Resistencia de materiales Oruro bolivia Facultad Nacional de Ingenieria

Introducci´on a la Resistencia de Materiales

Hugo Mercado C. Oruro, 2010

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´Indice general 1. Generalidades 1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Principios fundamentales . . . . . .

1.3. Casos de Estudio . . . . . . . . . .

1.4. Vectores . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1. Fuerza . . . . . . . . . . . .

1.4.2. Momento . . . . . . . . . .

1.4.3. Traslaci´on . . . . . . . . . .

1.4.4. Rotaci´ on . . . . . . . . . .

1.5. Grados de Libertad . . . . . . . . .

1.6. Condiciones de equilibrio . . . . .

1.6.1. Leyes de Newton - 1687 . .

1.7. Apoyos . . . . . . . . . . . . . . .

1.8. Grado de Hiperestaticidad Externa 1.9. Equilibrio Interno . . . . . . . . . .

1.9.1. An´alisis espacial . . . . . .

1.9.2. An´alisis en el Plano . . . .

1.10. Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . .

1.11. Deformaciones . . . . . . . . . . .

1.11.1. Deformaci´ on Longitudinal .

1.11.2. Deformaci´ on Transversal . .

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1 1 1 2 3 4 5 7 7 8 8 9 11 15 15 15 18 18 21 21 23

2. Estado Tensional de la Part´ıcula 2.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Estado Tensional Espacial . . . .

2.2.1. Condiciones de equilibrio 2.2.2. Esfuerzos en una cara A .

2.3. Estado Tensional Plano . . . . .

2.4. Estado Tensional Principal . . .

2.5. C´ırculo de Mohr . . . . . . . . .

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25 25 25 25 29 31 34 35

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´INDICE GENERAL

iv 3. La Secci´ on Transversal 3.1. Objetivo . . . . . . . . . . . .

3.2. Centroide . . . . . . . . . . .

3.3. Momentos de Segundo Orden 3.4. Traslaci´on de Ejes . . . . . .

3.5. Rotaci´ on de Ejes . . . . . . .

3.6. Ejes Principales . . . . . . . .

3.7. Secciones Sim´etricas . . . . .

3.8. M. de I. M´ınimo Absoluto . .

3.8.1. Primer m´etodo . . . .

3.8.2. Segundo m´etodo . . .

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41 41 42 43 43 45 46 47 49 49 51

4. Estructuras Isost´ aticas 4.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Estructuras Planas . . . . . . . .

4.3. Isostaticidad . . . . . . . . . . .

4.3.1. Estructura continua . . .

4.3.2. Estructura discontinua . .

4.3.3. Anillos Internos . . . . . .

4.3.4. Apoyos el´asticos . . . . .

4.3.5. Grado de Hiperestaticidad

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57 57 57 59 59 60 62 65 67

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73 73 74 76 77 78 79 79 79

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82 86 87 87

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5. Flexi´ on 5.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2. Equilibrio del Elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1. Equilibrio de Fuerzas Longitudinales (Normales) 5.2.2. Equilibrio de Fuerzas Transversales (Cortantes) .

5.2.3. Equilibrio de Momentos Flectores . . . . . . . . .

5.3. Clasificaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4. Flexi´ on Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.2. Determinaci´ on de la curvatura Flexi´ on Desviada . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.3. Ejes Principales - Flexi´ on Desviada . . . . . . . .

5.4.4. Ejes Principales - Flexi´ on Recta . . . . . . . . .

5.5. Flexi´ on No Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prefacio Debido a la amplitud de los temas que abarca la Resistencia de Materiales y la profundidad con que pueden ser ´estos estudiados, no se pretende que el presente trabajo llegue m´as all´a que una introducci´on. Es m´as bien el texto gu´ıa del curso de Resistencia de Materiales, primera parte, que imparte el autor en la Facultad de Ingenier´ıa de la Universidad T´ecnica de Oruro.

En cualquier campo de la ingenier´ıa se deben emplear ciertos conocimientos que estudia la Resistencia de Materiales, de ah´ı que los alumnos del mencionado curso siguen distintas carreras, no obstante, el enfoque que se da a los temas est´ a dirigido al an´alisis estructural antes que a las ciencias que estudian la producci´on de los materiales, por tal raz´ on se comienza con la presentaci´on de los temas afines a la est´ atica y no a la qu´ımica u otros. Sin que ´esto quiera decir que los conceptos presentados no son necesarios en todos los campos.

Justamente por lo anterior se incluyen algunos temas con el objeto de uniformar los conocimientos de la variedad de alumnos que deben usar este material.

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´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Generalidades 1.1.

Objetivo

En su definici´on m´as general se puede admitir que la Resistencia de Materiales es la ciencia que estudia la relaci´on entre los esfuerzos y las deformaciones presentes en todos los cuerpos.

Entonces se tratar´an estos conceptos como una introducci´ on al estudio de la Teor´ ıa de la Elasticidad, es decir, se estudiar´ an los temas afines desde una perspectiva b´ asica, en sus aspectos fundamentales.

Para conseguir un acercamiento fluido, se repasar´ an las definiciones y principios que deber´ıan ser conocidos previamente, aunque en forma concisa.

1.2.

Principios fundamentales

El estudio presente se lo realiza admitiendo que el comportamiento de los cuerpos es tal que cumple los requerimientos de los siguientes principios fundamentales: Principio de unicidad.- Se admite que los modelos f´ısicos y matem´aticos usados en el an´alisis de los problemas de la Resistencia de Materiales admiten un sola soluci´on. Dicho de otro modo, un cuerpo en equilibrio bajo la acci´on de dos grupos de solicitaciones id´enticas, desarrollan las mismas deformaciones y esfuerzos en cada caso, independientemente de otros par´ ametros.

Principio de las deformaciones peque˜ nas.- Todo cuerpo se deforma bajo la acci´on de las cargas, por tanto el estudio del cuerpo en lo que hace a las condiciones de equilibrio, etc. debe tomar en cuenta tales deformaciones.

Sin embargo, se admite que es correcto analizar un cuerpo como indeformable cuando las deformaciones son tan peque˜ nas que los resultados del an´alisis del cuerpo deformado son semejantes a los hallados sin tomar en cuenta las deformaciones.

1

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

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Es as´ı que el An´alisis Estructural se lo realiza en el campo de las Deformaciones de Primer Orden cuando se cumple el principio de las deformaciones peque˜ nas. En el caso contrario se requiere analizar al cuerpo en el ambito de las Deformaciones de Segundo Orden. Este curso se limita a las ´ deformaciones de primer orden.

Principio de superposici´ on de efectos En general las deformaciones y esfuerzos se deben a varias causas; bajo ciertas circunstancias se puede admitir que el resultado final es la suma de los efectos de cada una de las causas tomadas individualmente. B´asicamente este principio se cumple cuando la relaci´ on causa/efecto responde a una expresi´on matem´atica lineal. Ahora bien, la linealidad tiene dos manifestaciones, es dependiente del material estudiado y de la forma del cuerpo, se habla entonces de Linealidad material y Linealidad geom´etrica respectivamente. Estos conceptos ser´an analizados oportunamente.

1.3.

Casos de Estudio

Por la forma en que se enfoca su estudio, se clasifican los cuerpos en tres grupos: Elementos unidimensionales Son aquellos que presentan semejanza en dos de sus dimensiones, siendo la tercera mucho mayor. Como podemos ver en la Fig.1.1, se tiene: a∼ =b≪l En general el eje del elemento es medido a lo largo de la longitud l, pu-

Figura 1.1: Elemento unidimensional diendo ser este eje una linea recta o una curva cualquiera.

Para analizar estas barras se separa la llamada tajada elemental, haciendo dos cortes perpendiculares al eje, separados una distancia diferencial del arco dz. Al estudiar esta tajada se presentan ecuaciones diferenciales ordinarias que se solucionan por simple integraci´ on, este es el tipo de elementos que se estudiar´ a en adelante.

1.4. VECTORES

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Elementos bidimensionales En ´estos, como en los anteriores, dos de sus dimensiones son aproximadamente iguales, en cambio, la tercera es mucho m´as peque˜ na, en la Fig.1.2 se observa: a∼ =b≫e Para su estudio se separa una part´ıcula elemental haciendo dos cortes a

Figura 1.2: Elemento bidimensional lo largo de la dimensi´ on a, separados una distancia diferencial dx, y otros dos cortes sobre la dimensi´ on b a distancia dy, de modo que el volumen estudiado es un diferencial de segundo orden, con lo que las ecuaciones resultantes son a derivadas parciales, cuya soluci´on requiere del An´alisis Num´erico, en general.

Elementos tridimensionales Como es l´ogico aqu´ı se trata con elementos cuyas tres dimensiones son aproximadamente iguales, ver la 1.3: a∼ =b∼ =c En su estudio, la part´ıcula por analizar se separa del cuerpo haciendo tres pares de cortes, un par por cada dimensi´ on del cuerpo, generando un volumen diferencial de tercer orden, definiendo por tanto ecuaciones diferenciales parciales con caracter´ısticas semejantes al caso anterior, estando por ´esto fuera del alcance definido.

1.4.

Vectores

Si bien la definici´on matem´atica de vector es muy amplia, para cumplir el objetivo se˜ nalado se usar´a la acepci´on f´ısica que define al vector como una entidad determinada por tres caracter´ısticas: Magnitud, direcci´ on y sentido.

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

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Figura 1.3: Elemento tridimensional La Direcci´ on de un vector es la recta de acci´on sobre la que se manifiesta, aunque existen vectores que cambian de direcci´ on en el espacio en que act´ uan y en el tiempo, en un instante dado y en una posici´on determinada, su direcci´ on siempre ser´a una recta.

Su Maqnitud es el tama˜ no del ente que se esta definiendo; siendo que un vector en general representa un concepto abstracto, para estudiarlo se usa la representaci´on concreta de su magnitud como un segmento de su recta de acci´on, esto quiere decir que, a cierta escala, una determinada longitud de dicha recta representa su magnitud, como se ve en la Fig.1.4.

Sentido es la orientaci´on de un vector, es decir hacia donde se dirige la acci´on del mismo; en la representaci´on gr´afica que se est´ a utilizando, esta caracter´ıstica est´ a representada mediante una o dos cabezas de flecha en el extremo apropiado de su magnitud.

A continuaci´on se analizan algunos vectores que se usar´an en el futuro. Se les da especial atenci´ on por cuanto est´ an mencionados en las Leyes de Newton.

Cabe resaltar que cada uno de estos estos vectores ocupan espacios tridimensionales, de modo que se puede usar cualquier sistema de referencia para describir matem´aticamente sus caracter´ısticas. En este texto, salvo circunstancias especiales, se emplear´ a un sistema Cartesiano Ortogonal Dextr´ ogiro, es decir, tres ejes mutuamente perpendiculares, orientados de modo que satisfagan la regla de la mano derecha, usando la concepci´on del ´algebra vectorial, las componentes de cada vector, en cada uno de los ejes de referencia, son suficientes para describir completamente al vector.

1.4.1.

Fuerza

Es un vector cuya manifestaci´on es modificar el estado de reposo o movimiento de los cuerpos, de acuerdo con las Leyes de Newton que se ver´an a continuaci´on.

1.4. VECTORES

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Figura 1.4: Caracter´ısticas de un vector El caso m´as conocido de una fuerza es la atracci´ on que existe entre dos cuerpos (masas); como es sabido, cuando una de dichas masas es la tierra, esta interacci´on se llama gravedad. Toda vez que los hombres est´ an en contacto con la tierra, dicha atracci´ on se manifiesta en ellos y se la llama peso, es as´ı que la fuerza deja de ser un concepto abstracto y es algo concreto en el entendimiento del hombre, a diferencia de la mayor´ıa de los vectores, que son entes abstractos estudiados por sus manifestaciones concretas o tangibles. En realidad, la gran mayor´ıa de los casos que estudia la Resistencia de Materiales tiene que ver con fuerzas gravitatorias.

Usando la notaci´ on vectorial, las componentes de la fuerza en cada eje de referencia la describen, asi: F~ = Fx i + Fy j + Fz k

1.4.2.

(1.1)

Momento

El concepto de momento nace cuando se estudia el efecto de una fuerza sobre un punto material (cuerpo) (Centro de Momentos) ubicado fuera de la recta de acci´on de la fuerza. Entonces: La direcci´ on del vector momento est´ a definida por la recta perpendicular al plano formado por la recta de acci´on de la fuerza y su brazo. Se define al brazo como la distancia m´as corta entre la fuerza y dicho centro de momentos, como se admite en la geometr´ıa euclidiana, la distancia m´ınima entre la recta y un punto est´ a sobre la recta perpendicular a la fuerza y que pasa por el punto. Como puede verse en la Fig.1.5 Aunque es corriente mostrar la direcci´ on del momento como un arco de circunferencia ubicado en el plano reci´en mencionado, debe estar claro que este arco solo indica el plano al que es perpendicular la recta de acci´on del momento, que es verdaderamente su direcci´ on. En el futuro se prefiere

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CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

Figura 1.5: Vector Momento emplear la representaci´on de la direcci´ on del momento mediante su real recta de acci´on, para correlacionar al momento con la rotaci´on, como causa y efecto, seg´ un se ver´a oportunamente.

La magnitud de un momento es el producto de la magnitud de la fuerza por el brazo.

Finalmente, su sentido est´ a dado por la regla de la mano derecha, que dice: el momento se orienta hacia donde apunta el dedo mayor de la mano derecha, cuando el dedo me˜ nique ocupa la direcci´ on de la fuerza y la palma de la mano representa el brazo.

Cuando este an´alisis se realiza en el espacio, no es f´acil usar el ´algebra cl´asica y la geometr´ıa para calcular las magnitudes involucradas en la descripci´on ante´ rior, en tal caso ser´a mejor emplear el Algebra Vectorial y definir: El momento de una fuerza es el producto vectorial de la fuerza y cualquier radio vector ~r que resulta de unir el centro de momento con el vector fuerza. ~ = ~r × F~ M

(1.2)

Como quiera que los vectores que dan lugar al momento: fuerza y distancia, son expresados en espacios tridimensionales, el vector momento tambi´en ocupa otro espacio tridimensional, por tanto se escribe: ~ = Mz i + My j + Mz k M

(1.3)

1.4. VECTORES

1.4.3.

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Traslaci´ on

En esta ocasi´ on definiremos la traslaci´on como el cambio de posici´on de un cuerpo, en el que cualquier recta que une dos de sus puntos se mantiene paralela a s´ı misma durante el movimiento. Por lo anterior, todos los puntos del cuerpo se desplazan una misma longitud que resulta ser la magnitud del vector y en direcciones paralelas.

Como el movimiento se desarrolla en un espacio tridimensional que no es ajeno al que ocupan las personas, el concepto de vector desplazamiento es muy concreto, igual que en el caso de la fuerza.

En notaci´ on vectorial, ver Fig.3.2: ~δ = δx i + δy j + δz k

(1.4)

Figura 1.6: Traslaci´on de un cuerpo

1.4.4.

Rotaci´ on

Se presenta cuando todos los puntos del cuerpo se mueven describiendo c´ırculos alrededor de una recta u ´ nica: el eje de rotaci´on. Por tanto, cualquier recta perpendicular al eje, que corta al mismo en cualquier punto, describe un ´angulo durante el movimiento, el cual se mide en un plano perpendicular a el eje de rotaci´on y corresponde a la magnitud del vector rotaci´on. La direcci´ on de dicho vector es el eje de rotaci´on y su sentido est´ a dado por la regla de la mano derecha, es decir: est´ a indicado por el dedo mayor de la mano derecha, cuando la palma y el dedo me˜ nique realicen el mismo movimiento que la recta que rota, antes descrita.

Este vector est´ a dado por, ver Fig.1.7: θ~ = θx i + θy j + θz k

(1.5)

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

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Figura 1.7: Rotaci´ on de un cuerpo

1.5.

Grados de Libertad

Habiendo analizado los vectores de traslaci´on y rotaci´on, resulta comprensible asegurar que todo cuerpo r´ıgido (que no se deforma), cuando se mueve lo hace en ´esos dos espacios, por tanto son necesarios s´olo dos vectores para describir su movimiento, como quiera que cada uno es tridimensional se dice entonces que: La cantidad de movimientos libres o Grados de Libertad que tiene un cuerpo en el espacio es de seis, tres componentes para medir su traslaci´ on y otros tres que expresan su rotaci´ on

1.6.

Condiciones de equilibrio

El primer paso para analizar una estructura es establecer bajo que circunstancias se cumplen las condiciones de equilibrio en ella, como el equilibrio tiene que ver con el movimiento, la masa, etc., de principio se repasan ciertas definiciones.

La mec´ anica es la rama de la f´ısica que estudia el equilibrio de los cuerpos en reposo o movimiento y comprende la Est´ atica y la Din´ amica.

La Est´ atica estudia el estado de reposo de los cuerpo o su movimiento uniforme (velocidad constante).

La Din´ amica comprende el movimiento acelerado de un cuerpo y puede hacerlo desde dos enfoques: 1. La Cinem´ atica cuyo campo de estudio es la geometr´ıa del movimiento.

2. La Cin´ etica que utilizando los conocimientos de la cinem´ atica, los aplica al estudio del movimiento y las fuerzas como causa y efecto.

1.6. CONDICIONES DE EQUILIBRIO

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Como se estudia en los cursos de f´ısica, fue Sir Issac Newton (1642-1727) quien plante´o por primera vez las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos, y son las bases en que se asienta el desarrollo de dicha ciencia. Se debe establecer el marco en que se plantea este curso: velocidades much´ısimo menores a la de la luz y en elementos macrosc´opicos, a tal escala es obligatoria la aplicaci´on de dichas leyes y los resultados alcanzados son exactos.

1.6.1.

Leyes de Newton - 1687

Generalmente estas tres leyes son enunciadas de este modo [Hibbeler,2004, p´ ag. 3]: Primera Ley.- Una part´ıcula en reposo, o movi´endose en l´ınea recta con velocidad constante, permanecer´ a en este estado siempre que no est´e sometida a una fuerza desbalanceada.

Segunda Ley.- Una part´ıcula sobre la que act´ ua una fuerza F desbalanceada experimenta una aceleraci´ on a que tiene la misma direcci´ on de la fuerza y magnitud directamente proporcional a la fuerza. Por la generalidad de su aplicabilidad se prefiere esta otra forma de enunciarla: La fuerza (momento) que act´ ua sobre una part´ıcula es proporcional a la raz´ on de cambio, con respecto al tiempo, del momentum lineal (rotacional) de la part´ıcula.

Tercera Ley.- Las fuerzas mutuas de acci´on y reacci´on entre dos part´ıculas son iguales, opuestas y colineales.

Entendi´endose como “momentum” a la cantidad de movimiento del cuerpo: Momentum lineal viene siendo el producto de la masa por la velocidad lineal m dδ/ dt. Donde δ es la magnitud de la traslaci´on del cuerpo.

Momentum angular corresponde al producto del momento de inercia de la masa, respecto del eje de rotaci´on, por la velocidad angular: Im dθ/ dt, aqu´ı θ es la magnitud del ´ angulo que gira el cuerpo.

Entonces la segunda ley puede escribirse en sus dos partes: Movimiento de Traslaci´on Movimiento de Rotaci´ on

P

P

F = M=

d dt d dt

m dδ dt Im

dθ dt

En el futuro se considera que la masa es constante, luego este factor puede salir del t´ermino a derivar. Toda vez que el los desplazamientos lineales δ y rotacionales θ se descomponen en tres ejes de referencia para su an´alisis algebraico, las ecuaciones de equilibrio reci´en anotadas tambi´en deben plantearse en las tres direcciones de cada espacio de movimiento, entonces, las ecuaciones

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

10

de equilibrio de un cuerpo en el espacio son seis, necesarias y suficientes.

