AplicaČ›ii ale funcČ›iei liniare ĂŽn viaČ›a cotidiană Applications of linear function in everyday life 9C Grade - Jean Monnet High School - 16. 02.2018 1. Scara
1. Ladder
Pe o scară cu lungimea l=100 m, un om urcă cu viteza v1 = 1 m/s iar un altul cu v2 = 0,7 m/s. a) DescrieČ›i funcČ›ia distanČ›Äƒ – dependentă de timp. b) Să se afle timpul necesar pentru urcarea a 100 m de catre fiecare dintre cei doi oameni.
On a ladder with length l=100 m, a man go up with the speed of v1 = 1 m/s and another one with v2 = 0,7 m/s . a) Describe the distance function as a time dependent. b) To be found the time needed for going up 100 m by each of the two persons.
Soluție:
Solution:
đ?‘‘(đ?‘Ą) = đ?‘Ł ∙ đ?‘Ą â&#x;š đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘Ą, đ?‘”(đ?‘Ą) = 0.7đ?‘Ą, unde đ?‘“, đ?‘”: [0; +∞) → [0; +∞)
đ?‘‘(đ?‘Ą) = đ?‘Ł ∙ đ?‘Ą â&#x;š đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘Ą, đ?‘”(đ?‘Ą) = 0.7đ?‘Ą, where đ?‘“, đ?‘”: [0; +∞) → [0; +∞)
Timpul de urcare al fiecarei persoane este t = l / v, The time needed by each person is t = l00 / v, unde v este viteza si l este distanta (lungimea). where v is the speed and l mm/s is the distance. ObČ›inem: We obtain: đ?‘“(đ?‘Ą) 100 đ?‘Ą1 = â&#x;š đ?‘Ą1 = đ?‘ = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’” đ?‘Ł1 1 đ?‘”(đ?‘Ą) 100 đ?‘Ą2 = â&#x;š đ?‘Ą2 = đ?‘ ≈ đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;“ đ?’” đ?‘Ł2 0.7
Luca P.
2. Č˜oarecele Č™i Pisica
2. The Mouse and the Cat
O pisică aleargă cu viteza de v1=5m/s, ĂŽncercând să prindă un Č™oarece, miČ™carea ei fiind reprezentată de funcČ›ia đ?‘“: đ?‘… → đ?‘…, Č™i legea de corespondenČ›Äƒ đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘Łđ?‘Ą, Č™tiind că Č™oarecele se miČ™că cu viteza de đ?‘Ł2 = 3đ?‘š/đ?‘ Č™i se află la d=10 m ĂŽn faČ›a pisicii Č™i că miČ™carea sa este exprimată prin funcČ›ia đ?‘”: đ?‘… → đ?‘… Č™i legea de corespondenČ›Äƒ đ?‘”(đ?‘Ą) = đ?‘Łđ?‘Ą + đ?‘‘0 . CalculaČ›i: a) După cât timp prinde pisica prinde Č™oarecele? b) Ce distanČ›Äƒ va parcuge pisica până prinde Č™oarecele? c) ĂŽn cât timp va parcuge Č™oarecele 19 de metri?
