ΦΥΣΙΚΗ (εισαγωγικές γνώσεις) by MIXALIS XALIKIOPOULOS

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Εισαγωγικές Γνώσεις

Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Τι πρέπει να ξέρω πριν ξεκινήσω την Γ΄ Λυκείου

Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη. Μονάδες μέτρησης βασικών φυσικών μεγεθών. Τελεστές μονάδων. Πρόσθεση διανυσμάτων. Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες. Είδη κινήσεων και αντίστοιχες εξισώσεις κινήσεων. Πληροφορίες που μας δίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις. Εύρεση των δυνάμεων που δέχεται ένα σώμα και σχεδίασή τους. Ανάλυση δυνάμεων σε συνιστώσες. Στατική τριβή και τριβή ολίσθησης. Ελατήρια. Νόμος Hooke. Συνθήκες ισορροπίας. Νόμοι Newton. Κινήσεις (ομαλή, επιταχυνόμενη, επιβραδυνόμενη, κυκλική). Κεντρομόλος δύναμη. Ανακύκλωση. Ορμή. Κρούση. Θεώρημα διατήρησης της ορμής. Έργο (σταθερής δύναμης, μεταβλητής δύναμης). Ενέργεια (δυναμική, κινητική, ελατηρίου, μηχανική, θερμότητα). Ισχύς. Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.). Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.).

Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Μονόμετρα και Διανυσματικά μεγέθη Τα φυσικά μεγέθη διακρίνονται σε δύο κατηγορίες τα μονόμετρα και διανυσματικά. Τα μονόμετρα μεγέθη περιγράφονται μόνο από το μέτρο τους (αριθμητική τιμή και μονάδα μέτρησης). Τα διανυσματικά μεγέθη περιγράφονται από το μέτρο τους (αριθμητική τιμή και μονάδα μέτρησης) και την κατεύθυνσή τους (διεύθυνση ή φορέας και φορά). Η απεικόνιση των διανυσματικών μεγεθών γίνεται με ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα (βέλος) με καθορισμένη αρχή και τέλος. Η ευθεία που ορίζεται από την αρχή και το τέλος του διανύσματος είναι η διεύθυνσή του (ή φορέας) και το βέλος δείχνει τη φορά του. Ίσα διανύσματα χαρακτηρίζονται εκείνα που έχουν ίδιο μέτρο, ίδια διεύθυνση και ίδια φορά. Αντίθετα διανύσματα χαρακτηρίζονται εκείνα που έχουν ίδιο μέτρο, ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά. Προσοχή είναι λάθος η έκφραση ίσα και αντίθετα. Διαδοχικά διανύσματα χαρακτηρίζονται εκείνα που το τέλος του ενός είναι η αρχή του άλλου. Τα διανυσματικά μεγέθη (π.χ. δύναμη , ταχύτητα κ.α.) μπορούν να έχουν θετική ή αρνητική αριθμητική τιμή και αυτό θα δείχνει τη φορά τους σε σχέση με μια φορά που εμείς (αυθαίρετα) θεωρούμε θετική. Τα μονόμετρα μεγέθη έχουν συνήθως θετική αριθμητική τιμή (π.χ. μάζα, χρόνος, κινητική ενέργεια κ.α.). Υπάρχουν και περιπτώσεις που κάποιο μονόμετρο μέγεθος μπορεί να πάρει και αρνητική αριθμητική τιμή. Αυτό δεν έχει να κάνει με τη θετική φορά αλλά έχει μια άλλη φυσική σημασία. Π.χ. θετικό ή αρνητικό έργο είναι το έργο μιας δύναμης που βοηθά ή αντιτίθεται αντίστοιχα σε μια μετατόπιση αδιάφορο του αν η δύναμη έχει θετική ή αρνητική φορά. Η πρόσθεση φυσικών μεγεθών έχει νόημα μόνο όταν αναφερόμαστε σε ομοειδή μεγέθη και τότε πρέπει να προσέχουμε να εκφράζονται και με τις ίδιες μονάδες.

•

Η πρόσθεση των μονόμετρων μεγεθών γίνεται με απλή πρόσθεση των μέτρων τους.

•

Η πρόσθεση των διανυσματικών μεγεθών έχει ως στόχο να βρεθεί ένα διάνυσμα το οποίο να μπορεί να αντικαταστήσει τα διανύσματα που προσθέτουμε (συνισταμένη). Συμβολικά γράφουμε : α + β = γ . Το μέτρο της συνισταμένης βρίσκεται από τη σχέση : γ = α 2 +β 2 + 2αβσυνφ όπου α και β τα μέτρα των αντίστοιχων διανυσμάτων και φ η μεταξύ τους γωνία. Η διεύθυνση της συνισταμένης βρίσκεται προσδιορίζοντας τη γωνία που σχηματίζει η συνισταμένη με τη μία την άλλη συνιστώσα. Οι αντίστοιχες σχέσεις είναι:

β·ημφ α + βσυνφ α·ημφ εφρ = β + ασυνφ

εφθ =

και όπου

θ : η γωνία που συνισταμένη γ με το α

σχηματίζει η και

ρ : η γωνία που σχηματίζει η συνισταμένη

με το β

3Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις

Μεγέθη και Μονάδες Μήκος - Απόσταση - Απομάκρυνση

L- d-χ

Μάζα

Χρόνος

Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος

Ταχύτητα

Ορμή

Επιτάχυνση

Δύναμη

Έργο - Ενέργεια - Θερμότητα

W-Ε-U-K-Q

Ισχύς

Διαφορά δυναμικού - Ηλεκτρεγερτική δύναμη

V-E

Ηλεκτρικό φορτίο

Αντίσταση (ηλεκτρική)

Χωρητικότητα

Συντελεστής αυτεπαγωγής

Γωνία

rad

Συχνότητα

Γωνιακή ταχύτητα

Γωνιακή επιτάχυνση

αγων

Ροπή δύναμης

Ν.m

Ροπή αδράνειας

kg.m2

Στροφορμή

kg ⋅ m2 s

-4Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

m s m kg s m s2

rad s rad s2

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Τελεστές μονάδων υποπολλαπλάσια

πολλαπλάσια

deci

10-1

Deca

101

centi

10-2

Hecto

102

milli

10-3

Kilo

103

micro

10-6

Mega

106

nano

10-9

Giga

109

pico

10-12

Terra

1012

...

παραδείγματα 5 cm

5.10-2 m

2 mm

2.10-3 m

4 μC

4.10-6 C

10 nF

10.10-9 F = 10-8 F

5 kHz

5.103 Hz

2 kW

2.103 W

0,7 mA

0,7.10-3 A = 7.10-1.10-3 A = 7.10-4 A

0,01 cm

0,01.10-2 m = 10-2.10-2 m = 10-4 m

0,01 cm2

0,01·(10-2 m)2 = 10-2·(10-2)2 m2 = 10-2·10-4 m2 = 10-6 m2

5Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.1

Το εμβαδόν της βάσης ενός επίπλου είναι ίσο με 1.000 cm 2. Να βρείτε την τιμή του σε m2, dm2, mm2.

