Kvant 04 2017

2017

ÀÏÐÅËÜ

Þ

¹4

ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ

ÆÓÐÍÀË

 íîìåðå: Ó×ÐÅÄÈÒÅËÈ

Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê Ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Â.À.Ñòåêëîâà ÐÀÍ Ôèçè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ï.Í.Ëåáåäåâà ÐÀÍ ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ

Ðåøåòêè è ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè. À.Åãîðîâ Òåíè ñâåðêàþùåãî ñíåãà. Â.Ïòóøåíêî ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

òðåóãîëüíèêà. À.Çàñëàâñêèé

" Çàäà÷à ñ êðóæêà, èëè Åùåðàç î çàäà÷å Ì2447. Ì.Ïàíîâ

À.Ë.Ñåìåíîâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß

Í.Í.Àíäðååâ, À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, Ñ.Ä.Âàðëàìîâ, À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Í.Ï.Äîëáèëèí, Ñ.À.Äîðè÷åíêî, Â.Í.Äóáðîâñêèé, À.À.Åãîðîâ , À.À.Çàñëàâñêèé, Ï.À.Êîæåâíèêîâ (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Â.Þ.Ïðîòàñîâ, À.Ì.Ðàéãîðîäñêèé, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü

«ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠ% Çàäà÷è & Êàêèå áûâàþò îïîðû. Ñ.Äâîðÿíèíîâ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ

À.Â.Àíäæàíñ, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ, Ë.Ä.Ôàääååâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 1970 ÃÎÄÀ ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ

È.Ê.Êèêîèí ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ

À.Í.Êîëìîãîðîâ Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí, Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ, Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ, Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ, Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí, È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð

ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

' Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ è õàðàê-

òåðèñòèêè âåùåñòâà (îêîí÷àíèå). Ñ.Âàðëàìîâ ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ Ôèçèêà+ôëîðà

!

«ÊÂÀÍÒÀ»

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»

!$ Ðàññòîÿíèÿ íà ñôåðå. Ñ.Êóçíåöîâ

ãëàâíîãî ðåäàêòîðà)

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ

«ÊÂÀÍÒÀ»

$ Çàäà÷è Ì2458 Ì2461, Ô2465 Ô2468 % Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2446 Ì2449, Ô2453 Ô2456 Î âïèñàííîé îêðóæíîñòè ïðÿìîóãîëüíîãî

ÊÎÍÊÓÐÑ ÈÌÅÍÈ À.Ï.ÑÀÂÈÍÀ

!& Çàäà÷è 24 27

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ

ÊÐÓÆÎÊ

!' Ôóòáîëüíûå è âîëåéáîëüíûå òóðíèðû. À.Çàñëàâñêèé

ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß

"

«ÊÂÀÍÒÀ»

Íàïîëåîí-âîäîëàç è Ôåéíìàí-ýêñïåðèìåíòàòîð. À.Ïàíîâ ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

"" XXXVIII Òóðíèð ãîðîäîâ "$ XXV Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»

#

ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ Îëèìïèàäà «Ëîìîíîñîâ-2017»

#' Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ Ïàìÿòè À.À.Åãîðîâà (3) Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé (26)

I II III IV

ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ Èëëþñòðàöèÿ ê «Êàëåéäîñêîïó «Êâàíòà» Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé

Ðåøåòêè è ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè À.ÅÃÎÐÎÂ

Â

ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÐÀÇÁÈÐÀÞÒÑß ÒÐÈ ÒÅÑ-

íî ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé âîïðîñà.

1) Ìîæíî ëè ðàñïîëîæèòü ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê íà ëèñòå ëèíîâàííîé áóìàãè â ïðÿìóþ èëè êîñóþ êëåòêó òàê, ÷òîáû åãî âåðøèíû ïîïàëè â òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé?

2) Ïðè êàêèõ óãëàõ α , ñîèçìåðèìûõ ñ ïîëíûì, ò.å. ñîäåðæàùèõ öåëîå èëè ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ãðàäóñîâ, çíà÷åíèÿ ñèíóñà, êîñèíóñà èëè òàíãåíñà óãëà α ðàöèîíàëüíû?

3)  êàêèå ïîëîæåíèÿ ìîæåò ïîïàñòü öåíòð ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, êîòîðûé ðàçðåøàåòñÿ ïåðåêàòûâàòü ïî ïëîñêîñòè (ýòîò âîïðîñ ñîñòàâëÿë ñîäåðæàíèå çàäà÷è Ì252 èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà»)? §1. Òî÷å÷íûå ðåøåòêè íà ïëîñêîñòè Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè ñåòêó, îáðàçîâàííóþ äâóìÿ ñåìåéñòâàìè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ðàçðåçàþùèõ ïëîñêîñòü íà îäèíàêîâûå ïàðàëëåëîãðàììû (ðèñ.1).

Ðèñ. 1

Ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ýòèõ ïàðàëëåëîãðàììîâ íàçîâåì òî÷å÷íîé ðåøåòêîé, ñàìè âåðøèíû óçëàìè ðåøåòêè, à ëþÑòàòüÿ áûëà îïóáëèêîâàíà â «Êâàíòå» ¹12 çà 1974 ãîä.

áîé èç ïàðàëëåëîãðàììîâ ðàçáèåíèÿ îñíîâíûì ïàðàëëåëîãðàììîì ðàçáèåíèÿ, èëè ïàðàëëåëîãðàììîì, ïîðîæäàþùèì ðåøåòêó. Çàìåòèì, ÷òî îäíà è òà æå ðåøåòêà ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ èç ðàçíûõ ñåòîê ïðÿìûõ: íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíà òàê íàçûâàåìàÿ öå-

Ðèñ. 2

ëî÷èñëåííàÿ ðåøåòêà, ò.å. ìíîæåñòâî òî÷åê, èìåþùèõ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò öåëî÷èñëåííûå êîîðäèíàòû. Öåëî÷èñëåííóþ ðåøåòêó âìåñòå ñ ñåòêîé ñèíèõ ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ îñÿì êîîðäèíàò, ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê áåñêîíå÷íûé ëèñò êëåò÷àòîé áóìàãè, òîãäà îñíîâíûì ïàðàëëåëîãðàììîì áóäåò êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1. Òó æå ñàìóþ öåëî÷èñëåííóþ ðåøåòêó ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðîâîäÿ êðàñíûå ïðÿìûå, òîãäà îñíîâíûì ïàðàëëåëîãðàììîì ñëóæèò ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Òàêèì îáðàçîì, ïîíÿòèå îñíîâíîãî ïàðàëëåëîãðàììà ðåøåòêè ñâÿçàíî íå òîëüêî ñ ñàìîé ðåøåòêîé, íî è ñ ñåòêîé ïðÿìûõ, ýòó ðåøåòêó ïîðîæäàþùèõ. Èç ïðîñòåéøèõ ñâîéñòâ ðåøåòîê ïîêà îòìåòèì ñëåäóþùèå.

1° . Âñÿêèé ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ, ïåðåâîäÿùèé íåêîòîðûé óçåë ðåøåòêè â äðóãîé óçåë, ïåðåâîäèò ðåøåòêó â ñåáÿ.

ÐÅØÅÒÊÈ

È

ÏÐÀÂÈËÜÍÛÅ

ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈÊÈ

!

2° (ëåììà î ÷åòâåðòîé âåðøèíå ïàðàëëåëîãðàììà). Åñëè òðè âåðøèíû ïàðàëëåëîãðàììà ÿâëÿþòñÿ óçëàìè íåêîòîðîé ðåøåòêè, òî è ÷åòâåðòàÿ âåðøèíà òîæå óçåë ýòîé ðåøåòêè.

3° . Åñëè ÷åðåç ïðîèçâîëüíûå äâà óçëà Q è R ðåøåòêè ïðîâåñòè ïðÿìóþ, òî ýòà ïðÿìàÿ ïðîéäåò ÷åðåç áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî óçëîâ (ñì. ðèñ.1). Ïðè ýòîì âñå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîñåäíèìè óçëàìè, ëåæàùèìè íà ïðÿìîé, áóäóò ðàâíû.

4° . Åñëè ïàðàëëåëîãðàìì ñ âåðøèíàìè â óçëàõ íåêîòîðîé ðåøåòêè íå ñîäåðæèò äðóãèõ óçëîâ íà ñòîðîíàõ è âíóòðè ñåáÿ, òî îí ýòó ðåøåòêó ïîðîæäàåò. Óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàæèòå ñâîéñòâà 1° − 4° .

2. Ïóñòü à è b ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè (ka, lb), ãäå k è l öåëûå ÷èñëà, ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé.

Âàæíîå ñâîéñòâî ðåøåòîê îòðàæàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à:

23 àïðåëÿ 2017 ãîäà óøåë èç æèçíè Àíäðåé Àëåêñàíäðîâè÷ Åãîðîâ, çàìå÷àòåëüíûé ìàòåìàòèê, ïåäàãîã è ÷åëîâåê. Áîëüøóþ ÷àñòü ñâîåé òâîð÷åñêîé æèçíè îí ïðîðàáîòàë â æóðíàëå «Êâàíò» è â Êîëìîãîðîâñêîì èíòåðíàòå (íûíå ÑÓÍÖ), ùåäðî äåëÿñü ñ ÷èòàòåëÿìè è ó÷åíèêàìè ãëóáîêèì ïîíèìàíèåì è ÿðêèì âèäåíèåì ëþáèìîé íàóêè. Áîëåå ñîðîêà ëåò Àíäðåé Àëåêñàíäðîâè÷ ïèñàë ñòàòüè äëÿ íàøåãî æóðíàëà, ÷åòâåðòü âåêà ñîñòîÿë â åãî ðåäàêöèîííîé êîëëåãèè, áåç ìàëîãî äâàäöàòü ëåò ðóêîâîäèë îòäåëîì ìàòåìàòèêè. Åãî ñòàòüè è êíèãè ïîìîãëè ñòàíîâëåíèþ è ðàçâèòèþ ìíîãèõ áóäóùèõ ìàòåìàòèêîâ, øêîëüíûå ó÷èòåëÿ è âóçîâñêèå ïåäàãîãè åùå ìíîãî ëåò áóäóò ñ áëàãîäàðíîñòüþ âñïîìèíàòü Àíäðåÿ Àëåêñàíäðîâè÷à è àêòèâíî èñïîëüçîâàòü åãî òâîð÷åñêîå íàñëåäèå. Ìû æå, ðàáîòàâøèå ðÿäîì ñ Àíäðååì Àëåêñàíäðîâè÷åì, áóäåì âñåãäà ïîìíèòü ãëóáîêîãî ïðîôåññèîíàëà, ÿðêîãî, îñòðîóìíîãî, øèðîêî ýðóäèðîâàííîãî ÷åëîâå-

Ðèñ. 3

 íåêîòîðîì óçëå À ðåøåòêè íàõîäèòñÿ îõîòíèê, à â îñòàëüíûõ óçëàõ ñèäÿò îäèíàêîâûå è îäèíàêîâî ðàñïîëîæåííûå çàéöû (ðèñ.3). Îõîòíèê íàóãàä ñòðåëÿåò (òðàåêòîðèÿ ïóëè ëó÷, âûõîäÿùèé èç òî÷êè À). Âåðíåòñÿ ëè îí äîìîé ñ äîáû÷åé? (Çàéöû ñ÷èòàþòñÿ «òîëñòûìè».)

Àíäðåé Àëåêñàíäðîâè÷ Åãîðîâ (11.10.1939 23.04.2017)

êà, êîòîðûé ïîìíèë (ñ òî÷íîñòüþ äî äàòû) ìíîæåñòâî èñòîðèé è âñåãäà áûë ãîòîâ èõ ðàññêàçàòü. Îí áûë íàñòîÿùèì äðóãîì, ãîòîâûì âñåãäà ïðèéòè íà ïîìîùü. Íàì áóäåò î÷åíü åãî íå õâàòàòü. Ðåäàêöèÿ è ðåäàêöèîííàÿ êîëëåãèÿ æóðíàëà «Êâàíò»

"

ÊÂÀÍT 2017/¹4

Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè òðàåêòîðèÿ ïóëè ïðîõîäèò ÷åðåç óçåë, îòëè÷íûé îò òî÷êè À, òî çàÿö, ñèäÿùèé â ýòîì óçëå, áóäåò óáèò. Ïîýòîìó èíòåðåñåí òîëüêî òîò ñëó÷àé, êîãäà óçåë À åäèíñòâåííûé íà òðàåêòîðèè ïóëè; îêàçûâàåòñÿ, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå êàêîé-íèáóäü çàÿö áóäåò óáèò. Äîêàçàòåëüñòâî ñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåé ëåììå.

5° (ëåììà îá îõîòíèêå è çàéöàõ). Ïóñòü ëó÷ l ïðîõîäèò ÷åðåç óçåë À íåêîòîðîé ðåøåòêè. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé óçåë, ðàññòîÿíèå îò êîòîðîãî äî ëó÷à l áóäåò ìåíüøå ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî ÷èñëà ε . Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à l ñ íàêëîííûìè ïðÿìûìè ñåòêè ÷åðåç A0 = A, A1, A2,… , An ,… (ñì. ðèñ. 3,à). Ñîâìåñòèì âñå ïàðàëëåëîãðàììû, íà ïðàâûõ ñòîðîíàõ êîòîðûõ ëåæàò ýòè òî÷êè, ñ ïàðàëëåëîãðàììîì ABCD, òîãäà êàæäàÿ òî÷êà An ïåðåéäåò â íåêîòîðóþ òî÷êó An′ íà ñòîðîíå ÂÑ (ñì. ðèñ. 3,á). Äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäóòñÿ òàêèå òî÷êè Am′ è Am′ + k , ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áóäåò ìåíüøå ε .

Äîêàæèòå òåïåðü, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ak äî îäíîãî èç óçëîâ ðåøåòêè ìåíüøå ε (â ÷àñòíîñòè, åñëè Am′ ñîâïàäàåò ñ Am′ + k , òî Ak áóäåò óçëîì ðåøåòêè). Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà α > 0 è ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ε íàéäóòñÿ òàêèå íàòóðàëüíûå m è n, ÷òî mα − n < ε . Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì íà ïëîñêîñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò è ïðîâåäåì ïðÿìóþ y = αx .  ñèëó èððàöèîíàëüíîñòè α , åäèíñòâåííîé òî÷êîé ñ öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè íà ýòîé ïðÿìîé áóäåò íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïðÿìàÿ y = αx ïåðåñåêàåò êàæäóþ âåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ õ = m â òî÷êå (m, mα ) . Ïî ëåììå 5° íàéäåòñÿ òàêîé óçåë (m, n ) öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêè, ÷òî ðàññòîÿíèå (ïî âåðòèêàëè) îò íåãî äî òî÷êè (m, mα ) áóäåò ìåíüøå ε , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñðåäè âñåâîçìîæíûõ ïîïàðíûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó óçëàìè ëþáîé ðåøåòêè åñòü íàèìåíüøåå (äîêàæèòå!). Ýòî ñâîéñòâî âìåñòå ñî ñâîéñòâîì 2° ðåøåòêè ìîæíî ïðèíÿòü çà îïðåäåëåíèå ðåøåòîê.

Òåîðåìà. Ïóñòü ìíîæåñòâî Ì íà ïëîñêîñòè îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: à) ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åãî òî÷êàìè íå ìåíüøå íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà d; á) åñëè òðè òî÷êè À, Â, Ñ ìíîæåñòâà Ì ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè íåêîòîðîãî ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, òî è ÷åòâåðòàÿ âåðøèíà D ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Ì. Òîãäà Ì ðåøåòêà. Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó B, ïðèíàäëåæàùóþ ìíîæåñòâó Ì. Ïóñòü À áëèæàéøàÿ ê  òî÷êà èç Ì (ðèñ.4,à; òàêàÿ òî÷êà ñóùåñòâóåò, òàê êàê âñå ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè ìíîæåñòâà Ì áîëüøå d).

Ðèñ. 4 ×åðåç òî÷êè À è  ïðîâåäåì ïðÿìóþ. Ñðåäè òî÷åê ìíîæåñòâà Ì, íå ëåæàùèõ íà ýòîé ïðÿìîé, âûáåðåì áëèæàéøóþ ê òî÷êå  òî÷êó Ñ è ïîñòðîèì ïàðàëëåëîãðàìì ABCD.  ñèëó ñâîéñòâà á), òî÷êà D òàêæå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Ì. Ïîñòðîèì ðåøåòêó, ïîðîæäàåìóþ ïàðàëëåëîãðàììîì ABCD. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî Ì ñîâïàäàåò ñ ïîñòðîåííîé ðåøåòêîé. Èç ñâîéñòâà á) ìíîæåñòâà Ì ñëåäóåò, ÷òî âñå óçëû ýòîé ðåøåòêè åìó ïðèíàäëåæàò. Óïðàæíåíèå 3. Äîêàæèòå ýòî. Ïîýòîìó íóæíî òîëüêî ïðîâåðèòü, ÷òî íè íà ãðàíèöå, íè âíóòðè ïàðàëëåëîãðàììà ABCD íåò òî÷åê ìíîæåñòâà Ì, îòëè÷íûõ îò åãî âåðøèí. Ýòî ïî÷òè î÷åâèäíî: åñëè òî÷êà S ëåæèò âíóòðè ïàðàëëåëîãðàììà (ðèñ.4,á), òî õîòÿ áû îäèí èç óãëîâ ASB, BSC, CSD è ASD áóäåò

ÐÅØÅÒÊÈ

È

ÏÐÀÂÈËÜÍÛÅ

òóïûì èëè ïðÿìûì è ïîýòîìó ðàññòîÿíèå îò S äî îäíîé èç åãî âåðøèí îêàæåòñÿ ìåíüøå êàêîé-íèáóäü åãî ñòîðîíû (åñëè S ëåæèò íà ãðàíèöå òî æå ñàìîå); ïóñòü, íàïðèìåð, ýòî ðàññòîÿíèå SC. Ïîñòðîèì ïàðàëëåëîãðàìì BCSS′ ( S′ ïðèíàäëåæèò Ì). Òîãäà BS′ ìåíüøå ëèáî ÂÑ, ëèáî ÂÀ, íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó ëèáî òî÷êè Ñ, ëèáî òî÷êè À. Îñòàëüíûå ñëó÷àè ðàçáåðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Òåîðåìà äîêàçàíà. Óïðàæíåíèÿ 4. Ïóñòü α ïðîèçâîëüíîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 è ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà β íàéäóòñÿ òàêèå öåëûå ÷èñëà m è n, ÷òî mα + n − β < ε .

5*. Äîêàæèòå, ÷òî äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà 2γ ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé êîìáèíàöèè öèôð.

§2. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè Âîçüìåì ëèñò êëåò÷àòîé áóìàãè. Ïîíÿòíî, ÷òî êâàäðàò ñ âåðøèíàìè â óçëàõ òàêîé ðåøåòêè ìîæíî íàðèñîâàòü ìíîãèìè ñïîñîáàìè (ðèñ.5,à). À ìîæíî ëè íà êëåò÷à-

ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈÊÈ

#

Ñïðàøèâàåòñÿ, à êàê îáñòîÿò äåëà ñ îñòàëüíûìè ïðàâèëüíûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè? Ñóùåñòâóåò ëè, íàïðèìåð, ðåøåòêà, íà êîòîðóþ ìîæíî áûëî áû «ïîìåñòèòü» ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê òàê, ÷òîáû âñå åãî âåðøèíû îêàçàëèñü óçëàìè ýòîé ðåøåòêè? Îêàçûâàåòñÿ, òàêîé ðåøåòêè íåò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì óäàëîñü ïîñòðîèòü ðåøåòêó òàê, ÷òî âåðøèíû ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà îêàçàëèñü â åå óçëàõ (ðèñ.6). Ïðîâåäåì äèàãîíàëè ýòîãî ïÿòèóãîëüíèêà. Ïî ñâîéñòâó 2° §1, òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÿâëÿþòñÿ óçëàìè ðå- Ðèñ. 6 øåòêè: êàæäàÿ èç íèõ ñëóæèò ÷åòâåðòîé âåðøèíîé ïàðàëëåëîãðàììà, òðè äðóãèå âåðøèíû êîòîðîãî óçëû ðåøåòêè (òî÷êà A1 , íàïðèìåð, ýòî âåðøèíà ïàðàëëåëîãðàììà A1CDE ). Ýòè òî÷êè îáðàçóþò ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüA1B1 íèê ñî ñòîðîíîé, â k = ðàç îòëè÷àþAB ùåéñÿ îò ñòîðîíû èñõîäíîãî ïÿòèóãîëüíèêà. Ïðîâåäÿ äèàãîíàëè íîâîãî ïÿòèóãîëüíèêà, ïîëó÷èì åùå ìåíüøèé ïÿòèóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â óçëàõ íàøåé ðåøåòêè è òàê äàëåå.  êîíöå êîíöîâ ñòîðîíà ïÿòèóãîëüíèêà ñòàíåò ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó óçëàìè ðåøåòêè, à ýòî íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîðå÷èè ñ òåì, ÷òî âåðøèíû ïîëó÷àþùèõñÿ ïÿòèóãîëüíèêîâ óçëû ðåøåòêè. Óïðàæíåíèå 7. Íàéäèòå k.

Ðèñ. 5

òîé áóìàãå íàðèñîâàòü ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê èëè ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê? Îêàçûâàåòñÿ, íåëüçÿ. Óïðàæíåíèå 6. Äîêàæèòå ýòî.

 òî æå âðåìÿ ëåãêî ïîñòðîèòü ðåøåòêó, íà êîòîðóþ ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê èëè ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê óæå ìîæíî «ïîìåñòèòü» (ðèñ.5,á).

Èòàê, ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê íå ìîæåò áûòü «íàðèñîâàí» íè íà îäíîé ðåøåòêå. Äîêàæåì, ÷òî òî÷íî òàê æå îáñòîèò äåëî è ñ îñòàëüíûìè ïðàâèëüíûìè q-óãîëüíèêàìè ïðè q ≥ 7 . Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâûâàåòñÿ íà òîé æå èäåå: ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðàâèëüíûé q-óãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â óçëàõ ðåøåòêè ñóùåñòâóåò, è ñòðîèòñÿ ìåíüøèé q-óãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â óçëàõ. Çàòåì ïðîöåññ

$

ÊÂÀÍT 2017/¹4

ïîñòðîåíèÿ ïîâòîðÿåòñÿ.  êîíöå êîíöîâ ïîëó÷àåòñÿ ïðàâèëüíûé q-óãîëüíèê ñî ñòîðîíîé, ìåíüøåé ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó óçëàìè. Ïîýòîìó íàì íóæíî òîëüêî óêàçàòü, êàê ïî äàííîìó ïðàâèëüíîìó q-óãîëüíèêó ñ âåðøèíàìè â óçëàõ ðåøåòêè ïîñòðîèòü ìåíüøèé ïðàâèëüíûé q-óãîëüíèê, âåðøèíû êîòîðîãî áóäóò òàêæå íàõîäèòüñÿ â óçëàõ íàøåé ðåøåòêè. Ïóñòü A1, A2,…, Aq óçëû íåêîòîðîé ðåøåòêè, ÿâëÿþùèåñÿ âåðøèíàìè ïðàâèëüíîãî q-óãîëüíèêà, è ïóñòü Ì ïðîèçâîëüíûé óçåë ðåøåòêè (ðèñ.7). Îòëîæèì îò

Óïðàæíåíèÿ 8. Íàéäèòå kq .

9. Ñóùåñòâóþò ëè ðåøåòêè, êðîìå öåëî÷èñëåííîé, íà êîòîðûå ìîæíî ïîìåñòèòü êâàäðàò?

10. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ðåøåòêè, îòëè÷íîé îò èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 5,á, íà êîòîðóþ ìîæíî ïîìåñòèòü ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê.

11. Ñóùåñòâóåò ëè ðåøåòêà, íà êîòîðóþ ïîìåùàþòñÿ è êâàäðàò, è ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê?

12 (Í.Âàñèëüåâ). Íà ïëîñêîñòè ïðîâåäåíû ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà («òåòðàäü â ëèíåéêó»). Êàêèå ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè ìîæíî íàðèñîâàòü íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òîáû âñå èõ âåðøèíû ëåæàëè èà ïðîâåäåííûõ ïðÿìûõ?

§3. Èððàöèîíàëüíîñòü çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé

Ðèñ. 7

òî÷êè Ì îòðåçêè MA1′ , MA2′ , MA3′ , ..., MAq′ , ðàâíûå, ïàðàëëåëüíûå è òàê æå íàïðàâëåííûå, êàê ñòîðîíû Aq A1 , A1 A2 , A2 A3 , , Aq −1 Aq íàøåãî ìíîãîóãîëüíèêà. Òî÷êè A1′ , A2′ , A3′ , ..., Aq′ óçëû ðåøåòêè, òàê êàê êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ÷åòâåðòîé âåðøèíîé ïàðàëëåëîãðàììà, òðè äðóãèå âåðøèíû êîòîðîãî çàâåäîìî óçëû. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìíîãîóãîëüíèê A1′ A2′ … Aq′ ïðàâèëüíûé, ïðè÷åì äëèíà AA åãî ñòîðîíû â kq = 1 2 ðàç áîëüøå äëèOA1 íû ñòîðîíû èñõîäíîãî q-óãîëüíèêà. Òåì ñàìûì, âîïðîñ î ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ, «ïîìåùàþùèõñÿ» íà òî÷å÷íûõ ðåøåòêàõ, ïîëíîñòüþ ðåøåí: òàêèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî êâàäðàòû, ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè è ïðàâèëüíûå øåñòèóãîëüíèêè.

Ñìîæåòå ëè âû îòâåòèòü íà òàêîé âîïðîñ: ðàöèîíàëüíû èëè èððàöèîíàëüíû 7 π ÷èñëà sin1° , cos , tg π ? Èëè íà 55 19 1 òàêîé: ñîèçìåðèìû1 ëè ÷èñëà π è arctg ?

3 p È âîîáùå: äëÿ êàêèõ óãëîâ α = π (ð è q q öåëûå) áóäóò ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëà: a) cos α ; á) sin α ; â) tg α ? ßñíî, ÷òî cos α ðàöèîíàëåí ïðè kπ π α= è α = (3k ± 1) , 2 3 π kπ è α = (6k ± 1) , sin α ïðè α = 6 2 π tg α ïðè α = kπ è α = ± + kπ , 4 ãäå k öåëîå. Ìû óâèäèì, ÷òî ïðè îñòàëüp íûõ α = π çíà÷åíèÿ âñåõ òðåõ ôóíêöèé q èððàöèîíàëüíû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå ôàêòû èç òðèãîíîìåòðèè.

1. Äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî ï ôóíêöèÿ cos nx ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ï-é ñòåïåíè 1 Íàïîìíèì, ÷òî äâà ÷èñëà α è β íàçûâàþòñÿ ñîèçìåðèìûìè, åñëè èõ îòíîøåíèå ðàöèî-

α

p

íàëüíî, ò.å. åñëè = , ãäå ð è q öåëûå ÷èñëà β q è q > 0.

ÐÅØÅÒÊÈ

È

ÏÐÀÂÈËÜÍÛÅ

îò cos x ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, ò.å. cos nx = Pn (cos x ) , ãäå Pn ( y ) ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåíè n.

2. Ôóíêöèÿ sin nx ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ôóíêöèè sin x íà íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n 1, îòíîñèòåëüíî cos x , ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, ò.å. sin nx = sin x ◊ Qn -1 (cos x ) , ãäå Qn -1 ( y ) ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåíè n 1.

ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈÊÈ

%

π m1 = ðàöèîq n1 íàëüíîå ÷èñëî ( m1 è n1 íàòóðàëüíûå). Ââåäåì íà ïëîñêîñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò è ïðîâåäåì ëó÷è, îáðàçóþùèå ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè õ óãëû π 2π 2q - 1 0, , , , π. q q q

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî cos

Ïóñòü A0 , A1, A2,…, A2q -1 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ëó÷åé ñ åäèíè÷íîé îêðóæíîñòüþ (ðèñ.8). Ìíîãîóãîëüíèê A0 , A1, A2,…, A2q -1

Óïðàæíåíèå 13. Äîêàæèòå ýòè óòâåðæäåíèÿ.

Îòìåòèì ïðîñòûå ñëåäñòâèÿ ïðèâåäåííûõ óòâåðæäåíèé: à) åñëè cos x ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òî cos nx òîæå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, à ÷èñëà sin x è sin nx ñîèçìåðèìû (ïðè sin nx π 0 ); á) åñëè ð è q âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà è p cos π ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òî ÷èñëî q π cos òàêæå ðàöèîíàëüíî. q Äîêàæåì ñëåäñòâèå á) (ñëåäñòâèå à) î÷åâèäíî). Çàìåòèì, ÷òî åñëè ð è q > 1 âçàèìíî ïðîñòû, òî ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k, ÷òî ÷èñëî kp ïðè äåëåíèè íà q äàåò â îñòàòêå 1, ò.å. kp = lq + 1. Óïðàæíåíèå 14. Äîêàæèòå ýòî. p Ïîýòîìó åñëè ÷èñëî cos π ðàöèîíàëüíî, òî q ðàöèîíàëüíî è ÷èñëî p   lq + 1  π l π  = ( −1) cos . cos k  π  = cos  q q q     π Åñëè æå ðàöèîíàëüíî ÷èñëî cos , òî ðàöèq p îíàëüíî è cos π ïðè ëþáîì öåëîì ð (ñì. q óòâåðæäåíèå 1).

p π ïðè âçàèìíî ïðîq ñòûõ ð è q > 1 ðàöèîíàëüíî òîãäà è π òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàöèîíàëåí cos . q π Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî cos èððàöèîíàq ëåí ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ q > 3.

Èòàê, ÷èñëî cos

Ðèñ. 8

ïðàâèëüíûé; òî÷êà Ak èìååò êîîðäèíàòû Ê k k ˆ π ÁË cos q π,sin q π˜¯ . Òàê êàê cos q ðàöèîíàëåí, òî àáñöèññà òî÷êè Ak ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå: Ê πˆ m k cos π = pk Á cos ˜ = k ; q Ë q ¯ nk îðäèíàòà æå åå ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ðàöèÊ πˆ r îíàëüíîãî ÷èñëà Qk Á cos ˜ = k íà ÷èñëî Ë q ¯ sk π sin (ñì. óïðàæíåíèÿ 13 è 14; k = 1, 2,... q ..., 2q 1; êîîðäèíàòû òî÷êè A0 = (1, 0) ). Òàêèì îáðàçîì, Êm r πˆ Ak = Á k , k ◊ sin ˜ . q¯ Ë nk sk mk rk , ê îáùåìó Ïðèâåäåì âñå äðîáè sk nk çíàìåíàòåëþ; îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç D. Òîãäà ÊM N πˆ Ak = Á k , k ◊ sin ˜ , Ë D D q¯

&

ÊÂÀÍT 2017/¹4

ãäå Mk è Nk öåëûå, k = 1, 2,..., 2q 1. Ðàññìîòðèì òåïåðü âñå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè Ê i j πˆ ÁË D , D ◊ sin q ˜¯ (i è j öåëûå) ýòè òî÷êè îáðàçóþò ðåøåòêó (ñì. óïðàæíåíèå 2), ïðè÷åì âåðøèíû íàøåãî ïðàâèëüíîãî 2q-óãîëüíèêà A0 A1 … A2q -1 ÿâëÿþòñÿ åå óçëàìè. Íî ýòîãî íå ìîæåò áûòü (ñì. §2), òàê êàê 2q ≥ 8 . Ïîýòîìó íàøå ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî π ïðè q > 3 ÷èñëî cos ðàöèîíàëüíî, áûëî q íåâåðíûì, è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå ÷èñëà p cos π (q > 3, ð è q âçàèìíî ïðîñòû) q èððàöèîíàëüíû! Óïðàæíåíèå 15. Ïóñòü q ≥ 3 , ð è q âçàèìíî ïðîñòû. Äîêàæèòå, ÷òî: p à) ÷èñëà sin π äëÿ q ≠ 6 èððàöèîíàëüíû; q p á) òî æå äëÿ ÷èñåë tg π , åñëè q ≠ 4 . q

Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ñôîðìóp ëèðîâàòü åùå è òàê: ÷èñëà arcsin , q 1 p p ïðè π 0 , ± , ±1 , à òàêæå arccos 2 q q p p ÷èñëà arctg ïðè π 0 , ±1 (è âçàèìíî q q ïðîñòûõ ð è q) íåñîèçìåðèìû ñ ÷èñëîì π . §4. Ðåøåíèå çàäà÷è Ì252 Ðàñìîòðèì çàäà÷ó Ì252: à) Íà ïëîñêîñòè ëåæèò ïðàâèëüíûé âîñüìèóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé à. Åãî ðàçðåøàåòñÿ «ïåðåêàòûâàòü» ïî ïëîñêîñòè, ïåðåâîðà÷èâàÿ (ñèììåòðè÷íî îòðàæàÿ) îòíîñèòåëüíî ëþáîé ñòîðîíû. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè À ïëîñêîñòè è ëþáîãî ε > 0 ìîæíî «ïåðåêàòèòü» âîñüìèóãîëüíèê â òàêîå ïîëîæåíèå, ÷òî öåíòð åãî áóäåò íàõîäèòüñÿ îò òî÷êè À íà ðàññòîÿíèè ìåíüøå ε . á) Ðåøèòå àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó äëÿ ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà. â) Äëÿ êàêèõ ïðàâèëüíûõ q-óãîëüíèêîâ âåðíî àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå? Ìû ïðèâåäåì äâà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Ïåðâîå ðåøåíèå îïèðàåòñÿ íà èððàöèî-

2π ïðè q > 4, q π 6 . q Âòîðîå îñíîâûâàåòñÿ íà òåîðåìå, äîêàçàííîé â §1. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå çàäà÷è íå ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà è øåñòèóãîëüíèêà, à òàêæå è äëÿ êâàäðàòà: â ýòèõ ñëó÷àÿõ òî÷êè, â êîòîðûå ïîïàäàåò öåíòð ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîãîóãîëüíèêà â ðåçóëüòàòå «ïåðåêàòûâàíèé», îáðàçóþò ðåøåòêó (äîêàæèòå ýòî!). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ïðàâèëüíûõ q-óãîëüíèêîâ óòâåðæäåíèå çàäà÷è âåðíî ìû äîêàæåì, ÷òî, êàêîâû áû íè áûëè òî÷êà À è ε > 0 , öåíòð ëþáîãî ïðàâèëüíîãî q-óãîëüíèêà ïðè q π 3 , q π 4 , q π 6 ïîñëå íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà «ïåðåêàòûâàíèé» ïîïàäàåò â êðóã ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â òî÷êå À. Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïàòü ê äîêàçàòåëüñòâó, âûÿñíèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà Ì òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, â êîòîðûå ïåðåõîäèò öåíòð ïðàâèëüíîãî q-ãîëüíèêà Ð ïîñëå ÷åòíîãî ÷èñëà «ïåðåêàòûâàíèé». Çàìåòèì, ÷òî q-óãîëüíèê P¢ , ïîëó÷àþùèéñÿ èç Ð ïîñëå ÷åòíîãî ÷èñëà «ïåðåêàòûâàíèé», ðàñïîëîæåí òàêèì îáðàçîì, ÷òî åãî ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì èñõîäíîãî. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî P¢ ïîëó÷åí èç Ð ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì. Ëåììà 1. Åñëè òðè âåðøèíû ïàðàëëåëîãðàììà À,  è Ñ ïðèíàäëåæàò Ì, òî è ÷åòâåðòàÿ åãî âåðøèíà D òàêæå ïðèíàäëåæèò Ì.

íàëüíîñòü ÷èñåë cos

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü òî÷êè A,  è Ñ ïàðàëëåëîãðàììà ïðèíàäëåæàò Ì (ðèñ.9) è D ÷åòâåðòàÿ âåðøèíà ïàðàëëåëîãðàììà. ßñíî, ÷òî ìû ìîæåì ïðîéòè èç òî÷êè Ñ â òî÷êó D, îñóùåñòâëÿÿ òå æå Ðèñ. 9 ïàðàëëåëüíûå ïåðåíîñû, ÷òî è ïðè ïåðåõîäå èç òî÷êè  â òî÷êó À.

Ëåììà 2. Ìíîæåñòâî Ì ïåðåõîäèò â 2π ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå íà óãîë âîêðóã q ëþáîé èç åãî òî÷åê.

ÐÅØÅÒÊÈ

È

ÏÐÀÂÈËÜÍÛÅ

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì öåïî÷êó q-óãîëüíèêîâ, ïðèìûêàþùèõ äðóã ê äðóãó ïî ñòîðîíå è «ñîåäèíÿþùèõ» íàø q-óãîëüíèê ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå Î ñ q-óãîëüíèêîì ñ öåíòðîì â ëþáîé äðóãîé òî÷êå À ìíîæåñòâà Ì (ðèñ.10).

óâåëè÷èâàþòñÿ èëè óìåíüøàþòñÿ íà 2. Ïðè «ïåðåêàòûâàíèè» âäîëü áèññåêòðèñû ïåðâîãî êîîðäèíàòíîãî óãëà êîîðäèíàòû òî÷åê ëèáî óâåëè÷èâàþòñÿ, ëèáî óìåíüøàþòñÿ íà 2 . Åñëè ñäåëàòü n øàãîâ âäîëü ýòîé áèññåêòðèñû âïðàâî è ââåðõ, çàòåì m øàãîâ âäîëü îñè õ âëåâî è m øàãîâ âäîëü îñè ó âíèç, òî ìû ïîïàäåì â òî÷êó N ñ

(

Ðèñ. 10

2π âîêðóã òî÷êè Î ýòà q öåïî÷êà ìíîãîóãîëüíèêîâ ïåðåõîäèò â äðóãóþ öåïî÷êó, ñîåäèíÿþùóþ èñõîäíûé ìíîãîóãîëüíèê ñ ìíîãîóãîëüíèêîì, öåíòðîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ òî÷êà A′ , ïîëó÷åííàÿ èç À ïîâîðîòîì. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà A′ òàêæå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Ì. Ïðè ïîâîðîòå íà óãîë

Ïåðåéäåì íåïîñðåäñòâåííî ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Ïåðâîå ðåøåíèå. Ðàçáåðåì ñíà÷àëà ñëó÷àé ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî àïîôåìà ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíà 1. Ââåäåì íà ïëîñêîñòè ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 11, è ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ êîîðäèíàòàìè öåíòðîâ ïðè «ïåðåêàòûâàíèè» ÷åðåç ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà Ð. Ïðè «ïåðåêàòûâàíèè» âäîëü îñè õ îðäèíàòû öåíòðîâ íå ìåíÿþòñÿ, à àáñöèññû

Ðèñ. 11

'

ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈÊÈ

)

êîîðäèíàòàìè n 2 - 2m, n 2 - 2m . Òàê êàê 2 ÷èñëî èððàöèîíàëüíîå, òî (ñì. §1) íàéäóòñÿ òàêèå íàòóðàëüíûå m è n, ÷òî ε 0 < n 2 - 2m < , 4 ãäå ε ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Îòìåòèì, ÷òî ìû ìîæåì òàêæå ïðèéòè â òî÷êó N¢ , ïîëó÷àþùóþñÿ èç N ïîâîðîòîì íà óãîë 45∞ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, è â òî÷êó N¢¢ , ïîëó÷àþùóþñÿ èç N ïîâîðîòîì íà óãîë 45∞ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Äîñòðîèì òðåóãîëüíèê ON ¢N ¢¢ äî êâàäðàòà ON ¢N ¢¢N ¢¢¢ è ðàññìîòðèì ðåøåòêó, èì ïîðîæäàåìóþ. Òàê êàê ñòîðîíû è äèàãîíàëè ýòîãî êâàäðàòà ìåíüøå ε , òî âî âñÿêîì êðóãå L ðàäèóñà ε îêàæåòñÿ õîòÿ áû îäèí óçåë ðåøåòêè. Íî ïî ëåììå 1 âñå óçëû ýòîé ðåøåòêè ìîæíî ïîëó÷èòü «ïåðåêàòûâàíèÿìè» èç öåíòðà âîñüìèóãîëüíèêà. Òåì ñàìûì, ïðî âîñüìèóãîëüíèê âñå äîêàçàíî. Äëÿ îñòàëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ (êîíå÷íî, ïðàâèëüíûõ) äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî òîé æå ñõåìå. Âòîðîå ðåøåíèå. Ýòî ðåøåíèå íåñêîëüêî êîðî÷å ïåðâîãî è, ïîæàëóé, íàãëÿäíåå, íî îíî èñïîëüçóåò òðóäíóþ òåîðåìó èç §1. Êàê ìû âèäåëè, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî â ìíîæåñòâå Ì íàéäóòñÿ ñêîëü óãîäíî áëèçêèå òî÷êè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê, ò.å. ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ìíîæåñòâà Ì áîëüøå íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà d.  ñèëó òåîðåìû èç §1 è ëåìì 1 è 2, ìíîæåñòâî Ì ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé, êîòîðàÿ, ê òîìó æå, ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå 2π íà óãîë . Èç ýòîãî íåìåäëåííî ñëåäóåò, q ÷òî ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíûé q-óãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â åå óçëàõ, à ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè q = 3, q = 4 èëè q = 6. Ðåøåíèå çàêîí÷åíî.

Òåíè ñâåðêàþùåãî ñíåãà Â.ÏÒÓØÅÍÊÎ

Ä

ÂÀ ÌÅÑßÖÀ ÍÀÇÀÄ ÌÍÅ ÄÎÂÅËÎÑÜ

îïóáëèêîâàòü ôîòîãðàôèè îäíîãî íåîáû÷íîãî ïðèðîäíîãî ÿâëåíèÿ ñíåæíûõ òåíåé («Íàóêà è æèçíü», 2017, ¹2), êîòîðûå íåîæèäàííî âûçâàëè áîëüøîé èíòåðåñ êàê çíàêîìûõ, òàê è íåçíàêîìûõ ìíå ëþäåé. Íàïðèìåð, íà îäíîì èç «íàó÷íûõ ôîðóìîâ» â èíòåðíåòå ðàçãîðåëàñü áóðíàÿ äèñêóññèÿ î ïðèðîäå ÿâëåíèÿ, î ÷åì ÿ óçíàë îò ó÷àñòíèêîâ ôîðóìà, ðàçûñêàâøèõ ìåíÿ äëÿ óòî÷íåíèÿ äåòàëåé ïîãîäíûõ óñëîâèé, ìåñòà è âðåìåíè íàáëþäåíèÿ. Ìíå ïîêàçàëîñü, ÷òî áûëî áû ïîëåçíî ðàññìîòðåòü õîòÿ áû íåêîòîðûå èç ãèïîòåç, âûñêàçàííûõ èíòåðåñóþùèìñÿ íàóêîé ñîîáùåñòâîì. Ïîëåçíî êàê äëÿ ïîíèìàíèÿ ñàìîãî ÿâëåíèÿ, îêàçàâøåãîñÿ ñòîëü óâëåêàòåëüíûì, òàê è â êà÷åñòâå íåêîòîðîãî ïðèìåðà «çàòðàâêè» äëÿ áóäóùèõ èññëåäîâàíèé, êîòîðûå îòâàæàòñÿ ïðîâåñòè ÷èòàòåëè, íå óäîâëåòâîðåííûå ëèøü îáìåíîì ìíåíèÿìè è ãîòîâûå ïîòðàòèòü ñîá-

ñòâåííîå âðåìÿ â ïîèñêàõ íàó÷íîé èñòèíû.  êà÷åñòâå èñòî÷íèêîâ íåîáõîäèìûõ äëÿ ðàñ÷åòîâ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí áóäóò èñïîëüçîâàíû ëèøü äîñòóïíûå â èíòåðíåòå èçäàíèÿ, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, íàñêîëüêî íå òðåáóþùèì êàêîãî-ëèáî ïîäâèãà ÿâëÿåòñÿ ïðåäëàãàåìûé çäåñü àíàëèç. Ìíîãèå âàðèàöèè ïðåäëîæåííûõ ó÷àñòíèêàìè îáñóæäåíèÿ ìåõàíèçìîâ ôîðìèðîâàíèÿ «îòïå÷àòêà» íà ñíåãó (ñì. ïðèâåäåííûå â ñòàòüå è íà ÷åòâåðòîé ñòðàíèöå îáëîæêè ôîòîãðàôèè) ìîæíî ñâåñòè ê ÷åòûðåì îñíîâíûì ãèïîòåçàì.

1) Êàðòèíà íà ñíåãó ýòî çàïå÷àòëåííàÿ íàñòîÿùàÿ òåíü: íåîæèäàííî âûãëÿíóâøåå ñîëíöå ðàñòîïèëî (íàãðåëî) ñíåã íà âñåé ïîâåðõíîñòè ïîëÿ, êðîìå òåõ ó÷àñòêîâ, íà êîòîðûå ïàäàëà òåíü. Ïîñëå ýòîãî íà÷àëàñü ïîçåìêà, è ñíåæèíêè ïðèëèïàëè ê áîëåå òåïëîìó ñíåãó íà ïîëå, íî íå ïðèëèïàëè ê õîëîäíîìó ñíåãó â òåíè.

