Regular Polygons & Art

Regular polygons&Art

7 & 10 Grades Jean Monnet High School Bucharest eTwinning Project -2019-

Proposed problems

1.Triunghi echilateral -Clasa a VII-a-

Equilateral triangle -7 Grade-

Fie ABC triunghi echilateral cu AB=6 Č™i AE=5EB, E∈(AB), BF=5FC, F∈(BC), CG=5GA, G∈(AC). a) ArătaČ›i că triunghiul EFG este echilateral. b) CalculaČ›i raportul ariilor triunghiurilor EFG Č™i ABC. c) AflaČ›i distanČ›a de la punctul F la AB. d) AflaČ›i distanČ›a de la punctul G la AB. 2. Triunghi echilateral Clasa a X-a

Let ABC equilateral triangle with AB = 6 and AE = 5EB, E∈ (AB), BF = 5FC, F∈ (BC), CG = 5GA, G∈ (AC). a) Show that ΔEGF is equilateral. b) Calculate the ratio areas of ΔEFG and ΔABC. c) Find the distance from point F to AB. d) Find the distance from point G to AB.

Fie A(0; 0), B(6; 0) Č™i triunghiul echilateral ABC. AE=5EB, E∈(AB), BF=5FC, F∈(BC), CG=5GA, G∈(AC). Similar se construiesc D, I, H pe laturile ΔEFG. a) EcuaČ›iile dreptelor AB, AC, BC. b) EG Č™i ecuaČ›ia dr. GE c) ADHI. 3. Pătrat Clasele a VII-a, a X-a

A(0; 0), B(6; 0) , ΔABC equilateral, AE=5EB, E∈(AB), BF=5FC, F∈(BC), CG=5GA, G∈(AC).

Similarly, points D, I, H are built on the sides of the ΔEFG. a) Lines equations AB, AC, BC. b) EG and GE equation. c) ���� .

Square 7, 10 Grades

OEFG este pătrat cu vârfurile O(0; 0), E(3; 0). AG=BO=CE=DF, ca ĂŽn figura. Pătratul HINK are acelaČ™i centru cu ABCD Č™i đ?‘Żđ?‘° âˆĽ đ?‘­đ?‘Ž, đ?‘Żđ?‘˛ âˆĽ đ?‘śđ?‘Ž, đ?&#x;‘đ?‘ľđ?‘° = đ?‘śđ?‘Ž.

DeterminaČ›i: a) CB, HI b) AABCD, AHINK. c) tg(âˆĄDCE) d) EcuaČ›iile dr. AB, BC,OF, EG, BD, AC

OEFG is a square with the vertices O(0; 0), E(3; 0). AG=BO=CE= =DF, as in the figure.

The square NIHK has the same center as ABCD and đ?‘Żđ?‘° âˆĽ đ?‘­đ?‘Ž, đ?‘Żđ?‘˛ âˆĽ đ?‘śđ?‘Ž, đ?&#x;‘đ?‘ľđ?‘° = đ?‘śđ?‘Ž.

Find: a) CB, HI. b) AABCD, AHINK. c) tg(âˆĄDCE). d) Equation for: AB BC, OF, EG, BD, AC.

Equilateral triangle -10 Grade-

4. Hexagon regulat -Clasele a VII-a, a X-a-

Regular hexagon -7 and 10 Grade-

ABCDEF hexagon regulat cu latura de 4u.

A(-2; 0), B(2; 0) Determinați: a) AD b) m(BAD) c) Ariile triunghiurilor ACE BDF. d) Ariile triunghiurilor ADF, ABC. e) Ecuația dreptei AE. f) Ecuația dreptei AD, BC, EF. g) Ecuația dreptei AE. Ecuațiile dreptelor DE, CD, AF.

ABCDEF regular hexagon, with the side 4u. A(-2; 0), B(2; 0).

Find: a) AD b) m(BAD) c) Areas of the triangles ACE BDF. d) Areas of the triangles ADF, ABC. e) The equation of the line AE. f) The equations of the lines AD, BC, EF. g) The equation of the line AE. The equations of the lines DE, CD, AF.

5. Octogon regulat -Clasa 7-

Regular octagon -7 Grade-

ABCDEFGH octogon ABCDEFGH regular regulat cu latura de 2 u. octagon with side 2 u.

