Matrices y Determinantes by Miguel Perez

Linear Algebra Matrices

OpenMaths.com 1.1.2.5

Ver 01:22/09/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.2.5.1 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.2

ALGEBRA

1.1.2.5

LINEAR ALGEBRA

1.1.2.5.1

MATRICES

COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 12/09/2010

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3 Historia................................................................................................................................... 4 Fuente: http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap20/Parte04_ 20.htm .................................................................................................................................... 4 Apliciaciones.......................................................................................................................... 4 Matriz ......................................................................................................................................... 5 Operaciones con matrices .......................................................................................................... 6 Suma ...................................................................................................................................... 6 Resta....................................................................................................................................... 7 Multiplicacion por un escalar................................................................................................. 7 Combinancion Lineal ............................................................................................................. 9 Multiplicación de matrices ................................................................................................... 10 TIPOS DE MATRICES ........................................................................................................... 12 Matriz fila............................................................................................................................. 12 Matriz columna .................................................................................................................... 12 Matriz rectangular ................................................................................................................ 12 Matriz cuadrada ................................................................................................................... 12 Diagonal principal ................................................................................................................ 12 Diagonal secundaria ............................................................................................................. 12 Matriz traspuesta .................................................................................................................. 13 Matriz opuesta...................................................................................................................... 13 Matriz triangular .................................................................................................................. 13 Matriz diagonal .................................................................................................................... 13 Matriz escalar ....................................................................................................................... 13 Matriz identidad ................................................................................................................... 14 Matriz nula ........................................................................................................................... 14 Matriz regular....................................................................................................................... 14 Matriz singular ..................................................................................................................... 14 Matriz simétrica ................................................................................................................... 14 Matriz antisimétrica ............................................................................................................. 15 Matriz ortogonal................................................................................................................... 15 Matriz periódica ................................................................................................................... 15 Matriz idempotente .............................................................................................................. 15 | /INTRODUCCIÓN 1

Matriz involutiva.................................................................................................................. 15 Matriz nilpotente .................................................................................................................. 15 Matriz hermítica ................................................................................................................... 15 Matrices congruentes ........................................................................................................... 16 Matrices semejantes ............................................................................................................. 16 AVANCE AL CONCEPTO DETERMINANTES .................................................................. 21 Determinante de una matriz 2x2 .......................................................................................... 21 Determinante de una matriz 3x3 .......................................................................................... 21 Regla de Sarrus .................................................................................................................... 21 Determinantes de una matriz de rango superior a 3 ............................................................. 23 MENOR COMPLEMENTARIO, ADJUNTO DE UN ELEMENTO Y MATRIZ ADJUNTA .................................................................................................................................................. 24 Menor complementario ........................................................................................................ 24 Adjunto de un elemneto de una matriz ................................................................................ 24 Matriz adjunta ...................................................................................................................... 24 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA ........................................................................ 26 Definición: Matriz Inversa ................................................................................................... 26 Calculo de la matriz inversa ................................................................................................. 26 Problemas propuestos .............................................................................................................. 29 RANGO DE UNA MATRIZ ................................................................................................... 32

| /INTRODUCCIÓN 2

INTRODUCCIÓN El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos. Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar. Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1. Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

| /INTRODUCCIÓN 3

HISTORIA El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.1 Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.2 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693. Los cuadrados mágicos numericos aparecen en el 650 AC en la literatura China y eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa). Sin embargo, es Leibniz en 1693 quien les da la forma y aplicación actual Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX. Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering. Fuente: http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap20/Parte04_20.htm Fuente : http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

Apliciaciones Las matrices son utilizadas ampliamente en todas las ciencias (fisica, quimica y economía) así como las propias matemáticas (sistemas de ecuaciones lineales, estadística, probabilidad, procesos estocásticos) y también en la teoría de grafos y en el cálculo numérico. Pero hoy en día tienen una importancia especial en la computación por su facilidad para manejar y ordenar grandes cantidades de datos. | /INTRODUCCIÓN 4

DEFINICION DE MATRIZ Una matriz es una estructura matemática formada por cajas numéricas ordenadas en filas y columnas. Si m es el número de filas y n el número de columnas se dice que la matriz tiene dimensiones m x n. Sea

ℳmxn el conjunto de todas las posibles matrices Amxn donde

Amxn

 a1,1   a2,1  a3,1  =  ...  ai ,1   ... a  m ,1

a1,2

a1,3

...

a1, j

...

a2,2 a3,2

a2,3 a3,3

... a2, j ... a3, j

... ...

...

ai ,2

ai ,3

...

ai , j

...

am,3 ... am, j

...

am,2

C1 C2

a1, n  F1  a2,n  F2 a3, n  F3  ...  ... = ( ai , j )i =1,..., m = ( aij ) j =1,..., n ai ,n  Fi  ...  ... am, n mxn Fm

C3 ........ C j ... Cn

A los números aij se les llama elementos de la matriz y el subíndice i indica la fila y el subíndice j indica la columna a la que pertenece dicho elemento. Si denominamos F1, F2, F3,....Fm a las filas y C1, C2, C3, ..., Cn a las columnas, las matrices se podrían expresar también en la forma Amxn= (F1, F2, F3,....Fm ) = (C1, C2, C3, ..., Cn)

| DEFINICION DE MATRIZ 5

Ejemplo

A4x3

 1 −2  −2 0 = 3 1   −1 3

1  F1  2  F2 ∈ M 4x3 1  F3  0  F4

C1 C2

F1 = (1 −2 1)

1  −2  1       F2 = ( −2 0 2 ) 0 2 −2    ;C1 = ;C2 = ;C3 =    3 1 1 F3 = ( 3 1 1)       F4 = ( −1 3 0 )  −1   3 0 Igualdad de matrices Dos matrices A y B de la misma dimensión se dicen iguales si todos los elementos coinciden término a término, es decir

A = B ⇔ ai , j = bi , j ∀i, j

Matriz cuadrada Es la que tiene igual número de filas que de columnas, es decir, n = m. En el caso de las matrices cuadradas solo hablaremos de su dimensión n, que también le diremos orden n.