Condiciones De Equilibrio Din´ amico: Rotaciones:

Traslaciones: X

X

X

Fx

=

Fy

=

Fz

=

d2 δx (1.6a) dt2 d2 δy m 2 (1.6b) dt d2 δz m 2 (1.6c) dt

X

m

X

X

Mx

=

Imx

My

=

Imy

Mz

=

Imz

d2 θx dt2 d2 θy dt2 d 2 θz dt2

(1.7a) (1.7b) (1.7c)

Cuando el objetivo es conseguir que un cuerpo se mantenga en reposo, debe cumplirse que la aceleraci´ on sea nula, en cuyo caso se anular´ıan los segundos miembros de las relaciones anteriores, es decir: Condiciones De Equilibrio Est´ atico: Traslaciones: X Fx = X Fy = X Fz =

0 0 0

(1.8a) (1.8b) (1.8c)

Rotaciones: X X

X

Mx

=

0

(1.9a)

My

=

0

(1.9b)

Mz

=

0

(1.9c)

Son muchos los casos en que todas las fuerzas del sistema est´an en un plano y no concurren en un punto del mismo, entonces, por la definici´ on, las direcciones de todos los momentos de las fuerzas son perpendiculares a dicho plano. En estas circunstancias son s´olo tres las direcciones en que puede darse el movimiento: dos traslaciones en la direcci´ on de las fuerzas coplanares y una rotaci´on el direcci´ on del momento, luego, esta claro que s´olo son tres las ecuaciones de equilibrio necesarias y suficientes, no se plantean condiciones de equilibrio en las direcciones donde no hay ni fuerzas ni momentos. an en el Por ejemplo, si las fuerzas ocupan s´olo el plano XY , los momentos est´ eje Z, o sea: C. De E. Est´ atico Sistema Coplanar no Concurrente: Traslaciones: X Fx = X Fy =

0

(1.10a)

0

(1.10b)

Rotaciones: X

Mz

=

0

(1.11a)

Siguiendo en este camino, cuando sea apropiado, se puede tambi´en particularizar el an´alisis a casos especiales como los siguientes:

1.7. APOYOS

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Sistema de Fuerzas Concurrentes en el Plano.- Como ense˜ na la f´ısica, en este caso la resultante de fuerzas no puede ser un momento, entonces no es apropiado plantear la condici´on de equilibrio en ´esa direcci´ on, por tanto ser´an dos las condiciones de equilibrio necesarias y suficientes.

Sistema de Fuerzas Colineales.- Es un caso particular del anterior, aqu´ı existe un s´olo grado de libertad y una sola condici´on de equilibrio.

Es necesario resaltar que en la naturaleza se presentan situaciones donde algunos de los grados de libertad est´ an restringidos en tanto que los dem´ as manifiestan desplazamientos, es decir, en algunas direcciones existe reposo mientras que en el resto se da el movimiento. En casos como ´este, en las direcciones donde hay movimiento el equilibrio es din´amico y ser´a est´ atico en el resto. Lo que debe quedar claro es: en cada direcci´ on se cumplen siempre las leyes de Newton, por tanto son siempre seis las condiciones de equilibrio en el espacio, tres en el plano, etc.

Para terminar este repaso, se recuerda que cualquier condici´on de equilibrio de fuerzas puede ser reemplazada por dos condiciones de suma de momentos, por ejemplo, en el caso del Sistema de Fuerzas No Concurrente visto reci´en (Ec.1.10 y 1.11), se pueden emplear indistintamente cualquiera de los tres grupos de condiciones de equilibrio siguientes: P P P A P MzB = 0 P Fx = 0 P FxB= 0 P MzC = 0 P MzC = 0 P Fy C= 0 Mz = 0 Mz = 0 Mz = 0

1.7.

Apoyos

Para conseguir que una estructura este en reposo es necesario transferir hacia la tierra las cargas que intentan moverla, dicho de otro modo, a la escala humana, el u ´ nico cuerpo en reposo perfecto es la tierra y es capaz de imponer su quietud a cualquier cuerpo unido a ella. Entonces, la interacci´ on entre tierra y estructura se realiza por medio de elementos especiales que se llaman apoyos.

Como existen seis grados de libertad en el espacio, se puede restringir el movimiento en cada una de dichas direcciones. En la realidad, a veces se busca restringir el movimiento en algunas direcciones, dejando al cuerpo libre de moverse en otras, por esto se construyen los apoyos de modo que satisfagan tales exigencias. En adelante usaremos principalmente los siguientes tipos: Apoyo Empotrado.- Cuando un cuerpo se une firmemente a tierra, este v´ınculo es de continuidad por lo que la tierra transmite su inmovilidad al mismo. Sin hacer hincapi´e en las caracter´ısticas f´ısicas del apoyo, s´olo interesa saber que impide todo movimiento del cuerpo por medio de la generaci´ on de las Reacciones de Apoyo. En la Fig.1.8 se muestra el caso de un elemento prism´atico empotrado a tierra, suponiendo que el an´alisis se lo realiza en el plano XY , antes de producirse la uni´on s´olo existen tres libertades

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

12

de movimiento, el Grado de Libertad es tres GL = 3, cuando se produce la uni´ on se est´ an restringiendo esos desplazamientos: δx , δy y θz , por la Segunda Ley de Newton se requieren las reacciones Rx , Ry y Mz para anular dichas magnitudes. Toda vez que las cargas actuantes definir´ an los valores de las cargas reactivas, ´estas son halladas utilizando las condiciones de equilibrio correspondientes, ver Ec. 1.10 y 1.11.

Figura 1.8: Apoyo empotrado Aqu´ı se deben hacer ciertas puntualizaciones importantes: 1. S´ olo una fuerza es capaz de restringir un desplazamiento lineal (traslaci´ on) y ambos vectores deben tener la misma direcci´ on: la reacci´on Rx restringe el desplazamiento δx , as´ı como un momento restringe un giro (desplazamiento rotacional) solo cuando ambos tienen la misma direcci´ on: Mz esta asociado con θz .

2. Si antes de empotrase el cuerpo ten´ıa tres grados de libertad, una vez unido a tierra el cuerpo los ha perdido, cuando son iguales los grados de libertad y las restricciones se produce la isostaticidad.

3. Se llama Grado de hiperestaticidad externo GHE a la diferencia entre las restricciones impuestas a un cuerpo RE y su grado de libertad GL: Grado de Hiperestaticidad Externa = N´ umero de restricciones - Grado de Libertad GHE = RE − GL En este caso: GHE = 3 − 3 = 0 Isoest´ atico 4. Cuando un apoyo produce tres restricciones se llama Apoyo de Tercera Especie, un empotramiento es un apoyo de tercera especie.

Apoyo articulado fijo.- Tambi´en llamado apoyo fijo, es el que restringe s´olo los movimientos traslacionales, es decir, entre el cuerpo y la tierra se interpone la articulaci´on, este v´ınculo aislador impide que la restricci´on al giro

1.7. APOYOS

13

act´ ue sobre el cuerpo, es decir, no puede impedir la rotaci´ on por medio del momento reactivo, quedando el cuerpo en libertad de rotar. Si se usa la Fig.1.9(a), que representa lo mismo que la Fig.1.9(b), como ejemplo de un a presente porque an´alisis en plano XY , se puede ver que la rotaci´on θz est´ el momento reactivo Mz no llega al cuerpo por causa de la articulaci´on.

Nuevamente se resalta:

Figura 1.9: Apoyos de Primera y Segunda Especie 1. Cuando existe una articulaci´on en la uni´on, la interacci´ on de momentos entre el cuerpo y la tierra es nula (Mz = 0).

2. Al no existir el momento reactivo Mz el cuerpo mantiene una de las tres libertades que ten´ıa, pero pierde la posibilidad de moverse en x e y porque la tierra genera las reacciones Rx y Ry . Toda vez que este tipo de apoyo genera dos restricciones se lo denomina de Segunda Especie 3. Cuando el cuerpo tiene mayor grado de libertad que restricciones se llama hipoest´ atico, su grado de hiperestaticidad externo es menor que cero: GHE = RE − GL

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

14 entonces:

GHE = 2 − 3 = −1 Hipoest´ atico de primer grado 4. En estructuras hipoest´ aticas, en las direcciones de movimiento restringido, las reacciones condicionan un equilibrio est´ atico, en las direcciones que mantienen su libertad de movimiento se cumplir´ an las condiciones de equilibrio din´amico.

Apoyo empotrado guiado.- Es tambi´en un apoyo de Segunda Especie porque as´ı como en el anterior se permite la rotaci´on, en ´este se permite una de las dos traslaciones posibles (cuando se analiza el comportamiento en en plano) ver Fig.1.9(c), o dos de las tres disponibles cuando se analiza el espacio. Entonces, la fuerza reactiva que potencialmente puede desarrollar la tierra, no alcanza al objeto apoyado por la existencia de un dispositivo especial que los independiza, es un v´ınculo de aislamiento tierra/objeto en la direcci´ on de la traslaci´on libre.

Apoyo articulado m´ ovil.- Es la combinaci´ on de los dos anteriores, en este apoyo existe una rotaci´on latente, por la presencia de la articulaci´on, y una traslaci´ on probable por la plataforma de desplazamiento, como en el apoyo guiado, ver Fig.1.9(d). Cuando se estudia el plano, se sabe que el Grado de Libertad es tres, habiendo dos libertades de movimiento habilitadas, el caso es que existe una sola restricci´on, esto dice que el apoyo es de Primera Especie. En este caso: GHE = 1 − 3 = −2 Hipoest´ atico de segundo grado Otros apoyos especiales.- En esta categor´ıa podemos englobar a todos los apoyos construidos para prop´ ositos espec´ıficos que no son satisfechos por los anteriores.

Por ejemplo, cuando se necesita restringir parcialmente un movimiento, es decir generar una restricci´on no absoluta al movimiento, es posible crear un resorte cuya rigidez sea tal que permita un desplazamiento controlado, generando al mimo tiempo una reacci´on de apoyo. Habiendo movimientos traslacionales y rotacionales, hay tambi´en un resorte adecuado en cada caso. A saber: 1. Resorte Helicoidal es aquel que restringe un desplazamiento traslacional generando un fuerza que restringe aquel, por cada unidad de longitud desplazada. Como se sabe, la rigidez es definida como la relaci´ on entre la reacci´on y el desplazamiento, en este caso sus unidades ser´ıan [Unidades de fuerza/Unidades de longitud]. Su representaci´on esquem´ atica se muestra en la Fig.1.9(e).

2. Resorte Espiral esta fabricado para restringir la rotaci´on del cuerpo en la medida que genera un momento reactivo por unidad de rotaci´on.

Este resorte est´ a representado en la Fig.1.9(f), y las unidades de su

1.8. GRADO DE HIPERESTATICIDAD EXTERNA

15

rigidez son [Unidades de momento/Unidades de giro (´ angulo generalmente en radianes)].

1.8.

Grado de Hiperestaticidad Externa

Finalmente se deja en claro que un cuerpo puede estar restringido por m´as de un apoyo, de cualquier tipo. En funci´ on a la cantidad de restricciones RE que generen entre todos los apoyos, y dependiendo tambi´en del Grado de Libertad que tenga el cuerpo: seis en el espacio, tres en el plano, etc., se dice que dependiendo de estas cantidades se tratar´a de estructuras isoest´ aticas, hipoest´ aticas o hiperest´ aticas externamente. A saber: Grado de Hiperestaticidad Externa: GHE = RE − GL Estructura hipoest´ atica: GHE < 0 Estructura isoest´ atica: GHE = 0 Estructura hiperest´ atica: GHE > 0 En lo que sigue se estudian exclusivamente las Estructuras Isoest´ aticas e Hiperest´ aticas

1.9.

Equilibrio Interno

Hasta aqu´ı se ha tratado el equilibrio externo, sus condiciones y apoyos necesarios, a continuaci´on la Resistencia de Materiales debe establecer el comportamiento del cuerpo en su interior, en otras palabras conocer sus esfuerzos y deformaciones. Estos dos conceptos se estudian en la siguiente secci´ on, pero se puede adelantar que sus magnitudes dependen de las llamadas cargas internas.

1.9.1.

An´ alisis espacial

Con el prop´ osito de ejemplificar con claridad, de principio usaremos el caso de una viga en el plano. En la Fig.1.10(a) se observa una viga apoyada en sus extremos 1 y 2. Las condiciones de equilibrio permiten determinar que el cuerpo esta en reposo cuando los apoyos generan las reacciones apropiadas: V1 ,H1 y V2 , equilibrando as´ı las cargas externas actuantes.

Ahora bien, la carga actuante distribuida a lo largo del eje z de la barra es transmitida hacia los apoyos por medio de los esfuerzos que se desarrollan en las fibras del cuerpo, y ´estos est´ an ligados a las deformaciones que experimentan dichas fibras. Para estudiar el fen´omeno se debe cortar el cuerpo; por ejemplo, cortando la viga transversalmente a su eje a una distancia z + dz del extremo 1, se obtienen los dos cuerpos independientes mostrados en las Fig.1.10(b) y (c) que tienen ambas un extremo cortado donde las fibras han sido interrumpidas, y por tanto no pueden transmitir sus esfuerzos a la otra parte, ´esto implica que se produce el desequilibrio de ambos cuerpos. Como a´ un no se conoce el

16

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

r´egimen de esfuerzos que exist´ıa, se acostumbra reemplazarlos por un conjunto de fuerzas y momentos que restituyen el equilibrio, ´estas son las llamadas Cargas Internas M N y Q, que corresponden a las resultantes de los esfuerzos, como se ver´ a m´as adelante.

Figura 1.10: Viga en el plano: Equilibrio Externo - Interno Como se vi´ o en la Sec. 1.5, cuando se estudia el espacio existen seis grados de libertad, tres asociados a desplazamientos lineales y tres a rotaciones, entonces se necesitan seis cargas que restrinjan estos desplazamientos y corrijan el desequilibrio generado al separar las partes. Entonces se deben imponer tres fuerzas que impiden las traslaciones del cuerpo y tres momentos que controlan los desplazamientos rotacionales.

Generalmente se estudian estos vectores usando un sistema de referencia cartesiano ortogonal dextr´ ogiro. En cualquier caso, referidos a un sistema de ejes o no, universalmente se atribuyen sentidos fijos a estas cargas internas, bajo la llamada Convenci´on de Signos de la Resistencia de Materiales. Debe quedar claro que existen dos planos cortados, asociados cada uno a una de las partes, adem´as, por la tercera ley de Newton (Sec. 1.6.1), seg´ un el principio de acci´on y reacci´on, los sentidos de las cargas internas son contrarios en cada uno de los planos, entonces la convenci´on de signos a emplear debe contemplar este hecho.

Para aclarar estos conceptos se refiere a la Fig.1.11 donde se ve la parte izquierda de un elemento unidimensional prism´atico de eje recto que ha sido cortado en dos planos frontales paralelos al plano XY , separados una distan-

1.9. EQUILIBRIO INTERNO

17

cia dz, en otras palabras es la misma viga anterior cuyo an´alisis se extiende al espacio. N´ otese que el origen de coordenadas es el centroide de la cara en el extremo izquierdo (punto 1 de la Fig.1.10) y que el eje z corresponde al eje del elemento. Entonces se nota que la cara cortada m´as alejada del origen de coordenadas est´ a siendo se˜ nalada por el eje z, a esta cara se la llamar´ a A+ z , se establece que en dicho plano las cargas internas positivas tienen el mismo sentido de los ejes paralelos, tanto fuerzas Fx , Fy y Fz , como momentos Mx , My y Mz . Igualmente se destaca la existencia de las fuerzas externas positivas actuantes sobre el cuerpo qx y qy , cuyo valor es variable como se v´e, por claridad no se incluye la carga qz

Figura 1.11: Cargas Internas - An´alisis espacial

El valor de las Cargas Internas depende de las cargas externas actuantes y reactivas existentes en la parte del cuerpo investigado y puede ser hallado empleando las mismas Condiciones de Equilibrio utilizadas para calcular las reacciones externas. Siendo seis el Grado de Libertad, son seis las Condiciones de Equilibrio Est´ atico y siendo seis las Cargas Internas, se tiene siempre un sistema de ecuaciones simult´ aneas determinado.

Recordando que las cargas internas son las resultantes de de los esfuerzos de las fibras, en el siguiente cuadro se plantea la relaci´on existente entre estos dos sistemas de vectores, dicha correspondencia se estudiara en este curso.

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

18

CARGA INTERNA Px Py Pz Mx My Mz

1.9.2.

F. Cortante F. Cortante F. Normal M. Flector M. Flector M. Torsor

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

ESFUERZO INTERNO τzx τzy σz σz σz τzy

E. Cortante E. Cortante E. Normal E. Normal E. Normal E.Cortante

An´ alisis en el Plano

Es conveniente estudiar las anteriores relaciones particularizando al caso en que el eje del elemento y las cargas est´ an alojadas en el plano Y Z, en este caso la fuerza Fy recibe el nombre de Fuerza cortante o simplemente Cortante, y se la reconoce con las letras V o Q, ver la Fig.1.10, la fuerza Fz se denomina Fuerza Normal o Normal a secas, reconocida por N y el u ´ nico momento presente, que es flector, se llama simplemente Momento y su s´ımbolo es la letra M .

Todos los conceptos planteados hasta aqu´ı ser´an revisados en el siguiente ejercicio: Ejercicio 1.1 Calcular las reacciones externas y las cargas internas a lo largo de la viga mostrada en la Fig ejercicio 1

1.10.

Esfuerzo

El estudio del efecto de una fuerza sobre un cuerpo se realiza considerando, adem´as de la magnitud de la fuerza, el ´area sobre la que est´ a distribuida. Se entiende que no tiene el mismo efecto una fuerza actuando sobre un ´area grande que sobre un ´ area peque˜ na. Esta idea queda clara cuando se trata, por ejemplo, de un chinche de pared que est´ a siendo empujado por el dedo. Como se sabe el chinche tiene dos extremos con ´areas muy diferentes, el que se presiona con el dedo es amplia, en cambio el que se coloca en la pared tiene ´area muy peque˜ na, es una punta aguda. No obstante que en ambos extremos se ejerce la misma fuerza (principio de acci´on/reacci´on), en el extremo agudo la presi´ on es casi infinita porque el ´ area es ´ınfima, en cambio en el dedo la presi´ on es peque˜ na debido al ´ area grande donde se distribuye la fuerza Cuando el ´ area estudiada pertenece al exterior del cuerpo, o borde libre, la relaci´ on entre la fuerza y el ´area generalmente se llama presi´ on, en el caso de que el ´ area sea interior, es decir sea producida por un corte como el realizado en la Sec. 1.9, dicha relaci´on se denomina m´as propiamente esfuerzo, si bien estas denominaciones no son universales, ser´an usadas de preferencia en este texto y con dicho significado. Existe otra nomenclatura que ser´a evitada, como tensi´ on

1.10. ESFUERZO

19

por ejemplo, que a veces se toma como sin´ onimo de fuerza y por eso puede causar confusi´ on.