2) Âòîðàÿ ãèïîòåçà òàêæå ðàññìàòðèâàåò

ÒÅÍÈ

ÑÂÅÐÊÀÞÙÅÃÎ

íåðàâíîìåðíûé ïðîãðåâ ïîâåðõíîñòè ñíåãà ñîëíöåì, íî ïðåäïîëàãàåò èíîé ìåõàíèçì âèçóàëèçàöèè âîçíèêàþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóð: íà ñîëíöå ñíåã ñïåêñÿ, îáðàçîâàâ ëåäÿíóþ êîðî÷êó, è â äàëüíåéøåì åå âûâåòðèâàíèå ïðîèñõîäèëî ìåäëåííåå, ÷åì íå ñïåêøèõñÿ ó÷àñòêîâ â òåíè.

3) Òðåòüÿ ãèïîòåçà òîæå âèäèò ïðè÷èíó â íåðàâíîìåðíîì íàãðåâå ïîâåðõíîñòè ñíåãà, íî â ìîìåíò ñíåãîïàäà: ñ äâóõ ñòîðîí îò çàòåíåííîé ïîâåðõíîñòè, íà ãðàíèöå áîëåå òåïëîãî è áîëåå õîëîäíîãî ñíåãà, âîçíèêàþò âîñõîäÿùèå êîíâåêòèâíûå ïîòîêè âîçäóõà, êîòîðûå íå äàþò ñíåæèíêàì îïóñòèòüñÿ â îáëàñòü òåíè.

4) Íàêîíåö, ÷åòâåðòàÿ ãèïîòåçà ïðèïèñûâàåò îáðàçîâàíèå ýòîé êàðòèíû îòðàæåíèþ ñîëíå÷íîãî ñâåòà îò âåòîê è ñòâîëîâ (êàê ñîëíå÷íûé çàé÷èê, êîòîðûé, óïàâ íà ñíåã, ðàñòàïëèâàåò åãî) èëè æå òåïëîâîìó èçëó÷åíèþ íàãðåòûõ ñîëíöåì ñòâîëîâ è âåòîê. Ïåðâûå òðè ãèïîòåçû ïðåäïîëàãàþò ìåõàíèçìû, êîòîðûå âêëþ÷àþò îäèí îáùèé ýëåìåíò: íåðàâíîìåðíûé íàãðåâ ïîâåðõíîñòè ñíåãà. Âîò åãî, ýòîò íàãðåâ, ìû è ïîïûòàåìñÿ îöåíèòü. Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå äàííûå, êîòîðûå ëåãêî íàéòè â ôèçè÷åñêèõ ñïðàâî÷íèêàõ: èíòåíñèâíîñòü ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè áåç ó÷åòà îñëàáëåíèÿ àòìîñôåðîé (òàê íàçûâàåìàÿ ñîëíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ), ñòåïåíü îñëàáëåíèÿ èçëó÷åíèÿ â àòìîñôåðå, ñêëîíåíèå ñîëíöà, àëüáåäî ñíåãà (äîëÿ îòðàæåííîãî èì ñâåòà), à òàêæå íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè òåïëîîáìåíà äëÿ ñíåãà, î êîòîðûõ ìû ñêàæåì íèæå. Îöåíèì ýíåðãèþ Å ñîëíå÷íîãî ñâåòà, ïàäàþùóþ íà åäèíèöó ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè çåìëè â åäèíèöó âðåìåíè â áåçîáëà÷íûé äåíü â êîíöå ôåâðàëÿ íà øèðîòå Ìîñêâû (âðåìÿ è ìåñòî, êîãäà è ãäå íàáëþäàëîñü ýòî ÿâëåíèå; ðèñ.1): E = E0 aàòì sin h , ãäå E0 = 1367 Âò ì2 ñîë-

ÑÍÅÃÀ

Ðèñ. 1

íå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ, h óãëîâàÿ âûñîòà ñîëíöà íàä ãîðèçîíòîì, aàòì ñòåïåíü îñëàáëåíèÿ ñîëíå÷íîãî ñâåòà ïðè ïðîõîæäåíèè â àòìîñôåðå, çàâèñÿùàÿ îò h. Íàèáîëüøàÿ âûñîòà, à ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå E íàáëþäàåòñÿ â ïîëäåíü, êîãäà h = 90° − ϕ + δ , ãäå ϕ øèðîòà ìåñòà, δ ñêëîíåíèå ñîëíöà. Øèðîòà Ìîñêâû ϕ = 56° , ñêëîíåíèå ñîëíöà â ìîìåíò íàáëþäåíèÿ δ ≈ −8° [1], ò.å. h ≈ 26° , è ïðè ýòîé âûñîòå αàòì ≈ 0,5 [2]. Òàêèì îáðàçîì, E ≈ ≈ 300 Âò ì2 . Ïðèíÿâ àëüáåäî ñíåãà ðàâíûì 0,9 [3], ïîëó÷èì, ÷òî 1 ì2 çà 1 ñ ïîãëîùàåò îêîëî 30 Âò ñîëíå÷íîé ýíåðãèè. Ýòà ýíåðãèÿ ìîæåò ïðèâîäèòü ê íàãðåâó ñíåæíîãî ïîêðîâà, êîòîðûé îò÷àñòè êîìïåíñèðóåòñÿ åå îòòîêîì îò ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ñíåãà çà ñ÷åò òåïëîîáìåíà ñ íèæíèìè ñëîÿìè è ñ âîçäóõîì. Êàêóþ ÷àñòü ýíåðãèè ñïîñîáåí îòâåñòè âîçäóõ? Òåïëîïåðåäà÷à íà ãðàíèöå ñðåä

ÊÂÀÍT 2017/¹4

Ðèñ. 2

(â äàííîì ñëó÷àå íà ãðàíèöå ñíåã âîçäóõ; ðèñ.2,à) â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóð äâóõ ñðåä: q = α∆T (çàêîí Íüþòîíà Ðèõìàíà), ãäå q ýíåðãèÿ, ïåðåäàâàåìàÿ îò îäíîé ñðåäû ê äðóãîé çà åäèíèöó âðåìåíè ñ åäèíèöû ïëîùàäè, à α òàê íàçûâàåìûé êîýôôèöèåíò òåïëîîòäà÷è. Íàì ïðèäåòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèçèòåëüíûìè îöåíêàìè ýòîé âåëè÷èíû, â êà÷åñòâå êîòîðûõ äëÿ âîçäóõà ÷àñòî ïðèâîäÿò äèàïàçîí îò 5 äî 35 Âò ì2 ⋅ Ê ïðè óñëîâèè òàê íàçûâàåìîé ñâîáîäíîé êîíâåêöèè âîçäóõà ò.å., ãðóáî ãîâîðÿ, áåç âåòðà. Êàêîâà æå ñïîñîáíîñòü âîçäóõà ïî òåïëîîòâîäó ïðè âûíóæäåííîé êîíâåêöèè, êàæäûé ñàì ìîæåò îöåíèòü, ãëÿíóâ íà ñâîé êîìïüþòåð, â êîòîðîì âîçäóøíîå îõëàæäåíèå ïðè ñóììàðíîé âûäåëÿåìîé òåïëîâîé ìîùíîñòè ïîðÿäêà 0,5 êÂò ñ îáùåé ïëîùàäè (äàæå ïðè âñåâîçìîæíûõ ðàäèàòîðàõ) ïîðÿäêà âñåãî ëèøü íåñêîëüêèõ ñîòûõ äîëåé êâàäðàòíîãî ìåòðà ñïîñîáíî ïîääåðæèâàòü ðàçíîñòü òåìïåðàòóð íå áîëåå íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ ãðàäóñîâ. Ëåãêî îöåíèòü, ÷òî êîýôôèöèåíò òåïëîîòäà÷è äîëæåí äîñòèãàòü â ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èí ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîòåí âàòò íà êâàäðàòíûé ìåòð è íà êåëüâèí. Êàê ìû âèäèì, äàæå â îòñóòñòâèå âåòðà âåëè÷èíà α äîñòàòî÷íà, ÷òîáû ïîääåðæèâàòü ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ìåæäó âîçäóõîì è ïîâåðõíîñòüþ íàãðåâàåìîãî ñîëíöåì ñíåãà â ïðåäåëàõ

(

∆T =

)

q 30 Âò ì2 = ≈ α (5 − 35 ) Âò ì2 ⋅ Ê

(

)

≈ (6 − 0,9 ) Ê .

À ïðè íàëè÷èè âåòðà ýòà âåëè÷èíà îêàæåòñÿ åùå íèæå êàê ìèíèìóì, ìåíüøå îäíîãî ãðàäóñà! Ïîïûòàåìñÿ òåïåðü îöåíèòü, ÷òî ìîæåò äàòü òåïëîîáìåí ìåæäó ðàçíûìè ñëîÿìè ñíåãà. Ñ îäíîé ñòîðîíû, òåïëî áûñòðî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà íåáîëüøèå ðàññòîÿíèÿ, ò.å. íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì â îòâîäå òåïëà áóäåò ñàìûé áëèçêèé ê ïîâåðõíîñòè òîíêèé ñëîé ñíåãà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òîíêèé ñëîé è ïðîãðååòñÿ áûñòðåå. Âûáåðåì ïîêà ÷òî íàóãàä òîëùèíó âåðõíåãî ñëîÿ ñíåãà ðàâíîé l = 2 ñì. Åñëè åãî íèæíÿÿ ïîâåðõíîñòü ïîääåðæèâàåòñÿ ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå, à âåðõíÿÿ íàãðåâàåòñÿ ñîëíöåì, òî äî êàêîé òåìïåðàòóðû òåïëîîòâîä â ýòîì ñëîå ïîçâîëèò ïðîãðåòüñÿ âåðõíåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ.2,á)? Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ñ ãëóáèíîé â ýòîì òîíêîì ñëîå ëèíåéíîå è ÷òî çàêîí òåïëîïðîâîäíîñòè (çàêîí Ôóðüå) ìîæíî ïðèìåíèòü â äîñòóïíîé øêîëüíèêó àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå: ∆T q=κ , l ãäå κ òåïëîïðîâîäíîñòü ñíåãà, à ∆T ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ìåæäó âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèöàìè ñëîÿ. Ïðèìåì κ ≈ ≈ 1 Âò (ì ⋅ Ê ) [4], òîãäà òåïëîîòâîä ïîçâîëèò ïîääåðæèâàòü òåìïåðàòóðó âåðõíåé ãðàíèöû â ïðåäåëàõ ïðàêòè÷åñêè ïîëîâèíû ãðàäóñà (òî÷íåå, 0,6 Ê): ∆T =

ql 30 Âò ì2 ⋅ 0,02 ì ≈ = 0,6 Ê . κ 1 Âò (ì ⋅ Ê )

Ïîìåøàòü ýòîìó òåïëîîòâîäó ìîæåò òîëüêî òî, ÷òî ñàì ñëîé ïîñòåïåííî ðàçîãðååòñÿ.  òàêîì ñëó÷àå ïîòðåáóåòñÿ îòâîä òåïëà îò íåãî åùå íèæå, ò.å. íà áóëüøèå ðàññòîÿíèÿ, ÷òî ïîòðåáóåò è áîëüøåãî âðåìåíè, èíûìè ñëîâàìè, áóäåò óæå íå ñòîëü ýôôåêòèâíî. Ñëîé òîëùèíîé 2 ñì èìååò ìàññó îêîëî 10 êã íà êàæäûé êâàäðàòíûé ìåòð (ìû ïðèíÿëè ïëîòíîñòü ñíåãà ðàâíîé 500 êã ì 3 ; åñëè æå ïëîòíîñòü áîëüøå, òî ýòî òîëüêî óñèëèò íàøè âûâîäû), åãî òåïëîåìêîñòü ïîðÿäêà 10 ⋅ 2100 Äæ Ê = = 21 êÄæ Ê [4], è íà ðàçîãðåâ åãî íà òå æå

ÒÅÍÈ

ÑÂÅÐÊÀÞÙÅÃÎ

0,6 ãðàäóñà ñîëíå÷íûì ñâåòîì ïîòðåáóåòñÿ âðåìÿ 0,6 Ê ⋅ 21 êÄæ Ê = 420 ñ = 7 ìèí .

30 Âò Èòàê, èñõîäÿ èç ýòîé ãðóáîé îöåíêè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äàæå è áåç ïîìîùè âîçäóõà, îäèí ëèøü òåïëîîòâîä ïîãëîùåííîé ñîëíå÷íîé ýíåðãèè ñïîñîáåí ïîääåðæèâàòü òåìïåðàòóðó ïîâåðõíîñòè ñíåãà â ïðåäåëàõ ïðèìåðíî ïîëîâèíû ãðàäóñà â òå÷åíèå ïåðâûõ íåñêîëüêèõ ìèíóò. Òåïåðü ìû ãîòîâû ê òîìó, ÷òîáû ïåðåéòè ê àíàëèçó ñàìîãî ÿâëåíèÿ. Íàøà ãèïîòåçà (à â ýòîé ÷àñòè è âñå òðè ïåðâûå ãèïîòåçû ó÷àñòíèêîâ ôîðóìà) ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: ñîëíöå íàãðåëî âåñü ñíåã, êðîìå òåõ ó÷àñòêîâ, íà êîòîðûå ïàäàëà òåíü. Íî âåäü ñîëíöå äâèæåòñÿ ïî íåáó, à âìåñòå ñ íèì è òåíü íå îñòàåòñÿ íà ìåñòå. Çíà÷èò, íóæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â ïàñìóðíûé äåíü íà êîðîòêîå âðåìÿ âûãëÿíóëî ñîëíöå, îïëàâèëî ñíåã íà ïîëÿõ, ñíîâà ñêðûëîñü è áîëüøå íå ïîÿâëÿëîñü (èíà÷å âîçíèêëè áû è äðóãèå òåíè). Ñ ìåòåîðîëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íè÷åãî íåâåðîÿòíîãî â ýòîì íåò. Îöåíèì òîëüêî, íà êàêîå âðåìÿ äîëæíî áûëî ïîÿâèòüñÿ ñîëíöå ñêâîçü ïðîðåõè â îáëàêàõ. Îáðàòèìñÿ ê ñàìîé ïåðâîé ôîòîãðàôèè. Ïî ìåðå äâèæåíèÿ ñîëíöà òåíü äîëæíà «çàìåòàòü» ñåêòîð êðóãà (êîíå÷íî, íå â òî÷íîñòè êðóãà, ïîñêîëüêó èçìåíÿåòñÿ åùå è âûñîòà ñîëíöà íàä ãîðèçîíòîì, íî ýòè äåòàëè äëÿ íàñ ñåé÷àñ íå âàæíû).  òî æå âðåìÿ ìû âèäèì íà ôîòîãðàôèè äîñòàòî÷íî óâåðåííóþ ïàðàëëåëüíóþ ïðîåêöèþ ïàëêè. Íà êàêîé óãîë äîëæíî áûëî ñìåñòèòüñÿ ñîëíöå, ÷òîáû ìû íå ñìîãëè çàìåòèòü îòëè÷èå ñåêòîðà êðóãà îò ïàðàëëåëüíîé ïðîåêöèè?  êà÷åñòâå òàêîãî êðèòåðèÿ «ðàçðåøåíèÿ òåíåé» ìîæíî ïðåäëîæèòü ñìåùåíèå òåíè íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åå øèðèíå. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè áû òåíü îò ïàëêè ïðè äâèæåíèè ñîëíöà ïåðåìåñòèëàñü áîëåå ÷åì íà øèðèíó ñàìîé òåíè îò ïàëêè, òî ìû áû ýòî íàâåðíÿêà çàìåòèëè (ñêîðåå âñåãî, ìû çàìåòèëè áû äàæå è ìåíåå çíà÷èòåëüíîå ñìåùåíèå, íî âûáåðåì áîëåå íàäåæíûé êðèòåðèé íàì åãî áóäåò äîñòàòî÷íî). Òîëùèíà òåíè ñîñòàâëÿåò îêîëî 2 ñì, åå äëèíà îêîëî 1 ì. Ýòî t=

ÑÍÅÃÀ

!

ñîîòâåòñòâóåò óãëîâîìó ñìåùåíèþ, ðàâíîìó 2 ñì 100 ñì = 0,02 ðàä ≈ 1,15° . Òàêîå ðàññòîÿíèå ïî íåáó ñîëíöå ïðîõîäèò çà âðåìÿ îò 4,6 ìèí (â ïîëäåíü) äî 5,5 ìèí (âáëèçè øåñòè ÷àñîâ óòðà è âå÷åðà). Èíûìè ñëîâàìè, ó ñîëíöà åñòü ïÿòü ìèíóò íà òî, ÷òîáû ïîäòîïèòü ñíåã íà ïîëÿõ, ïîñëå ÷åãî îíî ñíîâà äîëæíî ñêðûòüñÿ. Îäíàêî ñîëíå÷íûé ñâåò ýòî íå ëàçåð èç ôàíòàñòè÷åñêîãî áîåâèêà è íå èçëó÷åíèå îò àòîìíîãî âçðûâà, êîòîðîå âûæèãàåò âñå íà ñâîåì ïóòè. Ïÿòè ìèíóò ñîëíöó (ïî êðàéíåé ìåðå, â íàøèõ øèðîòàõ çèìîé) íåäîñòàòî÷íî äàæå íà òî, ÷òîáû ïðîãðåòü ïîâåðõíîñòü ñíåãà õîòÿ áû íà ïîëãðàäóñà. Êîíå÷íî, ó êàæäîé èç ïåðå÷èñëåííûõ âûøå òðåõ ãèïîòåç åùå îñòàåòñÿ øàíñ «âûæèòü», åñëè ïðåäïîëîæèòü èñêëþ÷èòåëüíî âûñîêóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü «ñâîåãî» ìåõàíèçìà äàæå ê ìèíèìàëüíîé ðàçíèöå òåìïåðàòóð è, ê òîìó æå, âîçìîæíîñòü «ñðàáîòàòü» äîñòàòî÷íî áûñòðî (âåäü ïîñëå èñ÷åçíîâåíèÿ ñîëíöà çà îáëàêàìè âñå îáñóæäàâøèåñÿ íàìè ìåõàíèçìû òåïëîîáìåíà áóäóò íàñòîëüêî æå áûñòðî îõëàæäàòü ïîâåðõíîñòü, âûðàâíèâàÿ âñå íåîäíîðîäíîñòè òåìïåðàòóðû).  ïðèíöèïå, èñêëþ÷èòü ýòîãî íåëüçÿ Äëÿ ÷åòâåðòîé ãèïîòåçû, ïðè íàëè÷èè íåêîòîðîãî ôèçè÷åñêîãî îïûòà, åå íåïðàâäîïîäîáíîñòü ìîæåò îêàçàòüñÿ î÷åâèäíîé ñ ïåðâîãî âçãëÿäà. Îäíàêî öåëü ýòîé ñòàòüè êàê ðàç ïîìî÷ü â ïðèîáðåòåíèè òàêîãî îïûòà. Ê ñîæàëåíèþ, îãðàíè÷åííûé îáúåì ñòàòüè íå ïîçâîëÿåò ðàññìîòðåòü ýòó ãèïîòåçó ïîäðîáíî. Ïîýòîìó ñäåëàåì òîëüêî íåñêîëüêî îáùèõ óêàçàíèé äëÿ òåõ, êòî ïîæåëàåò ïîòðåíèðîâàòüñÿ è íåêîòîðûé ôèçè÷åñêèé îïûò ïðèîáðåñòè. Äâà ãëàâíûõ âîïðîñà, êîòîðûå íàäî áóäåò ðàññìîòðåòü, ýòî íàïðàâëåííîñòü òåïëîâîãî (èëè îòðàæåííîãî) èçëó÷åíèÿ è åãî îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü. Èíòåíñèâíîñòü ìîæíî áóäåò îöåíèòü ñ ïîìîùüþ çàêîíà Ñòåôàíà Áîëüöìàíà, à íàïðàâëåííîñòü ñ ó÷åòîì çàêîíà Ëàìáåðòà (äëÿ îòðàæåííîãî èçëó÷åíèÿ òàêæå íàäî áóäåò ðàññìîòðåòü ïðåäåëüíûå âîçìîæíîñòè çåðêàëüíîãî è äèôôóçíîãî îòðàæåíèÿ). ×òîáû âû ìîãëè ñåáÿ ïðîâåðèòü, ñðàçó ñêàæåì îòâåò: ìîùíîñòü òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ ñòåáëÿ (åãî

"

ÊÂÀÍT 2017/¹4

îñâåùåííîé ïîëîâèíêè) íå áóäåò ïðåâûøàòü 5 Âò, ÷òî äàñò îêîëî 0,4 Âò ì2 â îáëàñòè êîí÷èêà òåíè ò.å. íåñðàâíåííî íèæå, ÷åì èíòåíñèâíîñòü ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ! ×òî æå êàñàåòñÿ íàïðàâëåííîñòè, òî åå áóäåò íåäîñòàòî÷íî íå òîëüêî äëÿ ñîçäàíèÿ óçêîé òåíè ñ ÷åòêèìè êîíöàìè, íî è âîîáùå äëÿ ñêîëüêî-íèáóäü ñòðóêòóðèðîâàííîãî èçîáðàæåíèÿ.  çàâåðøåíèå âûñêàæó è îäíó «ïîçèòèâíóþ» èäåþ ÷åì, íà ìîé âçãëÿä, âñå-òàêè ìîæíî áûëî áû îáúÿñíèòü íàáëþäàåìîå ÿâëåíèå. Ìíå ñàìîìó íàèáîëåå âåðîÿòíîé êàæåòñÿ òàêàÿ ïðîñòàÿ ãèïîòåçà: íàáëþäàåìûå «òåíè» ýòî èìåííî òåíè îò ñíåãîïàäà.  ðóññêîì ÿçûêå óòâåðäèëîñü ñëîâîñî÷åòàíèå «êîñîé äîæäü» (íàïðèìåð, ó Ìàÿêîâñêîãî: «Ïî ðîäíîé ñòðàíå ïðîéäó ñòîðîíîé, êàê ïðîõîäèò êîñîé äîæäü»), à âîò ïîíÿòèÿ «êîñîé ñíåã» èëè «êîñîé ñíåãîïàä», ïîæàëóé, íå âñòðå÷àþòñÿ. Òåì íå ìåíåå, ìíå êàæåòñÿ, ýòî ìîæåò áûòü ñëåä èìåííî îò òàêîãî ñíåãîïàäà. Êàê ìîæíî áûëî áû ïîäòâåðäèòü èëè îïðîâåðãíóòü ýòó ãèïîòåçó? Çäåñü ìîæíî äâèãàòüñÿ ñ äâóõ ñòîðîí, «âñòðå÷íûìè ïóòÿìè». Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ äîêàçàòü, ÷òî òàêîå äâèæåíèå ìåëêèõ ÷àñòèö ñíåæèíîê â âîçäóõå (ò.å. ïðÿìîëèíåéíîå, èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, ëåæàùåå â îäíîé âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè) íåâîçìîæíî íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ. À ìîæíî, íàîáîðîò, ïîïûòàòüñÿ ïðîäåìîíñòðèðîâàòü òàêîå äâèæåíèå õîòÿ áû îäíèì ïðèìåðîì. Ïðè ýòîì çàäà÷à ðàñïàäåòñÿ íà äâå ÷àñòè. Ïåðâàÿ ÷àñòü, óñëîâíî íàçîâåì åå «ôèçè÷åñêîé», ïîêàçàòü, ÷òî ïðè íåêîòîðîì íàáîðå ôèçè÷åñêèõ óñëîâèé (ñêîðîñòü âåòðà, ðàçìåð ÷àñòèö, òåìïåðàòóðà è ò.ï.) òàêîå äâèæåíèå âîçìîæíî. È íå ìåíåå âàæíàÿ âòîðàÿ ÷àñòü, «ìåòåîðîëîãè÷åñêàÿ», ïîêàçàòü, ÷òî òàêèå ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû â ïðèíöèïå ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ â ïðèðîäå âî âðåìÿ ñíåãîïàäà. Ðàçóìååòñÿ, ýòè ïóòè íå çàìåíÿþùèå, à äîïîëíÿþùèå äðóã äðóãà, è íà êàêîì èç íèõ æäåò óäà÷à, çàâèñèò íå îò íàñ, à îò äåéñòâèòåëüíîé ïðèðîäû ÿâëåíèÿ. Îäíàêî ïåðâûé èç ýòèõ äâóõ ïóòåé òðåáóåò âûéòè äàëåêî çà ïðåäåëû «øêîëüíîé» ôèçèêè, â òî âðåìÿ êàê âòîðîé ïóòü, êàê ìíå êàæåòñÿ,

ìîæåò îêàçàòüñÿ íå òîëüêî ïîñèëüíîé, íî è âåñüìà óâëåêàòåëüíîé çàäà÷åé äàæå äëÿ øêîëüíèêà. Ïîýòîìó äëÿ òåõ, êîìó ýòî âäðóã ïîêàæåòñÿ èíòåðåñíûì, ÿ äàì íåñêîëüêî ñîâåòîâ, êàê ìîæíî áûëî áû ïðîâåñòè òàêóþ ðàáîòó è êàêèå ïðîáëåìû ïðè ýòîì ïðèäåòñÿ ðåøàòü. Ïðåæäå âñåãî, íàäî ïîíèìàòü, ÷òî â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ äîìàøíåé ëàáîðàòîðèè ïðèäåòñÿ ðàáîòàòü, ñêîðåå âñåãî, íå â òî÷íîñòè ñ òîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìîé, êîòîðàÿ íàñ èíòåðåñóåò, à ñ íåêîòîðîé åå ìîäåëüþ, ò.å. ñ ÷åì-òî, ÷òî áûëî áû íàèáîëüøèì îáðàçîì ïîõîæå íà íåå ïî îñíîâíûì ïàðàìåòðàì. Òàê, åäâà ëè âàì óäàñòñÿ ðàçäîáûòü ñíåæíóþ ïóøêó. Íî äàæå åñëè âû è ñòàíåòå åå ñ÷àñòëèâûì îáëàäàòåëåì, òî âðÿä ëè ñìîæåòå â äîñòàòî÷íî øèðîêèõ ïðåäåëàõ âàðüèðîâàòü ñîçäàâàåìóþ åþ ñêîðîñòü âåòðà è ðàçìåð ÷àñòèö. À çíà÷èò, âàì ïðèäåòñÿ ðàáîòàòü ñ êàêèìè-òî äðóãèìè ÷àñòèöàìè, âçâåøåííûìè â âîçäóõå.  äîìàøíèõ óñëîâèÿõ ïðîùå âñåãî ýêñïåðèìåíòèðîâàòü ñ êàïåëüêàìè âîäû èõ ïîòîêè ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ è óâëàæíèòåëÿ âîçäóõà, è ïóëüâåðèçàòîðà, è, â êðàéíåì ñëó÷àå, êèïÿùåãî ÷àéíèêà. Ïóëüâåðèçàòîð äàñò áîëåå êðóïíûå êàïëè, ÷åì óâëàæíèòåëü, ïðè÷åì ïî-ðàçíîìó íàñòðîåííûå ïóëüâåðèçàòîðû äàäóò ðàçíûå ðàçìåðû êàïåëü, ò.å. â íåêîòîðûõ ïðåäåëàõ ìîæíî áóäåò ïîäîáðàòü íåîáõîäèìûé. «Ìîäåëüíîñòü» ýêñïåðèìåíòà áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ íå òîëüêî â äðóãîì ìàòåðèàëå ÷àñòèö, íî è â ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàçìåðàõ ñèñòåìû: ðàçìåðû êóñòîâ, äåðåâüåâ è èõ òåíåé, ïîêàçàííûõ íà ôîòîãðàôèÿõ, ÿâíî ïðåâîñõîäÿò ðàçìåð åñëè íå êâàðòèðû, òî äîïóñòèìîãî äëÿ ýêñïåðèìåíòà ðàáî÷åãî ìåñòà. Íàäî áóäåò ðàáîòàòü ñ óìåíüøåííûìè ìîäåëÿìè è íóæíî áóäåò âûáðàòü ïðàâèëüíûé ðàçìåð. Îò ñëèøêîì ìåëêèõ ôèãóðîê ñ èñïîëüçîâàíèåì îòíîñèòåëüíî êðóïíûõ êàïåëü íå óäàñòñÿ ïîëó÷èòü ÷åòêèå òåíè. À áîëüøèå ôèãóðêè ïîòðåáóþò îäíîðîäíîñòè ñîçäàâàåìîãî âàìè ïîòîêà íà áîëüøåé ïëîùàäè è áîëüøåì ðàññòîÿíèè. Òàê ÷òî íóæíî áóäåò íàéòè êîìïðîìèññíûé ðàçìåð. Êñòàòè, âñå ïåðå÷èñëåííûå èñòî÷íèêè «ëåòÿùåãî òóìàíà» äàþò âîâñå íå ïàðàëëåëüíûé ïîòîê, à ðàñõîäÿùèéñÿ èç

ÒÅÍÈ

ÑÂÅÐÊÀÞÙÅÃÎ

ìàëåíüêîé îáëàñòè. Èíûìè ñëîâàìè, ïîëó÷èòñÿ ÷òî-òî âðîäå òåíè îò ôîíàðÿ, ê êîòîðîìó âû ñòîèòå ñëèøêîì áëèçêî. Åñëè îòîäâèíóòü èñòî÷íèê ïîòîêà ïîäàëüøå îò îáúåêòà, äàþùåãî «òåíü», òî ïîòîê ñòàíåò áîëåå ïîõîæ íà ïàðàëëåëüíûé, íî ïðè ýòîì ñëîæíåå áóäåò ñîõðàíèòü íåèçìåííîé ñêîðîñòü ïîòîêà íà âñåì åãî ïóòè äî ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðîé îáðàçóåòñÿ «òåíü». Òàê ÷òî òóò òîæå ïðèäåòñÿ èñêàòü êîìïðîìèññíîå ðåøåíèå. ×åòêîñòü òåíè áóäåò çàâèñåòü íå òîëüêî îò ðàçìåðîâ êàïåëü, íî è îò ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðóþ îíè ïàäàþò. Åñëè ïîâåðõíîñòü õîðîøî ñìà÷èâàåòñÿ âîäîé, òî èçîáðàæåíèå áûñòðî «ðàñòå÷åòñÿ» ïî íåé. Åñëè æå îíà äîñòàòî÷íî ãèäðîôîáíà, òî êàïëè äîëüøå ñìîãóò ñîõðàíèòüñÿ íà ñâîèõ ìåñòàõ íî òîæå íå ñëèøêîì äîëãî, ïîêà íå ñòàíóò äîñòàòî÷íî êðóïíûìè. Çíà÷èò, ïðàâèëüíûé âûáîð âðåìåíè ýêñïîçèöèè çäåñü òîæå áóäåò èãðàòü ðîëü. Îò ýòèõ ñëîæíîñòåé ìîæíî áûëî áû óéòè, âûáðàâ âìåñòî êàïåëü êàêèå-íèáóäü òâåðäûå ÷àñòèöû íàïðèìåð, ìàííóþ êðóïó èëè ìóêó, íî òîãäà ïðèäåòñÿ ïðèäóìàòü, êàê ñîçäàòü èõ ïîòîê. Íàêîíåö, îòäåëüíóþ çàäà÷ó ïðåäñòàâëÿåò âèçóàëèçàöèÿ ïîëó÷åííîé «òåíè». Êîãäà ÷àñòèöû ñóõèå, òî «òåíü» ïðîÿâëÿåòñÿ â èçìåíåíèè ðåëüåôà ïîâåðõíîñòè, êîòîðûé õîðîøî çàìåòåí ïðè áîêîâîì îñâåùåíèè. Ñ âîäîé æå ïðèäåòñÿ ñìîòðåòü íà êîëè÷åñòâî êàïåëåê íà ðàçíûõ ó÷àñòêàõ ïîâåðõíîñòè (îíè ìîãóò îêàçàòüñÿ è íà ó÷àñòêàõ òåíè, òîëüêî â ìåíüøèõ êîëè÷åñòâàõ). Ïðîçðà÷íûå áåñöâåòíûå êàïåëüêè âîäû íå íà ëþáîé ïîâåðõíîñòè õîðîøî çàìåòíû. È åñëè äàæå ãðàíèöà ìåæäó «òåíåâûìè» è «çàñâå÷åííûìè» ó÷àñòêàìè áóäåò õîðîøî ðàçëè÷èìà ãëàçîì (íàïðèìåð, çà ñ÷åò ñìåíû óãëà çðåíèÿ), òî ñäåëàòü åå çàìåòíîé íà ôîòîãðàôèè ìîæåò ïîòðåáîâàòü îñîáîãî èñêóññòâà. Äëÿ ëó÷øåé ðàçëè÷èìîñòè êàïåëü íà ïîâåðõíîñòè ìîæíî ïîïðîáîâàòü ïîäêðàñèòü âîäó êðàñêîé. Òàê èëè èíà÷å, ìåñòà äëÿ òâîð÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîèñêà çäåñü îñòàåòñÿ ìíîãî. Ìîãó òîëüêî ñêàçàòü, ÷òî ìíå óäàëîñü ïîëó÷èòü äîâîëüíî ÷åòêèå òåíè îò îòäåëüíûõ «âåòîê» ìîäåëüíûõ ìèíè-

ÑÍÅÃÀ

#

äåðåâüåâ, îäíàêî ïîëíîå âîñïðîèçâåäåíèå êàðòèíû òðåáóåò åùå áîëüøîé ýêñïåðèìåíòàëüíîé ðàáîòû, òùàòåëüíîãî ïîäáîðà ïàðàìåòðîâ, à â êîíöå åùå è îöåíêè, êàê äîëæíû áóäóò èçìåíèòüñÿ ýòè ïàðàìåòðû ïðè èçìåíåíèè ãåîìåòðè÷åñêîãî ìàñøòàáà ñèñòåìû (ïðè ïåðåõîäå ê ðåàëüíûì ðàçìåðàì). Êîíå÷íî, âñå ïðèâåäåííûå íàìè îöåíêè î÷åíü ïðèáëèçèòåëüíû, èõ ìîæíî êðèòèêîâàòü, óòî÷íÿòü, ïðåäëàãàòü àëüòåðíàòèâíûå âàðèàíòû ðàññìîòðåíèÿ. Îäíàêî èìåííî ñ ýòîé ïðåäìåòíîé êðèòèêè, à òî÷íåå ñ ýòèõ ïåðâûõ îöåíîê, äàþùèõ äëÿ íåå ïèùó, è íà÷èíàåòñÿ íàó÷íîå èññëåäîâàíèå. Íà÷àòü õîòÿ áû ñ íèõ âñå ðàâíî ÷òî ïîçäîðîâàòüñÿ, âõîäÿ â äîì. Êîíå÷íî, äàæå òàêîé ïðîñòîé àíàëèç ýòî âñåãäà íåêîòîðûé òðóä. Îäíàêî åñëè âàñ èíòåðåñóåò ôèçèêà, òî íå æàëåéòå ñâîåãî âðåìåíè! Èíà÷å ýòîò èíòåðåñ íå ïåðåðàñòåò â ñðåäñòâî ïîçíàíèÿ ìèðà, à îñòàíåòñÿ ëèøü ñðåäñòâîì óâåñåëåíèÿ. Ïîæåëàåì æå òåðïåíèÿ è óñïåõîâ þíûì ÷èòàòåëÿì â èõ áóäóùèõ ñîáñòâåííûõ ôèçè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ! Ëèòåðàòóðà 1. Í.Ï.Êàìåíüùèêîâ. Àñòðîíîìè÷åñêèå çàäà÷è. Ì.-Ë.: Ãîñèçäàò, 1923. Ðåæèì äîñòóïà: http://www.astronet.ru db/ msg/1175422/index.html 2. À.À.Ïîëîâèíêèí. Îñíîâû îáùåãî çåìëåâåäåíèÿ: ó÷åáíèê äëÿ ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ. Ãîñóäàðñòâåííîå ó÷åáíî-ïåäàãîãè÷åñêîå èçäàòåëüñòâî Ìèíèñòåðñòâà ïðîñâåùåíèÿ ÐÑÔÑÐ, 1958. Ðåæèì äîñòóïà: http:/ /big-archive.ru/ geography/basis_of_common_geography/20.php 3. S.G., Warren, W.J.Wiscombe. A model for the spectral albedo of snow. II: Snow containing atmospheric aerosols. Journal of the Atmospheric Sciences, 37:12, 1980. Ðåæèì äîñòóïà: http://journals.ametsoc. org/doi/pdf/10.1175/1520-0469(1980)037% 3C2734:AMFTSA%3E2.0.CO;2 4. È.À.×óáèê, À.Ì.Ìàñëîâ. Ñïðàâî÷íèê ïî òåïëîôèçè÷åñêèì õàðàêòåðèñòèêàì ïèùåâûõ ïðîäóêòîâ è ïîëóôàáðèêàòîâ. Ì.: Ïèùåâàÿ ïðîìûøëåííîñòü, 1970. Ðåæèì äîñòóïà: http://thermalinfo.ru/ svojstva-materialov/materialy-raznye/plotnostlda-i-snega-teploprovodnost-teploemkost-lda

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»

Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå

Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì: math@kvant.ras.ru è phys@kvant.ras.ru ñîîòâåòñòâåííî èëè ïî ïî÷òîâîìó àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ïðèñûëàéòå ïî òåì æå àäðåñàì. Çàäà÷è Ì2458 Ì2461 ïðåäëàãàëèñü íà XXXVIII Òóðíèðå ãîðîäîâ. Àâòîð çàäà÷ Ô2465 Ô2468 Ä.Àëåêñàíäðîâ.

Çàäà÷è Ì2458 Ì2461, Ô2465 Ô2468 M2458. à) Íà êàæäîé ñòîðîíå 10-óãîëüíèêà (íå îáÿçàòåëüíî âûïóêëîãî) êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîèëè îêðóæíîñòü. Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî âñå ýòè îêðóæíîñòè èìåþò îáùóþ òî÷êó, íå ñîâïàäàþùóþ íè ñ îäíîé âåðøèíîé 10-óãîëüíèêà? á) Ðåøèòå òó æå çàäà÷ó äëÿ 11-óãîëüíèêà. Å.Áàêàåâ M2459. Äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1, … …, xn äîêàæèòå íåðàâåíñòâî 4

4

4

Ê x2 ˆ Ê x1 ˆ Ê xn ˆ ÁË x ˜¯ + ÁË x ˜¯ + … + ÁË x ˜¯ ≥ 2 3 1 ≥

x x1 x2 x x x + + … + n - 3 + n - 2 + n -1 + n . x5 x6 x1 x2 x3 x4

Ì.Ôàäèí M2460. Êóçíå÷èê óìååò ïðûãàòü ïî êëåò÷àòîé ïîëîñêå øèðèíîé â 1 êëåòêó íà 8, 9 èëè 10 êëåòîê â ëþáóþ ñòîðîíó. (Ïðûæîê íà k êëåòîê îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäó íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì ïîëîæåíèÿìè ïðûæêà íàõîäÿòñÿ k 1 êëåòîê.) Áóäåì íàçûâàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî n ïðîïðûãèâàåìûì, åñëè êóçíå÷èê ìîæåò, íà÷àâ ñ íåêîòîðîé êëåòêè, îáîéòè ïîëîñêó äëèíû n, ïîáûâàâ íà êàæäîé êëåòêå ðîâíî îäèí ðàç. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïðîïðûãèâàåìîå n, áîëüøåå 50. Å.Áàêàåâ

M2461. Äîìèíîøêè 1 ¥ 2 êëàäóò áåç íàëîæåíèé íà øàõìàòíóþ äîñêó 8 ¥ 8 . Ïðè ýòîì äîìèíîøêè ìîãóò âûëåçàòü çà ãðàíèöó äîñêè, íî öåíòð êàæäîé äîìèíîøêè äîëæåí ëåæàòü ñòðîãî âíóòðè äîñêè (íå íà ãðàíèöå). Ïîëîæèòå òàêèì îáðàçîì íà äîñêó: à) õîòÿ áû 40 äîìèíîøåê; á) õîòÿ áû 41 äîìèíîøêó; â) áîëåå 41 äîìèíîøêè. Ì.Åâäîêèìîâ Ô2465. Êîò Ëåîïîëüä ñèäåë íà íåïîäâèæíîé äðåçèíå ó âåðòèêàëüíî ñòîÿùåãî æåñòêî çàêðåïëåííîãî íà íåé ùèòà, ïîâåðíóòîãî ïîä óãëîì α ê íàïðàâëåíèþ ðåëüñîâ. Äâà îçîðíûõ ìûøîíêà áðîñèëè â íåãî ìåøîê ñ ïåñêîì ìàññîé m, ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íà÷àëüíîé ñêîðîñòè êîòîðîãî ðàâíà v0 è íàïðàâëåíà âäîëü ðåëüñîâ. Êîò óñïåë ñïðÿòàòüñÿ çà ùèò, è ìåøîê, óäàðèâøèñü î ùèò, ñïîëç ïî íåìó â ñòîðîíó è ñêàòèëñÿ ïî íàñûïè âíèç. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïîåõàëà äðåçèíà, åñëè ìàññà äðåçèíû ñ êîòîì Ì? Òðåíèåì ìåøêà î ùèò è äðåçèíû î ðåëüñû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ô2466.  ñèñòåìå, ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå 1, m1 = m , m2 = 5m , M = 6m. Íàéäèòå óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé Ì, åñëè ìåæäó îñòàëüíûìè ãðóçàìè è ñòîëîì èìååòñÿ òðåíèå ñ êîýôôèöèåíòîì µ = 0,5 . Ïðèíÿòü g = 10 ì ñ2 , ìàññîé áëîêîâ è òðåíèåì â èõ îñÿõ ïðåíåáðå÷ü.

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

Ðèñ. 1

Ô2467. Ïðè ïîäâåäåíèè òåïëîòû êîëè÷åñòâà Q = 600 Äæ ê ñìåñè ãåëèÿ è àçîòà ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå ñìåñü íàãðåâàåòñÿ íà ∆T1 = 15 Ê. À åñëè òî æå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ïîäâåñòè ê òîìó æå êîëè÷åñòâó òîé æå ñìåñè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, òî òåìïåðàòóðà ñìåñè ïîâûñèòñÿ íà ∆T2 = = 10 Ê. Íàéäèòå îòíîøåíèå ÷èñëà ìîëåêóë àçîòà ê ÷èñëó ìîëåêóë ãåëèÿ â ñìåñè. Ô2468.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 2, âñå ýëåìåíòû ìîæíî

Ðèñ. 2

ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè.  íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à òåïëîâûå ìîùíîñòè, âûäåëÿþùèåñÿ íà ðåçèñòîðàõ ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè R è 2R, ðàâíû P1 = 9 Âò è P2 = 2 Âò ñîîòâåòñòâåííî. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ â ýòîò ìîìåíò ðàñòåò ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà? Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2446 Ì2449, Ô2453 Ô2456 M2446. à) Äåñÿòè ðåáÿòàì ïîëîæèëè â òàðåëêè ïî 100 ìàêàðîíèí. Åñòü ðåáÿòà íå õîòåëè è ñòàëè èãðàòü. Îäíèì äåéñòâèåì êòî-òî èç äåòåé ïåðåêëàäûâàåò èç ñâîåé òàðåëêè ïî îäíîé ìàêàðîíèíå âñåì äðóãèì äåòÿì. Ïîñëå êàêîãî íàèìåíüøåãî êîëè÷åñòâà äåéñòâèé ó âñåõ â òàðåëêàõ ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàçíîå êîëè÷åñòâî ìàêàðîíèí? á) Òîò æå âîïðîñ, åñëè ðåáÿò 100 è îäíèì äåéñòâèåì êòî-òî èç äåòåé ïåðåêëàäûâàåò èç ñâîåé òàðåëêè ïî îäíîé ìàêàðîíèíå íåêîòîðûì (êîìó õî÷åò) èç îñòàëüíûõ.