Operaciones con matrices Suma Sean A, B ∊

ℳmxn

Se define suma de matrices como C = A + B ∊

ℳmxn

como

| Operaciones con matrices 6

+ M mxn xM mxn  → M mxn

∀i ∈1, 2,.., m  ∀j ∈1, 2,.., n

+ → C = A + B = ( cij ) = ( aij ) + ( bij ) = ( ai , j + bi , j )  ( A, B ) 

Resta Asimismo, se define resta de matrices como C = A - B ∊

ℳmxn

como

C = ( cij ) = ( aij ) − ( bij ) = ( aij − bij )i ,=1...m j =1...n

Multiplicacion por un escalar Se define multiplicación por un escalar a C = αA ∊

ℳmxn

como

* RxM mxn  → M mxn * → C = ( cij ) = α * A = α ( aij ) = (α ⋅ aij )i ,=1...m (α , A)  j =1... n

Ejemplos Consideremos las matrices siguientes:  3 1 −1 0   1 −2 3 1       2 2 1 −2   −2 1 0 −1  A =  0 −3 2 1  B =  2 −1 0 3       1 2 0 −3   −3 −2 −1 3   1 −2 −2 0   2 0 0 1  5 x 4  5 x 4

C = ( 2 3 −1 0)1x 4

 −2    1 D=   0    1 4 x1

Calcula a) A + B; b) A – B; c) -3B d) C + D

Solución

| Operaciones con matrices 7

 4 −1 2 1   3 1 −1 0   1 −2 3 1         0 3 1 −3   2 2 1 −2   −2 1 0 −1 A + B =  0 −3 2 1  +  2 −1 0 3  =  2 −4 2 4         1 2 0 −3   − 3 − 2 −1 3   −2 0 −1 0   1 −2 −2 0     3 −2 −2 1   5 x 4  2 0 0 1 5 x 4  5 x 4  2 3 −4  3 1 −1 0   1 −2 3 1        4 1 1  2 2 1 −2   −2 1 0 −1 A − B =  0 −3 2 1  −  2 −1 0 3  =  −2 −2 2       4 4 1  1 2 0 −3   −3 −2 −1 3   1 −2 −2 0   2 0 0 1  −1 −2 −2  5 x 4  5 x 4   1 −2 3 1     −2 1 0 −1 −3B = −3  2 −1 0 3  =    −3 −2 −1 3   2 0 0 1  5 x 4

 −3 6 −9   6 −3 0  −6 3 0  9 6 3  −6 0 0 

−1   −1  −2   −6  −1 5 x 4

−3   3 −9   −9  −3 5 x 4

C + D no se puede realizar por tener dimensiones diferentes las dos matreices.

| Operaciones con matrices 8

Combinación lineal

ℳ

Sean A1, A2, ..., An son matrices mxn y α1, α2, ... αn son números reales ∊. Se define combinación lineal de dos o más matrices de cualquier expresión del tipo

α1 A1 + α 2 A2 + .... + α n An Ejemplo 1 Dadas las matrices A y B definidas en el ejercicio anterior calcula la combinación lineal 2A – 3B.

 3 1 −1 0   1 −2 3 1   2 2 1 −2   − 2 1 0 −1      2 A − 3B = 2  0 −3 2 1  − 3  2 −1 0 3  =      1 2 0 −3   − 3 − 2 −1 3   1 − 2 −2 0   2 0 0 1  5 x 4  5 x 4  6 2 − 2 0   − 3 6 −9  4 4 2 − 4   6 −3 0    =  0 −6 4 2  +  −6 3 0     2 4 0 −6   9 6 3  2 −4 −4 0   −6 0 0   

−3   3 8 −11 −3    3   10 1 2 −1  −9  =  −6 −3 4 −7     −9   11 10 3 −15  −3   −4 −4 −4 −3 5 x 4

Ejemplo 2 También conviene ir asimilando el concepto de combinaciones lineales de matrices fila o columna, que coinciden con lo que pronto vamos a denominar vectores: Sean las matrices columna siguientes. Calcula la combinación lineal dada por 2 A − 31 A2 + A3 − 2 A4

2  −1  1 0         1 2 −2  1    A1 = ; A2 = ; A3 = ; A4 =   3  −2   3 1  −1  0   1           2  2   −1   1   0   8            1 2 −2 1 −8 2 A1 − 31 A2 + A3 − 2 A4 = 2   − 3   +   − 2   =    3   −2   3   1   13   −1  0   1   2   −5           

| Operaciones con matrices 9

Multiplicación de matrices Sea A ∊

ℳmxn y B ∊ ℳnxp

× M mxn xM nxp  → M nxp n   → C = A × B = ( cij ) = ( aij ) × ( bij ) =  cij = ∑ aik ⋅ bkj  ( A, B )  k =1   i =1...m +

j =1... p

Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 - Cambridge, 26 de enero de 1895) fue un matemático británico. Es uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras. Además de su predilección por las matemáticas, también era un ávido lector de novelas, le gustaba pintar, apasionado de la botánica y de la naturaleza en general, y aficionado al alpinismo. Fue educado en el Trinity College de Cambridge. Estudio durante algún tiempo la carrera de leyes con lo que trabajó de abogado durante 14 años, a la vez que publicaba un gran número de artículos. Luego pasó a ser profesor en Cambridge. Fue el primero que introdujo la multiplicación de las matrices.

Ejemplo Dadas las matrices  2 −1  1  1 2 −1  1 0 1  −1 1 1          A = 0 2  ;B =   ; C =  2  ;D =  0 1 0  ; E =  −1 1 1   1 0 2 2 x3  1 −2   −1  1 1 2     3 x 2  3 x1    0 0 2 Calcular : a) AB; b) BA; c) CCt ; d) CtC; e) DE Observación : la multiplicación de matrices no es conmutativa