Determinați: Find: a) AF a) AF b) Aria AFGH b) Area AFGH c) Aria ABEF c) Area ABEF d) Aria ABCDEFGH. d) Area for ABCDEFGH.

6. Octogon regulat -Clasa a X-a-

Regular octagon -10 Grade-

ABCDEFGH octogon regulat cu latura de 2u, A(0; 0), B(2; 0).

Determinați: a) Ecuația dreptei AF. b) Ecuația dreptei AD. c) Ecuația dreptei CF. d) Ecuațiile dreptelor EF, GD, CH. e) Ariile triunghiurilor ADF, ACF, CEH, BDG.

ABCDEFGH regular octagon with side 2u, A(0; 0), B(2; 0).

Find: a) Equation of line AF b) Equation of line AD c) Equation of line CF d) Equations of lines EF, GD, CH. e) Areas for ΔADF, ΔACF, ΔCEH, ΔBDG.

Solutions & Suplimentar proposed tasks 1. Triunghi echilateral -Clasa a VII-a-

Equilateral triangle -7 GradeFie ABC triunghi Let ABC equilateral echilateral cu AB=6 Č™i triangle with AB = 6 AE=5EB, E∈(AB), BF=5FC, and AE = 5EB, E∈ F∈(BC), CG=5GA, (AB), BF = 5FC, F∈ G∈(AC).

(BC), CG = 5GA, G∈ a) ArătaČ›i că triunghiul (AC). Show that the EFG este echilateral.

EGF triangle is b) CalculaČ›i raportul equilateral. Calculate ariilor triunghiurilor the ratio areas of EFG Č™i ABC. ΔEFG and ΔABC. c) AflaČ›i distanČ›a de la Find the distance from punctul F la dreapta AB point F to AB. d) AflaČ›i distanČ›a de la Find the distance from punctul G la AB. point G to AB. 1 a) đ??´đ??¸ = đ??ľđ??š = đ??śđ??ş; đ?‘š(âˆĄđ??şđ??´đ??¸) = đ?‘š(âˆĄđ??šđ??śđ??ş) = đ?‘š(âˆĄđ??¸đ??ľđ??š) = 60°; đ??´đ??ş = đ??śđ??š = đ??¸đ??ľ = 6 đ??´đ??ľ (đ??żđ?‘ˆđ??ż) ⇒ ∆đ??´đ??¸đ??ş ≥ ∆đ??ľđ??šđ??¸ ≥ đ??śđ??şđ??š ⇒ đ??¸đ??ş = đ??şđ??š = đ??šđ??¸ ⇒ ∆đ?‘Źđ?‘­đ?‘Ž đ??žđ??Şđ??Žđ??˘đ??Ľđ??šđ??­đ??žđ??Ťđ??šđ??Ľ.

5

1

b) đ??´đ??¸ = 6 đ??´đ??ľ = 5, đ??´đ??ş = 6 đ??´đ??ś = 1 ⇒ đ??´đ??´đ??şđ??¸ = 3đ??´đ??´đ??şđ??¸ =

36√3 4

−

15√3 4

=

đ?&#x;?đ?&#x;?√đ?&#x;‘ đ?&#x;’

đ??´

⇒ đ??´đ??¸đ??šđ??ş = đ??´đ??ľđ??ś

21√3 4 36√3 4

đ??´đ??¸ ∙đ??´đ??ş đ?‘ đ?‘–đ?‘›60° 2 21

=

7

5√3 4

⇒ 3đ??´đ??´đ??şđ??¸ =

�

15√3 4

⇒ đ??´đ??¸đ??šđ??ş = đ??´đ??´đ??ľđ??ś −

đ?&#x;•

= 36 = 12 ⇒ đ?‘¨đ?‘Źđ?‘­đ?‘Ž = đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?‘¨đ?‘Šđ?‘Ş

c) đ??śđ??ż ⊼ đ??´đ??ľ, đ??şđ??ž ⊼ đ??´đ??ľ, đ??šđ??˝ ⊼ đ??´đ??ľ. đ?‘Ľ = đ?‘‘(đ??š, đ??´đ??ľ) đ?‘™âˆš3

