Algebra Lineal. Sistemas by Miguel Perez

Linear Algebra Sistemas Lineales

OpenMaths.com 1.1.2.5.3

Ver 01:15/10/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.2.5.3 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.2

ALGEBRA

1.1.2.5

LÍNEAR ALGEBRA

1.1.2.5.3

SISTEMAS LINEALES

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Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 15/10/2010

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 3 Historia .................................................................................................................................. 3 Apliciaciones ......................................................................................................................... 3 CONCEPTOS BÁSICOS.......................................................................................................... 5 Sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................................ 5 Método de Sustitución....................................................................................................... 5 Método de Igualación ........................................................................................................ 5 Método de Reducción........................................................................................................ 6 Método de Gauss ............................................................................................................... 6 Método numérico de Gauss ................................................................................................... 9 REGLA DE CRAMER ........................................................................................................... 11 TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS .............................................................................. 15 Teorema de Rouché-Fröbenius ........................................................................................... 16 Grados de libertad ............................................................................................................... 17 SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS ............................................................................ 18 DISCUSION DE SISTEMAS ................................................................................................. 19 Ejercicios Propuestos .............................................................................................................. 26

| INTRODUCCIÓN 1

| INTRODUCCIÓN 2

INTRODUCCIÓN Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Historia

Apliciaciones In mathematics, the theory of linear systems is a branch of linear algebra, a subject which is fundamental to modern mathematics. Computational algorithms for finding the solutions are an important part of numerical linear algebra, and such methods play a prominent role in engineering, physics, chemistry, computer science, and economics. A system of non-linear equations can often be approximated by a linear system (see linearization), a helpful technique when making a mathematical model or computer simulation of a relatively complex system.

| INTRODUCCIÓN 3

| INTRODUCCIÓN 4

CONCEPTOS BÁSICOS Sistemas de ecuaciones lineales Hasta ahora, para resolver un sistema de ecuaciones, como mucho de tres incógnitas, se empleaban los conocidos métodos de sustitucón, igualación y reducción, así como una pequeña introducción al método de Gauss, así como métodos gráficos. Recordémoslos. Supongamos el sistema 2 x + 3 y + z = 14   5 x + 4 y + z = 23 x + 2 y − 3 z = 5 

Método de Sustitución 2 x + 3 y + z = 14    z = 14 − 2 x − 3 y      5 x + 4 y + z = 23 5 x + 4 y + (14 − 2 x − 3 y ) = 23 3x + y = 9  y = 9 − 3x     x + 2 y − 3 z = 5  x + 2 y − 3 (14 − 2 x − 3 y ) = 5  7 x + 11 y = 47  7 x + 11( 9 − 3x ) = 47    z =1  y =3 x = 2 −52 −26 x = −52 ⇔ x = = 2 −26  z = 14 − 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 = 1 y = 9 − 3⋅ 2 = 3

Método de Igualación 14 − 2 x − 3 y = 23 − 5 x − 4 y  2 x + 3 y + z = 14  z = 14 − 2 x − 3 y  3x + y = 9    5 − x − 2y    5 x + 4 y + z = 23 z = 23 − 5 x − 4 y  14 − 2 x − 3 y =  7 x + 11 y = 47  − 3   x + 2 y − 3z = 5  5− x − 2y     z= −3  47 − 7 x  y = 9 − 3x  9 − 3x = 11  −26 x = −52 ⇔ x = 2  x = 2  47 − 7 x   y=   y = 9 − 3⋅ 2 = 3  y = 3 11   z = 14 − 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 = 1 z = 1    

| CONCEPTOS BÁSICOS 5

Método de Reducción 2 x + 3 y + z = 14    z = 14 − 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 = 1 z = 1     5 x + 4 y + z = 23 2ª −1ª 3x + y = 9   y = 9 − 3⋅ 2 = 3  y = 3 x = 2 x + 2 y − 3 z = 5  3 ⋅1ª +3ª 7 x + 11y = 47  11 ⋅1ª −2ª 26 x = 52 ⇔ x = 2  

Método de Gauss 14 − 3 ⋅ 3 − 1 =2 2 24 − 3 ⋅1 =3 y= 7 52 =1 z= 52

x= 2 x + 3 y + z = 14  2 x + 3 y + z = 14  2 x + 3 y + z = 14     5 x + 4 y + z = 23 −2 F2 + 5 F1 7 y + 3 z = 24  7 y + 3 z = 24  52 z = 52  x + 2 y − 3z = 5  2 F3 − F1 y − 7 z = −4  −7 F3 + F2

Método Matricial Ahora que hemos estudiado matrices, podemos utilizar nuestro nuevo conocimiento para expresar nuestro sistema en forma matricial de la siguiente forma 2 x + 3 y + z = 14   5 x + 4 y + z = 23 x + 2 y − 3 z = 5 

Llamemos A a la matriz de coeficientes, X a la matriz de incógnitas y B a la matriz de términos independientes 2 3 1   x  14        A =  5 4 1  ; X =  y  ; B =  23   1 2 −3  z 5      

De esta forma el sistema se puede expresar de forma matricial de la manera siguiente 2 x + 3 y + z = 14  2 3 1   x   14       5 x + 4 y + z = 23  5 4 1   y  =  23  ⇔ AX = B     x + 2 y − 3 z = 5   1 2 −3   z   5 

Multiplicando por la izquierda, ambos miembros de esta igualdad, por la matriz inversa A-1 se tiene  x 2 3 1      −1 −1 −1 −1 AX = B ⇔ A AX = A B ⇔ IX = A B ⇔ X = A B ⇔  y  =  5 4 1   z   1 2 −3     