Soluciones a)

| Operaciones con matrices 10

 a1,1 a1,2 a1,3   2 −1       −1 1 1  AB =  0 2    =  a2,1 a2,2 a1,3  = ...    1 0 2 2 x3  a   1 −2  3 x 2  3,1 a3,2 a3,3   2 ⋅ (−1) + (−1) ⋅1 2 ⋅1 + (−1) ⋅ 0 2 ⋅1 + (−1) ⋅ 2   −3 2 0      ... =  0 ⋅ (−1) + 2 ⋅1 0 ⋅1 + 2 ⋅ 0 0 ⋅1 + 2 ⋅ 2  =  2 0 4   1 ⋅ (−1) + (−2) ⋅1 1 ⋅1 + (−2) ⋅ 0 1 ⋅1 + (−2) ⋅ 2   −3 1 −3      b)  2 −1   a11 a12   −1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅1 −1 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ ( −2 )   −1 1 1    BA =   = ... =  0 2  =  1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 1 ⋅ − 1 + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ − 2 a a ( ) ( )  1 0 2 2 x3   21 22      1 −2  3 x 2  −1 1  ... =    4 −5   2 −1   −1 1 1    =  a1,1 BA =  0 2      1 0 2  2 x 3  1 −2   a2,1  3 x 2

a1,2   −1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅1 −1 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−2)   −1 1  = = a2,2   1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 + 2 ⋅1 1 ⋅ ( −1) + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( −2)   4 −5 

c)  a1,1 1    C ⋅ C =  2  (1 2 −1)1x 3 =  a2,1  −1  a  3 x1  3,1 t

a1,2 a2,2 a3,2

a1,3   1 ⋅1 1⋅ 2 1 ⋅ (−1)   1 2 −1      2⋅2 2 ⋅ (−1)  =  2 4 −1 a1,3  =  2 ⋅1 a3,3   (−1) ⋅1 (−1) ⋅ 2 (−1) ⋅ (−1)   −1 −2 1 

d) 1   C ⋅ C = (1 2 −1)1x 3  2  = ( a1,1 ) = (1 ⋅1 + 2 ⋅ 2 + (−1) ⋅ (−1) ) = ( 6 )1 X 1  −1   3 x1 t

e)  1 2 −1   1    D ⋅ E =  0 1 0   −1 1 1 2   0  3 x 3  1 ⋅1 + 2 ⋅ (−1) + ( −1) ⋅ 0  ... =  0 ⋅1 + 1 ⋅ ( −1) + 0 ⋅ 0  1 ⋅1 + 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 0 

0 1  1 1  = ... 0 2 3 x 3 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 + ( −1) ⋅ 0 1 ⋅1 + 2 ⋅1 + ( −1) ⋅ 2   −1 2 1     0 ⋅ 0 + 1 ⋅1 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2  =  −1 1 1  1 ⋅ 0 + 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 1 ⋅1 + 1 ⋅1 + 2 ⋅ 2   0 1 6 

| Operaciones con matrices 11

TIPOS DE MATRICES Matriz fila Esta formada por una sola fila. A = ( 3 −1 2 1)1x 4

Matriz columna 4   Esta formada por una sola columna. A =  3   −1   3 x1

Matriz rectangular Es la que tiene un numero de filas m distinto del de columnas n.  −1 2 0  A=   1 1 −2  2 x 3

Matriz cuadrada Es la que tiene un numero de filas n igual al de columnas n

1 1 1    A =  1 −1 1   0 1 −1   3 x 3

Diagonal principal Dada una matriz cuadrada A, la diagonal principal está formada por los elementos aii

Diagonal secundaria Dada una matriz cuadrada A, la diagonal secundaria está constituida por los elementos aij con i + j = n + 1.

| TIPOS DE MATRICES 12

Matriz traspuesta Dada una matriz cuadrada A, llamamos matriz traspuesta y se denota por At , a la matriz obtenida cambiando en A las filas por columnas

1 1 0    A = 1 −1 1   1 1 −1   3 x 3 t

Matriz opuesta A una matriz A, es la que se obtiene cambiando el signo a todos los elementos de A, es decir –A.

 −1 −1 −1   − A =  −1 1 −1  0 −1 1   3 x 3

Matriz triangular Triangular superior , si son 0 los elementos debajo de la diagonal principal.

1 1 1    A =  0 −1 1   0 0 −1   3 x 3 Triangular inferior, si son 0 los elementos encima de la diagonal principal.

1 0 0    A =  1 −1 0   0 1 −1   3 x 3

Matriz diagonal Es la que tiene 0 todos sus elementos excepto los de la diagonal principal

1 0 0    A =  0 −1 0   0 0 −1   3 x 3

Matriz escalar Es una matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal iguales

| TIPOS DE MATRICES 13

2 0 0   A = 0 2 0 0 0 2  3 x 3

Matriz identidad Un matriz identidad, denotada por In, de orden n, es una matriz escalar con sus elementos de la diagonal principal 1

1 0 0   I = 0 1 0 0 0 1  3 x 3

Matriz nula Es la que tiene todos sus elementos 0

0 0 0   0 = 0 0 0 0 0 0  3 x 3

Matriz regular Es la que tiene determinante distinto de cero y por tanto, tiene inversa

1 1 1    A =  1 −1 1  ; A = 2  0 1 −1  3 x 3 NOTA.- En este punto todavía no hemos definido el concepto de determinante de una matriz pero adelantamos aquí esta definición para agrupar todos los tipos de matrices en un mismo lugar.

Matriz singular Es la que tiene determinante nulo

1 2 1    A =  1 −1 −1 ; A = 0 0 3 2   3 x 3

Matriz simétrica Si A = At | TIPOS DE MATRICES 14

5 6 7   A = 6 9 2 7 2 0  3 x 3

Matriz antisimétrica o asimétrica Es la que verifica que A = -At

 0 − 6 −7    A = 6 0 2   7 −2 0   3 x 3

Matriz ortogonal  senα Es la que verifica que A·At = I. Ej, A =   cos α

− cos α   senα 

Matriz periódica Una matriz A se dice periódica si existe algún p tal que Ap = A.

Matriz idempotente Es una matriz periódica donde p = 2, es decir A2 = A A = A  3 −1   3 −1   3 −1   3 −1  A=  ; A⋅ A =   =   6 −2  2 x 2  6 −2   6 −2   6 −2 

Matriz involutiva Una matriz A se dice involutiva si A A = A2 = I  5 −2   5 −2   5 −2   1 0  A=  ; A⋅ A =   = ; 12 − 5 12 − 5 12 − 5 0 1  2 x 2     

Matriz nilpotente Una matriz es nilpotente si existe algún p tal que Ap= 0 (matriz cero).