A cat runs at a speed of v1 = 5m / s, trying to catch a mouse, her movement being represented by the function đ?‘“: đ?‘… → đ?‘…, and the law of correspondence f(t) = vt, knowing that the mouse moves at speed đ?‘Ł2 = 3đ?‘š/đ?‘ and is at d = 10 m in front of cat and that its movement is expressed by the function đ?‘”: đ?‘… → đ?‘… and the correspondence law đ?‘”(đ?‘Ą) = đ?‘Łđ?‘Ą + đ?‘‘0 . Calculate: a) How long does the cat catch the mouse? b) What distance will the cat go before catching the mouse? c) How long does the mouse go 19 meters? SoluČ›ie/Solution:
a) đ?‘“: đ?‘… → đ?‘…, đ?‘“(đ?‘Ą) = 5đ?‘Ą, đ?‘”: đ?‘… → đ?‘…, đ?‘”(đ?‘Ą) = 3đ?‘Ą + 10 đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘”(đ?‘Ą) â&#x;š 5đ?‘Ą = 3đ?‘Ą + 10 â&#x;š 2đ?‘Ą = 10 â&#x;š đ?’• = đ?&#x;“đ?’” b) đ?‘“(đ?‘Ą) = 5đ?‘Ą đ?‘Ą = 5đ?‘ â&#x;š đ?‘“(5) = 25 đ?‘š â&#x;š đ?’… = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’Ž c) đ?‘”(đ?‘Ą) = 30đ?‘š đ?‘”(đ?‘Ą) = 3đ?‘Ą + 10 â&#x;š 19 = 3đ?‘Ą + 10 â&#x;š 9 = 3đ?‘Ą â&#x;š đ?’• = đ?&#x;‘ đ?’”
Sofia M .
3. Vaporul și insulele
3. The ship & the islands
Un vapor trebuie ajungă de pe o insulă pe alta ĂŽn t=3,5 ore. Acesta se deplasează cu viteza v=36km/h Č™i datorită unei furtunii ocoleČ™te d0=5km. Č˜tiind că miscarea vaporului reprezinta o funcČ›ie đ?‘“: đ?‘…+ → đ?‘…, cu legea de corespondenČ›Äƒ đ?‘“(đ?‘Ł) = đ?‘Łđ?‘Ą + đ?‘‘0 . CalculaČ›i: a) Ce distanČ›Äƒ este ĂŽntre insule? b) Ce distanČ›Äƒ ar fi ĂŽntre insule dacă vaporul ar fi nevoit să meargă cu 47km/h? c) Ce viteză minimă ar putea avea vaporul dacă ĂŽntre insule ar fi o distanČ›Äƒ de 100km?
A ship must arrive from one island to another in t = 3.5 hours. It travels at speeds of v = 36km / h and owing to a storm outages d0 = 5km. Knowing that the movement of the ship represents a function �: �+ → �, with the correspondence law �(�) = �� + �0 . Calculate: a) What is the distance between islands? b) What distance would be between the islands if the boat would have to travel at 47km / h? c) What minimum speed could the ship have if the islands were 100km away?
SoluČ›ie/Solution: a) đ?‘“: đ?‘…+ → đ?‘…, đ?‘“(đ?‘Ł) = 3,5đ?‘Ł + 5 đ?‘Ł = 36 â„Ž â&#x;š đ?‘“(36) = 36 ∙ 3,5 + 5 = 126 + 5 = 131 â&#x;š đ?’‡(đ?&#x;‘đ?&#x;”) = đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;? b) đ?‘Ł = 47đ?‘˜đ?‘š/â„Ž đ?‘“(47) = 47 ∙ 3,5 + 5 = 164,5 + 5 â&#x;š đ?’‡(đ?&#x;’đ?&#x;•) = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—, đ?&#x;“ c) đ?‘“(đ?‘Ł) = 100 â&#x;š đ?‘“(đ?‘Ł) = 3,5đ?‘Ł + 5 â&#x;š 100 = 3,5đ?‘Ł + 5 â&#x;š 95 = 3,5v â&#x;š 950 190 đ?‘Ł= = = 27,142 â&#x;š đ?’— = đ?&#x;?đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;?đ?’Œđ?’Ž/đ?’‰ đ?‘˜đ?‘š
35
7
Sofia M.
4. Volumul unui rezervor
a) b) c) d)
4. The volume of the tank
Un rezervor are capacitatea de 1000 de l. Robinetul are debitul de 320 l/h DescrieČ›i funcČ›ia care exprimă dependenČ›a volumului de timp ReprezentaČ›i grafic funcČ›ia. Daca robinetul curge timp de 2 ore, câți litri de apă se vor afla in rezervor? In cat timp se umple rezervorul?
a) đ?‘‰(đ?‘Ą) = đ??ˇ ∙ đ?‘Ą, 420l/h), t-timp
Soluție: V-volum, D-debit
a) b) c) d)
A tank has 1.000L. The water tap has a debit of 320 L/h Describe the function that expresses the dependence between time and volume Represent the function graphically. If the tap is flowing for 2h, how many liters of water will be in the tank? How long is the tank filling?