−1

 14     23    5

| CONCEPTOS BÁSICOS 6

Es decir, que con solo calcular la inversa de la matriz de coeficientes A-1 y multiplicarla por la matriz de términos independientes B tendremos siempre resuelta la solución de un sistema lineal  x 2 3 1       y = 5 4 1   z   1 2 −3     

−1

 14   −14 11 −1   14   2    1       23  = 26  16 −7 3  23  =  3     −1 −7  5   1  5  6

Y este método es válido para una matriz de cualquier orden n Ejemplo 1 Resolver el sistema, 2 x + y − z + 2t = 8 x + y + z + t = 5   x + 2y + t = 3   2x − y + t = 8

Solución 2 x + y − z + 2t = 8  2 1 −1 2  x   8   x   2 1 −1         x + y + z + t = 5   1 1 1 1  y   5   y   1 1 1 = ⇔ = ⇔ x + 2y +t = 3   1 2 0 1  z   3   z   1 2 0   t   8   t   2 −1 0   2 −1 0 1  2x − y + t = 8       1  8   2   x   − 34 − 34 54    1     1 3 0  5   −1 4  y = − 4 − 4 =  z   − 1 4 3 4 − 1 4 0  3   1      5  8   3  5 − 7 4 −1 4    t  4

2  1 1  1 

−1

8   5 ⇔  3   8

Ejemplo 2 Resolver el sistema, (PAU) x − 2 y − 2z + t = 4 x + y + z −t = 5

    x− y− z +t = 6  6 x − 3 y − 3 z + 2t = 32 

Solución

| CONCEPTOS BÁSICOS 7

−1

x − 2 y − 2z + t = 4 x + y + z −t = 5 x− y− z+t = 6

  1 −2 −2 1   x   4   x   1 −2 −2 1    1 1 1 −1  y   5   y   1 1 1 −1     =   ⇔   =   ⇔           1 1 1 1 6 1 1 1 1 − − − − z z                      6 x − 3 y − 3z + 2t = 32   6 −3 −3 2   t   32   t   6 −3 −3 2  Pero la matriz de coeficientes tiene determinante 0, por tener dos columnas iguales

4   5 6  32   

 1 −2 −2 1    1 1 1 −1  ; A =0 A=  1 −1 −1 1     6 −3 −3 2  Por lo que el método matricial anterior no es válido en este caso y tendremos que seguir estudiando con mayor profundidad la resolución de sistemas para solucionar este y otros incovenientes que van a surgir.

| CONCEPTOS BÁSICOS 8

Método numérico de Gauss Al igual que con la matriz inversa utilizamos el método de cálculo numérico de Gauss-Jordan para resolver cualquier matriz inversible de orden n, podemos utilizar la misma técnica para resolver un sistema lineal de ecuaciones Sea, por ejemplo, el sistema ya calculado 2 x + y − z + 2t = 8 x + y + z + t = 5   x + 2y + t = 3   2x − y + t = 8

Lo vamos a expresar en forma matricial mediante la matriz de coeficientes, ampliándola con una columna más formada por la matriz columna de términos independientes  2 1 −1  1 1 1 1 2 0   2 −1 0

2 8  1 5 1 3  1 8 

A esta matriz le aplicamos ahora el método de Gauss-Jordan hasta transformar la patriz de coeficientes en la matriz identidad I. Cuando lo hayamos conseguido, la última columna de esta matriz ampliada transformada, será la solución de nuestro sistema de ecuaciones. 1  0 0  0

0 0 0 x  1 0 0 y 0 1 0 z  0 0 1 t 

Iteración 1 F1 a11  2 1 −1  1 1 1 1 2 0   2 −1 0

2 8  1 5 ↔ 1 3  1 8 

F2 −

a21 F1 a11

F3 −

a31 F1 a11

F4 −

a41 F1 a11

 1 12 − 12 1 4    3 1 0 1 2 2 0 1  0 32 0 −1 2    0 −2 1 −1 0 

Iteración 2

| CONCEPTOS BÁSICOS 9

F1 −  1 12 − 12 1 4    3 1 0 1 2 2 0 ↔ 1  0 32 0 −1 2    0 −2 1 −1 0 

a12 F2 a22 1  0 0  0

F2 a22 F3 −

a32 F2 a22

F4 −

a42 F2 a22

0 −2

1 3  1 3 0 2 0 −4 0 −4   0 7 −1 4 

Iteración 3

1  0 0  0

0 −2

1 3  1 3 0 2 ↔ 0 −4 0 −4   0 7 −1 4 

F1 −

a13 F3 a33

F2 −

a23 F3 a33

F3 a33 F4 −

1  0 0  0

1 5  1 0 0 −1  0 1 0 1  0 0 −1 −3  0 0

a43 F3 a33

Iteración 4

1  0 0  0

1 5  1 0 0 −1  ↔ 0 1 0 1  0 0 −1 −3  0 0

F1 −

a14 F4 a44

F2 −

a24 F4 a44

F3 −

a34 F4 a44

1  0 0  0

0 0 0 2  1 0 0 −1 0 1 0 1  0 0 1 3 

F4 a44

De donde las soluciones al sistema son  x  2       y  =  −1 z  1   t   3     

| CONCEPTOS BÁSICOS 10

REGLA DE CRAMER Cramer publicó esta regla en (http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer)