Matriz hermítica Una matriz cuadrada A es hermítica si coincide con la matriz traspuesta conjugada (se refiere a los números complejos conjugados). Es antihermítica si es opuesta con la matriz traspuesta conjugada.

| TIPOS DE MATRICES 15

Matrices congruentes Dos matrices cuadradas A y B de orden n, se dicen congruentes si es posible encontrar otra matriz H tal que A = Ht B H

Matrices semejantes Dos matrices cuadradas A y B de orden n , se dice que son semejantes si es posible encontrar una matriz regular P tal que B = P-1 A P

http://www.matematicasbachiller.com/temario/algebra/tema_1/indice.html http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Matrices/TipMat.htm

| TIPOS DE MATRICES 16

Problemas propuestos 1 1 1. Dada la matriz A =   Hallar la ley de formación de las potencias sucesivas 0 2 de A, An, y demostrarlo por inducción (PAU, Pais vasco 1998)

Solución Calculamos la sucesivas potencias de A hasta el grado 5 y observamos que el elemento a12 es siempre una unidad inferior al a22 tendremos  1 1  1 1   1 3   1 3   1 22 − 1 2 A = A⋅ A =  =   = = 2 22   0 2  0 2   0 4   0 2   0

1 A3 = A2 ⋅ A =  0 1 A4 = A3 ⋅ A =  0

31 1 1 = 4   0 2   0 7  1 1   1  0 2  =  0 8   

7   1 7   1 23 − 1  = =  8   0 23   0 23 

15   1 15   1 24 − 1 = =  16   0 24   0 24   1 15   1 1   1 31   1 31   1 25 − 1 A5 = A4 ⋅ A =  =   = = 5 25   0 16   0 2   0 32   0 2   0 Por lo que deducimos que la potencia n-ésima es  1 2 n − 1 An =   2n  0 1 0  250 20 2. Dada la matriz A =   . Calcula la matriz A + A (PAU, Pais vasco 1994) 1 1 

Solución Calculamos la sucesivas potencias de A hasta el grado 4 y tratamos de averiguar las pautas de formación de cada uno de los elementos 1 0 1 0   1 0  A2 = A ⋅ A =   =  1 1 1 1   2 1  1 A3 = A2 ⋅ A =  2 1 A4 = A3 ⋅ A =  3

0 1  1 1 0  1  1  1

0 1 = 1 3 0 1 = 1  4

0  1 0  1

Por lo que podemos concluir que 1 0 An =   n 1 Y por ello, las matrices A250 y A20 son: | TIPOS DE MATRICES 17

 1 0  20  1 0  A250 =  ; A =    250 1   20 1  Con lo cual  1 0  1 0  2 0 A250 + A20 =  + =   250 1   20 1   270 2   senα 3. Comprueba que la matriz A =   cos α

− cos α   es ortogonal senα 

Solución Matriz ortogonal es la que verifica que A·At = I. Tienes que recordar ahora la primera fórmula fundamental de la trigonometría vista en 1º Bachillerato y con ella  sin α A⋅ A =   cos α t

− cos α  sin α  sin α  cos α

 sin 2 α + cos 2 α ... =  −0 

− cos α   sin α  = sin α   − cos α  1 0 0 = =I 2 2 cos α + sin α   0 1 

− cos α   sin α  sin α   − cos α

cos α   = ... sin α 

 cosα − senα   cos β − senβ  4. Dadas las matrices A =   y B=  son conmutativas  senα cos α   senβ cos β  respecto a la multiplicación AB = BA. Calcular A2, A3 ..., An

5. Calcular las potencias n-ésima de las matrices

 1 1n 1n  1 0 1  1 1 0        A = 0 1 0  , B = 0 1 1  , C = 0 1 0  0 0 1  0 0 1  0 0 1        Soluciones

 1 n 1 0 n     An =  0 1 0  , B n =  0 1 0 0 0 0 1     

n2 + n    1 mn 2   n  , C m = 0 1 0 0 1    

  0 1  m n

6 Calcular la matriz X2 + Y2, siendo X e Y las soluciones del sistema matricial siguiente: (Galicia, PAU Junio 1994)

| TIPOS DE MATRICES 18

 2 −4  5 X + 3Y =    0 15   1 −1  3 X + 2Y =    −2 9  Solución Por el método elemental de reducción, resolvemos este sistema de ecuaciones (donde las incógnitas X e Y son matrices pero la forma de resolverlo es la misma  2 −4   2 5 X + 3Y =   −15 X − 9Y = −3    0 15   0   1 −1    1 3 X + 2Y =   15 X + 10Y = 5   −2 9    −2

−4   −6 = 15   0 −1   5 = 9   −10

12    −45   −1 7  10Y − 9Y = Y =   −5    0 0  45  

 2 −4    2 −4   −4 8   5 X + 3Y =   −10 X − 6Y = −2    =  −1 5   0 15    0 15   0 −30    − 10 X + 9 X = X =    1 −1    1 −1   3 −3   −6 3   3 X + 2Y =    9 X + 6Y = 3  =    −2 9    −2 9   −6 27   Calculamos entonces la expresión matricial pedida 2

 −1 5   −1 7   −29 40   1 −7   −28 33  X +Y =   +  = + =   −6 3   0 0   −24 −3   0 0   −24 −3  2

7.- Determinar las matrices X e Y tales que se verifique el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

MX + NY = P MX − NY = Q  0 1  1 0 4 6  2 4 M= ; N =  ; P =  ; Q =    1 0  0 1 2 0  0 2 7.- Obtener las matrices A y B tales que cumplen las siguientes condiciones (Galicia, PAU septiembre 1996)

8 3 A + 2B =  5 1 2 A − 3B =   −1

3  4 2  −6 

8.- Demostar que si A es nilpotente entones 2A - I es involutiva.

| TIPOS DE MATRICES 19

| TIPOS DE MATRICES 20

AVANCE AL CONCEPTO DETERMINANTES El determinante de una matriz cuadrada es un numero real. Su definición formal es compleja para un nivel de secundaria, podemos adelantarla como una palicación: || M nxn  →ℜ

→A= A 

∑

( j1 , j2 , j3 .. jn )∈Pn

• •

(−1)σ a1, j1 ⋅ a2, j2 ⋅ a3, j3 ⋅ ... ⋅ an, jn

Donde σ es el numero de inversiones de la permutación (j1, j2, ..., jn) y Pn el conjunto de todas las permutaciones de n elementos.

