Analysis Sucesiones y Límites. El número e
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NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.1 correspondiente a 1
SCIENCE
1.1
MATHEMATICS
1.1.4
ANALYSIS
1.1.4.1
SUCESIONES
COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES
Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009
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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3 Historia.............................................................................................................................. 7 Aplicaciones ...................................................................................................................... 7 Objetivos ........................................................................................................................... 7 SUCESIONES ...................................................................................................................... 8 Formas Indeterminadas .................................................................................................... 11 OPERACIONES CON SUCESIONES................................................................................ 12 Suma ó adición de sucesiones .......................................................................................... 12 Propiedades de la suma ................................................................................................ 12 Producto o multiplicación de sucesiones .......................................................................... 12 Propiedades del producto de sucesiones ....................................................................... 13 Multiplicación de una sucesión por un número real o escalar ........................................... 14 Propiedades de la multiplicación por números reales .................................................... 14 MONOTONIA .................................................................................................................... 15 Sucesión creciente ........................................................................................................... 15 Sucesión decreciente........................................................................................................ 15 Definición: Sucesiones monótonas................................................................................... 16 SUCESIONES ACOTADAS .............................................................................................. 17 Acotación superior........................................................................................................... 17 Acotación inferior ............................................................................................................ 17 Sucesión acotada ............................................................................................................. 17 Propiedades.................................................................................................................. 18 SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES.................................................................... 19 Límite de una sucesión .................................................................................................... 19 Sucesión convergente ...................................................................................................... 19 Propiedades de los límites ................................................................................................ 19 Operaciones con sucesiones ............................................................................................. 20 Sucesiones divergentes .................................................................................................... 21 Límites infinitos .............................................................................................................. 21 Regla del bocadillo .......................................................................................................... 22 Criterio de Stolz............................................................................................................... 23 EL NUMERO e .................................................................................................................. 25 n 1 Estudio de la sucesión 1 ................................................................................. 25 n
| INTRODUCCIÓN 1
+
Cálculo aproximado de e ................................................................................................. 28 Límites de sucesiones relacionadas con el número e ........................................................ 28 INDETERMINACIONES ................................................................................................... 38 Caso 1: ....................................................................................................................... 38
Caso 2: .................................................................................................................. 39 Caso 3: 1 ....................................................................................................................... 39 Otros casos ...................................................................................................................... 40 CALCULO DE LIMITES ................................................................................................... 33 RESUMEN DE CALCULO DE LIMITES................................................................... 36
| INTRODUCCIÓN 2
+
INTRODUCCIÓN Término general de una sucesión Para introducir a los alumnos en esta materia vamos a pedirles que nos digan los siguientes términos de estas series elementales y que intenten dar una expresión general o fórmula generatriz. 1, 2, 3, 4, 5.... 2, 4, 6, 8, 10,.... 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..... 5, 10, 15, 20, 25, 30, ..... 4, 7, 10, 13, 16, .....
6,7,8.....{n} números naturales 12, 14, 16,... {2n} números pares 13, 15, 17,... {2n-1} números impares 35, 40, 45, .... {5n} números múltiplos de 5
2, 4, 8, 16, 32, ....
64, 128, ....
1, 2, 4, 8, 16, 32, .... 1,4,9,16,.... 1,8,27,64,... 2, 5, 10, 17, 26, ..... 2, 6, 12, 20, 30, 42, .... -15, -10, -5, ....
1 1 3 , , ,... 2 2 2 1, -1, 1, -1, .... -1, 1, -1, 1, ....
2 4 6 8 10 , , , , ,... 1 3 5 7 9
19, 22, 25,....
3n 1 múltiplos de 3 más 1.
2 potencias de 2 64, 128, .... 2 potencias de 2 25,36,49,... n 125,216,.. n 37, 50, 65, ... n 1 56, 72, 90, 110, ... n n 1 0, 5, 10, 15, ... 5 n 4 n
n1 2
3
2
5 7 9 2n 3 , , ,.... 2 2 2 2
1 -1, 1,-1, 1, .... 1 1, -1, 1, -1, ....
n
n1
12 14 16 2n , , ,... pares divididos por impares 11 13 15 2n 1
Y para que no se crean que esto es jauja, les vamos a proponer ahora otras menos sencillas y algunas divertidas 81, 27, 9, 3,.... 100, 20, 4,....
1 1 1 1 ... 3 9 27 3n5 4 4 4 100 , , ... 5 25 125 5n1
1, , ,
1, 0, 1, 0, 1, ...
1 si n impar 1 1 0, 1, 0, ... an 2 0 si n par
81 27 9 3 , , , ,... 16 8 4 2
n 5 2 4 8 2 1, , , ... 3 9 16 3
n 1
| INTRODUCCIÓN 3
+
2, -4, 6, -8, 12, ...
0, 2, 2 2,...
1 2 , , 2,... 4 2 1 ,1, 2, 2,... 2 1 3 , 2, , 2 2,... 2 2
8, 4 2, 4, 2 2,...
-14, 16, -18, ...
1
n 1
2n
2 2 2,...
3 2, 4 2,... n 1 2 4 2,16,32
2 2, 4,...
2
n 2
4
n1
5 6 2 4 n , ,..... pero racionalizando 2 y 2 2 2 2 2 2 2 1 8 2, 2,1, ,..... donde racionalizamos algunos términos. n1 2 2
1, 1 2 3 5 8 ...
13, 21, 34, 55,.... Fibonacci an an 1 an2
2 3 5 7 11 13.... 0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12,... 4, 10, 18, 28, 40, ....
17, 19, 23, 29, .... números primos. No tiene fórmula generatriz. 14, 15, 16, 18, ... números no primos
a, b, d, g, k, ... L, M, M, J, ... E, F, M, A.... M, V, T, M, .... U, D, T, C, C, ..... P, S, T, C, Q, .... 3, 3, 5, 4, 4, 3,....
p, v,... siguiendo la secuencia 1,2,4,7,11,16,22,... S, D (Lunes, Martes, ...., Sábado, Domingo) M, J, J (Enero Febrero, ..., Mayo, Junio..) J, S (Mercurio, Venus,.... Júpiter Saturno) S, S, O, ... (Uno, Dos, .....Seis, Siete,...) S, S, O, ... (Primero, Segundo,... Sexto, Séptimo..) 5, 5, 4, 3,... (nº letras en inglés de one, two, three, four, five, six, seven...) Número de días de los meses de un año no bisiesto:
31, 28, 31, 30, 31, 30, 31,...