«ÊÂÀÍÒÀ»

%

à) Îòâåò. Ïîñëå 45 äåéñòâèé. Îöåíêà. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ÷èñëà ìàêàðîíèí ó äâóõ äåòåé, ñêàæåì èç ÷èñëà Ïåòè âû÷èòàåòñÿ ÷èñëî Âàñè. Äåéñòâèå Ïåòè óìåíüøèò ýòó ðàçíîñòü íà 10, Âàñè óâåëè÷èò íà 10, à äåéñòâèÿ äðóãèõ äåòåé íå ìåíÿþò åå. Ïîýòîìó ýòà ðàçíîñòü áóäåò íåíóëåâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Ïåòÿ è Âàñÿ ñäåëàþò ðàçíîå êîëè÷åñòâî äåéñòâèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû ó âñåõ äåòåé îêàçàëîñü ðàçíîå êîëè÷åñòâî ìàêàðîíèí, íåîáõîäèìî ñäåëàòü õîòÿ áû 0 + + 1 + 2 + + 9 = 45 äåéñòâèé. Ïðèìåð. Ïåðâûé ñäåëàåò îäíî äåéñòâèå, çàòåì âòîðîé 2, òðåòèé 3 è ò.ä. äî äåâÿòîãî âêëþ÷èòåëüíî. Êàæäûé îòäàë íå áîëåå 9 ◊ 9 = 81 ìàêàðîíèíû, åãî èñõîäíûõ 100 ìàêàðîíèí íà ýòî õâàòèëî. á) Îòâåò. Ïîñëå 50 äåéñòâèé. Ïðèìåð. Ïîêàæåì, êàê êîëè÷åñòâà ìàêàðîíèí ìîãëè ñòàòü ðàçëè÷íûìè ïîñëå 50 äåéñòâèé. Çàíóìåðóåì äåòåé îò 1 äî 100. Ïóñòü k-é ðåáåíîê, ãäå 1 £ k £ 50 , ïåðåëîæèò ïî ìàêàðîíèíå ðåáÿòàì ñ íîìåðàìè îò 51 äî 50 + k. Ïîñëå âñåõ äåéñòâèé ó äåòåé îêàæåòñÿ 99, 98, , 50, 150, 149, , 101 ìàêàðîíèíà ñîîòâåòñòâåííî. Îöåíêà. Ïðåäïîëîæèì, áûëî ñäåëàíî íå áîëåå 49 äåéñòâèé. Ðàññìîòðèì âñåõ äåòåé, íå îòäàâàâøèõ ìàêàðîíû, òàêèõ äåòåé íå ìåíüøå 51. Ó êàæäîãî èç íèõ êîëè÷åñòâî ìàêàðîíèí íå óìåíüøèëîñü ïî ñðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì, à óâåëè÷èòüñÿ îíî ìîãëî íå áîëåå ÷åì íà 49. Çíà÷èò, ó êàæäîãî èç òàêèõ äåòåé êîíå÷íîå êîëè÷åñòâî ìàêàðîíèí çàêëþ÷åíî â äèàïàçîíå îò 100 äî 149 (50 âîçìîæíîñòåé), ïîýòîìó èç íèõ íàéäóòñÿ äâîå ñ îäèíàêîâûì êîëè÷åñòâîì ìàêàðîíèí. Ñ.Äîðè÷åíêî, Í.×åðíÿòüåâ M2447. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñì. â ñòàòüå À.Çàñëàâñêîãî «Î âïèñàííîé îêðóæíîñòè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà».

M2448. Íà ïðÿìîé îòìå÷åíû 100 òî÷åê, è åùå îäíà òî÷êà îòìå÷åíà âíå ïðÿìîé. Ðàññìîòðèì âñå òðåóãîëüíèêè ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî èç íèõ ìîãóò áûòü ðàâíîáåäðåííûìè?

&

ÊÂÀÍT 2017/¹4

Îòâåò. 150. Ïóñòü l äàííàÿ ïðÿìàÿ, O îòìå÷åííàÿ òî÷êà âíå åå, H îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç O íà l. Îöåíêà. Ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè ìîãóò áûòü äâóõ âèäîâ: òå, ó êîòîðûõ îñíîâàíèå ëåæèò íà ïðÿìîé l, è òå, ó êîòîðûõ íå ëåæèò.  ïåðâîì ñëó÷àå òðåóãîëüíèê äîëæåí áûòü ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî OH, ïîýòîìó òàêèõ òðåóãîëüíèêîâ íå áîëüøå 50 (äëÿ îäíîé âåðøèíû X îñíîâàíèÿ âòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî êàê ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå X îòíîñèòåëüíî OH). Òðåóãîëüíèêîâ âòîðîãî âèäà ñ äàííûì îñíîâàíèåì OA ìîæåò áûòü íå áîëåå îäíîãî, òàê êàê âåðøèíà îïðåäåëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì l è ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê OA. Ïîýòîìó òðåóãîëüíèêîâ âòîðîãî âèäà íå áîëüøå 100. Ïðèìåð. Ïðîâåäåì îò ëó÷à OH ëó÷è ïîä óãëîì 18∞ (ñì. ðèñóíîê). Îíè ïåðåñåêóò l

â òî÷êàõ A1 è B1 , îòìåòèì èõ. Îòëîæèì íà l â äðóãóþ ñòîðîíó îò A1B1 îòðåçîê A1 A2 = A1O , òîãäà ó òðåóãîëüíèêà OB1 A2 óãëû áóäóò ðàâíû 72∞ , 72∞ , 36∞ . Çàòåì îòëîæèì îòðåçîê A2 A3 = A2O , , îòðåçîê A49 A50 = A49O . Àíàëîãè÷íî îòìåòèì òî÷êè B2, …, B50 . Ðàâíîáåäðåííûìè áóäóò 50 òðåóãîëüíèêîâ OAi Bi , ïî 49 òðåóãîëüíèêîâ OAi Ai +1 è OBi Bi +1 , à òàêæå òðåóãîëüíèêè OA1B2 è OB1 A2 . Äðóãàÿ èäåÿ, ïðèâîäÿùàÿ ê ðåøåíèþ, âûïîëíèòü èíâåðñèþ ñ öåíòðîì O. Ïðè èíâåðñèè ïðÿìàÿ ïåðåéäåò â îêðóæíîñòü, è ìû ïîëó÷èì âïèñàííûé 101-óãîëüíèê, îäíà èç âåðøèí êîòîðîãî òî÷êà O. Åñëè X¢ è Y¢ îáðàçû ïðè èíâåðñèè òî÷åê X è Y, òî òðåóãîëüíèêè OXY è OY ¢X ¢ ïîäîáíû. Çíà÷èò, âîïðîñ çàäà÷è ïåðåôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: êàêîâî íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ ñðåäè òðåóãîëüíèêîâ âèäà OXY, ãäå X è Y âåðøèíû 101-óãîëüíèêà? Îäíèì èç îïòèìàëüíûõ ïðèìåðîâ

áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïðàâèëüíûé 101-óãîëüíèê. Å.Áàêàåâ, È.Áîãäàíîâ M2449*. Íà ïðÿìîé ñèäèò êîíå÷íîå ÷èñëî ëÿãóøåê â ðàçëè÷íûõ öåëûõ òî÷êàõ. Çà õîä ðîâíî îäíà ëÿãóøêà ïðûãàåò íà 1 âïðàâî, ïðè÷åì ëÿãóøêè ïî-ïðåæíåìó äîëæíû íàõîäèòüñÿ â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ. Ìû âû÷èñëèëè, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ëÿãóøêè ìîãóò ñäåëàòü n õîäîâ (äëÿ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ëÿãóøåê). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè áû ìû ðàçðåøèëè òåì æå ëÿãóøêàì ïðûãàòü âëåâî, çàïðåòèâ ïðûãàòü âïðàâî, òî ñïîñîáîâ ñäåëàòü n õîäîâ áûëî áû ñòîëüêî æå. Íàçîâåì øàáëîíîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç n êîìàíä «Íàëåâî» èëè «Íàïðàâî», ãäå k-ÿ êîìàíäà óêàçûâàåò, â êàêîì íàïðàâëåíèè íà k-ì õîäó äîëæíà ïðûãíóòü îäíà èç ëÿãóøåê. Äîêàæåì áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå: êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ èç äàííîé ïîçèöèè ñäåëàòü n õîäîâ (âûïîëíÿÿ êîìàíäû) òàê, ÷òîáû ëÿãóøêè íå çàïðûãèâàëè äðóã íà äðóãà, íå çàâèñèò îò øàáëîíà. (Óòâåðæäåíèå çàäà÷è òîãäà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì äëÿ øàáëîíà, ñîñòîÿùåãî èç îäíèõ êîìàíä «Íàïðàâî», è øàáëîíà, ñîñòîÿùåãî èç îäíèõ êîìàíä «Íàëåâî».) Ëåììà 1. Èçìåíåíèå ïîñëåäíåé êîìàíäû øàáëîíà íå ìåíÿåò êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîçèöèþ ïåðåä ïîñëåäíèì õîäîì. Êàæäàÿ ïîçèöèÿ ðàçáèâàåòñÿ íà ãðóïïû ïîäðÿä ñèäÿùèõ ëÿãóøåê. Êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ïîëó÷èòü èç íåå ôèíàëüíóþ ïîçèöèþ íåçàâèñèìî îò ïîñëåäíåé êîìàíäû øàáëîíà ðàâíî êîëè÷åñòâó ãðóïï, ïîñêîëüêó èç êàæäîé ãðóïïû òîëüêî îäíà ëÿãóøêà ìîæåò ïðûãíóòü âëåâî è îäíà âïðàâî. Ëåììà 2. Çàìåíà äâóõ ñîñåäíèõ êîìàíä øàáëîíà íå ìåíÿåò êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äâà øàáëîíà îòëè÷àþòñÿ òîëüêî â õîäàõ k è k + 1, òàê ÷òî â ïåðâîì øàáëîíå k-ÿ êîìàíäà «Íàëåâî» è (k + 1)-ÿ «Íàïðàâî», à âî âòîðîì øàáëîíå íàîáîðîò: k-ÿ êîìàíäà «Íàïðàâî» è (k + 1)-ÿ «Íàëåâî». Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîçèöèþ A ïåðåä k-ì õîäîì. Ïîêàæåì, êàê ñîïîñòàâèòü êàæäîìó ñïîñîáó ñäåëàòü äâà ñëåäó-

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

þùèõ ïðûæêà ïî ïåðâîìó øàáëîíó, ïðèâîäÿùåìó ê íåêîòîðîé ïîçèöèè Á, ñïîñîá ñäåëàòü äâà ñëåäóþùèõ ïðûæêà ïî âòîðîìó øàáëîíó, ïðèâîäÿùèé ê òîé æå ïîçèöèè Á. (Ýòîãî áóäåò äîñòàòî÷íî, ïîñêîëüêó äàëüíåéøàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìàíä â øàáëîíàõ îäíà è òà æå.) Ïóñòü èç ïîçèöèè À ñäåëàíû äâà ïðûæêà ðàçíûìè ëÿãóøêàìè (ñíà÷àëà Ë1 ïðûãàåò íàëåâî, ïîòîì Ë2 íàïðàâî). Ýòîìó ñïîñîáó ñîïîñòàâèì ñïîñîá, â êîòîðîì òå æå ëÿãóøêè ïðûãàþò â äðóãîì ïîðÿäêå (ñíà÷àëà Ë2 íàïðàâî, çàòåì Ë1 íàëåâî). Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî ëÿãóøêè íå çàïðûãíóò äðóã íà äðóãà è â îáîèõ âàðèàíòàõ ïîëó÷àåòñÿ îäíà è òà æå êîíå÷íàÿ ïîçèöèÿ. Ïóñòü òåïåðü èç ïîçèöèè À ñäåëàíû äâà ïðûæêà îäíîé ëÿãóøêîé ïî ïåðâîìó øàáëîíó (ñíà÷àëà íàëåâî, çàòåì íàïðàâî), òîãäà ýòà ëÿãóøêà îáÿçàíà áûòü ñàìîé ëåâîé â ñâîåé ãðóïïå ïîäðÿä ñèäÿùèõ ëÿãóøåê. Òàêîìó ñïîñîáó ñîîòâåòñòâóåò ñïîñîá ñäåëàòü äâà ïðûæêà (ñíà÷àëà íàïðàâî, çàòåì íàëåâî) ñàìîé ïðàâîé ëÿãóøêîé òîé æå ãðóïïû ëÿãóøåê. Îáà âàðèàíòà íå ìåíÿþò ïîçèöèþ. Ëåììà äîêàçàíà. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé, óêàçàííûõ â ëåììàõ, ìîæíî îò ëþáîãî øàáëîíà ïåðåéòè ê ëþáîìó äðóãîìó: îïåðàöèÿìè èç ëåììû 2 ìîæíî êàê óãîäíî ïåðåñòàâëÿòü êîìàíäû, à îïåðàöèÿìè èç ëåììû 1 ìåíÿòü ÷èñëî êîìàíä «Íàëåâî» (ïðåäâàðèòåëüíî ïåðåñòàâëÿÿ ñ ïîìîùüþ ëåììû 1 êîìàíäó, êîòîðóþ íóæíî çàìåíèòü, íà ïîñëåäíåå ìåñòî). È.Áîãäàíîâ Ô2453. Îäèí ìîëü çîëîòà íàãðåëè îò 0 Ê äî 336 Ê, ïðè ýòîì âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ çîëîòà óâåëè÷èëàñü íà 5,2 êÄæ. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå òàê íàçûâàåìîé òåìïåðàòóðû Äåáàÿ TD ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü Ñ òâåðäûõ òåë ðàñòåò ñ òåìïåðàòóðîé ïî çàêîíó C = αT 3 , à ïðè òåìïåðàòóðàõ âûøå TD äëÿ òâåðäûõ òåë ñïðàâåäëèâ çàêîí Äþëîíãà è Ïòè: C = 3R (ãäå R = = 8,31 Äæ ( ìîëü ◊ Ê ) óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ). Îöåíèòå òåìïåðàòóðó Äåáàÿ äëÿ çîëîòà.

'

«ÊÂÀÍÒÀ»

×òîáû òåïëîåìêîñòè «ñòûêîâàëèñü» ïðè òåìïåðàòóðå Äåáàÿ, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå αTD3 = 3R , îòêóäà ñëåäóåò α = 3R TD3 . Òîãäà ïðè íàãðåâå îò 0 Ê äî TD îäèí ìîëü âåùåñòâà â òâåðäîì ñîñòîÿíèè ïîëó÷èò êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q1 =

3 RTD .

4

À ïîñêîëüêó ìîëü çîëîòà íàãðåâàþò äî òåìïåðàòóðû 336 Ê, òî îí ïîëó÷èò åùå äîïîëíèòåëüíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q2 = (336 Ê − TD ) ⋅ 3R .

 èòîãå èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè îäíîãî ìîëÿ çîëîòà ñîñòàâèò 3 Q1 + Q2 = RTD + (336 Ê − TD ) ⋅ 3R = 4 = 5,2 êÄæ. Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì èñêîìóþ òåìïåðàòóðó: TD = 168 Ê . Ò.Çîëîòîâ Ô2454. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ îäèíàêîâûìè âûñîòíûìè äîìàìè ðàâíî L = = 150 ì. Ìåæäó äîìàìè íàòÿíóòû ïðîâîäà òàê, ÷òî âáëèçè ìåñò êðåïëåíèÿ îíè ñîñòàâëÿþò ñ ãîðèçîíòîì îäèíàêîâûå ìàëûå óãëû α = 5∞ . Âçîáðàâøèñü íà êðûøó, øêîëüíèê Âàñÿ ïðîâîäèò îïàñíûé ýêñïåðèìåíò. Îí óäàðÿåò ïàëêîé ïî ïðîâîäó âáëèçè ìåñòà êðåïëåíèÿ è èçìåðÿåò âðåìÿ, ÷åðåç êîòîðîå áåãóùåå ïî ïðîâîäó «âîçìóùåíèå» âîçâðàùàåòñÿ ê Âàñå ïîñëå îòðàæåíèÿ îò äðóãîãî êîíöà ïðîâîëîêè. Êàêîâ ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ Âàñè? Åñëè ìàññà ó÷àñòêà ïðîâîäà ìåæäó äâóìÿ îïîðàìè ðàâíà M, òî ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ïðîâîäà ñîñòàâëÿåò M L . Óãîë 5° âåñüìà ìàë, è åãî êîñèíóñ, ðàâíûé 0,996, áëèçîê ê åäèíèöå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîåêöèÿ ñèëû íàòÿæåíèÿ ïðîâîäà âáëèçè îïîðû, ðàâíàÿ ñèëå íàòÿæåíèÿ ïðîâîäà â ñàìîé íèæíåé òî÷êå ìåæäó äâóìÿ îïîðàìè, ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò âåëè÷èíû F ñàìîé ýòîé ñèëû. Ðàâíîâåñíîå ïîëîæåíèå ïðîâîäà ñîîòâåòñòâóåò ñèëå íàòÿæåíèÿ ïðîâîäà âáëè-

ÊÂÀÍT 2017/¹4

çè îïîð, ðàâíîé

Mg .

2 sin α Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ïî íàòÿíóòîìó ïðîâîäó îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì F=

v=

FL = M

Lg = 92,7 ì ñ .

2 sin α

(Ïðè ýòîì èçãèáíàÿ æåñòêîñòü ïðîâîäà íå ó÷èòûâàåòñÿ.) Âðåìÿ äâèæåíèÿ âîçìóùåíèÿ (âîëíû) ïî ïðîâîäó òóäà è îáðàòíî ñîñòàâèò 2L ∆t = = v

8L sin α ≈ 3,2 c . g Ý.Âàñèí

Ô2455. Ïðîâîëî÷íàÿ îáìîòêà èç 16 âèòêîâ îõâàòûâàåò äâà îäèíàêîâûõ ñåðäå÷íèêà, ñäåëàííûõ èç ìàòåðèàëà ñ áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ µ . Öåïü, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå, ïîäêëþ÷åíà ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî ñèíóñîèäàëüíîãî

= U12 − Up2 = 8 B è ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè ñîñòàâëÿåò 8 Îì. Ýòî íàïðÿæåíèå â 8 âîëüò ïðîïîðöèîíàëüíî ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ñóììàðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà â äâóõ ñåðäå÷íèêàõ è ÷èñëó âèòêîâ â êàòóøêå:  ∆Φ  Uê ∼ 2  ⋅ 16 .   ∆t max Âòîðîé âîëüòìåòð ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå 10Â, êîòîðîå ïðîïîðöèîíàëüíî òîé æå ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà è ÷èñëó âèòêîâ N ïðàâîé êàòóøêè:  ∆Φ  U2 ∼  ⋅N.   ∆t max Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé íàõîäèì ÷èñëî âèòêîâ êàòóøêè, ê êîòîðîé ïîäêëþ÷åí âîëüòìåòð V2: N = 40. Ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à ïåðâûé âîëüòìåòð íå èçìåíèò ñâîåãî ïîêàçàíèÿ è áóäåò ïîêàçûâàòü òå æå 10 Â, òàê êàê îí ïîäêëþ÷åí íåïîñðåäñòâåííî ê èñòî÷íèêó: U1¢ = U1 = 10 B .

íàïðÿæåíèÿ. Ïîêàçàíèÿ èäåàëüíûõ ïðèáîðîâ òàêîâû: U1 = U2 = 10 B , I = 1 À. Êàêîå ÷èñëî âèòêîâ èìååò êàòóøêà, ê êîòîðîé ïîäêëþ÷åí âîëüòìåòð V2 ? ×òî áóäóò ïîêàçûâàòü ïðèáîðû, åñëè çàìêíóòü êëþ÷ K? Ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäîâ êàòóøåê ìàëû. Ïîêà êëþ÷ íå çàìêíóò, ìàãíèòíûå ïîòîêè â ñåðäå÷íèêàõ òðàíñôîðìàòîðîâ îäèíàêîâû.  öåïè, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ ðåçèñòîð è àìïåðìåòð, íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå ðàâíî Up = 6 B , à íà ðåçèñòîðå è ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííîé êàòóøêå èç 16 âèòêîâ íàïðÿæåíèå ðàâíî íàïðÿæåíèþ èñòî÷íèêà U1 = 10 B . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà êàòóøêå íàïðÿæåíèå ðàâíî Uê =

Ñåðäå÷íèê ñëåâà èìååò êîðîòêîçàìêíóòûé âèòîê, è ïðè ëþáîì íå ðàâíîì íóëþ ïåðåìåííîì ìàãíèòíîì ïîòîêå â ýòîì ñåðäå÷íèêå ïî êîðîòêîçàìêíóòîìó âèòêó ïîòå÷åò áåñêîíå÷íî áîëüøîé òîê. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê â ýòîì ñåðäå÷íèêå íå ìåíÿåòñÿ, ò.å. ìàãíèòíûå ïîëÿ, ñîçäàííûå òîêîì â îáìîòêå ñ 16 âèòêàìè è â îäíîì âèòêå ñ çàìêíóòûì êëþ÷îì, êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Èíûìè ñëîâàìè, â öåïè ñ ðåçèñòîðîì è àìïåðìåòðîì «îñòàëñÿ» òîëüêî îäèí ñåðäå÷íèê ïðàâûé. Ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè ñ 16 âèòêàìè è äâóìÿ ñåðäå÷íèêàìè äî çàìûêàíèÿ êëþ÷à áûëî ðàâíî 8 Îì, à òà æå êàòóøêà, íî òîëüêî ñ îäíèì ñåðäå÷íèêîì, èìååò ñîïðîòèâëåíèå 4 Îì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî àìïåðìåòð ïîêàæåò òîê 10 B I1 = ≈ 1,4 A .

62 + 42 Îì Îáìîòêà èç øåñòíàäöàòè âèòêîâ ñîçäàåò â ñåðäå÷íèêå ñëåâà ìàãíèòíîå ïîëå, ïðîïîðöèîíàëüíîå âåëè÷èíå òîêà I1 è êîëè÷åñòâó âèòêîâ, òîãäà â îäíîì êîðîòêîçàìêíóòîì

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

âèòêå ïîòå÷åò òîê I2 = I1 ⋅ 16 ≈ 22,4 A . Íàïðÿæåíèå, êîòîðîå áóäåò ïîêàçûâàòü âòîðîé âîëüòìåòð, ïðîïîðöèîíàëüíî àìïëèòóäå òåêóùåãî ÷åðåç íåãî òîêà. Òàê êàê òîê óâåëè÷èëñÿ â I1 I ≈ 1,4 ðàçà, òî è íàïðÿæåíèå òîæå óâåëè÷èòñÿ è ñòàíåò ðàâíûì U2′ ≈ 1,4U2 ≈ 14 B . Ñ.Âàðëàìîâ Ô2456. Àñòðîôèçèêàìè îáíàðóæåíû ãàçîâûå îáëàêà, äâèæóùèåñÿ ïî ïî÷òè êðóãîâûì îðáèòàì âîêðóã öåíòðà íàøåé Ãàëàêòèêè. Òàêîé âûâîä áûë ñäåëàí íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé çà ñâå÷åíèåì ýòèõ îáëàêîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî ÷àñòîòû f â ñïåêòðàõ èçëó÷åíèÿ ìîëåêóë èëè àòîìîâ ãàçîâûõ îáëàêîâ èçìåíÿþòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ïåðèîäîì ïîðÿäêà 10 ëåò âáëèçè ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòîò f0 íåïîäâèæíûõ àòîìîâ è ìîëåêóë òàêèõ æå ãàçîâ. Ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ òàêîå ñîîòíîøåíèå: ( fmax - fmin ) f0 ª ª 10 -3 . Îöåíèòå ìàññó îáúåêòà (÷åðíîé äûðû), íàõîäÿùåãîñÿ â öåíòðå íàøåé Ãàëàêòèêè. Ñîëíå÷íàÿ ñèñòåìà ðàñïîëàãàåòñÿ âáëèçè êðàÿ íàøåé Ãàëàêòèêè, ïîýòîìó íàáëþäàåìîå äâèæåíèå ãàçîâûõ îáëàêîâ ïðîèñõîäèò â ïëîñêîñòè, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ è íàøà Çåìëÿ. Âñëåäñòâèå ýôôåêòà Äîïëåðà ÷àñòîòû âîëí, èçëó÷àåìûõ ìîëåêóëàìè èëè àòîìàìè â òå ìîìåíòû, êîãäà ñêîðîñòü v èõ îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ íàïðàâëåíà ê Çåì-

Î âïèñàííîé îêðóæíîñòè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà À.Çàñëàâñêèé

ëå èëè îò Çåìëè, îòëè÷àþòñÿ îò ÷àñòîò èçëó÷åíèÿ f0 íåïîäâèæíûõ àòîìîâ èëè ìîëåêóë â (c + v ) c èëè (c − v ) c ðàç ñîîòâåòñòâåííî. Èíûìè ñëîâàìè, âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå 2v fmax − fmin = ≈ 10−3 . c f0 Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãàçîâûå îáëàêà äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòÿìè îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ c ( fmax − fmin ) v= = 150 êì ñ , 2f0 ñîñòàâëÿþùèìè 0,05% îò ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå. Äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî êðóãîâûì îðáèòàì ñ ïåðèîäîì Ò = 10 ëåò = 3,16 ⋅ 108 c . Ðàññòîÿíèå îò îáëàêîâ äî öåíòðà íàøåé Ãàëàêòèêè, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ÷åðíàÿ äûðà, ñîñòàâëÿåò vT R= .

2π Óñêîðåíèå, ñ êîòîðûì äâèæóòñÿ ýòè îáëàêà, îáåñïå÷èâàåòñÿ ãðàâèòàöèîííûì ïðèòÿæåíèåì ê ÷åðíîé äûðå ìàññîé Ì: v2 GM = 2 , R R −11 ãäå G = 6,67 ⋅ 10 Í ⋅ ì2 êã2 ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îòñþäà íàõîäèì ìàññó ÷åðíîé äûðû: a=

M=

v2 R v3T = = 2,54 ⋅ 1033 êã .

G 2πG Â.Ñëàâóòèíñêèé

îáðàçîâàííîãî òî÷êàìè êàñàíèÿ ñòîðîí ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, ëåæèò íà âûñîòå, ïðîâåäåííîé èç ïðÿìîãî óãëà (ðèñ.1).

Íà ëèñòå îòíîñèòåëüíî êëåò÷àòîì, Íî íà áåëîì è ÷èñòîì çàòî ß ïèøó áëåäíî-ñåðîå íå÷òî, Ñìàõèâàþùåå íà íè÷òî. À.Âåëèêèé

Íà÷íåì ñ äâóõ çàäà÷, íåäàâíî ïðåäëàãàâøèõñÿ íà îëèìïèàäàõ. Çàäà÷à 1 (Ì2447, XXXVIII Òóðíèð ãîðîäîâ). Äîêàæèòå, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà,

«ÊÂÀÍÒÀ»

Ðèñ. 1

ÊÂÀÍT 2017/¹4

Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC –C = 90∞ ; A¢ , B¢ , C¢ òî÷êè êàñàíèÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè ñî ñòîðîíàìè BC, CA, AB; CH âûñîòà (ðèñ.2). Òàê êàê B¢C ¢ îáðàçóåò ðàâíûå óãëû ñ ïðÿìûìè AC, AB, âûñîòà èç âåðøèíû A¢ îáðàçóåò ðàâíûå óãëû ñ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè èì ïðÿìûìè CB, CH. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà âûñîòà ïåðåñåêàåò CH â òàêîé òî÷êå H¢, ÷òî CH ¢ = CA ¢ . Ïîñêîëüêó CA ¢ = CB¢ , âûñîòà èç B¢ òàêæå ïðîõîäèò ÷åðåç H¢ .

ôàêòîì (âåðíûì äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà). Ëåììà. Ïðÿìàÿ C0 I ïåðåñåêàåò âûñîòó CH â òî÷êå, ëåæàùåé íà ðàññòîÿíèè r îò âåðøèíû C. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü C¢¢ òî÷êà êàñàíèÿ ñòîðîíû AB ñ âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, à C2 òî÷êà âïèñàííîé îêðóæíîñòè, äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíàÿ C¢ (ðèñ.

3). Òî÷êà C öåíòð ãîìîòåòèè âïèñàííîé è âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòåé, ïðè ýòîì C2 è C¢¢ ñîîòâåòñòâóþùèå («âåðõíèå») òî÷êè îêðóæíîñòåé, çíà÷èò, C, C2 , C¢¢ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Êðîìå òîãî, C ¢C0 = C ¢¢C0 , ò.å. C0 I ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà C ¢C ¢¢C2 , è C0 I CC2 . Çíà÷èò, ïðÿìûå CC2 , C2 I , C0 I è CH îáðàçóþò ïàðàëëåëîãðàìì, îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.

Ðèñ. 2

Ïðèìå÷àíèå. Åñëè I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC, à r åå ðàäèóñ, òî IA ¢CB¢ êâàäðàò. Ïîýòîìó èç ïðèâåäåííîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò òàêæå, ÷òî CH ¢ = r . Óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàæèòå, ÷òî îñíîâàíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà A′B′C′ , ïðîâåäåííûõ èç A′ è B′ , ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ B è A ñîîòâåòñòâåííî ñî ñðåäíåé ëèíèåé òðåóãîëüíèêà ABC, à âìåñòå ñ òî÷êàìè C è C′ îíè ÿâëÿþòñÿ ÷åòâåðêîé âåðøèí ïàðàëëåëîãðàììà.

2. Ïóñòü â ïðîèçâîëüíîì òðåóãîëüíèêå KLM òî÷êà O′ òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ öåíòðó îïèñàííîé îêðóæíîñòè O îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé KL, H îðòîöåíòð. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê MOO′H ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì (âîçìîæíî âûðîæäåííûì). Ïîëó÷èòå äðóãîå ðåøåíèå çàäà÷è 1, ïðèìåíèâ ýòîò ôàêò ê òðåóãîëüíèêó A′B′C′.

Çàäà÷à 2 (XIII Îëèìïèàäà èìåíè È.Ô.Øàðûãèíà, çàî÷íûé òóð).  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êà C0 ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû AB; AA1 , BB1 áèññåêòðèñû; I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå C0 I è A1B1 ïåðåñåêàþòñÿ íà âûñîòå, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû C. Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì

Ðèñ. 3

Ðèñ. 4

Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å. Îáîçíà÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ C0 I è CH ÷åðåç H¢ (ðèñ.4). Òàê êàê CH ¢ = r , ðàññòîÿíèÿ îò H¢ äî ïðÿìûõ BC, CA è AB ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, da = r cos –HCB = r cos –BAC = r ◊ AC AB ,

db = r ◊ BC AB è dc = CH - r .

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

Ïîñêîëüêó óäâîåííàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ( AB + BC + CA) r = AB ◊ CH , èç ýòèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî dc = da + db . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò òàêæå ðàññòîÿíèÿ îò òî÷åê A1 , B1 äî ïðÿìûõ BC, CA è AB. Ïî òåîðåìå Ôàëåñà íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî âñå òî÷êè, îáëàäàþùèå ýòèì ñâîéñòâîì, ëåæàò íà ïðÿìîé A1B1 (ïîäðîáíî îá ýòîì ìîæíî ïðî÷åñòü â ñòàòüå À.Êàðëþ÷åíêî è Ã.Ôèëèïïîâñêîãî «Ëåììà áèññåêòðàëüíîãî òðåóãîëüíèêà» â «Êâàíòå» ¹2 çà 2016 ã.). Èç ïðèìå÷àíèÿ ê çàäà÷å 1 âèäíî, ÷òî â îáåèõ çàäà÷àõ ðå÷ü øëà îá îäíîé è òîé æå òî÷êå. Ïîýòîìó èç óòâåðæäåíèé çàäà÷ 1 è 2 ñëåäóåò, ÷òî: îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà A ¢B¢C ¢ ëåæèò íà ïðÿìîé A1B1 ; îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà A ¢B¢C ¢ ëåæèò íà ïðÿìîé C0 I . Ïîñêîëüêó C0 öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC, ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñëåäóþùåãî îáùåãî ôàêòà (ýòîò ôàêò óæå ïîÿâëÿëñÿ â «Çàäà÷íèêå «Êâàíòà» ñì. çàäà÷ó Ì1819):  òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êà O öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè, I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, A¢ , B¢ , C¢ òî÷êè êàñàíèÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè ñî ñòîðîíàìè BC, CA, AB. Òîãäà îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà A ¢B¢C ¢ ëåæèò íà ïðÿìîé OI. Îá ýòîì ôàêòå ìîæíî ïðî÷èòàòü òàêæå â ñòàòüå Ê.Êîçåðåíêî è Ï.Ôàêàíîâà «Ïòîëåìååâà îñü òðåóãîëüíèêà» â «Êâàíòå» ¹2 ýòîãî ãîäà. Óïðàæíåíèå 3. Äîêàæèòå, èñïîëüçóÿ ðèñóíîê 5, ÷òî OI IH ′ = R r , è ïîëó÷èòå îòñþäà äðóãîå ðåøåíèå çàäà÷è 1.

!

«ÊÂÀÍÒÀ»

Çàäà÷à 3. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC –C = 90∞ è AC π BC . Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ A ¢B¢ , êàñàòåëüíàÿ ê îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC, ïðîâåäåííàÿ â òî÷êå C, è ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç I è ïàðàëëåëüíàÿ AB, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ðåøåíèå. Ïóñòü SC êàñàòåëüíàÿ ê îïèñàííîé îêðóæíîñòè, à òî÷êà S íà íåé òàêîâà, ÷òî SI AB (ðèñ.6). Òîãäà

–SCI = –SCA + –ACI = –ABC + –ACB 2 , –SIC = –ABC + –BCI = –ABC + –ACB 2.

Ðèñ. 6

Ðàâåíñòâî –SCI = –SIC îçíà÷àåò, ÷òî òðåóãîëüíèê CSI ðàâíîáåäðåííûé: SI = = SC. Íî òàê êàê CB ¢IA ¢ êâàäðàò, ïðÿìàÿ A ¢B¢ ýòî ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê CI, çíà÷èò, A ¢B ¢ ïðîõîäèò ÷åðåç S. Îêàçûâàåòñÿ, ÷åðåç òî÷êó S èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïðîõîäèò è ïðÿìàÿ A1B1 , ñîåäèíÿþùàÿ îñíîâàíèÿ áèññåêòðèñ, è ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè êàñàíèÿ âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé ñ êàòåòàìè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ýòî óñòàíîâèòü, óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè äâîéíûõ îòíîøåíèé ÷åòâåðîê òî÷åê. Ñôîðìóëèðóåì èõ â âèäå óïðàæíåíèé. Åñëè ðåøåíèå óïðàæíåíèé âûçîâåò òðóäíîñòè, ìîæíî îáðàòèòüñÿ ê ñòàòüå Â.Òàäååâà «Ïðîñòûå, äâîéíûå, ãàðìîíè÷åñêèå» (ñì. «Êâàíò» ¹7 çà 1982 ã.). Îïðåäåëåíèå 1. Äâîéíûì îòíîøåíèåì ÷åòûðåõ òî÷åê A, B, C è D, ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé, íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî

AC, BD ( ABCD) = .

BC, AD

( (

Ðèñ. 5

) )

Óïðàæíåíèå 4. Äîêàæèòå, ÷òî äâîéíîå îòíîøåíèå ñîõðàíÿåòñÿ ïðè öåíòðàëüíîé ïðîåêöèè, ò.å. åñëè O ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà è

"

ÊÂÀÍT 2017/¹4

ïðÿìûå OA, OB, OC è OD ïåðåñåêàþò ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ l′ â òî÷êàõ A′ , B′ , C′ è D′ ñîîòâåòñòâåííî, òî ( ABCD ) = ( A′B′C′D′ ) .

Îïðåäåëåíèå 2. Äâîéíûì îòíîøåíèåì ÷åòûðåõ ïðÿìûõ OA, OB, OC è OD íàçûâàåòñÿ äâîéíîå îòíîøåíèå ÷åòûðåõ òî÷åê, â êîòîðûõ îíè ïåðåñåêàþò ïðîèçâîëüíóþ ïÿòóþ ïðÿìóþ. Îïðåäåëåíèå 3. ×åòâåðêà òî÷åê A, B, C, D íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè ( ABCD) = −1 . Ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé ãàðìîíè÷åñêîé ÷åòâåðêè âîçíèêàåò, êîãäà C ñåðåäèíà îòðåçêà AB, à D áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ÷åòâåðêà ïðÿìûõ. Óïðàæíåíèå 5. Äîêàæèòå, ÷òî: âíåøíÿÿ è âíóòðåííÿÿ áèññåêòðèñû óãëà òðåóãîëüíèêà âìåñòå ñ äâóìÿ åãî ñòîðîíàìè îáðàçóþò ãàðìîíè÷åñêóþ ÷åòâåðêó ïðÿìûõ; äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, è ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ýòîé ñòîðîíå è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíóþ âåðøèíó, îáðàçóþò ãàðìîíè÷åñêóþ ÷åòâåðêó.

Âåðíåìñÿ ê èññëåäîâàíèþ íàøåé êîíôèãóðàöèè. Çàäà÷à 4. Äîêàæèòå, ÷òî â óñëîâèÿõ çàäà÷è 3 ïðÿìàÿ A1B1 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó S. Ðåøåíèå. Ïóñòü êàñàòåëüíàÿ â òî÷êå C ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ A1B1 â òî÷êå K. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî IK AB , òîãäà K áóäåò ñîâïàäàòü ñ S. Òàê êàê –KCA = –ABC = –ACH , ïðÿìûå CA, CB, CH, CK îáðàçóþò ãàðìîíè÷åñêóþ ÷åòâåðêó. Ñëåäîâàòåëüíî, ãàðìîíè÷åñêèìè áóäóò òàêæå ÷åòâåðêà òî÷åê B1 , A1 , H¢ , K è ÷åòâåðêà ïðÿìûõ IA,

Çàäà÷à ñ êðóæêà, èëè Åùå ðàç î çàäà÷å Ì2447 Ì.Ïàíîâ Ïîÿâëåíèå íà îëèìïèàäå çà÷àñòóþ ëèøü íà÷àëî èíòåðåñíîé æèçíè çàäà÷è. Ýòîò ðàññêàç îá èíòåðåñíûõ ïðåâðàùåíèÿõ, êîòîðûå ñëó÷èëèñü ñ îäíîé ãåîìåò-

IB, IC0 , IK. Ïîñêîëüêó C0 ñåðåäèíà AB, ïîëó÷àåì, ÷òî IK AB (ðèñ.7).

Ðèñ. 7 Óïðàæíåíèÿ 6. Äîêàæèòå, ÷òî â óñëîâèÿõ çàäà÷è 3 ÷åðåç òî÷êó S ïðîõîäèò ïðÿìàÿ A′′B′′ , ãäå A′′ è B′′ òî÷êè êàñàíèÿ êàòåòîâ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âíåâïèñàííûìè îêðóæíîñòÿìè (ðèñ.8).

Ðèñ. 8 Óêàçàíèå. ×åòâåðêè òî÷åê C, A1 , A′ , A′′ è C, B1 , B′ , B′′ ãàðìîíè÷åñêèå.

7. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì òðåóãîëüíèêå ÷åòûðå ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ äâóõ ñòîðîí ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, òî÷êè êàñàíèÿ ýòèõ ñòîðîí ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âíåâïèñàííûìè îêðóæíîñòÿìè, îñíîâàíèÿ ïðîâåäåííûõ ê ýòèì ñòîðîíàì âûñîò, îñíîâàíèÿ ïðîâåäåííûõ ê ýòèì ñòîðîíàì áèññåêòðèñ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå (ëèáî ïàðàëëåëüíû). Âûÿâèòå ñâÿçü ýòîãî îáùåãî ôàêòà ñ çàäà÷åé 4 è óïðàæíåíèåì 6. Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå äâîéíûå îòíîøåíèÿ ÷åòâåðîê òî÷åê.

ðè÷åñêîé çàäà÷åé, âñå ñ òîé æå çàäà÷åé Ì2447, êîòîðàÿ îáñóæäàåòñÿ â ñòàòüå À.Çàñëàâñêîãî èç ýòîãî íîìåðà: Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC îðòîöåíòð H′ òðåóãîëüíèêà A′B′C′ , îáðàçîâàííîãî òî÷êàìè êàñàíèÿ ñòîðîí ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, ëåæèò íà âûñîòå CH, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà.

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

Ýòà çàäà÷à ïðåäëàãàëàñü íà âåñåííåì òóðå Òóðíèðà ãîðîäîâ 2016 ãîäà. Ïîñëå îëèìïèàäû çàäà÷ó ñòàëè îáñóæäàòü íà ãåîìåòðè÷åñêîì êðóæêå Ð.Ê.Ãîðäèíà â 57 øêîëå. Íà êðóæêå øêîëüíèêè ðàññêàçàëè î÷åíü êðàñèâîå ðåøåíèå, ïðèäóìàííîå åùå âî âðåìÿ òóðíèðà. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ABC âåðíà òåîðåìà Ãàìèëü OH òîíà: âåêòîð ðàâåí ñóììå âåêòîðîâ

OA + OB + OC , ãäå O è H öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè è îðòîöåíòð (äîêàæèòå ýòî!). Ïîñêîëüêó â íàøåé çàäà÷å I öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà

A′B′C′ , òî IH ′ = IA′ + IB′ + IC′ (ðèñ. 1). Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî CA′IB′ êâàäðàò, ò.å. IA′ + IB′ = IC , è ÷òî IC′ CH\. Îäèí èç ó÷àñòíèêîâ êðóæêà, Ä.Ìèíååâ, çàìåòèë (èñïîëüçóÿ ïðîãðàììó äëÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé geogebra), ÷òî

Ðèñ. 1

÷åðåç òîò æå îðòîöåíòð ïðîõîäÿò åùå äâå ïðÿìûå: ïðÿìàÿ A1B1 , ãäå A1 , B1 îñíîâàíèÿ áèññåêòðèñ îñòðûõ óãëîâ, è ïðÿìàÿ C0 I , ãäå I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè äàííîãî òðåóãîëüíèêà ABC, à C0 ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû AB (îíà æå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC). Ïîëó÷èëîñü òàêîå îáîáùåíèå. Îáîáùåíèå 1.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êà C0 ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû AB; AA1 , BB1 áèññåêòðèñû; I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå C0 I è A1B1 ïåðåñåêàþòñÿ íà âûñîòå CH, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû C. Ýòî îáîáùåíèå òî÷íàÿ êîïèÿ çàäà÷è 2 èç óïîìÿíóòîé ñòàòüè À.Çàñëàâñêîãî. Òîãäà íà êðóæêå âñå ïðèíÿëèñü äîêàçûâàòü ýòî îáîáùåíèå. Ðåøèòü çàäà÷ó óäàëîñü, ïðè÷åì íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè. Ä.Ãëóõîâñêèé èç 11 êëàññà ðåøèë åå ñ ïîìîùüþ

«ÊÂÀÍÒÀ»

#

öåíòðà ìàññ. (Îá ýòîì ìåòîäå ìîæíî ïðî÷èòàòü â êíèãå Ì.Áàëêà, Â.Áîëòÿíñêîãî «Ãåîìåòðèÿ ìàññ» ñåðèè «Áèáëèîòå÷êà «Êâàíò».) Îí ïîìåñòèë ïîäõîäÿùèå ìàññû â òî÷êè A, B, C è C0 òàê, ÷òîáû öåíòð ìàññ ñèñòåìû ëåæàë íà êàæäîé èç òðåõ íóæíûõ ïðÿìûõ: â òî÷êó A ïîìåñòèë ìàññó a2 + ab , â òî÷êó B ìàññó ab + b2 , â òî÷êó C ìàññó ac + bc, à â òî÷êó C0 îòðèöàòåëüíóþ ìàññó ( 2ab), ãäå a = BC, b = AC, c = AB. ×èòàòåëü ìîæåò â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ïðîâåñòè íóæíûå ãðóïïèðîâêè ìàññ è îêîí÷èòü äîêàçàòåëüñòâî. Íî îêàçàëîñü, ÷òî â ýòîì ðåøåíèè òîò ôàêò, ÷òî òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé, èñïîëüçóåòñÿ ðîâíî îäèí ðàç êîãäà âû2 2 ÷èñëÿåòñÿ îòíîøåíèå AH : BH = b : a .  ïðîèçâîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êà S, äåëÿùàÿ ñòîðîíó AB â îòíîøåíèè AS : BS = AC 2 : BC 2 , ýòî îñíîâàíèå ñèìåäèàíû. Ñèìåäèàíà ýòî ïðÿìàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ ìåäèàíå òðåóãîëüíèêà îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùåé áèññåêòðèñû (î ñèìåäèàíå ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå Þ.Áëèíêîâà â «Êâàíòå» ¹4 çà 2015 ã.). Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ýòî ðåøåíèå ñ ìàññàìè äîêàçûâàåò ñëåäóþùåå îáîáùåíèå. Îáîáùåíèå 2.  ïðîèçâîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíû áèññåêòðèñû AA1 è BB1 , ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå I (öåíòðå âïèñàííîé îêðóæíîñòè); C0 ñåðåäèíà AB; ïðÿìûå A1B1 è C0 I ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå N. Òîãäà CN ñèìåäèàíà, ò.å. ∠ACN = ∠BCC0 . Íà ýòîì äåëî íà çàêîí÷èëîñü: Ä.Êðåêîâ ñêàçàë, ÷òî íå îáÿçàòåëüíî, ÷òîáû C0 áûëà ñåðåäèíîé, è ñôîðìóëèðîâàë î÷åðåäíîå îáîáùåíèå. Îáîáùåíèå 3.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíû áèññåêòðèñû AA1 è BB1 , ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå I (öåíòðå âïèñàííîé îêðóæíîñòè); M ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà AB; ïðÿìûå A1B1 è MI ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå N. Òîãäà ∠ACN = ∠BCM (ðèñ.2). Ó ýòîé çàäà÷è íàøëèñü äâà ðåøåíèÿ.  êàæäîì ðåøåíèè âìåñòî ðàâåíñòâà ∠ACN = ∠BCM äîêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå ðàâåíñòâî

sin ∠NCA sin ∠BCM , = sin ∠NCI sin ∠BCI

$

ÊÂÀÍT 2017/¹4

Ðèñ. 2

èëè

sin ∠ACN sin ∠BCM = . sin ∠NCB sin ∠MCA (Ñòðîãîå îáîñíîâàíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ìîæíî ïðîâåñòè, èñõîäÿ èç ìîíîòîííîñòè sin (α − x ) íà èíòåðâàëå ôóíêöèè f ( x ) = sin x 0 < x < α , ãäå α ôèêñèðîâàííûé óãîë, 0 < α < π .)  ïåðâîì ðåøåíèè ïîñëå ìíîãîêðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû ×åâû â ôîðìå ñèíóñîâ (äëÿ òðåóãîëüíèêîâ B1CI , BCI è ABB1 ) ïîëó÷àëîñü ñîîòíîøåíèå sin ∠NCA sin ∠BCM = sin ∠NCI sin ∠BCI (ïîëó÷èòå åãî!). Äðóãîé ñïîñîá ïðèäóìàë Ì.Âîë÷êåâè÷. Ïóñòü NX, NY, NZ ïåðïåíäèêóëÿðû èç N íà ñòîðîíû AC, BC, AB; MV, MW ïåðïåíäèêóëÿðû èç M íà ñòîðîíû AC, BC. Âñïîìíèì èçâåñòíîå ñâîéñòâî ïðÿìîé A1B1 : äëÿ ëþáîé òî÷êè îòðåçêà A1B1 ñóììà ðàññòîÿíèé îò íåå äî ïðÿìîé AB ðàâíà ñóììå ðàññòîÿíèé äî ïðÿìûõ AC è BC (ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ À.Êàðëþ÷åíêî è Ã.Ôèëèïïîâñêîãî «Ëåììà áèññåêòðàëüíîãî òðåóãîëüíèêà» â «Êâàíòå» ¹2 çà 2016 ã.). Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ñâîéñòâà ìîæíî âûâåñòè ñîîòíîøåíèå NX MW = , NY MV

÷òî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó sin ∠ACN sin ∠BCM . = sin ∠NCB sin ∠MCA Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ âîññòàíîâèòü âñå äåòàëè ýòîãî êðàñèâîãî ðåøåíèÿ. Íó è, íàêîíåö, óæå ïîñëå âñåãî ïðîèçîøåäøåãî íà êðóæêå çàäà÷à áûëà ïîêàçàíà Ì.Åâäîêèìîâó, è îí ïðåäëîæèë åùå îäíî îáîáùåíèå. Îáîáùåíèå 4.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà óãëà C è íà íåé âçÿòà ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà I. Ïðÿìûå AI è BI ïåðåñåêàþò ñòîðîíû BC è AC â òî÷êàõ A1 è B1 ; M ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà AB; ïðÿìûå A1B1 è MI ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå N. Òîãäà ∠ACN = ∠BCM . À äîêàçàòåëüñòâî ïîëó÷èëîñü êîðîòêîå, ïðàêòè÷åñêè â îäíó ñòðî÷êó. Òåõíè÷åñêóþ ðàáîòó ñ îòíîøåíèÿìè ñèíóñîâ èëè ðàññòîÿíèé çàìåíèëà ðàáîòà ñ äâîéíûìè îòíîøåíèÿìè ÷åòâåðîê òî÷åê è ïðÿìûõ (îá ýòîì òàêæå ìîæíî ïðî÷èòàòü â ñòàòüå À.Çàñëàâñêîãî). Ïóñòü S, T ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñû CI ñ ïðÿìûìè A1B1 è AB ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè öåíòðàëüíîé ïðîåêöèè èç òî÷êè I ñ ïðÿìîé AB íà ïðÿìóþ A1B1 : A A1 , M N , B B1 , T S . Èç ñîõðàíåíèÿ äâîéíîãî îòíîøåíèÿ ïðè öåíòðàëüíîì ïðîåêòèðîâàíèè ïîëó÷àåì A1S A1N AT AM = : : .