đ?‘Ľ 5 5√3 đ?&#x;“√đ?&#x;‘ đ??śđ??ż = 2 = 3√3 } ⇒ 3√3 = 6 ⇒ đ?‘Ľ = 2 ⇒ đ?’…(đ?‘­, đ?‘¨đ?‘Š) = đ?&#x;? . ∆đ??ľđ??śđ??ż~∆đ??ľđ??šđ??˝

d) ∆đ??´đ??žđ??ş~∆đ??´đ??żđ??ś ⇒

đ??şđ??ž đ??śđ??ż

đ??´đ??ş

1

đ??şđ??ž

1

= đ??´đ??ś = 6 ⇒ 3√3 = 6 ⇒ đ??şđ??ž =

√3 2

⇒ �(�, ��) =

√đ?&#x;‘ đ?&#x;?

2. Triunghi echilateral Equilateral triangle -Clasa a X-a-10 GradeFie A(0; 0), B(6; 0) , A(0; 0), B(6; 0) , ΔABC echilateral. ΔABC equilateral AE=5EB, E∈(AB), triangle, E∈(AB), BF=5FC, F∈(BC), BF=5FC, F∈(BC), CG=5GA, G∈(AC).

CG=5GA, G∈(AC).

Similar se construiesc Similarly, points D, punctele D, I, H pe laturile I, H are built on the ΔEFG. sides of ΔEFG. a) EcuaČ›iile dreptelor AB, a) Lines equations AC, BC. AB, AC, BC. b) EG Č™i ecuaČ›ia dr. GE. b) EG and GE c) đ?‘¨đ?‘Ťđ?‘°đ?‘Ż . equation. c) đ?‘¨đ?‘Ťđ?‘°đ?‘Ż . a) (AB): y = 0; đ?‘šđ??´đ??ś = đ?‘Ąđ?‘”60° = √3 ⇒ đ?‘Ś − đ?‘Śđ??´ = đ?‘šđ??´đ??ś (đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ??´ ) ⇒ đ?‘Ś = √3đ?‘Ľ ⇒ (đ?‘¨đ?‘Ş): đ?’š = √đ?&#x;‘đ?’™ đ?‘šđ??ľđ??ś = đ?‘Ąđ?‘”120° = −√3 ⇒ đ?‘Ś − đ?‘Śđ??ľ = đ?‘šđ??ľđ??ś (đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ??ľ ) ⇒ đ?‘Ś = −√3(đ?‘Ľ − 6) ⇒ (đ?‘Šđ?‘Ş): đ?’š = −√đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;”√đ?&#x;‘ 1 b) ∆đ??´đ??şđ??¸: đ?‘‡. đ?‘?đ?‘œđ?‘ ⇒ đ??şđ??¸ 2 = đ??´đ??ş 2 + đ??´đ??¸ 2 − 2đ??´đ??ş ∙ đ??´đ??¸ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 60° ⇒ đ??şđ??¸ 2 = 1 + 25 − 10 ∙ 2 = 21 ⇒ đ??´đ??ž

1

1

đ?‘Žđ?‘Ź = √đ?&#x;?đ?&#x;?. ∆đ??´đ??žđ??ş: đ?‘?đ?‘œđ?‘ 60° = đ??´đ??ş ⇒ đ??´đ??ž = 2 ⇒ đ??ş (2 ; (đ??¸đ??ş):

đ?‘Śâˆ’đ?‘Śđ??¸ đ?‘Śđ??ş −đ?‘Śđ??¸

đ??şđ??¸

c) đ?‘˜ = đ??´đ??ľ =

=

√21 6

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľđ??¸ đ?‘Ľđ??ş −đ?‘Ľđ??¸

⇒

⇒

đ??´đ??ˇđ??ťđ??ź đ??´đ??¸đ??šđ??ş

đ?‘Ś √3 2

=

đ?‘Ľâˆ’5 1 −5 2

21

⇒�= 7

√3 (đ?‘Ľ 2

− 5) ∙ 7

= đ?‘˜ 2 = 36 = 12 ⇒ đ??´đ??ˇđ??ťđ??ź = 12 ∙

√3 ); 2 2 −9

⇒ (đ?‘Źđ?‘Ž): đ?’š = −

21√3 4

đ??´đ??¸ = 5 ⇒ đ??¸(5; 0).