54, 70, 88, 108 ....
n n 3
2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8,...
Canta conmigo: "Dos y dos son cuatro, cuatro y dos son seies, seis y dos son ocho y ocho dieciséis." 0, 6, 21, 81, 42, 03,... 63, 24, .... Se trata de la tabla del 6 que es: 6∙1 = 6 que puesto al revés es 6 6∙2 = 12 que puesto al revés es 21 6∙3 = 18 que puesto al revés es 81 6∙4 = 24 que puesto al revés es 42 6∙5 = 30 que puesto al revés es 03 6∙6 = 36 que puesto al revés es 63 .... 5, 4, 2, 9, 8, 6, .... 7, 3, 1. (ordenados alfabético) 291, 482, 864, 628, 246,... 482, 864,... son todos números de tres cifras. Cada cifra del número siguiente se obtiene multiplicándo cada fifra del anterior de su misma posición por y quedándonos sólo con la cifra de las unidades. Por tanto después de 246 viene: 2∙2 = 4, 4∙2 = 8, 6∙2 = 12 el 482 2, 10, 12, 16, 201, 202, .... números que empiezan por la letra d 17,18,19,200,... 2, 3, 6, 16, 22, 23, 26, 32, 36, 42, 43, 46, ... números que acaban en la letra s 33,..
| INTRODUCCIÓN 4
+
Y otras endemoniadas B, C, D, F, H, 1, 11, 21, 1211, 111221 3, 3, 4, 6, 5, 4, ...
L, N, .... Lugar primo del abecedario +1 312211, 13112221 ... (un 1, dos 1, un 2 un 1,...., un 1 un 2 dos 1,...) 5, 4, 5, 4,... (nº letras en español de uno, dos, tres,.. )
1 ={ 4, 3, 3, 4, 6, 5, 4, 4 7 8 9 1 x 1 x 1 x 1 x 5, 4, 5, 4, 4, 4, ...} { 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 2, 2, 4, 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 7, 6, 6, 7, .....} 1, 6, 1, 8, 0, 3, 3, 9, 8,... Decimales
31, 41, 59, 26, 53, 58,... 97,
del
número
áureo:
1 5 1.6180339887498948482... 2 93,
....
Cifras
de
agrupadas
de
dos
en
dos:
1, 8, 11, 80, 81,...
82, 83, 84,.... Números que empiezan por vocal en español: uno, ocho, once, ochenta, ochenta y uno, ochenta y dos 0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 3, = Número de divisores propios de . 1,... (porque tiene divisores propios) 1, 2, 3, 6, 9, 54, 63,...
3402, 3465, ... Dado que 1+2 = 3∙2 = 6+3 = 9∙6 = 54+9 = 63∙54 = 3402+63 = 3465 .... 1, 2, 3, 6, 9, 54, 63, En la posición impar sumamos los dos anteriores en la par las 3402,... multiplicamos.
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6,...
1, 1, 2, 8,16,23,28,38,49,...
2, 6, ..... Diferencia entre primos consecutivos: 3 – 2 = 1, 5 - 3 = 2, 7 – 5 = 2, 11 – 7 = 4, 13 – 11 = 2, 17 – 13 = 4 19 – 17 = 2, 23 – 19 = 4, 29 – 23 = 6, 31 – 29 = 2, 37 – 31 = 6, ... 4, Cada término es suma de las cifras de los anteriores. Equivalentemete a partir del segundo cada uno el anterior más la suma de sus cifras.
0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, Número de unos de la expresión en base 2 de los números enteros: 2, 3,.. de donde la serie es: 1476, 168, 48, 32, 6,...
1 2 3 4 5 6 7 , , , , , , ,... 1 3 4 7 6 12 8
141, 421, 309,...
6, 6, 6, 6, .... Porque cada término es igual al producto de los dígitos del término anterior: 1∙4∙7∙6 = 168; 1∙6∙8 = 48; 4∙8 = 32; 3∙2= 6; 6 = 6; 6 = 6 ... n an suma divisores de n
356,
237, Cifras de 2 1.41421356237309504.... agrupadas de tres en tres: 141, 421, 356, 23 7, 309, 50 4 .... 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, Números simétricos respecto a la línea sobre los cuales están escritos 101,... (con cierta grafía de los mismos):
| INTRODUCCIÓN 5
+
6180, 3392, ???? (pista π = 3.1416)
3106, 5556, 9988, 5484 pues la cadena de números (6180-3392-38843106-5556-9988-5484) aparece en la expansión decimal de π a partir de la posición 1,706,802 después del punto decimal.
Puedes buscar cualquier secuencia http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html
que
desees
en
Es importante hacerle entender al estudante que hay que dar un número suficiente de datos de la sucesión para que la solución no sea ambigua. Por ejemplo, para la sucesión { 2, 4, .....} el siguiente término parece que va a ser 6 por tratarse de la sucesión 2n pero ... ¿y si se tratase de la sucesión 2 n ? Entonces sería el 8, no el 6. Lo grandioso de este asunto es que Lagrange determinó que, dada una sucesión an se puede encontrar siempre una función, que él llamó polinomio de interpolación, que verifica que f (1) a1 f (2) a2 ....... f ( n ) an Es decir, no importa como continues la secuencia, siempre vas a encontrar un termino general que lo satisfaga. Más concretamente la expresión general: 3a a an a 6 11 n 3 n 2 2 2
Satisface siempre la serie 2, 4, a, .... 3a 3a a 2 a 3a a a a1 a 6 11 1 3 12 a 6 11 3 2 2 2 2 2 2 2 3a 6a 4a 2a 6a 4a a a2 a 6 11 2 3 22 a 6 22 12 4 4 2 2 2 2 2 3a 9a 9a a a3 a 6 11 3 3 32 a 6 33 27 a 0 a 2 2 2 2
Luego, para cualquier valor de a, este término general provoca la sucesión 2,4,a,....