B1S B1N BT BM Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ðàâåíñòâà sin ∠A1CS sin ∠A1CN = : sin ∠B1CS sin ∠B1CN sin ∠ACT sin ∠ACM = : , sin ∠BCT sin ∠BCM èëè sin ∠BCN sin ∠ACM = . sin ∠ACN sin ∠BCM

ÂÍÈÌÀÍÈÞ ÍÀØÈÕ ×ÈÒÀÒÅËÅÉ

Îòêðûòà ðåãèñòðàöèÿ íà XXIII Òóðíèð ìàòåìàòè÷åñêèõ áîåâ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà. Òóðíèð ïðîéäåò, êàê è â ïðîøëûå ãîäû, â Êîñòðîìñêîé îáëàñòè ñ 26 èþíÿ ïî 2 èþëÿ 2017 ãîäà. Ïðèãëàøàþòñÿ êîìàíäû 6 9 êëàññîâ. Ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ î òóðíèðå ñìîòðèòå ïî ññûëêå: http://www.matznanie.ru/competitions/competitions.html#competitions-2017-04-01

«ÊÂÀÍÒ»

ÄËß

ÌËÀÄØÈÕ

ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ

%

Çàäà÷è

1. Ñðåäè âñåõ ãðàíåé âîñüìè îäèíà-

êîâûõ ïî ðàçìåðó êóáèêîâ òðåòü ñèíèå, à îñòàëüíûå êðàñíûå. Èç ýòèõ êóáèêîâ ñëîæèëè áîëüøîé êóá. Òåïåðü ñðåäè âèäèìûõ ãðàíåé êóáèêîâ

ìîæíî òîëüêî ïî ãðàíèöàì êëåòîê. Â êàæäîé êëåòêå äîëæíà ñòîÿòü îäíà öèôðà, êàæäóþ öèôðó ìîæíî èñïîëüçîâàòü òîëüêî îäèí ðàç. À.Øàïîâàëîâ

3.

 áîëüøîé êâàäðàòíûé çàë ïðèâåçëè äâà êâàäðàòíûõ êîâðà òàêèõ, ÷òî ñòîðîíà îäíîãî êîâðà âäâîå áîëüøå

68x41

ðîâíî òðåòü êðàñíûå. Äîêàæèòå, ÷òî èç ýòèõ êóáèêîâ ìîæíî ñëîæèòü êóá, ïîëíîñòüþ êðàñíûé ñíàðóæè. À.Øàïîâàëîâ

2. Ìîæíî ëè òàê ðàññòàâèòü öèôðû 1, 2, , 8 â êëåòêàõ áóêâû Ø (ñì.

ðèñóíîê), ÷òîáû ïðè ëþáîì ðàçðåçà-

ñòîðîíû äðóãîãî. Êîãäà èõ ïîëîæèëè â ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû çàëà, îíè â äâà ñëîÿ íàêðûëè 4 ì2, à êîãäà èõ ïîëîæèëè â ñîñåäíèå óãëû, òî îíè íàêðûëè 14 ì2. Êàêîâû ðàçìåðû çàëà? Ä.Êàëèíèí

4.

íèè ôèãóðû íà äâå ÷àñòè ñóììà âñåõ öèôð â îäíîé èç ÷àñòåé äåëèëàñü íà ñóììó âñåõ öèôð â äðóãîé? Ðåçàòü Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 8 êëàññîâ. Çàäà÷è 1 è 2 ïðåäëàãàëèñü íà XXVIII Ìàòåìàòè÷åñêîì ïðàçäíèêå, çàäà÷è 3 è 4 ïðåäëàãàëèñü íà XV Óñòíîé ìîñêîâñêîé îëèìïèàäå ïî ìàòåìàòèêå äëÿ 6 7 êëàññîâ.

Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé

 êàæäîé êëåòêå äîñêè ðàçìåðîì 5 ¥ 5 ñòîèò êðåñòèê èëè íîëèê, ïðè÷åì íèêàêèå òðè êðåñòèêà íå ñòîÿò ïîäðÿä íè ïî ãîðèçîíòàëè, íè ïî âåðòèêàëè, íè ïî äèàãîíàëè. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êðåñòèêîâ ìîæåò áûòü íà äîñêå? Ì.Åâäîêèìîâ

&

ÊÂÀÍT 2017/¹4

Êàêèå áûâàþò îïîðû Ñ.ÄÂÎÐßÍÈÍÎÂ

Î

ÏÎÐÛ ÁÛÂÀÞÒ ÐÀÇÍÛÅ. ÍÀÏÐÈ-

ìåð, ïîäïîðíàÿ ñòåíêà ðàñïðîñòðàíåííûé ýëåìåíò ìíîãèõ ñòðîèòåëüíûõ êîíñòðóêöèé. ×àñòî îíè âñòðå÷àþòñÿ â ãîðàõ (ðèñ.1). Ïîäïîðíûå ñòåíêè ïîääåðæèâàþò òàêæå áåðåãà ðåê è çàùèùàþò èõ îò ðàçìûâàíèÿ. Ðàñïîëîæåííûé âûøå ñòåíêè ãðóíò îêàçûâàåò íà ñòåíêó äàâëåíèå

ËÝÏ. Ïóñòü ñòîëáû òàêîé ëèíèè ñòîÿò íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ îäèí îò äðóãîãî âäîëü ïðÿìîé ëèíèè. È âäðóã ó î÷åðåäíîãî ñòîëáà ñ ëåâîé ñòîðîíû ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ íàêëîííàÿ áàëêà (ðèñ.3). Êàê âû äóìàåòå, êóäà ïîâîðà÷èâàåò â ýòîì ìåñòå ËÝÏ íàïðàâî èëè íàëåâî?

Ðèñ. 1

Ðèñ. 3

(ðèñ.2), ïîðîé âåñüìà çíà÷èòåëüíîå. Îòìåòèì, ÷òî ïëîòèíû è äàìáû ýòî òå æå îïîðíûå ñòåíêè. Ðàçíîîáðàçíûå îïîðû óäåðæèâàþò ïðîâîäà ëèíèé ýëåêòðîïåðåäà÷è, ñîêðàùåííî

Ðàññìîòðèì îïîðû, ñòîÿùèå âäîëü ïðÿìîé. Êàæäóþ òàêóþ îïîðó ïîäõîäÿùèå ê íåé ïðîâîäà òÿíóò â ðàçíûå ñòîðîíû. Ïðè ýòîì äåéñòâóþùèå íà îïîðó ñèëû óðàâíîâåøèâàþò äðóã äðóãà. Ðåçóëüòèðóþùàÿ âñåõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê îïîðå, ðàâíà íóëþ. Ïðè ïîâîðîòå ïîäâåøåííûå ïðîâîäà ñîçäàþò ñèëó, êîòîðàÿ ïðèëîæåíà ê îïîðå è íàïðàâëåíà â ñòîðîíó ïîâîðîòà (îíà ïîëó÷àåòñÿ ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà è íå ðàâíà íóëþ). Äîïîëíèòåëüíàÿ îïîðà ïðåïÿòñòâóåò äåéñòâèþ ýòîé ñèëû. Åñëè äîïîëíèòåëüíàÿ îïîðà ïîÿâèëàñü ñëåâà ïî õîäó, çíà÷èò, ËÝÏ â ýòîì ìåñòå ïîâîðà÷èâàåò íàëåâî. Îïîðû áûâàþò è ó ìîñòîâ, ñîåäèíÿþùèõ áåðåãà ðåêè. Åñëè ðåêà øèðîêàÿ è îäíîãî ïðîëåòà ìîñòà íå õâàòàåò, òî äâà ñîñåäíèõ ïðîëåòà ïîìåùàþò íà îïîðó, íàçûâàåìóþ áûêîì. Áûê âîñïðèíèìàåò íàãðóçêó îò ýòèõ ïðîëåòîâ. Íà ðèñóíêå 4 âû âèäèòå çíàìåíèòûé

Ðèñ. 2

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ

'

ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

Ðèñ. 4

Ñûçðàíñêèé ìîñò ÷åðåç Âîëãó, íàçâàííûé ïðè îòêðûòèè â 1880 ãîäó Àëåêñàíäðîâñêèì â ÷åñòü 25-ëåòèÿ ïðàâëåíèÿ èìïåðàòîðà Àëåêñàíäðà II. Òîãäà îí áûë ñàìûì äëèííûì ìîñòîì Åâðîïû (1436 ìåòðîâ, 13 ïðîëåòîâ). Î÷åâèäíî, ÷òî áûêè ìîñòà íåñèììåòðè÷íû: ñ îäíîé ñòîðîíû ìû âèäèì âûñòóïàþùèå èç âîäû äîïîëíèòåëüíûå ñîîðóæåíèÿ. Êàê âàì êàæåòñÿ, â êàêîì íàïðàâëåíèè òå÷åò Âîëãà ñëåâà íàïðàâî èëè ñïðàâà íàëåâî?

Äîïîëíèòåëüíûå ñîîðóæåíèÿ, íà êîòîðûå ìû îáðàòèëè âàøå âíèìàíèå, ýòî âîäîðåçû èëè ëåäîðåçû. Îíè ïðèíèìàþò íà ñåáÿ äàâëåíèå ïîòîêà âîäû è çàùèùàþò áûêè îò ëüäèí âî âðåìÿ ëåäîõîäà. Èõ ñòàâÿò ñî ñòîðîíû âåðõîâîé ÷àñòè âîäîòîêà. Òàê ÷òî îíè íå ïîääåðæèâàþò áûêè, êàê ìîãëî áû ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, à çàùèùàþò èõ (âîäîðåçû èìåþò îáòåêàåìóþ ôîðìó). Òàê ÷òî òå÷åò Âîëãà ñëåâà íàïðàâî.

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

Ìîëåêóëÿðíîêèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ è õàðàêòåðèñòèêè âåùåñòâà Ñ.ÂÀÐËÀÌΠÌîäóëü îáúåìíîé óïðóãîñòè

Åñëè ê ñîáñòâåííîìó äàâëåíèþ âåùåñòâà äîáàâëÿåòñÿ âíåøíåå äàâëåíèå, òî ñðåäíåå Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî â ïðåäûäóùåì íîìåðå æóðíàëà.

ðàññòîÿíèå ìåæäó ìîëåêóëàìè ñòàíîâèòñÿ íåìíîãî ìåíüøå. Ñîñåäíèå ìîëåêóëû îòòàëêèâàþòñÿ äðóã îò äðóãà, è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà ñèëà ðàñïðåäåëåíà ïî ïëîùàäè, ðàâíîé D2 . Âíåøíåå äàâëåíèå îáåñïå÷èâàåò, òàêèì îáðàçîì, äîïîëíèòåëüíóþ ñèëó, ðàâíóþ pâí D2 . Èç ìîäåëè Ëåííàðäà Äæîíñà ìîæíî ïîëó÷èòü ñèëó, ñ êîòîðîé âçàèìîäåéñòâóþò äâå ñîñåäíèå ìîëåêóëû, ïðåíåáðåãàÿ âçàèìîäåéñòâèåì ñ áîëåå óäàëåííûìè äðóã îò äðóãà ìîëåêóëàìè:

−12

13

U0  D    D D+ x

+ 12

7

U0  D    + D D+ x + D2 pâí = 0 .

Îòñþäà íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå: D4 pâí x=− .

72U0 Îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ïðè íàëè÷èè âíåøíåãî äàâëåíèÿ pâí

!

ÊÂÀÍT 2017/¹4

ðàâíî β = x D . Ìîäóëü (êîýôôèöèåíò) îáúåìíîé óïðóãîñòè G íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ −3βG = pâí è ðàâåí 24U0 4Lρ p = = 2 pñîá .

G = − âí = 3β Μ D3 Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ïðè ôèêñèðîâàííîì âíåøíåì äàâëåíèè

Ïðè êîëåáàíèÿõ îäíîé ìîëåêóëû âáëèçè ñðåäíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â íàïðàâëåíèè îäíîé èç áëèæàéøèõ ñîñåäîê, â ñîîòâåòñòâèè ñ ìîäåëüþ Ëåííàðäà Äæîíñà, äîëæíà ðàñòè ñðåäíÿÿ ïî âðåìåíè ñèëà îòòàëêèâàíèÿ ýòèõ äâóõ ìîëåêóë. Åñëè êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ (ïðèìåðíî) ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé âðåìåíè xmax cos ωt , òî äëÿ êîëåáàíèé âäîëü îñè x èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ýòîé ïàðû ìîëåêóë ìîæíî îïèñàòü ôîðìóëîé 6   D 12  D   2 − U = U0      ≈   D + x    D + x  2 3 x x ≈ 36U0   − 252U0   +  D  D 4 x + 1113U0   + … .  D Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë ðàâíà 2

dU 1 ≈ −72U0   x + dx  D 3 4 1 2 1  + 756U0   x − 4452U0   x 3 + …  D  D

F (x) = −

Ñðåäíåå çíà÷åíèå äëÿ x 2 ïðè òåïëîâûõ êîëåáàíèÿõ ìû òåïåðü çíàåì, à òðåòüèì ñëàãàåìûì, ïðîïîðöèîíàëüíûì x 3 , ìû ïðåíåáðåãàåì. ×òîáû ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ñèëû îñòàëîñü ðàâíûì íóëþ, ìîëåêóëû äîëæíû â ñðåäíåì óäàëèòüñÿ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå ∆x ≈ 0,146 DkT U0 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ òåïëîâîé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ êîíäåíñèðîâàííîãî âåùåñòâà ðàâåí 0,146k γ= .

U0 Êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ âåùåñòâà â êîíäåíñèðîâàííîì ñîñòîÿíèè, åñòåñòâåííî, ïðèìåðíî â òðè ðàçà áîëüøå: 0,44k ZR 3γ = ≈ .

5L U0

Åñëè óìíîæèòü êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ òâåðäîãî âåùåñòâà ïðè òåìïåðàòóðå, ñîñòàâëÿþùåé îïðåäåëåííóþ äîëþ îò òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ, íàïðèìåð ïðè T = Tïë 10 , íà òåìïåðàòóðó ïëàâëåíèÿ âåùåñòâà, òî ìîæíî ïîëó÷èòü áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû.  òàáëèöå 2 ïðèâåäåíû îòíîñèÒàáëèöà 2

òåëüíûå âåëè÷èíû Tïë ⋅ γ äëÿ áîëüøîé ãðóïïû ìåòàëëîâ. Èç òàáëèöû âèäíî, ÷òî îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû ìàëî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà, õîòÿ ïî ìåõàíè÷åñêèì è òåïëîâûì ñâîéñòâàì (ñòðóêòóðå êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, ìîäóëþ Þíãà, òåìïåðàòóðå ïëàâëåíèÿ è äð.) ýòè ìåòàëëû îòëè÷àþòñÿ âåñüìà çíà÷èòåëüíî. Êîíå÷íî, åñòü è òàêèå âåùåñòâà, äëÿ êîòîðûõ îáñóæäàåìàÿ îòíîñèòåëüíàÿ âåëè÷èíà äàëåêî âûõîäèò çà ãðàíèöû äèàïàçîíà 0,6 1,2. Íàïðèìåð, îíà áîëüøå äëÿ óðàíà (1,8), ïëóòîíèÿ (2,4), öèíêà (2,5), à äëÿ ãàëëèÿ (0,31), èíäèÿ (0,47) è ñóðüìû (0,54) îíà ìåíüøå, íî ýòè äàííûå â òàáëèöó íå âêëþ÷åíû. Ñëåäîâàëî áû ðàññìîòðåòü çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ îò òåìïåðàòóðû ( γ ðàñòåò ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû), íî äëÿ åå îáúÿñíåíèÿ âûáðàííîé ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë íåäîñòàòî÷íî. Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà

Íàðèñóåì çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îäíîãî ìîëÿ âåùåñòâà îò çàíèìàåìîãî èì îáúåìà äëÿ äâóõ íåìíîãî îòëè÷àþùèõñÿ òåìïåðàòóð T è T − ∆T (ðèñ.2). Ó÷àñòêè ñ ïîñòîÿííûìè äàâëåíèÿìè ñîîòâåòñòâóþò îäíîâðåìåííîìó ñóùåñòâîâàíèþ â îáúåìå ñîñóäà è êîíäåíñèðîâàííîãî è ãàçîîáðàçíîãî ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà. Êðèâûå ïóíêòèðíûå ëèíèè ïîêàçûâàþò, êàê âåëî áû ñåáÿ ýòî âåùåñòâî, åñëè áû îíî ïîä÷èíÿëîñü çàêîíàì èäåàëüíîãî ãàçà. Ïðîâåäåì ñ ýòèì âåùåñòâîì öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ, â êîòîðîì äâå èçîòåðìû áóäóò ñîîò-

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ

ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

!

Ýòî óðàâíåíèå (óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà Êëàóçèóñà) èìååò òàêîå ðåøåíèå: p  1 1  ZL  i  T ln = −  +  − 1 ln 0 , p0  T0 T  Z0 R  2  T ãäå p0 äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà âåùåñòâà ïðè òåìïåðàòóðå T0 . Åñëè âîçâåñòè ÷èñëî e â ñòåïåíè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿì ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà, è îñòàâèòü ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò çíàêà ðàâåíñòâà òîëüêî âåëè÷èíû, èìåþùèå îäèíàêîâûå èíäåêñû, òî ïîëó÷èòñÿ ñîîòíîøåíèå äëÿ äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà: i

Ðèñ. 2

âåòñòâîâàòü èñïàðåíèþ âåùåñòâà ïðè áîëåå âûñîêîé òåìïåðàòóðå è êîíäåíñàöèè âåùåñòâà ïðè áîëåå íèçêîé òåìïåðàòóðå. Ñîåäèíèì ýòè äâà ó÷àñòêà (íà êîíöàõ) àäèàáàòàìè. Ïîëó÷èòñÿ öèêë Êàðíî, äëÿ êîòîðîãî ÊÏÄ èçâåñòåí îí ðàâåí ∆T T . Òåïëîòà, ïîëó÷åííàÿ îò «íàãðåâàòåëÿ», ñîîòâåòñòâóåò ìîëÿð-

 ZL  ⋅ exp   = const = ϒ .  TZ0 R  Ïî-âèäèìîìó, äëÿ äàâëåíèé íàñûùåííîãî ïàðà íàä òâåðäûì êîíäåíñèðîâàííûì âåùåñòâîì è íàä æèäêèì âåëè÷èíû ϒ áóäóò ðàçíûìè. Íà ðèñóíêå 3 äëÿ ðàçíûõ âåùåñòâ ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíûõ âåëè÷èí píïT 2

−1

Ðèñ. 3

íîé òåïëîòå èñïàðåíèÿ ïðè òåìïåðàòóðå T, à ðàáîòà ãàçà ðàâíà ∆p∆V . Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ïðè óñëîâèè ÷òî îáúåì ãàçà ìíîãî áîëüøå îáúåìà êîíäåíñèðîâàííîãî âåùåñòâà, ∆V ≈ Vã . Òîãäà ðàáîòà ãàçà çà öèêë ðàâíà

∆pRT ∆T  ZL i   ∆T =Q = − RT  − 1  . p T 2  T  Z0 Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå: ∆p  ZL i   ∆T = − T  − 1  2 . p 2  T  Z0 R

ϒ ϒñð (ïî âåðòèêàëè), êîòîðûå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñëåäíåé ôîðìóëîé äîëæíû áûòü ðàâíû åäèíèöå, îò âåëè÷èíû îòíîñèòåëüíîé òåìïåðàòóðû T Têð (ïî ãîðèçîíòàëè). Äàííûå äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ϒ âçÿòû èç ñïðàâî÷íèêà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ϒñð âû÷èñëÿëèñü îòäåëüíî äëÿ ó÷àñòêîâ ñ òåìïåðàòóðîé íèæå òî÷êè ïëàâëåíèÿ âåùåñòâ è âûøå íåå. (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 34)

Ïðèðîäà ïîçàáîòèëàñü, ÷òîáû äåðåâüÿ íå ðîñëè äî íåáà. Íåìåöêàÿ ïîñëîâèöà «Ïî÷åìó ÿáëîêî âñåãäà ïàäàåò îòâåñíî âíèç, ê çåìëå, à íå â ñòîðîíó èëè ââåðõ?» Èñààê Íüþòîí (ïî ëåãåíäå) ãíèëóøêà ñâåòèëàñü...äàæå ÿð÷å, ÷åì «âÿëåíàÿ òðåñêà»; ê òîìó æå îíà ñ÷èòàëà ñåáÿ ïîñëåäíèì îñòàòêîì äåðåâà, êîòîðîå íåêîãäà áûëî êðàñîé âñåãî ëåñà. Õàíñ Êðèñòèàí Àíäåðñåí Áóäåì ëè ìû ãîâîðèòü î ïèòàíèè êîðíÿ çà ñ÷åò âåùåñòâ, íàõîäÿùèõñÿ â ïî÷âå, áóäåì ëè

ãîâîðèòü î âîçäóøíîì ïèòàíèè ëèñòüåâ çà ñ÷åò àòìîñôåðû âåçäå äëÿ îáúÿñíåíèÿ ìû áóäåì ïðèáåãàòü ê òåì æå ïðè÷èíàì: äèôôóçèÿ. Êëèìåíò Òèìèðÿçåâ ...âåðõóøêè êîðåøêîâ...íàäåëåíû ñïîñîáíîñòüþ ïîëó÷àòü ñèãíàëû îò êàêîãî-òî ÷óâñòâèòåëüíîãî îðãàíà è, ïîäîáíî ìîçãó êàêîãî-íèáóäü íèçøåãî æèâîòíîãî, íàïðàâëÿòü äâèæåíèå ïðèëåãàþùèõ ÷àñòåé. ×àðëüç Äàðâèí ...ðàñòåíèÿ ñïîñîáíû ê îáðàáîòêå èíôîðìàöèè, òîëüêî ñîâåðøåííî ñâîåîáðàçíûìè ñïîñîáàìè è â ñîâåðøåííî èíîì âðåìåííóì òåìïå. Ñòýéñè Õàðìåð

?

À òàê ëè õîðîøî çíàêîìû âàì

ôèçèêà+ôëîðà

×åì òîëüêî íå îáÿçàíû ìû ðàñòèòåëüíîìó ìèðó, ò.å. ôëîðå: è íàñûùåíèåì âîçäóõà êèñëîðîäîì, è ïðåäîñòàâëåíèåì íà ïðîòÿæåíèè òûñÿ÷åëåòèé êðîâà è ïèùè æèâîòíîìó ìèðó. ×åëîâå÷åñòâî âñåãäà èñêàëî è ñîâåðøåíñòâîâàëî ñïîñîáû âñå áîëåå èíòåíñèâíîãî îâëàäåíèÿ ïðèðîäîé äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ âñå áîëåå âîçðàñòàþùèõ íàñóùíûõ íóæä. Îäíàêî íå òîëüêî ëåãåíäàðíîå íüþòîíîâñêîå ÿáëîêî ñòàëî ïëîäîì ñ äðåâà ïîçíàíèÿ, ðàñòèòåëüíûì ñèìâîëîì ñòðåìëåíèÿ ïðîíèêíóòü â ñåêðåòû óñòðîéñòâà è ôóíêöèîíèðîâàíèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà. Áåçóñëîâíî, ôèçèêà è ñàìà ïî ñåáå, è â ñîäðóæåñòâå ñ äðóãèìè åñòåñòâåííûìè íàóêàìè âíåñëà ñâîé âêëàä â ðàçãàäêó òàéí ïðèðîäû, êðîÿùèõñÿ â îáèòàòåëÿõ ëåñîâ, ïîëåé, ðåê è ìîðåé. Ó÷åíûõ âåëè è ëþáîçíàòåëüíîñòü, è âñå âîçðàñòàþùàÿ òðåâîãà çà ñîõðàíåíèå óñëîâèé íàøåãî ñóùåñòâîâàíèÿ, â òîì ÷èñëå è ôëîðû. Âîçìîæíî, âû íàéäåòå îòðàæåíèå ýòèõ ïðîáëåì è â ñåãîäíÿøíåé ïîäáîðêå «ðàñòèòåëüíûõ» ñþæåòîâ. Âîïðîñû è çàäà÷è

1.  Þãî-Âîñòî÷íîé Àçèè êîêîñîâûå îðåõè ïîïàäàþò ñ îñòðîâà íà îñòðîâ, «ïðîéäÿ»

ïîðîé äåñÿòêè êèëîìåòðîâ. Êàêèì îáðàçîì ýòî èì óäàåòñÿ?

2. ×òî ïîçâîëÿåò ïëîäàì è ñåìåíàì ìíîãèõ ðàñòåíèé ïðåîäîëåâàòü áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ âîçäóøíûì ïóòåì?

3. Ïî÷åìó âñå àëüïèéñêèå ðàñòåíèÿ íèçêîðîñëû?

4. Ëèñòüÿ íåêîòîðûõ ðàñòåíèé èìåþò ñêëàä÷àòóþ ôîðìó, à ëåïåñòêè öâåòîâ ñâîðà÷èâàþòñÿ â òðóáî÷êó. ×åì ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü?

5. Ïî÷åìó â áóðþ åëü âûðûâàåòñÿ ñ êîðíåì, à ó ñîñíû ëîìàåòñÿ ñòâîë?

6. Ñèëüíûé âåòåð ìîæåò ñëîìàòü èëè âûðâàòü ñ êîðíåì äåðåâî, íî ëèøü ïðèãèáàåò ê çåìëå ñòåáëè çëàêîâûõ, íàïðèìåð ðæè èëè îâñà. Îò÷åãî?

7. Ñòåáëè ïîäâîäíûõ ðàñòåíèé íàìíîãî òîíüøå íàçåìíûõ, îäíàêî ìîãóò äîñòèãàòü â äëèíó äåñÿòêè ìåòðîâ. Êàê îíè äåðæàòñÿ ïîä âîäîé â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè?

8. Ïî÷åìó íåæåëàòåëüíû âñÿêèå îãðàíè÷åíèÿ ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè âîäû â ñòîÿ÷èõ âîäîåìàõ?

9. Êàêóþ ðîëü èãðàåò âîñêîâîé íàëåò íà ïîâåðõíîñòè ëèñòà è ïî÷åìó ñòîã ñåíà äàæå ïðè äîæäå îñòàåòñÿ ñóõèì?

10. Òàê ÷òî æå âñå-òàêè ïðåïÿòñòâóåò ðîñòó äåðåâüåâ «äî íåáà»?

312,3õ208

11. Ñòîèò íàñåêîìîìó ïðèñåñòü íà ëèñò ðàñòåíèÿ-õèùíèêà, êàê åãî ñòâîðêè áûñòðî çàõëîïûâàþòñÿ è íàñåêîìîå ñòàíîâèòñÿ æåðòâîé õèùíèêà. ×òî ñïîñîáñòâóåò áûñòðîòå ðåàêöèè ðàñòåíèÿ?

12. Êîãäà ñîëíöå íà÷èíàåò ïðèïåêàòü, ëèñòüÿ äåðåâüåâ â âåðõíèõ ÿðóñàõ ðàñïîëàãàþòñÿ ïî÷òè âåðòèêàëüíî. ×åì ýòî îáúÿñíÿåòñÿ?

13. Ïî÷åìó ïåðåä çàìîðîçêîì ðàññàäó ïîìèäîðîâ è îãóðöîâ ñëåäóåò îáèëüíî ïîëèâàòü?

14. Èçâåñòíî, ÷òî â æàðêèé ñîëíå÷íûé äåíü ðàñòåíèÿ íå ñëåäóåò ïîëèâàòü êàïëè âîäû îñòàâëÿþò íà ëèñòüÿõ êîðè÷íåâûå ïÿòíà. Êàê îíè âîçíèêàþò?

15. ×åì áèîëþìèíåñöåíöèÿ ãðèáîâ-ãíèëóøåê îòëè÷àåòñÿ îò ñâå÷åíèÿ æèâîòíûõ?

16. Åñëè ëèñòüÿ ðàñòåíèé íàáëþäàòü ïðè ñâåòå ñèíåé ëàìïû, òî çåëåíûå ëèñòüÿ êàæóòñÿ ìàëèíîâî-êðàñíûìè. Ïî÷åìó?

17. Îò÷åãî ñàìûå ãëóáîêèå âîäîðîñëè èìåþò êðàñíûé öâåò? Ìèêðîîïûò

Ïðèëîæèòå â æàðêèé äåíü ê ùåêå ëèñò ðàñòåíèÿ. ×òî âû ïî÷óâñòâóåòå? Ïî÷åìó? Ëþáîïûòíî, ÷òî

...åùå â XVII âåêå àíãëèéñêèé ôèçèê è õèìèê Ðîáåðò Áîéëü óñòàíîâèë, ÷òî ñâå÷åíèå ãíèþùåé äðåâåñèíû ïðåêðàùàåòñÿ áåç âîçäóõà è ñíîâà âîçîáíîâëÿåòñÿ â âîçäóøíîé ñðåäå, à èìåííî â ïðèñóòñòâèè êèñëîðîäà. ...íèäåðëàíäñêèé ó÷åíûé ßêîá Âàíò-Ãîôô, îäèí èç îñíîâîïîëîæíèêîâ ôèçè÷åñêîé õèìèè è ïåðâûé Íîáåëåâñêèé ëàóðåàò ïî õèìèè, â 1887 ãîäó îáúÿñíèë ïðèðîäó îñìîñà, ðàñïðîñòðàíèâ çàêîíû èäåàëüíûõ ãàçîâ íà ðàçáàâëåííûå ðàñòâîðû, ÷òî ïðèâåëî ê ïîíèìàíèþ ìåõàíèçìà ïèòàíèÿ ðàñòåíèé ïî÷âåííûìè âîäàìè. ...ëèñòüÿ Âèêòîðèè êîðîëåâñêîé (ñåìåéñòâî êóâøèíêîâûõ), ðàñòóùåé ó áåðåãîâ Àìàçîíêè, äîñòèãàþò äâóõ ìåòðîâ â ïîïåðå÷íèêå è ïðîíèçàíû ìíîæåñòâîì òîëñòûõ æèëîê, áëàãîäàðÿ ÷åìó íàñòîëüêî êðåïêè, ÷òî ìîãóò âûäåðæàòü âåñ âçðîñëîãî ÷åëîâåêà. ... 1729 ãîäó ó÷åíûé ñåêðåòàðü Ïàðèæñêîé àêàäåìèè íàóê Æàí Æàê äå Ìýðàí ñîîáùèë î çàìå÷àòåëüíîì íàáëþäåíèè. Ôàñîëü, îïóñêàþùàÿ íî÷üþ ëèñòüÿ, à ïåðåä ðàññâåòîì ïîäíèìàþùàÿ èõ, ïðîäîëæàëà ýòè

öèêëè÷åñêèå äâèæåíèÿ è â ïîëíîé òåìíîòå. Íàëè÷èå ó ðàñòåíèé «âíóòðåííèõ ÷àñîâ» âïîñëåäñòâèè áûëî ïîäòâåðæäåíî ìíîæåñòâîì îïûòîâ è îêàçàëîñü ñâÿçàííûì ñ âíóòðèêëåòî÷íûìè ïåðèîäè÷åñêèìè ïðîöåññàìè. ...çàãàäêà ïîâîðîòà âñëåä çà ñîëíöåì ìîëîäûõ ïîäñîëíóõîâ ïîëó÷èëà ðàçðåøåíèå â ðàáîòå êàëèôîðíèéñêèõ ó÷åíûõ. Óòðåííèé ñâåò óëàâëèâàåòñÿ ôîòîðåöåïòîðîì ðàñòåíèÿ, ïåðåäàþùèì ñèãíàë «áèîëîãè÷åñêèì ÷àñàì», êîòîðûé óïðàâëÿåò ïîïåðåìåííûì ðîñòîì òåíåâîé è íàãðåòîé ñòîðîíû ñòâîëà. ...òàê íàçûâàåìûé «áåøåííûé îãóðåö» ðàñòåíèå, ïðè ñîçðåâàíèè âûñòðåëèâàþùåå íà 6 8 ìåòðîâ ñòðóþ ëèïêîãî ñîêà, ñìåøàííîãî ñ ñåìåíàìè, íàêàïëèâàåò âíóòðè ïëîäà ãàçû, äàâëåíèå êîòîðûõ ïåðåä «âûñòðåëîì» äîñòèãàåò 3 àòìîñôåð! ...ñòåáëè áàìáóêà, óñòðåìëÿþùèåñÿ ââûñü äî 35 ìåòðîâ, ïî ñâîåé ëåãêîñòè è ïðî÷íîñòè íå óñòóïàþò ìíîãèì ñòðîèòåëüíûì ìàòåðèàëàì. À ïðè èñïîëüçîâàíèè ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé, ïðèäàþùèõ åìó âîäîñòîéêîñòü, áàìáóê ìîæåò ñîïåðíè÷àòü äàæå ñ óãëåâîëîêíîì. ...îäíî èç íåäàâíèõ âàæíûõ îòêðûòèé îòå÷åñòâåííûõ ó÷åíûõ ñîñòîÿëîñü áëàãîäàðÿ ñèíåçåëåíûì âîäîðîñëÿì. Îêàçàëîñü, ÷òî ýíåðãèÿ ñâåòà, çàõâàòûâàåìîãî èõ ôîòîñèíòåçèðóþùèìè ìîëåêóëàìè, ïåðåäàåòñÿ âäîëü ìíîãîêëåòî÷íîé öåïî÷êè çà ñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé ñâÿçè ìåæäó êëåòêàìè. ...çà ãîä ðàñòåíèÿ ñóøè è îêåàíà ìàíèïóëèðóþò êîëîññàëüíûìè êîëè÷åñòâàìè âåùåñòâà è ýíåðãèè: îíè óñâàèâàþò 150 ìèëëèàðäîâ òîíí óãëåêèñëîãî ãàçà, ðàçëàãàþò 120 ìèëëèàðäîâ òîíí âîäû, âûäåëÿþò 200 ìèëëèàðäîâ òîíí ñâîáîäíîãî êèñëîðîäà è çàïàñàþò îêîëî ïîëóòîðàñòà òðèëëèîíîâ ìåãàäæîóëåé ýíåðãèè ñîëíöà çà ñ÷åò ôîòîñèíòåçà. ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» ïî ýòîé òåìå (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò) 1. «Ýëåêòðè÷åñòâî èç ôðóêòîâ» 2010, ¹6, ñ.38; 2. «Ïûëåâàÿ áóðÿ è ...» 2012, ¹5 6, ñ.60; 3. «Ïî÷åìó õóðìà âÿæåò âî ðòó?» 2013, ¹2, 4-ÿ ñ. îáë.; 4. «Ôèçèê â ãîñòÿõ ó áèîëîãà» 2015, Ïðèëîæåíèå ¹1; 5. «Íüþòîí, ÿáëîêè è äðóãèå» 2016, ¹5 6, ñ.34.

Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷

!"

ÊÂÀÍT 2017/¹4

(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 29)

Íà äèàãðàììàõ âèäíû ôðàãìåíòû ïëàâíîãî èçìåíåíèÿ âåëè÷èí ϒ è èçëîìû ëèíèé íà ñòûêàõ ýòèõ ôðàãìåíòîâ. Ïîÿâëåíèå òàêèõ îòëè÷àþùèõñÿ ïî õàðàêòåðó èçìåíåíèÿ âåëè÷èí ϒ ó÷àñòêîâ, ïî-âèäèìîìó, ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ñïðàâî÷íèê ïîïàëè äàííûå, ïîëó÷åííûå ðàçíûìè àâòîðàìè íà ðàçíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ óñòàíîâêàõ. Åñëè ïðè èçìåðåíèÿõ èìåëè ìåñòî îøèáêè, ñâÿçàííûå ñ íåïðàâèëüíîé (íåòî÷íîé) êàëèáðîâêîé èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ, òî îíè áûëè òîæå ðàçíûìè. Êàê âèäíî, îæèäàåìîå ïîñòîÿíñòâî âåëè÷èí ϒ äåéñòâèòåëüíî â êàêîé-òî ñòåïåíè âûïîëíÿåòñÿ. Âñå âåëè÷èíû ãðóïïèðóþòñÿ âáëèçè åäèíèöû. Ïðè ýòîì ñàìè âåëè÷èíû äàâëåíèé íàñûùåííûõ ïàðîâ èçìåíÿþòñÿ â î÷åíü øèðîêîì äèàïàçîíå.  òàáëèöå 3 äëÿ òåõ æå âåùåñòâ ïðèâåäåíû îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî äàâëåíèÿ íàñûÒàáëèöà 3

ùåííîãî ïàðà (ïðè ñàìîé âûñîêîé òåìïåðàòóðå, äëÿ êîòîðîé åñòü äàííûå â ñïðàâî÷íèêå) ê ìèíèìàëüíîìó äàâëåíèþ (ïðè ñàìîé íèçêîé òåìïåðàòóðå, äëÿ êîòîðîé èìåþòñÿ äàííûå) äëÿ êàæäîãî èç âåùåñòâ è ñàìè âåëè÷èíû ìàêñèìàëüíûõ äàâëåíèé íàñûùåííûõ ïàðîâ. Èç íàéäåííîãî ðàíåå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà ìîæíî òåïåðü ïîëó÷èòü äëÿ íåãî òàêîå âûðàæåíèå: i

píï

 T 2 = p0  0  T

−1

 L L  ⋅ exp  − = RT RT  0  i 2

 L  ⋅ exp  − .  RT  Çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà îò òåìïåðàòóðû âûðàæàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ôóíêöèé òåìïåðàòóðû: ñòåïåííîé è ýêñïîíåíöèàëüíîé, ïðè÷åì ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû êàê

= const ⋅ T

( −L ( RT )) ,

1−

à îòðèöàòåëüíûé ïîêàçàòåëü

ñòåïåíè òåìïåðàòóðû (1 − i 2 ) îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì àòîìîâ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ îäíîé ìîëåêóëû âåùåñòâà, èëè êîëè÷åñòâîì i ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðè òåìïåðàòóðàõ âåùåñòâà, äàëåêèõ îò êðèòè÷åñêîé, è äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà è ïëîòíîñòü âåùåñòâà ïðîïîðöèîíàëüíû êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë: p = nkT, ρ = mn . Îáå ýòè âåëè÷èíû áûñòðî óâåëè÷èâàþòñÿ ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû.  ñâîþ î÷åðåäü, ïëîòíîñòü êîíäåíñèðîâàííîãî âåùåñòâà ïðè äàâëåíèè, ðàâíîì äàâëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà, óáûâàåò ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû. Óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ è âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ ïðè íåêîòîðîé òåìïåðàòóðå ñðàâíèâàþòñÿ ïî âåëè÷èíå, ò.å. ðàçíèöà ïëîòíîñòåé êîíäåíñèðîâàííîãî âåùåñòâà è åãî íàñûùåííîãî ïàðà ñòàíîâèòñÿ âñå ìåíüøå è ìåíüøå ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ òåìïåðàòóðû ê êðèòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ. Ïðè êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðå ýòè âåëè÷èíû îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè äðóã äðóãó. Åñëè òåìïåðàòóðà âûøå êðèòè÷åñêîé, òî âåùåñòâî íå ìîæåò ñàìîïðîèçâîëüíî ðàçäåëèòüñÿ íà îáëàñòè ñ âûñîêîé è íèçêîé ïëîòíîñòüþ ïðè ëþáîì âíåøíåì äàâëåíèè, ò.å. ïëîòíîñòü âåùåñòâà â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì äàâëåíèè è ïðè òåìïåðàòóðå T > Têð âñþäó îäèíàêîâà.

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ

Ñâÿçè ìåæäó ìèêðîïàðàìåòðàìè è ìàêðîïàðàìåòðàìè âåùåñòâà

Èñõîäÿ èç ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé ìîäåëè, ìîæíî âûðàçèòü íåêîòîðûå ìàêðîïàðàìåòðû âåùåñòâà ÷åðåç åãî ìèêðîïàðàìåòðû è íàîáîðîò. Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå ìèêðîïàðàìåòðîâ ìîæíî âûáðàòü òàêèå õàðàêòåðèñòèêè: ðàçìåð (äèàìåòð) D ìîëåêóëû, ìàññà ìîëåêóëû m, ÷èñëî Àâîãàäðî N0 , ãëóáèíà ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ZU0 , êîòîðóþ ñîçäàþò äëÿ îäíîé ìîëåêóëû åå áëèæàéøèå ñîñåäè. Ïîñëåäíèé èç ïàðàìåòðîâ ñîñòîèò èç äâóõ âåëè÷èí, íî îíè â ôîðìóëû äëÿ ìàêðîïàðàìåòðîâ òàê è áóäóò âõîäèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ. Òîãäà îöåíêè äëÿ ìàêðîïàðàìåòðîâ, âûðàæåííûå ÷åðåç ìèêðîïàðàìåòðû, áóäóò òàêèìè: m • ïëîòíîñòü âåùåñòâà ρ ≈ 1,41 3 , D • ìîëÿðíàÿ ìàññà Μ = mN0 , • òåïëîòà èñïàðåíèÿ âåùåñòâà ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå

L=

ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

!# Òàáëèöà 4

Òàáëèöà 5

Z0U0 N0 i  = Lïë + Qïàð + RTêèï  − 1 , 2 2 

• êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå σ≈

Z0U0 .