Determinante de una matriz 2x2 a1,1 a2,1

a1,2 = a1,1 ⋅ a2,2 − a1,2 ⋅ a2,1 a2,2

Determinante de una matriz 3x3 a1,1 a2,1 a3,1

a1,2 a2,2 a3,2

a1,3 a1,1 a1,2 a2,3 = ...... a2,1 a2,2 a3,3 a3,1 a3,2

a1,3 a1,1 a1,3 ... − .... a2,1 a3,3 a3,1

a1,2 a2,2 a3,2

a1,3 a1,3 (Regla de Sarrus) a3,3

= a1,1 ⋅ a2,2 ⋅ a3,3 + a1,2 ⋅ a2,3 ⋅ a3,1 + a1,3 ⋅ a2,1 ⋅ a3,2 − (a1,3 ⋅ a2,2 ⋅ a3,1 + a1,2 ⋅ a2,1 ⋅ a3,3 + a1,1 ⋅ a2,3 ⋅ a3,2 )

Regla de Sarrus

| AVANCE AL CONCEPTO DETERMINANTES 21

Observa que las seis permutaciones de 1,2,3 son • • • • • •

(1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1)

Si cada baile de números con respecto a la primera permutación básica (1 2 3), lo consideramos una inversión, cada una de las permutaciones tiene las siguientes inversiones • • • • • •

(1 2 3) no tiene ninguna inversion, luego signo + (1 3 2) tiene 1 inversion, luego signo (2 1 3) tiene 1 inversion por tanto signo (2 3 1) tiene 2 inversiones, (1 2 3) -> (2 1 3) -> (2 3 1) luego signo + (3 1 2) tiene 2 inversiones, (1 2 3) -> (3,2,1) -> (3 1 2) luego signo + (3 2 1) tiene 1 inversion, luego signo +

Pierre Frédéric Sarrus (Saint-Affrique, 10 de marzo de 1798 - 20 de noviembre de 1861) es un matemático francés. En 1815, Sarrus dudaba entre escoger Medicina o Matemáticas para continuar su carrera. El rechazo del alcalde de Saint-Affrique de otorgarle un certificado de buena vida y costumbres a causa de sus opiniones bonapartistas y de sus orígenes protestantes le obligan a optar por la facultad de Ciencias. En Montpellier, en los años 1820 conoce a Gergonne y publica varios artículos y memorias en los Annales de Gergonne, una de las primeras revistas matemáticas. En 1829 es nombrado profesor de Matemáticas en la facultad de Ciencias de Estrasburgo de la cual es decano entre 1839 y 1852. Durante esta época publica la mayoría de sus trabajos en el Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville. Sin embargo tiene problemas de salud y se retira en 1858. Sus trabajos tratan sobre los métodos de resolución de ecuaciones numéricas y sobre el cálculo de variaciones. En 1853 resuelve uno de los problemas más complicados de la mecánica de las piezas articuladas: la transformación de movimientos rectilineos alternativos en movimientos circulares uniformes. Pero su celebridad entre los estudiantes de Matemáticas se explica sobre todo por una regla de cálculo de determinantes de matrices de orden 3 que lleva su nombre: la regla de Sarrus. Fue introducida en el artículo Nouvelles méthodes pour la résolution des équations publicado en Estrasburgo en 1833. http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fr%C3%A9d%C3%A9ric_Sarrus

Ejemplos 3

−2 1

= 3 ⋅ 1 − ( − 2 ) ⋅1 = 3 + 2 = 5

−1 2 3 0 2 −1 = ( −1) ⋅ 2 ⋅ 7 + 2 ⋅ ( −1) ⋅ ( −2 ) + 0 ⋅ 2 ⋅ 3 − ( −2 ) ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) + 0 ⋅ 2 ⋅ 7  = −14 + 4 − [ −12 + 2 + 0] = ... −2 2

... = −10 − ( −10 ) = −10 + 10 = 0 1

−2

−1 1

3 1

0 = ( −1) ⋅1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0 ⋅ ( −2 ) + ( −1) ⋅ 2 ⋅1 − 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + ( −2 ) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) + 0 ⋅1 ⋅1 = ... −1

... = −3 + 0 − 2 − [ 6 − 2 + 0] = −5 − ( 4 ) = −9

| AVANCE AL CONCEPTO DETERMINANTES 22

Determinantes de una matriz de rango superior a 3 Aunque el método que se sigue para calcular un determinante de orden 4 es el desarrollo por una de sus líneas (fila o columna) y esto se justificará teóricamente más adelante, al tratar los determinantes en profundidad, adelantamos aqui el procedimiento. Buscamos la línea del determinante más cómoda, es decir, la que contenga más 0 ó 1.

− 1 3 0 −1 2 4 3 0 = 0 −2 2 4 1 3 −3 1 1+1

= (−1)(−1)

4 3 0 3 0 −1 3 0 −1 3 0 −1 2 +1 3+1 4 +1 −2 2 4 + 2(−1) −2 2 4 + 0(−1) 4 3 0 + 1(−1) 4 3 0 = 3 −3 1 3 −3 1 3 −3 1 −2 2 4

4 3 0 3 0 − 1 3 0 −1 = − −2 2 4 − 2 −2 2 4 − 4 3 0 = − [8 + 36 − (−48 − 6)] − 2 [ 6 − 6 − (−6 − 36) ] − [36 − 8 − (6) ] = 3 −3 1 3 −3 1 −2 2 4 = −98 − 2 ⋅ 42 − 22 = −204

| AVANCE AL CONCEPTO DETERMINANTES 23

MENOR COMPLEMENTARIO, ADJUNTO DE UN ELEMENTO Y MATRIZ ADJUNTA Menor complementario Sea A ∊

ℳnxn una matriz cuadrada de orden n

 a1,1  a2,1 A=  ...   an ,1

a1,2 a2,2 ... an ,2

... a1, n   ... a2,n  ∈ M nxn ... ...   ... an , n mxn

Se denomina menor complementario de un elemento aij de una matriz al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de la matriz original A. Lo representaremos por α ij

Adjunto de un elemento de una matriz Se denomina adjunto de un elemento aij de esta matriz al determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de la matriz original A, multiplicada por (-1)i+j Aij = Adj(aij) = (-1)i+j α ij

Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de A, y se designa por Adj (A) o A* a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij

 A1,1 A 2,1 Adj ( A) = A* =   ...   An ,1

A1,2 ... A1,n   (−1)1+1α1,1 (−1)1+ 2 α1,2  A2,2 ... A2,n  (−1) 2 +1α 2,1 (−1) 2+ 2 α 2,2 =  ... ... ...  ... ...   n +1 n+ 2 An ,2 ... An ,n mxn  (−1) α n ,1 (−1) α n ,2