Solution: (constant a) đ?‘‰(đ?‘Ą) = đ??ˇ ∙ đ?‘Ą, V-volume, D-flow (constant 420l/h), t-time
Definim funcția: �: �+ → �+ , �(�) = 320�
Let define the function: �: �+ → �+ , �(�) = 320�
b)
c) V(2)=640 (liters) d) V(t) = 1000 â&#x;š 320đ?‘Ą = 1000 â&#x;š đ?‘Ą = 3.125 Mario N.
5. Cu Taxi-ul
5. By Taxi
Un taximetrist are tariful de 2 lei pe km plus 4 A taxi driver is charging 2 lei per km and 4 lei ĂŽmbarcarea. Taxiul se deplasează cu viteza lei for the boarding. He is traveling with 60 de 60 de km/h. km/h a) In cât timp parcurge taxiul 12 km Č™i care este a) How long does he take to drive 12 km and preČ›ul ? what is the price? b) Daca preČ›ul este de 20 â‚Ź, care este distanČ›a Č™i b) If the price is 20 â‚Ź, how much did he drive and how much did it take? in cât timp o parcurge ? SoluČ›ie:
Solution:
Definim funcČ›iile distanČ›Äƒ, respectiv preČ›: đ?‘‘: đ?‘…+ → đ?‘…+ , d(t)=60t đ?‘?: đ?‘…+ → đ?‘…+ , đ?‘?(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ + 4 a)
12
Let define the functions distance and price: đ?‘‘: đ?‘…+ → đ?‘…+ , d(t)=60t đ?‘?: đ?‘…+ → đ?‘…+ , đ?‘?(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ + 4
1
d(t)=12â&#x;š 60đ?‘Ą = 12 â&#x;š đ?‘Ą = 60 = 5 = 0.2 (â„Ž) â&#x;š đ?’• = đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Žđ?’Šđ?’?
đ?‘?(12) = 2 ∙ 12 + 4 = 28 â&#x;š đ?’‘(đ?&#x;?đ?&#x;?) = đ?&#x;?đ?&#x;– â‚Ź đ?’‘(đ?&#x;?đ?&#x;?) = đ?&#x;?đ?&#x;Ž â&#x;š 2đ?‘Ľ + 4 = 20 â&#x;š 2đ?‘Ľ = 16 â&#x;š đ?’™ = đ?&#x;– đ?’Œđ?’Ž 8 2 2 d(t)=8 â&#x;š 60đ?‘Ą = 8 â&#x;š đ?‘Ą = 60 = 15 (â„Ž) â&#x;š đ?‘Ą = 15 ∙ 60 đ?‘šđ?‘–đ?‘› = 8 â&#x;š đ?’• = đ?&#x;– đ?’Žđ?’Šđ?’?.
Mario N.
6. ĂŽnchirierea unui apartament
6. Renting an apartment
ĂŽnchirierea unui apartament are ca chirie de ĂŽnceput 250 â‚Ź iar după aceea plata lunară este de 200â‚Ź. a) Determină funcČ›ia care exprimă variaČ›ia preČ›ului ĂŽn funcČ›ie de lună. b) Câți bani vor fi plătiČ›i ĂŽn total după un an? c) Dacă chiria se ieftineČ™te cu 10%, care este funcČ›ia?