Otro aspecto a considerar es que no necesariamente la distribuci´ on de la fuerza es uniforme, un caso muy claro es el de una piscina, cuando el piso de la misma es horizontal, en cada punto del mismo el alto del agua h es igual, si el peso espec´ıfico γ del agua es constante, est´ a claro que la presi´ on del agua p sobre el fondo es la misma, p = hγ = constante. Dicho de otro modo, cuando se calcula la fuerza (el peso) del agua, ´este es proporcional al ´area de la base del prisma que define el volumen considerado: P = A hγ, luego, si se quiere calcular la presi´ on, hay que dividir el peso entre el ´area, es decir:

p = = =

P A Ahγ A hγ

Es necesario aclarar que se usa la misma letra para dos conceptos distintos, por una parte la letra p min´ uscula representa la presi´ on, en tanto que la letra P may´ uscula es el nombre de la fuerza, deber´a recordarse en el futuro que las letra min´ usculas en general representan esfuerzos o presiones y las may´ usculas fuerzas o momentos.

Tambi´en es oportuno recalcar que, cuando la presi´ on es constante, se puede utilizar cualquier tama˜ no de ´ area, porque la fuerza crecer´a proporcionalmente como en el caso de la piscina reci´en visto.

Ahora bien, sup´ ongase que el fondo de la piscina es inclinado, entonces el alto de agua no es el mismo en cualquier punto, est´ a claro que para un ´area finita de cualquier tama˜ no existen distintas alturas, o lo que es igual: existen distintas presiones....¿Se debe emplear el peso promedio? o ¿donde act´ ua la fuerza?. Para responder con exactitud se emplea un ´area infinitesimal con lo que ahora es correcto suponer que en cualquier lugar de la misma existe la misma altura, naturalmente, el peso asociado es tambi´en infinitesimal, entonces por medio de la integraci´ on se responder´an las preguntas anteriores y otras tambi´en. No obstante que el peso es infinitesimal, la presi´ on no lo es por el ´area diferencial:

Presi´on uniforme: Presi´on variable:

P A dP p= dA

p=

Se analizar´a una part´ıcula del cuerpo que consiste en un paralelep´ıpedo elemental, las dimensiones de sus aristas son: dx, dy y dz haciendo referencia a un sistema cartesiano ortogonal dextr´ ogigo, ver la Fig.1.12. Las seis caras de la part´ıcula son producto de otros tantos cortes realizados perpendicularmente a

20

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

cada eje, por ejemplo, existen dos caras perpendiculares al ejes x, se llamar´ a positiva a la cara que esta siendo se˜ nalada por el eje: A+ y negativa a su opuesta x A− x lo propio con los otros dos ejes.

En cada cara act´ ua un vector de esfuerzos, dicho vector tambi´en ser´a estudiado con referencia al mismo sistema, por tanto el vector de esfuerzos tiene tres componentes en cada cara:

Figura 1.12: Esfuerzos sobre part´ıcula elemental Esfuerzo Normal σi .- Es la componente del esfuerzo en direcci´ on perpendicular a la cara Ai , tambi´en llamado esfuerzo traccionante, cuando el esfuerzo estira las fibras o Esfuerzo compresivo en caso contrario.

Esfuerzo Cortante τij .- Es aquel esfuerzo coplanar con la cara i cuya direcci´ on es paralela al eje j. Est´ a claro que en cada cara existir´an dos esfuerzos cortantes, por ejemplo en la cara A+ uan: x act´ τxy Esfuerzo en la cara x paralelo al eje y τxz Esfuerzo en la cara x paralelo al eje z Se trata entonces de diez y ocho vectores de esfuerzos, cada uno con nombre individual, en la figura se muestran s´olo los que pertenecen a las caras positivas.

Para el manejo algebraico se admite la siguiente convenci´on de signos: En todas las caras positivas, los esfuerzos positivos tienen el mismo sentido de los ejes paralelos. En toda cara negativa, los esfuerzos positivos tienen sentidos contrarios a los de los ejes correspondientes En el siguiente cap´ıtulo se estudiar´ an en detalle los esfuerzos que aqu´ı s´olo se han enunciado.

1.11. DEFORMACIONES

1.11.

21

Deformaciones

Al igual que en el caso de los esfuerzos, ahora se definir´ an las deformaciones y se esboza su relaci´ on con los esfuerzos. Debido a que es muy f´acil confundirlas vamos a establecer la diferencia entre dos ideas afines: Traslaci´ on y Rotaci´ on.- Como se vi´ o en la secci´ on Sec. 1.4 estos vectores son una longitud y un giro que med´ıan el movimiento de todo el cuerpo, manteniendo su forma original. Aqu´ı ampliaremos la idea al movimiento de alguna parte del cuerpo: punto, plano, etc., durante la deformaci´ on, En forma gen´erica esos vectores se denominar´an desplazamientos traslacionales y rotaciones en el futuro.

Deformaci´ on.- Como su nombre lo indica, este fen´omeno implica un cambio de forma del cuerpo, para que se produzca es necesario que los puntos del mismo se muevan de forma distinta. Como tales movimientos son vectores de desplazamiento, de puntos o de planos espec´ıficos, en el futuro se entender´ a que la deformaci´on es el cambio de forma del cuerpo que se debe al desplazamiento diferenciado de sus partes.

A objeto de simplificar el an´alisis se consideran separadamente los distintos tipos de deformaci´on, considerando que el final se pueden acumular efectos porque se admite la vigencia del principio de superposici´on, ver Sec. 1.2.

1.11.1.

Deformaci´ on Longitudinal

Sea la misma part´ıcula elemental considerada l´ıneas arriba, en la Fig.1.13 se ve que la ubicaci´on de la part´ıcula est´ a dada antes de la deformaci´on por el punto P , cuya posici´on respecto del sistema de ejes de referencia es P~ (x, y, z), cuando se produce la deformaci´on del cuerpo, las longitudes x, y y z cambian en las magnitudes u, v y w respectivamente, es decir, la longitud x se alarga una longitud u, etc., de modo que toda la part´ıcula se mueve, entonces la nueva posici´on del elemento est´ a dada por el punto P1 , luego, el vector deformaci´ on longitudinal del cuerpo es ~δ(u, v, w), el cambio de posici´on de la part´ıcula.

Estas deformaciones se llaman Deformaciones Longitudinales o Axiales Ahora bien, la part´ıcula misma se deforma de modo que su dimensi´ on dx se alarga du, igualmente el lado dy sufre un alargamiento dv y dz lo hace un dw. Las nuevas dimensiones de las aristas son: dx + du, dy + dv y dz + dw.

Se llama Deformaci´ on Unitaria Longitudinal ǫ a la relaci´on entre el incremento de longitud y la longitud inicial , entonces: ǫx =

du dx

ǫy =

dv dy

ǫz =

dw dz

(1.12)

Cuando las deformaciones sean funciones de las coordenadas x, y y z: du =

∂u dx ∂x

dv =

∂v dy ∂y

dw =

∂w dz ∂z

(1.13)

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

22

Figura 1.13: Deformaciones longitudinales Entonces reemplazando 1.13 en 1.12: ǫx =

∂u ∂x

ǫy =

∂v ∂y

ǫz =

∂w ∂z

(1.14)

Es oportuno hacer las siguientes puntualizaciones: La deformaci´ on unitaria ǫ es muy peque˜ na, del orden del mil´esimo en la mayor´ıa de los materiales empleados en las estructuras, cuando el esfuerzo sobre las fibras no llega al de rotura.

La deformaci´ on unitaria ǫ puede ser considerada constante en muchos casos, pero adem´as puede ser s´olo funci´ on de la coordenada correspondiente.

Por ejemplo u es, en ciertos casos, funci´ on de x y es constante a lo largo de x, en cuyo caso, por integraci´ on se establece que es lo mismo considerar un incremento diferencial o uno discreto, es decir: ǫx =

∂u du u = = ∂x dx x

Cuando ´esto se cumple suele usarse la siguiente nomenclatura: ǫi =

∆Li Li

1.11. DEFORMACIONES

23

Entendi´endose por ∆Li el incremento de la longitud Li en cualquier eje i.

La deformaci´ on unitaria ǫ es funci´ on de los Esfuerzos Normales σx , σy y σz como se ver´ a oportunamente.

1.11.2.

Deformaci´ on Transversal

Partiendo de la part´ıcula deformada por los alargamientos reci´en analizados, ahora se trata de las los cambios de posici´on que sufre las fibras en direcci´ on transversal a su longitud. En principio se asume que cada arista se mueve manteni´endose recta y sin cambiar de longitud, por tanto las caras permanecen planas.

Como se ve en la Fig.1.14 la arista dx + du sufre una rotaci´on γx debido al desplazamiento transversal dvx , este ´angulo es muy peque˜ no porque el cateto opuesto es m´as peque˜ no que el adyacente, por tanto, tan γx = γx , entonces, extendiendo estos criterios a la arista perpendicular dy + dv se tiene:

Figura 1.14: Deformaci´ on transversal o angular

tan γx = γx =

dvx dx + du

tan γy = γy =

duy dy + dv

Como antes, las deformaciones transversales dvx y duy pueden ser funciones de las coordenadas x, y y z, en cuyo caso:

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

24

dvx =

∂v dx ∂x

duy =

∂u dy ∂y

Adem´as, dx ≫ du, entonces dx + du ∼ = dx; tambi´en dy ≫ dv, o sea dy + dv ∼ = dy, por tanto:

γx =

∂v ∂x

dx ∂v = dx ∂x

γy =

∂u ∂y

dy

dy

=

∂u ∂y

Finalmente, el cambio del ´angulo recto que hab´ıa entre las aristas analizadas, llamado Deformaci´ on angular γxy es la suma de los ´angulos que gira cada lado: γxy = γx + γy =

∂u ∂v + ∂y ∂x

(1.15)

Deformaciones semejantes se presentan en los planos XZ y ZY , entonces se completa la definici´on de las Deformaciones transversales o angulares con las siguientes relaciones:

γxz = γx + γz =

∂u ∂w + ∂z ∂x

γyz = γy + γz =

∂v ∂w + ∂z ∂y

(1.16)

Otra vez se hace necesario puntualizar: Las deformaciones transversales son muy peque˜ nas y en muchos casos se desprecia su efecto en la deformaci´on total de los cuerpos.

Las deformaciones transversales rara vez son constantes a lo largo de los ejes y su determinaci´on es bastante compleja, es as´ı que para su estudio se apela a simplificaciones de c´ alculo que ser´an vistas m´as adelante.

Las deformaciones transversales γxy , γxz y γyz son ocasionadas por los esfuerzos cortantes en las caras: τxy , τyx , τxz , τzx , τyz y τzy , como se ver´ a oportunamente.

Cap´ıtulo 2

Estado Tensional de la Part´ıcula 2.1.

Objetivo

En este cap´ıtulo se estudia la acci´on de los esfuerzos sobre las caras de una part´ıcula, las condiciones bajo las que est´ a en equilibrio, cu´antos esfuerzos independientes definen completamente el estado tensional de la part´ıcula, cu´ales son los esfuerzos sobre la part´ıcula cuando se consideran caras rotadas, etc. Se comienza analizando el Estado Tensional Espacial para luego particularizar y profundizar el Estado Tensional Plano, consiguiendo una secuencia comprensible del tema.

2.2.

Estado Tensional Espacial

En la Sec.1.10 se definieron los dos tipos de esfuerzo actuantes en las caras de una part´ıcula y su nomenclatura, la misma que se puede observar en la Fig.2.1, en este cap´ıtulo partiremos de la hip´otesis que estos esfuerzos son iguales en magnitud y de sentido contrario en caras paralelas, siendo ´estas de dimensiones infinitesimales: dx, dy y dz, por esta raz´ on se admite que los esfuerzos est´ an uniformemente distribuidos sobre las caras.

2.2.1.

Condiciones de equilibrio

Toda vez que la part´ıcula est´ a en el espacio, tiene Grado de Libertad GL = 6, por tanto se deben cumplirse seis condiciones de equilibrio (Subsec.1.6.1) cuando se emplea el ´ algebra cl´ asica, sin embargo, por facilidad aqu´ı emplearemos el ´algebra vectorial, por tanto s´olo se consideran las dos condiciones de equilibrio: suma de los vectores fuerza y momento igual a cero.

25

26

CAP´ITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PART´ICULA

Figura 2.1: Esfuerzos en la part´ıcula Como se dijo, el esfuerzo es la relaci´on entre fuerza y el ´area, p = dP dA , entonces se ha de asociar una fuerza dTij a un esfuerzo τij actuando en la cara dAi en direcci´ on de j y la fuerza normal dNi al esfuerzo σi actuando en la cara dAi normalmente a dicho plano, asi:

Esfuerzo: Entonces: Esfuerzo: Entonces:

dNi dAi dNi = σi dAi dTij τij = dAi dTij = τij dAi

σi =

Como se dijo l´ıneas arriba, para un manejo m´as f´acil de las fuerzas y momentos se emplear´ a el ´algebra vectorial para su determinaci´on, asi, si el vector brazo es ~b = bx i + by j + bz k, y la fuerza F~ = Fx i + Fy j + Fz k, entonces el vector momento ser´a: 

i {M } = ~b × F~ =  bx Fx

j by Fy

 k bz  Fz

(2.1)

Equilibrio de Fuerzas Para sistematizar los c´ alculos se determina la fuerza en cada cara y luego se suma el vector actuante en dos caras paralelas, por ejemplo, primero las caras − + − A+ ı: x y Ax , luego Ay y Ay , etc. As´

2.2. ESTADO TENSIONAL ESPACIAL

27

CARA A+ x: dF = dNx i + dTxy j + dTxz k Donde: dNx = dAx σx

dTxy = dAx τxy

dTxz = dAx τxz

En la CARA A− areas y esfuerzos y lo u ´ nico que cambia x se tienen las mismas ´ es el sentido, por tanto se tienen dos dF id´enticos y de sentido contrario, y su suma es cero. Este mismo an´alisis se repite en los otros dos pares de caras, Ay y Az , por tanto se declara que para conseguir el equilibrio de fuerzas s´olo debe cumplirse que los esfuerzos sean iguales en caras paralelas.

Equilibrio de Momentos Por claridad realizaremos el c´ alculo de los momentos para cada cara separadamente y luego sumaremos el momento por pares de caras paralelas, es decir, − + − primero las caras A+ x y Ax , luego Ay y Ay , etc. En Efecto: Cara A+ x:

Cara A− x:

1 1 dy j + dz k 2 2 dF = dNx i + dTxy j + dTxz k

1 1 dy dTxz − dz dTxy i dM = 2 2

1 − dx dTxz − dz dNx j 2

1 + dx dTxy − dy dNx k 2 dbx = dx i +

1 1 dy j + dz k 2 2 dF = − ( dNx i + dTxy j + dTxz k)

1 1 dy dTxz − dz dTxy i dM = − 2 2

1 + 0 dTxz − dz dNx j 2

1 − 0 dTxy − dy dNx k 2 dbx = 0 i +

De modo que sumando los momentos anteriores se tiene:

X

dM = dM1 = − dx dTxz j + dx dTxy k

Igualmente, en las caras y:

(2.2)

CAP´ITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PART´ICULA

28 Cara A+ y:

Cara A− y:

1 1 dx i + dy j + dz k 2 2 dF = dTyx i + dNy j + dTyz k

1 dM = dy dTyz − dz dNy i 2

1 1 − dx dTyz − dz dTyx j 2 2

1 dx dNy − dy dTyx k + 2 dby =

1 1 dx i + 0 j + dz k 2 2 dF = − ( dTyx i + dNy j + dTyz k)

1 dM = − 0 dTyz − dz dNy i 2

1 1 + dx dTyz − dz dTyx j 2 2

1 dx dNy − 0 dTyx k − 2 dby =

Sumando, como antes, los momentos anteriores se tiene: X

dM = dM2 = dy dTyz i − dy dTyx k

(2.3)

Por u ´ ltimo, en las caras z: Cara A+ z :

Cara A− z :

1 1 dx i + dy j + dz k 2 2 dF = dTzx i + dTzy j + dNz k

1 dy dNz − dz dTzy i dM = 2

1 − dx dNz − dz dTzx j 2

1 1 + dx dTzy − dy dTzx k 2 2 dbz =

1 1 dx i + dy j + 0 k 2 2 dF = − ( dTzx i + dTzy j + dNz k)

1 dy dNz − 0 dTzy i dM = − 2

1 + dx dNz − 0 dTzx j 2

1 1 − dx dTzy − dy dTzx k 2 2 dbz =

Otra vez se suman los momentos anteriores: X

dM = dM3 = − dz dTzy i + dz dTzx j

(2.4)

Ahora se puede por fin sumar los momentos resultantes en cada una de las caras: Ec.2.2, Ec.2.3 y Ec.2.4: dM = ( dy dTyz − dz dTzy ) i + (− dx dTxz + dz dTzx ) j

(2.5)

+ ( dx dTxy − dy dTyx ) k Debiendo ser cero el momento resultante, deben ser nulos los m´odulos en cada uno de los ejes, para comenzar, el m´odulo del momento en el Eje x:

2.2. ESTADO TENSIONAL ESPACIAL

29

0 = dy dTyz − dz dTzy 0 = dy dx dzτyz − dz dx dyτzy τyz = τzy Repitiendo el mismo procedimiento en los otros ejes se llega a la demostraci´on del Teorema de Cauchi: τxy = τyx τxz = τzx

(2.6)

τyz = τzy Considerando la hip´ otesis aceptada: los esfuerzos son iguales en caras opuestas, se infiere que es necesario el conocimiento de nueve de los diez y ocho esfuerzos, pero si adem´as se conoce que los esfuerzos cortantes son iguales por parejas (Teorema de Cauchi), entonces se puede anotar el siguiente corolario: El estado tensional de una part´ıcula en espacio est´ a determinado si se conocen los siguientes seis esfuerzos independientes:

2.2.2.

σx

τxy = τyx

σy σz

τyz = τzy τzx = τxz

(2.7)

Esfuerzos en una cara A

Ahora se trata de determinar los esfuerzos que existen en la part´ıcula en una cara cualquiera A conocidos los seis esfuerzos mencionados l´ıneas arriba. Para el efecto se hace un corte inclinado en la part´ıcula separando una esquina del cubo, como se ve en la Fig.2.2. Para un manejo vectorial m´as simple, la cara A que se ha cortado, cuyo esfuerzo ρ se desea conocer, est´ a definida por un vector de magnitud A en direcci´ on y sentido del versor ~u perpendicular a la cara.

Una vez conocido el vector ρ se podr´an determinar los esfuerzos componentes Normal σ y cortante τ , en direcci´ on de ~u (perpendicular al plano) y sobre el plano, respectivamente.

Para calcular dicho esfuerzo ρ se plantear´a en equilibrio de la part´ıcula que ahora es un tetraedro, al efecto se sabe que las caras que permanecen del paralelep´ıpedo original son las caras negativas dAx , dAy y dAz , donde act´ uan los esfuerzos positivos correspondientes, de sentido contrario a los ejes de referencia.

En la Fig.2.3 se muestra el cuerpo visto desde atr´ as, por claridad no se indican todos los nueve esfuerzos en dichas caras.