2 3D2

×åòûðå ìèêðîïàðàìåòðà ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ÷åòûðå ìàêðîïàðàìåòðà:

D = 2,45

Μσ  L , N0 =   ρL σ

m=

3

(ρ

Μ)

6 3

2

,

2L Μ , Z0U0 = .

N0 N0

Çàìåòèì, ÷èñëî Àâîãàäðî N0 è ïîðÿäîê âåëè÷èíû D çíàêîìû âñåì ñ ìîìåíòà íà÷àëà èçó÷åíèÿ ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè â øêîëå.  òàáëèöå 4 äëÿ ðàçíûõ âåùåñòâ ïðèâåäåíû îòíîøåíèÿ âû÷èñëåííîãî íàìè ÷èñëà Àâîãàäðî N0 ê íàñòîÿùåìó ÷èñëó Àâîãàäðî NA = 6,02 ⋅ 1023 1 ìîëü . Âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäèëèñü ïî ìàêðîñêîïè÷åñêèì ïàðàìåòðàì, âçÿòûì èç ñïðàâî÷íèêà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Âèäíî, ÷òî ñîîòâåòñòâèÿ íåò, íî äëÿ ãðóáîé îöåíêè ÷èñëà Àâîãàäðî áåç ïðîâåäåíèÿ ñïåöèàëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ýòîò ðåçóëüòàò ïîäõîäèò.

Îòëè÷èå N0 îò NA â 10 20 ðàç äëÿ êðóïíûõ ìîëåêóë îðãàíè÷åñêèõ âåùåñòâ è áîëüøèíñòâà ìåòàëëîâ ïîäñêàçûâàåò, ÷òî äëÿ íèõ ìîäåëü ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë íå î÷åíü-òî ïîäõîäèò.  òàáëèöå 5 ïðèâåäåíû îöåíî÷íûå ðàçìåðû ìîëåêóë â àíãñòðåìàõ ( 10−10 ì). Âñå çíà÷åíèÿ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû îäèíàêîâû è ñîîòâåòñòâóþò îæèäàåìûì íåñêîëüêèì àíãñòðåìàì.

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»

Ðàññòîÿíèÿ íà ñôåðå Ñ.ÊÓÇÍÅÖÎÂ

«Ä

ÎÁÐÎÅ ÓÒÐÎ, ÃÎÂÎÐÈÒ ÊÎÌÀÍÄÈÐ

âîçäóøíîãî ñóäíà. Íàø ñàìîëåò ñåãîäíÿ âûïîëíÿåò ðåéñ ¹100 ïî ìàðøðóòó Ìîñêâà Íüþ-Éîðê...» Çàãëÿíåì â ñïðàâî÷íèê: øèðîòà Ìîñêâû 55°45′, Íüþ-Éîðêà 40°43′. Êàçàëîñü áû, íóæíî ëåòåòü íà þãîçàïàä îäíàêî ñàìîëåò óâåðåííî çàáèðàåò ê ñåâåðó: ïîä êðûëîì Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Áàëòèéñêîå ìîðå, Ñêàíäèíàâèÿ... Ðàçãàäêà ïðîñòà: Çåìëÿ íå ïëîñêàÿ, è ëèíèÿ, ïðîâåäåííàÿ ïî ëèíåéêå íà êàðòå (ëîêñîäðîìèÿ), íå áóäåò ñàìîé êîðîòêîé íà ãëîáóñå. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, äâå òî÷êè íà øèðîòå 45° , ìåæäó êîòîðûìè 180° äîëãîòû. Åñëè ëåòåòü ïî 45-é ïàðàëëåëè (ïðÿìàÿ ëèíèÿ ïî êàðòå), ïðèäåòñÿ ïðåîäîëåòü 2 ðàññòîÿíèå πr = π R⊕ , ãäå r ðàäèóñ 2 ïàðàëëåëè, R⊕ ðàäèóñ Çåìëè. Åñëè æå ëåòåòü ÷åðåç ïîëþñ, òî ìû ïðîëåòèì ÷åòâåðòü 1 πR⊕ ïî÷òè â êðóãà ðàäèóñà R⊕ , ò.å.

2 ïîëòîðà ðàçà ìåíüøå ( 2 ≈ 1,41 ). Íåäàðîì çíàìåíèòûé ñîâåòñêèé ëåò÷èê Âàëåðèé ×êàëîâ èçáðàë èìåííî ýòîò îïàñíûé ïîëÿðíûé ìàðøðóò (ðèñ.1) äëÿ ïåðåëåòà èç Ìîñêâû ( 55°45′ ñ.ø., 37°37′ â.ä.) â àìåðèêàíñêèé Âàíêóâåð ( 45°38′ ñ.ø., 122°36′ ç.ä.). Ñàìûé êîðîòêèé ïóòü íà ñôåðå ýòî äóãà áîëüøîãî êðóãà, ò.å. îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè ñå÷åíèè ñôåðû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð. Âñÿêèé ìåðèäèàí åñòü äóãà (òî÷íåå, ïîëîâèíà) áîëüøîãî êðóãà, à âîò ñðåäè ïàðàëëåëåé òàêîé ÷åñòè óäîñòîèëñÿ ëèøü ýêâàòîð. À êàê âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå ïî ýòîé êðàò÷àéøåé ëèíèè, åñëè èçâåñòíû ãåîãðàôè÷åñêèå êîîðäèíàòû äâóõ ïóíêòîâ P è Q? Ïóñòü ìåæäó íèìè β ãðàäóñîâ äîëãîòû, à øèðîòû èõ ðàâíû α1 è α2 (îáå òî÷êè â ñåâåðíîì ïîëóøàðèè). Ïðîâåäåì ÷åðåç ýòè òî÷êè ìåðèäèàíû, îíè ïåðåñåêóòñÿ â ïîëþñàõ N è S (ðèñ.2). Òðåóãîëüíèê NPQ ñîñòàâëåí èç äóã

Ðèñ. 1

áîëüøèõ êðóãîâ; èõ äëèíû óäîáíî èçìåðÿòü óãëîâîé ìåðîé: 1 ãðàäóñ ñîñòàâëÿåò 1 360 îò ïîëíîãî êðóãà. Ïåðåéòè îò óãëîâîé ìåðû ê êèëîìåòðàì î÷åíü ïðîñòî: äóãà â γ ãðàäóñîâ γ ⋅ 2πR⊕ . èìååò äëèíó 360°  óãëîâîé ìåðå ñòîðîíû NP è NQ ðàâíû α1 è α2 ; óãîë ïðè âåðøèíå N ðàâåí β . Íóæíî íàéòè ñòîðîíó PQ. Íà ïëîñêîñòè ìû áû âîñïîëüçîâàëèñü òåîðåìîé êîñèíóñîâ. Åñòü ëè òàêàÿ òåîðåìà íà ñôåðå? Âñïîìíèì, îòêóäà áåðåòñÿ ïëîñêàÿ òåîðåìà êîñèíóñîâ. Ïîñìîòðèì íà ðèñóíîê 3 è

Ðèñ. 2

ØÊÎËÀ

Ðèñ. 3

ïðèìåíèì äâàæäû òåîðåìó Ïèôàãîðà:

a2 = h2 + (b − x )2 ,  2 2 2 c = h + x , îòêóäà ñëåäóåò a2 − c2 = b2 − 2bx . Ïîñêîëüêó x = c cos ∠A , ïîëó÷àåì a2 = b2 + c2 − 2bc cos ∠A . Èòàê, íàì íóæíû äâà èíãðåäèåíòà: àíàëîã òåîðåìû Ïèôàãîðà è àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ, âûðàæàþùåãî êîñèíóñ, äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íà ñôåðå. Ïóñòü â ∆ABC íà ñôåðå óãîë C ïðÿìîé, à ∠A = α ; óãëîâûå ìåðû êàòåòîâ BC è AC è ãèïîòåíóçû AB ðàâíû a, b è c ñîîòâåòñòâåííî. Ïîâåðíåì ñôåðó òàê, ÷òîáû òî÷êà A îêàçàëàñü Þæíûì ïîëþñîì. Äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàåì, ÷òî òî÷êè B è C òîæå íàõîäÿòñÿ þæíåå ýêâàòîðà. Ñîâåðøèì öåíòðàëüíóþ ïðîåêöèþ1 (ðèñ.4) òî÷êè B è C ïåðåéäóò â B1 è C1 . Ïèðàìèäà OAB1C1 èçîáèëóåò ïðÿìûìè óãëàìè: ∠AC1B1 = ∠OC1B1 = ∠OAC1 = ∠OAB1 = 90° (äîêàæèòå ýòî!).  ÷àñòíîñòè, ñîõðàíèëñÿ ïðÿìîé óãîë ïðè âåðøèíå C. Çíà÷èò, cos ∠A = AC1 AB1 (ñàì óãîë ïðè âåðøèíå A

Â

!%

«ÊÂÀÍÒÅ»

è íà ñôåðå, è íà êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè èìååò òó æå âåëè÷èíó). Ïîñêîëüêó AC1 = OA tg b è AB1 = OA tg a , ïîëó÷àåì cos ∠A = tg b tg a : íà ñôåðå, ÷òîáû óçíàòü êîñèíóñ óãëà, íàäî äåëèòü íå êàòåò íà ãèïîòåíóçó, à òàíãåíñ êàòåòà íà òàíãåíñ ãèïîòåíóçû. Ëåãêî ïîëó÷èòü è ñîîòíîøåíèå íà êàòåòû è ãèïîòåíóçó, çàìåíÿþùåå çäåñü òåîðåìó Ïèôàãîðà:

OB1 cos c = OA = OC1 cos b = OB1 cos a cos b , îòêóäà

cos a cos b = cos c . Òåïåðü ìû ãîòîâû âûâåñòè ñôåðè÷åñêóþ òåîðåìó êîñèíóñîâ. Ïîñìîòðèì åùå ðàç íà ðèñóíîê 3 è âîîáðàçèì, ÷òî äåëî ïðîèñõîäèò íà ñôåðå: cos a = cos h cos (b − x ),  cos c = cos h cos x. Åñëè cos x ≠ 0, ìîæíî èçáàâèòüñÿ îò cos h ; âìåñòî ôîðìóëû êâàäðàòà ðàçíîñòè íàì òåïåðü ïðèãîäèòñÿ ôîðìóëà êîñèíóñà ðàçíîñòè: cos c cos a = (cos b cos x + sin b sin x ) = cos x = cos b cos c + sin b cos c tg x . Íàêîíåö, tg x = tg c cos ∠A , îòêóäà cos a = cos b cos c + sin b sin c cos ∠A. Ýòà ôîðìóëà íå î÷åíü ïîõîæà íà ïëîñêóþ òåîðåìó êîñèíóñîâ2 , îäíàêî åå ðàáîòó óñïåøíî âûïîëíÿåò. Âåðíåìñÿ ê ∆NPQ : â íåì cos PQ = cos α1 cos α2 + sin α1 sin α2 cos β . Äëÿ Ìîñêâû è Íüþ-Éîðêà α1 ≈ 35° , α2 ≈ 50° , β ≈ 111° , îòêóäà cos PQ ≈ 0,37 , óãëîâàÿ ìåðà äóãè PQ ïðèìåðíî ðàâíà 68,28° , à ðàññòîÿíèå ìåæäó ãîðîäàìè ðàâíî ïðèìåðíî 7600 êì. Íàø ðåçóëüòàò íå âïîëíå òî÷åí, ïîòîìó ÷òî ïîâåðõíîñòü Çåìëè íå ñîâñåì ñôåðè÷åñêàÿ. Âðàùåíèå âîêðóã îñè ñæèìàåò ïëàíåòó ê ïëîñêîñòè ýêâàòîðà; âëèÿåò íà åå ôîðìó è 2

Íà ñàìîì äåëå, ïëîñêàÿ òåîðåìà êîñèíóñîâ ïîëó÷àåòñÿ êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ñôåðè÷åñêîé: åñëè óãëîâàÿ ìåðà äóãè x ìàëà, òî Ðèñ. 4 1 Çàìåòèì, ÷òî ýòà æå ïðîåêöèÿ èñïîëüçîâàëàñü íà êàðòå íà ðèñóíêå 1.

cos x ≈ 1 −

x2 , è ïîñëå ïîäñòàíîâêè è îòáðàñû2

âàíèÿ ìàëûõ ñëàãàåìûõ ïîëó÷àåòñÿ êàê ðàç îáû÷íàÿ òåîðåìà êîñèíóñîâ (à èç ñîîòíîøåíèÿ cos c = cos a cos b â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ïîëó÷àåòñÿ òåîðåìà Ïèôàãîðà).

!&

ÊÂÀÍT 2017/¹4

íåðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ñóøè è îêåàíîâ. Ñîâðåìåííàÿ íàóêà ãîâîðèò, ÷òî Çåìëÿ èìååò ôîðìó ãåîèäà (ïåðåâîäÿ ñ ãðå÷åñêîãî: ôîðìó òåëà, ïîõîæåãî íà Çåìëþ). Ïðè íàøåì âû÷èñëåíèè ïîãðåøíîñòü ñîñòàâèëà îêîëî 100 êì, ò.å. ìåíüøå 1,5%. Óïðàæíåíèÿ 1. Âû÷èñëèòå ðàññòîÿíèå ïî äóãå áîëüøîãî êðóãà ìåæäó Áåðëèíîì ( 52°31′ ñ.ø., 13°23′ â.ä.) è Ñèäíååì ( 33°52′ þ.ø., 151°12′ ç.ä.).

2.  äîêàçàòåëüñòâå ñôåðè÷åñêîé òåîðåìû êîñèíóñîâ ìû îïóñòèëè ìíîãèå ñëó÷àè: êîãäà âûñîòà ïîïàäàåò íà ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû; êîãäà cos x = 0 ; êîãäà âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà îêàçûâàþòñÿ â ðàçíûõ ïîëóøàðèÿõ. Âîññòàíîâèòå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ýòèõ ñëó÷àåâ.

3. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèsin a . Âûâåäèòå îòñþäà êå íà ñôåðå sin ∠A = sin c ñôåðè÷åñêèé àíàëîã òåîðåìû ñèíóñîâ.

ÊÎÍÊÓÐÑ ÈÌÅÍÈ À.Ï.ÑÀÂÈÍÀ

Çàäà÷è Ìû çàâåðøàåì î÷åðåäíîé ýòàï êîíêóðñà ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷. Êîíêóðñ âîçîáíîâèòñÿ â ñëåäóþùåì ó÷åáíîì ãîäó. Çàäàíèÿ ïîÿâÿòñÿ â ñåíòÿáðå è áóäóò îïóáëèêîâàíû â «Êâàíòå» ¹9. Çàäà÷è ðàññ÷èòàíû â ïåðâóþ î÷åðåäü íà ó÷àùèõñÿ 7 9 êëàññîâ, íî ìû áóäåì ðàäû ó÷àñòèþ øêîëüíèêîâ âñåõ âîçðàñòîâ. Âûñûëàéòå ðåøåíèÿ çàäà÷, ñ êîòîðûìè ñïðàâèòåñü, ýëåêòðîííîé ïî÷òîé ïî àäðåñó: savin.contest@gmail.com èëè îáû÷íîé ïî÷òîé ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64À, «Êâàíò» (ñ ïîìåòêîé «Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà»). Êðîìå èìåíè è ôàìèëèè óêàæèòå ãîðîä, øêîëó è êëàññ, â êîòîðîì âû ó÷èòåñü, à òàêæå îáðàòíûé ïî÷òîâûé àäðåñ. Ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è êîìàíä (â òàêîì ñëó÷àå ïðèñûëàåòñÿ îäíà ðàáîòà ñî ñïèñêîì ó÷àñòíèêîâ). Ó÷àñòâîâàòü ìîæíî, íà÷èíàÿ ñ ëþáîãî òóðà. Ïîáåäèòåëåé æäóò äèïëîìû æóðíàëà «Êâàíò» è ïðèçû. Æåëàåì óñïåõà!

24.  âîëøåáíîì äâîðöå îáèòàþò ïðåêðàñíûå ôåè. Êàæäûé äåíü ó âñåõ ôåé, êðîìå îäíîé, óëó÷øàåòñÿ è îáàÿòåëüíîñòü, è ïðèâëåêàòåëüíîñòü, à ó îñòàâøåéñÿ ôåè òîëüêî îäíî èç ýòèõ êà÷åñòâ (à äðóãîå ìîæåò è óõóäøèòüñÿ). Îäíàêî çà ïîñëåäíèé ãîä âñå ôåè ñîâåðøåííî íå èçìåíèëèñü. Êàêîâî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå ÷èñëî ôåé âî äâîðöå? ( ãîäó 365 äíåé.) À.Êàíåëü-Áåëîâ 25. Èç êðóãà ìîæíî âûðåçàòü ÷åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû a è c, à äâå äðóãèå b è d. Òîëèê Âòóëêèí óòâåðæäàåò, ÷òî òîãäà èç ýòîãî êðóãà ìîæíî âûðåçàòü è ÷åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû a è b, à äâå äðóãèå c è d. Ïðàâ ëè Òîëèê? Ðåøèòå çàäà÷ó â ñëó÷àÿõ, êîãäà Êîíêóðñ ïðîâîäèòñÿ ñîâìåñòíî ñ æóðíàëîì «Êâàíòèê».

èñõîäíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê: à) âïèñàí â äàííûé êðóã (âåðøèíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ëåæàò íà ãðàíèöå êðóãà); á) íå îáÿçàòåëüíî âïèñàí, íî âûïóêëûé (äèàãîíàëè ëåæàò âíóòðè ÷åòûðåõóãîëüíèêà); â) ìîæåò áûòü íåâûïóêëûì (îäíà èç äèàãîíàëåé ìîæåò ëåæàòü ñíàðóæè ÷åòûðåõóãîëüíèêà). Ñ.Äâîðÿíèíîâ 26. Ëàäüÿ äîëæíà ïðîéòè èç ëåâîãî íèæíåãî óãëà øàõìàòíîé äîñêè â ïðàâûé âåðõíèé ðîâíî çà 6 õîäîâ. Ïðè ýòîì îíà ìîæåò ñäâèãàòüñÿ òîëüêî âïðàâî èëè ââåðõ, à õîäû ââåðõ è âïðàâî äîëæíû ÷åðåäîâàòüñÿ. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ ìàðøðóòîâ ëàäüè. Ï.Êîæåâíèêîâ 27. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n

1

(

)

÷èñëî 44n +1 + 43n +1 + 1 ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâ3 íûì. Â.Ðàñòîðãóåâ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ

Ôóòáîëüíûå è âîëåéáîëüíûå òóðíèðû À.ÇÀÑËÀÂÑÊÈÉ Ñèëà ìûñëè íà èñõîäå, Ðàññóæäàòü î íîâîé ìîäå, Î ôóòáîëå, î ïîãîäå È î ïðî÷èõ ïóñòÿêàõ Òîëüêî ýòî è îñòàëîñü... À.Âåëèêèé

È

ÇÂÅÑÒÍÎ ÌÍÎÃÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ

çàäà÷, â êîòîðûõ ðå÷ü èäåò î ñïîðòèâíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ. ×àùå âñåãî â íèõ ãîâîðèòñÿ îá îäíîêðóãîâûõ òóðíèðàõ, â êîòîðûõ êàæäûé èç n ó÷àñòíèêîâ îäèí ðàç èãðàåò ñ êàæäûì èç îñòàëüíûõ. Ïðè ýòîì, êàê ïðàâèëî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî î÷êè íà÷èñëÿþòñÿ ïî øàõìàòíîé ñèñòåìå, ò.å. çà ïîáåäó ó÷àñòíèê ïîëó÷àåò îäíî î÷êî, çà íè÷üþ ïîëî÷êà, çà ïîðàæåíèå íîëü î÷êîâ (â êîìàíäíûõ âèäàõ ñïîðòà çà ïîáåäó ðàíüøå äàâàëè äâà î÷êà, à çà íè÷üþ îäíî, ÷òî, ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ïðèíöèïèàëüíî íå îòëè÷àåòñÿ îò øàõìàòíîé ñèñòåìû). Î øàõìàòíûõ òóðíèðàõ «Êâàíò» ðàññêàçûâàë íåîäíîêðàòíî1 , ïîýòîìó çäåñü ìû îòìåòèì òîëüêî äâà ñëåäóþùèõ ñâîéñòâà òàêèõ òóðíèðîâ.

1. Ñóììà î÷êîâ, íàáðàííûõ âñåìè ó÷àñòíèêàìè, ðàâíà n ( n − 1) 2 . Äåéñòâèòåëüíî, â êàæäîé ïàðòèè åå ó÷àñòíèêè ïðè ëþáîì èñõîäå íàáèðàþò â ñóììå îäíî î÷êî, à îáùåå ÷èñëî ïàðòèé â òóðíèðå ðàâíî n (n − 1) 2 .

2. Åñëè ó÷àñòíèê íàáðàë â èòîãå s î÷êîâ, òî ðàçíîñòü ìåæäó ÷èñëîì åãî ïîáåä è ÷èñëîì åãî ïîðàæåíèé ðàâíà 2s n + 1. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ó÷àñòíèê âûèãðàë w ïàðòèé, à ïðîèãðàë l ïàðòèé, òî âíè÷üþ îí 1 Ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ À.Çàñëàâñêîãî «Î ëîãè÷íûõ è íåëîãè÷íûõ òóðíèðàõ» («Êâàíò» ¹5 çà 1997 ã.) èëè ñòàòüþ À.Çàñëàâñêîãî è Á.Ôðåíêèíà «Ìàòåìàòèêà òóðíèðîâ» («Êâàíò» ¹1, 2 çà 2007 ã.).

ñûãðàë n 1 w l ðàç, ò.å. íàáðàë s = w + + (n − 1 − w − l ) 2 = (n − 1) 2 + (w − l ) 2 î÷êîâ, ÷òî ðàâíîñèëüíî ñâîéñòâó 2. Èç ñâîéñòâ 1 è 2 ëåãêî âûâåñòè óòâåðæäåíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûå â ñëåäóþùèõ óïðàæíåíèÿõ. Óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå ó÷àñòíèêè òóðíèðà íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ, òî ó êàæäîãî èç íèõ ÷èñëî ïîáåä ðàâíî ÷èñëó ïîðàæåíèé.

2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íå âñå ó÷àñòíèêè òóðíèðà íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ, òî ó ïîáåäèòåëÿ òóðíèðà ïîáåä áîëüøå, ÷åì ïîðàæåíèé, à ó ó÷àñòíèêà, çàíÿâøåãî ïîñëåäíåå ìåñòî, ïîáåä ìåíüøå, ÷åì ïîðàæåíèé.

 êîíöå ïðîøëîãî âåêà â ôóòáîëüíûõ òóðíèðàõ çà ïîáåäó ñòàëè äàâàòü òðè î÷êà, à çà íè÷üþ îäíî.  ïîñëåäíèå ãîäû â âîëåéáîëå ââåëè ñèñòåìó, ïðè êîòîðîé, åñëè âñòðå÷à çàêàí÷èâàåòñÿ ñî ñ÷åòîì 3:0 èëè 3:1, òî ïîáåäèâøàÿ êîìàíäà ïîëó÷àåò òðè î÷êà, à ïðîèãðàâøàÿ íîëü î÷êîâ; åñëè âñòðå÷à çàêàí÷èâàåòñÿ ñî ñ÷åòîì 3:2, òî êîìàíäû ïîëó÷àþò äâà è îäíî î÷êî ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ôóòáîëüíîé ñèñòåìå îáà ñâîéñòâà 1 è 2 ïåðåñòàþò âûïîëíÿòüñÿ, à ïðè âîëåéáîëüíîé ñîõðàíÿåòñÿ òîëüêî ñâîéñòâî 1. Ïîýòîìó ìîæíî îæèäàòü, ÷òî è óòâåðæäåíèÿ óïðàæíåíèé 1 è 2 ïåðåñòàþò áûòü âåðíûìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå êîíòðïðèìåðû íåñëîæíî ïðèäóìàòü, åñëè ÷èñëî ó÷àñòíèêîâ òóðíèðà äîñòàòî÷íî âåëèêî. Îäíàêî âîïðîñ î ìèíèìàëüíî âîçìîæíîì ÷èñëå ó÷àñòíèêîâ òàêèõ òóðíèðîâ íå ñòîëü ïðîñò è äîñòàòî÷íî èíòåðåñåí. Òàêîãî ðîäà çàäà÷è ìû è áóäåì ðàññìàòðèâàòü â ýòîé ñòàòüå. Çàäà÷à 1.  ôóòáîëüíîì òóðíèðå âñå n êîìàíä-ó÷àñòíèö íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî íå ó âñåõ êîìàíä ÷èñëî ïîáåä ðàâíî ÷èñëó ïîðàæåíèé? Îòâåò. n = 8. Ðåøåíèå. Åñëè íå ó âñåõ êîìàíä ïîáåä è ïîðàæåíèé ïîðîâíó, òî íàéäåòñÿ êîìàíäà, èìåþùàÿ áîëüøå ïîáåä, ÷åì ïîðàæåíèé, è êîìàíäà, èìåþùàÿ áîëüøå ïîðàæåíèé, ÷åì ïîáåä. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ó îáåèõ êîìàíä êîëè÷åñòâà ïîáåä è ïîðàæåíèé îòëè÷àþòñÿ íà 1, ò.å. ó ïåðâîé êîìàíäû x ïîáåä è x 1 ïîðàæåíèé, à ó âòîðîé y ïîáåä è y + 1 ïîðàæåíèé. Òîãäà èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà

"

ÊÂÀÍT 2017/¹4

î÷êîâ ïîëó÷àåì

3x + n − 1 − x − ( x − 1) = 3y + n − 1 − y − ( y + 1) , ò.å. y = x + 2. Ïîñêîëüêó x ≥ 1 , ïîëó÷àåì, ÷òî n − 1 ≥ 2y + 1 ≥ 7 , ò.å ÷èñëî êîìàíä íå ìåíüøå 8. Åñëè æå ó êàêîé-òî êîìàíäû êîëè÷åñòâà ïîáåä è ïîðàæåíèé îòëè÷àþòñÿ áîëüøå ÷åì íà 1, òî àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè ïîëó÷àåì äëÿ n áîëåå ñèëüíóþ îöåíêó. Ïðèìåð èñêîìîãî òóðíèðà âîñüìè êîìàíä äàåò òàáëèöà 1. Òàáëèöà 1

øàÿ òðè ìàò÷à è ïðîèãðàâøàÿ ÷åòûðå. Î÷åâèäíî, ÷òî A âûèãðàëà ó B, à îñòàëüíûå øåñòü êîìàíä äåëÿòñÿ íà äâå òðîéêè: âûèãðàâøèõ ó B è ïðîèãðàâøèõ åé. Òåïåðü åñëè êàæäàÿ êîìàíäà èç ïåðâîé òðîéêè ïðîèãðàåò îäíîé êîìàíäå èç âòîðîé (êàæäàÿ ñâîåé), òî â îñòàëüíûõ èãðàõ êàæäàÿ èç øåñòè êîìàíä äîëæíà áóäåò âûèãðàòü è ïðîèãðàòü ïî îäíîìó ìàò÷ó. Ïîñòðîåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèìåðà íå ñîñòàâëÿåò ñëîæíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðè n = 8 íå ìåíåå øåñòè êîìàíä èìåþò ïîðîâíó ïîáåä è ïîðàæåíèé. Àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè n = 9 òàêèõ êîìàíä íå ìåíåå ïÿòè, ïðè n = 10 íå ìåíåå ÷åòûðåõ è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, ïðè n < 14 òàêèå êîìàíäû îáÿçàòåëüíî íàéäóòñÿ. Óïðàæíåíèå 3. Ïðèâåäèòå ïðèìåð òóðíèðà 14 êîìàíä, â êîòîðîì ó âñåõ ïîðîâíó î÷êîâ, íî íåò êîìàíä, èìåþùèõ ïîðîâíó ïîáåä è ïîðàæåíèé.

Ïðèâåäåííîå ðåøåíèå ôîðìàëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì: äîêàçàíà îöåíêà äëÿ n è ïðèâåäåí ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð. Îäíàêî îíî îñòàâëÿåò ÷óâñòâî íåóäîâëåòâîðåííîñòè: íåïîíÿòíî, êàê òàêîé ïðèìåð ïðèäóìàòü. Ïîýòîìó ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïîÿñíåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûìè è â ïîñëåäóþùèõ çàäà÷àõ. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå îöåíêè ìû âûÿñíèëè, ÷òî ñðåäè âîñüìè êîìàíä íåêîòîðûå èìåþò îäíó ïîáåäó è øåñòü íè÷üèõ, äðóãèå òðè ïîáåäû è ÷åòûðå ïîðàæåíèÿ, à ó îñòàëüíûõ ïîáåä è ïîðàæåíèé ïîðîâíó. Ïîñêîëüêó ó êîìàíä ïåðâîé è âòîðîé ãðóïï ïî 9 î÷êîâ, ïîëó÷àåì, ÷òî êîìàíäû òðåòüåé ãðóïïû âûèãðàëè è ïðîèãðàëè ïî äâå èãðû. Êðîìå òîãî, òàê êàê ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî ïîáåä ó âñåõ êîìàíä äîëæíî ðàâíÿòüñÿ ñóììàðíîìó êîëè÷åñòâó ïîðàæåíèé, äâå ïåðâûõ ãðóïïû ñîñòîÿò èç îäèíàêîâîãî êîëè÷åñòâà êîìàíä, îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç k. Òîãäà êàæäàÿ êîìàíäà ïåðâîé ãðóïïû ïðîâîäèò k âñòðå÷ ïðîòèâ êîìàíä âòîðîé ãðóïïû è ýòè âñòðå÷è íå ìîãóò çàêîí÷èòüñÿ âíè÷üþ, ïîñêîëüêó ó êîìàíä âòîðîé ãðóïïû íè÷üèõ íåò. Íî êîìàíäû ïåðâîé ãðóïïû èãðàþò âíè÷üþ âñå âñòðå÷è, êðîìå îäíîé, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè k = 1. Èòàê, ó íàñ åñòü îäíà êîìàíäà, íàçîâåì åå A, âûèãðàâøàÿ îäèí ìàò÷ è ñûãðàâøàÿ âíè÷üþ îñòàëüíûå, è îäíà êîìàíäà B, âûèãðàâ-

Çàäà÷à 2.  âîëåéáîëüíîì òóðíèðå âñå n êîìàíä-ó÷àñòíèö íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî íå ó âñåõ êîìàíä ÷èñëî ïîáåä ðàâíî ÷èñëó ïîðàæåíèé? Îòâåò. n = 5. Ðåøåíèå. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî âñå êîìàíäû ìîãóò íàáðàòü ïîðîâíó î÷êîâ òîëüêî ïðè íå÷åòíîì n. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó â êàæäîé èãðå ó÷àñòâóþùèå â íåé êîìàíäû íàáèðàþò â ñóììå 3 î÷êà, ñóììà î÷êîâ, íàáðàííûõ âñåìè êîìàíäàìè, ðàâíà 3n ( n − 1) 2 , ÷òî ïðè ÷åòíîì n íà n íå äåëèòñÿ. Ïðè n = 3 êàæäàÿ èç òðåõ êîìàíä íàáèðàåò â äâóõ ìàò÷àõ òðè î÷êà, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè îäíîé ïîáåäå è îäíîì ïîðàæåíèè. Ïðè n = 5 âîçìîæíà ñëåäóþÒàáëèöà 2 ùàÿ òàáëèöà 2. Çàäà÷à 3.  âîëåéáîëüíîì òóðíèðå âñå n êîìàíä-ó÷àñòíèö íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî íè ó îäíîé èç êîìàíä ÷èñëî ïîáåä íå ðàâíî ÷èñëó ïîðàæåíèé? Îòâåò. n = 9. Ðåøåíèå. Òàê êàê n íå÷åòíî (ñì. ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó), ðàçíîñòü ìåæäó ÷èñëîì ïîáåä è ÷èñëîì ïîðàæåíèé ó êàæäîé êîìàíäû

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ

÷åòíà. Ïðè ýòîì õîòÿ áû ó îäíîé êîìàíäû ýòè ÷èñëà äîëæíû îòëè÷àòüñÿ áîëüøå ÷åì íà 2, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îáùåå êîëè÷åñòâî ïîáåä íå áóäåò ðàâíî îáùåìó ÷èñëó ïîðàæåíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åñòü êîìàíäà, èìåþùàÿ ïîáåä, ïî êðàéíåé ìåðå, íà 4 áîëüøå, ÷åì ïîðàæåíèé (ïðîòèâîïîëîæíûé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Åñëè ýòà êîìàíäà ïðîèãðàëà òîëüêî îäíó èãðó, òî îíà íàáðàëà íå ìåíüøå 2 (n − 2 ) î÷êîâ, ïðè÷åì n ≥ 7. Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ó íåå äîëæíî áûòü 3 (n − 1) 2 î÷êîâ, à ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ n ïîëó÷àåòñÿ 2 ( n − 2 ) > 3 ( n − 1) 2 ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà êîìàíäà ïðîèãðàëà íå ìåíüøå äâóõ âñòðå÷, à âûèãðàëà íå ìåíüøå øåñòè, ò.å. n ≥ 9 . Ïðèìåð òóðíèðà äåâÿòè êîìàíä äàåò òàáëèöà 3. Òàáëèöà 3

Çàäà÷à 4.  ôóòáîëüíîì òóðíèðå n êîìàíä êîìàíäà «Õèòðåöû» íàáðàëà áîëüøå î÷êîâ, ÷åì ëþáàÿ äðóãàÿ, à êîìàíäà «Ïðîñòàêè» ìåíüøå, ÷åì ëþáàÿ äðóãàÿ. Ïðè ýòîì «Õèòðåöû» âûèãðàëè ìåíüøå ìàò÷åé, ÷åì ïðîèãðàëè, à ó «Ïðîñòàêîâ» ïîáåä îêàçàëîñü áîëüøå, ÷åì ïîðàæåíèé. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n âîçìîæíà òàêàÿ ñèòóàöèÿ? Îòâåò. N = 12. Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî «Õèòðåöû» îáîãíàëè «Ïðîñòàêîâ» õîòÿ áû íà äâà î÷êà. Ðàññóæäàÿ òàê æå, êàê â çàäà÷å 1, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ýòîãî «Õèòðåöû» äîëæíû âûèãðàòü íå ìåíüøå ïÿòè ìàò÷åé, ñëåäîâàòåëüíî, n ≥ 12 . Ïðè n = 12 òàêîé òóðíèð ñóùåñòâóåò (òàáë.4). Çàäà÷à 5.  âîëåéáîëüíîì òóðíèðå n êîìàíä êîìàíäà «Õèòðåöû» íàáðàëà áîëüøå î÷êîâ, ÷åì ëþáàÿ äðóãàÿ, à êîìàíäà «Ïðîñòàêè» ìåíüøå, ÷åì ëþáàÿ äðóãàÿ.

"

ÊÐÓÆÎÊ

Òàáëèöà 4

Ïðè ýòîì «Õèòðåöû» âûèãðàëè ìåíüøå ìàò÷åé, ÷åì ïðîèãðàëè, à ó «Ïðîñòàêîâ» ïîáåä îêàçàëîñü áîëüøå, ÷åì ïîðàæåíèé. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n âîçìîæíà òàêàÿ ñèòóàöèÿ? Îòâåò. n = 6. Ðåøåíèå. Ïðè n < 6 «Õèòðåöû» âûèãðûâàþò íå áîëüøå îäíîé âñòðå÷è è, ñëåäîâàòåëüíî, íàáèðàþò íå áîëüøå 3 + (n − 2 ) = n + 1 î÷êîâ. Àíàëîãè÷íî, «Ïðîñòàêè» íàáèðàþò íå ìåíüøå 2 (n − 2 ) î÷êîâ. Òàê êàê ó «Õèòðåöîâ» äîëæíî áûòü õîòÿ áû íà äâà î÷êà áîëüøå, ÷åì ó «Ïðîñòàêîâ», ïîëó÷àåì, ÷òî n ≤ 3 . Íî ïðè òðåõ êîìàíäàõ îïèñàííàÿ ñèòóàöèÿ, î÷åâèäíî, íåâîçìîæíà. Ïðèìåð äëÿ øåñòè Òàáëèöà 5 êîìàíä ïðèâåäåí â òàáëèöå 5.  çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî åùå áîëåå ïàðàäîêñàëüíûå ñèòóàöèè ìîãóò âîçíèêíóòü, åñëè êîìàíäû èãðàþò íå îäèí, à íåñêîëüêî êðóãîâ. Íàïðèìåð, ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî âî âñòðå÷àõ ëþáûõ äâóõ êîìàíä áîëüøå ïîáåä îäåðæèâàåò êîìàíäà, íàáèðàþùàÿ â èòîãå ìåíüøå î÷êîâ. Ïîïðîáóéòå ïðèäóìàòü ïðèìåðû ïîäîáíûõ òóðíèðîâ, æåëàòåëüíî, ñ íåáîëüøèì ÷èñëîì êðóãîâ è êîìàíä. Âîçìîæíî, ïðè ýòîì ïîëó÷àòñÿ íîâûå èíòåðåñíûå çàäà÷è.

ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ»

Íàïîëåîíâîäîëàç è Ôåéíìàíýêñïåðèìåíòàòîð À.ÏÀÍÎÂ

Ý

ÒÎÒ ÌÀÒÅÐÈÀË ÍÅÁÎËÜØÎÅ ÄÎÏÎË-

íåíèå ê íåäàâíî îïóáëèêîâàííîé ñòàòüå «Ñïàñåì âîäîëàçà» (ñì. «Êâàíò» ¹2 çà 2016 ã.). Íàïîìíèì, ÷òî êàðòåçèàíñêèé âîäîëàç áûë âïåðâûå îïèñàí Ðàôàýëëî Ìàäæîòòè â 1648 ãîäó â åãî òðàêòàòå î íåñæèìàåìîñòè âîäû.  ñîâðåìåííîé âåðñèè êàðòåçèàíñêèé âîäîëàç ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòåêëÿííûé ôëàêîí÷èê, ÷àñòè÷íî çàïîëíåííûé âîäîé, ÷àñòè÷íî âîçäóõîì è ïëàâàþùèé âíèç ãîðëûøêîì â ãåðìåòè÷íî çàêðûòîé ïëàñòèêîâîé áóòûëêå. Åñëè ñæàòü áóòûëêó, âîäîëàç îïóñêàåòñÿ íà äíî, à åñëè áóòûëêó îòïóñòèòü îí ïîäíèìàåòñÿ. Ìàäæîòòè èñïîëüçîâàë âîäîëàçà äëÿ èñ-

Ðèñ. 1. Íàïîëåîí-âîäîëàç

ñëåäîâàíèÿ ñæèìàåìîñòè âîçäóõà è âîäû, íî â ñêîðîì âðåìåíè âîäîëàç èç ôèçè÷åñêîãî èíñòðóìåíòà ïðåâðàòèëñÿ â ïîïóëÿðíóþ èãðóøêó. Îí äàæå ñòàë «îðóæèåì» äëÿ ïîëèòè÷åñêîé ñàòèðû. Âîò ïîòåøíàÿ êàðòèíêà 1813 ãîäà, îíà èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 1. Ïîäïèñü ê êàðòèíêå ïðèìåðíî òàêàÿ: «Ýòî Íàïîëåîí ïðèêèíóëñÿ êàðòåçèàíñêèì äüÿâîëîì. Àâñòðèåö ïðèòîïèë åãî, à ðóññêèé ñìååòñÿ Ýé, Ýé, Ïðèÿòåëü! Ýòî òû ïðàâèëüíî ñäåëàë, ÷òî â áóòûëêó çàëåç». (Íà ðèñóíêå ñòåêëÿííàÿ áóòûëü ãåðìåòè÷íî çàêðûòà óïðóãîé ïëåíêîé.) «Êàðòåçèàíñêèé äüÿâîë» ýòî äðóãîå íàçâàíèå êàðòåçèàíñêîãî âîäîëàçà, ìîæåò ïî ñîçâó÷èþ diver devil (âîäîëàç äüÿâîë). Âïðî÷åì, ñòåêëîäóâû óæå äàâíî âûäóâàëè åãî â âèäå çàáàâíîãî ÷åðòèêà (ðèñ.2). Ïîñìîòðèòå ó ÷åðòèêà çàêðó÷åííûé õâîñòèê ñ îòâåðñòèåì íà êîíöå. Çà ñ÷åò ýòîãî ÷åðòèê íå òîëüêî ñêà÷åò ââåðõ-âíèç, íî åùå è êðóòèòñÿ âîêðóã ñâîåé îñè, ñëîâíî íàñòîÿùèé òàíöîð. Èìåííî òàê åãî è íàçûâàþò ôðàíöóçû ludion. Ïðè ñæàòèè áóòûëêè ïîðöèÿ âîäû çà ñ÷åò èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ çàòåêàåò âíóòðü ÷åðòèêà, à êîãäà áóòûëêó îòïóñêàþò, âîäà âûòåêàåò èç íåãî ÷åðåç îòâåðñòèå â õâîñòå è çàêðó÷èâàåò ÷åðòèêà. Êàê ðàç òàê è óñòðîåíî ñåãíåðîâî êîëåñî íåáîëüøàÿ âîäÿíàÿ òóðáèíà, ÷àñòî èñïîëüçóåìàÿ äëÿ ïîëèâêè ãàçîíîâ (ðèñ.3). Âîäà ïîä äàâëåíèåì ïîäàåòñÿ â S-îáðàçíóþ òðóáêó, âûòåêàåò èç íåå è çàñòàâëÿåò òðóáêó âðàùàòüñÿ ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ. Êíèãà Ðè÷àðäà Ôåéíìàíà «Âû, êîíå÷íî, øóòèòå, ìèñòåð Ôåéíìàí!» ýòî ñîáðàíèå ðàññêàçàííûõ èì èñòîðèé. Îíà ïîçâîëÿåò óçíàòü, êàê ìàëåíüêèé ìàëü÷èê-ýêñïåðèìåíòàòîð ïðåâðàòèëñÿ â âåëèêîãî ôèçèêà-òåîðåòèêà. Îäíà èç ýòèõ èñòîðèé êàê ðàç î âðàùàþùåìñÿ ðàçáðûçãèâàòåëå. Êîãäà îñåíüþ 1939 ãîäà Ôåéíìàí ïåðåáðàëñÿ èç Ìàññà÷óñåòñà â Ïðèíñòîí, îí ïåðâûì

ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß

äåëîì îòûñêàë ïðèíñòîíñêèé öèêëîòðîí è áûë î÷àðîâàí èì: « Ïðîâîäà â ýòîé êîìíàòå áûëè íàòÿíóòû ïîâñþäó. Ïåðåêëþ÷àòåëè ñâèñàëè ñ ïðîâîäîâ, îõëàæäàþùàÿ âîäà êàïàëà èç âåíòèëåé, êîìíàòà áûëà ïîëíà âñÿêîé âñÿ÷èíû, âñå âûñòàâëåíî, âñå îòêðûòî. Âåçäå ãðîìîçäèëèñü ñòîëû ñî ñâàëåííûìè â êó÷ó èíñòðóìåíòàÐèñ. 2. Êàðòåçèàíñêèé ìè. Ñëîâîì, ýòî ÷åðò ñ õâîñòîì áûëà íàèáîëåå ÷óäîâèùíàÿ ìåøàíèíà, êîòîðóþ ÿ êîãäà-ëèáî âèäåë. Âåñü öèêëîòðîí ïîìåùàëñÿ â îäíîé êîìíàòå, è òàì áûë ïîëíûé, àáñîëþòíûé õàîñ! Ýòî íàïîìíèëî ìíå ìîþ äåòñêóþ äîìàøíþþ ëàáîðàòîðèþ». Äàëüøå Ôåéíìàí ðàññêàçûâàåò îá ýêñïåðèìåíòå, ïîñòàâëåííîì èì â öèêëîòðîííîé ëàáîðàòîðèè.  òî âðåìÿ Ïðèíñòîí ïîðàçèëà âèðóñíàÿ çàäà÷à. Âñå ôèçèêè çíàëè, ÷òî âîäà, âûòåêàþùàÿ èç S-îáðàçíîé òðóáêè, çàñòàâëÿåò åå âðàùàòüñÿ. Íî âîò íàñ÷åò òîãî, ÷òî ïðîèçîéäåò ñ òàêîé òðóáêîé, ïîëíîñòüþ ïîãðóæåííîé â âîäó, åñëè ÷åðåç íåå íà÷àòü îòñàñûâàòü âîäó, øëè áîëüøèå ñïîðû. Áóäåò ëè òðóáêà âðàùàòüñÿ â òó èëè äðóãóþ ñòîðîíó? Òóò áûëè ðàçíûå ìíåíèÿ, â òîì ÷èñëå è ó ñàìîãî Ôåéíìàíà. Êîãäà Ôåéíìàí, íàêîíåö, ïóòåì ðàçìûøëåíèé ïðèøåë

Ðèñ. 3. Ñàìîõîäíûé ïîëèâàëüùèê. Èíòåðåñíî, â êàêóþ ñòîðîíó êðóòèòñÿ èçîãíóòàÿ òðóáêà?

