 1 - P(todas tiene cumpleaños diferentes) = V 365 364 363 365 − n + 1 1− ⋅ ⋅ ⋅ .... = 1 − 365,nn ⋅ 365 365 365 365 365 Con una calculadora o la hoja Excel se pueden ratificar los comentarios realizados sobre n=23 y n=50. En el caso que nos piden de n = 40 la probabilidad sale 0,89. SOLUCIÓN 16 Aquí usaremos el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio de lanzar tres dados que tiene 63 = 216 elementos (variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3). Para que aparezca suma 9 hay 6 combinaciones de ficha fichass posibles: (1,2,6); (1,3,5); (1,4,4); (2,2,5); (2,3,4); (3,3,3), pero si contamos en los 216 elementos del espacio muestral todas las permutaciones de estas cifras, salen un total de 25. Para que aparezca suma 10 también hay 6 combinaciones de fichas posi posibles: bles: (1,3,6); (1,4,5); (2,2,6); (2,3,5); (2,4,4); (3,3,4), pero al contar en el espacio muestral todas las permutaciones de estas cifras, salen un total de 27. Por eso es más probable la segunda opción. SOLUCIÓN 17 Del siguiente gráfico deducimos que al menos el 45% perdió el ojo y la oreja:

Del siguiente gráfico deducimos que al menos el 65% perdió la mano y la pierna:

Y de ambos, deducimos que al menos el 10% perdió los cuatro órganos

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SOLUCIÓN 18 Estamos trabajando con sucesos independientes Casi siempre que aparezca la pregunta de calcular la probabilidad de ‘‘al al menos un’, un’ suele ser más sencillo calcular la del suceso contrario, es decir, ‘‘no ocurra ningún’’ y después restarle la unidad por ser sucesos complementarios. P( ningún seis en cuatro lanzamientos) zamientos) = 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 P(al menos un 6) = 1 – 54/64 = 1 – 0,482 = 0,517 > ½ Si ahora hacemos los cálculos con dos dados tendremos P( ningún seis en cuatro lanzamientos) = 35/36 x 35/36 x 35/36 x 35/36 P(al menos un 6) = 1 – 354/364 = 1 - 0,51 = 0,49 < ½ SOLUCIÓN 19 De acuerdo a las condiciones del problema cada uno de los oficiales tiene ½ de posibilidades de acertar sobre el contrario. Así podemos expresar lo siguiente: Probabilidad de acertar del primero= Probabilidad

Probabilidad

acertar acertar

acertar

del del

primero segundo(

del

(

en en

segun segundo

la la

segunda

ronda)=

segunda

ronda)=

....................... Por tanto la probabilidad total del oficial que dispara en primer lugar es igual a

Sumando la serie erie infinita geométrica llegamos a calcular P =2/3 , por lo tanto el primer oficial tiene doble de probabilidades que el segundo.

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SOLUCIÓN 20 La mejor estrategia es....¡disparar al aire! Debemos decir, antes de nada, que la solución no garantiza que Tück sobreviva, sino que simplemente aumenta sus posibilidades de hacerlo. La táctica es la siguiente: Al principio podríamos pensar que lo mejor sería disparar a Ramphla, que es el adversario más peligroso ya que no falla nunca. Sin embargo, ésto es erróneo. Tück dispara y digamos que acierta y mata a Ramphla. Entonces le toca a Gubru y disparará a Tück (lo cual no quiere decir que acierte, pero la posibilidad existe) Si, por otra parte, dispara a Gabru y acierta, estaría de facto muerto, ya que Ramphla le dispararía y acertaría. ¿Qué otras posibiliades hay? Simplemente: ¡disparar al aire! De esta forma le tocaría a Gabru y dispararía a Ramphla, al ser éste el más peligroso. Si no acierta, Ramphla lo matará y le tocará a Tück; si acierta, le tocará a Tück. ¿Y que ventajas tiene el disparar al aire? Lo que hemos hecho es cambiar el problema: al principio Tück era el segundo en un duelo, ahora es el primero, lo cual quiere decir que primero dispara él y luego el adversario (y esto es mejor para él) SOLUCIÓN 21 Problema del siglo XVIII resuelvo por Pierre de Montmort. Puede plantearse de montones de formulas, tales como n sombreros y n propietarios, sacar bolas en un orden concreto, diez regalos para 10 niños, etc.). Presenta una curiosa particularidad y es que a partir de n = 10 la probabilidade de que el suceso se produzca permanece prácticamente invariable. En otras palabras que la propiedad que al menos una carta entre 10 vaya a su desinatario es muy semejante que si lo hacemos con cien o incluso con mil cartas. Esta propiedad choca ligeramente con lo que nuestra intuición nos dicta. Para resolverlo, numeramos de 1 an las n cartas y los n sobres. Para la 1ª carta tenemos n sobres posibles donde introducirla, para la 2ª tenemos (n-1) sobres, y así sucesivamente, la última carta solo tendremos unsobre libre donde introductirla. Es decir tenemos n (n-1) (n-2) ... 1 = n! maneras de realizar este experimento. 1) Caso de que solo una carta esté en su sobre correcto. Consideramos el suceso Ai = { “la carta i está en el sobre correcto i” } su probabilidad es ( n − 1)! = 1 P( Ai ) = pues los casos favorables son (n - 1)! dado que, fijado el que carta i vaya n! n a sobre i, nos quedan (n - 1) cartas que se podrán enviar de (n – 1)! maneras De esta manera, tenemos que P ( A1 ) + P ( A2 ) + .... + P ( An ) =