30

CAP´ITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PART´ICULA

Figura 2.2: Esfuerzos en Cara A

Figura 2.3: Caras negativas

2.3. ESTADO TENSIONAL PLANO

31

Se asume conocida la inclinaci´on del ´area dA, por medio de los cosenos

~

directores l, m, n de ~u y su tama˜ no dA

= dA, es decir: ~u = l i + m j + m k

~ = dAx i + dAy j + dAz k dA

Como se sabe, el producto escalar de dos vectores es el m´odulo de un vector proyectado sobre el otro, entonces, se puede demostrar que: ~ • ~i = dA l dAx = dA

~ • ~j = dA m dAy = dA

dAz = dA • ~k = dA n (2.8)

Del mismo modo, el vector buscado ρ ~ se define por sus componentes en cada eje: ρ ~ = ρx i + ρy j + ρz k Para calcularlo se usan las tres condiciones de equilibrio est´ atico, suma de fuerzas en cada eje. Como antes se consideran las caras separadamente y suego se suman, para comenzar, en el eje x: Cara Ax dNx = dAx σx

Cara Ay dTyx = dAy τyx

Cara Az dTzx = dAz τzx

Cara A dRx = dAρx Reemplazando en estasPecuaciones los valores de las ´areas definidas en las ecuaciones 2.8 y sumando Fx = 0: dAρx = dAσx l + dAτyx m + dAτzx n

Simplificando el ´ area se halla el valor buscado de ρx , realizando el mismo procedimiento para los ejes y y z se obtienen las siguientes relaciones: ρx = σx l + τyx m + τzx n ρy = τxy l + σy m + τzy n ρz = τxz l + τyz m + σz n

(2.9)

Una vez hallado el vector ρ se puede entonces proyectarlo sobre la normal a la cara A y sobre el plano mismo, sin embargo, para conseguir un avance paulatino, a partir de este punto se particulariza el an´alisis al plano.

2.3.

Estado Tensional Plano

Se considera la misma part´ıcula de siempre, sin embargo la hip´otesis es que no existen esfuerzos en la direcci´ on z: σz = 0

τxz = τzx = 0

τyz = τzy = 0

32

CAP´ITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PART´ICULA

En tal circunstancia: ρ ~ = ρx i + ρy j Y las Ecs.2.9 quedan: ρx = σx l + τyx m

ρy = τxy l + σy m

(2.10)

Aqu´ı es oportuno destacar: El estado tensional de una part´ıcula en el plano est´ a determinado si se conocen los siguientes tres esfuerzos independientes: σx σy

τxy = τyx

(2.11)

M´ as a´ un, no habiendo esfuerzos en z la cara A, donde se quiere hallar el esfuerzo ρ, esta cara es ahora un plano paralelo al eje z. Para hallar la normal σ y el cortante τ en esta cara se define un nuevo sistema de referencia cartesiano ortogonal dextr´ ogiro: como antes u en la direcci´ on de la normal al plano A, es tambi´en la direcci´ on del vector que ahora se llama σu y el eje v en la direcci´ on perpendicular donde se aloja el vector τuv . Como puede observarse, se mantiene la misma nomenclatura y es as´ı que ahora se tiene la misma part´ıcula en dos posiciones distintas de sus caras, ver las Figs. 2.4 y 2.5.

Figura 2.4: Estado Tensional Plano Dado que el ´ angulo α desde el eje x hasta llegar al u es el mismo que desde y hasta v, se tiene que los cosenos directores adquieren los siguientes valores: l = cos(α)

m = cos(90 − α) = sin α

Luego las componentes de ρ en los ejes x y ahora se escriben:

2.3. ESTADO TENSIONAL PLANO

33

Figura 2.5: Caras U y V

ρx = σx cos α + τyx sin α

ρy = τxy cos α + σy sin α

(2.12)

Realizando la conocida transformaci´ on de ejes, del sistema xy al uv, ver la Fig.2.6, se tiene: ρu = σu = ρx cos α + ρy sin α ρv = τuv = −ρx sin α + ρy cos α

(2.13)

Figura 2.6: Rotaci´ on de ejes Reemplazando 2.12 en 2.13 y ordenando: σu = σx cos2 α + σy sin2 α + 2τxy sin α cos α τuv = −(σx − σy ) sin α cos α + τxy (cos2 α − sin2 α)

(2.14)

En adelante se prefiere modificar las Ecs.2.14, reemplazando las siguientes igualdades: cos2 α =

1 (1 + cos 2α) 2

sin2 α =

1 (1 − cos 2α) 2

34

CAP´ITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PART´ICULA sin α cos α =

1 sin 2α 2

Llegando a las siguientes expresiones: σx + σy σx − σy + cos 2α + τxy sin 2α 2 2 (2.15) σx − σy sin 2α + τxy cos 2α τuv = − 2 Ahora solo queda por determinar los esfuerzos en la cara perpendicular Av : σv y τvu . Por el teorema de Cauchi τvu = τuv ya determinado y para calcular σv se debe aumentar 90o al ´angulo α en la ecuaci´ on de σu . Como se conoce: sin(2α+ 180) = − sin α, tambi´en cos(2α + 180) = − cos α, reemplazando estas igualdades en la ecuaci´ on de σu como se dijo y a˜ nadiendo esta nueva ecuaci´ on a las Ecs.2.15 ´ DEL PROBLEMA GENERAL: se tiene finalmente la SOLUCION σu =

σx − σy σx + σy + cos 2α + τxy sin 2α 2 2 σx + σy σx − σy σv = − cos 2α − τxy sin 2α 2 2 σx − σy τuv = τvu = − sin 2α + τxy cos 2α 2

σu =

(2.16a) (2.16b) (2.16c)

´ Estas son las ecuaciones que permiten hallar los esfuerzos en las caras Au y Av de la part´ıcula, cuando estas caras han rotado un ´angulo dado α respecto de las caras iniciales Ax y Ay , este problema ha sido llamado l´ıneas arriba Problema General. En el futuro tambi´en se usar´an las siguientes igualdades: S=

σx + σy 2

D=

σx − σy 2

(2.17)

Una igualdad muy u ´til se encuentra sumando las ecuaciones 2.16a y 2.16b: σx + σy = σu + σv

2.4.

(2.18)

Estado Tensional Principal

Uno de los objetivos de este Cap´ıtulo es determinar cu´ales son los esfuerzos normales m´aximos en las caras rotadas de la part´ıcula, conociendo el Estado ´ tensional plano (ETP) de la misma. Este es el denominado PROBLEMA INVERSO [Pisarenko,1979].

Como se observa en las Ecs.2.16a y 2.16b los esfuerzos normales son funci´ on de los esfuerzos conocidos del ETP y de un ´angulo variable α, luego, para determinar cual ser´ıa el esfuerzo normal m´aximo, primero se debe hallar el ´angulo a rotar αp , ´este ser´a la ra´ız de la ecuaci´ on dσu / dα = 0:

2.5. C´IRCULO DE MOHR

35

σx − σy dσu =− sin 2α + τxy cos 2α = 0 dα 2 La soluci´on que admite esta ecuaci´ on es: tan(2αp ) =

2τxy τxy = σx − σy D

(2.19)

(2.20)

Reemplazando el valor hallado para 2α en la Ec.2.16a se deber´ıa hallar un m´aximo (o un m´ınimo) de la funci´ on σu , que es el objetivo propuesto. Al respecto vale observar que si se pretende maximizar la otra funci´ on σv , se llegar´ıa tambi´en a la misma ecuaci´ on 2.19 y por tanto al mismo valor de la ra´ız αp . La interpretaci´ on que cabe es: reemplazando el valor de ´esta ra´ız en las funciones σu y σv se llegar´ a alternativamente a un m´aximo en un caso y a un m´ınimo en el otro o viceversa.

Todav´ıa se debe hacer otro comentario sumamente importante, observando la Ec.2.19 resulta id´entica a la funci´ on τuv (Ec.2.16c) igualada a cero, por ´eso, reemplazando la ra´ız hallada 2α en dicha ecuaci´ on el resultado ser´a: τuv = 0.

Entonces se debe remarcar: Cuando se reemplaza el valor de la ra´ız 2αp en las ecuaciones 2.16 el resultado es: σu = m´aximo o m´ınimo σv = m´ınimo o m´aximo τyz = 0 En estas circunstancias los u ´ nicos esfuerzos son perpendiculares a las caras y est´ an sobre los ejes x y, por ´eso, a este estado se llama tambi´en Estado Tensional Biaxial. Por otra parte, se ha demostrado que estos esfuerzos son el m´aximo y el m´ınimo, respectivamente, por tal raz´ on son los llamados Esfuerzos Principales, asimismo, los ejes u y v y las caras correspondientes tambi´en ser´an llamadas “Principales”.

2.5.

C´ırculo de Mohr

En la anterior secci´ on se planteaba el problema de hallar el Estado Tensional Biaxial (ETB) conocido el Estado Tensional Plano (ETP), ahora bien, puede plantearse tambi´en la necesidad de hallar un ETP partiendo de un ETB, a cuyo caso se denomina Problema Directo. Aunque su soluci´on parezca trivial, servir´a para demostrar la validez de la soluci´on general por el m´etodo gr´afico llamado C´ırculo de Mohr.

En efecto, para resolver el P. Directo es suficiente anular el u ´ ltimo t´ermino de las Ecs.2.16, ya que se parte de un ETB, en el cual el esfuerzo cortante es nulo, es decir:

36

CAP´ITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PART´ICULA

σx − σy σx + σy + cos 2α 2 2 σx + σy σx − σy σv = − cos 2α 2 2 σx − σy τuv = τvu = − sin 2α 2

σu =

(2.21a) (2.21b) (2.21c)

Se pretende demostrar que los valores de los esfuerzos σu , y τuv son las coordenadas de un punto perteneciente al c´ırculo construido siguiendo el procedimiento indicado a continuaci´on, para cualquier valor de la variable α.

Se conoce que un c´ırculo est´ a determinado por su centro y un punto cualquiera del mismo. Entonces, si admitimos que un punto de la circunferencia debe ser necesariamente el par ordenado (σx , τxy ), se ubica este punto usando el sistema de ejes mostrado en la Fig.2.7: sobre las abscisas se miden a escala los esfuerzos normales σ y sobre las ordenadas los cortantes τ , hacia abajo los positivos, en el gr´ afico se halla de este modo el punto X (midiendo σx sobre el eje de las abscisas por ser τxy = 0). Para determinar el centro de la circunferencia se ubica el punto Y midiendo el esfuerzo σy y dividiendo entre dos la distancia entre los esfuerzos normales (el segmento XY ) definiendo as´ı el punto M, centro de la circunferencia. Ahora es posible dibujar el c´ırculo empleando el punto X y el centro M. Para uso futuro se define el eje x uniendo dichos puntos, como se ve en la figura mencionada.

Una vez trazado el c´ırculo, se puede determinar cualquier par ordenado (σu , τuv ) midiendo el ´ angulo 2α a partir del eje x, considerando anti horarios los ´ angulos positivos, definiendo as´ı el Eje u y donde corta a la circunferencia est´ a punto U de coordenadas buscadas (σu , τuv ).

Para demostrar lo anterior se calcula el radio de la circunferencia y luego la coordenada del centro de la circunferencia, finalmente las coordenadas buscadas usando las proyecciones del radio M U y el ´angulo 2α, a saber: σx − σy 2 M P = M U cos 2α ⇒

Y M = MU =

⇒

σx + σy = σM 2 OP = OM + M P = σu

OM = σy + Y M =

U P = M U sin 2α = τuv Habiendo hallado gr´aficamente lo mismo que las Ecs.2.21a y 2.21c. Se resalta que en el ejemplo dibujado al ´angulo 2α es negativo, por tanto lo es tambi´en sin 2α entonces el cortante determinado resulta positivo y es dibujado sobre la coordenada τ > 0.

Respecto de los esfuerzos en las caras Av , por el Teorema de Cauchi τuv = τvu y observando la Ec.2.21b se ve que para calcular σv , se debe restar OM − M P , lo que se consigue gr´ aficamente prolongando el Ejeu hasta intersectar la circunferencia, este punto tiene por abscisa σv . Aqu´ı es importante destacar que,

2.5. C´IRCULO DE MOHR

37

Figura 2.7: C´ırculo de Mohr si bien el punto reci´en determinado define sin duda el esfuerzo normal σv , no sucede as´ı con el signo del esfuerzo τvu , esto muestra que, para la convenci´on de signos adoptada, el C´ırculo de Mohr contiene al par ordenado de la cara Au : (σu , τuv ), no as´ı al de la cara perpendicular Av .

Ejercicio 2.1 Una part´ıcula est´ a sometida al Estado Tensional Plano ETP indicado en la Fig.2.8(a) (Posici´ on A). Luego de rotar un a ´ngulo α sus caras tienen los esfuerzos indicados en la Fig.2.8(b) (Posici´ on B). Calcular: a) El a ´ngulo α que rotaron las caras. b) Los esfuerzos desconocidos en la Posici´ on A. c) Los esfuerzos principales de la part´ıcula, es decir los esfuerzos normales m´ aximo y m´ınimo. c) El esfuerzo cortante m´ aximo.

Aunque el enunciado lleve a pensar que los ejes de inicio x, y deber´ıan ser asignados a la part´ıcula en la Posici´on A, se puede observar que la mayor´ıa de los datos corresponden a la Posici´on B, por tanto, asignando los ejes x, y a esta posici´on se conoce absolutamente el ETP de inicio y las u ´ nicas inc´ ognitas son los ´angulos α correspondientes a cada inciso. Este proceder est´ a mostrado en la Fig.2.9

38

CAP´ITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PART´ICULA

Figura 2.8: Datos Ejercicio 2.1

Figura 2.9: Elecci´on de Ejes de Referencia

2.5. C´IRCULO DE MOHR

39

´ ANAL´ SOLUCION ITICA Inciso a. Reemplazando los datos indicados en la Fig.2.9 en las Ecs.2.17: σx − σy σx + σy = 60 kg/cm2 D = = 120 kg/cm2 2 2 Reemplazando S y D en la ecuaci´ on 2.16a: S=

60 = 120 cos 2α − 50 sin 2α Resolviendo la ecuaci´ on se hallan los siguientes resultados: tan 2α = 0,8359 ⇒ tan 2α = −11,745 ⇒

2α = 39,89o 2α = −85,13o

Siendo ´estos los ´ angulos inc´ ognita.

Inciso b. Conocido el ´ angulo a rotar, para hallar los esfuerzos de la Posici´on A lo u ´ nico que se debe hacer es reemplazar dichos ´angulos en las ecuaciones 2.16, obteniendo los esfuerzos buscados, obs´ervese que se ha reproducido el esfuerzo σu = 120 kg/cm2: σu = 120 kg/cm2

σv = 0 kg/cm2

τuv = τvu = −115,32 kg/cm2

Inciso c. Debe ser hallado primero el ´angulo 2αp , Ec.3.9: 2αp = arctan

τxy 2τxy = arctan = −22,62 kg/cm2 σx − σy D

Nuevamente se reemplaza este ´ angulo en las Ecs.2.16: σu = 190 kg/cm2 m´aximo

σv = −70 kg/cm2

τuv = τvu = 0,0 kg/cm2

m´ınimo

Inciso d. Como se deduce del C´ırculo de Mohr, los esfuerzos cortantes m´aximo y m´ınimo se hallan en caras que rotan 2α = 90o a partir de los ejes principales en sentido positivo o negativo, dependiendo del ETP de inicio, por tanto, para hallar el ´ angulo a partir de cualquier cara debe usarse el ´angulo 2α = 2αp ± 90o , en nuestro caso 2α = 2αp − 90o = −112,62o , y de las Ecs.2.16: σu = 60 kg/cm2 = σv = σM = S

τuv = τvu = −130 kg/cm2 m´aximo

´ GRAFICA ´ SOLUCION Siguiendo el procedimiento indicado, primero se ubica el punto X(σx , τxy ), luego σ +σ la coordenada del centro de la circunferencia σM = S = x 2 y = 60 kg/cm2,

40

CAP´ITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PART´ICULA

Figura 2.10: C´ırculo de Mohr Ejercicio 2.1 con el centro y el punto central se dibuja el c´ırculo y se pueden resolver todos los incisos como se ve en la Fig.2.10: Con objeto de identificar el resultado que corresponde a cada inciso se ha dibujado los ejes correspondientes ua , uc y ud respectivamente. Se recomienda practicar este procedimiento.

Cap´ıtulo 3

La Secci´ on Transversal 3.1.

Objetivo

En el desarrollo de los temas de la Resistencia de Materiales, demostrando los teoremas y aplicando sus principios se encuentran ciertas expresiones, relativas al ´ area de la secci´ on transversal, que es necesario evaluar. En este cap´ıtulo se plantea la determinaci´ on del Centroide y los Momentos de Inercia.

Cuando se desea estudiar las cargas internas y su distribuci´ on sobre las fibras de un elemento unidimensional, se realiza un corte perpendicular al eje del mismo, o perpendicular a la tangente si el eje es una l´ınea curva, como se vi´ o en el ac´apite 1.9.1, producto de dicho corte es el ´area llamada Secci´on transversal (por su condici´on de perpendicularidad), y es de ella que se estudian sus caracter´ısticas. En la Fig.1.11 se vi´ o un ´area rectangular como ejemplo de dicha secci´ on transversal.

Figura 3.1: Secci´on Transversal

41

´ TRANSVERSAL CAP´ITULO 3. LA SECCION

42

3.2.

Centroide

Se adopta la definici´on simple: El Centroide es un punto donde, se puede asumir, est´ a concentrada el a ´rea de una figura plana, si se emplea un sistema de referencia cartesiano, este punto est´ a definido por dos coordenadas y para su determinaci´ on se emplea el siguiente procedimiento.

Por ejemplo, para conocer la posici´on del Centroide C de la figura plana mostrada en la Fig.3.1, se calcula de principio la coordenada yc . Con el fin de usar algunas propiedades de las fuerzas, se convertir´a al ´area en un vector, atribuy´endole la direcci´ on y sentido del eje x, entonces el problema se reduce a calcular la posici´ on de la resultante “A” de infinitas ´areas diferenciales “ dA”, como se v´e en la figura mencionada. Para el efecto se emplear´ a el Teorema de Varignon: “La suma de los momentos de las componentes de un sistema de fuerzas es igual al momento de su resultante”. O sea: M=

Z

A

y dA = yc

Z

dA

A

De donde se puede despejar la coordenada buscada yc . Realizando las mismas operaciones con respecto al eje y se puede obtener tambi´en xc . Empleando indistintamente la nomenclatura xc = x, se tiene:

R x dA xc = x = RA A dA

R y dA yc = y = RA A dA

(3.1)

Cuando se analizan secciones compuestas por figuras simples, que se adicionan o restan, es posible usar la definici´on de centroide y considerar cada ´area componente concentrada en su propio centroide, de modo que se tendr´a una cantidad discreta de a´reas cuyos momentos se deben sumar, es decir:

Pn xi Ai xc = x = Pi=1 n i=1 Ai

Pn y i Ai yc = y = Pi=1 n i=1 Ai

(3.2)

Una aplicaci´on num´erica se presenta m´as adelante. Debido al tratamiento vectorial que se da al ´area, los numeradores de las Ecs.3.1 y 3.2 son llamados Momentos de Primer Orden del ´ area o tambi´en Momentos Est´ aticos.

Un importante corolario que se puede inferir de las anteriores ecuaciones es: Si los ejes x, y fueran centroidales, entonces deber´ıan ser nulas las distancias xc = 0 y yc = 0, por tanto los numeradores de dichas ecuaciones ser´ıan nulos tambi´en, dicho de otro modo:

3.3. MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN

43

La condici´on necesaria para que un sistema de ejes sea centroidal es que los Momentos de Primer Orden del ´ area sean nulos.

Z Z x dA = 0 y dA = 0 (3.3) A

A

n X

n X

xi Ai = 0

3.3.

y i Ai = 0

(3.4)

i=1

i=1

Momentos de Segundo Orden

En general son tambi´en llamados Momentos de Inercia, a diferencia de los M. de Primer Orden, al ´ area se multiplica por la distancia a los dos ejes de referencia o en su caso, si se toma un eje u ´ nico, ser´a multiplicada dos veces por la distancia a dicho eje, aunque tambi´en se puede tomar como referencia un punto, llamado polo. Se reconocen las siguientes definiciones:

Ixx = Ix =

Z

y 2 dA

Momento de Inercia

A

Z Iyy = Iy = x2 dA A Z Ixy = x y dA ZA I0 = r2 dA

Momento de Inercia Producto de Inercia M. Inercia Polar

A

De la Fig.3.1 se deriva que r2 = x2 + y 2 , por tanto se puede deducir: I0 = Ix + Iy Como en el caso de los M. de Primer Orden, los M. de Inercia de las secciones compuestas, en general se calculan sumando los momentos de todas las componentes. Para tal prop´ osito se emplean las dos transformaciones de ejes que se presentan a continuaci´on.