... (−1)1+ n α1,n   ... (−1) 2+ n α 2,n   ... ...  ... (−1) n + n α n ,n  mxn

Ejemplo 1  1 −2  Calcula la matriz adjunta de la matriz A =    3 −1   (−1)1+1 ⋅ (−1) (−1)1+ 2 ⋅ 3   −1 −3  Adj ( A) =  =  2 +1 2+ 2  (−1) ⋅ (−2) (−1) ⋅1  2 1  | MENOR COMPLEMENTARIO, ADJUNTO DE UN ELEMENTO Y MATRIZ 24 ADJUNTA

Ejemplo 2

1 2 1   Calcula la matriz adjunta de la matriz A =  −1 1 −2  0 1 1   Solución  1 1+1  (−1) 1   2 Adj ( At ) =  (−1) 2+1 1    (−1)3+1 2  1 

−2 1 1 1 1 −2

(−1)1+ 2

−1 −2 0

(−1) 2+ 2 (−1)3+ 2

1 1 0 1

− 1 −2

−1 1   0 1  3 1 −1  2   2+ 3 1  = −1 1 −1 (−1)  0 1      −5 1 3  1 2 (−1)3+ 3 −1 1  (−1)1+ 3

| MENOR COMPLEMENTARIO, ADJUNTO DE UN ELEMENTO Y MATRIZ 25 ADJUNTA

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA Definición: Matriz Inversa Sea A ∊

ℳnxn una matriz cuadrada de orden n

 a1,1   a2,1  a3,1  An =  ...  ai ,1   ... a  n ,1

a1,2

a1,3

a2,2

a2,3 ... a2, j

a3,2

a3,3

... a3, j

...

ai ,2

ai ,3

... ai , j

...

an ,2

... a1, j

... ...

an ,3 ... an , j

... a1,n   ... a2,n  ... a3,n   ... ...  ... ai ,n   ... ...  ... an ,n 

= ( ai , j )

i , j∈1,..., n

= ( aij )

mxn

Se dice que A es inversible o regular si existe A-1 tal que A A-1 = A-1 A = I ∊

ℳnxn

A-1 se le denomina inversa de la matriz A

Calculo de la matriz inversa 1) Calcular |A| = det(A) y comprobar que no sea nulo (matriz regular o no singular) 2) Trasponer la matriz At 3) Hallar la adjunta de la traspuesta Adj (At)

4) La inversa viene dada por A −1 =

Adj ( At ) A

Ejemplos Caso 2x2  1 −2  Sea A =    3 −1  Calculamos el determinante de A A =

1 −2 3 −1

= 1(−1) − 3(−2) = 1 + 6 = 5

1 3 Calculamos la traspuesta At =    −2 −1 | MENOR COMPLEMENTARIO, ADJUNTO DE UN ELEMENTO Y MATRIZ 26 ADJUNTA

Calculamos la adjunta de 1+1 1+ 2  (−1) ⋅ (−1) (−1) (−2)   −1 2  Adj ( At ) =  =  2 +1 (−1) 2+ 2 ⋅1   −3 1   (−1) ⋅ 3  −1 2  − 1 2   5 5 1 1 Adj ( At ) =  La inversa es pues: A−1 =  = A 5  −3 1   −3 1     5 5 Comprobación:  −1 2   −1 6 2 −2  + + 1 − 2   5 5   5 5 5 5  1 0 −1 A⋅ A =  = =  =I  3 −1   −3 1   −3 + 3 6 − 1   0 1       5 5  5 5 5 5   −1 2   −1 6 2 −2  + +   5 5  1 −2   5 5 5 5   1 0  −1 A ⋅A=  = = =I  −3 1   3 −1   −3 + 3 6 − 1   0 1       5 5  5 5 5 5  Caso 3 x 3

traspuesta

1 2 1   Sea A =  −1 1 −2  0 1 1   1

Calculamos el determinante de A A = −1 1 −2 = (1 + 0 − 1) − (0 − 2 − 2) = 4

 1 −1 0    Calculamos la traspuesta A =  2 1 1   1 −2 1    Calculamos la adjunta de la traspuesta  1 1 2 1 2 1+1 (−1)1+ 2 (−1)1+3  (−1) −2 1 1 1 1   −1 0 1 0 1 Adj ( At ) =  (−1) 2+1 (−1) 2+ 2 (−1) 2+3 −2 1 1 1 1    (−1)3+1 −1 0 (−1)3+ 2 1 0 (−1)3+3 1  1 1 2 1 2  t

1   −2   3 −1 −5  −1   = 1 1 1   −2    − 1 − 1 3    −1  1 

| MENOR COMPLEMENTARIO, ADJUNTO DE UN ELEMENTO Y MATRIZ 27 ADJUNTA

 3   3 −1 −5   4 1 1 1  La inversa es pues: A−1 = Adj ( At ) =  1 1 1  =   4 4 A   −1 −1 3   −1   4 Comprobación:  3   1 2 1  4   1 A ⋅ A−1 =  −1 1 −2      4  0 1 1   −1   4 Teorema Sean A, B ∊

−1 4 1 4 −1 4

−5   3 2 1 + − 4   4 4 4   1   −3 1 2 = + + 4   4 4 4   3   1 −1   0+ + 4   4 4

−1 2 −1 + + 4 4 4 1 1 2 + + 4 4 4 1 −1 0+ + 4 4

−1 4 1 4 −1 4

−5  4   1  4   3   4 

−5 2 3  + + 4 4 4  1 0 0  5 1 −6    + + = 0 1 0  = I3 4 4 4    0 0 1  1 3   0+ +  4 4 

ℳnxn dos matrices cuadradas de orden n , se verifica que (A·B)-1

= B-1·A-1

Demostración (A·B) (A·B)-1 = I por la propia definición de inversa, pero también (A·B) · (B-1·A-1) = A ·(B · B-1) ·A-1 = A · I ·A-1 = A·A-1 = I

| MENOR COMPLEMENTARIO, ADJUNTO DE UN ELEMENTO Y MATRIZ 28 ADJUNTA

Problemas propuestos Calcular la matriz inversa de las matrices: 1 3 6   A = 2 1 7    1 − 2 − 1 0 2 0   A =  − 1 1 − 1   2 2 1 2 1 − 1  1 1 1 A= 1 2 0  2 − 1 0