1.2

Η απόσταση Αθήνας - Τρίπολης είναι 180 km. Να βρείτε την τιμή της σε m, dm, mm.

1.3

Ο όγκος ενός δοχείου είναι 10 L. Να βρείτε την τιμή του σε m3, dm3, mm3.

1.4

Να μετατρέψετε σε μονάδες S.I. τα εξής: 5 mm , 1,32·10-2 nm , 0,075 km , 55 km/h , 7,2 ms , 12 GHz , 5 μC , 0,2 mH , 25 μF 12 mg , 535 kW , 5 mL , 17 cm2 , 55 mm , 6,32 min , 7,89 mA , 15 cm3 , 1256 kJ

1.5

Να αντιστοιχίσετε τα φυσικά μεγέθη με τις μονάδες μέτρησής τους. Ποια από αυτά είναι μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Φυσικά μεγέθη

Μονάδες μέτρησης

μήκος

χρόνος

μάζα

δύναμη

ταχύτητα

m/s2

επιτάχυνση

συχνότητα

m/s

φορτίο

έργο - ενέργεια

ισχύς

ένταση ηλεκτρικού ρεύματος

χωρητικότητα

συντελεστής αυτεπαγωγής

Μονόμετρο ή Διάνυσμα;

-6Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Μεταφορική Κίνηση .

Μετατόπιση

Ταχύτητα

Επιτάχυνση

χ = υ.t

υ = σταθ

α=0

υ = α. t

α = σταθ

Ομαλή

Ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα

χ=

1 . 2 αt 2

Ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα

χ = υ0t +

1 . 2 αt 2

υ = υ 0 + α. t

α = σταθ

χ = υ0t -

1 . 2 αt 2

υ = υ0 - α.t

α = σταθ

Ομαλά επιβραδυνόμενη

7Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ •

Σε όλα τα διαγράμματα χ = f(t) η κλίση της γραφικής παράστασης σχετίζεται με την ταχύτητα του κινητού. Έτσι στην ομαλή κίνηση η γραφική παράσταση είναι ευθύγραμμο τμήμα του οποίου η κλίση είναι σταθερή σε κάθε σημείο. Στην επιταχυνόμενη κίνηση η κλίση διαρκώς μεγαλώνει, ενώ στην επιβραδυνόμενη κίνηση η κλίση διαρκώς μικραίνει.

•

Σε όλα τα διαγράμματα υ = f(t) το εμβαδόν που περικλείεται ανάμεσα στη γραφική παράσταση και τον άξονα των χρόνων είναι ίσο με τη μετατόπιση του κινητού.

•

Σε όλα τα διαγράμματα υ = f(t) η κλίση της γραφικής παράστασης δίνει την επιτάχυνση α του κινητού. Έτσι στις ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις η γραφική παράσταση είναι ευθύγραμμο τμήμα του οποίου η κλίση είναι σταθερή σε κάθε σημείο.

•

Σε όλα τα διαγράμματα α = f(t) το εμβαδόν που περικλείεται ανάμεσα στη γραφική παράσταση και τον άξονα των χρόνων είναι ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας του κινητού.

•

Αν κατά την ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση το κινητό τελικά σταματά, η τελική του ταχύτητα μηδενίζεται και επομένως η ευθεία του διαγράμματος υ = f(t) θα καταλήγει στον άξονα των χρόνων. Στην περίπτωση αυτή και εφόσον αποδειχθούν (αφού στο σχολικό βιβλίο δεν αναφέρονται) μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι τύποι: του ολικού χρόνου κίνησης

tολ

υ = ο α

και

x ολ

της ολικής μετατόπισης

υ20 = 2·α

Απόδειξη Ισχύει ότι : υ = υο – α·t και επειδή το κινητό τελικά σταματά θέτουμε όπου υ = 0 και t = tολ οπότε η σχέση γράφεται ως εξής:

υ0 α

0 = υο – α·tολ => α·tολ = υο => tολ = Αντικαθιστώντας στον τύπο : x = υο·t –

1 2 αt προκύπτει : 2

υo 1 υ20 υ2 υ2 υ2 xολ = υο· - α· 2 => x ολ = 0 - 0 => x ολ = 0 α 2·α 2·α α 2 α

Ομαλή Κυκλική Κίνηση υ = ω.R

γραμμική ταχύτητα , γωνιακή ταχύτητα περίοδος , συχνότητα

Τ=

γωνιακή ταχύτητα , περίοδος , συχνότητα

1 f

ω=

ή f=

1 T

2π = 2πf Τ

Απαραίτητη προϋπόθεση για κυκλική κίνηση είναι η ύπαρξη δύναμης (ή δυνάμεων) που θα παίξει το ρόλο της κεντρομόλου. Η κεντρομόλος δεν μια ακόμα δύναμη που ασκείται στο σώμα αλλά είναι η συνισταμένη των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση της ακτίνας και με θετική φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. ακεντρ =

υ2 = ω2.R R

Fκεντρ =

-8Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

m ⋅ υ2 = m.ω2.R R

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.1

x (m)

Η θέση ενός κινητού μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα. Ποιο από τα διαγράμματα που ακολουθούν μας δίνει την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του κινητού σε συνάρτηση με τον χρόνο;

α)

β)

t (s)

υ (m/s) υ (m/s) 4 0

4 5 0 10 5 1510 2015 t20 (s)

-4

t (s)

-4

γ)

δ)

υ (m/s)

4 2 0

2 5

t (s)

10 15

t (s)

2.2

Για ένα κινητό, όπου για t0 = 0 είναι x0 = 0, η μετατόπιση αυξάνεται ανάλογα με το τετράγωνο του χρόνου. Η κίνηση του κινητού είναι: α) ευθύγραμμη ομαλή, β) ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα γ) ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη, δ) ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα.

2.3

Το διάγραμμα θέσης - τετραγώνου του χρόνου για ένα σημειακό αντικείμενο που κινείται ευθύγραμμα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τι είδους κίνηση εκτελεί το κινητό; α) ευθύγραμμη ομαλή, β) ευθύγραμμη με σταθερή επιτάχυνση. Η τιμή της επιτάχυνσης είναι: α) 1 m/s2 β) 2 m/s2 γ) 4 m/s2

x (m) 6 4 2 0

t2(s2)

9Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις 2.4

υ (m/s) Για την ευθύγραμμη κίνηση ενός κινητού η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Ποιες 20 από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λάθος; α) το κινητό έχει αρχική ταχύτητα μέτρου υ 0 10 = 10 m/s, επιταχύνεται, στη συνέχεια κινείται ομαλά και στο τέλος επιβραδύνεται μέχρι να σταματήσει. 0 5 10 15 t (s) β) το μέτρο της επιβράδυνσης του κινητού είναι διπλάσιο από το μέτρο της επιτάχυνσης. γ) το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα των χρόνων μας δίνει την τιμή της συνολικής μετατόπισης του κινητού. δ) τη χρονική στιγμή t = 15 s η θέση του κινητού συμπίπτει με τη θέση του τη χρονική στιγμή t = 0.