1750

y sirve para resolver sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, siempre y cuando, la matriz de coeficientes sea no singular, es decir, |A| ≠ 0. De hecho, este tipo de sistemas se les conoce como sistemas de Cramer Con los métodos numéricos actuales, esta regla está en absoluto desuso, a excepción de su aplicación puramente matemática y su aplicación en la resolución paramétrica de sistemas. Sin embargo, como no está permitido el uso de calculadoras científicas que resuelvan este tipo de sistemas y deetrminantes, los alumnos tienen la obligación y necesidad de conocerlo. Grabiel Cramer (1704-1752) Cramer propuso un método por deteminantes que daba las soluciones directas de cada una de las incógnitas mediante sustitución de la columna de terminos independientes en cada columna de la matriz de coeficientes Consideremos el sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2   .....................  an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn 

Que escrito en forma matricial sería  a11 a12   a21 a22  ... ...  a  n1 an 2

... a1n   x1   b1      ... a2 n  x2   b2  = ... ...  ...   ...      ... ann  xn   bn 

Se tiene que

xi =

a11

a12

... b1

... a1n

a21 ...

a22 ...

... b2 ... a2 n ... ... ... ...

an1

an 2 ... bn A

... ann

; ∀i ∈ {1, 2,..n}

| CONCEPTOS BÁSICOS 11

Demostración  a11 a12  a a Tenemos el sistema  21 22  ... ...   an1 an 2

... a1n  x1   b1      ... a2 n  x2   b2  ; sabemos que lo podemos resolver = ... ...  ...   ...    x   b  ... ann  n  n

 x1   a11 a12    x a a matricialmente mediante el cálculo de la inversa:  2  =  21 22  ...   ... ...  x   a  n   n1 an 2

... a1n   ... a2 n  ... ...   ... ann 

−1

 b1     b2   ...     bn 

Pero también hemos visto que la inversa se puede obtener mediante adjuntos como:  a11 a12  a21 a22 1 t −1 A = Adj ( A ) ⇔   ... ... A  a  n1 an 2

−1

... a1n   A11   ... a2 n  1 A21 =  ... ...  A  ...    ... ann   An1

A12 A22 ... An 2

A1n   A11   ... A2 n  1 A12 =  ... ...  A  ...    ... Ann   A1n ...

An1   ... An 2  ... ...   ... Ann 

A21 ... A22 ... A2 n

Por tanto, sustituyendo  x1   A11     x2  = 1  A12  ...  A  ...  x   A  n  1n

A21 A22 ... A2 n

... An1  b1   A11b1 + A21b2 + ... + An1bn      ... An 2  b2   A12b1 + A22b2 + ... + An 2bn  =  ... ...  ...   ...      ... Ann  bn   A1nb1 + A2 nb2 + ... + Annbn 

Es decir, cada solución xi viene dada por xi =

1 ( A1ib1 + A2ib2 + ... + Ani bn ) A

Donde la expresión A1i b1 + A2i b2 + ... + Anibn coincide por el desarrollo por la columna i-ésima del determinante

a11

a12

... b1

... a1n

a21

a22

... b2 ... a2 n

...

... ... ...

an1

an 2 ... bn ... ann

...

Por lo tanto

| CONCEPTOS BÁSICOS 12

a11 a12 1 a21 a22 xi = A ... ... an1 an 2

... ... ... ...

b1 b2 ... bn

... a1n ... a2 n ; ∀i ∈ {1, 2,..n} ... ... ... ann

Ejemplo 1 x − 2y + z = 0

  1 −2 1   x   0        2 x + y − 3z = −5 ⇔  2 1 −3   y  =  −5  3x − 3 y + 2 z = 3   3 −3 2   z   3 

Solución Al resolverlo por Cramer se tendría 0 −2 1 1 1 x= −5 1 −3 = ⋅10 = 1 A 10 3 −3 2 1 0 1 1 1 2 −5 −3 = ⋅ 20 = 2 y= 10 A 3 3 2 1 −2 0 1 1 z= 2 1 −5 = ⋅ 30 = 3 A 10 3 −3 3

Ejemplo 2 Supongamos que tenemos nuestro ya conocido sistema lineal 2 x + y − z + 2t = 8  2 1 −1 2   x   8       x + y + z + t = 5   1 1 1 1   y   5  ⇔ = ; donde A = 4        x + 2y +t = 3 z 1 2 0 1 3    2 −1 0 1   t   8  2x − y + t = 8

Solución Al resolverlo por Cramer se tendría 8 1 −1 2 1 5 1 1 1 1 = ⋅8 = 2 x= A 3 2 0 1 4 8 −1 0 1

| CONCEPTOS BÁSICOS 13

2 8 −1 2 y=

1 1 5 A 1 3 2 8 2

1 1 1 A 1 2 2 −1 2 1 1 1 1 A 1 2 2 −1

1 ⋅ ( −4 ) = −1 4

1 ⋅4 =1 4

8 2 5 1 3 1

8 1 −1 8 1

−8

1 ⋅12 = 3 4

Otro buen ejercicio desarrollado para matriz 3x3 en la pg 75 de 2º Bach CS de Santillana

| CONCEPTOS BÁSICOS 14

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

También denominado teorema de RouchéCapelli, en honor al matemático francés Eugène Rouché (1832-1910) se trata de un teorema de álgebra lineal que permite calcular el número de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones en función del rango de algunas matrices. Cramer solo nos resuelve sistemas de igual número de ecuaciones que de incógnitas, pero con esta poderosa arma que vamos a enunciar, podremos discutir cualquier sistema de ecuaciones.