"!

«ÊÂÀÍÒÀ»

ê îêîí÷àòåëüíîìó îòâåòó, îí âçÿëñÿ çà ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå.  ëàáîðàòîðèè ñòîÿëà áóòûëü ãèãàíòñêèõ ðàçìåðîâ. ×åðåç ïðîáêó Ôåéíìàí ïðîâåë â íåå äâà øëàíãà. Îäèí äëÿ çàêà÷êè ñæàòîãî âîçäóõà, äðóãîé äëÿ âûâîäà íàðóæó âîäû, ïîñòóïàþùåé â òðóáêó. ×òîáû ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íûå ðåçóëüòàòû, Ôåéíìàí íåñêîëüêî ðàç óâåëè÷èâàë äàâëåíèå âõîäÿùåãî âîçäóõà â ðåçóëüòàòå âñå âçîðâàëîñü. Îñêîëêè ñòåêëà è ñòðóè âîäû ðàçëåòåëèñü âî âñå ñòîðîíû, ìíîæåñòâî ñíèìêîâ òðåêîâ ÷àñòèö, ïîëó÷åííûõ íà öèêëîòðîíå, ïîñòðàäàëè. À ñàì Ôåéíìàí áûë íàâñåãäà èçãíàí èç öèêëîòðîííîé ëàáîðàòîðèè. Ìåæäó òåì, äëÿ ïðîâåðêè ñâîèõ òåîðåòè÷åñêèõ âûâîäîâ Ôåéíìàí âïîëíå ìîã áû îáîéòèñü è áåçîáèäíûì äåêàðòîâûì ÷åðòèêîì.  ïåðâîé èç ïðèâåäåííûõ íèæå ññûëîê êàê ðàç ãîâîðèòñÿ î òîì, êàê ñàìîìó ñäåëàòü âîäîëàçà-òàíöîðà. Èçãîòîâüòå åãî è ïîñìîòðèòå, áóäåò ëè îí çàêðó÷èâàòüñÿ ïîä äåéñòâèåì çàòåêàþùåé â íåãî âîäû. Ññûëêè

• http://www.reinventore.it/reinventore-tv/

le-caraffine-di-magiotti-2 Çàìå÷àòåëüíîå âèäåî Áåíèàìèíî Äàíåñå (Beniamino Danese) î êàðòåçèàíñêîì âîäîëàçå, îíî íàçûâàåòñÿ «Ôëàêîí÷èêè Ìàäæîòòè». Áëèæå ê êîíöó ðàññêàçûâàåòñÿ, êàê èç ïëàñòìàññîâîé òðóáî÷êè ìîæíî ñäåëàòü âîäîëàçà-òàíöîðà. Çàîäíî ïîñëóøàåòå, êàê êðàñèâî çâó÷èò èòàëüÿíñêàÿ ðå÷ü.

• http://www.reinventore.it/sala-professori/ 2013/12/le-caraffine-di-magiotti Òåêñò, â êîòîðîì ðàññêàçàíî î ñàìîì Ðàôàýëëî Ìàäæîòòè, î äåêàðòîâîì âîäîëàçå è åùå îá îäíîé èñòîðèè, ñâÿçàííîé ñ ýêñïåðèìåíòîì Ôåéíìàíà.

• http://www.reinventore.it/reinventore-tv Ýòî îòëè÷íîå ñîáðàíèå âèäåî ñ ðàçíûìè ôèçè÷åñêèìè ýêñïåðèìåíòàìè.

• http://web-ter.unizar.es/cienciate/expo/ en/index.html Êîëëåêöèÿ ïîä íàçâàíèåì «Dance, dance, you little devils», ñîäåðæàùàÿ 77 ñòàðèííûõ èçîáðàæåíèé äåêàðòîâà âîäîëàçà. Ðèñóíîê 1 â ñòàòüå âçÿò îòòóäà.

• Êíèãà Ðè÷àðäà Ôåéíìàíà «Âû, êîíå÷íî, øóòèòå, ìèñòåð Ôåéíìàí!»

(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 51)

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

XXXVIII Òóðíèð ãîðîäîâ Çàäà÷è âåñåííåãî òóðà ÁÀÇÎÂÛÉ ÂÀÐÈÀÍÒ

8 9 êëàññû (3)1

Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå 1. ÷èñëî, êîòîðîå íà÷èíàåòñÿ (â äåñÿòè÷íîé çàïèñè) íà 2016 è äåëèòñÿ íà 2017. Ì.Åâäîêèìîâ 2. (4) Äîêàæèòå, ÷òî íà ãðàôèêå ëþáîãî êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 1, èìåþùåãî ðîâíî îäèí êîðåíü, íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà (p, q), ÷òî òðåõ÷ëåí x2 + px + q òàêæå èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü. Á.Ôðåíêèí 3. (5) Èç âåðøèíû A îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC ïî áèññåêòðèñå óãëà A âûïóñòèëè áèëüÿðäíûé øàðèê, êîòîðûé îòðàçèëñÿ îò ñòîðîíû BC ïî çàêîíó «óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ» è äàëüøå êàòèëñÿ ïî ïðÿìîé, óæå íè îò ÷åãî íå îòðàæàÿñü. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ∠A = 60° , òî òðàåêòîðèÿ øàðèêà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC. À.Êóçíåöîâ 4. (5)  ðÿä ñòîÿò 100 äåòåé ðàçíîãî ðîñòà. Ðàçðåøàåòñÿ âûáðàòü ëþáûõ 50 äåòåé, ñòîÿùèõ ïîäðÿä, è ïåðåñòàâèòü èõ ìåæäó ñîáîé êàê óãîäíî (îñòàëüíûå îñòàþòñÿ íà ñâîèõ ìåñòàõ). Êàê âñåãî çà 6 òàêèõ ïåðåñòàíîâîê ãàðàíòèðîâàííî ïîñòðîèòü âñåõ äåòåé ïî óáûâàíèþ ðîñòà ñëåâà íàïðàâî? È.Áîãäàíîâ 5. à) (2) Ñì. çàäà÷ó Ì2458,à «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». á) (3) Ñì. çàäà÷ó Ì2458,á «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».

A2 A3 , , A11 A12 , A12 A1 âûáðàòü 7, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó? Ì.Ìóðàøêèí 2. (4) Äàíû äâå êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè è òî÷êà A âíóòðè ìåíüøåé îêðóæíîñòè. Óãîë âåëè÷èíîé α ñ âåðøèíîé â A âûñåêàåò íà ýòèõ îêðóæíîñòÿõ ïî äóãå. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äóãà áîëüøåé îêðóæíîñòè èìååò óãëîâîé ðàçìåð α , òî è äóãà ìåíüøåé îêðóæíîñòè èìååò óãëîâîé ðàçìåð α . Å.Áàêàåâ 3. (5)  êàæäóþ êëåòêó êâàäðàòà 1000 × 1000 âïèñàíî ÷èñëî òàê, ÷òî â ëþáîì íå âûõîäÿùåì çà ïðåäåëû êâàäðàòà ïðÿìîóãîëüíèêå ïëîùàäè s ñî ñòîðîíàìè, ïðîõîäÿùèìè ïî ãðàíèöàì êëåòîê, ñóììà ÷èñåë îäíà è òà æå. Ïðè êàêèõ s ÷èñëà âî âñåõ êëåòêàõ îáÿçàòåëüíî áóäóò îäèíàêîâû? Å.Áàêàåâ 4. (5) Ïî êðóãó ñòîÿò 10 äåòåé ðàçíîãî ðîñòà. Âðåìÿ îò âðåìåíè îäèí èç íèõ ïåðåáåãàåò íà äðóãîå ìåñòî (ìåæäó êàêèìè-òî äâóìÿ äåòüìè). Äåòè õîòÿò êàê ìîæíî ñêîðåå âñòàòü ïî ðîñòó â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (îò ñàìîãî íèçêîãî ê ñàìîìó âûñîêîìó). Êàêîãî íàèìåíüøåãî êîëè÷åñòâà òàêèõ ïåðåáåæåê èì çàâåäîìî õâàòèò, êàê áû îíè íè ñòîÿëè èçíà÷àëüíî? Å.Áàêàåâ 5. (6) Ãðàôèêè äâóõ êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíîâ ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ.  îáåèõ òî÷êàõ êàñàòåëüíûå ê ãðàôèêàì ïåðïåíäèêóëÿðíû. Âåðíî ëè, ÷òî îñè ñèììåòðèè ãðàôèêîâ ñîâïàäàþò? À.Çàñëàâñêèé ÑËÎÆÍÛÉ ÂÀÐÈÀÍÒ

10 11 êëàññû

8 9 êëàññû

1. (3) Äàí ïðàâèëüíûé 12-óãîëüíèê

A1 A2 … A12 . Ìîæíî ëè èç 12 âåêòîðîâ A1 A2 ,

1. (5)  øàõìàòíîì òóðíèðå áûëî 10 ó÷àñòíèêîâ.  êàæäîì òóðå ó÷àñòíèêè ðàçáèâàëèñü íà ïàðû è â êàæäîé ïàðå èãðàëè äðóã ñ äðóãîì îäíó èãðó.  èòîãå êàæäûé ó÷àñòíèê ñûãðàë ñ êàæäûì ðîâíî îäèí ðàç, ïðè÷åì íå ìåíüøå ÷åì â ïîëîâèíå âñåõ èãð ó÷àñòíèêè áûëè çåìëÿêàìè (èç îäíîãî ãîðî-

1  ñêîáêàõ ïîñëå íîìåðà çàäà÷è óêàçàíî ÷èñëî áàëëîâ, ïðèñóæäàâøèõñÿ çà åå ïîëíîå ðåøåíèå. Ïðè ïîäâåäåíèè èòîãîâ ó êàæäîãî ó÷àñòíèêà ó÷èòûâàþòñÿ òðè çàäà÷è, ïî êîòîðûì îí íàáðàë áîëüøå âñåãî áàëëîâ.

"#

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

äà). Äîêàæèòå, ÷òî â êàæäîì òóðå õîòÿ áû îäíà èãðà áûëà ìåæäó çåìëÿêàìè. Á.Ôðåíêèí 2. à) (1) Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü íà êëåò÷àòîé áóìàãå ìíîãîóãîëüíèê è ïîäåëèòü åãî íà äâå ðàâíûå ÷àñòè ðàçðåçîì òàêîé ôîðìû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå à?

á) (2) Ðåøèòå òó æå çàäà÷ó äëÿ ðàçðåçà òàêîé ôîðìû, êàê íà ðèñóíêå á. â) (4) Ðåøèòå òó æå çàäà÷ó äëÿ ðàçðåçà òàêîé ôîðìû, êàê íà ðèñóíêå â. (Âî âñåõ ïóíêòàõ ðàçðåç ëåæèò âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà, íà ãðàíèöó âûõîäÿò òîëüêî êîíöû ðàçðåçà. Ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà è çâåíüÿ ðàçðåçà èäóò ïî ëèíèÿì ñåòêè, ìàëåíüêèå çâåíüÿ â äâà ðàçà êîðî÷å áîëüøèõ.) Þ.Ìàðêåëîâ, ó÷åíèê 7 êëàññà 3. Âçÿëè íåñêîëüêî ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë è ïîñòðîèëè ïî íèì òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: a1 ñóììà èñõîäíûõ ÷èñåë, a2 ñóììà êâàäðàòîâ èñõîäíûõ ÷èñåë, a3 ñóììà êóáîâ èñõîäíûõ ÷èñåë è ò.ä. à) (4) Ìîãëî ëè ñëó÷èòüñÿ, ÷òî äî a5 ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óáûâàåò ( a1 > a2 > a3 > > a4 > a5 ), à íà÷èíàÿ ñ a5 âîçðàñòàåò ( a5 < a6 < a7 < … )? á) (4) À ìîãëî ëè ñëó÷èòüñÿ, íàîáîðîò: äî a5 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âîçðàñòàåò, à íà÷èíàÿ ñ a5 óáûâàåò? À.Òîëïûãî 4. (8)  âûïóêëîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF âñå ñòîðîíû ðàâíû, à òàêæå AD = = BE = CF. Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîò øåñòèóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü. Á.Îáóõîâ 5. (8) Ìàññà êàæäîé ãèðüêè íàáîðà íåöåëîå ÷èñëî ãðàììîâ. Èìè ìîæíî óðàâíîâåñèòü ëþáóþ öåëóþ ìàññó îò 1 ã äî 40 ã (ãèðüêè êëàäóòñÿ íà îäíó ÷àøêó âåñîâ, èçìåðÿåìàÿ ìàññà íà äðóãóþ). Êàêîâî íàèìåíüøåå ÷èñëî ãèðåê â òàêîì íàáîðå? À.Øàïîâàëîâ 6. (10) Ñì. çàäà÷ó Ì2460 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».

7. à) (6) Ñì. çàäà÷ó Ì2461,à «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».

á) (3) Ñì. çàäà÷ó Ì2461,á «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». â) (3) Ñì. çàäà÷ó Ì2461,â «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». Ì.Åâäîêèìîâ 10 11 êëàññû 1. (4) Íà ïëîñêîñòè äàíû òðåóãîëüíèê è 10 ïðÿìûõ. Îêàçàëîñü, ÷òî êàæäàÿ ïðÿìàÿ ðàâíîóäàëåíà îò êàêèõ-òî äâóõ âåðøèí òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî èëè äâå èç ýòèõ ïðÿìûõ ïàðàëëåëüíû, èëè òðè èç íèõ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ñ.Ìàðêåëîâ 2. à) (3) Ñì. çàäà÷ó 3,à äëÿ 8 9 êëàññîâ. á) (3) Ñì. çàäà÷ó 3,á äëÿ 8 9 êëàññîâ.

3. (7) Âàñÿ óòâåðæäàåò, ÷òî îí ðàçðåçàë âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, ó êîòîðîãî åñòü ëèøü òðåóãîëüíûå è øåñòèóãîëüíûå ãðàíè, íà äâå ÷àñòè è ñêëåèë èç ýòèõ ÷àñòåé êóá. Ìîãóò ëè ñëîâà Âàñè áûòü ïðàâäîé? Ì.Åâäîêèìîâ 4. (8) Ïåòÿ ðàñêðàñèë êàæäóþ êëåòêó êâàäðàòà 1000×1000 â îäèí èç 10 öâåòîâ. Òàêæå îí ïðèäóìàë òàêîé 10-êëåòî÷íûé ìíîãîóãîëüíèê Ô, ÷òî ïðè ëþáîì ñïîñîáå ïîëîæèòü åãî ïî ãðàíèöàì êëåòîê íà ðàñêðàøåííûé êâàäðàò âñå 10 íàêðûòûõ èì êëåòîê áóäóò ðàçíîãî öâåòà. Îáÿçàòåëüíî ëè Ô ïðÿìîóãîëüíèê? Å.Áàêàåâ 5. (9)  òðåóãîëüíèêå ABC c óãëîì A, ðàâíûì 45° , ïðîâåäåíà ìåäèàíà AM. Ïðÿìàÿ b ñèììåòðè÷íà ïðÿìîé AM îòíîñèòåëüíî âûñîòû BB1 , à ïðÿìàÿ c ñèììåòðè÷íà ïðÿìîé AM îòíîñèòåëüíî âûñîòû CC1 . Ïðÿìûå b è c ïåðåñåêëèñü â òî÷êå X. Äîêàæèòå, ÷òî AX = BC. Å.Áàêàåâ 6. (10) Ïðè êàêèõ íàòóðàëüíûõ n äëÿ âñÿêîãî öåëîãî k ≥ n íàéäåòñÿ ÷èñëî ñ ñóììîé öèôð k, êðàòíîå n? À.Êóçíåöîâ, È.Ëîñåâ 7. (12)  ×èêàãî æèâóò 36 ãàíãñòåðîâ, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ âðàæäóþò ìåæäó ñîáîé. Êàæäûé ãàíãñòåð ñîñòîèò â íåñêîëüêèõ áàíäàõ, ïðè÷åì íåò äâóõ áàíä ñ ñîâïàäàþùèì ñîñòàâîì. Îêàçàëîñü, ÷òî ãàíãñòåðû, ñîñòîÿùèå â îäíîé áàíäå, íå âðàæäóþò, íî åñëè ãàíãñòåð íå ñîñòîèò â êàêîé-òî áàíäå, òî

"$

ÊÂÀÍT 2017/¹4

îí âðàæäóåò õîòÿ áû ñ îäíèì åå ó÷àñòíèêîì. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî áàíä ìîãëî áûòü â ×èêàãî? Ôîëüêëîð (ïðåäëîæèë Ë.Øàáàíîâ)

Óñòíûé òóð äëÿ 11 êëàññà 1.  ïåðâûé äåíü 2n øêîëüíèêîâ èãðàëè â ïèíã-ïîíã íàâûëåò: ñíà÷àëà ñûãðàëè äâîå, çàòåì ïîáåäèòåëü ñûãðàë ñ òðåòüèì, ïîáåäèòåëü ýòîé ïàðû ñ ÷åòâåðòûì è ò.ä., ïîêà íå ñûãðàë ïîñëåäíèé øêîëüíèê (íè÷üèõ â ïèíãïîíãå íå áûâàåò). Âî âòîðîé äåíü òå æå øêîëüíèêè ðàçûãðàëè êóáîê: ñíà÷àëà ïðîèçâîëüíî ðàçáèëèñü íà ïàðû è ñûãðàëè â ïàðàõ, ïðîèãðàâøèå âûáûëè, à ïîáåäèòåëè ñíîâà ïðîèçâîëüíî ðàçáèëèñü íà ïàðû è ñûãðàëè â ïàðàõ è ò.ä. Îêàçàëîñü, ÷òî íàáîðû èãðàâøèõ ïàð â ïåðâûé è âî âòîðîé äåíü áûëè îäíè è òå æå (âîçìîæíî, ïîáåäèòåëè áûëè äðóãèå). Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå n. Á.Ôðåíêèí 2. Ñôåðà êàñàåòñÿ 99 ðåáåð íåêîòîðîé âûïóêëîé 50-óãîëüíîé ïèðàìèäû. Îáÿçàòåëüíî ëè òîãäà îíà êàñàåòñÿ è 100-ãî ðåáðà ýòîé ïèðàìèäû? Ì.Åâäîêèìîâ

3. Ñì. çàäà÷ó Ì2459 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».

4. Êëåòêè äîñêè 100 × 100 ðàñêðàøåíû â ÷åðíûé è áåëûé öâåòà â øàõìàòíîì ïîðÿäêå. Ìîæíî ëè ïåðåêðàñèòü ðîâíî 2018 ðàçëè÷íûõ êëåòîê ýòîé äîñêè â ïðîòèâîïîëîæíûé öâåò òàê, ÷òîáû â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå îêàçàëîñü îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî ÷åðíûõ êëåòîê? Þ.×åêàíîâ 5. Äàí òðåóãîëüíèê XBC. Ðàçëè÷íûå òî÷êè AH , AI , AM òàêîâû, ÷òî X ÿâëÿåòñÿ îðòîöåíòðîì òðåóãîëüíèêà AH BC , öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà AI BC è òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà AM BC . Äîêàæèòå, ÷òî åñëè AH AM è BC ïàðàëëåëüíû, òî AI ñåðåäèíà AH AM . Å.Áàêàåâ 6. Äëÿ êàêèõ íàòóðàëüíûõ n âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîãî÷ëåíà P ñòåïåíè n ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè íàéäóòñÿ òàêèå ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå a è b, äëÿ êîòîðûõ P ( a ) + P (b ) äåëèòñÿ íà a + b? Ã.Æóêîâ Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè È.Áîãäàíîâ, Ñ.Äîðè÷åíêî, Ë.Ìåäíèêîâ

XXV Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî» ïðè ó÷àñòèè ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Èíñòèòóòà ïåäàãîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé îäàðåííîñòè ÐÀÎ (ã. Íîâîñèáèðñê) è ïðè ïîääåðæêå Ìåæäóíàðîäíîé àññîöèàöèè «Ïåäàãîãèêà îäàðåííîñòè è òàëàíòà», Ôîíäà «1Ñ» è æóðíàëîâ «Êâàíò», «Ïîòåíöèàë» è «Ôèçèêà äëÿ øêîëüíèêîâ» ïðîâåë XXV Ìåæäóíàðîäíóþ òåñò-ðåéòèíãîâóþ îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí». Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà ñî 2 ïî 9 îêòÿáðÿ 2016 ãîäà â ãîðîäå Ïðîòâèíî Ìîñêîâñêîé îáëàñòè íà áàçå Èíñòèòóòà ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé. Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè ó÷àñòíèêè èç ðàçíûõ ãîðîäîâ Ðîññèè. Îäàðåííûå øêîëüíèêè 9 11 êëàññîâ, ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäà-

ìåíòàëüíûì íàóêàì, ñîðåâíîâàëèñü â êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, ôèçèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Ïåäàãîãè è ïñèõîëîãè ñîáðàëèñü íà ñâîþ íàó÷íóþ ñåññèþ â âîñüìîé ðàç.  èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ íà ýòîò ðàç ïîáåäèëè ó÷àùèåñÿ ëèöåÿ 2 èç ãîðîäà Àëüìåòüåâñêà (Òàòàðñòàí). Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñòàë Ýäóàðä Ñàáèðîâ, åìó áûëè âðó÷åíû áîëüøàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü, çîëîòàÿ ìåäàëü ïî ôèçèêå è ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü ïî ìàòåìàòèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â îáùåì çà÷åòå ñòàë Ðóñëàí Êàìàëîâ, ïîëó÷èâøèé áîëüøóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü è ìàëóþ çîëîòóþ ìåäàëü ïî ìàòåìàòèêå. Áîëüøóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü çàâîåâàë Àçàò ßìàíàåâ, îí ïîëó÷èë òàêæå ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü ïî ôèçèêå.

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

"%

Óæå ïÿòûé ðàç âñòðå÷àþòñÿ íà Ìåæäóíàðîäíîì ìàòåìàòè÷åñêîì òóðíèðå èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ìëàäøèå øêîëüíèêè ó÷àùèåñÿ 5 8 êëàññîâ, ÿâëÿÿñü îëèìïèéñêèì ðåçåðâîì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí». Ñîðåâíîâàíèÿ «Ìàòåìàòè÷åñêèé áèàòëîí» äëÿ 7 8 êëàññîâ âûèãðàë Åãîð Ìàðòûíîâ, âòîðîå ìåñòî çàíÿë Àëåêñàíäð Ìàëüöåâ, à òðåòüå ìåñòî ðàçäåëèëè Àëåêñåé Ôðîëîâ è Âëàäèìèð Øàéìàðäàíîâ (âñå èç êîìàíäû ëèöåÿ 2 ãîðîäà Áóãóëüìû, Òàòàðñòàí).  èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ ïîáåäèë Åãîð Ìàðòûíîâ, ïðèçåðàìè ñòàëè Àëåêñåé Ôðîëîâ è Àëåêñàíäð Ìàëüöåâ (âñå èç Êîìàíäà ìîñêîâñêîé øêîëû «Áàçèñ» îáñóæäàåò çàäàíèå íà êîìàíäû ëèöåÿ 2 ãîðîäà Áóãóëü- óñòíûõ êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ ïî ôèçèêå ìû). Òðàäèöèîííûé ïðèç «Áåðåñòÿíàÿ òàðåëêà» áûë âðó÷åí Ðàäìèëå Çàèêèíîé äèàãîíàëè AC è BD ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàé(ëèöåé 2 èç Àëüìåòüåâñêà) è Åãîðó Ìàðòûíîâó. äèòå áîêîâûå ñòîðîíû òðàïåöèè, åñëè AD = Âñå ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû ïîëó÷èëè ðàçíûå = a, BC = b. ïîäàðêè è ïðèçû îò îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñî3. ×åìó ìîæåò áûòü ðàâíî îòíîøåíèå ðîâ îëèìïèàäû. êîðíåé óðàâíåíèÿ Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ax 2 + bx + c = 0 ( b ≠ 0 ), ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå ñ îäàðåííûìè åñëè 3b2 = 16ac ? äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XXVI Ìåæäóíàðîä4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî çàïèñûâàåòñÿ íà íîé îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», äîñêå. Åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà ñòèðàåòñÿ. Ñòåðêîòîðàÿ ïðîéäåò â îêòÿáðå 2017 ãîäà â Èçðàèëå. òàÿ öèôðà óìíîæàåòñÿ íà 5, à ðåçóëüòàò Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: ïðèáàâëÿåòñÿ ê îñòàâøåìóñÿ íà äîñêå ÷èñëó.

115522 Ðîññèÿ, Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ òàêèõ îïåðàöèé èç ä.15/6, êîðï. 2, ÌÈÊ «Ãëþîí» ÷èñëà 20162016 ïîëó÷èòü ÷èñëî 20152015 ? Òåëåôîí: +7(925)517-8014 5. Íà ñòîðîíàõ AB, BC, CD è AD ïðÿìîÔàêñ: (495)396-8227 óãîëüíèêà ABCD âçÿëè ñîîòâåòñòâåííî ÷åE-mail: gluon@yandex.ru (ñì. òàêæå ñàéò: òûðå òî÷êè K, L, M, N, îòëè÷íûå îò âåðøèí http:www.gluon.ru)

Îëèìïèàäà ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1. Äàíû 10 ÷èñåë: a1 < a2 < a3 < … < a10 . Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë a1 + a2 + a3 + … + a6 èëè 6 a1 + a2 + a3 + … + a10 10 áîëüøå?

2. Â òðàïåöèè ABCD ïðîåêöèÿ äèàãîíàëè AC íà îñíîâàíèå AD ðàâíà ñðåäíåé ëèíèè, à

ïðÿìîóãîëüíèêà. Íàéäèòå íàèìåíüøóþ âîçìîæíóþ âåëè÷èíó ïåðèìåòðà ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN, åñëè AB = a, BC = b.

6. Íàä ëþáûìè äâóìÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè ïðîèçâîäèòñÿ îïåðàöèÿ ∗ ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè: 1) x ∗ x = 0 ; 2) x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) + z .

Íàéäèòå 2016 ∗ 2015 .

7. Ïóñòü Tn êîëè÷åñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç íóëåé è åäèíèö äëèíû n, â êîòîðîé íèêàêèå òðè åäèíèöû íå ñòîÿò ðÿäîì. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå n, ÷òî ÷èñëà Tn , Tn +1 , Tn + 2 îäíîâðåìåííî: à) ÷åòíûå; á) íå÷åòíûå? â) À ñóùåñòâóþò ëè òàêèå n, ÷òî îáà ñîñåäíèõ ÷èñëà Tn , Tn +1 äåëÿòñÿ íà 2016?

"&

ÊÂÀÍT 2017/¹4

Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1. Èç ïóíêòîâ À è  îäíîâðåìåííî íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó âûåõàëè äâà àâòîìîáèëÿ. ×åðåç ñêîëüêî âðåìåíè îíè âñòðåòèëèñü, åñëè àâòîìîáèëü, âûåõàâøèé èç ïóíêòà À, äîåõàë äî ïóíêòà  ÷åðåç 9 ÷àñîâ ïîñëå âñòðå÷è àâòîìîáèëåé, à àâòîìîáèëü, âûåõàâøèé èç Â, ïðèåõàë â À ÷åðåç 4 ÷àñà ïîñëå âñòðå÷è?

2. Âåðøèíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ëåæàò íà ñòîðîíàõ ÷åòûðåõóãîëüíèêà A1B1C1D1 . Ìîæåò ëè ïëîùàäü ABCD áûòü áîëüøå ïëîùàäè A1B1C1D1 ?

3. ßâëÿåòñÿ ëè ÷èñëî 16016003 ïðîñòûì?

4. Ñêîëüêî ñòîðîí èìååò âûïóêëûé n-óãîëüíèê, åñëè ÷èñëî åãî äèàãîíàëåé ðàâíî 119?

5. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ìåñÿöåâ, ñîäåðæàùèõ ïÿòü ïÿòíèö, ìîæåò áûòü â ãîäó?

6. Äàíû ïðÿìàÿ l è òî÷êà À âíå íåå. Ïðîâåäÿ âñåãî òðè ëèíèè öèðêóëåì è ëèíåéêîé, ïîñòðîéòå ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó À ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé l.

7. Êàêîå èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë à èëè b 1 áîëüøå, åñëè a (1 − b ) > ?

4 8.  îäíîêðóãîâîì òóðíèðå ïî âîëåéáîëó (çà ïîáåäó ïðèñóæäàåòñÿ îäíî î÷êî, çà ïîðàæåíèå íîëü, íè÷üèõ íå áûâàåò) ó÷àñòâîâàëè 12 êîìàíä. Ìîæíî ëè âûáðàòü òðè êîìàíäû À,  è Ñ òàê, ÷òîáû À âûèãðàëà ó Â,  ó Ñ, à Ñ ó À, åñëè íè îäíà èç êîìàíä íå íàáðàëà 7 î÷êîâ?

9. Ñêîëüêî ñåé÷àñ ëåò ìîåìó ïëåìÿííèêó, åñëè â ãîäó ñ íîìåðîì x 2 åìó èñïîëíèòñÿ õ ëåò?

10. Òðè ìîòîöèêëèñòà À,  è Ñ âûåõàëè èç îäíîé òî÷êè êîëüöåâîé äîðîãè ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè â îäíîì íàïðàâëåíèè. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ îíè ñíîâà îêàçàëèñü â îäíîé òî÷êå. Ñêîëüêî ðàç ìîòîöèêëèñò À îáãîíÿë Ñ, åñëè À îáãîíÿë  òðè ðàçà, à  îáãîíÿë Ñ ÷åòûðå ðàçà? Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé 1. Ëåãåíäàðíàÿ øêîëà Ïèôàãîðà, çàëîæèâøàÿ îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè, ñðåäè ïðî÷èõ çàäà÷ çàíèìàëàñü çàäà÷åé î íàõîæäåíèè öåëî÷èñëåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ.  ÷àñòíîñòè, ïèôàãîðåéöû íàøëè áåñêîíå÷íûå ñåðèè (íå âñå) òðîåê íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ( a, b, c ) , äëÿ êîòîðûõ a2 + b2 = c2 .

Âñëåä çà ïèôàãîðåéöàìè âûÿñíèòå, ñóùåñòâóåò ëè öåëî÷èñëåííûé ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, îäíèì èç êàòåòîâ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî: à) 2015; á) 2k + 1, ãäå k ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

2.  Äðåâíåì Åãèïòå ïðåäñòàâëÿëè äðîáè â âèäå ñóììû ðàçëè÷íûõ äîëåé (ò.å. äðîáåé 1 âèäà ).  ïàïèðóñå æðåöà Àõìåñà èìåëèñü n äàæå òàáëèöû òàêèõ ïðåäñòàâëåíèé äëÿ äðî2 äëÿ 5 ≤ n ≤ 99 . áåé âèäà n Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû äîëåé äðîáè: 2 7 à) ; á) .

19 19 3. Àðõèìåä ïðè âû÷èñëåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ îêðóæíîñòüþ, ïîëüçîâàëñÿ óòâåðæäåíèåì, êîòîðîå â ñîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêå âûãëÿäèò òàê: «Â äóãó À âïèñàíà ëîìàíàÿ ÀÌ èç äâóõ îòðåçêîâ (AM > MB). Òîãäà îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà KÍ, îïóùåííîãî èç ñåðåäèíû K äóãè À íà îòðåçîê AM, äåëèò ëîìàíóþ ïîïîëàì: AH = HM + MB. à) Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå Àðõèìåäà. á) Êàêóþ òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëó çàìåíÿëî â âû÷èñëåíèÿõ Àðõèìåäà ýòî óòâåðæäåíèå? Çàïèøèòå ýòó ôîðìóëó.

4. Ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê ìîíàõ Ìàðèí Ìåðñåíí (1588 1648) ñîñòîÿë â ïåðåïèñêå ñ êðóïíåéøèìè ìàòåìàòèêàìè ñâîåãî âðåìåíè (Ôåðìà, Ïàñêàëåì, Äåêàðòîì è äð.). Åãî ïåðåïèñêà èñïîëíÿëà ðîëü ñâîåãî ðîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî æóðíàëà. Ñàì Ìåðñåíí èçó÷àë, ñðåäè ïðî÷åãî, ñîâåðøåííûå ÷èñëà, ò.å. ÷èñëà, ðàâíûå ñóììå ñâîèõ äåëèòåëåé, îòëè÷íûõ îò ñàìîãî ÷èñëà. Âñÿêîå ÷åòíîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî èìååò âèä 2n −1 2n − 1 , åñëè ÷èñëî 2n − 1 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. Ïðîñòîå ÷èñëî âèäà 2n − 1 íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì Ìåðñåííà. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè 2 n − 1 ïðîñòîå ÷èñëî, òî è ÷èñëî n ïðîñòîå.

5. 5 àâãóñòà 2002 ãîäà èñïîëíèëîñü 200 ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ âåëèêîãî ìàòåìàòèêà, ïðîæèâøåãî î÷åíü êîðîòêóþ æèçíü íåïîëíûõ 27 ëåò. Îí âíåñ ãèãàíòñêèé âêëàä âî ìíîãèå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè. Òåîðåìû è òåðìèíû, ñâÿçàííûå ñ åãî èìåíåì, èçâåñòíû âñåì ìàòåìàòèêàì, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî êóðñà óíèâåðñèòåòà. Îäíèì èç ñàìûõ åãî çàìå÷àòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, îêîí÷àòåëüíî ðåøèâøåé ïðîáëåìó, ñâÿçàííóþ ñ àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâ-

(

)

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

"'

Ðèñ. 2

âûå ñòîðîíû ñîñóäà ìåòàëëèçèðîâàíû è ðàñïîëîæåíû äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèè l = 1 ñì. Ñîñóä çàïîëíåí æèäêèì äèýëåêòðèêîì, ïëîòíîñòü êîòîðîãî ρ = 1,4 ã ñì 3 , à Ðèñ. 3 äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ε = 65 . Äèýëåêòðèê è ñòåíêè ñîñóäà õèìè÷åñêè íåéòðàëüíû. Ñîñóä ïîäêëþ÷åí ê áàòàðåå ñ ÝÄÑ - = 100 Â. Íà íèæíåé ãðàíè ñîñóäà îòêðûâàþò îòâåðñòèå Î, ÷åðåç êîòîðîå íà÷èíàþò îòêà÷èâàòü æèäêîñòü. Ìàññà îòêà÷èâàåìîãî â åäèíèöó âðåìåíè äèýëåêòðèêà µ = 100 ã/ñ. Îïðåäåëèòå çàâèñèìîñòü ïîêàçàíèé àìïåðìåòðà îò âðåìåíè. Áàòàðåÿ è àìïåðìåòð èäåàëüíûå.

4. Äâà ñïóòíèêà-çîíäà äâèæóòñÿ ïî ïåðåñåêàþùèìñÿ êðóãîâûì îðáèòàì âîêðóã ìàëîé ïëàíåòû. Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè îðáèò α = 75° (ðèñ. 4). Ìàññà îäíîãî ñïóòíèêà M = 100 êã. Ïðè êàêîé ìàññå m äðóãîãî ñïóòíèêà îí ìîæåò ïîëíîñòüþ ïîòåðÿòü ñêîðîñòü ïîñëå óïðóãîãî ñòîëêíîâåíèÿ ñ ïåðâûì ñïóòíèêîì è óïàñòü íà ïëàíåòó?

5. Íà òîðæåñòâåí- Ðèñ. 4 íîì îòêðûòèè XXV Èíòåëëåêòóàëüíîãî ìàðàôîíà íà äëèííîì ãëàäêîì ñòîëå âûñòàâëåíû â ðÿä äâàäöàòü ïÿòü áðóñêîâ îäèíàêîâîé ìàññîé m, íà êàæäîì èç êîòîðûõ íàïèñàí ãîä ðàáîòû ÌÈÊ «Ãëþîí», ñ ðàâíûìè çàçîðàìè äëèíîé l = = 0,2 ì ìåæäó áðóñêàìè (ðèñ.5). Ñî ñëîâàìè «25-é þáèëåéíûé ìàðàôîí îòêðûò» Ïðåçèäåíò ÌÈÊ «Ãëþîí» çàïóñêàåò ñëåâà âäîëü ëèíèè ñòîÿùèõ áðóñêîâ áðóñîê ìàññîé 3m ñî ñêîðîñòüþ v0 = 10 ì/ñ, ÷òî ïðèâîäèò ê ñòîëêíîâåíèÿì áðóñêîâ. Íàéäèòå âðåìÿ îò

öàåìû. Òåìïåðàòóðà ãàçà â íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàâíà T0 = 300 Ê. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü.

3. Êîíäåíñàòîð èìååò âèä ïëàñòèêîâîãî ñîñóäà ñ òîíêèìè ñòåíêàìè â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 3). Áîêî-

Ðèñ. 5

íåíèÿìè è íå ïîääàâàâøóþñÿ óñèëèÿì ìàòåìàòèêîâ â òå÷åíèå ìíîãèõ ñòîëåòèé. Êòî ýòîò ìàòåìàòèê è î êàêîé òåîðåìå èäåò ðå÷ü? Íàçîâèòå êàêèå-íèáóäü èçâåñòíûå âàì òåðìèíû, òåîðåìû è ôàêòû, ñâÿçàííûå ñ åãî èìåíåì. ÔÈÇÈÊÀ Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1. Æåëåçíîäîðîæíûé ðàáî÷èé ìàññîé m = = 60 êã ñòîèò íà êðàþ íåïîäâèæíîé òåëåæêè ìàññîé Ì = 100 êã (ðèñ.1). ×åëîâåê õî÷åò, îòòîëêíóâøèñü îò êðàÿ òåëåæêè, çàïðûãíóòü

Ðèñ. 1

íà ïëàòôîðìó, êîòîðàÿ âûøå òåëåæêè íà Í = 30 ñì è íàõîäèòñÿ îò òåëåæêè íà ðàññòîÿíèè l = 1 ì. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó îí äîëæåí äëÿ ýòîãî ñîâåðøèòü? Êàêîâà ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü òàêîãî ïðûæêà? Òðåíèåì ìåæäó òåëåæêîé è çåìëåé ïðåíåáðå÷ü.

2.  äëèííîé çàêðûòîé òðóáêå ìåæäó äâóìÿ ïîðøíÿìè ìàññîé m = 1 êã êàæäûé íàõîäèòñÿ ν = 0,1 ìîëü Ar (àðãîíà).  îñòàëüíîì ïðîñòðàíñòâå òðóáêè âàêóóì.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ëåâûé ïîðøåíü èìååò ñêîðîñòü v1 = 15 ì/ñ, à ïðàâûé ñêîðîñòü v2 = 5 ì/ñ (ðèñ.2). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ òåìïåðàòóðó ãàçà â ïðîöåññå äâèæåíèÿ, åñëè ñòåíêè òðóáêè è ïîðøíè òåïëîíåïðîíè-

#

ÊÂÀÍT 2017/¹4

ìîìåíòà ïåðâîãî ñîóäàðåíèÿ äî ìîìåíòà ïàäåíèÿ ïåðâîãî áðóñêà, âðåìÿ ïàäåíèÿ áðóñêà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ÈÌ-2000, à òàêæå âðåìÿ ïîñëåäíåãî ñòîëêíîâåíèÿ â ýòîé ñèñòåìå, ñ÷èòàÿ âñå ñîóäàðåíèÿ óïðóãèìè. Óïàäåò ëè ïîñëåäíèé áðóñîê ê çàêðûòèþ îëèìïèàäû, êîòîðîå ñîñòîèòñÿ ÷åðåç 6 äíåé?

6. Íà çàäíåé ñòåíêå àêâàðèóìà íàðèñîâàí öâåòîê ðîìàøêà. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ óãëîâîé äèàìåòð ðîìàøêè ïðè íàïîëíåíèè àêâàðèóìà âîäîé, åñëè ãëàç íàáëþäàòåëÿ ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè l = 30 ñì îò ïåðåäíåé ñòåíêè àêâàðèóìà? Äëèíà ñàìîãî àêâàðèóìà L = 60 ñì. Òîëùèíîé ñòåíîê àêâàðèóìà ïðåíåáðå÷ü è ñ÷èòàòü, ÷òî ðàçìåðû ðîìàøêè ìíîãî ìåíüøå ðàçìåðîâ àêâàðèóìà.

7. Ñôåðè÷åñêóþ îáîëî÷êó ðàäèóñîì R1 = = 40 ñì, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííóþ çàðÿäîì q = 1 ìÊë, ðàñøèðèëè äî ðàäèóñà R2 = 50 ñì. Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ïðè ýòîì ýëåêòðè÷åñêèìè ñèëàìè. Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1. Ñâåò âîêðóã íàñ. Ïî÷åìó äíåì íåáî ãîëóáîå, ñîëíöå æåëòî-áåëîå, à íà çàêàòå ñîëíöå è íåáî êðàñíûå?

2. Øàõòà íà ïîëþñå. Íà Ñåâåðíîì ïîëþñå Çåìëè âäîëü çåìíîé îñè âûðûëè øàõòó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç âñþ Çåìëþ è âûõîäÿùóþ íà Þæíîì ïîëþñå.  øàõòó îòïóñòèëè ñâîáîäíî ïàäàòü íåáîëüøîé ïðåäìåò. Îïèøèòå äâèæåíèå ïðåäìåòà, óêàæèòå îñíîâíûå ïàðàìåòðû äâèæåíèÿ è îöåíèòå èõ çíà÷åíèÿ.

3. Êîñìè÷åñêîå ïóòåøåñòâèå. Êîãäà ìû äâèæåìñÿ âîêðóã Ñîëíöà áûñòðåå äíåì èëè íî÷üþ?

4. Ïî ñëåäàì áàðîíà Ìþíõãàóçåíà. Ïî ñëîâàì áàðîíà Ìþíõãàóçåíà, îí ñìîã ïîéìàòü ïóøå÷íîå ÿäðî ðóêàìè. Ïðåíåáðåãàÿ òåì, ÷òî ÿäðî ãîðÿ÷åå, ïîÿñíèòå, ìîã áû îí ýòî ñäåëàòü â 18 âåêå è ìîã áû ñåé÷àñ. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ äàëüíîñòü ïîëåòà ÿäðà 1 êì, à ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.

5. Ïàðàäîêñû âåñà. Îòëè÷àþòñÿ ëè âåñ 1 êã ïëàòèíû è âåñ 1 êã àëþìèíèÿ?

6. Õîëîäèëüíèê. Íàì íóæíî îñòóäèòü áàíêó, íàïîëíåííóþ ãîðÿ÷åé âîäîé. Ó íàñ åñòü ëåä è äàæå ñóõîé ëåä. Êàê ðàñïîëîæèòü ëåä îòíîñèòåëüíî áàíêè, ÷òîáû ïîáûñòðåå îõëàäèòü âîäó?

7. Ñïóòíèê Çåìëè. Ñïóòíèê, äâèæóùèéñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå âîêðóã Çåìëè, èç-çà òðåíèÿ î âåðõíèå ñëîè àòìîñôåðû ìåäëåííî òåðÿåò ýíåðãèþ. Áóäåò ëè ïðè ýòîì èçìåíÿòüñÿ åãî ñêîðîñòü è åñëè áóäåò, òî êàê? Îòâåò ïîÿñíèòå ðàñ÷åòîì. Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé 1. Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå â 1956 ãîäó áûëà âðó÷åíà òðåì àìåðèêàíñêèì ó÷åíûì çà ôóíäàìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè ôèçèêè òâåðäîãî òåëà è îòêðûòèå ýôôåêòà, êîòîðûé óæå ê òîìó âðåìåíè ñòàë îñíîâîé íîâîãî íàïðàâëåíèÿ ýëåêòðîííîé òåõíèêè. Ïðèáîðû, ñîçäàííûå íà îñíîâå ýòîãî ýôôåêòà, áûñòðî ñòàëè ïðèìåíÿòüñÿ êàê â «ñåðüåçíîé» ýëåêòðîíèêå, òàê è â áûòîâîé ýëåêòðîííîé òåõíèêå. Ýëåêòðîííàÿ àïïàðàòóðà ñòàëà êîìïàêòíîé, à ïðè ðàçâèòèè ýòîãî íàïðàâëåíèÿ è ñâåðõìèíèàòþðíîé. Îäèí èç ëàóðåàòîâ ñòàë åäèíñòâåííûì ôèçèêîì, ïîëó÷èâøèì Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ ïî ôèçèêå äâàæäû. Âòîðîé ðàç îí ñòàë ëàóðåàòîì â 1972 ãîäó çà ðàáîòû â îáëàñòè ñâåðõïðîâîäèìîñòè.