1 1 1 1 + + ... + = n   = 1 n n n n

2) Caso de que dos cartas estén en su sobres correctos.

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La probabilidad de que 2 cartas estén en sus sobres correctos es:

n n! ( n − 2)! y como hay   = maneras de elegir dos sucesos i y j entre n!  2  2!⋅ (n − 2)! los n posibles, entonces la suma de las probabilidades de todos estos pares de elementos i y j es: P ( Ai ∩ Aj ) =

∑ P( A ∩ A ) = 2!⋅ ( n − 2)! ⋅ i

i, j

(n − 2)! 1 = n! 2!

3) Caso de que tres cartas estén en su sobres correctos. Análogamente podríamos razonar que la probabilidad de tres cartas vayan corractas es

∑ P( A ∩ A ∩ A ) = 3!⋅ ( n − 3)! ⋅ i

i, j ,k

(n − 3)! 1 = n! 3!

4) Y, en general, para las n cartas sería P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) =

1 n!

La probabilidad pedida sería pues

P( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) − ∑ P( Ai ∩ Aj ) + ... ± ∑ P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = ... i, j

... = 1 −

1 1 1 1 + − + .... ± 2! 3! 4! n!

Y a partir de 5 ó 6 (puedes comprobarlo con una hoja Excel) los cambios cuantitativos de esta probabilidad empiezan a no ser significativos en el cómputo global SOLUCIÓN 22 Hay que considerar dos cosas, el presentador Monty, cuando abre una puerta con la cabra, ya está limitado a la decisión previa del concursante. Además, la probabilidad de haber elegido bien al principio sigue siendo 1/3. Sin embargo, la restricción que Monthy tiene le da información al concursante. Hay simuladores en Internet (http://www.mste.uiuc.edu/pavel/java/dilemma/) para que pruebes las veces que acertarías y en todas estas simulaciones, cuando el número de pruebas empieza a ser suficientemente alto, obtendrás un 66% de posibilidades de ganar el coche si cambias de puerta. La razón teórica la podrás obtener con este gráfico en el que puedes comprobar que optando por cambiar de puerta ganas en dos de tres ocasiones y si no lo haces, ganas solo en una de tres.

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Supongamos que se selecciona inicialmente la puerta 1 Supongamos que Monty ty le abre la puerta 2, en la que aparece una cabra cabra. Podemos calcular la probabilidad a posterior de que el coche esté en la puerta 1 depués de que Monty nos ha proporcionado un nuevo dato, Paar ello construímos el siguiente modelo matemático Sea Ci la situación uación de que el coche est esté en la puerta i (entre el 1,2,3) Sea Mi el suceso de que Monty abra la puerta i (entre el 1,2,3) mostrando la cabra. La probabilidad de que el concursante gane el coche si cambia de puerta viene dada por 1 1 2 P ( M 3 ∩ C2 ) + P ( M 2 ∩ C3 ) = P ( M 3 / C2 ) P (C2 ) + P ( M 2 / C3 ) P (C3 ) = ⋅1 + ⋅1 = 3 3 3

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