=

49√3 16

√đ?&#x;‘ đ?’™ đ?&#x;—

⇒ ���� =

+

đ?&#x;“√đ?&#x;‘ đ?&#x;—

đ?&#x;’đ?&#x;—√đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”

.

.

3. Pătrat

Square -7, 10 Grades-

-Clasele a VII-a, a X-a-

OEFG este pătrat cu vârfurile O(0; 0), E(3; 0).

AG=BO=CE=DF, ca în figura alăturată. Pătratul HINK are același centru cu OEFG și 𝑯𝑰 ∥ 𝑭𝑮, 𝑯𝑲 ∥ 𝑶𝑮, 𝟑𝑵𝑰 = 𝑶𝑮.

Determinați: a) CB, HI b) AABCD, AHINK. c) tg(∡DCE) d) Ecuațiile dreptelor AB BC, OF, EG, BD, AC

OEFG is a square with the vertices O(0; 0), E(3; 0). AG=BO=CE= =DF, as in the figure.

The square NIHK has the same center as ABCD and 𝑯𝑰 ∥ 𝑭𝑮, 𝑯𝑲 ∥ 𝑶𝑮, 𝟑𝑵𝑰 = 𝑶𝑮.

Find: e) CB, HI f) AABCD, AHINK. g) tg(∡DCE) h) Equation for: AB BC, OF, EG, BD, AC

Solution a) Th. Pythagoras in ∆𝑂𝐵𝐶: 𝑂𝐵 = 1, 𝑂𝐶 = 2 ⇒ 𝐵𝐶 2 = 𝑂𝐵 2 + 𝑂𝐶 2 = 1 + 4 = 5 ⇒ 𝑩𝑪 = √𝟓.

1 1 𝐻𝐼 = ∙ 𝐸𝑂 = ∙ 3 = 1 ∙ 3 3 2 2 b) 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 = (√5) = 5 ⇒ 𝑨𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝟓. 𝐴𝐻𝐼𝑁𝐾 = 𝐻𝐼 2 = 12 = 1 ⇒ 𝑨𝑯𝑰𝑵𝑲 = 𝟏. 𝐷𝐸

2

c) ∆𝐷𝐶𝐸: 𝑡𝑔(∡𝐷𝐶𝐸) = 𝐶𝐸 = 1 = 2 ⇒ 𝒕𝒈(∡𝑫𝑪𝑬) = 𝟐 . d) ABCD square ⇒ 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷 ⇒ 𝑚𝐴𝐵 = 𝑚𝐶𝐷 = 2 ⇒ 𝑦 − 𝑦𝐴 = 𝑚𝐴𝐵 (𝑥 − 𝑥𝐴 ) ⇒ 𝑦 − 1 = 2𝑥 ⇒ • (𝑨𝑩): 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 1 1 • 𝑩𝑪 ⊥ 𝐶𝐷 ⇒ 𝑚𝐵𝐶 ∙ 𝑚𝐶𝐷 = −1 ⇒ 𝑚𝐴𝐵 = − 𝑚 = − 2. 𝐶𝐷

1

• • •

𝐷

𝒙

(𝑩𝑫): 𝒚 = + 𝟏. 𝟑 •

𝟏

(𝑩𝑪): 𝑦 − 𝑦𝐵 = 𝑚𝐵𝐶 (𝑥 − 𝑥𝐵 ) ⇒ 𝑦 − 1 = − 𝑥 ⇒ (𝑩𝑪): 𝒚 = − 𝒙 + 𝟏.