| INTRODUCCIÓN 6
+
Historia Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar sólo a los más sobresalientes http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
Aplicaciones
Objetivos
| INTRODUCCIÓN 7
+
SUCESIONES Definición:Sucesión de números reales Una sucesión de números reales viene definida por cualquier aplicación de en f
1 f (1) 2 f (2) ..... n f ( n) .... Las sucesiones son las imágenes ordenadas de esta aplicación y se denotan más simplificadamente como f (n)n A f(n) se le denomina término n-ésimo de la sucesión o término general. Al conjunto de todas las sucesiones posibles lo llamaremos S. Ejemplo Supongamos la aplicación f ( n) n2 , se tiene la aplicación f
1 f (1) 12 1 2 f (2) 22 4 ..... n f ( n) n 2 .... La sucesión se puede escribir entonces como
n 2
n
o describiéndola
1, 4,9,16,...., n ,.... 2
n
Definición: Sucesión Constante Es una sucesión con todos sus términos constantes, por ejemplo { 2, 2, 2, 2, ......, 2, ....} =
2n Definición: Igualdad de sucesiones
| SUCESIONES 8
+
Dos
sucesiones
an n
an n bn n an bn
y
bnn en
S
se
definen
iguales
si
n
Es decir, que coincidan todos sus elementos y en el mismo orden. Por ejemplo, la sucesión { 2, 4, 6, 8, ... } no es igual a la sucesión {0, 2, 4, 6, 8, ....} pues sus elementos no están en el mismo orden y además la primera no incluye al 0. Definición: Término generald e una sucesión Una sucesión an n quedará determinada cuando conozcamos su término general, que es lo mismo que afirmar que podemos calcular cualquiera de sus elementos. Si no hay una ley matemática conocida tendremos que expresar un número suficiente de términos que hagan inequívoca su construción o también una ley de recurrencia Ejemplos La sucesión de números pares 2, 4, 6,8,10,...... siguen la ley 2nn La sucesión de números impares 1,3,5,7,9,...... siguen la ley 2n 1n La sucesión 0,3,8,15, 24,...... siguen la ley n 2 1 n La sucesión 1,8, 27,64,125,...... siguen la ley n 3 n La sucesión de números primos 1, 2,3,5,7,11,13,......n no se ha descubierto hasta ahora ninguna ley que la defina, pese a los intentos de grandes matemáticos a lo largo de siglos. Una sucesión conocidísima es la denominada de Fibonacci y su formación 1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,......n se expresa de la siguiente manera
1 si n=1 an 1 si n=2 a a n 2 n1 si n>2 que viene a ser lo que llamamos ley de recurrencia
Una sucesión no queda unívocamente determinada si solo se expresa un número finito de términos. Por ejemplo la sucesión 2, 4,6,......n puede ser la serie 2nn en cuyo caso le
2, 4,6,8,10,......n pero primos menos 1 a partir del 3n en cuyo
seguirían
también
podría
ser
la
serie
caso serían 2,4,6,10,12......n . De hecho, en matemática superior se estudia el polinomio interpolador de Lagrange que busca expresiones polinómicas para represantar una serie dada. | SUCESIONES 9
+
En la introducción ya vimos que podemos construir cualquier serie {2,4,a, ....} con el término 3a a general dado por an a 6 11 n 3 n 2 2 2
Desde el punto de vista conjuntista, como las sucesiones son aplicaciones, se pueden utilizar ahora todos los resultados y métodos estudiados para éstas. Por ejemplo, la sucesión 1 n1 se podría representar mediante el diagrama: 2 n
O mediante simplemente:
| 10
+
Formas Indeterminadas Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1 da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.
0
0 0
0 0 0 1
| 11
+
OPERACIONES CON SUCESIONES Sea S el conjunto de todas las posibles sucesiones de núemros reales. Definimos las siguientes operaciones:
Suma ó adición de sucesiones Dadas an n y bn n en S , se define su suma de la siguiente forma an bn an bn Ejemplo Si
an n 2n 2,4,6,8,10,....
y
bn n
n 2 1, 4, 9,16, 25,.... su suma será
an bn 2 n n 2 2 1, 4 4, 6 9, 8 16,10 25,.... 3,8,15, 24, 35,.... 2n n 2 Propiedades de la suma Comunativa:
an bn an bn bn an ;
por ser conmutativa la suma
an bn de números reales. Asociativa: an bn cn an bn cn an bn cn por ser asociativa la suma de números reales. Elemento
neutro:
Es
la
sucesión
de
ceros
0 0,0,0,..... ,
pues
an 0 an 0 an an su opuesta es la an an an an 0 nos da el elemento nulo.
Elemento opuesto: Dada
sucesión an an pues
Con esta definición, el par (S,+) tiene una estructura conjuntista de Grupo abeliano. Por ello, se puede definir una nueva operación denominada sustracción, que es la opuesta a la adición, de la siguiente forma
an bn an bn an bn Producto o multiplicación de sucesiones
an n y bnn en an bn an bn
Dadas
S , se define su producto de la siguiente forma
Ejemplo
| OPERACIONES CON SUCESIONES 12
+
Si an n 2n 2,4,6,8,10,.... y bn n n 2 1, 4, 9,16, 25,.... su suma será
an bn 2n n 2 2 1, 4 4, 6 9, 8 16,10 25,.... 2,16, 54,128, 250,.... 2 n n 2 2 n 3 Propiedades del producto de sucesiones Comunativa: an bn an bn bn an ; por ser conmutativa la suma an bn de números reales. Asociativa: an bn cn an bn cn an bn cn por ser asociativa la suma de números reales. Elemento
neutro:
Es
la
sucesión
de
ceros
1 1,1,1,.....
pues
an 1 an 1 an Distributiva respecto a la suma: an bn cn an bn an cn lo cual se verifica porque también la verifican los números reales an bn cn an bn an cn Con esta definición, el par (S,+,∙) tiene una estructura conjuntista de Anillo conmutativo y unitario. Sin embargo, dada una sucesión an n no siempre existe otra bn n tal que an bn 1 pues bn 1 y esta igualdad no tiene sentido en matemáticas si an 0 . Por an ello no podemos definir el cociente de dos sucesiones de forma general. Sí podríamos para los casso en lso que no surgieran dificultades, es decir, que la sucesión que hay que invertir 1 a 1 a no contenga ningún cero. Ene se caso n an an n bn bn bn bn Ejemplos La sucesión an n 1,0,1,0,1,0,.... no tiene inversa dado que en matemáticas
1 no 0
existe. Pero si podría una sucesión tener inversa, lo normal es que la tenga excepto cuando contenga al 0. Por ejemplo la inversa de la sucesión 1, 2,3, 4,..., n,... es la sucesión 1 1 1 1 1 1 , , , ,..., ,... pues n 1 n 1 2 3 4 n
| OPERACIONES CON SUCESIONES 13
+
También
podríamos
dividir
las
sucesiones
1, 2,3, 4,..., n,...