3.4.

Traslaci´ on de Ejes

En todos los manuales de R. de Materiales se pueden hallar los M. de Inercia respecto de Ejes Centroidales xc yc . Es por eso que se desea plantear un procedimiento que, partiendo de dichos valores, permita hallar los momentos de inercia respecto a ejes paralelos trasladados distancias conocidas xc = x y yc = y, ver la Fig.3.2.

´ TRANSVERSAL CAP´ITULO 3. LA SECCION

44

Figura 3.2: Traslaci´on de Ejes El siguiente cambio de variable surge de la figura mencionada: x = xc + u

y = yc + v

Para comenzar se pretende hallar el Producto de Inercia Ixy , a partir de Ixyc para lo cual se realiza el cambio de las variables que aparecen en la definici´on de la inercia buscada, como se indica l´ıneas arriba: Z Z x y dA = (xc + u)(yc + v) dA Ixy = A A Z Z Z Z = xc yc dA +xc v dA +yc u dA + u v dA | {z } | {z } | {z } | {z } 0

A

0

Ixyc

= Ixyc + xc yc A

¿Por qu´e a dos de las integrales anteriores se les di´o el valor de cero?... Realizando sustituciones semejantes en las definiciones de los Momentos de Inercia Ix e Iy se demuestra un teorema importante, el Teorema de Steiner: Ix = Ixc + y 2 A Iy = Iyc + x2 A

(3.5)

Ixy = Ixyc + x y A Que permite lo deseado: transferir los momentos de inercia desde los ejes centroidales (Ixc , Iyc e Ixyc ) hasta ejes paralelos cualquiera (Ix , Iy e Ixy ) y viceversa.

De acuerdo con la demostraci´on que se ver´a en la Sec.3.7, sin importar cual es el ´ area a considerar y tampoco su ubicaci´on respecto del sistema de ejes, por el hecho de estar la variable y o x elevada a exponentes par en la definici´on de los Momentos de Inercia Ix e Iy , dichos momentos siempre son positivos, por tanto, se infiere el siguiente corolario:

´ DE EJES 3.5. ROTACION

45

De todos los Momentos de Inercia para ejes paralelos x e y, los m´ınimos son los que corresponden a ejes centroidales.

Ixc < Ix

3.5.

Iyc < Iy

Rotaci´ on de Ejes

El prop´ osito de este procedimiento es: a partir del conocimiento de los M. de Segundo Orden para un sistema de referencia cartesiano ortogonal x, y (Ix , Iy e Ixy ), hallar los momentos correspondientes a ejes cartesianos u, v girados un ´angulo α dado (Iu , Iv e Iuv ), ver la Fig.3.3.

Figura 3.3: Rotaci´ on de Ejes El cambio de variable apropiado es el mismo empleado en la Sec.2.3 u = x cos α + y sin α

v = −x sin α + y cos α

Que utilizado en la definici´on de los momentos de segundo orden buscados da: Z v 2 dA = Ix cos2 α + Iy sin2 α − 2Ixy sin α cos α Iu = A Z u2 dA = Ix sin2 α + Iy cos2 α + 2Ixy sin α cos α Iv = A Z u v dA = (Ix − Iy ) sin α cos α + Ixy (cos2 α − sin2 α) Iuv = A

Nuevamente se introducen en estas ecuaciones las mismas igualdades empleadas en la Sec.2.3: cos2 α =

1 (1 + cos 2α) 2

sin2 α =

1 (1 − cos 2α) 2

´ TRANSVERSAL CAP´ITULO 3. LA SECCION

46

sin α cos α =

1 sin 2α 2

Hallando de esta manera los valores de los momentos respecto de los ejes u, v a partir de los momentos respecto de los ejes iniciales x, y: Ix + Iy Ix − Iy + cos 2α − Ixy sin 2α 2 2 Ix + Iy Ix − Iy Iv = − cos 2α + Ixy sin 2α 2 2 Ix − Iy sin 2α + Ixy cos 2α Iuv = 2

Iu =

(3.6a) (3.6b) (3.6c)

Cabe destacar la semejanza de estas ecuaciones con las halladas en la Sec.2.3, p´ ag.34. Puede observarse que reemplazando los M. de Inercia en lugar de los esfuerzos se obtienen las mismas ecuaciones, a saber: Ix ⇒ σx ; Iy ⇒ σy y −Ixy ⇒ τxy .

En lo que sigue se usar´an tambi´en las siguientes igualdades: S=

Ix + Iy 2

D=

Ix − Iy 2

Es necesario destacar una igualdad muy u ´til, sumando las ecuaciones 3.6a y 3.6b: Ix + Iy = Iu + Iv

3.6.

(3.7)

Ejes Principales

Para dise˜ nar las piezas es necesario establecer los ejes para los cuales los M. de S. Orden se minimizan y son m´aximos, siendo las Ecs.3.6 funciones de la variable α, el valor que debe rotar el eje x, para alcanzar la posici´on u, de modo que el momento Iu sea m´aximo (m´ınimo) es la ra´ız de la ecuaci´ on conseguida derivando la funci´ on 3.6a e igual´ andola a cero: ′

Iu = −D sin 2α − Ixy cos 2α = 0

(3.8)

Por tanto la ra´ız que se halla para esta ecuaci´ on define el ´angulo buscado: tan 2αp = −

Ixy D

(3.9)

Como en el caso de los esfuerzos, se debe destacar que derivando la Ec.3.6b e igual´ andola a cero se obtiene la misma ecuaci´ on 3.8, m´as a´ un, ´esta es tambi´en igual a la Ec.3.6c cuando se la iguala a cero, por tanto se infiere:

´ 3.7. SECCIONES SIMETRICAS

47

Cuando se reemplaza el valor de la ra´ız 2αp (Ec.3.9) en las ecuaciones 3.6 el resultado es: Iu = m´aximo o m´ınimo Iv = m´ınimo o m´aximo Iuv = 0 Una vez m´as se observa que, como era de esperar, es posible usar todos los procedimientos empleados en las secciones 2.3, 2.4 y 2.5, usando el C´ırculo de Mohr con el s´olo cambio de ubicar el Producto de Inercia sobre el eje de las abscisas, apuntando hacia arriba.

3.7.

Secciones Sim´ etricas

Cuando se trata de determinar el centroide de una figura que admite un eje de simetr´ıa, como la mostrada en la Fig.3.4, si se elije el eje x coincidiendo con el de simetr´ıa, se puede observar que a cada lado del eje las a´reas son id´enticas y tambi´ en yc1 = −yc2 , por tanto la suma de los momentos de primer orden se P anula: Ai yi = 0, que es la condici´on de Eje Centroidal, Ec.3.4.

Figura 3.4: Figura Sim´etrica Para calcular sus momentos de inercia, se divide esta figura en dos partes iguales, en cuadrantes distintos, ver Fig.3.4 A1 y A2, y se procede a determinar

´ TRANSVERSAL CAP´ITULO 3. LA SECCION

48

Ix = Ix1 + Ix2 , donde los super´ındices responden al n´ umero del ´area correspondiente. Para la Fig. A1: !

Z Z a Z Z f (x) 2 2 1 2 y dA = y dx dy = dx Ix = y dy A1 a

=

x=0

Z

1 f (x) 1 dx y 3 0 = 3 3

x=0

Z

3

(f (x)) dx

x=0

Igualmente, para la Fig. A2: Z Z Z y 2 dA = y 2 dx dy = Ix2 = = =

A2 Z a

x=0 Z a

1 3

a

dx

x=0

dx

1 1 3

0 y −f (x) = 3 3

y=0

a

Z

a

x=0

3

(f (x)) dx = Ix1

h

Z

0

2

y dy y=−f (x) 3

0 − (−f (x))

i

!

dx

x=0

Cabe resaltar que Ix1 = Ix2 , de modo que cuando una figura cambia de posici´on, yendo de un cuadrante a otro, rotando alrededor del eje x, los momentos de inercia respecto al eje x no cambian, de modo que es suficiente calcular uno de dichos momentos: Ix = 2 Ix1 = 2 Ix2 .

Realizando el c´ alculo correspondiente a Iy = Iy1 + Iy2 : Z Z Z a Z f (x) !

2 2 1 2 x dA = x dx dy = Iy = x dx dy A1 a

=

x=0

Z

f (x)

x=0

x2 dx y|0

=

Z

x2 (f (x)) dx

x=0

Por otro lado, para A2: Z Z Z 2 2 2 Iy = x dA = x dx dy = = =

A2 Z a

y=0

a

a

x2 dx

0

Zx=0 a

2

x (f (x)) dx =

Z

0

dy

y=−f (x)

x=0

x2 dx y|−f (x) =

Z

a

!

x2 [0 − (−f (x))] dx

x=0

Iy1

x=0

Acaba de demostrarse que cuando se produce el cambio de posici´on que estamos analizando, tampoco cambia el valor del momento de inercia respecto del eje y, por tanto: Iy = 2 Iy1 = 2 Iy2 . Finalmente tratamos el c´ alculo del producto de 1 2 inercia Ixy = Ixy + Ixy : !

Z Z Z Z f (x)

a

1 Ixy

=

xy dA =

A1

=

Z

x dx

x=0

a

x=0

xy dx dy =

x dx

y dy

y=0

f (x) Z 1 a 1 2

2 y

x (f (x)) dx = 2 0 2 x=0

3.8. M. DE I. M´INIMO ABSOLUTO

49

Siguiendo el mismo procedimiento en el caso de A2: 2 Ixy

=

Z

A2 Z a

xy dA =

Z

xy dx dy =

Z

a

x dx

x=0

Z

0

y dy

y=−f (x)

!

Z i h 1 a 1 0 x 0 − (−f (x))2 dx x dx y 2 −f (x) = 2 2 x=0 x=0 Z 1 a 2 1 x (f (x)) dx = −Ixy = − 2 x=0 =

Queda demostrado entonces que para figuras sim´etricas respecto del eje x el producto de inercia es el mismo pero de signo contrario. Reuniendo los resultados analizados hasta aqu´ı se puede generalizar y destacar la siguiente herramienta eficaz.

Cuando una figura cambia de cuadrante, rotando alrededor de cualquier eje de referencia, se debe esperar un cambio de signo en el valor del Producto de Inercia Ixy , no as´ı en los Momentos de Inercia Ix o Iy que permanecen constantes.

Del mismo modo, se quiere resaltar la importancia del Eje de Simetr´ıa: Todo eje de Simetr´ıa es un Eje Centroidal.

Todo eje de simetr´ıa es un Eje Principal Ixy = 0.

3.8.

M. de I. M´ınimo Absoluto

Toda vez que con las transformaciones de ejes vistas en las Secs.3.4 y 3.6 se logra, en cada caso, minimizar uno de los M. de Inercia, realizando sucesivamente ambas transformaciones se alcanza el llamado “minimo minimorum” de dicho Momento: Como se sabe: de todos los Momentos de Inercia para ejes paralelos x e y, los m´ınimos son los que corresponden a ejes centroidales, haciendo rotar estos ejes el ´ angulo 2αp , para llegar a los Ejes Principales Centroidales, se logra minimizar una vez m´as uno de los M. de Inercia, obteni´endose los ejes uc y vc que definen el m´ınimo absoluto del Momento de Inercia.

Para realizar estas transformaciones se siguen alternativamente uno de los procedimientos que se explican a continuaci´on.

3.8.1.

Primer m´ etodo

En este m´etodo se deben seguir los siguientes pasos:

50

´ TRANSVERSAL CAP´ITULO 3. LA SECCION

Figura 3.5: Componente Ai 1.Dividir la figura en componentes Ai y calcular para cada una: Su ´ area Ai Las distancias xi , y i desde su propio centroide hasta los ejes de referencia provisionales x, y, ver Fig.3.5 Los M. de Segundo Orden (MSO) Ixci , Iyci , Ixyci para su ejes centroidales xci , yci Calcular los Momentos de Primer Orden (MPO) del ´area: xi Ai , y i Ai 2.Calcular el centroide de la figura completa empleando las Ec.3.2: Pn Pn xi Ai y i Ai i=1 yc = y = Pi=1 xc = x = Pn n A i=1 i i=1 Ai

i 3.Calcular los MSO Ixi , Iyi , Ixy para los ejes de referencia provisionales x, y, de cada componente, a partir de los MSO centroidales anteriores. Para tal efecto se emplea Steiner:

Ixi = Ixci + y2i Ai Iyi = Iyci + x2i Ai i Ixy = Ixyci + xi y i Ai

4.Determinar los MSO Ix , Iy , Ixy para los ejes de referencia provisionales x, y, de toda la figura, sumando los MSO de las componentes calculadas en el paso 3.

3.8. M. DE I. M´INIMO ABSOLUTO

Ix =

51

n X

Ixi

i=1

Iy =

n X

Iyi

i=1

Ixy =

n X

i Ixy

i=1

5.Calcular los MSO Ixc , Iyc , Ixyc para los ejes de referencia centroidales xc , yc de toda la figura, aplicando Steiner a la inversa, es decir llevando desde los ejes cualquiera x, y a los centroidales xc , yc : Ixc = Ix − y 2 A Iyc = Iy − x2 A Ixyc = Ixy − x y A Consigui´endose de este modo la primera minimizaci´ on.

6.Se calcula el ´ angulo 2αp que deben rotar los ejes centroidales xc , yc para llegar a la posici´on u, v de modo que para esta posici´on se maximice un Momento de Inercia, el otro se minimice y el Producto de Inercia sea nulo, ver Secs.3.5 y 3.6. Habiendo minimizado por segunda vez, se ha conseguido el M´ınimo absoluto de los Momentos de Inercia, para Ejes Centroidales principales. Es decir, del las Ecs.3.9 y 3.6: Ixyc tan 2αp = − Ixc −Iyc 2

Ixc + Iyc Ixc − Iyc Iu = + cos 2αp − Ixyc sin 2αp 2 2 Ixc − Iyc Ixc + Iyc − cos 2αp + Ixyc sin 2αp Iv = 2 2 Ixc − Iyc Iuv = sin 2αp + Ixyc cos 2αp = 0 2

3.8.2.

(3.10)

Segundo m´ etodo

No obstante de repetirse los pasos 1,2 y 6 del primer m´etodo, incluiremos inextenso todo el procedimiento: 1.Dividir la figura en componentes Ai y calcular para cada una: Su ´ area Ai Las distancias xi , y i desde su propio centroide hasta los ejes de referencia provisionales x, y, ver Fig.3.5 Los M. de Segundo Orden (MSO) Ixci , Iyci , Ixyci para su ejes centroidales xci , yci

52

´ TRANSVERSAL CAP´ITULO 3. LA SECCION Calcular los Momentos de Primer Orden (MPO) del ´area: xi Ai , y i Ai

2.Calcular el centroide de la figura completa empleando las Ec.3.2: Pn xi Ai xc = x = Pi=1 n i=1 Ai

Pn y i Ai yc = y = Pi=1 n i=1 Ai

i i i 3. y 4.Calcular los MSO Ixc , Iyc , Ixyc de cada componente Ai para los ejes de referencia centroidales totales xc , yc , a partir de los anteriores MSO para ejes centroidales locales xci , yci . Este paso es similar al del primer m´etodo, la diferencia es que ya no se lleva a los ejes provisionales x, y sino directamente a los centroidales totales xc , yc . Para tal efecto se emplea Steiner, pero no se usan las distancias xi , yi como en el m´etodo anterior, sino las diferencias ∆xi = xi − x; ∆yi = y i − y, ver la Fig.3.5.

∆xi = xi − x ∆yi = y i − y i Ixc = Ixci + ∆2yi Ai i Iyc = Iyci + ∆xi2 Ai i Ixyc = Ixyci + ∆xi ∆yi Ai

5.Determinar los MSO Ix , Iy , Ixy para los ejes de referencia provisionales x, y, de toda la figura, sumando los MSO de las componentes calculadas en el paso combinado 3/4.

Ixc =

n X

i Ixc

i=1

Iyc =

n X

i Iyc

i=1

Ixyc =

n X

i Ixyc

i=1

6.Se calcula el ´ angulo 2αp que deben rotar los ejes centroidales xc , yc para llegar a la posici´on u, v de modo que para esta posici´on se maximice un Momento de Inercia, el otro se minimice y el Producto de Inercia sea nulo, ver Secs.3.5 y 3.6. Habiendo minimizado por segunda vez, se ha conseguido el M´ınimo absoluto de los Momentos de Inercia, para Ejes Centroidales

3.8. M. DE I. M´INIMO ABSOLUTO

53

principales. Es decir, del las Ecs.3.9 y 3.6: Ixyc tan 2αp = − Ixc −Iyc 2

Ixc + Iyc Ixc − Iyc Iu = + cos 2αp − Ixyc sin 2αp 2 2 Ixc − Iyc Ixc + Iyc − cos 2αp + Ixyc sin 2αp Iv = 2 2 Ixc − Iyc sin 2αp + Ixyc cos 2αp = 0 Iuv = 2 A continuaci´on se aplican estos procedimientos en un ejemplo num´erico: Ejercicio 3.1 Determinar los Momentos de Segundo Orden (MSO) para Ejes Centroidales Principales del a ´rea transversal indicada en la Fig.3.6.

Figura 3.6: Ejercicio 3.1 El problema ser´a resuelto por ambos m´etodos, para ello la figura ser´a dividida en cuatro componentes cuyas caracter´ısticas se hallan en las tablas de cualquier manual de R. de Materiales, como se muestra en la Fig.3.7.

Figura 3.7: Componentes ai Ejercicio 3.1

´ TRANSVERSAL CAP´ITULO 3. LA SECCION

54

Obs´ervese que el componente A2 , el cuadrante de circunferencia, se restar´a de los otros dos componentes, los datos necesarios para proceder con los m´etodos presentados antes son: Comp.

A1

A2

A3

bx

8

8

10

by

8

8

8

xi

4

4*r/3/π

8+10/3

yi

4

8-4*r/3/π

2*8/3

Ai

bx ∗ by

r2 π/4

bx ∗ by /2

Ixci

bx ∗ b3y /12

0,0549 ∗ r4

bx ∗ b3y /36

Iyci

b3x ∗ by /12

0,0549 ∗ r4

b3x ∗ by /36

Ixyci

0

0,0165 ∗ r4

b2x ∗ b2y /72

Cuadro 3.1: Datos Ejercicio 3.1 Toda vez que las f´ ormulas para el ´area y los MSO ser´an obtenidos de tablas que aparecen en los manuales de R. de Materiales, si en la referencia de donde se toma estos datos las figuras aparecen en otros cuadrantes, para adecuar las f´ ormulas a cualquier ubicaci´on, no se cambian los signos de los M. de Inercia pero s´ı del Producto de Inercia, correspondiendo un cambio de signo por cada rotaci´on.

Pasos 1 y 2 A continuaci´on se re´ unen en la Tabla 3.2 los c´ alculos que corresponden a los pasos 1 y 2, que son comunes a ambos m´etodos. N´ otese que las columnas 4 y 5 se calculan despu´es de determinar el centroide y s´olo se emplear´ an en el M´etodo 2, posteriormente.