2 𝟐 𝑚𝑂𝐹 = 𝑡𝑔(∡𝐹𝑂𝐸) = 𝑡𝑔45° = 1 ⇒ (𝑶𝑭): 𝒚 = 𝒙. 𝑚𝐸𝐺 = 𝑡𝑔(∡𝐺𝐸𝑥) = 𝑡𝑔135° = −1 ⇒ 𝑦 − 𝑦𝐺 = −(𝑥 − 𝑥𝐺 ) ⇒ (𝑮𝑬): 𝒚 = −𝒙 + 𝟑 . 𝑦−𝑦 𝑥−𝑥 𝑦−1 𝑥 𝑥+3 𝐵(0; 1), 𝐷(3; 2) ⇒ 𝑦 −𝑦𝐵 = 𝑥 −𝑥𝐵 ⇒ 2−1 = 3 ⇒ 3𝑦 − 3 = 𝑥 ⇒ 𝑦 = 3 ⇒ 𝐵

𝑦−𝑦𝐶

𝐴(1; 3), 𝐶(2; 0) ⇒ 𝑦

𝐴 −𝑦𝐶

𝐷

𝐵

𝑥−𝑥𝐶

=𝑥

𝐴 −𝑥𝐶

⇒

𝑦 3

𝑥−2

= 1−2 ⇒ −𝑦 = 3𝑥 − 6 ⇒ 𝑦 = −3𝑥 + 6 ⇒

(𝑨𝑪): 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟔.

Task: creates a problem for this tessellation.

4. Hexagon regulat Clasele a VII-a, a X-a

Regular hexagon -7 and 10 Grade-

ABCDEF hexagon regulat cu latura de 4u. A(-2; 0), B(2; 0) DeterminaČ›i: a) AD b) m(ďƒ?BAD) c) Ariile triunghiurilor ACE BDF. d) Ariile triunghiurilor ADF, ABC. e) EcuaČ›ia dreptei AE. f) EcuaČ›ia dreptei AD, BC, EF. g) EcuaČ›ia dreptei AE. h) EcuaČ›iile dreptelor DE, CD, AF.

ABCDEF regular hexagon, with the side 4u. A(-2; 0), B(2; 0).

Find: a) AD b) m(ďƒ?BAD) c) Areas of the ΔACE, ΔBDF. d) Areas of Δ ADF, ΔABC. e) The equation of the line AE. f) The equations of the lines AD, BC, EF. g) The equation of the line AE. h) The equations of the lines DE, CD, AF.

Solution: a) AD = 2R = 2đ?‘™ = 8 ⇒ đ?‘¨đ?‘Ť = đ?&#x;– b) ∆đ?‘‚đ??´đ??ľ equilateral ⇒ đ?‘š(âˆĄđ?‘‚đ??´đ??ľ) = 60° ⇒ đ?’Ž(âˆĄđ?‘Šđ?‘¨đ?‘Ť) = đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°. c) ∆đ??´đ??śđ??¸equilateral ⇒ đ??´ =

đ??´đ??ś 2 √3 4

; đ??´đ??ś = đ?‘™3 = đ?‘…√3 = 4√3. ⇒ đ??´đ??´đ??śđ??¸ =

48√3 4

⇒ đ?‘¨đ?‘¨đ?‘Şđ?‘Ź = đ?&#x;?đ?&#x;?√đ?&#x;‘ = đ?‘¨đ?‘Šđ?‘Ťđ?‘­

d) ∆đ??´đ??ˇđ??š triangle rectangle (đ?‘š(âˆĄđ??´đ??šđ??ˇ) = 90° - angle inscribed in semicircle), đ??´đ??š = 4, đ??ˇđ??š = 4√3 ⇒ ⇒ đ??´đ??´đ??ˇđ??š = đ??´đ??´đ??ľđ??ś

đ??šđ??ˇâˆ™ đ??šđ??´ 2

⇒ đ?‘¨đ?‘¨đ?‘Ťđ?‘­ = đ?&#x;–√đ?&#x;‘.

√3 16 ∙ 2 đ??ľđ??´ ∙ đ??ľđ??ś ∙ đ?‘ đ?‘–đ?‘›120° = = ⇒ đ?‘¨đ?‘¨đ?‘Šđ?‘Ş = đ?&#x;’√đ?&#x;‘ 2 2