1 1 1 1 1 , , , ,..., ,... n 1 2 3 4
entre
la
resultando
n n 2 1, 4,9,16,..., n 2 ,... 1 1 1 1 1 1 1 , , , ,..., ,... n n n 1 2 3 4
1, 2,3, 4,..., n,...
n
Multiplicación de una sucesión por un número real o escalar Dadas an n en S y , se define producto escalar de ambos como la operación externa dada por: S S a a a , a , a ,....., a , a n
n
n
1
2
3
n
Propiedades de la multiplicación por números reales 1) Distributiva respecto a los escalares an an an 2) Distributiva respecto a las sucesiones: an bn an bn 3) Asociativa: an an 4) Elemento unidad: 1an an Todas ellas triviales de demostrar por tratarse de números reales que ya sabemos que las cumplen. La terna S , , tiene una estructura conjuntista de espacio vectorial real, llamado espacio vectorial de las sucesiones reales.
| OPERACIONES CON SUCESIONES 14
+
MONOTONIA Sucesión creciente Dadas an S se dice que es creciente cuando cada término es menor o igual que el que le sigue: an an 1 n Si an an 1 n se dice que la sucesión es estrictamente creciente Ejemplo La sucesión de pares
an 2, 4,6,8,.... es
monótona creciente, pero la sucesión
bn 1,0,1,0,1,0,.... no lo es. Ejercicio 2n 4 3 8 Comprobar si es creciente la sucesión an 1, , , ,.... n 1 3 2 5
Para ello hay que probar que an an1 n an1 an 0 n . Entonces 2 n 1
2n 2n 2 2n 2n 2 4n 2 2n2 4n 2 0 pues es n 1 1 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 un expresión siempre positiva ya que n es un número entero y nunca da un denominador negativo
Sucesión decreciente Dadas an S se dice que es creciente cuando cada término es mayor o igual que el que le sigue: an an 1 n Si an an1 n se dice que la sucesión es estrictamente decreciente Ejemplo La
sucesión
1 1 1 1 , , ,..., ,... es n 2 3 4
an 1,
decreciente
estricta
ya
que
an an1 n pues
1 1 n 1 n 1 0 pues es un expresión siempre positiva ya que n es n n 1 n n 1 n n 1 un número entero y nunca da un denominador negativo
| MONOTONIA 15
+
Proposición Toda sucesión estractamente creciente es creciente pero el recíproco no es cierto. 1 1 1 1 1 1 La sucesión 1,1, , , , ,..., , ... es creciente pero no estrictamente creciente n n 2 2 3 3
Definición: Sucesiones monótonas Son monótonas todas las sucesiones
Crecientes y estrictamente crecientes y Decrecientes y estrictamente decrecientes
| MONOTONIA 16
+
SUCESIONES ACOTADAS Acotación superior Dada an S se dice que está acotada superiormente si existe un número real k tal que
an k para todo n natural:
an S
acotada superiormente k / an k n
Ejemplo 1 La sucesión es acotada porque todos sus términos son menores que dos: n 1 2 n n
La sucesión
2n no está acotada
Acotación inferior Dada an S se dice que está acotada inferiormente si existe un número real k tal que
an k para todo n natural:
an S
acotada inferiormente k / an k n
Ejemplo La sucesión
2n está
1 acotada inferiormente por cero y la sucesión también: n
1 1 n n
Sin embargo, la sucesión
n 1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.... n
no está acotada ni
superior ni inferiormente
Sucesión acotada Dada an S se dice que está acotada si lo está superiormente e inferiormente.
an S
acotada k , k ' / k an k ' n k / an k n
Ejemplo
| SUCESIONES ACOTADAS 17
+
1 n 1 1 1 1 1 1 La sucesión 1, , , , , , ,.... está acotada superiormente por 1 n 2 3 4 5 6 7 e inferiormente por -1 luego es acotada Sin embargo, la sucesión 2n está acotada inferiormente por cero pero no lo está superiormente, luego no es acotada. Llamemos SA al conjunto de todas las sucesiones acotadas existentes. Propiedades 1 La sema de sucesiones acotadas es una sucesión acotada 2 El producto de sucesiones acotadas es una sucesión acotada 3 El producto de una sucesion acotada por un número real es una sucesión acotada 4 La terna (SA, +, ∙) es un anillo conmutativo unitario 5 La terna (SA, +, ∙ ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo
Ver Santillana 2 Bachillerato 1976
| SUCESIONES ACOTADAS 18
+
SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES Límite de una sucesión Diremos que a el es límite de la sucesión an S a lim an 0 , n0 / an a n
n n0
Sucesión convergente Diremos que una sucesión an S si tiene algún límite, es decir
an
convergente a / a lim an n
Ejemplos
Ya intuitivamente, sin necesidad de más conocimientos en Análisis Matemático, se entiende perfectamente que las sucesiones
0.3, 0.33, 0.333,...
..., 0.33..( n..33,...
tiene límite pues converge a 0.3 13
0.9, 0.99, 0.999,...
..., 0.99..( n..99,...
tiene límite pues converge a 0.9 1
k k , k , k ,..., k... , sucesión llamada constante, tiene límite pues converge a k Sin embargo, las sucesión siguiente no converge
1 1,1, 1,1, 1,..... n
Pero sí lo hace la sucesión:
1 n1 1 1 1 1 1 1, , , , , ..... que converge hacia 0. n 2 3 4 5 6
Propiedades de los límites 1. El límite de una sucesión convergente es único 2. Toda sucesión convergente está acotada 3. Si a lim an y a ≠ 0 entonces n0 / n n0 n
sig (an ) sig (a)
| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 19
+
4. Si una sucesión tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos entonces lim an 0 n
Ejemplo La sucesión considerada en el ejemplo anterior n 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ..... tiene infinitos términos positivos e n 2 3 4 5 6 infinitos términos negativos por lo que, según esta propiedad, si tiene límite éste tendrá que ser 0. Si n embargo, la sucesión
1 n 1, 2,3, 4,5, 6,..... n 1
aunque tiene
también infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, carece de límite, dado que no es acotada. a lim an n 5. Si an , bn S son tales que y an bn n , entonces a < b b lim b n n bn l lim an lim n 6. Si an , bn ,cn S son tales que n entonces lim cn l n an cn bn
Operaciones con sucesiones Dadas an , bn S y sea , tales que a lim an y b lim bn entonces se tiene que n
n
1) lim an bn lim an lim bn a b n
n
n
Demostración Si a lim an entonces 0 , n0 / an a n
Si b lim bn entonces 0 , n0 / bn b n
2
2
n n0 n n0
Y de ambas expresiones se tiene que 0 , n0 / an bn ( a b ) an a bn b an a bn b
2 2
Y esto prueba que lim an bn a b n
2) lim an bn lim an lim bn a b n
n
n
3) lim an a n
| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 20
n n0
+
4) Si lim an a entonces la sucesión opuesta tiene lim an a n
n
5) lim an bn lim an lim bn a b n
n
n
1 1 6) Si lim an a entonces la sucesión inversa tiene lim n a n n a a lim an a 7) lim n n siempre que b 0 n b bn b n lim n
8) lim an bn lim an n
n
lim bn
n
ab
Sucesiones divergentes Una sucesión an S es divergente si su límite es +∞ ó -∞.