2.5

Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 108 km/h. Κάποια χρονική στιγμή ο οδηγός πατάει φρένο, οπότε το αυτοκίνητο επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση α = 3 m/s 2 . α) Να βρείτε πόσο έχει μετατοπιστεί όταν η ταχύτητά του μειωθεί στο μισό. β) Να βρείτε σε πόσο χρόνο θα σταματήσει. Ποια θα είναι η συνολική του μετατόπιση ; γ) Να κατασκευάσετε τα διαγράμματα α – t, υ – t, x – t. [ 112,5 m , 10 s , 150 m]

2.6

Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την ηρεμία, κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση και μετά από το χρόνο 5 s έχει αποκτήσει ταχύτητα υ 1 = 30 m/s. Στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα για 5 s ακόμα και τέλος επιβραδύνεται ομαλά και σταματά μετά από άλλα 10 s. α) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου. β) Να υπολογίσετε τη συνολική μετατόπιση του κινητού μέχρι να σταματήσει. γ) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου. δ) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα θέσης – χρόνου. [ 375 m ]

2.7

Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το κινητό βρίσκεται στη θέση x = 0, τότε: α) Να αναγνωριστούν τα είδη των κινήσεων. β) Να υπολογίσετε τη συνολική μετατόπιση του κινητού. γ) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου. δ) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα θέσης – χρόνου. [ 112,5 m ]

2.8

υ(m/s)

Κινητό διαγράφει κύκλο ακτίνας R = 20 m με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Σε χρόνο 10 min ολοκληρώνει 120 περιστροφές. Να βρεθούν: α) το μέτρο της ταχύτητάς του. β) η γωνιακή του ταχύτητα. γ) η συχνότητά του. δ) η περίοδος περιστροφής του.

-10Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

15 10 5

t(s)

[ 8π m/s ]

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Εύρεση των δυνάμεων που δέχεται ένα σώμα και η σχεδίασή τους Κάθε σώμα δέχεται δυνάμεις από τα σώματα με τα οποία έρχεται σε επαφή καθώς και την έλξη της Γης (το βάρος του). Οι δυνάμεις στη φύση εμφανίζονται πάντα κατά ζεύγη με ίσα μέτρα και αντίθετες φορές (δράση αντίδραση). Έτσι όσες δυνάμεις δέχεται ένα σώμα, τόσες και ασκεί. Συνήθως δεν σχεδιάζω όλες τις δυνάμεις αφού δεν με ενδιαφέρει τι κάνουν τα άλλα σώματα. Το βάρος κάθε σώματος (w = mg) σχεδιάζεται στο κέντρο μάζας (CM) του σώματος το οποίο είναι το κέντρο συμμετρίας του, εφόσον το σώμα είναι ομογενές και συμμετρικό, με κατακόρυφη διεύθυνση και φορά προς τα κάτω. Προσοχή αν η άσκηση αναφέρει ότι το σώμα είναι αβαρές προφανώς δεν σχεδιάζω βάρος. Οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα από τα άλλα με τα οποία έρχεται σε επαφή είναι κάθετες στην επιφάνεια επαφής. Αν αναφέρεται η φράση «λείο επίπεδο» τότε εννοείται ότι δεν υπάρχει τριβή. Αν η άσκηση αναφέρει τριβή τότε θα τη σχεδιάζω με διεύθυνση παράλληλη με την επιφάνεια επαφής και φορά τέτοια ώστε να αντιτίθεται στην ολίσθηση του σώματος. Οι δυνάμεις στα άκρα ενός νήματος έχουν πάντα το ίδιο μέτρο (δράση - αντίδραση) είτε ισορροπούν τα σώματα που είναι δεμένα με το νήμα, είτε όχι (το νήμα θεωρείται πάντα αβαρές). H διεύθυνση των δυνάμεων είναι η διεύθυνση του νήματος και η φορές τους τέτοιες ώστε να έλκουν τα σώματα. Η δύναμη από μια άρθρωση μπορεί να έχει μια οποιαδήποτε κατεύθυνση και έτσι τη σχεδιάζω τυχαία. Το μέτρο της και η πραγματική της κατεύθυνση (αν χρειάζεται) θα βρεθεί από τη λύση της άσκησης. Οι κυριότερες δυνάμεις που παρουσιάζονται στα προβλήματα και πρέπει να τις σχεδιάσουμε μόνοι μας είναι οι εξής:

 Δύναμη από το νήμα (Τάση) - T έχει πάντα ως φορέα το νήμα και φορά τέτοια ώστε να έλκει το σώμα στο οποίο ασκείται (σχ.1).

 Η έλξη της γης (Βάρος) - w έχει πάντα κατακόρυφη διεύθυνση και φορά προς τα κάτω (σχ.1, 2, 3).

 Δύναμη από λείο επίπεδο (Αντίδραση) - Ν είναι πάντα κάθετη στο επίπεδο και έχει φορά από το επίπεδο προς το σώμα (σχ. 2, 3).

 Δύναμη μεταξύ επιφανειών (Τριβή) - Τ είναι πάντα παράλληλη με την επιφάνεια επαφής και έχει τέτοια φορά ώστε να αντιτίθεται στην ολίσθηση (σχ. 3).

11Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις Πως αναλύω μια δύναμη (ή γενικότερα ένα διάνυσμα) σε συνιστώσες ; Κάθε δύναμη που η διεύθυνση της δεν συμπίπτει με έναν από τους επιλεγμένους άξονες (xx΄ και yy΄) πρέπει να αναλυθεί σε αυτούς.

•

Παρατήρησε ότι :

Οι συνιστώσες Fx και Fy έχουν την ίδια αρχή με τη «μητρική» δύναμη F

ii.

H συνιστώσα που είναι προσκείμενη της γωνίας θ, παίρνει το συνθ, ενώ η άλλη παίρνει το ημθ.

Έτσι για το παραπάνω σχήμα : Fx = F·συνθ και

Fy = F·ημθ

(αν η γωνία θ ήταν η γωνία μεταξύ της F και του άξονα y τότε οι σχέσεις θα ήταν αντίστροφες.)

Πως επιλέγω τους άξονες ; Αν το σώμα που μελετώ ισορροπεί, τότε διαλέγω άξονες που ταυτίζονται με τις διευθύνσεις των περισσοτέρων δυνάμεων της άσκησης, ώστε να περιορίσω τις δυνάμεις που θα χρειαστεί να αναλύσω. Θετική φορά βάζω όποια θέλω. Αν το σώμα που μελετώ κινείται, τότε διαλέγω άξονες έτσι ώστε ο ένας να ταυτίζεται με τη φορά της κίνησης και ο άλλος να είναι κάθετος σε αυτή. Για τον άξονα της κίνησης βάζω θετική φορά τη φορά της κίνησης.

Όλες οι δυνάμεις είναι πάνω στους άξονες άρα δεν χρειάζονται ανάλυση.