1

2

3

4

5

Ai

Ai xi

Ai y i

xi − x

yi − y

A1

64.0

256.0

256.0

-6.02

-0.43

A2

-50.3

-170.6

-231.4

-6.63

0.18

A3

40.0

453.3

213.3

1.31

0.91

Total

53.7

538.7

237.9

Comp.

´ Cuadro 3.2: Pasos 1 y 2: Areas, MPO, ∆x y ∆y

3.8. M. DE I. M´INIMO ABSOLUTO

55

Con los totales de las columnas 1, 2 y3 se pasa a calcular el centroide de la figura total: Pn xi Ai 538,6 = = 10,03cm xc = x = Pi=1 n 53,74 i=1 Ai Pn y i Ai 237,9 = yc = y = Pi=1 = 4,43cm n A 53,74 i i=1

A partir de aqu´ı se diferencian los procedimientos.

´ METODO 1 Pasos 3 y 4 Nota: Para el ´ area A2 , que se debe quitar, los resultados parciales son indicados 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ixci

Ai y 2i

Ixi

Iyci

Ai x2i

Iyi

Ixyci

Ai xi y i

i Ixy

A1

341.3

1024.0

1365.3

341.3

1024.0

1365.3

0.0

1024.0

1024.0

A2

224.9

1065.7

-(1290.0)

224.9

579.5

-(804.3)

67.6

785.9

-(853.4)

A3

142.2

1137.7

1280.0

222.0

5137.7

5360.0

88.9

2417.7

2506.6

Comp.

Total

1354.7

5921.0

Cuadro 3.3: M´etodo 1.- Pasos 3 y 4 entre par´entesis en las columnas 3, 6 y 9; siendo restados ´estos de los otros subtotales de dichas columnas.

Paso 5. MSO Centroidales Con los u ´ ltimos resultados: Ixc = Ix − y 2 A = 1354,7 − 53,74 ∗ 4,432 = 301,63 cm4 Iyc = Iy − x2 A = 5921,0 − 53,74 ∗ 10,032 = 521,08 cm4 Ixyc = Ixy − x y A = 2677,2 − 53,74 ∗ 4,43 ∗ 10,03 = 292,60 cm4 Paso 6. MSO Centroidales Principales Ahora se aplican las Ecs.3.10 que definen los M. de Inercia m´aximo y m´ınimo absoluto, que es el objetivo buscado: Ixyc 2αp = tan−1 (− Ixc −Iyc ) = 69,44 o 2

Ixc − Iyc Ixc + Iyc + cos 2αp − Ixyc sin 2αp = 98,85 cm4 Iu = 2 2 Ixc + Iyc Ixc − Iyc Iv = − cos 2αp + Ixyc sin 2αp = 723,86 cm4 2 2 Ixc − Iyc sin 2αp + Ixyc cos 2αp = 0 Iuv = 2

2677.2

´ TRANSVERSAL CAP´ITULO 3. LA SECCION

56

´ METODO 2 Pasos 1 y 2 Est´ an resumidos en la Tabla 3.2 Pasos 2,4 y 5 Al igual que en el m´etodo anterior, se re´ unen los c´ alculos en la siguiente Tabla 3.4:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ixci

Ai ∆2yi

i Ixc

Iyci

Ai ∆2xi

i Iyc

Ixyci

Ai ∆xi ∆yi

i Ixyc

A1

341.3

11.7

353.0

341.3

2322.9

2664.2

0.0

164.6

164.6

A2

224.9

1.6

-(226.4)

224.9

2209.0

-(2433.0)

67.6

-59.2

-(8.3)

A3

142.2

32.9

175.0

222.2

68.5

290.7

88.9

47.4

136.3

Comp.

Total

301.6

521.1

Cuadro 3.4: M´etodo 2.- Pasos 3, 4 y 5.

Paso 6. MSO Centroidales Principales Siendo iguales los resultados obtenidos hasta aqu´ı en ambos m´etodos, el paso seis es id´entico tambi´en.

292.6

Cap´ıtulo 4

Estructuras Isost´ aticas 4.1.

Objetivo

En este cap´ıtulo se estudiar´ an los procedimientos para el c´ alculo de las reacciones o Cargas Externas Reactivas y las Cargas Internas en estructuras planas, sin embargo, algunos comentarios se extienden a las espaciales cuando sea conveniente, entonces: Los elementos constituyentes de la estructura son unidimensionales, como se define en 1.3 y son coplanares.

Las direcciones de todas las fuerzas existentes est´ an contenidas en el plano de los elementos y todos los momentos tienen su direcci´ on perpendicular al mismo.

Cuando se resuelve la est´ atica de las estructuras isost´aticas se consideran las barras indeformables, esto por haber aceptado la Hip´ otesis de las Deformaciones Peque˜ nas, ver la Sec. 1.2 Complementando el punto anterior se debe recalcar que, toda vez que sea requerido, se pueden calcular las deformaciones de la estructura en base a las cargas internas reci´en calculadas. Las estructuras a estudiar en este cap´ıtulo deben deformarse en el plano que las contiene.

Para mejor comprensi´ on del ´ ambito de estudio se hace referencia a la siguiente clasificaci´on.

4.2.

Estructuras Planas

En la Fig.4.1 se observan tres estructuras que responden a la clasificaci´on generalmente aceptada: 57

58

´ CAP´ITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

Figura 4.1: Estructuras Planas ´ MARCOS O PORTICOS PLANOS. Est´ an formados por elementos unidimensionales contenidos todos en un plano que tambi´en contiene a las fuerzas actuantes y es perpendicular a los momentos, actuantes y reactivos, como puede verse en la Fig.4.1(a). Bajo estas circunstancias las deformaciones se producir´an en el mismo plano, cuando se cumplen algunas condiciones adicionales que se anotar´ an oportunamente.

ARMADURAS O CERCHAS PLANAS. Cumplen todos los requisitos de los p´ orticos planos, pero adicionalmente se requiere que las uniones entre elementos componentes sea por medio de articulaciones,como se observa en la Fig.4.1(b). Normalmente se transfiere la acci´on de las cargas en tramos de elementos hacia los nudos. En estas circunstancias barras est´ an sometidas exclusivamente a cargas internas normales. Aunque se puede inferir que las cerchas son un caso particular de los p´ orticos, se las clasifica en otro grupo por ser ´este el tratamiento cl´asico.

PARRILLAS. Son tambi´en estructuras formadas por elementos unidimensionales contenidos en un plano, pero, a diferencia de los p´ orticos, las fuerzas que las solicitan son perpendiculares a dicho plano, ver Fig.4.1(c).

Por ´esa causa los momentos internos son ahora de dos tipos: Flectores y Torsores. Si bien hist´oricamente este clase de estructuras no era estudiada, actualmente los reglamentos de dise˜ no dan importancia a su estudio. No se contempla su an´alisis en el presente cap´ıtulo.

4.3. ISOSTATICIDAD

59

Para resolver los p´ orticos y parrillas, se comienza por comprender la isostaticidad y establecer si los conocimientos de la est´ atica son o no suficientes para resolver determinado problema. Posteriormente se muestran los procedimientos para cumplir el objetivo anotado.

4.3.

4.3.1.

Isostaticidad Estructura continua

En la Fig.4.2 se observa una barra de eje quebrado que est´ a empotrada en el suelo. Si esta barra se analizar´ıa en el espacio, tuviera seis libertades de movimiento (Sec. 1.5), en este cap´ıtulo se analizan estructuras planas, por tanto deben considerarse s´olo tres grados de libertad, GL = 3, sin embargo, toda vez que est´ a conectada con tierra, el empotramiento se encarga de quitarle todas esas libertades, como se vio en 1.7. Queda claro entonces que las reacciones de apoyo de la estructura pueden ser determinadas mediante la aplicaci´on de las Condiciones de Equilibrio Est´ atico: toda vez que el Grado de Libertad es tres, existen Tres Ecuaciones de equilibrio y son tambi´en tres las restricciones necesarias, que genera cada cual una reacci´on de apoyo por calcular, es decir: Tres Inc´ ognitas H1 , V1 , M1 , se tiene entonces un Sistema de Ecuaciones De´ terminado. Este es el caso de las Estructuras Externamente Isost´ aticas, ver Sec. 1.8.

Debe recordarse que, de las tres libertades de movimiento que poseen las estructuras planas, dos son de movimiento traslacional, que requieren restricciones de fuerza H1 , V1 , y un movimiento es rotacional, restringido por el momento M1 .

Figura 4.2: Barra Empotrada - Isost´atica Ahora bien, si a la estructura anterior se le asigna otro apoyo empotrado como se v´e en la Fig.4.3 suceden dos cosas: Por una parte se le quitan otras tres libertades de movimiento, aumentando a seis las restricciones: H1 , V1 , M1 , H4 , V4 , M4 .

Toda vez que el grado de libertad se mantiene en tres, existen tres restricciones

60

´ CAP´ITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

superabundantes o redundantes hiperest´ aticas, ver Sec. 1.7: GHE = RE − GL = 6 − 3 = 3

Figura 4.3: Barra biempotrada: Un anillo Por otra parte, puede observarse que la tierra y la barra quebrada forman un anillo cerrado, cuyo indicador es el n´ umero uno encerrado en un tri´angulo, por tanto se infiere que: Todo anillo cerrado continuo es tres veces hiperest´ atico cuando la estructura es plana, cuando la estructura es espacial un anillo cerrado es seis veces hiperest´ atico.

4.3.2.

Estructura discontinua

La Fig.4.4 muestra la misma estructura que se viene analizando con dos diferencias fundamentales.

Existe una liberaci´ on externa en el punto 1, mostrada como una peque˜ na circunferencia, como se conoce, esto implica que existe una discontinuidad en dicho punto, es decir, mientras la tierra es inm´ovil, la barra mantiene su libertad de moverse rotacionalmente.

Lo anterior tiene una consecuencia a nivel de la reacci´on de apoyo que deb´ıa impedir este giro. La barra puede rotar en dicho punto porque la restricci´on de momento que antes exist´ıa ha sido anulada por la articulaci´on: M1 = 0. Esto implica que ha disminuido el grado de hiperestaticidad externa porque existe una liberaci´ on externa LE. Tambi´ en se ha introducido una liberaci´ on interna en el punto 2 , como antes, esta liberaci´ on autom´ aticamente disminuye el grado de hiperestaticidad, pero, como en este caso la liberaci´ on es interna, LI, se

4.3. ISOSTATICIDAD

61

Figura 4.4: Estructura con liberaciones

comienza a discriminar la condicionante y se define que ha disminuido en un grado la Hiperestaticidad Interna. Por el hecho de que el giro es independiente entre ambas barras unidas a la articulaci´on, debe comprenderse que el momento interactivo que antes exist´ıa en dicho punto ha sido anulado por dicha articulaci´on.

Notese que esta consecuencia no puede apreciarse en la gr´afica por cuanto el momento es una carga interna y ´estas pueden observarse solo cuando se corta la barra. Ver Sec. 1.9. Es conveniente resumir lo anterior: Una articulaci´ on entre la estructura y el suelo anula el momento interactivo y disminuye en uno el Grado de Hiperestacidad Externa, GHE, porque se conoce el momento reactivo correspondiente. Cuando la articulaci´on es interna, la carga interna de momento es conocida M = 0, disminuyendo as´ı el Grado de Hiperestaticidad Interna, GHI. Un apoyo m´ ovil independiza el movimiento traslacional entre el suelo y la estructura, anulando la interacci´ on de fuerzas entre estos dos cuerpos, como uno de ellos es la tierra, entonces es nula la fuerza reactiva cuya direcci´ on corresponde a la plataforma de desplazamiento, como se ve en la Fig.4.5 (Nudo 1) la reacci´on horizontal el nula, disminuye por esta causa el grado de hiperestaticidad externa. Tambi´en se extiende este criterio al caso de una liberaci´ on interna de movimiento traslacional, entre dos barras componentes como se ve en el Nudo 2 de la citada figura 4.5, disminuyendo en este caso la hiperestaticidad interna, por cuanto en este caso se conoce una carga interna. Como se conoce, en este caso, la carga interna anulada es la componente de fuerza en direcci´ on de la plataforma de desplazamiento (vertical en la figura).

62

´ CAP´ITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

Figura 4.5: Liberaciones traslacionales

4.3.3.

Anillos Internos

En la Fig.4.6 se ve la estructura bajo estudio a la cual se le ha a˜ nadido un barra entre los puntos A y B, cuyas consecuencias se desea analizar:

Figura 4.6: Anillo interno

Son ahora varias barras unidimensionales formando una estructura plana.

Son dos los anillos presentes ahora en la estructura, un anillo es externo (la tierra que une los apoyos forma parte del anillo) y el segundo es interno, esto implica que la hiperestaticidad interna ha crecido en tres unidades.

La liberaci´ on externa LE en el punto 1 disminuye en uno la cantidad de restricciones, disminuyendo de este modo la hiperestaticidad externa.

4.3. ISOSTATICIDAD

63

el Grado de Hiperestaticidad externo entonces no habr´ıa cambiado, siendo como antes: GHE = RE − GL = 5 − 3 = 2 La liberaci´ on interna LI en el punto 2 disminuye en una unidad la Hiperestaticidad interna.

El Grado de Hiperestaticidad Interno ha cambiado notoriamente, por un lado ha sido incrementado en tres, por haberse creado un anillo interno AI, pero se disminuye en uno por la existencia de la liberaci´ on LI en el punto 2.

GHI = 3 AI − LI = 3 ∗ 1 − 1 = 2 El Grado de Hiperestaticidad Total es la suma de las anteriores: GH = GHE + GHI = 2 + 2 = 4 A continuaci´on se presentan casos en los que se generalizan los conceptos anteriores aplic´ andolos a situaciones comunes.

Ejercicio 4.1 Estudiar el comportamiento de nudos con liberaciones entre todos o algunos de los elementos que se unen a ellos.

Figura 4.7: Ejercicio 4.1 Distintas libertades en A y B Sea la Fig.4.7, que muestra a la anterior estructura con las siguientes modificaciones:

´ CAP´ITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

64

En el punto A se ha modificado el v´ınculo de continuidad que un´ıa a las tres barras que concurren en ´el.

Si se considera que la articulaci´on pertenece a cualquiera de las barras, quedan entonces dos barras libres para rotar independientemente de ella, por tanto son dos las libertades internas que genera esta articulaci´on.

En el punto B se ha modificado el v´ınculo de continuidad que un´ıa a las tres barras, a diferencia del caso anterior, debe notarse que dos barras son todav´ıa continuas, de modo que cualquier rotaci´on de una barra tambi´en se debe producir en la que es continua a ella. La tercera barra es libre de rotar independiente de las anteriores.

Si, como antes, consideramos que la articulaci´on es parte de la barra independiente, entonces las dos barras continuas ser´an libres de rotar conjuntamente, en consecuencia se cuenta con una u ´ nica liberaci´ on en este caso. Suceder´ıa lo mismo si la articulaci´on se soldar´ıa al otro elemento, de todos modos s´olo un elemento es libre respecto del otro.

El Grado De Hiperestaticidad Externo no ha cambiado por cuanto las liberaciones se han dado en un nudo interno.

La barra que une A y B tiene articulaciones en ambos extremos y se la considera en forma especial porque si bien forma un anillo interno aumentando en tres el GHI, al mismo tiempo sus articulaciones de extremo generan dos libertades de movimiento, disminuyendo en dos el GHI, resumiendo: Toda barra biarticulada aumenta una unidad al Grado de Hiperestaticidad Interno GHI. Debe notarse que, adicionalmente, en el nudo A se ha introducido una liberaci´ on que disminuye en uno el GHI, no as´ı en el nudo B, porque la articulaci´on existente est´ a ya considerada en la barra Biarticulada.

El grado de Hiperestaticidad es en este caso: GHE GHI GH

= RE − GL = 5 − 3 = 2 = 3 AI − LI = 3 ∗ 1 − 4 = −1 = 3A−L = 3∗2−5 = 1

Habiendo por tanto verificado que la suma de las H. Externa e Interna es la H. Total.

Antes de seguir, es oportuno resaltar un hecho importante. Si todo anillo es tres veces hiperest´ atico y si toda articulaci´on elimina un grado de hiperestaticidad, consecuentemente todo anillo que contiene tres articulaciones ser´a isost´atico, entonces se puede extender este criterio: Toda estructura formada por un conjunto de uno o m´as anillos que tienen tres articulaciones es isost´atica. Es el caso t´ıpico de las Cerchas o Estructuras en Celos´ıa.

4.3. ISOSTATICIDAD

65

Figura 4.8: Ejercicio 4.2 Ejercicio 4.2 Analizar el caso de un nudo conectado a tierra, unido a la vez a varios elementos con movimientos independientes entre ellos.

Como un nuevo caso consid´erese la Fig.4.8, ahora la barra biarticulada se une al nudo 1 que tambi´en se vincula con tierra, es un nudo externo. En estas circunstancias el an´alisis indica que de las tres reacciones potenciales en el apoyo del nudo 1 el momento es nulo, por tanto se tiene una libertad externa LE = 1, ahora bien, al interior de la estructura el conjunto que tiene la libertad externa reci´en considerada, est´ a formado por dos barras que pueden rotar internamente, independientemente una de la otra, entonces se debe considerar una liberaci´ on interna LI = 1 como se ve en la figura, luego, la determinaci´on del GH ser´ıa:

4.3.4.

GHE

= RE − GL = 5 − 3 = 2

GHI GH

= 3 AI − LI = 3 ∗ 1 − 3 = 0 = 3A−L = 3∗2−4 = 2

Apoyos el´ asticos

Ahora se estudia el caso de los resortes, como se vio en la Sec.1.7, son dos tipos de apoyos el´ asticos a considerar: Resorte Helicoidal que restringe parcialmente el desplazamiento lineal en la direcci´ on del eje de la h´elice, como se v´e en la Fig.4.9(a), la carga P (Px , Py , Pz ) act´ ua sobre un apoyo el´astico consistente en una h´elice, en un nudo gen´erico i. por ahora se acepta sin justificaci´on que: La Fuerza actuante Py ha de ser resistida por el suelo mediante la reacci´on de apoyo Yi , porque el resorte es capaz de transmitir fuerzas a lo largo de su eje. No obstante, para que esto suceda el resorte debe

66

´ CAP´ITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

Figura 4.9: Apoyos el´asticos

deformarse en la direcci´ on de la fuerza transmitida, se acepta que la relaci´ on entre la fuerza Py y la deformaci´on δy es un valor constante llamado Rigidez o Constante del resorte.

El resorte es incapaz de transmitir hacia el suelo la fuerza Px perpendicular a su eje, por ello la reacci´on Xi = 0 es nula. Esto mismo sucede con el momento Pz , que al no ser trasmitido al suelo genera reacci´on de momento nula Zi = 0.

Por lo anterior, un apoyo de este tipo genera s´olo una restricci´on y es de primera especie, dicho de otro modo, provee dos liberaciones externas LE = 2 Resorte Espiral como el mostrado en la Fig.4.9(b), se fabrica para transmitir exclusivamente momento Pz perpendicular al plano de la espiral, sobre el eje Z de la figura, generando el momento reactivo Zi .

Como antes, un resorte espiral es un apoyo de primera especie por cuanto restringe s´olo el movimiento rotacional y otorga dos libertades de movimiento traslacional, LE = 2.

Desde el punto de vista de la hiperestaticidad, los anteriores conceptos llevan al siguiente razonamiento: si a una estructura se le a˜ nade un apoyo el´astico, autom´ aticamente se le a˜ naden tres grados de hiperestaticidad por el hecho de formar un nuevo anillo, sin embargo, simult´ aneamente tambi´en se le otorgan dos libertades de movimiento, disminuyendo as´ı su hiperestaticidad en dos grados.