an
divergente lim an n
Límites infinitos Dada
an S
,
se
dice
lim an k , n0 / an k n
Dada
an S
,
se
dice
lim an k , n0 / an k n
que
tiene
por
límite
+∞,
si
tiene
por
límite
-∞,
si
n n0
que n n0
Ejemplos La sucesión n 1, 2,3,..., n,... tiene por límite +∞ dado que elegido cualquier k , por grande que sea, siempre lograremos encontrar un número natural n0 tal que a partir de él n > k La sucesión de impares negativos 2n 1 1, 3, 5,..., 2n 1,... tiene por límite -∞, pues dado cualquier k, por pequeño que sea, siempre existirá un número natural n tal que el impar (-2n + 1) será lo suficientemente enorme, con signo negativo, de forma que (-2n + 1) < k. A menudo la resolución de un límite requiere darse cuenta que la sucesión diverge, oscila o tiende a una valor determinado sin efectuar un cálculo explícito del límite. Este último caso corresponde a la situación que vamos a exponer seguidamente que se resuelve aplicando la regla del bocadillo. | SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 21
+
Veamos en que consiste.
Regla del bocadillo
an ,cn S son
dos sucesiones convergentes al mismo punto
lim an a lim cn c . Si an bn cn
n n0 entonces bn es convergente y su límite
Supongamos que n
n
lim bn lim an lim cn n
n
n
Ejemplo Calcular el límite de la sucesión
cos1 cos 2 ... cos n n2
an
Solución Vamos a construir dos sucesiones, un amenor y otra mayor que an de la siguiente manera: cos n cos1 cos 2 cos n cos n cos1 cos 2 cos1 cos 2 n min 2 , 2 ,..., 2 2 2 ... 2 n max 2 , 2 ,..., 2 n n n n n n n n n cos n 1 cos1 cos 2 1 n 2 2 2 ... 2 n 2 n n n n n 1 cos1 cos 2 cos n 1 2 2 ... 2 donde ambas sucesiones convergen a 0, luego an n n n n n converge también a 0.
Corolario Si
an S es
una sucesión convergente tal que lim an 0 y n
bn S
es una sucesión
acotada (no necesariamente convergente), entonces an bn es convergente y lim an bn 0 n
Ejemplo sin n 0. n n
Demostar que lim Solución
sin n 1 Consideramos sin n como el producto de dos sucesiones. n n
| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 22
+
1 Como lim 0 y la sucesión sin n está acotada por 1, entonces por el corolario n n sin n anterior podemos asegurar que lim 0 n n
El siguiente criterio, que recibe el nombre de criterio de Stolz, resulta especialmente útil para determinar el límite de sucesiones en las que aparecen sumas de términos que se incrementan con n.
Criterio de Stolz Si
an ,bn S
dos sucesiones donde
bn
es una sucesión monótona creciente y
bn 0 n tales que o bien lim an lim bn 0 ó lim bn . En estas condiciones n
n
n
se tiene que Si existe lim
n
an 1 an a entonces lim n n bn 1 bn bn
Ejemplo 12 2 2 ... n 2 1 . n n3 3
Demostar que lim Solución
La sucesión n 3 es creciente y lim n3 por lo que podemos aplicar el criterio de n
Stolz
12 22 ... n 2 n 12 12 22 ... n 2 an 1 an ... lim lim 3 3 n b n n 1 n n 1 bn 2 1 n 1 ... lim 3 2 3 n n 3n 3n 1 n 3
Por lo tanto, este número coincide con el límite buscado
12 2 2 ... n 2 1 n n3 3 lim
Otra solución (mia). La sucesión n 2 12 , 2 2 , 32 ,..., n 2 ,.. es una progresión aritmética de orden 2, por lo que la suma de los n primeros términos viene dada por la expresión
| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 23
+
n n 1 n n 1 n 2 n n n 3n 2 3n n3 3n 2 2n S n 1 3 2 n 3 2 n ... 2 2 3 3 2 1 2 3 2n3 3n 2 n ... 6 12 22 ... n 2 2 n3 3n 2 n 1 Con lo que nuestro límite es lim lim n n n3 6n3 3
SO Sucesiones nulas SA Sucesiones acotadas SL Sucesiones convergentes S Susesiones de números reales SO SA SL S son todos anillos conmutativos y espacios vectoriales respecto a R Limite se sucesiones monótonas y acotadas Sucesión nula Sucesiones monótonas contíguas Ver Santillana 2 Bachillerato 1976. EXCELENTE e increible desarrollo para aquella época
S0 S A SL S
| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 24
+
EL NUMERO e 1 n Estudio de la sucesión 1 n
El límite de esta sucesión es el número irracional e = 2,71828182845904... , llamado así en n 1 honor al gran matemático Leonhard Euler: lim 1 e n n Vemos a probar que esta sucesión es, efectivamente, convergente y después vamos a ir calculandole cifras al número e. Los pasos de esta prueba son pues:
Comprobar que la sucesión es creciente
1 n Comprobar que la sucesión es acotada 2 1 3 n
1 Por tanto existe límite, que se llama número e lim 1 n n
n
Calculo aproximado de e
1 n La sucesión 1 es creciente n
El término n-ésimo de esta sucesión se puede desarrollar por el binomiod e Newton: n 0 1 2 n 1 n n 11 n 0 1 1 n n 1 n n 1 1 n n 2 1 an 1 1 1 1 ...... 1 n 1 ... n 0 n 1 n 2 n n 1 n n n n 1 .. 3 2 1 n n 1 .. 3 2 1 1 1 n n 1 1 n n 1 n 2 1 ... 1 1 n 2 3 ...... n 1 n ... n 2! n 3! n n n! n n 1!