Οι δυνάμεις Ν και Τ είναι πάνω στους άξονες άρα δεν χρειάζονται ανάλυση. Tο βάρος w είναι εκτός αξόνων άρα θα αναλυθεί σε wχ και wy ( φ1 = φ2 : είναι οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες )

-12Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Οι δυνάμεις F και w είναι πάνω στους άξονες άρα δεν χρειάζονται ανάλυση. Η τάση του νήματος είναι εκτός αξόνων άρα θα αναλυθεί σε Τχ και Τy (φ1 = φ2 ως εντός εναλλάξ γωνίες)

H στατική τριβή και η τριβή ολίσθησης Αν ένα σώμα δεν έχει λόγο να ολισθήσει, τότε δεν δέχεται καμία τριβή (π.χ. ισορροπία σε οριζόντιο επίπεδο). Αν ένα σώμα έχει την τάση να ολισθήσει, αλλά ισορροπεί, τότε δέχεται τριβή η οποία χαρακτηρίζεται στατική τριβή. Η στατική τριβή δεν έχει συγκεκριμένη τιμή αλλά το μέτρο της είναι τέτοιο ώστε η συνισταμένη των δυνάμεων στον άξονα που τείνει να μετακινηθεί το σώμα να είναι μηδέν. Η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μέτρο της στατικής τριβής (δεχόμαστε ότι) είναι ίση με το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Αν το σώμα ολισθαίνει σε μη λείο επίπεδο, τότε δέχεται τριβή που χαρακτηρίζεται τριβή ολίσθησης. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης δίνεται από το νόμο της τριβής ολίσθησης που εκφράζεται από τη σχέση :

Τ = μ·Ν όπου

μ : ο συντελεστής τριβής ολίσθησης και Ν : η κάθετη δύναμη που πιέζει τις επιφάνειες που ολισθαίνουν

Ελατήρια F = k.Δl

Νόμος του Hook

ο νόμος ισχύει για :

• το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου αν Δl είναι η παραμόρφωσή του με βάση το φυσικό του μήκος. • το μέτρο της μεταβολής της δύναμης του ελατηρίου αν Δl είναι η μεταβολή της παραμόρφωσής του. Έργο δύναμης ελατηρίου

1 . 2 1 . 2 k Δl αρχ k Δl τελ 2 2

Η σχέση δίνει και το σωστό πρόσημο, οπότε δεν χρειάζεται να βάλω πρόσημο. Δυναμική ενέργεια ελατηρίου

1 . 2 k Δl 2

Δl : η παραμόρφωση του ελατηρίου με βάση το φυσικό του μήκος.

13Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3.1 Σώμα μάζας m βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ. Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα: α) αν το επίπεδο είναι λείο. β) αν το επίπεδο δεν είναι λείο και το σώμα ισορροπεί. γ) αν το επίπεδο δεν είναι λείο και το σώμα ανέρχεται. δ) αν το επίπεδο δεν είναι λείο και το σώμα κατέρχεται. 3.2 Το σώμα του σχήματος ισορροπεί με τη βοήθεια δύναμης F. Να βρεθεί η δύναμη F και η τάση του νήματος, αν m = 5 3 kg , φ = 300 και g = 10 m/s2 [ 50 Ν , 100 Ν ] 3.3 Σε κιβώτιο μάζας m = 10 kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F = 100 N για t1 = 5 s και μετά η δύναμη καταργείται. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ = 0,1, να βρεθούν: α. η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που καταργείται η δύναμη β. ο ολικός χρόνος κίνησης του σώματος γ. το ολικό διάστημα που διανύει. Δίνεται: g = 10m/s2. [ 45 m/s , 50 s , 1125 m ] 3.4 Σώμα μάζας m = 10 3 kg κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 20 3 m/s σε οριζόντιο δρόμο με την επίδραση δύναμης μέτρου F = 100 Ν που σχηματίζει θ = 60° με το οριζόντιο επίπεδο προς τα πάνω. Μετά από 10 s η F καταργείται. Να βρεθούν: α. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου β. Ο χρόνος που θα σταματήσει το σώμα μετά την κατάργηση της δύναμης. Δίνεται: g = 10 m/s2 [1,2 3 s] 3.5 Σώμα ρίχνεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου κλίσης θ = 30° με υ = 20 m/s. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και κεκλιμένου επιπέδου είναι μ =

3 να 5

βρεθούν: α. Η απόσταση που διανύει στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. β. Να εξεταστεί αν θα επιστρέψει στη βάση του κεκλιμένου και αν ναι, σε πόσο χρόνο και με ποια ταχύτητα. Δίνεται g = 10 m/s2 [ 25 m , 5 s , 10 m/s ] 3.6 Σε σώμα m = 2 kg, αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ασκείται οριζόντια δύναμη F της οποίας η αλγεβρική τιμή δείχνεται στο διάγραμμα: α. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t = 8 s β. Να γίνει το διάγραμμα (υ, t) Δίνεται g = 10 m/s2 [ 80 m/s ]

-14Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ 3.7 Όταν το σύστημα του σχήματος αφεθεί ελεύθερο να βρεθούν: α. Το διάστημα που διανύει η m1 σε 2 s β. Η ταχύτητα του m2 σε 2 s γ. Η τάση του νήματος Δίνονται: m1 = m2 = 5 kg , g = 10 m/s2 και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του m1 με το δάπεδο μ = 0,25. (Η τροχαλία θεωρείται αβαρής) [ 7,5 m , 7,5 m/s , 31,25 N ] 3.8 Σώμα m = 2 kg ξεκινά να ανέρχεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου κλίσης θ με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F = 100 N. Αν μ = 0,1 να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος όταν αυτό έχει διανύσει 60,4 m στο κεκλιμένο επίπεδο. Δίνονται: ημθ = 0,6 , συνθ = 0,8 , g = 10 m/s2 [ 60,4 m/s ] 3.9 Σώμα μάζας m = 1 kg είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,1. Τη χρονική στιγμή t = 0 στο σώμα ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάμεις κάθετες μεταξύ τους με μέτρα F1 = 8 Ν και F2 = 6 Ν. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος στο οριζόντιο επίπεδο μετά από 4 s καθώς και το διάστημα που έχει διανύσει στη διάρκεια του 4ου δευτερολέπτου της κίνησης του. [ 36 m/s , 31,5 m ] 3.10 Σε σώμα m = 5 kg που ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο ασκείται δύναμη μέτρου F = 30 2 Ν που σχηματίζει θ = 450 προς τα πάνω με το οριζόντιο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ = 0,2 και η F ασκείται για t1 = 5 s και μετά καταργείται να βρεθούν: α. Η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που καταργείται η δύναμη, β. Ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώματος μέχρι να σταματήσει. γ. Να γίνουν τα διαγράμματα υ(t) και α(t). [ 26 m/s , 18 s ] 3.11 Ένα μικρό σφαιρίδιο μάζας m κρέμεται από μη έκτατο νήμα μήκους L = 10 2 m. Το σφαιρίδιο περιστρέφεται ομαλά κυκλικά σε οριζόντιο επίπεδο κατά τρόπο που το νήμα να διαγράφει περιφέρεια κώνου. Η γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο είναι θ = 45 0. Να βρεθούν: α. το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σφαιριδίου β. η περίοδος περιστροφής του σφαιριδίου. [ 10 m/s , 2π s ] 3.12 Σε ένα ρολόι ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης δείχνει τη 12η ώρα ακριβώς. Μετά από πόσο π χρόνο οι δείκτες θα σχηματίσουν για πρώτη φορά γωνίες , π και 2π. 2 [ 180/11 s , 360/11 s , 720/11 s ] 3.13 Σώμα μάζας m = 1 kg ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,5. Στο σώμα ασκείται δύναμη F = 10 N για χρονικό διάστημα t 1 = 10 s, που σχηματίζει γωνία φ με τον ορίζοντα, προς τα πάνω, ώστε ημφ = 0,6 και συνφ = 0,8. Η δύναμη μετά καταργείται. Να υπολογίσετε: α. τον ολικό χρόνο κίνησης μέχρι το σώμα να σταματήσει. β. την ολική μετατόπιση του σώματος μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g = 10 m/s2. [ 22 s , 660 m ]

15Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις

Έργο δύναμης W = F.x.συνφ

Δύναμη σταθερού μέτρου Ευθύγραμμη μετατόπιση

(φ: η γωνία μεταξύ F και x)

Δύναμη σταθερού μέτρου Εφαπτόμενη σε τυχαία μετατόπιση

W = F.x

Δύναμη εφαπτόμενη στη μετατόπιση της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση

W = εμβαδό στη γραφική παράσταση F-x

Το έργο είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μέτρο : Θετικό αν η δύναμη βοηθά στη μετατόπιση ή Αρνητικό αν η δύναμη αντιτίθεται στη μετατόπιση Το κατάλληλο πρόσημο άλλοτε βγαίνει από τον τύπο και άλλοτε πρέπει να το βάζω εγώ.

Έργο βάρους W = ± m.g.h To έργο του βάρους δίνεται πάντα από την ίδια σχέση αδιάφορο του τι διαδρομή ακολουθεί το σώμα και είναι: Θετικό αν η τελική θέση του σώματος είναι χαμηλότερα από την αρχική ή Αρνητικό αν η τελική θέση του σώματος είναι ψηλότερα από την αρχική. Το h είναι η κατακόρυφη μετατόπιση του κέντρου μάζας του σώματος.

Δυναμική ενέργεια βαρυτικού πεδίου U = ± m.g.h H δυναμική ενέργεια λαμβάνεται πάντα ως προς κάποιο οριζόντιο επίπεδο αναφοράς, το οποίο ορίζουμε αυθαίρετα (συνήθως στην κατώτερη θέση από την οποία διέρχεται το σώμα). Το h είναι η κατακόρυφη απόσταση του υλικού σημείου ή του κέντρου μάζας του στερεού σώματος από το οριζόντιο επίπεδο αναφοράς. Αν το υλικό σημείο ή κέντρο μάζας του σώματος είναι πάνω από το επίπεδο αναφοράς, η δυναμική ενέργεια είναι θετική, ενώ αν είναι κάτω από αυτό η δυναμική ενέργεια είναι αρνητική.

Κινητική ενέργεια Μεταφορική κίνηση

Κ=

1 . 2 mυ 2

ΠΡΟΣΟΧΗ: H κινητική ενέργεια είναι μονόμετρο μέγεθος και πάντα θετικό

-16Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Θερμότητα Η θερμότητα που εκλύεται στο περιβάλλον λόγω τριβής είναι ίση με την απόλυτη τιμή του έργου της τριβής. Γενικότερα η θερμότητα είναι ίση με την απόλυτη τιμή της μεταβολής της συνολικής μηχανικής ενέργειας ενός σώματος ή ενός συστήματος σωμάτων.

Ρυθμός μεταβολής ενέργειας ( Ισχύς ) Μέσος ρυθμός μεταβολής ενέργειας

ΔΕ E τελ − E αρχ = Δt t τελ − t αρχ

(Μέση Ισχύς) Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής ενέργειας

(Στιγμιαία Ισχύς)

dΕ dt

( dt → 0 )

Όταν η άσκηση αναφέρει απλώς ισχύ εννοεί τη στιγμιαία ισχύ.

Στιγμιαίος Ρυθμός Μεταβολής Ορμής

dp d( m·υ) m ⋅ dυ =− =− = m·α = ΣF dt dt dt

dUβαρ

Βαρυτικής δυναμικής ενέργειας

mgdh = ± mgυy dt

(+) όταν το σώμα ανέρχεται

( ) όταν το σώμα κατέρχεται

dUελατ ±Fελατ ⋅ dx = = ± Fελατ ·υ dt dt

Δυναμικής ενέργειας ελατηρίου

(+) όταν μεγαλώνει η παραμόρφωση του ελατηρίου

( ) όταν μειώνεται η παραμόρφωση του ελατηρίου

Κινητικής ενέργειας

dK dWΣF ± ΣF ⋅ dx = = = ± ΣF ⋅ υ dt dt dt (+) όταν η ΣF έχει φορά ίδια με τη φορά κίνησης του σώματος

( ) όταν η ΣF έχει φορά αντίθετη από τη φορά κίνησης του σώματος

ΠΡΟΣΟΧΗ : όλες οι προηγούμενες σχέσεις πρέπει να αποδεικνύονται.

17Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις

Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό

ΔΚ = ΣW => Κτελ - Καρχ = W1 + W2 + W3 + … To Θ.Μ.Κ.Ε εκφράζει την αρχή διατήρησης ενέργειας και ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις. Θα το εφαρμόζω αφού έχω σχεδιάσει τις δυνάμεις που δέχεται το σώμα και έχω δει ότι μπορώ να βρω τα έργα τους. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δίνεται στο πρόσημο του κάθε έργου. Δυνάμεις που προκαλούν τη μετατόπιση του σώματος (ή βοηθούν σε αυτή) έχουν θετικό έργο, ενώ δυνάμεις που αντιτίθενται στη μετατόπιση του σώματος έχουν αρνητικό έργο. Αν το έργο αντικατασταθεί με κάποιο τύπο θα πρέπει να προσεχθεί να μη μπει το πρόσημο δύο φορές (μία μέσω του τύπου και μία από εμάς)

Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε) ΕΜΗΧ,αρχ = ΕΜΗΧ,τελ => Uαρχ + Καρχ = Uτελ + Κτελ Η Α.Δ.Μ.Ε εκφράζει την αρχή διατήρησης ενέργειας αλλά δεν ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις. Θα την εφαρμόζω αν το σώμα κινείται με την επίδραση μόνο του βάρους του ή και άλλων δυνάμεων οι οποίες δεν έχουν έργο (π.χ. κάθετη αντίδραση, τάση νήματος). Η δύναμη ελατηρίου δεν αποκλείει την εφαρμογή της Α.Δ.Μ.Ε. αρκεί στη δυναμική ενέργεια να συνυπολογιστεί και η δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης του ελατηρίου.