1) Íàçîâèòå ëàóðåàòîâ Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå 1956 ãîäà.

2) Íàçîâèòå ýôôåêò è ïðèáîð, ñîçäàííûé íà îñíîâå èõ èññëåäîâàíèé.

2. ×åòûðå ãîäà íàçàä â ãàçåòå «The New York Times» áûëè îïóáëèêîâàíû ðåçóëüòàòû îïðîñà, ïðîâåäåííîãî ñðåäè âûäàþùèõñÿ ôèçèêîâ. Êàæäûé îïðîøåííûé äîëæåí áûë íàçâàòü äåñÿòü ñàìûõ êðàñèâûõ çà âñþ èñòîðèþ ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ. Íàçîâèòå ýòè ýêñïåðèìåíòû.

3. Ôèçèê-òåîðåòèê, îäèí èç îñíîâàòåëåé ñîâðåìåííîé òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå 1921 ãîäà, îáùåñòâåííûé äåÿòåëü-ãóìàíèñò. Æèë â Ãåðìàíèè, Øâåéöàðèè è ÑØÀ. Ïî÷åòíûé äîêòîð îêîëî 20 âåäóùèõ óíèâåðñèòåòîâ ìèðà, ÷ëåí ìíîãèõ Àêàäåìèé íàóê, â òîì ÷èñëå ïî÷åòíûé ÷ëåí ÀÍ ÑÑÑÐ. Àâòîð áîëåå 300 íàó÷íûõ ðàáîò ïî ôèçèêå, à òàêæå îêîëî 150 êíèã è ñòàòåé â îáëàñòè èñòîðèè è ôèëîñîôèè íàóêè, ïóáëèöèñòèêè è äð. Ðàçðàáîòàë íåñêîëüêî çíà÷èòåëüíûõ ôèçè÷åñêèõ òåîðèé, êîòîðûå íàøëè ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå. Íàïèñàâ â 1939 ãîäó ïèñüìî Ïðåçèäåíòó ÑØÀ î íåîáõîäèìîñòè âåñòè èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ÿäåðíîé ýíåðãèè, âïîñëåäñòâèè àê-

#

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

òèâíî âûñòóïàë ïðîòèâ âîéíû, ïðîòèâ ïðèìåíåíèÿ ÿäåðíîãî îðóæèÿ, çà ãóìàíèçì, óâàæåíèå ïðàâ ÷åëîâåêà, âçàèìîïîíèìàíèå ìåæäó íàðîäàìè.

1) Êòî ýòîò ó÷åíûé?

2) Êàêîâû îñíîâíûå íàó÷íûå äîñòèæåíèÿ ýòîãî ó÷åíîãî?

4.  òå÷åíèå 2016 ãîäà â íàó÷íîé ïå÷àòè è â ÑÌÈ îáñóæäàëèñü ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà, êîòîðûå ÿâèëèñü åùå îäíèì ïîäòâåðæäåíèåì îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Íàçîâèòå ýòîò ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåííûé ýôôåêò.

5.  70-å ãîäû ÕÕ âåêà â Èíñòèòóòå ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé áûëè ïîëó÷åíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîäòâåðæäàþùèå òåîðåòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î íåýëåìåíòàðíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.

1) Íàçîâèòå ýêñïåðèìåíòàëüíóþ óñòàíîâêó, íà êîòîðîé áûëè ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû.

2) Êàêóþ ÷àñòèöó èññëåäîâàëè?

3)  ÷åì çàêëþ÷àëàñü îáíàðóæåííàÿ íåýëåìåíòàðíîñòü?

V Ìåæäóíàðîäíûé ìàòåìàòè÷åñêèé òóðíèð èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà 7 8 êëàññû Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 17 1. Ïðåäñòàâüòå äðîáü â âèäå ñóììû 2016 äâóõ äðîáåé ñ ìåíüøèìè çíàìåíàòåëÿìè.

2. Áðèãàäà èç íåñêîëüêèõ ðàáî÷èõ çà ñåìü ïîëíûõ äíåé ìîæåò âûïîëíèòü òàêîå çàäàíèå, êàêîå ìîæåò âûïîëíèòü ýòà áðèãàäà áåç äâóõ ÷åëîâåê çà íåñêîëüêî ïîëíûõ äíåé. Íàéäèòå, êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ðàáî÷èõ ìîãëî áûòü â ýòîé áðèãàäå ïåðâîíà÷àëüíî (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ðàáî÷èõ îäèíàêîâà).

3.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà íà ãèïîòåíóçó AB îïóùåíà âûñîòà CH. Áèññåêòðèñà AK óãëà A ïåðåñåêàåò ýòó âûñîòó â òî÷êå L. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê CKL ðàâíîáåäðåííûé.

4. Êàê ñ ïîìîùüþ ÷åòûðåõ âçâåøèâàíèé íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ áåç ãèðü îïðåäåëèòü ñðåäè 12 ìîíåò ôàëüøèâóþ, åñëè íåèçâåñòíî, ëåã÷å èëè òÿæåëåå ýòà ìîíåòà?

5.  ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå ABCDA1B1C1D1 óêàæèòå òàêóþ òî÷êó M, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò ýòîé òî÷êè äî âñåõ

âîñüìè âåðøèí ïàðàëëåëåïèïåäà ìèíèìàëüíà. Îòâåò îáîñíóéòå. Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó A è äåëÿùàÿ ìåäèàíó BM â îòíîøåíèè 1:2, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû, ïåðåñåêàåò ñòîðîíó BC â òî÷êå K. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ ABK è AKC. 2. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 1000 âûïèñûâàþòñÿ ïîäðÿä â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Ïîëó÷àåòñÿ ðÿä öèôð 1000999998 321. Îïðåäåëèòå, êàêàÿ öèôðà ñòîèò â ýòîì ðÿäó íà 2016-ì ìåñòå.

3. Íà øàõìàòíîé äîñêå èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü, öåëèêîì ëåæàùàÿ íà ÷åðíûõ êëåòêàõ. Îïðåäåëèòå, êàêèì ìîæåò áûòü ìàêñèìàëüíûé ðàäèóñ òàêîé îêðóæíîñòè.

4.  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ABC ñ ðàâíûìè ñòîðîíàìè AB è BC îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíû B, C è ñåðåäèíó K ñòîðîíû AB, ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ âûñîòó BH, â òî÷êå L. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê AKL ðàâíîáåäðåííûé.

5. Íàéäèòå ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 1 1 + = . m è n òàêèå, ÷òî m n 7 Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ, À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, À.Ìàðêîâè÷åâ, Æ.Ðàááîò

Íàïîëåîí-âîäîëàç è Ôåéíìàí-ýêñïåðèìåíòàòîð (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 42) Èñòîðèÿ ñ ôåéíìàíîâñêèì ýêñïåðèìåíòîì ñîäåðæèòñÿ â ðàçäåëå ñ îäíîèìåííûì ñ êíèãîé íàçâàíèåì. À â ðàçäåëå «Èòàëüÿíñêèé èëè ëàòûíü?» Ôåéíìàí ðàññêàçûâàåò î ñâîåé ëþáâè ê èòàëüÿíñêîìó.

• https://en.wikipedia.org/wiki/ Feynman_sprinkler Ñòàòüÿ â àíãëèéñêîé âèêèïåäèè.

• http://isl.livejournal.com/338905.html Ïîýòè÷åñêèé òåêñò Èëüè Ëàïèíà îá èãðóøêàõ ñ âåðáíîé ÿðìàðêè, ñðåäè êîòîðûõ íà ïåðâîì ìåñòå âîäîëàç «Àìåðèêàíñêèé Æèòåëü, Íàñòîÿùèé ÿíêè, Ïëàâàþùèé â áàíêå». Òåêñò íà÷èíàåòñÿ ñ åùå îäíîé ïîëèòè÷åñêîé ñàòèðû, ñîäåðæèò öèòàòû èç Íàáîêîâà, Òýôôè, Ñåðãåÿ Ãîðíîãî, Ìñòèñëàâà Äîáóæèíñêîãî, Ìàðøàêà, à òàêæå ìíîæåñòâî êàðòèíîê.

ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ

Îëèìïèàäà «Ëîìîíîñîâ»-2017 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ  ñîîòâåòñòâèè ñ Ïîðÿäêîì ïðîâåäåíèÿ îëèìïèàä øêîëüíèêîâ, îëèìïèàäà «Ëîìîíîñîâ» ïðîâîäèëàñü â 2016/17 ó÷åáíîì ãîäó â äâà ýòàïà: îòáîðî÷íûé è çàêëþ÷èòåëüíûé. Îòáîðî÷íûé ýòàï ïðîâîäèëñÿ â ðåæèìå «îí-ëàéí» è ñîñòîÿë èç äâóõ íåçàâèñèìûõ äðóã îò äðóãà òóðîâ. Êàæäûé øêîëüíèê ìîã ó÷àñòâîâàòü â ëþáîì èç íèõ èëè â îáîèõ (â ïîñëåäíåì ñëó÷àå çàñ÷èòûâàëñÿ ðåçóëüòàò âòîðîãî òóðà). Âñå çàäàíèÿ ïóáëèêîâàëèñü íà ñàéòå îëèìïèàäû http://olymp.msu.ru Ê ó÷àñòèþ â çàêëþ÷èòåëüíîì (î÷íîì) ýòàïå, êîòîðûé ïðîâîäèëñÿ â ìàðòå 2017 ãîäà â Ìîñêâå è ðÿäå ãîðîäîâ Ðîññèè, äîïóñêàëèñü òîëüêî ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû îòáîðî÷íîãî ýòàïà. Îòáîðî÷íûé ýòàï

Ïåðâûé òóð 1. Ïðîåçä â Ìîñêâå ïî êàðòå «Òðîéêà» â 2016 ãîäó ñòîèò 32 ðóáëÿ çà îäíó ïîåçäêó íà ìåòðî è 31 ðóáëü çà îäíó ïîåçäêó íà íàçåìíîì òðàíñïîðòå. Êàêîå íàèìåíüøåå ñóììàðíîå ÷èñëî ïîåçäîê ìîæíî ñîâåðøèòü ïî ýòèì òàðèôàì, ïîòðàòèâ ðîâíî 5000 ðóáëåé?

2. Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî êðàòíûõ òðåì íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé ÷èñëà 11! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 10 ⋅ 11 .

3. Íàéäèòå âñå êîðíè óðàâíåíèÿ sin ( π cos 2x ) = cos π sin2 x , ëåæàùèå íà

(

)

 5π 5π  îòðåçêå  − ; −  . Â îòâåò çàïèøèòå äå6  3 ëåííóþ íà π ñóììó ýòèõ êîðíåé (â ðàäèàíàõ), îêðóãëèâ åå ïðè íåîáõîäèìîñòè äî äâóõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

4. Â îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå õîðäû AB è CD. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåðåäèíîé îòðåçêà AD è ïðÿìîé BC, åñëè AC = 6, BC = 5, BD = 3. Îòâåò ïðè íåîáõîäèìîñòè îêðóãëèòå äî äâóõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 8⋅

x +1 − x −7 x +1 + x −7 + 3⋅ ≤ 8.

2x − 3 − 2x − 9 2x − 3 + 2x − 9

 îòâåò çàïèøèòå ñóììó åãî öåëî÷èñëåííûõ ðåøåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |x| < 120.

6. Íà äîñêå íàïèñàíî 5 öåëûõ ÷èñåë. Ñëîæèâ èõ ïîïàðíî, ïîëó÷èëè ñëåäóþùèé íàáîð èç 10 ÷èñåë: 1, 4, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 20, 22. Âûÿñíèòå, êàêèå ÷èñëà íàïèñàíû íà äîñêå.  îòâåò íàïèøèòå èõ ïðîèçâåäåíèå.

7. Íàéäèòå îáúåì ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, ñåðåäèíà âûñîòû êîòîðîé óäàëåíà îò áîêîâîé ãðàíè è îò áîêîâîãî ðåáðà íà ðàññòîÿíèÿ 2 è 12 ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè íåîáõîäèìîñòè îêðóãëèòå îòâåò äî äâóõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

8. Â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè

(

f ( x ) = 1 + x − x2

)

20

ïî ñòåïåíÿì x íàéäèòå êîýôôèöèåíò ïðè x 3n , ãäå n ðàâíî ñóììå âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ.

9. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, íå êðàòíîå 10 è îáëàäàþùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè ïåðåñòàâèòü öèôðû â îáðàòíîì ïîðÿäêå, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ïåðâîíà÷àëüíîãî, ïðè÷åì ÷àñòíîå îòëè÷íî îò åäèíèöû.

10. Ïðåäëîæèòå òåêñòîâóþ çàäà÷ó, ñâîäÿùóþñÿ ê ðåøåíèþ íåðàâåíñòâà 11 8 12 + ≥ + 2. x + 1,5 x x + 2 Íàïèøèòå ôîðìóëèðîâêó çàäà÷è, åå ðåøåíèå è îòâåò. Âòîðîé òóð 1. Åñëè 200-é äåíü êàêîãî-òî ãîäà âîñêðåñåíüå è 100-é äåíü ñëåäóþùåãî çà íèì ãîäà òîæå âîñêðåñåíüå, òî êàêèì äíåì íåäåëè áûë 300-é äåíü ïðåäûäóùåãî ãîäà?  îòâåò âïèøèòå íîìåð ýòîãî äíÿ íåäåëè (åñëè ïîíåäåëüíèê, òî 1, åñëè âòîðíèê, òî 2 è ò. ä.).

2. Ñêîëüêî ñëàãàåìûõ ïîëó÷èòñÿ, åñëè â

(

)

2016

ðàñêðûòü âûðàæåíèè 4 x 3 + x −3 + 2 ñêîáêè è ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû?

3. Çíàéêà âûðåçàë èç áóìàãè ïîëóêðóã. Íåçíàéêà îòìåòèë íà äèàìåòðå AB ýòîãî

ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÅ

ïîëóêðóãà òî÷êó D è îòðåçàë îò ïîëóêðóãà Çíàéêè äâà ïîëóêðóãà ñ äèàìåòðàìè AD è DB. Íàéäèòå ïëîùàäü îñòàâøåéñÿ ôèãóðû, åñëè äëèíà ëåæàùåé âíóòðè íåå ÷àñòè õîðäû, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó D ïåðïåíäèêóëÿðíî AB, ðàâíà 6. Ïðè íåîáõîäèìîñòè îêðóãëèòå îòâåò äî äâóõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

4. Ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó

1 1 ( x − 1) f ( x ) + f   =  x x −1 äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ x, íå ðàâíîãî 0 è 1.  2016  Íàéäèòå f  .  2017  5. Èç ïóíêòà A â ïóíêò B, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 10 êì, â 7:00 âûåõàë àâòîìîáèëü. Ïðîåõàâ 2/3 ïóòè, àâòîìîáèëü ìèíîâàë ïóíêò C, èç êîòîðîãî â ýòîò ìîìåíò â ïóíêò A âûåõàë âåëîñèïåäèñò. Êàê òîëüêî àâòîìîáèëü ïðèáûë â B, îòòóäà â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè ñðàçó æå âûåõàë àâòîáóñ è ïðèáûë â A â 9:00.  ñêîëüêèõ êèëîìåòðàõ îò B àâòîáóñ äîãíàë âåëîñèïåäèñòà, åñëè âåëîñèïåäèñò ïðèáûë â ïóíêò A â 10:00 è ñêîðîñòü êàæäîãî ó÷àñòíèêà äâèæåíèÿ ïîñòîÿííà?

6. Íàéäèòå ñóììó âñåõ öåëûõ ÷èñåë x ∈ [−3; 13] , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó  2 πx   2 πx  ×  1 − ctg   1 − 3ctg 12 12    πx πx   ×  1 − tg2 ⋅ ctg  ≤ 16.

6 4   7.  äâóãðàííûé óãîë âïèñàíû äâà øàðà òàê, ÷òî îíè êàñàþòñÿ äðóã äðóãà. Ðàäèóñ îäíîãî èç øàðîâ â 2 ðàçà áîëüøå äðóãîãî, à ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ öåíòðû øàðîâ, îáðàçóåò óãîë 45° ñ ðåáðîì äâóãðàííîãî óãëà. Íàéäèòå âåëè÷èíó äâóãðàííîãî óãëà.  îòâåò çàïèøèòå êîñèíóñ ýòîãî óãëà, îêðóãëèâ åãî ïðè íåîáõîäèìîñòè äî äâóõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

8. Âû÷èñëèòå 1 1 1 + + +…

2 1+ 2 3 2 +2 3 4 3 +3 4 1 ... + .

100 99 + 99 100 Åñëè òðåáóåòñÿ, îêðóãëèòå îòâåò äî äâóõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

9. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, äëÿ êîòîðîãî â äåñÿòè÷íîé çàïèñè n âìåñòå

#!

ÌÀÒÅÐÈÀËÛ

ñ n2 èñïîëüçóþòñÿ âñå öèôðû îò 1 äî 9 ðîâíî ïî îäíîìó ðàçó.

10. Ñîñòàâüòå òåêñòîâóþ çàäà÷ó, ñâîäÿùóþñÿ ê ðåøåíèþ íåðàâåíñòâà

50  20 30  + max  ,  ≤ 10 .

2x + 2  x x + 2 Íàïèøèòå óñëîâèå çàäà÷è, åå ðåøåíèå è îòâåò. Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï

1. Êîãäà àâòîìîáèëü åäåò èç ïóíêòà A â ïóíêò B, îí òðàòèò 25% âðåìåíè íà ïóòü â ãîðó, 60% ïî ðàâíèíå, à îñòàëüíîå âðåìÿ ñ ãîðû. Âðåìÿ åãî äâèæåíèÿ èç A â B è ïî òîé æå äîðîãå èç B â A îäèíàêîâî, à åãî ñêîðîñòè â ãîðó, ñ ãîðû è ïî ðàâíèíå ïîñòîÿííû, íî ðàçëè÷íû. Âî ñêîëüêî ðàç áûñòðåå àâòîìîáèëü åäåò ñ ãîðû, ÷åì â ãîðó?

2. Ðåøèòå óðàâíåíèå

x+2 + x−2 =2

x+2 − x−2 + 2.

3. Âûÿñíèòå, êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå: 11lg 121 2 èëè 10 ⋅ 10lg 11 + 11.

4. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD âïèñàí â îêðóæíîñòü. Êàñàòåëüíûå ê ýòîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êàõ A è C, ïåðåñåêàþòñÿ íà ïðÿìîé BD. Íàéäèòå ñòîðîíó AD, åñëè AB = 2 è BC : CD = 4 : 5.

5. Âû÷èñëèòå n + n + 524 , åñëè èçâåñòíî, ÷òî ýòî ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå è ÷òî n íàòóðàëüíîå.

6. Â ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ, ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîòîðîãî ðàâåí 2, âïèñàí øàð. Íàéäèòå îáúåì ýòîãî øàðà, åñëè îí â òðè ðàçà ìåíüøå îáúåìà êîíóñà.

7. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ðîâíî îäíî èç ñëåäóþùèõ äâóõ óòâåðæäåíèé ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì: 1) óðàâíåíèå cos (cos x ) + sin (sin x ) = a èìååò ðîâíî äâà êîðíÿ íà îòðåçêå [0;π] ; 2) óðàâíåíèå sin 4 x + cos4 x + sin 2x = a èìååò êîðíè.

8. Ðàññìàòðèâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå íàáîðû, êîòîðûå ñîñòîÿò èç 2017 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è â êàæäîì èç êîòîðûõ íè îäíî èç ÷èñåë íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ äðóãèõ ÷èñåë ýòîãî íàáîðà. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü íàèáîëüøåå ÷èñëî â òàêîì íàáîðå?

#"

ÊÂÀÍT 2017/¹4

ÔÈÇÈÊÀ  2016/17 ó÷åáíîì ãîäó îëèìïèàäà «Ëîìîíîñîâ» ïî ôèçèêå â ÌÃÓ ïðîâîäèëàñü â äâà ýòàïà îòáîðî÷íûé è çàêëþ÷èòåëüíûé. Îòáîðî÷íûé ýòàï Îòáîðî÷íûé ýòàï ïðîõîäèë â ôîðìå çàî÷íîãî èñïûòàíèÿ. Íà ýòîì ýòàïå êàæäûé ó÷åíèê 10 èëè 11 êëàññà ìîã ó÷àñòâîâàòü, ïî ñîáñòâåííîìó âûáîðó, â îäíîì èëè äâóõ òóðàõ, ïðîâîäèìûõ ïî åäèíîé ôîðìå è ñ ðàâíîöåííûìè çàäàíèÿìè. Çàäàíèÿ îëèìïèàäû áûëè ðàçìåùåíû â èíòåðíåòå íà ñàéòå http://olymp.msu.ru. Äîñòóï ê óñëîâèÿì çàäàíèé áûë îòêðûò äëÿ ó÷àñòíèêîâ äâàæäû: ñ 13 ïî 16 íîÿáðÿ 2016 ãîäà (ïåðâûé òóð) è ñ 30 íîÿáðÿ ïî 3 äåêàáðÿ 2016 ãîäà (âòîðîé òóð). Ïðèåì ðåøåíèé è îòâåòîâ ïî êàæäîìó èç òóðîâ ïðåêðàùàëñÿ îäíîâðåìåííî ñ èõ çàâåðøåíèåì. Äëÿ ó÷åíèêîâ 7 9 êëàññîâ îòáîðî÷íûé ýòàï ïðîâîäèëñÿ â îäèí òóð ñ 13 íîÿáðÿ ïî 3 äåêàáðÿ 2016 ãîäà. Ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû îòáîðî÷íîãî ýòàïà áûëè ïðèãëàøåíû äëÿ ó÷àñòèÿ â çàêëþ÷èòåëüíîì (î÷íîì) ýòàïå îëèìïèàäû.

7 9 êëàññû 1. Âðàòàðü øêîëüíîé ôóòáîëüíîé êîìàíäû Èãîðü óäàðîì íîãè îòáèë ìÿ÷ îò âîðîò íà ðàññòîÿíèå l = 20 ì, ïðè ýòîì ìÿ÷ îïóñòèëñÿ íà çåìëþ ÷åðåç τ = 3 c ïîñëå óäàðà. Íà êàêîå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå L ìîã áû îòáèòü Èãîðü ìÿ÷ óäàðîì òîé æå ñèëû, åñëè áû îí ëó÷øå çíàë ôèçèêó? Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðåãèòå. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàéòå ðàâíûì g = 10 ì ñ2 . Îòâåò ïðèâåäèòå â ìåòðàõ, îêðóãëèâ äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

2. Íà ãëàäêîì ñòîëå ëåæèò äîñêà ìàññîé M = 500 ã, íà êðàþ êîòîðîé ïîêîèòñÿ ìàëåíüêàÿ øàéáà ìàññîé m = 100 ã (ðèñ.1). Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó øàéáîé è äîñêîé µ = 0,1 . Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ ïî ìîÐèñ. 1 äóëþ ñêîðîñòü v 0 ìîæíî ñîîáùèòü øàéáå, ÷òîáû, ïðîéäÿ ïî äîñêå ïóòü äî óñòóïà è îáðàòíî, îíà îñòàëàñü íà äîñêå? Äëèíà äîñêè äî óñòóïà l = 1 ì. Óäàð øàéáû îá óñòóï ñ÷èòàéòå àáñîëþòíî óïðóãèì. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèìèòå ðàâíûì g = 10 ì ñ2 . Îòâåò îêðóãëèòå äî äâóõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

3. Âëàæíûé ñíåã ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0° C ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñìåñü âîäû è êðèñòàëëèêîâ ëüäà. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîëè÷åñòâà ëüäà è âîäû â ñíåãå ïðîâåëè ñëåäóþùèé îïûò. Íàáðàâ ñíåã â äâà îäèíàêîâûõ ñòàêàíà, îäèí èç íèõ ïîìåñòèëè â õîëîäèëüíèê ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå, à äðóãîé âìåñòå ñ ñîäåðæèìûì íàãðåëè äî òåìïåðàòóðû t1 = 100° C . Çàòåì ñìåøàëè ñîäåðæèìîå îáîèõ ñòàêàíîâ â êàëîðèìåòðå ñ ìàëîé òåïëîåìêîñòüþ. Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ îêàçàëîñü, ÷òî òåìïåðàòóðà ñîäåðæèìîãî êàëîðèìåòðà ðàâíà t2 = 30° C . Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå k ìàññû ëüäà ê ìàññå âîäû âî âëàæíîì ñíåãå ïî ðåçóëüòàòàì ýòîãî îïûòà. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû câ = 4,2 êÄæ ( êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 330 êÄæ êã . Îòâåò âûðàçèòå â ïðîöåíòàõ, îêðóãëèâ äî öåëîãî.

4. Äëÿ èçìåðåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðà ïîñëåäîâàòåëüíî ñ íèì âêëþ÷àþò àìïåðìåòð, êîòîðûé ïîêàçûâàåò ñèëó òîêà I = 5 À, à ê êîíöàì ðåçèñòîðà ïîäêëþ÷àþò âîëüòìåòð, êîòîðûé ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå U = 100 Â. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå âîëüòìåòðà r = 1 êÎì, à âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì àìïåðìåòðà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà R. Îòâåò ïðèâåäèòå â îìàõ, îêðóãëèâ åãî äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

5. Çåðêàëüíàÿ äâåðü AO ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ðèñóíêà è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O (ðèñ.2). Ìàëü÷èê Ì è äåâî÷êà Ä ñòîÿò ïåðåä äâåðüþ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, ïðè÷åì óãîë AOM, ò.å. α , ðàÐèñ. 2 âåí 30° , à óãîë AOÄ, ò.å. β , ðàâåí 60° . Íà êàêîé ìèíèìàëüíûé óãîë ϕ â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì ñòðåëêîé, íóæíî ïîâåðíóòü äâåðü, ÷òîáû ìàëü÷èê ïåðåñòàë âèäåòü â íåé èçîáðàæåíèå äåâî÷êè? Îòâåò ïðèâåäèòå â ãðàäóñàõ, îêðóãëèâ äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

6. Íà ãîðèçîíòàëüíîì äíå áàññåéíà ëåæèò îäíîðîäíàÿ áàëêà, èìåþùàÿ ôîðìó ïðÿìîé ïðèçìû ñ îñíîâàíèÿìè â âèäå ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ (ðèñ.3). Êîãäà â áàññåéí íàëèâàþò âîäó â òàêîì êîëè÷åñòâå, ÷òî ïîâåðõíîñòü âîäû îêàçûâàåòñÿ íà îäíîì óðîâíå ñ âåðõíèì ðåáðîì áàëêè, ñèëà äàâëåíèÿ áàë-

ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÅ

êè íà äíî óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ n = 60% îò âåñà áàëêè â âîçäóõå. Íàéäèòå ïëîòÐèñ. 3 íîñòü ρ ìàòåðèàëà áàëêè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî áàëêà ïðèëåãàåò ê äíó áàññåéíà áåç çàçîðà. Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 103 êã ì 3 . Îòâåò îêðóãëèòå äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

10 11 êëàññû Ïåðâûé òóð 1. Íà óðîêå àñòðîíîìèè ó÷èòåëü ðàññêàçàë øêîëüíèêàì î ñóùåñòâîâàíèè âî Âñåëåííîé òàê íàçûâàåìûõ äâîéíûõ çâåçä ñèñòåì èç äâóõ ãðàâèòàöèîííî ñâÿçàííûõ çâåçä, îáðàùàþùèõñÿ ïî çàìêíóòûì îðáèòàì âîêðóã îáùåãî öåíòðà ìàññ. Ó÷èòåëü òàêæå ñîîáùèë, ÷òî îäíèì èç ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ ìàññ êîìïîíåíòîâ äâîéíûõ çâåçä ÿâëÿåòñÿ èçìåðåíèå ïåðèîäà èõ îáðàùåíèÿ è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó çâåçäàìè, è ïðåäëîæèë øêîëüíèêàì ðåøèòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: «Äâå îäèíàêîâûå çâåçäû äâèæóòñÿ âîêðóã îáùåãî öåíòðà ìàññ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 1010 ì , ðàñïîëàãàÿñü íà ïðîòèâîïîëîæíûõ êîíöàõ äèàìåòðà îêðóæíîñòè, ïðè÷åì ïåðèîä îáðàùåíèÿ çâåçä ðàâåí T = 12,5 çåìíûõ ñóòîê. Ïðåíåáðåãàÿ âëèÿíèåì äðóãèõ íåáåñíûõ òåë è ïðèíÿâ ãðàâèòàöèîííóþ ïîñòîÿííóþ ðàâíîé G = 6,67 ⋅ 10−11 Í ⋅ ì2 êã2 , îïðåäåëèòå ìàññó M êàæäîé èç çâåçä». Êàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷èëè øêîëüíèêè? Îòâåò ïðèâåäèòå â êèëîãðàììàõ, ïîäåëèâ åãî íà 1030 è îêðóãëèâ äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

2. Ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé âåëîñèïåäèñò ìîæåò ïðîéòè ïîâîðîò ðàäèóñîì R = 30 ì íà âåëîòðåêå ñ ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííûì äîðîæíûì ïîëîòíîì, ðàâíà v = 13 ì/ñ. Ñ êàêîé ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ u âåëîñèïåäèñò ìîæåò ïðîéòè òàêîé æå ïîâîðîò íà òðåêå ñ äîðîæíûì ïîëîòíîì, íàêëîíåííûì â ñòîðîíó öåíòðà çàêðóãëåíèÿ ïîä óãëîì α = 30° ê ãîðèçîíòó? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèìèòå ðàâíûì g = 10 ì ñ2 . Îòâåò îêðóãëèòå äî äåñÿòûõ.

3. Ðàáî÷èì òåëîì òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî àðãîíà. Èçâåñòíî, ÷òî çà îäèí öèêë ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó À = 60 êÄæ. Ïðè ýòîì åãî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ U ìåíÿåòñÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóí-

ÌÀÒÅÐÈÀËÛ

##

êå 4, ãäå ó÷àñòîê 2 3 îòðåçîê ïàðàáîëû, ëåâàÿ âåòâü êîòîðîé ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. ×åìó ðàâíî èñõîäíîå Ðèñ. 4 çíà÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà U0 ? Îòâåò ïðèâåäèòå â êèëîäæîóëÿõ, îêðóãëèâ äî öåëûõ.

4. Íà ãëàäêóþ ïëàñòìàññîâóþ ñïèöó, èçîãíóòóþ â âèäå êîëüöà ðàäèóñîì R = 10 ñì, íàäåòà áóñèíêà ìàññîé m = 0,1 ã, íåñóùàÿ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä q = 100 íÊë.  íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè áóñèíêà ïîêîèòñÿ. Çàòåì ê êîëüöó ïîäíîñÿò ïîñòîÿííûé ìàãíèò è íà÷èíàþò ïåðåìåùàòü åãî òàê, ÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç êîëüöî ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ðàâíîìåðíî îò íóëÿ äî Φ = 1 Âá. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v áóäåò äâèãàòüñÿ ïîñëå ýòîãî áóñèíêà ïî êîëüöó? Îòâåò ïðèâåäèòå â ìì/ñ, îêðóãëèâ äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

5. Ó÷èòåëü ïðèíåñ íà óðîê ôèçèêè ñïëîøíîé øàð ðàçìåðîì ñ ôóòáîëüíûé ìÿ÷, èçãîòîâëåííûé èç íåêîòîðîãî ïðîçðà÷íîãî ìàòåðèàëà. Êîãäà ëþáîçíàòåëüíûé øêîëüíèê, äåðæà ýòîò øàð âáëèçè ñâîåãî ãëàçà, ñìîòðåë ñêâîçü øàð â îêíî, íà ïðîòèâîïîëîæíóþ îò åãî ãëàçà ïîâåðõíîñòü øàðà ñåëà ìóõà (ðèñ.5). Óâèäåâ åå, ó÷åíèê ñ óäèâëåíèåì çàìåòèë, ÷òî òåïåðü øàð êàæåòñÿ åìó â k = 1,5 ðàçà áîëüøå, ÷åì íà ñà- Ðèñ. 5 ìîì äåëå. Ó÷èòåëü ïîïðîñèë øêîëüíèêà îïðåäåëèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî ñäåëàí øàð. Êàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷èë øêîëüíèê? Îòâåò ïðèâåäèòå ñ òî÷íîñòüþ äî âòîðîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé. Óêàçàíèå. Äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x, âûðàæåííîãî â ðàäèàíàõ, ñïðàâåäëèâû òàêèå ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû: tg x ≈ ≈ sin x ≈ x . Âòîðîé òóð 1. Íà óðîêå àñòðîíîìèè ó÷èòåëü ðàññêàçàë øêîëüíèêàì î ñóùåñòâîâàíèè â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà àñòåðîèäîâ è ìàëûõ ïëàíåò, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ïðè

#$

ÊÂÀÍT 2017/¹4

îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü óãðîçó äëÿ æèçíè íà Çåìëå.  êà÷åñòâå íàãëÿäíîãî ïðèìåðà îí ïðèâåë ôàíòàñòè÷åñêèé êèíîôèëüì «Àðìàãåääîí» (ÑØÀ, 1998 ã.).  íåì ïîâåñòâóåòñÿ î êîñìè÷åñêîé ýêñïåäèöèè, îòïðàâëåííîé íà ïðèáëèæàþùèéñÿ ê Çåìëå îãðîìíûé àñòåðîèä, ÷òîáû åãî óíè÷òîæèòü. Æåëàÿ, ÷òîáû øêîëüíèêè ëó÷øå ïðåäñòàâëÿëè ñåáå óñëîâèÿ, â êîòîðûõ ðàáîòàëè ó÷àñòíèêè ýêñïåäèöèè, ó÷èòåëü ïðåäëîæèë èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: «Àñòåðîèä èìååò ôîðìó øàðà ðàäèóñîì R = 5 êì. Ñ÷èòàÿ àñòåðîèä îäíîðîäíûì ñ ïëîòíîñòüþ ρ = 5,5 ã ñì 3 , ïðåíåáðåãàÿ âëèÿíèåì äðóãèõ íåáåñíûõ òåë è ïðèíÿâ ãðàâèòàöèîííóþ ïîñòîÿííóþ ðàâíîé G = 6,67 ⋅ 10−11 Í ⋅ ì2 êã2 , íàéäèòå ïåðâóþ êîñìè÷åñêóþ ñêîðîñòü v1ê äëÿ ýòîãî àñòåðîèäà». Êàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷èëè øêîëüíèêè? Îòâåò îêðóãëèòå äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

2. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ëüäà íåïîäâèæíî ëåæèò êðóãëàÿ øàéáà. Ïî ëüäó ñêîëüçèò òî÷íî òàêàÿ æå øàéáà è èñïûòûâàåò ñ ïîêîÿùåéñÿ øàéáîé àáñîëþòíî óïðóãîå ñîóäàðåíèå. Ñêîðîñòü äâèæóùåéñÿ øàéáû ïåðåä óäàðîì v0 = 3 ì ñ . Ïîñëå óäàðà ýòà øàéáà ïðîåõàëà ïî ëüäó ðàññòîÿíèå l1 = 1 ì. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå L ìåæäó øàéáàìè ïîñëå èõ îñòàíîâêè. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó øàéáàìè è ëüäîì µ = 0,05 . Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèìèòå ðàâíûì g = 10 ì ñ2 . Áîêîâûå ïîâåðõíîñòè øàéá ñ÷èòàéòå ãëàäêèìè. Îòâåò ïðèâåäèòå â ìåòðàõ è îêðóãëèòå äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

3.  äâà îäèíàêîâûõ ñîñóäà íàëèëè ïî m = 500 ã âîäû. Òåìïåðàòóðà âîäû â ïåðâîì ñîñóäå t1 = 20 °C , à âî âòîðîì t2 = 40 °C . Èç âòîðîãî, áîëåå ãîðÿ÷åãî, ñîñóäà â ïåðâûé ïåðåëèâàþò ∆m = 50 ã âîäû è ïåðåìåøèâàþò. Çàòåì âîäó òàêîé æå ìàññîé ∆m ïåðåëèâàþò îáðàòíî âî âòîðîé ñîñóä è ïåðåìåøèâàþò. Íà ýòîì çàâåðøàåòñÿ ïåðâûé öèêë ïåðåëèâàíèé. Îïðåäåëèòå ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ∆t âîäû â ñîñóäàõ ïîñëå òðåõ òàêèõ öèêëîâ, ñîñòîÿùèõ èç ïåðåëèâàíèÿ âîäû èç âòîðîãî ñîñóäà â ïåðâûé è îáðàòíî. Òåïëîåìêîñòüþ ñîñóäîâ è òåïëîîáìåíîì âîäû ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Îòâåò ïðèâåäèòå â ãðàäóñàõ Öåëüñèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî îäíîé äåñÿòîé.

4. Ïëîñêèé âîçäóøíûé êîíäåíñàòîð, äëèíà îáêëàäîê êîòîðîãî L, ïîäêëþ÷åí ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Âî ñêîëüêî ðàç k èçìåíèòñÿ çàðÿä êîíäåíñàòîðà, åñëè â êîíäåíñàòîð ïàðàëëåëüíî îáêëàäêàì âäâèíóòü ìåòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíó íà ðàññòîÿíèå L n , ãäå n = 3 (ðèñ.6)? Òîëùèíà ïëàñòèíû ðàâíà ïîëîâèíå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà, à øèðèíà òàêàÿ æå, êàê ó Ðèñ. 6 îáêëàäîê. Êðàåâûìè ýôôåêòàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Îòâåò îêðóãëèòå äî äâóõ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

5. Òîíêàÿ ïëîñêîâûïóêëàÿ ëèíçà, èìåþùàÿ â âîçäóõå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F = 10 ñì, ñîïðèêàñàåòñÿ ïëîñêîé ñòîðîíîé ñ ïîâåðõíîñòüþ âîäû, íàëèòîé â öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä (ðèñ.7). Íà ðàññòîÿíèè d = = 20 ñì îò ëèíçû íà åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S, äàþùèé óçêèé ïó÷îê ñâåòà. Îïðåäåëèòå âûñîòó h óðîâíÿ âîäû â ñîñóäå, ïðè êîòîðîì èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà áóäåò ðàñïîëîæåíî òî÷íî íà äíå ñîñóäà. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ïðèìèòå ðàâíûì Ðèñ. 7 n = 1,3. Ó÷òèòå, ÷òî äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x, çàäàííîãî â ðàäèàíàõ, ñïðàâåäëèâû ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû sin x ≈ tg x ≈ x . Îòâåò ïðèâåäèòå â ñàíòèìåòðàõ, îêðóãëèâ äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé. Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï

Ïðîâåäåíèå çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà îëèìïèàäû áûëî íàçíà÷åíî íà 24 ôåâðàëÿ 2017 ãîäà. Äëÿ ó÷àùèõñÿ âñåõ êëàññîâ ýòîò ýòàï ïðîâîäèëñÿ â î÷íîé ôîðìå íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ è íà ÷åòûðåõ ðåãèîíàëüíûõ ïëîùàäêàõ â ãîðîäàõ Àñòàíà, Áåëãîðîä, Âëàäèâîñòîê è Âîëãîãðàä. Çàäàíèå äëÿ ó÷àùèõñÿ 7 8, à òàêæå 9 êëàññîâ ñîñòîÿëî èç ÷åòûðåõ çàäà÷ ïî òåìàì, èçó÷àåìûì â ðàìêàõ ïðîãðàììû ïî ôèçèêå äëÿ îñíîâíîé îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëû. Çàäàíèÿ äëÿ ó÷àùèõñÿ 10 11 êëàññîâ áûëè ñîñòàâëåíû â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ Êîäèôèêàòîðîì ÅÃÝ 2017

ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÅ

ãîäà ïî ôèçèêå è îõâàòûâàëè îñíîâíûå ðàçäåëû Êîäèôèêàòîðà, à èìåííî: 1) ìåõàíèêó, 2) ìîëåêóëÿðíóþ ôèçèêó è òåðìîäèíàìèêó, 3) ýëåêòðîäèíàìèêó è 4) îïòèêó. Òèïîâîå çàäàíèå âêëþ÷àëî êàæäûé èç ýòèõ ðàçäåëîâ è ñîñòîÿëî èç êðàòêèõ âîïðîñîâ ïî òåîðèè è äîïîëíÿþùèõ èõ çàäà÷.

7 8 êëàññû 1. Èçäåëèå, èçãîòîâëåííîå èç ñïëàâà çîëîòà è ìåäè, èìååò ìàññó m = 1,6 êã è ïëîòíîñòü ρ = 16,8 ⋅ 103 êã ì 3 . Ñ÷èòàÿ, ÷òî îáúåì ñïëàâà ðàâåí ñóììàðíîìó îáúåìó èñõîäíûõ êîìïîíåíò, îïðåäåëèòå ìàññó m1 çîëîòà â ýòîì èçäåëèè. Ïëîòíîñòü çîëîòà ρ1 = 19,3 ⋅ 103 êã ì3 , ïëîòíîñòü ìåäè ρ2 = 8,9 ⋅ 103 êã ì3 .

2. Ïðè ìåäëåííîì ðàñòÿæåíèè ïðóæèíû èç íåäåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ äî íåêîòîðîãî óäëèíåíèÿ ñîâåðøåíà ðàáîòà À = = 10 Äæ. ×òîáû óäåðæàòü ïðóæèíó â ðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè, òðåáóåòñÿ ïðèêëàäûâàòü ê åå êîíöàì ñèëû, ðàâíûå ïî ìîäóëþ F = = 20 Í. Îïðåäåëèòå æåñòêîñòü k ýòîé ïðóæèíû.

3.  êîìíàòå îáúåìîì V = 60 ì 3 òåìïåðàòóðà âîçäóõà t1 = 15 °C . Êàêóþ ìàññó m òîðôà íóæíî ñæå÷ü â ïå÷è, ÷òîáû íàãðåòü âîçäóõ â êîìíàòå äî t2 = 25 °C ? Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ïå÷è η = 10%, ïëîòíîñòü âîçäóõà ρ = 1,2 êã ì 3 , åãî óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü c = 1,01 êÄæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ñãîðàíèÿ òîðôà q = 14 ÌÄæ/êã. Èçìåíåíèåì ïëîòíîñòè âîçäóõà â ðàññìàòðèâàåìîì äèàïàçîíå òåìïåðàòóð ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Îòâåò ïðèâåäèòå â êèëîãðàììàõ, îêðóãëèâ äî îäíîé ñîòîé.

4. Â öåïè, ñõåìà êîòîðîé ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 8, ñèëà òîêà, òåêóùåãî ïî ðåçèñòîðó

Ðèñ. 8

ñîïðîòèâëåíèåì R1 , ðàâíà I = 2 À. Îïðåäåëèòå íàïðÿæåíèå U ìåæäó òî÷êàìè A è B, åñëè R1 = 3 Îì, R2 = 6 Îì, R3 = 3 Îì, R4 = 3 Îì, R5 = 6 Îì.

ÌÀÒÅÐÈÀËÛ

#%

9 êëàññ 1. Èçó÷èâ çàêîíû ìåõàíèêè, ó÷åíèê ðåøèë ïðîâåðèòü èõ ýêñïåðèìåíòàëüíî. Äëÿ ýòîãî îí ñîáðàë äîìà ìîäåëü èãðóøå÷íîé æåëåçíîé äîðîãè. Íà ïðÿìîëèíåéíîì ó÷àñòêå äîðîãè îí ïîìåñòèë ñèììåòðè÷íóþ ãîðêó âûñîòîé H = 0,5 ì è äëèíîé îñíîâàíèÿ L = 2 ì (ðèñ.9). Ñöåïèâ íåñêîëüêî îäèíà-

Ðèñ. 9

êîâûõ âàãîíîâ, îí ïîñòàâèë îáðàçîâàâøèéñÿ ïîåçä íà ãîðèçîíòàëüíûé ó÷àñòîê äîðîãè è òîëêíóë åãî ïî íàïðàâëåíèþ ê ãîðêå ñî ñêîðîñòüþ v0 = 3 ì ñ . Ïðè êàêîì ìèíèìàëüíîì ÷èñëå âàãîíîâ Nmin ïîåçä ïðåîäîëååò ãîðêó è ñêàòèòñÿ ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû? Äëèíà îäíîãî âàãîíà l = 10 ñì. Ñèëàìè ñîïðîòèâëåíèÿ è äëèíîé ñöåïêè ìåæäó âàãîíàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèìèòå ðàâíûì g = 10 ì ñ2 .