... 1 1 ... 2
n n 1 .. 3 2 1 n n 1 .. 3 2 1 1 n n 1 1 n n 1 n 2 1 ...... ... 2! 3! n n n nn n 1! n n ..( n1.. n n! n n ..( n.. n
1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 1 1 ...... 1 1 ..... 1 2! n 3! n n n ! n n n
(1)
Esta expresión (1) anterior consta de n sumandos. De la misma manera podemos probar que el siguiente término de esta sucesión es:
| EL NUMERO e 25
+
n 1
1 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 an 1 1 2 1 1 1 ...... 1 1 ..... 1 2! n 1 3! n 1 n 1 n ! n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 2 n 1 (2) 1 ..... 1 n 1! n 1 n 1 n 1 Que consta de n + 1 sumandos y donde todos los sumandos an+1 son mayores que cada uno de los correspondientes del desarrollo de an. pues, por ejemplo, para el segundo sumando para
el
segundo 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 1 1 1 n 1 n 2! n 1 2! n n 1 n
sumando
para
sumando
el
tercer 2 2 2 2 1 2 1 2 n 1 n 1 1 1 1 n 1 n 2! n 1 2! n n 1 n
Y en general para todos los sumandos. Además el último sumando de an+1 es positivo pues 1 1 2 n 1 1 ..... 1 están formado por un producto de (n + 1) n 1 ! n 1 n 1 n 1 términos positivos. Entonces concluímos que cada término de esta sucesión es menor que el siguiente 1
2
3
n
1 1 1 1 1 1 1 1 ..... 1 1 1 2 3 n n 1
n 1
...
Por lo que an an 1 n por lo tanto la sucesión es creciente
1 n La sucesión 1 es acotada n
Consideramos la sucesión bn definida por bn 2
1 1 1 ... 2! 3! n!
(3)
Y por otro lado consideramos nuestra término general expresado en (1) n
1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 an 1 2 1 1 1 ...... 1 1 ..... 1 2! n 3! n n n! n n n n
| EL NUMERO e 26
+
k Como todos los términos de la forma 1 son menores de la unidad se tiene que cada n sumando correspondiente de (3) es mayor que el correspondiente de (1), es decir 1 1 k 1 k ! k ! n
Por tanto an bn
n
Por
otra parte, si 1 1 1 1 cn 2 2 3 ... n 1 2 2 2 2
condideramos
la
sucesión
por
(4)
Se observa que, comparándo cada sumando de (4) con los de (3),
bn cn
cn definida
1 1 n por lo que k! k
n
Ahora bien, los términos de (4) , a partor del 2º, son una PG de razón ½, por lo que su suma es 1 1 1 1 1 1 1 n 1 an r a1 2 2 2 2n 2 2 2 n Sn 1 1 1 1 r 1 1 2 2 2
Por lo que cn 2 1
1 2
n 1
3
1 2 n 1
3
1 2n 1 2 1 1 1 2n 2n 1 2
n
Podemos concluir entonces que 2 an bn cn 3 n y an es, pues, una sucesión acotada donde todos sus términos se encuentran comprendidos en el intervalo real (2, 3).
1 n La sucesión 1 es convergente n
n 1 Si la sucesión 1 es creciente y acotada, por el teorema ya explicado, es convergente, n o lo que es lo mismo, tiene límite. n
1 A ese límite le llamamos e y escribimos lim 1 e n n
| EL NUMERO e 27
+
Cálculo aproximado de e Con una calculadora u ordenador es una práctica muy instructiva realizar los siguientes cálculos para obervar la construcción de e en forma aproximada
n
1 1 n
1
1 1 2 1
2
1 2 1 1.5 2.25 2 3 3 1 1 1.3 2.3703 3
n
1
2
3 4
1 4 1 1.25 2.4414 4
5
1 5 1 1.2 2.4883 5
10
1 10 1 1.1 2.5937 10
4
5
10
100
100
1 1 100
10º00
1.01100 2.7084
1000
1 1 1000
∞
1.0011000 2.7169 2.718280
Límites de sucesiones relacionadas con el número e 1 lim 1 n n
1 lim 1 n n
n k
pues
e n k
n k 1 n 1 k 1 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 e 1k e n n n n n n n nk
1 1 n n k k n 1 1 1 nk e e pues lim 1 lim 1 lim lim 1 e k n n 1k nk n k n n k 1 n 1 nk
| EL NUMERO e 28
+
k
k
nk n kn 1 n k 1 1 1 lim 1 e k pues lim 1 lim 1 lim 1 e e k n n n n n n n n k
k
n n k k n n k 1 1 k lim 1 e k e k lim 1 e k pues lim 1 lim 1 n n n n n n n n k k hk
hn
k lim 1 e hk n n n
hk
n n k k 1 1 k lim 1 e hk e hk pues lim 1 lim 1 n n n n n n k k hn
1
1 lim 1 e k k e n kn
pues 1
1
n
nk nk 1 1 1 k 1 k lim 1 lim 1 lim 1 e k k e n kn n kn n kn
k
k
nk n n 1 1 n k 1 1 1 k k lim 1 e e pues lim 1 lim 1 lim 1 e e k n n n n n kn n n n
n
n
1 1 n 1 1 lim 1 pues lim 1 lim n n n e n n n
1 n lim n n 1
n
1 1 lim 1 n n
n
1 e
Ejercicio 1 2n 8 Calcular lim n 2n
5n 3
Solución Aplicando las propiedades de los límites se tendría 5n3
lim 5 n 3
2n 8 2 n 8 n lim lim n 2 n 5 n 2n 5 indeterminadas.
2 1 que es una de las siete formas 2
Para resolver la indeterminación realizamos las siguientes estrategias
| EL NUMERO e 29
+
15
15
5 n 3
2n 8 lim n 2 n 5
3 lim 1 n 2n 5
5 n 3
5 n 32 2 15 1 lim 1 n 2n 5 3
10 n 25 15 lim 1 1 n 2n 5 3 19 15 lim 1 1 2n 5 n 3
15 2 n 5 3 lim 1 1 n 2n 5 3 ... 19 3 15 1 lim n 2n 5
2 e 19 15 1 0
15 15 2 2 e e15 1
| EL NUMERO e 30
2 ...
+
Ejercicio 2 1 Calcular lim 1 n 2n 3
3n 2
Solución Aplicando las propiedades de los límites se tendría lim 3n 2
3n 2
1 1 n lim 1 1 lim n 2n 3 n 2n 3 formas indeterminadas.