e) AE: y=0; f) ABCDEF regular hexagon ⇒ đ?‘š(âˆĄđ??´đ??ľđ??ś) = 120° = (âˆĄđ??ľđ??´đ??š); đ?‘š(âˆĄđ??ˇđ??´đ??ľ) = 60° ⇒ đ?‘šđ??´đ??ˇ = đ?‘Ąđ?‘”60° ⇒ đ?‘šđ??´đ??ˇ = √3. đ?‘Ś − đ?‘Śđ??´ = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ??´ ) ⇒ đ?‘Ś = √3(đ?‘Ľ + 2) ⇒ (đ?‘¨đ?‘Ť): đ?’š = √đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;?√đ?&#x;‘. đ??´đ??ˇ âˆĽ đ??ľđ??ś âˆĽ đ??¸đ??š ⇒ đ?‘šđ??ľđ??ś = √3 ⇒ đ?‘Ś − đ?‘Śđ??ľ = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ??ľ ) ⇒ đ?‘Ś = √3(đ?‘Ľ − 2) ⇒ (đ?‘Šđ?‘Ş): đ?’š = √đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;?√đ?&#x;‘. g) (đ?‘¨đ?‘Ź): đ?’™ = −đ?&#x;?. h) đ??ˇđ??¸ = đ??´đ??ľ, đ??ˇđ??¸ âˆĽ đ??´đ??ľ ⇒ đ?‘Ľđ??¸ = đ?‘Ľđ??´ = −2, đ?‘Ľđ??ˇ = đ?‘Ľđ??ľ = 2, đ?‘Śđ??¸ = đ?‘Śđ??ˇ , đ?‘Śđ??´ = đ?‘Śđ??ľ = 0; đ??ľđ??ˇ = đ?‘™3 = 4√3 ≈ 6.928 ⇒ đ??ˇ(2; 4√3), đ??¸(−2; 4√3). ⇒ (đ?‘Ťđ?‘Ź): đ?’š = đ?&#x;’√đ?&#x;‘ đ?‘š(âˆĄ(đ??śđ??ˇ, đ?‘‚đ?‘Ľ)) = 120° ⇒ đ?‘šđ??´đ??ˇ = đ?‘Ąđ?‘”120° ⇒ đ?‘šđ??śđ??ˇ = −√3. đ?‘Ś − đ?‘Śđ??ˇ = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ??´đ??ˇ ) ⇒ đ?‘Ś − 4√3 = −√3(đ?‘Ľ − 2) ⇒ (đ?‘Şđ?‘Ť): đ?’š = −√đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;”√đ?&#x;‘. đ??´đ??š âˆĽ đ??śđ??ˇ ⇒ đ?‘šđ??´đ??š = đ?‘šđ??śđ??ˇ = −√3 ⇒ đ?‘Ś − đ?‘Śđ??´ = đ?‘šđ??´đ??š (đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ??´ ) ⇒ đ?‘Ś = −√3(đ?‘Ľ + 2) ⇒ (đ?‘¨đ?‘­): đ?’š = −√đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;?√đ?&#x;‘. !Creates a problem, using the following drawing with the theme "The Medallion"

5. Octogon regulat -Clasa 7-

Regular octagon -7 Grade-

ABCDEFGH octogon regulat cu latura de 2 u.

Determinați: a) AF b) Aria AFGH c) Aria ABEF d) Aria ABCDEFGH.

ABCDEFGH regular octagon with side 2u.

Find: a) AF b) Area AFGH c) Area ABEF d) Area for ABCDEFGH.

Solution: a) ABCDEFGH Regular Octagon â&#x;š đ??´đ??š ⊼ đ??ˇđ??ş, đ?‘š(âˆĄđ??şđ??¸đ??š) = 135°; đ?‘š(âˆĄđ??şđ??šđ??´) = 45°. đ??šđ??˝ ∆đ??šđ??˝đ??ş: đ?‘?đ?‘œđ?‘ 45° = đ??šđ??ş â&#x;š đ??šđ??˝ = √2 = đ??şđ??˝ â&#x;š đ??´đ??š = 2đ??šđ??˝ + đ??žđ??˝ â&#x;š đ?‘¨đ?‘­ = đ?&#x;? + đ?&#x;?√đ?&#x;?. b) đ??´đ??´đ??šđ??şđ??ť =

(đ??´đ??š+đ??ťđ??ş)đ??şđ??˝ 2

â&#x;š đ??´đ??´đ??šđ??şđ??ť =

(2+2+2√2)√2 2

â&#x;š đ??´đ??´đ??šđ??şđ??ť =

(4+2√2)√2 2

â&#x;š đ?‘¨đ?‘¨đ?‘­đ?‘Žđ?‘Ż = đ?&#x;?√đ?&#x;? + đ?&#x;?.