2.  òåïëîèçîëèðîâàííûé ñîñóä ñ âîäîé îáùåé òåïëîåìêîñòüþ C = 1,5 êÄæ °Ñ , èìåþùèé òåìïåðàòóðó t1 = 20 °C , ïîìåñòèëè m = 56 ã ëüäà ïðè òåìïåðàòóðå t2 = −8 °C . Êàêóþ òåìïåðàòóðó t0 ïðèìåò ñîäåðæèìîå ñîñóäà ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ? Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû câ = 4,2 êÄæ ( êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ëüäà cë = 2,1 êÄæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 330 êÄæ/êã. Îòâåò ïðèâåäèòå â ãðàäóñàõ Öåëüñèÿ, îêðóãëèâ äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

3. Ñëåäóÿ óêàçàíèÿì ó÷èòåëÿ, ó÷åíèê ñîáðàë ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ ðåçèñòîðîâ è äâóõ àìïåðìåòðîâ (ðèñ.10). Ïðè ýòîì îí çàìåòèë, ÷òî çàâîäñêàÿ ìàðêèðîâêà íà ðåçèñòîðå R1 ñòåðëàñü è óñòàíîâèòü ïî íåé çíà÷åíèå ñîïðî- Ðèñ. 10 òèâëåíèÿ ýòîãî ðåçèñòîðà íåâîçìîæíî.  òî æå âðåìÿ ìàðêèðîâêà íà ðåçèñòîðàõ R2 è R3 áûëà ÷åòêîé, áëàãîäàðÿ ÷åìó ó÷åíèê óçíàë, ÷òî R2 = 20 Îì, à R3 = 15 Îì. Ïîäêëþ÷èâ öåïü ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî òîêà (íà ðèñóíêå íå èçîáðàæåí), ó÷åíèê îáíàðóæèë,

#&

ÊÂÀÍT 2017/¹4

÷òî àìïåðìåòð A2 ïîêàçûâàåò ñèëó òîêà I2 = 0,3 À, à àìïåðìåòð A 0 ñèëó òîêà I0 = 1,5 À. Ðàñïîëàãàÿ ýòèìè äàííûìè è ïðåäïîëîæèâ, ÷òî ñîïðîòèâëåíèÿ àìïåðìåòðîâ ïðåíåáðåæèìî ìàëû, ó÷åíèê ñìîã ðàññ÷èòàòü ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà R1 . Êàêîé îòâåò îí ïîëó÷èë? Îòâåò îêðóãëèòå äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

4. Äâå ïðÿìûå äîðîãè AB è CB ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå B ïîä óãëîì α = 45° (ðèñ.11). Íà ïåðåêðåñòêå B óñòàíîâëåíî øèðîêîå ïëîñêîå çåðêàëî, ðàñïîëîæåííîå ïåðïåíäèêóëÿðíî äîðîãå AB òàê, ÷òî âåëîñèïåäèñò, åäóùèé ê òî÷êå B ïî äîÐèñ. 11 ðîãå CB, âèäèò â çåðêàëå áåãóíà, íàïðàâëÿþùåãîñÿ ê òî÷êå B ïî äîðîãå AB. Êàêîâà ñêîðîñòü áåãóíà v, åñëè ñêîðîñòü âåëîñèïåäèñòà V = 18 êì/÷, à èçîáðàæåíèå áåãóíà ïðèáëèæàåòñÿ ê âåëîñèïåäèñòó ñ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ u = V 2 ? Îòâåò ïðèâåäèòå â êì/÷, îêðóãëèâ äî îäíîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.

íàä ν = 1 ìîëü èäåàëüíîãî ãàçà. Òåìïåðàòóðà ãàçà â òî÷êå 1 ðàâíà T1 = 200 Ê, à åãî òåìïåðàòóðû â òî÷êàõ 2 è 3 îäèíàêîâû è ðàâíû Ðèñ. 13 T2 = 800 Ê. Ïðîäîëæåíèå ïðÿìîé 1 3 ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Îïðåäåëèòå ðàáîòó A ãàçà çà öèêë. Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,31 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) .

3. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ïîòåíöèàë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ? ×åìó ðàâåí ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà? Çàäà÷à. Íàéäèòå ñèëó F âçàèìîäåéñòâèÿ íåïðîâîäÿùåé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ïîëóñôåðû ðàäèóñîì R = 10 ñì ñ áåñêîíå÷íî äëèííûì ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûì òîíêèì ñòåðæíåì. Îäèí êîíåö ñòåðæíÿ ðàñïîëîæåí â öåíòðå ïîëóñôåðû, à íàïðàâëåí ñòåðæåíü âäîëü îñè ñèììåòðèè ïîëóñôåðû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 14. Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîò-

10 11 êëàññû 1. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîí Ãóêà. ×åìó ðàâíà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãî äåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû? Çàäà÷à.  óñòðîéñòâå, ïîêàçàííîì íà ðèñóíêå 12, ãðóç ìàññîé M = 0,2 êã ïîäâåøåí ê ñåðåäèíå ñòåðæíÿ, à ñòåðæåíü ðàñïîëîæåí ãîðèçîíòàëüíî. Áëîê, íèòü, ïðóæèíû è ñòåðæåíü íåâåñîìû, íèòü íåðàñòÿæèìà. Æåñòêîñòè ïðóæèí k1 = 30 Í/ì, k2 = 20 Í/ì. Ñòåðæåíü ñìåùàþò âåðòèêàëüíî âíèç íà íåáîëüøîå ðàññòîÿíèå è îòïóñêàþò. Îïðåäåëèòå Ðèñ. 12 ïåðèîä T âîçíèêøèõ ïîñëå ýòîãî ìàëûõ âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé ãðóçà. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ñòåðæåíü â ïðîöåññå êîëåáàíèé îñòàåòñÿ âñå âðåìÿ ãîðèçîíòàëüíûì.

2. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Óêàæèòå ñïîñîáû èçìåíåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè. Çàäà÷à. Íà ðèñóíêå 13 ïîêàçàíà pV-äèàãðàììà öèêëè÷åñêîãî ïðîöåññà, ïðîâîäèìîãî

Ðèñ. 14

íîñòü çàðÿäîâ íà ïîëóñôåðå σ = 10−6 Êë ì2 , ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ íà ñòåðæíå γ = 10−6 Êë ì , ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ ε0 = 8,85 ⋅ 10−12 Ô ì .

4. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîíû ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà. ×òî òàêîå àáñîëþòíûé è îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ? Çàäà÷à. Íà ñòîëå ñòîèò ãîðÿùàÿ ñâå÷à. Øêîëüíèê ñ ïîìîùüþ òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû ïîëó÷èë íà ñòåíå ðåçêîå èçîáðàæåíèå ïëàìåíè ñâå÷è è îáíàðóæèë, ÷òî, ïåðåìåñòèâ ëèíçó ê ñòåíå íà ðàññòîÿíèå ∆l = 0,3 ì, ìîæíî ïîëó÷èòü íà ñòåíå åùå îäíî ðåçêîå èçîáðàæåíèå ïëàìåíè. Îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû F. Ðàññòîÿíèå îò ãîðÿùåé ñâå÷è äî ñòåíû L = 0,9 ì. Ïóáëèêàöèþ ïî ìàòåìàòèêå ïîäãîòîâèëè Ä.Ãîðÿøèí, À.Çåëåíñêèé, À.Êîçêî, Ë.Êðèöêîâ, Â.Ïàíôåðîâ, À.Ðàçáîðîâ, È.Ñåðãååâ, È.Øåéïàê, Ì.Þìàøåâ; ïî ôèçèêå Ñ.×åñíîêîâ

ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠÇÀÄÀ×È

(ñì. «Êâàíò» ¹3) 1. Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíî, êàê ïîñòðîèòü çàáîðû îáùåé äëèíîé 650 ì.

Ðèñ. 1 2. Äà, ìîãëî. Ïîäîéäóò ãèðüêè ìàññàìè 49,5 ã, 50,5 ã è 51,5 ã. Ïåðâàÿ è âòîðàÿ ãèðüêè âìåñòå âåñÿò 100 ã, ïåðâàÿ è òðåòüÿ 101 ã, à âòîðàÿ è òðåòüÿ 102 ã.

3. 23. Ðàçäàäèì òðè ðàçà ïî äâå ïà÷êè, îñòàíåòñÿ 3 ◊ 1 = 3 ïå÷åíüÿ. Íî òå æå øåñòü ïà÷åê ïå÷åíüÿ ìîæíî ðàçäàòü èíà÷å òðè è åùå òðè, è òîãäà îñòàíåòñÿ 2 ◊ 13 = 26 ïå÷åíèé. Çíà÷èò, 26 3 = = 23 ïå÷åíüÿ ìîæíî ïîäåëèòü ìåæäó òóðèñòàìè ïîðîâíó. Ïîñêîëüêó ÷èñëî 23 ïðîñòîå, ýòî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè òóðèñòîâ 23.

4. 30∞ . Ïîñêîëüêó êàðòèíêà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC, èìååì DK = = BK (ðèñ.2). Ïî óñëîâèþ, BK = AC. À òàê êàê äèàãîíàëè â êâàäðàòå ðàâíû, AC = BD. Òàêèì Ðèñ. 2 îáðàçîì, â òðåóãîëüíèêå BKD âñå ñòîðîíû ðàâíû, ò.å. îí ðàâíîñòîðîííèé, è –BKD = 60∞. Îïÿòü æå â ñèëó ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC èìååì –BKC = –DKC , à â ñóììå ýòè óãëû ñîñòàâëÿþò 60∞ , ò.å. êàæäûé èç íèõ ðàâåí 30∞.

ÊÎÍÊÓÐÑ ÈÌÅÍÈ À.Ï.ÑÀÂÈÍÀ (ñì. «Êâàíò» ¹2) 4

16. Âñåãî N , êàæäûé ðàññêàçàë ïî N 3 . Âîçüìåì ëþáîãî áîëòóíà, êðîìå ïîñëåäíåãî, è ñëåäóþùåãî çà íèì. Ñíà÷àëà âòîðîé íà êàæäîì êðóãå ðàññêàçûâàåò íà àíåêäîò áîëüøå, ÷åì ïåðâûé, è òàê N êðóãîâ. À ïîñëå òîãî êàê áîëòóíû óñòàëè, âòîðîé ðàññêàçûâàåò íà àíåê-

äîò ìåíüøå òîæå N êðóãîâ. Çíà÷èò, âñå ðàññêàçàëè ïîðîâíó àíåêäîòîâ, ò.å. 1 N îò îáùåãî êîëè÷åñòâà. Âñåãî àíåêäîòîâ áûëî ðàññêàçàíî 1 + 2 + … + N2 - 1 + N2 + N2 - 1 + … + 2 + 1 =

(

2

= 1+ N

( ) - 1) + (2 + N

2

(

)

)

(

)

- 2 + … + N2 - 1 + 1 + N2 =

= N2 ◊ N2 = N4 .

Òîãäà êàæäûé ðàññêàçàë ïî N 4 N = N 3 àíåêäîòîâ.

17. à) Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ìû óìååì îïðåäåëÿòü êàðòû, êîòîðûå ëåæàò â âåðõíåé ëåâîé ÷åòâåðòè êâàäðàòà 6 ¥ 6 , òî ñìîæåì îïðåäåëèòü è îñòàëüíûå êàðòû. Çàäàäèì òðè âîïðîñà: ïðî êâàäðàò 3 ¥ 3 , äëÿ êîòîðîãî êàðòà âåäóùåãî ëåæèò â ëåâîì âåðõíåì óãëó ýòîãî êâàäðàòà, à òàêæå ïðî êâàäðàòû 3 ¥ 3 , êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ïåðâîãî êâàäðàòà ñäâèãîì íà 1 âíèç è íà 1 âïðàâî. Êàðòà âåäóùåãî åäèíñòâåííàÿ, êîòîðàÿ ëåæèò â ïåðâîì êâàäðàòå, íî íå ëåæèò íè âî âòîðîì, íè â òðåòüåì, è ìû åå ëåãêî îïðåäåëèì. á) 3 õîäà. Äîêàæåì, ÷òî äâóõ âîïðîñîâ íåäîñòàòî÷íî. Ïóñòü ìû çàäàëè äâà âîïðîñà (óêàçàëè äâà êâàäðàòà). Òîãäà âñå 36 êàðò ðàçäåëÿòñÿ íà 4 ÷àñòè: êàðòû, êîòîðûå âõîäÿò â îáà êâàäðàòà (1-ÿ ÷àñòü), òîëüêî â ïåðâûé êâàäðàò (2-ÿ), òîëüêî âî âòîðîé êâàäðàò (3-ÿ) è êîòîðûå íå âõîäÿò íè â îäèí êâàäðàò (4-ÿ). Åñëè ïåðåñòàâèòü ìåæäó ñîáîé êàðòû âíóòðè ëþáîé ÷àñòè, òî îòâåòû íà âîïðîñû íå èçìåíÿòñÿ. Çíà÷èò, åñëè êàðòà âåäóùåãî ïîïàëà â ÷àñòü, â êîòîðîé áîëüøå îäíîé êàðòû, òî óçíàòü êàðòó âåäóùåãî ìû íå ñìîæåì. Ïîêàæåì, ÷òî ÷àñòü, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ óãëîâàÿ êàðòà, ñîäåðæèò õîòÿ áû 2 êàðòû. Åñëè óãëîâàÿ êàðòà âõîäèò â îáà êâàäðàòà 3 ¥ 3 , òî îíè ñîâïàäàþò è â ýòîé ÷àñòè 9 êàðò. Åñëè êàðòà âõîäèò òîëüêî â îäèí èç êâàäðàòîâ, òî â ýòîé ÷àñòè îáÿçàòåëüíî áóäåò è îäíà èç ñîñåäîê óãëîâîé êàðòû (ëèáî â ñòðîêå, ëèáî â ñòîëáöå). Åñëè æå êàðòà íå âõîäèò íè â îäèí êâàäðàò, òî â ýòîé ÷àñòè áóäåò íå ìåíåå 36 9 9 = 18 êàðò.

18. Ïðîäëèì ñòîðîíû óãëîâ äî ïåðåñå÷åíèÿ, êîòîðîå ïðîèçîéäåò â îäíîì èç óçëîâ (ðèñ.3). Äîêàæåì, ÷òî ÷åòûðå êðàñíûõ óçëà ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. Êðàñíûå óçëû ðàâíîóäàëåíû îò ñèíåãî óçëà, òàê êàê âñå êðàñíûå îòðåçêè ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëÿìè â ðàâíûõ ïàðàëëåëîãðàììàõ ñ óãëîì 60∞ è ñòîðîíàìè 1 è 3. Òîãäà äâà äàííûõ óãëà ðàâíû êàê âïèñàííûå â ýòó îêðóæíîñòü.

19. Áóäåì ñëåäèòü çà êîëè÷åñòâîì ðÿäîâ (ñòðîê è ñòîëáöîâ), íà êîòîðûõ åñòü õîòÿ áû îäíà ëàäüÿ, îáîçíà÷èì åãî s.

$

ÊÂÀÍT 2017/¹4

æèâàþùèìè ïëîñêîñòÿìè-ïëàíåðàìè, êàê ó ëèïû, áëàãîäàðÿ ÷åìó âåòåð ìîæåò ïåðåíîñèòü èõ âåñüìà äàëåêî îò «ìåñòà ðîæäåíèÿ».

3. Çàìåòíûå êîëåáàíèÿ òåìïåðàòóðû â ãîðàõ ïðîÿâëÿþòñÿ â ìåíüøåé ñòåïåíè â ïðèçåìíîì ñëîå, ÷åì íà âûñîòå äàæå íåñêîëüêèõ ìåòðîâ.

4. Ïîäîáíàÿ ôîðìà ëèñòüåâ è ëåïåñòêîâ ïðèäàåò èì äîïîëíèòåëüíóþ æåñòêîñòü è ïðî÷íîñòü.

5. Êîðíåâàÿ ñèñòåìà ñîñíû ãëóáæå óõîäèò â çåìëþ, ÷åì ó åëè (ðèñ.4). ×òîáû âûâåðíóòü åëü

Ðèñ. 3 Åñëè èçíà÷àëüíî çàíÿòûõ ñòðîê x, à çàíÿòûõ ñòîëáöîâ y, òî ëàäåé íå áîëåå xy. Òàêèì îáðàçîì, xy ≥ 10 . Ïåðåáðàâ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ x îò 1 äî 6, íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî òîãäà s=x+y≥7.  êîíå÷íîì ïîëîæåíèè âñå ëàäüè íå áüþò äðóã äðóãà, à ýòî ïðîèñõîäèò â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà s = 20. Äîêàæåì, ÷òî ïðè s < 20 âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü õîä, óâåëè÷èâàþùèé s. Èç ýòîãî áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî íå áîëåå ÷åì çà 20 7 = 13 õîäîâ ìû ïîëó÷èì ðàññòàíîâêó ëàäåé, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ. Ðàññìîòðèì âñå ëàäüè, êîòîðûå íèêîãî íå áüþò. Ðÿäû, ñîäåðæàùèå òàêèå ëàäüè, çà÷åðêíåì. Äîïóñòèì, ÷òî åñòü íåçà÷åðêíóòûé ðÿä ðîâíî ñ îäíîé ëàäüåé, ïóñòü ýòî ñòðîêà.  ñòîëáöå, â êîòîðîì ñòîèò ýòà ëàäüÿ, åñòü õîòÿ áû äâå ëàäüè, à çíà÷èò, åñòü ïóñòîé ñòîëáåö. Òîãäà ëàäüþ ìîæíî ïåðåäâèíóòü â íåãî. Ïðè ýòîì s óâåëè÷èâàåòñÿ. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü âàðèàíò, êîãäà òàêîãî ðÿäà íåò. Òîãäà âñå íåçà÷åðêíóòûå ñòðîêè ëèáî ïóñòûå, ëèáî â íèõ õîòÿ áû äâå ëàäüè, ïðè÷åì è òå, è äðóãèå ñòðîêè ïðèñóòñòâóþò. Ðàññìîòðèì ïóñòóþ ñòðîêó è ñòðîêó, â êîòîðîé õîòÿ áû äâå ëàäüè, ïðè÷åì òàêèå, ÷òî ìåæäó íèìè íåò íåçà÷åðêíóòûõ ñòðîê. Òîãäà ïåðåäâèíåì ëàäüè èç îäíîé ýòîé ñòðîêè â äðóãóþ. Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî òàêîé õîä ñäåëàòü ìîæíî è s ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ. Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî îöåíêà òî÷íàÿ, ò.å. çà 12 õîäîâ ìîæíî ñïðàâèòüñÿ íå âñåãäà (äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ýòîãî íå òðåáîâàëîñü äîêàçûâàòü).

ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Òâåðäàÿ îáîëî÷êà îðåõà íå ïðîïóñêàåò âîäó, à âíóòðè îðåõà èìååòñÿ âîçäóõ, îáåñïå÷èâàþùèé ïëàâó÷åñòü è ïîçâîëÿþùèé äîëãîå âðåìÿ «ìèãðèðîâàòü».

2. Ìíîãèå ïëîäû è ñåìåíà ñíàáæåíû ëèáî ïó÷êàìè âîëîñêîâ, êàê ó îäóâàí÷èêà, ëèáî ïîääåð-

Ðèñ. 4 ñ êîðíåì, òðåáóåòñÿ ìåíüøèé ìîìåíò ñèëû âåòðà, ÷åì äëÿ ñîñíû. À ÷òîáû âûâåðíóòü ñîñíó ñ êîðíåì, òðåáóåòñÿ áîëüøèé ìîìåíò ñèëû âåòðà, íåæåëè ÷òîáû ïîëîìàòü åå.

6. Îäíà èç ïðè÷èí ïóñòîòåëîñòü ñòåáëÿ. Ïðè èçãèáå âíóòðåííÿÿ åãî îáëàñòü ïðàêòè÷åñêè íå äåôîðìèðóåòñÿ, â òî âðåìÿ êàê çàïîëíÿþùåå ýòó îáëàñòü âåùåñòâî ëèøü óâåëè÷èâàëî áû èçãèáàþùèå è ñæèìàþùèå ñèëû. Êðîìå òîãî, ñòåáëè çëàêîâûõ ñîñòîÿò èç íåñêîëüêèõ ïîëûõ öèëèíäðîâ, ñîåäèíÿåìûõ óïðóãèìè óçëàìè, ÷òî ñîîáùàåò èì äîïîëíèòåëüíóþ ãèáêîñòü.

7.  âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè ïîäâîäíûå ðàñòåíèÿ óäåðæèâàþòñÿ ñèëîé Àðõèìåäà. Åå äåéñòâèå óâåëè÷èâàåòñÿ çà ñ÷åò âîçäóøíûõ ïîëîñòåé âíóòðè ñòåáëåé, èãðàþùèõ ðîëü ïîïëàâêîâ.

8. Ëèñòüÿ èëè ðÿñêà, ïîêðûâàþùèå ïîâåðõíîñòü âîäû, ìîãóò îãðàíè÷èòü äèôôóçèîííûå ïðîöåññû â ñíàáæåíèè ãëóáîêèõ ñëîåâ êèñëîðîäîì, íåîáõîäèìîì ïîäâîäíûì îáèòàòåëÿì.

9. Âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ äåëî â îñîáåííîñòÿõ ïîâåðõíîñòåé ðàñòåíèé, íå ñìà÷èâàåìûõ âîäîé.

10. ×ðåçìåðíî âûñîêîå äåðåâî íå âûäåðæèò ñîáñòâåííîé òÿæåñòè ïðè óâåëè÷åíèè åãî ðàçìåðîâ îáúåì è ìàññà ðàñòóò áûñòðåå, ÷åì ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ñòâîëà. Íî áîëåå æåñòêîå îãðàíè÷åíèå ñâÿçàíî ñ îñìîòè÷åñêèì äàâëåíèåì îäíîñòîðîííåé äèôôóçèåé ìîëåêóë ÷åðåç ìåìáðàíû êëåòîê, êîòîðîå ïîäíèìàåò ñîêè îò êîðíåé ê ëèñòüÿì íà âûñîòó íå áîëåå íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ ìåòðîâ. Íàðÿäó ñ îñìîñîì ïîäúåìó

ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

âëàãè ñïîñîáñòâóþò è êàïèëëÿðíûå ÿâëåíèÿ.

11. Áûñòðîòå ðåàêöèè ðàñòåíèÿ ñïîñîáñòâóåò ýëåêòðè÷åñêèé èìïóëüñ, àíàëîãè÷íûé âîçáóæäåíèþ â íåðâíûõ âîëîêíàõ æèâîòíûõ.

12. Ëèñòüÿ çàíèìàþò ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì èõ îñâåùåííîñòü ìèíèìàëüíà, ÷òî ïðåäîõðàíÿåò èõ îò ïåðåãðåâà.

13. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà íàä âëàæíîé ïî÷âîé ìåíÿåòñÿ ìåäëåííåå.

14. Êàïëè âîäû ôîêóñèðóþò ñîëíå÷íûå ëó÷è íà ïîâåðõíîñòè ëèñòà, ÷òî ïðèâîäèò ê åãî îáóãëèâàíèþ.

15. Â ïðèñóòñòâèè êèñëîðîäà ãðèáû-ãíèëóøêè ñâåòÿòñÿ íåïðåðûâíî, à áîëüøèíñòâî ñâåòÿùèõñÿ æèâîòíûõ äàþò âñïûøêè ñâåòà òîëüêî ïðè ñòèìóëÿöèè èõ ëþìèíåñöèðóþùèõ îðãàíîâ.

16. Ñòåêëî ñèíåé ëàìïû ïðîïóñêàåò íå òîëüêî ñèíèå ëó÷è, íî ÷àñòè÷íî è êðàñíûå. Âìåñòå ñ òåì ëèñòüÿ ðàñòåíèé îòðàæàþò íå òîëüêî çåëåíûé, íî îò÷àñòè è êðàñíûé ñâåò.

17. Âîäà ñèëüíî ïîãëîùàåò êðàñíûå è ñèíèå ëó÷è, ÷òî ïðèäàåò åé çåëåíûé öâåò. Ãëóáîêîâîäíûå âîäîðîñëè íóæäàþòñÿ â êðàñíîì ïèãìåíòå, ïîãëîùàþùåì çåëåíûå ëó÷è.

Ìèêðîîïûò Èíòåíñèâíîå èñïàðåíèå ñ ïîâåðõíîñòè ëèñòà ïîíèæàåò åãî òåìïåðàòóðó è ñîçäàåò îùóùåíèå ïðîõëàäû.

XXV ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ «ÈÍÒÅËËÅÊÒÓÀËÜÍÛÉ ÌÀÐÀÔÎÍ» ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1. Âòîðîå ÷èñëî áîëüøå. a1 + a2 + a3 + … + a6 ÷åðåç A. Òîãäà Îáîçíà÷èì 6 a1 = A + δ1 , a2 = A + δ2 , , a6 = A + δ6 , a7 = = A + δ7 , , a10 = A + δ10 , ïðè÷åì δ1 < δ2 < … … < δ6 < δ7 < … < δ10 è δ1 + δ2 + … + δ6 = 0 . Åñëè δ7 ≤ 0 , òî ÷èñëà δ1 , δ2 , , δ6 îòðèöàòåëüíû è, âîïðåêè ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó, ñóììà δ1 + δ2 + … + δ6 òîæå äîëæíà áûòü îòðèöàòåëüíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, δ7 > 0 , è òàêæå ïîëîæèòåëüíû ÷èñëà δ8 , δ9 , δ10 . Òàêèì îáðàçîì, a1 + a2 + a3 + … + a10 10 A + δ7 + δ8 + δ9 + δ10 = > A. 10 10 a 2 + b2 .

2 Ïóñòü K è L îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ,

2. AB = CD =

ÐÅØÅÍÈß

$

Ðèñ. 5 îïóùåííûõ ñîîòâåòñòâåííî èç B è C íà áîëüøåå îñíîâàíèå òðàïåöèè AD (ðèñ.5). Òîãäà KL = a+b a−b , AK = a − = 2 2 a −b  a−b , ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëü− + b = 2  2  íèêè AKB è DLC ðàâíû ïî äâóì êàòåòàì, ñëåäîâàòåëüíî, AB = CD. Ïðîâåäåì CM BD . Òðåóãîëüíèê ACM ïðÿìîóãîëüíûé, AM = a−b + b = LM , ìåäèàíà = a + b, AL = 2 AM a + b , ïîýòîìó CL = = 2 2 2 2 a 2 + b2 a +b a −b CD2 = CL2 + LD2 =  .  +  = 2  2   2 

= BC, LD = a −

3. Îòíîøåíèå êîðíåé óðàâíåíèÿ ðàâíî 3. Åñëè b ≠ 0 , òî a ≠ 0 , c ≠ 0 è ac > 0. Äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí 1 b2 − 4ac = b2 . Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ 4 −b − ( b 2 ) −b + ( b 2 ) ðàâíû x1 = , x2 = . Ðàñ2a 2a ñìîòðåâ äâà âàðèàíòà b < 0 è b > 0, ïîëó÷èì, 1 x x ÷òî 1 = 3 ëèáî 1 = . x2 3 x2 4. Íåëüçÿ. Óêàçàííàÿ îïåðàöèÿ çàìåíÿåò ÷èñëî âèäà 10a + + b íà ÷èñëî a + 5b. Ïðè ýòîì a + 5b = 5 (10a + + b ) − 49a . Ñëåäîâàòåëüíî, âñÿêîå äåëÿùååñÿ íà 7 ÷èñëî çàìåíÿåòñÿ íà ÷èñëî, òîæå äåëÿùååñÿ íà 7. ×èñëî 2016 äåëèòñÿ íà 7, ÷èñëî 20162016 òîæå äåëèòñÿ íà 7. Íî ÷èñëî 2015 íå äåëèòñÿ íà 7, è ÷èñëî 20152015 íå äåëèòñÿ íà 7.

5. 2 a2 + b2 . Îòðàçèì ïðÿìîóãîëüíèê ABCD âìåñòå ñ ÷åòûðåõóãîëüíèêîì KLMN îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû CD, ïðè ýòîì òî÷êè K è N ïåðåéäóò ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êè K′ è N′ . Ïóñòü ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî BC òî÷êà K ïåðåéäåò â òî÷êó K′′ , à ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî DA′ òî÷êà K′ ïåðåéäåò â òî÷êó K′′′ (ðèñ.6). Çàìåòèì, ÷òî BK′′ + A′K′′′ = b . Ëîìàíàÿ K′′LMN′K′′′ áóäåò èìåòü íàèìåíüøóþ äëèíó, åñëè òî÷êè K′′ , L, M, N′ , K′′′ îêàæóòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé. Òàê áóäåò, åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN ïàðàë-

$

ÊÂÀÍT 2017/¹4

Ðèñ. 6 ëåëîãðàìì.  ýòîì ñëó÷àå ïåðèìåòð ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN ðàâåí äëèíå îòðåçêà K′′K′′′ è ðàâåí 2 a2 + b2 .

6. 1. Â ñàìîì äåëå,

x ∗ 0 = x ∗ (x ∗ x ) = (x ∗ x ) + x = x .

Ïîýòîìó

x = x ∗ 0 = x ∗ (x ∗ y) = x ∗ (y ∗ y) = (x ∗ y) + y

è x∗y = x−y.

7. à), á) Íå ñóùåñòâóþò; â) ñóùåñòâóþò. Âî-ïåðâûõ ÿñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç íóëåé è åäèíèö äëèíû n, íà÷èíàþùèõñÿ ñ 0, ñòîëüêî æå, ñêîëüêî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äëèíû n 1, ò.å. Tn −1 . Âî-âòîðûõ, ó âñÿêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, â êîòîðîé íèêàêèå òðè åäèíèöû íå ñòîÿò ðÿäîì è êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ íà 10, îñòàâøèåñÿ n 2 ìåñòà ìîæåò çàíèìàòü ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà; ÷èñëî òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàâíî Tn − 2 . Ó âñÿêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, â êîòîðîé íèêàêèå òðè åäèíèöû íå ñòîÿò ðÿäîì è êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ íà 110, îñòàâøèåñÿ n 3 ìåñòà ìîæåò çàíèìàòü ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà; ÷èñëî òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàâíî Tn − 3 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàòóðàëüíûõ n ñïðàâåäëèâà ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà Tn = Tn −1 + Tn −2 + + Tn − 3 , è ïðè ýòîì T1 = 2 , T2 = 4 è T3 = 7. À òåïåðü çàáóäåì î ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ èç íóëåé è åäèíèö è, ñëåäóÿ ïîëó÷åííîé ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå, íà÷íåì âû÷èñëÿòü Tn äëÿ n = 0 è äëÿ öåëûõ îòðèöàòåëüíûõ n: T3 = T2 + T1 + T0 , T0 = 1 ; T2 = T1 + T0 + T−1 , T−1 = 1 ; T1 = T0 + T−1 + + T−2 , T−2 = 0 ; T0 = T−1 + T−2 + T−3 , T−3 = 0 . Ôðàãìåíò áåñêîíå÷íîé â îáå ñòîðîíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè T−3 , T−2 , T−1 , T0 , T1 , T2 , T3 , äàåò íàì ÷èñëà 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, Çàìåíèì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë Tn íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Sn èõ îñòàòêîâ ïðè äåëåíèè íà

2. Ñîîòâåòñòâóþùèé ôðàãìåíò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn : 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, .  «àðèôìåòèêå îñòàòêîâ» ïðè äåëåíèè íà 2, â êîòîðîé 0 + + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0, äëÿ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñòàòêîâ âûïîëíåíî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå Sn = Sn −1 + Sn − 2 + Sn − 3 , ãäå n öåëîå, ò.å. âñÿêèé ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâåí ñóììå òðåõ ïðåäûäóùèõ. Íî ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ èç òðåõ îñòàòêîâ ïðè äåëåíèè íà 2 íå ìîæåò áûòü áîëüøå 23 . Ïîýòîìó â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàéäóòñÿ äâå òðîéêè îäèíàêîâûõ íàáîðîâ, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñòàòêîâ ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ. à) Åñëè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñòàòêîâ íàéäóòñÿ òðè íóëÿ ïîäðÿä, òî âñëåäñòâèå ïåðèîäè÷íîñòè âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äîëæíû áûòü ðàâíû 0, ÷òî íå òàê. á) Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî íà ñàìîì äåëå ïåðèîäè÷íîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn îáíàðóæèâàåòñÿ áûñòðåå: S1 = S5 , S2 = S6 , S3 = S7 , S4 = S8 è ò.ä. â) Çàìåíèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë Tn íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Rn èõ îñòàòêîâ ïðè äåëåíèè íà 2016. Îòìåòèì, ÷òî R−3 = R−2 = 0 . Äëÿ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Rn â «àðèôìåòèêå îñòàòêîâ» ïðè äåëåíèè íà 2016 âûïîëíåíî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå Rn = Rn −1 + Rn − 2 + + Rn − 3 . Ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ èç òðåõ îñòàòêîâ íå ìîæåò áûòü áîëüøå 20163 , ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Rn ïåðèîäè÷íà. Ñòàëî áûòü, äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî k âåðíî ðàâåíñòâî Rk = Rk +1 = 0 , îçíà÷àþùåå, ÷òî Tk è Tk +1 äåëÿòñÿ íà 2016. Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1. ×åðåç 6 ÷.

2. Äà, ìîæåò. Ïðèìåð ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 7.

Ðèñ. 7 3. Íåò.

4. 17.

5. 5.

6. Íà ïðÿìîé l âîçüìåì òî÷êó Î è ïðîâåäåì ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñîì ÎÀ ñ öåíòðîì â òî÷êå Î (ïåðâàÿ ëèíèÿ), ïåðåñåêàþùóþ l â òî÷êàõ K è L. Çàòåì ðàñòâîðîì öèðêóëÿ, ðàâíûì KÀ, ïðîâåäåì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå L, ïå-

ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

ðåñåêàþùóþ ïîëóîêðóæíîñòü â òî÷êå A¢ (âòîðàÿ ëèíèÿ). Íàêîíåö, ëèíåéêîé ïðîâîäèì ïðÿìóþ AA¢ (òðåòüÿ ëèíèÿ).

7. a > b. 8. Ìîæíî. 9. 36 ëåò. 10. 8 ðàç. Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé 1. à), á) Ñóùåñòâóåò. Ïóñòü a = 2k + 1 íå÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à a2 + b2 = c2 . Òîãäà c2 − b2 = (c − b )(c + b ) = 2 = (2k + 1) . Ïîäáåðåì b è ñ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà 2 c − b = 1, c + b = (k + 1) . Òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè a = 2k + 1, b = = 2k2 + 2k , c = 2k2 + 2k + 1 èñêîìûé.  ÷àñòíîñòè, äëÿ a = 2015 ïîëó÷àåì k = 1007, b = 2030112, c = 2030113.

2 1 1 = + ; 19 10 190 7 2 5 1 1 1 1 = + = + + + á) .

19 19 19 10 190 4 76 Âîçìîæíû è äðóãèå ïðåäñòàâëåíèÿ. α+β α−β . cos 2 2 4. Âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîì a n − bn =

3. á) sin α + sin β = 2 sin

)

= (a − b ) a n −1 + a n − 2b + a n − 3b2 + … + ab n − 2 + b n −1 ,

ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî 2n − 1 ïðîñòîå ÷èñëî, à n ñîñòàâíîå ÷èñëî, íàïðèìåð n = kp, ãäå k > 1, p > 1. Òîãäà

( )

2n − 1 = 2k

p

8 16l 16l 9 2i l = 0,32 c ; t2 = ⋅2 + ∑ = 75 c ; v0 3v0 i =1 v0

l 24 i ⋅ ∑ 2 = 671088,6 c = 7ñóò 18 ÷ 24 ìèí 48,6 ñ , v0 i =1 òàê ÷òî äî îêîí÷àíèÿ îëèìïèàäû óïàäóò íå âñå áðóñêè.

(L + l ) n = 1,2 (çäåñü n = 1,33 ïîêàçà6. k = L + ln òåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû). q2  1 1  − 7. A =   = 2,25 êÄæ .

8πε0  R1 R2  t3 =

1. Íàáëþäàåìûå ÿâëåíèÿ ñâÿçàíû ñ çàêîíîìåðíîñòÿìè ðàññåÿíèÿ ñâåòà â àòìîñôåðå è ñ áîëüøîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ ãëàçà â çåëåíîé ÷àñòè ñïåêòðà.

2. Ïðåäìåò áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé, ðàâíîé ðàäèóñó Çåìëè. Ïåðèîä êîëåáàíèé áóäåò ñîâïàäàòü ñ ïåðèîäîì äâèæåíèÿ òåëà ïî îêîëîçåìíîé êðóãîâîé îðáèòå, ò.å. áóäåò íåìíîãî áîëüøå ïîëóòîðà ÷àñîâ.

3. Íî÷üþ ìû äâèæåìñÿ áûñòðåå.

4.  18 âåêå íå ìîã áû, à ñåé÷àñ ìîã áû.

5. Â âîçäóõå âåñ ïëàòèíîâîãî îáðàçöà áîëüøå àëþìèíèåâîãî.

6. Ëåä íàäî ðàñïîëîæèòü ñâåðõó, ÷òîáû êðîìå òåïëîïðîâîäíîñòè «ðàáîòàëà» è êîíâåêöèÿ.

7. Âûñîòà ñïóòíèêà áóäåò óìåíüøàòüñÿ, à ñêîðîñòü óâåëè÷èâàòüñÿ. Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé

−1 =

(

5. t1 =

$!

Óñòíûé êîìàíäíûé òóð

2. à)

(

ÐÅØÅÍÈß

)( )

( )

p −1 p −2 = 2k − 1  2k + 2k + … + 1   ñîñòàâíîå ÷èñëî, âîïðåêè óñëîâèþ.

5. Ýòî âåëèêèé íîðâåæñêèé ìàòåìàòèê Íèëüñ Õåíðèê Àáåëü (5 àâãóñòà 1802 ã. 6 àïðåëÿ 1829 ã.).  1823 ãîäó îí äîêàçàë íåâîçìîæíîñòü ðåøèòü â îáùåì âèäå (â ðàäèêàëàõ) àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå ñòåïåíè n ≥ 5 . Èìÿ Àáåëÿ íîñÿò íåñêîëüêî âàæíûõ òåîðåì èç òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Àáåëåâîé îáû÷íî íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà.

ÔÈÇÈÊÀ

Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1. Amin = 480 Äæ ; vmin = 3,7 ì/ñ.

2 m (v2 − v1 ) = 320 Ê .

2. Tmax = T0 + 6νR 3. Àìïåðìåòð ïîêàçûâàåò ïîñòîÿííûé òîê, ðàâ-µε0 (ε − 1) = 40,5 íÀ . íûé I = ρl 2 4. m = M (1 − 2 cos α ) = 48 êã .

1. 1) Óèëüÿì Øîêëè, Äæîí Áàðäèí (îí ñòàë äâàæäû ëàóðåàòîì), Óîëòåð Áðàòòåéí.

2) Òðàíçèñòîðíûé ýôôåêò, ïîëóïðîâîäíèêîâûé òðàíçèñòîð.

2. Ýòî ýêñïåðèìåíòû: 1) Ýðàòîñôåíà Êèðåíñêîãî, 2) Ãàëèëåî Ãàëèëåÿ (ñ Ïèçàíñêîé áàøíåé), 3) Ãàëèëåî Ãàëèëåÿ (ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ), 4) Ãåíðè Êàâåíäèøà), 5) Æàíà Ôóêî, 6) Èñààêà Íüþòîíà (ïî ðàçëîæåíèþ ñîëíå÷íîãî ñâåòà â ñïåêòð), 7) Òîìàñà Þíãà (ïî èíòåðôåðåíöèè ñâåòà), 8) Êëàóñà Éîíññîíà (ïî èíòåðôåðåíöèè ýëåêòðîíîâ, 1961 ã.), 9) Ðîáåðòà Ìèëëèíêåíà, 10) Ýðíåñòà Ðåçåðôîðäà (ïî ðàññåÿíèþ àëüôà÷àñòèö).

3. 1) Àëüáåðò Ýéíøòåéí. 2) Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, îáùàÿ òîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ôîòîýôôåêòà, êâàíòîâàÿ ñòàòèñòèêà Áîçå Ýéíøòåéíà, ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåîðèÿ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ è äð. Ïðåäñêàçàë ãðàâèòàöèîííûå âîëíû è êâàíòîâóþ òåëåïîðòàöèþ.

4. Îòêðûòèå ãðàâèòàöèîííûõ âîëí.

$"

ÊÂÀÍT 2017/¹4

5. 1) Óñêîðèòåëü Ó-70. 2) Ïðîòîí. 3) Ïðîòîí ñîñòîèò èç êâàðêîâ.

V ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐÍÈÐ ÈÌÅÍÈ Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ

7 8 êëàññû Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1. Íàïðèìåð, 2. 16.

17 8+9 1 1 = = + .

2016 2016 252 224

1 3. –LKC = –AKC = 90∞ - –A è 2 1 –CLK = –ALH = 90∞ - –A. Ïîýòîìó 2 –LKC = –CLK , è òðåóãîëüíèê CKL ðàâíîáåäðåííûé.

4. Ðàçëîæèì ìîíåòû íà ÷åòûðå êó÷êè ïî òðè ìîíåòû è âçâåñèì äâå ëþáûå êó÷êè. Åñëè îíè ðàâíîâåñíû, òî âñå ìîíåòû â íèõ ïðàâèëüíûå, è, ñðàâíèâ ëþáóþ èç ýòèõ êó÷åê ñ ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ, ìû îïðåäåëèì, â êàêîé èç êó÷åê íàõîäèòñÿ ôàëüøèâàÿ ìîíåòà. Åñëè æå ïðè ïåðâîì âçâåøèâàíèè êó÷êè îêàçàëèñü íå ðàâíîâåñíû, òî, ñðàâíèâ âòîðûì âçâåøèâàíèåì ëþáóþ èç ýòèõ êó÷åê ñ îäíîé èç îñòàâøèõñÿ ïðàâèëüíûõ êó÷åê, îïÿòü îïðåäåëèì, â êàêîé èç êó÷åê íàõîäèòñÿ ôàëüøèâàÿ ìîíåòà. Âçÿâ ëþáûå äâå ìîíåòû èç «ôàëüøèâîé» êó÷êè, â ñëó÷àå èõ ðàâåíñòâà ïîëó÷èì, ÷òî ôàëüøèâîé ÿâëÿåòñÿ òðåòüÿ ìîíåòà (â ýòîì ñëó÷àå ÷åòâåðòîãî âçâåøèâàíèÿ íå òðåáóåòñÿ). Åñëè æå âçÿòûå äâå ìîíåòû ðàçëè÷íû, òî ÷åòâåðòûì âçâåøèâàíèåì ñðàâíèì ëþáóþ èç íèõ ñ îñòàâøåéñÿ ïðàâèëüíîé.

5.  ïðÿìîóãîëüíèêå ABC1D1 äèàãîíàëè AC1 è BD1 â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì, â ïðÿìîóãîëüíèêå BCD1 A1 äèàãîíàëè BD1 è CA1 â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì, â ïðÿìîóãîëüíèêå CDA1B1 äèàãîíàëè CA1 è DB1 â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç O ñåðåäèíó äèàãîíàëè AC1 ïàðàëëåëåïèïåäà, íàéäåì, ÷òî òî÷êà O ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñåðåäèíîé îñòàëüíûõ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëåïèïåäà BD1 , CA1 , DB1 . Òàêèì îáðàçîì, âñå äèàãîíàëè ïàðàëëåëåïèïåäà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå O. Ñóììà ðàññòîÿíèé îò ýòîé òî÷êè äî âñåõ âîñüìè âåðøèí ïàðàëëåëåïèïåäà ìèíèìàëüíà.

Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1. 1 : 4.

2. 2.

10 ñòîðîíû êëåòêè.

3.

2 4. Ïîñêîëüêó óãëû KBL è LBC ðàâíû è âïèñàíû â îäíó îêðóæíîñòü, òî KL = LC (ðèñ.8).

Äàëåå, ïîñêîëüêó òî÷êà L ëåæèò íà âûñîòå BH ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, òî AL = = LC. Ïîýòîìó KL = = AL, è òðåóãîëüíèê AKL ðàâíîáåäðåííûé. Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è íå èñïîëüçóåò òî, ÷òî òî÷êà K ñåðåäèíà ñòîðîíû AB. 5. 8 è 56.

Ðèñ. 8

ÊÂÀÍÒ

12+

ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ

Å.Â.Áàêàåâ, C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Å.Ì.Åïèôàíîâ, Ñ.Ë.Êóçíåöîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí

ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ Â.À.Àòêàðñêàÿ, Ä.Í.Ãðèøóêîâà, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Ì.Í.Ñóìíèíà

ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Å.Â.Ìîðîçîâà

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ Ì.Í.Ãðèöóê, Å.À.Ìèò÷åíêî Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ÏÈ ¹ÔÑ77 54256 Òèðàæ: 1-é çàâîä 900 ýêç. Çàêàç ¹ Àäðåñ ðåäàêöèè: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» Òåë.: (495) 930-56-48 Å-mail: math@kvant.ras.ru, phys@kvant.ras.ru Îòïå÷àòàíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäîñòàâëåííûìè ìàòåðèàëàìè â ÎÎÎ «ÈÏÊ Ïàðåòî-Ïðèíò», ã.Òâåðü www.Pareto-print.ru