1 0 1 que es una de las siete
Para resolver la indeterminación realizamos las siguientes estrategias
1 lim 1 n 2n 3
3n 2
1 lim 1 n 2n 3 6 n 9 3
lim 1 1 n 2n 3 ... 13 1 3 lim 1 n 2n 3
3 2
2 3n 2 3
3 2
lim 1 1 n 2n 3
lim 1 1 n 2n 3 19 1 3 lim 1 n 2n 3
2 n 3
3 2
e 19 1 0 3
6 n 9 13 3
3 2
n
Solución n
...
3 2 e e3 1
Ejercicio 3 1 Calcular lim 1 n n
3 2
n
1 1 lim 1 lim 1 e n n n n
| EL NUMERO e 31
+
| 32
+
CALCULO DE LIMITES 1) la sucesión constante k k , k , k , k ,....., k ,.... converge a k Demostración Para porbar que lim k k hay que demostrar que n
0 , n0 / k k n n0 0 ; lo cual es una trivialidad porque 0 siemrpe es menor que un ε>0. 1 1 1 1 1 2) La sucesión 1, , , ,....., ,.... converge a 0 n n 2 3 4
Demostración Para
probar
que
0 , n0 /
1 lim 0 , n n
1 0 n
n n0
se
tiene
que
demostrar
que
1 1 1 n n n
Y resulta evidente que para cualquier ε que elijamos por pequeño que sea, siempre 1 habrá un número natural n suficientemente grande de forma que n , por tanto 1 lim 0 n n k k k k k 3) La sucesión k , , , ,....., ,.... converge a 0 n n 2 3 4
Demostración k 1 1 En efecto, lim lim k k lim k 0 0 n n n n n n k k k k k 4) La sucesión , , ,....., ,.... converge a 0 n n 1 2 3
Demostración En
efecto,
1 k 1 1 1 lim lim k k lim lim ..( .. lim k 0 0 ( n n n n n n n n n n... ... n n n
| CALCULO DE LIMITES 33
+
n 1 2 3 4 5 6 5) La sucesión , , , , ,......... converge a 1 n 1 2 3 4 5
Demostración n 1 Vamos a probar que lim 1 , para ello se tiene que demostrar que n n n 1 n 1 n 1 1 0 , n0 / 1 n n0 n n n n
Y nuevamente vemos que para cualquier ε que elijamos por pequeño que sea, siempre 1 habrá un número natural n suficientemente grande de forma que n , por tanto n 1 lim 1 n n
P(n) a n a 1n 1 ... a1n1 a0 6) La sucesión , cociente de dos polinomios del 1 1 Q(n) b n b 1n ... b1n b0 a mismo grado α, converge a b Demostración a n a 1n 1 ... a1n1 a0 a n a n 1 ... a1n1 a0 n lim 1 1 lim 1 1 1 n b n b 1n ... b1n b0 n b n b 1n ... b1n b0 n a n a 1n 1 a1n1 a0 ... n n n ... lim n 1 1 n b n b 1n ... b1n b0 n n n n
1 1 1 a a 1 n ... a1 n 1 a0 n lim n 1 1 1 b b 1 ... b1 1 b0 n n n
...
1 1 1 a a 1 lim ... a1 lim 1 a0 lim lim n n n n n n n a a 1 0 ... a1 0 a0 0 a ... lim b b 1 lim 1 ... b1 lim 1 b0 lim 1 b b 1 0 ... b1 0 b0 0 b n n n n 1 n n n
Es decir, solo nos interesan los coeficientes principales de los polinomios dados, el restod e los términos acabarán convergiendo a 0, sean cuales sean sus coeficientes. P(n) 7) Gereralizando, la sucesión cociente de dos polinomios de grados α y α’ converge Q (n ) a
| CALCULO DE LIMITES 34
+
P ( n) 0 Q (n) P ( n ) a Si grado P(n) = α = grado de Q(n) = α‘ => lim n Q ( n ) b P (n) Y si grado P(n) = α > grado Q(n) = α’ => lim , es decir, la sucesión no n Q ( n ) converge Demostración
Si grado P(n) = α < grado de Q(n) = α’ => lim
n
a demostración está hecha en el apartado anterior para grados coincidentes. En el caso que el grado del denominador Q(x) sea más grande que el grado del numerador P(x) la demostración es la misma, por lo que, en lugar de repetirla, utilizaremos un ejemplo para ilustrarlo:
2n2 2n 1 2 2 1 lim lim lim 2 3 3 3 2 2n 2n 1 n n n n n n n n n3 0 0 0 0 lim 3 lim 3 2 n 3n 3n 2 1 n 3n 3n 1 lim 3 lim 3 lim 1 3 0 0 3 n3 n3 n n n n n n3 Finalmente, en el caso en que el grado del polinomio P(x) del numerador sea más grande que el del denominador Q(x) el límite siempre se va al ±∞. Veamos un ejemplo:
5n 4 2n2 1 1 1 5lim n 2 lim lim 4 2 3 3 3 5n 2n 1 n n n n n 3 n n n lim 3 lim ... 3 2 2 n 2n 3n 1 n 2n 3n 1 lim 2 3lim 1 lim 1 n n 3 n n2 n3 n3 n n3 5lim n 0 0 5 ... n lim n 200 2 n 8) La sucesión
n 1 n converge a 0
Demostración En primera impresión el límite, lim n
n 1 n lim n 1 lim n que n
n
es una de las siete formas indeterminadas. Para resolver la indeterminación, utilizamos el artificio de multiplicar y dividir por el conjugado de esta expresión, resultando:
lim n
n 1 n
... lim
n
lim n
n 1 n
n 1 n
n 1 n
lim
n
n 1 n
n 1 n
lim n
2
n n 1 n
2
n 1
...
1 0 n 1 n
| CALCULO DE LIMITES 35
+
RESUMEN DE CALCULO DE LIMITES Sucesión
0.3, 0.33, 0.333,...
..., 0.33.. ..33,...
0.9, 0.99, 0.999,...
..., 0.99..( n..99,...
(n
k k , k , k ,..., k...