2  1 1  1

1 1 − 1 1   1 −1 1  1 A= 1 −1 1 1   1 1 − 1 1 0  1 − a 0   0 1 − a 0  A=  0 0 1 − a   0 1  0 0 a  0 A= 0  0

0 0 0  b 0 0 0 c 0  0 0 d

a) Encontrar los valores de λ para los que la matriz

1 − 1 λ −1   λ − 2 1  es invertible. A= 0  λ 0 2   b) Para λ = 2, hallar la inversa de A y comprobar el resultado (Galicia, previa 2000)

| Problemas propuestos 29

Resolver el sistema

 x   0     A. y  =  0  para λ = 1  z   0     Ejemplo - Ejercicio

3 4  0   Considerando la matriz A =  1 − 4 − 5  se pide −1 3 4   a) Demostrar que verifica que A3 + I = O, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula b) Justificar que A es invertible y calcula A-1. c) Calcula razonadamente A10. (http://www.aulademates.com)

Solución

0  A3 + I =  1  −1  0 3 A = 1 −4 −1 3

4  1   −4 −5  +  0 3 4   0 4 −5 = −1 ≠ 0 ⇔ 4 3

0 0   −1 0 0   1 0 0   0 0 0         1 0  =  0 −1 0  +  0 1 0  =  0 0 0  0 1   0 0 −1  0 0 1   0 0 0  A es inversible

−1

0 3 4  1 0 −1      −1 A =  1 −4 −5  =  −1 −4 −4   −1 3 4  1 3 3      −1 0 0   −1 0 0  −1 0 0  0 3 4  3      10 3 3 3 A = A A A A =  0 −1 0   0 −1 0  0 −1 0  1 −4 −5  = ( − I ) ⋅ A = − IA = − A  0 0 −1  0 0 −1 0 0 −1 −1 3 4       Ejemplo - Ejercicio 1  0 Probar que las matrices A =  0  0  calcúlala

n 0 0  1 n 0  cos α y B= 0 1 n  − sin α   0 0 1

sin α   tienen inversa y cos α 

| Problemas propuestos 30

Solución

1 0 A= 0 0 B =

n 1 0 0

0 n 1 0

cos α − sin α

0  1 −n n 2 −n3    0 0 1 −n n2  -1  = 1 ⇒ A tiene inversa ⇒ A = 0 0 n 1 −n    1 0 1  0 0 sin α  cos α = cos 2 α + sin 2 α = 1 ⇒ B es inversible y B-1 =  cos α  sin α

− sin α   cos α 

Problemas propuestos Calcular X empleando la matriz inversa en la ecuación A·X = B·A, siendo: 1  0 1 1 1 1     A =  − 1 0 1; B =  1 0 1      0 − 1 1  1 1 0 Calcular X empleando la matriz inversa en la ecuación A·B·X = C, siendo: 1 1 0  2 1 0  3 0 0       A =  0 1 1  ; B =  1 1 0 ; C =  1 3 1        0 1 − 1  1 1 1  0 1 3 Calcular X empleando la matriz inversa en la ecuación A·X + B = C, siendo:  2 1  1 1 1  1 0 1 A= ; B =  ; C =    2 1 1  1 1  0 2 1

Calcular X empleando la matriz inversa en la ecuación A·X + B = C, siendo: 1 1 − 1   A =  3 0 2 ; B =   1 0 1 

 2 1  0 1      − 1 1 ; C =  1 0     − 1 2  1 1

Calcular X empleando la matriz inversa en la ecuación A·X + B = C, siendo: 1 − 2  1 1 1  0 −1 1  A= ; B =  ; C =   1 − 1  1 2 − 2   2 2 − 1

| Problemas propuestos 31

RANGO DE UNA MATRIZ Definición Calcular el rango de una matriz A es determinar el número máximo de vectores fila o de vectores columna linealmente independientes que posee la matriz A

Teorema Dada una matriz A ∊

ℳmxn diremos que

rg(A) = r ⇔ (“si y solo si”) existe un menor complementario de orden r distinto de cero, y que todos los menores de orden r + 1 sean nulos

Teorema El rango de una matriz A coincide con el orden máximo de sus menores no nulos, es decir: rg(A) = r ⇔ hay un menor de orden r no nulo y todos los menores de orden mayor que r son nulos

Ejemplo Hallar el rango de la siguiente matriz  −1 3 0 −1 1    2 4 3 0 1  A=  0 −2 6 7 0   1 5 9 6 2   4 x5

Solución Antes de iniciar este procedimiento se deben observar las filas y columnas por si alguna de ellas fuese un multiplo o una combinación lineal evidente de otras, en caso de lo cual podríamos eliminarla a efectos de calcular el rango. Tras ello, se busca el primer menor 2x2 no nulo. El menor 2x2 de la esquina superior izquierda tiene determinante no nulo, 1 −3 = 1 ⋅ 4 + 2(−3) = −2 ≠ 0 luego tenemos garantizado el rango como mínimo 2. 2 4 Si orlamos este menor el determinante, 3x3 tambien nos sale no nulo, luego tenemos garantizado el rango es como mínimo 3. −1 3 0

2 4 3 = −66 ≠ 0 0 −2 6 Orlamos de nuevo y tenemos que las dos posibilidades son nulas

| RANGO DE UNA MATRIZ 32

−1

0 −1

−2 6

1 3 9 6 es rang(A) = 3.