c) đ??´đ??´đ??ľđ??¸đ??š = đ??´đ??ľ ∙ đ??ľđ??¸ = 2(2 + 2√2) â&#x;š đ?‘¨đ?‘¨đ?‘Šđ?‘Źđ?‘­ = đ?&#x;’ + đ?&#x;’√đ?&#x;?. d) đ??´đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸đ??šđ??şđ??ť = đ?&#x;?đ??´đ??´đ??šđ??şđ??ť + đ??´đ??´đ??ľđ??¸đ??š = 8 + 8√2 â&#x;š đ?‘¨đ?‘¨đ?‘Šđ?‘Şđ?‘Ťđ?‘Źđ?‘­đ?‘Žđ?‘Ż = đ?&#x;–(đ?&#x;? + √đ?&#x;?)

Task: !Creates a problem, using the following drawing with the theme "Mosaic" 6. Octogon regulat -Clasa a X-aABCDEFGH este un octogon regulat cu latura de 2 u. A(0; 0), B(2; 0).

Determinați: a) Ecuația dreptei AF. b) Ecuația dreptei AD. c) Ecuația dreptei CF. d) Ecuațiile dreptelor EF, GD, CH. e) Ariile triunghiurilor ADF, ACF, CEH, BDG.

J

K

Regular octagon -10 GradeABCDEFGH regular octagon with side 2u.

A(0; 0), B(2; 0).

Find: a) Equation for AF. b) Equation for AD. c) Equation for CF. d) Equations for the lines EF, GD, CH. e) Areas for ΔADF, ΔACF, ΔCEH, ΔBDG.

a) The equation for the line AF: x = 0 b) ABCDEFGH regular octogon â&#x;š đ?‘šđ??´đ??ˇ = đ?‘Ąđ?‘”45° = 1 â&#x;š đ?‘Ś − đ?‘Śđ??´ = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ??´ ) â&#x;š đ?’š = đ?’™ (AD equation) c) đ??´đ??š = 2 + 2√2 ⇒ đ??´đ??š ≈ 4.8284 ⇒ đ??š(0; 2 + 2√2) ⇒ đ?‘Ś − đ?‘Śđ??š = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ??š ), đ?‘šđ??šđ??ś = đ?‘Ąđ?‘”135° = −1 ⇒ đ?‘Ś − 2 − 2√2 = −đ?‘Ľ + 0 ⇒ đ?’š = −đ?’™ + đ?&#x;? + đ?&#x;?√đ?&#x;?

d) đ??¸đ??š âˆĽ đ??şđ??ˇ âˆĽ đ??śđ??ť âˆĽ đ??´đ??ľ ⇒ (đ?‘Źđ?‘­): đ?’š = đ?&#x;? + đ?&#x;?√đ?&#x;? ; FJ = GJ = HK = AK = √2 ⇒ đ?‘Śđ??ť = đ?‘Śđ??ś = √2đ?‘Śđ??ˇ = đ?‘Śđ??ş = 2 + √2 ⇒ (đ?‘Şđ?‘Ż): đ?’š = √đ?&#x;?; (đ?‘Žđ?‘Ť): đ?’š = đ?&#x;? + √đ?&#x;?

e) đ??´đ??´đ??śđ??š = đ?‘¨đ?‘¨đ?‘Şđ?‘­

đ??´đ??šâˆ™ đ??śđ??ž 2

(2+2√2)(2+√2)

= = 2 = ���� = ���� = ����

Task: !Creates a problem, using the following drawing with the theme "Bracelet"

8+6√2 2

⇒ đ?‘¨đ?‘¨đ?‘Şđ?‘­ = đ?&#x;’ + đ?&#x;‘√đ?&#x;?.

Students: 7 Grade Mara Matei, Teodor Mihail, Tudor Trosca, Taisia Ionescu, Dona Diaconescu, Emel Vasile.

10 Grade Mara Sofia Stan, Maria Șapcaliu, Kais Al Hajjih, Mihai Boteatu, Cătălin Ivașcu, Ovidiu Ciucu Teacher Mihaela Git