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rouch%C3%A9-Capelli http://es.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius

Aclararemos determinados conceptos:

• • • • •

Compatible equivale a decir que tenga solución Incompatible si no tiene solución Condición necesaria es lo mismo que decir implica => Condición necesaria y suficiente, es lo mismo que decir equivalencia, <=> Magnitud paramétrica es la que tiene infinitos posibles valores variando un parámetro real que habitualmente designaremos por las letras griegas λ, µ | TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS 15

Sea el sistema lineal

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2   .....................  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm 

de m ecuaciones con n incógnitas

x1 , x2 ,..., xn

Denominemos A a la matriz de coeficientes

• • •

X a la matriz de incógnitas B a la matriz de términos independientes A* a la matriz ampliada, añadiéndole a A la columna de los términos independientes.  a11 a12 ... a1n   x1   b1        ... a2 n  x2  b2  a21 a22   ;X = ;B = ;A* = A B =   ... ...  ...   ...  ... ...        ... amn   xn   bm   am1 am 2

 a11 a12  a21 a22 A=  ... ...   am1 am 2

... a1n b1   ... a2 n b2  ... ... ...   ... amn bm 

El sistema también lo podemos escribir en función de las columnas C1, C2,...Cn de la siguiente manera:  a11   a12   a1n   b1           a21  x +  a22  x + ... +  a2 n  x =  b2  ⇔ C x + C x + ... + C x = B 1 1 2 2 n n  ...  1  ...  2  ...  n  ...           am1   am 2   amn   bm 

Teorema de Rouché-Fröbenius La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas sea compatible, es que el rango de la matriz de coeficientes A , sea igual al rango de la matriz ampliada A* = A|B. Dicho en forma más corta Un sistema es compatible <=> rang(A) = rang(A*) Este teorema nos va a permitir discutir los sistemas de cualquier tipo. Con él, determinaremos cuando es compatible y cuando incompatible. Si en algún caso se encuentra solución única, ésta la calcularemos por Cramer. Si la solución es paramétrica, también Cramer nos ofrece una buena manera de calcularla.

Demostración | TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS 16

Condición necesaria => Si el sistema es compatible, existe una solución (s1, s2, …, sn) que satisface el sistema, por tanto C1s1 + C2 s2 + ... + Cn sn = B Por lo que la matriz B es combinación lineal de las columnas de la matriz A por lo que rang(A*) = rang(A) Condición suficiente <= Si rang(A) = rang(C), la columna de términos independientes B añadida a la matriz de coeficientes C es combinación lineal de los vectores columna de la misma, luego existen (s1, s2, …, sn) tales que C1s1 + C2 s2 + ... + Cn sn = B Por tanto (s1, s2, …, sn) es solución del sistema => sistema compatible. Podemos resumir este teorema en el siguiente esquema

Si rang(A) = rang(A*) = r => Sistema COMPATIBE Determinado si r = n Indeterminado si r<n Si rang(A) ≠ rang(A*) => Sistema INCOMPATIBLE

Grados de libertad En un sistema compatible indeterminado, la diferencia entre el número de incógnitas y el rango de las matrices se denomina grados de libertad del sistema. Por ejemplo, si esta diferencia fuera 2, el sistema contaría con dos incógnitas que podrían tomar cualquier valor arbitrario, por lo que se denominan incógnitas libres, o parámetros

| TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS 17

SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo si los términos independientes son todos nulos:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = 0   .....................  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0  Un sistema homogéneo es SIEMPRE compatible pues rang(A) = rang(A*) y al menos (0,0, …,0) es una solución . Entonces se pueden dar estas opciones

Si rang(A) = nº de incógnitas => Sistema COMPATIBE determinado de solución única, la (0,0,...,0) Si rang(A) < nº de incógnitas => Sistema COMPATIBLE indeterminado

| SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS 18

DISCUSION DE SISTEMAS Caso 1 Lo más sencillo que nos puede ocurrir, a efectos de cálculos, es que se nos presente un sistema INCOMPATIBLE, es decir que rang(A) ≠ rang(A*), pues el sistema no tendría solución y no habría más que hacer

Ejemplo 2 x − 3 y + 3 z = 2   2 −3 3   x   2        −2 x − 6 z = 1  ⇔  −2 0 −6   y  =  1  ; A = 0 ⇔ rang ( A) = 2 3x − 2 y + 7 z = −1  3 −2 7   z   −1

Pero sin embargo 2 −3 −2 0 3

2 1 = 9 ⇔ rang ( A*) = 3

−2 −1

Como rang(A) ≠ rang(A*) , por Rouché-Fröbenius el sistema es INCOMPATIBLE Caso 2 El caso más sencillo que se nos puede presentar es el de un sistema de Cramer, es decir, AX = B con igual número de ecuaciones que de soluciones y |A| ≠ 0. a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2   .....................  an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn 

En este caso, la solución es única y se resuelve por la propia regla de Cramer.

Ejemplo 2 x − 3 y + z = −7   2 −3 1   x   −7        −2 x − 2 z = 4  ⇔  −2 0 −2   y  =  4  ; A = 32 ≠ 0 ⇔ rang ( A) = rang ( A*) = 3 = n 3x − 2 y − 3z = 8   3 −2 −3   z   8 

Aplicando Rouché-Fröbenius el sistema es COMPATIBLE determinado de solución única:

| DISCUSION DE SISTEMAS 19

−7 −3 1 1 32 = 1; 4 0 −2 = x= 32 32 8 −2 −3 2 −7 1 1 64 −2 4 −2 = = 2; y= 32 32 3 8 −3 2 −3 −7 1 −96 −2 0 4 = = −3 z= 32 32 3 −2 8

Caso 3 El tercer caso en orden de dificultad sería el de un sistema compatible pero indeterminado. Pongamos el siguiente