−1

0 1

3 1

−2 6 0

= 0 ; luego el rango no llega a ser 4, y por tanto

9 2

Frobenius. Fue Frobenius quien introdujo la noción de rango de una matriz, en 1879. Este matemático, que al parecer en un principio no conocía el trabajo de Cayley, también obtuvo resultados para matrices similares a aquellos que habían encontrado Sylvester y Weierstrass sobre los factores invariantes y los divisores elementales.

| RANGO DE UNA MATRIZ 33

METODO NUMERICO DE GAUSS-JORDAN Para calcular la matriz inversa. de matrices de orden más grande que 3, resulta no solo tedioso, sino inapropiado, usar el método de cálculo de la inversa mediante el método de la matriz adjunta. Para ello se utilizan métodos numéricos que con sólo una sucesiva iteración de operaciones elementales nos llevan siempre a una solución exacta. Estos métodos son, además, los apropiados para codificarlos en un lenguaje de ordenador para mecanizar el proceso. Vamos a ver ahora como calcularíamos la matriz inversa de una matriz A por el método de Gauss-Jordan. Consideremos la matriz A siguiente:  2 1 −1 2    1 1 1 1 ; construimos lo que se denomina matriz ampliada, consistente en A= 1 2 0 1    2 −1 0 1  añadirle la matriz identidad de orden 4 a la derecha de la matriz dada:  2 1 −1 2 1 0 0 0     1 1 1 1 0 1 0 0  y a continuación, realizamos con sus filas una serie de 1 2 0 1 0 0 1 0    2 −1 0 1 0 0 0 1  operaciones elementales para transformarla en una matriz del tipo  1 0 0 0 b11 b12 b13 b14     0 1 0 0 b21 b22 b23 b24  donde la matriz B = (bij) sera la inversa de la matriz A.  0 0 1 0 b31 b32 b33 b34     0 0 0 1 b41 b42 b43 b44  Estas transformaciones son muy parecidas a las empleadas en el método de triangularización de una matriz para el cálculo del determinante, pero ahora tendremos que triangularizarla tanto superior como inferiormente. Y no solo eso, sino que además obtener 1 en la diagonal principal, es decir obtener la matriz identidad I en el lado izquierdo.

El proceso es iterativo y tiene 4 iteraciones, una por cada fila. Iteración 1 Se toma como pivote a11 = 2, y se realizan las transformaciones siguientes:

| METODO NUMERICO DE GAUSS-JORDAN 34

F1 a11  2 1 −1  1 1 1 1 2 0   2 −1 0

2 1 0 0 0  1 0 1 0 0 ↔ 1 0 0 1 0  1 0 0 0 1 

F2 −

a21 F1 a11

F3 −

a31 F1 a11

F4 −

a41 F1 a11

 1 12 − 12 1 12  3 1 0 − 12 2 2 0 1  0 32 0 − 12 2   0 −2 1 −1 −1

0 0 0  1 0 0 ↔ 0 1 0  0 0 1 

Iteración 2 Se toma como pivote a22 = ½, y F1 −  1 12 − 12 1 12  3 1 0 − 12 2 2 0 1  0 32 0 − 12 2   0 −2 1 −1 −1

0 0 0  1 0 0 ↔ 0 1 0  0 0 1 

a12 F2 a22

F2 a22 F3 −

a32 F2 a22

F4 −

a42 F2 a22

1  0 0  0

0 −2 1 3

1 1 −1 0 0   0 −1 2 0 0  ↔ 0 −4 0 1 −3 1 0   0 7 −1 −3 4 0 1 

Iteración 3 Se toma como pivote a33 = 3 2 , y se repite el procedimiento con la fila 3

1  0 0  0

0 −2 1 3

1 1 −1 0 0   0 −1 2 0 0  ↔ 0 −4 0 1 −3 1 0   0 7 −1 −3 4 0 1 

F1 −

a13 F3 a33

F2 −

a23 F3 a33

F3 a33 F4 −

1  0 0  0

1 1 12 − 12 0  2  0 − 14 − 14 3 4 0  ↔ 0 1 0 − 14 3 4 − 14 0   0 0 −1 − 5 4 − 5 4 7 4 1 

0 0 1 0

a43 F3 a33

Iteración 4 Se toma como pivote a44 = -1, y resulta:

| METODO NUMERICO DE GAUSS-JORDAN 35

1  0 0  0

1 1 12 − 12 0  2  0 − 14 − 14 3 4 0  ↔ 0 1 0 − 14 3 4 − 14 0   0 0 −1 − 5 4 − 5 4 7 4 1 

0 0 1 0

F1 −

a14 F4 a44

F2 −

a24 F4 a44

F3 −

a34 F4 a44

1  0 0  0

0 0 0 − 34 − 34 1 0 0 − 14 − 14 0 1 0−

0 0 1

3 5

5 3

4 4

− 14

− 74

1  0 ↔ 0  −1

F4 a44

De donde la matriz inversa de A es: 1  − 34 − 34 54  1  − 4 − 14 3 4 0 −1  A =  − 14 3 4 − 14 0    5 5 − 7 4 −1 4  4

Otro ejercicio desarrollado para matriz 3x3 en la pg 39 de 2º Bach CS de Santillana NOTA Cuando, al ejecutar este proceso de Gauss-Jordan, un pivote sale 0, se produce una excepción que se escapa de las pretensiones de este nivel.

| METODO NUMERICO DE GAUSS-JORDAN 36

Problemas propuestos Calcula el rango de la matrices siguientes:

1  1 a)  1  2  2

−2 −2 −2 −4 −4

− 2  1 0 0 1  2 0  −3 6  3

3 − 4  1 −1 2   2 −1 −1 − 2 4 b)  2 2 3 −1 5    3 5 −5 3   3 3 1 −1 2    2 1 4 − 1 c)  4 −1 6 5     5 4 10 − 6 1  0 d)  1  0

− 1 2 1 1  − 1 1 2 0 − 1 0 1 1  − 1 3 2 2

0 1 3 2 −1 2   0 −3 0 2 4 1 1 − 3 e)  2 − 1 − 2 1   3 − 9 −1 6  3 1   2 − 7 3 −1 − 5 7 3 5 6 7  2  6 10 12 14  4 9 3 7 −1 f)  2  − 3 − 7 2 3 4  5 10 3 −1 2 2  3 g)  1  4  4

−3 1

4  8 2  3  7

5  −2 4 2 1 − 5 5 − 2 − 4  3 7 −2 1   − 7 9 0 − 3 4

| METODO NUMERICO DE GAUSS-JORDAN 37

0  1   - 2 2 0  Siendo las matrices A =  1 − 1 y B =  3 1 1   − 2 2   

Selectividad Septiembre 1998

a) ¿ Se cumple la igualdad rango (A.B) = rango (A).rango(B) ¿ Justificar la respuesta. a b b) Encontrar todas las matrices X =  d e identidad de orden 2.

c  tales que X.A = I, donde I es la matriz f 

c)¿ Existe alguna matriz Y, cuadrada de orden 2, tal que A.Y = Bt (Bt es la matriz traspuesta de B). Justificar la respuesta.

| METODO NUMERICO DE GAUSS-JORDAN 38