0.9 1
lim k k n
1 1 1 1 1 1, , , ,....., ,.... n n 2 3 4 k k k k k , , ,....., ,.... n n 1 2 3 1 1 1 1 1 n , 2 , 3 ,....., n ,.... 2 2 2 2 2
lim
n
1 0 n
k 0 n n lim
lim
n
1 0 2n
1 0 n
1 1 1 1 1 1 , , ,......, ,... , n n 1 2 3 4
lim
n 1, 2,3,4,...., n,....
lim n
n 1 , 2
n
n
, 3 ,......, n ,.... ;
Límite
1 0.3 3
lim n
P(n) Q (n )
Si grado P(n) = α > grado Q(n) = α’ =>
Cociente polinomios en n
P ( n) a n a 1n 1 ... a1n1 a0 Q( n) b ' n ' b '1n ' 1 ... b1n1 b0 , '
n
lim
n
P ( n) Q (n)
Si grado P(n) = α < grado de Q(n) = α’ =>
P ( n) 0 n Q ( n ) lim
Si grado P(n) = α = grado de Q(n) = α‘ =>
P ( n ) a n Q ( n ) b lim
n 1 n
lim n
n 1 n 0
| CALCULO DE LIMITES 36
+
Ejercicios Propuestos 2n 4 3n 1 2 por ser iguales los grados, se dividen los coeficientes principales. n 5n 4 3n 3 5
lim
2n3 3n 1 0 por ser más grande el grado del polinomio del denominador n 5n 4 3n 3
lim
2n 4 3n 1 por ser más grande el grado del polinomio del numerador n 5n 3 3n 2
lim
3
lim
n 3
lim
n
8n3 3n 1 27n3 3n2
2 ; a pesar de las raíces, los grados coinciden y el límite es 3
3
8 2 3 27 3
n 6 3 1 3 ; pues vuelven a coincidir los grados 1 n 3 3
| CALCULO DE LIMITES 37
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INDETERMINACIONES 0 , , 0 , ,1 , 0 , 0 0 , a los que hay que añadir 0 las variaciones que se pueden producir con el ±∞ de cada caso
Existen siete casos de indeterminación
Cuando se nos presente uno de estos casos, o bien empleamos una estrategia que resuelva la indeterminación, o bien daremos el resultado final por indeterminado. Para aprender algunas de las estrategias necesarias, nada mejor que verlo con casos prácticos:
Caso 1:
Esta indeterminación nos surge frecuentemente cuando dividimos dos polinomios o cualquier P ( x) expresión algebraica de la forma . Veamos algunos ejemplos Q( x) Ejemplo 1 2n3 lim 2 3 2n 2 n lim 2 lim 2n n 2 n 1 n 2 1 2n 1 00 lim lim 3 n 3 n 3 n n n n 3
Ejemplo 2 3n 3 lim 3 3 3n 3 3 n lim 3 lim 3n n 2 n 1 n 2 n 1 lim 2 lim 1 2 0 2 n n 3 n 3 n3 n 3
Ejemplo 3
lim
n
2n 2
lim 3 4 n n n
2n 2 n2 4n 3 n n2
lim 2 n
3
4n n lim 4 n n 4 n n
2 4 1 lim 3 n n n n
lim
lim
2 0
Ejemplo 4
lim
n
2
lim 4 4 n n n 2n
2n 2 n2 4n 4 1 n4 n4
lim 2 n
lim 4 lim n
n
1 n4
2 2 1 40 2
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Caso 2: Veamos ejemplos de este tipo de indeterminación, que vamos a resolverla o bien haciendo las operaciones algebraicas que se presentan o bien por la estrategia de multiplicar y dividir la expresión dada por su expresión conjugada. Ejemplo 1 2n 2 n 2 1 2n3 2n 1 2n2 2n3 lim 2 lim ... 2 n 2 n 1 n n 1 n 1 2 n 1 2 n 4 2 n 4 n 4 2n 3 2n 4 2n3 2n ... lim lim 3 3 2 2 n 2n n 2n 1 n 2n n 2n 1
Ejemplo 2
n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 lim n 1 n 1 lim n n n2 1 n2 1 2 2 2 2 2 2 n 1 n 1 n2 1 n 2 1 ... lim lim 0 n n 2 2 2 2 n 1 n 1 n 1 n 1
2
2
...
Caso 3: 1 1 n Este tipo de indeterminaciones está asociado a la sucesión 1 del número e, la cual n ya hemos estudiado en todos sus casos.
Caso 4:
0 0
Supongamos sólo el caso en que tenemos dos expresiones algebráicas P(x)·Q(x) de forma que 0 nos provoquen la indeterminación . En este caso, tendremos que realizar las operaciones 0 algebráicas que permitan, o bien simplificarlas, o bien cambiar el tipod e indeterminación a otra del tipo Ejemplo 1 1 ( n 3) ( n 1) n 2 2n 3 n 3 0 lim lim lim 1 n n 0 n n ( n 3) n n ( n 3) 2 n 2n 3
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Caso 5: 0 Supongamos sólo el caso en que tenemos dos expresiones algebráicas P(x)·Q(x) de forma que nos provoquen la indeterminación 0 . En este caso, utilizando la igualdad Q ( x) P( x) Q( x) , la reduciremos a otra indeterminación, pero ahora del tipo 1 P ( x) Ejemplo 1 2 2 n 1 n 1 1 lim n 2 1 0 lim lim 1 n n n n n 1 1 n
Otros casos El resto de las indeterminaciones 0 ,00 no se estudian en este nivel.
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Propiedad Si una sucesión an S es creciente y decreciente simultáneamente, entonces solo puede tratarse de la sucesión constante k S
Si llamamos Sk al conjunto de todas las sucesiones constantes se tienen en Sk las siguientes:
Propiedades La suma de dos sucesiones constantes es una sucesión constante El producto de sucesiones constantes es una sucesión constante
De donde deducimos que (Sk,+,∙) es un cuerpo y Sk , , es también un espacio vectorial.
Isomorfismo entre Sk y La aplicación
f : Sk a f (a ) a
que hace corresponder a cada número real a, la sucesión
constante a verifica las propiedades siguientes: a) f(a + b ) = f(a) + f(b) b) f(ab) = f(a) f(b) Es, por tanto, un isomorfismo de en Sk con el que podemos identificar cada número real con la sucesión constante formada por ese número. Ello no otorga la posibilidad de usar indistintamente una cosa u otra según sean nuestros requerimientos
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En sucesiones 2 otro buen documento
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Véase también
Números
Naturales
Primos Compuestos
Enteros Cero
Racionales
Negativos Reales Complejo s
Fracción propia Fraccionarios Fracción impropia Algebraicos Irracionales Trascendentes Imaginarios
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U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεδδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×
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