Ejemplo 2 x − 3 y + 3z = −13   2 −3 3  x   −13   2 −3 3 −13          −2 x − 6 z = 16  ⇔  −2 0 −6  y  =  16  ⇔ AX = B; A* =  −2 0 −6 16   z   −22   3 −2 7 −22  3x − 2 y + 7 z = −22   3 −2 7      

Calculando los siguientes determinantes 2

−3

−2

−6 = 0;

−2

−3

−2

2 = 6 ≠ 0; −2 3

−3 −13 0

16 = 0

−2 −22

Se tiene que |A| = 0 luego rang(A) = 2 y rang(A*) = 2 también. Aplicando Rouché-Fröbenius tenemos que Rang(A) = Rang(A*) = 2 < nº incógnitas = 3 => Sistema COMPATIBLE indeterminado La indeterminación surge del hecho que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras (no puede ser de otro modo al ser 0 el determinante de la ampliada) . Por tanto podemos eliminar dicha ecuación y resolver el sistema indeterminado que forman las dos primeras. La manera en que tenemos ahora que presentar las infinitas soluciones es parametrizando la tercera incógnita z = λ, y calculando las otras dos incógnitas x e y en función de este λ dentro de un sistema de orden 2 de Cramer:

| DISCUSION DE SISTEMAS 20

2 x − 3 y = −13 − 3λ   2 −3   x   −13 − 3λ  ⇔   =  ⇒ A =2 −2 x = 16 − 6λ   −2 0   y   16 − 6λ 

El cual se resuelve por la regla de Cramer 1 13 − 3λ 2 16 − 6λ

 −48 + 18λ = −24 + 9λ  0 2  1 2 13 − 3λ 58 − 18λ  y= = = 29 − 9λ  λ ∈ ℝ 2 −2 16 − 6λ 2   z=λ   x=

−3

Si ahora le vamos dando a λ cualquier valor real, se van obteniendo las infinitas soluciones de sistema. Caso 4 Que el sistema sea homogéneo. Este caso es más sencillo, si cabe, incluso que el caso 2, pero el hecho que sea homogéneo suele poner algo nerviosos a los alumnos. Empezamos puntualizando que todos los sistemas homogéneos son siempre COMPATIBLES pues siempre existe la solución trivial (0,0,...,0), luego solo queda saber si esta solución es única o será indeterminado. Veamos un ejemplo del segundo caso:

Ejemplo 2 x − 3 y + 3z = 0   2 −3 3  x   0   2 −3 3 0          −2 x + 6 z = 0  ⇔  −2 0 6  y  =  0  ⇔ AX = B; A* =  −2 0 6 0   z   0   3 −2 7 0  3x − 2 y + 7 z = 0   3 −2 7      

ran(A) = 2 = rang(A*) < 3 <=> Sistema COMPATIBLE indeterminado Al igual que hicimos en el caso 3, parametrizamos la incógnita z = λ 2 x − 3 y = −3λ   2 −3   x   −3λ  ⇔   =  ⇒ A =2 −2 x = −6λ   −2 0   y   −6λ 

y operamos con la regla de Cramer exactamente igual que hicimos en el caso previo, resultando las soluciones:

| DISCUSION DE SISTEMAS 21

1 −3λ 2 −6λ

 +18λ = +9λ  0 2   1 2 −3λ −18λ = = − 9λ  λ ∈ ℝ y= 2 −2 −6λ 2   z=λ   x=

−3

Caso 5 Empezamos ahora con sistemas dependientes de parámetros. Suelen ser los problemas de selectividad y es el caso más complejo, aunque solo en apariencia, que se nos puede presentar Estos sistemas se tienen que discutir en función de los valores que puedan tomar los parámetros dados, que a su vez, suelen ser de 1 parámetro o 2. Sería muy raro que nos presentasen un sistema más complejo que 2 parámetros. Este caso 5 lo resolveremos para 1 parámetro yd ejaremos el caso 6 para los 2 parámetros

Ejemplo Resolver el siguiente sistema según los valores de α. Propuesto en las PAU Galicia COU x + α y + z = α + 2  x + y +α z = 3   x + y + z = 3α 

1 α 1 α + 2  1 α 1   x   α + 2         1 1 α   y  =  3  ⇔ AX = B; A* = 1 1 α 3  1 1 1   z   3α  1 1 1 3α         Donde el determinante de la matriz de coeficientes viene dado por

1 α 1 2 1 1 α = α 2 − 2α + 1 = (α − 1) 1 1 1 Este determinante es entonces 0 solo cuando α = 1. Discutimos entonces esta disyuntiva: Si α ≠ 1 se tiene que el rang(A) = rang(A*) = 3 luego sistema COMPATIBLE de solución ÚNICA (aunque siempre dependiente del parámetro α) y que se resuelve por Cramer:

| DISCUSION DE SISTEMAS 22

(α − 1)

(α − 1) 1

1 α = 1 1

3 3α

α +2 α

1 α +2

1 1

α =

3 3α

1 α α +2

1 1 2 (α − 1) 1 1

3 = 3α

3α 3 − α 2 − 7α + 5

(α − 1)

−2α 2 + 4α − 2

(α − 1)

−3α 2 + 6α − 3

(α − 1)

(α − 1) ( 3α + 5) = 3α + 5 ; = ( ) 2 (α − 1) 2

−2 (α − 1)

(α − 1)

−3 (α − 1)

(α − 1)

= −2;

= −3

Si α = 1 el sistema sería x + y + z = 3  x + y + z = 3 x + y + z = 3

Donde rang(A) = rang(A*) = 1 < 3; luego es un sistema de una sola ecuación y tres incógnitas, por tanto COMPATIBLE indeterminado, donde para resolverlo habría que parametrizar dos incógnitas: x=λ   y=µ  λ, µ ∈ ℝ z = 3 − λ − µ 