Θεώρημα διατήρησης της ορμής pπριν = pμετά Στις κρούσεις και στις διασπάσεις ισχύει πάντα η αρχή διατήρησης της ορμής. Σε κάθε άλλη περίπτωση πρέπει να εξασφαλίζουμε ότι το σύστημα στο οποίο πρόκειται να εφαρμόσουμε το θεώρημα διατήρησης της ορμής δεν δέχεται εξωτερικές δυνάμεις. Υπάρχει περίπτωση το θεώρημα να ισχύει σε έναν άξονα και όχι σε κάποιον άλλο. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να θυμάμαι ότι η ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος και έτσι πρέπει να προσέχω σε ποιο άξονα εφαρμόζω το θεώρημα και τι πρόσημο βάζω σε κάθε ορμή.

-18Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Γενικές παρατηρήσεις Όταν ξεκινώ τη λύση μιας άσκησης φροντίζω να κατανοήσω τα φαινόμενα που συμβαίνουν και μελετώ το κάθε ένα από αυτά χωριστά και με τη σειρά που συμβαίνει. Όταν εφαρμόζω ένα θεώρημα ή κάποιες σχέσεις πρέπει να προσέχω ιδιαίτερα για ποιο σώμα (ή σύστημα σωμάτων) και μεταξύ ποιων θέσεων ή χρονικών στιγμών το εφαρμόζω, και καλό είναι να αναφέρω πάντα αυτές τις πληροφορίες. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται στο ποια κατάσταση χαρακτηρίζω αρχική και ποια τελική. Καθώς μελετώ τα φαινόμενα χωριστά και με τη σειρά που συμβαίνουν είναι προφανές ότι η τελική κατάσταση του ενός φαινομένου είναι η αρχική αυτού που έπεται. Η γενική ιδέα για την αντιμετώπιση όλων των ασκήσεων της μηχανικής είναι :

•

Αν το σώμα ισορροπεί σχεδιάζω τις δυνάμεις που δέχεται το σώμα που με ενδιαφέρει και εφαρμόζω τις συνθήκες ισορροπίας. Αν πρόκειται για σύστημα σωμάτων γράφω τις συνθήκες ισορροπίας για κάθε ένα από αυτά χωριστά. Να θυμάμαι ότι οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης των σωμάτων είναι κατά μέτρο ίσες και αντίθετες σε φορά (δράση αντίδραση).

•

Αν υπάρχει κίνηση ελέγχω το είδος της για να εφαρμόσω τις αντίστοιχες σχέσεις.

•

Αν υπάρχει κίνηση και μου ζητούν (ή μου δίνουν) χρόνο ή επιτάχυνση, τότε σχεδιάζω τις δυνάμεις που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια του φαινομένου που μελετώ, τις αναλύω (αν χρειάζεται) στον άξονα της κίνησης και στον κάθετο σε αυτήν και εφαρμόζω το νόμο του Newton και τις αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να έχω σταθερές δυνάμεις, ώστε η επιτάχυνση να είναι σταθερή και η κίνηση ομαλά μεταβαλλόμενη. Σε αντίθετη περίπτωση μπορεί να εφαρμοστεί ο νόμος του Newton, να βρεθεί η επιτάχυνση, αλλά δεν θα ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης που ξέρω.

•

Αν υπάρχει κίνηση αλλά δεν μου ζητούν (ή δεν μου δίνουν) χρόνο ή επιτάχυνση, τότε προτιμώ να λύσω την άσκηση ενεργειακά, εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε) ή το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε). Η Α.Δ.Μ.Ε εφαρμόζεται ευκολότερα χωρίς να χρειάζεται να σχεδιάσω δυνάμεις, αλλά δεν ισχύει πάντα. Δεν ισχύει όταν υπάρχουν δυνάμεις που καταναλώνουν μηχανική ενέργεια (τριβή) ή δυνάμεις που προσφέρουν ενέργεια στο σώμα. Το βάρος, η κάθετη αντίδραση και η δύναμη ηλεκτρικού πεδίου δεν λαμβάνονται υπ όψιν προκειμένου να εφαρμόσω την Α.Δ.Μ.Ε. Το Θ.Μ.Κ.Ε ισχύει πάντα, αλλά έχει τη δυσκολία ότι πρέπει να σχεδιάσω δυνάμεις και πρέπει να μπορώ να υπολογίσω τα έργα τους.

19Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις

H ανακύκλωση Ανακύκλωση είναι η κυκλική κίνηση ενός σώματος σε κατακόρυφο επίπεδο. Τα προβλήματα με ανακύκλωση τα διακρίνουμε στις εξής περιπτώσεις : 

Ανακύκλωση σώματος που κινείται στο εσωτερικό κατακόρυφης κυκλικής τροχιάς ή είναι δεμένο στο άκρο νήματος. Για να μπορέσει το σώμα να ολοκληρώσει την ανακύκλωση πρέπει να φθάσει στο ανώτερο σημείο της τροχιάς έχοντας την κατάλληλη ταχύτητα. Για να βρω την ταχύτητα αυτή σκέπτομαι ως εξής : Αν το σώμα φθάσει στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του με την ελάχιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα, τότε είναι έτοιμο να πέσει οπότε η αντίδραση της τροχιάς (ή η τάση του νήματος) τείνει στο μηδέν. Έτσι η μοναδική δύναμη που δέχεται το σώμα στη θέση αυτή είναι το βάρος του. Αφού το σώμα κάνει κυκλική κίνηση, το βάρος του παίζει το ρόλο της κεντρομόλου και ισχύει : υ2 υ2 w = Fκεντρ => m·g = m· => g = => g·R = υ2 => υ = g ⋅R R R



Ανακύκλωση σώματος που είναι στερεωμένο στο άκρο ράβδου. Για να μπορέσει το σώμα να ολοκληρώσει την ανακύκλωση, αρκεί να φθάσει στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του (και να το περάσει ελάχιστα) έστω και με μηδενική ταχύτητα. Έτσι δέχομαι ότι στην οριακή περίπτωση ανακύκλωσης η ταχύτητα στο ανώτερο σημείο είναι μηδέν.

Και στις δύο περιπτώσεις συνήθως εφαρμόζω αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας ανάμεσα στην ανώτερη θέση της ανακύκλωσης και μια άλλη θέση που με ενδιαφέρει.

-20Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.1

Σώμα μάζας m = 1 kg βρίσκεται στο ανώτερο σημείο Α του τεταρτοκυκλίου που είναι λείο. Αν το αφήσουμε ελεύθερο, φθάνοντας στο κατώτερο σημείο του τεταρτοκυκλίου Γ, συνεχίζει την κίνηση του σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,2. Αν η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι R = 1 m να βρείτε : α) την ταχύτητα του σώματος όταν διέρχεται από το κατώτερο σημείο Γ του τεταρτοκυκλίου. β) τη μετατόπιση του σώματος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. γ) μετατροπές ενέργειας που έχουμε κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώματος. [ 20 m/s , 5 m ]

4.2

Σώμα μάζας m = 2 kg ξεκινά από την ηρεμία με την άσκηση οριζόντιας δύναμης F που το μέτρο της μεταβάλλεται όπως δείχνει το διάγραμμα F – x. Αν η δύναμη καταργείται μετά από χ = 10m να βρεθούν : α) η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή κατάργησης της δύναμης F β) η μετατόπιση του σώματος μετά την κατάργηση της δύναμης έως ότου σταματήσει. γ) η συνολική θερμότητα που παράχθηκε. Δίνονται : ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ = 0,2 και g =10 m/s2