Entonces: Todo apoyo el´astico o resorte aumenta una unidad al Grado de Hiperestaticidad Externo.

Todo resorte que une dos puntos de la estructura aumenta una unidad al Grado de Hiperestaticidad Interno.

4.3. ISOSTATICIDAD

4.3.5.

67

Grado de Hiperestaticidad

Reuniendo el criterio del anillo tres veces hiperest´ atico, la disminuci´ on de la hiperestaticidad por cada liberaci´ on y las restricciones externas se puede resumir: El Grado de Hiperestaticidad Total GH es la diferencia de la hiperestaticidad de todos los anillos que forma la estructura: 3 A menos las libertades L = LE + LI (entre el suelo y la estructura LE y entre barras LI). La Hiperestaticidad Total tambi´en es igual a la suma de la Hiperestaticidad Externa m´as la Hiperestaticidad Interna, que se definen a continuaci´on.

El Grado de Hiperestaticidad Interno GHI es la diferencia de la hiperestaticidad de todos los anillos internos (tres veces el n´ umero de anillos internos AI), menos las libertades internas LI (entre barras de la estructura) El Grado de Hiperestaticidad Externo GHE es igual a la cantidad de restricciones menos el Grado de Libertad de la estructura (GL=3 en estructuras planas, GL=6 en el espacio).

H. Externa GHE = H. Interna

RE − GL

(4.1a)

GHI = H. Total

3 AI − LI

(4.1b)

3A−L GHE + GHI

(4.1c) (4.1d)

GH GH

= =

Sin embargo, considerando los casos especiales de la barra biarticulada y los resortes, muchas veces resulta m´as claro el an´alisis si, antes de definir el n´ umero de anillos y las liberaciones internas y externas, aislamos de la estructura las barras biarticuladas y los resorte. Como se vio antes, esto implica que estamos restando un grado de hiperestaticidad externa por cada resorte aislado, y tambi´en un G. de H. Interno por cada barra biarticulada.

Al hacer esto, la estructura restante es m´as f´acil de estudiar y al grado de hiperestaticidad de esta estructura parcial habr´ıa que a˜ nadir la cantidad de B. Biarticuladas BBy Resortes aislados RR para conocer el GH de la estructura inicial. Obviamente, para calcular el Grado de Hiperestaticidad de la estructura restante, GHR, se deben emplear solo los anillos restantes AR tanto como las libertades restantes LR, es decir: GHR = AR−LR. Entonces a la Ec. 4.1 habr´ıa que a˜ nadir otra ecuaci´ on alternativa para el G. de H. Total:

68

´ CAP´ITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

Figura 4.10: Ejercicio 4.3

H. Externa GHE = RE − GL H. Interna

(4.2a)

GHI = 3 AI − LI H. Total

(4.2b)

GH GH

= 3A− L = 3 AR − LR +BB + RR {z } |

(4.2c) (4.2d)

GHR

GH

= GHE + GHI

(4.2e)

Se quiere insistir que en la ecuaci´ on 4.2d, GHR simboliza el Grado de Hiperestaticidad de la estructura restante, que es m´as f´acil de analizar, si la E. inicial fuera hiperest´ atica, cuando se emplea el M´etodo de la Flexibilidad que ser´a estudiado posteriormente.

A continuaci´on se practica la aplicaci´on de ambos procedimientos.

Ejercicio 4.3 Determinar el Grado de Hiperestaticidad de la estructura mostrada en la Fig,4.10.

1. Separando B. Biarticuladas BB y resortes RR de la estructura restante.

2. Considerando las barras biarticuladas y los resortes con la totalidad de la estructura.

1. Separando B. Biarticuladas y resortes de la estructura restante Siendo una estructura plana GL = 3, adem´as, en la Fig.4.11 se determina que son siete las restricciones externas o apoyos RE = 7, a saber: V 1, H1, V 2, H2.M 2, V 2 y H6, por tanto: GHE = 7 − 3 = 4.

Para determinar m´as f´acilmente el n´ umero de anillos y liberaciones se hace referencia nuevamente a la Fig.4.11, donde se establece:

4.3. ISOSTATICIDAD

69

Figura 4.11: Ejercicio 4.3 (1)

Anillos restantes: 1,2,3 y 4

AR =4

Anillos internos restantes: 3 y 4 Liberaciones restantes: en 1,3 y 5

AIR =2 LR =4

Liberaciones internas restantes: en 5

LIR =1

Para determinar los anillos y libertades totales, haciendo referencia a la Fig.4.12, se debe a˜ nadir un anillo interno por cada barra biarticulada excluida (6 y 7 en la figura) y un anillo por cada resorte (5 en la figura); tambi´en se a˜ nadir´an dos liberaciones internas por cada BB excluida (en los nudos 2,3,4 y 5), luego:

Anillos en total

A =4 + 2 + 1 = 7

Anillos internos en total Liberaciones en total

AI =2 + 2 = 4 L =4 + 2 ∗ 2 + 2 = 10

Liberaciones internas en total

LI =1 + 2 ∗ 2 = 5

´ CAP´ITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

70 Con estos datos se tiene:

G. de Hiperestaticidad Externa G. de Hiperestaticidad Interna G. de Hiperestaticidad Total

GHE =RE − GL = 7 − 3 = 4 GHI =3 AI − LI = 3 ∗ 4 − 5 = 7 GH = |3 AR{z− LR} +BB + RR GHR

= 3 ∗ 4 − 4 +2 + 1 = 11 | {z } 8

G. de Hiperestaticidad Total

GH =GHE + GHI = 7 + 4 = 11

Figura 4.12: Ejercicio 4.3 (2) 2.- Se considera la estructura en su totalidad Ya se conocen los datos necesarios para calcular el GH empleando la ecuaci´ on 4.2c: G. de Hiperestaticidad Total

GH =3 A − L = 3 ∗ 7 − 10 = 11

Ejercicio 4.4 Determinar el Grado de Hiperestaticidad de la estructura mostrada en la Fig.4.13(a).

1. Separando B. Biarticuladas BB y resortes RR de la estructura restante.

2. Considerando las barras biarticuladas y los resortes con la totalidad de la estructura.

En la Figura indicada se ve que la cantidad de restricciones externas GHE = 3, tambi´en se sabe que GL = 3.

Por otro lado, en la Fig.4.13(c) se observan las barras biarticuladas 6/3 y 7/4 separadas del cuerpo principal; mostrando en la Fig.4.13(b) la estructura restante,

4.3. ISOSTATICIDAD

Figura 4.13: Ejercicio 4.4: Cercha plana Nota: Ver la justificaci´on de estas cantidades en el texto que contin´ ua.

71

72

´ CAP´ITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

de la cual se extraen los siguientes datos: Anillos restantes: 1 a 7 Anillos internos restantes: 1 a 6 Liberaciones restantes Liberaciones internas restantes

AR =7 AIR =6 LR =18 + 3 = 21 LIR =2 ∗ 8 + 2 = 18

Como antes, para determinar en n´ umero de anillos y libertades en total, a los valores anteriores se a˜ nadir´a un anillo por cada BB, dos en este caso; no existiendo ning´ un resorte, no existe anillo externo adicional. En n´ umero de liberaciones tambi´en aumenta en dos por cada BB. Anillos en total Anillos internos en total

A =7 + 2 = 9 AI =6 + 2 = 8

Liberaciones en total Liberaciones internas en total

L =21 + 2 ∗ 2 = 25 LI =18 + 2 ∗ 2 = 22

Con estos datos se tiene, resolviendo simult´ aneamente ambas alternativas: G. de Hiperestaticidad Externa G. de Hiperestaticidad Interna G. de Hiperestaticidad Total

GHE =RE − GL = 3 − 3 = 0 GHI =3 AI − LI = 3 ∗ 8 − 22 GH = |3 AR{z− LR} +BB + RR GHR

= 3 ∗ 7 − 21 +2 = 2 | {z } 0

G. de Hiperestaticidad Total

GH =3 A − L = 3 ∗ 9 − 25 = 2

G. de Hiperestaticidad Total

GH =GHE + GHI = 0 + 2 = 2

Cap´ıtulo 5

Flexi´ on 5.1.

Objetivo

En el presente Cap´ıtulo se estudia la relaci´on entre los esfuerzos y la carga interna de Momento, pudiendo ´este estar acompa˜ nado o no de fuerzas internas Normales y Cortantes. Se ver´ a que los esfuerzos est´ an ligados a las deformaciones de las fibras. Usando el mismo ejemplo que en la Sec.1.9, p´ ag.15, se puede ver en la Fig.5.1(a) una viga con Cargas Externas Actuantes que son equilibradas por Cargas Externas Reactivas que se originan en los apoyos. Una vez establecido el equilibrio externo, es necesario conocer las Cargas Internas y su relaci´on con los Esfuerzos y Deformaciones, para lo cual se aplica generalmente el siguiente procedimiento.

1. Se corta el elemento a la distancia z+ dz donde se quiere establecer el valor de las cargas internas. Al interrumpir el flujo de esfuerzos que transcurr´ıa a trav´es de las fibras se produce el desequilibrio, quedando las partes separadas habilitadas para moverse Figs.5.1(b) y (c). Este movimiento, que en el espacio tiene seis componentes: tres traslaciones o movimientos longitudinales y tres rotaciones o movimientos angulares, se impide mediante otras tantas Cargas internas: Tres fuerzas y tres momentos que impiden los movimientos traslacionales y rotacionales asociados de cada una de las partes. De este modo, se tienen seis inc´ ognitas (las cargas internas) y seis ecuaciones (las del equilibrio est´ atico), siendo por tanto el sistema de ecuaciones determinado y posible la soluci´on de las inc´ ognitas. Si bien existen dos cuerpos libres y por tanto dos grupos de seis cargas y ecuaciones, debe recordarse que las cargas internas son correspondientemente iguales en magnitud y direcci´ on en cada una de las caras cortadas, variando u ´ nicamente el sentido, por tanto es suficiente usar uno de los cuerpos.

2. Una vez determinadas las cargas internas, quedan por conocer los esfuerzos y deformaciones, ´ese es el prop´ osito de este estudio, en particular ´este cap´ıtulo trata de los esfuerzos relacionados con el momento y la fuerza 73

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

74

cortante.

Particularmente, en el presente texto se trata el problema anterior estudiando un Elemento Unidimensional. Para este objetivo se separa del cuerpo un porci´on muy delgada, cortando en dos planos infinitamente cercanos, perpendicularmente al eje del elemento, resultando con ello dos Secciones Transversales en las que act´ uan las cargas internas mencionadas.

Figura 5.1: Cargas Externas e Internas

5.2.

Equilibrio del Elemento

L´ıneas arriba se dijo que a objeto de analizar la flexi´on se procede a aislar del cuerpo una parte infinitamente delgada, denominada Tajada Diferencial realizando dos cortes perpendiculares al eje del elemento, definiendo de ´este modo las llamadas secciones transversales. Esto ha sido mencionado y´a en la Sec.1.9, de modo que ahora se completa la Fig.1.11, incluyendo la carga actuante qz y las cargas internas de ambas secciones transversales. Ver la Fig.5.2.

Siendo esta tajada diferencial parte de un cuerpo en equilibrio, debe tambi´en estarlo, por tanto se usar´an las condiciones de equilibrio para demostrar algunas relaciones muy u ´ tiles. Siendo seis los Grados de Libertad del cuerpo ser´an seis las condiciones de equilibrio. Con relaci´on a esta figura se desea recalcar: La convenci´ on de signos requiere establecer primero un sistema de ejes de

5.2. EQUILIBRIO DEL ELEMENTO

75

Figura 5.2: Tajada Diferencial - Cargas Externas e Internas referencia cartesiano ortogonal, como se v´e en la mencionada figura, se elige el sentido del eje y de modo que la convenci´on de signos que aqu´ı se plantea, coincida con la convenci´on de signos de la Resistencia de Materiales. Luego se define que la cara positiva es la m´as alejada del origen de coordenadas. En ´ella las cargas internas son positivas si tienen el mismo sentido de los ejes de referencia. En la cara opuesta, llamada cara negativa, las cargas internas son positivas cuando su sentido es opuesto al de los ejes de referencia. Las cargas externas activas son positivas siempre que su sentido coincida con el de los ejes. Su magnitud puede ser expresada como funci´ on de la variable z.

El tama˜ no del cambio de magnitud de todos los vectores implicados, entre ´ cara y cara, es un diferencial. Esto debido a la distancia infinitamente peque˜ na entre dichas secciones transversales.

Las cargas concentradas no son tomadas en cuenta por cuanto producen discontinuidades, entonces los cortes se realizan antes de llegar a un punto donde existas dichas cargas. Adem´as, en estos lugares se producen concentraciones de esfuerzos cuyo valor debe ser determinado por m´etodos que caen fuera de los alcances del presente texto. Dicho de otro modo, se adopta como v´alido el principio de Saint-Venant ([Mansilla,1952, P´ ag.23]): “La fuerza aplicada a una parte de la estructura ocasiona tensiones, las cuales, excepto en una regi´ on vecina a tal parte, dependen casi enteramente de la acci´on resultante y no de la forma como act´ ua esa fuerza”.

La forma de la Secci´ on transversal puede ser cualquiera, aqu´ı se toma como ejemplo la figura rectangular. De principio se consideran solo elementos prism´aticos, vale decir elementos cuya secci´ on transversal sea constante a lo largo de la variable z.

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

76

El Eje z corresponde al eje del elemento cuando ´este es recto, o a su tangente cuando es una curva. Como se demostrar´ a, el eje del elemento es la l´ınea formada por los centroides de las secciones transversales. De principio se considera solamente elementos de eje recto o de peque˜ na curvatura, que puedan ser considerados aproximadamente rectos.

Por el Principio de Superposici´ on que se adopt´o al principio del texto, se pueden analizar separadamente los efectos de cada carga interna y luego superponer sus efectos.

La tajada diferencial se ha movido y se ha deformado antes de alcanzar la posici´on de equilibrio, estos desplazamientos y deformaciones son peque˜ nos (de primer orden) y por tanto, por el Principio de las Peque˜ nas Deformaciones, las condiciones de equilibrio se plantean sobre la posici´ on y forma inicial del cuerpo no deformado.

Conviene recordar la clasificaci´on de las cargas internas que se di´o en la Sec.1.9, y su correspondencia con los esfuerzos que se propone hallar:

CARGA INTERNA

⇒

ESFUERZO INTERNO

Px

F. Cortante

⇒

τzx

E. Cortante

Py

F. Cortante

⇒

τzy

E. Cortante

Pz

F. Normal

⇒

σz

E. Normal

Mx

M. Flector

⇒

σz

E. Normal

My

M. Flector

⇒

σz

E. Normal

Mz

M. Torsor

⇒

τzy

E.Cortante

Por consideraciones de orden, los Momentos Torsores Mz no ser´an considerados en este cap´ıtulo.

5.2.1.

Equilibrio de Fuerzas Longitudinales (Normales)

Aunque se vi´ o el an´alisis de las cargas internas de tracci´ on/compresi´on en el cap´ıtulo anterior, por motivos de orden se incluye aqu´ı el equilibrio de fuerzas longitudinales, normales a la secci´ on transversal. Separando las fuerzas actuantes e internas que sean colineales con el eje z se obtiene la Fig.5.3. Se considera que la carga actuante qz act´ ua directamente sobre el eje de la barra, es decir, la altura del elemento es peque˜ na frente a su longitud, de modo que los momentos generados por tal carga son despreciables frente a los producidos por las cargas transversales.

P La condici´on de equilibrio adecuada es Fz = 0, entonces se debe hallar la resultante de la carga actuante distribuida variable a lo largo de z, ´esta sera

5.2. EQUILIBRIO DEL ELEMENTO

77

Figura 5.3: Cargas Normales considerada la suma de una carga rectangular cuya resultante vale qx ∗ dz, m´as la carga aproximadamente triangular dqz ∗ dz /2, siendo esta u ´ ltima diferencial de orden superior ser´a obviada, entonces: −Pz + qz ∗ dz + (Pz + dPz ) = 0

⇒

dPz = −qz dz

(5.1)

Lo cual significa que: “La pendiente de la funci´ on Carga Interna Normal Pz (z), en cualquier lugar dado por la variable z, tiene el valor negativo de la funci´ on de la carga actuante qz (z) en dicho lugar”.

5.2.2.

Equilibrio de Fuerzas Transversales (Cortantes)

Fuerzas en el Eje Y Tambi´en se han aislado en la Fig.5.4 las fuerzas proyectadas sobre el eje P y, y los momentos Mx que ´estas producen. Debe cumplirse que Fy = 0, entonces debe hallarse la resultante de las cargas distribuidas qy , igualmente se descompone la figura en una componente rectangular qy ∗ dz y la parte superior, aproximadamente triangular: dqy ∗ dz/2, infinitamente m´as peque˜ na que la primera, por tanto despreciable, con lo cual: −Py + qy ∗ dz + (Py + dPy ) = 0

⇒

dPy = −qy dz

(5.2)

Siendo la conclusi´ on igual a la de las cargas normales, es decir: “La pendiente de la funci´ on Carga Interna Cortante Py (z), en un punto dado z es igual al valor de la funci´ on de Carga Actuante qy (z) en dicho lugar, con el signo contrario”.

Fuerzas en el eje X Siendo igual el procedimiento al de los casos anteriores, se puede inferir sin dificultad que: −Px + qx ∗ dz + (Px + dPx ) = 0

⇒

dPx = −qx dz

(5.3)

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

78

Figura 5.4: Cargas en el plano Y Z Con la misma relaci´on entre la pendiente de la funci´ on cortante Px (z) y la funci´ on de carga qx

5.2.3.

Equilibrio de Momentos Flectores

Momentos Mx Una vez alcanzada la posici´on de equilibrio la tajada ya no rota, entonces la suma de momentos debe ser nula, se toma centro de momentos el punto donde el eje incide en la cara izquierda del cuerpo de la Fig.5.4, y recordando que la carga distribuida fu´e descompuesta en un rect´angulo diferencial de primer orden y un tri´angulo diferencial de segundo orden, no considerado, se tiene: 1 Mx + qy dz dz + (Py + dPy ) dz − (Mx + dMz ) = 0 2 dMx = Py Despreciando diferenciales de segundo orden: ⇒ dz

(5.4)

Una vez m´as se resalta la relaci´on demostrada: “La pendiente del diagrama de momentos Mx (z) en un punto z es igual al valor de la fuerza cortante Py en esa misma abscisa”.

Momentos My Realizando un procedimiento semejante, pero ahora sumando los momentos de direcci´ on y, incluyendo los que producen las cargas cortantes Px , se puede demostrar: dMy = −Px (5.5) dz Tambi´en aqu´ı se menciona la relaci´on conocida: “La pendiente del diagrama de momentos My (z) en un punto z es igual al valor negativo de la fuerza cortante Px en esa misma abscisa”. Resumiendo:

´ 5.3. CLASIFICACION

79

La pendiente del diagrama de fuerzas cortantes (normales) es num´ericamente igual al valor de la funci´ on de carga distribuida transversal (longitudinal) en la misma abscisa.

La pendiente del diagrama de momentos flectores es num´ericamente igual al valor de la funci´ on cortante en dicha abscisa.

Consecuentemente, cuando la fuerza cortante es nula en un punto, la pendiente del diagrama de momentos es nula, es decir se ha alcanzado un m´aximo o un m´ınimo del momento en dicha abscisa.