Renting an apartment has a start up lease of 250â‚Ź and after that, the monthly payment is 200â‚Ź. a) Determine the function that express the price variation per month. b) How much money will be totally paid in one year? c) If the lease runs down 10%, what value does the function take? Solution: a) The function that describes the monthly cost is đ?’‡: đ?‘š+ → đ?‘š+ , đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Ž The price increases with the amount of 10 ∙ 200 = 20 (â‚Ź) â&#x;š monthly payment is âˆś 100 200â‚Ź − 10â‚Ź = 180â‚Ź b) đ?‘† = đ?‘“(1) + đ?‘“(2) + â‹Ż + đ?‘“(12) = (200 + 250) + (2 ∙ 200 + 250) + â‹Ż + (12 ∙ 200 + 250) = 200(1 + 2 + â‹Ż + 12) + 12 ∙ 250 200 ∙ 12 ∙ 13 = + 3000 = 15600 + 3000 2 â&#x;š đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž c) The function that describes the monthly cost, after cheapening đ?‘“: đ?‘…+ → đ?‘…+ , đ?‘“(đ?‘Ľ) = 190đ?‘Ľ + 250
SoluČ›ie: a) FuncČ›ia care descrie costurile este: đ?’‡: đ?‘š+ → đ?‘š+ , đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Ž 10 ∙ 200 = 20 (â‚Ź) â&#x;š plata lunara este: 100 200â‚Ź − 10â‚Ź = 180â‚Ź b) đ?‘“(1) + đ?‘“(2) + â‹Ż + đ?‘“(12) = (200 + 250) + (2 ∙ 200 + 250) + â‹Ż + (12 ∙ 200 + 250) = = 200(1 + 2 + â‹Ż + 12) + 12 200 ∙ 12 ∙ 13 ∙ 250 = + 3000 2 = 15600 + 3000 = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž c) FuncČ›ia care descrie costurile, după ieftinire: đ?‘“: đ?‘…+ → đ?‘…+ , đ?‘“(đ?‘Ľ) = 190đ?‘Ľ + 250
Kais A.
7. Companii de telefonie mobilă
7. Mobile phone companies
La două companii diferite de telefonie mobilă Two different mobile phone companies, s-a anunČ›at plata finala pentru abonament. La announced the final payment for the prima este vorba de 10â‚Ź/luna Č™i cuprinde 1000 subscription. The first one’s is about 10â‚Ź de minute; orice minut ĂŽn plus se taxează cu 30 per month and it has 1000 minutes and cenČ›i . La cea de-a doua se plătesc 5 â‚Ź/ luna cu every overtaken minute means 30 cents 200 minute pe această reČ›ea incluse iar more to pay. The second one’s should be convorbirile se taxează cu 10 cenČ›i. paid 5â‚Ź per month for 200 included a) Care dintre aceste companii dau cea mai minutes and talking is billed with 0,10 rentabilă ofertă, pentru nevoile unui om ce Euro. lucrează ĂŽn domeniul afacerilor? a) Which of these companies have the most b) DefiniČ›i funcČ›iile ce descriu dependenČ›a efficient offer, for a needs of a person that costului de numărul de minute works in in business area? b) Define the functions that express the cost variation per number of minutes. SoluČ›ie: a) FuncČ›ia care descrie costul abonamentului lunar este: đ?&#x;?đ?&#x;Ž, đ?&#x;Ž ≤ đ?’™ ≤ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’‡: đ?‘š+ → đ?‘š+ , đ?’‡(đ?’™) = { đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;Ž, đ?’™ > đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;“, đ?&#x;Ž ≤ đ?’™ ≤ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’ˆ: đ?‘š+ → đ?‘š+ , đ?’‡(đ?’™) = { đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;“, đ?’™ > đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž
Solution:
Plata lunară pentru un număr de convorbiri cuprins ĂŽntre 1000 Č™i 10000 este: đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž ≤ đ?’™ ≤ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž â&#x;š 300 ≤ 0.3đ?‘Ľ ≤ 3000 â&#x;š 310 ≤ 0.3đ?‘Ľ + 10 ≤ 3010 â&#x;š đ?‘“(đ?‘Ľ) ∈ [310; 3010] I.