[ 10 m/s , 25 m , 140 J ]

4.3

Σώμα μάζας m = 19 kg ρίχνεται με ταχύτητα υ ο κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου φ προς τα πάνω και διανύει διάστημα S 1 = 80/19 m μέχρι να σταματήσει. Το ίδιο σώμα ρίχνεται με την ίδια ταχύτητα υο σε οριζόντιο επίπεδο και διανύει διάστημα S2 = 16 m μέχρι να σταματήσει. Αν το σώμα παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής με τα δύο επίπεδα να βρεθούν: α) ο συντελεστής τριβής β) η αρχική ταχύτητα υο του σώματος γ) η θερμότητα που παράγεται στις δύο διαδρομές ( γιατί δεν είναι ίδια ; Αιτιολογήστε...) Δίνεται: ημφ = 0,6 , συνφ = 0,8 , g = 10 m/s2 [ 0,2 , 64 m/s , 128 J , 608 J ]

4.4

Εργάτης μεταφέρει κουβά γεμάτο χαλίκι μάζας m = 20 kg στο δεύτερο όροφο οικοδομής από το δρόμο, ανεβαίνοντας Ν = 30 σκαλιά. Αν το ύψος του κάθε σκαλιού είναι h = 20 cm και ο εργάτης ανεβαίνει με σταθερή τιμή ταχύτητας να βρεθούν : α) το έργο της δύναμης του εργάτη β) το έργο του βάρους του κουβά γ) η δυναμική ενέργεια του κουβά στο δεύτερο όροφο οικοδομής δ) η ισχύς του εργάτη αν χρειάστηκε 60 s για να ανεβάσει το κουβά ε) αν ο κουβάς φύγει από τα χέρια του εργάτη και πέσει ελεύθερα στο κενό, με τι ταχύτητα προσκρούει στο δρόμο; [ 1200 J , - 1200 J , 1200 J , 20 W , 120 m/s ]

4.5

Μία μπάλα μάζας m = 0,5 kg ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα uo = 22 m/s. H μπάλα φθάνει μέχρι ύψος h = 20 m από το έδαφος. Να βρείτε : α) Αν υπάρχει αντίσταση από τον αέρα β) Ποιό είναι το έργο της αντίστασης ; γ) Με ποιά ταχύτητα θα φτάσει η μπάλα πάλι στο έδαφος ; [ -21 J , 17,8 m/s ]

21Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις 4.6 Ελατήριο σταθεράς Κ = 200 Ν/m είναι τοποθετημένο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με το ένα άκρο του στερεωμένο σε ανένδοτο τοίχωμα. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου στερεώνουμε σώμα μάζας m = 5 Κg και συμπιέζουμε με αυτό το ελατήριο κατά Δl = 60 cm. Όταν το σώμα αφήνεται ελεύθερο, μετακινείται στο οριζόντιο επίπεδο κατά διάστημα χ = 1 m μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του. Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου. Δίνεται g = 10 m/s2 [ 0,4 ] 4.7

Ένα ελατήριο σταθεράς Κ = 100 N/m είναι στερεωμένο σε οροφή με τον άξονα του κατακόρυφο. Στο κάτω άκρο του ελατηρίου στερεώνουμε σώμα μάζας m = 4 kg και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Να υπολογιστούν : α) Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος. β) Η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου. [ 2 m/s , 0,8 m ]

4.8

Ένα αεροπλάνο με μάζα m = 2000 kg προσγειώνεται σ’ ένα ακίνητο αεροπλανοφόρο με ταχύτητα υ0 = 216 Km/h . Tη στιγμή της προσγείωσης ένας γάντζος που βρίσκεται στην ουρά του αεροπλάνου πιάνεται στο ένα άκρο ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο στο διάδρομο προσγείωσης. Έτσι το αεροπλάνο σταματάει, αφού διανύσει διάστημα χ = 100 m. Λίγο αργότερα ένα πανομοιότυπο αεροπλάνο προσγειώνεται με την ίδια ταχύτητα υ 0 = 216 km/h και με τον ίδιο τρόπο. Τώρα όμως, ύστερα από διάστημα χ’ = 50 m, o γάντζος σπάει. Ποια είναι η ταχύτητα που έχει το δεύτερο αεροπλάνο τη στιγμή που έσπασε ο γάντζος; ( Η παραμόρφωση του ελατηρίου ακολουθεί το νόμο του Ηοοke και δεν υπάρχουν τριβές ) [ 30· 3 m/s ]

4.9

Σφαιρίδιο μάζας m1 = 2 kg είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους L = 0,8 m. Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και το αφήνουμε ελεύθερο. Όταν το νήμα γίνει πάλι κατακόρυφο το σφαιρίδιο συναντά σώμα m 2 = 6 kg που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Αν το σφαιρίδιο μετά την κρούση επιστρέφει με ταχύτητα μισή της ταχύτητας πριν την κρούση, να βρεθούν : α) η ταχύτητα του σφαιριδίου με την οποία συναντά το σώμα β) την τιμή της τάσης του νήματος λίγο πριν το σφαιρίδιο συναντήσει το σώμα γ) την ταχύτητα του σώματος m2 μετά την κρούση δ) ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου αν το σώμα σταματάει αφού διανύσει διάστημα S = 2 m. ε) σε τι ύψος θα ξαναφτάσει το m1 στιγμιαία; [ 4 m/s , 60 N , 2 m/s , 0,1 , 0,2 m ]

4.10

Ένα βλήμα μάζας m1 = 30 g κινείται οριζόντια και προσκρούει με ταχύτητα υ 1 = 300 m/s σ’ ένα ακίνητο κομμάτι ξύλο μάζας m2 = 29,97 kg στο οποίο ενσωματώνεται. Το συσσωμάτωμα ολισθαίνει χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο και συμπιέζει ελατήριο που βρίσκεται οριζόντια τοποθετημένο και είναι στηριγμένο με το άλλο του άκρο σε ανένδοτο τοίχωμα. Να βρεθούν : α) Η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση β) Η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου, αν το θεωρήσουμε αμελητέας μάζας και με σταθερά k = 270Ν/m [ 0,3 m/s , 0,1 m ]

-22Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ 4.11

Έλκηθρο ηρεμεί σε πίστα χιονοδρομικού κέντρου και έχει μάζα m 2 = 45 kg. Ένα παιδί μάζας m1 = 30 kg τρέχοντας με ταχύτητα υ1 = 10 m/s πηδάει πάνω στο έλκηθρο. Αν ο συντελεστής μεταξύ έλκηθρου και χιονιού είναι μ = 0,05 να βρεθούν : α) η κοινή ταχύτητα έλκηθρου – παιδιού β) η μεταβολή της ορμής του παιδιού γ) η απόσταση που θα διανύσει το έλκηθρο μέχρι να σταματήσει αν η πίστα είναι οριζόντια δ) την απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος παιδί – έλκηθρο κατά την «κρούση» τους. [ 4 m/s , -180 kg·m/s , 900 J ]