M´ as a´ un, cuando la fuerza cortante es nula en un tramo del elemento, el momento es constante en dicho tramo. A este estado se llama Flexi´ on Pura o Uniforme.

5.3.

Clasificaci´ on

En funci´ on a la presencia o no de determinadas cargas internas se suele usar la siguiente clasificaci´on, ser´a ´esta la empleada en lo que contin´ ua.

Denominaci´on

M. Flector

F. Cortante

Flexi´ on Uniforme (Pura)

Existe

Flexi´ on No Uniforme

Existe

Existe

Flexi´ on Compuesta

Existe

Existe

F. Normal

Existe

Es necesario resaltar que no es esta denominaci´ on ni la u ´ nica ni la m´as usual, por ejemplo, en [Feodosiev,1985, P´ ag.142] y [Pisarenko,1979, P´ ag.227], a la Flexi´ on No Uniforme se la denomina Flexi´ on Transversal, etc.

Por otra parte, en cualquiera de las clases de flexi´on mencionadas arriba, puede producirse la deformaci´on sobre el plano formado por el eje del elemento y uno de sus ejes principales de inercia, en cuyo caso la flexi´on se clasifica como Flexi´ on Recta, caso contrario se llamar´ıa Flexi´ on desviada

5.4.

Flexi´ on Pura

5.4.1.

Generalidades

Se trata de establecer los esfuerzos y deformaciones de un elemento unidimensional y prism´atico sometido a la acci´on de un momento constante a lo largo

80

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

de un tramo del mismo. Para eso se analiza la tajada diferencial ya conocida y se visualiza al momento actuante sobre ella como un par de fuerzas, si el momento es positivo, entonces las fuerzas de la parte superior ocasionan compresi´on sobre las fibras, en cambio las fibras de la zona inferior estar´ an sometidas a tracci´on, ver la Fig.5.5(a).

Figura 5.5: Deformaci´ on por Momento.

En esas circunstancias es posible afirmar que las fibras superiores se acortan y las de abajo, en cambio se alargan, entonces se puede inferir que algunas no sufren ninguna deformaci´on. Yendo m´as lejos, es posible asumir que los alargamientos y acortamientos van siendo cada vez mayores a partir de un l´ınea que no se alarga ni se acorta, entonces, la secci´ on transversal que era plana antes de la deformaci´on lo seguir´a siendo despu´es de la deformaci´on y s´olo habr´ a rotado. Considerando que ´esto es verdad, se admitir´a que la forma rectangular que ten´ıa la tajada diferencial se convierte en una cu˜ na como la de la Fig.5.5(izquierda), luego, si se juntan las tajadas adyacentes se puede ver que el eje recto del elemento ha tomado la forma de un arco Fig.5.5(derecha).

Esta hip´ otesis de las secciones transversales planas, antes y despu´es de la deformaci´ on, que se confirma experimentalmente, puede ser explicada si tomamos el tramo sobre el que el momento es constante, si se toma el arco formado y se analiza los desplazamientos de los puntos del plano que divide en dos el elemento arqueado, por estar estos puntos en el plano de simetr´ıa, no pueden moverse ni a izquierda ni a derecha, por tanto permanecen en el plano que los conten´ıa antes de la deformaci´on. Este mismo criterio puede ser aplicado cuando se toma la mitad del tramo anterior, o la mitad de ´esa mitad, etc. entonces est´ a claro que los puntos coplanares antes de la deformaci´on pertenecen al mismo plano despu´es de la deformaci´on, solo que estos planos han rotado como se ve en la figura ya mencionada. Adem´as todos estos arcos deber´ıan tener un mismo radio de curvatura, el que es hallado matem´aticamente y confirmado experimentalmente. En la Fig.5.6 se pueden observar algunas l´ıneas caracter´ısticas del fen´omeno estudiado.

La l´ınea Neutra es la l´ınea que pertenece a la secci´ on transversal y es el eje de rotaci´on de la misma.

El Eje Neutro es la fibra del cuerpo que no sufre ninguna deformaci´on, ni se alarga ni acorta.

El Plano Neutro es el plano formado por la l´ınea neutra y el eje neutro.

´ PURA 5.4. FLEXION

81

Figura 5.6: Rotaci´ on de la Secci´on Transversal La longitud dz sufre una elongaci´ on ∆ dz en la fibra definida por la coordenada z, como se ha estudiado, la relaci´on entre el alargamiento y la longitud dz inicial es la Deformaci´ on Unitaria ǫ = ∆dz Antes de seguir es necesario hacer algunas consideraciones tocantes a las relaciones geom´etricas de los arcos de circunferencia. Estudiando la Fig.5.7 se hallan las siguientes relaciones (L = 2a):

Figura 5.7: Arco de circunferencia

r 2 = a2 + h 2

r =h+f

⇒

r=

L2 + 4f 2 8f

Haciendo m = f /L y tan θ = pendiente m´axima en cualquier extremo: r=L

1 + 4m2 8m

cos θ =

1 − 4m2 1 + 4m2

A continuaci´on se muestran algunos valores que ilustran las anteriores relaciones:

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

82 m

r/L

θ

Arco/L

1/4

0.625000

53.130102

1.159119

1/16

2.031250

14.250033

1.010384

1/32

4.015625

7.152669

1.002602

1/48

6.010417

4.771888

1.001157

Puede observarse que, para relaciones f /L como las que admiten los reglamentos de dise˜ no de estructuras en la Ingenier´ıa Civil, el arco y la cuerda tienen longitudes aproximadamente iguales.

5.4.2.

Determinaci´ on de la curvatura Flexi´ on Desviada

Aunque generalmente se hace la primera aproximaci´on al tema analizando la Flexi´ on Recta, se estima que comenzar estudiando la flexi´on desviada no significa mayor confusi´ on.

Figura 5.8: Curva en el espacio En consecuencia, en la Fig,5.8 se muestra el eje ABC de una barra que se ha curvado en el espacio. Para analizar este curva se analizan separadamente las curvaturas en los Planos ZX y ZY. Es decir, un punto B cualquiera se desplaza en el plano ZX un distancia x hasta alcanzar la posici´on B”, entonces, si todos los puntos hacen lo mismo, eje se ha curvado en este plano, tal curvatura se denomina ky . Lo mismo ha sucedido en el plano perpendicular ZY, esta vez se ha desarrollado la curvatura kx .

Para analizar la curvatura kx consid´erese la barra de la Fig.5.9, cuyo eje es el ′ C ′ D. Como se \ segmento ABCD que se ha curvado hasta alcanzar la posici´on AB dijo, el eje de un elemento es aquella fibra que no cambia de longitud, entonces, si el segmento ABCD no ha cambiado de longitud y se ha curvado, los puntos A y B deber´ıan haberse acercado. Efectivamente esto ha sucedido, sin embargo, considerando que se ha adoptado el Principio de las Deformaciones Peque˜ nas, la flecha es mucho menor que la longitud y por tanto el cambio de posici´on es

´ PURA 5.4. FLEXION

83

muy peque˜ no (del ac´apite anterior, la cuerda y el arco son aproximadamente iguales para relaciones peque˜ nas f /L), por tanto en el futuro se considera que dichos puntos no se han movido.

Como puede verse, realizando los cortes transversales en B ′ y C ′ se obtiene la tajada diferencial comentada anteriormente. Este elemento se ha trasladado a la posici´on A′ B ′ y se ha deformado, acort´ andose las fibras superiores y alarg´ andose las inferiores. En el gr´ afico se destaca: La pendiente θa en A es positiva para los ejes de referencia adoptados.

La pendiente θ en B ′ es negativa, y se ve que las pendientes disminuyen a lo largo del eje z, por tanto matem´aticamente la curvatura es negativa.

El cambio de pendiente en la longitud dz es dθ, o sea un decremento.

El alargamiento de las fibras inferiores y el acortamientos de las superiores tiene que haberse producido a causa de un momento positivo.

Los alargamientos en las fibras son considerados positivos, de acuerdo a la convenci´on adoptada en el anterior cap´ıtulo.

Un Sistema de Referencia m´ovil Z ′ Y ′ ha sido adoptado con origen en B ′ y el eje Z ′ tangente a la curva. N´ otese que, para coordenadas y positivas se da un alargamiento en la fibra, deformaci´on positiva, la nueva longitud de la fibra es ds′ . En cambio, el segmento BC = dz ha cambiado de posici´on ′ C ′ = ds = dz. [ y se ha curvado sin alargarse: B

Figura 5.9: Curvatura kx Resumiendo, el problema que se pretende resolver es: “Dada una barra prism´atica unidimensional sometida a la acci´on de dos momentos Mx y My , hallar las curvaturas kx y ky de su deformada y la posici´on del eje z, la fibra que no se deforma”.

Como se sabe, empleando la Ley de Hooke estudiada en el cap´ıtulo anterior:

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

84

ds′ − ds ∆L = L ds ds′ = (ρ + y) dθ

σ E ds = ρ dθ ǫ=

ǫ=

De la Figura: Entonces: Pero

ǫ=

(ρ + y) dθ − ρ dθ ρ dθ

1 = kx ρ

y ρ

⇒

ǫ=

⇒

ǫ = kx y

Toda vez que hasta aqu´ı s´olo se ha considerado la geometr´ıa, para pasar a una expresi´on algebraica se debe recordar que son positivas la elongaci´ on y la coordenada y, en cambio la curvatura es negativa, por tanto: ǫ = −kx y.

Realizando el mismo an´alisis en el plano de deformaci´on ZX , para considerar la curvatura ky , puede concluirse que ǫ = −ky x, de modo que para tomar en cuenta el efecto de las dos curvaturas al mismo tiempo se deben acumular las deformaciones unitarias, asi: ǫ = −(kx y + ky x)

(5.6)

Habiendo definido la deformaci´on unitaria en funci´ on de las inc´ ognitas, empleando ahora la Ley de Hooke se tendr´a la relaci´on entre esfuerzos y deformaciones, con lo cual se puede usar el hecho de que los esfuerzos son la distribuci´ on de las cargas internas sobre la secci´ on transversal, es decir: La suma de fuerzas es nula por ser nula la fuerza normal actuante, del mismo modo, la suma de los momentos sobre cada uno de los ejes debe ser igual a los momentos actuantes Mx My , de este modo se tendr´an tres ecuaciones con las tres inc´ ognitas ya mencionadas. Ver la Fig.5.10:

Figura 5.10: Esfuerzos Normales

σ = ǫE

dN = σ dA

dN = −E(kx y + ky x) dA

´ PURA 5.4. FLEXION

Z

Z

dN

85

Z

=

ZA

y dN x dN

−E(kx y + ky x) dA = 0

(5.7a)

−E(kx y + ky x)y dA = Mx

(5.7b)

−E(kx y + ky x)x dA = −My

(5.7c)

A

A

Z

=

ZA

=

A

A

Desarrollando la Ec.5.7a, y considerando que las curvaturas son constantes en el ´ ambito de la integraci´ on: R Z Z x dA kx = − RA −E(kx y dA + ky x dA) = 0 ⇒ k y dA y A A A

Considerando que la fracci´ on del primer miembro puede tomar cualquier valor, en cambio la fracci´ on del segundo miembro puede s´olo tomar un u ´ nico valor y es independiente de las curvaturas, la u ´ nica posibilidad para que se cumpla la igualdad es que se trate de una indeterminaci´on, es decir: Z Z y dA = 0 x dA = 0 A

A

Toda vez que lo anterior se cumple s´olo cuando los ejes X e Y son centroidales, la conclusi´ on es que el Eje Neutro del elemento, la fibra que no se deforma, es la uni´ on de los centroides de las secciones transversales. Para determinar las curvaturas, se deben desarrollar las ecuaciones 5.7b y 5.7c: Z Z 2 −E(kx y dA + ky xy dA) = Mx ZA ZA E(kx xy dA + ky x2 dA) = My A

A

Entonces: kx Ix + ky Ixy kx Ixy + ky Iy

= =

−Mx/E My /E

(5.8a) (5.8b)

Resolviendo las ecuaciones 5.8 se obtienen las curvaturas: kx

=

− ky

=

Conviene resaltar lo siguiente:

Mx Iy + My Ixy 2 − I I )E (Ixy x y My Ix + Mz Ixy 2 − I I )E (Ixy x y

(5.9a) (5.9b)

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

86

El Momento Mx puede causar ambas curvaturas kx y ky , a´ un si el momento My = 0, a condici´on de que los ejes de referencia no sean Ejes Principales Ixy 6= 0, dicho de otro modo: Para Ejes Centroidales Principales Ixy = 0, cada momento s´olo produce curvatura en el plano correspondiente: el Momento Mx que es perpendicular al Plano ZY, producir´a una curvatura kx en ese mismo plano, igualmente, el momento My que es perpendicular al Plano ZX , genera curvatura ky en ese mismo plano. Ambos casos se clasifican como Flexi´ on Recta Las curvaturas kx y ky son constantes en el caso estudiado: Elemento Unidimensional Prism´atico, Homog´eneo e Isotr´opico. La curva desarrollada es una circunferencia.

La ecuaci´ on de la curva adoptada por el eje del elemento requiere emplear la definici´on matem´atica de la curvatura, como se ver´a posteriormente.

Una vez hallada la posici´on del eje neutro y las curvaturas, se conoce indirectamente el esfuerzo en una fibra cualquiera, ubicada en la posici´on (x, y), en efecto, reemplazando las curvaturas en la deformaci´on unitaria ǫ y ´esta en la ley de Hooke σ = ǫE se halla la llamada: ´ GENERAL DE LA FLEXION: ´ ECUACION σ=

My Ix + Mx Ixy Mx Iy + My Ixy x− y 2 2 −I I Ixy − Ix Iy Ixy x y

(5.10)

Reordenando en funci´ on de los Momentos: σ=

5.4.3.

Ixy y − Ix x Ixy x − Iy y Mx − 2 My 2 Ixy − Ix Iy Ixy − Ix Iy

(5.11)

Ejes Principales - Flexi´ on Desviada

Toda vez que las anteriores relaciones son largas y morosas en su aplicaci´on, es corriente simplificarlas y estudiar la flexi´on desviada adoptando como ejes de referencia los Ejes Principales Centroidales, en cuyo caso, se sabe que Ixy = 0, entonces: Mx Ix E My Mx y+ x σ= Ix Iy

kx = −

ky =

My Iy E

(5.12) (5.13)

´ NO UNIFORME 5.5. FLEXION

87

El estudio de la Flexi´ on Desviada amerita un tratamiento extenso que se realizar´ a m´as adelante.

5.4.4.

Ejes Principales - Flexi´ on Recta

Para familiarizarse con los aspectos concernientes a la flexi´on es apropiado simplificar a´ un m´as las ecuaciones de gobierno, por tanto, es usual estudiar inicialmente la acci´on de un momento proyectado sobre un Eje Principal Centroidal, sea por ejemplo Mx 6= 0 y My = 0, en cuyo caso se tiene: Mx Ix E Mx y σ= Ix

kx = −

5.5.

(5.14) (5.15)

Flexi´ on No Uniforme

Debido a que el momento actuante en las piezas rara vez es constante, el estudio de la flexi´ on debe contemplar la relaci´on Momento-Cortante, es decir la Flexi´ on No uniforme. Donde existe una fuerza cortante el momento cambia de valor, entonces la relaci´ on esfuerzo-deformaci´ on debe cambiar. Si bien esto es un hecho, tambi´en es cierto que, para las relaciones alto/ancho com´ unmente empleadas el efecto del cortante en la deformaci´on es peque˜ no con relaci´on al de los momentos, por tanto es bastante exacto admitir que los puntos de la secci´ on transversal, que antes de la deformaci´on pertenecen a un plano, luego de la deformaci´ on siguen perteneciendo al plano, pero rotado alrededor del llamado Eje Neutro, [Gere,1986, P´ ag.247], entonces los esfuerzos normales σ determinados reci´en son los mismos cuando se a˜ nade el efecto de la fuerza cortante1 .

En base a tal hip´ otesis se puede hallar el valor de los esfuerzos contantes debidos a las Fuerzas Internas Transversales Px y Py . Entonces, como se puede ver en la Fig.5.11, si existe incremento en el momento flector entre las caras de la tajada diferencial, tambi´en aumentar´ a el esfuerzo, si el momento crece un diferencial, el incremento del esfuerzo tambi´en lo ser´a.

Si en ambas caras de la tajada diferencial se dibuja un ´area A1 id´entica, de cualquier forma y tama˜ no, dentro de sus l´ımites, sobre ´estas act´ uan fuerzas normales dN = σ dA y d(N + dN ) = (σ + dσ) dA, como se observa en la Fig.5.12.

Aislando un prisma cuya base sea el ´area A1 , ´este debe estar en equilibrio, pero en ambas caras base de este prisma existen diferentes fuerzas, entonces es necesario que en el per´ımetro cortado del prisma se desarrollen fuerzas cuya resultante dT anule la carga normal desequilibrada dN , enP efecto, planteando el equilibrio de las fuerzas en direcci´ on del eje del elemento Fz = 0: 1 Aunque fue J. Bernoulli (1654-1705) quien propusiera inicialmente la relaci´ on entre la curvatura y el momento flector, posteriormente L. Euler (1707-1783), Parent, Saint Venant (1797-1886) y otros hicieron aportaciones y correcciones a las hip´ otesis y conclusiones.

88

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

Figura 5.11: Incremento de las Cargas Normales

Figura 5.12: Esfuerzos cortantes perimetrales

´ NO UNIFORME 5.5. FLEXION

89

−N − dT + (N + dN ) = 0

⇒ dT = dN =

Z

dσ dA

(5.16)

A1

De la Fig.5.12, considerando inicialmente un arco diferencial dS1 , donde el cortante tiene el valor τ , el mismo que puede variar a lo largo del per´ımetro S1 pero es constante a lo largo de la longitud dz, el diferencial de fuerza dT puede ser calculado por integraci´ on sobre la longitud del arco mencionado.

dT =

Z

τ dz ds = dz

Z

τ ds

⇒

s1

S1

dT = dz

Z

τ ds = f

(5.17)

s1

Esta expresi´on reci´en determinada es el llamado Flujo de Cortante = f , es la variaci´ on de la fuerza contante a lo largo del eje. Recordando que dT = dN y reemplazando 5.16 en 5.17: Z dT dN dσ f= = = dA (5.18) dz dz A1 dz Diferenciando la Ec.5.11:

dσ Ixy x − Iy y dMx Ixy y − Ix x dMy = 2 − 2 dz Ixy − Ix Iy dz Ixy − Ix Iy dz

(5.19)

Reemplazando en 5.19 las Ecs. 5.4 y 5.5: Ixy y − Ix x Ixy x − Iy y dσ Py + 2 Px = 2 dz Ixy − Ix Iy Ixy − Ix Iy

(5.20)

Reemplazando 5.20 en 5.18:

f=

Ixy

R

R R R x dA − Iy A1 y dA Ixy A1 y dA − Ix A1 x dA Py + Px 2 −I I 2 −I I Ixy Ixy x y x y Z Z x dA y dA S1y = Llamando S1x =

A1

A1

(5.21)

A1

a los momentos de primer orden del ´area A1 respecto de los Ejes Centroidales x e y respectivamente y reemplazando en 5.21: f=

Ixy S1y − Iy S1x Ixy S1x − Ix S1y Py + Px 2 −I I 2 −I I Ixy Ixy x y x y

(5.22)

Una vez m´as se comienza el an´alisis de los esfuerzos cortantes considerando el caso particular de la flexi´ on recta, entonces, si Px = 0 y los ejes son principales Ixy = 0: f=

S1x Py Ix

(5.23)

90

´ CAP´ITULO 5. FLEXION

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