METODO DE LAGRANGE - OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO” ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS

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Metodo de lagrange Optimización sin Restricciones con más de una Variable

 Joseph Louis Lagrange (1736-1813) matemático nacido en Italia.

Portada: Miguel G. Saavedra Y. - Yanis D. Perez C. OPTIMIZACION DE SISTEMAS Y FUNCIONES

CONTENIDO EDITORIAL m.Y

HISTORIA DEL METODO DE LAGRANGE Pág. 1-2-3

MAXIMOS, MINIMOS, PUNTO DE SILLA Pág. 10

METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Pág. 4

FUNCION OBJETIVO DE 2 VARIABLES Pág. 11-12

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EJERCICIOS PROPUESTOS CARACTERISTICAS Pág. 5 OBJETIVOS Pág. 6 CAMPO DE APLICACIÓN Pág. 7 IMPORTANCIA Pág. 8 OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES FUNCION DE 2 VARIABLES Pág. 9

EJERCICIO #1 Pág. 13 EJERCICIO #2 Pág. 14-15 ENTRETENIMIENTO Pág. 16-17 BIBLIOGRAFIA Pág. 18

HISTORIA DEL METODO DE LAGRANGE

 E

l método lagrangian (también

conocido como multiplicadores lagrangian) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores lagrangian tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el físico, astronomía y económica.

L .L

L

Edmund Halley despertó su interés, y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Fue nombrado profesor de la Escuela de Artillería.

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LAGRANGE

a lectura de una obra del astrónomo inglés

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En

1764 recibe un premio por la Academia de Ciencias de París por su trabajo sobre el equilibrio lunar razonando “la causa de que la luna siempre mostrara la misma cara”

LAGRANGE

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1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.

 1795 Se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses.

L .L

1798 Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial

1810 Inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.

LAGRANGE

forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas

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método de los

Multiplicadores de Lagrange L .L

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.

LAGRANGE

Reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones

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El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo, condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y funciones

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implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables.

Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

El método de eliminación de variables

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no resulta operativo cuando el problema tiene muchas restricciones o las restricciones son complejas, por lo que resulta muy útil éste método.

Los Multiplicadores de Lagrange es un método alternativo que además proporciona más información sobre el problema.

Todos los óptimos que verifiquen las condiciones de regularidad establecidas tienen asociados los correspondientes multiplicadores.

El teorema de Lagrange establece una condición necesaria de optimalidad (bajo las condiciones de regularidad).

LAGRANGE

Caracteristicas

METODO DE LAGRANGE

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METODO DE LAGRANGE

objetivos

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L .L Visualizar algunas superficies cuádraticas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z.

Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos.

LAGRANGE

Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange.

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Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.

METODO DE LAGRANGE

Campo de

aplicación  Situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función

El método de la interpolación de Lagrange es de gran importancia en el análisis numérico.

LAGRANGE

Está en todas las ramas de la ciencia, en la Física, Matemática, Química, Astronomía, Biología, Economía entre otras ciencias.

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METODO DE LAGRANGE

importancia

LAGRANGE

R

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adica en que nos muestra que podemos asociar una función de utilidad a unas preferencias, estos nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis matemático para el estudio de encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variable sujetas a restricciones.

Optimizacion sin restricciones FUNCIONES DE 2 VARIABLES.

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Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente sin la ayuda de gráficos.

Los problemas con restricciones pueden ser tratados con los multiplicadores de Lagrange como uno sin restricciones.

Optimización sin Restricciones

El problema de minimizar o maximizar una función sin que existan restricciones se le conoce como “optimización sin restricciones”. Dada que esta función puede ser de una o más variables

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Maximos, minimos Punto de silla

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Punto de silla es el punto sobre una

Optimización sin Restricciones

superficie en el que la pendiente es cero pero no se trata de un extremo local (máximo o mínimo

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Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores mas grandes (máximos) o mas pequeños(mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres condiciones deben ser satisfechas:

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1. Las derivadas parciales de primer

orden deben simultáneamente ser iguales a cero. Ello indica que en un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función no esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie relativa

Funcion objetivo de dos variables

cuando ellas son evaluadas en el punto critico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo relativo.

Optimización sin Restricciones

2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas

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F.O. DE DOS VARIABLES

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Optimización sin Restricciones

. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de inflexión o punto de silla.

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EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO #1

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Dada la función z definida por z= x³-3y²+5xy+x-2y+5 hallar dz y ‌‌dz dx dy Solución:

Paso # 2 Se encuentra la derivada parcial de (z) con respecto a (y) Z = x³-3y²+5xy+x-2y+5 dz = -6y+5x-2 dy

Optimización sin Restricciones

Paso # 1 Se encuentra la derivada parcial de (z) con respecto a (x) z= x³-3y²+5xy+x-2y+5 dz = ‌3x²+5y+1 dx

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EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO #2

 Prueba que la función f definida por f(x,y)= 3x²y⁴-12x⁶+2xy⁵ satisface la ecuación. x df dx

+ y df dy

= 6f

(x,y)

Solución : Paso # 1

Optimización sin Restricciones

Se deriva la función (f) en forma parcial con respecto a (x) F (x,y) = 3x²y⁴-12x⁶+2xy⁵

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df = 6xy⁴-72x⁵+2y⁵ dx

EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO #2 Paso # 2

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Se deriva la función parcial con respecto a (y) para sustituir en x df + y df = 6 f (x,y) dx dy F (X,Y) = 3X²Y⁴-12x⁶x2xy⁵

x(6xy⁴- 72x⁵+2y⁵)x y (12x²yᶟ+10xy⁴) = 6 f (x,y) 6x²y⁴ - 72 x⁶+2xy⁵+12x²y⁴+10xy⁵ =6 f(x,y) 18x²y⁴ -72 x⁶+12xy⁵=6 f (x,y) 6 (3x²y⁴ - 12x⁶+2xy⁵) = 6 f (x,y) Lo que queda después : 6f(x,y) = 6 f(x,y)

Optimización sin Restricciones

df = 12x²yᶟ+10x y⁴ dy Sustituyendo (a) y (b) en: X df + df = 6 f (x,y) dx dy

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Optimización sin Restricciones

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Optimización sin Restricciones

PRUEBA TU CONOCIMIENTO

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BIBLIOGRAFIA ASTRONOMIA http://www.astromia.com/biografias/lagrange.htm

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BIOGRAFIAS Y VIDAS http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/lagrange.htm MÁXIMOS Y MÍNIMOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAGRANGE http://www.fis.utfsm.cl/fis140/Lagrange.pdf MULTIPLICADORES DE LAGRANGE http://es.slideshare.net/briancitoguerra69/multiplicadores-delagrange-29025170

Optimización sin Restricciones

OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES Prof. Cesar de Prada http://prof.usb.ve/mirodriguez/Sinrestricciones1.pdf

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