Caso 6 Vamos a discutir ahora un sistema lineal con 2 parámetros, que podría llegar a ser el problema más enrevesado que se te puede presentar, pero veamos un

Ejemplo Resolver el siguiente sistema según los valores de α y β. Propuesto en las PAU Murcia 2008

x− y−z = β   −x + y = 2  x + α y + 2 z = −2 

 1 −1 −1 β   1 −1 −1  x   β          −1 1 0   y  =  2  ⇔ AX = B; A* =  −1 1 0 2   1 α 2   z   −2   1 α 2 −2         Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: | DISCUSION DE SISTEMAS 23

1 −1 −1 −1 1 0 = α + 1 1 α 2 Tenemos dos casos, pues Si α ≠ -1 se tiene que el rang(A) = rang(A*) = 3 (independientemente del valor que tome β) luego sistema COMPATIBLE de solución ÚNICA (aunque siempre dependiente de los parámetros α y β) y que se resuelve por Cramer:

1 x= 2 α +1 −2

−1 −1 1

0 = 2

2( β − α + 1) ; α +1

1 β −1 1 2( β + 2) y= −1 2 0 = ; α +1 α +1 1 −2 2 1 −1 β 1 −αβ − 2α − β + 2 −1 1 2 = z= α +1 α +1 1 α −2

Si α = -1 el sistema sería x− y−z = β   −x + y = 2  x − y + 2 z = −2 

Donde Rang(A) = 2 y ahora habrá que volverlo a discutir, a su vez, en función de los posibles valores de β  1 −1 −1 β   1 −1 −1  x   β          −1 1 0   y  =  2  ⇔ AX = B; A* =  −1 1 0 2   1 −1 2   z   −2   1 −1 2 −2         Ahora vamos a ver que valores de β nos dan rango 3 ó 2 para la matriz ampliada A* Por lo de pronto , en la matriz de coeficientes tenemos garantizado el rango 2 porque 1

= 2 ≠ 0 , por lo que orlamos esta matriz 2 x 2 con la columna de la matriz −1 2 ampliada y calculamos el determinante

| DISCUSION DE SISTEMAS 24

−1 −1 2 1 0 = β +4 −2 −1 2 Si β ≠ -4 entonces Rang(A) =2 ≠ rang(A*) = 3 => Sistema INCOMPATIBLE Si β = -4 entonces Rang(A) =2 = rang(A) = 2 => Sistema COMPATIBLE determinado que a su vez hay que calcular por Cramer, parametrizando previamente un incógnita que en este caso debe ser la x, para garantizar que el determinante de la matriz de coeficientes resultante sea no nulo. x − y − z = −4  x=λ x =λ  −x + y = 2   −x + y = 2 y=2   y=2 x − y + 2 z = −2   − y + 2 z = −2  z = 0 x − y + 2 z = −2 

| DISCUSION DE SISTEMAS 25

Ejercicios Propuestos 1.- Dado el sistema de ecuaciones lineales  ax + y + z = 1   x + ay + z = b   x + y + az = 1

a) discutir el sistema en función de a y b b) resolver el sistema para a = b = -2

2.- Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de soluciones del sistema  x + y + z = a - 1   2x + y + az = a   x + ay + z = 1

y resolverlo cuando sea compatible determinado. PAU Galicia Junio 1994

Solucion  x + y + z = a - 1 1 1 1 a − 1    2  2x + y + az = a   2 1 a a  ; A = a + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2)  x + ay + z = 1   1 a 1 1     Si a ≠ -1 y a ≠ -2 entonces A ≠ 0 ⇔ ran( A) = 3 = rang ( A*) = nº incognitas lo que equivale a decir, por el teorema de Rouche Frobenius, que el sistema es compatible determinado de solución única que resolveremos por Cramer:

a −1 1 1

1 a 1 a 1 a − 1 + a + a 2 − 1 − a 3 + a 2 − a −a 3 + 2a 2 + a − 2 −(a − 1) (a + 1) (a − 2) −(a − 1)( = x= = = = (a + 1)(a + 2) (a + 1)(a + 2) (a + 1)(a + 2) (a + (a + 1) (a + 2) a

1 a −1 1

1 a−2

2 1

2 a−2 a−2 1 0 0

a 1

( a + 1)( a + 2)

( a + 1)(a + 2)

( a − 2)

(a + 1)(a + 2)

| Ejercicios Propuestos 26

1 1 a −1

2 1 1 a

0 −1 − a + 2 0 a −1 2 − a

a 1

(a + 1)(a + 2)

a −1

(a + 1)( a + 2)

− ( 2 − a ) − (a − 1)( −a + 2) ( a + 1)(a + 2)

a( a − 2) (a + 1)( a + 2)

1 1 −2 Si a = -1 entonces A = 0 ⇔ rang ( A) = 2 y rang(A*) =3 pues 2 1 −1 = 3 ≠ 0 ; 1 −1 1 incompatible 1 1 −3 Si a = -2 entonces A = 0 ⇔ rang ( A) = 2 y rang(A*) =3 pues 2 1 −2 = 8 ≠ 0 ; 1 −2 1 incompatible

3. Dado el sistema  2 x + y − z = −1   x − 2 y + 2z = m  3 x − y + mz = 4

hallar razonadamente los valores del parámetro m para los cuales el sistema es compatible PAU Galicia Prueba previa 1996