Plata lunară pentru un număr de convorbiri cuprins ĂŽntre 1000 Č™i 10000 este: đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž ≤ đ?’™ ≤ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž â&#x;š 100 ≤ 0.1đ?‘Ľ ≤ 1000 â&#x;š 105 ≤ 0.1đ?‘Ľ + 5 ≤ 1005 â&#x;š đ?‘”(đ?‘Ľ) ∈ [105; 1005] The second companies have the most efficient offer anyway. II.
Alexandra H
8. Doua mobile
8. Two mobiles
MiČ™cările rectilinii a doua mobile sunt descrise The rectile movement of two mobiles are de legile de miČ™care đ?‘Ľ1 = 3đ?‘Ą Č™i đ?‘Ľ2 = 10 − 2đ?‘Ą, described by the motions laws đ?‘Ľ1 = 3đ?‘Ą and unde đ?‘Ľ este exprimat ĂŽn metri Č™i đ?‘Ą in secunde. đ?‘Ľ2 = 10 − 2đ?‘Ą where đ?‘Ľ is expressed in Mobilele pornesc simultan la momentul meters and đ?‘Ą in seconds. The mobiles start đ?‘Ą0 = 0đ?‘ . Să se determine: at the same time đ?‘Ą0 = 0đ?‘ . Find out: a. Reprezentarea grafică a coordonatelor (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) a. The graphical representation of the legilor de miČ™care ale mobilelor; coordinates (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) of the movable laws of b. Timpul după care se ĂŽntâlnesc mobilele Č™i locul the mobile; unde se ĂŽntâlnesc; b. The time and the place where the two mobiles meet; SoluČ›ie: Solution: a. Pentru a reprezenta grafic legile de miČ™care alegem 2 valori distincte pentru timpul t: - pentru mobilul 1: đ?‘Ą0 = 0 ⇒ đ?‘Ľ01 = 0 Č™i când đ?‘Ą1 = 1đ?‘ ⇒ đ?‘Ľ1 = 3đ?‘ ; đ?’‡: đ?‘š+ → đ?‘š+ , đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;‘đ?’™ - pentru mobilul 2: đ?‘Ą0 = 0 ⇒ đ?‘Ľ02 = 10đ?‘š Č™i cand đ?‘Ą2 = 5đ?‘ ⇒ đ?‘Ľ2 = 0đ?‘š; đ?’ˆ: đ?‘š+ → đ?‘š+ , đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?’™ b. Pentru ca mobilele să se ĂŽntalneasca trebuie ca cele două coordonate să fie egale, astfel că đ?‘Ľ1 (đ?‘Ą) = đ?‘Ľ2 (đ?‘Ą)⇒3đ?‘Ą = 10 − 2đ?‘Ą ⇒ đ?’• = đ?&#x;?đ?’”. Mobilele se ĂŽntâlnesc dupa 2 secunde, când coordonata timpului este đ?‘Ľ1 = 6đ?‘š
To represent the motion laws we choose 2 distinct values for time t: - for mobile 1: đ?‘Ą0 = 0 ⇒ đ?‘Ľ01 = 0 and when đ?‘Ą1 = 1đ?‘ ⇒ đ?‘Ľ1 = 3đ?‘ ; - for mobile 2: : đ?‘Ą0 = 0 ⇒ đ?‘Ľ02 = 10đ?‘š and when đ?‘Ą2 = 5đ?‘ ⇒ đ?‘Ľ2 = 0đ?‘š; For the mobiles to meet, the two coordinates must be equal, đ?‘Ľ1 (đ?‘Ą) = đ?‘Ľ2 (đ?‘Ą) ⇒ 3đ?‘Ą = 10 − 2đ?‘Ą ⇒ đ?’• = đ?&#x;?đ?’”; Mobiles meet after 2 s, when the time coordinate đ?‘Ľ1 = 6đ?‘š
Sofia S
Math, Art and Real Life with GeoGebra eTwinning project 2017-2018