4.12

Σώμα μάζας m1 = 1 kg εκτοξεύεται με ταχύτητα υο = 10 m/s πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ = 0,25. Όταν διανύσει απόσταση Δχ = 7,2 m συναντά σώμα μάζας m2 = 3 kg και η κρούση είναι πλαστική. Στη συνέχεια το συσσωμάτωμα ανεβαίνει κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ = 450 που έχει τον ίδιο συντελεστή τριβής με το οριζόντιο επίπεδο. Να βρεθούν : α) η ταχύτητα του m1 πριν την κρούση β) η κοινή τους ταχύτητα μετά την σύγκρουση γ) το ύψος που θα ανέβει το συσσωμάτωμα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

(Δ)

υ1

(Γ)

Δx 1

4.13

Ένα σώμα μάζας m1 = 2 kg αφήνεται να ολισθήσει από το σημείο Α κατά μήκος λείου τεταρτοκυκλίου, που έχει ακτίνα R = 1 m. Στο σημείο Γ το σώμα συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με άλλο σώμα μάζας m 2 = 3 kg . Στη συνέχεια το συσσωμάτωμα ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ = 0,2. Σε πόση απόσταση από το Γ θα σταματήσει το συσσωμάτωμα. [ 0,8 m ]

4.14

Ένα σώμα μάζας m = 1 kg αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30 ο . Το σώμα διανύει διάστημα S = 1 m και συναντάει ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m όπως φαίνεται στο σχήμα. Πόση είναι η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου ; O συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και κεκλιμένου επιπέδου είναι μ =

3 6

m1 (A)

[ 8 m/s , 2 m/s , 0,16 m ]

[ 0,25 m ]

23Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις 4.15 Ένα σώμα μάζας Μ = 20 kg αφήνεται να πέσει από ύψος h = 1,8 m στο κεφάλι ενός λοστού μάζας m = 10 kg . Μετά την κρούση τα δύο σώματα κινούνται μαζί και έτσι ο λοστός εισχωρεί στο έδαφος κατά διάστημα S = 0,8 m. Nα βρεθούν: α) Η ταχύτητα του λοστού αμέσως μετά την κρούση β) Η μέση δύναμη αντίστασης που δέχεται ο λοστός από το έδαφος. [ 4 m/s , 600 N ] 4.16 Ένα βλήμα μάζας m = 50 g που κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ0 διαπερνάει ένα ξύλινο σώμα μάζας M = 5 kg και εξέρχεται με ταχύτητα υ0/4 . Το σώμα ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και συμπιέζει ελατήριο που βρίσκεται οριζόντια τοποθετημένο όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου είναι Δl = 30 cm, να υπολογιστεί η ταχύτητα υ του βλήματος. Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου k = 500 Ν/m. [ 400 m/s ] 4.17 Κομμάτι ξύλου μάζας Μ = 3,9 kg κρέμεται από την άκρη νήματος μήκους L = 1 m που η άλλη άκρη του είναι δεμένη από σταθερό σημείο. Βλήμα μάζας m = 0,1 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ1 = 100 m/s. Να βρείτε την ανύψωση (h) του κέντρου βάρους και το ποσοστό (%) της κινητικής ενέργειας που χάθηκε κατά την κρούση : α) όταν το βλήμα σφηνώνεται και παραμένει μέσα στο ξύλο β) όταν το βλήμα βγαίνει από την άλλη άκρη του ξύλου με ταχύτητα υ 2 = 22 m/s [ 0,3125 m , 97,5 % , 0,2 m , 93,6 % ] 4.18 Δύο σώματα με μάζες m1 = 2kg και m2 = 10 kg συνδέονται με τεντωμένο σκοινί μέσω τροχαλίας όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος μάζας m2 με το επίπεδο είναι μ = 0,14. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. α) Να βρείτε την ταχύτητα του συστήματος μετά από μετατόπιση κατά S = 1 m. β) Πόσο είναι το έργο της δύναμης που ασκεί το Σ1 στο Σ2; [ 1 m/s , 19 J ]

-24Κυζίκου 3Α

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ 4.19 Δύο σώματα με μάζες m1 = 4 kg και m2 = 3 kg βρίσκονται σε οριζόντιο επίπεδο και συνδέονται με τεντωμένο σκοινί. Δύναμη F = 50 Ν ασκείται στη μάζα m 1 με διεύθυνση που σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σωμάτων και επιπέδου είναι μ = 0,1, και το σύστημα μετατοπίζεται κατά χ = 3,5 m να βρείτε: α) το έργο της F β) την ταχύτητα του συστήματος γ) το έργο της δύναμης Fo που ασκεί το πρώτο σώμα στο δεύτερο. Δίνονται : ημφ = 3/5 , συνφ = 4/5 [ 140 J , 6 m/s , 64,5 J ] F

υ φ

4.20 Στο διπλανό σχήμα m1 = 1 kg και m2 = 4 kg. Tα σώματα αρχικά συγκρατούνται ακίνητα. Τη χρονική στιγμή t = 0 s αφήνονται να κινηθούν. Αν το νήμα είναι μη έκτατο (έχει συνέχεια το ίδιο μήκος) και η τροχαλία αβαρής, να βρείτε: α) την επιτάχυνση με την οποία κινείται η μάζα m1. β) την τάση του νήματος γ) τις ταχύτητες των μαζών όταν απέχουν υψομετρικά κατά 1,5 m. ΣΗΜ : Το τελευταίο ερώτημα να λυθεί και ενεργειακά [ 6 m/s2, 16 N , 3 m/s ]

υ2

4.21

T w

Σώμα μάζας m δένεται στην άκρη νήματος μήκους R = 2 m και πρόκειται να διαγράψει κατακόρυφο κύκλο. Πόση οριζόντια ταχύτητα πρέπει να έχει στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του, για να μπορέσει να διαγράψει το κύκλο (να κάνει ανακύκλωση). [ 10 m/s ]

υ1

25Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128

Εισαγωγικές Γνώσεις 4.22

Σώμα μάζας m = 2 kg στερεώνεται στην άκρη αβαρούς ράβδου μήκους R = 0,5 m που μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα. Το σώμα ηρεμεί στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του. Αν το εκτρέψουμε λίγο, να βρεθεί η δύναμη που ασκεί η ράβδος στο σώμα στην κατώτερη θέση της τροχιάς. Μπορεί το σώμα να κάνει ανακύκλωση; [ F = 100 N , ναι ]

υ1 w

4.23

Από ποιο ύψος h πρέπει να αφήσουμε το βαγόνι του σχήματος ώστε να κάνει με ασφάλεια την ανακύκλωση ; Πόση δύναμη ασκεί τότε η επιφάνεια στο βαγόνι όταν αυτό βρίσκεται στη θέση Γ; Τριβές δεν υπάρχουν, η ακτίνα της κυκλικής διαδρομής είναι R = 2 m και η μάζα του βαγονιού είναι m = 5 kg. [ 5 m , 150 N ]

υ1

υ2

w F F

-26-

R Κυζίκου 3

ΝΙΚΑΙΑ  210 42.56.128