4. Considerese el siguiente sistema de ecuaciones lineales ( en él a,b y c son datos; las incógnitas son x,y,z):

ay + bx = c  cx + ay = b bz + cy = a  Si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única. Hallar dicha solución. PAU Galicia Junio 1996

Solución b a 0 c  ay + bx = c   b a 0  x   c           cx + ay = b  ⇔  c a 0  y  =  b  ⇔ AX = B; A* =  c a 0 b           bz + cy = a   0 c b  z   a  0 c b a

| Ejercicios Propuestos 27

b a 0 a=0 2 A = c a 0 = ab − abc = ab ( b − c ) ↔ A = 0 ⇔ b = 0 0 c b b=c Caso 1: a = 0 (y supongamos b ≠ 0 y b ≠ c) b 0 0 c b 0 c   A* =  c 0 0 b  ⇒ rang ( A) = 2 . Como c 0 b = c 3 − cb 2 = c ( c 2 − b 2 ) ↔ rang ( A*) = 3 ⇔ c ≠ 0 0 c b 0 0 c 0   Si c ≠ 0 el sistema es INCOMPATIBLE por ser 2 = rang(A) ≠ rang(A*) = 3

Si c = 0 , en cuyo caso nos quedaría el sistema b 0 0 0 b 0 0  b 0 0  x   0         3  0 0 0  y  =  b  ⇔ AX = B; A* =  0 0 0 b  donde 0 0 b = −b  0 0 b  z   0   0 0 b 0 0 b 0       

Por lo que es también INCOMPATIBLE al ser 2 = rang(A) ≠ rang(A*) = 3 Caso 2: b = 0 (y supongamos a ≠ 0 y b ≠ c) 0 a 0 c  0 a c  0 a 0  x   c         3 2 2 2  c a 0  y  =  0  ⇔ AX = B; A* =  c a 0 0  donde c a 0 = c − ca = c ( c − a )  0 c 0  z   a  0 c 0 a 0 c a       

En este caso tenemos que estudiar los casos c = 0 y c = a Si c ≠ 0 y c ≠ a rang(A*) = 3 por lo que el sistema sería INCOMPATIBLE Si c = 0 0 a 0 0  0 a 0  x   0         donde rang(A) = 1 ≠ rang(A*) = 2  0 a 0  y  =  0  ⇔ AX = B; A* =  0 a 0 0   0 0 0  z   a  0 0 0 a        por lo que el sistema sería también INCOMPATIBLE

Si c = a 0 a 0 a 0 a  0 a 0 x   a          a a 0   y  =  0  ⇔ AX = B; A* =  a a 0 0  donde a a  0 a 0 z   a  0 a 0 a 0 a        lo que 2 = rang(A) = rang(A*) por lo que el sistema indeterminado.

tendríamos a 0 = a3 − a3 = 0 a

por

es COMPATIBLE

| Ejercicios Propuestos 28

Para resolverlo, parametrizamos z = λ y tendríamos x=

−1 a a = −1 a2 0 a

 0 a 0 x   a  −1 0 a       0 x + ay = a   a a 0   y  =  0  ⇔ ax + ay = 0  y = a 2 a 0 = 1   0 a 0 z   a       z=λ

Caso 3: b = c (siendo a ≠ 0 y b ≠ 0) En este caso se tiene el sistema b a 0 b ay + bx = b   b a 0  x   b           bx + ay = b  ⇔  b a 0  y  =  b  ⇔ AX = B; A* =  b a 0 b         0 b b a bz + by = a   0 b b  z   a   

Por ser las dos primeras ecuaciones iguales, la matriz ampliada tiene rang(A*) = 2 por lo que el sistema es también COMPATIBLE indeterminado, siendo las soluciones:

1 b a b2 − a2 = b2 a b b2

1 b b ab a = = b2 0 a b2 b z=λ

Caso 4: a ≠ 0 y b ≠ 0 y b ≠ c En este caso ran(A) = 3 = rang(A*) luego el sistema es COMPATIBLE determinado de solución única, que podemos obtener por Cramer: c a 0 abc − ab 2 ab(c − b) c − b 1 x= b a 0= = = = −1 ab(b − c) ab(b − c) ab(b − c) b − c a c b b c 0 b 3 − bc 2 b(b 2 − c 2 ) ( b − c )( b + c ) b + c 1 y= c b 0= = = = ab(b − c) ab(b − c) ab(b − c) a (b − c ) a 0 a b b a c b a c c 2 (c − b) − bc(b − c) − a 2 (c − b) a 2 − bc − c 2 1 1 z= c a b = c −b 0 b−c = = ab(b − c) ab(b − c) ab(b − c) ab c a 0 c a 0

| Ejercicios Propuestos 29

5. Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones lineales:  3x − 2y + z = m  5x − 8y + 9z = 3  2x + y − 3z = −1  PAU Galicia Septiembre 1997

6. Se considera el sistema de ecuaciones lineales

 3  3 m 1      x    1 − 1 .  +  − 1.z =  0   6  5 − 3  y   2        a) Discutirlo según los valores de m b) Resolverlo en el caso de m = 2 PAU Galicia Prueba previa 1998

7. Se considera el sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z, t,

 x + 2y + z = 0   y + 2z + t = 0 2 x + 2λy − t = 0  a) Encontrar los valores de λ para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es 2. b) Resolver el sistema anterior para λ = 0 PAU Galicia Junio 1998

7. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones

λx + y + z = 1  x− y=λ   x + λy + z = 1 

a) Discutir la compatibilidad del sistema en función del parámetro λ. b) Encontrar, cuando existan, sus soluciones. PAU Galicia Prueba previa 1999

| Ejercicios Propuestos 30

8.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

(a + 1) x + 2 y + z = a + 3  ax + y = a ax + 3 y + z = a + 2  a) Estudiarlo según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema en los casos en que resulte ser compatible determinado PAU Septiembre 1999

9.- Considerar el sistema de ecuaciones

y + z =1   (λ − 1) x + y + z = λ  x + (λ − 1) y − z = 0  donde λ es un número real a) Discutirlo según los valores del parámetro λ b) Resolverlo para λ = 0 c) Resolverlo para λ = 3 PAU Galicia Septiembre 2000

a) (2 puntos) Discutir en función de los valores de k y resolver el sistema

x + y + 5z = 0  2 x − ky = 0 x − y + z = 0  b) (1 punto) Discutir en función de los valores de λ y resolver en los caqsos de compatibilidad el sistema x + y + 5z = 0 2 x − 3 y = 0   x − y + z = 0  x + 2 y + 2λz = λ Selectividad Septiembre 2000

| Ejercicios Propuestos 31

a) (1,5 puntos) Discutir en función de los valores de k y resolver cuando tenga mas de una solución el sistema

x + y + 2z = 3  2 x − y + kz = 9 x − y − 6z = 5 

14. By considering the coefficient determinant, find all rational numbers a and b for which the

following system has (i) no solutions, (ii) exactly one solution, (iii) infinitely many solutions: x − 2 y + β z = 3  α x + 2z = 2   5x + 2 y = 1 

Solution

x − 2 y + β z = 3  1  α x + 2 z = 2  ⇔  α   5x + 2 y = 1  5

−2 β  x   3  1      0 2  y  =  2  ⇔ AX = B; A* =  α  z   1  5 2 0     

−2 β

2 = 2αβ − 24 ⇒ 2αβ − 24 = 0 ↔ αβ = 12

−2 β 3   0 2 2 2 0 1 

So, if αβ ≠ 12 the system has an unique solution

If αβ = 12 then rang(A)=2, but rang(A*) can be equal to 3 if

3 −2 β 2

2 ≠ 0 , which is equivalent to say that if β ≠ 4 then rang(A*)=3

−2 3

2 ≠ 0 , which is equivalent to say that if α ≠ 3 then rang(A*)=3

1 | Ejercicios Propuestos 32

In conclusion, if αβ = 12 and β ≠ 4 or α ≠ 3 then no solution If αβ = 12 and β = 4 or α = 3 then infinitely many solutions  x=λ  x − 2 y + 4 z = 3  2 − 3λ   3x + 2 z = 2  3x + 2 z = 2  z =  λ arbitrary 5x + 2 y = 1 2   5x + 2 y = 1  1 − 5λ  y= 2 

15. Decide whether the following system of linear equations is consistent and find the solution in dependence on parameters α and β:

α x + (α + β ) y + β z = 3α + 5β  

β x + αβ y + α z = α ( 2 β + 3) + β  α x + β y + β z = α + 5β

 

Solution

α x + (α + β ) y + β z = 3α + 5β 

α   β x + αβ y + α z = α ( 2 β + 3) + β  ⇔  β  α α x + β y + β z = α + 5β  

α + β β   x   3α + 5β  αβ α   y  =  α ( 2β + 3) + β   β β   z   α + 5β 

α α +β β 0 α 0 β α = α (β 2 −α 2 ) β αβ α = β αβ α = α α β α β β α β β The expression α ( β 2 − α 2 ) will be 0 when or α

= 0 or when β2 = α2. Otherwise,

α (β 2 −α 2 ) ≠ 0 Then If α ≠ 0 and β2 ≠ α2 then rang(A) = rang (A*) = 3 => CONSISTENT with a unique solution If α = 0

β y + β z = 5β  y + z = 5 x = 1     βx = β  ⇔ x =1  y = λ λ ∈ ℝ  z = 5− λ β y + β z = 5β    Which has rang(A) = rang(A*) = 2 => CONSISTENT with infinitely many solutions | Ejercicios Propuestos 33

If β2 = α2 then β = ±α and the system results If β = +α

α x + 2α y + α z = 8α

 1 2 x + 2y + z = 8  1 2 1   α x + α y + α z = 2α + 4α  ⇔ x + α y + z = 2α + 4  → 1 α 1 = 0 and 1 α   1 1 1 α x + α y + α z = 6α 1 1 x+ y+z =6   The system is INCONSISTENT for α 2

8 2α + 4 ≠ 0 forsomevalue 6

If β = -α

α x − α z = −2α

 x − z = −2 0  1   −α x − α y + α z = −2α + 2α  ⇔ − x − α y + z = −2α + 2  −1 −α   1 −2 x − 2 y − z = −4 α x − 2α y − α z = −4α   2

−1 1 0 1 = 0 and −1 −α 1 −2 −1

−2 −2α + 2 ≠ 0 −4

The system is INCONSISTENT for α http://www.iesbajoaragon.com/~matematicas/Matemat2/rouche_06.pdf Extraordinaria colección de problemas propuestos en Matemáticas II de Ed Santillana.

| Ejercicios Propuestos 34

BIBLIOGRAFIA

MATEMATICAS aplicadas a las ciencias sociales, 2º BACH. Andrés Nortes y otros. Editorial SANTILLANA http://www.matematicasbachiller.com/ Genial web, con montones de problemas resueltos mediante videos http://www.numbertheory.org/book/ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/SpecialMatrices.aspx álgebra lineal

Magnifica página en inglés de

http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant http://www.iesbajoaragon.com/~matematicas/Matemat2/rouche_06.pdf

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